Geschichte der Mathematik: Teil 2 Von Fermat und Descartes bis zur Erfindung des Calculus und bis zum Ausbau der neuen Methoden [Reprint 2019 ed.] 9783111364940, 9783111007793

Citation preview

SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

875

Geschichte der Mathematik Von

Dr. Joseph Ehrenfried H o f m a n n Honorarprofessor an der Universität Tübingen

Zweiter Teil

Von Fermat und Descartes bis zur Erfindung des Calculus und bis zum Ausbau der neuen Methoden

W a l t e r

de

G r u y t e r

&

Co.

vormals G. J. Gfischen'sche Verlagshandlung • J. Gnttentag. Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp

BERLIN

1957

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: I : Von den Anfängen bis zum Auftreten von Fermat und Descartes (Band 226) I I : Von Fermat und Descartes bis zur Erfindung des Calculus und bis zum Ausbau der neuen Methoden (Band 875) I I I : Von den Auseinandersetzungen um den Calcutus bis zur Französischen Revolution (Band 882)

© Copyright 1957 by Walter de Gruyter & Co,, Berlin W 35. — Alle Rechte, einschl. der Beeilte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 1108 75. — Satz u. Druck: Mercedes-Druck, Berlin SW 61. — Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis VI. Abschnitt: Hochbarock (etwa 1625 bis 1665) 1. Descartes (1596-1650)

Seite 4—49 4

2. Erste Erfolge auf infinitesimalem Gebiet (1629 - 1 6 4 7 )

15

3. Ausweitung und Vertiefung des Gewonnenen (1648-1665)

30

VII. Abschnitt: Spätbarock (etwa 1665 bis 1730)

50—94

1. Erfindung der Potenzreihen (1665-1675)

50

2. Erfindung des Calculus (1673-1677)

62

3. Ausbau der neuen Methoden (1677 — 1695)

75

Namen- und Schriftenverzeichnis

95

Zeitschriftenyerzeichnis

104

Sachverzeichnis

105

VI. Abschnitt Hochbarock (etwa 1625 bis 1665) Neo minor est virtus, quam quaerere, parta tueri. Ovid, Ars amandi lib. II, 13.

1. D e s c a r t e s (1596-1650) Im Gegensatz zu den vorausgegangenen Entwicklungsperioden, die durch das Nebeneinander zahlreicher talentvoller Einzelpersönlichkeiten innerhalb eines gleichartigen Milieus gekennzeichnet sind, wird das mathematische H o c h b a r o c k bestimmt durch das Auftreten einiger genialer Führernaturen, die in wenigen Jahrzehnten innerhalb der Wissenschaft einen völligen Auffassungswandel herbeiführen. Jetzt geht es nicht mehr um die Verbesserung praktisch anwendbarer Verfahren, sondern um die Aufrichtung eines umfassenden wissenschaftlichen Denkgebäudes, das nach dem Vorbild der Mathematik konstruiert werden soll. Um dies zu ermöglichen, muß zunächst das Mosaik unvermittelt nebeneinander stehender Gedanken umgeformt und zu einem von einheitlichen Tendenzen bestimmten und in sich geschlossenen System gemacht werden. Schon für COPPERNICUS (1473—1543) handelt es sich um den Aufbau eines neuen astronomischen S y s t e m s , und zwar in Wiederbelebung und Umbildung antiker Vorstellungen. KEPLER (1571 — 1630) verläßt den Boden der Tradition und folgt an der entscheidenden Stelle der Intuition. Ausgangspunkt sind auf Grund metaphysischer Spekulationen wahrscheinlich gemachte Vermutungen, über deren Berechtigung in aller Strenge durch Vergleich mit Beobachtungstat-

