Zur Ermittlung von Unterschallstromungen mit der Transformationsmethode bei quadratischer Approximation der Adiabate [Reprint 2021 ed.] 9783112498620, 9783112498613

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BERICHTE ÜBER DIE VERHANDLUNGEN DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU LEIPZIG Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

HANS

101

Klasse • Heft

SCHUBERT/ERICH

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SCHINCKE

ZUR ERMITTLUNG VON UNTERSCHALLSTROMUNGEN MIT D E R TRANSFORMATIONSMETHODE B E I QUADRATISCHER APPROXIMATION D E R ADIABATE

1955

AKADEMIE-VERLAG

•BERLIN

Vorgelegt durch Herrn HöLDER in der Sitzung vom 13. November 1954 Manuskript eingeliefert am 9. Dezember 1954 Druckfertig erklärt am 30. April 1955

E r s c h i e n e n im A k a d e m i e - V e r l a g G m b H . , B e r l i n W S , M o h r e n s t r a ß e 3 0 V e r ö f f e n t l i c h t u n t e r der L i z e n z n u m m e r 1 2 1 7 des A m t e s f ü r L i t e r a t u r und Verlagswesen der D e u t s c h e n D e m o k r a t i s c h e n "Republik S a t z und D r u c k : D r u c k h a u s „ M a x i m G o r k i " , A l t e n b u r g Restell- und V e r l a g s n u m m e r 2027/101/6 Preis:

DM2,30

P r i n t e d in G e r m a n y

Herrn Professor Dr. Fr. A. WILLERS zum 70. Geburtstag gewidmet

1. Einleitung 1 Uni die Ermittlung der Unterschallströmung um ein vorgegebenes Profil mit der Hodographenmethode zu vereinfachen und vor allem den recht erheblichen Rechenaufwand dieser Methode herabzudrücken, hat man in neuerer Zeit die adiabatische Zustandsgieichung durch gewisse Druck-DichteBeziehungen mit drei freien Parametern ersetzt. Bei R. SAUER [1] wird durch geeignete Wahl dieser Parameter eine quadratische Approximation des Adiabatengesetzes erreicht und der Ubergang von der Strömungsebene (xi/-Ebene) zur Hodographenebene (w$-Ebene) einmal durch die TschapliginTransformation der Stromfunktion und das andere Mal durch die Legendre-Transformation des Geschwindigkeitspotentials vollzogen. Zur Erfüllung der Konturbedingung wird von der inkompressiblen Strömung um ein vorgelegtes Profil ausgegangen und hieraus durch die angegebenen Transformationen eine kompressible Strömung um ein benachbartes Profil gewonnen, die an Stelle der exakten Adiabate einer quadratisch approximierenden Kurve genügt. Eine Durchführung der Gedankengänge von R. SAUER findet der Leser in den Arbeiten [ 3 ] , [ 4 ] von W. MÜLLER, wo zugleich gezeigt wird, daß die Sauersche Approximation der Adiabate nur in einem Interim vall M1 /

]

-2 5 ^ = 0 ,

OJ

in der Ao) =

DK

-j

AOJ

bedeutet. Nunmehr führen wir ähnlich wie bei reduzierte Stromfunktion IP(O), § ) durch XUI

\

SAUER [1]

eine

Y

(2'7)

= Y M ein, für die sich aus (2.6) die Differentialgleichung H

FMW

(2.8) 1

I I

(

1

K

A

1

"I

FA

OJ

I

2

2 (2 VZ /

+

OJ*

OJ

K

_°

_

K

K

«°>\

j

K

ergibt. Diese Differentialgleichung reduzieren wir abweichend von S A U E R durch die Forderung /Y

1 ~2

1 \ K

/

M

•K (Ü K

K(ÜO> 1 T

J2 =

'C

nur auf die Schwingungsgleichung (2.10)

+

K2

mit dem freien Parameter k2 und legen damit im nächsten Abschnitt gewisse Druck-Dichte-Beziehungen fest, die eine quadratische Approximation der Adiabatenkurve ermöglichen.

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SCHINCKE

Zur Durchführung der Transformation (2.7) der Stromfunktion ist noch die gewöhnliche Differentialgleichung (2.9) aufzulösen, die sich auch in der Form 2 (2.11)

1K m K

schreiben läßt. Man bestätigt durch Einsetzen leicht, daß die Gleichung (2.11) die allgemeine Lösung K(m) = C

HM

besitzt, in der Z0 eine Zylinderfunktion der Ordnung Null und C eine beliebige Konstante bezeichnet. Da die durch (2.2) erklärte Funktion K (w) für w 0 endlich bleiben muß und wegen (2.4) a> mit w zugleich gegen Null geht, so muß K(a>) = K(w) f ü r (o -»• 0 ebenfalls endlich bleiben, und als Lösung von (2.11)

Aw c

' =MfHF

gewählt werden. Ferner ergibt sich durch Vergleich mit (2.2) schließlich J„ y-2 w-n (2.12) Kl

y2

3. Ermittlung zulässiger Druck-Dichte-Beziehungen U m solche Druck-Dichte-Beziehungen zu ermitteln, für die die Forderung (2.9) erfüllt ist, erinnern wir zunächst daran, Q? 0 daß wir und - als Funktionen von w2 auffassen dürfen. Die a\ Q0 beiden Funktionen denken wir uns daher durch eine Parameter-

Zur Ermittlung von Unterschallströmungen

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darstellung der Form a2 7, = «5

(3.1)

1

+ ai (? — 1o) + «2 (