Beiträge zur Numerischen Mathematik: Band 1 [Reprint 2019 ed.] 9783486992731, 9783486344011

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Beiträge zur Numerischen Mathematik 1

Beiträge zur Numerischen Mathematik 1

Herausgegeben von Frieder Kuhnert und Jochen W. Schmidt

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1974

© 1974 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin Lizenzausgabe für den Ii. Oldenbourg Verlag, München—Wien Printed in the German Démocratie Republic Lizenz-Nr. 206 • 435/194/74 Gesamtherstellung: IV/2/14 VEB Druckerei »Gottfried Wilhelm Leibniz«, 445 Gräfenhainichen/DDR • 3892 ISBN: 3-486-34401-3

Geleitwort

Die Anwendung mathematischer Erkenntnisse in anderen Wissenschaftszweigen, in der Technik und in weiten Bereichen der Volkswirtschaft ist in den meisten Fällen in irgendeiner Weise mit dem Begriff „Numerische Mathematik" verbunden. Der numerische Algorithmus als zentraler Begriff der Numerischen Mathematik soll deshalb auch der inhaltlichen Gestaltung der Zeitschriftenreihe zugrunde hegen. Dabei sollen alle Aspekte des numerischen Algorithmus, wie etwa seine Herkunft, Begründung, Konvergenz, Realisierung, Testung und Anwendung, in gleichem Maße in der Zeitschriftenreihe erörtert werden können. Die Herausgeber

Hinweise für Autoren

Zur Veröffentlichung vorgesehene Manuskripte (in deutscher, englischer, französischer u n d russischer Sprache) sind in einwandfrei leserlicher und druckfertiger Form (Schreibmaschinenoriginal mit einer Kopie, zweizeilig, Formeln gut leserlich) einzureichen an Prof. Dr. F. K U H N E B T , Sektion Mathematik der Technischen Hochschule Karl-Marx-Stadt, DDR-9023 Karl-Marx-Stadt, Reichenhainer Str. 41, oder Prof. Dr. J. W . S C H M I D T , Sektion Mathematik der Technischen Universität Dresden, DDR-8027 Dresden, Zellescher Weg 12-14. Herausgeber und Verlag bitten, unbedingt die folgenden Auszeichnungsregeln zu beachten: Kursive (schräge) Buchstaben sind blau zu unterstreichen, halbfett kursive zweimal blau; griechische Buchstaben rot; F r a k t u r grün; Schreibschrift gelb; grotesk braun; kursiver Text blau; Sperrung gestrichelt; Kleindruck ist durch grünen Strich am linken R a n d zu kennzeichnen. Formelzähler sind an den rechten Rand zu stellen. Die Autoren werden gebeten, durch Benutzung geeigneter Abkürzungen komplizierte Formelausdrücke zu vermeiden. Abbildungen sind dem Manuskript gesondert beizufügen. Der Literaturnachweis ist in eckiger Klammer durchzunumerieren. Im Text ist auf die Literat u r mit der Ziffer in eckiger Klammer zu verweisen. Je nachdem, ob Literaturhinweise aus Büchern, Zeitschriften oder Sammelwerken erfolgen, ist nach folgenden Mustern zu verfahren: [ 1 ] F A D D E J E W , D. K., und W. N. F A D D E J E W A , Numerische Methoden der linearen Algebra, 3. Aufl., V E B Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973 (Übersetzung aus dem Russischen). F A D D E J E W , D. K., und W. N. F A D D E J E W A , Numerische Methoden der linearen Algebra, 3- Aufl., R. Oldenbourg Verlag, München—Wien 1973 (Übersetzung aus dem Russischen). [2] S C H M I D T , J . W., Defektabschätzungen bei Differenzenverfahren, ZAMM 46 (1966), 17-39. [3] T E M P L E , G . , Linearization and delinearization. I n : Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1958, Cambridge 1960, p. 233—247. [ 4 ] Y J I B M , C . , I I P H H M M MA/KopaHT H mctoa xopfl, M 3 B . A H 9 C T C G P , ON3.-Ma.TeM., 13 (1964),

217-227.

Die Korrekturen sind spätestens 5 Tage nach Eingang an Prof. Dr. F. K U H N E R T (Anschrift s. o.) zu senden. Durch nachträgliche Änderungen entstehende zusätzliche Korrekturkosten sind vom Autor zu tragen. Die Verfasser erhalten von ihren Arbeiten 50 Sonderdrucke sowie ein Exemplar des gesamten Heftes unentgeltlich. Bei zwei und mehr Autoren einer Arbeit erhält jeder Autor ein Belegexemplar des Heftes; die 50 Sonderdrucke sind nach eigenem Ermessen unter die Autoren zu verteilen.

Inhalt

K.-H. BACHMANN, Berlin Untersuchungen zur Einschließung der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen Dresden Eine Fehlerabschätzung für Nullstellen von Abbildungen

9

W . BXJRMEISTEE,

43

F . GRUND, Berlin

Lösung spezieller linearer Gleichungssysteme

49

R . H O F M A N N , Leipzig Zur punktweisen konformen Abbildung unter Verwendung des harmonischen Maßes

57

H. K L E I N M I C H E L , Dresden Konvergenzaussagen und Fehlerabschätzungen für eine Klasse von Iterationsverfahren

61

R . MÄRZ, Berlin

Interpolation mit Exponentialfunktionen und rationalen Funktionen

. . .

R . MÄRZ, Berlin

Ein Verfahren der nichtlinearen Tschebyscheff-Approximation

75 94

und H.-G. J A H N K E , Berlin Ein iteratives Verfahren gemischter Strategie zur Nullstellenbestimmung von Polynomen in einer Unbestimmten mit automatischer Fehlerabschätzung für die Näherungswerte der Nullstellen

109

E . SCHINCKE und E . G R U H N E , Halle-Wittenberg Potentialtheoretische Lösung eines ebenen Spannungsproblems

121

H. SCHÖNHEINZ, Dresden Ein Beitrag zu Fehlerabschätzungen bei Differenzenverfahren

135

H . SANDMANN

8

Inhalt

K. S T B E H M E L , Halle-Wittenberg Ein neues Differenzenschemaverfahren zur Lösung von aufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen

Anfangswert157

J . THOMAS f

Einschließungsbereiche von Sattelpunktstrennkurven W . WAT.TJSCH

und

R . - D . RECKNAGEL,

167

Jena

Ein Verfahren zur automatischen Berechnung von Polynom-Nullstellen . .

181

Karl-Marx-Stadt Über apriore Fehlerabschätzungen der Eigenwertnäherungen beim BazleyFox-Verfahren 195 W . WEINELT,

Beiträge zur Numerischen Mathematik i (1974), 9 - 4 2

Untersuchungen zur Einschließung der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 1 ) KARL-HEINZ

1.

1.1.

BACHMANN

Ein Einschließungsverfahren für Anfangswertaufgaben

Einleitung

Zur Fehlerabschätzung bei der genäherten Lösung von Differentialgleichungen sind Iterationsverfahren gut geeignet, da hierfür allgemeine Abschätzungssätze bekannt sind. Um derartige meist f ü r die Lösung von Gleichungen in Banachräumen hergeleitete Sätze bei Diskretisierungsverfahren nutzen zu können, ist es erforderlich, aus punktweise verfügbaren Näherungen Näherungsfunktionen zu konstruieren. Verwendet man eine solche Funktion als Anfangselement einer Iteration, so lassen sich weitere Näherungen ermitteln u n d Aussagen über ihre Fehler machen. Ein von J . S C H R Ö D E R angegebener Einschließungssatz [2] liefert in Verallgemeinerung des Iterationsverfahrens Folgen von unteren u n d oberen Schranken. Dieser Einschließungssatz soll hier zur Lösung der Anfangswertaufgabe f ü r Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen angewandt werden.

1.2.

Bezeichnungen

E s bezeichne I das reelle abgeschlossene Intervall [£0, T], R sei der R a u m von •»-tupeln stetig differenzierbarer Funktionen von t 6 I. Die Komponenten eines Elementes x£ R seien mit x(1)( 0}

(4)

ist dann f ü r genügend kleines t — t0 eindeutig lösbar. Durch i

T u = u(í0) + ff(u{s),s)ds

^

wird ein Operator T definiert, der eine Teilmenge von R in E abbildet. Die Lösung eines Anfangswertproblems (4) kann f ü r genügend kleines t — t0 durch das Picardsche Iterationsverfahren u

j + i

% £

=Tu

s

(¿=1,2,...)

B,

%(

M

i (0 ^

für

K

t

€

(6)

I

bestimmt werden.

1 . 3 . Fehlerschranken Aus der Iterationsvorschrift (6) lassen sich leicht Fehlerschranken ableiten. E s gilt t

||«3(f) -

«2(011 =

f [/(«2 («) > s) — /(%(«) , 5)] ds - L(t - t0) | | i 7 ( 0 - M O II

1),

(13)

1).

(14)

Diese Form entspricht der von Tollmien [3] angegebenen Abschätzung für das Anfangswertproblem bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung. Zweckmäßig benutzt man zur Rechnung den Defekt der Näherungslösung

«1(0 d ( t ; u

1

) = f ( u

1

Dann gilt m2(0 — » i ( 0

( t ) , t ) - u

1

( t ) .

(15)

f

=

i «0

Jd(s-,Ui)ds

(16)

und t

II «2 (0 - « 1 (011 =

J d i s i u ^ d s

t 5S J

||d(s;

a,

(39)

k

zf{t) -

x f ( t ) =

2

to i - 1 mit mf(s) = x(s) + &* (z(s) — ®(s)), 0 ^

(

s

) ) d s

+

2

^ 1.

W

i

( t -

t

0

)

(40)

Die rechte Seite von (40) wird verkleinert, wenn aus der vorkommenden Summe die nichtnegativen Glieder weggelassen werden: 4°(0

mit

-

4 H t ) ^

z^(t0)

~

x)

(49)

schreiben. Solange — i 0 ) e i( -'-'» ) ^ 1

(50)

gilt, ist demnach U(t)(t;Vi) nicht kleiner als U * )

*=1 «o

°

i k )

(*)

d*

. 1, daher wachsen as u n d bs unbeschränkt, d. h., die Folge der Einschließungsintervalle ist instabil, obwohl die Gesamtheit der Lösungen (82) des Differentialgleichungssystems (81) stabil ist. Der G r u n d f ü r das abweichende W a c h s t u m der Einschließungsintervalle u n d der durch Lösung des Differentialgleichungssystems (81) mit Anfangsvektoren aus JQ entstehenden Bildgebiete von J 0 liegt darin, d a ß diese Bildgebiete keine achsenparallelen Rechtecke, sondern Parallelogramme sind, deren E c k p u n k t e auch nicht mit denen der sie einschließenden achsenparallelen Rechtecke übereinstimmen. Ein solches Parallelogramm ist definiert

Einschließung der Lösungen

25

durch =

{y-y =

e

yo £

(101)

J0}-

Speziell h a t das Parallelogramm J (h) die E c k p u n k t e a Pi

(3

e~h

—

2 e~2A) +

b

(2 e" Ä — 2 e~2A)

r (3 e'h - 3 e~2A) + 6 (2 e~A - 3 e" 2A ) V* a (3 e" A - 2 e" 2 A )+ 6 ( - 2 e" A + 2 e" 2A ) (3 e - A

3 e - 2 A ) + & ( - 2 e~h + 3e~ 2 A )

F ü r a = ö = 1 u n d 7i gestellt.

ii (102) Piv

—

0.2 sind die Gebiete J0, J{ u n d J(0.2)

-Pin-

in Abb. 1 dar-

Abb. 1 yw (o)

Die Lösungen des Differentialgleichungssystems (81) mit Anfangsvektoren aus J , an der Stelle tt = h bilden an der Stelle t-, = 2 Ii ein weiteres Parallelogramm J*. Das kleinste diesem Parallelogramm umschriebene achsenparallele Rechteck ist das Intervall J2. Das Parallelogramm J(2h) ist dem Parallelogramm J* einbeschrieben u n d enthält mit dem Rechteck J2 keine gemeinsamen R a n d p u n k t e . F ü r £ —» oo zieht sich die Folge der Parallelogramme J(t) auf den Nullpunkt zusammen, dagegen dehnt sich die Folge der Rechtecke J s f ü r s -* oo unbeschränkt aus. Das Beispiel zeigt, daß die Methode, Lösungen stückweise in Intervalle der F o r m x < yM z (t) einzuschließen, auch bei stabilen Differentialgleichungssystemen unabhängig vom verwendeten numerischen Verfahren u n d von der verwendeten Schrittweite zu instabilen Einschließungen führen kann. Die Einschließungen lassen sich nicht verbessern, wenn man d a r a n festhält, die Lösungen schrittweise in Intervalle mit achsenparallelen Rändern einzuschließen. Zur Behebung dieser Schwierigkeit wurde von R . E. M O O R E vorgeschlagen [1], mittels lokaler Koordinatentransformationen zu erreichen, daß die Intervalle J (t) so transformiert werden, daß ihre Ränder angenähert achsenparallel werden. I n [1] sind einige derartige Transformationen beschrieben.

26

K A K L - H E I N Z BACHMANN

2.

Numerische Einschließungsverfahren

2.1.

Eine Klasse numerischer

Einschließungsverfahren

F ü r die Lösung Y(t) des Anfangswertproblems (2) seien an der Stelle t0 eine obere Schranke z0 und eine untere Schranke x0 bekannt : Xo^Y(t0)^z0.

