Nichtmetrische mehrdimensionale Skalierung als Instrument zur Lösung betrieblicher Entscheidungsprobleme [1 ed.] 9783428473083, 9783428073085

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GÜNTHER REITER

Nichtmetrische mehrdimensionale Skalierung als Instrument zur Lösung betrieblicher Entscheidungsprobleme

Betriebswirtschaftlic he Forschungsergebniss e Begründet von

Prof. Dr. Dres. h. c. Erich Kosiol t Freie Universität Berlin

Herausgegeben von

Prof. Dr. Ralf-Bodo Schmidt t

Albert-Ludwigs-Universität Freiburg i. Br.

und

Prof. Dr. Mareeil Schweitzer Eberhard-Karls-Universität Tübingen

in Gemeinschaft mit

Prof. Dr. Franz Xaver Bea Eberhard-Karls-Universität Tübingen

Prof. Dr. Knut Bleicher Hochschule St. Gallen

Prof. Dr. Klaus Chmielewicz Ruhr-Universität Bochum

Prof. Dr. Günter Dingos Freie Universität Berlin

Prof. Dr. Erich Frese Universität zu Köln

Prof. Dr. Oskar Grün Wirtschaftsuniversität Wien

Prof. Dr. Jürgen Hauschildt Christian-Aibrechts-Universität Kiel

Prof. Dr. Wilfried Krüger Justus-Liebig-Universität Gießen

Prof. Dr. Hans-Uirich Küpper Ludwig-Maximilians-Unlversität München

Prof. Dr. Siegfried Menrad Eberhard-Karls-Universität Tübingen

Prof. Dr. Dieter Pohmer

Eberhard-Karls-Universität Tübingen

Prof. Dr. Henner Schierenheck Universität Basel

Prof. Dr. Norbert Szyperski Universität zu Köln

Prof. Dr. Ernst Troßmann Universität Hohenheim

Prof. Dr. Dres. h. c. Eberhard Witte Ludwig-Maximilians-Universität München

Prof. Dr. Rötger Wossidlo Universität Bayreuth

Band 99

Nichtmetrische mehrdimensionale Skalierung als Instrument zur Lösung betrieblicher Entscheidungsprobleme

Von

Dr. Günther Reiter

Duncker & Humblot · Berlin

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Reiter, Günther: Nichtmetrische mehrdimensionale Skalierung als Instrument zur Lösung betrieblicher Entscheidungsprobleme I von Günther Reiter.- Berlin: Duncker und Humblot, 1991 (Betriebswirtschaftliche Forschungsergebnisse ; Bd. 99) Zug!.: Tübingen, Univ., Diss., 1989 ISBN 3-428-07308-8 NE:GT

Alle Rechte vorbehalten © 1991 Duncker & Humblot GmbH, Berlin 41 Fotoprint: Wemer Hildebrand, Berlin 65 Printed in Germany ISSN 0523-1027 ISBN 3-428-07308-8

Geleitwort des Herausgebers Die betriebswirtschaftliche Entscheidungsforschung hat sich die Entwicklung von Methoden und Modellen zur Unterstützung der Entscheidungsfindung in der Unternehmung zur Aufgabe gestellt. Um diesem Anspruch gerecht zu werden, müssen sich in den von ihr bereitgestellten Optimierungsansätzen betriebliche Entscheidungsprobleme mindestens homomorph abbilden lassen. In quantitativen Entscheidungsmodellen ist dies in der Regel nur dann möglich, wenn das zu lösende Entscheidungsproblem kardinal erfaßt werden kann. Ist dagegen nur eine ordinale Operationalisierung der entscheidungsrelevanten Sachverhalte möglich, können aus einem quantitativen Entscheidungsmodell keine materiell gehaltvollen Aussagen mehr abgeleitet werden. Der Entscheidungsträger befindet sich in diesem Fall in einem Dilemma, da ihm quantitative Optimierungsansätze zur Lösung seines Planungsproblems zwar grundsätzlich zur Verfügung stehen, diese seiner ordinal strukturierten Datenbasis aber nicht zugänglich sind. Leistungsfähige Ansätze zur modellgestützten Lösung ordinal operationalisierter Planungsprobleme sind dagegen kaum bekannt. Die vorliegende Arbeit greift dieses Dilemma der Entscheidungstheorie auf und entwickelt einen konzeptionellen Rahmen zur modellgestützten Lösung ordinal strukturierter Planungsprobleme. Ausgangspunkt der Problemlösung ist die Formulierung des Entscheidungsproblems als empirisches Relationensystem. In dieser Form läßt es sich mit Hilfe der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung als formales Modell in den mit einer Metrik versehenen euklidischen Raum abbilden. Die durch die Metrik definierte Abstandsstruktur dient dabei, analog zum Goal Programming, als quantitiative Ersatzzielfunktion des Problems. Die nichtmetrische mehrdimensionale Skalierung als leistungsfähiges statistisches Instrument zur Abbildung ordinaler Relationensysteme in ein formales Modell, nimmt in der psychologischen ebenso wie in der demoskopischen Forschung heute einen festen Platz ein. In anderen Forschungsbereichen ist sie dagegen bislang nur wenig bekannt. Auf der Grundlage einer meßtheoretisch-formalen sowie einer instrumentell

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Geleitwort des Herausgebers

orientierten Analyse wird der entscheidungstheoretische Beitrag der nichunetrischen mehrdimensionalen Skalierung in der vorliegenden Untersuchung umfassend herausgearbeitet. Losgelöst von einem konkreten Problernkontext wird hierbei durch die Abgrenzung alternativer Datenerhebungsszenarien ein allgemein gültiger Rahmen für die Problemstrukturen geschaffen, welche den Skalierungsmodellen zugänglich sind. Anband von zwei in sich geschlossenen, systematischen und Ieistungsfabigen Ansätzen zur betrieblichen Layoutplanung sowie zur Mehrzielprogrammierung wird gezeigt, wie sich das Dilemma der Entscheidungstheorie einer Lösung zuführen läßt. Besondere Beachtung verdient dabei der Ansatz zur Entscheidungsfindung bei mehrfacher Zielsetzung, da hierzu in der Literatur kein vergleichbares Modell bekannt ist. Ausgehend vom Grundmodell der Entscheidungstheorie wird ein Mehrzielentscheidungsproblem modular strukturiert und in einem mehrstufigen Prozeß in ein umfassendes Modell abgebildet. Dieses Modell ist in seiner Formalstruktur so allgemein formuliert, daß sich darin nahezu alle bedeutsamen Ausprägungen eines ein- und mehrpersonalen Mehrzielprogrammierungsproblems abbilden und einer Lösung zuführen lassen. Insgesamt leistet die vorliegende Arbeit einen wertvollen Beitrag für die Weiterentwicklung der betriebswirtschaftliehen Entscheidungsforschung. Tübingen, September 1991

Mareeil Schweitzer

Vorwort

Die Entscheidungstheorie bildete für lange Zeit einen der Forschungsschwerpunkte der am pragmatischen Wissenschaftsziel orientierten Betriebswirtschaftslehre. Trotz ihres hohen Entwicklungsstandes hat das Interesse an dieser Forschungsdisziplin in den letzten Jahren jedoch deutlich nachgelassen. Ursache dafür ist wohl nicht zuletzt die Tatsache, daß eine Vielzahl der innerhalb der Entscheidungstheorie entwickelten quantitativen Methoden und Modelle nur unter idealtypischen Bedingungen einen Beitrag zur Problemlösung leisten kann. Neben rechentechnischen Restriktionen ist es vor allem das Kardinalitätspostulat, das einer Entscheidungsfindung mit Hilfe quantitativer Entscheidungsmodelle oftmals im Wege steht. Ist dieses Postulat nicht erfüllt, d.h., lassen sich die entscheidungsrelevanten Sachverhalte eines betrieblichen Planungsproblems nicht kardinal, sondern etwa nur ordinal operationalisieren, können mit Hilfe eines quantitativen Optimierungsansatzes in der Regel keine materiell gehaltvollen Ergebnisse mehr abgeleitet werden. Die betriebliche Entscheidungstheorie steht hier vor einem Dilemma: Zwar stellt sie dem Entscheidungsträger ein breites Spektrum quantitativer Lösungsansätze zur Verfügung, der darin geforderte Kardinalitätsanspruch läßt sich in vielen realen Situationen jedoch nicht erfüllen. Leistungsfähige Ansätze zur modellgestützten Lösung ordinal strukturierter Probleme sind dagegen kaum bekannt. Gegenstand der vorliegenden Untersuchung ist die Formulierung eines konzeptionellen Ansatzes, mit dessen Hilfe betriebliche Entscheidungsprobleme auch bei ordinal operationalisierter Datenbasis in ein quantitatives Modell abgebildet und einer Lösung zugeführt werden können. Als Grundlage der Modellbildung dienen Verfahren der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung. Hierbei handelt es sich um ein theoretisch fundiertes und in anderen Wissenschaftsbereichen bereits bewährtes statistisches Instrument, das es erlaubt, ordinale Ähnlichkeits- und Präferenzrelationensysteme in einen metrischen Raum abzubilden. Bei geeigneter Wahl des metrischen Raumes führt diese Abbildung zu einem quantitiativen Modell des zugrundeliegenden Relationensystems.

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Vorwort

Am Beispiel eines Layoutplanungsansatzes sowie eines einpersonalen und eines kollektiven Entscheidungsproblems bei mehrfacher Zielsetzung wird gezeigt, wie sich betriebliche Entscheidungsprobleme, die eine zu einer Ähnlichkeits- bzw. Präferenzrelation isomorphe Struktur aufweisen, in einen euklidischen Raum abbilden lassen. Eine auf diesem Raum definierte Distanzfunktion dient dabei als quantitative Ersatzzielfunktion, mit deren Hilfe eine zumindest approximative Lösung des zugrundeliegenden Entscheidungsproblems bestimmt werden kann. Während im Fall des Layoutproblems ein bereits bekannter Ansatz aufgegriffen und nach einigen Erweiterungen einer kritischen Analyse unterzogen wird, handelt es sich beim Problem der Mehrzielentscheidung um einen neuartigen mehrstufigen Ansatz, mit dessen Hilfe nahezu jede Ausprägungsform eines Mehrzielentscheidungsproblemes mit ordinaler Informationsbasis einer Lösung zugeführt werden kann. Neben der Formulierung konkreter Lösungsansätze wird der entscheidungstheoretische Beitrag der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung in der vorliegenden Untersuchung umfassend herausgearbeitet und analysiert.

Die hier vorgelegte Studie wurde von der wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Eberhard-Karls-Universität Tübingen als Dissertation angenommen. Für die wissenschaftliche Betreuung der Arbeit bin ich meinem akademischen Lehrer, Herrn Professor Dr. Mareeil Schweitzer, zu großem Dank verpflichtet. Die durch ihn erfahrene Förderung sowie seine stete Ermutigung waren mir in allen Phasen der Untersuchung eine wertvolle Hilfe. Für die Übernahme der Zweitberichterstattung sowie für eine Reihe wichtiger Hinweise schulde ich Herrn Professor Dr. Franz Xaver Bea Dank. Wertvolle Anregungen habe ich von Herrn Professor Dr. Erwin Dichtl sowie von Herrn Professor Dr. Ernst Troßmann erhalten; ihnen möchte ich an dieser Stelle ebenfalls danken. Nicht unerwähnt bleiben darf die dankenswerte Unterstützung durch Herrn Professor Schubring bei der Lösung der EDV-technischen Fragen im Rechenzentrum der Universität Tübingen. Danken möchte ich schließlich allen, die mich bei der Übertragung des Manuskripts in eine druckreife Fassung unterstützt haben. In besonderem Maße gebührt hier mein Dank Herrn Rudolf Thalheimer und Frau Petra Theilfarth für die mit viel Aufwand verbundene Erstellung der Druckvorlage sowie Herrn Dipl.-Kfm. Wilfried Funk für die sorgfältige Durchführung der Korrekturarbeiten. Reutlingen, im August 1991

Günther Reiter

Inhaltsverzeichnis

A. Gegenstand der Untersuchung . . . . . . . . . . . . .

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8. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung.

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I. Grundgedanken der mehrdimensionalen Skalierung . . . . . . . . . . . 1. Meßtheoretische Grundlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Zur Entwicklung der Meßtheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Das Repräsentationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Das Eindeutigkeitsproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Grundkonzeption der mehrdimensionalen Skalierung . . . . . . . . a) Kritik eindimensionaler Skalierungsverfahren. . . . . . . . . . . b) Kennzeichnung des Abbildungsgegenstandes mehrdimensionaler Skalierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Das Repräsentationsziel der mehrdimensionalen Skalierung .. 3. Systematisierung mehrdimensionaler Skalierungsverfahren ....

II. Die Datenbasis mehrdimensionaler Skalierungsverfahren .. . .... 1. Grundfragen der Datenerhebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Direkte Bestimmung von Ähnlichkeits- und Präferenzmaßen (Erhebungssituation 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Bestimmung von Ähnlichkeits- und Präferenzmaßen durch glo. . .... . ... bale Objektvergleiche CErhebungssituation 2) a) Kennzeichnung der Erhebungssituation . . . . . . . . . . . . . . . . ........ b) Direkte Erhebungsmethoden. . . . . . . . . . c) Indirekte Erhebungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa) Bestimmung einer Dominanzmatrix . . . . . . . . . . . . . . bb) Transformation der Dominanzmatrix in eine Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Ableitung von Ähnlichkeits- und Präferenzmaßen aus Profildaten (Erhebungssituation 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Kennzeichnung der Erhebungssituation . . . . . . . . . . . . . . b) Die Struktur von Datenmatrizen .... . . . . . . . . . . . . . . . c) Bestimmung von Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaßen aus Profildatenmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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C. Basismodelle der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skallerung . 63 I. Das Modell von Shepard und Kruskal zur nichtmetrischen mehrdimensionalen Ähnlichkeitsskalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Die Formalstruktur des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Die Iterationsschritte des Skalierungsalgorithmus . . . . . . . . . . a) Überblick über den Iterationsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . b) Bestimmung einer Startkonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . c) Optimierung der Approximationsgüte einer Konfiguration .. d) Festlegung der Dimension des Repräsentationsraumes . . . . . 3. Das Problem der inhaltlichen Interpretation des Repräsentationsraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Abgrenzung interpretatorischer Ansätze . . . . . . . . . b) Kontigurale Interpretation. . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Merkmalsorientierte Interpretation. . . . . . . . . . . . .

II. Nichtmetrische mehrdimensionale Skalierung individueller Präferenzdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Der pragmatische Aspekt der Präferenzskalierung. . . . . . . . . . 2. Die Formalstruktur der nichtmetrischen Präferenzskalierung . . . 3. Modelle zur geometrischen Repräsentation individueller Präferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Das Vektormodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Die Idealpunktmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Interne und externe Präferenzskalierung . . . . . . . . . . . . . . .

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III. Analyse der Leistungsfähigkeit der mehrdimensionalen Skalierung unter verfahrensorientierten Aspekten. . . . . . . . . . . . . . . 90 1. Zur Frage der Eindeutigkeit geometrischer Repräsentationen .. . 90 a) Beurteilung der Rekonstruktionsgüte einer Konfiguration ... 90 aa) Das Problem lokaler Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 bb) Das Problem der Degeneration . . . . . . . . . . . . . . . . 94 b) Bestimmungsfaktoren der Determiniertheil einer Konfiguration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 c) Das Auftreten partialisometrischer Lösungen. . . . . . . . . . 99 2. Die Gewichtungseigenschaft der Minkowski-Metriken . . . . . . 104 3. Der meßthecretische Gehalt der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 a) Ansätze zur Axiomatisierung der mehrdimensionalen Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 aa) Axiome zur metrischen Repräsentation . . . . . . . . . . . 108 bb) Axiome zur dimensionalen Repräsentation . . . . . . . . . 112 b) Empirische Relevanz der Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 c) Das Problem des Homomorphiedefekts mehrdimensionaler Konfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

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D. Mehrdimensionale Skallerung als Instrument der betrieblichen Layoutplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 I. Grundfragen der Layoutplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Die Struktur betrieblicher Layoutplanungsprobleme . . . . . . . . 2. Exakte Optimierungsansätze der betrieblichen Layoutplanung. 3. Heuristische Ansätze der betrieblichen Layoutplanung .. .. .. a) Überblick über die bedeutendsten heuristischen Verfahren. b) Kritik der heuristischen Planungsverfahren ... . ... . ...

II. Ein Ansatz zur Lösung betrieblicher Layoutplanungsprobleme mit Verfahren der mehrdimensionalen Ähnlichkeitsskalierung ... 1. Die Strukturkorrespondenz zwischen Layoutproblemen und mehrdimensionalen Skalierungsmodellen. . . . . . . . . . . . . . . 2. Bestimmung eines Ideallayouts mit Hilfe eines Verfahrens der nichtmetrischen Ähnlichkeitsskalierung . . . . . . . . . . . . . a) Die Datenbasis der Layoutbestimmung . . . . . . . . . . . . . . b) Der Modellbildungsprozeß dargestellt am Beispiel des Skalierungsverfahrens ALSCAL . . . . . . . . . . . . . . . .... . 3. Anpassung des Ideallayouts an die Restriktionen des Zuordnungsraumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Anpassung bei identischen Flächenbedarfen . . . . . . . . . . aa) Der Ansatz von Dichtl/Merkle/Schobert . . . . . . . . .. bb) Modifikation des Dichtl/Merkle/Schobert-Ansatzes.... b) Anpassung bei unterschiedlichen Flächenbedarfen . ... . . . c) Berücksichtigung dreidimensionaler Zuordnungsräume ....

