Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 71 [Reprint 2020 ed.] 9783112367445, 9783112367438

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Journal für die

reine und angewandte In

z w a n g l o s e n

Als Fortsetzung A.

L.

C

r

Mathematik. Heften.

des

von

e 1 1 e

gegründeten Journals herausgegeben

a n t e r M i t w i r k u n g der H e r r e n

Schellbach, Kommer, Kronecker, Weierstrass von

C. W.

Borchardt.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preussischer Behörden.

Einondsiebzigster Band. In vier Heften.

B e r l i n , 1870. Druck und Verlag von Georg Reimer.

Inhaltsverzeichniss des einundsiebzigstcn Bandes.

Z i ur Theorie der Erzeugung geometrischer Curven. in Schaffhausen

Von Herrn A. Olivier Seite

1

—

16

Ueber einige Sätze von Steiner und ihren Zusammenhang mit der zwei und zweigliedrigen Verwandtschaft der Grundgebilde ersten Grades. Von Demselben

—

18

Note zu Riemanna Beweis des Dirichletachen Princips. Von Herrn H. Weber in Heidelberg

—

29

Von der Zerlegung der Discriminante der cubischen Gleichung, welche die Hauptaxen einer Fläche zweiter Ordnung bestimmt, in eine Summe von Quadraten. Von Herrn G. Bauer in München

—

40

Von den Kreisschnitten der Flächen zweiter Ordnung.

Von Demselben. .

—

46

Zur Theorie der Bewegung der Elektricität in nicht linearen Leitern- Von Herrn H. Lorberg in ßuhrort

—

53

Die Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen Integrale als Functionen eines Parameters aufgefasst. Von Herrn L. Fuchs in Greifswald

—

91

Ueber quadratische, trigonale und bitrigonale Reste. Göttingen

—

137

—

164

Ueber die Methode, die Ordnungszahl einer Curve zu finden, welche durch zwei projectivische Curvenbüschel erzeugt wird. Von Herrn A. Olivier in Schaffhausen

—

195

Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2nfach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist. Auszug aus einem Schreiben Riemanna an Herrn Weierstrass

—

197

Ueber einen Satz von Steiner.

Von Herrn Eduard Weyr in Prag. . . .

Von Herrn Stern in

Ueber die Invarianten binärer Formen bei höheren Transformationen. Herrn Gordan zu Giessen

Von

IV

Inhaltscerzeichniss

des einundsiebzigsten

Bandes.

Beitrag zur Bestimmung von # ( 0 , 0 , . . . 0 ) durch die Klassenmoduln algebraischer Functionen. Von Herrn J. Thomae in Halle Seite 201 Beweis zweier Sätze der Functionentheorie. Würzburg

Von Herrn F. E. Prym in —

223

—

237

Ueber die Kräfte, welche zwei unendlich dünne, starre Ringe in einer Flüssigkeit scheinbar auf einander ausüben können. Von D e m s e l b e n . . . —

263

Entwickelung einiger Eigenschaften der quadratischen Formen von n Differentialen. Erste Mittheilung. Von Herrn R. Lipschilz in BODU. . . —

274

Ueber die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit. Herrn G. Kirchhoff in Heidelberg

Von

Entwickelung einiger Eigenschaften der quadratischen Formen von n Differentialen. Zweite Mittheilung. Von D e m s e l b e n Zur Transformation der ternären quadratischen Formen.

Von Herrn Paul

Bachmann in Breslau Ueber ein Randintegral.

— Von Herrn F. E. Prym in Würzburg

Ueber trigonometrische Reihen.

Von Herrn E. Heine in Halle a. S.

Zur Theorie der Charakteristiken.

.

.

Von Herrn Schubert

Ueber den Feuerbachschen Satz für das ebene Dreieck. in Neu-Dietendorf bei Gotha

Die Gleichungen Zeile 13 und 14 v. o. müssen heiseen: d . dtS d^. du g C, du H S~dt~ dt % dt A C.U+C; "dt' d* . du' d \ du . Q C\ (du\* 0 C, 8*

=

D?

L 0

SDT +

2

(C.U-KJ'

•

— 316 —

353

—

366

—

387

Von Herrn J. Lappe

Berichtigung zu Band 70, S. 116.

L O

296

— 305

Ueber hypergeometrische Functionen «'"Ordnung. Von Herrn L.Pochhammer.

