Kategorien II [Reprint 2021 ed.] 9783112531822, 9783112531815

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H. S C H U B E R T • K A T E G O R I E N

II

KATEGORIEN II P R O F . DR. H. S C H U B E R T Universität Düsseldorf

AKADEMIE-VERLAG 1970

• BERLIN

Original erschien als „Heidelberger Taschenbuch" Bd. 66 im Springer-Verlag, Berlin • Heidelberg • New York.

Lizenzausgabe im Akademie-Verlag GmbH, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1970 by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg Lizenznummer: 202 • 100/550/70 Gesamtherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg Bestellnummer: 5782/11 • ES 19 B 2

Vorwort Dieses Buch entstand aus Aufzeichnungen, die ich für die Hörer einer Vorlesung im Jahre 1967/68 in Kiel angefertigt hatte. Angesichts der rasch wachsenden Anwendung der kategoriellen Sprache setzt es sich das Ziel, in den zentralen Teil der Theorie einzuführen und dem weiter Interessierten Zugang zur Literatur zu verschaffen. A n Vorkenntnissen sind in der Sache nur die einfachsten Grundbegriffe der Mengenlehre und der Algebra erforderlich. Moduln treten zwar von Anfang an in den Beispielen auf, sie werden aber in 15-1 definiert. Ein Teil der Beispiele entstammt der Topologie. Selbstverständlich wird das Verständnis der Begriffsbildungen wesentlich erleichtert, wenn man mit den Beispielen aus Algebra oder Topologie vertraut ist. Im Mittelpunkt steht der Begriff des darstellbaren Funktors mit seinen Abwandlungen: Limites und adjungierte Funktorpaare. E s handelt sich um die Charakterisierung spezieller Objekte durch universelle Abbildungseigenschaften, die für Spezialfälle schon lange und im Werk von Bourbaki, bei anderer Sprache, systematisch benutzt wird. Das Yoneda-Lemma wird möglichst früh bereitgestellt. Dagegen wird die Behandlung adjungierter Funktorpaare aufgeschoben, bis sie zusammenhängend möglich ist und auch die Kansche Konstruktion sofort angeschlossen werden kann. Filtrierende Colimites werden gebührend berücksichtigt. Additive Kategorien und Funktorkategorien sind von Anfang an in die Betrachtung einbezogen. Dabei wird die benutzte Mengenlehre dort referiert, wo sich ihr Gebrauch aufdrängt. Nach dem gegenwärtigen Stand scheinen Universa am handlichsten, und ich vertraue darauf, daß bei einer möglichen Revision der Grundlagen die Substanz der Theorie erhalten bleibt. Auswahl des Stoffes fordert immer eine Entscheidung, und angesichts der umfangreichen Literatur läßt sich leicht vieles aufzählen, dessen Behandlung ebenfalls wünschenswert gewesen wäre. Einführung in Anwendungen enthalten nur die Kapitel 18 und 20. Auf Homologische Algebra, den eigentlichen Ursprung der Theorie, konnte schon aus Gründen des Umfangs nicht eingegangen werden, und damit wurde auch auf Tripel und auf derivierte Kategorien verzichtet. Die Darstellung führt jedoch an diese Dinge und an andere heran. Ich hoffe, den Stoff unabhängig von speziellen Interessen ausgewählt und damit das Kernstück der Theorie erfaßt zu haben, das sich wohl nicht mehr allzusehr in Fluß befindet. Bei den behandelten Gegenständen wird eine gewisse Vollständigkeit angestrebt, die es vielleicht auch gestattet, das Buch zum NachV