111. Kritische Analyse des mehrdimensionalen Skalierungsansatzes zur betrieblichen Layoutplanung . . .. . . . . . . . . . .... . .. .. I. Der Optimalitätsanspruch des Layoutplanungsansatzes . . . . . . a) Der approximierende Charakter mehrdimensionaler Skalierungsverfahren . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Leistungsvergleich ausgewählter Layoutplanungsverfahren. 2. Problemadäquanz des Layoutplanungsansatzes . . . . . . . .. .. a) Zur Frage der Vollständigkeit und Homomorphie des Layoutmodells . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . .. .. b) Plausibilität der Modellannahmen . .. . . . . . . . . ... . .. aa) Das Problem der Prognose verhältnisskalierter Verbundintensitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bb) Layoutplanung bei ordinalen Verbundintensitäten .... c) Operationalität des Layoutmodells . .. . . . . . . . . . . ... . 3. Beurteilung der Eindeutigkeit eines Layouts . . . . . . . . . . . . a) Anforderungen an ein eindeutiges LayoutmodelL . . . . . .. b) Mehrdeutigkeilen durch tie-behaftete Verbundintensitäten . 4. Die Problemlösungskapazität des Skalierungsansatzes .. . ...

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5. Zur Frage der Praktikabilität des Layoutplanungsansatzes.

a) Verständlichkeit des Ansatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Beurteilung der Wirtschaftlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . c) BOY-Unterstützung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Flexibilität des Skalierungsansatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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E. Mehrdimensionale Skallerung als Instrument zur Entscheidungsflndung bei mehrfacher Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 I. Das Problem der Entscheidungsfindung bei mehrfacher Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Struktur und Funktion eines Zielsystems der Unternehmung . 2. Das Problem der Entscheidungsfindung bei konfliktären Zielen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Die Bedeutung von Zielinterdependenzen . . . . . . . . . . . b) Ein Ansatz zur Quantifizierung von Zielkonflikten . . . . . . 3. Methoden der Entscheidungsfindung bei Zielkonflikten . . . . a) Auswahl effizienter Handlungsalternativen . . . . . . b) Zielgewichtung und Nutzwertanalyse. . . . . . . . . . . . . aa) Die Verfahrensschritte der Nutzwertanalyse . . . . . bb) Kritische Würdigung der Nutzwertanalyse . . . . . . . c) Das Goal Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa) Kennzeichnung des Goal Programming . . . . . . . . . . . bb) Kritik des Goal Programming . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Ein mehrstufiger Ansatz zur Entscheidungsfindung bei mehrfacher Zielsetzung mit Hilfe von Verfahren der mehrdimensionalen Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Allgemeine Grundlagen des Ansatzes. . . . . . . . . . . . . . . . . a) Das Dilemma der Entscheidungstheorie . . . . . . . . . . . . . b) Die Datenbasis des Ansatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa) Die Zielertragsmatrix als Abbildung des Entscheidungsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bb) Das Problem der Zielgewichtung . . . . . . . . . . . . . . . c) Das Entscheidungsproblem bei mehrfacher Zielsetzung als empirisches Relationensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Der Entscheidungsraum als geometrisches Modell eines Entscheidungsproblems bei mehrfacher Zielsetzung . . . . . . . . . . a) Das Konzept des orthogonalen Entscheidungsraumes im Goal Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Das Konzept des Entscheidungsraumes im Ansatz der mehrdimensionalen Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Bestimmung der optimalen Handlungsalternative mit Verfahren der mehrdimensionalen Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . .

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a) Die simultane Repräsentation von Zielen und Alternativen in einem mehrdimensionalen Ziel-Alternativen-Raum (Erste Stufe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa) Die Formalstruktur des Ziel-Alternativen-Raumes . . . . bb) Zur Auswahl eines adäquaten Skalierungsverfahrens ... cc) Der Modellbildungsprozeß dargestellt am Beispiel des ALSCAL-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Erweiterung des Ziel-Alternativen-Raumes zum Entscheidungsraum (Zweite Stufe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa) Die Formalstruktur des Entscheidungsraumes . . . . . . . bb) Zur Auswahl eines adäquaten Skalierungsverfahrens ... cc) Der Modellbildungsprozeß dargestellt am Beispiel des PREFMAP-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Erweiterung des Modells zur Abbildung kollektiver Entscheidungssituationen (Dritte Stufe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Das Problem kollektiver Entscheidungen. . . . . . . . . .. .. b) Der kollektive Entscheidungsraum bei einheitlichem Zielsystem und differierenden Entscheidungskompetenzen . . . . aa) Die Struktur des kollektiven Entscheidungsraumes .. .. bb) Der Modellbildungsprozeß dargestellt am Beispiel des PREFMAP-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Der kollektive Entscheidungsraum bei individuell differierenden Zielsystemen und Entscheidungskompetenzen . . . . . aa) Abgrenzung der spezifischen Problemstruktur . . . . . . . bb) Das Problem der gemeinsamen Repräsentation differierender Zielsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Der kollektive Entscheidungsraum bei paritätischer Entscheidungskompetenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa) Modifikation der dritten Modellbildungsstufe . . . . . . . bb) Der Modellbildungsprozeß dargestellt am Beispiel der metrischen Option des PREFMAP-Verfahrens . . . . . . . 5. Die Formalstruktur des dreistufigen Entscheidungsmodells . . . 111. Kritische Beurteilung des mehrstufigen Ansatzes zur Entscheidungsfindung bei mehrfacher Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . 1. Der Optimalitätsanspruch des mehrstufigen Entscheidungsmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Problemadäquanz des mehrstufigen Ansatzes . . . . . . . . . . . a) Zur Frage der Vollständigkeit der Problernrepräsentation . . b) Homomorphiedefekte des mehrdimensionalen Entscheidungsraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa) Problem- und verfahrensstrukturbedingte Homomorphiephiedefekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bb) Homomorphiedefekte durch lokale Minima . . . . . . . . . c) Plausibilität der Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . .

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d) Die Operationalität des Entscheidungsmodells . . . . . . 3. Das Problem der Eindeutigkeit des Entscheidungsraumes ... . a) Problem- und verfahrensbedingte Mehrdeutigkeilen .. . . .. b) Mehrdeutigkeiten durch Partialisometrien . . . . . . . . . . . . c) Mehrdeutigkeiten durch pseudoäquivalente Konfigurationen. d) Das Kriterium der Determiniertheil des Modells. . . . . 4. Die Problemlösungskapazität des mehrstufigen Ansatzes ... . 5. Praktikabilität des mehrstufigen Ansatzes . . . . . . . . . . . . . . a) Verständlichkeit des Modells und des Modellbildungsprozesses . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. ... .... . ... b) Beurteilung der Wirtschaftlichkeit des Ansatzes . . . . . . . . c) Verfügbare EDV-Unterstützung... .... . . . . . . . . . . . . 6. Flexibilität des mehrstufigen Entscheidungsmodells .. . . . ...

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F. Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse.. . ... . .... . . . 295 Literaturverzeichnis . . . . .

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Sachregister .......... .

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Verzeichnis der Abbildungen Abb. B-1: Abb. B-2: Abb. C-1: Abb. C-2: Abb. C-3: Abb. C-4: Abb. C-5: Abb. C-6: Abb. C-7: Abb. C-8: Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

C-9: C-10: C-11: C-12: C-13:

Abb. C-14: Abb. Abb. Abb. Abb.

C-15: C-16: C-17: C-18:

Abb. D-1: Abb. D-2: Abb. D-3: Abb. D-4:

Klassifikation von Skalentypen. . . . . . . . . . . 33 Klassifikation der Verfahren der mehrdimensionalen Skalierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Shepard-Diagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Strukturdiagramm zur monotonen Regression . . . . . . . . . . . 69 Minimale Stresswerte in Abhängigkeit von der Dimensionszahl bei vorgegebener Objektmenge (S tresswertprotokoll). 72 Datenbasis und Output von PROFIT . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Das Vektormodell mit den Alternativen A-E . . . . . . . . . . . 82 Isopräferenzlinien im einfachen und gewichteten Idealpunktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Isopräferenzlinien im allgemeinen Idealpunktmodell . . . . . . 85 Charakteristische Präferenzfunktion in nichtmetrischen Idealpunktmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Beispiel einer Degeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Shepard-Diagramm einer degenerierten Konfiguration . . . 95 Stress, Objektmenge und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . 98 Stress und Determiniertheil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Partialtrl!!lsformation im R2 für p=1 mit isotonem Distanzbereich B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Isotoner Bereich der Partialtransformation fiP 1,P 2,P3) = (P; ,P~,P~) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . __:_ . . . . . . . . . . 102 Isotoner Bereich der Partialtransformation flP 1) = P; . . . . 102 Einheitsumgehungen der Minkowski-Metriken p = 1,2,oo .. 106 Veranschaulichung alternativer Metriken . . . . . . . . . . . . . 109 Geometrische Veranschaulichung konzentrischer Konturen gleicher Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Mit ALSCAL aus C20 berechnetes Layout X20 der Organisationseinheiten A-T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Distanzen-/Disparitäten-Streudia gramm. . . . . . . . . 135 Grundflächenraster eines Zuordnungsraumes über einem Ideallayout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Punkthäufungen am äußeren Rasterrand durch fortgesetzte Konfigurationsdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

16

Verzeichnis der Abbildungen

Abb. D-5: Abb. D-6: Abb. D-7: Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. Abb.

D-8: D-9: D-10: D-11: E-1: E-2:

Abb. E-3: Abb. E-4: Abb. E-5: Abb. E-6: Abb. E-7: Abb. E-8: Abb. E-9:

Abb. E-10: Abb. Abb. Abb. Abb.

E-11: E-12: E-13: E-14:

Abb. E-15: Abb. E-16:

Matrix ordinaler Verbundintensitäten für 9 Organisationseinheiten mit unterschiedlichem Flächenbedarf. . . . . . . . . Koordinatenmatrix und Konfiguration für 9 Organisationseinheiten mit unterschiedlichem Flächenbedarf .... .... . Zuordnungsproblem in einem dreidimensionalen Standortträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . Ideal- und Reallayout der Verbundmatrix C30 • • • • • Vergleich alternativer Layoutplanungsverfahren . . . Monotone Regression ZU cj und Dl . . . . . . . . . . . Monotone Regression nach Permutation von C 5 • • • • • • • • Interdependenzbeziehungen zwischen den Zielen zlt und zlt. . Gemischte Zielbeziehungen mit partiell unterschiedlichen Ausprägungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gemischte Zielbeziehungen, die sich nicht auf eine reine Form einschränken lassen .... ... . .. . ... . . . . . . .. (Hypothetisches) Interdependenzdiagramm der entscheidungsfeldabhängigen Zielinterdependenzen .. . . . . . . . . . . . . . Abhängigkeit der Optimallösung vom Metrikparameter .... Effiziente und ineffiziente Optima im Rahmen des Goal Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mehrdeutige Optimallösungen bei Distanzmessung mit der d 1- und der d_-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrisches Entscheidungsmodell mit 2 Zielsetzungen z 1 und z2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Konzeption des Ansatzes zur Entscheidungsfindung bei mehrfacher Zielsetzung mit Verfahren der mehrdimensionalen Skalierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypothetische Ziel-Alternativen-Konfiguration X511 mi 8 Zielen und 5 Alternativen im R2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • Zielinterdependenzen zwischen z2 und z 5 • • • • • • • • • • • • Zielinterdependenzen zwischen z3 und z4 • • • • • • • • • • • •• Stresswert-Protokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ALSCAL-Ausdruck der Partialstresswerte und der Koordinatenwerte der Konfiguration X~11 für r=2 Dimensionen. .. Mit ALSCAL aus der Zielertragsmatrix E511 rekonstruierte Konfiguration X~18 mit den Plot-Symbolen A - E für die Alternativen a 1 - a5 und F - M für die Ziele z 1 - z1 • • • • • • • Der Entscheidungsraum als Modell eines unipersonalen Entscheidungsproblems bei mehrfacher Zielsetzung mit 5 Alternativen (A - E), 8 Zielen (F - M) und einem Entscheidungsträger (N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144 145 147 152 153 166 166 181 184 185 188 205 209 210 219

225 233 234 234 235 237 238

245

Verzeichnis der Abbildungen

Abb. E-17: Kollektiver Entscheidungsraum mit 5 Alternativen (A - E), 8 Zielen (F - M), 4 Entscheidungsträgem (N - Q) und dem kollektiven Idealpunkt (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abb. E-18: Von den Entscheidungsträgem p 1 - p 4 angestrebte Ziele . .. Abb. E-19: Kollektiver Entscheidungsraum bei paritätischer Entscheidungskompetenz mit 5 Alternativen (A - E), 8 Zielen (F - M), 4 Entscheidungsträgem (N - Q) und dem kollektiven Idealpunkt (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abb. E-20: Ähnlichkeitsmatrix A4 und eindimensionale Repräsentation der darin abgebildeten Ähnlichkeitsstruktur . . . . . . . .. . . Abb. E-21 : Ähnlichkeitsmatrix A 4 und zweidimensionale Repräsentation der darin abgebildeten Ähnlichkeitsstruktur . . . . . . . . . . . Abb. E-22: Eindimensionale Repräsentation der Ähnlichkeits-PräferenzStruktur E .84 .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Abb. E-23: Zweidimensionale Repräsentation der Ähnlichkeitsstruktur E .84 und der Präferenzstruktur E.85 . . . . . . . . . . . . . . . .

2 G. Reiter

17

256 257

265 274 275 275 276

Verzeichnis und Kurzerläuterung der verwendeten Symbole a* a(i)

e A, optimale Alternative eines Mehrfachziel-Entscheidungsproblems e A 0 , Objektvektor, der die Ausprägung aller betrachtungsrelevanten Merkmale bei Objekt i angibt e Mk, Ausprägung des Merkmals k bei Objekt i e A1, i-tes Element der Alternativenmenge ~ e [0,1 ], Binärvariable

c IJ..

cIJ.. d

e R, Konstanter Faktor eR, bewertete gerichtete Güterflußintensität von Organisationseinheit i nach j eR, richtungsunabhängige bewertete Güterflußintensität zwischen den Organisationseinheiten i und j

: R• x R•-+R•• allgemeine Metrik im R• := d(i,j) eR, Distanz zwischen den Objekten i und j im R• eR, Disparitätswert des Objektpaares (ij) e AxA : R• x R•-+R•• auf das Merkmal k bezogene eindimensionale Distanz : R' x R•-+R•• Minkowski-p-Metrik mit dem Metrikparameter p e N , Standardteilflächeneinheiten eR, Zielwert der Alternative ai bezüglich des Zieles zk allgemeine Abbildungsvorschrift : R•-+R, in r Variablen monoton wachsende Funktion

:R xR-+R, in 2 Variablen monoton wachsende Funktion : R -+R, partielle Höhenpräferenzfunktion eines Entscheidungsträgers bezüglich des Zieles zk Präferenzabbildung Ähnlichkeitsabbildung : R•.-+R•, Transformationsabbildung

fT f1.fn.fm

: R '-+R•, Partialtransformation einer Konfiguration Repräsentationsabbildungen der Stufen I - 111 eines kollektiven Mehrfachziel-Entscheidungsprob lems

Verzeichnis der Symbole

g(... )

g(...) h 1\

h h~'.

1J

h 1J..

i,j,i' ,j'

19

: R x ... xR~R•• Minkowski-p-Distanzmodell auf einer Konfiguration X eR• : R x ... xR~R•• Euklidisches Distanzmodell auf einer Konfiguration XcR• : R ~R +' reellwertige Funktion : R ~R •' monotone reellwertige Funktion eR•' von Organisationseinheit i nach j fließende Menge der Güterart l' eR •• von Organisationseinheit i nach j fließende Gütermenge e {l, ... ,n), Indizes für Objekte/Organisationseinheiten/Alternativen eMk, Ausprägung der Merkmalsdimension I bei Objekt i bzw. j e {l, ... ,m), Indizes für Relationen/Merkmale{Ziele e {l, ... ,n.), Indizes für auf Rasterteilflächen zugeordnete Organisationseinheiten

k.1

I

eR, Bedarf der Organisationseinheit i an Standardflächeneinheiten e {l, ... ,r}, Index der Dimensionen eines Repräsentationsraumes und für Alternativenmengen

l'

e {l, ... ,L), Index für Güterarten

Ip

p-Norm eines Vektors im R•

m

m1J..

n

= IZI;

IMI, Anzahl der betrachteten Ziele/Merkmale e {0,1,2). Dominanzindex

= IZ,I, Anzahl der vom Entscheidungsträger p,e P angestrebten Ziele = lAI, Anzahl der Objekte/Organisationseinheiten/Alternativen

n'

e N, Teilflächen eines Grundflächenrasters

nq

eR, gewichteter Teilnutzwert der Alternative ai bzgl. des Zieles zk e N, Anzahl der Teilflächen des q-ten Teilflächenrasterkranzes

p

e [l,oo), Metrikparameter einer Minkowski-Metrik

q

= { l, ... ,z), Index der Rasterkränze eines Teilflächenrasters

eR, von Individuum t gegenüber Objekt i geäußerter Präferenzwert eR, Kosten des Transports einer Einheit der Güterart I' von Organisationseinheit i nach j pro Entfernungseinheit r

e N, Dimension des Repräsentationsraumes R• eR, Korrelation zwischen den Ähnlichkeitsurteilen zu den Paaren (i,j) und (i',j')eAxA

r 0)

Verhältnisse der Intervalle zwischen Meßwerten

1) Klassenzuordnung 2) Rangordnung 3) Differenzbildung

Verhältnisse von Meßwerten

1) Klassenzuordnung 2) Rangordnung 3) Differenz4) Quotientenbildung

Verhältnis- Ähnlichkeitsskala funktionen fT(x) = ax (ae R,a>O)

