Geschichte der Mathematik: Teil 3 Von der Auseinandersetzungen um den Calculus bis zur Französischen Revolution [Reprint 2019 ed.] 9783111567228, 9783111195704

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

882

Geschichte der Mathematik Von Dr. Joseph Ehrenfried H o f m a n n Honorarprofessor an der Universität Tübingen

D r i t t e r Teil Von den Auseinandersetzungen u m den Calculus bis zur Französischen Revolution

W a l t e r

de

G r u y t e r

&

Co.

vormals G. J. G&chen'sche VerlagshandJune • J. Gatten tag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

B E R L I N 1957

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: I : Von den Anfängen bis zum Auftreten von Fermat und Descartes (Band 226) I I : Von Fermat und Descartes bis zur Erfindung des Calculus und bis zum Ausbau der neuen Methoden (Band 875) I I I : Von den Auseinandersetzungen um den Calculus bis zur Französischen Revolution (Band 882)

©

Copyright 1957 by Walter de Gruyter Sc Co.. Berlin W 35. — Alle Rechte, einschl. der Bechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 110882. — Satz u. Druck : Mercedes-Druck. Berlin SW 61. — Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730) 4. Auseinandersetzungen um den Calculus (1695 bis etwa 1730)

Seite 4 — 39 4

5. Sonstige mathematische Fortschritte (etwa 1665 bis 1730) — Infinitesimalmathematik in Japan (etwa 1650 bis 1770) 24 VIII. Abschnitt: Aufklärung (etwa 1700 bis 1790)

40 — 83

1. Allgemeines; elementare Fragen

40

2. Führende Persönlichkeiten auf dem Festland

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3. Nachlese

77

Namen- und Schriftenverzeichnis

84

Zeitschriftenverzeichnis

99

Sachverzeichnis

100

VII. Abschnitt Spätbarock (etwa 1665 bis 1730) (Zweiter Teil) Ce que nous connaissons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense. L a p l a c e auf dem Sterbebett.

4. A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n u m d e n C a l c u l u s (1695 bis e t w a 1730) Anfangs stoßen die LETBNlZschen Methoden fast durchwegs auf Unverständnis. Später werden sie aus mancherlei Motiven heraus mit zunehmender Heftigkeit bekämpft. Schließlich stehen sie im Mittelpunkt der bitteren Auseinandersetzung mit NEWTON (Prioritätstreit), dessen Anhänger behaupten, LEXBNIZ sei von NEWTON abhängig. Für LETBNIZ tritt vor allem der streitbare J O H . BERNOTJLLI ein, der freilich nicht immer mit blanken Waffen kämpft und sich vor allem in der Auseinandersetzung mit J A K . BERNOTJLLI um die Behandlung des isoperimetrischen Problems zweifelhafter Mittel bedient. TSCHIRNHATJS lehnt den noch im Werden begriffenen Calculus ab, weil ihm das Symbol Verständnis fehlt, HUTGENS, weil er nicht mehr umzulernen vermag. Die Einwände LEIBNIZ' gegen das von DESCABTES unzweckmäßig eingeführte Kraftmaß (Acta eruditorum = AE I I I 1686) führen zu endlosen Auseinandersetzungen mit CATELAN, MALEBRANCHE und PAPIN. Schon bei dieser Gelegenheit versucht LETBNIZ (Nouv. rep. lett. V 1687), vermittels einer Stetigkeitsbetrachtung zum Begriff des Grenzwertes vorzudringen. Später stellt CATELAN (1691) die LEiBNizsche Tangentenmethode, die er nur halb verstanden hatte und auch nicht rieh-

Auseinandersetzungen um den Calculus

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tig anzuwenden wußte, als Weiterbildung der DESCARTESschen hin. Er wird im Sachlichen von L ' H O S P I T A L widerlegt, ohne seinen Irrtum einzusehen (Auseinandersetzung: Journal des sçivans — JS 1 6 9 2 ) . Der niederländische Arzt N I E U W E N T I J T spricht ( 1 6 9 4 / 9 6 ) von ungerechtfertigten Vernachlässigungen bei Verwendung infinitesimaler Methoden. L E I B N I Z entgegnet (AE V I I 1 6 9 5 ) , sein Verfahren diene nur der gedanklichen Verkürzung; alles lasse sich ausnahmslos durch die indirekte ÀRCHlMEDische Methode erweisen, die freilich umständlich sei. Eine eingehende und von den Kennern deä neuen Kalküls beifällig aufgenommene Widerlegung weiterer Einwände N I E U W E N T I J T S stammt von J A K . HERMANN ( 1 7 0 1 ) , dem treuen Schüler J A K . BERNOULLIS, der dessen dritte Jleihendissertation (Basel 1696: Anwendung der Potenzreihen auf Quadraturen und Rektifikationen) verteidigt hatte. Mit der Aufnahme von VARIGNON ( 1 6 8 8 ) und L ' H O S in die Académie des sciences (= Ac. sc.), deren Mitglieder großenteils dem Cartesianismus nahestehen, werden in Paris Fragen der höheren Mechanik und des Calculus zu vieldiskutierten Gegenständen. Erwähnt sei das von SAUVEUR stammende Zugbrückenproblem (Ort für das Laufgewicht, das eine über fester Rolle an einer Kette hängende Zugbrücke im Gleichgewicht hält): Lösungen geben L ' H O S P I T A L (mit Ergänzungen J O H . BERNOULLIS) und J A K . B E R N O U L L I (AE I I 1 6 9 5 ) ; ferner L E I B N I Z {AE I V 1 6 9 5 ) . Das von J O H . B E R N O U L L I (AE VI 1 6 9 6 ) stammende Brachystochronen-Problem (Bestimmung der Kurve kürzester Fallzeit im Schwerefeld zwischen zwei festen Punkten) wird Anlaß zu Untersuchungen über Variationsprobleme. Sie werden unter der zwar hinreichenden, jedoch nicht notwendigen Bedingimg behandelt,

PITAL ( 1 6 9 3 )

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VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

daß die Extremeigenschaft der lösenden Kurve auch für jedes ihrer Teilstücke erhalten bleibt. In den AE V 1697 finden sich die Lösungen von LEIBNIZ (Extremwertbetrachtung), von JOH. BERNOTJLLI (Lichtweg im geschichteten Medium ; die direkte Behandlung mit Kreisbögen zwischen Nachbarpunkten erscheint erst in der Histoire et mémoires de l'Ac. sc. de Paris = HMP 1718), JAK. BERNOTJLLI (Extremwertbetrachtung) und L'HOSPITAL (unrichtige Hilfsbetrachtung). TSCHIRNHAUS (dessen Lösung wahrscheinlich nicht eigenständig ist) und NEWTON teilen nur das E r g e b n i s mit. Durch L'HOSPITAL weiß man um unrichtige L ö s u n g s v e r s u c h e v o n SAUVEUR u n d L A H I R E .

Durch

geometrisch

BERNOULLIS (JS2Q.

verkleidete

Aufgaben

JOH.

V I I I . 1 6 9 7 ) WHXUJAK. BERNOTJLLI

(AE V 1698) zu Studien über Orthogonaltrajektorien und Kurvenscharen ( z . B . Bestimmung des Ortes aller Punkte P, die auf Kurven einer affinen Schar durch 0 gleiche Bögen von 0 aus abgrenzen) angeregt. LEIBNIZ findet (Brief an JOH. BERNOTJLLI: 13. VIII. 1697, damals ungedruckt) die Differentiation eines Integrals nach einem Parameter. Weiterhin fordert JOH. BERNOULLI die Kennzeichnung der kürzesten Linien auf einer gegebenen konvexen Fläche durch zwei feste Punkte. JAK. BERNOTJLLI löst das Problem (AE V 1698) für Drehflächen und nimmt in Aufzeichnungen das Wesentliche des CLAiRATJTschen Satzes (HMP 1733) vorweg. JOH. BERNOTJLLI kennt (Brief an LEIBNIZ: 26. VIII. 1698) die kennzeichnende geometrische Eigenschaft der geodätischen Linien auf einer beliebigen konvexen Fläche (ausführliche Mitteilung an KLINGENSTIERNA 1728; Druck 1742). JAK. BERNOTJLLI, der gedruckte abschätzige Äußerungen JOH. BERNOULLIS mit Recht auf sich bezieht,

Auseinandersetzungen u m den Calculus

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fordert von diesem im Anschluß an die Lösung des Brachystochronen-Problems die Behandlung der „isoperimetrischen" Aufgabe: J xmdy durch Wahl eines passenden Kurvenstücks y(x) gegebener Länge zu einem Maximum zu machen. J O H . B E R N O U L L I löst dieses Problem sogleich nach Erhalt durch hydrostatischen Vergleich und läßt seine Methode (JS 11. XII. 1697) durchblicken. Die direkte Behandlung unter Beschränkung auf Glieder zweiter Ordnung (Brief an L E I B N I Z vom 1 5 . VII. 1 6 9 8 ; Druck: HMP 1 7 0 6 ) ist unrichtig und wird von J A K . B E R N O U L L I nur auf Grund der gemachten Andeutungen öffentlich als solche bezeichnet (JS 1 7 . II. 1 6 9 8 ) . J A K . B E R N O U L L I teilt in einem offenen Brief des lYühsommers 1700 (math. Auszug: AE VI 1700) die volle richtige Lösung und in der Dissertation vom 1. III. 1701 (auch AE V 1701) seine Methode mit. Inzwischen ist die Ac. sc. (1699) durch kgl. Dekret neu organisiert; Präsident ist der Oratorianer BIGNON, Vizepräsident L ' H O S P I T A L ; L E I B N I Z , N E W T O N und die Brüder B E R N O U L L I sind auswärtige Mitglieder. L E I B NIZ und L ' H O S P I T A L versuchen vergeblich zwischen den entzweiten Brüdern zu vermitteln. Niemand kann den Sachverhalt hinreichend überblicken, auch nicht der alternde L E I B N I Z , der auf Grund zu oberflächlicher Durchsicht J O H . BERNOULLIS Lösung für richtig hält. J Ö H . B E R N O U L L I wünscht anfangs die Verbindlichkeit seines Ansatzes durch ein aus L E I B N I Z , L ' H O S P I TAL und N E W T O N bestehendes Kollegium bestätigt zu sehen und versucht vergeblich, Gegenerklärungen gegen J A K . B E R N O U L L I in den AE und im JS drucken zu lassen. Nach einiger Zeit bemerkt er seinen Irrtum. Eine öffentliche Blamage bleibt ihm nur durch den Tod J A K . BERNOULLIS erspart. Durch das Erscheinen

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VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

der TAYLORschen Methodus (1715), worin JAK. BERNOULLls Methode ohne Hinweis übernommen ist, und durch die Veröffentlichung einer einschlägigen Studie HERMANNS (AE11718) zur Stellungnahme gezwungen, gesteht JOH. BERNOULLI (HMP 1718 = AE I + II 1718) den Irrtum zu, macht sich jedoch mit billigem Spott über belanglose Mängel der JAK. BERNOULLIschen Darstellung lustig und erzielt vermittels geometrischer Hilfsbetrachtungen wesentliche Vereinfachungen (Ansatzpunkt für EXILER). Im Zusammenhang mit der unrichtigen Behauptung TSCHIRNHAUS' (AE X I 1695), man könne jedem Bogen einer Parabel durch Konstruktion mit Zirkel und Lineal andere Bögen zuordnen, die zum ursprünglichen in rationalem Verhältnis stehen, entwickelt JOH. BERNOULLI (AE V I 1698) die zugehörigen algebraischen Transformationsgleichungen. Er bestimmt außerdem (HMP 1699 = AE VII 1699) rationale Flächenstücke an der gemeinen Zykloide; Gleiches leistet JAK. BERNOULLI (AE I X 1699). JOH. BERNOTILLI b e s t ä t i g t (AE

V I 1700) d e s B r u d e r s

Ansatz und fordert von diesem die Darstellung von sin nt aus sin t. Er selbst gibt (AE IV 1701) die ihm unbekannten Formeln VINTES (S. I , S. 123) und jene Beziehungen wieder, die durch Trennen des Reellen und Imaginären aus (cos t + i- sin t)n folgen würden. In der HMP 1702 stellt JAK. BERNOULLI sin nt als Funktion von sin t (ohne Kenntnis des Vorgängers NEWTON) u n d cos nt als F u n k t i o n v o n cos t d a r . B e i d e

dehnen ihre Formeln ohne strenge Begründung auf unganze n aus. Auch HERMANN beschäftigt sich (AE VIII 1703) mit dem Winkelteilungsproblem. Auf LEIBNIZ' Betreiben hin wird 1700 die Berliner Sozietät der Wissenschaften begründet. • LETBNIZ ist

Auseinandersetzungen um den Calculus

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ihr Präsident, JABLONSKI ihr erster Sekretär. Gemäß LEIBNIZ' Vorschlag werden die Brüder BERNOTJLLI und HEBMANN ZU korrespondierenden Mitgliedern gewählt. JAK. BERNOTJLLI, der den Briefwechsel mit LEIBNIZ 1697 abgebrochen hatte, da er in diesem (zu Unrecht) einen Parteigänger JOH. BERNOTTLLIS in der isoperimetrischen Auseinandersetzung sah, überzeugt sich nunmehr von seinem Irrtum und bleibt von jetzt ab in engerer Verbindung mit LEEBNIZ. Dieser hatte unbedachter Weise in den AE V 1697 geschrieben, außer den B r ü d e r n BERNOTJLLI, L'HOSPITAL u n d NEWTON sei vermutlich u n t e r den Lebenden

nur noch HUDDE fähig, das ausschließlich den Kennern zugängliche Brachystochronen-Problem zu meistern. N . FATIO, der schon 1687 u n a b h ä n g i g v o n LEIBNIZ zu

brauchbaren Infinitesimalmethoden vorgedrungen sein will, behandelt das Brachystochronen-Problem 1699 erfolgreich. Er beweist außerdem NEWTONS Verfahren aus den Principia (Buch II, sect. 7, prop. 34, schol.) zur Lösung des ältesten Variationsproblems, das die Bestimmung des mit fester Geschwindigkeit in Richtung der Achse in einer widerstehenden Flüssigkeit bewegten Drehkörpers kleinsten Widerstandes fordert. In seiner Schrift, deren Druck von der Royal Society (= RS) genehmigt ist, hebt er NEWTON erneut als den Erstentdecker der höheren Analysis hervor und bezeichnet LEIBNIZ als den zweiten, der womöglich von NEWTON abhängig sei. D a s Verfahren FATIOS wird v o n

L'HOSPITAL (HMP1699 = AE VIII1699) und von JOH. BERNOTJLLI (AE X I 1699 + V 1700) v e r e i n f a c h t u n d

auf dieLösung der Differentialgleichung y zurückgeführt.

•

= a

10

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730) LEIBNIZ erhebt als Mitglied der RS

gegen die Druckerlaubnis

f ü r FATIO;

Einspruch

SLOANE,

der

Sekretär der RS, entschuldigt diesen unkorrekten Vorgang als unbeabsichtigte Lässigkeit. I n würdigen Worten weist LEEBNIZ FATIO S Unterstellungen zurück (.AE V 1700). Er äußert sich lobend über MOIVRES Behandlung infinitesimaler Probleme durch Ansatz in unbestimmten Koeffizienten (Philosophical Transactions = PT V 1698) und fügt einen neuen Ansatz von großer formaler Kraft in Ziffernpaaren und -tripein (gemeint sind Indizes) bei. Hier wird der Grundgedanke der HlNDENBURGschen kombinatorischen Analysis (Hauptwerk: 1796) vorweggenommen. A u c h der S c h o t t e CHEYNE, der m i t CRAIG i n Ver-

bindung steht, bedient sich (1703) der unbestimmten Koeffizienten, jedoch ziemlich ungeschickt. Ihm t r i t t MOIVEE (1704) e n t g e g e n — der e i n z i g e XEWTON-Anhänger, der m i t JOH. BERNOXJLLI i n f r e u n d -

schaftlichem Verkehr steht. Die älteste Übersicht über die NEWTONsche Fluxionenlehre findet sich bei HABEIS (1702).

Auch in der Pariser Ac. sc. hat LEIBNIZ Gegner, die ihm den wachsenden wissenschaftlichen Einfluß nicht gönnen. Sie vermerken es übel, daß CARRÉ, ein Schüler VARIGNONS, über Integrationsprobleme unter Verwendung des Calculus schreibt (1700).. Haupttreiber s i n d LA HIRE u n d der A b b é GALLOYS, der

schon 1676 die Verleihung einer mathematischen Professur an LEIBNIZ in Paris verhindert hatte. Der tüchtige Algebraiker ROLLE, seit 1685 besoldetes Mitglied der Ac. sc., läßt sich vorschieben. Die vorgebrachten Einwände (1702/05) beruhen auf groben Mißverständnissen und dem Unvermögen ROLLES, sich in die neue Zeichensprache einzufinden. Sie

Auseinandersetzungen um den Calculus

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werden von VARIGNON, der seit 1 7 0 1 mit L E I B N I Z über diese Angelegenheit korrespondiert, und von SAURIN so überzeugend widerlegt, daß sich R O L L E 1 7 0 7 als überwunden bekennt. Im JS vom 3. VIII. 1702 und 15. II. 1703 rühmt SAURIN L ' H O S P I T A L wegen der Behandlung unbestimmter Ausdrücke in der Analyse. Ihm tritt JoH. B E R N O U L L I — taktloserweise wenige Monate nach dem Tod L ' H O S P I T A L S — in den AE VIII 1704 mit der (erst nach Herausgabe der Briefe der Jahre 1693/94 bestätigten) Behauptung entgegen, Regel und Erläuterungsbeispiel stammten, wie viele andere Einzelstücke der Analyse, von i h m , nicht von L ' H O S P I T A L . J O H . B E R N O U L L I , dessen Glaubwürdigkeit durch den Streit mit J A K . B E R N O U L L I in Frage steht, verscherzt sich in Paris durch diese zur Unzeit erhobenen Ansprüche das Vertrauen der Ac. sc. In der HMP 1716, wo er die Regel für unbestimmte Ausdrücke zur Tangentenbestimmung in mehrfachen Kurvenpunkten verwendet, weist SAURIN J O H . B E R N O U L L I S Reklamationen spöttisch als ungerechtfertigt zurück. I n den AE V 1 7 0 2 + I 1 7 0 3 lehrt L E I B N I Z die Integration rationaler Funktionen unter Verwendung der Partialbrüche; der Grundgedanke, vielleicht anQJ [ X geregt durch GREGORYS Behandlung von In (Ex. geom. 1668), stammt schon aus der Pariser Zeit. irrt, indem er die Zerlegbarkeit des Nenners in reelle Linear- und Quadratfaktoren leugnet und J dx: (A4 + X4) als eine Transzendente ansieht, die er noch nicht auf logarithmische und zyklometrische Funktionen zurückführen kann. Er läßt sich auch nicht durch die gegenteilige Feststellung JOH. BERNOULLIS ( H M P 1702, Auszug AE I 1703) überzeugen. LEIBNIZ

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VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

erkennt hier ähnlich wie LETBNIZ (Andeutung von 1676) auch den Zusammenhang zwischen dem Arcustangens und dem Logarithmus mit imaginärem Argument. Hieran schließt sich (AE VI 1712) eine verbesserte Herleitung der Winkelteilungsgleichung. In der vierten Reihendissertation (Basel 1698) setzt JAK. BEENOULLI die Behandlung von Integrationsproblemen fort. Die fünfte Reihendissertation (Basel 1704) wird von dem Neffen NIKLAUS I . BERNOULLI verteidigt. JAK. BERNOULLI ist bereits schwer krank; er beschränkt sich auf die Wiedergabe älterer Aufzeichnungen, die allerdings in methodisch verbesserter Umarbeitung erscheinen. Beachtlich ist der Hinweis auf die konvergenzverstärkende Transformation der Reihe für In (1 + x) vermittels x = y : (1 — y), erläutert am Beispiel x = 1. In ergänzenden Bemerkungen wird daraufhingewiesen, in „Extrempunkten" einer Kurve könne außer y' = 0 und y' = oo auch y' unbestimmt sein und jeden beliebigen Wert annehmen. Wenige Wochen später teilt JOH. CHE. FATIO den Baslern die konvergenzverstärkende Darstellung derLEIBNIZ-Reihe für ~ aus + —- - + --- + 1 4 4 5 2 2• S 3• 5 JOH. BERNOULLI

+ S - 7 + 5^7-9 + -5:779.11 + an

LETBNIZ v o n

HERMANN

und

mit

' die

(ÜlBriefen

JAK. BERNOULLI)

bewiesen und in Entsprechung zur vorigen Transformation gebracht wird. Die nämliche Transformation wird von STIRLING (PT 30, 1719) erfolgreich verwendet. 1 6 8 9 tritt NEWTON als Vertreter der Universität Cambridge ins englische Parlament ein, wird 1696 an die kgl. Münze berufen, übernimmt 1699 deren

Auseinandersetzungen u m den Calculus

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Leitung und ist seit 1703 Präsident der RS. Auf die Weiterentwicklung des Calculus nimmt er keinen aktiven Einfluß, gibt jedoch 1704 die Quadr. curv. (s. II, S. 73) in Druck. In wohlausgeklügelter und unangreifbarer Form hebt LEIBNIZ in einer (anonymen) Rezension (AE I 1 7 0 5 ) hervor, daß NEWTONS Andeutungen über die Fluxionenrechnung in den Principia erst n a c h seiner eigenen Veröffentlichung über die Differentialrechnung erschienen ist. In HERMANNS Nachruf auf JAK. BERNOTILLI (AE I 1 7 0 6 ) fügt er einen Hinweis auf die „große Erfindung des Jh., die LEEBNizsche Infinitesimalanalysis" ein, ohne NEWTON, den er früher in diesem Zusammenhang rühmend zu nennen pflegte, zu erwähnen. Auch in REYNATJS Analyse demontree ( 1 7 0 8 ) wird nur LEEBNIZ besonders hervorgehoben, und MANFREDIS Schrift über Differentialgleichungen ( 1 7 0 7 ) ist ausschließlich auf LEIBNIZ' Aufsätze gestützt. Die Freunde NEWTONS sind über die Zurücksetzung des großen Mannes empört. Einer von ihnen, der Schotte KEILL, führt in einer der RS 1708 vorgelegten Studie über Zentralkräfte (Druck: PT 26, 1 7 1 0 ) aus, sein Ergebnis folge leicht aus NEWTONS Fluxionenrechnung, die LEIBNIZ unter Abänderung des Namens und der Bezeichnungen in den AE veröffentlicht habe. LEIBNIZ' brieflicher Einspruch ( 1 7 1 1 ) führt (III 1712) zur Einsetzung eines großenteils aus Freunden NEWTONS bestehenden Ausschusses, der die Prioritätfrage nach kurzer Prüfung gegen LEIBNIZ entscheidet (IV 1712) und durch den Abdruck großenteils bereits veröffentlichter Briefe, Auszüge und Schriftstücke (aus WALLIS, 1 6 9 9 und der Ausgabe der NEWTONschen Analysis 1711) zu erhärten versucht (Gomm. epist. 1 7 1 2 / 1 3 , 2 1 7 2 2 mit verschärfenden

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Zusätzen von N E W T O N selbst, 31725 mit neuem Vorwort). Die Stellungnahme des Ausschusses hat auch politische Hintergründe. N E W T O N ist Anhänger der Tories, die 1710/14 an der Herrschaft sind und sich gegen den durch die Act of Settlement (1701) als Thronfolger eingesetzten Kurfürsten GEORG von Hannover, den Landesherrn von L E I B N I Z , wenden. Der Entscheid ist jedoch unrichtig und zudem mangels ausreichenden Rückgriffs auf die noch heute vorhandenen Originale unzureichend begründet. Den Mitgliedern des Ausschusses muß zu oberflächliche Prüfung der Unterlagen, jedoch nicht böser Wille unterstellt werden. LEEBNIZ ist als Erfinder des Calculus von N E W T O N u n a b h ä n g i g . Dies steht vor allem seit M A H N K E (1926, 1932) endgültig fest. L E I B N I Z nimmt in handfesten Gegenerklärungen („Flugblatt" vom 29. VII. 1713, Journ. lit. X I / X I I 1713) Stellung, wobei er sich auf massive Äußerungen J O H . BEENOTJLLIS vom 7. VI. 1 7 1 3 bezieht. Die ausführliche Darlegung (Historia et origo calculi differentialis 1 7 1 4 ) , deren Einzelheiten sich aus den noch ungedruckten Aufzeichnungen L E I B N I Z ' aus der Pariser Zeit als genau zutreffend erweisen, blieb damals ungedruckt. N E W T O N läßt in den PT I 1 7 1 5 ohne Namensnennung einen Bericht über das Comm. epist. erscheinen (auch Vorwort der zweiten Auflage des Comm. epist.), die zusätzlich schwere, heute widerlegte Beschuldigungen gegen L E I B N I Z enthalten, z. B. die Behauptung, dieser habe N E W T O N S Brief vom 3 . X I . 1 6 7 6 (s. II, S. 7 3 / 7 4 ) in London schon vor der Weitergabe nach Hannover eingesehen.

Vergeblich

versuchen Freunde, wie CHAMBERund CONTI, ZU vermitteln (Briefe

LAYNE, MONTMORT

Auseinandersetzungen um den Calculus

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1 7 1 4 / 1 6 ) . Es kommt zu immer härteren und schlecht begründeten gegenseitigen Beschuldigungen. Sogleich nach LELBNIZ' Tod ( 1 4 . XI. 1 7 1 6 ) läßt N E W T O N die durch Vermittlung CONTIS gewechselten Briefe als Anhang zu der im Sinne der englischen Auffassung zusammengestellten History of fluxions von R A P H S O N (Druck 1715, Ausgabe nach des Verf. Tod 1716) drucken. Eine umfangreichere Sammlung, die der LElBNlZschen Sache dienen soll, findet sich im Recueil ( 1 7 2 0 ) von D E S M A I Z E A U X . Die kritische Ausgabe aller in Erage stehenden Schriftstücke steht noch aus. — In den nächsten Jahrzehnten wird die Prioritätfrage nicht mehr weiter diskutiert. Die allgemeine Ansicht gibt N E W T O N recht. Erst im 1 9 . / 2 0 . Jh. wird die Darstellung des Comm. epist. als unzureichend begründet und der Entscheid als unrichtig erkannt. J O H . B E R N O U L L I , seit J A K . B E R N O U L L I S Tod dessen Nachfolger in Basel, wird zum Hauptvertreter der LElBNlZschen Infinitesimalmethoden. Er ist Mittelpunkt eines Kreises mathematikbegeisterter Schüler, die sich den despotischen Launen des bei allen Mängeln doch überlegenen geistesmächtigen Meisters beugen. Nach LEEBNIZ' Tod übernimmt J O H . B E R NOULLI die Verteidigung des geschmähten Freundes. In zahlreichen mit Erfolg durchgeführten wissenschaftlichen Fehden erhärtet er die Überlegenheit der besser durchdachten LElBNlZschen Bezeichnungsweise für infinitesimale Prozesse gegenüber der N E W T O N schen. Allerdings wendet er sich — seit dem Tod JAK. B E R N O U L L I S des einzigen wahrhaft kongenialen und kritisch wetteifernden Partners entratend — in erster Linie den Anwendungen der Infinitesimalmethoden auf physikalische und technische Fragen zu.