(103)

Gesucht sind an der Stelle ^ Schranken zl und x1 für (104)

Entsprechend den Resultaten aus 1.7. und 1.8. werden zunächst Einschließungen für Lösungen durch bestimmte Randpunkte des Intervalls (44) bestimmt. Für einen solchen Randpunkt i>n wird das Anfangswertproblem v'=f(v,t),

(105)

v(t0) = v0

mit der Lösung V (t) betrachtet. Mittels eines herkömmlichen numerischen Verfahrens wird eine Näherung v1 für V (tj) berechnet. Eine geeignete Näherungsfunktion sei mit Ui (t) bezeichnet, es gelte «j(i(h) = vn + f f(u-As),s)

(114)

ds,

wenn A(t) und Zusatzglieder die Größenordnung des Fehlers von u2(t) haben. Bei den zu beschreibenden Verfahren ist das der Fall, daher ist die Ordnung dieser Verfahren um 2 höher als die Ordnung des Verfahrens zur Berechnung der Näherungsfunktion ut (I).

2.2.

Ein Einschließungsverfahren

zweiter Ordnung

Als Näherungsfunktion ut (t) wird der konstante Vektor v0 verwendet: (t) = v0

für

t0 ^ t g t0 + /(. =

= tv

(115)

28

KARL-HEINZ BACHMANN

Die zweite Näherungsfunktion t u2(t) = v0 + f f(vo, s) ds (*-*o) gilt, dann erhält man für t £ [70,

für

die Abschätzungen

IM«) - « 2 ( 0 l l ^

(ii9)

ll« 2 (0 - MOII ^ l l « 2 ( 0 - « 2 ( 0 1 1 + ll«2(0 -

(011

^(ll/oll+

(120)

Hiernach kann die Abschätzung (13) in folgender Form geschrieben werden: iiF(o - «2(on ^ i ^ j r + Y r ) ( e £ ( i "' o ) - Mt - h) - 1 ) .

(121)

Mit den Abkürzungen X = Lh,

(122)

o=\\f0\\ + ±L0h

l ä ß t sich für (121) schreiben: II F ( 0 — «2(01! ^ ~ r ( e < — ¿ t — 1}

für

O^C^l-

(123)

Diese Abschätzung kann auch durch in £ quadratische oder lineare Abschätzungen ersetzt werden. Es gilt für 0 ^ £ iS 1 x

Ke

AQ

k\

1}

Q

°°

&

1

kl »

JT

1

s|C(e"-l).

(124)

Hiernach läßt sich (123) ersetzen durch II

- «2(011 ^ 4 ^ o- (e* ¿i

1) V-

für

0 ^ £^ 1

(125)

oder II V(t)-

« 2 (i)|| ^ ^h o(e* -

1)C

für

O ^ f ^ l .

(126)

Einschließung der Lösungen

29

Berücksichtigt man noch «a(0

-

\

L0(t

t0)2

-

E

^

u2(t)

^

ü2(t)

+

i

L0(t

-

i0)2 E >

(127)

so ergeben sich aus (109) folgende Schranken für F(£): x*(t)

=

v0 +

z*(t)

=

v0 +

h f

0

t - - h (o{e>- -

1) +

L0

h)

F E ,

(128)

oder *(0

=

V0 +

H*)

=Vo+

h f

C + l h (a(e*

0

[»/„ [¿/o

+

\

h (o(el

~ A

-

-

1) +

L0

h) ^

E

-

1) +

L0

fc)]

£ E ,

1) +

£„*)]

c

(129)

E.

Zur Einschließung der i-ten Lösungskomponente Y ( i ) ( £ s i n d zunächst die in (75) und (78)d efinierten Mengen dJ* und dJf zu bestimmen, und es sind Anfangsvektoren v0 £ d J * und v(} £ d J * zu wählen; hier sei 0 '

t- i i

y»

0

¿V

=

z«

für

s f i > 0,

x

für

slk < 0,

±

(4*>

+

mit

i ± i

für

z f )

bzw.

(130)

t-o > für 4*>

für

i « > + 4*>)

> < 0, für

mit %

k

i.

= 0

F ü r einen beliebigen Vektor v^ £ dJf gilt demnach P i - »oll ^ £ max £

kSKj

= Dit

(131)

wobei K { die in (74) definierte Indexmenge ist. Ebenso gilt (132) II»!-Holl ^ A f ü r einen beliebigen Vektor ^ £ 8 J * . Wenn iQ leer ist, verschwindet Z)^ Die Lösungen mit den Anfangsvektoren v1 bzw. vj seien mit V\ (0 bzw. Fi(i) bezeichnet. Mit der Abkürzung (133)

30

K A R L - H E I N Z BACHMANN

erhält die Abschätzung (80) die Form I VW(t)

_ v«\t) I ^ Da:

(m^

+ i X C e") = (134)

bzw. - v(k)(t) \ ^ (i) = »»> + A/J*> i für k € K{

(138)

festgelegt werden. Die Funktion/ (i) ist von diesen Komponenten unabhängig.

Einschließung der Lösungen

31

Da die Ausgangsschranken Näherungen erster Ordnung sind, wird zur Einschließung eine Quadraturformel zweiter Ordnung benutzt, hier die Tangententrapezformel Q(F) = h-F^0

+ ij.

(139)

Eine Abschätzung des Quadraturfehlers ist fiF(s)ds^q(F) = ±hJM2(F) , , 24 d°-F mit M2(F) ^ für s£[t0,tt]. (140) ~d,¡2 Zur Berechnung der Argumente für die Quadraturformel ist in (136) bzw. (137) Q(F)~

*

1

C = ^ einzusetzen. Die Rechnung ist für alle i = 1, . . . ,n jeweils doppelt — £! einmal von v() — v{) und einmal von v0 = v0 ausgehend — auszuführen. Im allgemeinen wird die Berechnung von q(F) bei der Verwendung linearer Ausgangsschranken einfacher sein. Insbesondere verschwindet dann der Quadraturfehler bei der Integration von Systemen linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und linearen Störgliedern. Bei der Integration autonomer Differentialgleichungssysteme verschwindet die Konstante L0, da die / w von t unabhängig sind. Jedes Differentialgleichungssystem kann durch Hinzufügen der Differentialgleichung 2/' = 1 (141) zu einem autonomen System gemacht werden. Die Formeln werden dann durch Wegfall der Konstante L0 einfacher, jedoch werden die Abschätzungen im allgemeinen schlechter werden, da sich die Lipschitzkonstante L vergrößern kann.

2.3.

Ein Einschließungsverfahren

sechster Ordnung

Gegeben seien diskrete Näherungswerte vierter Ordnung vj und v2 für die Lösung V (t) von (105) an den Stellen tt =t0+

h,

tj = t2 = t0 + 2 h.

(142)

Die Näherungsfunktion u t (t) ist ein Polynom vierten Grades mit den Eigenschaften Mi('o) = «o, «l(*2) = «2, d(tol «i) = d(ti; ui) = d(t2; u2).

32

K A B L - H E I N Z BACHMANN

Die letzte Bedingung zielt auf eine möglichst gleichmäßige Verteilung des Defektes d(t',ul)=f(u1 (t), t) — %(£) über das Intervall [i 0 , i2]- Aus (143) folgen mit t -1, w = (144) fb und fi=f{ViJi), die Darstellungen M

i (0 =

v

* = 0,1,2

o

^ v21

(145)

' + W4 -

W 1

2 w 2 + 1)

^

+ + (146)

oder (t) =

+

Uy

+

+

—2

+

+

— j hf2 + ^ Ä/oj

^ / i +

+

— ^ A/ 0 J

^/o)

^ »2 + »1 - ^ ®0 + ^ Ä/ 2 - £ Ä/o)-

(147)

I m folgenden soll der Verlauf des Defektes der Näherung % (f) untersucht werden, um daraus eine zweckmäßige Darstellung der Näherung u2(t) zu erhalten. Hierzu wird die Taylorsche Entwicklung der Lösung V(t) des Anfangswertproblems (105) benutzt, die Existenz und Stetigkeit der benötigten Ableitungen sei vorausgesetzt. E s gilt F ( 0 = v0 + h v'0(w + 1) + 1 ft2 v ' o ' { w + 1)2 + ^ Ä3 v ' 0 " («, + ^Ä4®0V(W+

+

) + i ^ ö - Ä 5 ® J ( « ' + l)5 + Ä6Ä 6 (w),

1 4

®Sv(w + I) 3 +

to

1)3 (148)

vt(w + 1)4 + Ä6 ä » . (149)

Einschließung der Lösungen

33

Wird die Fehlerfunktion (150)

e(t) = Ui(t) — V(t)

eingeführt, so gilt /(%( 0 = f ( V ( t ) + e ( i ) , 0 = / ( F ( i ) , 0 + F(t) e(i),

(151)

wobei F(t) eine Matrix ist, deren Elemente Mittelwerte der partiellen Ableitungen fit sind. Es folgt hd(t; uj — hf(V(t),

t) + hF(t) e(t) —

+ ±K v'0"(w + 1)2 + i A^ 0 V (w +

= hv0 + Wv0'(w+\) v

o(w

+

+ !)4 +

-

~

hu[{t)

hG

-

KM

lp

+ h F{t) e(t)

+

- ¿Ä/o)

— 2 w (v2 — 2 vi + v0 — i hf2 + i A/ 0 j

~

4W;3

(~

+ »i ~

+

-

^/oj-

(152)

In (152) werden folgende Entwicklungen eingesetzt: V(h) + ei = v0 + hv'0 + ± V vö + i W ®'0" + ^

+

i

A* KV

2 ö - A 5 » J + A « Ä 6 ( 0 ) + ei,

»2 = F («2) + e2 = Vo + 2 h v0 + 2 A2

+ | A3 t^'

+ ||-A5t;J + A6Ä 6 (l) + e 2 , A/ 0 = AiJy,

(153)

Ä/i = k f i V f r ) + e t . i l ) = A f ( V ( h ) , ti) + hF(t1)

=

+

+ 1 A3i,;" + 1

et

+

+ A6 ij;(0) + A f ( f t ) e x , Ä/ 2 = Ä / (F(i 2 ) + e2,t2) = hf (V(t2), 12) + A JP(f2) e2 = A«o + 2 AeJ' + 2 A3 + A6 ^ ( l J + A i ^ ) e 2 . 3 Numerische Mathematik 1

+ | A « f ^ + | A5
s) - ««>»]

ds ds

(184)

bzw. zf(tj) = ü^(tj) + / [gW (2(6), x(s), s) - « 0 zu fordern. ) Offenbar gilt dann (mit der eukli^m\\u\\,

also ii r i x r m ^m- . !) Aus (7) folgt die Konvexität von f .

46

WOLFGANG BURMEISTER

Aus Satz 1 erhält m a n d a m i t den folgenden S a t z 2. EineFunktionf:Rn -» i? 1 möge für alle u € R'\ x € R" die Forderung (7) erfüllen. Dann gilt für die eindeutig bestimmte Minimallösung x* des Problems f(x) — Min! mit einer Näherung xQ € Rn die PX

* _

,OIL
)x2 + e sin Xn = 0 '' Für die Nullstelle z* = _ 1,53391 + 4,37519 i sei die Näherung xn = — 1,5 4,4i gegeben. Mit 8 = {x \Xi + 1,51 ^ 0,05 und \x2 — 4,41 ^ 0,05} ist B = max | F ' ( x ) - i \ = \F'{ —1,45 + 4,35 i) \ = 0,2488, x€S \F(x 0 )| = 0,1826, also gilt für den Fehler | | = 0,0422 die Abschätzung \x* — xQ \ < 0,2488 • 0,1826 = 0,0454. Zusatz bei der Korrektur: Der Satz 1 ist ebenfalls bei ORTEGA und R H E I N BOLDT [5] zu finden, wo jedoch ein anderer Beweis angegeben wird. ,

- r

•

Literatur [1] MHCOBCKHX, M. I L , O CXO^HMOCTH METOFLA KaHTopoBHna peineHHH yHKiiH0HajibHHX ypaBHeHHö h ero npHMeHeHHflx. ßoKJi. Anas. HayK CCCP 7 0 (1950),

565-568.

L . W . , und G. P . AKILO w, Funktionalanalysis in normierten Räumen. Akademie-Verlag, Berlin 1964 (Übersetzung aus dem Russischen). [3] KOLOMY, J., Über die Lösung der im Banachschen Räume definierten nichtlinearen Gleichungen. Czechoslovak Math. J. 12 (87) (1962), 607-610. [4] KLEINMICHEL, H., Stetige Analoga und Iterationsverfahren für nichtlineare Gleichungen in Banachräumen. Math. Nachr. 37 (1968), 313—343. [5] ORTEGA, J . M . , and W . C. RHEINBOLDT, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Academic Press, New York-London 1970. [2] KANTOROWITSCH,

Manuskripteingang: 11. 6. 1971 Verfasser : Stud. math. WOLFGANG BURMEISTER, Technische Universität Dresden

Beiträge zur Numerischen Mathematik 1 (1974), 49-56

Lösung spezieller linearer Gleichungssysteme FRIEDRICH

1.

GRUND

Einleitung

Eine vielfach benutzte Methode zur Lösung von elliptischen Randwertproblemen ist die Diskretisation des stetigen Problems [1—6]. Bei einem linearen Randwertproblem bekommt man dadurch ein lineares Gleichungssystem, wobei in der Matrix viele Elemente Null sind. F ü r die Lösung des linearen Gleichungssystems wird ein direktes Verfahren [4] angewendet, welches entscheidend ausnutzt, daß viele Matrixelemente gleich Null sind. Das Verfahren ist eine Verallgemeinerung einer Methode (Kombination der Lösungen eines Anfangswertproblems) für die Lösung von gewöhnlichen Randwertproblemen. Ein Vorteil des Verfahrens gegenüber dem Gaußschen Verfahren für Blockmatrizen ist die geringere Anzahl von Rechenoperationen.

