Lehrbuch der Körperberechnung, der Geostatik, Hydrostatik, Geomechanik und Hydraulik, ohne Anwendung der höhern Analysis [Reprint 2018 ed.] 9783111499062, 9783111132938

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Lehrbuch der

Körperberechnungen, der Geoftatik, Hy­ drostatik, Geomechanik und Hydraulik, ohne

Anwendung der höher» Analysis.

ZUM Leitfaden

sät besondere, jährlich ju haltende Vorträge bearbeitet und in möglichster Kürze zusammen gedrängt oon

D. €. §. Lehmu s, Doctor der Philosophie.

Mit 4 Figurenrafeln.

Berlin,

1822.

Gedruckt und verlegt

bei G. Reimer.

Vorrede.

Außer meinen übrigen mathematischen Vortra­ ge», bin ich auch jährlich veranlaßt, künftigen Landbanmeistern und Bergleuten, denen Zeit oder Verhältnisse eS nicht gestatten, höhere Analyst-, und angewandte Mathematik in größerem Umfang, zu studieren, die allernothwendigsten Lehren der Körperberechnungen, der statischen und mechani­ schen Wissenschaften in der möglichsten Gedrängt­ heit, blos in Beziehung auf praktischen Gebrauch, und ohne alle Anwendungen der höheren Analyst-, in kurzer Zeit, vorzutragen. Für diese Vorträge eignet sich mein Lehrbuch der Geometrie (e Bände,

IV

Vorrede.

Berlin bei Reimer) und das der angewandten Mathematik (3 Bande, Berlin bei Reimer) Nicht, und da sowohl das Dictiren des Lehrers, als das Ausarbeiten des Lernenden, nach einem freien Vortrag, seine Nachtheile hat, so habe idj diese Bogen dem Druck übergeben, lege aber auf diese Arbeit keinen Werth, indem ich das unvermeid« lich mangelhafte derselben sehr wohl erkenne.

Der Verfasser.

3 n f> a l t.

Körperberechnungen.

.

r I. bis §. 27. Seite 1

Erstes Capitel. Vom Prismen.

§. I. bis §. 8.

-

3

Zweites Capitel. Don der Py­ ramide.............................

§ 9. bis §. 19.

-

8

Drittes Capitel. Von der Ku­ gel...................................

§ 20. bis §. 27.

- 14

§. 28. bis §. 158.

-

§. 28. bis §. 68,

- 23

Erstes Capitel. Bedingungen des Gleichgewichts für paral­ lel thätige Kräfte in einer Ebene. . . . .

$.34, bis §. 44.

- 25

Zweites Capitel Bedingungen des Gleichgewichts für paral­ lel thätige Kräfte in verschie­ denen Ebenen. . . ,

§. 45.

Die Statik. Erste Abtheilung. System der Statik..............................

2»

VI

Inhalt. Drittes Capitel. Bedingungen bcu Gleichgewichts für nicht parallel thätige Kräfte in ei­ ner Ebene. . . . §. 46. biS §. 59.

Seite 3$

Viertes Capitel. Bedingungen des Gleichgewichts für nicht parallel thätige Kräfte in verschiedenen Ebenen. . . §. 60. bis §. 64.

*

5®

Fünftes Capitel. Vom Princip der virtuellen Geschwindigkeit ren......................................... §.65. bis $♦ 63.

-

55

§. 69. bis §. iZ8.

5

6z

punct..................................

§. 69. bis §. 85.

- 63

Zweites Capitel/ Vom mate­ riellen Hebel und der Sta­ bilität...................................

§. 86, bis §. 99.

-

Drittes Capitel. Von den Dachverbindungen.

§. 100. bis §.104.

- 89

Viertes Capitel. Von der gleitenden Reibung, der schiefen Ebene, dem Keil und der Schraube.

§. 105. bis §. 114,

5 94

Fünftes Capitel. Von der Zöpfen Reibung, der Steif­ heit der Seile und dem Rä­ derwerk................................

§. 115. bis ff, 123.

- 103

Sechstes Capitel. Von den Rollen und Flaschenzügen

§. 125, bis §. 129.

IIO

Zweite Abtheilung. Die GeostattE......................................... Erstes Capitel. Vom Schwer-

?6

Inhalt. Siebentes Capitel. Festigkeit.

VII

Von der

§.130. bis §,133. S. 116

Dritte Abtheilung. statik. .

Die Hydro­

Erstes Capitel. maldruck.

Dom Nor­

§• 139. bis §. 153. §. i3y 6ü §. 145.

- i23

§ 146. bis §. 158.

, 129

§159. bis §.269.

= J39

Erste Abtheilung. Die Geome­ chanik......................................

§> 165. bis §. 204.

i

Erstes Capitel. Von der gleichförmigen Bewegung.

§. 165. bis §. 167.

- Z45

Zweites Capitel. Von der gleichförmig beschleunigten Bewegung.

§. i6g. bis §. 179.

- 146

§. 180. bis §. 185.

-161

Vom Stoß.

§ 186 bis §. 192.

- 165

Fünftes Capitel. Von der Fliehkraft und den Massen.

ff. 193 bi« §.2or,

- 169

Sechstes Capitel. Vom Pendel.

5.202. bis §. 204.

. 173

Zweite Abtheilung. Die Hydrau­ lik.............................................

$.205 bis §.269,

-

Erstes Capitel. Waffermengen Bestimmungen.

5,305. bis 5.332,

- 180

Zweites Capitel. Vom Gleich­ gewicht des Wassers Mit eingesenkten Körpern. Die Mechanik.

DrittesCapitel. Don der^gleichkörmig verzögerten Bewe­ gung....................................... Viertes Capitel.

Till

Inhalt.

Zweite- Capitel. Von der Verengung der Flußprofile und dem Rückstau.

§.2ZZ. bis §.2Z5. S. 202

Dritte-Capitel. Von der Zeit­ bestimmung bei Leerung und Füllung von Gefäßen.

§. 236. bis §.240.

- 204

Viertes Capitel. Don ber Kraft des bewegten Wassers.

§.241. bis §. 257.

- 208

Fünftes Capitel. Vom Heber und den Pumpen.

§.258. bis §. 269.

- 222

Körperberechnungen.