D?

— 288

"

2

T ^ + C :

d*u •W

•

J o u r n a l f ü r die

reine und angewandte Mathematik. In

z w a n g l o s e n

Als Fortsetzung

A.

L.

Heften.

des

von

C r e 1 1e

gegründeten Journals herausgegeben

unter Mitwirkung der Herren

Sehellbach, Kammer, Kroneeker, Weierstnss •on

C. W. B o r c h a r d t . Mit thfltiger Beförderung hoher Königlich - Preussischer Behörden.

Einandsiebzigster Band. Erstes H e f t Ausgegeben den 15. Ootober.

Berlin, 1869. Druck und Verlag von Georg Reimer.

Zur Theorie der Erzeugung geometrischer Curven (Von Herrn A. Olioier in Schaffhaugen.)

I s t in einer Ebene eine Curve Ky der n t e n Ordnung gegeben, «nd nimmt man auf derselben einen beliebigen festen Punkt P zum Mittelpunkt« eines Strahlenbüschgls, so kann auf dieser Curve auf unzählig viele verschiedene Arten die Basis eines Curvenb&schels der (» — l ) t e n Ordnung festgelegt werden, welches zum Sirahlenbüschel P projectivisch ist und mit ihm durch den Durchschnitt der entsprechenden Elemente die gegebene Curve K t der n t e n Ordnung erzeugt. Hierbei ist nun die Beantwortung der Frage von Interesse: „Welchem allgemeinen Gesetze die Basen der unzählig vielen zum Strahlenbfischel P projectivischen Curvenbüschel der (n — l ) t e n Ordnung unterworfen sind?" — Ganz entsprechend kann auf einer Curve der » t e n Ordnung die Basis eines Kegelschnittbüschels willkürlich angenommen und nach dem Gesetz g e fragt werden, dem die Basen der unzählig vielen projectivischen Curvenbüschel der (» —2) t e n Ordnung unterworfen sind. Die Beantwortung dieser beiden Fragen bildet den eigentlichen Gegenstand dieser Abhandlung; zugleich werden aber aus den folgenden Untersuchungen einige merkwürdige allgemeine Eigenschaften der Curven hervorgehen. I. a)

Die gegebene Curve /f, der » t e n Ordnung sei durch die J«(» + 3)

Punkte b\b\...blp-, bestimmt, wobei p den Werth

o,o3...a2„_,;

P

p - j»(«-l)

besitzt. Ich nehme nun den willkürlichen Punkt P auf Kl zum Mittelpunkte eines Strahlenbüschels, und bezeichne mit (TjTo), irgend eines von den u n zählig vielen Curvenbüscheln der (« — l ) t e n Ordnung, welches mit dem Strahlenbüschel P projectivisch ist und mit ihm durch den Durchschnitt entsprechender Elemente die Curve Kt erzeugt. Um dieses eine Curvenbüschel (T, T2), genauer Jonrnal für Mathematik Bd. LXXI. Heft 1. 1

2

Olivier,

zur Theorie der Erzeugung geometrischer

Curten.

festzustellen, dürfen von den \n ( n + 3 ) gegebenen Pnnkten der Curve Kt p = Willkärlich

¿»(»-1)

als Basispunkte dieses Curvenbüscbels ausgewählt werden;

ich

nehme hierzu die Punkte b[b'2...blp und nenne sie die Grundpunkte

des Curvenbüscbels (T,T 2/ \.

Die übrigen (n-\y-p

=

l(n-l)(n-2)=s

Basispunkte des Curvenbüschels ( T , ^ ) , sind alsdann als unbekannte Punkte der Curve Ki aufzufassen und müssen durch die Bedingung ermittelt werden: dass das Curvenbüschel (T,T 2 ), zum Strahlenbüschel projectiviseh sein soll. Ich bezeichne diese , =

^ (n—1)(»—2)

unbekannten Basispunkte des Curvenbüschels (T, T 7 \ mit und nenne sie zusammen den Bamrest

des Büschels.