schlagen und als Referenz zu benutzen. Die Sätze wurden so formuliert, daß sie nach Möglichkeit unabhängig lesbar sind. Hinsichtlich der Terminologie habe ich der verworrenen Lage in der Literatur durch Hinweise im Text und im Register Rechnung getragen. Aufgaben sind als solche nicht ausdrücklich gekennzeichnet. Jedoch wird der daran Interessierte in den Bemerkungen und Beispielen genügend Stoff vorfinden. Da dieses Buch ein Lehrbuch sein will, habe ich mich nicht gescheut, gelegentlich Spezialfälle zu erörtern, die sich später allgemeineren Sachverhalten unterordnen. Besonders deutlich wird das bei den algebraischen Strukturen, für die zunächst in Kapitel 11 eine elementare und für Anwendungen, etwa in der Topologie, bequeme Darstellung gegeben wurde. Auf Zitate der Originalarbeiten glaubte ich im Text verzichten zu können. Dem Lernenden ist damit wenig geholfen, und das Literaturverzeichnis gibt über die benutzten Quellen Auskunft. Bei der Erstellung des Manuskriptes wurde mir mannigfache Hilfe zuteil. Besonderen Dank schulde ich Herrn Dr. J . G A M S T für Hinweise, zahlreiche Diskussionen und Durchsicht des Manuskriptes. Herr T H . T H O D E trug zur Gestaltung von Abschnitt 9.2 und Kapitel 19 bei. Außerdem verwandte er viel Mühe auf die Vervielfältigung der ursprünglichen Vorlesungsnotizen. Frau K . M A Y E R - L I N D E N B E R G danke ich für die geduldige Reinschrift verschiedener Versionen des Manuskriptes. Düsseldorf, November 1969

VI

H.SCHUBERT

Inhaltsverzeichnis 16. Adj ungierte Funktoren 16.1 Komposition von Funktoren und natürlichen Transformationen 16.2 Äquivalenzen von Kategorien 16.3 Skelette 16.4 Adjungierte Funktoren 16.5 Quasi-inverse Adjunktions-Transformationen 16.6 Völlig treue Adjungierte 16.7 Tensorprodukte

1 1 2 5 8 10 15 19

17. Adjungierte Funktorpaare zwischen Funktorkategorien 17.1 Die Konstruktion von Kan 17.2 Dichte Funktoren 17.3 Charakterisierung der Yoneda-Einbettung 11.4 Kleine projektive Objekte 17.5 Endlich erzeugte Objekte 17.6 Natürliche Transformationen mit Parametern 17.7 Tensorprodukte über kleinen Kategorien 17.8 Verwandte des Tensorprodukts

22 22 29 33 36 41 43 45 49

18. Grundzüge der Universellen Algebra 18.1 Algebraische Theorien 18.2 Yoneda-Einbettung und freie Algebren 18.3 Unteralgebren und Covollständigkeit 18.4 Differenzcokerne und Kernpaare 18.5 Algebraische Funktoren und Linksadjungierte 18.6 Semantik und Struktur 18.7 Kronecker-Produkt 18.8 Charakterisierung algebraischer Kategorien

52 52 57 61 63 69 72 78 81

19. Kalkül von Brüchen 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7

Kategorien von Brüchen Kalkül von Linksbrüchen Zerlegung von Funktoren und Saturation Beziehungen zu Unterkategorien Additivität und Exaktheit Lokalisation in abelschen Kategorien Charakterisierung der Grothendieck-Kategorien mit Generator

20. Grothendieck-Topologien 20.1 Siebe und Topologien 20.2 Bedeckende Morphismen und Garben

88 88 89 94 100 104 109 115 121 121 124

VII

20.3 Zu einer Prägarbe assoziierte Garbe 20.4 Erzeugung von Topologien . . . . 20.5 Prätopologien

128 137 139

Literatur

141

Sachverzeichnis zu Teil I und I I

144

Kategorien I Inhaltsübersicht 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Kategorien Funktoren Kategorien von Kategorien und von Funktoren Darstellbare Funktoren Einige spezielle Objekte und Morphismen Diagramme Limites Colimites Filtrierende Colimites Mengenwertige Funktoren Objekte mit algebraischer Struktur Abelsche Kategorien E x a k t e Folgen Colimites von Monomorphismen Injektive Hüllen

Literatur Sachverzeichnis zu Teil I

VIII

16. Adjungierte Funktoren 16.1 Komposition von Funktoren und natürlichen Transformationen 16.1.1 Regeln. Ist U: ¿2 ein Funktor und f : T T' eine natürliche Transformation von Funktoren T,T': ^ Sri, so erhält man vermöge C U (f c ) für C e \ (ß\ eine natürliche Transformation UT UT', die wir mit U * f oder einfach mit E/f bezeichnen. (Wir haben das bereits in 7-7.2 benutzt.) Ist S : SB -> ein Funktor, so erhält man vermöge B m- Ss(s) für B e 1SB | eine natürliche Transformation k * S = |S: TS -> T'S. Sind R: -> SB und V: (U * £) * S = U *

fSBU)

