Die Berechnung von Fachwerkkranträgern mit biegungsfestem Obergurt: Genaue und genäherte Verfahren zur Ermittlung der Biegungsmomente und Stabkräfte von Fachwerkträgern mit zentrischen und exzentrischen Stabanschlüssen 9783486758474, 9783486758467

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DIE BERECHNUNG VON FACHWERKKRANTRÄGERN MIT BIEGUNGSFESTEM OBERGURT GENAUE UND CENÄHERTE VERFAHREN ZUR ERMITTLUNG DER RIEGUNGSMOMENTE UND STARKRÄFTE VON FACHWERKTRÄGERN MIT ZENTRISCHEN UND EXZENTRISCHEN STABANSCHLÜSSEN VON

S)r..3ng. G Ü N T E R W O R C H PRIVATDOZENT AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE DARMSTADT

MIT 66 ABBILDUNGEN

VERLAG VON R . O L D E N B O U R G MÜNCHEN U N D B E R L I N 1928

ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTES, VORBEHALTEN. COPYRIGHT 1928 BY R. OLDENBOURG MÜNCHEN UND BERLIN.

»KICK VON OSCAR BRAND8TETTER IN LEIPZIG.

Inhaltsverzeichnis. Einleitung I. Die B e r e c h n u n g d e s s t a t i s c h b e s t i m m t g e l a g e r t e n K r a n t r ä g e r s m i t biegungsfestemObergurtund zentrischemAnschluBsämtlioher Stäbe

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1. Die genauen Lösungsverfahren a) Der Vollwandträger als Grundsystem a) Das System A ß) Das System B b) Der Fachwerkträger als Grundsystem a) Das System A ß) Das System B

6 6 6 14 17 17 22

2. Anwendung der Theorie auf ein Zahlenbeispiel a) Der Vollwandträger als Grundsystem b) Der Fachwerkträger als Grundsystem c) Diskussion der Resultate

26 27 35 42

3. Die Näherungslöeungen 44 a) Vereinfachung der genauen Rechnung durch Vernachlässigung des Beitrages der Normalkräfte auf die Formänderung 45 b) Weitere Vereinfachung für erste Überschlagsrechnungen 47 4. Zahlenbeispiel II. D i e B e r e c h n u n g d e s s t a t i s c h b e s t i m m t g e l a g e r t e n K r a n t r ä g e r s m i t biegungsfestem O b e r g u r t und exzentrischem Ansohluß der Obergurtstäbe

48

51

1. Die genauen Lösungsverfahren a) Der Vollwandträger als Grundsystem a) Das System A ß) Das System B b) Der Fachwerkträger als Grundsystem

oder in der a b g e k ü r z t e n M ü l l e r - B r e s l a u ' s e h e n Schreibweise 2 ) (inForm der sogenannten „quadratischen Matrix") angeschrieben:

xt

x.

«u

1 mit Ausnahme der Stäbe vv SV 0 und F g , die beide eine Druckkraft von 4,0 G erAbb. 11. halten. x

-

K*

Für eine — wagerechte — B r e m s k r a f t H, die an der Oberkante der Schiene, d. h. in der Höhe k über der Systemlinier des Obergurtes, angreift, ergeben sich die Momente M 0 , die Normal- und Stabkräfte N 0 und S0, wie dies aus Abb. 12 ersichtlich ist. Soll der Einfluß w a n d e r n d e r , am Obergurt angreifender Lasten Pm untersucht werden, dann haben wir anzusetzen: Z

r

=2P

m

-[mr].

Die [mr]-Linie ist die EJC-fache Biegungslinie des Obergurtes, hervorgerufen durch Zustand Xr = — 1. Sie ergibt sich nach dem Mohr'sehen Satz3) als Momentenfläche eines einfachen Balkens, der mit der M r J.--Fläche belastet ist. r Müller-Breslau: Zur Auflösung mehrgliedriger Elastizitätsgleichungen. Eisenbau 1916, S. III, 299; 1917, S. 193. a) Mm = Jtfm_, + Qma (vgl. z. B. Hütte, Band III, 24. Aufl., S. 110). 3 ) Vgl. Hütte, Band I, 25. Aufl., S. 593ff.

