Praktisches Rechnen nach Beispielen: Rechen-Leitfaden für alle Berufsstände, nebst einem Verzeichnis der unteilbaren Zahlen (Primzahlen) bis 10 000 und einem Anhang für Papierberechnung [5. Aufl., 37. bis 40. Tausend, Reprint 2022] 9783112682869

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FRANZ

TRIEB

EL

RECHENLEITFADEN FÜR

ALLE

BERUFSSTÄNDE

Praktisches Rechnen nach Beispielen Rechen-Leitfaden für alle Berufsstände nebst einem Verzeichnis der unteilbaren Zahlen (Primzahlen) bis

10 0 0 0

und

einem

Anhang

Herausgegeben

für

Papierberechnung

von

F. T r i e b e l

Techn. O b e r i n s p e k t o r der Reichsdruckerei a. D.

Fünfte

Auflage

37. bis 40. T a u s e n d

T e c h n i s c h e r Verlag Herbert B e r l i n

1949

W 3 5

Cram

Alle Rechte, namentlich das der Ubersetzung, vorbehalten

Printed in Germany Druck: Walter, Berlin SW29, 4000, 11. 48

Vorwort Die in der Schule erworbenen Rechenkenntnisse geraten allgemein sehr bald in Vergessenheit, und so ist die Zahl derjenigen außerordentlich hoch, denen sogar einfache Arten des Rechnens nicht geläufig sind. Vorliegender Rechen-Leitfaden bringt in kurzer, leicht verständlicher Form die gebräuchlichsten Rechenarten in Erinnerung und wirkt durch Beispiele aus dem Erwerbsleben belehrend auf diejenigen, die sich für ihren Beruf fortbilden wollen. Eltern schulpflichtiger Kinder können ihn sowohl zur Prüfung der Schularbeiten als auch zur Nachhilfe verwenden. Flächen- und Körperberechnungen sind ohne mathematische Formeln kurz und einfach dargestellt, so daß sie sidh auch ohne Vorkenntnisse von jedermann leicht ausführen lassen. Bei der Anordnung des Schriftsatzes ist durch die seitenweisen Abschlüsse und Gegenüberstellungen eine große Übersichtlichkeit erreicht worden. Diese Art der Darstellung des Lehrstoffes soll denn auch ein besonderer Vorzug meines Leitfadens sein. Möge das Buch auch fernerhin sich recht viele Freunde erwerben und allen seinen Besitzern Vorteile bringen. Berlin-Wilmersdorf, im Juli 1936. F. T r i e b e 1

Inhaltsübersicht Seite

Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen . . . .

5

Multiplikation und Division von Dezimalzahlen . . .

6, 7

Addition von Brüchen

8, 9

Subtraktion von Brüchen

10, 1 1

Multiplikation von Brüchen

12, 1 3

Division von Brüchen

14, 15

Regeln über die Teilbarkeit der Zahlen

16, 17

Verzeichnis der unteilbaren Zahlen bis 10 000 . . . .

18—20

Quadratwurzel

21—23

Kubikwurzel

24, 2 5

Quadrat und Kubus der Zahlen 1—99

26

Quadrieren und Kubieren (mit Tabelle)

27

Flächen- und Körperberechnung Tabelle für Rechnen mit 3,14 (Pi) Beispiele für Flächen- und Körperberechnung . . . .

28—42 43 44—46

Stückzahlberechnung

47

Regeldetri

48

(Dreisatzrechnung)

Gesellschaftsrechnung

49

Prozentrechnung

50—52

Zinsrechnung

53—57

Rechnen mit englischer Währung Papierberechnung

58 59—64

Addition von Dezimalzahlen Komma unter Komma stellen, dann addieren (zusammenzählen) Beispiele: Dezimalzahlen

Dezimalzahlen und ganze Zahlen

8,41 817,5 0,325 43,08 45 732,6835

4 538,45 862 6,7456 45,8 23 643

46 601,9985

29 095,9956

Subtraktion von Dezimalzahlen Komma unter Komma stellen, dann subtrahieren (abziehen) Beispiele : Dezimalzahlen

Dezimalzahlen und ganze Zahlen

16 324,7815 — 5 816,42

27 684,3455 — 3 461

10,508,3615

24 223,3455

175,863 52,3

1452,5 - 148,275

123,563

1 304,225

-

1435 6,82 1 428,10

27,762 - 12

15,762

Multiplikation von Dezimalzahlen Multiplizieren wie gewöhnliche Zahlen und vom Ergebnis von rechts nach links so viel Stellen abstreichen, wie beide Zahlen zusammen nach dem Komma Stellen haben. Beispiele

:

Dezimalzahlen 8436,2 X 75,4

76,3425 X 2,37

337448 421810 590534

5343975 2290275 1526850

636089,48

180,931725 Dezimalzahlen und ganze Zahlen

735,82 X 364

46583 X 67,9

294328 441492 220746

419247 326081 279498

267838,48

3162985,7

Mit 10, 100, 1000 usw. werden Dezimalzahlen multipliziert, indem das Komma der zu multiplizierenden Zahl (Multiplikandus) um so viel Stellen nach rechts gerückt wird, wie die Zahl, mit der zu multiplizieren ist (Multiplikator) Nullen hat. Sind hinter dem Komma des Multiplikandus nicht genügend Zahlen vorhanden, dann an das Resultat (Ergebnis) entsprechend Nullen anhängen. (Siehe nachstehende Beispiele mit 1000 und 10 000.)

136,5 X 10 2,486 X 10 0,85 X100 27,762 X 100 6

= = = =

1365 24,86 85 2776,2

54,893 X 76,2 X 5,7 X 21,26285 X

1000 = 54893 1000 = 76200 10000 = 57000 10000 = 212628,5

Division von Dezimalzahlen D e n Divisor (Teiler) umwandeln zur ganzen Zahl durch Streichen dès Kommas; den Dividendus (zu teilende Zahl) durch Versetzen des Kommas entsprechend vervielfachen. Beispiele : 'Dezimalzahlen 43,719 : 0,13 umgewandelt : 4371,9 : 13 = 336,3 39 Kürzer: 47 4371,9 : 13 = 336,3 39 47 81 81_ 78 39 39 39

539,75 : 63,5 umgewandelt: 5397,5 : 635 = 8,5 5080 3175 3175 0,249 : 41,5 umgewandelt: 2,49 : 415 = 0,006

Dezimalzahlen und ganze Zahlen Ist der Dividendus eine Dezimalzahl und der Divisor eine ganze Zahl, dann beim Ergebnis das Komma setzen, ehe die erste Stelle rechts vom Komma heruntergeholt wird. 1897,5 : 275 = 6,9 1650 2475 2475

Ist der Dividendus eine ganze Zahl und der Divisor eine Dezimalzahl, dann — der Vergrößerung des Divisors entsprechend — Nullen anhängen. 4725 : 0,45 £ 2 5 0 0 : 45 = 10500 225 00

Durch 10, 100, 1000 usw. werden Dezimalzahlen geteilt, indem das Komma um so viel Stellen nach links gerückt wird, wie der Divisor Nullen hat. Sind vor dem Komma nicht genügend Zahlen vorhanden, dann entsprechend Nullen vorsetzen. 168,5 : 10 = 16,85

| 47,67 : 100 = 0,4767 | 4,2 : 1000 = 0,0042 7

Addition von Brüchen I. Gewöhnliche Brüche Bei gleichnamigen Brüchen (Brüche mit gleichen Nennern) nur die Zähler addieren (2/9+5/9=7/s>). Ungleichnamige Brüche mittels Generalnenner gleichnamig machen, dann die Zähler addieren. (Zähler steht über, Nenner unter dem Bruchstrich.) Beispiele: 3

U + /s + /s Ermittlung des Generalnenners: Bei Brüchen ohne gemeinsamen Teiler nur die Nenner multiplizieren 4 X 3 X 5 = 60 J30 2

3

li 45 (60 : 4 = 15 X 3 = 45) /ä 40 (60 : 3 = 20 X 2 = 40) 4 /s 48 (60 :5 = 12 X 4 = 48)

4

Nenner geteilt in Generalnenner, Ergebnis multipliziert mit Zähler

2

J 3 3 : 6 0 = 213/eo V2 +

24

V, 12 /s 16

2

74

5

18

/e 20 7s 9 7 /l2 14

2

/3 +

3

/4 +

Ermittlung

5

/6 +

3

7

/8 +

des

/l2

Generalnenners:

Bei Brüchen mit gemeinsamen Teilern Nenner nebeneinandersetzen; davor eine senkrechte Linie ziehen; vor dieselbe die Divisorzahl, durch welche mehrere der Nenner sich ohne Rest teilen lassen. Die Zahlen, die sich nicht teilen lassen, ungeteilt unter die Linie setzen. 3

4

6

8

12

2 2

3 3

2

3 3

4 2

6 3

3

.

.

.

2

.