* S); Bi-> t/(|s(B))

Die Schreibweisen Ft/f, fSÄ, U*g*S, Ul-S sind daher erlaubt. Sind noch p: T' -> T " und ß : S S ' natürliche Transformationen von Funktoren T', T " : ^ ^ Qi bzw. S, S ' : SB -> so gilt ferner (4) (5)

U* (P£) *S = (U * P *S)(U (I * S') (T * ß) = (T' * 0)(f * S):

* g * S), TS

T'S',

wie man leicht bestätigt. 16.1.2 Ist | isomorph, so ist auch U * $ * S isomorph. Für | * S folgt das daraus, daß eine natürliche Transformation genau dann isomorph ist, wenn sie es an jeder Stelle ist, für U * f daraus, daß jeder Funktor Isomorphismen respektiert. Man beachte, daß bei UfS zugelassen ist, daß U oder 5 ein identischer Funktor ist. 16.1.3 Die Regeln (1) bis (4) besagen, daß der Hom-Funktor von cat als kontra-ko-varianter Funktor mit Werten in cat aufgefaßt werden kann (entsprechend für die Kategorie '¿¡stfST der kleinen SB-Kategorien). Für beliebige Kategorien ist [ UT, |h>

wegen (4) und 16.1.2, und 1

(1) besagt V] ['«f, U] = p f , Ft/].

(n

Entsprechend ist [5, : T H* TS, £ i-> | * S, und (2) besagt (2')

IR,@]IS,&]

Zusammen mit ( U T ) S = U(TS) (3')

ein Funktor

=

vermöge

[SR.&].

besagt (3), daß ü ] = [J 1 , CT] [S, S ]

[S. U]cai = [S, T ' S für alle [s, $>]-> [S't

m

1

dieser Funktoren 3f\ -> [J , vermöge Tß: TS -> TS' für alle T : & -> 3>. Mit wiederholter Anwendung von (S) lassen sich außerdem natürliche Transformationen [ß, U]Cat, [i?, g]Cat und schließlich [«, £]Caf mit « : R -> R' erhalten. Man beachte bei (5J), daß S und S' bei [ß, 3)~\ ihre Reihenfolge behalten. Vermöge (5J), (5Q liegen Funktoren vor \ß, ?]: [?, m:

3>~\ -> \\ß, \ß/r\

\ß,

&]],

[pp, 3f\, \ß, 0 ] ] .

16.1.4 Sind alle beteiligten Kategorien und Funktoren additiv, so ergeben sich entsprechend dem Vorangehenden [V, IT]: Add ( Add (),

womit sich 16.1.3 ohne weiteres überträgt.

16.2 Äquivalenzen von Kategorien 16.2.1 Definition. Ein Funktor X: 3> heißt Äquivalenz, wenn es einen Funktor S: 3> mit Isomorphismen 0: ST ->• l, W: -> TS gibt. S heißt dabei äquivalenzinvers zu T. Die Kategorien i? und 2 heißen äquivalent, wenn es eine Äquivalenz T : i i gibt.

