Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 47 [Reprint 2020 ed.] 9783112336403, 9783112336397

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Journal Tür

reine

und In

die

angewandte z w a n g l o s e n

Mathematik. H e f t e n .

Herausgegeben von

A.

L.

G r e l l e .

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich - Prenfsischer

Behörden.

Sieben und vierzigster Band. In v i e r

Berlin, Bei

Georg

Heften.

1854. Reimer.

Et »e trouve K P A R I S chez Mr. B a c h e l i e r (successeur de Mm® V® C o . u r c i e r ) , Libraire pour les Mathématiques etc. Quai des Augustins No. 55.

I n h a l t s v e r z ei chni f s des sieben und vierzigsten Bandes, nach den Gegenständen.

I. Nr d r

- ?

" • « ^ » B -

Reine 1.

Mathematik.

A n a 1 y s i s. A

"

"

1

1

S

'

4. Nouvelles recherches sur les Covariants. Par Mr. A. Cayley à Londres. 5. Das elliptische Potenzial. Von Herrn Dr. M. G. von Paucker, b. Secr. der kurläodischen Gesellschaft für Literatur und Kunst, corr. Mitgliede der Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg . 7. Über den ersten der von Gaufs gegebenen Beweise des Reciprocilâtsgesetzes in der Theorie der quadratischen Reste. Von Herrn G. Lejenne Dirichlet zu Berlin 8. Über ein die Division betreffendes Problem. Von Herrn Professor G. Lejeune Dirichlet zu Berlin. CAus dem Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Jan. 1851.) • • • 9. De formarum binariarum secundi gradus compositione. Auct. G. Lejeune Dirichlet. (Commentatio mense Majo an. MDCCCLI ad actum quendam academicum in univ. litt. reg. Berol. celebrandum typis expressa et distributa.) 11. Über eine Sammlung von bestimmten Integralen. Von Hrn. Bierens de Haan, Oberlehrer der Math, am Gymnasio zu Deventer, math. mag. phil. nat. Doctor. 13. Lösung der Aufgaben €. und D. in Nr. 21. Band 45 dieses Journals S. 284. Von Dr. phil. Lottner, Lehrer der Mathematik und Physik an der hqhern Bürgerschule zu Lippstadt 16. Methode du calcul des fonctions elliptiques de troisième espèce. Par Mr. J. Somoff, Professeur à l'Université de St. Petersbourg 17. Zur Theorie der ^¿elschen Functionen. Von Dr. C. Weierstrafs, Lehrer der Mathematik am Gymnasio zu Braunsberg in Ostpreufsen 18. Sur la théorie des formes quadratiques ternaires indéfinies. Par M. Hermite à Paris 19. Sur la théorie des formes quadratiques. Premier mémoire. Par le même. 20. Sur la théorie des formes quadratiques. Second mémoire. Par le même. 21. Intégration des équations aux différences partielles simultanées d'une certaine classe. Par M. l'abbé Aoust, Professeur de mathématiques pures à la Faculté des sciences de Besançon

Hei,.

Sehe.

II. 109

II. 125

II. 139

II. 151

H- I 5 5 III. 222

III. 233 III. 269 IV. 289 IV. 307 IY, 313 IV. 343

IV. 369

IV

Inhaltsverzcichnifs

des sieben 2.

Nr. der Abhandtun!

und vierzigsten

Bandes.

G e o m e t r i e .

1. Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Cnrvcn. Vom Herrn Professor J. Steiner zu Berlin. (Abgedruckt aus dem Monatsbericht der hiesigen Akademie der Wissenschaften vom August 1848.) 2. Über solche algebraische Curven, welche einen Mittelpunct haben, und über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven, so wie über g e r a d linige Transversalen der letztern. (Theils Auszug, theils Erweiterung eines am 26. Mai 1851 in der Akademie der Wissenschaften gehaltenen Vortrags.) Von Demselben 3. Aufgaben und Sätze, bezüglich auf die vorstehende Abhandlung. Von Demselben. 5. Das elliptische Potenzial. Von Herrn Dr. M. 6 . von Pauclcer, b. Secr. der kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst, corr. Mitgliede der Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg • . 6. Sopra un Teorema di Poligonometria. Nota di P. Tardy, Professore di Matematiche in Genova. (Estratta dagli Annali di scienze matematiche e fisiche pubblicati in Roma Marzo 1852.) 12. Two lettres of the Geomelrical correspondence between M. Donkin and

M. Spottiswoode

Hell. Seite.

I.

1

I.

7

I. 106

II. 125

II. 133

III. 225 3.

M e c h a n i k .

14. Theorie der D r e h - und Flieh-momente der parallelen Seitenkräfte, in welche Kräfte im Räume zerlegt werden können. Vom Herrn geh. Rathe und P r o fessor Dr. Schweins in Heidelberg III. 238 15. Theorie der Mittelpunkte der parallelen Seitenkräfte. Von Demselben. . . III. 246

II.

Angewandte

Mathematik.

10. An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of Electricity and Magnetism. By the late George Green, fellow of Gonvilleand Cains-Colleges at Cambridge. ( E n d of No. 10 tome 39 and No. 22 i II. 161 tome 44.) . . , U l i . 195 IV. 376 Druckfehlerverzeichnifs.

1.

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven. (Vom Herrn Professor J. Steiner

zu Berlin.)

( A b g e d r u c k t aus dem M o n a t s b e r i c h t d e r hiesigen Akad. der Wissens, vom A u g u s t 1848.)*)

I n der Gesammlsitzung der Akademie am 10. August 1848 wurde von Herrn Steiner

eine Abhandlung über „allgemeine Eigenschaften der alge-

braischen Curven" vorgelegt. Diese Curven

werden

darin nach Grad und Classe aufgefafst; das

Wesen der Doppel- und Rückkehrpuncte, der Doppel- und Wendetangenten wird

erläutert und die gegenseitige Abhängigkeit dieser Elementé und des

Grads und der Classe wird nachgewiesen.

Bezeichnen g und k beziehlich

den Grad und die Classe einer Curve, Ä Ä =

ferner d und r die Zahl

ihrer Doppel- und Rückkehrpuncte, so wie t und w die Zahl ihrer Üoppelund Wendetangenten, so hat man die drei Gleichungen (1.)

g ( g - \ ) =

Ar + 2 r f + 3 r ,

(2.)

k{k — 1) =

g +

(3.)

3g (9—1)

=

M+Zw, 8 r -j- w,

aus denen, wenn von den darin enthaltenen 6 Gröfsen irgend drei gegeben sind, die drei übrigen gefunden w e r d e n ; was somit auf 60 Formeln führt. Bei Bestimmung der Curven durch gegebene Puñete ergiebt sich der folgende bekannte Satz als Erster „Durch zählige

Schaar

Fundamentalsatz:

beliebige gegebene Curven

nebstdem nolhwendig

Un

n

Grads,

noch durch andere

«o, so dafs sie ein Curvenbüschel puneten

a bilden."

die notwendigen, punete

3) — 1 Puñete

B(A")

A", und

alle

at geht eine

diese

Curven

¿ ( n — l ) ( n — 2) bestimmte mit n2gemeinschaftlichen

Die Puñete «j heifsen die bestimmenden,

gehen Púnele Schnitt-

die Puñete a0

und beide insgesammt, die nz Puñete a heifsen die

des Büschels

un-

Grund-

n

B{A ).

* ) Dieser Monatsbericht wird vornehmlich aus dem Grunde hier a b g e d r u c k t , weil auf die darin enthaltenen Erklärungen und Sätze in der nachher folgenden Abhandlung vielfach v e r w i e s e n wird. Crelle'i Journal f. d. M. Bd. XLVTI, Heft t .

1

2

i. Steiner,

allgemeine Eigenschaften

der algebraischen

Curven.

Dieser Salz ist für die Betrachtung der Curven eine.r der wesentlichsten und fruchtbarsten,

indem er zahlreiche Folgerungen gewährt.

Dahin gehört

unter andern die Erzeugung der Curven durch Curvenbüschel niedrigen Grades, ganz analog, wie die Kegelschnitte durch projectivische Strahlbüschel werden.

Ferner eine grofse Reihe von Sätzen über gegenseitige

erzeugt

Berührung

der Curven, wobei sich insbesondere verschiedene merkwürdige Eigenschaften der 2 8 Doppeltangenten der Curven 4 , e n Grads ergeben. Uber die Polaren werden

einige neue weiter gehende

Gesichtspuncte

aufgestellt, die zu einer Menge neuer Resultate führen. W e r d e n aus einem beliebigen Puñete P an eine gegebene Curve (die

Basis)

einer Curve

Tangenten

gelegt, so liegen

die tt(n-l)

A"

Berührungspuncte in

und werden aus demselben Punct P an diese neue Curve

A"~l;

Tangenten gelegt, so liegen die ( « — l ) ( n — 2 ) Berührungspuncte eben so in einer Curve A"~2;

und wird so fortgefahren,

folgenden Curven A"~', des Puncts P

laren die

lle,

2",

3 1 ",

An~\

A"~3,

. . . A\

so erhält man die aufeinander welche die successiven

A',

in Bezug auf die Basis A",

. . . , (n —

2) , e ,

(n—

l)'e

Po-

und zwar nach der Reihe

Polare genannt,

und die in Zeichen

wie folgt, dargestellt werden (P\:A"

^A"-1-,

(Py-

=

(P)X:A'=A~*; (P)n_t:A"

wobei also

z. B. ( P ) T : An — A"'x

=

(P)n_2:A"

heifst: die xta

Polare A2

ist

ein Kegelschnitt

A>;

Polare des Puncts P

Bezug auf die Basis A" ist eine Curve vom (n — x)'m ( » — 2) t e

=

Al,

und

die

Grad, = (n—1)"

Polare

in Die

A"~x. A1

ist

eine Gerade. B e w e g t sich der Pol P in irgend einer Linie L jede seiner Polaren, wie etwa die oder i S ^ * - * ) , Polar lare

eine continuirliche Schaar Curven

A"~x,

durchlaufen, die irgend eine Curve umhüllen, welche die

- Enveloppe der

( D i r e c t r i x ) , so wird

Leitlinie

Ex

des bewegten

L in Bezug

auf

Pols

P,

oder

die Basis

schlechthin

A" genannt wird.

die

xXe

xte Po-

In Zeichen

wird dies wie folgt ausgedrückt: (4.) Ist die Directrix L

(L)s:A'

=

S(A-*)

=

Ex.

eine gegebene Curve, etwa vom r , e " Grad,

so ist auch der Grad jeder ihrer Polaren

E2, ...

jEJ„_1 bestimmt, nämlich

es ist allgemein (5.)

{D%:A" =

—D",

Erx^2x-3Xn-x)-,

1.

Steiner,

allgemeine

Eigenschaften

der algebraischen

Curven.

3

d. h.: „Die xu Polare der Curve D' in Bezug auf die Basis A" ist eine Curve Ex vom r ( r - f 2x — 3 ) ( n — x)te" Grad;" od,er: „Bewegt sich der Pol P in der Curve Dr, so ist seine xte Polar-Enveloppe Ex eine Curve vom genannten Grade." Für die erste und letzte Polare, also für x = 1 und x — n— 1 hat man insbesondere (6.)

