Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis [Reprint 2014 ed.] 9783486795042, 9783486244557

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Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis von Dieter Schmersau, Wolfram Koepf

Oldenbourg Verlag München Wien

Akad. Rat Dr. Dieter Schmersau Freie Universität Berlin Fachbereich Mathematik und Informatik Amimallee 3 14195 Berlin Prof. Dr. Wolfram Koepf Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig Fachbereich IMN Gustav-Freytag-Str. 42 A 04277 Leipzig e-mail: [email protected] URL: http://www.imn.htwk-leipzig.de/~koepf

Dieses Buch ist Angelika und Angelika gewidmet.

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Schmersau, Dieter: Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis / von Dieter Schmersau ; Wolfram Koepf. - München ; Wien : Oldenbourg, 2000 ISBN 3-486-24455-8

© 2000 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Martin Reck Herstellung: Rainer Hartl Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationsha Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei Gm

V

Inhaltsverzeichnis Einleitung

1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Charakterisierung der reellen Zahlen Äquivalenzrelationen und Gruppen Ringe, Integritätsbereiche und Körper Die angeordneten Körper: erste Eigenschaften Folgen in angeordneten Körpern Die vollständigen Körper

4 4 14 25 52 70

2 2.1 2.2 2.3

Konstruktion der reellen Zahlen Klassische Konstruktion von Cantor Die Konstruktion von Capelli Die Konstruktion von P. Bachmann

78 78 102 127

3 3.1 3.2

Einbettung in vollständige metrische Räume Metrische Räume Vervollständigung metrischer Räume

146 146 153

4 4.1

Dezimaldarstellung reeller Zahlen Konstruktion der Dezimaldarstellung

165 165

4.2

Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen

175

Literatur

181

Symbolverzeichnis

183

Index

185

1

Einleitung Ob in der Schule oder im Studium, wer sich mit Mathematik beschäftigt, kommt um die reellen Zahlen nicht herum. Während man in der Schulmathematik reelle Zahlen als Dezimalzahlen einführt, mit diesen aber eher intuitiv umgeht - es ist beispielsweise alles andere als einfach, die Rechengesetze der reellen Zahlen aus dem Additions- und Multiplikationsalgorithmus für Dezimalzahlen herzuleiten - , erfordert die deduktive Vorgehensweise im Mathematikstudium einen anderen Begriff der reellen Zahl. Daher werden in den Anfängervorlesungen meist Kenntnisse über die reellen Zahlen vorausgesetzt und ihre Eigenschaften axiomatisch festgelegt. Insbesondere wird auf die ein oder andere Weise die Vollständigkeit der reellen Zahlen eingeführt. Geschieht dies beispielsweise mit Hilfe von Intervallschachtelungen, so wird zusätzlich noch die archimedische Eigenschaft vorausgesetzt; geschieht dies allerdings mit der Supremumseigenschaft, so wird die archimedische Eigenschaft nicht gefordert. Warum dies im einzelnen so ist, bleibt vielen Studenten unklar. Ebenso im Nebulösen bleibt, was die altvertrauten Dezimalzahlen hiermit zu tun haben. Auf der anderen Seite arbeitet man in der numerischen Mathematik dann doch wieder mit Dezimalzahlen, und auch der Standardbeweis für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen benutzt diese. Auf die Frage, was reelle Zahlen sind, sind viele verschiedene Antworten möglich. Reelle Zahlen sind •

Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen,

•

Dedekindschnitte,

•

Dezimalzahlen,

•

Elemente eines vollständigen (angeordneten) Körpers.

Um es etwas salopp zu formulieren: Reelle Zahlen sind diejenigen Zahlen, welche sich durch rationale Zahlen approximieren lassen. Diese Vorstellung von den reellen Zahlen zieht sich wie ein roter Faden durch das gesamte Buch. Wir betrachten die obigen Modelle der reellen Zahlen und femer die Darstellung durch •

Intervallschachtelungen bzw.

•

Capellipaare,

2

Einleitung

welche eine Verallgemeinerung der Dedekindschnitte bilden. Wir haben uns für das vorliegende Buch die Aufgabe gestellt, uns die verschiedenen Modelle der reellen Zahlen genauer anzusehen und gegenüberzustellen. Diese Modelle werden sorgfältig eingeführt und die Beziehungen zwischen ihnen werden herausgearbeitet. Insbesondere wird gezeigt, daß die Dezimalzahlen wirklich ein Modell für die reellen Zahlen darstellen. Im ersten Kapitel werden die Grundbegriffe aus der Algebra (Äquivalenzrelation, Gruppe, Ring, Körper, Ordnung) eingeführt. Danach werden angeordnete Körper betrachtet. Es wird gezeigt (Satz 1.23), daß jeder angeordnete Körper ein Modell der rationalen Zahlen enthält. Dann werden Folgen in angeordneten Körpern betrachtet. Unter anderem wird bewiesen (Satz 1.29), daß ein angeordneter Körper genau dann archimedisch ist, wenn die Folge ( ^ ) n e N eine Nullfolge ist. Dieser Sachverhalt verdeutlicht unseres Erachtens das Wesen der archimedischen Anordnung am besten. Satz 1.37 bringt die archimedische Anordnung mit der oben bereits angesprochenen rationalen Approximierbarkeit in Verbindung. Schließlich werden die vollständigen Körper behandelt. Sie werden mit Hilfe der Supremumseigenschaft eingeführt, und es wird gezeigt (Satz 1.45), daß vollständige Körper stets archimedisch angeordnet sind. Vollständige Körper haben ferner die Intervallschachtelungseigenschaft (Satz 1.47). Dieses Kapitel schließt mit der Erkenntnis (Satz 1.54), daß es bis auf Isomorphie nur einen vollständigen Körper gibt. Dies ist der Körper der reellen Zahlen. Im zweiten Kapitel werden drei verschiedene Konstruktionen der reellen Zahlen durchgeführt: die Cantorkonstruktion, die Capeiiikonstruktion sowie die Konstruktion von P. Bachmann. Während bei der Cantorkonstruktion zur Approximation reeller Zahlen Cauchyfolgen verwendet werden, betrachtet Capelli Mengenpaare, welche eine reelle Zahl von unten und von oben approximieren. Wir nennen diese Mengenpaare Capellipaare. P. Bachmann schließlich approximiert reelle Zahlen mit Hilfe von Intervallschachtelungen. In allen drei Fällen werden zur Darstellung reeller Zahlen Äquivalenzklassen gebildet. Dedekindsche Schnitte sind spezielle Capellipaare, welche die jeweiligen Äquivalenzklassen repräsentieren. Die Cantorkonstruktion, welche besonders ausführlich behandelt wird, gipfelt in einem weiteren Kriterium für Vollständigkeit (Satz 2.15). Den Zusammenhang zur Capeiiikonstruktion und zur Konstruktion von P. Bachmann liefert eine ordnungstheoretische Charakterisierung von Cauchyfolgen (Satz 2.24). Schließlich werden in diesem Kapitel Verfahren zur numerischen Berechnung von Quadratwurzeln und der Eulerschen Zahl e behandelt. Das dritte Kapitel verallgemeinert die Cantorkonstruktion und bettet die Konstruktion der reellen Zahlen in den Kontext der metrischen Räume ein. Es wird hier die Vervollständigung eines beliebigen metrischen Raums mit Hilfe von Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen durchgeführt. Schließlich wird gezeigt (Satz 3.6), daß diese Konstruktion die minimale Vervollständigung liefert. Im letzten Kapitel wird schließlich die Dezimaldarstellung behandelt. Diese ist in der rechnerischen Praxis besonders wichtig. Wir nehmen hierbei wieder einen konstruk-

Einleitung

3

tiven Standpunkt ein. Zum Schluß wird gezeigt, daß die rationalen Zahlen genau den periodischen Dezimaldarstellungen entsprechen. Das vorliegende Buch kann zum einen parallel zu einem Analysislehrbuch in den Anfangervorlesungen der Mathematik eingesetzt werden. Allen Studentinnen und Studenten, die mehr über die reellen Zahlen wissen wollen, liefert die Lektüre dann die Details. Dies wird in der Regel selektiv geschehen. Beispielsweise kann das Kapitel über metrische Räume zunächst auch ohne weiteres übersprungen werden, genauso wie die Abschnitte über die Capeiiikonstruktion und die Konstruktion von R Bachmann. Dabei ist an Eigenlektüre der Studentinnen und Studenten gedacht, aber auch der gezielte Einsatz einzelner Abschnitte durch die Dozentin bzw. den Dozenten ist denkbar. Eine besonders geeignete Möglichkeit für den Einsatz des Buches besteht darin, ein Proseminar über die reellen Zahlen zu veranstalten, dem dieses Buch zugrundeliegt. Wir sind der Überzeugung, daß genauere Kenntnisse über die reellen Zahlen das Verständnis über mathematische Strukturen schärft und den Studentinnen und Studenten auch in anderen Situationen weiterhilft. Beispielsweise ist für viele Fragestellungen der höheren Analysis die prinzipielle Möglichkeit, einen metrischen Raum zu vervollständigen, unverzichtbares Basiswissen. Für Lehramtsstudenten ist wiederum die Konkretisierung der Dezimaldarstellungen von besonderer Bedeutung. Die Gliederung des Buchs ermöglicht eine problemlose Aufteilung des Materials in Seminarvorträge. Wir beenden die Einleitung, indem wir uns bei den Herren Dr. E. Panzram und U. Räuchle für Ihre tatkräftige Unterstützung bei der Übersetzung der Arbeit von A. Capelli bedanken. Ferner danken wir Frau Kossick vom Konrad-Zuse-Zentrum für ihre professionelle Hilfe bei der Beschaffung schwer zugänglicher Literatur. Schließlich gilt unser Dank auch dem Oldenbourg-Verlag für seine verständnisvolle Geduld. Berlin und Leipzig, 27. Juli 1999

Dieter Schmersau und Wolfram Koepf

4

1 Charakterisierung der reellen Zahlen 1.1 Äquivalenzrelationen und Gruppen Äquivalenzrelationen kommen innerhalb und oft (zu Recht) unreflektiert auch außerhalb der Mathematik häufig vor. Sie spielen bei der Lösung vieler theoretischer Probleme eine zentrale Rolle. Die Leserin und der Leser wird dies z. B. nachdrücklich in Kapitel 2 bei den verschiedenen Konstruktionen der reellen Zahlen erleben. Der Grundgedanke, der zur Einführung einer Äquivalenzrelation führt, ist der: Man möchte verschiedene Objekte gemäß einem für die vorliegende Situation entscheidenden Aspekt zusammenfassen, d. h. hier, als nicht wesentlich verschieden voneinander ansehen. Es handelt sich also um einen Abstraktionsprozeß, der auf eine Vergröberung abzielt. Wir beginnen mit einem zunächst abstrakt erscheinenden Beispiel 1.1 (Von / erzeugte Äquivalenzrelation, Kongruenz modulo p) M und N seien nichtleere Mengen, und / : M —• N mit x H-> f ( x ) sei eine Abbildung. Wir definieren auf M eine (binäre) Relation ~ für alle x,y E M wie folgt:1 x ~ y f ( x ) = f { y ) . Die Elemente x und y aus M werden hier als nicht wesentlich verschieden voneinander angesehen, wenn sie unter / das gleiche Bild liefern. Die so erklärte Relation hat ganz offensichtlich die folgenden Eigenschaften: x

i ~

x

x

~

y

f x ~

;

und

f y ~

y

y ~

z

x ;

x ~

z

.

Das Beispiel soll nun konkretisiert werden. Es sei jetzt M = Z die Menge der ganzen Zahlen,2 N = {0,1,2,3,4,5}. Jede ganze Zahl m hat bei der Division durch 6 einen Sprich: x äquivalent zu y, definitionsgemäß genau dann, wenn f ( x ) = f ( y ) . In diesem Buch wird die Menge der ganzen Zahlen nach einiger Vorarbeit in Bemerkung 1.13 konkretisiert. 1

2

1.1 Äquivalenzrelationen

5

und Gruppen

Rest r e N.3 Wir können also / : M —>• N definieren durch m f(m) = r. Dies ist gleichwertig zu der Gleichung m = 6n + r mit n G Z und r € N. Statt m\ ~ m,2 gibt es hier eine Standardnotation: mi = rri2

(mod 6)

(sprich: m\ kongruent « 2 modulo 6). Hier interessiert uns also bei einer ganzen Zahl m nur, welchen nichtnegativen Rest sie bei der Division durch 6 hat. Offenbar gilt m\ = m2 (mod 6) genau dann, wenn die Differenz 7712 — roi ein ganzzahliges Vielfaches von 6 ist. Wir greifen dieses Beispiel mehrfach wieder auf. A Zunächst aber die Definition 1.1 (Äquivalenzrelation, Äquivalenzklasse und Quotientenmenge) M sei eine nichtleere Menge und ~ eine (binäre) Relation auf (in) M. ~ heißt eine Äquivalenzrelation auf M, wenn gilt Äj: Reflexivität: x ~ x für alle x € M ; Ä2: Symmetrie:

=> y ~ 2; für alle x,y € M ;

Ä3: Transitivität: x ~ y und y ~ z

2; ~ 2: für alle x,y,z

6 M.

Ist ~ eine Äquivalenzrelation auf M , so definieren wir für beliebiges x & M [x]^ := {y G M \ x ~ y} und nennen [x]^ eine Äquivalenzklasse. M

h

Ferner sei mit

:= {[x}„ | x £ M}

die Menge aller Äquivalenzklassen bezeichnet, die auch die Quotientenmenge von M nach ~ genannt wird. A Fortsetzung von Beispiel 1.1 In unserem Beispiel besteht die Menge Z a l l e r Äquivalenzklassen aus den sogenannten Restklassen

3

[0]= = { . . . , - 1 2 , - 6 , 0 , 6 , 1 2 , . . . } ,

[1]= = { . . . , - 1 1 , - 5 , 1 , 7 , 1 3 , . . . } ,

[2]= = { . . . , - 1 0 , - 4 , 2 , 8 , 1 4 , . . . } ,

[3]= = { . . . , - 9 , - 3 , 3 , 9 , 1 5 , . . . } ,

Die Division mit Rest wird bei den Dezimaldarstellungen in Kapitel 4 eingehend erörtert.

6

1 Charakterisierung der reellen Zahlen [4]= = { . . . , - 8 , - 2 , 4 , 1 0 , 1 6 , . . . } ,

[5]= = { . . . , - 7 , - 1 , 5 , 1 1 , 1 7 , . . . } .

Für beliebiges jjEN 1 schreibt man Z p = Z/= für die Restklassenmenge modulo p. A Hilfssatz 1.1 Sei M eine nichtleere Menge und ~ eine Äquivalenzrelation auf M. Dann gilt: (a) x G [x]^ fiir alle x G M; (b) [x]^ = [y]^,

x ~ y

(c) [x]^ n [y]^ = 0 O Beweis:

für alle x, y G M; ~ y)

für alle x,y e M.

Der Beweis soll in Aufgabe 1.1 ausgeführt werden.

•

Für —i(x ~ y) schreiben wir auch x y. Ist y G so sagt man, y sei ein Repräsentant der Äquivalenzklasse [x]^,. Beispielsweise repräsentiert 0 die Restklasse [0] S -

In (b) wird das präzisiert, was wir versucht haben, mit dem Wort Vergröberung zu beschreiben, nämlich den Übergang von der Äquivalenz der Elemente x und y aus M zu der Gleichheit der zugehörigen Klassen. Eine Äquivalenzrelation ~ auf der Menge M führt also zu einer Zerlegung (man sagt auch Faserung) von M in nichtleere und disjunkte Klassen. Man überlegt sich leicht, daß auch die umgekehrte Vorgehensweise ,funktioniert". Hat man nämlich eine Zerlegung von M in nichtleere und disjunkte Klassen gegeben, so kann man auf M genau eine Äquivalenzrelation ~ definieren derart, daß die zu ~ gehörigen Äquivalenzklassen mit den vorgegebenen Klassen übereinstimmen. So teilt man z.B. die ganzen Zahlen bei manchen Überlegungen gern in zwei Klassen ein: die geraden und die ungeraden Zahlen. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist die Kongruenz modulo 2. Als ein nicht arithmetisches Beispiel für eine wichtige Äquivalenzrelation sei an die Kongruenz von Strecken bzw. Dreiecken erinnert, die aus der Elementargeometrie bekannt ist. Zu jeder Äquivalenzrelation gehört in naheliegender Weise eine Abbildung. Definition 1.2 (Natürliche Abbildung) M sei eine nichtleere Menge und ~ sei eine Äquivalenzrelation auf M. Dann heißt die Abbildung v : M -»

mit

x h-> V(X)

:=

[x]^

1 Mit N bezeichen wir die natürlichen Zahlen N = { 1 , 2 , . . . } . Diese werden in Abschnitt 1.3 genauer untersucht.

1.1 Äquivalenzrelationen und Gruppen die natürliche Abbildung zu

7

A

Offenbar ist u stets suijektiv. Wir beschließen vorläufig unsere Betrachtungen über Äquivalenzrelationen, indem wir unser abstraktes Eingangsbeispiel im folgenden Abbildungssatz in einen Zusammenhang bringen mit der eben definierten zu einer Äquivalenzrelation gehörigen natürlichen Abbildung.

Satz 1.1 (Abbildungssatz) / : M —> N sei eine Abbildung, ~ die von / erzeugte Äquivalenzrelation und Uf die zu ~ gehörige natürliche Abbildung. Dann existiert eine injektive Abbildung g : Mj^ —> N derart, daß das Diagramm M Vf ; M,l

MN Sg

kommutiert, d. h., es gilt: / = g o V f . Ist / suijektiv, so ist auch g suijektiv. Beweis:

Aufgabe 1.3.

•

Einen Hinweis zur Lösung der Aufgabe geben wir durch ein

Beispiel 1.2 Sei / : Z — N mit n

f(n) = n 2 . Dann gilt zunächst:

/ ( n ) = f(m) & n2 = m2 ^>m — n

r? - m 2 = 0 oder

(n - m)(n + m) = 0

m = —n .

Somit ist Z/

= { {n, —n} | n 6 Z}, anders ausgedrückt [n] = { n , - n } . Wir fLf setzen versuchsweise [n]^ >-> := n 2 und erkennen, daß g wohldefiniert ist, da 2 2 n = ( - n ) ist. A rv

Als nächstes erörtern wir den Begriff der (binären) inneren Verknüpfung auf einer Menge M . Wir wissen: Sind m und n natürliche Zahlen, so können wir ihre Summe m + n und ihr Produkt m • n bilden und die Summe bzw. das Produkt sind wieder natürliche Zahlen. Die Addition bzw. Multiplikation auf N sind äußerst wichtige Beispiele für innere Verknüpfungen. Dies führt zu der folgenden

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

8

Definition 1.3 (Innere Verknüpfung) M sei eine nichtleere Menge. Eine Abbildung o : M x M o((x, y)) heißt eine innere Verknüpfung auf (in) M. A

M mit (rt,y) h->

Wir wollen sofort eine Vereinfachung der Schreibweise vereinbaren, die auch den „lieben Gewohnheiten" Rechnung trägt. Ist o : M x M —> M eine innere Verknüpfung auf M, so setzen wir abkürzend xoy := o((x, y)) für alle x, y G M.1 Das Paar (M, o) wird als Gruppoid bezeichnet. Jedoch werden wir uns mit diesen sehr allgemeinen Gebilden nicht weiter befassen. Es leuchtet ein, daß man erst eine interessante Theorie erwarten darf, wenn man von der inneren Verknüpfung zusätzliche Eigenschaften fordert. Die meisten inneren Verknüpfungen, die in der Mathematik eine Rolle spielen, sind assoziativ, viele sind kommutativ. Definition 1.4 (Assoziativität, Kommutativität, Halbgruppe) M sei eine nichtleere Menge, o : M x M

M eine innere Verknüpfung.

o heißt assoziativ, wenn x o (y o z) = (x o y) o z für alle x,y,z o heißt kommutativ, wenn xoy

= yoxfür

E M gilt.

alle x,y G M gilt.

Ist die innere Verknüpfung o assoziativ, so heißt das Paar (M, o) eine Halbgruppe. Ist o zusätzlich noch kommutativ, so heißt (M, o) eine kommutative oder abelsche Halbgruppe. A Die folgenden Beispiele, die alle sehr „natürlich" sind, sollen belegen, daß es sinnvoll ist, diese Struktur definitorisch zu erfassen. Beispiel 1.3 (Halbgruppen) (a) (N, +) und (N, •) sind abelsche Halbgruppen. (b) Ist X eine nichtleere Menge und V{X) ihre Potenzmenge, so sind (V(X), U) und {V(X), n ) abelsche Halbgruppen. (c) Sei X eine nichtleere Menge und F := {f \ f : X —>X}die Menge aller Abbildungen von X nach X, so ist F zusammen mit der Verkettung (Komposition) o von Abbildungen eine Halbgruppe. Besitzt aber z.B. X mindestens zwei Elemente, so ist (F, o) nicht abelsch. A Wir wollen, bevor wir uns den äußerst wichtigen Gruppen zuwenden, eine Situation allgemein betrachten, die in Kapitel 2 immer wieder eintritt. Definition 1.5 (Verträglichkeit) M sei eine nichtleere Menge, R sei eine (binäre) Relation auf M und o sei eine 1

Die Schreibweise

xoy

heißt die Mixnotation von

o((x,y)).

1.1 Äquivalenzrelationen und Gruppen

9

(binäre) innere Verknüpfung auf M . Die Relation R heißt mit der inneren Verknüpfung o verträglich, wenn für alle x,x',y,y' GM xRx'

und

yRy'

=s>

( i o y ) R ( i ' o y')

gilt. A

Beispiel 1.4 (a) M = N, R = < , o = +. Dann lautet die Verträglichkeitsbedingung

m < m'

und

n < n'

=>• m + n < m' + n' .

(a') M = N, R = < , o = • (Multiplikation). Dann lautet die Verträglichkeitsbedingung

m m-n < m' • n' .

(b) M — Z, R Kongruenz modulo p, o = +. Dann lautet die Verträglichkeitsbedingung

m = m' (mod p)

und

n = n ' (mod p)

=> m + n = m' + n' (mod p) .

(b') M = Z, R Kongruenz modulo p, o Multiplikation. Dann lautet die Verträglichkeitsbedingung

m = m' (mod p)

und

n = n' (mod p)

m - n = m' • n' (mod p) .

(c) M = V(X), R = C, o = U. Dann lautet die Verträglichkeitsbedingung

AcB (c') M = V(X),

AcB

und

C CD

AöC

C BöD

.

R = C, o = n. Dann lautet die Verträglichkeitsbedingung und

CcD

AnC

C BnD.