2

16.2.2 Beispiele und Bemerkungen. Äquivalenz ist eine Abschwächung von Isomorphie. (Es besteht eine Analogie zum Begriff der HomotopieÄquivalenz in Top, wobei natürliche Isomorphien von Funktoren den Homotopien entsprechen.) In Anwendungen tritt meist Äquivalenz statt Isomorphie von Kategorien auf. Ist die Kategorie der endlich-dimensionalen Vektorräume über dem Körper K, so ist für den kontravarianten Funktor D: -> i f , der durch Vektorraum dualer Vektorraum, lineare Abbildung l-> transr 0 ponierte Abbildung definiert ist, Op D : r € i§ eine Äquivalenz mit Äquivalenz-Inversem D Op: -> . Für die Theorie der Lie-Gruppen ist die Äquivalenz der Kategorie der einfach-zusammenhängenden Lie-Gruppen mit der Kategorie der Lie-Algebren endlicher Dimension fundamental. Ist in einer exakten Kategorie zu jedem Monomorphismus mit Ziel A ein Cokern und zu jedem Epimorphismus mit Quelle A ein Kern ausgewählt, so liefert der Übergang zu Cokernen gemäß 12.4.4 eine Äquivalenz Ji\A A/(a . 16.2.3 Satz. Es seien V: und T: if ->Äquivalenzen mit Äquivalenz-Inversen U: ^ -> SS bzw. S: 3> . (a) O p T O p : (€° -> 2° ist eine Äquivalenz mit Äquivalenz-Inversem OpSOp. (b) TV ist eine Äquivalenz mit Äquivalenz-Inversem US. [¿tf, 3i\ (c) Ist eine beliebige Kategorie, so ist {si, T]: (vgl. 16.1.3) eine Äquivalenz mit Äquivalenz-Inversem , S], (d) [T,s/]\ ¿rf] -> [if, ist eine Äquivalenz mit ÄquivalenzInversem [S, s f ] , (e) T'\ i? -» £d ist genau dann isomorph zu T, wenn S auch äquivalenzinvers zu T' ist. Das ist schon dann der Fall, wenn T'S isomorph zu oder ST' isomorph zu ist. Bemerkung. Zwei Äquivalenzen T,T'\ Qi brauchen nicht zueinander isomorph zu sein. Für = 2 = j r f U s / betrachte man l und die Vertauschung der beiden Cofaktoren s2. Beweis, (a) folgt aus OpOp = 1 und der Definition. (b) Mit Isomorphismen 3>: ST l und UV nach 16.I.I und 16.1.2 den Isomorphismus X{U*$*V):

USTV

erhält man

UV

und entsprechend -+TVUS. (c) folgt aus 16.1.3(1') und (5i)> (d) aus 16.1.3 (2') und (S'2). (e) Ist T isomorph zu T', so sind TS und T'S isomorph nach 16.1.2, ebenso ST und ST'. Daher ist S auch äquivalenz-Invers zu T'. Ist T'S isomorph zu so ist T'ST isomorph zu T und zu T', wieder nach 16.1.2. Ist ST' isomorph zu 1 , so schließt man entsprechend. 3

16.2.4 Satz. Es sei T: Inversem S\ 3 -*• ^.

^ -*• 3

eine Äquivalenz mit

Äquivalenz-

(a) T ist völlig treu, und jedes Objekt von 3 ist isomorph zu einem der Gestalt T(A). (b) T respektiert und entdeckt Limites und Colimites einschließlich terminaler und initialer Objekte. Insbesondere respektiert und entdeckt T Monomorphismen und Epimorphismen. (c) Ist oder 3 (semi-)additiv, so gibt es genau eine (semi-)additive Struktur auf der anderen Kategorie, bezüglich welcher T additiv ist. Damit ist auch S additiv. (d) Ist i? (endlich) vollständig oder (endlich) covollständig oder exakt oder abelsch oder eine Grothendieck-Kategorie, so ist dasselbe für 3 der Fall. Ist r€ exakt, so respektiert und entdeckt T exakte Folgen. Beweis, (a) Für A,BE \ [ST(A), ST{B)] bijektiv. Wegen (ST)AB = STU)IT{B)TA surjektiv und B ist ST(Ä)T(B) s o erhält man, daß Stu),t(b) TA B injektiv. Betrachtet man (TS)T(A),T(B)> injektiv und damit bijektiv ist. Daher ist TAS bijektiv und T völlig treu. X € \3\ ist isomorph zu TS(X). (b) T entdeckt Limites wegen (a) und 7.7.6. Sei (L, X) Limes von D: Vermöge einer Isomorphie ä>~1: 1 ST ist D isomorph zu STD und L zu ST(L). Daher ist ( S T ( L ) , STA) Limes von STD. Weil S völlig treu ist, ist (T(L), TL) Limes von TD. Die Behauptung über Monomorphismen folgt aus 7.8.9. Die Aussagen für Colimites sind dual zu denen für Limites. (c) Besitze etwa 3 eine (semi-)additive Struktur. Wegen (a) gibt es genau eine auf r€, für welche T additiv ist. Die Additivität von 5 ergibt sich vermöge eines Isomorphismus W: 1 Q TS. (d) folgt leicht aus (b) und (c). Die Liste der Eigenschaften könnte verlängert werden. 16.2.5 Bemerkung. Ist der additive Funktor T: if 3 eine Äquivalenz zwischen additiven Kategorien und ist srf eine additive Kategorie, so sind [sf, T ] : Add (jtf, X'. Morphismenkomposition ist durch (A', A", u')(A, A', u) = (A, A", u'u) f ü r u'\ X' X" erklärt. Sei B ein fest gewähltes Objekt von (B, B, u) definiert eine volle E i n b e t t u n g S : Ql -> Q>'. Durch (A,X)\->X, (A,A',u)h->u ist V: 2' 3! definiert. E s ist F S = und (A, X) h-> (A, B, 1x) ist eine Isomorphie W: \c$> SV. N u n werde T'\ durch T'(A) = (A, T(A)) und T'(/) = (A, B, T ( f ) ) f ü r /: A B definiert. E s ist T = VT', ST = SVT', und nach 16.1.2 ist ST vermöge S T ' isomorph zu T'. 16.2.7 Bemerkung. F ü r 3) = Ens oder 3 = Ab k a n n S in 16.2.6 als F u n k t o r Ens -> Ens bzw. Ab —y Ab gewählt werden. Man ersetze (A, X) durch die Menge der Paare (A, x) mit x € X , bei Ab mit evidenter Gruppenstruktur.

