Beiträge zur Numerischen Mathematik: Band 11 [Reprint 2019 ed.] 9783486992977, 9783486271119

Citation preview

Beiträge zur Numerischen Mathematik 11

Beiträge zur Numerischen Mathematik 11 Herausgegeben von Frieder Kuhnert und Jochen W. Schmidt

#

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1 9 8 3

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Beiträge zur Numerischen Mathematik / hrsg. von Frieder Kuhnert u. Jochen W. Schmidt. — München; Wien : Oldenbourg. NE: Kuhnert, Frieder [Hrsg.] 11. (1983) ISBN 3-486-27111-3

© VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1983 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", Altenburg ISBN 3-486-27111-3

Inhalt

H. CORNELIUS, Berlin (West) Ableitungsfreie Iterationsverfahren zur global-konvergenten Nullstelleneinschließung . .

7

E . GRIEPENTROG, Greifswald

Zur numerischen Integration nichtlinearer Differentialgleichungen auf einem unendlichen Intervall

21

und W . W E I N E L T , Karl-Marx-Stadt Die Methode der wechselnden Dreieckszerlegungen zur Lösung von elliptischen Netzgleichungen mit stark oszillierendem Koeffizienten im ableitungsfreien Term

33

K . - H . HARTWIG

B . HEINRICH, K a r l - M a r x - S t a d t

Integralbilanzmethode für elliptische Probleme I. Konstruktion von Differenzenapproximationen

41

B. HOFMANN, K a r l - M a r x - S t a d t

Zur Methode der empirischen stochastischen Regularisierung

55

C. M^CZKA and W . VOIGT, Crakow and Freiberg Weak difference-functional inequalities and their application to the difference analogue of nonlinear parabolic differential-functional equations

69

M . MALEC,

H . METTKE, D r e s d e n

Fehlerabschätzungen zur zweidimensionalen Splineinterpolation

81

W . MÖNCH, Freiberg

Konvergenz eines angepaßten Broyden-Verfahrens zur Lösung spezieller nichtlinearer Gleichungssysteme mit schwach besetzter Jacobi-Matrix

93

B. JEROMIN, D r e s d e n

Zur Lösung des Rundreiseproblems über dessen duale Aufgabe unter Verwendung des Steigungsalgorithmus von M. L. Fisher, W. D. Northup und J . F. Shapiro 103 E . NTJDING, Heidelberg

Schrankentreue Algorithmen

115

6

Inhalt

U . PATZKE, Dresden Ein monoton einschließendes Einzelschrittverfahren für Cholesky-Faktoren

139

G. PÖNISCH, Dresden Ein Verfahren v o m Euler-Tschebyscheff-Typ mit effektiv finitisierter zweiter Ableitung 147 M. PRÖSELER, Karl-Marx-Stadt Über Möglichkeiten der Anwendung eines modifizierten Newton-ähnlichen Verfahrens 153 U. TAFTENHAHN, Karl-Marx-Stadt Numerische Vergleiche zwischen Tichonovscher und stochastischer Regularisierung nichtLinearer Systeme am Beispiel der Auswertung von Satellitenmeßdaten 161 J. G. VERWER and S. SCHOLZ, Amsterdam and Dresden Rosenbrock methods and time-lagged Jacobian matrices

. 173

P . WILDENAUER, Kassel Numerische Auswertung v o n nichtlinearen gewöhnlichen Randwertaufgaben —x" Btx = Yi (i — 1, 2) mit Verzweigungen

= f(t, x), 185

Beiträge zur Numerischen Mathematik

11 (1983), 7-19

Ableitungsfreie Iterationsverfahren z u r global-konvergenten Nullstelleneinschließung H E R B E R T CORNELIUS

Im folgenden Text geben wir eine Klasse von ableitungsfreien [ntervalliterationsverfahren an, welche unter geeigneten Voraussetzungen gegen eine einfache reelle Nullstelle einer reellen Funktion stets überlinear konvergieren. Diese Verfahren benutzen in jedem Iterationsschritt nur neue Funktionswerte der gegebenen Funktion, wobei die Ableitungen dieser Funktion durch gewisse Differenzenquotienten approximiert werden. In diesem Zusammenhang spielen die sogenannten dividierten Differenzen und die sogenannte Newtonsche Identität eine wesentliche Rolle. Die Bestimmung der Nullstelle erfolgt dabei über Intervallschachtelungen, welche bei Kenntnis gewisser a-priori-Schranken einiger Ableitungen der gegebenen Funktion stets durchführbar und globalkonvergent sind. Benutzt man in allen anfallenden Rechnungen eine Maschinenintervallarithmetik, so hat man alle auftretenden Rundungsfehler miterfaßt. Am Ende werden einige numerische Beispiele angegeben. 1.1. Einleitung

Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine einfache reelle Nullstelle x* einer reellen Funktion / zu bestimmen. Dazu werden wir eine Klasse von Intervalliterationsverfahren angeben, welche die gesuchte Nullstelle x* durch Intervallschachtelungen berechnen. Dadurch erhält man in jedem Iterationsschritt ein neues Einschließungsintervall für x* und neue Fehlerabschätzungen für die Nähejungen von x*. Alle Verfahren aus dieser Klasse sind stets durchführbar und global konvergent, sobald man gewisse a-priori-Abschätzungen einiger Ableitungen von / kennt. Im Falle der Durchführbarkeit der Verfahren liegt immer überlineare Konvergenz vor. Die folgenden Verfahren sind ableitungsfreie Verfahren, denn sie benutzen in jedem Iterationsschritt nur neue Funktionswerte der gegebenen Funktion f . Die Ableitungen von / werden hierbei durch entsprechende Differenzenquotienten approximiert, wodurch ohne weiteres keine höhere als überlineare Konvergenz erwartet werden kann. Als wesentliche Hilfsmittel werden sich die sogenannten „dividierten Differenzen" und die sogenannte „Newtonsche Identität" herausstellen. Von diesen Verfahren könnte man ein bestimmtes Verfahren als intervallmäßige Version der reellen REGULA-FALSI ansehen. Außerdem werden alle auftretenden Rundungsfehler miterfaßt, wenn man alle anfallenden Rechnungen mit einer Maschinenintervallarithmetik durchführt. Zum Begriff der Maschinenintervallarithmetik siehe man etwa [2, Abschnitt 4],

