Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 50 [Reprint 2020 ed.] 9783112369104, 9783112369098

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oU

® m n° DU A I I für

die

reine und angewandte In

z w a n g l o s e n

H e f t e n .

Fünfzigster In v i e r

Mathematik.

Band.

Heften.

Mit fünf Iithographi.rten T a f e l n und Inhaltsverzeichnissen der Bände 1 — 5 0 dieses

Journals,

welche mit t h ä t i g e r B e f ö r d e r u n g h o h e r K ö n i g l i c h - P r e u f s i s c h e r

Behörden

in den Jahren 1826 —1855 herausgegeben wurden von

Dr. A u g u s t Leopold Crelle, Königlich-Preufsischcm Mitgliede

Geheimen Oberbaurath a. D . ,

der Königlichen Akademie

Wissenschaften

zu S t .

Petersburg

der Wissenschaften und

promoting

useful

zu B e r l i n ,

der Königlichen

a u s w ä r t i g e m Mitgliede d e r K ö n i g l i c h e n A k a d e m i e society for

R i t t e r des r o t h e n A d l e r - O r d e n s d r i t t e r Classe m i t d e r S c h l e i f e ,

knoivledge

zur Verbreitung

der Wissenschaften zu P h i l a d e l p h i a ,

Georg

zu

der Kaiserlichen Akademie

der Wissenschaften Stockholm

Ehrenmitgliede

der mathematischen

Berlin, Bei

Correspondenten

Akademieen

Reimer.

der American

der Hamburger

Wissenschaften.

1855.

und

zu N e a p e l u n d

der

Brüssel,

philosophical

Gesellschaft

Inhalts verz ei chnifs des fünfzigsten Bandes, nach den Gegenständen. I. N r . der Abhandlung. -w-y

Reine . 1.

A

Mathematik. II a

I y

S 1 S. Heft. Seite.

1. U b e r die Réduction dreifacher Integrale auf Quadraturen. Von Dr. , A. Winchler, Professor der Geodäsie an der K. K. technischen Lehranstalt zu Brünn I. 3. Über eine merkwürdige Formel in der Theorie der elliptischen Transcendenten, un^d eine Ableitung des Fundamentaltheorems. Von Dr. Richelot, prof. ord. an der Universität zu Königsberg in Preufsen I. 6. De compositione numerorum primorum formae 4A-J-1 ex duobus quadratis. Scrips. Henr. Jo. Smith, Oxoniensis I. 10. Eine Eigenschaft der Zahlen II. 13. Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke. Von Herrn Dr. F. F. Kummer, Professor an der Universität zu Breslau. III. 15. Sur deux formules relatives à la théorie de la décomposition des fractions rationnelles. Par Mr. Brioschi, professeur à l'université de Pavie. . . . III. 17. Nouvelle règle pour reconnaître en plusieurs cas l'absence de racines réelles d'une équation algébrique dans un intervalle donné. Par Juste Bellavitis, professeur de géométrie descriptive à l'université de Padoue III. 19. Bemerkungen zu einer Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von Herrn Dr. phil. Dedekind zu Göttingen IV. 21. Sept différents mémoires d'analyse. Par Mr. A. Cutjley à Londres. No. 1. Réponse à une question proposée par M. Steiner. (Aufgabe 4. t. 31. p. 90.) IV. No. 2. Sur un théoréme de M. Schlâfli IV. No. 3. Remarques sur la notation des fonctions algébriques IV. No. 4. Note sur les covariants d'une fonction quadratiqiie, cubique, ou biquadratique à deux indéterminées IV. No. 5. Sur la transformation d'une fonction quadratique en elle même par des substitutions linéaires IV. No. 6. Recherches ultérieures sur les déterminants gauches. (Suite du mémoire t. 32. p. 119 et t. 38. p. 93.) IV. No. 7. Recherchés sur les Matrices dont les termes sont des fonctions linéaires d'une seule indéterminée IV.

1

41 91 187 212 239

263 268

277 278 282 285 288 299 313

IV

Inhaltsverzeichnifs

des

fünfzigsten

Bandes.

Nr. der Abhandlung.

lieft. Seile.

