Kategorien und Automate [Reprint 2018 ed.] 9783110832020, 9783110039023

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de Gruyter Lehrbuch Ehrig • Pfender Kategorien und Automaten

Kategorien und Automaten

von

Hartmut Ehrig • Michael Pfender und Studenten der Mathematik und Informatik

w DE

G Walter de Gruyter • Berlin • New York • 1972

© Copyright 1972 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer - Karl J. Trübner - Veit & Comp., Berlin 30. - Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. - Satz: IBM-Composer, Walter de Gruyter & Co. Druck: Sala-Druck, Berlin - Printed in Germany ISBN 3 11 0 0 3 9 0 2 8

Vorwort Das vorliegende Buch gibt in den Kapiteln 1, 3 und 5 eine didaktisch aufbereitete, in sich abgeschlossene Einführung in die Kategorientheorie mit ausführlich dargestellten Anwendungen auf verschiedene mathematische Grundstrukturen. Gleichzeitig wird die Automatentheorie mit kategoriellen Methoden entwickelt (Kapitel 2, 4 und 6). Das Buch ist nach einem Seminar über Kategorien und Automaten an der Technischen Universität Berlin im Wintersemester 1970/71'entstanden. Die Herren B. Axnick, E. Bertsch, J. Beuse, U. Brehm, G. Fromm, K. D. Kiermeier, H. J. Kreowski, W. Kühnel, B. Lorenzen, U. Pohle, Fräulein B. Rosenthal, Herr P. Schreiber, Herr J. Schroll und Herr R. Woloszczak haben die Skripten zu den Seminarvorträgen gemeinsam mit uns überarbeitet und erweitert. Fräulein B. Siechen danken wir herzlich für die Erstellung des Manuskriptes und dem Verlag Walter de Gruyter & Co für die gute Zusammenarbeit und die Berücksichtigung aller unserer Wünsche bei der Drucklegung. Berlin, im Dezember 1971

H. Ehrig

M. Pfender

Inhaltsverzeichnis

Vorwort Einleitung

5 7

1 Kategorien

11

Kategorielle Grundbegriffe Charakterisierung in Beispielkategorien

11 20

2 Automaten

28

Definition von Automaten und Beispiele Kategorie der Automaten

28 36

3 Limites in Kategorien

47

Differenzenkerne, Produkte und duale Begriffe Äquivalenzrelationen und Kernpaare Pullbacks, Urbilder und Durchschnitte Konstruktionen mit Kernpaaren

47 54 60 69

4 Universelle Konstruktionen von Automaten

76

Limeskonstruktionen von Automaten Kongruenzen und Faktorautomaten Homomorphiesätze Automaten mit konstanten Ein- und Ausgabealphabeten Reduktion von Automaten

76 83 89 95 100

5 Funktoren, Limites und Adjungierte Funktoren

109

Funktoren, Bifunktoren, Funktortransformationen Diagramme, Limites und Colimites Universelle Probleme und adjungierte Funktoren

109 120 134

6 Schaltoperationen und Zerlegungen

147

Coproduktschaltung und Zerlegung in Zusammenhangskomponenten Parallelschaltung Hintereinanderschaltung Permutations-Reset-Zerlegungen durch Überdeckungskongruenzen Bezeichnungen Literatur Sachregister

147 149 152 155 165 167 168

Einleitung

Aufgabe der Kategorietheorie ist es, Analogien von Begriffen und Konstruktionen, die in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik auftreten, mathematisch exakt zu definieren und deren gemeinsame Eigenschaften zu erfassen. Dazu verallgemeinert man strukturierte Mengen, wie beispielsweise Gruppen und topologische Räume, zu Objekten und strukturverträgliche Abbildungen, wie etwa Homomorphismen und stetige Abbildungen, zu Morphismen einer Kategorie. Die Eigenschaften von Begriffen und Konstruktionen werden kategoriell „elementfrei" über die Existenz, Eindeutigkeit oder Kürzbarkeit geeigneter Morphismen definiert. Anwendungsgebiete der Kategorietheorie sind bisher hauptsächlich Topologie und Algebra gewesen, darüberhinaus werden heute kategorielle Methoden in sehr vielen Disziplinen der strukturellen Mathematik mit Erfolg angewendet. Zu diesen Gebieten gehört auch die algebraische Automatentheorie, weil eine kategorielle Behandlung von Automaten wegen ihrer schwer zu handhabenden Struktur besonders wirkungsvoll ist. Ziel dieses Berichts ist es einerseits, die Kategorietheorie im Hinblick auf Anwendungen in der Kategorie der Automaten als eigene Theorie darzustellen und andererseits die Automatentheorie soweit wie möglich kategoriell und damit „elementfrei" zu entwickeln und die Begriffe der Automatentheorie universell zu charakterisieren. Im ersten Kapitel werden kategorielle Grundbegriffe, wie Mono-, Epi-, Isomorphismen, Anfangs- und Endobjekte, im dritten spezielle Limes- und Colimeskonstruktionen, wie Differenzenkerne, Produkte, Kernpaare als Verallgemeinerung von Äquivalenzrelationen und Pullbacks, insbesondere Urbilder und Durchschnitte, und im fünften Kapitel werden Funktoren und Funktortransformationen bis hin zu adjungierten Funktoren entwickelt. Die eingeführten Begriffe werden dabei in der Kategorie der Mengen, der R-Moduln, die für R = Z abelsche Gruppen und für einen Körper R Vektorräume sind, und der Kategorie der topologischen Räume charakterisiert. Dieser Teil des Berichts ist in sich abgeschlossen und kann deshalb unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden. Parallel zur Definition der entsprechenden Begriffe aus der Kategorientheorie wird im zweiten, vierten und sechsten Kapitel eine algebraische Automatentheorie mit kategoriellen Methoden entwickelt. Nach einer klassischen Einführung von (Quintupel)-Automaten werden Kategorien solcher Automaten definiert, und in diesen werden universelle Konstruktionen durchgeführt, wie insbesondere

10

Einleitung

Produkt-, Urbild-, Durchschnitts- und allgemeine Faktorautomaten. Auch das Reduktions-, Minimierungs- und Äquivalenzproblem für Automaten wird mit kategoriellen Methoden gelöst. Im sechsten Kapitel werden Schaltoperationen und Zerlegungen behandelt, wobei Permutations-Reset-Zerlegungen als Verallgemeinerung der Konstruktionen in [19] und [20] durch „Überdeckungskongruenzen" definiert werden. Ausgehend von den hier erfolgten Untersuchungen wird in [2] eine weitergehende kategorielle Untersuchung von Reduktionen durchgeführt, und in [8] wird nachgewiesen, daß die Kategorie der (Quintupel)Automaten algebraisch ist. Damit ist auch der Zusammenhang zu der universellalgebraischen Darstellung von Automaten (vgl. z. B. [14]) hergestellt. Weitere Literatur wird in den einzelnen Kapiteln und zusammenfassend im Literaturverzeichnis angegeben. Bei der Formulierung wird in diesem Buch weitgehend die Quantoren- und Diagrammschreibweise benutzt. Diese und andere Bezeichnungskonventionen sind zusammen mit Literatur-, Namen- und Sachverzeichnis auf den letzten Seiten zu finden.

1 Kategorien

In vielen mathematischen Theorien werden axiomatisch gewisse „Räume" eingeführt, und man untersucht in der Theorie die innere (d. h. Element-) Struktur dieser Räume und Beziehungen zwischen verschiedenen Räumen gleicher Art. Als Beziehungen gelten dabei insbesondere „strukturverträgliche" Abbildungen zwischen solchen Räumen. Die verschiedenen Modelle eines Axiomensystems (Räume) können als „Objekte" und die strukturverträglichen Abbildungen als „Morphismen" einer geeignet definierten „Kategorie" aufgefaßt werden. Die im folgenden zugrundegelegte axiomatische Mengenlehre sei die von Neumann-Gödel-Bernays (NGB-Mengenlehre, vgl. [7], Anhang).

Kategorielle Grundbegriffe 1.1 Definition Eine Kategorie K ist eine Klasse |K| zusammen mit einer Familie [MorK(A,B)] A)Be IKI v o n paarweise disjunkten Mengen und einer Familie von Abbildungen O=

[OA,B,C

: MorK(A,B)XMorK(B,C) - MorK(A,C)] A j B > c e

m

derart, daß folgende Axiome gelten: (Ass)

A(A,B,CG |K|) A(fGMorK(A,B)) A(g€MorK(B,C)) A(hGMorK(C,D)) (hog)of = h o ( g o f )

(Id)

A(AG |K|) V (1 A GMorK(A,A)) [A(BG |K|) A(fGMorK(A,B)) A(CG |K|) A(gGMorK(C,A))

f o 1A = f

A

l A o g = g]

1.2 Bezeichnung KG |K| heißt Objekt (von K), fGMorK(A,B), auch A ^ B oder f: A B geschrieben, Morphismus von A nach B, A bzw. B heißt dann Quelle bzw. Ziel von f, o heißt Komposition von K, 1 A Identität von A. Für Objekte werden große, für Morphismen kleine Buchstaben verwendet.

12

Kategorien

fGK bedeute: V(A,Bg = h, d. h. falls f „als erster kürzbar" ist.

1.9 Beispiel Die Monomorphismen in Me sind genau die injektiven Abbildungen. Beweis: ,, 1 für a a 0 und a 0 +»• 2 sowie h: A C definiert durch a +> 1 für alle a€A gilt g o f = h o f und daher nach Voraussetzung g = h, im Widerspruch zu q.e.d. g(a 0 ) = 2 1 = h(a 0 ), also gilt A\f[B] = 0, d. h. f ist suijektiv. 1.11 Motivation Es soir nun auf eine Beziehung zwischen Mono- und Epimorphismus eingegangen werden, die ihren Ausdruck in den zugehörigen Diagrammen findet. Die Diagramme in der Definition von „Monomorphismus" gehen durch „Umkehrung der Pfeilrichtungen", d. h. Vertauschung von Quelle und Ziel der entsprechenden Morphismen in die entsprechenden der Definition „Epimorphismus" über und umgekehrt. Gilt dies für zwei Begriffe, so nennt man sie „dual"; analog spricht man von dualen Sätzen. Zur Formulierung des Dualitätsprinzips soll die zu einer Kategorie K duale Kategorie eingeführt und der Begriff „Satz über Kategorien" präzisiert werden. 1.12 Definition Sei K Kategorie (mit Komposition o). Dann sei die zw K duale Kategorie K° (mit Komposition *) definiert durch: |K°| := |K|, A(A,B€ |K°|) MorK°(A,B): = MorK(BA) MorK°(A,B)XMorK°(B,C) 3 (f°,g°) ++ g°*f°: = f°og 0 GMorK°(A,C). 1.13 Bemerkungen Das K-Diagramm A - ^ B - ^ C schreibt sich also A ^ B ^ C in K°, wobei f°,g° die als K°-Morphismen interpretierten K-Morphismen f,g seien. Beim „Interpretations"-Übergang von K nach K° werden also die Morphismenrichtungen und die Reihenfolge bei Komposition von Morphismen umgekehrt. Die Gültigkeit der Kategorieaxiome für K° weist man leicht nach: die Assoziativität von „*" führt man auf diejenige von „ o " zurück, die Identitäten von K und K° stimmen überein. 1.14 Definition Sei F(K) eine Formel mit einer freien Variablen K im Sinne der NGB-Mengenlehre, K sei also in F nicht durch Quantoren gebunden. Dann heißt F = F(K) Satz der Theorie der Kategorien, wenn gilt: AK (K Kategorie =>F(K)) d. h., die Aussage F(K) gilt für alle Kategorien K.

16

Kategorien

Für Kategorien K heißt eine Formel F°(K) dual zu F(K), falls gilt: F°(K) gleichbedeutend mit F(K°) 1.15 Bemerkung

Für eine Kategorie K gewinnt man eine zu einer Formel F(K) duale Formel F°(K) dadurch, daß man die Formel F(K°) als Aussage über die Kategorie K interpretiert. Dies gelingt dadurch, daß man die Formel F(K°) als Aussage über Diagramme in K° schreibt und durch Umdrehen aller Pfeile eine Aussage über Diagramme in K gewinnt. 1.16 Dualitätsprinzip

Ist F(K) ein Satz der Theorie der Kategorien und ist F°(K) zu F(K) duale Formel, so ist auch F°(K) ein Satz der Theorie der Kategorien, der „zu F(K) duale Satz". Beweis: Sei K Kategorie, dann ist nach 1.12 auch K° Kategorie. Da F(K) Satz der Theorie der Kategorien ist, gilt deshalb auch F(K°) und damit nach Definition 1.14 F°(K), also gilt: AK (K Kategorie => F°(K))

q.e.d.

1.17 Bemerkung

Bei der Dualisierung eines Satzes müssen sowohl die Voraussetzungen als auch die Behauptungen des Satzes dualisiert werden. Deshalb ist es sinnvoll, bei der Definition eines neuen Begriffes auch den dualen mit anzugeben. Aus den Definitionen in 1.8 folgt unmittelbar, daß der Begriff „Epimorphismus" dual zum Begriff „Monomorphismus" ist. Oft wird der zu einem Begriff duale Begriff mit der Vorsilbe „co" versehen. 1.18 Lemma

Seien A -*• B und B

C K-Morphismen.

Dann gilt: (a) Ist gof Monomorphismus, so ist f Monomorphismus. (a°) Ist gof Epimorphismus, so ist g Epimorphismus. (b) Sind f und g Monomorphismen, so ist gof Monomorphismus. (b°) Sind f und g Epimorphismen, so ist gof Epimorphismus. Beweis: Zur Veranschaulichung des Dualitätsprinzips wird der Beweis von (a°) als „dualisierter" Beweis von (a) angegeben, obwohl (a°) nach dem Dualitätsprinzip aus (a) folgt.

Kategorielle Grundbegriffe

17

Beweis von (a): Sei gof Monomorphismus, d. h. AD Ah,k

V

=

^ C

Dann gilt: AD Ah,k

also ist f Monomorphismus. Beweis von (a°): Sei gof Epimorphismus, d. h. AD Ah,k gof

=*h = k

18

Kategorien

Dann gilt:

also ist g Epimorphismus. (b) Seien f und g Monomorphismen sowie h,k mit fog verknüpfbare Morphismen, und es gelte (fog)oh = (fog)ok. Dann ist fo(goh) = fo(gok), somit wegen f Monomorphismus goh = gok und damit h = k, weil g Monomorphismus ist. Also ist auch fog Monomorphismus. (b°) ist die zu (b) duale Aussage.

q.e.d.

1.19 Definition des Isomorphismus Falls zu feMorK(A,B) ein g

U

[aj

^al

keine

^al keine bzw. 0

keine

1.31 Charakterisierung von Monomorphismen In den Kategorien Gr, RMod, Top sind — wie in Me — die Monomorphismen genau die injektiven Morphismen, d. h. Morphismen, die als Abbildungen injektiv sind. Beweis: „*=": Alle injektiven Morphismen sind als letzte kürzbar, also Monomorphismen. Man zeigt dies für alle hier angegebenen Kategorien wie in Me (Beispiel 1.9) „=*": Sei f:A->B Monomorphismus und seien a,a'GA beliebig mit f(a) = f(a'). Zu zeigen: a = a' 1. Gr:

Sei C:=v 2 , e 5 +»v 4 z : e ! +> v 2 , e 2 +»v 3 , e 3 +>v 3 , e 4 +»v 4 , e 5 +*v 2 . Dann läßt sich G folgendermaßen darstellen: v2

.6

.V5

e 3 ist „Schleife" ( q ( e 3 ) = z(e 3 )), v s und v 6 „isolierte Knoten" (v 5 ,v 6 $ Bild (q) U Bild (z)). Umgekehrt ergeben sich E,V,q,z von G eindeutig aus dieser Darstellung. 1.40 Definition Seien G = E ^ V , G' = E' h V' Graphen.

z

f = ( f E , f v ) mit f E e M e ( E , E ' ) , f v G Me(V,V') heißt

Graphenmorphismus

von G nach G', geschrieben f : G - > G ' , falls gilt:

fv

, d.h.

fE

rv

a

iE

•V'

1.41 Satz Die Klasse |Graph| der gerichteten Graphen zusammen mit den unter 1.42 definierten Graphenmorphismen und komponentenweiser Komposition bildet eine Kategorie Graph, die Kategorie der Graphen. Beweis:

Die Komposition von Graph sei definiert durch:

MorGraph(G,G')XMorGraph(G',G") 3 ( ( f E , f v ) , ( f E / v ) ) £ ( f E o f E , f v o f v ) .

Charakterisierung in Beispielkategorien

27

Es gilt (fj? o f E ,fy o f v )€MorGraph(G,G"), denn wegen

güt:

f'p

f'E° fE

f'v°fv

f'v

Die Komposition ist assoziativ, da sie in den Komponenten einzeln als (assoziative) Komposition in Me durchgeführt wird. Aus demselben Grund ist ( l E , l y ) Identität von G bezüglich o . q.e.d.

1.42 Bemerkung Die Charakterisierungen der Mono-, Epi-, Isomorphismen, Anfangs- und Endobjekte in 1.31 für Graph sind leicht nachzuweisen, werden aber im folgenden nicht benötigt.

2 Automaten

Definition von Automaten und Beispiele Unter einem Automaten versteht man in der Technik ein kybernetisches, d. h. informationsverarbeitendes System. Es besteht aus einer Eingabe- und einer Ausgabevorrichtung sowie einem Zustandsteil. Wesentlich für die folgende mathematische Betrachtung ist, daß das vorliegende System sequentiell arbeitet. Darunter versteht man die taktweise Aufeinanderfolge von Eingaben, die jeweils genau eine Zustandsänderung und die Ausgabe eines Signals zur Folge haben. Schema: x

n • • • x k+l

Yk • • • Yi

System nach Eingabe von x x , . . . , x k Dabei sind die x k + 1 , . . . , x n Eingabesymbole, die y l 5 . . . , y k Ausgabesymbole, s k ist der momentane „Zustand". Die Ausgabe darf nur von dem jeweiligen Zustand und der Eingabe abhängen. 2.1 Definition Unter einem [endlichen] Automaten wobei

versteht man ein 5-tupel A = (I,0,S,S,A),

I [endliche] Menge („Eingabesymbole"), O [endliche] Menge („Ausgabesymbole"), S [endliche] Menge („Zustände"), 5 : I X S - * S eine Abbildung („Überführungsfunktion"), X : IX S ->• 0 eine Abbildung („Ausgabefunktion") ist, \ 6 auch 0 « - I X S - > - S geschrieben. 2.2 Bezeichnung Um n verschiedene Automaten eindeutig bezeichnen zu können, schreibt man auch für k = 1 , . . . , n : A k = ( I k , O k , S k , S k , \ k ) . Entoprechend wird mit A' der Automat A ' = (l',0',S',5',X') bezeichnet.

29

Definition von Automaten und Beispiele

2.3 Bemerkung Die Eingabe- und Ausgabesymbole nennt man auch Buchstaben der Eingabe- und Ausgabealphabete I und 0 . Somit beschreibt die Funktion 5 den Übergang des Automaten von einem Zustand in einen anderen bei Eingabe eines Buchstaben des Alphabets I. Analog regelt die Abbildung X die Zuordnung zwischen eingegebenem Buchstaben und auszudruckendem Buchstaben in Abhängigkeit vom momentanen Zustand des Systems. 2.4 Definition Seien A und A' [endliche] Automaten. A' heißt Unterautomat von A, wenn I' C I , 0 ' C 0 , S' C S und A((x,s)el'XS')[5(x,s) = 5'(X,S)AX(X,S)

= X'

(x,s)], d. h. wenn mit „ C " als

Inclusionsabb ildung

gilt.

2.5 Motivation Um das Verhalten von Automaten bei Eingabe ganzer Buchstabenfolgen (sog. Wörter) zu beschreiben, werden die Begriffe „Monoid" und „freies Monoid" eingeführt. 2.6 Definition Eine Halbgruppe mit neutralem Element heißt Monoid. 2.7 Definition Für eine Menge I sei das von I frei erzeugte Monoid I* definiert durch I* = [ x n . . . .XjIXkEI für 1 < k < n , n G N] 0 [ D J mit dem Hintereinanderschreiben von Wörtern • als Komposition . und dem „leeren Wort" • als neutralem Element (I* besteht aus den „Wörtern" über I).

30

Automaten

2.8 Bemerkung und Definition Gleichheit zweier Wörter im freien Monoid ist gegeben durch formale Gleichheit. Für w€il* heißt 2(w) wobei •

^ Länge des Wortes w, [_n falls w = x n . . . Xi

in x n . . . Xj nicht auftreten darf.

2.9 Bemerkung Der Begriff „frei erzeugt" in Definition 2.7 wird in Kapitel 5 kategoriell definiert. 2.10 Definition (Fortsetzung der Abbildungen 5 und X auf die Monoide) Sei A [endlicher] Automat. Dann werden zwei Abbildungen 8* : I*XS

S,

X* : I*XS -»• 0 *

durch folgende beiden Rekursionsschemata definiert: (i)

5*(lü,s) = s,

X*(D,s) = •

(ii)

5*(x.w,s) = 5(x,5*(w,s))

(sGS)

X*(x.w,s) = X(x,6*(w,s)) X*(w,s) (xGl,seS,wel*) 2.11 Bemerkung 5* und X* sind wohldefiniert, da aus x.w = x.w' w = w' folgt, denn zunächst gilt ß(w) = ß(x.w)-l = ß(w'), also für w = • auch w' = • und sonst x.x n . . . x t = x.x„ . . . x'j, also A(iG[l,n]) x| = xj, also in jedem Fall w = w'. 2.12 Bezeichnung Für die weitere Formulierung fuhren wir die folgenden Bezeichnungen ein: w§*s := 5*(w,s) und wX*s := X*(w,s) für wSI*, sGS. 2.13 Bemerkung Es gilt:

X

0-

1

£ 0*->

= X*

1*

d.h. 5*/ IXS = 6 und X*/ I X s=X.

1

s

Definition von Automaten und Beispiele

31

In Definition 2.10 wurde ein Rekursionsschema zur Abspaltung des letzten Buchstabens eines Eingabewortes angegeben. Das folgende Lemma liefert die Möglichkeit, ein ganzes Teilwort abzuspalten. 2.14 Lemma Sei A ein [endlicher] Automat; dann gelten für beliebige w,v€I* und sGS die nachstehenden Beziehungen: (i)

(v.w)6*s = v5*(wö*s)

(ii)

(v.w)X*s = vX*(w5*s).wX*s

Beweis: Induktion über die Länge von v: Sei fi(v) = 0 : Dann ist v = D. Es gilt: (•w)5*s = w5*s = D5*(w6*s) und (Dw)X*s = wX*s = DX*(w8*s) wX*s Sei £(v) = 1: Hier gilt die Behauptung nach 2.10 (n). Induktionsschritt: Sei ß(v) > 2. Dann ist v = xv' mit xGl, v'el*. Dann güt: (i)

(v.w)5*s = (x.v'.w)S*s = x6(v'.w5*s) (2.10 (ii)) = xö(v'5*(w6*s)) (Induktionsvoraussetzung) = x.v'5*(w6*s) (2.10 (ü)) = v5 *(w5*s)

(ii)

(v.w)X*s = (x.v'.w)X*s = xX((v'.w)5*s) (v'.w)X*s (2.10 (n)) = xX(v'6*(wö*s)).v'X*(w5*s).wX*s (Induktionsvoraussetzung) = (x.v')X*(w8*s).wX*s (2.10 (ü)) = vX*(w5*s).wX*s q.e.d.

