Praktisches Rechnen nach Beispielen. Rechen-Leitfaden für alle Berufsstände [5. Aufl. 37. bis 40. Tsd., Reprint 2021] 9783112461181, 9783112461174

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FRANZ

T R I E B E L

RECHENLEITFADEN FÜR BERUFS

ALLE STÄNDE

Praktisches Rechnen nach Beispielen Rechen-Leitfaden für alle Berufsstände nebst einem Verzeichnis der unteilbaren Zahlen (Primzahlen) bis

10 0 0 0

und

einem

Anhang

Herausgegeben

für

Papierberechnung

von

F. T r i e b e l Techn. O b e r i n s p e k t o r der Reichsdruckerei a. D.

Fünfte

Auflage

3 7 . bis 40. T a u s e n d

T e c h n i s c h e r Verlag H e r b e r t C r a m B e r l i n

1949

W 3 5

Alle Rechte, namentlich das der Ubersetzung, vorbehalten

Printed in Germany Druck: Walter, Berlin SW29, 4000, 11. 48

Vorwort Die in der Schule erworbenen Rechenkenntnisse geraten allgemein sehr bald in Vergessenheit, und so ist die Zahl derjenigen außerordentlich hoch, denen sogar einfache Arten des Rechnens nicht geläufig sind. Vorliegender Rechen-Leitfaden bringt in kurzer, leicht verständlicher Form die gebräuchlichsten Rechenarten in Erinnerung und wirkt durch Beispiele aus dem Erwerbsleben belehrend auf diejenigen, die sich für ihren Beruf fortbilden wollen. Eltern schulpflichtiger Kinder können ihn sowohl zur Prüfung der Schularbeiten als auch zur Nachhilfe verwenden. Flächen-und Körperberechnungen sindohne mathematische Formeln kurz und einfach dargestellt, so daß sie sich auch ohne Vorkenntnisse von jedermann leicht ausführen lassen. Bei der Anordnung des Schriftsatzes ist durch die seitenweisen Abschlüsse und Gegenüberstellungen eine große Übersichtlichkeit erreicht worden. Diese Art der Darstellung des Lehrstoffes soll denn auch ein besonderer Vorzug meines Leitfadens sein. Möge das Buch auch fernerhin sich recht viele Freunde erwerben und allen seinen Besitzern Vorteile bringen. Berlin-Wilmersdorf, im Juli 1936. F. T r i e b e l

Inhaltsübersicht Seite

Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen . . . .

5

Multiplikation und Division von Dezimalzahlen . . .

6, 7

Addition von Brüchen Subtraktion von Brüchen

8, 9 10, 11

Multiplikation von Brüchen Division von Brüchen

12, 13 14, 15

-.'

Regeln über die Teilbarkeit der Zahlen

16, 17

Verzeichnis der unteilbaren Zahlen bis 10 000 . . . . Quadratwurzel

18—20 21—23

Kubikwurzel Quadrat und Kubus der Zahlen 1—99

24, 25 26

Quadrieren und Kubieren (mit Tabelle) Flächen- und Körperberechnung

27 28—42

Tabelle für Rechnen mit 3,14 (Pi) Beispiele für Flächen- und Körperberechnung . . . . Stückzahlberechnung Regeldetri (Dreisatzrechnung)

43 44—46 47 48

Gesellschaftsrechnung Prozentrechnung

49 50—52

Zinsrechnung

53—57

Rechnen mit englischer Währung Papierberechnung

58 59—64

Addition von Dezimalzahlen Komma unter Komma stellen, dann addieren (zusammenzählen) Beispiele : Dezimalzahlen und ganze Zahlen

Dezimalzahlen 8,41 817,5 0,325 43,08 45 732,6835

4 538,45 862 6,7456 45,8 23 643

46 601,9985

29 095,9956

Subtraktion von Dezimalzahlen Komma unter Komma stellen, dann subtrahieren (abziehen) Beispiele : Dezimalzahlen

Dezimalzahlen und ganze Zahlen

16 324,7815 - 5 816,42

27 684,3455 — 3 461

10,508,3615

24 223,3455

175,863 52,3

1452,5 - 148,275

123,563

1 304,225

-

1435 6,82 1 428,18

27,762 -

- 12

15,762 5

Addition von Dezimalzahlen Komma unter Komma stellen, dann addieren (zusammenzählen) Beispiele : Dezimalzahlen und ganze Zahlen

Dezimalzahlen 8,41 817,5 0,325 43,08 45 732,6835

4 538,45 862 6,7456 45,8 23 643

46 601,9985

29 095,9956

Subtraktion von Dezimalzahlen Komma unter Komma stellen, dann subtrahieren (abziehen) Beispiele : Dezimalzahlen

Dezimalzahlen und ganze Zahlen

16 324,7815 - 5 816,42

27 684,3455 — 3 461

10,508,3615

24 223,3455

175,863 52,3

1452,5 - 148,275

123,563

1 304,225

-

1435 6,82 1 428,18

27,762 -

- 12

15,762 5

Multiplikation von Dezimalzahlen Multiplizieren wie gewöhnliche Zahlen und vom Efgebnis von rechts nach links so viel Stellen abstreichen, wie beide Zahlen zusammen nach dem Komma Stellen haben. B e i s p i e l e

:

Dezimalzahlen 8436,2 X 75,4

76,3425 X 2,37

337448 421810 590534

5343975 2290275 1526850

636089,48

180,931725 Dezimalzahlen und ganze Zahlen

735,82 X 364

46583 X 67,9

294328 441492 220746

419247 326081 279498

267838,48

3162985,7

Mit 10, 100, 1000 usw. werden Dezimalzahlen multipliziert, indem das Komma der zu multiplizierenden Zahl (Multiplikandus) um so viel Stellen nach rechts gerückt wird, wie die Zahl, mit der zu multiplizieren ist (Multiplikator) Nullen hat. Sind hinter dem Komma des Multiplikandus nicht genügend Zahlen vorhanden, dann an das Resultat (Ergebnis) entsprechend Nullen anhängen. (Siehe nachstehende Beispiele mit 1000 und 10 000.)

136,5 X 10 2,486 X 10 0,85 X100 27,762 X 100 6

= = = =

1365 24,86 85 2776,2

54,893 X 76,2 X 5,7 X 21,26285 X

1000 = 54893 1000 = 76200 10000 = 57000 10000 = 212628,5

Division von Dezimalzahlen D e n Divisor (Teiler) umwandeln zur ganzen Zahl durch Streichen des Kommas; den Dividendus (zu teilende Zahl) durch Versetzen des Kommas entsprechend vervielfachen. Beispiele : Dezimalzahlen 43,719 : 0,13 umgewandelt: 13 = 336,3

4371,9 39 Kürzer: 47 4371,9 : 13 = 336,3 39 47 81 81 78 39 39 39

539,75 : 63,5 umgewandelt: 5397,5 : 635 = 8,5 5080 3175 3175 0,249 : 41,5 umgewandelt: 2,49 : 415 = 0,006

Dezimalzahlen und ganze Zahlen Ist der Dividendus eine Dezimalzahl und der Divisor eine ganze Zahl, dann beim Ergebnis das Komma setzen, ehe die erste Stelle rechts vom Komma heruntergeholt wird. 1897,5 : 275 = 6,9 1650 2475 2475

Ist der Dividendus eine ganze Zahl und der Divisor eine Dezimalzahl, dann — der Vergrößerung des Divisors entsprechend — Nullen anhängen. 4725 : 0,45 472500 : 45 = 10500 225 00

Durch 10, 100, 1000 usw. werden Dezimalzahlen geteilt, indem das Komma um so viel Stellen nach links gerückt wird, wie der Divisor Nullen hat. Sind vor dem Komma nicht genügend Zahlen vorhanden, dann entsprechend Nullen vorsetzen. 168,5 : 10 = 16,85

| 47,67 : 100 = 0,476? | 4,2 : 1000 = 0,0042 7

Addition von Brüchen I. Gewöhnliche Brüche Bei gleichnamigen Brüchen (Brüche mit gleichen Nennern) nur die Zähler addieren (2/9+5/9=7/i>). Ungleichnamige Brüche mittels Generalnenner gleichnamig machen, dann die Zähler addieren. (Zähler steht über, Nenner unter dem Bruchstrich.) B e i s p i e l e »/4 +

V»

+

:

4

/«

Ermittlung des G e n e r a l n e n n e r s : Bei Brüchen ohne gemeinsamen Teiler nur die Nenner multiplizieren 4 X 3 X 5 = 60 60 45

(60 : 4 = 15 X 3 = 45)

/a 40

(60 : 3 = 20 X 2 = 40)

2 4

Nenner geteilt in Generalnenner, Ergebnis multipliziert mit Zähler

/5 48 (60 : 5 = 12 X 4 = 48)

1 3 3 : 6 0 = 213/6O >/t

V. 2 /3 3 A

12 16 18 20

7s

9

+

2

/s

+

3

/i +

Ermittlung

5

/e + 3/8 + 7 /l2

des

Generalnenners:

Bei Brüchen mit gemeinsamen Teilern Nenner nebeneinandersetzen; davor eine senkrechte Linie ziehen; vor dieselbe die Divisorzahl, durch welche mehrere der Nenner sich ohne Rest teilen lassen. Die Zahlen, die sich nicht teilen lassen, ungeteilt unter die Linie setzen.

