Kategorien I [Reprint 2021 ed.] 9783112531808, 9783112531792

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H. S C H U B E R T • K A T E G O R I E N I

KATEGORIEN I PROF. DR. H. S C H U B E R T Universität Düsseldorf

AKADEMIE-VERLAG 1970

B E R L I N

Original erschien als „Heidelberger Taschenbuch" Bd. 65 im Springer-Verlag Berlin . Heidelberg • New York

Lizenzausgabe im Akademie-Verlag GmbH, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1970 by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg Lizenznummer: 202 • 100/592/69 Gesamtherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg Bestellnummer: 5782/1 . ES 19 B 2

Vorwort Dieses Buch entstand aus Aufzeichnungen, die ich für die Hörer einer Vorlesung im Jahre 1967/68 in Kiel angefertigt hatte. Angesichts der rasch wachsenden Anwendung der kategoriellen Sprache setzt es sich das Ziel, in den zentralen Teil der Theorie einzuführen und dem weiter Interessierten Zugang zur Literatur zu verschaffen. An Vorkenntnissen sind in der Sache nur die einfachsten Grundbegriffe der Mengenlehre und der Algebra erforderlich. Moduln treten zwar von Anfang an in den Beispielen auf, sie werden aber in 15-1 definiert. Ein Teil der Beispiele entstammt der Topologie. Selbstverständlich wird das Verständnis der Begriffsbildungen wesentlich erleichtert, wenn man mit den Beispielen aus Algebra oder Topologie vertraut ist. Im Mittelpunkt steht der Begriff des darstellbaren Funktors mit seinen Abwandlungen: Limites und adjungierte Funktorpaare. E s handelt sich um die Charakterisierung spezieller Objekte durch universelle Abbildungseigenschaften, die für Spezialfälle schon lange und im Werk von Bourbaki, bei anderer Sprache, systematisch benutzt wird. Das Yoneda-Lemma wird möglichst früh bereitgestellt. Dagegen wird die Behandlung adjungierter Funktorpaare aufgeschoben, bis sie zusammenhängend möglich ist und auch die Kansche Konstruktion sofort angeschlossen werden kann. Filtrierende Colimites werden gebührend berücksichtigt. Additive Kategorien und Funktorkategorien sind von Anfang an in die Betrachtung einbezogen. Dabei wird die benutzte Mengenlehre dort referiert, wo sich ihr Gebrauch aufdrängt. Nach dem gegenwärtigen Stand scheinen Universa am handlichsten, und ich vertraue darauf, daß bei einer möglichen Revision der Grundlagen die Substanz der Theorie erhalten bleibt. Auswahl des Stoffes fordert immer eine Entscheidung, und angesichts der umfangreichen Literatur läßt sich leicht vieles aufzählen, dessen Behandlung ebenfalls wünschenswert gewesen wäre. Einführung in Anwendungen enthalten nur die Kapitel 18 und 20. Auf Homologische Algebra, den eigentlichen Ursprung der Theorie, konnte schon aus Gründen des Umfangs nicht eingegangen werden, und damit wurde auch auf Tripel und auf derivierte Kategorien verzichtet. Die Darstellung führt jedoch an diese Dinge und an andere heran. Ich hoffe, den Stoff unabhängig von speziellen Interessen ausgewählt und damit das Kernstück der Theorie erfaßt zu haben, das sich wohl nicht mehr allzusehr in Fluß befindet. Bei den behandelten Gegenständen wird eine gewisse Vollständigkeit angestrebt, die es vielleicht auch gestattet, das Buch zum NachV