Abb. B-1: Klassifikation von Skalentypen 3 G. Reiter

-

-

Geschlecht Präferenz Mohssche Härte

- Temperatur oc, oF, oR

-

-

Temperatur °K Länge Masse

34

8. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

2. Grundkonzeption der mehrdimensionalen Skalierung a) Kritik eindimensionaler Skalierungsverfahren Die Ursprünge der mehrdimensionalen Skalierung resultieren aus dem Bestreben, ihrem Wesen nach schwer quantifizierbare Phänomene einer Messung zugänglich zu machen. Erste Ansätze in dieser Richtung, die bis in die Mitte des vorigen Jahrhunderts zurückreichen, finden sich in dem von Gustav Theodor Fechner begründeten Forschungszweig der Psychophysik (vgl. Fechner [Psychophysik]). Gegenstand der klassischen Psychophysik war die Untersuchung der Gesetzmäßigkeilen zwischen physikalischen Reizen wie etwa Schall, Licht etc. und ihrer subjektiven Wahrnehmung durch den Menschen. Die Bestimmung der durch einfache physikalische Reize hervorgerufenen subjektiven Wahrnehmungen bzw. Empfindungen erfolgte mit Hilfe eindimensionaler Skalierungsverfahren. Diese basierten auf der Annahme, daß es ein dem physikalischen Reizkontinuum korrespondierendes psychologisches Kontinuum der Reizwahrnehmung gibt, welches durch eine eindimensionale Skala abgebildet werden kann. Eine psychophysikalische Messung im Sinne Fechners setzte in jedem Fall die Messung einer physikalischen Größe als Korrelat für die Intensität der subjektiven Reizwahrnehmung voraus. Mit der Formulierung des "Law of Comparazive Judgmenz" durch Thurstone (vgl. [Law] sowie B II 3) konnte der Übergang von der an physikalische Reize gebundenen psychophysikalischen zur psychologischen Messung vollzogen werden (vgl. Coombs [Models] 481). Hierbei wird versucht, subjektive Wahrnehmungen, Einstellungen, Interessen, Urteile etc. gegenüber Reizen, die nicht durch eine physikalische Größe ausgedrückt werden können, einer Messung zugänglich zu machen. Entsprechend dieser Zielsetzung kann als Reiz jeder eine subjektive psychische Wahrnehmung oder Empfindung auslösende Gegenstand des menschlichen Erkenntnisbereichs verstanden werden. Anstelle von ,Reizen wird häufig auch von Stimuli (vgl. etwa Carroll [Differences]) oder von Objekten (vgl. Gigerenzer [Messung], Shepard [Structure], Torgerson [Theory]) gesprochen. Auf der Grundlage von Thurstones Gesetz der Vergleichsurteile wurde in der Psychologie eine Reihe eindimensionaler Skalierungsverfahren entwickelt, welche die Abbildung der subjektiven Objektwahrnehmung bzw. -beurteilung auf ein eindimensionales Kontinuum zum Gegenstand haben (vgl. dazu etwa Coombs/Dawestrversky [Mathematische Psychologie] 57 ff., Esser [Skalierungsverfahren] 193 ff., Guilford [Methods] 86 ff., Sixtl [Meß-

I. Grundgedanken der mehrdimensionalen Skalierung

35

methoden] 139 ff.). Der offensichtliche Mangel dieser eindimensionalen Skalierungsansätze besteht in ihrer monokausalen Betrachtungsweise, bei der unterstellt wird, daß auch komplexe Reizobjekte auf eine eindimensionale subjektive Eindruckskomponente reduzierbar sind (vgl. Sixtl [Meßmethoden] 272 f.). Dieses Postulat der Reduzierbarkeit subjektiver Eindrücke schränkt den Anwendungsbereich und den Aussagegehalt eindimensionaler psychologischer Meßskalen stark ein (vgl. Böhler [Methoden] 30, Esser [Skalierungsverfahren] 235 f., Petermann [Einstellungsmessung] 23, Sheth [Analysis] 29). Sie besitzen weder einen hinreichenden deskriptiven Gehalt, noch können sie zur Erklärung subjektiver Wahrnehmungsund Präferenzbildung beitragen. Mit der in den Dreißiger Jahren dieses Jahrhunderts einsetzenden Entwicklung multivariabler Skalierungsverfahren (vgl. etwa Guilford [Methods], Richardson [Psychophysics], Thurstone [Theory]) konnte die Voraussetzung der Eindimensionalität subjektiver Wahrnehmungen und Einstellungen aufgehoben werden. An ihre Stelle trat die Vorstellung, daß die subjektive Objektwahrnehmung und Präferenzbildung von mehreren Objektmerkmalen gleichzeitig determiniert sind. Die Objekte werden dabei als komplexe Bündel von wahrnehmungs- und präferenzbestimmenden Merkmalen (Eigenschaften, Attributen) aufgefaßt (vgl. Ahrens [Skalierung] 30, zu dieser Betrachtungsweise auch Lancester [Demand] 6 ff.). Zwischen der Ausprägung der verschiedenen Merkmale und der subjektiven Wahrnehmung der Objekte bzw. der Bildung subjektiver Präferenzen wird ein kausaler Zusammenhang angenommen. Den auf eine multiattribute Betrachtungsweise ausgerichteten multidimensionalen Meßverfahren liegt die Zielsetzung zugrunde, die betrachteten Objekte (Reize, Stimuli) als Punkte so in ein mehrdimensionales Modell abzubilden, daß die dimensionale Repräsentation der Objekte ein hornamorphes Abbild der sie charakterisierenden Merkmalsausprägungen ist (vgl. Esser [Skalierungsverfahren] 248 f.). Allerdings ist es in der Mehrzahl der Fälle nicht möglich, alle objektspezifischen Merkmale vollständig im Modell abzubilden. Dies liegt einmal in der Vielzahl der objektbeschreibenden Merkmale begründet und zum anderen in der Tatsache, daß nicht alle Merkmale für den jeweiligen Untersuchungszweck gleichermaßen relevant sind (vgl. Marr [Produktfeldplanung] 1443 ff., Torgersan [Theory] 249). So sind, um ein einfaches Beispiel zu nennen, für die Kaufentscheidung eines PKW die einfachen Merkmale Anschaffungskosten, Motorlcistung, Kraftstoffverbrauch sowie das komplexe Merkmal Prestigewert sicher von zentraler Bedeutung, wohingegen die Merkmale Härtegrad der Kurbelwelle und Kolbenhub für die betrachtete Fragestellung als irrelevant betrachtet werden können. Mehrdimensionale psy-

36

B. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

chologische Messung bezieht sich deshalb nur auf die psychologisch bedeutsamen Objektmerkmale. Sie hat insofern einen datenkomprimierenden Charakter. b) Kennzeichnung des Abbildungsgegenstandes mehrdimE.'nsionaler Skalierungsverfahren Im Rahmen der multiattributenpsychologischen Messung kommt den Modellen der mehrdimensionalen Skalierung eine herausragende Bedeutung zu. Mit dem Ansatz der mehrdimensionalen Skalierung, dessen Entwicklung um 1950 mit den Arbeiten von Abelson (vgl. [Technique]), Messick/Abelson (vgl. [Problem]), Coombs (vgl. [Scaling]) und Torgersan (vgl. [Scaling]) begann, war es zum ersten Mal möglich, psychologische Wahrnehmungsstrukturen in ein mehrdimensionales geometrisches Modell abzubilden, ohne direkt auf merkmalsbezogene Objekturteile zurückgreifen zu müssen. Dies war bei den bereits früher bekannten faktorenanalytischen Ansätzen (vgl. dazu etwa Hofstätter [Faktorenanalyse], Revenstorf [Faktorenanalyse], Überla [Faktorenanalyse]) notwendig, um die in den merkmalsbezogenen Objekturteilen enthaltenen Hauptkomponenten der Objektwahrnehmung bestimmen zu können. Der Nachteil dieser Vorgehensweise besteht darin, daß die explizite Vorgabe von Kriterien für die Beurteilung von Objekten bereits profunde Kenntnisse der subjektiven Wahrnehmungsstrukturen voraussetzt und das Untersuchungsergebnis durch die Merkmalsvorgabein nicht unerheblichem Maße vordeterminiert wird (vgl. Dawes [Einstellungsmessung] 177, Freter [Einstellungsmodelle] 172 f., Sacher [Skalierung] 21, dazu auch Nieschlag/Dichti/Hörschgen [Marketing] 166 f.). Demgegenüber besteht die Datenbasis mehrdimensionaler Skalierungsansätze aus globalen, nicht merkmalsspezifischen Einschätzungen der zwischen verschiedenen Objekten bestehenden Ähnlichkeit (zum Begriff der Ähnlichkeit vgl. etwa Hofstätter [Ähnlichkeit], Rausch [Ähnlichkeit], Tversky [Similarity]). Shepard (vgl. [Analysis] 126, [Introduction] 1) spricht in diesem Zusammenhang auch von "proximity" (Nähe) und meint damit generalisierend die psychologische, d.h., die durch eine subjektive Wahrnehmung bzw. Wertung determinierte Nähe der Objekte. Durch seine begriffliche Verallgemeinerung macht Shepard deutlich, daß sich mit Hilfe der mehrdimensionalen Skalierung beliebige Objektrelationen abbilden lassen, sofern sie auf eine Näherelation zurückgeführt werden können. Dies gilt neben Ähnlichkeits- bzw. den dazu inversen Unähnlichkeitsbeziehungen auch für andere Relationen wie etwa Korrelation, Substituierbarkeit, Affinität, geometrische Distanz etc. (vgl. auch Gigerenzer [Dimensionsanalyse] 715 f., Kruskal [Scaling] 1). Dem allgemeinen Sprachgebrauch folgend wird im folgenden generalisierend für alle Näherelationen der

I. Grundgedanken der mehrdimensionalen Skalierung

37

Begriff Ähnlichkeit verwendet (ebenso Ahrens [Skalierung], Green/Carmone [Scaling], Kruskal [Scaling], Kühn [Skalierung], Vogel [Klassifikation]), wobei Aussagen über Ähnlichkeitsrelationen für Unähnlichkeilen analog gelten (vgl. Kruskal [Scaling] 1). Das der mehrdimensionalen Skalierung zunächst zugrunde liegende Konzept der Ähnlichkeitsmessung wurde später von Bennet und Hays (vgl. [Unfolding]) auf die Messung von Präferenzen erweitert. Damit war es möglich, neben Wahrnehmungsstrukturen auch präferenzbestimmende Bewertungsstrukturen einer multiattributen Betrachtung zu unterziehen. Das Ziel der mehrdimensionalen Skalierung, subjektive Wahrnehmungsund Präfenzstrukturen homomorph in einen mehrdimensionalen Raum abzubilden, besteht, meßtheoretisch betrachtet, in der formalen Repräsentation empirischer Relationensysteme. Dazu betrachtet man eine Menge A = {1,... ,n} von ObjekJen sowie eine Menge P = {1,... ,v} von Individuen, denen die Objekte aus A zur Beurteilung vorgelegt werden. Je nach Zielsetzung der Untersuchungssituation können von den Individuen folgende Informationen abgefragt werden: 1) subjektiv wahrgenommene Ähnlichkeiten der Objekte untereinander; 2) subjektive Präferenz der Individuen gegenüber den Objekten. Diesen Informationen liegen verschiedene psychologische Prozesse zugrunde. Die Ähnlichkeitsurteile (1) resultieren aus einem Wahrnehmungsprozeß, in dem die Objekte intraindividuell anband der mit ihnen assoziierten Merkmalsausprägungen als mehr oder weniger ähnlich eingestuft werden. Die Präferenzurteile (2) basieren auf einem Bewertungsprozeß, bei dem die mit den Objekten assoziierten Merkmalsausprägungen mit den eigenen Wunsch- bzw. Zielvorstellungen über die ideale Ausprägung der Merkmale verglichen (bewertet) werden. Durch den Wahrnehmungsprozeß wird auf der Paarmenge {(i,j) : i,j E A} eine vierstellige Ähnlichkeitsrelation ~. induziert, für die gilt: (B.3)

(i,j) ~. (i' ,j')

(::::>

i und j sind mindestens so ähnlich wie i' und j' (i,i', j,j' E A).

Damit kann das System (A;~.) als empirisches Relationensystem im Sinne der Meßtheorie aufgefaßt werden (vgl. auch B I 1 sowie Krantz et al [Measurement] 8, de Leeuw/Heiser [Theory) 286). Dasselbe gilt analog für präferenzbezogene Urteilsprozesse, die auf der Menge A durch jedes Individuum t E P eine Präferenzrelation ~~p induzieren, mit (B .4)

i

~1 P

j

(::::>

Individuum t präferiert das Objekt i mindestens so stark wie das Objekt j.

38

B. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

Da jedes Individuum sein eigenes Wertesystem und damit seine individuelle Präferenzstruktur besitzt, ergibt sich mit (B.4) ein v-stelliges Relationensystem (vgl. dazu auch Krantz et al [Measurement] 8 f.) (B.5)

(A,P;~~•...•~~•...•~;)

bestehend aus den Mengen A und P sowie den durch die v Individuen aus P auf A induzierten Präferenzrelationen. Grundsätzlich wäre es denkbar, daß die Individuen aus P nicht nur unterschiedliche Präferenzvorstellungen, sondern auch individuell unterschiedliche Wahrnehmungsstrukturen aufweisen (vgl. etwa Carroll [Differences] 105 ff., Green/Rao [Scaling] 230 ff.). In diesem Fall hätte das empirische Ähnlichkeitssystem die Form (B.6)

Da individualdiagnostizierenden Verfahren der Ähnlichkeitsskalierung im Rahmen dieser Arbeit keine weitere Bedeutung zukommt (vgl. dazu etwa Carroll [Differences], Takane/Young/de Leeuw [Scaling]), sei dies nur ergänzend bemerkt. c) Das Repräsentationsziel der mehrdimensionalen Skalierung Die durch die mehrdimensionalen Skalierungsverfahren angestrebte geometrische Repräsentation eines Ähnlichkeitsrelationensystems erfolgt in Form einer Punktkonfiguration XA = {x1} eRr mit x 1 = (xi1, ...,xir) und i = 1, ... ,n. Hier steht X A für die Konfiguration der Repräsentationspunkte der Objekte i e A, deren Positionierung im Rr durch die Koordinatenwerte x11 (1 = l, ...,r) definiert ist. Die formale Repräsentation eines Präferenzrelationensystems hat die Form XA u xp. wobei xp = {xt}eRr mit \ =(x11 , ••• ,x11) und t = l,... ,v. Hierbei werden die Präferenzen der Individuen durch deren als ideal empfundene Merkmalskombinationen - repräsentiert durch x 1eRr- abgebildet. Die relative gegenseitige Lage der x 1 und X1 im Rr bringt dabei die subjektive Präferenz von t e P gegenüber i e A zum Ausdruck (vgl. dazu besonders C li 1). Wenn im folgenden aus dem Zusammenhang eindeutig hervorgeht, ob von der Repräsentation eines Ähnlichkeits- oder eines Präferenzsystems gesprochen wird, ist die Indizierung von X mit A bzw. P verzichtbar. Zur Konstruktion einer formalen geometrischen Repräsentation X zu einem Ähnlichkeits- bzw. Präferenzrelationensystem wurde eine Vielzahl mehrdimensionaler Skalierungsverfahren entwickelt, die im wesentlichen eine einheitliche Struktur aufweisen. Diese soll im folgenden für den Fall nichtmetrischer Verfahren der Ähnlichkeilsskalierung etwas näher erläutert werden.

39

I. Grundgedanken der mehrdimensionalen Skalierung

Den Ausgangspunkt der Ähnlichkeitsskalierungsverfahren bildet ein Relationensystem (A;~I ). Entsprechend dem Grad ihrer Ähnlichkeit können • die Objektpaare (i,j) e AxA in eine komparative Ahnlichkeitsrangfolge geordnet werden, durch die Definition einer Abbildung

s : A x A-'> R+' {i,j)-'> s{i,j) =: sli'

(B.7)

die der folgenden Bedingung genügt: (B.8)

< s1T ~ ("~·~") -. > ("'~.·J.,"') und (1 ,J ). 1

S1i _

S1i

= S T ~ (l,J) =

1

Die Abbildungs aus B.7 ist somit eine "Bewertungs/unktion", die jedem Objektpaar entsprechend dem Grad seiner Ähnlichkeit ein Ähnlichkeitsmaß s1J zuordnet. Im nichtmetrischen Fall sind die s1 ordinale Ähnlichkeitsrangwerte (vgl. de Leeuw/Heiser [Theory] 286). Onter der Voraussetzung einer symmetrischen Ähnlichkeitsrelati~n, d.h. s~= sJ1 für alle i,j -~ A, ergeben sich für n Objekte (~)=n(n-1)/2 A_~lichkettsmaße. D~se Ahnlichkeitsmaße werden in einer sogenannten Ahnlichkeitsmatrix A = (s1.)nxn zusammengefaßt Für die Matrix A finden sich in der Literatur auch die Bezeichnungen (empirische) Distanzmatrix (vgl. etwa Opitz [Taxonomie] 34) oder "matrix ofproximities" (vgl. etwa Shepard [Taxonomy] 25, Young [Model] 71). Die Ähnlichkeitsmatrix Ä bildet die Datenbasis der Verfahren der mehrdimensionalen Ähnlichkeitsskalierung. ~

Ziel des Skalierungsverfahrens ist es nun, eine Abbildung (B .9)

f :

(A;~.)-') (R';d);

(i,j)-') f(i,j) =: (x1,xJ) c X

des empirischen Ähnlichkeitssystems (A;~.) in das formale Relativ (R';d) des metrischen Raumes, der durch die Punktmenge R' und die Metrik d definiert ist, zu finden. Für die Metrik d gilt dabei:

mit

(Positivität) (Symmetrie) (Dreiecksungleichung).

Die Repräsentationsabbildung f muß sicherstellen, daß für alle i,j e A, die durch die Ähnlichkeitsrelation ~. auf A induzierte Ordnungsstruktur hornamorph durch die formalen Distanzen dij abgebildet wird (vgl. de Leeuw/ Heiser [Theory] 286). Für beliebige paarweise verschiedene i,j,i',j'e A muß gelten:

40 (B.11)

8. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

d IJ < - di"J'

s 1i < _ si"J'

> (''1 ,J'') . ('I,J') -.