Vi 2 14 89:24 = 3 17 / 2

2

12

3

4

6

8

Ol

24

2

3 3

4

6

2

3

3

.

2

Generalnenner: 2 X 2 X 3 X 2 = 24 Regeln über die Teilbarkeit der Zahlen siehe Seite 16 und 17

8

II. Gemischte Brüche (Brüche mit ganzen Zahlen) Bei gemischten Brüchen erst die Brüche und die ganzen Zahlen, dann beide Ergebnisse zusammenzählen. V-U + 3 3 /s +

Beispiel:

5

/e + 4 3 /s + 6 5 /i2 +

E r m i t t l u n g des

15

/h

Generalnenners:

(Siehe Anleitung auf Seite 8) 240 l /* 3 3 /5

144

5

200

/6 4 3 /8

3

90

819

6 3 3 3

,5 5 5 5 5

Generalnenner:

65/l2 100 15 /l6 2 2 5 14

4 2

2 2 2

60

1

=

/24o

gekürzt durch Ergebnis: 1 4 + 3

3"/24.,

8 4 2

16 8 4 2 2

2 X 2 X 2 X 3 X 5 X 2

=

240

333/8o

3 =

3 3

12 6 3 3

1733/so

/eo=

III. Brüche und Dezimalzahlen Dezimalzahlen in Brüche oder letztere in Dezimalzahlen verwandeln, dann zusammenzählen. Beispiele : 45/s + Bei Verwandlung in Bruch l75/ioo =

1,75 =

45/s 4,625 +

Dezimalzahl wird in Bruch verwandelt unter Berücksichtigung der Stellung des Kommas.

0,4

= 4Ao, gekürzt = 2/s

0,75

=

75

0,125

=

125

2

/iooo

Bei Verwandlung in Dezimalzahl

l3/4

4Vs + l 3 /4 = 6 3 /s

/ioo

1,75 =

4,625

1,75 =

Bruch wird in Dezimalzahl verwandelt durch Division (Teilen) des Nenners in den Zähler. 2

/s =

2 :

5 =

„

=

3

/4

3/4 =

3 :

4 =

„

=

Vs

Via =

F. Triebel — Rechenbuch

6,375

5 : 12 =

0,4 0,75 0,4166

. .

9

Subtraktion von Brüchen I. Gewöhnliche Brüche Bei gleichnamigen Brüchen (Brüche mit gleichen Nennern) nur die Zähler voneinander abziehen (5/9 — 2U = 3/9, gekürzt = V3). Ungleichnamige Brüche mittels Generalnenner erst gleichnamig inachen (s. S. 8 u. 9), dann die Zähler voneinander abziehen. B e i s p i e l e

1 -

'/S

7

/ B -

6 J

/

7 , 1

/4

7 . 5 -

2

8

2

2

3

:

7

-

3

3

7

/8

4

6

/ 4

"

2

12

/5

10

/ 3 2

78

7«

/3

15

/t5

II. Gemischte Brüche ( B r ü c h e mit g a n z e n Zahlen)

Bei gemischten Brüchen erst die Brüche mittels Generalnenner gleichnamig machen, dann Brüche und Ganze voneinander abziehen. B e i s p i e l e

r/4

5 /ä 2

16Vb

12

52/3

8

• - 1 7 4

3 6

/l

2

1 6 7 -

8

157«

- 4 ' / ,

6

¡2 +

4'/ä! 3

11

:

3 6 6 =

157,

8 * 3

-

4

11

;

9

5 , 1 2

1

2 8 15

I3

/B6

* ) D a 3 /e nicht von 2 /6 abzuziehen sind, ist von den 16 Ganzen ein Ganzes = 6 /e w e g z u n e h m e n ; zu 2 /e z u g e z ä h l t ergibt 8 /o Regeln über die T e i l b a r k e i t der Zahlen siehe S e i t e 16 und 17. Verzeichnis der Unteilbaren Zahlen s i e h e S e i t e 18—20.

10

III. Brüche und ganze Zahlen Von der ganzen Zahl erst die dem Nenner des Bruches entsprechende Einheit abnehmen; dann abziehen. Beispiele : 8/e = l 8 / 8 8 /8 —

16 —3 2 /» 16 — 9/s =*15 9 / 9 — 32/»

50 —24 7 /i« 50 — 16/ie = 49ls/i« 24 7 /n

183/s

12 7 /9

25 Vi«

5

19 — /s 19 _

8

IV. Brüche und Dezimalzahlen Den Bruch in eine Dezimalzahl oder letztere in einen Bruch verwandeln; dann abziehen. (Verwandlung siehe Seite 9, III) B e i s p i e l e

65V8 —2,45

:

18,35 —3 2 /s

|

Bei Verwandlung des Bruches in eine Dezimalzahl: 65V8 = 65,125 — 2,45

18,35 — 3,40

32/s =

62,675

14,95

Bei Verwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch: 2,45 = 245/ioo, gekürzt 29/äo 40

65V. -

45

(5 + 4 0 ) *

27

27

187/2o

18

2%„

62

18,35 = 1835/ioo, gekürzt 187/a»

-

/ 40 40

3 */5 14

(7 + 2 0 ) *

8 19

7so

20

* ) Von den Ganzen ist ein Ganzes ( /4o bzw. /20) abzunehmen und den Bruchteilen zuzuzählen, weil sich die untere Zahl von der oberen sonst nicht abziehen läßt. 11

Multiplikation von Brüchen I. Gewöhnliche Brüche Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner muRiplizieren. Bei mehrereH Brüchen einen Strich ziehen; über denselben alle Zähler, unter denselben alle Nenner setzen; dann soviel wie möglich heben (kürzen), d. h. Zahlen über dem Strich mit Zahlen unter dem Strich durch gemeinschaftliche Teiler teilen. Hiernach Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren. Beispiele: Vs X */» =

12

o X9

/27, gekürzt durch 12 = V«

oder mit v o r h e r i g e m Kürzen: 3 X 4 gekürzt 3 und 9 durch 3 = 1 X 1 = V, 8X9 „ 4 „ 8 „ 4=2X3 V4 X 2/s X 5/t X 4/9 3 X 2 X 5 X 4

1 X 2 X 1 X _l_ gekurzt:

4X5X7X9

i x_l X 7 X 3

= 2 /21

II. Gemischte Brüche (Brüche mit ganzen Zahlen) \

Gemischte Brüche erst verwandeln; dann wie bei gewöhnlichen Brüchen Zähler X Zähler, Nenner X Nenner. Beispiele : 31/* X Vs (3»/i = 3 X 2 + 1 = %) also

. ti VCrWandelt: 12

=

35

/i« = 23/ie

2X8 2Va X 24/s X 3^6 X 15/7 5 X 14 X 19 X 12 , .. 1 X 2 X 19 X 1 2X5X6X7~ g e k u r z t : l x i x i x r

„D = 3 8

III. Brüche und ganze Zahlen Die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruches multiplizieren; wenn möglich zuvor Nenner und ganze Zahl teilen oder kürzen. Bei gemischten Brüchen erst die ganzen Zahlen, dann die ganze Zahl mit dem Bruch multiplizieren und beide Ergebnisse zusammenzählen. Beispiele: 2/3 x

4

s

ó 3

/a

=

6 X *V5

2-k

=

12

/* = 2 2 / 5

3 X 64 . . . . 3X 8 /s X 64 = — 3 — g e k ü r z t : — ; — = 2 4

53/e X 7 = 5 X 7 = 35 3 /s X 7 = «/s = ' 25/s

2 X 5V7 = 2 X 5 = 10 2 X 4 /i = 8/7 = 1^7

zusammen = 375/e

zusammen = IIV7

IV. Brüche und Dezimalzahlen Den Zähler des Bruches mit der Dezimalzahl multiplizieren, das Ergebnis mit dem Nenner teilen; gemischte Brüche zuvor verwandeln. Beispiele: 3

/4 X 0,6 = —

25/s X 2,4 =

= a

1,8 : 4 = 0,45

2 4

'