schlagen und als Referenz zu benutzen. Die Sätze wurden so formuliert, daß sie nach Möglichkeit unabhängig lesbar sind. Hinsichtlich der Terminologie habe ich der verworrenen Lage in der Literatur durch Hinweise im Text und im Register Rechnung getragen. Aufgaben sind als solche nicht ausdrücklich gekennzeichnet. Jedoch wird der daran Interessierte in den Bemerkungen und Beispielen genügend Stoff vorfinden. Da dieses Buch ein Lehrbuch sein will, habe ich mich nicht gescheut, gelegentlich Spezialfälle zu erörtern, die sich später allgemeineren Sachverhalten unterordnen. Besonders deutlich wird das bei den algebraischen Strukturen, für die zunächst in Kapitel 11 eine elementare und für Anwendungen, etwa in der Topologie, bequeme Darstellung gegeben wurde. Auf Zitate der Originalarbeiten glaubte ich im Text verzichten zu können. Dem Lernenden ist damit wenig geholfen, und das Literaturverzeichnis gibt über die benutzten Quellen Auskunft. Bei der Erstellung des Manuskriptes wurde mir mannigfache Hilfe zuteil. Besonderen Dank schulde ich Herrn Dr. J . G A M S T für Hinweise, zahlreiche Diskussionen und Durchsicht des Manuskriptes. Herr T H . T H O D E trug zur Gestaltung von Abschnitt 9.2 und Kapitel 19 bei. Außerdem verwandte er viel Mühe auf die Vervielfältigung der ursprünglichen Vorlesungsnotizen. Frau K . M A Y E R - L I N D E N B E R G danke ich für die geduldige Reinschrift verschiedener Versionen des Manuskriptes. Düsseldorf, November 1969

VI

H

W i k i i

„

Inhaltsverzeichnis 1. Kategorien 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Definition f ü r Kategorien Beispiele Isomorphismen W e i t e r e Beispiele Additive Kategorien Unterkategorien

2. F u n k t o r e n 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Kovariante Funktoren Standardbeispiele K o n t r a Variante F u n k t o r e n D u a l e Kategorien Bifunktoren Natürliche Transformationen

3. K a t e g o r i e n v o n K a t e g o r i e n u n d v o n F u n k t o r e n 3.1 3.2 3-3 3.4 3-5 3.6 3.7 3.8

Vorbemerkungen Universen Vereinbarungen Funktorkategorien Die Kategorie der kleinen Kategorien Große Kategorien Der Wertfunktor D e r a d d i t i v e Fall

4. D a r s t e l l b a r e F u n k t o r e n 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Einbettungen Yoneda-Lemma D e r a d d i t i v e Fall Darstellbare Funktorerx P a r t i e l l darstellbare B i f u n k t o r e n

5- Einige spezielle O b j e k t e u n d M o r p h i s m e n 5.1 5.2 5-3 5-4 5.5

Monomorphismen Retraktionen und Coretraktionen Bimorphismen T e r m i n a l e u n d initiale O b j e k t e Nullobjekte

6. D i a g r a m m e 6.1 D i a g r a m m s c h e m a t a u n d D i a g r a m m e 6.2 D i a g r a m m e m i t K o m m u t a t i v i t ä t s b e d i n g u n g e n

1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 12 15 15 16 16 17 19 20 21 22 22 22 23 25 26 28 30 30 31 32 32 33 34 34 35

VII

6.3 Diagramme als Funktordaten 6.4 Quotienten von Kategorien 6.5 Klassen von Mono- bzw. Epimorphismen

37 39 40

7. Limites 7.1 Definition für Limites 7.2 Differenzkerne 7-3 Produkte 7.4 Vollständige Kategorien 7.5 Limites in Funktorkategorien 7.6 Doppellimites 7.7 Kriterien für Limites 7.8 Pullbacks

41 41 44 45 46 48 51 53 55

8. Colimites 8.1 Definition für Colimites 8.2 Differenzcokerne 8.3 Coprodukte 8.4 Covollständige Kategorien 8.5 Colimites in Funktorkategorien 8.6 Doppelte Colimites 8.7 Kriterien f ü r Colimites 8.8 Pushouts

58 58 59 60 61 62 62 63 63

9. Filtrierende Colimites 9.1 9.2 9.3 9.4

Zur Berechnung von Limites und Colimites Filtrierende Kategorien Filtrierende Colimites Vertauschungssätze

10. Mengenwertige Funktoren 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7

Erbschaft der Zielkategorie Die Yoneda-Einbettung Der allgemeine Darstellungssatz Projektive und injektive Objekte Generatoren und Cogeneratoren Lokal kleine Kategorien Elementarer Beweis des Darstellungssatzes

