Beiträge zur Numerischen Mathematik: Band 9 [Reprint 2019 ed.] 9783486992939, 9783486242713

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Beiträge zur Numerischen Mathematik 9

Beiträge zur Numerischen Mathematik 9

Herausgegeben von Frieder Kuhnert und Jochen W. Schmidt

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1981

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Beiträge zur Numerischen Mathematik / hrsg. von Frieder Kuhnert u. Jochen W. Schmidt. — München, Wien : Oldenbourg. NE: Kuhnert, Frieder [Hrsg.] 9. - 1981. ISBN 3-486-24271-7

© VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: VEB Draekhaus „Maxim Gorki", Altenburg ISBN: 3-486-24271-7

Inhalt

G . A L E F E L D , Berlin (West) Konvergenzbeschleunigende Maßnahmen bei einem Verfahren zur Einschließung von positiven Inversen

7

G . A L E F E L D , Berlin (West) Zur numerischen Auflösung der Matrizengleichung AX2 — 1 = 0

13

und W . W E I N E L T , Karl-Marx-Stadt Differenzenverfahren für eine nichtlineare elliptische Randwertaufgabe mit unstetigen Koeffizienten

21

C . - P . DATJTE

U.

FLEMMING,

Karl-Marx-Stadt

Zur lokalen Konvergenz der Pseudostöriteration und Rayleighquotienteniteration

. . .

31

Köln Die schnelle Auflösung der Fredholmschen Integralgleichung zweiter Art

47

Karl-Marx-Stadt Quadraturformeln vom Gaußtyp für singulare Integrale

63

B . H E I N R I C H , Karl-Marx-Stadt Zur Pehlerabschätzung beim Differenzenverfahren für elliptische Differentialgleichungen nach Gerschgorin-Batschelet

73

J . H I K C H E , Halle Zur Lösung von Optimierungsproblemen mit monoton-linear zusammengesetzten Zielfunktionen

87

Leipzig Allgemeine Koordinatenrelaxationsverfahren zur Berechnung größter und kleinster Eigenwerte nichtlinearer Eigenwertprobleme

95

W . HACKBXTSCH,

R . HAFTMANN,

R . HOFMANN,

B. H O F M A N N , Karl-Marx-Stadt Die Methode der Quasiinversion als Regularisierungsverfahren im Hilbertraum

105

D . H O L L A N D , J . N I E T Z S C H und R . L A M O U R , Berlin Numerische Behandlung von Eigenschwingungsproblemen

113

6

Inhalt

I. 0 .

Dresden

KERNER,

Rasterarithmetik in numerischen Verfahren

131

H. M E T T K E , Dresden Biquadratische Interpolations- und Volumenabgleichssplines

135

G. P Ö N I S C H , Dresden Bin implementierbares ableitungsfreies Verfahren zur Bestimmung von Rückkehrpunkten implizit definierter Raumkurven 147 Halle

H . - E . SCHOLZ,

Eine stetige Monte-Carlo-Methode zum Lösen von Randwertaufgaben für lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung 161 H.

A . CMOJIHHCKAH,

HeKOTopue

nopHRKa

Berlin

HOBHe a n o c T e p H o p H t i e OIJGHKH AJIH OßUKHOBEHHOFT K p a e B o ö a a f l a i i i

W. S P K Ö S S I G , Karl-Marx-Stadt Methode der harmonischen Approximation K.

ZACHARIAS,

175

185

Berlin

Eine Bemerkung zur trigonometrischen Interpolation R . LEHMANN,

2-ro

Karl-Marx-Stadt,

L . MAUNA

und

A. NEMETHY,

195 Bratislava

Finite element method and time-dependent problems I. Eigenvalue approximations

201

W. H A C K B U S C H , Köln On the convergence of multi-grid iterations

213

Beiträge zur Numerischen Mathematik 9(1981), 7 - 1 2

Konvergenzbeschleunigende Maßnahmen bei einem Verfahren zur Einschließung von positiven Inversen GÖTZ ALBFELD

1.