Erstes Kapitel,

Vom

Prismen. §.

i.

Erklärungen. txjtbet Körper, welcher von zwei congruenten paralle­ len Ebenen, und außer diesen von so vielen Parallelo­ grammen begränzt ist, als jede der Leiden Ebenen Sei­ ten hat, heißt ein Prismen. Die erwähnten beiden Ebenen heißen die Grün de denen; die Parallelo­ gramme die Seitenebenen des Prismens. Die geraden Linien, in welchen je zwei Seitenebenen eines Prismens sich durchschneiden, heißen Seitrnkanten; diejenigen aber, in welchen eine Seitenebene und eine Gruvdedene sich schneiden, Grundkanten. Der nor­ male Abstand derGrundrbenen heißt die Höhe. Ein Prismen heißt 3», 4-, n. s. w. seitig, je nachdem die Grundebenen Dreiecke, Vierecke u. s. w. sind. El» Prismen heißt normal, wenn die Seitenebenen recht«inNicht auf den Grundebenen stehen, außerdem heißt dasselbe schief. Ein Prismen wirb insbesondere Parallelepipedum genannt, wenn die Grundebenen A *

4 Parallelogramme sind; sind Grund, und Seitenrbeneu Quadrate, so heißt dasselbe Cubus oder Würfel. Ein Prismen wird Cylinder oder Walze genannt, wenn die Grundebenen Kreise sind. Die gerade Ver­ bindungslinie der Mittelpunkte beider Grundebenen ei­ nes Cylinders heißt die Achse desselben. Ein Cylin, der heißt normal, wenn seine Achse rechtwinklicht auf den Grundebenen steht, außerdem schief. Die Oberfläche eines Cylinders, die Grundebenen ausge, schlossen, heißt Mantel. §. 2. Allgemeiner Grundsatz für alle Körper­ berechnungen. Körper sind gleich groß, wenn sie auf gleich großen Ebenen stehen, und alle mit diesen Ebenen paral­ lele Durchschnitte in gleichen Entfernungen von densel­ ben gedacht, Paar und Paar gleiche Größen haben. §. 3. Lehrsatz. Mit den Grundebenen parallele Durch­ schnittsebenen eines Prismens sind den Grundebrnen kongruent. Beweis. Zerlegt man die Grundebene und eine mit ihr parallele Durchschnittsebene durch glelchliegenbe Diagonalen in Dreiecke, so ergiebt sich nach dem Satz: daß Parallelen zwischen Parallelen gleich groß find, die Congruenz von jedem Paare der entstehenden Drei­ ecke, und somit auch die Congruenz beider Ebenen» §>

4»

Lehrsatz. Prismen verhalten sich wie die Producte aus Grundebene in Höhe.

Beweis. Nach §. 2. und g. verhalten stch Prls, men von gleichen Grundrbenen wke ihre Höhen, und Prismen von gleiche» Höhen wke ihre Grundebenen, also Prismen überhaupt wie die Producte aus Grundebene in Höhe. §»

5*

Zusatz. Die Einheit bei Inhaltsbestimmungen von Körpern ist der Cubus, dessen Seite der angenom­ menen Längeneinheit gleich ist, und unter Inhalt eines Körpers versteht man daher die Anzahl Cubi, welche derselbe in stch aufnehmen kann. §. 6.

Ausgabe. Den Inhalt eines Prismens (also auch.Cylinders) zu bestimmen. Auflösung. Das Product aus dem Quadrat­ inhalt der Grunbebene in die Höhe bestimmt die An­ zahl Cubi des Prismens. Beweis. Die Seite des zur Einheit dienenden Cubus sey — i; der Inhalt des Cubus — C; die Grundebene des Prismen- — F; seine Höhe — h; fein Inhalt = K; fi> verhält stch nach §. 4. C : K = i*. i : F. h und hieraus ist K = F .h . C oder, da C die Einheit ist, K=F . h §» 7»

Aufgabe. Den Mantel des normalen Cylinders t« bestimmen.

Au flö fung. Der Mantel eines normalen Cy­ linders bildet ein rechtwinklichtes Parallelogram, dessen eine Seite die Peripherie der Grundebene des Cylin­ ders, dessen andere der Höhe desselben gleich ist. §.

8.

Zusatz. Bezeichnet also r den Halbmesser der Grundebenen eines Cylinders, h die Höhe desselben, so ist seine Grundebene — r2« (unter n die Zahl 3,14159.. verstanden), also sein Inhalt = r2?rh; und wenn der Cylinder normal ist, sein Mantel — arjjh; folglich seine grsammte Oberfläche — zrnh + 2r2tt. Bei spiel. Ein kreisförmiges Gewölbe von 30Fuß Länge hat den tn Fig. 1. dargestellten Querschnitt AEDCFB, in welchem die Höhe im £id)tcn 1/G =4'; die Wette im Lichten LG —20; die Dicke dcrGewölbstrine EF = 2' ist, zum normalen Querschnitt; es soll der Cubikinhalt der Gewölbsteine berechnet werden. Ast II der Mittelpunkt zu den concentrischen Do­ gen AED und BFC, so verhält sich 4:10 = 10:2BH—4 und hieraus ist BH =s HC = — 3

folglich AH = HD = BII + FE = und daher HG = HF —

fg =

ferner HC Cos GHC s=s GH; oder ^ Cos GHC = L

2

Cos GHC = —; 29

also 1

imb hiezu nach den trigonometrischen Tafeln genau genug Z.GHC = 43* 36'; dann HD . Oos GHD = GH; oder - Cos GHD = 2 2

folglich

Cos GHD — Z; als» 11

L. GHD — 5o° 29 ; Da mm auch EG : gd = GD : 2 . Eli — EG ober 6 : GD sä GD : 33 — 6; so ist GD — VTjj = 12,72792; folglich . (^\

Ausschnitt HAED =; A

ADH

=5

12,72792 . — 2

Ausschnitt HBFC = ^ . 0>J. n A BCH — 10 .

demnach bas Ringstück

AEDCEB — L- [3029. (|)2 - 26,6 . g)2] - ^. 2,72792 180

— 5l/244 ^uabratfug; also brr Cubikinhalt der Gewölbsteine — 3o. 5i, 244 — 1537I Cubikfuße.

