Starr-elastische Robotersysteme: Theorie und Anwendungen [1 ed.] 9783642228285, 3642228283, 9783642228278, 3642228275

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Starr-elastische Robotersysteme

Hubert Gattringer

Starr-elastische Robotersysteme Theorie und Anwendungen

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DI Dr. techn. Hubert Gattringer Johannes Kepler Universität Linz Institut für Robotik Altenbergerstraße 69 4040 Linz Österreich [email protected]

ISBN 978-3-642-22827-8 e-ISBN 978-3-642-22828-5 DOI 10.1007/978-3-642-22828-5 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

F¨ur Astrid, Jana, Martin und Jonathan

Geleitwort

Dieses Lehrbuch gibt eine Einf¨uhrung in die Modellbildung und Regelung von starren und elastischen Robotersystemen. Hauptaugenmerk wird auf eine effiziente mathematische Beschreibung dieser Roboter gelegt. Diese Methodik wird im Theorieteil behandelt. Der zweite Teil widmet sich einigen Anwendungsbeispielen: elastische Knickarmroboter, elastische Linearroboter, Industrieroboter, redundante Roboter, fahrende Roboter und Bewegungsplattformen. Dabei wird detailliert auf die Modellbildung, aber auch auf die Regelung dieser Systeme eingegangen. Regelungstheorie im eigentlichen Sinn wird allerdings nicht betrieben. Alle angef¨uhrten Anwendungsbeispiele sind sowohl in der Simulation als auch als Versuch realisiert. Die Messergebnisse belegen die Effektivit¨at der Methoden. Abgerundet wird dieser Teil mit einem Kapitel u¨ ber Rotordynamik, da sich auch dieses Thema mit den vorgestellten Methoden effektiv behandeln l¨asst. Diese Arbeit ist das Ergebnis meiner Forschungsaktivit¨aten im Bereich der Robotik am Institut f¨ur Robotik der Johannes Kepler Universit¨at Linz. Sie stellt auch die Basis f¨ur meine Habilitation im Fach Robotik dar. Viele Kollegen, Industriepartner, Studienfreunde und Studenten haben mehr oder weniger zu ihrem Gelingen beigetragen. Mein tiefster Dank gilt Professor Hartmut Bremer. Seit dem Beginn meiner wissenschaftlichen Karriere als junger Doktoratsstudent st¨arkte er meine wissenschaftlichen Bem¨uhungen, ließ mir aber auch die Freiheiten meinen eigenen Weg zu gehen. Sein nahezu unendlicher mechanischer Fundus, aber auch seine menschliche Art die Dinge zu sehen, beeindrucken mich sehr. Es waren gute, lehrreiche Jahre am Institut, aber es waren auch sehr anstrengende Jahre. Hervorheben m¨ochte ich auch den Zusammenhalt am Institut. Es ist sch¨on zu sehen, dass jeder f¨ur jeden einspringt und das Team perfekt funktioniert. Insbesonders danke ich meinen Forschungsassistenten Roland Riepl, Peter Staufer, Johannes Kilian, Klemens Springer, Michael Kastner, Bernhard Oberhuber, Stefan Hubinger und Johannes Mayr f¨ur die geleistete Arbeit am Institut und das Engagement in ihren Projekten. Sie sorgen auch daf¨ur, dass der Spaß an der Arbeit nicht zu kurz kommt. Von meinen Kollegen, liegt es mir besonders am Herzen, Dr. Wolfgang H¨obarth und Dr. Ralph Mitterhuber zu danken. Die Diskussion von heiklen technischen Problem-

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Geleitwort

stellungen ist absolut notwendig, um wissenschaftlich voranzukommen. Dem Geschick unseres Technikers Kurt Stenzel ist es zu verdanken, dass wir so viele tolle Experimente umsetzen konnten. Dorothea R¨uger unterst¨utzt mich bei allen administrativen Aufgaben, wof¨ur ich ihr u¨ beraus dankbar bin. Ein besonderer Dank geb¨uhrt meiner Frau Astrid, sowie meinen Kindern Jana, Martin und Jonathan, f¨ur die sch¨one Zeit, die wir miteinander verbringen d¨urfen und das Verst¨andnis, das sie mir beim Erstellen dieser Arbeit entgegenbrachten. Sie schaffen es meist in kurzer Zeit mich aus der Formelwelt loszureißen. Diese Arbeit wurde im Rahmen des ACCM(Austrian Center of Competence in Mechatronics) nach dem Kompetenzzentren-Programm K2 durchgef¨uhrt und mit Mit¨ teln des Bundes Osterreich und des Landes Ober¨osterreich gef¨ordert. Dieses Zentrum erm¨oglicht nicht nur die instituts¨ubergreifende Forschung, sondern gibt auch vielen jungen Kollegen die Chance in interessanten Forschungsprojekten zu promovieren. Fragen und Verbesserungsvorschl¨age k¨onnen sie gerne an meine E-Mail-Adresse [email protected] senden. Linz, Juni 2011

Hubert Gattringer

Inhaltsverzeichnis

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Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.1 Ubersicht ................................................. 1.1.1 Klassische Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Parallelkinematiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Serviceroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Elastische Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Gelenke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Konfigurationsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Operationsraum - Task Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Redundanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Singularit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Robotercharakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Stand der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Modellbildung f¨ur starre Robotersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Modellbildung f¨ur elastische Robotersysteme . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Elastische Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Redundante Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Fahrende Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Bewegungsplattformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 3 3 5 6 6 6 6 6 7 7 9 9 11 11 12 13 14 14 15

Teil I Theorie 2

Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen . . . 2.1.1 Position und Drehmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 R¨aumliche Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Translationsgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 22 29 29

ix

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2.2.2 Rotationsgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Beschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Translationsbeschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Winkelbeschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Lineare Kinematik Bernoulli-Euler Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Lineare Kinematik Timoshenko Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Mehrk¨orperkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Topologie baumstrukturierter Mehrk¨orpersysteme . . . . . . . . . 2.6.2 Kinematische Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 32 32 33 33 35 36 37 38

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Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Zentralgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hamel-Boltzmann Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Lagrange Gleichungen 2-ter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Projektionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 42 42 43 44

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Projektionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Projektionsgleichung - Subsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Darstellung mittels Zwischenvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Zusammenf¨ugen des Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Allgemeine Modellierung eines Roboters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Kinematische Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Subsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 48 50 50 56 56 57

5

Elastische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Elastizit¨atstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Cauchyscher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Elastisches Potential - Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Trefftzscher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Green-Lagrangescher Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Elastisches Potential - Bernoulli-Euler Balken . . . . . . . . . . . . 5.1.7 Elastisches Potential Timoshenko Balken . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Beispiel Bernoulli-Euler Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Partielle Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Beispiel Timoshenko Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Partielle Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.4.3 Ubergang auf neue Koordinaten - Vernachl¨assigung des Schubeinflusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Elimination des Biegewinkels B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 63 65 66 67 68 70 71 72 74 75 75 76 77 78 78 79

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5.5 Dynamische Steifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.6 L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.7 Ausblick Mehrk¨orpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6

Ritz Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Galerkin Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Erweitertes Galerkin Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ritz Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Mehrk¨orpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Dynamische Steifigkeitsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Subsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Kinematische Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Gesamtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.1 Projektion in neue Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.2 Kontaktkr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.2.1 Explizite Berechnung der Kontaktkr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2.2 Rekursive Formulierung - Algebraischer Ansatz . . . . . . . . . . 96 7.2.3 Rekursive Formulierung - Ansatz u¨ ber Bindungsgleichung . 97 7.2.4 Geschlossene kinematische Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.2.5 Mehrfache Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.3 Bindungsstabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.4 Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.4.1 Rekursives Verfahren - Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.5 Numerisches Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

85 85 86 87 88 88 90 91 92

Teil II Anwendungen 8

Elastische Knickarmroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.2 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.2.1 Elastischer Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.2.2 Gesamtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.3 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.3.1 Bahnkorrektur - Minimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.3.2 Bahnkorrektur - Rekursive Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.3.3 Schwingungsd¨ampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

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Elastische Linearroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.2.1 Teleskopachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.2.2 Gesamtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.3 Schwingungsunterdr¨uckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

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Inhaltsverzeichnis

9.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.5 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10

Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.2 Grundanforderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.2.1 Dynamisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.2.2 Parameteridentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.2.3 Modellverifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.3 Geometrische Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.3.1 Unterscheidung der geometrischen Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.3.2 Berechnung der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.4 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.4.1 PD- Regelung mit Momentenvorsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.4.2 Computed Torque Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.4.3 Dezentrale Regelung mit Sch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.5 Optimale Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.5.1 Definierte Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.5.2 Punkt-zu-Punkt Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11

Redundante modulare Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.2.1 Vorw¨artskinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.2.2 Inverse Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11.2.3 Bahnplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 11.3.1 Subsystem Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 11.3.2 Kinematische Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.3.3 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.4 Aktive Impedanzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 11.5 Passive Impedanz Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.5.1 Endeffektor Impedanzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.5.2 Nullraum Impedanzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.5.3 Implementierung - Gesamtregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12

Fahrende Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.1 Segway Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.1.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.1.2 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.1.3 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.1.4 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.1.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Inhaltsverzeichnis

xiii

12.2 Vierrad Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 12.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 12.2.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.2.3 Flachheit des nichtholonomen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 12.2.4 Quasistatische Zustandsr¨uckf¨uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 12.2.5 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 12.2.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 13

Bewegungsplattformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 13.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 13.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.2.1 Inverse Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.2.2 Vorw¨artskinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 13.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 13.4 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 13.5 Bewegungssimulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 13.6 Washout Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 13.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

14

Rotordynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.1 Mechanisches Rotormodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.1.1 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 14.2 Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.2.1 Hochlauf ohne Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.2.2 Hochlauf mit Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.3 Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 14.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

A

Kinematische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.1 Transformationen Achse/Winkel - Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.2 Eigenschaften der Kreuzprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.3 Drehgeschwindigkeit f¨ur Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 A.4 Relative Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

B

Detaillierte Herleitung O(n)-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 B.1 Drei Subsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 B.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

C

Detaillierte Herleitung rekursive Kontaktmodellierung . . . . . . . . . . . . . 245 C.1 Drei Subsysteme - Endpunktkontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 C.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

D

Detaillierte Herleitung rekursive Stoßmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . 251 D.1 Drei Subsysteme - Endpunktstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 D.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

xiv

E

Inhaltsverzeichnis

Hamilton Prinzip Timoshenko Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Kapitel 1

Einleitung

¨ Die Robotik ist ein sehr weitl¨aufiges Forschungsgebiet. Um darin die Ubersicht nicht zu verlieren, wird vorab eine Unterteilung der verschiedenen Bereiche durchgef¨uhrt. Diese reicht von den klassischen Industrierobotern, u¨ ber Parallelroboter und Service-Roboter bis hin zu den elastischen Robotern. Die hier vorgestellten Methoden sind prinzipiell f¨ur alle Bereiche einsetzbar. Verschiedene Definitionen aus dem Bereich erm¨oglichen eine entsprechende Diskussionsgrundlage f¨ur die folgenden Kapitel.

¨ 1.1 Ubersicht 1.1.1 Klassische Industrieroboter F¨ur eine Definition bez¨uglich Industrieroboter kann auf die VDI Norm [VDI90] zur¨uckgegriffen werden: Industrieroboter sind universell einsetzbare Bewegungsautomaten mit mehreren Achsen, ” deren Bewegungen hinsichtlich Bewegungsfolge und Wegen bzw. Winkeln frei (d.h. ohne mechanischen Eingriff) programmierbar und gegebenenfalls sensorgef¨uhrt sind. Sie sind mit Greifern, Werkzeugen oder anderen Fertigungsmitteln ausr¨ustbar und k¨onnen Handhabungs- und/oder Fertigungsaufgaben ausf¨uhren.“

Abb. 1.1 zeigt einen klassischen Industrieroboter der Firma KUKA Roboter GmbH. Er ist der st¨arkste und gr¨oßte 6-Achsen Roboter, der aktuell am Markt erh¨altlich ist. Mit einer Traglast von bis zu 1000 kg wird der Titan vor allem in der Glas-, Gießerei-, Baustoff-, oder Automobilindustrie eingesetzt. Weitere technische Daten werden in Tabelle 1.1 pr¨asentiert. Der Aufbau ist bei diesen Robotertypen immer a¨ hnlich. Die ersten drei Achsen entsprechen einem anthropomorphen Aufbau. Die Anordnung der letzten drei Gelenke wird als Zentralhand (engl. Spherical Wrist) bezeichnet. Dabei schneiden sich die drei Achsen in einem Punkt, was Vorteile bei der Berechnung der inversen Kinematik bringt.

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_1,  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

1

2

1 Einleitung

Abb. 1.1 KR 1000 Titan Roboter von K UKA

KR 1000 Titan Roboter Traglast:

1000 kg

Gesamtgewicht:

4700 kg

Arbeitsraumvolumen: Max. Reichweite: Anzahl der Achsen:

78 m3 3m 6

Geschwindigkeit/Achse: 60 ◦ /s Tabelle 1.1 Technische Spezifikation K UKA KR 1000 Titan Roboter

Der SCARA-Roboter (Selective Compliance Assembly Robot Arm), Abb. 1.2, hat einen eingeschr¨ankten Arbeitsraum und wird vorwiegend f¨ur hochdynamische Positionieraufgaben eingesetzt.

Abb. 1.2 SCARA Roboter KR 10 von K UKA

¨ 1.1 Ubersicht

3

1.1.2 Parallelkinematiken Im Gegensatz zu klassischen Industrierobotern wirken die Antriebsachsen parallel auf den Endeffektor. Eine spezielle Form der Parallelkinematikmaschine ist der Hexapod. Wie der Name schon sagt, wird eine bewegliche Plattform u¨ ber sechs Beine ver¨anderlicher L¨ange angetrieben. Man erreicht dadurch eine Beweglichkeit in allen sechs Freiheitsgraden (drei translatorische sowie drei rotatorische). Durch diese Bauform besitzen Hexapode im Gegensatz zu seriellen Robotern einen kleineren Arbeitsbereich, sowie ein besseres Nutzlast zu Eigengewicht Verh¨altnis. Da sich die Fehler der einzelnen Achsen nicht aufsummieren, ist die Gesamtgenauigkeit normalerweise besser als bei den seriellen Robotern. Sie finden daher f¨ur hoch genaue Anwendungen beispielsweise in der Medizintechnik als Operationsroboter ihre Anwendung. Durch die hohe Nutzlast eignen sie sich auch als Bewegungssimulatoren f¨ur Flugzeuge, siehe Abb. 1.3.

Abb. 1.3 Flugsimulator mit Stewart Plattform der Firma AMST Systemtechnik GmbH

Die ersten Hexapoden wurden von D. Stewart und E. Gough in den 1950er Jahren gebaut. Sie werden in dieser Anordnung daher auch Stewart/Gough Plattformen genannt. Prinzipiell werden allerdings auch sechsbeinige Gehmaschinen als Hexapoden bezeichnet.

1.1.3 Serviceroboter Auch f¨ur die Service-Roboter soll eine Definition des F RAUENHOFER Institut f¨ur Produktionstechnik und Automatisierung (IPA) in Deutschland aus dem Jahre 1994 als Einleitung dienen: Ein Serviceroboter ist eine frei programmierbare Bewegungseinrichtung, die teil- oder ” vollautomatisch Dienstleistungen verrichtet. Dienstleistungen sind dabei T¨atigkeiten, die

4

1 Einleitung nicht der direkten industriellen Erzeugung von Sachg¨utern, sondern der Verrichtung von Leistungen f¨ur Menschen und Einrichtungen dienen.“

Dieses F RAUENHOFER I NSTITUT forscht intensiv im Bereich Servicerobotik. Unter dem Titel Care-O-bot“ entstanden eine Reihe von mobilen Servicerobotern, ” die zur Unterst¨utzung im Haushalt eingesetzt werden sollen. Es handelt sich dabei um eine bewegliche Plattform, die u¨ ber omnidirektionale Antriebe bewegt werden kann. Durch einen Manipulator mit sieben Freiheitsgraden in Kombination mit einer Drei-Finger Hand k¨onnen verschiedenste T¨atigkeiten durchgef¨uhrt werden. Zur Navigation werden Laserscanner, Farbkameras und eine 3D-Kamera eingesetzt. C ARE -O- BOT 3 kann typische Haushaltsgegenst¨ande selbstst¨andig erkennen und an Menschen u¨ bergeben.

Abb. 1.4 Serviceroboter C ARE -O- BOT 3

Der humanoide Roboter A SIMO von Honda ist wahrscheinlich der zur Zeit am weitesten entwickelte Roboter. Als Forschungsmodell wurde er im Jahr 2004 erst¨ mals der Offentlichkeit pr¨asentiert. Die Gehmaschinen geh¨oren klarerweise auch zur Gruppe der Service-Roboter. In Tabelle 1.2 sind einige technische Daten des Roboters zusammengestellt. A SIMO Gewicht:

54 kg

Gr¨oße:

1.20 m

Anzahl der Freiheitsgrade: Maximale Laufgeschwindigkeit:

34 6 km/h

Maximale Laufgeschwindigkeit im Kreis (2.5 m Radius): 5 km/h Maximale Akkulaufzeit: Tabelle 1.2 Technische Daten A SIMO

40 min.

¨ 1.1 Ubersicht

5

Abb. 1.5 Humanoider Roboter A SIMO der Firma Honda

1.1.4 Elastische Roboter Elastische Roboter werden immer dann eingesetzt, wenn besonders hohe Dynamik notwendig wird. Die Forderung nach großer Geschwindigkeit und Beschleunigung verlangt nach m¨oglichst leichten Roboterarmen, was zwangsl¨aufig zu Strukturelastizit¨aten f¨uhrt.

Abb. 1.6 Elastische Roboter am Institut f¨ur Robotik der JK Universit¨at Linz

6

1 Einleitung

1.2 Definitionen 1.2.1 Gelenke Gelenke verbinden zwei aufeinanderfolgende Strukturelemente und schr¨anken damit die Bewegungsm¨oglichkeit zwischen beiden ein. Man unterscheidet zwischen Drehgelenken (ein Rotationsfreiheitsgrad) und Schubgelenken (ein Translationsfreiheitsgrad) .

1.2.2 Konfigurationsraum Der Raum in dem die Gelenke des Roboters repr¨asentiert werden ist der Gelenkraum oder Konfigurationsraum. Die Gelenkvariablen q ∈ IRn werden als Koordinaten verwendet. Die Dimension n ist gleich der Nummer der unabh¨angigen Gelenke und entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade des mechanischen Systems. Bei baumstrukturierten Robotern sind die Gelenkkoordinaten unabh¨angig, w¨ahrend es bei geschlossenen Strukturen Bindungen zwischen den Variablen gibt.

1.2.3 Operationsraum - Task Space Die Position und Orientierung des Endeffektors (Tool Center Point, kurz TCP) wird im Operationsraum angegeben. Normalerweise werden kartesische Koordinaten f¨ur die Position und Drehwinkel f¨ur die Orientierung verwendet. Als Index wird in weiterer Folge der Buchstabe E f¨ur Endeffektor verwendet. Position und Orientierung werden damit als zE zusammengefasst   rE zE = (1.1) ∈ R6 . E Des o¨ fteren wird auch die Bezeichnung zTCP oder nur z verwendet.

1.2.4 Redundanz Ein Roboter wird als redundant bezeichnet, wenn die Anzahl der Freiheitsgrade im Operationsraum geringer als die Anzahl der Freiheitsgrade im Konfigurationsraum ist. Das erweitert im Allgemeinen den Arbeitsraum und erh¨oht die Leistungsf¨ahigkeit, wegen der F¨ahigkeit, auf Hindernisse zu reagieren. Der einfachste Fall liegt f¨ur ein ebenes Dreifachpendel vor. Es gibt dabei 3 Gelenkkoordinaten,

1.3 Robotercharakteristik

7

im Operationsraum aber nur 2 (x, y-Position des Endeffektors). Redundanz tritt auf jeden Fall auf, wenn der Roboter mehr als 6 Freiheitsgrade hat.

Abb. 1.7 Redundante Roboter beim Bau des Science Parks der Johannes Kepler Universit¨at Linz

1.2.5 Singularit¨at F¨ur alle Roboter, redundant oder nicht, gibt es einige Konfigurationen, bei denen die Anzahl der Endeffektorkoordinaten geringer als die Dimension des Operationsraum ist. Das passiert zum Beispiel, wenn 2 Drehgelenke kolinear werden.

1.3 Robotercharakteristik • Arbeitsraum: definiert den Raum, den der Roboter-Endeffektor erreichen kann. Der Bereich h¨angt von der Anzahl der Freiheitsgrade, den Gelenksbegrenzungen und der L¨ange der Verbindungselemente ab. • Positionsgenauigkeit: kennzeichnet die Differenz zwischen einer Sollposition und dem Mittelwert von Istpositionen, wenn die Sollposition mehrere Male von verschiedenen Startpositionen aus angefahren wird. Die Positionsgenauigkeit ist ca. ±0.3 mm(Roboter mit einem Arbeitsbereich von ca. 2 m, Traglast 10 kg). Dazu ist eine genaue geometrische Kalibrierung notwendig. • Last: Maximale Last, die der Roboter tragen kann. • maximale Geschwindigkeit / Beschleunigung • Wiederholgenauigkeit: ist die Genauigkeit, welche der Roboter bei mehrmaligem Anfahren immer wieder erreicht. Sie ist die Distanz zwischen der mittleren

8

1 Einleitung

erreichten Position und der am weitesten entfernten Position. Die Wiederholgenauigkeit liegt bei Standardrobotern bei ca. ±0.05 mm (Roboter mit einem Arbeitsbereich von ca. 2 m, Traglast 10 kg). • Bahngenauigkeit: Die Bahngenauigkeit gibt an, wie genau ein Roboter eine vorgegebene Ablaufbewegung bei festgelegter Geschwindigkeit einh¨alt. Sie wird von den Roboterherstellern f¨ur jeden Ger¨atetyp in genormten Testl¨aufen ermittelt. Das Ergebnis findet sich im Datenblatt des Roboters. Die Bahngenauigkeit ist bei Robotern mit Bahnsteuerung, die z.B. zum Schweißen oder Laserschneiden eingesetzt werden, ein wichtiges Leistungsmerkmal. Je nach Einsatzzweck sind die Anforderungen an die Bahngenauigkeit eines Roboters sehr unterschiedlich: W¨ahrend sie z.B. beim Messen, bei der Montage und in der Medizin in der Regel hoch bis sehr hoch sind, reicht beim Bahnschweißen meist eine geringe Bahngenauigkeit aus. Nach VDI 2861 [VDI01] wird die Bahngenauigkeit durch folgende Kenngr¨oßen beschrieben: – – – – – – –

Mittlerer Bahnabstand Mittlerer Bahnstreubereich Mittlere Bahn-Orientierungsabweichung Mittlerer Bahn-Orientierungsstreubereich Mittlere Bahnradiusdifferenz Mittlerer Eckenfehler ¨ Mittlerer Uberschwingfehler

• Aufl¨osung: gibt das kleinste Inkrement einer Bewegung an, das gemessen werden kann.

Positionswiederholgenauigkeit

Positionsgenauigkeit

Sollposition

Abb. 1.8 Positionsgenauigkeit und Positionswiederholgenauigkeit

1.4 Stand der Technik

9

1.4 Stand der Technik 1.4.1 Modellbildung fur ¨ starre Robotersysteme Schon in fr¨uhen Jahren begann man mit der mathematischen Beschreibung von dynamischen Systemen. Man denke zum Beispiel an den Impuls-/Drallsatz (1736/ 1750/ 1775). Prinzipiell kann die dynamische Modellbildung in analytische und synthetische Methoden unterschieden werden. Bei den analytischen Methoden werden die Bewegungsgleichungen aus den Gesamtenergien hergeleitet. Zu ihnen z¨ahlen beispielsweise die L AGRANGE-Gleichungen [Lag87], M AGGI-Gleichungen, H A MILTON -Prinzip, usw. F¨ ur Mehrk¨orpersysteme ist der Aufwand zur Bestimmung der Bewegungsgleichungen aufgrund des Differentiationsformalismus sehr hoch. F¨ur Stabilit¨atsaussagen zum Beispiel nach der LYAPUNOV Theorie [Sch01] oder energiebasierte Regelungsmethoden [Kug01] haben sie allerdings Vorteile. Systeme mit nichtholonomen Bindungen k¨onnen mit den analytischen Methoden ebenfalls behandelt werden. Um keinen Informationsverlust zu erleiden, m¨ussen aber die Bindungen bei den Energien vorerst offen gelassen werden. Sie werden durch entsprechende Nachtransformationen eingebracht. Viele Arbeiten im Bereich der Mehrk¨orperdynamik benutzen die L AGRANGEschen- und H AMILTONschen- Gleichungen in Kombination mit Bindungen an den Koppelpunkten. Dies f¨uhrt auf ein differential-algebraisches System, siehe zum Beispiel [BS02, ESE98, GA08]. Besondere Beachtung wird dabei auf effiziente Gleichungsl¨oser gelegt. Bei den synthetischen Methoden werden Impuls- und Drallbilanz u¨ ber eine Projektion in den Minimalraum zur Bewegungsgleichung kombiniert, was auf die Projektionsgleichung f¨uhrt [Bre88, BP92, Bre03b, Bre08, Gat06]. F¨ur viele Freiheitsgrade sinkt dabei der Aufwand gegen¨uber den analytischen Verfahren. Ein entscheidender Vorteil ist auch, dass nichtholonome Bindungen vorab ber¨ucksichtigt werden k¨onnen. Diese treten beispielsweise bei fahrenden Robotern, bei denen die R¨ader nicht quergleiten k¨onnen, auf, siehe [Bla01]. S¨amtliche K¨orper k¨onnen in beliebigen Referenzsystemen eingebunden werden. Das, und die Wahl von nichtholonomen Geschwindigkeiten erlaubt eine Strukturierung des Problems. Es k¨onnen einzelne Baugruppen - zum Beispiel Motor, Getriebe und Arm - zu Subsystemen zusammengefasst werden. Diesen sind dann beschreibende Geschwindigkeiten zugeordnet. Eine nachfolgende Projektion in den Minimalraum f¨uhrt auf die Bewegungsgleichung. Eine Herleitung verschiedenster Subsysteme ist in [Bla01, Mit05, Gat06, H¨ob10, Rie11] zu finden. Einen gewissen Bekanntheitsgrad haben auch Kanes Dynamical Equations“ [KL85] ” erreicht. Sie stellen, in Kombination mit eingef¨uhrten Abk¨urzungen, im Wesentlichen die Projektionsgleichung mit der Einschr¨ankung auf das Inertialsystem dar. Diese Einschr¨ankung ist aber einen gravierenden Nachteil. Sie werden daher in dieser Arbeit nicht mehr weiter betrachtet. F¨ur Simulations- und Beobachtungsaufgaben m¨ussen die Beschleunigungen explizit berechnet werden. Das Invertieren der Massenmatrix ist von der Ordnung O(n3 ) und damit f¨ur Systeme mit vielen Freiheitsgraden sehr rechenintensiv. F¨ur baumstruk-

10

1 Einleitung

turierte Mehrk¨orpersysteme, k¨onnen diese Beschleunigungen auch rekursiv berechnet werden. Im Wesentlichen wird f¨ur den letzten K¨orper durch Verwendung des Schnittprinzips die Zwangskraft am Koppelpunkt berechnet und - Gegenwirkungsprinzip - am vorletzten K¨orper eingesetzt. Dieser wird am vorletzten Koppelpunkt aufgeschnitten, die Zwangskraft berechnet, etc. Die Rechenkomplexit¨at ist in die¨ sem Fall nur von der Ordnung O(n). Einen Uberblick, und eine detaillierte Analyse bez¨uglich der notwendigen Operationen, u¨ ber verf¨ugbare Algorithmen zeigt [KD04]. Die ersten Algorithmen wurden in [LWP80, Fea87] und [BJO86] publiziert. Diese sind eigentlich doch relativ komplex. Neuere Arbeiten zu diesem Thema sind in [Att04, MS07] und [Kha10] zu finden. Es werden dabei unterschiedliche Algorithmen f¨ur verschiedene K¨orper ben¨otigt. Ein strukturiertes Vorgehen erh¨alt man wieder durch die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung, siehe [Bre07a, Gat06]. Da dieser Algorithmus nur auf die Projektion der Subsysteme in den Minimalraum angewendet wird, ist er f¨ur alle beliebigen Subsysteme g¨ultig. Treten zus¨atzliche Kontakte auf, so kann der O(n)-Algorithmus durch Hinzunahme der entsprechenden Zwangskr¨afte adaptiert werden. In diesem Kontext k¨onnen auch geschlossene kinematische Schleifen behandelt werden. Ein anderer Fall sind Laufmaschinen, wo immer wieder ein anderer Fuß Bodenkontakt hat, siehe [GB05b]. Prinzipiell werden die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskr¨aften und der zweifachen zeitlichen Ableitung der Bindungsgleichung in der JACOBI Gleichung [Jac42] kombiniert. Als L¨osung erh¨alt man die Beschleunigungen und die Zwangskr¨afte. Auch hier kann der Aufwand durch den Einsatz von rekursiven Methoden bedeutend vermindert werden. In [BJO87] wird ein O(n) Verfahren f¨ur kinematische Schleifen vorgestellt. Ein strukturierteres Vorgehen ergibt sich wieder durch den Einsatz der Projektionsgleichung. In die JACOBI Gleichung gehen nur die Bindungsbeschleunigungen explizit ein. F¨ur die Bindung kommt es daher zu einer numerischen Drift. Diese kann durch eine BAUMGARTE Stabilisierung [Bau72] vermieden werden. Dieses Verfahren findet bei der Modellierung einer zweibeinigen Laufmaschine Anwendung [GB04, GB05a, GBH06]. ¨ Beim Ubergang vom freien System zum gebundenen System tritt zwangsl¨aufig ein Stoß auf. Bei der Modellierung als N EWTON Stoß [Bre07b] k¨onnen die Minimalgeschwindigkeiten nach dem Stoß berechnet werden. Dazu muss aber wieder die Gesamtmassenmatrix invertiert werden. Die Integration u¨ ber die Stoßzeit f¨uhrt auf eine Formulierung, die der Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung a¨ hnlich ist, allerdings auf Geschwindigkeitsebene. Aus Analogie¨uberlegungen k¨onnen daher die Geschwindigkeiten nach dem Stoß wieder rekursiv berechnet werden. Die Details sind in [Gat06] erarbeitet. Nach dem Wissen des Autors ist das der einzige Algorithmus, der diese Stoßprobleme rekursiv l¨ost. F¨ur nicht rekursive L¨osungen sollten die Arbeiten von [Pfe08, Glo01] erw¨ahnt werden. Dort kommen spezielle Kraftgesetze zum Einsatz. Das resultierende lineare Komplementarit¨atsproblem (LCP) kann beispielsweise mit dem L EMKE Algorithmus gel¨ost werden.

