Analysis: Band 2 Analysis II [3. durchgesehene Auflage 1996. Reprint 2011] 9783110808896, 9783110150339, 9783110150346

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de Gruyter Lehrbuch Barner / Flohr · Analysis II

Martin Barner Friedrich Flohr

Analysis II 3., durchgesehene Auflage

W DE

G

Walter de Gruyter Berlin · New York 1996

Martin Barner Friedrich Flohr Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Hebelstraße 29 D-79104 Freiburg 7997 Mathematics Subject Classification: 26-01 Mit 437 Aufgaben Auflagen: I.Auflage 1983 2. Auflage 1989

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Die Deutsche Bibliothek — CIP-Einheitsaufnahme Barner, Martin:

Analysis / Martin Barner; Friedrich Flohr. — Berlin; New York de Gruyter. (De-Gruyter-Lehrbuch) NE: Flohr, Friedrich: 2.-3., durchges. Aufl. - 1996 ISBN 3-ll-015034-4kart. ISBN 3-11-015033-6 Gb.

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Vorwort zur I.Auflage

In dem nun endlich vorliegenden zweiten Band unserer „Analysis" stellen wir die Differentialrechnung der Funktionen mehrerer reeller Variablen, die Lebesguesche Integrationstheorie und die Integralsätze der Vektoranalysis dar. Dem Aufbau der Differentialrechnung liegt die Idee der „linearen Approximation" zugrunde; einfache Begriffsbildungen der linearen Algebra werden deshalb von vornherein herangezogen. Die Einführung des Lebesgueschen Integrals erfolgt in Analogie zum Regelfunktionsintegral ; bei der Definition wird die gleichmäßige Konvergenz verwendet. Die diffizileren Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie werden später besprochen. Der historischen Entwicklung folgend haben wir die Konstruktion des Lebesgueschen Maßes der Integrationstheorie vorangestellt, auch weil wir eine gesonderte Erörterung des Volumenproblems für wichtig halten. In einer Einführung in die Analysis dürfen die Integralsätze der Vektoranalysis nicht fehlen. Hierzu entwickeln wir die Grundzüge des Kalküls der alternierenden Differentialformen; erst durch ihn wird eine durchsichtige Behandlung möglich. Frau A. Helbling hat wiederum nicht nur das Endmanuskript mit der gewohnten Sorgfalt hergestellt, sondern uns auch durch ihre verständnisvolle Mitarbeit bei der Entwicklung des Textes sehr geholfen. Die Reinzeichnungen der Figuren hat Frau R. Bausenhart angefertigt. Herr W. Füchte hat die Figuren entworfen, den gesamten Text gründlich durchgesehen und dabei nützliche Verbesserungsvorschläge gemacht; er hat uns viel Arbeit bei der Vorbereitung der Drucklegung und bei den Korrekturen abgenommen. Ihnen allen und auch dem Verlag sprechen wir an dieser Stelle unseren herzlichen Dank aus. Freiburg i.Br., Herbst 1982

M. Barner, F. Flohr

Vorwort zur 3. Auflage

Auch zur zweiten Auflage dieses Bandes haben wir eine Reihe von Zuschriften aufmerksamer Leser erhalten. Wir bedanken uns herzlich dafür. Abgesehen von kleineren Veränderungen, die dem besseren Verständnis dienen, haben wir Aufbau und Text des Buches beibehalten. Freiburg i.Br., August 1995

M. Barner, F. Flohr

Inhalt

Vorwort

5 m

13 Stetige Abbildungen aus dem IR" in den IR 13.1 Der IR" als normierter Vektorraum, Konvergenz 13.2 Topologie des (Rn Kompakte Mengen Konvexität 13.3 Stetige Abbildungen Rechenregeln für stetige Abbildungen Gleichmäßige Stetigkeit Eigenschaften der Bildmengen bei stetigen Abbildungen 13.4 Gleichmäßige Konvergenz Normen für homogene Abbildungen

9 10 19 26 29 36 48 51 54 62 69

14 Differenzierbare Abbildungen 14.1 Kurven im IR" Höhere Ableitungen Krümmung von Kurven 14.2 Definition der Ableitung Rechenregeln für differenzierbare Abbildungen 14.3 Mittelwertsatz 14.4 Höhere Ableitungen, Taylorsche Formel Lokale Extrema Konvexe Funktionen 14.5 Banachscher Fixpunktsatz, Anwendungen Nullstellenbestimmung Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 14.6 Lokale Umkehrbarkeit, implizit gegebene Funktionen Auflösung von Gleichungssystemen 14.7 /7-dimensionale Flächen im IR" Extrema unter Nebenbedingungen