=

und (7.) ist dagegen r =

1, also die Directrix eine Gerade D[, (8.)

(D%:A" =

Er-

lK

so hat man ( 5 . ) :

"-*\

und für x — 1 und x — n — 1 kommt (9.) und

=

(io.)

d. h. „Bewegt sich der Pol P auf einer Geraden Dl ( 9 . ) , so ist seine erste Polar - Enveloppe vom Nullten Grad, E°, was anzeigt, dafs die 2 S(A"-») sich in (m—l) Puncten a schneiden, auf welche sich die Enveloppe reducirt, oder dafs die Schaar Polaren A"~l in ein Büschel B(A"~1) l übergehen;" und (10.) „die (n — 1 f Polare einer Geraden D in Bezug auf die Basis A" ist eine Curve vom 2 In — 2)' en Grad und von der (n — 1)"" Classe g"-1." Für die Betrachtung der Polaren dient der folgende, allgemein bekannte, Salz als

Zweiter Fundamentalsatz. „Nimmt Puncten

P

man, in Bezug

und

Q die ersten

nimmt

sodann

Curve

Q"~l und

verwechselt die erste

diese beiden Polaren (HO

auf dieselbe Basis A", von zwei Polaren,

die erste Polare

seien Polare

-1

diese P" von P

beliebigen

und Q"~L, und

in Bezug

auf

die

auf

so

sind

von Q in Bezug

eine und dieselbe Curve Jt"~2; oder in

Zeichen:

n

«?)i: [(P)i: A ] = (P)i: [{Q\ • A*] =

Dieser Satz ist ebenso folgenreich, wie der obige. Durch wiederholte Anwendang desselben folgt zunächst, dafs (12.) «?)r = [ C ) , : Eine andere Folgerang ist:

-

(P)x: [(0)r: A"] =

R"~x~y. 1*

4

i.

Steiner,

allgemeine

Eigenschaften

der algebraischen

Curven.

„Liegt der Punct Q in der xUn Polare von P, also in P"~x, so geht die (n — x)ie Polare von Q, also Qx, durch den Punct P . " Ebenso folgt daraus der schöne Reciprocitätseatz:

, ,Hat die x1' Polare eines Puncls P, also P"~x, einen punct Q, so hat auch umgekehrt die (n — x—1)" Polare des d, i. Qx+1, jenen Punct P zum. Doppelpunct."

Doppelletztern,

Die Doppelpuncte der Polaren spielen eine wesentliche Rolle, wie aus dem folgenden Beispiel zu ersehen ist.

• „Der Ort desjenigen Puncts P, dessen erste Polare, Pn~l, Doppelpunct Q hat, ist eine Curve vom 3 (n — 2)(n — 2) Un Grad pHn-l)' und der Ort des Doppelpuncts

0

Q ist eine Curve vom 3 (n — 2)Un

einen

Grad

diese letztere Curve Q0 ist also zugleich auch der Ort desjenigen Puncts Q, dessen (m — 2) ,e Polare, Q~, einen Doppelpunct P hat, und jene erste Curve P0 ist der Ort dieses Doppelpuncts. Die Polare Q°- ist somit ein Kegelschnitt, der aus zwei Geraden besieht, die sich in P schneiden. Die Curven P0 und Q0 werden, nebst andern, conjugirte Kern-Curven der Basis A" genannt. Sie haben unter andern folgende Eigenschaften:

„Die Curve Q0 geht durch die 3»(/i —2) Wendepuncte der Basis A", wogegen die Curve P„ alle Wendetangenten derselben berührt.'''' — „Die Curve P0 ist von der 3(n —1)(« — 2)"" Classe; und von gleicher Classe ist, im Allgemeinen, diejenige Curve Rq, welche von der Geraden PQ umhüllt wird; diese Curve Rn berührt ebenfalls die Wendelungenten u der Basis J " ; " elc. — „Die (n — \) Polare von jeder beliebigen Curve Dr, d. i. Z>'('+3"-5' ( 7 b e r ü h r t die Kerncurve P0 in 3 r ( » —2) Puncten;" etc. — „Die Kerncurve P0 hat 3 (» — 2) (4n — 9) Wendetangenten, 2 | ( n — 2)[(3w -f- l ) ( n — 4)-f 28] Doppeltangenten, 12(n —2)(n — 3) Kückkehrpuncte, und 3 | ( n — 2)[3(n —2) — 14(n — 2)-f 11] Doppelpuncle." „Sind P, und P2 irgend zwei solche Puncte, deren erste Polaren Prl und Pl~l einander in irgend einem Puncte X berühren sollen, so mitfs die Gerade PLP2 allemal die Curve P0 in irgend einem Puncte P berühren, und so ist der Punct X der zu P reciproke Pol Q und die Gerade PQ ist die gemeinsame Tangente jener Polaren im Puncte X— Q.

i.

Steiner,

aligemeine Eigenschaften

der algebraischen

Curven.

5

Also können alle ersten Polaren P'r\ P 2 " _1 , . . . einander nur in solchen Puncten Q berühren, welche in der Kerncurve Q0 liegen, und somit zugleich Doppelpuncte von einzelnen derselben sind. Jeder Tangente PP, der Curve P0 entspricht ein Büschel erste Polaren ( 9 . ) , BiPr1), die sich in einem und demselben Púnele Q berühren, welcher der reeiproke Pol zum Berührungspunct P der Tangente ist. Ist PPt insbesondere eine Wendetangente der Kerncurve Pa, so osculiren sich ihre Polaren ist B(Prl) *» (?; und PPi eine Doppeltangente von P 0 , so berühren 1 sich die Polaren B(P¡~ ) in zwei verschiedenen Puncten Q. Ist ferner insbesondere P ein Doppelpunct der Curve P0. so hat seine erste Polare P"~l zwei Doppelpuncte Q, und somit giebt es eben so viele erste Polaren, welche zwei Doppelpuncte haben, als die Kerncurve P0 Doppelpuncte hat;" u. s. w. Die gesammten ersten Polaren P"-\

JP;_S P l ~ \ • • •

bilden

ein

g e -

nanntes Netz, welches durch irgend drei derselben (die nicht zu einem Büschel gehören) bestimmt ist, und wodurch dann auch die Basis A" bestimmt wird. Haben die drei gegebenen Curven gemeinschaftliche Puñete [ 1 , 2, 3, . . . bis höchstens

— l ) ( n - f 2) — 2 ] ,

so sind dieselben Doppelpuncte der

Kem-

cmve Q0. Daher ist z. B. der Ort der Doppelpuncte Coder der Bex rührung spunete) aller Curven P , welche durch dieselben gegebenen 3) —2 Puñete d gehen, eine Curve QHx~1}, welche die Puñete d zu Doppelpuncten hat. Sollen die Curven Px durch \-x(x-{- 3) —1 Puñete d gehen, so bilden sie ein Büschel B(PX) und dann haben sie zusammen 3(x-—l) 2 Doppelpuncte. Über die obigen Polaren ( P o l a r - E n v e l o p p e n ) wird bemerkt, dafs wenn man eine derselben zur Directrix annimmt, ihr ebenfalls eine Reihe Polarcurven entsprechen, von denen die eine vorzugsweise ihre reeiproke wird.

x

Nämlich wird von der x "" Polare einer Curve D',

die ( « —

d

¡_ ,]¡e r

gebene Curve D

reciproke

also von ( 5 . )

sein; nach der allgemeinen Formel ( 5 . ) ist sie aber, wenn «[jr-f

2(n—x)

— 3]x ,ten

Hier ist also der scheinbare Widerspruch noch auffallender, als bei der

gewöhnlichen Polarität, Fall

genannt

Polare genommen, so niüfste diese die g e -

r ( r - J - 2 j s ' — 3 ) ( » — x ) — s gesetzt wird, eine Curve vom Grad.

Polare

er durch Poncelet

folgt erklärt.

wo die Basis nur ein Kegelschnitt, und f ü r welchen aufgeklärt worden.

Hier wird das Paradoxon

wie

6

/•

Steiner,

allgemeine

Eigenschaften

D i e e r s t e P o l a r e von Dr, und f ü r die ( n — l ) , e

der algebraischen

Curven. E*""1*"'1*,

in B e z u g auf die Basis A", ist

P o l a r e von dieser giebt die F o r m e l

(7.)

£

algeb.Curven,

welche Mittelp. haben, u. Eigens, allgem. algeb. Curven.

Da im Allgemeinen eine Curve ml

n

9

Grads durch

\m{m-13) Púnele p bestimmt wird, so sieht man, wieviele bestimmende Púnele p durch den gegebenen Millelyunct vertreten werden, nämlich „Der

Miltelpunct

SOf

vertritt

bei C2" :

o

n(v\

1 1

[ f ) bei C '- : bestimmende

Puñete

1) = 2

v

{ m (m

=

2),

} [ w (/«-f 2) -f 1 ]

p."

Aber der gegebene Miltelpunct bedingt noch mehr; denn mit ihm sind auch

zugleich alle Gegenpnncte py

oder als gegeben

zu den gegebenen

anzusehen, durch

Puncten p

bestimmt

welche die Curve nothwendig ebenfalls

geht, so dafs also zusammen beziehlich ( « und ß ) ¿>/i(wí-f2) Puñete p und

und

l[m(m-[2)-fl]

gegeben sind, somit mehr,

als die Bestimmung der Curve

im Allgemeinen erheischt oder zuläfst ( y ) , und zwar sind für C'":

/u

—

für C'"~l:

y-1

=

\m, \{rn-1)

Puñete mehr gegeben, ohne dafs dadurch die Curve überbestimmt wird.

Den

obigen Salz kann man danach auch so aussprechen: „Sind

beliebige

oder

begrenzte

Gerade

oder

Sehnen

j/(y-fl)- 1

ppx geyeben,

[m(»i-f4)-l])

die alle

die z w e i Zahlformen von m u n t e r s c h i e d e n , s o hat man f o l g e n d e zwei I.

II.

Ü^-^D^-^J^D^-*-]

Di'-1-[iP'-3-\-D!f'-s-\

-fD'-fö

0

=

durch

den-

Gleichungen:

0 ; für

- f ^ ' - f 0 1 = 0; für C**~l.

J e n a c h d e m also d e r G r a d e x p o n e n t gerad o d e r ungerad i s t , enthält die Millélp u n e t s - G l e i c h u n g d e r Curve O auch n u r die Glieder von gerader oder ungerader D i m e n s i o n , indem alle übrigen = 0 sein m ü s s e n . In ( I . ) b e z e i c h n e t D ° das c o n s t a n t e Glied. Dafs die C u r v e C " - 1 n o t h w e n d i g d u r c h i h r e n e i g e n e n Miltelpunct g e h t , ist aus (II.) ersichtlich. Da j e d e Dimension ein Glied m e h r u m f a f s t , als ihr E x p o n e n t a n z e i g t , z. B. da D" die o t - f 1 Glieder

y", f - ' f , y"--JC*,

yx"-1,

Xa,

a b g e s e h e n von den C o é f f i c i e n t e n , u m f a f s t , s o ist die Zahl aller Glieder in den b e i d e n Gleichungen in(I.): = + = i(m+2)% in ( I I . ) : = v ( v - f l ) = J ( m + i ) ( » » + 3). Daraus ist zu e n t n e h m e n , d u r c h wieviele g e g e b e n e P u ñ e t e p e i n e Curve Cm bestimmt w i r d , w e n n sie durch d i e s e l b e n g e h e n und e i n e n a n d e r n g e g e b e n e n Punct SW z u m Miltelpuncl h a b e n soll. Crelle's Journal f. d.M. Bd.XLVJI. Heft 1. 2

1 0 2 . Steiner,

ulgeb.Curven,

welche

Miltdp.

selben Punct'S)? gehälft et werden, Endrunde oder

p und pi

Clr~l,

welche

allemal

so liegen in

den Punct

haben,

einer

3Ä zum

u. Eigens,

allgem.

algeb.