Zweites Kapitel.

Von

der

Pyramide.

§-

9»

Erklärungen. Ein Körper,

welcher von irgend einer Ebene

und so vielen an diese Ebene sich anschließenden, in eine Ecke außerhalb zusammenstoßenden Dreiecke«, als die erwähnte Ebene Seiten hat, brgränzt ist, heißt eine Pyramide.

Die erwähnte Ebene heißt die Grund­

ebene; die Dreiecke Scitenebenen, die bet Grund­ ebene gegenüberliegende Ecke, die Spitze. ramide heißt

Die Py­

4-, 5-, u. s. w. seitig, je nachdem

die Grundebene ein Dreieck, Viereck u. s. w. ist; sie heißt ein Kegel, wenn die Grundebene ein Kreis ist. Die BegrLnzungsflache eines Kegels, die Grundfläche ausgeschlossen, heißt Mantel.

Die Normale von der

Spitze auf die Grundebene heißt die Höhe der Py­ ramide.

Beim Kegel wird die gerade Verbindungs­

linie der Spitze, mit dem Mittelpunkt der Grundebene/ die Achse genannt.

Der Kegel heißt normal, wenn

seine Achse zugleich die Höhr ist, außerdem heißt er schief; die gerade Verbindungslinie der Spitze eines Kegels mit irgend einem Punkt der Peripherie seiner Grnndebene, heißt Seite.

Wird eine^ Pyramide pa­

rallel mit der Grundebene zerschnitten, so heißt der zwischen dieser Ebene und

der

Grundebene liegende

Theil, Abgekürzte Pyramide; der zwischen dieser

s Durchfchnittsebene und der Spitze liegende Theil aber, Ergänzungspyramlde.

Der Begriff von Sel-

trn kanten und Grund kanten ist wie beim Pris­ men §. i. §.

Lehrsatz.

IO»

Parallele Durchfchnlttsebenen

einer

Pyramide, welche alle Seitenkanten derselben durch­ schneiden, find ähnlich, und verhalten sich wie die Qua­ drate ihrer Entfernungen von der Spitze. Beweis.

Die Aehnlichkeit derselben folgt, wenn

man sich gleichliegrnde Diagonalen vorstellt, aus der Proportionalität der z Seiten der entstehenden Drei­ ecke; und da fich ähnliche Figuren wie die Quadrate -leichliegrndrr Seiten verhalten, diese Selten aber in demselben Verhältniß zu einander stehen, wie die Ent­ fernungen der Ebenen von der Spitze der Pyramide, so verhalten fich also auch die Ebenen wie die Qua­ drate ihrer Entfernungen von der Spitze.

§. ii. Aufgabe.

Der Inhalt der Grundebene einer

Pyramide'sey — a;

der einer

mit

ihr

parallelen

Durchschnittsebene = b; die Entfernung beider Ebe­ nen, oder die Höhe der abgekärjten Pyramide — h; man soll die Höhe x

der Ergänjungspyramlde

stimmen. Auflösung. a

:

b

Nach §. io, verhält fich

= (b -j- x)2

:

X2;

und hieraus

V"a : V*b — d -s- x : x; folglich auch Va — Vb : Vb = b : x Md hieraus ist

be­

hy-h * =* rp wenn man y —oder a—yb Zähler und Nenner dieses Bruchs mit Va + Vb multlplicirt, v __ h(b-t-Vab)

--------- I=b-----

§.

.

12

Lehrsatz. Pyramiden von gleiche» Grundebene« und gleichen Höhen sind gleich. Bewels. Aus §. io. folgt leicht, daß mit de» Grundebenen parallel in gleicher Höhe genommene Durchschnittsebenen auch gleiche Größe haben, und hieraus folgt dann, nach §. 2., die Gleichheit beider Körper. §. rz. Die dreiseitige Pyramide ist dem dritten Theil des Prismens glelch, welches mit der Pyramide gleiche Grundebcne und gleiche Höhe hat. Beweis. Das breyseit-ge Prismen ABCDEF §lg« 2. denke man sich durch die Ebenen DBF und ABF in die 3 dreiseitigen Pyramiden DEl'B, ADIB «nd ACFB zerschnitten, denke sich dann ln. den beide» ersten, DEB und ABD als die Grundebenen, F aber als die Spitze, so hat man für beide gleiche Grundebenen und gleiche Höhe nemlich die Normale von F auf die Ebene ABOD, und folglich sind beide nach §. 12, einander glelch. Eben so ergiebt sich die Gleichheit der Pyramiden AUFB und ACFB, wenn man B als die Spitze betrachtet, und folglich find alle 3 gleich

groß.

Setzt man also den Inhalt seder der 3 Pyra­

miden — k; den des Prismrns — tz; so ist 8? — 0; folglich

P - iQ. §.

Aufgabe.

14.

Den Inhalt jeder Pyramide zu be­

stimmen. Auflösung.

Der Inhalt der

Grundebene sek

= a; die Höhe — h; so ist nach $. 13. und 6., wenn die Pyramide dreiseitig ist, ihr Inhalt = |ab, und also nach §. 12.; der Inhalt jeder Pyramide, folg­ lich auch der des Kegels = iah, §» Aufgabe.

l5*

Dr« Mantel deS

normalen

KegelS

zu bestimmen. Auflösung.

Ein solcher

Mantel bildet einen

Kreisausschnitt, dessen Halbmesser die Seite des Ke­ gels, dessen Bogen aber die Peripherie der Grundebene ist, und das halbe Product beider giebt also den In, halt des Mantels.

Bezeichnet r den Halbmesser der

Grundebrnr, b dir Seite, so ist also der Mantel b. r?r. §. Aufgabe.

Den

16.

körperlichen Inhalt der abge­

kürzten Pyramide zu bestimmen. Auflösung.

Bet derselben Bezeichnung, wie in

Z. ii., ist der Inhalt der ganzen Pyramide

— i» (h -f- x)z Kr der Ergänzungspyramide e= |b x;

folglich der der abgekürzte»

— |a(h

-J-

x) —

|bx; ober

= | [a h + (a — b) x]; und WkNN Öltttt x aus §. n. substituier — I' h (a -f- b -j- Vab)»

bett Werth für

§.