Der

—

13

—

Der Fall, daß die obere und die untere Faser ein und desselben Stabes verschiedene Temperaturen aufweisen, dürfte bei Fachwerkkran-

den Fall betrachten, daß der Temperaturunterschied t (gegenüber der Aufstellungstemperatur) für sämtliche Fasern eines Stabes konstant sei. Dann ist ZT = [r(\ = eEJc [/Nr tdx + USrta], worin e die Wärmeausdehnungszahl für l u bedeutet (für Flußstahl St. 37 sowie auch für hochwertigen Baustahl St. 48 ist e = 0,000012). Ist t für sämtliche Stäbe gleich, dann bleibt das Tragwerk bei der Temperaturänderung spannungslos; es kann sich ja jeder Stab frei ausdehnen, aus dem ursprünglichen System entsteht nach der Formänderung ein geometrisch ähnliches System. Dagegen verschwindet der Einfluß der Temperatur nicht, wenn die Werte t für die einzelnen Stäbe verschieden sind, ein Fall, der z. B. bei Laufkranen in Hüttenwerken usw. vorliegen kann. Infolge einer b e k a n n t e n gegenseitigen Verschiebung öT der Angriffspunkte von Xr wird Zr = -[r]

=

-EJedr.

In der Regel werden nun, wenigstens für neu herzustellende Konstruktionen, die Werte dr nicht bekannt sein. Man wird sich dann darauf beschränken, nach Aufstellung der Berechnung nachzuprüfen, ob das vorgesehene System gegenüber kleinen Formänderungen (z. B. Nachgeben der Nietanschlüsse um 1 mm usw.) empfindlich ist oder nicht.

—

14

—

ß) D a s S y s t e m B (Abb. 2). Die Bezeichnungen der Stäbe sind in Abb. 2 (S. 4) eingetragen, die Maße und Winkel sind aus Abb. 13 zu ersehen.

Abb. 13.

Als statisch unbestimmte Größen führten wir diesmal ein: cos 71»

— x

cos Ys'

2

'

v 4'

a

*

2

uth cos z

d. h. es ist

7

=

U,h7 C 0 8 sec

yi> K u3= ^aecy3,

V

2

8

Ue=

- X2,

= -

a

6

sec j>g,

Das Grundsystem ist in Abb. 14 dargestellt; es entsteht, indem , t j , 5 6 7 b m a n sämtliche X- Werte gleich 1 A I A 1 Null setzt. Die Momente, Normalund Stabkräfte infolge der ZuAbb M " stände X, = - 1 (r = 1, 2 . . . 7) sind in Abb. 15 angegeben. Damit erhalten wir dann folgende [t fc]-Werte: [ l l ] = - ^ + l , 75^ + 0,25^WJe 3 XJ.

/sec^y

^\2h2)

h* F,

^Fj^tPFvt

( 2 V A

a* Aj

FVi\'

—

* 1 ^

. 1

Zustand

15

Xt

m

—

- 7

Vi/41 I %

Zustand

Abb. 15.

Xj-~1

—

+

s e c

2

< p

2

2 hl

d3 ip * Dz-* J

+

s e c

z2

a ç > >2 2

16

—

F

F

s e c

2

ç>

2

( 2 F e

,

L 4 ,

\ F

A ¡

0

Fo J

ì

4

A

2

—

A j )

d ,

A j Ä f

r

h\h3 [ 1 4 ] =

[ 2 1 ]

[ 1 5 ]

[ 1 7 ]

=

0 ,

= [ 1 2 ] ,

)

(J.

J _ \

J

e

4 -

L A f

(Is. \F0¡

s e c

2

,

(Fc

=

4

A a

s e c P 3 J

Fe\

Fo3. 2

ç >

2

j

2

2

Fe "I *YJ

'

^

- ° - ( o , 2 A |

[ 2 4 ] =

[ 2 5 ] =

[ 3 1 ] = [ 3 2 ]

. . .

[ 2 7 ]

=

0 ,

[ 1 3 ] , = [ 2 3 ] ,

[ 3 3 ]

=

J

| - ( 0 ., 2 5

c

+

«/2

1 , 7 5

+

+rh*(Foi+Fo) / s e c y , ( 2 A , - A +

l

2 A

2

l

^

0 ,

- J - +

f s e c y

( 2 A

2

FDi Fe < (2h.-h^ FI ci 4 . ' h * I ± \ /aeo^y + l hx J 2F D, Aj a 2 'V, alF rJ ' 2 2 A2—h3 Fe Je sec q>2 Fr [12] = 6 J , F: h1h2 f,[13]= [ 1 4 ] = . . . = [ 1 7 ] = 0, W o r c h , Fachwerkträger.