Curven.

ihre 2,u (,u -j- 2) oder 2v(v-}-i)

durch

sie

bestimmten

Mittelpunct

—2

Curie

C~"

hat

§. 3. Läfst man von den genannten Sehnen ppi eine w e g , so ist die Curve durch

die Endpuncle

der übrigen nicht mehr bestimmt,

aber durch jeden

Punct //', den man frei annimmt und durch den sie gehen soll, wird sie b e stimmt (weil dann nebst SDi wieder eben soviele p gegeben sind, wie vorhin), so dafs also unendlich viele Curven Cm durch diese übrigen Endpuncte möglich sind, die Tt zum Mittelpunct haben.

Aber alle diese Curven schneiden

ein-

ander, aufser den Endpunclen der Sehnen, noch in anderen bestimmten Puncten q und -f q ;

2) 15fi;

3) 6m;

und

4) 30»»!. In jeder der 15 Geraden G kennt man demnach alle ihre 5 Schnitte mit der Curve SD?5: nämlich ihre zwei Endpuncte (2p,

oder p und q),

ihre

Mitte (x und die in ihr liegenden 2/«,. Um

die Bestimmung der 3 0 Miltelpuncte . m i deutlicher

bezeichne man die 5 p durch a, b, c, d, e. etwa a,

b, c und d,

bestimmen 6 G ,

z«

machen,

J e 4 der gegebenen 6 Puncte,

deren Mitten, ü f i , in-einem Kegel-

2

schnitte SD? liegen, welcher der Ort der Mittelpuncte aller durch n, b, c und d gehenden Kegelschnitte (Cl)

ist ( § . 6.), und welcher somit die durch e und q

14 2. Steiner,

alyeb. Curven, welcheMitlelp.

haben, u.Eigens. allgcm. alyeb. Curven.

gehende G in den genannten 2»«! schneidet; ferner geht SD?2 auch durch die Miltelpuncte, 5 Puñete

der beiden Kegelschnitte C2,

2m,

abede

und abedq

bestimmt

welche beziehlich durch die

werden ( 3 ) ;

folglich kennt man auch

2

5

alle Schnitte des Kegelschnitts 5B? mit der Curve SB? , nämlich die genannten 6,«, 2m x und 2m, zusammen — 10 Schnitte.

Es giebt im Ganzen 15 solche

J

Kegelschnitte 3Ä . II.

Durch

das Vorstehende ( I . )

läfst sich nunmehr

auch leicht e n t -

s c h e i d e n , wieviele Curven CP, welche Miltelpuncte haben, durch 7 gegebene Puñete

5 p , (f und r gehen.

soll die C3 nur durch die 6 Puñete 5 p

Denn

und r gehen, so ist gleicherweise, wie vorhin ( I . ) , der Ort ihres Mittelpuncts ; und soll also C 3 durch alle 7 Puñete zumal gehen,

eine neue Curve

so mufs ihr Mittelpunct in

beiden

SDí5 und

Ortscurven

d. h. er mufs einer ihrer gegenseitigen Schnitte sein. Schnitte =

zugleich

liegen,

Nun ist die Zahl dieser

2 5 ; allein nach der obigen Auseinandersetzung befinden sich d a r -

unter 16 solche, welche der F o r d e r u n g nicht genügen k ö n n e n , weil sie von den 5 p allein a b h ä n g e n ,

nämlich dieselben sind

1 } die bp

selbst, 2 )

10u,

d. h. die Mitten der durch die 5 p bestimmten 1 0 Geraden G, und 3 ) ein m. der Mittelpunct des durch die 5p gehenden Kegelschnitts C2; 16 Puñete gehen beide Ortscurven; punets 9Ji der Curve C

3

denn durch diese

daher bleiben für die Lage des Miltel-

nur 9 Schnittpuncte übrig

Dies begründet den f o l -

genden S a t z : „Durch nur

7 gegebene

9 solche

Curven

Púnele

dritten

Grads,

Daraus schliefst m a n : dritten somit

A3,

Grads

welche

insbesondere

eine

von

den

keine

übrigen

insbesondere centrisch

d. h. „durch haben, falls

über einen

sie 8 Puñete dafs

zwei

sind,

sie

die

Dafs

Curven

einen

vielen

8 Púnele

welche

hat." haben

zweier sind, dj

und

kann keine Weifs

dafs jede

sein müssen,

Curven

und

man einen dafs

c)

haben,

keine

einen A3,

hat.

bilden,

aber

nicht

welche

dritte gehen, Mittelpunct

sich conhaben,

Miltelpuncte welche

eben-

A3,

dafs

so

folgt,

Büschel

ge-

Curven

alle zu ihrem

Hat

deshalb

Befinden

Mittelpunct

von drei

und

b)

so braucht

haben,

Miltelpuncte

Curven

gehen,

Puncten

einen Mittelpunct zu

Allgemeinen,

haben."

den unendlich

gegebene

einen Mittelpunct,

von den übrigen

nicht concentrisch gemein

welche

Mittelpunct

Schnittpuncte

concentrisch

im

Miltelpuncte

unter

beliebig

befindet,

darunter,

Mittelpunct

welche

gehen,

B (^á ) mit 9 gemeinschaftlichen der

so kann

Ebene

3

keine

aber

a)

durch

einen Curvenbüschel

sich im Allgemeinen

in einer

hat:

2. Steiner,

algeb. Cttroen, welche Mittelp.

haben, u.Eigens, allgem. algeb. Curven.

15

hörigen Curven ebenfalls Mittelpuncte haben und mit ihnen concentrisch sind, und da/'s jene 8 (oder 9) Puñete die oben (§. 3.) beschriebene besondere Lage

haben müssen.

— Analoges findet bei den höheren Curven stall. §• 8.

In Betracht der Ortscurve SR5 ( § . 7. I.) sind durch besondere Wahl der g e g e b e n e n 6 Puñete,

5 p und q,

oder a,

b,

c,

d,

e und q,

zahlreiche

specielle Fälle möglich, von denen einige hier kurz angedeutet werden sollen.

I. dessen

II enn die gegebenen 6 Puñete in einem Kegelschnitte

Mittelpunct

SR0 heißen

mag:

C¡¡ liegen,

so vereinigen sich die. dort genannten

6 Kegelschnitte C2 ( § . 7 . 1 . 3 . ) alle in C 2 und ihre sechs Mittelpuncte m in SR,,. mit jedem seiner Durchmesser C¿ zusammen eine C3

Da

vorstellt,

durch die 6 Puñete geht und SR» zum Mittelpunct hat: so folgt

vielfacher

Punct

der Curve

SR sein rnufs. — Oder, wenn der durch die

punct hat, so folgt eben so, daß

haben

SR» ein

5

5 Puñete a, b, c, d, e g e h e n d e Kegelschnitt C2

Doppelpunct

da/s

welche

dann

den 6 , e n Punct q zum Mittel-

die Curve

SR5 den Punct

q

zum

muß.

II. Liegen von den 6 Puncten drei, ettoa d, e und q, in einer Geraden Ii: so muß SR5 in diese Gerade und in eine Curve SR4 zerfallen,

so

9R5 =

daß

. B - f 9R4.

Denn jeder beliebige Punct

in der G e -

2

raden B ist Mittelpunct eines Kegelschnitts üft der durch die 3 Puñete a, b,

c

zusammen eine Curve C3 repräsentirt, welche durch

geht, und der also mit B

die 6 Puñete geht und ihren Mittelpunct SR in 91 hat; so dafs folglich B

zum

Ort der Mittelpuncte SR gehört. — Die Curve SR4 geht durch folgende leicht angebbare 3 9 Puñete.

1 ) Durch a,

der 36?, welche die Puñete a, mit d, 5

3C ,

e,

q verbinden,

welche

gehen;

beziehlich

4 ) durch

den ihnen

also

18

b und c;

durch wij,

( w i e oben § . 7. I.)

dreimal in

5 Puñete abede,

welchen

die

altcdq,

vorgenannten

entsprechenden Kegelschnitten SR

werden;

und ferner durch 3 Puñete m ^

d. i. ab,

ac,

bc

beziehlich von

sowohl

w e l c h e a,

b,

in welchen

3 Geraden C t , Bt,

2

abceq §G

und cq geht und die ab in mt

von

geschnitten

die vorgenannten AL geschnitten

3G,

werden,

die so bestimmt sind, dafs z. B. C, durch die Mitten ¡u der 3 Geraden cd, jeder der 1 5 Geraden 3G,

c

1 2 f i ; 3 ) durch die Mittelpuncte tn der

durch die

Puñete

2 ) durch die Mitten u

b, c unter sich, als der QG,

ce

trifft. Demnach kennt man die 4 Schnitte von

9G, A B

t

und C , mit der Curve SR 4 ; eben so

die 8 Schnitte von jedem der 9 Kegelschnitte SR2 mit SR4.

16

2. Steiner> III.

algeb. Curven, welche Mittelp. haben, u. Eigens, allgem. algeb. Curven.

Liegen

a, b, c in A, Geraden

und

die

und

6

Puñete

zu

d, e, q in Ii:

aus einer

3 und 3 in zwei

so muß

so dafs

9JJ aus

2D?5 =

die Mitten der 96?, welche die Puñete in A mit denen in B

1) Durch verbinden;

in welchen die 96? von den zugehörigen 9 SD?" geschnitten

Somit kennt man die 3 Schnitte j e d e r der 9G mit 2)?3.

werden.

diesen

A -f B -f 9)f3.

Die Curve 2)í3 geht durch folgénde, leicht construirbare, 2 7 Puñete. 2 ) durch die 1 8

etwa

5

die Ortscurce

SR3 bestehen,

Curve

Geraden,

J e n e 9w

liegen auch zu 3 und 3 in 6 Geraden, 3 A ¡ und 3 ß , , wovon die 3 A x mit A, und die 3 B L mit B parallel sind. IV.

Gehen von den 15 G,

Weichs die 6 Puñete paarweise v e r b i n -

den, irgend 3 G, die zusammen alle 6 Puñete enthalten, etwa die 3 Geraden ab, cd und eq,

durch irgend einen Punct N,

Mittelpunct SR in IV liegt ( § . 4.).

so vertreten sie eine C3,

deren

Sind insbesondere die 3 Geraden ab, cd, eq

parallel und liegt cd in der Mitte zwischen den beiden a n d e r n : so zerfällt 2K5 in die Gerade cd und in eine Curve 9JÍ*, von der 4 6 Puñete leicht anzugeben sind, nämlich aufser a, b, e, q noch 1 0 / / , 6 m und 2 6 » ^ .