8

H E R B E R T CORNELIUS

1.2. Bezeichnungen

Im weiteren machen wir von der reellen Intervallrechnung Gebrauch, verweisen aber für Einzelheiten auf das Buch [2], Insbesondere sei auf den Begriff der intervallmüßigen Auswertung einer Funktion hingewiesen, deren Eigenschaften in [2, Abschnitt 3] beschrieben sind. Fortan seien die reellen (nichtleeren) kompakten Intervalle mit großen Buchstaben A, B, ..., X, Y,Z bezeichnet, die noch zusätzlich obere Indizes besitzen können. Reelle Zahlen seien mit kleinen Buchstaben a,b,..., x, y, z oder a, ß,y,... bezeichnet, die zusätzlich untere Indizes tragen können. Außerdem sei R die Menge der reellen Zahlen; N die Menge der natürlichen Zahlen; JV0 die Menge der natürlichen Zahlen mit Null,sowie I(R) die Menge aller reellen (nichtleeren) kompakten Intervalle aus R. Bekanntlich definiert man dann

x*

x,ye

r : = {x*y\xe

r>,

x,Yei(R)

für * 6 { + , —, •,/} und 0 $ Y bei der Division. Hierbei gilt die sogenannte Teilmengeneigenschaft, die besagt: (A,B,X,Y

6 I(R);

*

e

{+,_,.,/};

Y)=$A*BQX*Y.

Speziell für x € X und y € Y bekommt man damit die Beziehung x*yeX*Y

für

»

d ( F
)

g

—

«Z(Z),

d ( X
)

^

—

d ( X W ) ,

0 ^ d(XC>) g

^

j

-

k

d ( X < ° > ) ,

k

e

e

+

1

N

N

0

k

€

iV0.

Somit schließt man lim d(X ' ) = 0, und mit Behauptung (a) folgt daraus lim k - *

oo

= x*. Dieses ist Behauptung (b). •

k-*

oo

Ad (c): Haben wir erst einmal die behauptete Ungleichung bewiesen, so folgt die Aussage über die Konvergenzordnung des Verfahrens (IRF) unmittelbar aus der Definition der Konvergenzordnung in [2].

12

H E R B E R T CORNELIUS

Es sei k 6 N. Für zj. = x* gilt sicherlich die Behauptung, denn es ist dann d(X) = 0. Für xk =4= x* rechnet man: d(XC^)

< d L \ = T2

d

1

/ /(**) + Y ( r < m > \

f[xt>

• (r

£ F(,i+1> - **> • < r < m > - ^ L y/fo, x ^ ]i
oo Mithin hat man unter Berücksichtigung von Behauptung (a) lim X^ = x*. k-*oo Damit ist Behauptung (b) bewiesen. • Ad (c): Haben wir erst einmal die Ungleichung für die Durchmesser der Einschließungsintervalle gezeigt, so folgt die Aussage über die Konvergenzordnung unmittelbar aus der Definition der Konvergenzordnung in [2], Im weiteren Beweis sei stets k p. Für xk = x* ist d(Xik+1i) = 0, und die behauptete Ungleichung gilt sicherlich. Deshalb sei weiter xk =t x* vorausgesetzt. Induktiv zeigt man jetzt die Gültigkeit der Beziehung ^ a • fJd(XO'-i))

(3)

mit den von k unabhängigen reellen Zahlen ct > 0 für i = 1(1) p. Setzt man also « : = cp, so folgt die behauptete Ungleichung aus (3). Da die Induktion über % zum Beweis von (3) zu langwierig ist, um sie an dieser Stelle aufzuzeigen, werden wir sie nur skizzieren (den genauen Beweis findet man in [3, S. 101 ff.]). In (3)

16

H E B B E R T CORNELIUS

gilt hierbei

»+i " Z

S

Sw

(i + 2)! SW

h=2

w

f ü r i = 1(1) p — 1.

Die Werte ßM fallen im Beweis von (3) an, denn man muß dort wiederum induktiv f ü r 2 2S fi ^ i zeigen (1 ^ i ^ p ) :

\j= o

(4)

1=0

mit den von k unabhängigen reellen Zahlen ßh 5: 0 [fi = 2(1) i + l). In (4) gilt dabei A = 2-Ci, ÄH-I = C,- • ¿(XO))"- 1 + ß„ • d(ZW)

f ü r /I = 2(1) t.

