Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 52 [Reprint 2020 ed.] 9783112336540, 9783112336533

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Journal für die

reine und angewandte Mathematik. In

z w a n g l o s e n

H e f t e n .

Herausgegeben von

A.

L.

C r e l l e ,

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich - Preufsischer Behörden.

Zwei und fünfzigster Band. In vier H e f t e n . Mit d r e i l i t h o g r a p h i r t e n

Berlin,

Tafeln.

1856.

Druck und Verlag von Georg Reimer.

Inhaltsverzeichnifs des zwei and fünfzigsten Bandes, nach den Gegenständen. Reine Au'andknig.

1.

Mathematik. A n a 1 y s i s.

1. S u r la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. Premier mémoire. Par M. Charles Hermite, à Paris. . 1- 1 2. Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. Second mémoire. Par le même I. 18 3. Extrait d'une lettre de Mr. CA. Hernûte de Paris & Mr. Borchardt de Berlin sur le nombre des racines d'une équation algébrique comprises entre des limités données I 39 5. Die Arithmetik der Chinesen. Von Herrn Dr. K. L. Biernatzki, zu Berlin. I. 59 6. Bemerkung über die Auflösung der biquadratischen Gleichungen. Von Herrn Dr. Aronhold zu Berlin I. 95 9. Sur l'analogie entre une classe de déterminants d'ordre pair; et sur les déterminants binaires. Par Mr. Brioschi, professeur à l'université de Pavie. II. 133 18. Note sur une formule pour la reversion des séries. Par Mr. A. Cayley à Londres III. 276 19. Theorie der J&e/'schen Functionen. Von Herrn Dr. C. Weierstrafs. . . IV. 285 2.

G e o m e t r i e .

7. Transformation der Gleichung der Curven 14ten Grades, welche eine gegebene Curve 4ten Grades in den Berührungspunclen ihrer Doppeltangenten schneiden. Von Herrn Dr. 0 . Hesse, Prof. der Math, an der Universität zu Halle 10. Die Gleichheit und Ähnlichkeit der Figuren, und die Ähnlichkeit derselben. Von Herrn Dr. R. Baltzer, Oberlehrer am Gymnasium zu Dresden. (Auszug aus einer Abhandlung des Verf., die unter demselben Titel mit dem Schulprogramm Ostern 1851 und bei'G. Schönfeld in Dresden erschienen ist.) 12. Berechnung der krummen Oberfläche und des körperlichen Inhalts eines Kugel-Ausschnitts zwischen zwei beliebigen, die Kugel und einander schneidenden Ebenen. Vom Herausgeber

II.

97

II. 142

II. 175

IV

Inhaltsverzeichnifs

des zwei

und

fünfzigsten

Bandes.

N r . der Abhandlung.

H e f t . Seite.

14. Über eine neue Verwandtschaft zwischen ebenen Figuren. Von dem Herrn Prof. Möbius zu Leipzig. (Aus den Berichten der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften vom 5. Febr. 1853.) 15. über eine Methode, um von Relationen, welche der Longimetrie angehören, zu entsprechenden Sätzen der Planimetrie zu gelangen. Vom Demselben. (Aus den Berichten der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften von 1853.) • 16. Die Eigenschaften der Wellenfläche der zwei-axigen Kristalle, mittels der höhern Geometrie abgeleitet. Von Herrn Paul Zech zu Tübingen. . . 17. Die iineale Erzeugung von Curven dritter Ordnung. Von dem Herrn Prof. Dr. Graf »mann, Oberlehrer am Gymnasio zu Stettin 3.

III. 229 III. 243 III. 254

Mechanik.

4. Zur Theorie des Fsucau/fschen Pendelversuchs. (Aus dem Programm der Realschule zu Lippstadt von 1855.) Von Herrn Dr. Lottncr, Lehrer der Math, und Physik an der höhern Bürgerschule zu Lippstadt 8. Über die Bewegung eines Ellipsoids in einer tropfbaren Flüssigkeit Von dem Herrn Dr. Clebsch zu Berlin II.

III. 218

Angewandte

I.

52

II. 103

Mathematik.

11. Beiträge zur Mechanik des Pfluges. Von Herrn Dr. E. Segnitz, Prof. an der Akademie der Landwirtschaft zu Eldena II. 152 16. Die Eigenschaften der Wellenfläche der zwei-axigen Kristalle, mittels der höhern Geometrie abgeleitet. Von Herrn Paul Zech zu Tübingen. . . . III. 243 III.

Geschichtliches.

5. Die Arithmetik der Chinesen. Von Herrn Dr. K, L. Biernatzki, zu Berlin. I. 59 13. Gedächtnifsrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Von Lejeune Dirichlet. (Gehalten in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin am 1. Juli 1852,) . III. 193

1 1.

Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. Premier mémoire. ( P a r M. Charles

Hermite,

à Paris.)

U n e proposition élémentaire et fondamentale dans la théorie arithmétique des formes, consiste en ce que, pour un degré donné, et pour un nombre donné d'indéterminées, toutes les formes à coefficients entiers qui possèdent les mêmes invariants sont réductibles à un nombre fini de classes distinctes. Ce théorème a été démontré par Lagrange et Gauss pour les formes quadratiques à deux et à trois indéterminées; je l'ai étendu ensuite aux formes quadratiques générales, et à toutes celles qui sont décomposables en facteurs linéaires; ainsi il parait bien vrai dans toute sa généralisé. Mais pour arriver à rétablir de cette sorte, il faudrait résoudre dans toute leur étendue, les problèmes suivants, aussi beaux que difficiles. Le premier qui appartient à l'algèbre, consiste à obtenir la notion complète de ces fonctions rationnelles entières des coefficients, nommées Invariants par Mr. Sylvester, dans le sens primitivement attribué par Mr. Gauss

au mot de

Déterminant.