1.4 Stand der Technik

11

1.4.2 Modellbildung fur ¨ elastische Robotersysteme F¨ur die dynamische Modellbildung von elastischen Systemen k¨onnen prinzipiell die gleichen Methoden wie f¨ur die starren hergenommen werden. Da es sich um verteilt parametrische Systeme handelt, wo eine Verschiebung beispielsweise vom Ort und von der Zeit abh¨angt, sind partielle Differentialgleichungen (PDE) das Ergebnis, siehe [Bre08, Wau08, SW99]. Eine N¨aherungsl¨osung gelingt, indem die elastischen Deformationen durch einen R ITZ Ansatz [Rit09] angen¨ahert werden und die Bewegungsgleichung u¨ ber das R ITZ Verfahren angegeben wird. Oftmals kommt auch die Finite Elemente Methode [ZY04] zum Einsatz. In der Literatur wird die Dynamik auch durch vereinfachte Masse-Feder-Modelle ( lumped-mass-method“) [YKKU04] hergeleitet. Detailliertere Modelle finden sich ” in [Low87], wo das H AMILTON- Prinzip verwendet wird. In [WSB96, SSH08] werden beispielsweise die L AGRANGE Gleichungen verwendet. Aufgrund des Aufwandes der dabei zu treiben ist, handelt es sich bei diesen Arbeiten um Systeme mit wenigen Freiheitsgraden. F¨ur Mehrk¨orpersysteme mit vielen Freiheitsgraden bietet sich wieder die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung an. F¨ur ein Subsystem, das aus starren und elastischen Teilen besteht erh¨alt man durch Einsetzen des R ITZansatzes eine gew¨ohnliche Differentialgleichung f¨ur das Subsystem [Bre03a]. Die Projektion in den Minimalraum erfolgt wieder analog den starren Systemen. Auch hier empfiehlt sich der Einsatz des O(n) Verfahrens zur Berechnung der Minimalbeschleunigungen. Ein Teilgebiet der elastischen Mehrk¨orpersysteme stellt die Rotordynamik dar. Sie geh¨ort klarerweise nicht zu den Robotersystemen. Die dynamische Modellbildung kann allerdings analog erfolgen. Als Standardwerk in diesem Bereich kann sicher das Buch Rotordynamik“ von Gasch et. al. [GNP05] genannt wer” den. Darin finden sich generelle Herleitungen f¨ur verschiedenste Rotoren. In vielen Ver¨offentlichungen wird der J EFFCOTT-L AVAL Rotor untersucht. Durch Einsatz der Projektionsgleichung in Kombination mit dem R ITZ Verfahren kann die Bewegungsgleichung auch f¨ur diese drehenden K¨orper effektiv bestimmt werden, ¨ siehe [Bre87, Bre88]. Die Ansatzfunktionen k¨onnen dabei u¨ ber das Ubertragungsmatrizenverfahren [Wau08] bestimmt werden. In [Hub08, HGBM10] werden rotordynamische Simulationen von Walzwerken untersucht. Aufgrund der Abmessungen der Walzen m¨ussen T IMOSHENKO Balken modelliert werden.

1.4.3 Elastische Roboter F¨ur die Regelung elastischer Roboter gibt es viele verschiedene Ans¨atze. Eine detaillierte Zusammenfassung der Methoden wurde in [DE06] erarbeitet. Es existieren viele Ver¨offentlichungen, z.B. [WV92], die sich mit drehenden elastischen Balken besch¨aftigen. Ebene Roboter findet man auch in [AS00, WSB96]. In [Geb87] wird ein mehrstufiges Konzept zur Bahnregelung f¨ur einen elastischen 5- Ach-

12

1 Einleitung

sen Roboter vorgestellt. Es wird dabei eine modellbasierte Vorsteuerung in Kombination mit einer PD Gelenkregelung angewendet. Kleemann [Kle89] verwendet außerdem Dehnmessstreifenmessungen zur Verbesserung der Bahntreue und zur Schwingungsd¨ampfung. Dieses Konzept wird in [Bre07b] verallgemeinert. In H¨obarth [HGB08] wird diese Regelung mit einem modellbasierten Ansatz nach dem Sliding Mode Prinzip verglichen. Linearroboter werden beispielsweise in [DDB+ 06, Boe10, GKHB10] behandelt. F¨ur die Modellierung und Regelung von Hochregallagerfahrzeugen kann auf [SSH08] und [BRU08] verwiesen werden. Beide behandeln das infinit dimensionale System, siehe auch [Rud03a]. F¨ur dieses kann eine flachheitsbasierte Vorsteuerung berechnet werden. In [SSH08] und [SGHB10] wird das Fehlersystem u¨ ber passivit¨atsbasierte Backstepping Methoden stabilisiert. Die Stetigkeit der Sollbahnen f¨ur elastische Roboter wird von Barre et. al. [BBBD05] untersucht.

1.4.4 Industrieroboter Unter Industrierobotern versteht man vor allem seriell aufgebaute, starre Arme, die durch Motor- Getriebeeinheiten angetrieben werden. Sie bestehen normalerweise aus sechs Achsen. F¨ur eine hochdynamische, genaue Bewegung des Roboters m¨ussen folgende Teilprobleme beachtet werden: geometrische Roboterkalibrierung, hochgenaue Bahnregelung und optimale Bahnplanung. Grundlage f¨ur diese Methoden ist oftmals das dynamische Modell des Roboters. Die dynamische Modellbildung kann mit den in Kap. 1.4.1 vorgestellten Methoden vollst¨andig durchgef¨uhrt werden. Aufgrund der immer wiederkehrenden Baugruppen, bietet sich die Methode der Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung an [Bre08]. Diese setzt aber die Kenntnis der dynamischen Parameter, wie Tr¨agheiten, Massen, usw. voraus. Identifikationsmethoden werden in [KD04, Bre07b] beschrieben. Unter der geometrischen Kalibrierung versteht man die Korrektur statischer Fehler aufgrund von Fertigungsungenauigkeiten. Diese Fehler lassen sich in Nulllagenfehler, L¨angenfehler und Achsenschiefstellungen unterscheiden [Bey04]. Prinzipiell werden Punkte im Raum extern vermessen und mit der Vorw¨artskinematik des Roboters und den modellierten Fehlern in Verbindung gebracht. Durch L¨osen eines nichtlinearen Gleichungssystems werden die Parameter identifiziert. Neuere Arbeiten verwenden keine externen Messsysteme, sondern benutzen Ebenen im Raum, oder Beschleunigungssensoren, siehe [IH97, Bra10], bzw. [CHB94]. Hollerbach [HW96] definiert einen Kalibrierungsindex zum Finden von optimalen Punkten f¨ur die Kalibrierung. Es wird ebenfalls auf das Messrauschen eingegangen. F¨ur die Regelung stehen eine Vielzahl an Methoden zur Verf¨ugung. Es haben sich verschiedene modellbasierte Linearisierungsmethoden durchgesetzt, siehe zum Beispiel [Isi85, SL90, FLMR95, KD04, SS04]. Diese Methoden linearisieren und entkoppeln die Bewegungsgleichung durch das inverse dynamische Modell. In der Literatur finden sich weiters passivit¨atsbasierte Regelungskonzepte. Diese k¨onnen ebenfalls mit einer adaptiven Parameteridentifikation gekoppelt werden [LH88]. Bei

1.4 Stand der Technik

13

diesen Regelungen handelt es sich um zentrale Konzepte. Die Stellgr¨oßen werden also auf einem Zentralcomputer berechnet und an die Achsen weitergegeben. Um diesen Rechenaufwand zu vermindern, und die Totzeiten zu verringern, kann auf dezentrale Methoden u¨ bergegangen werden. M¨uller et. al. [M¨ul95a, HM96, HM97, M¨ul00] stellen ein Verfahren vor, bei dem die auf eine einzelne Achse wirkenden Nichtlinearit¨aten gesch¨atzt und kompensiert werden, w¨ahrend die Zustandsgr¨oßen auf der Bahn geregelt werden. Detaillierte Auswertungen f¨ur einen 6 Achsen Industrieroboter werden in [Rie11] pr¨asentiert. F¨ur schnelle Roboterbewegungen sind optimierte Bahnen unumg¨anglich. Man unterscheidet prinzipiell zwischen Punkt-zu-Punkt Bahnen, bei denen der Weg dazwischen nicht vorgegeben ist, oder geometrisch definierte Bahnen. Dabei sind die physikalischen Grenzen des Roboters (max. Gelenkgeschwindigkeit, max. Gelenkbe¨ schleunigung, max. Motormoment) einzuhalten. Durch Ubergang der Bewegungsgleichung auf einen Bahnparameter k¨onnen zeit/energieoptimale L¨osungen durch Anwenden einer B ELLMAN Optimierung gefunden werden [Joh88, Pfe08, Gru09]. Erste L¨osungsvorschl¨age gehen auf Bobrow et. al [BDG85] zur¨uck. Prinzipiell k¨onnen die optimalen Bahnen mit numerischen L¨osern bestimmt werden. Diese benutzten die mehrfachen Schießverfahren zur Bestimmung der L¨osung [LBS+ 03, Rie11]. In [SH86] wird eine zeitoptimale L¨osung f¨ur Punkt zu Punkt Trajektorien mit Hilfe der Graphentheorie hergeleitet. Als prinzipielles Standardwerk der Robotik sollte auf jeden Fall das Handbook of ” Robotics“[SK08] erw¨ahnt werden. Darin werden eine Vielzahl von Themen detailliert durchdiskutiert.

1.4.5 Redundante Roboter Redundante Roboter haben die Eigenschaft, dass sie mehr Gelenksfreiheitsgrade als Freiheitsgrade im Operationsraum besitzen. Sie sind daher kinematisch u¨ berbestimmt, was sich durch das Vorhandensein eines Nullraumes auszeichnet. Dieser Nullraum kann gezielt genutzt werden. Man denke beispielsweise an das Ausweichen bei Hindernissen. Zur L¨osung der inversen Kinematik k¨onnen daher verschiedene Optimierungskriterien (Energieoptimalit¨at, Geschwindigkeitsgrenzen, Gelenkbegrenzungen) herangezogen werden, siehe [PS05, HS95]. F¨ur die Herleitung der Bewegungsgleichungen wird wieder auf Kap. 1.4.1 verwiesen. In [Obe08] wird diese beispielsweise f¨ur einen 7- Achsen Roboter bestehend aus modularen Einheiten aufgebaut. Durch die Verwendung der Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung kann die Bewegungsgleichung auch f¨ur einen modularen Aufbau mit verschiedensten Anordnungen der Gelenke effektiv bestimmt werden. Diese Roboter werden vor allem im Bereich der Service-Robotik eingesetzt. Eine wesentliche Forderung in der Umgebung von Menschen ist die Nachgiebigkeit der Roboter. Diese Nachgiebigkeit kann u¨ ber Impedanzregelgesetze erreicht werden [KD04]. Die Nachgiebigkeit kann in einen Endeffektoranteil und den Nullraumanteil entkoppelt werden [PS05]. Die Basis f¨ur diese Entkopplung ist die Transformation des

14

1 Einleitung

Roboters vom Konfigurationsraum in den Operationsraum. Diese wird in [Kha87] erstmals vorgeschlagen. Durch Linearisierung der Systemdynamik kann ein entsprechendes nachgiebiges Verhalten u¨ ber die Fehlerdynamik vorgegeben werden. Khatib [Kha87] und Kommainda [Kom03] schlagen eine vollst¨andige Entkopplung f¨ur das ungest¨orte System vor, w¨ahrend Ott [Ott05, Ott08] eine partielle Entkopplung bevorzugt. Diese hat beim Auftreten der externen Kr¨afte bestimmte Vorteile. In diesen Arbeiten wird die Linearisierung im Operationsraum durchgef¨uhrt. Effizienter ist die Methode allerdings, wenn bereits im Konfigurationsraum entkoppelt wird, worauf Siciliano [SV99] hinweist. Die Nullraumimpedanz kann analog vorgegeben werden, siehe [Hof10]. In [Sch11] wird das Ausweichen gegen¨uber Hindernissen mit einem redundanten SCARA-Roboter experimentell gezeigt.

1.4.6 Fahrende Roboter Die fahrenden Roboter werden hier in die Gruppe der instabilen und stabilen Plattformen unterteilt. Das Modell eines Segways ist aufgrund des Aufbaues klarerweise instabil. Eine detaillierte mechanische Modellbildung f¨ur dieses nichtholonome Fahrzeug findet sich in [H¨ob05, Fra05]. Die Stabilisierung der oberen Ruhelage erfolgt mit einem LQR-Regler. Die Bahnregelung wird in [H¨ob05] durch eine Eingangs/Ausgangslinearisierung des kinematischen Modells erreicht. Eine deutliche Verbesserung erreicht man durch die flachheitsbasierten Konzepte in [Roh08, Kil09]. Fahrende Roboter mit vier R¨adern sind ebenfalls durch nichtholonome Geschwindigkeitsbindungen gekennzeichnet, da die R¨ader nicht quergleiten k¨onnen. In [Bla01] werden alle m¨oglichen unterschiedlichen vierr¨adrigen Konfigurationen miteinander verglichen. Mit der Projektionsgleichung k¨onnen die Bewegungsgleichungen effektiv hergeleitet werden. Die Bahnregelung kann beispielsweise durch eine Eingangs/Ausgangslinearisierung erreicht werden, siehe [Bla01, Fri05]. Es zeigt sich dabei, dass nur ein Punkt vor dem Roboter stabil geregelt werden kann. Durch Einsatz der flachheitsbasierten Trajektorienfolgeregelung k¨onnen auch Punkte auf der Hinterachse geregelt werden. Entsprechende Arbeiten sind [Woe98, Rud03b, Fiz08].

1.4.7 Bewegungsplattformen Bewegungsplattformen werden meist als Parallelkinematiken aufgebaut. Die Steifigkeit ist gegen¨uber seriellen Robotern bedeutend h¨oher, was zu Lasten des Arbeitsraumes geht. In [RU03] und [Rie05] wird eine elektrische angetriebene, hochgenaue Stewart Plattform vorgestellt. Es werden auch Methoden zur Schwingungskompensation behandelt. Grundlagen zu den Parallelkinematiken findet man in [KD04, Mer00]. Die dynamische Modellierung erfolgt analog zu den seriellen Robotern. Ein Unterschied ergibt sich bei der Kinematik. Eine L¨osung der inversen

1.5 Gliederung der Arbeit

15

Kinematik kann direkt u¨ ber Vektorketten angegeben werden. Schwieriger ist die L¨osung f¨ur die Vorw¨artskinematik. In [Hus96] werden dazu analytische Methoden vorgestellt, die allerdings relativ aufwendig sind. In [Rie05, Sch07, GNB09] wird daher eine L¨osung u¨ ber das N EWTON Iterationsverfahren verwendet. ¨ Ublicherweise werden die Aufbauten elektrisch angetrieben. In [GNB09] wird auf eine durch Luftmuskel aktuierte Stewart Plattform eingegangen. Die Muskeln werden mit einem Druck beaufschlagt und ziehen so an der oberen Plattform. Die zugeh¨origen Druckkr¨afte und -momente werden u¨ ber eine steife Feder im Zentrum aufgebracht [Sch07]. Von der Anwendung her eignet sie sich als Bewegungssimulator f¨ur Flugger¨ate, Automobile, aber auch im low cost“- Bereich f¨ur die Computer” Spielindustrie. Die entsprechenden Washout Filter werden in [Spr10] erarbeitet. Die Regelung erfolgt durch eine modellbasierte Vorsteuerung und einer kaskadierten Regelung, bestehend aus Druckregelung, Linearisierung der Muskelkennlinien und PD-Regelung, siehe [F¨ol96]. Einige grundlegende Regelungskonzepte f¨ur die Luftmuskeln sind in [NBV04] erarbeitet. Singh et al. [SLKN05] beschreiben das Design und die Regelung eines einzelnen pneumatischen Luftmuskels, der von einer Feder umgeben ist. Eine Erweiterung des Ventilverhaltes wird in [SLNK06] gezeigt. Aschemann et al. [AH03] liefern einen Beitrag zur flachheitsbasierten Trajektorienfolgeregelung eines Schlittens. Eine Backstepping Methode und eine Sliding Mode Regelung wird in [AS08b, AS08a] pr¨asentiert. Dabei werden die Muskelkennlinien als statische Kennlinien verwendet. In [KAZD06] wird ein dynamisches Modell der Muskel vorgestellt.

1.5 Gliederung der Arbeit In Kapitel 2 werden die kinematischen Grundlagen zur Beschreibung der starren und elastischen Mehrk¨orpersysteme erarbeitet. F¨ur baumstrukturierte Systeme bietet sich eine Berechnung der Geschwindigkeiten u¨ ber die kinematische Kette an. Den prinzipiellen Methoden der Dynamik widmet sich das Kapitel 3. Diese k¨onnen in analytische und synthetische Methoden unterteilt werden. F¨ur die dynamische Modellbildung bei Systemen mit vielen Freiheitsgraden stellt die Projektionsgleichung ein effektives Verfahren zur Bestimmung der Bewegungsgleichung dar. Kapitel 4 besch¨aftigt sich daher mit einer detaillierten Analyse des Verfahrens. So k¨onnen verschiedene Baugruppen zu Subsystemen zusammengefasst werden. Diese Subsysteme werden in einem letzten Schritt in den Minimalraum projiziert. F¨ur die explizite Bestimmung kann unter Ausnutzung der Struktur der Gleichungen ein O(n) Verfahren hergeleitet werden. Ein Beispiel zur Modellierung eines Roboters mit elastischen Getrieben rundet das Kapitel ab. Die Erweiterung der Methoden auf elastische Mehrk¨orpersysteme erfolgt in Kapitel 5. Es werden vorerst einige Begriffe der Elastizit¨atstheorie erarbeitet (Spannungstensoren, Verzerrungstensoren, usw.). F¨ur eine korrekte Linearisierung der elastischen Deformationen m¨ussen die Verschiebungsfelder 2-ter Ordnung ber¨ucksichtigt werden. Dies resultiert in einer dynamischen Steifigkeitsmatrix. Die Herleitung der

16

1 Einleitung

Bewegungsgleichung mit der Projektionsgleichung f¨ur B ERNOULLI -E ULER und T IMOSHENKO Balken wird an Beispielen gezeigt. Die Bewegungsgleichungen sind allerdings immer noch partielle Differentialgleichungen. Zu deren L¨osung kommen N¨aherungsverfahren zum Einsatz. Dem R ITZ Verfahren ist daher das Kapitel 6 gewidmet. Als Ergebnis erh¨alt man nichtlineare gew¨ohnliche Differentialgleichungen die numerisch integriert werden k¨onnen. Treten bei den Mehrk¨orpersystemen zus¨atzliche Bindungen in Erscheinung, so kann dies durch die entsprechenden Zwangskr¨afte ber¨ucksichtigt werden. Dieses Thema ¨ wird in Kapitel 7 bearbeitet. Uber die JACOBI Gleichung k¨onnen diese Zwangskr¨afte in der Minimalform direkt bestimmt werden. Das Kernst¨uck ist allerdings eine Erweiterung auf die rekursiven Methoden aus Kapitel 4. In diesem Sinne, kann ¨ auch der Stoß, der beim Ubergang vom freien auf das gebundene System auftritt, behandelt werden. Nachdem die theoretischen Herleitungen dieser Arbeit damit soweit abgeschlossen sind, widmen sich die restlichen Kapitel speziellen Anwendungsbeispielen. In Kapitel 8 werden die Methoden also auf einen elastischen Knickarmroboter mit sechs Motorfreiheitsgraden angewendet. F¨ur die dynamische Modellierung wird ein Subsystem bestehend aus Motor, Getriebe, elastischem Arm und Endmasse hergeleitet. Die Regelung besteht aus einer modellbasierten Vorsteuerung, einer Kompensation der quasistatischen Deformationen, einer PD- Gelenkregelung und einer Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung zur Schwingungsd¨ampfung. ¨ Ahnliche Verfahren werden f¨ur die Schwingungsd¨ampfung eines elastischen Linearroboters in Kapitel 9 angewendet. Das Hauptaugenmerk zur hochdynamischen, genauen Industrieroboterregelung wird in Kapitel 10 gelegt. Dieses Ziel wird erreicht indem die Punkte geometrische Roboterkalibrierung, Parameteridentifikation, modellbasierte Regelung und zeitoptimale Bahnplanung, umgesetzt werden. Die Erweiterung dieser Methoden f¨ur den redundanten Fall erfolgt in Kapitel 11. Da die verwendeten Roboter vor allem in der Service-Robotik eingesetzt werden, wird im Speziellen auf die Impedanzregelung eingegangen. In der Service-Robotik werden h¨aufig mobile Plattformen, also fahrende Roboter, eingesetzt. In Kapitel 12 werden zwei Typen solcher Roboter behandelt. Zum einen handelt es sich um ein Segway Modell. Dabei muss neben der Bahnregelung im Raum auch die Stabilisierungsregelung der oberen Ruhelage beachtet werden. F¨ur die Bahnregelung werden flachheitsbasierte Folgeregelungen betrachtet. Diese Regelung eignet sich auch f¨ur den zweiten Typen bei den mobilen Robotern, n¨amlich einer vierr¨adrigen Plattform. F¨ur das kinematische Modell wird also ein flachheitsbasierter Trajektorienfolgeregler entwickelt. Das Kapitel 13 widmet sich den Parallelkinematiken, wobei im Speziellen auf eine pneumatisch aktuierte Stewart Plattform eingegangen wird. Neben der modellbasierten Regelung werden auch Filtermethoden f¨ur Bewegungssimulatoren gezeigt. Das letzte Kapitel 14 behandelt das Thema Rotordynamik. Es ist als Erweiterung zu den elastischen Robotersystemen zu sehen. Da sich die Projektionsgleichung (nat¨urlich) f¨ur alle elastischen Mehrk¨orpersysteme eignet, k¨onnen die Bewegungs-

1.5 Gliederung der Arbeit

17

gleichungen auch hier effektiv berechnet werden. Verschiedene experimentelle und Simulationsergebnisse runden das Kapitel ab.

Kapitel 2

Kinematik

2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen 2.1.1 Position und Drehmatrizen Um die Lage eines K¨orpers genau beschreiben zu k¨onnen, ist es notwendig, die Position eines gew¨ahlten Punktes P, beschrieben durch den Ortsvektor rP und seine Raumorientierung  gegen¨uber der raumfesten Lage, zu kennen. Schneidet man gedanklich ein Massenelement dm aus dem starren K¨orper frei, so ergibt sich f¨ur den Ortsvektor 3 3,3 (2.1) I rP = I ro + AIK K roP ∈ R , AIK ∈ R , siehe Abb. 2.1. O

(R)

(K) ro

roP P

Abb. 2.1 Starrk¨orper im Raum

(I)

rP

dm

Der Vektor K roP kennzeichnet die Verbindung eines Bezugspunktes O zum Massenelement P und ist im k¨orperfesten Koordinatensystem (K) konstant. Nat¨urlich k¨onnen s¨amtliche Vektoren auch in beliebigen Referenzsystemen (R) dargestellt ¨ werden. Uber die Drehmatrix AIK erfolgt die Transformation vom Koordinatensystem (K) in das Inertialsystem (I). Sinngem¨aß werden dabei die Einheitsvektoren eines Ausgangssystems (K) in ein Zielsystem (I) transformiert   (2.2) AIK = I eK1 I eK2 I eK3 . H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_2,  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

21

22

2 Kinematik

Es gilt also ATIK AIK = E ∈ R3,3 T =⇒ A−1 IK = AIK

(2.3) (2.4)

det AIK = ±1 (+1 bei rechtsh¨andigen Koordinatensystemen).

(2.5)

Ihre Berechnung ist einfach, wenn man das Problem auf Elementardrehungen reduziert. So ergibt sich beispielsweise f¨ur eine einzelne Drehung um die x-Achse mit dem Winkel    (2.6) A = AKI = K eI1 K eI2 K eI3 ⎤ ⎡ 1 0 0 = ⎣ 0 cos  sin  ⎦ , (2.7) 0 − sin  cos  bzw. analog f¨ur die Elementardrehung um y (Winkel  ) und dem Winkel  um die z-Achse ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ cos  0 − sin  cos  sin  0 (2.8) A = ⎣ 0 1 0 ⎦ , A = ⎣ − sin  cos  0 ⎦ . sin  0 cos  0 0 1

Zu bemerken ist, dass dabei immer von einem System in ein Zielsystem mit positivem Winkel transformiert wird.

2.1.2 R¨aumliche Drehungen R¨aumliche Drehungen kann man als Hintereinanderschaltung von Elementardrehungen definieren. z 1y

1z

z

2y

1y

2z

1x

y x

2x

y

2y

z

1z 2x

y Abb. 2.2 Verschiedene Drehungen um Folgeachsen

x

1y 1z

2z 1x

2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen

23

Die Gesamtorientierung h¨angt dabei wesentlich von der Drehreihenfolge ab. Abb. 2.2 zeigt einen K¨orper der um die z− und y− Drehachsen in unterschiedlicher Reihenfolge gedreht wird. Die Endorientierung ist klarerweise eine andere.

2.1.2.1 Kardanwinkel Bei der Darstellung mithilfe von Kardanwinkeln handelt es sich um eine Hintereinanderausf¨uhrung von Drehungen um die Folgeachsen x − y − z. Iz Kz





Ky

Ix

Iy

 

Kx

Abb. 2.3 Darstellung Kardanwinkel

Die zugeh¨orige Drehmatrix lautet damit ⎡

AKI = AKardan = A A A =

⎤

c c s c + c s s s s − c s c ⎢ ⎥ ⎢ −s c c c − s s s c s + s s c ⎥ , ⎣ ⎦ s −c s c c

(2.9)

(2.10)

wobei die Abk¨urzungen sin  = s , cos  = c verwendet werden. Die Drehmatrix ist eine Funktion der Orientierung

T =   .

(2.11)

Im englischen Sprachraum werden sie auch als TAIT-B RYAN Winkel bezeichnet. In der Literatur findet auch die ROLL -P ITCH -YAW (Rollen-Nicken-Gieren) Transformation eine h¨aufige Anwendung. Inverses Problem: Vielfach m¨ussen aus der Drehmatrix die Winkel  ,  ,  berechnet werden. Am einfachsten funktioniert das indem man AT AKardan = A A

(2.12)

24

2 Kinematik

⎤

⎡

⎡

⎤ c s s −s c c a11 − s a21 c a12 − s a22 c a13 − s a23 ⎣ s a11 + c a21 s a12 + c a22 s a13 + c a23 ⎦ = ⎣ 0 c s ⎦ (2.13) a31 a32 a33 s −c s c c

bildet. Eine Auswertung von Element (2,1) aus Gl.(2.13) liefert s a11 + c a21 = 0, was auf

 = atan2



−a21 a11

(2.14)



(2.15)

f¨uhrt. Die Auswertung der Elemente (1,1) und (3,1) bzw. (2,2) und (2,3) ergibt   a31  = atan2 (2.16) c a11 − s a21   s a13 + c a23  = atan2 . (2.17) s a12 + c a22 Eine Singularit¨at tritt f¨ur  = ± /2 auf. Die Drehmatrix degeneriert zu ⎤ ⎡ 0 s ( +  ) −c ( +  ) AKardan = ⎣ 0 c ( +  ) s ( +  ) ⎦ . 1 0 0

(2.18)

Es ist daher nicht mehr m¨oglich, zwischen den beiden Winkeln  und  zu unterscheiden, da die Drehachsen zusammenfallen. In den Gleichungen f¨ur  - wurde die Funktion atan2 eingef¨uhrt. Dies erm¨oglicht die Auswertung der atan Funktion im richtigen Quadranten.

2.1.2.2 Eulerwinkel ¨ Ahnlich liegen die Dinge bei der Verwendung von Eulerwinkeln. Die Drehreihenfolge sei beispielsweise z − x − z (Winkel  −  −  ) und damit ⎡

AKI = AEuler = A A A =

⎤

c c − s s c c s + s c c s s ⎣ −s c − c s c −s s + c c c c s ⎦ . s s −c s c

(2.19) (2.20)

2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen

25 Iz

Abb. 2.4 Darstellung Eulerwinkel

Kz

 Ky

Ix

Iy



 Kx

Inverses Problem: Die Berechnung der Winkel aus der Drehmatrix erfolgt zweckm¨aßigerweise wieder aus ⎡

c a11 − s a21 c a12 − s a22 ⎣ s a11 + c a21 s a12 + c a22 a31 a32

AT AEuler = A A (2.21) ⎤ ⎡ ⎤ c a13 − s a23 s 0 c s a13 + c a23 ⎦ = ⎣ −c s c c s ⎦ . a33 s s −s c c (2.22)

Element (1,3) ergibt



a13  = atan2 a23



,

(2.23)

bzw.  s a13 + c a23  = atan2 a33   c a12 − s a22  = atan2 c a11 − s a21 

(2.24) (2.25)

aus den Elementen (2,3), (3,3) und (1,1),(1,2). Die Singularit¨at tritt bei  = 0 auf. Dies ist hier besonders einleuchtend, da bei  = 0 die Drehachsen direkt zusammenfallen: Drehreihenfolge z − z (fehlende x Drehung). 2.1.2.3 Winkel/Achse Darstellung Eine weitere Darstellungsform ist die Drehung eines Winkels um eine bestimmte Achse. Es handelt sich dabei um eine nichtminimale Darstellung, da 4 Parameter (1 Winkel, 3 Komponenten der Drehachse) verwendet werden. Die Herleitung

26

2 Kinematik

¨ kann u¨ ber analytische, siehe [Hil97] bzw. geometrische Uberlegungen erfolgen, siehe Abb. 2.5.

u N N 0u

P

Abb. 2.5 Winkel/Achse Darstellung

u Tr

r0

Q r1

r0 P

V

u×

r0

r1



Q

0

Gegeben sind also der Einheitsvektor u = (ux uy uz )T (gew¨unschte Drehachse) und der Drehwinkel  . Der Vektor r0 soll um diese Achse und diesen Winkel auf die Position r1 gedreht werden r1 = Rr0 . (2.26) F¨ur die Herleitung ist es zweckm¨aßig r1 als Funktion von r0 darzustellen − → −→ −→ r1 = 0N + NV + V Q = uuT r0 + (r0 − uuT r0 ) cos  + (u × r0 ) sin  ˜ 0 sin  = r0 cos  + uuT r0 (1 − cos  ) + ur   = cos  E + (1 − cos  )uuT + u˜ sin  r0 .   

(2.27) (2.28) (2.29) (2.30)

R

Elementares Ausrechnen der Drehmatrix durch Einsetzen der Komponenten liefert ⎤ ⎡ 2 ux (1 − c ) + c ux uy (1 − c ) − uz s ux uz (1 − c ) + uy s R = ⎣ ux uy (1 − c ) + uz s u2y (1 − c ) + c uy uz (1 − c ) − ux s ⎦ . (2.31) ux uz (1 − c ) − uy s uy uz (1 − c ) + ux s u2z (1 − c ) + c

Deutung: Zu Beginn der Bewegung ist r( = 0) = r0 . Befestigt man gedanklich ein k¨orperfestes Koordinatensystem K an r, so fallen zu Beginn I und K zusammen. Nach Durchlaufen eines Winkels  hat sich die Position von r relativ zum k¨orperfesten System nicht ge¨andert, w¨ahrend der Beobachter die zeitliche Entwicklung von I aus sieht. Demnach ist Ir

= R K r ⇒ R = AIK .

(2.32)

Vielfach wird die Drehmatrix f¨ur die Winkel/Achse Darstellung aus Gl.(2.30) als AIK = [E + (1 − cos  )u˜ u˜ + u˜ sin  ]

(2.33)

2.1 Transformationen zwischen Vektoren und Koordinatensystemen

27

angegeben. Die Identit¨at ist durch einfaches Einsetzen nachweisbar. Dabei muss von der Definition von u als Einheitsvektor Gebrauch gemacht werden uT u = 1 u2x + u2y + u2z

= 1.

(2.34) (2.35)

Inverses Problem: Auch hier sollen wieder die Drehachse und der Drehwinkel aus der Rotationsmatrix berechnet werden. Die Spur von Gl.(2.31) liefert 2 cos  = a11 + a22 + a33 − 1.

