Analysis [2., aktualisierte Auflage] 3863268776, 9783868943801, 9783863268770

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Analysis 2., aktualisierte Auflage

PB

Ay NLINE

L.izerziert

für

Johannes

Gutenberg

Universität Mare,

134.93.109.1 11

am 14.11.202

Uhr

Analysis

Pearson Deutschland

Pearson Deutschland

Lizerziert für Johannes ; Gutenberg-Universität Marz,

34.93.1091 11

am 14.11

202 3 um

15:2

14.11 Univ ersität Mairez, 134.93.109,1 11

Analysis 2., aktualisierte Auflage

| Theo de Jong

©

Pearson Pearson Deutschland

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tenberg-Universität Marz, 134.93.109.1 11 am 14

4 023 um 15:23 Uhr

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0987654321

33

4

3221 20

ISBN 978-3-86894-380-1 (Buch) ISBN 978-3-86326-877-0 (E-Book) 3

5 5

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Inhaltsverzeichnis Kapitel 0

Mengen und Funktionen

Kapitel 1

Reelle Zahlen

1.1

Binäre Entwicklung

1.22

Reelle Zahlen

13 _ Grenzwerte und Vollständigkeit 14

_

1.5

Addition und Multiplikation Kehrwert und Quadratwurzel

1.6 _ Dezimal- und Binärschreibweise 1.7.

Supremum und Infimum

18

Intervalle, Häufungspunkte

19

*Cauchyfolgen*

Kapitel 2

Stetigkeit

2.1

_ Stetige Funktionen ..

22

_ Der Zwischenwertsatz

23

_ Grenzwerte

2.4 25

Asymptote _ Umkehrfunktionen

26

Die Exponentialfunktion

27

Der Logarithmus

28

Maxima und Minima

Kapitel 3

Fläche, Winkel und komplexe Zahlen

3.1

Offene Mengen in R?

3.2 _

Flächeninhalt

33

Pythagoras

34

Drehungen

35 36

Das Winkelmaß _

3.7 3.8

Die Winkelfunktionen Komplexe Zahlen

_ Geometrie der Addition und Multiplikation

39 _ Polynomiale Gleichungen Kapitel 4 41

Differenzialrechnung

Definition der Differenzierbarkeit

42 _ Rechenregeln für differenzierbare Funktionen 43

_ Ableitung der Winkelfunktionen

44

_

45

_ Ableitung der Exponentialfunktion

Satz von Rolle und Mittelwertsatz

46 _ Extremwerte, höhere Ableitungen 47

Die l’Höpital’sche Regel

48 _ Die Taylorformel 49 _ Konvexität, Konkavität und Wendepunkte 4.10

Kurvendiskussion

4.11

*Das Newton-Verfahren*

4.12

*Die komplexe Exponentialfunktion*

Kapitel 5 5.1

Integralrechnung

Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung

5.2

Stammfunktionen, Substitutionsregel

53

Partielle Integration

54

Integrieren von rationalen Funktionen

55

Spezielle Substitutionen

56

Integrale über (halb-)offenen Intervallen

5.7

Der Satz von Levi

58 _ *Trapezregel und simpsonsche Regel* 5.9

*Das Riemann-Integral*

5.10

*Irrationalität von x*

5.11

*Eine schwache Form des Primzahlsatzes*

5.12

*Stirlingsche Formel*

Kapitel 6 6.1

Reihen und Potenzreihen

Konvergenz von Reihen

6.2 _ Vergleichskriterium 63 64 65

Leibniz-Kriterium Das Integralkriterium _ Quotienten- und Wurzelkriterium

6.6 _ Die Umordnungssätze 6.7.

Potenzreihen

6.8

Differenzieren von Potenzreihen

6.9

_ *Reihen mit komplexen Termen*

6.10

*Einsetzen von Potenzreihen*

6.11

*Der abelsche Grenzwertsatz*

Kapitel 7

Funktionenfolgen

7.1

Gleichmäßige Konvergenz

7.2

Integrieren und differenzieren: Vertauschungsgesetze

73

Reihen von Funktionen: Weierstraßkriterium

74 _ Fourier-Reihen 75

Beweis des Satzes über Fourier-Reihen

Kapitel 8 8.1 82 83

Topologische Begriffe und Stetigkeit

Offene und abgeschlossene Mengen Randpunkte Folgen

84

Stetige Funktionen

85

Bolzano-Weierstraß, Maxima und Minima

8.6

Abstand

8.7

Das Lemma von Lebesgue und Kompaktheit

88

Zusammenhängend und wegzusammenhängend

89

Gleichmäßige Stetigkeit

8.10

Hauptsatz der Algebra

Kapitel 9

Differenzialrechnung in R”

9.1

Parametrisierte Kurven

9.2

Bogenlänge

93

Höhenlinien

94

Partielle- und Richtungsableitungen

95

Totale Differenzierbarkeit

9.6

Lokale Extrema I

9.7

Die Kettenregel

98

Differenzieren unter dem Integralzeichen

99

Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz

9.10

Lokale Extrema II

9.11

Die Taylorformel

Kapitel 10_Untermannigfaltigkeiten 10.1

Der implizite Funktionensatz: Eine Gleichung

10.2

Impliziter Funktionensatz: Mehrere Gleichungen

10.3

Inverser Funktionensatz

10.4

Untermannigfaltigkeiten

10.5

Tangentialräume

10.6

Lagrange-Multiplikatorensatz

10.7

*Klassifikation von Kurven*

Kapitel 11 11.1

Volumen und Integration

Volumen von offenen Mengen Das Prinzip von Cavalieri Das Integral für stetige Funktionen

Volumen und lineare Abbildungen Diffeomorphismen: Die Transformationsformel Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten

Tubularumgebungen Integrale auf Untermannigfaltigkeiten 11.9

*Volumen von Tubularumgebungen*

Kapitel 12_

Lebesgue-Maß und Lebesgue-Integral

12.1

Das Lebesgue-Maß

12.2

Das Lebesgue-Integral

12.3

Fast überall

12.4

Das Prinzip von Cavalieri für das Lebesgue-Integral

12.5

Additivität, Fubini und Tonelli

12.6

Satz von dominierter Konvergenz

12.7

Treppenfunktionen

12.8

Differenzieren unter dem Integralzeichen

12.9

*Das Banach-Tarski-Paradox*

Kapitel 13 13.1 13.2 13.3

Differenzialgleichungen

Picard-Lindelöf-Verfahren Lineare Differenzialgleichungen Trennbare Variablen

13.4

Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

13.5

Systeme linearer Differenzialgleichungen I

13.6

Die Exponentialfunktion für Matrizen

13.7

Systeme linearer Differenzialgleichungen II

13.8

Differenzialgleichungen höherer Ordnung

13.9

Maximale Lösungen von Differenzialgleichungen

13.10

Exakte Differenzialgleichungen und erste Integrale

13.11

Integrierende Faktoren

Kapitel 14

Vektoranalysis

14.1

Kurvenintegrale

14.2

Wegintegral und Potenzialfunktionen

14.3

Orientierbarkeit und Fluss

14.4

Der Divergenzsatz von Gauß

14.5

Der Divergenzsatz mit singulärem Rand

14.6

Der Satz von Stokes in R?

14.7

Beweis des Satzes von Stokes

A

Der allgemeine Satz von Stokes

A.l

Untermannigfaltigkeiten mit Rand

A2

Multilinearformen

A3

_ Differenzialformen in R"

A4 A.5 Index

Differenzialformen auf Untermannigfaltigkeiten Integrieren und der Satz von Stokes

Vorwort

Die zweite Auflage dieses Buches ist gründlich überarbeitet und erweitert worden und dient als Grundlage für eine dreisemestrige Vorlesung in der Analysis. Die ersten sechs bzw. sie-

ben Kapitel (je nach Anfang im Sommer- oder Wintersemester) sind für das erste Semester gedacht. Nach dem

Bearbeiten der Kapitel 8 bis 10, welche für den ersten Teil des zwei-

ten Semesters konzipiert sind, kann man entweder mit Differenzialgleichungen (Kapitel 13)

Mainz, 134.93.109. Il

am 14.11.2023 um

15:

anfangen oder man (Kapitel 11).

beginnt mit Volumenberechnung

und

mehrdimensionaler

Integration

Ab dem neunten Kapitel werden manchmal einige Kenntnisse aus der linearen Algebra be-

nutzt. Bei Bezügen zur linearen Algebra verweise ich hin und wieder auf mein Buch „Lineare Algebra“, welches ebenfalls beim Pearson Verlag erschienen ist. Die wichtigsten Änderungen in den ersten sechs Kapiteln sind:

ER Die Darstellung über reelle Zahlen im 1. Kapitel ist deutlich vereinfacht worden. Kapitel 2 und 3 sowie Kapitel 5 und 6 sind vertauscht worden. Der Begriff des Flächeninhalts wird früher im 3. Kapitel behandelt und das Winkelmaß

wird mithilfe des Flächeninhalts von Kreissektoren eingeführt. Beim Schreiben dieses Buches habe ich versucht, die Vorkenntnisse und Fertigkeiten der Anfänger zu berücksichtigen. Ich habe es vermieden, zu viele Abstraktionen zu verwenden. Nicht, weil ich Abstraktionen für unwichtig halte, sondern da man zunächst ausreichende

Mathematikkenntnisse besitzen muss, um Abstraktionen verstehen und würdigen zu können. Ich arbeite nach dem Motto:

L.iizerziert für Joh:

Wenn man die einfachen Sachen gut versteht, kommen fast von alleine.

die schwierigen Sachen

Jedes Kapitel beginnt mit einer ausführlichen Einführung. Hier werden die wichtigsten Defi-

nitionen und Sätze erläutert. Darauf folgen auf den linken Seiten die mathematischen Definitionen, Sätze und Beispiele. Ist ein kurzer Beweis des Satzes möglich, so wird dieser ebenfalls auf den linken Seiten aufgeschrieben. Diese Beweise sind absichtlich kurz gehalten. Der Vor-

teil ist, dass man nicht lange nach dem Wesentlichen eines Argumentes suchen muss. Der Nachteil ist, dass man öfter etwas länger bei einer Zeile verweilt. Direkte Berechnungen werden manchmal dem Leser überlassen. Diese durchzuführen ist eine

gute Übung. Ist der Beweis eines Satzes länger, so wird er auf zwei Zwischenseiten ausführlicher dargestellt. Für das Weiterlernen ist es nicht unbedingt erforderlich, diese langen Beweise (sofort) durchzuarbeiten. Bei kurzen Beweisen ist die Absicht, dass die Studenten den Beweis so lange studieren, bis sie ihn verstanden haben. Allerdings sollte man nicht zu schnell frustriert sein. Das Verstehen von Beweisen muss geübt werden und es kann manchmal Wochen,

Monate oder gar Jahre dauern, bevor man einen Beweis wirklich zu 100% versteht.

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Vorwort

EXTRAS hm Lösungen & Lehrvideos

Auf den rechten Seiten finden Sie die passenden Aufgaben. Diese Aufgaben sind mit den Informationen aus den Definitionen und den Sätzen von der vorherigen linken Seite lösbar.

Lösungen der Aufgaben sind online verfügbar, jedoch sollte man vorher ernsthaft versuchen, die Aufgaben selbst zu lösen. Man lernt Mathematik nicht, indem man nur zuschaut. Eben-

falls werden Lehrvideos online auf der Seite zum Buch erhältlich sein. Es ist natürlich möglich, dass Sie eine andere Lösung einer Aufgabe finden. Teilen Sie mir bitte

Ihre Lösung mit, wenn Sie meinen, dass Ihre Lösung einfacher ist als meine.

Bedanken

möchte ich mich bei Cynthia Hog-Angeloni für Verbesserungsvorschläge in der

ersten Auflage. Weiterhin gilt mein Dank dem Pearson-Verlag für die angenehme Zusammenarbeit. Vor allem jedoch danke ich meiner Frau Petra. Ihre Unterstützung und das Korrekturlesen waren eine wesentliche Voraussetzung für die Fertigstellung des Buches. Auch danke

ich meiner Familie für die aufgebrachte Geduld und unserem Hund für die Streitschlichtung. Ich, als Holländer, habe mein Bestes getan, um Fehler im Deutschen zu vermeiden, jedoch ist dies nie zu 100% möglich. Für Hinweise auf Fehler im Buch bin ich sehr dankbar. Wenn Sie

welche finden, bitte ich Sie, mich zu benachrichtigen. E-Mail: [email protected] Eine Liste mit Fehlern wird online zur Verfügung stehen.

Mainz

Lizenziert für Johanne

Universität Marz, 134.93.109.111 am 14.11.2023 um

15: J 3 Uhr

Die mit einem Sternchen * versehenen Abschnitte können ohne schlechtes Gewissen beim ersten Durchlesen übersprungen werden.

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Kapitel O0 Mengen und Funktionen Der Begriff der Menge kommt in der Mathematik fast überall vor. Georg Cantor beschreibt

eine Menge auf folgende Weise: hen

wir jede Z: Ansch © oder

fi

ıg von bestimmten wohlunterDenkens zu einem Ganzen.

Die Objekte, von denen Cantor spricht, nennen wir Elemente. Oft, aber nicht immer, werden Großbuchstaben für Mengen, Kleinbuchstaben für Elemente benutzt. Enthält die Menge A das Objekt (Element) x, so schreibt man x e A und sagt

erg-Universität Mair,

134.93.109, Ill am 14.11

15:23 Uhn

v.

2023 um

Unter einer Menge schiedlichen Objek

x ist ein Element von (der Menge) A. Enthält A nicht das Element x, so schreibt man x € A und sagt

. x

x ist kein Element von A. Zur Veranschaulichung benutzt man oft Diagramme, wie in der nebenstehenden Figur, sogenannte VennDiagramme.

xeäA

xgA

Hat eine Menge nur endlich viele Elemente, so kann diese Menge durch die Aufzählung ihrer

Elemente, eingeschlossen in geschweifte Klammern, sogenannte Akkoladen, aufgeschrieben werden. So ist A=

{1,4, Affe, Pferd}

eine Menge, welche nur die Elemente 1,4, Affe und Pferd besitzt. Die Menge, die überhaupt Lizerziert für Johan

keine Elemente hat, nennt man die leere Menge. Diese wird mit dem Symbol ® bezeichnet. Die Aufzählung funktioniert nur, wenn die Menge endlich viele Elemente hat. Trotzdem benutzt man sie auch, wenn klar ist, wie die Elemente aus der Menge aussehen. Die Menge der natürlichen Zahlen N notiert man manchmal mit

11.2.3.4..4. Mit No bezeichen wir die Menge der natürlichen Zahlen und Null {0,1,2,3,...}, mit Z die Menge der ganzen Zahlen {...,—2,—1.0,1,2,3,...}.

Eine andere oft benutzte Methode ist die der Aussonderung von Elementen aus einer gewissen bekannten Menge. So könnte man die Menge der geraden natürlichen Zahlen auch folgendermaßen aufschreiben: fa e N: a ist durch 2 teilbar} . Mit /} oder auch |A] bezeichen wir die Anzahl der Elemente von A. Insbesondere gilt #® = |6| = 0. Hat A unendlich viele Elemente, so schreiben wir # A = w.

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Mengen und Funktionen

Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element

von A ebenfalls eine Element von B ist. Notation: AcBoderBIA.

Wir nennen A eine echte Teilmenge von B, wenn A < B und es ein Element x e B gibt mit x € A. Wir benutzen die Notation

ASBoderB2A.

15:

Mit dem Durchschnitt AN B bezeichnet man die Menge der Elemente, die sowohl in A.als auch in B enthalten sind.

2023 um

Es seien A und B Mengen. El

A oder in B (oder in beiden) enthalten sind.

Mit der Vereinigung A U B bezeichnet man die Menge der Elemente, die entweder in

am 14.11

Mit der Differenz oder dem Komplement von B in A, Notation A \ B bezeichnet man die Menge der Elemente von A, die nicht in B enthalten sind. Wird A stillschweigend

L.iizerziert für Johannes Gutenberg-Universität Mare,

134 93.109.111

als bekannt vorausgesetzt, so schreiben wir oft B° statt A\ B und reden dann einfach

vom Komplement von B. Ist I eine Menge und für jedes i € I eine Menge A; gegeben, so bezeichnen wir mit der Vereinigung U;eA; die Menge aller Elemente, die in einer der A; liegt. Der Durchschnitt N;e/A; ist die Menge aller Elemente, die in jedem A; enthalten sind. Ist I = {1,2,3,...}, so schreiben wir oft U%,A; statt UjerA;. Analog für N und wenn

I={1.....n.

ANB

AUB

A\B

Die Aussage A C B ist äquivalent zu einer der nachfolgenden Aussagen:

EI

A=Aans,

A\B=®, EI

5=Aus.

Es ist wenig sinnvoll, solche Aussagen auswendig zu lernen, weil sie sich schnell im Kopf

herleiten lassen.

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Mengen und Funktionen

Sind A,B zwei Mengen, so ist das kartesische Produkt A x B die Menge der Paare (a,b) mitaeAundbeB. Es ist hier erlaubt, dass A = B. Dann schreibt man oft A? statt A x A. Das wichtigste Beispiel

für uns ist die Menge R?, welche die Ebene darstellt. 1.

Eine Abbildung, auch Funktion genannt, ist eine Vorschrift f: A — B, die jedem a e A genau ein Element f(a) € B zuordnet. (Dieser Begriff wird in der Schule etwas anders gehandhabt. Wir bestehen darauf, dass f in allen Punkten von A definiert ist.)

2.

Sindf:A— Bundg: B— C Abbildungen, so ist die Verknüpfung gef: A — C gegeben durchg o f(a) := g(f(a)) für allea € A.

Ist h: C—

Deine weitere Abbildung, so gilt (fog)oh=fo(goh).

f: A— Bheißt e

surjektiv, wenn die Gleichung b = f(a) für jedes b € B mindestens eine Lösunga e A hat.

« injektiv, wenn die Gleichung b = f(a) für jedes b & B höchstens eine Lösung a e A hat. «

bijektiv, wenn die Gleichung b = f(a) für jedes b e B genau eine Lösunga e A hat.

Bei einer bijektiven Abbildung kann man jedem Element von b genau ein Element a von A zuordnen. Wir erhalten die sogenannte inverse Abbildung oder Umkehrabbildung (oder -funktion)

F:B>A mit den grundlegenden Eigenschaften fa) =b

=

a=f!(b)

Lizerziert für Johannes

und hieraus f!(f(a)) =afürallea e A und f(f=!(b)) = bfürallebeB.

Dies bedeutet f of! = Idy und f! of = Id. Hierbei ist für eine beliebige Menge A die identische Abbildung Id4: A — A gegeben durch Id, (a) = a für alle a e A. Diese Abbildung tut also nichts. Existiert eine Bijektion «: N — A, so nennt man A abzählbar oder abzählbar unendlich. Dies

bedeutet, dass man die Elemente der Menge A auflisten kann: A={ell),o(2),0Q),..., }. Äquivalent dazu ist, dass eine Menge A unendlich viele Ele-

BN

mente hat und es eine Surjektion 0: N — A gibt. Die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen ist wiederum abzählbar. Es gilt nach Cantor, dass die Vereinigung einer abzählbaren Menge von abzählbare Mengen wiederum abzählbar ist. Insbesondere

DEN 10 14 19 L\ \

ist N x N eine abzählbare Menge. Cantors Aussage wird ersicht-

3

lich aus dem nebenstehenden Diagramm.

nn

Pearson Deutschland

5

Mengen und Funktionen

Es gibt auch Mengen mit unendlich vielen Elementen, die nicht abzählbar sind. Betrachte dazu die Menge {0,1} aller Abbildungen f:N>1{0.1. Der Nachweis, dass diese Menge nicht abzählbar ist, erfolgt mit dem sogenannten zweiten

cantorschen Diagonalverfahren. Nehmen wir an, es gäbe eine Abzählung fı.ff.

fo =1-fili),

i=123.....

nicht in dieser Liste vor, denn f(i) # fi(i), alsof # f; für alle i.

fi= 10100111190 = 10110110190 = 1000001111 fi= 10oı1ı1oo111 = 10011011190 = 0000001011 ö=01ı1ı0000100 f= 1010111110 = 0100001100 fo= 0po1ı0o0o10001 f=-

0ı1ı00110190

Lizenziert für Johanne

Universität Marz, 134.93.109.111 am 14.11.2023 um

15: J 3 Uhr

von £0, 1}N. Dann kommt die Abbildungf: N — {0,1} gegeben durch

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Reelle Zahlen Binäre Entwicklung Reelle Zahlen Grenzwerte und Vollständigkeit

Addition und Multiplikation .. Dezimal- und Binärschreibweise Supremum

und Infimum

Intervalle, Häufungspunkte *Cauchyfolgen*

ÜBERBLICK

Kehrwert und Quadratwurzel

Reelle Zahlen

LERNZIELE m

Die Definition der reellen Zahlen; Binär- und Dezimalentwicklung

M Die Rechengesetze der reellen Zahlen

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. (L. KRONECKER (1866)) Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. (R. DEDEKIND: „Was sind und was sollen die Zahlen“) Wir betrachten die Zahlengerade:

0

1.2

2

e3x

4

| 4.93.109 Il

1

natürlichen Zahlen 1,2,3,4,... sowie die negativen ganzen Zahlen —1,—2.—3, —4, .... Eben-

Mare,

am 14.11.2023 um

15:

3 Uhr

m Kleinste obere Schranke und größte untere Schranke m Begriff des Häufungspunktes einer Menge von reellen Zahlen

folgende Weise zunächst für die Zahlen rechts von 0. Sei x ein Punkt auf dieser Geraden, zum

Es gibt auf dieser Geraden den ausgezeichneten Punkt 0 und weiter auf dieser Geraden die falls möchten wir die anderen Punkte auf der Zahlengerade beschreiben. Dies machen auf Beispiel zwischen 0 und 1.Wir haben im folgenden Bild die Situation vergrößert dargestellt. Um x zu lokalisieren, schauen wir auf die Mitte 4

der Strecke 4 zwischen 0 und 1. Den Teil links von

0

3 nennen wir Lı, den Teil rechts Rı. Der Punkt 4

Wu

liegt definitionsgemäß in R}. Sonst liegt x links oder rechts von 3.

Rı

1 1

Iı

Liegt x links von 3 also in L,, dann

definieren wir a-ı = 0 und = Lı. Liegt x rechts von 3 oder ist x gleich 4, so setzen wir a-ı = 1 und

Lı R2

41 10 1 000 L3 do

h=Rı.

Ra ig

Li Rı

Als nächsten Schritt teilen wir Iz in zwei gleiche Teile L3 und Ra auf, wobei die Mitte definitionsgemäß in Rp liegt. Liegt x in La, so schreiben wir a_2 = 0 und Iz = L». Liegt x in Ra, so schreiben wir a-2a = 1 und I3 = Ra. Dann teilen wir Iz in zwei gleiche Teilen L3 und Ra auf usw. Wir erhalten die Folge von Bits, d. h., Elemente von {0,1}: a_1,9_2,0_3....

Fast alle solche Folgen von Bits kommen vor, jedoch man muss Folgendes beachten:! Liegt x bei 4, so erhalten wira_; = 1 und 0 = a_a = a_3 = ---. Hätten wir stattdessen die Konvention

genommen, dass $ in Lı liegt, so hätten wir a-ı = 0,1 = a2 = a_3 = --- erhalten. Um eine doppelte Bezeichnung zu vermeiden, haben wir x in Rı gewählt. 1 In Dezimalentwicklung;: 1,00000 - -- ist erlaubt, aber 0,99999 - -- ist nicht erlaubt.

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Reelle Zahlen

Für eine einheitliche Schreibweise, benutzen wir auch die binäre Schreibweise von natürlichen Zahlen. Im Binärsystem ist 23 = 10111 = 1.2?+0-2°+1-2?+1.2!+1.2°. Wir schreiben ag = aı =

a2 = a4 = 1 und a3 = 0. Auch 0 = a5 = a6 = a7 = :--. Wir erhalten folgende Beschreibung für eine nicht negative reelle Zahl, d.h. ein Punkt a rechts von 0 auf der Zahlengeraden. Sie ist

eine Abbildung a:2—

{0,1},

nm,

welche jeder Stelle ein Bit zuordnet, sodass gilt:

um 15: 23 Uhr

El Es gibtein ne N mit 0 = an+ı = anzı = Es gibt keinke N mit 1= a

= a1

42 = +++.

= 4.2

= +?

Wir schreiben

tät Maire, 134.93.109.1 11 am 14.11

Andn—ı **a1a0,A—14—2 ***

für eine solche Zahl und nennen Sie auch Binärentwicklung.’ Negative reelle Zahlen definieren wir dadurch, das wir einfach ein „—“ vor eine Binärentwicklung schreiben. Diese ist links

von 0 zu lokalisieren. Manchmal schreiben wir auch ein „+“ vor einer Binärentwicklung. Zu beachten ist, dass —0 = 0 = +0 zu definieren ist. Die reellen Zahlen ordnen wir der Größe nach, indem man x < y (x ist kleiner als y) definiert, wenn x auf der Zahlengerade links von y liegt. Zu sagen, dass x kleiner ist als y, ist das Gleiche

wie zu sagen, dass y größer ist als x. Das können wir mit unseren Binärentwicklungen zum Ausdruck bringen. Wenn wir unendlich viele reelle Zahlen aı ,a2,a3,. .. betrachten, so reden wir von einer Folge

reeller Zahlen (a). Die Folge (a„) konvergiert gegen a wenn sich die Zahlen aı.a2.a3.... der Zahl a beliebig gut annähern. Das „beliebig gut“ übersetzen wir in die mathematischen Sprache:

Die Folge (an) konvergiert gegen a, wenn für alle reellen Zahlen c,d mit c < a < d folgt, dass C< Ay < d für alle bis auf endlich vielen e N.

+ a

5

ı

LE13

az5

c

© “

6

a7

a

he a

8

Man benutzt die Notation „im, An = a oder a, — a für n —

d

M

. 4

@; 2

x. Statt n werden manchmal

auch i, j,k,£ oder vielleicht auch noch andere Buchstaben benutzt.

2 Man hätte alternativ die zweite Bedingung fallen lassen können und z.B. 0,100000 - ++ = 0,011111 ++ als gleich definieren können.

3 Alternativ kann man auch Dezimalentwicklungen nehmen. Zu bemerken ist, dass die Teilung durch 2 einfacher ist, als durch 10.

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Reelle Zahlen

Ein wichtiger Satz ist folgender: Ist (a,) eine wachsende Folge reeller Zahlen a zm

za:

und ist die Folge beschränkt, d.h., gibt es eine Zahl K, mit a, < K für allen e N, so ist diese Folge konvergent, d.h., es gibt eine Zahl a e R mita = „fm, An-

Es ist Ihnen aus der Schule sicherlich bekannt, dass reelle Zahlen addiert und multipliziert

15:23 Uhr

werden können. Um diese zu definieren, betrachten wir zunächst endliche Binärzahlen. Sie sind von der Gestalt +a, wobei a eine Binärentwicklung ist mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass sie auch rechts auf Nullen endet, also: Es gibt eink € Z mita_ı

= aa

= + =0.

4 023 um

Eine solche Zahl kann man auch als plus oder minus

a2" +++

l+aı- 24... +02

schreiben. Diese Zahl ist ein Bruch mit einem Nenner, der höchstens ?* ist und da diese spezielle Brüche sind, ist bekannt, wie man damit rechnet. Istx e R und k e Ny, so gibt es ein größtes Element in 2”*Z, welches kleiner oder gleich a ist. Wir bezeichnen es mit |a];. Für k = 0 erhalten wir die Gauß-Klammer. Für positive reelle Zahlen a erhält man |a]; aus a, indem man die Bits a_; e {0,1} für j > kalle durch das Bit 0 ersetzt. Sind a, b reelle Zahlen, so können wir die Folgen

(lalk + Lble) und (a) + [bl bilden. Es lässt sich zeigen, dass diese Folgen beide konvergieren und es ist naheliegend a+b:=

lim ([a]k + |bJk) unda-b:=

k>00

lim [ak - [b]k

k>00

zu definieren. Die Stetigkeit der Addition und Multiplikation besagt, dass für konvergente Folgen (a,) und Lizerziert für Johan

(bn) gilt, dass sowohl (a, + b„) als auch (a, - b„) konvergent sind und dass „lim, (an +bn)

= „lim, an + „m, bu.

lim (an -bn) = lim ay- lim by.

