Zum Begriff des allgemeinen Produkts von Kategorien [Reprint 2021 ed.] 9783112584163, 9783112584156

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SITZUNGSBERICHTE DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G Mathematisch~naturwissenschaftliche Klasse Band III • Heft 3

MARIA

HASSE

ZUM B E G R I F F DES A L L G E M E I N E N P R O D U K T S VON K A T E G O R I E N

A K A D E M I E - V E R L A G 197 5

.

B E R L I N

Vorgelegt durch H e r r n Keller in der Sitzung v o m 20. Mai 1974 Manuskript eingeliefert a m 17. Oktober 1973 Druckfertig erklärt a m 8. Dezember 1974

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Str. 3 — 4 © Akademie-Verlag, Berlin, 1975 Lizenznummer: 202 • 100/550/75 Gesamtherstellung: V E B Druckerei „ T h o m a s Müntzer", 582 B a d Langensalza Bestellnummer: 762 133 0 (2027/111/3) • LSV 1025 P r i n t e d in G D R EVP 5 , -

V o m Kleinen aufs Große zu schließen, ist ein wichtiges Prinzip in der Mathematik. Hierzu kann man auch die Tatsache rechnen, daß man in gewissen Fällen Eigenschaften faktorisierbarer Strukturen aus Eigenschaften ihrer Faktoren bestimmen kann, wobei sich eine nicht weiter zerlegbare Struktur im Hinblick auf die betrachtete Faktorisierung als eine prime Struktur ansehen läßt. Beispielsweise kann man unter Zugrundelegung des direkten Produkts häufig aus Eigenschaften der Faktoren auf Eigenschaften des Produkts schließen. Neuerdings hat sich für Fragestellungen dieser Art in der Gruppentheorie die Faktorisierungstheorie von R E D E I und S Z E P [ 1 0 , 1 1 ] unter Zugrundelegung des allgemeinen Produkts von B . H. N E U M A N N [8, 9] als fruchtbar erwiesen. So hat AXTMANN [ 1 ] sich mit Methoden befaßt, die es gestatten, mit Hilfe der die Faktorisierung bestimmenden Gesetze die zugehörigen Automorphismengruppen von faktorisierten auflösbaren Gruppen und von S C H K E I E K schen Erweiterungen mit teilerfremden Ordnungen mit der Hand oder der Maschine aus den Automorphismengruppen der einzelnen Faktoren zu berechnen, und er hat diese Methoden mit Erfolg bei Strukturuntersuchungen über Gruppen angewandt. E s erscheint uns daher sinnvoll, den Begriff des allgemeinen Produkts und die Grundgedanken der Faktorisierungstheorie von R E D E I und S Z E P auf Kategorien zu übertragen in der Hoffnung, daß sich auch hier im obigen Sinne Untersuchungen „im Großen" auf Untersuchungen „im Kleinen" zurückführen lassen und daß weiterhin zusätzliche Information über den innerstrukturellen Aufbau der Kategorientheorie gewonnen werden kann. Eine Gruppe G' wird das allgemeine Produkt ihrer Untergruppen G\ und G'z genannt, wenn G = G-fi2 und n G2 = E ist. Daraus folgt im Falle von Gruppen, daß dann auch G = G2G1 ist und daß für jedes g 6 G die Darstellung g = gxg2 mit g1 € Gt und g2e G2 eindeutig ist. Jedem gJ e Gx ist eine Abbildung g\ von G2 in G2 und jedem g2 e G2 eine Abbildung gl von G1 in G1 zugeordnet, und es gilt die Beziehung g2g1 = glgx • g\g%. Die Abbildungen g\ (g1 e Gj) und gl (g2 e G2) bestimmen zusammen mit den Relationen von Gi und G'2 die Struktur von G\ Man kann sich umgekehrt die Frage stellen, wann sich zu gegebenen Gruppen G\ und G'2 eine Gruppe G' konstruieren läßt, die zu G\ und G'% bzw. isomorphe Untergruppen Gf und Gf mit G = G*G* und G* nG* = E

