Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen: Band 1 [Unveränderter Neudruck, Reprint 2021 ed.] 9783112432709, 9783112432693

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S a m m l u n g S c h u b e r t I/VIII

Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen Von

Dr. A. Wangerin Professor an der Universität Halle a. S.

I. Band Mit 3 6 Figuren

Unveränderter Neudruck

©

B e r l i n und

Leipzig

V e r e i n i g u n g w i s s e n s c h a f t l i c h e r Verleger Walter de Gruyter & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp. IQ22

Alle Rechte von der Verlagshandlung vorbehalten

Rodardruck von C. 0 . Röder G. m. b. H., Leipzig.

Vorwort. Der vorliegende erste Band der Potentialtheorie enthält zunächst die Ableitung der charakteristischen Eigenschaften des Potentials, und zwar für das Körperpotential im wesentlichen nach GauO, während für das Flächenpotential eine einfachere, von Herrn W e i n g a r t e n herrührende Ableitung gewählt ist. Es folgen Erweiterungen des Potentialbegriffs, und zwar zunächst auf andere Anziehungsgesetze als das Newtonsche, speziell auf das Gesetz ^ , dann auf das logarithmische Potential und das Potential von Doppelbelegungen. Im. dritten Abschnitt werden das Potential und die Anziehung homogener Ellipsoide eingehend erörtert. Der Verfasser hat die allgemeinen Sätze möglichst durch Anwendung auf spezielle Beispiele zu erläutern gesucht. So gehen der Einführung des Potentialbegriffs verschiedene Aufgaben über Anziehung voraus, und auch im ganzen Verlauf der Entwicklung sind an passenden Stellen Beispiele eingefügt. Außerdem dürfte sich die hier gegebene Darstellung der Potentialtheorie von anderen Darstellungen durch den Inhalt des zweiten und mannigfache im dritten Abschnitt enthaltene Folgerungen unterscheiden. Der zweite Band wird zunächst die wichtigsten Sätze über Kugelfunktionen entwickeln, dann die Anwendung dieser Funktionen auf die Potentialaufgaben der Kugel bringen, endlich eine Einführung in die allgemeine Bandwertaufgabe nebst damit zusammenhängenden Sätzen. H a l l e a. S., Herbst 1908.

Inhaltsverzeichnis. Einleitung

Seit«

1

I. Abschnitt. Das Potential und seine charakteristischen Eigenschaften. Kap. 1. Die allgemeinen Formeln für die nach dem Newtonschen Gesetze erfolgenden Anziehungen a) Anziehung, die ein einzelner Massenpunkt auf einen anderen ausübt b) Anziehung beliebig vieler diskreter Massenpunkte . . c) Anziehung räumlicher Massen d) Anziehung von Flächen und Linien

3 3 5 6 8

Kap. 2. Anwendungen Aufg. 1. Anziehung eines homogenen Kreisbogens auf einen Punkt, der senkrecht über dem Mittelpunkte des Kreises liegt Aüfg. 2. Anziehung einer homogenen geradlinigen Strecke Aufg. 3. Anziehung einer homogenen Kreisfläche auf einen Funkt, der senkrecht über ihrem Mittelpunkte liegt A u f g . 4. Anziehung einer homogenen Kugelfläche . . . a) Vorbereitung (Formeln über räumliche Polarkoordinaten) b) Lösung der Aufgabe e) Geometrische Ableitung des Satzes, daß eine homogene Kugelfläche auf innere Punkte keine Anziehung ausübt Aufg. 5. Anziehung einer von zwei konzentrischen Kugeln begrenzten homogenen Masse

25

Kap. 8. Einführung des Potentialbegrlffs. Niveauflächen und Kraftlinien

27

a) Das Potential b) Niveauflächen und Kraftlinien

10 10 12 15 18 18 20 23

27 31

Inhaltsverzeichnis. c) Einfache Beispiele für Niveauflächen und Kraftlinien d) Allgemeine Bestimmung der Kraftlinien. Beispiel . . Kap. 4. Allgemeine Eigenschaften des Potentials beliebiger Massen für äußere Punkte