2.

Problemstellung

Gegeben ist das Gleichungssystem

A x= k

(2.1)

mit der dreidiagonalen Blockmatrix

~Bi A2 A = •

Ci B2

C2

(2.2)

(2.3) (2.4) 4

Numerische Mathematik 1

50

FKIEDKICH

GRUND

Die A{, und Ci in (2.2) sind quadratische Matrizen und die X{ und Ki in (2.3), (2.4) Vektoren jV-ter Ordnung. Die Ordnung n der Matrix A ist n = N • p. Für N = 1 ist die Matrix A (2.2) eine Jacobimatrix. Für die Lösung des Gleichungssystems (2.1) läßt sich der Satz 2.1 angeben. S a t z 2.1. Die Matrizen Gi (i = 1, 2, . . . , p — 1; p ^ 2) in (2.2) seien nichtsingulär. Es existiert eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems (2.1), wenn die in (2.8) angegebene Matrix Q regulär ist. Die Lösung wird mit (2.5), (2.6), (2.7), (2.8) und (2.9) berechnet. Falls die Matrix Q singulär ist, gibt es keine Lösung

(2.1).

von

Dabei ist Xi = Ri+

U,G

( i = 1,2, ...,p),

(2.5)

Ui = Uw (Ua 4= 0, beliebig), U2 = — C f 1 B} Ui, u

f

= -

(2.6)

iUi_2

Rj = RW(RW

(i = 3, 4, . . . , p),

+ B{_,

beliebig),

R2 = C ; i ( K i - BtRt), Bt = CfJl(Ki_1—

(2.7) R,_2 -

Q = ApUp_i

+ BpUp,

G = Q~i(Kp-

ApRp_l-

B^

R^)

(i = 3,4, . .

.,p), (2.8)

BpRp).

(2.9)

Beweis. Der Ansatz (2.5) wird in (2.1) eingesetzt und umgeordnet. Es ergibt sich (B, Üx + C, U2) G + BiBl {Ap_,

Up_2

(Ap

+

Bp_1

U ^

4-

Bp_1 Rp_i

+ GlRi

=

+

C,^

+

Cp-i Rp =

+ Bp Up) G + ApRp_i

Kl,

U j G +

A ^ B , ^

(2.10)

Kp-n

+ Bp Rp =

Kp.

Für die Lösung dieses Systems von p Vektorgleichungen werden in den ersten p — 1 Gleichungen die eingeklammerten Matrizenausdrücke bei G gleich der Nullmatrix gesetzt. Die entstehenden p — 1 Gleichungen für die Ui und Ri (i = 1, 2, . . . , p) werden mit der Annahme willkürlicher Werte für Ut =t= 0 und nach Z7,- und Ri (i = 2, 3, . . . , p) aufgelöst, wodurch sich (2.6) und (2.7) ergeben. Ist die Matrix Q regulär, dann läßt sich die letzte Gleichung von (2.10) nach G auflösen, woraus (2.9) folgt, und mit (2.5) ergibt sich die gesuchte Lösung. Ist die Matrix Q singulär, so gibt es demnach einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor G derart, daß

QG = 0

(2.11)

Lösung spezieller linearer Gleichungssysteme

51

ist. (2.6) und (2.11) können zusammengefaßt werden zu -Ui

Ol

Bi A2

•B2

U2

G-i

GG

-UPG.

Ui ist eine willkürliche Matrix, etwa die Einheitsmatrix; außerdem ist G kein Nullvektor. Daraus folgt, daß der Vektor in (2.12) nicht der Nullvektor und damit die Matrix A singulär ist. Für die Lösung von (2.1) lassen sich zwei Varianten für das direkte Verfahren angeben. Bei der ersten Variante werden in (2.10) die Matrizenausdrücke in der zweiten bis p-tcn Gleichung gleich der Nullmatrix gesetzt und die U{, Ri (i = p,p — 1, . . . , 2, 1) mit willkürlichen Up 4= 0, Bp bestimmt. Die zweite Variante ist eine Kombination des direkten Verfahrens und der ersten Variante. Die Anzahl der Rechenoperationen für das direkte Verfahren läßt sich leicht angeben, wenn A eine Jacobimatrix ist. Man benötigt in diesem Fall I n — 3 Operationen [4], während das Gaußsche Eliminationsverfahren für dreidiagonale Matrizen, auch Algorithmus von THOMAS genannt, 5n — 4 Operationen braucht [5, S. 57].

3.

D a s direkte V e r f a h r e n für spezielle d r e i d i a g o n a l e B l o c k m a t r i z e n

Bei der Diskretisation von partiellen Randwertproblemen mittels 5-PunktFormeln [1—3, 5] entstehen vielfach Gleichungssysteme der Form (2.1), (2.2), wobei die Matrizen Ai, Gi Diagonalmatrizen und die Bi dreidiagonale Matrizen sind. Das direkte Verfahren läßt sich für solche Matrizen wesentlich vereinfachen. Die Darstellung der Matrizen Ait Bt, Ci, Ui und der Vektoren Ki; X{, G und Bf sei:

A,-

=

l2,i

( i = 2, 3, . . . , p),

(3.1)

dl,i

CO,-

(i =

B,=

bNJ

cy,i

1, 2, . . .

,p),

(3.2)

52

FRIEDRICH GRUND

(3.3)

(i = 1, 2 , . . . , p - l ) ,

u

U

i,2,i • • • Ui,N,i

lXi

( i = 1,2

K-i —

,...,p),

> '2,1'>• •" •' >• ' ^jy.i) ""JV.t. '

X-i = (^i,,-, x2i, . . . , Xi=(ru,r2ii,...,rKA)J G ={gi,g2,

(3.4) (3.5) (3.6)

xNJ, (i = 1, 2, . . . , p),

••• >

(3.7) (3.8)

E s wird angenommen, daß die Voraussetzungen für den Satz 2.1 erfüllt sind. D a n a c h sind zu berechnen: (i = 1, 2, . . . , p), Ui(i= 1 , 2 , . . . , p), G u n d X{ (i = 1 , 2 , . . . , p), was nun im einzelnen untersucht werden soll. Die Berechnung der wird mit (2.7) durchgeführt. Die Bildung der inversen Matrizen u n d der P r o d u k t e der Matrizen u n d Vektoren bereitet keine Schwierigkeiten, da die Matrizen nach Voraussetzung diagonal bzw. dreidiagonal sind. Mit — (rwy » rm, ' ' ' ' ' '«¿-I

—

(rw. beliebig, i = 1, 2, . . . , N) berechnen sich die Komponenten von Äf (i = 2, 3, . . . , p) nach

(3.9)

wobei f ü r i = 2 alle Terme mit rjfi ( j = 1, 2, . . . , N) Null zu setzen sind. Die Ui berechnen sich nach (2.6). Es läßt sich eine einfache Darstellung der Ui (i = 2, 3, . . . , p) angeben, falls Ul eine Diagonalmatrix Uy = diag{u w .) (u m . =(= 0, i = 1, 2, . . . , N) ist. F ü r die halbe Bandbreite der XJi gilt n u n d e r Satz 3.1. S a t z 3.1. Falls (Jt, A{ und Ci Diagonalmatrizen und Bi dreidiagonale Matrizen sind, gilt für die halbe Bandbreite mu. der Ui von (2.6) die Beziehung m.

i -

1

(i = 2, 3, . . . , p).

Lösung spezieller linearer Gleichungssysteme

53

I n der Beweisführung des Satzes 3.1 wird der Hilfssatz 3.1 gebraucht, dessen Gültigkeit offensichtlich ist. H i l f s s a t z 3.1. A und B sind kA- bzw. k]f diagonale Matrizen N-ter Ordnung mit der halben Bandbreite mA bzw. mn. Die halbe Bandbreite der Produktmatrix C = AB ist

i

mA -f mB N — 1

für für

mA + mB < N — 1, mA -f mB N — 1

und die der Summe D = A + B m D = max (mA , m ] : ). B e w e i s v o n S a t z 3.1. Der Beweis wird mit vollständiger Induktion geführt. Die Aussage ist richtig für i = 2. Angenommen, Ui_2 habe die halbe Bandbreite rap.= i — 3 (i S: 4), Ui_l die halbe Bandbreite mv._i = i — 2 (i ^ 3). Da nach Voraussetzung die halbe Bandbreite der Ai, Gi Null und der B{ Eins ist, ergibt sich die Behauptung durch mehrmalige Anwendung des Hilfssatzes 3.1 auf (2.6). Für die halben Bandbreiten der Ui gibt es entsprechend der Größe von N u n d p drei Fälle: u4 Bandmatrizen für

keine Bandmatrizen für

p < N

i = 1, 2, . . .,p

p = N

i = 1, 2, . . . , p — 1

i = p

p>

i = 1, 2, . . . , N - 1

i = N,N

N

+ 1, • - • ,p

Nach Satz 3.1 sind einige oder alle TJi Bandmatrizen. Diese Eigenschaft wollen wir bei der Berechnung der Matrixelemente der Ui ausnutzen. Dazu müssen uns in den U t die Elemente (Spalten-, Zeilenindex) bekannt sein, die innerhalb des Bandes liegen (Satz 3.2). S a t z 3.2. A = («ij) ist eine k-diagonale Matrix der Ordnung N mit der halben Bandbreite m = (k — l)/2. Die Elemente ai} mit |i —j\ < m sind gegeben durch I. 0 ^ m ^ [iV/2] — 1 a) i = 1, 2, . . . , m + 1; j = 1, 2, . . . , m + i, b) i = m + 2, . . . , N — m — 1; j = —m + i, . . . , m + i, c) i = N — m, . . . , N; j = —m + i, • • • , N;

54

FRIEDRICH GRUND

II. a) b) c) III.

[ N / 2 ] ^


< — 3 1 7 - 1 — k > i — 2 V / 1 ? — &1 > < — 2 k > T - 2 V j I / + 1 -

2 3 4

A ,

|

a

j,i -

1

= 1

bj.i

= N

dj.t-i

Uj,k,i-

2

-1

}.) ~ I

Uj,k,i

1

F ü r i = 2 ist in (3.10) der Summand mit 1 = 1 wegzulassen. Die Bestimmung des Vektors G nach (2.9) f ü h r t auf die Lösung eines Gleichungssystems iV-ter Ordnung, das mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren gelöst wird. Die Matrix und die rechte Seite werden mit (3.9) und (3.10) bestimmt, wobei in (3.9) e,- - = —1, in (3.10) et- - = 1 und i = p + 1 zu setzen sind. Bei den Formeln (3.6) wird wiederum ausgenutzt, daß die Ui Bandmatrizen sind. Es ist x

i,i

=

r

i . i + Z !

u

i . M ' 9 t

( j =

1 , 2 ,

. . . , N -

i

=

1,

2,

. . .

, p ) .

Die k{ und k2 sind die unteren bzw. oberen Begrenzungen der Spaltenindizes, die nach Satz 3.2 in Abhängigkeit von Zeilenindex, Ordnung N und der halben Bandbreite bekannt sind. Die Anzahl der Operationen für die Lösung des Gleichungssystems (2.1) mit den diagonalen Matrizen Ai, Ci und den dreidiagonalen Matrizen Bi ist für das direkte Verfahren nach [4] m / 3 + 6 N* — 2 p->

für

p • • • > Kpn)> W = V>(K> K1n> • • • > Kpn)(25) Dabei seien • • • > Funktionen mit folgenden Eigenschaften: A. h ^ h bewirkt £P) B. t > 1 bewirkt y,(h,t£2,...,t£p).

Ein Verfahren der Klasse (2.1) habe nun die Eigenschaft E, wenn es folgende Voraussetzungen erfüllt: Sofern xn £ R ist, der inverse Operator Fn existiert und es gemäß (2.3) Schranken Mn, Kvn (v = 2, . . . , p) gibt, lassen sich zwei den Bedingungen A und B genügende Funktionen cp, ip und eine Zahl k >_ 1 derart finden, daß Abschätzungen folgender Gestalt gelten: W\\^Mn+ « * ) • • • ( / > + j*k ^We^WMJfflß, \J = 0

+

+

(ßi + S-) 9i (0

+ • • • + 9?+0

(0 e

2 7 7 \ßt + «,1 + • • • + 1 fc-0j=0 j+k

H l ^ ' l l ^ 7 7 ( 1 + \ßt + a,D ^ l l e ^ l l M,Af+' j-o mit At = m a x ( l + | ßi + a m a x | , l + \ßt + a m i n | ) . Weiter ist d a n n £ (D+«0)---(D i-1 ß,t i | ^ JJ \(D + x0) • • -(D + oLy) o(e min ||i? || = 0 ist, oder es existiert "0 "»o ° "o.-.«Bi *«--"n m eine unendliche Folge {%}, daß min ||.B || > min ||Ä «o »)!,> «».....«„J

||>--->

min

|| R

|| > • • • > 0

ist. Beweis.

Wegen ¡ | R y ( f , a * , . . . , ajr)|| = ¡|i?ivll

> 0 existiert ein m 0 , für

welches || i?*J| < inf|| i?0|| ist. Dann ist erst recht inf || R || < inf|| i?0||. Wie wir »o ' "0 oben gesehen haben, gibt esdann ein wn fS mQ, so daß min ||i?n || = inf ||-ß„J| an0 "m0 ist, Nun existiert wieder wegen \\Ry\\ —-> Ü ein m¡, daß ||.fi*J| < min ||i?,J| ist, * *H„ usw., q. e. d. 1

Die eben behandelte Form der Interpolation ist für die Interpolation von tabellierten Funktionen nicht günstig, da die Ableitungen in f — 0 für diese Funktionen nicht bekannt sind. Mit Hilfe der Operatorenfolge Fk = A + y.k, wobei

Af{x) = ^X

h)

~f(x\

h>0,

1 — cnk h > 0 ist, und der Funktional-

folge skf = /(0) erhalten wir ähnliche Interpolationsfolgen und -summen wie im eben betrachteten Fall. Das Restglied verschwindet dann an den Stellen t = 0, h, . . . , Nh (vgl. [9]).