2.15 Bemerkung Die Abbildung X* ist längentreu, d. h. fi(wX*s) = £(w) für s£S, wGl* beliebig (trivial, vollständige Induktion nach 2(w)). 2.16 Bemerkung In Kapitel 1 wurden Graphen eingeführt. Sie liefern uns eine Möglichkeit der Darstellung abstrakter Automaten, die besonders geeignet ist, die Arbeitsweise anschaulich zu beschreiben. 2.17 Definition (zur Bezeichnungsweise vgl. 1.37) Sei A ein [endlicher] Automat. Dann heißt der gerichtete Graph

32

Automaten

G A =(V,E,q,z) :=(S,IXS,pr s ,5), auch IXS 3 5

S geschrieben,

Zustandsgraph von A. 2.18 Bemerkung Die Knoten von G A sind die Zustände von A. Die Pfeile von G A indiziert mit den Eingabesymbolen stellen die Zustandsänderungen von A dar. Eine eindeutige Darstellung eines Automaten erhält man durch Angabe seines Zustandsgraphen und Angabe von X : IX S -> 0 . Letzteres erreicht man dadurch, daß man die Pfeile des Zustandsgraphen neben dem Eingabe- auch mit dem Ausgabesymbol indiziert. Die eigentlich erforderliche Angabe von 0 erfolgt nur bei nichtsuijektivem X. 2.19 Beispiele 1. Sei 1 = 0 = S = Z 2 = [0,1]| und 5(a,b) = a; X(a,b) = b für a,b€|[0,l] beliebig. Zustandsgraph mit Ausgabe:

(0/1)

(0/0)

(1/1)

Dieser elementare Automat bewirkt eine „Verzögerung", d. h. ein Eingabewort wird mit einem Takt Verzögerung — nach der Ausgabe des Anfangszuständes — ausgegeben. Logisches Zeichen für diesen Verzögerungsautomaten:

2. Sei I = Z 2 , 0 = Z 2 X Z 2 , S = M und 5(x,s) = s sowie X(x,s) = (x,x) für xSI beliebig. Zustandsgraph mit Ausgabe: (0/(0,0))

(1/(1,1))

Definition von Automaten und Beispiele

Logisches Zeichen für diesen „DiagonaT'-Automaten:

3. Sei 1= Z 2 X Z 2 , 0 = Z 2 , S = fsJ 6((x,y),s) = s und X((x,y),s) = x-y für alle (x,y)e Z 2 X Z 2 (Multiplikation in Z 2 ! ) Zustandsgraph mit Ausgabe: ((l,0)/0)

Logisches Zeichen für diese „Und"-Schaltung:

4. Sei 1= Z 2 X Z 2 , 0 = Z 2 , S = I s ] r ^^ , . „ x n JO falls x=y=0 6((x,y),s) = s und X((x,y),s) = ^ s Q n s t

33

34

Automaten

Zustandsgraph mit Ausgabe: ((0, 0)/0)

((U)/1)

Logisches Zeichen für diese „Oder"-Schaltung:

5. Sei 1 = 0 = Z 2 , S = JsJ ö(x,s) = s und X(x,s) = x+1 für xGl

(Addition in Z 2 )

Zustandsgraph mit Ausgabe:

(1/0)

(0/1) Logisches Zeichen für diesen „Negations"-Automaten:

Definition von Automaten und Beispiele

35

6. Sei 1= [11, 0 = [ 0 , 1 ] , S = [1,2 Überführungsfunktion: 5(l,k) = Ausgabefunktion:

nl k+l für l < k < n - l für k=n

X(l,k)=

jjj* k - n ^ " ^

Zustandsgraph mit Ausgabe: 2

1

3

(1/0)

(1/0)

_ (1/0)

n-1 (1/0)

(1/0)

(1/D

_ _ Für diesen Automaten güt: X(l,6*(lk-1,l))

=

falls n k teilt | q sonst

Begründung: Die natürliche Zahl k-1 läßt sich wie folgt darstellen: k-1 = p-n + r mit 0 < r < n ; p,rGNU[[o]| Dann sieht man unmittelbar aus dem Zustandsgraphen, daß 5 * ( l k ' 1 , l ) = 5 * ( l r , l ) = r+l, d . h . X U ^ l * " 1 , 1 ) ) = X(l,r+1) = „1 falls . r+1 = n .0 sonst

(wo k-1 = p-n+r)

1 falls k = p-n+n = (p+l)-n .0 sonst _ ("1 faüs n k teilt LO sonst

q.e.d.

Diese Eigenschaft drückt man auch folgendermaßen aus: „A stellt die durch n teübaren Zahlen dar" oder „A zählt modulo n".

2.20 Bemerkung Es ist hier nicht möglich, auf andere Automaten-Definitionen näher einzugehen. Wir können nur einen kurzen Überblick über weitere Möglichkeiten geben, eine gute Übersicht befindet sich in [21]. Der oben eingeführte Automat ist das Modell, das Mealy 1955 eingeführt hat. Es stellt ein vollständiges, deterministisches System dar. Das bedeutet: 5 und X sind Abbüdungen, definiert auf IXS. Also: 1. Der Automat „reagiert" auf jede mögliche Konfiguration (x,s) von Eingabe und Zustand.

36

Automaten

2. Das Ergebnis ist durch Eingabe und Zustand eindeutig bestimmt. Spezialfälle davon sind Moore-Automaten und Medwedew-Automaten. Beim Moore-Automaten ist die Ausgabe explizit nur vom Folgezustand abhängig, während der Medwedew-Automat ein reines Transitionssystem ist, d. h. ein Automat ohne Ausgabealphabet 0 und ohne Ausgabeabbildung X. (Technisch ist dies sinnvoll, wenn der Zustand z. B. abgelesen werden kann.) Die Forderung nach Determiniertheit kann auch entfallen. Beispiele dafür sind die nichtdeterministischen Automaten [21], die stochastischen Automaten [21] und die Relationen-Automaten [11], bei denen anstelle der Abbildungen 5 und X Wahrscheinlichkeitsmaße bzw. Relationen eingeführt werden. Alle diese Automatentypen sind Spezialfälle der allgemeineren „TuringMaschine". Eilenberg und Wright [14] bemühen sich neuerdings um einen universellalgebraischen Ansatz für die Automatentheorie.

Kategorie der Automaten 2.21 Bemerkung In den letzten Abschnitten haben wir ein mathematisches Modell für Automaten entworfen. Das Ergebnis ist eine abstrakte Struktur, die auch völlig losgelöst von ihrer technischen Bedeutung betrachtet werden kann. Da die Kategorietheorie geeignet ist, abstrakte mathematische Strukturen zu beschreiben, sollen kategorietheoretische Begriffe, Methoden und Aussagen auf unser Automatenmodell angewendet werden. Dazu soll nun die Kategorie der Automaten eingeführt werden.

2.22 Definition Seien A,A' [endliche] Automaten. f := ( A , f j , f 0 , f s , A ' ) , kürzer f = ( f I , f 0 , f s ) heißt Automatenmorphismus nach A', geschrieben f:A-»-A', falls gilt: fi :I

I', f Q : 0 ^ 0 ' , f s : S

S' sind Abbildungen derart, daß gilt:

X 0-

5 I

XS

S

fjXfs 5'

von A

37

Kategorie der Automaten

2.23 Bemerkung Da in der Morphismendefinition Quelle und Ziel aufgeführt sind, sind die so erhaltenen Morphismenmengen paarweise disjunkt. Die Diagrammschreibweise von Morphismen schließt diese Angaben ein. 2.24 Definition Seien A,A',A" [endliche] Automaten und f : A - + A ' , g:A'->-A" Automatenmorphismen. Dann sei die Komposition von f und g (geschr. g o f : A - > A " ) „komponentenweise" definiert durch gof := ( A , g I o f I , g 0 o f 0 , g s o f s , A " ) . 2.25 Lemma Mit obigen Bezeichnungen ist g o f : A-»- A " Automatenmorphismus. Beweis: g ^ ^ : I Abbildungen mit

0-

I", g 0 o f 0 : O - ^ O " und g s o f s : S - + S " sind

-I

go o f o

X s(gIofI)X(gsofs)

gs of s

= 5 "

0"

-I" X S"-

S"

weil (gjofj)X(ggofg) = (giXgg)o(fjXfg) und nach Voraussetzung gilt:

gs

q.e.d.

38

Automaten

2.26 Satz Die Klasse der [endlichen] Automaten zusammen mit den in 2.22 definierten Morphismen und der Morphismenkomposition aus 2.24 bildet eine Kategorie, die Kategorie A der [endlichen] Automaten. Beweis: (Ass): Die Morphismenkomposition ist assoziativ, da sie in den Komponenten einzeln als (assoziative) Komposition in Me durchgeführt wird. (Id):

Aus demselben Grund ist ( 1 I , 1 0 , 1 S ) Identität von A bezüglich der eingeführten Komposition, da l j , l 0 , l s Me-Identitäten sind, q.e.d.

2.27 Bemerkung Die Aussagen 2.22 bis 2.26 gelten sowohl für beliebige als auch für endliche Automaten. Deshalb bezeichnet im folgenden A sowohl die Kategorie der endlichen Automaten als auch die Kategorie der Automaten, und entsprechend gelten die folgenden Aussagen für beide. Wo dies nicht der Fall ist, wird ausdrücklich daraufhingewiesen. Es gilt außerdem: 2.28 Bemerkung Die Kategorie der endlichen Automaten ist eine Unterkategorie der Kategorie der Automaten. 2.29 Satz Die Monomorphismen in A sind genau die Morphismen f, bei denen die Abbildungen f j , f o u n ( ^ ^s Me-Monomorphismen, d. h. injektiv sind. Beweis: 1. Sei f : A - > - A ' Morphismusin A, derart daß f I ; f o und f s injektive Abbildungen sind. Dann ist f Monomorphismus, denn sei A"G |A| und g,hGMorA(A",A) mit f o g = f o h , dann ist fXogx=fxohx

für

X = I,0,S.

Daraus folgt wegen f x Me-Monomorphismus g x = h x (für X = 1,0,S) und damit g = h, d. h. f ist Monomorphismus. 2. Sei umgekehrt f Monomorphismus. Die Injektivität der Abbildungen f ^ f g und f s wird einzeln nachgewiesen. f j ist injektiv: Man wähle A" := (1x1,0,0,0,0) G |A| Da für beliebige Abbildungen t stets t o 0 = 0 gilt, ist folgendes Diagramm für jede Abbildung u : [x]] I kommutativ.

Kategorie der Automaten

39

Seien i ^ G l mit f i ( i i ) = ^(¡2) zu zeigen ist i j = i 2 . Seien g, : [ x ] I definiert durch x i t h i : I x ] ->• I definiert durch x ->• i 2 . Dann sind g := (A",gj,0,0,A) und h := (A",hi,0,0,A) Morphismen, für die gilt: f I o g I = f I o h I , also insgesamt f o g = f o h , und da f Monomorphismus ist, g = h, damit auch g I = h I , d . h . i 2 = i2 - Also ist f j injektiv. Analog erhält man die Injektivität von f Q mit A" := (0,[y],0,0,0) und die von f s mit A" := (0,0,[s]|,0,0) und entsprechend konstruierten Abbildungen g und h.

2.30 Satz Die Epimorphismen in A sind genau die Morphismen, bei denen die Abbildungen f j , f 0 und f s suijektiv sind. Beweis: 1. Da in Me alle surjektiven Abbildungen Epimorphismen sind, folgt wie bei 2.29, daß jeder Morphismus mit suijektiven Abbildungen f j , f 0 ,f s Epimorphismus ist. 2. Sei f : A' -> A Epimorphismus. Die Suijektivität wird einzeln für f I ; f 0 und f s nachgewiesen, a) f j ist suijektiv. Widerspruchsannahme: es existiert i 0 Gl\fi[l']

Automaten

40

Seinun A" := (Ix 1 ,x 2 ],[yl,[sl,5",X'')> x 1 ^ = x 2 , mit den eindeutig bestimmten (konstanten) Abbildungen 6" : [x!,x 2 JX[[sJ -> |[s], X" : I x 1 ) X 2 l X | [ s ] ^ [ y ] . Sei gj : !->• 1x^x2] definiert durch: g l W

rXl

für i e f | [ l ' ]

\x

für iGl\f,[l']

2

und seien go : 0

[ y j und g s : S ->• |[sj konstante Abbildungen.

g := (A^.go.gsjA") ist Morphismus, denn die Kommutativität der entsprechenden Diagramme ist trivial, da zwei Abbildungen von einer Menge in eine einelementige Menge stets gleich sind (jede einelementige Menge ist Endobjekt in Me). Weil auch f Morphismus ist, gilt:

Sei hj : I

[ X l ,X2] definiert durch:

A(iei)(h(i) = x i )

und

h0:=g0 h s :=gs Wie oben ist h := (Ajhj .ho ,h s ,A") Morphismus, und wegen g j o f j = h i o f j gilt gof = hof, und weil f Epimorphismus ist, folgt g = h, also insbesondere gl = hj, d . h . gi(i 0 ) = h^io), d.h. X j = x 2 Widerspruch Daher ist lVfI[l' ] = i und damit f j suijektiv. b) fg ist suijektiv: Nach (a) kann vorausgesetzt werden, daß bei jedem Epimorphismus f die Abbildung f j suijektiv ist.

Kategorie der Automaten

41

Widerspruchsannahme: Es gibt ein s 0 GS\f s [S'] =: S 0 Sei S" := S 0 Ü[si]] (disjunkte Vereinigung) Sei g s : S

S" definiert durch

sefs[S ] & ( s ) = { ; 1 £für sSS ' 0 =S\f s [S']

Man setze I" :=I, gj :=idj, und 5" : IXS"-»-S" sei definiert durch A ( i a ) ( 5 " ( i , s i ) = s 1 ) und A((i,s)GlXS0) (5"(i,s) = g s o5(i,s) Setzt man A" := (I,[y]|,S",6",X"), wobei X" : I X S " | [ y j konstant ist, und g Q : 0 - > j [ y ] ebenfalls konstant, so ist g := (A,gi,go,g s ,A") Automatenmorphismus, denn das folgende Diagramm ist kommutativ:

Begründung: 1 und 2 sind kommutativ, da f Morphismus ist, 3 ist kommutativ, da f y ] Endobjekt in Me ist. Kommutativität von 4: Sei (i,s) GIXS 1. Fall: Sei seS 0 = S\f s [S'] Dann ist 6"o(g!Xg s ) (i,s) = 6"(i,s) = g s o5(i,s). 2. Fall: Sei s€f s [S'] Dann gibt es ein s'GS' mit f s (s') = s; da f j suijektiv ist, gibt es ein i'el' mit f,(i') = i, und es gilt: f s (5'(i',s')) = 5o(f I Xf s )(i',s') = 5(i,s), also 6 ( i , s ) e f s [ S ' ] und damit ggo6(i,s) = Sj Andererseits ist g s (s) = s t , also (giXg s ) (i,s) = (i,s x ), und damit 5"o(giXg s ) (i,s) = sj = gso6(i,s), womit die Kommutativität von 4 gezeigt ist.

42

Automaten

Sei nun außerdem h : A -*• A" gegeben durch hj := g I( ho := g Q , h s : S definiert durch A(sGS) (h s (s) = Sj ).

S"

Dann ist h Morphismus, da A(iGI) ( ¿ " ( i ^ ) = Sj). Weil für alle sGf s [S'] gilt: gs(s) = si, ist g s o f s = h s o f s , und damit gof=hof. Da f Epimorphismus, folgt g = h, also insbesondere gs = h s in Widerspruch zu gs(s 0 ) = s 0 ^ S i = h s ( s 0 ) . Also ist S\f s [S'] = , d.h. f s suijektiv. c) f Q ist suijektiv: Nach a) und b) kann bei einem Epimorphismus f vorausgesetzt werden, daß ^ und f s suijektiv sind. Es güt also X[IXS] = XoftXfg) [I'XS'] = f 0 oX'[I'XS'] C f o [ 0 ' ] Widerspruchsannahme : Sei y 0 e 0 \ f 0 [ 0 ' ] Sei A" :=(Ix],[y 1 > y 2 Ms]| ) «",X") mit y , ¥=y2, X"(x,s) = y j und 5"(x,s) = s. Sei g 0 : O ->• [ y j ,y2 J definiert durch: y x für y € f 0 [ 0 ' ] y 2 für yfs)> wobei f f und die Fortsetzungen von f j und f Q als Monoidmorphismen auf I * und 0 * sind. Es ist sinnvoll, hierduch Morphismen in A * zu definieren, denn es gilt:

2.36 Lemma Sei f : A d. h.

A' Morphismus in A,

Dann ist f*:A*->-A'* Morphismus in A*, d . h . X*

6*

Beweis: Die Kommutativität von (3) und (4) für beliebiges wEl* wird gezeigt durch vollständige Induktion nach der Länge des Eingabewortes.

46

Automaten

Verankerung: für w = • trivial für w = xGI erfüllt wegen Kommutativität von (1) und (2) Annahme: Seien (3) und (4) kommutativ für alle w€I* mit O < ß(w) < n Behauptung: (3) und (4) sind kommutativ für alle w'Gl* mit 2(w') = n+l. Beweis: Sei gegeben w'el*, w'=x.w mit xGl, wGI*, £(w) = n Kommutativität von (3): S'*((ffXf s ) (x.w,s)) = 5'* (ff(x.w),f s (s)) = 5'*(f I (x).ff(w),f s (s))

(ff Monoidmorphismus)

= 6'*(f I (x),6'*(ff (w),f s (s)))

(nach Definition von 6'*)

= 6 '*(fi(x),f s (8 *(w,s)))

(nach Ind.-Vor.)

= 6'*(fjXf s ) (x,5*(w,s)) = fs(6(x,5*(w,s))

(nach (1))

= f s (5*(x.w,s))

(nach Definition von 6*)

Kommutativität von (4): fS(A*(x.w,s)) = f^(X(x,5*(w,s)) • X*(w,s))

(nach Def. von X * )

= f0(X(x,6*(w,s))).fS(X*(w,s))

(fS Monoidmorph.)

= X'((fiXf s ) (x,5*(w,s))) • X'*((f7Xf s ) (w,s))(nach (2) und Ind.-Vor.) = X'(fi(x),fs(5*(w,s))) . X'*(ff(w),f s (s)) = X'(fi(x),5'*(ff(w),f s (s))) • X'*(ff(w),f s (s)) (wegen (3)) = X'*(f r (x) f?(w),f s (s))

(nach Definition von X'*)

= X'*(ff(x.w) t f s (s)) = X'*((ffXf s ) (x.w,s))

q.e.d.

2.37 Bemerkung Die „Rückabbildung" von A* in A ist trivial. Sie ordnet den freien Monoiden ihre Erzeugendensysteme (Menge der einbuchstabigen Wörter) und den Monoidhomomorphismen die Einschränkungen auf die Erzeugendensysteme zu. Die Diagrammkommutativitäten ergeben sich ebenso trivial als Spezialfälle der vorausgesetzten. 2.38 Bemerkung Die in 2.35 und 2.37 angegebenen Zuordnungen sind in den Objekten und Morphismen bijektiv. Außerdem erhalten sie Identitäten und Morphismenverknüpfung. Sie fallen damit unter den allgemeinen Begriff des „Funktors", der in Kapitel 3 eingeführt werden wird, und die Zuordnung wird damit eine Isomorphie von Kategorien.

3 Limites in Kategorien

Kerne von Homomorphismen, Produkte von Gruppen, direkte Summen von R-Moduln, Durchschnitte von Mengen und viele andere Konstruktionen in zahlreichen mathematischen Disziplinen lassen sich „universell" charakterisieren, d. h. die entsprechenden Objekte haben bestimmte, durch die Existenz von Morphismen und die Kommutativität von Diagrammen definierbare Eigenschaften und sind bezüglich aller anderen Objekte mit gleichen Eigenschaften ausgezeichnet. In der Kategorietheorie definiert man Kerne, Produkte, Coprodukte (direkte Summen), Durchschnitte und ähnliche Konstruktionen dadurch, daß man die universellen Eigenschaften fordert. Der Oberbegriff für alle derartigen Konstruktionen ist der Begriff „Limes eines Diagrammes", der in dieser Form allerdings erst in größerer Allgemeinheit im Kapitel 5 eingeführt wird. In diesem Kapitel werden nur spezielle Limiten definiert, in Beispielkategorien charakterisiert, und es werden einige Eigenschaften und Konstruktionsmöglichkeiten angegeben. Besonderes Gewicht wird dabei auf einen speziellen Limes — das „Kernpaar eines Morphismus" — gelegt, denn es zeigt sich, daß man Kernpaare als Verallgemeinerung von Äquivalenz- und Kongruenzrelationen ansehen kann. Statt „Kernen", deren Konstruktion nur in Kategorien mit Nullobjekt möglich ist, werden hier „Differenzenkerne" untersucht.

Differenzenkerne, Produkte und duale Begriffe 3.1 Bezeichnung Zwei Morphismen f und g mit derselben Quelle A und demselben Ziel B werden Paar von Morphismen genannt (geschr. (f,g : A -*• B) oder kurz [f,g], für ein Paar (f 1 ; f 2 : A B) f. wird auch f = A $ ß geschrieben). 3.2 Definition Sei (f,g : A -»• B) Morphismenpaar in der Kategorie K. Ein Morphismus d : D wenn gilt: 1. f o d = god

A heißt Differenzenkern

des Morphismenpaares [f,g],

48

Limites in Kategorien

2. A(KS |K|) A(keMorK(K,A» (fok = gok k

V kGMorK(K,D) k = dok) f

Dualisierung in K liefert: Ein Morphismus c : A -*• C heißt Differenzencokern des Morphismenpaares [f,g], wenn gilt: 1. c o f = c o g 2. A(KG |K|) A(kGMorK(A,K» (kof = kog

B

t kGMorK(CJC) k = koc) K

3.3 Bezeichnung Das Quellobjekt (Zielobjekt) des Differenzenkernes (Differenzencokernes) eines Paares [f,g] wird mit Dker (f,g) (Dcok (f,g)), der zugehörige Morphismus wird mit dker(f,g) (dcok(f,g)) bezeichnet. Ein Morphismus k heißt Differenzenkern, wenn ein Morphismenpaar [f,g] so existiert, daß k = dker(f,g) ist (i.a. nicht eindeutig). Statt „Differenzenkern" ist auch „Differenzkern" gebräuchlich. 3.4 Beispiele 1. In der Kategorie Me ist für Abbildungen f,ggMorMe(A,B) die Menge D = Ia|aGAAf(a) = g(a)J zusammen mit der Einbettung i : D A Differenzenkern des Paares [f,g], denn es gilt f o i = goi nach Konstruktion, und für jedes kGMorMe(M,A)(M6|Me|) mit f o k = gok gilt k(m)eD für alle mGM. Definiert man k : M D durch k(m) = k(m), so gilt io k = k. Gilt dies auch für k', so folgt ik = k = ik' und damit k = k', weil i injektiv ist.

Differenzenkerne, Produkte und duale Begriffe

49

2. In der Kategorie Gr bzw. p Mod erhält man die Differenzenkerne dadurch, daß man die mengentheoretischen Differenzenkerne mit Untergruppen bzw. Untermodulstruktur versieht, denn damit wird die Einbettung Homomorphismus, und wenn in obiger Beweisführung k Homomorphismus ist, gilt dies auch für k. In RMod gilt darüberhinaus: Dker(f,g) = [a| a£A, f(a) = g(a)fl = [a| a€A, (f-g) (a)=01 = Kern(f-g). 3. Der Differenzencokern eines Paares g l5 g 2 : X ^ A in Me wird folgendermaßen konstruiert: Sei R( g l ,g 2 ) die von R(gi,g 2 ) '•= tt(gi(x),g2(x)) | xGXJ erzeugte Äquivalenzrelation auf A, dann gilt: dcok(g! ,g2) = nat: A

A/R(gl,g2). Dies wird in 3.26 gezeigt. Insbesondere

gilt für eine Äquivalenzrelation R auf A mit Projektionen p 1; p 2 : R - » A : dcok(p x ,p 2 ) = nat: A

A/ R .