16.3 Skelette 16.3.1 Definition. Eine Kategorie heißt reduziert, wenn je zwei isomorphe Objekte identisch sind. Eine Unterkategorie von heißt Skelett von if, wenn J f reduziert und die Inklusion a f € eine Äquivalenz ist. 16.3.2 Satz. Es seien Jj? und Für einen Funktor T: -> (a) T ist ein (b) T ist eine

reduzierte Kategorien. sind gleichwertig

Isomorphismus, Äquivalenz,

(c) T ist völlig treu und surjektiv für die

Objektklassen.

Beweis. Aus (a) folgt (b), aus (b) folgt (c) n a c h 16.2.4 (a). Sei n u n (c) erfüllt. H a b e n A, B e | J f | dasselbe Bild X — T(A) = = T(B) bei T, so gibt es genau je einen Morphismus u: A -> B und v. B A mit T(u) = T(v) = 1 X , weil T völlig treu ist. Wegen T(uv) = T(vu) = T (iA) = T (1B) sind u u n d v reziproke Isomorphismen. Weil reduziert ist, ist T bijektiv f ü r die Objektklassen. E s folgt, daß T eine Bijektion Mor Mor und damit isomorph ist. 16.3.3 Bemerkungen zum Auswahlaxiom. Wir nehmen an, d a ß f ü r das Universum 11 als Menge das Auswahlaxiom zulässig ist. Wir haben dies bereits mehrfach benutzt, z. B. bei Doppellimites. Ohne diese A n n a h m e ließen sich manche Resultate n u r f ü r kleine Kategorien erhalten, andere m ü ß t e n umständlich formuliert werden. Ist U die universelle Klasse f ü r 3.1.1 u n d liegt f ü r eine Teilklasse von U eine Äquivalenzrelation vor, so gestattet das Gödelsche Auswahlaxiom Auswahl von Repräsent a n t e n der Äquivalenzklassen. Hierdurch wird unsere A n n a h m e gestützt. 5

16.3.4

Satz. Jede Kategorie ff besitzt ein Skelett.