Die B.11 entsprechende Abbildung des Relationensystems (A;~.) im R' wird auch als metrische Repräsentation bezeichnet (vgl. Beals/Krantz/ Tversky [Foundations] 128). Neben der metrischen Repräsentation hat die Abbildung der Objekte aus A im R' durch ein Skalierungsverfahren so zu erfolgen, daß die Koordinatenwerte x0 der Repräsentationspunkte x1eR' die Ausprägungen aller relevanten Merkmale der betrachteten Objekte homomorph abbilden. Dabei wird unterstellt, daß die Dimensionen des formalen Repräsentationsraumes R' den wahrnehmungsrelevanten Merkmalen der Objekte entsprechen. Je stärker ein Merkmal I bei einem Objekt i e A ausgeprägt ist, desto größer ist auch der Skalenwert x0 , auf der das Merkmal I repräsentierenden Dimension des R'. Bezeichne etwa i 1,j 1 die Ausprägung des Merkmals I bei den Objekten i und j und seien x0 und xJ1 die Koordinatenwerte der Repräsentationspunkte x1 bzw. xJ auf Dimension I= (l, ... ,r), dann muß gelten: (B.12) wobei ~ die zumindest ordinalen Ausprägungsunterschiede des betrachteten Merkmals symbolisiert. Diese dimensionenbezogene Repräsentation der Objektmenge A wird als dimensionale Repräsentation bezeichnet (vgl. Beals/Krantz/fversk y [Foundations] 128). Das simultane Auffinden einer metrischen und einer dimensionalen Repräsentation eines empirischen Ähnlichkeitssystems ist Gegenstand der nichtmetrischen Verfahren der mehrdimensionalen Ähnlichkeitsskalierung (vgl. C I). Das Analoge gilt für die Abbildung empirischer Präferenzsysteme mit Hilfe eines Verfahrens der mehrdimensionalen Präferenzskalierung (vgl. C II). Gegenüber alternativen Ansätzen der multiattributen psychologischen Messung, etwa der Faktorenanalyse, weisen Ansätze der mehrdimensionalen Skalierung deutliche Vorteile auf. Diese liegen zunächst im Verzicht auf eine merkmalsbezogene Objektbeurteilung als Grundlage der Analyse. Daneben besteht ferner die Möglichkeit, neben objektbezogenen Ähnlichkeitsstrukturen auch personenbezogene Präferenzstrukturen einer multiattributen Messung zugänglich zu machen. Der eigentliche Grund für den Durchbruch dieses Meßkonzepts liegt jedoch in der Möglichkeit begründet, durch den von Shepard (vgl. [Analysis], [Structure]) und Kruskal (vgl. [Scaling], [Nonmetric]) entwickelten nichtmetrischen Ansatz der mehrdimensionalen Skalierung (vgl. dazu C I) bereits aus einer ordinalen Datenbasis verhältnisskaUerte Analyseergebnisse zu gewinnen (vgl. auch Ahrens [Skalierung] 167, Beals/ Krantz/fversky [Foundations] 127, Roloff

I. Grundgedanken der mehrdimensionalen Skalierung

41

[Skalierung] 1880 ff., Shepard [lntroduction] 6). Obwohl die nichtmetrische mehrdimensionale Skalierung bereits vor etwa 25 Jahren in ihrer Grundkonzeption entwickelt wurde (vgl. Kruskal [Scaling], Shepard [Analysis]), kann die Forschung auf diesem Gebiet, wieneuere Untersuchungen zeigen, noch keinesfalls als abgeschlossen bezeichnet werden (vgl. etwa Backhaus et al [Analysemethoden], Borg [Entwicklungen], Bortz [Forschung], Carroll [Models], Davison [Scaling], von Gäßler [Skalierung], Gigerenzer [Messung], de Leeuw/Heiser [Theory], Lauwerth [Positionierung], Opitz [Taxonomie], Opitz/Schader [Entwicklung], Schiffman/Reynolds/Young [Introduction]). Während sich die Forschungsarbeiten auf diesem Gebiet bis etwa in die Mitte der siebziger Jahre fast ausschließlich auf die USA beschränkten, läßt sich in den letzten Jahren auch im deutschsprachigen Raum ein zunehmendes Interesse an den Verfahren der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung feststellen. Dabei kristallisieren sich in immer stärkerem Maße Versuche zur Lösung betriebswirtschaftlieber Fragestellungen mit Hilfe der mehrdimensionalen Skalierung heraus (vgl. etwa Blackbum [Dimensions], Dichtl/Beeskow [Anordnung], Dichtl/Schobert [Skalierung], von Gäßler [Skalierung], Quinn/Rohrbaugh [Model], Rivett [Policies], Schobert [Dynamisierung]). Mit der vorliegenden Arbeit soll ein weiterer Beitrag zur betriebswirtschaftliehen Problemlösung mit Hilfe mehrdimensionaler Skalierungsverfahren geleistet werden.

3. Systematisierung mehrdimensionaler Skalierungsverfahren Seit der Entwicklung erster Ansätze zur multivariablen Messung komplexer Objektrelationen wurde bis heute eine fast unüberschaubare Vielzahl von Verfahren der mehrdimensionalen Skalierung entwickelt. Im Hinblick auf ihre praktische Anwendung erscheint es notwendig, die nach verschiedenen Merkmalen sich unterscheidenden mehrdimensionalen Skalierungsverfahren zu systematisieren. Auf der Grundlage einer derartigen Systematisierung ist es möglich, das zur Lösung einer vorgegebenen Problemstruktur adäquate Verfahren auszuwählen. Wichtigstes Merkmal zur Klassifikation mehrdimensionaler Skalierungsverfahren ist das Skalenniveau, auf dem die betrachteten Ähnlichkeits- bzw. Präferenzbeziehungen operationalisiert sind. Nach diesem Merkmallassen sich metrische und nichtmetrische Verfahren unterscheiden. Die Datenbasis der metrischen mehrdimensionalen Skalierung muß metrisches Skalenniveau aufweisen (zur Unterscheidung verschiedener Skalentypen

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B. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

vgl. B I 1 c). Sofern die Eingabedaten eines metrischen Skalierungsverfahrens, also die Ähnlichkeiten oder die Präferenzbeziehungen auf einer Menge von Objekten intervallskaliert vorliegen (vgl. dazu B II 3}, müssen sie durch eine Nullpunkttransformation in verhältnisskalierte Daten überführt werden. Man bezeichnet diese Transformation als Schätzung einer additiven Konstanten (vgl. dazu Ahrens [Skalierung] 101 ff., Green [Data] 415 f., Lüer/Fillbrandt [Konstante] 202 f., Messick/Abelson [Problem] 1 ff.). Diese Nullpunkttransformation kann entfallen, wenn die Datenbasis bereits Verhältnisskalenniveau besitzt. Durch ein metrisches mehrdimensionales Skalierungsverfahren werden die betrachteten Objekte so als Punkte in einem mehrdimensionalen Repräsentationsraum lokalisiert, daß die geometrischen Abstände zwischen den Repräsentationspunkten in einer linearen Beziehung zu den aus der Datenbasis abgeleiteten verhältnisskalierten Ähnlichkeits- bzw. Präferenzrelationen der Objekte stehen. Das Linearitätspostulat zwischen den empirischen Objektrelationen und den geometrischen Punktdistanzen ist Ursache für die Notwendigkeit einer metrischen Datenbasis, da auf einer nichtmetrischen Skala die geforderte lineare Funktion nicht definiert werden kann (vgl. Kruskal/Wish [Scaling] 22). Wesentlich geringere Anforderungen an das Skalenniveau der Eingabedaten stellen die nichtmetrischen Verfahren der mehrdimensionalen Skalierung. Sie erfordern nicht, wie die metrischen Verfahren, eine mindestens intervallskalierte Operationalisierung der untersuchten Objektbeziehungen, vielmehr reichen hier lediglich ordinale Relationen aus. Es genügt z.B. zu wissen, daß zwei beliebige Objekte i und j ähnlicher sind, eine höhere Verbundenheit aufweisen oder höher korrelliert sind als zwei andere Objekte i' und j'. Eine Quantifizierung der Objektbeziehungen derart, daß etwa bekannt sein muß, um wieviel i,j ähnlicher sind als i',j', ist hierbei nicht erforderlich. Die betrachteten Objekte werden nun mit Hilfe eines Verfahrens der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung so als Punkte in einem mehrdimensionalen Raum repräsentiert, daß zwischen den ordinal skalierten empirischen Objektbeziehungen und den geometrischen Abständen der Repräsentationspunkte eine monotone Beziehung besteht (vgl. Shepard [Introduction] 8, Kruskal [Scaling] 2). Durch die Bedingung einer monotonen anstelle einer linearen funktionalen Beziehung zwischen den empirischen Objektrelationen und den geometrischen Distanzen ist die für die praktische Anwendung mehrdimensionaler Meßverfahren wichtige Beschränkung auf das einfachere ordinale Skalenniveau der Eingabedaten möglich. Zur Defmition einer monotonen Funktion genügt nämlich bereits ein ordinalskalierter Wertebereich (vgl. Kruskal/Wish [Scaling] 22). Beide beschriebenen Varianten, also die metrische und die nichtmetrische mehrdimensionale Skalierung, führen zu metrischen Skalierungsergebnissen in Gestalt der Koordi-

I. Grundgedanken der mehrdimensionalen Skalierung

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natenwerte und der geometrischen Distanzen zwischen den Objektpunkten im Repräsentationsraum (vgl. Green/Carmone {Scaling] 33 ff.). Eine weitere zentrale Differenzierung mehrdimensionaler Skalierungsverfahren ergibt sich aus der Art der betrachteten Objektrelationen. Hierbei lassen sich Ähnlichkeits- und Präferenzrelationen unterscheiden. Diese Unterscheidung ist im Hinblick auf die in den späteren Abschnitten noch ausführlich zu analysierenden Anwendungen der Skalierungsverfahren auf betriebswirtschaftliche Problemstellungen von zentraler Bedeutung. Von Ähnlichkeitsrelationen wird dann gesprochen, wenn sich die jeweils betrachtete Objektrelation auf die Objekte einer Menge beschränkt. Das bedeutet, daß jedes Objekt dieser Menge zu jedem anderen derselben Menge in einer Ähnlichkeitsbeziehung steht. Wie bereits in B I 2 erwähnt, kann es sich dabei um Wahmehmungs(un)ähnlichkeiten, um Verbundbeziehungen, um Korrelationen usw. zwischen den einzelnen Objekten handeln. Diebetrachtete Objektmenge kann aus Konsumgütern, aus Ereignissen, aus Maschinen, aus organisatorischen Einheiten etc. bestehen. Urnfaßt die Objektmenge n Elemente, dann bestehen innerhalb dieser Menge (~) = n (n-1 )/2 Ähnlichkeitsbeziehungen. Im Zusammenhang mit der geometrischen Repräsentation eines Ähnlichkeitsrelationensystems (A;;;::s) spricht man auch •• von Verfahren der mehrdimensionalen Ahnlichkeitsskalierung (vgl. dazu CI). Demgegenüber kommen Verfahren der mehrdimensionalen Präferenzskalierung dann zur Anwendung, wenn die betrachteten Objekte zwei verschiedenen Mengen A und P entstammen und wenn zwischen den Objekten der Menge A und den Objekten der Menge P eine Präferenzrelation besteht (vgl. dazu auch Green/Carmone [Scaling] 73 f.). Handelt es sich bei der Menge P beispielsweise um eine Gruppe von Konsumenten und bei der Menge A um eine Reihe von Konsumartikeln, dann ist durch den Grad der Vorziehenswürdigkeit, welche die verschiedenen Artikel aus A für einen Konsumenten aus P besitzen, eine Präferenzrelation definiert. Besteht die Menge A aus n und die Menge P aus v Elementen, dann ergeben sich insgesamt nxv Präferenzwerte. Das entsprechende empirische Präferenzsystem hat die Form (A,P;~ 1 , •• • ,;;::v). Im Falle der mehrdimensionalen Präferenzskalierung werden di~ Obj~kte beider betrachteten Mengen sowie die zwischen ihnen bestehenden Relationen in einem (gemeinsamen) Raum repräsentiert; man spricht deshalb auch von einem "joint space" (vgl. dazu C li). In Abhängigkeit vom Skalenniveau der betrachteten Ähnlichkeitsbzw. Präferenzdaten und der in den Skalierungsverfahren geforderten funktionalen Beziehung zwischen empirischen und geometrischen Distanzen können sowohl bei der mehrdimensionalen Ähnlichkeits- als auch bei der Präferenzskalierung metrische und nichtmetrische Verfahren unterschieden werden.

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B. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

Werden die Ähnlichkeitsrelationen zwischen den betrachteten Objekten aus den Wahrnehmungs- bzw. Beobachtungsurteilen einer Gruppe von Versuchspersonen abgeleitet, stellt sich häufig das Problem, daß nicht alle befragten Individuen gleiche Wahrnehmungsstrukturen aufweisen. Es können also interindividuelle Unterschiede in der Ähnlichkeitsbeurteilung der dargebotenen Objekte auftreten, die z.B. zu einer individuell unterschiedlichen Gewichtung der verschiedenen Merkmalsdimensionen des Wahrnehmungsraumes führen (vgl. Carroll [Differences] 105 f., Sacher [Skalierung] 120 ff., Lüer/Fillbrandt [Unterschiede] 123 ff.). Sollen diese interindividuellen Unterschiede der Objektwahrnehmung durch die mehrdimensionale Skalierung aufgedeckt und besonders hervorgehoben werden, so erfordert dies die Verwendung eines nichtaggregierenden Skalierungsverfahrens (vgl. Green/Rao [Scaling] 7 f., Carroii/Chang [Analysis] 283 ff.). Besondere Bedeutung kommt den nichtaggregierenden Verfahren vor allem bei Problemstellungen aus dem Absatzbereich zu, wenn es etwa darum geht, im Zuge der Marktsegmentierung die Nachfrager in Gruppen zu zerlegen, welche hinsichtlich der Beurteilung der angebotenen Konsumgüter relativ homogen sind (vgl. Green/Carmone [Scaling] 15 f., Green/full [Marketingforschung] 445 f., Neideil [Use] 41 ff., Sacher [Skalierung] 121 f.). In vielen Untersuchungssituationen kann auf die Differenzierung verschiedener Wahrnehmungsgruppen verzichtet werden, etwa dann, wenn nur die durchschnittliche Ähnlichkeitsbeurteilung einer Menge A von Objekten durch eine Gruppe P von Individuen von Interesse ist oder wenn die Ähnlichkeitsdaten überhaupt nicht aus individuellen Wahrnehmungsurteilen abgeleitet werden. Dies kann etwa bei der Feststellung des Sortimentsverbundes von Konsumgütern (vgl. Dichti/Schobert [Skalierung] 75 ff.) oder der Belegungshäufigkeit von Maschinen der Fall sein (vgl. dazu auch D I 1). In solchen Untersuchungssituationen kommen aggregierende Verfahren der mehrdimensionalen Skalierung zur Anwendung (vgl. Green/Rao [Scaling] 17 ff.). Die aggregierenden Verfahren standen am Anfang der Entwicklung der mehrdimensionalen Skalierung (vgl. Torgersou [Theory] 247 ff., Shepard [Analysis], Kruskal [Scaling]). Ein Hinweis auf ihren aggregierenden Charakter findet sich aber nur vergleichsweise selten. Dennoch soll er in dieser Klassifikation zur Abgrenzung gegenüber den nichtaggregierenden Verfahren besonders hervorgehoben werden. Die Unterscheidung der mehrdimensionalen Skalierungsverfahren nach dem Grad der Aggregation der Eingabedaten in aggregierende und nichtaggregierende Verfahren bezieht sich allerdings nur auf die mehrdimensionale Ähnlichkeitsskalierung. In Präferenzskalierungsmodellen kommt dieser Unterscheidung keine Bedeutung zu, da die hierbei betrachteten Präferenzrelationen, wie schon angedeutet wurde, immer individuelle,

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I. Grundgedanken der mehrdimensionalen Skalierung

d.h. auf jedes Element der Menge P bezogene Präferenzen zum Ausdruck bringen. Den Verfahren der Präferenzskalierung liegt, anders als den Ähnlichkeitsskalierungsverfahren, die Zielsetzung zugrunde, die Objekte und Relationen zweier verschiedener Mengen in einem gemeinsamen Repräsentationsraum (joint space) derart zu positionieren, daß die Distanzen zwischen den Objekten aus A und den Objekten aus P die bestehenden Präferenzrelationen widerspiegeln und daß gleichzeitig die Ähnlichkeitsbeziehungen der Objekte aus A durch deren Punktdistanzen wiedergegeben werden. Erfolgt die Konstruktion dieses joint space ausschließlich auf der Basis der bestehenden Präferenzrelationen von P gegenüber A, so spricht man von interner Präferenzskalierung. Werden neben den Präferenzrelationen zusätzlich noch Ähnlichkeitsdaten für die Objektmenge A als gesonderte Datenbasis in die Analyse einbezogen, so handelt es sich um eine externe Präferenzskalierung (vgl. C II 4 sowie Carroll [Differences] 114, Green/Rao [Scaling] 78 ff.). Mehrdimensionale Skalierung

Klassifikations-

kriterien:

Objektrelationen

Ähnlichkeitsskalierung

~

Präferenzskalierung

~

Skalenniveau der Datenbasis

metrische Verfahren

nichtmetrische Verfahren

metrische Verfahren

nichtmetrische Verfahren

Aggregationsgrad bzw. Datenbasis

aggregierende Verfahren

nichtaggregierende Verfahren

interne Verfahren

externe Verfahren

C>). (i,i') >, (i,j)

erkennbar sind (vgl. dazu auch Ahrens [Skalierung] 94 ff., Sacher [Skalierung] 43 ff.). Die Ergebnisse der Triadenvergleiche werden wiederum in Dominanzmatrizen abgebildet (vgl. Sixtl [Meßmethoden] 317, Torgersan [Theory] 264). bb) Transformation der Dominanzmatrix in eine Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmatrix Schwieriger als bei den direkten erweist sich bei den indirekten Methoden die Bestimmung der als Datenbasis für mehrdimensionale Skalierungsverfahren erforderlichen Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmatrizen.