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MABIA

HASSE

besitzt. I n diesem Fall nennt man G' auch das allgemeine Produkt von G'i und G'2. R E D E I und S Z E P haben gezeigt, daß sich zu gegebenen Gruppen G'x und C?2 eine solche Gruppe G' konstruieren läßt, wenn sich jedem g1 e G1 eine Abbildung gl von G2 in G2 und jedem g2 e G2 eine Abbildung g\ von Crj in Gl zuordnen läßt und die g\ (gx e Gt) und die gl (g2 e G2) dabei gewissen Bedingungen genügen. Jedes allgemeine Produkt kann so erhalten werden. Bevor wir diesen Sachverhalt auf Kategorien übertragen, wollen wir kurz noch einiges zu den im folgenden verwendeten Begriffen und Bezeichnungen sagen. Eine Kategorie ist nach E H K E S M A N N [2] erklärt als eine Algebra C' = (G,oi, ß, )* ist. In Zukunft sind, wenn Klassenzusammenfassungen betrachtet werden, darunter immer die Zusammenfassungen der Mengen gemeint, die aus den stufenkleinsten Elementen dieser Klassen gebildet werden (s. hierzu [7]). 2) Einen Funktor von einer Kategorie C-L nach einer Kategorie CT geben wir mit F ( i . T) an. Bei q> 1 = also i s t « ( * ( / - * ) ) = ß{f2) u n d ßiy^t1)) =«(A), d . h . d i e P r o d u k t e ( f i , f 2 ) A (yi(/ - 1 )> y 2 ( / - 1 ) ) u n d ( Y ^ / ' 1 ) , Y ^ 1 ) ) A ( / 1 ; / 2 ) s i n d e r k l ä r t . F ü r j e d e s (/-,, / 2 ) 6 (C'; C^, C 2 ) ist u n t e r B e a c h t u n g v o n Satz 4 weiter (/J^^f/-

1

),^/-

1

)) =

(/1yi(/2y1(/-1)).72(/2r1(/-1))y2(/-1))

= (*(fxh«(fi))

=«a(/I>/2)

und yi(/ _ 1 )> y 2 ( / - 1 ) ) A ( / X , / A ) = ( : y 1 ( t 1 ) y 1 ( y 2 ( f - 1 ) f 1 ) , y 2 ( y 2 ( t 1 ) f i ) f 2 ) =

W*)>ß&))=ßA(fi,f*)-

— D u r c h ,F(/) = ( y ^ / ) , y 2 (/)) f ü r j e d e s / 6 C i s t eine A b b i l d u n g i*1 v o n C i n (O - ; Cj, C 2 ) e r k l ä r t , die w e g e n y ^ f ) y2(f) = / e i n e i n d e u t i g u n d w e g e n (yi(W, y2(W) = (/1./2) f ü r j e d e s ( / 1 ; / 2 ) e ( C ; C\, C2) eine A b b i l d u n g v o n C a u f (C-; Clt C 2 ) i s t . F ü r j e d e s e e C'0 ist F(e) = (y^e), y 2 (e)) = (e, e)

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MARIA

HASSE

e (C; Cv C2)*, und bei (/, g) e ) y?(yf(?>) y*(v)) •

Produkt von Kategorien

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Entsprechend ergibt sich y*(y2(9))(yiß),y1(k))) yiinit) yiiv)) •

Entsprechend gilt ra(^) = und somit gilt auch F IV.

yM) y»(V) >

y#))) y#))

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MAMA HASSE

S a t z 8: Es sei C' = C'iC'2 eine Kategorie und (y1; y2) das zugehörige Paar faktorisierender Abbildungen mit y^C) = C1 und y2(C) = C2. Dann ist für jedes g C1 eine Abbildung f f von C2OL1(f1) in C^/S^/j) und für jedes f2 e C2 eine Abbildung f l von ß2(f2) in tx2(f2) Cx bestimmt, und diese Abbildungen genügen den folgenden Bedingungen, wenn txlt ß1 und a2, ß2 die Beschränkungen von « und ß auf bzw. C\ und C2 angeben: 1- A A ( / i f C i A / , i O , 4 n 1, => K(/i))Vi 2.