>7

Zusatz. Bezeichnen r,g die Halbmesser der Grund­ ebenen eines abgekürzten Kegels, h die Höhe desselben, fix ist, wenn man r2n für a; g*7P für b schreibt, nach §. 16, der Inhalt des abgekürzten Kegels = Jrcl)(r34-pI-{-rp).

§. 18. Aufgabe. Den Mantel des normalen abgekürz­ ten Kegels zu bestimmen. Auflösung. Bezeichnet r den Halbmesser der Grundebene; g den der parallelen Begränzungsrbene; b die Seite des abgekürzten KegelS; x die des E» günzungskegels, so ist der Mantel des ganzen Kegels = (b 4-x) §. 15.; der des Erganzungskegels = x.pTi; folglich der des abgekürzten =2 (b-j-x) r n — x g Ti; oder — ^[br + (r —p)x]

Es verhält sich aber r : g = b -j- x : x und hieraus ist (r — §) x --- b §; folglich, wenn man diesen Werth substttuirt, der verlangte Mantel = nb

§.

ly.

Bel spiele. 1) Die eine der parallelen Begranzungsebenrn einer abgekürzten Pyramide sey — i6 Quad.

Fuß; ble Höhe der abgekürzten Pyramide = is Fuß; ihr Inhalt := i6c> Cub.Fuß. Wie groß ist der Inhalt der andern parallelen Ebene? Er sey — x; so ist die Gleichung 160 = |. 12 . (i6-{- x-j-VibTx) und hieranX

4V"X — 24 = o;

V~x ——2 -j-

V~4

+ 24;

also folglich

x = 32 — 4 Vis — io,836 2uadratfuß. 2) Die parallelen Begranzungsebenen eines abge­ kürzten Kegels sollen sich wie 3 : 2 verhalten, die Höhe 5= 2-Fuss, der Inhalt des Körpers 200 Cubikfuß seyn. Die Halbmesser der Grundebenen zu bestimmen. Sie soffen**: und y heißen, so $at man die Glei­ chungen x* : y* = 3 : 2; 200 = | . 24 . ;t • (xa + y1^ -j- xy); «ab aus ihnen V = 1/ *

50

.-i/W-Vfe)

r

--- i,46,

r

n. 19

folglich

x = i,46 . V"| = 1,788 . . .

Dritte» Kapitel

Von

der

§.

K u § e l.

.

20

Erklärungen. Ein Körper, welcher von einer einzigen Fläche begränzt ist, die durchaus von einem innerhalb liegenden Punct gleichweit absteht, heißt eine Kugel.

Der er­

wähnte Punct heißt der Mittelpunkt ; die begranzende Fläche, die Kugel fläche.

Die gerade Linie vom

Mitteipuncl bis zu irgend einer Stelle der Kugelfläche heißt Halbmesser; die gerade Linie von irgend einem Punct der. Kugelfläche durch den Mittelpunct bis wie­ der zur Kugelfläche heißt Durchmesser oder Achse der Kugel.

Jede durch die Kugel gelegte Ebene ist,

wie sich sogleich ergiebt, ein Kreis, und heißt größter Kreis, wenn sie durch den Mittelpunct der Kugel geht, kleinerer Kreis, wenn dies nicht der Fall ist.

Wenn man sich auf eine Kreisebene, als Durch­

schnittsebene einer Kugel, im Mittelpunct derselben eine Normale errichtet, und beiderseits bis zur Kugelflache verlängert denkt, so heißt diese Linie die Achse des Kreises, und ihre Enbpuncte in der Kugelfläche, die Pole desselben.

Jede Ebene durch die Kugel

theilt sowohl die Kugel selbst, als ihre Oberfläche in 2 Theile; jene heißen Kugelabschnitte, diese Ca­ lo tten.

Jedes zugehörige Stück der Achse heißt die

Höhe des entsprechenden Kugelabschnitts, sowie auch der Calotte.

Jede 2 durch die Kugel gelegte Paral-

lelebenen schneibett von der Oberfläche der Kugel einen Theil zwischen sich ab, welcher Jone genannt wird; der zugehörige Körper heißt Körperliche Zone. Das jwischen den erwähnten Ebenen abgeschnittene Stück der zugehörigen Achse heißt Höhe der Zone. Ein Kugelausschnitt ist ein zwischen einer Calotte und einem Kegelmantel, dessen Spitze im Mittelpunct der Kugel fällt, liegendes Stück der Kugel. §.

21.

Aufgabe. Den Flächeninhalt der Zone zu be­ stimmen. Auflösung. Er ist gleich der Höhe derselben multiplicirt mit der Peripherie eines größten Kreises der Kugel, oder wenn h die Höhe der Zone, r den Halbmesser der Kugel ausdrückt, so ist die Zone — 2 r ii. b.

Beweis. Ist ABC Fig. g. «in Quadrant, AB s= AC — rj DK ein sehr kleiner Bogen, so klein, daß derselbe als eine gerade Linie zu betrachten ist, DF — FE; EH, FI, DK. Normalen auf AC; EG nor­ mal auf DK, so kann die Zone z, welche DE bei der Umdrehung um AC beschreibt, als ein abgekürzter Ke­ gelmantel betrachtet werden, und der Quadratinhalt Z ist also nach §. i8. = 7F.DE. (DK + EH). €8 ist aber 2.FI = DK + EH; folglich i ~ 27F . DE . FI. Weil nun a DEG c* AFI, so verhalt sich r: FI ----DE: EG,

und also ist DE. FI = r.EG, ober EG HK durch e ausgedrückt, DE . FI = r. ej also z = 2rtr . c. Besteht nun h auS n solchen unendlich kleinen Lheilchen«, so ist also jede zugehörige Zone =2ro.e; folglich die Summe aDtr =: n.2m.e; aber ne = h; folglich die Zone zur Höhe h gleich zm. h. §.

82.