11. Objekte mit algebraischer Struktur 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

Algebraische Strukturen Operation eines Objektes auf einem anderen Homomorphismen Reduktion auf Ens Limites und filtrierende Colimites Homomorph verträgliche Strukturen

12. Abelsche Kategorien 12.1 12.2 12.3 12.4

VIII

Überblick Semiadditive Struktur Kerne und Cokerne Zerlegung von Morphismen

64 64 67 69 72 76 76 79 81 84 86 87 90 91 91 94 95 97 99 101 103 103 104 107 110

12.5 Die additive Struktur 12.6 Idempotente

113 114

13. E x a k t e Folgen 13.1 E x a k t e Folgen in exakten Kategorien 13.2 Kurze exakte Folgen 13.3 E x a k t e und treue Funktoren 13.4 E x a k t e Quadrate 13.5 Einige Diagrammlemmata

114 114 117 118 121 125

14. Colimites von Monomorphismen 14.1 Vorgeordnete Klassen 14.2 Vereinigungen von Monomorphismen 14.3 Urbilder von Monomorphismen 14.4 Bilder von Monomorphismen 14.5 Konstruktionen f ü r Colimites 14.6 Grothendieck-Kategorien

129 129 131 133 134 136 137

15. Xnjektive Hüllen 15.1 Moduln über additiven Kategorien 15-2 Wesentliche Erweiterungen 15.3 Existenz von Injektiven 15.4 Ein Einbettungssatz

142 142 146 148 153

Literatur

154

Sachverzeichnis zu Teil I

157

Kategorien II Inhaltsübersicht 16. 17. 18. 19. 20.

Adjungierte Funktoren Adjungierte Funktorpaare zwischen Funktorkategorien Grundzüge der Universellen Algebra Kalkül von Brüchen Grothendieck-Topologien

Literatur Sachverzeichnis zu Teil I und I I

IX

1. Kategorien Jede axiomatische Theorie ist am Anfang arm an Sätzen und reich an Definitionen, die durch Beispiele erhellt werden müssen. Man beachte aber, daß jedes Beispiel eine Behauptung ist, deren Verifizierung im allgemeinen dem Leser überlassen bleibt. Es ist nicht erforderlich, daß dem Leser alle Beispiele bekannt sind. 1.1 Definition für Kategorien 1.1.1

Definition. Eine Kategorie if besteht aus (i) einer Klasse |if | von Objekten A, B, C, ...; (ii) einer Klasse paarweise disjunkter Mengen [A,B]g, wobei jedem geordneten Paar ( A , B ) von Objekten aus i? eine solche (möglicherweise leere) Menge zugeordnet ist. Die Elemente von [A, B]rg heißen Morphismen von A nach B; (iii) einer Komposition von Morphismen, d. h. einer Abbildung \B, C],y X [A, BJy

[A, C]v

für jedes geordnete Tripel (A, B, C) von Objekten. Für g e [B, C],g>, f e [A, Bfy wird das Bild des Paares (g, f) mit gf (lies g nach /), gelegentlich auch mit g o / bezeichnet. Diese Daten sind folgenden Axiomen unterworfen: (1) Assoziativität der Komposition. Sind hg und gf erklärt, so gilt stets (hg)f =

h(gf).

Man kann daher auf Klammern verzichten. (2) Identitäten. Für jedes Objekt B gibt es einen identischen Morphismus \ B e [B, jBJ.g', für den 1 B/ = />

glB = g

stets gilt, wenn die beiden linken Seiten erklärt sind. Bemerkungen 1.1.2 Auf die Verwendung der Bezeichnungen Klasse, Menge gehen wir später (3.3) genauer ein. Hier genügt der Hinweis, daß jede Menge auch eine Klasse ist, aber nicht umgekehrt.

1

1.1.3 Statt [A, -B] schreiben wir einfach [A, B], wenn aus dem Zusammenhang klar ist, welche Kategorie gemeint ist. Andere Bezeichnungen in der Literatur: (A, B), ^{A, B), Horn (A, B), hom (A, B), Mor (A, B), BA. 1.1.4 F ü r / e [A,B] schreibt man meist f: A -+B oder A-L B. Dabei nennen wir A die Quelle (domain, source) und B das Ziel (ränge, codomain,

target)

von f.