Sind zum zweiten

Mal drei Gerade parallel und die mittlere gleichweit von den äufsern entfernt, welche jedoch nur punete a,

( w e n n man sich bei j e n e n e r s t e m ab,

cd,

c, e nach links und b, d, q nach rechts d e n k t ) entweder « ) die

Geraden ac, be, dq oder ß)

ae, cq, bd sein k ö n n e n : so müssen nolhwendig

zum drillen Mal 3 Gerade dieselbe Eigenschaft h a b e n , und ( a ) bd,

aq,

ce oder ( / ? ) be,

3 mittleren Geraden cd,

be,

be, aq

Puñete ZV(); aber im Falle ( a ) abdqeca,

eq die E n d -

ce.

oder

zwar

beziehlich

In beiden Fällen schneiden sich die cd,

cq,

be in einem

sind sie die Hauptdiagonalen

und

demselben

eines Sechsecks

welches die 3 P a a r äufseren Geraden zu Gegenseiten hat, wogegen

im Falle ( / i ) die 3 Geraden des dritten Systems, bc, be, ce in eine und d i e selbe G e r a d e , bce,

fallen und wobei

in c liegt.

Für beide Figuren

be-

sieht 9Jt5 aus den drei mittlem G e r a d e n , cd, be, aq oder cd, cq, be,

und aus

einem

des

Kegelschnitte

welcher

bei der. ersten Figur die Seiten

ge-

nannten Sechsecks in ihren Mitten berührt und Nu zum Mittelpunct hat; etc. — Die 6 Puñete

können

endlich auch solche

den 156? sich 10 mal 3 G , Púnele N Figur, eines

(reifen, wobei

specielle Lage h a b e n , dafs

von

die zusammen alle 6 Pqncte enthalten, in einem

dann 9Ää in 5 Gerade SD?1 zerfällt.

diesen Fall darzustellen,

ist d i e , wo etwa a,

b,

Die einfachste

c, d,

e die Ecken

regelmäfsigen Fünfecks sind und q der MilteJpunct des demselben u m -

schriebenen Kreises.

Die >5 Geraden SR1 sind, alsdann qa,

qb,

qc4

qd und

qe;

2. Steiner,

algeb. Curven, ivelcheMiitelp. haben, u.Eigens, ullgem. algeb.Curven.

17

die 10 Puncte N liegen paarweise in ihnen und sind, zu 5 und 5, die Ecken zweier neuen regelmäfsigen Fünfecke, welche gleichfalls q zum Centrum haben. In diesem Falle ist jedoch keine eigentliche Curve C 3 mehr möglich, sondern jede besteht aus C2-\-Cl, und zwar ist Cl immer diejenige von den 5 G e raden Wt\ in welcher der Mittelpunct Wl von C2 liegt. Liegt Wt insbesondere in einem der IOjY, so besteht Cs aus 3 Geraden, = 3 C 1 . §. 9. Die Curven, welche Miltelpuncte haben, besitzen, in Bezug auf dieselben, verschiedene wesentliche Eigenschaften, wovon einige hier näher angegeben werden sollen. Zur Abkürzung soll dabei, so wie in der Folge ein Doppelpunct durch dp oder p , , eine Doppeltangente durch dl oder ein Wendepunct durch wp oder n>, eine Wendetangente durch wt oder 2B, ein Rückkehrpunct durch rp oder t, eine Rückkchrtangente durch rt oder 9t, eine Asymptote durch As und die unendlich entfernte Gerade der Ebene durch 6?» bezeichnet werden. I. Hat eine Curve Cm einen Mittelpunct 3Ä, so gehen ihre m Asymptoten As, im Allgemeinen, alle durch denselben. Jede andere durch den Mittelpunct gehende Tangente der Curve ist nothwendig eine Doppeltangente ¡E2, und ihre zwei Berührungspunde, etwa h und b1, sind Gegenpunete. Die Zahl der durch 2Ji gehenden %2 ist —%m(m — 2 ) , und ihre m{m — 2) Berührungspunete, b und b^ liegen in einer neuen Curve m 2 C ~ , welche ebenfalls einen Mittelpunct, und zwar mit der gegebenen den nämlichen Punct Wt zum Mittelpunct hat. Von dieser neuen Curve gehen also eben so alle As so wie eine ihrem Grad angemessene Zahl X2 durch den Mittelpunct Wt, und die Berührung spunde der %2 liegen in m einer neuen Curve C ~*, welche gleicherweise denselben Punct 9)? zum Mittelpunct hat; u. s. w. Werden die zwei Zahlformen von rn unterschieden, so entstehen auf diese Weise zwei Curvenreihen: e)

ß)

C-f,

c >-\er-*- , 2

3

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLV1I. H e i t l .

C2-"-\

c *-\ 2

...,

C\

C3;

c\ c\

3

I S 2. Steiner,

alyeb. Curven, welche Mittelp. haben, u. Eigens, allgem. algeb. Curven.

Bei ( « ) hat die vorletzte C u r v e , C 4 , noch 4 £ 3 mit 8 ßerührungspuneten, durch welche die letzte, C2, geht; und diese C2 hat nur noch 2 A s , aber keine X? mehr. Da für C 2 " - 1 die Zahl der durch ihren Mittelpunkt gehenden Xi — 2v{r— 2 ) - f £ ist, so hat das vorletzte Glied bei ( ß ) , C3, nur f i i j , was offenbar ihre Wendetangente im Mittelpuncte 9)Z bedeutet, und das letzte Glied C' ist diese wt selbst. Übrigens haben alle Curven der Reihe (/?) diese nämliche C 1 zur gemeinschaftlichen wt, so dafs dieselben in ihrem g e meinsamen Mittel- und Wendepunct 9)? sich insgesammt dreipunetig berühren. Auch für die Curve {7 2 " -1 bedeute! der Bruch, f , die Wendetangente im Punct selbst, und die Zahl der eigentlichen Doppeltangenten ist = 2v(v—2).

II. Die Tangenten in je zwei Gegenpuncten p und p¡ der Curve C sind parallel. Alle ausgezeichneten Elemente der Curve, als da sind dp, wp, rp, dl, tot und rt, wofern sie nicht im Mittelpunct oder im Unendlichen, in tím liegen, müssen paarweise vorhanden und zwar Gegenelemente sein. D. h. die 3 m(m — 2) ro der Curve müssen paarweise Gegenpunde, und die jedem Paar zugehörigen 2B müssen parallel sein; die £ m ( m — 2) (m2 — 10)£ 2 , die nickt durch den Mittelpunct 9R gehen, müssen paarweise parallel sein und gleich weit von Wl abstehen, auch sind die Beruh rungspunete jedes Paars heziehlich Gegenpunde; hat die Curve Doppelpuncte, (die weder in SD? noch in Gx liegen), so müssen dieselben paarweise vorhanden und Gegenpvncte sein, auch müssen die zwei Tangenten in dem einen denen in seinem Gegenpunde beziehlich parallel sein; eben so können auch die Rückkehr puñete r nur paarweise Rükkehrtanund zwar als Gegenpunde auftreten, und die zugehörigen genten müssen parallel sein. Hat dagegen die Curve einen Doppelpunct, der insbesondere im Unendlichen, in G^, (oder in WIJ liegt, so bedingt derselbe nicht gleicherweise einen zweiten, vielmehr bewirkt er umgekehrt sogar noch eine scheinbare Abweichung von dem obigen Satze (I.). Nämlich, liegt ein Doppelpunct in Gx, so erscheinen die beiden Tangenten in demselben als zwei parallele Asymptoten, die, jenem Satze entgegen, nicht durch den Mittelpunct SO? gehen, wohl aber gleichweit von 2Ä abstehen; daher kann Gx selbst nie Tangente der Curve in einem Doppelpuncte sein. Und liegt ferner ein Rükkehrpunct in GK, so mups die Rückkehrtangente entweder auf 6?x fallen oder durch SD? gehen, wo sie dann im letztern Falle als zweifache (oder im weitern Sinne als fünffache) Asymptote anzusehen ist. m

2. Steiner,

algeb. Curven, welche Mittelp.

haben, u. Eigens, ullgem. ulgeb.Curven.

19

III. Zieht man durch den Mittelpunct 9)? der Curve C'n irgend eine unbegrenzte Gerade, einen Durchmesser S , so liegen in ihm Paare G e genpuncte q und oder \m Sehnen qqx, und die Tangenten in jedem dieser Punctenpare sind parallel, und zwar hat jedes Tangenlenpaar, im Allgemeinen, eine besondere Richtung, so dafs, wenn man diese Richtungen der Tangenten, wie beim Kegelschnitt, dem Durchmesser >S (oder den respectiven Sehnen qqCl „conjugirV nennen wollte, alsdann zu demselben Durchmesser \rn verschiedene conjugirte Richtungen gehörten. Eben so würden umgekehrt zu jeder bestimmten Richtung der Tangenten auch mehrere conjugirte Durchmesser gehören; denn nach jeder gegebenen Richtung R, d. h. mit irgend einer g e gebenen Geraden R parallel, sind im Allgemeinen m(m — 1) Tangenten möglich, deren Berührungspuncte nothwendig paarweise Gegenpuncte oder Endpuncte von Sehnen qqi sein müssen, so dafs also einer und derselben Richtung R, in dieser Hinsicht, ]-m(m — 1) verschiedene Durchmesser & (oder Sehnen f/y,) conjugirt sind. In diesem Sinne kann man also sagen: „Zu jedem Durchmesser S gehören £ m conjugirte Richtungen R, und zu jeder Richtung R gehören \ m(m — 1) conjugirte Durchmesser S oder Sehnen qqi*) Nun liegen ferner die m{m — 1) Berührungspuncte jedes Systems paralleler Tangenten bekanntlich in einer neuen Curve C " ' _ I , welche die erste Polare des nach der Richtung der Tangenten im Unendlichen, in gedachten Pols P m heifst; und da die Berührungspuncte paarweise Gegenpuncte, oder die Endpuncle von \m(m — 1) Sehnen qqi sind, so mufs diese Curve ebenfalls den P u n c t o zum Mittelpunct haben. Gleicherweise müssen die 2 l e , 3 t e , . . . , ( m — l ) s , e Polare desselben Pols P « in Bezug auf die gegebene Curve Cm, welche nach der Reihe Cm~'1, Cm~3, . . . C\ C 1 sind, den nämlichen Punct 2Ä zum Mittelpunct haben, wobei die letzte, C1, eine durch 3JZ gehende Gerade, ein Durchmesser von jeder der übrigen Polaren, so wie von C M ist. Also: „Hat eine Curve C'" einen Mittelpunct 2JJ, so haben auch alle successben Polaren Cm~l, C'"~\ C""3, . . . C 1 , C 1 jedes unendlich entfernten Pols Px Mittelpuncte. und zwar sind sie alle mit der Basis Cm concenlrisch." *) Hierbei entsteht die doppelte Frage: „Welche Relation findet einerseits zwischen den \ m conjugirten Richtungen R zu jedem Durchmesser S; und andererseits zwischen den \m(m—1) conjugirten Durchmessern S zu jeder Richtung R statt?"