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B. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

Entsprechend der verwendeten Verfahrensklasse müssen aus den Dominanzmatrizen ordinal- (nichtmetrische Skalierungsverfahren) oder mindestens intervallskalierte (metrische Skalierungsverfahren) Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaße abgeleitet werden. Die Bestimmung einer ordinalen, d.h. nichtmetrischen Datenbasis erfolgt mit Hilfe der sogenannten Triangularisation der Dominanzmatrix MD (vgl. Coombs [Theory] 352 ff., 421 ff.). Dieser Ansatz von Coombs, auf dessen Basis Carmone/Green/Robinson (vgl. [TRICON]) einen Computeralgorithmus mit der Bezeichnung TRICON (TRiangularization of CONjoint Data) entwickelt haben (vgl. dazu auch Green/Rao [Scaling] 24 f., 182 ff., Mazanec/Porzer/Scheuch [Datentechnik] 102 ff.), erlaubt eine Transformation der in der Dominanzmatrix abgebildeten Objektrelation in eine vollständige Rangfolge der Objekte bzw. Objektpaare (zu einer anderen, aufwendigeren Methode vgl. Sixt! [Meßmethoden] 166 ff.). TRICON umfaßt im wesentlichen drei Schritte. Im ersten Schritt werden zunächst die Zeilensummen der Matrix MD gebildet. Diese Summen bringen etwa im Falle von Ähnlichkeitsurteilen zum Ausdruck, in welchem Maße das Objektpaar des Zeileneingangs ähnlicher beurteilt wurde als alle übrigen Paare. Der zweite Schritt beinhaltet die Permutation der Zeilen der Dominanzmatrix M0 nach abnehmender Zeilensumme. Im Falle vollständig transitiver Ähnlichkeitsurteile ergibt sich dabei eine echte Dreiecksmatrix. Mit der Bestimmung der Zeilensummen und der Zeilenpermutation ist eine vollständige Rangfolge der Objektpaare nach dem Grad ihrer Ähnlichkeit entstanden. Diese Rangfolge bildet die gesuchten ordinalen Ähnlichkeitsmaße für ein Verfahren der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung. Der TRICON-Algorithrnus endet mit der Übertragung der Rangordnung der ObjektQ_aare in eine vom Skalierungsverfahren geforderte Ähnlichkeitsmatrix A = (s IJ..)nxn (vgl. dazu B I 3 sowie C I 2). Die Bestimmung einer Präferenzmatrix erfolgt in analoger Weise (vgl. Green/ Carmone [Scaling] 85, 143, vgl. dazu auch Böckenholt [Skalierung] 465 ff.; zu einem ausführlichen Beispiel vgl. Mazanec/Porzer/Scheuch [Datentechnik] 102 ff.). Vor der Entwicklung nichtmetrischer mehrdimensionaler Skalierungsverfahren durch Shepard und Kruskal (vgl. C I 1) war es erforderlich, die Dominanzrelationen in zumindest intervallskalierte Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaße zu transformieren. Hierzu schuf das "Law of Comparative Judgment" von Thurstone (vgl. [Law]) die formale mathematische Voraussetzung. Das Gesetz wurde von Thurstone für einfache Paarvergleichsurteile bewiesen. Übertragen auf vierstellige Ähnlichkeitsrelationen unterstellt das Law of Comparative Judgment die subjektiven Ähnlichkeitsurteile als Ausprägung einer auf einem eindimensionalen Ähnlichkeitskontinuum normal-

II. Datenbasis mehrdimensionaler Skalierungsverfahren

55

verteilten Zufallsvariablen. Da auch die Ähnlichkeitsunterschiede zwischen den Objektpaaren (i,j) und (i',j') damit normalverteilt sind, können die psychologischen Abstände IR1J - R 1TI der Objektpaare auf dem Ähnlichkeitskontinuum nach folgender Gletchung bestimmt werden: (B.l5) wobei gilt: Rti' Rt'i'

=

zOJ>

=

crti' cri'J' r

= =

Position des Paares (i,j) bzw. (i',j') auf dem hypothetischen Ähnlichkeitskontinuum Abszissenwert einer Standardnormalverteilung für den Anteil der Urteile (i,j) ~. (i'j') Varianzen der Urteilsverteilungen zu (i,j) bzw. (i'j') Korrelation zwischen den Ähnlichkeitsurteilen zu den Paaren (i,j) und (i'j').

Gleichung B.l5 besagt mit anderen Worten: Je ähnlicher die Objektpaare (i,j) und (i',j') sind und je näher sie auf dem Ähnlichkeitskontinuum beieinander liegen, desto häufiger wird das Urteil (i,j) ~.(i',j') gefällt (vgl. Kalimann [Skalierung] 68; eine ausführliche Darstellung des Law of Comparative Judgment für Paarvergleiche findet sich bei Thurstone [Law] sowie Coombs/Dawes(fversky [Mathematische Psychologie] 57 ff., Guilford [Methods] 155 ff., Torgerson [Theory] 159 ff.). Voraussetzung für die Intervallskaleneigenschaft der mit Thurstones Gesetz abgeleiteten Datenbasis ist die Gültigkeit der darin unterstellten Verteilungsannahmen. Ohne auf den empirischen Gehalt dieser Annahmen hier näher eingehen zu können (vgl. dazu etwa Betz [Skalierungsverfahren] 148 ff., Bortz [Forschung] 100, Guilford [Methods] 159 ff., Torgersan [Theory] 166 ff.), setzt sie doch zumindest eine hinreichend große Befragungsstichprobe voraus. Außerdem ist die Berechnung intervallskalierter Daten wesentlich aufwendiger als etwa die TRICON-Transformation. Insgesamt läßt sich sagen, daß die Ermittlung ordinalskalierter Ähnlichkeitsund Präferenzmaße mit den genannten Erhebungsverfahren wesentlich unproblematischer ist (vgl. Guilford [Methods] 297, Friedeichs [Methoden] 173, KaUmann [Skalierung] 57 ff., Mayntz/Holrn/Hübner [Methoden] 49 f.) und mit der Entwicklung nichtmetrischer Skalierungsverfahren eine metrische Datenbasis ohnehin nicht mehr vorausgesetzt werden muß. Unabhängig vom angestrebten Skalenniveau der für Erhebungssituation 2 besprochenen Datenerhebungsmethoden ergeben sich bei deren praktischer Anwendung gewisse Einschränkungen. Diese liegen darin begründet, daß diese Methoden nur bei relativ kleinem Objektumfang praktikabel sind.

56

B. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

Die Angaben über den für die Versuchspersonen noch vertretbaren Urteilsaufwand (vgl. dazu Henry/Stumpf [Time] 169) reichen von lAI = 6 (vgl. Friedrichs [Methoden] 179) bis lAI =15 (vgl. Esser [Skalierungsverfahren] 206) bei den indirekten Methoden und bis maximal 40 bei den direkten Methoden (vgl. Guilford [Methods] 297). Bei größerem Objektumfang wird das Urteilsvermögen sehr schnell überfordert, was zu Inkonsistenzen der Urteile und zu Antwortverweigerungen führen kann (vgl. Bortz [Forschung] 99, 123, Mayntz/Holm/Hübner [Methoden] 49).

4. Ableitung von Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaßen aus Profildaten (Erhebungssituation 3) a) Kennzeichnung der Erhebungssituation Kennzeichnend für Erhebungssituation 2 war eine subjektive, mehrere a priori nicht näher spezifizierte Objektmerkmale simultan umfassende (globale) Objektbeurteilung. Durch den ausdrücklichen Verzicht auf die explizite Vorgabe einzelner Beurteilungsmerkmale sollten die von den Urteilspersonen verlangten Ähnlichkeitsurteile nicht präjudiziert werden. Dies wäre etwa dann der Fall, wenn für die Objektbeurteilung irrelevante Objektmerkmale vorgegeben oder wenn relevante Merkmale unberücksichtigt geblieben wären. Anders als in Erhebungssituation 2 ist dagegen zu verfahren, wenn die eine Ähnlichkeits- bzw. Präferenzrelation auf einer Objektmenge A begründenden Merkmale a priori bekannt und deren Ausprägungen meß- bzw. beobachtbar sind. Weiterhin sind die Methoden der Erhebungssituation 2 dann nicht anwendbar, wenn subjektive Eindrücke für die betrachteten Objektrelationen ohne Bedeutung sind. Die spezifische Form der Datenerhebung für Problemstellungen, die dadurch gekennzeichnet sind, daß sich die untersuchungsrelevanten Objektrelationen aus der Ausprägung einer diskreten endlichen Menge bekannter Merkmale bei den betrachteten Objekten ableiten Jassen, wird hier in Abgrenzung zu den beiden vorgenannten Situationen 1 und 2 als Erhebungssituation 3 bezeichnet. Als Beispiel diene etwa ein Entscheidungsproblem bei mehrfacher Zielsetzung. Die betrachtete Objektmenge A umfaßt dabei die zur Wahl stehenden Planaltemativen. Als Merkmale (Kriterien) zur differenzierten Beurteilung der Alternativen dienen die vom Entscheidungsträger angestrebten Ziele, die im Rahmen der Zielbildung (vgl. Schweitzer [Planung] 28 ff., Wild [Untemehmungsplanung] 57 ff.) bestimmt wurden (vgl. dazu Kapitel E). Bei diesem Problem der Entschei-

Il. Datenbasis mehrdimensionaler Skalierungsverfahren

57

dungsfindung bei mehrfacher Zielsetzung kommt eine Vorgehensweise wie in Erhebungssituation 2 aus zwei Gründen nicht in Frage: Erstens sind für diese Problemstellung subjektive psychologische Wahrnehmungen bei der Beurteilung der Zielwirksamkeit der Handlungsalternativen ohne Bedeutung (zumindest unter dem Postulat rationalen Handelns), zweitens sind durch die verfolgten Ziele diejenigen Beurteilungskriterien vorgegeben, die Grundlage einer kriterienbezogenen Objektbeurteilung (hier: Alternativenbewertung) sein müssen. Bei einer Globalbeurteilung wäre dagegen nicht sichergestellt, daß die einzelnen Kriterien mit der vom Entscheidungsträger gewünschten Gewichtung in die Bewertung Eingang finden (zu anderer Ansicht vgl. Rivett [Policies] 368). Als Ergebnis der Objektbeurteilung in Erhebungssituation 3 ergibt sich eine Profildatenmatrix, deren Struktur zunächst formal dargestellt werden soll.

b) Die Struktur von Datenmatrizen Kennzeichnend für Problemstellungen der Erhebungssituation 3 ist wieder eine Menge A = ( l, ... ,n} von Objekten, welche nach einer vorgegebenen Menge M = ( l, ... ,m} ausgewählter Merkmale (Kriterien) beurteilt werden sollen. Jedes Element k der Merkmalsmenge M kann mehrere Ausprägungen annehmen (vgl. Bock [Klassifikation] 19), deren Wertebereich mit Mk bezeichnet werden soll. Die Ausprägung aik des Merkmals k E M bei Objekt i E A ergibt sich aus der Zuordnung (B.16)

Die Gesamtheit der beobachteten Merkmalsausprägungen des Objektes i E A bildet den Objeklveklor a(i) = (aü, ... ,alm) (vgl. Ambrosi [Aggregation] 1, Opitz [Taxonomie] 27). Der Objektvektor gibt eine der betrachteten Problemstellung gemäße Beschreibung des Objektes i und kann insofern als dessen Repräsentant betrachtet werden (vgl. Bock [Klassifikation] 19). Die Gesamtheit aller n Objektvektoren a(l) bis a(n) bildet die (Profil-) Datenmatrix

(B.l7) an! ... anm

(vgl. Opitz [Taxonomie] 28, Sodeur [Verfahren] 39, dazu auch Shepard [Taxonomy] 27 f.). Jede Zeile der Matrix A0 repräsentiert ein Objekt und

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B. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

jede Spalte einen Merkmalsvektor (vgl. Sneath/Sokal [Taxonomy] 114). Lassen sich die Komponenten des Merkmalsvektors als reelle Zahlen ausdrücken, d.h. MI< eR, ist k ein quantitatives Merkmal, nimmt MI< dagegen nur wenige diskrete Werte an, wird k als qualitatives Merkmal bezeichnet (vgl. Bock [Klassifikation] 19, Lance/Williams [Data] 15). Entsprechend spricht man von einer quantitativen bzw. einer qualitativen Datenmatrix. Urnfaßt eine Datenmatrix beide Merkmalstypen, spricht man auch von einem Mixed-Data-Problem (vgl. dazu Burr [Sorting] 97, Dobbener [Grundlagen] 17, Lance/Williams [Data] 15 ff., Sodeur [Verfahren] 70 f.). Mit der Bestimmung der Datenmatrix A0 sind die betrachteten Objekte in allen untersuchungsrelevanten Merkmalen näher g~ennzeichnet, und damit ist ihre Lage im sogenannten Merkmalsraum M (vgl. dazu auch Böhler [Produktalternativen] 273, Opitz [Taxonomie] 28, Sodeur [Verfahren] 1 U determiniert. Als Merkmalsraum wird dabei das kartesische Produkt M := M 1x ... xMm der Wertebereiche der Merkmal~ k = 1, ... ,m bezeichnet. Für alle n Objektvektoren a.Q) gilt dabei: a(i) e M (vgl. Bock [Klassifikation] 19). Im folgenden wird M in Abgrenzung zu dem aus einer mehrdimensionalen Repräsentation resultierenden formalen Merkmalsraum X = (xil)nxr auch als empirischer Merkmalsraum bezeichnet, da er aus den m empirisch beobachteten Merkmalsausprägungen MI< der Objekte resultiert und zusammen mit einer darin abgebildeten Objektmenge als empirisches Relationensystem im Sinne der Meßtheorie interpretiert werden kann. Durch die Positionierung der Objekte im empirischen Merkmalsraum M wird auf der Objektmenge A eine Ähnlichkeitsstruktur induziert, dergestalt, daß zwei Objekte um so ähnlicher sind, je näher sie im Merkmalsraum beieinander positioniert sind und um so unähnlicher, je größer ihr gegenseitiger empirischer "Abstand" ist. Eine solchermaßen definierte Ähnlichkeitsstruktur impliziert aber, daß die globale, alle Merkmale berücksichtigende Ähnlichkeit zweier Objekte i,j e A eine Funktion ihrer merkmalsspezifischen Positionierungen im Merkmalsraum bildet (vgl. Burr [Sorting] 97, Jardine/Sibson [Taxonomy] 4 f., Sneath/Sokal [Taxonomy] 5, Sodeur [Verfahren] 38 ff. sowie C III 3 a bb), d.h. (B.18)

sii = p(la(i) - a(j)l).

Das für Objektähnlichkeiten im Merkmalsraum Gesagte gilt analog auch für Präferenzbeziehungen. Dabei läßt man sich von der dem Idealpunktmodell (vgl. dazu etwa Carroll [Differences] 116 ff., DichtVSchobert [Skalierung] 59 ff., Gäfgen [Theorie] ~9 f.) _!Ugru_!!de liegenden Vorstellung eines Präferenzschwerpunktes z = ( Zl, •.• , zm) im Merkmalsraum leiten. Je stärker dab~i die Merkmalsausprägungen ail< des Objektes i den Idealausprägungen zl< (k = 1, ... ,m) angenähert sind, desto stärker wird

II. Datenbasis mehrdimensionaler Skalierungsverfahren

59

Objekt i präferiert (vgl. dazu auch Albers/Brockhoff [Positioning] 129 ff., Gavish/Horsky/Srikanth [Positioning] 1277 f.). Da die Idealpunktvorstellung auch formal in C II noch eingehend behandelt wird, kann an dieser Stelle auf eine weitere Vertiefung verzichtet werden. c) Bestimmung von Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaßen aus Profildatenmatrizen Will man die im Merkmalsraum bestehenden Objektbeziehungen in Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaßen quantifizieren, so hängen die Möglichkeiten hierzu im wesentlichen davon ab, ob die Datenmatrix quantitativ, qualitativ oder gemischt ist (vgl. auch Vogel [Klassifikation] 11 ff.). Vergleichsweise einfach gestaltet sich das Problem der Bestimmung von Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaßen in den Fällen, in denen die Merkmalsausprägungender betrachteten Objekte metrisches Skalenniveau aufweisen. Die empirischen Objektbeziehungen können dabei durch einen metrischen Distanzindex ausgedrückt werden, als dessen bekanntester die Minkowski-Distanz (B.19)

d(i,j)

= (tlaik t=l

a,JP} 1/p .....

angesehen werden muß (vgl. Anderberg [Analysis] 101, Kendall [Analysis] 36, Lance/Williams [Data] 16 sowie C III 3 a). Wesentlich problematischer als im Falle quantitativer Daten erweist sich das Problem der Bestimmung von Ähnlichkeits- bzw. Präferenzindizes bei ordinalen Merkmalsausprägungen. Ordinale Merkmale zeichnen sich dadurch aus, daß der Wertebereich Mt des Merkmals k nur komparativ geordnet ist. Durch die Zuordnung B.16 wird auf der Objektmenge A merkmalsbezogen eine Präordnung (vgl. Ambrosi [Distanzen] 7) induziert, durch die zum Ausdruck kommt, welchen Ähnlichkeits- bzw. Präferenzrangwert jedes Objekt aus A bezüglich Merkmal k aufweist. Diese Rangordnung der Objekte erlaubt jedoch keine Aussage über die Höhe des Ausprägungsunterschiedes zwischen zwei Rangwerten bei Merkmal k (vgl. Sneath/Sokal [Taxonomy] 115). Um dennoch ein quantitatives Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaß zu erhalten, wird in der Literatur häufig der Weg über die Zuordnung reeller Zahlen zu den ordinalen Merkmalsausprägungen aik gewählt (vgl. Ambrosi [Distanzen] 13, Anderberg [Analysis] 56, Bock [Klassifikation] 71, Dobbener [Grundlagen] 59, Lance/Williams [Data] 18 f., Sodeur [Verfahren] 64). Dabei wird eine Abbildung (B.20)