100

n>00

n>00

Der Beweis dieser Aussage ist für Anfänger wahrscheinlich schwierig zu verstehen. Mithilfe dieser Stetigkeit ist der Beweis der grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation (Assoziativität und Distributivität) einfach. Man führt sie nämlich zurück auf die entsprechenden Rechenregeln für Brüche. Das Supremum sup(A) einer von oben beschränkten Menge A ist die kleinste obere Schranke

dieser Menge. Es gilta < sup(A) für allea in A und es gibt keine kleineren Zahlen b < sup(A), die diese Bedingungen erfüllen. Diesen Begriff kennen Sie nicht aus der Schule und er ist verwandt mit dem Maximum einer Menge A. Hat eine Menge M ein Maximum, so ist dieses Maximum das Supremum. Eine beschränkte Menge braucht kein Maximum zu haben,

20 Pearson Deutschland

Reelle Zahlen

(zum Beispiel die Menge der negativen Zahlen hat kein Maximum), aber ein Supremum hat sie. Diese wichtige Aussage, dass eine beschränkte Menge von reellen Zahlen ein Supremum

besitzt, nennt man die Vollständigkeit der reellen Zahlen. Das Kapitel ist folgendermaßen organisiert. Zunächst üben wir Rechnen mit natürlichen Zahlen in Binärdarstellung. Die reellen Zahlen, zusammen mit ihrer Ordnung, und die Addition und Multiplikation werden behandelt. Danach wird besprochen, wie man von der Dezimaldarstellung zur Binärdarstellung kommt und umgekehrt. Die Existenz eines Kehrwerts a”! für a # 0 und die Existenz einer Quadratwurzel Ya für a > 0 wird algorithmisch erklärt. Am

Ende des Kapitels besprechen wir noch zwei andere Formulierungen der Vollständigkeit der reellen Zahlen, nämlich Häufungspunkte und Cauchyfolgen. Den Abschnitt über Cauchyfol-

gen können Sie beim ersten Lesen auslassen. Bemerkung. Die Aussage ‚lim an = a ist äquivalent zur folgenden Aussage:

Mainz, 134.93.109. Ill am 14.112

Für jedes

> O gibtes einN e N, sodass für allen = N gilt: |a, —a]| < e.

(Siehe Satz 1.5.) Der Ausdruck: „es existiert ein N e N, sodass für alle n = N“, ist natürlich äquivalent zu unserem Ausdruck „für fast alle n“. Die obige Beschreibung für den Grenz-

wert ist Standard. Wir bemerken aber, dass für die Definition des Grenzwertes einer Folge die Addition von reellen Zahlen gar nicht gebraucht wird. Der Beweis für die Stetigkeit der Addition und Multiplikation, die in den meisten Büchern gegeben werden, ist kürzer als unsere.

Allerdings wird in diesem Beweis, die Existenz der reellen Zahlen und von Rechenregeln wie Assoziativität und Distributivität, vorausgesetzt.

Bemerkung. Es gibt verschiedene andere Möglichkeiten, reelle Zahlen einzuführen, z. B. dedekindsche Schnitte, Intervallschachtelungen oder Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen. Ich

halte diese Methoden alle, zumindest für Studienanfänger, für schwieriger als die Methode

Lizerziert für Joh:

mit Binärentwicklungen. Im heutigen Computerzeitalter muss man Binärentwicklungen ohnehin verstehen. Wie vorher schon bemerkt, ist es für den Studienanfänger ratsam, den Beweis des Satzes 1.4 erst einmal zu überfliegen.

21 Pearson Deutschland

Reelle Zahlen

1.1

Binäre Entwicklung

Im täglichen Leben schreiben wir natürliche (und ganze) Zahlen Bedeutung sieht man am Beispiel n = 123 = 1-10? +2-10! Puterzeitalter ist die binäre Schreibweise von großer Bedeutung. Ziffern 0,1.2,3,4,5.6.7,8,9, sondern die Bits 0,1, und nicht die

in Dezimalschreibweise. Ihre +3 10°. Im heutigen ComHier benutzen wir nicht die Basis 10, sondern die Basis 2.

So ist in Binärschreibweise 1111011 gleich 111101 =1-% 41-9 +41:2+41:%+0:-2+1-2! 41-20 = 123.

2023 um 15

3 Uhr

Satz 1.1 Sein e N. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl k = 0 und eindeutig bestimmte Bits ao,..., ar € {0,1}, sodass n=%*

+12!

tät Maine, 134.93.109. Ill

am 14.11

Mit Induktion. Ist n k < n. Gegeben n, so wenn n ungerade ist. eindeutig bestimmtes

A

+...+a2!

+9:

2°.

= 1, so ist ao = 1. Angenommen, die Aussage ist wahr für alle ist die einzige mögliche Wahl ao = 0, wenn n gerade, und ag = 1, Dann ist (n — a9)/2 eine natürliche Zahl, nach Induktion gibt es ein k und eindeutig bestimmte a}... .. ax € {0,1}, sodass (n—ag)/2 =

4 -12%? +... + 012°. Dann hat n die gesuchte Darstellung.

Wir schreiben (1ax_ı **-@9)2 für die Binärschreibweise oder auch einfach 1ax_1 --- ag, wenn aus dem Kontext klar ist, dass die Binärschreibweise gemeint ist.

Beispiel: Wir schreiben n = 729 in Binärdarstellung. Der Beweis gibt uns ag = 1, weil 729 ungerade ist. Jetzt nehmen wir (n — 1)/2 = 364. Diese Zahl ist gerade, also a, = 0 usw. Wir schreiben umgekehrt 1011011001 in Dezimaldarstellung um. Jetzt fangen wir links mit 1 an, multiplizieren mit 2 und addieren 0, das zweite Bit von links. Wir erhalten 2. Wir multiplizieren mit 2 und addieren 1, das dritte Bit von links. Wir erhalten 5 usw. 125 101

1 1

2 071

5

9 1

182 0

364 0

729 1

Für negative ganze Zahlen haben wir zusätzlich ein Vorzeichen —. Wenn wir auch negative

Exponenten zulassen, erhalten wir statt Z den sogenannten „Ring“ 2[1/2]. EI

Die Elemente in 2*Z sind + ag2t + ap 12

+++ +2242* mit a; e {0,1}.

Die Menge der endlichen Binärzahlen ist gleich Z[1/2] := UX ,2*z. Die endlichen Binärzahlen sind spezielle rationale Zahlen: Z[1/2] < Q@. Sind x,y endliche Binärzahlen, so auch x + y und x - y. Diese Operationen erfüllen die Kommutativgesetze x+y=y+n,x-y=y:x,die Assoziativgesetze (X +y)+z=x+(y+2z),(x-y)-z=x-(y-z) und das Distributivgesetzx-(y+z) = x-y+x-z. Weiterhin gilt 0-x=0,1-x=x,(-1)- x=—x und x+0 = x für alle endlichen Binärzahlen.

22 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

)

EXTRAS

“ONLINE

Aufgabe 1.1

Schreiben Sie die nachfolgenden Zahlen in binärer Schreibweise: 16, 21, 32, 35,

Lösungen

41, 201.

Aufgabe 1.2

Schreiben Sie die nachfolgenden, in binärer Schreibweise gegebenen Zahlen

in Dezimalschreibweise: 1011, 100101, 10101010101, 11, 100, 111, 10000, 1111111, 10000000.

ll

34,93

a + b und

das Produkt ab

der nachfolgenden, in binärer Schreibweise gegebenen Zahlen. Schreiben Sie diese dann in der Dezimalschreibweise und kontrollieren Sie das Ergebnis. Rechts steht

1 1 01

das Beispiel a = 1011 und b = 1101, alsoa = 11 und

1011

b=13.

am 14.11

023 um 15 23 Uhr

Aufgabe 1.3 Berechnen Sie die Summe

1.a = 1011, b= 10 3.2 = 10101, b=101

2.a = 10101, b= 11 4.a = 111011, b = 10111

Aufgabe 1.4 1. Nebenstehendes Programm binary(a) berechnet für eine natürliche Zahl a die Binärentwicklung

def

Sie es aus.

Hier

2, und

a//2

bedeutet

bezeichnet

non 11000

1011000 10001111

den

stri

=

'0'

else: stri="” while a!=0: stri

a%2 der Rest bei Teilung mit Rest durch

101100

binaryl(a): if a = 0:

als String, in diesem Fall eine Zeichenkette aus Nullen und Einsen. Probieren

1011

= str(aß2)+stri

a=a//2 return(stri)

Quotienten.

Schreiben Sie selbst ein Programm dec (a), welches aus einem String a von Einsen und Lizerziert für Johanı

Nullen die natürliche Zahl in Dezimaldarstellung ausgibt.

2.

Dasnachfolgende, nicht besonders effiziente Programm add (a,b) berechnet die Summe von a und b in binärer Entwicklung. Als Eingabe ist ein String von Nullen und Einsen gegeben. Schreiben Sie selbst ein Programm, welches das Produkt von a und b ausrechnet.

def

add(a,b): if len(a) An ist mit den Eigenschaften: (a)

Esgibteinn e N mit0 = ay41 = Ay42 = Ay43 = "+.

(b)

Esgibt keink e N mit 1= a

Ist a

= a1

= 0 für jedes k, so schreiben wir +a

=0g 2 =. = —a = 0. Außerdem definieren wir

(+2) := —a und —(—a) = +2. Wir schreiben kurza für +a. Zahlen der Form +a mit a # 0 nennen wir positiv, Zahlen der Form —a mit a # 0

2

negativ. Die Mengen der reellen Zahlen bezeichnen wir mit R.

15:2

5

2023 um

Es sei a,b € R. Wir definieren a < b, äquivalent b > a, wenn: EM anegativ und b positiv oder null ist.

am 14.11

M a und b beide nicht negativ sind, a; = 0 und b; = 1 für das größte k mit ax # bx.

m -b < -a, wenn a und b beide negativ sind.

134 93.109.111

Ist a < b, so sagen wir, dass a kleiner ist als b oder b größer als a. Wir schreiben a = b oderb > a,wenna bodera < b.

(b)

Ista R. Es sei lim fo)

=b

und im 18%) = c. Dann gilt: a.

im(fd+s@))=b+c, x—a

Il am 14.11

(023 um 15:23 Uhr

b.

imfo) ga) = bc, Istc#0,so ist lim fo 2o 5

c

_b =.

Sei a ein Häufungspunkt von A; b ein Häufungspunkt von B;f: A > B;g:B > R; lim f@&) = b und im sy) =c. a.

Istg stetig in b, so gilt lim gs)

b.

Istf(x) #bfürallexe A (z.B. b & B), dann ist lim so)

(Einschließungssatz)

=g(b). = im.

Es sei a ein Häufungspunkt

ho)

von A, f,g.h: A\ {a} > R mit f(x) < g() = h(x)

%

für allex und lim fo

= im h() = b. Dann existiert

,

ha);

\ &

auch limg(a) und ist gleich b.

WR

Tipp: Diese Aufgabe ist nicht schwer. Benutzen Sie z.B.

d 4 fo

Fo

Satz 1.3. Aufgabe 2.18 Sei f(x) = —1 fürx 0. Zeigen Sie, dass limf(x) nicht > existiert.

Lizerziert für Johannes

Aufgabe 2.19 1.

3

Berechnen Sie die nachfolgenden Grenzwerte, falls sie existieren.

._2-+1

lim —— 0 2-1

2.

Hm 3x 8x? +16

4

2 5.

7.

lim

a

m x

-3r72+4

_

" (m, neN)

m

im It y2 al

avec

1-x+ na

.

»-2ı+1

lim ——— ol x2-1

Im x +4r-6 0

6.

2-1 Y

—- /2-—

lim yaravacr 0

8 tim

ol

x

tl vH

+32

51 Pearson Deutschland

Stetigkeit

2.4

Asymptote

EI Die Folge (a,) divergiert gegen © (bzw. —oo), wenn für jede Zahl K gilt, dass a, > K (bzw. an < K) für fast alle n. Notation „lim an = x (bzw. „lim an = -o). Es seif: (4,0) > R eine Funktion. Wir sagen, dass „im fo) = b, wenn es für jedes

€ > 0ein K gibt, sodass für alle x > K gilt: f(x) — b] < e. Auf ähnliche Weise definiert man „im, fo) =b. fi) = b ist, dass sich der Graph vonf für große x

immer mehr an die Gerade y = b anlehnt. Diese Gerade nennen wir eine waagerechte Asymptote von f. Wir bemerken, dass ‚im fo) = b genau dann gilt, wenn für jede Folge (an), welche gegen x divergiert, „im fan) = bist.

m

z

u| NL

L.iizerziert für Johannes Gutenberg-Universität Mare,

134 93.109.111

am 14.11

2023 um

15:

Die geometrische Interpretation von „im

Sei f: (a,b) — R eine Funktion. Wir definieren Bu f(x) = ©, wenn für alle K e Rein xya

ö > O existiert, sodass f(x) > K für jedes x € (a,a +8). Analog definiert man limf(x) = —oo, limf(x) = »o und lim f(x) = -—o. xya

ıtb

xtb

Auch diese Definition kann man wieder mithilfe von Folgen interpretieren. Wenn limf() = +w, so sagen wir, xya

dass die Gerade x = a eine senkrechte Asymptote des Graphen von f ist. In nebenstehendem Beispiel ist limf(x) = & und limf(x) = -w. Die Gerade x = 2 ist xy2

ıt2

eine senkrechte Asymptote. Auf naheliegende Weise definiertman

lim

ıt%

f(x) = tw.

Pearson Deutschland

: ; ‚2 ‘

Aufgaben

Aufgaben

EXTRAS )

(

Lösungen

Aufgabe 2.20

1.

“ONLINE

Essei n—0o lim a7 = . Zeigen Sie, dass n—oo lim - “n =0.

PWwN

Es sei a, > 0 und (a,) eine Nullfolge. Zeigen Sie, dass „im, 4 =mw. Sei q > 1. Zeigen Sie, dass (q") gegen x divergiert. Es sei (a7) eine konvergente Folge und (b„) divergiere gegen ». Warum divergiert

Aufgabe 2.21

Seia, = A + 7 + A ++

Aufgabe 2.22 1.

Il am 14.11

(023 um 15:23 Uhr

(an + bn) ebenfalls gegen ©?

4.

In . Zeigen Sie, dass lim_an = x.

Bestimmen Sie die nachfolgenden Grenzwerte, falls sie existieren.

2 +3x—4

lim ——— >00 27° +7x—1

3-1

m

33

2.

.

im >00

un

5.

3+2 21? —6

(3

‚im

(+

-x)

.

3.

lim —— >00 (2 +1

6.

lim (V4+Rva) vr

Aufgabe 2.23

1.

Geben Sie eine Definition für die Begriffe

2.

Zeigen Sie: Ist lim f() = wo und lim g(&) = bfürb e R, so gilt

lim f(x) = tw. xt

im)

Lizerziert für Johannes

Aufgabe 2.24 Funktionen. 1. 4. 7.

x-2

=

24x 9-77

2.

1

fo) = fo

= @.

Finden Sie die waagerechte und senkrechte Asymptote der nachfolgenden

fo =

Aufgabe 2.25 lim (ro

+)

5

5.

4

+1

5.

fo) = .

=

fo

x+2

3. fo) =1

(x - 2)?

x2—4

-

6. ».

fo = pr .

fa

-

2x—-3

x? —-x-6

Eine Gerade y = ax + b mit a # 0 heißt schiefe Asymptote von f, wenn

—(ax+b))

=

O oder

x>00

lim (ro

— (ax +b))

=

0. Bestimmen Sie die schiefen

x>—-00

Asymptoten der nachfolgenden Funktionen. 1.

fo

2x2 1 -_ x+3

}

+22? a 3x?lu_ x? -3x7+2

X -32?-5

53 Pearson Deutschland

Stetigkeit

2.5

Umkehrfunktionen

Nehmen wir an, es existiert eine inverse Funktion zu f. Ein Punkt (x,y) liegt auf dem Graphen vonf genau dann,

fo) = x

wenn (y,x) auf dem Graphen von f” liegt. Wir bekommen den Graphen von f"! durch Spiegelung des Graphen vonf in der Geraden mit der Gleichung x = y. Als Beispiel nehmen wir die Funktion f: [0,©) — R, gegeben durch fix) = x; siehe die nebenstehende Abbildung. Die inverse

5 £

fI)=

vr

v7

3 Uhr

Funktion ist f(x) = /R. Wir haben somit

fix) = y genau dann, wennx=f\(y). Hieraus folgen die Gleichungen

FE) =xundff"W)=yam 14.11

Wenn man also die zuf inverse Funktion=! finden will, so muss man die Gleichung f(x) = y

Ill

nach x lösen: x = FW. Voraussetzung ist dabei natürlich, dass diese Gleichung wirklich genau eine Lösung hat. Istf: A— Bmit A und B Teilmengen von R, dann ist dies geometrisch

»-Universität Mainz, 134.93.109

folgendermaßen zu interpretieren: Für jedes b aus B schneidet die Gerade mit der Gleichung y = bden Graphen vonf genau einmal. Eine Funktionf: A — R, definiert auf einer Teilmenge A von R, heißt monoton wachsend,

wenn ausx,y e Aundx < yfolgt, dass f(x) = f(y). Ist dabei f(x) < f(y) für alle solche x, y, so heißt f streng monoton wachsend auf A. Auf ähnliche Weise definiert man monoton fallend und streng monoton fallend.

Lizerziert für Johannes Guter

Satz 2.5 Es sei I ein (offenes, halboffenes, abgeschlossenes) Intervall und f: I — R sei streng monoton wachsend (oder fallend) und stetig. Dann ist ] := f(I) auch ein (offenes, halboffenes, abgeschlossenes) Intervall und die Umkehrfunktion f=! :] — list auch stetig.

Aus dem Zwischenwertsatz folgt sofort, unter Benutzung der Aufgabe 1.38, dass f(I) = fo): x € (a,b)} ein Intervall ist. Wir betrachten nur den Fallf: (a,b) — R monoton wachsend. Die restlichen Fälle werden dem Leser überlassen. Seic e (a,b) undd = f(c). Seie > Omite 0 zu zeigen. Ist @ < n, so folgt 1< x® < x" fürx > 1. Dax” stetig ist, folgt: 1 = lim“ 0,

a#1undf:

R —

(0,) mit f(x) = a“. Die zuf inverse Funktion wird mit

3 Uhr

log,(x) bezeichnet und Logarithmus zur Basis a genannt. Diese Funktion log,: (0,0) — R ist stetig unda =y

&

x=log,(y).

Hieraus erhalten wir nach den allgemeinen Formeln für am 14.11

Umkehrfunktionen:

x= au),

Jog, (a) =x.

»-Universität Mainz, 134.93.109

Ill

Eine andere Notation für log, (x) ist "log(x). Satz 2.9 (Rechenregeln für den Logarithmus) Ista > 0,a #1,x.y > 0, dann gilt:

log.(xy) = log, (x) + log,.(y) . log, (X)

log, (6) = xlog,(b)

Lizerziert für Johannes Guter

log, (xy) = log, (a3

a)

log, (b*) = log, ((«=®)”)

= log, (+10)

= log,(x) + log, (y)

= log, G 15:0) = xlog,(b).

Wir wenden die Funktion log, auf beiden Seiten der Gleichung al08

= han. Es folgt

log,(b) - log.(a) = log.(b) oder mit anderer Schreibweise: log,(b) =

log.(b) log.(a) "

Hieraus folgt, dass es reicht, über ein (schnelles) Verfahren zur Berechnung der Logarithmen zu nur einer Basis c zu verfügen. Als Basis wird normalerweise die sogenannte eulersche Zahl e = 2,7182818... gewählt. Der Grund wird uns erst in einem späteren Kapitel klar werden.

60 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

) 1

Zeigen Sie: Für a,b > 0,a,b # 1 gilt log, (b) = ——. log,(a)

Aufgabe 2.37

Berechnen Sie:

5.

log2(d)

2.

log4(2)

3.

logj0(100)

log, (2!9)

6.

log4(7)

7.

logs(2)

Aufgabe 2.38

“ONLINE

Lösungen

Aufgabe 2.36

1.

EXTRAS

4.

log,(W2)

8.

logg(%3)

Beweisen Sie, dass 10° < 210 < 10* gilt und folgern Sie, dass 0,3 < log,,(2)
00

fx) =f( lim

x)

insbesondere ist M


2.45

R, welche

trotzdem ein Maximum und ein Minimum hat. Aufgabe 2.46

Esseif: (a,b) — R

eine stetige Funktion.

1.

Essei limf@) = x und Iimf) = w. Zeigen Sie, dassf auf (a, b) ein Minimum hat.

2.

Wasgilt, wenn limf(x) = limf(x) = —o0?

xya

3.

x

xya”

ıtb

Wasgilt, wenn limf(x) = © und limf(x) = —oo? xa

ıtb

Universität Mairz, 134.93.109.

Aufgabe 2.47 Seif(x) = anx" + an-ıx"=l +... + a0 mit a; reelle Zahlen, n eine gerade Zahl und a, > 0. Zeigen Sie, dass die Funktionf auf R ein Minimum annimmt. Was gilt, wenn An

R, welche kein Maximum

und kein Minimum hat. Aufgabe 2.50

Sei A =

!0.1.4.4.4.---\.

Geben Sie eine stetige Funktion f: [0.1] — R mit

fix) =0 fürxe Aundf(x) R, welche kein

Maximum und auch kein Minimum hat.

63 Pearson Deutschland

Pearson Deutschland

Lizerziert für Johannes ; Gutenberg-Universität Marz,

34.93.1091 11

am 14.11

202 3 um

15:2

Fläche, Winkel und komplexe Zahlen Offene Mengen in R? Flächeninhalt.

Pythagoras .... Drehungen Die Winkelfunktionen Komplexe Zahlen Geometrie der Addition und Multiplikation Polynomiale Gleichungen

ÜBERBLICK

Das Winkelmaß

Fläche, Winkel und komplexe Zahlen

LERNZIELE Offene Mengen Fläche von offenen Mengen: die Zahl x Fläche von Parallelogrammen Der Satz des Pythagoras Länge

Winkel Drehungen und Spiegelungen Die Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus, Tangens Additionstheoreme Komplexe Zahlen am 14.11

Geometrie der Addition und Multiplikation

tät Maine, 134.93.109. Ill

Nachdem wir im ersten Kapitel die reellen Zahlen, also die reelle Zahlengerade studiert haben, fangen wir in diesem Kapitel mit dem Studium der Ebene an. Insbesondere interessieren wir

uns für den Begriff Fläche einer Menge. Obwohl wir es hier nicht zeigen werden, ist es nicht möglich, jede Teilmenge A < R? auf sinnvolle Weise einem Flächeinhalt zuzuordnen. Wir sind deshalb gezwungen, nur spezielle Teilmengen zu betrachten. In diesem Kapitel sind dies die offenen Mengen, wir werden in einem späteren Kapitel auch andere Klassen von Mengen betrachten. Ein offenes Rechteck ist eine Menge der Form (a,b) x (c,d) = {(x.y) € Rr:a (U).

Bl Einfachheitshalber sei zu(LI) < o. Ist Q = [c,c + 2*] x [b,b + 2*] ein k-Quadrat, so ist

Q° := (c,c+2*) x (b,b+2*) ein offenes Rechteck mit Flächeninhalt 4*. Die Menge a + Q° ist offen und

Lizerziert für Johannes

Ugeuwla+gQ°) Ca+U. Der Flächeinhalt der Menge auf der linken Seite ist 4*u® und ist kleiner oder gleich zu(a+U) nach dem 1. Teil des Satzes. Für k — folgt (U) = zu(a + U). Jetzt verschieben wir zurück über —a und erhalten zu(a + U) = u(-a+a+ U) = u(U). Insgesamt w(LU) = (a + U). Die

siebte Aussage zeigt man analog. EI Durch Verschiebung und Streckung dürfen wir annehmen, dass U NL eine Teilmenge von y = ax ist mitx e (0,1) und

a € [0.1]. Ist nun [p.p + 2%] x [q.q + 2*] = Q ein k-Quadrat in U mitQNL#6,soist0 < p o. Es folgt u(U) offensichtlich ist, folgt (U) = uU \L).

= (U

\L). Weil (U)

> (U \L)

75 Pearson Deutschland

Fläche, Winkel und komplexe Zahlen

3.3

Pythagoras

Satz 3.6 Für a,b < R? schreiben wir det(a, b) := aıba — aabı (Determinante). Dann gilt: Ei

Die Fläche des Parallelogramms P(a, b) ist gleich | det(a, b)]. Die Fläche des Dreiecks A(a, b) ist gleich 4 det(a, b)].

tät Maine, 134.93.109. Ill

am 14.11

BE

wir wenden den Satz 3.4 mehrfach an. Für den Fall, dass a und b beide im ersten Quadranten liegen, betrachte das Bild unten links. Das große Quadrat hat die Fläche (aı +b1)-(a2+b2). Verschiebe das obere graue Dreieck über den Vektor —b. Wir sehen, dass die grauen Dreiecke zusammen die Fläche aı - a2 haben. Ebenso haben die zwei blauen Dreiecke zusammen die Fläche bı - ba. Die zwei schwarzen Rechtecke haben beide die Fläche a7b}. Deshalb hat das weiße Parallelogramm P(a, b) die Fläche (aı + b1) - (aa + 2) —aı -aa —b1 ba —2-a2-bi

= aıba - aabı

.

Für den Fall, dass b im ersten Quadranten und a im zweiten Quadranten liegt, also a2 < 0 ist, betrachte das Bild in der Mitte. Die anderen Fälle sind analog.

Für die Fläche des Dreiecks, betrachte das Bild rechts unten. Die Details werden als Aufgabe überlassen. bi a

Bug

bi

az b2

Ä

b2

b2

r

a2

aı

a

a

ı

bı

Ist a = (a1.a2) # (0,0), so definieren wir a+ := (-a2,aı). Wir

sagena 1 b, wenn a = (0,0) oder b= Aa für ein A. Die Fläche des sichtlich a und cheninhalt von kommen wir zu

Quadrats P(a,a+) ist gleich a? - a3. Weil offena" die gleiche Länge haben sollen und der FläP(a,a+) gleich „Basis mal der Höhe“ sein sollte, folgender Definition.

Füra = (a1.a2) < R? definieren wir die Länge von a durch |la] :=

a

Ja} + a3.

Aus |la — b]]? = (aı — b1)? + (a2 — 2)? = a? +3 + b} + b3 — Aaıbı + ab») folgt: Satz 3.7 (Pythagoras)

Ista L b,sogilt

Ila — b? = |lall? + 11611? . 2

2

Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 3.8

) EXTRAS

ONLINE

Zeigen Sie, dass für die Fläche eines Dreiecks A(a, b) gilt

Lösungen

n(A(a, b)) = u(P(a,b))/2. Aufgabe 3.9 1. 2.

Zeigen Sie: a L b genau dann, wenn aıbı + aaby = 0. Esseiena,b e R? mit a # b. Zeigen Sie: Ein Punkt x = (x1,x2) hat den gleichen Abstand

zu a und b, wenn er auf der Mittelsenkrechten, gegeben durch die Gleichung 1

(a - bı)cı + (m - b)ra = (al? - 161). liegt. Für welche a und b ist diese Mittelsenkrechte die xı-Achse? 3.

(Satz von Thales) Es seien a und b Vektoren mit |ja]] = ||b]]. Zeigen Sie, dass

(-b)L(a+b). Zeichnen Sie ein Bild hierzu. Aufgabe 3.10

1.

Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms, aufgespannt durch die Vektoren (3,2)

2.

Führen Sie die gleiche Berechnung durch für das Parallelogramm, aufgespannt durch die Vektoren (1.4) und (3,5).

und (-3,4).

Aufgabe 3.11

Es sei ein (konvexes) Polygon in der Ebene gegeben mit den Eckpunkten

(X: Yo).= ++ (Xn- Yn), die im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Setze x„+1 = xo und y„+1 = yoZeigen Sie, dass die Fläche des Polygons gegeben ist durch

Lizerziert für Johannes

n

% lazı +) k=0

(Yarı —YR)-

Tipp: Induktion nach n. Fangen Sie mit n = 2 an. Wiederholen Sie diese Aufgabe, wenn Sie

den Satz von Green kennengelernt haben.

(x4.y4)

(xo. yo)

(X. 44)

(Xo. Yo)

7 Pearson Deutschland

Fläche, Winkel und komplexe Zahlen

3.4 EI

Drehungen sei a & R2 mit |la]] = 1. Die Abbildung R, gegeben durch

at

Ra(x,y) = x-a+y-a", nennen wir eine Drehung. Für a,b e R? definieren wir das Skalarprodukt (a,b) := aıbı + a2b2 und die Determinante det(a, b) = aıb2 — a2bı. Bemerke, dass |ja]| = y(a.a). Es ist eine Aufgabe zu zeigen, dass (x-a +y-at,z-a +w -at) =x-z+y-w

und R,(-y.x) = Ralx, y)* .

(3.1)

3 Uhr

Insbesondere folgt |I(x—z)a+ (y-w)at I? = (x-2)?+ (y-w)?. Die Drehung R, behält deshalb Abstände und ist eine sogenannte Isometrie. Man rechnet nach, dass R,(o+w) = Ra(v)+Ra(w) und R,(Av) = AR.(v). (Die Drehung R, ist eine lineare Abbildung.)

Man prüft die nachfolgende Identität: am 14.11

(a, by? + det(a, b)? = |la]]? - ||b]]? .

(82) |(a,b)|

=

|ja]| - ||b]]| und von

Ill

Insbesondere folgen die Ungleichungen von Cauchy-Schwarz Hadamard |det(a, b)| = |la]] - ||].

