Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 75 [Reprint 2020 ed.] 9783112353646, 9783112353639

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Journal für

die

r e i n e und a n g e w a n d t e In

Mathematik.

z w a n g l o s e n

Als

Fortsetzung

A.

L.

C

r

H e f t e n .

des e

1 1

von e

gegründeten Journals herausgegeben

unter

Mitwirkung

der

Herren

Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass von

C.

W.

B o r c h a r d t .

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preussischer Behörden.

Fünfundsiebzigster Band. In vier Heften. Mit zwei F i g u r e n t a f e l n .

Berlin,

1873.

D r u c k u n d V e r l a g von G e o r g

Reimer.

Inhaltsverzeichniss des fiinfundsiebzigsten Bandes.

Bin

Cyclus von Determinanten-Gleichungen. (Eine analytische Erweiter u n g des Pasca/schen Theorems.) Von Herrn Otto Hesse in München. Seite Zur r>. Ständischen Construction des regulären Siebenzehnecks. (Bd. XXIV., Seite 251 dieses Journals.)

Zur Theorie von Jacobis in Breslau Ueber

die

Theorie

Von H e r r n H. Schröter

Kettenbruch-Algorithmen.

der Elektrodynamik.

zu B r e s l a u

—

Von Herrn P.

1 13

Bachmann 25

Zweite Abhandlung.

Kritisches.

Von Herrn H. Helmholtz Evaluation du rapport anharuionique de quatre droites passant par un point et touchant deux coniques. Par M. Ed. Weyr ä Prague U e b e r die Besseischen Functionen und ihre Anwendung auf die Theorie der elektrischen Ströme. Von Herrn H. Weber in Zürich Zur Theorie der linearen Complexe. Von Herrn Pasch in Giessen. . . . Ueber die Formen der Curven dritter Ordnung. Von Herrn H. Durige in P r a g Ueber Functionen, welche ein den Functionaldeterminanten analoges Verhalten zeigen. Von Herrn Rosanes in Breslau Ueber die Darstellung binärer Formen als Potenzsummen. Von D e m selben Ueber die Darstellung der Functionen complexer Variablen, insbesondere der Integrale linearer Differentialgleichungen. Von Herrn L. Fuchs in Greifswald Beitrag zur Theorie der Abelschen Functionen. Von Herrn J. Thomae in Halle. Siebzehntheilung des Lemniscatenumfangs durch alleinige Anwendung von Lineal und Cirkel. Von Herrn L. Kiepert in Freiburg i. Br. . . .

—

35

—

67

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75 106 153

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166

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172

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177 224

—

255

IV

Inhaltsverzeichniss

des fünfundsiebzigsten

Bandes.

Auszug aus einem Schreiben des Herrn Mertens in Krakau an den Herausgeber Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. (Fortsetzung der Abhandlung im 74. Bande dieses Journals.) Von Herrn L. W. Thome Ueber diejenigen Fälle, in welchen die Gaassische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt. (Nebst zwei . Figurentafeln.) Von Herrn H. A. Schwarz in Zürich Ueber die Bewegung einer Pendelkugel in der Luft. Von Herrn Oskar Emil Meyer in Breslau Zusatz zu der Abhandlung Uber Siebzehntheilung der Lemniscate, S. 255 dieses Bandes. Von Herrn L. Kiepert in Freiburg i. Br

Seite 264 —

265

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292

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336

—

348

1

Ein Cyclus von Determinanten-Gleichungen. (Eiue analytische Erweiterung des PaicaZschen Theorems.)

Otto Hesse

(Von Herrn

in München.)

I. In zu den

den

dreissiger J a h r e n hat

elegantesten Erfindungen

der

Steiner

eine F i g u r entdeckt,

neueren G e o m e t r i e

gehört.