2

89 2 4 = 3 1 7 / 2 4

Generalnenner: 2 X 2 X 3 X 2 = 24 Regeln über die Teilbarkeit der Zahlen siehe Seite 16 und 17

8

II. Gemischte Brüche (Brüche mit ganzen Zahlen) Bei gemischten Brüchen erst die Brüche und die ganzen Zahlen, dann beide Ergebnisse zusammenzählen. Beispiel:

V-U + 3sh + ä/e + 43/s + 6 5 /I 2 + E r m i t t l u n g des

15

/u

Generalnenners:

(Siehe Anleitung auf Seite S) 240

3% 5/*

144 200

5

100

15

/l6 2 2 5

6 /ia

14

819/24»

5 5 5 5 5

3

90

43/s

4 2

2 2 2

60

17«

6 3 3

3

12 6 3 3

8 4 2

16 8 4 2 2

G e n e r a l n e n n e r : 2 X 2 X 2 X 3 X 5 X 2 = 240

3"/24o, g e k ü r z t d u r c h 3 = 333/so E r g e b n i s : 14 + 3 3 S / 8 «= 1733/ao

III. Brüche und Dezimalzahlen Dezimalzahlen in Brüche oder letztere in Dezimalzahlen verwandeln, dann zusammenzählen. B e i s p i e l e : 4s/a

+

1,75

Bei Verwandlung in Bruch 1,75 = l75/ioo = l3/4 4Vs + l'/4 = 6 3 /e

Bei Verwandlung in Dezimalzahl 4 5 /s = 4 , 6 2 5 4 , 6 2 5 + 1,75 = 6 , 3 7 5

Dezimalzahl wird in Bruch ver^ wändelt unter Berücksichtigung der Stellung des Kommas.

Bruch wird in Dezimalzahl verwandelt durch Division (Teilen) des Nenners in den Zähler.

0,4

= 4/i0, gekürzt = 2/s

0,75 = 0,125 =

2

75/ioo 125/iooo

„ „

F. Triebe! — Rechenbuch

= s /4 = Vs

/s = 2 : 5 = 0 , 4 3/4 = 3 : 4 = o,75 ä /i2 = 5 : 12 = 0 , 4 1 6 6 . . 2

9

Subtraktion von Brüchen I. Gewöhnliche Brüche Bei gleichnamigen Brüchen (Brüche mit gleichen Nennern) nur die Zähler voneinander abziehen ( 5 /s — = 3/», gekürzt = V3). Ungleichnamige Brüche mittels Generalnenner erst gleichnamig inachen (s. S. 8 u. 9), dann die Zähler voneinander abziehen. B e i s p i e l e :

Vi

- V» 6

7

/ 8 -

7s

A

v

-

5

2

8

2 -

3

7

/8

7

3

6

76

78

/s

15 4

-

2

12

/5

10

/ B

5

II. Gemischte Brüche (Brüche mit ganzen Zahlen)

Bei gemischten Brüchen erst die Brüche mittels Generalnenner gleichnamig machen, dann Brüche und Ganze voneinander abziehen. B e i s p i e l e 52/

3

-

1 7 4

161/«

12

52h - 1 7 4

4

3

157/ü

- 4 7 ,

-

45/i2 3 6

6

8

5/12

:

1 6 7 s -

4 7 , 11

2 +

6 =

8 *

3

3 5

/6

15 -

2 8

7 ( 0

45/,.> 11

15 13

/36

* ) Da '/« nicht von 2 /» abzuziehen sind, ist von den 16 Ganzen ein Ganzes = 6 /« wegzunehmen; zu 2 /o zugezählt ergibt 8 /« Regeln über die Teilbarkeit der Zahlen siehe Seite 16 und 17. Verzeichnis der Unteilbaren Zahlen siehe Seite 18—20.

10

III. Brüche und ganze Zahlen Von der ganzen Zahl erst die dem Nenner des Bruches entsprechende Einheit abnehmen; dann abziehen. Beispiele : 19 — 5/s 19 _ 8/8 = 18®/8 — Vs

16 —3 2 / 9 16 — 9/9 = 15 9 /9 — 32/9

50 — 247/i« 50 — 16/i6 = 4918/i« 24 7/i«

183/s

12 7, 9

25 9/i«

IV. Brüche und Dezimalzahlen Den Bruch in eine Dezimalzahl oder letztere in einen Bruch verwandeln; dann abziehen. (Verwandlung siehe Seite 9, III)

Beispiele : 65Vs — 2,45

18,35 — 32/s

|

Bei Verwandlung des Bruches in eine Dezimalzahl: 65Vs = 65,125 — 2,45

18,35 — 3,40

3 2 /5=

14,95

62,675

Bei Verwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch: 2,45 = 245/ioo, gekürzt 29/2o 40

18,35 = 1835/ioo, gekürzt 18 7 /» 20 187/„o - 3»/»

65V, 45 (5 + 40)* - 2V i n 18 27 62 /40

14 40

2 7 (7 + 2 0 ) * 19

'/SO

20

*) Von den Ganzen ist ein Ganzes ( /4« bzw. ko) abzunehmen und den Bruchteilen zuzuzählen, weil sich die untere Zahl von der oberen sonst nicht abziehen läßt.

11

Multiplikation von Brüchen I. Gewöhnliche Brüche Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren. Bei mehreren Brüchen einen Strich ziehen; über denselben alle Zähler, unter denselben alle Nenner setzen; dann soviel wie möglich heben (kürzen), d. h. Zahlen über dem Strich mit Zahlen unter dem Strich durch gemeinschaftliche Teiler teilen. Hiernach Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren. Beispiele : »/« X V. =

o x. y

=

12

/2t, gekürzt durch 12 = »/•

oder mit v o r h e r i g e m Kürzen: 3 X 4 gekürzt 3 und 9 durch 3 = 1 X 1 = 8X9 ., 4 „ 8 „ 4 = 2X3 2 5 4 /4 X /s X /7 X /» 3X2X5X4 , .. 4 1X2X1X1 = 4 X 5 X 7 X 9 g6kurZt: 1 X 1 X 7 X 3

»/.

3

II. Gemischte Brüche (Brüche mit ganzen Zahlen)

Gemischte Brüche erst verwandeln; dann wie bei gewöhnlichen Brüchen Zähler X Zähler, Nenner X Nenner. Beispiele : 3V« X s/s (3V2 = 3 X 2 + 1 = V2) also l - ^ t = 35/i« = 23/i« 2Xo 4 1 5 2Ht X 2 /s X 3 /« X l /? . 5 X 14 X 19 X 12 , .. 1 X 2 X 19 X 1 verwaDde,t: gekurZt: 2X5X6X7 1XLX1XT=3 12

B

III. Brüche und ganze Zahlen Die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruches multiplizieren; wenn möglich zuvor Nenner und ganze Zahl teilen oder kürzen. Bei gemischten Brüchen erst die ganzen Zahlen, dann die ganze Zahl mit dem Bruch multiplizieren und beide Ergebnisse zusammenzählen. Beispiele: 2 / 3 X 4 = — ^ = 8/8 = 22/3

| j

ö

6 X 2/s =

ö

=

12

/s = 22/s

3, VIA 3 X 6 4 ... 3X8 /s X 64 = — -o— gekürzt: — — 1 = 24 53/s X 7 = 5 X 7 = 35 2 X 54/7 = 2 X 5 = 10 3 21 5 /s X 7 = /s = 2 /8 2 X 4/t = Vi = l1/? zusammen = 375/s

zusammen = II'/t

IV. Brüche und Dezimalzahlen Den Zähler des Bruches mit der Dezimalzahl multiplizieren, das Ergebnis mit dem Nenner teilen; gemischte Brüche zuvor verwandeln. Beispiele: 3

/4 X 0,6 = ^

2'/s

X 2,4 =

21

^

= 1,8 : 4 = 0,45

* 2 ' 4 = 50,4 : 8 = 6,3 o

oder mit vorherigem Kürzen: 21 X 2,4 ... . 21 X 0,3 gekürzt: 05 1

,a — 6,3

Regeln über die Teilbarkeit der Zahlen siehe Seite 16 und 17 13

Division von Brüchen I. Gewöhnliche Brüche Bei gleichnamigen Brüchen (Brüche mit gleichen Nennern) nur den Zähler des Divisors (Teiler) in den Zähler des Dividendus (zu teilende Zahl) dividieren ( 8 /s: 2A> = 4). Ungleichnamige Brüche mittels Generalnenner erst gleichnamig machen (siehe Seite 8). Kürzeres Verfahren: Den Divisor (Teiler) umkehren, dann Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multiplizieren. Beispiele: 4

14

/is : 7/12 Generalnenner .60 14 /is = M/no, 7/I2 = 35/eo 56 : 35 = l21/35 = 13/s

/ 5 : 2/3 Generalnenner 15 4 /S = 12/l5, 2/S = 10/l5 12 : 10 = l2/io = P/s

Kürzeres Verfahren mit Umkehren des Teilers: 4X3 gekürzt

2 X 3 „. — = • / , = IV.

14X12 ... 2 X 4 a.. / gekürzt, = /s = 1l 3J /s 15 X 7 5X1

II. Gemischte Brüche (Brüche mit ganzen Zahlen) Gemischte Brüche erst verwandeln (l3/4 = 1U), den Divisor umkehren, dann Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multiplizieren. Beispiele: 31/« (7/a) : Vs 7 X J 85/2 = 1 7 l/ 2 2X1 51n :

14

3

/B : l 5 /8 ( 13 /s) 3 X 8 247g5 5 x 13 3V. = - ^ $ 1 gekürzt 3 X 1 = IV. 4X7 u X. 1

III. Brüche und ganze Zahlen Bei Teilung eines Bruches durch eine ganze Zahl diese mit dein Nenner des Bruches multiplizieren oder in den Zähler desselben teilen. Letzteres ist einfacher, aber nur anwendbar, wenn sich die ganze Zahl ohne Rest in den Zähler teilen läßt. Bei Teilung einer ganzen Zahl durch einen Bruch diesen umkehren und die ganze Zahl mit dem neuen Zähler multiplizieren. Beispiele: 'Vir» : 7 (7 X 15) =

14

/tos =

2

/i5

|

3Vs ( 1 6 /s) : 8 = (5 X 8) 1 6 / M =

oder bei Teilung in den Zähler: 14

/is : 7 (14 : 7) =

4 : s / 5 = (4 X s /s) =

20

2

/is

/s = 6 2 / 3

3Vs ( 1 6 / 5 ) : 8 = (16 : 8 ) = |

15 : 1 3 U (15 X *h) =

2

/s

= 8*/•

IV. Brüche und Dezimalzahlen Bei Teilung eines Bruches durch eine Dezimalzahl den Bruch in eine Dezimalzahl oder diese in einen Bruch verwandeln. (Verwandlung siehe Seite 9, III). Das Rechnen mit Brüchen ist jedoch einfacher. Bei Teilung einer Dezimalzahl durch einen Bruch die Dezimalzahl mit dem Nenner des Bruches multiplizieren und durch den Zähler teilen. Beispiele: 5

32/o ( 17 / 5 ) : 1,36(136/ioo)

/9 : 0,6 ( 6 /io )

17X100

"5-XÌ36 1,41 : 3 / 7 1,41X7 3

1

...