1. Descartes (1596-1650)

5

sachen entschieden wird. Bei GALILEI ( 1 5 6 4 — 1 6 4 2 ) tritt der Kampf gegen die ÄRiSTOTELischen Grundtendenzen der zeitgenössischen Physik in den Vordergrund. Ähnliche Gesichtspunkte begegnen uns bei R . DESCARTES ( 1 5 9 6 — 1 6 5 0 ) , dem genialen Schöpfer des ersten neuzeitlichen Systems auf mathematischem Gebiet. DESCARTES stammt aus altem normannischem Adel; sein Vater JOACHIM DESCARTES ( | 1 6 4 0 ) war Rat am bretonischen Parlament in Rennes. Der schon nach der Geburt mutterlose zarte Knabe wird 1604/12 im neugegründeten Jesuiten-Kolleg La Fleche liebevoll betreut und erhält eine sorgfältige und umfassende wissenschaftliche Ausbildung, die im Mathematischen durch die Schulbücher von CLAVIUS (EuKLiD-Ausgabe von 1574, Praktische Geometrie 1604, Algebra 1608) bestimmt wird. Als zweiter Sohn aus wohlhabender und angesehener Familie soll er sich für ein höheres Staatsamt oder ein militärisches Kommando vorbereiten. Er wird 1613 bei Hofe präsentiert, zieht sich jedoch bald von dem ihm nicht zusagenden gesellschaftlichen Leben zurück. Seit 1614 studiert er in Poitiers ohne innere Neigung die Rechte und wird dort 1616 zum Baccalaureus und Licentiaten promoviert. Als Kriegsfreiwilliger stößt er 1617 zum protestantischen Heer des vielgerühmten MORITZ von Nassau, des ersten Feldherrn seiner Zeit. Im Lager vor Breda befreundet er sich mit dem Mathematiker und Naturphilosophen I. BEECKMAN ( 1 5 8 8 — 1 6 3 7 ) . Unter Herzog MAXIMILIAN I. von Bayern und BUCQUOY nimmt er 1 6 1 9 am Zug gegen den Winterkönig FRIEDRICH V. von der Pfalz teil, kommt in Ulm mit dem geschickten Rechenmeister FAULHABER in Berührung und findet im Winterlager vor Neuburg a. D. einen Hauptgedan-

6

VI. Abschnitt: Hochbarock (etwa 1625 bis 1665)

ken seiner Philosophie. Aus dieser Zeit stammt die erste selbständige mathematische Entdeckung', der sog. EULERsche Polyedersatz e + / = k + 2. Des Feldlagers überdrüssig, quittiert DESCARTES den Dienst kurz nach der Schlacht am Weißen Berg (8. XI. 1620) und der Einnahme Prags; er erweitert seine Welt- und Menschenkenntnis auf ausgedehnten Reisen durch Ungarn, Deutschland und Italien (1621/25). Wieder nach Paris zurückgekehrt, tritt er in

nähere

Beziehung

zu

MERSENNE

(1588—1648),

dessen wissenschaftliche Freunde mit sichtlichem Erfolg gegen die ARiSTOTELische Naturphilosophie Stellung nehmen. In diesem Kreis findet DESCARTES lebhaftes Interesse für seine neuartigen Anschauungen, zieht sich jedoch 1628 nach kurzem Aufenthalt im Lager vor dem Hugenotten-Stützpunkt La Rochelle, wo er den Kriegsingenieur DESARGUES kennenlernt, in plötzlichem Entschluß nach den Niederlanden zurück. Dort arbeitet er in tiefer Einsamkeit an der Ausgestaltung seines Systems und bleibt mit der Pariser Gelehrtenwelt nur über MERSENNE in Verbindung. Er reist 1631 für einige Zeit nach England, 1634 nach Dänemark, tritt (seit 1643) in philosophischen Briefwechsel mit der Prinzessin ELISABETH (einer Tochter des Winterkönigs) und kommt ihretwegen 1644, 1646 und 1648 nach Paris. Seit 1644 kennt er CHANUT, den französischen Gesandten in Stockholm, der 1647 diö Korrespondenz mit der Königin CHRISTINE von Schweden vermittelt. DESCARTES folgt 1649 einer Einladung der Königin, die in seine Philosophie eingeführt werden möchte und die Gründung einer Akademie der Wissenschaften beabsichtigt, stirbt jedoch vor Ausführung dieses Planes. Sein Nachlaß wird durch CHANUT nach Frankreich gebracht, er-