60

8. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

definiert, derart, daß für i,j e A und ailt,aJk e Mk gilt: (B.21) Mit (B.22) ist damit auf Mk ein Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaß bestimmt, das sich durch Komposition der Abbildungen ~ o p (vgl. B.16 und B.20) auf A x A übertragen läßt: (B.23) (vgl. Anderberg [Analysis] 129, Ambrosi/Lauwerth [Sensitivitätsbetrachtungen] 7, Opitz [Taxonomie] 36). Als problematisch erweist sich dieses Ähnlichkeitsmaß durch seine direkte Abhängigkeit von der Wahl der Abbildung p,welche nicht eindeutig festgelegt ist. Je nach Skalierung der ~ in B.22 erhält man für dieselben Objekte i,j e A mit verschiedenen 'j5 unterschiedliche Ordnungsbeziehungen zwischen den Objektdistanzen (zu einem Beispiel vgl. Ambrosi [Distanzen] 15). Zur Lösung dieses Problems bietet sich eine äquidistante Skalierung für 'j5 an. Paarweise benachbarten ordinalen Merkmalsausprägungen werden dabei identische Differenzen ihrer Rangziffern zugeordnet (vgl. etwa Dobbener [Grundlagen] 86, Opitz [Taxonomie] 36). Implizit wird dabei jedoch unterstellt, daß alle aufeinanderfolgenden Merkmalsausprägungen stets die gleiche Höhe der Ausprägungsdifferenz aufweisen. Weitere Ansätze zur Bestimmung merkmalsspezifischer Distanzindizes auf ordinalen Datenstrukturen finden sich u.a. bei Ambrosi (vgl. [Distanzen] 16), Ambrosi/Lauwerth (vgl. [Klassifikationsverfahren] 153) sowie Opitz (vgl. [Entwicklungen] 19). Diesen liegt aber in der Regel ebenfalls die Äquidistanzannahme zugrunde, weshalb auf eine Darstellung verzichtet werden kann. Mit der Bestimmung merkmalsspezifischer Ähnlichkeits- bzw. Präferenzindizes e..!.gibt sich für jedes Merkmal k e M eine empirische Distanzmatrix At = (aii)nxn' d~~en Element a1 die Rangziffer des Objektpaares (i,j) bezüglich seiner Ahnlichkeit auf Merkmal k angibt; analog gilt dies für Präferenzen. Diese merkmalsbezogenen empirischen Distanzmatrizen müssen, um globale, alle Merkmale einbeziehende Ähnlichkeitsbzw. Präferenzmaße zu erhalten, über allem Merkmale aggregiert werden. Diese Aggregation wirft im Falle ordinaler Objektrelationen besondere Probleme auf. Als äußerst problematisch ist der von vielen Autoreri in Ermangelung einer befriedigenden Aggregationsvorschrift gewählte Weg

II. Datenbasis mehrdimensionaler Skalierungsverfahren

61

zu beurteilen, die in Ziffern ausgedrückten Rangwerte wie reelle Zahlen zu behandeln und die dafür gültigen Aggregationsregeln zu verwenden, wie etwa die euklidische Aggregation der merkmalsspezifischen Partialdistanzen (vgl. etwa Burr [Sorting] 97, dazu auch C m 2 und B.23), den Korrelationskoeffizienten (vgl. etwa Sokai/Sneath [Principles] 139) oder spezifische Metriken (vgl. etwa Lance/Williams [Data] 17). Auch die Anwendung von Aggregationsregeln für ordinale Rangziffem, wie etwa die Rangordnungsregel, die strenge Mehrheitsregel, die Paretaregel etc. (vgl. dazu etwa Gäfgen [Theorie] 363 ff., Pfohi/Braun [Entscheidungstheorie] 278 ff.), führt nicht immer zu vollständigen aggregierten Präordnungen (vgl. Ambrosi [Distanzen] 48, Opitz/Schader [Entwicklung] 36). Die wesentliche Kritik quantitativer Ähnlichkeitsmaße für ordinale Datenstrukturen fußt auf der willkürlichen Metrisierung ordinaler Merkmalsausprägungen. Dadurch wird dem Datenmaterial ein Informationsgehalt zugeschrieben, den es faktisch nicht besitzt. Ähnlich kritisch ist die entgegengesetzte Vorgehensweise zu beurteilen, die aufgrundder angeführten Kritik in einer Dichotomisierung ordinaler Datenstrukturen und ihrer Weiterbehandlung als nominale Daten besteht (vgl. etwa Anderberg [Analysis] 52 f., Burr [Sorting] 97, Sodeur [Verfahren] 62). Es wird dabei auf einen Teil des vorhandenen Informationsgehalts der Objektdaten vl!rzichtet, was die Aussagefähigkeit daraus gezogener Schlußfolgerungen stark in Frage stellt. Auch die Verwendung von Wahrscheinlichkeitsmaßen (vgl. etwa Bock [Klassifikation] 72 f., Sneath/Sokal [Taxonomy] 140 ff.) kann das Problem wegen der damit verbundenen, in der Regel nur schwer nachprüfbaren Verteilungsannahmen nicht zufriedenstellend lösen. Zusammenfassend läßt sich feststellen, daß in Erhebungssituation 3 im Falle lediglich komparativer Objektbeurteilungen auf vorgegebenen Merkmalen keine globale Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmatrix der betrachteten Objekte bestimmt werden kann, die der gegebenen Datenstruktur Rechnung trägt und eine vollständige Rangordnung der Objekte erlaubt. In der Tat existieren bislang keine allgemein gültigen und theoretisch fundierten Ansätze zur Operationalisierung ordinaler Datenstrukturen (vgl. Opitz [Taxonomie] 51, Sodeur [Verfahren] 61, Ambrosi [Aggregation] 42 ff., vgl. auch Opitz/Schader [Analyse] 71 ff.). Eine Ausnahme bilden hier die nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierungsverfahren, welche die Transformation ordinaler Objektrelationen in metrische Distanzen erlauben. Neben der Behandlung der in den Erhebungssituationen 1 und 2 betrachteten Datenstrukturen erlauben die nichtmetrischen Skalierungsverfahren auch die unmittelbare Verarbeitung der auf m Merkmalen definierten n-stelligen Ähnlichkeits- bzw. Präferenzrelationen der

62

B. Einführung in die mehrdimensionale Skalierung

Objekunenge A, die sich unmittelbar durch die Zuordnung von Rangziffern zu den Merkmalsausprägungen Mt für k = l, ... ,m ergeben (vgl. B.20). Die explizite Bestimmung aggregierter empirischer Ähnlichkeitsbzw. Präferenzmaßgrößen aus den merkmalsbezogenen Profildaten erübrigt sich somit. Angesichts der Schwierigkeiten, solche Maßgrößen zu bestimmen, erweist sich dies als großer Vorteil. Mit der Bestimmung von Ähnlichkeits- bzw. Präferenzmaßen auf einer vorgegebenen Menge von Objekten ist die Voraussetzung für die geometrische Repräsentation des entsprechenden empirischen Relationensystems mit Hilfe eines Verfahrens der mehrdimensionalen Ähnlichkeitsbzw. Präferenzskalierung geschaffen. Bevor die Möglichkeiten zur Lösung insbesondere betriebswirtschaftlicher Fragestellungen mit Hilfe dieser Verfahren und der daraus resultierenden geometrischen Repräsentation analysiert werden, sollen die Skalierungsverfahren in ihrer formalen und algorithmischen Struktur näher gekennzeichnet werden. Dies ist eine zwingende Voraussetzung zur Beurteilung ihres Anwendungs- und Problemlösungspotentials. Wegen ihrer geringen Anforderungen an das Skalenniveau der Eingabedaten und ihrer größeren Flexibilität werden im folgenden nur nichtmetrische Skalierungsansätze betrachtet.

C. Basismodelle der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung I. Das Modell von Shepard und Kruskal zur nichtmetrischen mehrdimensionalen Ähnlichkeitsskalierung 1. Die Formalstruktur des Modells Die Entwicklung der nichunetrischen mehrdimensionalen Skalierung wurde zu Beginn der sechziger Jahre von Roger N. Shepard (vgl. [Analysis]) eingeleitet. Shepard beschränkte sich dabei zunächst ausschließlich auf Ansätze der Ähnlichkeitsskalierung. Während in der klassischen metrischen mehrdimensionalen Skalierung eine lineare Beziehung zwischen den als metrisch vorausgesetzten Ähnlichkeitsmaßen eines empirischen Relativs und den euklidischen Distanzen der geometrischen Repräsentation, d.h. des formalen Relativs, gefordert wurde (vgl. Kruskal/ Wish [Scaling] 22, Green [Robustness] 78), setzte Shepard in seinem Ansatz hier eine lediglich monoton-funktionale Beziehung voraus. Dies erschien zulässig, da auch monotone Funktionen zur Klasse der Ähnlichkeits/unktionen gehören (vgl. Shepard [Structure] 288, Cormack [Review] 328 sowie B I 1 c). Damit genügte es, die Ähnlichkeitsrelationen des betrachteten empirischen Relativs ordinal zu operationalisieren (vgl. Kruskal/Wish [Scaling] 22). Bezeichnet Ä = (s) die Matrix der empirischen Ähnlichkeitsränge der Objekte i,j E A, D =~ (d.) die Matrix der (euklidischen) Punktdistanzen im Repräsentationsra·~~ R' und X = (x11)nxr die Koordinatenmatrix der Repräsentationspunkte im R', dann kann das nichtmetrische Skalierungsmodell von Shepard wie folgt formuliert werden (vgl. Young [Model] 71): (C.l)

-

m

A ::: D = g(X CR'; r ~min).

64

C. Basismodelle der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung

Die von Shepard geforderte Monotoniebedingung ~ zwischen der Ähnlichkeitsmatrix Ä und der Distanzmatrix D der Repräsentationspunkte hat die Form: und dii ::;; di'i' sii ::;; si'i' (C.2)

wobei sr den Ähnlichkeitsrangwert des Objektpaares (i,j) in der Matrix A bezeichAet (vgl. Kruskal [Scaling] 22, Roloff [Skalierung] 1881). Shepard fordert somit eine monotone Funktion zwischen empirischen Ähnlichkeitsund formalen Distanzwerten, deren Einhaltung approximativ (symbolisiert durch :::) erfüllt sein muß. g : R' x R' ~R + symbolisiert die euklidische Distanzfunktion (C.3)

±

= ([ (x. 1 - xYF12 g(X) = {d 2(x.,x.)} J I 1:1 J I

:

i,j = 1, ... ,n}

mit xi = (xu, ... ,xir) EX eR' und xi = (xi1, ••• ,xi.}E X c R' als Repräsentanten der Objekte i bzw. j. Neben der monotonen Beziehung zwischen den empirischen Objektähnlichkeiten und den sie repräsentierenden Punktdistanzen wird eine minimale Dimension (r ~ min) des Repräsentationsraumes R' gefordert (vgl. Shepard [Analysis] 129 ff.). Die beiden Basispostulate, Monotoniebedingung und minimale Dimension, stehen jedoch im Widerspruch zueinander, denn mit sinkendem r nimmt die Zahl der Freiheitsgrade der formalen Objektpositionierung im R' ständig ab. Im gleichen Maß wächst dementsprechend die Gefahr, daß die Monotoniebedingung verletzt wird (vgl. dazu ausführlich C III 1 b). Es stellt sich damit das Problem, einen Kamprarniß zwischen diesen beiden widersprüchlichen Postulaten zu finden. Zur Lösung dieses Konflikts definiert Kruskal (vgl. [Scaling] 3 ff.) ein Prüfkriterium, welches bei einer vorgegebenen Dimension r als Maß für die Einhaltung der geforderten Monotoniebedingung dient. Dieses Kriterium wird als Stress bezeichnet (vgl. Kruskal [Scaling] 3). Zu seiner Bestimmung wird eine Folge von Zahlen ermittelt, die einerseits zu den empirischen Objektähnlichkeiten sii in monotoner Beziehung stehen und andererseits mit den aus einer Punktkonfiguration im R' resultierenden Objektdistanzen d .. im Sinne des "Ieast-squareKriteriums" bestmöglich korrespondieren (~gl. C I 2). Mit Hilfe dieser Zahlenfolge, deren Elemente auch als Disparitäten bezeichnet werden (vgl. Young [Model] 71, Gigerenzer [Messung] 328), läßt sich ein Maß für die Güte der Anpassung einer geometrischen Repräsentation an die empirischen Daten ermitteln. Gleichzeitig läßt sich damit die minimale Dimension des Repräsentationsraumes bestimmen (dies wird im nächsten Abschnitt näher erläutert). Kruskals Ansatz bildet insofern eine Erweiterung und Operationalisierung des Modells von Shepard, wodurch dieses in ein

I. Das Modell der nichtmetrischen Ähnlichkeitsskalierung

65

Software-System implementiert werden konnte. Damit war für die nichtmetrische mehrdimensionale Skalierung, zumindest im amerikanischen Raum, der endgültige Durchbruch verbunden. Das Modell von Kruskal lautet formal (vgl. auch Young [Model] 72): -

•

ls

A Yl D- D

(C.4)

=

g(XcR•;

r~min).

D = (d1i)IW1 symbolisiert dabei die Matrix der Disparitäten, welche in mo-

notoner Beziehung ( Yl) zu den Objektähnlichkeiten in A stehen und die Distanzen D der Punktkonfiguration X c R' nach dem least-square-Kriterum ( !J) bestmöglich annähern. In Erweiterung des Ansatzes von Shepard läßt Kruskal als Distanzmodell die allgemeine Klasse der Minkowski-pMetriken (C.5)

zu (vgl. Kruskal [Scaling] 22 f.). Da die Grundkonzeption dieses nichtmetrischen Skalierungsmodells auf Shepard zurückgeht, von Kruskal aber vor allem hinsichtlich seiner Praktikabilität in wesentlichen Punkten erweitert wurde, wird im folgenden vom Modell von Shepard!Kruskal gesprochen (so auch Youngfforgerson [TORSCA]). Auf der Grundlage dieses Modells wurde eine Vielzahl von Skalierungsverfahren entwickelt, die in einem iterativen Prozeß eine geometrische Repräsentation einer Menge von Objekten und deren Ähnlichkeitsrelationen (also eines empirischen Relativs) im minimal dimensionierten R' generieren.

2. Die Iterationsschritte des Skalierungsalgorithmus a) Überblick über den Iterationsverlauf Die auf der Grundlage des Modells von Shepard/Kruskal entwickelten Skalierungsverfahren bestimmen eine geometrische Objektrepräsentation im R' in einem iterativen Anpassungsprozeß, der sich in folgende Schritte gliedern läßt (vgl. dazu auch Davison [Scaling] 82 ff., Kruskal [Scaling] 1 ff., Roloff [Skalierung] 1880 ff., Schiffman/Reynolds/Young [Introduction] 6 ff.): ( 1)

Ausgehend von einer frei bestimmbaren Startkonfiguration "n.. in einem Raum vorgegebener Dimensionalität r werden die Punktdistanzen

5 G . Reiler

66

C. Basismodelle der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung

dij := d(xl,xj) mit XI,XJE xo.r berechnet und in der Distanzmatrix D zusammengefaßt. Aus den Punktdistanzen d1 werden mittels monotoner Regression .~ie Disparitäten aiJ' die _9r;fuungshomomorphie zu den empirischen Ahnlichkeitsrängen s1JE A aufweisen, bestimmt und in die Disparitätenmatrix b abgebildet. (2)

Aus der Summe der quadrierten Abweichungen zwischen den Punktdistanzen dr und den Disparitäten wird der Stress als Maß für die Verletzung ~der Monotoniebedingu~g durch die Konfiguration X0., bestimmt.

(3)

Mit Hilfe einer Gradientenoptimie~.ung wird eine Konfiguration X 1., bestimmt, welche die empirischen Ahnlichkeitsränge besser approximiert, d.h. einen geringeren Stress aufweist als X0.,.

(4)

Die Schritte (I) - (3) werden so lange wiederholt, bis sich eine Konfiguration Xe,T: ergibt, deren Stress minimal ist und damit durch keine andere Konfiguration mehr verbessert werden kann.

(5)

Die Schritte (I) - (4) werden unter sukzessiver Verringerung der Dimension r so lange wiederholt, bis der Stress nicht mehr weiter auf einen satisfizierenden Wert reduziert werden kann.

a.

Als Ergebnis dieses Iterationsprozesses ergibt sich eine Punktkonfiguration im R', die die betrachteten Objekte sowie die zwischen ihnen definierten Ähnlichkeitsrelationen geometrisch repräsentiert. Die einzelnen Iterationsschritte werden im folgenden etwas näher untersucht. b) Bestimmung einer Startkonfiguration Den Ausgangspunkt eines Skalicrungsverfahrens auf der Grundlage des Modells von Shepard/Kruskal bildet die Festlegung einer Startkonfiguration X0., in einem Repräsentationsraum vorgegebener Dimension r. Dabei ist zu beachten, daß r nicht zu klein gewählt wird. Prinzipiell lassen sich drei Möglichkeiten zur Bestimmung einer Startkonfiguration unterscheiden (vgl. Green/Wind [Multiattribute] 309 ff., Kruskal [Nonmetric] 120, Young [Model] 91 ff., Young{forgerson [TORSCA] 498): (1)

Willkürliche Festlegung aufgrund von Erfahrungswerten aus vergleichbaren Untersuchungen,

(2)

Unterstellung gleicher Punktdistanzen durch Wahl eines regulären Simplex im R',

67

I. Das Modell der nichtmetrischen Ähnlichkeitsskalierung

(3)

Bestimmung durch einen, dem Verfahren vorgeschalteten vereinfachten metrischen Subalgorithmus.