1X5

g e k u r Z t :

fX2

... = 2

/ä

2,31 : l s /4 (V 4 ) = 3,29

2,31X4 7

1

= 1,32

15

Regeln über die Teilbarkeit der Zahlen Eine Zahl ist teilbar durch 2, wenn die letzte rechtsstehende Ziffer (Einerstelle) durch 2 teilbar ist, oder wenn sie auf 0 endigt; also jede gerade Zahl. 2 ist die einzige gerade Zahl, die eine P r i m z a h l (unteilbare Zahl) ist. 3, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Unter Quersumme versteht man die S u m m e der Ziffern, mit denen sie geschrieben ist. (Die Q u e r s u m m e von 1182 ist 1 + 1 + 8 + 2 = 12.) „

„

4, wenn die durch die beiden letzten rechtsstehenden Ziffern dargestellte Zahl (Einer- und Zehnerstelle) durch 4 teilbar ist, oder wenn sie auf 00 endigt. (1124 ist durch 4 teilbar, weil sieh 24 durch 4 teilen läßt.) 5, wenn sie auf 0 oder 5 endigt. 6, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist; jede durch 3 teilbare g e r a d e Zahl ist durch 6 teilbar.

„

7, wenn bei der Subtraktion der drei letzten rechtsstehenden Ziffern mit der andern Zahl ein durch 7 teilbarer Rest entsteht; z. B. 410 298 (410—298, Rest 112) ist durch 7 teilbar.

„

8, wenn sie auf 000 endigt, oder wenn die durch die drei letzten rechtsstehenden Ziffern dargestellte Zahl durch 8 teilbar ist. (5104 ist durch 8 teilbar, weil 104 sich durch 8 teilen läßt.) 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

„

10, wenn sie auf 0 endigt.

„

11, wenn der Unterschied zwischen der Quersumme d e r u n g e r a d stelligen (an erster, dritter, fünfter usw. Stelle stehenden) und der geradstelligen (an zweiter, vierter, sechster usw. Stelle stehenden) Ziffern 0 oder einen durch 11 teilbaren W e r t ergibt. (Von 1375 ist die Quersumme der u n g e r a d stelligen Ziffern 1 + 7 = 8; die der geradstelligen 3 + 5 = 8. Unterschied: 8—8 = 0 ; a l s o ist 1375 durch 11 teilbar. Von 41129 ist die S u m m e der ungeradstelligen Ziffern 4 + 1 + 9 = 14, die der geradstelligen 1 + 2 = 3. Unterschied: 14—3 = 11; also ist 41129 durch 11 teilbar.)

16

„

12, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist.

„

13, wenn bei der Subtraktion der drei letzten rechtstehenden Ziffern mit der andern Zahl ein durch 13 teilbarer Rest ents t e h t ; z . B . 349 245 (349—245, Rest 104) ist durch 13 teilbar.

„

15, wenn sie durch 3 und 5 teilbar ist.

20, wenn sie auf 00 endigt; oder wenn sie auf 0 endigt und die davorstehende Zahl eine gerade ist; z . B . sind 1300 und 1740 durch 20 teilbar. 2 5 , wenn die durch die beiden letzten rechtsstehenden Ziffern dargestellte Zahl durch 25 teilbar ist, also jede Zahl, die jnit 25, 50, 75 oder 00 endigt. Unteilbare Zahlen heißen Primzahlen. (Siehe Verzeichnis der Primzahlen bis 10 000 auf Seite 18—20.) Die Quersumme irgendeiner Zahl abgezogen von dieser ergibt stets einen durch 9 teilbaren R e s t ; z. B . von 37 862 die Quersumme ( 3 + 7 + 8 + 6 + 2 ) 26 abgezogen ergibt den durch 9 teilbaren Rest 37836. Der W e r t eines Bruches bleibt unverändert, wenn Zähler und Nenner sich durch dieselbe Zahl teilen lassen; z. B . 28/ss gekürzt durch 7 = 4 /s; 9 1 /is9 gekürzt durch 13 = 7 /is. U m d e n g r ö ß t e n g e m e i n s c h a f t l i c h e n T e i l e r bei g r ö ß e r e n Z a h l e n z u finden, teilt m a n die g r ö ß e r e Z a h l d u r c h die k l e i n e r e ; teilt d a n n d e n D i v i s o r d u r c h d e n bei d e r e r s t e n D i v i s i o n e r h a l t e n e n R e s t ; a l s d a n n d e n D i v i s o r d e r z w e i t e n D i v i s i o n d u r c h den R e s t d e r z w e i t e n D i v i s i o n u s w . bis z u d e r j e n i g e n Division, die als R e s t 0 e r g i b t . D e r l e t z t e D i v i s o r ist d a n n d e r g r ö ß t e gemeinschaftliche Teiler. B e i s p i e l e : Suche den größten gemeinschaftlichen Teiler 672 und 735 735 : 672 = 1 672 : 63 = 63 : 42 = 42 : 2 1 =

von:

2812 und 3071 10

1

2

Der größte gemeinschaftliche Teiler ist also 21

3071 : 2812 = 2812 : 259 = 2 5 9 : 222 = 222 : 3 7 =

1

10

1

6

Der größte gemeinschaftliche Teiler ist also 37

F. Triebeis „Teilbar durch" gibt alle Teiler der Zahlen von 1 bis 1000 an (s. 4. Umschlagseite).

3

F Triebe! — Rechenbuch

17

Verzeichnis der unteilbaren Zahlen (Primzahlen) bis 10000 Bei jedem neuen Hundert ist die erste Zahl durch fette Ziffern gekennzeichnet; zur Raumersparnis sind bei den übrigen nur die Einer und Zehner angegeben. 1

2 3 S 7 11 13 17 19 2 3 2 9 67 71

31 37 41 4 3 47 5 3 59 61 7 3 79 8 3 89 97

loi

0 3 07 09 13 27 31 37 3 9 4 9 51 5 7 6 3 6 7 7 3 7 9 8 1 91

9 3 97 99

2ll

2 3 2 7 2 9 3 3 3 9 41 5 1 5 7

6 3 69 71 77 81 83 93 307

11 1 3 17 3 1 3 7 4 7 4 9 5 3

5 9 67 73 79 83 89 97

4oi

0 9 19 2 1 3 1 3 3 3 9 4 3 4 9

5 7 61 6 3 67 79 87 91 99

5

0 3 09 21 2 3 41 47 57 63 69 71 77 87 9 3 9 9

6oi

0 7 13 17 19 3 1 4 1 4 3 4 7

5 3 5 9 6 1 7 3 7 7 8 3 91

7oi

0 9 19 2 7 3 3 3 9 4 3 5 1 5 7

61 6 9 73 87 9 7

8 09

11 2 1 2 3 2 7 2 9 3 9 5 3 5 7

5 9 6 3 7 7 81 8 3 8 7

9

0 7 11 19 2 9 3 7 4 1 4 7 5 3 6 7 7 1 7 7 8 3 91 9 7

10

0 9 13 19 2 1 3 1 3 3 3 9 4 9 5 1 61 63 69 87 91 9 3 97

1 1 0 3 0 9 17 2 3 2 9 5 1 5 3 6 3 7 1 81 8 7 9 3

12oi

13 17 2 3 2 9 3 1 3 7 4 9 5 9 '

77 79 83 89 91 97

18

13oi

0 3 0 7 19 2 1 2 7 6 1 6 7 7 3

81 99

1409

23 27 29 33 39 47 51 5 3

5 9 71 81 8 3 8 7 8 9 9 3 9 9

15n

2 3 31 4 3 4 9 5 3 5 9 6 7 71

79 8 3 97

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0 7 0 9 13 19 2 1 2 7 3 7 5 7

6 3 67 6 9 9 3 97 99

1709

21 2 3 3 3 41 47 5 3 59

77

83 87 89

18oi

11 23 3 1 4 7 6 1 6 7 71 7 3

77 79 89

19oi

0 7 13 3 1 3 3 4 9 5 1 7 3 7 9

8 7 93 9 7 9 9

2 0 O 3 11 17 2 7 2 9 3 9 5 3 6 3 69 81 8 3 8 7 8 9 9 9

21n

13 2 9 3 1 3 7 4 1 4 3 5 3 6T

79

2203

0 7 13 2 1 3 7 3 9 4 3 5 1 6 7

6 9 7 3 81 8 7 9 3 9 7

2 3 0 9 11 3 3 3 9 41 4 7 5 1 5 7 7 1 7 7 81 8 3 8 9 9 3 9 9

24n

17 2 3 3 7 4 1 4 7 5 9 6 7 7 3

77

2503

21 3 1 3 9 4 3 4 9 5 1 5 7 7 9

91 9 3

2609

17 21 3 3 4 7 5 7 5 9 6 3 71

77 8 3 87 89 9 3 99

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11

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97

19

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27 49 51 69 73 81 91

29 47 51 81 99 6 6 0 7 19 37 53 91 6 7 oi 03 09 19 81 91 93 6803 23 27 29 71 83 99 6 9 0 7 11 17 47 77 83 91 97 7 0 o i 13 19 27 6521