Zusatz. Lst Flg Z.GH---K; HE=b; CE = a? der Halbmesser der Kugel — r; so ist die Calotte, welche der Bogen EC bet der Umdrehung um AC beschreibt, = 2r7r.l1 (nach §. 21.), oder auch = aan; oder auch = (•>*+ ha)7r> und also die Oberfläche der Halbkugel =*2ra7t; und die der ganzen Kugel =4r3jr, also viermal so groß wie die größte Krrisebrne der­ selben. §» 23. Aufgabe. Den Inhalt K des Kugelausschnittzu bestimmen. Auflösung. Dreht sich der Kreisausschnitt AEG Fig. 3. um AC, so ist der entstehende Kugel­ ausschnitt alS eine Pyramide zu betrachten und zu be­ rechnen, deren Grundebenen die Calotte, und deren Höhe der Halbmesser der Kugel --- r ist. Wird daher CH durch h ausgedrückt, so ist der Inhalt deü Ku, grlausschnittS = 2.rsrh.|r; ober K SS |r37T.h. §. 24. Zusatz. Setzt man r für h und nimmt daDoppeltr beS Resultats, so hat man nach dem vorigen §.

den

>7

den Inhalt der Kugel = fr3?i; oder auch, wenn d den Durchmesser der Kugel bezelchnet — £d3 .?t. §.

25.

Aufgabe. Den Inhalt K des Kugelabschnitts zu bestimmen. Auflösung. Er erglebt sich, wenn man vom Inhalt des Kugelausschnitts den des zugehörigen Ke­ gels abzieht. Ist etwa Fig. 3.; CH = h; HE — b; der Halb­ messer der Kugel — r; so ist der Kugelabschnitt, wel­ chen ENCH bet der Umdrehung um CH beschreibt, nach §. Lg. — i r3 fi h — EH3 . 7v .|AH = . [2r3 h — b3. (r — h)] oder, weil h: b = b: 2 r — h t|i, so hat man, durch r und b ausgedrückt, K = •§ ?ih3(3r — b) und durch d und h ausgedrückt, K = 17ih . (3b3 + h3)

§. s6. Aufgabe. Den Inhalt K der körperlichen Zone zu bestimmen. Auflösung. Er ist gleich der Differenz zweier Kugelabschnitte. Bezeichnet a den Halbmesser der un­ tern, b den der obern begränzenden Kreisebene, h die Höbe der körperlichen Jone; x die Höhe des ergän­ zenden Kugelabschnitts, so ist nach §. 25. K=|n (h + x; [3a3 +(h + x)3] —x (3b3

= | Ti [3 a3 h ■+■ h»

x3)

(3 a«-f 3 h3 — 3 b3) x-f-3 h X3]

B

Es ist aber, wenn r den Halbmesser der Kugel bezeichnet, x : b = b : ar — x und x + h : a = a : 2r — x — hj also b2 x-|-h:a = a:------- h Und hieraus hx1 -4~ (a2 -j- h2 — b2) x =: b2 h folglich 3hx2 + (3a2 + 3h2 — 3b2) x — 3b2b;

daher, wenn man substituirt; K = ^7th (3a2 h -|- h3 -s- Zb2b) oder K — |nh2 (3a2 + 3b2+ h2) §.

27.

Beispiele. 1) Eine 4' hohe Calotte enthält 200 Quadratfuß, wie groß iji der Halbmesser r der zugehörigen Kugel? Die Gleichung ist 2TU. 4 = 200, und hieraus ist r --- 7,95... 2) Die Kugelfläche sey — b2; man soll durch b* den Inhalt x der Kugel ausdrücken. Bezeichnet r den Halbmesser der Kugel, so ist 4r27r — b2j also

x

3) Der Inhalt einer Kugel sey = a3; man soll dadurch den Halbmesser r und die Ku-rlfläche y auS» drücken. Es ist ^r'Tr — a2; also 3 _ r = a.|/^; folglich

y ss 4r*?r ss 4tt . a* . y—2—) obtt y = a1 • V^jsTä" 4) Die Halbmesser der parallelen Ebenen, welche eine Jone abschneiden, find 12' und 8'j die Höhe der Zone — 4', man soll den Halbmesser r der Kugel, die Größe der Zone Z, und den Inhalt der körperlichen Zone K bestimmen. Stellt ln Fig. 9, DKIJE den halben Durchschnitt der Zone dar, ist also EH ss 8', DK = 12'j HK = 4' und wird, wenn A den Mittelpunct der Kugel andeu­ tet, AK = x gesetzt, so hat man im a ADK: r1 = x* -j- »a*

und im A AEH: r* — (x-J-4)* + 82; also x2 -j- i44 s= x2 -f- 8 x -j- 16 -f- 64

und hieraus % — 8; folglich r — V*82 + 122 — »4,422 . .. daher z = 2 . r . n . 4 = 56a, 463.. . und nach §. 26. K = \ n . 16 (3.122 + 3.82 -f 42) ss 636»,643 ... 5) Der Halbmesser einer Kugel sey = r$ man soll di« Höhe x eines Kugelabschnitts der Bedingung ge­ mäß bestimmen, daß sich der Inhalt des Kugelabschnitts zu dem des zugehörigen Kugelausschnitts ---- a ; m verhält. Die Gleichung ist \n. x2 . (3r —x) : -f . r* n. x «x n : m j

Bs

so und hieraus folgt:

Der größte Werth, den hienach ist also f, dann ist x — zr; Für ^

^ entsteht

x = r . (I

V"i) = | r

Für ----- r entsteht w m x =; r

oder 2 r.

Für IU - = ;* erhält man \ = } r oder V r.

haben kann,

D i c Statik.

Erste Abtheilung.

System

der §.

Statik.

2g.

Erklärung. Statik ist die Wissenschaft vom Gleichgewicht der Kräfte, d. h. von den Bedingungen, welche statt finden müssen, damit ein von zwei oder mehreren Kräften angegriffener Gegenstand vollkommen in dem Zustand bleibt, in welchem er war, es sey Zustand der Ruhe, oder der Bewegung, und diese Bedingungen heißen: die Bedingungen des Gleichgewichts. Erklär.

§. 29. Wirken 2 oder mehrere Kräfte auf es*,

nett Gegenstand, und es giebt eine Kraft, die, wenn ste nach einer

gewissen

Richtung allein

auf denselben

wirkte, ganj dasselbe leisten würde, was jenx vereint leisten, so heißt diese die mittlere Kraft, und jene heißen die Seitenkräfte. §.