Einleitung

In [2] wurde ein Verfahren angegeben, welches in einem normierten halbgeordneten Ring das Inverse a _ 1 eines Elementes a unter der Voraussetzung ar1 2g 0 einschließt und mit der Konvergenzordnung 3 gegen ar1 konvergiert. Wie die meisten Verfahren höherer Ordnung ist auch dieses Verfahren äußerst wirksam, wenn man einen Startwert kennt, der hinreichend nahe an der Lösung liegt. Dagegen kann man bei ungünstig gewählten Startelementen unverhältnismäßig viele Schritte benötigen, bis man so nahe an der Lösung ist, daß die hohe Konvergenzordnung zum Tragen kommt. In dieser Arbeit geben wir für das obengenannte Verfahren eine einfache Möglichkeit zur Konvergenzbeschleunigung im Sinne der Halbordnung an. Die Wirksamkeit dieses Vorgehens wird an einigen konkreten Beispielen aus der Menge der m X m-Matrizen demonstriert. Der zusätzliche Aufwand gegenüber dem ursprünglichen Verfahren ist hierbei zumindest für großes m vernachlässigbar. Es zeigt sich, daß das neue Verfahren konvergieren kann, obwohl das ursprüngliche divergiert. Dies wird an einem konkreten Beispiel bestätigt.

2.

Bezeichnungen und Hilfsmitte!

Es sei R ein Ring mit Einselement e, der durch einen Kegel K [K cz R, K + K cz K, K • K cz K, K n {—K) = {0}) halbgeordnet ist. In R sei eine Norm definiert (|[a;[[ = 0 O X = 0, M = |[-z|[, II® + y\\ ^ IMI + Kyll, \MI ^ IM • MI), über die vermittels lim xn 11—M30

=

x*

lim ||a;„ — a;*|| = 0 n—>oo

ein Konvergenzbegriff eingeführt ist. Es bezeichne I

=

{x e R

| 3 ar 1 6

R

mit

xx~x

=

x ^ x

=

e}

die Menge der invertierbaren Elemente von R. Wir betrachten die Aufgabe, für ein a € / das Element or 1 zu bestimmen. Dies ist identisch mit der Aufgabe, die

8

GÖTZ A L E F E L D

Lösung der Operatorgleichung F(x) = a -

x- 1 = 0

zu bestimmen.

3.

Verfahren und Vergleichssatz

Es sei a £ I, a 1 ä: 0 und x0 so gewählt, daß e — ax0 sS 0 gilt. Dann liefert das Iterationsverfahren (VI)

i ?/«+! = Zn + xn{e { [ Xn+l =

„ „ „ » = 0,1,2,...,

+ Vn+l(e —

zwei Folgen (i/„}~=1 und {£„}~=0> für deren Elemente die Beziehungen e — ayn+1 = (e — axn ) 2 ^ 0,

n = 0,1,2,...,

(1)

3

e — axn+1 = (e — aa;„) sS 0, 0 wegen a r 1 Sg 0 die Einschließung

gelten, aus denen zusammen mit e — ax0

f ü r alle n = 0, 1, 2, ..., folgt. Unter der Voraussetzung \\e — ax0 1[ Si 1 gilt lim yn = lim xn — a _ 1 , n—>oo n—oo und beide Folgen konvergieren kubisch gegen ar 1. Siehe dazu [2]. Wir ändern das Verfahren (VI) nun folgendermaßen ab: Vn+l =

(VI')

+ %n{ e ~

aXn ),

yn+1 = xn + {yn+l — x„) a)n ,

. «»+1 =

m= 0,1,2,...