A A

/1

=/i

a {ß2(f2)ff2

=/2);

( / L E ^ A / ^ C ^

^ / I ( < * I ( / I ) ) = Ä ( A ) A/|(/S2(/2)) = « , ( / , ) ) ; 3-

A

A

( ( & , »1) € OL * C I A ( / 2 ,

E C2 * CI

(QM Ui.ii)

A / 2 G 2 6 I > ( ( G A ) 2 ) A FLRA E D « / ^ )

1

) =>

=» (?A) a (/*,) = ((gk) 1 ^) 2 ((?&)•/.) • hl(gig2) A (Z^) 1

toA)

• {{glgiYUY ((sfo) 1 M 1 ) .

Bei (f2, g-y) e C' * C' ist auch {f\gv gff2) e C' * C', und es gilt (!)

irfi = fhi glh •

B e w e i s : Für jedes /x € C1 sei f f erklärt durch ffg2 = y2(g2fi) für jedes g2 e C^h), und für jedes f2 e C2 sei/! erklärt d u r c h = y1(/2S'1) für jedes g1 6 jö2(/2) C\. Nach Definition ist dann für jedes 6 6\ («l(/l))Vl = ttüi) = / l und für jedes f2 € C2 ist (ßz(U)fk=M Weiter ist für jedes

=/2-

e Cx /W/1)) = y2(/i) = Ä(/i)

und für jedes /2 e C2 /*(&(/«)) =yi(/.) =«.(/.)• Bei ((fr, Äj) e Ci * Ci ist (?A) 2 / 2 = y2(f2(gA)) = r2((/2^i) Ä i) = y2(y2(/201)

A)) 72(äi) = ?Mh9i)

= ht(g?f2)

Der größeren Übersichtlichkeit wegen geben wir von jetzt an die multiplikative Verknüpfung des öfteren durch einen Punkt an.

Produkt von Kategorien und bei

( f

, g2)

2

€ C'2

*

C'

13

ist

2

(fzffz)1 K = yiHfiffi) h) = yi(Md2hi)) = Viifz) ri(y2(/2) yi(gA)) = yi(/2yi(?A)) =fl(glh) • Bei ( f 2 , g2) 6 C'2 * C'2 ist weiter

hl(y2) = 72((/2?2) h) = r2(/2(9rA)) = y 2 (y 2 (/ 2 ) ViigA)) y^gA) =

und bei

( g

Ci

e

l t

*

y

( /

2

• A

2

)

y

^

A

)

=

( g l \ )

k • h i f a .

2

ist

C\

fkgJh) = yAMVA)) = ri((/2?i) K) = Vi(h / —

ß

den

o c ( f 2

z w e i

2

v o n

) =

C'2.

ist

P r o d u k t ( p ( ( f i , f es

C'

v o n

2

d e f i n i e r e n d e n

F ü r j e d e s ( /

i s t , u n d

2

e x i s t i e r t u n t e r

P r o d u k t C'

D a s

C\

A b b i l d u n gf f

e i n e A b b i l d u n g f

(fz> 9i) e C

u n d

seien

e i n e

2

.

a l l g e m e i n e

= tx2(/2)}

ß ^ f j

w i e f o l g t f e s t g e l e g t : 2

)

=

e r k l ä r t ,w e n n

( ß

t

( f

ß

2

( f

2

2

) , ß

2

( f

2

) ) .