1.1.5 Die Reihenfolge der Morphismen bei Komposition in (iii) ist fast durchweg üblich, bei einigen Autoren jedoch entgegengesetzt. 1.1.6 Der identische Morphismus \ A ist durch das Objekt A eindeutig bestimmt. Sind 1A und \'A identische Morphismen für A, so ist wegen (2) 1A — = \' A . Umgekehrt wird A durch 1A bestimmt, weil die Morphismenmengen paarweise disjunkt sind. 1.1.7 Man kann Kategorien wegen 1.1.6 so definieren, daß man auf Objekte verzichtet und die identischen Morphismen an ihrer Stelle benutzt. 1.1.8

(3)

Die Klasse aller Morphismen von & bezeichnen wir mit

MorSf=U e

\.A,B\. m x m

1.2 Beispiele Wo hierbei Morphismen Abbildungen sind, ist ihre Komposition wie üblich erklärt. 1.2.1 Objekte sind die Mengen (eines festen Universums, 3.3), Morphismen die Abbildungen zwischen ihnen. Diese Kategorie bezeichnen wir stets mit Ens. 1.2.2 Objekte sind die abelschen Gruppen, Morphismen die Homomorphismen zwischen ihnen. Bezeichnung stets Ab. 1.2.3 Objekte sind die Linksmoduln über einem Ring R, Morphismen die Homomorphismen; Bezeichnung RMod, entsprechend ModR für Rechtsmoduln. 1.2.2 ist der Spezialfall R — Z, wobei Links- und Rechtsmoduln zusammenfallen. Weiterer Spezialfall: Yektorräume über einem Körper. Allgemein gilt für jede algebraische Struktur: Ihre Modelle und die Homomorphismen zwischen ihnen bilden eine Kategorie. Wir bezeichnen solche Kategorien einfach durch den Namen der Modelle, z. B. Kategorie der (multiplikativen) Gruppen. Bei Ringen verlangen wir stets, daß sie ein 1-Element besitzen und daß die Homomorphismen 1-Elemente respektieren (also 1 in 1 überführen). Wir lassen aber den Ring 0 mit nur einem Element zu. 1.2.4 Kategorie Top der topologischen Räume: Objekte sind die topologischen Räume, Morphismen die stetigen Abbildungen.

2

1.2.5 Objekte sind nicht-leere topologische Räume mit ausgezeichnetem Grundpunkt; Morphismen sind stetige Abbildungen, welche die Grundpunkte respektieren. Entsprechend: Kategorie der punktierten Mengen. 1.2.6 Objekte sind topologische Räume, Morphismen sind die Homotopieklassen stetiger Abbildungen. Entsprechend auch mit punktierten Räumen, wobei alle Homotopien die Grundpunkte respektieren. 1.2.7 Kategorie der Mengenkorrespondenzen: Objekte sind Mengen, die Morphismen von A nach B sind die Teilmengen von A x B. Komposition ist diejenige von Paarmengen: Für f a A x B, g er B x C ist gf = {(«, c) | Es gibt

b e B mit (a, b) e /, (b, c)

ig).