A

In den Beispielen (b) und (b') war die Relation R eine Äquivalenzrelation (auf Z), die mit der Addition bzw. Multiplikation verträglich ist. Diese Situation ist allgemein sehr bemerkenswert, denn sie gestattet es, die auf M gegebene innere Verknüpfung in die Quotientenmenge M / ^ „zu verpflanzen"; ein Verfahren, von dem wir intensiv Gebrauch machen werden. Dazu der folgende

Satz 1.2 (Innere Verknüpfung auf Quotientenmenge) M sei eine nichtleere Menge, ~ sei eine Äquivalenzrelation auf M, die mit einer inneren Verknüpfung o auf M verträglich sei. Dann ist die innere Verknüpfung * auf

10

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

M/^, die gegeben ist durch *

:=

\x ° y]~

>

wohldefiniert. Beweis: Da [a;]^ = [z']^ x ~ x' und [2/] = & y ~ y' und da ~ verträglich mit o ist, folgt i o ( / ~ i ' o j / ' . Dies bedeutet aber definitionsgemäß = [x' o y']^. • Fortsetzung von Beispiel 1.1 Damit haben wir für die Restklassen, die durch die Kongruenz modulo p erzeugt wurden, eine Addition und eine Multiplikation zur Verfügung, die sowohl assoziativ als auch kommutativ sind.1 Nehmen wir wieder p = 6 und eine vereinfachte Schreibweise, so gelten beispielsweise die Gleichungen [5] + [5] = [10] = [4] ,

denn 10 = 4

(mod 6) ;

[3] • [4] = [12] = [0] ,

denn 12 = 0 (mod 6) ;

[4] • [5] = [20] = [2] ,

denn 20 = 2 (mod 6) .

Auf die Besonderheit der mittleren Gleichung kommen wir an geeigneter Stelle zu sprechen. A Nun zurück zu den Halbgruppen. Es ist üblich und sehr sinnvoll, algebraische Strukturen vom gleichen Typ (hier: Halbgruppen) zusammen mit ihren strukturverträglichen Abbildungen, den Homomorphismen, zu betrachten. Dazu die folgende Definition 1.6 (Homomorphismus, Isomorphismus) (Hi, ox) und (H2,02) seien zwei Halbgruppen, und / : Hi —> H2 sei eine Abbildung. / heißt ein Halbgruppen-Homomorphismus, wenn f(x 01 y) = f(x) o2 f(y)

für alle x, y € # 1

gilt. Ist / ein bijektiver Halbgruppen-Homomorphismus, so heißt / ein HalbgruppenIsomorphismus, und die Halbgruppen (Hi, o^ und (H2,02) heißen isomorph. A Beispiel 1.5 Wir greifen (b) und (b') von Beispiel 1.4 nochmals auf. Sei also X eine nichtleere 1

Obwohl diese Operationen in einer ganz anderen Menge erklärt sind, verwenden wir der Einfachheit halber wieder die Zeichen + und •.

1.1 Äquivalenzrelationen und Gruppen

11

Menge und V(X) die Potenzmenge von X. Für A £ V(X) setzt man bekanntlich C X A := CA := {y G X | y £ A} und nennt die Menge CxA das Komplement von A bzgl. X. Für A,Be die de Morganschen Gesetze

V(X) gelten

C(A n B) = CA u Zb und C(A u B) = ZA n Zb . Ferner gilt C(CA) = A. Betrachtet man also / : (V(X), U) ->• {V(X), n) mit A ^ f(A) := CA , so ist / ein Halbgruppen-Homomorphismus, ja sogar ein Halbgruppen-Isomorphismus, und es ist f = f~l. Wir halten noch fest: /(0) = X und A U 0 = A für alle A € V{X)\ f ( X ) = 0 und B n X = B für alle B 6 V(X). A Es muß noch eine Konstruktion angesprochen werden, die auch wir später benutzen, bei der eine bijektive Abbildung f zur Strukturierung einer Menge herangezogen wird. Satz 1.3 (Isomorphe Übertragung der inneren Verknüpfung) M sei eine Menge und (H, o) sei eine Halbgruppe. Ferner sei / : M —> H eine bijektive Abbildung. Wir setzen u*v := f~1(f(u) °f{v)) für alle u , d £ M. Dann ist * eine innere Verknüpfung auf M, (M, *) ist eine Halbgruppe, und die Halbgruppen (M, •) und (H, o) sind isomorph. Beweis: Die Durchführung des wirklich einfachen Beweises überlassen wir der Leserin bzw. dem Leser. • Um mit der im Satz genannten Konstruktion vertraut zu werden, empfehlen wir die Bearbeitung von Aufgabe 1.8. Für unser Anliegen haben wir nunmehr genug über Halbgruppen gesagt und zielen jetzt auf den Begriff Gruppe ab, der von ungleich größerer Bedeutung ist. Gruppen sind nicht nur innermathematisch von immenser Wichtigkeit, sondern sie sind auch ein wichtiges Werkzeug in der theoretischen Physik. Dies lehrt z. B. ein Blick in [8]. Zum Einstieg greifen wir unser Beispiel 1.3 (c) wieder auf und betrachten für eine nichtleere Menge X die Teilmenge B := {g | g : X -> X,g bijektiv} der Menge

12

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

aller Abbildungen F := {/ | / : X —> X}. B zusammen mit der Verkettung o von Abbildungen ist eine Gruppe. Ist X endlich (z.B. X = { 1 , 2 , . . . , n}), so heißt (B, o) eine endliche Permutationsgruppe. Die endlichen Permutationsgruppen bilden den Ursprung der allgemeinen Gruppentheorie. Was sind nun die besonderen Eigenschaften von (B, o)? Zunächst ist (B, o) wieder eine Halbgruppe, da die Verkettung bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist. Also ist o eine assoziative innere Verknüpfung auf B. Ferner gehört die Abbildung e : X X mit e(x) = x für alle x G X zu B, und es gilt e o g = g für alle g £ B. Ist schließlich g G B, so existiert g~l : X X, es ist g'1 G B und außerdem gilt g_1 o g = e. Damit haben wir für das konkrete Beispiel (B, o) die drei Eigenschaften aufgezeigt, die wir allgemein für eine Gruppe fordern. Definition 1.7 (Gruppe) Ein Paar (G, o) heißt eine Gruppe, wenn gilt: G\: Assoziativität: (G, o) ist eine Halbgruppe; G2: Neutrales Element: in G gibt es ein Element e mit e o a = o für alle a G G; G3: Inverses: zu jedem a € G gibt es ein b G G mit b o a = e. Das Element e in G2 heißt ein linksneutrales Element der Gruppe (G, o); das Element b in G3 heißt ein Linksinverses von a. Ist eine Gruppe ferner kommutativ, d. h. G4: Kommutativität: für alle a, b G G gilt a o b = b o a, so heißt die Gruppe abelsch. A Bemerkung 1.1 Man kann nun zeigen, daß e aus G2 auch ein rechtsneutrales Element ist und daß es kein weiteres neutrales Element1 in G geben kann, s. Hilfssatz 1.2. Ferner kann man zeigen, daß b auch ein Rechtsinverses von a ist, und daß b durch a eindeutig bestimmt ist. Deswegen können wir a - 1 := b setzen und nennen a _ 1 das Inverse von a. Um einen Eindruck von der Beweistechnik zu vermitteln, führen wir den kleinen Beweis, daß ein Linksinverses auch rechtsinvers ist, aus: Es sei also b ein Linksinverses von a, somit boa = e. 1

neutrales Element: sowohl links- als auch rechtsneutrales Element

(1.1)

1.1 Äquivalenzrelationen und Gruppen

13

Zu b € G gibt es wegen G3 ein c G G mit cob= e .

(1.2)

Dann folgt aob

(G2) (1.1)

e o (a o b) = = . (G 2 ) c o (e o b) =

(co(i)o(flo 6) , (1.2) co6 = e

(Gl)

c o ((6 o a) o 6)

Also ist 6 auch ein Rechtsinverses von a. Wir bemerken ferner, daß Halbgruppen-Homomorphismen bzw. -Isomorphismen insbesondere auch zwischen Gruppen existieren. Diese werden dann GruppenHomomorphismen bzw. -Isomorphismen genannt. A Fortsetzung von Beispiel 1.1 Wir beschließen diesen Abschnitt mit einem Beispiel einer endlichen abelschen Gruppe. Wir betrachten in Z wieder die Kongruenz modulo p und wählen diesmal p = 5. Wir haben für die zugehörigen Äquivalenzklassen eine Addition und eine Multiplikation erklärt, die sowohl assoziativ als auch kommutativ sind. Wir interessieren uns für die Multiplikation und beachten, daß p = 5 eine Primzahl ist. Ist p eine Primzahl und sind m,n € Z, so zeigt man in der elementaren Zahlentheorie: Ist p ein Teiler des Produkts m • n, so ist p Teiler von m oder Teiler von n. Anders ausgedrückt: m •n = 0

(mod p)

=>

m = 0

(mod p)

oder

n = 0

(mod p) .

Somit ist die Multiplikation für die Restklassenmenge G := {[1], [2], [3], [4], [5]} (ohne die [0]1) eine innere Verknüpfung. Es ist e = [1], und wir erhalten folgende Gruppentafel für die Verknüpfung o = •: o [1]

[2]

[3] [4]

[1] [1] [2] [3] [4]

[2] [2] [4] [1] [3]

[3] [3] [1] [4] [2]

[4] [4] [3] [2] [1]

Beispielsweise ist [2] • [3] = [6] = [1] = e, also [2]"1 = [3], und [3]"1 = [2], und wegen [4] • [4] = [16] = [1] ist [4]"1 = [4]. A

1

Durch 0 darf man nicht teilen!

14

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

Aufgaben 1.1 Beweisen Sie Hilfssatz 1.1. 1.2 Zeigen Sie, daß die natürliche Abbildung v stets suijektiv ist. 1.3 Beweisen Sie Satz 1.1. 1.4 Zeigen Sie, daß die Verkettung von Abbildungen stets assoziativ ist. 1.5 Sei X eine nichtleere Menge und sei F := {/ | / : X —X} die Menge aller Abbildungen von X nach X. Zeigen Sie: Besitzt X mindestens zwei Elemente, so ist (F, o) nicht abelsch. 1.6 Zeigen Sie die Eigenschaften (b) und (b') aus Beispiel 1.4. 1.7 Zeigen Sie Satz 1.3. 1.8 Sei M = Q = H die Menge der rationalen Zahlen, o = + . Seien a, b fest aus Q mit a 0, / : Q Q mit x ^ f(x) = ax + b. f ist bijektiv (Beweis!). Leiten Sie für die innere Verknüpfung • gemäß Satz 1.3 eine von / und / _ 1 freie Darstellung her. 1.9 Es seien a, m G N, wobei a und m keine gemeinsamen Teiler haben mögen. Dann sind die m Zahlen a • l,a • 2,... ,a • m paarweise modulo m nicht zueinander kongruent. Hinweis: Man führe den Nachweis indirekt. 1.10 Zeigen Sie, daß für eine Primzahl p die Restklassenmenge ( Z p \ {[0]}, •) bzgl. der Multiplikation eine Gruppe ist. 1.11 Zeigen Sie: In einer Gruppe (G, o) hat die Gleichung a o x = b (bzw. die Gleichung x o a = b) für beliebige a,b E G genau eine Lösung x. Berechnen Sie x. Beachten Sie, daß G nicht notwendig kommutativ ist. 1.12 Welche Eigenschaften der Gruppentafel einer endlichen Gruppe reflektieren G2, G 3 bzw. G 4 ?

1.2 Ringe, Integritätsbereiche und Körper In diesem Abschnitt befassen wir uns mit algebraischen Strukturen, die aus einer nichtleeren Menge bestehen, auf der zwei innere Verknüpfungen erklärt sind. Wichtige Beispiele sind die ganzen Zahlen bzw. die rationalen Zahlen zusammen mit der Addition und Multiplikation. Es leuchtet unmittelbar ein, daß es keinen Sinn macht, simultan auf einer Menge zwei innere Verknüpfungen zu betrachten, wenn diese nicht in einer gewissen Beziehung zueinander stehen. Von den genannnten Zahlen her kennen wir eine solche Beziehung: die jeweiligen Distributivgesetze. Hiervon geleitet gelangt man zu der folgenden

1.2 Ringe, Integritätsbereiche und Körper

15

Definition 1.8 (Ring) Ein Tripel (R, +,•), bestehend aus einer nichtleeren Menge R und zwei inneren Verknüpfungen (+: Addition, sprich: plus; •: Multiplikation, sprich: mal) heißt ein Ring, wenn gilt: R\: (i?, + ) ist eine abelsche Gruppe; i?2: (-R) ) ist eine Halbgruppe; i?3: Distributivität: Für alle x,y,z

E R gelten die Distributivgesetze:

x • (y + z) = (x • y) + (x • z)

und

(y + z) • x = (y • x) + (z • x) .

Gilt anstelle von i?2 R'2'. (R, •) ist eine kommutative Halbgruppe, so heißt (R, + , •) ein kommutativer Ring. A Wir wollen beim Rechnen in Ringen an der alten Schulregel„Punktrechnung kommt vor Strichrechnung" festhalten, um zu einer Klammerersparnis zu gelangen. So schreiben sich die beiden Distributivgesetze aus dann einfacher so: x-(y

+ z) = x- y + x- z

und

(y + z)-x

= y- x + z-

x.

Des weiteren ist es üblich, manchmal den Malpunkt einfach wegzulassen. Ferner bezeichnen wir einen Ring (R, + , •) häufig nur durch die Trägermenge R. Bevor wir auf das (eventuell vorhandene) Einselement eines Ringes zu sprechen kommen, benötigen wir einen kleinen Nachtrag zu den Halbgruppen. Hilfssatz 1.2 (H, o) sei eine Halbgruppe, Ist e ein linksneutrales Element der Halbgruppe, d. h., es gilt e o a = a für alle a G H, und ist e' ein rechtsneutrales Element der Halbgruppe, d. h., es gilt a o e' = a für alle a € H, dann ist e = e' und somit neutrales Element von (H, o). Mithin gibt es in einer Halbgruppe höchstens ein neutrales Element. Beweis: Es ist e' = e o e\ da e linksneutral, und e = e o e', da e' rechtsneutral, also e = e o e' = e'. • Definition 1.9 (Nullelement, Einselement) ( ß , + , •) sei ein Ring. Das neutrale Element der abelschen Gruppe (R, +) heißt das Nullelement. Wir bezeichnen es häufig mit oder einfach mit 0. Existiert das neutrale Element der Halbgruppe (R, •), so heißt es das Einselement des Rings. Wir bezeichnen

16

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

es häufig mit 1 R oder einfach 1. A Bemerkung 1.2 (Triviale und fast triviale Ringe) Das triviale Beispiel eines Rings ist R = {0} mit 0 + 0 = 0 und 0 0 = 0. Wenn wir von einem Ring (R, +, •) mit Einselement sprechen, so setzen wir stets 0ß # I ß voraus, ohne das anzumerken. Der kleinste Ring mit Einselement ist offenbar der Ring R = Gruppentafeln: + 0 1

0 1 0 1 1 0

0 1

0 0 0

1 0 1

{0,1} mit den

A

Bevor wir nichttriviale Beispiele für Ringe angeben, beweisen wir einen einfachen Hilfssatz über Ringe, der beispielhaft aufzeigt, daß manche von den ganzen Zahlen her bekannte Eigenschaften auch auf diese allgemeinere Struktur zutreffen. Hilfssatz 1.3 (R, + , •) sei ein Ring mit dem Nullelement 0. Ist x G R, so sei — x das Inverse von x in der abelschen Gruppe (R, +). Dann gilt: (a) x • 0 = 0 = 0 • x für alle x G R\ (b) x • (—y) = -(x • y) für alle x, y G R\ (b') (— x) • y = -(x • y) für alle x, y G -R; (c) (—x) • ( - y ) — x • y für alle x, y G R. Beweis:

Zu (a): Es ist x • x = x • (x + 0) = x • x + x • 0. Also ist weiter

0 = — (x • x) + x • x = —(x • x) + (x • x + x • 0)

- ( - ( x -a;)+x-a;)+a;-0 = 0 + a ; - 0 = x - 0 . Eine analoge Argumentation zeigt, daß 0 • x — 0 ist. Zu (b): Es ist x • y + x • (—y) = x • (y + (—y)) = x • 0 = 0. Also ist weiter

x • (~y) = 0 + x • (-y) = (-(x • y) + x • y) + x • (-y) -(x -y) + {x-y + x- (-y)) = -(x • y) + 0 = -(x • y) .

((b'))

-(-(z-2/))

= x-y.

•

1.2 Ringe, Integritätsbereiche und Körper

17

Die nächsten zwei Sätze zeigen, daß man in einem kommutativen Ring (i?, + , •) mit Einselement schon sehr beachtlich rechnen kann. Ist x G R, so setzen wir x° :— lß, xx := x, a;fc+1 := x • xk (k G N) und \ • x = x, (ä + 1) • a; = k • x + x (k € N).1 Die strenge Rechtfertigung für derartige Definitionen geben wir später in Bemerkung 1.11. Ferner setzen wir für n, k G N, n ^ k _ n(n-l)---(n-k + l) k(k — 1) • - -1

Ö

'

Bemerkung 1.3 (/c-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge) Wir halten fest, daß (£) die Anzahl derfc-elementigenTeilmengen einer n-elementigen Menge ist; beachtet man nämlich zunächst die Reihenfolge der Elemente, so gibt es offenbar n(n — 1) • • • (n —fc+ 1) Möglichkeiten, k von n Elementen anzuordnen, da wir für den ersten Platz n Elemente zur Auswahl haben, für den zweiten Platz n — 1 Elemente usw. und schließlich n — k + 1 Elemente für den k-ten Platz. Mit einer ähnlichen Argumentation sieht man ein, daß es k (k — 1) • • • 1 viele verschiedene Anordnungen der nun ausgewählten k Elemente gibt. Daher gibt es (£) viele kelementige Teilmengen einer n-elementigen Menge. A Satz 1.4 (Eine Teleskopsumme) (R, +, •) sei ein kommutativer Ring mit Einselement

y

n+l

-x

Dann gilt für alle n € N

71 = {y-x)-Yjyn~kxk , k=0

n+l

insbesondere ist für y = lR-xn+1 Beweis:

=

Es ist n

n n k

(»-*)•£

y~ k=0

1

(lR-x)-j2xkk=0

r» n k x

=yE y ~ " ~

x

fc=0

E yn~k x" > k—Q

Die hier erklärte Vervielfachung k • x eines Ringelements x € R ist nicht die Multiplikation im Ring R, sondern eine neue, hiermit eingeführte, Verknüpfung.

18

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

also ( y - x ) - j 2 yn~k *fc = E yn~k+1 k-0

** " £

n

=

k=0

yn~k x f c + 1

fc=0

k=0

n+1

yn~k+l

xk

~Yl

j= 1

yn~i+1

xj

= yn+1 - x"+1 •

Da sich bis auf zwei Summanden alle gegenseitig wegheben, nennt man eine derartige Summe eine „Teleskopsumme". • Bekannter Spezialfall von Satz 1.4: y2 — x2 = (y - x) • (y + x). Häufig gebraucht - auch wir benutzen ihn später - wird der binomische Lehrsatz.

Satz 1.5 (Binomischer Lehrsatz) (R, + , •) sei ein kommutativer Ring mit Einselement l ß . Dann gilt für alle n G N

(* + !/)" = E Beweis:

(£)

V B " fc •

Das Produkt

(x + y)n = v(x + y) • (x + y) • • • {x + y) v ' n Faktoren wird mit dem Distributivgesetz ausmultipliziert. Hierbei entstehen Summanden der Form xk • yn~k und unsere Aufgabe besteht darin abzuzählen, wieviele solcher Summanden jeweils entstehen. Um den Summanden xk • yn~k zu erhalten, benötigen wirfc-malden Faktor x. Hierfür müssen wir also k der n Klammern auswählen. Wie in Bemerkung 1.3 festgestellt, gibt es hierzu aber (£) viele Möglichkeiten. • Wegen des binomischen Lehrsatzes heißen die Zahlen (£) Binomialkoefßzienten. 2 2 Bekannter Spezialfall von Satz 1.5: (x + y) = x + 2 • x • y + y2. Die in Hilfssatz 1.3 und in Satz 1.4 und 1.5 festgehaltenen Analogien zum Rechnen mit Zahlen sind einerseits wichtig und dürfen andererseits nicht überbewertet werden; denn wir werden bald sehen, daß bei der Multiplikation in Ringen Phänomene auftreten, die wir vom Rechnen mit Zahlen nicht kennen.

Beispiel 1.6 (Ringe) (1) Der wohl wichtigste Ring ist der Ring (Z, + , •) der ganzen Zahlen. Er ist ein kommutativer Ring mit Einselement und das Fundament der elementaren Zahlentheorie.

1.2 Ringe, Integritätsbereiche und Körper

19

(2) Sei p G N und Z p die bereits betrachtete Restklassenmenge modulo p, also Zp = { [ 0 ] , [ l ] , . . . , [ p - 1 ] } . Für die Restklassen hatten wir bereits eine Addition und Multiplikation erklärt. Es ist nicht schwer zu zeigen, daß (Z p , +, •) ein kommutativer Ring ist. Die Restklasse [0] ist das Nullelement von Z p , die Restklasse [1] das Einselement von Z p . In Ze hatten wir (s. S. 10) die bemerkenswerte Gleichung [3] • [4] = [0], d. h., hier gibt es Produkte, die das Nullelement ergeben, obwohl beide Faktoren vom Nullelement verschieden sind. (3) In Abschnitt 2.1 werden wir den Ring der rationalen Cauchyfolgen betrachten. Dies ist ein kommutativer Ring mit Einselement (Satz 2.3). Zahlreiche weitere Beispiele, die wir aus Platzgründen nicht aufführen können, findet der/die Interessierte in der einschlägigen Literatur. A Definition 1.10 (Nullteiler) (R, +, •) sei ein Ring mit dem Nullelement 0. Das Element a G R, a ^ 0, heißt ein Nullteiler, wenn es ein b G R, b ^ 0, gibt mit b • a = 0 oder a • b = 0. Ein Ring heißt nullteilerfrei, wenn er keine Nullteiler besitzt. A Beispiel 1.7 (1) Es seien p, m, n G N mit p = m • n und 1 < m < p; d. h., sowohl m als auch n sind echte Teiler von p. Wir betrachten den Ring Z p . Dann sind die Restklassen [m] und [n] Nullteiler. (2) Der Ring Z der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei. A Wir wollen eine bemerkenswerte Konsequenz der Nullteilerfreiheit festhalten. Hilfssatz 1.4 (Kürzungsregeln) (i?, +, •) sei ein Ring, a G R, a ^ 0 sei kein Nullteiler. Dann gilt: (1) a • x = a • y

x = y für alle x,y G Ä;

(2) x • a = y • a

x = y für alle x,y G R.