) = 12 ist eine Abbildung von II\2 * 77i2 i n n i 2 . Für jedes/12€ZZ12ist(ai2(/f),/12)6Í7i2*77i2und(/12,/912(/f)) e/712 *i7 1 2 , und es ist a12(/f) f f = / f = flßl2(ft)- Weiter ist bei (/1; pf) e Ci * Ci offensichtlich *n(M) =«i2((fi9i)2) = M/i£7i))2 = («(/1))2 = «12(/?) und entsprechend Ä2(/iVf) = Ä2(gf) • Das Assoziativgesetz ist für üi2 erfüllt, da es für C\ gilt. Für jedes e1 e (C^b ist F^eJ = e\ e (7712)0. Bei e Ci * Ci ist -Fiai/i^i) = (f^? =fÍ9Í = Fi2(fi) FM, also ist F12 ein Funktor von Ci nach II\2. Entsprechend beweist man, daß F21 ein Funktor von C'2 nach p ist. S a t z 11: Es seien Ci undC2 zwei Kategorien mit (C^b — (C2)b, und es existiere das allgemeine Produkt C' von C\ und C2. Istf\ e epi (C\),f2 e epi(C¿), ßi(fi) — ^(fí) und gilt für beliebige {glt g2), (h1, h2) e C bei Bestehen der Beziehung (/l5/2) (g^ g2) = (/1;/2) (hlt h2) stets g\f2 = h f f 2 e epi (C2), so ist (Í1J2) e epi (CT). Ist /j 6 mono (Ci), f2 e mono (C2), ft^) = a2(/2) wwd g¿Zí für beliebige (gvg2), (hlt h2) e C bei Bestehen der Beziehung (glt g2) (/1;/2) = (Äi> h ) (/1./2) ««eis gifa = ä2/x e mono (Ci), so isi (/1;/ä) e mono (0"). B e w e i s : Aus dem Bestehen der Beziehung {flyf2) in C folgt (/1 -fhv

(g^ g2) = ( f v f 2 ) (hlt h2)

glk • 92) = (A • f l K hlf2 • ä 2 ) .

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MARIA H A S S E

Da / j € epi (C') ist, so ist f2g1 ~f2hv Nach Voraussetzung ist g f f 2 =h\f2 e epi(C 2 ), also ist g2 = h2. Weiter gilt/ 2 g x ^flg^gtk =flh1-hff2 = /A» und wegen f2 e epi (C2) folgt daraus g1 = hv Entsprechend beweist man den zweiten Teil des Satzes. D e f i n i t i o n 3: Es sei C' eine Kategorie, und Ci und C2 seien zwei Unterkategorien von C' mit C\ n C2 = C'0. Dann heißt C' das allgemeine Produkt von C]_ und C2 im strengen Sinn — in Zeichen: C' — G{ o C2 —, wenn sich jedes Element / von C' sowohl eindeutig in der Form / = / j / 2 als auch eindeutig in der Form / = f2f[ mit / 1 ; f i e C1 und / 2 , f2 e C2 darstellen läßt. Die folgenden Sätze 12 und 14—16 werden entsprechend wie die Sätze 2 und 5—7 bewiesen. Man beachte dabei, daß, wenn in einer Kategorie C zwei Paare faktorisierender Abbildungen (y1, y2) und ( y f , y%) mit y*{C) = y2(C) und y*(C) = y^C) gegeben sind, für jedes / € C offensichtlich gilt: ríiri(f))

e)

e Co,

yf(y*(f)) = y2(/) ,

yi(yi(f))=yi(f),

yi(y2(f)) e

yÁyfif)) e Ob,

7l(ym

y2(yf(/)) = yt(f) ,

=

c0, y!(/),

y2(yf(/)) e c-0.

S a t z 12: Genau dann ist eine Kategorie C' das allgemeine Produkt im strengen Sinn von ihren Unterkategorien C\ und C2, wenn in C' zwei Paare faktorisierender Abbildungen (ylt y2) und (y*, y*) mit yf{C) = y2{C) = C2 und y2(C) = yx(C) = C1 existieren. S a t z 13: Jedes allgemeine Produkt von Gruppoiden ist ein allgemeines Produkt im strengen Sinn; insbesondere ist jedes allgemeine Produkt von Gruppen ein allgemeines Produkt im strengen Sinn. B e w e i s : Es sei C' = C\C2, und C\ und C'2 seien Gruppoide. Dann bestimmen die Abbildungen yf e Cc mit y f ( f ) = (y^t1))'1 und yf e C° mit y*(f) = (7i(/ _1 )) _1 ei n Paar faktorisierender Abbildungen von C' mit y*(C) =y2{C) und y2(C) =y1(C), wo , y2) das zu C gehörige Paar faktorisierender Abbildungen mit y^C) = Ct und y2(C) = C2 angibt. Wegen f-1 = y^/" 1 ) y^f'1) für jedes / e C ist f = (y^t1))-1