22. Additions à l'article No. 15 page 239 de ce tome. Par Mr. Brioscki, professeur à l'université de Pavie IV. 318 24. Directer Beweis der Gleichheit zweier bestimmter Integrale. Von Herrn Prof. Beine zu Bonn IV. 323 2.

G e o m e t r i e .

2. Bemerkungen über einige Formeln der Geodäsie. Von Hrn. Dr. A. Windeier} Professor der Geodäsie an der K. K. technischen Lehr-Anstalt zu Brünn. . 5. Note, die Anwendung eines trigonometrischen Satzes betreffend. Von Herrn Dr. M. Ohm, Prof. der Math, an der Universität zu Berlin 11. Bemerkungen über Directrix- und Fufspunclenlinien. Von dem Herrn Dr. Raube, Prof. der Math, an der Universität zu Zürich 12. Discussion über krumme Flächen in Beziehung auf Directrix- und Fufspunctenflächen. Von Demselben 14. Sur quelques questions de la géométrie de position. Par Mr. F. Briosch't, professeur à l'université de Pavie 18. Eine Eigenschaft des Dreiecks. Von dem Herrn Prof. Dr. Lehmus zu Berlin. 20. Ein Satz aus der Theorie der dreiaxigen Coordinatensysteme. Von Herrn Dr. phil. Dedekind zu Göttingen. 3.

L

32

I.

79

III. 189 III. 194 III. 233 III. 266 III. 272

M e c h a n i k .

4. Über die Bewegung des Raumpendels, mit Rücksicht auf die Rotation der Erde. Von Herrn W. Dumas, Schulamts-Candidaten, früher Mitglied des mathematisch-physikalischen Seminars zu Königsberg in Preufsen. . . . 9. Schlufs dieser Abhandlung. 7. Quelques considérations sur l'équilibre du polygone funiculaire, et sur la chaînette. Par Mr. Strichen, professeur à l'école militaire de Bruxelles. . 8. Réduction der Bewegung eines schweren, um einen festen Punct rotirenden Revolutionskörpers auf die elliptischen Transcendenten. Von Herrn Dr. C. Lottner, Lehrer der Mathematik und Physik an der höheren Bürgerschule zu Lippstadl 16. Über die Schwingungen eines frei hangenden biegsamen Fadens. Von Herrn Dr Minding, Professor an der Universität zu Dorpat 23. Note sur le centre de gravité des figures sphériques. Par Mr. M.Jullien S. J. à Paris. . . .

I. 52 II. 126 II.

93

II. 111 III. 243 IV. 322

Verzeichnisse des Inhalts und Umfangs der Bände 1 bis 50 dieses Journals. . IV. 325 Druckfehler im 2len Heft 49ten Bandes

III. 276

J oirnal für

reine

und In

die

angewandte z w a n g l o s e n

Mathematik. H e f t e n .

Herausgegeben

von

A.

L.

C r e 1 1 e.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich - Preußischer Behörden.

Fünfzigster Band. Erstes

Heft.

Mit z w e i l i t h o g r a p k i r t e n

Berlin, Bei

Georg

Tafeln.

1855. Reimer.

Uber die Reduction dreifacher Integrale auf Quadraturen. (Von Dr.

A. Winckler,

Das

Professor der Geodäsie an der Ii. K. technischen L e b r - A n s t a l t zu Brünn.)

hier Folgende enthält die E n t w i c k l u n g von Reductionsformeln

für dreifache

Integrale,

bei welchen die Function unter den Integralzeichen

nur durch ihr Argument

näher bestimmt ist, und wobei die untern Grenzen

sämmtlich Null, die obern willkürliche

Functionen sind.

Es wird dabei nur

vorausgesetzt, die obern Grenzen seien von der Beschaffenheit, dafs alle später vorkommenden

Gleichungen, welche sich auf die Bestimmung der Grenzen

beziehen, innerhalb der in Frage kommenden Intervalle, jedesmal nur eine einzige reelle Wurzel haben und die Betrachtung es nur mit einförmigen, ohne Wechsel entweder wachsenden oder abnehmenden Functionen, oder mit stets a u f - oder absteigenden Curvenzweigen zu thun habe. Es sind dies dieselben Voraussetzungen,

welche den Resultaten zu

Grunde liegen, die ich im 45ten Bande dieses Journals entwickelt habe.' Im Allgemeinen läfst sich bekanntlich jedes dreifache Integral so zerlegen, dafs seine einzelnen Bestandteile in der That jenen Voraussetzungen entsprechen. Obgleich nun die folgenden Ergebnisse auch aus den analogen Formeln für doppelte

