Geschichte der Mathematik: Teil 1 Von den Anfängen bis zum Auftreten von Fermat und Descartes [Reprint 2019 ed.] 9783111613710, 9783111237879

Citation preview

S A M M L U N G

G Ö S C H E N

B A N D

226

Geschichte der Mathematik Von Dr. Joseph Ehrenfried Hofmann Honorarprofessor an der Universität Tübingen

Erster Teil Von den A n f ä n g e n bis zum v o n F e r m a t und

W a l t e r

de

Auftreten

Descartes

G r u y t e r & C o .

v o r m a l s G.J.Göschen'sche Verlagshandlung • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung

• Georg R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & C o m p .

BERLIN

1953

Alle Hechte, einschl. der Hechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Copyright 1953 by W A L T E R D E G R U Y T E R & CO Berlin W 35, Genthiner Str. 13

Archiv-Nr. 110[226 Diuck von Buchdruckerei Oswald Schmidt GmbH , Leipzig 111/18/65 Prlntedin Germany 722/48/50

Inhaltsverzeichnis Allgemeiner Überblick I. Abschnitt: Vorgriechische Mathematik 1. Aus der Vorgeschichte 2. Die Babylonier (2000—200) 3. Die Ägypter (2000—500) 4. Inder, Chinesen, Maya (3000—500)

5 9-20 9 11 15 18

II. Abschnitt: Die Griechen (etwa 800 v. bis 600 n. Chr.) 21-48 1. Anfänge mathematischen Denkens (800-400) 21 2. Die arithmetica universalis (um 400 v. Chr.) 24 3. Um das Irrationale (400—325) 2(j 4. Buklid von Alexandria (365?—300?) 31 5. Archimedes von Syrakus (287?—212) 35 6. Apollonios von Ferge (262?—190?) 39 7. Untergang des Hellenismus, Börner (150 v. bis 150 n. Chr.) . . 42 8. Neupythagoreer und Neuplatoniker (150—600) 44 [ir. Abschnitt: Mittelalter (etwa 500 bis 1400 n. Chr.) 49—82 1. Die Inder (500—1200) 49 2. Die Muslime (750—1300) 52 3. Die Chinesen (200 v. bis 1300 n. Chr.) 58 4. Christliches Frühmittelalter (200—750) 59 5. Die Karolingische Frührenaissance und ihre Nachwirkungen (750-1100) 62 6. Die ersten großen Übersetzungen und ihr Einwirken auf die Frühscholastik (1100—1200) 65 7. Die Hochscholastik (13. Jahrhundert) 69 8. Die Spätscholastik (14. Jahrhundert) 78 IV. Abschnitt: Humanismus (etwa 1300 bis 1580 n. Chr.) 83-114 1. Übergang vom Mittelalter zur Neuzeit (etwa 1300—1500) . . 83 2. Die Mathematik der Renaissance (etwa 1400—1640) 89 3. Übergang zum Barock (1450—1580) 100 V. Abschnitt: Frühbarock (etwa 1550 bis 1650 n. Chr.) 1. Fr. Viète (1540—1603) 2. Die Zeitgenossen Viètes und ihre Schüler (1550—1650) 3. Auf dem Wege zu neuen Einsichten (1550—1650) Namen- und Schriftenverzeichnis Sachverzeichnis

115-155 115 125 141 156 199

Vorbemerkung Die vorliegende Darstellung will einen Gesamtüberblick über die Mathematikgeschichte geben, worin auch die Ausstrahlungen auf die mit ihr verbundenen Nachbargebiete gestreift sind. Die in andern Einführungswerken eingehend geschilderte antike Mathematik ist sehr gedrängt dargestellt, um die interessante, jedoch bisher zu wenig beachtete Entwicklung der Mathematik im Mittelalter und in der Renaissance etwas ausführlicher behandeln zu können. Wer sich eingehend mit Einzelheiten beschäftigen will, findet im Namen- und Schriftenverzeichnis die nötigen Hinweise. Sie sind der Raumersparnis halber abgekürzt gegeben, sollten jedoch dem schon ein wenig in der Bibliotheksbenutzung Geübten den Weg zu den Originalen ohne weiteres eröffnen. Es wird kaum eines der zitierten Originalwerke geben, das ich nicht selbst in der Hand hatte; leider mußte ich mich infolge der heutigen Verhältnisse bei der Angabe von Zweitliteratur gelegentlich auf (beste) andere Quellen verlassen. Den unermüdlichen Helfern bei der Durchsicht der Korrekturen, Herrn Ministerialrat Dr. Eugen Löffler, Stuttgart, Herrn cand. math. Helmut Salzmann, Augsburg, und vor allem meiner lieben Frau gehört mein herzlichster Dank. Diese Bändchen sind dem Andenken meines teuren Freundes Heinrich Wieleitner gewidmet, dem ich so viele Förderung auf dem Gebiete der Mathematikgeschichte verdanke. Ichenhausen, Weihnachten 1950. J o s . E. H o f m a n n

Geschichte der Mathematik Allgemeiner

Überblick

Das mathematische Denken hat sich zur heutigen formalen Geschlossenheit und inhaltlichen Vielgestalt nicht plötzlich, sondern in jahrtausendelanger mühevoller Entwicklung erhoben. Am Anfang stehen rezeptartige Rechenvorschriften und handwerkliche Konstruktionsanweisungen, zu denen sich merkwürdige, teils abergläubische, teils mystisch-religiöse Vorstellungen und eigentümliches Brauchtum gesellen. Allgemeinere systematische Gesichtspunkte zeigen sich bei den PYTHAGOREERN (5. Jahrh. v. Chr.), klare Einsichten in das Wesen, die Bedeutung und die Tragweite des beweisenden Verfahrens im Zusammenhang mit der Entdeckung des Irrationalen bei den unteritalischen G R I E C H E N (um 400 v. Chr.). Um diese Zeit löst sich die Mathematik als selbständiger Wissenszweig von der griechischen Philosophie ab, bleibt jedoch mit ihr durch die Art der theoretischen Geisteshaltung aufs innigste verbunden. Trotz der mangelnden Symbolik und der Ablehnung direkter infinitesimaler Methoden stellt die Mathematik der hellenistischen Hochblüte (3. Jahrh. v. Chr.) ein in sich geschlossenes Wissenschaftssystem von hohem Wert dar. Sie ist reine Geisteswissenschaft und hat mit der gleichzeitigen Naturwissenschaft, die um qualitative Deutungen auf Grund des äußeren Erscheinungsbildes ringt, nur wenig zu tun; auch die technischen Anwendungsmöglichkeiten werden kaum genutzt.

6

Geschichte der M a t h e m a t i k

Mit der Einfügung der Diadochen-Staaten in das römische Reich (Griechenland 197, Syrien 64, Ägypten 31 v. Chr.) tritt auf weltanschaulichem Gebiet die Stoa, auf philosophischem der kosmopolitische Eklektizismus in den Vordergrund; das Interesse an der theoretischen Mathematik ist im Schwinden und kann auch durch die Wied e r b e l e b u n g s v e r s u c h e d e r NEUPYTHAGOKEER u n d N E U -

PLATONIKER (3. Jahrh. n. Chr.) nicht mehr in früherem Maße geweckt werden. Die junge Kirche lehnt die theoretische Fachmathematik wegen ihrer Bindung an die Philosophie zunächst als typisch heidnische Wissenschaft ab und will anfangs nur die unumgänglich nötigen praktischen Methoden gelten lassen; die letzten NEUPLATONIKER fassen das gesamte ihnen zugängliche mathematische Wissen in Sammelwerken und Ausgaben zusammen. Nebenher entwickeln sich die ersten brauchbaren Ansätze einer symbolischen Algebra (4.-6. Jahrh.). Durch die Teilung von 395 wird die kulturelle Einheit des bis dahin völlig zweisprachigen Reiches bedroht, durch den Zusammenbruch des Westreiches (476) geht dem von germanischen Völkern überfluteten Abendland die Kenntnis des Griechischen verloren, ohne daß die Hauptwerke der hellenistischen Philosophie und Mathematik ins Lateinische übersetzt worden waren, so daß ein neuer Anfang auf primitiver Grundlage gemacht werden muß. Im Ostreich hält sich die wissenschaftliche Tradition noch lange; von hier fließt griechisches Wissen nach Mesopotamien, Persien und Indien, wird mit dort vorhandenen eigenen Ansätzen verknüpft und führt zum Ziffernrechnen und zur Ausgestaltung der Trigonometrie (wohl seit dem 5. Jahrh.). Nach Aufrichtung (Hegra 622) und Sicherung des Kalifats nehmen die MUSLIME das mathetische Können der Griechen und Inder in vorzüglichen Übersetzungen auf (9. Jahrh.), führen es geschickt fort

Geschichte der Mathematik

7

und geben es (seit dem 12. Jahrh.) an das christliche Abendland weiter, wo gleichzeitig auch lateinische Übersetzungen aus griechischen Vorlagen angefertigt werden. Die Diskussionen der SCHOLASTIKER um das Unendliche und das Kontinuum (seit dem 12. Jahrh.) und die symbolhafte und rechnerische Veranschaulichung von Eigenschaften und ihren Veränderungen (seit dem 14. Jahrh.) bereiten den Boden für das Wiederaufleben des mathematischen Interesses, das zunächst der Übersetzung (15. Jahrh.), dann der Wiedergabe der stückweise wieder auftauchenden griechischen Originale (16. Jahrh.), schließlich der selbständigen Weiterbildung des Gewonnenen gilt. Gleichzeitig formt sich mit der Wendung zur quantitativen Naturforschung und technischen Nutzbarmachung ein auf mathematisch-naturwissenschaftlicher Grundlage beruhendes Weltbild, das durch den konsequenten Übergang zur infinitesimalen Betrachtungsweise, zum Funktionsbegriff und zu einer symbolischen Begriffsschrift entscheidende Züge erhält (17. Jahrh.). Die unerhörten Erfolge der nunmehr auf allen Gebieten der exakten Naturforschung verwendeten neuen Verfahren führen zu außerordentlicher 'Ausdehnung des mathematisch erfaßbaren Wissensstoffes (18. Jahrh.), verleiten jedoch zu ungebührlicher Nachlässigkeit hinsichtlich methodisch einwandfreier Begründung der anzuwendenden Ansätze. Erst im 19. Jahrh. klärt sich das vordem in reicher Fülle Gewonnene ab, wird systematisch zusammengefaßt, algorithmisch vereinheitlicht und mit immer anspruchsvoller werdender Präzision dargestellt, die in der modernen aromatisierenden Grundlagenforschung und der Wendung zur Logistik mündet. Jetzt erst wird der ernsthafte Versuch gemacht, die Mathematik als geschichtliche Einheit aufzufassen und nicht nur vom biographischen Standpunkt aus, sondern nach ihrem Inhalt

8

Geschichte der Mathematik

an Problemen und Ideen zu behandeln und in ihrer Wechselbeziehung mit den andern kulturschaffenden Faktoren der einzelnen Epochen verstehen zu lernen. Zur Einführung

G. L o r i a : Guida allo studio iella storia delle matematiche, Mailand 1916,"1946. G. A. M i l l e r : Historical introduction to mathematical literature, New York 1916.

G. S a r t o n : The study of the history of mathematics, Cambrid ge (Mass.) 1936. D. E. S m i t h : A source book in mathematics, New York 1929.

Blo-Blbllographlsches

J . C. P o g g e n d o r f f : Handwörterbuch zur Geschichte der exacten Wissenschaften, Leipzig seit 1863. Geschichte der Mathematik

E . CI. A r c h i b a l d : Outline of the history of mathematics, Lancaster 1932, Oberlin (Ohio) '1934, •1936, '1939, »194,1, «1949. 0 . B e c k e r - J . E. H o f m a n n : Geschichte der Mathematik, Bonn 1951. FI. C a j o r i : A history of mathematics, New York »1894, «1913, •1922. M. C a n t o r : Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Leipzig I : »1880, '1894, »1907; I I : '1892, '1899/1900; I I I : >1894, »1900 bis 1901; IV: 1908 (veraltet).

S. G ü n t h e r - H . W i e l e i t n e r : Geschichte der Mathematik, Leipzig / Berlin 11908; I i i 1911 ; I I , 1921. G. L o r i a : Storia delle matematiche, Turin I 1929, I I 1931, I I I 1933, 'Mailand 1950. D. E. S m i t h : History of mathematics, Boston/London 1923, 1925, '1928, 1930. D. J . S t r u i k : A concise history of mathematics. New York 1948 (2 Bände). H. W i e l e i t n e r : Geschichte der Mathematik, Leipzig 1922/23 (Samml. Göschen 226,875) ; Neudruck 1939; spanisch von C. M. B r u n e t , Barcelona 1928,1932.

Geschichte der Elementarmathematik

Fl. C a j o r i : A history of elementary mathematics, New York "1896, '1917; russ. von I. V. T i m t s c h e n k o , Odessa 1910. E. B o r t o l o t t i In Enciclopedia matematica elementare e complem. I l l , , Mailand 1950.

J . T r o p i k e : Geschichte der Elementarmathematik, Leipzig 1902 bis 1903 (2 Bände), 'Berlin 1921 bis 1924 (7 Bände), '1930/40 (die ersten vier Bände).

Zur Kulturgeschichte

C. B a r b a g a l l o : Storia delle scienze, Mailand 1925. W. C. D a m p i e r - W e t h a m : A history of science and its relation with philosophy and religion, Cambridge '1929, »1930. F. E n r i q u e s : Le matematiche nella storia e nella cultura, Bologna 1938. J. P é r è s : Les sciences exactes, Paris 1930.

G. S a r t o n : A guide in the history of science, Waltham 1952; Introduction to the history of science, Baltimore I J 927, I I 1931,111,1947, I I I , 1948. J . T. S h o t w e l l : An introduction to the history of history, New York 1923. Handbuch der Kulturgeschichte ed. H- K i n d e r m a n n , Potsdam 1934.

I. Abschnitt

Vorgriechische Mathematik 1. Aus der V o r g e s c h i c h t e Schon dort, wo uns die Arbeit des Prähistorikers nähere Einzelheiten über die Kultur der Steinzeit erschlossen hat, stoßen wir auf ausgeprägtes mathematisches Können. Bauten und Grabanlagen, die Zierate auf Waffen und Werkzeugen, auf Gebrauchs- und Schmuckgegenständen, vor allem aber die Töpferware, das Flechtwerk und die Webereierzeugnisse verraten uns Formensinn und hochstehende handwerkliche Vertrautheit mit den geometrischen Grundtatsachen. Den nur kärglich erhaltenen Inschriften stehen wir zumeist noch hilflos gegenüber. Gelegentlich wissen wir, daß es sich um Daten oder Inventare handelt, und können regelmäßig wiederkehrende Zeichen als Ziffern deuten. Gemeingut ist die Kenntnis des gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecks, des Quadrats, des Rechtecks, des Kreises und des in ihn gelegten regelmäßigen Sechsecks, der Kugel, des Zylinders, des Quaders, des Würfels, des regelmäßigen Vierflachs und Achtflachs und dergleichen mehr. Feines Gefühl für Symmetrieeigenschaften verrät sich bei der schmückenden Ausfüllung von Flächen durch geometrische, Ornamente, die entweder in unbeschränkt fortsetzbaren Streifen oder in kreisförmig sich schließenden Gebilden angeordnet sind. Die einfachsten Zahlen werden wie Eigenschaften behandelt und gelegentlich in unmittelbare Beziehung zu den gezählten Gegenständen gebracht, so daß den nämlichen Anzahlen verschiedene Zeichen zugeordnet sind (konkrete Zahlen). Im allgemeinen wird die reihende Schreibweise bevorzugt; schon sehr früh finden sich Ober-

10

Vorgriechische Mathematik

einheiten, doch wird die Stufung nicht allzu weit getrieben und häufig durchbrochen. Bei den indogermanischen Völkerschaften herrscht eine gewisse Neigung zum Verdoppeln und Vervierfachen vor, bei den Kelten spielt das Zwanzigfache eine große Rolle. Auch dezimale Stufungen treten auf, vor allem die Fünferbündelung und die Kennzeichnung einer Zahl durch Hinaufzählen zu einer höhergelegenen Schwelle. (Für alle diese Bezeichnungsweisen und für die fortgesetzte Einführung neuer Individualzeichen für Zahlen — gelegentlich in starker Abweichung vom Zahlwort — finden sich Beispiele bei den Völkern mit bereits ausgeprägter Hochkultur und schriftlicher Tradition.) Im ganzen zeigt sich eine gewisse, jedoch nicht allzu weitgehende Verwandtschaft der Neolithiker mit den Überlieferungen und dem Brauchtum der heute noch vorhandenen spärlichen Überreste unberührter Naturvölker, denen freilich die geistige Formkraft gefehlt hat, Stammeltern echter Kulturvölker zu werden. Dort, wo uns entzifferbare schriftliche Überreste erhalten sind, stoßen wir auf die rezeptartige Behandlung praktischer Aufgaben, wie sie sich bei der Abgrenzung von Feldern, bei Errichtung von Vorratsräumen, Dämmen usw. ergeben. Am Anfang stehen die genauen Regeln für Rechteck, Dreieck und Quader, bei den übrigen Gebilden hilft man sich zunächst durch Näherungen, exakte Vorschriften folgen erst später. Im Zusammenhang mit der Verwendung von Maßen, Münzen und Gewichten werden Umrechnungen nötig zwischen einer Einheit und ihren Untereinheiten. Damit ist der Einführung von Brüchen vorgearbeitet, deren einfachste überall eine individuelle Behandlung erfahren haben. Ferner finden wir Proportionen an ähnlichen Figuren. Die sich langsam formenden staatlichen Verhältnisse zwingen zur Verwendung größerer Zahlen. Die wechselnden Jahreszeiten, die in schwer über-

Die Babylonier

11

sehbarer Form mit den Lichtgestalten des Mondes zusammenhängen, führen auf das schwierige Kalenderproblem, das von den einzelnen Völkergruppen auf gänzlich verschiedenen Wegen angegriffen und zumeist eng mit religiösen Vorstellungen verbunden wird. Zur Kulturgeschichte der Steinzeit

K. B r e y s i g : Die Geschichte der Menschheit I, Breslau 1936. K. F u r o n : Manuel de préhistoire généiale, Paria >1939, '1943. L. L é v y - B r u h l : Les fonctions mentales dans les sociétés inférieures, Paris '1928, deutsch Wien "1926.

0 . M e n g h i n : Weltgeschichte d. Steinzeit, Wien 1931. M. P. N i l s o n : Primitive timereckoning, Lund 1920. Reallexikon der Vorgeschichte, ed. M. E b e r t , Berlin 1924/32.

Zur Entwicklung der Zahlen

E. F e t t w e i s : Das Rechnen der Naturvölker, Leipzig' 1927. J . C. G r e g o r y : The nature of number, London 1919. F . A . W i l l e r s : Zahlzeichen und Rechnen im Wandel der Zeit, Berlin/Leipzig 1950.

E. L ö f f l e r : Ziffern1 und Ziffernsysteme, Leipzig 1912, '1918/19 (2 Bändchen), »1928. K. M e n n i n g e r : Zahlwort und Ziffer — Aus der Kulturgeschichte der Zahlen, Breslau 1934.

2. Die Babylonier (2000-200) Die uns überlieferten, ziemlich zahlreichen Keilschrifttäfelchen mathematischen Inhaltes entstammen größtenteils dem Mündungsgebiet des Euphrat und Tigris und Teichen zeitlich vom 2. Jahrtausend bis zum 2. Jahrhundert v. Chr. Sie geben im wesentlichen Gedankengut der Sumerer wieder, die um 3500 für ihre vorzugsweise aus einsilbigen Wörtern bestehende agglutinierende (= anleimende) Sprache eine Bilderschrift verwenden und diese später durch Stilisierung zur Keilschrift umformen, deren Grundzeichen vermittels eines dreikantigen Schreibstifts in weichen Ton eingedrückt werden. In kriegerischer Auseinandersetzung mit den immer weiter vordringenden semitischen Akkadern (seit 2500) mehr und mehr zurückgedrängt und seit 2000 fast völlig entmachtet, behalten die Sumerer trotzdem die kulturelle Führung. Ihre Schrift

12

Vorgriechische Mathematik

dient jetzt teils ideographisch (als Bilderschrift), teils sylIabisch (als Silbenschrift) zur Darstellung des flektierenden Akkadischen. Das Zahlensystem der uns vorliegenden Texte beruht auf der reihenden Nebeneinanderstellung von keilförmigen Einern (f) und hakenförmigen Zehnern mittels deren die Zahlen von 1 bis 59 dargestellt werden. Die Zahl 60 wird wieder durch f bezeichnet, das Weitere rein positioneil in einem Sexagesimalsystem ausgedrückt, worin jedoch der Stellenwert der einzelnen Ziffern nicht festgelegt wird. Ein inneres Lückenzeichen 1 1 2 ist erst seit etwa 600 verbürgt. Für die Brüche -5-, -5-, 5

und -jr sind eigene Zahlwörter und Individualzeichen vorhanden. Das System ist wohl durch Verbindung der älteren, zum Teil rein dezimalen (semitischen) Maß-, Gewichts- und Münzbezeichnungen mit einer Zwölferteilung entstanden. In ihm wird die Addition durch Reihung, die Subtraktion durch ein eigenes Zeichen angedeutet, das auch zur Darstellung von Zahlen unterhalb größerer Eundzahlen Verwendung findet. In astronomischen Texten stehen Angaben, die als Gegenüberstellung positiver und negativer Zahlen gedeutet werden können. Wahrscheinlich dient ein Rechenbrett zum Festhalten von Hilfsergebnissen. In Reziprokentabellen werden alle sich zu 60 (oder einer Potenz davon) ergänzenden ganzzahligen Faktorpaare zusammengestellt und um die Anfangswerte -i- und 2

— vermehrt. Später (3. Jahrh.) finden sich ausgedehnte ö Tafeln, die durch systematisch fortgesetzte Teilung mit 2, 3 und 5 aus der Normaltabelle (Aufzählung aller ganzen Faktoren unter 60, die Teiler von 60" sein können) hervorgehen. Dazu treten Multiplikationstabellen, worin die

Die Babylonier

13

einstelligen Zahlen und reinen Zehner unter 60 mit den ersten 20 Zahlen und den nachfolgenden Zehnern vervielfacht werden; dies dient auch zur Vervielfachung von Stammbrüchen. Da die Einheit im Positionssystem unbestimmt ist, läßt sich das (ausschließlich verwendete) Rechnen mit sexagesimal aufgehenden Brüchen völlig in ganzen Zahlen ausführen. Innerhalb dieses Bereiches sind sich die Babylonier über das Wesen des allgemeinen BruChes klar. Sie besitzen weiterhin Tabellen von Quadratzahlen, von Potenzen, von aufgehenden Quadrat- und Kubikwurzeln und von ganzen Lösungen der Gleichung x3 + x2 = a. Nicht aufgehende Quadratwurzeln werden unter einfacher und wiederholter Anwendung des Verfahrens vom arithmetisch-geometrischen Mittel

angenähert, das wahrscheinlich auf Grund geometrischer Hilfsbetrachtungen zustande gekommen ist. Außerdem gibt es Tafeln rechtwinklig-PYTHAGOKEisCHER Dreiecke, die nach der Vorschrift x = 2uv, y = u2 v2, z = u2+v2 konstruiert sind. Infolge der eigenartigen ideographischen Bezeichnungen sind die zur Behandlung praktischer Aufgaben gegebenen Anweisungen sprachlich beinahe unübersetzbar und zeigen daher gewisse Verwandtschaft mit der formelmäßigen algebraischen Wiedergabe. Wir finden die Raumbestimmung des quadratischen Pyramidenstumpfes aus

die Berechnung, der Höhe im gleichschenkligen Dreieck (PYTHAGOREISCHER Lehrsatz), den Näherungswert 3 für JR und die Bestimmung des Segmentpfeils am Kreis aus dem Durchmesser und der abschließenden Sehne, außerdem

14

Vorgriechische Mathematik

die anschaulich leicht erkennbare Inhaltsbestimmung von Figuren, die aus Kreisbögen zusammengesetzt sind. Bei Aufgaben über Dammberechnungen wird der Rücksprung (cotg) als festes Maß eingeführt. Die Quadratsummenformel n i » 2 ^ = 4-0+ 2n).-2,i ä 4=1

i=l

läßt sich durch eine geometrische Überlegung erklären, ebenso die Summierung arithmetischer Reihen im Zusammenhang mit Verteilungsaufgaben. Bei anderer Gelegenheit werden lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten geschickt gelöst, außerdem Gleichungen der Form ax+by=C,xy=D und darauf zurückführbare, wobei fortwährend die Umformung (x + y)2 = (x—y)2 + + 4 x y herangezogen wird. Kubische Probleme werden auf die Tabelle für x3 + x2= a reduziert; sogar Zinseszinsaufgaben treten auf, wobei Zweierpotenzen zur Verwendung kommen. Das reichhaltige Material gibt uns einen interessanten Einblick in die formale Höhe der babylonischen Mathematik, die in Berührung mit den Nachbarvölkern (Ägyptern, Griechen, Indern) anregend weitergewirkt hat. Zur babylonischen Mathematik O. N e u g e b a u e r : Mathematische F. T h u r e a u - D a n g i n : Textes Keilschrifttexte, Berlin 1934/37 mathématiques Babyloniens, Leiin Quellen u. Studien A 3. den 1938. 0 . N e u g e b a u e r - A . S a c h s : MaF. T h u r e a u - D a n g i n : Esquisse thematical cuneijorm text», New d'une histoire du système sexagésiH a v e n 1945. mal, P a r i s 1932, engl, von S. 0. Neugebauer: Vorgriechische G a n d z in Osiris 7, 1939. Mathematik, Berlin 1934. B . L . v a n d e r W a e r d e n : OntwaA. R e y : La science Orientale avant kendewetenschap, Groningen 1950. Its Orecs, P a r i s 1942. O. N e u g e b a u e r : The exact iciences inantiquity, K o p e n h a g e n 1951. Zur Kulturgeschichte Mesopotamiens C. B e z o 1 d : Ninive und Babylon, Bielefeld/Leipzig '1926. E . E b e l i n g - B . M e i ß n e r : Reallexikon der Assyriologie, Berlin seit 1928. A . J e r e m i a s : Handbuch der altorientalischen Geisteskultur, Berlin '1929.

C h . F o s s e y : Manuel d'Assyriologie, P a r i s 1904, "1926. B. M e i ß n e r : Babylonien uni Assyrien, Heidelberg 1921/25. M. L . M a l l o w a n - J . G r . H o s e : Prehistoric Assyria, O x f o r d l 9 3 5 .

Die Ägypter

15

3. Die Ä g y p t e r (2000-500) Wir kennen aus ganz Ägypten eine sehr große Anzahl von Inschriften in der hieroglyphischen Bilderschrift (seit dem 4. Jahrtausend v. Chr.), deren Zeichen anfangs (größtenteils dreikonsonantige) Wörter, später nur mehr Buchstaben bedeuten und zur phonetischen (= lautbeschreibenden) Ergänzung der mehrkonsonantigen Wörter herangezogen werden. Häufig ist die Art des dargestellten Wortes durch ein am Ende stehendes Determinativ (= Begriffsbezeichnung) gekennzeichnet. Geschrieben werden nur die Konsonanten, so daß uns die Lautwerte der dem Semitischen nahestehenden Sprache unbekannt sind. Aus der nur repräsentativ verwendeten hieroglyphischen Darstellung, in der die Kalligraphie wichtiger als die Orthographie ist, hat sich (schon im 3. Jahrtausend) die vermittels eines gespaltenen Rohrs in Tusche auf Papyrus niedergeschriebene h i e r a t i s c h e Kursive entwickelt, schließlich durch fortwährend weitergehende Abkürzung und Verschleifung die d e m o t i s c h e . Die Einführung eines Kalenders unter Einteilung des Jahres in 12 Monate zu je 30 Tagen und Zuschaltung von 5 Festtagen (4241 v. Chr.) und die Aufrichtung vollendet ausgeführter Kolossalbauten, wie der Pyramiden (seit etwa 2900 v. Chr.), lassen uns neben der hochentwickelten Technik auch gute mathematische Anlagen vermuten. Leider sind unsere diesbezüglichen Kenntnisse auf wenige Sammlungen von Musterbeispielen für die Praxis der höheren Verwaltungsbeamten beschränkt. Darunter sind besonders wichtig der Moskauer Papyrus, die Lederrolle und vor allem der Papyrus Rhind, von AHMÖSE im 17. Jahrhundert unter Rückverweis auf das 19. Jahrhundert geschrieben. Das Zahlensystem der hieroglyphischen Texte wird rein dezimal auf reihender Grundlage dargeboten; in den Texten

16

Vorgriechische Mathematik

zur Zeit größter Machtentfaltung bilden sich. Individualzeichen der Stufen bis zu 10 7 , deren höchste mit dem Rückfall in kleinere Verhältnisse wieder verschwinden. Gerechnet wird mit unterstützenden Zahlgesten, die in die Terminologie eingedrungen sind; im Kopf ermittelte Ergebnisse werden auf dem Rechenbrett festgehalten, auf dem man wohl auch zu addieren und zu subtrahieren versteht. Multipliziert wird durch Verwendung fortgesetzter Verdoppelung unter Beiziehung von Verzehnfachungen, das Dividieren beruht auf der probenden Umkehrung des im einzelnen geschickt durchgeführten Multiplikationsverfahrens. Von den anfangs bestehenden Individualzeichen für -i-, —, — und ~ halten sich später nur die j 2« Ü o 4 4 für-jr-und—; unmittelbar lassen sich nur Stammbrüche u O schreiben. Die übrigen Brüche sind „stumm"; sie werden als Stammbruchsummen dargestellt. Das Bruchrechnen gelingt unter Einführung gewisser Hilfszahlen, die 'mit dem Übergang zu Hauptnennern zusammenhängen; dabei wird — gemäß dem dyadischen Charakter der ägyptischen Multiplikation — die systematische Darstellung von 2 — als Stammbruchsumme in ganz bestimmter, tabellan

°

risch festgehaltener konventioneller Form benutzt. Die angeführten Beispielsammlungen beziehen sich auf Wirtschaftstexte, bei denen nach festen Regeln gerechnet wird; zumeist erscheint nach Feststellung des Ergebnisses eine probende Nachrechnung. Es handelt sich um eingekleidete lineare Aufgaben, um arithmetische und vielleicht auch um geometrische Reihen. Der Inhalt des quadratischen Pyramidenstumpfes erscheint in der Form A ( a 2 + a 6 + ö 2 ); bei der Darstellung von Böschungen tritt wiederum der

Die Agyptéf

17

Rücksprung auf. Die Baumeister verwenden bei ihren Entwürfen die Darstellung durch Risse und legen zu Einteilungszwecken quadratische Netze an. Für den Kreis ist die Näherung

«

überliefert, vielleicht durch

ausgleichende Umwandlung des Achtelkreises in ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck entstanden; der gewonnene Näherungswert wird auch zur Bestimmung des Inhaltes und der Oberfläche des Zylinders verwendet. Die ebenfalls auftretende babylonische Näherung 71» 3 dürfte auf demWege über Palästina nachÄgyptengekommen sein; die Kenntnis der Beziehung 32 + 42 = 5 2 am einfachsten PYTHAGOREISCHEN Dreieck ist wohl eigenständig. Ob man auf Grund des allzu geringen Materials ein abschließendes Bild über die ägyptische Mathematik gewinnen kann, steht dahin. Auch die Ägypter haben den allgemeinen Bruchbegriff erfaßt. Die formalen Ansätze sind nicht so geschickt entwickelt wie bei den Babyloniern, bei denen die sprachliche Uberschiebung zur Einführung der ideographischen Darstellung drängte; die Art der probenden Rechnungswiederholung bei den Ägyptern zielt bereits in Richtung des beweisenden Verfahrens. Z u r ägyptischen Mathematik Papyrus Rhind; F a k s i m i l e des British Museum, L o n d o n 1898 a u c h d e u t s c h ed. A . E i s e n l o h r Leipzig 1877, '1891 ( v e r a l t e t ) ed. T . E . P e e t , L o n d o n 1923 ed. A. B . C h a c e , H . P . M a n n i n g , R . CI. A r c h i b a l d , Ober lin (Ohio) 1927, 1929. Moskauer Papyrus: ed. W . W . S t r u v e - B . A. T u r a j e f i , B e r lin 1930 inQuellen u. Studien A 1 . Lederrolle des British Museum: ed. S. R . K . G l a n v i l l e , L o n d o n 1927 im J o u r n . of E g y p t . A r cheol. 13. O. G i 11 a i n : L'arithmétque au Moyen Empire, Brüssel 1927. 2 H o f m a n n , Gesch. d. M a t h e m a t i k . I

0 . N e u g e b a u e r : Die Grundlagen der ägyptischen Bruchrechnung, Berlin 1926. 0 . N e u g e b a u e r : Vor griechische Mathematik, Berlin 1934. T h . E . P e e t : Mathematics in ancient Egypt, M a n c h e s t e r 1931. A. R e y : La Science Orientale avant lesGrecs, P a r i s 1942. K . S e t h e : Von Zahlen und Zahlworten bei den alten Ägyptern S t r a ß b u r g 1916. K . V o g e l : Die Grundlagen der ägyp tischen Arithmetik,München 1929 B. L. v a n d e r W a e r d e n : Ontwa kende wetenschap, Groningen 1950 O. N e u g e b a u e r : The exact tcien cesinantiquity, Kopenhagen 1951

18

Vorgriechische Mathematik Zur Kulturgeschichte Ägyptens

J . H. B r e a s t e d : Geschichte Ägyptens, Wien '1936. A. Erraan: Die Literatur der Ägypter, Leipzig 1923.