die wohl Die

Ent-

deckung hat er in seiner G e o m e t r i e p. 3 1 1 mit folgenden W o r t e n ausgedrückt: „Irgend 6 Punkte eines Kegelschnittes bestimmen 6 0 einbeschriebene Sechsecke;

in j e d e m

der letzteren

liegen die drei P u n k t e ,

gegenüberliegenden

Seiten sich schneiden,

s o l c h e r Geraden P

stattfinden ;

durch irgend einen Punkt R, v o n diesen 2 0 Punkten R zu

dass 2 0

6 0 Geraden gehen solcher Punkte R

welchen so

dass

die 60

drei und drei entstehen;

liegen 1 5 mal 4 in einer Geraden S,

in drei solcher Geraden liegt. S

in einer Geraden P ,

von diesen so

in

einfache

und

so dass j e d e r

( W e l c h e Beziehungen haben diese 1 5 Geraden

einander?)" W e n n man die

Steinersche

w e l c h e n sie sich b e z i e h t , w e l c h e sich Charakter

so

besteht dieselbe nur

zu dreien 2 0 mal

dieser

complicirten

Bd. 4 2 p. 2 6 9 gezeigt h a b e ,

in

einem

Figur

aus 1 5 geraden Linien

der 2 0 Punkte

lässt

sich,

ich

in

S, Der

diesem

Journal in f o l -

Gleichungen

wie

schneiden.

R

auf

viel einfacher als durch eine Zeichnung

genden 2 0 linearen identischen

(1-)

F i g u r ablöset von dem K e g e l s c h n i t t e ,

darlegen:

a") b —c = I f ) c —a = (/, y") a —b = (> a)b—c—Q, (•) ) c —a = (i, y ) a —b = p a ) b —c = (j, (i ) c —a — (J, y ) a —b = y f\

L*

t

/Jt >

t

*

'

tt\

itt

11

;jtt\

tt

n


ß> r> » ß„ Y„Die Steinersche Figur lässt sich bequem in folgendem Satze ausdrücken: „Wenn man dreien geraden Linien q, welche von demselben Punkte d ausgehen, drei Dreiecke einbeschreibt, so schneiden sich die correspondirenden Seiten von je zwei dieser Dreiecke in drei Punkten, welche in einer geraden Linie r liegen, und die drei den Dreieck-Paaren entsprechenden geraden Linien r schneiden sich wieder in einem Punkte d." Der Charakter der Figur spricht sich in diesem Satze aber nicht so deutlich aus als in den aufgestellten identischen Gleichungen (1.). Denn aus dem Satze ist es nicht sogleich ersichtlich, wie man umgekehrt von den drei geraden Linien r ausgehend, welche sich in dem Punkte d schneiden, in umgekehrter Richtung ohne die Figur zu verlassen zu dem dem Punkte d entsprechenden Punkte (51 gelangen muss. Dass die Punkte d und d in der Figur gleichberechtigt sind, ersieht man aus den identischen Gleichungen (1.) sofort, wenn man die geometrische Interpretation derselben in umgekehrter Ordnung, von der letzten Gleichung ausgehend, unternimmt. Die Punkte d und d sind deshalb conjugirte Punkte. Ebenso wie die Punkte d und d in der Steinerschen Figur einander entsprechen, so entsprechen einander auch je zwei von den 20 Punkten R, 1 *

Hesse,

4

Erweiterung des Pascalschen

Theorems.

w i e die Zusammenstellung derselben in (3.) angiebt, zum Beispiel die Punkte á" und a 0 . Um dieses leichter einzusehen, wiederholen wir nur die 2 0 identischen Gleichungen in veränderter Reihenfolge:

= 0

a") b-c-Q /?') a +(»' = c y,)

f )

c" — r' — c

r„)c'+r"

= c

a —()" = b

ß,)

ó)

b" — r = b

ß„)b'+r"

= b

a")

b' + Q" = a' y") 6"+p" = a" ß0)

ß')

C'-Q'

a„)

a — r" = a

ß") c"-t>

=a"

y„)

a,)

= a"

d)

a-fr'

b"-c" = (j

a)

/ )

=a

- p ' - ( > " = (> b'-e=Q b'-b" c'-c"

= r = r

- r ' - r " = r

a„) a —a" — r = 0. Denn

die geometrische

Interpretation

der Gleichungen (1.) ergiebt, dass,

dieser

Gleichungen

nach

Art

wenn man von den drei geraden Linien

b, c, p ausgeht, welche sich in dem Punkte a" schneiden, man in der

Steiner-

schen Figur auf die geraden Linien d,

sich in

a", r geführt wird,

welche

dem dem Punkte a° entsprechenden Punkte a„ schneiden. Es vereinfacht sich demnach die Anschauung der S/e««erschen Figur, wenn man die ältere Bezeichnung der 2 0 Steinerschea w i e von Schröter