»-Universität Mainz, 134.93.109

Satz 3.8 El

Es seien v. w Vektoren in R? mit |[o]] = |Jw]] = 1 und det(v. w) > 0. (a) Mita = ((v, w), det(v, w)) gilt R.(v) = w.

(b) Mit b= u (vi + #,0), YI-%, n)) gilt Rp o Rp = R.. Sei ae R? mit ||a]] = 1. Ist U C R? offen, so ist Rz(LI) offen und ju(UI) = u(Ra(U)).

Lizerziert für Johannes Guter

El

(a) Nachrechnen. (Aufgabe 3.13) (b) Eine direkte Berechnung zeigt ||b]] = 1. Schreibes := (v, w). R

N_

36)

1

RR

R

Yi+s\

s

\vi=s)

_f

\vm-2)7

(ww)

(1...)

i

Analog für das Bild von (0, 1). Für beliebige (x. y) benutze die Linearität. Der Beweis dieser Aussage ist völlig analog zur entsprechenden Aussage für die Verschiebung von U. Wenn man ein offenes kQuadrat c + P(v, v+) dreht, so erhält man

Ra() + P (Ra(o).Rao)*) Dies ist ein offenes Quadrat der Fläche 4*, weil R, eine Isometrie ist. Ist a = (aj,a2) und b = (a|,—a>), so muss man beachten, dass R, die Umkehrabbildung von R, ist. Details seien dem Leser überlassen.

78 Pearson Deutschland

RU)

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 3.12

) EXTRAS

Esseia = (cos(@),sin(@)) und R, die Drehung wie auf der vorherigen Seite

Lösungen

beschrieben. Zeigen Sie, dass die Abbildung in Matrizen folgendermaßen aussieht:

Ra

() Yy

=

(

& sin(a@

_ MD)

()

cos(«)

y

(023 um 15:23 Uhr

1.

Rechnen Sie die Behauptung (3.1) und die Identität (3.2) nach.

2.

Rechnen Sie die Behauptung 1(a) des Satzes 3.8 nach.

3

Zeigen Sie für a,b « R? die Gleichung

Il am 14.11

Aufgabe 3.13

4

b

(a,b) det(a,b) b= — -a+ "a.

all?

ll?

Zeigen Sie die Dreiecksungleichung: |a + bll = Iall + |Ibll

a

Tipp: (a+b,a+b)

a

Aufgabe 3.14

1.

Seien a = (a1,a2) € R? und b = (bı,b2) beide ungleich (0,0). Angenommen, b ist kein Vielfaches von a, d.h. (b1.b2) dung T gegeben durch

# (Aaı.Aa2) für alle

e R. Betrachte die lineare Abbil-

T(x.y) = (xaı + ybı,xaa + yb2) .

Die Menge U C R? sei offen. Zeigen Sie (siehe auch Satz 11.4):

2.

Berechnen Sie die Fläche der nachfolgenden Mengen.

(a) (x, : 3x2 +Aay+Ay? Yn{wW)eR:r+y O und /@,Av) = x für < 0. Satz 3.9 Gegeben sind v, w e R? mit |[o]] = |w]] = 1 und det(v, w) > 0. Definiere:

% = (0,w),

yo=yl 3%.

And = Yan +D/2

und

Ya+ı = Yn/ntı

am 14.11

Dann sind (x,) und (y,) wachsende Folgen, (y„/x,) ist eine fallende Folge und Ann

< Yn < /@,w) < a ,

„|im N Yn =

lim

Yn _= /(v,w).

N>00 X

Ill

An

Aus der Identität (3.2) folgt xo = 1. Aus Y(1+x)/2 > x für x e [0,1) folgt, dass (x) wächst und Grenzwert 1 hat. Weil „+1

Marın

u sn

= Yn/&n+ı und %741< 1, ist (yn) wachsend. Aus

< 1 folgt, dass (yn/xn) eine fallende Folge ist. Also konvergieren (yr)

und (Yn/xn) gegen die gleiche Zahl.

3

Seiu = (v,w)-vundz = w/(v,w). Dann gilt (Aufgabe 3.17, siehe Bild), dass Alu, w) C S(v,w) C A(v,z). Deshalb erhalten wir Ungleichungen für zweimal die Fläche:

L.izerziert für Johannes Guter

det(v, w)- (v,w) < /(v,w) < — Seib=

R

w

.

(VT+%. YT-x%). Für die Drehung R; gilt R2(o)

=

4 =uw,

siehe Satz 3.8. Sei wı = R,(v). Aus der Linearität und Isometrie folgt,

w

dass R, den Sektor S(v, wı) auf den Sektor S(wı, w) abbildet. Deshalb gilt /(,w) = 2/(v, wı). Durch Wiederholung dieses Prozedere erhalten wir wı, wa,... mit /(,w) = 2/(v, w) = --- = 2" /(v, wn). Daher: 2" det(v,wn) - (v,wn) < /(v,w) = „u det(o, wn) . (v, wn)}

ww 2

(3.3)

Nach Konstruktion gilt ın = Y(l + m-ı)/2 -v+ YÜ-m-ı)/2 -vt.Man zeigt mit etwas Mühe mit Induktion (Aufgabe 3.17) für n = 1 die Formeln Y="y1-%=

2" YAa-m-ı)/2.

Daher gilt (vo. wn) = x„ und 2”det(v, w) = yn. Jetzt benutze die Ungleichungen (3.3).

80 Pearson Deutschland

Aufgaben

Aufgaben

EXtRÄS )

(

Lösungen

Aufgabe 3.16 1.

“ONLINE

Hier folgt ein SAGEMATH-Programm zur Berechnung der Winkel zwischen Vektoren. Experimentieren Sie damit. def

angle(v,w,n): 1 sqrt(v[1]*2+v[L0]*2) m = sqrt(w[l]*2+wW[2]*2)

x =NC(vEll#wL1l]+v[LO]#wLO])/C1«m)) y=

5

for

5

i in x =

2

range(n): sqrt((1+x)/2)

y=y/x

N Il am 14.11

sqrt(1-x*2)

return 2.

y

Setzen Sie die Genauigkeit von SAGE hoch. Wie viele Dezimale von x schaffen Sie mit

obigem Programm zu berechnen? Vergleichen Sie mit dem gespeicherten Wert von x in SAGE und auch mit Aufgabe 3.5. 3.

Das obige Programm funktioniert nur, wenn x = (v,w) > 0. Wenn x < 0, dann ersetze x

durch Y(1+x)/2 und ersetze y durch 2y in der Mitte des Programms. Warum funktioniert das? 4.

Passen Sie das Programm oben an, um auch den Fall x < 0 einzuschließen.

Aufgabe 3.17 1.

Im Beweis des Satzes 3.9 wurde behauptet, dass

Alu,w) C S(v,w) C Alv,z).

Lizerziert für Johannes

Zeigen Sie diese Aussage. Tipp: Für Au + uw = A'v + uw berechnen Sie |]A’v + „w]] und benutzen Sie die Ungleichung von Cauchy-Schwarz. 2.

Außerdem sollen Sie die Fläche von A(u,w) und A(v,z) berechnen.

3.

Schließlich wurden die Formeln

Yı ="

1-9 =" Aa-m)/2

als Aufgabe überlassen. Zeigen Sie diese Formeln.

81 Pearson Deutschland

Fläche, Winkel und komplexe Zahlen

3.6 Ist x e

Die Winkelfunktionen [-1.1],e

=

(1,0) und Pxk

=

(x, V1-x2), so definieren wir arccos(x)

=

/(e,Px).

Bemerke, dass arccos(1) = 0, arccos(-1) = x und arccos(x) eine stetige Funktion ist (Aufgabe

2023 um 15:

3 Uhr

3.19). Sie ist offenbar eine fallende Funktion. Es folgt aus den allgemeinen Sätzen über stetige Funktionen, dass arccos(x) eine Umkehrfunktion hat, die auch stetig ist. Diese Funktion ist definitionsgemäß die Cosinusfunktion.

am 14.11

El

fürx e [-1,1] und P; = (x, V1— 22) definieren wir arccos(x) = /((1,0), Px)

Ill

Für @ e [0, x] definieren wir cos(@) =:x

>

«= arccos(x).

Füra e [0, x] definieren wir sin(@) := Y1- cos2(a). EI

wir setzen cos(@) und sin(@) auf ganz R fort durch cos(@ + x) := —cos(@) und sin(@ + x) := —sin(@).

MEI

wir definieren tan(«) := sin(@)/cos(«) und cotan(@) = cos(«)/ sin(«) als Tangens-

und Kotangensfunktion, natürlich nur, wenn der Nenner ungleich null ist.

3

Lizerziert für Johannes Gute! !

=

x

ji

sin(@)

-

'

cos(@)

"

tanle)

'

Satz 3.10 (Additionstheoreme) Für alle Winkel «@ und ß gilt: cos(@ + ß) = cos(a) - cos($) — sin(a@) - sin(ß); sin(@ + $) = sin(@) - cos(ß) + cos(@) - sin(ß)..

Den Punkt P = (cos(@ + ß),sin(@ + $)) erhält man aus Q = (cos(@),sin(@)) durch die Drehung Dp um den Winkel $. Setze deshalb x = cos(@) und y = sin(«) in die folgende Formel für die Drehung D; ein, um P zu erhalten.

Da

= x ( an) sind) ) "F"\

it)

cos(B)

82 Pearson Deutschland

p

BT

Aufgaben

(

s

) Anis

Aufgaben

Aufgabe 3.18

Schreiben Sie ein SAGEMATH-Programm zur Berechnung von arccos(x) für

Lösungen

x e[-1,1]. Passen Sie dazu das Programm aus Aufgabe 3.16 an. Aufgabe 3.19 1.

Es sei 9

= (Xn.Yn) eine Folge von Punkten mit

lim x, = x und Nn>00

Es sei |x„| = 1 mit „im 3.

= x. Sein

= (Xu, Yl

x)

lim yn = y. seiv = 1X

und v = (x,

V1—x?). Warum ist

Tipp: Beweis von Satz 3.9

Zeigen Sie, dass arccos(x) eine stetige Funktion von x ist.

Aufgabe 3.20

Zeigen Sie die nachfolgenden Formeln.

un nm

sin?(«) +cos:(a)=1 sin(2«) = 2sin(@) - cos(@) (Verdopplungsformel)

PP

sin@/2) = +) 4a — cos(@)) (Halbierungsformel)

„

cos(2«) = cos?(a) — sin’(@) = 2cos?(@) — 1 = 1 - 2sin?(«) (Verdopplungsformel)

cos(a@/2) = + tanl@ +)

=

4a + cos(@)) (Halbierungsformel) tan(a&) + tan(ß)

1-tanle) -tan(ß)

»so on

cos(x/2 — a) = sin(@) sin(n/2 —@) = cos(@) sin(3@) = —tsin’(@) + 3sin(«).

Aufgabe 3.21 Lizerziert für Johannes

&%

(0, vn) eine Nullfolge?

nn

Il am 14.11

(023 um 15:23 Uhr

(x, y). Zeigen Sie: lim det(v, v1) = 0 und ‚lim (v, un) = x? + 2.

Prüfen Sie, nur ausgehend von cos(0) = 0 und cos(x) = —1, die Formeln der

nachfolgenden Tabelle. Lernen Sie diese auswendig. @

0

n/6

n/4

n/3

n/2

2n/3

3n/4

5n/6

x

sine)

0

4

42

4,3

1

493

4,2

4

0

0

1/93

1

3

-

3

-1

-1/93

0

a tan)

Aufgabe 3.22 1.

Definiere arcsin: [-1.1] — [-/2. n/2] durch die Gleichung arcsin(x) =@

=>

sin(a) =

x. Zeigen Sie, dass diese Definition Sinn macht. Fertigen Sie eine Skizze des Graphen von arcsin(x) an. Zeigen Sie, dass arcsin(x) + arccos(x) = n/2. Definiere arctan: R — (—/2, x/2) durch die Gleichung arctan(x) =@

>

tanla) = x.

Zeigen Sie, dass diese Definition Sinn macht. Fertigen Sie eine Skizze des Graphen von arctan(x) an.

83 Pearson Deutschland

Fläche, Winkel und komplexe Zahlen

3.7 _ Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen sind Zahlen z der Gestalt z= a + b- i, wobei a und b reelle Zahlen sind und i ein Symbol ist. Ist z= a + b- i, so nennen wir: EI = Reiz) den Realteil von z und b = Im(z) den Imaginärteil von z. lzI := Va? + 2 den Betrag von z.

Arg(z) := /((1.0),z) € (-n, x] das Argument von z Z:=a-b-idie komplex konjugierte von z. Die Menge der komplexen Zahlen bezeichnen wir mit €.

Eine komplexe Zahl a + bi ist deshalb ein Punkt in

imaginäre Achse

der Ebene. Diese Ebene wird in diesem Zusammenhang auch komplexe Ebene genannt. Wir schreiben kurz a für a + Di. Jede reelle Zahl werden wir auf diese Weise als komplexe Zahl auffassen. Die reellen Zahlen korrespon-

Lizerziert für Johannes Gutenberg-Universität Marz,

134.93.109

dieren mit den Punkten auf der Geraden gegeben durch die Gleichung y = 0. Die Zahlen der Form b - i nennen wir die rein imaginären Zahlen. Der Term Zahlen, statt Punkte, für komplexe Zahlen ist dadurch gerechtfertigt, dass wir für komplexe Zahlen eine Addition und Multiplikation definieren.

Es seien z = a + bi und w = c + di komplexe Zahlen. Wir definieren die Summe z + w = (a+ bi) + (c+di) und das Produktz - w = (a + bi) - (c + di) durch (a+bi)+(c+di):=(a+cd)+(b+di,

(a+bi):-(c+di) := (ac — bd) + (ad + bo)i..

Man prüft, dass die Addition und Multiplikation die Assoziativ- und Kommutativgesetze erfüllen. Auch das Distributivgesetz ist gültig. Die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen ist nicht schwer. Man rechnet mit i wie mit einem Symbol, wobei man jedes Mal, wenn ein i2 auftritt, dieses durch —1 ersetzen

kann. In der Tat ist i= 0 + lieine Zahl mit i? = —1. Bemerke, dass die Dreiecksungleichung gilt: &

2 + w] < |z| + |w|. Diese Aussage wurde in Aufgabe 3.13 behandelt. 3.11 Füralleze C mitz # O &xistiert ein we C mitz-w=1.

. Ist z = (a + bi), so nehme w =

a bb. 3 _ Pawel a2 + b2

Man rechnet nach, dass z-w =1.

Pearson Deutschland

)

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 3.23 a,b

R

Schreiben Sie die nachfolgenden komplexen Zahlen in der Form a + bi mit

1.

1-)+@+4i)

2.

213-1) +3(-1-i)

3.

3(-1+i) 42 -3i)

4.

3(1+2-i) (2 +17 +55)

>

3;

6

7.

(14°

8.

9.

_ y-2 (-1+2)

10.

Aufgabe 3.24

Universität Mairz, 134.93.109.

Lösungen

und zeichnen Sie diese in der komplexen Ebene.

2+i

Lizerziert für Johan

) BXRAs

3-i

(-1+21)?

3-i

Tr

Es seien z, w komplexe Zahlen. Zeigen Sie:

1.

z+w=zZ+W

2

z-u=zWw

3.

Istz#0,so ist 1/z = 1/2

Aufgabe 3.25

Gegeben sind folgende komplexe Zahlen:

1-i

3+i

21 := -— - —

24

2

_Aa+2

277

6+5i

3

Vervollständigen Sie die nachfolgende Tabelle.

Re(zı)

Im(zı)

Aufgabe 3.26

|zıl

Re@z2)

Im(z)

|z2|

Re@ı+z)

Im@ı+z2)

Izı+z2l

Berechnen Sie den Betrag und das Argument der nachfolgenden komplexen

Zahlen. 1.

-2+2%

2.

4-4,Bi

3.

1+i93

4.

-5i

5.

-3

6.

3+4i

7.

-1+i

8

(1+n)10

85 Pearson Deutschland

Fläche, Winkel und komplexe Zahlen

3.8

Geometrie der Addition und Multiplikation

Die Addition und

Multiplikation kann man

geometrisch schön

z,+w

interpretieren. Für die Addition z+w ist dies einfach die Vektorad-

7

we

dition, welche Sie aus der Schule kennen, siehe das nebenstehende

Bild. Auch die Multiplikation hat eine schöne Interpretation. Hierzu betrachten wir zunächst den Fall |z| = 1, also a2 + b? = 1. Der Punkt (c,d) in R2, welche die Zahl w = c + di darstellt, wird auf den Punkt a - (c,d) + b(c, d)+ = (ac — bd, ad + bc), welche die komplexe Zahl z- w darstellt, abgebildet.

w 1

Dies ist genau die Formel für die Drehung. Salopp gesagt, drehen wir die komplexe Zahl w um den Winkel Arg(z): Der Winkel zwischen dem Vektor w und z - w ist gleich 9 = Arg(z), welcher eben der Winkel zwischen 1 und z = z-1

ist. Insbesondere bedeutet Multiplikation mit ieine Drehung über den Winkel 90°, was dann die Gleichung i* erklärt.

=

—1 geometrisch

Noch einfacher ist der Fall, dass z eine (positive) reelle Zahl A ist. Dann ist (A +0-i)-(c+di) = Ac + Adi. Dies ist also die Streckung mit dem Faktor A. Im Allgemeinen ist zw eine Drehstreckung. Man dreht w um den Winkel Arg(z) und dann streckt man das Ergebnis mit dem Faktor |z]. Satz 3.12 Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Lizenziert für Johannes Guter

Insbesondere gilt de Moivres Formel: (cos(p) + isin(p))" = cos(np) + isin(np). Hierbei wird die Summe der Argumente natürlich modulo 2x gerechnet. Diese Tatsache kann man auch mit der Polardarstellung komplexer Zahlen verstehen. Ist g = Arg(z), so gilt die

Formel

.

IzIsintp) -i

.

9,

z= |z]- (cos(p) + i-sin(p)). Ist nun w = |w]-(cos(y)+i-sin(y)), so rechnet man mithilfe der Additionstheoreme 3.10 nach, dass

zw =

Iz| cos(p)

|z| - |w| - (cos(p + w) + i-sin(p + Y)).

Natürlich gibt es auch für Punkte (x, y) € R2 mit (x, y) # (0,0) eine Polardarstellung (x. y) = r(cos(p, sin(p)). Man spricht dann von den Polarkoordinaten des Punktes (x,y) € R2.

86 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 3.27

) BXRAs

In den nachfolgenden Aufgaben zeichnen Sie jeweilsz und w in der komple-

Lösungen

xen Ebene. Konstruieren Sie jeweils mithilfe eines Geodreiecks geometrisch z + w und z- w.

Berechnen Sie danach z+ w und z- w und kontrollieren Sie Ihr Ergebnis. 1.

z=i,

3.

z=1-i,

5.

z2=3+44,

Aufgabe 3.28

w=1Hi w=1+23

1.

-2

2. i

4 1 1,

4.

7.

tz

Wi

6.

SB+i

8.

Aufgabe 3.29 geometrisch. Aufgabe 3.30

2.

z=1+i,

w=i

4.

z=2H+i,

w=3-i

6

z=-1+43,

z=w

Schreiben Sie die nachfolgenden komplexen Zahlen in Polardarstellung.

3. 5.

Universität Mairz, 134.93.109.

w=-I

-1+i Fe

atz

Wi

2-2

Beschreiben Sie für eine komplexe Zahl z mit |z] =

1 den Kehrwert z=!

Berechnen Sie:

1.

a+n#

2.

(B3+i%

3.

(1-10

4.

(14910

Aufgabe 3.31

Lizerziert für Johan

1.

Zeigen Sie mithilfe der Formel von de Moivre: sin(3t) = 3sin(t) —4sin?(t) und cos(3t) = 4cos’(f)

2.

—3cosif) .

Seix,y mit + y = 1. Berechnen Sie, dass (x + iy)" für n ungerade von der Form p(x) + ig(y), mit p,q Polynome, ist. Was kann man hieraus für cos(nx) und sin(nx) schließen?

87 Pearson Deutschland

Fläche, Winkel und komplexe Zahlen

3.9 Polynomiale Gleichungen Natürlich hat die Gleichung z" = 0 auch in C nur z = 0 als Lösung. Satz 3.13 Sei a eine feste komplexe Zahl mit a # 0. Die Gleichung z" = a hat n Lösungen ind.

3 Uhr

Wir setzen dazu = Val, welche eine gewöhnliche reelle Zahl ist. Sei p = Arg(a). Sei a := p/n und x = aı +kfürk=1 Bern n — 1. Dann gilt für

2023 um 15

2 = A- (cos(ax) + sin(ap)) -i

die Gleichung z{ = «. Tatsächlich ist nach der geometrischen Interpretation |z£|" = A" = Jal und Arg(z£) = nArg(z£) mod 2x = p = Arg(a), also sind Betrag und Argument gleich,

deshalb z{ = a. Aus der Schule kennen wir die pg-Formel für quadratische Gleichungen x? + px +q = 0, nämlich

=pP& ypPr-4M x2=

ar

Hierbei sollte das Symbol +,/p? —4q stehen für eine Lösung der Gleichung z? = p? — 4q, die zwei Lösungen hat, wenn die Diskriminante positiv ist. Ist die Diskriminante negativ, so hat die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen. Jedoch hat sie Lösungen, wenn man

komplexe Zahlen zulässt. Ist D < 0, so istz = V-D- ieine Zahl mit 2? = (-D)- ? = D. Wie wir oben gesehen haben, gilt sogar, dass für jede komplexe Zahl D ein z existiert mit 2? = D. L.izerwiert für JohannesG

Folgender Satz folgt. Satz 3.14 Jede Gleichung x? + px + q = 0, mit p,q komplexe Zahlen, hat mindestens eine Lösung.

Diese zwei Sätze, welche relativ elementar bewiesen werden können, haben eine wichtige Verallgemeinerung: Jede polynomiale Gleichung in z

"+44.

4m=0

hat eine Lösung in C.. Diese Aussage ist der berühmte Hauptsatz der Algebra. Einen Beweis werden wir später geben, Satz 8.13 auf Seite 210. Einen weiteren Beweis finden

Sie im Buch „Lineare Algebra“, Seite 177.

88 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

) BXRAs

Aufgabe 3.32 Zeichnen Sie die komplexen Zahlen z, welche eine der nachfolgenden Gleichungen erfüllen.

1. 2=i

2.

@+1?=i

3.

2342

5.

2=1

6. #=1

7. #-22°+1=0

8

(@-N*=1

9. #=1

Aufgabe 3.33

@+2-N=i

Lösen Sie die nachfolgenden Gleichungen.

1. 2-2+2=0

2.

2+42+46=0

3. 2 +42-8=0

4.

+8-8,Bi=0

5. 2+iz+2=0

6. 2 +(2-2%3)2-2-2(1+ Di=0

Aufgabe 3.34

Bestimmen Sie die komplexen Zahlen a, sodass die Gleichung

ll

am 14.11

23 um 15:

3 Uhr

4. 2=e

Lösungen

Universität Marz,

134.93

iz? +(a-3+2-12+45i=0 genau eine Lösung hat. Aufgabe 3.35

+42

Bestimmen Sie die reelle Zahl a, sodass die Gleichung

-(a+5)2+2-4)=0

eine reelle Lösung hat, und lösen Sie dann diese Gleichung. Aufgabe 3.36 (Cardanische Formel)

Betrachte die Gleichung x? = px-+qinxmitp,gqin C

Lizerziert für Johan

und p # 0. Seien z, u komplexe Zahlen mit 2=

(4) -()

und u?=

g +z.

Zeigen Sie, dass x = u + p/(3u) eine Lösung der Gleichung x° = px +q ist.

Tipp: Berechnen Sie x? — px und zeigen Sie, dass u — qu? + p/27 = 0. Aufgabe 3.37

1.

Finden Sie mithilfe der cardanischen Formel eine Lösung für:

= 9x+28

2.

= -37+4

Was fällt bei der zweiten Gleichung auf? Aufgabe 3.38

Es sei p ein Polynom mit reellen Koeffizienten und a e C eine Nullstelle

von p. Zeigen Sie, dass@ ebenfalls eine Nullstelle von p ist.

89 Pearson Deutschland

Pearson Deutschland

Lizerziert für Johannes ; Gutenberg-Universität Marz,

34.93.1091 11

am 14.11

202 3 um

15:2

Differenzialrechnung Definition der Differenzierbarkeit

4.2

Rechenregeln für differenzierbare Funktionen

4.3

Ableitung der Winkelfunktionen

4.4

Satz von Rolle und Mittelwertsatz .....

4.5

Ableitung der Exponentialfunktio

4.6

Extremwerte, höhere Ableitungen

4.7

Die l’Höpital’sche Regel

4.8

Die Taylorformel

4.9

Konvexität, Konkavität und Wendepunkte

4.10 Kurvendiskussion 4.11

*Das Newton-Verfahren*

4.12 *Die komplexe Exponentialfunktion* ...

ÜBERBLICK

4.1

Differenzialrechnung

LERNZIELE Definition der Ableitung Rechenregeln: Produktregel, Kettenregel Die Ableitung der elementaren Funktionen xP, sin(x), a” Die eulersche Zahl e

Berechnung von Extremwerten: Kurvendiskussion Die l’Höpital’sche Regel Die Taylorformel Konvexität; Wendepunkte Newton-Verfahren zur Berechnung von Nullstellen

am 14.11

Die komplexe Exponentialfunktion

Ill

Gegeben sei eine Funktion y = f(x), definiert auf einem offenen Intervall, a sei ein Punkt in diesem Intervall. Wir möchten die Tangente an dem Graphen im Punkt (a, f(a)) bestimmen. Dazu brauchen wir die Steigung der Tangente. ! Zunächst können wir nur die Steigung der Sekante durch den Punkt (a, f(a)) und (x, f(x)) fürx # a bestimmen. Sie ist gegeben durch den sogenannten Differenzenquotient:

3

Aufl):

._ fo) -f(a) greru

fx)

fi)

L.izerziert für Johannes Guter

Wenn sich x der Zahl a annähert, so nähert sich die Sekante durch (a,f(a)) und (x,f(x)) der Tangente an den Graphen

von f in dem Punkt (a,f(a)) an. Es ist deshalb naheliegend, die Steigung der Tangente an dem Graphen im Punkt (a.f(a)) zu definieren als

lim Auftx) = lim

ia,

falls dieser Grenzwert existiert. Der Differenzenquotient ist

fw@)

in diesem Fall stetig in x = a fortsetzbar. Der Wert Auf (a) wird die Ableitung von f in a genannt, Notation f’(a) oder La). Diese Zahl gibt die Steigung der Tangente an.

(x a) -f’(a)

1 Wenn die Gleichung einer Geraden in der Form y = mx + b geschrieben ist, so nennen wir die Zahl m die Steigung der Geraden.

92 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung

Beschreibt die Funktion y = f(x) den zurückgelegten Weg eines Teilchens, so ist A,f(x) die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen Zeitpunkt a und Zeitpunkt x. Man kann f’(a) inter-

pretieren als die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt a. Es ist langwierig, jedes Mal die Definition anzuwenden, um die Ableitung von Funktionen zu berechnen. Diese Berechnungen machen wir im Prinzip lediglich für: K

fix) = xp, x>0mitß

eR fest. In diesem Fall gilt f’(x) = Ba,

f(x) = sin(x) mit Ableitung f’(x) = cos(x) und g(x) = cos(x) mit

23 um 15:

3 Uhr

Ableitung g’(x) = -sin(x). EI

fix) = a* (a > 0,a # 1) mit Ableitung f’(x) = caa* für eine Konstante c; #0.

Diese Ableitungen muss man auswendig wissen. Um weitere Ableitungen zu berechnen, ist es wichtig, Rechenregeln für differenzierbare Funktionen herzuleiten. Die einfachste ist die Differenzierbarkeit von Summen differenzierbarer Funktionen. Etwas schwieriger sind die

ll

am 14.11

Produktregel, Kettenregel und Quotientenregel und das Differenzieren inverser Funktionen. Diese Rechenregeln müssen Studierende anwenden können. Weiter oben haben wir erwähnt, dass die Ableitung von f(x) = «X gleich f’(x) = c,a* für eine

Konstante c, ist. Es gibt genau eine Zahl e > 0, sodass c. = 1. Diese ist die berühmte eulersche

Universität Marz,

134.93

Zahl: e = 2,71828... Die Funktion f(x)

=

e* ist die einzige Funktion mit der Eigenschaft

f(x) = f(x) und f(0) = 1. Man hat verschiedene Formeln für e wie zum Beispiel

= 1m

e= im

(12.

1)"

(1+,)

.,

_.1,1,1

esitntgtgt"

Die Umkehrung der Funktion e* ist der natürliche Logarithmus In(x) = log(x). Die Ableitung

der Funktion In(x) ist gleich 1/x. In vielen praktischen Anwendungen der Mathematik muss eine bestimmte Größe maximiert oder minimiert werden. Die Differenzialrechnung spielt hierbei eine herausragende Rolle.