53 63 69 71 77 59 61 73 79 89 33. 37 61 63 79 33 41 57 63 69 49 59 61 67 71 39 43 57 69 79

7 1 0 3 09 21 27 29 51 59 77 87

93 11 13 19 29 37 43 47 53 83 97 7 3 0 7 09 21 31 33 49 51 69 93 7207

17 89 99 7 5 0 7 17 61 73 7 6 0 3 07 87 91 7 7 03 17 93 7 8 1 7 23 83 7 9 o i 07 93 8 0 0 9 11 89 93 8 1 o i 11 91

7 4 n

33 51 57 59 77 81 87

8 2 0 9 19 21 31 33 37 43 63 69

73 87 91 93 97 8 3 l i 17 29 53 63 69 77 87 39 8 4 i 9 23 29 31 43 47 61 67

13 81 97 8 6 0 9 23 81 89 8 7 0 7 13 79 83 8803 07 63 67 8 9 2 3 29 85oi

27 37 39 43 63 73 29 41 47 63 69 77 99 31 37 41 47 53 61

19 21 31 37 39 49 61 87 93 33 41 51 63 69 71 99

07 11 13 29 41 43 49 59 67 91 9 1 0 3 09 27 33 37 51 57 61 73 81 87 99

90oi

9 2 0 3 09 21 27 39 41 57 77 81

83 93 23 77 21 99 23

29 37 41 47 49 59 83 89 91 39 43 49 69 73 81 27 41 53 57 59 89

29 41 53 67 73 77 79 19 27 33 37 49 51 63 17 39 53 59 69 81 87 17 23 47 61 67 71 79

19 23 37 41 43 49 71 77 91 97

9 3 n

13 19 21 31 33 37 39 61 63 67 73 79 91 97

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21 33 39 47 51 87

13 19 23 29 31 43 49 61 77 79 89 97

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9 7 1 9 21 33 39 43 49 67 69 81

87 91 9 8 0 3 11 17 29 33 39 51 57 59

71 83 87 9 9 o i 07 23 29 31 41 49 67 73

A u s F. Triebeis „Teilbar 20

21 99 27 93 19

Quadratwurzel W i r d eine Zahl einmal mit sich selbst multipliziert, dann bezeichnet man das Ergebnis mit Quadrat ( 8 X 8 = 6 4 ) ; die Zahl, mit der diese Multiplikation ausgeführt worden ist, nennt man Quadratwurzel. Um anzugeben, daß eine Zahl einmal mit sich selbst multipliziert werden soll, setzt man rechts daneben eine kleine 2 (8 2 = 64). Als Zeichen^ für die Ermittlung der Quadratwurzel setzt man vor die Zahl V W 64 = 8). Die Errechnung der Quadratwurzel erfolgt nach der F o r m e l : a2 + 2 a b + b 2 Beispiele : Zahlen von rechts nach links in Gruppen zu 2 Zahlen teilen; die Quadratwurzel der ersten Gruppe (a 2 der Formel) ist das erste Teilergebnis. An den Rest die erste Ziffer der zweiten Gruppe anhängen und ihn teilen mit dem Teilergebnis der Wurzel, das zuvor- mit 2 zu multiplizieren ist (2a der Formel). Das Ergebnis dieser Teilung ist das zweite Teilergebnis der Quadratwurzel. Nach der Multiplikation (2ab der Formel) an den Rest die zweite Ziffer der zweiten Gruppe anhängen und von dieser Zahl die zweite Ziffer der Wurzel — einmal mit sich selbst multipliziert — abziehen (b 2 der Formel). Hat die Wurzel mehr als 2 Ziffern, dann werden die nächsten Teiler (2a) aus den bereits ermittelten Zahlen der Wurzel — mit 2 multipliziert — gebildet. Von dem Rest auch 2ab und b 2 abziehen. Kürzeres

Verfahren

aJ = 2 X 2

siehe

V 8|41 = 2 9 = 4_ U

2 a ^ (2 X 2) = 4 : 4 4 = — 2ab = ( 4 X 9 ) =

9_J

36

81 — b 2 ( 9 X 9 ) = 81 ^25|40|16 a 2 = (5 X 5 ) = 2 5 2 a = ( 2 X 5 ) 10 : 2 a = ( 2 X 5 0 ) 100 : — 2 a b ( 4 X 100) = -b2 (4 X 4) =

4 = 401 =

504 i 0 _

nächste

Seite.

B e i der Teilung (Division) durch 2a darauf achten, daß von dem Rest noch b2 abzuziehen ist. In solchen Fällen das E r gebnis der Teilung entsprechend verringern (siehe nebenstehendes Beispiel). Ergibt die Teilung von 2a eine Null, dann gleich die beiden nächstenZiffern (01) anhängen.

4

400

16 16 21

1/71|57|16 = 846 a 2 = ( 8 x 8) = 64 2a ( 2 X 8 ) 16 : ~ 5 = 4 — 2ab(16X4)=64 117 — b 2 (4X4) = 16 2a ( 2 X 8 4 ) 1 6 8 : 1011 = 6

— 2ab (168X6)—1008 36 —b2 ( 6 X 6 ) = 36

]/2|90|70|25 = 1705 a2 o~ = 0.10 7 (nicht 9, da Cd. e, . iy — / TomRest n® ch 2fib und b2 —2ab - 14 abzuziehen sind) 50 — b2 = 49 2a = 34 0 : 17 02 = 05 2ab = 1700 & Beispiel 504 anf seite 21) 25 — b2 = 25

Kürzeres Verfahren An den Rest von a 2 und an die Division von 2a beide Ziffern der nächsten Gruppe anhängen. Das Ergebnis der Division von 2a nicht nur an das Teilergebnis der Wurzel, sondern auch an den Divisor 2a anhängen. Subtraktion von 2ab und b2 zugleich ausführen.

Die o b i g e n B e i s p i e l e n a c h dem k ü r z e r e n Verfahren: a2

1/71|57|16 = 8 4 6 = 8 = 64 16 4 : 757 = 4 656 168 6 : 10116 = 6 10116

J/2|90|70|25 = 1705 1

2 7 : 190 = 7 189 34105 : 17025 = 05 17025

Oder noch kürzer mit Ablesen von a 2 (zweistellig) aus der Tabelle auf Seite 2 6 : 1/7157|16 = 846 a2 = 8 4 X 8 4 = 7056 2a = 168 6 : 10116 = 6 10116

22

]/ 290170| 25 = 1705 a 2 =17X17=289 34105 :17025 = 05 17025

Die Quadratwurzel ist eine Dezimalzahl (Irrationale Wurzel) Verbleibt bei der Quadratwurzel einer ganzen Zahl ein Rest (1^89 = 9, Rest 8), dann an den Rest Nullen anhängen; vor Anhängen der ersten Null erhält die Wurzel ein Komma.

J/89 = 9,43 a (9 X 9) = 81 18 4 : 80 0 = 4 736 1883: 64C 0 = 3 564 9 751 usw. 2

Rechenprobe:

Kürzer mit a 2 (zweistellig) aus der Tabelle auf Seite 26:

]/ 89,00 = 9,43 = 8836 188 3: 640 0 = 3 564 9 751 usw.

a-> (94x94)

9,43 X 9,43 = 88,9249 + 751 = 89,0000

Quadratwurzel von Dezimalzahlen Nur die g a n z e n Zahlen von r e c h t s n a c h l i n k s abteilen; vor Anhängen der ersten Dezimalziffer erhält die Wurzel ein Komma. Dezimalzahlen ohne Ganze (s. Beispiel 0,0289) vom Komma ab von l i n k s n a c h r e c h t s abteilen.

J/7,84 = 2,8 4 4 8 : 38 4 = 8 384

J/0,02|89 = 0,17 l 27 : 18 9 = 7 189

Quadratwurzel von Brüchen Kleinere Brüche, deren Zähler und Nenner Wurzeln ohne Rest haben, sind leicht zu errechnen; V 1 / t = 1 h , V 9 /i« = 3 /i. Sonst sind die Brüche erst in Dezimalzahlen zu verwandeln (Verwandlung s: Seite 9, III). ( / 5 / 8 verwandelt 0,625 |/6 i e /25 verwandelt = 6,76

V 0,625 = 0,79 49 14 9 : 135 0 = 9 1341 9 usw.

j/6,76 = 2,6 4 46:276 = 6 27 6 23

Kubikwurzel Wird eine Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert, dann bezeichnet man das Ergebnis mit Kubus ( 3 X 3 X 3 = 2 7 ) . Die Zahl, mit der diese Multiplikation ausgeführt worden ist, heißt Kubikwurzel. Um anzugeben, daß eine Zahl in den dritten Grad erhoben werden soll, setzt man rechts daneben eine kleine 3 (2 3 = 8). Als Zeichen für die Ermittlung der Kubikwurzel setzt man vor die s

Zahl

V.