3.

Interpolation mit rationalen Funktionen

Seien beliebige Stützstellen aus dem endlichen Intervall \a, &]. Seien a0, ocj, . . . , a t , . . . solche reellen Zahlen, daß für x 6 \a, 6], k S: 0 der Ausdruck 1 + cck (x — xk) nicht verschwinden kann. Sei H die Menge der auf [a, 6] definierten Funktionen, H^ = H, HF/, die Menge der Funktionen aus H , die in der Stützstelle xk eine endliche Ableitung besitzen, k — 0, 1, . . .

86

ROSWITHA MÄRZ

Die Folge der Operatoren \ f ( x ) - f ( x X

-

)

k

+

a

xk

k

f ( x )

für

x ^r

xk,

®

F J { x ) ^ l i m

f ( x )

x^xk x x *k

f

-

{xk)

+ « J ( x

k

)

für

*

=

x — Xk

und die Folge der Funktionale s k f ( x ) = f ( x k ) besitzen alle drei Grundeigenschaften. Die erste ist wegen der Bedingung 1 + a.k (x — xk) 4= 0 erfüllt. Assoziativität und Kommutativität der Operatoren folgen aus den entsprechenden o

Eigenschaften der Differenzenquotienten [1, 12], da die Operatoren Fk = Fk|

0

(d. h. Fk = Fk + *-*, otj - a 0 A = 0,1,

approximiert (Abb. 3).

Interpolation mit Exponentialfunktionen und rationalen Funktionen Als letztes Beispiel wollen wir f(t) = e ' durch e

- -2

1 i +

93

approxi-

*H)

mieren. Abb. 4 zeigt, daß auch in diesem Fall die Interpolationssumme eine Verbesserung des klassischen Interpolationspolynoms darstellt. Weiter Beispiele befinden sich in [9],

Literatur

[1] BERESIN, I. S., und N. P. SHIDKOW, Numerische Methoden, Bd. 1—2. V E B

[2] [3] [4] [5] [6] [7]

Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970 bzw. 1971 (Übersetzung aus dem Russischen). DOETSCH, G., Handbuch der Laplace-Transformation, Bd. 1—3. Birkhäuser Verlag, Basel 1950, 1955 bzw. 1956. GELFOND, A. 0., Differenzenrechnung. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1958 (Übersetzung aus dem Russischen). ToH^apoB, B. JL, Teopiin iiHTepnoanpoBamiH n npnonii/KeHHH (JyHKqntt. II3A. 2, On3MRTriI3, MocKBa 1954. HAMMING, R. W., Numerical methods for scientists and engineers. McGrawHill Book Comp., Inc., New York 1962. KAUTZ, W. H., Network synthesis for specified transient response. Research Laboratory of Electronics, Massachusetts, Institute of Technology, Technical Report Nr. 209, Cambridge 1952. KUNZ, K. S., Numerical analysis, McGraw-Hill Book Comp., New York 1957.

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[9] MÄRZ, R., Interpolation mit Parameteroptimierung. Dissertation, TH KarlMarx-Stadt 1970. [10] MCDONOUGH, N., Matched exponents for the representation of signals. Dissertation, The Johns Hopkins University Baltimore, 1963. [11] MIKUSINSKI, J., Operatorenrechnung. VEB Deutscher Verlag der AVissenschaften, Berlin 1957 (Übersetzung aus dem Polnischen). [12] MLICOBCKHX, IL IL, JleKuim no MeTOjjaM BHEHHCJICHHH. OusMaTnia, MocKBa 1962. [13] PESCHEL, M., Grundlagen einer allgemeinen Theorie der linearen Systeme. TH Karl-Marx-Stadt, Sektion Automatisierungstechnik 1969. [14] PESCHEL, M., und R. MÄRZ, Behandlung zeitvariabler Glieder mit den Methoden der Interpolationstheorie, msr 11 (1969), 449—452.

[15] RICE, J. R., The approximation of functions. Addison-Wesley Publ. Comp., Reading (Mass.)-Palo Alto-London 1964. [16] STEFFENSON, J. F., Interpolation. Chelsea Publ., New York 1950. Manuskripteingang: 11. 3. 1971 Verfasser: Dr. rer. nat. ROSWITHA MÄRZ, Sektion Mathematik der Humboldt-Universität Berlin

Beiträge zur Numerischen Mathematik 1 (1974), 95-108

Ein Verfahren der nichtlinearen Tschebyscheff-Approximation ROSWITHA

MÄRZ

Aus einer Menge stetiger, von einer Anzahl reeller Parameter abhängiger Funktionen F(ai} . . . ,an, t) soll eine solche ausgewählt werden, die eine gegebene stetige Funktion /( | | Ä ( a 2 ) | j ist, U m die Abhängigkeit von den einzelnen Parametern, d. h., von den Komponenten «j, . . . , an von « 6 4 , besser zu kennzeichnen, schreiben wir mitunter l

jR(öj , . . . , a

n

, t) f ü r

R ( a ,

t).

S a t z 1. Ist die Funktion R{a, t) auf A tion || i?(a)|| auf A stetig in ct.

X /

stetig in a und t, so ist die Funk

B e w e i s . Wir betrachten eine Folge {a1} cz A mit dem Grenzwert lim a' = a* f A. Sei tl — t^. Wir bezeichnen weiter mit t* einen Häufungspunkt der Folge {t1}. Der Einfachheit halber behalten wir nun für die Unterfolgen {tl},tl-—>t* und {«/}, al i—• a* die alte Bezeichnung bei. Wegen der Stetigkeit von R(a, t) ist lim

R{al, t') = R{a*, £*).

E s muß nun noch gezeigt werden, daß | R{a*, t*) | = || Ä(a*)|| ist. Sei umgekehrt \R(a*, i*)| < L < ||i?(a*)|| für eine Konstante L. Für genügend große l ist dann auch | R(al, tl) \ < L. Sei nun {t1} eine Folge, die den Grenzwert ta, hat. Wegen der Stetigkeit von R (a, t) ist wieder lim !

R(al, ll) = R{a*, ta,)

• oo

u n d deshalb L < | R(al, il) \ für genügend große l. Insgesamt erhalten wir also f ü r genügend große l die Ungleichung

|R{al, t?)\ 0. Wird, ausgehend von CTi \8ai! l a°,a durch einen Newton-Schritt bestimmt, wobei die Strecke a°a1ganz auf 1 i A liegen soll, und ist R°R ¡> 0, so ist der Punkt a besser als a°, d. h., es ist 1*11 Be< w e i \R°\. s . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir R° > 0, dR l R >0 annehmen. Der Einfachheit halber setzen wir tl = t ,. Für — > 0 ~ ca, (o°,i0) 3RI c)It folgt aus (2) a\ < «•, f ü r — = 0 ergibt sich a\ = a\ und für - — < o va* |(o°,«") cai ist a\ > o", i = 1, . . ., n. Sei dR ü =1= 0. Wir betrachten R(a, t) für a£ a° aK Dort sind die Komcav (a ,i°) ponenten von a miteinander verknüpft durch die Relationen a l

«< = < + («i - ai) («Í - o?) (oj - o»)"i,

» = 2, . . ., n.

Ein Verfahren der nichtlinearen Tschebyscheff-Approximation

99

Setzen wir diese in R(at, . .., an, t) ein, so erhalten wir eine Funktion R(a-t, t). Auf a° ai x I gilt dann R(al, t) — , . . ., an, t), woraus

% - £ + S^1W -«a « -»!)-' = («!-

und a\ das gleiche Vorzeichen wie - —

ii) > R(a\, V) = RK

0, so wählen wir eine andere Komponente von a als unabca¡ hängige Variable aus, q. e. d. 1st
die Ungleichung

Dann

|| R(a) || ^ max ( | ü ° | , |Ä'|). Das Problem min || R(a)\\ ist eindeutig lösbar, man erhält die Lösung durch fortgesetzte Sekantenschritte. B e w e i s . Ohne Einschränkung können wir R° > 0, R[ < 0 voraussetzen. Genau wie in Satz 2 erhalten wir für die a auf a ° a J , in denen || ü(a)|| positiv realisiert wird, die Ungleichung || i?(a)|| < jR° und für die a auf a° a>, in denen || .ß(a)|| negativ realisiert wird, || R(a)|| < — RK Damit ist der erste Teil der Behauptung bewiesen. 7'

100

ROSWITHA MÄKZ

Wir bilden nun a 2 durch einen Sekantenschritt, a2 liegt auf a° a 1 und fällt nicht mit den Punkten a° und a l zusammen. Wird || R(a 2)\\ positiv realisiert, so ist R 2 < R°, und zwischen a° und a 2 sind alle Punkte schlechter als a2. Wird || i?(a 2 )|| negativ realisiert, so ist | R 2 | < | R 1 | und die Punkte zwischen a 1 und a2 sind schlechter als a 2. Wird || R (a 2) || gleichzeitig positiv und negativ realisiert, so werden, ausgehend von a 2 die Punkte auf a° a 1 nach beiden Seiten hin schlechter. Im letzten Fall ist a 2 Lösung des Problems min || R(a)\\, und zwar aeäw die einzige. Wird || R(a 2)\\ nicht gleichzeitig positiv und negativ realisiert, so geht der nächste Sekantenschrittt von a° und a 2 aus, wenn R° R 2 < 0 ist, von a 1 und a2 aus, wenn R 1 R 2 < 0 ist. Für das Ergebnis dieses Schrittes a 3 stellen wir die gleichen Überlegungen an wie für a 2 , usw. Wir erhalten entweder mit einem a m die Lösung, nämlich genau dann, wenn II -R(®m)ll gleichzeitig posititiv und negativ realisiert wird, oder wir bekommen eine unendliche Folge {a m}, die einen Grenzwert a* £ a° a l, a* =|= a°, a 1 hat und deren zugehörige || R(a m)|| entweder nur positiv oder nur negativ realisiert werden. Diesen letzten Fall wollen wir weiter untersuchen. Zunächst ist || R (a*) || íS | R m \ für alle m. Wir zeigen nun, daß || R{a*)\\ gleichzeitig positiv und negativ realisiert wird und deshalb Lösung unseres Problems ist. Verschwindet der Grenzwert der Folge { R m}, so ist diese Behauptung trivial. Sei || .ß(ei*)|| = lim | R m | > 0. Wir teilen die Folge {a m} in zwei Unterfolgen, so, daß die eine nur solche a m enthält, für die || i?(a m )|| positiv realisiert wird, und die andere nur solche a m, für die || R(a m)|| negativ realisiert wird. Beide Unterfolgen enthalten unendlich viele Glieder. Würden z. B. von einem Index m0 an alle || R(a m)\\, m m0, nur positiv realisiert, || R{a m~ i)\\ m negativ realisiert, so wäre a* = lim a = a m ~1. Wegen R{a m~\

lim i m ) =

7fl—* oo

m—*°o

lim R m ^ 0 Tft—too

würde || R{a m~ l)\\ dann auch noch positiv realisiert werden, was den Eigenschaften der Folge {a m} widerspricht. Beide Unterfolgen haben natürlich den Grenzwert a*. Als Grenzwert der zur ersten Unterfolge gehörenden Folge der R m wird || i?(a*)|| positiv realisiert, als Grenzwert der zur zweiten Unterfolge gehörenden R m wird || R(a*)\\ negativ realisiert, d. h., || j?(a*)[j wird gleichzeitig positiv und negativ realisiert, q. e. d. dR S a t z 4. - — existiere auf A X I, ivechsele nirgends das Vorzeichen, i = 1 , . . ., n. OCti Sei

JJ ( dJ^) 2 \oai!

> 0 auf A X I.

Ein Verfahren der nichtlinearen Tschebyscheff-Approximation

101

Durch einen Punkt ü G A legen wir eine Gerade G mit der Gleichung di — ä) _ _ _ _ _ a n — ä n K in der die b{ nicht verschwinden

und das gleiche Vorzeichen wie

haben, ca-i

i = 1, . .., n. Seien c und d solche Schnittpunkte der Geraden G mit der Grenze des Gebietes A, daß die Strecke c d ganz auf A liegt. Das Problem min ||i?(a)|| besitzt dann eine eindeutige aici

Lösung.

B e w e i s . Wir definieren R(at,

t) = R

(«! — ä,)

+ ä2, • . ., («i — äi) --

+ än, ¿j.

