Integralsätze der Analysis [Reprint 2020 ed.] 9783112326947, 9783112326930

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de Gruyter Lehrbuch Nöbeling • Integralsätze der Analysis

Georg Nòbeling

Integralsàtze der Analysis

w DE

_G Walter de Gruyter • Berlin • New York 1979

Dr. phil. Georg Nöbeling em. o. Professor an der Universität Erlangen-Nürnberg und ord. Mitglied der Bayerischen Akademie der Wissenschaften.

CIP-Kurztitelauf nähme der Deutschen Bibliothek Nöbeling, Georg: Integralsätze der Analysis/Georg Nöbeling. Berlin, New York: de Gruyter, 1978. (De-Gruyter-Lehrbuch) ISBN 3-11-007433-9

© Copyright 1978 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung. J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer, Karl J. Trübner, Veit & Comp., Berlin 30. Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. - Druck: Karl Gerike, Berlin; Bindearbeiten: Dieter Mikolai, Berlin. Printed in Germany.

Vorwort

An unseren Hochschulen werden in den üblichen Grundvorlesungen über die Differential- und Integralrechnung der reellen Funktionen von n reellen Variablen die für Mathematik und Theoretische Physik gleichermaßen wichtigen Integralsätze der Analysis sehr oft nur kursorisch oder überhaupt nicht behandelt. Hier ist eine Ergänzung dringend erforderlich. Das vorliegende Buch gibt dazu die notwendigen Hilfen. Bei den Integralsätzen der Analysis handelt es sich in gewissem Sinne um Verallgemeinerungen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (+)

b J f dx - F ( b ) - F(a), a

wobei F eine stetig differenzierbare Funktion auf einem Intervall [a,b] und f ihre Ableitung ist; er drückt das Integral von f über £a,b] aus durch die Werte von F in den Randpunkten. Ähnlich drücken die Integralsätze von Stokes (1819-1903) und Gauß (1777-1855) ge3 wisse Integrale über eine Fläche bzw. ein Gebiet des E

aus durch

Integrale über die Randkurve der Fläche bzw. die Randfläche des Gebietes. Es besteht also zumindest eine formale Analogie zwischen diesen drei klassischen Sätzen. Daß mehr als eine bloße Analogie vorliegt, zeig* te E.Cartan (1869-1951) mittels des eleganten Kalküls der alternierenden Differentialformen. Versteht man nämlich die in den drei Sätzen auftretenden Integrale als Integrale von alternierenden Differentialformen - entsprechend der bewährten Leibnizschen Bezeichnung

J f dx (= Integral des "Differentials" f dx) -, so ergeben sich die drei Sätze als Spezialfälle der Cartanschen Verallgemeinerung des Satzes von Stokes, bekannt als allgemeiner Stokesscher Satz: (++)

J" du = f u. M ÖM

In diesem Satz fügen sich in faszinierend einfacher Weise drei völlig verschiedene Grundbegriffe zusammen, der erste aus der Vorstellungswelt der Geometrie, die beiden anderen aus dem Bereich der Analysis: Erstens die Orientierbare, n-dimensionale Mannigfaltigkeit M im E m und ihr Rand äM; zweitens die alternierende Differentialform co (n-l)-ten Grades und ihr Differential dco; drittens das Riemannsche Integral über M und 3M. Wir stellen uns die Aufgabe, zunächst diese Begriffe zu entwickeln, soweit das erforderlich ist, sodann den allgemeinen Stokesschen Satz zu beweisen, und schließlich die genannten drei klassischen Sätze als Spezialfälle daraus abzuleiten. An Vorkenntnissen werden beim Leser neben dem Stoff der eingangs genannten Vorlesungen nur einige Grundtatsachen der Linearen Algebra vorausgesetzt. Es wird jedoch erhofft, daß er einfache Beweisüberlegungen selbständig ausführt. Die Anmerkungen am Schluß des Buches enthalten Erläuterungen und Lesehilfen. Diesem Zweck dient auch eine Zusammenstellung der verwendeten Bezeichnungen und Begriffe und das Symbolverzeichnis. Das Zeichen

| zeigt das Ende eines Beweises an.

Frau H.Dohrmann und Herrn Dr. H.Schirmeier sage ich meinen herzlichen Dank für die sorgfältige und mühevolle Anfertigung der Druckvorlage . Erlangen, im Sommer 1978

Georg Nöbeling

Inhalt

I. Mannigfaltigkeiten im E m §

1.

Definition einer Mannigfaltigkeit durch Karten

§

2.

Darstellung einer Mannigfaltigkeit durch Graphen

14

§

3.

Rand einer Mannigfaltigkeit

17

Kartenwechsel

23

§

5.

Gramsche Determinante einer Karte

26

§

6.

Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit

28

§

7.

Orientierbare Mannigfaltigkeiten

31

§

8.

