Grundstrukturen der Analysis II [Reprint 2021 ed.] 9783112527467, 9783112527450

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W. G A H L E R

GRUNDSTRUKTUREN DER ANALYSIS II

M A T H E M A T I S C H E L E H R B Ü C H E R UND M O N O G R A P H I E N H E R A U S G E G E B E N VON D E R AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN DER DDR Z E N T R A L I N S T I T U T F Ü R M A T H E M A T I K UND M E C H A N I K

II. A B T E I L U N G

MATHEMATISCHE

MONOGRAPHIEN

B A N D 42

G R U N D S T R U K T U R E N DER A N A L Y S I S II VON

W. G Ä H L E R

AKADEMIE-VERLAG 19 7 8

BERLIN

GRUNDSTRUKTUREN DER ANALYSIS II von

WERNER

GÄHLER

Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik der Akademie der Wissenschaften der DDR

AKADEMIE-VERLAG 19 7 8

•

BERLIN

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 © Akademie-Verlag Berlin 1978 Lizenznummer: 202 . 100/563/78 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 7622501 (6071/2) • LSV 1035 Printed in GDR DDR 7 8 , - M

VORWORT

Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemeineren als normierten Räumen benötigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfällen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel höherer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung für Abbildungen / : X »-»• Y und g: Y -*• Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(gr ° /) {x) = = Dg(f(xf) ° Df(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L{X, Z) in die Form D(gr ° /) (x) = (y ° < D f , Dg ° /» {x). Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Kettenregel erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, daß ß ° q)^

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5.1. Gruppen

zu beliebigen i, j, k e I. N sei der von der Menge {(Xj ° q>ij)(a) x^a'1) \ i,j e I und a e erzeugte Normalteiler von X und x die kanonische Abbildung von X auf die Faktorgruppe XjN. Offenbar ist Y = (x ° xt) [ Yt] eine von i unabhängige Untergruppe von X/N. Die Faktorgruppe XjN heißt das freie Produkt der Xi mit vereinigter Untergruppe Y. Einen Aufschluß über das Verhalten dieser Faktorgruppe liefert der folgende Satz 6.1.4 (Freie Produkte mit vereinigter Untergruppe). Die Abbildungen x°xt Isomorphismen von Xt in X/N. paarweise nur Y gemeinsam.

Die Untergruppen

{x ° xt) [ X j ] von XjN

sind

haben

B e w e i s . 1. Zu beliebigem i e I wählen wir in jeder rechtsseitigen Nebenklasse der Untergruppe Yf von Xt ein Element aus, in Y 4 selbst das Emselement. Ist a ein Element einer dieser Nebenklassen, so bezeichnen wir das in dieser Nebenklasse ausgewählte Element mit ä. Aus a e Xt folgt stets aä1 e Yt. Gegeben sei ein i € I. Wir ordnen als nächstes jedem Element von X ein äquivalentes Element der Form xt(a) ((»!,

(i„, ö.))

(5.1.4)

mit a € F 4 j eine sogenannte Normalform, zu. Die Äquivalenz ist natürlich mittels des Normalteilers N durch (5.1.1) definiert. Wir lassen auch den Fall n = 0 zu und verstehen in diesem unter (5.1.4) einfach Xi(a). Gegeben sei ein Element x = ((j^, b^), ... , (jm, bm)) von X. Ist m = 0, d. h. x = 0, so ordnen wir x das Element Xifa), also x sich selbst zu. Nun sei m > 0 und sei bereits ((j 2 , b2), ..., (jm, bm)) ein äquivalentes Element der Form (5.1.4) zugeordnet. Wir setzen c = (a) und ordnen x im Falle bt e Yji (*« 0 «i)> - > (*n, ö„)) , im Falle bt $ Yj i und

=j= i x

(* c), (h, ¡h),... , (in, ä n )) , im Falle bT 4 Y^,

(5.1.5) (5.1.6)

= i t und cä1 e Y h (Xi ° (h,

«2)> - .