Integrale gefunden werden können, so führt doch der directe

W e g schneller zum Ziele; wobei noch ein Mittel zur Prüfung übrig bleibt. Unter dem gegebenen dreifachen Ausdruck einer Masse

Integrale

stellen wir uns, wie üblich, den

vor, welche, in einem durch die Integrations-Grenzen

bestimmten Räume enthalten und nur nach gewissen Schichten, deren Lage und Gestalt das Argument der Function angiebt, von unveränderlicher

Dich-

tigkeit ist. 1. Bezeichnet t dieses Argument, Variabein x , y , z

d. h. die Verbindung, in welcher die

in der Function unter den Integralzeichen ansschliefslich

auftreten, so wird sich der Zusammenhang aller, einem constanten sprechenden W e r t h e von x, y, z durch eine krumme Crelle's Journal f. d. M. Bd. L. Heft 1.

Fläche

t ent-

vorstellig machen 1

2

1. Winckler,

über die Reduction

lassen, für welche

dreifacher Integrale

auf

Quadraturen.

f(t), also die Dichtigkeit der Masse, unveränderlich bleibt.

Läfst man nun t um dt sich ändern, so wird dem Werthe t \ d t krumme

Fläche

derselben

Art entsprechen,

welche

mit der

eine zweite erstem

eine

räumliche Schicht einschliefst, von welcher ein Element als schiefwinkliges Parallelepiped betrachtet wird, dessen auf einander dx,

dy,

sind, dessen Inhalt also

= ist.

senkrechte Dimensionen

Der Inhalt dS

{^)dtdxdy

der bis zu den äufseren Begrenzungen des ganzen Raums

sich erstreckenden Schicht wird man durch Integration nach x und y zwischen den gehörigen Grenzen, also aus der Gleichung

¿S = d t f d x f ( £ ) d y finden.

Integrirt man endlich

f(t)dS

nach

t, wodurch man die Summe der

in den auf einanderfolgenden Schichten enthaltenen Massen erhält, so ergiebt sich für den Ausdruck der Masse eines Theils des Ganzen: =f m d t f d x f ( ^ ) d y . Die Werthe von x und y, zwischen welchen f { t ) dS zu integriren ist, um den einer gegebenen Schicht entsprechenden Werth zu

finden,

müssen

aus dem Umfange der Projection jener Schicht (oder vielmehr der krummen Fläche, in welcher sie liegt,) auf die Ebene der xy, Nähere

hierüber

zeigen lassen. dann

wird

abgeleitet werden.

Das

sich am besten bei der Behandlung einzelner Fälle

Wir werden dabei immer beobachten, dafs zuerst

nach y,

nach x und schliefslich nach t jntegrirt wird. Offenbar ist es aber im Allgemeinen hinsichtlich des Resultats gleich-

gültig, ob man die in einer Schicht enthaltene Masse aus deren Projection auf die Ebene der xz,

oder yz,

oder auf irgend eine andere Fläche, oder,

wie oben angenommen, aus der Projection auf xy

bestimmt.

Aus dieser Bemerkung ergiebt sich jedoch für doppelte Integrale eine Transformations-Gleichung, welche wohl zu beachten ist, und welche wir daher vor Allem hier anführen wollen. Man stelle sich nämlich v o r , es handle sich um die Bestimmung der Masse einer unendlich dünnen Schicht ( F i g . 1 . ) , zwischen zwei aufeinander-

1. Winchler,

über die Reduction

dreifacher Integrale

auf Quadraturen.

3

folgenden Flächen enthalten, deren Gleichung:

z =

7i{x,y,t)

i s t , und welche von den Seitenflächen eines Parallelepipeds' (§, y, £) begrenzt wird.