1. Descartes (1596-1650)

7

leidet jedoch bei einem Schiffbruch Schaden. Das Meiste der geretteten Papiere kommt (seit 1657) dank der Bemühungen CLERSELIERS an die Öffentlichkeit. U n t e r d e m E i n f l u ß v o n RAMÉE u n d MONTAIGNE

entwindet sich DESCARTES der traditionellen Naturphilqsophie, die seiner Ansicht nach unfruchtbar bleiben muß, weil sie sich in unorganische Aufzählungen, inhaltsleere Klassifizierungen und unzutreffende Deutungen verliert. Sein Ziel ist eine Forschungsmethode, die durch Aufstellung dem Gegenstand wirklich angemessener Schlußreihen vom Komplizierten zum Einfachen und von Vermutungen zu Klarheit und Gewißheit führt. Vorbild für DESCARTES ist eine streng systematisch aufgebaute Mathematik; er erhofft sich jedoch weder von der Suche nach den verborgenen Methoden der Alten noch von der Wiederherstellung ihrer nur andeutungsweise bekannten Schriften Wesentliches, sondern allein von schärferer Begriffsbestimmung und möglichst allgemeinen Bezeichnungsund Schlußweisen. Hauptziel ist die von VIÈTE begonnene, jedoch noch nicht voll durchgeführte Vereinigung der Geometrie mit der Algebra. Die anzuwendende Fachsprache soll einfach, klar und deutlich, die Bezeichnungsweise einheitlich, einprägsam und umfassend sein. Deshalb wird die bei VIÈTE und seinen Nachfolgern auftretende Mischung von ausgeschriebenen Worten, Abbreviaturen und Symbolen durch eine reine Symbolik ersetzt, die so sorgfältig durchdacht ist, daß sie sich bis zur Gegenwart fast unverändert halten konnte. Schon vor 1628 weist DESCARTES der Mathematik alles zu, was Ordnung und Maß hat. In der Géométrie von 1637 faßt er nach Einführung einer Einheitsstrecke jede Strecke als Zahl auf (Arithmetisierung der

8

VI. Abschnitt: Hochbarock (etwa 1625 bis 1665)

Geometrie), kann also unter Durchbrechung des bis dahin aus geometrischen Gründen für unantastbar angesehenen Homogenitätsprinzips die Summe, die Differenz, das Produkt und den Quotienten zweier Strecken stets wieder als Strecke ausdrücken und folglich auch jede aus einer endlichen Anzahl von Einzelschritten bestehende Kombination dieser vier Grundoperationen. Der Zahlbegriff, ursprünglich auf natürliche Zahlen beschränkt und nur in mühsamen Einzelschritten auf Brüche, negative Zahlen und einfache Irrationalitäten ausgedehnt, umfaßt nunmehr den vollen Bereich der algebraischen Zahlen. Demgemäß rechnet DESCARTES die auf rein algebraischem Wege beherrschbaren Probleme (die sog. geometrischen) zur P r ä z i s i o n s m a t h e m a t i k , alle andern (die sog. mechanischen) zur A p p r o x i m a t i o n s m a t h e m a t i k , die er nicht mehr zur reinen Mathematik zählt. DESCARTES weiß, daß alle geometrischen Aufgaben linearen und quadratischen Charakters mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, und faßt sie als e b e n e P r o b l e m e (Bezeichnung nach APOLLONIOS) zusammen. Aufgaben 3. und 4. Grades nennt er mit den COSSISTEN k ö r p e r l i c h ; er löst sie (1628/29) graphisch mittels einer einzigen gezeichneten Parabel, die er mit einem aus ebenen Konstruktionen bestimmbaren Kreis schneidet. Die Methode FERRARIS (S. I, S. 104) zur Auflösung der Gleichung 4. Grades x4 + px2 + Qx + r = 0 wird mittels 2 t — p = y2 umgeformt: nach Auflösung der Hilfsgleichung if + + 2 py* + (p2 — 4 r) y* — q2 = 0 ergibt sich x aus x2 T

xy +

y1 + p / 2 ± qßy

= 0.

DESCARTES

teilt

seiner Gewohnheit nach nur das Rechenrezept mit; die Zeitgenossen verifizieren es nach großer Mühe (DEBEAUNE, Druck 1649; SCHOOTEN, Druck 1659).