(in,

«„)).

Ist &2&1 £ so gilt ¿>2 $ Yj, und y = Ist b2\ 5 Yjx, so kann b2 e Y^ oder auch b2 $ Yh sein. Wegen ca1 e Y^ gilt genau dann b2 e Y^, wenn y e Yjx ist. Damit folgt leicht, daß sich in dem betrachteten Fall die durch Anwendung von Xj^b^j) auf (5.1.4) entstehende Normalform ergibt. Schließlich sei \ Y sei ein Morphismus in GR, t die identische Einbettung von/[X] in Y und Y u Y das freie Produkt von Y mit sich. x1 und x2 seien die beiden natürlichen Injektionen von Y in Y LI Y. N sei der aus {x}(a) x^a'1) \ i,j 6 {1,2} und a e f[X]} erzeugte Normalteiler von Y U Y. Offenbar ist die Faktorgruppe ( 7 | J Y)/N, zusammen mit der kanonischen Abbildung« von Y LI Y auf (Y U Y)/N, ein Differenzcokern von x1 ° i und x2 ° t. Nach 3.1.7 ist die Untergruppe /[X] von Y, zusammen mit t, ein Differenzkern von x ° x^ und x o x2. Ist /[X] =)= Y, so folgt x ° x1 =j= x 0 «2 mittels 5.1.4 und ist wegen x °x1° / = « ° « 2 °f dann / kein Epimorphismus. Wenn f[X] = Y gilt, ist / natürlich ein Epimorphismus. 3. Für AB ergibt sich die Behauptung unter Benutzung des Begriffs des direkten Produkts von Gruppen entsprechend. T sei im folgenden ein Funktor einer kleinen Kategorie 2) in GR. Für jeden Morphismus / von % bezeichnen wir mit Df die Quelle und mit E} das Ziel von/. X sei das freie Produkt der Gruppen T(D) (D 6 Ob®) und Y das freie Produkt der Gruppen T(Df) (/ € Mor®). N sei der kleinste Normalteiler von X, dem alle

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5.1. Gruppen

zu beliebigen Elementen ((/1; ( E f ¡ , T ( f 1 ) («,))

-

... , (/„, an)) von Y gebildeten Produkte (Efn,

T(f

n

) (a„))

(Dfn,

a ^ ) ... ( D f i ,

O

angehören. Wir bezeichnen mit xD die natürliche Injektion von T(D) in das freie Produkt X und mit x die kanonische Abbildung von X in die Faktorgruppe XjN. Durch Dualisierung der im Beweis von 3.2.2 angegebenen Konstruktion der projektiven Limites folgt, daß XjN, zusammen mit der Familie der Abbildungen x o xD (D € Ob®), ein induktiver Limes von T ist. Wie man an Hand des freien Produktes ersieht, existiert im allgemeinen nicht das an den Vergißfunktor V: GR — ENS gebundene Coprodukt der Gruppen T(D) über E, (9?ß).DeOb®> wobei E = lim ind VT(D) ist und die o K[Ft X - X Fn] 6 ft ist daher (SSf x" - X" » * ) , 28K-treu. 5.3. Vektorräume K sei ein beliebiger Körper. Ein Vebtorraum oder linearer Baum über K ein K-Vektorraum oder K-linearer Baum ist eine Menge X, versehen mit Abbildungen (x, y) i-> x + y (x, y 6 X) und (a, a;) (xx (« e K, x e X) von X bzw. K x X in X, der Vektoraddition und skalaren Multiplikation, so daß

oder zwei x X gilt:

1. X ist bezüglich der Vektoraddition eine additive abelsche Gruppe. 2. Zu beliebigen «, ß 6 K und x e X gilt (otß) x = tx(ßx) (Assoziativität der skalaren Multiplikation). 3. Zu beliebigen«, ß e K u n d x, y e X ist (a + ß) x = ixx -f ßx und«(x + y) —