Lizerziert für Johan

Hatf ein lokales Maximum oder Minimum in c, so muss die Tangente wohl waagerecht sein, also f’(c) = 0. (Außer natürlich, c wäre ein Randpunkt des Definitionsbereiches von f.) Wir bemerken aber, dass die Bedingung f’(c) = 0 zwar notwendig, aber nicht hinreichend ist. lokales Maximum

kein lokales Extremum lokales Minimum

Eine weitere Anwendung ist die Regel von de I’Höpital. Im einfachsten Fall besagt diese Regel . on _ _ ut N) asscn m FR) in etwa Folgendes: Ist f(a) = g(a) = 0 und existiert lim 7

so existiert auch lim RE

und

93 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung

die Grenzwerte sind gleich.? Es gibt ebenfalls Versionen mit im fo 5 li fo und so weiter. ta 2)" 200 ga) ga)

Istf stetig in a und x in der Nähe von a, so ist f(x) * f(a). Ist darüber hinausf differenzierbar in a, so ist f(x)

= f(a) + (x — a)f’(a). Im ersten Fall wird die Funktion f durch eine konstante

Funktion f(a) angenähert; im zweiten Fall durch die lineare Funktion x > f(a) + (x - a)f’(a). Wenn f(x) den zurückgelegten Weg eines Teilchens zum Zeitpunkt x beschreibt und f’(a) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt a, so wird der zum Zeitpunkt x zurückgelegte Weg eben in

etwa f(a) + (x — a)f’(a) sein. Wenn man überdies noch die Beschleunigung f”(a) zum Zeitpunkt a kennt, also die Ableitung von f’(x) in a, so könnte man eine noch bessere Annäherung Ill am 14.11 4a 223 um 15:23 Uhn

bestimmen: f(x) # f{a) + (x - a)f’(a) + 4x - a)”f" (a). Die Taylorformel gibt Annäherungen n-ter Stufe. Sie besagt fo) flo) + (x -a)f’ (a) + 5@

a)"(a) +++ Ai

a)" (a)

für eine feste natürliche Zahl n. Die rechte Seite wird das n-te Taylorpolynom von f in a genannt, Notation T} f(x). Es ist wichtig, eine Abschätzung des Fehlers zu haben. Einen Ausdruck hierfür gibt das sogenannte Lagrange-Restglied. Es besagt, dass es ein & zwischen a und x gibt, sodass der Fehler

gleich ame z me

-ay"tlplntl)(e)

ist. Hierbei wird normalerweise nicht versucht, dieses£ zu bestimmen, sondern nur fr+D(&)

abzuschätzen, zum Beispiel durch eine Abschätzung des Maximums von |f("+] auf dem Intervall (a, x). In vielen Fällen kann man auf diese Art und Weise zeigen, dass der Fehler für wachsendes n gegen null strebt. Allerdings sieht man auch, dass für feste n der Fehler bei

Lizerziert für Johan

wachsendem x — a nicht klein geredet werden kann und oft auch nicht klein ist.

N

\ To

nn

Sin(x)

=-£

Diese Eigenschaften sind gut sichtbar in vorheriger Figur. Beide Male ist die Funktion f(x) =

sin(x) gezeichnet, links zusammen mit dem Taylorpolynom T}f(x) = T#f(x) und rechts zusammen mit To

= TS.

2 Oft wird als Beispiel im cos(x)

lim, lim =

=

ai

genommen,

um

mit der Regel von de l’Höpital lim za

=

1 zu zeigen. Dies ist jedoch ein Zirkelschluss, denn im Beweis, dass die Anleitung von

sin(x) gleich cos(x) ist, benutzen wir an einer wesentlichen Stelle den Grenzwert

lim

sin(x) x

Zunächst muss deshalb dieser Grenzwert berechnet werden.

94 Pearson Deutschland

=

1.

Differenzialrechnung

Den Spezialfall m = 0 nennt man den Mittelwertsatz: Es gibt ein & € (a,x) mit f(x) = f(a) + (x a)f’(£), anders geschrieben

1

_ FO) -fla)

fO=-7——

Somit gibt es eine Tangente an dem Graphen, deren Steigung gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte (a,f(a)) und

(x, f(x)) ist. In nebenstehender Figur ist auch ersichtlich, dass im Allgemeinen ein solches & nicht eindeutig bestimmt ist.

134.93

ll

am 14.11

023 um 15 23 Uhr

Die

Taylorformel

kann

auch

benutzt

werden,

um

fahren haben wir in den Spezialfällen f(x)

= ax — 1, zur Berechnung von Kehrwerten und

fix) = x? -a, für die Berechnung von Quadratwurzeln, bereits in Abschnitt 1.5 kennengelernt. Wenn f(x) » f(a) + (x — a)f’(a) eine gute Annäherung ist, so erwartet man eine Nullstelle in der Nähe von dem x, für das f(a) + (x—a)f’(a) = 0 ist. Diesesx wird natürlich im Allgemeinen keine Nullstelle vonf sein. Das Verfahren kann man wiederholen. Ist xy nicht allzu weit weg von einer Nullstelle c, so kann man zeigen, dass die Folge (x,)

definiert durch Xn = In

—

fan-ı) fan-ı)

Universität Marz,

das

Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen zu erklären. Dieses Ver-

Ana

u

gegen c konvergiert (Newton-Verfahren). Das Besondere ist, dass die Konvergenz sehr rasch ist. Wir werden zeigen, dass sich die Anzahl richtiger Nachkommastellen in etwa verdoppelt, wenn die Zahl n um 1 vergrößert

wird. Sie sollten dies vergleichen mit dem naheliegenden Algorithmus, welcher beim Zwischenwertsatz angewandt wird. Da wird in jedem Schritt die Annäherung einer Nullstelle c höchstens um eine Dezimalstelle besser. Allerdings sollte man bei der Anwendung des

Lizerziert für Johanı

Newton-Verfahrens den Startwert günstig wählen, da sonst Konvergenz nicht gesichert ist.

95 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung

4.1

Definition der Differenzierbarkeit

Es sei a ein Häufungspunkt von A. Eine Funktionf: A>R heißt differenzierbar in a, wenn der Differenzenquotient

Afi) = FO Fo

0

x—a

in x = astetig fortsetzbar ist. Den Wert fa)

3 Uhr

af) = Fa = Fa

2023 um 15:

nennen wir die Ableitung von f in a. Ist f differenzierbar in a, so ist die Gerade, die durch die

am 14.11

Gleichung y = f(a) + f'(a)(x — a) gegeben ist, die Tangente an den Graphen von f in dem Punkt (a, f(a)).

Ill

Satz 4.1 f undg seien differenzierbar in a. Dann gilt: El {ist stetig in a.

f(a) "

f +2 ist differenzierbar in a; (f + g)'(a) = f’(a) + g'(a). Ist c eine Konstante, so gilt (cf)’(a) = cf’ (a). EI

3

Fürß

eRundx>0

ist f(x) = xP differenzierbar und

(x a) -f’(a)

FOR. EI

weil A,f(x) stetig ist in a, folgt lim fo) =f(a) + lim(x - a)Aaf(x) = fla). Folgt aus As(f + g)(x) = Aaf(x) + Aag(x) und Aufgabe 2.17.

Lizerziert für Johannes Gute! !

Folgt aus Az) 2

= cAaf(x).

Es reicht, f’(1) = £ zu zeigen, denn daraus folgt: Kl Fa) = lim

jr

aß = 1im aP-! (x/a)P —1

x-a

m BenN:f/()= lim( xl

m ße2*.N,dann 2 .

R-ı

Jim

x—1

j a

xoa

x/a-1

— B.aß-! . =ß-a

- 1)/@ 1) = lim (14x44) xl

=.

e 2*+!N und mit Induktion nach k A-ı x—1

Arı "B

+1

.

x

,n

_1

x—-1

. im

FT

ap

2=B.

m Seiß > Oundße (c.d). Wähleke N und r,se 2*N mit0 R eine Funktion und c e

El

(a,b).

Dann hat f ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum) in c, wenn es eine Umgebung U von c gibt mit f(x) = f(c) (bzw. f(x) = f(c)) für allex e U.

Wenn f an der Stelle c ein lokales Maximum oder lokales Minimum hat, so sagt man, dass f in c ein lokales Extremum hat.

satz 4.5 1]

N

Seif: (a,b) — R

differenzierbar. Hatf ein lokales Extremum in c, so ist f’(c) = 0.

Seif: [a,b] — R

stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b).

(a)

Satz von Rolle. Ist f(a) = f(b), so gibt es ein & e (a, b) mit f/(£) =

g-Universität Mair, 134.93.109.

(b) Mittelwertsatz. Es gibt ein& e (a,b) mit f’(£)= fne,@ (c)

Mittelwertsatz von Cauchy. Istg auch stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a,b), so gibt es ein & e (a, b) mit f’(£) - (g(b) — g(a)) = g'(£) - (f(b) -f(a)).

(d)

Istf’(x) = 0 für alle x e

(a, b), so istf eine konstante Funktion.

(e) Ist f’(x) > 0 (bzw. < 0) für alle x e (a,b), dann istf streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend). Mittelwertsatz

Satz von Rolle

Lizerziert für Johannes Guter

\_ EI

Ohne Einschränkung 8 hat f ein Maximum bei c. Sei U ein Intervall mitc e U und fo)= flo für allec e U. Fürx > cundx e U gilt oo = (0 und somit auch ,(c)= im fo fg . = 0. Genauso zeigtgt man f’(c)> O und fo

== 0 folgt. 8

(a) Istf konstant, folgt die Behauptung. Istf nicht konstant, so wird das Maximum oder das Minimum vonf in & e (a, b) angenommen. Es folgt f'(&) = ( 0 für alle x, dann ist auch f’(£)> 0 und es folgt, dass

fte)< f(d), somit ist f streng monoton wachsend. Der Fall f(x) < 0 geht analog.

102 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 4.20

) EXTRAS

Prüfen Sie, ob bei den nachfolgenden Funktionen auf dem angegebenem

Lösungen

Intervall der Mittelwertsatz anwendbar ist. Wenn ja, finden Sie einen geeigneten Mittelwert &.

Skizzieren Sie jeweils die Funktion zusammen mit der Tangente in (£,f(8)). 1. fd=3-2;

3. fo) =:

[1.2]

2. fo) = %x:

[0.8]

[-1.2]

4. fod=yYr:

[0,2].

Aufgabe 4.21 Prüfen Sie nach, dass die nachfolgenden Funktionen im angegebenen Intervall genau eine Nullstelle haben.

1. fd=t+3%;

[2-1]

3. fd =2Yx- /10+x:

Aufgabe 4.22

2. fr) =sin(d)+x-8; [0,©)

4. fd =

(-w,)

-6x° 4157-3:

(-,)

Esseienf,g auf R differenzierbare Funktionen mit f(0) = 0, g(0) = 1,f'(x) =

g(x) und g’(x) = —f(x). Zeigen Sie, dass f(x) = sin(x) und g(x) = cos(x). Tipp: Differenzieren Sie die Funktionen f(x) cos(x) — g(x) sin(x) und f(x) sin(x) + g(x) cos(x). Welche Identitäten erhalten Sie? Aufgabe 4.23 Die Funktion f: [a,b] — R sei stetig und differenzierbar auf (a,b) mit 0 < fm = c für jedes x e (a,b). Zeigen Sie, dass fta) = f(b) = f(a) + c(b-a). Aufgabe 4.24 Seien f,g.h: [a.b] — R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Wenden Sie den Satz von Rolle auf die nachfolgende sogenannte Determinante an:

fa) AR) :=|flb)

g(a) g(b)

ha) hib)

fo)

sd)

hi)

:= f(a) (g(b)h(x) — g(&)h(b)) — Fb) (gadhlx) — g(Ä)hla)) + f(x) (g(a)h(b) — g(b)hta)) Nehmen Sie den Spezialfall (x) = 1. Wir erhalten den Mittelwertsatz von Cauchy. Aufgabe 4.25 Esseif: [a,b) — R eine stetige Funktion, welche auf (a, b) differenzierbar ist. Angenommen limf'@) existiert. Zeigen Sie, dassf in a differenzierbar ist und f’(a) = limf'@). xya

xya

103 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung

a

N) Tran steel: 3,00To)ı]

Satz 4.6 Seia>0Ounda Ei

#1.

e

Die Funktion f(x) = a“ ist differenzierbar f(&) = ca - a* für eine Konstante & #0.

und 1+x

Es gibt genau eine Zahl e > 0, sodass c. = 1. = log (a).

2023 um 15

3 Uhr

EI

vs gilt log/,.(x) = 1/x.

Wir nennen e die eulersche Zahl und In(x) := log(x) := log,(x) den natürlichen Loga-

am 14.11

rithmus.

tät Maine, 134.93.109. Ill

BE

Wir geben den Beweis füra > 1 und zeigen die Existenz des Grenzwertes limj,|oei, Wir betrachten dazu 0 < s < und die Funktion ga) =

a-1

@-1

t

s

als Funktion von a. Es giltg(1) = 0 und 2(a) =a!_a71>0,

weila>1undt>s. s

Deshalb ist g(a) > 0 füra > 1 und a —1

Die Funktion

1


1 eine wachsende, positive Funktion von h.

Deshalb existiert inff(@" — 1/h: h > 0} = lim En

=: Ca, Siehe Aufgabe 2.29. Es

h.

folgt für allexe R: x+h

lim I hJ0

_

X

th _

lim I hto h

af! —1

= 7°. lim no

h X

h

arh_a

= im I mo h

=oM,

= fimat hy0

tim no

Aa

atı

1. —h

Es gilt ca # 0, sonst wäre die Funktion f(x) = a“ eine konstante Funktion. Existenz: Sei e = 2!/"2, Dann ist (et)' = (are

=a

.2rfcz, 1/ca = e*.

Eindeutigkeit: Aufgabe 4.28. Differenzierea“ = e&(®* mit der Kettenregel.

2

Die Funktion In(x) ist als Umkehrfunktion differenzierbar und x = e!"'®, Wende die Kettenregel an: 1 = ein) In’(x) = xIn’(x).

104 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

)

EXTRAS

“ONLINE

Aufgabe 4.26

Geben Sie einen Beweis des Satzes 4.6 für0 R

differenzierbar, sodass (1 + x) - f(x) = af(x) und f(0) = 1.

Zeigen Sie, dass f(x) = (1 + x). Aufgabe 4.29 Der Cosinus Hyperbolicus cosh(x) und der Sinus Hyperbolicus sinh(x) sind definiert durch cosh(x) := (e! + e”*)/2 und sinh(&) := (e! — e”*)/2.

Lizerziert für Johannes

1.

Zeichnen Sie die Graphen von sinh(x) und cosh(x).

2.

Berechnen Sie die Ableitung von cosh(x) und sinh(x).

3.

Zeigen Sie, dass cosh?(x) — sinh?(x) = 1.

4.

Zeigen Sie, dass sinh(x) eine Umkehrfunktion hat. Diese Umkehrfunktion wird arsinh(x) genannt. Definieren Sie analog arcosh: [1,©) > R.

5.

Zeigen Sie, dass arsinh’(x) = 1/Yx? +1.

Aufgabe 4.30 1.

Seia > 0. Zeigen Sie, dass limdı +ax)V/r = ef,

2.

Folgern Sie, dass „im, (' + 4)

3.

Zeigen Sie, dass (\ _ 2)

n

Tipp: Nehme In.

=e.

für x < teine wachsende Funktion von t ist.

Aufgabe 4.31 Sei a, = 2"(a!/2" _ 1). Dann ist „im an = In(a). Schreiben Sie in SAGEMATH ein Programm, welches In(a) mit dieser Methode näherungsweise berechnet. Was passiert, wenn man ein großes n nimmt. Warum?

105 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung

4.6

Extremwerte, höhere Ableitungen

Satz 4.7 Esseif: (a,b) > R stetig, c e (a,b). EI ist?’ = 0 für x & (a,c) und f’(x) = 0 für x e (c,b), so hatf in cein Minimum auf dem Intervall (a, b).

3 Uhr

Ist f(x) > 0 fürx e (a,c) und f’(x) < O für x e (c,b), so hatf in c ein Maximum auf dem Intervall (a, b).

2023 um 15:

Ki Weil f(x) = 0 fürx e (a.c), ist die Funktion auf (a,c] monoton fallend (Satz 4.5), deshalb f(x) = f(c) für x € (a, c). Genauso sieht man, dass sie monoton wachsend auf (c, b) ist, also f(x) = fe) fürx e (c.b).

am 14.11

Analog.

Ill

Beispiel:

J =

N

Sei fix)= T—

/3

275 5 +8

Dann ist f differenzierbar

auf R außer in 0. Es ist f(x)= Denn

m

Somit f(x) > 0 für x in (-oo,—2) und (0,2) und f’(x) < O fürx e (-2,0) und (2, 0). Es 3

folgt, dass f in 0 ein lokales Minimum hat und in 2 und —2 lokale Maxima. Da f(x) = 0, folgt auch, dass f(0) ein globales Minimum und f(2) = f(-2) ein globales Maximum ist.

Es sei I ein Intervall, f: I — R. Wir definieren (rekursiv) die n-te Ableitung f” durch Lizerziert für Johannes Gute! !

f® = f und f® als Ableitung von f"-V), falls die Funktion f"-V) differenzierbar ist. Wir schreiben meistens kurz f? = fl) und f” = f®.

Satz 4.8 Es seif: (a,b) > R zweimal differenzierbar in c e (a, b) mit f’(c) = 0.

ER ist ?”(c) > 0, so hatf in c ein lokales Minimum. Ist f”(c) < 0, so hatf in cein lokales Maximum.

ER weil f"(0 = um xel(c-ö,c)

fo,

und fo So

> 0, so folgt, dass ein ö existiert mit f(x)< 0 für

für x € (c,c + ö). Nach Satz 4.7 hat f ein Minimum

(e-8d,c+Bd).

Analog.

106 Pearson Deutschland

in

Aufgaben

Aufgaben

( Aufgabe 4.32 1.

Berechnen Sie die zweite Ableitung der nachfolgenden Funktionen.

f(x) = sin(sin(x))

Aufgabe 4.33

)

2.

EXTRAS

“ONLINE Lösungen

fix) = e”*sin(x)

Bestimmen Sie die lokalen und globalen Maxima und Minima der nachfol-

Mainz, 134.93.109.1 11 am 14.11

Y 3 um 15:2 3 Uhr

genden Funktionen auf dem angegebenen Intervall.

1. fd = -3x+4; 3. fi) = sin(x)—cos(x); Aufgabe 4.34

[0,4]

2. fo) =xv 9-22:

[0,27]

4. fix) = e"sina);

R

Bestimmen Sie die Extremwerte der nachfolgenden Funktionen.

1. fd Sr +22 -8x7+6 3. fo) =

[3,3]

2. fa) =r? +3? +3x—7

x—-2

2

x

3

4

fo) = 33 \_x-3

5.

fo) = 2m

6.

fi) =

7.

fix) = 2et — jeit

8

fi) = Yr Ina)

9. fd =R2-n-

RR

10. fi)=

5

x2+1

11.

fo) = Ya?

12.

f(x) = x arctan(x)

13.

fo=x+1

14.

fd) = x. et

Aufgabe 4.35 Sei f(x) = arctan(x). Zeigen Sie mit Induktion, dass für n > 2: (+ a

Aufgabe 4.36

+2(n — af)

+(n- 1)(n—

DIR)

=0.

Zeigen Sie: Die n-te Ableitung von ı-2 ist gleich

1 —n-1 n n—1 za (dA).

Aufgabe 4.37

Zeigen Sie, dass eine Gleichung dritten Grades x’ + px +q = O drei verschie-

dene reelle Lösungen hat genau dann, wenn 4p? + 279? 0o

Diese Beschreibung verallgemeinern wir. Wir brauchen hierzu den Begriff konvergenter Folgen komplexer Zahlen. Wir sagen, dass eine Folge komplexer Zahlen (z,) = (xn + iyn) gegen 2023 um 15:2 3 Uhr

z = x + iy konvergiert genau dann, wenn (x,) gegen x und (y„) gegen y konvergiert. Die üblichen Rechenregeln (Aufgabe 4.63) sind gültig.

. ri kole „im, (1 + -)zn = e*- (cos(y) . u Satz 4.13 Fürx,yeRundz=x+iygilt + isin(y)).

Aus (1+ #)" = |1+ #]"- (cos(n - Arg(1 + #)) + isin(n - Arg(1 + #))) folgt, dass es reicht zu zeigen (nehme h = 1/n):

»-Universität Mainz, 134.93.109

lim [1 + hz|'/" = e* und lim

h>0

1-0

Arg(1 + hz) Argli+h2)_ h

El Man berechnet |1 + hzj? = (1 + 1x)? + (hy)? = 1 + 2hx + h2(a? + y?). Es folgt Ind + 2hx + h2(a2 +9) In (Jim 11 +12/@) = lim Ind 10

1-0

2h

_ x

(benutze I’Höpital), woraus lim 1 + hzjt/h = e* folgt.

Lizerziert für Johannes Guter

Es gilt Arg(1 + hz) = arctan ()

und daraus mit l’Höpital:

._ Arg(1 + hz) 1 h-y . y lim ———— = lim — arctan ( —— ) = lim ————— =y. no h Pa ud n(; =) 10 (hy)? + (1 + hr)? Y

Fürz=x+iyeC

definieren wir e® =

lim (1+,) n—>00

n

.

n

Wir zeichnen hier (1 + xi/n)" für n = 1,2,4,8,64. Wir „sehen“, dass e

ABB. 118 Pearson Deutschland

= —1.

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 4.62

E

)

24:

.

Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der komplexen Ebene.

1. ee

2.

2elr/2

3.

4.

3e

ed

EXTRAS

“ONLINE

Lösungen

„im

(Zu +un)

= „im, Zu + „im, Un.

lim (zu -wn) = 100

lim zu - lim wy. n—>00

Aufgabe 4.64 Aufgabe 4.65

Zeigen Sie für x e R die Gleichungen

ll

1.

. _ ex + ei cos(x) = I . sin(x) =

2.

ix _ e-ix 3

iz

FürzeC definiert man nun cos(z) = Dr Für komplexe Zahlen z, w gilt:

—iz

1.

sin(z+w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)

2.

cos(z+ w) = cos(z) cos(w) — sin(z) sin(w)

iz _

oiz

und sin(z) = IT—.

Zeigen Sie:

Lizerziert für Johan

Universität Marz,

n>0o

Zeigen Sie die Rechenregel e**” = e* - e” für komplexe Zahlen z, w.

134.93

am 14.11

23 um 15:

3 Uhr

Aufgabe 4.63 Es seien (z,) und (w,) konvergente Folgen komplexer Zahlen. Zeigen Sie, dass (Z1 + wn) und (Zm - wn) konvergent sind und dass

119 Pearson Deutschland

Pearson Deutschland

Lizerziert für Johannes ; Gutenberg-Universität Marz,

34.93.1091 11

am 14.11

202 3 um

15:2

5.1

Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung ...

5.2

Stammfunktionen, Substitutionsregel

5.3

Partielle Integration

5.4

Integrieren von rationalen Funktionen ....

5.5

Spezielle Substitutionen..

5.6

Integrale über (halb-)offenen Intervallen.

5.7

Der Satz von Levi

5.8

*Trapezregel und simpsonsche Regel*

5.9

*Das Riemann-Integral*

5.10 *Irrationalität von n* 5.11

*Eine schwache Form des Primzahlsatzes* ..

5.12 *Stirlingsche Formel*

ÜBERBLICK

Integralrechnung

Integralrechnung

LERNZIELE m Definition des Integrals: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung M Partielle Integration und Substitutionsregel Mm Partialbruchzerlegung: Integrieren von rationalen Funktionen

3 Uhr

m Trapezregel und simpsonsche Regel

| 4.93.109 Ill am 14.112

04) a

fo xh

Istf: [a.b] — R eine stetige Funktion, so sind die Ordinatenmengen OHM) =iay):a 0. Weiter gilt X1e”/2 > 0 fürx — oo. Deshalb gilt

x'1le”X < eX/2 für hinreichend großex und e””/? ist integrierbar auf (0, ©). Wir erhalten die sogenannte T’-Funktion

\

T:(0,&)>R,

oo

TI) =[

lo tdr.

0

134 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

)

Aufgabe 5.17 Prüfen Sie, ob die nachfolgenden Integrale konvergieren, und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Wert. oo

1

| ——

0

3.

l

5.

/

1.

[

©

1

271

2.

dx

|

h WA

6.

|

8

|

x

et

| amt

x2

|

|

13.

|

0

dx

,_

e-l/x

oo

1 11.

In +3) =

1

x+ YxX+cos(x) dx oo

e'dx

0

oo

ar oo

Il am 14.11

oo

“ONLINE Lösungen

a

4.

1

2 (023 um 15:23 Uhr

dx

@+m2

EXTRAS

dx 1

© x In(1 -x)dx

® arctan(x) AD)

dx

12.

|

14.

l

x"etdx,

0

2]

neN

1

In) dx

Aufgabe 5.18 Die Gammafunktion ist eine Verallgemeinerung der Fakultätsfunktion: Zeigen Sie, dass T’(1) = 1 und T( +1) = t- Ft) für t > 0. Insbesondere gilt ’(n) = (n — 1)! für n=1. Aufgabe 5.19

Die Betafunktion B(x, y) ist für x, y > 0 definiert durch

1

Lizerziert für Johannes

B(x,y) = [ erla- nd 0

1.

Zeigen Sie, dass das Integral konvergiert.

2.

Zeigen Sie mit Induktion nach m: Blm.n)

=

(m —1)!-(n—1)!

_

F(m) - F(n)

(nn +m-N)!

Tim+n)

'

Vgl. Aufgabe 11.22. 3.

Zeigen Sie, dass B(1/2,1/2) = n.

Tipp: t = sin? p

ba Aufgabe 5.20

Zeigen Sie, dass

lim [ sin@) dx existiert. >00

Jo

x

Tipp: partielle Integration

.

sin)

Bemerkung. Man kann zeigen, dass —— x

.

.

.

nn.

nicht integrierbar ist und — = lim | 2 oh

! sin(x) —— x

dx.

135 Pearson Deutschland

Integralrechnung

ETW

E-\NT)

Satz 5.7 Sei fn: (a,b) > RmitO O und Zı, Za so gewählt, dass UI, Zı) > Is(f,a,c)—e/2 und Ulf, Z2) > Is(f.c,b)-e/2,

dann folgt: Is(f.a,c) + I4(f.c.b) —& < Ulf, Zı) + Ulf, Z2) = Ulf.Z) = Is(f.a,b).. Dies gilt für alle e, somit folgt die Ungleichung I4(f,a.b) = Ix(f.a,.c)+14(f,c, b) und damit die Gleichheit. Die Behauptung für I* zeigt man analog.

Wir beweisen jetzt Satz 5.10. Esseiv n ist kl!/n! e Z und es

142 Pearson Deutschland

5.11 *Eine schwache Form des Primzahlsatzes*

5.11

*Eine schwache Form des Primzahlsatzes*

Für eine natürliche Zahl n bezeichnen wir mit x(n) die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich n.

Nachfolgend sehen Sie eine kleine Tabelle von x(n), wobei wir in die dritte Zeile die Werte für n/x(n) geschrieben haben. In SAGEMATH ruft man prime_pi(n) auf, um x({n) zu erhalten.

n an) n/x(n)

= = =

10 4 25

100 3 40

1000 168 595

10* 1229 814

10° 9592 1043

106 78498 12,74

107 664579 15,05

108 5761455 17,36

Aus der Tabelle wird ersichtlich, dass wenn n durch 10n ersetzt wird, In(10) wächst. Der Primzahlsatz-von Gauß Anfang des 19. Jahrhunderts hängig von Hadamard und de la Vallee Poussin in 1896 bewiesen-besagt, wenn nn — oo. Für den Beweis braucht man viel mehr Theorie, als wir

10° 50847534 19,67

n/x(n) mit ca. 2,3 vermutet und unabdass =u) Inn) —1, Platz zur Verfügung

haben. Wir zeigen eine schwächere Aussage, aus der schon deutlich wird, dass Primzahlen

L.izerziert für Johannes Gutenberg-Universität Mare,

134.93.109,

gar nicht so selten sind.

Satz 5.13 x(n)= In(2)-

—2 0) (n)

Sei d„ das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen kleiner gleich n. Ist p < n eine Primzahl und «(p) die größte natürliche Zahl mit pP < n, so folgt du =

II

pe


2""2, woraus der Satz folgt: 22

dd

—

—2 Do

ln) > Inl2)-

Sei f(x) = a0 + 1X + + 2mx” ein Polynom mit a; € Z, und a7 # 0 mit der Eigenschaft, dass f(x) > 0 für alle x e (0,1). Dann gilt 1

o 1, also days > 4 > 2X

und dagya > dagrı > 2%.