Stellungscosinus einer orientierten Mannigfaltigkeit .... 35

§

9.

Orientierung des Randes

38

Abbildungen von Mannigfaltigkeiten

4-1

§

§ lo.

9

II. Alternierende Differentialformen § 11.

Vorbereitungen

45

§ 12.

p-Formen auf einem Gebiet

5o

§ 13.

p-Formen auf einer Mannigfaltigkeit

61

§ 14.

Zurückholen einer p-Form

69

III. Riemannsche Integration auf einer Mannigfaltigkeit § 15.

Integral einer stetigen Funktion

75

§ 16.

Integral einer stetigen n-Form

8o

IV. Die Integralsätze der Analysis § 17.

Der Stokessche Integralsatz

83

§ 18.

Die klassischen Integralsätze

86

§ 19.

Anwendungen

88

Anhang § 20.

Lebesguesche Integration auf einer Mannigfaltigkeit ....

91

§ 21.

Die Maße von Hausdorff und Minkowski

96

§ 22.

Korollar zum Stokesschen Satz

99

§ 23.

Nichtorientierbare Mannigfaltigkeiten

lol

§ 24.

Zerlegung der Eins

loM-

Anmerkungen

lo7

Sachverzeichnis

114

Symbolverzeichnis

116

Literatur

117

I. Mannigfaltigkeiten im Em

Es liege ein m-dimensionaler, euklidischer Raum E m m i t einem festen System cartesischer Koordinaten

vor

In diesem Haupt-

raum werden sich alle unsere Überlegungen abspielen. Daneben v e r wenden wir Hilfsräume, nämlich für jedes n ä m den kanonischen n dimensionalen, euklidischen Raum iRn = iRx. . .xR aller geordneten n Tupel t = (t^

t ) reeller Zahlen. Diese Hilfsräume nennen wir

Parameterräume.

§ 1. Definition einer Mannigfaltigkeit durch Karten Entsprechend unserem Ziel, den allgemeinen Stokesschen Satz zu formulieren und zu beweisen, müssen wir die Definition einer n - d i m e n sionalen Mannigfaltigkeit M im E m so einrichten, daß wir auf ihr eine Differential- und eine Integralrechnung entwickeln können. Insbesondere müssen wir das Differential df einer Funktion f definieren, die nur auf M, nicht aber auf einer Umgebung von M definiert ist. Dies ist möglich, wenn in M Parameter vorliegen; denn dann sind wenigstens die Ableitungen nach diesen Parametern definiert. N u n ist das partielle Ableiten ein lokaler Prozeß. Es braucht also nicht für ganz M eine einzige Parameterdarstellung vorhanden zu sein. Vielmehr wird es genügen, daß M überdeckt ist durch lokale Parameterdarstellungen, d.h. daß M die Vereinigung von in M offenen Teilmengen W von M ist derart, daß für jedes W eine Parameterdar-

10

I, §1

Stellung gegeben ist. Diese Überlegungen führen zu der folgenden Definition einer Mannigfaltigkeit. 1.1

Wir beginnen mit zwei Hilfsbegriffen. Ist t eine (^-Abbil-

dung ^

einer nichtleeren, offenen Menge T des R n in den E m , so

nennt man die (n x m)-Matrix V i

V ,

D T- ,. . . ,D T n 1 n m der partiellen Ableitungen

der Komponenten x^ von x nach den

t^ die Funktional- oder Jacobische Matrix der Abbildung t. Hat sie in jedem Punkt t = (t^,...,t ) von T den Maximalrang n, so heißt die Abbildung x regulär. Dies ist genau dann der Fall, wenn in jedem Punkt t von T für mindestens eine der n-reihigen, quadratischen Untermatrizen (D.x (t)). , , der Jacobischen Matrix die Dei vv l,k=l,...,n terminante ^ o ist, wenn, mit anderen Worten, J(t)

V^ 112

für alle t fe T positiv ist

, det2(D.x. (t)) 1 P k . . o für alle t. Zusammenfassend erhalten wir für jedes ganze n mit 1 £ n £ m die folgende

DEFINITION.

Eine nichtleere Punktmenge M c E m heiße eine n-dimen-

sionale, reguläre C -Mannigfaltigkeit oder kurz eine n-Mannigfaltigkeit, wenn zu jedem Punkt x von M eine Abbildung T : T -» M mit den Eigenschaften (l)-O) derart existiert, daß x £ x(T) ist. Jede Abbildung x: T -• M mit den Eigenschaften (l)-(t) heiße eine (lokale) Karte der n-Mannigfaltigkeit M und dann T ein (lokales) Kartenblatt von M. Wenn nicht nur x(T) c M gilt, sondern x(T) = M ist, heiße die Karte global. Gilt x € x(T), so sagen wir, die Karte überdecke den Punkt x. Schließlich heiße eine Familie von Karten x*' : T^ -> M von M ein Atlas von M, wenn sie ganz M überdeckt, wenn also gilt: U xj(T^) = M.