= 50,4 : 8 = 6,3

oder mit vorherigem Kürzen: 21X2,4 ... 21 X 0,3 ... gekürzt: 0 l

=6,3

Regeln über die Teilbarkeit der. Zahlen siehe Seite 16 und 17 13

Division von Brüchen I. Gewöhnliche Brüche Bei gleichnamigen Brüchen (Brüche mit gleichen Nennern) nur den Zähler des Divisors (Teiler) in den Zähler des Dividendus (zu teilende Zahl) dividieren ( 8 /s: 2A> = 4). Ungleichnamige Brüche mittels Generalnenner erst gleichnamig machen (siehe Seite 8). Kürzeres Verfahren: Den Divisor (Teiler) umkehren, dann Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multiplizieren. Beispiele: /s : /a Generalnenner 15 4 /s = 12/lS, 2/s = 10/l5 12 : 10 = l2/io = lVs 4

/is : ? / 12 Generalnenner 60 14/l5 = 56/60, 7/,2 = 35/«0 56 : 35 = 121/S5 = l 3 /s

2

14

Kürzeres Verfahren mit Umkehren des Teilers: 4X3 2X3 -gekürzt 5X2' 5X1

6

/s = lVä

1 4 X 1 2 ,.. 2 X 4 8/ 13/ ----—gekürzt-—- ="/5 = l 3 /s 15 X 7 -5X1

II. Gemischte Brüche (Brüche mit ganzen Zahlen) Gemischte Brüche erst verwandeln (l3At = V4), den Divisor umkehren, dann Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multiplizieren. Beispiele 3V2 ( 7 / 2 ) : Vs

/s : l s / 8 ( 1B /s) » = 84 = 24/65 5 x 13 3

Uila s/2 = 17I/2 2X1

5V4: 3V2

14

4X7

gekürzt

3 X 1 = IV« 2 X 1

III. Brüche und ganze Zahlen Bei Teilung eines Bruches durch eine ganze Zahl diese mit dem Nenner des Bruches multiplizieren oder in den Zähler desselben teilen. Letzteres ist einfacher, aber nur anwendbar, wenn sich die ganze Zahl ohne Rest in den Zähler teilen läßt. Bei Teilung einer ganzen Zahl durch einen Bruch diesen umkehren und die ganze Zahl mit dem neuen Zähler multiplizieren. Beispiele: •Vis: 7 (7 X 15) =

14

/ios = Vis

|

3Vs ( 16 / s ) : 8 = (5 X 8) 16/-.o = s 's

oder bei Teilung in den Zähler: 14

/is : 7 (14 : 7) = 2 /is

4 : */s = (4 X 5 / 3 ) = 2 % =

3Vs ( 16 / 5 ) : 8 = (16 :8) = 2 /s 6-/3

|

15 : 13A (15 X 4 /t) =

wh

= 8Vr

IV. Brüche und Dezimalzahlen Bei Teilung eines Bruches durch eine Dezimalzahl den Bruch in eine Dezimalzahl oder diese in einen Bruch verwandeln. (Verwandlung siehe Seite 9, III). Das Rechnen mit Brüchen ist jedoch einfacher. Bei Teilung einer Dezimalzahl durch einen Bruch die Dezimalzahl mit dem Nenner des Bruches multiplizieren und durch den Zähler teilen. Beispiele: 3

/ 9 : 0,6 ( 6 /io)'

1,41 : 3 /? 1,41X7 . .. 0,47X7 — gekürzt — - — = 3,29 ó X

32/ö ( 17 /s) : 1,36(186/IOO) 17X100 ... 1X5 Txi36gekUrZt:iX2=2

/ 2

2,31 : l 3 /4 (Vi) 2,31X4 . .. 4 0,33X4 gekürzt:—^ = 1,32 1gekürzt: 7 15

Regeln über die Teilbarkeit der Zahlen Eine Zahl ist teilbar durch 2 , wenn die letzte rechtsstehende Ziffer (Einerstelle) durch 2 teilbar ist, oder wenn sie auf 0 endigt; also jede gerade Zahl. 2 ist die einzige gerade Zahl, die eine Primzahl (unteilbare Zahl) ist. 3 , wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Unter Quersumme versteht man die Summe der Ziffern, mit denen sie geschrieben ist. (Die Quersumme von 1182 ist 1 + 1 + 8 + 2 = 12.) 4 , wenn die durch die beiden letzten rechtsstehenden Ziffern dargestellte Zahl (Einer- und Zehnerstelle) durch 4 teilbar ist, oder wenn sie auf 00 endigt. (1124 ist durch 4 teilbar, weil sich 24 durch 4 teilen läßt.) „

5, wenn sie auf 0 oder 5 endigt. 6, wenn sie durch 2 und '3 teilbar ist; jede durch 3 teilbare g e r a d e Zahl ist durch 6 teilbar.

„

7 , wenn bei der Subtraktion der drei letzten rechtsstehenden Ziffern mit der andern Zahl ein durch 7 teilbarer Rest entsteht; z. B . 410 298 (410—298, R e s t 112) ist durch 7 teilbar. 8, wenn sie auf 000 endigt, oder.wenn die durch die drei letzten rechtsstehenden Ziffern dargestellte Zahl durch 8 teilbar ist. (5104 ist durch 8 teilbar, weil 104 sich durch 8 teilen läßt.)

„

16

9 , wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

„

1 0 , wenn sie auf 0 endigt.

„

1 1 , wenn der Unterschied zwischen der Quersumme der ungeradstelligen (an erster, dritter, fünfter usw. Stelle stehenden) und der geradstelligen (an zweiter, vierter, sechster usw. Stelle stehenden) Ziffern 0 oder einen durch 11 teilbaren W e r t ergibt. (Von 1375 ist die Quersumme der ungeradstelligen Ziffern 1 + 7 = 8; die der geradstelligen 3 + 5 = 8. Unterschied: 8—8 = 0 ; also ist 1375 durch 11 teilbar. Von 41129 ist die Summe der ungeradstelligen Ziffern 4 + 1 + 9 = 14, die der geradstelligen 1 + 2 = 3. Unterschied: 1 4 — 3 = 1 1 ; also ist 41 129 durch 11 teilbar.)

„

1 2 , wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist.

„

1 3 , wenn bei der Subtraktion der drei letzten rechtstehenden Ziffern mit der andern Zahl ein durch 13 teilbarer Rest entsteht; z . B . 349 245 (349—245, Rest 104) ist durch 13 teilbar.

„

1 5 , wenn sie durch 3 und 5 teilbar ist.

20, wenn sie auf 00 endigt; oder wenn sie auf 0 endigt und die davorstehende Zahl eine gerade ist; z . B . sind 1300 und 1740 durch 20 teilbar. 2 5 , wenn die durch die beiden letzten rechtsstehenden Ziffern dargestellte Zahl durch 25 teilbar ist, also jede Zahl, die mit 25, 50, 75 oder 00 endigt. Unteilbare Zahlen heißen Primzahlen. (Siehe Verzeichnis der P r i m zahlen bis 10 000 auf Seite 18—20.) Die Quersumme irgendeiner Zahl abgezogen von dieser ergibt stets einen durch 9 teilbaren R e s t ; z. B . von 37 862 die Quersumme ( 3 + 7 + 8 + 6 + 2 ) 26 abgezogen ergibt den durch 9 teilbaren Rest 37836. Der W e r t eines Bruches bleibt unverändert, wenn Zähler und Nenner sich durch dieselbe Zahl teilen lassen; z. B . 28/a5 gekürzt durch 7 = 4 /s; 91 /i69 gekürzt durch 13 = 7 /13. U m d e n g r ö ß t e n g e m e i n s c h a f t l i c h e n T e i l e r bei g r ö ß e r e n Z a h l e n z u finden, teilt m a n die g r ö ß e r e Z a h l d u r c h die k l e i n e r e ; teilt dann den Divisor durch den bei der e r s t e n Division erhaltenen R e s t ; alsdann den Divisor der z w e i t e n Division durch den R e s t d e r z w e i t e n D i v i s i o n u s w . bis zu d e r j e n i g e n Division, die als R e s t 0 e r g i b t . D e r l e t z t e D i v i s o r ist d a n n d e r g r ö ß t e gemeinschaftliche Teiler. B e i s p i e l e : Suche den größten gemeinschaftlichen Teiler

2812 und 3071

6 7 2 und 735

3071 : 2812 =

735 : 672 = 1 672 : 63 = 63 : 42 = 4 2 : 21 =

von:

10

1

2

Der größte gemeinschaftliche Teiler ist also 21

2812 : 259 = 2 5 9 :222 222 : 3 7 =

=

1

10

1

6

Der größte 'gemeinschaftliche Teiler ist also 37

F. Triebeis „Teilbar durch" gibt alle Teiler der Zahlen v o n . l bis 1000 a,n (s. 4. Umschlagseite).

3

F. Triebel — Rechenbuch

17

Verzeichnis der unteilbaren Zahlen (Primzahlen) bis 10000 Bei jedem neuen Hundert ist die erste Zahl durch fette Ziffern gekennzeichnet; zur Raumersparnis sind bei den übrigen nur die Einer Hnd Zehner angegeben.