(2.36)

Aus den entsprechenden Nichtdiagonalelementen von Gl.(2.31) erh¨alt man 2ux sin  = a32 − a23 2uy sin  = a13 − a31 2uz sin  = a21 − a12

und damit

⎛

⎞ a32 − a23 1 ⎝ a13 − a31 ⎠. u= 2 sin  a21 − a12

(2.37) (2.38) (2.39)

(2.40)

Die Singularit¨at liegt hier bei  = 0. Diese ist auch einleuchtend, da bei Winkel 0 keine Drehung vollzogen wird und die Drehachse somit willk¨urlich ist. Die Vorteile dieser Darstellung liegen sicher nicht in der nachfolgenden Beschreibung der Dynamik, sondern in der Bahnplanung der Endeffektor Orientierung.

2.1.2.4 Quaternionen - Euler Parameter - Rodrigues Parameter Die Quaternionen (von lat. quaternio Vierheit“) sind eine Erweiterung der reellen ” Zahlen, a¨ hnlich den komplexen Zahlen. Sie wurden 1843 von Sir W ILLIAM ROWAN H AMILTON eingef¨uhrt und werden daher auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. O LINDE RODRIGUES entdeckte sie 1840 unabh¨angig von H AMILTON. Rein formal sind Quaternionen sogenannte viergliedrige hyperkomplexe Zahlen, die u¨ ber die reelle Einheit e1 = 1 und die drei imagin¨aren Einheiten e2 , e3 , e4 wie folgt definiert sind: Q = q1 e1 + q2 e2 + q3 e3 + q4 e4 = {q1 , q}. (2.41) Die Nachteile der Winkel/Achse Darstellung kann durch die Beschreibung u¨ ber die Einheitsquaternion umgangen werden. Definiert man das Quaternion als

 2  q = sin u, 2

q1 = cos

(2.42) (2.43)

28

2 Kinematik

so spricht man in dieser Darstellung auch von E ULER Parametern, wobei q1 als skalarer Teil der Quaternion und q = (q2 q3 q4 )T als Vektorteil bezeichnet wird. F¨ur den Betrag erh¨alt man damit q21 + q22 + q23 + q24 = 1.

(2.44)

Die Drehmatrix ergibt sich direkt aus der Auswertung von Gl.(2.31) und Umschreibung der Elemente als Funktion der qi . Mit den Eigenschaften aus Anhang A.1 ist die Drehmatrix festgelegt

⎤ ⎡ 2 2 q1 + q22 − 1 2 (q 22q3 −2q 1 q4 ) 2 (q2 q4 + q1 q3 ) ⎦ (2.45) AIK = ⎣ 2 (q2 q3 + q1 q4 ) 2 q1 + q3 − 1 2 (q 3 q4 − q 1 q2 ) . 2 (q2 q4 − q1 q3 ) 2 (q3 q4 + q1 q2 ) 2 q21 + q24 − 1 Eine alternative Herleitung ist, wenn man in Gl.(2.33)       1 − cos  = 2 sin2 , sin  = 2 sin cos , 2 2 2

(2.46)

einsetzt. Damit ist

        AIK = E + 2u˜ sin + 2u˜ u˜ sin2 . cos 2 2 2

(2.47)

˜ . AIK = [E + 2(q1 q˜ + q˜ q)]

(2.48)

Verwendet man in dieser Darstellung die Definition der Quaternionen Gl.(2.42) und Gl.(2.43) so ergibt die Drehmatrix direkt

Inverses Problem: Darunter versteht man in diesem Fall die Berechnung der Quaternionen aus der Drehmatrix. Die Auswertung der Spur der Drehmatrix ergibt q1 =

1 a11 + a22 + a33 + 1, 2

(2.49)

die nat¨urlich aufgrund der Wurzel immer positiv ist. Subtrahiert man Element (2,2) und (3,3) von (1,1) l¨asst sich nach einer Vereinfachung 4q22 = a11 − a22 − a33 + 1

(2.50)

anschreiben, was auf den Betrag von q2 f¨uhrt. Zur Auswertung des Vorzeichens betrachtet man die Differenz zwischen den Elementen (3,2) und (2,3) 4q1 q2 = a32 − a23 .

(2.51)

Da q1 immer positiv ist, muss das Vorzeichen von q2 jenem von (a32 − a23 ) entsprechen, und damit  1 q2 = sign(a32 − a23 ) a11 − a22 − a33 + 1. 2

(2.52)

2.2 Geschwindigkeiten

29

¨ Analoge Uberlegungen f¨ur q3 und q4 liefern das Gesamtergebnis 1 a11 + a22 + a33 + 1 2  1 q2 = sign(a32 − a23 ) a11 − a22 − a33 + 1 2  1 q3 = sign(a13 − a31 ) −a11 + a22 − a33 + 1 2  1 q4 = sign(a21 − a12 ) −a11 − a22 + a33 + 1. 2

q1 =

(2.53) (2.54) (2.55) (2.56)

Dabei wurde q1 ≥ 0 implizit definiert, was einem Winkel von  ∈ [− ,  ] entspricht. Damit ist jede Rotation beschreibbar. Es gibt auch keine Singularit¨at f¨ur diese Darstellung. Das Quaternion entsprechend A−1 = AT wird als Q −1 bezeichnet und ist Q −1 = {q1 , −q}.

(2.57)

Seien Q1 = {q11 , q1 } und Q2 = {q12 , q2 } zwei Quaternionen zu entsprechenden Drehmatrizen A1 und A2 , dann ergibt das Produkt (Hintereinanderausf¨uhrung von Drehungen) A1 A2 Q1 ∗ Q2 = {q11 q12 − qT1 q2 , q11 q2 + q12 q1 + q˜ 1 q2 },

(2.58)

wobei der Quaternionen-Produkt-Operator ∗ formal eingef¨uhrt wurde. Weitere Rechenoperationen f¨ur Quaternionen finden sich zum Beispiel in [Kui02]. Eine andere Darstellungsform, die den E ULER Parametern sehr a¨ hnlich ist, sind die RODRIGUES Parameter p. Diese erh¨alt man aus den E ULER Parametern durch p = q/q1 .

(2.59)

In dieser Darstellung k¨onnen wieder Singularit¨aten auftreten, siehe [Hil97].

2.2 Geschwindigkeiten 2.2.1 Translationsgeschwindigkeiten Um die absolute Geschwindigkeit eines Punktes P zu erhalten, muss der Ortsvektor im Inertialsystem abgeleitet werden I vP

= I r˙ P .

(2.60)

Eine zweckm¨aßigere Darstellung erh¨alt man bei einer Auswertung in einem beliebigen Referenzsystem

30

2 Kinematik R vP

= ARI I r˙ P d = ARI (AIR R rP ) dt ˙  IR R rP . r = R r˙ P + R  = ARI AIR R r˙ P + ARI A   IR R P    E  R  IR

(2.61)

Der schiefsymmetrische Spintensor (er u¨ bernimmt die mathematische Operation des Kreuzproduktes) der Winkelgeschwindigkeit im Referenzsystem ⎞ ⎛ R IR,x (2.62) R  IR = ⎝ R IR,y ⎠ R IR,z hat die Gestalt

⎤ 0 − R IR,z R IR,y  IR = ⎣ R IR,z 0 − R IR,x ⎦ . R − R IR,y R IR,x 0 ⎡

(2.63)

Speziell bei Robotersystemen ist es sinnvoll, den Ortsvektor bzw. die Geschwindigkeit eines Punktes mithilfe eines beliebigen Referenzpunktes O darzustellen. Analog zu Gl.(2.1) lautet der Ortsvektor im Referenzsystem (R) R rP

= R ro + R roP .

(2.64)

Setzt man diesen in Gl.(2.61) ein, so ergibt sich R vP

= =

 IR ( R ro + R roP ) ˙ o + R r˙ oP + R  Rr

 IR R ro + R r˙ oP + R   IR R roP . r˙ + R   R o 

(2.65) (2.66)

R vo

Diese Beziehung wird sp¨ater bei der Formulierung der Vorw¨artskinematik des o¨ fteren n¨utzlich sein.

2.2.2 Rotationsgeschwindigkeiten 2.2.2.1 Kardanwinkel Da die Drehreihenfolge mit der Festlegung auf Kardanwinkel bereits eindeutig festgelegt ist, w¨are es extrem aufw¨andig den Winkelgeschwindigkeitstensor mit  IK K

˙ IK = AKI A

zu berechnen. Einfacher ist es die Drehgeschwindigkeit direkt anzugeben

(2.67)

2.2 Geschwindigkeiten

31

K  IK

⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 ˙ 0 = A A ⎝ 0 ⎠ + A ⎝ ˙ ⎠ + ⎝ 0 ⎠ . 0 ˙ 0 ⎛

(2.68)

Der K¨orper dreht zuerst um die inertiale x-Achse mit ˙ . Dann mit ˙ um die neu entstandene y-Achse. Die Geschwindigkeit ˙ muss daher mit A transformiert werden, usw. Die letzte Relativdrehgeschwindigkeit ist ˙. Sie dreht bereits im Referenzsystem (K) und muss daher nicht mehr transformiert werden. Damit ist die Darstellung im System (K) ⎛ ⎞   ˙ ˙ (2.69) K  IK = A A e1 A e2 e3 ⎝  ⎠, ˙    ˙ bzw. im Inertialsystem

I  IK

⎛ ⎞ ˙   = AT AT AT A A e1 A e2 e3 ⎝ ˙ ⎠ ˙   = e1 AT e2 AT AT e3 ˙

(2.70) (2.71)

gefunden. Es sei noch darauf hingewiesen, dass die Winkelgeschwindigkeit I  IK nicht elementar zur Orientierung integrierbar ist. Inverses Problem: F¨ur die Berechnung von ˙ kann aus Gl.(2.69) A ausgeklammert werden   ˙ = {A A e1 | e2 | e3 }−1 K  IK (2.72)  −1 T = A e1 | e2 | e3 A K  IK (2.73) ⎤ ⎡ 1/ cos  0 0 0 1 0 ⎦ AT K  IK . (2.74) =⎣ − tan  0 1

Hier wird wieder die Singularit¨at bei der Verwendung von Kardanwinkeln sichtbar (Division durch cos  /2).

2.2.2.2 Eulerwinkel ¨ Ahnlich sind Herleitungen bei Eulerwinkeln. Die Drehgeschwindigkeit kann direkt aus der Drehreihenfolge angeschrieben werden. Da die Eulerwinkel, definiert durch  ,  ,  , f¨ur eine Sequenz e3 , e1 , e3 angegeben sind, erh¨alt man K  IK

= A A e3 ˙ + A e1 ˙ + e3 ˙   = A A e3 | A e1 | e3 ˙ ,

(2.75) (2.76)

32

2 Kinematik

mit ˙ = (˙ ˙ ˙ )T . Nat¨urlich kann auch hier wieder eine Darstellung im Inertialsystem durch einfache Transformation erreicht werden. F¨ur das inverse Problem ist es wieder hilfreich A auszuklammern

˙ = {A [A e3 | e1 | e3 ]}−1 K  IK = [A e3 | e1 | e3 ] AT K  IK ⎤ ⎡ 0 1/ sin  0 0 0 ⎦ AT K  IK . = ⎣1 0 −cot  1 −1

(2.77) (2.78) (2.79)

Auch hier wird die Singularit¨at bei  = 0 offensichtlich (Division durch sin  ).

2.2.2.3 Quaternionen  IK = Die Berechnung der Drehgeschwindigkeit erfolgt durch die Auswertung von K  ˙ IK und ergibt nach l¨angerer Rechnung AKI A K  IK

= 2 [q1 q˙ − q˜ q˙ − qq˙1 ] .

(2.80)

Die detaillierte Herleitung wird in Anhang A.3 gezeigt.

2.2.2.4 Winkel/Achse Darstellung Mit den elementaren Operationen aus Anhang A.1 erh¨alt man die Rotationsgeschwindigkeit direkt aus der Quaternionendarstellung Gl.(2.42), Gl.(2.43) und Gl.(2.80) zu K  IK

˜ u. ˙ = ˙ u + [sin  E − (1 − cos  )u]

(2.81)

2.3 Beschleunigungen 2.3.1 Translationsbeschleunigungen Analog zur Berechnung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit im Inertialsystem I aP

= I v˙ P .

(2.82)

Geht man wieder auf eine Darstellung im Referenzsystem (R) u¨ ber, so ergibt sich

2.4 Lineare Kinematik Bernoulli-Euler Balken R aP

d (AIR R vP ) dt = R v˙ P + R ˜ IR R vP = R r¨ P + 2R ˜ IR R r˙ P + R ˙˜ IR R rP + R ˜ IR R ˜ IR R rP .

= ARI

33

(2.83) (2.84) (2.85)

Bei der letzten Darstellung sind nacheinander die Anteile “Relativ” - “Coriolis” “Euler” und “Zentripetal”- Beschleunigung angegeben. Ein Beschleunigungssensor der an einen bewegten Punkt des Roboters montiert ist, misst genau diese Komponenten der Beschleunigungen in seinem Referenzsystem.

2.3.2 Winkelbeschleunigungen ¨ Ahnlich liegen die Dinge bei den Winkelbeschleunigungen I

= I ˙ IR .

(2.86)

F¨ur die Formulierung in einem Referenzsystem gilt aber R

d (AIR R  IR ) dt ˙ = ARI A  +A A ˙   IR R IR  RI IR R IR ˜ E R  IR = R ˙ IR , = ARI

(2.87) (2.88) (2.89)

da das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst immer null ergibt.

2.4 Lineare Kinematik Bernoulli-Euler Balken Bei der Modellierung von elastischen Bauteilen wird von bestimmten Hypothesen ausgegangen. F¨ur Balken mit einem L¨angen zu Dicken Verh¨altnis L/D > 10 (lange, schlanke Balken) hat sich die B ERNOULLI Hypothese als technische N¨aherung etabliert. Dabei wird von einem Ebenbleiben des Querschnittes in der verformten Lage ausgegangen. Abb. 2.6 zeigt einen eingespannten B ERNOUILLI -E ULER Balken in der unverformten Referenzlage, sowie in der verformten Konfiguration. Die Verschiebung der neutralen Phaser an einer beliebigen Stelle x des Balkens kann durch den Ortsvektor ⎞ ⎛ x+u (2.90) R ros = ⎝ v ⎠ w angegeben werden. Wobei u die elastische Verschiebung in x-Richtung und entsprechend v, w die Verschiebungen in y- und z- Richtung beschreiben. Der Biege-

34

2 Kinematik

 (x,t)

Rz

ros (R)

O

verformte Konfiguration

(E)

Ry

S

Rx

w(x,t)

v(x,t) u(x,t)

unverformte Referenzlage

Abb. 2.6 B ERNOULLI -E ULER Balken

˜ os angeschrieben werden. Der Nabla Operator ist als T = winkel kann u¨ ber r ( / x  / y  / z) definiert. In Kombination mit der Torsion  um die x-Achse ergibt sich f¨ur den Gesamtwinkel des Elements dm ⎡ ⎤ 0 0 0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎢  ⎥   ⎢0 0 − ⎥ u ′⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ . (2.91) R = ⎢  x ⎥ v + 0 = −w′ ⎣  ⎦ w 0 v 0 0 x

Mit dem Massenelement dm ist ein elementfestes Koordinatensystem (E) verbunden. Geht man wieder von linearisierbar kleinen Verformungen aus so folgt die Rotationsmatrix beispielsweise u¨ ber eine Kardandarstellung zu ⎤ ⎡ 1 v′ w′ (2.92) AER = A | =v′ 0 gesichert.

F in N

50

Fx 0

Fy Fz

−50 0

5

10

5

10

15

20

25

15

20

25

0.1 0

et,x

−0.2

et,x

−0.3

et,z

e in m

−0.1

−0.4

0

Zeit in s Abb. 11.9 Messungen - entkoppelte Impedanzregelung

Abb. 11.9 zeigt Messergebnisse dieser Regelung. Eine externe Kraft FE wird am Endeffektor des Roboters angebracht, siehe Abb. 11.1. Sie wird u¨ ber den Kraft/Momentensensor gemessen, aber nicht im Regelungskonzept verwendet. Mit der Wahl von Kt = diag(1000, 20, 1000) und Dt = diag(50, 50, 50) wird die I yRichtung als nachgiebig ausgew¨ahlt. Man erkennt in Abb. 11.9, dass eine Kraft in y-Richtung zu einem Ausweichen in y-Richtung f¨uhrt, w¨ahrend Kr¨afte in die anderen Richtungen keinen Einfluss auf den Endeffektor haben.

11.5.1.2 Teilweise Entkopplung Gl.(11.59) zeigt, dass die totale Entkopplung der Fehlerdynamik aufgrund der externen Kr¨afte versagt. In [Ott08] wird eine alternative M¨oglichkeit f¨ur den kompensierenden Regleranteil angegeben, F =  z¨ E,d + D(˙zE − z˙ E,d ) + K(zE − zE,d ) +  ,

(11.71)

was auf die Dynamik von

 (¨zE − z¨ E,d ) − D(˙zE − z˙ E,d ) − K(zE − zE,d ) = Fext ,

(11.72)

11.5 Passive Impedanz Regelung

181

f¨uhrt. In diesem Fall ist das System nur bei einer Beschleunigungsdifferenz gekoppelt. Die zugeh¨origen Ergebnisse sind in Abb. 11.10 zu sehen. Das Experiment ist identisch mit dem vorigen Fall in Abb. 11.9.

F in N

50

0

−50

Fx Fy Fz

0

5

10

5

10

15

20

25

15

20

25

0.2

e in m

0

et,x −0.2

et,y et,z

−0.4 0

Zeit in s Abb. 11.10 Messungen - teilweise Entkopplungsregelung

Auch in diesem Fall wird die y Richtung durch die Matrizen Kt = diag(5000, 100 , 5000) und Dt = diag(20, 20, 20) nachgiebig gemacht. Um a¨ hnliche Ergebnisse zu erhalten, mussten die Steifigkeiten leicht erh¨oht werden, vgl. Abb. 11.9. Ebenso muss wieder die Auftrennung in den Translations- und Rotationsteil durchgef¨uhrt werden.

11.5.1.3 Implementierung F¨ur die Implementierung des Regelungskonzeptes wird der linearisierende Regler Gl.(11.56) mit der Wahl f¨ur die virtuellen Eing¨ange Gl.(11.61) und Gl.(11.69) in den Konfigurationsraum (Motormomente) transformiert QE = JT F.

(11.73)

Bei genauer Betrachtung der Linearisierungsprozedur wird eine Vereinfachung offensichtlich. Die Bewegungsgleichungen Gl.(11.42) werden in den Operationsraum transformiert, wobei die nichtlinearen Terme g zu  werden. Diese Nichtlinearit¨aten werden dann u¨ ber den Regler Gl.(11.56) kompensiert, und anschließend erfolgt die R¨ucktransformation in den Konfigurationsraum mit Gl.(11.73). Um Re-

182

11 Redundante modulare Roboter

chenzeit zu sparen, sollte der nichtlineare Term g direkt im Konfigurationsraum kompensiert werden.

11.5.2 Nullraum Impedanzregelung Im vorigen Kapitel wurde gezielt auf die Nachgiebigkeit des Endeffektors eingegangen. F¨ur redundante Roboter kann das Verfahren auch auf den Nullraum erweitert werden. Eine m¨ogliche Wahl f¨ur das Nullraummoment ist QN = Mq¨ N = M(E − J+ J)M−1 p = (E − JT J+T )p,

(11.74)

mit der Nullraumbeschleunigung aus Gl.(11.47), die ja den Endeffektor nicht beeinflusst. Der Vektor p dient wiederum als Eingangsgr¨oße zum Beeinflussen des Nullraums. Eine Wahl (analog zur inversen Kinematik) von p = KN (qd − q) − DN q˙ + prep

(11.75)

f¨uhrt auf eine einstellbare Nullraumsteifigkeit KN und D¨ampfung DN . Ein vollkommen freier Nullraum kann durch KN = 0 erreicht werden. Die D¨ampfungsmatrix ist auf DN = diag(20, .., 20) ∈ Rn gesetzt. Um die Achsengrenzen zu ber¨ucksichtigen, werden r¨uckstellende Kr¨afte prep von Gl.(11.22) eingef¨ugt. Die experimentellen Ergebnisse dieser Regelung werden in Abb. 11.11 gezeigt. Eine externe Kraft FN wirkt am zweiten Arm des Roboters, siehe Abb. 11.1. Diese kann aber nicht gemessen werden, da in den Gelenken keine Momentensensorik vorhanden ist. Der Roboter antwortet vor allem mit einer Bewegung der Winkel q1 and q3 . Die anderen Achsen bewegen sich kaum und sind in Abb. 11.11 daher nicht gezeichnet. Am Endeffektor ist nur ein kleiner Fehler (e < 1mm) beobachtbar.

11.5.3 Implementierung - Gesamtregelung Das gesamte Regelungsschema zeigt Abb. 11.12. Der Roboter wird durch die Momente aufgrund der Endeffektorimpedanz Gl.(11.73) und der Nullraumimpedanz Gl.(11.74) mit (11.76) Q = QE + QN , angetrieben. Diese beeinflussen sich gegenseitig nicht. Es ist also m¨oglich, eine niedrige Nullraumsteifigkeit KN einzustellen, um eine Besch¨adigung des Systems im Falle einer Kollision mit der Umgebung zu vermeiden, w¨ahrend eine hohe Endeffektorsteifigkeit K zu einer guten Positioniergenauigkeit am Endeffektor f¨uhrt. In Abb. 11.9 und 11.10 werden Ergebnisse der passiven Impedanzregelung ¨ auf Kraftebene gezeigt. Ahnliche Ergebnisse erh¨alt man auch f¨ur die Momenten/Orientierungsregelung. Diese k¨onnen in [Hof10] nachgelesen werden.

11.6 Zusammenfassung 2

183

q1 q3

q in rad

1

0

−1

0

5

10

5

10

15

20

25

15

20

25

×10−3

et,x

e in m

1

et,y 0

et,z

−1 0

Zeit in s Abb. 11.11 Messung - Nullraumbewegung Regelung zE,d z˙ E,d z¨ E,d

Endeffektorimpedanz

QE Q

Nullraumimpedanz

Redundanter Roboter

q, q˙

QN

Abb. 11.12 Regelungsschema - passive Impedanzregelung

11.6 Zusammenfassung In diesem Kapitel wurden verschiedene Nachgiebigkeitsregelungen f¨ur redundante Roboter diskutiert. Die Methoden werden an einem 7-Achsen Roboter angewendet. Die inverse Kinematik kann mit Hilfe von Optimierungsverfahren mit ¨ Nebenbedingungen gel¨ost werden. Uber spezielle Projektionsmatrizen erfolgt der Zugriff auf den Nullraum. Zum Aufstellen der Bewegungsgleichung wurde die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung verwendet. Die verwendeten Subsysteme bestehen aus Motor und Verbindungselement. Die Nachgiebigkeit wird durch Impedanzregelungsmethoden erreicht. Dabei werden aktive Verfahren, bei denen Kr¨afte/Momente am Endeffektor gemessen werden, mit passiven Verfahren vergli-

184

11 Redundante modulare Roboter

chen. Bei den passiven Verfahren erfolgt eine modellbasierte Entkopplung des Systems. Endeffektor- und Nullraumimpedanz k¨onnen unabh¨angig voneinander vorgegeben werden. Einige experimentelle Ergebnisse zeigen die Umsetzbarkeit der vorgeschlagenen Regelungskonzepte.

Kapitel 12

Fahrende Roboter

Gerade im Bereich der Service-Robotik kommen verst¨arkt fahrende Roboter zum Einsatz. Diese werden meist mit Manipulatoren ausgestattet, um geforderte Aufgaben durchf¨uhren zu k¨onnen. In diesem Teil der Arbeit werden zwei interessante Vertreter vorgestellt. Zum Einen wird auf ein zweir¨adriges Segway Modell eingegangen, bei dem auch das Stabilisierungsproblem gel¨ost werden muss. Zum Anderen wird eine vierr¨adrige mobile Plattform mit einem 7 achsigen Roboter betrachtet. In beiden F¨allen wird im Besonderen auf die Positionsregelung im Raum eingegangen.

12.1 Segway Modell Unter einem handels¨ublichen Segway versteht man ein zweir¨adriges, selbst balanciertes Vehikel, das im Jahre 2001 von Dean Kamen erfunden wurde. Das Einsatzgebiet sind vorwiegend Personentransporte, zum Beispiel Touristenrundfahrten in St¨adten. Da bei einem Segway ein Quergleiten der R¨ader nicht m¨oglich ist, muss die dynamische Modellbildung mit Methoden durchgef¨uhrt werden, die nichtholonome Bindungen ber¨ucksichtigen. Verschiedene Methoden aus Tabelle 3.1 werden miteinander verglichen. F¨ur die Stabilisierungsregelung kommt eine partielle Eingangs/Ausgangslinearisierung in Kombination mit einer LQR Regelung zum Einsatz. Die Bahnregelung wird f¨ur das kinematische Modell entworfen. Dabei werden zwei flachheitsbasierte Ans¨atze miteinander verglichen. Abb. 12.1 zeigt das kleine Segway Modell, welches in weiterer Folge betrachtet wird. Es ist ca. 40 cm hoch und 15 cm breit.

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_12,  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

185

186

12 Fahrende Roboter

Abb. 12.1 Segway Modell

12.1.1 Aufbau Das Segway Modell besteht aus drei K¨orpern, dem Batteriepack, dem Verbindungsbalken und dem Grundk¨orper. Es wird von zwei 20 Watt Motoren in Kombination mit Planetengetrieben (iG = 27) angetrieben. Die Motoren sind am Grundk¨orper angebracht, welcher die Elektronik, den Computer und die Sensoren enth¨alt. Die gesamte Energie liefern Batteriepakete am oberen Ende des Verbindungsbalkens, siehe Abb. 12.1. PC

Scilab/Scicos Code Generierung Visualisierung WLAN

Embedded Board

nichtlineare Regelung Visualisierung

Embedded System

C167

Segway analoge Signale

LPT1 komplement¨ares Filter AD-DA Konverter Stromregelung

Abb. 12.2 Elektrischer Aufbau

2 Motoren 2 Enkoder 2 Beschleunigungssensoren Gyrosensor

12.1 Segway Modell

187

Der elektrische Aufbau des Modells ist in Abb. 12.2 dargestellt. Die Regelungskonzepte werden in Scilab/Scicos entworfen und simuliert. Dieses Programm verf¨ugt u¨ ber die M¨oglichkeit, echtzeitf¨ahigen Regelungscode direkt zu erzeugen. Die nichtlinearen Regelungskonzepte, beschrieben in Kap. 12.1.3, laufen auf einem RTAI erweiterten Linux Kern des embedded Computers (400MHz) mit einer Abtastzeit von 2 ms. Die Verbindung zwischen dem embedded Board und dem C167 Mikrocontroller (Infineon Technologies) erfolgt u¨ ber die parallele Schnittstelle LPT1. Diese wurde in [Wei08] f¨ur Echtzeitanwendungen entwickelt. Der Mikrocontroller ist unter anderem f¨ur die Sensorauswertung verantwortlich. Der Neigungswinkel (Winkel  in Abb. 12.5) des Segways wird durch ein Komplement¨arfilter ([BK97]) bestimmt. Eine Messung der Beschleunigungen in zwei Richtungen ergibt gute statische Werte f¨ur den Winkel (Messung des Gravitationsvektors), ist aber bei beschleunigten Bewegungen unbrauchbar. Die dynamischen Effekte k¨onnen aber u¨ ber Gyrosensoren gut abgebildet werden. Diese haben keine guten statischen Eigenschaften (Integration der Winkelgeschwindigkeit zum Winkel). Bei den Komplement¨arfiltern werden die Vorteile beider Messverfahren verwendet, siehe [Fra05] f¨ur eine genaue Beschreibung der verwendeten Hardware. Um das ganze Frequenzspektrum abzudecken, muss die Forderung Ga (s) + sGg (s) = 1

(12.1)

¨ erf¨ullt werden, wobei Ga die Ubertragungsfunktion der Beschleunigungs- und Gg der Gyromessung darstellt. Mit der Wahl von Ga (s) =

1 ( s + 1)

2

and Gg (s) =

2 +  2 s

(12.2)

( s + 1)2

sind die entsprechenden Bode Diagramme f¨ur  = 1 in Abb. 12.3 dargestellt.

Abb. 12.3 Bode Diagramm Komplement¨arfilter

Amplitude in dB

20 0 −20 −40 −60 −80

sGg

Ga 0.1

1

Omega in rad/s

10

100

Die Motorenkoder werten die Drehwinkel der R¨ader aus. In [Dir07] wird unter anderem ein reduzierter Beobachter zur Berechnung der Drehgeschwindigkeiten ausgearbeitet. Die Daten werden mit einer Abtastzeit von 0.2 ms verarbeitet. Im Mikrocontroller erfolgt außerdem die Stromregelung der Motoren. Falls das embedded Board nicht aktiv ist (nichtlineare Positionsregelungen), dann stabilisiert ein LQR Regler die aufrechte Position des Segways auf dem Mikrocontroller.

188

12 Fahrende Roboter

12.1.2 Modellbildung Es liegt in der Natur der Sache, dass diese mobilen Roboter nur eine Geschwindigkeit in L¨angsrichtung, nicht aber quer zu den R¨adern

˙ = vQ = y˙ cos  − x˙ sin  = 0,

(12.3)

aufbauen k¨onnen, siehe Abb. 12.4. Wegen dieser kinematischen Bedingungen d¨urfen f¨ur die dynamische Modellbildung nur solche Methoden verwendet werden, die die Behandlung von nichtholonomen Systemen zulassen. In Tabelle 3.1 sind die Methoden der Dynamik zusammengefasst.

12.1.2.1 Lagrange II - Maggi Ein m¨ogliches Verfahren sind die L AGRANGEschen Gleichungen 2-ter Art mit einem nachfolgendem Einbinden der nichtholonomen Bindung. F¨ur die kinetische Energie muss dabei die Geschwindigkeitsbindung vorerst offen bleiben. Ansonsten kommt es zu einem Informationsverlust in der kinetischen Energie und damit zu falschen Bewegungsgleichungen. Als Minimalgeschwindigkeiten werden die Ableitungen der Minimalkoordinaten gew¨ahlt q˙ T = (x˙ y˙ ˙ ˙ ). Mit der Geschwindigkeitsbindung Gl.(12.3) kann auf einen Satz nichtholonomer Minimalgeschwindigkeiten ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ vL cos  sin  0 0 0 1 0 ⎦ q˙ (12.4) s˙ = ⎝ ˙ ⎠ = ⎣ 0 ˙ 0 0 01     H(q)

u¨ bergegangen werden. Mit der M OORE -P ENROSE Inversen erh¨alt man f¨ur die Umkehrung ⎡ ⎤ cos  0 0 ⎢ sin  0 0 ⎥ ⎥ q˙ = H(q)+ s˙ = ⎢ (12.5) ⎣ 0 1 0 ⎦ s˙. 0 01

Damit ist die Transformationsvorschrift f¨ur das M AGGIsche Vorgehen bereits gefunden. Eine Vormultiplikation der Gleichungen aus dem L AGRANGE Verfahren ˙ s)T = H(q)+T liefert die Bewegungsgleichung. mit (q/˙

12.1.2.2 Hamel-Boltzmann Gleichung Auch f¨ur die H AMEL -B OLTZMANN Gleichung m¨ussen die Bindungen vorerst offen gelassen werden. Da die Nichtholonomie nur f¨ur die R¨ader gilt, wird auf das Anschreiben des Winkels  hier verzichtet. Die Minimalgeschwindigkeiten sind daher

12.1 Segway Modell

189

⎛

⎞

⎤

⎡

cos  sin  0 vL ˙ s˙ = ⎝ vQ ⎠ = ⎣ − sin  cos  0 ⎦ q. 0 0 1 ˙   

(12.6)

H(q)

Die Matrix H(q) entspricht in diesem Fall der Drehmatrix A = A . Ziel ist es jetzt also, den Term (d  s −  ds)/dt explizit zu berechnen. Aus Gl.(12.6) folgt

und

ds = Adq,  s = A q

(12.7)

dq = AT ds,  q = AT  s.