5)

Eine Karte x von M wird auch eine lokale Parameterdarstellung oder ein lokales Koordinatensystem von M genannt. Letzteres ist folgendermaßen zu verstehen: ist t = (t, ,...,t ) und x(t) = x, so be1 n trachtet man t,,...,t als die x-Koordinaten von x. 1 n Wir nennen (im Einklang mit der Differentialgeometrie) eine 1-Mannigfaltigkeit im E m eine Kurve., eine 2-Mannigfaltigkeit im E m eine

12

I, §1

Fläche, eine n-Mannigfaltigkeit im E n + 1 eine Hyperfläche. - Eine kompakte n-Mannigfaltigkeit werde geschlossen genannt.

Jede nichtleere, isolierte Punktmenge des E m 6) heiße eine o-Mannigfaltigkeit ZUSATZDEFINITION.

1.2-

Die n-Mannigfaltigkeiten im E n (also n = m) lassen sich sämt-

lich angeben. Es gilt nämlich folgender

SATZ.

Eine Menge M des E n ist dann und nur dann eine n-Mannigfal-

tigkeit, wenn sie eine nichtleere, offene Menge des E n ist.

BEWEIS. t =

"Dann".

Sei i,: lRn - E n die Abbildung, die jedem Punkt

) des iRn den Punkt x des E n mit den Koordinaten

x. = t, , ..., x = t zuordnet. Ist dann G eine nichtleere, offene 1 1 n n ^ Menge des E , so ist die Menge T := l (G) offen im R und die Restriktion von l auf T eine globale Karte von G. Wir nennen sie die triviale Karte von G. - "Nur dann".

Sei M eine n-Mannigfaltigkeit

im E n . Sei weiter x ein Punkt von M. Eine x überdeckende Karte 2 t : T -» M von M ist nach 1.1,(1), (3) und (4) ein C -Homöomorphismus der offenen Menge T des lRn auf die Menge t ( T ) c: E n mit der Eigenschaft det Dt ^ o. Nach dem Satz von der Umkehrung eines Funktionensystems ist daher X(T) offen im E n . Also ist t ( T ) eine im E n offene Umgebung c m des beliebigen Punktes x von M. Folglich ist M eine offene Menge G des E n .

|

Für 1 ä n < m ist hingegen der Vorrat an n-Mannigfaltigkeiten im E m außerordentlich groß und vielgestaltig. Wir beschränken uns darauf, einige wenige Beispiele anzugeben. Zusätzlich verweisen wir auf die daran anschließende Aufgabe 1.

I.

13

§1

Beispiele.

1.

Ein n-dimensionaler, linearer Unterraum L des E m ist eine n-Man-

nigfaltigkeit. Seien nämlich n+1 Punkte x 1 = (x^,. . . ,x^), i=o,1,... ,n, in L so gewählt, daß die Matrix mit den n+1 Zeilen Maximalrang n+1 hat. Setzen wir dann

=:

x^ den

für jedes u =

l,...,m und wählen einen beliebigen Punkt t° = (t°,...,t°) im iRn, so ist das System der m Gleichungen x -x° = ? ^ u y

(t 6 lRn)

a. -(t.-t?) iu i i

eine Parameterdarstellung von L. Sie ist eine globale Karte t: Rn-»L von L. 1 2.

2 2 2 := [x £ E : * 1 + x 2 = l] hat die Parameterdarstel-

Der Kreis S

lung x- = cos t, x = sin t (t € R). Die Restriktionen dieser Abbil1 dung iR -• S auf die offenen Intervalle T c |R der Länge it bilden einen Atlas der (geschlossenen) Kurve S^". 2 3.

Die Sphäre S

3 2 2 2 =: [x (E E : x 1 +x 2 +x 3 = l} hat die Parameterdar-

stellung x^ = cos t^ cos t x ^

= sin t^ cos

x^ = sin t^

2 2 2 (t = (t^.t^) 6lK ). Die Restriktion dieser Abbildung iR -• S auf das offene Quadrat T aller t mit - it/2 < t, < u/2 (k=l,2) ist eine 2 2 Karte-tder S ; x(T) ist die Halbsphäre {x 6 S : x > o}. Für jede 3 Drehung p des E um den Koordinatenursprung ist p o x ebenfalls ei2 ne Karte der S . Diese Karten bilden einen Atlas der (geschlossenen) Fläche S 2 . 3 / 2 2 2 2 Der Ring [x 6 E : ("Wx.+x - 2) + x, = l}, entstehend durch 3 2 2 Rotation des Kreises [x £ E : (x. -2) + x g = 1, x 2 = o] der x ^ g 4.