1. Descartes (1596-1650)

9

Gleichungen höheren Grades denkt sich DESCARTES graphisch mittels algebraischer Kurven gelöst, die er schrittweise aus linearen Bewegungsmechanismen erzeugt. Er sieht (unzweckmäßigerweise) Gleichungen (2 n — l)-ten und 2w-ten Grades als Problemtypen des nämlichen w-ten genre an — vielleicht in der Hoffnung auf die algorithmische Auflösbarkeit höherer Gleichungen ähnlich wie bei der Behandlung körperlicher Probleme — und gibt auch Sätze über allgemeine Gleichungen w-ten Grades. Schon 1628 unterscheidet er wahre ( = positive) und f a l s c h e ( = negative) Lösungen; 1637 spricht er von Gleichungen w-ten Grades mit n reellen Lösungen und zieht die Möglichkeit imaginärer Lösungen in Betracht, läßt jedoch nicht deutlich erkennen, wie er sich zur wichtigsten Entdeckung GIRARDS (1629: s. I, S. 133), dem Fundamentalsatz der Algebra, stellt. Er weiß, daß jede ganzzahlige Lösung einer mit xn beginnenden geordneten Gleichung, die nur ganzzahlige Koeffizienten besitzt, das absolute Glied teilt; ferner benutzt er die Teilbarkeit von f(x) — f(x0) durch x — x„. Auf heuristischem Wege dürfte die Z e i c h e n r e g e l gefunden worden sein: die Anzahl der positiven Gleichungslösungen ist höchstens gleich der Anzahl der Zeichenwechsel, die der negativen höchstens gleich der Anzahl der Zeichenfolgen (strenger Beweis von GAUSS, 1828). Diese algebraischen Bestandteile der Geometrie sind organisch mit weitreichenden geometrischen Ansätzen verknüpft. Zunächst stellt DESCARTES fest, daß jedes algebraische Problem durch die Konstruktion gewisser Strecken gelöst werden kann. Dann untersucht er unbestimmte Fragestellungen, indem er mehrere

10

VI. Abschnitt: Hochbarock (etwa 1625 bis 1665)

Unbekannte durch eine geringere Anzahl von Gleichungen verbindet. Als Erläuterungsbeispiel dient der locus ad quattuor lineas — ein von den Zeitgenossen als schwierig angesehenes Problem aus PAPPOS, auf das DESCARTES 1 6 3 1 v o n GOOL h i n g e w i e s e n w o r d e n w a r :

gesucht ist der Ort jener Punkte P, aus denen in jeweils vorgeschriebenen Richtungen gegen die vier Geraden a, b, c, d hin die Strecken AP, BP, CP, DP so g e z o g e n s i n d , d a ß AP

• BP

= CP

• DP

i s t . DESCAR-

TES wählt auf a einen festen Anfangspunkt 0 und setzt OA = x, die schräg angesetzte „Applikate" AP = y. Dann drückt er BP, CP, DP mittels einer Ähnlichkeitsbetrachtung als lineare Funktionen von x und y aus, beseitigt das absolute Glied der entstehenden Gleichung durch zweckmäßige Wahl von O und erhält y = p — mx + \! p2 + qx + nx2. Er konstruiert und diskutiert die entstehende Kurve, stellt die Art des Kegelschnittes aus den Koeffizienten fest und kennt auch das Geradenpaar bei aufgehender Wurzel. Anschließend werden kompliziertere „örter zu mehreren Geraden" und bewegungsgeometrisch erzeugte Kurven untersucht, wobei die Bezugsstücke in möglichst zweckmäßiger spezieller Lage eingeführt sind. Gelegentlich werden negative Applikaten benutzt, niemals negative Abszissen. DESCARTES löst das Normalenproblem an einer algebraischen Kurve unter Vermeidung infinitesimaler (also „approximativer") Betrachtungen wie folgt (Reinheit der algebraischen Methode): er stellt die Applikaten senkrecht zur Achse, wählt auf der Kurve den Punkt P0 (x0, y„), auf der Achse den Punkt M (t, 0) und schneidet den Kreis um M durch P0 mit der Kurve nochmals in P(x, y). Dann setzt er y = x — t + + j/(a;0 — i)2 -(- y02 in die Kurvengleichung ein und