(12.8)

Die explizite Auswertung von (d  s −  ds)/dt ergibt damit d ds ˙  q +A q˙ −  A q˙ −A q. ˙ =A s−   dt dt AT  s

(12.9)

AT s˙

˙ T = −˙e˜ 3 bzw.  AAT = −  e˜ 3 erh¨alt man mit einer Umsortierung Mit AA ⎤⎛ ⎞ ⎡    sL 0 ˙ −vQ d  s −  ds (12.10) = ⎣ −˙ 0 vL ⎦ ⎝  sQ ⎠ . dt  0 0 0

Mit diesem Ausdruck kann die H AMEL -B OLTZMANN Gleichung ausgewertet werden. Da vQ = 0 und damit  sQ = 0 gilt, wird die zugeh¨orige Zeile der Bewegungsgleichung gestrichen.

12.1.2.3 Zwangskr¨afte Analog zu Kap. 7.2 kann die nichtholonome Bindung auch u¨ ber entsprechende Zwangskr¨afte eingebunden werden ˙ −Q− M(q)q¨ + g(q, q)

-

 ˙  q˙

.T

 =0

(12.11)

(Zwangskr¨afte  , Koordinaten qT = (x y   )), wobei die Richtung der Zwangskraft aus Gl.(12.3) .  ˙ = (− sin  cos  0 0) (12.12)  q˙ bestimmt wird. Mit der JACOBI-Gleichung (7.13) kann das System simuliert werden.

190

12 Fahrende Roboter

12.1.2.4 Projektionsgleichung Bei den analytischen Verfahren durfte die Geschwindigkeitsbindung nicht a priori eingesetzt werden, um keinen Informationsverlust zu erhalten. Anders liegen die Verh¨altnisse bei der Projektionsgleichung (3.15). Hier d¨urfen die Geschwindigkeitsbindungen vorab eingesetzt werden, da keine Richtungsableitungen von beispielsweise kinetischer Energie nach den nichtholonomen Geschwindigkeiten vorkommen. Die Modellbildung kann daher direkt mit den Gr¨oßen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x vL ⎜y⎟ ⎟ , s˙ = ⎝ ˙ ⎠ (12.13) q=⎜ ⎝ ⎠ ˙ 

vollzogen werden. Die Dimension des Differentialgleichungssystems nach einer Transformation auf ein System erster Ordnung (Zustandsraum) ist 7. Alternativ dazu kann mit einem reduzierten Satz an Minimalkoordinaten gerechnet werden. Durch die Wahl von ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ˙  ⎠ ⎝ ⎝ (12.14) s =  , s˙ = ˙ ⎠ ,  ˙

wird das Segway Modell auch vollst¨andig beschrieben, siehe Abb. 12.4 und Abb. 12.5. In Gl.(12.14) werden die Positionskoordinaten mit s bezeichnet. Dies soll andeuten, dass es sich dabei um Positionkoordinaten handelt, die implizit bereits die Bindungsgleichung erfassen. Durch diese Beschreibung ist es nicht m¨oglich, eine Quergeschwindigkeit aufzubauen. Bei der Wahl dieser Minimalkoordinaten versagen s¨amtliche analytische Verfahren, da dort das System zuerst ungebunden betrachtet werden muss. Mit der Projektionsgleichung ist das nat¨urlich kein Problem. In weiterer Folge wird mit diesem Modell Gl.(12.14) gearbeitet. Die Dimension der Bewegungsgleichung im Zustandsraum ist 6. Die Rotationsgeschwindigkeiten der R¨ader im K-ten Koordinatensystem sind ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ 0 0 0 0 ˙ ⎟ ⎟ ⎜ ˙ ⎠=⎜  ⎠ , K  2 = ⎝ ˙ ⎠ = ⎝   ⎝  ˙  ⎠ , (12.15) K1 = ⎝  DR D ˙ ˙ R ˙ ˙ ˙ − ˙ 2lR  −  2l R

wobei lR den Abstand zwischen den R¨adern und DR den Durchmesser der R¨ader definieren. F¨ur die Beschreibung des K¨orpers 3 (Batterien, Balken und Elektronikbox) eignet sich Koordinatensystem B, was auf die Geschwindigkeit ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ DR (˙ −˙ )  sin − 0 0 2lR ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ˙ (12.16) ˙ B  3 = ⎝  ⎠ + ABK ⎝ 0 ⎠ = ⎝ ⎠ DR (˙ −˙ ) ˙ 0 cos  2lR

f¨uhrt.

12.1 Segway Modell

191 Kz

Iz

Bz

Batterien

 S3

Ky Iy



Balken

Kx

vQ vL

 Elektronikbox

P R¨ader y

Kx

x



Bx Ix

Ix

Abb. 12.4 Grundriss des Segway

Abb. 12.5 3D Ansicht des Segway

Die Translationsgeschwindigkeit wird u¨ ber den Referenzpunkt P ⎛ ⎞ ⎛ (˙ +˙ ) ⎞ DR vL 2 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ vQ = ⎝ ⎠ K vP = 0 0 0

(12.17)

beschrieben. F¨ur den K¨orper 3 erh¨alt man beispielsweise K vs,3

= K vP + AKI

d AIBB rPS3 , dt

(12.18)

wobei B rPS3 der Verbindungsvektor zwischen Punkt P und dem Schwerpunkt S3 des K¨orpers 3 ist. Die eingepr¨agten Kr¨afte fe sind die Gewichtskr¨afte, die im Schwerpunkt angreifen. F¨ur die eingepr¨agten Momente gilt ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 0 0 0 e e e (12.19) K M1 = ⎝ M1 ⎠ , K M2 = ⎝ M2 ⎠ und B M3 = ⎝ −M1 − M2 ⎠ , 0 0 0

mit den Motormomenten M1 und M2 . Die Anwendung der Projektionsgleichung f¨uhrt auf die Bewegungsgleichung der Form

192

12 Fahrende Roboter

M(q)¨s + g(q, s˙) = B(q)u.

(12.20)

Vektor uT = (M1 M2 ) stellt den Regelungseingang dar, der u¨ ber die Stelleingriffsmatrix  T 1 0 −1 (12.21) B= 0 1 −1 in das System eingreift.

12.1.3 Regelung Die Regelung des Segways besitzt eine kaskadierte Struktur. F¨ur die Stabilisierung der oberen Ruhelage wird eine partielle Eingangs-/ Ausgangslinearisierung und LQR Regelung verwendet. Die Bahnregelung des kinematischen Modells wird durch flachheitsbasierte Ans¨atze bewerkstelligt.

12.1.3.1 Partielle Eingangs- Ausgangslinearisierung F¨ur diesen Regelungsansatz muss Gl.(12.20) auf die Form M11 (q)¨s1 + M12 (q)s¨2 + h1 (q, s˙) = B1 u M21 (q)¨s1 + M22 (q)s¨2 + h2 (q, s˙) = 0 gebracht werden, was mit den Minimalgeschwindigkeiten ⎞ ⎛ ⎞ ⎛    ˙ ˙ − ˙ s˙ s˙ = 1 = ⎝  ˙ ⎠ = ⎝ ˙ − ˙ ⎠ s˙2 ˙ ˙

(12.22) (12.23)

(12.24)

erreicht wird. In dieser Form sind die Minimalgeschwindigkeiten s˙1 zum Eingang u kollokiert, w¨ahrend s˙2 nicht kollokiert ist. Aus Gl.(12.23) k¨onnen die Beschleunigungen f¨ur das nicht aktuierte Teilsystem berechnet werden −1 s¨2 = −M22 (q) (M21 (q)¨s1 + h2 (q, s˙)) .

(12.25)

Setzt man diese Beschleunigung in Gl.(12.22) ein, erh¨alt man M11 (q)¨s1 + h1 (q, s˙) = B1 u,

(12.26)

−1 M11 (q) = M11 (q) − M12 (q)M22 (q)M21 (q)

(12.27)

mit den Abk¨urzungen

h1 (q, s˙) =

−1 h1 (q, s˙) − M12 (q)M22 (q)h2 (q, s˙).

(12.28)

12.1 Segway Modell

193

Es ist unmittelbar einsichtig, dass eine Stellgr¨oßentransformation der Form u = B−1 1 (M11 (q)v + h1 (q, s˙ ))

(12.29)

das partiell linearisierte System s¨1 = v −1 s¨2 = −M22 (q)(M21 (q)v + h2 (q, s˙))

(12.30) (12.31)

ergibt. Das resultierende System ist in den Koordinaten s˙1 kollokiert. F¨ur die Stabilisierungsregelung der aufrechten Position wird Gl.(12.31) in den Zustandsraum transformiert, um den Punkt  = 0 linearisiert und zeitlich diskretisiert. Dies f¨uhrt auf das diskrete Modell (12.32) xk+1 = Axk + Buk . Durch Minimierung des G¨utefunktionals 

J=



k=1



xTk Qxk + uTk Ruk ,

(12.33)

mit Q ≥ 0 und R > 0 erh¨alt man einen optimalen Regler der Form uk = −Kxk

(12.34)

(Linear Quadratic Regulator).

12.1.3.2 Bahnregelung - Dynamischer Regler F¨ur die Bahnregelung wird nur das kinematische Modell (zur Vereinfachung) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x˙ vL cos  ⎝ y˙ ⎠ = ⎝ vL sin  ⎠ (12.35) ˙ ˙

des Segways verwendet, siehe Abb. 12.4. In [Rud03b] wird gezeigt, dass der Vektor y = (x y)T ein flacher Ausgang des kinematischen Modells ist. Die Fehlerdynamik e¨ + a1 e˙ + a0 e = 0 mit dem Bahnfehler e=



ex ey



=



xd − x yd − y

(12.36) 

(12.37)

f¨uhrt auf das asymptotisch stabile Fehlersystem lim e(t) = 0

t→

(12.38)

194

12 Fahrende Roboter

das mit den Matrizen a1 and a0 vorgegeben werden kann. Differenziert man die ersten beiden Eintr¨age in Gl.(12.35) nach der Zeit     v˙L cos  − vL ˙ sin  x¨ (12.39) = v˙L sin  + vL ˙ cos  y¨    cos  − sin  v˙L = , (12.40) vL ˙ sin  cos     AIK

so ergibt Gl.(12.40) gemeinsam mit Gl.(12.36)         x¨d v cos  − x˙d x − xd v˙L = ATIK − a1 L , − a0 y¨d vL ˙ vL sin  − y˙d y − yd    

(12.41)

siehe [Rud03b] f¨ur eine genaue Herleitung. Der vollst¨andige Regler lautet v˙L = (cos  sin  )  vL (0) = x˙d (0) + y˙d (0) 1 ˙ = (− sin  cos  ) . vL

(12.42) (12.43) (12.44)

Es handelt sich also um ein dynamisches System. Offensichtlich tritt ein Problem bei kleinen Geschwindigkeiten vL ≈ 0 auf. In diesem Fall wird die Bahnregelung deaktiviert und es ist nur die Stabilisierungsregelung aktiv. Dieser Umstand wird im folgenden Abschnitt gel¨ost.

12.1.3.3 Bahnregelung - Quasistatischer Regler Ausgangspunkt ist wieder das kinematische Modell des Roboters ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ cos  0   x˙ ⎝ y˙ ⎠ = ⎣ sin  0 ⎦ ˙ 1 , ˙ 2 ˙ 0 1

(12.45)

wobei f¨ur die Regelungseing¨ange 1 = vL und 2 = ˙ verwendet werden. Zur Vermeidung der Singularit¨at bei vL = 0 wird das System nach der Bogenl¨ange (Bahnparameter) der Referenzbahn parametriert. Eine Zeitableitung ergibt daher z˙ = F¨ur Gl.(12.45) erh¨alt man dann

dz ds = z′ s. ˙ ds dt

(12.46)

12.1 Segway Modell

195

⎛

⎞ ′

⎡

⎤

cos  0  ′  x ⎝ y′ ⎠ = ⎣ sin  0 ⎦ 1′ 2 0 1 ′

(12.47)

Das Ziel ist es nun, den Roboter (Punkt P siehe Abb. 12.4), auf der vorgegebenen Bahn rd (s(t)) zu f¨uhren. Die genauen Verh¨altnisse sind in Abb. 12.6 dargestellt.  Kx Iy dx

P y

Ky

y2

r

r

d

y1

dy

yd rd s x

xd

Ix

Abb. 12.6 Quasistatische Regelung (Segway) - Variablen

F¨ur den Tangentialvektor der Sollbahn gilt et = r′d , w¨ahrend sich der Normalenvektor u¨ ber das Kreuzprodukt ergibt: en = ez × et , mit eTz = (0 0 1). Der Regelungsfehler im Koordinatensystem der Sollbahn ergibt sich aus der Projektion des Fehlervektors  r(q, s) = r(q) − rd (s)    T  et (s) r(q, s) y1 = . (12.48) y2 eTn (s) r(q, s) Um die Flachheit des Systems zu zeigen, m¨ussen der Zustand q und die Eing¨ange 1 , 2 durch den Ausgang yT = (y1 y2 ) dargestellt werden. F¨ur die aktuelle Position des Roboters gilt        cos d − sin d y1 xd x(y, s) + . (12.49) = yd sin d cos d y2 y(y, s) Die Ableitung von Gl.(12.48) nach dem Bahnparameter s lautet     ′  c1 (q, s) cos  y1 ′ 1 + = c2 (q, s) sin  y′2

(12.50)

196

12 Fahrende Roboter

mit cos  (q, s) = etT e2 , sin  (q, s) = eTn e2 und den Abk¨urzungen c1 (q, s), c2 (q, s). Die dritte Zustandsvariable  kann als

 (y, y′ , s) = d +  mit  = atan

y′2 − c2 y′1 − c1

(12.51)

und damit als Funktion des Ausganges y und dessen Ableitungen dargestellt werden. Damit ist der ganze Zustand als Funktion des Ausganges (inkl. Ableitungen) definiert: q = q(y, y′ , s). Verbleibt also noch zu zeigen, dass der Eingang ebenfalls durch den flachen Ausgang dargestellt werden kann. Aus Gl.(12.50) folgt beispielsweise y′ − c1 1′ = 1 . (12.52) cos  Um auch 2′ zu parametrieren, muss Gl.(12.50) nochmals differenziert,  ′′      ′′   y1 1 c1 (q, 1′ , s) cos  − sin  1′ (12.53) + = 2′ c2 (q, 1′ , s) y′′2 sin  cos  1′ und umgeformt werden   ′′  ′′    1 cos  1′ sin  1′ y1 − c1 1 = ′ , y′′2 − c2 2′ 1 − sin  cos 

(12.54)

siehe [Woe98] f¨ur eine detaillierte Herleitung. Damit ist die Flachheit des Systems gezeigt, und die Linearisierung kann durchgef¨uhrt werden. Die Ausgangsvariablen y′1 und y′2 werden durch die neuen Systemeing¨ange w1 , w2 ersetzt y′1 → w1 , y′′1 → w′1 , y′′2 → w2 .

(12.55)

Durch Einsetzen von Gl.(12.52) in Gl.(12.50) und Gl.(12.54) in Gl.(12.53) erh¨alt man die linearisierte Form y′1 = w1 , y′′2 = w2 . (12.56) F¨ur die Wahl von w1 = y′d,1 + a00 (yd,1 − y1 ) → w′1 = y′′d,1 + a00 (y′d,1 − y′1 ) w2 =

y′′d,2 + a11 (y′d,2 − y′2 ) + a01 (yd,2 − y2 )

(12.57) (12.58)

ergibt sich durch a00 , a01 , a11 > 0 eine asymptotisch stabile Fehlerdynamik. Da die Gr¨oßen y1 , y2 die Fehler darstellen, f¨uhrt eine Sollwertvorgabe von yd,1 ≡ 0, yd,2 ≡ 0 auf eine Ausl¨oschung des Bahnfehlers.

12.1 Segway Modell

197

12.1.4 Experimentelle Ergebnisse Die beiden flachheitsbasierten Regler werden an dem Segway Modell aus Abb. 12.1 getestet.

12.1.4.1 Dynamischer Regler Abb. 12.7 zeigt einen Vergleich zwischen Soll- und Istbahn in einer Draufsicht. Der Startpunkt liegt bei (x, y) = (0, 0). 1.2 1 0.8

y in m

0.6 0.4 0.2 0

Sollbahn Istbahn

− 0.2 − 0.4 − 0.6 − 0.4 − 0.2

Abb. 12.7 Vergleich SollIstbahn, dynamischer Regler

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x in m

0.2 0.15

Fehler in m

0.1 0.05 0

− 0.05 − 0.1 K ex K ey

− 0.15

Abb. 12.8 Fehler in x− und y− Richtung, dynamischer Regler

− 0.2 0

5

10

15

20

25

30

35

40

Zeit in s

Die Trajektorie f¨uhrt die gezeigte Bewegung gegen den Uhrzeigersinn aus. Die Geschwindigkeit betr¨agt vL = 0.1 m/s. Das Zeitverhalten des Fehlers in x- und y- Richtung ist in Abb. 12.8 gezeichnet. Da das System nicht phasenminimal ist, kommt es am Anfang zu einer Auslenkung in die Gegenrichtung. Dies ist auch am Winkel  ,

198

12 Fahrende Roboter

in Abb. 12.9 gut zu erkennen. Der Fehler klingt nach einer bestimmten Zeit ab. Die Bahn wird aber relativ langsam durchfahren. 4

 in ◦

2 0

−2

Abb. 12.9 Winkel  w¨ahrend Bahnfahrt, dynamischer Regler

−4 0

10

5

15

20

25

30

35

40

Zeit in s

12.1.4.2 Quasistatischer Regler Im Vergleich dazu werden die Ergebnisse f¨ur den quasistatischen Regler pr¨asentiert. Abb. 12.10 zeigt den Vergleich zwischen Soll- und Istbahn bei einer Anfangsauslenkung in der Draufsicht. 0.2

y in m

0 −0.2

Sollbahn Istbahn

−0.4 −0.6 −0.8 −1 −0.5

0

0.5

1

1.5

2

x in m

Abb. 12.10 Vergleich Soll-Istbahn, quasistatischer Regler

Die zugeh¨origen Fehler im Zeitverhalten werden in Abb. 12.11 und Abb. 12.11 dargestellt. Ein Vergleich zwischen beiden Regelverfahren zeigt, dass beim quasistatischen Regler die Bahn mit 4-facher Bahngeschwindigkeit durchfahren werden kann und der Bahnfehler verkleinert wird.

12.1 Segway Modell 0

y1 in m

Abb. 12.11 Normalfehler y1 , quasistatischer Regler

199

−0.2 −0.4

0

6

4

2

8

10

12

14

16

18

12

14

16

18

y2 in m

Zeit in s 0.2 0.1 0

Abb. 12.12 Tangentialfehler y2 , quasistatischer Regler

−0.1

0

2

4

6

8

10

Zeit in s

12.1.5 Zusammenfassung Der Segway ist ein mobiler Roboter bestehend aus zwei R¨adern und einem instabilen Aufbau. Da kein Quergleiten der R¨ader m¨oglich ist, handelt es sich um ein nichtholonomes System. F¨ur die dynamische Modellbildung werden Verfahren verglichen, die diese Systeme behandeln k¨onnen. Die Projektionsgleichung ist dabei das einzige Verfahren, das mit den reduzierten Koordinaten eine korrekte Bewegungsgleichung liefert. Die Stabilisierungsregelung wird u¨ ber eine partielle Eingangs/Ausgangslinearisierung mit LQR Regelung vollzogen. Bei der Bahnregelung werden zwei flachheitsbasierte Verfahren verglichen, wobei mit dem quasistatischen Regler die besten Ergebnisse erzielt werden.

200

12 Fahrende Roboter

12.2 Vierrad Modell 12.2.1 Einleitung Dem Bereich der Service-Robotik wird nach wie vor das gr¨oßte Wachstum in der Robotik Branche prognostiziert. Einen m¨oglichen Aufbau zur Erf¨ullung dieser Aufgaben zeigt Abb. 12.13. Es handelt sich dabei um eine bewegliche, vierr¨adrige Plattform mit zwei gelenkten und angetriebenen R¨adern in Kombination mit einem redundanten Roboter mit 7 Freiheitsgraden zur Manipulierung von Gegenst¨anden. Der redundante Roboterarm wird detailliert in Kap. 11 behandelt. Hier soll also nur auf die fahrbare Plattform eingegangen werden. Durch die Vorgabe der R¨ader ist es also m¨oglich den Momentanpol im Raum beliebig vorgeben zu k¨onnen. Als Sensoren stehen ein Laserabstandssensor und ein K INECT 3D Sensor (M ICROSOFT X BOX 360 Zubeh¨or) zur Verf¨ugung. Die Erfassung der Umgebung, globale Bahnplanung, usw. wird von der freien Software ROS (Robot Operating System) durchgef¨uhrt. In diesem Kapitel wird daher ausschließlich auf die Regelung des kinematischen Modells eingegangen.

Abb. 12.13 Photo des vierr¨adrigen Roboters

12.2 Vierrad Modell

201

12.2.2 Kinematik F¨ur die kinematischen Betrachtungen wird Abb. 12.14 herangezogen. Iy

Ch y

b

lF Hy

1x Hx

H

vH

2x 2y

H

v2

y

1y

b

2

1

 2

Ch x

v1 1

Vy

Vx

vV

V V

lF

x

Ix

Abb. 12.14 Vierr¨adriger Roboter - Freiheitsgrade

Jede beliebige Anordnung der Dreh/Antriebsr¨ader kann auf die Konfiguration 1 und 2 zur¨uckgef¨uhrt werden. Daher werden alle Berechnungen f¨ur die R¨ader 1 und 2 durchgef¨uhrt. Die Transformation auf den realen Roboter (R¨ader V und H) erfolgt im Anschluss. Die Nachlaufr¨ader sind nicht eingezeichnet. Mit dem Vektor qT = (x y  1 2 ) ist die Lage der Plattform eindeutig bestimmt. F¨ur die Minimalgeschwindigkeiten m¨ussen die Geschwindigkeitsbindungen ber¨ucksichtigt werden. F¨ur die Geschwindigkeiten der beiden R¨ader gilt   x˙ cos( + 1 ) + y˙ sin( + 1 ) + lF ˙ sin(1 ) , (12.59) 1 v1 = −x˙ sin( + 1 ) + y˙ cos( + 1 ) + lF ˙ cos(1 )   x˙ cos( + 2 ) + y˙ sin( + 2 ) . (12.60) 2 v2 = −x˙ sin( + 2 ) + y˙ cos( + 2 ) Da f¨ur beide R¨ader kein Quergleiten m¨oglich ist, lautet die Geschwindigkeitsbindung   −x˙ sin( + 1 ) + y˙ cos( + 1 ) + lF ˙ cos(1 ) ˙ = = 0. (12.61) ˙ (q, q) −x˙ sin( + 2 ) + y˙ cos( + 2 ) Um geeignete Minimalgeschwindigkeiten zu finden, kann von der Kettenregel

202

12 Fahrende Roboter

˙ = ˙ (q, q)

  ˙    ˙   (q)   (q)  q˙ q˙ = s˙ = 0  q˙  q˙  s˙

(12.62)

˙  s˙ Gebrauch gemacht werden. Da der unterstrichene Term bekannt ist, kann  q/ durch L¨osen eines Gleichungssystems bestimmt werden, und m¨ogliche Minimalgeschwindigkeiten k¨onnen aus q˙ =



/   0−1     q˙  q˙ T  q˙  q˙ T s˙ → s˙ = q˙  s˙  s˙  s˙  s˙

(12.63)

berechnet werden. F¨ur die Geschwindigkeitsbindung gilt ⎞ x˙  ˙  ⎜ y˙ ⎟   ⎟ ˙   (q, q) − sin( + 1 ) cos( + 1 ) lF cos(1 ) 0 0 ⎜ ⎜ ˙ ⎟ . = ⎜ 0 00 ⎝ ⎟ − sin( + 2 ) cos( + 2 )  q˙ ˙ 1 ⎠ ˙ 2 ⎛

(12.64)

Dabei ist direkt zu sehen, dass 1 und 2 aufgrund der entsprechenden Nulleintr¨age in die Minimalgeschwindigkeiten aufgenommen werden m¨ussen. Um nicht das obige Gleichungssystem l¨osen zu m¨ussen, wird die Geschwindigkeit v2 als Minimalgeschwindigkeit getestet. Da v2 = x˙ cos( + 2 ) + y˙ sin( + 2 ) die Bindungsgleichung erf¨ullt, ist sie Minimalgeschwindigkeit. Das kinematische Modell lautet also ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ x˙ ⎟ v2 cos( + 2 ) sin( + 2 ) 0 0 0 ⎜ ⎜ y˙ ⎟ ⎟ ⎝ ˙ 1 ⎠ = ⎣ ˙ 0 0 0 1 0 ⎦⎜  (12.65) ⎜ ⎟ ˙ 2 0 0 0 0 1 ⎝ ˙ 1 ⎠    ˙ 2 H(q)

bzw.

⎛

⎞ ⎡ cos( + 2 ) x˙ ⎜ y˙ ⎟ ⎢ sin( + 2 ) ⎜ ⎟ ⎢ sin( − ) 1 2 ⎜ ˙ ⎟ = ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ lF cos 2 ⎝ ˙ 1 ⎠ ⎣ 0 ˙ 2 0   H(q)+

0 0 0 1 0

⎤ 0 ⎛ ⎞ 0 ⎥ v2 ⎥ ⎝ ⎠ 0⎥ ⎥ ˙ 1 . ⎦ ˙ 2 0 1 

(12.66)

F¨ur die Regelung im n¨achsten Abschnitt wird sich herausstellen, dass f¨ur den Lenkwinkel 1 anstatt der Geschwindigkeit ˙ 1 als Systemeingang verwendet werden kann. Das endg¨ultige kinematische Modell lautet daher

12.2 Vierrad Modell

203

⎞ ⎡ cos( + 2 ) x˙ ⎜ y˙ ⎟ ⎢ sin( + 2 ) ⎜ ⎟ = ⎢ sin( − ) 1 2 ⎝ ˙ ⎠ ⎣ lF cos 2 ˙ 2 0   ⎛

H(q)+

⎤ 0   0 ⎥ v2 ⎥ . 0 ⎦ ˙ 2 1 

(12.67)

12.2.3 Flachheit des nichtholonomen Systems Um Probleme bei singul¨aren Stellungen zu vermeiden, wird das Modell Gl.(12.67) wieder u¨ ber den Bahnparameter s parametriert x′ = 1′ cos( + 2 )

(12.68)

y′ = 1′ sin( + 2 ) sin(1 − 2 )  ′ = 1′ lF cos 1 ′ ′ 2 = 2 ,

(12.69) (12.70) (12.71)

wobei f¨ur v2 = 1′ s˙ und f¨ur ˙ 2 = 2′ s˙ geschrieben wurde. Es muss also gezeigt werden, dass das System vollst¨andig durch den flachen Ausgang parametriert werden kann. Ein Kandidat f¨ur den flachen Ausgang ist ⎛ ⎞ y1 (12.72) y = ⎝ y2 ⎠ , y3

siehe Abb. 12.15. Die ersten beiden Eintr¨age entsprechen wieder den Fehlern im Sollkoordinatensystem des Wagens, w¨ahrend y3 =  direkt der Orientierung des Fahrzeugs entspricht. F¨ur die Drehmatrix zwischen Inertialsystem und Koordinatensystem entlang der Sollbahn (t, d) gilt   cos t,d sin t,d Atd,I = A = . (12.73) − sin t,d cos t,d Im Folgenden wird der Zustand als Funktion des Ausganges dargestellt: • F¨ur die Position des Roboters gilt       y1 xd x T . = + A y2 yd y

(12.74)

Der Fehler y1 , y2 wird also im Koordinatensystem senkrecht auf die Sollbahn (Drehwinkel t,d ) definiert. Er k¨onnte nat¨urlich auch auf die Sollorientierung des Wagens (Drehwinkel d ) angewendet werden. • Der Winkel  ist direkt ein flacher Ausgang:  = y3 .

204

12 Fahrende Roboter

Kx



Iy td x

P y

Ky

t,d

y2 r

r

y1

td y

d

yd rd s x

xd

Ix

Abb. 12.15 Quasistatische Regelung (vierr¨adriger Roboter) - Variablen

• Aus Gl.(12.68) und Gl.(12.69) folgt f¨ur den Winkel 2  ′ y 2 = atan ′ −  . x x′ und y′ ergeben sich direkt aus der Ableitung von Gl.(12.74)  ′  ′     ′ xd x y1 y1 ′T T = + A + A . y′d y′ y2 y′2

(12.75)

(12.76)

F¨ur den Winkel 2 gilt daher 2 = f (q, y1 , y2 , y′1 , y′2 , s). Da sich alle Zustandsgr¨oßen mit dem gew¨ahlten Ausgang Gl.(12.72) darstellen lassen, muss in weiterer Folge auch der Eingang durch diesen Ausgang parametrierbar sein. • Aus Gl.(12.74) folgt f¨ur die Ausgangsgr¨oßen       x xd y1 − A = A y2 yd y bzw. f¨ur deren Ableitung    ′    ′   ′ x x xd xd y1 ′ ′ . − A + A − A = A y′ y′d yd y y′2

(12.77)

(12.78)

Jetzt kann x′ durch Gl.(12.68) und y′ durch Gl.(12.69) ersetzt werden, wodurch der Eingang 1′ explizit vorkommt

12.2 Vierrad Modell

205



y′1 y′2



= A





cos( + 2 ) 1′ + sin( + 2 )





c1 (q, s) , c2 (q, s)

mit den Abk¨urzungen       ′   x xd xd c1 (q, s) = A′ − A′ − A . y′d yd c2 (q, s) y

(12.79)

(12.80)

Setzt man die Drehmatrix A aus Gl.(12.73) in Gl.(12.79) ein  ′       y1 c1 (q, s) cos(t,d −  − 2 ) 1 (q, 1′ , s) ′ := + = ,  1 y′2 2 (q, 1′ , s) − sin(t,d −  − 2 ) c2 (q, s) (12.81) so kann 1′ beispielsweise zu

1′ =

y′1 − c1 cos(t,d −  − 2 )

(12.82)

berechnet werden. • Mit bekanntem 1′ kann der Winkel 1 direkt aus Gl.(12.70) ausgedr¨uckt werden  ′   lF cos 2 (12.83) 1 = asin + 2 . 1′ • Es fehlt also noch, den Eingang 2′ durch den flachen Ausgang bzw. dessen Ableitungen darzustellen. Leitet man Gl.(12.81) nochmals nach dem Bahnparameter ab, so ergibt sich 

y′′1 y′′2





′ − ′ − ′ )  − sin(t,d −  − 2 )(t,d ′ 2 ′ −  ′ −  ′ ) 1 + − cos(t,d −  − 2 )(t,d 2    ′  c (q, s) cos(t,d −  − 2 ) ′′ 1 , (12.84) 1 + ′ c2 (q, s) − sin(t,d −  − 2 )     cos(t,d −  − 2 ) sin(t,d −  − 2 )1′ 1′′ = + ′ − sin(t,d −  − 2 ) cos(t,d −  − 2 )1 2′     ′ −  ′) − sin(t,d −  − 2 )(t,d c′ (q, s) . (12.85) 1′ + ′1 ′ ′ c2 (q, s) − cos(t,d −  − 2 )(t,d −  )    . - ′ c1 (q, 1′ , s) c′2 (q, 1′ , s)

=

Die L¨osung f¨ur 1′′ und 2′ , wobei 2′ = 2′ gilt, lautet

206

12 Fahrende Roboter



 ′′

1 2′



1 cos(t,d −  − 2 )1′ − sin(t,d −  − 2 )1′ = ′ sin(t,d −  − 2 ) cos(t,d −  − 2 ) 1 :=



  1 (q, y′1 , y′′1 , y′′2 , s) .  2 (q, y′1 , y′′1 , y′′2 , s)



 y′′1 − c′1 y′′2 − c′2 (12.86) (12.87)

Da auch alle Eingangsgr¨oßen durch den flachen Ausgang parametrierbar sind, ist das System flach.