143 Pearson Deutschland

Integralrechnung

5.12

*Stirlingsche Formel* lol

Satz 5.14 (Stirlingsche Formel) , ‚lim ut __ 1 on Y2rın

[

+1

k

1

In(x)dx = |

In(x

In(x +k)dx

= (x-3) Ina + nl], -[

x-4)

2)

dx

x+k

2

= $1n(k) +4 ink+n-[} (3°- 3x) am

3

dx

Es folgt durch Addition: n

nIn(n)—-n+1= [

In(x) dx = In(2) + ---+In(n—1) + 4 In{n) + hy

1

n—1

Lizerziert für Johannes Guter

»-Universität Mainz, 134.93.109

In==— E

1

(5.2)

1

(3x1,2

_

ı 3x)

GR:

—

dx,Y

= O 0), so ist Ma

1 tät Maire, 134.93.109.1 11 am 14.11

ta

—a3 +4

eine konvergente Reihe. Der Beweis ist nicht besonders schwer. Berühmte Beispiele sind 1,1

1,1

2345

und

1

1,1

35

1,1

79

Wir haben schon gesehen (Aufgabe 5.21), dass die erste Reihe gleich In(2), die zweite Reihe

gleich & ist. Ist jedes a7 nicht negativ, so ist (5) monoton wachsend. Sind die Partialsummen überdies beschränkt, so folgt, dass die Folge der Partialsummen und deshalb aa +aı +a2 +03 +» konvergent ist. Eine der gängigsten Methoden zu prüfen, ob die Partialsummen beschränkt

sind, ist das Vergleichskriterium. Ist 0 < a7 < b„ und schon bekannt, dass bo + bı +b2 ++ konvergent ist, so ist auch ag + a1 + a2 + +: konvergent. Eine schlaue Anwendung dieses Prinzips für den Fall, dass (b„) die geometrische Reihe ist,

liefert das sogenannte Quotientenkriterum und das Wurzelkriterium. Es liefert sogar die absolute Konvergenz der Reihe. Eine Reihe ag +aı +92 +a3 + --- heißt demnach absolut konvergent, wenn die Reihe

laol + laıl + laal + lasl + -konvergent ist. Absolut konvergente Reihen sind konvergent, jedoch sind konvergente Rei-

hen im Allgemeinen nicht absolut konvergent. Reihen, die konvergent, aber nicht absolut

5

konvergent sind, nennt man bedingt konvergent. Mit dem Quotientenkriterium lässt sich die (absolute) Konvergenz vieler Reihen nachweisen, das Wurzelkriterium ist in der Praxis weniger wichtig.

147 Pearson Deutschland

Reihen und Potenzreihen

Absolut konvergente Reihen haben viel schönere Eigenschaften als bedingt konvergente Reihen. Eine dieser Eigenschaften ist der Umordnungssatz: Ist a: Ng — No eine Umordnung, so

gilt: M+a

+

+3 +

= Aw) +Aocı) +Aold) + aaa) +"

Man könnte dies auch als „Kommutativgesetz“ für absolut konvergente Reihen betrachten.

Diese Aussage ist für bedingt konvergente Reihen falsch. Weiterhin gilt auch ein sogenannter „großer Umordnungssatz“ für absolut konvergente Reihen: Ist a;; a: No — No x No eine Abzählung, so gilt:

5.93

Uhr

x

00

R für (i,j) < No x No und

oo

LI i=0 j=0

tom:

n=0

Hieraus leitet man ab, dass Universität Marz, 134.93.109.111 am 14.11 4a

oo

u II 00

00

i=0 j=0

00

j0 i=0

vorausgesetzt, eine der beiden Seiten ist absolut konvergent. Weiter oben haben wir erwähnt, dass e* als Reihe geschrieben werden kann. Tatsächlich gilt

für jedesx e R: x

x

»

S4HSt+stz+" ec tntgttn x_

Allgemeiner nennt man Funktionen der Form ag +aıX + ax? + a3? ++ Potenzreihen. Eine Potenzreihe braucht natürlich nicht für jedes x zu konvergieren: Bei der

geometrischen Reihe 1+x+x? + -- hat man lediglich Konvergenz für |x] < 1.

Lizerziert

für Jol

Für allgemeine Potenzreihen ay+a]X+43x? +a3x°+--- hat man einen Konvergenzradius. Der Konvergenzradius hat die Eigenschaft, dass die Potenzreihe (absolut) konvergiert für |x] < R

und divergiert für |x| > R. Fürx = —R und x = R kann keine allgemeine Aussage gemacht werden. Für die Potenzreihe von e* ist dieser Konvergenzradius gleich ©, für die geometrische Reihe ist er gleich 1. Der Konvergenzradius lässt sich oft mit dem Quotientenkriterium

bestimmen.

Pearson Deutschland

Reihen und Potenzreihen

Differenzieren von Potenzreihen ist einfach. Ist fo) = a +aıx Haar +

+:

mit Konvergenzradius R, so istf differenzierbar für |x| < R und es gilt:

FR) = aı + Aapx + 3ayx? ++» Mithilfe dieser Tatsache lassen sich Potenzreihenentwicklungen verschiedener Funktionen

einfach bestimmen. Zum Beispiel folgt aus der geometrischen Reihe (ersetze x durch —x) __ 1+x

=1-ı+

2 -P+--

und In(1 + x)’ = nn

Ind) = 0, die Logarithmusreihe für |x] < 1:

2

wo

nl49=1-5+7-7+

1:1,

X2

,X 3

esiHntgtntnt Ähnliche Aussagen gelten für die Sinus- und Cosinusfunktion.

Lizerziert für Johan

Universität Mairz, 134.93.109.

Nur aus der Tatsache, dass die Funktion f(x) = e* die einzige Funktion ist mit f(x) = f(x) und f(0) = 1 folgt, dass

149 Pearson Deutschland

Reihen und Potenzreihen

6.1

Konvergenz von Reihen

Es sei (a7) eine Folge reeller Zahlen. Die Folge (s„) mit als Partialsummen sy := Y-94

nennen wir Reihe und bezeichnen diese mit Y&,a;. Konvergiert die Folge der Partialsummen, so bezeichnen wir den Grenzwert ebenfalls mit J}2 „ax. In diesem Fall nennen wir die Reihe konvergent, im anderen Fall divergent. Statt Y7£,a; schreiben wir manchmalao +aı +a2 +03 +:-Wenn die Folge (a,) bein = m anfängt, schreiben wir entsprechend im

Ag.

Satz 6.1

ul

I

1

ı ı

1

1 [1

trttatatnn 1

Die geometrische Reihe: 14x +? +

e

x

ı “

X

x

2!

3!

Ex

nn n=!

+! +... = 1- z für-1 0, sodass Y2,(-1)"a, divergiert. Die Bedingung monoton fallend in dem Leibniz-Kriterium ist deshalb nicht überflüssig. Tipp: Betrachten Sie die geraden und ungeraden Terme separat.

Lösungen

Aufgabe 6.12 Wie groß sollte man N nehmen, sodass die Partialsumme sy von Y2,(-1)"1

2.

Berechnen Sie >, (—DT "

7 bis auf zwei Nachkommastellen.

3.

Berechnen Sie e=! = aa

4.

pr

mit einem Fehler von höchstens 5 - 10.

Berechnen Sie cos(1) mit einem Fehler von höchstens 5 - 10%.

Aufgabe 6.13 _ Untersuchen Sie die Konvergenz der nachfolgenden Reihen.

Me

134.93

2+n

& &

Me

4.

©

n=2n + —— [1 Ir

(-D"n —— (n+n!

5.

(mr+!

8

SE

nzı Vn+3

3

(-1)"

x

(-D"

n=2

Va +1)"

m

_ı)" n=1

Universität Marz,

weniger

als 10? abweicht?

ll

am 14.11

023 um 15 23 Uhr

1.

m(-1)"

z

(1

nn —

\

6.

z

arcsin ((-1)"/n)

$ REWLLLIG)

8

on

213-5. (2n+1)

x tego

Inn) nYn

12. Pie

(Don!

u

„In(2n — 1) — In(n)

Lizerziert für Johanı

n

Aufgabe 6.14

Zeigen Sie, dass e=!, insbesondere e, nicht rational ist.

Tipp: Wäre e”! = p/g, so betrachte g! (2 _ 4 +++

Aufgabe 6.15

194).

Essei (a„) eine monoton fallende Nullfolge und S = DL, (-1)"*!a,. Zeigen

Sie, dass $S = Jaı + 4 EINEN" an Reihe an. Wie gut ist die Annäherung 1 zatz In

pt

— An+1). Wenden Sie diese Idee für die harmonische

(an — An+1)

n=1

für (a,) = 1/n?

155 Pearson Deutschland

Reihen und Potenzreihen

6.4

Das Integralkriterium

Satz 6.6 Seim gilt:

e N und f: [m, ©) —

R+ eine monoton fallende, stetige Funktion. Dann

oo

y.r®

konvergiert genau dann, wennf integrierbar ist.

k=m n—ı

n

3 Uhr

Unabhängig davon ist die Folge (a„) mit an := % f(k) — [ f()dx konvergent und der k=m

2023 um 15:

Grenzwert liegt im Intervall [0, f(m)].

m

am 14.11

m N

Ill

Es reicht, die zweite Aussage zu zeigen. Wir nehmen einfachheitshalber an, dass m = 1. Weilf eine fallende Funktion ist, gilt

FO +9 +

+fu-D= | foddx fd) ++ fin). n

1

Es folgt a, > 0 und

3

n

=)

+

+fn-D- [

n

find)dx

OH

+

+

- |

1

foddr = fü). 1

n+1 Lizerziert für Johannes Gute! !

Es gilt weiter ay+1 — an = f(n) —

fin)dx = 0. Die Folge (a„) ist deshalb monoton

wachsend, beschränkt durch f(1) und deshalb konvergent. Beispiele: oo

EI

Die harmonische Reihe ist divergent: |

Die Reihe >,

1 7

Kar =

1

x

©1

ist konvergent, aa |

lim Int) = x.

>00

ER

dr =1. Selbst 7 5-1

1

e [0,1] und

n=1

somit DR, = e [1.2]. Nach Aufgabe 6.42 (siehe auch Aufgabe 7.20) ist der Wert dieser Reihe gleich n2/6. Die Folge 1 + 3 + 3 +.

+ E — In(n) konvergiert, der Grenzwert wird Euler-

Mascheroni-Konstante genannt und erhält die Bezeichnung y. Es ist ein offenes Problem, ob y rational ist oder nicht. Man glaubt zwar, dass y nicht rational ist, doch ein Beweis der Irrationalität ist bis heute nicht erbracht.

156 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 6.16

)

Benutzen Sie das Integralkriterium, um zu bestimmen, ob die nachfolgenden

EXTRAS

“ONLINE

Lösungen

Reihen konvergieren. 00

oxo

1 —_ nIndn)

%

2.

DE 1

u

1

8)

2 ndın(a))

x

1 n+4

%

6.)a1 na

n=1 n

oo n=2

oo

3.

n2

51

s.

n=1 mr

1.

n —

%

2

In(n“)

n=1

9.

n

Yn +2

©

Detan n=1

Aufgabe 6.17

0,

1,1

Seisn:=1-5+73

1

en

,,1.1

zZ, undn:=1+45 +3 +

+7

1

Inn).

Universität Mairz, 134.93.109.

Zeigen Sie, dass s2, = can — Cn + In(2), und folgern Sie: ı

171

1-54+3-7+=1n®. "

_

.

a

1 10, AlnP

Aufgabe 6.18

Für welche p > 0 konvergiert L

Aufgabe g 6.19

K: onvergiert iert die die Reih Rei .L —? ln) Inn)

Aufgabe 6.20

Seif: [1,©) > R+ wie im Satz 6.6 und s := Yf£., f(k) sei konvergent.

So

1

oo

Lizerziert für Johan

1.

Zeigen Sie, dass 0 k,

a := —_ dD_

k-(k+1)...(k+j)

fürj 0. Dann gibt es ein N mit

A-2E No x No eine beliebige Abzählung, so ist r”' °0: No — Ns eine Abzählung von Np. Aus dem gewöhnlichen Umordnungssatz folgt 00°

00

La = „ An) = _ Arlr-1o(n) = _ An) j0 i=0

n=0

163 Pearson Deutschland

Reihen und Potenzreihen

6.7 _ Potenzreihen EI

Eine Potenzreihe in x ist eine Reihe der Form Deo An".

Der Konvergenzradius R einer Potenzreihe 729 anx" ist gleich: oo

sup Im:

% Anz" istbchränk

.

n=0

5

Satz 6.13 Es sei

72 9anx" eine Potenzreihe mit Konver-

Rn . genzradius R > 0. Dann konvergiert

n 3

für |x| < R absolut, sie divergiert, wenn |x| > R. Die Funktion f(x) = Dan” ist stetiginx = 0.

am 14.112

en

konvergent

en 72.9 aux"

ER

5

E

|

|

divergent

divergent

sität Mairz, 134.93.109.1 11

Ist |x| > R, so ist (a„x") nicht beschränkt und deshalb keine Nullfolge. In diesem Fall divergiert Yanx". Ist |x| < R, so gibt es ein y mit |x| < |yl < R und (a,„y") ist beschränkt. Deshalb gibt es ein K > 0, sodass |any"| < K für alle n. Fürx mit |x] < |y| und n = 1 gilt KIx

lanx" | = Ix1- —

n—1

|=

IylIy

Als

geometrische

Reihe

konvergiert

YX,

Kjx/yl""!

=:

A

und

somit

konvergiert

Yo anx” absolut nach dem Vergleichskriterium. Weiterhin gilt für jedes p: p

x

DL anx"

K

x

< % lanx”| = |x|- —A. Deshalb gilt

n=1

n=1

Iyl

Dana" n=1

K

0 fest

12.

Yıym"

n

Aufgabe 6.36 oo

5

I

n=1 oo

Für welche x konvergieren die nachfolgenden Reihen?

(2x +1)"

n

arctan(e”)

.

% nsin”(x)

4.

n=1

Lizerziert für Johan

(2n — 1)2"7

z

z]lE

GE X

X" _

n=1

Inn

1.

oo I

4.

«

y

n=1 x

an

n

DM

Universität Mairz, 134.93.109.

wo

5

n

n+1 (

Ss

oo 3.

I

+1)" zn

n=1

1

—

2n +1

>> Fr

Aufgabe 6.37 a\._

n)

_ıın

Zen n=1

oo L "x

x

n=1 x

_

. G

1 )

2n+1

6

\x+1

x

n

n2 (n!) gi

Freu! (Zn)!

an

x

= +5)" (x nun +4x

8.

L a

n i - —n sin(e”?)

Für« eR ist der Binomialkoeffizient definiert durch: a-(@—1)-....(@e—n+1)

n!

Zeigen Sie: Für @ # 0,1,2,3.... hat 1+ (1)x + ($)x? +--- den Konvergenzradius 1. Aufgabe 6.38 Zeigen Sie, dass die Potenzreihen SI gleichen Konvergenzradius haben.

,anx" und Yon

+ Day+ıx" den

165 Pearson Deutschland

Reihen und Potenzreihen

6.8

Differenzieren von Potenzreihen

Satz 6.15 Der Konvergenzradius der Potenzreihe f(x) = Ya,x” sei gleich R. Dann ist f(x) für x € (-R,R) differenzierbar und es gilt (=

% Nana.

Sei h gegeben, sodass -R»

rd)

. 1bjl
0 gibt, sodass f(x) < R für Ix| < 8. Deshalb gilt für |x]< ö die Ungleichung |a,f(x)]"< |anR”| und Danfiot

=

Lizerziert für Johannes Guter

n=0

5

Dan-B Br

n=1k=1

ist absolut konvergent. Weil [|

= Bw,

ist auch

>

> An: u

absolut konver-

n=1k=1

gent für |x] < ö. Wir wenden den großen Umordnungssatz an. Für |x] < ö gilt oo

hig&)) = Ian - ga)"= 5 Vanbldt n=1

= L (I

n=1k=1

Ohne Einschränkung ist f(0)=

1. Sei h(a) = Io"

g(X)= 1-f(x). Dann hat f(x) :== h(g(x))= dius nach dem ersten Teil.

“)r

1

= 1% für [x] < 1 und

1/f(x) einen positiven Konvergenzra-

In der Praxis kann man Koeffizienten des Kehrwerts folgendermaßen berechnen: Ist f(x) = Y)anx" und Fo) = bnx" mit f(x) - g(x) = 1, so berechnet man die Zahlen by aus den nebenstehenden Gleichungen.

170 Pearson Deutschland

agbo aobı + aıbo aob2 +aıbı abo

- 1 - 0 = 0

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 6.48

) EXTRAS

Berechnen Sie die ersten sechs Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung

sungen

der nachfolgenden Funktionen: 1 cos(x)

x sin(x)

"

3.

tank)

4

x In1+x)

023 um 15 23 Uhr

Aufgabe 6.49 1. 2. 3.

Seif(x) = BAR

+tan(x). Zeigen Sie: 2f’(x) = 1 +f9?. oo

Schreibe f(x) =

n

% ayx". Zeigen Sie fürn = 1, dass a,41ı = Zm&sD Daran. n=0 n+1) oo

Schreiben Sie ein SAGEMATH-Programm, um a, zu berechnen.

Aufgabe 6.50

x

Wir schreiben

Bıx

Bax?

entre

Ba?

t

Bat

++.

Die Zahlen By, Bı.Ba.... heißen Bernoulli-Zahlen. 1.

Berechnen Sie Bo. Bı. Ba. Ba. Ba.

2.

Zeigen Sie die Formel x,

2

X

_xe/2+ em/2

e-1

22

en/2

und folgern Sie hieraus, dass B3 = Bs = B7 =

3.

(er) 2

Lizerziert für Johanı

4.

=.

Folgern Sie, dass 2.2

rt)

21.4

\2"

2.31

2!

er) 4

Esseien Joa; und 7%, b; absolut konvergente Reihen und 729 cn das Cauchyprodukt der beiden Reihen. Zeigen Sie: oo

.

oo

yDla ID; i=0

5.

.

oo

= I-D"en

j0

n=0

Folgern Sie hiermit, dass x Box? Box! zeotan(x/2) =1-57 +

6.

Bex®

Bex®

ata

Zeigen Sie:

x

tan(x) =_ 2

Dypkri,y, 1)

2% 2

@ZÜ-D-Ba on!

(2x)

2-1

Tipp: Benutzen Sie eine Verdopplungsformel cotan(2x) = ---. 7.

Schreiben Sie ein SAGEMATH-Programm, dass die Bernoulli-Zahlen berechnet.

171 Pearson Deutschland

Reihen und Potenzreihen

6.11

*Der abelsche Grenzwertsatz* oo

Satz 6.20 (Abelsche Grenzwertsatz) Sei a; gente Reihe, so ist f(x) =

O und ein n, sodass |sm — f(1)] < &/4 für m = n. Weil s„(x) als Polynom stetig ist, ist |Sn (X) — Sn] < 8/4 für x nahe bei 1. Es reicht deshalb zu zeigen, dass

Fo) -sn(a)l < 8/2 für alle x e [0,1]. Bemerke, dass p

fe) - sn) = „lim, 5n+p(9) 5n(X) = A

I

.

Sei Ag := Sn+x — Sn. Dann gilt Ag = 0, an 4x = Ar Ar — ISn+x -fDI + FD - sn| < 8/2. Also

3

p

p

2

Yanax"t* un

=

k=1

8

a

»-1 Ar Ay) tkl =

k=1 < Je

fürk = 1 und [Ak | = |sn+x —Sn| £

YA

. (v"**

tk)

+Ay xitp

k=1

p-1

D(atkttktl)

4 he

ntt? =

herr

x.

Wir sehen erneut, dass In(1+x) = x— 5 + x — ++ fürx € (-1, 1], was zunächst für x e (-1,1) bewiesen wurde, auch für x = 1 gültig ist. Genauso argumentiert man für die Reihen für arctan(x) und arcsin(x), siehe Satz 6.16.

172 Pearson Deutschland

Funktionenfolgen Gleichmäßige Konvergenz

Reihen von Funktionen: Weierstraßkriterium Fourier-Reihen Beweis des Satzes über Fourier-Reihen

ÜBERBLICK

Integrieren und differenzieren: Vertauschungsgesetze

Funktionenfolgen

LERNZIELE M Funktionenfolgen: gleichmäßige und punktweise Konvergenz m Eine gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen konvergiert gegen eine stetige Funktion. M Vertauschen von Grenzwert und Integral m Gleichmäßige Konvergenz von Reihen: das Weierstraßkriterium = Fourier-Reihen

Sei A eine Teilmenge von R. Ist für jede natürliche Zahl n eine Funktion fn: A — R gegeben, so sprechen wir von einer Funktionenfolge. Wir behandeln zwei Konvergenzbegriffe: die der punktweisen Konvergenz und die der gleichmäßigen Konvergenz. Punktweise Konvergenz ist hierbei einfach: lim, oo fn = f, wenn für jedes x € A gilt, dass die Folge (fn(x)) gegen f(x) konvergiert. Die wichtigsten Sätze in diesem Kapitel benötigen jedoch eine andere Konvergenz. Hierzu betrachte man den „Abstand“ ||f — g]|a zwischen zwei Funktionen f,g: A— R. Der Abstand ist das Supremum von |f(x) — g(x)| für x € A. Dann heißt (f„) gleichmäßig konvergent gegen f, wenn es für jedes e > 0 ein N gibt, sodass || —fn]|a < & für jedes n > N. Kurz: (|f — fn||a) ist eine Nullfolge.

Lizenziert für Johannes Guter

-Universit

Im nachfolgenden Bild wird diese Definition erläutert.

L fn

Hier ist um die Grenzwertfunktion f(x) ein hellblauer Streifen zwischen f(x) — e und f(x) + e

gezeichnet. Für alle hinreichend großen n muss der Graph von f„ dann in diesem Bereich liegen. Zum Beispiel ist die Funktionenfolge f„(x) = x" konvergent auf dem Intervall [0, 1], aber nicht

gleichmäßig konvergent.

Pearson Deutschland

Funktionenfolgen

Die wichtigsten Sätze, welche wir beweisen, sind die nachfolgenden. Sind f,: [a,b] — R stetig und konvergiert (f„) gleichmäßig gegen f: [a,b] — R, so gilt: ©

f ist stetig.

b

b

b

[ foddır = [ „im a

nto)dx = lim | fn@d)dx

a

a

Es lässt sich ebenfalls ein Vertauschungsgesetz für das Differenzieren formulieren.

Grenzwert zu vertauschen, siehe Aufgabe 5.22. Hier ist ein Beispiel von stetigen Funktionen auf [0, 1]: D 0, wenn fa +9)=fin)

175 Pearson Deutschland

Funktionenfolgen

für allex € R. Man bemerke, dass f durch Werte auf einem Intervall [a,a+c) oder auch (a,a+c] festgelegt ist. Hier kann a beliebig sein. Istf periodisch mit Periode c, so istf auch periodisch mit Periode 2c, 3c, ... Istf periodisch mit Periode, aber nicht für c’ mit0 < c’ < c, so heißt c die minimale Periode oder auch einfach Periode vonf. Die einfachsten periodischen Funktionen, die wir kennen, sind natürlich die Funktionenen sin(x) und cos(x). Diese haben Periode 2x.

Eine beliebige periodische Funktion lässt sich durch Skalieren in eine 2x-periodische Funktion umschreiben. Wir werden deshalb nur 2x-periodische Funktionen betrachten. In der Praxis

kommen solche periodischen Funktionen oft vor. Man denke z.B. an Audiosignale oder EKGSignale. Es ist deshalb wichtig, solche periodischen Funktionen gut beschreiben und verwalten zu 15:23 Uhr

können. Dies ist die Aufgabe der Fourieranalysis. Wir beschreiben kurz die Idee. Wir haben gesehen, dass man viele Funktionen durch das n-te Taylorpolynom approximieren kann,

4 023 um

Taf) = f(0) + FOX + SFOr

4ee+

or" .

Dieses Taylorpolynom ist für kleines x eine gute Approximation von f(x). Was ist aber, wenn x groß wird? Betrachten wir die Funktion f(x) = sin(x). Wir zeigen ein Bild des Graphen von fix) und Taf) =ı- Ir + +.

sin(x)

x

3

x”

Tasin(x) =x- — + — 6120

5

Wir sehen: M

Die Approximation ist gut beix = 0,

m

Die Approximation ist schlecht bei x = x: sin(r) = 0, aber

Lizerziert für Johan

Tasin(x) = x - Um)? + hr

0,52.

Die Idee ist, statt der „Basisfunktionen“ W,n.... die Funktionen 4,

cos(x), cos(2x), cos(x),

...

sin(x), sin(2x), sin(3x), ... zu benutzen. Man möchte also eine Funktion f(x) schreiben als oo

oo

= Zao + % Ay cos(nx) + „ by sin(nx) . n=1

n=1

176 Pearson Deutschland

Funktionenfolgen

Somit beschreibt man eine beliebige 2x-periodische Funktion als „Superposition von Wellen“. Diese Darstellung der Funktion nennt man die Fourierentwicklung von f.

Hier ist ein Beispiel. Es gilt für die 2r-periodische Funktionf mit f(x) = |x| für x e [-x. n] die Fourierentwicklung x

4

fo) = 32

(cos

+

cos(3x) 2

_ cos(5x) 52

+).

Wir haben im nachfolgendem Bild die Funktion n 4 5-2

(e@+

cos(3x) _ cos(5x) 32

+

52

)

dargestellt für x € [-8.8].

Wir werden in diesem Kapitel nur einen kleinen Teil der Fouriertheorie behandeln, dies ist

aber ausreichend für schöne Anwendungen.

Lizerziert für Johan

Universität Mairz, 134.93.109.

a

177 Pearson Deutschland

Funktionenfolgen

7.1

Gleichmäßige Konvergenz

A sei eine Menge von reellen Zahlen und f: A

—

R. Wir definieren |[f]] :=

|Iflla

:=

supf[f(@&)]: x € la. bl}. Dieses Supremum kann unendlich sein. Ist A ein abgeschlossenes Intervall und f stetig, so ist If eine endliche Zahl, da f ein Maximum und ein Minimum hat.

Eine Folge von Funktionen (f}) mit fa: A — R konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn die Folge von reellen Zahlen (J[f — fn]]) eine Nullfolge ist.

Die Folge (f„) konvergiert punktweise gegen f, wenn (f„(x)) eine konvergente Folge mit Grenzwert f(x) für alle x e

[a,b] ist.

Ist (If Fa |) eine Nullfolge,x € A und e > 0, dann gibt es ein N mit |[f-fa|| < & fürjedesn = N.

Es folgt, dass |f(x) —fn(x)] < & für fast alle n. Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt deshalb die punktweise Konvergenz. Die Umkehrung gilt nicht, siehe das Beispiel weiter unten.

Lizerziert für Johannes Gutenberg-Universität Marz,

134.93.109

Ill

am 14.11

2023 um 15

3 Uhr

El

Satz 7.1 fn: [a,b] — R sei eine Folge stetiger Funktionen. Konvergiertf„ gleichmäßig gegen f: a.b] — R, so istf stetig.

Sei c € [a,b]. Wir beweisen die Stetigkeit von f in c. Sei & > 0 gegeben. Dann gibt es ein n mit |f — full < &/3. Die Funktion fi, ist stetig in c. Also gibt es ein ö > 0, sodass für alle x e [a,b] und |x —c] < ö gilt: |n(X) —fn(o)| < &/3. Für solche x gilt:

If) fol

= fr) Fand] + Ind no)

+ Inte) -Fo)|

0. Dann gibt es ein N, sodass |f(x) — fn(x)| < &/(b a) für allen = N und allex e [a,b]. Es folgt: b

b

\ fo) -ud)dr

/[ Fo) -ua)ldx

für

>00

Satz 8.3 El

(@,) konvergiert gegen p genau dann, wenn jede Koordinatenfolge (ax;) gegen p; konvergiert. Ist ax < A und konvergiert (az) gegen a, dann gilt a e A. A ist abgeschlossen genau dann, wenn für alle konvergenten Folgen (ax) mit ax € A der Grenzwert in A liegt.

tät Maine, 134.93.109.

1]

Angenommen, (ax,;) konvergiert gegen pi für jedes i. Ist LI eine Umgebung von p, so gibt es einen offenen Quader (b1.cı)x---X (by. cn) CU, derp enthält. Dann ist a;; € (b;.c;) für fastallei und damit a; € U für fast alle U. Nehme umgekehrt an, (ax) konvergiert gegen p. Ist p; € (bj. c;), so ist p € (b1.cı) xx (bu. cn) =: Q. Also ist ax ein Element von Q und somit ar; € (bj. c;) für fast alle i.

un,

Pe

j m

u "|...

unaıl . r

3

\ u

ee

$ $ F

Ist U eine Umgebung von a, so gilt a; € U für fast alle k und a; € A für alle k. Jede Lizerziert für Johannes Gutenberg-Uni

Umgebung von a enthält deshalb Elemente von A, somit ista e AUdA=A. Ist A abgeschlossen, so hat nach 2. jede konvergente Folge ihren Grenzwert in A = A. Für die Umkehrung, sei p e A.Fürk e N sei Ur = (pı - 1/k,pı + 1/k) x x (pn — 1/k, pn + 1/k). Dann enthält Uk einen Punkt ax € A. Nach der ersten Aussage konvergiert (ax) gegen p. Nach Annahme ist dann p e A, also A = A und A ist abgeschlossen. Ilalloo = maxflaı |. |a2].- - - . an|} wird die ©-Norm von a genannt. Folgende Aussagen sind einfach nachzuweisen. Satz 8.4

EI

all > 0 und ]allo =0 && a=0. IA -alloo = IA - |alloo für allea e R" undA eR.

|la + blloo = llalloo + Ilblloo für alle a,b « R". EI

ist (a,) eine Folge in R", so gilt lim 4 =p ko

>

196 Pearson Deutschland

lim

k>00

|lat -Ppllo = 0.