1. Descartes (1596-1650)

11

erhält eine Gleichung f(x, t) = 0 mit x als der Unbekannten, t als Parameter, die den Linearfaktor x — z0 besitzt. Nun fordert DESCARTES, daß sich der Faktor x — x0 nochmals abspalten läßt. So findet er t und daraus die Normale M P 0 . Unter den Erläuterungsbeispielen befinden sich die Konchoiden (x — c)2 (x2 4- y2) = a2 x2 und die sog. DESCARTESschen Ovale; im Briefwechsel wird (seit 1637) die Tangente an das folium Cartesii x* + iß = axy gefordert. I n Überschätzung des Geleisteten glaubt DESCARTES, durch seine Methode alle grundsätzlichen Fragen der Präzisionsmathematik beherrschbar gemacht zu haben, und sieht seine Normalen- und die daraus fließende Tangentenmethode als die einfachstmögliche an. Unzweifelhaft ist er zusammen mit FERMAT der Erfinder der Achsengeometrie — ob er etwas von der eigentümlichen symbolischen Methode des NIKOLAUS Oresme (s. I, S. 80) wußte, steht dahin. Ungerechtfertigt ist es jedoch, DESCARTES als den Erfinder der h e u t i g e n analytischen Geometrie zu bezeichnen, deren Kerngedanken erst dem beginnenden 19. J h . angehören. Er ist der bedeutendste W e g b e r e i t e r dieser viel weitergehenden Methode. Seine Hauptleistung ist das grandiose algebraische Gebäude der Präzisionsmathematik. Es fehlt ihm jedoch der Blick für die tiefere Bedeutung transzendenter Fragen, obwohl er einige davon in Sonderfällen sehr wohl zu lösen wußte. Schon 1628 findet DESCARTES im Zusammenhang mit der Entdeckung des Brechungsgesetzes die nach ihm benannten Ovale mit der Gleichung kt r1 + k2 r2~ = c in bipolaren Koordinaten: sie lösen das Problem, die Trennfläche zwischen zwei homogenen optischen Medien so zu bestimmen, daß die von einer punkt-

12

VI. Abschnitt: Hochbarock (etwa 1625 bis 1665)

förmigen Lichtquelle im einen Medium ausgehenden Strahlen im zweiten Medium punktförmig wiedervereinigt werden. Bei Untersuchung des freien Falles (1629) kommt er (ähnlich wie GALILEI 1604), verführt durch figürliche Interpretation des Bewegungsvorganges, zu der unrichtigen Beziehung v = gs (statt v = gt). Hier werden auch die Indivisibeln erwähnt, jedoch generell abgelehnt. 1637 übernimmt DESCARTES das ARiSTOTELische Dogma von der Unvergleichbarkeit des Geradlinigen und Krummlinigen (s. I, S. 30) in der Fassung: keine algebraische Kurve kann algebraisch rektifiziert werden. Als Gegenbeispiel gibt er die algebraisch ausführbare Rektifikation einer transzendenten Kurve, nämlich der logarithmischen Spirale, die er als Isogonaltrajektorie der Strahlen durch einen Punkt erklärt (1638). Aus welcher Zeit die nachgelassene umfangsgleiche „Ausrundung" eines gegebenen Quadrates durch schrittweisen Übergang zum regelmäßigen 8-Eck, 16-Eck, ... stammt, ist unsicher; ungeklärt ist auch, in wie weit sie durch ähnliche

Versuche

des

NIKOLAUS VON CUES

(s. I ,

S. 97/98) angeregt sein könnte. DESCARTES kennt ferner die Normalenkonstruktion an der Zykloide aus dem Momentanpol und deutet an, wie man sich das Abrollen zweier Kurven aufeinander unter Benutzung gleichseitiger Sehnenzüge veranschaulichen kann (1638). Bei dieser Gelegenheit wird die Quadratur der Zykloide auf Grund der Schnittgleichheit gleichhoher Figuren erwähnt (CAVALIERIS Prinzip: s. I, S. 147). Kurz zuvor teilt DESCARTES beweislos einige „schon aus den Ergebnissen klargestellte" Quadraturen, Kubaturen und Schwerpunktbestimmungen an ebenen parabolischen Flächen und ihren Drehkörpern mit, ohne zu sagen, wie er zu seinen Ergeb-

1. Descartes ( 1 5 9 6 - 1 6 5 0 )

13

nissen gekommen ist. Er weiß die von D E B E A U N E vollzogene Quadratur der Kurven mit der Tangenteneigenschaft — = dx