12.2.4 Quasistatische Zustandsruckf ¨ uhrung ¨ Die quasistatische Entkopplung des Systems kann aus Gl.(12.82), Gl.(12.83) und Gl.(12.86) erfolgen. Ersetzt man in Gl.(12.82) y′1 durch den neuen Eingang w1

1′ =

w1 − c1 := 1 (q, w1 , s), cos(t,d −  − 2 )

(12.88)

so ergibt dies in Kombination mit der ersten Zeile von Gl.(12.81) y′1 = w1 .

(12.89)

Mit Gl.(12.83) ist der Winkel 1 definiert. Mit bekanntem 1′ folgt mit der Linearisierung (Ersetzen von  ′ durch w3 )

1 = asin

w3 lF cos 2 + 2 := 3 (q, 1′ , w3 ). 1′

(12.90)

In Kombination mit der dritten Systemgleichung Gl.(12.83) folgt

 ′ = w3 .

(12.91)

Somit verbleibt noch die Linearisierung f¨ur 2 anzugeben. Mit y′′1 = w′1 und y′′2 = w2 lautet der linearisierende Eingang direkt aus Gl.(12.86)   ′′   ′  1 cos(t,d −  − 2 )1′ − sin(t,d −  − 2 )1′ 1 w1 − c1 = ′ . (12.92) w2 − c2 2′ cos(t,d −  − 2 ) sin(t,d −  − 2 ) 1 Eingesetzt in Gl.(12.86) ergibt das klarerweise   ′′ y1 = w′1 . y′′2 = w2

(12.93)

F¨ur das vollst¨andig linearisierte System k¨onnen asymptotisch stabile Folgeregler angegeben werden

12.2 Vierrad Modell

207

w1 = y′d,1 + a00 (yd,1 − y1 ) → w′1 = y′′d,1 + a00 (y′d,1 − y′1 ) w2 =

w3 =

(12.94)

y′′d,2 + a11 (y′d,2 − y′2 ) + a01 (yd,2 − y2 ) d′ + a02 (d −  ),

(12.95) (12.96)

was durch die Wahl von a00 , a01 , a11 , a02 > 0 gew¨ahrleistet ist. F¨ur eine Bahnregelung m¨ussen yd,1 ≡ 0, yd,2 ≡ 0 vorgegeben werden, da diese dem Fehler entsprechen. Der Winkel d ist direkt die Vorgabeorientierung. Abb. 12.16 zeigt eine schematische Darstellung der gesamten Regelung. asymptotische Stabilisierung yd,1 yd,2 a00 d y′d,1 y′d,2 a01 a a11 a00 ′ 02 d

quasistatische Linearisierung y1 y2 y′1 y′2 w3 w1

y′′d,1

w′1 y′′d,2

w2

1 (q, s) 2 (q, s)

kinematisches Modell q



%

1 (q, 1′ , s) 2 (q, 1′ , s) 3 (q, 1′ , s) 1 (q, w1 , s)  2 (q, w1 , w′1 , w2 , s)

(.)dt q˙

1 1′ 2′

s˙ s˙

vL ˙ 2

H(q, u)u

s(t) Abb. 12.16 Quasistatische Regelung (vierr¨adriger Roboter) - Regelungsschema

12.2.5 Ergebnisse Die Regelung des Roboters wird in der Simulation mit der Trajektorie aus Abb. 12.17 getestet. Die Sollbahn setzt sich aus verschiedenen Abschnitten bestehend aus Kreisen und Geraden zusammen. ¨ Um die geforderte Stetigkeit der Sollbahn zu garantieren, m¨ussen die Uberg¨ ange zwischen Geraden und Kreisen u¨ ber Klothoiden (Kurve mit linearem Anstieg der Kr¨ummung) durchgef¨uhrt werden, siehe [Fiz08, Kil09]. Abb. 12.17 zeigt die Sollbzw. Isttrajektorie des Roboters. Bei den Stellen mit Abweichungen zwischen der Soll- und Isttrajektorie wurden von außen sprungf¨ormige St¨orungen im Zustand auf den Roboter aufgeschaltet. In Abb. 12.18 sind die zugeh¨origen Fehler im Zeitbereich aufgetragen. Die St¨orungen klingen nach der vorgegebenen Fehlerdynamik ab.

208

12 Fahrende Roboter 10

y in m

5

0

Solltrajektorie Isttrajektorie −5 −15

−5

−10

0

10

5

x in m Abb. 12.17 Vierr¨adriger Roboter - Soll/Isttrajektroie

Fehler in m bzw. rad

0.15

d −  y1 y2

0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Zeit in s Abb. 12.18 Vierr¨adriger Roboter - Regelfehler

12.2.6 Zusammenfassung Vierr¨adrige Roboter sind aufgrund ihres Aufbaues besonders man¨ovrierf¨ahig. Es kann nicht nur die Position, sondern auch die Orientierung frei vorgegeben werden. F¨ur die Bahnregelung eignet sich wieder ein flachheitsbasierter Ansatz. Durch die quasistatische Linearisierung kann das verbleibende lineare Systeme durch asymptotische Folgeregler stabilisiert werden. Der Positionsfehler kann in verschiedene Koordinatensysteme projiziert werden.

Kapitel 13

Bewegungsplattformen

Elektrisch angetriebene Stewart Plattformen werden in der Robotik f¨ur sehr genaue Positionieraufgaben und schwere Lasten verwendet. In diesem Kapitel wird auf eine dieser Stewart Plattformen eingegangen. Der Antrieb erfolgt in diesem speziellen Fall u¨ ber Luftmuskeln, die nur in der Lage sind, Zugkr¨afte auf die bewegliche Platte aufzubringen. Die Druckkr¨afte und Momente liefert eine steife Feder im Zentrum des Hexapods. Nach dem L¨osen der kinematischen Beziehungen wird auf die Modellbildung und Regelung eingegangen. Dabei stellt sich eine Kombination aus Druckregelung, Kompensation der nichtlinearen Muskelkennlinien, modellbasierter Vorsteuerung und PID-Positionsregelung als vorteilhaft heraus. Aufgrund der Nachgiebigkeit kann der Roboter in direkter Umgebung von Menschen eingesetzt werden. Als Anwendungsbeispiele sind exemplarisch der Fitness/Rehabilitationsbereich, oder der Simulatorbereich f¨ur Flugger¨ate, zu nennen.

13.1 Aufbau Der Hexapod besteht aus einer beweglichen und einer fixen Basisplattform, die u¨ ber 6 Luftmuskeln verbunden sind. Die Muskeln werden mit einem Maximaldruck von 6 bar versorgt und liefern Kr¨afte bis zu 6000 N bei einem Gewicht von 0.2 kg. Die maximale Kontraktion der Muskeln betr¨agt allerdings nur 25 %. Die Plattform hat eine H¨ohe von 0.5 m bei einem Durchmesser von 0.4 m, siehe Abb. 13.1. Sie wiegt in dieser Form ca. 20 kg. Aufgrund des Aufbaues gibt es nur sehr wenig Reibung. Die Muskeln selbst haben nat¨urlich keine Reibung, weisen allerdings ein Hystereseverhalten auf. Da die Muskeln nur in der Lage sind, Zugkr¨afte auf die bewegte Platte einzupr¨agen, liefert eine Radfeder von einem PKW die Druckkr¨afte/momente. Sie hat in L¨angsrichtung eine Steifigkeit von ca. 105 N/m. Die Sollbahnen k¨onnen entweder offline vorgegeben werden, oder sie werden direkt von einem Force Feedback Joystick mit 6 Freiheitsgraden u¨ bernommen. Dieser ist ebenfalls als Stewart Plattform realisiert, siehe [Oll06] f¨ur detaillierte Informationen u¨ ber den Joystick. Der elektrische Aufbau ist

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_13,  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

209

210

13 Bewegungsplattformen

(K) E l4

l5

l6

l3

rE l2 l1 (I)

Abb. 13.1 links: Photo des Aufbaues - pneumatischer Hexapod mit Joystick, rechts: schematische Darstellung

in Abb. 13.2 dargestellt. Alle Regelungsschemen werden in M ATLAB /S IMULINK entworfen. Mithilfe des Real Time Workshops wird das Regelungsprogramm f¨ur einen RTAI (Real Time Application Interface) erweiterten Linux Kern erzeugt. Dieser l¨auft auf einem eingebetteten Computer mit einer Taktrate von 1 GHz bei einer Abtastzeit von 2 ms. Phytec eNET-CAN Karten stellen die Verbindung zu extra entworfenen Analog Digital Wandlerkarten her. Diese CAN Verbindung arbeitet mit einer Taktrate von 1 MBaud. Als Messgr¨oßen dienen die L¨angen der Muskeln (Linearpotentiometer) und die Dr¨ucke in den Muskeln. Die Stellgr¨oßen sind die Spannungen f¨ur die Druckregelventile. Matlab Simulink RTW

Flugsimulator Rennsimulator RS232

TCP/IP

eNet-CAN Nano Luke Embedded Board

CAN 1MB CAN - AD

Joystick

PC104 eNet-CAN

CAN 1MB

CAN -

AD DA

Hexapod

Abb. 13.2 Signale und Elektronikschema

Der Hexapod wurde in Zusammenarbeit mit der Firma FerRobotics Compliant Robot Technology GmbH. realisiert.

13.2 Kinematik

211

13.2 Kinematik Bei parallelen Robotern ist im Gegensatz zu den seriellen Robotern die inverse Kinematik einfach zu l¨osen, w¨ahrend die Vorw¨artskinematik aufw¨andiger zu berechnen ist, siehe [Mer00]. F¨ur die kinematische und dynamische Modellierung des Roboters wird der Vektor qT = (x y z    )T (Endeffektorkoordinaten) als Vektor der Minimalkoordinaten verwendet. Vektor rTE = (x y z) kennzeichnet die Position des Endeffektors, w¨ahrend die Komponenten von  TE = (   ) die Kardanwinkel f¨ur die Orientierung darstellen, siehe Gl.(2.9).

13.2.1 Inverse Kinematik Bei der inversen Kinematik m¨ussen, ausgehend von bekanntem Vektor rE und der Orientierung AIK , die L¨angen der Antriebe berechnet werden. Betrachtet man Abb. 13.3, so kann die i−te L¨ange u¨ ber die Vektorkette angeschrieben werden = I rE + AIK K b − I ai , 8 li = I lTi I li .

I li

(13.1) (13.2)

Die Vektoren K b und I a sind in den jeweiligen Koordinatensystemen u¨ ber die Konstruktion gegeben. Die Transformation erfolgt u¨ ber die Kardantransformation AIK = ATKardan , siehe Gl.(2.9). Damit ist die inverse Kinematik gel¨ost. (K) bi E rE li ai Abb. 13.3 Topologie eines Beines des Hexapods

(I)

212

13 Bewegungsplattformen

13.2.2 Vorw¨artskinematik Im Gegensatz zur inversen Kinematik werden bei der Vorw¨artskinematik bei gegebenen L¨angen der Antriebe die Position und Orientierung des Endeffektors berechnet. Eine analytische L¨osung der Vorw¨artskinematik stellt eine sehr anspruchsvolle Aufgabe dar. In [Hus96] werden verschiedene Ans¨atze gezeigt, aber eine effiziente Methode zur Implementierung am Echtzeitregelsystem steht nicht zur Verf¨ugung. Eine Alternative bietet die numerische Berechnung u¨ ber die Newton-Iteration. Ein Satz von Bindungsgleichungen  = 0

T  = 1 .. 6 , i = li |q(n) − li,d = 0, i = 1..6,

(13.3)

f¨uhrt auf das Iterationsschema [HMV05]

−1 q(n+1) = q(n) −  ′ q(n)  |q(n)    (n) 

(13.4)

mit der L¨osung der n-ten Iteration q(n) und der entsprechenden Jacobimatrix  ′ =   / q. L¨ange li,d ist die Solll¨ange des i-ten Antriebs, w¨ahrend li |q(n) die L¨osung der inversen Kinematik darstellt. Aufgrund von perfekten Startwerten durch die letzten Abtastzeitpunkte reichen 1 − 2 Iterationen pro Zeitschritt f¨ur eine ausreichende Genauigkeit. Um die Rechenzeit weiter zu verringern, ist es effizienter, die Gr¨oße  aus  (13.5)  ′ q(n)  (n) =  |q(n)

u¨ ber iterative Verfahren zu l¨osen, siehe [HMV05]. Auch bei Parallelkinematiken k¨onnen Singularit¨aten auftreten, die einer genaueren Analyse bed¨urfen. Sichtbar werden sie ebenfalls wieder durch den Rangverlust der Jacobimatrix. Eine offensichtliche Singularit¨at liegt vor, wenn die bewegliche Platte parallel und auf gleiche H¨ohe zur unteren Platte kommt. Viele Singularit¨aten sind allerdings durch die begrenzte L¨ange der Antriebe konstruktiv gar nicht m¨oglich.

13.3 Dynamik Die Bewegungsgleichung wird mit der Projektionsgleichung Gl.(3.15) hergeleitet. Als Minimalkoordinaten wird der Vektor q = (x y z    )T verwendet. Das Gewicht der Muskeln ist um Gr¨oßenordnungen kleiner als die bewegte Platte mit der Last und wird daher vernachl¨assigt. Die Schwerpunkttranslationsgeschwindigkeiten vs sind direkt in den Minimalkoordinaten enthalten, w¨ahrend die Drehgeschwindigkeiten  s durch die Definition der Orientierung u¨ ber Kardanwinkel bestimmt sind, siehe Gl.(2.69). Die Modellierung der Muskeln und der Zentralfeder muss gesondert betrachtet werden. Erstere erh¨alt man aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit

13.3 Dynamik

213

 W =  qT Q =   I rTi I Fi =   qT mit I Fi

= Fi



I ri q

I li .  I li 

T

I Fi

(13.6)

(13.7)

Fi ist die Kraft des i-ten Muskel, w¨ahrend I li / I li  den Einheitsvektor angibt, siehe Gl.(13.1). Die Federkr¨afte werden mithilfe eines Potentials 1 V = qT Kq 2

(13.8)

mit der Steifigkeitsmatrix K in die Bewegungsgleichung eingef¨ugt. Man erh¨alt diesen Anteil als generalisierte Kraft Q=−

-

V q

.T

= −Kq.

(13.9)

Die Werte f¨ur die Steifigkeitsmatrix werden u¨ ber einen Identifikationsprozess ermittelt. Es werden m verschiedene Positionen angefahren, die das System m¨oglichst gut anregen. Bei stillstehendem Roboter m¨ussen also die Federkr¨afte und die Mukelkr¨afte im Gleichgewicht stehen. Diese sind u¨ ber die Druckmessung (Muskelkennlinie) bekannt. Damit gelingt es ein Gleichungssystem der Form ⎤ ⎡ K11 . . . K16 ⎢ .. . . .. ⎥ (13.10) ⎣ . 1 | q2 | ...|qm ] = [Q1 | Q2 | ...|Qm ] . . ⎦ [q       K61 · · · K66 6,m 6,m ˆ ˆ q∈R Q∈R    K

anzuschreiben. Die identifizierte Steifigkeitsmatrix wird mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate zu ˆ qˆ T (qˆ qˆ T )−1 K=Q (13.11) berechnet. Schlussendlich ergeben sich die Bewegungsgleichungen in der Form ˙ + Kq = B (q) u, M (q) q¨ + g (q, q)

(13.12)



T mit den 6 Kr¨aften u = F1 .. F6 als Regelungseingang. Zur Berechnung der inversen Dynamik wird die Bewegungsgleichung Gl.(13.12) durch Vormultiplikation von B(q)−1 auf die Stellgr¨oße u umgeformt. Aufgrund des mechanischen Aufbaues ist keine singul¨are Stellung m¨oglich, und diese Transformation kann immer durchgef¨uhrt werden.

214

13 Bewegungsplattformen

13.4 Regelung F¨ur die Regelung der pneumatischen Stewart Plattform wurden in [Tro09] verschiedene Regelungsans¨atze getestet. Am geeignetsten stellte sich eine modellbasierte Vorsteuerung mit u¨ berlagerter PID- Positionsregelung und einer Kompensation des nichtlinearen Luftmuskelverhaltens heraus. Abb. 13.4 zeigt das Regelungskonzept schematisch.

Joystick

Bahngenerator

qd , q˙ d , q¨ d

ld,i inverse Kinematik

Flugsimulator

inverse Dynamik

PID

Ff f ,i Fi

F pd,i

p

li Druckregelung

Muskel i

hd,i pi

h

Vorw¨artsKinematik

˙ q¨ q, q,

Abb. 13.4 Regelungskonzept

Die Sollwerte f¨ur den Endeffektor k¨onnen einerseits durch einen Trajektoriengenerator (offline), mithilfe eines Joysticks (online) oder von einem externen Computersystem (Flugsimulator), bereitgestellt werden. Die fix definierten Bahnen werden dabei f¨ur Manipulationsaufgaben verwendet. Wird der Roboter als Rehabilitationsger¨at verwendet, so ist es sinnvoll, dass der Therapeut die Bahnen u¨ ber den Joystick vorgibt. Die generierten Sollwerte werden u¨ ber die inverse Kinematik zu Solll¨angen der Muskeln und zur relativen L¨angen¨anderung h in % f¨ur jeden Muskel umgerechnet ld,i 100% (13.13) hd,i = l0 (l0 ... entspannte L¨ange der Muskeln). Ein PID-Regler liefert in Kombination mit der modellbasierten Vorsteuerung F f f = B (qd )−1 (M (qd ) q¨ d + g (qd , q˙ d ) + Kqd )

(13.14)

die geforderten Muskelkr¨afte. Das Verhalten der Muskeln (Kraft - Druck - Kontraktion) wird durch statische Versuche ermittelt. Die sich ergebenden Kennlinien, siehe Abb. 13.5, werden f¨ur die Regelungskonzepte durch Polynome approximiert

13.5 Bewegungssimulatoren

215 3

7

i=0

i=0

F(h, p) =  ai hi p +  bi hi ,

(13.15)

wobei die Koeffizienten a und b durch eine Identifikation bestimmt wurden. Es muss allerdings betont werden, dass dabei nur das statische Verhalten der Muskeln abgebildet wird. Verschiedene Ans¨atze f¨ur das dynamische Verhalten sind in [KAZD06] angegeben. Dabei wird versucht, ein dynamisches Modell u¨ ber den physikalischen Aufbau der Muskeln herzuleiten. Die Luftmuskeln weisen außerdem ein ausgepr¨agtes Hystereseverhalten auf. In [Sta08] wird ein Modellierungskonzept f¨ur die Antriebe erarbeitet und zur Verbesserung der Positionsregelung verwendet.

10

×103

p = 6 bar p = 5 bar p = 4 bar p = 3 bar p = 2 bar p = 1 bar

9 8

F in N

7 6 5 4 3 2 1 0

5

10

15

20

25

30

h in % Abb. 13.5 Kennlinien des Festo Luftmuskels DMSP40

Aus der geforderten Muskelkraft Fi und der L¨angen¨anderung hd,i wird u¨ ber die Kennlinie ein Solldruck berechnet. Mit einem unterlagerten PID Regelkreis wird der Druck f¨ur jeden Muskel geregelt. Das System wird mit den Solltrajektorien aus Abb. 13.6 getestet. Das Man¨over besteht aus einer schnellen Bewegung in zRichtung, gefolgt von x- und y- Bewegungen des Endeffektors. Aufgrund der begrenzten Dynamik der Pneumatikventile ergibt sich ein kleiner Regelfehler. Abb. 13.7 zeigt exemplarisch die Soll(ld,1 )- und Istl¨ange(l1 ) von Muskel 1. Die Messergebnisse sind f¨ur die geforderte Genauigkeit absolut ausreichend. Das Druckregelverhalten f¨ur Muskel 1 wird in Abb. 13.8 pr¨asentiert.

13.5 Bewegungssimulatoren Anhand von Bewegungssimulatoren soll das Empfinden von bestimmten Ereignissen (Auto, Flugzeug, Schiff) auf Bewegungsplattformen abgebildet werden. Aufgrund des eingeschr¨ankten Arbeitsraumes m¨ussen die realen Beschleunigungen und Winkelgeschwindigkeiten an die Plattform angepasst werden. Dieses Konzept nennt

216

13 Bewegungsplattformen

0.06 0.47

0.02

z in m

x, y in m

0.04

0

zd z

0.45

0.43

−0.02

x xd y yd

−0.04 −0.06

0.41

0.39 0

5

10

15

20

25

Zeit in s

30

0

35

5

10

15

20

25

30

35

Zeit in s

Abb. 13.6 Soll- und Istkoordinaten des Endeffektors 4

0.53

p1 pd,1

3.5

p1 in bar

l1 in m

ld,1 l1 0.51

0.49

3 2.5 2

1.5 1

0.47

0.5 0

5

10

15

20

Zeit in s

25

30

35

Abb. 13.7 Soll- und Istl¨ange von Muskel 1

0

0

5

10

15

20

Zeit in s

25

30

35

Abb. 13.8 Soll- und Istdruck f¨ur Muskel 1

man Washout Filtering“. Abb. 13.9 zeigt den f¨ur einen Flugsimulator erweiter” ten pneumatischen Hexapod. Als Flugsimulator wird die freie Software Flight” gear“ verwendet. Diese stellt die auf das Flugzeug wirkenden Beschleunigungen, Geschwindigkeiten und Orientierungen bereit.

Abb. 13.9 Flugsimulator

13.6 Washout Filter

217

13.6 Washout Filter Die verbreitetsten Filterkonzepte sind Washout Filter“. Die Signalanpassung wird ” dabei in den translatorischen und rotatorischen Teil unterschieden, siehe Abb. 13.10. Dabei werden niederfrequente Beschleunigungen und Winkelgeschwindigkeiten, die den Hexapod in die physikalischen Begrenzungen bewegen w¨urden, unterdr¨uckt, und hochfrequente Anteile direkt auf die Plattform aufgeschaltet. Die Beschleunigungen 4 aA (Koordinatensystem 4 entspricht dem k¨orperfesten Flugzeugkoordinatensystem), die auf den Piloten wirken, werden nach dem Ausfiltern der langsamen Bewegungen und Skalierung mit der Gravitation 4 g kombiniert. Durch weitere Hochpassfilter und Transformation ins Inertialkoordinatensystem erh¨alt man die Beschleunigungen f¨ur den Simulator I aS . Aufgrund des kleinen Arbeitsraumes st¨oßt man schnell an dessen Grenzen. Eine L¨osung bildet das Konzept des Dead Zone Washout“ Filter, in Abb. 13.10 im Block DZWF gekenn” zeichnet. Wenn die geforderte Beschleunigung einen minimalen Wert (0.28 m/s2 ), welcher vom Menschen nicht mehr wahrgenommen wird, unterschreitet, so wird die Plattform in den Ausgangspunkt zur¨uckgef¨uhrt. Eine zweifache zeitliche Integration der so erhaltenen Beschleunigung I aSDZ f¨uhrt auf die Positionssollwerte der Stewart Plattform I rE,d . Ein a¨ hnliches Vorgehen gilt f¨ur die hochfrequenten Anteile der rotatorischen Bewegungen. Vektor 4  A wird u¨ ber Filter, der Transformation Gl.(2.74) und Zeitintegration auf die hochfrequenten Kardanwinkel I  SH umgerechnet. Da die niederfrequenten Beschleunigungen f¨ur eine realistische Simulation eines Flugzeuges sehr wichtig sind, werden diese u¨ ber eine Tilt-Koordination eingebunden. Diese Anteile werden u¨ ber I  SL zur Kardanorientierung u¨ berlagert. Die Summe aus hochfrequenter Orientierung und transformierter niederfrequenter Beschleunigung wird dem Hexapod als Sollorientierung I  E,d vorgegeben. Es wird also die Gravitation ausgenutzt, um dieses Empfinden nachzubilden. Da dieser jedoch nur in der Richtung, nicht aber im Betrag ver¨andert werden kann, kommt es unweigerlich zu Empfindungsfehlern. 4g 4 aA

HP Scale #1

4 a1

4 aH HP Filter #1

AI4

I a2

4 aL 4 a2 LP LP Scale #1 Filter #1

4 A

4 H 4 1 HP HP Filter #3 Scale #2

TI4

˙H I

I aS HP Filter #2

Tilt Koord.

˙ SH HP I  Filter #4

DZWF

I aSDZ

1 s2

I rE,d

I  SL

1 s

I  SH

I  E,d

Abb. 13.10 Schema Deadzone Washout Filter“ ”

F¨ur die Einstellung der Filter wird auf [Spr10] verwiesen. Bei den optimierten Filterentwurfsverfahren wird versucht, den Empfindungsfehler zwischen realen Man¨overn

218

13 Bewegungsplattformen

Wahrnehmung  in rad/sec

und der menschlichen Wahrnehmung zu minimieren. Es kommen dabei verschiedene Modelle f¨ur die menschliche Wahrnehmung zum Einsatz. In [Spr10] werden einige optimierte Entwurfsverfahren hergeleitet. Abb. 13.11 zeigt den Vergleich der Winkelgeschwindigkeit (reale A,y und wahrgenommene S,y ) bei einem Rollman¨over eines Flugzeuges.

S,y A,y

0.02

0

−0.02 −0.04 −0.06 0

2

4

6

8

10

Zeit in s Abb. 13.11 Wahrnehmungvergleich

13.7 Zusammenfassung F¨ur diesen Parallelroboter werden Luftmuskeln als innovative Antriebe verwendet. Ein wesentlicher Vorteil ist der einfache Aufbau der Stewart Plattform. Die 6 Bewegungsfreiheitsgrade (x, y, z,  ,  ,  ) werden u¨ ber kinematische Betrachtungen in die Muskell¨angen (l1 , .., l6 ) transformiert. Die inverse Kinematik kann u¨ ber Vektorketten einfach gel¨ost werden. F¨ur die Vorw¨artskinematik kommt ein numerisches Verfahren zum Einsatz. Ein detailliertes mathematisches Modell bildet die Grundlage f¨ur die Regelungsverfahren. Das gezeigte Schema besteht aus einer modellbasierten Vorsteuerung der Starrk¨orper, u¨ berlagert mit einem PID-Regler. Eine Kompensation des nichtlinearen Muskelverhaltens f¨uhrt in Kombination mit einem unterlagerten Druckregelkreis zu einem befriedigenden Regelverhalten. Als Einsatzgebiet wird der Hexapod als Simulationsplattform f¨ur einen Flugsimulator gezeigt.

Kapitel 14

Rotordynamik

Obwohl sich der Titel dieser Arbeit auf die Robotersysteme beschr¨ankt, soll als Modellausblick auch die Rotordynamik vorkommen. Die allgemeine Modellierung der starr/elastischen Mehrk¨orpersysteme eignet sich auch f¨ur Rotoren. Als allgemeines Beispiel wird eine elastische Welle mit zwei vergleichsweise schweren unsymmetrischen Endmassen gew¨ahlt, welche symmetrisch gelagert sind. Man denke dabei zum Beispiel an einen Turbolader, oder einen Antriebsstrang f¨ur diverse Maschinen. Die Modellbildung erfolgt mit der Projektionsgleichung, wobei auf eine vollst¨andige Beschreibung geachtet wird. Als Freiheitsgrade gibt es daher die Starrk¨orperdrehung, Torsion und Biegung in zwei Richtungen. Die Konvergenz des R ITZverfahrens wird anhand von verschiedenen Ansatzfunktionen untersucht. F¨ur die Lagerung kommen radialsymmetrische Federmodelle zum Einsatz. Diese theoretischen Herleitungen werden durch experimentelle Ergebnisse untermauert. Ein weiteres Beispiel behandelt den Antriebsstrang f¨ur einen Walzprozess, welcher aus zwei der oben beschriebenen Rotoren besteht, die u¨ ber ein Getriebe gekoppelt sind. Es werden Simulationsergebnisse f¨ur den Hochlauf pr¨asentiert.

14.1 Mechanisches Rotormodell Als grundlegendes Rotorbeispiel wird das System nach Abb. 14.1 angesehen. Rz

Iz

Rz

 (x,t) Ry

Iy

 (x,t)

Iz

(E) rs

dm

w(x,t) v(x,t)

rs Rx

w( x , t v(x,t)

)

Ry

 (t)

Iy

 (t) Abb. 14.1 Mechanisches Rotormodell

H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5_14,  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

219

220

14 Rotordynamik

Es handelt sich also um ein System aus 2 starren K¨orpern die u¨ ber eine elastische Welle miteinander verbunden sind. Die elastische Welle ist an diskreten Stellen gelagert, welche aber aus Platzgr¨unden nicht eingezeichnet sind. Dieser Aufbau entspricht beispielsweise einem Turbolader f¨ur Kraftfahrzeuge. Es sind auch viele Antriebsstr¨ange, siehe Kap. 14.3, auf diese Weise konstruiert.

14.1.1 Modellbildung 14.1.1.1 Modellierung elastischer Rotor Als Minimalgeschwindigkeiten zur Beschreibung des Systems eignen sich ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ˙ 1 0 0 0 ˙ ⎜ ⎟ ⎜ ˙ (x,t) ⎟ ⎢ 0  (x)T 0 0 ⎥ ⎥ ⎜ q˙  (t) ⎟ =  T y˙ R , ⎟=⎢ s˙ = ⎜ T ⎝ ⎦ ⎣ ⎝ v(x,t) ⎠ q˙ v (t) ⎠ 0 0 0 v(x) ˙ T q˙ w (t) 0 0 0 w(x) w(x,t) ˙

(14.1)

siehe Abb. 14.1. Die Verschiebungen werden also in dem mit  rotierenden Koordinatensystem R beschrieben. Dieses rotiert mit

 To = (˙ 0 0).