Der Doppelstrich trennt

hierbei die eigentlich unbekannten Basispunkte des Curvenbüschels von den sogenannten notwendigen Punkten desselben, welche mit jenen von selbst bestimmt sind. Um nun die unbekannten Basispunkte y)y\ - y\-21|

yLi-.yl

des Curvenbüschels { ^ T J t zu finden, ist das anharmonische Verhältniss des Curvenbüschels (61 b\...blpy\y\...yi_21|

y,J_,...y\)[o,a2...«,„_,]

gleich zu machen dem anharmonischen Verhältnisse des Strahlenbüschels P[alal...chH-i~\; dadurch werden die beiden Gebilde projectivisch: Pfad!...

a 2 „_i] /\ (¿1 b\... bxpy\y\..

1| » J - i • • -y\) [«i«j- • . a ; B - i ]

und erzeugen durch den Durchschnitt ihrer entsprechenden Elemente die g e gebene Curve b)

K,.

Durch den gegebenen Punkt P auf K, lege ich nun eine beliebige

Hülfscurve K2,

ebenfalls von der n ten Ordnung; dieselbe trifft ff, ausser im

Punkte P noch in den (» 2 —1) Punkten

Olivier,

sur Theorie der Erzeugung geometrischer Curven.

3

Auf dieser Carve Ä 2 nehme ich ferner die P =

i»(»-l)

beliebigen Punkte b]b]...bl als Grundpunkte eines Curvenbfischels (T,T2)2 der («—l) t e n Ordnung an, welches wieder mit demselben Strahlenbüschel P projectivisch ist und mit ihm in ähnlicher Weise durch den Durchschnitt entsprechender Elemente die Curve K2 erzeugt, wie vorhin das Curvenbflschel (T1T2)1 mit P die Curve Kt. Aus der gleichzeitigen Projectivität der beiden Curvenbüschel (7\ T2)I und (T,T2)2 mit demselben Strahlenbüschel P folgt nun nothwendig auch die Projectivität der beiden Curvenbüschel (T,T 2 ), und (TgT2)t unter sich; welche daher durch den Durchschnitt ihrer entsprechenden Elemente eine gewisse Curve 2 der (2n —2) t e n Ordnung erzeugen werden. Diese Curve 2 geht durch die (»'—1) Schnittpunkte f j tj . . . {„!_( von Ki und if, (ausser P)\

ferner durch die Grundpunkte b\b\...bl

der beiden Curvenbüschel (TiTj), und (r,T 2 ) 2 . DieZahl dieser Punkte beträgt zusammen b 2 —l-}-2p = 2 » 7 — » + 1 -- ¿ ( 2 « ^ 2 ) ( 2 » ^ 2 + 3), also gerade so viel, als zur Bestimmung der Curve 2 der (2»— 2) t e n Ordnung erforderlich sind. Nun wird aber die Curve -2" der (2n—2} t e n Ordnung, welche durch die Punkte t 2 . . . e.«_i;

b\ b\...

blp;

b\

.. . b\

vollkommen bestimmt ist, nicht nur durch die Grundpunkte b[b\...bl b\ b\ ... b\ der beiden Curvenbüschel ( T l T 1 ) l und (T,T 2 ) 2 , sondern durch alle Basispunkle derselben gehen, also insbesondere auch durch die Basisreste y\y\-yi_» y\yl:-

II y\~i - y\ yl-i

|| yl~2 -

yl,

von denen der erste auf K t und der zweite auf üf2 liegt. für ein Curvenbüschel ( T l T 2 ) l der («—l)

ten

Da es nun aber

Ordnung bei gegebenen Grund-

punkten nicht nur einen einzigen Basisrest zu geben braucht, d. h. da das 1 *

Olitier,

4

tur Theorie der Erzeugung geometrischer Cunen.

Problem der Curvenerzeugung durch ein StrahlenbQschel and projectivisches Curvenbüschel der (»—l) t e n Ordnung nicht blos eine, sondern vielleicht mehrere

Auflösungen besitzt, so darf ich behaupten: Die Curve ^ wird durch alle Basisreste derjenigen Curvenbüschel der (n—1)'" Ordnung gehen müssen, welche bei gegebenen Grundpunkten mit einem Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt ebenfalls ein gegebener Punkt ist, projectivisch sind und die Curve Kt erzeugen. Umgekehrt wird nun aber auch aus der Zahl der weiteren Schnittpunkte der Curve 2 mit Ä, auf die Anzahl Auflösungen des Fundamentalproblems :