H a t man also (4) in (3) gezeigt, so folgt die behauptete Ungleichung in (c). • Sodann ist Satz 2 vollständig bewiesen. • B e m e r k u n g 5. F ü r n — p und m0 = m, = • • • = m„ = 1 sind die unteren Schranken der Konvergenzordnungen der Verfahren von J . H E R Z B E R G E R aus [ 5 , S. 67ff.] gleich r ( p ) , wobei r(p) aus Satz 2 genommen wird. Ebenfalls die gleichen unteren Schranken f ü r die Konvergenzordnungen wie r ( p ) aus Satz 2 bekommt man a u s [4, Satz 1], wenn man auch dort n — p und ra0 = m1 = • • • = mH = 1 setzt. F ü r die Werte r ( p ) gilt bekanntlich 1 < r ( p ) < 2 f ü r p £ N. Die folgende kleine Tabelle 1 gibt einige genäherte Werte von r(p) wieder. Tabelle 1

r

1,62

(p)

1,84

1,93

1,97

1,98

1,99

2.3. Beziehungen zu [4] Sind die Näherungen xt, x^, aus X (n a N) paarweise verschieden, so gilt dieses mit (I) dann auch f ü r die Werte yk_i:— f{xk_i), i — 0(1) n. Wendet man jetzt die Identität ( • ) auf die Funktion an ( / - 1 sei die inverse Funktion von / über X), interpoliert also die P u n k t e (yu-i, ^t-¡) (i — 0(1) n, k 2g n), so bekommt man f ü r y =f= y/c-i die Beziehung n ( y )

= n i y * } +

+

i n i y k , . . . . y ^ }

n=l

• •Vk-n,

n

- n \ y j=0

y] • 17 (y — J=0

-

Vk-i).

yt-i)

Ableitungsfreie Iterationsverfahren

17

wenn y 6 W(f, X) := {y e R | y = f{x), x € X}. Dabei sind die Werte ..., yk-t\ die dividierten Differenzen der Funktion f'1. Mit der Newtonschen Darstellung des Interpolationspolynoms qt von f'1 in den obigen Punkten (yt-i, Xk-i) bekommt man weiter f ü r y € W(f, X): n n~ 1 Qkiy) = / " % * ] + 2 7 / H'/i. Vk-A • ¡1 (y - yt-j)H=1

j=o

Zusammen ergibt das dann tKy) = ?*(//) + t^Vk,

n yk-n, y]-[J(y > =0

— yt-i)-

Des weiteren liefert / - 1 (0) = x* mit yk_{ =4= 0 (i' = 0(1 *

= ?t(0) + nhk,

Wegen (1) gilt

Vk-„, 0] • ( - I ) n + 1

..., yk-n, 0] =

x* = 9k(0) + (-1)"+1

:

-riyk-r >=0

(/-1WT. + 1) (rA ' ' mit ( n + 1)!

y

v

aus IV(f, X), und es folgt:

//-lUn+l) („\ n •V > • 772/m(w+1)! j=0

Dieses ist gerade die Fehlergliedformel bei der gewöhnlichen Polynominterpolation, auf der die Verfahren aus [4, Satz 1] mit den Parametern n € N und m0 = ml = • • • = mn = 1 beruhen. Das heißt, mit der Anwendung von ( • ) auf die Funktion f'1 bekommt man spezielle Verfahren aus [4].

3.

N u m e r i s c h e Beispiele

Wir betrachten jetzt das Verfahren (IRF) aus Satz 1 und vergleichen es mit dem intervallmäßigen Newton-Verfahren (IN) ([2]), dem vereinfachten intervallmäßigen Newton-Verfahren (VIN) und dem Verfahren (IHI) aus [4, Abschnitt 3], welches ebenfalls mindestens die Konvergenzordnung — ( l + 2

besitzt.

Alle Rechnungen wurden mit einer Maschinenintervallarithmetik auf der Rechenanlage CDC 6500 der TU Berlin (West) durchgeführt. Dort hat man bei der normalen Gleitpunktrechnung pro Wort 60 Bits zur Verfügung, wobei die Mantisse 48 Bits und der Exponent 11 Bits umfassen. Da die Basis der Darstellung 2 ist, ergeben sich etwa 13 bis 14 gültige Stellen. Weiter setzen wir voraus, d a ß die intervallmäßigen Auswertungen von /, /' und / " über den entsprechenden Intervallen existieren. Die Bedingungen (I) und (II) (bzw. (III)) werden dann durch die Intervalle S := f'(X)

für

und L 2

:=

f"{X)

Numerische Mathematik H

0 i f'(X)

18

HERBERT CORNELIUS

erfüllt, wobei X das Startintervall sei. Außerdem definieren wir für X € I(R) r(x) als stetige einstellige Operation in R gemäß [2, Abschnitt 1]: r(X) := Tmin r(x), max r(a;)l € [x€X

J

xtX

und

I(R).

Zu den einstelligen Operationen gehören z. B. x"(neN),

ex,

ln(x),

sin (z),

cos(cc).

Als Abbruchkriterium wählen wir die Bedingung = X. E s werden nun einige Funktionenklassen betrachtet, welche man zum Teil auch in [5] findet. Die folgenden Tabellen enthalten jeweils die Anzahl der benötigten Iterationen bis zum Abbruch der Verfahren. Die Durchmesser der letzten Einschließungsintervalle liegen dabei in der Größenordnung von 10" 14 . B e i s p i e l 1. f(x) = x 2 — (1 - x)n f ü r n = 2(2)20; Startintervall: X = [0, 1], Tabelle 2

11

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

(IN) (VIN) (IRF)

3 3 3 3

7 22 8 11

7 36 9 13

8 45 11 23

9 43 10 25

10 43 12 28

11 46 14 35

11 49 15 40

9 45 12 43

10 44 12 42

(IHI)

iel 2. f{x) = 2x e"- «

+

1 -

2e~

für n = 2(2)20; Startintervall: X = [0, 1].