Die Errechnung erfolgt nach der Formel: a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . B e i s p i e l e

:

|/l2|977|876 = 235 3a?

a3 = 2 X 2 X 2 =

8_

( 3 X 2 X 2 )

49=3,nicht4,

=

12:

3 a ! b (3 X 12) =

— 3ab 2 ( 3 X 2 X 3 X 3 ) =

1

3_6

137

8

™

nndb8abzu-

54 z i e l l e n 8ind 837 — b ' ( 3 X 3 X 3) = 27 3 a l (3 X 23 X 23) = 1587: 8 1 0 8 = 5 — — — 3a 2 b (5 X 1587) = 7935 1737 — 3ab 2 ( 3 X 2 3 X 5 X 5 ) = 1725 125 — b3 (5 X 5 X 5 ) = 125

Teilung

durch

3a*

eine

Null,

Zahlen von rechts nach links in Gruppen zu 3 Zahlen teilen. Die Kubikwurzel der ersten Gruppe i s t das erste Teilergebnis (a 3 der F o r m e l ) . An den R e s t die nächste Ziffer (der zweiten Gruppe) a n hängen und diesen teilen mit 3a 2 . Nach der Multiplikation ( 3 a ' b ) an den R e s t die nächste Ziffer (der zweiten Gruppe) anhängen und von dieser Zahl 3ab* abziehen. Nach Anhängen der dritten Ziffer (der zweiten Gruppe) von dem Rest b» abziehen. Hat die Wurzel mehr als drei Ziffern, dann die nächsten Divisoren (3a*) aus den bereits ermittelten Zahlen der Wurzel bilden. Bei der D i v i s i o n durch 3a* darauf achten, daß von dem R e s t noch 3ab* und b ' a b zuziehen sind. In solchen Fällen das Teilungsergebnis deshalb entsprechend verringern. Ergibt die

dann gleich die n ä c h s t e n B e i s p i e l e

Kl|12|48|64 = 104 a 3 = l (1 X 1 X 1) ± ( 3 X 1 X 1 ) 3: 1 = 0 ( 3 X 1 0 X 1 0 ) 300 : 1248 = 4 (4 X 300) 1200 486 (3 X 10 X 4 X 4) 480 64 (4X4X4) 64

dre

Ziffern

:

K22i|44|51]25 = 605 a ' = 6 ( 6 X 6 X 6 ) 216 (3 X 6 X 6) 108: 54 = 0 (3 X 60 X 60) 10800 : 54451 = 5 (5 X 10800) 54000 4512 (3 X 60 X 5 X 5) 4500 125 (5 X 5 X 5) 125

Kürzeres Verfahren siehe Seite 25. 24

anhängen

Die Kubikwurzel ist eine Dezimalzahl Bleibt bei Errechnung der Kubikwurzel ein Rest, dann Nullen anhängen; v o r Anhängen der ersten Null erhält die W u r z e l ein Komma. / 70)475 = a3 (43) =

41,3

Kürzeres Verfahren mit Tabelle auf Seite 26:

64

/ 70475 = 41,3 a 3 (41 3 ) = 68921 (ablesen)

3a 2 = 48 : 64 = 1 — 3a2b =

48

3a 2 =

167 3ab2

—

=

12

—

=

—

3a 2

b =

— 3ab2

1

3a 2 = 5043 : 15540 =

= =

1107 30030

3

—b3

16129

27

=

30003 usw.

4110 —3ab2 = - b

=

3

3

15129 4110

1555 bs

15540 =

5043

•3a 2 b

Rechenprobe:

1107

41,3 3 = 70444,997 dazu Rest 30,003

30030 27

=

30003 usw.

70475

Kubikwurzel von Dezimalzahlen Nur die g a n z Anhängen der Dezimalzahlen Gruppen zu 3

e n Zahlen von r e c h t s n a c h l i n k s abteilen. Vor ersten Dezimalziffer erhält die W u r z e l ein Komma. o h n e G a n z e v o m Komma ab n a c h r e c h t s in Ziffern abteilen; wenn nicht 3 Ziffern vorhanden sind, dann Nullen anhängen.

3

1/42,875 = 3,5

l/0,019|683 =

0,27

Beide Resultate lassen sich unter Berücksichtigung des zu setzenden Kommas aus der Tabelle (Seite 26) ablesen.

Kubikwurzel von Brüchen Kleinere Brüche, deren Zähler und Nenner Kubikwurzeln ohne Rest haben, sind leicht zu errechnen; z.B.

125

=

3

u

Sonst die Brüche erst in Dezimalzahlen (Verwandlung s.S.9,111).

4

F. Triebel — Rechenbuch

verwandeln.

25

Quadrat

n

n2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089

26

und Kubus der Zahlen 1 bis 99

n ist die Grundzahl; n 2 ist Quadrat, n 3 Kubus der Grundzahl n2 n n3 n n2 u3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389 27000 29791 32768 35937

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356

39304 42875 46656 50653 54872 59319 64000 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649 125000 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379 216000 226981 238328 250047 262144 274625 287496

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

4489 4624 4761 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

n3 300763 314432 328509 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039 512000 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969 729000 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299

Quadrieren mit Tabelle auf Seite 26 Die zu multiplizierende Zahl von r e c h t s n a c h l i n k s zweistellig abteilen. Die Multiplikationen der einzelnen Gruppen der ersten Reihe aus der Tabelle (S. 26) ablesen. Die zweite Reihe um 2 Ziffern, bei fünf- und sechsstelligen Zahlen die dritte Reihe um weitere 4 Ziffern nach links einrücken; dann addieren. Beispiele: 3|482

9 2304

288

2X3X48

=

4|16 2 = 16 0256* 2X4X16

=

121104

1115|24- = 2X115X24

=

2X1X15

=

=

1 0225 0576* 5520 30

128

35|032 = 1 2 2 5 0009* 2X35X3=

=

173056

210

12271009

36 17 2 25 2 = 1 2 9 6 02890625* 2 X 3617 X25 = 180850 2X36X17

=

132802576

1224

=

130844975625

Ergebnisse der ersten Reihe durch Nullen auf 4 Z i f f e r n ergänzen.

Kubieren mit Tabelle auf Seite 26 Die zu multiplizierende Zahl von r e c h t s n a c h l i n k s zweistellig abteilen. Die Multiplikationen (3. Potenz) der einzelnen Gruppen der ersten Reihe aus der Tabelle (S. 26) ablesen. Die zweite Reihe um 2 Ziffern nach links einrücken; dann addieren. Beispiele: 1(24 = 3 X 1 2 4 X 1 X 2 4 --= 3

1 013824* 8928

24108 3 = 13824 000512* 3 X2408X 24X 8 = 1387008

1906624 6|13 3X613X6X13

3

=

13962701312

= =

216002197* 143442

45172 = 9 1 1 2 5 373248 3 X 4572 X 45 X 7 2 = 44439840

=

230346397

=

3

95569357248

* Ergebnisse der ersten Reihe durch Nullen auf 6 Z i f f e r n ergänzen.

4*

27

Flächenberechnung Das Quadrat' Rechtwinkliges Viereck mit gleicher Seitenlänge F l ä c h e n i n h a l t = Seitenlänge X Seitenlänge S e i t e n l ä n g e = Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt Beispiele: Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 2,75 m? 2,75 X 2,75 = 7,5625 qm Wie groß ist die Seitenlänge eines Quadrats, das einen Flächeninhalt von 7,5625 qm hat? ]i 7,5625 = 2,75 m

D e r R h o m b u s (Raute) Schiefwinkliges verschobenes Quadrat Die Höhe ist die Senkrechte zwischen der Grundlinie und der gegenüberliegenden Seite oder deren Verlängerung F l ä c h e n i n h a l t = Grundlinie X Höhe ... . Flächeninhalt Grundlinie = Höhe

Höhe =

Flächeninhalt Grundlinie

Beispiel: Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rhombus, dessen Grundlinie 3,5 m, Höhe 2 m beträgt? 3,5 X 2 = 7 qm 28

Das

Rechteck

Rechtwinkliges Viereck mit 2 langen und 2 kurzen Seiten F l ä c h e n i n h - a l t = Länge X Höhe

L ä n ge =

Flächeninhalt Höhe

Höhe =

Flächeninhalt Länge

Beispiele: Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rechtecks, das eine Länge von 8,5 m und eine Höhe von 4 m hat? Flächeninhalt = 8,5 X 4 = 34 qm Welche Länge hat ein Rechteck, das einen Flächeninhalt von 16 qm und eine Höhe von 6,4 m hat? Länge = 16 : 6,4 = 2,5 m Welche Höhe hat ein Rechteck, das einen Flächeninhalt von 84 qm und eine Länge von 10,5 m hat? Höhe = 84 : 10,5 = 8 m

Das

Rhomboid

Schiefwinkliges, verschobenes Rechteck Die Höhe ist die Senkrechte zwischen der Grundlinie und der gegenüberliegenden Seite oder deren Verlängerung F l ä c h e n i n h a l t = Grundlinie X Höhe Grundlinie

=

Höhe =

Flächeninhalt geteilt durch Höhe Flächeninhalt geteilt durch Grundlinie 29

Das

Dreieck

Jedes Dreieck ist gleich der H ä l f t e des P a r a l l e l o g r a m m s , das mit ihm gleiche Grundlinie und gleiche Höhe hat. Nach den Seiten gibt es gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige, nach ihren Winkeln rechtwinklige, stumpfwinklige und spitzwinklige Dreiecke. Bei dem gleichseitigen Dreieck sind alle 3 Seiten, beim gleichschenkligen nur 2 Seiten gleich l a n g ; beim ungleichseitigen ist keine Seite der anderen gleich. Als Grundlinie kann bei jedem Dreieck eine beliebige Seite angenommen werden. Die Höhe ist die Senkrechte, welche von der Spitze auf die gegenüberliegende G r u n d linie oder deren Verlängerung fällt. Beim rechtwinkligen Dreieck nennt m a n die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite die H y p o tenuse, die 'beiden anderen Seiten Katheten. W e r d e n auf diesen drei Seiten Q u a d r a t e errichtet, dann entspricht der Flächeninhalt des H y p o t e n u s e n q u a d r a t s d e r . S u m m e der beiden Kathetenquadrate.