Das anharmonische Verhältniss des Curvenbüschels ( 6 { b \ . . . b l p y \ y \ . . . 1 | yi-i• • •

y\)[«ith•..i]

gleich zu machen dem anharmonischen Verhältnisse des Strahlenbüschels geschlossen werden können. Nun schneidet die Curve 2. der (2w—2) ten Ordnung die Curve Äi der Ordnung ausser in den Punkten nten

b\b\...b\ nur noch in

n (2n- 2) - (»J - 1 ) - £ n (n -1) = i (n7- 3n + 2) = j (» - 1 ) (« - 2 ) = * Punkten, also genau in so vielen, als der Basisrest des CurvenbQschels

Punkte enthält.

(T1T2)l

Deshalb kann es auch nur eine einsige Auflösung des Fun-

damentalproblems geben; oder es gilt der Salz:

Nimmt man von den \H (n + 3) gegebenen Punkten einer Curve Kt der nUn Ordnung einen Punkt P als Mittelpunkt eines Strahlenbüschels u, p =

¿»(n-1)

andere beliebige Punkte als Grundpunkte eines zu P projectivischen Curvenbüschels der (« — 1)'" Ordnung, so besitzt die Aufgabe: das anharmonische Verhältniss des Curvenbüschels (b\b\...blpy\y\...||

yl-t• • • yl)[«i. •. i von Ä, und K2 und durch die Grundpunkte b\bl2...blp; b\b\...b] anf diesen Curven, ergiebt sich dann der Satz: Nimmt matt von den £»(»4-3) gegebenen Punkten einer Curve der nitH Ordnung die vier Punkte PtP>P3P* m Basispunkten eines Kegelschnittbüschels (S, S2) und P = H»-2)(»-3) andere beliebige Punkte als Chrundpunkte eines zum Kegelschnittbüschel projectivischen Curvenbüschels (T, T2) der (n—2)u" Ordnung, so besitzt die Aufgabe: Das anharmonische VerhäUniss des Curvenbüschels {b\ b\... bxpy\y\...y\K_s || yL^... yl) [a,a 2 ... a^-y] gleich zu machen dem anharmonischen Verhältnisse des Kegelschnittbüschels (PlP2P3P>)[aiai...a), welche auf einer Curve der nUn Ordnung liegen, eine beliebige Curve K2 der nie" Ordnung und durch die weiteren Schnittpunkte t l 4 dieser beiden Curven Kt und K2 eine Curve 2 der (2w—4)1'" Ordnung, so trifft diese Curve 2 die Curve Kt noch in » ( 2 « - 4 ) - ( » / - 4 ) = (»—2)2 2*

%2

Olitier,

nur Theorie der Erzeugung geometrischer Curven.

amtieren Punkte*, welche tu Basispunkten einet solchen Curvenbüschels (^Tj) der (n—2)'" Ordnung genommen werden dürfen, das tum Kegelschnittbilschel (S,S2) projecticisch ist und mit ihm die Curve erzeugt. Endlich ergiebt sich noch aus der vollkommenen Willkürlichkeit der Hfilfscnrve K% nnd der darauf gewählten Grundpunkte der weitere Satz: Legt man durch die vier festen Punkte Py P, P3 P* auf einer Curve Kl der «"" Ordnung beliebige Curven Äji Ä31 ebenfalls von der «"" Ordnung, und durch die («J— 4) Schnittpunkte von jeder dieser Curven mit Kl (ausser P,, P2, Pi, PA) beliebige weitere Curven ^31 • • • der (2» — 4)'" Ordnung, die sich in denselben p = |(n —2)(» —3) Punkten b[b\...blp auf treffen sollen, so treffen sich alle diese Curven ^ii ^ii • in noch weiteren s = l(«-l)(»-2) Punkten •

•

• •>

•

•

y\ yl • • • yu-s || yi—» -yl auf der Curve üf,, die nämlich den Basisrest eines ganz bestimmten Cürvenbäschels (TjTJ, oder {b\ blt...blpy\yxt... y}n__s || ...y\) Un der (»—2) Ordnung darstellen, das projectivisch ist mit dem Kegelschnittbüschel (SiSi) oder (PtP2P3P>) und mit ihm die Curve Kx durch den Durchschnitt der entsprechenden Elemente erzeugt. f ) Von den vielen Folgerungen, die aus diesen Sätzen, insbesondere aus dem letzten Satz, gezogen werden können, will ich auch hier nur derjenigen gedenken, die sich auf drei durch dieselben vier Funkte der Ebene gehende Curven der » ten Ordnung beziehen.