(1638) richtig zu würdigen a

und findet die gemeinsame Asymptote y = x — a, versagt aber bei dem Versuch, die Kurven selbst zu finden (1639). Trotz der ungewohnten Allgemeinheit und absichtlich dunklen Ausdrucksweise erregt die Géométrie, das einzige mathematische Werk des großen Philosophen, sogleich Aufsehen und wird mit Interesse studiert. Seit 1638 laufen Abschriften einer Erläuterung unbekannten Verfassers bei den Freunden um, seit 1639 die Notae breves (Druck 1649) des Rechtsgelehrten F L . D E B E A U N E (1601 — 1652), worin die einfacheren Einzelheiten der Géométrie in schulgerechter Form erwiesen sind. In weitere Kreise dringt die Ü E S C A R T E S s c h e Mathematik erst mit dem Auftreten von F R . VAN SCHOOTEN (1615—1660) ein, der als Sohn und Nachfolger eines angesehenen Leidener Universitätslehrers eine vorzügliche Fachausbildung empfangen hatte. SCHOOTEN steht seit 1 6 3 5 mit DESCARTES in persönlicher Verbindung. Während einer Studienreise nach Frankreich, Irland und England ( 1 6 4 1 / 4 3 ) lernt er die maßgeblichen Mathematiker an den Universitäten dieser Länder und ihre neuesten Arbeiten kennen und verschafft sich Abschriften umlaufender mathematischer Manuskripte (z. B. in Paris von Abhandlungen FERMATS). Seit 1645 führt SCHOOTEN zahlreiche junge Niederländer, die an mathematischen Studien interessiert sind, in Privatunterweisung in eine Auswahl aus den

14

VI. Abschnitt: Hochbarock (etwa 1625 bis 1665)

klassischen Werken der antiken Mathematiker, vor allem aber in die Methoden der Géométrie ein. Er gibt 1646 eine umfangreiche Sammlung bis dahin kaum bekannt gewordener ViÈTEscher Schriften heraus und ersetzt gelegentlich die schwerfällige Originalschreibweise durch Übergang zur ÜESCARTESschen Symbolik.

Die seit 1646 gehaltenen öffentlichen Einführungsvorlesungen in die Géométrie erscheinen 1651 nach einer von B E R T H E L S E N ausgearbeiteten Nachschrift. 1 6 4 9 kommt die von D E S C A R T E S durchgesehene lateinische Übersetzung der Géométrie aus SCHOOTENS Feder heraus, gefolgt von eingehenden Kommentaren und den Notae breves D E B E A U N E S . In die Exercitationes mathematicae ( 1 6 5 7 , niederl. 1 6 6 0 ) nimmt SCHOOTEN auch die wichtigsten Einzelergebnisse seiner Schüler auf. Die große zweibändige Neuausgabe der Geometria ( 1 6 5 9 , 1 6 6 1 ) enthält zusätzlich D E B E AUNES Studien zur Gleichungslehre, HUDDES vorzügliche Arbeiten über die Extremwertmethode und die Bestimmung von Wurzelschranken, D E W I T T S ansprechende Kegelschnittlehre auf Grund instrumentaler Erzeugungsweisen und zahlreiche kleinere Zusätze und Verbesserungen zu den Texterläuterungen, an denen auch HUYGENS beteiligt ist. Dieses in starker Auflage erschienene und später erfolgreich wiederaufgelegte Werk enthält alles, was man von nun ab als unerläßliche Voraussetzung für Interessenten an der neueren Mathematik und der mit ihr zusammenhängenden Physik ansieht ; es verdrängt die ältere Fachliteratur und bildet die gemeinsame Grundlage für die Weiterentwicklung der mathematischen Wissenschaften im Spätbarock. Allerdings steht nun nicht mehr das Prinzipielle, das für DESCARTES allein wichtig gewesen war, im Vordergrund

2. Erste Erfolge auf infinitesimalem Gebiet (1629—1647)

15

der Betrachtungsweise, sondern der operative Gesichtspunkt und die geschickte Behandlung zahlreicher Einzelbeispiele. Vor allem diesem Wechsel der Auffassung verdankt das Werk seinen großen Erfolg, während die verkürzte niederländische Bearbeitung von G. K I N C K H U Y S E N ( 1 6 6 0 / 6 3 ) weniger Anklang findet. Mit dem Tod SCHOOTENs zerfällt die niederländische Schule. Die unbedeutenden Nachfolger bleiben im Formalen stecken, das Interesse der nachfolgenden Generation gehört den aussichtsreicheren Infinitesimalmethoden. Die schwierigen algebraischen Grundprobleme (Fundamentalsatz, Art der Gleichungslösungen) werden erst zu Beginn des 19. J h . unter neuen Gesichtspunkten wieder vorgenommen. 2. E r s t e E r f o l g e a u f i n f i n i t e s i m a l e m G e b i e t (1629-1647) Die ersten tiefergreifenden Einsichten auf infinitesimalem Gebiet sind den fast gleichzeitigen Studien von