77 78 86 88 94 103 115 123 130 138 144 148 153 161 169 178 184

15 Lebesguesches Maß im (R" 15.1 Das Lebesguesche Maß von offenen und kompakten Mengen 15.2 Äußeres und inneres Lebesguesches Maß Vitalische Mengen 15.3 Lebesgue-meßbare Teilmengen des IR" 15.4 Lebesgue-meßbare Funktionen

197 199 211 220 224 234

16 Lebesguesches Integral im iR" 16.1 Lebesgue-integrierbare Funktionen Das Lebesguesche Integral als Mengenfunktion

250 251 265

Inhalt 16.2 Integration und Grenzübergang Rekursive Berechnung des Lebesgueschen Maßes Parameterabhängige Integrale 16.3 Erweiterung der Integraldefmition, Satz von Fubini Cavalierisches Prinzip 16.4 Die Transformationsformel 17 Differentialformen, Integralsätze der Vektoranalysis 17.1 Kurvenintegrale 17.2 Alternierende Differentialformen 17.3 Geschlossene und exakte Formen, Lemma von Poincare 17.4 /7-Flächenintegrale Variablensubstitution bei Differentialformen 17.5 Integration über Untermannigfaltigkeiten des IR" 17.6 Die Integralsätze von Gauß und Stokes Anwendungen des Gaußschen Integralsatzes 17.7 Oberflächenmaße Symbole Literatur Zeittafel Namenverzeichnis Sachverzeichnis

273 279 285 295 303 311 328 329 342 353 365 372 382 402 411 423 439 440 '441 442 444

13

Stetige Abbildungen aus dem iR" in den

Funktionen von mehreren Variablen treten in inner- und außermathematischen Anwendungen überall auf; es ist daher notwendig, die in Bd. I behandelte Differential- und Integralrechnung auch für Funktionen mehrerer Variablen zu entwickeln. Da die Zielmenge ebenfalls oft mehrdimensional ist, betrachten wir allgemein Abbildungen aus dem [R" in den IRm. Im Fall m = l verwenden wir statt Abbildung meistens die Bezeichnung Funktion. Der [R" wird zwar als Vektorraum der rc-Tupel reeller Zahlen eingeführt, jedoch macht die Vektorschreibweise deutlich, daß nur die Eigenschaften endlichdimensionaler normierter Vektorräume gebraucht werden. Bei Stetigkeits- und Grenzwertbetrachtungen im [R1 erweist sich der absolute Betrag reeller Zahlen als zweckmäßige Begriffsbildung. An seine Stelle tritt im [R" die Norm von Vektoren. Damit können-die in Bd. I besprochenen topologischen Begriffe wie Umgebung, offene Menge, abgeschlossene Menge, kompakte Menge, stetige Abbildung, konvergente Folge, usw. in entsprechender Weise definiert werden; auch die Beweise können vielfach wörtlich übertragen werden. Da es sich also im wesentlichen um Wiederholungen handelt, können wir uns kurz fassen. Unterschiede zum Fall n = l ergeben sich vor allem bei der Frage nach der Umkehrbarkeit von stetigen Abbildungen. Hier liegen die Verhältnisse keineswegs so einfach; z. B. ist der Brouwersche Fixpunktsatz für n = \ eine unmittelbare Folgerung des Zwischenwertsatzes, während für n ^ 2 tieferliegende Ergebnisse herangezogen werden müssen (vgl. S. 418). Wie in Bd. I führen wir zur Behandlung der gleichmäßigen Konvergenz den Normbegriff auch für Abbildungen ein; die grundlegenden Sätze können dann genau so wie dort bewiesen werden. Der Weierstraßsche Approximationssatz erscheint hier in einem allgemeineren Rahmen als im ersten Band: Die Sätze von Stone und Stone- Weierstraß sind nicht auf die Frage der Approximierbarkeit durch ganzrationale Funktionen beschränkt. Sie zeigen deutlich, welche Eigenschaften wesentlich sind, damit eine beliebige stetige Abbildung durch stetige Abbildungen eines vorgegebenen Typs approximiert werden kann.