3*

20 2. Steine r, alyeb. Curven, ivelche Mittelp. hüben, it. Eigens, allyem. algeb. Curven. „Wird die Richtung R der Tangenten auf alle mögliche Weise geändert, oder läfst man den Pol P^ die Gerade G,rj durchlaufen, so haben die zugehörigen ersten Polaren den Mittelpunct 9JÍ gemein und bilden zudem einen Curvenbüschel B(Cm~l) mit (m—l)2 Grundpunclen p und *) welche paarweise Gegenpuncte oder Endpuncte von £(m—l)2 Sehnen pp¡ sind (vergl. §. 3.)- Die Curven dieses Büschels haben im Ganzen 3 (m — 2 f Doppelpuncle p 2 , welche paarweise einzelnen Curven Cm~l angehören und Gegenpuncte sind; nur wenn ein p2 m 50Í oder in Gm liegt, kann er vereinzelt dastehen. In Gm liegen 2 im — 2) Doppelpuncte p2, daher ist die Zahl jener Paare (oder die Ziahl der Curven C m _ 1 , welche

2 p, haben)

=

\{m — 2)(3m

Zahlformen von m berücksichtigt, m = des B(Cm~l)

— 8)."

W e r d e n hierbei die zwei

2¡JL und m — 2v— 1, so hat inan statt

folgende z w e i :

a) BiC'f-1) Bei (a) gehört der Mittelpunct 2

(weil j e d e C *"

-1

durch ihren

und ß) B(C7"~7). SP? mit zu den (m — l)2

eigenen Mittelpunct g e h t ) ;

2

bei

Grundpunclen (/?)

dagegen

2

gehört zu den 3 (wi — 2) = 3 (2v — 3) Doppetpuncten p 2 , weil notwendig eine der Curven, etwa C(~¡y~2, durch SDi gehen und ihn daher zum p2 haben mufs (§. 1.). Diese besondere Curve C^~2 entspricht derjenigen Richtung R, welche durch die Wendetangente der Basis Cm — C"~l im Puñete gegeben ist. In diesem Falle ist die Anzahl der Paare Doppelpuncle = 2 (v — 2) (3 v — 4) ¿ , wo der Bruch, \ , den in 9JÍ liegenden p2 anzeigt. Zu den zuletzt angegebenen Eigenschaften gesellen sich in besondern Fällen noch andere Umstände,

wie an folgenden einfachsten Beispielen

zu

sehen ist. 1.

Ist die g e g e b e n e C u r v e Cm

nur

eine C3,

so gehen nach j e d e r

Richtung R j e 6 Tangenten, deren 6 Berührungspuncte in einem mit C3 centrischen Kegelschnitt C messer des letztern sind.

2

con-

liegen und zugleich die Endpuncte dreier D u r c h F ü r alle Richtungen R

entsteht ein B{CP),

die

* ) Diese (m — l ) 8 Púnele sind als die erste Polarenveloppe der Geraden G„ in Bezug auf die gegebene Curve O anzusehen ( s . obigen Monatsbericht). Die übrigen Polarenveloppen, die 2«% 3*% (m — i ) s , e haben alle den Punct 9Ä zum Mittelpunct, und erscheinen überhaupt in specieller Form; so z. B. reducirt sich die letzte, oder (m — l ) s , e Polarenveloppe, die im allgemeinen Falle eine Curve von der (m—l) s l < , n Classe und vom 2 ( m — 2 ) ' e n Grade ist, hierbei auf den blofsen Mittelpunct 2Jl, indem nach obiger A n g a b e , die letzte Polare, Cl, stets durch ÜJi geht

2. Steiner,

algeb. Curven, welche Mittelp. haben, u. Eigens, allgem. algeb. Curven. 21

alle mit C3 concenlrisch sind, und deren 4 Grundpuncte aus zwei Paar Gegenpuncten, etwa p und pl, r und r z , bestehen und somit die Ecken eines Parallelogramms sind. Die Curven B ( C 2 ) haben im Ganzen nur 3 Doppelpuncte p 2 , aber keine von ihnen kann hier 2p 2 haben, sondern die 3p 2 g e hören drei verschiedenen speciellen C2 an, wovon die eine, C?„ aus den Diagonalen, ppy und rry, und jede der zwei andern, C 2 und Cl, aus einem Paar Gegenseiten des Parallelogramms besteht, so dafs jene ihren p2 in 2Jl und jede von diesen ihren p2 in 6rÄ zu liegen hat. Die C 2 entspricht der Richtung der Wendetangente der Curve C3 im Puñete SDi; und von C 2 und Cl entspricht jede der Richtung der zwei Gegenseiten, aus welchen die andere besteht, so dafs zwischen ihnen Reciprocität statt findet. 2. Ist die gegebene Curve eine Cso gehen nach jeder Richtung R je 12 Tangenten, deren 12 Berührungspuncte in einer mit C* concentrischen Curve C3 liegen. Die allen Richtungen R entsprechenden C3 bilden ein B (C 3 ) mit 9 Grundpuncten, wovon einer 9JÍ selbst ist, die 8 übrigen dagegen 4 Paar Gegenpuncte p und pL, oder die Endpuncte von 4 Sehnen ppy sind. Die Curven B(C3) haben im Ganzen 12 Doppelpuncte p 2 ; nämlich es giebt unter ihnen 4 solche, Cwovon jede zwei und 4 solche, Cf, wovon jede nur ein p2 hat. Jede der 4 C | zerfällt in C^-^C1, nämlich Cl ist je eine der 4 Sehnen pp y und C 2 geht durch die Endpuncte der je 3 übrigen Sehnen. Die einzelnen Doppelpuncte der 4 C3 liegen im Unendlichen, in Gn. §. 10. Aus dem Bisherigen ist zu sehen, dafs eine höhere Curve Cm, welche einen Mittelpunct -W hat, offenbar in ihrem ganzen Wesen der Art beschränkt wird, dafs sie durch keine projectivische Umwandlung aus einer allgemeinen Curve gleichen Grades, etwa Cl", entstanden sein, noch in eine solche übergehen kann. Denn wird C'" von irgend einem Puñete P des Raumes aus, auf eine beliebige Ebene projicirt, so behält die neue Curve C™ immerhin die folgende, sie modificirende besondere Eigenschaft, nämlich ( § . 9 . ) : „Daß es in ihrer Ebene einen solchen Punct ©i giebt, durch welchen \m{m — 2) ihrer Doppellangenten gehen, deren m(m—1) Berührungspuncte, b und von jeder in einer neuen Curve C'r-2 liegen; und dafs die Berührungspuncte der noch übrigen, aus an C" gehenden, m einfachen Tangenten in einer Geraden G liegen, welche jede %2 in demjenigen Puñete g schneidet, der mit SOti zu ihren beiden

2 2 2. Stpiner,

algeb. Curven, welche Miitelp. haben, u. Eigens, allgem. algeb. Curven.

Berührungspuncten b und bi harmonisch ist, also g, b, SR,, b¡ vier harmonische Puñete sind; dafs ferner jede durch SD?! gezogene Tansversale Si die Curve C[' in \m solchen Punctenpaaren q und q, schneidet, wovon jedes Paar zu 9)?t und dem Puñete gx, in welchem Si jene Gerade G schneidet, harmonisch sind, also je 4 Puñete q, SD?,, q¡, gl harmonisch sind, und dafs die beiden Tangenten in jedem Punct enpaar q und qt sich auf G schneiden; und dafs weiter, wenn man umgekehrt aus irgend einem Puñete P in der Geraden G die m(m — 1) Tangenten un die Curve C" legt, dann deren Berührungspunete paarweise, q und , aber die vorhin aus ihm an die Curve gehende Tangente Jp ( — tt>b), fällt hier auch noch auf die Gerade W ( = r t t > ) , so dafs jetzt alle 3 Tangenten, durch deren Berührungpuncte die Harmonische H von gehl, in W und ihre drei Berührungspuncte in x vereinigt sind, allein wenn nun auch hiedurch die II nicht mehr bestimmt wird, so folgt doch andererseits aus ihrer harmonischen Lage, dafs sie mit 0 und © zugleich in die Rückkehrtangente 9t übergehen mufs. Demnach gehen in diesem Falle die drei reellen Harmonischen nicht allein alle durch den Rückkebrpunct v, sondern sie fallen alle drei in die Rückkehrtangente 9t zusammen. Aus den obigen Sätzen ergeben sich hier folgende specielle Sätze. „Jede durch den Wendepunct n> gezogene Gerade S wird von der Curve C¡ und deren Rückkehrtangente 9t in 4 harmonischen Puncten geschnitten; d. h. wird S von C/ in den Puncten q, ro, ^ und von R im Puñete r geschnitten, so sind immer q, n?, r vier harmonische Puñete." „Die in den beiden Puncten q und qL an die Curve gelegten Tangenten treffen sich allemal in irgend einem Puñete P auf der Rückkehr tangente dt; und umgekehrt: werden aus irgend einem Puñete P der Rückkehrtangente 9t die zwei, nickt auf 9t fallenden, Tangenten an die Curve gelegt, so liegen ihre Berührungspuncte q und qt, stets in einer durch den Wendepunct rc gehenden Geraden Und ferner: „Zieht man durch den Rükkehrpunct x irgend zwei zu 9t und W zugeordnete harmonische Strahlen Q und Q¡, so schneiden diese die Curve in zwei neuen Puncten q und qt, welche jedesmal mit dem Wendepunct ro in einer Geraden S liegen" — „Wenn ferner die durch t» gezogene Transversale S insbesondere der Rückkehrlangente 9t parallel ist, so stehen die Schnitte q und qt gleichweit von n> ab; und wenn S mit einer der drei

2. Sleiner,

algeb. Curven, welche Mitielp. haben, u. Eigens, allgem. algeb. Curven.

27

Asymptoten der Curve parallel ist, so liegt einer der beiden Puncte q und , er heif.se für einen Augenblick q, so liegt q0 in der Milte zwischen t» und r; und daher auch umgekehrt: zieht man durch die Mille der Geraden W (= m) eine Gerade Qt) parallel R, so schneidet sie die Curve in 3 Puncten q„ und die aus tu durch dieselben gezogenen 3 Geraden voq{) sind den drei Asymptoten parallel, und die in den Puncten yu an die Curve gelegten Tangenten treffen sich mit den respectiven Asymptoten auf der Ruckkehrtangente 91." III.

Hat die C u r v e C\

6 imaginäre W e n d e p u n c t e

einen isolirlen Punct 7r2, SO sind in demselben

zu d e n k e n , die übrigen drei Wendepuncte m sind

reell und liegen in einer Geraden.