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VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

Schon in den AE VIII1695 handelt JOH. BERNOULLI von Kurvenpaaren, deren Bogensumme oder -differenz durch Kreisbögen rektifiziert werden kann. In den AE VIII 1698 bemerkt er, daß sich der Kurve y (x) vermöge £ = xy'3,

(3 xy'2 — J y'2 dx)

= Li

eine zweite Kurve rj (|) punktweise so zuordnen läßt, daß die Bogensumme der beiden Kurven gleich « ^ (1 + yn)3 ist. Im JS vom 12. II. 1703 fordert er die Konstruktion algebraischer Kurven, die zu einer gegebenen bogengleich sind. CRAIGS Versuche (PT I / I I 1 7 0 4 = AE I V 1 7 0 5 ) werden von JOH. BERNOTJIAI (AE V I I I 1 7 0 5 ) widerlegt. Jetzt sagt JOH. BERNOULLI, daß ein Punkt, der fest mit einer starren algebraischen Kurve verbunden ist, die berührend parallel zu sich selbst längs einer zweiten festen algebraischen Kurve gleitet, eine algebraische Kurve beschreibt, deren Bogen je nach Art der Berührung gleich der Summe oder Differenz der Bögen der Ausgangskurven ist. Als kennzeichnendes Beispiel behandelt er die bex1 y2 rührende ParallelverSchiebung der Ellipse -- -\—- = 1 2 längs der festen Ellipse x 1- iß — = 1 (Brief an LEIBNIZ 2 a b2 vom 15.1.1707 = Miscellanea Berolinensia (= MB) 1, 1710). Dabei beschreibt der Mittelpunkt der bewegten Ellipse eine konvexe Kurve mit O als Mittelpunkt und acht symmetrisch Hegenden Scheiteln, die den Kreis des Halbmessers a -f b um O in vier Scheiteln von außen und den Kreis des Halbmessers \ 2 (a2 + b2) um O in vier Scheiteln von innen berührt. So erhält JOH. BEENOULLI beachtliche Näherungen für den Ellipsenumfang.

Auseinandersetzungen um den Calculua

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Weiterhin wirft J O H . BERNOTILLI (Brief an LEIBNIZ vom 12. IX. 1694) das Problem der Isogonal- und Orthogonaltrajektorien auf. Es wird (AE V 1697) in Zusammenhang mit den Vorstellungen der HUYGENSschen Wellentheorie gebracht und in einem Beispiel (Orthogonaltrajektorien der asymptotengleichen logarithmischen Kurven durch einen festen Punkt) als Aufgabe gestellt. J A K . BERNOTILLI löst dieses spezielle Problem (AE V 1 6 9 8 ) . J O H . BERNOULLI weist (AE X 1698) auf die Differentialgleichung des allgemeinen Problems der Isogonaltrajektorien hin. Nach Übereinkunft mit J O H . BERNOTILLI fordert LEIBNIZ am Ende des Schreibens an CONTI vom 6 . XII. 1 7 1 5 von den Engländern die Orthogonaltrajektorien aller scheitelgleichen Hyperbeln unter Verwendung allgemeiner Gesichtspunkte. NEWTON läßt den in sehr kurzer Zeit gefundenen Lösungsgedanken unter Bezugnahme auf J O H . BERNOTILLI in den PT I/III 1 7 1 6 drucken. Eingehend und mit vielen Beispielen ausgestattet ist die Darstellung N I K L A T J S ' I I . BERNOULLI (AE V 1 7 1 6 , VI 1 7 1 8 und V 1 7 2 0 ) . Weitere formale Verbesserungen gibt HERMANN (AE VIII 1 7 1 7 , VIII 1 7 1 8 , I I 1 7 1 9 ) ; TAYLOR kennzeichnet die Bogenlängen der gesuchten Trajektorien durch eine Differentialgleichung (PT X / X I I 1 7 1 7 ) und STIRLING stellt (1717) fest, daß die Orthogonaltrajektorien der von LEIBNIZ vorgelegten Hyperbelschar nicht algebraisch ausdrückbar sind. Auch NIKLATIS I. BERNOTILLI liefert einen Beitrag (AE VI 1 7 1 9 ) . Von NIKLATJS II. BERNOULLI (Ende der Abh. von 1720) stammt das Problem der reziproken Orthogonaltrajektorien. Es fordert die Bestimmung einer Kurve innerhalb eines Parallelstreifens der Ebene, die auf einer der begrenzenden Geraden senkrecht steht. Aus 2 Hofmann, Gesch. d. Mathematik III

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VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

ihr sollen durch Verschieben parallel zu den begrenzenden Geraden bzw. durch Spiegeln an der Mittelparallelen des Streifens zwei zu einander orthogonale Kurvenscharen erzeugt werden. Die Lösungsversuche PEMBERTONS (AE

1721/23) w e r d e n v o n

JOH.

BER-

NOULLI (AE 1721/27) zerpflückt u n d durch elegantere

ersetzt. Schon früh beginnen die Versuche jüngerer englischer Autoren, die Fluxionslehre zusammenfassend darzustellen. Was D. GREGORY 1684 unter Verwendung des nicht voll verstandenen Nachlasses seines Onkels J . GREGORY vorbringt, dringt nicht sehr tief. Auch die S c h r i f t e n v o n HARRIS (1702), CHEYNE (1703), HAYES (1704), DITTON (1706) u n d CRAIG (1718) s i n d z i e m l i c h '

unbedeutend. Gegen den (anonymen) Kommentar von Analyse (1721) und die 1 7 3 5 ins Französische übersetzte Method of Fluxions (1730) von STONE, deren erster Teil eine englische Übersetzung von L'HOSPITALS Werk darstellt, erhebt JOH. BERNOUIXI (1742) unter Hinweis auf seine Prioritätsrechte Einwendungen. CR'OUSAZ ZU L'HOSPITALS

Der mathematisch begabteste unter NEWTONS Anh ä n g e r n i s t R . COTES ( 1 6 8 2 — 1 7 1 6 ) — a u f NEWTONS

Empfehlung hin seit 1706 Inhaber der PLUMEProfessur für Astronomie in Cambridge und 1709 zum Redaktor der zweiten Ausgabe der NEWTONschen Principia bestellt (Druck 1713). In der Logometria (PT I / I I I 1714) faßt COTES die früheren Beiträge der Engländer einheitlich neugestaltend zusammen, deren wichtigste von HALLEY (PT III/V 1695: In (1 + x ) = lim [(1 + x)n — 1] : n) u n d MOIVRE

n—>0

(PT

Auseinandersetzungen um den Calculus

19

V 1698: Funktionalgleichung zur Définition des Logarithmus) stammen. In kritischer Auseinandersetzung mit den LElBNizschen Aufsätzen zur Integration rationaler Funktionen findet COTES 1 7 1 6 den nach ihm benannten Lehrsatz (Druck im Nachlaß: 1 7 2 2 ; dort auch PEMBERTONS Beweis), durch den die reelle Zerlegung von xn dz an in lineare und quadratische Faktoren geometrisch gedeutet wird. Weitere Beiträge zur Integrationstheorie erweisen sich als geschickte Fortbildung von Lesefrüchten aus besten zeitgenössischen Arbeiten zur Infinitesimalmathematik. In Kenntnis des COTESschen Satzes fordert TAYLOR 1 7 1 8 brieflich mit abfälliger Bemerkung über LEIBNIZ' Unvermögen bei Behandlung von J d x : (a4 + x*) von den festländischen Mathematikern die reelle Integration der Funktion xkP~1 : (e + fxP + gx*P). JOH. BERNOULLI (AE VI 1 7 1 9 ; Ergänzungen 1 7 4 2 ) , HERMANN (AE

V I I I 1 7 1 9 ) u n d NIKLAUS I . BERNOULLI

(AE X 1720) liefern Lösungen. Schon in der HMP 1 7 1 0 sind Briefe HERMANNS und JOH. BERNOULLIS über die Bahnkurven bei Anwendung von Zentralkräften enthalten. In den AE II 1 7 1 3 übt JOH. BERNOULLI scharfe Kritik an der Art, wie NEWTON in den Principia die Pendelbewegung und den Wurf im widerstehenden Mittel behandelt. KEILL fordert (II 1 7 1 8 ) nähere Einzelheiten. Jetzt behandelt JOH. BERNOULLI (AE V 1 7 1 9 ) die Grundeigenschaften der ballistischen Kurve ; der Beweis folgt in den AE V 1 7 2 1 (Ergänzungen: 1 7 4 2 ) . Das Beste, was JOH. BERNOULLI zur Mechanik beigetragen hat, steht in den von der Ac. sc. mit Preisen bedachten Schriften der Jahre 1727 (Stoßgesetz), 1730 (Erklärung der KEPLER-Bewegung vermittels der DESCARTESschen Wirbeltheorie) und 1734 (Aus2*

20

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

gleichsversuch zwischen der NEWTONschen und der DESCARTESschen Auffassung in astrophysikalischen Fragen). Auch W . JONES (1675—1749) gehört zu NEWTONS

Freundeskreis. Ursprünglich Handlungsgehilfe, findet er als Autodidakt den Weg zur Wissenschaft und verfaßt eine Einführung in die Mathematik (1706). Dort teilt er die von dem Astronomen MACHEN stammende hundertstellige Berechnung von n auf Grund der 71 1 1 Zerlegung — = 4 • arc tg — — arc tg — - mit. 1711 4 O ¿Ov gibt JONES die NEWTONsche Analysis zusammen mit dem Wiederdruck der Quadr. Curv., der Enum. lin. und der Meih. d i f f . heraus. Die ersten Versuche NEWTONS in dieser Richtung gehen bis 1675 zurück. Sie führen um 1676 zur sog. NEWTONschen Interpolationsformel ( J . GREGORT schon 1668). Die An-

wendimg auf die numerische Quadratur wird in NEWTONS Principia (Buch III, Lemma 5) angedeutet und von COTES (seit 1707, Vorlesungen 1709, Druck 1722) durchgeführt; die zweckmäßigste Regel gibt SIMPSON ( 1 7 4 3 ) .

NEWTONS V e r f a h r e n wird v o n BR. TAYLOR (1685 bis 1731), einem Schüler KEZLLS u n d MACHINS, in der

Methodius incrementorum (1715) auf Grund eines unstrengen Grenzübergangs zur Herleitung der sog. TAYLOR-Reihe verwendet (handschriftlich 1712; vom Auftreten bei J . GREGORY weiß TAYLOR nichts). Auch JOH. BERNOTILLIS Reihe wird (ohne Nennung des Erfinders) vorgeführt. Beachtlich ist die Bestimmung dx d2x dy d?y , - , . „ . von , -—,••• aus —, ^ v2 - und die Bestimmung6 dy dy2 dx dx

Auseinandersetzungen um den Calculus

21

singulärer Lösungen von Differentialgleichungen; bedeutend ist auch der Versuch, die Saitenschwingung mathematisch zu behandeln. Diesen Ansatz führt JOH. BERNOULLI in den Comm. Ac. sc. Petrop. (= GP) 3 , 1728 weiter. In einer anonymen Abhandlung J O H . BERNOULLIS (AE VII 1716), deren Autorschaft dieser hartnäckig leugnete und die er auch nicht in die Opera übernehmen ließ, wird TAYLOR vor allem wegen der BERNOTJLLIReihe des Plagiates beschuldigt. Seine Rechtfertigungsversuche werden von NIKLAUS II. BERNOULLI (AE

VII

1720)

und

BURCKHARDT

(AE

V

1721)

zurückgewiesen. TAYLORS Differenzenmethode wird von NICOLE (HMP1717,1723,1724,1727) methodisch verbessert und zur Summierung von Reihen verwendet, die sich aus jenen der reziproken figurierten Zahlen durch Verallgemeinern ergeben. In den PT 30, 1 7 1 9 / 2 0 finden sich ergänzende Beiträge von MONTMORT, TAYLOR und STIRLTNG. Dieser teilt ( 1 7 3 0 ) die 2 t, , , , Reihe In n\ = In V 2 n + — 2 7i— 1 In

— —

n + 1 2

—2 mit. Aus ihr entwickelt n + 1) J MoiVRE in Mitverwendung der 1730 gegebenen Nähe2M +

^

2

—

1 ^ L(2

rung e" • n! «Ü nn j/ 2 n n für große n und der Rekursionsformel H B% + \ TC /Bi + ». = n~~~Li2 für die BERNOXILLlschen Zahlen noch im nämlichen Jahr die Reihe In n\ = In ]/2nn + n (In n— 1) + oo + E B.lkn^k \ [.(2k~ 1) 2 fc], 4= i Auch in Italien werden die neuen Gedanken mit Interesse aufgenommen. Schon 1703 schreibt G . GRANDI

22

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

bedeutender Schüler, eine Studie im Sinne der LEiBNizschen Infinitesimalmathematik, und 1 7 0 7 faßt G. M A N F R E D I ( 1 6 8 1 — 1 7 6 1 ) die in verschiedenen Zeitschriften zerstreuten Arbeiten der Leibnizianer über Differentialgleichungen zusammen. Sehr selbständig arbeitet der Graf G. C. FAGNANO ( 1 6 8 2 — 1 7 6 6 ) , der sich erst seit seinem 24. Lebensjahr und als Autodidakt mathematisch betätigt. Er geht aus von J O H . BERNOULLIS Untersuchung über Kurven, auf denen sich die Summe oder Differenz zweier Bögen als Geradenstück darstellen läßt (AE X 1698; einfachstes Beispiel: a2y = x3). FAGNANO bestimmt 1 7 1 6 die Ellipsen-, Hyperbel- und Zykloidenbogenpaare mit elementar rektifizierbarer Differenz und stößt 1717 zu Sonderfällen der Additionstheoreme elliptischer Integrale aus deren Differentialgleichungen vor. Durch Überlegungen, die von den Ergebnissen J A K . BKRNOTJLLIS in den AE I X 1 6 9 4 ausgehen, findet er, daß sich die Teilung des Viertelbogens der Lemniskate algebraisch ausführen läßt (Studien seit 1718). ( 1 6 7 1 — 1 7 4 2 ) , SACCHERIS

J . RICCATI (1676—1754), einer der letzten Schüler wetteifert mit H E R M A N N (lehrt 1707/13 in Padua), NiKLAUS I. B E R N O U L L I (lehrt 1716/19 in Padua) und N I K L A U S II. B E R N O U L L I (1720/22 Hauslehrer in Venedig) erfolgreich in der Behandlung von Infinitesimalproblemen. Wir verdanken ihm u. a. Untersuchungen über Kurven, die aus Q (S), Q (y) und Q = r bestimmt sind, und interessante Studien über die Reduktion von Differentialgleichungen zweiter Ordnung (1722/23). Vielleicht sind die Arbeiten über die durch Trennung der Veränderlichen elementar lösbaren Fälle der RiCCATlschen Differentialgleichung ANGELIS,

Auseinandersetzungen u m den Calculus

23

(AE Suppl. 8, 1723), die auch von D A N . BERNOULLI (1724; AE XI 1725) und den andern BKRNOULLIS bestimmt werden, durch ein druckfertig im Nachlaß J A K . BERNOULLIS vorhandenes Mskr. über y' = if angeregt, das NIKLAUS I. BERNOUT.LT kannte. Weniger bedeutend ist JOH. BERNOULLIS Abhandlung über homogene Differentialgleichungen (CP 1, 1726). Die Gesamtentwicklung der Infinitesimalmethoden im ersten Viertel des 18. Jahrhunderts wird bestimmt durch den Gegensatz zwischen den Newtonianern und Leibnizianern. Unter Führung JOH. BERNOULLIS, der in J A K . HERMANN ( 1 6 7 8 — 1 7 3 3 ) , seinem Neffen NIKLAUS I. BERNOULLI ( 1 6 8 7 — 1 7 5 9 ) und seinen Söhnen, dem frühvollendeten NIKLAUS II. BERNOULLI (1695—1726)

u n d DANIEL BERNOULLI

(1700—1782),

ausgezeichnete Helfer findet, werden die Engländer wissenschaftlich überspielt. Auch in Frankreich, wo P. VARIGNON ( 1 6 5 4 — 1 7 2 2 ; Nachlaß: 1 7 2 5 ) und B . FONTENELLE ( 1 6 5 7 — 1 7 5 7 ; 1 7 2 8 ) in Einzeldarstellungen für die Verbreitung der neuen Gedanken wirken, und in Italien setzt sich die L E i B N i z s c h e Auffassung durch. Die Mathematiker auf der iberischen Halbinsel verhalten sich abwartend, die Niederländer folgen zögernd, in Deutschland und den nordischen Ländern sprechen nur wenige Persönlichkeiten auf die neuen Gedanken an und beteiligen sich kaum aktiv an ihrer Weiterentwicklung. Allerdings hat JOH. BERNOULLIS Eintreten für die mechanischen Vorstellungen von DESCARTES zur Folge, daß sich die NEWTONsche Himmelsmechanik in Frankreich erst seit dem Auftreten von MAUPERTUIS ( 1 6 9 8 ' — 1 7 5 9 ) und VOLTAIRE ( 1 6 9 4 — 1 7 7 8 ) durchsetzt, die sich kurz vor 1 7 3 0 während ihres Aufenthaltes in England für die NEWTONsche Auffassung entscheiden.

24

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1666 bis 1730)

5. Sonstige m a t h e m a t i s c h e F o r t s c h r i t t e (etwa 1665 bis 1730) I n f i n i t e s i m a l m a t h e m a t i k in J a p a n (etwa 1650 bis 1770) In den rund sechs Jahrzehnten, die dem mathematischen Spätbarock angehören, werden unter Einwirkung der pädagogischen Reformgedanken von M.

MONTAIGNE,

FB.

BACON,

R.

DESCARTES

und

J . L O C K E mancherlei Versuche zur praktischen Umgestaltung des einführenden Unterrichts in die einzelnen mathematischen Fächer unternommen. Hier ist vor allem das Streben und Wirken von W. R A T K E (1571—1635), von J . J U N G I Ü S (1587—1657), der JANSENISTEN in Port Royal (Höhepunkt etwa 1650—1670), von J . B . SCHUPP (1610—1661) und vor allem von J . A. COMENIUS (1592—1670) zu nennen.

Das R e c h n e n wird größtenteils in der Muttersprache, jedoch auch weiterhin nach der älteren Drillmethode gelehrt. Noch fehlt das Verständnis für die Notwendigkeit eines einheitlichen Aufbaus und einer zu vertieften Einsichten führenden Lehrmethode; an ihre Stelle tritt eine große Zahl zwar handfester und durchaus brauchbarer, jedoch das Gedächtnis unnötig belastender Regeln. Einigen der damals weitverbreiteten Rechenbücher, wie denen von VENTTJROLI (seit 1 6 6 3 ) , HODDER (seit 1 6 7 1 ) , B A R R E M E (seit 1 6 7 2 ) und MATTHIESEN (seit 1 6 8 0 ) , die ersichtlich dem Zeitgeschmack besonders entgegenkommen, kann geschickte Darstellung keineswegs abgesprochen werden, jedoch fehlt es an anregenden Ansatzpunkten für tiefergehende Überlegungen. Das gilt auch für das Wirken eines zu seiner Zeit so hochgeschätzten Lehrers wie

Sonstige mathematische Fortschritte

25

E. WEIGEL, der seine Kraft in allzu Spielerischem, wie etwa in seinem Vierersystem (1673), erschöpft. Rühmend muß des tüchtigen Hamburger Rechenmeisters MEISSNER (1644—1716) gedacht werden, des Gründers der kunstrechnungsliebenden Sozietät, die sich die Verbesserung des Rechenunterrichts zum Ziel setzt. Auch LEIBNIZ beschäftigt sich nebenher in Aufzeichnungen mit numerischen Fragen. Mit den Gedanken zur Dyadik, deren Bedeutung für infinitesimale Fragen ihm schon seit der Pariser Zeit klar ist, tritt er freilich erst in der HMP 1703 an die Öffentlichkeit. Aufzeichnungen über dyadisches Rechnen finden sich auch bei HARRIOT, Andeutungen (unabhängig) bei SCHOOTEN (1657). Von der Studie des auf vielerlei literarischen Gebieten tätigen Bischofs CARAMUEL Y LOBKOWITZ zur Dyadik (1670) dürfte LEIBNIZ nichts gewußt haben. Die Versuche, den g e o m e t r i s c h e n Unterricht umzugestalten, knüpfen an ARNAULD (Druck 1667) an, der an Stelle des starren EüKLiDischen Formalismus mit seinem unkindlichen Aufbau einen genetischen Lehrgang setzen möchte und großen Wert auf einfache und direkte Schlußweisen legt. In ähnlichem Sinne wirken auch die Jesuiten GOTTIGNIEZ (seit 1669), FABRI (1669), PARDIES (seit 1671), DECHALES (seit 1672), LAMY (1685), ferner MALEZIEU (1715) und VARIGNON (1731). Der ebenfalls nach verkürzter und verbesserter Darstellung strebenden EUKLID-Bearbeitung eines unbekannten Jesuiten (1666) schickt N. MERCATOR (1678) eine vielbeachtete Einführung voraus, in der die einfachsten geometrischen Örter unter Verwendung von Bewegungen und versinnlichenden physikalischen Vorgängen erklärt werden.

26

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

Allerdings wird in den meisten Schulen der ältere Lehrgang bevorzugt, der sich auf eine stark vereinfachte Auswahl aus EUKLID mit etwas Trigonometrie und Konstruktionspraxis beschränkt. Beliebt ist etwa die Darstellung v o n LE CLERQ (1669). E i n wenig

tiefer dringen die zahlreichen EUKLID-Bearbeitungen und -Übersetzungen in den verschiedenen Landessprachen. Ip. den katholischen Ländern, wo der Unterricht vorzugsweise von den Erziehungsgrundsätzen der Jesuiten bestimmt wird, sind weiterhin zusammenfassende mathematische Einführungskurse unter Einschluß der praktischen und angewandten Mathematik ü b l i c h , w i e j e n e v o n TACQUET ( 1 6 6 9 ) , GUARINI ( 1 6 7 1 ) , DECHALES ( 1 6 7 4 , 1 6 9 0 ) , GOTTIGNIEZ ( s e i t 1 6 7 5 ) , BLONDEL ( 1 6 8 3 ) , V . GIORDANO ( 1 6 8 6 ) u n d OZANAM

(1693). Eine andere Gattung dieser Literatur sind die mathematischen Wörterbücher von VIT ALI (1668), MOXON ( 1 6 8 0 ) u n d OZANAM ( 1 6 9 0 ) .

Die einfachsten Kapitel der A l g e b r a gehören bereits zum festen Bestandteil der höheren Schulen. Tiefergehende Kenntnisse werden freilich erst an den Universitäten vermittelt. Als gute Zusammenfassungen des damals Üblichen verdienen die Lehrbücher von

KERSEY

(1673/74)

und

PRESTET

(1675,

1689)

Beachtung. Auch die Logarithmen setzen sich durch — vor allem bei Behandlung astronomischer Fragen. Neben den (zumeist 8-stelligen) Tafeln dekadischer Logarithmen — wir erwähnen etwa die vielgebraucht e n von J . NEWTON (1688) — stehen (ebenfalls seit

1688) auch die Tafeln natürlicher Logarithmen von SPEIDELL zur Verfügung. Der Schwede ELVIUS betont

1698, daß die Rechenpraxis schon mit 5-stelligen

Sonstige mathematische Fortschritte

27

Tafeln auskommt. Die Rechentechnik wird langsam auf logarithmisch brauchbare Formeln umgestellt. Auch nicht infinitesimale Fragen werden im Spätbarock eifrig diskutiert, jedoch ist der Kreis der Interessenten ziemlich klein. Viele noch heute beliebte Aufgaben aus der Unterhaltungsmathematik finden sich schon bei LETJRECHONOUGHTRED (seit 1625) und OZANAM (seit 1694). Die den Exerc. math. von SCHOOTEN (1657) beigegebene Studie von HUYGENS über das Würfelspiel ist Ausgangspunkt tiefgründiger Untersuchungen von J A K . BERNOULLI. Dieser kennt übrigens weder die einschlägigen Arbeiten PASCALs (Druck 1665), noch die zwischen FERMAT, PASCAL, HTJYGENS und H U D D E gewechselten Briefe. Seit 1 6 8 5 stellt J A K . BERNOULLI einzelne Aufgaben über Wahrscheinlichkeitsfragen zur Diskussion. Vielleicht stammt die SPINOZA zugeschriebene Berechnung von Spielchancen (Druck 1687) nicht von diesem, sondern von einem durch J A K . BERNOULLI angeregten Niederländer. Im Fortgang seiner Studien findet J A K . BERNOULLI (um 1689) das Gesetz der großen Zahlen. LEIBNIZ, der sich von mathematischen Spieltheorien neue Beiträge zur Erfindungskunst erhofft (MB 1 , 1 7 1 0 ) , erhält von J A K . BERNOULLI in Briefen ( 1 7 0 3 / 0 4 ) dessen Grundgedanken, vermag ihnen jedoch nicht mehr zu folgen. Das unvollendete Mskr. der richtungweisenden Ars conjectandi JAK. BERNOULLIS wird 1 7 1 3 aus dem Nachlaß unter Mitwirkung von NIKLAUS I. BERNOULLI zum Druck befördert. Es enthält u. a. die bisher noch nicht datier bare Ausn wertung von ¿7 kp vermittels

der BERNOULLischen

k= 1 Zahlen, ferner wertvolle Gedanken über Gewißheit, Not-

28

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

wendigkeit, Zufall, moralische und rechnerische Erwartung, Wahrscheinlichkeit a priori und a posteriori und Gewinnaussichten bei Beteiligung von Spielern verschiedener Geschicklichkeit. Schon etwas früher läßt MONTMORT eine Untersuchung über Glücksspiele drucken (1708), die 1713 in erweiterter Auflage erscheint, nunmehr bereits unter Einfluß der BERNOTXLLischen Ars conj., auf deren Inhalt MONTMORT durch NIKLATJS I . BERNOUXILI hingewiesen wird. Dieser schreibt 1709 über die Anwendung der Ars conj. im Rechtsleben. Auf MONTMORT bezieht sich MOIVRB (PT 27, 1711), der selbständig zum Begriff der zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit gelangt; genauer entwickelt er seine Gedanken 1720 und 1730. Auch die Frage nach möglichst angemessener Bestimmung der wiederkehrenden Auszahlungen bei Leibrenten und der Beiträge zu Lebens- und Ausstattungsversicherungen wird mittels der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt. GRAUNT teilt (seit 1662) die Ergebnisse langjähriger englischer Beobachtung über Geburten und Sterbefälle mit. In HXJYGENS' Aufzeichnungen (1669) finden sich Ansätze zur graphischen Auswertung dieses Materials. HALLEY berechnet (PTY1,1693) im Anschluß an die Breslauer Geburts- und Sterbelisten von 1687/91 eine extrapolierende Sterblichkeitstafel für den Fall stationärer Bevölkerung. Auch NIKLATJS I . BERNOULLI und MoiVRE beschäftigen sich mit solchen Fragen. Die Algebraiker verzehren ihre besten Kräfte im Ringen um das unerreichbare Wunschziel, die Lösungen allgemeiner algebraischer Gleichungen in Radikalform zu geben. Sie erzielen jedoch beachtliche kleinere Fortschritte.