(14.2)

Mit den Zwischenvariablen nach Gl.(4.4) T y˙ = (vTo  To r˙ Ts ˙ T ˙ T )

(14.3)

und den beschreibenden Geschwindigkeiten y˙ T = (˙ ˙ ˙ ′ v˙ v˙′ v˙′′ w˙ w˙ ′ w˙ ′′ ) folgt f¨ur den Differentialoperator (˙y = D ◦ s˙) ⎡

1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 D =⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣ 0

und die Matrix  T nach Gl.(6.1) ergibt

0 1

 x

0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

 x 2  x2

0 0

0

0 0 0 0 0

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥  ⎥ x ⎦

2  x2

(14.4)

(14.5)

14.1 Mechanisches Rotormodell

221

⎡

1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢  T = D ◦ T = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0

0 T  ′T 0 0 0 0 0 0

⎤

0 0 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ vT 0 ⎥ ⎥ v′T 0 ⎥ ⎥. v′′T 0 ⎥ ⎥ 0 wT ⎥ ⎥ 0 w′T ⎦ 0 w′′T

(14.6)

Mit der allgemeinen Form f¨ur F, siehe Gl.(4.6), F aus Gl.(14.3) und Gl.(14.4) (partielle Ableitung) und  aus Gl.(14.6) erh¨alt man f¨ur die Dynamikmatrizen mit den Gleichungen 6.11 bis 6.13 dM = ⎡

 Ix

 Ix  T

− AwvT  (Ix − Iz )w′ v′T

⎤

 AvwT − (Ix − Iy )v′ w′T ⎥

⎢ ⎢ ⎥ ⎢  Ix   Ix   T  (Ix − Iz )w′  v′T − (Ix − Iy )v′  w′ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − Avw ⎥  (Ix − Iz )w′ v′  T  AvvT +  Iz v′ v′T  (−Iy + Iz ) v′ w′T ⎥dx, ⎢ ⎢ + (Ix − Iz )v′ w′ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ′ ′ T ′ ′T T ′ ′T ⎦  Awv − (Ix − Iy )v w  − (Ix − Iy )w′ v′

dG = ⎡

0

 (−Iy + Iz ) w v

 Aww +  Iy w w

(14.7)

⎤ 2 Av˙ vT 2 Aw˙ wT ′ ′T ′ ′T  (Ix − Iz )w˙ v − (Ix − Iy )v˙ w ⎥

0

⎢ ⎢ ⎥ 0 0  (Ix − Iy )w˙ ′  v′T  (Ix − Iy )v˙′  w′T ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ˙ AwT ⎥ − Av˙ v v′ w˙ ′  (Ix − Iy ) T 0 −2v ⎢ ⎥ ⎢ + (Ix − Iz )v′ w˙ ′ +v′ ˙ v′  (Ix − Iy ) T ˙ Iy w′T ⎥dx −v′  ⎢ ⎥ ⎢ + (Ix − Iy )v′ v′ ˙ ⎥ ⎢ ⎥ ′ v˙′  (I − I ) T T ⎢ − Aww˙ ⎥ ˙ w 2w  Av 0 y x ⎣ ⎦ T ′ ′ ′ ′ ′ ′T − (Ix − Iy )w v˙ +w ˙ w  (Ix − Iy ) + (Ix − Iz )w′ w′ ˙

und

⎛

˙ Iz v +w 

⎞ dMx /dx ⎜ −GID  ′  ′ ⎟ ⎟ dQ = ⎜ ⎝ −EIz v′′ v′′ ⎠ dx. −EIy w′′ w′′

(14.8)

(14.9)

Die elastischen R¨uckstellkr¨afte werden u¨ ber dQ = −( dVel / q)T mit dem elastischen Potential

222

14 Rotordynamik

dVel =





1 1 1 GID  ′ (x,t)2 + EIy w′′ (x,t)2 + EIz v′′ (x,t)2 dx 2 2 2

(14.10)

ber¨ucksichtigt. Betrachtet man in Gl.(14.7) den Eintrag (1,3) genauer, so erkennt man, dass dieser nach Multiplikation mit den Minimalbeschleunigungen q¨ v von zweiter Ordnung ist, und somit vernachl¨assigt werden kann. Der Ausdruck (3,1) ist aufgrund der symmetrischen Massenmatrix identisch. Dieser Term wird allerdings mit der Starrk¨orperbeschleunigung ¨ multipliziert und ist daher von linearer ¨ Ordnung. Er darf somit nicht gestrichen werden. Ahnliches gilt f¨ur weitere Terme in der Massen- bzw. dG- Matrix. Vernachl¨assigt man alle Terme zweiter Ordnung, so erh¨alt man ⎡ ⎤  Ix  Ix  T 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥  Ix   Ix   T 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − Avw 0  AvvT +  Iz v′ v′T 0 ⎥ dx, dM = ⎢ ⎢ + (I − I )v′ w′ ⎥ ⎢ ⎥ x z ⎢ ⎥ T ′ ′T ⎣  Awv 0 0  Aww +  Iy w w ⎦ − (Ix − Iy )w′ v′ (14.11) ⎡ ⎤ 0 0 0 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T ˙ Aw ⎥ − Avv˙ 0 −2v ⎢ ⎢ ⎥ ′ ′ ′ ′T ˙ Iy w ⎥ −v  ⎢ + (Ix − Iy )v w˙ 0 dG = ⎢ (14.12) ⎥ dx. ′ ′ ⎢ + (Ix − Iz )v v ˙ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ˙ AvT − Aww˙ 2w 0 ⎢ ⎥ ′T ⎣ − (Ix − Iy )w′ v˙′ 0 +w′  ⎦ ˙ Iz v 0 ′ ′ + (Ix − Iz )w w ˙

Die Torsionsfreiheitsgrade sind also von den Biegefreiheitsgraden entkoppelt. Setzt man den R ITZansatz auch f¨ur die verbleibenden Gr¨oßen ein, so kann auch die Integration durchgef¨uhrt werden. Die Bewegungsgleichung f¨ur den Rotationsanteil lautet           0 0 MMot  Ix  Ix  T ¨  + = dx dx MMot  (0) q¨  q 0 GID  ′  ′T  Ix   Ix   T       Mt

Kt

(14.13) (Motormoment wirkt an der Position x = 0). Diese Gleichung kann nach ¨ aufgel¨ost werden, und das Ergebnis geht als Parameter f¨ur die Biegeanteile ein. Geht man von rotationssymmetrischen K¨orpern aus bedeutet dies f¨ur die Tr¨agheitseigenschaften

 Iz =  Iy :=

 Jy . x

(14.14)

14.1 Mechanisches Rotormodell

223

Analog wird auch  A durch  m/ x ersetzt, um eine allgemeine Massenverteilung zu ber¨ucksichtigen. F¨ur die Biegeanteile erh¨alt man





m T  x vv

+¨

+˙

 

+˙ 2



+ 



/ /

J

+  xy v′ v′T 0



0 dx m T +  Jy w′ w′T ww x x



Mb

m T  x wv

+



0

 Jy x



− Jxx w′ v′T





− mx vwT −

q¨ v q¨ w



 Jy x

0



  0 − Jxx v′ w′T

dx

G1





qv qw



  0   J 0 −2 mx vwT − 2  xy − Jxx v′ w′T q˙ v   dx  Jy  Jx m ′ ′T T ˙w q 0 2  x wv + 2  x −  x w v

/

− mx vvT −



 Jy x

0

 − Jxx v′ v′T



EIy v′′ v′′T 0 dx 0 EIy w′′ w′′T



Kb







G2

− mx wwT −



G3

qv qw



=

  0 . 0



0  Jy x



− Jxx w′ w′T

0





qv dx qw 



(14.15)

Gl.(14.13) und Gl.(14.15) k¨onnen effektiv mit einem entsprechenden numerischen Integrator simuliert werden. Diese Form hat aber einen entscheidenden Nachteil. Es ist dabei die x-Richtung (Starrk¨orperdrehung, Torsion) vollst¨andig von y, z-Richtung (Biegungen) entkoppelt. Die aus der Praxis bekannten Ph¨anomene, wie beispielsweise das H¨angenbleiben der Drehzahl bei bestimmten Biegefrequenzen, werden mit diesem Modell nicht abgebildet. In diesem Fall wird beim Hochlauf die gesamte Antriebsenergie in die Biegerichtungen umgeleitet, was nat¨urlich a¨ ußerst unerw¨unscht ist. F¨ur die Modellierung dieses Effektes muss eine Unwuchtmasse eingef¨uhrt werden. Aufgrund von Fertigungstoleranzen wird es bei realen Systemen immer zu kleinen Unsymmetrien kommen.

14.1.1.2 Unwuchterregung Eine Unwuchtmasse m (Tr¨agheitsmoment vernachl¨assigt), die auf der elementfesten E y-Achse am Ort x = 0 angebracht ist, wird im Referenzsystem mit dem Ortsvektor T ˜ beschrieben, wobei  T = ( (0,t) − R r = R ro + ARE (0 s 0) mit ARE = E +  ′ ′ w (0,t) v (0,t)) die Verformungswinkel beinhaltet. Der Impuls der Masse m, lautet bei Verwendung des R ITZansatzes

224

14 Rotordynamik R pUW

= m(R r˙ + ˜ o R r) ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ˙ ′T  0 0 −v s 0  ⎜ ⎟  Rv ˙ q ⎟ vT 0 ⎦ ⎜ ˙ =m q. = m ⎣ w+s 0 ⎝ ⎠ ˙ qv  q˙ v + s  T s 0 wT x=0 q˙ w

(14.16) (14.17)

Gl.(14.17) liefert die Massenmatrix MUW = m

-

 Rv

.T -

 Rv

.

(14.18)  q˙  q˙ ⎤ ⎡ (w +  s)2 + (v + s)2 (v + s) T s −(w +  s)vT (v + s)wT   ⎢   T s2 0  wT s ⎥ ⎥ = m⎢ T ′ ′T 2 ⎦ ⎣ vv + v v s 0  T  symm ww x=0 (14.19)

bzw. nach einer Linearisierung ⎡ ⎤ 2vT1 qv s + s2  T1 s2 0 swT1 ⎢ 0  1  T1 s2  1 wT1 s ⎥ (vT1 qv + s) 1 s ⎥, MUW = m ⎢ ′ ′T 2 T ⎣ −(wT qw +  T1 q s)v1 0 v1 v1 s + v1 v1 0 ⎦ 1 (vT1 qv + s)w1 w1  T1 s 0 w1 wT1

(14.20)

mit v(x = 0) := v1 etc. Prinzipiell wird die Symmetrie der Massenmatrix nicht zerst¨ort; hier wird lediglich ausgewertet, dass einige Terme der zweiten bis dritten Spalte vernachl¨assigbar klein sind, was f¨ur die erste Spalte wegen ˙ ≪ 1 nicht gilt. Ein analoges Vorgehen f¨uhrt auf die G-Matrix: GUW = m

⎡

 Rv  q˙

.T 

d  Rv  Rv + ˜ o dt  q˙  q˙



(14.21)

⎤ 0 0 2svT1 0 ⎢ −(w1 qw +  T1 q s) 1 s ⎥ 0 2s 1 vT1 0 ⎥ ˙ .(14.22) = m⎢ T T T ⎣ −(v1 qv + s)v1 −2sv1  1 0 −2w1 v1 ⎦ −(wT1 qw +  1 q s)w1 0 2w1 vT1 0 14.1.1.3 Einbinden der Starrk¨orper Das Einbinden der beiden Randmassen kann formal durch entsprechende Anpassung der Integrale in Gl.(14.13) und Gl.(14.15) erfolgen. Ein Blick auf Abb. 14.2 zeigt, dass f¨ur den Rotor folgende Massen- und Tr¨agheitsverteilung zutrifft

14.1 Mechanisches Rotormodell

225

m =  A[ (0) −  (x − Lel )] + m1−  (x + Ls,r1 ) + m2−  (x − Ls,r2 ) (14.23) x J =  I[ (0) −  (x − Lel )] + J1−  (x + Ls,r1 ) + J2−  (x − Ls,r2 ), (14.24) x mit der Sprungfunktion  und der Diracfunktion − . Rz

Lel

Lr1

Lr2

m2 , J2

m1 , J1 Sr1

 , A, I, E, G Ls,r1

Sr2

Rx

Ls,r2

Abb. 14.2 Zur Massenverteilung des Rotors

Auch die Ansatzfunktionen m¨ussen entsprechend den Abschnitten angepasst werden. F¨ur die y-Richtung lauten diese ⎧ : −Lr1 < x ≤ 0 ⎨ v(0) + v′ (0)x : 0 < x ≤ Lel (14.25) v(x) = v(x) ⎩ v(Lel ) + v′ (Lel )(x − Lel ) : Lel < x < Lel + Lr2 Analoges gilt f¨ur die Torsion und die Biegung in z-Richtung.

14.1.1.4 Ansatzfunktionen Von wichtiger Bedeutung ist auch die Wahl der Ansatzfunktionen. Bei der Verwendung des R ITZ Verfahrens werden an diese ja die Forderungen • Erf¨ullung der geometrischen Randbedingungen • lineare Unabh¨angigkeit • vollst¨andiges Funktionensystem gestellt. Es soll also ein Vergleich zwischen verschieden gew¨ahlten Ansatzfunktionen bez¨uglich der Konvergenz der Eigenfrequenz untersucht werden. F¨ur ein beliebiges lineares System der Form Mq¨ + Kq = 0

(14.26)

erh¨alt man die Eigenfrequenzen  durch Einsetzen des L¨osungsansatzes q = qe t in Gl.(14.26) aus

226

14 Rotordynamik



    2 M + K q = 0 → Det  2 M + K = 0,

(14.27)

siehe [MP97]. Diese werden f¨ur den stillstehenden Rotor berechnet. F¨ur diese Auswertung werden die physikalischen Parameter von Tabelle 14.1 verwendet. L¨ange in m Durchmesser in m elast. Welle

0.8

0.05

Masse 1

0.02

0.08

Masse 2

0.025

0.05

Tabelle 14.1 Abmessungen f¨ur die Simulation

Betrachtet man vorerst die Torsionsschwingungen aus Gl.(14.13) so bieten sich als Ansatzfunktionen die exakten eingespannt-frei Torsionseigenmoden des einfachen B ERNOULLI -E ULER Balkens an. Aus [BP92] ergeben sich diese als √ i (x) = 2 sin ki x, ki L = i . (14.28) Eine Auswertung der ersten 4 Eigenfrequenzen wird in Tabelle 14.2 pr¨asentiert, wobei die beiden Starrk¨orperfrequenzen ( f = 0) nicht angeschrieben sind. Die exakte ¨ L¨osung wurde mit dem Ubertragungsmatrizenverfahren berechnet, siehe [Hub08]. In den Spalten 3 (e-f TM (4 Ans)) und 4 (e-f TM (100 Ans)) sind die L¨osungen f¨ur 4 bzw. 100 Ansatzfunktionen dargestellt. Bei Verwendung von 4 Ansatzfunktionen ist der Fehler nicht zu vernachl¨assigen. Durch 100 Ansatzfunktionen wird die erste Eigenfrequenz gut abgebildet, allerdings gibt es Fehler in den restlichen. Das Verfahren konvergiert also, aber die Rate ist doch eher schlecht. Dies kann durch Hinzunahme einer Hilfsfunktion verbessert werden, siehe auch [Bre08]. Durch die schweren Endmassen verh¨alt sich ein Torsionsmode f¨ur große Eigenfrequenzen a¨ hnlich einer festen Einspannung. Die Hilfsfunktion ist ebenfalls in Abb. 14.3 dargestellt. Die Ergebnisse f¨ur die Eigenfrequenzen sind wieder in Tabelle 14.2 (e-f TM mit HF) angegeben. Es zeigt sich ein sehr gutes Konvergenzverhalten. F¨ur die Simulation werden daher f¨unf dieser Torsionsansatzfunktionen verwendet. ex. L¨os. e-f TM

e-f TM

(4 Ans.) (100 Ans.) 1.te Ef. 156.6

e-f TM mit Hf e-f TM mit Hf (4 Ans.)

(100 Ans.)

160.8

156.8

156.6

156.6

2.te Ef. 2017.1 2125.1

2021.2

2017.1

2017.1

3.te Ef. 4015.6 4242.1

4023.9

4020.4

4015.8

4.te Ef. 6018.4 6399.4

6030.7

6273.6

6018.5

Tabelle 14.2 Eigenfrequenzen Torsion

F¨ur die Biegeansatzfunktionen bietet sich ein a¨ hnliches Vorgehen an. Die exakte ¨ L¨osung wurde mit dem Ubertragungsmatrizenverfahren berechnet. Als Ansatzfunk-

14.1 Mechanisches Rotormodell

227

tionen werden die exakten frei-frei Biegeeigenmoden des B ERNOULLI -E ULER Balkens verwendet vi (x) = wi (x) = (cosh ki x sinh ki x cos ki x sin ki x)ci

(14.29)

ci = (1 − i 1 − i )T cosh ki L − cos ki L und ki aus 1 − (cosh ki L)(cos ki L) = 0. i = sinh ki L − sin ki L

(14.30)

mit

(14.31)

Dabei m¨ussen nat¨urlich auch die Starrk¨orpermoden ber¨ucksichtigt werden. Abb. 14.4 bildet die Funktionen graphisch ab. In Tabelle 14.3 wird auch f¨ur diesen Fall das Konvergenzverhalten untersucht. Mit 10 Ansatzfunktionen f¨ur jede Biegerichtung werden die unteren Eigenfrequenzen gut abgebildet. Da die Ansatzfunktionen f¨ur beide Biegerichtungen gleich gew¨ahlt werden, kommt es in Gl.(14.15) zu einigen Rechenvereinfachungen. ex. L¨os. f-f BM

f-f BM

f-f BM

(4 Ans.) (20 Ans.) (100 Ans.) 1.te Ef.

21.6

22.9

21.6

21.6

2.te Ef.

36.1

38.9

36.1

36.1

3.te Ef. 130.6

256.2

130.9

130.8

4.te Ef. 335.5

410.1

336.7

336.5

Tabelle 14.3 Eigenfrequenzen Biegung

Bemerkung: Die guten Konvergenzergebnisse aus Tabelle 14.2 und Tabelle 14.3 rechtfertigen den hohen Aufwand zur Berechnung der exakten Eigenmoden u¨ ber das ¨ Ubertragungsmatrizenverfahren eigentlich nicht. Diese L¨osung wird auch nur f¨ur den stillstehenden Rotor berechnet, und a¨ ndert sich am realen System mit der Drehzahl. Andererseits ist die Berechnung mit zu vielen Ansatzfunktionen keineswegs empfehlenswert. Eine Abhilfe schafft hier die modale Entkopplung. Die Eigenfrequenzen und Eigenformen q in Gl.(14.27) k¨onnen auch f¨ur viele Ansatzfunktionen berechnet werden. F¨uhrt man eine Modaltransformation mit q = Y , Y = [q1 · · · qn ] durch, so erh¨alt man f¨ur Gl.(14.15) bei ˙ = 0 (eine Biegerichtung, Y geeignet normiert) T T MY ¨ + Y KY  = 0. (14.32) Y    E

Wegen Y = const. folgt

diag(i2 )

228

14 Rotordynamik





m J wwT + w′ w′T dxY YT MY = YT x x   m T J T ′ T T T ′ T (Y w)(Y w) + (Y w )(Y w ) dx = x x   m J ′ T ′T weigen weigen + weigen weigen dx = E. ≈ x x

(14.33) (14.34) (14.35)

Eine N¨aherung der Eigenfunktionen ist also weigen = YT w, weigen,i = qTi w,

(14.36)

mit qi ∈ Rn , w ∈ Rn , i = 1..n. F¨ur die weitere Rechnung mit ˙ = 0 k¨onnen die Eigenfunktionen des stillstehenden Rotors als Ansatzfunktionen verwendet und auf eine geringe Anzahl weigen,i , i = 1..m, m < n reduziert werden. Die Orthogonalit¨at bez¨uglich M (und K) bleibt erhalten und kann nutzbringend verwendet werden. 2

1.5

1.5

1

0

vi in m

i in rad

1 0.5

Hilfsfunktion

−0.5

−1.5 0

0.2

0

−0.5

1. Af. 2. Af. 3. Af. 4. Af.

−1

0.5

1. Af. 2. Af. 3. Af. 4. Af.

−1 −1.5 0.4

0.6

x in m Abb. 14.3 Ansatzfunktionen Torsion

0.8

−2

0

0.2

0.4

x in m

0.6

0.8

Abb. 14.4 Ansatzfunktionen Biegung

14.1.1.5 Lagerung Die Lagerung befindet sich an diskreten Positionen LLi , i = 1..2. Neben der radialen Richtung (Steifigkeit cLr ) muss auch ein Anteil f¨ur den Biegewinkel (Steifigkeit cLt ) eingef¨ugt werden. Aufgrund der Rotationssymmetrie der Lager kann das Potential direkt f¨ur die Verschiebungen (Winkel) angegeben werden  1 1 1 1 2 2 ′ 2 ′ 2 cLr w(LLi ,t) + cLr v(LLi ,t) + cLt w (LLi ,t) + cLt v (LLi ,t) , VL =  2 2 2 i=1 2 (14.37) siehe auch Abb. 14.5. 2



14.1 Mechanisches Rotormodell

229

Rz

cLt

cLt

Ry

Rx

cLr

cLr

LL1 LL2 Abb. 14.5 Lagerung des Rotors

F¨ur die Steifigkeitsmatrizen aufgrund der Lager ergibt das   c [vvT |LL1 + vvT |LL2 ] 0 KLr = Lr 0 cLr [wwT |LL1 + wwT |LL2 ]   c [v′ v′T |LL1 + v′ v′T |LL2 ] 0 KLt = Lt 0 cLt [w′ w′T |LL1 + w′ w′T |LL2 ] KL = KLr + KLt .

(14.38) (14.39) (14.40)

14.1.1.6 Gesamtsystem Mit den Herleitungen der vorigen Abschnitte und der Summation der Steifigkeitsmatrizen (K1 = Kb + KL ) erh¨alt man die Bewegungsgleichung des Rotorsystems als Mt q¨ t + Kt qt = QMot1 Mb q¨ b + ¨ G1 qb + ˙ G2 q˙ b + ˙ 2 G3 qb + K1 qb = 0 mit qt =



 q



und qb =



qv qw



,

(14.41) (14.42)

(14.43)

siehe Gl.(14.13) und Gl.(14.15). Dabei wurde von einem rotationssymmetrischen System ohne Unwuchtmasse ausgegangen. Bei unwuchtigen Systemen werden qt und qb entsprechend Gl.(14.20) etc. gekoppelt.

230

14 Rotordynamik

14.2 Experiment 14.2.1 Hochlauf ohne Unwucht Die theoretischen Ergebnisse des vorigen Kapitels sollen mit experimentellen Ergebnissen untermauert werden. Dazu steht der Versuch nach Abb. 14.6 zur Verf¨ugung.

Abb. 14.6 Rotordynamik Versuchsstand

F¨ur das reale Modell werden die Parameter aus Tabelle 14.4 verwendet. Das Material f¨ur alle Teile ist Stahl. Die Lagersteifigkeiten betragen cLr = 5 · 106 N/m und cLt = 6 · 102 Nm/rad. Diese befinden sich an den Positionen LL1 = 0.165 m und LL2 = 0.645 m, siehe Abb. 14.5. L¨ange in m Durchmesser in m elast. Welle

0.81

0.012

Masse 1

0.02

0.08

Masse 2

0.025

0.05

Tabelle 14.4 Parameter des Rotorversuchs

Die sich aus dem Simulationsmodell ergebenden ersten drei Eigenfrequenzen liegen bei 34.4 Hz, 51.7 Hz und 180.8 Hz. Diese stimmen gut mit den experimentellen Analysen mittels FFT-Analyse in Abb. 14.7 u¨ berein.

14.2.2 Hochlauf mit Unwucht Als weiteres experimentelles Ergebnis werden Hochl¨aufe mit Unwucht pr¨asentiert. Dem Rotor wird ein konstantes Moment von MMot = 0.33 Nm eingepr¨agt. Die Unwuchtmasse betr¨agt ca. 0.5 g und ist im Abstand von 3 cm vom Mittelpunkt der

14.2 Experiment

231

8

70

Eigenfrequenz in 1/s

34, 5 Hz

7

Betrag

6

51, 5 Hz

5 4 3

176 Hz

2

50

f1

40 30 20 10

1 0

f2

60

0 200

100

0

400

300

0

100

200

300

400

 in rad/s

Frequenz in Hz

Abb. 14.7 FFT Analyse des Rotors (Messung) Abb. 14.8 Drehzahlabh¨angigkeit der Eigenfrequenzen (gepunktet: Hochlaufgerade)

60

−47

50

−48

40

−49

z in mm

 in 1/s

Masse 1 entfernt. Als Messgr¨oßen werden die Drehzahl und die Position von Masse 1 aufgezeichnet. Die Ergebnisse werden in den Bildern 14.9 bis 14.12 gezeigt. Der Rotor bleibt in der N¨ahe der ersten biegekritischen Drehzahl h¨angen, siehe Abb. 14.8 f¨ur die Drehzahlabh¨angigkeit der Eigenfrequenzen. Die Drehzahl wird also in diesem Bereich nur geringf¨ugig erh¨oht, weil die Energie in die Biegeschwingungen geht. Bei ca. 110 s verl¨asst der Rotor diesen Bereich und beschleunigt schnell bis zur zweiten biegekritischen Drehzahl.

30 20

−50 −51

10

−52

0 0

20

40

60

80

100

120

140

Zeit in s Abb. 14.9 Drehzahlverlauf MMot = 0.33 Nm

−53 262

264

266

y in mm

268

270

Abb. 14.10 Orbit MMot = 0.33 Nm

In einem zweiten Versuch wird ein Drehmoment von MMot = 0.7 Nm eingepr¨agt. Die Bilder 14.13 bis 14.16 zeigen wieder die entsprechenden Auswertungen. Aufgrund des großen Moments wird durch die erste biegekritische Frequenz schnell durchgefahren. In der N¨ahe der zweiten Biegefrequenz (55 Hz) wird die Drehzahl nur langsam erh¨oht. Das Moment reicht aber aus, um auch diesen Bereich zu durchfahren, und n¨ahert sich schließlich der maximalen Motordrehzahl an.

232

14 Rotordynamik

270

−47

269

−48

267

z in mm

y in mm

268

266 265

−49 −50

−51

264

−52

263

−53

262 0

20

40

80

60

100

120

140

0

20

40

Zeit in s Abb. 14.11 y-Verschiebung MMot = 0.33 Nm

100

120

140

Abb. 14.12 z-Verschiebung MMot = 0.33 Nm

90

80

−47

70

−48

60

−49

z in mm

 in 1/s

80

60

Zeit in s

50 40 30

−50 −51

20 −52

10

−53 263

0 0

2

4

6

8

264

265

Zeit in s

−47

268

−48

267

−49

z in mm

y in mm

269

266

−51

264

−52

263 4

6

Zeit in s Abb. 14.15 y-Verschiebung MMot = 0.7 Nm

268

269

−50

265

2

267

Abb. 14.14 Orbit MMot = 0.7 Nm

Abb. 14.13 Drehzahlverlauf MMot = 0.7 Nm

0

266

y in mm

8

−53

0

2

4

6

8

Zeit in s Abb. 14.16 z-Verschiebung MMot = 0.7 Nm

14.3 Antriebsstrang Das hier betrachtete System besteht aus zwei drehenden Wellen, die in Abb. 14.17 dargestellt sind. Es stellt den Antriebsstrang f¨ur ein Kaltwalzwerk dar. Daraus resultieren die relativ großen Dimensionen nach Tabelle 14.5. Die Rotoren bestehen

14.3 Antriebsstrang

233

jeweils aus zwei Starrk¨orpern auf der linken und rechten Seite, die u¨ ber elastische ¨ Wellen verbunden sind. Durch das Getriebe erfolgt eine Ubersetzung um den Faktor iG = 2. Als Verbindungselemente werden Federn in Torsions- und Biegerichtung verwendet. Die Lager werden als rotationssymmetrische Federn modelliert. Flexible Balken Iz

Abtrieb Ix

Iy

tem Sys

1

1

2

Mx

e Syst

m2 I Fz

Lager

Getriebe

Motor Abb. 14.17 Schematische Darstellung eines Antriebsstrangs

Die prinzipiellen Abmessungen der aus Stahl bestehenden Teile sind in Tabelle 14.5 angegeben. Die Lagersteifigkeit betr¨agt cLr = 1 · 108 N/m. Die Lager befinden sich jeweils 0.2 m von den Starrk¨orpern entfernt. Die Steifigkeiten f¨ur die Getriebe¨ubersetzung sind ct = 3 · 108 N/m, cy = 2 · 107 N/m und cz = 6 · 107 N/m, siehe Gl.(14.44) und Gl.(14.45) f¨ur die Modellierung. L¨ange in m Durchmesser in m Masse in t Motor

1

1

6

elast. Welle

2

0.2

2

Getriebe Antrieb

0.3

1.2

2.7

Getriebe Abtrieb

0.3

0.6

0.7

Abtrieb

0.2

1.2

1.8

Tabelle 14.5 Parameter des Antriebsstrangs

F¨ur das dynamische Modell k¨onnen zweimal die Gleichungen des vorigen Abschnitts hergenommen werden, welche u¨ ber die Getriebeterme gekoppelt sind. F¨ur die R ITZans¨atze werden die Funktionen nach Gl.(14.28) und Gl.(14.29) des vorigen Abschnittes eingesetzt. In [HGBM10] werden exakte Ansatzfunktionen u¨ ber

234

14 Rotordynamik

¨ das Ubertragungsmatrizenverfahren vorgestellt. F¨ur die Modellierung des Getriebes wird das vereinfachte Modell nach Abb. 14.18 verwendet. ¨ Uber die entsprechenden Potentiale in Torsions- und Biegerichtung 1 VGetr,t = ct (r2 2 (q) + r3 3 (q))2 , 2

(14.44)

1 1 VGetr,b = cy I ry (q)2 + cz I rz (q)2 2 2 folgt f¨ur die verallgemeinerten Kr¨afte (VGetr = VGetr,t +VGetr,b ) ⎞ ⎛ QGetr,t,1 .T ⎜ QGetr,b,1 ⎟  V Getr ⎟ QGetr = ⎜ . ⎝ QGetr,t,2 ⎠ = − q QGetr,b,2

(14.45)

(14.46)

2 r2

ct

r3

3

cz

cy

Abb. 14.18 Getriebemodellierung

Die Winkel im Torsionspotential Gl.(14.44) ergeben sich aus dem Gesamtwinkel an der entsprechenden Stelle

2 = 1 +  |L q1 3 = 2 +  |0 q2 .

(14.47) (14.48)

F¨ur die gesamte Bewegungsgleichung erh¨alt man also Mt,1 q¨ t,1 + Kt,1 qt,1 = QMot1 + QGetr,t,1

(14.49)

Mb,1 q¨ b,1 + ¨ 1 G1 qb,1 + ˙ 1 G2 q˙ b,1 + ˙ 12 G3 qb,1 + K1 qb,1 = QGetr,b,1 Mt,2 q¨ t,2 + Kt,2 qt,2 = QFt + QGetr,t,2

(14.51)

(14.50)

Mb,2 q¨ b,2 + ¨ 2 G1 qb,2 + ˙ 2 G2 q˙ b,2 + ˙ 22 G3 qb,2 + K2 qb,2 = QFb + QGetr,b,2 , (14.52) bzw. ˙ = Q, M(q)q¨ + g(q, q)

(14.53)

14.4 Zusammenfassung

235

wobei T T qT = (1 qt,1 qTb,1 2 qt,2 qTb,2 )

=

(1 qT 1

qTv1

qTw1

2 qT 2

qTv2

(14.54) qTw2 )

(14.55)

gilt. Als Testfall wird auf das System ein konstantes Motormoment von Mx = 100 kNm aufgeschaltet. Aufgrund des konstanten Momentes sind die Starrk¨orpergeschwindigkeiten n¨aherungsweise linear, siehe Abb. 14.19. System 2 dreht sich in die um die Getriebe¨ubersetzung erh¨ohte Gegenrichtung von System 1. Abb. 14.20 zeigt die Torsionsschwingungen jeweils am Ende der elastischen Wellen. F¨ur dieses Ergebnis wurden 5 Ansatzfunktionen verwendet. Zum Zeitpunkt 0.5 s wird eine konstante Kraft von Fz = 10 kN am Endpunkt des zweiten Systems angebracht, siehe Abb. 14.17. Die resultierenden Biegeschwingungen f¨ur die Punkte 1 und 2 sind in Abb. 14.21 und Abb. 14.22 dargestellt. Die Kraft f¨uhrt zu einer permanenten Auslenkung in z-Richtung. Durch die rotordynamischen Kopplungen entstehen auch Schwingungen in y-Richtung. F¨ur diese Simulation wurden 10 Ansatzfunktionen f¨ur jedes Subsystem und jede Biegerichtung verwendet. 150

1

˙ 1 ˙ 2

100

0

 in rad

˙ in rad/s

2 1

0.5

50

−50

0

−0.5

−100 −150

−1

−200 −250

×10−3

0

0.5

1

1.5

2

Zeit in s Abb. 14.19 Drehgeschwindigkeiten

2.5

3

−1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit in s Abb. 14.20 Torsionsschwingungen Pkte. 1, 2

Die Zeitintegration wird unter M ATLAB /S IMULINK mit einem ode45 L¨oser mit variabler Schrittweite durchgef¨uhrt.