G. M ö l l e r : Hieratische Paläographie, Leipzig 1927.

4. I n d e r , C h i n e s e n , M a y a (3000-500) Über die frühesten mathematischen Leistungen der INDER sind wir bisher nur sehr unvollkommen unterricht e t ; vielleicht bringen die Ausgrabungen in Mohenjo-daro (Industal, etwa 3000 v. Chr.) neue Aufschlüsse. Greifbares enthalten erst die Sulba-sütras (seit dem 8. Jahrh. v. Chi.) — rein praktisch gehaltene Anweisungen über Sakralgeometrie bei der Konstruktion von Opferaltären. Wir kennen nicht die Originale, sondern nur sehr späte kommentierte Ausgaben (um 300 n. Chr.). Sie enthalten über das Übliche hinaus geometrische Flächenverwandlungen vermittels des Satzes vom Ergänzungsparallelogramm, den PYTHAGOREISCHEN Lehrsatz, Beispiele f ü r rationale rechtwinklige Dreiecke und die Vereinigung einer ungeraden Zahl gleicher Quadrate unter Benutzung von

Bei Ähnlichkeitsaufgaben treten rein quadratische Gleichungen auf, die auch im irrationalen Fall behandelt werden. Ergebnisse wie

P~1

+

i

+

ri

i 3-4-34

verraten uns die Methode: das Verfahren der geometrischarithmetischen Mittelbildung. Die Kreisquadratur wird vermittels

Inder, Chinesen, Maya

19

geleistet, die Quadratzirkulatur vermittels -1/4 „ 2 + V2 585 |/ 71 3 (beides wiederhergestellt). In der P r o b l e m s t e l l u n g ergeben sich manche gemeinsame Züge mit den Babyloniern, nicht aber in der A u s f ü h r u n g . Ob irgendwelche Zusammenhänge mit den Vorderasiaten und Ägyptern bestehen, ist bisher ungeklärt. Unsicher sind auch unsere Kenntnisse vom frühesten mathematischen Wissen der CHINESEN. Schon um 1 1 0 0 v. Chr. begegnet uns die Annäherung n « 3, das PYTHAGOREISCHE Dreieck 3, 4, 5, die Höhenbestimmung aus der Schattenlänge (Keimling der Trigonometrie), die Behandlung einfacher Bewegungsaufgaben, der falsche Ansatz zur Auflösung linearer Gleichungen und die Unterscheidung mehrerer Unbekannter durch Farben. Das 32-zellige magische Quadrat gehört ebenso wie die Kennzeichnung der 8 Himmelsrichtungen durch Kombination der Zeichen (männlich) und (weiblich) zu Dreien in das Gebiet der in China wohlausgebildeten Zahlensymbolik. Auf das 6. Jahrh. wird die Zahlendarstellung durch Knotenschnüre und durch die sog. Bambusziffern (Einer: |, ||, |||, IUI, Hill,T, T , "ÜT, W ; Zehner : — , = , = , = , = ; I , =L, i , Hunderter wie die Einer usw.) angesetzt. Von den amerikanischen Hochkulturen der Frühzeit wissen wir fast nichts mehr; nur über das Zahlenschreibsystem der MAYA (3. Jahrtausend v. Chr.) sind wir unterrichtet. Die Zahlen unter 20 werden aus Punkten (Einer) und Strichen (Fünfer) zusammengesetzt; dann erscheint ein Positionssystem mit Nullzeichen, dessen Stufen 1, 20, 18 • 20 = 360, 360 • 20 = 7200 usw. sind. Das System hängt zusammen mit der Einteilung des Jahres in 18 Mo2»

20

Vorgrieehische Mathematik

nate zu je 20 Tagen, zu denen fünf als unheilbringend angesehene Schalttage hinzutreten. Dieses System ist mit einer Wocheneinteilung von je 13 Tagen kombiniert. Genauere Einzelheiten über die Art der Rechnungsführung stehen noch aus. Die bisher geschilderte Gesamtlage läßt erkennen, daß hinter den geübten rein praktischen Methoden eine Fülle von theoretischen Möglichkeiten steht; diese entdeckt und dadurch die Mathematik zu einer echten Wissenschaft gemacht zu haben, ist das unvergängliche Verdienst der GRIECHEN. E . M a c k a y : The Indus tion, London 1935. E . M a c k a y : Excavations henjo-Daro, Delhi 1938.

Mohen]o-daro civiliza,T. M a r s h a l l : Mohenjo-Daro and the Indus civilization, London at Mo1931.

Indien Datta: The science of the G. Ii. K a y e : Indian Mathematics, Sulba, Calcutta 1932. Calcutta/Simla 1 9 1 5 (zum Teil B . D a t t a - A . N. S i n g h : History überholt). of Hindu mathematics, Lahore G. T h i b a u t : The Sulba-Sütras, 1935, 1938 (nicht ganz zuverCalcutta 1875 im Journ. Asiat, lässig). soc. Bengal 44.

B.

Y . M i k a m i : The Leipzig 1912.

development

China of mathematics

in

China

and

Japan,

Maya S. G. M o r l e y : An introduction to H. J . S p i n d e n : Ancient civilizathe study of the Maya-Hieroof Mexico and Central tions glyphs, Washington 1 9 1 5 . America, New York "1928. S. G. M o r l e y : The inscriptions of J . E . T h o m p s o n : Maya arithPetén, Washington 1938. metic, Carnegie Inst. 528, Washington 1941. S. G. M o r 1 e y : The civilization of Maya, California ( U S A ) 1946, L. S a t t e r t h w a i t e : Concepts and spanisch v. A. R e c i n o s , Mexico structures of Maja calendrical 1947. arithmetics, Philadelphia 1947.

II. Abschnitt

Die Griechen (etwa 800 v. bis 600 n. Chr.) 1. A n f ä n g e m a t h e m a t i s c h e n D e n k e n s (800—400) Über die ältesten mathematischen Kenntnisse der Griechen wissen wir fast nichts; fest steht, daß sie nirgends über das damals allgemein Übliche hinausgingen. Wie weit der Einfluß der Ägypter (über die kretisch-mykenische Kultur) und der Vorderasiaten (über die Pflanzstädte am Rande der Ägäis) reicht, ist noch ungeklärt. Die HERODIANISCHEN Ziffern (dekadische Stufeneinheiten I, A, H, X, M in Verbindung mit den Fünferbündeln T, P, ITi usw.) sind die Anfangsbuchstaben der zugehörigen Zahlworte. Sie treten uns auf attischen Inschriften des 6. bis 1. Jahrh. entgegen, werden reihend verwendet und dienen zur Kennzeichnung der Spalten am Rechenbrett. Seit dem 5. Jahrh. sind auch die MILESISCHEN Buchstabenziffern nachweisbar: hier sind den 3 • 9 Einern, Zehnern und Hundertern die 24 gebräuchlichen Buchstaben des griechischen Alphabets unter Zwischenschaltung von 3 älteren Formen (Vau, Koppa, Sampi) zugeordnet. Später werden Tausender durch einen tiefgestellten Strich vor der Buchstabenziffer bezeichnet, Stammbrüche durch einen Akzent hinter dem Nenner; 1 2 außerdem finden sich Individualzeichen für -5- und A O Über das Rechnen mit diesen Zahlen sind wir aus gelegentlichen Beispielen in den nachklassischen Schriften, aus Papyrusfunden und aus byzantinischen Darstellungen des 13. und 14. Jahrh. unterrichtet. Gemäß der (unzuverlässigen und legendenhaft ausgeschmückten) stoischen und NEUPYTHAGOREISCHEN Überlieferung sollen bereits THALES von Milet (624?—548?) und

22

Die Grieohen

PYTHAGORAS von Samos (580?—500?) bedeutendes mathematisches Einzelwissen gehabt haben. Innerhalb der esoterischen Gemeinschaft der älteren PYTHAGOREER, einer aristokratisch eingestellten politisch-religiösen Vereinigung (Blütezeit um 500) finden wir neben phantasievollen Zahlenspekulationen auch die ersten Anfänge einer wissenschaftlichen Zahlenlehre: Die ganzen Zahlen werden in gerade und ungerade geschieden, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen treten auf, die Quadratzahlen werden als die Summe der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen erkannt, die Dreieckzahlen als die Summe der aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. Die Einheit gilt noch nicht als Zahl, wohl aber als Quelle und Ursprung aller Zahlen, die durch wiederholtes Setzen der Einheit entstehen. Die w i s s e n s c h a f t l i c h e Mathematik beginnt wohl erst mit ANAXAGORAS von Klazomenai (500?—428), der feststellt, daß es im Kleinen kein Kleinstes, sondern nur ein Kleineres gibt, und entsprechend im Großen. Im Fragment des HIPPOKRATES von Chios über die Quadratur der Kreismöndchen (440?) ist die Schlußweise bereits weitgehend systematisiert. Hinter den Einzelausführungen scheint das freilich nirgends klar ausgesprochene Zwischenwertprinzip zu stecken, wonach eine Eigenschaft — hier: die Quadrierbarkeit der Kreismöndchen—, die für einige Sonderfälle feststeht, als allgemeingültig angesehen werden soll. Dies würde in gute Ubereinstimmung mit der Auffassung des DEMOKRIT von Abdera (460?—370?) zu bringen sein, der den stofflichen Atomismus lehrte und den Inhalt der Pyramide und des Kegels (vielleicht durch Schichtenzerlegung) auffand, jedoch nicht streng erweisen konnte. DEMOKRIT, dem die allen Griechen gemeinsame Leidenschaft für Musikalisches Anreiz zu musiktheoretischen Studien wurde, mag den Wohlklang eines Tonintervalls in Beziehung gesetzt haben zu den in einfachsten

Anfänge mathematischen Denkens

23

ganzzahligen Verhältnissen stehenden Seitenlängen am steggeteilten Monochord. Diese Auffassung spiegelt die stark rationalistisch gefärbte Grundhaltung der damaligen Naturphilosophen wider, die schließlich zur Überzeugung führt, die ganze Zahl lasse sich als das Maß aller Dinge ansehen. Sie kommt unter anderm im Kanon des POLYKLET von Sikyon (440?) zum Ausdruck, ebenso deutlich im etwas jüngern Weltsystem des PHILOLAOS von Tarent ( j 390?) und der damit zusammenhängenden Lehre von der Sphärenharmonie, schließlich im Glauben an die periodische Wiederkehr alles Lebendigen (Seelenwanderung). Quellenkunde Real-Enzyklopädie der klastischen d e n , Leipzig/Berlin 1910/12, Altertumswissenschaft, ed. A. "1912/14,»und weitere Auflagen P a u l y , Stuttgart »1839/52, »seit seit 1921. 1864; dann ed. G. W i s s o w a , Bandbuch der klassischen AlterStuttgart seit 1894, weitergetumswissenschaft, ed. I . M ü l f ü h r t von W . K r o l l - K . W i t t e . l e r , Nördlingen/München 'seit Einleitung in die Altertumswissen1885, 'seit 1912. schaft, ed. A. G e r c k e - E . N o r Wissenschaft und Philosophie P. B r u n e t - A . M i e l i : Eistoiré des A. M i e l i : La Scienza Greca, Flosciences, Antiquité, Paris 1935. renz 1916. J . B u r n e t , Early Greek philosoA. B e y : La science grecque, Paris phy, London »1892, '1914, 1933/46 (3 Bände). »1920, deutsch von E . S c h e n k i , F r . Ü b e r w e g : Die Philosophie Leipzig »1913. des Altertums, Berlin '1862; ed. K. P r a e c h t e r , »»1909, " 1 9 1 9 , F. E n r l q u e s - G . Santillana: »»1926. Storia del pensiero scientifico, Bologna 1932. E d . Z e l l e r : Die Philosophie der Griechen, »Tübingen 1844/52, W. A. H e l d e l : The heroic age of »Tübingen/Leipzig 1859/68, »und science, Baltimore 1933. weitere Auflagen Leipzig seit G. L o r i a : Le scienze esatte nell' 1879; ed. W. N e s t l e '1923. I , Antica Grecia, Mailand 1895, ital. v. K. M o n d o l f o , Florenz »1914. 1932. M. R . C o h e n - J . E. D r a b k i n : A source book in Greek science, New York 1948. Griechische Mathematik T h . L. H e a t h : A history of Greek G. L o r i a : Histoire des sciences mathematics, Cambridge 1921 mathématiques dans l'antiquité (2 Bände), verkürzt: A manual hellénique, Paris 1929. of Greek mathematics, Oxford A. R e h r a - K . V o g e l : Einleitung 1931. in die Altertumswissenschaft 11,5;

24

Die Griechen

Exakte Naturwissenschaften, Leipzig/Berlin '1933. K . R e l d e m e i s t e r : Die Arithmetik der Griechen, Leipzig/Berlin 1940. O. N e u g e b a u e r : The exaet Sciences in antiquity, Kopenhagen 1951.

K . R e i d e m e i s t e r : Das exakte Denken der Griechen, Hamburg 1949. B. L . v a n d e r W a e r d e n : Ontwakende wetenschap, Groningen 1950.

Griechisches Rechnen F. H u 11 s c h: Metrologicorum scriptoTum reliquiae, Leipzig 1864, 1866. A . N a g l : Die Rechentafel der Alten, W i e n 1914 (Ak. d. Wies., Phil.-hist. Kl. 177).

K . V o g e l : Beiträge zur griechischen Logistik, München 1936 (Ak. d. Wwe., Math.-naturw. Abt.).

Älteste griechische Mathematik H . D i e l s : Doxographi Graeci, Berlin 1879. H . D i e l s : Die Fragmente der Forsokratiker, Berlin >1903, »1906, •1912, '1922, '1934, «1951/52.

Deutsche Auswahl von W . N e s t l e , Jena 1908, '1922; von W . C a p e l l e , Stuttgart 1935, '1938, •1940.

2. D i e a r i t h m e t i c a u n i v e r s a l i s (um 4 0 0 v. Chr.) Jetzt wird im Kreis der unteritalischen PYTHAGOREER, als deren bedeutendster Vertreter ARCHYTAS von Tarent ( 4 2 8 — 3 6 5 ) gelten darf, eine auf die rationale Verhältnislehre gestützte arithmetica universalis aufgebaut, in der die drei Grundmedietäten (das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel) die Hauptrolle spielen. Eine nicht unbedeutende Leistung ist die symmetrische Auflösung linearer Gleichungen mitmehrerenUnbekannten durch THYMARIDAS von Paros (5. Jahrh.); quadratische Gleichungen werden vermittels der quadratischen Ergänzung behandelt, was babylonischen Einfluß vermuten läßt. Auf planimetrischem Gebiet ist die Lehre von den Parallelen und Winkeln, vom Dreieck, von der Flächengleichheit, von den Flächenverwandlungen, von den Winkeln am Kreise und von der Ähnlichkeit in den Hauptzügen bekannt und weitgehend systematisiert, wiewohl noch uneinheitlich und unausgeglichen dargestellt. Lehrbuchartig wird sie erstmals von HIPPOKRATES zusammen-

Die arithmetica universalis

25

gefaßt, der gegen Honorar Mathematikunterricht erteilt. Bei der Durchführung von Konstruktionen spielen außer Zirkel und Lineal die bewegungsgeometrischen E i n Schiebungen eine große Kolle. Sie werden wohl auch bei der ursprünglichen Konstruktion des regelmäßigen Sternfünfecks — des Bundesabzeichens der PYTHAGOREER — verwendet worden sein. Die Stereometrie steckt noch in den Kinderschuhen. Sie nimmt ihren Ausgang von den rein praktischen Problemen der Bühnendekoration (AGATHARCHOS, um 460) und wird durch Schriften zur Perspektive von ANAXAGORAS und DEMOKRIT gefördert. Die regelmäßigen Körper sind schon aus der Vorzeit als Schmuck- und Kultgegenstände bekannt, aber noch nicht theoretisch studiert. Schon ANAXAGORAS hatte sich (um 4 3 4 ) mit der Kreisquadratur beschäftigt; ANTIPHON (um 4 3 0 ) nähert die Kreisfläche — ausgehend vom Quadrat — durch das System einbeschriebener regelmäßiger 4 • 2n-Ecke an. BRYSON von Heraklea (um 410) benutzt auch die zugehörigen umbeschriebenen Vielecke; anscheinend hat er beim Existenzbeweis für ein zum Kreis flächengleiches Quadrat den Zwischenwertsatz verwendet. Die von HIPPOKRATES in Angriff genommene Quadratur vermittels der Möndchen bleibt ergebnislos. Zum Zweck der allgemeinen Winkeltei1 ung führt der Sophist HIPPIAS von Elis (um 420) die Kurve JL = _?L e i n mechanisch erzeugt als Schnitt einer gleicha

ti/2

°

°

mäßig verschobenen Geraden mit einem sich gleichmäßig drehenden Fahrstrahl, und später von DEINOSTRATOS (um 350) zur Kreisquadratur herangezogen (daher der Name Quadratrix). Die Einschiebung zweier geometrischer Mittel wird von HIPPOKRATES auf — = — = 4zurückgeführt und von

x

ARCHYTAS

y

b

stereometrisch aus dem

26

D i e Griechen

Durchschnitt des Zylinders x2 = f12 + rf = b £ mit dem Kegel y2 = £2 + ?j2 + C2 = 1 2 /« 2 und dem Kreiswulst (I 2 + rf + CT = 62 (£2 + J?2) gelöst. Allgemeine« E. F r a n k : Plato und die sog. PyH. V o g t : Die Geometrie der Pythagoreer, Halle 1923. thagoreer, In Blbl. math. (3) 9, P. H. M i c h e l : De Pythagore ä 1909. Euclide, Paris 1950.

3. Um das i r r a t i o n a l e (400-325) Im Zusammenhang mit dem Quadratensatz am rechtwinkligen Dreieck (sog. PYTHAGOREISCHER Lehrsatz), dessen Beweis auf Grund von mancherlei Spezialfällen und dessen Verallgemeinerung aufs schiefwinklige Dreieck wohl erst der italischen Schule gehört, wird bereits eine Gruppe ganzzahliger rechtwinkliger Dreiecke aufgestellt, nämlich n, —^—> —2—

un era( e

g

^ )- Die Hoffnung, auf solche

Weise jedes rechtwinklige Dreieck „rationalisieren" zu können, erweist sich als trügerisch. Wohl vermag man z. B. das Verhältnis zwischen der Diagonale und der Seite am Quadrat, d. h. l/2:l, durch die immer genauer von r~ 1 3 7 beiden Seiten gegen 1/2 hinstrebenden Brüche -¡-, -r-, -—, 17 1 ^ 5 -jjp usw. anzunähern, deren erzeugende Zahlen aus der geometrisch leicht erweisbaren Identität 2

— y2 = (2x+

y f - 2 ( z +

yf = • ••

entnommen werden können, aber man wird zu immer größer werdenden Zahlen geführt, ohne zum genauen Wert zu gelangen. Schließlich erkennt man — vielleicht durch Umkehren des leingeschlagenen Verfahrens — die Irrationalität des Verhältnisses (um 400). Diese Entdekkung wird mit HLPPASOS von Metapont in Verbindung gebracht, der auch die Konstruktion des regelmäßigen 12-

Um das Irrationale

27

Flachs aufgefunden haben soll. PLATON berichtet, THEOvon Kyrene habe ihm (um 388) die Irrationalität von j/3 bis ]/l7 durch geometrisierende Schlüsse dargetan, wobei vielleicht die Nichtdarstellbarkeit eines unkürzbaren Verhältnisses in kleineren als den ursprünglichen Zahlen mit hereinspielt. Das Entscheidende dürfte die Entdeckung des Verfahrens der Wechselwegnahme (Kettendivision) zur Feststellung auftretender gemeinsamer Teiler von Zahlen gewesen sein. Jetzt bemächtigen sich die Mathematiker der indirekten Schlußweise, die schon ZENON von Elea (490?—430?) angewendet hatte, um die landläufigen Ansichten vom Wesen des Raumes, der Zeit und vor allem der Bewegung durch scharfsinnige Trugschlüsse in Frage zu stellen. Mit dem Nachweis für die Existenz irrationaler Strekkenverhältnisse ist die arithmetica universalis zerbrochen. Der geniale EUDOXOS von Knidos (408?—355?) vermag jedoch (um 370) unter Vertiefung der Vorstellungen des ANAXAGORAS eine kunstvolle geometrische Größenlehre aufzubauen, in der die alte als Spezialfall enthalten ist. Er geht aus vom Axiom des Messens (zwei Größen können nur dann ins Verhältnis treten, wenn die kleinere von ihnen durch Vervielfachen größer gemacht werden kann als die größere) und definiert die Gleichheit zweier Verhältnisse a:b und c:d indirekt, indem er fordert, daß sich nach Wahl zweier beliebiger teilerfremder Zahlen m, n aus

DOKOS

ma^nb immer auch nie ^ nd folgern läßt. Einer ähnlichen Schlußweise bedient sich EUDOXOS auch dort, wo die früheren Mathematiker nur durch eine unzulängliche Infinitesimalbetrachtung zum Ziel gekommen waren. Als kennzeichnendes Beispiel sei die (in EUKLID, Elemente XII, 2 überlieferte) Proportionalität der Kreisfläche / zum Durchmesserquadrat d2 angedeutet. Werden den ent-

28

Die Griechen

sprechenden Kreisen /, /' die zueinander ähnlichen regelmäßigen Vielecke fn< f bzw. f'n< f einbeschrieben, so ist fn'-fn— d2:d'2. Wäre / nicht zu d2 proportional, sondern z. B . fn'-fn = (/—s):/', unter e eine (/4 nicht übertreffende) Fläche verstanden, so könnte man durch hinreichendes Verdoppeln der Eckenzahl erreichen, daß fn> f—E, daß also fn > f wäre, wider die Ausgangskonstruktion. Entsprechend kann auch die Annahme fn'-fn = / : (/' — e ' ) widerlegt werden; also verbleibt nur die Möglichkeit f: /' = /„: f„= d2: d'2. Auf entsprechende Weise zeigt EUDOXOS die Proportionalität des Kugelinhaltes zum Durchmesserwürfel und die Richtigkeit der DEMOKBITISCHEN Inhaltsbestimmung von Pyramide und Kegel. Zur Einschiebung zweier geometrischer Mittel verwendet er (nicht näher bestimmbare) höhere Kurven und vielleicht jene bewegungsgeometrische Konstruktion mittels zweier rechter Winkel, die als „PLATONISCH" überliefert wird. Das Problem der scheinbaren Planetenbewegung führt ihn auf die Schnittkurve eines Zylinders x2+ y2 = ax mit einer berührenden Kugel x2+ y2+z2=bx. E r soll das erste Lehrbuch der Stereometrie verfaßt haben. An der ganzen Entwicklung nimmt PLATON (427—347?) zumindest seit seiner ersten Reise nach Italien und Sizilien (388/87), die ihn in persönliche Berührung mit ARCHYTAS bringt, lebhaften Anteil. E r gibt die Lehre vom Irrationalen an THEAETET (410?—368) weiter, der in tiefgehender Einzeluntersuchung die zusammengesetzten quadratischen Irrationalitäten studiert und auf die Beziehungen zwischen den fünf regelmäßigen Körpern und den Radien ihrer umbeschriebenen Kugeln anwendet (um 380). PLATON ist keineswegs Fachmathematiker, und was ihm an Einzelleistungen zugeschrieben wird — wie die Darstellung ganzzahliger rechtwinkliger Dreiecke aus 2 n,

Um das Irrationale 2

29

2

n — 1, n + 1 (n gerade) —, ist für die Gesamtentwicklung belanglos. Entscheidend ist jedoch seine tiefgehende Vorliebe für mathematisierende Schlußweisen: Ihr entspringt die Forderung nach gediegener allgemeiner mathematischer Vorbildung vor Beginn der eigentlichen philosophischen Unterweisung. PLATON kennt die Unvollkommenheiten im bisherigen Aufbau der Mathematik und erstrebt eine strenge logische Systematik, die ihn schließlich zur Aufstellung von Definitionen und Axiomen, zum Ausbau der direkten und indirekten Schlußweise und zur Forderung nach sorgfältiger Fallunterscheidung bei Konstruktionsaufgaben führt. Auch die Beschränkung der Konstruktionsmittel auf Zirkel und Lineal soll von ihm angeregt worden sein. Die von LEON (um 370) zusammengestellten (verlorenen) Elemente sind unter seinem Einfluß entstanden; von der (ebenfalls verlorenen) Neubearbeitung durch THEUDIOS von Magnesia (um 340) wird die geschickte Zusammenfassung zahlreicher Einzelfragen gerühmt. Zu den PLATONIKEKN gehören auch die Brüder MENAICHMOS u n d DEINOSTRATOS (um 350), im M a t h e m a t i s c h e n vorzugsweise Schüler des EUDOXOS. MENAICHMOS ist der

Entdecker der gleichseitigen Hyperbel und der Parabel, die er als „körperliche" geometrische Örter (im Gegensatz zu den „ebenen": Gerade und Kreis) auf Grund der Gleichungen xy= ab und y2= bx einführt und zur Einschiebung zweier geometrischer Mittel verwendet. Als ebene Schnitte eines Kreiskegels (und zwar senkrecht zu einer Erzeugenden, so daß man von den Schnitten des spitzen, des rechten und des stumpfen Kegels spricht) erscheinen die Kegelschnitte erst bei dem etwas jüngeren ARISTAIOS (um 330), dem Verfasser einer umfangreichen Schrift über körperliche örter und einer andern über die regelmäßigen Körper (beide verloren).

30

Die Griechen

ARISTOTELES von Stagira ( 3 8 4 — 3 2 2 ) ist gleich PLATON an den mathematischen Kernfragen interessiert, steht aber der Tagesforschung ferner. Vielleicht ist der von ihm so häufig erwähnte Irrationalitätsbeweis für "|/2 vermittels des Widerspruchs von Gerade und Ungerade seine eigene Leistung. Seine Logik ist ganz auf mathematisierende Schlüsse gestützt. Sehr viel von dem, was wir heute über die VOREUKLIDISCHE Mathematik wissen, verdanken wir den zahlreichen Andeutungen bei ARISTOTELES über die gleichzeitige Elementarmathematik und den hierdurch veranlaßten weitergehenden Einzelausführungen der späteren Kommentatoren, unter denen insbesondere A L E X A N D E R von Aphrodisias (um 2 0 0 n. Chr.), PORPHYRIOS von Tyros ( 2 3 2 ? - 3 0 0 ? ) , THEMISTIOS ( 3 1 7 ? — 3 8 7 ) , JOH. PHILOPONOS (6. Jahrh.) und SIMPLIKIOS (um 5 3 0 ) genannt werden müssen. Die ARISTOTELISCHE Bemerkung, Gerades lasse sich grundsätzlich nicht mit Krummlinigem vergleichen, entwickelt sich bei seinen Erklärern, worunter vor allem AVERROES ( 1 1 2 6 — 1 1 9 8 ) erwähnt sei, zu einem regelrechten Dogma, das bis ins 17. Jahrh. wirksam ist und die allgemeine Kurvenrektifikation unmöglich erscheinen läßt. Bei den Schülern des ARISTOTELES tritt das mathematische Interesse gegenüber dem enzyklopädischen zurück; wir haben jedoch auf die (leider nur in Bruchstücken erhaltene) Geschichte der Mathematik von EUDEMOS von Rhodos (um 335) zu verweisen. Allgemeines E. S a c h s : Die fünf Platonischen E. F r a n k : Plato und die sog. Pythagoreer, Halle 1923. Körper, Berlin 1917. H. H a s s e - H . S c h o l z : DieGiundJ. S t e n z e l : Zahl und Gestalt bei lagenkrisis der Griechischen MaPlaton und Aristoteles, Leipzig thematik, Berlln-Charlottenburg 1924, >1933. 1928. Nähere Literatur über die im Text G. J u n g e : Wann haben die Griechen benannten Persönlichkeiten wird das Irrationale entdeckt! Halle im Namen- und Schriftenver1907. zeichnis gegeben.

Euklid von Alexandria

31

4. E u k l i d von A l e x a n d r i a (365?-300?) In EUKLID findet die bisherige Entwicklung ihren glanzvollen Abschluß, überdies leitet der Alexandriner auf mathematischem Gebiet eine neue Periode ein. Die Elemente (325?) — nicht etwa als ein elementares Einführungswerk, sondern als Lehrgang für reife Hörer anzusehen — verraten die Meisterhand des an der ABISTOTELISCHEN Logik geschulten Systematikers, der jedoch ganz auf dem Boden der PLATONISCHEN Ideenlehre steht. Der Stoff wird in 13 Büchern dargeboten, von denen die ersten 6 der Planimetrie, die nachfolgenden 3 der elementaren Zahlenlehre, das 10. der Theorie der Irrationalitäten und die verbleibenden 3 der Stereometrie gehören. Der Gegenstand wird rein theoretisch und ohne Bezugnahme auf praktische Berechnungs- oder Anwendungsmöglichkeiten abgehandelt. Am Anfang stehen Definitionen, Axiome und Postúlate, dann folgt das Gefüge von Sätzen und Konstruktionen, ohne daß mit einem Wort auf die innere Zusammengehörigkeit der einzelnen Bestandteile oder auf die zugrunde liegende Absicht eingegangen wird. Der uns heute vorliegende Text stützt sich auf Handschriften, die nicht vor dem 7. nachchristlichen Jahrhundert gefertigt wurden und mit Bestimmtheit gegenüber dem Original zahlreiche Textveränderungen erfahren, haben. Schon THEON von Alexandria (um 370 n. Chr.) sah sich zu einer weitgehenden Neuredigierung seiner stark verderbten Vorlagen genötigt. Dieser Fassung folgen alle erhaltenen griechischen Abschriften bis auf eine 1808 von FB. PEYRARD (1760—1822) wieder aufgefundene; die VORTHEONTSCHE Redaktion war jedoch auch den Arabern bekannt. Die einleitenden Definitionen des I. Buches (wie etwa: Punkt ist, was keinen Teil hat) sind deskriptiv und nur im Zusammenhang mit den zeitgenössischen philosophischen

32

Die Griechen

Diskussionen verständlich. Die meisten andern sind Existenzforderungen bzw. Verbaldefinitionen. Die Postulate dürften ein wichtiger methodischer Zusatz von EUKLID selbst sein. Die ersten drei beschränken den Konstruktionsbereich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal; das 4. von der Gleichheit aller rechten Winkel und das 5., das berühmte Parallelenpostulat, waren schon im Altertum (seit GEMINOS von Rhodos, etwa 75 v. Chr., PTOLEMAIOS, u m 1 5 0 n . C h r . , u n d PBOKLOS, u m 4 5 0 ) u m s t r i t t e n .