Grundlinie X Höhe geteilt durch 2 Flächeninhalt X 2 Grundlinie = geteilt durch Höhe Flächeninhalt X 2 Höhe = geteilt durch Grundlinie

Flächeninhalt

=

Beim rechtwinkligen Dreieck nimmt man als Höhe und die rechtwinkligen Seiten (Katheten).

Grundlinie

B e i s p i e l e :

Ein Dreieck hat eine Grundlinie von 16 m und eine Höhe von 12 m; wie groß ist der Flächeninhalt? 16 x

-

12

= nc 96 am

Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt 96 qra, die Höhe 12 m; wie lang ist die Grundlinie? 96 X 2 = 192 : 12 = 16 m Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt 96 qm, die Grundlinie 16 m; welche Höhe hat es? 96 X 2 = 192.: 16 = 12 m 30

/ \

Das T r a p e z (Paralleltrapez)

Viereck, in dem nur zwei gegenüberliegende Seiten prarallel sind. Die Höhe ist die Senkrechte zwischen den beiden parallelen Seiten. F l ä c h e n i n h a l t = Die Summe der beiden parallelen Seiten multiplizieren mit der halben Höhe, oder umgekehrt die Hälfte der Summe der beiden parallelen Seiten multiplizieren mit der ganzen Höhe. B e i s p i e l e : W e l c h e n F l ä c h e n i n h a l t h a t ein T r a p e z , d e s s e n l a n g e S e i t e 4 8 tn, k u r z e S e i t e 3 6 m u n d H ö h e 6 m h a t ? Erstes Verfahren

=

48 + 36 = 84 X

Zweites Verfahren =

48 + 36 = 42 X

Das

2

6

/a = 2 5 2 q m 6 = 252 qm

Trapezoid

(Unregelmäßiges Viereck) Flächeninhalt = Zwei gegenüberliegende Ecken durch eine gerade Linie (Diagonale) verbinden. Hierdurch entstehen 2 Dreiecke, welche diese Diagonale als gemeinsame Grundlinie haben. Die Hälfte dieser Grundlinie multipliziert mit der Summe der beiden Höhen, oder umgekehrt die ganze Grundlinie multipliziert mit der Hälfte der Summe der beiden Höhen ergibt den Flächeninhalt des ganzen Vierecks. B e i s p i e l e : W i e g r o ß ist d e r F l ä c h e n i n h a l t e i n e s T r a p e z o i d s , d e s s e n D i a g o n a l e 2 4 m u n d die H ö h e d e s e i n e n D r e i e c k s 10 m , die des anderen 6 m h a t ? Erstes Zweites

Verfahren

/

24 2

Verfahren

=

12 X ( 1 0 + 6 ) 16 =

192 qm

24

31

Das Vieleck (Polygon) Ein Vieleck oder Polygon ist eine ebene Figur, die mehr als vier Ecken hat und von ebensoviel Seiten begrenzt wird, als Ecken vorhanden sind. Fünfeck hat also 5 Ecken und 5 Seiten, Sechseck 6 Ecken und 6 Seiten usw. Es gibt r e g e l m ä ß i g e und u n r e g e l m ä ß i g e Vielecke.

I. Das regelmäßige Vieleck Alle Seiten darin sind gleich lang. So viele Seiten es hat, in so viele gleichschenklige Dreiecke läßt es sich teilen, deren Spitze im Mittelpunkt des Vielecks liegt, und bei denen die Seite des Vielecks die Grundlinie (Polygonseite) ist. Die Höhe der Dreiecke (hier Apothem genannt) ist die ^Senkrechte, die von einer dieser Seiten nach dem Mittelpunkt des Vielecks gezogen wird. Diesen findet man, wenn zwei Seiten halbiert und in den Halbierungspunkten Senkrechte errichtet werden; wo diese sich schneiden, ist der Mittelpunkt des Vielecks. Alle Seiten und Ecken sind von diesem Mittelpunkt gleich weit entfernt, so daß die Peripherie (Umfang) eines Kreises, der um das Vieleck gezogen wird, alle Ecken desselben berührt.

Berechnung des Flächeninhalts: Flächeninhalt eines D r e i e c k s X Anzahl der D r e i e c k e ; Inhalt eines D r e i e c k s :

S e i t e (Grundlinie) X Höhe (Apothem) geteilt durch 2 Beispiel:

W i e groß ist der Flächeninhalt e i n e s regelmäßigen Zehnecks, d e s s e n S e i t e n l ä n g e (Grundlinie) 3,10 m und d e s s e n Höhe (Apothem) 4,77 m beträgt? Flächeninhalt = 3,10 X 4,77 = 7,3935 X 10 = 73,935 qm 2 32

Fehlt bei Errechnung des Flächeninhalts eines regelmäßigen Vielecks Angabe der Höhe, und es ist nur die Länge der Seite oder der Radius (Halbmesser) des Kreises bekannt — Radius ist die Linie vom Mittelpunkt nach einer Ecke —, dann läßt sich der Flächeninhalt auf folgende Weise errechnen: A. M i t S e i t e n l ä n g e Seite ins Quadrat erheben und Ergebnis multiplizieren beim „ „ „ „

3-Eck mit 0,43 4-Eck „ 1 5-Eck „ 1,72 6-Eck „ 2,60 7-Eck „ 3,63

beim „ „

8-Eck mit 4,83 9-Eck „ 6,18 10-Eck „ 7,69 12-Eck „ 11,19

B. M i t R a d i u s (Halbmesser) beim 3-Eck mit 1,73 4-Eck „ 1,41 „ 5-Eck „ 1,17 „ 7-Eck „ 0,87

beim „ „

8-Eck mit 0,76 9-Eck „ 0,68 10-Eck „ 0,62 12-Eck „ 0,52

(Beim 6-Eck sind Radius und Seite gleich) Damit erhält man die Seitenlänge des Vielecks, die nun ins Quadrat erhoben und mit den vorstehend unter A angegebenen Zahlen multipliziert den Inhalt ergibt. Beispiele: Wie groß ist der Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks, dessen Seite (also auch Radius) 8 m lang ist? Flächeninhalt = 8 X 8 X 2,60 = 166,40 qm Wie groß ist der Flächeninhalt eines regelmäßigen Achtecks, dessen Radius (Halbmesser) 2,5 m lang ist? Seitenlänge = 2,5 X 0,76 = 1,90 m; mithin Flächeninhalt = 1,90 X 1,90 X 4,83 = 17,4363 qm 33

II. Das unregelmäßige Vieleck Die Seiten darin sind ungleich lang. Zur Berechnung des Flächeninhalts werden die gegenüberliegenden Ecken wie beim unregelmäßigen Viereck (Trapezoid) durch gerade Linien (Diagonalen) verbunden. Dabei entstehen meistens unregelmäßige Dreiecke; es kommen jedoch auch andere Figuren vor; z. B. kann ein Hausgiebel mit 5 Ecken in ein Rechteck und ein gleichschenkliges Dreieck, mit 6 Ecken in ein Rechteck und ein Trapez (Viereck mit 2 parrallelen Seiten) zerlegt werden. Der Flächeninhalt der einzelnen Figuren wird dann berechnet; die Summe der Einzelergebnisse ist der Flächeninhalt des unregelmäßigen Vielecks.

o

D e r

K r e i s

U m f a n g ( P e r i p h e r i e ) = Durchmesser X (3,14) oder H a l b m e s s e r (Radius) X 2 X 3 x h (3,14)

_ Durchmesser =

Umfang 3Vt (3,14)

, . , Flacheninhalt=

,, Umfang Halbmesser =; 3VT (3,14) X 2 Tr

D u r c h m e s s e r X D u r c h m e s s e r X 3^7 (3,14) x ,tJ_ , — ; — geteilt durch 4

oder H a l b m e s s e r X H a l b m e s s e r X 3 l M 3 , 1 4 ) Ist der Flächeninhalt des Kreises a n g e g e b e n , dann ist der Durchmesser Halbmesser

=

X Quadratwurzel aus Flächeninhalt 31/7 (3,14)

= Quadratwurzel aus

4

Flächeninhalt 3'/ 7 (3,14)

Die Zahl, mit der man den Durchmesser oder den doppelten Halbmesser multipliziert, wird mit dem griechischen Buchstaben jt (Pi) bezeichnet. Für gewöhnliches Rechnen nimmt man 31h oder 3,14 oder 3,142 oder 3,1416, je nach dem Genauigkeitsgrade, der erstrebt wird. Für R e c h n e n mit 3,14 siehe Tabelle auf S e i t e 43 34

B e i s p i e l e : W i e g r o ß ist d e r U m f a n g e i n e s K r e i s e s m i t e i n e m D u r c h m e s s e r v o n 2,5 m ?

\

H a l b m e s s e r v o n 1,25 m ?

2,5 X 3,14 = 7,85 m

|

1 , 2 5 X 2 X 3 , 1 4 = 7,85 m

W e l c h e L ä n g e h a t in e i n e m K r e i s e m i t 7,85 m U m f a n g der

Durchmesser?

der H a l b m e s s e r 7,85 : (2 X 3,14) 6,28 =

7,85 : 3,14 X 2,5 m

1,25 m

W i e g r o ß ist d e r F l ä c h e n i n h a l t e i n e s K r e i s e s m i t e i n e m D u r c h m e s s e r v o n 2,5 m ? 2,5X^,5X3,14 =4,9063 qm

H a l b m e s s e r v o n 1,25 m ? 1,25X1,25X3,14 = 4,9063 qm

D e r F l ä c h e n i n h a l t e i n e s K r e i s e s ist 4 , 9 0 6 3 q m ; w e l c h e L ä n g e hat der D u r c h m e s s e r ?

der Halbmesser?