14

I, 52

Ebene um die Xg-Achse, hat die Parameterdarstellung x 1 = (cos t 1 )(2 + cos t 2 ), x 2 = (sin t 1 )(2 + cos t 2 ) , x 3 = sin t 2 < Die Restriktionen dieser Darstellung auf die achsenparallelen, offe2 nen Quadrate T der Parameterebene IR mit der Kantenlange it bilden einen Atlas des (geschlossenen) Ringes.

Aufgaben. 1. Es seien G eine offene Punktmenge des E m und F^ : G -• iR (k = 1 m-n) C 2 -Funktionen mit folgender Regularitätseigenschaft: die Jacobische Matrix (D^F k ) hat in jedem Punkt von G den Maximalrang m-n. Dann ist die Menge der gemeinsamen Lösungen x 6 G der Gleichungen F k (x) = o leer oder eine n-Mannigfaltigkeit im E m mit i f \ H C G \G. 2. Sei M eine zusammenhängende Kurve im E m . Ist M nicht geschlossen, so existiert eine globale Karte t: T -> M derart, daß erstens T ein offenes Intervall c |R oder eine offene Halbgerade c |R oder die ganze Zahlengerade iR ist und zweitens t eine längentreue Abbildung von T auf M ist. Wenn jedoch M geschlossen ist, so existiert eine längentreue Abbildung eines Kreises S c R ! auf M. 3. Keine geschlossene n-Mannigfaltigkeit im E™ besitzt eine globale Karte.

§ 2. Darstellung einer Mannigfaltigkeit durch Graphen

Die Bedingungen (l)-(3) in 1.1 legen die innere Struktur einer Mannigfaltigkeit M fest, die darin besteht, daß jeder Punkt x von M in einer in M offenen Menge W n

M liegt, die homöomorph ist zu einer

offenen Menge des iR . Demgegenüber bestimmt die Bedingung (4) in 1.1

15

I, §2

die äußere Struktur von M, d.h. die Art der Einbettung von M in den Raum E m . Hierüber beweisen wir den Satz in 2.2. 2.1

Zur Vorbereitung stellen wir folgendes fest. Sei E' ein n-di-

mensionaler Faktorraum des E™ mit 1 £ n < m, aufgespannt durch n Koordinatenachsen des E m , und E" der komplementäre Faktorraum, aufgespannt durch die m-n übrigen Achsen. Weiter sei V eine nichtleere, 2

offene Menge des E' und f eine C -Abbildung von V in den E". Der Graph W von f ist die Menge aller Punkte x des E m mit folgender Eigenschaft: die Projektion x' von x in E' ist ein Punkt von V und die Projektion x" von x in E" ist das Bild f(x') von x'. Dieser Graph W ist eine n-Mannigfaltigkeit im E m , und zwar ist, wenn t die triviale Karte von V bedeutet und g die Abbildung x' >-» (x',f(x')) von V in E m = E' X E" ist, g o t eine globale Karte von W. 2.2

Nun sei M eine n-Mannigfaltigkeit im E m mit 1 s n < m.

SATZ.

Zu jedem Punkt x° von M existieren ein n-dimensionaler Fak-

torraim E' (aufgespannt durah n Koordinatenachsen des EmJ_, eine offene Menge V des E' und eine C -Abbildung f: V -• E" von V in den Komplementärrawn E" von E' (aufgespannt durah die m-n übrigen Achsen) derart, daß für den Graphen W von f gilt: x° € W c M; W ist offen in M.

BEWEIS.

Wir wählen eine x° überdeckende Karte t: T -* M; sei x° =

x(t°) mit t° £ T, Wegen 1.1,(1) können wir o.B.d.A. annehmen, daß det (D.Tk(t°)) * o ist (i ,k=l,...,n). Nun sei E' der Faktorraum des E , der aufgespannt wird durch die n ersten Achsen des E m . Dann de2 finiert t o existiert eine Überdeckung von M durch abzählbar viele (achsenparallele) offene Quader des E m , für welche die Summe der Volumina < e ist.

BEWEIS.

Zu jedem Punkt x° von M wählen wir eine C^-Abbildung f der

im vorstehenden Satz beschriebenen Art. Sodann wählen wir einen ach-

17

I, §3

senparallelen, offenen Würfel Q 1 des E' mit einer Kantenlänge < 1 derart, daß Q" c V und x° 6 f(Q') ist. Da f(Q') in M offen (also der Durchschnitt von M mit einer offenen Menge G des E m ) ist, ge9) nugen nach dem Lindelofschen Uberdeckungssatz

abzahlbar viele

dieser Mengen f(Q') zur Überdeckung von M. Daher genügt es zu zeigen, daß jede solche Menge f(Q') eine Nullmenge ist. Betrachten wir also eine derartige Menge f(Q'). Es sei ein e mit o < e < 1 gegeben. Da f auf Q 1 gleichmäßig stetig ist, können wir Q* durch endlich viele achsenparallele, offene Teilwürfel

von Q' so überdecken,

daß für je zwei Punkte y' und z' von Q', die im selben

liegen,

die Punkte f(y') und f(z') einen Abstand < e/2 haben. Für i=l,...,k sei

der Mittelpunkt von

sodann yV die Projektion von f(y|)

in E" und schließlich QV der achsenparallele, offene Würfel des E" mit der Kantenlänge e und dem Mittelpunkt yV. Dann überdecken die k achsenparallelen, offenen Quader

x QV des E m die Menge f(Q')

und ihr Gesamtvolumen ist < e.