Ki 1 K 2i

Ä3,

. . .

0 l i n i e r ,

zur

Theorie

der

Erzeugung

geometrischer

Curven.

1 3

Von den drei Curven Ä",, K3 treffen sich Kt und K3 in noch (n2— 4) weiteren Punkten «1 «2 • • • f»'—» 1 ebenso Ä, und K 3 in den Punkten 2 {2f 2 1 2 • • • f.M und endlich K t und Ä"2 in den Punkten c^ cj . . • e t }. Auf jeder dieser drei Curven m

Ä2,

Ki,

K

3

nehme ich alsdann noch P = i(»-2)(«-3) willkürliche Punkte an, welche bezfiglich 61 ü . . .

blp

b ] b ] . . . b l b \ b ] . . . b l

heissen sollen, so dass durch die drei Punktsysteme

r 3 t*23 . . . c*B3i—i,• e,

b ] b ] . . . b l - ,

b \ b l . . . b *

b \ b \ . . . b ] , ' ,

b ] b l . . . b

3

A' Oj. A1 . . A1 ,• o,

Al Oj A2. . . oAp2

p

p

die drei Curven der (2u—4) t e n Ordnung bestimmt werden. Diese drei Curven schneiden sich paarweise (X, und -2", und ^ und J£"2) in den l)(n—2) 9 = Punkten yi 2 y\

y\ 2 yt

y\

yl

die bezfiglich auf die drei Curven Ä,, fallen.

• • • • • •

y\ 2 y ; yU

Äj,

K}

Ausserdem gehen diese drei Curven

auch noch durch dieselben Punkte

r = 3(«-2)J ß, a 2 . . . a p

der Ebene.

0linier,

tur Theorie der Erzeugung geometrischer Curven.

Dies giebt zasammengefasst folgendes Theorem: Schneiden sich in einer Ebene drei Curven Kn Ä21 Äj der n Ordnung in denselben vier Punkten Pii P21 Pii so treffen sich K2 und K3 noch in den Punkten t{ tj . . . f , Kt und K3 noch in den Punkten 1 7 f •• •f*«n«-«» tFt 12 endlich Kt und K2 in den Punkten 3 tt 3j t j . . . fC„3—4 . Nimmt man nun auf Kt die beliebigen p = i(„-2)(»-3) Punkte b\b\...blp, auf Ki die Punkte b]b\...b\ und auf K3 die Punkte b\b\...b\, so treffen sich die drei Curven 1en

der (2n — 4)'" Ordnung, welche bezüglich durch die Punktsysteme b\b\...bl l b\b\.. .b f,. b\bl...b3p • b[b\...blp; b]b\...bl bestimmt werden, in denselben r = 3(»-2)2 Punkten a t a2 . . . a r der Ebene.

Ausserdem schneiden sich auch die drei Curven

paarweise noch in = ]•(»—1) (» —2) weiteren Punkten, die bezüglich auf die drei Curven Kt, K2, K3 »u liegen kommen. Es schneiden 22 und 23 in den Punkten y\ y\ sich • • • nämlich y\ 8

Olivier,

sur Theorie der Erzeugung geometrischer

Curven.

15

auf Ki;

und 23 in den Punkten 11 i y, y< • • y. auf K2 und endlich ^ und in den Punkten y\ yl • • • yl

auf K3. Daraus folgt z. B . für n = 3 :

Schneiden sich drei Curten Ä,, K2, K3 der dritten Ordnung in denselben vier Punkten P, Pi P3 P*, so schneiden sie sich paarweise noch in fünf Punkten e, e2 «-i3 e4 e5 2 ? 1 1 1

f

l

e3

f

f j e\ e\

5

t\.

Die dadurch bestimmten drei Kegelschnitte v

y

y

schneiden sich alsdann in denselben drei Punkten a,

ß2

o3

der Ebene, während ihre vierten Schnittpunkte bezüglich auf die drei Curten Kt K2 Äj der dritten Ordnung zw liegen kommen *). Aehnlicbe Sätze für n = 4 , 5 etc. sind in dem allgemeinen Theorem enthalten. E s ist in dieser Abhandlung mehrfach von einem eigentümlichen Princip Gebrauch gemacht worden,

um bei den hier vorgekommenen speciellen E r -

zeugungen der Curven durch projeclivische Gebilde die Zahl der Auflösungen zu bestimmen, welche dem jedesmaligen Problem zukommen.