Entsprechend mit Gruppen: Korrespondenzen von A nach B sind Untergruppen des direkten Produktes A x B. 1.2.8 Es gibt zahlreiche weitere Beispiele. Wir erwähnen topologische Gruppen, Lie-Gruppen, topologische Vektorräume über einem topologischen Körper, insbesondere lokalkonvexe reelle bzw. komplexe Vektorräume. 1.2.9 Es ist die leere Kategorie 0 zugelassen. Sie enthält kein Objekt, also auch keinen Morphismus. 1.3 Isomorphismen 1.3.1 Definition. Ein Morphismus / : A B heißt Isomorphismus, wenn esg: B -> A gibt mit gf = \A, fg = iB. Aus gf =- \A, fg' = \B folgt g = g'. g ist daher durch / eindeutig bestimmt und heißt zu / invers ; Schreibweise g = A, B heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus / : A B gibt. Die Morphismen in [A, A] heißen Endomorphismen von A. Ein isomorpher Endomorphismus heißt Automorphismus. 1.3.2 Komposita und Inverse von Isomorphismen sind Isomorphismen; die Automorphismen eines Objektes bilden eine Gruppe. 1.4 Weitere Beispiele 1.4.1 Die Endomorphismen eines Objektes bilden vermöge ihrer Komposition eine Halbgruppe mit 1. Umgekehrt läßt sich jede Halbgruppe mit 1 als Kategorie mit nur einem Objekt auffassen (vgl. 1.1.7). Eine Gruppe läßt sich als Kategorie mit nur einem Objekt auffassen, in der jeder Morphismus ein Automorphismus ist. Halbgruppen und Gruppen sind also spezielle Kategorien. 1.4.2 Eine Kategorie, die nur identische Morphismen besitzt, heißt diskret. Jede Klasse kann als diskrete Kategorie aufgefaßt werden. 3

1.4.3 Eine Kategorie, bei der alle Mengen [A,B] höchstens ein Element enthalten, heißt vorgeordnete Klasse. Man schreibt A < B für [A,B] 0 . Enthält sogar [A, B] u [B, A] stets höchstens ein Element, so liegt eine (schwache) Ordnung vor. Enthält [A, B] u [B, A] stets genau ein Element, so ist die Ordnung streng (strikt, linear).

1.5 Additive Kategorien 1.5.1 Eine Kategorie heißt semiadditiv, wenn für jede Menge [A, B] eine kommutative, assoziative Addition mit O-Element (additive Halbgruppe) so erklärt ist, daß die Komposition von Morphismen beiderseits distributiv und mit den O-Elementen verträglich ist: (4)

tei

(5)

+ g»)f = gif + gj-, ¿0 = 0;

g (A + h) = gti +

sh.

0/ = 0.

Ist hierbei [A, B] stets sogar eine Gruppe, so heißt die Kategorie additiv (auch präadditiv). Dabei folgt (5) aus (4). 1.5.2

Mit der üblichen Addition von Homomorphismen sind Ab, ModR (1.2.3) additive Kategorien. In einer additiven Kategorie ist [A, A] stets ein Ring und [A, B] bzw. [B, A] ein Rechts- bzw. Linksmodul über [A, A], „Rechts" und ,,links" sind durch die Festsetzung der Reihenfolge bei Komposition festgelegt (vgl. 1.1.5).

RMod,

1.5.3 Ein Ring (stets mit 1) ist als additive Kategorie mit nur einem Objekt aufzufassen.

1.6 Unterkategorien 1.6.1 Unterkategorien sind in naheliegender Weise definiert: Eine Unterkategorie & einer Kategorie i? besteht aus Objekten und Morphismen von if, so daß mit der von herrührenden Komposition wieder eine Kategorie vorliegt. Dabei wird verlangt: Gehört das Objekt A zu 3), so auch der in ^ vorliegende identische Morphismus \ A . Die Unterkategorie Sd heißt voll, wenn für je zwei Objekte A, B in Q) alle "^-Morphismen von A nach B auch zu 3 gehören, wenn also [A,B-]2=[A, B] B ein Morphismus in f{! m i t A =/= B. D a n n sind A u n d B die Objekte, \A, iB u n d / die Morphismen einer Unterkategorie von

2. Funktoren 2.1 Kovariante Funktoren 2.1.1 Definition. E s seien ^ u n d 3) Kategorien. Ein Funktor T: ^ 3, genauer: kovarianter Funktor, ist eine Abbildung f ü r O b j e k t e u n d Morphismen: Jedem O b j e k t A e \ 3 additiv, wenn zusätzlich gilt: (3) (4)

r ( A + / 2 ) = T(/ x ) + T(/ 2 )

und

T ( 0) = 0

f ü r alle O-Morphismen. Sind i? und Ol additiv, so folgt (4) aus (3). Beispiele 2.1.2 Sind 3 Gruppen (oder Halbgruppen), so sind die F u n k t o r e n 3) gerade die Homomorphismen. Sind , 3 Ringe, so sind die T: ^ additiven F u n k t o r e n gerade die Ringhomomorphismen (die die Einselemente respektieren). 5