Beweis:

(1): a- x = a-y =>• a - x + (-(a • y)) = 0. Also

0 = a • x 4- ( - ( a • y)) = a • x + a • (-y) = a • (x + (-y)) , und da a ± 0 kein Nullteiler ist, folgt x + (-y) = 0, also x = y. Die Aussage (2) wird analog bewiesen. •

20

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

Das Bemerkenswerte an dieser Kürzungsregel ist, daß wir nicht die Invertierbarkeit von a bzgl. der Multiplikation fordern müssen. Bevor wir uns ausführlicher den nullteilerfreien Ringen widmen, um schließlich zu den Körpern zu gelangen, wollen wir für beliebige Ringe noch die strukturverträglichen Abbildungen definieren.

Definition 1.11 (Ring-Homomorphismus, Ring-Isomorphismus) ( ü i , + i , -i) und (i?2> +2> 2) seien zwei Ringe, und / : ü i —> R2 sei eine Abbildung. / heißt ein Ring-Homomorphismus, wenn / : (i?i, +1) / : (Äi, -i) gilt

(i?2, +2) ein Gruppen-Homomorphismus ist und (R2, -2) ein Halbgruppen-Homomorphismus ist, d. h. für alle x,y £ R

f(x+iy)=f(x)+2f(y)

und

f(x-xy)

= f(x)-2f(y).

(1.3)

Ist / insbesondere bijektiv, so heißt / ein Ring-Isomorphismus, und die Ringe (Ri, +1, -i) und (R2, +2, -2) heißen isomorph. Wir nennen die Abbildung f wegen (1.3) auch verknüpfungstreu. A Wir verzichten hier auf Beispiele, weil wir später in konkreten Fällen derartige Abbildungen betrachten werden. Möchten wir in einem Ring auch bzgl. der Multiplikation Verhältnisse vorfinden, wie wir sie beim Rechnen mit Zahlen gelernt haben, so muß der Ring kommutativ sein, ein Einselement besitzen und darf keine Nullteiler haben. Dies führt zu der folgenden

Definition 1.12 (Integritätsbereich) (R, + , •) sei ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit Einselement. Dann heißt (R, + , •) Integritätsbereich. A Wieder sind die ganzen Zahlen (Z, +, •) wohl das wichtigste Beispiel für einen Integritätsbereich. Beispiele endlicher Integritätsbereiche sind (Z p , + , •), wenn p eine Primzahl ist. Welcher Sachverhalt ist es nun, der bei Integritätsbereichen noch als „verbesserungsbedürftig" angesehen werden muß? Es ist die fehlende Möglichkeit der Division. Etwas präziser: Ist (R, + , •) ein Ring und sind a, b € R, so besitzt die Gleichung a — b+x genau eine Lösung, da (R, + ) eine Gruppe, sogar eine kommutative Gruppe, ist, s. Aufgabe 1.11.Völlig anders ist die Situation bei den Gleichungen a — b x bzw. a = x • b, wo wir i. a. keine nennenswerte Aussage über die Lösungsmenge machen können. Ist jetzt (R, + , •) hingegen ein Integritätsbereich, so brauchen wir wegen der

1.2 Ringe, Integritätsbereiche und Körper

21

Kommutativität der Multiplikation nur die Gleichung a = b•x

(1.4)

zu betrachten und können wegen der Kürzungsregel (Hilfssatz 1.4) sofort die Aussage gewinnen: Ist 6 ^ 0R, so besitzt die Gleichung (1.4) höchstens eine Lösung. Ferner können wir für c / sagen, daß die Gleichung (1.4) und die Gleichung c • a = c • b•x

(1.5)

äquivalent sind. d.h. hier: xi G R ist eine Lösung von (1.4) genau dann, wenn x\ E R eine Lösung von (1.5) ist; denn aus b ^ OR und c ^ Or folgt wegen der Nullteilerfreiheit c • b ^ Damit besitzt (1.5) höchstens eine Lösung. Sei x\ Lösung von (1.5), also c- a = c-b • x i, dann ist c • (a + (—b • = Oß, und aus c^ OR folgt abermals wegen der Nullteilerfreiheit a + (—b • x\) = OR, und damit a = b • x\. Diese beiden Aspekte bei Gleichungen des genannten Types in Integritätsbereichen greifen wir weiter unten wieder auf. Zunächst wollen wir die algebraische Struktur definieren, in der auch die Gleichung a = b - xföib genau eine Lösung besitzt. Definition 1.13 (Körper) (K, +, •) sei ein kommutativer Ring mit Einselement. (K, +, •) heißt Körper, wenn (K \ {0}, •) eine Gruppe ist. Zusammenfassend heißt dies also: Es sei K eine Menge mit mindestens zwei Elementen. Ferner seien in K zwei innere Verknüpfungen + und • definiert. Die algebraische Struktur (K, +, •) ist ein Körper, wenn gilt K\. (K, +) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element dieser Gruppe heißt Nullelement des Körpers und wird mit 0K oder 0 bezeichnet. Das Inverse eines Elementes x E K bzgl. + wird mit —x bezeichnet, und x — y := x + (—y) bezeichnet die Differenz. Ki'. {K, •) ist assoziativ und kommutativ und (K \ {0}, •) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element dieser Gruppe heißt Emselement des Körpers und wird mit 1 K oder 1 bezeichnet. Das Inverse eines Elementes x G K \ {0} bzgl. • wird mit x~l bzw. j bezeichnet, und | := x • y~l bezeichnet den Quotienten. Kz'. Für alle x,y,z

G K gilt das Distributivgesetz, d. h., es ist stets

x-(y + z) = x- y + x- z.

A

22

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

Wir bemerken zunächst, daß in einem Körper jede Gleichung a = b • x mit a,b € K und b / Ok genau eine Lösung hat, s. Aufgabe 1.11. Es ist auch sehr einfach zu zeigen, daß der Körper K keine Nullteiler hat und somit insbesondere ein Integritätsbereich ist. Die Umkehrung hiervon ist nicht richtig. Denn der Integritätsbereich (Z, + , •) der ganzen Zahlen hat ja gerade den Mangel, daß die Gleichung a = b • x i. a. nicht lösbar ist. Ein Beispiel für einen (gerade auch für unsere Erörterungen) sehr wichtigen Körper ist der Körper (Q, + , •) der rationalen Zahlen. Wieder ist auch (Zp, + , •), wenn p eine Primzahl ist, ein Beispiel eines endlichen Körpers. Ferner findet man, auch gerade für unsere Absichten sehr instruktive, Beispiele für Körper in [1]. Weitere Beispiele ergeben sich aus den folgenden Anmerkungen, die anknüpfen an die Betrachtungen zu der Gleichung (1.4) mit b ^ 0# in einem Integritätsbereich (R, +, •): Es gibt eine kanonische Konstruktion, die von dem (beliebigen) Integritätsbereich (R, + , •) zu einem Körper (K, ©, ©) führt, der eine isomorphe Kopie von (R, +, •) enthält und die „kleinste" Erweiterung von (R, + , •) zu einem Körper ist. K heißt der Quotientenkörper von R. Beginnt man die Konstruktion mit dem Integritätsbereich Z, so erhält man als Quotientenkörper von Z den Körper Q der rationalen Zahlen. Wir wollen in der nächsten Bemerkung die Konstruktion von Z nach skizzieren, und es zeigt sich dabei fast von selbst, daß sie für jeden Integritätsbereich in der gleichen Weise durchgeführt werden kann. Außerdem „erklärt" die Konstruktion die Bezeichnung „Quotientenkörper". Bemerkung 1.4 (Q als Quotientenkörper von Z,eine Skizze) Für die Skizze setzen wir Z* Z \ {0} und halten fest: 6,6' G Z* b • b' G Z* (Nullteilerfreiheit!). Es sei M := Z x Z* (die Gleichung a = b • x mit wird charakterisiert durch das geordnete Paar (a, b) G M), und auf M erklären wir eine Addition und Multiplikation wie folgt: (a, b) + (a', b') := (a • b' + a! • b,b • b')

(1.6)

(a, 6) • (a',6') := (a • a',b • b') .

(1.7)

und

Diese Definitionen kommen nicht von ungefähr, sondern sie sind aus der Bruchrechnung motiviert.1 Nunmehr erklären wir auf M eine Äquivalenzrelation:2 ( a , b) ~

1

a • b' = a' • b .

entsprechend den Regeln für die Addition und Multiplikation rationaler Zahlen f + fr =

D£W - • — = b7W - bb' 2

b')

(a',

b b'

/

entsprechend f = fr

(1.8)

a b

't>%f

b

1.2 Ringe, Integritätsbereiche und Körper

23

Die inneren Verknüpfungen in (1.6)—(1.7) sind assoziativ, kommutativ und die Multiplikation ist distributiv bzgl. der Addition. Dies liefern die entsprechenden Eigenschaften in Z. Außerdem ist die Äquivalenzrelation ~ auf M verträglich (Definition 1.5) mit beiden inneren Verknüpfungen auf M. Somit können beide auf die Quotientenmenge M/^ übertragen werden (Satz 1.2): [{a, &)]„ © [(a', &')]- := [(a • b' + af

• 6,

b•

,

und die übertragenen Verknüpfungen haben auch die oben genannten Eigenschaften. Wir schreiben zur Vereinfachung der Schreibweise und aus Gründen der Suggestion für (a, b) GM

Dann besteht z. B. die Gleichung \ somit [(1,2)]^ = [(2,4)]—

denn (1,2) ~ (2,4), da 1 • 4 = 2 • 2, und

Wir erklären nun =

(a,6) G M j ,

und die inneren Verknüpfungen © und © schreiben sich jetzt vereinfacht so: a b

a' V

a- b' + a' • b b-V

und

,

a b

a' V

- G r -

=

a- a! b-V

Das neutrale Element bzgl. © ist die Klasse y, das neutrale Element bzgl. © ist die Klasse y, Nun ist f ^ f (a, b) / (0,1) auch £ € • f(x) := a • x

g : (R, +) —• (.R, + )

mit

x

und g(x) := x • a .

Zeigen Sie: / und g sind injektive Gruppen-Homomorphismen. Ist R eine endliche Menge, so sind / und g sogar bijektiv. Konkretisieren Sie / im Beispiel Zß mit a = [5]. 1

Wir schreiben dann wieder a für f.

1.3 Die angeordneten Körper: erste Eigenschaften 1.16 / : R\ —> i?2 sei ein Ring-Isomorphismus. Dann ist auch / Ring-Isomorphismus.

25 1

: i?2

Ri ein

1.17 Führen Sie die fehlenden Details der Konstruktion von Q als Quotientenkörper von Z aus Bemerkung 1.4 aus.

1.3 Die angeordneten Körper: erste Eigenschaften Definition 1.14 (Ordnung) Es sei M eine Menge und geordnet, wenn für alle x,y,z

(sprich: unter) eine Relation in M. M heißt durch -< 6 M folgendes gilt:

0\\ Reflexivität: x ~< x; Ö2'. Transitivität: x - ist wieder eine Ordnungsrelation. Ist M durch geordnet (total geordnet), so ist auch jede Teilmenge von M durch - (x = y).

1.3 Die angeordneten Körper: erste Eigenschaften

27

Bemerkung 1.6 (Antireflexive Ordnungsrelation) Es sei M eine Menge und R eine Relation in M mit den Eigenschaften O5: Asymmetrie: x R y =>• -> {y R x)\ OQ: Transitivität: xRy

und

yRz=>xRz.

Dann heißt R antireflexive Ordnungsrelation. Die in Definition 1.16 erklärte Kleiner-Relation ist nach Satz 1.6 eine antireflexive Ordnungsrelation. In einigen Lehrbüchern wird die antireflexive Ordnungsrelation beim Begriff des angeordneten Körpers zugrundegelegt. A Satz 1.7 (Trichotomiegesetz) (K, sei ein angeordneter Körper. Sind x,y folgenden Beziehungen:

E K, so gilt genau eine der

(1) x < y; (2) x = y,

(3) x > y. Beweis:

Wir. zeigen zunächst, daß höchstens eine der drei Beziehungen gilt.

Nach Definition 1.16 schließen sich (1) und (2) bzw. (3) und (2) gegenseitig aus. Ferner sind nach Satz 1.6 die Beziehungen (1) und (3) unvereinbar. Also gilt höchstens eine der drei Beziehungen. Wir zeigen nun, daß mindestens eine der drei Beziehungen gilt. Es seien x,y € K. Ist x = y, so gilt also (2). Ist 1 ^ y, so gilt aber, da K durch £ total geordnet ist, x ^ y oder y ^ x. Das liefert zusammen x < y oder y < x, also (1) oder (3). • Satz 1.8 (Wichtige Ungleichungen) Es sei (K, +, •, ein angeordneter Körper. Dann besteht zwischen dem Einselement 1 und dem Nullelement 0 von K die Beziehung (1) 1 > 0. Ferner gilt für alle x e K (2) x > 0 =• -x < 0; (3) x < 0

-x > 0;

2

(4) x ^ 0; (5) x ^ 0 =• x2 > 0.

28

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

Hierbei verwenden wir wie üblich die Schreibweise x2 := x • x. Beweis:

Zu (2): x > 0 = i > 0 < x = > - 0 + ( - x ) < x + (-x) =>• -x < 0.

Zu (3): x < 0

x + (-x) < 0 + (-x)

0 < -x =>• -x > 0.

Zu (5): Es sei i ^ O . Dann gilt nach dem Trichotomiegesetz entweder x > 0 oder x < 0. Wir machen eine Fallunterscheidung: x>0=S>x-x>0=>x2>0. x < 0

( - x ) • (—x) > 0 und wegen ( - x ) • ( - x ) = x 2 folgt x 2 > 0.

—x > 0

Zu (1): 1 G K \ {0} =J> 1 ^ 0. Daher folgt aus (5) 1 • 1 > 0 =*> 1 > 0. Zu (4): Der Fall x ± 0 ist bereits durch (5) erledigt. Sei also x = 0 = * x - x = 0 = » x 2 = 0 = > x 2 ^ 0. •

Bemerkung 1.7 Die in Definition 1.15 geforderten Verträglichkeitsbedingungen zwischen Ordnung und innerenen Verknüpfungen bedeuten eine starke Einschränkung für die Möglichkeiten, einen Körper anzuordnen. So gibt es z.B.keinen endlichen angeordneten Körper (Beweis: Aufgabe 1.18). A In jedem angeordneten Körper gelten die von den rationalen Zahlen her bekannten Regeln für den Umgang mit Ungleichungen. Wir stellen diese Regeln zusammen in

Satz 1.9 (Rechnen mit Ungleichungen) (K, + , •,

sei ein angeordneter Körper. Für alle x,y,z,w

(1) x < y => -x > (1') x ^ y

-y;

-x ^

-y,

(2) x ^ y < z oder

xxx

+ zx-z^x-w,

(4') x > 0 und

zx-zx-z^y-w,

(5') x < y und 0 < z ^ w und

y~^0=>x-z 0

x'

1

> 0;

(7) 0 < x < y

y'1

< x_1;

(7') 0 < x ^ y

y'1 ^

x~l.

€ K gilt:

1.3 Die angeordneten Körper: erste Eigenschaften

29

Beweis: Zu (1): x x + (-x) < y + (-x) =*• 0 • y) + o < {-y) + y + {-x) => -y < -x -x > -y. Zu (2): x ^y < z oder xx^y^z=>xfzz. Annahme: x = z. Daraus folgt zusammen mit der Voraussetzung x ^ y < x oder z < y ^ z, ein ersichtlicher Widerspruch. Zu (3'): Es gelte x < y und

z^w.

Zu (4'): Es gelte x > 0 und z

0 nach Satz 1.10 aber \x + y\ ^ |x| + |y|. Unter Berücksichtigung von | - j/| = |j/| folgt (6') unmittelbar aus (6). Zu (7): Für x = y ist die Behauptung trivial, so daß wir

— y\ > 0 voraussetzen können.

Aus |a;| = \y + x — y\ folgt mit der Dreiecksungleichung |x|^|»| + |jf-y| Analog erhält man

(1.9)

^ |x| + \y — x\. Wegen \x — y\ = \y — x\ folgt

|y| ^ |x| + | x - y | .

(1.10)

Aus (1.9) folgt |x| - |y| ^ \x — y\ und aus (1.10) folgt —\x — y\ ^ |x| — \y\. Die letzten beiden Ungleichungen liefern unter Beachtung von \x — y\ > 0 nach Satz 1.10 aber die Behauptung. (7') folgt unter Berücksichtigung von | - j/| = |j/| sofort aus (7). • Wir führen jetzt einige ordnungstheoretische Begriffe ein, die auch für die Analysis von Wichtigkeit sind. Wir beziehen alle Begriffsbildungen auf einen angeordneten Körper, obwohl dies nicht notwendig ist, da diese Begriffsbildungen bereits für jede Ordnungsstruktur (M, < ) sinnvoll sind.

32

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

Definition 1.18 (Obere und untere Schranke) Es sei (K, +, •,

ein angeordneter Körper und B c K.

Ein Element t € K heißt obere Schranke von B, wenn für alle x e B die Relation x ^ t gilt. Ein Element s € K heißt untere Schranke von B, wenn für alle x 6 B die Relation s ^ x gilt. Ein Element t' € B heißt größtes Element von B, wenn für alle x G B die Relation x ^ t ' gilt. Ein Element s' 6 B heißt kleinstes Element von B, wenn für alle x € B die Relation s' ^ x gilt. A Bemerkung 1.9 (Maximum und Minimum) Man überzeugt sich leicht, daß folgendes gilt: t ist obere Schranke von B und t E B t ist größtes Element von B \ und ebenfalls t ist untere Schranke von B und t € B t ist kleinstes Element von B. In jeder Teilmenge B C K gibt es höchstens ein größtes Element. Es wird, falls es existiert, mit max B bezeichnet (sprich: Maximum von B). Analog: In jeder Teilmenge B C K gibt es höchstens ein kleinstes Element. Es wird, falls es existiert, mit min B bezeichnet (sprich: Minimum von B). A Definition 1.19 (Beschränktheit einer Menge) (K, +,•>=) sei ein angeordneter Körper und B C K. B heißt nach oben beschränkt, wenn B eine obere Schranke besitzt. B heißt nach unten beschränkt, wenn B eine untere Schranke besitzt. B heißt beschränkt, wenn B sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. A Satz 1.12 Es sei (K, +, durch

ein angeordneter Körper und B C K. Die Menge B' sei definiert

B' = {|s| | i e ß } . B ist genau dann beschränkt, wenn B' nach oben beschränkt ist. Beweis: Es sei B beschränkt. Nach Definition 1.19 existieren dann Elemente s,t e K, so daß für alle x G B die Ungleichungskette s ^ x ^t gilt. Wir betrachten r := max{|s|, \t\}. Dann gilt für alle x £ B die Beziehung |x| ^ r; denn für x 6 B und x ^ 0 folgt |x| = x £ t ^ |f| ^ r und für x € B und x < 0 folgt |x| = —x ^ — s ^ | — s| = |s| ^ r. Somit ist r eine obere Schranke von B'.

1.3 Die angeordneten Körper: erste Eigenschaften

33\

Es sei nun B' nach oben beschränkt. Dann existiert nach Definition 1.19 ein r € K , so daß für alle y 6 B' die Beziehung y ^ r gilt. Aus der Definition von B' folgt daraus aber, daß für alle x e B

|x| g r

(1.11)

gilt. Nun ist stets - | x | g x g |x| .

(1.12)

Aus (1.11) und (1.12) folgt leicht —r ^ x ^ r für alle x £ B. Somit ist —r eine untere und r eine obere Schranke von B. Also ist B beschränkt. •

Definition 1.20 (Supremum und Infimum) Es sei ( K , +, •, 5;) ein angeordneter Körper und B C K . Wir setzen S0{B)

{t\t € K und t obere Schranke von £};

SU{B) := {t\t e K und t untere Schranke von B}. Existiert das kleinste Element von S0(B), so bezeichnen wir es als Supremum von B (in Zeichen: sup B). Existiert das größte Element von Sn (B), so bezeichnen wir es als Inßmum von B (in Zeichen: inf B). A Das Supremum von B ist also auch die kleinste obere Schranke von B, d. h., es gilt supB = min S 0 ( B ) . Gleichfalls ist das Infimum die größte untere Schranke von B: inf B = m a x S

U

(B).

Wir kommen nun zu einer Charakterisierung des Infimums bzw. Supremums, die besonders beweistechnisch von Bedeutung ist. Satz 1.13 (Charakterisierung des Supremums) Es sei ( K , +, •, ein angeordneter Körper und B C K . Das Element t € K ist genau dann das Supremum von B, wenn t die beiden folgenden Eigenschaften hat: (1) t ist obere Schranke von B\ (2) zu jedem t' e K mit t' < t gibt es ein b G B mit i' < b. Beweis: Es sei t = s u p B . Dann ist t = m i n S 0 ( B ) . Also ist t € S 0 ( B ) , d.h., t ist eine obere Schranke von B. Sei nun t' € K mit t' < t. Annahme: t' 6 für alle 6 € K . Dann ist t' eine obere Schranke von B, die kleiner ist als t , im Widerspruch zur Definition von t. Somit ist die Annahme falsch. Das heißt aber, daß ein 6 G B existiert mit t' < b.

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

34

Es sei jetzt t € K mit den Eigenschaften (1) und (2). Nach (2) sind alle Elemente t' G K mit t' < t keine oberen Schranken von B. Nach (1) ist t eine obere Schranke von B Also ist t die kleinste obere Schranke von B. • Völlig analog verläuft der Beweis des folgenden Satzes.

Satz 1.14 (Charakterisierung des Infimums) Es sei (K, + , •, ein angeordneter Körper und B C K. Das Element s G K ist genau dann das Infimum von B, wenn s die beiden folgenden Eigenschaften hat: (1) s ist untere Schranke von 5 ; (2) zu jedem s' G K mit s < s' gibt es ein b G B mit b < s'.

Bemerkung 1.10 (Maximum, Minimum) Man kann leicht zeigen, daß folgendes gilt: sup B existiert und t = sup B G B inf B existiert und s = inf B G B

max B existiert und t = max B. m i n B existiert und s = mini?.

Der angeordnete Körper der rationalen Zahlen weist verschiedene „Mängel" auf, die z. B. für die Zwecke der Analysis eine Erweiterung notwendig machen. So gibt es in Q nach oben beschränkte Teilmengen, die kein Supremum besitzen. Als Beispiel sei die Menge M := {a; 6 Q | £ > 0 und x2 ^ 2} genannt („\/2 ist nicht rational!"). A Für das folgende ist es notwendig, nochmals genau zu sagen, was man unter der Menge der natürlichen Zahlen zu verstehen hat.