Punkte aufgiebt und,

in seiner Geometrie p. 1 6 6 bereits geschehen, nunmehr von

den 10 Steinerschen

Punktepaaren

R

und den

15

Steinerschen

geraden

Linien S spricht. Diese Bezeichnung Steinersche

Figur nicht,

wird sich mehr noch empfehlen,

wenn

man die

wie hier, von ihrem Ursprünge, den 6 Punkten auf

einem Kegelschnitte, trennt und es unternimmt nach Anleitung in diesem Journal Bd. 6 8 pag. 2 0 5

und mit Hülfe des Uebertragungs-Prinzipes

Journal 11. Jahrgang p. 4 2 5 Lagrange,

die Resolventen

in

Schlömilchs

des 10. und 15. Grades

von

Traité de la résolution des équalions numériques p. 2 6 0 einer a l -

gebraischen Gleichung des 6. Grades geometrisch zu construiren. Die discutirte Steinersche welchen

irgend

drei Dreiecke

Nimmt man aber Abstand von

Figur ging von drei geraden Linien p aus, abc,

+ c' = 0 ,

a"b"c"

einbeschrieben

dem dritten einbeschriebenen

definirt die drei Ausdrücke a"b"c" a"+b

a'b'c,

durch die identischen

b"+c + a'=

0,

waren.

Dreiecke

Gleichungen:

c"+o+6'-0,

und

Hesse,

Erweiterung

des Pascalschen

Theorems.

5

so sieht man, dass in (1.) die Gleichungen er") ß") y") aus den vorhergehenden und den die Ausdrücke a" b" c" defmirenden Gleichungen folgen.

Es

ist deshalb das Dreieck mit den Seiten a" — 0, ¿»" = 0 , c" = 0 ebenfalls den drei geraden Linien p einbeschrieben, jedoch nicht willkürlich, sondern b e dingt durch die beiden specielle Steinersche

ersten Dreiecke.

Die Figur

wird

hierdurch

eine

und ihr Charakter drückt sich ebenfalls durch die 2 0

identischen Gleichungen (1.) aus, aber mit Anschluss der identischen Gleichungen: j a"+b + c ' = 0

b"+c + a = 0

c"-ra + b' = 0

la"+b'+c=

b"+c'+a

c"+a'+b=

0

= 0

0,

welche einfache Folgen aus den kurz vorhergehenden sind. Die Gleichungen a „ ) , ß„\ y„) beweisen, dass die geraden Linien aa, bb', cc die gegenüberliegenden Seiten eines Pascalschen Sechseckes sind, welche sich paarweise in drei Punkten der Pasca/schen Linie r" schneiden. In diesem Sechsecke sind, wie die Gleichungen (4.) darthun, a" b" c" die Diagonalen, welche die gegenüberliegenden Ecken des Sechseckes verbinden. Geht man nun in der Beschreibung der speciellen S/eeraerschen Figur, welche in den angegebenen 26 Gleichungen ihren analytischen Ausdruck hat, nicht von den drei geraden Linien p aus, welchen drei Dreiecke einbeschrieben wurden, sondern von dem genannten /Wca/schen Sechsecke, so lässt sich dieselbe durch folgenden Satz ausdrücken: „ Wenn man in einem Pascalschen Sechsecke die drei Diagonalen zieht, welche die gegenüberliegenden Ecken verbinden, so bilden die geraden Seiten des Sechseckes, die ungeraden Seiten und die drei Diagonalen drei Dreiecke, welche dreien von einem Punkte ausgehenden geraden Linien p einbeschrieben sind. Die entsprechenden Seiten je zweier von diesen Dreiecken schneiden sich paarweise in einer geraden Linie r, und die drei geraden Linien r schneiden sich wieder in einem Punkte." Die Erweiterung dieses Satzes oder, analytisch gefasst, die Erweiterung der 26 den Satz beweisenden identischen Gleichungen wird der Gegenstand des folgenden Abschnittes sein.

Wenn R

II. die Determinante bedeutet: R =

so hat man

bekanntlich: d'R

D

dR dR

dR

dR

6

Hesse, Erweiterung des Pascalschen Theorems. Die Ausdrücke, aus welchen die Gleichung zusammengesetzt ist, sind

sfimmtlich Determinanten.

Führt man die Bezeichnungen ein:

A , [ay,

ßd],

[aß] für die Determinanten: «i! ••«',!,

A =

(50

im

=

«¡¡.. u", cr„

Wo • • K, «„, /„

[aß]

=

/?,,../?„, 0 , 0