4,9063 X 4 = 19,6252:3,14 = 6,25

4,9063 : 3,14 = 1,5625 V15625

^ 6 ^ 2 5 = 2,5 m D e r

= 1,25 m

K r e i s r i n g

Von zwei Ringkreisen (konzentrischen eingeschlossene Fläche

Kreisen)

Flächeninhalt = Den Inhalt der inneren, von dem kleinen Kreisring begrenzten Kreisfläche von der ganzen, dem äußeren Kreisring begenzten Gesamtfläche abziehen. D e r

K r e i s a u s s c h n i t t

o d e r S e k t o r

ist eine Fläche, die begrenzt wird von zwei geraden, zum Mittelpunkt des Kreises gehenden Linien (Halbmessern) und dem Kreisbogen. L ä n g e des Kreisbogens X Halbmesser Flächeninhalt: = geteilt durch 2 D e r

K r e i s a b s . c h n i t t

( S e g m e n t )

Der ungefähre Inhalt eines Kreisabschnitts ist gleich dem Inhalt eines Rechtecks aus, der Sehne und der Höhe des Kreisabschnitts X 2/s 35

Die

Ellipse

In den nachstehenden Berechnungsformeln bezeichnet a die h a l b e L ä n g s a c h s e b die h a l b e B r e i t e n a c h s e U m f a n g = V 2> = 52«/« =

4°/t

zus. 100 %»

Zinsen nach Jahren Wieviel Zinsen bringen 4560 DM 100DMbr.ini J. 1 » » tt 1 » 4560

6

6DMZs.

Accn

100

Kapital X Zinsfuß X Jahre geteilt durch 100

DM

n 6X4560X3

4560 „ „ „ 3„

Kürzer nach der Formel:

DM

6 X 4560 >> »» 1 »> 100 —

nt

Kapital zu 6 °'o in 3Jahren?

.

DM

also

= 820,80 DM Zinsen

4560 X 6 X 3

100

820,80 DM

Wieviel Zinsen bringeft 3480 DM zu 6V2 °/o in 4V2 Jahren? 3480 X 6 ^ 5

^

1 0 1 7 9 0 D M

Zinsen nach Monaten Wieviel Zinsen bringen 760 DM zu 6°/o in 5 Monaten? 100DMbr.inl2Mon.

GDMZs.

6 1 >> tt *> 1 100X12 DM 760 »> »> tt

6X760X5 100X12

Kürzer nach der Formel: Kapital X Zinsfuß X Monate geteilt durch 100 X 12 .

760 X 6 X 5

12ÖÖ

= 19 DM Zinsen

=

Wieviel Zinsen bringen 2640 DM zu 7V2 °/o in 8V2 Monaten? 2640 X 7,5 X 8,5

1200

= 140,25 DM

53

Zinsen nach Tagen Kapital X T a g e X Zinsfuß oder ^kürzer geteilt durch 360 X 100 Tageszahlen

Kapital X Tage Tageszahl X 100

Bei Zinsen nach Tagen wird das Jahr zu 360 Tagen gerechnet. Tageszahlen w e r d e n ermittelt durch Teilung (Division) v o n 360 durch den Zinsfuß - ~ r - k Zinsfuß Solche Tageszahlen (Zinsdivisoren) sind bei 1 IV2

Prozent

=

360

3Vs Prozent =

„

=

240

33/4

=

180

4

108

7V2 P r o z e n t =

96

8

tf

»»

90

9

ft »»

2 2V4

„

=

160

4V2

80

10

2V.

„

=

144

5

»»

72

12

=

120

6

tf

60

3

45

M usw.

Beispiele: Wieviel Zinsen bringen 3960 DM zu 8 °/o in 50 Tagen? 8DMZs.

100DA/in360Tg. 1 „ „ 3960 „ „

DM

ITag

100X360 8 X 50 X 3960 50Tg. 100X360

= 44 DM Zinsen

Kürzer nach der Formel: Kapital X T a g e X Zinsfuß geteilt durch 3 6 0 X 1 0 0 3960 X 50 X 8 = 44 DM Zinsen 36000

Oder bei Berechnung mit Tageszahlen: 3960 X 50 4500 (45 X 100)

= 44 DM Zinsen

Wieviel Zinsen bringen 4680 DM zu TVz °/o in 65 Tagen? (Tageszahl bei 7Vz% = 48) 4680 X 65 4800 54

= 63,375 abgerundet 63,38 DM

Zinsrechnung Wie groß ist das Kapital, welches zu 5 Prozent ausgeliehen in 80 Tagen 75 Mark Zinsen bringt? Ausrechnung: Zu 5 DM »» 1 )» » 75 „ 75 75

„ *> >»

Zinsen in 360 Tagen sind erforderlich 100 DM »»

»» 360

,,

,,

100

,,

5 100X75

„ 360

»»

1 Tag

„ 80 Tagen „

100X75X360

»»

>>

5 100X75X360 5 5X80

1 X 75 X 90 gekürzt: —— = 6750 DM 1X1

2880 DM bringen in 80 Tagen 51,20 DM Zinsen; zu wieviel Prozent ist das Kapital ausgeliehen? Ausrechnung: 2880 DM

bringen in

1

80 Tagen . . 51,20 DM 80

•••

„

...

5

T o et 11 Tag

...

51,20X100

„

„

„80

inn

„

„

„

100

100 „ „ 51,20 X 100 X 360 ~2880X"80

Im

-

100

Zinsen

^

-!f8^ ^

DM DM n u DM

„ 360 Tagen (1 Jahr) = , .. 1,60 X 5 X 1 = 8 DM gCkurzt: -TXI

das Kapital ist also zu 8 Prozent ausgeliehen. 55

Zinsrechnung 2400 DM brachten bei 6 Prozent 64 DM Zinsen; wie lange war das Kapital ausgeliehen? Ausrechnung: 100 DM br. 6 DM Zinsen in 1

6

2400

6

2400

1

2400

64

360

Tagen

„ 360X100 360X100 2400 360X100 " 2400X6 360X100X64 " 2400X6

"

. . . . 1 X 20 X 8 . gekürzt: - - — in 160 Tagen 1X1 In welcher Zeit ist ein Kapital von 6000 DM, zu 5 Prozent ausgeliehen, einschl. Zinsen auf 7650 DM angewachsen? Ausrechnung: Jetziges Kapital = 7650 DM früheres Kapital = 6000 „ mithin Zinsen

= 1650 DM

6000 DM bringen zu 5 Prozent ausgeliehen in 1 J a h r - ^ j ^ - ^ - ^ = 300 DM Zinsen; zu 300 DM Zinsen ist erforderlich »»

1

1

„ 1650

4

»*

„

„

300 " 1X1650 sind erforderlich 300

= 5V2 Jahre. 56

1 Jahr,

In welchem Zeitraum bringen 1500 DM, zu 6 Prozent ausgeliehen, ebensoviel Zinsen wie 2000 DM, die zu 5 Prozent verliehen sind? Ausrechnung: 1500 DM

zu 6% bringen in 1 Jahr

2000

„5%

„

„

„1

„

15

^

°1Q(^

6

X

5

0

-

=

90 DM

= 100

„

Zinsen „

So oft nun 90 in 100 enthalten ist, so lange müssen obige 1500 DM ausstehen; also 100 : 90 = l1/» = 1 Jahr und 40 Tage. (V9 Jahr = 360 :9 = 40 Tage.)

Wechsel-Diskontrechnung Ein am 10. Juni fälliger Wechsel über 5000 DM wird am 10. April verkauft; wieviel beträgt der Diskont bei 6 Prozent? Ausrechnung: Laufzeit: April 20 Tage, Mai 30, Juni 10, zusammen 60 Tage. (Jeder Monat wird mit 30 Tagen, das Jahr mit 360 Tagen berechnet.)

Kapital X Tage X Zinsfuß geteilt durch 360 X 100

5000 X 60 X 6 36000

oder kürzer bei Berechnung mit Tageszahlen (Zinsdivisoren): Kapital X Tage geteilt durch 100 X Tageszahl

5000 X 60 _ 6000*

* Tageszahl ist bei 6 Prozent = 60

Ermittlung der Tageszahlen siehe Seite 54 57

Rechnen mit englischen Pfunden, Schillingen und Pence 1 Pfund ( £ ) = 20 Schillinge (sh) = 240 Pence (d) 1 Schilling = 12 Pence. Beispiele: Addition

Subtraktion

£ 32 3

sh 8 15

d 7 6

£ 24 6

sh 12 18

d 3 9

36

4

1

17

13

6

Umrechnung von Schillingen und Pence in Dezimalstellen von einem Pfund 1 sh = Vto = 0,05 £ ; l d = V«« = 0,0041 £ Um Schillinge und Pence als Dezimalbruch niederzuschreiben, multipliziert man die Anzahl der Schillinge mit 5 (1 sh = 0,05 £) und die Anzahl der Pence mit 4 (1 Pence = 0,0041 £) unter Berücksichtigung der entsprechenden Dezimalstellen. Beispiel: 2 7 £ 16 sh 4 d = 27,816 £ ( 1 6 X 5 = 80; 4 X 4 = 16) Um einen Dezimalbruch englischer Währung in Schillinge und Pence zu verwandeln, dividiert man die ersten zwei Stellen hinter dem Komma durch 5, den etwaigen Rest nebst der dritten Stelle durch 4. Beispiel: 25,844 £ = 25 £ 16 sh 11 d (84 : 5 = 16 Rest 4; 4 4 : 4 = 11) 58

Papierberechnung Das Deutsche Industrie-Norm-Format (Din-Format) Reihe A des ungeschnittenen Fabrikbogens ist 84,1 X 118,9 cm; bei dieser Größe hat der Bogen einen Flächeninhalt von rund 1 qirt (84,1 X 118,9 = 9999,49 qcm = rund 1 qm). Das Gewicht eines Fabrikbogens ist also zugleich sein qm-Gewicht. Beim Hälfteln, Vierteln oder Achteln des Bogens bleibt das gleiche Verhältnis der Länge zur Breite bestehen, weil das Seitenverhältnis auf dem Verhältnis der Seitenlänge des Quadrats zur Diagonale1 beruht. Der Viertelbogen (A 4) hat eine Größe von 21 X 29,7 cm; er entsteht durch viermaliges Schneiden oder Falzen des Vierfachbogens (Fabrikbogens) und stellt V« desselben dar. Berechnungen des Gewichts von Bogenteilen und des qm-Gewichts aus Bogenteilen sind infolge der Übereinstimmung des Bogen- und qm-Gewichts sehr einfach.