4. Die Konstruktionen von Differenzenkernen und -cokernen in Gr, pMod und Top sind unter 3.18 ohne Beweis in Form einer Tabelle zusammengestellt. 3.5 Lemma

Jeder Differnzenkern ist ein Monomorphismus. Beweis: Sei d : D - > A Differenzenkern des Paares f,g:A->-B. Seien h,h' : K -»• D mit dh = dh' gegeben, dann ist fd = gd, weil d = dker(f,g)

gilt, und damit f(dh) = g(dh). Also existiert nach Definition des Differenzenkerns genau ein k : K -»• D mit dk = dh. Da dies für h und h' gilt, folgt wegen der Eindeutigkeit der Ergänzung h = h', und damit ist d Monomorphismus. 3.6 Bemerkung

Durch Dualisierung des Satzes 3.5 erhält man: Jeder Differenzencokern ist ein Epimorphismus.

50

Limites in Kategorien

3.7 Satz Differenzenkerne sind bis auf Isomorphic eindeutig bestimmt, d. h.: Seien d : D -> A und d' : D' -* A Differenzenkerne eines Paares f,g : A -> B, dann existiert eindeutig ein k : D -*• D' mit d'k = d, und k ist Isomorphismus. Beweis:

Da d' = dker(f,g) und fd = gd gilt, gibt es genau ein k : D -»• D' mit d'k = d, k ist sogar Isomorphismus, denn umgekehrt gibt es genau ein k' : D' -> D mit dk'= d'. Damit gilt d ' = d ' k k ' und d = dk'k und damit kk'= 1 D ', sowie k ' k = l D , weil d' und d nach dem letzten Satz Monomorphismen sind. 3.8 Bemerkung In Umkehrung zu Satz 3.7 gilt auch, daß für einen Differenzenkern d = dker(f,g) : D -*• A und einen Isomorphismus k' : D' D auch d' := dk' = dker(f,g) gÜt. 3.9 Definition Ein Morphismus f : A ->• B heißt Retraktion bzw. Coretraktion, wenn ein Morphismus g : B A mit fog — lg bzw. gof— 1 a existiert. Statt „Coretraktion" wird auch der Begriff „Schnitt" verwendet. 3.10 Bemerkungen 1. Die Begriffe „Retraktion" und „Coretraktion" sind dual zueinander und jeweils eine Abschwächung des selbstdualen Isomorphiebegriffes. 2. Zu jeder Retraktion f : A -> B existiert nach Definition mindestens eine Coretraktion g : B A mit fog—lg und umgekehrt. 3. In Me ist jeder Epimorphismus Retraktion (Existenz der Coretraktion durch Auswahlaxiom), dies ist aber eine sehr spezielle Eigenschaft der Kategorie Me.

51

Differenzenkerne, Produkte und duale Begriffe

3.11 Satz Jede Coretraktion ist ein Differenzenkern. Beweis: Sei f : A -»• B Coretraktion und g : B -*• A eine zugehörige Retraktion, dann ist f = dker(fg,l B ). Es güt nämlich (fg)f = f(gf) = f = l B f und für KG |K|, k : K ->• B mit ( f g ) k = l B k definiere man k ' : = g k , damit kommutiert der linke Teil von

Die Eindeutigkeit von k' als kommutative Ergänzung gilt, weil f wegen gf = 1 A Monomorphismus ist. 3.12 Folgerung Die Sätze 3.5 und 3.11 liefern zusammen mit den dualen Aussagen folgende Hierarchie: ^Coretraktion -»• Differenzenkern -> Monomorphismus Isomorphismus ^Retraktion -> Differenzencokern Epimorphismus 3.13 Definition Sei [Aj]j eine Familie von Objekten der Kategorie K. Ein Objekt AG |K| zusammen mit einer Familie [p{ : A -*• Aj]j von Morphismen heißt Produkt von [A,]i (geschr. [p;: n A; ->• Aj]i), wenn folgendes gilt: A(KG |K|) A ([fj]j G X MorK(K,Ai)) V(fGMorK(K, n A;)) A (iGl)

K

"Ai \

Pi ^nAj i

52

Limites in Kategorien

Dual heißt ein Objekt BG |K| zusammen mit Morphismen [uj : Aj -*• B]j Coprodukt von [AjJj (geschr. [Uj : Aj -»• JJL AjJj), wenn folgendes gilt: A(KG |K|) A ([fj 1 ! G X MorK(Ai,K)) V(fGMorK(lL Aj,K)) A (iGl) Ar

K / .

y iL Aj i 3.14 Bezeichnung

Die Morphismen p ; : riA; -»• A ; (iGl) heißen Projektionen, und für den „induzierten Morphismus" f schreibt man häufig (f^j. Im Fall |I| = 2 schreibt man A j n A 2 statt IIA; und (fi,f 2 ) statt ( f ^ . Die Morphismen Uj : Aj -*• 11 Aj heißen Injektionen und man verwendet im Fall |I| = 2 AilLA 2 statt ILA}.. 3.15 Beispiele

1. Für eine Familie [AJj von Mengen ist das kartesische Produkt X A; zusammen mit den Projektionen p ^ X A ^ A j (iGl) Produkt in der Kategorie Me. Wenn eine Familie [ f j : K -»• Aj]j von Abbildungen vorgegeben ist, so definiert man f : K ->• X Aj durch f(x) = [fi(x)J! (xGK), dann gilt für alle iGl pjf = f i ( und f ist eindeutig bezüglich dieser Eigenschaft. Die „induzierte" Abbildung f : K -> X A; ist wohl zu unterscheiden vom Produkt X f j : XKi

XAj einer Familie von Abbildungen [f4 : Kj -»• Aj]j,

definiert durch ^ ¡ ( [ x ^ ) = [f^Xj)]!. 2. In den Kategorien Gr und pMod ist das direkte Produkt auch kategorielles Produkt, denn die Projektionen sind Homomorphismen und ebenso die induzierte Abbildung f, wenn alle f ; Homomorphismen sind. Die Eindeutigkeit folgt aus der in Me. 3. In Top garantiert die Produkttopologie auf dem kartesischen Produkt die kategorielle Produkteigenschaft, denn seien (X^X^ und (Y,Y) topologische Räume und fj : Y -»• Xj stetige Abbildungen, so ist

Differenzenkerne, Produkte und duale Begriffe

53

S = [pj-'tO;] | OjGXi, i e l j die Subbasis der Produkttopologie von nXj und damit sind sowohl alle Projekttionen als auch die induzierte Abbildung f : Y ->• nXj stetig, denn wegen der Vereinigungs- und Durchschnittsstabilität des vollständigen Urbildes genügt es zu zeigen, daß für alle pf 1 [Oj] e S r 1 [Pi_1 [Oj]eY gilt. Dies folgt aber unmittelbar aus pjf = f; und der Stetigkeit von fj. 4. Die Coprodukte in den Kategorien Me, Gr, pMod und Top sind ohne Beweis in der Tabelle 3.18 zusammengefaßt. Im Gegensatz zu Produkten stimmen bei den Coprodukten in den genannten Kategorien die Basismengen i.A. nicht mit dem Coprodukt der Basismengen in Me überein. 5. In der Kategorie N von 1.29 (4) ist das Produkt von zwei Objekten m und n der größte gemeinsame Teiler von m und n (ggT(m,n)). Weil die Existenz eines Morphismus von m nach n mit „m ist Teiler von n" (m/n) gleichbedeutend ist, folgt die Produkteigenschaft aus: „ggT(m,n)/m", „ggT(m,n)/n" und ,,A(zElN) (z/m A z/n z/ggT(m,n))". Analog sieht man, daß das kleinste gemeinsame Vielfache von m und n Coprodukt der Objekte m und n in _N ist. 3.16 Bemerkung

1. Sei [pi: ÜA; -»• Aj]j Familie von Projektionen des Produkts riA;, dann gilt für jedes Objekt und für alle Morphismen f,g : K ->• n Aj: f = g o.A p,f = pjg. 2. Analog zu Satz 3.7 kann man zeigen, daß das Produkt einer Familie [Aj]i in einer Kategorie K bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Diese Aussage ergibt sich auch als Spezialfall des Satzes 5.45 über die Eindeutigkeit der Lösungen von universellen Problemen im Zusammenhang mit adjungierten Funktoren. 3.17 Satz

Sei A zusammen mit den Projektionen p j : A Aj (iGl) Produkt der Familie [A;]x in K. Dann ist für jGl pj genau dann Retraktion, wenn für alle iSI MorK(Aj,Aj) 0 güt. Beweis: „=>" Zu der Retraktion pj existiert eine Coretraktion f : Aj -*• A und damit gilt pjf£MorK(Aj,Aj). „•«=" Wähle umgekehrt fieMorK(Aj,Aj) beliebig für alle iel, i # j und fj = 1 A ., dann existiert eindeutig ein f : Aj A mit fj = p{f für alle iGl, also auch 1 A . - fj = Pjf- Damit ist pj Retraktion.

54

Limites in Kategorien

3.18 Tabelle In der folgenden Tabelle wird die Charakterisierung (bis auf Isomorphie) von Differenzenkernen, Produkten und deren dualen Begriffen in den Beispielkategorien Me, Gr, p Mod und Top angegeben. Es werden zumeist nur die Objekte angegeben, die zugehörigen Morphismen sind jeweils Einbettungen oder natürliche Abbildungen. Einige Beweise sind in 3.4 und 3.15 durchgeführt. f,g : A -» B sei Morphismenpaar: Kategorie

Dker(f,g)

Dcok(f,g)

Me

[aeAl f(a)=g(a)l

ß

Gr

laeAl f(a)=g(a)] mit Untergruppenstruktur

R Mod

Kern(f-g)

Top

laeAl f(a)=g(a)]

/R(f,g)

B/

B

R(f.g)

U

1}

Büd(f-g)

B/ 1} R(f>g) mit Quotiententopologie

Produkt

Coprodukt

kartesisches Produkt

disjunkte Vereinigung

direktes Produkt

freies Produkt

direktes Produkt

direkte Summe

topologisches Produkt

topologische Summe

^ R(f,g) ist die von R(f,g) = |[(f(a),g(a))|aGA] erzeugte Äquivalenzrelation bzw. Kongruenzrelation (im Fall Gr). Die Existenz von freien Produkten kann kategoriell im Rahmen der universellen Algebra gesichert werden (vgl. Pareigis [7] 3. Kapitel).

Äquivalenzrelationen und Kernpaare 3.19 Definition 1. Eine Teilmenge R des kartesischen Produkts XA; heißt n-stellige i=l zwischen den Elementen der Aj. 2. R = XA; heißt Allrelation i=1

Relation

U.

n

n

3. A := [ ( a 1 , a 2 . . . , a n ) e XAJ aj=a 2 = . . . =a n J C XAj heißt Diagonale. Im folgenden gelte immer n = 2, A ! = A 2 = A. 2

Schreibweise: statt .XA; schreiben wir A j X A 2 = AXA und für (a,b)€R schreiben wir auch R(a,b) oder aRb.

Äquivalenzrelationen und Kernpaare

55

3.20 Definition Eine Relation R C A X A heißt 1. reflexiv (r), wenn gilt: A(aGA) (a,a)GR 2. symmetrisch (s), wenn A(a,beA)[(a,b)€R => (b,a)SR] 3. transitiv (t), wenn A(a,b,cGA)[(a,b),(b,c)ER => (a,c)ER]. 4. Eine Relation mit den Eigenschaften (r,s,t) heißt

Äquivalenzrelation.

3.21 Beispiele 1. Für eine Abbildung f : A - > B ist eine Äquivalenzrelation Äk(f) definiert durch: Äk(f) = I ( a l 5 a 2 ) I a ^ G A A = f(a 2 )l- Äk(f) heißt auch „Äquivalenzkern" von f. 2. Für jede Menge A sind die Allrelation AXA und die Diagonale A a von AXA Äquivalenzrelationen. 3.22 Definition 1. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A, sei aGA. Dann heißt die Menge [a] = [b | beA,aRb]| Faser über a. a heißt auch erzeugendes Element der Faser [a]. def

2. Die Menge A/R = [[a] I aEAJ heißt Quotientenmenge

von A nach R.

3. Die Abbildung n a t : A A/R definiert durch nat(a)=[a] heißt die natürliche Abbildung zu R. 4. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Seien pi,p 2

:

R - > A definiert durch p i (a 1 ,a 2 ) = a i( ^ ¡ ^ ^ R , i = 1,2.

Dann nennt man p 1 ; p 2 die Projektionen von R auf A. 3.23 Bemerkung Für eine Familie [Rj] i e l von Äquivalenzrelationen auf einer Menge A ist auch der Durchschnitt der Familie Äquivalenzrelation. Dies läßt sich dadurch beweisen, daß man die „Durchschnittsstabilität" von reflexiven, symmetrischen und transitiven Relationen zeigt. 3.24 Definition Sei RCAXA, dann heißt R := n[[R' | R'CAXA A RCR' A R' Äquivalenzrelation] von R erzeugte Äquivalenzrelation auf A.

56

Limites in Kategorien

3.25 Folgerung Sei R C AXA Relation und R die von R erzeugte Äquivalenzrelation. 1. Für jede Äquivalenzrelation R * aus AXA mit R C R * gilt R C R * , d. h., R ist die kleinste Äquivalenzrelation, die R umfaßt. 2. ist R die von R erzeugte Äquivalenzrelation, so gilt trivialerweise R = R.

3.26 Beispiel (Differenzencokerne in Me) Sei (gi,g2 : X - > A ) ein Paar von Abbildungen. R(gi>g2) "•= KgiOO, g2(x)) I x S X J sei die von g! und g 2 „induzierte Relation" auf A. Dann gÜt:

Dcok(g! ,g 2 ) = A / R ( g t , g 2 ) dcok(gi,g 2 ) = n a t : A

A/R(g! ,g 2 )

Beweis: 1. Es gilt natogj = n a t o g 2 , denn für alle x £ X gilt (gi(x),g 2 (x))GR(g I , g 2 ) C R ( g l ,g 2 ) und damit natogi(x) = [gj (X)]R = [g 2 (x)]R = natog 2 (x) 2. Sei BG|Me| und k : A ^ B

mit kg! = k g 2 , dann sei k : A / R ( g 1 ; g 2 ) - > B

definiert durch k([a]g) := k(a). gl =ZT A

/

nat

/ A/R(g1)g2) Wenn k Abbildung ist, gilt konat = k, und k ist dann diesbezüglich eindeutig, weil nat Epimorphismus ist. Es bleibt also nur die Wohldefiniertheit von k zu zeigen: Sei [ a ] R = [ a ' ] R , d.h. ( a . a ' ^ R f e ! ,g 2 ), zu zeigen ist k(a) = k(a'), d.h. (a,a')GÄk(k). Es bleibt also R(g!,g 2 )CÄk(k) oder nach 3.25,1 nur R(g 1 ; g 2 )CÄk(k) zu zeigen. Dies folgt aber unmittelbar aus kg!=kg 2 .

q.e.d.

3.27 Motivation Eine kategorielle Formulierung der Begriffe „Äquivalenzrelation" und „Äquivalenzkern einer Abbildung" liefert der Begriff „Kernpaar". Darüberhinaus gestattet dieser Begriff auch eine kategorielle Verallgemeinerung von „strukturverträglichen Äquivalenzrelationen" in anderen mathematischen Disziplinen.

57

Äquivalenzrelationen und Kernpaare

3.28 Definition In einer Kategorie K heißt ein Paar von Morphismen ( p i , p 2 : R eines Morphismus f : A -> B, wenn

A) Kernpaar

1. f o p j = f o p 2 2. A(K S |K|) A ( g l ,g2 e MorK(K,A)) (fgl=fg2=>t(geMorK(K,R)) Pi

R

(d.h. P i g

=

B)

gi A p 2 g = g 2 )

3.29 Bemerkung Analog zu entsprechenden Sätzen für Differenzenkerne (3.7) und Produkte (3.16,2) kann man zeigen, daß auch Kernpaare von Morphismen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind. Dies ist wiederum ein Spezialfall des Satzes 5.45. 3.30 Satz In der Kategorie Me ist für eine Abbildung f : A ->• B der Äquivalenzkern Äk(f) zusammen mit den Projektionen p i , p 2 : Äk(f) ->• A Kernpaar von f.

Beweis: 1. Nach Definition von Äk(f) gilt f p t = f p 2 . 2. Seien Abbildungen gj,g 2 : K - * A mit fgj = fg 2 vorgegeben, dann existiert höchstens ein g : K Äk(f) mit Äk(f)

Pi

IA

f

B

, denn aus

Limites in Kategorien

58

der Kommutativität folgt g(x) = (gi(x),g 2 (x)) für alle xGK und damit ist g eindeutig durch g! und g 2 bestimmt. Für den Nachweis der Existenz sei g:K->-Äk(f) wie oben definiert, dies ist wegen fgi=fg 2 und damit ( g i O O & O O ) ^ ^ ^ ) möglich, und damit kommutiert obiges Diagramm.

3.31 Folgerung 1. Jede Äquivalenzrelation R auf einer Menge A ist zusammen mit ihren Projektionen pj,p 2 : R-»-A Kernpaar von nat: A-»A/R, denn es gilt Äk(nat) = I(a 1 ; a 2 )GAXA | n a t ^ ) = nat(a 2 )l = R und nach dem letzten Satz ist der Äquivalenzkern einer Abbildung auch deren Kernpaar. 2. Die Begriffe „Äquivalenzrelation" und „Kernpaar" stimmen in Me bis auf Isomorphie überein, denn in Umkehrung von 1. muß nur noch gezeigt werden, daß jedes Kernpaar gj ,g2 : R ->• A einer Abbildung f : A B bis auf Isomorphie schon ein Paar von Projektionen einer Äquivalenzrelation ist. Dies folgt unmittelbar daraus, daß Äk(f) Äquivalenzrelation ist, aber nach letztem Satz zusammen mit den Projektionen ebenso wie (g!,g 2 ) Kernpaar von f ist und Kernpaare nach Bemerkung 3.29 bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind.

3.32 Charakterisierung von Kernpaaren als Kongruenzrelationen In obiger Folgerung ist gezeigt worden, daß Kernpaare in Me bis auf Isomorphie mit Äquivalenzrelationen übereinstimmen. Als Verallgemeinerung von „Äquivalenzrelationen" werden in vielen mathematischen Disziplinen „strukturverträgliche Äquivalenzrelationen" eingeführt, die meistens als „Kongruenzrelationen" bezeichnet werden. Beispiel: In der Theorie der abelschen Gruppen versteht man unter einer Kongruenzrelation auf (A,+) G |Ab| eine Äquivalenzrelation R auf A, die mit der Struktur von A verträglich ist, d. h. für die gilt: A (a t ,a2 ,a\ ,a 2 G A) ((a t ,a 2 ),(a'! ,a 2 ) G R => (a t +ai ,a 2 +a 2 )GR). Anders ausgedrückt: R ist Äquivalenzrelation mit einer Struktur „ * " , definiert durch (a 1 ,a 2 )*(a' 1 ,a 2 ) := (a 1 +a' 1 ,a 2 +a 2 ), sodaß ( R , * ) abelsche Gruppe und die Projektionen p j , p 2 : R - * A Homomorphismen sind. Man kann nun Satz 3.30 und Folgerung 3.31 auf die Kategorie Ab verallgemeinern, indem man zeigt, daß sich die jeweiligen Mengen zu abelschen Gruppen strukturieren lassen, sodaß die auftretenden Abbildungen Homomorphismen werden. Man gewinnt damit den Satz, daß Kernpaare in Ab bis auf Isomorphie mit den Kongruenzrelationen zusammen mit ihren Projektionen übereinstimmen.

59

Äquivalenzrelationen und Keinpaaie

Eine entsprechende Charakterisierung von Kernpaaren wird in Kapitel 4 auch für Automaten gezeigt. Es scheint sinnvoll zu sein, in beliebigen Kategorien Kernpaare als Kongruenzrelationen aufzufassen. Neben dem Begriff des Kernpaares bieten sich kategoriell allerdings noch andere Verallgemeinerungen von „strukturverträglichen Äquivalenzrelationen" an. Ein Überblick über die dabei auftretenden Möglichkeiten ist in [8] enthalten. Darüberhinaus wird dort gezeigt, daß für viele Kategorien (wie u. a. Me, Ab, R Mod, Gr und Top) die verschiedenen Verallgemeinerungen übereinstimmen. Der Hauptgrund für die Einfuhrung von Kongruenzrelationen besteht darin, daß man Faktorisierungen ermöglichen will. Der Faktorisierung nach einer Kongruenzrelation entspricht kategoriell die Bildung von Differenzencokernen von Kernpaaren. Eine kategorielle Fassung der Konstruktion von Faktorobjekten nach erzeugten Äquivalenz- bzw. Kongruenzrelationen (vgl. 3.26) liefert der Satz 3.53, der unter geeigneten Voraussetzungen die Existenz von beliebigen Differenzencokernen auf die von Differenzencokernen von Kernpaaren zurückführt, und der folgende Satz, der im 1. Teil anschaulich besagt, daß man jede Faktorisierung als Faktorisierung nach einer Kongruenzrelation auffassen kann:

3.33 Satz

h. a) Sei f : B ->• C Differenzencokern und existiere ein Kernpaar A ^ B von f. h

l

h

2

Dann ist f Differenzencokern von A ^ B. 1,2 h• i , j b) Sei A 3 B Kernpaar und existiere ein Differenzencokern B->C von h j h2 und h 2 , dann ist [h 1 ,h 2 ] Kernpaar von f. Beweis: Wir verwenden das Diagramm

a) Sei f Differenzencokern von [gx ,g2 ] und sei [h i >1*2 ] Kernpaar von f. Dann gilt fli! = fh 2 fgi =fg 2

60

Limites in Kategorien

Da [h!,h 2 ] Kernpaar von f ist, existiert eindeutig eine kommutative Ergänzung x i n ( l ) . Sei nun k : B -*• D so gewählt, daß gilt: k h j = kh 2 Dann folgt: kg t = k l ^ x = k h 2 x = kg 2 Da f Differenzencokem von [gi ,g2 ] ist, existiert eindeutig eine kommutative Ergänzung y in (2). Also ist f Differenzencokem auch von [ h j , h 2 ] . q.e.d. b) Sei [ h j , h 2 ] Kernpaar von k und sei f Differenzencokem von [h x ,h 2 ]. Dann gilt: f h j = fh 2 k h j = kh 2 Da f Differenzencokem von [ h l 9 h 2 ] ist, existiert eindeutig eine kommutative Ergänzung y in (2). Seien nun g 1 ; g 2 gegeben mit fg x = f g 2 . Dann folgt: kg x = y f g j = yfg 2 = kg 2 Da [ h 1 ; h 2 ] Kernpaar von k ist, existiert eindeutig eine kommutative Ergänzung x i n ( l ) . Also ist [ h j ^ i 2 ] Kernpaar auch von f.

q.e.d.

Pullbacks, Urbilder und Durchschnitte Nach der Charakterisierung 3.32 kann man Kernpaare als kategorielle Verallgemeinerung des Begriffs „strukturverträgliche Äquivalenzrelationen" auffassen. Andere bekannte Begriffe — wie Durchschnitt und Urbild - haben kategoriell ähnliche Eigenschaften wie Kernpaare. Man führt deshalb einen neuen Oberbegriff ein: 3.34 Definition Sei K eine Kategorie, seien f : A -»• C und g : B

C Morphismen in K.