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 l o i 03 07 09 13 27 31 37 39 49 51 57 63 67 73 79 81 91 93 97 99 2 l l 23 27 29 33 39 41 51 57 63 69 71 77 81 83 93 307 11 13 17 31 37 47 49 53 59 67 73 79 83 89 97 4 o i 09 19 21 31 33 39 43 49 57 61 63 67 79 87 91 99 5 03 09 21 23 41 47 57 63 69 71 77 87 93 99 601 07 13 17 19 31 41 43 47 ' 53 59 61 73 77 83 91 7 o i 09 19 27 33 39 43 51 57 61 69 73 87 97 809 11 21 23' 27 29 39 53 57 59 63 77 81 83 87 907 11 19 29 37 41 47 53 67 71 77 83 91 97 1 0 09 13 19 21 31 33 39 49 51 61 63 69 87 91 93 97 1 1 0 3 09 17 23 29 51 53 63 71 81 87 93 1 2 o i 13,17 23 29 31 37 49 59 77 79 83 89 91 97 18

1 3 o i 03 07 19 21 27 61 67 73 81 99 1409 59 15ll 79

23 71 23 83

27 29 33 39 47 51 53 ¡31 83 87 89 93 99 31 43 49 53 59 67 71 97

16oi 63 1709 83 18oi 77 19oi 87 20o3 81 2 1 ii 79 2 2 03 69 2309 77 2411 77

07 09 67 69 21 •23 87 89 11 23 79 89 07 13 93 97 11 17 83 87 13 29

31 99 27 89 31

29 39 53 63 69 99 37 41 43 53 61

07 73 11 81 17

21 87 39 89 37

37 93 41 93 41

13 81 33 83 23

13 19 21 27 37 57 93 97 99 33 41 47 53 59 77 31 47 61 67 71 73 33 49 51 73 79

39 43 51 67 97 47 51 57 71 99 47 59 67 73

2503 21 31 39 43 49 51 57 79 91 93 2 6 09 17 21 33 47 57 59 63 71 77 83 87 89 93 99

2707

11

13

19

29

77

89

91

97

28oi

03

19

33

37

79

87

97

29O3

09

17

27

39

53

57

63

69

71

99 11

19

23

37

41

49

61

67

79

83

89

3109

19

67

30oi

21

37

63

31

43

67

41

51

69

49

57

81

53

61

87

91

3203

09

17 21

29

51

53

71

99

33oi

07

13

19

23

2 9 31

59

61

71

73

89

91

3407

13

33 49

57

61

57

59

4507 13

17

83

91

97

73

7 9 91

89

93 99

4603 21 47 0 3

48oi 13 49o3 09

47

23

91

99 17

27 29

59

71

81

83

93

13

17 2 3

77

91

09

19 27

93

97

21

57

87

93 99

09

21

23 39

51

59

77

81

87 99 13

19

47 53

67

71

79

31

33

37 61

73

79

81

09 23

33

47 51

81

87

93

31

37

41

43

49

21

27

31

57

63

50 0 3 5101

07

11

97

5 2 0 9 27 97

63

67

69

53 0 3

5 4 O 7 13

17

19

71

79

83

47

51

53

63

77

17

19

23

29 31

43

47

07

13

19

21

27

49

51

41ii

73

79 91

93

99

27

29 33

39

53

57

59

77

42 oi

11

17

19

29

31

41

43

53

61

71

73

83

89

97

6 2 0 3 IL

37

39

49

57

63

73

91

97

71

21

23

41

47

51

57

63

81

63oi li

17

67 73

4327 4409 83

3*

33

97

89

93

87

69 73

23 33

59

83

67

69

57

59

89

67

03

33 51

51

39 61

40oi

29

43

33

89

63

77

71

67

57

71

59

11

51

33 37

37 43

3907

43 49

61

31

79

39

31

57

3803 81

67

31

47

37 oi

61

17

39 41

73

49

99

35n 3607

23 47

19

89 43

21

37

19

77

55oi 03

07

19

69

73 81

91

41

47

51

53

57

59

69

83

89 93 37

41

43

49

79

83

49

51

5623 39 57oi 11

17

91

58oi 07

13

21

27

39

43

57

67

69

79 81

97

23 27

39

53 81

87

37

43

31

33

17

21

29

87

99

59 0 3

61

6 0 0 7 IL

29

79

89 91

97

99

6l01'

61

13 21

77

47

53

67

73

43

51

63

73

47

57

63

69

23

29 37

43

53

59

79

89 97

19

6 4 2 1 27 49 51 69 73 81 91 6521 81 6607 91 6 7 oi 81 6803 71 6907 77 70oi 7103 93 7207 83 7307 74n 89 75O7 61 7603 87 7 7 03 93 7817 83 7 9 oi 93 8009 89 81oi 91

20

29 47 51 53 63 69 71 77 99 19 37 53 59 61 73 79 89

8 2 0 9 19 21 31 33 37 43 63 69 73 87 91 93 97 8 3 n 17 29 53 63 69 77 87 89 8 4 1 9 23 29 31 43 47 61 67

09 21 27 29 51 59 77 87

8 5 o i 13 21 81 97 99 8609 23 27 81 89 93 8707 13 19 79 83 8803 07 19 63 67 87 8 9 2 3 29 33

11 13 19 29 37 43 47 53 97 09 21 31 33 49 51 69 93

90oi 67 9103 81

03 91 23 83 11 83 13

17 99 17 73 07 91 17

09 93 27 99 17 91 19

19 33 37 61 63 79 29 33 41 57 63 69 47 49 59 61 67 71 97 27 39 43 57 69 79

27 37 39 43 63 73 29 41 47 63 69 77 99 31 37 41 47 53 61 21 31 37 39 49 61 93 41 51 63 69 71 99

07 11 13 29 41 43 49 59 91 09 27 33 37 51 57 61 73 87 99

33 51 57 59 77 81 87

9203 09 21 27 39 41 57 77 81

29 37 41 47 49 59 83 89 91 39 43 49 69 73 81

9 3 n 19 23 37 41 43 49 71 77 91 97

83 93

23 77 21 99 23

27 41 53 57 59 89

9 4 O 3 13 19 21 31 33 37 39 61 63 67 73 79 91 97 9 5 n 21 33 39 47 51 87

23 29 41 53 67 73 77 79

9 6 o i 13 19 23 29 31 43 49 61 77 79 89 97

07 19 27 33 37 49 51 63

9 7 i 9 21 33 39 43 49 67 69 81 87 91

11 17 39 53 59 69 81 87 93 11 17 23 47 61 67 71 79

9 8 O 3 11 17 29 33 39 51 57 59 71 83 87

9 9 o i 07 23 29 31 41 49 67 73 Aus F. Triebeis „Teilbar

Quadratwurzel Wird eine Zahl einmal mit sich selbst multipliziert, dann bezeichnet man das Ergebnis mit Quadrat (8X8 = 64); die Zahl, mit der diese Multiplikation ausgeführt worden ist, nennt man Quadratwurzel. Um anzugeben, daß eine Zahl einmal mit sich selbst multipliziert werden soll, setzt man rechts daneben eine kleine 2 (82 = 64). Als Zeichen^für die Ermittlung der Quadratwurzel setzt man vor die Z a h l K (1/64 — Die Errechnung der Quadratwurzel erfolgt nach der Formel: a2+2ab+b2 Beispiele : Zahlen von rechts nach links in Gruppen zu 2 Zahlen teilen; die Quadratwurzel der ersten Gruppe (a 2 der Formel) ist das erste Teilergebnis. An den Rest die erste Ziffer der zweiten Gruppe anhängen und ihn teilen mit dem Teilergebnis der Wurzel, das zuvor mit 2 zu multiplizieren ist (2a der Formel). Das Ergebnis dieser Teilung ist das zweite Teilergebnis der Quadratwurzel. Nach der Multiplikation (2ab der Formel) an den Rest die zweite Ziffer der zweiten Gruppe anhängen und von dieser Zahl die zweite Ziffer der Wurzel — einmal mit sich selbst multipliziert — abziehen (b2 der Formel). Hat die Wurzel mehr als 2 Ziffern, dann werden die nächsten Teiler (2a) aus den bereits ermittelten Zahlen der Wurzel — mit 2 multipliziert — gebildet. Von dem Rest auch 2ab und b2 abziehen. Kürzeres

Verfahren

siehe n ä c h s t e Seite. Bei der Teilung (Division) y 8141 = 29 durch 2a darauf achten, a2 = 2 X 2 = _4 daß von dem Rest n'och b2 abzuziehen ist. In 2 a = (2 X 2) = 4 : 44 = 9_ solchen Fällen das Er— 2 a b = (4 X 9) = 36 gebnis der Teilung ent81 sprechend verringern 2 (siehe nebenstehendes — b ( 9 X 9 ) = 81 Beispiel). ^25140116 = 504 a 2 = (5 X 5) = 2 5 . ! 2 a = (2 X 5) 10 : 2 a = (2 X 50) 100 : — 2 a b ( 4 X 100) = —b2 ( 4 X 4 ) =

4 = 0 401 = 4 400

Ergibt die Teilung von 2a eine Null, dann gleich die beiden nächsten Ziffern (01) anhängen.