Die größte praktische Bedeutung kommt der letztgenannten Alternative zu, da aus ihr im Hinblick auf die gesuchte Endkonfiguration in der Regel die besten Startwerte resultieren, was nicht zuletzt zu einer erheblichen Reduzierung des Rechenaufwandes führt (vgl. Gigerenzer [Messung] 238, Sacher [Skalierung] 72 f.). Die so bestimmte Startkonfiguration bildet eine Ausgangslösung, die im folgenden Iterationsprozeß sukzessiv verbessert wird.

c) Optimierung der Approximationsgüte einer Konfiguration Aus der Startkonfiguration Xo.r werden auf der Basis eines vorab festgelegten Metrikparameters p die Punktdistanzen d1J berechnet. In der Regel stehen die d .. nicht in der geforderten monotonen Beziehung zu den entsprechenden erripirischen Ähnlichkeiten s1r Die Verletzung der Monotoniebedingung durch die Distanzen der Startkonfiguration läßt sich anband eines Streudiagramms, auch Shepard-Diagramm genannt, darstellen (vgl. Kruskal [Scaling] 4, Kruskal/Wish [Scaling] 19, Davison [Scaling] 98). Dies sei an folgendem vereinfachten Beispiel veranschaulicht: Für 5 Objekte sei die Ähnlichkeitsmatrix Ä =(s .. ) ermittelt worden, und aus einer vorgegebenen Startkonfiguration habe ~ich die Distanzmatrix D = (d1i) ergeben.

2 1

3

4

10

2 3 4 0,7 3,9 2,5 - 7,5 3,3 - 1,5 -

5 5,5

4,4

5,0 6,5

I

Aus diesen Daten resultiert das Shepard-Diagramm der Abbildung C-1. Es zeigt sich, daß die durch den Graphen dargestellte Funktion h(s 1i) nicht monoton ist. Zur Bestimmung des Grades der Abweichung der Funktion h(s 1J) von der Monoton~e wird eine zu h(s 1) korrespondierende monotone Funktion h(s) =: d 1J definiert, aus der sich das Gesamtmaß S* der Abweichung durch die Summe der quadrierten Einzelabweichungen ergibt:

68

C. Basismodelle der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung dij dij

8

(2,3)

7 6

5 4

3

2

2

3

4

5

7

6

8

10

9

Abb. C-1: Shepard-Diagramm

(C.6) Das Maß S* wird als "raw-stress" bezeichnet (vgl. Kruskal [Scaling] 8) und gibt die Güte der Anpassung einer Konfiguration an die Monotoniebedingung an. Die Bestimmung der dr erfolgt durch einen monotonen Regressionsalgorithmus (vgl. dazu Kru~kal [Nonmetric] 126 ff.). Dabei werden zunächst alle (~) Objektpaare (i,j) e AxA, entsprechend ihrer Ähnlichkeitsrangfolge geordnet und diesen Paaren die aus der Distanzmatrix D entnommenen Distanzwerte d.. zugeordnet. Weisen die Distanzwerte d.. eines Objektpaares nicht die gleiche Ordnungsstruktur auf wie die Ährilichkeitsrangwerte s1i' werden die Distanzwerte zu einem Block zusammengefaSt und aus ihnen der Mittelwert gebildet. D. h. für alle Paare (i,j) und (i',j') e AxA mit (i,j) ~. (i'j') gilt: (C.7)

s1J ~ s1.i. und d1i ~ d1.i. ~ d1i sij

= d i und d'J' = d .i. 1

1

1

~ si'j' und dij > di'j' ~ dij = ai'j' = l/2(dij + di')·

Dieser Mittelwert wird wiederum auf die Einhaltung der Monotoniebedingung bezüglich der vorhergehenden und nachfolgenden Distanzwerte überprüft. Er wird so lange durch erneute Mittelwertbildung erweitert, bis die Monotoniebedingung erfüllt ist. Dies läßt sich anband eines Strukturdiagramms, dem die Daten des obigen Beispiels zugrunde liegen, veranschaulichen (vgl. Abb. C-2):

69

I. Das Modell der nichtmetrischen Ähnlichkeitsskalierung

(i,j) S.. IJ

dIJ.. A

d.IJ

(1,2) (3,4) (1,4) (1,3) (2,4) (3,5) (2,5) (1,5) (4,5) (2,3) 1

2

3

4

0,7 0,7 0,7

1,5 1,5 1,5

2,5 2,5 2,5

13,9 3,6 3,6

5

6

3,3 1 5,0 3,6 15,0 3,6 4,7

7 4,4 4,4 4,7

8

9

10

5,5

6,5 6,5 6,5

7,5 7,5 7,5

I 5,5 5,5

Abb. C-2: Strukturdiagramm zur monotonen Regression

Damit sind die d.. und mit ihnen die gesuchte, mit h(sij..) korrespondieA rende monotone Funktion h(s..) bestimmt. Es bleibt zu erwähnen, daß es sich bei den d.-Werten nicht u~ Distanzen handelt, sondern um eine Folge IJ reeller Zahlen, die sich bestmöglich an die Distanzen d1J anpassen und in Monotonie zu den empirischen s1i-Werten stehen (vgl. Kruskal [Scaling] 7). ~

Der raw-stress als Maß für die Einhaltung der Ordnungshornamorphie zwischen empirischen Ähnlichkeiten und geometrischen Distanzen im Repräsentationsraum R' ist gegenüber Achsenspiegelung (Reflexion) und Verlagerung des Ursprungs (Translation) sowie, im Falle der euklidischen Metrik, gegenüber Rotation einer Konfiguration invariant. Nicht invariant ist er aber gegenüber einer Stauchung/Streckung (Konfigurationsdilatation), obwohl die Distanzrelationen dadurch nicht verändert werden (vgl. Kruskal [Scaling] 8, van der Ven [Skalierung] 278 f.). Um eine Invarianz gegenüber allen zulässigen, d.h. die formalen Distanzrelationen erhaltenden Transformationen einer Konfiguration (vgl. B 1 b) zu erreichen, wird der raw-stress S* mit dem Faktor T* =I. ..d~ normiert und mit dem Faktor 1/2 potenziert. Kruskal (vgl. [Scaling] 9)1J s~hlägt dies in Anlehnung an die Formel der Standardabweichung vor. Der Stress als Maß für die Approximationsgüte einer Konfiguration hat damit die Form: (C.8)

Die Formel für den Stress macht deutlich, daß die Approximationsgüte einer Konfiguration in reziprokem Verhältnis zum Stresswert steht. Je größer der Stresswert ist, desto schlechter sind die empirischen Ähnlichkeitsrelationen durch eine Konfiguration wiedergegeben. Der Stress wird dann null, wenn die Monotoniebedingung perfekt erfüllt ist, wenn also dr = dr für alle (i,j) E A x A gilt. Kruskal gibt folgende Richtwerte zur rriterpietation der Approximationsgüte einer Punktkonfiguration an (vgl. Kruskal [Scaling] 3):

70

C. Basismodelle der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung

Stress-Wert

Approximationsgüte

0,2 0,1

schlechte Approximationsgüte befriedigende Approximationsgüte gute Approximationsgüte ausgezeichnete Approximationsgüte vollkommene Approximationsgüte.

0,05 0,025 0,000

~s

s < 0,2 ~ s < 0,1 ~ s < 0,05 ~ s < 0,025

~

Aus der Definition des Stress wird deutlich, daß für jede Konfiguration X = (x 11 )= eR' mit lXI = n bei gegebenem n und festem r ein spezifischer Stresswert existiert. Für diesen gilt: (C.9)

S(X) = min

UUTIO•

0 ,00100

ITERATIONS STOPP!D UCADS! SSU!SS I,PfiOti:ft!NT LESS TKU RIUftUR P!lftitT!C,

··················································•····•········•··············•······················· . ' ... . '·"' . '·' "' ... ,,,., .. '·"' . ,,,., .

GIIIUSl OI

1.2' 1. 0

2.1'11

t

flt!Ht:'JITlL)

t

.60 H Oiootnsioool I

NUMBER

I

l

4

Of OIMENSIONS

Abb. C-11: Stress, Objektmenge und Dimension (vgl. Klahr [lnvestigation] 329)

30 6810 15

30 6810 15

NUII8ER Of POINTS

30

Abb. C-12: Stress und Detenniniertheit (vgl. Young [Recovery] 468)

Die vorangegangenen Überlegungen machen deutlich, daß bei der Beurteilung der Eindeutigkeit einer Konfiguration zwischen der Rekonstruktionsgüte und der Determiniertheil wohl zu unterscheiden ist. In der Literatur wird dem Problem der Determiniertheil dadurch Rechnung getragen, daß ein ObjelcJ-Dimensionen-Verhältnis angegeben wird, dessen Einhaltung die Verläßlichkeit des Stresswertes als Eindeutigkeilskriterium ausreichend sichert. Eine Konfiguration, der ein Objekt-DimensionenVerhältnis von (n-1):r < 4 zugrunde liegt, ist nach KruskaVWish (vgl. [Scaling] 77) mit Vorsicht zu betrachten. Eine zuverlässige Konfiguration sollte auf einem Verhältnis von (n-1) ~ 4r basieren (vgl. KruskaVWish [Scaling] 34, 77, vgl. auch Green [Robustness] 75, Young/Lewyckyj [ALSCAL] 123). Ist dieses Verhältnis gegeben und weist die Konfiguration einen absolut minimalen Stress auf, so kann- vorbehaltlich der Gefahr einer Degeneration - von einer eindeutigen Lösung gesprochen werden. In diesem Zusammenhang hat Shepard (vgl. [Structure] 308 f.) darauf hingewiesen, daß bei genügend hoher Determiniertheil der nxv vom Verfahren zu bestimmenden Koordinatenwerte durch die (~) empirischen Objektrelationen auch Intransitivitäten und sonstige Fehler in den Eingabedaten die Determiniertheil einer Konfiguration nicht negativ beeinflussen. Shepard spricht sogar von einem "SäuberungseffelcJ" des Ska-

III. Analyse der Leistungsfähigkeit der mehrdimensionalen Skalierung

99

lierungsverfahrens gegenüber fehlerbehafteten Daten, wenn das Verhältnis (~) : nxr genügend groß ist. Nicht immer werden die besprochenen Zusammenhänge genügend berücksichtigt (vgl. etwa Rheder [Produktmarktstrukturierung] I 58 ff., der mit 5 Objekten im R 2 arbeitet, d. h. (n-I) : r = 2). Ihre Kenntnis und Beachtung ist bei der praktischen Anwendung mehrdimensionaler Skalierungsverfahren jedoch unabdingbar, will man zuverlässige Analyseergebnisse erhalten.

c) Das Auftreten partialisometrischer Lösungen Ein in der einschlägigen Literatur fast gänzlich vernachlässigtes Problem, das die Eindeutigkeit und damit den Aussagewert einer Konfiguration ebenfalls in Frage stellen kann, besteht in der Gefahr des Auftretens sogenannter partialisometrischer Lösungen, auf deren Existenz Bortz (vgl. [Metriken] 200 ff.) erstmals aufmerksam gemacht hat. Ausgangspunkt der folgenden Überlegungen ist die bereits beim Eindeutigkeitsproblem der Meßtheorie (vgl. B I I c) beschriebene Tatsache, daß zu jeder geometrischen Repräsentation X = f(A) c R' der Objekte eines empirischen Relativs (A;~.) mit dem Repräsentationshomomorphismus f eine Klasse FT von Transformationen im R' mit~-= fT.[f(A)] und fT.EFT existiert. Dabei ist Xr ebenfalls eine Repräsentation von (A;~.) im R'. Diese Transformationen FTheißen zulässige Transformationen (vgl. B I I b sowie Kratz et al [Measurement] I2), die zugehörigen Konfigurationen sind äquivalent; man bezeichnet sie auch als lsometrien (vgl. Gigerenzer [Messung] 372). Bezogen auf die Ordnungshomomorphe metrische Repräsentation der Distanzrelationen entstehen isometrische Konfigurationen durch Ursprungsverlagerung (Translation), Stauchung bzw. Streckung (Dilatation) oder Spiegelung an den Achsen bzw. Winkelhalbierenden (Inversion) (vgl. etwa Borg [Entwicklungen] I23, Kühn [Skalierung] 60, van der Ven [Skalierung] 278 f.). Kennzeichnend für diese Transformationen ist, daß durch sie die Konfiguration in ihrer Gesamtheit, unter Beibehaltung der relativen Lage der Objektpunkte zueinander, transformiert wird. Man kann sich dies auch so veranschaulichen, daß durch eine zulässige Transformation die Konfiguration fixiert bleibt und nur die Koordinatenachsen des R' in ihrer Lage, ihrer Orientierung oder ihrem Maßstab verändert werden. Die Distanzrelationen einer Konfiguration, verändern sich dadurch allerdings nicht (vgl. C I 3, dazu auch van der Ven [Skalierung] 278 f.). Anders dagegen sind Transformationen der Repräsentation X einer Objektmenge A zu werten, für die gilt:

100

C . Basismodelle der nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierung

fT: R'~R', f;(x 1) = x1 für x1eX und ieA

(C.20)

f; 0 für alle 1 1

~

p


= =

-.

>1 ~ -p•···-p >1 >

>V

-pz, ... ,._pz

,

fl,fll,flß

= = =

Menge der Handlungsalternativen Menge der angstrebten Ziele des Entscheidungsproblems Zielsystem des Entscheidungsträgers p, Menge der Entscheidungsträger Entscheidungskollektiv als fiktive, P übergeordnete Instanz Ziel-Alternativen-Konfiguration im Ziel-AlternativenRaum Gesamtkonfiguration der Ziele und Entscheidungsträger im Entscheidungsraum Partialkonfiguration des Zielsystems z, und des Entscheidungsträgers p, im kollektiven Ziel-Alternativen-Raum Konfiguration der Entscheidungsträger und deren hypothetischem Idealpunkt im kollektiven Entscheidungsraum Ähnlichkeitsrelation auf A Zielertragsrelationen auf A, induziert durch die erwarteten Zielerträge Z1(a.),... ,zm(a.) Artenpräferenzrelationen der v Entscheidungsträger Relation der Entscheidungskompetenz in P, induziert durchK Repräsentationsabbildungen auf den Modellbildungsstufen I, II und m

ll. Entscheidungsfindung mit Hilfe der mehrdimensionalen Skalierung

(Rr;d)

267

= mit der Minkowski-Metrik versehener ReprlisentationsraumR'.

Durch einen hochgestellten Querstrich sind die aus der jeweils vorangehenden Modellbildungsstufe unverändert übernommenen Partialkonfigurationen X 2 cXAZ und X P c~ bezeichnet. Sie dienen im externen Präferenzskalierungsprozeß als fixierte, dem Algorithmus extern vorgegebene Punktkoordinaten, in die die jeweils betrachtete Präferenzordnung durch das Skalierungsverfahren abgebildet wird. Aggregiert man die Abbildungsgegenstände der einzelnen Modellbildungsstufen, so ergibt sich als vollständiges, ein kollektives MehrfachzielEntscheidungsproblem kennzeichnendes (empirisches) Relationensystem (A,Z;~.?~ •... ~) u (Z,P;~~•... ?~)

(E.74)

u (P,K;;)

= (A,Z,P,K;~.?~.... ~?~.... ?~;;)

=: EAZPK. Für die formale Repräsentation des durch EAZPK definierten Entscheidungsproblems in den metrischen Raum (Rr;d) gilt damit: (E.75) wobei Durch die Anwendung nichtmetrischer mehrdimensionaler Skalierungsverfahren gehorcht die Repräsentationsabbildung FR dem Bedingungssystem: I

(E.76)

n

(A,Z;~ ?' ,... ?"')

J.. •

p

[ ~ .p,,;,;.)

mA

h

mA

h

=DAZ -DAZ

J..

(P,K;;)

~D

~D

mA

h

Z,J>.

A

z,p. =

=DPK -DPK

r:x,r]

=g(X ,X )T

=DZ,p, -D~Pt = A

(Zv,pv?~)

m

p

=

J..z

g(~.Xpt

.J;

g(~~)T

Die Stufe ll des Modells ist in E.76 für den allgemeineren Fall individuell unterschiedlicher Zielsysteme, die sich partiell überschneiden (vgl. E.61 in E n 4 c ), formuliert. Stufe n umfaßt dabei V entscheidungsträgerspezifische Abbildungen der individuellen Zielsysteme z, in den Entscheidungsraum.

268

E. Entscheidungsfindung bei mehrfacher Zielsetzung

Wegen (E.77) und (E.78) können im Falle v identischer, d.h. eines für alle Entscheidungsträger einheitlichen Zielsystems z = zl u ... u zv alle V Einzelabbildungen f~ simultan erfolgen. Mit der Anwendung eines nichtmetrischen Verfahrens der externen Präferenzskalierung gilt in diesem Falle das Bedingungssystem I

(E.79)

n

(A,Z;~ ~~ ,... ~

.J,

I

(Z,P;~~

.J,

m

p

p

pz

m/\

h

m/\

h

m/\

h

=DAZ -DAZ

,... ~v ) =DZP -DZP pz

(P,K;;:;,)

=DPK -DPK

=g(X = =

A

~)T

.J,

g(~~)T

.J,

g( ~ ,XK)T

Damit E.76 bzw. E.79 ein geschlossenes, über alle Abbildungsstufen hinweg verbundenes Modell darstellen und nicht in zusammenhanglose Partialabbildungen zerfallen, muß eine lnJegration der einzelnen Abbildungsstufen erfolgen. Dies wird durch gegenseitige Datenüberlagerung zwischen den einzelnen Modellstufen erreicht. In der empirischen Datenbasis wird die Integration der einzelnen Stufen durch die den empirischen Relationensystemen paarweise gemeinsamen Objektmengen hergestellt. Es gelten dabei folgende lmplikationen (die Punkte stehen stellvertretend für die jeweils gültigen Relationen): I. Stufe

n. Stufe

m. Stufe

(A,Z; ... ) r. { U (Z1,p1; • •• )} V

(E.80)

t=l

(Z,P; ... ) n

(P,K;.)

=Z= {zl,... ,zm} = P= {pl,... ,p).