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 8.12

)

Essei (a,) eine konvergente Folge in R" und A = {ax: k e N}. Bestimmen Sie

EXTRAS

ONLINE

lösungen

A°, A und 9A.

Aufgabe 8.13 1.

Aufgabe 8.14

2.

x=(1,1,1)

3.

x=(-4,3,1,2).

Essei

2.

Bestimmen Sie eine konvergente Folge (a;), a; € A, aber der Grenzwert von (a) ist nicht in A.

3.

Bestimmen Sie eine konvergente Folge (a;), a; € A, aber der Grenzwert von (a;) ist nicht in A.

Aufgabe 8.15 EsseiB CR" und A B. Zeigen Sie, dass A abgeschlossen in B ist genau dann, wenn jede konvergente Folge (ax) mita; e A und Grenzwert in B schon ihren Grenzwert in A hat.

493

Zeigen Sie, dass A weder offen noch abgeschlossen ist. Fertigen Sie eine Skizze von A an.

am 14.11

A={(x,y) e R?: [x] + |yl 0o

4.

ag —alı

=0

>

lim |at —allo =0. k>00

Essei | - || eine Norm auf einem Vektorraum V. Zeigen Sie, dass für alle v,w e V die Ungleichung | lol] — wl] | = ||o — w|| gültig ist.

Aufgabe 8.17_ (Cauchy-Kriterium) Sei (a) eine Cauchyfolge in R" (siehe auch Abschnitt 1.9). Dies bedeutet, dass a. e R" und für jedes e > 0 gibt esein N e N, sodass für allek,£ = N die Ungleichung |lax — ay||oo < € gilt. Zeigen Sie: Eine Folge (ax) mit a; € R" ist konvergent genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

197 Pearson Deutschland

Topologische Begriffe und Stetigkeit

Tate W al atelstzlı) El

sei A < R". Eine Funktionf: A — R” heißt stetig ina e A, wenn gilt: Für jede Umgebung V von f(a) existiert eine Umgebung U von a, sodass f(x) e V für alle xe UNA. Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in allen a € A stetig ist. Sei a ein Häufungspunkt von A und g definiert durch g(x) := f(x) fürx e A,x #a und g(a) := b. Ist g stetig in a, so schreiben wir !im nf )=b.

Satz 8.5 3 Uhr

(a) SeiACR",f: AR"

.

undae A. Äquivalent sind:

2023 um 15:

EI / ist stetig in a. Für jede Umgebung V von f(a) ist f"!(V) eine Umgebung vonainA. Folgenstetigkeit: Ist ag € A und lim ax = a, dann gilt

am 14.11

„im fa) =fla). (b)

Äquivalent sind:

Ill

EI /: A

R" ist stetig.

Für U CR" offen ist (U) offen in A. FürZ C R” abgeschlossen ist f"!(Z) abgeschlossen in A.

(a)

3

1.

2.

1.besagt, dassa e U Cf(V), also gilt die zweite Bedingung.

2. —>

3.

Nehme eine Umgebung V von f(a). Zu zeigen ist, dass f(a,)

V für fast

alle k. Nun ist f"!(V) eine Umgebung von a e A, also a; e f"\(V) für fast alle k. Es folgt, dass f(a;) € V für fast alle k.

Lizerziert für Johannes Gute! !

3. —> 1. Wenn 1. falsch wäre, so gibt es eine Umgebung V von f(a), sodass für jede Umgebung U von aeinx e UNA existiert mit f(x) & V. Nehme U; = (aı — 1/k.aı + 1/k) x --- x (an — 1/k.an + 1/k) und ein x; e U; mit f(x.) € V. Dann konvergiert (xx) gegen a, aber (f(xx)) konvergiert nicht gegen f(a), Widerspruch!

(b)

1. &

2

Esseif stetig und a e U. Dann ist f"!(U) eine Umgebung von a in A,

also ist f! (UI) offen in A. Sei umgekehrt f!(L1) offen in A für alle U < R" offen. Sei ae A und W eine Umgebung von f(a). Dann gibt es eine offene Umgebung LI C W von f(a), deshalb ist f"!(UI) offen in A und somit ist f!(W) eine Umgebung von a in A. 2. = 3. Sei Z abgeschlossen. Dann ist Z“ offen, also f=1(Z°) = Kz))° offen und somit f"1(Z) abgeschlossen. Die Implikation 3. — 2. zeigt man analog. Beispiel:

El

Ist: A— Bundg: B — C, mit f stetig in a und g stetig in f(a), so istgof: A— C stetig in a, vgl. Satz 2.2.

Die Addition +: R? > R, gegeben durch +(x, y) := x + y, ist stetig, weil sie folgenstetig ist, siehe Satz 1.4. Ebenso ist die Multiplikation stetig. Mit Induktion folgt, dass (x1..... X) X ++ Xn usw. stetig ist.

198 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

) 5;

Aufgabe 8.18 EsseiA CR",f:A— R” und a ein Häufungspunkt von A. Zeigen Sie die Äquivalenz der nachfolgenden Aussagen. 1. Iimfo)=b. 2.

Fürjede Umgebung V von b existiert eine Umgebung LU von a in A mit f(x) e V für alle fa}.

3.

Istag e A\ fa} und

4.

Fürallee

lim a; = a, dann gilt lim f(a,) = b.

k>00

k>00

> 0 existiert ein ö > 0, sodass für alle x e A mit 0
00) X + y2

lim

(0,0)

10.

lim

(0,0)

2 + y +1-1

In

Ir? a2y? +3 irn “ry

-y+2/R-2 Syria x

u

Essei || - | eine beliebige Norm auf R”.

Seileı...., en) die Standardbasis von R" und € := lei | + -- + |len||. Zeigen Sie, dass für

Lizerziert für Johanı

allex € R" die Ungleichung ||x]] < C]Ix||o gilt. 2.

Zeigen Sie, dass ||

|]: R" —R

stetig ist.

Aufgabe 8.21 Essei A: R" — R” eine lineare Abbildung und |] - | eine Norm auf R"”. Zeigen Sie, dass v — ||A(v)|| eine stetige Abbildung von R" nach R ist.

Aufgabe 8.22

Sei AcC R" und seif: A— R”. Wir setzen

Iflla = supt if:

x

Ay < [0. ©].

Eine Folge von Funktionen f£: A

—

IR” heißt gleichmäßig konvergent gegen f, wenn

(If Alla) eine Nullfolge ist.

1.

Seif: A—

R” stetig und (fx) gleichmäßig konvergent gegen f. Zeigen Sie, dass (f{(x))

für jedes x € A gegen f(x) konvergiert und dassf: A — 2.

Seillfkrı fella

R” stetig ist.

Ak f-ılla fürk = 1,2,.... Zeigen Sie, dass die Folge (fx) gleichmäßig

konvergiert.

Tipp: gk := fk —fk—ı und Satz 7.5

Pearson Deutschland

Kine Lösungen

Topologische Begriffe und Stetigkeit

8.5 EI

Bolzano-Weierstraß, Maxima

und Minima

Eine Menge A < R” heißt beschränkt, wenn es ein B e R gibt mit |[al|oo = B für alle a € A. Eine Folge (a;) heißt beschränkt, wenn {a;: k € N} beschränkt ist.

Sei A c R”. Eine Menge A < R” heißt folgenkompakt, wenn jede Folge (ax) mit a; € Aeine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in A hat. SeiA

c R". Ein f: A—

R hat in a ein (globales) Minimum (bzw. Maximum) f(a),

wenn für allex e A gilt f(x) = f(a) (bzw. f(x) = f(a)). f hat ein (globales) Extremum 3 Uhr

f@) in a, wenn f in a ein globales Maximum oder Minimum hat.

2023 um 15

Satz 8.6

El

(Bolzano-Weierstraß) Sei (a4) eine beschränkte Folge in R”. Dann hat (ax) eine konvergente Teilfolge.

am 14.11

ACR" ist folgenkompakt > El

A ist abgeschlossen und beschränkt.

Ist AC R folgenkompakt und nichtleer, so hat A ein Maximum und Minimum. Gs seif: A— R” stetig. Ist A folgenkompakt, so auch f(A) = {f(a): a € A}.

tät Maine, 134.93.109. Ill

Ist m = 1, so hatf ein Maximum und ein Minimum.

El

Der Beweis erfolgt mit Induktion nach n. Für n = 0 gibt es nichts zu zeigen. Schreibe ax = (X. yk) mit xx e R und yk € R"=1 Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß für

reelle Zahlen (Satz 1.10) gibt es k(1) < k(2) < ---, sodass xy).

ea)... gegen einx €

R konvergiert. Die Folge (mo) hat nach Induktionsvoraussetzung eine konvergente Teilfolge: Es existieren j(1) < j(2) < ---, sodass yp(c1y)- Yageay). - .. Konvergiert gegen

ein y e R"”1. Dann konvergiert ag(()). Ad)... gegen (x, y) € R". Sei A eine folgenkompakte Menge. A ist abgeschlossen, weil jede konvergente Folge

seinen Grenzwert in A hat. Angenommen, A ist nicht beschränkt. Nehme a; € A mit laklloo > x. Seia € A Grenzwert einer Teilfolge. Dann gilt ||ar —alloo < 1 für unendlich viele k, also |a;||oo < |alloo + 1 für unendliche viele k, Widerspruch! Es sei umgekehrt A abgeschlossen und beschränkt. Jede Folge (a,) mit ax € A ist beschränkt. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat (a;) eine konvergente Teil-

folge mit Grenzwert a. Dann ista € A, weil A abgeschlossen ist. Sei® # A cC R abgeschlossen und beschränkt, so ist zu zeigen, dass sup(A) e A. Für alle k e N gibt eseina; e Amit a; e (sup(A) — 1/k,sup(A)]. Dann gilt sup(A) = lim; 000: € A und A hat ein Maximum. Für das Minimum argumentiert man analog.

EI

Wir brauchen nur die erste Aussage zu zeigen. Angenommen, bj, br. bs... ist eine Folge in f(A). Dann wähle a; e A mit f(a;) = b; für i = 1,2,3,... Weil A folgenkom-

pakt ist, hat a1,a2,a3,... eine konvergente Teilfolge axj) für k(1) < k(2) < ---, deren Grenzwert wira nennen, und a e A. Dann gilt

fa) = ‚im, Far) = ‚im, be): Also hat (b;) eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in f(A).

200 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

)

EXTRAS

“ONLINE

Aufgabe 8.23

Geben Sie eine Folge ((X. yn)) in IR? an, die keine Häufungspunkte besitzt,

Lösungen

für die aber die Komponentenfolgen (x). (yn) in R jeweils mindestens einen Häufungspunkt besitzen.

Il am 14.11

(023 um 15:23 Uhr

Aufgabe 8.24 kompakt ist.

Es sei A eine beschränkte Menge in R". Zeigen Sie, dass der Rand 9A folgen-

Aufgabe 8.25 Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen: 1. Eine nichtleere Menge A < R" ist genau dann folgenkompakt, wenn jede stetige Funktionf: R" — R aufA ihr Maximum annimmt. 2.

Eine Funktion f: R" — R ist genau dann stetig, wenn für jede folgenkompakte, nichtleere TeilmengeA < R” gilt: supff(x): xe A} = maxff(x): xe A} und

Aufgabe 8.26

infff():xe A} =minff(x):xe A}.

Ist: A— R mitA CR", so hatf ein lokales Minimum (bzw. lokales Maxi-

mum) ina € A, wenn es eine Umgebung LU von a gibt, sodass f(x) = f(a) (bzw. f(x) = f(a)) für allexeUNA. 1. Seiflix.y) = (y- 2y — x2). Fertigen Sie eine Skizze der Menge, definiert durchf = 0, an. Zeigen Sie, dass f kein Maximum und kein Minimum hat, jedoch (mindestens) ein

lokales Minimum. 2.

Seifay)=(y+1)- (X? +y — 5). Zeigen Sie, dassf kein Maximum und kein Minimum hat, jedoch (mindestens) ein lokales Maximum und ein lokales Minimum.

Aufgabe 8.27

Essei | - | eine Norm auf R". FürA e R"*” definiere

Lizerziert für Johannes

IA] := maxtllA@I: Ir = 1}: 1.

Zeigen Sie, dass diese Definition sinnvoll ist.

2.

Zeigen Sie, dass |]A]] eine Norm auf R"*” definiert.

Aufgabe 8.28

AxBCc

Essei A CR”

folgenkompakt und B C R” folgenkompakt. Zeigen Sie, dass

R"*+" folgenkompakt ist.

Aufgabe 8.29

Es seien A, B Teilmengen von R” und

A+B:={p+g:peAundgeb}.

1.

Angenommen, A und B sind folgenkompakt. Ist dann A + B auch folgenkompakt?

2.

Angenommen, A + B ist folgenkompakt. Sind dann A und B

beide folgenkompakt?

201 Pearson Deutschland

Topologische Begriffe und Stetigkeit

8.6

Abstand

Für a,b € R" definieren wir

ER all = lal2 = Jar +--- +, die2-Norm von a. d(a, b) := |la — b]], den Abstand von a zu b. (a,b) := aıbı + -- + anbn, das Skalarprodukt.

Satz 8.7 2023 um 15:2 3 Uhr

EI:

gelten die Ungleichungen ||a]|o = |lalla und |lalla = Yn- |alloo-

lim 2 =a ko

>

|Iim |lar-allo =0

>

lim |a alla =0.

k>00

k>0o0

Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie eine Vereinigung von offenen Würfeln ist

= =

EI

und genau dann, wenn sie eine Vereinigung von offenen Bällen ist (siehe Definition auf Seite 192). Eine Funktionf: A— R" ist stetigina e A > für alle & > O gibt esö > 0, sodass für allex e A mit ||x —al| < ö gilt, dass ||f(x) — f(a)]| < e.

»-Universität Mainz, 134.93.109

Dies gilt sowohl für die |] - ||oo-Norm als auch für die | - ||a-Norm.

EI

(Pythagoras) Ist (a,b) = 0, so ist ||a + b]]? = |la]]? + |[bI]2.

MEI

(Cauchy-Schwarz-Ungleichung) |(a, b)| = |ja]] - ||bl] für allea,b « R. (Dreiecksungleichung) ||a + b]] = ]ja]] + ||b]] für allea,b e R".

EI

| = lallo, also at +--- +07 = Yn- Jal% = Vnllalloo-

2

ze

-

|la]|oo = la;| für ein i und somit all

=a< i > a +.

+02.

Diese Aussage folgt sofort aus der ersten Aussage. Jeder offene Quader enthält einen Würfel Boo(a,e) und dieser

en (

)

Lizerziert für Johannes Guter

den offenen Ball Bz(a, 2). Umgekehrt enthält jeder offene Ball 2

Ba(a,&) den offenen Würfel Boo(a, e//n). a Die Menge B(f(a),e) ist offen, somit ist f"(B(f(a), &)) offen in A, d.h., es gibt einen

B(a, 8) mit Zentrum a, sodass B(a,ö) N A 3 a. Dies ist genau die Aussage des Satzes. Diese Aussage rechnet man sofort nach. wahr füra = 0. Sei a # 0 und x,(b) :=

Dann gilt (b-xa(b).a) = (b,a) — KA

(a,b) - a die Projektion.

a 1a?

5

na(b)

(a,a) =0.

all? Aus Pythagoras folgt |Ix.(b)]]? = ||bII?. Hieraus folgt |(a, b}| = |lall - |IbllIla + 6]? = (a,a) + 2(a,b) + (b,b) = Jlal]? + 2ilall - IIbl] + 1161? = (Ilall + 161°. Sind a,b e R" beide ungleich 0, so definieren wir /(a,b) e [0,r] durch die Bedingung (a,b) = |lal] - ||bl| - cos(/(a,b)). Diese Definition ist sinnvoll, wegen der Cauchy-SchwarzUngleichung. Ist (a, b) = 0, so nennen wir a orthogonal zu b, Notation a L b.

202 Pearson Deutschland

(

Aufgaben

N

Aufgaben

Aufgabe 8.30 Berechnen Sie |la]] = |lall2 für die nachfolgenden Vektoren a e R". 1. a=(-1,2,3) 2.

a=(1,2,3,4)

3.

a=(1,1.1,1)

EXTRAS

LINE

Lösungen

‚Zi ( 223 um 15:23 Uhr

Aufgabe 8.31 Berechnen Sie (a, b) und /(a, b) näherungsweise in den nachfolgenden Fällen. 1. a=(1,-2,3) und b = (2,1,4)

S

2.

a=(2,4,—2,1) und b = (2,4, —1,3)

3.

a=(1,—3,4) und b = (-1,3,—3)

Aufgabe 8.32

Wann gilt Gleichheit in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung?

Aufgabe 8.33 Es sei A eine abgeschlossene Menge in R" und p e R”. 1. Zeigen Sie, dass d(x,p): A — R" ein Minimum hat. Dieses Minimum nennt man den Abstand d(p, A) von p zu A.

2.

Hatd(x,p): A— R auch ein Maximum für alle abgeschlossenen Teilmengen A?

3.

Zeigen Sie, dass d(p, A) eine stetige Funktion von p ist.

4.

Esseien B eine abgeschlossene Teilmenge von R" und A sei folgenkompakt. Zeigen Sie, dass es Punkte p e A und q e B gibt, sodass für allex e A und y e Bgilt, dass d(x, y) =

d(p.q). Diese Zahl nennt man den Abstand von A zu B, Notation d(A,B).

Lizerziert für Johannes Gutenberg-Univ

5.

Gilt diese Aussage auch, wenn A und B

lediglich abgeschlossen sind?

r 6.

SeiB= {(x,x?):xe R} und p = (6,3). Berechnen Sie d(p, B).

Pearson Deutschland

203

Topologische Begriffe und Stetigkeit

8.7

Das Lemma von Lebesgue und Kompaktheit

Satz 8.8 (Das Lemma von Lebesgue) Für B CR”, ist der Durchmesser ö(B) von B definiert durch ö(B) = supfllx — yl|: x.y € B}. Sei A C R" eine folgenkompakte Menge, U; füri € I offen und A C Ujerll;. Dann gilt: Es existiert eine Zahl A > 0 (Lebesgue-Zahl für UI;) mit folgender Eigenschaft:

2023 um 15:2 3 Uhr

Ist BC R" mit BN A # W und ö(B) < A, so gibt eseinieImitBC

U.

»-Universität Mainz, 134.93.109

Annahme falsch. Dann ist Ak = 1/k keine Lebesgue-Zahl. Es existiert somit eine Menge B; mit B&NA # ® und ö(B;) < 1/k, jedoch Bk £ U; für alle i. Wähle einen Punkt p; € B«NA. Seip € A Grenz-

wert einer Teilfolge von (pg). Dann ist p e U; für ein i. Nehme

|

& > O mit B(p,e) C U; und seij > 2/e mit pj € B(p,e/2). Es gilt &(B;) A mit y(0) = p und y(l) = q. Dann istfoy: [0,1] — {0,1} stetig und surjektiv. Diese Aussage widerspricht dem Zwischenwertsatz! Sei A offen und zusammenhängend und p e A fest. Wir definieren: U := {x e A: pund x können durch einen Weg in A verbunden werden} V := {re A: p und x können nicht durch einen Weg in A verbunden werden} Zu zeigen ist, dass V = ®. Weil UN V offenbar die leere Menge und A zusammenhängend ist, reicht es zu zeigen, dass LI und V offen sind. Sei x gegeben und r > O mit B(x,r) C A. Nehme zunächst x e U und y e B(x,r). Sei y: [0,1] — A stetig mit y(0) = p und y(1) = x. Wir zeigen, dass y e U. Betrachte dazu den stetigen Weg:

so

te[o.}] @-2)x +2@t-1y

p

y

v

tel4.1]

Dieser verbindet p und y, also ist LI offen.

Ist dagegen x e V und wärey e UI, so können wir analog einen Weg von p über y nach x konstruieren. Also ist auch y e V und deshalb V offen.

206 Pearson Deutschland

V

Aufgaben

(

Aufgaben

) EXTRAS

Aufgabe 8.43 EsseiA c R" mit A # ® und A # R". Zeigen Sie, dass der Rand dA von A eine nichtleere Menge ist.

Lösungen

Aufgabe 8.45 Zusammenhängende Mengen brauchen nicht wegzusammenhängend sein. Eines der bekanntesten Beispiele ist die „topologische Sinuskurve“, gegeben durch

am 14.11

En 1.

Benutzen Sie die vorherige Aufgabe, um zu zeigen, dass S zusammenhängend ist.

2.

Seiy: [0,1] —

134.93

3.

Universität Marz,

zu

S:={(x,y) € Rd:x> 0,y = sin(1/x)} U {(0,0)} .

ll

023 um 15 23 Uhr

Aufgabe 8.44 Sei A c R" zusammenhängend und A c BC A. Zeigen Sie, dass auch B zusammenhängend ist. Tipp: Zeigen Sie, dass es keine surjektive Abbildung f: B — {0,1} gibt.

$ stetig mit y(0) = (0,0). Zeigen Sie, dass y(t) = (0,0) für allet e [0, 1].

Folgern Sie, dass S nicht wegzusammenhängend ist.

Aufgabe 8.46

1.

Sind A und B zusammenhängend und ist AN B # ®, so ist A U B zusammenhängend. Zeigen Sie diese Aussage.

2.

EsseiA CR". Die Relation — sei gegeben durch p — q genau dann, wenn es eine zusam-

menhängende Menge B < A gibt mit p,gq € B. Zeigen Sie, dass — eine Äquivalenzrelation ist. Die Äquivalenzklassen von — nennen wir Zusammenhangskomponenten von A.

3.

Wiederholen Sie die Aufgaben für den Begriff Wegzusammenhang. Man erhält den Begriff

Lizerziert für Johanı

Wegzusammenhangskomponenten.

Aufgabe 8.47_

Was sind die (weg-)zusammenhängende Teilmengen von R?

Aufgabe 8.48

Seif: A— R” stetig. Zeigen Sie:

1.

Ist A wegzusammenhängend, so ist f(A) auch wegzusammenhängend.

2.

Ist A zusammenhängend, so ist auch f(A) zusammenhängend.

Aufgabe 8.49

Ist Q" C R" zusammenhängend?

Aufgabe 8.50

Betrachte die Teilmenge

A= 1.

([0, 1] x {0}) U (503 x [0, 1])) U URL, ({1/n} x [0, 1]).

Fertigen Sie eine Skizze von A an.

2.

Zeigen Sie, dass A wegzusammenhängend

3.

Seip= (0,1). Zeigen Sie, dass B(p, 1) N A nicht zusammenhängend ist.

ist.

207 Pearson Deutschland

Topologische Begriffe und Stetigkeit

8.9

Gleichmäßige Stetigkeit

Eine Funktion f: A— R” heißt gleichmäßig stetig, wenn: Für alle e > 0 existiert ein d = ö(e) > 0, sodass für alle x,a e A mit || — al] < ö die Ungleichung |[f(x) — f(a)]| < € gilt. Insbesondere istf stetig auf A. Für allea € A kann man das gleiche ö = ö(e)

nehmen. Beispiel: Wir zeigen, dassf: (0,1] — R mit f(x) = 1/x nicht gleichmäßig stetig ist. Dann ist also zu zeigen, dass ein > 0 existiert, sodass es für alleö > 0 Zahlen x,a e (0, 1] gibt mit |x—a]| < 8, aber |f(x)—f(a)] = e. Sei e=1.Istö > 1, so nehmen wira = 4 und x =1.Istö < 1, so nehmen wiraie 323

R” stetig und A abgeschlossen und beschränkt. Dann istf gleich-

Lizerziert für Johannes Guter

g-Universität Mair, 134.93.109.

mäßig stetig auf A. Sei € > 0. Wegen Stetigkeit vonf auf A gibt es zu jedem y e A ein ö(y, e), sodass für alle

x e Amit ||x —y|| < ö@y. &) die Ungleichung ||f(x) -fy)I < &/2 gilt. Die offenen Mengen By, ö(y, e)) überdecken offensichtlich A. Sei ö = ö(e) eine Lebesgue-

Zahl für diese Überdeckung. Ist ||x—a]| < 8, so folgt x,a € B(y,ö(y. &)) für mindestens ein y. Hieraus folgt f(x) -f(y)]| < 8/2 und ||f(a)-f(y)|| < /2 und mit der Dreiecksungleichung

folgt fa

= fd FI

+ IF) fall $ und deshalb:

IP@)| = lzl"1 + r(@)] = $-|zl" > A = |p(O)] . Die stetige Funktion |p(z)| (wobei wir C als R? auffassen) hat ein Minimum auf der kompakten Menge |z| = R, siehe Satz 8.6. Weil |p(z)]| = |p(0)] für ]z2]| = R, hat |p(z)| auf ganz C ein globales Minimum. Dieses Minimum sei |p(a)| und wir möchten zeigen, dass dieses Minimum gleich 0 ist. Angenommen, p(a) # 0. Wir betrachten das Polynom f(z) := p(z+a)/p(a). Wir müssen zeigen, dass eseinz e C gibt mit |f(z)| < |f(0)] = 1. Wir schreiben

Lizerziert für Johannes Guter

fo) =1+bz + +12) für ein Polynom hi) und b # 0. Wähle einA e C mit A" = —1/b. Eine solche Zahl gibt es wegen Satz 3.13. Sei

26) =fA2) =1-f+ FH u),

he) = bo ++

bel.

Mit B:= |bol + ++ + |bgl gilt Ih(z)| = B für allez mit ]z| 0 für alle t e I.

Zwei parametrisierte Kurven c: 1 > R" und y: ] — R" heißen äquivalent, wenn es eine Parametertransformation p: I — J gibt mit yo

= c. Dies ist tatsächlich eine

Äquivalenzrelation. Eine parametrisierte Kurve y: 1 — R" heißt nach Bogenlänge parametrisiert, wenn

L.iizerziert für Johannes Gutenberg-Universität Mare,

134 93.109.111

am 14.11

2023 um

15:

Iy’oll = 1 für allet e I.

Satz 9.1 Seic: I — R" eine reguläre Kurve. Dann gibt es eine zu c äquivalente, nach Bogenlänge parametrisierte Kurve y: ] > R". y ist bis auf eine Zeitverschiebung eindeutig bestimmt, d. h., ist 7 eine weitere solche parametrisierte Kurve, so ist F(f) = y(t — to)

für ein festes to.

Istc=yog,alsoy =cog”! eine solche parametrisierte Kurve, so folgt durch komponentenweise Anwendung der Kettenregel:

I

= Ir’

==.

Wähle ein t9 € I. Dann ist 9: 1— R gegeben durch

„=

t

+ | to ED.

Das zeigt die Eindeutigkeit bis auf Zeitverschiebung und mit dieser Definition von tatsächlich |]y’(s)]] = 1 für alles = pl) € ] := el).

gilt

Eine reguläre Kurve c: I — R” heißt rektifizierbar, wenn es eine zu c äquivalente, nach

Bogenlänge parametrisierte Kurve y: (0,&(c)) — R" gibt mit £(c) < x. Wir nennen £(c) die Bogenlänge von c. Die Länge £(c) einer regulären Kurve c: [a,b) — R” ist gleich b

[ le ONdt. a

Diese Aussage ist ersichtlich aus dem Beweis des obigen Satzes. Beispiel: Wir betrachten den halben Kreis c(t) = (cos(t), sin(f)) für £ € (0, x). Er ist nach Bogenlänge parametrisiert, denn c’(f) = (-sin(t),cos(t)) und ||(f)]| = 1. Also ist El) = n.

Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

) EXTRAS

Aufgabe 9.4 Betrachten Sie die halbe Ellipse c(f) = (acos(t), bsin(f)) für a,b > Ofestund te (0, x). Stellen Sie eine Integral auf, das die Bogenlänge berechnet (ein sogenanntes elliptisches Integral, welches nicht elementar berechnet werden kann).

Aufgabe 9.5

Lösungen

Berechnen Sie die Bogenlänge £(c) in den nachfolgenden Fällen:

1...

cl) = (,P),t e [0, /7/3]

2.

ct) = (t,2e! + e”'/8) ‚te [0, In(2)]

3.

ct) = (t,cosh(t),t e [-In(2),In2)]

4.

ci) = (+5

5.

.c(t) = (t, In(cos(t)),t € [0, m/6]

6.

cd=

8.

cl) = (1. In) +Y/R 1).

Il am 14.11

(023 um 15:23 Uhr

3

7. cd) = (1.1),

0,4]

- +) ‚te [1,4]

(. >?) ‚te [0,1]

e [1.3]

Aufgabe 9.6 Gegeben sind p,q e R". Zeigen Sie: Ist y: [0,L] eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit Anfangspunkt p und Endpunkt q, so gilt &(y) = |p — qll. Wann gilt

eo) = Ip

all?