16 16 21

j/7l|57|16 = 846 (8 X 8) = 64 2a ( 2 X 8 ) 16 : 75 = 4 — 2ab(16X4)=64 117 — b2 (4X4) = 16 2 a ( 2 X 8 4 ) 168:1011 = 6 — 2ab (168X6)= 1008 36 —b2 ( 6 X 6 ) = 36

|/2|90|70|25 = 1705

a2

a2 =

po = 0 . 1 0 ^ '

4 Ä

7 '

(nicht 9, da vom Rest noch 2ab und b2 abzuziehen sind)

2g

504 anf seite 21)

—2ab = 14 50 = 49 2a = 3 4 : 0 : 17102 = 05 700 (wegen 0 ¿2 aa uh = 1iivv Biehe Beispiel — b2 = 25

Kürzeres Verfahren An den Rest von a s und an die Division von 2a beide Ziffern der nächsten Gruppe anhängen. Das Ergebnis der Division von 2a nicht nur an das Teilergebnis der Wurzel, sondern auch an den Divisor 2a anhängen. Subtraktion von 2ab und b* zugleich ausführen.

Die o b i g e n B e i s p i e l e n a c h dem k ü r z e r e n Verfahren: V71[57|16 = 8 4 6 a 2 = 8 = 64 16 ; 4 : 757 = 4 656 168 6 : 10116 = 6 10116

V2|90|70|'25 = 1705 a 2 =J_ 2 7 : 190 = 7 189 34Ì05 : 17025 = 05 17025

Oder noch kürzer mit Ablesen- von a 2 (zweistellig) aus der Tabelle auf Seite 2 6 : |/7157|16 = 846 a = 8 4 X 8 4 = 7056 2a = 168 6 : 10116 = 6 10116

a

22

1 / 2 9 0 1 7 0 | 25 = 1705 a2=17X17=289 34 05 :17025 = 05 17025

Die Quadratwurzel ist eine Dezimalzahl (Irrationale

Wurzel)

Verbleibt bei der Quadratwurzel einer ganzen Zahl ein Rest (l/~89 = 9, Rest 8), dann an den Rest Nullen anhängen; vor Anhängen der ersten Null erhält die Wurzel ein Komma. V89 = 9,43 a 2 (9 X 9) = 81 18.4 : 80:0 = 4 736 1 8 8 3 : 64C:0 = 3 564 9 751 u s w . Rechenprobe:

Kürzer mit a* (zweistellig) aus der Tabelle auf Seite 26: V89,00 = 9,43 a 2 (94X94) = 8836 18813 : 640 0 = 3 564 9 751 usw.

9,43 X 9,43 = 88,9249 + 751 = 89,0000

Quadratwurzel von Dezimalzahlen Nur die g a n z e n Zahlen von r e c h t s n a c h l i n k s abteilen; vor Anhängen der ersten Dezimalziffer erhält die Wurzel ein Komma. Dezimalzahlen ohne Ganze (s. Beispiel 0,0289) vom Komma ab von l i n k s n a c h r e c h t s abteilen.

1/7,84

2,8

1 / 0 , 0 2 / 8 9 = 0,17

4 4 : 8 : 38. 4 = 8 384

27 : 18 9— 7 189

Quadratwurzel von Brüchen Kleinere Brüche, deren Zähler und Nenner Wurzeln ohne Rest haben, sind leicht zu errechnen; ]/ i/4 = 1/2, K 9 /i6='/4. Sonst sind die Brüche erst in Dezimalzahlen zu verwandeln (Verwandlung .s. Seite 9,111).. j/"577 verwandelt 0,625 |/6 19 /25 verwandelt = 6,76 ^ 0,625 = 0,79 49 |/6,76 = 2,6 4 14 9 : 135 0 = 9 4:6 : 2 7 6 = 6 1341 27 6 9 usw. 23

Kubikwurzel Wird eine Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert, dann bezeichnet man das Ergebnis mit Kubus ( 3 X 3 X 3 = 27). Die Zahl, mit der diese Multiplikation ausgeführt worden ist, heißt Kubikwurzel. Um anzugeben, daß eine Zahl in den dritten Grad erhoben werden soll, setzt man rechts daneben eine kleine 3 (2® = 8). Als Zeichen für .die Ermittlung der Kubikwurzel setzt man vor die Zahl

V.

Die Errechnung erfolgt nach der Formel: a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b s . Beispiele:

|/12|977|876 = 235 a3 = 2 X 2 X 2 = 8. 1 3a2 ( 3 X 2 X 2 ) = 12: 49=3,nicht4,_ 3 a2 b (3 X 12) = — 3ab2 ( 3 X 2 X 3 X 3 ) =

1 3 7 und b 8 abzu-

54 z i e h e n 837 — b' ( 3 X 3 X 3 ) = 27 3a2 (3 X 23 X 23) = 1587: 8108 = 5 — 3a2b (5 X 1587) = 7935 1737 — 3ab2 (3X23X5X5) = 1725 125 — b 3 (5 X 5 X5) = _125

Teilung

durch

3a*

eine

Null,

8ind

-

Zahlen von rechts nach links in Gruppen zu 3 Zahlen teilen. Die Kubikwurzel der ersten Gruppe ist das erste Teilergebnis (a 1 der Formel). An den Rest die nädiste Ziffer (der zweiten Gruppe) anhängen und diesen teilen mit 3a 1 . Nach der Multiplikation ( 3 a ! b ) an den Rest die nächste Ziffer (der zweiten Gruppe) anhängen und von dieser Zahl 3ab ! abziehen. Nach Anhängen der dritten Ziffer (der zweiten Gruppe) von dem Rest b s abziehen. Hat die Wurzel mehr als drei Ziffern, dann die nächsten Divisoren (3a 8 ) aus den bereits ermittelten Zahlen der Wurzel bilden. Bei der Division durch 3a* darauf achten, daß von dem Rest noch 3ab ! und b s abzuziehen sind. In solchen Fällen das Teilungsergebnis deshalb entsprechend verringern. Ergibt die

dann gleich die nächsten

dre

Ziffern

anhängen

Beispiele :

Kl|12|48|64 = 104 a 3 = l (1 X 1 X 1) J. (3 X 1 X 1) 3: 1 = 0 (3X10X10) 300 : 1248 = 4 (4 X 300) 1200 486 (3 X 10 X 4 X 4) 480 64 ( 4 X 4 X 4 ) 64

K221|44|51|25 =

Kürzeres Verfahren siehe Seite 2J5.

24

605

a3 = 6 (6 X 6 X 6) 216 (3 X 6 X 6) 108: 54 = 0 (3 X 60 X 60) 10800 : 54451 = 5

GrößereZahlen: 930962,90 : 3,14 = 2964,85 374598 X 3,14 9106 (29 X 314) 98 X 3,14 = 30772 20362 45 X 3,14 = 14130 20096 (64 X 314) 37 X 3,14 = 11618 26690 = 1176237,72

Tabelle ist aus F. T r i e b e i s '

26690

(85 X 314)

„Rechen-Resultate"

43

Beispiele für Flächen- und Körperberechnung Ein Saal, 12 m lang und 6 m breit, soll mit Brettern gedielt werden; wieviel Bretter sind dazu erforderlich, wenn jedes Brett 3 m lang und 40 cm breit ist? Flächeninhalt des Saales 12 X 6 = 72 qm Flächeninhalt eines Brettes 3 X 0,40 = 1,20 qm 72 : 1,20 = 60 Bretter. Eine Stube ist 5 m lang, 4 m breit und 3 m hoch; in derselben sind 2 Fenster, jedes 2 m hoch und 1 m breit, 2 Türen, je 2 % m hoch und 1 m breit. Wieviel Meter Tapeten sind erforderlich, wenn die Rolle 50 cm breit ist? 2 Längswände, je 5 m lang, 3 m hoch = 30 qm 2 Seitenwände, je 4 m „ 3 m „ = 2 4 „ Wände zusammen = 54 qm Davon ab 2 Fenster = 4 qm 2 Türen = 5 „ 9 „ bleiben zu tapezieren 45 qm Die Tapeten sind Vz m breit, also sind erforderlich 45 qm: %