Erklär.

30.

Wirken 2 oder mehrere Kräfte auf el*

nen Gegenstand, welche Kräfte untereinander nicht im Gleichgewicht find, und es giebt nun noch eine Kraft,

welche, kn einer gewissen Lage angebracht, daS Gleich­ gewicht herstellt, so heißt diese die entgegengesetzt mittlere Kraft. Sind also Kräfte untereinander im Gleichgewicht, so ist jede derselben die entgegengesetzt mittlere der übrigen. §.

zr.

Erklär. Wenn 2 oder mehrere, untereinander nicht Gleichgewicht haltende Kräfte auf einen Gegen­ stand wirken, welcher durch einen andern an fertgehender Bewegung verhindert wird, aber nicht an drehen­ der um irgend eine Achse, so heißt eine solche Zusam­ menstellung ein Hebel. §. 32.

Erklär DaS Product auS der abstrakten Zahl, welche die Größe einer Kraft ausdrückt, in die ab­ stracto Zahl, welche die Lange einer Linie angicbt, die sowohl auf der Richtungslinie dieser Kraft, als auch zugleich aizf einer andern graben Linie a normal steht, und von beiden begränzt ist, heißt das statische Mo­ ment, oder auch schlechthin, das Moment dieser Kraft in Beziehung auf die Linie a; die Nor­ male selbst heißt der HebelSarm der Kraft, ebenfalls in Beziehung auf die Linie a. §. 33.

Wenn Kräfte wirken, so können ln Hinsicht der Lage ihrer Richtungsiinien mir 4 Fälle statt finden: 1) alle Richtungslinien sind parallel, und liege« in einer und derselben Ebene;

a)

alle Richtungslinien sind parallel,

liegen aber

in verschiedenen Ebenen; 3)

alle

Richtungslinien

liegen

fit

einer

Ebene,

sind aber nicht alle parallel; 4)

sie

liegen

in

verschiedenen

Ebenen und

sind

nicht durchaus parallel, und hiernach theilt sich das Lehrgebäude der Statik in vier Capitel. Anmerk. In den folgenden 4 Capiteln ist durchaus nur von den Kräften die Rede, welche jedesmal besonders genannt sind; andere, insbesondere Gewicht, muß man gänzlich außer Betracht lassen.

Erstes Cap itel.

Von den Bedingungen des Gleichgewichts, wenn zwei oder mehrere Kräfte thätig sind, bereit Rich­ tungslinien durchans parallel,

und in einer

und

derselben Ebene liegen.

§. 34. Lehrsatz.

Zwei gleich greße Kräfte P, 0, welche

fit 2 Puncten a,b einer geraden festen Linie, nach der Richtung dieser Linie aber einander entgegenge« fetzt wirken, erhalten Gleichgewicht. Beweis.

Wollte man annehmen: a würde dem

Bestreben von P gemäß, fortbewegt, so müßte, dieser Annahme zufolge, auch der Punct b nach entgegenge­ setzter Richtung dem' Bestreben von Q folgen; beidezugleich kann aber nicht statt finden, «eil die Linie

fest angenommen ist, daher erfolgt keines von beiden, sondern die Linie bleibt in dem Zustand, in weichem fle war, es sey Zustand der Ruhe, ober der schon nach irgend einer Richtung stakt findenden Bewegung. §.

35*

Zusatz. Aus §. 34. folgt: 1) Es ist gleichgültig, in welchem Punct ihrer geraden Rlchtungslinle eine Kraft angreift. 2) Die mittlere Kraft und die entgegengesetzt mitt­ lere find allemal gleich groß; und ihre Richtungen fal­ len in einander, jedoch entgegengesetzt. §.

36.

Lehrsatz. Wenn 2 gleich großeKrafte P,Q nach parallelen Aichtungslinien bd, ck (Fig. 4.) wirken; in derselben festen Ebene aber, in der Mitte zwischen beiden, so also, baß die Normals ab der Normale ac gleich ist, nach paralleler, aber entgegengesetzter Rich­ tung ag eine Kraft R gleich P + Q thätig ist, so bleibt die angegriffene.Ebene in dem Zustand, in wel, chem fie war, d. h. die Kräfte P, O, R find unter ein­ ander im Gleichgewicht. Beweis. Wollte man annehmen, die Ebene be­ wege fich, den Einwirkungen der gleichen Kräfte P, O zufolge, nach der Richtung ga, so müßte aus demsel­ ben Grund, well R=:P-j- 0 ist, zugleich dieselbe Be­ wegung, dem-Destreben von R zufolge, nach entgegen­ gesetzter Richtung, also nach ag, statt finden; aber beide Bewegungen zugleich sind nicht möglich, da die Ebene als fest angenommen ist, daher wird keine fort«

27

gehende Bewegung, dem Bestreben der Kräfte gemäß, statt finden. Man denke fich die Kraft R in irgend einem Punct p ihrer Richtung ag thätig, so daß eine Drehung der Ebene um p, dem Ueberfchuß der Bestrebungen der Kräfte P und O gemäß, statt finden könnte, so fallt in die Augen, daß diese entgegengesetzten Bestrebungen fich vernichten müssen, indem die gleichgroßen Kräfte P unb O in Beziehung auf jeden Punct der Linien ag so wir­ ken, daß gleicher Grund für Entstehung der entgegen­ gesetzten Drehungen vorhanden ist, so daß also keine von beiden erfolgen wird. §. 37« Zusatz. Aus §. 36. folgt: 1) Es ist R = P -f- O, nach der Richtung ag in Flg. 4. wirkend, die entgegengesetzt mittlere Kraft der gleich großen Kräfte P, Q. 2) Es ist R — P -j- O nach der Richtung ga wirkend gedacht, die mittlere Kraft der gleich großen Kräfte P und Q. 3) Wenn man eine gerade Linie ab Flg. 5. in o gleiche Theile eintheilt, und im Mittelpunkt jedes Theils, nach der auf ab normalen Richtung in derselben Ebene zu gleichem Bestreben eine Kraft — p wirken läßt, so ist, wenn c die Mitte von ab ist, und des normal auf ab genommen wird, n.p nach der Richtung cf thätig gedacht, die mittlere, und n p nach der Richtung cd wirkend gedacht, die entgegengesetzt mittlere Kraft der anfänglich thätigen Kräfte.