V Seite

32 33 86

a) Endlichkeit und Kontinuität des Potentials und seiner Differentialquotienten b) Verhalten im Unendlichen c) Die Laplacesche Differentialgleichung d) Anwendung auf das Potential einer von zwei konzentrischen Kugeln begrenzten Schale

87 38 41

Kap. 5. Das Potential und die Anziehungskomponenten räumlicher Massen für Punkte, die der Masse angehören

47

a) Erläuterung an dem Fall einer homogenen Kugel . . b) Allgemeiner Nachweis der Endlichkeit des Potentials und der Anziehungskomponenten für Punkte der Masse SV c) Auch für Punkte der Masse ist X = —— usw. . . . ax d) Kontinuität des Potentials und seiner ersten Ableitungen für Punkte der Masse Kap. 6. Die zweiten Ableitungen des Potentials für Punkte der Masse

43

47 52 54 56 59

a) Die Methode des Kap. 6 versagt hier b) Die Gaufischen Hilfssätze c) Transformation der Ausdrücke für die Anziehungskomponenten d) Transformation der zweiten Ableitungen von F . Die Poissonsche Gleichung . e) Aus der diskontinuierlichen Änderung von A F a n der Grenzfläche werden die entsprechenden Änderungen I ^ T y ' ••• a b ^ i t e t

78

Kap. 7. Verhallen des Flächenpotentials und seiner Ableitungen, falls der angezogene Punkt sich der anziehenden Fläche nähert

82

a) Erläuterung an Beispielen b) Ableitung der Eigenschaften für beliebige Flächen bei beliebiger Massenverteilung e) Potential und Anziehungskomponenten für feste Punkte der Fläche _ Kap. 8. Potential und Anziehungskomponenten von Massen, die längs einer Linie ausgebreitet sind

59 60 71 73

82 85 90 93

VI

Inhaltsverzeichnis.

Kap. 9. Die charakteristischen Eigenschaften des Körperund Flächenpotentials a) Der Greensche Satz b) Die charakteristischen Eigenschaften des Raumpotentials c) Die charakteristischen Eigenschaften des Flächenpotentials d) Anwendung der charakteristischen Eigenschaften . .

Seite 95 95 98 103 105

II. Abschnitt. Erweiterungen des Potentialbegriffs. Kap. 1. Anziehung nach anderen Gesetzen als dem Newtonschen a) Begriff der Kräftefunktion b) Vergleich zwischen der allgemeinen Kräftefunktion und dem N e w t o n s c h e n Potential für Punkte außerhalb der Masse

110 110 111

c) Die Kräftefunktion für Punkte innerhalb der wirkenden Masse bei dem Gesetze ~

113

d) Die Anziehungskomponenten für Punkte der Masse bei dem Gesetze -V ! ei> e) Das Anziehungsgesetz — für Massen, die auf Flächen

IIB

ausgebreitet sind f) Die zweiten Ableitungen der Kräftefunktion räumlicher Massen für Punkte der Masse bei dem Anziehungsgesetze ~

118

121

Kap. 2. Ermittelung Ton Anziehungsgesetzen mit bestimmten Eigenschaften. Körper größter Anziehung . . . .

123

a) Das N e w t o n s c h e Gesetz ist das einzige, bei dem eine von zwei konzentrischen Kugelti begrenzte Schale, deren Dichtigkeit nur von dem Abstände vom Mittelpunkte abhängt, auf einen Punkt des inneren hohlen Baumes keine Wirkung ausübt b) Die Eigenschaft, daß die genannte Schale einen äußeren Punkt so anzieht, als wäre die Masse im Mittelpunkte vereinigt, teilt das Newtonsche Gesetz mit einem anderen

123

126

e) Der Körper größter Anziehung für das Anziehungsgesetz -epi -

128

Inhaltsverzeichnis.