=

45X2

=

^

m Tapeten

Um einen kreisrunden Rasenplatz, der einen Durchmesser von 45 m hat, führt ein 1,5 m breiter Fußweg (Gesamtdurchmesser also 45 + IV2 + IV2 m = 48 m). Wie groß ist der Flächeninhalt des Fußweges? Flächeninhalt des ganzen Platzes . U1 c „ 4 8 X 4 8 X 3,14 1ono einschl. Fußweg = 1808,64 qm . c _ 45 X 45 X 3,14 , cün ohne Fußweg = 1589,625 ,. Mithin Flächeninhalt d. Fußweges =

219,016 qm

Wie groß ist der Flächeninhalt eines elliptischen Spielplatzes, dessen Achsen 40 und 60 m messen? Flächeninhalt: 20 X 30 X 3,14 = 1884 qm. 44

Wieviel Steine sind zu einer Mauer erforderlich, die Länge von 40 m, eine Höhe von 2 m und eine Breite 0,37 m hat, wenn jeder Stein nach Hinzurechnung des gehörigen Verbindungsmittels 25 cm lang, 12 cm breit 8 cm hoch ist?

eine von zuund

Kubikinhalt der Mauer = 40 X 2 X 0,37 = 29,60 cbm, eines Steines = 0,25 X 0,12 X 0,08 = 0,0024cbm; 29,60 : 0,0024 ergibt 12 333Vs = 12 334 Steine. Der Laderaum eines Wagens hat eine Länge von 4 m, eine untere Breite von 1,10 m, eine obere Breite von 1,50 m und eine Höhe von 0,80 m. (Die Höhe ist die Senkrechte zwischen der unteren und oberen Grundfläche.) Wieviel Kubikmeter Laderaum hat der Wagen? Länge X mittlere Breite X Höhe, also 4 X 1,30 X 0,80 = 4,16 cbm Die mittlere Breite wird festgestellt, indem die untere und obere Breite zusammengezählt und die erhaltene Summe halbiert wird (1,10 + 1,50 = 2,60 : 2 = 1,30 m). Ein Kegel hat einen Halbmesser von 0,50 m und eine Höhe vop 3 m. Wie groß ist sein Rauminhalt? 0,5 X 0,5 X 3,14 X 3 2,355 „ „„ - = —t r r 4 l ¡ r " , = 0,785 cbm geteilt durch 3 3 Der Durchmesser einer Kugel ist 0,80 m. Wie groß ist die Oberfläche und der Rauminhalt derselben? Oberfläche = 0,80 X 0,80 X 3,14 = 2,0096 qm ( 2 q m 9 6 q c m ) oder 4 X 0,40 X 0,40 X.3,14 = 2,0096 qm. . , | 0,803 X 3,14 0,512 X 3,14 Rauminhalt = - = —1— = 0,267946 cbm 6 6 . 0,403 X 4 X 3,14 . oder — — = 0,267946 cbm

45

Ein zylindrischer Behälter soll 5 Hektoliter Wasser fassen; er darf nur 1,50 m hoch sein. Wie groß muß dann der Durchmesser sein? 1 Liter = 1000 Kubikzentimeter 5 Hektoliter = 500 000 Kubikzentimeter •./ Kubikinhalt TI „ Halbmesser — y r———r^ - also ' 3,14 X Hohe 1/ ™ 0 0 ° L X 1/1061,5711 = 32,58 cm Halbmesser ' 3,14 X 150 mithin Durchmesser 2 X 32,58 = 65,16 cm. Ein zylindrisches Gefäß hat eine innere Höhe von 1,50 m und einen inneren Durchmesser von 80 cm; wieviel Liter Wasser faßt es? (1 Liter = 1000 Kubikzentimeter) Grundfläche (s. Kreis, Seite 34) X Höhe, also 40 X 40 X 3,14 = 5024 X 150 = 753 600 Kubikzentimeter 753 600 ccm : 1000 ergibt 753,6 Liter. Ein Faß hat (innen gemessen) 1,05 m Höhe, 60 cm Weite (Durchmesser) und eine Bodenfläche von 42 cm (Durchmesser); wieviel Liter faßt es? In der nachstehenden Berechnungsformel bezeichnet R Halbmesser der Spundweite, r Halbmesser der Bodenfläche, h die Höhe (RXRX2 +

r X r ) X ^ o also 30 X 30 X 2 + 21 X 21 105 X 3,14 : 3 - 2241 X 109,9 ergibt 246 285,90 Kubikzentimeter, geteilt durch 1000 = 246,2859 Liter, also abgerundet 246% Liter. (1 Liter = 1000 Kubikzentimeter) 46

Stückzahlberechnung mit Einheitspreis für 1 Stück M e n g e multiplizieren mit Einheitspreis Beispiele: 1 m kostet 0,65 DM; 12Va m = 12,5 X 0,65 = 1 kg „ 7,15 DM ; 63/4 kg = 6,75 X 7,15 = 1 Dtz. „ 9,60 DM ; &U Dtz. = 3,25 X 9,60 = 12 Stück (1 Dutzend) kosten 10,20

7

„

(Vi.

„

)

8,125 , = 8,13 DM* 48,2625 = 48,26 DM* 31,2000 = 31,20 DM DM

„

5,95

DM

oder 1 Stück kostet (10,20:12) 0,85 DM;

7 Stück (7 X 0,85) = 5,95 DM

Stückzahlberechnung mit Einheitspreis für 100 oder 1000 Stück Menge X

Einheitspreis

geteilt durch 100 b z w T l O O O (Man teilt eine Zahl durch 100 oder 1000, indem man v o n rechts nach links 2 b z w . 3 Stellen

abstreicht.)

Beispiele: 100 m kosten 167,50 DM; 15

^

=

25'125

a b

also kosten 15 m « e r u n d e t 25,13 D M *

1000 Stück kosten 246,75 DM; 1000

=

3425 Stück kosten

845,11875 abgerundet 845,12

DM*

*> Ergebnisse mit mehr als 2 Dezimalstellen von l/s Pfennig an — also wenn die dritte Dezimalstelle die Zahlen von 5—9 aufweist — nach oben auf volle Pfennigbeträge abrunden. 47

Regeldetri (Dreisatzrechnung) 7 m kosten 240 DM; wieviel kosten 19 m? 240 19 X 240 7 m = 240 DM, also I m -y DM, 19 m = = 651,43 DM Bei Stoffbreite von 80 cm werden zu einem Kleidungsstück 3V2 m Stoff gebraucht; wieviel m sind bei einer Breite von 70 cm erforderlich? Bei 80 cm Breite sind 3V2 = V2 m erforderlich 7 X 80 bei 1 cm Breite sind m erforderlich, 1 X 40 .„ 4 u •™ , 7 X 80 ... bei 70 cm DBreite 7 — g e k ü r z t - — - 7 7 = 4 Meter 6 Arbeiter würden eine Arbeit bei täglich 6 Stunden in 36 Tagen fertigstellen. Nach 4 Tagen scheiden 2 Arbeiter aus; die übrigen arbeiten nun täglich 8 Stunden. In wieviel Tagen wird die ganze Arbeit fertig? Zuerst ist festzustellen, wieviel von allen Personen in den ersten 4 Tagen bis zum Ausscheiden der beiden geleistet worden ist.

In 36 Tagen vollbringen 6 Arbeiter 1 Arbeit, 1X4 in 4 Tagen yollbringen 6 Arbeiter—;— = V» Arbeit; 36 V» der Arbeit wurde bis zum Wechsel fertig 8 fo der Arbeit blieben noch zu erledigen; 6 Arbeiter fertigen bei 6 Stunden eine Arbeit in 36 Tagen, 4 Arbeiter fertigen bei 8 Std.8/» Arbeit in ^ X t * ^ X j = 36 Tagen; 4 8 9 dazu 4 Tage der gemeinschaftlichen Arbeit, ergibt 40 Tage. Zu 6 Hemden braucht man 16 m Leinwand, wenn diese 80 cm breit ist; wieviel Meter sind zu 18 Hemden erforderlich, wenn die Leinwand 1 m breit ist? 16 X 18 X 80 ... 16 X 3 X 4 „ _ . . . —6^"l00~gekurzt 1~X~5 = 3 8 , 5 M e t e n 48

Gesellschaftsrechnung Von einer Summe Geldes soll erhalten: A Vs, B V i , C 3/s und D den Rest im Betrage von 2800 DM. Wie hoch ist die ganze Summe und wieviel erhält A, B und C? Ausrechnung: 40 A erhält V3 Von 16 000 DM C

"

^

—A p n " A, B, C zusammen D erhält 2800 DM Die ganze Summe 2800X40 = = beträgt —

¡¡^

erhält A Vs = 3200 DM

*-5T 33Uo = 7/4o (40/*>) 16000 DM

B

1/4

= 4000

„

/s = 6000 " D Vn = 2800 „ Z u s a m m e n 16 000 DM G

Ein Behälter kann durch 4 Rohre entleert werden. Rohr A leert ihn in 1 Std., B in 3U Std., C in V2 Std., Rohr D in Vi Std. In welcher Zeit wird er entleert, wenn alle Rohre zugleich geöffnet werden? Ausrechnung: Zuerst feststellen, welcher Teil des Behälters von den Rohren im einzelnen und im ganzen in dem gleichen Zeitraum entleert wird. (1 Stunde geteilt durch Anzahl der Rohre = ^Stunde) Rohr A leert in Vi Stunde V4 Behälter = 3/i2 1 /s* B „ „ Vi „ „ = V12 „ „

C D

„ „

„ y4 „ Vi

„ „

V2 Vi

4 Rohre in V4 Stunde 25

/i2 in 15 Min.;

„ „ 25

zus.*

= V12 I 25 /I 2 ="/«

/i2 Behälter.