§.

38. Aufgabe. Zwei verschieden große Krästt P, Q wirken nach parallelen Nichtungslinkcn ab, cd; man soll die Größe und die Richtungslinie der mittleren Kraft R angeben. Auflösung, i) Zwischen ab und cd ziehe man eine auf beide normale Linie fg FIg. 6., und verlängere dieselbe zu beiden Seiten; 2) Man wähle eine Krafteinheit W so groß, daß P — nW; 0 = mW gesetzt, n und m gerade ganze

Zahlen sind, und theile dann fgfa

gleiche Theilet;

es sey fk = ~ . t und kg = ™ . t. 3) Nun mache man fh = fk und gi = gk; denke sich P = pW und O = mW weggenommen, und dafür in der Mitte jedes Theils t eine Kraft W nach der ursprünglichen gemeinschaftlichen Richtung thätig, so bleibt nach §. 37. 3. der Erfolg ganz der­ selbe. 4) Man halbire hi in u, und ziehe vw durch u normal auf hi, so nach §. 37. 3.; uv die Richtung der entgegengesetzt mittleren, uw die der mittleren Kraft, und die Größe jeder ist = (n + m)W = nW + mW; oder R = P + Q.

§. 39» Zusatz. Sä hi = (n + m) t; also _

n-f ra

. _ „

n

hu —------- . t und hk — — t ist, 2 '

so Ist uf = ™ . t, und eben so

VA

---- ^.1; also

uf : ug =: m : n Ferner ist Q = mW und P = nW; folglich O : P= m : n daher also Q P =; uf : ug oder Q . ug = P . uf. §.

40.

Lehrsatz. Wenn zwei Kräfte A,B fn einer Ebene nach parallelen Richtungslinien wirken, so ist in Bezie­ hung auf jede Achse, welche diese Ebene irgendwo in einem Punct p normal durchschneidet, die algebraische Summe der Momente dieser Kräfte A und B gleich dem Moment ihrer mittleren Kraft A + B. Beweis« i. Man ziehe aus p eine Normale auf die Richtungslinien der Kräfte A, B; es mögen p und r FIg. 7. die Schneidungspunkte seyn; bezeich­ net man nun den Hebelsarm von A, nehmlich pq mit a; dann von B, nehmlich pr mit b; nimmt v alS den Durchschnittspunct der nach §. 38. zu bestimmenden Richtungsl'nke der mittleren Kraft A+B mit pr an, und fetzt pv =m; die mittlere Kraft selbst, nehmlich A + B =M, so ist die Behauptung A.a + B.b = M.m.

2) Nach §. 39» ist A . qv =3 B . vr. Es ist aber qv — pv — pq — m — a; und vr = pr — pv =: b — m; folglich A . (m — a) = B . (b — m) unb hieraus

Aa -j- B b = (A -}- B) m; ober Aa -J- Bb — Mm.

§. 4 k. Zusatz. Aus §. 40. folgt m m

Aa + Bb

.M

ober

Aa Bb A-t-B *

§. 42. Aufgabe. Mehrere unter einanderGleichgewicht erhaltende Kräfte A, B, C,. . . X, Y, Z wirken nach parallelen Richtungslinien in einer Ebene;'ihre Hebels, arme in Beziehung auf eine, diese Ebene irgendwo nor, mal durchschneidende Achse sind = a, b, c ... x, y, z; man soll die Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts darstellen. Auflösung, r) Man denke sich zwei der Kräfte, etwa AunbB, weggenommen, und dafür ihre mittlere Kraft thätig, so bleibt bas Gleichgewicht ungestört; die Größe der neu angebrachten Kraft ist =A -f- B, und ihr HebelSarm nach §.41. — 2) Nun nehme man diese neu« Kraft und eine der übrigen, etwa C, fort, und bringe statt ihrer die mitt, lere Kraft beider gn, so bleibt bas Gleichgewicht noch; die jetzt neu angebrachte Kraft ist = A + B + C, und ihr Hebrlsarm nach §. 4r.

3l (A + B).

Aa

Bb

A+B

4™ 0 • c

A+ B + C

» ober

— Aa + Bl> + Cc

A B —I™ C 3) Man nehme auch diese zweite neue Kraft, uitö eine der übrigen, etwa D, weg, uud lasse dafür ihre mittlere Kraft wirken, so erhalt sich das Gleichgewicht immer noch; die jetzt neu angebrachte Kraft ist = A + B + C + D, und ihr HebtlSarm, wie in 2) bestimmt, Aa + Bb + Cc + Dd A + B + C + D 4) Denkt man sich dies Verfahren fortgesetzt, bis nur noch eine der' ursprünglichen Kräfte, etwa Z, bleibt, so hat man nur noch zwei Kräfte thätig, nehm­ lich Z am Hebelsarm z und die zuletzt neu angebrachte «=A+B+C+...+X+Y am HebelSarm Aa 4* Bb —I™ Cc 4“ • • • 4- X .x 4™ Y• y ^" A4-B4-C4-... 4- x4-y 5) Da nun aber, nach der Vormrssetzung, ei« Gleichgewicht unter den ursprünglichen Kräften statt findet, so ist nach §. 30, jede derselben die entgegen­ gesetzt mittlere Kraft der übrigen, d. h. Z und « sind gleich groß, aber entgegengesetzt thätig, und ihre Richtnngslinlrn fallen in einander, oder, es ist: Z = — « und 2 =5 ß

Z2

6) Substitulrt man die Werthe für « und /? aus 4) in 5), so entsteht 55 — — (A -{- B -j- C ~j- ...-}- X -J- Y) und A a -4- B b —j— . . . -j— 'X x —|— Y y A+B + ...+X + Y

oder

I. A + B + C+ . . . +X+Y + Z=o und II. A a -}- Bb + . . . + Y. y + Z. a = o. 7) Die Bedkngungsgleichungen des Gleichgewichts für Kräfte, deren Nichtungslinien parallel, und in einer Ebene liegen, sind also: I. Die algebraische Summe derKrafte muß = o seyn, damit keine fortgehende Be­ wegung erfolgt. II. Die algebraische Summe ihrer Mo­ mente in Beziehung auf jede die Ebene normal durchschneidende Achse muß gleich Null seyn, damit keine Drehung erfol­ gen kann. §. 43* Zusatz. Wirken also mehrere unter einander nicht Gleichgewicht haltende Kräfte A, B, C . . . K, L an den Hebelsarmen a, u, c . . . k, I parallel in einer Ebene, und es soll die Kraft M mit ihrem Hebelsarm m bestimmt werde», die noch angebracht werden muß, damit ein Gleichgewicht erfolgt, so hat man die Glei­ chungen A -j— B -s- .. .