Sonstige mathematische Fortschritte

29

Dem Aichmeister DAKY, einem reinen Praktiker, gelingt 1675 die lang gesuchte Darstellung der drei reellen Lösungen einer Gleichung dritten Grades im casus irreducibilis. Die in der WAlLiSschen wissenschaftlich sehr sorgfältig aufgebauten und durchgearbeiteten Algebra (Mskr. 1676, englisch 1685, lateinisch vermehrt 1693) stehenden Hinweise auf NEWTONS Näherungsmethoden zur Gleichungslösung (iterierte Ansätze, NEWTONS Näherungsregel) werden von RAPHSON (1690) etwas weiter ausgeführt. ROLLE entwickelt (1690) die Kaskadenmethode zur Trennung und Annäherung von Gleichungslösungen und bemerkt ( H M P 1708/09) das Hinzutreten problemfremder Lösungen bei unzweckmäßiger Elimination. LAGNY gibt (1692) irrationale Näherungen für höhere Radikale, die von HALLEY (PT18,1694

= Anhang zu

NEWTONS Arithm. univ., Druck 1707) vermittels der NEWTONschen Näherungsmethode verschärft werden. Die Ansätze NEWTONS (Arithm. univ.) zur Fest-

stellung der Anzahl komplexer Gleichungslösungen

werden von MACLAIIRIN (PT 34, 1726; 36, 1730) u n d CAMPBELL

(PT 35, 1728) weitergeführt.

Grundsätzliches über die Kettenbruchentwicklung rationaler Zahlen findet sich in HUYGENS' Behandlung des Planetariums (1691 ?, Druck 1698). Wie sich die Kettenbruchentwicklung für ]/ 2 in eine Stammbruchreihe verwandeln läßt, weiß schon TSCHIRNHATJS (Brief an LEIBNIZ vom 17. IV. 1677). LEIBNIZ kennt außerdem (Ende 1675) die durch fortgesetzte Anwendung der babylonischen Näherungsregel (s. I, S. 13) erhältliche Stammbruchreihe für ] f i . Schrittweise bestimmt ROLLE (Mem. math. phys. 3, 1692) die Kettenbruchentwicklung für / a * + b . Die dort ge-

30

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

gebenen Verallgemeinerungen für höhere Radikale werden von JOH. BERNOTJLLI schon in den Vorlesungen für L'HOSPITAL (1692, Druck 1742) als irrig bezeichnet. Bei dieser Gelegenheit wird die RoLLEsche Entwicklung für j/ a2 + 6 allgemein in eine Reihe übergeführt; im Fall ]/~2 weist JOH. BERNOTJLLI auf den Vergleich mit der binomischen Entwicklung hin. LAGNY versucht (HMP 1719) die ARCHlMEDischen Näherungswerte für aus der Kreisrechnung (s. I, S. 38) durch Kettenbrüche zu erklären. Von den zahlreichen algebraischen Entwürfen LEIBNIZ' mit ihren interessanten, jedoch zumeist nur flüchtig angedeuteten Ansätzen ist nur eine kleine Auswahl gedruckt zugänglich. Den Zeitgenossen steht einzig eine Skizze über Bezeichnungsfragen zur Verfügung (MB 1, 1710). Die durch eine Bemerkung GRANDIS (1703, wiederholt 1710) ausgelöste Diskussion zwischen LEIBNIZ und seinen Korrespondenten über-- als Wert der £

Summe 1 — 1 -f 1 — 1 — führt zum Abdruck eines LElBNlZschen Briefes (AE, Bwp-pl. 5, 1712); die Bemerkung LEIBNIZ' (AE

I V 1712), daß

negative

Zahlen keine reellen Logarithmen besitzen, wird von JOH. BERNOTJLLI (Korrespondenz 1712/13) bekämpft,

der In (— x) = In x setzen will. Der Sachverhalt wird erst durch EULER (Hist. Mem. Ac. Bln. [= HMB] 5, 1749) geklärt. Schließlich sei auf MOIVRES Formel hingewiesen, die in den PT 25, 1707, in den ikfi.sc. (1730) und in den PT 40, 1738 nur a n g e d e u t e t ist.

Die heutige Fassung findet sich erst in EHLERS Introductio

(1748).

Auf zahlentheoretischem Gebiet ist im Grundsätzlichen über FERMAT hinaus kein Fortschritt zu

Sonstige mathematische Fortschritte

31

verzeichnen. OZANAM, der interessante neue Probleme aufwirft, hat doch nur spezielle elementare Ansätze zur Verfügung (seit 1673), ebenso JAQTJEMET (Nachlaß). ROLLE l ö s t (1690) d i e u n b e s t i m m t e

Gleichung

bx — ay = c durch Anwendung der fortgesetzten Wechselwegnahme. Besonders beliebt ist das Problem der magischen Quadrate. Das Bedeutendste auf diesem Gebiet ist FRENICLES Aufzählung der 880 möglichen 16-Zeller (Druck 1693). Zahlreiche elementargeometrische Einzeluntersuchungen leiten zu vertiefter Einsicht in die Grundgesetze der Perspektive und der Koordinatengeometrie über. I n SCHOOTENS Exerc.

math.

(1657), die z a h l r e i c h e

geometrische Einzelstudien enthalten, findet sich eine Übersicht über die mit dem Lineal und dem Streckenübertrager ausführbaren Konstruktionen, die von G. MOHR (1672) f o r t g e f ü h r t wird. MOHR h a n d e l t a u c h

eingehend von Konstruktionen mit dem Zirkel allein (1672). G. CEVA l e i t e t (1678) d e n n a c h i h m b e n a n n t e n

Dreiecksatz elegant auf mechanischem Wege her; ein rein geometrischer Beweis stammt von JOH. BERNOULLI ( D r u c k

1742). U m

die nämliche

Zeit

mag

Prinz RUPPERT von der Pfalz die Aufgabe gestellt und gelöst haben, einen Würfel durch einen zu ihm kong r u e n t e n h i n d u r c h z u s t e c k e n ( B e r i c h t i n WALLIS, 1693).

Eine witzige Erfindung L'HOSPITALS, die mit den Auseinandersetzungen um die Kennzeichnung algebraischer Integrale algebraischer Funktionen zusammenhängt, steht in HMP 1701. Hier wird gezeigt, daß es unendlich viele algebraisch herstellbare Stücke des Möndchens zwischen einem Viertelkreis- und einem Halbkreisbogen gibt, die zwischen Parallelen

32

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

zur Symmetrieachse der Figur liegen und elementar quadriert werden können. Aus zahlreichen nachgelassenen Entwürfen geht hervor, wie eingehend sich LEIBNIZ mit grundlegenden Fragen der Geometrie und ihrer Beziehung zur Infinitesimalmathematik beschäftigt hat, ohne doch Abschließendes und ihn selbst Befriedigendes zu erreichen. Das Wertvollste in dieser Hinsicht ist die Beilage zum Brief an HUYGENS vom 18. I X . 1679, wo LEIBNIZ die Anfänge einer Begriffsschrift zur Kennzeichnung geometrischer Lagebeziehungen entwickelt. Anscheinend h a t ihm HUYGENS' abweisende Stellungnahme die Lust an der Weiterführung dieses Gedankens genommen. Viele Autoren mühen sich um die einwandfreie Gestaltung der Parallelenlehre, die schon von SAYILE (1621) als Makel (naevus) der Geometrie bezeichnet wurde. Beachtliche Erklärungsversuche stammen von V. GIOKDANO (1680), WALLIS ( D r u c k 1693, a n k n ü p f e n d

an At-TÚSis Versuch, den er sich aus dessen arabischer EUKLID-Ausgabe von 1594 übersetzen läßt) und MALEZIEU (1715). Das Beste in dieser Richtung gibt SACCHEKI (1733), der im Grunde bereits die ellip-

tische und hyperbolische Geometrie neben die EuKT,mische .stellt, jedoch die nichteuklidischen Fälle auf Grund von Scheinbeweisen als unzutreffend verwirft. Diese geistreiche Studie wird jedoch von den Zeitgenossen ebensowenig gewürdigt wie die 1697 entwickelten Gedanken zur Logistik. Beachtliche Beiträge zur K e g e l s c h n i t t l e h r e sind in NEWTONS Vorlesungen über Arithm. univ. (1673/84, Druck 1707) und über die Himmelsmechanik (1684/87, Druck 1687) enthalten. Weniger bedeutend sind die

Sonstige mathematische Fortschritte

33

lehrbuchartigen. Darstellungen v o n LA HIRE (1673, 1679,

1685),

OZANAM

(1687),

CRAIG

(1693)

und

L'HOSPITAL (Druck 1707), in denen der analytische

Standpunkt durchaus nicht folgerichtig durchgeführt ist. Eine reichhaltige Übersicht über die damals bekannten Anwendungen der Algebra auf die Geometrie findet sich bei J. CHR. STURM (1689) und GUISN^K

(1705). Die Gleichwertigkeit der Koordinaten, aus LEIBNIZ' Aufzeichnungen schon seit 1675 sichergestellt, wird noch nicht einmal von RABUEL (1730) ganz folgerichtig erfaßt. In NEWTONS vorhin erwähnten Schriften finden sich auch instrumentale Brzeugungsweisen höherer Kurven. NEWTONS Klassifizierung der Kurven dritter Ordnung (Anfang 1676, Druck 1704) wird von STIRLING (1717) u n d

STONE (PT

41,

1740) e r g ä n z t .

In

der

Folgezeit werden zahlreiche spezielle algebraische und transzendente Kurven erfunden, wie etwa die Rosenkurven (GRANDI 1728). Für weitere Einzelheiten auf diesem weitschichtigen Gebiet muß auf G. LORIA (seit 1902) verwiesen werden. R'aumkoordinaten werden schon von HTJDDE (1657) verwendet. Auch LEIBNIZ (Aufzeichnung v o n 1675) und die BERNOTJLLIS (Z. B. Brief JOH. BER— LEIBNIZ, 6. I I . 1715)

sind mit ihnen ver-

traut. PARENT schreibt (1705)

Flächengleichungen

NOUXILI

wirklich an, PLTOT stellt (HMP 1724) die Schraubenlinien in Raumkoordinaten dar. NEWTONS Behandlung der Kurven dritter Ordnung beruht auf p e r s p e k t i v i s c h e n Grundgedanken. Diese werden von MURDOCH (1746) deutlich hervorgehoben.

Wie stark das allgemeine Interesse an der Perspektive ist, zeigen Zusammenfassungen in Sammelwerken, 3 Hofmann, Gesch. d. Mathematik III

34

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

wie dem von DECIIALES (1674), und ausführlichere Einzeldarstellungen von LA HIRE (1673), S'GRAVESANDE (1711), DITTON (1712) und TAYLOR (1716 u.ö.). Ins Spätbarock-fallen auch die ersten Anfänge mathematikgeschichtlicher Zusammenstellungen. Trotz aller Mängel ist der Versuch von Vossius (1650) ernst zu nehmen, während die geschichtlichen Abschnitte in d e n K u r s e n v o n TACQTJET (1654) u n d DECHALES (1690) unbefriedigt lassen.

Ausgezeichnetes wird vor allem von den Engländern auf editorischem Gebiet geleistet. Die von TH^YENOT (1693) besorgte Sammlung griechischer Kriegsschriftsteller kann heute nicht mehr befriedigen. Hingegen ist D. GREGORYS EUKLID-Ausgabe (1703) für mehr als 100

Jahre unübertroffen,

und

die

auf

BERNARDS

Vorarbeiten beruhende APOLLONIOS-Ausgabe (1706, 1710) von HALLEY unter Verwendung der nur arabisch erhaltenen Texte ist eine auch heute noch unerreichte Edition. HALLEYS Ausgabe des MENELAOS (nach arabischen Übersetzungen) kommt freilich erst 1758 heraus. Es ist sicher kein Zufall, daß die großen Oxforder Editionen griechischer Mathematiker mit dem Wirken des so jung verstorbenen Grafen SHAFTESBURY (1671—1713), dem begeisterten Begründer der neuhumanistischen Schule, zusammenfallen. Kurz muß auch auf BARROWS für Vorlesungszwecke gedachte Bearbeitungen antiker Mathematiker (1675) hingewiesen werden, die viel zur Hebung des mathematischen Verständnisses an den englischen und festländischen Universitäten beigetragen haben. Die führenden Mathematiker des Barock sind fast durchwegs Einzelgänger, die sich mit dem über-

Sonstige mathematische Fortschritte

35

lieferten Lehrgut nicht zufrieden geben und in zuversichtlichem Vertrauen auf ihre eigene Denk- und Vorstellungskraft neue Wege beschreiten. Sie verkürzen die älteren Schlußweisen durch Einführung zweckmäßiger Operationssymbole und erzielen eine bessere Übersicht über das früher nur lose nebeneinander gestellte Einzelwissen. Sie stoßen zu zahlreichen neuen Ergebnissen vor und eröffnen den Zugang zu weiteren, die in greifbare Nähe rücken. Die Anwendbarkeit der neuen Methoden schafft ihnen zahlreiche Nachfolger, denen in erster Linie nicht mehr das Grundsätzliche, sondern der Ausbau der formalen Methoden am Herzen liegt. Damit bereitet sich der "Übergang zu jener Epoche vor, die im vernunftgemäßen und zweckbestimmten Handeln ihr höchstes Ideal sieht und sich in übersteigerter Wertschätzung ihrer eigenen Auffassung aus den ihrer Meinung nach unerträglich gewordenen Banden der Tradition zu lösen versucht: das Spätbarock f ü h r t in das Zeitalter der A u f k l ä r u n g hinüber. Während im Abendland operative Infinitesimalmethoden erfunden und entwickelt werden, treten ähnliche Verfahren fast gleichzeitig unbeeinflußt und in eigenartiger Prägung auch im f e r n e n O s t e n auf. Schon im 6. J h . kommen einzelne buddhistische Mönche von Korea nach J a p a n und bringen chinesische Rechenbücher mit. Unter ihrem .Einfluß entsteht seit dem 7. J h . eine japanische arithmetische Schule, die sich auch des Abacus (soroban) geschickt zu bedienen weiß. Seit 1543 bestehen Handelsbeziehungen von J a p a nern mit portugiesischen Seefahrern, seit 1609 auch mit niederländischen. Seit 1 5 4 9 wirkt F r a n z X a v i e r 3*

36

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

in Japan. Das Christentum breitet sich rasch aus. In Funai entsteht eine katholische Universität, die den mag. art. und den Dr. theol. verleiht. Seit 1600 setzt eine gegen die Christen und die chinesischen Buddhisten gerichtete Bewegung ein, die 1638 zur Austilgung des Christentums und zum völligen Abschluß gegen ausländische Einflüsse führt. Die noch vorhandenen Handelsniederlassungen werden aufs strengste überwacht. Aus dieser Zeit sind Listen der nach Japan eingeführten westlichen Druckschriften vorhanden. Sie zeigen, daß nur wenige Rechenbücher und Werke über Trigonometrie und Astronomie nach Japan gelangt sind. Aus China bringt M6B>I um 1600 die numerischen Methoden der Chinesen zur Auflösung höherer Gleichungen mit. Das umfangreiche Rechenbuch seines Schülers YOSHTDA (1627) wird in einem knappen, für Anfänger bestimmten Auszug bis ins 19. Jh. verwendet. MXJKAMATSTJ bestimmt (1663) durch numerische Rechnung aus dem 2 13 -Eck acht Dezimalen von n, und M U R A S E verwendet (um 1680) irrationale Iterationen zur numerischen Auflösung von Gleichungen dritten Grades. Der geniale Samurai SEKI (1642 ?—1708) beginnt 1674 mit Studien zur Gleichungslehre im Sinne der chinesischen Vorbilder, kennt die allgemeine Lösung der unbestimmten Gleichung bx — ay = 1 und behandelt 1683 lineare Gleichungssysteme durch determinantenartige Ansätze. Durch gebrochene Iteration unter fortwährendem Abbrechen der entstandenen Potenzentwicklungen und formale Fortsetzung des aus den ersten Gliedern erhaltenen Ergebnissfes gewinnt SEKI die kleinere Lösung einer quadratischen Gleichung mit zwei positiven Lösungen in Form der Binomial-

Sonstige mathematische Fortschritte

37

entwicklung. Das Ergebnis wird beim Aufbau einer Reihe verwendet, die mit der Potenzentwicklung von (arc sin xgleichwertig ist. Diese Untersuchungen, die als geheime Tempelwissenschaft gepflegt werden, scheinen auch dem Kaiserhof bekannt geworden zu sein. Jedenfalls berichtet der Weltreisende E. KÄMPFER, der sich 1690/93 in Japan aufhalten durfte, von hohem mathematischem Wissen der einheimischen Gelehrten. SEKIS Schüler TAKEBE ( 1 6 6 4 — 1 7 3 9 ) i s t E r f i n d e r

der japanischen Kettenbruchmethode. Er berechnet (1722) je auf 42 Stellen und entwickelt x2 auf dreifache Weise als Punktion von 1 — cos x. MATSTTNAGA ( | 1744), e i n indirekter S c h ü l e r SEKIS, b e r e c h n e t (1739)

7i aus der Reihe für arc sin auf 51 Dezimalen und , Ji wandelt (1740) Dezimalbrüche in gemeine um. ARIMA (1714—1783) führt 1763 beachtliche zahlen-

theoretische Untersuchungen durch. Er teilt 1766 die 12. und 27. Kettenbruchnäherung für n und die 8. Kettenbruchnäherung für n2 mit. Weiterhin gibt er 1769 Summenformeln für die Potenzen aufeinanderfolgender Zahlen und für aufeinanderfolgende figurierte Zahlen. Er kennt eine Interpolationsformel, die mit der NEWTONschen gleichwertig ist. Die einheimische Tradition setzt sich ungebrochen bis zur Öffnung Japans (1868) fort. An diesen Untersuchungen nimmt nur ein kleiner Kreis von Eingeweihten teil. Es handelt sich ausschließlich um Näherungsrechnungen und formale Entwicklungen, nicht um strenge Methoden in unserm Sinn. Dazu treten feinsinnige elementare Studien, die sich auf Gegenstände der Unterhaltungsmathematik,

38

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

wie magische Quadrate u n d magische Kreise, beziehen, ferner auf Systeme einbeschriebener und sich gegenseitig berührender Kreise in Dreiecken und Vierecken u n d auf Ähnliches im Räume. Allgemeines A. W o l f : A history of science, techno- I R. W o l f : Biographien zur Kulturlogy and philosophy in the 18th I geschickte der Schweiz, Zürich 1858/ century, 2 London 1952. 1862 (4 Bde.). Zum Prioritätstreit St. P. R i g a u d : Historical essay in the first publication of ... I. Newton's Principia, Oxford 1838. — Correspondence of scientific men of the XVIIth century, ed. St. J . R i g a u d , Oxford 1841 (2 Bde.). P. H. u. N. F u s s : Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIlime siècle, Petersburg 1843. A. de M o r g a n : On a print connected with' the dispute between KeiU and Leibniz about the invention of fluxions, London 1846. — Essays on the life and work of Newton im Philosophical Magazine (4) 2, 1848 + 4, 1852: *ed. P h . E. J o u r d a i n , Chicago 1914. J . E d l e s t o n : Correspondence of ... Newton and ... Cotes, Cambridge 1850. C. I. G e r h a r d t : Die Entdeckuno der höheren Analysis, Halle a. S. 1855. H. W e i s s e n b o r n : Die Prinzipien der höheren Analysis. Halle a. S. 1856.

F. Giesel: Die Entstehung des Newton-Leibniz*sehen Prioritätstreites hinsichtlich dtr Erfindung der Infinitesimalrechnung, Delitsch 1866, Prgr. G. Vi v a n t i : Il concetto d'infinitesimo e la sua applicazione alla matematica, Mantua 1894, Neapel 1901. Fl. C a j o r i : A history of the conceptions of limits and fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse, Chicago/London 1919. D. M a h n k e : Neue Einblicke in die Entdecky/ngsgeschichte der höheren Analysis in den Abh. Ak. Berlin 1925, phys.-math. Kl. Nr. 1, Berlin 1926. — Zur Keimesgeschichte der Leibnizsehen Differentialrechnung in den Sitzber. d. GeseUsch. z. Beförderung d. ges. Naturwiss. z. Marburg 67, Berlin 1932. J . E. H o f m a n n : Die Entwicklungsgeschichte der Leibnizschen Mathematik während des Aufenthaltes in Paris {1672176), München 1949.

Zum Rechnen M. S t e r n e r : Geschichte der Rechenkunst, München 1891. Zur Interpolation A. v. B r a u n m ü h l : Historische Untersuchung der ersten Arbeiten über Interpolation in der Bibl. math. (3) 2, 1901.

A. K o w a l e w s k i : Newton, Cotes, Gauss, Jäcobi: Vier grundlegende Abhandlungen über Interpolation und genäherte Quadratur, Leipzig 1917.

Sonstige mathematische Fortschritte

39

Zur Variationsrechnung l'\ Giesel: Geschichte der Variationsrechnung, Torgau 1857» Prgr. Zur Wahrscheinliehkeitsrechnung I. T o d h u n t e r : History of the mathematical theory of probabilities from

| \

the time of Pascal to that of Lavlace, Cambridge 1865.

Algebraische Kurven und Funktionen A. B r i l l - M. N o e t h e r : Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen in älterer und neuerer Zeit, im Jahresbericht d. Dtsch. Math. Ver. (= JDMV) 3. 1892/93.

G. L o r i a : Curve piane speciali algebriche e trascendenti, Mailand 1902, *1909, 31930; dtsch. v. Fr. S c h ü t t e , Leipzig/Berlin 1902, «1910/11.

Zur Parallelenlehre Fr. E n g e l — P. Stäckel: Die Theorie der Parallellinien Gauss, Leipzig 1895 (2 Bde.).

von Euklid bis auf

Zur Mechanik A. R. H a l l : Ballistics in the XVIIth century, Cambridge 1952. It. D u g a s : La mécanique au XVIlme siècle, Paris 1954.

E. J. D i j k s t e r h u i s : De mechanisering van het wereldbeeld, Amsterdam 1950, dtsch. Berlin/Göttingen/ Heidelberg 1956.

Zur japanischen Mathematik T. E n d o : Geschichte der japanischen Mathematik, Tokio 1896 (japan.). Y. Mikami: The development of mathematics in China and Japan, Leipzig 1913. D. E. S m i t h - Y . M i k a m i : A

history of Japanese mathematics, Chicago 1914. Y . M i k a m i : Die japanische Mathematik in der Edo-Zeit, in Die Wissenschaft der Edo-Zeit (1600-1868), Tokio 1934 (japan.).

VIII. Abschnitt Aufklärung (etwa 1700 bis 1790) 1. A l l g e m e i n e s ; e l e m e n t a r e F r a g e n Die Aufklärung wird von Persönlichkeiten getragen, deren Grundansichten aus der Vereinigung zahlreicher geistiger Strömungen hervorgegangen sind. Die e n g l i s c h e Aufklärung beginnt mit J . LOCKE (1632—1704), der trotz persönlicher Freundschaft mit BOYLE u n d NEWTON k e i n e n g e r e s V e r h ä l t n i s z u d e n

zeitgenössischen exakten Naturwissenschaften gewinnt. LOCKES Empirismus kommt in England seit Beseitigung der Stuarts durch die Glorious Revolution (1688/89) in Mode. Tiefen Eindruck macht der Essay concerning

human

understanding

(1690), d e r LEIBNIZ

zu eingehender Behandlung des Gegenstandes in den Nouveaux

essais sur l'entendement

humain

(1707, E r s t -

druck 1765) in seinem eigenen Sinn veranlaßt. Der deistischen Richtung des Empirismus gehört WRASTON a n , NEWTONS N a c h f o l g e r i n C a m b r i d g e , d e r 1 7 1 1 a l s

„Arianer" seines Amtes entsetzt wird. Zur moralphilosophischen Richtung gehört neben SHAFTESBTJRY a u c h GLARKE, d e r 1 7 1 5 / 1 6 S t r e i t s c h r i f t e n m i t LEIBNIZ

über die Grundlagen der NEWTONschen Mechanik wechselt. Hauptvertreter der spiritualistischen' Richt u n g i s t d e r a n g l i k a n i s c h e B i s c h o f (1734) BERKELEY,

der schon 1710 philosophische Einwände gegen Infinitesimalbetrachtungen erhebt. Er löst 1734, wo er Vertretern der Infinitesimalmathematik (gemeint ist HALLEY) Verführung zum Freidenkertum wegen vorgeblicher Nichtbeweisbarkeit christlicher Glaubenswahrheiten bei mangelnder Strenge im eigenen Fach vorwirft, eine heftige Diskussion aus. Mit Ungeschick-

Allgemeines: elementare Fragen

41

t e n Argumenten wenden sich JUKIN u n d WALTON

gegen BERKELEY; vortrefflich ist ROBENS' Verteidigung der NEWTONschen Methoden (1735), weniger bedeutend eine Darstellung der Fluxionentheorie von HODGSON (1736) u n d eine populär gehaltene Einführung

von

ROWE

(1741).