10

13 Stetige Abbildungen aus dem IR" in den [R

13.1 Der [R" als normierter Vektorraum, Konvergenz Die Elemente des [R" sind die geordneten H-Tupel reeller Zahlen: ==(*!,. . .,*„). Mit der komponentenweisen Addition

und der komponentenweisen Multiplikation mit Skalaren

ex — (cxt, . .., cx„) ist der [Rn ein reeller Vektorraum der Dimension n. Insbesondere bilden die Vektoren

eine Basis des (R"; sie wird als Standardbasis bezeichnet. Die für die Analysis grundlegenden Begriffe Konvergenz und Stetigkeit werden im Fall n = l mit Hilfe des absoluten Betrages eingeführt. Für n > l treten an dessen Stelle die Normfunktionen ; diese stellen eine sinngemäße Verallgemeinerung des absoluten Betrages dar (vgl. Bd. I, S. 19 oben). Bei der Definition verwenden wir den Abbildungsbegriff. Def.:

Hat die Funktion N: (R" -»· (R die Eigenschaften (1)

7V (x) > 0 für

(2)

N(c\) = \c\-N(x)

(3)

N(\ + y) ^ N(x) + N(y)

0

(Dreiecksungleichung),

so heißt N eine Norm auf IR". Für n = l lassen sich alle Normen leicht angeben, nämlich N(x) = a\x\ mit beliebigem positivem a ; für n ^ 2 gibt es dagegen viele wesentlich verschiedene Möglichkeiten, die Bedingungen (1), (2), (3) zu erfüllen. Häufig werden wir im folgenden mit der Maximumsnorm \\ \\ arbeiten; sie wird erklärt durch

13.1 Der IR" als normierter Vektorraum, Konvergenz

11

Unmittelbar klar ist, da (1) und (2) gelten; der Beweis von (3) ergibt sich mit Hilfe der Dreiecksungleichung f r den absoluten Betrag wie folgt: Zun chst gilt f r jedes i k- 1 ^ || x II

und

\yt\£

und deshalb nach der Dreiecksungleichung

Ιχ, + ^Ιχ,Ι + ΐ Λ ΐ ^ Ι Ι χ Da f r mindestens ein / die Gleichung || χ + y || = | xt + yt \ richtig ist, ergibt sich die Behauptung

Eine von der Geometrie her naheliegende Norm ist die durch

erkl rte euklidische Norm. Sie kann mit Hilfe des Standardskalarprodukts

... +xnyn, das wir mit χ · y oder auch mit (x, y> bezeichnen wollen, eingef hrt werden durch |x | = Λ/Χ · χ .

Wieder sind die Eigenschaften (1) und (2) unmittelbar einzusehen. Zum Beweis von (3) verwendet man die Schwarzsehe Ungleichung (x · y)2 ^ (x · x)(y · y),

die sich leicht aus der Tatsache ergibt, da das (f r χ φ 0) quadratische Polynom (/x + y) · (ix + y) = (x · x) t2 + 2(x · y) t + (y · y)

keine zwei verschiedenen reellen Nullstellen haben kann, f r die „Diskriminante" also (x · y)2 — (x · x)(y · y) :g 0 gelten mu . Um nun die Dreiecksungleichung

V(x + y) · (χ + y) ^ Vx · χ + Vy · y zu beweisen, geht man durch Quadrieren zu der quivalenten Ungleichung (x · x) + 2(x · y) + (y · y) ^ (x · x) + 2V(x · x)(y · y) + (y · y)

ber, die gleichbedeutend mit der Schwarzsehen Ungleichung ist.

13 Stetige Abbildungen aus dem IR" in den IRm

12

Aufgabe: Es sei p

1. Man zeige, daß durch j_ p p

lIx A l|p — — )v

eine Norm auf [R" erklärt ist (vgl. Bd. I, S. 286, Aufg. 9). Die in der Aufgabe erklärte Norm wird als /p-Norm bezeichnet. Die /2-Norm ist also die euklidische Norm; die Maximumsnorm kann als Grenzfall „p = oo" betrachtet werden. Gelegentlich werden wir auch die ^-Norm

Mi = l*il+ ··· + l*»l verwenden; diese bezeichnet man als Oktaedernorm (zu diesem Namen vgl. man die Bemerkung auf S. 20). Wir haben die Normen als Verallgemeinerungen des absoluten Betrages eingeführt, um die Begriffe Konvergenz und Stetigkeit vom [R1 auf den [R" übertragen zu können. Da es für n ^ 2 jeweils beliebig viele Nonnfunktionen gibt, könnten die Definitionen von der Wahl der Normfunktionen abhängen. Tatsächlich ist dieses nicht der Fall, wie wir auf S. 15 beweisen werden. Zunächst verwenden wir zur Definition der Konvergenz die Maximumsnorm. Def.:

Die Folge (xt) heißt konvergent gegen a, wenn lim ||x t -a || = 0 k

gilt. Man schreibt dann auch lim xfc = a. k

Wie im eindimensionalen Fall zeigt man, daß eine Folge (xk) nicht gegen zwei verschiedene Elemente a und b konvergieren kann. Wenn es ein a gibt, so daß (xk) gegen a konvergiert, dann sagt man kurz, die Folge (xfc) sei konvergent. Satz:

Die Folge (xk) ist genau dann konvergent, wenn jede der n Komponentenfolgen (xfcl)) konvergiert.