Aufgaben.

1. Ist M eine n-Mannigfaltigkeit im E m mit 1 £ n < m und x° ein Punkt von M, so existieren m-n Hyperflachen im E m , deren Durchschnitt W offen ist in M und x° enthält. 2. Eine nichtleere Teilmenge M' einer n-Mannigfaltigkeit M im E m ist ebenfalls eine n-Mannigfaltigkeit genau dann, wenn M' in M offen ist.

§ 3. Rand einer Mannigfaltigkeit

Es liege eine n-Mannigfaltigkeit M im E™ vor (1 £ n £ m). Unser nächstes Ziel ist es, den Begriff des Randes dM von M einzuführen und zu untersuchen.

•

18

I, §3

3.1

Zur Vorbereitung legen wir zunächst einige Bezeichnungen fest.

Wir bezeichnen mit H n den abgeschlossenen, oberen Halbraum des lRn, ) des lRn mit t

bestehend aus allen Punkten t = jede Menge A c H bzw. t

n

^ o. Für

sei A + bzw. A q die Menge aller t 6 A mit t > o

= o. Für jede Abbildung f mit einem Definitionsbereich

A c H° sei schließlich, wenn nichts anderes gesagt ist, f 10) die Restriktion von f auf A bzw. A . + o

bzw. f

°

Ist A c H , A offen in H , so ist wohldefiniert, wann eine Funktion f: A -• iR differenzierbar, stetig differenzierbar,... heißt (in den Punkten t von A , falls A q nichtleer ist, sind die Ableitungen nach tn nur einseitig). Daher ist auch wohldefiniert, wann eine Abbildung t: T - E™ mit T c: H n , T offen in H n , eine C -Abbildung heißt und was ihre Jacobische Funktion J ist. Speziell ist H 1 die Halbgerade [t € iR: t a o}; für A c h 1 ist weiter A + bzw. A q die Menge [t € A: t > o} bzw. [t 6 A: t = oj. 3.2

Die Hyperebene

= {t S lRn: t

= o] des iRn ist der Rand des

n

offenen, oberen Halbraumes iR = 1ft £ iRn: t > o] des iRn. Wir verallJ + n gemeinern diese natürliche Definition in der folgenden Weise.

DEFINITION.

Ein Punkt x des Abschlusses ¥ von M heiße ein Randpunkt

von M, wenn eine Abbildung t: T -• M mit x £

) un o für alle t 6 T.

Die Menge aller Randpunkte von M heiße der Rand öM von M.

I, §3

19

Beispiele.

1.

SO besteht öS aus den beiden

Ist M eine offene Strecke S c:

Endpunkten von S. Ist M hingegen die Kurve K := [x: o < x 1 < 1, x 2 = x^ sin it/x^] C E

, so besteht öK nur aus dem Endpunkt (l,o)

von K; denn der Endpunkt (o,o) von K ist kein Randpunkt von K, weil 2

zwar ein Homöomorphismus, aber kein C -Homoomorphismus x der Strecke [o,l[ in K mit x(o) = (o,o) existiert. 2.

Ist M die offene Kreisscheibe K

2

2 2 2 := [x: x^+x^ < l] c E , so ist

ÖK^ der Kreis S^. Denn sei x = (x°,x°) ein Punkt von S^. Dann existiert ein t° fc E^" mit x° = cos t°, x° = sin t°. Nun sei T : = [t: |t1"t°| < n/4, o £ t 2 < u/4}. Die Abbildung von T in M, definiert durch

(cos t^ cos t^, sin t^ cos t^) genügt den Be-

dingungen in der Definition eines Randpunktes x. Also ist x ein 2 Randpunkt der K . 3.

Ist M die Fläche eines Dreiecks, Vierecks

k-Ecks, so ist

ÖM die Vereinigung aller Seiten, vermindert um die Ecken. 4. 3.3

Für jede geschlossene Mannigfaltigkeit M ist öM = 0. Welche Struktur hat nun der Rand öM von M? Wir behaupten hier-

über den folgenden, wichtigen

SATZ.

BEWEIS.

öM ist leer oder eine (n-1)-Mannigfaltigkeit.