Beispiele: Bei einem qm-Gewicht von 72 g wiegen 1000 Vierfachbogen (84,1 X 118,9 cm) 1000 X 7 2 g = 2375 1 1750

„

„

Viertelbogen „

72

kg

2375 X 72 g = 171

kg

(21 X 29,7 cm)

7 2 : 16

1750 X 4,5 e

=

4,5

g

=

7,875 kg

Berechnung des qm-Gewichts aus Bogenteilen: 1 Viertelbogen (A 4) wiegt 5 g also 1 ganzer (Vierfach)-Bogen 16 X 5 = 80 g 59

Bei Papier, dessen Größe nicht dem Din-Format entspricht, ist auch die Papierberechnung nach anderen Grundsätzen vorzunehmen, weil Bogen- und qm-Gewicht nicht übereinstimmen. Beispiele: Wie hoch ist das qm-Gewicht eines Papiers in Größe 80 X 115 cm, wenn ein Bogen 96,6 g wiegt? 1 Bogen 80 X 115 cm = 9200 qcm = 96,6 g =

1

96 6 ' -g 9200 s

mit'hin 1 qm (100X100 cm) = 10000 qcm = —

=

105

g

1 Blatt Kartonpapier in Größe 18X23 cm wiegt 16 g wie schwer ist 1 qm? 1 Blatt 18 X 23 cm = 414 qcm = 16 g 16 1 qCm

1 qm (100 X 100 cm) =

=

414

10000 qcm =

g 16 X

, 1 1 '° 000 = 386,4 g

Welches Gewicht haben 1000 Bogen Papier, in Größe 60 X 72 cm, wenn 1 qm 90 g wiegt? 1 qm (100 X 100 cm) = 10000 qcm = 90 g „o™ 90 X 4320 1 Bogen 60 X 72 cm = 4320 qcm = — J Q Q Q Q - £ ^ t-, , 90 X 4320 X 1000 1000 Bogen 60 X 72 cm also — 10000 = 38880 g = 38,880 kg 60

Wieviel kosten 1000 Bogen Papier in Größe von 45 X 68 cm, wenn 1 qm 90 g wiegt und 1 kg 0,65 DM kostet? 1 qm (100 X 100 cm) = 10000 qcm = 90 g 1 Bogen /Aesseo (45 X 68 cm)•» = 1000 Bogen =

lotn 3060

90 X 3060 X 1000

qcm = — — — — £ 9 0

=

X

3 0 6 0

27540 g =

27 540 k g

-

1 kg kostet 0,65 DM; mithin kosten 27,540 kg = 0,65 X 27,540 = 17,90 = 17,90 DM Wieviel kosten 2500 Bogen Papier in Größe von 60 X 80 cm, wenn 1 qm 90 g wiegt, und 1 kg 0,58 DM kostet? 1 qm (100 X 100 cm) = 10000 qcm = 90 g 1 Bogen (60 X 80 cm) = 4800 qcm = 2500 Bogen =

9Q

^0^QQ g

90 X 4800 X 2500 ,nonnn ^ ^ = 108000 g = 108 kg

1 kg kostet 0,58 DM; mithin kosten 108 kg = 0,58 X 108 = 62,64 DM Wieviel kostet 1 kg Papier bei einem qm-Gewicht von 110 g, wenn 1000Bogen in Größe von 60X90cm 44,55 DM kosten? 1 qm (100 X 100 cm) = 10000 qcm = 110 g 1 Bogen (60 X 90 cm) = 1nn. R

1000 Bogen =

5400 qcm =

1000 X 110 X5400 ^ööö

=

11 >

|

0^

40Q

g =

g '

g

59,4 kg kosten 44,55 DM; mithin kostet 1 kg 44,55 : 59,4 = 0,75 DM 61

Papierbedarf zur Auflage Wieviel Bogen Papier sind erforderlich, wenn die Auflage 150 Stück, der Umfang des Buches 56 Seiten (¿Vz Bogen Oktav) beträgt, und das Papier doppelt liegt, also der ganze Papierbogen 2 Oktavbogen ergibt? (1 Oktavbogen umfaßt 16 Seiten, also 8 Papierblätter.) Auflage X Umfang geteilt durch 2

150 X 3 Mi = 2

262V2

abgerundet: 263 Bogen. Wieviel Bogen Papier sind erforderlich, wenn die Auflage 3200 Stück, der Umfang des Buches 50 Seiten (31/« Bogen Oktav) beträgt, und das Papier vierfach liegt, also der ganze Papierbogen 4 Oktavbogen ergibt? Auflage X Umfang , , ... . 7—— also geteilt durch 4

3200 X 3^8 4

=

„nn _ 2500 Bogen.

Wieviel kg Papier sind erforderlich zu einer Auflage von 250 000 Bogen in Größe von 42 X 66 cm, wenn das qm-Gewicht 110 g beträgt? 1 Bogen = 42 X 66 cm = 2772 qcm 250 000 Bogen = ^

^

f

7

=

2

69 300 qm

* 1 qm = 100 X 100 cm = 10 000 qcm 1 qm wiegt 110 g 69 300 qm (250 000 Bogen) wiegen 69 300 X 110 = 7 623 000 g = 7623 kg Bogenfläche X Auflage X qm-Gewicht kürzer: geteilt durch 10 000 X 1000

also: 62

42 X 66 X 250 000 X 110

looooxlöoo

=

,

7623kg

Eine Broschüre von 56 Seiten Umfang (3% Bogen Oktav), bei einer Seitengröße v o n . l l X 1 7 cm (unbeschnitten), soll in einer Auflage von 100 000 Stück durch Rotationsdruck hergestellt werden; A. wieviel kg sind einschließlich 5 Prozent Zuschuß erforderlich, wenn das Quadratmetergewicht des Papiers 80 g beträgt? B. wieviel kostet das Papier, wenn 1 kg 0,50 DM kostet? (1 Bogen Oktav umfaßt 16 Seiten, also 8 Papierblätter.) A u s r e c h n u n g zu A : Bei der Seitengröße 11 X 17 cm hat ein Oktavbogen Papier eine Bogenfläche von ( 4 X 11) 44 X (2 X 17) 34 cm = 1496 qcm. Zur Auflage sind bei dieser Bogengröße erforderlich: (Umfang X Auflage) = 3 % X 100 000 = 350 000 Bogen; . . . 350000 X 1496 (Bogengröße) = 5 2 3 6 0 aas sind ... — geteilt durch 10000* * 1 qm = 100 X 100 cm = 10 000 qcm 1 qm wiegt 80 g, 52 360 qm (350 000 Bogen) wiegen 52 360 X 80 g = 4 188800 g = 4188,8 kg abgerundet: 4189 kg ** dazu 5°/o Zuschuß

4 1 8

^

5

= 209,45 =

210 kg

zusammen = 4399 kg **Kiirzer: Umfang X Auflage X Bogenfläche X qm-Gewicht geteilt durch 10 000 X 1000 .

3 % X 100 000 X 1496 X 80 A1QQ . on. IOOOOXIOOO = 4188'8 = 4189 k s dazu 5°/o = 210 kg Zuschuß, zusammen = 4399 kg

also:

Ausrechnung

zu

B:

1 kg kostet 0,50 DM; 4399 kg kosten 2199,50 DM 63

Soll- und Ist-Ergebnis (Rollenpapier) Eine Rolle Papier soll bei einer Breite von 66 cm 10 000 m enthalten; sie ergab 45 640 Bogen in Größe 33 X 42 cm; A. wieviel m hat die Rolle ergeben? B. wieviel Prozent sind gegen das Soll-Ergebnis mehr oder weniger geliefert worden? A u s r e c h n u n g z u A: 45 640 Bogen X 42 cm geteilt durch 2*

958 440 cm, abgerundet 9584 m

* Rollenbreite 66 cm, Bogenbreite 33 cm, daher zu teilen durch 2.

A u s r e c h n u n g zu B : Soll-Ergebnis . . . 10000 m Ist-Ergebnis . . . . 9 584 m mithin weniger . . 416 m

Bei 10 000 m 416 m wieniger, 416 X 100 b e t

1 0 0

m

-

1

0

0

—

=

. 4 , l 6 o / o

Papierberechnung (Zuschuß) Bei 16 450 Bogen Auflagepapier wurden 350 Bogen Zuschuß gebraucht. Wieviel Prozent sind das? —Z"schuß Xl