\ g Ein Diagramm

P

C

heißt

A Pullback (auch kartesisches Quadrat oder Faserprodukt) der Morphismen (f,g), wenn gilt: 1. gr= fs

61

Pullbacks, Urbilder und Durchschnitte

2. A (D€ |K|) A (u : D

A) A (v : D -»• B)

(gv = f u = > ^ w : D - > P ( v = rw/\u = sw)) d. h. rBv /

v

Der duale Begriff heißt Pushout (auch cokartesisches Quadrat oder Fasersumme). 3.35 Bemerkungen 1. Pullbacks und Pushouts sind bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt (vgl. 3.29). 2. Seien f j ,f 2 e MorK(A,B), p e MorK(B,C). [ f 1 ; f 2 ] ist genau dann Kernpaar von p, wenn das Diagramm

f2\.

y

v

ein Pullback ist (vgl. Definition des Kernpaares). Diese Übereinstimmung kann man sich auch an folgenden Diagrammen klarmachen. Kernpaar:

Pullback: /

/

fi

3.36 Satz Gegeben sei das Pullback

(1)

Limites in Kategorien

62

Dann gilt: 1. Ist f Monomorphismus, so ist es auch r. 2. Ist f eine Retraktion, so auch r. Beweis: 1. Sei f Monomorphismus, seinen w1,w2GMorK(D,P) so, daß gilt: rwj = rw2 =: v (2). Sei u := swj (3). Dann gilt: fu = fswj = grw t = gv = grw2 = fsw2 (4) Also gilt, da f Monomorphismus ist: sw2 = u = sw t (5) Da (1) Pullback ist und fu = gv nach (4), existiert eindeutig ein w G MorK(D,P), sodaß gilt: u = sw A v = rw Darausfolgt wegen(5)und(2): W] = w 2 = w. Also ist r Monomorphismus.

q.e.d.

2. Sei f Retraktion, dann existiert tGMorK(C,A) mit ft = l c . Darausfolgt: ftg = leg = g = giß- Also existiert w GMorK(B,P) mit n

also insbesondere mit rw = 1 B . Damit ist r Retraktion.

q.e.d.

3.37 Lemma Sei K Kategorie, A,BG|K| und u G MorK(A,B). Dann gilt: (1a>1a) ist genau dann Kernpaar von u, wenn u Monomorphismus ist. Beweis: 1. Sei u Monomorphismus und f,g G MorK(X,A), mit uf = ug. Dann gilt: f = g und f = g ist auch die eindeutige Ergänzung in

'A'

63

Pullbacks, Urbilder und Durchschnitte

2. Sei (1 A ,1 A ) Kernpaar von u und gelte: u f = u g . Dann güt: V (hGMorK(X,A)) ( l A h = f A l A h = g) Daraus folgt: f = h = g Somit ist u Monomorphismus.

q.e.d.

3.38 Motivation Um herauszufinden, wie spezielle Pullbacks in den Beispielkategorien aussehen, wird nun kategoriell ein Pullback aus einem Produkt und einem Differenzkern konstruiert. Die Charakterisierung von Produkten und Differenzkernen ist in verschiedenen Kategorien ja schon bekannt, so daß man dann damit auch die Existenz und Charakterisierung von Pullbacks in diesen Kategorien kennt. 3.39 Satz (Konstruktion von Pullbacks) In dem Diagramm 'A-

C

B sei AÜB zusammen mit den Projektionen p A und p B ein Produkt von A und B und q : K - » A I I B ein Differenzkern von [fp A ,gpB]. Weiter sei definiert: c ^ : = p A q, q B := p B q. Dann ist

ein Pullbackdiagramm. Beweis: a) Da q : K

AITB Differenzkern von (fp A ,gPß) ist, gilt:

fqA = fpAq = gPßq = gqB

64

Limites in Kategorien

b) Seien DG |K|, hGMorK(D,A), këMorK(D,B), so daß gilt: fh = gk

Da ( A r i B , p A , p B ) Produkt ist, gilt: V ((h,k)€MorK(D A n B ) ) (h = p A (h,k), k = p B (h,k)), also f p A ( h , k ) = f h = gk = gp B (h,k) Wegen q = dker(fp A ,gp B ) folgt: V (£GMorK(D,K)) (qfi = (h,k)). Somit güt: Qa^ = PaQ® = PA(h,k) = h A q B ß = p B qß = p B (h,k) = k c) Zu zeigen ist noch, daß ß

Es gilt dann: PAq ß ' = qA®' = h = p A ( h , k ) A p B qß' = q B ß ' = k = p B (h,k) Aus der Produkteigenschaft folgt: (h,k) = qß' Da q als Differenzenkern Monomorphismus ist, folgt hieraus ß =

fi'.

3.40 Folgerung Sei K 3Qi A Kernpaar von f : A -*• B und AIIA zusammen mit (Pi >P2 : AIIA -» A ) sei Produkt, dann ist der induzierte Morphismus q : = ( q i . q 2 ) : K - » A I I A Differenzenkern von (fpi,fp2 : AIIA A ) und damit insbesondere Monomorphismus.

q.e.d.

65

Pullbacks, Urbilder und Durchschnitte

Beweis: Nach Bemerkung 3.35 sind Kernpaare spezielle Pullbacks, und deren Konstruktion ist bis auf Isomorphie eindeutig. Mit A = B und f = g stimmen q! und q 2 nach Konstruktion in 3.47 mit qA und q B bis auf Isomorphie überein, die gerade so konstruiert sind, daß q = dker(fp A ,gp B ) gilt. Nach Lemma 3.5 ist jeder Differenzenkern Monomorphismus. 3.41 Bezeichnungen Eine Kategorie K heißt Kategorie mit a) [endlichen] Produkten, falls jede [endliche] Familie [ A ^ von Objekten in K ein Produkt besitzt. b) Differenzenkernen, falls jedes Paar von Morphismen einen Differenzenkern besitzt. c) Pullbacks, falls zu je zwei Morphismen f : A Pullback existiert.

C und g : B

C ein

3.42 Folgerung Ist K eine Kategorie mit endlichen Produkten und Differenzenkernen, so ist K eine Kategorie mit Pullbacks. Beweis: Folgt aus Satz 3.39. 3.43 Definition Ist in dem Pullback B

g ein Monomorphismus, so heißt P zusammen mit dem Monomorphismus s (vollständiges) Urbild von B unter f. 3.44 Beispiele 1. In der Kategorie Me ist für Abbildungen f : A ^ C und g : B ^ C nach Konstruktion in Satz 3.39 und den Charakterisierungen in 3.4,1 und 3.15,1 das Pullback durch die Menge K = [(a,b) E AXB | f(a) = g(b)]) und die in 3.39 definierten Abbildungen gegeben. Damit läßt sich leicht zeigen, daß das kategorielle Urbild bis auf Isomorphie mit dem mengentheoretischen vollständigen Urbild übereinstimmt.

Limites in Kategorien

66

Denn sei f : A ->• C beliebig Abbildung, sei o.B.d.A. B C C und g die Inklusion, dann gilt: K = [(a,b) e AXB | f(a) = b | . Nach Konstruktion in 3.39 ist q : K -*• AXB Inklusion, und es gilt: 1A = PAQ. QB = PBQ qA(a,b) = p A (a,b) = a qB(a,b) = p B (a,b) = b Sei nun A' := f ^ f B ] = [ a 6 A | f(a) S B] das mengentheoretische vollständige Urbild von B unter f. Wie man leicht sieht, ist i : K mus, und das Diagramm

A' definiert durch: i(a,f(a)) =.a Isomorphis-

ist ebenfalls ein Pullbackdiagramm, wenn s und f definiert werden durch: s(a) := q A i - 1 (a) = a (d. h. s ist Inklusion), f(a) := q B i - 1 (a) = q B (a,f(a)) = f(a) (d. h. f = f| A o. 2. Die Konstruktion des kategoriellen Urbildes liefert in Gr bzw. p Mod das mengentheoretische Urbild mit Gruppen- bzw. Modulstruktur und entsprechenden Homomorphismen. 3.45 Definition

Sind in dem Pullback

f und g Monomorphismen, so heißt: (A ^ C) n (B ^ C) := (P H C) = (P ^ C) Durchschnitt von A ^ C und B -4 C. 3.46 Beispiel

1. In Me seien bei obigem Pullback A und B Teilmengen von C und f und g die Inklusionen. In Spezialisierung von K = [(a,b) € AXB | f(a) = g(b)| wie in Beispiel 3.44,1 gilt nun: P = I(a,b) e AXB I a = b j = |(c,c) | cGAOB] = = AHB und r und s sind bis auf Isomorphic Inklusionen, so daß der kategorielle Durchschnitt mit dem mengentheoretischen übereinstimmt.

Pullbacks, Urbilder und Durchschnitte

67

2. Analog zu Beispiel 3.44,2 liefert die Konstruktion des kategoriellen Durchschnitts in Gr bzw. R Mod den mengentheoretischen Durchschnitt mit Gruppen- bzw. R-Modulstruktur. In Top erhält man den Schnitt mit Unterraumtopologie. 3.47 Motivation Eine Verallgemeinerung des Durchschnitts von zwei Mengen auf beliebig viele Mengen gelingt kategoriell durch Einfuhren des verallgemeinerten Pullbacks, das man Faserprodukt nennt. 3.48 Definition Sei [ f j : A; -*• C]j eine Familie von Morphismen in einer Kategorie K. Ein Objekt PG |K| zusammen mit einer Familie [sj: P-»Aj]j von Morphismen heißt Faserprodukt von [fj]j, falls gilt: 1. A ( i , j G l ) fiSj = fjSj 2. A (D G |K|) A ([u i eMorK(D,A i )] I ) (A (i,j G I ) fjUj = fjUj => V (w G MorK(D,P)) A (iGI) U;=S;w) d . h . A(i,jGl)

3.49 Definition und Bemerkung mj Sei [Aj -> K] t eine Familie von Monomorphismen einer Kategorie K. In Verallgemeinerung von Definition 3.45 heißt ein Morphismus A 3 K Durchschnitt von [Aj ->' K]j, geschrieben in = n mj oder — m m; ^ h: A ™ K = n [ Ai K | i G I ] , falls eine Familie [A ni Aj]! mit A(iGl)

68

Limites in Kategorien

hii f existiert derart, daß für jeden Morphismus A -»• K und jede Familie [A -*• A J j mit A(iSl)

A

eindeutig k mit A(iGl) hi

existiert. 3.50 Bemerkung Da in 3.49 die m j Monomorphismen sind, sind die h; eindeutig bestimmt. A zusammen mit [hj]j ist Faserprodukt von [ m ^ j .

m ist Monomorphismus, denn falls

A

dann gilt mit h j := h j o k (iSI) sowohl für k als auch für k':

K

güt,

1

Konstruktionen mit Kernpaaren

denn wegen m i o h j o k ' = m o k ' = m o k = mjOhjOk und rri; Monomorphismus 3ilt hjOk' = hjOk (iSl). Wegen der Eindeutigkeit der Ergänzung folgt hieraus k = k', also ist m Monomorphismus.

Konstruktionen mit Kernpaaren 3.51 Durchschnitte von Kernpaaren Sei K Kategorie mit [endlichen] Durchschnitten und [endlichen] Produkten, I [endliche] nicht-leere Menge und für i£l p' = R' 5 K Kernpaar von K £ B\ Pl

_ _ Pi Dann ist das Paar p = R 3 K, definiert durch p2 — (P1.P2) L 2

R --*

(pj>pi)

KIIK := n R

p heißt Durchschnitt

1

(fi)i

KIIK Kernpaar von f := K

nß 1 .

der Familie [p']j.

1

Beweis: Wegen p Kernpaar ist nach 3.40 (p'i.p^) Monomorphismus (i€I), also ist n ( p i , p 2 ) definiert und Monomorphismus. Für iGl sei h 1 die i-te „Projektion" von R in den i-ten „Faktor" R 1 des Durchschnitts. Es gilt also

A(iGI)

M' : = ( M n M K n K ) U [ l KIIK J1

M' ist nicht-leere, [endliche] Menge von Monomorphismen mit Ziel KIIK. Nach Voraussetzung existiert R

KIIK := DM'.

Konstruktionen mit Kernpaaren Pri

Wegen KHK 3 KI1K

pr, (pr, ,pr2) F *

73

K Kernpaar von K->-E und

KÜK = 1 KHK ist

— _ Pi

p2

K als Durchschnitt einer nicht-leeren

Menge von Kernpaaren mit gemeinsamem Ziel nach 3.51 selbst Kernpaar. Sei nun K ^ C Differenzencokern von [ p l 5 { ^ ] . Es wird gezeigt, daß c Differenzencokern von [ f j ,f 2 ] ist. Nach Definition von M existiert zu jedem (A m ( - m " m ^ > KIlK)eM' (fi,f2)

KÜK ,m2)

A —— R

-feli-E^Xi KHK

Nach Definition des Durchschnitts (3.49) existiert a" mit

also mit

(fi,f2)

Wegen c = dcok(pi , p 2 ) gilt deshalb

fi. Gelte nun auch

A'

„K=

f2

D /

A

d

(1)

Limites in Kategorien

74

Nach Voraussetzung existiert ein Kernpaar R 3 K von d. . („d pd)

o.B.d.A. kann (R°

'

a

(2)

Pj

> KIIK)GMKnK angenommen werden, denn

ein Paar, welches sich nur durch Vorschaltung eines Isomorphismus von einem Kernpaar von d unterscheidet, ist selbst Kernpaar von d.

Wegen (1) existiert eindeutig a d mit

also gÜt (R d

KIIK)GM'.

Wegen (R ( P l ' P i ) > KIIK)=riM' existiert also

(Pl.Pî) h

d

mit

(vgl. 3.49),

R

küik (Pi.Pz)

also mit

Pi. Wegen (2) folgt daraus

D

Rv

p2

d

. also existiert

Konstruktionen mit Kernpaaren

75

wegen c = dcok(p!,p 2 ) eindeutig c K

C

e mit

e

. Also gilt c = dcok(f!,f 2 )-

3.54 Definition und Bemerkung f. _ P! Das Paar K im Beweis von 3.53 heißt von A : * K p2

q.e.d.

erzeugtesKernpaar.

Als Kernpaar seines Differenzencokerns c, der auch Differenzencokern von [f! ,f 2 ] ist, ist es durch [ f 1 ; f 2 ] bis auf Isomorphic eindeutig bestimmt. P f, R ^ K ist der Durchschnitt aller Kernpaare, die A =f t K „umfassen", P2

f

m

2

d. h. über die A 3 K faktorisiert. 3.55 Bemerkung In Kapitel 5 wird gezeigt: Falls K Differenzenkerne und [endliche] Produkte besitzt, so besitzt K [endliche] „Limites", insbesondere [endliche] Durchschnitte und Kernpaare. Nach [7],2.8,Satz 1, zweiter Teil ist dies genau dann der Fall, wenn K endliche Durchschnitte und [endliche] Produkte besitzt. Die Voraussetzung von 3.53, daß K Kernpaare besitzt, ist also schon aus den anderen Voraussetzungen über K ableitbar. Die Konstruktion allgemeiner Differenzencokerne ist aus [8] übernommen.

4 Universelle Konstruktionen von Automaten

Nachdem im 2. Kapitel die Kategorie der Automaten A eingeführt worden ist und im 3. Kapitel spezielle Limiten in Kategorien untersucht worden sind, soll jetzt die Existenz und Struktur dieser Limiten in A untersucht werden. Besonders ausführlich werden Kernpaare in A, die sich als Automatenkongruenzen herausstellen, und Differenzencokerne, d. h. Faktorisierungen untersucht, die dann interessante Homomorphiesätze für Automaten liefern. Das für Automaten wichtige Problem der Reduktion von Zuständen bei gleichem Ein-Ausgabeverhalten wird technisch — anschaulich definiert, kategoriell charakterisiert und stellt sich dann als Lösung eines „universellen" Problems in kategoriellem Sinn heraus. Vorbereitend dazu wird vorher die Kategorie A(I,0) der Automaten mit konstantem Ein- und Ausgabealphabet untersucht.

Limeskonstruktionen von Automaten Es werden Produkte, Differenzenkerne und Pullbacks von Automaten untersucht und interpretiert. Dabei zeigt sich, daß diese — insbesondere auch Urbilder, Durchschnitte und Kernpaare — komponentenweise in Me gebildet und dann in eindeutiger Weise strukturiert werden können. 4.1 Satz (Produktautomaten) Die Kategorie der [endlichen] Automaten ist eine Kategorie mit [endlichen] Produkten. Beweis: 1. Konstruktion des Produktes: Sei [AjJjej eine [endliche] Familie von [endlichen] Automaten. Seien nij, nOj, nSj Produktein Me. Wegen der Produkteigenschaft von nOj bzw. IlSj existieren eindeutig X n bzw. 5 n mit AjSJ

ns¡ j J

- n i j1 X IIS; i J ' (2)

(i) Pj X pf

Ii X S¡

'Si

Limeskonstruktionen von Automaten

77

Also ist EIAj := (nij,nOj,nSj,6 n ,Xn) [endlicher] Automat und Pj : = (Pj. P° pf) G^J) sind Automatenmorphismen. 2. Nachweis der Produkteigenschaften von IIAj Beh.: ÜAj ist Produkt von [Aj]j und p¡ sind die Projektionen. Beweis: Sei [fj : A

Aj ]j eine Familie von Automatenmorphismen. Wegen

der Produkteigenschaften von IlOj, nij, nSj existieren in Me eindeutig g ^ g 1 ^ , so daß (3), die I-Komponente von (4) und Diagramm (5) in

Damit ist die Eindeutigkeit der Ergänzung g := ( g ' . g 0 ^ ) schon gezeigt. (4) wird damit ebenfalls kommutativ. Bleibt noch zu zeigen, daß g ein Automatenmorphismus ist. Für alle jGJ gilt: (1), (2) sind kommutativ, da fj,pj Automatenmorphismen sind. Es gilt nun für alle jGJ: pfoSnoig'Xg 8 ) (= S j o ( p j X P f ) o ( g ^ g s ) ( = S j o ( f j x f f ) (= f f o 5 ( = p f o g s o 6 Wegen der Eindeutigkeit der Ergänzung in das Produkt (vgl. 3.16,1) nSj gilt also Snoig'Xg 8 ) = g s o 5 . Entsprechend zeigt man: X n o(g I Xg s ) = g°oX.

q.e.d.

4.2 Struktur des Produktautomaten Für eine Familie [Aj]j von Automaten liefert die Charakterisierung der Me-Produkte von 3.15,1 folgende explizite Darstellung des Produktautomaten: IIAj = (nij, nOj, nSj, 5 n , X n ) wobei die Produkte in den Komponenten die kartesischen Produkte sind und für alle k£J

Konstruktionen von Automaten

78

pHo6n([x|]j, IsjJj) = S k i p U l x j l j i ^ d S j J j ) ) = 5k(xk,sk) = = Pk(Pj(xj,sj)lJ),

d . h . 8 n ( [ [ x j ] ] j , |[Sj]|j)= I 5 j ( X j , S j ) ] j .

E n t s p r e c h e n d für X n • Dieser P r o d u k t a u t o m a t ist die Parallelschaltung der A u t o m a t e n A j ( j G J ) , die in Kapitel 6 n o c h genauer u n t e r s u c h t wird.

4.3 Satz (Differenzenkernautomaten) A ist eine Kategorie m i t Differenzenkernen

Beweis:

(dker).

Seien f 1 ; f 2 £ M o r A ( A , A ' ) .

Dann gilt (ausgezogene Pfeile): 5k Dker ( f ? , f ? )

Dker ( f \ 4 )

X Dker ( f f , f f )

(4)

(4') dker(f?,f?)

-Dker (ff, ff)

dkertf.fl)

X dker ( f f , f f )

dker ( f f , f f )

Dabei sind die Gleichheiten der unteren Teildiagramme k o m p o n e n t e n w e i s e zu l e s e n , d . h . A j G [ l , 2 J f f o X = X ' o ( f J X f f ) und AjG|[l,21 f f o S

=5'o(fJXff),

also gilt: ff o S o i d k e r i f ^ X d k e r t f f ,ff)) ( = S ' o ^ X f f ) o(dker(fI1,fI2)Xdker(ff , f f ) ) = 6 ' o [ ( f I 1 o d k e r ( f i i , f i 2 ) X ( f f o d k e r ( f f ,ff ) ) ] ^

* b'o [(f*2 o d k e r ( f \ , f 1 2 ) X ( f f o d k e r ( f f , f f ) ] =

79

Limeskonstruktionen von Automaten

= 5 ' o ( 4 X f f ) o (dkerif1! 4 )X dker(ff ,ff )) = (=

f|o5o(dker(f i 1 ,f 1 2)Xdker(ff ) f!)), wobei an der Stelle „ * " die

Me-Differenzenkerneigenschaft eingeht. Wegen dieser Eigenschaft von dker(fi,f§) gibt es genau ein 5 k , das(4)kommutativ macht. Analog zeigt man, daß es genau ein X k gibt, das (4') kommutativ macht. Damit ist Dker(f j ,f 2 ) : = ( D k e r ^ f 2 ),Dker(f?

),Dker(ff ,f|),6 k ,X k ) Automat und

dker(f!,f 2 ) := (dker(i 1 ,f I 2 ),dker(f?,f?) ) dker(ff ,f|)) Xj und entsprechend Isomorphismen Íq und i s in der 0- und S-Komponente.

Konstruktionen von Automaten

82

Xf-i, öf-i, F 1 [A2 ] seien definiert durch XP

P, X P s

P:

ii x is

io

8f-i

Xf-i r»[A2]:

f T 1 ^ ] X f i 1 [Sa]

#[02]

'^[Sal

d.h. Xf-i := iooXpoiif'Xig 1 ), 8 f -i := igoSpoCi^Xis 1 ). i := (ij,io,is) ist damit A-Isomorphismus von P nach f"1 [A2 ]. Wegen ö r i(x,s) = igoSpoO^Xig 1 ) (x,s) = i s o6 P ((x,f I (x)),(s,f s (s))) = = i s (5 1 (x,s),5 2 (f I (x),f s (s))) = i s (6 1 (x,s),f s (Si(x,s))) = SjCx.s), d. h. Sf-i =5i I f7 1 fI 2 ]Xf^ 1 [S 2 ]' entsprechend: Xf-i =Xi I f f ^ ^ l X f ^ U S a ] gilt: ^ 1 [A 2 ]:Kir 1 [Ia]Ä 1 IOa],fs 1 [Sa],8ilf ; i [ i 2 ]x^[S a ]' X ilfr , IIa]Xfs 1 [Sa] ) Da A 2 Unterautomat von A1 und f : A j ->• A Automatenmorphismus ist, entspricht der Unterautomat F*[A 2 ] von Al dem, was man anschaulich als Urbildautomat erwartet, und ist andererseits wegen der Isomorphie mit P auch das kategorielle Urbild. 4.8 Anwendung 2 (Durchschnitt) Seien AX,A2 Unterautomaten von A. Dann ist der Durchschnitt von Aj,A 2 kategoriell der Pullback-Automat

qi/ P in

P

\

Pullback

m

i >

mit „Einbettung" ^iOQj — in 2 oc[ 2

83

Kongruenzen und Faktorautomaten

Nach 4.6 ist P i = I ( x i ^ a ) Q i X l 2 I inI1(x1)=Xi=x2=inr2(x2)M(x,x) | x e l ^ J

Diese Menge ist offensichtlich isomorph zu I i n l 2 , der Isomorphismus werde mit i[ bezeichnet (ii(x,x) = x); entsprechend P Q ?

OiPiOj,

Ps ?

SjPiS^

AiHAj :=(I 1 ni 2 ,0 1 n0 2 ) S 1 nS 2 ,5 n ,Xn) mit 6 n = isoSpO^Xig 1 ), Xn = iooXpoOi'Xig1), ist Automat und i = ( i i . i o 4 s ) : P ^ A 1 PiA 2

Automatenmorphismus (Beweis wie bei 4 . 7 ) und es

gilt = 5 I (i 1 ni 2 )x(Sins 2 )'

x

n = X l (i 1 ni 2 )x(s 1 ns 2 )-

Damit ist der Automat A ^ A ^ bei dem die Schnitte komponentenweise in Me gebildet worden sind, auch der Durchschnitt in der Kategorie A. Entsprechend konstruiert man den Durchschnitt einer [endlichen] Menge von Automaten.