Von den aus jedem dieser drei reellen tt>

an die Curve zu legenden 3 Tangenten fallen, wie oben ( I . ) , Gerade

n>n^—W,

zwei auf die

so dafs ihre beiden Berührungspuncte in ^

dritte Tangente heifse, wie d o r t ,

und ihr ßerührungspunct b,

liegen;

die

so ist also

die Gerade n 2 b die Harmonische I I zu n>, und folglich gehen auch hier die Harmonischen H

der 3 reellen W e n d e p u n c t e tt> alle drei durch den

Doppel-

punct TI2. Auch findet hierbei ein analoger Umstand statt, wie bei ( I . ) , nämlich:

„Die drei Paar Gerade W und H (aus dem Doppelpunct n2 durch die Wendepuncte m und durch die Berührungspuncte b der aus n> gelegten Tangenten H, gezogen) sind 3 Paar conjugirte Strahlen eines elliptischen Sirahlsystems, oder bilden elliptische Involution. Construirt man irgend ein anderes Paar conjugirte Strahlen desselben Strahlsystems, etwa tVt und / / , , so schneiden sie die Curve in zwei neuen Puncten tt)i und bt, und der Ort der sie verbindenden Geraden V6lbl ist eine Curve C~, welche nothwendig auch jene drei Tangenten $ berührt„Hier liegt 772 innerhalb der Curve C; bei (I.) liegt aufserhalb derselben, und bei (II.) reducirt sich dieselbe auf den Rückkehrpunct r." Übrigens haben die 3 P a a r Gerade W

und H eine noch innigere B e -

ziehung zu einander; nämlich j e d e Gerade H

ist vierte harmonische zu den

3 Geraden

W

den 3 H . durch

W,

und

umgekehrt j e d e Gerade

ist vierte harmonische

Dies Verhalten kann wie folgt klar gemacht werden.

zu

Soll zu drei

einen Punct gehenden gegebenen Geraden a, b, c eine vierte h a r m o -

nische Gerade bestimmt w e r d e n , so sind 3 Lösungen möglich, indem sowohl abac,

als abcß,

als aybc

harmonisch sein können ; und werden sodann die

drei neuen Geraden a, ß, y als gegeben a n g e s e h e n , so sind umgekehrt j e n e erstem Geraden a,

b, c die ihnen entsprechenden vierten Harmonischen, 4*

so

2 8 2. Steiner,

algeb.Curven, welche Mittelp. habe», u. Eigens, allgem. algeb. Curven.

dafs also zugleich auch aßay, aßyb, acßy harmonisch sind. Dabei ist, wie man sieht, jedes Paar conjugirte Gerade, wie etwa a und a, sowohl zu b und c, als auch zu ß und y harmonisch. Diese nämliche Beziehung haben nun auch die 3 Paar Gerade W und H, wenn man die 3 W als a, b, c und die 3 H als a, ß, y ansieht. Wenn insbesondere zwei Paar conjugirte Gerade unter sich rechtwinklig sind, wenn etwa ( a a ) und (bß) rechte Winkel sind, so ist auch (cy) ein rechter Winkel, und alsdann bilden je zwei nach der Reihe aybacßa aufeinander folgende Gerade einen Winkel von 30". Dabei ist das genannte Strahlsystem ein rechtwinkliges, so dafs jeder Winkel Q W i H j ein rechter ist. — Ein Theil des obigen Satzes ist bereits von Möbius in seiner Abhandlung „über Linien dritter Ordnung'" bewiesen worden; ich bin jedoch nicht erst dadurch zu dem Salze gelangt. Soll nun, in Rücksicht auf die vorstehenden drei besondern Fälle I , II und III, die jedesmalige gegebene Curve Cf durch Projection in eine solche andere Curve umgewandelt werden, welche einen (reellen) Mittel— punct SDÎ hat, so kann Cf auf folgende Weise projicirt werden. A. Bei I. auf zwei wesentliche verschiedene Arten, nämlich entweder a ) so, dafs die Harmonische H des reellen Wendepuncts n> in die Gerade G„ und dadurch tt> in SDÎ übergeht, wobei also auch der Doppelpunct p" der neuen Curve in G x zu liegen kommt, und daher die Tangenten 0 und © in zwei parallele, gleichweit von SDÎ abstehende Asymptoten und und der Rückkehrpunct t , wofern man die im letztern vereinten zwei reellen Wendepuncte q und é nur für einen achtet, zumal in Mittelpuncte der neuen Curve CJ über, so dafs diese also zwei Mittelpuncte hat, wovon der eine, 30?, ihr eigentlicher Wendepunct w>0, der andere, S0λ, ihr im Unendlichen liegender Rückkehr-

2. Steiner,

algeb. Curven, welche Mili elp. haben, u. Eigens, allgem. algeb. Curven.

29

punct tu ist. Hier hat die Curve C¿ keine eigentliche Asymptote, sondern alle drei Asymptoten fallen auf Gx. C. Bei III. kann dreifach, aber auf gleichbedeutende A r t , projicirt werden, nämlich so, dafs je eine der drei Harmonischen H in G K und der ihr zugehörige Wendepunct » in übergeht; dabei kommt also der Doppelpunct rij der neuen Curve C j jedesmal in G n zu liegen und die dem jedesmaligen tu zugehörige Tangente .£) geht in die einzige reelle und eigentliche Asymptote Jp„ der Curve C3 üb e r Aus diesem Verhalten der besondern Elemente, sind, zu nachheriger Benutzung, noch folgende zwei Sätze hervorzuheben: Io. „Soll eine Curve C3 einen Mittelpuncl und zugleich auch einen (aber nur einen) Doppelpunct haben, so mufs der letztere nothwendig im Unendlichen, auf G^, liegen, dabei kann er aber, je nach Umständen, entweder p 2 , oder p, oder n2 sei«." 2°. „Hat eine Curve C3 einen im Unendlichen liegenden Mittelpunet, SDitt, so ist derselbe nothwendig zugleich ein Doppelpunct und zwar ein Doppelpunct erster Art, (I.), oder insbesondere ein Rückkehrpunet c (II.), und so ist die Gerade nothwendig Tangente in demselben (also JQ, oder oder insbesondere §• 12. Die eben betrachteten Eigenschaften besonderer Curven dritten Grads gewähren eine Ergänzung der Sätze in §. 7 . , so wie weitere Folgerungen aus denselben. Da in Rücksicht derjenigen Schaar Curven dritten Grads, S(C3), welche durch gegebene 6 Puñete p gehen und Mitlelpuncte SDt haben, der Ort dieser Mittelpuncte eine Curve fünften Grads SDÍ5 ist ( § . 7 . I . ) , die im Allgemeinen fünf Puñete im Unendlichen, auf hat, so folgt: dafs sich unter der S(C3) fünf solche befinden, welche jene unendlich entfernten Puñete beziehlich zu Mittelpuncten (SD?*,) und somit zugleich zu Doppelpuncten p2 (oder insbesondere c) haben, und in denselben von der Geraden G x berührt werden ( § . 1 1 . 2 ° . ) . Aufser diesen 5 C3, giebt es unter der S(C3) keine, welche nur einen Doppelpunct hat, wohl aber befinden sich unter denselben 36 solche, wovon jede zwei Doppelpuncte hat, indem sie aus C ' - f C 1 besteht, was bereits oben ( § . 7 . I.) nachgewiesen worden. Also: ,, Unter der Schaar Curven C1, welche durch gegebene 6 Puñete p gehen und Mittelpuncte 23? haben, giebt es im Allgemeinen fünf solche,

30

2 . Steiner,

algeb.fíurveti,

welche Mittelp. haben, u. Eigens, allgem.

algeb.Curven.

Cu3, deren Mittelpuncte (5DZ») im Unendlichen liegen, daher zugleich Doppelpuncte p2 (oder v) sind und die Gerade Gx zur zugehörigen Tangente haben. Die S(C3) haben im Ganzen 77 Doppelpuncte; jedoch giebt es blofs die genannten 5 C¡3, wovon jede nur einen üoppelpunct hat, dagegen 36 solche, wovon jede in C1-f- Cl zerfällt und daher zwei Doppelpuncte hat." Durch Projection folgt:

„Soll eine beliebige Curve C3 durch gegebene 6 Puñete p gehen und eine gegebene Gerade H zur Harmonischen eines ihrer Wendepunete n> haben, so ist der Ort dieses tt) eine Curve fünften Grads, -¡Di5, welche durch die 6p, so wie durch 5i andere leicht construirbare Puñete geht (§. 7.1.). Unter dieser Schaar Curven C 3 giebt es 36 solche, wovon jede aus Cl Cl besieht und somit zwei Doppelpuncte hat; hingegen giebt es nur 5 solche C3, wovon jede blofs einen Doppelpuncl p2 (oder x) hat, und zwar liegen diese 5 Doppelpuncte in der Geraden H, sind ihre Schnitte mit der Orfseurve SD?5, und in jedem ist H Tangente an die zugehörige

Curve

Cu"

Oder man kann auch sagen:

„Sind

6 Puñete

p

und

C3,

eine Gerade H gegeben, so giebt es fünf solche Curven welche durch haben.''' die 6p gehen und die H zur Tangente in einem Doppelpuncte ä Hieraus und aus dem Umstände: „Daf's die Curve C„ bestimmt ist, trenn sie durch gegebene 6" Puñete p gehen und einen gegebenen siebenten Punct q zum Doppelpunct, oder wenn sie durch gegebene 5 Puñete p gehen, einen gegebenen sechsten Punct q zum Doppelpunct und in diesem eine gegebene Gerade Hl zur Tangente haben soll" können weiter folgende Sätze geschlossen werden.

I. „Soll eine Curve C,f durch gegebene 6 Puñete p gehen und einen Doppelpunct p2 haben, dessen eine Tangente 0 durch einen gegebenen siebenten Punct q geht, so ist. der Ort des Doppelpuncls p2 eine Curve 71en Grads, G1, welche sowohl den Punct q als die 6 Puñete p zu Doppelpunclen hat und wobei die eine Tangente jedes Doppelpuncts p auf die Gerade pq fällt; — und ferner ist der Ort der andern Tanier gente © des Doppelpuncts p, der Curve Cf¡ eine Curve 25" Classe, Ä25."

Von der Curve G1 sind viele andere specielle Puñete leicht zu oen-

struiren. Ferner: „Unter der Schaar Curven C 3 giebt es, im Allgemeinen, 18 solche, welche statt des Doppelpuncts p2 einen Rückkehrpunet t haben, dessen (Rückkehr-) Tangente 9Í also ebenfalls durch den gegebenen

2. Steiner,

algeb.Curven,

welche Mittelp. haben, u.Eigens. allgem. algeb. Curven.