Definition 1.21 (Peano-Axiome) Es sei N eine Menge, 1 ein Element von N und g eine Abbildung von N nach N („nächst größere Zahl") mit n n' = g(n). Das Element n' wird als Nachfolger von n bezeichnet. Das Tripel (N, 1(1) den Induktionsanfang, die Aussage A(n) ist die Induktionsvoraussetzung, und der Schluß von A(n) auf A(g(n)) heißt Induktionsschluß. Man sollte vor Augen haben, daß mit g(n) immer der Nachfolger von n bezeichnet wird, den wir später mit n + 1 bezeichnen werden, sobald wir die Addition erklärt haben. Ferner dient das Induktionsaxiom auch als wesentliche Grundlage zur Begründung eines wichtigen Definitionsverfahrens, der rekursiven Deßnition. Möchte man z. B. n • a — Va + • • • +' a n Summanden exakt definieren, so geschieht dies rekursiv: 1 • a := a ,

(n + 1) • a := n • a + a .

Die Grundlage für diese Art der Definition bildet der folgende Satz, der in dieser Form auf R. Dedekind ([10], S. 27) zurückgeht. Satz (Rekursionstheorem, 1. Fassung) Ist X eine Menge, a € X und / eine Funktion von X nach X, so gibt es genau eine Funktion ip : N —>• X mit =) ein angeordneter Körper und Nr- die kleinste Nachfolgermenge in K. Unter gK '• —» Nr- verstehen wir die Abbildung, die definiert ist durch x h-» gx(x) = x + 1 k- A Die vorstehende Definition ist möglich, da NK eine Nachfolgermenge ist. Satz 1.18 (Eigenschaften der Nachfolgerfunktion) Für alle Beweis: gK(x) >

gilt QK{X) / 1. Ferner ist die Abbildung g x injektiv. x

€

impliziert nach Satz 1.17

x > OK-

Daraus folgt

x + 1K

> 1 K und damit

1K-

Den Nachweis der Injektivität überlassen wir als Aufgabe 1.23.

•

Wir haben jetzt alles bereitgestellt, um den wichtigen nächsten Satz formulieren und beweisen zu können. Satz 1.19 („N C K") Es sei (K, +, •, ein angeordneter Körper. Dann ist das Tripel (Nr-, gK, 1k) ein Modell fiir die natürlichen Zahlen. Beweis:

1 K ist ein Element von Nr- und

GK

ist injektiv. Damit sind die Peano-Axiome (1)

und (2) aus Definition 1.21 nach Satz 1.18 erfüllt. Axiom (3) folgt aus Satz 1.16.

•

Bemerkung 1.12 (Aufbau des Zahlsystems) Nach Satz 1.19 zieht die Existenz eines angeordneten Körpers die Existenz eines Modells der natürlichen Zahlen nach sich. Beim konstruktiven Aufbau der Zahlbereiche geht man sozusagen den umgekehrten Weg. Man postuliert die Existenz eines Modells der natürlichen Zahlen und konstruiert dann einen angeordneten Körper, der die natürlichen Zahlen enthält. Wir haben in Satz 1.17 festgehalten, daß die Teilmenge N/C von K sowohl bzgl. + als auch bzgl. • abgeschlossen ist. Diese vom Körper K induzierten inneren Verknüpfungen in sind diejenigen, die uns eigentlich interessieren. Andererseits können wir gemäß Satz 1.19 1% als Trägermenge eines Modells der natürlichen Zahlen auffassen und dabei von dem Eingebettetsein in den Körper K völlig absehen.

42

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

Nun wissen wir aus Bemerkung 1.11 (S. 37), daß man in der Trägermenge N eines Modells der natürlichen Zahlen stets zwei innere Verknüpfungen, die wir für den Augenblick mit & und o bezeichnen wollen, erklären können, die die folgenden Eigenschaften haben: (1) n&l = g(n) für alle n G N; (2) n&zg(m) = g(nkm)

für alle n , m € N;

(3) n o 1 = n für alle n £ N; (4) n o g(m) — (n o m)hn für alle n, m € N. Man überzeugt sich leicht durch vollständige Induktion, daß es keine von & und o verschiedenen inneren Verknüpfungen in N gibt, die die (1) und (2) bzw. (3) und (4) entsprechenden Eigenschaften haben. Betrachten wir jetzt das Modell gemäß Definition 1.24)

(NK,9K,

1/C) aus Satz 1.19, so gilt (im wesentlichen

9K{X) = x + 1K für alle x G Njf; 9K(x + y) = (x + y) + lK = x + (y + 1K) = x + gK(y) für alle x,y £ NK\ x • IK — x für alle x E N/0K

•

Somit ist ZK = {x \ x £ ZK und x > 0K} U {0K} U {-X \ x 6 Z^-unda; > 0*} . Berücksichtigen wir die Definition von ZK und den Hilfssatz aus Bemerkung 1.12 (S. 43), so sehen wir, daß N*: = {x \ x € ZK und x > 0K} ist. Daraus folgt aber zusammen mit der obigen Zerlegung von Z K die Behauptung. • Die Abgeschlossenheit von Z K bzw. OR- bzgl. + und • veranlaßt zur Betrachtung der algebraischen Strukturen (ZK, +, •) bzw. (QK ,+,•)• Dies führt zu Satz 1.23 (Charakterisierung von Z K,Qk) (K, +, •, sei ein angeordneter Körper. Dann ist (ZK,+,~) sein kleinster Unterring mit Einselement und (QK- , +, •) ist sein kleinster Unterkörper.

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

4 6

Beweis: Zunächst ist zu zeigen, daß (Zje,+,•) ein Unterring mit Einselement und (QK , + j •) ein Unterkörper ist. Dies rechnet man leicht nach. Sei nun (R, +, •) ein beliebiger Unterring mit Einselement e des angeordneten Körpers K. Dann ist Z K C R ZU zeigen. Zunächst ist klar, daß e / 0K gilt. Damit folgt aus e • e = e = 1K • e, da K ein Körper ist, e = 1 K- Also ist 1 K £ RR ist als Unterring abgeschlossen bzgl. +. Ist x € R, so gilt folglich x + 1K € R. Somit ist R eine Nachfolgermenge. Daraus folgt nach Satz 1.16 aber N*- c R. {R, +) ist Untergruppe von (K, +). Somit ist 0K € R und mit x € R gilt auch —x e R. Nun war nach Satz 1.22 1>K = U {Ojc} U {—x | x G N/e }• Alles zusammen liefert %K C R. Dies liefert die erste Behauptung. Ist jetzt (R, +, •) ein Unterkörper des angeordneten Körpers K, so müssen wir zeigen, daß QK CR gilt. (R, +, •) ist als Unterkörper insbesondere auch ein Unterring mit Einselement. Somit gilt Z K C R. Als Unterkörper enthält R mit jedem y ^ OK auch y~l. Ferner ist R abgeschlossen bzgl. •. Dies alles liefert zusammen mit der Definition von Q^- aber QK CR. • Man könnte nun auf die Idee kommen, daß der Ring (Zj 0 auf dem Strahl ist, so verschiebt man, beginnend bei 0, die Einheitsstrecke solange, bis man den Wert x übertroffen hat. Benötigt man hierzu n Verschiebungen, so gilt n • 1 > x. Würde dieser Prozeß nach endlich vielen Schritten nicht abbrechen, so könnte man eine Messung nicht durchführen. Dieser Sachverhalt bildet die Motivation zur Betrachtung archimedisch angeordneter Körper.

50

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

Man zeigt leicht, daß der Körper der rationalen Zahlen archimedisch angeordnet ist. Nicht so klar ist, wie ein nicht archimedisch angeordneter Körper aussehen mag. Wir geben nun ein Beispiel eines solchen Körpers.1 A Beispiel 1.9 (Nicht archimedisch angeordneter Körper) Es sei (Q[x], + , •) der Ring der Polynome mit rationalen Koeffizienten. Die Elemente von Q[x] haben also entweder die Form q(x) = an xn + a n _ i xn~l H + ai x + ÜQ mit flt£Q,fln/0, oder wir haben das Nullpolynom.2 Ist p(x) = bmxm

+ bm-i xm~l H

p(x) = q(x)

1- öi x + 60> bm i1 0, so gilt

m = n und aj = bj für j = 0 , 1 , . . . , n . FC

Es seien f(x)

P

= ^ Cj x3 und g(x) = j=o

di x, dann sind Summe und Produkt so 1=0

definiert, wie wir es gewöhnt sind: max{fc,p}

f{x)+g(x)-(co

+ do) + {ci+di)x

+ ...=

^

(cj +

dj)xj

j=o

und f ( x ) • g(x)

= Ckdpxk+p+(ckdp-i+ck-idp)xk+p~1-\

h(cido+codi)a;+codo

•

Sind Cfc 0 und dp ^ 0, so ist auch ck dp ^ 0, also ist Q[x] nullteilerfrei und somit ein Integritätsbereich. Folglich können wir wie in Bemerkung 1.4 den Quotientenkörper (Q(x), +, •) konstruieren, dessen Elemente Quotienten von Polynomen sind, deren Koeffizienten rational sind, und die rationale Funktionen mit Koeffizienten in Q genannt werden.3 Die rationale Funktion ist also wieder als eine Äquivalenzklasse zu verstehen. 1 2 3

Beim ersten Durchlesen kann dieses Beispiels übersprungen werden. Der algebraische Begriff des Polynoms wird hier nicht problematisiert. Zu rationalen Funktionen als Funktionen, s. [15].

1.3

Die

angeordneten

Körper:

erste

Eigenschaften

51

Sowohl Qfs] als auch Q(a:) enthalten Q in Form der konstanten Polynome, und in Q(a;) können wir einen Positivbereich definieren:1 k

CjX3 f() 5 ^ =

Z d 1=0

9 [ x )

l X

> 0

cjfc • dp > 0 .

(1.15)

i

Man prüft ohne Schwierigkeiten nach, daß durch (1.15) in der Tat im Körper ein Positivbereich definiert wird, und ist = ^ mit Co • do > 0, so reduziert sich (1.15) auf die Bedingung des Positivbereichs in Q. Durch den Positivbereich wird Q(x) auf die übliche Art zum angeordneten Körper gemacht, Wir betrachten jetzt f(x) = x als Element von Q(x) und n G N. Es ist 1 - I ~ n > 0, da 1 • 1 > 0, also f(x) > n für alle n G N. Dieser Ungleichung entnehmen wir, daß die so erklärte Anordnung in Q(i) nicht archimedisch ist. A

Bemerkung 1.15 (Laurent-Entwicklung) Beachtet man die Möglichkeit der Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen (siehe z. B. [15]), so gelangt man recht einfach zu der lokalen Entwicklung um den Ursprung

und erkennt dadurch den Zusammenhang zwischen unserem Beispiel eines nicht archimedisch angeordneten Körpers und dem Beispiel, welches man in [7] findet. A

Aufgaben 1.18 Zeigen Sie: Es gibt keinen endlichen angeordneten Körper. 1.19 (Rechnen mit Ungleichungen) In einem angeordneten Körper (K, +, i =) gelten für alle x, y,z,w € K: (1')

x fL y

(3')

x
x z % w ^ z ^

(T) 0 < x ^ y = > y ~ l S 1

+ z < y x • z w und x l

+

w,

x • w, y ^ . 0 = > x - z ^ y - w ,

~ -

Motivation zu (1.15): Ck • dp > 0 bzw.

> 0 gilt genau dann, wenn für

Abbildungsvorschrift einer Funktion, gilt: Es gibt ein so € Q mit

aufgefaßt als

> 0 für alle x € Q mit x > XQ.

52

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

1.20 (Eigenschaften des Absolutbetrags) In einem angeordneten Körper (K, + , •> gelten für alle x,y G K (1) = 0 x = 0; (4) |—x| = |x|; 1.21 (Existenz irrationaler Zahlen) Zahlen, die nicht rational sind, heißen irrational. Zeigen Sie: y/2 ist irrational. Hinweis: Nehmen Sie an, y/2 sei rational, und führen Sie diese Annahme zu einem Widerspruch. 1.22 Zeigen Sie, daß der Körper der rationalen Zahlen archimedisch angeordnet ist. 1.23 Zeigen Sie: Die in Definition 1.24 erklärte Nachfolgerfunktion gK ist injektiv. 1.24 (Angeordneter Körper mit Kleiner-Relation) Sei (K, +, •) ein Körper und sei < eine antireflexive Ordnungsrelation auf K: < i : Asymmetrie: Für alle x,y G K gilt: x < y => (y < x)\ x < z\ für welche ferner ein Trichotomiegesetz gilt: —1 und alle n 6 N .

(1.16)

(1.16) heißt die Bernoullische Ungleichung und ist leicht mit vollständiger Induktion zu beweisen, da in einem angeordneten Körper stets x2 ^ 0 gilt. Für n > 1 und x > — 1, x ^ 0 gilt in (1.16) das Größerzeichen.

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

56

(b): In jedem archimedisch angeordneten Körper gilt (on)neN mit an = qn und 0 < q < 1 ist eine Nullfolge. Beweis: Wegen 0 < q < 1 ist ^ > 1, also | = 1 + r mit r > 0. Daher folgt mit der Bernoullischen Ungleichung ^r = (1 + r)n M + n r > n r , also 0 < qn < Die Behauptung folgt nun, da mit (^) n eN auch die Folge ( ^ ) n e N eine Nullfolge ist. A Ein Fernziel ist ein Konvergenzkriterium für Folgen (das Cauchykriterium), in dem der Grenzwert selbst nicht explizit auftritt. Unter anderem dazu benötigen wir die nächste Begriffsbildung. Definition 1.33 (Cauchyfolge) Es sei (K, +, •, ein angeordneter Körper und (an)ngN eine Folge in K. Die Folge (on)nGN heißt Cauchyfolge,1 wenn es zu jedem positiven e G K eine natürliche Zahl n o € N gibt, so daß |a n — am\ < e für alle m,n^.no gilt. A Satz 1.30 (Eigenschaft konvergenter Folgen) Jede konvergente Folge Beweis:

Sei a €

K

ist eine Cauchyfolge.

der Grenzwert der Folge (a n )ngN-

Ist e > 0 aus K gegeben, so gibt es eine natürliche Zahl no € N mit 2 £

| o n - a| < -

für n ^ n 0

e i i | a m - a| < -

i^ xvamd.no.

und

Nun gilt stets (Dreiecksungleichung aus Satz 1.11)

IOn —flml= |an — a + a — a m | ^ |a n — o| + |a — a m | . Damit gilt für alle m , n ^ . n o

\an -

am\

= |ttn - a| + | CLm

~ a\

+

6

>

also ist ( o „ ) n 6 N eine Cauchyfolge.

1 2

Cauchyfolgen werden auch als Fundamentalfolgen bezeichnet. Da e > 0 beliebig ist, können wir auch § wählen. Wichtig ist nur, daß e > 0 • § > 0 gilt.

•

1.4 Folgen in angeordneten Körpern

57

Satz 1.31 (Beschränktheit von Cauchyfolgen) Jede Cauchyfolge (a n ) n e N ist beschränkt. Beweis: Sei eine Cauchyfolge (a„) n€ N gegeben. Da 1 > 0 ist, gibt es eine natürliche Zahl no E N mit |a n - a m | < 1 für alle m, n ^ noNun gilt stets (Dreiecksungleichung aus Satz 1.11)

|On| = l°n -dro + Om| = |oo

n-foo

(2) lim pn = lim an • lim bn. 7i—foo n—>oo n—>oo

58

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

Beweis:

Es sei lim a n = a und lim bn = b. n—• oo

n—»oo

Zunächst ist |s„ - (o + 6)1 = |a„ + bn - (a + 6)| g |a„ - a| + \bn - b\ . Ist nun ein beliebiges positives e vorgegeben, so gibt es natürliche Zahlen ri\ und n 2 mit |a„ — a| < e

für alle n ^ ni

und |ö n -b\
oo

Also ist f(x) unabhängig von der Wahl der rationalen Approximation von x. Aus der Konstruktion der Abbildung / ergibt sich sofort, daß die Einschränkung von / auf Q die Identität ist. Wir zeigen jetzt, daß / bijektiv ist. Es seien x, y Elemente aus K mit f(x) = f(y). Dann gibt es Folgen rationaler Zahlen (a„)„ G N und (6„)„6N mit K- lim a n = x , n—»oo Ä"-lim an = f(x) n—• oo

K- lim bn = y , n—voo und

K- lim bn — f(y) . n—>oo

Aus f{x) — f(y) folgt, daß (a n — bn)n€N eine Nullfolge in K ist. Daraus schließt man wie oben, daß (o n — 6 n )neN auch eine Nullfolge in K ist. Somit gilt x = y, also ist / injektiv. 1

Dies bedeutet: ohne Beschränkung der Allgemeinheit.

76

1 Charakterisierung der reellen Zahlen

Sei nun z ein beliebiges Element aus K. Dann existiert nach Satz 1.37 eine Folge rationaler Zahlen mit K- lim an = z. Wie oben erschließt man daraus, daß ein x G K existiert mit n—*oo K- lim an = x. Daraus folgt aber K- lim a n = f{x). Folglich gilt fix) = z und somit ist / n—>00 n—voo surjektiv. Wir zeigen schließlich die Verträglichkeit von / mit den inneren Verknüpfungen und der Ordnung. Die Beziehungen f{x + y) = K- lim (a n + bn) = AMim a„ + K-lim bn = f{x) + f{y) n—•oo n—•oo n—• oo und f{x • y) = K- lim (a„ • b„) = K- lim o n • K'-lim bn = fix) • f(y) n—y oo n—>oo n^voo folgen aus den Grenzwertsätzen (Satz 1.32). Aus x < y folgt für die zugehörigen Folgen an < bn für fast alle n € N (s. Aufgabe 1.42). Daraus folgt K- lim o n ^ K- lim bn, also f(x) ^ f(y) und somit, da x ^ y und / injektiv n—> oo n—t oo ist, f(x) < f{y). Damit haben wir nachgewiesen, daß / ein ordnungserhaltender Isomorphismus ist.

•

Definition 1.44 (Körper der reellen Zahlen) Jeden vollständigen Körper nennen wir einen Körper der reellen Zahlen. Nach Satz 1.54 können wir von dem Körper der reellen Zahlen sprechen. Wir benutzen für ihn das Symbol H. A Als Folgerung aus dem Beweis von Satz 1.54 erhalten wir Folgerung 1.1 (Maximalität von M) Jeder archimedisch angeordnete Körper kann ordnungstreu isomorph eingebettet werden in R • Unsere Darstellung über die angeordneten Körper wurde inspiriert durch [27].

Aufgaben 1.35 Zeigen Sie: Für a < b gilt stets a < ^

< b.

1.36 Sei ( a n ) n e N eine Folge, die gegen a konvergiert. Zeigen Sie, daß dann auch die Folge {bn)neN der arithmetischen Mittelwerte bn := -(ai H

b an)

1.5 Die vollständigen Körper

77

gegen a konvergiert. 1.37 (Harmonische Reihe) Verwenden Sie das Cauchykriterium, um nachzuweisen, daß die Folge (s„) n e N mit

divergiert. 1.38 (K, +,•)=) sei ein vollständiger Körper und (an)neN sei eine beschränkte Folge in K. Dann gilt: (a) xi = sup Nu((an)neN) existiert, und es ist x\ = limsupa n \ (b) X2 = inf 7V0((an)„eN) existiert, und es ist xi = lim inf a n . 1.39 (K, +, sei ein vollständiger Körper, (an)n6N sei eine beschränkte Folge in K, und es seien a = liminf a n und b = limsupa n . Zeigen Sie n->oo n-yoo (a) {s E K I s < a} C iV u ((a„) n£N ) C {s G K \ s ^ a}; (b) {t e K | t > b} C iV 0 ((a n )„ eN ) C {t e K | t ^ b}. Hinweis-. Für die erste Teilmengenbeziehung beachte man jeweils BolzanoWeierstraß; für die zweite Teilmengenbeziehung beachte man, daß a und b Häufungspunkte der Folge (a n )„ e N sind. Die Bearbeitung dieser Aufgabe wird das Verständnis für die Vörgehensweise bei den Konstruktionen von Capelli (Abschnitt 2.2) bzw. P. Bachmann (Abschnitt 2.3) sehr erleichtern. 1.40 Zeigen Sie indirekt: Eine Cauchyfolge hat höchstens einen Häufungspunkt. 1.41 Sei K ein archimedisch angeordneter Körper. Ist die Folge (a n ) n e N eine Cauchyfolge in Q C K, so ist (a n ) n e N auch eine Cauchyfolge in K. Hinweis: Verwende Satz 1.29. 1.42 Zeigen Sie: Die beiden Folgen (an)neN und (bn)nEN seien konvergent mit lim a = a und lim bn = b und sei a < b. Dann gilt an < bn für fast alle n-> oo n n—>oo n e N. 1.43 Gegeben sei eine Menge M mit folgenden Eigenschaften: (1) 0 ^ M C R (2) M ist beschränkt; (3) M besitzt weder ein Minimum noch ein Maximum. Es sei t = inf M und s = sup M. Zeigen Sie: t und s sind Häufungspunkte von M. Hinweis: Eine indirekte Beweisführung gestaltet sich besonders einfach!

78

2 Konstruktion der reellen Zahlen Bisher wurde eine axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen erarbeitet. Das nächste Ziel ist es, einen derartigen Körper explizit zu konstruieren. Wesentliches Hilfsmittel der klassischen Konstruktionen sind die rationalen Zahlen. Zwei Mathematiker sind in diesem Zusammenhang ganz besonders hervorgetreten: Richard Dedekind und Georg Cantor. Eindrucksvolle und wichtige Einzelheiten zur Historie der reellen Zahlen findet der/die Interessierte in [12]. Wir beginnen mit der Konstruktion von Georg Cantor. Dies hat gute Gründe; denn bei keiner anderen Konstruktion lassen sich z.B. die Addition und besonders die Multiplikation so mühelos fortsetzen wie bei der Cantorschen. Ferner wird sich die Cantorsche Konzeption, wie wir zeigen werden, auch bei metrischen Räumen sehr bewähren.

2.1 Klassische Konstruktion von Cantor Eine sehr tragfähige Anregung für das Fundament der Konstruktion von Cantor erhält man aus den bereits behandelten Eigenschaften eines vollständigen Körpers - unter der Annahme der Existenz eines solchen. Wie wir sahen, läßt sich jedes Element x eines vollständigen Körpers K rational approximieren, und jede Cauchyfolge, insbesondere jede rationale Cauchyfolge, konvergiert in K. Es sei jetzt T c (genauer JFQ) der Ring der rationalen Cauchyfolgen mit der punktweisen Addition und Multiplikation. Dann betrachten wir die Abbildung L : Tc K mit (a„) n e N L((a n ) nGN ) = K-lim an. n—>oo

Da sich jedes x E K rational approximieren läßt, ist die Abbildung L surjektiv. Da in K die Grenzwertsätze gelten, ist L sogar ein Ring-Homomorphismus. Sicher ist L nicht injektiv. Aber wenn wir in Tc diejenigen Folgen „identifizieren", die unter L das gleiche Bild liefern, erhalten wir eine Bijektion (Abbildungssatz, Satz 1.1 auf S. 7). Damit gelangen wir zu der folgenden, grundlegenden Definition 2.1 (Äquivalente Cauchyfolgen) Seien die Folgen (a n ) n g N und (6„) neN aus Tc. Dann setzen wir (an)neN ~

(bn)nen

(ön - &n)neN ist eine Nullfolge .