VII Seite

Kap. 8. Das logarithmische Potenttal a) Einführung des logarithmischen- Potentials b) Logarithmisches Potential eines von zwei konzentrischen Kreisen begrenzten homogenen Kreisringes . . c) Liogarithmisches Potential einer homogenen Kreisfläche fttr Punkte der Masse d) L % 1 £2 5 • • • 5 f» > t]n, f„. Die Anziehung, die ein beliebiger von diesen Punkten, Bh, auf A ausübt, habe die Komponenten Xh, Yh, Zh. Letztere haben, wenn wieder x, y, z die Koordinaten von A sind, m die Masse von A , nach (Ia) die Werte m i f f h(vh—y) (4) * f t = qI el wo Qh den Ausdruck bezeichnet, der aus q [Gleichung (2)] entsteht, wenn man £, t), f durch , rj h , £Ä ersetzt. Zerlegt man so jede der auf A wirkenden n Kräfte und setzt die derselben Achse parallelen Komponenten zusammen, bildet also nach den ßegeln der Mechanik ihre *) Der Unterschied zwischen anziehenden und abstoßenden Kräften wird hfrufig nicht beachtet, und so kommt es, daß in manchen Darstellungen die Vorzeichen der Anziehungskomponenten nicht richtig angegeben sind.

6

I. Das Potential und seine charakteristischen Eigenschaften

algebraische Summe, so erhält man die drei den Achsen parallelen Kräfte

x = zxh,

(5)

Man könnte X, die die Größe

r = 2TÄ,

z = zzh.

Y, Z zu einer Eesultante vereinigen, |/X2 + F2 + Z2

hat und die Hauptdiagonale eines rechtwinkligen Parallelepipedons bildet, dessen eine Ecke A ist, und dessen Kanten gleich den absoluten Werten von X, Y, Z sind. Die Richtungskosinus dieser Eesultante sind: X

YX2

+

z

Y

Y2

+

Z2

'

FX2

Y2

+

Z2'

]/T2+

Y* + Z* '

Wir wollen indes von der Bildung der Resultante absehen und die drei Komponenten beibehalten. Unter Benutzung der obigen Ausdrücke für XH, YH, ZH erhalten wir für dieselben die Formeln: X (n)

=

fr!

Qh

,

&

R

-

tri

F

M

Qh

,

e! c) A n z i e h u n g r ä u m l i c h e r Massen. Von der Betrachtung diskreter Massenpunkte gehen wir zu dem Fall über, daß die Masse irgendwelches Volumen kontinuierlich erfüllt. Wir zerlegen das Volumen in Volumenelemente, die wir uns etwa als rechtwinklige Parallelepipeda vorstellen können. Je kleiner ein solches Element ist, desto genauer können wir die in ihm enthaltene Masse als punktförmig annehmen und daher auf jedes Element die Formeln (Ia), auf die durch das Zusammenwirken aller Elemente entstehende Kraft die Formeln (TT) anwenden. Mit der Verkleinerung der Elemente wächst aber ihre Zahl n, und zwar muß n über alle Grenzen wachsen, wenn die Elemente wirklich als punktförmig angesehen werden sollen. Wir haben also die Grenze der in (II) auftretenden Summen zu suchen

Kap. 1.

Die allgemeinen Formeln für Anziehung.