+ 2/n+i(e — oa;»),

Dabei soll co„ £ iü so gewählt werden, daß e — aa;„ 5S e — axn mn

0

(2)

gilt. Trivialerweise ist immer die Wahl co„ = e möglich, für die (VI') in (VI) übergeht. Über (VI') beweisen wir nun die folgende Aussage. S a t z . Es seien {yn }^=1 , 6ZM>. ( V I ' ) mit x0 = unter Dann gilt

y«+i ^ y'n+i ^

^

özw. {i/„'}^ =1 , der Voraussetzung

^ a;„

für

die nach Verfahren (VI) e — a«0 0 berechneten Folgen.

n = 0, 1, 2, . . .

Konvergenzbeschleunigende Maßnahmen zur Einschließung von positiven Inversen

9

B e w e i s . Für n = 0 ist x0' = x0, und aus der Voraussetzung e — ax0 = e — ax0' sS 0 folgt wegen a 0 sofort a"1 „

0.

Wegen e — axnwn f ü r w„

e — ax„ü>n ig 0

0, gilt nach b) X; ^ X0 S «7, also — X; ^ I, und damit 1 * — Xj2 ig Xj, d. h., die Folge {X;} ist auch beschränkt und damit konvergent.

x

Zu e). Wir zeigen zunächst, daß q(I — AX02) < 1 gilt (G bezeichnet den Spektral-

r a d i u s ) . D a z u zerlegen wir A i n A — M — N m i t M = (Xq-1)2, N = (X,,-1)2 — A. Wegen = I — AX02 > 0, NM-1 = 7 - ^4X 0 2 ^ 0 u n d X 0 2 ^ 0 ist die a n -

gegebene Zerlegung von A schwachregulär (siehe Definition 2.4.15 in [12]). Da nach Voraussetzung A _ 1 Si 0 ist, gilt nach 2.4.17 in [12]

QiM-^N) = e(I - AX02) < 1. Somit gibt es eine natürliche Matrixnorm (||7|[ = 1 ) , für die |[7 - ^X 0 2 || < 1 gilt. Es gelte nun III - AX?|[ < 1 für ein i 2: 0, was — wie gerade gezeigt — für i = 0 richtig ist. Dann gilt auch — ¿Xi2 4

4

4

Damit folgt aus (5) |[7 - ,4X?+1|[ ^ |[7 - -4Xj 2 || 2 ,

SO,

(6)

und

||/ - ^4Xj2|[

\\I -

AX0Y,

0.

Somit erhält man mit (5) IM"1 ~ S?+ill =

A~ 1 ( / - 1 A X ^ j (7 -

AX?

also lim X( 2 = A-K Wir haben unter d) mit der Voraussetzung X 0 2g xi, x > 0, bereits die Konvergenz lim X j = X* gezeigt. Damit gilt dann auch

i—X»

1

lim X ; 2 = X* 2 = A- , also AX*2-

1 =

0.

16

GÖTZ A L E F E L D

Im nächsten Lemma wollen wir zeigen, daß die in Lemma 1 benötigten Voraussetzungen bei M-Matrizen sehr einfach realisiert werden können. L e m m a 2. Es -sei A eine M-Matrix und X0 = yj mit 0 < * ^ / max a.;A - 1 ' 2 .

/

Dann ist X0 Sä 0, X 0 nichtsingulär,

X0 mit A vertauschbar, und es gilt I — AX02 Sä 0.

B e w e i s . Es sei A = (a i; ) zerlegt in A = D — B, wobei D den Diagonalanteil bzw. B den außerhalb der Diagonale stehenden Anteil von A bezeichnet. Dann ist 1 - AX02 = I — x2(D -B)