(yilt1))-1

= yt(f)

yt(f).

Für jedes e 6 C'0 ist y*(e) = y*(e) = e. Für jedes / e C ist yt(yt(f)) = yUiyiit1))-1) = (y^/"1)))"-11

= (ri(y2(/-1)))-1-1 = yUyf(f)) * C*

P r o d u k t von K a t e g o r i e n

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Für beliebige / , g e C mit (/, g) € C' * C' ist ytifg)

= Mr1/"1))"1

=

(y.fr.ür1)

= W/"1))'1 ^ ( ¡ r

1

Yiit1))

) yiit1)))'1

y.CT1))-1

= y?(/)y?) (yf(/) yíísO)

und entsprechend yt(fg) = yf(yf(/) yf(sO) yt{g) • Damit sind F I—F IV bewiesen. S a t z 14: Es sei C' = C{ ° C2, und es seien (ylt y2) und (yf, yf) die zugehörigen Paare faktorisierender Abbildungen von C' mit y*(C) = y^C) = G1 und y*(G) = y2(C) = (72. Dann ist die Klasse [C; Cx, C2] der Quatuoren (/ 1 ; / 2 ,/2,/i) vom C'( eü. A. der Quadrupel von C' mit / 1 ; / í e C 1; f2, /á e C2, (fi' fz) e C 1 * C > (/ 2 ,/í) e C * C und /1/2 = / 2 / i ) Trägerklasse einer zu C isomorphen Kategorie [C; C1; wenn man die sie definierenden Operationen aO, /JO ww.cZ r/O wie folgt festsetzt: Für jedes { f l t f 2 , f

es

9^

hk=llhrilh-

(2)

B e w e i s : Für jedesA € C\ sei ff erklärt durch /i/2 = y * ( A A ) für jedes k e ßifi) C2> und für jedes /2 e C2 sei fi erklärt durch /¿A = y f ( A A ) f ü r jedes A e CWA)- 1', 2' und 3' werden genau so bewiesen wie 1, 2 und 3 in Satz 8. Weiter ist bei[(A, A ) e C * Cr n C\ x C2 (7&) 1 (/2/1) = (yf (AA)) 1 (y? (AA)) = yi(y?(AA) y * ( A A ) ) = yi(AA) = A und entsprechend (/¿A)2 (7i/2) =/ 2 - Ebenso wird 4b bewiesen. Schließlich ist bei (A,/ 2 ) 6 C ' * C ' n C , x C 2

ßCfffz)

= / % f ( A A ) ) =

und es ist f i f v J i A = A A 2*

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MARIA HASSE

B e m e r k u n g 6: Ist C' = C\C\ allgemeines Produkt von Gruppoiden, so gilt nach Satz 13 auch C' = C\ ° CDie Abbildungen JfC/j € om C^ und Abbildungen f l von C2e'2(f1) in C2e2(f1) und /1TOMe2(/1) C2 in e^/j) C'2 zugeordnet, und jedem /2 e (72 m'ew Einheiten ei(/2) und e'i(/2) ww Oi MWCZ Abbildungen TOW ei(/2) Cj in e1(f2) C1 undf\ von Cje^/ü) inö[e(f2) zugeordnet, so daß ( x / f j = e^iß), ß2(f2) = e2(e[(f2)), eiifi) = e2(. A ( i i . M

A ((01, K) e Ci * Ci A ( / 2 , gf2)