F ü r a £ c d ist R (ay, £) = R (a, t) und dR _

1

^ dB

dR Die Ableitung - — wechselt also auf [c,, X I das Vorzeichen nicht. C&i Werden ||i?(c)|| u n d || R (d) || mit gleichem Vorzeichen realisiert, so k a n n man wie in Satz 2 zeigen, daß f ü r alle a € cd,a

4= c, d die Ungleichung

\\R(a)\\>mm(\\R(c)\\,\\R(d)\\) gilt, d. h., die Lösung des Problems ist c oder d. Werden ||i2(c)|| u n d [|R(d)|J mit verschiedenen Vorzeichen realisiert, so können die Schlüsse von Satz 3 übertragen werden. Die Lösung ist dann der P u n k t a* auf cd, f ü r den ||i?(a*)|| gleichzeitig positiv u n d negativ realisiert wird. Die Eindeutigkeit folgt wieder aus den Monotonie-Eigenschaften der Funktion R(a, t), q. e. d. B e m e r k u n g e n . 1. Ausgehend von den obigen Behauptungen ist folgendes Optimierungsverfahren zur Bestimmung von a* möglich. Wir bestimmen a*, indem wir die K o m p o n e n t e af als Lösung des Problems min || R (a*) || bestimmen; die restlichen Komponenten von a* erhalten wir aus der Geradengleichung. Einen beliebigen Anfangswert a j € [c,, dt] verbessern wir durch Newtonschritte. N u n gibt es drei Möglichkeiten: a) Wir erhalten ständig neue a f € ( c I ; dj), für die R'"Rm~1 > 0 gilt. D a n n ist af = lim af u n d ||Ä(of)|| = 0. >n -* o o b) Wir erhalten ein a f , das auf der Grenze des Intervalls liegt u n d f ü r das RmRm~l ^ 0, Rm~l 4= 0 ist. I n diesem Fall ist a* = a f .

102

R O S W I T H A MÄRZ

c) Wir erhalten ein a"f € [c,, d^, für das RmRm~l ^ 0, Rm^ 4= 0 gilt. Wird die Norm ||Ä(a'")|| gleichzeitig positiv und negativ realisiert, so ist af = a'". Andernfalls werden die nächsten Näherungen durch Sekantenschritte gebildet. Wir bekommen dann af nach endlich vielen Schritten oder als lim a'". In jedem tu —• oo Fall wird |j 5(a*)|| gleichzeitig positiv und negativ realisiert. 2. Sei A ein unbeschränktes Gebiet, und zwar ein solches, daß a € G mit ai G , oo) auf A liegt. Satz 4 ist übertragbar, wenn lim R{ct \, t) stetig in t auf / ist. Dann ist entweder lim |] .ß(ö|)|| = oder es existiert

inf

||12(fl)||,

eine eindeutige Lösung des Problems

min . ||i?(a)||.

Das in Bemerkung 1 beschriebene Optimierungsverfahren ist hier direkt anwendbar, obwohl die Existenz der Lösung nicht von vornherein bekannt ist. Man muß dabei nur beachten, daß in der Verlaufsmöglichkeit a) af =

lim a™ < - f oo 1H — oc

genau dann, wenn || i?(a*)|| = 0 ist, und af = lim a"f = oo genau dann, wenn der Grenzwert der Folge { R m } nicht verschwindet. Damit ist aus dem Verlauf des Optimierungsverfahrens Lösbarkeit bzw. Unlösbarkeit des Problems erkennbar. Analoges gilt, wenn A ein solches Gebiet ist, daß av in (— co , oder in (— oo, oo) variieren kann. 3. Für beschränktes A ist zur Bestimmung der Lösung des Problems min || JB(«) || a£cd jedes andere Intervallteilungsverfahren anwendbar. 4. Verschwindet

V} ( - — ) aufder Grenze von A, so behält Satz 4 seine Richtiger? \ c a * ! keit. Das in Bemerkung 1 beschriebene Verfahren darf dann nicht auf der Grenze von A begonnen werden. 5. Ersetzen wir im Satz 4 die Bedingung J J ( - — ) > 0 durch -—J > 0 , ¿_i \cai / j = i \CUi \cai! / ¿ + »0 so können wir in der Geradengleichung bio = 0 zulassen. 6. Sei I eine beliebige Untermenge von I, I ± I, auf der

i = 1, . . ., n, Mi und R(a, t) gleichzeitig und für alle « £ A verschwinden. Sind alle Voraussetzungen des Satzes bezüglich A X (I\I) erfüllt, ist R(a, t) partiell nach a i , i = 1, . . ., n, differenzierbar auf A X I, so gelten Satz 4 und die obigen

Ein Verfahren der nichtlinearen Tschebyscheff-Approximation

103

Bemerkungen. Die Eindeutigkeit der Lösung folgt auch hier aus den MonotonieEigenschaften von R(a, t). Die Optimierung der P a r a m e t e r « [ , . . . , an auf der Geraden G bedeutet die Optimierung nur eines P a r a m e t e r s ci{. N u n liegt d e r Gedanke nahe, ein Optimierungsverfahren zur Lösung von Problem (1) ebenfalls mit Hilfe von Newton u n d Sekantenschritten zu gestalten. Einen Anfangswert a-° £ A verbessern wir d u r c h Newton-Schritte, bis wir E'"R'"+[ oo bzw. £ — oo vorausgesetzt werden. Im Anwendungsbereich des beschriebenen Optimierungsverfahrens liegen zum Beispiel folgende Approximationen: 1. F(a, t) = (ai + a21 + \-a„ t")"' mit (a, + a21 + • • • + aj")'1 Hier existiert nach [7] eine eindeutige Lösung von (1); 2. F(a, t) =/(0)

+ £ (D + «,)••• i-2 wobei D der Differentialoperator ist; 3. F(a,t) = f(z,)+

(D + «.•_,)/,',_„

^£>0.

* • • • * e'ai',

¿(1

+«,(.t!,.1 - ^ ) ) F i F i • • • F . / i , . ^ J O f — ' f ^ H « ' j = 1 1 ' aj\l Xi> vorgegebene Stützstellen sind und

1 = 1

wobei xl: . . . FM*)

=

g{x)

- g { ? e t ) + * 1; a[y l = 0(1) n, seien komplexe Zahlen, a0 4= 0.

1.1. Ein iteratives Verfahren gemischter Strategie zur Nullstellenbestimmung Polynomen f(z) 1.1.1. Verfahren nach

von

SZMELTER

Ausgegangen wird von dem globalkonvergenten Verfahren nach S Z M E L T E R [10], E s ist ein Suchverfahren auf der Betragfläche von f(z) u n d benutzt die folgende grundlegende Eigenschaft: Kritische P u n k t e der Betragfläche von f(z) sind höchstens Sattelpunkte. Der Konvergenzgrad bei diesem Verfahren ist im Lokalen = z(i) + x(i) =2*a; "

(i)

= (— 0.08 + i * 0.24) *

mit der K o r r e k t u r : x sonst:

x

(i

1)

(1.1.1.1)

(i)

)

falls

w

|j/(z )|| < ||/(z

(

ßt .

=

eM —

idl ,

und 1

*

00

id

mit c ^

=

^

f g

-i

(9)

dd,

CM

=

n

f g

J

_

( 0 ) E™ d&

(V ^

1)

(25)

bedeutet. Die im allgemeinen komplexen Konstanten y sind durch die Regularitätseigenschaft von F(z) eindeutig bestimmt durch m

y„ = 1 7 { * « , . +

(i»=i,2,...,f»),

(26)

was sich durch Einsetzen der Potenzreihe (22) in Gleichung (23) nachweisen läßt. Die als Lösung der Differentialgleichung (23) eindeutige bestimmte Lösung F (z) besitzt folgende Eigenschaften: F(z) ist im Gebiet \z [ > 1 regulär mit F(oo) = A0 ; F (z) ist auf dem R a n d des Einheitskreises | z | = 1 durchweg stetig;

z F'(z) genügt f ü r 1 < \ z\ < 1 -f e mit s > 0 der Ungleichung 1 ) \ z F ' { z ) \ ^

M

x

ln(l — |Z|-i)-i.

Wegen Gleichung (21) und der Relation z F ' { z ) =

folgt,

r4~')G(z)+ 27 (yftz" + yIIz-") + G0(z), (33) die mit Hilfe einer Iterationsfolge {Gx(z)} in folgender Weise gelöst wird: Ausgehend von GM (z) = G0(z) (34) F - I

I

M

v

M

wird sukzessive

GV+'Hz) = k/i-i* 27 {(ß„ - «„) z" + } I

71

m

- 2 7 (ß,^ + ß^-")Gm(z) M-I M

+ 27 (y?1

z

"

-

R

[

?

+

= o, I, . . . )

(35)

mit S tou

ka + {V \ + vZ'U)ß>1

r^

/i

(p = l , 2 , . . . , m )

(36)

128

E R I C H SC HINCKE u n d E L K E

GRUHNE

berechnet. Dabei sind die Koeffizienten C[ ;| aus 00 G

w

(z)

C[vl]z~v

£

=

(37)

r=Ü zu entnehmen. Daß eine Entwicklung (37) für alle A im Gebiet \z \ > 1 gilt, erkennt man, ausgehend von Gleichung (24), durch vollständige Induktion. Dabei werden insbesondere durch die Koeffizienten y^1 in der Form (36) von vornherein alle in G IA+1] (z) auftretenden Potenzen von z mit positivem Exponenten eliminiert.

5.

Konvergenzbetrachtungen

F ü r den Nachweis der Konvergenz der Iterationsfolge {(r w (z)} betrachten wir die mit lim Gw(z) äquivalente Reihe (z) +

- G[AJ(z)}

(38) A=0 und schätzen zunächst (?[0'(z) ab. Mit Hilfe der aus Gleichung (25) folgenden Ungleichungen ¡C,[01j ^ 2 M2 {V ^ 1) (39) 1(7^1 ^ M2> ergibt sich im Bereich \z\ S: q > 1 Gm

{&x+lHz)

f j

°°

|£ [0] (z) 1 ^ 2 v=o

°° 1

Z

II

9

M

^ 2 M2 2 7 ~ = 1 r ^ h ^-o

S

S

=

(40)

Eine Potenzreihenentwicklung von Gleichung (35) mit Hilfe der Gleichungen (24) und (37) liefert durch Koeffizientenvergleich —

fW]

_

_

yr

ka.ll + (y + /j.)ßß

f r kcLu + k + fl = v

i f i - v ) ^

Damit gewinnt man die(..#0) Abschätzung | c f + i ] _ C[A1| ^ r A + 1 2 J f 2 , so daß für

\z\

3;

_

y-7 kc//' + (v - n]ßß

w

fr-v)

*

'

'

(42)

q 00

[ö[i+i] (Z) _ ßW ( 2 ) i 5g y

I rfW+l]

,

_ cn[X] |

- ' ^ T^l

2

= TA + 1 J f 3 (43)

folgt.

Potentialtheoretische Lösung eines ebenen Spannungsproblems

129

Daher konvergiert die Reihe (38) im Bereich \z\ ^ o gleichmäßig, und lim

oo

G

{ z )

w

=

(44)

G(z)

stellt nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatz im Gebiet \z\ > 1 eine analytische Funktion dar, die im unendlich fernen Punkt beschränkt ist. Mit Hilfe der Potenzreihendarstellung oo G(z)

=

£ C , z - ' y= 0

(45)

und der auf Grund des Weierstraßschen Doppelreihensatzes für alle v bestehenden Relation =

+

(C,[,A+1] - C M )

,1 = 0

(46)

ergibt sich durch Einsetzen von Gleichung (35) in die Reihe (38), daß die durch Gleichung (44) erklärte Grenzfunktion G(z) im Gebiet \z | > 1 der Integralgleichung (33) genügt. Wenn auf beiden Seiten der Gleichung (33) der Ausdruck oo

-"¡iß* J

r\

addiert wird, folgt bei Beachtung der Identität

( oo

,

oo

'

2

Z

daß die Funktion F(z) in der Form (31) der Differentialgleichung (23) genügt. Bilden wir dann analog zu Gleichung (31) die Funktionen FW(z)

=

z? J ^ ^ - d r j

(A =

0 , 1, . . .),

(48)

z

so wird R e { F

w

{ z ) }

=

(pm(r,$)

(49)

nur dann für hinreichend große X eine Approximation der gesuchten Potentialfunktion

0

Das bedeutet aber, daß die Abschätzung |.F[0] (2) | ^ M r>

(55)

auch noch für | z | = 1 gültig ist. Für die Differenzen

ergibt sich entsprechend {z)

_

F l »

{z)

z*

=

f r f

i k +v

v-0 und mit Hilfe der Koeffizientenrelation (41) gewinnt man die Abschätzung i 27

- C« I (57)

k + v

v = 0

K

+

V

wobei f durch Ungleichung (20) erklärt ist. Damit folgt aber die für \z\ = 1 gültige Abschätzung | F

u + i ]

( z )

-

J W

( z )

\ ^

f

i + 1

M

s

( 5 8 )

und wegen f < 1 nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatz die gleichmäßige Konvergenz der Reihe (50) für |z| = 1.

6.

Anwendung des Iterationsverfahrens

Für eine numerische approximativ zu berechnende Lösung

0 ist, muß 9(r,

&) = —

/.,

s €

(3.6)

8i

und hieraus, wenn man noch die entsprechende Darstellung im Intervall I i _ L beachtet und Stetigkeit von y' für s = si gefordert wird, D2

y< = U 11

i ° i - M > o

Ui_i

»"(o

d t

-

T

«.

q

' M >

l

) *"(*)dt) •

J

(3-7)

Speziell für die Lösung x der Differentialgleichung (1.1 a) gilt also mit x (s^ = x. D2x t = Fi{x,£),

i = 1(1) » — 1,

(3.8a)

wenn Ff (x,x)::=

11

f Gi 'st- 1

d

(ä{, t) f (t, z (t), x (t) ) d t - J gi

l

O'f (sp t)/(t,x(t),x

(t)) dt j '

ist. Für stetige Funktionen y, y, die im weiteren insbesondere durch stückweise lineare bzw. kubische Interpolation entstanden sein können und die somit in /j zweimal differenzierbar sind, folgt mit Taylorentwicklung von / Fi(y,y)=f(si,yi,yi) + R ^ y h

(3-9)

wobei

+ ¿ ¡ m a x |/" (s, y(s), y(a)) \ + max \/" (s, y(s), y(s)) \) «e/j J

(3.10)

abgeschätzt werden kann. Es bedeutet /' (s, y, y):= df (s, y(s), y(s))/ds; die angehängten Zeichen + oder — deuten auf rechts- bzw. linksseitige Ableitungen hin, die infolge der erwähnten stückweisen Interpolation durch Unstetigkeiten der Ableitungen von y, y bei si verschieden sein können. An dieser Stelle sei vermerkt, daß auch die Funktion / und deren Ableitungen an den Stellen s{ (i = 1(1) n — 1) Sprungstellen besitzen dürfen. Dann ist F i ( y , y) = \ (/(Si, yit y%)+ +M,

Vi, &)") +

y),

Fehlerabschätzungen bei Differenzenverfahren

141

u n d das Restglied Rt ist von der Ordnung 0(h). Ist / in ganz [a, ß] stetig differenzierbar, so ist R bei bestimmten Eigenschaften von y, y von der Ordnung 0(h*) (vgl. die F u ß n o t e 2 auf S. 143). Aus (3.6) folgt entsprechend +1

F{{x,x)

bzw.