Beweis. Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation für die Objekte von if. Man wähle aus jeder Äquivalenzklasse ein Objekt aus. Es sei die volle Unterkategorie von if, deren Objekte die ausgewählten sind. Sei S: Ctif i? die Inklusion. V: % w i r d folgendermaßen konstruiert: Zu A € ¡Jf~l werde für jedes zu A isomorphe Objekt .4' in ein Isomorphismus wA-: A' A ausgewählt. Dabei sei wA — \ A . Man setze V(A') = A . Sind A, B Objekte von X , wÄ>: A' A , wB>\ B' B ausgewählte Isomorphismen, so setze man V (/) = wgfwj? für / : A'^-B'. Damit ist V ein Funktor. Wegen wA = iA ist FS = und {wA'} ist ein Isomorphismus l - > S F nach Konstruktion. 16.3.5 Bemerkung. 16.3.4 gestattet es in manchen Fällen, eine Kategorie auf eine kleine zurückzuführen. Das ist beispielsweise der Fall für endlich erzeugte Moduln, speziell für endlich erzeugte additive Gruppen und für endlich-dimensionale Vektorräume. Dasselbe gilt für Lie-Gruppen und Lie-Algebren endlicher Dimension. In den genannten Fällen stehen übrigens natürliche Auswahlen für die Objekte einer äquivalenten kleinen Kategorie zur Verfügung. 16.3.6 Satz. Ein Funktor T: -> Sd ist genau dann eine Äquivalenz, wenn T völlig treu und jedes Objekt von 3> isomorph zu einem Objekt der Gestalt T(A) ist. Beweis. Die eine Aussage ist 16.2.4 (a). Seien umgekehrt die genannten Bedingungen erfüllt, S: X & und R : 3? -»• 3> Inklusionen von Skeletten mit Äquivalenz-Inversen V: & J f , U: 3) ->• jSf. Jeder der Funktoren U, T, S erfüllt die entsprechenden Bedingungen, daher auch TJTS. Nach 16.3.2 ist UTS isomorph, und nach 16.2.3 (b) ist RUTSV eine Äquivalenz. Sie ist natürlich isomorph zu T nach 16.1.2. Wegen 16.2.3 (e) ist T eine Äquivalenz. 16.3.7 Korollar. Zwei Kategorien sind genau dann äquivalent, ihre Skelette isomorph sind.

wenn

16.3.8 Korollar. Jeder völlig treue Funktor läßt sich zerlegen in eine Äquivalenz und die Inklusion einer vollen Unterkategorie. 16.3.9 Satz. Es seien r€, Sl additive Kategorien mit endlichen Produkten, und es sei Sä eine volle Unterkategorie von if derart, daß jedes Objekt von if endliches Produkt von Objekten aus SS ist. Die Einschränkung von additiven Funktoren -» und ihrer natürlichen Transformationen ist eine Äquivalenz R: Add ( i f , Add (SS, mit einem ÄquivalenzInversen Q, derart daß RQ — 1 istBeweis. Es sei R: Sä ->• die Inklusion. Wir zeigen: (a) Jeder additive Funktor F': SS -»• 2 läßt sich (auf mindestens eine Weise) zu einem additiven Funktor F : -> 2 fortsetzen. 6

(b) Sind F,G: -> Sd additiv, so setzt sich jede natürliche Transformation | : FR -> GR eindeutig zu einer natürlichen Transformation tj: F -> G fort. Q entsteht f ü r Objekte durch Auswahl von Fortsetzungen n a c h (a) u n d ist dadurch wegen (b) völlig bestimmt. Wegen (a) u n d (b) ist R eine Äquivalenz nach 16.3.6, u n d es ist Q äquivalenz-invers zu R nach 16.2.3 (e). (a) F ü r jedes Objekt A von i? sei eine Darstellung A — © Xe als endliches Biprodukt von Objekten aus SS mit Projektionen pre u n d I n j e k tionen ie ausgewählt, wobei die Objekte von Sä Biprodukte m i t n u r einem F a k t o r u n d identischen Morphismen als Projektion u n d I n j e k t i o n seien. N u n m e h r wird jeder Morphismus in durch genau eine Matrix beschrieben, deren Glieder Morphismen aus Sä sind (vgl. 12.2.1). I s t © Xe die ausgewählte Darstellung f ü r A, so werde F(A) = © F'(Xe) gesetzt (mit Auswahl eines Eiproduktes in S(), wobei F(A) — F'(A) sei, falls A zu Sä gehört. F ü r Morphismen ergibt sich n u n F dadurch, d a ß F' auf die Glieder der Matrizen angewandt wird, m i t denen die Morphismen in if beschrieben werden. D a m i t ist F ein additiver F u n k tor, wie Multiplikation u n d Addition von Matrizen zeigen, u n d es ist F' = FR. (b) F ü r die Objekte von sei eine Darstellung als B i p r o d u k t wie u n t e r (a) ausgewählt. Falls rjÄ: F(A) G(A) f ü r A = © Xe existiert, m u ß jedenfalls gelten 0)

riÄF(ie) =

G(ie)SXt.