Unter den Axiomen sollte das vom Ganzen und vom Teil später im Zusammenhang mit Infinitesimalbetrachtungen (Kontingenzwinkelfrage) Bedeutung erlangen. I m Satzgefüge, das mancherlei stillschweigend benutzte anschauliche Elemente enthält, wird die Bewegung möglichst vermieden (Einfluß der Kritik ZENONS).

EUKLID beginnt mit der Dreiecklehre, geht — erst jetzt vom Parallelenpostulat Gebrauch machend — zur Parallelenlehre über, fährt mit der Flächenvergleichung und dem Satz vom Ergänzungsparallelogramm fort und schließt mit dem PYTHAGOREISCHEN Satz und seiner Umkehrung. Der sachliche Inhalt des Satzgefüges gehört schon den PYTHAGOREERN ; v o n E U K L I D s t a m m t d i e A n o r d n u n g , d i e

Systematik und die allgemeine Beweisführung, so vor allem der Beweis des Quadratensatzes auf Grund des Kathetensatzes: Das Beste, was die Antike zu diesem Gegenstand zu sagen hatte, steht in dem eingehenden K o m m e n t a r des PROKLOS.

Das I I . Buch enthält algebraische Umformungen wie die Ausrechnung von a(b+ c) oder (o + b)2 in geometrischem Gewände. Dies dient der Auflösbarkeit der allgemeinen quadratischen Gleichung, die am Beispiel x2 = a(a— x) vorgeführt wird. Dazu tritt der erweiterte PYTHAGOREISCHE Lehrsatz und der Höhensatz. Im I I I . Buch wird die Kreislehre sehr geschickt abgehandelt;

Euklid von Alexandria

33

hervorzuheben ist der Satz vom Peripheriewinkel, der als Flächensatz formulierte und bewiesene Sehnen-, Sekanten- und Tangentensatz und die später lebhaft diskutierte Behauptung, der Kontingenzwinkel (zwischen Bogen und Tangente) sei kleiner als jeder mögliche geradlinige spitze Winkel. Im IV. Buch werden die einfachsten regelmäßigen Vielecke am Kreis konstruiert, dann das Fünfeck auf Grund der Konstruktion im 2. Buch und anschließend das regelmäßige 15-Eck. Das alles ist PYTHAGOREISCHES, zum Teil vorgriechisches Gedankengut. Es wird rein geometrisch und ohne die Anwendung von Proportionen behandelt, denen das wichtige V. Buch vorbehalten ist. Hier erscheint die Größenlehre des EUDOXOS, wahrscheinlich in enger Anlehnung an die Vorlage (schwerfällige Ausdrucksweise); den Abschluß bildet die Behandlung zusammengesetzter Verhältnisse (Multiplikation von Brüchen). Das. VI. Buch enthält die Anwendung auf die Ähnlichkeitslehre der älteren Schule, die nunmehr einwandfrei und einheitlich wiedergegeben werden kann. Besonders wichtig ist die Behandlung der quadratischen Gleichungen durch Flächenanlegung (in Weiterführung von II, 4/6), die von APOLLONIOS (um 200) aufgenommen und neu gedeutet wird. Die Determination gibt Veranlassung zur Bestimmung des größten Parallelogramms unter allen umfangsgleichen mit den nämlichen Winkeln (VI, 27). Die Bücher VII/IX enthalten die einfachsten Grundtatsachen der PYTHAGOREISCHEN Zahlenlehre, vor allem den sog. EUKLIDISCHEN Algorithmus der Wechselwegnahme zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, ferner die Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Dazu tritt der Nachweis für die Eindeutigkeit der Faktorenzerlegung in Primteiler (IX, 14), die Anwendung der Rechnungsarten 2. Stufe auf Potenzen und Wurzeln (VIII), die Summierung der endlichen geometrischen 3 Hofmann, Gesch. d. Mathematik. I

34

Die Griechen

Reihe ( I X , 35) und der Beweis für die (schon PLATON bekannte) Existenz unendlich vieler Primzahlen ( I X , 20). Anschließend wird ( I X , 21/34) die ALTPYTHAGOKEISCHE Lehre vom Geraden und Ungeraden vorgeführt. I X , 36 enthält das Bildungsgesetz für gerade vollkommene Zahlen (wie 6 = 1 + 2 + 3 = Summe der Teiler) : Ist sn = 2 " — 1 Primzahl, so ist 2n"1sn vollkommen. Das umfangreiche X . Buch beruht auf den Vorarbeiten des THEAETET. Es setzt sich in weitausgreifender, durch die Einführung unzweckmäßiger Bezeichnungen schwer übersehbarer Untersuchung zum Ziel, den Typus der an den regelmäßigen Körpern auftretenden Irrationalitäten zu kennzeichnen und festzustellen, unter welchen Bedingungen die Wurzelschachtel in |la + 1b entbehrlich ist. Wie wir aus dem Kommentar des PAPPOS (um 320 n. Chr.) entnehmen, scheint APOLLONIOS bei Untersuchung der erweiterten Ausdrücke \a + fb + Vc nicht wesentlich vorangekommen zu sein. Unter den vorausgeschickten allgemeinen Sätzen bei EUKLID ist X , 2 vonBedeutung : Größen sind inkommensurabel, wenn der für sie eingeleitete EUKLIDISCHE Algorithmus niemals endet. In einem Hilfssatz zu X , 29 ist die allgemeine Darstellung rationaler rechtwinkliger Dreiecke aus 2mw : (m 2 — w2) : (m? + w2) enthalten. Das X I . Buch gibt einiges über die gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen, dann die wichtigsten Sätze von der körperlichen Ecke und schließlich die Lehre von den Parallelflachen. Im X I I . Buch folgen die Inhaltsbestimmungen; zunächst die Proportionalität des Kreises zum Durchmesserquadrat ( X I I , 2) und die der Kugel zum Durchmesserkubus ( X I I , 18), dann die Beziehung zwischen dem Zylinder und dem einbeschriebenen geraden Kegel ( X I I , 10), alles nach der EUDOXISCHEN Manier bewiesen, jedoch in jedem Einzelfall neu angesetzt. Eine

Archimedes von Syrakus

35

selbständige Leistung EUKLIDS ist die Inhaltsbestimmung der Pyramide (XII, 3/5) durch fortgesetzte Unterteilung in Prismenpaare, die — richtig zusammengefaßt— in geometrischer Reihe stehen. Buch X I I I fußt auf den Studien des EUDOXOS über die stetige Teilung und der Untersuchung von THEAETET über die regelmäßigen Körper und der durch sie bestimmten Irrationalitäten. Es schließt mit dem Nachweis dafür, daß es genau 5 regelmäßige Körper gibt. EUKLIDS Elemente sind trotz mancher Unebenheiten und Unvollkommenheiten ein erstklassiges Meisterwerk, das die früheren elementaren Zusammenfassungen vollständig verdrängt hat und seinen Kerngedanken nach erst durch die moderne Grundlagenforschung entscheidend ergänzt wurde. Sie werden vervollständigt durch die Data (ergänzende planimetrische Sätze als Einleitung zum Ausbau einer zweckmäßigen Analysis), die Porismen (verlorene Sätze vielleicht metrisch-projektiven Inhaltes), die Figurenteilungen (teilweise arabisch erhalten), die Trugschlüsse (verloren) und die Phainomena — eine Sphärik, bei der die ähnlich gearteten Untersuchungen von EUDOXOS (verloren) und AUTOLYKOS von Pitane (um 330) mitverwendet sind: eine vielbenutzte Überarbeitung stammt von THEODOSIOS (um 100 v. Chr.). Verloren sind die Oberflächenörter (Kurven auf Zylinder und Kegel?) und 4Bücher Kegelschnitte, worin vermutlich die Arbeiten des ARISTAIOS weitergeführt sind. In der Optik finden wir einiges zur Geodäsie und Perspektive. 5. A r c h i m e d e s von S y r a k u s (2871-212) ARCHIMEDES, der in reiferem Alter in Alexandria bei den Nachfolgern EUKLIDS studierte, hat kein zusammenfassendes Werk, sondern nur Einzelschriften mathematischen und mechanischen Inhaltes hinterlassen, die uns in 3»

36

Die Griechen

der Ausgabe und teilweise auch mit den Kommentaren des (um 520 n. Chr.) vorliegen. Die ältesten sind dem Alexandrinischen Astronomen KONON von Samos (f um 240) gewidmet, der über Kegelschnitte schrieb, andere an dessen Nachfolger DOSITHEOS (um 240) gerichtet, die spätesten an ERATOSTHENES von Kyrene (276?—194?), der 235 zum Vorsteher der Alexandrinischen Bibliothek bestellt wurde und ein sehr vielseitiger Gelehrter gewesen ist: auf mathematischem Gebiet wird ihm außer der Siebmethode zur Primzahlbestimmung auch eine mechanische Konstruktion zur Einschiebung zweier geometrischer Mittel zugeschrieben. EUTOKIOS

Ausgehend von (verlorenen) Studien über den Hebel, kommt ARCHIMEDES zu einer mechanischen und geometrischen Parabelquadratur (letzteres mit Hilfe der unend1 / 1 \2 liehen geometrischen Eeihe — + I—I + • • • ) , bestimmt den Schwerpunkt des Dreiecks, der Pyramide, der Parabel und des Drehparaboloids, bringt Inhalt und Oberfläche der Kugel und ihrer Teile in Zusammenhang mit den entsprechenden Größen am umbeschriebenen Zylinder, gibt die Kreisnäherung 3 ¡^ < n < 3 ^ aus dem ein- und umbeschriebenen 96-Eck und studiert die nach ihm benannte Spirale —=—= auf Grund ihrer mechanischen Err a a l zeugung. Er beweist die Flächensätze und summiert bei dieser Gelegenheit die aufeinanderfolgenden Quadratzahlen. Die Spiralentangente konstruiert er, indem er die Subtangente mit der Ausstreckung des Kreisbogens in Beziehung setzt. Das Buch über die Drehflächen zweiter Ordnung enthält viele interessante Einzelsätze über Kegelschnitte, darunter die Ellipsenquadratur; das eigentliche Ziel ist die Kubatur der Flächen zweiter Ord-

Archimedes von Syrakus

37

nung und ihrer Teile. Das wird geleistet durch die jedesmal neu angewendete und raffiniert durchgeführte EUDOXISCHE Methode, mittels deren man zwar bereits bekannte Ergebnisse beweisen, jedoch nicht gut finden kann. Wie ARCHIMEDES ZU seinen neuen Sätzen gekommen ist, verrät er in der 1 9 0 6 von J . L . HEIBERG wiederentdeckten Methodenlehre, die auf der Verwendung mechanischer Hilfsbetrachtungen beruht und sich nur in Äußerlichkeiten von der modernen Integralrechnung unterscheidet. Vorgeführt werden die wichtigsten der bisherigen Einzelergebnisse, dazu die Raumbestimmung des Zylinderhufs und des Kernkörpers zwischen zwei in einen Würfel beschriebenen Zylindern. Aus arabischen Bearbeitungen wissen wir von den Wahlsätzen, worin die Quadratur kreisbogenförmig begrenzter Figuren und die Papierstreifenkonstruktion zur Dreiteilung des Winkels enthalten ist; ferner von der Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks, die auf eine überraschende Flächengleichheit zurückgeführt wird. Bei dieser Gelegenheit gibt ARCHIMEDES die sog. HERONISCHE Dreiecksformel und die nach ihm benannte Prämisse — eine Beziehung am Kreise, die inhaltlich dem PTOLEMAEISCHEN Lehrsatz entspricht und den Aufbau der Sehnentrigonometrie gestattet, jedoch ein wenig umständlicher als mittels des Satzes von PTOLEMAIOS.

Die Abhandlung über die halbregelmäßigen Körper kennen wir nur dem Namen nach, hingegen ist eine Studie über die Unbeschränktheit des Zahlensystems (die sog. Sandrechnung) erhalten. Ausgangspunkt ist die heliozentrische Hypothese des ARISTARCHOS (310?—230?), die jedoch aus physikalischen Gründen abgelehnt wird. Nur streifend sei die (verlorene) Arbeit des ARCHIMEDES über den Brennsfiegel und die (erhaltene) Abhandlung über die

38

Die Griechen

schwimmenden Körper erwähnt, worin das nach ihm benannte Prinzip benutzt wird, ferner ein unter seinem Namen laufendes geometrisches Legespiel und das sog. Rinderproblem, bei dem die Bestimmung von 8 Unbekannten aus 7 Gleichungen mit komplizierten Nebenbedingungen gefordert wird. In der Kreismessung benutzt AKCHIMEDES anfangs sehr genaue Näherungen für j/.3, die sich auf Grund der geometrisch leicht herstellbaren Ungleichung l la — x |/ a + x

2a — x 2 a -{- x

erklären lassen; für die weitere Berechnung bedient er sich der babylonischen Näherung ]/a 2 + BIbn al-Haitam. S.77,93. a l - H i m s t ( t 883/84): S. 53. ->• Apollonios, Conica I/IV (um 870). a l - g o g e n d i ( t u m 1000): S. 55. a l - i J w ä r a z m t ( t u m 840): S. 53 bis 54, 66/67. Sechenbuch (820), lat. v. Johannes v. Sevilla (um 1140), ed. B. Boncompagni, Rom 1858; lat. v. Robert v. Chester (1145), ed. B. Boncompagni, Rom 1857. Lat. v. Hermann v. Kärnten (1143). Hi$äb aljabr w'almuqdbalah (Algebra), arab.-engl. ed. Fr. Rosen; London 1831; Ergänzungen v. S. Gandz in Osiris 5, 1938. Arab. v. M. Moucharrafa M. M. Ahmad, Kairo 1939. Lat. v. Robert v. Chester (1145). Nach einem Mskr. v. J. Scheybl (um 1550) ed. L. Ch. Karpinski, New York 1915. Lat. v. Gerhard v. Cremona (um 1150) ed. G. Libri in Hist. sc. mat. en Italic, Paris 1838. Spätere lat. Neubearbeitg ed. B. Boncompagni, Rom 1851. Arab. Übersetzg. d. Sindhind—* Brahmagupta. a l - K a r ä b t s i (um 970): S. 56. Ausmessung der Kreiswulste, arab.dtsch. ed. E. Bessel/Hagen-O. Spies in den Quell, u. Stud. B 1, 1931. a l - K a r a g t (früher al-Kary) (t um 1029): S. 54/55. Algebra, z. T. frz. v. Fr. Woepcke, Paris 1853. Rechenbuch (um 1010), ed. A.

Hochheim, Halle a. S. 1878/80 (3 Teile, Prgr.). a 1 - K a ri) t al-Karagt. a l - K & s l (Anf. 15. Jh.): S. 55. Schlüssel der Rechner, arab./dtsch. ed. P. Luckey, Wiesbaden 1951. Kreisrechnung, arab. / dtsch. ed. P. Luckey — A. Siggel, Abh. Ak. Berlin 1950. a l - K i n d ! (800?—873/74): S. 53. Einiges arab. ed. A. Nagy in den Beiträgen zur Kenntnis des Orients II, 5; 1897. A l i e a u m e , Pierre (17. Jh.): S. 133, 141. La perspective speculative et pratique (1628), ed. E. Migon, Paris 1643. a l - M ä h ä n t ( t u m 880): S. 54. Erwähnt in al-Hajjàmt, Algebra (um 1100).

A l p e t r a g i u s (al-Bi(rüjl) (um 1200 n. Chr.): S. 74. Ve sphaera, lat. v Michael Scottus (1217). AI s t e d , Johann Heinrich (1588 bis 1638): S. 140, 155. Elementale mathematicum, Frankfurt 1611. Encyclopaedia, Herborn 1620. a i - Z a r q à l i (1029—1087?) S. 56, 92. Leben «. Wirken: J. Milas y Valiicrosa, Madrid/Granada 1943/ 50. Saphaea (Bearbeitg v. —> Ptolemaios, Planispher ium), hebr. m. lat. Übersetzg. ed. Pr. Tibbon, Barcelona 1933. Toledanische Tafeln (um 1080), lat. v. Gerhard v. Cremona(umll50),ed.J. Schöner, Nürnberg 1534; ed. M. Curtze in der Bibl. math. (3) 1, 1900. A n a x a g o r a s v. Klazomenal (500? bis 428): S. 22, 25, 27. Leben u. Wirken: F. Loewy-CIeve, Wien 1917. A n d e r s o n , Alexander (1582 bis 1620?): S. 106, 123/24, 147. Vindiciae Archimedis in stereometriam Kepleri, Paris 1616. -»Viète (1615). A n d r e w , W. S. (1907): S. 140. a n - N a i r ! z ! ( u m 9 0 0 n . C h r . ) : S.67, 72/73. In decem libros priores eiementorum Euclidis ctrmmentarii, lat. aus d. Arab. v. Gerhard v. Cremona (1144), ed. M. Curtze, Leipzig 1899, "1909 (Suppl. zu Euklid, Opera).

Namen- und Schriftenverzeichnis A n s e l m v. Canterbury (1033 bis 1109): S. 65. Leben u. Wirken: R. Allers, Wien 1936. Erkenntnislehre: J . Fischer, Münster 1911. Oesamtausgaben: ed. G. Gerberon Paris 1675 u. ö.; PL 158/59. A n t h e m i o s v. TraUeis (+ 534): S. 47, 152. F r a g m e n t über d . Brennspiegel in A. Westermann, Script. Gr., Braunschweig 1839. A n t i p h o n (um 430 v. Chr.): S. 25. Erwähng bei Aristoteles u. in d. zugeh. Kommentaren d. Themistios(4.Jh.)u.Simplikios(um 520). A n t h o n i s z , Adriaen (1543? bis 1607): S. 129. A p e l t , O. Diogenes Laertios (1921); Piaton (1916/26). A p i a n , Peter (Bienewitz) (1495 bis 1552): S. 102, 112, 114. Leben u. Wirken: S. Günther in den Prager Abh. (6) 11, 1882. Eyn Newe Und wolgegrilndte underweysung aller Kaufmanns Rechnung, Ingols t a d t 1527 u. ö. Astronomicum Caesareum, Ingolstadt 1540 u. ö. ->• J ä b i r i b n Afiäh (1534); Jordanus Neraorarius (1533); Witelo (1535, 1551). A p o l l o n i o s v. Perge (262?—190?): S. 39/41; 33/34, 43, 46/47, 53, 72, 77, 95/96,99,108/09,124,130,152. Kurzdarstellung: Fr. Kliem, Berlin 1927. Auszüge u. Berichte In Pappos, Collectiones.—Conica: S. 39/40, 96, 108. Vgl. H . G. Zeut h e n : Kegelsnitlaeren i Oltiden, Kopenhagen 1885, 'ed. O. Neugebauer, Kopenhagen 1949;dtsch. v. R . Fischer-Benzon, Kopenhagen 1886. — I/IV m. Kommentar d. Eutokios (um 520) arab. v. al-Himst (um 870). I / V I I arab. v. d. Banü Müs6. (um 875), lat. soweit nicht gr. erhalten V. E . Halley, Oxford 1710. Arab. v. Abulphat v. Ispahan (994), cd. Abraham v. Ekchelles-G. A. Borelll, Florenz 1661. Nach anderer Vorlage arab. ed. Chr. Ravius, Kiel 1669. I / I V lat. aus d. Gr. v. G. B. Memmo, Venedig 1537; v. Fr. Maurolico (1548), Messina 1654; v. F. Commandlno nebst Ergänzungen aus Pappos, Bologna 1566. — I/IV gr.-lat. ed.

159

E . Halley, Oxford 1710 m. Ergänzungen u. Wiederherstellgen. Modern ed. J . L. Heiberg, Leipzig 1890/93 (2 Bde); dtsch. v. A. Czwallna, München/Berlin 1926; engl. v. Th. 1 . Heath, Cambridge 1896; frz. v. P. Ver Becke, Brügge 1924. — Verhältnisschnitt: S. -10. L a t . aus d. Arab. v. E. Halley, Oxford 1706; dtsch. v. A. Richter, Elberfeld 1836. Wiederherstellungen nach Pappos, Collectiones: S. 124, 130. Conica V: V. Viviani, Florenz 1659. Baumschnitt: E . Halley, Oxford 1706; F. V. Lühmann, Königsberg,'Neumark 1882. Bestimmter Schnitt: W. Snell, Leiden 1608; R . Simson, Glasgow 1776. F. v. L ü h m a n n , Königsberg/Neumark 1882. Einschiebgen: M. Ghetaldi: Variorum problematum collectio. Venedig 1607. Ebene Örter: P . de F e r m a t I I 1629, I 1636; F r . van Schooten in d. Exercitationes math. 1657. R . Simson, Edinburg 1749, dtsch. v. J . W. Camerer, Leipzig 1796. Berührungen: Fr. Viète, Paris 1600; Fragmente ed. J . W. Camerer, Gotha 1795. A p o l l o n i o s v. Tyana (1. J h . n. Chr.): S. 45. Leben u. Wirken: F. W. Gr. Campbell, London 1908. A raber-»-Muslime : S. 31,34,38/39, 44, 58, 64/67, 72/75, 81, 87, 90. A r c h i b a l d , R. Cl. (1927/29): S. 17; (1932): S. 8.->• Euklid, Figurenteilg. (1915); Pitiscus (1949). A r c h i m e d e s v. Syrakus (287? bis 212): S. 35/38; 39/43, 46/47, 53 bis 55, 72, 76, 79, 81, 94/95, 98, 108/09, 120/21,127, 129, 132, 135, 144/45, 147/48, 151, 155. Leben u. Wirken: Th. L. Heath, London 1920. Fr. Kliem-G. Wolff, Berlin 1927. Auszüge u. Berichte in P a p pos, Collectiones. —Gesamtausgabe m. Kommentar d. Eutokios (520) arab. v. Islläq ihn Hunein u. T i b i t ibn Qurra (um 890). Daraus Wahhätze: S. 37. L a t . v . S. Foster, London 1659. Halbregelm. 14-Flach: S. 37. Arab.-dtsch. ed. E . Bessel-Hagen — O. Spies in Quell, u. Stud. B 2, Berlin 1932. Siebenteilg. d. Kreises u. Av ffindg.

160

Namen- und Schriftenverzeichnis

d. Kreissehnen: S. 37. In —> alBlrùnl (1030 u. 1036), dtsch. v. C. Schoy, Hannover 1927. •— Grieche Auswahl lat. v. Wilhelm v. Moerbeke (um 1270); lat. v. J a k o b v. Cremona (1450), verb. v. J o h Regiomontan (1462).—Lat. Testproben in G. Valla: De rebus expet., Venedig 1501. — Gr. ed. Th. Gechauff, Basel 1544 zus. m. d. revidiert. Übersetzg. d. J a c o b v. Cremona. — Lat. v. F. Commandino, Venedig 1558; v. Fr. Maurolico (1548), ed. G. A. Borelli, Palermo 1670 (deh. Schiffbruch vernichtet, wiederholt 1685). — Modern ed. J . L. Heiberg, Leipzig 1880 bis 1881, M910/15 (3 Bde); engl. Bearbtg. v. Th. L. Heath, Cambridge 1897, Supplement 1912; dtsch. v. Fr. Kliem, Berlin 1914. Frz. v. P. Ver Eecke, Paris/ Brüssel 1921; dtsch. v. F. Nizze, Stralsund 1827; einzelne Stücke dtsch. v. A.Czwalina, Leipzigl922/ 25 (Ostwalds Klass. 201/03, 210, 213).Niederl.Bearbtgv.E.J. Dijksterhuis, Groningen 1938, 1938/ 44 (in Euclides 15/17, 20), engl. Kopenhagen 1953. — -Schwimmende Körper: S. 38. Lat. v. Wilhelm v. Moerbeke (um 1270), Druck Venedig 1503; ed. N. Tartaglia, Venedig 1543, besser ed. F. Commandino, Bologna 1565. Kreismessung: S. 38, 41, 76, 79, 155. L a t . v. A. van Roomen, Würzburg 1597. Vgl. A. M. Clagett in Osiris 10,1952. Spiralenabhdlg : S. 36, 41, 76, 81. Sandzahl: S. 37, 41, 155. Kommentar v. P . Duhamel, Paris 1557. Gleichgewicht d. Ebenen: S. 155. Frz. v. P . Forcadel, Paris 1565. Methodenlehre: S. 37. Gr. ed. J . L. Helberg — H . G. Zeuthen in d. Bibl. math. (3) 7, 1906/07; Bedeutg: E . Rufini, Rom 1926. A r c h y t a s v. Tarent (428—365): S. 24/26, 28. Erwähngen b. Iamblich, In Nicomachum (um 300) u. im Kommentar d. Eutokios z. Archimedes (520). A r d ü s e r , Johann (1584—1665); S. 141. Geometria theorica et practica, Zürich 1627, »1646.

A r e t i n o —>• Bruni, Leonardo. A r g y r o p u l o s , Johannes (1416 bis I486): S. 86. -»• Aristoteles. A r i s t a i o s (um 330 v. Chr.): S. 29, 35, 39. E r w ä h n t in Pappos, Collectiones (um 320). A r i s t a r c h o s v. Samos (310? bis 230?) : S. 37, 41/42. Leben U. Wirken: Th. L. H e a t h : The Copernicus of Antiquity, London 1920. De magnitudine et. distantia solis et lunae, lat. v. G. Valla, Venedig 1488. G r . e d . J . W a l l i s . O x f o r d 1 6 8 8 = Opera I I I , 1699. Frz. v. A. Fortia d'TJrban, Paris 1823; dtsch. v. A. Nokk, Freiburg 1854 (Prgr.) u. E . Nizze, Stralsund 1856 (Prgr.). Engl. Bearbtg. v. Th. L. Heath, Oxford 1913. A r i s t o t e l e s v. Stagira (384—322): S. 30/31, 47, 53, 56, 60, 62, 64/69, 71/81, 85/87, 96/97, 107, 141/42, 144/45. Leben u. Wirken: W. J ä ger, Berlin 1923; J . Burnet, London 1924. Mathematisches: J . L. Heiberg in d. Abh. z. Gesch. d. Math. 18, Leipzig 1904; Th. L. Heath, Oxford 1949. Gesamtausgabe nach d. Redaktion d. Andronikos v. Rhodos (um 50 v. Chr.) ed. Venedig 1495/98; modern ed. I. Bekker il. andere, Berlin 1831/70. Hellenistische Kommentare v. Alexander v. Aphrodisias (um 200), Porphyrios (um 270), Themistios (um 360), Philoponos u. Simplikios (6. Jh.), enth. in der Ausgabe Berlin 1882/1909 (Ak. d. Wiss.). Arab. Überstzg. m. K o m m e n t a r v. Averroes (um 1180), lat. Venedig 1472; ed. A. Nifo, Venedig 1495/97, besté Ausgabe Venedig 1553. Aristoteles latinus: G. Lacombe, Rom 1939. Einiges lat. aus d. Gr. v. J a k o b v. Venetien (1128), enthalten in PL 63/64 (dort irrtüml. als Überstzgen d. Boétius) u. Wilhelm v. Moerbeke (1260/70). Humanist. Oberstzgen Ins Lat. v. L. Bruni, E. Barbaro u. Fr. Filelfo (15. Jh.) u. J . Argyropulos (15. J h . , Druck Augsburg 1518/20, Florenz 1541). P s e u d o - A r i s t o t e l e s : S. 71, 81. De caelo et mundo: vili, den Komment a r des Nikolaus v. Oresme (1377).

Namen- und Schriftenverzeichnis A r i s t o t e l i k e r : S. 68/69, 71/72, . 74,77,81,86/87. Aryabhata (* 476): S. 50/51. Aryabhattya (499), m i t K o m m e n t a r des P a r a m e á v a r a (1430) ed. H . K e r n , l e i d e n 1875; ed. U. N. Singh, M u z a f f a p u r 1906. Mit Kommentar des Ntlakantha (1500) ed. K . S Sastri, T r i v á n d r u m 1930/31. Engl. v . P . C. Seng u p t a , C a l c u t t a 1927; v. W . E . Clark, Chicago 1930. ,. Atti Acc. Line. = Atti Accademia dei Lincei. a í - T ü s t , N a s i r ed-dín (1201 bis 1274): S. 55/56. Leben u. Wirken: A. v. B r a u n m ü h l in den A c t a Leopold. 71, Halle 1897; E . Wiedem a n n i n den E r l a n g e r Sber. 58/59, 1928 u. 60, 1928; H . J . Seemann, ebda 60, 1928. Figur der Schneidenden, arab.-frz. v. A . Carathéodory, K o n s t a n t i n o p e l 1891. '—» E u k l i d , Elemente (1594, 1801). A u g u s t i n e r - E r e m i t e n : S. 74. A u g u s t i n i s m u s : S. 69, 71. A u g u s t i n u s , Aurelius (354—430): S. 60, 69, 71/73, 77/78. Leben u. Wirken: St. Giison, Hellerau 1930: G. P a p i n i , Wien 1930. Gesamtausgabe: PL 32/47. A u g u s t u s , Gaius Iulius Caesar Oct a v i a n u s (63 v. Chr. bis 14 n. Chr.): S. 44. A u r e l , Marco (16. J h . ) : S. 113/14. Libro -primero, de arithmetica, Algebraica . . . , Valencia 1552. A u r i a , Giuseppe (16. J h . ) : S. 109. - » • A u t o l y k o s (1587); Diophant (um 1560); Theodosios (1587/88). A u r i n e t o , Paolo (17. J h . ) : S. 134, 141. In lunulam ex semicírculo et dupli quadrante, Neapel 1637. A u r i s p a , Giovanni (1369?—1460): S. 85. A u t o l y k o s v. P i t a n e (um 330 v . Chr.): S. 35, 53. Sphaera, arab. v. Q u s ( à ibn L ü q ä (um 900), lat. v. Gerhard v. Cremona, ed. J . Mogenet im Arch. i n t e r n , hist. sc. 28, 1948. L a t . aus d. Gr. v. G. Valla in De rebus expet. 1501, d a r n a c h lat. v. F r . Maurolico, Messina 1558, frz.. v. P . Forcadel, P a r i s 1572. Gr, v. C. Dasypodius, .Straßburg 1572; lat. v. F. Corni l H o f m a n n , Gesch. d. Math. 1

161

m a n d i n o , Bologna 1572; v . G. A u r i a , R o m 1587; v. J . Wallis, Oxford 1688 = Opera I I I , 1699. Frz. v. A. F o r t i a d ' U r b a n , P a r i s 1810 u . 1823. Modern ed. Fr. H u l t s c h , Leipzig 1885; d t s c h . v. A. Czwalina, Leipzig 1931 (Ostwalds Klass. 232). A v e m p a c e (Ibn B â j j â ) (1106? bis 1138): S. 56. A v e n c e b r o l (Ibn Gebirol) (1020 od. 1021 bis 1069/70) : S. 69. Lebenu. Wirken: D. K a u f m a n n , B u d a p e s t 1899. A v e r r o e s (Ibn RuSd) (1126—1198): S. 30, 56, 69, 72, 79, 87, 96/97. Leben u. Wirken: L . Gauthier, P a r i s 1948; M. H o r t e n , Leipzig 1913; E . R e n a n , P a r i s 1861, s 1869. A r a b . Übersetzg u. K o m m e n t a r zu Aristoteles, l a t . Venedig 1472; ed. A. Nifo, Venedig 1495/97; beste A u s g a b e Venedig 1553 apud Juntas. A v e r r o i s t e n : S. 73, 77, 87. A v i c e n n a (Ibn Sînâ) (980—1037): S. 53, 69, 96. Leben u. Wirken: B. Carra de V a u x , P a r i s 1900; W . Eckleben, Leipzig 1921. L a t . Gesamtausgabe nach Übersetzgen v . Gerhard v. Cremona, Domenico Gundisalvi u. J o h a n n e s v . Sevilla (um 1150); Venedig 1495, 1508; ed. A. Alpagus, 1546. Bibliographie: R . P . A n a w a t i , Kairo 1950. B a b y l o n i e r (2000—200): S 11/14, 17, 19, 24, 38, 42, 45, 50/51. B a c h e t d e M é z i r i a c , Claude Gaspard de (1581—1638): S. 132. Leben u. Wirken: J . I t a r d in der R e v u e d ' h i s t . d. sc. 1, 1947. Problèmes plaisans et délectables, gui se fontpar lesnombres, L y o n 1612, 2 1624; ed. A. L a j o s n e , P a r i s 1876, z 1879. —> D i o p h a n t (1621). B a c o n , F r a n c i s ( 1 5 6 1 - 1 6 2 6 ) : S.154. Leben u. Wirken: W. Frost, München 1927; E . Lewalter, Berlin 1939. Proficience and advancement of learning, Oxford 1605 u. ö. ; lat. London 1623 u. ö. Novum Organum scientiarum, L o n d o n 1625 u. sehr o f t . Bibliographie: R.W. Gibson, Oxford 1950B a d e , Josse (1462—1535): S. 88. B a d i u s , Jodocus—* B a d e . Josse.