Dieses Princip

ist aber noch einer Erweiterung fähig und kann alsdann ganz allgemein zur Bestimmung der Anzahl Auflösungen für jedes beliebige Problem der Curvenerzeugung verwendet werden.

Ich hoiTe bei einer späteren Gelegenheit auf

diesen Gegenstand zurückkommen zu können. *) In der Abhandlung: „Ueber einige allgemeine Eigenschaften der geometrischen Curvenu im 70. Bande dieses Journals erscheint dieser Satz (Seite 160) als ein specieller Fall einer anderen allgemeinen Eigenschaft der Curven. Schaffhausen, im März 1 8 6 9 .

16

Veber einen Satz von Steiner. (Von Herrn Eduard Weyr in Prag.)

Am 32 sten Bande, pag. 182 dieses Journals stellt Steiner folgenden Satz auf: „Eine Curve dritter Ordnung enthält im Allgemeinen 27 solche Punkte P, in deren jedem sie von einem Kegelschnitt sechspunktig berührt werden kann. Von diesen 27 Punkten sind 9 reell und 18 imaginär". Derselbe wurde von Herrn Hesse im 36 sten Bande, pag. 173 analytisch erwiesen, was im Folgenden auf synthetische Weise geschehen soll. Sei C3 eine allgemeine Curve dritter Ordnung, die somit von der sechsten Klasse ist; auf derselben denke man sich vier feste Punkte 1, 2 , 3 , 4 und durch diese willkürliche Kegelschnitte gelegt. Jeder dieser Kegelschnitte schneidet C3 noch in einem Punktepaar a, b; o,, bt etc. Fasst man den ersten Kegelschnitt nebst der Geraden o t bi (die immer reell sein muss, da, falls a t und bt imaginär werden, sie conjugirt imaginäre Punkte sind) als eine Curve dritter Ordnung auf, so hat dieselbe mit C3 die bisher genannten acht Punkte gemein; dasselbe gilt bezüglich des von dem zweiten Kegelschnitt und der Linie ab gebildeten Ortes dritter Ordnung. Demzufolge haben die drei g e nannten cubischen Curven auch noch einen neunten Punkt gemeinschaftlich, d. h. die Linien ab, durch

Q hindurchgehen oder PXQ muss D enthalten, d. h. PQt in einem Punkte^ T auf C3 schneiden, Bedingung

Obereinstimmt.

In ganz

muss sich mit

was mit der von Steiner derselben

Weise

PtQ

aufgestellten

könnte man

auf ein

8 . 1 0 , . . . 52«-Eck übergehen. Steiner

fügt seinen Sätzen folgende Bemerkung bei: „Die vorstehenden

Sätze finden analogerweise statt, wenn die Seiten des Polygons Kegelschnitte sind (anstatt Gerade);

nämlich wenn man in der gegebenen Curve drei b e -

liebige feste Punkte X, Y, Z annimmt, durch dieselben und abwechselnd durch P und Q Kegelschnitte legt und mittelst solcher Kegelschnitte das der Curve eingeschriebene Polygon construirt." Diese Bemerkung hat wohl ihre Richtigkeit für eine Curve dritter Ordnung, und sie soll für diese auch erwiesen werden; allein für Curven vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten kann sie nicht gellend gemacht werden, da durch dieselbe der Text des zweiten im Anfang dieser Arbeit citirlen Satzes von Steiner

illusorisch gemacht wird.