Tabelle 3

u (IN) (VIN) (IRF) (IHI)

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

6 26 8 10

8 33 9 10

7 31 9 12

8 34 8 11

8 33 10 13

9 34 11 13

8 34 10 12

9 34 9 12

9 34 10 13

9 34 10 13

B e i s p i e l 3. f(x) = {x — 1) e~nx

xn für n = 2(2)20; Startintervall: X = [0, 1],

Tabelle 4 n (IN) (VIN) (IRF) (IHI)

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

7 37 8 10

5 22 7 9

6 16 8 10

7 31 10 13

8 39 15 18

7 23 11 14

8 31 13 17

9 45 20 24

9 38 20 25

10 36 19 26

Ableitungsfreie Iterationsverfahren

19

Z u m S c h l u ß sei n o c h der Verlauf der I t e r a t i o n d e s Verfahrens ( I N ) u n d des Verf a h r e n s ( I R F ) a m B e i s p i e l der F u n k t i o n f{x) = 2x e - 4 -¡- 1 -

2e_4x

a u s d e m 2. B e i s p i e l (n — 4) aufgezeigt. D a z u w e r d e n die D u r c h m e s s e r der e i n z e l n e n E i n s c h l i e ß u n g s i n t e r v a l l e auf zwei S t e l l e n g e r u n d e t a n g e g e b e n . Tabelle 5 k

d ( X ^ ) bei (IN)

0, der nur von A abhängt, so daß lede Lösung von (1) asymptotisch stabil ist, wenn f(t, x) bezüglich x 6 MN lipschitzstetig mit einer Konstanten L} < «> = diag [c( 1 + c)'" 1 , . . . , c ( l + c ) , c] und Wi

Ok.u

)

gesetzt und vereinbart man G 2s U g^ h^ für i, j = 1(1) k, so ist offensichtlich Bi 5= Andererseits beweist man durch Induktion für l =-1(1) k leicht die Abschätzungen [JW]' ^ FW, so daß IlfiJI'H ^ max (1, c( 1 + c)'- 1 ) für l = 1(1) k - 1 und U^fH ^ c(l - f c)*" 1 gilt. Daraus folgt wegen (1 + c)'" 1 g (1 + 2~k)k 2 die Behauptung.

(9)

Zur numerischen Integration nichtlinearer Differentialgleichungen

25

S a t z 2. Sei für r gr r0 ||.4m(r)|| iS cur'1 (m = 1(1) fc); cfaww gilt für r — max (r0, 2k+1oc), M,(r) . . . ^ ^ ( r ) 0 = | 7 0

...

0

/

0

und / B ( » ••• [£(r)]' = [ :

¿ M :

\-®«( r ) ••• ü i ä w ||£W(r)|| g 2(V2)

r £ ||fij0(r)|| g 44««. l=k

und

B e w e i s . Für = Bkn+m — (B")n B™ mit 0 g m < k und n l 1 B) ||5jf || < k ~ {2r~ cx)n und ||Ä|f>|| < 1, also (2~kk)n < 2"" ^ 2 ( y 2 )

\\B\l"+m)\\ '£ {2kr~1x)n

gilt nach Lemma 1 .

Für n = 0, also l < k folgt die erste Teilbehauptung unmittelbar aus Lemma 1. Die zweite Teilbehauptung gilt wegen r

Z ll-ß-y'C-)!! l

unmittelbar

ffi

=

aij-i =

a i'f

bleibt

— I zu zeigen; dazu wird zunächst angenommen,

26

E B E R H A R D GRIEPENTROG

daß p(z) k verschiedene Nullstellen zT besitzt. Dann ist einerseits k

wu =

j-1

/ 7 (*< ~ ^r)" 1 ,

= Z ak-ozt 1 -*

r=l

5= 0

r=M und andererseits k

¡E = 1 vsiuil

k

= FC/ wegen

1

= UV mit

= r+i 77

(z —

£

i-1

¡=1

zk~f

J J Oi_„sJ~L~e

5=0

=

p{z),

d. h.

— 2 r)"" 1r+s i7( 2 ! ( - Zr) = «W

Also ist A(0) = I; diese Identität bleibt auch im Falle mehrfacher Nullstellen von p(z) erhalten, da die afj1 stetig von den at abhängen und durch beliebig geringe Änderung der at die Aufspaltung der mehrfachen Nullstellen erreicht werden kann. S a t z 4.

Ist

umlaufende

z1 einfache

und

« i f

zl

=

t

Nullstelle

von

ausschließende

V

5=0

s

I z f - W A Y

-1

und

ß2

so ist

mit

p(z)

Kontur,

++

/

eine

alle

übrigen

s ~ m - \ - k - \ - j

IV z*-?[p(z)]-i

Nullstellen — i —

positiv 1

dz\.

6,

Der Beweis für diese Aussage ergibt sich sofort aus Satz 3 durch Anwendung der Cauchyschen Integralformel. D e f i n i t i o n . Gegeben seien ein Winkelraum Wa = {w:n - « < arg (w) < n + «} k

und ein Polynom P(w, z) = £ Pi(w) z' 1=0

ni

{Wa offen, d. h. 0 i W„)

it

n, PiM

=

Z

0

u >

a wj

n

i =

9riPi);

dann erfüllt das Paar (W,, P) die Grundbedingungen (GB), wenn gilt: n¡¡ >

n¡

2. aus

1.

pk{z0)

für

k >

l,

= 0 folgt

z

0

$ W

a

,

3. aus P(0, z0) = 0 und 20 =}= 1 folgt |z0| < 1, oD op 4. P(0, 1) = 0 und (0,1) = (0, 1) # 0, dw

5. aus

z0) = 0 und w 6 W« folgt \za\ < 1.