162

Namen- und Schriftenverzeichnis

B a u m k e r , Cl. —>Alanus ab Insults (1894); Siger v. Brabant (1898); Witelo (1908). B a k e r , Humfrey (16. Jh.): S. 112. The Well Spryng of the Sciences (1562), London 1568 u. sehr oft (bis 1687). Bakhehält-Makr. (6. J h . n. Chr): S. 49.Bd. G.B. Kaye, Calcutta 1933. B a l d i , Bernardino (1553—1617) S. 155. - » Commandino (1587); Heron (1589,1616), Monte (1596). Bamberger Rechenbuch, o. T., Bamberg 1483: S. 112. b a n ù M ù s à : A h m a d , H a s a n u. M u h a m m a d (um 875): 'S. 54; 53, 75. Leben u. Wirken: H. Maclall, London 1926. Geometrie, lat. v. Gerhard v. Cremona (um 1150), ed. M. Curtze in den Acta Leopoldina 49, Halle 1887. Apollonlos, Conica I/VII (um 875). B a r b a r o , Daniele (1513—1570): S. 140. La pratica della prospettiva, Venedig 1559, '1568. Vitruv (1567). B a r b a r o , Ermolao (1454—1493): S. 85. -> Aristoteles, Gilbert de la Porrée. B a r b a r o , Francesco (1398—1454): S. 85. B a r b a g a l l o , C. (1925): S. 8. B a r o z z i , Francesco (1538? bis 1590?): 96, 122, 155. Leben u. Wirken :B. Boncompagnlim Bull. Boncomp. 17, 1885. Qeometricum problema,Venedig 1586.—•PseudoHeron (1572); Proklos (1560). B a r o z z i , Jacopo (Vignola) (1507 bis 1573): S. 107. Leben u. Wirken: H. Willich, Straßburg 1907. Frz. Oesamtausgabe, ed. H. LebasF. Debret, Paris 1823. Regole delle cinque ordini d'architettura, Bom 1560. Le due regole della prospettiva pratica (um 1530), m. Erläuterungen ed. E. Danti, Bologna 1582 u. Ö. B a r t j e n s , Willem (17. Jh.): S. 140. De Cijfferinge, o. 0 . 1609. De VemiendeCijfferinghe.o. 0.1633. Cifferinghe Tweede Deel, o. O. 1637 u. sehr oft (bis 1839). B a r t s c h , Jakob (1600—1633): S. 136. Tabulae novae logarithmico-logisticae, Sagan 1630. Ta-

bulae manuales logarithmicae, Sagan 1631 u. ö. B a s s i , Giulio (17. Jh.): S. 140. Dell'Arimmetica pratica. Piacenza 1645. Arimmetica e geometria pratica, Piacenza 1666. B a u m s t a r k , A. (1922): S. 57. B a u r , L. —* Domenico Gundisalvi (1903); Robert Grosseteste (1912, 1917). B e c k e r , O . (1951): S.8.—»Eudoxos (1933, 1936); Hlppokrates (1936). B e d a v e n e r a b i l i s (674—735): S. 61. Leben u. Wirken: G. F. Browne, London 1880, >1928; K. Werner, Wien 1875, '1881. Gesamtausgaben: Paris 1521 u. 1544, Basel 1563 u. Ö.; ed. J . A. Giles, London 1843/44; PL 90/95. B e h à e d - d f n (1547—1622): S. 57, 140. Leben u. Wirken: A. Marre, Rom 1864. Rechenbuch, arab.pers. Calcutta 1812; arab.-dtsch. ed. F. Nesselmann, Berlin 1843; frz. v. A. Marre, Som 1864. B e h r , Benjamin (Ursinus) (1587 bis 1633?) : S. 136. Cursus matematici practici, Kölln a. d. Spree 1618. Magnus canon logarithmicus, Kölln 1624. Trigonometria cum magno logarithmorum canone, Kölln 1625.-»-Neper (1623). Beldomandi, Prosdocimo de (1380?—1428): S. 114. Algorithmus de integris (1410), Padua 1483 u. Ö. B e n e d e t t i , Giambattista (1530 bis 1590): S. 109, 122, 140, 144 bis 145. Resolutio omnium Euclidi8 problematum, Venedig 1553. Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum Uber, Turin 1585. B e n e d i k t i n e r : S. 77/78. B e r n e g g e r , Matthias (1582 bis 1640): S. 139. Leben u. Wirken: C. Biinger, Straßburg 1893. Manuale mathematicum, Straßburg 1612, «1619. B e r n h a r d B a r l a a m (1290? bis 1348): S. 79, 142. Aritmetica demonstratio eorum, quae in secundo libro elementorum sunt, griech.lat. ed. C. Dasypodius, Straßburg 1564. Aritmetica et algebra, griech.-lat. ed. C. Dasypodius,

Namen- und Schriftenverzeichnis Straßburg 1572. Logistica, ed. J. Chambers, Paris 1594. B e s s a r i o n , Basilius (nach seinem Übertritt zur katholischen Kirche: Johannes) (1403—1472): S. 86, 92, 94, 99. Leben u. Wirken: L. Möhler, Köln 1921. Gesamtausgabe: PG 161 (unvollst.). Advelsua calumniatorem Piatonis (gegen Georglos v. Trapezunt) (Born 1469), Venedig 1503 u. 1516. B e s s e l - H a g e n , E. -*• al-Karàbtsi (1931); Archimedea (1932). B e y e r , Johann Hartmann (1563 bis 1625): S. 140/41. Logistica decimalis, das ist Kunstrechnung mit den zehntheiligen Brüchen, Frankfurt 1603, '1619. Stereometria inanium, Frankfurt 1603. Conometria Mauntiana, Frankfurt 1619. Kurzer Bericht von der Zubereitung einer Visierruthen, Frankfurt 1620. B e z o l d , C. (1926): S. 14. B h i s k a r a (1114—1185?): S. 50/51. Bljaganita (1150), ed. S. DvivediM. Jha, Benares 1927; mit Kommentar des Krima (um 1600) ed. D. Apte, Poona 1930. Karanakutùhala (1150), ed. M. Sastri, Bombay 1901. IAlämtl (1150), ed. S. Dvivedi, Benares 1910; engl, v. H. T. Colebrooke, London 1817; engl. m. Zusätzen v. H. Ch. Banerji, Calcutta 1892, !1927. Siddhinta-éiromani (1150), ed. G. Pr. Dvivedi, Lucknow 1911, 1926; engl. v. B. D. Sastri-L. Wilkinson, Calcutta 1861. Kommentare v. Nrisimha (1621) u. Muntävara (1635),' ed. M. Jha, Benares 1917. B i a g i o v. Parma (Pelacani) (1350? bis 1416): S. 81. Ausgabe u. Kommentar zu —»• Nikolaus Oresme, Latitudines formarum. B i a n c h i n i , Giovanni (t 1466): S. 99, 121. Tabulorum canones, Venedig 1495. Bibl. math. = Bibliotheca mathematica, ed. G. Eneström, (2) 1886/99, (3) 1900/14. B i e n e w i t z —»• Aplan, Petei. B i e r n a t z k i , K. L. (1856): S. 59. B i l l i n g s l e y , Henry (16. Jh.): S.155. ->• Euklid, Eie mente (1570). 11*

163

B j ö r n b o , A. A. -*• Brahmagupta (1909); Menelaos (1902); J . Werner (1904). BKV = Bibliothek der Kirchenväter in dtsch. Übersetzg. Kempten 1860/88 (80 Bde), 'Kempten/ München seit 1911. B l a i s e , Jean Martin (Blasius) (16. Jh.) : S. 114. Liba arithmeticae practicae, Paris 1513 u. ö. B l a s i u s —»Biaise, Jean Martin. B l u m , Johann (17. Jh.): S. 141. Geometria (dtsch.), Ursel 1617. B o c c a c c i o , Giovanni (1313 bis 1375): S. 84. Leben u. Wirken: G. Koerting, Leipzig 1880. B ö s c h e n s t e y n , Abraham (16. Jh.): S. 112. Ein nützlich Rechenbüchlin, o. O. 1536. B ö s c h e n s t e y n , Johann (1472 bis 1532): S. 112. Ain New geordnet Rechen biechlin mit den Zyffern, Augsburg 1514, '1516, "1518. B o ë t i u s , Anicius Manlius Torquatos Severinus (480?—524): S. 61 bis 62, 64/66, 68, 79, 96. Leben u. Wirken: T. Venuti de Domenicis, Grottaferrata 1911; H. R. Patch, New York 1935. Gesamtausgaben: Venedig 1492, 1499, Basel 1546, 1570. PL 63/64. Institutiones arithmeticae, ed. G. Friedlein, Leipzig 1867. Institutiones musicae, ed. Friedlein 1867, dtsch. v. O. Paul, Leipzig 1872. Bruchstücke der Geometrie in Gerbert v. Aurillac ed. Bubnow (1899); vgl. G. Ernst, Bayreuth 1903 (Pr.). Zum Euklid-Kommentar vgl. K Jörg, Heidelberg 1935 (Diss.). Pseudo-Bogtische Geometrie (11. Jh.) ed. Friedlein 1867. Kommentierteübersetzgen zu Aristoteles u. seinen Neuplatonischen Erklärern. B o i s s i è r e , Claude de (* um 1500): S. 112. L'art d'Arythmetique contenant toute dimention, tressingulier et commode, tant pour Varl militaire que autres calculations Paris 1554. B o i s s o n a d e , J. Fr. —>• Domninos (1832); Proklos (1814). B o m b e l l i , Rafael (16. Jh.): S. 105, 109, 116, 122, 125/26, 131. Algebra (um 1560), Bologna 1572, Titelauflage 1579. Handschr.

164:

Namen- und Schriftenverzeichnis

Fortstzg. ed. E. Bortolotti, Bologna 1928. B o n a v e n t u r a (Johannes Fidanza) (1221—1274): S. 73. Leben u. Wirken: B. Clop, Paris 1922: E. Gilson, Paris 1924, 2 1943; D. M. Sparacio, R o m 1923. Oesamtausgabe: Quaracchi 1882/1902 (11 Bde). B o n c o m p a g n i , ~B.-+Bull. Boncomp. (1868/87). -»-Adelhard v. B a t h (1882); al-Hwârazmî (1851, 1857, 1858); Fr. Barozzi (1885); Cardano (1881); Gerhard v. Cremona (1851); Leonardo v. Pisa (1852, 1854/62); Plato v. Tivoli (1851). B o n g o , Pietro (1550?—1601): S. 131. Mystica numerorum significano, Bergamo 1583/84 u. ö. B o r g h i , Piero (15. J h . ) : S. 90. Libro de Abacho, Venedig 1484; abgedr. in D. E . Smith, Rara arithm., Boston/London 1908. B o r t o l o t t i , E . (1950): S. 8; Bombelli (1928); Cardano (1933); Cataldi (1919). B o s m a n s , H . C a v a l i e r i (1922); Coignet (1901); Girard (1926); Gregorius a S. Vincentio (1911 bis 1913) ; L a Faille (1914, 1927) ; Lansberge (1928); Ludolph van Ceulen (1911, 1920); Peletier (1907) ; M. Ricci (1921) ; van Boomen (1906); Stevin (1924); Tacquet (1925); A. Thomas (1924 bis 1926); Valerio (1912/13); Verbiest (1912). B o s s e , Abraham (1611—1678): S. 133, 141. Leben ». Wirken: A. Valabregue, Paris 1892. Katalog seiner Werke: G. Duplessis, Paris 1859. Manière universelle de S. Desargues, pour pratiquer la perspective, par petit pied, comme le géométral, Paris 1648, niederl. Amsterdam 1686. Moyen universel de pratiquer la perspective sur Us tableaus ou surfaces irrégulières, Paris 1653. Traité des pratiques géométrales et perspective enseignés dans VAcademie Royale de Peinture et Sculpture, Paris 1656. Traité des pratiques géométrales et perspective, Paris 1665. B o u r d i n , P. (1595—1653): S. 141.

Prima geometriae elementa, Paris 1639. B o u v e l l e s , Charles (1470?—1553): S. 106. Leben u. Wirken: Jos. Dippel, Würzburg 1865. Introductio geometrica, Paris 1503 u. Ö. : frz. 1542. Epitome rerum geometricarum ex geometrico indroductorio, Paris 1507. Encyclopaedia, Paris 1509/10 mit e. Liber de duodecim numeris. Livre singulier et utile, touchant l'art et pratique de Géométrie, Paris 1511 u. ö. L'art et science de géométrie, Paris 1514. Géométrique practique, Paris 1542. B r a c c i o l i n i - » G.-F. Poggio. B r a d w a r d i n e —»-Thomas Bradwardine. S. 80/81. B r a h e , T y c h o (1546—1601): S. 111, 128, 130. Leben u. Wirken: J . L. E . Dreyer, Edinburg 1890, dtsch. v. M. Bruhns, Karlsruhe 1894. J . A. Gade, Princeton 1947. Instrumente: Ac. Wiss. Kopenhagen 1946. Gesamtausgabe, ed. J . L. E . Dreyer, Kopenhagen 1915/29 (15 Bde). Trigonometr. Mskr. (1591), ed. F. J . Studniòka, Prag 1886. B r a h m a g u p t a (• 598): S. 50/51, 53. Brâhma-sphuta-siddhânta (628), ed. S. Dvivedi, Benares 1902 = Sindhind. Dhyânagrahopadesa, ed. S. Dvivedi, Benares 1902. Khanda-khâdyakaA (628), mit dem Kommentar des Amarâja (um 1250) ed. B. Misra, Calc u t t a 1925, engl. ed. P . Ch. Sengupta, Calcutta 1934. Sindhind, arab. v. J a ' q û b ibn Tariq u. alFazâri (um 775), dann von alHwârazmî (um 820). Dessen zugefügte Tafeln neubearbeitet v. Maslama (um 1000), lat. v. Adelhard v. Bath (um 1150), ed. A. A. Björnbo, Kopenhagen 1909 (Festschrift H . G. Zeuthen). Brâhmî-7Altern (um 250 v. Chr.): S. 49. B r a m e r , Benjamin (1588—1650?): S. 123, 141, 152. Etliche geometrische Quaestiones, Marburg 1618. Beschreibung eines sehr leichten Perspektiv- und grundreißenden Instruments, Kassel 1630. Apollonius Cattus, Kassel 1634, "1684.

Namen- und Schriftenverzeichnis B r a u n m ü h l , A.v. (1900/03):S.139. - * a t - T u s i ( l S 9 7 ) ; Scheiner (1891). B r e a s t e d , I. M. (1936): S. 18. B r e s s i e u , Maurice (1576?—1608): S. 139. Metrices astronomicae, • Paris 1581. B r e t s c h n e i d e r , E . ( 1 9 1 0 ) : S. 59,62. B r e y s i g , K . (1936): S. 11. B r i e f m a l e r , H a n n s (15. J h . ) : S. 91. Visierbuchlein auf allerhand Eich, Bamberg 1487. B r i g g s , Henri (1561—1630): S. 134, 136/38, 147. Logarithmorum chilias prima, London 1617. Aritmetica logarithmica, London 1624 ; 'ergänzt v. E . de Decker u. A. Vlacq, Gouda 1628. Trigonometria Britannica, ed. H . Gellibrand, Gouda 1633. Brockelmann, C. (1898/1942, 1939): S. 57. B r o n k h o r s t , J a n van (Noviomagus) (1494—1560): S. 113. De immens, Köln 1539 u. ö.; ed. G. Frizzo. Verona 1901. B r o s c i u s —* Brozek, J a n . B r o w n e , G. F. Alcuin (1908); Beda (1880 u. ö.). B r o z e k , J a n (Broscius) (1585 bis 1652) : S. 155. Leben u. Wirken: J . N. Franke, K r a k a u 1884; E. Stamm im Archeion 18, 1936. Aristotelis et Euclidi» defensus contra Petrum Humum et alios, Danzig 1652, Amsterdam 1699. B r u n e l l e s c h i , Filippo (1377 bis 1446): S. 93. Leben u. Wirken: C. v. Fabriczy, S t u t t g a r t 1892. B r u n e t , A. (1933): S. 68. B r u n e t , C. M. (1928, 1932): S. 8. B r u n e t , P. (1935): S. 23. B r u n i , Leonardo (Aretino) (1369 bis 1444) : S. 85/86. Leben u. Wirken: Fr. Beck, Berlin/Leipzig 1912. —> Aristoteles, Piaton. B r u n s , Lucas (17. J h . ) : S. 141. Perspektive, Leipzig 1615. B r y s o n v. Herakleia (um 410 v. Chr.) : S. 25. E r w ä h n t in ->• J a m b lich, Pythagoras-Biographie (um 300) und bei Aristoteles und dem zugehörigen Kommentar des —> Philoponos (6. Jh.). B ü r g i , Jost (1552—1632): S. 134 bis 135; 128, 137. Leben u. Wirken: H. R. Gieswald, Danzig 1856

165

(Prgr.) ; Eurzbiographie: E . Voellmy, Basel 1948, Beih. 5 zu d. Elementen d. Math. Arithmetische und geometrische Progreß-Tabulen, Prag 1620. Arithmetica (um 1592), ed. Gieswald, Danzig 1856. B u l a e u s , C. D. (1665/73): S. 77. Bull. Boncomp. = Bulletino di Bibliografia e Storia delle Scienze matematiche e fisiche, ed. B. Boncompagni (1868/87). B u o n c o m p a g n i , Ugo - > Gregor X I I I . B u r c k h a r d t , J . (1860): S. 89. B u r d a c h , K. (1893/1934): S. 89. B u r n e t , J . (1892): S. 2 3 . - » A r i s t o teles (1924); Platon (1899/1906). B u t é o n , J e a n (1492—1572): 109, 112, 137. Opera geometrica, Lyon 1554. De quadratura circuii, Lyon 1559. Logistica, Lyon 1559; vgl. G. Wertheim in der Bibl. math. (3) 2, 1901. B y z a n t i n e r (500—1500): S. 21, 53, 57. C a j o r i , FI. (1894): S. 8; (1896): S. 8. —> Gunter (1920); Oughtred (1916); Paz (1927). C a l a n d r i , Filippo (15. J h . ) : S. 91. De arimetrica opusculum, Florenz 1491, »1518. C a l c h u s , Wilhelm v. (17. J h . ) : S. 141. Zusammenfassung etlicher geometrischer Aufgaben, Bremen 1629. C a m e r a r i u s , Joachim (1500 bis 1574): S. 142,155.—»Dürer(1532, 1535); Euklid, Elemente (1549); Nikomachos (1554); Ptolemaios, Tetrabiblos (1535). C a m p a n u s —» Johannes Campan u s : S. 75/77, 79, 95/96. C a n t o n e , Oberto (16. J h . ) : S. 113. L'uso prattico delV arithmetica e geometria, Neapel 1599 u. ö. C a n t o r , M. (1880/1908): S. 8. Abh. z. Gesch. d. Math. (1877 bis 1918); Zeitschr. f . M. u. Ph. (1875 bis 1900) ;->-Agrimensoren (1875). C a p n i o - * Reuchlin. C a p e l l e , W. (1935): S. 24. C a r d a n o , Geronimo (1501—15-76): S. 102/06, 113/14, 116,140. Leben u. Wirken: E. Bortolotti, Bologna 1934; J . Eckman, Baltimore 1946; E. Rivari, Bologna 1906. Vgl. E . Giordani, Cartelli, Mai-

166

Namen- und Schriftenverzeichnis

land 1876. Autobiographie: lat. Basel 1542 u. 1575, ital. v. A. Bellini, Mailand 1932, dtsch. v. H. Hefele, Jena 1914, engl. v. J . Stoner, London 1931. Opero, ed. C. Spon, Lyon 1663 (10 Bde ; Math, in IV). Libellus qui dicitur computus minor, Mailand 1939; ed. B. Boncompagnl in den Coli, math., Mailand 1881. Practica arithmeticae generalis, Mailand 1539. Ars magna sive de regulis algebraicis, Nürnberg 1545. De subtilitate, Nürnberg 1550, Paris 1551 u. ö.; ed. M. M. Cass, Williamsport (Penns.) 1935. Opus noman de proportionibus, De regula Aliza + Pract. arithm. + Ars magna, Basel 1570. Sermo de plus et minus (posthum) = Opera IV. C a r r a de V a u x , B. - > Algazel (1902); Avicenna (1900); Heron (1894). C a r t e s i u s —» Descartes, René: S. 105, 125. C a s s i o d o r u s , Flavius Magnus Aurelius (4807—575?): S. 61. Leben u. Wirken: G. Minasi, Neapel 1895. Oesamtausgaben: Paris 1584 u. 1598, PL 69/70. De artibus ac disciplinis liberalium litterarum (um 544). Computus Paschalis sive de indicationibus cyclis solis et lunae (562). C a s s i r e r , E. (1906/20); S. 89; - » Pico (1942). C a s t a l d i , Pamfilo (Mitte des 15. Jh.): S. 88. Leben u. Wirken: P. Nai, Feltre 1940. C a t a l d i , Pietro Antonio (1548 bis 1626): S. 131, 140, 155. Leben u. Wirken: E. Bortolotti in der Mathesis 9,1919. Pratica Aritmetica, Bologna 1602/17 (4Bde) ; Nuova algebra proportionale, Bologna 1610, * 1619 ; Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri, Bologna 1613; Algebra applicata, Bologna 1622.-*Eukiid, Elemente (1613/25). Cattaneo, Girolamo (17. Jh.): S. 141. Opera del misurare, Brescia 1608. C a t a n e o , Pietro (16. Jh.): S. 113. La pratiche delle due prime Mathematiche, Venedig 1546, H559.

C a v a l i e r i , Bonaventura (1598? bis 1647): S. 147/48; 43, 139, 145, 150. Leben u. Wirken: H. Bosmans in der Mathesis 36, 1922; M. G. Sittignani im Periodico mat. (4) 13, 1933. Directorium generale uranometricum, Bologna 1632. Speccio ustorico (mero trattato delle sectioni coniche, Bologna 1632. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1621/29), Bologna 1635, 2 vermehrt 1653. Compendio delle regole de'triangoli, Bologna 1639. Centuria di varii problemi, Bologna 1639. Trigonometria plana et sphaerica, linearis et logarithmica, Bologna 1643. Exercitationes geometricae, Bologna 1647. C h a c e , A. B. (1927/29): S. 17. Ch'ang K ' i u - k i e n (6. Jh.): S. 59. Suan-king (um 575), Stereotypdruck 1084? Ch'ang Ts'ang (250?—152?). K'iu-ch'ang Suan-shu (um 176 v. Chr.). C h a u v e t , Jacques (16. Jh.): S. 112. Les institutions, o. O. 1578; ! ed. P. Taillefer, Rouen 1627 u. ö. C h i n e s e n : alte (3000—500): S. 18 bis 20. Mittelalterliche (200 v. Chr.—1300 n. Chr.) : S. 58/59,153. Ch'in K i u - s h a o (13. Jh.): S. 59. Su-shu Kiu-ch'ang (1247). Ch'ön H u o (1011—1075): S. 59. Ch'ön L u a n (6. Jh. n. Chr.) - » K'iu-ch'ang Suan-shu (um 535). C h r i s t m a n n , Jakob (1554—1630) : S. 139. Tractatio geometrica de quadratura circuii, Frankfurt 1595. Theoria lunae, Heidelberg 1611. al-Fargàn! (1590). C h r y s o l o r a s , M. (1330?—1415): S. 85/86. - * Piaton, Staat. C h u q u e t , Nicolas ( t u m 1500): S. 112, 114. Triparty enla science des nombres (Mskr. v. 1484), ed. A. Marre im Bull. Boncomp. 13, 1880. Vgl. Ch. Lambo in der Revue d. Quest. Se. 10, 1902. Chu S h i - k i é (13./14. J h . n. Chr.): S. 59. Szu-yuen YO-kien (1303). C i e r m a n s , Johann (1602—1648): S. 139, 155. Disciplinae mathematicae, Löwen 1640. C i r c u l e o , Pedro Sànchez (1470?

Namen- und Schriftenverzeichnis bis 1560): S. 114. Tractatus arithmeticaepracticae, qui dicituralgorismus, Paris 1495 u. ö. Cursus quattuor mathematicarum artiam liberalium, Paris 1516, span. Alcalâ 1516 u. ö. —• Johannes v. Sacrobosoo (1508); ThomasBradwardine (1495). Ciaren bald us v. Arras (um 1160): S. 68. Leben u. Wirken: W. Jansen, Breslau 1926. C i a v i u s , Christoph (1537—1612): S. 143; 103, 107, 109, 113/14, 117, 124, 128, 139, 141, 148/49, 153. Opera, Mainz 1611/12 (5 Bde). Epitome arithmeticae practicae, Rom 1583 u. oft; ital. Rom 1586 u. ö. Astrolabium, Rom 1593. Geometria practica, Rom 1604 u. ö. Algebra, Rom 1608. —> Buklid, Elemente (1574 u. sehr oft); Johannes v. Sacrobosco (1585 u. ö). : Theodosios (1586). Clemens XI. (Giovanni Francesco Albani) (* 1649, Papst 1700/21): S. 153. C l e r v a l , A. Les écoles de Chartres en moyen-âge, Paris 1895 —> Gilbert de la Porrée; Thierry v. Chartres. C l i c h t o v a e u s , Jodocus (1472 bis 1543): S. 114, 131. Praxis numerandi, Paris 1510. De mystica numerorum significatione opusculum, Paris 1513. -»• J . Lefèbre d'Ëtaples (1503). C o e h o o r n , Menno van (1641 bis 1704): S. 106. Nieuwe vestingsbouw, Leeuwarden 1685, 21702, dtsch. Düsseldorf 1709, frz. d. Haag 1741. C o h e n , M. R. (1948): S. 23. C o i g n e t , Michiel (1549—1623): 3. 139. Leben u. Wirken: H. Bosmans in den Ann. Soc. scient. Brüssel 25ij, 1901, Trdicté de sinus (1619), ed. Bosmans 1901. C o m e n i u s , Johann Amos (Komenski) (1592—1670): S. 144. Leben u. Wirken: J . Jakubek, Prag 1928; H. Staedke, Leipzig 1930. Als Math.: K. Cupr in Casopis 64, 1935. Opera didactica omnia, Amsterdam 1657; pâdag, Hauptschr. dtsch. v. J . Beeger, Leipzig 1874 u. Ö.

167

C o m m a n d i n o , Federigo (1509 bis 1575): S. 107/08, 116, 127, 140, 144, 150, 152, 155. Leben u. Wirken: B. Baldi (1587), abgedruckt im Giornale de'letterati d'Italia 19, Venedig 1714. De centro gravitatis solidorum, Bologna 1565. -> Apollonios (1566); Archimedes (1558, 1565); Autolykos (1572); Buklid, Elemente (1572); Heron (1575); Pappos (1588); Ptolemaios, Planisphaerium (1558), Analemma (1562); Serenos(1566). C o p p e r n i c u s , Nikolaus (1473 bis 1543): S. 110/11, 115, 149, 154. Leben u. Wirken: A. Armitage, London 1938, New York 1947; L. Prowe, Berlin 1883/84; E. Zinner, München 1937, Erlangen 1943. De hypothesibus motuum coelestium commentariolus (um 1510), ed. M. Curtze, Leipzig 1878 u A. Lindhagen, Stockholm 1881; m. dtsch. Übersetzg. ed. F. Roßmann, München 1948. De libris revolutionum N. Coppernici narratio prima, ed. G. J . Rhaeticus, Danzlg 1540, "Basel 1541; dtsch. v. K. Zelier, München/ Berlin 1943. De lateribus et angulis triangulorum, ed. G. J . Rhaeticus, Wittenberg 1542. De revolutionibu8 orbium coelestium (um 1530), Nürnberg 1543, »Basel 1566 u. ö. Faksimile-Ausg. d. Hdschr. ed. Fr. Kubach, München/Berlin 1944, d. Erstdruckes Paris 1928; Thorner Säkularausg. 1891; dtsch. v. C. L. Menzzer, Thorn 1879. Cosimo I. de'Medici (1389—1464, seit 1434 Gebieter der Republik Florenz): S. 85, 87. C o s s i s t e n : S. 101/06, 114, 117, 125 132 153. C o u l ö n , Fr. R." (1910): S. 78. C o u s i n , Jean (16. Jh.): S. 140. Lime de la perspective, Paris 1560. C o u t e r e e l s , Jan (16. Jh.): S. 113. 't konstigh Cyffer-Boek, Utrecht 1590 u. ö. Arithmetica, Middelburg 1599 u. ö. Creile, A. L. -* Journ. /. d. reine u. angew. Math, (seit 1826). C r e m e r —*• Mercator, Gerhard. C r ü g e r , Peter (1580—1639) : S. 136,

168

Namen- und Schriftenverzeichnis

139. Synopsistrigonometriae, Danzig 1612. Praxis trigonometriae logarithmicae, Danzig 1634. C u r a b e l l e , J e h a n (17. J h . ) : S. 141. Examen des Œuvres du S. Desargues, Paris 1644. -*• du Breuil (1651). C u r t i u s -»• Kurz, Sebastian. C u r t z e , M. (1895): S. 114. - ^ A b r a ham bar Chijja (1902); Andr. Alexander (1902); al-Zarqâlî (1900); an-Nairîzî (1899); Coppemicus (1878); Frater Fridericus (1895); Hugo v. S. Victor (1897); Johannes v. Sacrobosco (1897); J o r d a n u s Nemorarius (1887, 1891); Levi ben Gereon (1900); Nikolaus Oresme (1868); Petrus de Dacia (1897);Philolaos (1876); Regiomontan (1902); Thomas Bradwardine (1868). C u s a n u s . —»• Nikolaus v. Cues. S. 97/99, 121. C z w a l i n a , A. —>Apollonios (1926); Archimedes (1922/25); Autolykos (1931); Diophant (1952); Theodosios (1927). D a g o m a r i , Paolo (1281?—1365 oder 1374): S. 90. Regoluzze (um 1350), ed. G. Frizzo, Verona 1883. D a m a s k i o s (um 520 n. Chr.): S. 47. Leben u. Wirken: C. E. Ruelle, Paris 1861. Regelmäßige Körper: —»• Euklid, Elemente XV. D a m p i e r - W e t h a m , W . C . (1929): S. 8. D a n i e l v. Morley (um 1150 n. Chr.): S. 66. D a n t i , Egnatio (1537—1586): S. 107. J . Barozzi (1582); Euklid, Optik (1573). D a s y p o d i u s , Conrad (Rauchfuß) (1530?—1600): S. 142, 155. Mathematicarum disciplinarum principia, Straßburg 1567. Erotemata logistieae, geometriae, sphaerae, geographiae, Straßburg 1593,1596. Lexicon seu dictionarium mathematicum, Straßburg 1573. Vocabula quaedam geometrica (aus Héron), gr.-Iat., Straßburg 1571. -»•Autolykos (1572); Bernhard Barlaam (1564, 1572); Euklid, Elemente (1564 u. ö.). D a t t a , B. (1932): S. 20; (1935, 1938): S. 20, 52.