Kongruenzen und Faktorautomaten Es werden Kongruenzrelationen auf Automaten eingeführt, mit den Kernpaaren der Kategorie A verglichen und Faktorautomaten nach Kongruenzen als Differenzencokerne definiert. 4.9 Definition und Bemerkung Sei AS |A|. Eine Automatenrelation auf A ist ein Tripel R = (Ri,R 0 ,Rs) von Relationen mit R , C I X I , R q C O X O , R s C S X S mit A ^ x ^ X j ^ R , A(s 1 ; s 2 )eR s SR((xiPt2).(si,S2»

:=(5(xi,s 1 ),6(x 2 ,s 2 ))eR s

a

Xr((xi^2)»(si,s 2 )) := (X(x ]l ,s 1 ),X(x 2 ,s 2 ))eR 0 . Der Automat (Ri,Ro,Rs>5r,X r ) werde ebenfalls mit R bezeichnet. Nach Definition von 5 R und XR gilt (komponentenweise) Ö

^R Rj X R s •

P?

für die zu R^Rq ,Rs gehörigen Projektionen.

R

Konstruktionen von Automaten

84

Pi Also ist R t A mit pj = (pj ,pj"\pf) (J= 1,2) Morphismenpaar in A. Eine Automatenrelation K = (Ki,K 0 ,K s ) auf Ae |A| heißt Automatenkongruenz (auf A), falls Kj,K 0 ,K s Äquivalenzrelationen sind. Der Automat K = (KJ,K 0 ,K s ,5 k ,A k ) wird ebenfalls als Automatenkongruenz bezeichnet. Für eine Automatenrelation R auf AS |A| ist der (komponentenweise) Durchschnitt R der Menge aller Automatenkongruenzen auf A, die R (komponentenweise) umfassen, Automatenkongruenz (trivial). R heißt die von R erzeugte Automatenkongruenz. 4.10 Behauptung Sei feMorA(A,A'). Dann ist das nach 4.6 als Pullback konstruierte Kernpaar von f Automatenkongruenz mit zugehörigen Projektionen. Kernpaare in A sind also bis auf Isomorphie Automatenkongruenzen. Kernpaare werden „komponentenweise" konstruiert. Beweis: Nach 4.6 ist für R:= (Rj.Rq.RsiSr.Xr) mit R, = [(x 1 ,x 2 )elXI | f ! ( X l ) = f ( x 2 ) ] = Äkif 1 ), R 0 = Äk(f°), R s = Äk(f®), 5 r : R t XR s -»• R s definiert durch RiXRg 3 ( ( x 1 p i 2 ) , ( s 1 , s 2 ) ) « ' ( 8 ( x x . S i ) ^ ( x 2 , s 2 ) ) G R s

XR : RjXR s

(1)

R 0 definiert durch

RiXRg 9((X1,X2),(S1)S2))«-(X(X1,S1)>X(X2,S2))GRO

(2)

und die „Projektionen" pj = (p],pP,pf) mit pf £ Pri (R, 3 I) = (Rj 3 !*! 3 I) = KP(f : ) t>I SorJ

(3), für 0 und S entsprechend,

Pullback-Diagramm,

Pi

d.h. R => A ist Kernpaar von f, das wegen (3) komponentenweise konstruiert wird. P i Wegen (1) und (2) ist R = (Rj.Rq.Rs.Sr^kJ Automatenkongruenz auf A. P i , P 2 sind die zugehörigen Projektionen. q.e.d.

Kongruenzen und Faktorautomaten

85

Zur Konstruktion von Faktorautomaten nach Kongruenzen werden die folgenden Lemmata benötigt: 4.11 Vertauschung von Differenzencokernen mit Produkten Pi ( P1 Seien R => M und R' ^ M' Äquivalenzrelationen mit zugehörigen Projektionen auf den Mengen M und M' mit Differenzencokernen M ur >d M' C' := M' M' | R'-

c ^

w

C := M

nat

R

•MI R

, PiXp'i, cXc MXM'. Dann ist MXM' —-> CXC' Differenzencokem von RXR1 p 2 Xp 2

Beweis: c und c' sind surjektive Abbildungen und damit auch cXc'. Also ist cXc' Retraktion in Me, also nach dem zu 3.11 dualen Satz Differenzencokem und damit nach 3.33 a) Differenzencokem seines Kernpaares, d. h. nach 3.30 Differenzencokem von (Äk(cXc') ^ MXM') = (Äk(cXc') 3 (mxm')X(mxm') %

MXM

'>

mit Äk(cXc')=|((m 1 ,m' 1 ),(m 2 ,m2))G(MXM')X(MXM') | (cXc) (m 1 ,m'i)= =(cXc') (m2,1112)1= =

I ( ( m i >m'i )>(m2 >m2 ))G(MX M')X (MX M') | c(m 1 )=c(m 2 )

Ac'(m' 1 ) = c'(m' 2 )l= =|[((m 1 ,m' 1 ),(m 2 ,m 2 )) I (m 1 ,m 2 )GR a ( m ' ^ m ^ R ' f l nach Definition von c und c'. Für den Me-Isomorphismus i : Äk(cXc')

RXR' definiert durch

((m!,m'[),(m 2 ,m 2 )) +*((m x ,m 2 ),(mi,m 2 )) güt P Äk(c X c )

RXR' Also ist cXc' Differenzencokem auch von RXR'

MXM'

PiXp,

i MXM'. p2Xpj

q.e.d.

Konstruktionen von Automaten

86

4.12 Differenzencokerne von Automatenkongruenzen Sei K = (Ki,K 0 ,K s ,5 k ,X k ) Kongruenz auf AG |A| mit Projektionen Pj,p2SMorA(K,A) (vergl. 4.9). Dann existieren eindeutig 5C,AC mit Kq-

Kj X

Ks

-Ks

pS

(2a)

(2b) „o

c!Xcs

I r X Sc

Or

wobei I c := Dcok(pi,p2), c1 := dcok(pj,p2), entsprechend für 0 und S. c :=(c\c°,c s )eMorA(A,C) mit C = (I C ,0 C ,S C) 5 C ,X C )G |A| ist Differenzencokernvon Pi=(Pi>P°>Pi) und p2=(P2,P2 ,pl>Beweis: Nach 4.11 ist c*Xcs = dcokip'^p^XdcokCp^pf) Differenzencokern von p\ X p® und p^Xpf.

Wegen

und der Kommutativität von (la) gilt:

P2XP2

87

Kongruenzen und Faktorautomaten

Wegen c ' X c s = d c o k f p ^ X p ^ p ^ X p ^ ) existiert also eindeutig eine kommutative Ergänzung 5 C von (2a). Ebenso folgt, daß eindeutig eine kommutative Ergänzung X c von (2b) existiert. C = ( C j . C o . C g ^ c . X c ) ^ |A| ist trivial. c€MorA(A,C) gilt nach Konstruktion von 5 C und X c . Nachweis der Differenzencokern-Eigenschaften von c: Nach Definition von c ' . c 0 , ^

pI

als Differenzencokerne gilt:

rI>

entsprechend für O und S,

K, P*

also

Gelte nun auch für A ' e | A | ,

fKf^f^MorAÍA.A') Pi k

=

;A- .

T

O

Dann existieren wegen der dcok-Eigenschaft von c ,c ,c mit

bzw.

C

J

bzw.

Hieraus folgt insbesondere, daß es höchstens ein gGMorA(C,A') A mit

gibt.

Q

eindeutig g ,g ,g

o

88

Konstruktionen von Automaten

Es bleibt g := (gI,g°,gs)EMorA(C,A') zu zeigen, d. h. die Kommutativität von (7 a), (7b) in ^K

8k

Aus der Kommutativität von (4) und (5) (siehe Diagramm) folgt die von (4). (6a) und (6b) sind wegen fi£MorA(A,A') kommutativ und damit (la) bis (6b). Wegen der Kommutativität von (4), (6a), (5), (2a) bzw. (4), (6b), (3), (2b) (in dieser Reihenfolge) gilt 6'o(g I Xg s )o(c I Xc s ) = g s o 6 c o ( c I X c s ) bzw. X'o(g I Xg s )o(c I Xc s ) = g ° o \ c o ( c I X c s ) . Daraus folgt wegen c ! Xc s Epimorphismus die Kommutativität von (7a) und (7b). q.e.d. 4.13 Bemerkung: Struktur des Differenzencokerns Man kann nach Konstruktior den Differenzencokem der Kongruenz K mit den Projektionen Pi ,p2 v, ie folgt angeben: Dcok(pi,p 2 ) = A/K = (I/Kj, O/Ko, S/Ks, «c, *c) dcok(pi ,p 2 ) = nat = (natj, natQ, nat s ); dabei gilt: 5C([X]K!>[S]Ks) = s c (natjXnatg) (x,s) = nat s (5(x,s)) = [5(x,s)] Ks und entsprechend XC([X]KI.[S]KS) = [KX,S)]Ko

für alle

([XIKJ^SIK^I/K^S/KS.

4.14 Definition Der in 4.13 angegebene Automat A/K wird Faktorautomat von A nach K genannt.

Homomoiphie sätze

89

4.15 Satz Die Kempaare in A sind bis auf Isomorphie genau die Automatenkongruenzen mit den zugehörigen Projektionen. Beweis: Nach 4.10 ist jedes Kernpaar bis auf Isomorphie eine Automatenkongruenz mit den zugehörigen Projektionen. Andererseits ist jede Automatenkongruenz K auf A mit ihren Projektionen P j ,p 2 : K -*• A Kernpaar ihres Differenzencokerns n a t : A A/K, denn Äk(natj) = |(x,x')elXI | natj(x) = natj(x')]| = K I ( entsprechend Äk(nato) = K 0 , Äk(nat s ) = K s , nach 4.10 sind die „Projektionen" des Kernpaares von nat := (nat^nato^atg) gerade die Projektionen Pj

= (Kj 3 I, K 0 3 O, K s ^ S) (j=l,2).

q.e.d.

4.16 Definition und Motivation A e |A| heißt einfach, wenn die Diagonale A a := (Aj ,A 0 As) und die Allrelation (IXI,OXO,SXS) die einzigen Kongruenzrelationen auf A sind. (Diese beiden können auch zusammenfallen.) Einfache Automaten treten bei der Zerlegung von Automaten (Kapitel 6) auf.

Homomorphiesätze Für die Kategorie der Automaten werden „Homomorphiesätze" bewiesen, die den „Abbildungssätzen" in Me entsprechen. Dabei wird „Äquivalenzrelation" ersetzt durch „Kongruenz" bzw. „Kernpaar", „Quotient" durch „Faktorautomat" bzw. „Differenzencokern", „Relation" durch „Automatenrelation" bzw. „Morphismenpaar in A". 4.17 Spezieller Homomorphiesatz Pi , Sei f : A -» A beliebiger Automatenmorphismus und K ^ A sein Kernpaar Pi (K=(Äk(f I ),Äk(f°),Äk(f s )^ K ) \ K ), (siehe 4.10)). Dann gibt es genau ein feMorA(A/K,A')

K

mit Pi

P2

f

90

Konstruktionen von Automaten

Darüberhinaus ist f Monomorphismus. Falls f Epimorphismus ist, so ist f Isomorphismus. Beweis: Wegen nat = (nat!,nat 0 ,nat s ) = dcok(p l9 p 2 ) (siehe 4.13) und

existiert eindeutig f mit (1).

Bleibt noch zu zeigen, daß f ein Monomorphismus ist. Dies folgt jedoch sofort aus dem Abbildungssatz in Me in den Komponenten 1,0 und S, da hiernach gi,go,g s injektiv, also g ein Monomorphismus ist. Wenn f = fonat ein Epimorphismus ist, dann ist f ein Epi und als Mono ein Iso in A. q.e.d. 4.18 Folgerung Aus dem letzten Teil von 4.17 folgt: In A ist jeder Epimorphismus Differenzencokern. 4.19 Definition Seien A,A'G |A|, fGMorA(A,A'), flA]:=(fi[I],fo[0],fe[S], 5' | fj[i]Xf s [S]' X ' 1 fi[I]Xf s [Sp

ist

offensichtlich

Unterautomat von A'. f[A] heißt Bildautomat von A unter f. 4.20 Satz Seien A,A'€ |A|, f£MorA(A,A'), „in" die Einbettung von fJA] in A'. Dann gibt es genau einen Epimorphismus f ' mit f A

•A'

Homomorphiesätze

91

Falls f Monomorphismus ist, so ist f ' Isomorphismus.

Beweis:

In Me existieren suqektive f 0 , f i , f s eindeutig so, daß (1), die I-Komponente von (2) und (3) kommutativ werden. Damit ist die Eindeutigkeit von f ' schon gezeigt. (2) wird dann kommutativ. (4), (5) sind kommutativ, da f und in Automatenmorphismen sind. mso5 | fj[i]xfs[S]°(fixfs)

=

msofsoS.

Hieraus folgt die Kommutativität von (6), da ins Monomorphismus ist. Ebenso zeigt man die Kommutativität von (6'). Damit ist f ' Automatenmorphismus und wegen der Suijektivität von f¡,fó,fs Epimorphismus. Falls f = ino f ' ein Monomorphismus ist, ist f ' ein Monomorphismus, also als Epimorphismus ein Isomorphismus in A (vergl. 2.32). (in A : Mono A Epi Iso) q.e.d. 4.21 Epi-Mono-Faktorisierung A besitzt bis auf Isomorphie eindeutige Epi-Mono-Faktorisierungen, d. h. zu jedem A-Morphismus A A' existiert eine

Faktorisierung

mit Epimorphismus e und Monomorphismus

92

m, und falls auch

Konstruktionen von Automaten

e' \

/ m'

Epi-Mono-Faktorisierung von f ist,

Q'

so existiert eindeutig ein Isomorphismus i mit

Also stimmen insbesondere die „Cobild"-Faktorisierung aus 4.17 und die „Bild"-Faktorisierung aus 4.20 bis auf Isomorphie überein.

eine Epi-Mono-Faktorisierung in A.

Beweis: Sei

Pi Pi Sei K 3 A Kernpaar von f. Wegen m Mono ist K A auch Kernpaar von e. p2 P2 Nach 4.18 ist e Differenzencokern, also nach 3.33a) Differenzencokern seines Pi Kernpaares K t A. p2 Da dies auch für A A/K gilt, existiert eindeutig i mit A

und i ist Isomorphismus.

Homomoiphie sätze

93

Wegen

und nat Epimorphismus,

also moionat = moe = f = fonat => moi = f, f

güt

q.e.d.

4.22 Satz Die Kategorie der [endlichen] Automaten ist lokal klein [lokal endlich], (vergl. 3.52) Beweis: Die Unterautomaten eines [endlichen] Automaten A bilden offensichtlich eine [endliche] Menge M a , die bis auf Bijektion eine Teilmengeder [endlichen] Menge P(I)XP(0)XP(S) ist, wobei P(I) u.s.w. die Potenzmenge von I u.s.w. ist. Zu jedem Unterautomaten von A gehört eindeutig seine Einbettung in A. Sei also A ein [endlicher] Automat und MA die [endliche] Menge der Einbettungen von Unterautomaten von A in A. Sei fGMorA(A'.A) ein beliebiger Monomorphismus. Nach 4.20 existiert ein Isomorphismus f' mit

f'\

/ in f[A']

q.e.d.

94

Konstruktionen von Automaten

4.23 Satz

,f>

Die Kategorie A der [endlichen] Automaten ist eine Kategorie mit Differenzencokernen. Für ein Paar f = A 3 A ist n a t : A -+ A/R Differenzencokern von f t und f 2 , wobei R die von 2 R(f) = (R(f 1 1 ,f 1 2 ),R(f? ) f?),R(fS,ff)) := := (|[(fi(x'),f2(x')) | x'el'l,|[. . .J,|[.. .]) erzeugte Automatenkongruenz (vergl. 4.9) ist. Beweis: Die Kategorie A der [endlichen] Automaten ist nach 4.22, 3.55, 4.1, 2.34 lokal kleine [lokal endliche] Kategorie mit [endlichen] Durchschnitten, [endlichen] Produkten, Endobjekt und Differenzencokernen von Kernpaaren (die nach 4.13 als Faktorautomaten konstruiert werden). Nach Satz 3.53 ist damit die Kategorie der [endlichen] Automaten Kategorie mit Differenzencokernen. Die von R(f) erzeugte Automatenkongruenz ist zusammen mit ihren Projektionen das im Beweis von 3.53 konstruierte von f erzeugte Kernpaar [Pi ]> weil dort Pi M' := | [ K 3 A | K ist Kongruenz auf A und R(f)CKJ gewählt werden kann. Pi Nach 4.12 ist n a t : A - > A / R Differenzencokern von p x und p 2 , also nach 3.53 Differenzencokern von f = [ f j ,f 2 ]. q.e.d. 4.24 Allgemeiner Homomorphiesatz Seien A,A' Automaten, R bzw. R' Automatenrelationen auf A bzw. A', R bzw. R' die von R bzw. R' erzeugten Automatenkongruenzen auf A bzw. A' (vergl. 4.9), f : A -> A' Automatenmorphismus mit f[R]CR', d. h. A(ij ,i 2 )€Rj (^(ij),f'(i 2 ))GRi, für O und S entsprechend. Dann existiert eindeutig f mit

nats

nato'

Automaten mit konstanten Ein- und Ausgabealphabeten

95

Beweis: Sei R ^ A das zu R gehörige Paar (vgl. 4.9) und R die von Vi (R(Pi ,P2).R(p?,P°),R(P1 ,P2)) = (Ri,Ro> R s)=R erzeugte AutomatenkongruPi enz, dann ist nach 4.23 natg Differenzencokern von R 3 A. f definiert durch R i 3 ( i i , i 2 ) ^ (f 1 (ii),f i (i 2 ))^Ri, für 0 und S entsprechend, ist Automatenmorphismus (wegen fSMorA(A,A')) mit f R

"R'

Wegen n a t ^ - o p i = natg'op^ gilt deshalb n a t g ' o f o p i = n a t g ' o f o p 2 . Wegen natg = dcok(pj ,p 2 ) existiert also eindeutig f mit f R

-R'

q.e.d.

Automaten mit konstanten Ein- und Ausgabealphabeten Zur Behandlung von Reduktionen von Automaten benötigt man die in diesem Abschnitt untersuchten Kategorien von Automaten mit konstanten Ein- und Ausgabealphabeten. 4.25 Definition Für I,OG |Me| fest sei A(I,0) die Unterkategorie von A, deren Objekte die Automaten A = (I,0,S,5,X) sind mit S,6,X beliebig und deren Morphismen die Automatenmorphismen der Form f = ( l I , l 0 , f s ) sind.

Konstruktionen von Automaten

96

4.26 Satz Die Kategorie A(I,0) der [endlichen] Automaten ist eine Kategorie mit [endlichen] Coprodukten. Beweis: Sei [Aj]jC | A(I,0) | eine [endliche] Familie von Automaten aus A(I,0), d . h . A(jGJ) Aj = (I,0,Sj,5j,Xj).

1. Konstruktion des Coproduktes: Wegen IX(ÜSj) = O(IXSj) = IL(IXSj) (in Me) mit Injektionen (IX Sj

IXÜSj) = (IX Sj

IX(ÜSj)) existieren

eindeutig 5 und X mit

v

o-

h

Si I X s ljXüij

ILA;1 J

0-

I

X(ÜSj)-

-Si Uli

US:

Also ist, da die [endliche] disjunkte Vereinigung von [endlichen] Mengen eine [endliche] Menge ist, mit den so definierten 6 und X JU^Aj := (I,0,ÜSj,6,X) [endlicher] Automat und für jedes jGj(l I ,l o ,in j )eA(I,0)(A j ,iLA j ). 1. Nachweis der Coprodukteigenschaft von (iLAj,[(l I ,l 0 ,inj]j) Sei A' = (I,0,S',6',X')e |A(I,0) |, [fj]j eine Familie von Automatenmorphismenmit AQeJ) f,GA(I,0) (Aj,A'). Zu zeigen ist: Es existiert eindeutig g = (li,lo,gs)eA(I.O)(iLA j ,A') mit AQGJ)

97

Automaten mit konstanten Ein- und Ausgabealphabeten

Wegen der Coprodukteigenschaft von (ÜSj,[irij]j) in Me existiert eindeutig gs, so daß für jedes jGJ (3) im folgenden Diagramm kommutativ ist: «j

h

Damit ist insbesondere die Eindeutigkeit von g = (li,lo»ßs) schon gezeigt. (2) ist dann ebenfalls kommutativ. (4) bzw. (5) sind kommutativ, da (li,l 0 >i n j) bzw. fj Automatenmorphismen sind. Damit gilt für alle jGJ: 6'oO^gs) o(^Xinj) (= 5'o(liXf^) (= ffoöj (= ggOinjOßj (= ggoSo^Xin,). Da (IXÜSj,[liXinj]j) Coproduktin Me und die Ergänzung aus demCoprodukt eindeutig ist, folgt 6 o(liXg s ) = g s o5, also die Kommutativität von (6). Analog zeigt man die Kommutativität von (7). Also gilt g£A(I,0) (lLAj,A').

q.e.d.

4.27 Satz Die Kategorie A(I,0) besitzt Kernpaare, und diese können in A konstruiert werden. Beweis: Sei f = (l I ,l o ,f s )EA(I,0)(A,A'). Dann ist wegen (111) = KP(li), (O _ di.io.p?) A —$ A (ii.io.P?)

lO

0) = KP(10), (Äk(f s ) % S) = KP(f s ) nach 4.10 P?

98

Konstruktionen v o n Automaten

Kernpaar von f in A, wobei A = (I,0,Äk(f s ),6,X) mit 6,X als eindeutige Ergänzungen in

0—-

—I

X Äk(fs)

-Äk(fs

Wegen AG | A ( I , 0 ) |, p, := ( I ^ I q , p f > 6 ^ 1 . 0 ) ( A , A ) 0=1,2) ~ Pi ^ und da für ein A(I,0)-Paar A 3 A mit f o p i = f o p 2 für den eindeutig bestimmPj ten A-Morphismus d mit

wegen p} = p j =

p P = ? P = 1 0 (i=1.2) d e A ( I , 0 ) ( A , A ) gÜt, ist ( p i , p 2 )

Kernpaar von f in A ( I , 0 ) .

q.e.d.

4.28 Satz A ( I , 0 ) ist eine Kategorie mit Differenzencokernen, und diese können in A konstruiert werden. Beweis: 1. Es wird gezeigt, daß der in 4.12 angegebene Differenzencokern in A ( I , 0 ) liegt. Seien f j = ( l I , l o , f f ) 6 A ( I , 0 ) ( A > A ' ) 0=1.2). Dann gilt R(f 1 i,f i 2) = I ( l i ( x ) , l i ( x ) ) |x€l] = AI R ( f ? , f ? ) = I ( l o ( x ) , l o ( x ) ) IxGO] = AO R(f^,ff)CS'XS'.