= I-x2D

+ k2B ^ 0 ,

falls 1 — x 2 «;; Sg 0, i = 1(1) n, also 0 ^ * ^ / max aH\-112 gilt. Schließt man x = 0 aus, so ist X 0 nichtsingulär, und alle anderen Behauptungen sind offensichtlich erfüllt. 3. Beim numerischen Rechnen, d. h. bei der Durchführung auf einer Rechenanlage mit Gleitpunktdarstellung der Maschinenzahlen, wird aufgrund der Rundungsfehler während der Rechnung im allgemeinen die Vertauschbarkeit der nach (4) berechneten X j mit A und untereinander zerstört. E s muß daher untersucht werden, wie sich das Iterationsverfahren (4) in der Nähe von A~1/2 für nicht notwendig mit A vertauschbare Startwerte X0 verhält. Wir können diese Untersuchung in Analogie zu L I E B L [ 1 0 ] durchführen: Setzen wir G(X) = X + — X{I -

AX2)

so ergibt sich für die Frechet-Ableitung an der Stelle A ' ^ 2 die n2 X n 2 -Matrix G'iA'1'2) = — [I xl

- A1'2 x

A-V2].

Dabei bezeichnet X X Y für n X »-Matrizen X = produkt, welches definiert ist als

und Y = (i/i;) das Tensor-

Siehe dazu z. B. L A N C A S T E R [9]. Wir zeigen, daß die Eigenwerte von 0'(A~112) sicherlich nicht für alle Matrizen^! von monotoner Art dem Betrage nach kleiner als 1 sind. Das bedeutet, daß es in beliebiger Nähe von A~Matrizen X0 gibt, für die das Verfahren (4) nicht gegen A~112 konvergiert. «

Zur numerischen Auflösung der Matrizengleichung AX2 — 7 = 0

17

Dazu setzen wir speziell voraus, daß A eine symmetrische Jf-Matrix ist. Solche Matrizen heißen Stieltjes-Matrizen. Sie sind positiv definit. Siehe dazu V a k g a [14]. Für die Orthogonalmatrix U gelte UAUT = Ä = diag (Aj). A enthält in der Diagonale die Eigenwerte von A. Um die Eigenwerte von ß'(.4 _1 ' 2 ) zu bestimmen, wenden wir auf eine Ähnlichkeitstransformation mit der Matrix U X U an. Dies führt auf eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen ^

=

»,¿=1(1)».

Liegen also die Eigenwerte von A nicht sehr nahe zusammen, so sind nicht alle fcl < 1. Eine Möglichkeit, die eventuell auftretende numerische Instabilität in der Nähe von A' 1 !* zu umgehen, besteht in der Durchführung des Verfahrens (3), welches ja lokal konvergent ist und sich gegenüber Rundungsfehlern gutartig verhält. Allerdings ist der Aufwand pro Schritt gegenüber (4) erheblich. Siehe dazu etwa [4]. Einen im allgemeinen sehr guten Startwert für (3) findet man durch Anwendung von (4) wie in dieser Arbeit beschrieben. (4) sollte abgebrochen werden, sobald die Monotonie verletzt ist oder in I — AX0* mindestens ein Element negativ ist oder die nach (6) theoretisch bestehende Ungleichung für eine Norm nicht mehr erfüllt ist. 4. Abschließend sollen noch einige numerische Ergebnisse angegeben werden. Die Beispiele wurden auf der Rechenanlage CDC 6500 (Mantissenlänge 48 bit) der Zentraleinheit Rechenzentrum der Technischen Universität Berlin gerechnet. Für die Programmierung danke ich Herrn Dipl.-Math. H. S c h w a n d t . 1. Die Matrix

(

4

0

-2

5

-1

- 1 - 2 0

-

0

-

6

-

-1

- 2

- 2 - 1 0 besitzt außerhalb der Hauptdiagonale nichtpositive Elemente und ist strengdiagonaldominant. Somit ist A~x 2g 0. (Siehe z. B. [5].) Als Startmatrix für das Verfahren (4) können wir nach Lemma 2 die Matrix X0 = I wählen. Es gilt für die numerische Rechnung V? Xi+1^Xj 2

I — AXi |[7 2

Num. Mathematik 9

0

für

i = 0(1)6,

für

i = 0(1)7,

5S ||/ - AXt*C

für

i = 0(1)6.