D e c e m b r i o , Pier Candido (1399 bis 1477): S. 85. ->- Piaton, Staat. D e c h a l e s , Claude François Milliet (1621—1678): S. 155. Cursus seu mundus mathematicus, Lyon 1674 u. ö. D e c k e r , Ezechiel de (17. J h . ) : S. 137. Leben u. Wirken: M. van H a f t e n im Nieuw Archief v. Wiskunde (2) 15, 1925. Nieuwe Telkonst, Gouda 1628. —• Briggs (1628), Marolois (1638). D e i n o s t r a t o s (um 350 v. Chr.): S. 25, 29. E r w ä h n t in Pappos, Collectiones (um 320). D e l a m a i n , Richard (17. J h . ) : S. 138. Grammelogia, or the Mathematical Ring, London 1630. D e l a t o r e , Alonso (15. J h . ) : S. 113. Vision delectable de la philosophia et artes liberales, Toulouse 1489 u. Sevilla 1538. D e m o k r i t o s v. Abdera (460? bis 370?): S. 22/23, 25, 28 Leben u. Wirken: L. Löwenheim, Berlin 1914; F. Enriques-M. Mazotti, Bologna 1948. D e n i f l e , H . (1892): S. 77. D e s a r g u e s , Girard (1591—1661): S. 133, 141. Leben u. Wirken: R . Taton, Paris 1951. Œuvres, ed. N. G. Poudra, Paris 1864 (2 Bde). Méthode universelle de mettre en perspective les objets donnés réellement ou en devis, Paris 1636. Perspective, adressée aux théoriciens, Paris 1643. D e s c a r t e s , René (1596—1650): S. 105, 117, 125, 154. Géométrie, Anhg. z. Discours de la méthode, Leiden 1637. Deutsche Perspektive: S. 140. Ed. H . Rodler, Simmern 1531 u. ö. D i e l s , H . (1879): S. 24; (1903): S. 24. -»- Héron (1918); Simplikios (1882/95). D i e t r i c h v. Freiberg (1250? bis 1310?): S. 77. Leben u. Wirken: E . Krebs, Münster 1906. De iride, ed. J . Würschmidt, Münster 1914. D i e z F r e y l e , J u a n (16. J h . ) : S. 113. Sumario Compendioso, Mexico 1556; ed. D. E . Smith, Boston 1921. D i g g e s , Leonhard (t 1571?): S.

Namen- und Schriftenverzeichnis 111. A Prognostication everlastings ..., ed. Th. Digges, Loudon 1576 u. ö. D i j k s t e r h u i s , E . J . - * Archimedes (1938/44, 1951); Buklid (1929 bis 1930); Stevin (1943). D i o g e n e s L a ë r t i o s (um 200 n. Chr.). De viris illustribus, gr. ed. C. G. Cobet, Paris 1850; dtsch. V. 0 . Apelt, Leipzig 1921 (2Bde); engl. v . R . D. Hincks, London 1925. —>• Hippasos. D i o k l e s (um 180 v. Chr.): S. 41. ' E r w ä h n t im Archimedes-^ommentar des Eutokios (um 520). Pseudo-Dionysius Areopagita (Syrer des 5. J h . n. Chr.) Gesamtausgaben: ed. B. Corderius, Antwerpen 1634 u . ö.; PO 3/4. Lat. aus d. Grieeh. v. —y Johannes Eriugena (858). D i o n y s o d o r o s (um 230 v. Chr.): S. 41. E r w ä h n t in —» Heron, iMetrica (um 100 n. Chr.). D i o p h a n t o s v. Alexandria (um 250 n. Chr.): S. 45/47, 51, 53/55, 75, 95/96, 99, 104, 109, 116/18, 126, 132. Arithmetica-, arab. v. Qustâ ibn L û q â (um 900), kommentiert v. Abû'1-Wafâ (um 970). Gr. Mskr. benutzt v. Regiomontan (1462); lat. v. G. Auria (um 1560), danach Teile ital. bearb. v. R. Bombelli: Algebra, 1572. Lat. v. W . Holtzmann (Xylander), 1575; danach teilw. frz. Bearbeitg. in S. Stevin: Arithmétique, 1585 u. ö. ; verbessert ed. A Girard, 1634. Teilw. lat. Bearbeitg. v. Fr. Viète: Zetetica, 1593. Gr.lat. ed. Ci. G. Bachet de Méziriac, Paris 1621, a ed. S. Fermât, Toulouse 1670. Dtsch. v. G. Wertheim, Leipzig 1890. Modern: Gr.-lat. ed. P . Tannery, Leipzig 1893/95; engl. Bearbeitg. v. Th. L. Heath, Cambridge 1885, ! 1910. Frz. v. P. Ver Eecke, Brügge 1926. Dtsch. v. A. Czwalina, Göttingen 1952. D o m e n i c o G u n d i s a l v i (um 1150 n. Chr.) : S. 56, 66, 69. De divisione philosophiae, ed. L. Baur, Münster 1903. - > al-Fârâbî, Avicenna. D o m e n i c u s de Clavasio (14. J h . n.

169

Chr.): S. 79. Practica geometriae (1364). D o m F r a n c o i s (1777/78): S. 78. D o m i n i c u s , d. hl. (1170—1221): S. 70. Leben u. Wirken: G. Bernanos, dtsch. Leipzig 1935. D o m i n i k a n e r (gegr. 1215): S. 70, 72/75, 77/78. D o m n i n o s v. Larissa (um 450 n. Chr.): S. 47. Manuale arithmeticae introductionis, ed. J . Fr. Boissonade: Anecdota Graeca XV, Paris 1832; frz. v. P. Tannery: Mim. sc. I I I , Paris 1915. D o s i t h e o s (um 240 v. Chr.): S. 36. D o u , J a n Pietersz (17. J h . ) : S. 155. —>• Euklid, Elemente (1606). D r a b k i n , I. E . (1948): S. 23. Dresdner Algebra C. 80 (um 1481): S. 114. Ed. E . Wappler in den Abh. z. Gesch. d. Math. 9, 1899. d u B r e u i i , J e a n (1602—1670): S. 141. La perspective pratique, Paris 1642 u. ö.; ed. J . Curabelle, P a r i s 1651 u. ö. D u c h e s n e (Quercetanus) Abaelard (1616); Alcuin (1617). D u c h e s n e , Simon (Quercetanus) (16. J h . ) : S. 129. D ü r e r , Albrecht (1471—1528): S. 94, 106, 125, 140. Leben u. Wirken: H . Wölfflin, München 1905, •1926; E . Waldmann, Leipzig 1919/20 (3 Bde); E. Flechsig, Berlin 1928/31. Nachlaß: E . Heidrich Berlin 1908. Als Mathematiker: H . Staigmüller, S t u t t g a r t 1891. Als Kunsttheoretiker: E.Panofsky, Berlin 1915. Als Perspektiviker: H . Schuritz, F r a n k f u r t a.M.1919. Opera, Arnheim 1604. TJnderweysung der Messung mit dem zirekel und richtscheyt, Nürnberg 1525, '1538; lat. Paris 1532 u. ö. Vgl. M. Steck, Halle/S. 1948. Etliche underricht zu befestigung der Stett Schloß und flecken, Nürnberg 1527; ed. W . Waetzolt, Berlin 1917. Lat. v. J . Camerarius, Paris 1535, frz. v. A. R a t h e a u , Paris 1870. Von menschlicher Proportion, Nürnberg 1528; lat v. J . Camerarius, Nürnberg 1532 u. ö.; frz. v. L. Meigret, Paris 1557; ital. v. G.P.Galucci, Venedig 1591.

170

Namen- und Schriftenverzeichnis

D u h a m e l , Pasquier (t 1565): S. 155. —*• Archimedes, Sandzahl (1557). D u h e m , P . (1906/13): S. 68 ->Leonardo da Vinci; (1913/17): S. 69. D v l v e d i , S. -»• Bhäskara (1910, 1927); B r a h m a g u p t a (1902); S(lrya-Siddhänta (1909/11); Varâhamihira (1889, 1895). E b e l i n g , E . (seit 1928): S. 14. B b e r t , M. 1924/32: S. 11. É c h a r d , J . (1719/21): S. 78. B i s e n l o h r , A. (1877): S. 17. E l z e v i e r , Buchdrucker in den Niederlanden (17. J h . ) : S. 124. E n e s t r ö m , G. - » Bibl. math. (1886 bis 1914). —» J o r d a n u s Nemorarius (1906/08, 1914). E n r i q u e s , F. (1932): S. 23; (1938): S. 8. -*• Demokritos (1948); Euklid, Elemente (1925/37). E r a s m u s v. R o t t e r d a m , Desiderius (1467—1535): S. 141. Leben u. Wirken: J . Huizinga, Haarlem 1924 u. ö.; K . A . Meissinger, B e r lin 1948. Opera, ed. B. Rhenanus, Basel 1540/41. De ratione studii et inatituendi pueros commentant, P a r i s 1512. E r a t o s t h e n e s v. Kyrene (276? bis 194?): S. 36. Mathem. erwähnt i n Pappos, Collectiones (um 320) u. Nikomachos, Introductio (um 100). E r m a n , A. (1923): S. 18. E s t i e n n e , H . —* Sextos Empirikos (1562); Piaton (1578). E s t i e n n e , R o b e r t (1503—1559): S. 88. Leben u. Wirken: A. Bernard, Paris 1856. E s t i e n n e de l a R o c h e (Villefranche) ( ' u m 1480): S. 112. L'arismethique, Lyon 1520, s 1538 mit starker Benutzung von Chuq u e t (1484). É t i e n n e , S. (1752): S. 78. E u d e m o s v. Rhodos (um 320 v. Chr.): S. 30. Leben u. Wirken: Th. Fritzsche, Regensburg 1851. Fragmente, ed. L. Spengel, Berlin 1866,"1870. E u d o x o s v. Knidos (408?—355?): S. 27/29, 33/35, 37. Über das Math.: O. Becker in Quell, u. Stud. B 2, 1933 u. B 3, 1936. Das

Astronomische ed. Fr. Blaß, Kiel 1887 (Prgr.); vgl. H . Künßberg, Dinkelsbühl 1889/90 (2 Prgr.) u. G. V. Schiaparelli, Mailand 1875, dtsch. v. W. Horn in den Abh. z. Gesch. d. Math. 1, Leipzig 1877. E u g e n i o s v . Sizilien (12. J h . n. Chr.): S. 67.-»Ptolemaios,Opii4. E u k l i d v. Alexandria (365?—300?): S. 31/35; 27, 39, 41/42, 46/47, 50, 53/54, 56, 61, 64, 66/68, 72/73, 75/77, 79/80, 93, 95/96, 102, 107 bis 109, 119,135,142/43,146,153, 155. Bibliographie: P . Riccardi, Bologna 1887/93 (5 Teile); vgl. C. Thomas-Stanford, London 1926. Kurzdar stelig: K. Fladt, Berlin 1927. Oesamtausgabe: J . L. Heiberg-H. Menge, Leipzig 1883 bis 1916 (8 Bde).—Elemente: S. 31 bis 35; 27, 39, 41, 47, 56, 61, 64, 66/68, 72/73, 75/77, 79/80, 95/96, 102, 108/09, 119, 142/43, 146, 153, 155. Vortheonische Redaktion, gr.Iat.-frz. ed. Fr. Peyrard, Paris 1814/18. Nach Theon v. Alexandria (um 370 n. Chr.) lat. v. Boètius (um 500). Arab. v. al-Hajjàj (um 820), nebst K o m m e n t a r d. an-JTairizt (um 900) lat. v. Gerhard v. Cremona (1144), ed. M. Curtze, Leipzig 1899. Arab.-Iat. ed. R . O. Besthorn, J . L. Heiberg u. andere, Kopenhagen 1893 bis 1910 u. 1932. Arab. v. a t - ^ u s i (um 1250), Druck R o m '1594, Stambul 1801; in Sanskrit v. J a gannata (1731). Über weitere arab. Übersetzer u. Kommentatoren vgl. A. G. K a p p in d. Isis 22/23, 1934/35. L a t . Auswahl aus d. Griech. : Pseudo-Boetius (11. Jh.). Lat. Auswahl aus d. Arab. v. Adelhard v. B a t h (um 1150); vollst, v. Johannes Campanus (um 1270), ed. E . Ratdolt, Venedig 1482, Neuausgabe v. L. Pacioli, Venedig 1509. Lat. aus d. Or. v. B. Zam berti, Venedig 1505 u. ö. Synoptisch nach Campanus/ Zamberti, ed. J . Lefèbre d ' È t a ples, Paris 1516. Griech. ed. S. Grynaeus (zus. m. d. Proklos-Kommentar), Basel 1533. Or.-lat. v. J . Camerari us, Leipzig 1549 (ohne Beweise) ; ed. M. Steinmetz, Leipzig 1577 (mit Beweisen). Von. J .

Namen- und Schriftenverzeichnis Scheybl, Basel 1550 (I/VI); v. C. Dasypodius (Rauchfuß), Strasburg 1564 u. ö.; v. J . Sthen, Wittenberg 1564 (VII als Dialog). Lat. v. P . de la Ramée, Paris 1545 u. ö. ; v. Fr. Foix de Candale, Paris 1566 u. ö. ; v. F . Commandlno, Pesaro 1572; v. Chr. Clavius, R o m 1574, Köln 1590 u. sehr oft. Dtsch. v. W. Schmidt, Nürnberg 1539 (I); v. J . Scheybl, Augsburg 1555 ( V I I / I X ) ; v. W. Holtzmann (Xylander), Basel 1562 Archimedea u. —»• Apollonios. v a n E y c k , J a n (1381?—1441): S. 93. Leben u. Wirken: G. J . Kern, Leipzig 1904. F a u l h a b e r , Johann (1580—1635): S. 106, 131/32, 137, 140. Arithmetischer cubiccossischer Lustgarten, Ulm 1604. Arithmetischer Wegweiser. Ulm 1614. Kalender für 1618, Ulm 1618. Miracula arithmetica, Augsburg 1622. Ingenieur-Schul, F r a n k f u r t 1630/33. Academia algebrae, Ulm 1631. F a v a r o , A. —> Galilei (1894/1908, 1910); Magini (1886); Tartaglia (1913). F e l d e r , H . (1904): S. 78. F e l i c i a n o , Francesco (Lazesio) (1490?—1537?): S. 113. Libro de abaco, Venedig 1517. Libro di Arithmetica y Geometria. Venedig 1526 u. sehr o f t (bis 1692). F e i n e r , Nikolaus (16. J h . ) : S. 112. Ein New Behenndes und ganz gründtliches Rechenbuchlin auff der Linien und Federn, E r f u r t 1535. F e m e , Konrad (16. J h . ) : S. 112. Eyn gut new rechenbuchleyn, E r f u r t 1523. F e r m a t , Pierre de (1601—1665): S. 124/25, 132. ->• Apollonios, Ebene örter (II 1629, 1 1637). F e r n e l , J e a n (1497—1558): S. 114. De proportione libri duo, Paris 1528. F e r r a r i , Ludovico (1522—1565): S. 103/04, 117. Vgl. E . Giordani, Cartelli, Mailand 1876. F e r r o , Scipione del (1465?—1526): S. 103/05.

172

Namen- und Schriftenverzeichnis

F e t t w e i s , E . (1927): S. 11. Ficino, Marsigli (1433—1499): S. 87. -»• P i a t o n (1483/84), Theon v. S m y r n a (1463). F i l e l f o , Francesco (1398—1481): S. 85. Lebemi. Wirken: S. A. Rosmini. Mailand 1808 (3 Bde). -»• Aristoteles. F i n e , Oronce (1494—1555): S. 109, 114. Opera, ital. v. C. B a r t o l i , Venedig 1587. Protomathesis, Paris 1532 u. ö. Arithmetica practica, P a r i s 1535 u. ö. In sex priores libros geometricorum elementorum Euclidis demonstrationes, Paris 1536 (Anhang zu E u k l i d , Elemente lat.-gr. n. Zani berti). De Quadratura circuii, P a r i s 1544. De rebus mathematicis hactenus desideratis, ed. A. Mizauld, P a r i s 1556. —> Georg v. P e u r b a c h (1525); Guyeno (1519); Reiseh (1523). F i n k , T h o m a s (1361-1656) : S. 128, 139. Geometria TOtundi, Basel 1583. F i o r , A n t o n i o Maria (16. J h . ) : S. 103. F i s c h e r , J o h a n n : S. 112. Ein künstlich Rechenbüchlein, "Wittenberg 1559 u. ö. F l i e h e , A. (1929): S. 62, 64. Florentiner Arithmetik: S. 90. Questo e ellibro de tracta di Mercatante, Florenz 1481. F o r c a d e l , Pierre (1520—1576): S. 112, 155. Arithmétique entière et abregée, P a r i s 1556/57 (3 Bde). '1565. Arithmétique par les gects, P a r i s 1558.-»-Archimedes (1565); A u t o l y k o s (1572); E u k l i d (1564 bis 1566); G e m m a Frisius (1561); J o r d a n u s Nemorarius (1570). Vgl. J . Mogenet im Arch, i n t e r n , hist, sci. 29,1950. F o r e s t a n i , Lorenzo (17. J h . ) : S. 140. Practica d'Arithmetica e Geometria . .., Venedig 1603 u. ö. F o r t i a d ' U r b a n , A. —>Aristarchos (1823); A u t o l y k o s (1810, 1823). F o r t i u s —» Sterck v a n Singé!bergh, J o a c h i m . F o s s e y , C h . (1904): S. 14. F r a n c e s c h i —> Piero de* F r a n c e schi. F r a n c k e , O. (1930/37): S. 59.

F r a n c o v . L ü t t i c h (um 1050 n. Chr.): S. 64. Quadratura circuii; ed. C. W i n t e r b e r g In den A b h . z. Gesch. d . M a t h . 4, 1882. F r a n k , E . (1923): S. 26, 30. F r a n z v. Assissi, d. hi. (1182 bis 1226): S. 70. Leben u. Wirken: H . L e m a l t r e - A . Masseron, P a r i s 1927; J . B e r n h a r t , F r e i b u r g 1947. F r a n z i s k a n e r (gegr. 1210): S. 70, bis 74, 78. F r e i g e , J o h a n n e s T h o m a s (1543 bis 1583): S. 142. Logicae Rameae triumphus, Basel 1583. Quaestiones geometricae et stereometricae in Euclidis et Rami elementis, Basel 1583. ->• R a m é e (1596). F r a t e r F r i d e r i c u s (15. J h . ) : S. 114. Algebr. Mskr. (um 1461), ed. M. Curtze in den A b h . z. Gesch. d. M a t h . 7, 1895. F r i e d l e i n , G. ->- B o e t i u s (1861); Proklos (1873). F r i e d r i c h I I . (1194—1250, seit. 1215 römischer K a i s e r ) : S. 74. F r i z z o , G. B r o n k h o r s t (1901); D a g o m a r i (1883). F r o b e n , J o h a n n e s (1460?—1527): S. 88. F r o b e n i u s , Georg L u d w i g (1566 bis 1645): S. 137, 139. Clavis universi trigonometrica, Hamburg 1634. F u r o n , R . (1939): S. 11. G a l i l e i , Galileo (1564—1642): S. 144/45, 1 4 7 / 4 8 , 1 5 4 . L e b e n u . Wirken: A . F a v a r o , M o d e n a 1910; L . Olschkl, Halle 1927; G. Loria, P a v i a 1936; A. K o y r é , P a r i s 1939. Bibliographie: X. Carli-A. F a v a r o , R o m 1896. Freundeskreis: A. F a v a r o , Venedig 1884/1908 (8 Teile). Opere, ed. F a v a r o , F l o r e n z 1898 bis 1909 (20 Bde) ; »vermehrt 1929 bis 1939 (21 Bde). Schulet: Florenz seit 1942. Discorsi e dimostrazioni matematiche, Leiden 1638 u. ö. ; frz. v. M. Mersenne, P a r i s 1639; d t s c h . v . A . v. O t t i n g e n , Leipzig 1890'91 (Ostwalds Klass. 11, 24/25). Mechanik (nach 1604), frz. v. Mersenne, P a r i s 1635. De motu (1589/92): vgl. R . Giacomelli, Pisa 1949. G a n d z , S. (1939): S. 14. g w 8 r a z m i (1938).

al-

Namen- und Schriftenverzeichnis G a u t h i e r , L. (1900): S. 57. ->• A b u b a c e r (1909) ; Averroes (1948). G e c h a u f f , T h o m a s (Venatorius) (1490—1551): S. 95. ->- Archimedes (1544). G e h r l , Georg (t nach 1588): S. 113. Leben u. Wirken: Q. V e t t e r in d. Veröff. d. tschech. Univ. P r a g N r . 94, 1929. Ein Nützlich und künstlich Rechenbuch auff der Federn, o. O. 1577, tschechisch Czerny 1577. G e l l i b r a n d ' , H e n r i (1597—1637): S. 137. An institution trigonometricall, L o n d o n 1638, ! 1652. - * Briggs (1633). G e m i n o s v. R h o d o s (um 75 v. Chr.): S. 32. Leben u. Wirken: C. Tittel, Leipzig 1895. Introductio in phaenomena, ed. E d o Hilder i k , Altdorf 1590 u. ö. Elementa a8tronomiae, gr.-dtsch. ed. K . Manitius, Leipzig 1898; frz. v. N. B. H a l m a , A n h g z. P t o l e m a i o s , Almagest, P a r i s 1819. Math. Fragmente in P . T a n n e r y : La géométrie grecque, P a r i s 1887. G e m m a F r i s i u s ( R a i n e r van den Steen) (1508—1555): S. 113, 125. Leben u. Wirken: A. Pogo in der Isis 22, 1935. Arühmeticae practicae methodus facilis (um 1536), W i t t e n b e r g 1540 u. sehr o f t (bis 1652); z. B. ed. J . Peletier, P a r i s 1550, u. frz. v. P . Forcade!, P a r i s 1561. Geometria deutsch, o. O. u. J . (um 1484): S. 91. Vgl. S. G ü n t h e r in d. Z. M. P h . 20, 1875. G e o r g v. P e u r b a c h (1423—1461): S. 92, 99, 113. Elementa arithmetics, algorühmus de numeris integris, o. O. 1492 u. sehr o f t , z. B. ed. G. T a n n s t e t t e r , "Wien 1515 u. ed. J . Vögelin in d. Elementa geom., W i t t e n b e r g 1536. Theoricae novae planetarum (1453/54), ed. J . R e g i o m o n t a n , N ü r n b e r g 1472, Venedig 1495, 1499 u. ö., z. B. ed. O. Fine, P a r i s 1525; ed. E . R e i n h o l d , W i t t e n b e r g 1553. Tabulae eclipsium, ed. G. T a n n s t e t t e r , Wien 1514. Epitoma in Almagestum Ptolemaei (1460/62, zus. m. J . R e g i o m o n t a n ) , Venedig 1496. Tractatus super propositio-

173

nes Ptolemaei de sinubus et chor¿ ¿ s , e d . J . Schöner, N ü r n b e r g 1541. G e o r g v . U n g a r n (15./16. J h . ) : S. 114. Arithmeticae summa tripartita, o. O. 1499 in den Niederlanden g e d r u c k t ; ed. C. v . SzilyA. Heller, B u d a p e s t 1894. G e o r g i o s v. T r a p e z u n t (1396 bis 1486): S. 86, 94. Comparatio Piatonis et Aristotelis (1464), Venedig 1523.—> P t o l e m a i o s , Älmagest (um 1450). G e r b e r t v . Aurillac (9407—1003), seit 999 P a p s t Sylvester I I . ) : S. 63/64, 91. Leben u. Wirken: H . B r e m o n d , P a r i s 1906; J . Leflon, P a r i s 1946; F . P i c a v e t , P a r i s 1897. Oesamtausgabe: ed. A . Olleris, Clermont F e r r a n d / P a r i s 1867; Opera mathematica, ed. N . B u b nov, Berlin 1899. G e r b i l l o n , J e a n - F r a n ç o i s (1654 bis 1707): S. 153. G e r c k e , A . (1910/12): S. 23. G e r h a r d v. Cremona (1114—1187) : S. 56, 67, 92. Leben u. Wirken: B. B o n c o m p a g n i , R o m 1851. —»• a l - F a r g â n î , a l - Ç w â r a z m i , alZarqâlî, an-Nairîzî, Aristoteles, A u t o l y k o s , A v i c e n n a , b a n û Mûsâ, J â b i r ibn A f l â h , Menelaos, Ptolemaios, Almagest. G h a l i g a i , Francesco (1490? bis 1536): S. 113. Summa de Aritmetica, Florenz 1521 u. ö. G h e t a l d i , Marino (1566—1627): S. 140/41. Nonnullae propositions de parabola, R o m 1603. Variorum problematum collectio, Venedig 1607. De resolutione et composition mathematica, R o m 1630. Viète (1600). G i l b e r t de la Porrée (1080?—1154): S. 66. Lebenu. Wirken:inA.Clerval, Écoles de Chartres, P a r i s 1895. De sex principiis, ed. A. Woestefeld, Leipzig 1507: ed. E . B a r baro (15. J h . ) , PL 188. G i l e s , H . A . (1898): S. 59. G i l l a i n , O. (1927): S. 17. G i l s o n , E . ->• Abaelard (1938); A u g u s t i n u s (1930); B o n a v e n t u r a (1924, 1943). G i o r d a n i , E . I sei cartelli di matematica disfida, Mailand 1876. —* Cardano, F e r r a r i , T a r t a g l i a .

174

Namen- und Schriftenverzeichnis

G i o t t o di Bondone (1266—1337): S. 83, 93. Leben u. Wirken: J . B. Supino, Florenz 1920; F. Bintelen, Basel 1923. G i r a r d , Albert (1595—1632): S. 106, 117, 123, 126, 132/33, 139. Leben u. Wirken: H. Bosmans in der Mathesis 41, 1926. Trigonometrie, d. Haag 1626. Invention nouvelle en algibre, Amsterdam 1629; ed. D Bierens de Haan, Leiden 1884. Maroiois (1627 bis 1629); Stevin (1625, 1634). G i u n t i (Buchdrucker im 15. bis 17. Jh.): S. 88 .Leben ». Wirken: A. M. Bandini, Lucca 1791 (3 Bde). G i a i s h e r , J . W. L. (1921): S. 114. G l a n v i l l e , S. R. K. (1927): S. 17. G l a r e a n u s —• Loriti, Heinrich. G l o s k o w s k i , Mathias (17. Jh.): S. 141. Geometria peregrinane, Krakau 1643. Vgl. dazu S. Dickstein in der Bibl. math. (2) 3, 1889 G o b i n e a u , J . A. (1877): S. 89. G o l i u s — G o o l , Jakob. Gool, Jakob (Golius) (1596—1667): S. 130. G o o v a e r t s , L. Ptolemaios, Almagest m. Kommentar d. Theon v. Alexandria zu I/II u. d. Pappos zu V/VI (1538). G u a r i n i , Camillo Guarino (1624 bis 1683): S. 155. Euclides adauctus, Turin 1671 u. Ö. G ü n t h e r , S. (1876): S. 140; (1908): S. 8. Apian (1882); Herwarth v. Hohenburg (1889); Stromer (1880); J . Werner (1878). G u l j e n o , Juan Martinez (Silicius) (16. Jh.): S. 114. Arithmetica practica, Paris 1514, 'ed. O. Fine, Paris 1519. Guldin,Paiil(1577—1643): S. 150; 46,147. Problema arithmeticum de rerum combinatoribus, Wien 1622. Centrobaryca, Wien 1635/41 (4 Bde). G u n t e r , Edmund (1561—1626): S. 137/39. Leben u. Wirken: Fl. Cajori in den Pubi. Univ. California 1, 1920. Works, 'ed. W. Leybourn, London 1673. Canon triangulorum, London 1620. Zus. m E. Wingate: Construction, description et usage de la regle de proportion, Paris 1624. G u r j a r , L. V. (1947): S. 52. G u t e n b e r g , Johannes (1400? bis 1468) : S. 88, 91. Leben u. Wirken: A. Kuppel, Berlin 1939, '1947. Kalender (seit 1448). 42zeilige Bibel (Mainz 1452/55). 36zeilige Bibel (Mainz 1457/58). H a l à y u d h a (10. Jh.): S. 51. Kommentar zu Fingala, Chandah-stìtra

Namen- und Schriftenverzeichnis (um 150 v. Chr.), ed. S. Sitanath, Calcutta 1840. H a l l e y , E. Apollonios (1706, 1710); Menelaos (1758); Theodosios (1758). H a l l i w e l l , J . 0 .! Rara arithmetica, London 1838, 1841: S. 112. - * Alexander v. Villedieu. H a l m a , N. B. Geminos (1819); Ptolemaios, Abnagest (1813/16). H a n g e s t , Hieronymus de (t 1538): S. 80. Liber proportionum, Paris 1508. H a n s e n , Peter Andreas (1795 bis 1874): S. 129. H a r d y , Claude (1600—1678): S. 155. ->- Euklid, Data (1625). H a r r i o t , Thomas (1560—1621): S. 117, 133, 138, 140. Leben u. Wirken: H. Stevens, London 1900; M. C. Bradbrook, The School Ot Night, Cambridge 1936. Attis analyticae praxis (um 1610), ed. W. Warner, London 1931. H a s h a g e n , J. (1950): S. 64. H a s k i n s , Ch. H. (1924, 1927): S. 69. H a s s e , H. (1928): S. 30. H a u r i a u , B. (1872): S. 69. -»• Hugo v. S. Victor (1886). H e a r n s h a w , F. J. C. (1922): S. 69. H e a t h , Th. L. (1921): S. 23; (1931): S. 23. Apollonios (1896); Archimedes (1897, 1912, 1920); Aristarchos (1913, 1920); Aristoteles (1949); Diophant (1885); Euklid (1908). H e i b e r g , Johann Ludwig (1854 bis 1928): S. 37. ->• Apollonios (1890 bis 1893); Archimedes (1880/81, 1906/07, 1910/15); Aristoteles (1904); Euklid (1883, 1916, 1893 bis 1910); Heron (1899/1914); Ptolemaios (1895, 1898/1907); Serenos (1895); Theodosios (1927). H e i d e l , W. A. (1933): S. 23. H e i m s o e t h , H. (1922): S. 89. H e i n l i n , Johann Jakob (1588 bis 1660): S. 155. Synopsis mathematica, Tübingen 1653 u. ö. H e i n r i c h IV. (* 1553, König v. Frankreich 1589—1610): S. 123. H e l m r e i c h , Andreas (16. Jh.): S. 112. Rechenbuch, Eisleben 1561, Leipzig 1588 u. ö. Henisch, Georg (1549—1618):

175

S. 140. Arithmetica perfecta et demonstrata, Augsburg 1609. H e n r i c u s A r i s t i p p u s v. Catania (12. J h . n. Chr.): S. 67. H e n r i o n , Denis (t 1640): S. 137, 155. Traicté des logarithmes, Paris 1626. Euklid, Elemente (1615 u. ö.). H e r b e s t u s , Benedikt (1531 bis 1593): S. 113. Arithmetica linearis, Krakau 1561 u. 1577. H é r i g o n e , Pierre (17. Jh.): S. 117, 155. Cursus mathematicus (lat.fiz.), Paris 1634/37, Supplementum 1642; zus. M644. H e r m a n n v. Kärnten (12. J h . n. Chr.): S. 66. - * al-jwârazmt, Rechenbuch u. Ptolemaios, Planisphaerium (1143) H e r o d i a n (um 200 n. Chr.): S. 21. H e r o n v. Alexandria (um 100 n. Chr.): 8. 42/43; 37/38, 51, 53/54, 66, 76, 127, 144, 155. Leben u. Bedeutung: E. Hoppe im Hermes 62, Berlin 1927. Gesamtausgabe; ed. W. Schmidt, L. Nix, H. Schöne, J. L. Helberg, Leipzig 1899/1914 (5 Bde); ältere Ausgabe: Fr. Hultsch, Berlin 1864, Leipzig 1864. Vocabula guaedam geometrica, gr.-lat. ed. C. Dasypodius, Straßburg 1571 als Anhang zu Euklid, Elemente I. Mechanica, arab. v. Qus(â ibn Lûqâ, frz. v. B. Carra de Vaux, Paris 1894. Catoptrica, lat. v. Wilhelm v, Moerbeke, (1268/72). Dioptrico, ital. v. J . B. Venturi, Bologna 1814; frz.-gr. ed. Ed. Vincent in d. Notices et extraits X I X „ Paris 1858. Spiritalia, lat. v. Wilhelm v. Moerbeke (1268/72); v. F. Commandino, Urbino 1575 u. ö. Gr.lat. v. M. Thévenot in der Matematici veteres, Paris 1693; ital. v. A. Giorgi, Urbino 1592 u. ö., dtsch. v. Ag. Cario, Frankfurt a. M. 1688; engl. v. J . ß . Greenwood, London 1851; frz. v. E. Lacoste, Paris 1883. ' Automati, ital. v. B. Baldi, Venedig 1589. Bellopoica, lat. v. B. Baldi, Augsburg 1616; gr.-lat. ed. M. Thévenot, 1693; frz. v. Wescher, Paris 1867; gr.-dtsch. v. H. Diels-E. Schramm, Berlin 1918. PseudoHeron : De machinia bellicis et de

176

Namen- und Schriftenverzeichnis

geodaesia, lat. v. Fr. Barozzi, Venedig 1572. H e r w a r t h v. Hohenburg, H a n s Georg (1553—1662): S. 139. Leben u. Wirken: S. Günther In J a h r b . f. Militärgesch. 3, Bamberg 1889. Tabulae arithmeticae prosthaphai• reseos universales, München 1610. H e s s e n , J . (1922): S. 62, 64 H i p p a r c h o s v. Nikäia (180?-125): S. 42/44, 72. E r w ä h n t im Kommentar d. Theon v. Alexandria zu Ptolemaios, Almagest (um 370). H i p p a s o s v. Metapont (um 400 v. Chr.): S. 26/27. E r w ä h n t v. Diogenes Laertios (um 200). Entdeckung d. Inkommensurablen: K. v. Fritz in den Annais of Math. 48, 1945. H i p p i a s v . ' E l i s (geb. um 460 v. Chr.): S. 25. E r w ä h n t i n Pappos, Collectiones und Proklos, EuklidKommentar. H i p p o k r a t e s v. Chios (um 440 v. Chr.): S. 22, 24/25, 76. Fragment über die Möndchenquadratur, enthalten im Aristoteles-Kommentar des —» Simplikios; ed. F. Eudio, •Leipzig 1907; ed. O. Becker in Quell, u. Studien B 3, Berlin 1936. H i r s c h v o g e l , Augustin (t 1560?): S. 129, 140. Eine eigentliche und. gründliche Anweisung in die Geometrie, Nürnberg 1543. H o f f m a n n , Heinrich (17. J h . ) : S. 155. Euklid (1651). H o f m a n n , J . E. (1951): S. 8. - » Gregorius a S. Vincentio (1941): Lionne (1937/38); N . Mercator (1938, 1950); Thomas Bradwardine (1951). H o h e n s t a u f e n : S. 83. H o l t z m a n n , Wilhelm (Xylander) (1532—1576): S. 109, 116, 126, 155. Opuscula mathematica, Heidelberg 1577. -»• Euklid, Elemente dtsch. (1562); Diophant (1575). H o l z a p f e l , H . (1909): S. 78. H o m e r : 8. 84. Prosaübersetzg d. Ilias durch Leontius Pilatus (1359/62). H o n d , Hendrik (17. J h . ) : S. 141. Institutio artis perspectivae (frz.), o. O. 1622. H o p p e , E. ->- Heron (1927); Stifel (1900).