1.6.4 F ü r die Kategorie Top von 1.2.4 erhält m a n volle U n t e r k a t e gorien durch Beschränkung der O b j e k t e auf R ä u m e m i t zusätzlichen Eigenschaften, etwa Hausdorffsch, regulär, vollständig regulär, komp a k t usw. 1.6.5 Die Kategorie Ens ist eine nicht volle Unterkategorie Kategorie der Mengenkorrespondenzen von 1.2.7.

der

1.6.6 J e d e Kategorie r € u m f a ß t eine diskrete Unterkategorie, die alle Objekte von enthält. 1.6.7 Man erhält eine Unterkategorie von if, wenn m a n ein einzelnes O b j e k t A aus if n i m m t u n d als Morphismen (a) n u r iA, (b) alle Automorphismen von A, (c) alle Endomorphismen von A. 1.6.8 E s sei / : A -> B ein Morphismus in f{! m i t A =/= B. D a n n sind A u n d B die Objekte, \A, iB u n d / die Morphismen einer Unterkategorie von

2. Funktoren 2.1 Kovariante Funktoren 2.1.1 Definition. E s seien ^ u n d 3) Kategorien. Ein Funktor T: ^ 3, genauer: kovarianter Funktor, ist eine Abbildung f ü r O b j e k t e u n d Morphismen: Jedem O b j e k t A e \ 3 additiv, wenn zusätzlich gilt: (3) (4)

r ( A + / 2 ) = T(/ x ) + T(/ 2 )

und

T ( 0) = 0

f ü r alle O-Morphismen. Sind i? und Ol additiv, so folgt (4) aus (3). Beispiele 2.1.2 Sind 3 Gruppen (oder Halbgruppen), so sind die F u n k t o r e n 3) gerade die Homomorphismen. Sind , 3 Ringe, so sind die T: ^ additiven F u n k t o r e n gerade die Ringhomomorphismen (die die Einselemente respektieren). 5

2.1.3 Die Zuordnungen „Gruppe abelsch gemachte Gruppe, Homomorphismus — i >• induzierter Homomorphismus" bilden einen Funktor von der Kategorie der Gruppen in sich (bzw. in die Unterkategorie der abelschen Gruppen). 2.1.4 Die Zuordnungen „topologischer Raum h» w-te singulare Homologiegruppe, stetige Abbildung i-> induzierter Homomorphismus" bilden einen Funktor. Entsprechend topologischer Raum mit Grundpunkt n-te Homotopiegruppe (vgl. 1.2.5). Entsprechend für die Kategorien 1.2.6. 2.1.5 Sei '¡f = RMod und X ein fester i?-Rechtsmodul. Setze T(A) = = X ® A , T(f) = idx ®f ( i d x identische Abbildung von X). R B 2.2 Standardbeispiele 2.2.1 Der identische Funktor Id,g>: "if -> ^ (i? beliebige Kategorie bildet Objekte und Morphismen identisch auf sich ab. 2.2.2 Die Inklusion einer Unterkategorie Qt von if i n i f ; Bezeichnung er: 3) oder Q> c z V . 2.2.3 Konstante Funktoren. Seien i?, 2 wieder beliebig und X e \3>\. Für alle Objekte A e \c€\ und Morphismen / in "«f setze man T{A) —X und T(f) = \x. 2.2.4 Vergiß-Funktoren. Die Objekte von seien Mengen mit einer bestimmten Struktur (etwa Gruppen, topologische Räume usw.), die Morphismen strukturverträgliche Mengenabbildungen (Homomorphismen, stetige Abbildungen usw.). Der Vergiß-Funktor V: &Ens ordnet jedem Objekt die zugrundeliegende Menge, jedem Morphismus die entsprechende Mengenabbildung zu. Andere Vergiß-Funktoren vergessen nur einen Teil der Struktur, z . B . V: RMod -»Ab vermöge Modul zugrundeliegende additive Gruppe, oder auch Gruppe punktierte Menge (Einselement als Grundpunkt). 2.2.5 Die kovarianten Üom-Funktoren HA: -» Ens. Sei A ein festes Objekt aus HA{X) = [A, und für / : X Y sei HA (/) diejenige Abbildung [A, X] -> [A, Y], die u e [A, X] in fu abbildet. Man setzt [A, f] = HA (/) und [A, ?] = HA (?). Ist m additiv, so wird [A, ?] im allgemeinen als Funktor i? -» Ab betrachtet. Dieser Funktor ist additiv. 2.2.6 Komposition von Funktoren. Sind T: m Sd und U: 3> -> $ Funktoren, so ist VT ( U nach T) der durch A U (T (A)), f U (T (/)) definierte Funktor. Statt UT schreibt man auch U o T. 2.2.7 Bemerkung. Ein Funktor T: -> S> definiert vermöge / h-> T(f) eine Abbildung der Morphismenmengen (5) 6