31

Punct (/ geht und die Curve K™ berührt (indem £} und @ in 9i vereinigt sind §. 11.) und zudem auch die Curve G1 im Puñete t berührt Und ferner:

„Soll eine Curve Cu3 durch gegebene 6 Puñete p gehen und einen Doppelpunct p2 haben, dessen Tangenten -0. und © beziehlich durch zwei andere gegebene Puñete q und s gehen, so finden, im Allgemeinen, 25 Lösungen statt." II. „Soll eine Curve C?, durch gegebene 7 Puñete p gehen und einen Doppelpunct p2 haben, so ist der Ort dieses Doppelpuncts eine Curve 6Un Grads, Ge, welche die 7 Puñete p zu Doppelpuncten hat, und so ist der gemeinsame Ort seiner beiden Tangenten 0 und @ eine Curve 18Ur Classe, KiS." Also: „Soll eine Curve C5 durch gegebene 7 Puñete p gehen und einen Doppelpunct p2 haben, dessen eine Tangente durch einen achten gegebenen Punct q geht, so finden, im Allgemeinen, 18 Lösungen statt.'1'' III. „Soll eine Curve C?, durch gegebene 6 Puñete p gehen und einen Rückkehrpunct x haben, so ist der Ort des letztem eine Curve Grads, welche jene 6 Puñete p zu Doppelpuncten hat; und so ist der Ort der Rückkehrtangente 91 eine Curve 18Ur Classe.'''' Daher: „Soll eine Curve durch gegebene € Puñete p gehen und einen Rückkehrpunct x haben, dessen Tangente 91 durch einen gegebenen siebenten Punct r geht, so giebt es, im Allgemeinen, Í8 Lösungen.'''' Hieran scbliefse ich noch folgende Aufgabe. IV. Wenn beliebige 6 Púnele p gegeben sind, so ist jeder andere Punct q der Ebene Doppelpunct einer durch jene 6 Puñete gehenden bestimmten Curve C*. Werden nun die Doppelpuncte nach den zwei Arten durch p2 und n2 unterschieden ( § . 11.), so kann man fragen: „in welchen Theilen

oder Regionen der Ebene der Punct

q liegen müsse,

damit er ein p2

oder ein n2 sei?" Bestehen die Grenzen dieser Regionen nur allein aus der vorgenannten Curve 6 ten Grads (III.)?

32

Steiner,

algeb. Curven, welche Mittelp.

haben, u.Eigens.

allgem. algeb.

Curven.

Vorkommen der Curven, welche Mittelpuncte haben, bei Betrachtung allgemeiner Curven. Innere

Polaren.

§• 13. Durch jeden Punct P in der Ebene eines Kegelschnitts C 2 läfst sich immer eine, aber im Allgemeinen nur eine solche (reelle oder imaginäre) Sehne aav ziehen, welche durch den Punct P gehälftet wird. Sobald zwei solche Sehnen durch denselben Punct P möglich sind, so finden zugleich u n endlich viele statt, und dann ist P der Mittelpunct von C2. Diese Betrachtung kann auch auf die höheren Curven ausgedehnt werden. Zieht man durch einen beliebigen Punct P in der Ebene einer gegebenen Curve Cm irgend eine Gerade S, so schneidet sie die Curve in m Puncten; nun kann man verlangen, die Gerade soll so gezogen werden, dal's von den m Schnittpuncten irgend zwei, etwa u und aL, gleich weit von P abstehen, und zwar auf entgegengesetzten Seiten von P liegen (nicht in einem Berührungspuncle vereinigt sind). Kürze halber soll jede Gerade S, welche ein solches Paar Schnittpuncte enthält, schlechthin eine „Sehne" und die Puncte a und «j sollen die Endpuncte der Sehne h e i ß e n ; und wenn eine Gerade zugleich zwei Paar solche Schnittpuncte enthält, etwa a und « n b und so soll sie „Doppelsehne" genannt und durch Si bezeichnet werden; solche S2 hat also auch zwei Paar Endpuncte. Gleicherweise können insbesondere auch dreifache, vierfache, etc. Sehnen vorkommen. Über die Anzahl aller Sehnon S, welche durch denselben Pol P gehen und über die Lage ihrer Endpuncte a und a^ hat man den folgenden Satz: I. „Durch jeden Punct P in der Ebene einer gegebenen Curve Cm gehen im Allgemeinen \m{tn— 1) Sehnen S, und ihre m{m— 1) Endpuncte (a und a j liegen allemal in einer um einen Grad niedrigem Curve Jm~\ welche notwendigerweise den Pol P zum Mittelpunct hat." *) *) Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich unter andern durch folgende geometrische Anschauung. Man denke sich die Curve Cm in ihrer Ebene, um den festen Pol P, um 180° herumbewegt und bezeichne sie in der neuen Lage duTch C? — oder, was auf dasselbe hinauskommt, man denke sich zu Cm die ihr, in Bezug auf den Punct P } symmetrisch gleiche ß™, so dafs O - f - C ; " als eine Curve C 2 m anzusehen sind, welche P zum Mittelpunct hat, und wobei also jeder Puuct p in Cm seinen Gegenpunct pt in C,m hat und auch umgekehrt, — so haben die Curven Cm und Ctm parallele Asymptoten, von

2. Steiner,

ulycb. Curven, welche Mittelp. haben, u. Eigens, ullycm. alyob. Curvcti. 33

Die genannten Endpuncle beider Curven aus.

machen gerade die volle Zahl Sclinittpuncle

Findel sich insbesondere,

dafs durch einen Pol P

mehr

als £ m ( m — 1 ) Sehnen (§. 11.), und es ist S'i # II, d. h., in diesem Falle besteht jede der beiden Polaren J und A~ aus zwei Geraden, wovon zwei auf fallen und die beiden andern, >S\ und H, parallel sind. Die Sehnenpaare >S" und SL unterworfen.

sind insgesammt dem folgenden

Gesetz

„Alle Sehnen Slt in welche die innere Polare «72 zerfällt, wenn der Pol P in der Basis C3 selbst liegt, oder was auf dasselbe hinauskommt, alle solche Sehnen acaL, deren Mitten, c, in der Basis selbst liegen, berühren eine bestimmte Curve 6"r Classe, S f , und 18'en Grads, G"8." Über das Verhalten dieser Curve gegen die Basis und über andere Eigenschaften derselben, mag hier noch Folgendes hinzugefügt werden.

2. Die Curve berührt die Basis C3 in ihren 9 Wendepuncten >r, so wie in ihren 3 unendlich entfernten Puncten am, so du/'s sie also die 3 Asymptoten A, mit ihr gemein hat; aber die Sf berührt jede dieser 3.4, auch noch in einem bestimmten andern Puncte, so dafs sie dieselben zu Doppeltangenten hat. Da die Basis ebenfalls von der 6"" Classe ist, C3 — Kr', so bestehen die 36 gemeinschaftlichen Tangenten beider Curven blos aus den 9 Wendetangenten 23 und den 3 Asymptoten der C3, indem jede dieser 12 Geraden für 3 gemeinschaftliche Tangenten zu zählen ist. 3. Die Curve S? berührt die oben genannten 6 besondern Sehnen S„ in ihren Mitten Pu und schneidet somit daselbst die Basis C3. Von den * ) In jener Abhandlung, welche der obige Monatsbericht bespricht, wird gezeigt: „Dafs die Curve E* der Ort aller derjenigen Pole P ist, für welche die äufsere Polare A1 Parabel wird; und dafs überhaupt die Polare A2 Hyperbel, Ellipse oder Parabel ist, je nachdem der Pol P beziehlich ausserhalb, innerhalb oder in der Curve E* liegt." Dasselbe gilt also auch für die innere Polare J*, da sie stets mit ähnlich und ähnlich liegend ist. „Es giebt, im. Allgemeinen, nur einen bestimmten Pol P, dessen Polaren A2 und J2 Kreise sind." „Liegt der Pol P insbesondere im % 1 2 Mittelpuneie der Curve E , so sind seine Polaren A und J der E* ähnlich, mit ihr ähnlich liegend und cvncentrisch." Das Nähere hierüber sehe man unten, Aufg. und Sätze, welche sieh auf die gegenwärtige Abhandlung beziehen.

2. Steiner,

algclt. Curven,

ivelcheMittelp.

haben, u. Eigens, altgem. algeb. Curven.

39

3 . 1 8 = 54 gemeinschaftlichen Puncten beider Curven kennen wir also bereits 30, nämlich die 9tt> und Zam, jeden doppelt gezählt, und die 6P„; die 24 übrigen haben die Eigenschaft, dafs sie die einen Endpuncte a, solcher besondern Sehnen aca, sind, die ©„ heifsen mögen, bei welchen die im andern Endpuncte a und in der Mitte c an die Basis gelegten Tangenten A und C parallel sind, und welche die Curve S(l in den Puncten at selbst berühren. Durch die 24 Puñete a, können Curven Un 8 Grads gehen. 4. Die i2 gemeinschaftlichen Tangenten der Curven S[' und E~ bestehen; 1) aus den 3 A , der Basis, jede doppelt gezählt, und 2) aus 6 solchen Sehnen S^ welche zugleich Durchmesser der Basis sind; die 6 Mitten c dieser 6 Sehnen liegen in irgend einem Kegelschnitte C'. 5. Die Curve S[' hat ferner die Gerade G„ zur dreifachen Tangente, berührt, sie in 3 Puncten gx. Diese 3 Puñete sind dadurch bestimmt, dafs sie zu den drei Puncten ax (2.) die vierten harmonischen Puñete sind; d. h., ivenn man durch irgend einen Punct drei Gerade A, B, C den 3.4,, der C3 parallel zieht und zu denselben die 3 vierten harmonischen Strahlen AL, Cj bestimmt, so dafs ABA,C, ABCB,, AC\BC harmonisch sind, oder auch so, wenn man in dem AsymptotenDreieck 3.4, aus den Ecken durch die Mitten der Gegenseiten die 3 Strahlen Ai, Ä„ CL zieht: so sind diese Strahlen nach jenen unendlich entfernten Berührungspuncten g„ gerichtet. (Die auf diese Weise construirten 3 Strahlen sind dann auch beziehlich den Axen der 3 asymptotischen Parabeln parallel, welche die Curve Sf in den 3 Puncten gx fünfpunetig berühren.) Da die Curve (Sf vom 18" n Grad ist, so mufs sie mit der Geraden -G* aufser den bereits angegebenen 9 Puncten (den 3 d o p p e l t gezählt, und den 3„, berührt wird, und dafs dieselben die diesen Durchmessern conjugirte Richtung haben (I ). Dafs es 9 solche Durchmesser D 0 giebt, erhellet daraus, dafs sie gemeinschaftliche Tangenten der Curven C 3 und E 2 sind, welche 12 gemeinschaftliche Tangenten haben, aber wovon drei die Asymptoten A, der C 3 sind. Die 9 Asymptoten £>„ sind zugleich solche eigentümliche Sehnen «'

für w e l c h e die zugehörige übergeht,

etwa

2-f 4 - 5 = 108 ausmacht. Von den gemeinschaftlichen Puncten der Curve und der Geraden Gm kennen wir bereits 16, nämlich die 6 Berührungspuncte x, x^ y, z und zl, jeder doppelt gezählt, und die 4 Puñete Da die Curve vom 34s,' die Curve S2 im entsprechenden Puñete Q, oder für diesen Fall und ist somit eine Asymptote derselben, so wie Q{) einer ihrer, oben verlangten, gemeinschaftlichen Pañete mit der