Aus der eben angeführten Gleichung leite man

a b , und stelle sich unter F(x,y,n(x,y,i)) Puncte x, y, z

der

die Dichtigkeit,

dem Parameter t entsprechenden

der

Masse

im

Schicht v o r , so wird

man, der obigen Bemerkung gemäfs, zu den folgenden Gleichungen gelangen:

Im Nachstehenden stellung symmetrischer

findet

diese Gleichung, wo es sich um die H e r -

Formen handelt, mehrfache .Anwendung.

im Verlaufe unserer Betrachtungen

ist öfters von der Auflösung g e -

wisser Gleichungen die Rede. Um Wiederholungen zu v e r m e i d e n , sollen durchgehends folgende B e zeichnungen gebraucht w e r d e n .

Es sei t =

das g e g e b e n e Argument.

F{x,

y,

z)

Vorausgesetzt wird, ,man habe

y =

(p (x, t) aus der Gleichung

F[x,

y, 6{x, y ) ] —1 =

0,

x =

vo(t)

-

-

-

F[a?,0,0(x,0)\— ¿=

0,

x =

X(f)

-

-

-

F\x,x{x),Qi\

x = y{t)

-

-

-

F\x,x{x),0tx,x{x)y\-t

abgeleitet, wobei %(x)

und

fachen Integrals, resp. nach

—¿=

0, =

y ) die Grenzfunctionen des vorgelegten d r e i und z bezeichnen.

Die geometrische B e d e u -

tung dieser Gleichungen läfst sich ohne w e i t e r e Erklärung erkennen. 2. Es sei n u n :

0

4

/. Winchler,

gegeben.

über die Recluction dreifacher Integrale auf Quadratliren.

Alsdann ist

t = F(x, y, z) = ax -f- by -f cz;

=

i-

und man hat

y = tp{x,t) x=w{l) x = /»(t) x—ip(t)

aus der Gleichung -

ax-\-by-\-cQ{x,y)— ¿ = 0, ax-\-c6(x,0) — t = Q, ax-\-b%(x) — ¿=0, ax-\-bx(x)-^c6Qx,z(v7) —t= 0

zu berechnen. Für die auf einander folgenden Werthe von t (Fig. 2.) entsteht eine Reihe paralleler ist.

Ebenen,

zwischen welchen die Dichtigkeit jedesmal

conslant

Um die Bestandteile zu bezeichnen, aus welchen sich der Raum am

einfachsten zusammensetzen läfst, wollen wir von jenen Ebenen diejenigen hervorheben, welche durch die sechs Puncte &*($),},

{0,0,0},

{0,*(0),0},

{£,*(£), * & * ( £ ) ) } ,

{O,*(O),0(O,*(O))}

gehen, und durch welche der Raum in sieben, zerlegt wird. von Ebenen

einzeln zu berechnende Theile

Drei derselben sind von der Fläche z = 0(x,y), und einer cylindrischen

die übrigen

Fläche begrenzt.

Zur Abkürzung werde, wie in allen späteren Fällen:

x(£) = v> e a x m = S>

x(0) = y',

0 ( 0 , 0 ) = ?',

0 ( 0 , * ( 0 ) ) = £',

=

gesetzt. Dann mufs man, um die einzelnen Theile des dreifachen Integrals zu finden, die Integration wie folgt sich erstrecken lassen: Nachy, von

(1.)

-

(2.)
z(*)i

-- ®

_

f(ax2-J-

dDx j Odyj

by2 -)- cz2) dz =

X»CO

^ — MJJ

f[t).^.dt.

6. Auch

wenn

die Coefficienten a,

bleibt das obige Verfahren anwendbar. nügt es, anzunehmen, es sei einer die beiden andern seien positiv. als negativ

angesehen.

b, c verschiedene

Zeichen

haben,

Um hier alle Fälle zu umfassen, g e -

dieser Coefficienten, z . B . a, negativ

Auch w e r d e h, k, l als positiv

und

und P — bc

Dann ist in F o l g e dieser Annahmen h2 >

ab,

Ii2 >

ac,

F
0

af

- f cQ% 0) 2 - f

0) >

0,

2.

-

< 0

-

-

>0,

3.

-

> 0

-

-

< 0 ,

4.

-

< 0

-

-

< 0 ;

wo das Zeichen > das Zeichen

anzeigt, dafs die Asymptote die betreffende Ordinate selbst, dafs sie blofs deren Verlängerung schneidet.