Überragend

ist,

was

MACLATJRIN (im Druck seit 1737, Ausgabe 1742) unter Rückgriff auf ARCBIMEDES zur Begründung der Infinitesimalprozesse vorbringt. Durch den vielseitigen D. HUME (1711—1776), der u n t e r anderm auch der

englischen Geschichtsschreibung wertvolle Impulse gibt und mit den französischen Aufklärungsphilosophen in enger Verbindung steht, wird vor allem die p s y c h o l o g i s c h e Seite des Empirismus ausgebildet. Die f r a n z ö s i s c h e Aufklärung wird eingeleitet d u r c h d e n S k e p t i k e r P . BAYLE ( 1 6 4 7 — 1 7 0 6 ) . BAYLE

ist Mitherausgeber der Nouv. rép. lettres und Verfasser des berühmten Dictionaire historique et critique (seit 1695). D u r c h MATJPERTTJIS u n d VOLTAIRE w i r d

die

NEWTONsche Mechanik und mit ihr auch die Gedankenwelt des englischen Empirismus zum Diskussionsthema in den Salons und gelehrten Gesellschaften. Die führenden Geister Frankreichs ertragen nur mehr mit Abscheu die Gewaltmaßnahmen des ancien régime in dem durch die ständigen Kriege, den Leichtsinn, die Prunksucht und die Mißwirtschaft des Hofes völlig verarmten Land. Sie setzen der autoritären Staatsund Kirchenführung in steigendem Maße den Willen zur freien und selbständigen Lebensgestaltung entgegen und machen die von führenden Wissenschaftlern in lebendiger Sprache und leicht verständlicher Form dargebotenen Ergebnisse der theoretischen und experimentellen Forschung zur Grundlage einer Welt-

42

VIII. Abschnitt: Aufklärung (etwa 1700 bis 1790)

anschauung, die zum Materialismus, zur Abkehr von der Kirche und zum Fortschrittsglauben führt. Ihre Wortführer sind die E n c y c l o p ä d i s t e n . Den Anstoß gibt der buchhändlerische Erfolg eines von DIDEROT aus dem Englischen übersetzten mediz i n i s c h e n L e x i k o n s ( 1 7 4 6 ) . N u n t u t s i c h DIDEROT m i t

D'ALEMBERT und andern zu einer völligen Neugestaltung der Cyclopaedia von CHAMBERS (seit 1728) zusammen, die einen Überblick über das gesamte Wissens- und Bildungsgut geben soll. An der großen Encyclopédie (seit 1751) arbeiten die tüchtigsten Fachleute Frankreichs mit. Einendes Band ist das Streben nach möglichst klarer und deutlicher Kennzeichnung der einzelnen Sachverhalte. Die mathematischen Beit r ä g e , g r ö ß t e n t e i l s v o n D'ALEMBERT u n d CONDORCET

stammend, geben einen ausgezeichneten Überblick über den Stand des damaligen Wissens, allerdings in einem Augenblick stürmischer Weiterentwicklung. Vorübergehend zählt zu DIDEROTS Mitarbeitern auch ROUSSEAU,

dessen

Erziehungsroman

Émile

(1762)

unerhörten Widerhall findet. Geistesverwandt mit den Encyclopädisten ist J . Ë. MONTUCLA

(1725—1799),

Verfasser

einer

sorgfältig

gearbeiteten Geschichte der Kreisquadratur (1754) und der für ihre Zeit ausgezeichneten Mathematikgeschichte (1758) . Weniger bedeutend ist der von dem Jesuiten BOSSUT, dem verdienstvollen Herausgeber PASCALscher Schriften (1779), stammende mathematikgeschichtliche Abriß für die Encyclopédie, (1784, erweitert 1802, 1810). Der Fortschrittsglaube der führenden Persönlichkeiten der französischen Revolution spiegelt sich besonders deutlich in CONDORCETS Esquisse (1794 u. ö.) wieder.

Allgemeines: elementare Fragen

43

In D e u t s c h l a n d wird der Übergang zur Aufklärung mit der Gründung der preußischen Universität H a l l e (1694) angebahnt, von der mächtiger Antrieb zur Umgestaltung des mathematischen Hochschulunterrichtes ausgeht. An der neuen Bildungsstätte wirken nebeneinander der stark von LOCKE beeinflußte Jurist THOMASIUS und sein Gegenspieler, der Pietist FRAHCKE, Gründer und langjähriger Leiter des berühmten Pädagogiums (seit 1696), ferner auf Empfehlung

LEEBNIZ'

hin

seit

1707

CHK.

WOLF

(1679—1754) als Mathematiker, seit 1709 auch als Philosoph. Nur anfangs von LETBNIZ stark beeindruckt, jedoch seinem Wesen nach Eklektiker und typischer 'Aufklärungsphilosoph, gewinnt WOLF mit vielbenutzten

Einführungswerken

(1710,

1713)

und

dem Lexikon (1716) — alles Schriften der ersten Halleschen Periode — entscheidenden Einfluß auf den mathematischen Unterricht an den deutschen evangelischen Hochschulen, später auch an den katholischen, vor allem seit der Aufhebung des Jesuiten-Ordens (1773). Den Anhängern des bis dahin an den deutschen Hochschulen herrschenden autoritativen Lehrbetriebs wegen der ausschließlichen Verwendung der deduktiven rationalen Methode und des unablässigen Eintretens für Freiheit von Forschung und Lehre aufs Äußerste verhaßt, muß WOLF 1723 aus Halle weichen. Er wird im hessischen Marburg freundlich aufgenomm e n u n d 1 7 4 0 n a c h d e r T h r o n b e s t e i g u n g FRIEDEICHS

des Großen nach Halle zurückberufen, 1743 zum Kanzler der Universität bestellt und 1745 in den Reichsfreiherrnstand erhoben. Als Mathematiker ist WOLF im wesentlichen nachschaffend, nicht schöpferisch tätig. Auf den Unterricht an den evangelischen höheren Schulen Deutschlands nimmt L. CHR. STURM mit

44

VIII. Abschnitt: Aufklärung (etwa 1700 bis 1790)

seinem vielverwendeten Einführungswerk seit 1707 großen Einfluß. Der schon 1708 unternommene Versuch des evangelischen Predigers SEMLER, in Halle für den Handwerker-Nachwuchs eine Realschule (im Grunde eine Berufsschule) zu gründen, scheitert nach wenigen Jahren, ebenso die Wiederholung (1739). Bestand hat die von dem Pastor HECKER, der SEMLEKS Schule kannte, in Berlin (1747) eingerichtete „ökonomisch-mathematische Realschule", eine in mehrere Abteilungen gegliederte Fachschule. Mit Halle tritt alsbald die Hannoversche Landesuniversität G ö t t i n g e n in Konkurrenz, 1734 nach den Plänen des von LOCKE beeinflußten Freiherrn V. MÜNCHHAUSEN eingerichtet und mit einer wohlausgestatteten Bibliothek verbunden. Hier lehrt zunächst SEGNER, dem wir gute Einführungswerke (1747, 1 7 5 7 / 6 8 ) v e r d a n k e n . I h m f o l g t 1 7 5 3 KÄSTNER,

Verfasser der vielbenutzten und für ihre Zeit beachtlichen Anfangsgründe der Mathematik (1753/66) und der Geschichte der Mathematik (1796/1800) — einer zwar unausgeglichenen und mit den Mängeln eines Alterswerkes behafteten, jedoch in ihrer Eigenart noch heute interessanten Darstellung. Auch die B r a u n s c h w e i g e r Hochschule, das Collegium Carolinum (1745), wird im Geiste der englischen Empiristen aufgebaut. In Bützow, wohin die R o s t o c k e r Universität (1760/89) verlegt wird, setzt sich die Aufklärung ebenfalls durch. Hier wirkt KARSTEN, dessen Unterrichtswerke (1767/77, 1780) in erfolgreiche Konkurrenz zu den vorgenannten treten. In der vielbewunderten D e s s a u e r höheren Schule, dem von BASEDOW 1774 eröffneten und geschickt geleiteteii Philanthropinum, werden bereits RoTJSSEAUs Gedanken zur Erziehung berücksichtigt. Auch die mathematischen Grundbe-

Allgemeines: elementare Fragen

45

griffe werden gelehrt, und zwar unter besonderer Bet o n u n g der Anschauung (TRAPP, BUSSE) u n d m i t dem

Ziel, die Schüler zum richtigen V e r s t ä n d n i s des Lehrstoffs zu bringen. Die neuzeitliche Pädagogik des mathematischen Grundschulunterrichtes beginnt freilich erst mit PESTALOZZI. Auf die zahlreichen im Zeitalter der Aufklärung üblichen älteren und hinzukommenden neueren R e c h e n b ü c h e r kann nur mehr streifend eingegangen werden. Im Operativen stellen sich nur geringfügige Fortschritte ein. Die an den Standesschulen des Spatbarock und der Aufklärung, den Ritterakademien und Militärschulen, beliebten Einführungswerke von CLAUSBERG (1732), LACAILLE (1741), B^ZOUT ( 1 7 6 4 / 6 9 u n d 1770/72), BONNYCASTLE (1780) u n d LEMOINE

(1790) sind durchaus beachtlich. Nebenher sei auf die v o n GERSTEN (PT 3 9 , 1735), v o n H A H N (1774) u n d v o n J . H . MÜLLER (1783, B e s c h r e i b u n g 1786) e r -

sonnenen Rechenmaschinen hingewiesen. Die Unterweisung in E l e m e n t a r g e o m e t r i e folgt in den traditionsgebundenen Schulen dem EUKLID ischen Lehrgang, und zwar zumeist in der Landessprache, in zweckmäßiger Umgestaltung und Verkürzung der Beweise und mit erläuternden Beifügungen. Diese Form der Darbietung herrscht vor allem in England, wo die ausgezeichnete Bearbeitung von SlMSON (seit 1756) großen Erfolg hat. Hingegen ist EUKLID aus dem Unterrichtsbetrieb in Frankreich fast völlig verbannt. Hier setzt sich CLAIRAUTS Einführung (1741) durch, während BERTRANDS Lehrgang (1778) nur verhältnismäßig wenig Widerhall findet. Das Beste in dieser Art gibt LEGENDRE (seit 1794). Freilich ist auch hier das von LA CHAPELLE (1746) u n d

46

VIII. Abschnitt: Aufklärung (etwa 1700 bis 1790)

dann von D'ALEMBERT (Enc. method.) geforderte genetische und doch auch systematisch einwandfreie Vorgehen nicht voll erreicht. Aus der reichen Zahl e l e m e n t a r g e o m e t r i s c h e r E i n z e l u n t e r s u c h u n g e n seien nur die wichtigsten hervorgehoben. Die Studien über quadrierbare Kreisbogenzweiecke (DAN. BERNOTILLI: 1724; erweitert von GRAMER,: HMB 4, 1 7 4 8 ; WALLENIUS: 1 7 6 1 ; ETILER: NCP 16, 1771) werden von dem jüngeren CLAIRATJT (1731) auf Figuren zwischen Kegelschnittbögen ausgedehnt. MAUPERTUIS ( H M P 1 7 2 7 ; dann MEISTER: Novi comm. soc. Güttingen 1769/70) handelt vom Abrollen regelmäßiger Vielecke auf einander, NATXDE

(MB 3, 5, 7; 1727, 37, 43) vom Beweis für die Inhaltsformel des Sehnenvierecks (s. I, S. 123) und von der Kennzeichnung von Dreiecken aus drei passenden Bestimmungsstücken. STEWART (1746) und SIMPSON (1752) geben wertvolle Sammlungen interessanter Lehrsätze, CHAPPLE (Mise, curiosa math. 2, 1746 ?) und ETILER (NCP 11, 1765) stellen die Beziehung

4 richtig überblickt und durch Einführung halbsymmetrischer Funktionen usw. die Ansätze von RUFFINI (1799: Beweisversuch für die Nichtauf lösbar keit der Gleichung fünften Grades), ABEL (1824; Grelles Journ. 1, 1826: Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung fünften Grades) und GALOIS (seit 1829: Grundgedanken der Gruppentheorie) vorbereitet.

Allgemeines: elementare Fragen

51

Die sog. NEWTONschen Formeln zur Ermittlung der Potenzsummen sk der Gleichungslösungen (Erstdruck 1707, dort nur für k II. Agnesi,Maria Gaetana (1718-1799): S. 78/79. Leben u. Wirken: A. Masotti in den Bend. Sem. mat. fis. Mailand 14, 1940. Instüuzi&ni analitiche, Malland 1748: franz. Paris 1775, engl. London 1801: —> L. Anzöletti, Mailand 1900. Akademie der Wissenschaften Berlin (seit 1700): S. 8, 57, 66. 68. Geschichte: A. Harnack, Berlin 1900 (3 Bde.). Akademie der Wissenschaften Petersburg (seit 1725): S. 53. Geschichte: G. Fr. Müller, Ptbg. 1890. Dr. Akakia: S. 57. d'Alembert, Jean Baptiste le Bond (1717-1783): S. 42, 46, 49, 58, 60, 68, 73/74, 79. Leben u. Wirken: M. Muller, Paris 1926. Opuscules mathématiques, Paris 1761/68 (7 Bde.) ; XJnediertes: Ch. Henry, Abbeville 1888. Discours préliminaire de l'Encyclopédie, Paris 1751 : —»• Encyclopédie (seit 1751).

Angeli, Stefano degli (1623-1697): S. 22;-* H. Anonymus (Mitte 17. Jh.): S. 25. Euclidis elementa geometrica, novo ordine ac fere methodo demonstrata, London 1666, '1678 m. Einleitg. v. N. Mercator. Apollonios v. Perge (262i —190?): S. 34, 80; — I , n . Conica, lat.griech. m. Verwendg. d. nur arabisch erhaltenen Teile v. E. Halley, Oxford 1710. Verhaitnisschnitt: lat. aus d. Arab. v. Halley, Oxford 1706. Wiederherstellungen: Einschiebun• gen: Horsley (1770), Burrow (1779), Bestimmter Schnitt: Wales (1772), Slmson (Druck 1776). Kreisberührungen: Lawson (1771), dtsch. v. Camerer (1795). Bearbeitung:, Barrow (1675). Archimedes v.» Syrakus (287? bis 212): S. 6. 30. 41, 8 0 ; - > I. II. Opera, griech.-Iat. v. G. Torelli, OSford 1792. BearbeUg.: Barrow (1676). Arima, Baidfl (1714-1783): S. 37. Eéen kikd (1766); Shuki Sampö (1769). A m a u l d . Antoine (1612-1694) :S.25. —* II. Nouveaux étémens de géométrie, Paris 1667. 21685, d. Haag 1690. Arouet, Francois Marie (1694 bis 1778):—Voltaire. a t - T f t s l . Naelr ed-din (1201-1274); S. 32; - > I; - > Euklid (1694).

Namen- und Schriftenverzeichnis Bacon, Francig (1561-1626): S. 24: B ä r m a n n , Georg Friedrich (1717 bis 1769): S. 51. Demonstratio theoremuH» atgebraid, Wittenberg 1746. Barrfeme, Francois (Mitte 17. Jh.): 8. 24. Le lime facüe pour aprendre l'arithmeUoue de sov-mesme et Sans maistre, Paris 1672 (bis 1811). Barrow, Isaao (1630-1677): S. 34: —*• II. Bearbeitung von Archimedes, Apollonias, Theodoslos, London 1675. Basedow, Johann Bernhard (1723 bis 1790): S. 44. Bayes, Thomas (tl763): S. 73. FT 58/54, 1763/64, dtsch. Leipzig 1908 (Onto. Kl. 169). Bayle. Pierre (1647-1706): S. 41. Leben u. Wirken: P. Des Maizeaux, d. Haag 1722/32. A. Cazes, Paris 1905: E. B. Sügg, Leipzig 1930. DicManaire historique et critique, Rotterdam 1695 u. 1697 (2 Bde.): ed. Maizeaux, Amsterdam/Leiden 1740 (4 Bde.): dtsch. v. J. Chr. Gottsched, Leipzig 1741/44 (4 Bde.). Berkeley. George (1685-1753): S. 40/41. Leben u. Wirken: A. C. Fräser, London 1909: J . Didier, Paris 1911; E. Cassirer, Gießen 1914. Zur Philos. d. Math.: G. Stammler, Kant-Stud.. Erg.-Heft 55. Berlin 1922. Works, Dublin 1784: ed. Fräser, -Ld. 1871 u. ö. Bibliographie: T. E. Jessup. Oxford 1934 u. in Scripta math. 8. 1935. The analyst. Ld. 1734: Reasons for not replying to... Walton's Full answer, Ld. 1735. B e r n a r d , Edward (1638-1697): S.34. Bernoulli, Daniel (1700-1782): S. 28, 46, 51/53, 60, 73. Leben v. Wirken: - * R. Wolf III (1860). Exerdtationes quaedam mathematicae, Venedig 1724. Bernoulli, Jakob (1655-1705): S. 4/ 9, 11/18, 15, 17, 21/23, 27/28. 33, 52, 69, 65: —»• II. Opera, ed. G. Cramer. Genf 1744 (2 Bde.). Reihendissertationen, Basel 1689, 1692, 1696,1698.1704, dtsch. Leipzig 1909 (Ostw. -Kl. 171). Analysis magni problematis isoperimetrici, Basel 1701. Ars conjectandi, ed. unter Mitwirke. v.Nikl. I. Bernoulli. Basel

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1713(+Reihendiesertationen), dtsch. Leipzig 1899 {Ostw. Kl. 107/08). Bernoulli, Johann I. (1667-1748): S. 4/12, 14/28, 30/31, 33. 62/56, 61/62, 65, 76; —* II. Opera omnia, ed. G. Cramer, Lausanne 1742 (eigl. 1743, 4 Bde.). Brietwechsel ed. O. Spiess, Basel seit 1955; mit Leibniz: ed. Castillon, Lausanne/Genf 1745 (2 Bde.); mit A. de Moivre: Vorbericht K. Wollenschläger. Basel 1933. Lediones de calculo differenUalium (1691/92). ed. P. Schafheitlln, Basel 1922, dtsch. Leipzig 1924 (Ostw. Kl. 211); Lediones mathematicae de methodo integralium (1691/ 1692) = Opera i n , dtsch. in Auswahl Leipzig 1914 (Ostw. Kl. 194). Bernoulli, Johann II. (1710 bis 1790): S. 62. Bernoulli. Nikiaus I. (1687-1759): S. 12, 17.19, 22/23, 27/28, 54. 56, 60. De usu artis conjectandi in jure, Basel 1709 ; - » Jak. Bernoulli (1713). Bernoulli, Nikiaus II. (1695-1726): S. 17, 21/23, 52/63. B e r t r a n d , Louis (1731-1812): S.45. Développement nouveau de la partie élémentaire des mathématiques, Genf 1778. Bézout, Etienne (1730-1783): S.45. 49/50. 71. Leben u. Wirken: G. Bouligand in der Revue gener. se. 55, 1948. Cours de mathématiques. Paris 1764/69 (6 Bde.) ; verändert 1770/72 u. ö.; zahlr. Übersetzungen. Bignon, Jean Paul (1662-1743): S.7. Bilfinger, Georg Bernhard (1693 bis 1750): S. 63. Blondel,Francois (1617-1686): S.26. Cours de mathématique, Paris 1683. •Amsterdam 1699 (2 Bde.). Bonnycastle, John (1750Î-1821): S. 45. The scholar's guide to arithmetic, London 1780. Bossut, Charles (1730-1814): S. 42, 69. Leben u. Wirken: E. Doublet im Bulletin Math. (2) 88, 1914. Essai sur l'histoire générale des mathématiques, Paris 1802; dtsch. Hamburg 1804, engl. London 1803, ital. Mailand 1802 (2 Bde.). Histoire générale des mathématiques, Paris 1810. Discours préliminaire, enthalten in der—* Enc. méthod. (1784). —>• Pascal (1779).

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Namen- und Schriftenverzeichnis

B o y l e , Kobert (1627-1691): S. 40. Leben u. Wirken: L. Tr. More, Oxford 1944. Bibliographie: J . F. Fulton, Oxford 1932. Works, London 1772 (6 Bde.). B r a g e l o n g e , Christophe Bernard de (1688-1744): 8. 78. B r a i k e n r i d g e , William (18. Jh.): S. 78. Exercitatio geometrica de descriptione linearum curvarum, London 1733. B r a u n m ü h l , Anton v. (1901): S. 38. B r a u n s c h w e i g , Collegium Carolinum (gegr. 1745) : S. 44. B r i a n c h o n , Charles Julien (1795 bis 1864): S. 73. B r i l l , Alexander (1892/93): S. 8». 88. B r i n g , Erlund Samuel (1736-1798): S. 50. Méletemata quaedam mathematica circa transformationem aequatkmum algebraimrum, Lund 1786. B r o u n c k e r , William (1620?-1684): S. 6 1 : - * II. B u f f o n , George Louis Ledere (1707 bis 1788) : S. 80. Le ben u. Wirken: H. de Buffon, Paris 1863. Correspondance. ed. Buffon, Paris 1860 (2 Bde.). Œuvres philosophiques. ed. J . Pizeteau, Paris 1954. Histoire naturelle, générale et particulière, Paris 1749/88 (129 Bde.). B u r c k h a r d t , Heinrich (1908): 8. 88. B u r c k h a r d t , Johannes (1691 bis 1743): S. 21, 52. B u r r o w , Kobert (1747-1792): S. 80. Restitution of the geometrical treatise of Apollonius Pergaeus on Inclination. London 1779. B u s s e , Gottlieb (1756-1835): S. 45. l ' a g n o l i . Antonio (1743-1816): 8.48, 51. Trigonometria piana e sferica. Paris 1786. franz. ebda 1786. C a j o r y , Florian (1917): S. 8 8 ; - * II. C a l l e t , Francois (1744-1798). S. 48. Tables portatives de logarithmes, Paris 1795. C a m p b e l l . George (um 1725): S. 29. C a r a m u e l y L o b k o w i t z , Juan (1606-1682): S. 25. Mathesis biceps vêtus et nova, Campania 1670. C a r n o t , Lazare Nicolas Marguerite (1753-1823): S. 68, 71. Leben u. Wirken: H . Carnot. Paris 1861/63, =1893: K. Fink, Tübingen 1894; Centenaire de C.: Paris 1923.

Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal. Paris 1797, dtsch. Frankfurt/M. 1800, ital. Pavia 1803. C a r r é , Louis (1663-1711): S. 10. Méthode pour la mésure des surfaces . . . . Paris 1700. C a r t e s i a n e r (17./18. Jh.): S. 5, 56; -*II. C a s t i l l o n , Giovanni Francesco Mauro Melchior Salvemini de (1708 bis 1791): S. 46. C a t e l a n , Francois (17. Jh.): S. 4; —* II. Logistique pour la science generale des lignes courbes, Paris 1691. Principes de la science generale des lûmes courbes, Paris 1691. C e v a , Giovanni (1648-1734): S. 31. Leben u. Wirken: A. Procissi im Periodico mat. (4) 20, 1940. De Hneis redis se invicem secantibus statica constructio, Mailand 1678. C h a m b e r l a y n e , John (1666 bis 1723): S. 14. C h a m b e r s . Ephraim (1680?-1740): S. 42. Cvctopaedia. Dublin 1728 (2 Bde., Suppl. 1753); London 1781/86 (4 Bde.), 1788/91 (5 Bde.). ChappIe.William (1718-1781): S.46. C h e y n e , George (1671-1734): S. 10, 18. FluxUmum methodus inversa. London 1703. C h i n e s e n , mittelalterliche (6./17.Jh.) S. 35/36, 3 9 ; - * I. C l a i r a u t , Alexis Claude (1713 bis 1765): S. 6, 45, 48, 55/5«, 66. Leben u. Wirken: B. Boncompagni in d. Atti Pontifica 45, 1892; P. Brunet in d. Berne hist. se. 4/6. 1951/53. Briefwechsel mit Cramer, ed. P. Speziali in d. Seme hist. se. 8,1955. Klemens de géométrie, Paris 1741 m. niederl., poln., russ. u. schwed. Übersetzungen; 61797, ed. Lacroix. Neudruck Paris 1852/53. Figure de la terre, Paris 1743; dtsch. Leipzig 1913 iOstw. Kl. 189). Siemens d'algèbre, Paris 1746 m. dtsch. u. niederl. Übersetzgen.; Neudruck Paris 1801. Théorie de la lune, Paris 1752; Tables de la lune. Paris 1754. C l a i r a u t le cadet (1716-1732): S. 46. Traité de quadratures circulaires et hyperboliques. Paris 1731. C l a r k e , Samuel (1675-1729): S. 40. Leben u. Wirken: K. Zimmermann,

Namen- und Schriftenverzeichnis Wien 1870. Works, ed. B. Hoadle, London 1738/42 (4 Bde.). Briefwechsel mit Leibniz: London 1717, ed.H.G.Alexander,Manchesterl956 ; dtsch. Frankfurt 1720, frz. Amsterdam 1720 u. ö. G. v. Leroy, Glessen 1893 (Diss.). C l a u s b e r g , Christlieb r . (1689 bis 1751): S. 45. Demonstrative Rechenkunst, Leipzig 1732 u. ö. C o m e n i u s (Komensky), JohannÄmos (1592-1670): S. 24. Leben u. Wirken: H . ¿Staedke, Leipzig 1930: A. Heyberger, Paris 1928. Opera didadka, Amsterdam 1657. Commercium epistolieum J. Collins et aliorum de analvsi promota, London 1712/13, vermehrt Ld. 1722, m. neuem Vorwort Ld. 1725, synoptisch ed. J . B. Biot - Fr. Lefort, Paris 1856. S. 13/15. C o n d i l l a c , Etienne Bonnot de (1715 bis 1780) : S. 48. Leben u. Wirken: J . Didier, Paris 1911: R. Lenoir, Paris 1924. La langue des calculs, Paris 1798. C o n d o r c e t , Marie-Jean-Antoine-Nicolas Carltat de (1743-1794): S.42, 48. Leben u. Wirken: H . Delsaux, Paris 1931. OEuvres, Paris 1804 (21 Bde.), 1847/49 (12 Bde.). Correspondante, ed. Ch. Henry, Paris 1883. Esquisse d'un tableau historique des progris de l'esprit humain, Paris 1794 u. Ö. : dtsch. Tübingen 1796. - > J . G. Frazer, Oxford 1933. Moyens d'apprendre à compter sûrement et avec facilité, Paris 1799, u. ö.; engl. Edinburg 1813 u. U. C o n t i , Antonio Schinella (1677 bis 1749): S. 14/15. 1 7 ; - » - I I . C o o l i d g e , Julian Lowell (1940,1945): S. 83. C o t e s , Roger (1682-1716): S. 18/20, 38: — I I . Earmonia mensurarum, ed. R. Smith, Cambridge 1722. Briefwechsel mit Newton, ed. J . Edleston, London 1850.—>• Newton, Principia (1713). C o u s i n . Jacques Antoine Joseph (1739-1800): S. 80. Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral, Paris 1777, ! 1796. C r a i g , J o h n (16607-1731): S. 10. 16,18, 33 ;->- I I . Tractatus de figura-

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rum qwadraluris et locis geometricis, London 1693. De calcula fluentium, London 1718. C r a m e r , Gabriel (1704-1752): S. 46, 49, 79. Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genf 1750. C r o u s a z , Jean Pierre (1663-1750): S. 18. Commentaire sur l'Analyse des infiniment petits de l'Hospital, Paris 1721. C z u b e r , Emanuel (1899): S. 83. D a r y , Michael (1613-1679): S. 29. D e c h a l e s , Claude Francois Milliet (1621-1678): S. 25/26. 3 4 : - » I I . Les elemens d'Euclide, expliquez d'une maniere nouvelle et très facile, Paris 1672 u. ö. Cursus seu mvmdus mathematicus, Lyon 1674; '1690, ed. A, Varcin (4 Bde.). D e r a n d , Francois (1586?-1644): S. 69. Architecture des voûtes ou l'art de trait et coupe des pterres, Paris 1634. D e s c a r t e s , René (1596-1650): S. 4/ 5. 19/20. 23/24, 47. 49, 78: -»• I I . D e s M a i z e a u x , Pierre U672? bis 1745) : S. 15. Recueil des diverses pieces.. , Amsterdam 1720 (2 Bde.). D e s s a u , Philanthropinum (gegr. 1774) : S. 44/45. D i c k s o n , Leonhard Eugene (1919/ 1923): S. 83. D i d e r o t . Denis (1713-1784): S. 42. Leben u. Wirken: A. Collignon, Paris 1895; J . V. Johansson, Paris/ Göteburg 1928. OEuvres computes, ed. J . Assezat-Tourneux, Paris 1875/1877 (20 Bde.). Dictionaire universel du médicine, Paris 1746. Prospectus der Encyclopédie, Paris X I 1750, Neudruck Paris 1950. D i j k s t e r h u i s , Eduard J a n (1950): S. 39. D i o n i s d u S é j o u r , Achille Pierre (1734-1794): S. 51, 79. Traité des courbes algébriques, Paris 1756 (zus. m. Goudin). Traité analytique des mouvements apparents des corps célestes, Paris 1786. D l t t o n , Humphrey (1675-1715): S. 18, 34. An institution of fluxions, London 1706, ! 1726. A treatise of perspective, London 1712. D u g a s , René (1954): S. 39.