Automaten mit konstanten Ein- und Ausgabealphabeten

99

(AI,AO,S'XS') ist offensichtlich eine Automatenkongruenz, also hat der Schnitt aller (AI,AO,R(f^ ,ff)) umfassenden Automatenkongruenzen die Form (AI,AO,Ks). Damit gÜt (siehe 3.4.3.)) ¿ c o k ^ ^ ) = Ii, dcok(p?,p§) = 1 Q , also dcok(f 1 ,f 2 ) = (dcok(p I 1 ,p I 2 ),dcok(p?,p?),dcok(pf,pi))=(li,lo4cok(pf,p|))GA(I,0). 2. Sei g = (li,lo»g S ) aus A(I,0) beliebig mit g o f j =gof 2 . Dann hat die inA eindeutig existierende Ergänzung h mit hodcok(fi,f 2 ) = g offenbar die Form ( l I ( l 0 , h s ) , liegt also inA(I,0). q.e.d. 4.29 Folgerung Nach 3.55 folgt aus 4.26 und 4.28, daß A(I,0) [endliche] „Colimiten" besitzt. 4.30 Satz In A(I,0) stimmen die Epimorphismen, die (komponentenweise) suijektiven Automatenmorphismen und die Differenzencokerne überein. Beweis: Nach Konstruktion in 4.27 ist jeder Differenzencokern in A(I,0) surjektiv. Jeder suijektive Automatenmorphimus in A(I,0) ist Epimorphismus in A und damit in A(I,0). Sei nun f = ( l j , l 0 , f s ) e A(I,0) (A,A') und f s nicht suijektiv. Dann sei S' := |[s I s'eS'\f s [S]J # 0 . Sei A" = (I,0,S",6",X")GA(I,0) definiert durch S":=S'ÜS', 5" : IXS" -*• S" mit IXS'3(x,s') +> 6'(x,s')

ixs'3(x,iv{S^falls Lo (x,s) sonst X" : IXS" +» 0 mit (x,s')

X'(x,s') für s'GS'

(x,s') X'(x,s'), für s'es' gf,gf :S'-*S" durch S'3s' $ s'eS", S

, 3 s , | | fs' falls s'Gfs[S] Li' sonst

Dann gilt

gl

:=(l,,l 0 ,g?) € A(I,0) (A',A") (trivial)

und g2 :=(l I ,l o ,gf)eA(I,0)(A',A"),

100

Konstruktionen von Automaten

denn für f s [ S ] 9 f s (s) =: s' gilt: 5'

X'(x, s')

(x, s') i

•5'(x, s')=f s o5(x,s)Gf s [S]

liXgf X'(x, s >

-i(x, s')i

•6'(x, s')

X" für s ' ö ' \ f s [ S ] güt 6'

X'(x, s') -

5'(x, s')

-t ( x , s ' ) t-

liXgf

X'(x, s')

(X, s ' )

X" Wegen gf I f s [ S ] =

falls 5'(x, s')ef s [S]

— 8"

' fs[S] ^

sonst

giOf = g 2 o f . Also ist das nicht suijektive f

nicht Epimorphismus, woraus folgt, daß in A(I,0) jeder Epimorphismus surjektiv ist. Sei nun feA(I,0) (A,A') suijektiv. Dann ist f s = dcok(Äk(f s ) ^ S), und damit gilt nach 4.27 und 4.28 P2S

f = ( l ^ l o . f s ) = dcok(KP(f)), also ist f Differenzencokern. Damit ist die Behauptung durch Ringschluß gezeigt.

Reduktion von Automaten Es soll nun das wichtige Problem untersucht werden, wie man die Anzahl der Zustände eines Automaten reduzieren kann, ohne dabei das Ein-Ausgabeverhalten zu verändern. Da im folgenden also nur Veränderungen in der Zustandsmenge betrachtet werden, beschränken sich die kategoriellen Untersuchungen auf die Kategorie A(I,0). Automaten mit gleichem Ein-Ausgabeverhalten werden äquivalent genannt. Um dies mathematisch zu präzisieren, wird zuerst die Äquivalenz von Zuständen definiert.

Reduktion von Automaten

101

4.31 Definition Für einen Automaten AE |A(I,0)| heißen zwei Zustände s,s'SS äquivalent (geschr. s = s'), wenn für die Fortsetzung der Ausgabefunktion (vgl. 2.10) X* : P X S ^ O * gilt: Xs := X*(-,s) = X*(-,s') =: Xs' d . h . A(w6l*) Xs(w) = X*(w,s) = X*(w,s') = X s (w) Ein Automat heißt minimal, wenn seine Zustände paarweise inäquivalent sind. 4.32 Bemerkung a) Zwei äquivalente Zustände sind für einen äußeren Beobachter nicht zu unterscheiden, da bei gleichem Eingabewort das gleiche Wort ausgegeben wird. b) Die Zustandsäquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zustandsmenge. c) Aus A(xSl) (Xs(x) = Xs (x)) folgt nicht die Äquivalenz von s und s', weil Xs rekursiv durch Xs(wx) = X*(wx,s) = X*(w,S(x,s)) X(x,s), also über die Zustandsänderungsfunktion 5, definiert ist und über 8(-,s') i nichts vorausgesetzt ist. 4.33 Definition a) H(A) := [X^ I seS(A)]| heißt die Abbildungsfamilie

des Automaten A

b) Zwei Automaten A,A'e | A(I,0)| heißen äquivalent, wenn gilt: H(A) = H(A') 4.34 Bemerkung Äquivalente Automaten haben das gleiche Ein-Ausgabeverhalten und sind deshalb für den äußeren Beobachter ununterscheidbar. Darüberhinaus ist die Relation „äquivalent" in der Klasse |A(I,0)| eine Äquivalenzrelation. 4.35 Problemstellung Es ergeben sich nun folgende Problemkreise für die Untersuchung von äquivalenten und minimalen Automaten: 1. Existenz und Konstruktion eines zu einem vorgegebenen Automaten äquivalenten minimalen Automaten. 2. Charakterisierung von minimalen Automaten. 3. Charakterisierung von äquivalenten Automaten.

102

Konstruktionen von Automaten

Diese Problemstellungen werden im folgenden in obiger Reihenfolge mit kategoriellen Methoden behandelt. 4.36 Übersicht zu Problem 1 Da die Äquivalenz von Zuständen schon eine Äquivalenzrelation auf der Zustandsmenge definiert, ist es naheliegend zu untersuchen, ob damit sogar eine Automatenkongruenz definiert ist. Tatsächlich ist die derart definierte Reduktionskongruenz eine Automatenkongruenz, definiert damit ein Kernpaar und der Differenzencokern dieses Kernpaares hat schon die in Problem 1 gewünschten Eigenschaften. Hinreichend für die Äquivalenz zweier Automaten A,A'G |A(I,0)| ist dabei die Existenz eines A(I,0)-Epimorphismus f : A -»• A' (oder umgekehrt), der dann Reduktion genannt werden soll, weil die Anzahl der Zustände beim Übergang von A nach A' verringert wird. Dazu wird zuerst gezeigt, daß jeder A(I,0)—Morphismus die Äquivalenz von Zuständen bewahrt und „reflektiert". 4.37 Lemma Sei fGMorA(I,0) (A,A'), dann gilt: A i s , ,S 2 GS) [(X*i = A ' f s ( s ' > ) A (s x = s 2 O f s ( s , ) = f s ( s 2 ) ) ]

Beweis: Als Spezialfall von 2.36 ergibt sich wegen f = ( l I , l 0 , f s ) : I*XS

1 j*Xfg

ln*

I*XS' Also gilt für wGl* und SjGS X Sl (w) = X*(w,s1) = X'*(w,f s (s 1 )) = X'fs(si>(w) und damit XSl =X'fs). Daraus folgt unmittelbar für S! ,s 2 €S: s S2 X'fs(si> = X'fs A ' heißt Reduktion. Ist f:A->-A' Reduktion, so sind A und A' äquivalent.

Reduktion von Automaten

103

Beweis: Es ist H(A) = H(A') zu zeigen. Weil f als A(I,0)-Epimorphismus suijektiv ist (vgl. 4.30), genügt es zu zeigen: A(seS) As = X'fs. Dies folgt aber unmittelbar aus obigem Lemma. 4.39 Satz und Definition Sei A ein Automat, dann ist R(A) = A, àie Reduktionskongruenz genannt wird.

eine Automatenkongruenz auf

Beweis: Nach Definition 4.9 ist für xSI und s,s'eS zu zeigen: a) X-Verträglichkeit: s = s'

Xs = Xs

X(x,s) = X(x,s')

q.e.d.

b) 5-Verträglichkeit: Für s.s'eS sei s = s' und damit X*(-,s) = X*(-,s'). Weiter seien xGl und wGl* beliebig gegeben, dann gilt: X*(wx,s) = X*(wx,s'), also: X*(w,5(x,s)). X(x,s) = X*(w,S(x,s')). X(x,s') Da O* freies Monoid ist, folgt: X*(w,5(x,s)) = X*(w,5(x,s')) Somit gilt: 5(x,s) = 5(x,s'), und damit ist R(A) = (Aj ,A0>=) kongruenz. q.e.d.

eine

Automaten-

4.40 Satz Sei A e |A(I,0)| mit Reduktionskongruenz R(A) und Projektionen p i , p 2 : R(A) -* A. Sei nat R ( A ) : A -> A/R(A) definiert als NAT

R(A) := dcokipj.pj), dann gilt:

1. A/R(A) = (I,0,S/=,5 A / R ,X A / R ), wobei S/= Quotientenmenge von S nach = ist, und für xSl, sGS güt: 5 A / R ( X , N ) = [5(x,s)J ^A/R(X,[S]) = [X(x,s)]

2. A/R(A) ist zu A äquivalent 3. A/R(A) ist minimal Beweis: 1. folgt nach 4.28 unmittelbar aus der Definition von A/R(A) als Differenzencokern. 2. folgt aus 4.38, da nat R ( A ) Reduktion ist.

104

Konstruktionen von Automaten

3. Nach Lemma 4.37 gilt für

SX

,S2GS:

s t = s 2 «• nat R ( A )(sj) = nat R ( A ) (s 2 ) ~ [ s i ] = fo ]• Damit ist A/R(A) minimal, denn es gilt: [Sl] = [ s 2 ]

s t = s2 = " [ s i ] = [s2].

4.41 Übersicht zu Problem 2 von 4.35 Beachtet man, daß nach 4.38 und 4.30 eine Reduktion f : A ->• A' die Anzahl der Zustände beim Übergang von A nach A' verringert, so ist wünschenswert, daß man zu jeder Reduktion f : A ->• A' eine weitere Reduktion f"' : A' ->• A/R(A) findet, so daß die Komposition f ' o f gleich der Reduktion n a t R ( A ) : A -» A/R(A) ist, d. h. man kann die Zustandsreduktion stufenweise durchführen. Dieses Reduktionsproblem fällt kategoriell unter die Klasse der sogenannten „speziellen Probleme". Es stellt sich heraus, daß für AS |A(I,0) | n a t R ( A ) : A A/R(A) Lösung dieses „speziellen Problems" ist. Als unmittelbare Folgerung gewinnt man eine kategorielle Charakterisierung von minimalen Automaten durch reduzierte, d. h. durch Automaten, die keine „echte" Reduktion zulassen. Für eine weitere kategorielle Charakterisierungsmöglichkeit kann man die Unterkategorie der minimalen Automaten in A(I,0) betrachten und das „universelle" Problem stellen, ob diese Unterkategorie reflektiv in A(I,0) liegt, d. h. ob es zu jedem Automaten A einen minimalen Automaten gibt, der in gewisser Weise die beste Approximation von A unter allen minimalen Automaten ist. nat

R(A) : A

A/R(A) ist Lösung auch dieses „universellen" Problems.

Dies ist kein Zufall, sondern Spezialfall einer Ubertragungstheorie zwischen „universellen" und „speziellen" Problemen. Universelle Probleme im Zusammenhang mit reflektiven werden im 5. Kapitel behandelt. Dort wird auch gezeigt, daß Lösungen von derartigen Problemen bis auf Isomorphie eindeutig sind. Spezielle Probleme und die Übertragungstheorie werden dort allerdings nicht behandelt, dies wird ausführlich in [2] untersucht. Zuerst wird nun gezeigt, daß nat R ( A ) : A A/R(A) Lösung des oben angedeuteten universellen Reflektionsproblems ist. 4.42 Satz (Universelles Problem) Sei A € |A(I,0)|, dann gilt: A ( A ' e |A(I,0)|, A' minimal) A (fGMorA(I,0) (A,A')) V (fA/R(A), f Reduktion) mit

/

-A' /

f

q.e.d.

Konstruktionen von Automaten

106

Beweis: Nach letztem Satz existiert eindeutig f R mit

f A'

A

natR(A)

nat

A/ /R(A)

f

R(A')

—A'/ /R(A')

weil A'/R(A') minimal ist. f R ist A(I,0)-Epi, da dies für nat R ( A ')Of gilt, aber auch A(I,0)-Mono, da nach Lemma 4.37 gilt: f R ([Sl ]) = f R ( t s 2 ]) => [Sl ] = [S2 ] => [S, ] = ts 2 ] Letzteres gilt, weil A/R(A) minimal ist. Damit ist f R A-Isomorphismus (vgl. 2.32) und damit A(I,0)-Isomorphismus (trivial). Mit f := f ^ o n a t j ^ ' ) folgt die Behauptung, wobei die Eindeutigkeit daraus folgt, daß f A(I,0)-Epimorphismus ist. q.e.d. 4.44 Definition AG|A(I,0)| heißt reduziert, wenn gilt: A (A' b) Sei A äquivalent zu A', d. h. es gilt H(A) = H(A'). h : S/= H(A), definiert durch [s] +> Xs ist nach Definition der Äquivalenz von Zuständen wohldefiniert und bijektiv. Damit ist k : = ( S / = ^ H ( A ) " H ( A ' ) ^ _ 1 S 7 = ) Bijektion, und es gilt: k([s]) = [s'] o Xs = X's'. Aus XS = X'S' folgt aber X 6(x - s) = X' 6 ' ( x ' s '\ wegen A(wGl*) X*(wx,s) = X*(w,5(x,s)). X*(x,s). Damit gilt für (x,[s])elXS/= nach 4.40: 5l 7 R (x,k([s])) = 5^ / r (X,[S']) = [6'(x,s')] = k([S(x,s)] = k(5 A / R (x,[s])) und X' A7R (x,k([s])) = X ' A 7 R ( X , [ S ' ] )

=

[X'(x,s')] = [X(x,s)] = X A/R (x,[s]).

Konstruktionen von Automaten

108

Also ist das folgende Diagramm kommutativ und damit ( l i , l 0 . k ) : A/R(A) =* A'/R(A') Isomorphismus «A,l/R

l

/R

A

A

/R(A) :

0

'/R(A') :

0

KA'y/R

I

x

s/=-

I

x

S'/=-

•S/=

-S7=

S'v,

/R

b) => c) Sei A/R(A) isomorph zu A'/R(A'), dann sind A und A' reduktionsäquivalent, da im folgenden Diagramm alle Morphismen Reduktionen sind: A

nat R(A)

A

A'

nat;R(A')

/R(A)

' A '/R(A')

c) => a) Seien A und A' reduktionsäquivalent. Dann existiert eine Folge von Automaten A = A ^ . . . , A k = A' undfiirjedes i e | l , . . . , k - l j eine Reduktion f j : A-, -* A i + 1 oder f ; : A i + 1 -* A;. Nach 4.38 güt damit H(At) = H(A i+1 ). Also sind Aj und A; +1 äquivalent. Dies ist offenbar unabhängig davon, ob f i : Aj -»• A i + 1 oder f j : A i + 1 ->• Aj. Da dies für alle ie[ 1 , . . . , k-1 J gilt, ist A äquivalent zu A'. q.e.d.

5 Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

Zum Vergleich von Kategorien führt man als „Homomorphismen" zwischen Kategorien Funktoren ein. Mit Hilfe von Funktoren läßt sich der Begriff „Diagramm" präzisieren. Früher „universell" definierte Begriffe wie Produkt, Kern, Pullback lassen sich als Limites von Diagrammen auffassen. Es stellt sich heraus, daß die bekannten „freien Konstruktionen" Lösungsfunktoren zu durch „Vergißfunktoren" definierten universellen Problemen und damit wichtige Beispiele für adjungierte Funktoren sind.

Funktoren, Bifunktoren, Funktortransformationen 5.1 Definition Seien K und L Kategorien. Ein Funktor F von K nach L, geschrieben F : K -*• L, ist eine Vorschrift, die 1. jedem K-Objekt A ein L-Objekt F(A) zuordnet, 2. jedem K-Morphismus f : A -»• B einen L-Morphismus F(f) : F(A) -»• F(B) zuordnet, so daß die beiden folgenden Axiome gelten: F 1) Für alle K-Morphismen gilt: F(gof) = F(g)oF(f) F 2) Für jedes K-Objekt A ist F ( 1 a ) = 1 f ( a ) Statt F(A) werde auch FA, statt F(f) Ff geschrieben. 5.2 Bemerkung Ein Funktor F : K° -*• L wird auch kontravarianter Funktor F : K -*• L genannt, weil für f : B -> A in K gilt: F(f) : F(A) F(B) in L, d. h. „F bewirkt eine Umkehrung der Pfeile", denn nach 1.13 läßt sich f : B -»• A in K als f° : A -» B in K interpretieren, und nach 5.1 gilt für f° : A-> B in K° : F(f°) : F(A)-* F(B) in L (Wegen f = f ° gilt aber auch F(f) = F(f°)). Entsprechend gilt für einen kontravarianten Funktor F : K -»• L statt F l ) F l ) 0 : Für alle K-Morphismen g : C - > B , f : B - > A güt: F(fog) = F(g)oF(f)

110

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

Ebenso ist ein Funktor F : K -»• L° auch kontravarianter Funktor F : K -»• L. Im Gegensatz dazu heißt dann der in 5.1 definierte Funktor kovariant. Er läßt sich auch auffassen als kovarianter Funktor F : K° -»• L ° . 5.3 Motivation Da bei Betrachtung von Funktoren offenbar mehrere Kategorien einzeln dualisiert werden können, empfiehlt es sich, das Dualitätsprinzip des 1. Kapitels zu erweitern. 5.4 Definition (J-duale Aussage) Sei A eine beliebige Aussage der Theorie der Kategorien und [Ki] i e i sei die Familie der Kategorien, die in A vorkommen. Für eine Untermenge JCI sei die zu A J-duale Aussage A° (J) dadurch definiert, daß man in A für jedes j£J Kj formal durch Kj* ersetzt und diese Aussage als Aussage über die Familie [Kj] i e I interpretiert. 5.5 Mehrstelliges Dualitätsprinzip Sei T ein Theorem der Theorie der Kategorien und [ K ^ g die Familie der in T vorkommenden Kategorien. Dann ist für jede Untermenge JCI die zu T J-duale Aussage T°(J) ein Theorem der Theorie der Kategorien. Begründung: Zu zeigen: T°(J) gilt für alle Familien [Kj] i e I . Sei A (i£l\J) : Lj = Kj und A ( j e J ) : Lj = K?. T gilt nun insbesondere für [Lj] i e i . T°(J) gilt dann nach Definition 5.4 für [Kifea-

q-e-d.

5.6 Bemerkungen 1. Für I = J = [[1] ergibt sich das einfache Dualitätsprinzip. 2. Zu jedem gültigen Satz über n Kategorien liefert das Dualitätsprinzip 2 n - l weitere Sätze. 3. Für I = | l , 2 ] ist der zum Begriff „(kovarianter) Funktor von K t nach K 2 " I i J-duale Begriff „kontravarianter Funktor von K t nach K 2 " , der mit dem [2|-dualen Begriff übereinstimmt. Der 11,2]-duale Begriff stimmt mit dem ursprünglichen überein. Darüber hinaus wird das mehrstellige Dualitätsprinzip in 5.51 bis 5.57 angewendet. 5.7 Lemma Seien F : K j K 2 und G : K 2 -*• K 3 Funktoren. Dann ist G o F : K t -»• K 3 definiert durch:

Funktoren, Bifunktoren, Funktortransformationen

111

A (A e IKi |): GoF(A) := G(F(A)) A(fGKj)

: GoF(f) := G(F(f)) Funktor.

Beweis: (GoF) (gof) = G(F(gof)) = G((Fg)o(Ff)) = G(Fg)oG(Ff) = (GoF) (g)o(GoF) (f) (GoF) ( 1 A ) = G(F(1 A )) = G ( 1 F ( A ) )

= 1

G ( F ( A ) )

= 1(GOF)(A)-

5.8 Bemerkung

Für jede Kategorie K ist die identische Zuordnung K->-K, f->-f Funktor, der identische Funktor zu K. Die „Kategorie der Kategorien und Funktoren" ist keine Kategorie im Sinne unserer (!) Definition 1.1. Dies liegt (nur) daran, daß die Klasse der Funktoren von einer Kategorie in die andere i.A. keine Menge ist. Die Forderung, daß die Morphismenklassen Mengen seien, ist gerade zur Vermeidung des (in der hier zugrundeliegenden Mengenlehre) widersprüchlichen Begriffs der Kategorie aller Kategorien gestellt worden (vgl. „Menge aller Mengen"). 5.9 Definition

Seien K und L Kategorien. Der Funktor F :K->-L heißt treu bzw. voll, falls A (Ki ,K2 6 |K|) : F | M O R K ( K L ,K 2 ) : MOIKO^ ^ 2 ) - MorL(F(K t ),F(K 2 )) injektiv bzw. suijektiv ist. 5.10 Beispiel (Vergißfunktoren)

Sei K Kategorie von strukturierten Mengen mit strukturverträglichen Abbildungen (z.B.: Gr, p Mod,Top). Ordnen wir jedem K-Objekt die zugrunde liegende Menge und jedem K-Morphismus die zugrunde liegende mengentheoretische Abbildung zu, so definiert diese Zuordnung einen Funktor V : K -»• Me. 5.11 Bemerkung

Die Vergißfunktoren der Beispielkategorien in 5.10 sind treu und bewahren Produkte und Differenzenkerne. Für die Kategorie A der Automaten (vgl. 2.26) gilt das gleiche für V : A -* Me, definiert durch 1. A (A e |A|) : V(A) = IXOXS 2. A ( f G A ) : V(f) = f i X f 0 X f s . 5.12 Bemerkung

Wir können auch nur einen Teil der Struktur „vergessen" und erhalten so z. B. einen Vergißfunktor V : p Mod Ab. Denn jeder R-Modul „ist" auch abelsche

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

112

Gruppe, und jeder R-Modul-Homomorphismus „ist" auch Gruppenhomomorphismus. 5.13 Beispiel Sei K eine Unterkategorie von L. Dann ist der Inklusionsfunktor J wie folgt definiert: 1. A ( K e | K | ) J ( K ) : = K e | L | 2. A ( f S K ) J ( f ) : = f e L Wie man sofort sieht, ist J treu. J ist genau dann voll, wenn K volle Unterkategorie von L ist. 5.14 Beispiel Die Zuordnung nach Definition 2.17, die jedem Automaten A G |A| den unterliegenden gerichteten Zustandsgraphen G A zuordnet, kann zum Funktor erweitert werden. Dieser Funktor ist dann ein Vergißfunktor von der Kategorie der Automaten in die Kategorie der Graphen: U : A -»• Graph. Beweis: Seien A,A' e |A|, feMorA(A,A'), f=(fi,fo> f s)Der dem Automaten A zugeordnete gerichtete Zustandsgraph war definiert durch: G A =(E,U,q,z) := (IXS,S,pr s ,5) PrS

IXS3 S 8

Wir definieren den Funktor U : A V(A):=GA

Graph durch:

V(f):=(fIXfs,fs)

Es bleibt zu zeigen, daß V(f)€MorGraph(G A ,GAQ ist. Wegen fGMorA(A,A') gilt:

0-

•I

X

s-

fjXfs

X' 0-

5' I' X S'

-S'

Funktoren, Bifunktoren, Funktortransfoimationen

113

trivialerweise gilt auch:

IX S und damit

rxs'

d . h . V(f)€MorGraph(G A ,G A -). V ist Funktor, denn für A ^ A' ^ A" in A gilt V ( f ' o f ) = ( f i o fjXfsO f s

o f s ) = ((fjX Q o (fjX f s ),f4 o f s ) = V(f')oV(f),

V(1a) = (1iX1s,1s)=1v(a)5.15 Beispiel Mon sei die Kategorie mit der Klasse |Mon| aller Monoide als Objektklasse, mit A (A,B £ |Mon|): MorMon(A,B) := [f I f : A -»• B Monoidhomomorphismusl, der assoziativen Hintereinanderausfuhrung von Monoidhomomorphismen als Komposition und den identischen Monoidhomomorphismen als Identitäten. Sei As die Unterkategorie der Morphismen von A, deren S-Komponente surjektiv ist. Dann sei T : As ->• Mon, definiert durch: 1. A (A e |As| = |A|) TA = ( [ t 11 = 5*(w,-),w€I*|,o), wobei o die Hintereinanderausfiihrung von Abbildungen sei.