18

GÖTZ ALEFELD

E s ist ||Z -

A X ^ \ \ x ^ 0.28, 0 -n,

|]I -

A X f |L » 0.21 10 -i».

2.A = l-BmitB={bij),bij

= \l' [ 0.246,

\= i4=?,

Mit der gleichen Begründung wie in Beispiel 1 ist Rechnung

I — AXj2

0

\[I -

für

¿ = 0(1)10,

für

i = 0(1)10,

sS ||/ -

AXtT

für

1

2 : 0. Es gilt für die numerische

i = 0(1)9.

Zur Demonstration listen wir noch r : = j|7 — AXfW^

für i = 0(1)19 auf:

i

0

1

2

3

4

5

6

r

0 . 9 8 4

0 . 9 6 5

0 . 9 2 1

0 . 8 3 4

0 . 6 6 5

0 . 4 0 6

0 . 1 4 0

i

7

r

0.154

i

1 3

r

0.848

8

1 0

-i

9

0.177

1 4

1 0

-s

0.332

1 0

-s

0 . 2 3 6

-7

0.130

0 . 1 4 2

1 0

1 6

1 5

1 0

1 0

1 0

-«

0.508

11

1 0

- .

0.554

1 7

1 0

-

0.199

12

1 0

-»

0.217

1 8

1 0

-s

0 . 7 7 7

1 0

-s

1 9

1 0

-

s

0-104

1 0

-i

Die Norm ||7 — AXj2^ nimmt monoton bis i = 10 ab. Die Vertauschbarkeit der X, mit A und untereinander wird in der Nähe von A~ 1/2 zerstört. Von i= 11 ab nimmt r wieder zu.

Literatur [1] ALBRECHT, .T., Bemerkungen zum Iterationsverfahren von Schulz zur Matrizeninversion, ZAMM 41 (1961), 262—263; 44 (1964), 148. [2] AIBRECHT, J., Quadratisch konvergente Iterationsverfahren zur Berechnung von A 1! 2 und A~\ Moderne Methoden der numerischen Mathematik, Tagung Clausthal 1975, ISNM 32 (1976). [3] ALBRECHT, J., Bemerkungen zu Iterationsverfahren zur Berechnung von A 1! 2 und A -1, ZAMM 67 (1977), T 2 6 2 - T 2 6 3 . [4] BARTELS, R. H., and G. W. STEWART, Algorithm 432, Solution of the Matrix Equation AX

+ XB

= C, C o m m u n i c a t i o n s of t h e ACM 1 5 ( 1 9 7 2 ) , 8 2 0 - 8 2 6 .

Zur numerischen Auflösung der Matrizengleichung AX2 —

[5]

1=0

19

[13]

COLLATZ, L., Funktionalanalysis und numerische Mathematik, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg—New York 1964. D E N N I S , J . E., J . F . TBATJB and R. P. W E B E B , Algorithms for solvents of matrixpolynomials, SIAM J . Numer. Anal. 15 (1978), 523—533. 2 E L S N E R , L., Iterative Verfahren zur Lösung der Matrizengleichung X — A = 0 , Bui. Inst. Pol. Ia?i XVI(XX) ( 1 9 7 0 ) , 1 5 - 2 4 . 2 L A A S O N E N , P., On the iterative solution of the matrix equation AX — 1 = 0, MTAC 12 (1958), 1 0 9 - 1 1 6 . L A N C A S T E R , P., Theory of Matrices, Academic Press, New York and London 1969. L I E B L , P., Einige Bemerkungen zur numerischen Stabilität von Matrizeniterationen, Api. Mat. 10 (1965), 2 4 9 - 2 5 4 . L J U S T E B N I K , L . A., und W . I . S O B O L E W , Elemente der Funktionalanalysis, AkademieVerlag, Berlin 1965 (Übersetzung aus dem Russischen). O E T E G A , J . M . , and W . C . R H E I N B O L D T , Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Academic Press, New York 1970. S T U M M E L , F . , und K . H A I N E B , Praktische Mathematik, Teubner Studienbücher, Stuttgart

[14]

VABGA,

[6] [7]

[8] [9] [10] [11] [12]

1971.