/i2 i n — = 25

12

* In 3A Std. = Vi Behälter; in Vi Std. —

7Vs Min.=

Vs Behälter.

4Q

Prozentrechnung Von einer Rechnung im Betrage von 7345,60 DM ist ein Abzug von 2 1 /2% zu machen. Wie hoch ist die abzuziehende Summe? Prozentsatz X Rechnungsbetrag geteilt durch 100 Abzug von 100 DM bei 2lh Prozent = 2,50 DM T 2,50 »» »» »» »* »» »» 100 nu 7345,60 X 2,50 _ „ 7345,60 DM — — 183,64 DM In kleinen Mengen eingekauft kostet eine Ware 165 DM, in größeren Mengen 132 DM- Um wieviel Prozent kauft man in letzterem Falle billiger ein? Ersparnis bei 165 DM (165 — 132) = 33 DM

"

" §5DM

1

bei 100 DM =

33

* ! ° 0 = 20 DM, also 20 Prozent. 165

Ein Gärtner pflanzt Früh- und Spätgemüse; beim Verkauf bringt das Frühgemüse 700 DM, das Spätgemüse 560 DM. Wieviel Prozent hat ersteres mehr Gewinn gebracht? •Mehrgewinn bei 560 DM (700—560) = 140 DM

" bei 100 DM =

W>DM

1 =

25 DM, also 25 Prozent

Bei jeder Prozentrechnung muß also die Zahl 100 in Ansatz kommen. Prozent heißt „für Hundert". Der Ansatz richtet sich nach der Fragestellung. 50

An Jahreslöhnen sind für eine Werkstatt 928 000 DM zu zahlen. Die jährlichen Ausgaben für Werkstattleitung und sonstige persönliche Unkosten für Boten usw. betragen 203 000 DM. Wieviel Prozent sind den Grundlöhnen (d. h. den Löhnen, die nach Abzug der Unkosten verbleiben) als Aufschlag den einzelnen Arbeiten der Werkstatt hinzuzurechnen, damit die Gesamtlöhne verrechnet werden? Jahreslöhne im ganzen 928 000 DM Jährliche Unkosten . . 203 000 DM bleiben Grundlöhne .

. 725 000 DM

Bei 725 000 DM Grundlöhnen beträgt der Aufschlag 203 000 DM 203000 X 100 „„ „ „ , 100 „ — — = 28 DM, also 28 Prozent

Die. Herstellungskosten der Erzeugnisse einer Werkstatt betragen für 160 000 Stück 68 000 DM. Für allgemeine Geschäftsunkosten (Betriebsleitung, Miete, Abschreibungen, Steuern usw.) sind den Herstellungskosten 60 Prozent Aufschlag hinzuzurechnen. Wie hoch ist der Verkaufspreis für 100 Stück, wenn ein Gewinn von 20 Prozent erzielt werden soll? Herstellungskosten für

=

68 000 DM

=

40 800 DM

mithin Selbstkosten für 160 000 Stück

=

108 800 DM

a r • dazu 2™o/ 0 % Gewinn

-_

21 760 DM

dazu 60 °/o Aufschlag

160 000 Stück 68

=

^ ^

60

108 800 — - X 20

mithin Verkaufspreis f. 160 000 Stück also für 100 Stück =

160 000

= 130 560 DM =

m

Herstellungskosten enthalten allgemein nur die W e r k s t a t t k o s t e n , also die Löhne einschl. der Unkosten für W e r k s t a t t l e i t u n g , Antriebskraft, Abnutzung und Instandhaltung der Maschinen usw. Die Selbstkosten enthalten die W e r k s t a t t k o s t e n und den Anteil an den allgemeinen Verwaltungskosten.

51

Zu 4310 DM Selbstkosten soll ein Gewinnaufschlag von 22Vz Prozent gemacht werden; wie hoch ist die Gewinnsumme, wie hoch der Verkaufspreis? • 22,5 X 4 3 1 0 Gewinnsumme = ^

=

_ 969,75 DM

Verkaufspreis = 4310 + 969,75 = 5279,75 DM Selbstkosten . = 560 DM

Selbstkosten

Verkaufspreis

Verkaufspreis = 1550 „

= 672 „

Gewinn . . . . = 112 DM

= 1742 DM

Verlust . . . . =

192 DM

Wieviel Prozent sind Gewinn bzw. Verlust? Gewinnbei560 DM = 112 DM 112 1 560 = 112X100 = bei 100 DM — 20 DM oou

Verlustbeil742 DM=

192 DM 192 1742"

1 „ 1742 bei 100 DM=1-92Xw-

also Gewinn 20 Prozent.

11,02 DM

also Verlust 11,02 Prozent.

Statistik Unter 3750 beschäftigten Personen befinden sich 1650 Handwerker, 1950 Arbeiter und 150 Arbeiterinnen; wieviel Prozent * entfallen auf die einzelnen Gruppen? 1650 Handwerker

=

1950 Arbeiter 150 Arbeiterinnen = zus. 3750 Personen

52

1650 X 100 3750 1950 X 100 3750 150 X 100 3750

=

44 °/o

=

52 °/o

=

4 °/o

zus. 100 °/o

Zinsen nach Jahren Wieviel Zinsen bringen 4560 DM 100DMbr.ini J .

6DMZs.

DM -6" " " " 100 6 X 4560 DM 4560 „ „ „ 1 „ 100 6X4560X3 DM 4560 *» » »» ^T) 100 1

1

Kapital zu 6 °/o in 3Jahren? Kürzer nach der Formel: Kapital X Zinsfuß X Jahre geteilt durch 100 also

4560^_X3^

8208()DiW

820,80 DM Zinsen

Wieviel Zinsen bringen 3480 DM zu 6V2. % in 4V2 Jahren? 3480 X 6,5 X 4,5 = 1017,90 DM 100

Zinsen nach Monaten Wieviel Zinsen bringen 760 DM zu 6 % in 5 Monaten? 100 DMbr.inl2Mon. 1 )> »» M 1 760

J>

>»

»t

6 DMZs

6 DM 100X12 6X760X5 100X12

= 19 DM Zinsen

Kürzer nach der Formel: y Kapital X Zinsfuß X Monate geteilt durchlÖÖ X 12 .

760 X 6 X 5 1200

=

1 9 D A /

Wieviel Zinsen bringen 2640 DM zu 7Mi °/o in 8V2 Monaten? 2640 X 7,5 X 8,5 1200

= 140,25 DM

53

Zinsen nach Tagen Kapital X Tage X Zinsfuß geteilt durch 360 X 100

oder kürzer Tageszahlen

Kapital X Tage Tageszahl X 100

Bei Zinsen nach Tagen wird das Jahr zu 360 Tagen gerechnet. Tageszahlen werden ermittelt durch Teilung (Division) von 360 durch den Zinsfuß —-7-7; Zinsfuß

Solche Tageszahlen (Zinsdivisoren) sind bei 1 Prozent IV2 „ 2 21/ 4 „ 21/2 „ 3

= = = = = =

3V3 Prozent = 108 7V2 Prozent = 48 3»/4 „ = 96 8 = 45 >> 4 = 90 = 40 9 » 10 = 36 4Vt „ - 80 12 = 30 5 „ = 72 »» usw. 6 „ = 60 '

360 240 180 160 144 120

Beispiele: Wieviel Zinsen bringen 3960 DM zu 8 %> in 50 Tagen? 1000.1/in 360 Tg. 1 „ „

8DMZs. 8 n •#

ITag 100X360

3960 „ „ 50Tg.