14.4 Zusammenfassung Elastische Rotorsysteme geh¨oren klarerweise zur Gruppe der elastischen Mehrk¨orpersysteme. F¨ur die Modellbildung wird auch hier die Projektionsgleichung verwendet. Sie wird exemplarisch an einem System aus 2 starren unsymmetrischen Massen, die u¨ ber eine elastische Welle verbunden sind, ermittelt. Geht man von einem rotationssymmetrischen Rotor aus (keine Unwuchtmassen), so gelingt eine Entkopplung der Torsion in x-Richtung von den Biegerichtungen y, z. Die x-

236

14 Rotordynamik 1.5

×10−4

×10−4 3

y z

1

2

y, z in m

0.5

y, z in m

y z

2.5

0 −0.5

1.5 1 0.5

−1

0

−1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeit in s Abb. 14.21 Elastische Verschiebungen Pkt. 1

3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Zeit in s Abb. 14.22 Elastische Verschiebungen Pkt. 2

Richtung kann vorab auf ¨ aufgel¨ost werden. Diese ist dann eine Eingangsgr¨oße f¨ur den Biegeanteil. Eine detaillierte Analyse der Ansatzfunktionen f¨uhrt auf ein gutes Konvergenzverhalten des R ITZ Verfahrens. Experimentelle Ergebnisse zeigen ¨ die Ubereinstimmung mit der Simulation. In einem zweiten Beispiel werden die Hochlaufergebnisse f¨ur einen Walzwerksantriebsstrang pr¨asentiert. Dieser besteht aus zwei einzelnen Rotoren mit Endmassen, die u¨ ber ein elastisches Getriebemodell gekoppelt sind.

Anhang A

Kinematische Eigenschaften

A.1 Transformationen Achse/Winkel - Quaternionen Elementare Umformungen zur Transformation von der Achse/Winkel Darstellung auf die Quaternionen Darstellung: cos  = cos2 ( /2) − sin2 ( /2) = 2q21 − 1 1 q22 = u2x sin2 ( /2) = u2x (1 − cos  ) 2 1 q23 = u2y (1 − cos  ) 2 1 q24 = u2z (1 − cos  ) 2 1 q2 q3 = ux uy (1 − cos  ) 2 1 q2 q4 = ux uz (1 − cos  ) 2 1 q3 q4 = uy uz (1 − cos  ) 2 ux sin  = 2ux sin( /2) cos ( /2) = 2q1 q2 uy sin  = 2q1 q3 uz sin  = 2q1 q4

(A.1) (A.2) (A.3) (A.4) (A.5) (A.6) (A.7) (A.8) (A.9) (A.10)

A.2 Eigenschaften der Kreuzprodukte Folgende Eigenschaften des Kreuzproduktes werden ben¨otigt ˜ =0 • uu ˜ v = uvT − uT vE • u˜ H. Gattringer, Starr-elastische Robotersysteme, DOI 10.1007/978-3-642-22828-5,  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

237

238

A Kinematische Eigenschaften

˜ = vuT − uvT = u˜ ˜ v − v˜ u. ˜ • (3 uv)

Gilt außerdem uT u = 1, so ergeben sich noch Vereinfachungen • u˜ u˜ = uuT − E ˜ • u˜ u˜ u˜ = −u.

¨ Quaternionen A.3 Drehgeschwindigkeit fur Im Folgenden soll die Drehgeschwindigkeit bei einer Darstellung der Orientierung durch Quaternionen hergeleitet werden. Dabei wird von der grunds¨atzlichen Be˙ T ausgegangen. Es werden die Abk¨urzungen A = ARI und ziehung R ˜ IR = ARI A RI  = R  IR verwendet. Die zeitliche Ableitung der Drehmatrix ˜ , A = [E + 2(q˜ q˜ − q1 q)]

(A.11)

definiert in Gl.(2.48), wird in ihrer transponierten Form ben¨otigt ˜ AT = [E + 2(q˜ q˜ + q1 q)]   T ˙ ˙ ˙ ˙˜ . A = 2 (q˜ q˜ + q˜ q˜ + q˙1 q˜ + q1 q)

(A.12) (A.13)

˙T ˜ = AA ˜ /2 = q˙˜ q˜ + q˜ q˙˜ + q˙1 q˜ + q1 q˙˜ + 2q˜ q˜ q˙˜ q˜ + 2q˜ q˜ q˜ q˙˜ + 2q1 q˜ q˜ q˙˜ + 2q˙1 q˜ q˜ q˜ +

(A.14) (A.15)

Die Drehgeschwindigkeit ist u¨ ber

−2q1 q˜ q˙˜ q˜ − 2q1 q˜ q˜ q˙˜ − 2q21 q˜ q˙˜ − 2q1 q˙1 q˜ q˜

(A.16) (A.17)

gegeben, wobei die unterstrichenen Terme sofort wegfallen. Mit den Eigenschaften des Kreuzproduktes k¨onnen folgende Vereinfachungen durchgef¨uhrt werden: ˜ • 2q˙1 q˜ q˜ q˜ = 2q˙1 (q21 − 1)q˜ = 2q˙1 q21 q˜ − 2q˙1 q: Herleitung: T ˜ − q21 ) ˜ q˜ q) ˜ = q(qq ˜ − qT qE) = −q(1 q( q21 + qT q = 1 Quaternionen sind normiert → qT q = 1 − q21 ˜ =0 qq • 2q˜ q˜ q˜ q˙˜ = 2(q21 − 1)q˜ q˙˜ = 2q21 q˜ q˙˜ − 2q˜ q˙˜ Herleitung: ˜ q˜ q) ˜ = −q(1 ˜ − q21 ) q(

• 2q˜ q˜ q˙˜ q˜ = 2q1 q˙1 q˜ q˜ Herleitung:

(A.18) (A.19) (A.20)

(A.21)

A.4 Relative Winkelgeschwindigkeit

239

˜ q˙ T − qT qE) ˙ q˜ q˜ q˙˜ = q(q T q q = 1 − q21 → q˙ T q + qT q˙ = −2q1 q˙1 = 2qT q˙

(A.22) (A.23)

• −2q1 q˜ q˙˜ q˜ = −2q21 q˙1 q˜ Herleitung: q˜ q˙˜ q˜ = 2q1 q˙1 q˜

(A.24)

Mit diesen Vereinfachungen folgt f¨ur ˜ ˙˜ ˜ /2 = q˙˜ q˜ − q˜ q˙˜ + q1 q˙˜ − q˙1 q.

(A.25)

Die ersten beiden Terme in Gl.(A.25) k¨onnen mit der Eigenschaft f¨ur das Kreuzprodukt kombiniert werden ˙ q˜ q). (A.26) q˙˜ q˜ − q˜ q˙˜ = −(3

Damit gelingt es schlussendlich, den Tilde Operator in Gl.(A.25) zu eliminieren, und  kann explizit angeschrieben werden ˜ q˙ − q˙1 q.  /2 = (q1 E − q)

(A.27)

A.4 Relative Winkelgeschwindigkeit F¨ur die Drehmatrix von zwei hintereinander durchgef¨uhrten Drehungen gilt AI2 = AI1 A12 .

(A.28)

Damit folgt f¨ur die absolute Drehgeschwindigkeit ˜ I2 2

˙ I2 = A2I A

(A.29)

˙ 12 + A ˙ I1 A12 ) = A21 A1I (AI1 A ˙ ˙ = A21 A12 + A21 A1I AI1 A12 ,       ˜ ˜  2 12 1  I1    ˜ 2  I1

(A.30) (A.31)

wobei wieder der Tilde Operator eliminiert werden kann 2  I2

= 2  I1 + 2  12 .

(A.32)

Die absolute Geschwindigkeit setzt sich also als Summe der ins jeweilige Koordinatensystem transformierten Teilgeschwindigkeiten zusammen.

Anhang B

Detaillierte Herleitung O(n)-Verfahren

Das rekursive Verfahren wird detailliert (mit allen Zwischenschritten) f¨ur ein Mehrk¨orpersystem mit drei Subsystemen hergeleitet.

B.1 Drei Subsysteme Den Ausgangspunkt bildet die Projektionsgleichung in Subsystemdarstellung ⎡ T T T T T ⎤⎛ ⎞ F1 F1 T21 F1 T31 M1 y¨ 1 + h1 ⎣ FT2 FT2 TT32 ⎦ ⎝ M2 y¨ 2 + h2 ⎠ = 0. (B.1) M3 y¨ 3 + h3 FT3 Mithilfe der kinematischen Kette

y˙ 3 = T32 y˙ 2 + F3 s˙3 ˙ 32 y˙ 2 + F3 s¨3 y¨ 3 = T32 y¨ 2 + T kann in die letzte Blockzeile von Gl.(B.1) eingesetzt werden

˙ 32 y˙ 2 + F3 s¨3 ) + h3 = 0. FT3 M3 (T32 y¨ 2 + T

Die Beschleunigung s¨3 ergibt sich daraus

˙ 32 y˙ 2 ) + FT3 h3 s¨3 = −(FT3 M3 F3 )−1 FT3 M3 (T32 y¨ 2 + T   

(B.2) (B.3)

(B.4)

(B.5)

MR3

(Index R f¨ur reduziert“) und mit Gl.(B.3) k¨onnen auch die Beschleunigungen y¨ 3 ” berechnet werden

241

242

B Detaillierte Herleitung O(n)-Verfahren

˙ 32 y˙ 2 ) + h3 ˙ 32 y˙ 2 − F3 M−1 FT3 M3 (T32 y¨ 2 + T y¨ 3 = T32 y¨ 2 + T R3   

(B.6)

J3

˙ 32 y˙ 2 − J3 h3 . = [E − J3 M3 ]T32 y¨ 2 + [E − J3 M3 ]T

(B.7)

Im n¨achsten Schritt werden die letzten beiden Blockgleichungen aus Gl.(B.1) betrachtet, die bereits bekannten Beschleunigungen eingesetzt und entsprechend sortiert 0 = FT2 (M2 y¨ 2 + h2 ) + FT2 TT32 (M3 y¨ 3 + h3 ) ⎛

⎞

(B.8)

⎜ ⎟ = FT2 ⎝M2 + TT32 [E − M3 J3 ] M3 T32 ⎠ y¨ 2    N3

Mit den Abk¨urzungen

folgt f¨ur Gl.(B.8)

+FT2 TT32 [E − M3 J3 ]M3 T˙ 32 y˙ 2

+FT2 h2 + TT32 [E − M3 J3 ]h3 . N3 = [E − M3 J3 ] T T∗T 32 = T32 N3

(B.9) (B.10)

M∗2 = M2 + T∗T 32 M3 T32

∗ ∗T h2 = h2 + T32 M3 T˙ 32 y˙ 2 + h3

(B.11) (B.12)

FT2 (M∗2 y¨ 2 + h∗2 ) .

(B.13)

In den Beschleunigungen y¨ 2 kommen noch die Minimalbeschleunigungen s¨1 und s¨2 vor. Um diese zu eliminieren, wird jetzt nochmals das Gesamtsystem Gl.(B.1) angeschrieben 0 = FT1 (M1 y¨ 1 + h1 ) + FT1 TT21 (M2 y¨ 2 + h2 ) + FT1 TT21 TT32 (M3 y¨ 3 + h3 ).

(B.14)

Mit Gl.(B.13) entspricht das aber genau (Ausklammern von FT1 TT21 in den letzten beiden Zeilen) 0 = FT1 (M1 y¨ 1 + h1 ) + FT1 TT21 (M∗2 y¨ 2 + h∗2 ), bzw.



FT1 FT1 TT21 0= FT2



M1 y¨ 1 + h1 M∗2 y¨ 2 + h∗2

(B.15) 

.

(B.16)

B.1 Drei Subsysteme

243

Auch hier wird f¨ur y¨ 2 die kinematische Kette ˙ 21 y˙ 1 + F2 s¨2 y¨ 2 = T21 y¨ 1 + T

(B.17)

in die letzte Blockgleichung von Gl.(B.16) eingesetzt und daraus die Beschleunigungen s¨2 , y¨ 2 , berechnet 0 = FT2 (M∗2 y¨ 2 + h∗2 ) ˙ 21 y˙ 1 + F2 s¨2 ) + h∗2 ) 0 = FT2 (M∗2 (T21 y¨ 1 + T

˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 → s¨2 = −(FT2 M∗2 F2 )−1 FT2 M∗2 (T21 y¨ 1 + T   

(B.18) (B.19) (B.20)

MR2

˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 . (B.21) ˙ 21 y˙ 1 − F2 M−1 FT2 M∗2 (T21 y¨ 1 + T → y¨ 2 = T21 y¨ 1 + T R2    J2

Dieses Ergebnis in Gl.(B.16) eingesetzt liefert ⎛

⎞

⎜ ⎟ 0 = FT1 ⎝M1 + TT21 [E − M∗2 J2 ] M∗2 T21 ⎠ y¨ 1    N2

bzw. zusammengefasst

+FT1 TT21 [E − M∗2 J2 ]M∗2 T˙ 21 y˙ 1 .

+FT1 h1 + TT21 [E − M∗2 J2 ]h∗2 , 0 = FT1 (M∗1 y¨ 1 + h∗1 ) ,

(B.22) (B.23)

mit den angepassten Abk¨urzungen analog zu Gl.(B.9) - Gl.(B.12) N2 = [E − M∗2 J2 ]

T∗T 21 M∗1 h∗1

TT21 N2

= ∗ = M1 + T∗T 21 M2 T21

∗˙ ˙ 1 + h∗2 . = h1 + T∗T 21 M2 T21 y

(B.24) (B.25) (B.26) (B.27)

Damit ist man an der Wurzel des Mehrk¨orpersystems angelangt. Subsystem 1 hat keinen Vorg¨anger mehr, was auf die Beschleunigungen y¨ 1 = F1 s¨1

(B.28)

f¨uhrt. Mit Gl.(B.23) k¨onnen damit die Minimalbeschleunigungen des ersten Subsystems s¨1 explizit angegeben werden s¨1 = −(FT1 M∗1 F1 )−1 FT1 h∗1 .    MR1

(B.29)

244

B Detaillierte Herleitung O(n)-Verfahren

Mit diesem Ergebnis und der kinematischen Kette k¨onnen alle Beschleunigungen berechnet werden y¨ 1 = F1 s¨1 (Gl.(B.23))

∗ T ˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 (Gl.(B.20)) ¨1 + T s¨2 = −M−1 R2 F2 M2 (T21 y

˙ 21 y˙ 1 − J2 M∗2 (T21 y¨ 1 + T ˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 (Gl.(B.21)) y¨ 2 = T21 y¨ 1 + T

T ˙ 32 y˙ 2 ) + h3 (Gl.(B.5)). ¨2 + T s¨3 = −M−1 R3 F3 M3 (T32 y

(B.30) (B.31) (B.32) (B.33)

B.2 Verallgemeinerung Die Minimalbeschleunigungen k¨onnen also in drei Schritten berechnet werden: 1. Schritt: Berechne die kinematischen Gr¨oßen: Tip , T˙ ip , y˙ i , beginnend beim ersten Subsystem bis zum letzten Subsystem. 2. Schritt: Berechne die modifizierten Dynamikmatrizen M∗i , h∗i , ..., beginnend beim letzten bis zum ersten Subsystem. 3. Schritt: Berechne die Minimalbeschleunigungen s¨i , vom ersten bis zum letzten Subsystem.

Anhang C

Detaillierte Herleitung rekursive Kontaktmodellierung

Es erfolgt eine detaillierte Herleitung der Berechnung der Zwangskr¨afte u¨ ber rekursive Methoden f¨ur ein System mit Endpunktkontakt.

C.1 Drei Subsysteme - Endpunktkontakt Ausgangspunkt f¨ur das Verfahren ist die implizite Bindungsgleichung auf Geschwindigkeits- und Beschleunigungsebene . ˙   y˙ 3 = 0 (C.1) ˙ =  y˙ 3 . . ˙ ˙ ¨ =   y¨ 3 + d   y˙ 3 = 0. (C.2) dt  y˙ 3  y˙ 3 Die Beschleunigung y¨ 3 ist u¨ ber die kinematische Kette gegeben ˙ 32 y˙ 2 + F3 s¨3 . y¨ 3 = T32 y¨ 2 + T

(C.3)

Die darin vorkommenden Minimalbeschleunigungen s¨3 sind aus dem Rekursionsschema Anhang B bekannt   T ˙ 32 y˙ 2 ) + h3 − Q 3 , ¨2 + T s¨3 = −M−1 (C.4) R3 F3 M3 (T32 y und damit gilt

  ˙ 32 y˙ 2 − F3 M−1 FT3 M3 (T32 y¨ 2 + T ˙ 32 y˙ 2 ) + h3 − Q 3 y¨ 3 = T32 y¨ 2 + T R3   

(C.5)

J3

= [E − J3 M3 ]T32 y¨ 2 + [E − J3 M3 ]T˙ 32 y˙ 2 − J3 h3 + J3 Q 3 .

(C.6)

245

246

C Detaillierte Herleitung rekursive Kontaktmodellierung

Hier wurden die generalisierten Subsystemkr¨afte Q3 , die in h3 enthalten sind, um den Anteil der Zwangskr¨afte Q 3 =

-

 ˙  y˙ 3

.T



(C.7)

erweitert. Gl.(C.6) in Gl.(C.2) eingesetzt und nach Termen sortiert liefert .  ˙ 6 [E − J3 M3 ]T32 y¨ 2 =  y˙ 3 ˙ 32 y˙ 2 +[E − J3 M3 ]T −J3 h3

7 +J3 Q 3 . d  ˙ + y˙ 3 . dt  y˙ 3

(C.8)

¨ Die Matrix [E − J3 M3 ] weist eine Ahnlichkeit mit der Matrix N3 = (E − M3 J3 ), bzw. allgemein mit Ni = (E − M∗i Ji ) auf. Mit der Struktur der lokalen JACOBImatrizen   0 Fi = , Rg[Fi ] = gi , Ci ∈ Rgi ,gi (C.9) Ci und der Aufspaltung der Matrix M∗ in a¨ quivalente Submatrizen  ∗  M11 M∗12 ∗ Mi = , M∗22 ∈ Rgi ,gi ∗ M∗T 12 M22 i

(C.10)

liest sich die relative Massenmatrix als −1 ∗−1 −T MRi = CTi M∗22,i Ci ⇒ M−1 Ri = Ci M22,i Ci .

Die Auswertung von Matrix Ni ergibt damit   E −M∗12 M∗−1 ∗ 22 Ni = (E − Mi Ji ) = . 0 0 i Analoges Vorgehen f¨ur den Ausdruck (E − Ji M∗i ) liefert   E 0 ∗ (E − Ji Mi ) = = NTi , ∗ −M∗−1 22 M12 0 i

(C.11)

(C.12)

(C.13)

wobei die Eigenschaft der Symmetrie der Massenmatrix verwendet wird. In Gl.(C.8) tritt NT3 in Kombination T32 auf. Auch dieser Ausdruck wurde bereits eingef¨uhrt NT3 T32 = T∗32 und entspricht allgemein

C.1 Drei Subsysteme - Endpunktkontakt

247

NTi Tip = T∗ip .

(C.14)

Die Beschleunigungen des zweiten Subsystems k¨onnen mit dem rekursiven Verfahren bereits allgemein angeschrieben werden   ∗ T ˙ 21 y˙ 1 ) + h∗2 − Q∗ , ¨1 + T (C.15) s¨2 = −M−1 2 R2 F2 M2 (T21 y T ∗ ∗T wobei wieder J2 = F2 M−1 afte Q transR2 F2 und Q 2 = T32 Q 3 gilt. Die Zwangskr¨ formieren sich klarerweise mit der selben Vorschrift wie der Vektor h. Die damit bekannten Beschleunigungen

˙ 21 y˙ 1 + F2 s¨2 y¨ 2 = T21 y¨ 1 + T = [E − J2 M∗2 ]T21 y¨ 1 + [E − J2 M∗2 ] T˙ 21 y˙ 1 − J2 h∗2 + J2 Q∗ 2       T∗21

(C.16) (C.17)

NT2

eingesetzt in Gl.(C.8) ergeben

¨ =

-

 ˙

.

6 T∗32 T∗21 y¨ 1

 y˙ 3 ˙ 21 y˙ 1 T∗32 NT2 T T ˙ +N3 T32 y˙ 2

−T∗32 J2 h∗2 − J3 h3 7   J3 + T∗32 J2 T∗T 32 Q 3 . d  ˙ y˙ 3 . + dt  y˙ 3

(C.18)

Jetzt m¨ussen noch die Terme des ersten Subsystems eingesetzt werden. Folgende Gr¨oßen sind aus dem Rekursionsschema Anhang B bereits bekannt ∗ Q∗ 1 = T∗T 21 Q 2

= s¨1 =

∗T T∗T 21 T32 Q 3 ∗

∗ T −M−1 R1 F1 h1 − Q 1 , T ∗ −1 T ∗T ∗T −M−1 R1 F1 h1 + MR1 F1 T21 T32 Q 3

= y¨ 1 = F1 s¨1

∗T = −J1 h∗1 + J1 T∗T 21 T32 Q 3 .

(C.19) (C.20) (C.21) (C.22) (C.23) (C.24)

In einem letzten Schritt werden jetzt in Gl.(C.18) die Beschleunigungen y¨ 1 aus Gl.(C.24) ersetzt

248

C Detaillierte Herleitung rekursive Kontaktmodellierung

¨ =

-

 ˙

.

6

− T∗32 T∗21 J1 h∗1  y˙ 3 ∗T T∗32 T∗21 J1 T∗T 21 T32 Q 3 ˙ 21 y˙ 1 T∗32 NT2 T T ˙ +N3 T32 y˙ 2 −T∗32 J2 h∗2 − J3 h3 7   J3 + T∗32 J2 T∗T 32 Q 3 . d  ˙ y˙ 3 , + dt  y˙ 3

(C.25)

bzw. nach dem Zusammenfassen . ˙ 6 T   ¨ = N3 T˙ 32 y˙ 2 + T∗32 NT2 T˙ 21 y˙ 1  y˙ 3 −J3 h3 − T∗32 J2 h∗2 − T∗32 T∗21 J1 h∗1 7   ∗ ∗ ∗T ∗T J3 + T∗32 J2 T∗T 32 + T32 T21 J1 T21 T32 Q 3 . d  ˙ + y˙ 3 . dt  y˙ 3

(C.26)

Mit Gl.(C.26) kommt jetzt durch Q 3 , die Zwangskraft  explizit in den Bindungsbeschleunigungen zum Vorschein und diese kann als

¨ = A + b = 0,

(C.27)

mit A= b=

-

 ˙

.

J3 + T∗32 J2 T∗T 32

[  y˙ 3 .  ˙ 6

∗T + T∗32 T∗21 J1 T∗T 21 T32

]

-

 ˙  y˙ 3

.T

(C.28)

NT3 T˙ 32 y˙ 2 + T∗32 NT2 T˙ 21 y˙ 1 − J3 h3 − T∗32 J2 h∗2 − T∗32 T∗21 J1 h∗1

 y˙ 3 . d  ˙ + y˙ 3 dt  y˙ 3

angeschrieben werden.

7

(C.29)

C.2 Verallgemeinerung

249

C.2 Verallgemeinerung Das Beispiel eines Systems bestehend aus drei Subsystemen zeigt eine klare Vorgehensweise f¨ur ein allgemeines System mit N K¨orpern. Die Matrix A bzw. Vektor b lauten . .T N  ˙  ˙ ∗ ∗T A= (C.30)  TN,i Ji TN,i  y˙ N i=1  y˙ N . . N ˙    ˙   d (C.31) b= y˙ N  T∗N,i NTi+1 T˙ i+1,i y˙ i + Ji h∗i + dt  y˙ N i=1  y˙ N mit den Definitionen T∗N,N = E, T˙ N+1,N := 0.

(C.32)

Die Zwangskr¨afte  k¨onnen mit  = −A−1 b berechnet werden. Matrix A und Vektor b werden am Rechner effektiv u¨ ber Schleifendurchl¨aufe ausgewertet. S¨amtliche darin vorkommenden Gr¨oßen werden f¨ur das rekursive Verfahren sowieso berechnet. Die Laufzeit erh¨oht sich daher nur minimal.

Anhang D

Detaillierte Herleitung rekursive Stoßmodellierung

Die integrierte Form der Bewegungsgleichung lautet M(˙sE − s˙A ) −



 ˙n  s˙

T

 n = 0.

(D.1)

Diese kann im Sinne der Subsystemdarstellung als die projizierte Form von ⎞ ⎛ M1 (˙yE − y˙ A )1 ⎡ T T T ⎤ T T F1 F1 T21 .... F1 TN,1 ⎜ ⎟ M2 (˙yE − y˙ A )2 ⎟ T ⎥⎜ ⎢ F ⎟ ⎜ : 2 ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ .... : ⎟ = 0 (D.2) MN−1 (˙yE − y˙ A )N−1 ⎢ ⎥⎜ ⎟ . T T T ⎣ T FN−1 FN−1 TN,N−1 ⎦ ⎜ ⎟  ˙n ⎠ ⎝ T FN n MN (˙yE − y˙ A )N −  y˙ N

aufgefasst werden.

D.1 Drei Subsysteme - Endpunktstoß Zur detaillierten Herleitung wird vorerst wieder von einem Mehrk¨orpersystem bestehend aus drei Subsystemen mit Endpunktkontakt ausgegangen. Gl.(D.2) geht damit u¨ ber in ⎛ ⎞ M1 (˙yE − y˙ A )1 ⎡ T T T T T ⎤ F1 F1 T21 F1 T31 ⎜ ⎟ M2 (˙yE − y˙ A )2 ⎜ ⎟ .T ⎣ FT2 FT2 TT32 ⎦ ⎜ (D.3) ⎟ = 0.  ˙n ⎝ ⎠ T F3 ˙ M3 (˙yE − yA )3 − n  y˙ 3

Mit der Bedingung f¨ur den N EWTON Stoß ˙n (tE ) = − ˙n (tA ) gilt f¨ur die Differenz

251

252

D Detaillierte Herleitung rekursive Stoßmodellierung

˙n (tE ) − ˙n (tA ) =

-

 ˙n  y˙ 3

.

(˙yE − y˙ A )3 = −(1 +  )

-

 ˙n  y˙ 3

.

y˙ A3 .

(D.4)

Die kinematische Kette gilt selbstverst¨andlich auch f¨ur die Geschwindigkeitsdifferenzen (˙yE − y˙ A )3 = T32 (˙yE − y˙ A )2 + F3 (˙sE − s˙ A )3 ,  y˙ 3 = T32  y˙ 2 + F3  s˙3

(D.5) (D.6)

mit  y˙ i = (˙yE − y˙ A )i und  s˙i = (˙sE − s˙A )i . Setzt man diese rekursiv in Gl.(D.3) ein, so kann die Berechnung des Stoßimpulses durchgef¨uhrt werden. Die letzte Blockgleichung aus Gl.(D.3) lautet ⎛ .T ⎞ ˙   n FT3 ⎝M3  y˙ 3 − (D.7)  n⎠ = 0  y˙ 3

bzw. mit Gl.(D.6)

FT3 M3 T32  y˙ 2 + FT3 M3 F3  s˙3 − FT3    MR3

-

 ˙n  y˙ 3

Daraus erh¨alt man die Geschwindigkeitsdifferenzen ⎛ und

⎝FT3 M2 T32  y˙ 2 − FT3  s˙3 = −M−1 R3

.T

 ˙n  y˙ 3

⎛

⎝FT3 M2 T32  y˙ 2 − FT3  y˙ 3 = T32  y˙ 2 − F3 M−1 R3 = [E − J3 M3 ]T32  y˙ 2 − J3

-

 ˙n  y˙ 3

.T

 n = 0.

.T

-

⎞

 n⎠

 ˙n  y˙ 3

.T

 n.

Die letzten beiden Blockzeilen aus Gl.(D.3) sind durch ⎛ .T ⎞ ˙   n 0 = FT2 M2  y˙ 2 + FT2 TT32 ⎝M3  y˙ 3 −  n⎠  y˙ 3

gegeben, wobei Gl.(D.11) eingesetzt werden kann

(D.8)

(D.9)

⎞

 n⎠

(D.10)

(D.11)

(D.12)

D.1 Drei Subsysteme - Endpunktstoß

253

0 = FT2 [M2 + T32 [E − M3 J3 ]M3 T32 ] y˙ 2 .T  ˙n T T n −F2 T32 [E − M3 J3 ]  y˙ 3 .T  ˙n ∗T T ∗ = F2 (M2  y˙ 2 − T32  n ).  y˙ 3

(D.13)

(D.14)

Die Struktur dieser Gleichung entspricht der von Gl.(D.7). Durch neuerliches Einsetzen der kinematischen Kette  y˙ 2 = T21  y˙ 1 + F2  s˙2 kann jetzt nach

 s˙2 = −(FT2 M∗2 F2 )−1 FT2 (M∗2 T21  y˙ 1 − T∗T 32    MR2

-

 ˙n  y˙ 3

.T

 n)

(D.15)

aufgel¨ost werden. Die beschreibenden Differenzen sind dann

 y˙ 2 =

[E − J2 M∗2 ]T21  y˙ 1 + J2 T∗T 32

-

 ˙n  y˙ 3

.T

 n.

Das System Gl.(D.3) konnte mit dem ersten R¨uckw¨artseinsetzen auf ⎛ ⎞ M1  y˙ 1  T T T  . T F1 F1 T21 ⎜ ⎟  ˙n ⎝ ∗ ⎠=0 ∗T FT2 n M2  y˙ 2 − T32  y˙ 3

(D.16)

(D.17)

reduziert werden. Im letzten Schritt wird f¨ur diese Form (Gl.(D.17)) u¨ ber  s˙2 (Gl.(D.15)) und  y˙ 2 (Gl.(D.16)) eine weitere Reduktion durchgef¨uhrt 0 = FT1 M1  y˙ 1 +FT1 TT21 M∗2  y˙ 2 − T∗T 32

-

 ˙n

.T

n  y˙ 3 = FT1 [M1 + T21 [E − M∗2 J2 ]M∗2 T21 ] y˙ 1 .T  ˙n T T ∗ ∗T n +F1 T21 [E − M2 J2 ]T32  y˙ 3 .T  ˙n ∗T ∗T T ∗ = F1 (M1  y˙ 1 − T21 T32  n ).  y˙ 3

(D.18)

(D.19)

(D.20)

Da man jetzt bei der Wurzel des Mehrk¨orpersystems angelangt ist, dieses praktisch keinen Vorg¨anger hat, kann u¨ ber  y˙ 1 = F1  s˙1 die Geschwindigkeitsdifferenz f¨ur das erste Subsystem explizit bestimmt werden

254

D Detaillierte Herleitung rekursive Stoßmodellierung

 s˙1 =

∗T (FT1 M∗1 F1 )−1 FT1 T∗T 21 T32

   MR1

-

 ˙n  y˙ 3

.T

 n.