Der folgende Satz über die Blockmatrix ... ÖM) = '

— 0

...

-?0M)N o

o

/

0

Zur numerischen Integration nichtlinearer Differentialgleichungen

27

mit gi(w) = pi(w)/pic(w) liefert Abschätzungen für die Potenzen /q\T{rA) ... q[™\rA)\ [Q(rA)]«> = q%\rA) ...

q\f{rA)

S a t z 5. Ist A(A) £ Wa und erfüllt (W„ P) die Grundbedingungen, so gibt es Konstanten ß und ß0 sowie eine Funktion v(r) = max (e~" ,r , v2) mit 0 < vlt 0 v2 < 1 derart, daß für alle r 6 [0, oo), i, j = 1(1) k, m = 0, 1, 2, . . . gilt \\q\f (rA)\\ ^ ß[v(r)]>»

und

m r £ iK'M)!!

ß0.

B e w e i s . Ist f(rw) als Funktion von w auf dem Spektrum A von A holomorph, so nx-l i ist bekanntlich [4, Kap. 5] f(rA) = Z E ~r rif{i)(r/.) ) =

dG 8z

(w, z^w))

=

PkM

[w, z^w))

holomorph ist und für l > 1 |zx{w)\ 22 c 3 > c2 > c, \zi(w)\ mit c 3 < 1 gilt. Nach Satz 4 ist für \w\ gS c 0 also mit E 2 = {z: z = c 2 ei aw

D

I V

§ 9].

M i t

= '¿te-eW e=o

9i(v>) l^Mf-i

^

u n d 1

hif{w, s) = Z 1k-e(W) 9(w> z ) f=0

e r h ä l t

m a n

D >

F ü r

=

£>'{[*,(">)]"%•,(«>)}

W

=

d >

{w: n

c0,

—

' ? i f V )

fzm-£r

=

d z

-

(

n

)

e D a 6,

für

|M>|

derart,

c

d a ß

0

alle D ' h ^ w )

|D'{[z1(u;)]

m

stetig s i n d

A;,-i(w)}|

u n d

|Zi(w)\

blmf[zi(w)\m

^

c

ist.

>

3

0

ist, g i b t

es

K o n s t a n t e n

M i t

st -

m a x

hijiw, z): M g c 0 , z € e 2 , i, ? = 1(1)

Ii

m a x

Ay(to, z):

u n d

e r g i b t

=

sich

d a n n

g e m ä ß

\D'qlf\w)\

(10)

w

u n d

€

z € c2 = c2

(E)

-dö) V

Bei großem C ist dies ungünstig. Deshalb wird eine neue modifizierte MWD konstruiert, bei welcher die Anzahl der Iterationen praktisch nicht von der Konstanten C aus (3) abhängt. Auf der Basis der Operatoren R und 2 2i dE aus dem 1. Abschnitt konstruieren wir die Operatoren R = R + Q, Ri

=

Qy = —q{x)y, c i (¿=1,2),

R{ + —Q 2

§! = Q + sQ

(13)

(s ^ 0),

B = (§ + wÄj)

+ &R2)

und untersuchen die folgende Modifizierung der MWD _ yk+l _ yk y By— -+Ayk=f. Tjfc+1

(14)

Dafür finden wir die Konstanten c u c 2 , Ö und A, mit denen die Parameter & und {ii} entsprechend (10) gewählt werden. Leicht sieht man c^R A ig c2R, so daß c1 = cl,

(15)

c2 = c2

ist. Weiter gilt 3 = @ +

+

max

so daß = min

j-lR2y, R2y) + + 4 (ä-W^, 4 3*

(3>~ll2R2y)

Qll2y)

1 2 y- 2/) + II^_1

0,

(OC = 1, 2 ) ,

Kroneckersymbol,

mit homogenen Randbedingungen 1. Art. Gesucht ist die Lösung y(x) auf dem Netz w mit ?! = 2jiR, l 2 = B. Bei der durchgeführten Rechnung war R = 37,47, B = 52,458, P = 1,8767 • 10" 3 , e0 = 0,9, e = 10^ 5 , N1 = 60, N2 = 20.

Die Methode der wechselnden Dreieckszerlegungen

q = g(ft) A oo 10~ 2 = 10 3 = 10"4 =

{X =

15259 3181 2365 2078

n(e)

n(e)

48 32 30 29

48 48 48 48

39

B e m e r k u n g e n 1. Die Funktion q(x) entsprechend (21) resultiert aus der in [5, 6] gewählten Strafenmethode zur numerischen Lösung von Variationsungleichungen. 2. Der Gültigkeitsbereich der sich andeutenden Relation n(e) s£ n(e) ist noch unklar.

Literatur [ 1 ] CAMAPCKHÜ, A . A . , H E . C . HHKOJIAEB, METOUBI pemeHHH c e r o i H b i x ypaBHeHHii, I l a y K a ,

MocKBa 1978. [ 2 ] KYMEPOB, A . B . , H E . C. HHKOJIAEB, n o n e p e M e H i i o - T p c y r o j i b u M i i H T e p a u n o H H b i ü MCTOJ.