114

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

2. A (f

dei

«i

A (t = Ô *(w,-)GTA): T ( 1 a ) 0 ) = ô*(idI*(w),-) = 5 *(w,-) = t 5.16 Beispiel

nat^ Nach Satz 4.42 hat A — + A r die universelle Eigenschaft, daß für jeden reduzierten Automaten Br jedes f : A ->- Br eindeutig über nat A faktorisiert. A

f Sei Ared(I,0) die volle Unterkategorie von A(I,0) (Definition 4.25) der reduzierten Automaten. Red: A(I,0)

Ared(I,0) definiert durch

1. A (A e |A(I,0)|): RedA = A r A ( ( f : A -*• A') G A(I,0)) : Redf = nat A -o f, wobei nat A '0 f die eindeutig bestimmte Ergänzung in f A •A'

nat A

nat A '

RedA

-RedA' natA'Of = Redf

ist,

116

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

ist Funktor, denn 1. Red 1 A = l R edA 2. für ( A ^ A ^ A " ) £ A ( I , 0 ) güt Red(f'of) = Redf'oRedf 1. Red 1 A = l R e d A , da

nat¿

nat«

Red A

auch mit l R e d A gilt,

•RedA Red 1 A

2. für (Af->

A") in A(I,0) güt Red(f'o f) = Redf'o Redf, weil f°f

•A"

nat¿

nat A

RedA

— RedA" Red(f °f)

auch mit Redf'o Redf gilt wegen f

nat«

nati

RedA

nat«

-RedA' Redf

Redf'

5.17 Beispiel

In 2.35 bis 2.38 wurden die Kategorien A und A* eingeführt und verglichen. Diese Kategorien sind isomorph in folgendem Sinne: Es existieren Funktoren

Funktoren, Bifunktoren, Funktortransfoimationen

117

F : A->- A* und G : A* -> A mit GF = 1 A und FG = 1 A . , d. h. F ist „Isomorphismus" in der „Kategorie" aller Kategorien, denn sei F : A -*• A* durch die Objekt- und Morphismenzuordnung aus 2.35 definiert. Es ist unmittelbar zu sehen, daß diese Zuordnung Morphismenverknüpfung und Identitäten bewahrt. Sei G : A* -»• A die ebenfalls in 2.35 angegebene Zuordnung in der Rückrichtung. G ist ebenso Funktor, und die Forderungen GF = 1 A und FG = 1A« sind offenbar erfüllt. 5.18 Definition Seien K 0 , K ^ , K 2 Kategorien. EinBifunktor F : K j X K 2 - > - K 0 ist eine Zuordnung 1. | K 1 | X | K 2 | 9 ( A , , A 2 )

+

>F(A 1 ,A 2 )G |K 0 |

2. M o r K 1 ( A 1 , B 1 ) X M o r K 2 ( A 2 , B 2 ) 3 ( f 1 , f 2 ) ~ F(f, ,f 2 )€MorK 0 (F(A 1 ,A 2 ),F(B! ,B 2 », für die folgende Axiome gelten: Fl) A((At

i BA

Cj) e

KO A((A2

% B hC 2

2)

€ K2)

F(fiof„fiof2) = F(fi,fi)oF(fI/2) F2) A (A x e |Kj |) A (A 2 e |K21) F ( 1 A i , 1 A i ) = 1f(A|,AJ) 5.19 Mor-Funktor Sei K Kategorie. Für AltA2 fi : Bj -^-Aj und f 2 : A 2

£ |K| ist MorK(A!,A 2 ) eine Menge und für B 2 in K ist eine Abbildung

MorK(fj , f 2 ) : MorK(A t ,A 2 ) ^ MorK(Bx ,B 2 ) definiert durch X

+» f 2 O X O fi

Damit läßt sich der Mor-Funktor MorK : K°XK -»• Me als Bifunktor folgendermaßen definieren: 1. |K°| X |K| = |K| X |K| 3 (A t ,A 2 ) **• MorK(Ai ,A 2 ) £ |Me| 2. MorK°(Ai,Bi)X MorK(A 2 ,B 2 ) = MorKCB^Aj) X MorK(A 2 ,B 2 ) 3 ( f i , f 2 ) - » MorK(fi .fj) G MorMe(MorK(Ai ,A 2 ), MorK(B! ,B 2 )) MorK läßt sich als Bifunktor von K X K nach Me auffassen, der in der ersten Stelle kontravariant (vgl. 5.2) und in der zweiten Stelle kovariant ist, denn es gilt:

118

Funktoren, Limitesund adjungierte Funktoren

F l ) : Seien tf : A t

B 1 ; f ^ 0 : B x -»-C! K ° - M o r p h i s m e n

( d . h . f j : B i ->• A 1 ( f^ : C^ -» B x u n d f 2 : A 2 ->• B2, f^

:

B2

C2

K-Morphismen) K-Morphismen,

d a n n gilt für alle x € M o r K ( A j , A 2 )

u n d d a m i t gilt n a c h 1.13: M o r K ( f j ° o f ? , f 2 o f 2 ) = M o r K ( f ! o f j .f^ o f 2 ) = MorKifj,f2) OMorK(fl,f2) = MorKCff,^) oMorK(f^,f2), d. h . F l ) von 5.18. F2):

A(xeMorK(Al5A2)) M o r K ( l ^ i , l A j ) ( x ) = M o r K ( l A [ , l A i ) (x) = l ^ o x o 1A> = x =

^orKCAj^)

W

5.20 Bemerkung B e t r a c h t e t m a n d e n F u n k t o r MorK f ü r ein festes A G |K| in d e r ersten b z w . zweiten Stelle, so erhält m a n Partialfunktoren M o r K ( A , - ) : K-»Me b z w . M o r K ( - , A ) : K ° -*• Me, i n d e m m a n d e f i n i e r t : A(f€MorK(A2 ,A2)):

A(f°eMorK°(A1 ,Ai):

MorK(A,f):MorK(A,A2)->MorK(A,A2)

M o r K ( f , A ) : M o r K ( A l ,A)-> ^MorK(A'1;A)

durch: x + * f o x

durch:

x+»xof

119

Funktoren, Bifunktoren, Funktortransformationen

5.21 Bemerkung Monomorphismen, Epimorphismen, Retraktionen und Coretraktionen lassen sich mit dem Mor-Funktor charakterisieren. Es gilt nämlich: Ein K-Morphismus f ist genau dann Monomorphismus, wenn für alle K S |K| MorK(K,f) injektiv, Epimorphismus, wenn für alle K G |K| MorK(f,K) injektiv, Retraktion, wenn für alle K G. |K| MorK(K,f) suijektiv, Coretraktion, wenn für alle K £ |K| MorK(f,K) suijektiv ist. 5.22 Definition Seien F : K -»• L und G : K -»• L Funktoren. Eine Funktortransformation r\: F -»• G ist eine Familie von L-Morphismen [tj(A) | R?(A) e MorL(F(A),G(A))] A

E

IK|

für die gilt: A (A,B G |K|) A (fGMorK(A,B)) "G(A)

F(A)

G(f)

FCO

F(B)-

-G(B) tKB)

Falls für jedes A 6 |K| r?(A) Isomorphismus ist, heißt r? Funktoräquivalenz, geschrieben 77 : F ^ G. 5.23 Lemma Seien F,G,H : K -»• L Funktoren und a : F G, ß : G H Funktortransformationen. j 3 o a : F - > H definiert durch: ßoa(A) := ß(A)oa(A) ist Funktortransformation, denn es gilt: 0oq(A)

F(A)-

-H(A) •g(a)

F(f)

H(f)

G(F) 'G(B) -

F(B)-

H(B) (3oa(B)

120

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

5.24 Beispiel Mit der Bezeichnungsweise von Beispiel 5.16 ist nat A : 1a ->• J o R e d , definiert durch nat A = [ n a t A ] A e | A (i 0 ) | , Funktortransformation. Dabei sei J : Ared(I,0) -*• A(I,0) Inklusionsfunktor. Es gilt nämlich nach Definition von Redf: A (A,B € |A(I,0)|) A (fGMorA(I,0) (A,B)) nat A (A) A

=

1aA

•JRed(A)

JRed(f)

JRed(B) nat A (B)

Diagramme, Limites und Colimites 5.25 Definition Eine Kategorie S^ heißt kleine Kategorie, wenn |S| eine Menge ist. In diesem Fall ist auch die Morphismenklasse MorS = -

U

(S,,S 2 )• K ist mit I definiert durch III = I, L 0 sonst, D definiert durch A (iGl) D(i) = Aj. pj Beweis: Wegen l(i,j) = 0 für i¥=j ist [ p ^ = [P->- A ^ trivialerweise Funktortransformation von ZP nach D. (P.tPih) ist genau dann Limes von D, wenn gilt: A (K G |K|) A (r?GFunkt(I,K) (ZK,D)) V (kGMorK(K,P))

ZK\ [Pili

Zk

d. h. A (K e |K|) A ([t?|]j | m eMorK(K,Ai)) V (keMorK(KJ>))

Vi

K-

Ai

A(iGl)

Pi

(vgl. Lemma5.32), d . h . (P.tPih) ist Produkt von [Aj]j.

^P

q.e.d.

5.34 Satz (Differenzenkerne sind Limites) Si Sei die kleine Kategorie S gegeben durch Sj 3 S 2 Sei weiter das Diagramm D : S K

f

gegeben durch A 3 B. Dann ist g

L(D) := DKer(f,g) zusammen mit £(D), definiert durch £(D) ( S t ) := dker(f,g) und £(D) (S 2 ) := fodker(f,g) = godker(f,g), Limes von D.

126

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

Beweis: 1. Zu zeigen: ß(D): ZL(D) -+ D ist Funktortransformation, d. h. A (S,S' G |S|) A (sGMorS(S,S')) 8(DXS) ZL(D)(S)

•DCS)

ZL(D)(s)

D(s)

•D(S')

ZUDXS')ß(D)(S')

Zu untersuchen ist wegen MorS(S2 ,Si) = , Mor(Sj,Sj) = [[ l s .]| (j=l ,2) nur der Fall S = S 1 ; S' = S 2 . ' Nun gilt dker(f, g) DKerCf, g)

-A

DKer(f,g)

DKer(f, g) • fodker(f, g) = godker(f,g) also ist £(D) Funktortransformation. 2. Zu zeigen ist: A (K e |K|) A (r?: ZK -> D) t (k£MorK(K,L(D))) ZK-

-D

(1)

\ \

\

ß(D)

=

Zk \

ZUD)

Diagramme, Limites und Colimites d . h . A(KG|K|)A(T}SI,T7S2)

mit

.A r?Sj

V (kGMorK(K,DKer(f,g)) r?S, K\

dkerff, g)

DKer(f,g) r?S2 -B

K\

\ k

^\

fodker(f, g) = = godker(f,g) \

DKer(f, g) d. h. A (K G |K|) A (r?Sx | forçS, = gorjSj) V (kGMorK(K,DKer(f,g)) T?SI

Kdker(f, g)

DKer(f, g) d. h. dKer(f,g) ist Differenzenkern von f und g.

q.e.d.

128

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

5.35 Bemerkung Analog zu 5.33 und 5.34 zeigt man, daß Pullbacks und damit insbesondere Durchschnitte und Kernpaare Limites sind. Dual gilt: Coprodukte, Cokerne und Pushouts sind Colimites.

5.36 Definition Ein Funktor F : K-+ L bewahrt Limites eines Diagramms D : S.-> K, wenn für jeden Limes (L,£) von D in K (FL,F£) mit Fß := [F(ßS>] Limes von FoD in L ist. Eine Familie [ F j : K L]j von Funktoren reflektiert Limites eines Diagramms D : S->- K, wenn (L,£) Limes von D in K gilt, falls für jedes iGl (FjL.Fiß) Limes von F j o D in L ist.

5.37 Motivation Viele kategorielle Begriffe können mit Hüfe des Mor-Funktors in Me charakterisiert werden. Der folgende Satz zeigt, daß dies auch für den Begriff „Limes" möglich ist.

5.38 Satz (Charakterisierung von Limites durch den Mor-Funktor) Für jede Kategorie K bewahrt und reflektiert die Famüie [MorK(K,-)] K Limites (beliebiger Diagramme), d. h.:

e

|K|

Für jedes K-Diagramm D : S->• K güt: (L,fi) mit L G | K | , ß = [ßS]|s|, CS GMorK(L,DS) ist K-Limes von D genau dann, wenn für jedes K G |K| (MorK(K,L),MorK(K,£)) Me-Limes von MorK(K,D-) := MorK(K,-) OD : S M e ist. Dabei sei MorK(K,ß) := MorK(K,-) (£) = [MorK(K,£S)],s,. Beweis: „=>": Sei Z^g : Me Funkt(S ,Me) bzw. Z K : K -> Funkt(S.K) der zu S gehörige Zuordnungsfunktor von Me bzw. K (vgl. 5.30). Sei nun (L,£) Lünes von D, K e |K| beliebig. Wegen ££Funkt(S,K) (ZL,D), d. h. A (S,S'e |S|)A(sGS(S,S'))

L

Ds

(1)

129

Diagramme, Limites und Colimites u n d MorK(K,~) F u n k t o r güt A ( S , S ' e | S | ) A (sGS(S,S'))

MorK(D, DS) M o r K ( K , ßS) MorK(K,.L)

M o r K ( K , Ds)

M o r K ( K , fiSTf

k

(2)

M o r K ( K , DS )

d. h . M o r K ( K , £ ) G F u n k t ( S , M e ) (ZM e MorK(K,L),

MorK(K,D-)).

Sei n u n M G |Me| u n d T ? G F u n k t ( Z ^ , M o r K ( K , D - ) ) , d. h . A ( S , S ' G | S | ) A(sGS(S,S'))

A(S,S'e|SJ)A(s• D(S) (S £ |S|) und q z « = Q ^ D ( Z ( s ) ) (sES) . Für D(s) : D(S) -> D(Z(s)) güt D(s)ops:P^D(Z(s)) Pz(s)

: P -*• D(Z(s))

(sGS).

Wegen der Produkteigenschaft von Q existiert eindeutig P : = [Pz(s)Js DS]|s| existiert wegen der Produkteigenschaft von P eindeutig h:K^P mit A (S G |S|) p s o h = n(S)

(6)

Da r) : ZK D Funktortransformation ist, gilt für alle S,S'e | SJ und alle sfEMors(S,S') r?S' = D(s)or?S. Damit folgt aus (6): Pz(s) o h = r?(Z(s)) = D(S)OT?S = D(s)o P s oh. Also gilt Qz(s)°P°h

(i) =

Pz(s)°h

(?) =

(2) D ( s ) o p s o h = q Z ( s ) O q o h und damit wegen der

(7)

134

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

Eindeutigkeit der Ergänzung in das Produkt Q : p o h = q o h . Also existiert (eindeutig) k mit

dker(p,q)

q

Weiter gilt wegen (3) und (6) für alle S G | SJ

und damit gilt für k (5). Gelte nun (5) auch für k'. Wegen (7) gilt dann für alle S G |S| p s 0"dker(p,q)ok'=p s oh . Damit gilt wegen der Eindeutigkeit der Ergänzung in das Produkt P dker(p,q)ok' = h = dker(p,q)ok, also wegen der Eindeutigkeit der Ergänzung in den Differenzenkern DKer(p,q) k' = k, also existiert eindeutig k mit (5) q.e.d.

Universelle Probleme und adjungierte Funktoren 5.41 Definition G sei eine Kategorie. Eine Unterkategorie K von G heißt reflektive Unterkategorie von G, wenn gilt:

Universelle Probleme und adjungierte Funktoren

A (G G |G|) V (S(G) € |K|) V (u(G)GMorG(G,S(G)) A (K e |K|) A (f G: Für jedes'GG|G| wird gesucht ein S(G) € |K| und ein u(G) G MorG(G,TS(G)) derart, daß gilt: A (K G |K|) A (fGMorG(G,TK)) V (fGMorK(S(G).K))

-TK /

u(G)

Tf

TS(G)

5.44 Beispiel (Colimes als Lösung eines universellen Problems) Sei G = Funkt(S,K). Dann ist die Lösung zum universellen Problem des Zuordnungsfunktors Z : K -»• Funkt(S,K) der Colimes.

D /

u(D) := c(D)

(vgl. 5.31) /

/

/

Zk

ZC(D) 5.45 Satz Das universelle Objekt S(G) € |K| ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Beweis: Sei neben (S(G),u(G)) auch ( S ^ G j . u ^ G ) ) universell. Dann existiert k, : S(G) -> S, (G) derart, daß im folgenden Diagramm (1) gilt, und k : S, (G) S(G) derart, daß (2) güt.

137

Universelle Probleme und adjungierte Funktoren

-TSi(G)

TS(G) u(G) 'TS(G)

u(G)

T(k)

(3)

TS(G)' auc Da sowohl für k := 1s(g) h nach (1) und (2) fiir k := k o k x (3) gilt, folgt aus der Eindeutigkeit von k m i t ( 3 ) k o k j = 1s(g)- Ebenso k j o k = l S i ( G ) . q.e.d.

5.46 Satz und Definition (Lösungsfunktor) Sei das universelle Problem zum Funktor T : K -> G lösbar mit Objektzuordnung S : |G| ->• |K| und universellen Morphismen u(G) : G TS(G) für alle G G |G|. Dann läßt sich S zu einem Funktor S : G ->• K fortsetzen, indem für jedes gGMorG(G,G') Sg6MorK(SG,SG') als der eindeutig bestimmte Morphismus mit -G'

u(G)

u(G')

TS(G')

TS(G) TS(g) definiert wird.

S heißt linksadjungierter Funktor zu T, geschrieben S —|T(K,G).

138

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

Beweis: Zu zeigen: 1. A (G K G' £ G" e G): S(g'og) = Sg'oSg 2. A ( G G | G | ) : S 1 G = 1 S G 1. Es gilt

u(G")

u(G)

TSG

S(g'og) ist definiert durch g'°g (3)

u(G)

u(G")

TSG

•TSG" TS(g'og)

Aus (1) und (2) folgt, daß auch T(Sg'oSg) (3) kommutativ macht. Damit folgt S(g'og) = Sg'oSg. 2. gilt wegen

T(1sg)=1TSG

und da S1 G definiert ist durch

u(G)

u(G)

TSG

•TSG T(S1 G )

q.e.d.

139

Universelle Probleme und adjungierte Funktoren

5.47 Folgerung a) Da die Umkehrung des Satzes in 5.46 trivial ist, gilt damit: Das universelle Problem zum Funktor T : K ->• G ist genau dann lösbar, wenn ein linksadjungierter Funktor S —l T(K,G) existiert. b) Für S fest definiert der Colimes als Lösung des zum Zuordnungsfunktor Z : K ->• Funkt(S_,K) gehörigen universellen Problems einen Funktor Colim : Funkt(S,K) K. 5.48 Satz (Charakterisierung von adjungierten Funktoren) Sei T : K

G Funktor.

Ein Funktor S : G Funktoräquivalenz

K ist linksadjungiert zu T genau dann, wenn eine

17: MorK(S-,-) ^ MorG(-T-) existiert, wobei t?(G,-) : MorK(SG-)MorG(G,T-) für alle GG |G| und r?(-,K) : MorK(S-,K)

MorG(-,TK) für alle K e |K|

Funktortransformationen sind und 77(G,K) für alle G £ |G| und alle K 6 |K| Bijektionen sind. Beweis: Wir werden die Äquivalenz folgender Aussagen zeigen: I Das universelle Problem zu T ist für alle G G |G| (d. h. lokal) lösbar. II A ( G G |G|) V(SGG |K|) V ( V ( G - ) : MorK(SG,-)^MorG(G,T-)) III Es existiert ein Funktor S : G -> K und eine Funktoräquivalenz n : MorK(S-,-) ^ MorG(-,T-) Mit Folgerung 5.47 folgt dann die Behauptung. Wir zeigen dazu: 1. Teil: I o II 2. Teil: I a I I ^ I I I III

II ist trivial, da II Spezialfall von III ist.

1. Teil: I =>• II: Voraussetzung: Das universelle Problem zu T sei für ein G G | G | lösbar, d. h. f G

u(G)

^T(K)

T(k)

TS(G)

140

Funktoren, Limites und adjungierte Funktoren

Für alle K e |K| und für alle feMorG(G,T(K)) existiert eindeutig k£MorK(S(G),K) mit f = T ( k ) o u ( G ) Zu zeigen: Es existiert i?(G,-) Funktoräquivalenz t?(G,-) : MorK(S(G),-) ^ MorG(G,T-) Wir definieren r?(G,-) := [r?(G,K) : MorK(S(G),K) - MorG(G,T(K))] K e ,k, mit t?(G,K) (k) := T ( k ) o u ( G )

Da zu f K 5.55 Bemerkung Unter bestimmten Voraussetzungen läßt sich aus der Existenz von beliebigen Limites auf die Existenz von beliebigen Colimites schließen (vgl. [7],S. 88 ff). 5.56 Satz (rechtsadjungierte Funktoren bewahren Limites) Sei S h T : K - > G . dann überführt T K-Limites in G-Limites (d.h. ist Lim(D)G|K| Limes von D€Funkt(S,K), dann ist TLim(D) £ |G| Limes von TD€Funkt( S ,G)). Beweisskizze: Sei G G | G | , dann gilt: I

MorG(G,TLim(D))

=

II

MorK(SG,Lim(D))

s

III LimMorK(SG.D-)

ss

IV LimMorG(G,TD-)

ss

V

(1)

MorG(G,Lim(TD))

wobei die Isomorphien funktoriell in G sind (das ist hier nicht gezeigt worden), hieraus folgt, daß TLim(D) ss Lim(D). Darüberhinaus läßt sich zeigen, daß der Funktor T auch den universellen Morphismus erhält. Es gilt: T(lim(D)) = lim(TD) Begründung von (1): Es ist I

II

nach Satz 5.53

s

III

nach Satz 5.38

III s

IV

nach Satz 5.53

IV s

V

nach Satz 5.38

II

(MorG(SG,-) bewahrt Limites)

5.57 Folgerung Die G,K-Dualisierung mit Vertauschung von G und K von Satz 5.56 lautet: Sei T —| S : G K. Dann überführt T K-Colimites in G-Colimites (vgl. 5.53).

6 Schaltoperationen und Zerlegungen

In diesem Kapitel wird die Coprodukt-, Parallel- und Hintereinanderschaltung von Automaten untersucht, und es werden Kriterien und Sätze angegeben, die es gestattten, einen vorgegebenen Automaten bzgl. dieser Schaltoperationen zu zerlegen. Durch Einführung von „Überdeckungskongruenzen" erreicht man eine einheitliche Darstellung der Zerlegung in „prime" bzw. „semiprime" Automaten (vgl. [19]) und der Zerlegung in „Permutations-Reset-Automaten" (vgl. [20]). Die Betrachtung von Zerlegungen ist für technische Anwendungen interessant, weil man bestrebt ist, komplizierte Automaten aus „einfachen Bausteinen" zusammenzusetzen.