—

18

—

Zustand

Abb. 16.

X j — f

—

19

—

[21] = [ 1 2 ] , Jc F,

[22] = | (¿J ,. , JJ .,

(sec h.; )

+V

(2 4,-A,)« ^F e , A Ajs F e 2 + A2o a*Fr,\ '

F D , . 2 A,—A, F , sec 2 ®, , a Je [23] = + a2 FrJ' 6 «7, • K K [24] = [25] = • • • = [27] = 0 , [31]= 0, [32] = [ 2 3 ] , a lJ . m - :> ., :•

rid!-

a 3

H^m'-kA^hk

J, J ,(«* c a) Der Vollwandträger als Grundsystem. Der vorliegende Parallelträger ist ein Sonderfall des in Kapitel 1, a, a dieses Abschnittes behandelten allgemeineren Trägers; die hier gültigen Werte ergeben sich aus den dort angegebenen Werten, indem wir h = konst., y = 0 und

33 = 1,7445-3,3028 — 0,3372* = 5,6481. ') Es ist dies praktisch dasselbe, als wenn man gleich von Anfang an, um die Symmetrie des Tragwerks auszunutzen, andere statisch unbestimmte Größen Y etwa in der Form eingeführt hätte: v _ X* + 1Y>

i ——

5~

>

V I

—

—

X ,

2 Auch das B-U-Verfahren von A n d r é e (W. L.Andrée: Das B-{/-Verfahren, Verlag von R . Oldenbourg 1919) kommt im Prinzip auf das gleiche heraus. a ) Vgl. z. B. Müller-Breslau: Die graphische Statik der Baukonstruktionen, Band I I , I. Abt., 5. Aufl. 1922, S. 145ff.

—

30

—

Die Nennerdeterminante wird — zum Schutze gegen Rechenfehler — dreimal gerechnet Z>= 1,7445-6,1540 —0,3372 1,2280 = 10,3217, D = —0,3372 1,2280 + 3,3028-6,3535 - 2,4238-4,2284 = 10,3217, D = — 2,4238-4,2284 + 3,6420-5,6481 = 10,3217 . Die ß- Werte ergeben sich aus der Beziehung D

R

br, cr, l'T, und a'r

—

38

—

Damit erhalten wir folgende ß - W e r t e : = 1 ^ 8 5 = °'5958' Äs = —0,1959 • 0,5958 = - 0 , 1 1 6 7 ,

ß a s = + 0,1688-0,1167 = 0,0197 , ß t 5 = - 0,1766-0,0197 + 0,0103 0,1167 = - 0,0023 ß i s = + 0,1933-0,0023 = 0,0004 , ß

= f ^ Y g + 0,1959 • 0,1167 = 0,6038 ,

u

ß t i = - 0,1688-0,6038 = - 0,1019 , ßu = + 0,1766-0,1019—.0,0103-0,6038 = 0,0118 ,

ß 1 A = -0,1933-0,0118 = - 0,0023, ßn =

l f

g 7 8 + 0,1688 - 0,1019 = 0,5829 ,

ß a = - 0,1766-0,5829 + 0,0103-0,1019 = - 0,1019 ,

ß 1 3 = + 0,1933-0,1019 = 0,0197 , ß

i 2

= j-^ggH- 0,1766 0,1019 —0,0103 -0,0118 = 0,6038,

ß i 2 = — 0,1933-0,6038 = - 0,1167 , ß

n

=

1,7440

+ 0,1933 • 0,1167 = 0,5958 .

Die so erhaltenen ß - W e r t e stellen wir in einer Tafel zusammen: Zi

Z2

0,5958

-0,1167

0,0197

-0,0023

0,0004

-0,1167

0,6088

-0,1019

0,0118

- 0,0023

0,0197

-0,1019

0,5829

-0,1019

0,0197

=

-0,0023

0,0118

-0,1019

0,6088

-0,1167

*6 =

0,0004

-0,0023

0,0197

-0,1167

0,5958

A-2 =

x4

Als äußere — ruhende — Belastung nehmen wir wieder die beiden Einzellasten P = 11 in der in Abb. 31 angegebenen Lage an (vgl. hierzu Abb. 23 S. 31).