Der Beweis ergibt sich aus der Abschätzung |4() -

()

| g ||xk - a|| g \ [1] -

(1)

| + . . . + |4"> - a(n)\,

die für jedes / = l , . . . , « , gilt. Notwendig und hinreichend für die Konvergenz einer Folge ist hiernach auch im [R" die Cauchysche Konvergenzbedingung:

13.1 Der 1R" als normierter Vektorraum, Konvergenz

Zu jedem

13

> 0 existiert ein k0 derart, daß für alle k 2; k0 und alle p > 0 gilt

B e m e r k u n g : Für n = 2 haben wir die entsprechenden Aussagen schon in Bd. I (S. 192 ff.) bei der Diskussion der komplexen Zahlen erhalten. A u f g a b e : Man prüfe, welche der für konvergente reelle Zahlenfolgen geltenden Rechenregeln auf vektorwertige Folgen übertragen werden können. Auch den Satz von Bolzano-Weierstraß für Folgen kann man vom [Rl auf den (R" übertragen: Jede beschränkte Folge (xfc) (d.h. es gilt ||x ft || < r) besitzt eine konvergente Teilfolge. Zum Beweis betrachten wir die n Komponentenfolgen der Vektorfolge (xk); diese sind jeweils beschränkte Zahlenfolgen. Nach dem Satz von BolzanoWeierstraß (vgl. Bd. I, S. 119) besitzt die erste Komponentenfolge eine konvergente Teilfolge. Im nächsten Schritt gehen wir zu einer Teilfolge der Vektorfolge über, so daß außer der ersten auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Nach n Schritten erhalten wir so eine Vektorfolge mit der Eigenschaft, daß jede Komponentenfolge konvergiert. Um zu zeigen, daß wir die Konvergenzdefinition statt mit der Maximumsnorm || || ebensogut mit einer beliebigen Norm 7V hätten fassen können, beweisen wir die beiden Abschätzungen JV(x)gfl||x||

und

||x|| ^ bN(\).

Aus diesen beiden Abschätzungen ergibt sich unmittelbar, daß aus lim || \k — a || = 0 folgt lim N(xk — a) = 0 und umgekehrt. k

Satz:

k

Zu jeder Norm N gibt es positive Zahlen a und b so, daß gilt N(x)^a\\\\\

und

\\x\\ £ bN(\)

für alle \ e R". Beweis: Die Abschätzung links ergibt sich durch Anwendung von (1), (2), (3) und wegen | ,·| 5 ||x|| folgendermaßen:

14

13 Stetige Abbildungen aus dem [R" in den IR

N(x) = 7V(*lCl + . . . +*ne„) ^

(^·)\

\+...+ N(en)\x„\

Also können wir a = N(e1) + . . . + jV(e„) wählen. Die Abschätzung rechts beweisen wir indirekt. Angenommen, es gäbe kein derartiges b > 0, so könnte man zu b = 1,2,3, ... ,k, ... jeweils einen Vektor xk finden, so daß

richtig wäre. Nach (2) würde dann für k = l, 2, 3, . . . / xk \ l N —— < VKII/

*

xk gelten. Für yk = - hätte man also

HxJI

= Σ Σ CiiWj* i=l j=l

wie die euklidische Norm aus dem Standardskalarprodukt (verallgemeinerte euklidische Norm). 3. Man beweise f r eine beliebige euklidische Norm | | die G ltigkeit folgender Ungleichungen (a)

2 5Ξ |x| 2 |y| 2

(b)

|x + y| 2 + |x-y| 2 = 2|x| 2 + 2|y| 2

(Schwarzsehe Ungleichung) (Parallelogramm-Identit t)

(c)

|x| + |y| + |z| + |x + y + z| ^ |x + y| + |y + z| + |z + x|. (Ungleichung von Hornich-Hlawka) 4. Die Folge (xk) sei konvergent. Man zeige, da die Folge (yk) mit

konvergiert und denselben Grenzwert wie die Folge (xk) besitzt. Weiter pr fe man, f r welche α e (R die Folge komplexer Zahlen

zk = bzw. die daraus gebildete Folge wk = ~(z^ ...+zk) konvergiert.