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Namen- und Schriftenverzeichnis

École Normale (seit 1794) : S. 68/69. 74/ 75. Le centenaire de l'École Normale, Parie 1895. École Polytechnique (seit 1794) : S. 68/ 69. 72. 7â. E d l e s t o n , Joseph (1850): S. 38: Elvius, Petrus (1660-1718): S. 26. Tabula compendiosa logarühmorum . . . . TJpsala 1698. Encyclopédie (seit 1751): S. 42/46, 73. Entstehe, u. Inhalt: P. Glosclaude, Paris 1951. Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des metiers. Paris 1751/72 (28Bde.) ; Suppl. Amsterdam 1776/77 (5 Bde.): Table analytique, Parial780 (2 Bde.). Nachahmungen: Livorno 1776 (73 Bde.): Genf 1778 (86 Bde.). Encyclopédie méthodique par ordre des matières, section mathématiques. Paria 1784/89;-* d'Alembert (1751): - - * Diderot (1750). Encyklopädie der mathemalischen Wissenschaften, Leipzig 1898/1935 (24 Bde.). S. 83. E n d o , T. (1896): S. 39. Engel, Friedrich (1895): S. 39. E n n e p e r , Alfred (1890): S. 83. E s c h e n b a c h , Hieronymus Christoph (1764-1797): S. 81. Dissertatio de serierum reversione, Leipzig 1789. Euklid v. Alexandria (365?-300?): S. 25/26, 32, 34. 39, 45, 76;->-1. II. Elemente, arab. v. at-Tûsi. Rom 1594. Griech.-lat. ed. D. Gregory, Oxford 1703. Bearbeitungen: Sturm (1663), Anonymus (1666), Dechales (1672), Simson (1756). Legendre (1794). • E u l e r . Johann Albrecht (1734 bis 1800): S. 60. E u l e r , Leonhard (1707-1783): S. 8, 30. 46/51, 52/55, 57/62, 63, 65/66, 70, 75. 79, 81, 83: - > II. Leben u. Wirken: O. Spiess. Frauenfeld/ Leipzig 1929; KurztAographie: K. Fueter, Basel 1948 (Beih. 3 zu d. Elem, d. Math.). Bibliographie: G. EnestrOm. Leipzig 1910/13 JDMV, Erg. Bd. IV. Opera omnia, ed. F. Kudio u. a„ Leipzig 1911/38, Lausanne seit 1942. Mechanica, Petersburg 1736 (2Bde.), dtsch. Greifswald 1848/50. Einleitung zur Rechenkunst, Ptbg. 1738/40, russ. ebda.

1740/60. MeUwdus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, Lausanne/Genf 1744. dtsch. ebda. 1744, Leipzig 1894 (Ostw. El. 46). Opuscula varii argumenta Berlin 1746/51 (3 Bde.). Qedancken v. d. Elementen d. Cörper, in welchen d. Lehrgebäude von d. einlachen Dingen u. Monaden geprillet wird, Berlin 1746. Introductio in analysin infinitorum, Lausanne 1748 (2 Bde.) u. ö.; franz. seit 1785, dtsch. seit 1788. lie principio minimae actionis, Berlin 1753, auch franz. Instituâmes calculi diijerentialis, Ptbg. 1755 u. ö.; dtsch. Berlin 1790/93. Instüutiones calculi integralis Ptbg. 1768/70 (3 Bde. + Ergzg. 1794) u. 6., dtsch. seit 1828, russ. I : 1956. Lettres à une princesse d'Allemagne, Ptbg. 1768/72 (3 Bde.) u. 6.; russ. seit 1768. dtsch. seit 1769, niederl. seit 1785, schwed. seit 1786, ital. seit 1787, dân. 1792, engl. 1795, span. 1798. Vollständige Anleitung zur Algebra, Ptbg. 1770 u. ö. : russ. seit 1768. niederl. seit 1773, frz. v. Joh. m . Bernoulli m. Ergänzungen Y. Lagrange. Lyon/Paris 1774 u. ö.; lat. 1790, engl, seit 1797, ferner Auszüge. Opuscula analvtica, Ptbg. 1783/85. Weitere dtsche Ausg. Leipzig in Ostw. Kl.: Sphär. Trig., Nr. 73.1895; Kartenprojekt. Nr. 93, 1898; Anflösg. d. Gleichungen Nr. 226.1928. E u l e r , Paul

(1670-1745):

S. 52.

F a b r i , Honoré (1606?-1688): 8. 25: - * H. Synopsis geomefriae planae, Lyon 1669. F a g n a n o dl F a g n a n i , Gian-Francesco (1715-1797): S. 50. Leben u. Wirken: B. Boncompagni im Bull. Boncomp. 3,1871. F a g n a n o di F a g n a n i , Giulio Carlo (1682-1766): S. 22, 66. Leben «. Wirken: B. Boncompagni im Bull. Boncomp. 8. 1871. Prodvzùmi matematiche, Pesaro 1750 (2 Bde.); Opere matematiche, Rom 1912. F a t i o de Duillier. Jean Christophe (1656-1720): S. 12;—>- n . F a t i o de Duillier. Nicolas (1664 bis 1752): S. 9/10; n . Lineae

Namen- und Schriftenverzeichnis brevissimi descensus investigano geometrica duplex, London 1699. F e r m â t . Pierre de (1601-1865): S. 27. 30, 54, 59;—> II. Foncenex, Francois Daviet de (1734-1799): S. 49. Fontenelle, Bernard le Bovier de (1657-1757): S. 23. Bedeutung: J. E. Carré, Paris 1932. Œuvres. Paris 1758/66 (11 Bde.). Elemens de la géométrie de l'infini. Paris 1728. Fourier, Jean Baptiste Joseph (1768 — 1830): S. 61/62. Leben u. Wirken: E. E. Langer im Amerio. Math. Monthly 64, 1947. Œuvres. Paris 1888/90. Francke, August Hermann (1663 bis 1727) : 8.43. Leben u. Wirken: G. Kramer, Halle 1880/82. Frenicle de Bessy, Bernard (1605 bis 1675) : S. 31 ; —>• II. Ouvrages, ed. Ph. de la Hire, Paris 1693, ad. Haag 1729 = Mém. Ac. sc. 6. Frézier, Amédée-Fronçois (1682 bis 1773): 3. 69. La théorie et la pratique de la couve des pierres..., Strassburg/Paris 1737/39 (3 Bde.): Auszug: Elemens de stéréotomie..., Paris 1760. Friedrich d. Große (1712-1786, 1740 König v. Preußen): S. 43, 56/58, 68. Fuss, Nikolaus (1755-1826): S. 46/ 47, 49. 60. Fuss, Nikolaus II. (1843): S. 38. Fuss. Paul Heinrich (1843): S. 38. Galois, Evariste (1811-1832): S. 60: ->-n. Galloys. Jean (1632-1707): 8.10. Gauss. Carl Friedrich (1777-1855): S. 38/39, 49/50. 77;—> II. Leben u. Wirken: L. Bieberbach, Berlin 1938: E. A. Eoloff, Osnabrück 1942. Kuribiographie: J. E. Hofmann im Math.-natoirwiss. Unterr. 8, 1955/56. Werke. Leipzig/Berlin 1863/1929 (12 Bde.). Theoria malus corporum coeUüium, Hamburg 1809. Georg I. (1660-1727: Kurfürst v. Hannover 1698, König v. England 1714): 8.14. G e r h a r d t , Carl Immanuel (1855): 8. 38; —>• H. -»• Leibniz (1849/63, 1875/90, 1899).

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Gersten, Christian Ludwig (1701 bis 1762): S. 45. Giesel. Fritz (1857): S. 89; (1866): S. 88. Giordano, Annibale (1769-1835): S. 46. Giordano Giordani, Vitale (1633 bis 1711): 8.26, 32. Euclide restUuto, Rom 1680. Corso di matematica, Eom 1686. Godefroy, Maurice (1903): 8.83. Göttingen, Universität (gegründet 1734): S. 44. Gründung: E. Eössler. Göttingen 1855. Math. Unterr.: C. H. Müller. Leipzig 1904 (Diss.). Vgl. G. v. Seile, Göttingen 1937 u. 1953. Goldbach, Christian (1690-1764): S. 63/54, 81. Gottlgniez, Gülis Francois de (1630 bis 1689) : S. 25/26. Leben u. Wirken: H. Bosmans in der Bernte d. ouestions sc. (4) 13, 1928. Elemento geometriae plano,e, Eom 1669. Logistica minor, Eom 1675 u. ö. mit etwas anderen Titeln. Goudin, Matthieu Bernard (1734 bis 1817): S. 79;—>• Dionis du Séjour (1756). Gräffe, Karl Heinrich (1799-1873): 8.80. Die Auflösung der höhern numerischen Gleichungen, Zürich 1837. Zusätze 1839. Grandi, Guido (1671-1742): S. 21/ 22, 30, 33. Leben «. Wirken: L. Tenca im Ist. Lombardo sci. lett., Bend. 83, 1951. Quadratura circuii et hvperbolae, Pisa 1703. De infinitis infinitorum et infinite parvorum ordinibus.... Pisa 1710. Flores geometrici, Florenz 1728. ital. Lucca 1728. G r a u n t . John (1620-1674): 8.18. Natural and politicai observatkms, London 1662 u. ö. s' Gravesande, Wilhelm Jakob (1688 bis 1742) : S. 34. Essai de perspective, d. Haag 1711. Gregory, David (1661-1708): 8.18. 34;—> n . Exercitatlo geometrica de dimensione figurarum, Edinburg 1684. -*• Euklid (1703). Gregory, James (1638-1676): 8.11, 18, 20;—>• II. ExercitaUones geometricae, London 1668. Grundel, Fritz (1928/29): S. 83.

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Namen- und Schriftenverzeichnis

Gua de Malves, Jean Paul (1712 bis 1786): S. 49, 78/79. Usages de l'analyse de Descartes, Paris 1740; —• P. Sauerbeck in d. Abh. Gesch. Math. Wiss. 15, Leipzig 1902. G u a r i n i , Camillo Guarino (1624 bis 1683) : S. 26;—• I. Euclides adauetus et methodicus, Turin 1671 u. ö. G u i s n é e , . . . (t 1718); S. 33, 55. Application de l'aloibre à la géométrie, Paris 1705 u. ö. H a c h e t t e , Jean Nicolas Pierre (1769-1834): S. 72. Leben u. Wirken: Ch. Dupin, Paris 1834; —» Monge (1802). H a h n , Matthäus (1739-1790): S. 45. H a l l , A. R. (1952): S. 39. H a l l e , Universität (gegründet 1694): S. 43/44. Universitätsgeschichte: W. Schräder, Berlin 1894 (2 Bde.). H a l l e y , E d m u n d (1656-1742): S. 18, 28/29, 34, 40, 51. Korrespondenz: ed. E. F. MacPike, Oxford 1932; —» Apollonios (1706, 10); —»• Menelaos (Druck 1758) Kersey (1733). H a r r i o t , Thomas (1560-1621): S.25; ->•1, II. H a r r i s , John (1667-1719): S. 10,18. A new short treatise of algebra, London 1702. H a y e s , Charles (1678-1760): S. 18. A treatise of fluxions, London 1704. H e c k e r , Johann Julius (1707 bis 1768): S. 44. H e r m a n n , Jakob (1678-1733): S. 5, 8/9, 12/13, 17, 19, 22/23, 53, 56. Responsio ad considerationes secundas Nieuwentitii, Basel 1701. H i l b e r t , David (1862-1943): S. 81. Leben u. Wirken: A. Sommerfeld in den Naturwissenschaften 31, 1943. Gesammelte Abhandlungen: Berlin 1932/35 (3 Bde.). H i n d e n b u r g , Karl Friedrich (1741 bis 1828): S. 10, 81. Infinitiwmii dignitatum indeterminatarum leges ac formulae, Göttingen 1778, vermehrt 1779. Methodus nova et facilis serierum infinitarum exhibendi dignitatem exponentis indeterminati, Göttingen 1778. Der polynomische Lehrsatz, das unchtigste Theorem der ganzen Analysis, Leipzig 1796.

H o d d e r , James (17. Jh.): S. 24. Decimal arithmetick, London 1671 u. sehr oft. H o d g s o n , James (1672-1755): S.41. The doctrine of fluxions, London 1736 u. ö. H o f m a n n , Jos. Ehrenfried (1949): S. 38; (1956): S. 88;->- I, II. H o r s l e y , Samuel (1733-1806): S.80. Apollanii Pergaei inclinationum libri duo, London 1770. H u d d e , J a n (1628-1704): S. 9. 27. 3 3 ; - * II. H u m e . David (1711-Ì776): S.41. Leben u. Wirken: A. Thomsen, Kopenhagen 1911, dtsch. Berlin 1912; J . Didier, Paris 1912. Gesamtausgaben: London 1874, ! 1882; Ausmahl: New York 1893, fra. Paris 1912 (2 Bde.). Bibliographie: T. E. Jessop. London 1938. H u t t o n . Charles (1737-1823): S. 48. Mathematical tables, London 1785. H u y g e n s , Christiaan (1629-1695): S. 4, 17, 27/29, 32; ->- I, II. Descriptio automati planetarii (1691 ?), d. Haag 1698. Institut de France (seit 1806): S. 68. J a b l o n s k i , Johann Theodor (1654 bis 1731): S. 9. J a c o b i , Cari Gustav Jakob (1804 bis 1851) : S. 38. Werke, ed. C. Borchardt — C. Weierstraea, Berlin 1881/91. Leben u. Wirken: L. Königsberger, Leipzig 1904. J a c q u i e r , Francois (1711-1788): S. 80;—* Leseur (1768). J a n s e n i s t e n (17./18. Jh.): S. 24; -•II. J a p a n e r (etwa 1650 bis 1770): S. 35/38, 89. J a q u e m e t , Claude (1638-1715): S. 31. ZaMentheor. Mskr., ed. Ch. Henry im Bull. Boncomp. 12, 1879 (irrtüml. als Schrift v. Malebranche). ' J e s u i t e n (bis 1773): S. 25, 4 3 ; - * I. H. A n o n y m u s siehe dort. J o n e s . William (1675-1749): S. 20. Leben u. Wirken: J . Shore (Baron Teignmouth). London 1804 u. ö. Synopsis palmariorum maiheseos. London 1706. —> Newton (1711).

Namen- und Schriftenverzeichnis Jourdain, Philippe E. (1914):- S. 38. Jousse, Mathurin (1607-1650?): S. 69. Le secret d'architecture.... La Flèche 1642. Jungius, Joachim (1587-1657): S. 24. Leben u. Wirken: Ad. Meyer, Hamburg 1929. J u r i n , James (1684-1750): S. 41. Geometry not friend to infidelity, London 1734. The minute mathematician, or the free thinker not just thinker. London 1735. Kämpfer, Engelbert (1651-1716): S. 37. History of Japan and Siam, London 1727/28 (2 Bde.), dtsch. Lemgo 1777/79. Kästner, Abraham Gotthelf (1719 bis 1800): S. 44. 51. Anfangsgründe der Mathematik, Göttingen 1758/66. Geschichte der Mathematik, Leipzig/ Güttingen 1796/1800. Kant, Immanuel (1724-1804): S. 63. Leben u. Wirken: E. Cassirer, Berlin 1918; K. Schilling, München 1942. Kant-Lexikon: E. Eisler, Berlin 1930. Bibliographie: E. Adickes, New York 1895/96. Kritische Ausgabe d. Berliner Ak. d. Wiss., Berlin seit 1902, 2. Ausg. seit 1910. Allgemeine Naturgeschichte des Himmels..., Königsberg/Leipzig 1755. Karsten, Wenzeslaus Johann Gustav (1732-1787): S. 44. Lehrbegriff der gesamten Mathematik, Greifswald 1767/77 (8 Bde.), *1782/91. Anfangsgründe der mathematischen Wissenschaften, Rostock 1780 (3 2Bde.), verkürzt: Greifswald 1781, 1785. Katharina II. (1729-1796, Kaiserin v. Bussland 1762) : S. 58. Keill. John (1671-1721): S. 13, 19/ 20, 38. Kepler, Johannes (1571 - 1630): S. 19:-»-1, II. Kersey, John (1616-1677): S. 26. 51. The elements of that mathematical art commonly called algebra, London 1673/74. !1733 m. Zusätzen von E. Halley. Klingenstierna, Samuel (1698 bis 1765): S. 6. Kneser, Adolf (1907): S. 83. König, Samuel (1712-1757): S. 56/ 57. Appel au public du jugement de I'Ac. Roy. de Berlin sur un fragment

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de Leibniz, Leiden 1752, dtsch. Leipzig 1753. Konen, Heinrich (1901): S. 83. Kowalewski, Arnold (1917): S. 88. K r a f f t , Georg Wolfgang (1701 bis 1754) : S. 53. Kurze Anleitung zur theoretischen Geometrie, Petersburg 1740. Instituâmes geometriae sublimions, Tübingen 1753. Kühn, Heinrich (1690-1769): S. 49. La Caille, Nicolas Louis de (1713 bis 1762): S. 45. Leçons élémentaires de mathématiques, Paris 1741 u. ö.; lat. Venedig 1772 u. ö.; ital. Neapel 1761 u. ö. La Chapelle, Abbé de (1710? bis 1764): S. 45. Leben u. Wirken: J. Itard in der Revue hist. sc. 5, 1952. Les institutions de géométrie, Paris 1746 (2 Bde.) u. ö. Lacroix, Sylvestre François (1765 bis 1843): S. 66, 71, 83. Cours de mathématiques, Paris 1795/99 u. Ö. Rapport historique sur les progrès des sciences mathématiques depuis 1789..., Paris 1810: — C l a i r a u t (1797). Lagny, Thomas Fantet de (1660 bis 1734): S. 29/30. Méthodes nouvelles et abrégées pour l'extraction et approximation des racines, Paris 1692, !1733 IMém. Ac. se. 11). Lagrange, Joseph Louis (1736 bis 1813): S. 46, 48/51, 61, 65/69, 70/71, 74. 79. 81. Leben u. Wirken: F. Burzio, Turin 1942. OEuvres, Paris 1867/92 (14 Bde.). Mécanique analytique, Paris 1788. 21808/15 u. Ö. : dtsch. Göttingen 1797. Leçons élémentaires sur les mathématiques (1794/95), Paris 1812 u. ö.: engl. Chicago 1898, dtsch. Leipzig 1880. Théorie des fonctions analytiques, Paris 1797 u. ö. De la résolution des équations numériques de tous les dégrés, Paris 1798 u. ö. Leçons sur le calcul des fonctions, Paris 1799 u. ö.; - * Euler, Algebra (1774). Dtsch. in Ostvo. Kl., Leipzig: Variationsrechnung. Nr. 47, 1894. KartenProjektion, Nr. 65, 1894. Zusätze zu Eulers Algebra, Nr. 103, 1898. Partielle Differentialgleichungen, Nr. 113, 1900. Unbestimmte Gleichungen 2. Grades, Nr. 146, 1904. Prinzipien der Mechanik, Nr. 167, 1908.

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Namen- und Schriftenverzeichnis

La Hire. Philippe de (1640-1718): S. 6. 10, 33/34. Leben u. Wirken: E. Lehmann. Leipzig 1888/90 (Progr.); E. Taton in d. Bernte d'hist. 6. 1053. Nouvelle méthode en géométrie vour les sections des su/perfides convives et cylindriques. Paris 1673; dazu als spätere Beifügung (von 1674?) Planiconiques. Nouveaux elemens des sections coniques, Paris 1679. engl. London 1704. Sectûmes conicae. Paris 1685. Lambert, Jobann Heinrich (1728 bis 1777): S. 47/48. 51. 58, 61, 62/64, 67, 76. Leben u. Wirken: E. Wolf H I (1860). Monatsbuch. ed. K. Bopp in d. Abh. Ak. München 27, 1815. Zu Bibliographie und Briefwechsel: M. Steck in Forschgen u. Fortschritte 30, 1956. Opera mathematica. ed. A. Speiser, Zürich seit 1946. Deutscher gelehrter Brietwechsel, ed. Joh. i n . Bernoulli. Berlin 1781/87 (5 Bde.). Cosmologische Briefe über die Einrichtung des Weltbaues. Augsburg 1761, frz. Berlin 1770 u. ö.. engl. London 1800. La perspective affranchie de l'embarras du plan géométrical. Zürich 1759 = Die freve Perspektive. Zürich 1759. "1774, ed. M. Steck, Berlin 1943. Neues Organon..., Leipzig 1764. BevbrOjge zum Gebrauch der Mathematik. Berlin 1765/77 (3 Bde.). Zusätze zu den logariihmisch-trioonometrischen Tabellen..., Berlin 1770, lat. Lissabon 1798. Anlage zur Architektonik oder Theorie des Einfachen und Ersten in der philosophischen und mathematischen Erkenntnis. Eiga 1771. Land- u. Eimmelscharten. dtsch. Leipzig 1894 (Ostia. Kl. 54). Lamy, Bernhard (1640-1715) : S. 25. Nouveaux elemens de géométrie, Paris 1686 u. ö. Landen. John (1719-1790): 8. 75. 80. Leben u. Wirken: H. G. Green — H. J. J. Winter in der Isis «5.1944. Mathematical memoirs. London 1780/ 1789. Laplace, Pierre Simon (1749 bis 1827): S. 39, 49, 78/74. 75. 77. 81. Leben u. Wirken: H. Andoyer, Paris 1922. Abstammung: G. A. Simon in den Biometrica 21, 1929.

Œuvres. Paris 1843/47 (7 Bde.). '1878/1912 (14 Bde.). Traité de mécanique céleste, Paris 1799/1825 (5 Bde.). engl. Boston 1829/39. Théorie analytique des probabilités, Paris 1812 u. ö. Essai philosophique des probabilités, Paris 1814 u. o ; dtsch. Heidelberg 1819. Leipzig 1886: engl. New York 1902. Lawson, John (18. Jh.): S. 80. The two books of Apollonius Pergaeus, concernine Tangencies.... London 1771: dtsche. Bearbeitung von J. W. Camerer, Gotha/Amsterdam 1795. L é c a t , Maurice (1916): S. 88. Le Clercj, Sébastien (17. Jh.):' S. 26. Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain. Paris 1669 u. 6.; -»• J. H. Graf in d. Abh. Gesch. Math. 9, Leipzig 1899. Legendre, Adrien Marie (1752 bis 1833): S. 45. 47. 73, 74/77. 81. Éléments de géométrie. Paris 1794 u. 8. ; engl. Cambridge 1819 u. ö.: dtsch. Berlin 1822 u.a.: ital. Florenz 1834 u. Ö. Mémoire sur les transcendantes elliptiques. Paris 1794. Essai sur la théorie des nombres. Paris 1797/98. '1808: Suppl. 1818, 1825: 31830 U.Ö.; dtsch. Leipzig 1886 u. il. Nouvelle méthode pour la détermination des'orbites des comètes. Paris 1806, Suppl. 1806, 1820. Exercises de calcul intégral, Paris 1811/17 (3 Bde.). Traité des fonctions elliptiques et des intégrais euleriénnes, Paris 1825/32 (3 Bde.). Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646 bis 1716): S. 4/15,16/17. 19, 22/23, 25. 27. 29/30. 32/33, 38, 40, 43, 64, 57. 61. 65, 81. 83: ->- I, IX. Math. Schriften, ed. C. I. Gerhardt, Berlin/ Halle 1849/63 (7 Bde.). Philosoph. Sehr., ed. Gerhardt. Berlin 1875/90 (7 Bde.), Briefwechsel mit Mathematikern, ed. Gerhardt, Berlin 1899. Nouveaux essais sur l'entendement humain (1707). ed. E. E. Easpe, Amsterdam/Leipzig 1765. Leibnizianer (18. Jh.): S. 22/23, 63. Lemoine, Edmé Marie Joseph 11761 bis 1816): 8. 45. Traité élémentaire de mathématiques pures. Paris 1790 u. ö.