FERMAT,

ROBERVAL

und

TORRICELLI

zu

ver-

danken. F E R M A T insbesondere stößt zu umfassenden Allgemeinmethoden vor, die jedoch von den Zeitgenossen nicht richtig gewürdigt werden, Der Südfranzose, P. D E F E R M A T (1601 — 1665) aus achtbarer bürgerlicher Familie erwirbt sich in der von Franziskanern betreuten höheren Schule seines Heimatstädtchens Beaumont de Lomagne umfassende sprachliche und literarische Kenntnisse, studiert in Toulouse die Rechte und wird zunächst Anwalt, dann 1631 Mitglied des Gerichtshofes, dem er seit 1634 als Rat angehört. Über FERMATS mathematische Ergebnisse sind wir aus dem teilweise erhaltenen Briefwechsel, über einige seiner Methoden aus kleineren

16

VI. Abschnitt: Hochbarock (etwa 1625 bis 1665)

Abhandlungen unterrichtet, von denen nur wenige zu Lebzeiten des Verfassers, die meisten erst 1679 in unzureichender Form zum Druck gekommen sind, jedoch großenteils schon früher aus umlaufenden Abschriften inhaltlich bekannt waren. F E R M A T hat kein zusammenhängendes Werk hinterlassen. Der Vielbeschäftigte liebte es, seine Einfälle auf später achtlos beiseite gelegten Zetteln oder in Form von Randnoten in benutzten Büchern zu notieren; die berühmten Marginalien in seinem Handstück der BACHETschen DioPHANT-Ausgabe (1621) sind der Zweitausgabe von 1670 beigegeben. F E R M A T will die aus der Antike übernommenen mathematischen Methoden mit jenen der Zeitgenossen vereinigen und ein Höchstmaß an Strenge und Allgemeinheit erzielen. Vor 1629 ermittelt er

I

(p ganz o und positiv) als Flächenquadratur durch Grenzübergang mit 7i —> oo aus den Rekursionsformeln 2 Ek = n{n+l), 3 E k (k + 1) = n (n + 1) (n + 2) 4=1 k= 1 usw. (brieflich 1636). Von diesem Verfahren unbefriedigt, entdeckt er um 1629, daß sich die Fläche a v l J y dx der Parabel — -= ( I allgemein durch Vero b \al schmelzen der EuKLiDischen Pyramidenbestimmung (s. I, S. 35) mit der geometrischen Parabelquadratur des A R C H I M E D E S (S. I , S. 36) ermitteln läßt, indem man ein- und umbeschriebene Treppenfiguren konstruiert, zu deren Teilpunkten auf der X-Achse Abszissen in geometrischer Reihe gehören (Anfangs glied a, zweites Glied t < a; nach Inhaltsberechnung der ganzen unendlich vielgliedrigen Treppenfiguren

2. Erste Erfolge auf infinitesimalem Gebiet (1629-1647)

t

17

a). Wenig später dehnt er das Verfahren auf die y q t

(

II

= Pj

(p, q ganz, teilerfremd und

positiv) und auf die Spiralen —

=

j =

j

und

aus (erwähnt in Schriften MER-

SENNEs 1 6 3 7 / 4 4 ) u n d e r w e i t e r t e s a u f d i e H y p e r b e l n

(¿D (§) ~ ^ Er weiß, daß bei dieser „logarithmischen" Einteilung der Grundlinien im Fall der Hyperbel xy = ab vor dem Grenzübergang gleiche Flächen liegen. Seit 1636 tritt hierzu die Kubatur und Schwerpuiiktbestimmung an Drehkörpern mit parabolischem Meridianschnitt und die Ermittlung der bis ins Unendliche erstreckten Hyperbelflächen unter Verwendung uneigentlicher Aus PAPPOS VII (s. I, S. Integrale. 46) stammt Anregung f (x) f (xdie h) zur Extremwertregel (1629): wird in ' v / — h der Koeffizient der niedrigsten vorhandenen Potenz von h gleich Null gesetzt, so ergibt sich ein Wert von x, für den / (x) einen Extremwert annimmt (notwendige Bedingung). Die Regel war — das geht sowohl aus dem ursprünglichen Erläuterungsbeispiel (größte Rechteckfläche festen Umfanges) wie aus den späteren deutlich hervor — zunächst nur für Polynome gedacht, ist jedoch in ihrer wohldurchdachten Formulierung allgemein gültig, worauf FERMAT mit Betonung hinweist. I n späteren Fassungen (1643) ist vom Grenzübergang mit h 0 und vom Entscheid über die Art des Extrems aus dem Zeichen des Gliedes bei h2 die Rede;