H o s e , J . Gr. (1935): S. 14. H o u t s m a . M . T h . (seit 1913): S. 57. H r a b a n u s M a u r u s (784—856): S. 63. Leben u. Wirken: J . B. Hablitze), Freiburg 1906. Als Naturalise.: V f . Middel, Berlin 1943 (Diss.). Gesamtausgabe: ed. Colvener, Köln 1627 (6 Bde); PL 107 bis 112. H s ü K u a n g - c h i n g (1562—1634): S. 153. - * Euklid, Elemente (1603 bis 1607). H u g o v. S. Victor (1096—1141): S. 67/68. Lebenu. Wirken: B. Hauréau, Paris 1886 ; A. Migon, Paris 1895 (2Bde). Gesamtausgabe: Paris 1518 U. 1526 u. ö.; PL 175/77. Geometrie, ed. M. Curtze in den Monatsh. f. M. u. Ph. 8, 1897. H u i z i n g a , J . (1924): S. 82. - > E r a s m u s (1924). H u l t s c h , Fr. (1864/66): S. 24. -*• Autolykos (1885); Heron (1864); Pappos (1876/78); Römer (1864/66). H u s w i r t , Johann (16. J h . ) : S. 113. Enchiridion novus algorismi, Köln 1501 u. ö.; ed. D. Wildermuth, Tübingen 1864/65 (Prgr.). H u y g e n s , Christiaan (1629—1695): S. 121, 131, 149, 151. De circuii magnitudine inventa, Leiden 1654. Theoremata de quadratura hyperboles, ellipseos et circuii ex dato portionum gravitatis centro, Leiden 1651. H u y s m a n -»• Agricola, Rudolf. H y p a t i a v. Alexandria (370? bis 415): S. 47. H y p s i k l e s v. Alexandria (um 180 v. Chr.): S. 41, 45, 53. Regelmäßige Körper nach Apollonios —• Euklid, Elemente X I V . Vieleckzahlen, arab. v. Qus(ä ibn Lüqä (um 900), ed. K . Manitius, Dresden 1888. l a m b l i c h o s (283?—330). Nikomachos; Pythagoras. I b n a l - H a i t a m (Alhazen) (965? bis 1039): S. 54/55, 77, 93, 134. Studien: H. Suter in der Bibl. math. (3) 12, 1911/12. Kreisquadratur: arab.-dtsch. ed. Suter in der Z. M. P h . 44, 1899. Perspectiva, lat. V. Witelo (um 1270), ed Fr. Risner, Basel 1572; arab.-

Namen- und Schriftenverzeichnis dtsch.ed.Baarmann, Lelpzigl8S2. Vgl. M. Nazif-Bey, Kairo 1942/43. Siebenecksabhandlung: dtsch. in al-Btrüni, Al-Qänün (1030). I b n B ä j j ä —> Avempace. I b n G e b i r o l -*Avencebrol. I b n S i n ä —»• Avicenna. I b n T o f a i l — • Abubacer. I n d e r : alte (3000—500): S. 18/20. mittelalterliche (500—1200): S. 49/52; 6, 14, 44, 53/58, 68, 90. Initius Algebras: S. 114. —> Andr. Alexander (1524). d ' I r s a y , St. (1933/35): S. 77. Isji&q i b n H u n e i n (f 910): S. 53 ' bis 54. —Archimedes u. Menelaos (um 890). I s i d o r o s v. Milet (um 520 n. Chr.): S. 47. I s i d o r u s v. Sevilla (570?—636): S. 61. Leben u. Wirken: B. Breh a n t . New York 1912; C. H . Beeson, München 1913. Oesamtausgaben: ed. la Bigne, Paris 1580 u. ö.; PL 81/84. OTigines seu Etymologiae, Augsburg 1472; ed. W. M. Lindsay, Oxford 1911 (2 Bde). Vgl. R . B . B r o w n . Lexington 1949. Isis, ed. G. Sarton (seit 1913). Isoperimeter-Abhandlung—>Zenodoros. S. 72. J ä b i r i b n A f l ä h ( t u m 1145): S. 56, 92. Astronomie (um 1085), lat. v. Gerhard v. Cremona (um 1150),ed. P.Apian,Nürnbergl534. J a c o b , Simon (1510?—1565): S. 103, 112, 114, 122, 134. Rechenbuch auff den Linien und mit Ziffern, F r a n k f u r t a. M. 1557 u. ö., Auszug aus: Ein New und Wolgegründt Rechenbuch auff den Linien und Ziffern (1552), Frankf u r t a. M. 1565 u. ö. J a k o b v. Cremona ( t u m 1452): S. 94/95, 98. -*• Archimedes (1450). J a k o b V. Venetien (12. J h . ) : S. 66. - • A r i s t o t e l e s (1128). J a m i t z e r , Wenzel (1508—1586): S. 140. Perspectivacorporumregularium (dtsch.), Nürnberg 1568; R a u b d r u c k : Syntagma, Amsterdam 1618. J a p a n e r (17./18. J h . ) : S. 59. Jartoux, Pierre (1670—1720): S. 153. 12 Hofmann, Gesch. d. Math.

177

J e r e m i a s , A. (1929): S. 14. J e s u i t e n (gegr. 1534): S. 108, 143 bis 145, 148/153. China-Mission: H . Bernard in der Revue Quest. sc. 103, Löwen 1935. J ö s t e i , Melchior (17. J h . ) : S. 139. Logistica prosthaphairesis astronomica, o. O. 1619. J o h a n n e s V I I I . Paläologus (1391 bis 1448, seit 1425 Kaiser v. Byzanz): S. 85. J o h a n n e s Campanus v. Novara (13. J h . ) : S. 75/77, 79, 95/96. - • E u k l i d , Elemente (um 1270). — K o m m e n t a r e zu Menelaos, Theodoslos u. Ptolemaios, Planisphaerium (nach Jordanus Nemorarius). —*• Johannes Peckham. J o h a n n e s Duns Scotus (1270? bis 1308): S. 78. Leben u. Wirken: C. Harris, Oxford 1927 (2 Bde); E . Longpré, Paris 1924; P . Minges, Quaracchi 1908 (2 Bde); D. Scaramuzzi, Rom 1927. Gesamtausgaben: Lyon 1639 (12 Bde); P a r i s 1891/95 (2 Bde). J o h a n n e s E r i u g e n a (810? bis 877?): S. 63. Leben u. Wirken: H . Bett, Cambridge 1925;M.Cappuyns, Paris 1933; P . Kletler, Leipzig 1931. Gesamtausgabe: PL 122. —> Pseudo-Dionysius Areopagita (858). J o h a n n e s Fidanza —• Bonaventura. J o h a n n e s v. Gmunden (1380? bis 1442): S. 92, 113. Tractatus de minutiis physicis, ed. G. Tannstetter, Wien 1515. J o h a n n e s v. Landshut (16. J h . ) : S. 113. Algorithmus linealis, Krakau 1513 u. ö. J o h a n n e s de Lineriis (1300? bis 1350): S. 79, 92, 113. Algorismus de minutiis, Venedig 1540 u. ö.Canones tabularum primi mobilia (1323), ed. M. Curtze in der Bibl. math.(3) 1,1900. —* Altonsinische Tafeln (abgeschl. 1322). J o h a n n e s Mauduith (14. J h . n. Chr.): S. 79. J o h a n n e s de Muris (1290? bis 1360?): S. 79, 113. Arithmetica communis, ed. G. Tannstetter, Wien 1515. J o h a n n e s Peckham ( 1240?—1292) :

178

Namen- und Schriftenverzeichnis

S. 72/73, 76, 93. Perspectiva communis, ed. F. Cardano, Mailand nach 1482, Venedig 1504 u. ö.; ed. G. H a r t m a n n , Nürnberg 1542. Kreisquadratur : Anhang zu Thomas Bradwardine, Geometria speculativa (1495), fälschlich dem Johannes Campanus unterschoben. J o h a n n e s v. Sacrobosco (1200? bis 1256?): S. 74, 78/79, 113. Algorismus, Drucke seit 1488; ed. M. Curtze, Kopenhagen 1897. De sphaera mundi, Ferrara 1472, Venedig 1499 u. ö. ; dtsch. v. C. v. Megenburg (1349), Druck Wien, Ak. Ber. 7, phil.-hist. KI., 1851; dtsch. v. C. Heynvogel, Köln 1519, Straßburg 1539 u. ö. Vgl. L. Thorndike, Chicago 1949. Computus ecclesiasiasticus (1232). Kommentar zum Algorismus u. zur Sphaera von Petrus de Dacia (1291). J o h a n n e s v. Sevilla ( t u m 1153): S. 56, 66. Opera, Nürnberg 1548. —> al-Färäbi; al-Fargänt; alJCwàrazml; Avicenna. J o h a n n e s v. St. Aegidio (um 1230): S. 70. J o r d a n u s Nemorarius (um 260?): S. 75/76, 113. Arithmetica, ed. J . Lefèbre d'Etaples, Paris 1496 u. 1514. Algorithmus demonstratus, ed. J . Schöner, Nürnberg 1534, frz. v. P. Forcadel, Paris 1570. Demonstratio de algorismo, ed. G. Eneström in der Bibl. m a t h . (3) 7, 1906/07. Opus numerorum, ed. Bneström ebda. (3) 8, 1907/08. Demonstratio de minutiis ed. Eneström ebda. (3) 14, 1914. De numeris datis, ed. P . Treutlein in den Abh. z. Gesch. d. Math. 2, 1879; ed. Curtze in der Zeitschr. f. M. u. P h . 34, 1891; ed. R . Daublebsky v. Sterneck in den Monatsh. f. M. u. P h . 7, 1896. Geometria de triangulis, ed. M. Curtze in den Mittl. d. Coppernicus-Vereins 6, Thorn 1887. De ponderibvs, ed. P . Apian, Nürnberg 1533; ed. N. Tartaglia, Venedig 1565. —>Ptolemaios, Planisphaerium; Zenodoros. J o r d a n u s Saxo (t 1237): S. 75.

Journ. f . d. reine u. angew. Math. = Journal für die reine und angewandte Mathematik, ed. A. L. Crelle (seit 1826). J u d e n : S. 56/57, 66, 69,72,79, 92. J u n g e , G. (1907): S. 30. -»• Pappos (1930). J u n g i u s , Joachim (1587—1657): S. 141. Leben u. Wirken: E . Wohlwill in den Abh. aus d. Geb. d. Naturwiss. 10, H a m b u r g 1887; Hamburg/Leipzig 1888. A. Meyer, H a m b u r g 1928 u. JungiusFestschrift, H a m b u r g 1929. Geometria empirica, Rostock 1627. J u s t i n i a n (* um 482, Kaiser v. Byzanz 527/65): S. 47. Karapapaddhati (Anf. 15. Jh.) : Vgl. C. T. Rajagopal — T. V. Vedamurta Aiyar in d. Scripta m a t h . 15, 1949 u. 17/18, 1951/52. K a r l d. Große (742—814, König der Franken 768, römischer Kaiser 800): S. 62. K a r l V. (* 1500, 1516/56 König v. Spanien, 1519/56 deutscher Kaiser, t 1558): S. 127. K a r m e l i t e n (gegr. 1155): S.74,79. Karosthi-Ziffern (zw. 400 v. u. 300 n. Chr.): S. 49. K a r p i n s k i , L. Ch. fl911): S. 52. —>Abû Kâmil (1911/12); a l - 0 w â razmî (1915). K a u f f m a n —*• Mercator. Nikolaus. K a y e , G. R . (1915): S. 20, 52. BaMshdlt-Vlskr. (1933). K e p l e r , Johannes (1571—1630): S. 145/47; 130, 136, 150, 152, 154. Leben u. Wirken: M. Caspar, S t u t t g a r t 1948; Bibliographie: Caspar, München 1936; Familiengeschichte: G. Keppler, Görlitz 1930/31; Wissensch, u. Philos.: Caspar, München 1935; dtsche math.Fachspr.: A.Götze in d.German. Stud. 1, Berlin 1919. Briefe, ed. Caspar-W. v. Dyck, München 1930; ed. Caspar, München seit 1949. Opera omnia, ed. Chr. Frisch, Frankfurt/Erlangen 1858/71 ; neue Ausg. lat. u. dtsch. ed. Caspar, München seit 1923. Ad Vitellionem paralipomena, F r a n k f u r t a. M. 1604. Astronomia nova stellae Martis (1607), Heidelberg 1609. Nova stereornetria doli-

Namen- und Schriftenverzeichnis orum vinariorum, Linz 1615. Auszug aus der Uralten Messekunst Archimedis, Linz 1616. Harmonice mundi, Linz 1619. Chilias logarithmorum (1621/22), Marburg 1624. Supplementum chiliadis logarithmorum, Marburg 162S. Tabular. Rudolphinae, Ulm 1627. K e r n , H.-»- A r y a b h a t a (1875); Varàhamihira (1865). K i n d e r m a n n , H . (1934): S. 8. K'iuch'ang Suan-shu (um 250 v. Chr.): S. 58.. Ed. Ch'ang Ts'ang (um 176 v. Chr.), Stereotypdruck um 1115, K o m m e n t a r v. Liu Hui (3. J h . n. Chr.) u. Ch'ön Luan (um 535). K l i e m , Fr. - > Apollonios v. Perge (1927); Archimedes (1914, 1927). K l o s , Tomas (16. J h . ) : S. 114. Algorithmus, K r a k a u 1538; ed. M. A. Baraniecki, Krakau 1889. K ö b e l , J a k o b (1470—1533): S. 91, 112. Eynn Newe geordent Rechenbüchlein, Oppenheim 1514, A u g s burg 1514, "Oppenheim 1518. Eyn New geordnet Vysirbuch, Oppenheim 1515. Zwey Rechenbüchlein uff den Linien unnd zipher mit einem angehenkten Visirbuch, Oppenheim 1537/38,®rrankfurtl544. K o m e n s k i —> Comenius, J o h a n n Amos. K o n o n v. Samos ( t u m 240 v. Chr.): S. 36, 39. K r a u s e , M . (1936): S. 57;->-Menelaos (1936). K r o l l , W . : S. 23. K r u m b a c h e r , K. (1897): S. 57. K u r z , Sebastian (Curtius) (1576 bis 1659): S. 140/41. Schuelrechenbuechlein, o. O. 1600, 2 1610. Tractatus geometricus, Amsterdam 1617 (aus d. Niederl.). Arithmetica practica, das ist: ein Newes Wolgegründetes Rechenbuch, Leipzig 1619. L a F a i l l e , Charlesde (1597—1652): S. 150. Leben u. Wirken: H . Bosmans in den Ann. Soc. sc. Brüssel 38n, 1914 und in der Mathesis 41, 1927. Theoremata de centro gravitatis partium circuii et ellipseos (vor 1628), Antwerpen 1632. L a l o v e r a , Antoine de (1600 bis 1664): S. 151. Quadratura circuii 12»

179

et hyperbolae segmentorum, Toulouse 1651; vgl. G. K r o p p im J o u r n . reine u. angew. Math. 189, 1951 (Diss.). L a n s b e r g e , Philipp van (1561 bis 1632): S. 130, 139. Leben u. Wirken: H . Bosmans in der Mathesis 42, 1928. Triangulorum geometricorum libri quatuor, Leiden 1591. Cyclometria nom, Middelburg 1616. L a p a z z a i a , Giorgio (16. J h . ) : S. 113. Libro d'arithmetica e geometria, Neapel 1566, lat. Neapel 1566 mit Ausgaben bis 1784. L a P e n e , J e a n de (1528—1558): S. 155. -»• Euklid, Optik u. Musik (1557); Theodosios (1557). L a s k a r i s , Andreas Johannes (1446 bis 1535): S. 87. Leben u. Wirken: H . Vast, Paris 1878. L a s k a r i s , Konstantin (1434 bis 1501): S. 86. Erotemata (griech. Grammatik), Maliand 1476 (erster griechischer Druck). L a ß w i t z , K. (1889/90): S. 69. L a x , Gäspar (1487?—1560); S. 114. Arithmetica speculativa, Paris 1515. Proportiones, Paris 1515. L a z e s i o —Feliciano, Francesco. Lederrolle d. British Museum (17. J h . v. Chr.): S. 15, 17. L e f i i b r e d'lStaples, Jacques (1455? bis 1536): S. 96, 142. Leben u. Wirken: Graf, Straßburg 1842. Introductio in arithmeticam speculativam nebst Kommentar des J . Clichtovaeus, Paris 1503. Euklid, Elemente (1516); Jordanus Nemorarius (1494, 1514); Nikolaus v. Cues (1514). L e G e n d r e , Franfois ( f u m 1675): S. 140. Leben u. Wirken: V. Sanford in Osiris 1, 1936. TraieU arithmetique, Paris 1646. L'Arithmetique en sa perfection, Paris 1657 u. sehr o f t (bis 1812). La vraye maniere de tenir liiyres de comptes, Paris 1658. L e i b n i z , Gottfried Wilhelm (1646 bis 1716): S. 52, 77, 139. Brevis descriptio machinae arithmeticae, Miscellan. Berolinens. 1710. Leipziger Algebra Nr. 1470 (1486): S. 114. Vgl. E . Wappler in d. Zeitschr. f. M. u. P h . 45, 1900.

180

Namen- und Schriftenverzeichnis

Leipziger Rechenbuch: S. 113. Algorithmus linealis, Leipzig 1490. L e j e u n e , A. —»• Buklid u. Ptolemaios, Optile (1948). L e n o k e r , H . (16. J h . ) : S. 140. Perspectioa, Dürnberg 1571, Ulm 1617. L e o n (um 370 v. Chr.): S. 29. Erw ä h n t in Proklos, Euklid-Eommentar. L e o n v. Byzanz (9. J h . ) : S. 47. L e o n a r d o Fibonacci v. Pisa (1180? bis 1250?): S. 74/75. Leben u. Wirken: B. Boncompagni, B o m 1S52. Scritti ed. B.Boncompagni, B o m 1854/62 (3 Bde). Liber abbati (1202, s 1228); Practica geometriae (1220); Liber quadratorum (1225), frz. v . P . Ver Becke, Brügge [1950?], vgl. B . B. Mc Clenon im Am. math. monthly 26, 1919. Flos super solulionibus quarundam quaestionum. L e o n a r d o da Vinci (1452—1519): S. 94, 134. Leben u. Wirken: P. Duhem, Paris 1906/13 (4 Bde); B . Marcolongo, Neapel 1937, Bom 1939; A. Uccelli, Mailand 1942. Ausgaben: M. Ch. Bavaisson/ Mollien, Paris 1881/93 (7 Bde). Codex Tiivulzio, Hailand 1891; Codex Atlanlicus, Mailand 1894/ 97; Codex Atundel, B o m 1923/31 (4 Bde); CodexFoster, B o m 1930. Btsche Auswahl aus Tagebüchern u. Aufzeichnungen: Th. Lücke, Leipzig 1940. Il trattato della -pietura, Bom 1651, ed. A. Amoretti, Mailand 1804; engl. v. E . Mac Curdy, New York o. J . , dtsch. v. H. Ludwig, Wien 1882, ed. M. Herzfeld, J e n a 1909. Zur Mechanik: B . Marcolongo, Neapel 1932. L e o n t i u s Pilatus (14. J h . ) : S. 84. -»•Homer, Ilias (1359/62) L é o t a u d , Vincent (1595—1672): S. 149. Examen circuii quadraturae, Lyon 1654, -*• Lionne. le P r ê t r e —»• Vauban, Sébastien le Prêtre de. L e u r e c h o n , Jean (1591?—1670): S. 140. Récréations mathématiques, Pont-à-Mous9on 1625 u. sehr oft. L e v i ben Gerson (1288—1344): S. 79, 92. Leben u. Wirken: J . Carlebach, Berlin 1910. Die Praxis

des Rechners, ed. G. Lange, F r a n k f u r t a. M. 1909. De sinibus, chordis et areubus, ed. M. Curtze in der Bibl. m a t h . (3) 1, 1900. L é v y - B r u h l , L. (1928): S. 11. L i b r i , G. Sistoire des sciences mathématiques en Italie, Paris 1838 bis 1841 -»• a K g w à r a z m i (1838). L i C h i T s ' a o (t 1631): S. 153. -»• Euklid, Elemente (1603/07). L i c h t , Balthasar (16. J h . ) : S. 113. Algorithmuslinealis, Leipzig 1500, 2 1513. L i - m a - t o —* Bicci, Matteo. L i o n n ' e , Artus de (1583—1663): S. 134. Leben u. Wirken: J . E . H o f m a n n im National Mathematics Magazine 12, 1937/38. Amoenior curvilineorum contemplatio, ed. V. Léotaud im Examen circuii quadraturae, Lyon 1654. L i t t l e , A. G. (1892): S. 7 8 ; - * B o ger Bacon (1914). L i u H u i (3. J h . n. Chr.): S. 58/59. Hai-tau Suan-king (263), Stereotypdruck 1083 ? —»• K'iu-Ch'ang Suan-shu. L i Y e h (1178—1265): S. 59. I-ku Yen-tuan (1259). L ö f f l e r , E. (1912): S. 11. L o n g b e r g , Christian Severin (Longomontanus) (1562—1647): S.129, 139. Cyclometrica, Kopenhagen 1612. Astronomia Danica, Amsterdam 1640. Rotundi in piano seu circuii absoluta mensura, Amsterdam 1644. L o n g o m o n t a n u s —• Longberg, Christian Severin. L o r e n z o I. de* Medici, il Magnifico (1448—1492, seit 1469 Gebieter der Bepublik Florenz) : S. 87. L o r i a , G. (1895): S. 23; (1916): S. 8; (1921): S. 140; (1929/1933): S. 8; (1929 ): S. 23. L o r i t i , Heinrich (Glareanus) (1488 bis 1563): S. 113. Leben u. Wirken: H . Schreiber, Freiburg 1837. De sex arithmeticae practicae speciebus (1538), Freiburg 1539 u. ö. L o y o l a , Inigo Löpez de Becalde (1491—1556): S. 143. L u d o l p h van Ceulen (1540 bis 1610): S. 122, 126, 129/30. Leben u. Wirken: H . Bosmans, Löwen 1911 u. in der Mathesis 39, 1920.

Namen- und Schriftenverzeichnis 2

Van den Circkel, Delft 1596, Leiden 1615; lat. v. W. Snell, Leiden 1819. De Arithmetische en Geometrische fondamenten, Leiden 1615, lat. v. W. Snell, Leiden 1615. L u t h e r , Martin (1483—1546): S. 110, 141. Leben u. Wirken: H . Grisar. Freiburg 1912/13 (3 Bde), 1921 ; A . v . Harnack, Berlin 1917. Gesamtausgabe: Weimar seit 1883. Bibliographie: G. Kawerau, Leipzig 1917. M a c h i a v e l l i , Niccolò (1469 bis 1527): S. 83. Leben u. Wirken: P. Villari, 'Florenz 1912/14; dtsch. Leipzig 1877/83. Historie Fiorentine (1525), Florenz 1532. II principe (1514), R o m 1532. Opere, Erstdruck R o m 1531/32. M a c k a y , E . (1935, 1938): S. 20. M a g i n i , Giovanni Antonio (1555 bis 1617): S. 139. Briefwechsel: A. Favaro, Bologna 1886. De planis triangulis, Venedig 1592. Tabula tetragonica, Venedig 1592. Tabulae et canones primi mobilia, Venedig 1604. M a i e r , Anneliese (1939, 1940, 1943, 1949): S. 82. M a l l o wan., M. L. (1935): S. 14. M a n d o n n e t , P . —• Thomas v. Aquino (seit 1921); Siger v. Brabant (1908, 1911). M a n l t i u s , K . -»• Geminos (1898); Hypsikles (1888); Ptolemaios, Almagest (1912/13). M a n i t i u s , M. (1911/31): S. 64, 69. M a n j u l a (um 930): S. 51. Laghumdnasa (932), Poona 1944. M a n o l e s s e , Carlo (17. J h . ) : S. 150. ->• Pappos (1660) ; Valerio (1661). M a n n i n g , M. P. (1927/29): S. 17. M a n s e r , G. M. (1915): S. 82. M a n u t i u s , Aldus (1448—1515): S. 88. Leben u. Wirken: E . Goldsmid, Edinburg 1887 (3 Bde); H. Omont, Paris 1892. M a r i n o s v. Sichern (um 500 n. Chr.): S. 47. Einleitung zu E u k lid, Data, gr.-lat. ed. Ol. Hardy, Paris 1625; ed. J . L. Heiberg in Euklid, Opera VI, 1896, frz. v. M. Michaux, Löwen 1947. Proklos. M a r i u s , Simon (1570—1624): S. 155. - e Euklid, Elemente (1610). M a r i u s Victorinus, Gaius (4. J h . ) :

181

S. 60. Leben u. Wirken: G. Geiger, Metten 1887/88 u. 1888/89 (Pr.). Gesamtausgabe: PL 8 u. 64 (dort de definitione fälschlich als Werk des Boètius). M a r o l o i s , Samuel(17. J h . ) : S. 141. Mathematische Werke, Arnheim 1616, Amsterdam 1618; lat.dtsch. v. Abr. de la Faye, Oppenheim 1617 ; ed. A. Girard, Amsterdam 1628/29. Perspective théorique et praclique, d. Haag 1614, dtsch. Amsterdam 1628, lat. Amsterdam 1629, nieder!. v. E . de Decker, Amsterdam 1638. Géométrie contenant la théorie et la pratique d'icelle, Arnheim 1616, dtsch. Amsterdam 1618; ed. A. Girard, Amsterdam 1627. -»• Vries (1647). M a r r e , A. ->• Behà ed-dtn (1864); Chuquet (1880). M a r s h a l l , J . (1931): S. 20. M a r s i l i u s v. Inghen (1330? bis 1396): S. 81. Leben u. Wirken: G. R i t t e r in den Heidelberger Sber. 1921. M a r t i a n u s Minaeus Felix C a p e i l a (um 450 n. Chr.): S. 61, 63. Leben u. Wirken: E . Narducci, R o m 1883. De nuptiis Philologiae et Mercurii (zw. 410 u. 439), Vicenza 1499; ed. A. Dick, Leipzig 1925. Dtsch. v. Notker Labeo (um 1000), ed. H . H a t t e m e r , St. Gallen 1847. M a r t i g n é , P . de (1888): S. 78. M a s è r e s , F r . Scriptores logaritmici, London 1791/1807. N. Mercator (1791); Speidell (1807). M a s l a m a —*• B r a h m a g u p t a ; Ptolemaios, Planisphaerium (um 1000). M a t t h i a s Corvinus (1443—1490, 1458 König von Ungarn): S. 89, 99. M a s s o n - O u r s e l , P . (1933): S. 52. M a u r o l i c o , Francesco (1494 bis 1575): S. 108/09. Leben u. Wirken: D. Scina, Palermo 1808; F . Napoli im Bull. Boncomp. 9, 1876. Opuscula mathematica (1553, 1557), Venedig 1575 (2 Bde), darin Arithmeticorum libri duo (1557), selbständig Venedig 1580. —*• Apollonios (1548, Druck 1654); Archimedes (1548, Druck 1670 bzw. 1685); Autolykos, Mene-

182

Namen- und Schriftenverzeichnis

laos, Theodosfos (1558); Euklid, Phaenomena (1558?, 1591). M a y a (3000 v. Chr.—1500 n. Chr.): S. 18/20. M e d i c i (Florentiner Fürstengeschlecht): S. 85, 87. M e i ß n e r , Br. (1931/25): S. 14; (seit 1928): S. 14. M e l a n c h t h o n , Philipp (Schwartzerd) (1497—1565): S. 110, 141. Leben u. Wirken: G. Ellinger, Berlin 1902; G. Krüger, Halle 1906; als Math.: Bernhardt, Wittenberg 1865, ! 1896. Oesamtausgaben: Basel 1541, Wittenberg 1562/64; Halle / Braunschweig 1834/70 (29 Bde). - * Ptoleraaios, Tetrabiblos (1553). M e n a i c h m o s (um 350 v. Chr.): S. 29, 39. E r w ä h n t in Proklos, Euklid-Kommentar (um 470) u. Eutokios, Archimedes-Kommentar (um 520). M e n e l a o s v. Alexandria (um 100 n. Chr.): S. 43, 53, 55, 76. Bedeutung: A . A. Björnbo in d. Abh. z. Gesch. d. m a t h . Wiss. 14, Leipzig 1902. Sphärik, arab. v. Ishaq ibn Hunein u. T a b i t ibn Qiirra (um 890), m. Verbesserg d. Abu Nasr (um 1000) ed. M. Krause, H a m burg 1936 (Diss.). L a t . v. Gerhard v . Cremona (um 1150); Kommentar dazu v. Johannes Campanus (um 1260). l a t . v. Fr. Maurolico, Messina 1558; v. M. Mersenne (1630) in der Synopsis, 1644. L a t . aus d. Hebr. v. E . Hallev, ed. Costard, Oxford 1758. M e n g h i n , O. (1931): S. 11. M e n n i n g e r , K . (1934): S. 11. M e n t e l i n , Johannes (1420? bis 1478): S. 88. M e r c a t o r , Gerhard (Cremer) (1512 bis 1594): S. 127. Globus für Karl T.: 1541. Vgl. H . Wagner In den Annalen d. Hydrographie 43, 1915. M e r c a t o r , Nikolaus (Kauffman) (1620—1687): S. 138. Leben u. Wirken: J . E. H o f m a n n in d. Abh. Ak. Mainz 1950. Logarithmotechnia, London 1668; ed. Fr. Masères, Scriptores logarithmici I, London 1791. Vgl. J . E. Hofmann in d. Deutschen Math. 3, 1938.