Namen- und Schriftenverzeichnis L e s e u r , Thomas (1703-1770): S. 80. Éléments de calcul intégral. Parma 1768 (zua. m. Jacquier). L e u r e c h o n , Jean (1691 ? —1670): S. 27: —»• I. Recreations mathématiques, Pont-à-Mousson 1625 u. ö.: engl. T. Ougthred als Mathematical recreations. London 1633. '1636, "ed. W. Leyburn, 1694. L e s e l i , Andreas Johann (1740 bis 1784): S. 46/47. 76. l ' H o s p i t a l , Guillaume Francois Antoine de (1661-1704): S. 6/7. 9. 11. 18, 30/31. 33, 66:—>-II. Analyse des infiniment Délits. Paris 1696 u. Ö., engl. London 1730, lat. Wien 1764. Traité analvtfaue des sections ami' Vies. Paris 1707 u. ö.; enei. London 1728. Briefwechsel mil Jh. Bernoulli, ed. O. Spiesa, Basel 1955. V H u i l i e r , Simon (1750-1840) : S.47, 68. Leben u. Wirken: —» E. Wolf I (1858). Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs, Berlin 1786. lat. Tübingen 1795. Polygonométrie, Genf 1789. L o c k e , John (1632-1704): S. 24, 40, 48/44. Leben u. Wirken: S. Alexander, London 1908: J . Didier, Paris 1911; H. O. Christophersen. Oslo 1930: A. Element, Wien 1952. Works, London 1714; 1853 (9 Bde.). Briefe, d. Haag 1912. An essay concerning human understanding. London 1690; frz. Ausz. in der Bibl. unit). I 1688. dtsch. Leipzig 1911 u. 1613. Some thoughts concerning education, London 1693, dtsch. Langensalza 1883 u. ö. Zur Pädagogik: Ed. Fechtner, Wien 1894. '1908: G. Hecke, Gotha 1897; A. Cesano, Bom 1904. L o r i a , Gino (1862-1954) (1902): S. 33.89, 79, 88; (1921,1925): 8. 88. L u d w i g X V i n . (1755-1824; König v. Frankreich seit 1814/15): B. 73. M a c h i n , John (1680-1751): 8.20M a c l a u r i n , Colin (1698-1746): S.29. 41. 48. 61. 64. 77/78. Leben u. Wirken: Ch. Tweedie In d. Proc. R. S. Edinburg 86. 1916 u. in d. Math. Gazette 9, 1919; H. W. Turnbull (1947), Aberdeen 1961. Qeometria organica, London 1720. A treatise

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of fluxions, Edinburg 1742, 'London 1801, frz. Paris 1749. A treatise ot algebra. London 1748 u. ö.; engl. 1788. M a h n k e , Dietrich (1884-1939): 8.14; (1926, 1932) 8.88; - > II. M a l e b r a n c h e , Nicolas (1638 bis 1716): S. 4 ; - * n . Malezieu, Nicolas de (17./18. Jh.): 8. 25, 32. Elemens de géométrie, Paris 1716. M a l f a t t i . Giovanni Franceaco (1731 bis 1807): 8. 47. 60. 67. Leben u. Wirken: G. B. Biadego im Bull. Bcmcomv. 9, 1876. Mallet,Friedrich(1728-1797): S.60. De aequatione biquadratica, Upsala 1782. M a n f r e d i , Gabriele (1681-1761): 8. 13. 22. Leben u. Wirken: E. Bortolotti in den Mem. Bologna (8) 10, 1933. De constmctione aeauatùmwm ditterenbialium primi gradus, Bologna 1707. M a s c h e r o n i , Lorenzo (1750-1800): 8. 47. Leben u. Wirken: G. Loria u. a., Bergamo 1904. La geometria del compasso. Pavia 1797; ed. G. Fazzari. Palermo 1901; franz. Paris 1798; dtsch. Berlin 1826. M a t s u n a g a , Kyóhitsu (t 1744): 8.37. Boen sankvo (1739); Kiio tokusM (1740). M a t t h i e s s e n , Ludwig (1878): 8. 83. M a t t h i e s s e n , Soeren (1653-1740): 8.24. Compendium artihmeticum, Kopenhagen 1680 u. 0. M a u p e r t u i s . Pierre Louis Moreau de (1698-1769): 8. 23, 41, 46, 56/57, 78. Leben u. Wirken: P. Brunet, Paris 1929; J . N. KellerZschokke, Basel 1935. OEvmes, Paris 1762, Lyon 1768. Essai de cosmologie, Berlin 1760, dtsch. 1761. M a y e r , Johann Tobias (1723 bis 1762) : 8. 46. Opera inedita, ed. G. Chr. Lichtenberg. Göttingen 1774. M e i s s n e r . Heinrich (1644-1716): 8.25. M e i s t e r , Abraham Ludwig Friedrich (1724-1788): 8. 46. Menelaos v. Alexandria (um 100 n. Chr.): 8. 34;-»-1. Sphärik, lat. aus dem Arab. v. E. Halley, ed. G. Costard, Oxford 1758.

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Namen- und Schriftenverzeichnis

M e r c a t o r , Nikolaus (Kauffman) (1620-1687): S. 25: —>• H . —>• Anonymus (1666). M e u s n i e r , Jean-Baptiste (1754 bis 1793): S. 71. Leben u. Wirken: G. Darboux. Eloges académiques et discours. Paris 1912. M i k a m i , Yoshida (1913, 1914.1934): S. 39. M o h r . Georg (1640-1697): S. 31. 47. Leben u. Wirken: J . Hjelmslev in den Abh. Ak. Kopenhagen 11, 1931. Euelides Danicus, Amsterdam 1672, ed. J . Pài. Kopenhagen 1928. Euelides curiosus, Amsterdam 1672 (verschollen). M o i v r e , Abraham de (1667-1754): S. 10, 18/19, 21, 28, 30, 49. Leben u. Wirken: H. M. Walker in den Scripta math. 2, 1934. Briefwechsel m. Jöh. I. Bernoulli: Übersicht v. K. Wollenschläger in d. Verhandlungen d. naturforsch. Ges. Basel 93, 1933. Doctrine oi chances. London 1718 u. ö. Miscellanea analytica, London 1730. M o n g e . Gaspard (1746-1818): S. 69/ 73, 81. Leben u.'Wirkm: R. Taton, Paris 1951. Kurzbiographie: Taton, Basel 1950 (Beih. 9 z. d. Elem. d. Math.). Géométrie descriptive, Paris 1794/95 u. ö.: dtsch. Karlsruhe 1828/29; Leipzig 1900 (Osta. Kl. 117); ital. Florenz 1838: engl. London 1809 u. ö. : russ. Moskau 1947. Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie, Paris 1795 u. Ö. ; ruas. Moskau 1936. Application de l'aio bre à la géométrie (zus. m. Hachette), im JEP 11 (1802) = Paris 1805. M o n t a i g n e , Michel (1533 — 1592): S. 24;—> I, II. M o n t m o r t , Pierre Rémond de (1678 bis 1719): S. 14, 21, 28. Essai d'analyse sur le jeux de d'hazard, Paris 1708. »1713. M o n t u c l a , Jean Êtienne (1725 bis 1799): S. 42. 63. Leben u. Wirken: G. Sarton im Osiris 1,1936. Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, Paris 1754, *1831. Histoire des mathématiques, Paris 1758 (2 Bde.); • a ed. J . J . Lalande, Paris 1799/1802 (4 Bde.); ital. Turin 1879.

M o r g a n , Augustus de (1846, 1914): S. 38. M ò r i , Kambei Shigeyoshi (um 1600): S. 36. M o x o n , Joseph (1627-1700): S. 26. Mathematics made easie or a mathematical dictionary, London 1680. M ü l l e r . Felix (1890): 8. 83. M ü l l e r , Johann Helfrich (1746 bis 1830) : S. 45. Beschreibung einer neu erfundenen Rechenmaschine, Frankfurt a.M./Mainz 1786. M ü n c h h a u s e n , Gerlach Adolf Freiherr T. (1688-1770): S. 44. M u i r , Thomas (1890): S. 83. M u r a m a t s u , Kudayù Mosel (um 1660): S. 36. Sanso (1663). M u r a s e (um 1675): S. 36. Sampó futsudankai (um 1680). M u r d o c h , Patrik (1705?-1774): S. 33. Newt&ni genesis curvarum per umtrras, London 1746. N a p o l é o n Bonaparte (1769-1821; Kaiser der Eranzosen 1804-1814/ 1815): S. 72/73, 77. N a u d é , Philipp (1684-1747): S. 46. N e p e r , John (1550-1617): S. 64; N e w t o n . Isaac (1643-1727): S. 4, 6/1«, 12/15. 17/20, 23, 29, 32/33. 37. 88, 40/41, 51, 65, 77/78; II. Opuscula, ed. J . Castillon, Lausanne/ Genf 1744. Arithmetica universalis (1773/84), ed. W. Whiston, Cambridge 1707; 2ed. W. Jones, London 1711; russ. Moskau 1Ö48. Philosophiae naturalis principia mathematica. Ld. 1687, a ed. R.Cotes. Cambridge 1713, 3 ed. H. Pemberton, London 1726. Analysis ver aequationes numero terminorum infinitas (1669), ed. W. Jones, Ld. 1711. Methodus tluxionum et serierum infinitarum (1671/72), engl. ed. J . Colson, Ld. 1736. Quadratura curvarum-Enumeratio linearum tertii ordinis (1676). Druck als Anhg. zur Optics, Ld. 1704; ! ed. Jones, Ld. 1711. Methodus differential (1676), ed. Jones, Ld. 1711;—»• Comm. epist. (1712 u. ö.). N e w t o n i a n e r (18. Jh.): 8. 23. 66. N e w t o n , John (1622?-1678): S. 26. Trigonometria britannica, London 1658. N i c o l e , Francois (1683-1758): S. 21.

Namen- und Schriftenverzeichnis N i e l s e n , Niels (1927, 1935): S. 83. N i e u w e n t i j t , Bernhard (1654 bis 1718) : S. 5. Considerations circa analyseos ad quantitates infinite 'parva* applimtae principia. Amsterdam 1694. Analysis infinitorum, Amsterdam 1695. Considerattone3 secundae circa calculi differential principia, Amsterdam 1696. N o e t h e r , Max (1892/93): S. 89, 83. O b e n r a u c h , Ferdinand Josef (1897): S. 88. O p p e l , Friedrich Wilhelm v. (1720 bis 1769): S. 47. Analysis triangulorufn, Dresden/Leipzig 1746. O u g h t r e d , William (1574-1660): S. 27: —>- I, I I ; —>• Leurechon (1633 u. ö.). O z a n a m , Jacques (1640-1717): S. 26/27, 31. 33. Traité des limes de premier ordre..., Paris 1687. Dietionaire mathématique, Paris 1690 u. ö.; engl. London 1702. Récréations mathématiques et physiques, Paris 1694 u. ö. P a p i n , Denis (1647-1712): S. 4. Leben u. Wirken: E. Gerland, Berlin 1881. P a p p o s y. Alexandria (um 320 n. Chr) S. 46;—> I, n . P a r d i e s , Ignace Gaston (1636 bis 1673): S. 25. Elemens de géométrie, Paris 1671 u. ö.; lat. v. J . A. Schmidt, Jena 1684 u. ö. ; —>• H. Wieleitner im Archiv f . Gesch. d. Naturw. u. d. Techn. 1, Leipzig 1909. P a r e n t , Antoine (1666-1726): S. 33. Essais et recherches de mathématique et physique, Paris 1705, a1713. P a s c a l . Blaise (1623-1662): S. 27, 39, 42, 78:—>• II. OEumes, ed. Ch. Bossut, d. Haag 1779 (5 Bde.). Traité du triangle arithmétique, ausgedruckt 1654, ausgegeben Paris 1665. P e m b e r t o n , Henry (1694-1771): S. 18/19 ; ->- H . -I-1. Newton, Principia, 'London 1726. P e s t a l o z z i . Johann Heinrich (1746 bis 1827): 8. 45. Leben u. Wirken: I. A. Green, London 1913. Bibliographie: A. Israel, Monum. Germ. Paedagogica, Bd. 25. 29, 31,1903/04. P i e r p o n t , James (1895): S. 83.

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P i t o t , Henri (1695-1771): S. 33. Leben u. Wirken: P. Humbert in der Reme hist. sc. 8, 1953. P l ü c k e r . Julius (1801-1868): S. 70. Leben u. Wirken: W. Emst, Bonn 1933. Nachlaß, ed. A. Schönflies in den Math. Ann. 57,1904. Gesammelte wissenschaftliche Abhandlungen, Leipzig 1895/96. P l u m e , Thomas (1630-1704): S. 18. P o n c e l e t , Jean-Victor (1788 bis 1868): S. 72/73, 7 9 ; - * II. Leben u. Wirken: E. Holst, Christianja 1878: H . Tribout. Paris 1936. Traité des propriétés proiectives des figures, Paris 1822 u. ö. P r e s t e t , Jean (1652-1690): 8.26. Elemens des mathematiques, Paris 1675, ! 1689. R a b u e l . Claude (1669-1728): S. 33. Commentaires sur la Géométrie de Descartes, Lyon 1730. E a p h s o n , Joseph (+ um 1715),: S. 15. 29. Analysis aequatùmum universalis, London 1690. The history of fluxions, London 1716. E a t k e . Wolfgang (1571-1635): S.24. Leben u. Wirken: Gid. Vogt, Kassel 1881 u. ff. Bibliographie: Vogt, Kassel 1882 (Progr.). R e i f f , Rudolf (1889): S. 88. E e v e l l i , Filippo Antonio (1716? bis 1801): S. 65. Leben u. Wirken: P. Eevelli. Genua Ì918. E e y n e a u . Charles (1656-1728): S. 13. Analyse demontrée, Paris 1708, ! 1736/38. E i c c a t i , Jacopo (1676-1754): S. 22. Leben u. Wirken: A. A. Michieli in den Atti Ist. Veneto 102/04, 1944/46. Opere, Lucca 1761/65 (5 Bde.). R i c c a t i , Vincenzo (1707-1775): S. 47, 79. Leben u. Wirken: A. A. Michieli in den Atti Ist. Veneto 102/04, 1944/46. Opuscula, Bologna 1757/62. Institutions analyticae, Bologna 1765/67, zus. m. Saladini. E l e a u d , Stephen Jordan (1841): S. 8 8 ; — I I . E i g a u d , Stephen Peter (1838, 1841): S. 38;—>• II. E o b i n s , Benjamin (1707-1781): S. 41. A discours concerning the nature and certainty of Newtons method of fluxions, London 1735.

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Namen- und Schriftenverzeichnis

Eolle, Michel (1652-1719): S. 10/11. 29/31. Traité d'algèbre, Paris 1690. Rostock, Universität (reformiert: 1760): S. 44. Rothe, Heinrich August (1773 bis 1842): S. 67. 81. Formulae de serierum reversione demonstratio, Leipzig 1793. Rousseau, Jean Jacques (1712 bis 1778): S. 42. 44. Leben u. Wirken: S. Gehrig, 'Halle 1911: A. Schinz. Boston 1921: B. Brunello, Modena 1936. OEuvres, Paris 1764 u. ö.: ed. A. de Catoux, Paris 1868. ünediertes, ed. Streckeisen-Moultou, Paris 1861. 1865. Deutsche Auswahl v. J . H. Heusinger, Stuttgart 1897. Kuüurideal: H. Jahn, Jena '1912. Correspondance générale, Paris 1924/ 1934 (20 Bde.). Erziehungslehre: G. Alllero, Turin 1910. Émile ou sur l'éducation, Amsterdam 1762. B o v e , John (Auf. 18. Jh.): S. 41. Introduction to the doctrine of fluxions, London 1741 u. ö. Rowing. John (1701?-1771): 8. 62. Rovai Society = RS (seit 1660): S. 9.10.13;-> II. R u f f i n i , Paolo (1765-1822): S. 60. Opere, ed. E. Bortolotti, Palermo 1915, 1943. Teoria generale delle equazioni, Bologna 1777. R u p p e r t v. d. Pfalz (1619-1682): S. 31. Saccheri, Girolamo (1667-1733): S. 22. 32. Leben u. Wirken: H. Bosmans in d. Berne des quest. sc, 4, 1925: A. Pascal im Giornale Battaglini 62, 1914 (+ Bibliographie). Logica deìnonstrativa, Turin 1697 u. Ö.: —> A. F. Emch in d. Scripta math. 8. 1935. Euclidee ab omni naevo vindicatus, Mailand 1733: dtsch. In Fr. Engel - P. Stäckel. Theorie der ParaUeUinien. Leipzig 1895: engl. Chicago 1920, ital. Mailand 1904. Saladinl. Girolamo (1731-1813): 5. 79. Leben «. Wirken: A. Agostini in d. Atti II. Conor. Un. Mat. Italiana, Bologna 1940: —> V. Riccati (1765/67). Saunderson, Nicholas (1682-1739): 3. 48. Elements of algebra, London 1740 (2 Bde.) u. ö. m. Auszügen;

frz. Amsterdam 1756, dtsch. Halle 1798/1805. Saurln, Joseph (1655-1737): S. 11. S a u v e u r . Joseph (1653-1716): S. 5/ 6.

Savile, Henry (1549-1622): S. 32; —>• I, II. PraelecHones XIII in vrincil'ium elementorum Euclides, Oxford 1621. Schooten. Frans van (1615 — 1660): S. 25, 27. 31;—> n . Exercüatwnes mathematicae, Leiden 1657. S c h u b e r t . Friedrich Theodor v. (1758-1825): S. 47. S c h ü t t e , Fritz (1902): S. 89. Schulze, Johann Karl (1749-1790): S. 48. Neue Sammlung logarithmischer. .. Tafeln, Berlin 1778. Schupp, Johann Balthasar (1610 bis 1661) : S. 24. Leben u. Wirken: C. Hentschel, Döbeln 1876 (Progr.); Th.Bischoff, Nürnberg 1889 (Progr.). Segner, Johann Andreas v. (1704 bis 1777): S. 44, 47, 51. Vorlesungen über die Rechenkunst und Geometrie, Lemgo 1747. Cursus mathematicus, Halle 1767/68. Seki. Kôwa (1642?-1708): S. 86/87. Leben u. Wirken: T. Minoda im Tôhoku Math. Journ. 47/48, 1940/ 1941. Hatsubi sampô (1674): Kai fukudai no M (1683); Katsuvâ sampô (Druck: 1712). Semler, Christoph (1669-1740): S. 44. S h a f t e s b u r y , Anthony Ashley Cooper (1671-1713): S. 34, 40. Leben u. Wirken: E. Hodder, London 1886. Simpson, Thomas (1710-1761): S. 20,46/48,51. Mathematical dissertations, London 1743. An elementary treatise of algebra, London 1745. "1755. Trigonometry plane and spherical, London 1748. Select exercises in mathematics, London 1752. Slmson, Robert (1687-1768): S. 45, 76, 80. The elements of Euclid, Glasgow 1756 u. sehr oft: dtsch. Magdeburg 1799 u. 8.; span. Madrid 1774. Nachgelassene Schriften: Glasgow 1776.—*- Apollonios, Bestimmter Schnitt. Sloane, Hans (1660-1752): S. 10. Smith, David Eugène (1914): S. 89.

Namen- und Schriftenverzeichnis Speidell, Euklid (Blütezeit: 1660 bis 1700): S. 26. Logarühmotechnia, London 1668 = Fr. Mastes, Scriptores logarithmici VI, London 1807. S p e i s e r , Andreas (1945): S. 83. Spless. Otto (1945): S. 88. Spinoza, Baruch de (1632-1677): S. 27:—»- n . Reeckemng van Kannssen, d. Haag 1687, ed. D. Bierens de Haan im Nimw Arch. v. Wiskunde 11. 1884; engl, in d. Scripta math. 19. 1953. S t ä c k e l , Faul (1895): S. 39. S t e r n e r , Matthäus (1891): S. 38. S t e w a r t , Matthieu (1717-1785): S. 46. Some general theorems, Edinburg 1746. S t i r l i n g , James (1692-1770): S. 12, 17. 21, 33, 54. Leben u. Wirken: Ch. Tweedie, Oxford 1922. Math. Briefwechsel: J . S. Mackar in den PTOC. math. Soe. Edinburg 21, 1903. Lineae tertii ordinis NewUmianae, Oxford 1717. Methodus differential, London 1730, engl. 1749. Stone.Edmund (1700?-1768): S.18. 33. A method of fluxions, London 1730, frz. Paris 1735. S t r u i k . Dirk (1933): S. 83. S t u r m , Johann Christoph (1635 bis 1703): S. 33: —V II. Mathesis enucleate, Nürnberg 1689 u. ö. S t u r m , Leonhard Christoph (1669 bis 1719): S. 43/44. Kurtzer Begriff der gesamten Mathesis, Nürnberg 1707. T a c q u e t . Andreas (1612-1660): S. 26. 34;—>• I, II. Elemento geometrale planae et solidae, Antwerpen 1654 u. ö. Opera mathematica, Löwen 1669, Antwerpen 1707. T a k e b e Hikojird Kenkft (1661 bis 1739) : S. 37. FukyutetsujtUsu (1722). T a y l o r . Brook (1685-1731): S. 8, 17. 19, 20/21, 34, 63, 68. Leben w. Wirken: H. Auchter, Würzburg 1937 (I'iss.). Briefwechsel, ed. H. Bateman in der Bibl. math. (3) 7, 1905/06. Methodius incrementorum directa et inversa, London 1715. Faksimile-Wiederdruck Berlin 1862. Linear perspective, London 1716, a 1719, "ed. J . Colson, 1749, ital. Rom 1755, frz. Amsterdam 1757; Auszug, Ipswich 1754. 7 Hofmann, Gesch. d. Mathematik I I I

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T h é v e n ò t , Melchisedec (1620? bis 1692) : S. 34. Veterum mathematicorum opera omnia, Paris 1693. T h o m a s i u s , Christian (1655 bis 1728) : S. 43. Leben «. Wirken: N. neischmann, Halle 1931; F. Battaglia. Rom 1935. T i n s e a u . Charles (1749-1822): S. 70. T o d h u n t e r . Isaac (1865): S. 89. T o r e l l i . Giuseppe (1721-1781): S.80. —>- Archimedee (1792). T r a p p . Ernst Christian (1745 bis 1818): S. 45. T s c h i r n h a u s , Ehrenfried Walter v. (1651-1708): S. 4, 6. 8, 2 9 : - * II. Y a n d e r m o n d e , Alexandre Théophile (1735-1796): S. 49/50. Gleichungslehre (HMP 1771), dtsch. v. C. Itzigsohn, Berlin 1888. V a r i g n o n , Pierre (1654-1722): S. 5. 10/11, 23, 25. Briefwechsel m. Joh. I. Bernoulli: Übersicht bei E. J . Fedel, Heidelberg 1933 (Diss.). Eclairissemens sur l'analvse des infiniment pelits, Paris 1725. Eiemens de mathérnatiauè, Paris 1731. Vega, Georg Freiherr v. (1756 bis 1802): S. 48, 80. Leben u. Wirken: K. Doehlemann in der Zeitschr. /. Math. u. Phvs. 89,1894. Vorlesungen über Mathematik, Wien 1782 u. ö. Logarithmische, trwoiwffwtrische u. andere... Tafeln u. Formeln, Wien 1783. Logarithmisch-trwonometrisches Handbuch, Leipzig 1794 u. ö. Thesaurus fogarithmorum, Leipzig 1794. V e n t u r o l i , Giacomo (17. Jh.): S. 24. Ordini aritmetici, Bologna 1663 u. ö. V i è t e , Francois (1540-1603): S. 8, 64;—> I, II. V i t a l i , Geronimo (1624-1698): S.26. Lexicon mathematicum, Paris 1668 u. ö. V i y a n t i , Giulio (1894): S. 88. V o l t a i r e = Arouet, Francois Marie (1694-1778): S. 23, 41, 57. Leben u. Wirken: G. Brandes, Berlin 1923 (2 Bde.). Bibliographie: J . Senellier, Paris 1950. OEmres, Genf 1768/71, Kehl 1785/89 (70 Bde.). Paris 1829/34 (72 Bde.): ausgew. Briefe. dtsch. y. K. Schirrmacher, Leipzig 1908. Als Erzieher: C. v. Brockdorff.

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Namen- und Schriftenverzeichnis

Österwieck 1913. Éléments de la philosophie de Neioton, Amsterdam 1738. Diatribe du docteur Akakia, médicin du Pape, 1752. V o s s i u s , Gerhard J o h a n n (1577 bis 1649) : S. 34. Opera omnia, Amsterd a m 1695/1701 (6 Bde.). De universae mathesios natura et constitutione, Amsterdam 1650. W a l e s . William (1734-1798): S. 80. The two books of Apollonius concerning Determinate sections, London 1772. W a l l e n i u s , Martin J o h a n n (1731 bis 1793): S. 46. Dissertatio gradualis lunulas quaadam circulares quadrabiles exhibens, Abo 1766. W a l l i s , J o h n (1616-1703): S. 13, 29, 31/32;—• I I . Opera mathematica I I , Oxford 1693: H I , Oxford 1699. Treatise of algebra, both historical and practical (1676), Oxf. 1685, lat. in d. Opera I I . W a l t o n , J o h n (18. J h . ) : S. 41. A vindication o f . . . Newtons Principles of fluxions, Dublin 1734. Catechism of the autor of the minute philosopher, fully answer'd, Dublin 1735, 2 Ausgaben. W a r i n g , E d w a r d (1734-1793): S.50/ 51, 79. 80/81. Leben u. Wirken: F r . X . Mayer, Zürich 1924 (Diss.)., Miscellanea analytica de aequationibus algebraicis et curvarum proprietatibus, Cambridge 1762. Meditationes algebraicae, Cambr. 1770. Proprietates algebraicarum curvarum, Cambr. 1772. Meditationes analyticae, Cambr. 1776. W e i g e l , E r h a r d (1625-1699): S. 25; —• I I . Tetractys, J e n a 1673. W e i s s e n b o r n , Hermann (1856): S. 3 8 ; - * I I .