[3] [4] [5] [6]

pemeHHH ceTOHHiix sjuinnTHHecKHX ypaßneHHü B npHMoyrojibHHKe, JKypH. Bbw. MaT. H MaT. ®H3. 16 (1976), 1164-1174. KYMEPOB, A. B., H E. C. HHKOJIAEB, nonepeMeHno-TpeyrojibHMil HTepaiiHOHHUii Mexon pemeHHH ceTOHHbix sjiJinnTHHecKHx ypaBHeHHit B np0H3B0JibH0it oöJiacTH, >KypH. BUH. MaT. H MaT. ®H3. 17 (1977), 6 6 4 - 6 7 7 . HHKOJIAEB, E. C., H A. A. CAMAPCKHH, BuSop HTepainwoHHbix napaiweTpoB B MeTone PnqapACOHa, JKypH. BHH. MaT. H MaT. OH3. 12 (1972), 9 6 0 - 9 7 2 . BAÜHEJibT, B., 0 6 Hcn0Jib30BanHH pa3H0CTHbix cxeM npn pemeiiHH KpaeBHX 3aflaM HJIH AiiWepeHiiHajibHHX HepaBencTB, JKypH. Bbm. MaT. H MaT. H3. 18 (1978), 642 «o 652. HARTWIG, K.-H., Über die Anwendung der Iterationsmethode der wechselnden Dreieckszerlegungen bei der Lösung von elliptischen Variationsungleichungen im Rechteckgebiet, Diplomarbeit, TH Karl-Marx-Stadt 1980.

Manuskripteingang: 20. 2. 1981 VERFASSER: D i p l . - M a t h . KARL-HEINZ HARTWIG u n d D o z . D r . r e r . n a t . WILFRIED WEINELT,

Mathematik der Technischen Hochschule Karl-Marx-Stadt

Sektion

Beiträge zur Numerischen Mathematik 11 (1983), 4 1 - 5 3

Integralbilanzmethode für elliptische Probleme I. Konstruktion von Differenzenapproximationen BERND

HEINEICH

Für eine Klasse von ebenen Randwertaufgaben mit elliptischer Differentialgleichung zweiter Ordnung, krummlinigem Rand und gemischten Randbedingungen wird die Methode der Integralbilanzen über Elementarbereichen (auch Balancemethode) angewendet. Es werden Differenzenschemata auf Dreiecksgittern und auch auf Gittern konstruiert, die im Gebietsinneren aus Quadraten oder Rechtecken, in Randnähe aus Dreiecken zusammengesetzt sind. Die entstandenen Differenzenapproximationen werden hinsichtlich ihrer Eigenschaften charakterisiert.

1.

Einleitung

Die Methode der Integralbilanzen über Elementarbereichen des Integrationsgebietes wird sowohl in der mathematischen (siehe etwa [7, 3, 12]) als auch insbesondere in der Ingenieurliteratur (siehe etwa [4,10,14,15]) untersucht und angewendet. Diese Methode kann als ein Sonderfall des Differenzenverfahrens auf der Grundlage der Variationsformulierung der Randwertaufgabe interpretiert werden. Die Vorteile dieser Methode gegenüber dem klassischen Prinzip der Approximation der Differentialquotienten von (1), (2) durch Differenzenquotienten sind in erster Linie folgende: Für krummlinig berandete Gebiete sind Gitter auf unregelmäßigen und lokal verfeinerten Netzen verwendbar, Hilbertraum-Operatoreigenschaften (Symmetrie, Definitheit) und Maxiniumprinzipeigenschaften von (1), (2) werden beim Übergang zur Differenzenapproximation konserviert, mit der Folge günstiger Eigenschaften des entstehenden linearen Gleichungssystems und durchführbarer Fehler- bzw. Konvergenzuntersuchungen in der C-, L2- und W^-Norm (diskrete Analoga dieser Normen); das Approximationsprinzip ist physikalisch motiviert (siehe etwa [4, 7, 10, 14, 15]). Die Differenzenapproximation wird insbesondere durch die Wahl der Elementarbereiche beeinflußt, die hier als konvexe Hülle der Schnittpunkte der Mittelsenkrechten der Dreiecke bzw. Quadrate definiert werden. Neuere Resultate zur Methode der Integralbilanzen über Elementarbereichen sind unter anderem in [3,12] enthalten und beziehen sich auf die erste oder dritte Randwertaufgabe bei glattem Rand. Demgegenüber werden hier gemischte Randbedingungen betrachtet, auf der Grundlage konkreter unregelmäßiger Netze aus [6] Differenzenschemata unterschiedlicher Genauigkeit hergeleitet und hinsichtlich ihrer Eigenschaften charakterisiert.

42

2.

BERND HEINRICH

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die lineare Randwertaufgabe (RWA) 2 t) / 8u\ Lu = — (fc ) + c « = / ¡=i dxi \ dxi)

lu =

ic^idu Sn Ä

du

1-

«M

= g

auf

= 5 r

auf

in

(1)

Fl r2,

= gr auf

Q^R2.

8Q=:r

=

¡=1

urit

(2)

_

I 3

8n kurz:

Au = i 1 mit 4 = (L, Z)T,

F = (/, g) T .

(3)

Randbedingungen der Form lu = 0) in die Form (2) übergeführt werden. Die Parameter von (3) sollen der folgenden Voraussetzung genügen: V(A, Q): Es sei Q ein beschränktes ebenes Gebiet, F sein Rand. Weiter bestehe F, unterteilt nach dem Typ der Randbedingung, aus den Teilmengen r, (i = 1, 2, 3), andererseits aus einer endlichen Anzahl abgeschlossener, schnittpunktfreier und sich gegenseitig höchstens in den Randpunkten berührender Teilbögen, wovon jeder zweimal stetig differenzierbar sei. Es gelte mit später noch genau festgelegtem s = 1 oder s = 2: k,c,feC8(ß), g € PC»(F),

k{x)^k0>0, oc € PCS(F^)

c(x) Sg 0 und

> «0 > 0

wobei PC' die stückweise s-fach stetig differenzierbaren Teilbögen bezeichnet. Zusätzlich werde vorausgesetzt mes Pj =1= 0

oder

mes F3 — 0

für

oder

xeß, für

(4) x e F3,

(5)

Funktionen auf den erwähnten

nies {x £ Ü: c(x) > 0} =j= 0,

(6)

so daß die R WA mit c = 0 und gleichzeitig F = r3 hier nicht betrachtet wird. Es ist bekannt, daß unter ggf. weiteren Einschränkungen der Operator A in (3) von monotoner Art ist (siehe [2, 8]) und (1), (2) die Formulierving einer Operatorgleichung mit einem symmetrischen und positiv definiten Operator A (siehe [1]) zuläßt.