Hat man nämlich auf einer Curve vierter

Ordnung mit zwei Doppelpunkten P und Q drei feste Punkte X,

Y, Z, und

man legt durch einen Curvenpunkt A als Anfangspunkt des zu construirenden Polygons und durch die Punkte X,

Y, Z und P einen Kegelschnitt, so wird

derselbe die Curve ausser in A, X, Y, Z und P noch in swei Punkten schneiden, wodurch

eben

die weiteren

Forderungen

Höchstwahrscheinlich hatte Steiner

des Textes

aufgehoben

werden.

bei der Abfassung der gemachten Bemerkung

auf ihm eine Punktinvolution aa,, 66,, cc, etc. bestimmt. Die Strahlen aat = a, 66, = ß, cc, = y etc. gehen durch einen Punkt, ein Hüschel bildend. U n t e r dem Doppelverhältnisse von vier Strahlenpaareu AAX, BB,, CC,, DD, verstehen wir \aßyS\. Zwei Strahleninvolutionen heissen projectivisch, wenn das Doppelverhältniss von j e vier entsprechenden Strahlenpaaren das nämliche ist.

Weyr, über einige Sleittertche Sötte.

27

einen anderen, nicht angegebenen Salz hinsichtlich der. Gurven vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten vor Augen, da diese Bemerkung, wie soeben bemerkt wurde, auf den im Texte angegebenen Satz nicht passt. Um nun den ursprünglichen Satz für Curven dritter Ordnung in der angegebenen Weise zu erweitern, müssen wir von der von Steiner in seiner „Systematischen Entwickelung etc." pag. 251 aufgestellten Methode der schiefen Projection Gebrauch machen. Der Kürze wegen mag die hierher einschlägige Entwickelung des citirten Werkes vorausgesetzt werden. — Man bilde die Ebene E unserer Curve dritter Ordnung C3 auf eine andere Ebene E' durch schiefe Projection in der Weise ab, dass die nicht in einer Geraden liegenden Punkte X, Y, Z die Hauptpunkte von E werden. Dann wird der Curve C} eine Curve C3' dritter Ordnung entsprechen (wenn man nämlich von den drei Hauptlinien von E' als geometrischen Oertern aufgefasst abstrahirt), welche durch die drei Hauptpunkte von E' gehen muss; die P und Q zugeordneten Punkte P' resp. Q' werden natürlich auf Cj liegen. Jedem durch X, Y, Z gehenden Kegelschnitte wird (wiederum von den Hauptlinien von E' abgesehen) eine Gerade entsprechen; wird so ein Kegelschnitt durch P oder Q gelegt, so wird diese Gerade durch P' resp. Q' gehen. Denkt man sich nun Polygone, deren Ecken sich auf Cs befinden, und deren Seiten Stücke von Kegelschnitten sind, die durch X, Y, Z und abwechselnd durch P und Q gehen, so werden denselben in E' Polygone zugeordnet sein, deren Ecken sich auf C3 befinden müssen, und deren Seiten aus geraden Linien b e stehen werden, welche abwechselnd durch P und Q' hindurchlaufen werden. Daraus erhellet aber sofort die Richtigkeit der von Steiner gemachten Bemerkung. 4. Es möge zum Schlüsse als eine weitere Folgerung des gegebenen Beweises ein den S/eüierschen Sätzen analoger Satz für die Schnittcurve i zweier Regelflächen zweiter Ordnung aufgestellt werden. Zu dem Ende fassen wir zwei solche Regelflächen F und 0 als Träger von je einer Regelschaar S resp. 2 auf-, dann geht durch jeden Punkt von F ein Strahl von den obigen Ausdruck einsetzt:

worin sich die Integrationen nach s öber die ganze Begrenzung der Fläche 5 e r du die Werthe der Function w am Rande von S bedeutet. Da nun, wie oben bewiesen ist, das erste Integral von (10.) mit u n endlich wachsendem n gegen eine feste Grenze convergirt, so muss auch das Randintegral gegen eine feste Grenze convergiren, und zwar für alle möglichen Formen der stetigen Randfunction w. Genauer ausgedrückt lautet dieser Schluss: Die Länge der Linientheile des Randes von S, in denen der absolute Werth der Differenz: du, dp

dun dp

eine gewisse, beliebig klein zu wählende Constante überschreitet, kann für ein beliebig grosses m und ein gehörig grosses n kleiner gemacht werden, als jede beliebig kleine Linie. Es wird sich also die Function

längs des ganzen Randes, abge-

sehen von einzelnen Punkten, mit unbegrenzt wachsendem n einer bestimmten endlichen Grenze nähern, und jedenfalls wird sich das Integral f v o - ^ d * mit unendlich wachsendem n für alle möglichen stetigen Randfunctionen v> einer bestimmten endlichen Grenze nähern. Legt man nun um einen beliebigen Punkt x0y0

der Fläche S einen

Kreis mit dem Radius r, and nimmt die in (10.) vorkommende Function w

Weber,

Noie zu Riemanns Beweis des Dirichletschen Principi.