7

für den Fall, daß die einzelnen Massen juh immer kleiner werden, ihre Anzahl n immer größer. Die Grenze einer derartigen Summe von sehr vielen, sehr kleinen Größen ist g,ber ein bestimmtes Integral. Wir erhalten daher, wenn wir mit dp die Masse eines Yolumenelements bezeichnen, für die Komponenten der von der Gesamtmasse auf den Massenpunkt. A ausgeübten Anziehung die Ausdrücke:

' - H f f ^ Die Integration ist über das von den Massenelementen eingenommene Volumen zu erstrecken. Bs fragt sich nun, wie Massen- und Volumenelement miteinander zusammenhängen. Dazu ist zu beachten, daß in demselben Volumen verschieden große Massen verteilt sein können. Um ein Maß für diese verschiedene Massenverteilung zu erhalten, führen wir den Begriff der Dichtigkeit ein. Nehmen wir zuerst an, es sei eine Masse fi gleichförmig in einem Volumen v verteilt, so verstellt man unter der Dichtigkeit fc die in der Volumeneinheit enthaltene Masse, oder, was dasselbe ist, den Quotienten aus Masse und Volumen: (7)

1 - ü . v

Bei gleichförmiger Massenverteilung ändert sich fc nicht, wenn wir für v einen beliebigen Teil des gegebenen Volumens nehmen und für fi die in diesem Teil enthaltene Masse, d. h. bei gleichförmiger (homogener) Massenverteilung ist die Dichtigkeit das Verhältnis eines beliebigen Massenteils zu dem zugehörigen Volumen. Diese Definition der Dichtigkeit ist nicht mehr anwendbar, wenn die Verteilung der Masse eine ungleichförmige ist; man muß, um auch diesen Fall zu umfassen, die Definition passend erweitern. Das geschieht in ähnlicher Weise, wie man in der Mechanik den Begriff der Geschwindigkeit von der gleichförmigen auf eine beliebige Bewegung überträgt. Wir erwägen, daß, je kleiner der

8

I- Das Potential und seine charakteristischen Eigenschaften.

Volumenteil ist, den wir betrachten, desto genauer die in ihm enthaltene Masse als gleichförmig verteilt angesehen werden kann, und wir verstehen daher unter Dichtigkeit den Grenzwert: (7 a)

fc

= lim , ¿»=0 Av

wo A/i die in Av enthaltene Masse bezeichnet, oder mit den Bezeichnungen der Differentialrechnung: (7b)

d jL

t = 'k'dv-

Die erweiterte Definition schließt, wie leicht ersichtlich, die obige, für gleichförmige Massenverteilung geltende als speziellen Fall in sich. — In dem allgemeineren Falle der ungleichförmigen Massenverteilung ist fc nicht konstant, sondern eine Funktion der Koordinaten der betrachteten Stelle. Führen wir den Ausdruck (7 b) für das Massen olement d/i in (6) ein, so erhalten wir: — x)äv dm * - r - f f f ' Q» oder auch, wenn wir als Volumenelement ein unendlich kleines rechtwinkliges Parallelepipedon annehmen, dessen Kanten den Achsen parallel sind: X) (lila) X = fmjH^d£dV dQ . Die entsprechenden Ausdrücke für Y und Z ergeben sich, wenn man in (III) oder (lila) f — x durch rj — y, reep. C — z ersetzt. Die Grenzen der hier auftretenden dreifachen Integrale sind ebenso zu bestimmen wie bei der Berechnung der Volumina. d) A n z i e h u n g von F l ä c h e n und Linien. Man betrachtet in der Potentialtheorie nicht nur die Anziehung von Massen, die ein gegebenes Volumen kontinuierlich erfüllen, sondern auch die von Massen, die auf Flächen ausgebreitet sind. Man gelangt zu derartigen Massen durch folgende Abstraktion. Auf einer Fläche denke man eine Masse so verteilt, daß ihre Dicke überall