Tipp: Sei v = q-p und betrachte [{v, y’(f)) dt. Benutzen Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Aufgabe 9.7 1.

Seicl!)

2.

beschränkt, aber c nicht rektifizierbar ist. (Logarithmische Spirale) Seik < 0 und c: [0,0) — R? gegeben durch

=

(t,t- cos(1/t)) für t € (0,x). Zeigen Sie, dass c regulär ist, die Spur von c

cl) = (& cos(t), etsind)

.

Fertigen Sie eine Skizze der logarithmischen Spirale an und zeigen Sie, dass sie nicht rektifizierbar, die Spur aber beschränkt ist.

Lizerziert für Johannes

Aufgabe 9.8 Wir betrachten einen festen Punkt auf einem rollen-

den Kreis. Die Spur ist eine sogenannte Zykloide, gegeben durch ct) = (t -sin(t), 1 — cos(t)) fürt e [0,2r]. 1. Berechnen Sie die Länge der Zykloide. 2.

Wir nehmen

2

die Hälfte der Zykloide und spie-

geln sie in y = 1, wir betrachten also fürt e [O, x]: cd) = (t -sin(t),1 + cos(t)).

x

”

Wir lassen eine Kugel vom Punkt c(to) = (x. yo), to € [D. x] heruntergleiten. Zeigen Sie, dass

die Fallzeit T, um den Punkt (x, 0) zu erreichen, gleich x/ /g ist, unabhängig von to! (Hierbei istg * 9,81 m/s?.) Tipp: Die Geschwindigkeit der Kugel in der Höhe y ist gleich /2g- /M —y. Sei y der Weg. der Kugel. Betrachten Sie ein «: [fo, x] — [0, T] mit c(t) = y(a(t)).

219 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung in R”

9.3

Höhen

Wir werden Funktionenf: U — R untersuchen. In vielen Bei-

spielen ist LI eine offene Menge in R?. Hierbei kann man versuchen, wie bei Funktionen in einer Veränderlichen, den Gra-

phen der Funktion zu zeichnen. Links sehen Sie das Beispiel 0.00 10

00

06

tät Mainz, 134.93.109.1 11 am 14.112 (23 um

arte

fix.y) = + Yw. Hier ist das noch relativ einfach. Eine andere Methode, eine Funktion zu verstehen, ist durch Zeichnen der Höhenlinien: Hier nehmen wir eine Konstante c und betrachten {(x,y) e U: f(x,y) = c}. Das Zeichnen solcher Höhenlinien kann durchaus schwierig sein. In SAGE erreicht man das Zeichnen einer Höhenlinie indem man zum Beispiel varl'’x,y’) implicit_plot(x”2+y"2-1.(x.-1,1),(y.-1.1) eingibt. Links steht das Ergebnis fürf = xy und die Höhenlinien für c = —2, —1,.0,1,2. Den Graphen oben links erhalten

wir durch implicit_plot3d(x”2+y”2-z,(x,-1,1),(y,-1,1),(z,0,1))

Man kann dieses Bild in dem SAGEMATH-Output mit der Maus drehen. Es gibt noch andere frei verfügbare Systeme, zum Beispiel GeoGebra. In einer Klausur steht meistens SAGE oder ein anderes Computerprogramm nicht zur Verfügung und man sollte deshalb üben, Skizzen von Höhenlinien anzufertigen. Das geht im Grunde gut, wenn die Höhenlinie gegeben ist durch eine Gleichung Y —f(x) = 0. Man untersucht dort die Funktion f(x), schaut, wo diese > 0 ist, und zeichnet dann y = + „Oo. Links

unten ist der Graph von f(x) = x? — x gezeichnet, rechts unten die Lösungen der Gleichung Lizenziert für Johanne

y -P+4r=0.

220 Pearson Deutschland

Aufgaben

Aufgaben

( Aufgabe 9.9

EXTRAS

)

“ONLINE

Zeichnen Sie verschiedene Höhenlinien der nachfolgenden Funktionen im

Lösungen

angegebenen Bereich.

Y 3 um 15:2 3 Uhr

1.

fa)

=iı-y

2. fiy) = ,

[-2.2]x[-2.2]

3. fay)=

[8.8] x [8.8]

4.

Yar+ayp?

fay)=yP-r

5. fo) =y 6. fa) =

Mainz, 134.93.109.1 11 am 14.11

[-2.2] x [2.2]

-1.1]x [-1.1]

ac +1)

[-2.2] x [-2.2]

+4

[3.3] x 13.3]

7. fa.y) -= 2

[-2.2] x [-2.2]

8. fir.y) = et

-2.2]x[-2.2]

9.

fix. y) = 3cos(2x + y)

[-2.2] x [-2.2]

10.

fa) =yP -x4- 3x)

[-2.4] x [-3.3]

11.

fa) =yP

[4.4] x [-3.3]

4-0)

12. fi) = yo? +? 4)

[4.4] x [4,4]

13. fi.) = y+4-2y +2)

[-3.31 x [-5.3]

Aufgabe 9.10

Fertigen Sie eine Skizze der Graphen der nachfolgenden Funktionen an.

1.

fa)

= Y4-2-y2

2.

fay)=

3.

fay)=r-y

YR+y2

Zeichnen Sie ebenfalls einige Höhenlinien dieser Funktionen.

221 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung in R”

9.4

Partielle- und Richtungsableitungen

Sei U CR” offen,a e U und f: U > R” eine Funktion. EI

ist für v & R” die Funktion g(f) = f(a+to) in t = 0 differenzierbar, so heißt D»f(a) := duf(a) := g’(0) die Richtungsableitung von f in a in Richtung v.

Die i-te partielle Ableitung von f in a ist gleich

D.f(a) =: Dyf(a) =: Dif(@) = za) =: Ale).

2023 um 15:

3 Uhr

Istf: U>R und existieren Djf(a) für jedes i, so heißt Vf(a) = (Dıf(@)..... D,f(a)) der Gradient von f in a. Satz 9.2 Essei ll < R” offen und a e U. Angenommen, die partiellen Ableitungen von

am 14.11

f: U>R 1]

existieren in einer Umgebung von a und sind stetig in a. Dann gilt:

Es existiert eine Umgebung V von a und eine Funktion A,f(x): V— in a sind, mit f(x) = f(a) + (Aaf(x).x—a) fürallex eV.

R”", die stetig

Ill

Für alle v & R" existiert die Richungsableitung: D»f(a) = (Vf(a), v).

Ist |[o]] = 1, so ist Dyf(a) = ||Vf(a)]| - cos(v, Vf(a)): „Der Gradient zeigt in die Richtung des schnellsten Wachstums“.

3

Ki

Sei V = Bla,e) C U. Schreibe x = (x, x), a = (a’,a„). Wegen des Mittelwertsatzes in einer Veränderlichen gilt: Es gibt ein &, zwischen x, und a,, sodass fa.)

fa",

An) = (An —An)- Duf@&',En) .

Lizerziert für Johannes Gute! !

Setze Anf (x) := Duf(&, En). Diese ist nach Voraussetzung stetiginx = a mit Anf(a) = Dnf(a). Mit Induktion gilt f(x’.an) — f(a',an) = zz Aif(x) - (x: —aj) für in a stetige

Funktionen A;f. Nach Addition: f(x) -f(a) = Di, Af(X) - (5 -a)). Es folgt

fla +0)

- f(a)) =

ra

A;fla + tv) -v; und Dyf(a) = (Vf(a), v).

Die dritte Aussage folgt sofort aus der zweiten.

Sei zum Beispiel f(x, y) = $y? —c+

42? und Duf

=

— 4x? - (4— x?). Dann ist Dxf =

y. Der Gradient ist gleich Vf(x.y)

(-x + x°/2,y). Wir haben

in den

Punkten

(-1.

3,3)

= und

(2,1) diesen Gradienten eingezeichnet. Wenn man v entlang einer Höhenlinie f(a) = c nimmt, also v ist ein „Tangentialvektor“, so ist Dyf(a) = 0, denn die Funktionswerte sind „infinitesemal konstant“. Aus Dyf(a) = |ol]- |Vf(a)||-cos(o, Vf(a)) folgt, dass der Gradient senkrecht auf der Höhenlinie steht. Unter der Annahme Vf(a) # 0 ist eine Gleichung der Tangente deshalb gegeben durch (Vf@).x —a) = 0. Die Tangente an obigemf = 0 im Punkt (-1, 4.3) ist gegeben durch die Gleichung (x +D+ 4 Sy - 3 3) = 0. Diese Tangente ist ebenfalls eingezeichnet.

222 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

)

EXTRAS

“ONLINE

Aufgabe 9.11

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen und

Lösungen

Il am 14.11

(023 um 15:23 Uhr

ebenfalls die Richtungsableitungen Dyf für v = (1,1, —1) und v = (-1,1.2).

1. 2. 3.

:RPOR,.(&y,2) m aty? + yz? + Artyz + yzt +3 f:RP>R,(w.y,z) > (X? + xyz + 327) cos(xz) f:RP>R, (xyz) > 6X2y +4zX +4y

4

RR

(lay,Z)r> xyedyt2y

Aufgabe 9.12 Berechnen Sie, wenn möglich, für die nachfolgenden Höhenlinien eine Gleichung der Tangente in den angegebenen Punkten. Fertigen Sie, evtl. mithilfe von SAGEMATH,

eine Skizze an.

1. x? +y? =5im Punkt (2,1) 2. x? +3y? =7im Punkt (2,1) 3. pP +x?+y?=1im Punkt (-1,1) 4. PP -x° =0im Punkt (1,1) 5. 92-32? =0im Punkt (0,0) 6. 2 -x2(2- 22) = 0 im Punkt (0,0) Aufgabe 9.13

Zeigen Sie, dass für die nachfolgende Funktion f alle Richtungsableitungen

in (0,0) existieren. Zeigen Sie, dassf in (0,0) nicht stetig ist.

2 fia.y) = Far

‚ wenn (x,y) # (0,0) und f(0,0) = 0.

Aufgabe 9.14 1.

SeiA e R"*" eine n x n-Matrix mit reellen Einträgen und L,: R"*” die Linksmultiplika-

tion d.h. La(X) = AX. Bestimmen Sie für Be R"*” die Richtungsableitung DpLA(X). 2.

Analog für die Rechtsmultiplikation R4(X) = XA.

3.

Betrachte die Abbildung sqg: R""

—

R""

gegeben durch sq(X) = X?. Bestimmen Sie

Lizerziert für Johannes

für jedes A € R"*" die Richtungsableitung Dasq(X).

4.

Betrachte die Abbildung F: R"“" — R””" gegeben durch F(X) = XTX. Bestimmen Sie für jedes A e R"*" die Richtungsableitung DAF(X).

Aufgabe 9.15

Berechnen Sie, wenn möglich, die Gleichung einer Tangentialebene für die

nachfolgenden Flächen in angegebenem Punkt. 1.

z= eYin (0,0,1)

2.

3.

2+x?y-ız=1in(1,—1,)

4.

= x? +

in (0,0,0)

z=x?+y in (1,1,2)

223 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung in R”

9.5

Totale Differenzierbarkeit

Sei U CR" offen, a e U und f: U — R". Dann heißt f (total) differenzierbar in a, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt. EI

Es gibt eine Umgebung V vona und eine in a stetige Matrixfunktion A,f: V> sodass f(x) = f(a) + Auf (x) - (x — a) für allex e V. Setze f’(a) := Asf(a).

R"",

3 Uhr

Es gibt eine f’(a) e R"*" und eine Funktion R: V — R” definiert auf einer Umgebung V von a, sodass f(x) = f(a) + f'(a) - (x—a) + R(x) mit lim aa =0. Die Matrixfunktion A,f(x) ist (wenn n > 1) nicht eindeutig bestimmt, aber der Wert f’(a) = Auf (a) schon. Es gilt g(a + tv) = f(a) + Asf(a + tv) - v, also ist f’(a)(v) = Dyf(a), die Richtungs-

ableitung. Dies gilt für jedes v. Ist insbesonderef = (fı.... fm) differenzierbar in a, so ist am 14.11

f (a) die sogenannte Jacobimatrix, wie nebenstehend dargestellt. In der ersten Spalte steht Df(a) in der zweiten D>f(a) usw. In der ersten Zeile steht Vfı(a), in der zweiten Zeile

Difila) ı Dıfm(a)

+ u

Dafıla) ı Dafn(a)

»-Universität Mainz, 134.93.109

Ill

Vfr(a) usw. Satz 9.3 Seif = (fı..... fm): U — R" und a e U. Dann gilt: BE

{ist differenzierbar ina =

fı..... ‚fm sind differenzierbar in a.

Die zwei Definitionen der Differenzierbarkeit sind äquivalent. Existieren alle partiellen Ableitungen vonf in einer Umgebung V von a und sind sie

stetig in a, so istf differenzierbar in a.

ER

wir zeigen die erste Aussage für beide Beschreibungen der Differenzierbarkeit.

Lizerziert für Johannes Guter

Erste Beschreibung: Es gilt f(x) = f(a) + Aaf(x) - (x — a) genau dann, wenn fi(x) = fa) + A.,f(x) - (x — a), wobei A, f(x) die i-te Zeile von A,f(x) ist. Dann ist A,f(x) stetig in a genau dann, wenn 4, f(x) stetig in a ist für jedes i. Zweite Beschreibung: Mit R(x) = (Rı(2),..., Ra(x)) gilt R(x)/|Ix — alleo — 0 genau dann, wenn R;(x)/||x — alloo — 0 für jedes i. Es reicht jetzt, die Äquivalenz für m = 1, alsof = fı zu zeigen. Angenommen, die

erste Beschreibung gilt. Sei H(x) := Aaf(x) — f’(a). Dann ist R(x) = H(x)(x —a) und 0 = |R@)| = IH@)I- Ix all. Also0 = lim IR@I/Ix -all = lim IH@I = 0. Nehmen wir nun an, die zweite Beschreibung gilt. Wir definieren e(x) = (eı(x)..... £En(x)) folgendermaßen. Für x # a sei i minimal mit |x; —a;| = ||x - alloo. Definiere 2169) = 0 fürj # i,g;(x) = 1, wenn x; > a;, und &;(x) = —1, wenn x; < a;. Für x =a setzen wir &;(x) = 0 für jedes i. Dann gilt, wie man nachrechnet, die Gleichung Ix alle = (e(X).x — a). Nun nehme A,f(): = f’(a) + ls -e(x) fürx #a und Aaf(a) = f'(a). Weil e(X)]|o = 1fürx # a, ist Auf (x) stetig in a. Dies folgt für m = 1 aus Satz 9.2, für allgemeine m aus der ersten Aussage.

224 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

)

EXTRAS

“ONLINE

Aufgabe 9.16

Esseif differenzierbar in a. Zeigen Sie, dassf stetig in a ist.

Aufgabe 9.17_

Berechnen Sie die Ableitungf’ von f in den nachfolgenden Fällen.

1. fa) = (X +

Il am 14.11

(023 um 15:23 Uhr

3. 5. 7.

2. fix.y,z) = (x.y.z) 4. 6. 8.

fix.y,z) = (xyz?,ze‘) fir.p) = (e’ cos(p), e"sin(p)). fire.) = (rsinpcos®,rsinp sin d,rcos#)

Aufgabe 9.18

SeiA e R"" und f: R" — R” gegeben durch f(vo) = A - v. Warum gilt

Aufgabe

Sei LI eine nichtleere offene und zusammenhängende

fo) = A?

9.19

Teilmenge von R",

f:U-R sei differenzierbar und f’(x) = 0 für alle x € U. Zeigen Sie, dassf konstant ist. Gilt diese Aussage auch, wenn U nicht zusammenhängend ist?

Aufgabe 9.20

Seif: R" —R eine stetig differenzierbare Funktion. Es gelte weiter für alle

teR,xeR",dassf(tx) = tf(x). Zeigen Sie, dass ein a e R" existiert mit f(x) = (a,x). Der Mittelwertsatz kann helfen. Aufgabe 9.21

en "

Lizerziert für Johannes

y,xy)

fi, y) = (2, e!y.r2y) f(r.p) = (rcos(p),rsin(p)) fix, y.z) = x2eVz

Lösungen

Die Funktionf: R? — R

sei gegeben durch f(0,0) = 0 und für (x. y) # (0,0):

K + P)cos((a? + yP)=V/2) 0

Tipp:

falls (x.y) # (0.0) falls (x,y) = (0.0).

1.

Berechnen Sie Dyf(x, y) und Dyf(x, y). Sind diese Ableitungen in (0,0) stetig?

2.

Istf in (0,0) differenzierbar?

Aufgabe 9.22 Betrachte die Menge Sym,, der symmetrischen n x n-Matrizen. Diese betrachten wir als einen Vektorraum der Dimension n(n + 1)/2. Seif: R"*" > R"*" gegeben durch

fa) = ATA. 1.

SeiB e R"*". Berechnen Sie die Richtungsableitung Dpf(A) = f'(A)(B) und zeigen Sie,

dass Dyf(A) symmetrisch ist. 2.

Essei A orthogonal, d.h. ATA=Id. Zeigen Sie, dass f’(A): R"*" — Sym, surjektiv ist.

Aufgabe 9.23

Zeigen Sie, dass die nachfolgende Funktion f stetig in (0,0) ist, alle Rich-

tungsableitungen in (0,0) existieren, aber f nicht differenzierbar ist. 3

fa. y) = = 7 wenn (x,9) # (0.0) und f(0,0) =0.

225 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung in R”

Dec SeiACR"undf:A>RundaeA. El ‚f hat in a ein lokales Minimum (bzw. Maximum) f(a), wenn es eine Umgebung U von a gibt, sodass für allex e AN U gilt f(x) = f(a) (bzw. f(x) = f(a)).

f hat in a ein isoliertes Minimum (bzw. Maximum) f(a), wenn sogar f(x) > f(a) (bzw. fi) —2undy f: U>R und f ist stetig auf U.

fe cu genau dann, wenn D,f existiert und D,f @ Ci-I(U) für alle v € R". (Es wird ausreichen, dies für v = e; und i = 1,...,n zu fordern, siehe Aufgabe 9.58.)

Funktionen f e C*(U) heißen k-mal stetig differenzierbar auf U. CU)

= DW,

die Menge der C”-Funktionen auf U.

E1 D.: cu) > c!(W und D,: CX(U) > CX(u). Satz 9.7 (Satz von Schwarz) Seill < R” offen,k = 2 und v,w e R". Dann kommutieren die Abbildungen D, und Da, d.h für allef € Kın:

Lizerziert für Johannes Gutenberg-Universität Marz,

134.93.109

DeDuf

= DuDif :

Sei f e C*(U) und nehme an, DuD»f existiert und ist stetig auf U. Wir zeigen, dass auch D,Duf existiert und gleich DwDyf ist. Seia e U und Hix,t)=fla+x-v+t-w).

H ist definiert auf einem abgeschlossenen Rechteck Q < IR? mit (0,0) e Q°. Dann gilt D;H(x,t) = Dyfla+xo+tw), DiH(x,£) = Doof(a+xv+tw) sowie D;DxH(0,0) = DuDyf(a). Wir wenden den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung an: x

Hix,) — H(0.D) = [ DyH(&.t) de 0

für (x,t) e Q. Wir differenzieren unter dem Integralzeichen, Satz 9.6. Es folgt x

D;H(@,t) — D;H(0,t) = |

0

D;DxH(E,ddE.

Deshalb ist die linke Seite nach x differenzierbar und D,D,H(0,0) Das bedeutet, dass D,Duf (a) existiert und gleich DuDyf (a) ist.

= D,D;H(0, 0) folgt.

Zweite Ableitungen spielen eine Rolle bei der Untersuchung von lokalen Extrema. Bemerke,

dass für v « R” und eine C?-Funktionf gilt: n

D2f(a) = (wıDı +++

9m Du)@wıDı +++ UnDu)f(a) = % D;Djf(a)vio; . ij

Ist f eine C?-Funktion, so ist die Hesse-Matrix von f in a die symmetrische Matrix

Hrda) = (DiDyfa)) -

Pearson Deutschland

(

Aufgaben

/

Aufgaben

(023 um 15:23 Uhr Il am 14.11

“ONLINE

Lösungen

Aufgabe 9.44 1.

Bestimmen Sie für folgende Funktionen alle zweiten partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.

2.

Seif = x? +3x?y? + y° — y*. Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen dritter Ordnung.

(a)

EXTRAS

+ ycos(x)

(b)

+

2xy +5y

( R geben mit Dyf = xy und Dyf = y?

Aufgabe 9.46

Zeigen Sie, dass für die Funktion

2 fa.y) =ıy: Zr mit f(0,0) = 0, die Ableitungen D;Dyf(0,0) und DyD;f(0,0) existieren, aber nicht gleich sind.

Aufgabe 9.47

Essei ll C R” offen und f e C?(U). Der Laplace-Operator A ist die Abbil-

dung dief auf Af := Dif + --- + D2f abbildet. Es sei f = &(x2? + +: + x2). Berechnen Sie Af. f: U>R

habe ein lokales Maximum in a e U. Warum gilt Af(a) < 0?

Eine Funktionf heißt harmonisch, wenn Af = 0. Zeigen Sie, dass harmonische Funktionen keine lokalen Extrema in LI haben. Tipp: Angenommen falsch. Nehme einen kritischen Punkt a von f und betrachtef +ei|x]]? auf Ba(a,Ö). Welche Aussage gilt für subharmonische Funktionen, d.h. Af(x) = 0 für allex e U, und

Lizerziert für Johannes

für superharmonische Funktionen, d.h. Af(x) = 0 für allex e U. Zeigen Sie, dass das Newtonpotenzial (x? + y? + 22)=V/2 harmonisch auf R? \ {(0.0,0)} ist. Aufgabe 9.48

(Lie-Klammer) Sei LI C R" offen. Ein Vektorfeld X auf U ist eine Abbildung

X: U> R”. Esseien X, Y C?-Vektorfelder auf U. 1.

Seip € U. Zeigen Sie, dass im Allgemeinen

YPKXP) = DxpYp) #DypXp) = XP): Die Lie-Klammer [X, Y] ist das Vektorfeld auf U definiert durch pP» IX. Y\p = DxmY(p) -DypXP), also [X, Y] = Y'(X) — X’(Y). Zeigen Sie die Jacobi-Identität: IX. Y].Z] + IIZ. X]. YI+ I. 21. X] = 0.

Zeigen Sie: DxDy — DyDx = Dix,y- („Satz von Schwarz“)

233 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung in R”

Yale Sei A = (4j;) eine symmetrische Matrix und Q(v) := Yijsı 4;;0;0;. Dann heißt A

ER

positiv definit, wenn Q(v) > 0 für alle v e R" \ {0}. negativ definit, wenn Q(v) < 0 für alle v « R" \ {0}.

EI

indefinit, wenn Q sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Im Buch „Lineare Algebra“ wird folgender Satz bewiesen. Satz 9.8 (Sylvester-Kriterium)

Sei A = (ajj) € R"*" eine symmetrische Matrix und A; €

RK definiert durch Ak = ()ı 0 fürk=1,..., n.

0, aber A ist nicht positiv definit und nicht negativ definit, so ist A

Satz 9.9 SeilI C R” offen,f e CU)

El

Dann gilt:

det(Ag) > Ofürk =1...., n.

und a e U ein kritischer Punkt vonf.

ist die Hesse-Matrix Hr(a) positiv definit (bzw. negativ definit), so hatf in a ein isoliertes Minimum (bzw. Maximum). Ist H7(a) indefinit, so hat f in a einen Sattelpunkt. f P

Ei

Es sei Hrda) positiv definit. Der Fall, dass Hr (a) negativ definit ist, ist analog. Aus dem Sylvester-Kriterum folgt, dass Hr(x) positiv definit ist für alle x in einer Umgebung By(a,8) von a. Seiv e R" mit 0 < |ol] < ö. Wir wenden die Taylorformel (für die

Veränderliche t) auf g(f) := f(a + tv) an. Es gibt ein & e (0,1) mit 1

1

n

fa +) = f(a) + 5 - D2f(a + Ev) = fla) + 5° ” Hrla+ Eo)viv; > fla).

je

Ist D2f(a) > 0, so hat f(a + tv) ein lokales Minimum bei t = 0. Ist D2,f(a) < 0, so hat fla + tw) ein lokales Maximum bei t = 0: Also hatf einen Sattelpunkt in a.

Beispiel: f = (y— 3x + x?)(y — 2). Für die kritischen Punkte haben wir die Gleichungen Dyf = (y-2)(-3 + 2x) = 0 und Dyf = 2y-3x + x? —2 = 0. Die kritischen Punkte sind (1.2). (2.2) und (3/2, 17/8). Die Hesse-Matrizen sind

Hr,2) = (

DI). Hr0,2) = (i BD). Hr@/2,17/8) = (%

:) .

Deshalb hatf Sattelpunkte in (1,2) und (2,2), sowie ein lokales Minimum in (3/2, 17/8).

Pearson Deutschland

Aufgaben

( Aufgabe 9.49

/

Aufgaben Beweisen Sie Satz 9.8 für eine symmetrische Matrix

EXTRAS

“ONLINE

Lösungen

ab bc)" mit elementaren Methoden, also: A ist positiv definit genau dann, wenn a > O0 und ac-b? > 0;

A ist negativ definit genau dann, wenn a < 0 und ac — b? > 0 und A; A

ist indefinit, wenn

ac—b? < 0. Tipp: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = ax? + Abxy + cy?. Aufgabe 9.50 Bestimmen Sie Lage und Art aller lokaler Extrema und aller Sattelpunkte der nachfolgenden Funktionen f. Zeichnen Sie danach mit SAGEMATH einige Höhenlinien von f,

um die Sattelpunkte zu prüfen.

1.

> N

fix.) = ir? +3y? + Axy

fey=-7-2-yP+xy fir.y) = a fast

xy + 2yP +1

+yt-Ay

fa.) = a? + pP -r?y—3y fa) =

Aufgabe 9.51

fa) sr +yP -ay fir.) = a? xy

on

vo.nnww

fayn=r+y

+3? +yP +3?

fa.) = xt + yt

pP +3y? +9y 2a? +4ry —2y?

10.

fia,y) = yet 3ix—y+4

12.

fla,y) = Arty + x?

10x — Axy

Rechnen Sie mit der Hesse-Matrix nach, dass die gefundenen Werte in Auf-

gabe 9.24 tatsächlich lokale Maxima, lokale Minima und Sattelpunkte sind. Aufgabe 9.52 1.

Zeigen Sie, dassf = x +r-( hatf ein lokales Minimum.

x)? lediglich einen kritischen Punkt hat. In diesem Punkt

2.

Zeigen Sie, dassf kein globales Maximum und kein globales Minimum hat.

Aufgabe 9.53

Bestimmen Sie den Abstand von A = {(x.y,z) € Rd:

Aufgabe 9.54

Berechnen Sie alle lokalen Extrema der nachfolgenden Funktionen.

1.

= x22y+4} zu (0, 0,0).

fer +ypP +2? Ayz

PwN

f= e-(@+y+2+3)

f=W?+y-Az-y+2+yP f=@+2y?

+32): er

235 Pearson Deutschland

Differenzialrechnung in R”

9.11

Die Taylorformel

Satz 9.10 (Multinomialformel) Für k € No gilt (m ++)!

=

k! ——

%

EN: +... tank

a,

a! 0°" u

Für@ = (&....,@n) € N; definieren wir:

EEE l:=a + tun

EI 0° = DR ..... Dr

EI 1% := 1" .... mn"

El

«:=a!-...-an!

Sind hı...., hn konstante Zahlen, so ist Diehf) = h;Di(f) für alle i,j. Wir können die Multinomialformel nicht nur auf Zahlen anwenden, sonder ebenfalls auf die kommutierenden

Abbildungen h;D,,i=1.,.... n. Es folgt für C*-Funktionenf: U>R:

Ill

am 14.11

3 Uhr

Der Beweis dieser Formel erfolgt zum Beispiel mit Induktion nach n und darf als Aufgabe überlassen werden. Für eine einfachere Beschreibung benutzen wir die Multiindex-Notation.

MD + +

k! DM.

= lel=k

3

Satz 9.11 (Taylorformel)

Sei U c R" offen, f e C+!(),a

e U und h e R", sodass

{a+th: te [0,1]} C U. Dann gibt esein& = a +th,t e (0,1), sodass

-

fa+m=f@)+

),

1

—D°fa)-M+

L.izerziert für Johannes Guter

O R zu studieren. Ist eine Menge gegeben durch eine Gleichung, so gibt es eine solche Funktion normalerweise nicht: Für jeden x-Wert darf es dazu höchstens einen y-Wert geben.

Der implizite Funktionensatz besagt, dass es in vielen Situationen wenigstens lokal möglich ist, eine Gleichung nach y zu lösen. Betrachte die Menge C wie im nachfolgenden Bild.