8 X 50 X 3960 100 X 360

= 44 DM Zinsen

Kürzer nach der Formel: Kapital X Tage X Zinsfuß geteilt durch 360 X 100 3960X50X8 = 44 DM Zinsen 36000

Oder bei Berechnung mit Tageszahlen: 3960 X 50 = 44 D.W Zinsen 4500 (45 X 100) Wieviel Zinsen bringen 4680 DM zu 7% °/u in 65 Tagen? (Tageszahl bei 7Vz% = 48) 4680 X 65 = 63,375 abgerundet 63,38 DM 4800 54

Zinsrechnung W>e groß ist das Kapital, welches zu 5 Prozent ausgeliehen in 80 Tagen 75 Mark Zinsen bringt? Ausrechnung: Zu 5 DM t*

1

»»

»» 75

„

» 75

ff

75

„

Zinsen in 360 Tagen sind erforderlich 100 DM 100 »» »» 360 ff „ tt 5 100X75 ff ff 360 ,, ,, ,, 5 100X75X360 ff ff 1 Tag ff 5 100X75X360 „ „ 80 Tagen 5X80 gekürzt:-1-?-^-?-901X1

= 6750 DM

2880 DM bringen in 80 Tagen 51,20 DM Zinsen; zu wieviel Prozent ist das Kapital ausgeliehen? Ausrechnung: 2880 DM

bringen in

80 Tagen . . 51,20 DM

1

„

„

„

100

„

„

„ 8 0

100

„

„

„

100

„

„

„

51,20 X 100 X 360 2880X80

80

„

....

„

...

1 Tag

...

, ...

DM DM

5-f§gig>

1,60 X 5 X 1 = 1X1

DM

g f

360 Tagen (1 Jahr)

gCkurZt:

Zinsen

= 8

DM

•

das Kapital ist also zu 8 Prozent ausgeliehen. 55

Zinsrechnung 2400 DM brachten bei 6 Prozent 64 DM Zinsen; wie lange war das Kapital ausgeliehen? Ausrechnung: 100 DM 1

br. 6 DM

„

Zinsen in

„ 6

„

2400

6

2400

1

2400

64

360

Tagen

„ 360X100 „ •360X100 " 2400 " 360X100 " 2400X6 360X100X64 " 2400 X6

"

. . . . 1 X 20 X 8 . gekürzt: — - — in 160 Tagen 1X1 In welcher Zeit ist ein Kapital von 6000 DM, zu 5 Prozent ausgeliehen, einschl. Zinsen auf 7650 DM angewachsen? Ausrechnung: Jetziges Kapital = 7650 DM früheres Kapital = 6000 „ mithin Zinsen

=

1650 DM

6000 DM bringen zu 5 Prozent ausgeliehen in 1 Jahr — zu 300 DM

=

300 DM Zinsen;

Zinsen ist erforderlich

*1•

»»

»

»»

„ 1650

„

„

sind erforderlich

»»

= , 5V2 Jahre. 56

Ii

1 Jahr, -1- " 300 1

*"|50 oUU

In welchem Zeitraum bringen 1500 DM, zu 6 Prozent ausgeliehen, ebensoviel Zinsen wie 2000 DM, die zu 5 Prozent verliehen sind? Ausrechnung: 1500 DM zu 6% brii 2000

„

„ 5%

So oft nun 90 in 100 enthalten ist, so lange müssen obige 1500 DM ausstehen; also 100 : 90 = l1/» = 1 Jahr und 40Tage. ('/» Jahr = 360 :9 = 40 Tage.)

Wechsel-Diskontrechnung Ein am 10. Juni fälliger Wechsel über 5000 DM wird am 10. April verkauft; wieviel beträgt der Diskont bei 6 Prozent? Ausrechnung: Laufzeit: April 20 Tage, Mai 30, Juni 10, zusammen 60 Tage. (Jeder Monat wird mit 30 Tagen, das Jahr mit 360 Tagen berechnet.)

Kapital X Tage X Zinsfuß geteilt durch 360 X 100 ,

_5000 X 60 X 6 36000

=

oder kürzer bei Berechnung mit Tageszahlen (Zinsdivisoren): Kapital X Tage geteilt durch 100 X Tageszahl

5000 X 60 6000*

=

* Tageszahl ist bei 6 Prozent = 60

Ermittlung der Tageszahlen siehe Seite 54 57

Rechnen mit englischen Pfunden, Schillingen und Pence 1 Pfund ( £ ) = 20 Schillinge (sh) = 240 Pence (d) 1 Schilling = 12 Pence. Beispiele: Addition

Subtraktion

£

sh

32 3

8 15

d 7 6

£ 24 6

sh 12 18

d 3 9

36

4

1

17

13

6

Umrechnung von Schillingen und Pence in Dezimalstellen von einem Pfund 1 sh =

V20 = 0,05 £; 1 d = 'Amo = 0,0041 £

Um Schillinge und P e n c e als Dezimalbruch niederzuschreiben, multipliziert man die Anzahl der Schillinge mit 5 (1 sh = 0,05 £) und die Anzahl der P e n c e mit 4 (1 P e n c e = 0,0041 £ ) unter Berücksichtigung der entsprechenden Dezimalstellen. Beispiel: 27£ 16 sh 4 d = 27,816 £ ( 1 6 X 5 = 80; 4 X 4 = 16) Um einen Dezimalbruch englischer Währung in Schillinge und Pence zu verwandeln, dividiert man die ersten - z w e i Stellen hinter dem K o m m a durch 5, den etwaigen Rest nebst der dritten Stelle durch 4. Beispiel: 25,844 £ = 25 £ 16 sh 11 d ( 8 4 : 5 = 1 6 R e s t 4 ; 4 4 : 4 = 11) 58

P a p i e r b er e c h n u n g Das Deutsche Industrie-Norm-Format (Din-Format) Reihe A des ungeschnittenen Fabrikbogens ist 84,1 X 118,9 cm; bei dieser Größe hat der Bogen einen Flächeninhalt von: rund 1 qm (84,1 X 118,9 = 9999,49 qcm = rund 1 qm). Das Gewicht eines Fabrikbogens ist also zugleich sein qm-Gewicht. Beim Hälfteln, Vierteln oder Achteln des Bogens bleibt das gleiche Verhältnis der Länge zur Breite bestehen, weil das Seitenverhältnis auf dem Verhältnis der Seitenlänge des Quadrats zur Diagonale beruht. Der Viertelbogen (A 4) hat eine Größe von 21 X 29,7 cm; er entsteht durch viermaliges Schneiden oder Falzen des Vierfachbogens (Fabrikbogens) und stellt Via desselben dar. Berechnungen des Gewichts , von Bogenteilen und des qm-Gewichts aus Bogenteilen sind infolge der Übereinstimmung des Bogen- und qm-Gewichts sehr einfach.

Beispiele: Bei einem qm-Gewicht von 72 g wiegen 1000 Vierfachbogen (84,1 X 118,9 cm) 1000 X 7 2 g = 2375 1 1750

„

„

Viertelbogen „

72

kg

2375 X 72 g = 171

kg

( 2 1 X 2 9 , 7 cm)

72:16

1750 X 4,5 g

=

4,5

=

7,875 kg

g

Berechnung des qm-Gewichts aus Bogenteilen: 1 Viertelbogen (A 4) wiegt 5 g also 1 ganzer (Vierfach)-Bogen 16 X 5 = 80 g 59

Bei Papier, dessen Größe nicht dem Din-Format entspricht, ist auch die Papierberechnung nach anderen Grundsätzen vorzunehmen, weil Bogen- und qm-Gewicht nicht übereinstimmen. Beispiele: Wie hoch ist das qm-Gewicht eines Papiers in Größe 80 X 115 cm, wenn ein Bogen 96,6 g wiegt? 1 Bogen 80 X 115 cm = 9200 qcm = 96,6 g 96,6_ 9200 g mithin 1 qm (100X100 cm) = 10000 qcm = —

=

105 g

1 Blatt Kartonpapier in Größe' 18X23 cm wiegt 16 g wie schwer ist 1 qm? 1 Blatt 18 X 23 cm = 414 qcm = 16 g i

1 QCm

1 qm (100 X 100 cm) =

16 =

414g

10000 qcm =

16 X

,^ O O Q ° = 386,4 g

Welches Gewicht haben 1000 Bogen Papier, in Größe 60 X 72 cm, wenn 1 qm 90 g wiegt? 1 qm (100 X 100 cm) = 10000 qcm = 90 g 1 Bogen 60 X 72 cm =

4320 qcm

, 90 X 4320X 1000 1000 Bogen 60 X 72 cm also— 10000 = 38880 g = 38,880 kg 60

Wieviel kosten 1000 Bogen Papier in Größe von 45 X 68 cm, wenn 1 qm 90 g wiegt und 1 kg 0,65 DM kostet? 1 qm (100 X 100 cm) = 10000 qcm = 90 g ,1 dBogen