A

2.1 Klassische Konstruktion von Cantor

79

Bemerkung 2.1 (Äquivalente Cauchyfolgen in oo erhalten wir unmittelbar aus der Definition (fln)neN ~ (Mnen & n—yoo lim 6 n = r ; d. h., in der Äquivalenzklasse [(a n ) n e N ]^ liegen genau diejenigen rationalen Cauchyfolgen, die gegen r konvergieren. Dies berechtigt uns zu der folgenden Bezeichnungsweise: r : = [(a n ) n e N ]~ ^ n— lim >ooa n = r . Diese Äquivalenzklassen liefern offenbar nichts Neues, sondern sie reproduzieren nur die Elemente von Q in komplizierterer Bezeichnungsweise. Wirklich über hinaus führen diejenigen Äquivalenzklassen, die von nicht konvergenten Cauchyfolgen erzeugt werden. Wir wollen jetzt die Verträglichkeit zwischen Addition bzw. Multiplikation und der Äquivalenzrelation untersuchen. Es gilt der folgende Satz 2.2 (Verträglichkeit von Addition und Multiplikation) Seien die Folgen (a n ) n € N , (ö n ) n e N , (a^) n € N und (b'n)neN aus T (an)n€N ~ (an)n

(2) (a n )neN ~ (fen)nGN Und (Cn)n€N < (On)n€N

(Cn)neN < (MnGN-

Beweis: Wir beweisen (1): Wegen (a n ) ng N < (cn)neN gibt es ein d > 0 mit an + d ^ c n für fast alle n € N. Ferner ist wegen (a n ) nS N ~ (Mnen die Folge (bn - a n ) n e N eine Nullfolge. Also ist u. a. bn - an ^ ^ für fast alle n € N. Hieraus folgt bn + § ^ a„ + d ^ cn für fast alle n € N bzw. (&„)n6N < (c„)„gN. Analog wird (2) bewiesen.

•

Unser nächstes Ziel ist, wie bereits angekündigt, der Nachweis der folgenden „Vorform" der Trichotomie: Ist ( a n ) n e N / (&n)nen, SO gilt entweder ( a n ) n 6 N < (&„)n 0, so daß entweder on ^ r

für fast alle n € N

oder an ^ — r

für fast alle n 6 N

gilt. Beweis: Da (a n ) n6 N keine Nullfolge ist, gibt es zunächst ein £q > 0, so daß zu jedem n £ N ein ni G N existiert mit ni > n und |a n i | ^ eoDa (a„)„ 6 N eine Cauchyfolge ist, gibt es ferner ein no mit |a n — o m | < ^ für allem, n ^ n0. Zu diesem no gibt es nun nach obigen Ausführungen ein m > no mit l a m I ^ eo

(2.2)

2.1 Klassische Konstruktion von Cantor

85

Dann ist außerdem

für alle n ^ no und damit (2.3)

a n i - — < an < o n i + — für alle n ^ n 0 . Für ein a n i > 0 folgt nun hieraus wegen (2.2) a n i ^ so

£o ~ y < an

für alle n ^ n 0 ,

also o n > ^ für alle n ^ ng. Ist hingegen a n i < 0, so liefert eine analoge Rechnung a„
0 mit a n ^ r für fast alle n 6 N. Da (bn)neN eine Nullfolge ist, gilt bn ^ \ für fast alle n G N und damit bn + § ^ r ^ an für fast alle n G N, also in der Tat (fcn)neN < (On)neNFall 2: Es gibt ein r > 0 mit a„ ^ -r für fast alle n € N. Dies führt mit analogen ÜberD legungen zu (a n ) n 6 N < (&n)n€NDer folgende Satz liefert die bereits erwähnte „Vorform" der Trichotomie und schließt den vorangehenden Satz mit ein, ohne daß dieser im Beweis benötigt wird. Obwohl

86

2 Konstruktion der reellen Zahlen

Satz 2.9 also prinzipiell überflüssig ist, haben wir ihn aus didaktischen Gründen aufgenommen, um den Vergleich mit den Nullfolgen besonders hervorzuheben. Satz 2.10 („Vorform" Trichotomie) Es seien (an)neN und (&n)nen Cauchyfolgen mit (on)neN entweder (a n ) n £ N < (6 n ) n £ N oder (bn)neN < (o n ) n e N .

(&n)nen- Dann gilt

Beweis: Da (an)nSN / (&n)neN, ist (a„ - 6„)„6n keine Nullfolge; wohl aber ist (o„ — bn)nen eine Cauchyfolge. Auf diese wenden wir nun Satz 2.8 an. Somit gibt es ein r > 0, so daß entweder an — bn ^ r für fast alle n £ N oder an — bn ^ —r für fast alle n 6 N 1=1

gilt. Das führt entweder auf (bn)n€n < (a n ) n6 n oder auf (a„)neN < (bn)nsnDefinition 2.4 (Positivität und Negativität)

(a n ) n6 N sei eine Cauchyfolge. Gilt dann für eine Nullfolge (c n )„ e N (und damit für jede Nullfolge, s. Hilfssatz 2.3) (cn) ne n < (an)n6N> so heißt ( a n ) n e N positiv. Gilt hingegen ( a n ) n e N < (c„)neN, so heißt (a n ) n e N negativ. A Aus unseren Überlegungen ergibt sich unmittelbar die Folgerung 2.1 (Charakterisierung des Positivitätsbereichs) Die Cauchyfolge (a„)„ e N ist genau dann positiv, wenn sie einen positiven unteren Nachbarn besitzt. Die Cauchyfolge ( a n ) n e N ist genau dann negativ, wenn sie einen negativen oberen Nachbarn besitzt. • Wir haben bereits die Verträglichkeit der Kleiner-Relation mit der Äquivalenzrelation besprochen. Wir wollen abschließend die Verträglichkeit der Kleiner-Relation mit der Addition bzw. Multiplikation erörtern. Hilfssatz 2.4 (Verträglichkeit der Kleiner-Relation mit der Addition) (a n ) n £ N , (bn)neN und (c n ) n e N seien Cauchyfolgen, und es gelte ( a n ) n e N < Dann gilt auch ( a n ) n e N + (c n ) n e N < (bn)neN + (c„)„ eN . Beweis:

(bn)neN.

Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus der Definition der Kleiner-Relation.

•

Hilfssatz 2.5 (Verträglichkeit der Kleiner-Relation mit der Multiplikation) ( a n ) n e N und (bn)neN seien zwei positive Cauchyfolgen. Dann ist auch die Cauchy-

2.1 Klassische Konstruktion von Cantor folge (an • bn)neN Beweis:

87

positiv.

Es gibt positive r, r' e R mit

an ^ r für fast alle n e N und

bn ^ r' für fast alle n € N .

Daraus folgt, daß an • bn ^ r • r' > 0 für fast alle n € N. Also ist (a n •

ftn)neN

positiv.

•

Nunmehr ist es sehr einfach, die Kleiner-Relation von den Cauchyfolgen auf die zugehörigen Äquivalenzklassen, also auf die Elemente von TZ, zu übertragen. Definition 2.5 (Kleiner-Relation in TZ) Es seien [(a n ) n e N]~ und [(6 n )„ e N ]^ aus TZ. Dann setzen wir: [(fln)ngN]~ < [(&n)n€N]~

{an)neN < (^n)nGN

A .

Gemäß Hilfssatz 2.3 ist die Relation < in TZ wohldefiniert. Darüberhinaus gilt für sie der folgende Satz 2.11 (Eigenschaften der Kleiner-Relation in TZ) (1) < ist eine antireflexive Ordnungsrelation, durch welche TZ total geordnet wird. Es seien [(a n )„ e N ]^, [(bn)n€N]~, [(cn)neN]~ € TZ. Dann gilt (2) [(ßn)neN]~ < [(^n)n£N]~

[(a n )neN]~ + [(^)n€N]~ < [(&n)neN]~ + [(Cn)n6N]~;

(3) 0 < [(an)n£N]~ und 0 < [(bn)neN]~

0 < [(a„) n e N ]^ • [(&n)neN]~;

(4) Es gibt ein k € N, so daß [(a n )„ e N ]^ < k gilt; (5) Für r, s E Q gilt r < s

r < s.

Beweis: (1) folgt aus Satz 2.6 und aus Satz 2.10. (2) folgt aus Hilfssatz 2.4. (3) folgt aus Hilfssatz 2.5. (4) folgt aus Aufgabe 2.7, soll aber der Vollständigkeit halber hier gezeigt werden. (on)neN ist eine Cauchyfolge, ist also insbesondere beschränkt. Somit gibt es ein r > 0 mit an < r für alle n 6 N, also ist an + r < 2r für alle n G N. Da nun Q archimedisch angeordnet ist, gibt es ein k e N mit 2r < k. Somit gilt mit einem r > 0 a n + r < 2r < k

für alle n € N ,

also (a„) n 6 N < (Ä;)neN bzw. [(a„) n6N ]~ < k. (5) folgt unmittelbar aus der Definition der Kleiner-Relation.

•

Der letzte Satz liefert uns zusammen mit Satz 2.5 das nächste wichtige Zwischenresultat.

88

2 Konstruktion der reellen Zahlen

Satz 2.12 (TZ als archimedisch angeordneter Körper) (TZ, + ,

0 mit e G Q zu betrachten brauchen. Der nächste Satz ist die erste wichtige Etappe auf dem Weg zu dem genannten Ziel. Durch ihn kommt zum Ausdruck, daß unsere Konstruktion so durchgeführt wurde, wie wir es in der Bemerkung 2.1 angesprochen hatten. Satz 2.13 (Rationale Approximierbarkeit in TZ) Es sei [(ajt)jt eN ]^ € TZ beliebig. Dann gilt ft-lim a n = [(afc)fceN]~ . 71—>00 Beweis: Es sei e > 0 aus Q beliebig gegeben. Da (ak)keN eine rationale Cauchyfolge ist, existiert ein uq £ N mit E

£

- r < a m - an < -

für alle m, n ^ n 0 .

Aus der rechten Ungleichung folgt insbesondere am + | < an + e für alle m, n ^ uq.

(2.4)

89

2.1 Klassische Konstruktion von Cantor

Es sei jetzt n ^ no beliebig, aber fest. Dann gilt a* + § < c£ + e für fast alle k e N, wobei c£ := o n für alle k 6 N konstant ist. Daraus folgt (ajfc)/teN < 4- £)keN, also [(a*)fceN]~ < [(cjj + e)feeN]~ = a„ + e. Damit haben wir bewiesen: [(afc)*eN]~ 0 beliebig aus Q, so daß wir in der Tat TMim a n = [(afc)fc€N]^ n-»oo erhalten.

•

Mit diesem Satz haben wir jetzt alle Hilfsmittel bereitgestellt, um zu zeigen, daß in TZ jede Cauchyfolge konvergiert.

Satz 2.14 (Cauchysches Konvergenzkriterium in TZ) ( a n ) n £ N sei eine Cauchyfolge in (TZ,+,-,i] durch fortgesetztes Halbieren eine Intervallfolge, so ist diese Intervallfolge eine Intervallschachtelung. Nach Voraussetzung ist A ^ 0. Daher existiert ein a € A und ein a\ £ K mit oi < a. Ferner ist A nach oben beschränkt. Somit existiert ein b\ G K mit y < bi für alle y G A. Also gilt ai < a < &i; damit ist [ai, &i] ein Intervall, das zudem die Eigenschaften hat ai ist keine obere Schranke von A, und b\ ist eine obere Schranke von A. Wie bereits angekündigt, betrachten wir den arithmetischen Mittelwert

=

ai + i>i 2

und unterscheiden die folgenden beiden Fälle: Falls x\ eine obere Schranke von A ist, setzen wir a2 := ai ,

b2 := Xi ,

andernfalls «2

:=

,

62 := 61 .

In jedem Fall hat das resultierende Intervall [o2, b2] die Eigenschaften ai ist keine obere Schranke von A, und b2 ist eine obere Schranke von A.

2.1 Klassische

Konstruktion

93

von Cantor

So fortfahrend konstruieren wir durch fortgesetzte Halbierung eine Intervallschachtelung ([a n , ö n ])neN mit den gewünschten Eigenschaften. Liegt der Punkt c € K in allen Intervallen c € [a n , bn], (n € N), so wissen wir bereits, daß c = lim an = lim bn. Wir zeigen als nächstes, daß c eine obere Schranke von A ist. 71-+00 n—• oo Hierzu nehmen wir an, c sei keine obere Schranke von A. Dann gibt es ein d 6 A mit c < d. Wegen c = lim bn gibt es ein ni € N mit bn, < d. Wegen d E A ist bn. keine obere n-+oo Schranke von A. Dies ist ein Widerspruch. Als nächstes zeigen wir, daß c sogar die kleiaste obere Schranke von A ist. Wäre dies nicht der Fall, gäbe es eine obere Schranke c' € K von A mit c' < c. Wegen lim a„ = c gibt es 71—>00 ein ri2 6 N mit c' < o„ 2 . Dann aber wäre a„ 2 ein obere Schranke von A im Widerspruch zur Konstruktion. •

Nun ist es sehr einfach, den anvisierten Satz zu beweisen: Satz 2.15 (Charakterisierung der Vollständigkeit) (K, +, •, sei ein archimedisch angeordneter Körper, in dem jede Cauchyfolge konvergiert. Dann ist (K, +,•>=) vollständig. Beweis: Sei A eine nichtleere und nach oben beschränkte Teilmenge von K. Dann gibt es nach Hilfssatz 2.7 in K eine Intervallschachtelung ([a n , ö n ])neN mit den Eigenschaften (a) an ist für alle n G N keine obere Schranke von A, und (b) bn ist für alle n e N eine obere Schranke von A. Nach Hilfssatz 2.6 sind sowohl (a n )neN als auch (b n ) n eN Cauchyfolgen in K. Damit sind nach Voraussetzung (a„)„gN und (6n)ngN konvergent. Da (bn — a n ) n £ N eine Nullfolge ist, gibt es also ein c 6 K mit c = lim an = lim bn. Also liegt c € [a n , 6„] für alle n € N. Nun n—>oo n—>oo folgt aus der letzten Aussage des Hilfssatzes 2.7, daß in der Tat sup A — c gilt, und dies war K

zu zeigen.

•

Für das Resultat der Cantorkonstruktion erhalten wir nun unmittelbar den folgenden Satz 2.16 (Cantorkonstruktion als Modell von R) Der angeordnete Körper (TZ, +, •,

__1 23fc+i

1

J. 7 ' 23k

2 3 *+ 2

_

JL 28

23k '

Das heißt aber, (6„ - a*) n € N ist keine Nullfolge, also ist (6 n )neN / k £ N.

( a n)neM für beliebiges •

96

2 Konstruktion der reellen Zahlen

Satz 2.17 (Überabzählbarkeit von TZ) TZ ist überabzählbar. Beweis: Nehmen wir an, TZ sei abzählbar. Dann ist TZ = {a/t | k € N}, wobei a k = [(an)n€N]~- Zu der Folge ((a*)ngN)fc€N rationaler Cauchyfolgen konstruieren wir gemäß Hilfssatz 2.8 die rationale Cauchyfolge ( ö ) n e N > für die ( f e „ ) n e N / ( O n ) n e N für alle k € N gilt. Dann ist einerseits ß := [(6„)neN]~ £ TZ und andererseits ß ± ak für alle k € N, also ß 0 TZ. Dies ist ein Widerspruch; also ist TZ nicht abzählbar. • n

Zum Abschluß geben wir noch eine weitere äquivalente Beschreibung der Vollständigkeit der reellen Zahlen. Wir haben uns bereits in Kapitel 1 wiederholt mit monotonen Folgen beschäftigt, z. B. bei den Konvergenzaussagen in den Sätzen 1.38 und 1.39. In den Aufgaben 2.8-2.10, welche durch die Hilfssätze 2.6 und 2.7 gut vorbereitet sind, sollen die monotonen Folgen in dem Umfang mit einbezogen werden, der für unsere weiteren Betrachtungen nützlich ist. Ziehen wir nun die genannten Sätze 1.38 und 1.39 aus Kapitel 1 mit heran, so erhalten wir bei zusätzlicher Berücksichtigung von Aufgabe 2.10 den folgenden Satz 2.18 (Charakterisierung der Vollständigkeit) (K, +, •, S) s e i ein angeordneter Körper. (K, +, •, ist genau dann vollständig, wenn jede monotone, beschränkte Folge aus (K, +, •, konvergiert. • Beispiel 2.1 (Berechnung von Quadratwurzeln) Es sei r eine beliebige positive rationale Zahl. Unser Ziel ist es, eine positive Lösung x der Gleichung x2 = r zu finden. Solch eine Zahl nennt man ja bekanntlich die Quadratwurzel aus r und schreibt x = y/r. Wir geben Iterationsverfahren an, mit welchen man y/r beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren kann. Zunächst betrachten wir ein Verfahren, welches nach Perron [26] auf H. Tietze zurückgeht. Hier gehen wir davon aus, daß wir bereits eine (möglicherweise schlechte) rationale Näherung 2 von Y/R haben. Wir setzen dann1 XQ — | und xn+1 = T{xn)

(n € N) ,

wobei T(x) :=

px + qr _ \ x + r qx +p x+2

1 Der Anfangswert xo könnte auch anders gewählt werden, ohne das Verfahren wesentlich zu beeinflussen. Den angegebenen Anfangswert haben wir der Einfachheit halber ausgewählt.

2.1 Klassische Konstruktion von Cantor

97

Für die Approximation von v/99 ist beispielsweise r = 99, und wegen \ / l 0 0 = 1 0 wählen wir die Näherung ® = 10, also p = 1 0 und 9 = 1. Mit diesen Daten erhält man

x0 =

10

= 10.0000...

=

m

=

X l

^

x2=

9.95000...

= 9.94987...

Wählt man dagegen den schlechten Schätzwert | = 100, also p = 100 und q = 1, so erhält man die Iterationsfolge

£20

=

£25 £30

=

£35

-

X40

=

X45

=

£50 £55 £60 £65 £70 £75 £80 £85

=

=

= :

= = = = =

10.2550 10.0613 9.99077 9.96493 9.95542 9.95192 9.95063 9.95015 9.94998 9.94991 9.94989 9.94988 9.94988 9.94988

£21 £26

= =

£31

236 X41 = X46 = £51 £56 £61 £66

X71 £76 £81 £86

= = —

-=

-

= = =

10.1991 10.0410 9.98336 9.96220 9.95441 9.95155 9.95049 9.95010 9.94996 9.94991 9.94989 9.94988 9.94988 9.94987

£22 £27 £32

-

=

X37 = -

£42

X47 £52

--

=

X57 = £62 £67 £72 £77 £82 £87

=

= = -

= =

£3

=

£8

=

H

-

34.2104 15.0012 11.5542 10.5124 10.1535 10.0244 9.97729 9.95997 9.95359 9.95124 9.95038 9.95006 9.94994 9.94990 9.94988 9.94988 9.94988 9.94987

CO

XQ= 100.000 Xl = 50.4950 x2 = X5 = 18.5521 Xß = 16.4840 x7 = 11.9442 £12 = 12.4401 Xu £l0 : = 10.6411 X17 = 10.8003 ®15 ®16

-

£18

=

£23

=

£28

=

£33 £38 £43 £48 £53 £58 £63 £68 £73 £78 £83 £88

—

=

r

= = -

= = = = -

26.2278 13.9053 11.2449 10.4083 10.1164 10.0109 9.97232 9.95814 9.95292 9.95100 9.95029 9.95003 9.94993 9.94990 9.94988 9.94988 9.94988 9.94987

X4 £9

£14 £19 £24 £29

-

= = = =

=

£34 £39 £44 £49 £54

=

£59

-

£64 £69 £74 £79 £84 £89

= = = =

_T

= = = =

21.5624 13.0769 10.9982 10.3237 10.0860 9.99983 9.96826 9.95664 9.95237 9.95079 9.95021 9.95000 9.94992 9.94989 9.94988 9.94988 9.94988 9.94987

Wir wollen nun genauer untersuchen, warum das Verfahren konvergiert und wie effizient es zur Berechnung von Quadratwurzeln im allgemeinen ist. Eine völlig elementare Rechnung zeigt, daß

(2.12)

1

Die Darstellung reeller Zahlen durch Dezimalzahlen wird ausführlich in Kapitel 4 behandelt.