Zunächst sei n = 1 und öM ^ 0. Zu zeigen ist: öM ist iso-

liert. Sei x ein Punkt von öM. Dann existiert eine Abbildung T von T := [o,l[ in M mit x = T(O) und den Eigenschaften 3.2,(2)-(4). Weil T(T) in M offen und [x] = x (T ) = x(T)nöM 1. Wir zeigen: erfüllt t : T -• M die Bedingungen 3.2,(1)-(4), so erfüllt t q die Bedingungen 1.2,(l)-(4) mit öM und n-1 statt M und n. (1) Da T c H° und T in H n offen ist, ist T q = T n l R n offen in lRn. (2) Weil t ( T ) in M offen und t (T ) = x ( T ) o d M o o o o o für alle t € T . o o

11

^ Weil nun

J(t) > o ist nach 3.2,(4), ist mindestens eine der Determinanten, aus denen J(t) gebildet ist (vgl. 1.2), verschieden von o. Die Entwicklung einer solchen Determinante nach der letzten Zeile liefert eine (n-1)-reihige Determinante ^ o, die in J Q ( t ) auftritt. Also ist J (t) > o. o 3.4 (5)

Nach 3.2,(2),c) gilt M C

M\M.

Also ist jeder Punkt von öM ein Häufungspunkt von M. Hingegen ist umgekehrt kein Punkt von M ein Häufungspunkt von öM. Um dies zu zeigen, genügt es zu beweisen: (6)

M ist offen in M.

Angenommen, wir hätten bereits bewiesen, daß zu jedem Punkt x von M eine in E m offene Menge U mit x € U und U n H - 0 n H existiert. Wählen wir für jedes x € M eine solche Menge U und bilden die Vereinigung U* dieser Mengen, so ist U* offen in E™ und es ist M = U ( U /"> M) = U ( U o M) = ( J U) r, M = U* ri M. Also gilt (6). Beweisen wir nun unsere Annahme. Sei x : T

M eine x überdeckende Karte von

M. Wir wählen eine im lRn offene Menge V derart, daß erstens V kompakt und c T und zweitens x € t ( V ) ist. Nach 1.2,(2) und (3) ist t ( V ) offen in M. Also existiert eine offene Menge U des E™ mit U o M = t ( V ) . Wir behaupten: U

M - U

M. Es genügt zu zeigen,

daß U r> M c u r\ M ist. Sei also y ein Punkt von U n M. Dann exi1 2 stiert in U n M eine gegen y konvergente Punktfolge (y ,y ,...).

21

X, §3

Jeder Punkt y 1 ist das Bild tCt 1 ) eines Punktes t 1 € V. Indem wir nötigenfalls zu einer Teilfolge übergehen, können wir o.B.d.A. an1 2 nehmen, daß die Folge (t ,t ,...) ebenfalls konvergiert. Der Limes t ist ein Punkt von V, also von T. Folglich ist x(t) = y und daher y € M.

J

Es ist für uns wichtig, neben der n-Mannigfaltigkeit M und ihrem Rand dM auch die Menge (7)

M : = M v_> öM

zu betrachten. Wegen äM c M ist M c "R c M. Zufolge (6) gilt: (8)

M ist offen in ft.

Weiter ist ii die Vereinigung der Mengen t(T) für alle Abbildungen T: T M

mit den Eigenschaften 3.2,(l)-(4); wegen (2),a) gilt somit:

(9) 3.5

M ist offen in M. Zu jedem Punkt x von M existiert eine x überdeckende Karte

x: T - M mit T = T + ; aus 1.2,(l)-(4) folgt dann 3.2,(l)-(4). Zu jedem Punkt x von SM existiert eine Abbildung T : T

M mit x £ T(T),

für welche ebenfalls 3.2,(l)-(4) gilt. In beiden Fällen ist T(T)CM. Zu jedem Punkt x von FI existiert also eine Abbildung T : T -• M mit x 6 T(T) und den Eigenschaften 3.2,(l)-(4). Jede derartige Abbildung T heiße eine den Punkt x überdeckende Karte von M. Überdeckt eine Familie [T-1: T*' -• M] .

von Karten ganz ft, so heiße sie ein

Atlas von M. Dann ist die Familie der Abbildungen •H : T^ -• M ein Atlas von M und, falls n > 1 ist, die Familie der Abbildungen T^ : T^ -• dM, soweit die Mengen T"1 nichtleer sind, ein Atlas von dM. o o ° o 3.6

Nach 3.4,(5) gilt im allgemeinen nur 5M c M \ M . Es ist zu er-

warten, daß der Fall öM = M \ M besonders interessant ist. In der Tat gilt folgender

I, §3

22

SATZ.

Ist 9M = H S M, so ist ööM = 0.

BEWEIS.

Da M in M offen ist nach 3.4,(6), ist M \ M abgeschlossen.