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tC-2*C-2

Uz,9i)

a/ 2 /2)) = (K(/i).«2(7I2/2)): (/1J2)) und «(/1./2) ( / l , / 2 ) = K(/l)>«2(/l2/2)) (/I./2) = («i(/i) («.(/&))1) und entsprechend ist = (A, /„). Bei ( ( £ , / , ) , a((/i./2)

f i , / i V Ä ) • /2) = (A, /,)

((/-,, / 2 ), ß(fuf2)) e C * C' und &)) e C ^ C ' ist nach 2b und 3

(&> &)) = «(/i - f h i ,

(k, f2)

ßifiJz)

glh-g*)

= w / i W i / i ^ i )

2

(?I2/2-^)))

= K(/l)>«2(7?((/2?i))2?12/2))) = K(/l),«2(/l2/2))=«(/lJ2) und entsprechend ergibt sich ß{{fi, f2) {g^, g2)) = ß{g^, g2). Eine leichte Rechnung ergibt unter Beachtung von 2a die Gültigkeit des Assoziativgesetzes.

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Maria H a s s e

Die Klasse Cf = {/? : = e^/J) e kategorie C7*' von C'. Bei / * e C* ist

e CJ

definiert eine Unter-

«(/?) = («i(/i) 3 ^ ( f h i f i ) ) ) = K(A)> ß2(/i)) und

= K ( / i ) . e 2 K(A))) e Cf /?(/?) = (ßi&iÄVfi),

e2(/x)) = (Ä(A)> Qtißlifl)))

= (Ä(/i), e,(A(A)) € Cf und bei ( / f , grf) e C ' * C ' ist = (A, e a(/i)) ( e2(gx)) = (A • e 2 (/i) 1 fc, flfcüi) • «,&)) = (/i0i> ffi^täi • e2(?i)) = (A^, e2(?i)) = (fxgv e2(/iÖ'i)) e Cf • Weiter ist offenbar (Cf)ö = C'Q. Entsprechend beweist man, daß C* = {/* : = (ei(/ 2 ),/ 2 ) e C|/ 2 € C2} eine Unterkategorie Cf von C' definiert. Durch F^f*) — /•[ f ü r jedes f f e C* ist eine bijektive Abbildung von C* auf Gi erklärt, die wegen F^e*) = % € (Gx)ö f ü r jedes e* e (G*y0 und wegen F^ffg*) = f1g1 f ü r jedes (/*, g*) € C*' * C*' einen Isomorphismus F'i von Cf nach C{ definiert. Ebenso definiert die Abbildung F2 von C* auf C2 mit F2(f*) = / 2 f ü r j e d e s / * 6 C* einen Isomorphismus F'2 von C*' nach C"2. Offensichtlich ist C* n C* = C'0. Schließlich gilt unter Beachtung von 3b f ü r jedes ( f i , f 2 ) € G die Beziehung f f f i = ( / i j 2 ) = (A2A)* (M)*

•

Bei (/ 1 ; / 2 ) 6 G ist nämlich fx e D{f\), d. h. ^ ( A - ^2) d. h. (/|) und / 2 e £>(/?), _daß f?f2e D t f l f t f ) , d . h . ßiCßk) = ¿¿Ulk) und f i f , e D ( ( f f f 2 n d. h. a ^ / l A ) = ei(AA) ist; also ist £((/iA)*) = und es ist nach 3b ( / & ) * (/2/1)* = & ( / & ) , / ? / * ) (Iiii, e2(/2]A)) = W/iA) •{ f l k Y f l h ,

• e2(fifi)) = (A.A) •

Diese Darstellung ist eindeutig. Aus / * / * = gfg* mit gr* 6 C*, O* folgt unmittelbar fl = g1 und / 2 = g2._ Aus (/?/ 2 )* (AYi)* = (i¿¡g2)* (ghi)* mit g* e Cf, gr* e Cf folgt zunächst f f f 2 = , der charakterisiert ist durch die Forderungen: a) E s ist y2(f) €