—

30

Die Momente, Stabkräfte und Normalkräfte im Grundsystem infolge dieser Belastung sind in Abb. 31a und b angegeben. Für die Zr-Werte schreiben wir wieder allgemein an: Zr=[0r] = j M 0 M r d z J f + ^ [ j N 0 N r d x F J + H S , S r s ^ . Wir erhalten folgende Zahlenwerte: Zx = 0,0127[1,375 1,5(1 + 1,967) + 1,653-2,167 (1,700 — 2,323) + 0,917 0,667(3,155- 4,184)] = 0,0414, Z 2 = - - ^ 2 . 4 1 , 0 0,6+0,0127[2,750 1,5(1 + 1,356)+ 2,167(1,653-2,323 - 0,751-3,073) + 0,667(0,917-4,184 - 0,5 -4,958)] = — 0,36 + 0,1772 = - 0,1828,

+7,375 12,750 +3,250 +1.625 Abb. 31.

Z3 = -

1

-2,4-1,0-0,6 +0,0127 [3,375-1,5-2 + 2,167 -3,073 (0,751 + 0,150)

+ 0,5-2-0,667-4,958] = - 0,36 + 0,2470 = - 0,1130, Z 4 = 0,0127 [3,250-1,5(1 + 1,356)—2,167(0,150-3,073- 1,953-2,323) - 0,667(0,5-4,958- 1,083-4,184)] = 0,2757, Z 5 = 0,0127 [1,625-1,5(1 + 1,967) — 1,953-2,167(2,323 — 1,700) - 1,083 0,667 (4,184- 3,155)] = 0,0490. Xl X2

X3 X4 X5

Damit ergeben sich die statisch unbestimmten Größen zu: = 0,5958-0,0414 + 0,1167-0,1828 - 0,0197-0,1130 - 0,0023-0,2757 + 0,0004 -0,0490 = 0,0432 tm, = —0,1167-0,0414 - 0,6038-0,1828 + 0,1019-0,1130 + 0,0118-0,2757 - 0,0023• 0,0490 = — 0,1006 tm. Ebenso ermitteln wir: = — 0,0735 tm , = + 0,1700 t m , = — 0,0048 tm.

—

40

—

Auf Grund des Superpositionsgesetzes lassen sich nun für sämtliche anderen statischen Größen die Werte ermitteln. So erhalten wir beispielsweise die Stabkraft oder

Z>, = 1,653 —0,751 0,0432 = 1,620 t

U t = 1,375 - 0,625 -0,0432 = 1,348 t .

Für das Moment im Obergurt, z. B. in der Mitte des Feldes 2,3, ergibt sich: M m = 0 , 6 0 — 0 , 5 (0,1006 + 0,0735) = 0,5130tm. Diese Werte müssen natürlich — je nach dem Genauigkeitsgrad der Rechnung — mit den im vorigen Rechnungsgang (Vollwandträger als Grundsystem) ermittelten mehr oder minder genau übereinstimmen. E s erübrigt sich daher, hier nochmals sämtliche Werte im einzelnen anzugeben; wie verweisen vielmehr auf die Abb. 24 (S. 33), aus der die Rei i i t x 3 ir * r s ir sultate zu ersehen sind. Zur Berechnung der E i n f l u ß l i n i e n für die statisch unbestimmten Größen X brauchen wir die Werte EJcwit = [ i i ] , (vgl. die Ausführungen auf S. 21). [m i]-Unie Wir hatten ermittelt (vgl. S. 36 u. 37):

EJC wu = [11], = 0,1445, ^ J c u - 2 1 = [21],= [ 1 2 ] . = - 0 , 0 6 2 8 , Zj-Ume

E J e iv22 EJ EJC

e

- 0,1720,

w3i = — 0,0986 , wi2 = 0,0175 ,

E J c w ^ = 0,2210. [m 3]-Linie

Mit diesem EJe-fachen w-Gewichten denkt man sich nun einen einfachen Balken belastet und beAbb. 32. stimmt dazu die Momentenflächen (vgl. Abb. 32). Innerhalb der Knotenpunkte wollen wir die Ordinaten wieder nur für je einen Punkt, die Feldmitte, berechnen; bei nicht allzu großen Feldweiten kommt man damit vollständig aus.

41

—

£