(D.21)

Mit den bereits erarbeiteten Ergebnissen wird jetzt in Vorw¨artsschritten auf die Differenz der beschreibenden Geschwindigkeiten des letzten Subsystems gerechnet

 y˙ 1 = F1  s˙1 ∗T = J1 T∗T 21 T32

-

 ˙n

 y˙ 3  y˙ 2 = T21  y˙ 1 + F2  s˙2 = T∗21  y˙ 1 + J2 T∗T 32

.T -

(D.22)

n

 ˙n

(D.23) (D.24)

.T

 n ( aus Gl.(D.16))  y˙ 3 .T  ˙n ∗ ∗T ∗T = [T21 J1 T31 + J2 T32 ] n  y˙ 3  y˙ 3 = T32  y˙ 2 + F3  s˙3 .T  ˙n ∗  n ( aus Gl.(D.11)) = T32  y˙ 2 + J3  y˙ 3 .T   ˙n  ∗ ∗ ∗T ∗T = T32 [T21 J1 T21 + J2 ]T32 + J3 n  y˙ 3 .T .3  ˙n ∗ ∗T =  T3i Ji T3i  n.  y˙ 3 i=1

(D.25)

(D.26) (D.27) (D.28)

(D.29)

(D.30)

Mit Gl.(D.30) kann also die Differenz der beschreibenden Geschwindigkeiten als Funktion des Stoßimpulses angegeben werden. Multipilziert man Gl.(D.30) von links mit  ˙n / y˙ 3 erh¨alt man u¨ ber Gl.(D.4) -

 ˙n  y˙ 3

.

(˙yE − y˙ A )3 =

-

 ˙n  y˙ 3

.-

= −(1 +  )

3



T∗3i Ji T∗T 3i

i=1

-

 ˙n  y˙ 3

.

.-

 ˙n  y˙ 3

.T

n

y˙ A3 .

(D.31) (D.32)

Eine Umformung dieser Gleichung f¨uhrt direkt auf den Stoßimpuls ⎡..T ⎤−1 . .3 ˙n ˙      ˙n n ∗ ∗T ⎦ ⎣ y˙ A3 . (1 +  ) n = −  T3i Ji T3i  y˙ 3  y˙ 3  y˙ 3 i=1

(D.33)

D.2 Verallgemeinerung

255

Mit bekanntem Stoßimpuls k¨onnen mit Gl.(D.21), Gl.(D.15) und Gl.(D.9) die Differenzen der Minimalgeschwindigkeiten vor und nach dem Stoß, bzw. mit s˙Ei = s˙Ai +  s˙i die Geschwindigkeiten nach dem Stoß angegeben werden s˙E1 =

T ∗T ∗T s˙A1 + M−1 R1 F1 T21 T32

 y˙ 1 = Fi  s˙1

-

 ˙n  y˙ 3

.T

⎛

n

T⎝ ∗ s˙E2 = s˙A2 − M−1 M2 T21  y˙ 1 − T∗T 32 R2 F2

 y˙ 2 = T21  y˙ 1 + F2  s˙2 ⎛

T⎝ s˙E3 = s˙A3 − M−1 M3 T32  y˙ 2 − R3 F3

-

-

 ˙n  y˙ 3

(D.34)

 ˙n  y˙ 3 .T

.T

⎞

 n⎠

⎞

 n⎠ .

(D.35) (D.36) (D.37) (D.38)

D.2 Verallgemeinerung F¨ur ein Mehrk¨orpersystem aus N Subsystemen, das am letzten K¨orper einen Stoß erf¨ahrt, lassen sich folgende Schritte zusammenfassen: • Berechnung des Stoßimpulses u¨ ber

⎡..T ⎤−1 . .N ˙ ˙ ˙n       n n ∗ ∗T ⎦ (1+  ) y˙ AN . (D.39) n = −⎣  TNi Ji TNi  y˙ N  y˙ N  y˙ N i=1

• Berechnung der Minimalgeschwindigkeiten nach dem Stoß f¨ur alle K¨orper i = 1..N durch ⎛ .T ⎞ ˙   n T⎝ ∗ s˙Ei = s˙Ai − M−1 (D.40) Mi Tip  y˙ p − T∗T  n⎠ Ni Ri Fi  y˙ N

 y˙ i = Tip  y˙ p + Fi  s˙i .

(D.41)

Damit k¨onnen die Minimalgeschwindigkeiten unter der Annahme eines N EWTON Stoßes berechnet werden. Alle angegebenen Matrizen sind aus dem Rekursionsschema bereits bekannt.

Anhang E

Hamilton Prinzip Timoshenko Balken

Im Folgenden soll die Herleitung der partiellen Differentialgleichung f¨ur den T IMOSHENKO Balken u¨ ber das H AMILTON Prinzip gezeigt werden. Die potentielle und kinetische Energie, bzw. deren Variationen sind durch Vel =

1 2



2  2 EI  ′ B +  GA w′ + B dx

(E.1)

EI B′  B′ +  GA w′ + B  w′ +  GA w′ + B  B dx  1  T =  Aw˙ 2 +  I ˙B2 dx 2   T =  Aw˙  w˙ +  I ˙B  ˙B dx

 Vel =

(E.2) (E.3) (E.4)

gegeben. In das Hamilton Prinzip t1

t0

( T −  Vel ) dt = 0

(E.5)

eingesetzt, erh¨alt man ⎡ t1 L ⎣  Aw˙  w˙ +  I ˙B  ˙B − EIy B′  B′ −  GA(w′ + B ) w′ t0

o



0

−  GA(w + B ) B dx dt = 0. ′

(E.6)

Eine partielle Zeitintegration liefert (unter der Voraussetzung von verschwindenden Randtermen)

257

258

E Hamilton Prinzip Timoshenko Balken

 T − V = L  w(− Aw) ¨ +  B (− I ¨B ) − EI B′  B′ −  GA(w′ + B ) w′ o

 −  GA(w′ + B ) B dx = 0.

(E.7)

Damit die variierten Gr¨oßen ausgeklammert werden k¨onnen, muss eine weitere partielle Ortsintegration der unterstrichenen Terme durchgef¨uhrt werden

 T − V = L  w(− Aw) ¨ +  B (− I ¨B ) +  B EI B′′ +  w GA(w′′ + B′ ) o



−  GA w′ + B  B dx

−[ B (EI B′ )]|Lo − [ w  GA(w′ + B ) ]|Lo = 0.

Damit ist das System durch die partiellen Differentialgleichungen   − Aw¨ +  GA(w′′ + B′ ) =0 − I ¨B + EI B′′ −  GA(w′ + B )

(E.8)

(E.9)

und die Randbedingungen 

L L   GA(w′ + B )  w  = 0 oder  =0 B o EI B′ o

(E.10)

beschrieben. Das Ergebnis ist (wie erwartet) identisch mit Kapitel 5.4. Der Aufwand zur Bestimmung der Bewegungsgleichung u¨ ber das H AMILTON Prinzip ist f¨ur so ein einfaches Beispiel schon verh¨altnism¨aßig hoch. Mit den Herleitungen in Kap. 5.2 kann dieser Aufwand deutlich reduziert werden.

Symbolverzeichnis

Die benutzten Formelzeichen orientieren sich an den ISO-Normen. Soweit m¨oglich repr¨asentieren sie u¨ bliche Abk¨urzungen mit lateinischem (respektive englischem, franz¨osischem, spanischem, italienischem · · · ) Ursprung, wie v: velocitas (velocity · · · ), a: acceleratio (acceleration · · · ), T: transformatio (transformation · · · ), oder deutschem Ursprung wie A: Abbildung, Z: (G AUSSscher) Zwang, F: F¨uhrung. Vektoren und Matrizen werden durch halbfette Symbole gekennzeichnet (i.a. Großbuchstaben: Matrizen, Kleinbuchstaben: Vektoren). Um die Notation nicht zu u¨ berladen, wird auf eine spezielle Kennzeichnung des Nullelements (Skalar, Vektor, Matrix) verzichtet und auf den jeweiligen Textzusammenhang verwiesen. 0

Nullelement (∈ Rm,n , m, n ∈ Z)

a b c d e f g h i j k l

Beschleunigung (∈ R3 ) Stelleingriffsvektor, St¨orvektor (∈ Rn , n = 2 f ) Koeffizientenvektor, Messvektor (SISO), Federkonstante (∈ R1 ) (¨außeres) Differential, D¨ampfungskonstante Einheitsvektor (beliebige Dimension), Regelfehler Kraft (∈ R3 ), Freiheitsgrad (∈ R1 ), Funktion, R¨uckf¨uhrfunktion (∈ R1 ) Gravitationsvektor (∈ R3 ), | g | = 9.81 f¨ur Mitteleuropa H¨ohe √ imagin¨are Einheit ( −1), Z¨ahlindex Z¨ahlindex Z¨ahlindex, Federkonstante, R¨uckf¨uhrkoeffizient, (kn L : Balken-Eigenwert) L¨ange 259

260

Symbolverzeichnis

m n

Masse, Z¨ahlindex Z¨ahlindex, Zahl der Ansatzfunktionen, Zustandsdimension (n = 2 f )

p

Impuls (∈ R3 ), Generalisierter Impuls (H AMILTON, ∈ Rg ), RODRIGUES Parameter (∈ R3 ), Vorg¨anger Index (∈ R1 ), Druck (∈ R1 ), dynamische Parameter dynamische Basisparameter Vektor der Minimalkoordinaten (∈ R f ), E ULER Parameter (∈ R4 ) Eigenvektor (∈ R f ) Ortsvektor ∈ R3 Vektor der Minimalgeschwindigkeiten (∈ Rg ) entspr. s˙i (∈ Rgi ) Quasi-Koordinaten (∈ Rg , von s˙), Schwerpunktvektor einer Endmasse (∈ R3 ), Nachfolger-Index (∈ R1 ) Zeit Drehachse (∈ R3 ), Verschiebung der neutralen Achse: (ux , uy , uz )T oder (u, v, w)T , Vektor der Balken-Ansatzfunktionen (L¨angsverschiebung) (∈ Rn ) Verschiebung eines willk¨urlichen Punktes: (ux , uy , uz )T oder (u, v, w)T (absolute) Geschwindigkeit (∈ R3 ), Vektor der Balken-Ansatzfunktionen (Biegung, y- Richtung) ∈ Rn Vektor der Balken-Ansatzfunktionen (Biegung, z- Richtung) ∈ Rn Ortsvariablen Vektor der unabh¨angigen Ortsvariablen Gesch¨atzter Zustand Vektor der Zwischen-Geschwindigkeiten Beschreibende Geschwindigkeiten (Subsystem n) Endpunktkoordinaten (Position und Orientierung) Endpunktgeschwindigkeit (Translations- und Drehgeschwindigkeit)

pB q q r s˙ s

t u

u v w x, y, z x xˆ y˙ i y˙ n zE z˙ E A

A B B B C C

Drehmatrix (∈ R3,3 ), Fl¨ache (∈ R1 ), Fl¨achen-Normalenvektor (∈ R3 ), Systemmatrix (∈ Rn,n , n = f + g) oder Jx : Massentr¨agheitsmoment, x-Achse Stelleingriffsmatrix (Zustandsraum) Stelleingriffsmatrix (Konfigurationsraum) oder Jy : Massentr¨agheitsmoment, y-Achse Messmatrix oder Jz : Massentr¨agheitsmoment, z-Achse

Symbolverzeichnis

D D D E F F F Gi Gn G

H

I ID J

Ji K dKNL L Mi Mn MRi M N N P Pi j Ri Q Qn Q

261

D¨ampfungsmatrix Operator, zur Definition der Variablen Operator, ergibt die partiellen Differentialgleichungen Einheitsmatrix, Elastizit¨atsmodul (∈ R1 ) (zwischen) Funktionalmatrix (Einzelk¨orper) (zwischen) Funktionalmatrix (Subsystem) (allgemeine) Funktionalmatrix, Deformationsgradient Gyroskopische Matrix (Einzelk¨orper) Gyroskopische Matrix (Subsystem) Gyroskopische Matrix (∈ Rg,g ), Schubmodul (∈ R1 ), G REEN -L AGRANGE Verzerrungstensor (∈ R6,6 ) ˙ H ∈ Rg, f ), Koeffizientenmatrix der Minimalgeschwindigkeiten (˙s = H(q)q, 6,6 H OOKE’s Matrix (∈ R ), H AMILTON Funktion (∈ R1 ) Tensor der Fl¨achentr¨agheitsmomente (∈ R3,3 ) Drillwiderstand (GID : Drillsteifigkeit) Tensor der Massentr¨agheitsmomente (∈ R3,3 ), JACOBI Matrix (e.g. ∈ R6N,g ), G¨utefunktional ∈ R1 = FTi M∗i Fi (Rekursionsverfahren) Steifigkeitsmatrix (∈ Rg,g ) Zustands-R¨uckf¨uhrungsmatrix (∈ Rn,n , n = f + g) Dynamische Steifigkeitsmatrix Impuls (∈ R3 ) Massenmatrix (Einzelk¨orper) Massenmatrix (Subsystem) Reduzierte Massenmatrix Moment (∈ R3 ), Massenmatrix (∈ Rg,g ) Anzahl der Freiheitsgrade des Mehrk¨orpersystems Matrix der nichtkonservativen Lagekr¨afte (∈ Rg,g ), Rekursionsmatrix Linearisierung: geschwindigkeitsabh¨angige Matrix (∈ Rg,g ), T REFFTZ (or 2nd P IOLA -K IRCHOFF) Spannungstensor(∈ R6,6 ) T REFFTZ (oder 2-te P IOLA -K IRCHOFF) Spannungen Operator, ergibt Randbedingungen Generalisierte Kraft (Einzelk¨orper) Generalisierte Kraft (Subsystem) Linearisierung: positionsabh¨angige Matrix (∈ Rg,g ), Generalisierte Kraft (∈ Rg ), Gewichtungsmatrix (∈ Rn,n , n = f + g)

262

R

T

Tip T∗ip V W Y

 ,  ,   B , B  −  i j  i j   

Symbolverzeichnis

Drehmatrix (∈ R3,3 ), Gewichtungsmatrix (∈ Rn,n , n = f + g), Radius (∈ R1 ), R AYLEIGHsche Dissipationsfunktion (∈ R1 ) Transformationsmatrix (allgemein, z.B. ∈ R6,6 ), Kinetische Energie (∈ R1 ), Man¨over-Zeit (∈ R1 ) Kinematische Kette: y˙ i = Tip y˙ p + Fi s˙i = NTi Tip Potential, Volumen (auch Vol ) Gewichtungsmatrix, Arbeit (∈ R1 ) Modalmatrix (Konfigurationsraum)

,  ,  ˙  

(absolute) Drehbeschleunigung (∈ R3 ) K ARDAN Winkel Biegewinkel beim T IMOSHENKO-Balken Variationssymbol, D¨ampfung ( = d/(2m)) D IRAC-Distribution C AUCHY Verzerrungen C AUCHY Verzerrungsvektor (∈ R6 ), G REEN -L AGRANGE Verzerrungen G REEN -L AGRANGE Verzerrungsvektor (∈ R6 ) Torsions-Ansatzfunktionen ( (x) ∈ Rn ), Torsion ( (x,t) ∈ R1 ) (Vektor der ) Kr¨ummungen, Schubkorrektur-Faktor (∈ R1 ), Vektor der L AGRANGE Multiplikatoren, Eigenwert (∈ R1 ) Massenmatrix im Operationsraum Nichtlineare Terme im Operationsraum P OISSON Zahl, Frequenz Dichte C AUCHY Spannungsvektor (∈ R6 ), C AUCHY Spannungen Vektor der Biegewinkel (∈ R3 ), Drehwinkel (∈ R1 ) E ULER Winkel Drehvektor (∈ R3 ) Schub- (oder Scher-) Spannung Winkelgeschwindigkeit (∈ R3 ), Frequenz (∈ R1 )

L

L AGRANGE Funktion

     i j 

Symbolverzeichnis

263

N R Z

Nebenbedingungen, Nullraum Unterraum von J Zielfunktion

     ˙ 

Differenz NABLA-Operator Diagonalmatrix der Eigenwerte =0 (holonome) Bindungen (∈ Rm ), (Matrix der) Ansatzfunktionen :=D ◦  (x) : (Matrix der) Ableitungen der Ansatzfunktionen =0 (nichtholonome) Bindung (∈ Rm ) Winkelgeschwindigkeit, Frequenz

Indizes: oben (˙) ()

Zeitableitung Spintensor (∈ R3,3 )

unten links Basis, z.B. R Referenz (allgemein) K k¨orperfest I inertial

oben rechts ( )′ Ortsableitung e “eingepr¨agt” z “Zwang” T transponiert unten rechts freier Index, z.B. p “Punkt”, xy “zwischen x und y”

Differentiationsnotation: F¨ur die Gr¨oßen a ∈ R1 , b ∈ Rm ,c ∈ Rn gilt die Differentiationsnotation:   a a a = .. c  c1  cn ⎡

⎤  b1  b1 ..  cn ⎥ b ⎢ ⎢  c1 ⎥ = ⎢ : .. : ⎥ c ⎣ b  bm ⎦ m ..  c1  cn

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Sachverzeichnis

A Achsenschiefstellungen 12, 147, 148 Acopos 142, 151 Algorithmus 54, 55, 99, 144 analytisch 37, 158, 159 analytische Methode 9, 15, 44, 190 Ansatzfunktion 86, 88, 115, 118, 131, 134, 219, 225–228, 233, 235, 236 Antriebsstrang 219, 232 Arbeitsbereich 3, 170 Arbeitsraum 2, 6, 7, 14, 139, 141, 166, 171 Asimo 4

136, 141–143, 145, 152, 155, 156, 159, 161, 175–178, 183, 188–191, 199, 212, 213, 222, 229, 234 Bewegungsplattform 14, 209 Bewegungssimulator 3, 15, 16 Biegung 74, 76, 83, 126, 129, 219, 225 Bindung 6, 16, 94–96, 98, 101, 102, 106, 188 Bindungsgleichung 94, 97, 101, 190, 202 C Cauchy Coriolis

63, 65, 68 33, 44, 143, 175

B

D

Bahnkorrektur 120, 121, 124, 125, 129, 138, 139 Bahnparameter 13, 158, 159, 172, 194, 195, 203, 205 Bahnplanung 27, 141, 151, 161, 172, 176, 200 Bahnregelung 14, 16, 139, 185, 192–194, 199, 207, 208 Basisparameter 144, 145 baumstrukturiert 6, 15, 37, 55, 57 Bellman Optimierung 13, 161, 162 Beobachter 26, 156, 187 Bernoulli 33, 35, 83 Bernoulli-Euler 16, 33–35, 63, 71, 73, 74, 78, 79, 83, 131, 226, 227 Beschleunigung 5, 7, 9, 32, 33, 98, 129, 138, 152, 159, 192, 217 beschreibende Geschwindigkeit 9, 51, 55, 72, 105, 112, 116, 130, 173 Bewegungsgleichung 9–11, 13–17, 44, 47, 50, 52, 63, 86, 94, 102, 118, 122, 129,

D¨ampfung 133, 154, 178, 182 DAE-System 9 Deformation 64 Dehnmessstreifen 12, 111, 125 Differentialgleichung 126 Drehmatrix 21, 23–26, 28, 35, 57, 73, 149, 167, 179, 189, 203, 205 Dynamik 15, 27, 41, 44, 45, 102, 111, 154, 173, 178, 180, 188, 213–215 dynamische Steifigkeitsmatrix 15, 80–82, 88, 89, 115, 116, 135 E Eigenfrequenz 83, 225–227, 230, 231 Eingangs/Ausgangslinearisierung 14, 185, 192, 199 elastische Roboter 5, 11 elastischer Knickarmroboter 16, 111 elastischer Linearroboter 12, 16, 129, 139 Elastizit¨atstheorie 15, 63

273

274

Sachverzeichnis

Endeffektor 3, 6, 7, 13, 27, 48, 124, 138, 146, 147, 149, 151, 166, 168, 171, 177, 180, 182–184, 214 Endmasse 91, 112, 113, 116, 118, 126, 129, 134, 135 Energie 9, 41, 44, 111, 129, 170, 186, 188, 190, 231 Entkopplung 14, 178, 180, 184, 206, 227, 235 Eulerwinkel 31

Impedanzregelung 13, 16, 169, 176, 177 Impuls 43, 44, 49, 223 Industrieroboter 1, 3, 12, 13, 141, 146 Inertialsystem 9, 21, 29, 31, 32, 179, 203 Integrator 223 inverse Kinematik 1, 13, 151, 158, 159, 165, 169, 183, 211, 214, 218 Iteration 15, 150, 212

F

Jacobi 10, 16, 73, 95, 96, 101, 159, 168, 176, 177, 189

Fehlerdynamik 14, 154, 178–180, 193, 196, 207 Fehlerparameter 150, 151 Fehlersystem 12, 154, 193 flacher Ausgang 193, 203, 205, 206 flachheitsbasierte Regelung 12, 14–16, 138, 141 Freiheitsgrad 3, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 57, 93, 105, 112, 148 Funktionalmatrix 50, 52, 53, 77, 80, 94, 175 G G¨utefunktional 159, 193 Galerkin 85, 86 Gauss 53, 54, 96, 99, 104, 105 Gelenkkoordinaten 6 Gelenkregelung 111, 120, 124, 125 Genauigkeit 7, 8, 212, 215 geometrisch 75, 80, 86, 88, 89, 149 geometrische Kalibrierung 12, 16, 146 Geschwindigkeit 5, 7–9, 15, 103 Geschwindigkeitsbindung 188, 190, 201, 202 Getriebe 57, 60, 61, 90, 91, 112, 113, 116–118, 126, 129, 130, 133, 134, 154, 165, 173, 175, 219, 233 gew¨ohnliche Differentialgleichung 11, 16 Green 68, 69

J

K Kalibrierung 147, 148, 163 Kardanwinkel 30, 179, 211, 212, 217 Kinematik 33, 35, 38, 55, 125, 147, 165, 169, 176, 182, 201, 211, 212, 214, 218 kinematische Kette 15, 38, 39, 50, 51, 53, 56, 91, 113, 175 kinematische Schleife 10, 55, 100 kinematisches Modell 14, 185, 192–194, 200, 202 Knickarmroboter 111, 112, 125 Kompensation 111, 124, 141, 147, 152, 154, 209, 214, 218 Komplement¨arfilter 187 Konditionszahl 143 Konfigurationsraum 6, 14, 176, 181, 182 Koordinatensystem 21, 26, 34, 38, 41, 43, 44, 51, 57, 63, 67, 73, 114, 130, 132, 167, 190, 195, 203, 217, 220 Kr¨ummung 71, 73, 111, 124, 125, 207 Kr¨ummungsr¨uckf¨uhrung 16, 111, 124, 125, 127, 138 Kuka 1 L

Hamel-Boltzmann 42, 43, 188, 189 Hamilton 9, 11, 27, 45, 72 Harmonic Drive 57, 61, 111, 112, 165, 175 Hexapod 3, 209, 210, 216–218 holonom 73, 115 Hooke 66, 71

L¨angenfehler 12, 148 Lagrange 9, 11, 41, 42, 45, 67, 69, 94, 96, 98, 99, 169, 171, 188 Linearisierung 14, 15, 63, 70, 80, 91, 119, 122, 124, 152, 196, 206, 208, 224 Linux 187, 210 LQR 14, 170, 185, 187, 192, 199 Luftmuskel 15 Lyapunov 9, 44

I

M

H

Identifikation

12, 16, 147, 150, 175, 215

Maggi

9, 45, 188

Sachverzeichnis

275

Massenmatrix 9, 44, 52, 54, 58, 72, 89, 90, 96, 103–105, 114, 116, 136, 155, 170, 174, 175, 177, 222, 224 Mehrk¨orpersystem 10, 11, 15, 16, 36, 37, 41, 43, 44, 47, 52, 53, 55, 57, 72, 83, 85, 86, 95, 99, 105, 121, 126, 219 Messung 111, 118, 119, 136, 147, 155, 161, 177, 187 Minimalbeschleunigung 11, 47, 52, 53, 92, 96, 98, 177, 222 Minimalform 52, 97, 104, 122 Minimalgeschwindigkeit 10, 37, 43, 50, 55, 57, 74, 77, 78, 93, 94, 105, 171, 188, 192, 201, 202, 220 Minimalraum 9, 11, 55, 92, 97, 121, 122, 126, 136, 175 Modellbildung 9, 11, 12, 14, 15, 112, 129, 139, 185, 188, 190, 199, 209, 219, 235 Modellierung 16, 33, 36, 37, 52, 100, 125, 148, 149, 152, 211, 212, 219, 223, 233, 234 Muscod 159, 160, 162, 163 Muskelkennlinie 15, 209, 213

partiell 94, 193 partielle Differentialgleichung 11, 16, 75, 77, 83, 85 PD-Regelung 15, 16, 111, 124, 125, 127, 129, 138, 139, 141, 152, 154, 157 PD-Regler 152, 157 PID-Regler 209, 214, 215, 218 Plattform 3, 4, 14, 16, 166, 185, 200, 201, 209, 215, 217 Position 6–8, 21, 26, 35, 63, 67, 106, 121, 132, 134, 147, 149, 167, 178, 187, 193, 195, 203, 208, 211, 212, 222, 231 Positionsfehler 146, 149, 208 Positionsregelung 176, 185, 209, 214, 215 Potential 35, 60, 65, 66, 68, 70–73, 76, 115, 132–134, 221, 228 Powerlink 142, 151 Projektionsgleichung 9, 10, 13–16, 41, 43–45, 47, 50, 52, 72, 80, 111, 126, 129, 142, 155, 165, 173, 190, 191, 199, 212, 219, 235

N

quasistatisch 119–121, 123, 124, 126, 137–139, 194, 198, 199, 206, 208 Quaternionen 27–29, 32

N¨aherungsverfahren 16, 36, 83, 85 Nachgiebigkeit 13, 165, 177, 179, 182, 183, 209 Nebenbedingungen 165, 169, 172, 177, 183 Newton 10, 15, 103, 105, 212 nichtholonome Bindung 9, 14, 188, 189 Nichtlinearit¨aten 156, 181 Nulllagenfehler 12, 147, 148 Nullraum 13, 165, 168, 169, 171, 177, 182, 183 Nullraumimpedanz 14, 182, 184 O O(n)-Algorithmus 10, 11, 15, 47, 52, 96, 97, 99 Operationsraum 6, 7, 13, 14, 177, 181 optimale Bahnen 12, 13, 16, 157 Optimierung 13, 161, 162, 169 Orientierung 6, 23, 27, 31, 36, 38, 147, 149, 159, 203, 208, 211, 212, 217 P Parallelkinematik 3, 14, 16, 212 Parallelroboter 1, 218 Parameter 134, 143–152, 159, 171, 175, 176, 222, 226, 230

Q

R Randbedingung 74–76, 78, 83, 85, 86, 88, 131, 225 redundant 6, 7, 16, 168 redundante Roboter 13, 165, 169, 177, 182, 183 Referenzbahn 119, 120, 122–124, 129, 137, 194 Referenzsystem 9, 29–34, 44, 48, 60, 73, 114, 175, 223 Regelkreis 127, 215 Regelung 9, 16, 111, 124, 125, 129, 141, 146, 151, 153–156, 163, 165, 176, 180, 182, 185, 192, 199, 200, 202, 207, 209, 214 rekursiv 16, 38, 47, 52, 54, 55, 94, 96, 97, 104, 105, 121, 126 Ritz 11, 16, 52, 85, 87–89, 92, 111, 112, 114, 115, 126, 132, 219, 222, 223, 225, 233, 236 Roboter 1, 3, 4, 6, 7, 11–16, 52, 55, 112, 118, 121, 124–126, 129, 137–139, 142, 143, 146, 147, 151, 154, 155, 158, 161, 165, 167, 173, 175, 176, 182, 183, 185, 188, 195, 199–201, 207–209, 213, 214

276

Sachverzeichnis

Rotor 224, 226–228, 230–232, 235 Rotordynamik 11, 16, 219, 230 RTAI 187, 210 Ruhelage 16, 192 S SCARA-Roboter 2, 14 Schwingungen 111, 125, 129, 137, 139, 157, 235 Schwingungsd¨ampfung 12, 16, 111, 124, 127, 138 Segway 14, 16, 185, 186, 190, 197, 199 Service-Roboter 1, 3, 4, 13 Service-Robotik 16, 165, 166, 185, 200 Simulation 52, 92, 94, 101, 105, 118, 119, 136, 207, 217, 226, 235, 236 Singularit¨at 7, 169, 172, 176, 179, 212 Spannungstensor 15, 63, 65, 68 Spintensor 30 Stabilisierung 14, 16, 101, 102, 157, 171, 192 Stabilit¨at 9, 101, 138, 154, 171, 180 starre Roboter 9 Steifigkeit 14, 57, 89, 178, 209, 228 Steifigkeitsmatrix 132, 135, 155, 213 Stelleingriff 118, 119, 159, 192 Stellgr¨oße 13, 152, 213 Stewart Plattform 3, 14, 16, 209, 214, 217, 218 Stoß 10, 16, 102–105 Subsystem 9–11, 13, 15, 16, 47–50, 53, 54, 57, 58, 60, 61, 90, 91, 97, 105, 112, 113, 116, 118, 121, 124, 126, 129, 131–134, 136, 139, 142, 155, 173, 235 Synthese 44, 50 synthetische Methode 9, 44 T Taylor

64, 119, 126, 129, 150

Timoshenko 11, 16, 35, 63, 72–74, 76, 78, 79, 83 Torsion 34, 74, 126, 129, 219, 223, 225, 235 Totzeit 13, 154 Tr¨agheitstensor 44, 58, 59, 73, 114, 143 Trajektorienfolgeregelung 15, 154 Transformation 21, 23, 32, 39, 52, 67, 68, 83, 98, 132, 159, 161, 190, 201, 211, 213, 217 U Unwucht

223, 229, 230, 235

V Variation 43, 73, 81 Vektor 21, 26, 36, 38, 44, 48, 49, 51, 70, 75, 77, 96–99, 106, 114, 120, 122–124, 131, 135, 143, 149, 150, 155, 156, 169, 171, 175, 182, 192, 193, 201, 211, 212, 217 Verschiebungsfelder 2-ter Ordnung 15, 63, 80–82, 114 Verzerrungstensor 15, 65, 68–70 virtuelle Arbeit 60, 65, 73, 79–82, 86, 89, 93, 117, 119, 176, 212 Vorsteuerung 111, 119, 123, 124, 126, 129, 137, 139, 141, 152, 154, 157, 161, 209, 214, 218 Vorw¨artskinematik 12, 15, 30, 149, 167, 169, 211, 212 W Washout Filter 15, 217 Winkelgeschwindigkeit 30, 31, 36, 187, 218 Z Zentralgleichung 41, 42, 44, 45 Zustandsr¨uckf¨uhrung 206 Zwangskraft 10, 16, 94, 95, 97, 98, 123, 189