98

2 Konstruktion der reellen Zahlen

und

Wegen xn+x x

n + l

= T{xn) folgt aus (2.12) -xn=

q (

-r~fn) , QXn +P

(2.14)

und aus (2.13)

Existiert nun x := lim xn, so ist auch lim x n + i = n-¥oo

n-> oo

und durch Grenzübergang

n -» oo folgt aus (2.14) die Gleichung (2.16)

0 = r — x2 ,

der Grenzwert muß also eine Quadratwurzel von r sein. Noch wissen wir allerdings nicht, ob (xn)neN konvergiert. Als nächstes wollen wir dies nun nachweisen. Wir nehmen hierfür an, daß p2 — rq2 > 0 ist, daß also die Näherung | größer als \Jr ist.1 Dann folgt aus (2.14) und (2.15) mittels Induktion, daß xn+i

— xn < 0

und

Xn>

r

ist: Der Induktionsanfang (n = 1) folgt aus (2.14) und (2.15) wegen Xq = ^ > r, und der Induktionsschluß folgt aus (2.14) und (2.15) zusammen mit p2 — r q2 > 0. Folglich ist (x n )„eN monoton fallend und beispielsweise durch 0 nach unten beschränkt. Daher folgt, daß (a; n ) n e N in E konvergiert.2 Wir bemerken, daß dies zusammen mit (2.16) die Existenz von y/r 6 M für alle positiven r € Q beweist.3 Es wird sich allerdings herausstellen, daß die Quadratwurzel der allermeisten r E Q nicht rational ist, s. Aufgaben 2.15-2.17. 1

Für p2 — rq2 < 0 erhält man ähnliche Resultate, aber andere Vorzeichen. Für p2 — rq2 = 0 ist T(x) = s/r konstant. Dies ist natürlich nur möglich, falls \fr e Q ist, dieser Fall ist aber ohnehin völlig uninteressant. Unter Verwendung von (2.15) läßt sich auch direkt zeigen, däß {x n )„ g N eine Cauchyfolge ist, s. Aufgabe 2.12. 3 Da dieselben Betrachtungen auch in M durchgeführt werden können, folgt hieraus sogar allgemein die Existenz von y / r € R für alle positiven r 6 R

2.1 Klassische Konstruktion von Cantor

99

Wir wollen nun die Konvergenzgeschwindigkeit von (a; n ) n e N untersuchen. Eine Aussage hierüber erhält man wieder mit (2.15). Wir bekommen

(2.17)

\xn - y/r\ ^ An •

+

~ An • |x 0 -

. |Xo _

•

(2.18)

Man sagt, daß die Folge (a; n ) n e N linear gegen SJT konvergiert, da der Abstand zwischen xn+\ und sfr (linke Seite von (2.17)) höchstens ein Vielfaches des Abstands zwischen xn und \Jr (rechte Seite von (2.17)) ist. Hierbei sollte die Vielfachheit A natürlich kleiner als 1 sein. Dann bedeutet lineare Konvergenz, daß man dem Grenzwert in jedem Schritt um den konstanten Faktor A näherkommt. Mit anderen Worten bedeutet dies, daß man in jedem Schritt eine konstante Anzahl von Dezimalstellen dazugewinnt (für A = ^ beispielsweise eine Dezimale pro Iterationsschritt). Dies ist eigentlich weniger als man möchte, und wir werden uns sofort ein anderes Verfahren ansehen, welches schneller konvergiert. Aber dennoch ist das behandelte Verfahren recht gut, da die Konvergenzordnung zwar nur linear ist, aber die Konstante A durch geeignete Wahl von p und q beliebig klein gewählt werden kann. Ist nämlich der Näherungswert | von y/r bereits recht gut, so ist ^ a r und somit A « 0. In unserem Beispielfall waren p = 10, q = 1 und r = 99, und somit A = y^. In jedem Rechenschritt gewinnen wir also ca. 2 Dezimalstellen. Das Verfahren konvergiert allerdings sehr langsam, wenn die Schätzung | schlecht ist, wie wir oben ja gesehen haben. Wir widmen uns nun einem weiteren Iterationsverfahren zur Berechnung von *Jr, welches von Dedekind angegeben wurde [9] und das immer schnell konvergiert. Hierfür betrachten wir wiederum ein beliebiges positives r € Q. Für positives 1

Für einen guten Anfangswert xo ~ v/r gilt lim n—UDO

X

N-RVR

Ungleichungen y/r < x0 < 1\fr gelten, gilt femer 1
0 aus K gibt es ein a G A und ein b G B mit b — a < e. Beweis:

Daß aus den Eigenschaften C\, C2 und G'z die Eigenschaft C3 folgt, ist sehr einfach zu beweisen und wird als Aufgabe 2.14 gestellt. Weit informativer ist die umgekehrte Richtung. Sei also (A, B) ein Capellipaar in K. Der Fall A n B 0 ist trivial. Folglich setzen wir jetzt A n B = 0 voraus. Dann existiert ein a0 6 A und ein b0 G B mit ao 0 und a2 < r} sowie B := {6 e Q | b > 0 und b2 > r}

(2.21)

zu betrachten. Es ist offenbar A < B, und wir wollen zeigen, daß (A, B) ein Capellipaar ist, welches y/r repräsentiert. Hierzu bleibt C3 zu zeigen, d. h., daß es keine Zahlen c,d e Qgibt mit

a^c 0 ist. Wir nehmen nun an, es gäbe solche Zahlen c und d, daß (2.22) erfüllt ist. Zunächst stellen wir fest, daß dann gemäß Definition von A und B folgt, daß c £ B und d 0 A liegt. Wegen c < d kann ferner nicht gleichzeitig c 2 = r sowie d2 = r gelten. Also muß d2 > r gelten, also d € B liegen, oder es gilt c 2 < r, und es ist c G A. Wäre nun beispielsweise d G B, so wäre d2 > r, also gemäß (2.12) T(d) < d sowie gemäß (2.13) T(d)2 > r, also T(d) £ B. Diese beiden Aussagen widersprechen sich aber. Einen ähnlichen Widerspruch erhalten wir, wenn wir annehmen, daß c G A liegt. Also ist (A, B) ein Capellipaar. Gibt es jetzt ein ro G Q mit sup A = ro = inf B , so folgt wegen ^ r sowie ^ r automatisch r(j = r , ro ist also eine Quadratwurzel aus r. Also ist schließlich (A, B) ein Capellipaar, welches y/r repräsentiert. Wählen wir aber z. B. eine Primzahl r G N, so kann man leicht zeigen, daß kein ro 6 Q existiert mit TQ = r, s. Aufgabe 2.15. Somit ist dann (A, B) ein Capellipaar in Q, für das in Q keine Schnittzahl existiert. Weitere Beispiele natürlicher Zahlen, welche keine rationale Quadratwurzel besitzen, werden in Aufgabe 2.16 behandelt. A

Bemerkung 2.9 (Capellipaare und Dedekindsche Schnitte) Georg Cantor hat an der Dedekindschen Konzeption bemängelt, „daß die Zahlen in der Analysis sich niemals in der Form von .Schnitten' darbieten, in welche sie erst mit großer Kunst und Umständlichkeit gebracht werden müssen." (zitiert nach [12]). Wir wollen im nächsten Beispiel kurz die Überlegungen aus der Analysis referieren, die zum bestimmten Riemannschen Integral führen, und zeigen, daß die Konstruktion des Riemannintegrals als Konstruktion eines geeigneten Capellipaares aufgefaßt werden kann. Das Konzept der Capellipaare erweist sich also als schmiegsamer als das Konzept der Dedekindschen Schnitte, welche j a definitionsgemäß spezielle Capellipaare sind. Die im folgenden Beispiel übergangenen Beweise finden sich in fast jedem einführenden Lehrbuch der Analysis, z. B. in [13] oder (in einem etwas allgemeineren Zusammenhang) in [30]. A

Beispiel 2.3 (Definition des bestimmten Integrals als Capellipaar) Im Rahmen dieses Beispiels arbeiten wir im Körper R der reellen Zahlen. Sei [a, 6] ein abgeschlossenes Intervall in M und f : [a,b] E sei eine auf [a, 6] beschränkte Funktion. Ist Z : o = xq < xi < x-i < • • • < xn-\ < xn = b eine

2.2 Die Konstruktion von Capelli

107

Zerlegung von [a, 6], so betrachten wir m k ( f ) :=

inf

f{x)

sowie

Mk{f)

:=

sup

f(x)

und die Summen n

U(f, Z) :=

k=i

TUk(f) (xk — Xk-i) , Untersumme von / zur Zerlegung Z

sowie n

k=l

- Xk-i) , Obersumme von / zur Zerlegung Z .

Schließlich bezeichne [/(/) die Menge aller Untersummen von / auf [a, 6] und O(f) die Menge aller Obersummen von / auf [a, 6]. Als erstes zeigt man, daß U(f) S 0(f) gilt. Da supt/(/) und infO(/) in E existieren, gilt dann auch sup U(f) ^ infO(/). Die Funktion / heißt nun auf [a, b] (Riemann)-integrierbar, wenn sup!7(/) = inf 0(f) ist. In unserer Terminologie ist also / genau dann Riemann-integrierbar auf [a, 6], wenn ({/(/), 0(f)) ein Capellipaar in E ist. Aus unserer äquivalenten Beschreibung der Capellipaare (Eigenschaft C'3) erhalten wir fast unmittelbar1 das wichtige Integrabilitätskriterium / ist auf [a, b] genau dann Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem e > 0 eine Zerlegung Z des Intervalls [a, b] gibt, für welche 0(f,Z)-U(f,Z) M auf [a, 6] nach unten beschränkt, so ist U(/) ein Intervall; und ist / : [a, 6] —> 1 auf [a, 6] nach oben beschränkt, so ist 0 ( f ) ein Intervall. Hierbei werden einpunktige Mengen (z.B. für konstantes /!) zu den Intervallen gezählt. A Es sei jetzt VC (genauer VQ) die Menge der rationalen Capellipaare. Ein rationales Capellipaar (A, B), das in keine Schnittzahl besitzt, kann gleichfalls (man vergleiche die Bemerkung 2.1 über äquivalente Cauchyfolgen) aufgefaßt werden als ein Indikator für ein Körperelement, das eigentlich da sein sollte, es aber nicht ist. Zugleich kann dieses Capellipaar (A, B) auch zur rationalen Beschreibung (wegen der Eigenschaft C'3 kann man sogar von rationaler Approximation sprechen) der „Lücke" in Q herangezogen werden. Wie wir sahen - man denke an die Transformationen T und D - , kann „die gleiche Lücke" durch verschiedene rationale Capellipaare beschrieben werden, die als äquivalent zu betrachten sind. Heuristische Überlegungen dieser Art führen zu der folgenden, von Capelli stammenden, Definition der Äquivalenz. Definition 2.7 (Äquivalenz von Capellipaaren) Seien die Paare (A, B) und {A', B') aus Vc. Dann setzen wir (A, B) ~ {A!, B')

A^B'

und A' ^B

.

A

Bemerkenswert ist die begriffliche Einfachheit dieser Definition. Satz 2.20 (Äquivalenzrelation) ~ aus Definition 2.7 ist eine Äquivalenzrelation. Beweis:

Die Reflexivität und die Symmetrie der Relation liegen auf der Hand. Einen kleinen Beweis benötigt die Transitivität. Seien also (A, B), (A1, B') und (A", B") aus VG 1 mit (A, B) ~ (A',B') und (A , B') ~ (A", B"). Wir haben also A ^ B' und A! ^ B sowie A' ^ B" und A" ^ B'.Zu zeigen ist: A g B" und A" ^ B. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, daß es ein a 0 G A und ein 6g e B" gibt mit ao > bg. Damit haben wir dann o' ^

0 aus A gibt. (C,D) heißt negativ, wenn es ein d < 0 aus D gibt. A Ist {A, B) positiv und (C, D) negativ, so ist ersichtlich (C, D) < (A, B). Mehr noch: Ist (E,F) ein beliebiges Nullpaar und (A,B) positiv, so gilt (E,F) < (A,B). Ist hingegen (C, D) negativ, so gilt (C, D) < (E, F), s. Aufgabe 2.18. Wir müssen jetzt zeigen, daß das so definierte < eine antireflexive Ordnungsrelation in der Menge V c ist. Satz 2.21 (Eigenschaften der Kleiner-Relation in V c ) (A, B), (C, D) und (E, F) seien aus Vc. Dann gilt: (1) Asymmetrie: (A,B) < (C,D)

=» -.((C,D)


(A, B) < {E, F).

Beweis:

Asymmetrie: Sei (A, B) < (C, D). Dann gibt es ein b e B und ein c € C mit b < c. Wir nehmen nun an, es wäre (C, D) < (A, B). Dann gibt es ein d € D und ein a € A mit d < a. Für o € A und b G B gilt a ^ b, und mit den erzielten Ungleichungen b < c und d < a gelangen wir zu

d (C ^ B). Im ersten Fall gibt es ein a e A und ein d G D mit d < a

=»

(C, D) < (A, B) .

Im zweiten Fall gibt es ein c € C und ein b € B mit b< c

(A,B) (E,F)


{E ^ D), und somit gibt es ein d £ D und ein e € E mit d < e. Hieraus erhalten wir (C, D) < (E, F). Analog wird (2) bewiesen. •

112

2 Konstraktion der reellen Zahlen

Aus dem letzten Hilfssatz wollen wir eine Folgerung ziehen, die ein weiterer Beleg dafür ist, daß sowohl die Äquivalenz als auch die Kleiner-Relation „passend" definiert wurden. Folgerung 2.5 Es seien r, s € Q, (A, B) sei ein r-Paar und (C, D) sei ein s-Paar. Dann gilt (A,B) < (C, D) supA = inf B = r s' € iV„((a n ) n e N )

und JV 0 ((a„)„ eN )

=> t' e iV 0 ((o n ) n 6 N ) ,

Sei jetzt p G K beliebig, dann gilt somit P i Wu((an)neN)

=> s < p für alle s € iV u ((a n ) n e N )

116

2 Konstruktion der reellen Zahlen

und p $ iV0((an)n6N)

p < t für alle t G i V 0 ( ( a n ) „ e N ) .

Nun kommen wir zum Nachweis von (1): N u ( ( a n ) n ^ s ) fl N 0 ( ( a n ) n ^ ) — 0 ist trivial, wenn (iV„((a n ) n 6 N),iVo((a n ) n 6 N)) keine Schnittzahl besitzt. Wir nehmen nun an, es gibt ein r G K mit r & Nu((an)nepi) U iV 0 ((a n ) n 6 N)- Dann ist r & Nu((an)new) und r & N0((on)n€N). Damit gilt gemäß der Vorüberlegung s < r < t für alle s G JV u ((a n ) n € pi) und alle t G N0((an)neti)

•

Dann wäre r die Schnittzahl von (Nu((an)nen), N0((an)„ex)) entgegen der Voraussetzung. Also ist K = AT u ((a n ) n 6 N ) U i V 0 ( ( a n ) n € N ) und damit (AT u ((a n ) n € N ), i V 0 ( ( a n ) n 6 N ) ) ein Dedekindschnitt in K . Zu (2): ( N u ( ( a n ) n e x ) , iV 0 ((a„)„ e N)) habe in K die Schnittzahl r. Es gilt trivialerweise die Aussage i V u ( ( a n ) n e N ) D i V 0 ( ( a n ) n 6 N ) € { { r } , 0 ) .

Wir nehmen nun an, es gibt ein r'

G K mit r '

/

r und r'

& Nu((an)n^)

U

•No((a n )„ e N). Dann gilt wieder r' £ i V u ( ( a n ) n e N ) und r' & i V 0 ( ( a „ ) n 6 N ) . Somit folgt aus der Vorüberlegung s 0

2.2 Die Konstraktion von Capelli

117

d. h. aber K- lim a„ = r.

•

n—voo

Bemerkung 2.12 Die Aussage (2) aus Satz 2.25 läßt sich nicht verbessern. Dazu betrachten wir als einfaches Beispiel die Folge (a„)„ eN mit an = in Q. Hier ist Nu((an)neN) = {s e Q | s < 0} und N0((an)neN)

= {t e Q | t > 0}. Damit ist Nu{(an)neN)

U

N0((an)nex) = Q\{0}. Es ist generell angenehm, daß man Capellipaare mit und ohne Schnittzahl gleich behandeln kann und für den Fall, daß die Schnittzahl existiert, keine „Normierung" bzgl. ihrer Zugehörigkeit treffen muß. A Im nächsten Schritt untersuchen wir Zusammenhänge zwischen der Äquivalenzrelation in TK und der Äquivalenzrelation in Hilfssatz 2.14 (K, +, sei ein archimedisch angeordneter Körper, und (c n ) n£N , (dn)neN Cauchyfolgen in K. Dann gilt:

seien

(Cn)neN ~ (^n)nGN (JV«((Cn)n6N),JVo((Cn)n6N)) ~ (W u ((d n ) neN ), i\T0((dn)n6N)) . Beweis: Nach Voraussetzung ist (d„ - c „ ) N eine Nullfolge. Wir müssen zeigen, daß Nu{(cn)neN) ^ iV0((d„)neN) und Nu{{dn)neN) ^ iV0((c„)n€N). n €

Wir führen den kleinen Beweis indirekt. Wir nehmen an, es gibt ein a 0 G Nu((cn)nen) und ein b0 € N0((dn)nen) mit b0 < a 0 . Dann gilt ao ^ Cn und b0 ^ dn für fast alle n e N und damit c n — d„ ^ a 0 — &o > 0 für fast alle n 6 N im Widerspruch dazu, daß {dn — c n ) n€ N eine Nullfolge ist. Völlig analog verläuft der Nachweis von Nu((dn)ne^) ^ Aro((cn)„epj)•

Auch hier gilt die Umkehrung. Hilfssatz 2.15 (K, +, •, sei ein archimedisch angeordneter Körper, und (c^ngN» (^n)neN seien Cauchyfolgen in K. Dann gilt: (^u((cB)neN),^o((cn)n€N))

~ (Nu((dn)n^),

N0((dn)n^))

=>

(Cn)neN ~ (dn)neN • Beweis:

Nach Voraussetzung haben wir Nu((cn)n^)

^ N0((dn)new) und7Vu((dn)neN) ^

•^o((cn)neN)- Wir müssen zeigen, daß (dn - c„)„ 6 n eine Nullfolge ist.

118

2 Konstruktion der reellen Zahlen

Sei also e > 0 beliebig vorgegeben. Wir wenden den Hilfssatz 2.11 an. Danach gibt es ein TL\ e N mit c n - | G iV„((c m ) r o 6 N ) und c n + § G iV 0 ((c TO ) m€N ) für alle n ^ n i ; ferner gibt es ein n 2 € N mit dn - | G Nu((dm)m€n) und dn + § € iV0(( 0 beliebig vorgegeben, so existiert nach Hilfssatz 2.11 ein no G N mit an - e G Nu((am)m&)

für alle n ^ n 0

2.2 Die Konstruktion von Capelli

119

und an + e G N0((am)meN)

für alle n ^ n 0 •

Damit gelangen wir zu a n — e ^ 6 für alle b € B und alle n ^ no und a ^ an + e

für alle a £ A und alle n ^ no .

Somit haben wir insgesamt o—

+ e

für alle a € A,b £ B und alle n ^ no .

(2.23)

Da nun (A, B) G "P^ ist, gibt es zu dem vorgelegten e > 0 (Eigenschaft C'3) ein ao G A und ein bo G B mit bo — ao < e. Dies liefert zusammen mit (2.23) die Ungleichungen ao — e ^ an < ao + 2e

und

bo — 2e < an ^ bo + £

für alle n ^ no, so daß wir sagen können: Sowohl der Punkt ao € A als auch der Punkt bo G B charakterisieren die Lage fast aller Folgenglieder an sehr gut. A Ist (K, +,•>=) ein archimedisch angeordneter Körper und (a„) n € N G beliebig. Dann haben wir mittels (Nu((an)neN), N0((an)neN)) G V^ ein zur Cauchyfolge (a n ) n£ N passendes Capellipaar konstruiert. Wir wollen jetzt umgekehrt zu einem beliebigen Capellipaar (A, B) G V^ eine passende Cauchyfolge aus konstruieren. Diese Konstruktion haben wir insbesondere durch den Hilfssatz 2.6 aus dem vorangehenden Abschnitt über die Konstruktion von Cantor bestens vorbereitet. Satz 2.27 (K, +, •, sei ein archimedisch angeordneter Körper, und {A, B) sei ein Capellipaar in K. Dann gibt es in K eine Cauchyfolge (a n ) n 6 N mit (A,B) ~ (Nu((an)neN),N0({an)neN))

.

Beweis: Aus der Eigenschaft, daß (^4, B) ein Capellipaar in K ist, folgt insbesondere, daß A eine nichtleere Teilmenge von K ist, welche nach oben beschränkt ist. Nach Hilfssatz 2.7 gibt es in K eine Intervallschachtelung ([on, bn ])ngN mit den Eigenschaften (a) an ist für alle n € N keine obere Schranke von A, und

120

2 Konstruktion der reellen Zahlen

(b) bn ist für alle n 6 N eine obere Schranke von A. Nach Hilfssatz 2.6 sind sowohl (o„) n6 N als auch (6n)neN Cauchyfolgen in K. Sie sind sogar äquivalent, da ([o n , £>n])neN eine Intervallschachtelung ist. Somit sind (iV u ((a n ) n e N ), N0((an)n&s)) K , die gleichfalls äquivalent sind.

und (iV u ((6 n ) n€N ), iV 0 ((6 n ) n€N )) Capellipaare in

Wir zeigen jetzt (A,B) ~ (iV u ((a„) n e N ),iV 0 ((o r i ) n € N )) , also A g A^ 0 ((a n ) neN )

und

Nu((an)n€N)

^ B .

Wir führen die kleinen Nachweise indirekt. Nehmen wir an, es gibt ein a G A und ein c € AT0((an)n6N) mit c < a. Dann existiert ein ni e N mit o n ^ c für alle n ^ ni, also c — a„ ^ 0 für alle n ^ ni. Es ist a — c > 0, daher existiert ein € N mit bn — an < a — c für alle n ^ n 2 . Dann gilt für alle n ^ no := max{ni,n 2 } die Beziehung 6 n + c — an < a, also bn < a für alle n ^ noDamit ist bn keine obere Schranke von A, ein Widerspruch. Also gilt A ^ N0((an)new). Nehmen wir dagegen an, es gibt ein d £ Nu((an)nen) und ein b € B mit b < c'. Dann existiert ein no 6 N mit d ^ an für alle n ^ no- Da b € B und da (A, B) ein Capellipaar ist, ist a ^ b für alle a 6 A. Damit haben wir insgesamt a ^ b < c' ^ an für alle n ^ n 0 und alle a 6 A. Folglich ist a„ 0 eine obere Schranke von A und dies ist ein Widerspruch. Somit gilt Nu((an)neN) ^ B. •

Bemerkung 2.14 In analoger Weise gilt natürlich auch (A,B)

~ (Nu{(bn)neN),N0((bn)nefi))

.

Für den speziellen Fall, daß r G K eine Schnittzahl von (A, B) ist, gelten also folgende äquivalente Aussagen: 1. r e K ist Schnittzahl von ( A , B ) und ( A , B ) ~ (Nu((an)neN), 2. reK 3. 4

-

5.

ist Schnittzahl von (A, B) und (A, B) ~ (Nu((bn)neN),

(i,B)~(W,{r}); ( M , M ) ~ (iVu((an)n6N),iV0((an)neN)); ({r},{r}) ~

(Nu((bn)nefi),N0((bn)nefi))-

6. r € K ist Schnittzahl von ( N u ( ( a n ) n e N ) , iV 0 ((a n ) n e N ));

N0((an)neN)); iV0((fen)n6N));

121

2.2 Die Konstruktion von Capelli 7. r e K ist Schnittzahl von (N u ({b n ) n e x), iV 0 ((6 n ) n€N )); 8. iC-lim an = r; n—¥oo 9. ÜT- lim 6„ = r. 71—>00

A

Wir formulieren den letzten Satz noch ein wenig um. Satz 2.28 (K, +, •, sei ein archimedisch angeordneter Körper, und (A, B) sei ein Capellipaar in K. Dann gibt es in K eine Cauchyfolge (a„)n6N mit [(A, -5)]~ = [{Nu({an)n&i),N0{(an)n€ti))]~

•

•

Wir fuhren jetzt ökonomischere Schreibweisen ein. Definition 2.11 (Zu (a n ) neN gehöriges Capellipaar/Capelliklasse) (K, +, •, sei ein archimedisch angeordneter Körper, und (a„) neN sei eine Cauchyfolge in K. Dann setzen wir N({an)neN)

:= (iV ti ((o n ) ngN ),iV 0 ((a n ) n€N ))

N((an)nev)

:= [{Nu((an)n^),N0((an)neN))]r.

und . A

Wir wissen: Ist (K, +, ein angeordneter Körper und sind (a n ) n e N , (bn)neN Cauchyfolgen in K, so sind auch (a n + bn)neN und (a n • bn)neN Cauchyfolgen in K. Diesen Sachverhalt zusammen mit unseren bisher erzielten Resultaten können wir benutzen, um in einem beliebigen archimedisch angeordneten Körper K die Addition und Multiplikation für die Äquivalenzklassen von Capellipaaren in K zurückzuführen auf die Addition und Multiplikation von Cauchyfolgen in K. Wir beschränken uns jetzt im wesentlichen wieder auf den Fall K = Q und werden so die Capeiiikonstruktion der reellen Zahlen zu Ende führen. Definition 2.12 (Addition und Multiplikation in TZ*) Es seien [{A,B)]„, [(C,I>)]~ € 11* mit JV((c n ) neN ). Dann setzen wir1 [{A, B)]„ + [{C, 1

= iV((an)neN)

= iV((a n )„ eN ) und [(C,£>)]~ =

+ N{{cn)nefi)

:= N{{an + c W )

Wir verwenden der Einfachheit wieder die Symbole + und • für Addition und Multiplikation.

