Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen: Band 2 [Reprint 2022 ed.] 9783112684382

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Sammlung Schubert

LIX

Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen Von

Dr. A. Wangerin Professor an der Universität Halle a. S.

II. Band M i t 17 F i g u r e n

Berlin

und

Leipzig

V e r e i n i g u n g w i s s e n s c h a f t l i c h e r Verleger W a l t e r de Gruyter & C o . vormals G. J. GCschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Keimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp. 1921

Alle Rechte, auch das d e r Übersetzung, v o r b e h a l t e n .

Druck von C. G. Röder G. m. b. H., Leipzig. 813020.

Inhaltsverzeichnis. I. Abschnitt.

Seite

Die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. K a p . 1. T r a n s f o r m a t i o n d e s L a p l a c e s c h e n D i f f e r e n t i a l a u s d r u c k s auf b e l i e b i g e o r t h o g o n a l e Koordinaten K a p . 2. D i e e i n f a c h e K u g e l f u n k t i o n e r s t e r A r t . . . a) Definition der Kugelfunktion Pn (x) b) Analytischer Ausdruck f ü r Pn{x) c) Entwicklung von Pn (cos 9-) nach Kosinus der Vielfachen von 9 d) Das L a p l a c e s c h e Integral e) Werte von Pn (cos 9) f ü r sehr große "Werte des Index n f) Darstellung von Pn (x) als Differentialquotient. Wurzeln der Gleichung Pn (x) = 0 g) Die Integralsätze der Kugelfunktionen h) Anwendungen der Integralsätze. Rekursionsformeln f ü r die Kugelfunktionen K a p . 3. D i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g d e r K u g e l f u n k tionen und die K u g e l f u n k t i o n z w e i t e r A r t . a) Pn (x) genügt einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Doppelte Ableitung dieser Gleichung . . . . b) Das allgemeine Integral der Differentialgleichung der Kugelfunktionen. Die Kugelfunktion zweiter Art . . . c) Andere Darstellung der Kugelfunktion zweiter Art Qnx) d) Folgerungen aus der Integraldarstellung von Qn (x). Rekursionsformeln f ü r Qn(x) e) Die Difierentialgleichung der Kugelfunktionen f ü r den Fall, daß der Parameter n keine ganze Zahl ist . . . .

1 8 8 11 13 15 19 22 26 28 34 34 38 41 45 49

IV

Inhaltsverzeichnis.

K a p . 4. D i e z u g e o r d n e t e n K u g e l f u n k t i o n e n a) Definition der zugeordneten Kugelfunktionen b) Die zugeordneten Kugelfunktionen zweiter Art . . . . c) Die Differentialgleichung der zugeordneten Kugelfunktionen. Rekursionsformeln für diese Funktionen . d) Integralsätze für die Zugeordneten erster Art . . . . e) Die Differentialgleichung der Zugeordneten für v > » (:v Nebenindex) K a p . 5.

Die K u g e l f u n k t i o n e n mit zwei Veränderlichen a) Das Additionstheorem der Kugelfunktionen b) Die Kugelfunktionen mit zwei Veränderlichen oder die allgemeinen Kugelfunktionen c) Integralsätze der allgemeinen Kugelfunktionen . . . .

K a p . 6. E n t w i c k l u n g n a c h K u g e l f u n k t i o n e n . . . . a) Form der Entwicklung. Gültigkeit derselben für ganze Funktionen von cos , sin & cos