W e s s e l , Caspar ( 1 7 4 5 - 1 8 1 8 ) : S. 49/ 50. Om direktionens analytiske Betegnung in den Danske selsk. skr. (2) 5, 1799, frz. r . H . Valentiner T. N . Thiele, Kopenhagen 1897. Whiston, William (1667-1752): S. 4 0 ; - * Newton (1707). W i l k e , Christian Heinrich' (1722 bis 1776): S. 46. Neue und elementare Methode, den Inhalt geradliniger Figuren tu finden..., Halle 1757. W i l s o n , J o h n ( 1 7 4 1 - 1 7 9 3 ) : S. 81. W o l f , A. (1952): S. 3 8 ; - > I I . W o l f , Christian v. (1679-1754): S. 43. Leben u. Wirken: E . Ulitz, Halle 1929. Briefwechsel m. Leibniz, ed. C. I . Gerhardt, Halle 1860. VerhäUn. z. Leibniz: W. Arnsperger, W e i m a r 1897. Anfangsgründe sämtlicher mathematischer Wissenschaften, Halle 1710 u . ö. Elementa matheseos universae, Halle 1713/41; ed. G. Cramer, Genf 1743/52 u . ö. Mathematisches Lexicon, Leipzig 1716; 8 1734 ohne Mitw. d. Verf.; Suppl. v. G. F r . Richter, Leipzig 1742. W o l f , Rudolf (1858/62): S. 8 8 ; - * I I . W o o d h o u s e , Robert (1773-1827): S. 88. Wydra, Stanislaus (1741 - 1 8 0 4 ) : S. 80. Elementa calculi differentialis et integralis, Prag/Wien 1783. X a v i e r , Franz ( 1 5 0 6 - 1 5 5 2 ) : S. 35/ 36. T o s h i d a , Shichibei kdyil (1598 bis 1672): S. 36. Jitikö-ki (1627). Sehr o f t bis ins 19. J h . aufgelegt. Z a n o t t j , Eustachio ( 1 7 0 9 - 1 7 8 2 ) : S. 63. Trattato teorico-pratico prospettiva, Bologna 1766, 'Mailand 1825.

99 Zeitschriftenverzeichnis Dieses Verzeichnis bezieht sich ausschließlich auf Jene Zeitschriften des 17. und 18. Jh.. die im Text entweder durch Buchstabensigel oder in Textverkürzung wiedergegeben sind. Bei Jahresangaben (vor allem bei Akademieschriften) sind die Jahrgänge, nicht die Ausgabe gemeint, wenn nicht anderes vermerkt ist. Acta Helvetica: S. 51. AE = Acta eruditorum (Leipzig 1682 bis 1731): S. 4, 5/13. 16/19, 21/23. 30. 52;—> II. AP = Acta academiae scientiarum Petropolitanae (Petersburg 1777 bis 1782, hgg. 1778/86, 6 Bde.) : S. 46/47, 49, 51. 61/62. 76. Arch. M. = Archiv für die reine und angewandte Mathematik (Leipzig 1795-1800,11 Hefte): S. 67. AtK Ac. Siena: S. 60. Correspondance de l'École Polytechnique: S. 72. CP = Commentarli Academiae Petropolitanae (Petersburg 1726 — 1746, hgg. 1728/51. 14 Bde.): S. 21, 23. 47. 50/51, 53/56. 73. Diss. math. Phys.soc.Göttingen: S. 51. GGttinger gelehrte Anzeigen: S. 50. HMB = Histoire et mémoires de l'Ac. se. de Berlin (Berlin 1745-1769, hgg. 1746/71, 25 Bde.): S. 80,46/47, 49. 51. 67. 60, 62/64. 66/67. HMP = Histoire et mémoires de l'Ac. se. de Paris (1699-1790): S. 6. 7/9, 11, 19, 21, 25. 29/31, 33. 46/47, 49/50, 55/56, 70/71, 73/75, 78. 80;—• II. JEP = Journal de l'École Polytechnique (Paris seit 1795): S. 48. 72, 73/74, Joum. lit. - Journal literaire (d. Haag* 1713-1737): S. 14. Journal littéraire d'Allemagne: S. 54. JS = Journal des Scavans (1665 bis 1792): S. 5, 6/7, 11, 16;-»- II. Mag. M. = Magazin für die reine und angewandte Mathematik (Leipzig 1786-1788): S. 64. MB — Miscellanea Berolinensia (1710-1743): S. 16, 27, 30, 46, 49. 55. 60;-> II.

Mém. math. phys. = Mémoires de mathématiques et de physiques (Paris 1692-1693): 8. 29. Mém. T. = Mémoires de l'Ac. Turin (Turin 1784-1800. 6 Bde.): S. 68. 70/71. Miscellanea curiosa mathematica: S. 46 MP = Mémoires de l'Ac. Imp. d. se. de St. Pétersbourg: S. 62. MSI = Memorie matematiche e fisiche soc. sc. Ital. (Verona seit 1782) : S. 48/47, 51, 67. MSP = Mémoires de mathématique et de physique, présentés d l'Ac. se. par divers savants (Paris 1760 bis 1786. 11 Bde.): S. 70/71, 73/75. MT = Miscellanea Taurinensia (Turin 1759-1773, 6 Bde.): S. 49, 65/66. NAE = Nova acta eruditorum (Leipzig 1732-1770): S. 57. S' A I' = Nova acta Ac. sc. Petropolitanae (Petersburg 1783-1802, hgg. 1787-1806, 15 Bde.): S. 46/47, 50, 61/62.

NCP = Novi commentarii Ac. sc. Petropolitanae (Petersburg 1747 bis 1775, hgg. 1750/76, 20Bde.): S. 46/ 47, 49, 51, 59/61. NMB = Nouveaux mémoires de l'Ac. sc. Berlin (Berlin 1770 -1786) : S. 46, 49/51. 64, 66/68. Nouv. rèp. lettr. = Nouvelles de la république des lettres (Amsterdam 1684-1718): S. 4, 41. Novi Commentarii soc. Göttinnen: S. 46. PT = Philosophical Transactions (seit 1665): S. 10, 12/14, 16/19, 21, 28/30. 33, 45, 51/52, 70. 73. 75. 77, 81;—>- II.

100 Sachverzeichnis — Kombinatorik 10, 67, 81; - Methoden 55, 62, 69. 71; - er Standpunkt 33; — es Dreieck, Parallelogramm 78 Abacus 35 Anfangswert für NäheAbbildungen 61, 67 rungsverfahren 51/52 Abgebrochene PotenzAngewandte Mathemaentwicklung 36 tik 26 Abrollen 46 Anleitung zur Algebra Absolutes Längenmaß 64 (Euler) 48, 61 Abwickelbare Flächen Anschauliche Über61. 65. 70 legungen 82 Achsengeometrische Antike Klassiker, AusMethode 78 gaben 34, 80 Additionstheoreme d. A priori, a posteriori 28 Arcustangens-FunkArabische Texte 32, 34 tion 55; — d. ellip- Archimedische Methode tischen Integrale 22, 5; — Näherung für 60. 76. V3 30 Adjungierte Differential- {arc sin x)a als Potenzgleichung 66 reihe 37 Affine Kurven 6 Arcustangens 12, 20, 55 Algebra (Forschung) 28/ Argumente, gebrochene 30. 49/52. 66. 76, 78. 53; — imaginäre 12; 80/81. 88; - (Unter— komplexe 49 richt) 26/27. 48. 56; Arithmetica universalis — u. Geometrie 33 Algebraische Analysis (Newton) 29. 32 58; - Flächen 79; Arithmetisch-geometri— Funktionen 31, 89. sches Mittel 68; — e 79.88; - Integrale31; Schule (Japan) 35/36 — Integraltransformationen 8; — Kurven Ar8 conjectandi (Jk. Bernoulli) 27/28 5. 16. 20, 33, 89, 55. 58. 61. 77/79. 88; Astronomie 18,23.26,36, 56, 63. 68, 74 — Logik 63 Algorithmisch auflösbare Astrophysik 20 Gleichungen 50. 62; Asymptoten 78; — gleiche Kurven 17 — e Auflösbarkeit v. Gleichungen 50.64,66, Aufgaben, unbestimmte 80/81; — er Gesichts61 punkt 48. 59, 62. 82 Auflösbarkeit von GleiAnalyse (l'Hospital) 11, chungen, algorithmi18, 55 sche 50, 62, 64, 66, 80/81 Analysis (Newton) 13,20 Analysis, algebraische Auflösen einer transzendenten Gleichung 58; - höhere 9. 38 durch Fourier-EntAnalytik, unbestimmte wicklung 67 48. 61 Ausdrücke, unbestimmte Analytische Geometrie 11, 59 32/33, 58/59, 69/70;

Das Sachverzeichnis ist auf einige Hauptgegenstände vorzugsweise mathematischer Natur beschränkt.

Ausgaben antiker Klassiker 34, 80 Ausgleichungsrechnung 76/77 Ausstattungsversicherung 28 Auszahlungen, wiederkehrende 28 Axiom (v. Nik. I. Bernoulli) 56 Babylonische Näherung für Quadratwurzeln 29 Bahnkurven bei Zentralbewegung 19 Ballistische Kurve 19 Begriffsschrift 32 Beinahe ebene sphärische Dreiecke 75 Beleuchtung v. Körpern 70 Beobachtungsfehler 66 Bernoullische Reihe 20/ 21; - Zahlen 21,27,59 Berührende Parallelverschiebung 16 Berührungstransformation 71, 75 Bestimmte Integrale bei Differentialgleichungen 60; — zur Reihen« summierung 53 Bestimmungspunkte algebraischer Kurven 79 Beta-Funktion 53 Bewegung zur Veranschaulichung geometrischer Sätze 25 Bewegungsgleichungen 68

Bezeichnungsfragen 15, 30 Binomische Entwicklung 30, 36/37, 58 Bizentrische Vierecke 46 Bogengleichheit 6, 16, 22. 61, 83; - länge 7, 17; - teilung 8, 22; —> Rektifikationen Brachystochrone 5/7, 9 Brennflächen 70 Brüche, gemeine 37 Brückenaufgabe 47

101

Sachverzeichnis Calculus 4/5. 10, 13/15 Cartesische Koordinaten 72 Casus irreducibilis der Gleichung 3. Grades 29 Charakteristiken 72 Charakteristische Streifen 70 Cosinus-Satz 48 Darstellende Geometrie 69. 83 Defekt, pseudosphärischer 64 Dekadische Logarithmen 26

Delta-Methode 65 Determinanten 36, 49, 70.88 Dezimalbrüche 37 Differentiale als Null 59. 62

Differentialgeometrie, ebene 6, 8, 11/12, 16/18, 22. 33, 52. 58. 62, 71. 78/79, 83; — r¨iche 6, 33, 54/56, 59/62, 64/65, 67. 69/72, 75, 78/79. 83 Differentialgleichungen, gewöhnliche 9. 13, 17, 21/23, 56. 69/61,65/67, 69. 71, 75; v partielle 60/61, 65. 67/72, 74/75: - Riccatische 22/23; - totale 59. 66 Differentialrechnimg 13. 88. 59 Differentiation 20: partielle 66: — mit gebrochenem Index 53/54. 67; - eines Integrals nach einem Parameter 6 Differenzenrechnung 21, 74 Direkte Schlußwelsen 25 Divergente Bethen 60 DoppellntegnUe 61 Doppelpunkte 77. 79 Drehflachen 6, 56: zweiter Ordnung 61,75 Drehkegel 61

Drehkörper kleinsten Widerstandes 9 Diehparaboloid 72 Drehung eines starren Körpers 60 Dreiachsiges Ellipsoid 72 Dreieck, analytisches 78; - beinahe ebenes sphärisches 75; — sfläche als gerichtete Größe 72: — sgeometrie 38, 46; — Satz von Ceva 31 Dreikörperproblem 68 Durchmesser algebraischer Kurven 78 Durchstecken eines Würfels durch einen anderen 31 Dyadik 25

Euklidische Geometrie 32 Eulersche Differentialgleichung (elliptische Integrale) 59; - Gleichung (Variationsrechnung) 57; - Identität (Exponentialfunktion) 58; — Konstante 65; — Belhentransformation 12. 54. 59; /Maclaurinsche Summenformel 54 Evoluten 70 Exponentialfunktion 63; — reihe 58 Extrapolation 28 Extremeigenschaften 6/ 7. 56. 62. 65. 79; — punkte einer Kurve

Ebene Differentialgeometrie 6, 8, 11/12, 16/18, 22, 33, 52. 58, 62, 71. 78/79; - Trigonometrie 26. 36, 47/48. 51 Einwände gegen die Infinitesimalmathematik 4/5. 10/11. 40/41 Elementare Funktionen 49. 59, 79 Elementargeometrie 31/ 32. 38. 45/47, 53, 72, 76 Elementar quadrierbarer Kreisflächenstreifen 31/32 Elimination 29, 49 Ellipse größter Fläche 62; — Rektifikation 16. 22. 61, 75/76 Ellipsoid 72 Elliptische Geometrie 32; - Integrale 22. 59/60, 64, 66, 75/77, 88 EnumeraUo linearum terIii ordinis (Newton) 20 33 Erdeillpsold 56 Erfahrungssatz von Goldbach 54. 81 Erfindungskunst 27 Erwartung 27/28. 73 Erweiterung des Zahlbegriffs 48

Exzess, sphärischer 64, 75

12

Faktor.integrierender 56. 59, 66; — Zerlegung von Polynomen 19, 49 Fast sphärische Drehflächen 56 Fehler 66; - integral 74 Figurenteilung 46 Figurierte Zahlen 37; — reziproke 21 Fläche des Dreiecks in Koordinaten 72 Flächen, abwickelbare 61, 65, 70: - algebraische 79; — konstanten Krümmungsmaßes 64; — zweiter Ordnung 68/59, 74 Flächenfamilien 62, 70; — geometrie 55,69,61, 64; — gleichungen 33, 56; - Inhalt 62, 64. 72; - kurven 6. 33, 54. 56. 59. 61, 70/71 Flächengleiche sphärische Dreiecke über gleicher Grundlinie 76 Flächentreue Abbildung 61

Flüssigkeitswiderstand 9 Fluxionen 10.13.18,18. 38, 41

102 Formale Entwicklungen 35/37, 49, 59/60. 62, 66, 81 Formel von Chapple (Dreiecksgeometrie) 46; — von Molyre 30; — Ton Newton (Potenzsummen von Gleichungslösungen) 51.80 Fourier-Entwicklungen 61/62, 67 Fundamentalsatz der Algebra 49 Funktionalgleichungen 19. 70 Funktionen, algebraische 31, 39. 79: - allgemeine 67; — element a r e 49, 79; irrationale 59, 63; — mehrerer Veränderlicher 65; — rationale 11, 19, 59; - transzendente 59; — unstetige 70 Funktionsbegriff, Bernoulii-Eulerscher 62; — darstellung 75 Fußpunk^ kurven 78 Gamma-Funktion 53 Ganze Funktionen 58 Gattungen elliptischer Integrale 60, 76 Gebrochener Index beim symbolischen Calculus 53/54, 67 Geburten 28 Gemeine Brüche 37 Genetischer Unterricht 25. 46, 76 Geodäsie 56. 75 Geodätische Linien 6,47, 54, 56. 75 Geoid 56 Geometrie u n d Algebra 6, 33; — analytische 32/33, 58/59, 69/70; darstellende 69; — des Dreiecks 46; — elementare 31/32, 38, 45/ 47, 53, 72. 76; - elliptische 32; — höhere 53; — hyperbolische 32. 64

Sachverzeichnis Geometrische Begriffsschrift 32; Darstellung komplexer Zahlen 49/50; - Met h o d e n 69. 73. 83; - ö r t e r 6, 25, 78; Reihen- 30; Transformationen 72; — Wahrscheinlichkeit 80; — er Unterricht 25/26. 45/46, 56, 75/76 Gerade, merkwürdige a m Dreieck 46; — ljnlge Asymptoten 78; — en schar 71; — stück als Summe oder Differenz zweier Bögen 22 Geschichtetes Medium 6 Geschicklichkeit von Spielern 28 Geschlossene Ausdrücke f ü r die Summe divergenter Bethen 60 Gesetz der großen Zahlen (Jk. BernouUi) 27 Gesimsflächen 61 Gestaltliche Einteilung Ton K u r v e n 33, 78 Gewinnaussichten 28 Gewißheit 27 Gewöhnliche Differentialgleichungen 9, 13, 17, 21/23, 56, 59/61, 65/67. 69, 71, 75 Gleichung, Eulersche (Variationsrechnung) 57; — Fermatsche x' - py> = q 64. 69. 66,88; - 2. Grades 36/ 37.51; - 3. Grades 29, 36, 50/51; - 4. Grades 50/51; - 5. Grades 50. 80/81, 88; - höheren Grades 36, 50/51, 62 Gleichungen, aigorithmisch auflösbare 50, 62; - von Flächen 33, 56; — trinomlsche 51, 67; — unbestimmte 31. 36. 48. 59. 61. 66; — Kreisteilungs- 50 Gleichungslehre 28/29, 36. 49/51,62. 64, 80/81 Gleichungslösungen, komplexe 29, 49; — F u n k t ionen der 51,80;

— Näherungsmethoden 29, 52, 66, 80; Potenzsummen der 51, 80; Radikalform der 28. 50, 62, 64. 66, 80/81; Schranken f ü r 81; — Trennung der 29 Gleichungsfamilien 62; — systeme, lineare 36, 49; — transformation 50/51 Gleichwertigkeit der Koordinaten 33; — der Operationen 81 Glücksspiele 28 Goldbachsche Vermutung 54, 81 Graphische Methoden28, 51 Grenzwert (Begriff des) 4 Grenzübergänge 16, 18, 20. 38. 58. 66. 68 Größtkreise 47 Große Zahlen, Gesetz der 27 Gruppentheorie 50,64,66 Halbschatten 70 Halbsymmetrische Funktionen 50 Harmonischeßelhe 54/55 Heuristische Methoden 48, 69 Himmelsmechanik 23, 32, 74 Höchstzahl v o n Doppelpunkten 77 Höhere Analysis 9 ; — Geometrie, elementar behandelt 53 Homogene Differentialgleichungen 23; Funktionen 56 Hydrostatischer Vergleich 7 Hyperbelfunktionen 47. 64; Rektifikation 22, 75; - Scharen 17 Hyperbolische Geometrie 32, 64 Identität, Eulersche 58 Imaginäre Argumente 12; - Größen 8, 64;

103

Sachverzeichnis Imaginäre Kugel 64; Logarithmen 30; - Zahlen 49 Independente Formeln für die Potenzsummen von Gleichungslöeungen 51, 80 Index, gebrochener beim symbolischen Calculus 53/54, 67 Indizes, mehrfache 10 Indirekte Archimedische Infinitesimalmethode 5 Infinitesimal anal ysis 13; - e Betrachtungen (heuristische) 69; — Mathematik 19,22,40, 79/81; - Methoden 5, 9, 15, 23, 40/41, 58, 71, 73, 78; - Probleme 10, 22, 64; - Prozesse 15, 35/36, 41, 62. 65/68, 81; Rechnung 38, 79; Calculus Einwände gegen die Tnf1nÜJSiimft1mf>fhr>Hpn 4/5, 10/11. 40/41 Instrumentale Gleichungslösung 52; — Kurvenerzeugung 33, 77 Integrale, algebraische 31; - bestimmte 60; - elliptische 22;59/60, 64,66,75/77; - Logarithmus 59; — Rechnung (Euler) 59, (Legendre) 77; — Transformation,algebraische 8; - vielfache 67; von Differentialgleichungen 65 Integration mit gebrochenem Index 67; — irrationaler Funktionen 59; — partielle 57; — rationaler Funktionen 11, 19, 59; - reelle 19; — als Umkehrung der Differentiation 59, 62 Integrationsprobleme 10. 12, 49; - Theorie 19; - Technik 59, 77

Integrierender Faktor 59, 66 Interpolation 20, 37, 88, 53, 59/60, 64. 68; — sformel von Gregory/Newton 20, 37; von Lagrange 68, 81 IntroductioCExdeT) 30, 47. 49, 58/59 Invarianz der Ordnung algebraischer Kurven gegen projektive Transformationen 79 Irrationale Funktionen 59, 63; — Näherungen 29/30. 36; - Zahlen 55, 63, 76 Isogonaltrajektorien 17 Isoperimetrisches Problem 4, 7/9, 55 Iterationen zur Gleichungslösun$ 29, 36, 51; - für den Ellipsenumfang 76 Kanalflächen 61 Kartographie 61 Kaskadenmethode zur Gleichungslösung 29 ; — für partielle Differentialgleichungen 74 Kegelschnitte 32/33, 46. 55. 78, 83; - bogenzweiecke, quadrierbare 46; — satz Pascals 78 Kettenbrüche 29/30, 37, 51, 55, 58, 61, 63, 66, 76 Klasse algebraischer Kurven 79 Klassifizierung der Kurven 3. Ordnung 33; — der Kurven 4. Ordnung 78 Kleiner Fermatscher Satz 54 Kleinkreis 76 Kleinster Widerstand eines bewegten Drehkörpers 9 Kleinste Quadrate, Methode der -n 77; — Wirkung, Prinzip der 57, 65, 83

Koeffizienten, gebrochene 8; — unbestimmte 10

Königsberger Brückenaufgabe 47 Körper, beleuchtete 70; — regelmäßige 47 — starre 60 Kombinatorische Analysis 10, 67, 81 Kommission für Maße und Gewichte 68, 75 Komplexe Argumente 49; — Funktionen 49, 58; — Gleichungslösungen 29, 49; — Zahlen, geometrisch dargestellt 49/50 Konfokale Flächen 74 Konjugiert komplexe Funktionen 58 Konstante, Eulersche bei Summierung der harmonischen Reihe 54/ 55; — es Krümmungsmaß 64 Konstruktionen mit dem Lineal u. einem festen Kreis 47, 63; - mit dem Lineal u. Streckenübertrager 31; — mit demZirkel allein 31,47; — mit Zirkel u.Lineal 8, •50; — f ü r das regelmäßige Siebzehneck 50; — bei ungünstiger Lage 63; — spraxis.26 Konvergenz 58, 64, 81; — Verstärkung 12, 54, 58 Konvexe Flächen 6; — Kurven 16 Koordinaten, cartesische 72; — krummlinige 67; — Geometrie 31, 33, 67; - Gleichwertigkeit der ~ 33 Kosmologie 63 Kräftefunktion 56 Kraftmaß 4 Kreisbogen 6, 16; zweiecke, quadrierbare 31/32, 46; Berechnung 20, 30; Quadratur 42;

104 Kreisreihe, Leibnizsche 12.54,61;- Scheibe im Quadratgitter 80; — Teilungsgleichungen 50; Im — liegende Vielecke mit Nebenbedingungen 46/47; Konstruktionen mit festem — u. Lineal 47, 63; Sich berührende — mit Nebenbedingungen 38; Magische — e 38 Kriegsschriftsteller 34 Krümmungslinien 70,72; — Maß, konstantes64; — Radius 22, 60; — Verhältnisse 79 Krummlinige Asymptoten 78; — Koordinaten 67 Kürzeste Fallzeit 5; — Linien 6 Kugelfunktionen 74; — Geometrie 61, 64, 67, 76; - Oberfläche, auf die Ebene abgebildet 61, 67 Kurven 3. Ordnung 20, 33; — 4. Ordnung 66, 78; — n ter Ordnung 77/79; - affine 6; — algebraische 16,20, 33. 89, 55, 68, 61, 77/79; — asymptotengleiche 17; — ballistische 19; — konvexe 16; — lösende 6; rektifizierbare 61; — spezielle 17.33, 89,79; — transzendente 17, 33. 89. 58. 83 Kurvendiskussion 58,78; — Erzeugung, organische 77/78; - Paare 16, 22; - Punkte, mehrfache 11; — singulare 78/79; — Scharen 6,18,56; — Zweige 78 Längenma'3, absolutes 64 Lage, ungünstige bei Konstruktionen 63 Lagebeziehungen 32 Lebensversicherungen 28

Sachverzeichnis Legendresche Berührungstransformation 75 Lehrsätze, elementargeometrische 46 Lehrsatz von Cotes 19 Leibrenten 28 Leibniz-Reihe 12, 64, 61 Lenmiskatenteilung 22 Leuchtender Körper 70 Lichtweg 6 Lineal u. fester Kreis 47, 63; - u. Zirkel 8, 50; — u. StreckenÜbertrager 31 Linearfaktoren 11. 19, 49; — e gewöhnliche Differentialgleichungen 65/66; — e partielle Differentialgleichungen 70/71; — e Gleichungssysteme 36, 49 Linienintegrale 62; — Koordinaten, metrische 70. 72; — kürzeste 6 Lösungen, problemfremde 29 Logarlthmieren als TJmkehrung des Potenzierens 59 Logarithmen 26/27; — dekadische 26; — mit imaginärem Argument 12; — natürliche 26; — negativerZahlen 30: - Tafeln 26/27 Logarithmische Funktion 11, 19; - Kurve 17; - Reihe 12, 68; — — als Grenzwert 18, 58 Logik, algebraische 63 Logistik 32 Magische Kreise 38; - Quadrate 31, 38 Mathematikgeschichte 34. 88. 89, 42. 44, 53. 63. 76/77, 79 Mathematische Erwartung 73; - er Unterricht 24/27, >3/45, 48, 53, 82; — ¿es Wissen 37, 50

Maximum 7 Mechanik 6. 19, 23, 39/ 41, 53, 68/69 Mechanistische Vorstellungen 57. 77 Medium, geschichtetes 6 Mehrere Veränderliche, Funktionen von - -n 65 Mehrfache Kurvenpunkte 11 Merkwürdige Punkte u. Gerade am Dreieck 46 Methode, achsengeometrische 78; — analytische 55.62.68/69,71; — deduktiv-rationale 43; — formale 35; — geometrische 69,73,83; — neue 35; — strenge 37; — synthetische 55, 62. 80