2 Konstruktion der reellen Zahlen

122

und [(A, B)}„ • [{C, D)]~ = JV((a n ) neN ) • N{(cn)n€ti)

:= N((an • Cn)nefi) .

A

Hilfssatz 2.16 Die in Definition 2.12 erklärte Addition und Multiplikation in TZ* ist wohldefiniert. Beweis: Es genügt, iV((on)n€N) = N((a'n)neN) und iV((c„)n6N) = N{{c'n)neN) zu betrachten. Dann gelten wegen N((an)neN) ~ N((a'n)neN) und N((cn)nm) ~ N((c'n)n€N) die Beziehungen (a n ) n e N ~ ( 0 mit an + d ^ bn für fast alle n e N. Daraus folgt unmittelbar

d 2 , d an + - < an + -d S bn - U

O

O

für fast alle n e N .

Da d > 0 ist und da (a n )neN, (&n)nen € Fk< ^ S 1 (on + ^ j G No((am)m&i) \ / n€N

aus

Hilfssatz 2.11

für fast allen 6 N

124

2 Konstruktion der reellen Zahlen

und (6n - ^ ) € Nu{{bm)m€N) V "VneN

für fast alle n € N .

Somit gibt es ein no 6 N mit °n 0 + 77 ) € N0{{am)men) J /n6N

,

(b„0 - ^ ) € iVu((6m)m€N) V / n€N

und On0 +

d g

, d < On0 ~ g

•

Daraus folgt aber unmittelbar nach Definition der Kleiner-Relation (N u ((a„)„ 6 N ),N 0 ((a„)„ 6 N )) < (iV u ((6„) n e N ),iV 0 ((6 n ) n e N )) . Sei jetzt ( N u ( ( a n ) n e N ) , N 0 ( ( a n ) n € N ) ) < (AT u ((6 n ) n6N ), AT 0 ((6„) n€N )). Dann gibt es ein a e N0((an)ne^) und ein b G Nu((bn)net

a„ ^ a für fast alle n G N

und b £ AT u ((6 n ) n€N )

6 ^ bn für fast alle n € N ,

gilt an ^ a < b ^ bn

für fast alle n € N .

Daraus folgt unmittelbar an H

b- a . b-a b+ a 6+ 6 . . , — g a H — = —— < — = b ^ b n

Wir setzen d := (fln)neN < (6n)n€N-

.... für fast alle n £ N .

Es ist d > 0 und an + d < bn für fast alle n € N, d.h. aber 1=1

Nunmehr ist es einfach, die Ordnungstreue der Bijektion $ zu beweisen. Mit der eingeführten vereinfachten Schreibweise lautet der vorangehende Hilfssatz (On)neN < (&n)n£N

^

N((an)neN)

< iV((6n)n£N) .

2.2 Die Konstruktion von Capelli

125

Satz 2.31 (Ordnungstreue von $ ) Für die Bijektion $ :

ft

TZ* gilt:

[(On)neN]~ < [(&n)neN]~

^

$([(On)»€N]~) < $([(&n)n€N]~) •

Beweis: [(an)n(EN]~ < [(&n)n€N]~ O (an)n6N < (&n)n£N W(K)n€N) < N((bn)neN) N((a,n)n6N) < N((bn)n€n), und es ist $ ( [ ( a „ ) n € N ] ~ ) - iV((a„)n6N) sowie $([(b„)„€N]~) = N((bn)net$). • Damit haben wir insgesamt den abschließenden Satz 2.32 (Capeiiikonstruktion von R) (K*, + , -,n])neN ~ ([cn.dnDngN

(A,B) ~

(2) ([an,bn])neN

(A,B)

< ([cn, dn])nGN

(C,D); o < bn2 auch t < b„2. Somit gilt sogar

iV u ((a n ) n€N ) < B.

•

Wir benutzen Hilfssatz 2.20, um eine kleine Folgerung zu beweisen, die wir oben angesprochen hatten.

Folgerung 2.6 (K, + , •, 5:) sei ein archimedisch angeordneter Körper, ([a n , 6 n ]) n e N und ([cn, rfn])n€N seien aus Dann gilt: ( k , bn])neN ~ ([cn, d„]) n € N Beweis:

( ^ ([([On,6n])neN] ) := N((an)neN)

= N((bn)neN)

.

Setzen wir wieder A = {a n | n G N}, B = {bn \ n G N}, so gilt nach Hilfssatz 2.20 die Äquivalenz (A, B ) ~ iV((a n ) n e N ), also [(A, B)}~ = iV((a n ) n e N ) und wir haben *([([OnA])n6N] J

=

was man wohl erwarten mußte.

,

2.3 Die Konstruktion von P. Bachmann

131

Hilfssatz 2.21 (1) ^ ist wohldefiniert; (2) »J> ist suijektiv; (3) ^ ist ordnungstreu und damit auch injektiv. Beweis: Zu (1): ([an,bn])n€N ~ (K.Onew ^ (A,B) ~ (A\B'), wobei A,B,A' und B' gebildet seien wie in Hilfssatz 2.19. Hieraus folgt mit Hilfssatz 2.20, daß N ( ( a n ) n e n ) ~ AT((aJ,)ngpij) und dies beweist die Wohldefiniertheit. Zu (2): Es sei [(J57, -?*")] ein beliebiges Element aus %**. Dann ist ( E , F ) ein Capellipaar in Q. Also gibt es (siehe den Beweis von Satz 2.27 des Abschnittes über die Capeiiikonstruktion) eine Intervallschachtelung ([a n , 6n])neN mit (E, F) ~ N((an)n• TZ* ist ein Ordnungsisomorphismus.

Bemerkung 2.18 Bevor wir ^ benutzen, um der Trägermenge TZ** Körperstruktur aufzuprägen (Satz 1.3 auf S. 11), wollen wir uns mit dieser Abbildung noch etwas vertraut machen. Es sei r e Q beliebig. Wir betrachten die Intervallschachtelung ([a a n := r - £ und bn := r + Dann ist Nu((an)neN) = {t • ist ein ordnungstreuer Körperisomorphismus. Somit ist CR,**, +, •, 0 und Cn > 0 für alle n € N. Es seien jetzt ([a n , 6 n ]) n £ N und ([c„, (i„]) neN aus I B . Dann ist gemäß (1) also auch ([an + Cn,bn + dn])neN G 1B, und es gilt ^ ([([°n + Cn, bn + d n ] ) n e N j ) = N((an +

cn)neN)

oder [([ü„ + Cn, bn + dn])n&f] ^ =

(&(((* + Cn)n 0 und Cn > 0 für alle n £ N (warum?). Demnach ist nach (2) ([a„ • Cn,bn • dn])neN € X B und damit ^ ([(K

•Cn,bn • dn])neN]^) = N{(an • Cn)n(EN)

134

2 Konstruktion der reellen Zahlen

oder n ' Cni bn • £/n])n£N

On • Cn)nen)) •

(2.25)

Den Ausdruck auf der linken Seite von (2.25) erklärt P. Bachmann als das Produkt der beiden positiven Klassen. P. Bachmanns Definition des Produkts im nichtpositiven Fall ist komplizierter und wird hier nicht weiter verfolgt. Wir haben nun den ordnungstreuen Körperisomorphismus ^ : TZ** —• TZ* mit ^r([([an,&n])neN]~) = N((an)nevl) - JV((6n)nGN) aus diesem Abschnitt, und wir haben den ordnungstreuen Körperisomorphismus $ : TZ —> TZ* mit $([(c n ) n € N ]^) = iV((c n ) n e N ) aus dem Abschnitt über die Capeiiikonstruktion. Damit kennen wir auch den ordnungstreuen Körperisomorphismus 0 : TZ** —> TZ, nämlich O o Auch dieser Körperisomorphismus ist recht nützlich, wie wir beispielhaft zeigen wollen. Sei [(c n ) n € N ]^ ein beliebiges Element aus TZ. Da 6 insbesondere surjektiv ist, gibt es ein [([a„, & n ]) neN ]„ G TZ** mit [(Cn)neN]~ = 0 ( ([anADnePl] ) • Nun ist ^ ( ([a n , M W n ]

) = N{{an)n&)

= $ ([(an)nGN]^) ,

also 6([([a n ,6 n ]) n e N ]~) - [(a n )„ e N ]^ und damit [(c„) neN ]~ = [(a„) neN ]~. Also ist ( c n)neN ~ {o-n)nen- Ferner ist (an)neN monoton wachsend. Wegen (an)n€N ~ (bn)nen gilt auch (c„)„ eN ~ (6n)neN. und (bn)nen ist monoton fallend. Damit haben wir die Folgerung 2.7 Ist (c n ) ng N eine beliebige rationale Cauchyfolge, so gibt es eine rationale, monoton wachsende Folge (an)neN mit (c n ) n £ N ~ (an)neN. Ferner gibt es eine rationale, monoton fallende Folge (6n)neN mit (c„) n e N ~ (bn)neN. Anders ausgedrückt: Ist a ein beliebiges Element aus TZ, so gibt es Darstellungen a = [(ön)neN]~ und a = [(6 n ) n e N ]^, wobei (a n ) n 6 N eine monoton wachsende rationale Folge und (6„) n en eine monoton fallende rationale Folge ist. • Bemerkung 2.19 Die Darstellung einer reellen Zahl durch eine rationale, monoton wachsende Folge werden wir im Abschnitt 4.1 über Dezimaldarstellungen konkretisieren. A

2.3 Die Konstruktion von P. Bachmann

135

Beispiel 2.4 (Die Eulersche Zahl e) Nehmen wir an, eine sehr großzügige Bank (realistischer: ein Aktienfonds) bietet uns einen Jahreszinssatz von i = 1 = 100%. Legt man bei dieser Bank ein Kapital K an, so beträgt das Guthaben nach einem Jahr K\ = K + i K = (\ + i) K = 2K. In einem Jahr findet also eine Verdoppelung des Kapitals statt. Wir finden dies dennoch ungerecht, denn warum verzinst die Bank unser Guthaben nur einmal im Jahr, nicht zweimal, dreimal oder öfter? Bei einer 2-maligen Verzinsung pro Jahr verteilt sich der Jahreszins auf 2 (gleich lange) Verzinsungsperioden, beträgt also in jeder Verzinsungsperiode nur noch in unserem Fall also ^ = 50%. Dafür findet eine 2-malige Verzinsung statt. Das Endkapital nach einem Jahr bei 2-maliger Verzinsung pro Jahr beträgt also K2 = (1 + K. Der Faktor, um den unser Kapital gewachsen ist, ist (1 + = | > 2, er ist durch den Zinseszinseffekt also tatsächlich größer als 2. Bei einer n-maligen Verzinsung pro Jahr verteilt sich der Jahreszins auf n Verzinsungsperioden, beträgt also in jeder Verzinsungsperiode nur noch in unserem Fall also Dafür findet eine n-malige Verzinsung statt. Das Endkapital nach einem Jahr bei n-maliger Verzinsung pro Jahr beträgt also Kn = (1 + K. Den Faktor, um den unser Kapital gewachsen ist, bezeichnen wir mit

Es stellt sich nun natürlich die Frage, ob sich unser Kapital durch Vergrößerung der Anzahl der Zinsperioden (n —> 00) schließlich ins Unermeßliche steigern läßt (a n —> 00?). Wir werden bald sehen, daß dies nicht so ist. Wir werden nämlich zeigen, daß ([a n , ftn])nen mit

eine Intervallschachtelung ist, deren inneren Punkt e := lim an = lim bn = ([a n ,6„]) n G J = (Ki + i r , ( i + i r + i ] ) n e N n->00 n-too L J~ man als die Eulersche Zahl bezeichnet. Hierzu ist zu zeigen, daß (a) (a n ) n £ N monoton wächst, (b) (6n)nen monoton fällt und (c) (bn - an)neN

eine Nullfolge ist.

136

2 Konstruktion der reellen Zahlen

Die folgende Tabelle zeigt die ersten Glieder der betrachteten Intervallschachtelung

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

U + ±) B 2.000000000000000 2.250000000000000 2.370370370370369 2.441406250000000 2.488319999999998 2.521626371742112 2.546499697040712 2.565784513950347 2.581174791713197 2.593742460100000 2.604199011897530 2.613035290224678 2.620600887885732 2.627151556300868 2.632878717727919 2.637928497366599 2.642414375183109 2.646425821097685 2.650034326640445 2.653297705144419

(1 + 4.000000000000000 3.375000000000000 3.160493827160493 3.051757812500000 2.985984000000000 2.941897433699130 2.910285368046528 2.886507578194141 2.867971990792440 2.853116706109998 2.840944376615487 2.830788231076733 2.822185571569249 2.814805238893788 2.808403965576447 2.802799028452012 2.797850514899763 2.793449477825333 2.789509817516257 2.785962590401640

Man sieht die recht langsame Konvergenz. Wir zeigen zuerst (a). Mittels der Bernoullischen Ungleichung (s. Beispiel 1.10) erhalten wir für n ^ 2: 1 +

i v r nI \

1

_ i r n1

=

f \

1

_ i2 r n 1

> 1

_

n

i = n"

Hieraus folgt weiter

n \\ n—1 (/ . 11 \ i—l a = 1H 7 = n—l n — 1/ \ n—1 Also ist (a n ) n £ N streng monoton wachsend.

1

i n

2.3 Die Konstruktion von P. Bachmann

137

Um (b) zu beweisen, verwenden wir wieder die Bernoullische Ungleichung

(TTiyVlf =

+

>

0+

>1+

"'

woraus folgt

Somit ist (6n)nen streng monoton fallend. Damit gilt u. a. 0
2 mit e = Daraus folgt aber, daß q\ e = q\ | = p(q — 1)! € N und ferner die folgende Summe natürlicher Zahlen

fc=0

'

fc=0

auch eine natürliche Zahl ist, so daß schließlich

2.3 Die Konstruktion von P. Bachmann

141

Andererseits können wir diesen Reihenrest folgendermaßen mit Hilfe einer geometrischen Reihe abschätzen: l

, V

9+ 1

1 =

00 ^ 2k+ 1 k=0 k=0

und das Wallisprodukt :

| = H

4 k2

_k2 — 1 fc=l fc=l

_ -A- Ak2 = Ä , II ^T n->oo J - l

Eine Herleitung dieser beiden Darstellungen findet man z. B. in [15]. Da die Leibnizreihe alterniert und da (JFTIWN eine Nullfolge ist, bilden die ungeraden bzw. geraden Partialsummen eine Intervallschachtelung: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

V (-1)* 2fc+l k=0 2.666666666666667 2.895238095238096 2.976046176046176 3.017071817071817 3.041839618929402 3.058402765927332 3.070254617779184 3.079153394197427 3.086079801123833 3.091623806667839

k=0 3.466666666666667 3.339682539682540 3.283738483738484 3.252365934718876 3.232315809405593 3.218402765927332 3.208185652261943 3.200365515409548 3.194187909231942 3.189184782277595

Zu dieser Approximation s. auch [17], Abschnitt 1.5.

2.3 Die Konstruktion von P. Bachmann

143

Die Intervallschachtelung

L

^

2k + 1' ^ fc=0

fe=o

2k + 1

repräsentiert s. Aufgabe 2.38. Zur praktischen Berechnung von tt ist die Leibnizreihe allerdings nicht geeignet. Die Tabelle zeigt die sehr langsame Konvergenz. Es ist nicht schwer, die Konvergenz der genannten rationalen Folgen zu beweisen (siehe Aufgabenteil). Aber wir können mit unseren Hilfsmitteln natürlich nicht zeigen, daß der Grenzwert | bzw. | ist. Obwohl man so „übersichtlich gebaute" rationale Approximationen für 7r kennt, gibt es keinen so elementaren Irrationalitätsbeweis für ir, wie wir ihn für e besitzen. I. Niven [24] führt z.B. einen derartigen Beweis vor und benötigt die Kosinusfunktion, die Sinusfunktion, die Differentiation und die Integration. Ansonsten ist der Beweis gut nachvollziehbar. Wesentlich tiefer liegt der Transzendenzbeweis von 7r, den zuerst Ferdinand Lindemann geführt hat. Er hatte erkannt, wie man die Hermitesche Methode im Transzendenzbeweis von e modifizieren mußte. Man findet eine vereinfachte Version dieses Beweises wieder in [26]. Aus dem

„Meer"

der transzendenten Zahlen sind uns nun zwei bekannt: e und

TT.

A

Abschließend und zusammenfassend können wir sagen: Ausgehend vom archimedisch angeordneten Körper Q haben uns die Cantorkonstruktion, die Capeiiikonstruktion und die Bachmannkonstruktion jeweils zu einem Modell für R geführt. Wir haben die Beziehungen der drei Modelle mit Hilfe der ordnungstreuen Körperisomorphismen beschrieben, und wir haben mehr als angedeutet, daß wir zu den gleichen Resultaten gelangt wären, wenn wir statt Q einen beliebigen archimedisch angeordneten Körper K als Ausgangspunkt gewählt hätten. Letzteres kann als ein belebender Fingerzeig für die in Kapitel 1 bewiesene Maximalität von R (Folgerung 1.1) aufgefaßt werden.

Aufgaben 2.29 Seien ([a n ,& n ]) neN und ([cn,c/ n ]) neN Intervallschachtelungen in einem angeordneten Körper (K, + , •, Dann ist auch ([a n + Cn,bn + d n ]) n e N eine Intervallschachtelung in K. Ist ferner an > 0 und Cn > 0 für alle n G N, dann ist auch ([a n • c n , bn • d n ]) n G N eine Intervallschachtelung in K. Hinweis: bndn — anCn = bn (dn - Cn) + Cn (bn — an).

144

2 Konstruktion der reellen Zahlen n

2.30 Es sei wieder a n := ( l + ± ) n , bn := (l +

n+1

n

und sn := £ f k=o

Zeigen Sie, daß für alle n G N die Ungleichungen 1

2 t

- < bn - sn < n n gültig sind. Hinweis: Verwenden Sie die Eigenschaft (d) 1 3 1 Ä „ — < sn — an < - — für alle n d. 4 n 2 n und die Identität 1

1 = a n + - (a„ - l j . n n y

bn

1

v

2.31 Zeigen Sie: Sei 0 < xj < 1 für j = 1 , . . . , k und sei k ^ 1. Dann gilt

E ^ i - n a - * , ) . j=1 3=1 Hierbei tritt für k ^ 2 das Gleichheitszeichen nicht ein. Hinweis: Verwenden Sie Induktion. 2.32 Zeigen Sie mit Induktion die Ungleichung k\ ^ 2 f c _ 1 für alle k e N. 2.33 Zeigen Sie, daß die Menge der rationalen Zahlen Q abzählbar ist. Hinweis: Sortieren Sie die rationalen Zahlen nach Zählern und Nennern und numerieren Sie sie geeignet durch. 2.34 Zeigen Sie: Ist a irrational (transzendent) und n G N, so ist auch ^/ä irrational (transzendent). Insbesondere: Mit e und tt sind auch s/e und ypir etc. transzendent. 2.35 Beweisen Sie mit Induktion n (2kf AI (2* + l ) 2

i n+ 1'

2.36 Sei TT

das Partialprodukt des Wallisproduktes. Zeigen Sie

2.3 Die Konstruktion von P. Bachmann (a)

145

pn = (2n +

(b) (c) (Pn)neN ist konvergent. 2.37 Zeigen Sie die Ungleichungskette 1 1 3 (n + l) 2


oo werden soll!) xn

x

oder

d-lim xn = x . n-*oo

A

150

3 Einbettung in vollständige metrische Räume

Unser Beispiel 3.1 (1) liefert uns auch den entscheidenden Fingerzeig für die Definition einer Cauchyfolge. Definition 3.3 (Cauchyfolgen in metrischen Räumen) (M, d) sei metrischer Raum, (x n ) nef)J eine Folge in M. Die Folge ( x n ) n e N heißt Cauchyfolge, wenn gilt: Zu jedem e > 0 existiert eine natürliche Zahl no(e) € N mit d(xn, xm) < e für alle n, M ^ TIQ. A Bemerkung 3.4 (Geometrische Veranschaulichung) Eine Veranschaulichung des Begriffs der Cauchyfolge ist im K3 zusammen mit der euklidischen Metrik sehr schön möglich: Wir haben eine Folge (P r a ) n e N von Punkten des K3, die wir uns als „Punktwolke" vorstellen. Ferner betrachten wir eine bewegliche (offene) Kugel Ke vom Durchmesser 2e (e beliebig klein!). Ist es uns nun stets möglich, die Kugel Ke im Raum so zu plazieren, daß fast alle Punkte der Punktwolke (Pn)neN in ihrem Inneren liegen, so ist (Pn)neN eine Cauchyfolge. A Wie bei angeordneten Körpern, untersucht man jetzt in metrischen Räumen den Zusammenhang zwischen konvergenten Folgen und Cauchyfolgen. Dabei stößt man sofort auf den folgenden Hilfssatz 3.1 Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Beweisidee: d(x„,xm) ^ d(xn,x) + d(x, xm). (Steht Karl nahe bei Peter und Peter nahe bei Fritz, so steht Karl auch nahe bei Fritz, vgl. Satz 1.30.) • Wir wissen von den rationalen Zahlen her, daß die Umkehrung des vorangegangenen Hilfssatzes i. a. nicht richtig ist. Deshalb verdienen diejenigen metrischen Räume, in denen die genannte Umkehrung gilt, besondere Beachtung. Definition 3.4 (Vollständigkeit) Der metrische Raum (M, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge konvergiert. A Dieser Vollständigkeitsbegriff ist für alles weitere grundlegend! In einem vollständigen metrischen Raum (M, d) gilt somit das Cauchysche Konvergenzkriterium. Von den Elementen eines archimedisch angeordneten Körpers ist bekannt (s. Satz 1.37), daß sie sich beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren lassen. Insbesondere: Jede reelle Zahl XQ ist Grenzwert einer Folge (r„) n £ N rationaler Zahlen. Dieses Vorbild führt zur