Für öM = M \ M ist also öM = öM. Für den Rand ddM von öM gilt daher ööM c Ö M \ ÖM = 0. 3.7

J

Ist die Menge M \ M eine (n-1)-Mannigfaltigkeit, so ist im Fall

n < m die Folgerung dM = M \ M im allgemeinen falsch. Dies zeigt die Kurve K in 3.2, Beispiel 1. Im Fall n = m ist die Folgerung jedoch richtig. Denn es gilt der

SATZ.

Ist G eine offene Menge des E n mit der Eigenschaft3

H := G \ G

BEWEIS.

eine Hyperfläohe

daß

im E n ist, so ist 3G = G \ G .

Es sei x° = (x°,...,x°) ein Punkt von G \ G . Wir zeigen:

x° 6 öG. Dabei können wir o.B.d.A. voraussetzen, daß für M := H und E' := Raum aller

die Situation des Satzes in 2.2

vorliegt. Nun wählen wir eine offene Teilmenge V° von V derart, daß (x°

x

n-l^ ^ V °

unc

^ v°

c

v

gilt. Ist V° hinreichend klein, was

wir annehmen dürfen, so existiert entweder für e = +1 oder für e = -1 ein 6 > o derart, daß für alle x

n

mit o < x

n

f(x 1 ,...,x

+ ex n ).

Dann ist x° = t(x°,... ,x°,o) und t hat die Eigenschaften 3.2,(l)-(40 JL ] mit G statt M. Also ist x° 6 SG.

I, §t

2 3

Aufgabe. Ist G eine nichtleere, offene Menge des E n und ist die offene Menge G' := E n \ G ebenfalls nichtleer, so ist dG = öG1.

§ 4. Kartenwechsel

4.1

Es liege eine n-Mannigfaltigkeit M im E m vor. Für je zwei Kar-

ten t: T

M und t: T

t ^"o t den Kartenueahsel

t? von M nennen wir die Abbildung o und det Dtp lo. n n ° ^ ° ~ ° Gäbe es nun in T einen Punkt t mit det Dcp (t ) < o, so wäre auch o o det Dcp < o in einer ganzen Umgebung U in H U r» T 4.4

von t , also auch in

I 0, entgegen der Voraussetzung in (5).

Der Vollständigkeit wegen notieren wir zwecks späterer Anwenit Ar ^

dung noch folgendes. Sei x: T -• M eine dritte Karte von M und es sei I := x(T) n x(T) r\ x(T) nichtleer. Für beliebiges x 6 I seien ^ «rft_ t,t,t die Urbilder in T,T,T. Dann ist ipTT(cpTT(tpTT(t))) = t und daher nach dem Produktsatz für Jacobische Determinanten aj Ä ~ (6)

det DcpTT(t) • det DcpTT(t) • det DcpTT(t) = 1.

Für zwei Karten x und x mit x(T) n x(T) f ^ erhalten wir (7)

det DcpTT(t) • det D(pTT(t) = 1.

Dies folgt aus (6), indem wir t = t wählen.

I, §5

26

§ 5. Gramsche Determinante einer Karte

Wieder sei M eine n-Mannigfaltigkeit im E m und t: T -» M eine Karte von M. Für jedes Paar (i,k) natürlicher Zahlen £ n sei die Funktion T

iR definiert durch

(1)

g.. := & ik

m l D.T -D. T ^ i p k p

(Für jeden Punkt t fc T ist also g ^ t t ) das Skalarprodukt der Tangentenvektoren D^t(t) und D^x(t) an H im Punkt x = t(t); vgl. 6.2.) Die Funktion g: T

iR, definiert durch

g := det(g ik ) heißt die Gramsche Determinante der Karte t. Sie ist mit der Jacobischen Funktion J von t verknüpft durch die Gleichung g = J2.

(2)

,r p ....,u = Denn setzen wir D.T 1 VI =: d.1U , so ist (mit i,k = 1,... > 5 ,n: 5 r-jr-^, n 1,. . . ,m):

det(y d. d, ) = £ ly ku > u W 1

yu

n

det(d. d ) = > ly ku «< >< u k

1 (det(d.

)*det(d,

u

(det(d. ) • n d, ) = ^k V kuk

)) = >

det^d., )

Wegen (2) und 1.2,(4) ist (3)

g > o .

Aus (2) und 4.2,(3) folgt, daß bei einem nichtleeren Kartenwechsel

o. Dann o.B.d.A. c 3 i o und sgn c 3 konstant = e = + 1, y i h i oj sowie : = 1/ F X x -x ) > o für alle j. Unter diesen Prämissen ist |f r •. y y x'/l = e • lim (x 3 -x°)/l 3 für y = l,...,m.