K. -J- I-i ■}* M

A a -}- B b —j“ • . > ■}■ Li 1

o

Und

Mm ~ oj «Nd

unb hieraus

M sä — (A >f B + -.. + K 4*L) unb m

Aa -f Bb 4- ... 4- LI — M

oder

A a •j- B b ‘l* » . « "l“ LI

m “

ä+b+7.7+1;

5

b. h. der Hebelsarm der gesuchten entgegengesetzt mktt, leren Kraft M wird gefunden, wenn man die alge« bratsche Summe der Momente der gegebe­ nen Kräfte durch die algebraische Summe dieser Kräfte selbst vividirt. §. 44» Beispiele. i) Die Kräfte A == io, B = 13 Alg. 7. wirken parallel in der Entfernung qr --- 8'5 man soll den Punct v der mittleren Kraft bestimmen« Wählt mon-qp = 6, und nimmt die Momente in Beziehung auf p, so hat man IO ♦ 6 + 12 ♦ 14

pv

10 -f»

12

io/t)

also

41 f ■ Nimmt man die Momente gleich kn Beziehung auf q, so hat man sogleich qv

qv -----

10 . o + 12.6 io

12

Vf

2) Vier Kräfte A---10; B 3- — g; C xsa ig| D= —16 wirken in den Entfernungen 4, 2 und 6 Fuß) man soll die Größe und den Ork i>«r mittleren Kraft bestimmen.

€

Wird die entgegengesetzt mittlere Kraft = x; die Entfernung ihrer Richtungslknie von der der Kraft A = y gesetzt, so hat man x = — (10 — 8 -f- 12 — i6) = -(- 2.

lo.o — 8.4-)- i2. si — 16 . i2 io — 8 -s- i2 — 16

—

+

Zweites Kapitel.

Von den Bedingungen des Gleichgewichts, wenn drei oder mehrere Kräfte thätig sind, deren Richtungölinien parallel, aber nicht in einerlei Ebene liegen. §. 45. Aufgabe. ES wirken drei oder mehrere Kräfte A, B, C; . . . X, Y, Z parallel in v.rfchiedenen Ebe­ nen. In einer die RichtungSlinlen derselben normal durchschneidenden Ebene a sind zwei rechtwknkllcht auf einander stehende Linien 1, r beliebig angenommen, die Normalen aus den Durchschnittspuncten derRichtungsUnlen der Kräfte mit der Ebene a auf 1 sollen a, b, c,.. . x, y, z, die auf V sollen a', b', c', ... X , y',z' heißen. Man soll bet der Voraussetzung, daß die Kräfte A, B, C, ... Y, Z unter einander Gleichgewicht er­ halten, die Bedingungen des Gleichgewichts durch Glei­ chungen darstellen. Auflösung. 1) Ist Fig. 8. die Ebene A mit den Linien 1 und l'; f der DurchschaittSpunct der Richtung

een A mit a, g der von B mit a, und schneidet gf die Linie 1 in k unter dem Winkel «; die Linie 1' aber in t unter dem Winkel ß, so ist, wenn r den Durch­ schnittspunct der Richtung der mittleren Kraft M zwi­ schen A und B mit a andeutet, und die Normalen aus r auf I, und l' durch m und m' ausgedruckt werden, M = A + B rk _ A.fk 4- B.gk §. 4i. A 4- B A . ft 4 B • g t rt — --------4—7-—— §. 4i. A 4- B oder die zweite Gleichung mit Sin er, die dritte mit Sin ß multlplicirt M =3 A 4- B A • a 4" B. b

m “

A 4- B

, _ Aa' 4- B b' m “ A 4- B 5 und denkt man sich nun die Kräfte A und B wegge­ nommen , und dafür die M in r thätig, so bleibt bas Gleichgewicht zwischen den Kräften Al, 6, ... Y, Z ungestört. 2) Nimmt man nun auch M und C fort, und bringt dafür ihre mittlere Kraft N an, so ist eben so, wie in i) N = M 4- C die Normale zwischen 1 und der Richtung von N, M. m 4" C. c »der n M -s c '

C2

die zwischen dieser Richtung und 1; ober , M . m' 4- C . c' 11 “ M + C '

ober auch, wenn man die Werthe aus i) fubstktulrt N — A -j- B -j- C 11 ==

A s "I“ B b +■ C c A + B + C~"

D —

Aa' + Bb'+ Cc' A + B+ C

3) Fährt man so. fort, bis nur »och eine der ur­

sprünglichen Kräfte, etwa Z übrig bleibt, und setzt dir mittlere der übrigen — R; die Entfernungen ihrer Richtung von 1 und 1' — Q und q', so hat man eben so Rz=A + B + ... + X +Y A. a "j- B b -j- ... —Y. y A + B+-- .+Y

Q ----------------------------------- ----

Aa'+Bb' + ...+ Y.y' ' =

A -j- B -J- ... + Y

ober A -J- B -J- • . . + Y Aa + Bb + .. . + Y.y

R Aa' + Bb' + . •• +Y.y

k —

R

4) Da nun aber, der Voraussetzung nach, Gleich, gewicht statt findet, so ist jede der Kräfte, also auch Z, die entgegengesetzt mittlere der übrigen (§, zo.), d. h. es ist

Z = — R Z — Q

z‘

—

q'

«der, wenn man die Werthe aus 3) substituier, und die Gleichungen auf Null bringt I.

A + B + . . . + Y+Z = o

II. Aa + Bb + ... +Yy + Z.z = e III. Aa'-fBb'-|------ + Yy' + Z.z'=° ; ^=90°; $ =z fio°; ß'=:6o°-,