Weil F(©Xe) Coprodukt mit Injektionen F(ie) ist (12.2.7), ist rjÄ durch (l) eindeutig bestimmt. Wir definieren n u n t]Ä durch (1). F ü r A € \Sä\ ist dabei rjÄ = £A nach W a h l der Darstellung von A als Biprodukt. Sei n u n B = © Y}- mit Injektionen ij u n d Projektionen prj die gewählte Darstellung f ü r B e | H | u n d / : A -> B ein Morphismus in i f . F ü r g = fi„: Xe-+B gilt g = £ ijPyjg '•

(2) N u n ist £TlF(prjg)

= G(prjg)£Zl. riBF(ijprjg)

Wegen (1) f ü r B folgt =

G(ijprjg)£Xt,

u n d weil F und G additiv sind, folgt nach (2) nBF{f)F{ie)

= r,BF(g) = G(g)£z.

das letzte wegen (1). Weil F(A) ist, folgt weiter rjBF(f) = G (/) tjÄ, gibt.

=

G(f)VÄF(ie),

Coprodukt m i t I n j e k t i o n e n F(ie) was die B e h a u p t u n g u n t e r (b) er7

16.3.10 Bemerkungen. Ist eine additive Kategorie m i t endlichen E i p r o d u k t e n u n d Sä eine volle kleine Unterkategorie, so l ä ß t sich SS zu einer vollen kleinen Unterkategorie m i t endlichen E i p r o d u k t e n ergänzen, indem m a n f ü r je endlich viele Objekte aus SS ein B i p r o d u k t in ° X if -»• Ens (2)

V:

gibt. y> ist ein Isomorphismus

[ S ( ? ) , ? ? ] ^ s > [?, T ( ? ? %

kontra-ko-varianter Funktoren. In diesem Falle heißt T (vermöge y>) rechtsadjungiert zu S, S linksadjungiert zu T und y> Adjunktions-Isomorphismus f ü r (S, X). Wir sagen auch, d a ß y> den F u n k t o r T zu S rechts adjungiert (S zu T links adjungiert) u n d d a ß (y>, S, T, , 2) eine Adjunktion ist. E r s t e Beispiele sind 4.5-2, 7.5-3, 8.5-2 und 15-1-8 (12). E s sind auch die Bezeichnungen „adjungiert, c o a d j u n g i e r t " im Gebrauch, wobei adjungiert je nach Autor rechtsadjungiert oder aber linksadjungiert bedeutet. Links- u n d rechtsadjungiert beziehen sich auf die Stellung im Hom-Funktor. 16.4.2 Satz. Es seien (y>, S, T, , S)) und (x, R, U, SS, tionen. Die folgenden Funktorpaare sind adjungierte Paare

Adjunk-

(a) (OpTOp, O p S O p ) , (b) (RS,

TU).

Beweis, (a) folgt unmittelbar aus der Definition, (b) ergibt sich durch die v o n x u n d y> herrührenden Isomorphien [ÄS(P), ? ? ] a 3* [S(P), U(??)] s * [?,

TU(i?)]0.

Bemerkung, (a) g e s t a t t e t es, Aussagen über adjungierte F u n k t o r p a a r e zu dualisieren. 16.4.3 E s seien (y>, S, T, , 3) u n d (x, R, U, 3) A d j u n k t i o n e n . Eine natürliche Transformation t : T -> U induziert eine eindeutig b e s t i m m t e natürliche Transformation Q: R S (Gegenrichtung!), so 8

daß tS(X),

(4)

A]

[X,

T(A)]

[X,

U(A)]

[fjc^] [Äffl,

stets kommutativ ist. q und r heißen zueinander konjugierte formationen. Ist r isomorph, so ist auch Q isomorph.

Trans-

Beweis. (X, A) h> [X, TA] ist eine natürliche Transformation A zwischen kontra-ko-varianten Funktoren (vgl. 4.5-3) und daher auch X~laW: [S(?),?P] - > [Ä(?), ??]. Damit folgt die erste Behauptung aus 4-5-4, die zweite aus 4.1-516.4.4 Korollar. Bei einem adjungierten Funktorpaar (S, T) bestimmt jeder der beiden Funktoren den anderen eindeutig bis auf Isomorphie. 16.4.5 Satz. Der Funktor T: 2) besitzt genau dann einen Linksadjungierten S: 2 -> , wenn [X, T( ? : Ens für jedes X e 121 darstellbar ist. Beweis. Ist (y>, S, T, i f , eine Adjunktion, so ist tpx. [S (X), ?] -> [X, T ( ? ) ] eine Darstellung. Die Umkehrung folgt aus 4-5-1Bemerkung. Sind S(X) € \cß\ und Tx\ X TS(X) gegeben, so wird [ X , T g e n a u dann durch ( S ( X ) , V x ) dargestellt, wenn gilt: Zu jedem A e 1^1 und u: X -> T(A) in Q> gibt es genau ein /: S(JT) A in ^ mit u = T{f) Vx. X-Z*+TS(X) \ /

m

T\A) Wegen u e \X, T(Aj\ mittelbar aus 4.4.2.