Metrische Linienkoordinaten 70 Minimalflächen 65, 71 Mittel, arithmetischgeometrisches 68; — widerstehendes 9, 19 Möndchen, quadrierbare zwischen Kreisbögen 31/32, 46; - - zwischen Kegelschnittbögen 46 Monadenlehre 57 Mondtheorie 66 Moralische Erwartung 27. 73 Multiplikationsformeln elliptischer Integrale 76; - Regeln 49 Nachbarpunkte 6 Nadelproblem BuffonsSO Näherungen, rationale zur Gleichungslösung 29,36/37, 51/53. 66/67, 80; für Differentialgleichungen 66; — für Funktionen 21; — — für sphärische Dreiecke 75; — — für trigonometrische Aufgaben 47 Näherungen, irrationale 29/30. 36

Sachverzeichnis Naevus 32 Natürliche Gleichungen von Kurven 22; — Logarithmen 26 Negative Zahlen 30 Newtonscher Brief an Leibniz 14; — e Formeln für die Potenzsummen von Gleichungslösungen 51, 80 Nichtauflösb&rkeit der Gleichung 5. Grades in Radlkalform 50, 80/81 Nichteuklidische Geometrie 32 Niveauflächen 56 Normalform der Gleichung 5. Grades 50 Normalkrümmung 71 Normalschnitte einer Fläche 60 Notwendigkeit 27 Null. Differential als 59, 62 Numeri idonei 61 Numerische Kreisquadratur 30, 36/37, 54/ 55, 61; - Methoden 25, 36, 51, 54, 66; Quadratur 20 Örter, geometrische 6, 25. 78 Operationssymbole 35, 48, 62 Operative Infinitesimalmathematik 35/37, 45, 62 Opuscula (Euler) 57, 61, 81

Ordnung algebraischer Kurven, projektivinvariant 79 Organische Kurvenerzeugung 77/78 Orthogonale Flächenscharen 62 Orthogonal trajektorien 6. 17/18, 52 Ovale 79 n 20, 36/37. 54. 55. 63. 76 Parabel 8. 61 Paradoxon vonCramer79

Parallelenlehre 32, 39, 64, 75 Parallelogramm, analytisches 78 Parallelverschiebung 18; — berührende 16 Parameter 6, 60 Partialbrüche 11, 19, 49 Partielle Differentialgleichungen 60/61, 65, 67/72, 74/75: - Differentiation 56; — Integration 57 Pendelbewegung 19 Pentagramma mirificum 64 Perioden, versteckte 67 Perspektive 31, 33/34, 63 Perspektograph 63 Petersburger Aufgabe 73 Phüosophiae naturalis Vrincipia matkematica (Newton) 9, 13, 18/20. 32,38 Physik 15, 67, 71 Physikalische Illustration geometrischer Sätze 25 Planetarium 29 Polare 72 Polyedersatz Eulers 47 Polynome, Legendresche 75 Polynomischer Lehrsatz 81 Potentialtheorie 56 Potenzen aufeinanderfolg. Zahlen 37 Potenzieren und Logarithmieren 58 Potenzlinie. - Punkt 72 Potenzreihen 5. 12. 36/ 37. 53. 58/60, 65, 68,83 Potenzsummen von Gleichungslösungen (Newtonsche) 51, 80; zur Darstellung von Zahlen 81 Praktische Mathematik 26. 62/65 Primzahlen 54. 59, 76; — formel Legendres 76 Prinzip der kleinsten Wirkung 57, 65; d'Alembertsches 68

105 Prioritätatreit (Leibniz/ Newton) 4. 9/10. 12/ 15. 23, 88 Probleme, infinitesimale 10, 22, 64; - fremde Lösungen 29 Produkte vieler Brüche 74; — unendliche 55, 58 Projektivität 79, 83 Projektion, stereographische 64 Projizierende Zylinder 59 Prozesse, infinitesimale 15. 65/68, 81 Pseudosphärischer Defekt 64 Punkte, merkwürdige am Dreieck 46 Quadratfaktoren 11, 19, 49; Gitter 80; — e, kleinste 77; — e, magische 31, 38; — Beste 61, 75; - Summen 59; — Wurzeln, angenähert 29/30; — Zahlen, reziproke 51, 54, 61, 83; Quadratische Gleichung 36/37. 51 Qvadratura cuTvarum (Newton) 13, 20 Quadraturen 5, 8, 20, 31/32, 88, 42, 46, 79 Radikale, angenähert 29/ 30 Badikalform von Gleichungdösungen 28, 50, 62, 80/81 Bandwertproblem (Fläche einer Familie durch eine gegebene Kurve) 70 Bationale Flächenstücke 8; — Funktionen 11. 19, 59; — Näherungen 29. 36/37. 51/53. 66/67, 80; - Zahlen 29 Bäumliche Differentialgeometrie 6, 33. 54/56. 59/62. 64/65. 67. 69/72, 75, 78/78 Baumgeometrie 38,58/59, 67. 69/70

106 Raumkoordinaten 33,54; - Kurven 55, 59. 62. 70.88; - Polaren 72 Bechenmaschinen 45 Rechnen, Rechenbücher 24/27. 35/36. 38. 45, 53 Rechnerische Erwartung 27/28 Rechtwinkliges sphärisches Dreieck 64 Reelle Zahlen 49; - als Lösungen im casus irreducibilis 29 Regelmäßige Körper 47; - es Siebzehneck 50; - Vielecke 36, 46 Reihe v. Bernoulli 20/21; - v. Fourier 61/62.67; - y. Leibniz 12, 54, 61; - v.. Stirling 21; - v. Taylor 20, 68 Reihendissertationen Zahlenreihen Rektifikationen 5/6, 8, 16/17, 22, 61, 75 Rekurrente Reihen 51, 53, 58. 67, 74 Rekursionsformeln 21.59 Resolventen 50 Restglied der TaylorReihe 68 Reziproke Orthogonaltrajektorien 17/18, 52; - Polaren 72; — Quadratzahlen 51, 54. 61, 83; Reziprozitätssatz für Quadratreste 61.75 Riccatische Differentialgleichungen 22/23 Rosenkurven 33 Sätze. zahlentheoretische von Fermat 54

Sachverzeichnis Saitenschwingungen 21, 60. 65 Satz v. Ceva 31; - v. Clairaut 6, 55/56; v. Wilson 81 Schatten 70 Scheitel 16; - gleiche Hyperbeln 17 Schlußweisen, ältere 35; — algebraische 76; — direkte 25; — logische 82; - unzulässige 60 Schmiegungsebene 70; — Paraboloid 71 Schnabelspitze 79 Schnittpunkte algebraischer Kurven 78 Schraubenlinien 33 Schwerefeld 5 Schwerpunkt 55 Sehnenviereck 46. 76 Semikonvergent 54 Siebzehneck. regelmäßiges 50 Simultane Differentialgleichungen 66. 71 Singulare Lösungen von Differentialgleichungen 21. 56, 59. 67. 69. 71; - Punkte 78/79 Soroban 35 Sphärische Dreiecke 64. 75; — Trigonometrie 47, 64, 75 Spielchancen, — Theorie 27 Spitze 78 Stammbruchreihen 29 Standpunkt, analytischer 33 Starke Extreme 75 Starre Körper 60; — Kurven 16; — Winkel 77 Stationäre Bevölkerung 28

Sterbefälle 28 Stereographische Projektion 64 Stetigkeitsbetrachtung 4 Stoßgesetze 19 Streckeniibertrager 31; — Verhältnisse 58 Streifen, charakteristische 70

Streit der Brüder Bernoulli 4. 6/8, 11 Strenge Methoden 60. 64/65 Summendefinition des Integrals 59, 62; Formel, Euler-Maclaurinsche 54; — von Differenzengleichungen 74, 77; — der „geometrischen** Reihe 1: (1 - 1) 30; - von reziproken figurierten Zahlen 21; der reziproken Quadnatzahlen 51. 54, 61. 88; — von Zahlenpotenzen 37 Symbolik der kombinatorischen Schule 81; — Legendres für das Reziprozitätsgesetz der Quadratreste 75; — ischer Infinitesimalkalkül 53/54. 67 Symbolsprache 48; — Verständnis 4 Symmetrische Funktionen 51, 80 Synthetische Methode 55, 62, 80 Tafelwerke 26/27, 48. 64 Taktiönsprobleme 38 Tangentenbestimmung 11, 79; - Kegel 70; — Methode 4/5, 11; — parallele an algebraischen Kurven 79 Tangentialebene 70 Teiler von ax2 + bxy + + cy* 67 Teilungsformeln d. elliptischen Integrale 76 Tetraederinhalt in Koordinaten 72 Totale Differentialgleichungen 59. 66 Transformationen, geometrische 72; — von Integralen 67, 75/76; — konvergenzverstärkende von Reihen 12, 53/54, 58/59 Transversale Saitenschwingung 65

107

Sachverzeichnis Transzendente, elliptische 76; - Funktionen 69; — Gleichungen 67; - Größen 11, 19: - Kuryen 17, 33, 68, 88; — Lösungen von Differentialgleichungen 17 Trennung von Gleichungslösungen 29; von Reellem und Imaginärem 8: — von Veränderlichen 22/23. 59 Trigonometrie, ebene 26, 36, 47/48, 51, 88; sphärische 47, 64, 75,

88

Trigonometrische Funktionen 8. 37. 58, 64; — Interpolation 60; Näherungsformeln 47 Trinomische Gleichungen 51. 67 Überlegungen, anschauliche 82 Umfangsgieiche Ellipsen 76/76 Umkehren von Funktionen u. Bethen 20, 59, 67, 81 Unbestimmte Analytik 81. 36, 48. 61; - Ausdrücke 11, 69; - Koeffizienten 10; — Tangentenrichtung 12 Unendliches 68; — ferne Kuryensingularitäten 78; Kleines als Fiktion 63; - e Prod u t t e 55, 58; — e Reihen im Zusammenhang mit dem polynomischen Lehrsatz 81

Ungünstige Lage bei Konstruktionen 63 Unmöglichkeitssätze, zahlentheoretische 54, 59 Unstetige Funktionen 70 Unterhaltungsmathematik 27, 37/38 Unterricht, mathematischer 24/27, 43/46, 48, 53, 65. 75/76, 88 Unvollständige Induktion 53 Variation der Konstanten 66 Variationsprobleme 5/9, 89. 54, 56/57. 59. 61. 65/66, 70, 75, 88 Vergleich, hydrostatischer 7 Vermutung, Goldbachsehe 54.81 Versicherungen 28 Vielecke, regelmäßige 36, 46; - Teilung 46/47 Vielfache Integrale 67 Vielscheitelkurven 16 Viereck 38, 46, 64 Vierersystem 25 Vierflach 67 Vorzeichen 48 Wahrscheinlichkeitsprobleme 27/28, 39, 64. 67. 73/74, 80. 83 Wechselwegnahme 31 Wellentheorie des Lichtes 17 Wendepunkt 78 Wiederherstellung antiker Schriftsteller 80 Widerstand, kleinster 9 Widerstehendes Mittel 9, 19

Willkürliche Funktionen 70 Winkel, starre 77; — Teilung 8, 12; treue Abbildung 61 Wirbeltheorie 19 Wörterbücher 26 Würfel durchstecken 31; — spiel 27 Wurf 19 Wurzeldifferenzen 51,80; — Schranken 80 Zahlbegriff, Erweiterung des 48 Zahlen. Bernoullische 21. 27. 59; — darstellung aus Potenzsummen81; —, Gesetz der großen (Jk. Bernoulli) 27; — irrationale 55, 63, 76; — imaginäre 8, 12, 64; — komplexe 49/50; — negative 30; — reelle 29, 49; Reihen 21. 30, 37. 51, 54/55. 58. 61; Theorie 30/31. 37, 54/ 55, 59. 76. 81. 88 Zeichenregel von Descartes 49; — Sprache 10

Zentralkräfte 13,19 Ziffernpaare, — tripel 10 Zirkelkonstrüktionen 31, 47 Zufall 27 Zugbrückenproblem 5 Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit 28 Zweite Variation 75 Zykloide 8, 22 Zyklometrische Funktionen 11, 58 Zylinderfunktionen 60; — projizierende 59

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Band 8/9 O. PERRON, Algebra. 2 Bande. 3., verbesserte Auflage. Band I : Die Grundlagen. VIII, 237 Seiten mit 4 Figuren. 1951. Halbleinen DM 16,— Band I I : Theorie der algebraischen Gleichungen. VIII, 261 Seiten mit 5 Figuren. 1951. Halbleinen DM 14,— Band 12 F. A. WILLERS, Methoden der praktischen Analysis. 3., verbesserte und erweiterte Auflage. 429 Seiten mit 93 Fig. 1957. In Vorbereitung Band 14 J. HORN, Partielle Differentialgleichungen. 4. Auflage. VIII, 228 Seiten mit 8 Figuren. 1949. Halbleinen DM 14,— Band24/26 HAUPT-AUMANN, Differential- und Integralrechnung unter besonderer Berücksichtigung neuer Ergebnisse. 2., völlig neubearbeitete Auflage unter Mitwirkung von C. PAUC. B a n d i : Einführung irTdlo reelle Analysis. VII, 218 Seiten mit 2 Figuren. 1948. DM 18,— Band I I : Differentialrechnung. 210 Seiten. 1950. Halbleinen DM 16,50 Band I I I : Integralrechnung. X I I , 320 Seiten. 1955. Halbleinen DM 28,—

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Mathematik von der Schale zur Hochschule Groß-Oktav. Mit 85 Abbildungen. X I I , 210 Seiten. 1954. Ganzleinen DM 16.— G. Schefjers

Lehrbuch der Mathematik zum Selbstunterricht und für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik Eine E i n f ü h r u n g in die Differential- und Integralrechnung u n d in die analytische Geometrie 13. Auflage. Oktav. Mit 438 Figuren. V I I I , 743 Seiten. 1957. Ganzleinen DM 30,— E.

Asmus

Einführung in die höhere Mathematik und ihre Anwendungen E i n Hilfsbuch f ü r Chemiker, Physiker und andere Naturwissenschaftler 2., verbesserte Auflage. Oktav. Mit 178 Abbildungen. XV, 404 Seiten. 1952. Ganzleinen DM 22,— Küster — Thiel — Fischbeck

Logarithmische Bechentafeln f ü r Chemiker, Pharmazeuten, Mediziner u n d Physiker Begründet v o n i ' . W. Küster, fortgeführt von jt. Thiel neubearbeitet von K. Fischbeck 61.— 64., verbesserte u n d vermehrte Auflage. Oktav. Mit 1 Mantissentafel. 330 Seiten. 1951. Halbleinen flex. DM 14,80

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Crelle's Rechentafeln welche alles Multiplizieren und Dividieren mit Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei größeren Zahlen aber die Rechnung erleichtern und sicherer machen. Neue Ausgabe, besorgt von 0 . S e e l i g e r . Mit Taieln der Quadrat- und Kubikzahlen 1 bis 1000. Folio. V I I , 999 Spalten. Neudruck 1954. Ganzleinen DM 3 6 , (Walter de Oruyter & Co.) W. Schmidt

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Tafeln zum Ablesen fertiger Resultate aus Rechnungsarten mit ganzen Zahlen und Brüchen. Quart. X I X , 200 Seiten. 1955. F.

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Rechen-Resultate Tabellen zum Ablesen der Resultate von Multiplikationen und Divisionen bis 100 x 1000 = 1 0 0 0 0 0 in Bruchteilen und ganzen Zahlen. Zum praktischen Gebrauch für Stückzahl-, Lohn- und Prozentberechnungen, Rechenhilfsmittel für alle Arten des Rechnens mit Zahlen jeder Größe. Radizieren (Wurzelsuchen) nach vereinfachtem Verfahren. 8. Auflage. 30. Tausend. Groß-Oktav. IV, 285 Seiten. 1956. Kunstleder DM 26,—

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Einführung in die technische Mathematik 2., durchgesehene Auflage. Oktav. 60 Seiten. 1950. DM 3,80 K. D Ö E G E - H. K L E I N

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Journal für die reine und angewandte Mathematik Gegründet von A. L. CRELLE 1826. Fortgeführt vonC. W. Borchardt, K.Weierstrass, L. Kronecker, L. Fuchs, K. Hensel, L. Schlesinger. Gegenwärtig herausgegeben von HELMUT HASSE und HANS ROHRBACH, unter Mitwirkung von W. Brodel, M. Deuring, 0. Haupt, G. Köthe, W. Schmeidler. Quart. Jährlich erscheinen etwa 2—3 Bände. Jeder Band umfaßt 4 Hefte von 64 Seiten. Bisher sind 197 Bände erschienen/Preis ab Band 187 je DM 48, —

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Stand Februar 1957 B i o l o g i e 8 — B o t a n i k 8 — Chemie 7 — Deutsche Sprache und L i t e r a t u r 4 Elektrotechnik 9 — sich 4 —

Englisch 4 —

Geologie 9 —

Hebräisch 5 —

E r d - und L ä n d e r k u n d e 5 —

Oermanisch 4 — Geschichte 3 —

H o c h - und T i e f b a u 11 —

Franzö-

Griechisch 5

Indogermanisch 4 —

Italie-

nisch 4 — K r i s t a l l o g r a p h i e 9 — K u n s t 3 — L a n d - und F o r s t w i r t s c h a f t 9 Lateinisch 5 — Musik 3 —

Maschinenbau

Pädagogik 2 —

10 —

Mathematik 6 —

Philosophie 2 —

Publizistik 6 —

Religionswissenschaften 3 —

Soziologie 2 —

Technologie 8 —

Mineralogie 9

Physik 7 — Psychologie 2 Russisch 5 —

Volkswirtschaft 5 —

Sanskrit 5

W a s s e r b a u 11

Z o o l o g i e 8. D i e Zahlen entsprechen den Seiten im Innern des H e f t e s .

W A L T E R DE G R U Y T E R & C O . B E R L I N W 35

Geisteswissenschaften Philosophie

Einführung In die Philosophie von H. Leisegang f . 3. Aufl. 145 S. 1957 (Bd. 281) Erkenntnistheorie von G. Kropp. I . Teil: Allgemeine Grundlegung. 143 S. 1950 (Bd. 807) Hauptprobleme der Philosophie von G. Simmelt. 7., unveränd. Aufl. 177 S. 1950 (Bd. 500) Gcichichte der Philosophie I: Die griechische Philosophie -von IV. Capelle. 1. Teil. Von Thaies bis Leuklppos. 2., erw. Aufl. 135 S. 1953 (Bd. 857) I I : Die g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 2. Teil. Von der Sophistik bis zum Tode Piatons. 2., stark erw. Aufl. 144 S. 1953 (Bd. 858) I I I : Die g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 3. Teil. Vom Tode Piatons bis zur alten Stoa. 2., stark erw. Aufl. 132 S. 1954 (Bd. 859) IV: Die griechische Philosop h i e von W. Capelle. 4. Teil. Von der Alten Stoa bis zum Eklektizismus im 1. J h . v. Chr. 2., stark erw. Aufl. 132 S. 1954 (Bd. 863) V : D i e P h i l o s o p h i e des M i t t e l a l t e r s von J. Koch. In Vorb. (Bd. 826) V I : Von der R e n a i s s a n c e bis K a n t von K. Schilling. 234 S. 1954 (Bd. 3941394 a) V I I : I m m a n u e l K a n t von G. Lehmann. In Vorb. (Bd. 536) V I I I : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s von G. Lehmann. 1. Teil. 151 S. 1953 (Bd. 571) I X : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s von G. Lehmann. 2. Teil. 168 S. 1953 (Bd. 709) X : D i e P h i l o s o p h i e im e r s t e n D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s I von G. Lehmann. In Vorb. (Bd. 845) Die geistige Situation der Zeit (1931) von K. Jaspers. 4., unveränd. Abdruck der 1932 bearb. 5. Aufl. 211 S. 1955 (Bd. 1000) Philosophisches Wörterbuch von M .

2

Apelf. 5. Aufl., neub. von P.Ludz 1957. In Vorb. (Bd. 103111031a) Philosophische Anthropologie. Menschliche Selbstdeutung in Geschichte und Gegenwart von M. Landmann. 266 S. 1955 (Bd. 1561156a)

Pädagogik, Psychologie Soziologie Geschichte der Pädagogik von Herrn. Weimer. 12., neub. u. verm. Aufl. von Heinz Weimer. 177 S. 1956 (Bd. 145) Therapeutische Psychologie. Ihr Weg durch die Psychoanalyse von W. M. Kranefeldt. Mit einer Einführung von C. G. Jung. 3., unveränd. Aufl. 152 S. 1956 (Bd. 1034) Allgemeine Psychologie von Th. Erismann. 1956. In Vorb. (Bd. 831) Soziologie. Geschichte und Hauptprobleme von L. von Wiese. 5. Aufl. 162 S. 1954 (Bd. 101) Sozialpsychologie von P. R. Hofstätter. 1 8 1 S . , 1 5 A b b . , 2 2 T a b . 1956 (Bd. 1041104a) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von IV. Moede. 1956 In Vorb. (Bd. 851) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 120 S. 1956 (Bd. 103)

Religionswissenschaften

Jesus von M. Dibeliusf. 2. Aufl. Unveränd. Nachdr. 137 S. 1949 (Bd. 1130) Paulus von M. Dibeliusf. Nach dem Tode des Verfassers herausgegeben und zu Ende geführt von W. G. Kümmel. 2. Aufl. 155 S. 1956 (Bd. 1160) Römische Rellglonsgeschlchte von F. Altheim. 2 Bde. 2., umgearb. Aufl. I : Grundlagen und Grundbegriffe. 116 S. 1956 (Bd. 1035/ II: Der geschichtliche Ablauf. 164 S. 1956 (Bd. 105?.) Geschichte Israels von E.-L. Ehrlich. 1957. In Vorb. (Bd. 231)

Musik Musikästhetik von H. J. Moser. 180 S. 1953 (Bd. 344) Systematische Modulation von R. Hernried. 2. Aufl. 136 S. 1950 (Bd. 1094) Der polyphone Satz von E. Pepping. 2 Bde. 1. Teil: Der cantus-flrmus-Satz. 2 . Aufl. 223 S. 1950 (Bd. 1148) 2. Teil: 1957. In Vorb. (Bd. 1164! 1164a) Allgemeine Musiklehre von H. J. Moser. 2., durchges. Aufl. 155 S. 1955 (Bd. 2201220a) Harmonielehre von H. J. Moser. 2 Bde. I : 109 S. 1954 (Bd. 809) Die Musik des 19. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 180 S. 1953 (Bd. 170) Die Musik des 20. Jahrhunderts 1. von IV. Oehlmann. In Vorb. (Bd. 171) Technik der deutschen Gesangskunst von H. J. Moser. 3., durchges. und verb. Aufl. 144 S., 5 Fig. 1954 (Bd. 5761576a) Die Kunst des Dirigierens von H. W. von Waltershausenf. 2. Aufl. 138 S. 1954 (Bd. 1147) Die Technik des Klavierspiels aus dem Geiste des musikalischen Kunstwerkes von K. Schübertf. 3. Aufl. 110 S. 1954 (Bd. 1045)

Kunst Stilkunde von H. Weigert. 2 Bde. 2. Aufl. I : Vorzeit, Antike, Mittelalter. 136 S., 94 Abb. 1953 (Bd. 80) I I : Spätmittelalter und Neuzeit. 146 S., 84 Abb. 1953 (Bd. 781) Archäologie von A. Rumpf. 2 Bde. I : Einleitung, historischer Überblick. 143 S., 6 Abb., 12 Taf. 1953 (Bd. 538) I I : Die Archäologensprache. Die antiken Reproduktionen. 136 S., 7 Abb., 12 Taf. 1956 (Bd. 539)

Geschichte Einführung In die Geschichtswissenschaft von P. Kirn. 2. Aufl. 121 S. 1952 (Bd. 270)

Zeltrechnung d. röm. Kaiserzelt, des Mittelalters und der Neuzelt für die Jahre 1—2000 n. Chr. von H. Lietzmannf. 3. Aufl., durchges von K. Aland. 130 S. 1956 (Bd. 1085) Kultur der Urzeit von F. Behn. 3 Bde. 4. Aufl. der „Kultur der Urzeit". Bd. I — I I I von M. Hoernes. I : Die vormetallischen Kulturen. (Die Steinzeiten Europas. Gleichartige Kulturen in anderen Erdteilen). 172 S., 48 Abb. 1950 (Bd. 564) 11: Die älteren Metallkulturen. (Der Beginn der Metallbenutzung. Kupfer- und Bronzezeit in Europa, im Orient und in Amerika). 160 S., 67 Abb. 1950 (Bd. 565) I I I : Die jüngeren Metallkulturen. (Das Eisen als Kulturmetall. Hallstatt-Latene-Kultur in Europa. Das erste Auftreten des Eisens in den anderen Erdteilen). 149 S., 60 Abb. 1950 (Bd. 566) Vorgeschichte Europas von F. Behn. Völlig neue Bearbeitung der 7. Aufl. der „Urgeschichte der Menschheit" von M. Hoernes. 125 S., 47 Abb. 1949 (Bd. 42) Der Eintritt der Germanen In die Geschichte von J. Haller. 3. Aufl., durchges. von H. Dannenbauer. 120 S., 6 Ktnskizz. 1957 (Bd. 1117) Von den Karolingern zu den Staufern von J. Haller f . Die altdeutsche Kaiserzeit (900—1250). 3. Aufl. 141 S., 4 Ktn. 1944 (Bd. 1065) Deutsche Geschichte im Zeitalter der Reformation, der Gegenreformation und des 30 jährigen Krieges von F. Härtung. 129 S. 1951 (Bd. 1105) Deutsche Geschichte von 1648 bis 1740 von W. Treue. 120 S. 1956 (Bd. 35) Deutsche Geschichte von 1713 bis 1806 von W. Treue. 168 S. 1957 (Bd. 39) Quellenkunde der deutschen Geschichte im Mittelalter (bis zur Mitte des 15. Jahrhunderts) von K . Jacob f . 3 Bde. I : Einleitung. Allgemeiner Teil. Die Zeit der Karolinger. 5. Aufl. 118 S. 1949 (Bd. 279) I I : Die Kaiserzeit (911—1250). 4. Aufl. 127 S. 1949 (Bd. 280) 3

I I I : Das S p ä t m l t t e l a l t e r (vom I n t e r r e g n u m bis 1500). Herausgeg. von F. Weden. 152 S. 1952 (Bd. 284) Geschichte Englands von H. Preller. I : bis 1815. 3., s t a r k u m g e a r b . Aufl. 135 S „ 7 S t a m m t a f . , 2 K t n . 1952