3.

Gitter

In [6] werden zwei Arten von Gittern beschrieben, die hier zugrunde gelegt werden. A. Gitter auf einem Dreiecksnetz: Das Netz besteht im Inneren aus gleichseitigen Dreiecken, in unmittelbarer Randnähe im allgemeinen aus ungleichseitigen Dreiecken (siehe [6, 11]).

Integralbilanzmethode für elliptische Probleme I

43

B. Gitter auf einem kombinierten Netz: Das Netz besteht im Inneren aus Quadraten oder auch Rechtecken, in unmittelbarer Randnähe im allgemeinen aus ungleichseitigen Dreiecken (siehe [6]). Weiterhin sind auch spezielle Vierecke zugelassen, bei denen sich die vier Mittelsenkrechten in einem P u n k t schneiden.

Abb. 1

Das Gitter ¿5 wird durch die Menge der in Q gelegenen Knoten des Netzes definiert. Die Approximation von (1), (2) erfolgt in den Punkten von cu bzw. y (w = co + y) unter Berücksichtigung weiterer Teilmengen von y und co: y := w n T , 73 : = 723

n

A>

:= y n r i t

y23 := y n {(r2 u P 3 ) \ 7"i},

72 : = 723 \ 7s.

(7)

alle Knickpunkte K von (P2 u P3) \ ri liegen in y23, die von rl nicht notwendig alle in Y l (vgl. [6]), co := 55 n Ü, w : = {x € cu: S'(x) n y = 0}, co : = {x € co:S'(x) n y 4= 0}, (8) wobei die Differenzensterne S(x) : = S'(x) u {z} und die Nachbarn von x, : = {Ii, ..., wie folgt definiert sind:

S'(x)

x € tu: Gitter A: n(x) = 6, S(x) ist regulärer 7-Punkte-Differenzenstern, Gitter B : n(x) = 4, S(x) ist regulärer 5-Punkte-Differenzenstern, x 6 co: Gitter A, B : n(x) 2? 4, S(x) ist im allgemeinen ein irregulärer (n + 1)Punkte-Differenzenstern, x € yx: Gitter A, B : S'(x) = 0, d. h. S(x): = {x}, einpunktiger Differenzenstern, x € 723: Gitter A, B : w(x) > 3, in Sonderfällen (Kniekpunkte) auch n(x) = 2 möglich, 8(x) ist im allgemeinen ein irregulärer (» + 1)Punkte-Differenzenstern.

4.

Elementarbereiche, Gitterregularität

Jedem Gitterpunkt x € co + y23 wird ein Elementarbereich J f ( x ) wie folgt zugeordnet: Für alle Dreiecke oder Rechtecke (bzw. spezielle Vierecke von Gitter B) des Netzes werden die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten der Seiten bestimmt. Jeder

44

BERND HEINRICH

Seite L(x, £), gerichtet: x£, mit x 6 w, f € tu sind genau zwei solche Schnittpunkte zugeordnet, die durch eine Strecke £f(x, gerichtet in mathematisch positiven Umlaufsinn um x, verbunden werden (siehe Abb. 2a). Im Fall x € y23, £ (L y wird f ü r £f{x, die Strecke vom Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bis zu ihrem Durchstoßpunkt auf r genommen und der Bogen Sf{x) auf r zwischen den zwei Durchstoßpunkten x± e r betrachtet (siehe Abb. 2b).

Tt(x)»Tt(x)

Die Elementarbereiche J f (x) werden durch die von djf?(x) berandete Fläche definiert : xe co-. dj?{x) : = U £f(x, | ) , y 23 : d j f ( x ) : = U Sf(x, £) u £?{*), (9) us'(x)

ees'ix)

d. h., 8jif(x) ist für x 6 co rein polygonal, für x a y23 teilweise gekrümmt berandet. Zur Beschreibung der Differenzenapproximation ist es zweckmäßig, jedoch nicht notwendig, das Gitter 53' aller Flußpunkte x(', die als Mittelpunkte von L(x, £) definiert sind, zu betrachten. Gitter, die bei der hier benutzten Definition von Jf(x) für die Differenzenapproximation zulässig sind, sollen folgende Gitterregularitätsbedingungen erfüllen: , tu): Für h e (0, A0] gelten R 1( R 2 mit h-unabhängigen Konstanten Ei, 0 < (i = 1, 2), sowie R 3 : Ri: 0 < R 2 : 0 < e2h

^ 1

sS h(x, f) ^ k/sx für x € tu + y, £ € S'(x), h(x, £) : = nies L(x, £) s(a;, £)

hje2 für x € ), H(x) : = mes Jf{x), ¿«rix) 2

6.

für

xe&,wecz(3ir),

für

x € co + 723, y> 6 C^JT).