Ta_b: [A,B],g -+[T(A),

T(B)]@,

die zusammen eine Abbildung für die Morphismenklassen ergeben: (6)

T: Mor M o r ^ .

Ein Funktor kann als Abbildung T der Morphismenklassen aufgefaßt werden, die entsprechend (1), (2) den folgenden beiden Bedingungen genügt: (1') T bildet identische Morphismen in identische ab. (2') Ist gf in # erklärt, so auch T(g)T(f) in 3>, und es gilt T(gf) =

T(g)T(f).

(1') und 1.1.6 legen fest, wie T auf Objekten wirkt. Die Komposition von Funktoren ist dann einfach die Komposition von Abbildungen. 2.2.8 Ist # die leere Kategorie, so gibt es genau einen Funktor , den „leeren Funktor". Man beachte die Analogie zu den Abbildungen der leeren Menge in Ens. 2.2.9 Definition. Ein Funktor T: ^ 2 heißt Isomorphismus, wenn es einen Funktor S: 2 gibt mit ST = IDRG, TS = Id• ordnet jedem Objekt A e Y€\ ein Objekt T(A) e \3>\ zu und jedem Morphismus/: A^-B in ^ einenMorphismus T(/): T(B)->T(A), so daß stets gilt: (1) (2*)

T ( U ) = 1*U>. T (gf) = T(f)T (g), wenn gf in if erklärt ist.

Sind , 2 semiadditiv, so heißt T additiv, wenn außerdem wieder 2.1 (3) und (4) gelten. Ein kontravarianter Funktor kehrt also die Morphismenrichtungen um. Dabei respektiert er Identitäten und Komposition, folglich auch Isomorphismen. 2.2.7 gilt mit den notwendigen Vertauschungen, insbesondere (5*)

TÄJt:

[A,B] HÄ(X). setzt U , A ] = H

A

( f )

und

[?,A]

=

HA(?).

7

Ist if additiv, so wird HÄ im allgemeinen als kontravarianter Funktor W Ab betrachtet. Klassischer Spezialfall ist tf — RMod oder = ModR. 2.3.3

Jeder konstante Funktor ist auch kontravariant.