I

Lizenziert für Johanne

Es gibt einen offenen Quader Q in der Nähe von Pı, sodass CN Q der Graph {(x,g()}}: xe I} einer Funktion g: I — R ist. Das ist bei Py nicht der Fall. Ein Grund dafür ist, dass eine senkrechte Tangente vorliegt. Jedoch können wir bei Pa lokal x als Funktion von y schreiben. Ganz schlecht sieht es bei P3 aus: Hier liegt eine Singularität vor. Der implizite Funktionensatz besagt Folgendes: Gegeben eine C!-Funktion F, definiert auf einer offenen Menge in R2, und gegeben ein Punkt (a,b) mit F(a,b) = 0 und DyF(a,b) #0, so kann lokal bei (a,b) die Höhenlinie F = 0 als Graph einer Funktion y = g(x) geschrieben werden. Der Beweis dieses Satzes ist elementar in dem Sinne, dass wir nur die Definitionen von Diffe-

renzierbarkeit, Stetigkeit und einige Ergebnisse aus der Analysis einer Veränderlichen benutzen. Diese Ergebnisse sind der Zwischenwertsatz und die Tatsache, dass eine differenzierbare Funktion I einer Veränderlichen wachsend ist, wenn Ir’ > 0. Der Beweis lässt sich sofort verallgemeinern auf Funktionen F(x, y), wobei x = (x1.....%„) mehrere Veränderliche, jedoch y nur eine Veränderliche ist.

240 Pearson Deutschland

Untermannigfaltigkeiten

Diesen impliziten Funktionensatz erweitern wir mit Induktion auf den Fall mehrerer Gleichungen. Ist F = (Fı...., Fm): U —

R" eine C!-Funktion, definiert auf einer offenen Menge U

in R"+”" mit F= F(x,y) = Fix... KnYlsecees Ym), so ist die Gleichung F = 0 tatsächlich ein System

von Gleichungen. Ista e R",b e R"' und (a,b) & UI mit F(a, b) = 0, so ist die Lösbarkeit nach y

in der Nähe des Punktes (a, b) gesichert, wenn die Matrix ar;

DyEa@b)=|

ar,

--

7m(a.b)

--

Zu (a. b)

: aF,

mb)

: IF,

;

eine invertierbare Matrix ist. Der inverse Funktionensatz ist verwandt mit dem impliziten Funktionensatz. Er besagt, dass

für eine offene Menge U — R” und eine C!-Abbildung f: U — R", wobei f’(a) eine invertierbare Matrix ist, die Abbildung f lokal invertierbar ist. Dies bedeutet, dass es eine offene Umgebung

V von a und eine offene Umgebung

W von f(a) gibt, sodassf: V —

W bijektiv

134.93

und die Umkehrabbildung f-! ebenfalls eine C!-Abbildung ist. Der inverse Funktionensatz lässt sich sofort aus dem impliziten Funktionensatz herleiten, da es dasselbe ist x = f(y) nach y zu lösen, wie f(y) — x = 0 zu lösen.

Universität Marz,

ll

am 14.11

023 um 15 23 Uhr

mab

tion ist. Ist M in der Nähe jeden seines Punktes gegeben durch eine Parametrisierung g: U — M, sodass die Ableitung von p in jedem Punkt maximalen Rang hat, so ist M eine Untermannigfaltigkeit. Alternativ werden Untermannigfaltigkeiten lokal gegeben durch ein stetig differenzierbares Gleichungssystem F = 0, wobei F’(a) in jedem Punkta maximalen Rang hat.

Eine Untermannigfaltigkeit ist eine Menge, die lokal ein Graph einer differenzierbaren Funk-

Ist M eine Untermannigfaltigkeit, so existiert in jedem Punkt a e M der Tangentialraum T,M. Diesen kann man durch eine Parametrisierung oder über ein Gleichungssystem angeben.

Lizerziert für Johanı

Eine Anwendung der Sätze über implizite Funktionen und Tangentialräume ist die Untersuchung von lokalen Extrema von Funktionen mit Nebenbedingungen. Die Nebendingung M ist gegeben durch F = 0, mit Feine C!-Funktion.

Seig: U — R

differenzierbar. Hatg: M — R ein lokales Extre-

mum beia € M, so hat M entweder in a eine Singularität oder der Gradient von g liegt in dem Normalenraum N,M, dem Raum, der senkrecht auf dem Tangentialraum T,M von M in a liegt. Ist M gegeben durch Fı = --- = Fn} = 0, so kann man diese Bedingung in der Aussage

GC

„(Vg(a). VFi(a)...., VFn(a)) ist linear abhängig“ zusammenfassen. Diese Multiplikatorensatz.

Aussage

ist

der

Lagrange-

241 Pearson Deutschland

Untermannigfaltigkeiten

10.1

Der implizite Funktionensatz: Eine Gleichung

Satz 10.1 (Impliziter Funktionensatz) Es sei LI eine offene Menge in R"+! mit Koordinaten (xy) = (M..... Xn.y), F: U — Reine C*-Funktion fürk > 1,a e R",b e R mit (a,b) e U. Angenommen, F(a,b) = 0 und DyFfa, b) #0.

2023 um 15:2 3 Uhr

Dann gibt es eine offene Umgebung V von a, ein e > 0 mit Vx(b-e,b+e.) =: Q c U und eine (b-e,b+e), sodass für alle (x,y) e Q gilt: Fa)

=0

y-g@d.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit ist DyF(a, b) positiv. Sei W ein offener Quader mit

(a,b)

0 auf W. Dann existiert ein e > 0, sodass F(a,y) eine wachsende

»-Universität Mainz, 134.93.109

Funktion von y auf (b-,b + e) ist. Insbesondere ist F(a,b— e) < 0 < F(a,b + stetig ist, existiert eine offene Umgebung V von a in R” mit Q := Vx(b-e,b+z) F(x,b—e) 0 fürallex e V. Außerdem ist DyF(x,y) > O für ye(b-e,b+e). Die Funktion F(x, y) ist für festes x eine wachsende Funktion

e). Weil F C W und allex e V, von y. Es

existiert deshalb für jedes x € V genau eine Zahl g(x) e (b- e,b + e) mit F(x,g(x)) = 0. Dies zeigt die Existenz von g und wir haben mitbewiesen, dassg stetig in x = a ist.

Für die Differenzierbarkeit von g betrachte ht) = Fla+ (x —a),b+t- (g(x) — b)). Dann ist h(0) = h(1) = 0. Nach dem Satz von Rolle gibt es ein& e (0, 1) mit I(£) = 0. Dies bedeutet fürp = a+&(x-a):

Lizerziert für Johannes Guter

0 = DxF(p)- (x a) + DyF(p) - (g(x) — b) see x-a Weil DxF(p)

—

_ 1, DyF(p) !

DıFp).

DrF(a) und DyF(p)

v—L —

DyF(a) für x —

a,

x

folgt, dassg differenzierbar in x = a ist. Beliebige (x.g(x)) e V x (b-e,b + &) können nun die Rolle von (a, b) übernehmen, also folgt, dass g’(x) existiert und gleich

g!d)=

_ [email protected](&)) - Di F(x. g(x))

ist. Aus dieser Formel folgt, dass die Lösung g ebenfalls eine C*-Funktion ist.

242 Pearson Deutschland

Aufgaben

Aufgaben

/

(

(023 um 15:23 Uhr Il am 14.11

Essei F(x,y) = x? + y2. In welchen Punkten von F = 0 anwendbar?

2.

Beantworten Sie die gleiche Frage für F(x,y) = x? - y.

3.

Zeigen Sie, dass die Menge {(x.y.2): D+z+ renzierbaren Funktion ist.

Aufgabe

“ONLINE

Lösungen

Aufgabe 10.1 1.

EXTRAS

10.2

ist der implizite Funktionensatz

xy = 1} der Graph z = f(x. y) einer diffe-

Entscheiden Sie jeweils, ob durch die gegebene Gleichung in einer Umge-

bung von (a, b) eine implizite Funktion y = g(x) definiert wird. Falls dies zutrifft, bestimmen Sie zudem g’(a). Plotten Sie mit SAGE die Kurven, um die Richtigkeit Ihrer Antwort zu über-

prüfen.

1. far -2r + ay -36=0,

(a,b) = (1,3)

2. fa.) =yP+4-4y-1=0, 3. fa.) =y+1-cos(iy)—xy=0,

(a,b) = (1.1) (a,b) = (0,0) und (a,b) = (1,0)

Aufgabe 10.3

Entscheiden Sie jeweils, ob in den nachfolgenden Fällen lokal z = g(x, y) gilt.

Falls dies zutrifft, bestimmen Sie zudem g’(a). 1. x+y+22-cos@+y+z-1)=0

a= (1,0),

b=0

2. P+ 2? -Ayzr+r-yP-4=0

a= (1,0), b=1

3. 4.

a= (1,0), b=0 a= (0,0), b=0

Ya? +y? +22? -cos(z) = 0 sin@)-x+ız+y=0

Aufgabe 10.4

Die Asteroide ist gegeben durch die Gleichung |x]?/? + |yl?/? = 1. Fertigen

Sie eine Skizze der Asteroide an. In welchen Punkten ist der implizite Funktionensatz nicht

Lizerziert für Johannes

anwendbar? Aufgabe 10.5 Seien a,b,c,d > 0. Wir betrachten die Kurve C gegeben durch eine Gleichung Hay)

=f(y)-g(X) =Kfürx,y>0,

wobei f(y) = y! - e”% und g(x) = x - e"®* ist. (Diese Kurve wird später beim Räuber-Beute-Modell von Lotka-Volterra eine Rolle

spielen, siehe Abschnitt 13.11.) Seitlich sind einige Höhenlinien gezeigt worden für den Falla=b=c=d=1.

1.

Zeigen Sie, dass g’(x) > 0 für x e (0,c/d) und g’(x) < 0 für x > c/d. Analog fürf. Folgern Sie, dass C nur dann nichtleer ist, wenn 0 O und eine C*-Abbildung 8: V>Vx(-esc+e), sodass für alle (x,z)e Vx (c-&.c+e):

Fa,)=0 — 2=%). Für (x.y,2)e VxWx(c-e,c+e) Fix,y,z)=0

y=h&,2)

En folgt

für l V’vonxop. So hat p o w: V > R" die Gestalt p o Ya) = (x, g(X)). Es folgt, dass p © v(V) der Graph einer Funktion ist, der also gegeben ist durch Gleichungen

» | vov

y-gı9)=0,

.

...

+

Ym— gmx) =0. Diese haben

linear unabhängige

pP

v

nm

v

—

+0

b

Gradien-

ten.

Erfüllta e M < R" eine der Bedingungen des vorherigen Satzes, so nennen wir a einen glatten oder regulären Punkt von M, sonst einen singulären Punkt. Sind alle Punkte von M glatt, so nennen wir M eine Untermannigfaltigkeit von R".

248 Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

)

EXTRAS

“ONLINE

Aufgabe 10.20

SeiVCR{CR",MCcR"undg:

V — Meine Karte beia e M, pl(p) = a.

Lösungen

Zeigen Sie, dass es offene Umgebungen W von p und LI von a in R" gibt sowie einen C!Diffeomorphismus vw: W — U mit v(gq) = p(gq) für allege VNW. Tipp: Basisergänzungssatz

1.

ay:ay=0}

Aufgabe 10.22 M

2.

a)? = rc +1)}

3.

(ar

Es sei V,U offene Mengen in R", F: V—

< Ueine Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass F(M)

U ein Diffeomorphismus und

am 14.11 ll

Untermannigfaltigkeit ist. Aufgabe 10.23

Tipp: Berechnen Sie die Richtungsableitung Ddet(A). Aufgabe 10.24 Zeigen Sie: Eine Untermannigfaltigkeit M dann, wenn sie wegzusammenhängend ist.

Universität Marz,

-P=0

= {F(x): x e M} ebenfalls eine

134.93

023 um 15 23 Uhr

Aufgabe 10.21 Entscheiden Sie, ob die folgenden Teilmengen des R? Untermannigfaltigkeiten sind, und fertigen Sie jeweils eine Skizze an.

Zeigen Sie, dass SL{n.R) := {A e R"*":

det(A) = 1} eine Untermannigfal-

tigkeit von R"*" ist.

Aufgabe

10.25

Sei U C R” offen und zusammenhängend

ist zusammenhängend

genau

und F = (fi..., fm: uU

IR"

stetig differenzierbar mit linear unabhängigen Gradienten in jedem p e U. Angenommen, {x e U: F(x) = 0} =: M ist zusammenhängend. Ve(p) e (Vfilp)...., Vfm(p)) für allep e U.

Sei g: U —

R stetig differenzierbar mit

Zeigen Sie, dass g die konstante Funktion ist.

Tipp: Ist q in der Nähe von p, so betrachte einen differenzierbaren Weg von p nach q. Lizerziert für Johanı

Aufgabe 10.26

Es sei LI eine offene Menge in R" und F = (fı.....fm): U >

R” stetig

differenzierbar. Angenommen, der Rang von F’(p) ist eine konstante Funktion von p. Seig € Im(F). Zeigen Sie, dass {x € U: F(x) = q} eine Untermannigfaltigkeit von R” ist. Tipp: Beachten Sie die vorherige Aufgabe.

Aufgabe 10.27

Es sei O(n) C R"”" gegeben durch die Gleichung XTX — Id = 0. Die O(n)

heißt die Gruppe der orthogonalen Matrizen.

1.

Zeigen Sie, dass O(n) eine Untermannigfaltigkeit von R”*” ist. Tipp: Aufgabe 9.22 und Aufgabe 10.26.

2.

EsseiSO(n) = {A e O(n): det(A) = 1}. Zeigen Sie, dass SO(n) wegzusammenhängend ist. Tipp: Verbinden Sie A mit Id. Es seien aı..... 4, die Spalten von A. Drehen Sie zunächst Ay in die Richtung e„. Wenden Sie Induktion an.

3.

Zeigen Sie, dass O(rn) zwei Wegzusammenhangskomponenten hat.

249 Pearson Deutschland

Untermannigfaltigkeiten

10.5 SeiM

Tangentialräume c R" und a e M. Dann heißtv e R” ein Tan-

gentialvektor an M in a genau dann, wenn v = y’(0) für einen differenzierbaren Weg y: (—&,e) — y(0) =ai a ist.

a TaM

M mit

,

y'(0) M

Mit T,M bezeichnen wir den Tangentialraum, d.h. die

y

Menge der Tangentialvektoren an M in.a.

nn

Mit NM := TaM+ = {v € R": (v,w) = 0 für allew e T,M} bezeichnen wir den Normalenraum an M in a, die Menge der Normalenvektoren an M in a.

Satz 10.6 Sei a ein glatter Punkt vonM C R",n = m +k. Dann gilt: Aare, 134.93.109,111 am 14.11

EI

T,M ist ein Untervektorraum von R”.

Ist M lokal gegeben durch eine differenzierbare Abbildung g: V > R", V eine offene Menge in IR* mit e(p) = a, Rang e’(p) = k, dann ist TaM = Im(’(p)). Ist M lokal gegeben durch Gleichungen fı = --- = fm = 0 mit linear unabhängigen

Gradienten Vf, (a)..... Vfm(a), dann gilt T3M = {v e R": (Vfy(a),v) = --- = (Vfm(a),o) = 0} = NM. Ist y’(0) ein Element von T,M mit y: (—e.e) — M

L.izerwiert für Johannes Gutenberg-Universit

der Kettenregel folgt aus fj(y(t)) = 0, dass (ra).

differenzierbar, so gilt f;(y(t)) = 0. Mit v’o)

= 0. Für v € R* betrachte die

Kurve y(t) := p(p + to). Dann ist y’(0) = p’(p)(v) ein Element von T,M. Wir erhalten:

Im(p’(p)) C TaM < $x: (Vf (a).x) =

= (Vfnla).)=0} .

Links und rechts stehen Vektorräume der Dimension k: Sie sind also gleich T,M. Beispiel: Der Whitney-Regenschirm

R ist gegeben durch die Glei-

chungf = x? - yz? = 0. Der Punkta = (1,1,1) ist glatt, weil Vf(x,y.z)

TaR

= (2x, —2?, —2yz), Vf(a) = (2,—1,—2), also

= 2x -y-2z

\/

= 0. Man kann R parametrisieren

durch p(u,v) = (uv, u2,o). Es gilt D,p(1,1) = (1,2,0) und D,£(1.1) = (1,0,1). Alle Punkte mitx = z = 0 sind nicht

0

/

glatt. Ist M < R”" eine Untermannigfaltigkeit und f: M — RÄ, so heißt f differenzierbar in a e M, wenn es eine Umgebung LU von a in R" und eine in a differenzierbare Fortsetzung F:

u>Rrd vonf gibt, d.h. f(x) =

x) fürallexe UNM.

Eine Abbildung f: M — N, mit M, N Untermannigfaltigkeiten, heißt ein Diffeomorphismus, wenn f differenzierbar, bijektiv und die Umkehrfunktion f!: N — M ebenfalls differenzierbar ist.

250 Pearson Deutschland

Aufgaben

Aufgaben

Aufgabe 10.28

2

EXTRAS

“ONLINE

Lösungen

Gegeben sei 2

u-lans

/

(

2

rs:

ll

am 14.11

023 um 15 23 Uhr

mita > b> c > 0. Zeigen Sie, dass M eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des R? ist und bestimmen Sie den Tangentialraum im Punkt (0,0, c?).

Aufgabe 10.29

EsseiM c R" eine Untermannigfaltigkeit. Das Tangentialbündel ist gege-

ben durch

TM = (4,0) eR”": ge MundveT;M}. Zeigen Sie: TM ist eine Untermannigfaltigkeit von R?". Aufgabe 10.30

Esseien pı: LI — Vı und p2: Un — Va Parametrisierungen der Unterman-

nigfaltigkeit M bei p mit p1(qı) = p = palq2). Zeigen Sie, dass die Abbildung

Universität Marz,

134.93

op: (Vın V) > '(Vın Va) ein Diffeomorphismus ist. Aufgabe 10.31

Zeigen Sie, dass der Tangentialraum TjaSL(n,R) die Menge der Matrizen in R”*” mit Spur 0 ist. Tipp: Betrachten Sie das charakteristische Polynom von A.

2.

Bestimmen Sie den Tangentialraum von SL(2,R) in (o

Aufgabe 10.32 1. Lizerziert für Johanı

Essei SL(n, R) die Menge der Matrizen aus R”*" mit Determinante 1.

1.

a

1 )‚aer.

Sei O(n) die Menge der orthogonalen Matrizen in R"*".

Sei A(t) eine differenzierbare Kurve von Matrizen in O(n) mit A(0)

=

Id. Zeigen Sie:

A'/(0)T + A/(0) = 0. 2.

Zeigen Sie, dass der Tangentialraum TıaO(n) gleich der Menge der schiefsymmetrischen Matrizen {X e R“": xT = _X} ist.

3.

Was ist die Dimension von O(n)?

Aufgabe 10.33

1. 2.

Es seien M, N Untermannigfaltigkeiten von R".

SeiaeMundf:M—N differenzierbar in a. Zeigen Sie, dassf auf natürliche Weise eine Abbildung f’(a): TaM — T;(ayN definiert, die linear ist. Istf:M—N

differenzierbar und f’(a): aM

— Tea N ein Isomorphismus von Vektor-

räumen, so gibt es eine offene Umgebung LI von a in M und eine offene Umgebung V von f(a) in N, sodass f: U — V ein Diffeomorphismus ist. Zeigen Sie diese Aussage.

251 Pearson Deutschland

Untermannigfaltigkeiten

10.6

Lagrange-Multiplikatorensatz

Satz 10.7 (Lagrange-Multiplikatorensatz) eine C!-Abbildung und

Sei Ic

R"+" offen, F = (fı...., fm): U

R"

UNM:={xeU:Fx)=0}. Angenommen, die C!-Funktion g:U—R, betrachtet als Funktiong: UNM a € Mein lokales Minimum (oder Maximum). Dann sind

Ill

am 14.11

2023 um 15:

3 Uhr

Vgda), Vfi@a),.... Vfn(a) linear abhängig. Deshalb: entweder ista ein singulärer Punkt von M oder Vg(a) e N.M =

(TaM)*.

Die Aussage ist sicher wahr, wenn Vfi(a)..... Vfm(a) linear abhängig sind. Nehme also

an, sie sind linear unabhängig, d.h., a sei ein glatter Punkt von M. Sei y: (-z,e) > M differenzierbar, y(0) = a. Dann hat g(y(t)) ein lokales Minimum bei t = 0. Die Ableitung ist dann gleich 0: (Vg(a), y’(0)) = 0. Somit ist Vg(a) orthogonal zu allen Vektoren in T,M,

d.h.

3

> R, hat in

Vg(a) € (TaM)I = (A (),..., Ya).

Oft ista ein glatter Punkt von M. In diesem Fall gibt es Aı..... Am, sodass Vg(a) = Aı - Vfila) ++

Am

Vfm(a).

Lizerziert für Johannes Gute! !

Die Zahlen Aı..... Am heißen Lagrange-Multiplikatoren. Beispiel: Wir bestimmen den Abstand (zum Quadrat) von (2,3/2)

N

zu der Menge mit Gleichung 4y? — 2x? + 3x? = 0. Wir suchen deshalb das Minimum von (x—2)? + (y-3/2)? mit

der Nebenbedingung 4y? — 2x? + 3x* = 0. Wir erhalten

a

folgendes Gleichungssystem.

0=yP-4 +3* _ 4 =, 2y—3

oe Y

3

Solche Gleichungen sind selten exakt zu lösen. (Siehe mein Buch „Lineare Algebra“.) Die

Lösungen sind: (x, y) = (1.1) (exakt) und näherungsweise (0.74, —1.13), Lo

(-0.18,0.36),

(-0.94, —1.09) .

Minimum wird ina = (1,1) angenommen. Der Abstand ist ||p — al] = 4

Pearson Deutschland

58

,

Aufgaben

(

Aufgaben

Aufgabe 10.34

) EXTRAS

Nicht immer wird das Extremum in einem glatten Punkt angenommen.

Lösungen

Betrachte M gegeben durch die Gleichung y? — x? = 0 und g = (x +1)? + y?, das Quadrat der

Abstandsfunktion zu (—1, 0). Zeigen Sie, dass g genau ein globales Minimum hat, und finden Sie den Punkt auf M mit kleinstem Abstand zu (—1,0). Aufgabe 10.35 Zeichnen Sie in der Ebene die Ellipse E mit Gleichung 4x? + y? —4 = 0 sowie die Gerade £ mit Gleichung 3x — 2y — 6 = 0. Bestimmen Sie die Punkte von E mit dem

Aufgabe 10.36 Bestimmen Sie das Maximum und Minimum der Funktion g auf der angegebenen Menge A. Es ist hilfreich, ein Skizze von A anzufertigen, wenn möglich.

Il am 14.11

(023 um 15:23 Uhr

größten sowie die mit dem kleinsten Abstand zu £. Berechnen Sie diesen Abstand.

1.

g= 3 +3y;

A=Ky): ar +yP-1=0}

2.

g=xr+y-z

A={ay dr +yP +2 -3=0}

3. 4. 5.

g=Ax+2y-z; gexyz g=3x-N? +y;

A=t{ay Dr +yP+2/4= 3} A=Ky,D)r+yP+2=1} A={x,y) e Rt: P a3) = 0}

6.

g=3y-z;

A={?+yP=5undx-y-z=2}

7.

ger 4 pP -x;

8

gey-2r

2

A=t{Kyırr + =} +22;

A=Uay,

Dir?

+?

+22? *. Der Grund, dass wir abgeschlossene Würfel nehmen, liegt darin, dass solche Mengen kompakt sind und wir deshalb den Satz von

Heine-Borel 8.9 anwenden dürfen. Die Menge der k-Würfel bezeichnen wir mit Q'® und für eine offene Menge U in R” definieren wir

um = {QeQM:ocu} als die Menge der k-Würfel, die ganz in U liegen. Bemerke, dass wir eine wachsende Folge von Zahlen (evtl. ©) haben: u)

= 27.

4Ud

za.

Hud

= am.

Hude...

Die Definition des Volumens von U durch

AU) := n(U) =

lim 2.

Hu

k>00

ist deshalb sinnvoll, da der Grenzwert (evtl. ©) existiert. Dieses Volumen erfüllt die naheliegenden Eigenschaften wie die Fläche in R?. Im Kapitel 3 haben wir a(U\L) = uz(U) für eine Gerade L gezeigt. Der Beweis hat etwas

Mühe gekostet. Weil wir jetzt mehr Theorie zur Verfügung haben, lässt sich zeigen, dass sich das Volumen einer offenen Menge nicht ändert, wenn man den Graphen einer stetigen Funk-

tion f: A — R, mit A C R"=! kompakt, aus U wegschneidet. Das reicht zunächst für die Anwendungen.

256 Pearson Deutschland

Volumen und Integration

Integrale von Funktionen f: U — R, U offen werden erklärt durch Betrachten der Ordinatenmengen O+{f) CUxR und O-(f) CUxR, wie im eindimensionalen Fall. Zu erwähnen ist das Verhalten des Volumens von offenen Mengen unter linearen Abbildungen. Ist A: R" — R” linear und invertierbar, so ist für jede offene Menge U in R" auch das Bild A(UI) offen und

Plaı,..., Ay) = {ra +... +

_i a

7

am: 0 0.

Weilf gleichmäßig stetig ist auf A (Satz 8.11), gibt es ein k > 0, sodass für allea,b e A mit ||a — blloo < 2* folgt, dass |f(a) — f(b)| < e. Es folgt, dass Boola, a%)x (f(a) - e.f(a) —&) füra e (2*Z)"=!,a

e A den Graph von f überdecken. Jede diese Menge hat das

Volumen 2"=1.2-{"-DK „5 und es gibt höchstens 2"=DK solche Mengen. Somit ist der Graph vonf enthalten in einer Menge mit einem Volumen von höchstens 2" - e.

Dies gilt für jedes e und deshalb ist der Graph vonf eine Nullmenge.

nn Kl

Pearson Deutschland

Aufgaben

(

Aufgaben

)

Aufgabe 11.1 1.

EXTRAS

“ONLINE

Lösungen

Gehen Sie den Beweis von Satz 3.4 durch, um zu erfassen, dass er fast wortwörtlich

benutzt werden kann, um die ersten vier Aussagen des Satzes 11.1 zu zeigen. Wie können

2.

Geben Sie einen Beweis des sechsten und siebten Teils des Satzes 11.1.

3.

Im Beweis des achten Teils des Satzes 11.1 ist folgende Aussage benutzt worden: Sind Uh,..., Un offene Mengen in R", und U = Uh U ---U Un, so gilt

peu) = all) ++

alUn).

Zeigen Sie diese Aussage. 4.

Seio e 5, eine Permutation und a: R" — R" mit o(xı..... A) = (Kall)e::> Xy(n))- Sei

U CR” eine offene Menge. Warum gilt u(o(U)) = u(UN)? 5.

Essei ll eine beschränkte offene Menge und H eine endliche Vereinigung von Hyperebenen. Warum gilt (UI \ H) = u(UI)?

ll

am 14.11

023 um 15 23 Uhr

Sie jetzt, mit unserem Wissen von kompakten Mengen, schneller den dritten und den fünften Teil beweisen?

Aufgabe 11.2

Das Volumen von

V:=faı...,

0 0.

Lizerziert für Johanı

100

Wäähle jetzt ein k = {, sodass 2* < $. Betrachte unser festes t und ein Q & or mitteQ. Ist s € Q, so folgt aus 2* < 8, dass (s,w) e U für alle w e A = UL On. Diese Aussage besagt, dass QxACUfüralle Q < Q

mitte Q,

siehe Bild oben rechts. A besteht aus u (-Quadern, somit aus u-2"#-0 k-Quadern. Es folgt

KQ) > RD

u > Mc und ft) > 2% -c,d.h.,(t,c) eh;.

3. Schritt. Ist U nicht beschränkt, so sei R; = {x e R"*P: ||x]|oo < i}. Wende den Satz an auf UNR;. Esgilt Kn+p(U) = lim n4p(UNR;) = lim pp+1(Funr) = Hp+ı(Fu) i>0o

i>00

Pearson Deutschland

265

Volumen und Integration

11.3

Das Integral für stetige Funktionen

Es sei UI C R” eine offene Menge und f: U — R U {+0} eine Funktion. Die Ordinatenmengen O+(f) und O-(f) sind definiert durch:

Of): =i@y)eR"xR:xeU,

O

fir,y) av) dx.

(/

nem

u)

b (Tonelli) Ist f(x.y) > 0 für alle (x.y) e U und [ | a

integrierbar.

Ju)

fix.) dydx < ©, so istf

/ Beispiel:

)

N

Sei U das Dreieck gegeben durch x > 0,y > 0 und y < x. Dann gilt (we@n-[

[vora-[)

Ay

x

-[ a-/[

1

!4x-1 E zX dı==.

5,

\ 266 Pearson Deutschland

Aufgaben

Aufgaben

( Aufgabe 11.11

)

1.

Berechnen Sie I A A=(0,1)x (0.2),

2.

A=(1,2)x (0,1),

fay)=12-2-y

3.

A={(&,y):O