35

in diesem Kreis constant, gleich l o g r , , an, ausserhalb des Kreises aber tp = l o g r ;

r =

fix-*

i/ + lf-fu)%

so genfigt w den Anforderungen der Ungleichung (10.) und genügt ausserdem noch der Bedingung: d'u> . d'w _ dx% + dy* ~

U

in der ganzen Fläche S. w selbst ist in der ganzen Fläche S, und seine Differentialquotienten sind ausser an der Kreisperipherie stetig. In Folge dieser Annahme fällt derjenige Theil des ersten Integrals (10.) fort, welcher über die Fläche des besagten Kreises genommen ist, und der übrige Theil lässt sich in bekannter Weise transformiren. Wenn man nämlich in der bekannten Formel:

setzt: dw

v

dw

v

eine Annahme, die gestattet ist, da alsdann X, Y in der ganzen Fläche S mit Ausschluss des Kreises stetig bleiben, so geht das erste Integral der Formel (10.) über in ein einfaches Integral über die Begrenzung von S und über die Kreisperipherie, nämlich f

/Z'2 *2™ du> öw

dw du> ., .,

,

Da nun «„ im Randintegral durchweg die vorgeschriebenen Werthe u hat, in der Umgebung des Punktes xuy„ aber stetig ist, so ergiebt sich aus (10.), wenn man nun den Radius rt des Kreises unendlich klein werden lässt: u„(xoyo)

d

»

w

A


seinen Werth gesetzt: (11.)

277«,(xt>yit) - ß - ^ - d s + f ^ - logrds
, für welche 12 (v) endlich bleibt. Schneidet man nun aus der ursprünglichen Fläche S ein beliebiges Stück K aus, in welchem die beiden Functionen a und ß stetig sind, und betrachtet das Ober die Fläche K erstreckte Integral

m

|ö(a-|-ti„) dt) d(gm«) dx , dx ' dy

dt) dy * ^xdy,

so kann man auf dieselbe Weise wie oben schliessen, dass der Werth dieses Integrals mit unendlich wachsendem n sich einer bestimmten endlichen Grenze nähern muss, oder, was dasselbe ist, dass das Integral:

f ) 6 (um — u„) dv , d(um — u„) de dxdy dx dx dy dy für beliebig grosse Werlhe von m und gehörig grosse Werthe von n kleiner gemacht werden kann als eine beliebig kleine Grösse. Es sei nun die Fläche K eine die ¿ry-Ebene einfach bedeckende Kreisfläche. Man beweist leicht durch die Fouriersche Reihe, dass sich eine im Innern dieser Kreisfläche mit sämmtlichen Differentialquolienten stetige Function e bestimmen lässt, welche der Differentialgleichung — ++ — dx' ¿y

= 0u

de genügt, deren Differentialquotient

am ganzen Rande beliebig vorgeschrie-

bene Werlhe tu hat, welche der einzigen Bedingung unterworfen sind, dass das über den Rand von K erstreckte Integral Joads

verschwindet.

Da sich

nun die ganze Fläche S mit solchen Kreisen K allmählich erfüllen lässt, so schliesst man, durch ganz ähnliche Betrachtungen wie oben, dass die Differenz ttm—K für alle Punkte von S bis in beliebige Nähe der Unsletigkeitspunkte der Functionen a, ß und der Verzweigungspunkte der Fläche

h

so lässt sich die cubiscbe Gleichung schreiben (Ii.)

k,-Ji:tab.k1+2da.k-d

=

o.

Die Discriminante dieser Gleichung, welche gleich Null gesetzt die Bedingung ausdrückt, dass die Gleichung zwei gleiche Wurzeln hat, ergiebt sich als R e sultante aus den zwei Gleichungen —22dttb.k-\-

= 0,

-2dab.l?

+ 22:da.k-M

= Q.

Bedient man sich zur Bildung dieser Resultante des abgekflrzten ifcsoti/schen Verfahrens und nennt sie R, so wird (III.)

R

=

i.,

i.j

wo A„ = QZSa-2{Zdab)\

i, = -9