Le second qui est du ressort de l'arithmétique, consiste à découvrir par quelles substitutions à coefficients entiers on peut transformer une forme donnée, en une autre dont les coefficients aient des limites, fonctions seulements des invariants. Enfin il faut une méthode propre à donner le système complet des formes réduites, représentant la totalité des classes distinctes pour des valeurs assignées a priori aux invariants. En me bornant à la considération des formes à deux indéterminées, j'ai présenté un premier essai sur ces questions dans mon Mémoire sur l'introduction des variables continues dans la théorie des nombres. Le principe dont j'ai fait usage, fait résulter de la même analyse, la notion des invariants et la théorie arithmétique de la réduction. Mais dès le cinquième degré, l'application de ma méthode devient si compliquée, que les résultats généraux ne se trouvaient établis qu'à titre de possibilité, et il restait à découvrir une Crelle's J o u r n a l f. d. M. Bd. LII. Heft 1.

1

2

i.

Hermite3

sur lea fonctions

mélliode numériquement applicable.

C'est c e qui a été l'objet de

cherches assidues depuis plusieurs années, mais pour !e cas seulement

homogènes.

et j ' e s p è r e y être

des formes de degrés

enfin

impairs.

mes

re-

parvenu,

Une différence

profonde se manifeste en effet, dans Ja nature analytique des formes binaires,

pair

suivant, que le degré est un nombre

ou

impair.

Ces dernières

me

semblent plus faciles à traiter; j'ai trouvé qu'elles jouissent (sauf une exception, celle des formes cubiques) de cette propriété arithmétique générale, que pour un système donué de valeurs des invariants, les formes des diverses classes sont transformables les unes dans les autres par des substitutions linéaires au déterminant un,

mais à coefficients fractionnaires; c'est à dire, en adoptant

la notion proposée par Mr. mêmes invariants,

Eisenstein,

que les diverses classes qui ont les

ne forment qu'un genre.

pairs,

Les formes de degrés

m'ont présenté de plus grandes difficultés, que dès longtemps j e ne puis espérer de vaincre.

Mais j ' a i remarqué

biquadratiques se des formes cubiques,

que le cas des formes

distinguait d'une manière toute particulière, comme le cas par rapport aux autres formes de degrés impairs.

Aussi me s u i s - j e proposé

d'en faire une étude spéciale, dans c e mémoire, en développant à leur égard

continúen,

les principes fondés sur l'introduction de variables cédemment

exposé

(Tome 41

de ce journal).

d'étendue et plus de développement, idée sommaire dans le Journal de

J'offrirai

que j'ai

pré-

ensuite avec plus

la nouvelle théorie dont j'ai donné une Matl.

de

Cambridge

et

Dublin

( S u r la

théorie des fonctions homogènes a deux indéterminées, Cambridge an Dublin Mathématical Journal, 1 8 5 4 ) ,

et qui m'a conduit aux résultats que j e viens

d'annoncer sur les formes de degrés impairs.

P r e m i è r e partie. Théorie algébrique des formes biquadratiques. I. Sur les invariants et covariants des formes

J e ferai usage dans ces recherches,

Cayley minées.

de la

biquadratiques.

notation

qu'empioye

Mr.

pour représenter d'une manière abrégée les formes à deux indéterElle consiste à p o s e r :

aw"if m&r—'y-f-——cco^... — {a, b,c,...

-f "^^ic'x^-^-mb'xy^-l

a'y"1

c', b', a'Xx, y)m,

et son principal avantage est d'indiquer commodément les opérations relatives

i.

Hermite}

aux substitutions linéaires.

AXm\mBXm~*

sur les fonctions Homogènes,

3

Par exemple, si ia transformée.

CA'm_2F2-f

y-f

- -f m

C'JFY—9

mB!XVm-,-i-A'Ym

+ a été obtenue en faisant:

x =

y =

yX+fiY,

on écrira:

yX^-âY)m

(a, b, c,... V, c', a'jlaX-fpY,

= (A, B, C,...

Cela posé, soit f — (a, b, c, b', a')(x. yf forme biquadratique, les deux fonctions

i = a,a' — 4bb' -f Z&,

C', B A%X:

l'expression générale d'une

j = aca' + 2bcb' — ab'- — a'b2 - c*

dont la découverte appartient à Mr. Cayley, sont les invariants de f . Elles jouissent de cette propriété, qu'en supposant:

(a, b, c, ab',

c'T{ax-ïPy,

Y)m.

yx\

fondamentaux

ây)* = {A, B, C, B A ' f t x , y)\

les fonctions semblables

J = AA' — 4BB 1 -f 3C 2 ,

J = ACA' + 2BCB' — AB'2 - A'B5 - C3,

vérifieront les égalités

I = i (ad - Py)\

J =j(aâ

-

¡3yf.

De plus, elles sont bien des invariants fondamentaux; car Mr. Sylvester

a dé-

montré que toute fonction rationnelle et entière de u, b, c, b', d,

qui se

reproduit, multipliee par une puissance du déterminant a$ — 0y> lorsqu'on y remplace a, bj c, b', apar entière de i et j.

A, B, C, B', A',

est nécessairement une fonction

Je pense pouvoir renvoyer pour les démonstrations de ces

proposition importantes aux travaux des savants eéomètres que je viens de citer, et arriver immed tement è la notion des covariants

de la forme

biqua-

draiique. Et d'abord je rappellerai qu'on nomme covariant quelconque :

=

(a, è, c , . . . cb'}

d'une forme de degTé

m

a') {x, y) , toute autre forme