R. S., Matrix Iterative Analysis, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1962.

Manuskripteingang: 25. 10. 1978 VERFASSER: Prof. Dr. G Ö T Z A L E F E L D , Fachbereich 3/Mathematik, H Universität Berlin (West)

2*

64

der Technischen

Beiträge zur Numerischen Mathematik

9 (1981), 21-29

Differenzenverfahren für eine nichtlineare elliptische Randwertaufgabe mit unstetigen Koeffizienten CLAUS-PETER DAUTE u n d WILFRIED WEINELT

Eine aus der Halbleiterphysik herrührende nichtlineare elliptische Randwertaufgabe wird näherungsweise mittels Differenzenverfahren [3] gelöst. Die durch die Diskretisierung im allgemeinen entstehenden nichtlinearen Differenzenschemas werden auf ihre eindeutige Lösbarkeit mit Hilfe der Theorie monotoner Operatoren gemäß [1] untersucht. Es schließen sich Konvergenzaussagen in einer diskreten Tf^-Norm an. Ähnliche Untersuchungen zu analogen Randwertproblemen mit anderen Randbedingungen enthält [2]. Die Klasse der dort zugelassenen Differentialgleichungen ist einerseits allgemeiner gefaßt, enthält andererseits jedoch keine unstetigen Koeffizienten.

1.

Aufgabenstellung

Im Gebiet

Q = ( 0 , ß

1

) X

(0, ß ) 2

y) =

+ h2~a0~ 2 h2

aa~{x, y),

3.

z 6 y0> « 6 eo " .

Untersuchung von Lösbarkeit und Konvergenz des Differenzenschemas

Durch {Ay) (x) = —{h{x) — (k2(x) + k0(x, y), x € « u yS, wobei die formal auftretenden Werte yoj, yn+i.j und y\Vl± durch yoj = yNj, ylj = yN+i,j und •y = 9P ±(x1), x f y2 ±, bereits eingesetzt gedacht seien, wird ein Differenzenoperator A definiert, der eine beliebige Gitterfunktion y 6 L2(co u in eine Gitterfunktion des L2(co U YJ+) abbildet. Nach der Herleitung von (8) ergibt sich für den Approximationsfehler ip = Au — Ay, x 6 OJ u y, +, die Darstellung V=

- vT, + V*.

(9)

wobei

[ 0(Ä 2), liyo, i,tl»(®) = J l 0(Ä), x € y0>

r,™(x) = 0(h*)

und

V *(z)

i 0(h 2), ¡r$y0, = j l O(A), a;ey 0 ,

(Ä = max {hu h2 :l'}) sind. Damit ist das Differenzenschema (8) der Operatorgleichung

Ay = 0

(10)

äquivalent. Nachfolgend wird die eindeutige Lösbarkeit von (10) in L2(a> u und die Konvergenz der Näherungslösung y von (10) gegen u von (1) für h -> 0 in einer diskreten TF21-Norm gezeigt. Im Raum L2(a> u yt +) werde das Skalarprodukt mit

(u, v) = £ u(x) v(x) hji2 £€0

(11)

27

Differenzenverfahren für eine nichtlineare elliptische Randwertaufgabe

und (Au — Av, u — v) Sä — {(u — v, u — v) + {{u — v)iit

c

-+- v )) ( u — v)a

hh2(j)

hJi2.

Auf den letzten Summanden der rechten Seite dieser Gleichung wird der Mittelwertsatz angewandt: N

(Au - Av, u - v ) = 2J

Af~l

2J kltij(u

-

¡=1 J=1 N

+ i =Z! (0 < 6{Xij)