18

13 Stetige Abbildungen aus dem IR" in den

5. Nach dem Satz von S. 1 5 gibt es positive Konstante a, b derart, daß

gilt (dabei sei | \p die /p-Norm und || || die Maximums-Norm). Welches sind die bestmöglichen Werte für a, o? Man beantworte die entsprechende Frage auch für

6. Für welche 0, y 0 gilt die Gleichheit in der Dreiecksungleichung? Man untersuche diese Frage insbesondere für die euklidische Norm und die Maximums-Norm. 7. Man zeige, daß die euklidischen Normen durch die Gültigkeit der Parallelogramm-Identität ||x + y||2 + ||x-y|| 2 = 2||x||2 + 2||y|| 2 gekennzeichnet werden. (Anleitung: Man beweise zunächst, daß die Funktion < X , y > .= ||X + y | | 2 - | | x - y l | 2

die Eigenschaften = + und = besitzt. Weiter folgere man = c für rationales c und schließlich für reelles c.) 8. Wenn N± eine Norm im (R" und N2 eine Norm im IRm ist, dann sind durch (a)

N(x, y) = N1 (x) + N2 (y)

(b)

N(x, y) =

(c)

N(x, y) = max {Nt (x), N2 (y)}

Normen im (R" x IRm erklärt. m 9. Wenn : (N -» N eine Bijektion ist, dann heißt die Reihe £ xff(k) eine Umk=l OO

00

x

Ordnung der Reihe k=l

fc· ^an beweise, daß

\k genau dann normfc=l

konvergent ist, wenn jede ihrer Umordnungen konvergiert. 00

10. Reihen der Form £ e(&)Xfc mit (&) = 0 oder l seien als „Teilreihen" von · k=l

13.2 Topologiedes IR"

19

00

DC

£ \k bezeichnet. Man beweise, daß £ xk genau dann norm-konvergent k=l

k=l

ist, wenn jede ihrer Teilreihen konvergiert. 11. (a) Es sei (ck) eine monotone und beschränkte Zahlenfolge und die Reihe 00

00

£ \k sei konvergent. Dann ist auch die Reihe £ ckxk konvergent. k=l

fc=

l

(b) Es sei (cfc) eine monotone Nullfolge und die Folge der Teilsummen von 00

X

V xfc sei beschränkt. Dann ist

c fc x t konvergent.

Anleitung: Man verwende die Methode der „partiellen Summation" (vgl. Bd. I, S. 317). 12. Man zeige, daß durch

= max

bzw. i

=

o

l\f(x)\2dx

jeweils eine Norm auf dem unendlichdimensionalen Vektorraum €([0, 1]) der in [0, 1] stetigen Funktionen erklärt ist. Sind diese beiden Normen äquivalent?

13.2 Topologie des IR" Der Umgebungsbegriff wurde in [R mit Hilfe des absoluten Betrages erklärt. Entsprechend verwenden wir zur Einführung des Umgebungsbegriffs im [R" Normfunktionen. Die nichtnegative Zahl ||x — y|| kann geometrisch als Abstand der beiden Punkte x, y gedeutet werden. In der folgenden Definition verwenden wir zunächst die Maximumsnorm. Def. :

Es sei

> 0 und a e (R" . Die Menge

heißt -Umgebung von a oder „Kugel um a vom Radius " (bezüglich der Maximumsnorm). Jede Obermenge einer -Umgebung von a nennt man Umgebung von a.

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13 Stetige Abbildungen aus dem IR" in den IR"

Für« = 2 (bzw. n = 3) ist eine solche -Umgebung ein achsenparalleles Quadrat (bzw. ein Würfel) der Seitenlänge 2 mit dem Mittelpunkt a (vgl. Figur).

B e m e r k u n g : Für die euklidische Norm ergibt die entsprechende Definition als Umgebungen „gewöhnliche" Kugeln; allgemein erhält man bei beliebiger Norm konvexe Mengen, die a als Mittelpunkt besitzen (vgl. S. 31). Welche konvexe Mengen erhält man für die /j-Norm im (R2 und im IR3? Die Tatsache, daß jede Norm N auf dem IR" äquivalent zur Maximumsnorm ist, bedeutet folgendes für die entsprechend mit der Norm N definierten Umgebungen (vgl. Figur): Die „W-Kugel" vom Radius um den Ursprung 0 ist enthalten in einer || ||-Kugel um 0 vom Radius -, denn für jedes a

mit N ( )