2.3.4 Potenzmenge : Ens Ens. Dieser kontravariante Funktor ordnet jeder Menge A ihre Potenzmenge ?ßA (Menge der Teilmengen von A) zu, der Mengenabbildung /: A -*• B die durch X H- tyA. Die Mengen tyA haben eine algebraische Struktur (Boolesche Algebra), die von Durchschnitt, Vereinigung und Komplement für Teilmengen herrührt, iß (/) respektiert diese Struktur. 2.3.5 Es sei K ein Körper, also ModK die Kategorie der Vektorräume über K. Die Zuordnungen Vektorraum dualer Raum, lineare Abbildung transponierte Abbildung bilden einen kontravarianten Funktor D: ModK -»- ModK. E r hat übrigens die Form [?, K\, nur ist die Zielkategorie weder Ens noch A b. Entsprechend erhält man kontravariante Funktoren D: RMod ModR und D: ModR -> RMod für Moduln über einem Ring R. Sie fallen zusammen, wenn R kommutativ ist. 2.3.6 Die Zuordnungen „topologischer Raum i-> n-te singulare Kohomologiegruppe, stetige Abbildung h> induzierter Homomorphismus" ergeben ein weiteres klassisches Beispiel. Es ist der Ursprung für die Verwendung der Vorsilbe ,,co" in der Theorie der Kategorien, worauf wir noch eingehen. 2.3.7 Komposition von kontravarianten Funktoren untereinander und von ko- und kontravarianten Funktoren ist entsprechend 2.2.7 als Komposition von Abbildungen erklärt. Ordnet man kovarianten Funktoren die Varianz + 1 , kontravarianten die Varianz —1 zu, so ist die Varianz eines Kompositums das Produkt der Varianzen der beteiligten Funktoren. 2.4 Duale Kategorien 2.4.1 Jeder Kategorie if wird folgendermaßen eine duale Kategorie if 0 (andere übliche Bezeichnungen if*, zugeordnet: Die Objekte von lg0 sind diejenigen von , es ist [B, A],g>o = [A, B]g, und die Komposition fg in ist definiert als gf in (Umkehrung aller Pfeile). Man beachte die Umkehrung auch für [A, A~\(g. Offenbar ist ii 0 0 = i f . Für jede Kategorie # hat man den kontravarianten Funktor Op: -> der Objekte identisch auf sich abbildet und auf den Morphismen richtungsumkehrend wirkt. Dabei gilt OpOp = Id (vgl. 2.2.1). 2.4.2 Ist i? eine Halbgruppe bzw. eine Gruppe, ein Ring, so ist if 0 die Gegenhalbgruppe bzw. die Gegengruppe, der Gegenring. Ist ^ eine abelsche Gruppe oder ein kommutativer Ring, so lassen sich i? und if° nicht unterscheiden. Ebenso fällt jede diskrete Kategorie mit ihrer dualen zusammen. 8

2.4.3 Ist i? eine geordnete Menge, so ist die Gegenordnung derselben Menge ( < wird durch > ersetzt). Entsprechend bei Vorordnungen. 2.4.4

Vereinbarung. Um Verwechslungen zu vermeiden, setzen wir f° = Op(/).

A» = Op(A),

Wir schreiben also A° bzw. wenn wir Objekte A bzw. Morphismen / in i f als solche in auffassen. Damit gilt (7)

/: A -> B

B° -> ,4°;

(£/)° =

Man beachte: E s ist \[A, B], für Morphismen (f°, g) m i t / : A -> A', g: B B' durch (4) Bezeichnung (5)

u h> guf

für

u e [A',

;

[A',B]V-*[A.B1V.

Setzt man hierin / = \ A bzw. g = \B, so erhält man (6)

lU.gl

= [A,g]:

(7)

[/,!*] = [/. B]:

[A,B] [A',B]-y[A,B],

wobei [A, g], [/, B] in den Beispielen 2.2.5 und 2.3.2 definiert sind. Man verifiziert die Funktoreigenschaften: 1 5 ] bildet [A, B] identisch ab. Sind f f und g'g in erklärt, so folgt aus (4) (8) 10

[/'/, g'g] = [/. gl [/'. g] •

Insbesondere ist (9)

[/, gl = U. i*] LU', gl = IU. gl U, 1 d .

d. h. wegen (6), (7), daß für / : ^4 ->¿4' und g: B Diagramm kommutativ ist: [A', B~\

iA e]

''

.

B' das folgende

B']

y.B]

(10)

[A.Bl

[Atü'[A,B1

2.5.6 Für einen Bifunktor T: X @ £ , für den nicht leer ist, setzt man in Analogie zu (6), (7) allgemein (11)

T(C.g)

= T(ic,g);

T ( f , D) = T{f,

1B).

Damit ergibt sich wegen (2) unmittelbar: Fixiert man in einem Bifunktor mit nicht-leerer Quelle ein Argument durch ein Objekt, so entsteht ein Funktor im anderen Argument. Genauer: Jedes Objekt C € \

bzw.

T{7, D):