3.1 Metrische Räume

151

Definition 3.5 (Dichtheit) Es sei (M, d) ein metrischer Raum und B C M. B heißt dicht (genauer: dicht in (M, d)), wenn jedes Element m € M Grenzwert einer Folge (bn)neN aus B ist. A Da wir den Begriff der Folgenkonvergenz in metrischen Räumen zur Verfügung haben, können wir auch den Begriff der Stetigkeit erklären. Definition 3.6 (Stetigkeit) (X, d) und (Y, d') seien zwei metrische Räume, und f : X -* Y sei eine Abbildung. / heißt im Punkt XQ stetig, wenn für jede Folge (xn)neN d! im Bildraum Y gilt f(xn) —> f(xo). A

aus X mit xn —T xo auch

In Kapitel 1 haben wir uns die Frage vorgelegt, wann man zwei Körper als ,.nicht wesentlich verschieden" ansehen will. Dies führte zum Begriff der (Körper)-Isomorphie. Die analoge Frage bei metrische Räumen führt zum Begriff der Isometrie. Definition 3.7 (Isometrie) (X, d) und (Y, d') seien zwei metrische Räume, und tp : X —> Y sei eine bijektive Abbildung. Gilt dann d(x,y) = d'( N (Abbildung f von M nach N) 4 x f ( x ) (x wird auf f ( x ) abgebildet) 4 ~ (von / erzeugte Äquivalenzrelation) 4 x & A(x Element von A) 4 A B (A erklärt durch B) 4 A => B (logische Folgerung) 4 m = n (mod p) (Kongruenz modulo p) 5 x ~ y (äquivalent) 5 [ i ] ^ (Äquivalenzklasse) 5 : = (linke Seite erklärt durch rechte Seite) 5 M / ^ (Quotientenmenge) 5 Z p (Restklassenmenge modulo p) 6 A B (logische Äquivalenz) 6 A n B (Durchschnitt) 6 0 (leere Menge) 6 A (nicht A, Negation von A) 6 i / y (nicht äquivalent) 6 v (natürliche Abbildung) 6 + (Addition) 7 , 1 5 • (Multiplikation) 7 , 1 5 M x N (Produktmenge) 8 o((x, y)) (innere Verknüpfung) 8 x o y (innere Verknüpfung) 8 ( M , o) (Gruppoid) 8 V{X) (Potenzmenge) 8 AU B (Vereinigung) 8 / o g (Verkettung von Abbildungen) 8 A C B (Teilmenge) 9 C xA (Komplement einer Menge) 11 x & A (x nicht Element von A) 11 / - 1 (inverse Abbildung) 11 (G,o)(Gruppe)12 a - 1 (Inverses in einer Gruppe) 12 (R, + , •) (Ring) 15 0 , ( n e u t r a l e s Element bzgl. der Addition im Ring) 15

1, I h (neutrales Element bzgl. der Multiplikation im Ring) 16 —x (inverses Element bzgl. der Addition) 16,21 (£) (Binomialkoeffizient) 17 n X) ak = a 0 + Ox + h an k=o (Summensymbol) 17 ( K , + , •) (Körper) 21 0 , 0 K (neutrales Element bzgl. der Addition im Körper) 21 A\B (Mengendifferenz) 21 1 , 1 K (neutrales Element bzgl. der Multiplikation im Körper) 21 (inverses Element bzgl. der Multiplikation) 21 i (inverses Element bzgl. der Multiplikation) 21 f (Bruch) 23 -< (Ordnungsrelation) 25 >- (inverse Ordnungsrelation) 25 ^ (Kleiner-gleich-Relation) 25 (K, + , •) (angeordneter Körper) 25 ^ (Größer-gleich-Relation) 26 < (Kleiner-Relation) 26 / (ungleich) 26 > (Größer-Relation) 26 x2 (Quadrat einer Zahl) 28 |x| (Absolutbetrag) 30 m a x B (Maximum einer Menge) 32 min B (Minimum einer Menge) 32 S0(B) (Obere-Schranken-Menge) 33 SU(B) (Untere-Schranken-Menge) 33 sup B (Supremum einer Menge) 33 inf B (Infimum einer Menge) 33 Q (Körper der rationalen Zahlen) 3 4 , 4 9 N (Menge der natürlichen Zahlen) 3 4 , 4 9 n! (Fakultätsfunktion) 35 \&M (Identität auf der Menge M ) 37

184 N (Menge von Nachfolgennengen) 39 Nk (kleinste Nachfolgermenge) 39 gK (Nachfolgerfunktion) 41 Z k (kleinster Unterring mit Einselement) 45 Qk (kleinster Unterkörper) 45 Z (Ring der ganzen Zahlen) 49 ( Q M , +, •) (Polynomring) 50 (Q(x), +, •) (Körper der rationalen Funktionen) 50 (K, + , - , < ) (angeordneterKörper) 52 (an)n€N (Folge) 53 f ( N ) (Bild einer Funktion) 53 N u ((a n )neN) (Menge unterer Nachbarn) 54 N0((an)n€n) (Menge oberer Nachbarn) 54 lim a„ (Grenzwert einer Folge) 55 n—foo

K-lim an (Grenzwert einer Folge in K) n—»oo

55 U£ (a) (e-Umgebung eines Punkts) 65 [a, b] (abgeschlossenes Intervall) 67 ]a, b[ (offenes Intervall) 67 [a, 6[ (halboffenes Intervall) 67 ]a, b] (halboffenes Intervall) 67 ([a n , &n])nsN (Intervallschachtelung) 67 lim sup (limes superior) 74 lim inf (limes inferior) 74 n—y oo R (Körper der reellen Zahlen) 76 T c (Ring der rationalen Cauchyfolgen) 78 [(on)n€N]~ (Äquivalenzklasse von Cauchyfolgen) 79,157 r (Äquivalenzklasse von Cauchyfolgen) 79 K (Cantorkonstruktion von R) 80 s/r (Quadratwurzel aus r) 96 (A, B) (Capellipaar) 103 A ^ B (Kleiner-gleich-Relation für Mengen) 104 A < B (Kleiner-Relation für Mengen) 104 Z (Zerlegung) 106 U( f , Z) (Untersumme) 107 0(f, Z) (Obersumme) 107

Symbolverzeichnis U(f) (Menge von Untersummen) 107 O(f) (Menge von Obersummen) 107 V c (Menge rationaler Capellipaare) 108 r (Äquivalenzklasse rationaler Capellipaare) 109 TZ* (Capeiiikonstruktion von R) 112 A + B (Addition von Mengen) 113 N({an)n&Ii) (zu (an)n€N gehöriges Capellipaar) 121 ^((an)neN) (zu ( a n ) n e N gehörige Capelliklasse) 121 = : (rechte Seite erklärt durch linke Seite) 123 (TZ*, + , - , < ) (Capeiiikonstruktion von R) 125 I B (Menge aller Intervallschachtelungen) 129 TZ** (Bachmannkonstruktion von R) 129 (TZ**, + , - , < ) (Bachmannkonstruktion von R) 133 n

]~[ cik = ao • ai • • • an (Produktsymbol) 139 (M, d) (metrischer Raum) 146 (x,y) (Skalarprodukt) 148 xn x (Grenzwert im metrischen Raum) 149 d-lim xn = x (Grenzwert im metrischen n—• oo

_ Raum) 149 M (Vervollständigung eines metrischen ^ Raums) 157 Mo (konvergente Folgen eines metrischen Raums) 157 x (konstante Folgen eines metrischen Raums) 158 d (Vervollständigung der Metrik) 158 Q . (Einbettung) 162 Zio (Dezimalziffern) 165 m j i h h U h • • • (Dezimaldarstellung) 167 IZia (Standard-Dezimaldarstellungen) 172 Zq (^-adische Ziffern) 174 TZq (g-adische Zahlen) 174 1,4769230 (periodische Dezimaldarstellung) 177

185

Index Abbildungssatz 7 abelsche Gruppe 12 abelsche Halbgruppe 8 abgeschlossenes Intervall 67 Abgeschlossenheit der Cantorkonstruktion 91 Absolutbetrag 30 Abstand 146 Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen 141 der rationalen Zahlen 141 äquivalente Capellipaare 108 äquivalente Cauchyfolgen 78,157 in Q 79 Äquivalenzklasse 5 Repräsentant 6 Äquivalenzrelation 5 von / erzeugt (~) 4 algebraische Zahlen 141 Abzählbarkeit 141 Algorithmus Divisions-175 euklidischer 175 zur Berechnung der Dezimaldarstellung 165 zur Berechnung von Quadratwurzeln 96,101 angeordneter Körper 25 Antireflexivität der Ordnungsrelation 27, 83 archimedische Anordnung 49 arithmetischer Mittelwert 72 Assoziativität einer inneren Verknüpfung 8 Asymmetrie einer Ordnungsrelation 27, 83,110 Axiom der vollständigen Induktion 35 Bachmannkonstruktion von E als Modell von E 133

Körperisomorphismus 132 Ordnungstreue 131 Vollständigkeit 133 Basis des Zahlsystems 174 Bernoullische Ungleichung 55 beschränkte Folge 53 beschränkte Menge 32 nach oben 32,53 nach unten 32,53 Beweis durch vollständige Induktion 35 bijektive Abbildung 10 Bild einer Funktion 53 Bilinearform 148 Binärdarstellung 175 Binomialkoeffizienten 18 binomischer Lehrsatz 18 Bisektion 72 Bolzano-Weierstraß 72 Cantorkonstruktion von E 78, 80 Abgeschlossenheit 91 als Modell von E 93 Körpereigenschaft 82 Ringeigenschaft 81 Capeiiikonstruktion von E 112 Abgeschlossenheit 125 als Modell von E 125 Körpereigenschaft 123 Ordnungsrelation 112 Ordnungstreue 125 Vollständigkeit 125 Capellipaar 103 Äquivalenz 108 Kleiner-Relation 110 Negativität 110 Nullpaar 109 Positivität 110 Schnittzahl 103 zur Darstellung einer Quadratwurzel 105

Index

186 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 148 Cauchyfolgen 56 Äquivalenz 7 8 , 7 9 , 1 5 7 in metrischen Räumen 150 Kleiner-Relation 83 zur Darstellung einer Quadratwurzel 96 Cauchysches Konvergenzkriterium 74, 150 in TZ 89 c-Paar 103

Einselement eines Körpers 21 eines Rings 15 endliche Permutationsgruppe 12 e-Umgebung 65 Ersetzung, isomorphe 48 euklidische Metrik 147 euklidischer Algorithmus 175 Eulersche Zahl (e) 135 Irrationalität 140 Transzendenz 141

de Morgansche Gesetze 11 Dedekindkonstruktion von R 113 Dedekindscher Schnitt 103 Definition, rekursive 35 Dezimaldarstellung 167 Eindeutigkeit 167 einer reellen Zahl 173 lexikographische Ordnung 170 Neunerende 168 periodisch 176 Standard- 170 Dezimalkomma 167 Dezimalpunkt 167 Dezimalsystem 165 Dezimalziffern einer reellen Zahl 166 Diagramm, kommutatives 7 dichte Teilmenge 151 Differenz 21 Distributivgesetz 21 Distributivität 15 Divergenz einer Folge 54 Division mit Rest 175 Divisionsalgorithmus 175 Divisionsrest 175 Drehung 152 Dreiecksungleichung 146

Fakultätsfunktion 35 Faserung 6 fast alle 61 Folge 53 beschränkte 53 Cauchy-56 Divergenz 54 Grenzwert 54 Häufungspunkt 65 konstante 158 Konvergenz 54 kubische Konvergenz 100 Limes 54 limes inferior 74 limes superior 74 lineare Konvergenz 99 monoton fallend 64 monoton wachsend 64 nach oben beschränkt 53 nach unten beschränkt 53 Produkt 57

e 135 Irrationalität 140 Transzendenz 141 Einbettung 162 Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung 167 eingebettete Teilmenge 162

ganze Zahlen ( Z ) 49 ganzzahliger Anteil 1 6 5 , 1 7 5 geometrische Reihe 59 Summenformel 59 Grenzabstand zweier Cauchyfolgen 156 Grenzwert einer Folge 54 größtes Element einer Menge 32

quadratische Konvergenz 102 Summe 57 Folgenabstand 155 Fundamentalfolge 56 Fundamentalsatz der Zahlentheorie 125

Index Gruppe 12 abelsche 12 Homomorphismus 13 Inverses 12 Isomorphismus 13 Linksinverses 12 linksneutrales Element 12 neutrales Element 12 Rechtsinverses 12 rechtsneutrales Element 12 Gruppentafel 13 Gruppoid 8 Häufungspunkt einer Folge 65 Häufungspunkt einer Menge 66 Halbgruppe 8 abelsche 8 Homomorphismus 10 Isomorphismus 10 Halbierungsverfahren 72 halboffenes Intervall 67 harmonische Reihe 77 Heronverfahren 101 Hexadezimaldarstellung 175 Homöomorphismus 164 Homomorphismus 10 Gruppen-13 Halbgruppen-10 Ring- 20,78, 81 Identität auf der Menge M 37,153 Identitivität einer Ordnungsrelation 25 Induktion 35 Induktionsanfang 35 Induktionsschluß 35 Induktionstheorem 35 Induktionsvoraussetzung 35 Infimum einer Menge (inf M ) 33 Infixnotation 8 injektive Abbildung 7, 34 innere Verknüpfung 7, 8 innerer Punkt einer Intervallschachtelung 68 Integrabilitätskriterium 107 integrierbare Funktion 107 Integritätsbereich 20

187 Intervall abgeschlossenes 67 halboffenes 67 offenes 67 Intervallschachtelung 67 Äquivalenzrelation 128 innerer Punkt 68 Kleiner-Relation 128 Negativität 128 Positivität 128 und Vollständigkeit 127 Intervallschachtelungseigenschaft 71 Invarianz des Abstands 163 Inverses 12 irrationale Zahlen 52 Irrationalität 52 von e140 von 7r 143 von Quadratwurzeln 106,125 Isometrie 151 isomorphe Ersetzung 48 Isomorphismus Gruppen-13 Halbgruppen-10 Isometrie 151 Körper- 47 ordnungserhaltend 47 Ring- 20,47 fc-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge 17 Kürzungsregeln 19 Kleiner-gleich-Relation 25 für Mengen ( A g B) 104 Kleiner-Relation für Capellipaare 110 für Cauchyfolgen 83 für Intervallschachtelungen 128 für Mengen (A < B) 104 im angeordneten Körper 26 in TZ 87 kleinstes Element einer Menge 32 Körper 21 angeordneter 25 der rationalen Funktionen (Q(x)) 50 nicht archimedische Anordnung 51

188 der rationalen Zahlen (Q) 49 der reellen Zahlen (K) 76 Distributivgesetz 21 Einselement 21 Isomorphismus 47 nicht archimedisch angeordneter 51 Nullelement 21 Positivbereich 29,51 vollständig 70 kommutativer Ring 15 kommutatives Diagramm 7 Kommutativität einer inneren Verknüpfung 8 Komplement einer Menge 11 Komposition von Abbildungen 8 Kongruenz modulo p 5 von Dreiecken 6 von Strecken 6 konstante Folge 158 Konstruktion der reellen Zahlen nach Cantor 78 nach Capelli 102 nach P. Bachmann 127 Konvergenz einer Folge 54 in metrischen Räumen 149 kubische 100 lineare 99 quadratische 102 Konvergenzgeschwindigkeit 99 Konvergenzkriterium von Cauchy 74,150 Kreiszahl (tt) 142,172 Leibnizreihe 142 Näherung 142,179 Transzendenz 143 Wallisprodukt 142 kubische Konvergenz einer Folge 100 Laurent-Entwicklung 51 Leibnizreihe 142 lexikographische Ordnung 170 Liften einer Isometrie 162 Limes einer Folge 54 limes inferior 74 limes superior 74

Index lineare Konvergenz einer Folge 99 Linksinverses 12 linksneutrales Element 12 Maximum einer Menge (max M) 32 Menge beschränkte 32 größtes Element 32 Häufungspunkt 66 Infimum (inf M) 33 Kleiner-gleich-Relation (A ^ B) 104 Kleiner-Relation (A < B) 104 kleinstes Element 32 Maximum (max M) 32 Minimum (min M) 32 nach oben beschränkt 32 nach unten beschränkt 32 obere Schranke 32 Supremum (sup M) 33 untere Schranke 32 Metrik 146 euklidische 147 metrisch isomorph 151 metrische Struktur 151 metrischer Raum 146 Cauchyfolge 150 Konvergenz 149 Stetigkeit 151 Vollständigkeit 150 Minimum einer Menge (min M) 32 Mittelwert, arithmetischer 72 Modell der natürlichen Zahlen 34 Modell der reellen Zahlen Bachmannkonstruktion 133 Cantorkonstruktion 93 Capeiiikonstruktion 125 modulare Kongruenz 5 monoton fallende Folge 64 monoton wachsende Folge 64 de Morgansche Gesetze 11 nach oben beschränkte Folge 53 nach oben beschränkte Menge 32 nach unten beschränkte Folge 53 nach unten beschränkte Menge 32 Nachbar, unterer und oberer 53

Index Nachfolger 34 Nachfolgermenge 39 natürliche Zahlen (N) 34,49 naturliche Abbildung 7 Negativität 26 von Capellipaaren 110 von Cauchyfolgen 86 von Intervallschachtelungen 128 Neunerende einer Dezimaldarstellung 168 neutrales Element 12 nicht archimedisch angeordneter Körper 51 Nullelement eines Körpers 21 eines Rings 15 Nullfolge 55 Nullpaar 109 Nullteiler 19 nullteilerfreier Ring 19 obere Schranke einer Menge 32 oberer Nachbar einer Folge 54 Oberklasse eines Capellipaars 103 offenes Intervall 67 Oktaldarstellung 175 Ordnung, teilweise 83 ordnungserhaltender Isomorphismus 47 Ordnungsrelation 25 antireflexive 27 archimedische 49 Asymmetrie 27, 83,110 Transitivität 27, 83,110 ordnungstheoretische Charakterisierung der rationalen Cauchyfolgen 113 ordnungstreu isomorpher Körper (Ring) 47 c-Paar 103 Peano-Axiome 34 periodische Dezimaldarstellung 176 Permutationsgruppe 12 TT 142,172 Leibnizreihe 142 Näherung 142,179 Transzendenz 143 Wallisprodukt 142

189 Polynomring (Q[x]) 50 Positivbereich eines Körpers 29 Positivität 26 von Capellipaaren 110 von Cauchyfolgen 86 von Intervallschachtelungen 128 Primfaktorzerlegung 125 Primzahl 13 Produkt zweier Folgen 57 Punktrechnung vor Strichrechnung 15 quadratische Konvergenz einer Folge 102 Quadratwurzeln 96,105 Irrationalität 106,125 Quotient 21 Quotientenkörper eines Integritätsbereichs 22 eines Polynomrings 50 von Z 22 Quotientenmenge bzgl. einer Äquivalenzrelation 5 rationale Approximation durch Capellipaare 104 rationale Approximierbarkeit in TZ 88 rationale Funktionen (Q(x)) 50 rationale Zahlen (Q) 49 Abzählbarkeit 141 Raum, metrischer 146 Cauchyfolge 150 Konvergenz 149 Rechtsinverses 12 rechtsneutrales Element 12 reelle Zahlen (K) 76 Bachmannkonstruktion 127 Cantorkonstruktion 78 Capeiiikonstruktion 102 Dedekindkonstruktion 113 Dezimaldarstellung 173 Dezimalziffern 166 Überabzählbarkeit 93 Beweis nach Cantor 174 Reflexivität einer Äquivalenzrelation 5 Reflexivität einer Ordnungsrelation 25 Rekursionstheorem 35,36 rekursive Definition 35

190 Relation, Ordnungs- 25 Repräsentant einer Äquivalenzklasse 6 repräsentierendes Capellipaar 103 Rest bei der Division 175 Restklassen 5 Riemann-Integrierbarkeit 107 Ring 15 der ganzen Zahlen (Z) 49 Einselement 15 Homomorphismus 20,78,81 Isomorphismus 20,47 kommutativer 15 Nullelement 15 nullteilerfrei 19 von Polynomen (Q[a;]) 50 Satz von Bolzano-Weierstraß 72 Schnitt, Dedekindscher 103 Schnittzahl eines Capellipaars 103 Schranke, untere und obere 32 Skalarprodukt 148 Standard-Dezimaldarstellung 170 Stetigkeit 151 streng monoton fallend 64 streng monoton wachsend 64 Summe zweier Folgen 57 Summenformel der geometrischen Reihe 59 Supremum einer Menge (sup M) 33 surjektive Abbildung 7 Symmetrie 146 einer Äquivalenzrelation 5 Teilfolge 53 Teilmenge dichte 151 eingebettete 162 Teilmengen einer n-elementigen Menge, A;-elementige 17 teilweise geordnet 83 Teleskopsumme 18,59 Totalordnung 25 Transitivität einer Äquivalenzrelation 5 Transitivität einer Ordnungsrelation 25, 83, 110 Translation 152

Index transzendente Zahlen 141 Transzendenz 141 von 7r 143 von e141 Trichotomiegesetz 27 für Cauchyfolgen 86 Überabzählbarkeit der reellen Zahlen 93,96 Beweis nach Cantor 174 der transzendenten Zahlen 141 Umgebung 65 Ungleichung Bernoullische 55 Cauchy-Schwarzsche 148 untere Schranke einer Menge 32 unterer Nachbar einer Folge 53 Unterklasse eines Capellipaars 103 Vergröberung 6 Verkettung von Abbildungen 8 Verknüpfung, innere 7, 8 Verknüpfungstreue 20 Verträglichkeit 9,25 Vervollständigung 159 Vierecksungleichung 153 vollständige Induktion 35 vollständiger Körper 70 Vollständigkeit eines metrischen Raums 150 und Intervallschachtelungen 127 von 11 89 Wallisprodukt 142 wohldefiniert 7 Wohldefiniertheit 163 Zahlen ganze (Z) 49 natürliche (N) 34,49 g-adische Zahlen 174 rationale (Q) 49 reelle (E) 76 Zahlentheorie, Fundamentalsatz 125 Zerlegung 6 eines Intervalls 107 Ziffer 165