2. S i ein er, algeb. Curven, welche Mittelp. haben, u. Eigens, allgem. algeb. Curven.

51

Geraden 6?x ist. Da nun eine Curve Pp von den Curven eines Büschels B(Q'i) in p(p-\-2q— 3) Puncten berührt werden kann (s. obigen Monatsbericht): so müfste danach die Curve Pl" von dem Büschel Polaren B{A3) in 1 0 ( 1 0 - f 2 - 3 — 3 ) — 130 Puncten spy berührt werden. Allein von diesen 130 Puncten werden 1 0 8 durch jene gemeinschaftlichen 9 Puñete P3 absorbirt, so dafs nur noch 22 frei bleiben, unter welchen sich jedoch noch jene bereits bekannten 4 Puñete befinden, so dafs es also nur 18 zuláfsige B e rOhrungspuncte f u giebt: und diesen 18 Puncten entsprechen somit auf der Geraden G x die verlangten 18 Puñete Q„, so wie die zugehörigen 18 Asymptoten der Curve Ä29. Das .heifst: Die oben noch fehlenden 18 gemeinschaftlichen Puñete Q„ der Curve und der Geraden G„ haben die Eigenschaft, oder sind dadurch bestimmt, dafs die erste und dritte Polare eines jeden derselben in Bezug auf die Basis sich in irgend einem Puñete sPo berühren, und dafs die jenem Puñete zugehörige Asymptote zugleich durch den letztern Punct geht. Dieselbe Eigenschaft besitzen übrigens auch jene 4 Puñete jedoch mit dem Unterschiede, dafs jeder Qlt und zugleich ist, d. h. dafs die erste und dritte Polare eines jeden sich mit der Curve P1" in ihm selbst berühren, und zwar ist seine dritte Polare die zugehörige Asymptote A, der Basis, so dafs also die 4 Asymptoten der Basis zugleich specielle Durchmesser derselben sind. Die 18 Asymptoten ©" haben als Doppelsehnen die besondere Eigenschaft: dafs die in ihren Endpuncten a und «j, b und bl an die Basis C4 gelegten Tangenten-Paare A und A¡, B und Bj sich auf dem zugehörigen Durchmesser D schneiden, so dafs dieser Durchmesser eine Diagonale des vollständigen Vierseils AAlBBl ist, dessen beide andern Diagonalen mit parallel sind. Jeder Durchmesser D schneidet die Curve Pw aufser jenen 3 Puncten P, die zugleich in der entsprechenden Polare A3 liegen, in noch 7 andern Puncten P; aber jene unterscheiden sich von diesen wesentlich dadurch, dafs die ihnen zugehörigen Doppelsehnen S2 die dem Durchmesser conjugirte Richtung haben, wogegen die zu den 7 andern gehörigen Doppelsehnen zu je einem andern Durchmesser conjugirt sind. Also: Von den je 10 Polen P, welche in irgend einem Durchmesser D liegen, gehören ihm 3 in der Art eigenthümlich an, dafs die ihnen zugehörigen Doppelsehnen die dem Durchmesser conjugirte Richtimg haben, oder nach seinem in Ga liegenden Pol Q gerichtet sind. Uber die Durchmesser insgesammt hat man folgenden Satz:

52 2. Ste in er, algeL Curven, wctcheMitlelp. haben, u. Eigens, allgem. algeb. Curven. „ Alle Durchmesser, D, der gegebenen Basis C 4 umhüllen eine beier stimmte Curve 3 Classe, D\ und 4Un Grads, welche drei Rückkehrpúnele, r, und eine Doppellangente, D2, hat; und namentlich berührt diese Curve jede der 4 Asymptoten Ax der Basis (als specielle Durchmesser) in demjenigen Puñete, welcher der Schwerpunct von ihren 3 Schniltpuneten mit den 3 andern Asymptoten ist" Die Curve D' heißt auch die dritte Polare der Geraden Gx in Bezug auf die Basis C* (Monatsbericht). Danach gehen also durch jeden beliebigen Punct R in der Ebene, im Allgemeinen, je drei Durchmesser der C 4 ; somit auch durch jeden Punct Q, in Gx, drei parallele Durchmesser, etwa Dq, und zwar haben diese die conjugirte Richtung desjenigen Durchmessers D, welcher dem Puñete Q entspricht (dessen 3 , e Polare ist); aber die den drei Durchmessern Dq conjugirten Richtungen sind unter sich, so wie auch, im Allgemeinen, von der Richtung des Durchmessers D verschieden. Nämlich: „Die Basis C4 hat im Ganzen nur drei Paar conjugirte Durchmesser, d. h. solche Durchmesser, wovon jeder die conjugirte Richtung des andern hat, und zwar sind dieselben beziehlich nach den obigen Puncten-Paaren x und x¡, y und ä und z1 in der Geraden Ga gerichtet, und somit den dort construir ten Strahlen-Paaren X und Y und F t , Z und Z x parallel. Denkt man sich den Punct Q in einem der 6 Puñete, etwa in x, so geht der ihm entsprechende Durchmesser D durch den conjugirten Punct xt, und auch umgekehrt; und zwar ist dabei x¡ zugleich einer der drei Puñete P, die dem Durchmesser D eigentümlich z u gehören, oder in denen er yon der entsprechenden Polare A 3 geschnitten wird. Die 4 Asymptoten As sind diejenigen besondern Durchmesser, welchen ihre eigene Richtung conjugirt ist. Die Doppeltangente D¿ der Curve D3 ist gewissermafsen ein doppelter Durchmesser, d. h. ein solcher, welchem zwei verschiedene Richtungen conjugirt sind, so dafs ihm auch zwei verschiedene Pole auf der Geraden G„ entsprechen, etwa Q2 und Q\, welche nach den beiden Richtungen hin liegen; ebenso müssen ihm zweimal 3 Pole P eigentümlich angehören und die zu denselben gehörigen Doppelsehnen S2 müssen zu 3 und 3 die conjugirten Richtungen haben, also parallel oder nach den Puncten Q2 und Q] gerichtet sein. Die

conjugirten

Richtungen

der drei Durchmesser,

welche

durch

2. Steiner,

algeb. Curven, welcheMiiielp. hüben, u.Eigens. allgem. algeb. Curven. 53

irgend einen gegebenen Punct R gehen, sind allemal durch die Asymptoten der beiden ersten Polaren A3 und J3 des nämlichen Puñetes bestimmt, und auch umgekehrt. Jeder (in P 1 0 liegende) Pol P gehört, im Allgemeinen, nur einem der durch ihn gehenden drei Durchmessern eigentümlich an, nämlich demjenigen, welchem die zugehörige Doppelsehne S2 conjugirt ist. Nur von jenen besondern 9 Polen P3 gehört jeder allen drei Durchmessern zugleich an, indem ihm auch drei Doppelsehnen zugehören, welche den Durchmessern beziehlich conjugirt sind. „Die durch jeden der 9 Pole P3 gehenden drei Durchmesser bem rühren die durch denselben gehenden drei Zweige der Curve P daselbst.'''' Ist der Pol Px ( — i * ) insbesondere einer der 40 gemeinschaftlichen Puñete der Curven Pw und D3, so fallen von den durch ihn gehenden drei Durchmessern zwei zusammen, nämlich auf die Tangente der Curve D 3 im Pol Px, welche Dt heifsen soll; der andere Durchmesser berührt die D3 in irgend einem andern Puñete, etwa J?„, und heifse Dr. Nun sind hierbei zwei Fälle möglich, nämlich entweder gehört der Pol Px 1) dem Durchmesser Dt, oder 2) dem Durchmesser Dr eigentümlich an; und davon hängen sodann weiter folgende interessante Umstände ab: I. „Gehört der Pol Px zum Durchmesser Dt, so besteht seine innere Polare J3 aus J~ -f S2 und zwar ist die Doppelsehne S2 zugleich eine Asymptote des Kegelschnitts J2;" und II. „Gehört der Pol Px zum Durchmesser Dr, so besteht seine innere Polare aus S2-\- J-\- J^ wobei die Geraden J und J , parallel sind und gleichweit vorn Pol abstehen.'''' Hierbei entsteht die Frage: Wieviele von den 40 Polen Px gehören zu Durchmessern Dt, und wieviele gehören zu Durchmessern Dr ? oder wieviele in J2-\-S2 zerfallende innere Polaren giebt es, bei welchen S2 Asymptote von J2 ist, und wieviele giebt es, welche in drei Gerade S2 -[- J -j- Jx zerfallen? Diese Frage weifs ich vor der Hand noch, nicht sicher zu beantworten, und überlasse sie daher dem geneigten Leser. Über die Curve D3 will ich noch Folgendes bemerken. „Die Curve D3 ist der Ort desjenigen Pols JR,¡, dessen äufsere 3 Polare A die Gerade Gm berührt; und die dritte Polare des Berührungs-

54

2. St einer,

puñetes,

algeb.

Curven,

iv eiche Mittelp.

haben,

Q, ist gerade derjenige Durchmesser

u. Eigens,

allgem.

algeb.

Curven.

D, welcher die Curve D3

in jenem Pole R¡, berührtDa nun die innere Polare J 3 desselben Pols Ru mit der Geraden G„ allemal die nämlichen drei Puñete gemein hat, wie die äufsere As ( § . 13. I I . ) , so mufs auch sie die Gerade Ga in Q berühren; allein nach dem Früheren ( § . 11.) ist diese Berührung nur dadurch möglich, dafs Q ein Doppelpunct der Curve J3 ist. Daher kann man auch sagen:

„Der Ort desjenigen Pols Ä u , dessen innere Polare J 3 nur einen einzigen Doppelpunct Q (oder insbesondere auch drei Doppelpuncte) hat, *) ist die Curve D3, und der Ort des Doppelpunctes ist die Gerade Gx." Bei denjenigen Polen P x ( = i t 0 ) , deren innere Polaren aus Äj-j-«7-f J * b e stehen, und somit drei Doppelpuncte haben, liegt nur einer der letztem ( d e r Schnitt von J und J i ) auf der Geraden GK ; und bei denjenigen Px, deren 2 innere Polaren aus J -\-S2 bestehen, fallen die zwei Doppelpuncte in einen zusammen, der als ein Rückkehrpunct anzusehen ist und in G w liegt.

„Liegt der Pol Ji„ insbesondere in einem der drei Rückkehrpuncte t der Curve D3, so ist der ihm entsprechende Punct Q zugleich ein Wendepunet seiner Polare A3 und ein Rückkehrpunct seiner Polare J3, und zwar ist die Gerade Ga bezieldich die zugehörige Wende- und Rückkehrlangente." Liegt ein Pol R in dem Doppeldurchmesser (Doppeltangente der D3) D2, so gehen seine beiden Polaren A3 und J3 durch die dem D2 entsprechenden beiden Puñete Q2 und Q\ auf Gx\ und bewegt sich R längs D2, so bleiben also zwei Paar Asymptoten der Polaren A3 und J3 sich selbst parallel, nämlich stets Dach jenen Puncten Q2 und Q\ gerichtet. §• 18. Hat die Basis C* specielle F o r m , hat sie z. B. Doppel- oder R ü c k kehrpunete, oder besteht sie aus Theilen, nämlich aus

1) C*+Vl;

2) C 2 -f Q;

3) C*+2Cl-,

4) 4 C':

* ) Soll die Polare J 3 zwei (und auch drei) Doppelpuncte haben, so mufs sie aus J s - ) - S 2 bestehen, somit der Ort ihres Pols di© Curve P 1 0 sein, und dann sind die D o p pelpuncte die g e g e n s e i t i g e n Schnitte von J* und S,, etwa D und D , . Dabei kann man fragen: In welcher Curve, Ö."-, liegen alle diese Doppelpuncte? Ist der Grad-Exponent , n, etwa gleich der Zahl derjenigen Pole Px, welche zu Durchmessern Dt gehören? und sind die diesen Polen zugehörigen Doppelsehnen St zugleich Asymptoten der Curve