In den Modellbildungsstufen I und ll tritt jeweils die Menge Z der angestrebten Ziele und in den Stufen ll und ill jeweils die Menge P der Entscheidungsträger gemeinsam mit den auf diesen Mengen definierten bzw. den durch sie induzierten Relationen auf. Durch diese Schnittmengen der empirischen Relationensysteme wird die Partialmodellintegration in der Datenbasis (linker Teil von E.76 bzw. E.79) erreicht In den formalen Repräsentationskonfigurationen der empirischen Relationensysteme wird der Modellzusammenhang durch folgende lmplikationen hergestellt:

li. Entscheidungsfindung mit Hilfe der mehrdimensionalen Skalierung

V

(E.81)

m. Stufe

II. Stufe

I. Stufe 11

269

V

(U~.Ux J t=l

• t=l

P,

(~~) 11 (~~)

In den Modellstufen II bzw. m wird jeweils eine im Abbildungsprozeß der Vorstufe bestimmte Teilkonfiguration (~ bzw. ~) unverändert übernommen. Sie wird als fixierte externe Konfiguration für die Abbildung der Präferenzschwerpunkte z~ der Entscheidungsträger (externe Konfiguration ~) bzw. des kollektiven Präferenzzentrums z** (externe Konfiguration ~) dem externen Präferenzskalierungsverfahren vorgegeben. Durch die Übernahme und Fixierung der Partialkonfigurationen aus vorangehenden Modellstufen wird sichergestellt. daß die in jedem Teilmodell abgebildeten Objektrelationen auch im übergeordneten Modell der Folgestufe erhalten bleiben. Dadurch werden auch die aus der Objektpositionierung der Modellstufe n+l (n=l bzw. II) resultierenden Distanzen zu den im Abbildungsprozeß dieser Stufe nicht explizit berücksichtigten Objekten zum Modell eines empirischen Zusammenhangs. So bilden etwa die Distanzen d(ai.z:> zwischen den subjektiven Präferenzschwerpunkten z~ der Entscheidungsträger und den betrachteten Handlungsalternativen l\ E A eine (quasi-) hornamorphe Repräsentation ihrer Optimalität in bezug auf das subjektive Zielsystem z,. obwohl die Repräsentationskoordinaten der Alternativen in Modellbildungsstufe II nicht explizit berücksichtigt wurden. Implizit fanden sie jedoch Eingang in die Positionierung der da die Alternativenpositionierungen aus XA die Partialkonfiguration ~E {XAX"z) =: XAZ eindeutig determinieren. Der in den Distanzen d(~.z:> abgebildete empirische Objektzusammenhang wird durch die eindeutige Zuordnung zwischen X A und ~ auch auf die Distanzen d(ai.z:> und damit auf die Konfigurationen XA und Xp1 bzw., aggregiert betrachtet, XA und XP übertragen. Dasselbe gilt analog für Modellstufe ill.

z:,

Die Überlagerung der Abbildungsgegenstände der einzelnen Modellbildungsstufen entsprechend E.80 und E.81 stellt somit sicher, daß in den einzelnen Partialmodellen die empirischen Sachzusarnrnenhänge eines Entscheidungsproblems bei mehrfacher Zielsetzung im geometrischen Modell des (kollektiven) Entscheidungsraumes (quasi-)homomorph abgebildet werden. Mit E.76 bzw. E.79 wurde damit ein allgemeines und geschlossenes Modell zur Abbildung von Ein- und Mehrpersonen-Entscheidungsproblemen bei mehrfacher Zielsetzung und ordinaler Präferenzoperationalisierung formuliert Mit Hilfe dieses Modells läßt sich das Entscheidungsproblem als metrisches Distanzmodell darstellen, aus dem die kompromißoptirnale Handlungsalternative unmittelbar abgeleitet werden kann.

ID. Kritische Beurteilung des mehrstufigen Ansatzes zur Entscheidungstindung bei mehrfacher Zielsetzung Basierend auf der Kritik der nutzwertanalytischen Entscheidungsfindung und des Goal Programming wurde in den vorangegangenen Abschnitten ein mehrstufiger Ansatz zur ein und mehrpersonalen Entscheidungsfindung bei mehrfacher Zielsetzung auf der Grundlage mehrdimensionaler Skalierungsverfahren formuliert. In einer über die bereits in C III sowie D III angesprochenen Aspekte hinausgehenden Analyse soll abschießend der entscheidungstheoretische Beitrag dieses Ansatzes näher untersucht werden. Als Basis der Analyse dienen wiederum die bereits bei der Beurteilung des Layoutplanungsansatzes in D III diskutierten Kriterien.

1. Der Optimalitätsanspruch des mehrstufigen Entscheidungsmodells Grundlage des mehrstufigen Ansatzes zur Entscheidungsfindung ist die Abbildung der verschiedenen Einzelzielfunklionen, welche die Struktur eines (kollektiven) Mehrfachziel-Entscheidungsproblems determinieren, in eine gemeinsame übergeordnete Distanzfunklion. Damit weist das Modell eine unmittelbare Analogie zum Goal Programming auf. Unterschiede zwischen beiden Ansätzen finden sich im jeweils zugrunde liegenden Konzept des Entscheidungsraumes sowie in der Form der Abbildung der Problemstruktur in das Modell. Als Folge der im Skalierungsansatz unterstellten Abbildungsvorschriften (vgl. dazu E li 3 sowie E li 4), die eine monotone Approximation der ordinalen empirischen Objektrelationen durch die metrischen Modelldistanzen im minimal dimensionierten Entscheidungsraum fordern, weist das Modell des Entscheidungsraumes vielfach einen gewissen Homomorphiedefekl auf. Im Gegensatz zum Goal Programming kann der auf der Grundlage mehrdimensionaler Skalierungsverfahren formulierte Ansatz deshalb nicht zu den exakten Optimierungsmodellen gerechnet werden. Wegen der durch ein Gradientenverfahren erreichten Optimierung der Anpassung der Modell- an die empirische Problemstruktur erscheint es jedoch gerechtfertigt, von einem approximierenden Modell zu sprechen (vgl. auch D III 1 a sowie Dinkelbach [Operations Research] 1384). Dieser Appro-

III. Kritische Beurteilung des Ansatzes zur Entscheidungstindung

271

ximationseigenschaft kommt im Zusammenhang mit MehrfachzielEntscheidungsproblemen insofern eine besondere Bedeutung zu, als bislang kaum methodisch abgesicherte Ansätze existieren, die es erlauben, eine ordinale Problemstruktur (quasi- )homomorph in ein metrisches Modell abzubilden. Zwar erheben nutzwertanalytische Ansätze häufig den Anspruch, eine derartige Abbildung gewährleisten zu können, allerdings läßt sich dieser Anspruch allenfalls bei Zuhilfenahme psychometrischer Meßverfahren bei der Teilnutzwertbestimmung rechtfertigen (vgl. EI 3 b bb sowie Dreyer [Nutzwertanalyse] 34 ff., Zangemeister [Nutzwertanalyse] 162 ff.). Die Qualität der mit dem mehrstufigen Ansatz bestimmten Lösung hängt im wesentlichen davon ab, wie weit es gelingt, etwaige Homomorphiedefekte auszuschließen bzw. zu minimieren. Angesprochen sind hier vor allem die Problemkreise lokale Minima (vgl. C m 1 a aa), partialisometrische Lösungen (vgl. C m 1 c) sowie pseudoäquivalente Konfigurationen bei stark tie-behafteter Datenstruktur (vgl. D m 3 b). Wie im Verlauf dieser Arbeit bereits gezeigt wurde, lassen sich durch eine entsprechende Sorgfalt bei der Anwendung der Skalierungsverfahren, eine geeignete Wahl des Metrikparameters sowie eine tie-freie Datenbasis die aus diesen Problemkreisen resultierenden Homomorphiedefekte weitgehend eliminieren, wenngleich dies teilweise mit einer gewissen Einschränkung des Geltungsbereiches des Ansatzes verbunden ist. Demgegenüber sind Homomorphiedefekte, die im Zusammenhang mit der Sicherstellung der Eindeutigkeit der geometrischen Repräsentation auftreten (vgl. dazu C m 1 b sowie E m 3), oftmals nicht vermeidbar. Häufig muß nämlich, um die geforderte Eindeutigkeit sicherzustellen, ein KornprorniS zu Lasten einer gewissen Homomorphieverletzung akzeptiert werden (vgl. C m 1 b). Dies bedeutet aber, daß die Lösungsqualität des Skalierungsansatzes der des Goal Programming oder der nutzwertanalytischer Ansätze bei kardinaler Nutzenmessung nicht entspricht. In den Fällen, in denen die konkrete Planungssituation den strengen metrischen Datenanforderungen dieser exakten Modelle gerecht werden kann, sollten deshalb Ansätze des Goal Programming bzw. der Nutzwertanalyse wegen ihres exakten Optimierungscharakters dem Skalierungsansatz vorgezogen werden. Dagegen liegt der Vorteil des Skalierungsansatzes eindeutig in der Anwendung auf solche Planungssituationen, die kardinalen Nutzenoperationalisierungen bzw. verhältnisskalierten Zielertragsprognosen nicht zugänglich sind. Unter gewissen Bedingungen kann im mehrstufigen Ansatz zur Entscheidungsfindung die Qualität der formalen Repräsentation des Entscheidungsproblems eine Einschränkung erfahren. Auf jeder Modellstufe

272

E. Entscheidungstindung bei mehrfacher Zielsetzung

kommt ein Verfahren der mehrdimensionalen Präferenzskalierung zur Anwendung, wobei jeweils gewisse Homomorphieverletzungen auftreten können. Da das Ergebnis jeder Modellstufe als Datenbasis der jeweils folgenden Stufe dient (vgl. auch E II 5), kann es dabei zu kumulativen Effekten kommen, d.h., die Homomorphieabweichungen der einzelnen Stufen können sich aggregieren. Die Präzision der Abbildung des Entscheidungsproblems in einen mehrdimensionalen Entscheidungsraum kann dadurch mitunter erheblich beeinträchtigt werden. Eine relativ geringe Qualität der daraus abgeleiteten Lösung wäre die Folge. In Fällen, in denen auf jeder Modellstufe ein hoher Stresswert und damit ein hoher Homomorphiedefekt auftritt, muß deshalb von einer geringen Approximationsgüte der gefundenen Lösung ausgegangen werden.

2. Problemadäquanz des mehrstufigen Ansatzes a) Zur Frage der Vollständigkeit der Problemrepräsentation Wie bereits bei der Diskussion der Nutzwertanalyse und des Goal Programming deutlich wurde, ist ein Mehrfachziel-Entscheidungsproblem durch m entscheidungsrelevante Ziele, n potentielle Handlungsalternativen mit nxm prognostizierten Zielerträgen sowie durch m subjektive Zielgewichte des Entscheidungsträgers determiniert. Im Falle eines kollektiven Entscheidungsproblems wird das Problem um v Entscheidungsträger sowie deren individuelle Zielgewichtungen und Entscheidungskompetenzen erweitert. Auf der Menge der Ziele (Z), der Alternativen (A) und der Entscheidungsträger (P) sind durch die Ausprägungen der erwarteten Zielerträge, durch die subjektiven Zielgewichte sowie, im kollektiven Fall, durch die unterschiedlichen Entscheidungskompetenzen Ordnungsstrukturen festgelegt. Die Mengen A, Z, P und K mit den darauf induzierten Ordnungsbeziehungen definieren das Entscheidungsproblem unter der Voraussetzung sicherer Erwartungen vollständig. Betrachtet man das auf der Grundlage mehrdimensionaler Skalierungsverfahren entwickelte Entscheidungsmodell, so ist zunächst festzuhalten, daß der individuelle bzw. kollektive Entscheidungsraum die zugrundeliegende Problemstruktur vollständig abbildet. Er repräsentiert, wie E.76 in E li 5 deutlich macht, in geometrischer Darstellung alle m Ziele, n Alternativen und v Entscheidungsträger. In den mxn ZielAlternativen-Distanzen werden die m n-stelligen Zielertragsrelationen und in den Alternativen-Alternativen-Distanzen die dadurch induzierten Profilähnlichkeiten zwischen den Alternativen (vgl. E II 1 c) abgebildet. Die subjektiven Zielgewichte der Entscheidungsträger kommen in den

m.

Kritische Beurteilung des Ansatzes zur Entscheidungsfindung

273

Distanzen zwischen den Idealpunkten der Entscheidungsträger und den von ihnen angestrebten Zielen zum Ausdruck. Die individuellen Entscheidungskompetenzen schließlich schlagen sich in den Distanzen der Repräsentationspunkte der Entscheidungsträger zum kollektiven Präferenzschwerpunkt nieder. Der individuelle bzw. kollektive Entscheidungsraum ist somit eine vollständige Abbildung eines (kollektiven) Mehrfachziel-Entscheidungsproblems.

b) Hornamorphiedefekte des mehrdimensionalen Entscheidungsraumes aa) Problem- und verfahrensstrukturbedingte Homomorphiedefekte Schwieriger als die Beurteilung der Vollständigkeit gestaltet sich die Analyse der Homomorphie der vektorwenigen Repräsentationsabbildung (E.82) (vgl. E TI 5). Wegen der auf EA7PK ausdrücklich zugelassenen ordinalen Strukturen ist FR dann eine hornamorphe Abbildung, wenn die Distanzrelationen zwischen den Repräsentationspunkten in XA7PK unter FR eine zu den entsprechenden Ähnlichkeits- und Präferenzrelationen in EA7PK äquivalente Ordnungsstruktur aufweisen. FR muß also eine Ordnungshomomorphe Abbildung sein. Während etwa im Goal Programming bei identischer Maßdimension der Zielerträge eine ordnungserhaltende Abbildung der Zielertragsmatrix in den orthogonalen Entscheidungsraum aufgrund der Identifikation der Ziele mit den Raumkoordinaten a priori gegeben ist, muß sie im Falle ordinaler Zielertragsmessung erst mit Hilfe eines nichtmetrischen mehrdimensionalen Skalierungsverfahrens konstruiert werden. Ergibt sich aus den Partialabbildungen auf den einzelnen Modellstufen mit Hilfe eines Verfahrens der internen bzw. der externen Präferenzskalierung auch bei Ausschluß eines lokalen Minimums ein positiver Stresswert, so ist das daraus resultierende Modell nicht vollständig homomorph, sondern nur quasihomomorph (vgl. C ITI 3 c). Hierin liegt wohl eine der zentralen Einschränkungen des mehrstufigen Ansatzes, denn im Gegensatz zu exakten Optimierungsmodellen läßt sich ein Hornamorphiedefekt hier nicht immer vermeiden. Begründet liegt diese Tatsache in der spezifischen Struktur des Entscheidungsraumes, bei dem die Raumkoordinaten nicht mit den angestrebten Zielsetzungen identifiziert werden und auch sonst keinen unmittelbaren empirischen Bezug aufweisen. Infolge der mit der DeterminiertheilSbedingung (vgl. dazu 18 G. Reiter

274

E. Entscheidungsfindung bei mehrfacher Zielsetzung

C ill 1 b) verbundenen Beschränkung der Dimension des Entscheidungsraumes ist es nämlich nicht immer möglich, alle betrachteten Problemelemente so in das geometrische Modell abzubilden, daß die Monotoniebedingungen ~ in E.76 vollständig erfüllt sind. Vor allem bei Entscheidungsproblemen mit hohem Konfliktgrad der angestrebten Ziele besteht die Gefahr, daß die für die Objektpositionierung bestehenden Freiheitsgrade im minimal dimensionierten Repräsentationsraum R' nicht ausreichen, um eine vollständig Ordnungshomomorphe Problemrepräsentation zu gewährleisten. Der Konfliktbzw. Komplementaritätsgrad eines Entscheidungsproblems determiniert nämlich unmittelbar die im Entscheidungsraum abzubildenden Ähnlichkeits- und Präferenzstrukturen. Dieser Zusammenhang zwischen der Komplexität der Ähnlichkeits- bzw. Präferenzstruktur eines Entscheidungsproblems und den in einem Entscheidungsraum minimaler Dimension auftretenden Homomorphieverletzungen soll anband eines stark vereinfachten Beispiels veranschaulicht werden. Dazu sei zunächst ein empirisches Relationensystem (A;~ ) mit der Objektmenge A = {a1,a2,a3,a4} und de~. Ähnlichkeitsrelation\ betrachtet. Gilt für (A;~.) die symmetrische Ahnlichkeitsstruktur (E.83) welcher die Ähnlichkeitsmatrix A4 entspricht, so läßt sich (A;~.) ohne Verletzung der geforderten Ordnungshomornorphie iii!._ R 1 geometrisch abbilden (vgl. Abb. E-20). Diese Repräsentation von A4 im R 1 wäre bis auf zulässige Transformationen eindeutig und hätte einen Stress von 0; der Aspekt der metrischen Determiniertheil wird in diesem Beispiel zunächst vernachlässigt. al al A4

=

al a3

az

a3

a,

1

3

6

2

5

4

Rl

al al

a3

a4

a4 Abb. E-20: Ähnlichkeitsmatrix A4 un~ eindimensionale Repräsentation der darin abgebildeten Ahnlichkeitsstruktur

....

III. Kritische Beurteilung des Ansatzes zur Entscheidungstindung

275

Weist (A,'?:.,) dagegen die Ähnlichkeitsstruktur der Matrix A'4 auf, so reichen die Freiheitsgrade des R 1 zur Ordnungshomomorphen Objektpositionierung nicht mehr aus. Diese ist nur noch im R• für r '?:. 2 möglich (vgl. Abb. E-21). Bei dieser Ähnlichkeitsstruktur wäre eine Abbildung im R 1 nur bei Inkaufoahme eines Homomorphiedefektes, also eines positiven Stresswertes, möglich. al al A'= 4

az

a3

a,

1

3

2

6

5

a2

Dim li

-----+----- Dim I

4

a3 a,

Abb. E-21: Ähnlichkeitsmatrix A'4 un