M e r s e n n e , Marin ' (1588—1648): S. 124, 140, 153, 155. Leben u. Wirken: R. Lenoble, Paris 1943. Correspondance, ed. C. de Waard — R . P i n t a r d , Paris 1932, 1937, 1946. Questions inoûves ou récréations des scavans, Paris 1634. Cogitata physico-mathematica, Paris 1644. Universae geometriae mixtaeque mathematicae synopsis, P a ris 1644. Galilei (1635, 1639). M e t i u s , Adrian (1571—1635): S. 139, 141. Doctrina sphaerica, Franeker 1591. Arithmeticae etgeometriae practica, Franeker 1611. Praxis nova geometrica per unum circini, Franeker 1623. Aritmetica et geometria nom, Leiden 1625. Arithmeticae libri II et geometriae libri TI, Leiden 1626. MaetConstigh Liniael, Franeker 162G. Manuale arithmeticae et geometriae pi acticae, Amsterdam 1634. M i c h a e l Scottus (1175?—1234?): S. 74. Super autorem sphaerae (gegen Johannes Sacrobosco), Bologna 1495, Venedig 1631. Leben u. Wirken: W. Brown, Edinburg 1897. -s- Alpetragius (1217). M i c h a l s k i , K . (1922): S. 82. M i c h e l , P. H . (1950): S. 26. M i c y l l u s , J a k o b (1503—1558): S. 113. Arithmetica logistica, Basel 1555. M i e l i , A. (1916): S. 23; (1935): S. 23; (1939): S. 57. M i g n e , J . P . -->- PG (1857/66), PL (1844/64). M i k a m i , Y . (1912): S. 20, 59. M i l l e r , G. A. (1916): S. 8. M ö l l e r , G. (1927): S. 18. M ö n c k e b e r g , T. J . (1924): S. 82. M o e r b e k e — W i l h e l m v. Moerbeke. Monatsh. /. M, Ph. = Monatshefte für Mathematik und Physik (seit 1890). M o n d o l f o , R . (1932): S. 23. M o n h o m i u s , Johannes (16. J h . ) : S. 113. Methoius arithmeticae computatoriae, Düsseldorf 1561. M o n t a i g n e , Michel E y q u e m de (1533—1592): S. 154. Leben u. Wirken: H . Friedrich, Bern 1949. Essais (seit 1571), Bordeaux 1580 (2 Bde), Paris 1588 (3 Bde) u. sehr oft.

Namen- und Schriftenverzeichnis H o n t e , Guidubaldo del (1545 bis 1607): S. 126/27, 133, 140, 144. 152, 155. Leben u . Wirken: B, Baldl (Mskr. 1596). Mechanicorum liber, Pesaro 1577, dtsch. v. D. Högling, F r a n k f u r t 1629. TheoHa planisphaeriorum, Pesaro 1579. Peispectivae libri VI, Pesaro 1600. - * Archimedes (1588). M o o r e , J o n a s (1617—1679): S. 140. Ärithmetick, London 1650 u. ö. Mo r e , Thomas (1477—1535): S. 110. Leben u. Wirken: T. E . Bridgett, London 1891; R . "W. Chambers, London 1935, dtsch. München/ Kempten 1946. Briefe, ed. E . Fr. Sogers, Princeton 1947. Englische Werke London 1557, lateinische Werke Basel 1563 u. ö.; Gesamtausgabe Frankfurt/Leipzig 1689. M o r g a n , A. de (1847): S. 112. M o r i t z v. Oranien («1567, Statthalter der Niederlande 1584/1625): S. 126. M o r l a n d , Samuel (1625—1695): S. 139. The Description ami Use of two Ärithmetick Instruments, London 1673. M o r l e y , S. G. (1915, 1938, 1946): S. 20. M o r t i e r , P. (1903/11): S. 78. M o s c h o p u l o s , Manuel (um 1300): S. 57, 140. Über magische Quadrate, gr.-dtsch. ed. S. Günther, Verm. Unters., Leipzig 1876; gr.frz. ed. P . Tannery (1886) = Mim. sc. IV, 1920; engl. v. J . C. McCoy in den Scripta math. 8, 1948. M o s e s Maimonides (1135—1204): S. 69. Leben u. Wirken: L. G. Livy, Paris 1912. Moskauer Papyrus (etwa 17. J h . v. Chr.): S. 15, 17. M o y a , J u a n Perez de (16. J h . ) : 5. 113. Arithmetica Practica V Speculativa, Salamanca 1562 u. sehr oft (bis 1784). M ü l l e r , I. (seit 1885): S. 23. M ü l l e r , Johannes aus Königsberg in Fr. —»• Regiomontanus. M u s l i m e (750—1300): S. 52/57; 6, 31, 38/39, 41/42, 44, 46, 48, 58, 64/67, 69, 72/74, 75, 79, 81, 90, 92, 101. M v d o r g e , Claude (1585-1647): S. 140, 146, 152/53. Leben u. Wir-

183

ken: Ch. Henry im Bull. Boneomp. 14, 1881 u. 16, 1883. Examen du livre des recréations mathématiques et de ses problèmes, Paris 1630 (gegen Leurechon 1624). Prodromus catopticorum et dioptricorum sive conicorum opus, P a ris 1631 u. ô. N a g l , A. (1914): S. 24. N a n H u a i - j è n —• Verbiest, Ferdiand. N à r à y a n a (14. J h . ) : S. 51, 140. Bljaganita (1350), Mskr. Ganitakaumudi (1356), Mskr. N a r d e c c h i a (1906): S. 78. N a r d u c c i , E . —»• Martianus Capella (1883); Remigius v. Auxerre (1883). N a s i r e d - d l n a ( - T ü s t - > - at-Jüst N a u d é , Philipp (1684—1747): S. 123. N a v e , Annibale della (1500? bis 1558): S. 103. N e p e r , J o h n (1550—1617): S. 135 bis 136; 116, 134, 137/39. Leben u. Wirken: E . W . Hobson, Cambridge 1914. Tercentenary Volume, ed. C. G. K n o t t , London 1915. Mirifici logarithmorum canonis descriptio, Edinburg 1614 u. ö. Engl. v. Ed. Wright, London 1616, »1618 m. Anhang (wohl v. W . Oughtred); Edinburg 1889. Mirifici logarithmorum canonis constructio (vor 1614), Edinburg 1619, Leiden 1620; engl. v. W . R . Maedonald, Edinburg/London 1889. Vgl. 0 . Mautz, Basel 1919 (Prgr.). Rhabdologia seu numeratio per virgulas, Edinburg 1617 u. Ö. ; dtsch. v. B. Behr, Berlin 1623, ital. Verona 1623, engl. Übertrgg v. J . Dansie, London 1627. De arte logistica, ed. M. Napier, Edinburg 1839. N e s t l e , W . (1908): S. 24; (1923): S. 23. N e u g e b a u e r , O. —»• Quell. «. Stud. (1931/38); (1926): S. 17; (1934): S. 14, 17; (1934)/37): S. 14; (1945): S. 14; (1951): S. 14, 17, 24. ->- Apoilonios (1949). N e u p l a t o n i k e r (250—650): S. 46 bis 47; 6, 44/45, 53, 60, 62, 68/69, 71, 73, 77, 85/86, 97, 146.

184

Namen- und Schriftenverzeichnis

N e u p y t h a g o r e e r (100 v. Chr. bis 200 n. Chr.): S. 44/45; 6, 21. N e w t o n , Isaac (1643—1727): S. 146. N i c c o l ò de Niccoli (1363—1437): S 85 N i c c o l ò P i s a n o (1216?—1278): S. 83. Leben u. Wirken: H . Graber, Straßburg 1811. N i c é r o n , J e a n François (1613 bis 1646): S. 133, 141. La perspective curieuse ou magie artificielle des effects merveilleux, Paris 1638, frz.-lat. P a r i s 1663. N i f o , Agostino (1473—1546): S. 87. —> Aristoteies-Averroës (1495 bis 1497). N i k o l a u s V„ zuvor Tommaso Parentucelii (1397—1455, seit 1447 P a p s t ) : S. 86, 89, 94. N i k o l a u s v. Amiens (12. J h . n. Chr.): S. 68. Ars catholicae /idei (um 1190), PL 210 (als vermeintliche Schrift des Alanus ab Insulis). N i k o l a u s v. Cues (Cusanus) (1401 bis 1464) : S. 97/98; 95/96, 99,106, 121, 130. Leben u. Wirken: E . Vansteenberghe, Paris 1920. Opera: Straßburg 1488, Mailand 1501; ed. J . Lefèbre d'Ëtaples, Paris 1514, 'Basel 1565. Gesamtausgabe der Heidelberger Ak., Leipzig seit 1932. Mathematische Schriften, dtsch. v. J . H o f m a n n , H a m b u r g 1951. N i k o l a u s Oresme (1323?—1382): S. 80/81. Leben u. Wirken: E . Borchert, Münster 1934. Algorismus proportionum, ed. M. Curtze, Berlin 1868. De proportionibus proportionum (um 1350), Venedig 1505. De uniformitate et difformitate intensionum (vor 1371),teilw. ed. M. Curtze in der Zeitschr. f. M. u. Ph. 12, 1868; vgl. H . Wieleitner in der Bibl. math. (3) 13, 1913/13 u. 14, 1913/14. Auszug eines Schülers, gedruckt als Tractatus de latitudinibus formarum, P a d u a 1482 u. 1486, Venedig 1505; nach der Ausgabe des Biagio v. P a r m a ed. G. Tannstetter, Wien 1515. Traité de la Sphère, Commentaire aux livres de Ciel et du Monde (1377), Mskr.

N i k o m a c h o s v. Gerasa (um 100 n. Chr.): S. 45, 47, 61. Introducilo arithmetica, lat. v. Apuleius v. Madaura (um 150); Bearbeitg. v. Boétius (um 500), ed. G. Friedleln 1867. Griech. ed. Chr. Wechel, Paris 1538; ed. J . Camerarius, Augsburg 1554. Modern ed. R . Hoche, Leipzig 1866; engl. v. M. L. d'Ooge, New York 1926. Kommentar dazu v. Iamblichos (um 320), ed. H . PistelU, Leipzig 1894; v. J o h . Philoponos (um 520), ed. R . Hoche, Leipzig 1864, Berlin 1867. N i k o m e d e s (um 180 v. Chr.): S. 41. E r w ä h n t i n Pappos, CoUectiones (um 320). • N i l s o n , M. P. (1920): S. 11. N i z z e , E . - » Archimedes (1827); Aristarchos (1856); Serenos (1860 bis 1861). N o k k , A. ->• Aristarchos (1854); Euklid, Phaenomena (1860): Zenodoros (1860). N o r d e n , E . (1910/12): S. 23. N o r w o o d , Richard (1590?—1675): S. 139. Trigonometrie or the doctrine of triangles, London 1631. N o t k e r L a b e o (950?—1022): S.63. —» Martianus Capella (um 1000). N o v i o m a g u s - * Bronkhorst, J a n van. N u n e z , P e d r o (1502—1578): S. 105, 114, 127, 143. Leben u. Wirken: R . Guimaräes, Coimbra 1915. Opera, Basel 1566, »1592. Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria (1532), Antwerpen 1564 u. sehr oft. De crepusculis, Lissabon 1542. De arte atque ratione navigandi, Coimbra 1546. O b e n r a u c h , J . J . (1897): S. 140. O l s c h k i , L. (1919/27): S. 114. Galllei (1927). ' O m a r a l - B a j j ä m i — » • al-Hajjàmi. O r i g e n e s (185/86—254/55): S. 60. Leben u. Wirken: JS. d. Faye, Paris 1923/28 (3 Bde). Gesamtausgabe: PG 11/17. O r t e g a , J u a n de (1480?—1568?): S. 113/14. Summa de Arithmetica, Geometria practica utilissima, Barcelona 1512, Lyon 1512 u. sehr oft. Cursus quattuor mathematicarum artium liberalium, Paris 1516.

Namen- und Schriftenverzeichnis O s l a n d e r , Andreas (1498—1552): S. 110. O s s i n g e r , J . F. (1768): S. 78. O s t a r a b e r - » M u s l i m e : S.53/57,59. O t h o , Valentin (1550?—1605?): S. 111, 129. -*• Rhaeticus (1596). O t t e r , Christian (1598—1660): S. 152. Wirken: K. ReidemeisterK. Th. Peters in d. U.-Schr. Königsberg 10, 1933. O u g h t r e d , William (1574—1660): S. 117,136,138/40. Leben u. Wirken: Fl. Cajori, Chicago/London 1916. Opuscula mathematica, ed. J . Wallis, Oxford 1677. Clavis mathematicus, London 1631 u. ö. ; engl. 1647 u. ö. Vgl. G. Clark, London 1682. The Circles of Proportion, London 1632. An addition unto the use of the instrument called the circles of -proportion .. ., London 1633. Trigonometria (1630), London 1657. - Ibn al-Haitam (1572); Witelo (1572). R i v a r i , E . - v C a r d a n o (1906); VIves (1922). K i v a u l t d e F l u r a n c e , David (1571—1616): S. 155. Archimedes (1615). R o b e r t Bacon (um 1240 n. Chr.): S. 70. R o b e r t v . Chester (um 1150): S.66. —> al-Hwäi'azmt. R o b e r t " G r o s s e t e s t e (1175—1253): S. 71/72. Leben u. Wirken: L. Baur, Münster 1917. Opuscula, Venedig 1514. Teilausgabe ed. L. Baur, Münster 1912. R o d l e r , H . - > Deutsche Perspektive. R o e , Nathaniel (17. J h . ) : S. 137. Tabulae logarithmicae, London 1633. R ö m e r (um 800 v. bis 500 n. Chr.): S. 42, 44. Fr.Hultsch: Metrologieorum scriptorum reliquiae, Leipzig 1864, 1866. K. Zangenmeister: Die Entstehung der römischen Zahlzeichen, Berlin 1887 (Ak. d. Wiss. 49). R o g e r B a c o n (1210?—1295?): S.72, 93. Leben u. Wirken: A. G. Little, Oxford 1914; A. Garreau, Paris 1942. Opus maius (1266/68). ed. R . G. Burke, Philadelphia 1928. Opus minus (1267) u. Opus tertiurn (1267/68), ed. J . S. Brewer, London 1859. Opera hactenus inedita, ed. R . Steele, Oxford 1905/28. Perspectiva (1267), ed. J . Combach, F r a n k f u r t a. M. 1614. R o g e r v. Marston (Ende des 13. J h . n. Chr.): S. 72. R o l a n d v. Cremona (um 1230): S. 70. Leben u. Wirken: L. Lucchini, Cremona 1886; Fr.Filthaut, Freiburg/Schw. 1935 (Diss.). R o m e , A. —>• Pappos (1931); Theon v. Alexandria (1936, 1943). R o o m e n , Adriaen van (Romanus) (1561—1615): S. 123/24, 126/27, 129/30, 139/40, 155. Leben u. Wirken: H . Bosmansin den Ann. Soc. Beige 30JT, 1906. Ideae mathematicae (1590), Leiden 1593. Teildruck eines unveröffentlichten Kommentars zur Algebra des al-

g w ä r a z m i (1598/99). Problema Apollinare, Würzburg 1596. Speculum astronomicum, Frankfurt 1606. Canon triangulorum, Mainz 1609. ->• Archimedes (1597). R o t h e , Peter (t 1617): S. 106, 132. Arithmetica philosophica od. schöne newe wolgegründete Überauskünstliche Rechnung der Coß oder Algebra, Nürnberg 1608. R o v e r e , Francesco della —»• Sixt u s IV. R u d o l f f , Christoph (1500? bis 1545?): S. 102, 105, 112, 114. Behend unnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeinicklich die Coss genennt werden, Straßburg 1525; ed. M. Stifel, Königsberg 1553/54, 1571 u. 1615. V g l . H . A . Drechsler, Dresden 1851 (Prgr.). Künstliche Rechnung mit der Ziffer und mit den Zahlpfennigen, Wien 1526 u. sehr oft. Exempel-Büchlein, Augsburg 1530. R u d o l p h v. Brügge (12. J h . n. Chr.): S. 66. ->• Ptolemaios, Planisphaerium (um 1144). l l y f f , Peter (1552—1629): S. 141. Quaestiones geometricae, Frankf u r t 1600. R y m e r s , Nikolai (Raymarus Ursus) (t 1599): S. 128, 140. Fundamentum astronomicum, Straßburg 1588. Arithmetica analytica, F r a n k f u r t / O d e r 1601. S a c h s , A. (1945): S. 14. S a c h s , E. (1917): S. 30; Theaet e t (1914). S a l i g n a c , Bernard (16. J h . ) : S. 114. Tractatus arithmeticus, F r a n k f u r t 1575. Arithmetica, F r a n k f u r t 1580, 1593. S a n m i c h e l i , Michele (1484 bis 1559): S. 106. S a n t a C r u z , Miguel Geronimo (16. J h . ) : S. 113. Libro de Arithmetica speculativa, o. O. 1594, dann Sevilla 1603 u. sehr o f t (bis 1794). S a n t i l l a n a , G. (1932): S. 23. S a r a s a , Alphons Anton de (1618bis 1667): S. 150. Solutio problematis a Mersenno propositi, Antwerpen 1649.

Namen- und Schriftenverzeichnis S a r t o n , G. (1927/48): S. 8; (1936): S.8;(1952): S.8. -¡-Stevin (1635). S a t t e r t h w a i t e , L. (1947): S. 20. S a s s a n i d e n = Persische Dynastie (226—642): S. 53. Savasorda—>• Abraham b a r C h i j j a . S a v i l e , Henry (1549—1622): S. 136, 155. Praelectiones XIII in principium elementorum Euclidis (1620), Oxford 1621. Thomas Bradwardine (1627). S a v o n a r o l a , Giroiamo (1452 bis 1498): S. 87. S a v o n n e , Pierre (16. J h . ) : S. 112. L'Arithmetique, Paris 1563 u. sehr o f t (bis 1672). S b a r a l e a (1806/08): S. 78. S c a l i g e r , Joseph J u s t u s (1540 bis 1609): S. 109, 120/21, 126, 129. Cyclometrica elementa, Leiden 1594. A-ppendix ad cyclometrica, Leiden 1594. Mesolabium, Leiden 1594. S c h a l l von Bell, Johann Adam (T'ang Jo-Wang) (1591 — 1666): S. 153. Leben u. Wirken. A. Väth, Köln 1933. S c h e i b l e r , Christoph (1589 bis 1653): S. 143. Opera, Oxford 1637, " L o n d o n 1635. Opus metaphysicum, Gießen 1617 u. ö.; engl. Oxford 1633. Philosophia compendiosa, Nassau 1617 u. ö. S c h e i n e r , Christoph (1573 bis 1650): S. 152. Exegeses fundamentorum gnomicorum, Ingolstadt 1614 als Dissertation des Joh. G. Schönberger. Leben u. Wirken: A. v. Braunmühl, Bamberg 1891. S c h e n g - t s u (Kaiser v. China 1662 bis 1722): S. 153. S c h e n k l , E . (1913): S. 23. S c h e n - t s u n g (Kaiser v. China 1573—1619): S. 153. S c h e y b l , J o h a n n (1494—1580): S. 113/14, 140, 155. Leben u. Wirken: H . Staigmüller in den Abh. z. Gesch. d. Math. 9, Leipzig 1899. De numeris et diversis rationibus, Leipzig 1545. Compendium arithmeticae artig, Basel 1549 u. ü. Algebraecompendiosafacilisquedescriptio, Paris 1551. —>• al-Hwärazmi (um 1550); Buklid (1550, 1555). S c h i a p a r e l l i , G. V. Eudoxos (1S75); Philolaos (1873).

191

S c h ö f f e r , Peter (14257—1502/03): S. 88. S c h ö n e r , J o h a n n (1477—1547): S. 111. Opera mathematica, Nürnberg 1561. ->• al-Battàni (1537); al-Fargànl (1537); al-Zarqäli (1534); Georg V. Peurbach (1541); Jordanus Nemorarius (1534) : Regiomontan (1533). S c h o l a s t i k e r (12.—17. J h . ) : S. 65/82; 7, 56, 84/87, 90, 97, 101. 143/44, 147. S c h o l z , H . (1928): S. 30. S c h o o t e n , Frans van d. Ältere (1581—1646): S. 139. Tabulae sinuum, tangentium, secantium, Amsterdam 1627. S c h o o t e n , Frans van (1615 bis 1660): S. 106, 124, 152 .Organica conicarum sectionum in piano descriptio, Leiden 1646 u.ö.Exercitationes mathematicae, Leiden 1657, holl. Amsterdam 1660. Apollonios, Wicderherstellg. (1657); Viète (1646). S c h o t t , Kaspar (1606—1666): S. 136, 155. Cursus mathematicus Würzburg 1661 u. ö. Organum mathematicum, München 1668. S c h r e i b e r , Heinrich (Grammateus) (• vor 1496, t 1525): S. 91, 112/14. Algorithmus proportionum, K r a k a u 1514. Libellus de compositione regularum pro vasorum mensuratione, Wien 1518. Ayn new kunstlich Buech (1518), Nürnberg 1521? Behend und khünstlich Rechnung nach der Regel und wellisch practic, Nürnberg 1521. Algorithmus de integris, E r f u r t 1523; ed. F. Müller, Zwickau 1896 (Prgr.). Eynn kuitze newe Rechenn unnd Visyrbuechleynn, E r f u r t 1523. S c h u l t e , M. L. (1935): S. 112. S c h w e n t e r , Daniel (1585—1636): S. 131, 140/41. Geometria practica, Nürnberg 1618/27 u. ö. Deliciae physico-mathematicae, Nürnberg 1636, fortgesetzt v. G. P h . Harsdörffer, Nürnberg 1651, 1653. S c u l t e t u s , Abraham (1566 bis 1625): S. 139. Sphaericorum libri tres, Heidelberg 1595. Anhang daz u : P . Pitiscus, Trigonometria siw de solutione triangulorum.

192

Namen- und Schriftenverzeichnis

S e l e u k o s v. Seleukia (um 150 v. Chr.): S. 41. S e m p l e , Hugo (1594—1654): S. 155. De mathematicis disciplinis, Antwerpen 1635. S e n g u p t a , P . C. —• Aryabhata (1927); Brahmagupta (1934). S e p u l v e d a (1500?—1572): S. 87. Alexander v. Aphrodisias (1627 u. ö.). S e r e n o a v. Antlnoia (um 400 n. Chr.): S. 47. Opuscüla, ed. J . L. Heiberg, Leipzig 1895. Sectio cylindri, lat. v. F. Commandino, Bologna 1566; dtseh. v. E. Nizze, Stralsund 1860/61 (Prgr.); frz. v. P . Ver Eecke, Paris/Brügge 1929. S e r l i o , Sebastiano (t 1552): S. 107. Libri dell'architettura, Venedig 1537 u. ö. S e s e n , J o h a n n van (17. J h . ) : S. 140. Flores arithmetici edder Arithmetica, H a m b u r g 1622. S e t h e , K . (1916): S. 17. S e x t o s E m p i r i k o s (um 150" n. Chr.): S. 45, 98, 154. Adversus mathematicos, lat. v. H . Estienne, Paris 1562; gr. ed. P . / J . Chouet, Genf 1621; cd. H . Mutschmann, Leipzig 1911/14; dtsch. v. E . Pappenheim, Leipzig 1877. S f o r t u n a t I , Giovanni (16. J h . ) : S. 113. Nuovo Lumo, Libro di Arithmetica, Venedig 1534 u. ö. S h o t w e l l , J . T. (1923): S. 8. S i g e r v. B r a b a n t (1235?—1282): S. 73. Leben u. Wirken: P . Mandonnet, Löwen I "1911, I I 1908. Impossibilia, ed. Cl. Baumker, Münster 1898. Œuvres inédites, ed. E . Vansteenberghe, Löwen seit 1931. S i l i c i u s — > G u i j e n o , J u a n Martinez. S i m o n Bredon (14. J h . n. Chr.): S. 79. S i m p l i k i o s (um 520 n. Chr.): S. 30,47. Kommentar zu Aristoteles, Physik, Venedig 1526; ed. H . Diels, Berlin 1882/95 (Ak.Ausg. IXIX). Sindhind —»• Brahmagupta (628). S i n g h , U. N. (1935/38): S. 20, 52: - » A r y a b h a t a (1906). S i x t u s IV., zuvor Francesco della Rovere (»1414, Papst 1471/84): S. 89.

S m i t h , D. E. (1911): S. 52; (1923 bis 1925): S. 8; (1929): S. 8; Rara arithmetica, Boston/London 1908: S. 112. - * B o r g h i ; ->- Diez Freyle (1921). S m o g o l e n s k i , J o h a n n Nikolaus (1611—1656): S. 153. S n e l l , Rudolph (1546—1613): S. 126 ; - » Ramée (1596). S n e l l , Willebrord van Royen (1580 bis 1626): S. 129/30; 122, 127, 131,139. Leben u. Wirken: P . van Geer im Néri. Arch. 18, 1883. Apollonius Batavus, Leiden 1608. Eratosthenes Batavus, Leiden 1617. Cyclometricus, Leiden 1621. Tiphys Batavus, Leiden 1624. Doctrina triangulorum canonica, Leiden 1627. De re numeraria, Leiden 1635. —» Ludolph van Ceulen (1615, 1619); Ramée (1613); Stevin (1608). S o g â ' i b n A s l a m - * A b û Kâmil. d a l S o l e , Francesco ('lim 1490): S. 106. Libretti nuove, Venedig 1526 u. ö. S o t o , Dominicus (1494—1560): S. 145. Super octo libros Physicorum Aristotelis guaestiones, Salamanca 2 1551 u. Ö. S p e i d e n , J o h n (17. J h . ) : S 136, 139. New Logarithms, London 1619, H622; ed. F r . Masères, Script, logarithm. VI, London 1807. Bree/e treatise of sphaerical triangles, London 1627. S p i e s , O. al-Karâbîsî (1931); Archimedes (1932). S p i n d e n , H . J . (1928): S. 20. St. Albans Rechenbuch: S. 112. An Introduction ¡or to Lerne to Recken with the Pen, or with the Counters, St. Albans 1537 u. ö. (bis 1629). Vgl. A. W. Rioheson in d. Isis 37, 1947. S t a m m , E.—»Brozek (1936); Thomas Bradwardine (1937). S t e c k , M . - » - P r o k l o s (1945); Dürer (1948). S t e i n m e t z , Moritz (16. J h . ) : S. 113, 155. Arithmeticae praecepta, Leipzig 1568, "1575. - » E u k l i d (1577). S t e i n s c h n e i d e r , M. (1893, 1902): S t e n z e l , J . (1924): S. 30. [S. 57. S t e r c k (Fortius), Joachim van

Namen- und Schriftenverzeichnis Ringelbergh (1490?—1536?): S. 113. Opera, Leiden 1531 u. ö. S t e r n , P. (1933): S. 52. S t e v i n , Simon (1548—1620): S. 125/28; 105, 116. 130, 132, 141. Leben u. Wirken: E . J . Dijksterhuis, d. H a a g 1943. Œuvres, hg. v. d. Niederl. Ak. d. Wissensch, (in Vorbereitung). Œuvres mathématiques, ed. A. Girard, Leiden 1634. Tafeien van Interest, Antwerpen 1582 u. ö. Vgl. C. M. Waller Zeper, Amsterdam 1937. Prosternata geometrica, Antwerpen (1583?) u. ö. De Thiende, Leiden 1585 u. ö. ; Faksimile ed. H . Bosmans, Antwerpen/d. Haag 1924; frz. als La JDisme, Leiden 1585 u. ö. ; Faksimile ed. G. Sarton in der Isis 23, 1935; eng). London 1608 u. 1619. L'arithmétique, Leiden 1585; ed. A. Girard, Leiden 1625 — D i o p h a n t . De Beghinseln der Weeghcomt, De Weeghdael, De Beghinseln des Waterwichts, Leiden 1586. Appendice algebraice, Leiden 1594. WisconstigeOhedachtenissen, Leiden 1605/08, frz. v. J . Tuning als Mémoires mathématiques, Leiden 1608; lat. v. W. Snell als Hypomnemala mathematica, Leiden 1608; teiiw. dtsch. v. D. Schwenter, Nürnberg 1628. S t h e n , Johannes (16. J h . ) : S. 155. Euklid, Elemente (1564). S t l f e l , Michael (1487?-1567): S. 102/05, 112, 114, 125, 131, 134, 140. Leben u. Wirken: Th. Müller, Eßlingen 1897 (Prgr.). Nachlaß: ed. E . Hoppe in den Mittl. Math. Ges. Hamburg 3, 1900. Ein Rechen Büchlein, Wittenberg 1538. Arithnwtica integra (1539), Nürnberg 1544. Vgl. J . Giesing, Döbeln 1879 (Prgr.). Deutsche Arithmetica, Nürnberg 1545. Rechenbuch in der Welschen und Deutschen Praktik, Nürnbg 1546. -»• Chr. Rudolff (1553'54). S t o c k m a n s , Bernaert (16. J h . ) : S. 113. Arithmetika, Doordrecht 1589 u. ö. S t o r m s , J a n (1559-1650): S, 131. De accurata circuii dimensione et quadratwa, Löwen 1633. S t r o m e r , Heinrich (16. J h . ) : 13 H o f m a n n , Gesch. d. Math.

193

S. 113. A Igoiithmuslinealis, Wien 1520;ed S. Günther in den Abh. d. Ges. d. Wiss. Prag (6) 10, 1880. S t r u l k , D. J . (1948): S. 8. S t r u n z , F. (1910): S. 69;->-Albertus Magnus (1926). fitruwe, W. W. (1930): S. 17. S t u r m , Johannes (1507—1589): S. 142. Leben u. Wirken: L . Kükkelhahn, Leipzig 1872; Charles Schmidt, Straßburg 1855. De literarum ludis rede apertis, Straßburg 1539. - » Tunstall (1544). S u e v u s , S i e g m u n d (16.Jh.): S. 113. A Tükmetica historica, Breslau 1593 Sulsset.—»• Richard Swlneshead. Sulba-S-ätras (800-300): S. 18. 20. S u m e r e r (3500—2500): S. 11. S u n - t z i ( l . J h . n. Chr.). Viell. Verf. des —> Wu-ts'ao suan-king. Sürya- Siddhänta (4. J h . n. Chr.): S. 52. Ed. S. Dvivedi, Calcutta 1909/11; engl. v. E . Burgess-W. D. Whitney, New Häven 1860, 'ed. P. Ganguli, Calcutta 1935. S u t e r , H . (1887): S. 82; (1900/02) S. 57; Abü K&mil (1909/11); Albert v. Sachsen (1884) ; al-Birttni (1910/11); Ibn al-Haitam (1899, 1911/12); Pappos '(1922). S y l v e s t e r II. Gerbert. T & b i t i b n Q u r r a (826—901): ~ S. 53/54, 140. ->• Archimedea u. Menelaos (um 890). T a c q u e t , Andreas (1612—1660): S. 151, 155. Leben u. Wirken: H. Bosmans Im Compas d'or, Antwerpen 1925. Opera mathematica, Löwen 1669, 'Antwerpen 1707. Cylindrica et annularia, Antwerpen 1651, Ergänzg. 1659. Elementa geometriae planae et solidae, Antwerpen 1654, 'ed. W. Whiston, Amsterdam 1683 u. ö. Arithmeticae theoria et piaxis, Löwen 1656 u. ö. T a g l i e n t e , Girolamo (16. J h . ) : S. 113. Libro da abaco, Venedig 1515 u. sehr o f t . T ' a n g J o W a n g - * Schall v. Bell, J o h a n n Adam. T a n n e r y , P . Mimoires scientifiques, Paris seit 1912. —> Diophant (1893/95); Domninos (1915); Moschopulos (1886=1920); Rhabdas (1886=1920).