Coproduktschaltung und Zerlegung in Zusammenhangskomponenten 6.1 Bemerkung Die Arbeitsweise des Coproduktautomaten .U Aj, der in 4.26 eingeführt wurde, beschreibt für J = [ 1 , . . . , n j folgende Schaltskizze:

148

Schaltoperationen und Zerlegungen

Dabei bewirkt die Eingabe des Coproduktautomaten x in der Komponente Aj, die gerade in „Betrieb" ist, die Änderung des Zustandes von Sj nach xSjSj und die Ausgabe von xAjSj. Diese Ausgabe des Teilautomaten Aj wird dann zur Ausgabe des Coproduktautomaten. In allen anderen Komponenten passiert nichts. 6.2 Definition Sei AG|A|; A heißt schwach zusammenhängend, wenn für alle 2 A¡(i=l,2) aus AsULA; folgt: A = A t oder A s A 2 . i=l 6.3 Satz und Bemerkung 1. AG |A| ist genau dann schwach zusammenhängend, wenn je zwei Zustände von A verkettet sind, d. h. zu s,s'eS existieren Zustände s = Sq , S j , . . s k = s' und Wörter w Q , . . ., w ^ j aus I*, sodaß 6*(Wj,Si) = s i+1 oder 5*(wj,s¡+i) = s¡ für i = O , . . . , k-1 gilt. 2. Graphentheoretisch bedeutet der schwache Zusammenhang von A also, daß der Zustandsgraph von A als ungerichteter Graph zusammenhängend ist. 3. Im Gegensatz zu schwachem Zusammenhang wird Zusammenhang eines Automaten A in der Literatur dadurch definiert, daß A keine „nichttrivialen" echten Unterautomaten besitzt. Eine Zerlegung eines Automaten in zusammenhängende Unterautomaten analog Satz 6.4 ist aber i.a. nicht möglich. Beweisskizze zu 1. Die Behauptung folgt aus der Äquivalenz folgender Aussagen: a) Existieren s,s'GS, die nicht verkettet sind b) Existieren s,s'GS und S l f S 2 C S mit S = S t Ü S 2 , sGSj, s'GS2 und A = A 1 1LA 2 für A i = ( I , 0 , S i , 5 | I X s i , X l i x s i )

c) Existieren A'^Aj E |A| mit AssAilLA^ und A i , A 2 ^ A Einerseits erhält man die Aussage a) => b), wenn man S t := [sjGS | Sj und s verkettet] und S 2 = S\S1 wählt und die Konstruktion 4.26 des Coprodukts beachtet. Umgekehrt gilt b) =>• a), weil nach 6.1 der Coproduktautomat stets in einer Komponente arbeitet und damit Zustände aus verschiedenen Komponenten nicht verkettet sein können, b) c) ist trivial und c) => b) erhält man, wenn man für A¡ das Bild von A| unter dem Isomorphismus y : Ai1LA2 -*• A wählt. 6.4 Satz Sei A G |A| mit endlicher Zustandsmenge S.

149

Parallelschaltung

Dann existieren A t , . . . , A n G |A| mit A = iL A¡ und schwach zusammenhängenden A¡. Beweis: 1. Fall: A ist schwach zusammenhängend. Dann setze n = 1 und A x = A 2. Fall: A nicht schwach zusammenhängend. Dann existieren Al ,A 2 mit A s J l A i und Ai^fe A für i =1,2, d.h.: |S,| < |S| > |S 2 | i=l Dieses Verfahren läßt sich dann für A i und A 2 (und gegebenenfalls für alle weiteren sich aus dem 2. Fall ergebenden Teilautomaten) fortsetzen, bricht aber nach endlich vielen Schritten ab, da S endlich ist. q.e.d. 6.5 Bemerkung Die in 6.4 angegebene Zerlegung ist bis auf Reihenfolge und Isomorphie eindeutig und bedeutet anschaulich eine Zerlegung des Zustandsgraphen in seine Zusammenhangskomponenten. Die Zerlegung der Zustandsmenge S ist dabei genau die Klasseneinteilung von S, die durch die Äquivalenzrelation „verkettet" auf S definiert wird.

Parallelschaltung 6.6 Bemerkung Der in 4.Í und 4.2 beschriebene Produktautomat

II A¡ entspricht genau einer

j) = (A 4 A), weil auch n(p ) 1 ,p , 2 ) Kernpaar von f ist, und damit J

i

A

J

folgt die Orthogonalität der Kernpaare.

q.e.d.

6.12 Folgerung pj Sei (Kj 4 A)j eine Familie von Kernpaaren in A. pl

Diese Familie ist genau dann orthogonal und permutierbar, wenn (dcok(p\,p^))j : A - > n DCok(pJ1

) ein Isomorphismus ist,

d. h. A läßt sich bis auf Isomorphie als Parallelschaltung der Faktorautomaten auffassen. Beweis: A ist eine Kategorie mit Differenzencokernen und Produkten, erfüllt also die Voraussetzungen von 6.11. Damit p]

.

.

gilt: ( K j 4 A)j ist genau dann orthogonal, wenn f := (dcok(p J 1 ,p , 2 ))j ein pj

152

Schaltoperationen und Zerlegungen

Monomorphismus ist, und nach 6.8 genau dann permutierbar, wenn f ein Epimorphismus ist. Damit folgt die Behauptung, weil nach Folgerung 2.32 in A gilt, daß f genau dann ein Isomorphismus ist, wenn f ein Mono- und ein Epimorphismus ist. q.e.d.

Hintereinanderschaltung 6.13 Definition Seien A ! , A 2 S |A| mit 0 ! = I 2 Dann heißt der Automat A2oAJ

:=(I 1 ,0 2 ,S 1 XS 2 ,5O=(5 1 (1 i Xps i ),6 2 (\ 1 X1 S 2 )),XO=X 2 (X 1 X1 S 2 ))

die Hintereinanderschaltung von A i und A 2 . 6.14 Bemerkung Wie A 2 o A j mit A j und A 2 zusammenhängt, veranschaulicht folgende«

153

Hintereinanderschaltung

Ausgehend von A x und A 2 ( • ) , erhält man die durch Xj und l S j bzw. durch 5 j und l s induzierten Abbildungen X:X 1 S2 bzw. 5 ¡X1 S2 von der Menge InXSxXS^ in die Menge I 2 XS 2 bzw. S!XS 2 ( •). Dann ergeben sich 6 0 ( >) als induzierte ins Produkt der Abbildungen « l O i . X p s . ) und ö 2 ( X 1 X l S j ) und X0 ( >) als X 2 (X 1 X1 S2 ). 5 0 ,Xo bilden mit I 1 , 0 2 , S 1 X S 2 den Automaten A 2 o A x

(EZZZO-

6.15 Bemerkung Die Arbeitsweise der Hintereinanderschaltung läßt sich durch folgende Schaltskizze beschreiben:

6.16 Satz A(I,0) sei die Kategorie der Automaten mit konstantem I und 0 , dann ist für I 2 = 0 ! die „Hintereinanderschaltung" H : A ( I 2 , 0 2 )X A(I I , 0 ! ) -> A(I J , 0 2 ), definiert durch A ( A „ A i e |A(Ii,Oi)l) A (A 2 ,A 2 e |A(I 2 .0 2 )l) A(feMorA(Ii,Oj) (Aj,A'i)) A (gGMorA(I 2 ,0 2 )(A 2 ,A 2 )) : (H(A 2 ,AI) = A 2 OA 1 AH(g,f) = (l I i ,lo 2 ,fsXgs)), ein Funktor. Beweis: I.) Zu zeigen: H(g,f) e MorA(Ij , 0 2 ) (H(A 2 ,AI),H(A^ ,A'i)) Es gilt nach Definition: H(A 2 ,A x ) = ( I j , 0 2 , S j X S 2 , 6 0 , X 0 ) , H(A 2 ,A'I) = ( I ' ^ O ^ X S ^ . X Ö ) mit Ii = I j und 0 2 = 0 2 , f s Xg s QVIorMe(S 1 XS 2 ,S' 1 XS 2 ). Deshalb ist nur die 6- und X-Verträglichkeit von H(g,f) zu zeigen: H(A 2 ,A 1 ):

02-

^XS^Sa

lijXfsXgs

H(f,g): l o 2 Xn H(A2AI):

•S 1 XS 2

02-

• I j XSj XS2

f S Xgs

80

" S j X Sj

154

Schaltoperationen und Zerlegungen

(fSXgs)5o = (fsXfe) (5 lili.Xps.XSaiXiX l S a )) = = (f s 5 1 (l I Xp S i ),g s 5 2 (X,Xl S j )) = = (5 i ( l i X f s ) (liXp S l ),S2(li Xg s ) (XiX l S j )) = = (5i(li 1 Xf s p S i ),5i(l 0 l Xg s )(X 1 Xl S 2 )) = = (5' 1 (li 1 Xf sP s l ),5i(X 1 Xg s )) = = («i(li 1 Xps' I (fsXg s )),52(X' 1 (li 1 Xf s )Xg s )) = = (8 lOiXps;) (iiXCfsXgs^.s^x^x i s ; ) ( i i X f s ) X g s ) ) = = ( « l O i xps;),8i(XiX 1S;)) ( i i X f s X g s ) =

= 5Ö(l I Xf s Xg s ) \o = X 2 (X t X l S j ) = X i ( l i Xg s ) (XiX l S j ) = = X2(XiXgs) = Xi(X' 1 (li 1 Xf s )Xgs) = = Xi(X'iX l s ; ) (liXfs)Xgs) = Xpd^XfsXgs)

II.) Nachweis der Funktoreigenschaften: H(g 1 / 1 )oH(g 2 > f 2 ) = ( l I i , l 0 a > f s X g S i ) ( l I i , l o l / s X g s J ) = (li,.lo 2 .(fs,Xg Sl ) (fs Xgs,)) = ( h ^ o J s S s ^ i s ß s ) = H(g 1 og 2 ,f 1 of 2 ) H O a , . ^ )

=

G l ^ O ^ S , * ls2)

=

Ul.^Oj^SjX S2)

=

^H(A 2( A,)-

q.e.d. 6.17 Folgerung Seien A 1 ( A 2 G |A(I 2 ,0 2 )|, sei A e l A i l ^ O i ) ! mit O ^ I j , sei f 6 MorA(I 2 ,0 2 ) (A2 ,A x ) eine (retraktive) Reduktion. Dann existiert eine (retraktive) Reduktion f'eMorA(I 1 ; 0 2 ) ( A 2 0 A , A ! 0 A). Beweis: Setze f = H(f,l A ). Damit ist f' A(I, ,02)-Morphismus. Weiter ist 4 = fsX ls ein Epimorphismus in Me, also f1 eine Reduktion. Ferner ist f' Retraktion, falls dies für f gilt, weil jeder beliebige Funktor F Retraktionen erhält, denn für g Coretraktion zu f gilt: F(f)oF(g) = F(fog) = F ( 1 a ) = 1 F ( A )

Permutations-Reset-Zerlegungen durch Überdeckungskongruenzen 6.18 Definition

Ist bei einem Morphismus fEMorA(A,A') f Q eine Abbildung ins Endobjekt von Me, also |0'| = 1, oder ist bei einer Automatenkongruenz K Ko = 0 X 0 , dann ist die jeweilige X-Verträglichkeit trivial erfüllt. In diesen Fällen soll f 5 -Morphismus und K 5-Kongruenz heißen. Falls f zusätzlich Epimorphismus ist, heiße f 8-Epimorphismus. 6.19 Bemerkung

Da 6 0 nach Bemerkung 6.14 eine induzierte Abbildung ins Produkt ist, wobei insbesondere

IIXS

-SI

R

gilt, li.Xps,

IjXS^X S2 *

PSL

80 S1XS2

ist fiir ein Endobjekt E in Me und A j := ( I j . E ^ . S j . e j ) p = (li i ; e 2 ,ps,) 5-Epimorphismus p : A 2 O A J ->• A j , wobei ej : IiXSj ->E und e 2 : 0 2 -*-E die eindeutig existierenden Abbildungen in das Endobjekt sind. Dabei unterscheidet sich A j von A't offensichtlich nur in der Ausgabe. 6.20 Satz

(Zerlegungslemma)

Seien A und A! endliche Automaten. Sei f ein 5-Epimorphismus von A auf Al. Sei A j = ( I , I X S 1 , S 1 ^ 1 ( f i X l s ) , l j x s )• Dann existieren ein Automat A 2 , eine Reduktion mSMorA(I,0) (A 2 o A'i,A), und ein Morphismus nSl

=f

(Ifi1 [ s , ] | < i t f U s o l l )

eine injektive Abbildung

u n d eine suijektive Abbildung

s1|sol")'is1Is1]

so zu wählen, d a ß b S i o a S i = l f g ^ s j .

Dann setze A'2 = ( I X S j . O . f l H s o l ^ . X ^ ) mit 5 2 ( x , s 1 ; s ) = a 6 i ( f l ( x ) i S i ) (5(x,b S i (s))) u n d X2(x,s 1 ,s) = X(x,b S i (s)) für alle xGI, SJGSJ, s e f ^ I s o l Die Definition von ö j u n d X2 ist sinnvoll, d e n n es gilt Xjix.Sj ,s)GO u n d S ^ x . s j . s ^ f l ^ s o ] , weil X ( x , b S i ( s ) ) € 0 u n d weil 5 ( x , b S i ( s ) ) G f i 1 | [ 5 1 ( f I ( x ) , s 1 ) ] l wegen f s ( 6 ( x , b S i ( s ) ) ) = 5 1 ( f I ( x ) , f s ( b S i ( s ) ) ) = 6 x t t W . s , ) ) gilt. Wegen 0 ' 1 = I X S 1 = l 2 II.)

ist A'2oA't

definiert.

Sei m : A2O A j -*• A definiert d u r c h m : - O i , l o > m s )

m

it

l

m s ( s 1 , s ) = b S i (s) für alle S j G S j , s G f | | [ s o l .

IXSiXfi-^soD-

SiXf^1

ljXms

IX S a) Suijektivität von m s : A(sGS) ( f s i s ^ j

A afs(5)(§)efiHs0l

=> m s ( f s ( s ) , a f s ( s ) ( s ) ) = b f g ( s ) ( a f s ( s ) ( s ) ) = s ) b ) H o m o m o r p h i e e i g e n s c h a f t e n von m = ( l ] , l 0 . m s ) A ( x e l ) A (sjGSi)

ACse^fsol)

m s ( 5 o ( x , s 1 , s ) ) = m s d U i X p s ^ i X ' i X l ^ s o l » ( x > s i> s ) = ms(51(fIXlSi)(lIXpSi)(x,s1,s),52(X'1XlfiiIsoj)(x,s1,s)) = m s i S ^ ^ X p s ^ (x,Sj,s),S2(XiX l f - i I s o l ) ( x . s j . s ) ) = ms(5i(fi(x),si),52(x'1(x,s1),s))

ms

Jsol

157

Permutations-Reset-Zerlegungen

= m s (6 1 (f I (x),s 1 ),62(x,s 1 ,s)) = m s ( S 1 ( f I ( x ) , s 1 ) , a i i (f I (x) > s 1 )(S(x,b Si (s))» = bs 1 (f I (x) > S l )(a6 1 (f I (x),s 1 )( S ( x ' b s 1 ( s )))) = 5(x,b S j (s)) = «(x.mgis! ,s)) = 5 ( l j X m s ) (x,s 1 ; s) \ 0 (x,s 1 ,s) = X ^ X l f - i

Isol

) (x,Si ,s) =

= X2(x,sj ,s) = A(x,b Si (s)) = X(x,ms(si ,s)) = = X ( l i X m s ) (x,si ,s) III.)

Sei n : A - » A j O A j definiert durch n := ( l i , l o > n s )

mit

n s : S -> S i X f ^ l s o J definiert durch

n s (s) := (f s (s),a f s ( s ) (s)). ni=MorA(I,0)(A,A2oA'i), denn: a) Es gilt: A (sSS) ( f s i s ^ S i A sGfl 1 [f s (s)J => n s (s) = ( f s ( s ) , a f s ( s ) ( s ) ) € S 1 X ^ 1 [s 0 ]| d.h.: Es ist nur noch die 6- und X-Verträglichkeit von n zu zeigen: b) S 0 ( l i X n s ) ( x , s ) = 5 0 (x,n s (s)) = S 0 (x,f s (s),a f s ( s ) (s)) = = ( 6 ' i ( l i X p S l ) , Ö 2 ( V i X l f i i I s o I ) ) (x,f s (s),a f s ( s ) (s)) = (8 i(f r X l S j ) ( l i X p S i ) , 6 ^ ( l I X S i X l g 1

M

) ) (x,fs(s),afs(s)(s»

= (5 1 (fi(x),f s (s)),5^(x ) f s (s),a f s { s ) (s))) = ( f s 5 ( x , s ) , a f i i ( f l ( x ) > f s ( s ) ) (6(x,b f s ( s ) (a f s ( s ) (s)))) = (fsS(x,s),a f s 6 ( X i S ) (S(x,s))) = n s (S(x,s)) XpC^XngXx.s) = X 0 (x,n s (s)) = X 0 (x,f s (s),a f s ( s ) (s)) = = X J C X J X l f - i [ s o l ) (x,f s (s),a f s ( s ) (s)) = = X2(x,f s (s),a f s ( s ) (s)) = X(x,b f s ( s ) (a f s ( s ) (s))) = = X(x,s) IV.)

msns(s) = ms(fs(s),afsW(s)) = bfs(s)(afs(s)(s)) = s d. h.: mn = ( l , , l 0 , m s ) O i . l o » n s ) = ( l i , l 0 . m s n s ) = ( l I ( l o . l s ) = U q.e.d.

6.22

Motivation

Um das Zerlegungslemma anwenden zu können, muß ein 5-Epimorphismus garantiert werden. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines ö-Epimorphismus wird eine „Überdeckungskongruenz" sein.

158

Schaltoperationen und Zerlegungen

Bei geeigneter Wahl der Überdeckungskongruenzen werden die abgespaltenen Faktoren (in 6.20 A j ) in einem gewissen Sinne eine einfachere Struktur haben als der Automat, von dem man ausgeht. 6.23 Definition Pi Ein Paar K ^ A von A-Morphismenheißt Uberdeckungskongruenz zu dem pi Automaten A, wenn eine Reduktion m'£MorA(I,0) (A',A) und eine Pi

6-Kongruenz K ^p A' auf A' so existieren, daß p¡ = m ' o p j (i=l,2) gilt, 2 vgl. 6.18,4.9. 6.24 Bemerkung Im folgenden sollen zwei Möglichkeiten angegeben werden, einen Automaten A durch Überdeckungskongruenzen in Hintereinanderschaltungen bis auf Reduktion zu zerlegen. 6.25 Satz Zu jedem endlichen Automaten A mit l¥= und |S| > 2 existiert eine Pi

5-Kongruenz K=> A (vgl. 6.18,4.9) mit K s =£SXS, so daß für den Faktorp2

automaten C := D C o k i p j ^ ) gilt: Ist K' eine Kongruenz auf C, dann ist Kg = S(C)XS(C) oder K¡ = AI(C),

= AO(C) und Kg = AS(C).

Beweis: Gäbe es Automaten, auf denen keine solche Kongruenz existiert, dann gibt es unter diesen einen Automaten A, der bezüglich |I| + |S| minimal ist. Es soll nun eine 5-Kongruenz R konstruiert werden. Skizze zum Beweis:

A auf A mit den Eigenschaften des Satzes

Permutations-Reset-Zerlegungen

159

Offenbar existiert auf A die 5 -Kongruenz pK K = (AI,OXO^S,6K,XK)=LA, wobei 5G bzw. Xg bzw. durch EinP? schränkung von 5X5 bzw. XXX bzw. p x ,p 2 : AXA-* A definiert sind (vgl. 4.9). Nach Voraussetzung über A existiert nun auf dem Faktorautomaten ? = DCok(pf,p£) eine Kongruenz

mit Kg ± S(£f)XS(Ü) und

K ' ^ A P , wegen |0(C)| = 1 also KJ * Al(C) = AI oder K's

AS(f) = AS.

Mit Kj : = £ } , Kq :=OXO und Kg := Kg existiert dann auch eine Pi 5-Kongruenz K t A auf A, da die 6-Verträglichkeit erhalten bleibt und die Pj

X-Verträglichkeit trivial ist. Für den Faktorautomaten C =DCok(p 1 ; p 2 ) gilt nun wegen K j ^ A I oder K s * AS |I(C)| + |S(C)| < |I| + |S|, und wegen K s # SXS und |S| > 2 güt |S(C)| > 2, und 1^=0 liefert I ( C ) # 0 . Damit muß nach Wahl von A eine

, PI

,

5-Kongruenz K 3 C auf C mit K s S(C)X S(C) so existieren, daß für den Ps , , , Faktorautomaten C = D Cok(p 1; p 2 ) die Eigenschaften gelten, die im Satz für C formuliert worden sind. Nun ist das Kernpaar R 3 A von f := dcokip^.p^odcok^.pj) eine 5-Kongruenz auf A mit Faktorautomat C', denn nach 3.6 und 4.18 stimmen in A Differenzencokerne mit Epimorphismen überein, und da Epimorphismen kompositionsabgeschlossen sind (vgl. 1.18), ist f Differenzencokern und damit nach 3.33 Differenzencokern seines Kernpaares RifcA (existiert nach 4.10). Wegen Kg S(C)XS(C) gilt aber |S(C')| > 1 und damit R s ^ S X S . Weiter gilt R 0 = 0 X 0 wegen |0(C')| = 1, wobei letzteres aus K 0 = 0 X 0 und damit |0(C)| = 1 folgt. Damit ist R ^ A eine 5-Kongruenz mit R s # SXS auf A, derart daß für den Faktorautomaten C' die Eigenschaften des Satzes erfüllt sind, im Widerspruch zur Wahl von A. q.e.d. 6.26 Definition Automaten, die die Eigenschaften des Faktorautomaten in 6.25 haben, werden wie in [19] S. 91 prim genannt. 6.27 Bemerkung Mit A' := A und m' := 1 A ist die 5-Kongruenz in 6.25 eine Überdeckungskongruenz auf A. 6.28 Satz (1. Zerlegungssatz) Zu jedem endlichen Automaten A G |A| mit |S| > 1 und I =£0 existieren Automaten A' 1 ; . .,A' r G |A|, r > 1, mit folgenden Eigenschaften:

160

Schaltoperationen und Zerlegungen

a) V (mGMorA(I,0) (Aio

oA'^A))

V (n A u n d eine 5 - K o n g r u e n z K 3 A ' Sei m ' : = ( l I , l 0 , m s )

definiert werden.

mit:

A ( ( s , S \ [ s 0 l ) € S ' ) ( m s ( s , S \ [ s 0 ] ) = s) und K :=(AI,OXO,Ks,ök,Xk)

mit

A(((s,S\[so]Ms',S\Is^]))=:(z,z')eS'XS')((z,z')€Ksoso=sb),

und

SK

b z w . X K seien d u r c h E i n s c h r ä n k u n g e n v o n 6 ' X 5 ' b z w . X'XX' d e f i n i e r t . I I ) Es gilt: a) A ( x G I )

A((s,S\|[soI)eS')

X ' ( x , ( s , S \ I s 0 l ) ) = X(x,s) = X ( x , m ^ ( s , S \ [ s 0 l ) ) Für alle x G I m i t 5 [ | x J X S ] = S g ü t : b) A ( ( s , S \ [ s o l ) G S ' ) msS'(x,(s,S\[s0l)) = ms(6(x,s),5[|[xlX(S\Isol)]) = = 6(x,s) = 5(x,m^(s,S\[[sol)) c) Für ( ( s , S \ | [ s o ] l ) , ( s ' , S \ | [ s o ] ) ) = ( z , z ' ) G K s

ist

§'(x,z) = ( 5 ( x , s ) , S [ [ x j X ( S \ [ s 0 J)]) und S ' ( x , z ' ) = ( 6 ( x , s ' ) , 5 [ [ x ] | X ( S \ [ s Q ] ) ] ) ; also ist (6'(x,z),5'(x,z'))GKs

Peimutations-Reset-Zerlegungen

163

Für alle x€I mit S [ [ x j X S ] C SN^sJ gilt: d) A((s,S\Iso])GS') ms5'(x,(s,S\|[sol)) = ms(ö(x,s),S\[sJ) = 5(x,s) = = 5(x,ms(s,S\[sol)) e) Für (z,z')GKg entsprechend c) ist 5'(x,z) = (S(x,s),S\[s 1 l) und S'(x,z') = ( « ( x ^ S ^ s , ]), also ist (5'(x,z),5'(x,z'))GK s III) Aus IIa),b) und d) folgt, daß m'S(D) im Transitionsmonoid von D eine Permutation. Für xGl mit 6 [ I x l X S ] C S \ | s J und für alle z , z ' G S ( D ) gÜt: ö D (x,z) = 5 D (x,[(s,S\Is 0 ]|)]) = [5'(x,(s,S\[s 0 !))] = = [(8(x,s),S\|[s 1 1)] = [ ( 5 ( x , s ' ) ) , S \ I S l ] ) ] = 6 d ( x , z ' )

Somit ist das dem x zugeordnete Element S D ( x , - ) im Transitionsmonoid von D ein Reset. Da für ein beliebiges Element l ) und eine Reduktion m*