9 »ehr klein ist. Diese Dicke lasse man nun immer kleiner und kleiner werden, zugleich die Dichtigkeit der Masse größer; derart, daß der Gesamtinhalt an Masse endlich bleibt. Im Grenzfall, wo die Dicke unendlich klein, die Gesamtmasse aber endlich ist, spricht man von einer auf der Fläche ausgebreiteten Masse. Die Anziehung derartiger Massen kann man auf dieselbe Weise ermitteln, wie in c) die Anziehung dreidimensionaler Massen. Man teile die gegebene Masse in sehr kleine Massenelemente A ¡x, wende auf diese die Formeln (II) an und gehe zur Grenze für den Fall über, daß die einzelnen Afi immer kleiner und kleiner werden, ihre Anzahl immer größer. Als Grenze der Summen erhalten wir dann wieder Integrale, aber nicht, wie in (6), dreifache Integrale, sondern, da die Masse nur zweidimensional ist, Doppelintegrale, d. h. die J5T-Komponente der Anziehung einer auf einer Fläche ausgebreiteten Masse ist: Kap. 1. Die allgemeinen Formeln für Anziehung.

Auch hier führt man den Begriff ,.Dichtigkeit" ein und versteht darunter bei gleichförmiger (homogener) Massen Verteilung die auf der Flächeneinheit ausgebreitete Masse, oder, was dasselbe, den Quotienten aus einem beliebigen Massenteil, dividiert durch die zugehörige Fläche. Für den Fall ungleichförmiger Massenverteilung wird diese Definition, analog wie oben, dahin erweitert, daß, wenn Afi die auf der Fläche Ao ausgebreitete Masse bezeichnet, die Dichtigkeit x gleich lim ist oder (9)

do=o Ao

x—

ao

Ì

du =

xdo-,

und zwar wird x im allgemeinen für verschiedene Punkte der Fläche verschiedene Werte haben. Durch Anwendung von (9) geht (8) in folgende Gleichung über: (IV)

10 !• Das Potential und seine charakteristischen Eigenschaften.

und daraus erhält man wieder die Y- und ^-Komponente der Anziehung, indem man f — x durch y — y, resp. f — « ersetzt. Der Vollständigkeit halber erörtern wir kurz auch den weniger wichtigen Fall, daß die anziehende Masse längs einer Linie ausgebreitet ist. Man kommt auf diesen Fall durch Betrachtung einer Masse, deren senkrecht zu einer gegebenen Kurve genommener Querschnitt sehr klein ist, indem man den Querschnitt unendlich klein werden läßt, während zugleich die Masse endlich bleibt. Die Dichtigkeit ü einer solchen eindimensionalen Masse wird definiert durch (10)

i - f t o ^ . ^ , d « = o AB

da

wo ds das Bogenelement der mit Masse belegten Kurve ist; und die Anziehungskomponenten ergeben sich durch dieselben Betrachtungen wie bei anziehenden Flächen. Das Eesultat unterscheidet sich von (8), resp. (IV) nur dadurch, daß, da die Masse nur eindimensional ist, an Stelle der Doppelintegrale einfache Integrale treten. Die X-Komponente der Anziehung wird hier: (V) und analog 7 und Z. Hiermit ist die Berechnung der Anziehnngskomponenten beliebiger Massen zurückgeführt auf Aufgaben der Integralrechnung. Kapitel 2. Anwendungen der allgemeinen Formeln. Aufgabe 1. Anzifehung eines homogenen Kreisbogens auf einen Punkt, der senkrecht über dem Mittelpunkte des Kreises liegt. Wir treffen folgende Verfügungen über die Wahl des Koordinatensystems. Zum Anfangspunkt nehmen wir den Mittelpunkt 0 des Kreises, die Ebene desselben zur a;y-Ebene; dann geht die «-Achse durch den angezogenen Punkt A , und zwar nehmen wir die Richtung OA zur positiven »-Achse. Die positive as-Achse legen wir so,

Kap. 2.

Speziell« Aufgaben über Anziehung.

11

daß sie durch die Mitte G des Kreisbogens DD 1 geht. Der Radius des Kreises sei a, 21 02 Hebt man den ersten Bruch durch q1 , den zweiten durch o 2 , so sind beide Bräche vollständige Differentiale, und es folgt:

also:

(9)

£Lzi (ii

+

£±i_