(3.11) x

( 5 i+i) — :

1

mit Fi(y, 9):=-

JG¡ («i. 0 / (t, y{t), y(t)) dl =

Vi,

yt) + Ri(y,

y),

H+ 1

Ft(y,y)-=

f

G¡(si+l,t)f(t,y(t),y(t))dt

= 2

i'

1'

+

(3.12)

(V'

Dabei kann Ri(y,y)\

h? áfi-max I

|Ä?(y,y)|

A2

f(a,y{s),y{8))\ (3.13)

• max |/' «e/j

£(«))!

abgeschätzt werden. Ergänzt man die Differenzengleichungen (3.8a) durch die Randbedingungen Ui[x,x]=Al,

ü2[x,x\

=

A2,

(3.8b)

wobei x( tk)Fk(x> £)> ¡6 = 0 wobei noch F0: = F0/h und Fn: = F*_Jh bedeutet. Werden die x{ (i = O(l)w) aus (3.14) linear interpoliert, so ergibt sich unter Beachtung der Linearität von gund G x

i = 9i+

»,(«) = 0(«) +

k=0

(3.15)

¿JhO(a,tt)Ft(x,£)

u n d mit (3.4) x(8) = xi(a)+

'i+1 f Gi(s,t)f(t,x{t),x{t))dt,

sEI,.

(3.16)

142

H A R T M U T SCHÖNHEINZ

F ü r die Ableitung x der Lösung von (1.1) folgt mit x" = f {s, x, x) die Gleichung »i-rl / Gi(s,t)f n

£(«)=*,.(*)+

{t,x{t),x(t))dt,

s€Jt.

(3.17)

x^s) ist wieder die lineare Interpolationsfunktion der Werte x i , x i + 1 : =

-

F M , *)] +

+

F

?{x>

£ )

] •

Durch die rechten Seiten von (3.16) und (3.17) ist für s £ Ii eine solche äquivalente Darstellung des Operators % aus (2.7) gegeben, die sofort eine Abschätzung des Defektes % u — t> ermöglicht. Hierbei ist zunächst zu beachten, daß man das Gleichungssystem des gewöhnlichen Differenzen Verfahrens (3.1) aus Gleichung (3.8) erhält, wenn dort in den gemäß (3.9) und (3.12) für F, F und F* gegebenen Ausdrücken die Restglieder R, R und R* vernachlässigt werden. Die stetigen Funktionen u(s) — u^s), ü(s) = ü^s) bzw. v^s), v^s) werden analog zu xi(s) und x^s) durch stückweise lineare Interpolation aus ui, , vi und vi gewonnen, wobei nur vi (.•>•) und i\(s) explizit angegeben werden sollen: *,.(«) = ^ T " - ( \ _ ~

Vi(S)

+!_ h

1

+ S

\Vi+l ~Vi l h

+1

= g(s) + 27 hG(s, t k ) f k ,

h f1 I 5 2h\+~h~[

_

«if^i+i — Vi I h / ti h +2

1 J-

+1

Erklärt man noch die stetigen Funktionen v und v durch s ;+i »(«) = »,(«) + / Gi{s,t)f(t,u{t),ü(.t))dt, s i »i+i V (S) = v^s) + f Ot(8, t)f (t, u(t),ü(t)) dt H

(3.18)

im Intervall /¿, so erhält man demnach w: = T(u, ü) - v = g(s) + £ hG(s,tk) k=o

Fk(u,ü)

g(s) + EhQ{8,tk)fk+ k=0 = £hG(s,tk)Rk(u,ü), k- 0

+

]iGi(s,t)f(t>u,ü)dt

8j "¿+1 f G^s, t ) f ( t , u, ü) dt

(3.19)

wobei noch R0(u,ü): = R0(u,ü)/h und Rn(u,ü): = R*_ t (u,ü)/h gesetzt wurde. Die zunächst nur für s € erhaltene Gleichung (3.19) für den Defekt w ist im gesamten Intervall [a, ß] gültig.

Fehlerabschätzungen bei Differenzen verfahren

143

Für die zweite Komponente wi des Defektes ergibt sich mit (3.17), (3.18) und der Abkürzung Vi+i—Vi Ui+I—Ui e„-: = h die Beziehung wi = T (u,ü)

—

v

( e , + £ , ( » , « ) ) + i - r f L ( C i + 1 + Ä? ( » , « ) ) . (3.20) h Zur Angabe von Schranken für den Defekt to werden die folgenden Konstanten eingeführt: = :d¡'\

max —f(s,u(s),ü(s)) sei ¿ f(si>

u

p «¿)+ — f(si>

M

i = 0 ( 1 ) » — 1,

¿ > ¡ = : h c,., i)

1 r1 (1) 6hd° '

i = 1 (1) n -

i = 0, (3.21)

d, : = 1

f

1,

](»

i = n, i=0(l)»-l.

Damit gilt wegen (3.10), (3.13) I £ » ( « , « ) I ^ A2 I «) I ^ I ( « , « ) I ^ A2 4 . so daß aus den Gleichungen (3.19) und (3.20) (w(s) und w(s): = »¿(s) für s€/,sind stückweise lineare Funktionen) die Abschätzung »|| ^ ( A 2 - m a x ¿h\G(Si,tk)\dk, \ i = 0(l)«t = 0

max (max (| e,|; | ei+l 1-0(1)«-1

|) + V ät) (3.22)

angegeben werden kann. 2 ) ) Ist/(s, y, y) im Intervall [a, ß] stetig nach den Argumenten s, y, y differenzierbar, so gilt J

/' (sí, mi,üi)+ — f(si,Ui,üi)2

= h (/„(st, m,Mi) DUi -f fü (Si, Ui,üi) D2 w¡).

) Es sind d(¡ und dn von der Ordnung O ^ j , di(i = 1(1) n — 1) von der Ordnung

O (1); wegen ¿ h | G (st, tk) | dt = | G (sí , t0) | • hdo + | G (st, tn) | • h dn + n¿ \ | G (Sf, tk) | du k-0 i-1 und n h == 1 ist also insgesamt die erste Komponente der Schranke von tü von der OrdnungO (A2). Über die Summanden mit d0 und dn werden in (3.22) die bei der Approxi-

144

HARTMUT SCHÖNHEINZ

Die im Vergleichssatz außerdem benötigte Größe || u — Ö || ergibt sich wegen (3.18) und / + 1 | || u -

f) | dt ^ — zu 8

ö II ^ ( max

(max [| ui+l - vi+i |; | «< -

cZf1] ,

vt |] + ^

\i = 0(l)n-l ^

o

. m a x , jmax [| üi + i - »(+1|; |

j

- vt |] + ^ - ¿ ( » j j .

(3.23) Durch (3.22) wird der charakteristische Fehler des Differenzenverfahrens erfaßt; die Größen e i rühren von der iterativen Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems (3.1) her. In (3.23) geht der eigentliche durch das Iterationsverfahren hervorgerufene Fehler sowie der beim Übergang zur stetigen Näherung ü auftretende Interpolationsfehler ein. Über (2.4) ist damit die endgültige Abschätzung || j — ö || ||) wegen der im Vergleichssatz schranke b = ( $ — geforderten Eigenschaften von schwächeren Einfluß als der Defekt hat, können sich hier Verbesserungen der Fehlerschranken gegenüber [7—12] ergeben. Erwähnt werden soll, daß mit (3.18) die Funktion tt prinzipiell angegeben werden kann, daß aber insbesondere für die Lösungen vi = v (.s^, = v (sj des Differenzengleichungssystems (3.1) die Abschätzung (I - « i U «i II s - b II ^ ( M ) gilt. Anstelle von (3.18) kann auch die hieraus folgende numerisch einfachere stückweise kubische Interpolation verwendet werden (vgl. auch (4.4)): » (a) = vt(s) -

{Si+1

~^S

~Si)

{(ai+ 1 + h - s ) f i + ( s + h - «4)/i+ J; (3.24)

hierbei gilt für s £ | v(s) - « (1) (s)| g

max

Analog kann i (1) (s) erklärt werden. Dann folgt unmittelbar

«i"

»4 + m SSfP-1 + SS."y)- = / ' ^ ( v i . o r (f.

(4.18)

dt,

» ( 0 ) dt,

und nach elementarer Rechnung bestätigt man die Abschätzungen Ä3 I

I

y) I ^ i s ö i r ' K '

y) I ^

I Rf ( y , V) I ^

&i)+ -f"'(*i>

+

29 ~9««n 2 Z ÖÖU

11

T7 o2 0t V 2

»er,- I /"'(*, y, Sf) I,

' JZU^

A4s6Ij max I / " ' («, y, jf) |.

11

2

fe4(max ȣ/{-1

Vi, Vi)-1

«e/j

l^^y.i)!

(4.19)

Nach Anwendung des Hilfssatzes aus Abschnitt 2 auf (4.16) und linearer Interpolation der xi (analog zu Formel (3.15)) ergibt sich bei Beachtung von (4.10) für x(s) die Darstellung *(«)

= g(s) -

+ J? hO(a, k=o

tk) ( B f ( s h , xt, xk) + Rk(x,

£))

»¿+i

X i

(4.20)

( x , x ) + f Hi(s,t)f"(t,x,x)dt dr ds

*) Es bedeutet wieder fir)(s, y(s), y(s)) : = ——f (s, y(s), T

y(s)).

Fehlerabschätzungen bei Differenzenverfahren

151

mit (si + t -s)(sSi) 12 h + (h + 4(s - *+ l(x,y(z))\

sup xe[x0 ,xp

(2.3)

erfüllt, in der Form V OVi) =

ex

P { % h) |y{xp) + hf

( P e x ( i ) - Ä p ) e x p ( - ä p h t ) di] + Ä *

_ cf (xp, y (xp)), 5 "v — Cy

darstellen. Dabei ist

(2.4) i

R* = e x p ^ h) h J Rp exp(— äp h t) dt. o

(2.5)

Mit (2.1) und (2.3) ergibt sich für R * die Abschätzung \R*p\ ^ exV(äp

h) h' +2 Vp) ci(°p

+ Äi+

ÄJ, (2.10)

wobei zur Abkürzung p 1 = 1JK e,+l(äp V=1

h) - b, er+l{ap

(2.11)

h)

gesetzt wurde. Ordnet man die Koeffizienten bv bzw. 5„ nach den Funktionswerten / (x^ yt) bzw. f (xt, yixj), K = Z! < /(*.•» Vi), i=0

(2.121

K = £ < f (xit y(xt)), ¿=0

so folgt p p * = U ZJ cri{ev+i(äph)[f(xi,y(xi)) v= l i=0

- fiXi'Vi) - äpiyixj

- y{)]

+ if(xi> Vi) - äp Vi] ev+i(äp h) ~ [/(«

-

a

P

(2.13)

Vi\ eP+1 (ap h)},

und daraus ergibt sich mit (2.1) für l die Abschätzung ¿\c*vi\ev+l(Kh) [K\Bi\ +L]. (2.14) v = l ¿=0 Nach (2.10) erhält man wegen | f(x,y)\ 52 M und mit (2.1) und (2.13) die folgende rekursive Fehlerabschätzung: IV! | ^ | e, I [1 + hKe^Kh)]

+ 2 h • Me, (Kh)

+

hC+\R*\,

wobei die Konstante C gleich der rechten Seite der Ungleichung (2.14) ist. Ist speziell ßo = £ i = " ' • = S = °> d. h., sind die vorangehenden Punkte fehlerfrei, so folgt aus (2.10) mit (2.13) £P

+I

=

BP-

Die Fehlerschranke für den Näherungswert yp+l die Größenordnung hp+2.

11

Numerische Mathematik 1

hat nach (2.7) demzufolge

162

3.