Differenzenschema

1°. Für Gitterpunkte x £ a> wird aus (11) nach Division von (11) durch B(x), siehe (18), und dem approximativen Ersetzen aller Terme durch die Näherungen (12), (18) die folgende Differenzengleichung mit dem Operator Lh, als diskretes Analogon von L, erhalten (Lhy) (x) := --LZsiXf') a{x) as'(x)

k(x^ yh(xe') + e(x) y(x) = f(x),

x€oj.

(19)

Es bedeuten VkM

:=

m

~*}X)

, h{x(') := h(x, £),

:= s(x, f ) , (20a)

A(a;{') := k{x, f ) := für £ € &>: A(r { ') = h,

,

s(x(') = V3 A/3 (Dreiecke), «(«{') = h (Quadrate)

für a; € cb: h{x/), a(a;f') erfüllen (10) von F ( J f , cö).

(20 b)

2°. Auf gleiche Art werden aus (11) nach Division durch h(x), siehe (15), für Gitterpunkte x € y23 Differenzengleichungen mit dem Differenzenoperator lh, diskretes

48

BERND HEINRICH

Analogon von l, konstruiert. Die Näherungsformeln (16), (17) ergeben dann Differenzenapproximationen unterschiedlicher Genauigkeit. Außerdem wird der teilweise gekrümmt berandete Elementarbereich 2/C(x) durch einen rein polygonal berandeten Bereich mit dem Inhalt H(x) : = nies M'(x) approximiert (vgl. Abb. 2 b , 3c). Die Differenzenoperatoren lh° (einfache Genauigkeit, aus (16)) und (höhere Genauigkeit, aus (17)) ergeben sich dann in kompakter Schreibweise für Gitterpunkte x € y23 wie folgt: (lkiy)

(X)

x € 723.

:= — J {€S

für

Z '(»)

yfct') +

*l*t')

«'(*) y{x) =

g\x),

(21)

= 0, 1

j

mit

8(z,g) für £ 6 eo, {hHx)Y «*(») + s(x, {•*) — ó i -1 — lj

1

8

k(x) +

r

.

— - für k(^)

p

_

£ —

,

€ y,

1=

1

(22a)

und s(x,£):= mesj?(x,£), a> von (7), (8),

(24)

definiert und analog zur Komponentendarstellung Ah» = (lh, lh>, Lh)J entsprechend Fh> = (g, g', /)T. Als diskrete Analoga der R W A (1), (2) bzw. (3) sind damit die Differenzenschemata A'V =

für

? = 0, 1 und z 6 w + y, + y23

(25)

erklärt.

7.

Monotonieeigenschaft

Der Differenzenoperator A J des Differenzenschemas wird in der kanonischen Form (Akhj) (x) =

f)

X aj(x' HSix)

)

für

* e Ö5. s(x)

= S'(x) u {x}

(26)

durch die reellwertigen Koeffizienten a'(x, £) mit £ € S(x) festgelegt. Aus dem Vergleich von (26) mit (24) ergibt sich, jeweils für j = 0, 1, im Fall x e yx: a*(x, x) = 1,

S'(x) =

0,

1 S'(x/) k(Xc') x e y23: af(x, £) = — — / ' 0;

{€S'(x)

£

af(x, £) = c(x) ^ 0.

i€S(«)

Wegen (6) existiert für h ^¡¡h0 mindestens ein Gitterpunkt x € 55 mit 27 a,i(x, |) > 0. ies(x) Andererseits gilt eine „Gitterzusammenhangsbedingung" (vgl. Seite 77 in [5], in [2] als Matrizenanalogon formuliert), so daß zusammen mit (27) die „Monotoniebedingung" erfüllt ist (vgl. etwa [5], Seite 77). Daraus folgt, daß Ak' ein Operator von monotoner Art ([2]) ist, d. h., aus Ajy ig 0 auf 55 folgt y 2g 0 auf 55. Da sowohl 4

Numerische Mathematik 11

50

BERND HEINRICH

diese Monotonieeigenschaft als auch weitere in Abschnitt 7 und 8 beschriebene Eigenschaften für j — 0 und j = 1 vollkommen gleichartig sind, wird der Index j vorübergehend weggelassen. Nach Durchnumerieren der Gitterpunkte, w = {P 1( P2, ..., Pn}> kann dem Operator Ah eine quadratische Matrix s-/h = (aki),ly„ (i,l = 1 , 2 , . . . , n ) zugeordnet werden, deren Koeffizienten wie folgt definiert sind:

, PA f i(P a(. k

aid-. = •{

LO

für

Pt 6 S(Pk)

für

P, i S(Pk)

für k, l = 1, 2, ...,n, a(Pk, 1\) von (27). (28)

Die inverse Matrix s/^ 1 existiert und hat die Eigenschaft, daß alle ihre Elemente positiv sind, d. h. ¿af^1 > 0 ; es ist eine JW-Matrix (siehe [9, 16]). Der Vektor y = (ylt y2, ..., yn)T der gesuchten Gitterfunktionswerte ist in ny< : = |yj| Komponenten bekannt, so daß o. B. d. A. nur die ersten n Komponenten, n = n — nyi = |cu| + wirklich gesucht sind. Nach Ersetzen der Komponenten ,, ...,yn durch die gegebenen Werte von g (siehe (23)) wird zur Bestimmung des gekürzten Vektors y € B* ein Gleichungssysteni s/hy

= Fh,

s?h als nx w-Matrix und Fh € R8 sind gegeben,

(29a)

erhalten, dem folgendes Differenzenschema zugeordnet ist:

[Ähy) (x) :=

X!

a x

i£S(a:)\yi

=

( > f) ?/(