und

T ( f ) Wx = [X, T ( / ) ] ( f x )

folgt das un-

16.4.6 Satz. Ist (y>, S, T, ^, 3)) eine Adjunktion, so respektiert T alle in i? vorhandenen Limites (auch große), insbesondere Monomorphismen, und S Colimites, insbesondere Epimorphismen. Ein rechtsadjungierter Funktor respektiert Limites, ein linksadjungierter Colimites. Beweis. [ X , ! " ( ? ) ] ist darstellbar und respektiert Limites nach 7.7-4 für jedes X e 12! [. Nach 7.7.5 respektiert T Limites. Die Aussage für S ist dazu dual (16.4.2 (a)). 16.4.7 Satz. Es sei eine vollständige Kategorie. Ein Funktor T: ^ -*• Ol besitzt genau dann einen linksadjungierten, wenn er Limites respektiert und wenn [X, T(?)] [2, der F u n k t o r T(A) = A T ( f ) = f s . Wegen der „ p u n k t w e i s e n " Konstruktion v o n Limites in [2, i f ] respektiert T Limites, auch f ü r 2 = 0 . N a c h 16.4.7 besitzt T einen linksadjungierten S: [2, i f , der wegen 16.4.4 bis auf Isomorphie eindeutig b e s t i m m t ist. Vergleich m i t 8-5-2 zeigt, daß jeder F u n k t o r F: 2 -»-ii einen Colimes m i t Colimeso b j e k t S (F) besitzt. 16.4.9 Bemerkung. Eine exakte Kategorie ist wegen 12.4.4 genau d a n n lokal klein, wenn sie lokal coklein ist. Sie ist ausgeglichen (13.1.2). Besitzt sie eine Cogeneratormenge, so ist sie nach den Dualen v o n 12.4.1 u n d 10.6.3 lokal coklein. I n 16.4.8 k a n n daher lokal klein durch e x a k t u n d insbesondere auch durch abelsch ersetzt werden.

16.5 Quasi-inverse Adjunktions-Transformationen 16.5.1 Bei einer A d j u n k t i o n (y>, S, T, , S>) wird die Darstellung yix: [S{X),r\% [X, T(l)]9 gemäß 4.4.1 durch (S(X), Wx) beschrieben, wobei frx = vx.sm(ism):

(1)

X^TS(X)

ist. F ü r den vorliegenden Fall besagt 4.2 (2): F ü r / e [S (X), A] ist V x A f ) = \X,T{f)-\(Vz). u n d d a s i s t T ( f ) o x,A bijektiv ist. 16.5.2 Satz. Für die Adjunktion (y>, S, T, i f , Q>) bilden die universellen Elemente Wx der Darstellungen y>x: [S(X), ?] -> [X, T(?)] eine natürliche Transformation w-. 1 9->TS. Beweis. F ü r u: X -*• Y beliebig in Q} ist S(u) = [ S ( * ) . S(«)] (1 S(X) ) = [S(w), S ( Y ) ] ( l s ( r ) ) . Anwendung von ip liefert TS{u) o Wx — Wy o u: X 10

[X, TS(u)] (: [S(P), ??] -> [?, eine natürliche Transformation ist. Liegt umgekehrt die natürliche Transformation W: \a/t - » TS vor, so läßt sich y> durch (2) als Komposition zweier natürlicher Transformationen von kontra-ko-varianten Funktoren definieren. Dabei gilt wieder (1).

Bemerkung.

16.5.2° Durch Dualisierung erhält man, daß der Funktor S: -> genau dann einen rechtsadjungierten besitzt, wenn der kontravariante Funktor [S(?), A~\ l, und die beiden folgenden Diagramme sind kommutativ IX,T(A)1

Sx.T(A)

[S(X),

ST{A)]

u

(20)

S(u)

\