KARL

STREHMEL

ALGOL-Programm

D a s folgende A L G O L - P r o g r a m m gibt eine Möglichkeit zur Realisierung des beschriebenen neuen Verfahrens an. Sein N a m e N E V soll an „Neues E x t r a polationsverfahren" erinnern, procedure NEV(x, y , f , f i , xe, ye,fe, FK, FKy); array a:, y, / ; Boolean fi; real procedure FK, FKy, real xe, ye, fe; comment NEV f u e h r t einen Integrationsschritt mit den Anfangswerten x[i], y [i] u n d / [ i ] (i = 0, 1, 2, 3) aus, das die Ergebnisparameter xe = x[3] + H, ye, fe liefert. Wird der logischen Variablen fi beim E i n t r i t t in das P r o g r a m m der W e r t false zugewiesen, so liegen an den aequidistanten Stuetzstellen x [i] die Funktionswerte f[i\ vor, im anderen Fall werden sie im P r o g r a m m berechnet. W e n n die Funktion y (x) an mehreren P u n k t e n verfuegbar sein soll, beginnt der wiederholte Prozeduraufruf s t e t s mit fi = true. Die Zahlenwerte zur Berechnung der Funktionen eO, ei, e2, e3 u n d e4 sind f ü r eine neunziffrige Zahlenlaenge b e s t i m m t ; begin real H, m, eO, ei, e2, e3, ei, ap; integer i; array : 3]; if fi t h e n begin for i : = 0 step 1 until 3 do end H := x[l] - x[0]; ap FKy(x [3], y [3]); for i : = 0 step 1 until 2 do »[*] : = / [ * + 1] - ap X y[i + 1] - f[i] + ap X i/fi]; v [ 3 ] : = m - a p x i/[3]; v [ 0 ] : = «[1] — «[0]; e[l]:=»[2]-t>[l]; w[0] : = — «[0]; m : = ap X H\ if abs (m) < .5 then begin e4 : = .25 + m X (.05 + m X (.05/6 + m X (25 10 — 3/21 + 7ii X (25 J0 - 3/168 + mX(25 1 0 — 3 + m x 2 5 1 0 - 4J/1512)))); e3 : = 1/3 X (e4 x m + 1); e2 : = .5 x (e3 X m + 1);

Ein neues Differenzenschemaverfahren

163

e l : = e2 X m + 1; eO:= el X m + 1 end eise begin eO: = exp(m); el : = (eO — 1 )/m; e2:= (el — 1 )/m; e3: = (2 X e2 — 1 )/m; e4 : = (3 x e3 — l ) / m end; xe: = x[3] + H; ye: = i/[3] x eO + H x («[3] x el -f («[2] + 1/2 X w[l] + 1/3 X «[0]) X c 2 + 1/2 X (v[l] + v{0]) X e3 + 1/6 x ü[0] x e4); fe:= FK (xe, ye) end NE V

4.

Numerische Ergebnisse

Es werden einige Beispiele mit explizit bekannter Lösung betrachtet, die alle nach dem gleichen Schema aufgebaut sind. Eine Testdifferentialgleichung y' == f(x, y) wird vom Anfangspunkt x0 = 0 , y0 ~ 0 unter Zugrundelegung verschiedener Anfangsstücke xi, yi (i = 1, 2, 3) mit Hilfe der im Abschnitt 3 angegebenen Prozedur bis zu einem Endwert xE integriert. Die Ergebnisse werden mit denen des Adamsschen Extrapolationsverfahrens (AEV) verglichen. 1 B e i s p i e l 1. y' = y +1 exp (10) - 1 exp (x) — 1 xE = 10, y(xE) = 1 E x a k t e Lösung: y exp (10) - 1 ' h .100000000 .100000000,o + 1 200000000, „ + 1

NEV .1000000001U + 1 .100000004 JO + 1 .999999997

AEV .999710286 .629926683 .425817646

B e i s p i e l 2. y' = y ' H+ exp (10) - 11 E x a k t e Lösung: y = exp (x) - (x + 1) . xE xE = 10, exp ( 1 0 ) - 1 1 ' NEV h J00000000 l ( j + 1 .100000000 .999999997 ,100000000 m + 1 .999999997 .200000000, o + 1

y(xE) = I AEV .999710155 .629758559 .423891341

164

K a r l Strehmel

B e i s p i e l 3. y' = —0.5y + 1 — 7x + 0.818311457 x2 Exakte Lösung: y = e^ —0.5 x) — 7e2 (—0.5 x) • x2 + 0.818311457 e3 (— 0.5 x) • x 3 ; xE = 10, y{xE) = 1 h

NEV

AEV

.100000000

.999999953

.999996634

.00000000010 + 1

.999999917

.442287518

,2000000001C) + 1

.999999919

.33060342310 + 1

B e i s p i e l 4. y' = 0.5 y + 1 — 0.5 x + 10"4 x 2 — 0.879312187 • 10~3 x 3 Exakte Lösung: y = e t (0.5 x) x — 0.5 e2 (0.5 x) x2 + 10" 4 e:t (0.5 x) x'-* — 0.879312187 • 10"» e 4 (0.5 x) x< xE = 10, y{xE) = 1 h

NEV

AEV

.100000000

.999999740

.100011996lö + 1

.IOOOOOOOOjo + 1

.999999824

,14147461310 + 1

,20000000010 + 1

.999999943

,24096754010 + 1

Diese vier Beispiele werden, wie zu erwarten war, von dem neuen Extrapolationsverfahren exakt integriert. Die Abweichungen in den letzten Ziffern sind auf Rundungsfehler zurückzuführen. B e i s p i e l 5. y' = cos2«/ Exakte Lösung: y = arctan x; xE = 10, y(xE) h

NEV

= 1.47112767 AEV

.100000000

.147112891 J0 + 1

,14711290010 + 1

.lOOOOOOOOjo + 1

,14722127810 + 1

,15118923410 + 1

.2000000001C + 1

.13305685410 + 1

,19227751010 + 1

V o n beiden Verfahren wird diese Differentialgleichung nicht mehr exakt integriert. Für die Schrittweite h = 0.1 liefern N E V und A E V annähernd die gleichen Näherungswerte. Dagegen beträgt für die Schrittweite h = 1 der Fehler des Näherungswertes i/(10) beim N E V 0.07% und beim A E V 2.77%. Für die Schrittweite h = 2 ergibt sich beim N E V für den Näherungswert 2/(10) ein Fehler von 9.6% und beim A E V ein Fehler von 30.7%B e i s p i e l 6. Das Fehlerintegral =

/ e x p ( - f 2 / 2 ) dt. y2 7i o

Setzt man ,/n

2/(x)=J_^-exp(x2/2)0(z)

X = exp(a;2/2) / exp (— i2/2) dt

(4.1)

Ein neues Differenzenschemaverfahren

165

(vgl. [4]), so genügt y(x) der Differentialgleichung y' = xy + 1. An der Stelle xE = 3 ergibt sich nach (4.1) y{xE) = .112515152 • 1(R Das N E V und das AE V liefern folgende Näherungswerte: h

NEV

AEV

.IOOOOOOOOJO — 1

.112515102, 0 + 3

.112515007 JO + 3

.150000000)1) — 1

.112514903)0 + 3

.112514434 J0 + 3

.100000000 .112222134)0 + 3 .111646658 J0 + 3 Die exakte Lösung läßt sich nicht mehr durch elementare Funktionen explizit darstellen. F ü r die Schrittweite h = 0.1 erhält man mit dem N E V bereits drei gültige Ziffern. Weitere Beispiele mit explizit bekannter Lösung zeigten, daß das Neue Extrapolationsverfahren wesentlich vorteilhafter ist als das Adamssche, wenn die Funktion / (x, y) von (1.1) fast linear ist.

Literatur K . , und P . R I E D E R , Ein neues Runge-Kutta-ähnliches Verfahren. Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik 9 (1968), 83—96. [ 2 ] COLLATZ, L., Numerische Behandlung von Differentialgleichungen. SpringerVerlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg 1955. [3] P O L O S H I , G. N., Mathematisches Praktikum, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1963 (Übersetzung aus dem Russischen). [4J W A N N E R , G., Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen, Bibliographisches Institut Mannheim-Zürich 1969. [1] NICKEL,

Manuskripteingang: 25. 5. 1971 Verfasser: Dozent Dr. rer. nat. K A R L S T R E H M E L , Sektion Mathematik der Martin-LutherUniversität Halle-Wittenberg

IVeitriige zur Numerisehen Mathematik 1 (1971), 167-179

Einschließungsbereiche von Sattelpunktstrennkurven J O H A N N E S THOMAS - )"

1.

Einleitung. A l l g e m e i n e Theorie

Betrachtet wird das autonome Differentialgleichungssystem v—0

v=Ü

wobei die Funktionen /„ (x), gr (x) in einer Umgebung von x = 0, etwa für i x \ ^ X in absolut konvergente Reihen nach Potenzen von x mit reellwertigen Entwicklungskoeffizienten entwickelbar sind: / , (*) = £ /„, n=0

9, (x) = £ g„ X"; n= 0

/„„ g„ reell,

\x\ £ X.

(1.2)

E s sei /oo — 9oo — 0 u n d außerdem fm 9IÜ > / J O GFOI S O W I E (/IO — 9oL)2 > —

4 /OI

9m-

Unter diesen Voraussetzungen ist der Ursprung der kartesischen x, y-Ebene f ü r die Phasenkurven von (1.1) bekanntlich ein Sattelpunkt in dem Sinne, daß durch ihn zwei Phasenkurven mit jeweils bestimmter Tangentenrichtung hindurchgehen und alle übrigen Phasenkurven an ihm vorbeigehen. Die durch den Sattelpunkt gehenden zwei Phasenkurven, die Sattelpunktstrennkurven genannt werden, haben im Ursprung der x, «/-Ebene Steigungen m, welche die Wurzeln der Gleichung fm m'1+(fi0

— g0i) m — gU) = 0

(1.3)

sind. Das Vorhaben der vorliegenden Arbeit ist es, f ü r eine durch den Ursprung des x, i/-Systems gehende Sattelpunktstrennkurve einen Bereich der in Abb. 1 schraffiert gekennzeichneten Form derart anzugeben, daß die Sattelpunktstrennkurve in diesem Einschließungsbereich durch den Koordinatenursprung hindurchgeht. Ein Einschließungsbereich wird durch die Gleichung seiner

168

J O H A N N E S THOMAS

Begrenzungskurven gekennzeichnet werden. Dabei werden die Fälle behandelt werden, bei denen diese Gleichung durch Lösung einer algebraischen Gleichung bis zum vierten Grad erhalten wird und somit nur elementare Funktionen enthält. /

Ì

/

Abb. 1

Es ist offensichtlich, daß die Bestimmung der genannten Einschließungsbereiche eine große praktische Bedeutung hat. Es hat nämlich dann, wenn im Phasenraum die Bewegung längs einer Sattelpunktstrennkurve vermieden werden muß, ein Einzugsbereich dieser Kurve den Charakter eines „Gefahrenbereiches". Im folgenden ist m eine der beiden Wurzeln von (1.3). Nachstehend wird angenommen, daß m eine positive Zahl ist oder verschwindet. Wenn die fixierte Wurzel von (1.3) negativ ist, so setze man entweder x = —| oder y = — rj; das System (1.1) übergeführt, und im Ursprung des Wenn die fixierte die Funktionen/,

wird durch diese Substitutionen in ein ebensolches System die Steigung der betrachteten Sattelpunktstrennkurve hat i/-Systems bzw. des x, ^-Systems einen positiven Wert. Wurzel von (1.3) von unendlichem Betrag ist und außerdem {x), g„{x) Polynome sind, so wird, wenn man

x = V> V = f setzt, das System (1.1) in ein ebensolches System übergeführt, und die Steigung der betrachteten Sattelpunktstrennkurve hat dann im Ursprung des f, rjSystems den Wert Null. Da die betrachete Sattelpunktstrennkurve im x, y-System bei x = 0 die Steigung m hat, ist es naheliegend y = m x + xz

(1-4)

zu setzen. Die Einsetzung von (1.4) in die aus (1.1) hervorgehende Differentialgleichung

Einschließungsbereiche von Sattelpunktstrennkurven

169

führt (1.5) in eine Differentialgleichung für z als Funktion von x über, wobei ein Potenzreihenansatz z = z(x)

möglich ist. Wird

= ¿cvx"+> v =0

(1.6)

oo

Z{X) = 2JCvx>+i

(1.7)

i>=0

mit C r ^ \ c , \ (v = 0 , 1 , 2 , . . . ) gesetzt, so ist für den ¿'-Bereich, auf dem die Reihe (1.7) konvergiert, durch die Gleichungen y =

Y (x) = x(m

±Z(\x\))

(1.9)

ein Einschließungsbereich der Sattelpunktstrennkurve gekennzeichnet. Die Ermittlung von Z (x) für x > 0 geschieht nachstehend nach einer Methode, die in [1], S. 64, empfohlen wird. 1 ) Die Substitution von (1.4) in (1.5) ergibt die Differentialgleichung Q Z (gv (x) — mfv (x)) x' (m + 2Y

= —

p

Efv(x)

(Q = m a x ( p , g ) ) ;

(1.10)

x" (m + z)

r

v-0

berücksichtigt man (1.2), so erhält man 7

X

dx

« =

.

Z

(),...,oo

(gnv-mfm)x>l

+

"(m + zY

»> = (),. ..yQ

1- Z

Z n =

fnv xn+v

(m + z)v

o,...,c>o

V =(),.. ,,p =

(9i0 - (/)0 - 9oi) m - fm mn-) x + (g 0 l - m/ 0 ] ) x z + • • •

* (/io + ™/oi +/oi 2 + • • 0 Die Punkte am Schluß des Nenners und des Zählers des letztgenannten Bruches kennzeichnen Summanden, die x mindestens in erster bzw. zweiter Potenz als Faktor enthalten. Es ist (/io + »»/oi) (SToi — mfoi) = — (foi ™2 + (/io — 9oi) ™ ~ 0jo)/oi + (/jo 001 — /oi 9io) = 0 + (/io 001 — /oi 9io) > 0. Aus diesem Grunde sind / , 0 + m f0l und g0l — m f(n von Null verschiedene Zahlen ungleichen Vorzeichens. Mit Berücksichtigung von (1.3) kann man dx

/,„ + m/01

+/oi z + • • •

*) Gemäß (1.9) wird Z(x) allein für positive Werte der unabhängigen Veränderlichen x benötigt.