194

Namen- und Schriftenverzeichnis

T a n n s t e t t e r , Georg (1480? bis 1530). —»• Georg v . P e u r b a o h , R e g i o m o n t a n (1514) ; Georg v . P e u r bach, Johannes v. Graunden, Joh a n n e s de M u r i s , N i k o l a u s Oresm e , T h o m a s B r a d w a r d i n e (1515); W i t e l o (1535). T a r t a g l i a , N i c c o l ò (1500?—1557): S. 103/04, 113, 116, 140. Leben u. Wirken: A . F a v a r o i n d e r Isis 1, 1913. Vgl. E . G i o r d a n i , Cartelli, M a i l a n d 1876. Quesiti et inventioni diverse, V e n e d i g 1546 u. ö. General trattato di numeri et misure, Venedig 1556/60, f r z . P a r i s 1578 u . ö. - > - A r c h l m e d e s (1543, 1551 u . ö . ) ; B u k l i d , Elemente (1543 u . ö . ) ; J o r d a n u s N e m o r a r i u s (1565). T e l e s i o , B e r n a r d i n o (1508—1588): S. 144. Leben u. Wirken: G. Gentile, B a r i 1912. De natura iuxta propria principia, Rom 1565 (2 B d e ) , N e a p e l 1586 (9 B d e ) . T e r t u l l i a n u s , Quintus Septimius F l o r e n s (160? b i s n a c h 222): S. 60. Leben u. Wirken: J . Turrnel, P a r i s 1904. Gesamtausgabe: PL 1/2; d t s c h . v . H . K e l l n e r , B K V 2 7 u. G. E s s e r , B K V a 24. T h a l e s v . M i l e t (624?—548?): S. 21. Leben u. Wirken: F . D e c k e r , H a l l e 1865 (Diss.); A . W i l u s z , J a r o s l a u 1911. T h e a e t e t v . A t h e n (410?—.168): S. 28, 34/35. Leben u. Wirken: E . S a c h s , B e r l i n 1914 (Diss.). T h e m i s t i o s (317?—387): S. 30. Aristoteles-Kommentare: Berlin 1899/1903 U i . Ausg. F ) . T h e o d o r v . G a z a (1400?—1473?): S. 86. T h e o d o r o s v . K y r e n e ( u m 390 v. C h r . ) : S. 27. E r w ä h n t i n P i a t o n , Theaetet. T h e o d o s i o s v . P i t a n e ( u m 100 v. C h r . ) : S. 35, 53, 72, 76. Sphaerica, a r a b . v . Q u s t ä i b n L ù q à ( u m 900), l a t . v . P l a t o ' v . T i v o l i ( u m 1150), K o m m e n t a r dazu v. J o h a n n e s C a m p a n u s ( u m 1260), ed. V e n e d i g 1518; e d . J . Vögelin, W i e n 1529. L a t . v. F r . Maurolico, Messina 1558; v . G. A u r i a (1587/88). Gr.l a t . ed. J . d e la P è n e , P a r i s 1557; e d . E . H a l l e y , O x f o r d 1758. M o d e r n e d . J . L. H e i b e r g , G ö t t i n g e n

1927; d t s c h . v . A . C z w a l i n a , L e i p zig 1931 ( O s t w a l d s K l a s s . 232); f r z . v. P . V e r E e c k e , B r ü g g e 1927. L a t . Bearbeitg v . Chr. Clavius, R o m 1586. T h e o n v . A l e x a n d r i a (um 3 7 0 : S. 4 7 ; 31, 9 6 , 1 0 8 . ->• E u k l i d , Elemente. Kommentar zu P t o l e m a i o s , Almagest l / I I , g r . ed. B a sel 1538; ed. A . R o m e , R o m 1936', 1943. T h e o n v . S m y r n a ( u m 130 n. C h r . ) : S. 45. Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium, l a t . v . M. F i c i n o (1463), v . I . B o u l l i a u , P a r i s 1644. Gr. e d . H . H i l t e r , Leipzig 1878; frz. v . J . D u p u i s , P a r i s 1892. T h e u d i o s v . M a g n e s i a ( u m 340 v . C h r . ) : S. 29. E r w ä h n t i n P r o k l o s , Euklid-Kommentar ( u m 480). T h i b a u t , G. (1875): S. 20. - » Var ä h a m i h i r a (1889). T h i e r r y de Chart,res ( t u m 1150): S. 66. Leben u. Wirken: i n A . Clerv a l . Ecolesde Chaitres, P a r i s 1895. Heptateuchon (MS). T h o m a s , A l v a r u s (16. J h . ) : S. 80 bis 81. Liber de triplici motu, P a ris 1509. T h o m a s , A n t o i n e (1644—1709): S. 153. Leben u. Wirken: H . Bosn i a n s i n d e n A n n . Soc. sc. B r ü s s e l 4 4 n , 1924/25 u . 4 6 n , 1926. Synopsis mathematicat D o u a i 1685. T h o m a s v . A q u i n o (1225/26 bis 1274): S. 73, 76. Leben u. Wirken: M. G r a h m a n n , M ü n c h e n 1914, • 1 9 2 8 ; H a n s M e y e r , B o n n 1938; A . D. Sertillanges, P a r i s 1910, «1925 (2 B d e ) ; A. M. W a l z , R o m 1927. Bibliographie: M. Grabm a n n , M ü n s t e r 1920, ' 1 9 2 7 ; P . Mandonnet-J.Destrez,Kain(Belg.) seit 1921. Thomas-Lexikon: L. S c h ü t z , P a d e r b o r n 1881, a 1895. Gesamtausgaben: R o m 1570/71. V e n e d i g 1594/98 u. ö . ; R o m s e i t 1882. Summa theologiae 1485 u. ö. Stellung z. Math.: E . B o d e w i g i m A r c h . f. Gesch. d P h i l o s . 1 1 , 1 9 3 1 T h o m a s B r a d w a r d i n e (1290? bis 1349): S. 79/81, 97, 106, 113, 135. Leben u. Wirken: G. L e c h l e r , L e i p z i g 1868; als Mathematiker : J . E . H o f m a n n Im C e n t a u r u s 1,

Namen- und Schriftenverzeichnis 1951. Opera, ed. H . Savile, London 1627. De arithmetica speculativa, ed. P . S. Circuleo, Paris H 9 5 u. sehr oft. Tractatus de proportionibus velocüatum, ed. P . S. Ciruleo, P a r i s 1495, Venedig 1505; ed. G. Tannstetter, Wien 1515. De continuo, Auszüge v. M. Curtze in der Zeitschr. f. M. u. Ph. 13, 1868, u. v. E . Stamm in Isis 26, 1937. T h o m i s t e n (Anhänger des Thomas v. Aquino): S. 73, 78. T h o m p s o n , J . E . (1941): S. 20. T h o r n d i k e , L. (1923): S. 69; (1929) : S.89 ; - + Johannes v. Sacrobosco Thureau-Dangin, F. (1932, [1938): S. 14. T h y m a r l d a s v. Paros (5. J h . v. Chr.): S. 24. T i m t s c h e n k o , I. U. (1910): S. 8. T i s s i e r , B. (1660/69): S. 78. Toledanische Tatein —• al-Zarqàli: S. 92. T o n s k i , Johannes (17. J h . ) : S. 139. Arithmetica vulgaiis et trigonometria rectilineoTum, Ingolstadt 1640, 2 1645. T o r p o r l e y , Nathaniel (1563? bis 1632): S. 139. Dicliies coelometricae, London 1602. T o s c a n e l l i , Paolo dal Pozzo (1397 bis 1482): S. 98/99. Leben u. Wirken: G. Uzielli, Rom 1894 u. Mailand 1902. T r e n c h a n t , J e a n ( » u m 1525): S. 112. L'Arithmétique,o. O. 1558, dann Lyon 1566 u. ö. T r e u t l e i n , P . (1877): S. 112; (1879): S. 114; -»• Jordanus Nemorarius (1879). Trevüer Arithmetik: S. 90. Incommincia una practica molto bene, Treviso 1478; vgl. G. P. Pichi, Bologna 1888. T r e w , Abdias (17. J h . ) : S. 155. AltDirectonum mathematicum, dorf 1657. T r o p f k e , J . (1902/03): S. 8. T s u C h ' u n g c h i h (430—501): S. 58. T u n s t a l l , Cuthbert (1474—1559): 8. 114. De arte supputandi, London 1522 u. ö. ; ed. J o h . Sturm, Straßburg 1544. T u r a j e f f , B. A. (1930) : S. 17. 13*

195

T z w i f e l , Theodor (16. J h . ) : S. 113. Arithmeticae opuscula, Köln 1505, 1507. Ü b e r w e g , Fr. (1862): S. 23. U l t ì è B e g (1393—1449): S. 55. Astronomische Tafeln, ed. L. P . E . A. Sédillot, Paris 1847; ed. E . B. Knobel, Washington 1917. U m a i y a d e n - D y n a s t i e v. Cordoba (756—1031): S. 56. U n g e r , Fr. (1888): S. 112. U n i c o r n o , Joseppo (16. J h . ) : S. 113. De Varithmetica universale, Venedig 1598. U r s i n u s —»• Behr, Benjamin. U r s t i ci us -*Wursteisen, Christian. U r s u s , R a y m a r u s —* Rymers, Nikolai. V a i d y a , C. V. (1921/26): S. 52. V a l e r i o , Luca (1552—1608): S. 144 bis 145, 150. De centro gravitatis, R o m 1604. De quadratura parabolae, Rom 1606 ; beide ed. C. Manolesse, Bologna 1661. Vgl. H . Bosnians in den Ann. Soc. sc. Brüssel 37, 1912/13. V a l l a , Georg (1430—1499): S. 95. De rebus expetiendis et fugiendis, Venedig 1501. — A r i s t a r c h o s (1488). V a l l a , Lorenzo (1407?—1457): S. 85/86. Leben u. Wirken: M. v. Wolff, Leipzig 1893. Gesamtausgabe: Basel 1540 u. 1543. Dialecticae disputationes conti a Aristotelem, o. O. 1499. Van den S t e e n , Rainer—Gemma Frisius. V a n d e r H o e c k e , Giel (16. J h . ) : S. 113/14. Een sonderlingke boeck in dye edel conste Arithmetica, Antwerpen 1514, »1537. V a n d e r S c h u e r e of M e e n e n , J a k o b (1550?—1620): S. 113. Arithmetica, oft Reken-conat, Haarlem 1600. v a n d e r W a e r d e n , B. L. (1950): S. 14, 17, 24. V a n s t e e n b e r g h e , E . ->• Nikolaus v. Cues (1920); Siger v. B r a b a n t (seit 1931). V a r ä h a m i h i r a (um 500 n. Chr.): S. 51. Brihajjdtaka (505), mit Kommentar des B h a t f o t p a i a (966) ed. S. J h a , Benares 1923. Brihat-samhitä (505), ed. H . Kern,

196

Namen- und Schriftenverzeichnis

Calcutta 1865; mit dem Komment a r v . B h a f t o t p a l a ed. S. Dvivedi, Benares 1895. Paüca-siddh&ntiki (505). ed. G. Thibaut-S. Dvivedt. Benares 1889, 'Lahore 1930. V a s a r i , Giorgio (1511—1574): S. 107. Vite de' piii eccellenti pittori, scultori et architetti, Florenz 1550, >1568. V a u b a n , Sébastien le Prêtre de (1633—1707): S. 106. Leben u. Wirken: G. Michel, Paris 1879. Œuvres militaires. Paris 1779. De l'attaque et de la défence des places, Paris 1737/42. V a u l e z a r d , J . L. de (17. J h . ) : S. 133, 141. Perspective cylindrique et conique, Paris 1630. Introduction en l'Art analytique, Paris 1630 —y Viète. Examen de la traduction faite par A. Vaxset de cinq livres des zététiques de Viète, Paris 1631. Abregé ou racourci de la perspective par l'imitation, Paris 1631, »1643. V e n a t o r i u s - * Gechauif. Thomas. V e r b i e s l , Ferdinand (Nan Huai]'én) (1623—1688): S. 153. Leben u. Wirken: H. Bosmans in d. Revue Quest. se. 71, 1912. V e r B e c k e , P. —» Apollonios (1924); Arehimedes (1921); Diophant (1926); Buklid, Optik (1938): Leonardo v. Pisa (1950?); Pappos (1932); Proklos (1948); äerenos (1929) ;Theodosios (1927). V i a t o r P è l e r i n , Jean. V i è t e , François (1540—1003): S. 115/25; 105/06, 109, 112, 130, 134. Leben u. Wirken: Fr. Ritter, Paris 1905; G. Gambier, La Rochelle 1911 ; Oper a mathematica, ed Fr. van Schooten, Leiden 1646. Principes de cosmographie (um 1570), frz. Paris 1637 u. ö. Ad angulares sectiones (um 1570), ed. A. Anderson, Paris 1615. Canon mathematicus (um 1570), Paris 1579 u. ö. ; Anhg: Universales inspectiones. Supplementum geometriae (vor 1591), Tours 1593. Jn artem analyticam isagoge, Tours 1591 u. ö. Ad logisticam speciosam notae priores (um 1591), Paris 1631. De aequatiomtm recognitione et emendatione (1591),

ed. A. Anderson, Paris 1615. E/Jectionum geometricarum canonica recensio (1593?), ed. Fr. van Schooten in den Opera. Zeteticorurn libri quinque, Tours 1593. Variorum de rebus mathematicis responsorum Uber V I I I , Tours 1593. Munimen adversus nova cyclometrica (gegen J . J . Scaliger), Paris 1594. Ad problema, quod Omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit A. Romanus, responsum, Paris 1595. Pseudo-mesolabum (gegen J . J . Scaliger), Paris 1595. De numerosa potestatum purarum atque adfectarum ad exegesin resolutione, ed. M. Ghetaldi, Paris 1600. Apollonius Gallus, Paris 1600. Frz. Kommentare zu algebraischen Schriften v. J . L. de Vaulezard (1630/31). V i g n o l a —* Barozzi, Jacopo. V i l l e f r a n c h e —> Estienne dp la Roche. V i l l i e r s , C. de (1752): S. 78. V i s c h . C h . d e (1649, 1656): S. 78. Alanus ab Insulis (1654). V i s s i è r e , A. (1892): S. 59. V i t r u v i u s Pollio (um Chr. Geburt): S. 107. Leben u. Wirken: F. Granger, London 1931/34. De architectura, ed. G. S. di Verdi, Rom 1486?, Venedig 1497; ed. G. Giocondi, Venedig 1511 u. ö. ; ed. D. Barbaro, Venedig 1567 u. ö. Ital. v. C. Cesariano, Mailand 1521 ; dtsch. v. W. R y f f , Nürnberg 1548; frz. v. Cl. Perrault, Paris 1673; engl. v. W. Newton, London »1791. V i t t o r i n o d a F e l t r e (1368 bis 1446): S. 85. Leben ti. Wirken: J . K. V. Orelli, Zürich 1812. Gedächtnisband: Brescia 1948. V i v e s , J u a n Louis (1492—1540): S. 110, 143. Leben u. Wirken: F. Watson, London 1921 ; E . Rivari, Bologna 1922; Gr. Marafion, Madrid 1942. Gesamtausgaben: Basel 1545 u. ö. De disciplina, Brügge 1531 u. ö. ; dtsche Auswahl: R . Heine, Leipzig 1881, J.Wychgram, Wien/Leipzig 1883. V l a c q , Adriaen (1600?—1667): S. 137. Trigonometria arlificialis

Namen- und Schriftenverzeichnis sive magnus canon triangulormu logarithmicus, Gouda 1633. —• Briggs (1628). V ö g e l i n , J o h a n n (t 1H9).Elementale geometricum ex Euclidis geometria, Wien 1528, 2. Ausgabe als Elementa geometriae, "Wittenberg 1536 —»• Georg v. Peurbach; —> Theodosios (1529). V o g e l , K. (1929): S. 17; (1933): S. 23/24; (1936): S. 24; - + U. Wagner (1949). V o g t , H . (1909): S. 26 V o g t h e r r , Heinrich (16. J h . ) : S. 131. Ein schöne und. gotseelige Kurtzweil eines Christlichen Loßbuches, Straßburg 1539. V r i e s , J o h a n Vredeman de (1527 bis 1606?): S. 141. Perspeetiva theoretica et practica, Leiden 1604; ed. S. Marolois, Amsterdam 1647. V u e l p i u s , Heinrich (16. J h . ) : S. 113. LibeUus de commurtibus usitatis arithmeticae practicae regulis, Köln 1544. W a d d i n g , 1 . (1650): S. 78. W a g n e r , Ulrich (t 1489/90): S. 112. Lebenu. Wirken: A. Jäger in den Mittl. z. Gesch. d. Med. u. d. Naturw. 26, 1927; K . Vogel in d. Festschr. d. Maximilian-Gymnasiums, München 1949. Deutsches Rechenbuch, Bamberg 1482. Wallis, J. Aristarchos (1688 bis 1699); Autolykos (1688 bis 1699); Oughtred (1677); Porphyrios (1699). W a l t e r Burleigh (1275?—1345?): S. 81. De intensione et remissione tormarum, Venedig 1496 u. 1509. Sophismata et insolubilia, Mskr. W a l t h e r , Bernhard (1430—1504): S. 100. W a n g H s ' i a o - t ' u n g (7. J h . n. Chr.): S. 58. Ch'i-ku Suan-king (um 625). W a p p l e r , E . (1887): S. 114. Dresdner Algebra (1899); Leipziger Algebra (1900). W a r d , Seth (1617—1689): S. 139. Idea trigonomeiriae demonstratae, Oxford 1654. W a s e r , Kaspar (17. J h . ) : S. 140. Institutio arithmetica bievis et facilis, Zürich 1603. W e l a n d , Woldegk (1614—1641):

197

S. 141. Sirena mathematica, Leiden 1640. W e l p e r , E b e r d a r d ( 1 7 . J h . ) : S.141. Elementa geometrica, Straßburg 1620,'1630. W e n t s c h e r , E . (1921): S. 89. W e r n e r , Johannes (1468—1528): S. 93,109,111, 128. Leben u. Wirken: S. Günther, Halle a. S. 1878. De triangulis sphaericis libri quatuot (Erstfassg. 1514), ed. A. A. BJörnbo in den Abh. z. Gesch. d. Math. 24, Leipzig 1904. LibeUus super vigintiduobus dementis conicis, Nürnberg 1522. W e r n e r , K. (1881/87): S. 82. ->• Beda (1875). W e r t h e i m , G. - » Butéon (1901); Diophant (1890). W e s t a r a b e r — * Muslime: S.56,79, 91/92. W e s t e r m a n n , A.: Scriptores rerum mirabilium Oraeci, Braunschweig 1839 —*• Anthemloa. W h i t e , Bichard (* 1590?): S. 141. Eemisphaerium dissectum, Rom 1648. W i d m a n n , Johann (* um 1460): S. 90, 112, 114. Behende und hübsche Rechenung auf allen kauffmannschafft, Leipzig 1489, Pforzheim 1508, Hagenau 1519 u. ö. Algebra-Vorlesung —*• Leipziger Algebra (1486). W i e l e i t n e r , H . (1911/21): S. 8; (1922/23): S. 8; -»• Nikolaus Oresme (1912/14). Wiener Algebra Nr. 5277 (um 1500) : S. 114. Vgl. C. I. Gerhardt in den Monatsber. d. Ak., Berlin 1870. W i l h e l m v. Auvergne (t 1249): S. 71. Leben u. Wirken : N. Valois, Paris 1880. Gesamtausgaben: Venedig 1496 u. 1591; ed. Bl. Leferon, Orléans/Paris 1674. W i l h e l m Heytesbury (1310? bis 1380): S. 81. Regulae solvendi sophismata (zw. 1335 u. 1343), enthalten in den Opera, Venedig 1494.W i l h e l m v. Moerbeke (1215? bis 1286): S. 73, 76. Aristoteles u. Proklos (1260/70); Archimedes (um 1270), Heron, Ptolemaios, Planisphaerium (zw. 1268 u. 1272).

198

Namen- lind Schriftenverzeichnis

W i l h e l m v. Ockham (1300? bis 1349/50): S. 78. Leben u. Wirken: E . Hochstetten, Berlin/Leipzig 1927 ; E . A . Moody, London 1935; S. Moser, Innsbruck 1932, Paris 1949. Expositio aurea super artem veterem, Bologna 1496. Tractatus logicae, Paris 1488, Bologna 1498 u. ö. W i l l e r s , F. A. (1950): S. 11. W i l l i c h , Jodocus (1501—1552): S. 113. Arithmeticae libri tres, Straßburg 1540. Willman-Grabowska, M. de (1933): S. 52. W i n g a t e , E d m u n d (1593—1656): S. 137/40. Zus. m. E. Gunter: Construction, description et usage de la règie de proportion, Paris 1624. Arithmétique logarithmique, Paris 1625 u. ô., engl. London 1635. Arithmétique made easie, London 1630 u. s e h r o f t ibis 1760). Tables o/ the Logarithms o! the sinus and tangents, London 1633. iMdus mathematicus, London 1654. W i n t e r b e r g , C.->-Alberti (1894); Franco (1882); Pacioli (1896). W i s s o w a , G. (seit 1894): S. 23. W i t e l o (1225?—1280?): S. 76, 93, 146. Leben u. Wirken: CI. Baumker, Münster 1908. Perspectiva (um 1270), ed. G. TannstetterP. Apian, Nürnberg 1535 u. 1551 ; ed. Fr. Risner, Basel 1572. —» Ibn al-Haitam (um 1270). W i t t e , K . : S. 23. Wittenberger Rechenbuch: S. 112. Bökeschen vor de leyen und Kinder, Wittenberg 1525. W i t t i c h , Paul (1555—1587) : S.128. W o e p k e , F r . A b û ' 1 - W a f â (1855, 1860); al-IJajjâml (1851); al-Karagi (1853) ; Pappos (1855). W o l p h , Johannes (16. J h . ) : S. 113. Rudimenta arithmetices, Nürnberg 1527 u. ö. W r e n , Christopher (1632—1723): S, 146,

W r i g h t , Edward (1558—1615): S. 127. Leben u. Wirken: E. S. Parsons-W. F. Morris im Imago mundi 3, 1939. Certains errors in navigation, London 1599 u. ö. Faksimile-Druck des Vorworts u. d. Tafeln in The hydrogr. review 8, 1 9 3 1 . - » N e p e r (1616). W ü s t e n f e l d , F. (1877): S. 57. W u r s t e i s e n , Christian (Ursticlus) (1544—1588): S. 113. Elementa arithmeticae, Basel 1579. Wu-ts'ao suan-king (1. J h . n. Chr.): S. 58. Viell. verfaßt v. Suntzl. X y l a n d e r — • Holtzmann, Wilhelm. Y a n g H u i (um 1260): S. 59. Z a m b e r t i , Bartolomen (* um 1473): S. 95/96. - > Euklid, Elemente (1505 u. ö.); Data (1537). Z a m o r a n o , Rodrigo (16. J h . ) : S. 155. -»• Euklid, Elemente (1576). Zeitschr. f . M. u. Ph. Zeitschrift für Mathematik u. Physik; Mathematikgeschichtliche Beiträge in der Historisch-literarischen Abteilung, ed. M. Cantor (1875/1900). Z e l l e r , E d . (1844/52): S. 23. Z e n o d o r o s (um 180 v. Chr.): S. 41, 72, 75/76, 79, 97. IsoperimeterAbhdlg. Im K o m m e n t a r des Theon v. Alexandria zu Ptolemaios, Almagest-, dtsch. v. A. Nokk, Freiburg 1860; vgl. W. Müller, in Sudhoffs Archiv f. Gesch d. Med. u. Naturw. 37, 1953. Variante in Pappos, Collectiones. Lat. aus d. Arab. v. Jordanus Nemorarius? (um 1270). Z e n o n v. Elea (490?—430?): S. 27, 32. Ausgabe u. engl, ubersetzg: H . D. P . Lee, Cambridge 1936. Über die Trugschlüsse: G. Frontera, Paris 1891. Z e u t h e n , H . G. —>• Apollonios (1885); Archimedes (1906/07). Z i e g e l b a u e r (1754): S. 77. Z i n n e r , E. —• Coppernicus (1937. 1943); Regiomontan (1937, 1938). Z i s t e r z i e n s e r (gegr. 1098): S. 74, 78.

Sachverzeichnis

199

Sachverzeichnis Dieses Verzeichnis ist auf einige Hauptgegenstände und Hauptbegriffe rein mathemati* scherNatur beschränk!. Algebra 13, 24, 42, 45 bis 46, 49, 52, 59, 75, 79, 101/06, 114, 116 bis 118, 124/26, 132 bis 133, 140 Apollonische Berührungsaufgabe 40,124 Archimedische Praemisse 37, 42, 55 Archimedische Spirale 36, 41, 46, 76, 81, 120/21, 147/48, 151 Axiomatik 68, 77 Axiome, einzelne 27, 29, 31/32, 38, 71 Brennpunkt 39, 47, 126 Brüche 10, 12/13, 16 bis 17, 21, 33, 44 Bruchpotenzen 80,103, 126 Buchstabenrechnen 75, 116/17, 152 Cavalierisches Prinzip 43, 147 Computus = Osterrechnung 61, 63, 74 Definitionen 29, 31/32 Dezimalsystem 12, 15, 44, 49, 52/53, 57/58, 68, 125, 137 Drehflächen, Drehkörper 36/37, 46, 51, 56, 144, 147, 151 Einschiebung 25, 40 Ellipse, Ellipsoid 39, 47, 126, 144, 146, 150, 152 Bpizyklen 41, 43, 74 Erbteilung 44, 53 Extreme 33, 46, 99, 104, 108, 147 Falscher Ansatz 19, 50, 134

Flächenrechnung 18, 24, 32 - * Quadratur Geometrie 9/10, 13/14, 16/18, 22, 25/42, 45 bis 47, 51/52, 54/56, 58, 61, 64, 68. 72, 74 bis77, 79/82,91, 106, 109, 133/34, 141/42 Gleichungen,lineare 14, 24, 45/46,49/50, 58; quadratische 14, 18, 24, 82/33, 42/43, 46, 50, 56, 102, 148; dritten Grades 13, 54, 58, 103/06, 114, 117/18; vierten Grades 104/05; 117/18; höheren Grades 117, 123, 132/33; numerische 58, 116, 126; unbestimmte 46, 50 bis 51, 54, 58,99, 132 Grenzwert 120, 136, 146 Guldinsche Regeln 46, 147, 150/51 Heronische Dreiecksformel 37, 43, 51 Hyperbel, Hyperboloid 29, 39, 124, 144, 149 bis 151 Imaginäre Zahlen 105, 126, 132/33, Impetus-Theorie 81, 144,45 Indivisibeln, Inflnitesimalmathematik 27, 32, 98, 143, 145/51 Integralrechnung, Integrationen 37, 119, 135, 144, 146/51 Interpolation 43, 129, 137/38 Irrationalität, allgemeine 27/28, 31, 54, 79, 126; quadratische 26 bis 28, 30, 34/35, 76, 118; infinitesimale 76 Iteration 58,138

Kaiinder 10/11, 15, 20, 44, 49, 88, 91, 99 bis 100, 124, 153 Kegelschnitte 29, 35 bis 36, 39/41, 54, 108 bis 109, 147/48, 151 bis 152 Keplers Aufgabe 146 Kettenbrüche 50, 131 Kettendivision 27, 34, 131 Kissoide 41 Konchoide 41 Konstruktion mit Zirkel und Lineal 25, 29, 32, 40, 118, 124; mit fester Zirkelöfinung 55, 104, 109; bewegungsgeometrische 25, 28, 36,118 Kontingenzwinkel 32 bis 33, 75/76,79, 109, 119 Koordinatengeometrie 41, 108 Kreismessung 18, 25, 27/28, 34, 36, 38, 41, 64, 76, 82, 97/99, 109, 119/21, 129/32, 149 Kreismöndchen 22, 25, 55. 76, 119/20, 134 Kreis» Ulst 26, 41, 56, 151 Kubaturen 56, 151 Kubikzahlen 45, 49 Kugel 9, 28. 34. 36, 38, 127, 144 — Loxodrome 127, 130; — Spirale 41, 46 Latitudo formarum 81 Logarithmen 134/39, 148, 150, 153 Magische Quadrate 19, 131/32, 140 Mechanik 35/36, 80/81, 126/27, 135, 144/45, 148, 151 Mittel, arithmetische 24; — geometrische 24,80; zwei einzuschiebende 25, 28/29, 36, 76, 118, 120; — harmonische 24

200

Sachverzeichnis Tangenten 36, 39, 120 Trigonometrie 14, 16, 19, 42/44, 51/56, 59, 79, 91/93, 99, I I I , 115/16, 119, 128/29, 134, 136/39, 148

Negative Zahlen 12, 50, 54, 102, 126 Normale, Subnormale 40 Null 12, 19, 49

Quadratrix 25, 46 Quadraturen 14, 35, 37, 134, 147/48, 151 Quadratzahlen 13/14, 22, 36, 49, 59

örter, geometrische 29, 40

Baumerfüllung 79 Rechenbrett 12,16, 21, 44, 49, 53, 56, 58, 61, 90/91 Rechenmaschine, Rechenschieber, Rechenstäbe 136, 138 bis 139 Rechnen, Rechenbücher 9/10, 12, 16 bis 17, 19/21, 54, 37, 41, 44, 49, 53, 56, 58 bis 59, 63, 66/67, 70, 74, 79, 89/91, 101, 112/14, 140, 142 Reihen, arithmetische 14, 16, 51, 81, 134; — geometrische 14, 16, 33, 35/36, 51, 81, 117/19, 135, 148; — harmonische 81; — summierbare 127 Rektifikation 30, 36, 38, 120, 150/51

Winkel 24, 76; — Teilung 25, 37, 115/16, 120, 123, 132 Wurzeln, allgemein 102 bis 103,138;Quadratwurzeln 13, 18, 38, 43, 50, 131, 137/38; Kubikwurzeln 13,43, 50, 105; Bruchpotenzen

Schlußweise, direkte und indirekte 27, 29, 148 Schraubenlinien und -Flächen 41, 46 Schwerpunkt 36, 46, 108, 127, 144/45, 150 bis 151 Sehnentrigonometrie 37, 42, 51, 56 Sehnenviereck 51, 121 bis 123 Sexagesimalsystem 12 bis 13, 42/43, 55, 137 Siebeneck 37, 118 Sphärik 35, 72, 74, 76 Stereometrie 25, 28, 31, 34/35, 109, 147 Sternvielecke 25, 79

Zahl und Zahlbegriff 9/10, 12, 19, 21, 44, 49 Zahlensymbolik 19, 21, 23, 61 Zahlensysteme 37, 41, 44 Zahlentheorie 22, 31 bis 34, 45/46, 50/52, 54/55, 61, 74/75, 79, 99, 109, 117/18, 126, 132 Zinsrechnung 14, 44, 125 Zwanzigersystem 10,19 Zwischenwertsatz 22, 25, 76, 98 Zylinder 9, 17, 26, 28, 34, 36/38, 46

n, Näherungswerte 13, 17, 19, 36, 38, 58, 76, 129, 131 Parabel, Paraboloid 29, 36, 39, 47, 56, 121, 144, 147/49 Parallelen 24, 32,56,64 Pascalsches Dreieck 51, 59, 102, 124 Perspektive 25, 35, 72, 93/94, 108, 127, 140 bis 141 Planimetrie 24/25, 31, 68 Positionssystem 12/13, 19 —• Dezimalsystem, Sexagesimalsystem, Zwanzigersystem Postulate 31/32, 38 Potenzen 13/14, 33, 49, 54, 101/03, 126, 132 Potenzsummen ganzer Zahlen 14, 36, 45, 54, 132; — v. Gleichungswurzeln 132 Projektion 44, 128 Projektivität 35, 39/40, 46, 152 Proportionen 10, 33, 80 Prosthaphairese 93, 111, 128, 134, 137, 139 Ptolemaeischer Lehrsatz 37, 42 Pyramide 13, 16, 22, 28, 35/36 Pythagoreische Dreiecke 13, 18/19, 26, 28/29, 34, 51, 58; — Lehrsatz 13, 17/18, 26, 32

Unterhaltungsmathematik 38, 132, 140 Vielecke, regelmäßige 33, 97/98, 129/30, 132; —1 Zahlen 22,45, 51, 59 Vielflache, regelmäßige 9, 25/26, 28/29, 34 bis 35, 41, 46, 79, 94, 146; — halbregelmäßige 37, 125, 146 Vislerkunst 91, 146