Von diesen vier Fällen ( F i g . 4 . ) möge z. B . der erste etwas näher b e trachtet werden. .TU Nach y, von

Die entsprechenden Grenzwerthe sind: n 0

Kbis

Nach t, von Nach y, von

hx — V(bt + {h*—a.b)x*') . . . — N a c h

/ / .. x, von j / — bis

fc

bis 0 ;

0

bis -

~

h x

^

Nach

von

0

bis

g.

Nach 1, von 0 bis (Nach y, von

0

\

0

-

-

bis — h x ~ V ( ^ b t + -

0

;

Nach

X(x)

Nach t, von aP+hrf+ih&i Nachy, von

a b )

von

-

0

bis i ( f ) |

l(t)

-

0

bis

H '

bis bt}'*;

bis

x{ x )'>

Nach x, von

Nach t, von ¿i?'2 bis a£ 2 +c£" 2 +27i£f",* (Nach y, von I

-

-

0

bis

y \ cev

ist. Die dieser Gleichung angehörige transcendente Fläche kehrt, wenn alle Coéfficienten positiv sind, ihre geschlossene Seite dem Räume der positiven Halb-Axe zu und geht für t = a-\-b-\-c durch den Anfangspunct. Für kleinere Werthe von t liegt kein Purtct der Fläche mehr in jenem Räume. Die Aufstellung des Systems der Grenzwerthe und der Reductionsformel hat keine Schwierigkeit. Nimmt man z. B. an, die obern Grenzen des dreifachen Integrals seien insgesammt unendlich, so erhält man nur ein einziges Integral, welches wie folgt zu nehmen ist: Nach y, von 0 bis

;

Nach x, von 0 bis - ^ - l o g * - ^ " ^ ;

Nach t, von a-\-b-\-c bis oo. Da ferner /dz\ \dts

i y ' t — ue ax—be$y

/.

IVinckler,

über die Reduction dreifacher Integrale auf Quadraturen.

21

ist, so geht das dreifache Integral in 1 1-t—c JyJ

f ^

d t

a+6+c

J

To

ü

über, oder man erhält nach einiger Transformation, und wenn man dann auch die Integralionsfolge ändert: J"° dxj"°dyj"°f(aeax 0 0 u 1

f *

u f

l

- j- be* -f ce*') dz i

dz

{z—a — b){z — a — c)

= « + > + . + ' + • > & • Dafs die Integrale rechts,

wie nach

a, ß, y, so auch nach a, b, c

symmetrische Functionen sein, müssen, versteht sich, geht übrigens auch aus den Gleichungen, ( A

§. 1.) hervor,

wenn man sie auf das durch die oben

angegebenen Grenzen (nach y und x)

bestimmte Doppel - Integral anwendet.

Diese Symmetrie läfst sich übrigens auf ähnliche W e i s e darstellen, wie z. B. diejenige des einfachen Integrals n dz J + b (z— a ) ( i - | - « — z ) ' ohne dafs die Ausführung der Integration nöthig wäre.

11. Aus den oben angeführten Reductionsformeln

unseres dreifachen I n -

tegrals mögen noch die folgenden speciellen Resultate abgeleitet werden. E s sei a — b — c,

a=

ß =

y und f{t) — e~l, so ergiebt sich, mit

Rücksicht auf die bekannten Formeln, -ck ck C d x l\(e~ ) — f — — f^e~clx— y ' J log.r J x 6 O 1

=

c~ck J (I

c~cl

dx

jr-|-c 1

die sehr bemerkenswerthe Gleichung

0

1

1

welche sich jedoch auch durch ein anderes Verfahren

erlangen läfst.

Setzt

man hierin ak, bk, kz statt a, b, z und reducirt, so erhält man weiter: ¿ p ^ l o g («+«)(« +6) =

(«-"Mi ( « - » ) — l o g uÄ. Ii («" ( 0 + 6 ) t )}.

22

i' Wi-n ekler,

über die Réduction dreifacher

Integrale

auf

Quadraturen.

Durch theilweises Integriren und mit Berücksichtigung der Gleichung

co

|

e~ hg(x-\-

/H

c)dx

ix

=

-^-(logc — e c l l i ( e - a ) )

ergiebt sich hieraus noch folgendes Resultat:

=

(1 + l o g ö l o g é ) log ( a - f b) — «-(«+«* {Ii ( e - a l ) \ \ ( e - b k ) - f (1 — Iogö6)li («-