170

J O H A N N E S THOMAS

schreiben, wobei die drei Punkte Summanden andeuten, die x mindestens in erster Potenz als Faktor enthalten. Mit

f i o

+

m f o i

ergibt sich aus (1.10) Q

,

Z {gAx) + az-rn)fv(x))x"(m

X)l

+

=

R

{

, z )

x

+ zy

>«L—p

=

.

(m + zy

27/,(«)

r=l)

(1.12)

Man hat (1.11) zufolge mf,DI R ( x ,

z )

=

g0i

/oi z2 +

—

xfio

+ mfm + / o i 2 + ' ' •

wobei die drei Punkte wieder Summanden andeuten, die x mindestens in erster Potenz als Faktor enthalten. Substituiert man in (1.12) die Reihe (1.6), so ergibt sich co

/

2 7

( 2

+

»

+

A)

e

r

s »

n v

-

=

R

CO

[ x ,

2 7

c

x "

v

+

i

\ v=0 und daraus durch Vergleich der Koeffizienten von x" eine Rekursionsformel für die c„. E s gelte v=0

I L v I

^

| g

m

f

n

v

|

^

G

n v

f

G

,

F

0

0

=

G

w

=

0 ,

und es seien die Reihen F „ ( x )

=

¿

F

x

m

n

,

G

{ x )

v

=

n

r

x

»

n=0 n =0 für \x\ ^ X, (X t ^ X) absolut konvergent; außerdem sei S (x, z) Q

X

>=o

(m + z)v - (Gi0 + mG0l)

(GAx) + ?.zFv(x))x"

x - (Gin + Am Fol

+

AFi0)xz

| / , 0 + m/oi I ®2 " EFV (x) x'+1 (m + z)" + (F10 + m Foi) x* >•=0 Man erhält dann aus der Gleichung oo

(2

+

x )

27 v=0

/ c

r

x '

=

s [ x , \

co

27

C r * " ^

p=0

durch Vergleich der Koeffizienten von xv eine Rekursionsformel für die C, derart, daß für die daraus berechneten Werte Cv die Ungleichungen (1.8) bestehen. Dabei gilt in (1.8) für v = 1, 2, . . . das Gleichheitszeichen gewiß

Einschließungsbereiche von Sattelpunktstrennkurven

171

d a n n nicht, w e n n Cr positiv ist. 1 ) Die m i t d e n berechneten C„ g e m ä ß (1.7) gebildete F u n k t i o n Z = Z(x) ist die bei x = 0 v e r s c h w i n d e n d e W u r z e l der Gleichung (2 +

X ) Z

=

(1.13)

x S ( x , Z ) ,

welche auf die in Z algebraische Gleichung Q J J v +

G„ { x ) x"

=0

2(1. +

- ( 2

+

( m

+

Z )

v

-

2) [ ¿ F , ( x )

X ) \ f

w

+

m f

m

(G10

x"

x

Z ( m

\ x Z

=

+

m

+

Z ) »

G

o l

x

+

-

{ F ,

G

0

x

o l

+

x

Z )

m

F

0 i

) x

Z j

0

(1.14)

f ü h r t . 2 ) D e r G r a d v o n (1.14) bezüglich Z ist max(^) + 1, q). Der Fall eines S y s t e m s (1.1) mit q < p k a n n auf d e n Fall q = p z u r ü c k g e f ü h r t werden, indem G„(x) = m Fv(x) f ü r v = q + 1, • • • , P gesetzt wird. Desgleichen k a n n d e r Fall eines S y s t e m s (1.1) mit p < q — 2 auf d e n Fall p = q — 2 z u r ü c k g e f ü h r t werden, indem Fv(x) = 0 f ü r v = p + 1; • • • ,q — 2 gesetzt wird.11) Somit genügt es, allein die F ä l l e p = q — 2, q — 1, q zu betrachten.

2.

Die Fälle mit m a x (p + 1, q) ^

i

I m folgenden w e r d e n die Fälle m i t m a x ( p + 1, 5) ^ 4 weiterverfolgt, d a f ü r sie die Gleichungen (1.14) bezüglich Z v o n h ö c h s t e n s v i e r t e m G r a d sind u n d folglich die R e i h e n (1.7) e l e m e n t a r e F u n k t i o n e n darstellen/ 1 ) Zu b e t r a c h t e n sind d a n n die z e h n F ä l l e p q

0 1

1 1 0 1 2 2

2 2 1 2 3 3

3 3 2 3 4 4.

J

) Aus diesem Sachverhalt ergibt sich offensichtlich folgendes: Die Sattelpunktstrennkurve trifft für x > 0 den durch (1.9) gekennzeichneten Rand ihres Einschließungsbereiches d a n n nicht, wenn dieser R a n d nicht zufällig aus Bögen von Kegelschnittparabeln besteht. -) Die Gleichung (1.13) hat genau eine bei x = 0 verschwindende Wurzel Z. Denn offenbar ist x = 0, Z = 0 ein (1.13) genügendes Wertepaar, und es ist

i«2

;!

?.)Z

-

x S ( x , Z ) ]

x =0 z=0

= 2 + / - 0 • 8 Z (0, 0) = 2 + /. > 2.

) Dies schließt allerdings nicht aus, die Fv(x) (v = p -f- 1, . . . . q — 2) trotzdem als nichtnegative reelle Funktionen anzunehmen. '•) Die Theorie der algebraischen Gleichungen vom dritten und vierten Grad findet man ausführlich dargestellt z. B. in [2], §§ 1 - 2 6 , oder [3], §§ 20-25.

172

JOHANNES THOMAS

2.1. Der Fall p = 0, q = 1 Für p = 0, q = 1 wird (1.14) eine lineare Gleichung mit der Lösung Z

I

V=

GP ( S ) - G 1 0

(2 + X)\f10\x-[2(l+X

x + (Gl (x) - G0l) mx )(F0 (x) - Ft o (*)) + (Gi (®) - ö01) x\' (2.1.1)

Die Entwicklung (1.7) von Z(x) hat einen Konvergenzradius, der, falls er nicht den W e r t X { hat, mindestens ebenso groß ist wie der Betrag der in der komplexen «-Ebene dem Nullpunkt nächstgelegenen reellen oder komplexen Nullstelle des Nenners in (2.1.1).

2 . 2 . Die Fälle mit max(p

+ 1, q) = 2

I n den drei Fällen p = 1,

q = i;

p = 1,

i

p = o,

Q = 2

=

2;

wird (1.14) jeweils eine quadratische Gleichung, die in der vorgegebenen Reihenfolge wie folgt lautet: 2(1 +A)xF1(x)

Z2

- [(2 + X) |/,o + m/oi I « + mx (Fi (x) + O0(x) -

Gi0(x)

[2(1 + X)xF{(x) -

Fm))

-

2 (1 + X) (F0(x) x (Gi(x)

+ mx (Gi (x) +

+ G0{x) — Gi0x

Gm)]Z

Gm)

= 0;

F10 x

x*G2(x)]Z2

[(2 + X) | fl0 + m/0l \x -

+ mx (Fi (x) -

-

-

2(1 + X) (F0(x)

F 0 i ) ) — x (Gi (x) -

-

Fi0 x

G0,) — 2 mx2 G2(x)\ Z

+ mx (G{ (x) — G0,) + mW G-,(x) = 0;

x2 G2(x) Z2 -

[(2 + X) |/J0 + m/01 \x -

2(1 + X) (F0(x)

-

x (Gi (x) — GQI ) — 2 mx2 G2 («)]

-

Fi0

x)

Z

+ G0(x) — G,o x + mx (Gi (x) — G0I) + m1 x2 G2(x) = 0. Jede der drei Gleichungen hat die Form A(x)Z2 — B(x)Z + C(x) = 0,

(2.2.1)

wobei A(x), B (x), C(x) Reihen nach positiven ganzzahligen Potenzen von x sind. Die Grade der niedrigsten «-Potenzen bei A(x), B(x), C(x) sind ent-

Einschließungsbereiche von Sattelpunktstrennkurven

173

sprechend Si 1, = 1, ^ 2; die Koeffizienten der niedrigsten x-Potenzen sind sämtlich positive Zahlen. Die in Frage kommende Wurzel Z = Z(x) von (2.2.1) ist diejenige, welche für gegen Null gehendes x gegen Null strebt. Dies ist die Wurzel Z(x) =

(B(x) - f£(xP

- 4 A{x) C(x))

(x > 0),

wobei der Radikand der Quadratwurzel f ü r hinreichend nahe bei Null liegende positive Werte x positiv ist. 1 ) Die Entwicklung (1.7) von Z(x) hat einen Konvergenzradius, der, falls er nicht den Wert X t hat, mindestens ebenso groß ist wie der Betrag der in der komplexen x-Ebene dem Nullpunkt nächstgelegenen reellen oder komplexen Nullstelle der Funktion A(x) (B(x)2 — 4 A(x)

C{x))

([4], §§ 13, 14).

2.3.

Die Fälle mit max(^> + 1, q) = 3

In den drei Fällen P = 2, q = 2; P = 2, q = 3; p=l,q = S wird (1.14) jeweils eine kubische Gleichung, und zwar entsprechend der vorgegebenen Reihenfolge die Gleichung 2(1 + A) x2 F2(x) Z* + [2(l + X) (xF^x)

+ 2 mx2 F2(x) +

x2G2(x)]Z2

- [(2 + X) |fl0 + mf0l |x - 2(1 + X) (F0(x) - F10 x + mx(Fi(x) — F0l) + m2x2F2(x)) — x (G^x) — G0l) — 2mx2G2(x)]Z -f G0(x) — GU) x + mx (Gt(x) — G0i) + m2 x2G2(x) = 0; [2(1 + X) x2F2(x) + x3Gz(x)]Z* + [2(1 + X) (xF^x) + 2 mx2 F2{x)) + x2G2(x) + 3mx 2 G 3 (x)]Z 2 + +

[(2 + X) |/ 1 0 + m/oi ¡x - 2(1 + X) (F0(x) Fi0x 2 2 mx (Fi(x) — F0i) + m x F2(x)) x (Gt (x) — G0l) — 2 mx2 G2 (x) — 3 m2 x 3 G3 (x)] Z G0(x) — G10x + mx (Gi(x) — Gol) + m2x2G2(x) + ra3x36r3(x) = 0;

i) Durchweg wird als Wert einer Quadratwurzel mit positivem Radikanden der positive Wurzelwert und als Wert einer Kubikwurzel mit reellem Radikanden der reelle Wurzelwert genommen.

174

JOHANNES THOMAS x:1 G3 ( X ) Z-'+[2(1+ -

[(2 +

¿) x Fi ( x ) +

/l) f/,o +

+ « ( F j M -

x (G, ( x ) -

-

mfm\x

x 2 G2 (X) +

2(1 +

3 MX3 G3 ( x ) ] Z2

A) ( f „ ( * ) -

x

Jo,)) — 2 mx^G-iix)

G0i)

+ G „ ( x ) — 6?,() x + mx (G^x)

-

3 m ^

— Gol) +

(x)] Z

+

m2x2G-,{x)

ra:!x:i

(x) = 0.

Jede der drei Gleichungen hat die F o r m A(x)Z->

wobei A(x),

+

B(x),

B(x)Z'i

-

C(x),

- f D(x)

C(x)Z

0,

=

(2.3.1)

Reihen nach positiven ganzzahligen Potenzen

D(x)

v o n x sind. Die Grade der niedrigsten x-Potenzen bei A{x), sind entsprechend

2, S» 1, = 1 ,

B(x),

C(x),

D(x)

2; die Koeffizienten der niedrigsten

x-Potenzen sind sämtlich positive Zahlen. Die Diskriminante von (2.3.1) ist + Z A(x)

Ü(x)

, 2, \ J + - k n — -B(x 3

/

J

(¿=-1,0,1) Die in Frage kommende Wurzel Z = Z(x)

(2.3.2)

ist, weil sie die Wurzel ist, welche

für gegen N u l l gehendes x gegen Null strebt, die mittlere der drei Wurzeln (2.3.2). Als diese mittlere Wurzel erweist sich die zu k =

— 1 gehörige. A u f

diese "Weise ergibt sich schließlich Z(x)

[2 ] / l ? ( x ) 2 +

= .

(1

.

X sin (— arcsm \3

9 A{x)

B{x)

— —

2(B(x)^

w

3A(x)C(x) C(x)

w

+ 3A(x)C(x))^B(x)^

Die Entwicklung (1.7) von Z(x) den W e r t Xt

+ 27 A(x)i

D(x)

+ 2 B(x)n

-

+ 3A(x)C(x)l

'

D,

— £(x)

1 , J

(x > 0 .

hat einen Konvergenzradius, der, falls er nicht

hat, mindestens ebenso groß ist wie der Betrag der in der kom-

plexen x-Ebene dem Nullpunkt nächstgelegenen reellen oder komplexen Nullstelle der Funktion A{x)

0(x)

([4], §§ 13, 14).

Einschließungsbereiche von Sattelpunktstrennkurven

175

2.4. Die Fälle mit m a x ( p + 1, q) = 4 I n den drei Fällen p = 3, q = 3; p = 3, q = 4; P = 2, 5 = 4 wird (1.14) jeweils eine biquadratische Gleichung. Entsprechend obiger Reihenfolge lauten diese Gleichungen 2(1 + A) x 3 ^;.(x)

+ [2(1 + A) ( x 2 i \ ( x ) + 3 mx 3

(x))

+ x Cr3 (x)] Z + [2 (1 + A) (xi 1 , (x) + 2 wix2 j^, (x) + 3 m 2 x 3 i1;, (x)) 3

3

-f x 2 G2 (x) + 3 m-3