31

I. §7

§ 7. Orientierbare Mannigfaltigkeiten

Für die Anwendungen sind diese spezielleren Mannigfaltigkeiten besonders wichtig. Beispielsweise werden wir für den Stokesschen Satz nur orientierbare Mannigfaltigkeiten brauchen können. 7.1

Vorweg erledigen wir den Fall einer o-Mannigfaltigkeit M im E m :

jede Funktion 0 : M -• [-l,+l] heiße eine Orientierung von M. Nun liege eine n-Mannigfaltigkeit M im E m vor. Wir nennen zwei Karten T: T -• M und x: T -» M von M verträglich, wenn der Durchschnitt I := x(T) n x(T) entweder leer ist oder in jedem Punkt t von x ^"(1) TT

die Ungleichung det Dtp

> o gilt. Diese Relation "verträglich" ist

reflexiv und symmetrisch; dies folgt aus 4.4,(7). Ein Atlas (X von M heiße einheitlich, wenn je zwei Karten aus Ol- verträglich sind. Sei Ol ein einheitlicher Atlas von M (falls ein solcher existiert). Sind t : T

M und x: T

M zwei Karten von M, die mit jeder Karte

x : T -» M aus (X verträglich sind, so sind x und x auch miteinander verträglich. Denn ist x(T) r> x(T) ^ 0

und ist x ein Punkt dieses

Durchschnittes, so existiert in Ol eine x überdeckende Karte x:T-»M; dann gilt 4.4,(6); weil hierin der erste und der dritte Faktor > o ist, ist auch der zweite Faktor > o. Also ist die Menget aller Karten x von M, die mit jeder Karte x aus Ol verträglich sind, ebenfalls ein einheitlicher Atlas von M, und zwar ist er der maximale einheitliche Atlas von M, der den Atlas Ol enthält.

DEFINITION.

Besitzt M (mindestens) einen einheitlichen Atlas, so

heiße M orientierbar und jeder maximale einheitliche Atlas von M heiße dann eine Orientierung von M. Ist M orientierbar und 0 eine Orientierung von M, so heiße das Paar (M,0) eine orientierte n-Mannigfaltigkeit .

32

I, §7

Statt Ol c O

sagen wir auch,(X sei ein Atlas der Orientierung O .

Ist (J eine Orientierung von M, so schreiben wir gelegentlich auch CT statt 0.

Beispiele.

1.

Jede nichtleere, offene Menge G im E n (vgl. 1.2, Satz) ist orien-

tierbar; denn der nur aus der trivialen Karte von G bestehende Atlas von G ist trivialerweise einheitlich. Die diese Karte enthaltende Orientierung von G nennen wir positiv und bezeichnen sie mit 0*. o Wir verabreden, G stets als positiv orientiert anzunehmen, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist. 4.4,(7) aus allen Karten t : T Die Menge aller Karten x : T

besteht zufolge

G von G mit det Dt > o überall in T. G von G mit det Dx < o überall in T

ist ebenfalls eine Orientierung von G; sie heiße die negative

Orien-

tierung Q „u von G. 2.

Die in 1.2 als Beispiele angegebenen Mannigfaltigkeiten sind

sämtlich orientierbar. 3.

Beispiele nicht orientierbarer Mannigfaltigkeiten geben wir erst

in § 23 an.

Aufgaben.

1.

Jede Kurve ist orientierbar.

2. Ist M eine orientierbare n-Mannigfaltigkeit im E™ und M' eine n-Mannigfaltigkeit c m, so ist auch M' orientierbar (vgl. 2.2, Aufgabe 2).

33

I, §7

3. Für i = l,...,k sei M^ eine IK-Mannigfaltigkeit im E™'". Wir setzen n. +...+ n, = n und m, +...+ m, = m. Dann ist das cartesische 1 k 1 k Produkt M := X...X M^ eine n-Mannigfaltigkeit im Raum E := ETn'1 X...X E^*. Sind die M. orientierbar, so ist auch M orientierbar. 1

(Beispiel: der n-dimensionale Torus T l,...,n] im E 7.2

Zn

n

:= {x:

2

2

i +x 2i

=

*

=

ist als Produkt von n Kreisen orientierbar.

Es sei (MjC) eine orientierte n-Mannigfaltigkeit im E m . Wir de-

finieren folgendermaßen die zu 0" entgegengesetzte Orientierung - O von C. Sei a die Spiegelung des iRn an der Hyperebene [t: t^ = o}. Ist x: T -» E m eine Abbildung einer Menge T c iRn in den E m , so setzen 12)

wir T1 := a(T) und T1 := T O a. T

1

E

M

das Spiegelbild von

Karte T: T

T

Wir nennen die Abbildung T' :

(es ist

T ' ( T ' )

=

T(T)).

M aus O und ihr Spiegelbild T' : T'

- Für jede TT

'

M ist det D o

von TO. Ist hingegen T eine x überdeckende Karte

der Orientierung -Cf von M, so ist det DcpTT(t) < o; weil aber die Basis Dx(t) von TP sich in die Basis Dx(t) nach der Kettenregel linear mit der Matrix D