2 Hofmaim, Gesch. d. Mathematik II

18

VI. Abschnitt: Hochbarock (etwa 1625 bis 1665)

auftretende Irrationalitäten werden vermittels rationalisierender Substitutionen behandelt. Auf dieses Verfahren stützt F E R M A T seine Tangentenmethode: er bestimmt die Subtangente t der Kurve y = f (x) aus '

«i

— (ältestes Beispiel:

Parabel

y2 = 2 px). In origineller Weise wird die Schwerpunktabszisse f der zur Parabel

=

gehörenden

Fläche J y dx und die des entsprechenden Drehkörpers a

o

J y2ndx ermittelt. Im Fall des Drehkörpers (ältestes o Beispiel: y2 — 2 px) setzt F E R M A T x- Ax x Af • J y1 n dx fsa (x — |) • J y2ndx o x- Ax A£ dx und verwendet die Homogenitätsbedingung —r- = —. s x Natürlich kennt er auch die gewöhnliche Formel zur Bestimmung von Nach brieflichen Andeutungen (1636/43) bezog sich ein frühes (verschollenes) zahlentheoretisches Manuskript FERMATS auf die Summe Ea der Teiler einer Zahl a (einschließlich 1 und a). Es enthielt Regeln zur Behandlung zusammengesetzter Zahlen und Iterationsmethoden, wobei von gewissen konstruierten Größen nachgewiesen werden muß, daß sie Primzahlen sind. Mit ihrer Hilfe löst F E R M A T Ea — 2 a (vollkommene Zahlen) wie E U K L I D (S. I, S. 3 4 ) , ferner (gleich DESCARTES 1 6 3 6 ) Sonderfälle der allgemeineren Gleichung Ea = 7M (A > 1, rational). Das System Ea — Eb = a + b (befreundete Zahlen) behandelt FERMAT wie T I B I T

(S. I ,

S. 54)

aus a = 2

p2

q,

b = 2.p3 q, indem er q = 2" so wählt, daß px =

2. Erste Erfolge auf infinitesimalem Gebiet (1629—1647)

19

= 3 q — 1, p2 = 6 3 = 18 q2 — 1 Primzahlen werden. Er bemerkt, daß 2? — 1 bestenfalls dann Primzahl wird, wenn p Primzahl ist, 2 m + 1 bestenfalls dann, wenn m = q. Nach Zerlegung von 237 — 1 (Teiler 223) stellt er verallgemeinernd fest, daß a v ~ l — 1 durch p teilbar ist (sog. kleiner FERMATscher Satz) und daß allenfalls vorhandene Primteiler von ap — 1 die Form 2 kp + 1 haben. Irrtümlich vermutet er auf Grund einer unvollkommenen Induktion, daß 2? + 1 immer P r i m z a h l i s t ( G e g e n b e i s p i e l EHLERS v o n 1 7 3 2 :

teilt 2 M + 1). FERMAT

erkennt

im

Zusatz

des

CAMPANUS

641 zu

EUKLID IX, 16, worin die Irrationalität der stetigen Teilung x2 + xy — yx arithmetisch aus x : y = = (y — x) : x entnommen wird, das Musterbeispiel einer umfassenden Methode, seiner descente infinie: sie erweist die Lösbarkeit eines Problems unter Intervallverengung durch Rückgang auf kleinere Lösungen, ist wirksamer als ihre Umkehrung — die vollständige Induktion — und liegt schon den frühesten infinitesimalen Studien der Antike zugrunde. Nach vielen vergeblichen Versuchen bestätigt FERMAT auf diesem Wege die Behauptung GIRARDS (Druck 1634; s. I, S. 126), daß jede Primzahl der Form 4 n + 1 Summe von genau zwei Quadratzahlen ist [unter Benutzung der DlOPHANTischen Identität (a2 + b2) (c2 + d2) = = (ac ± bd)2 + (ad T bc)2 rekonstruiert]. Ähnlich stellt er die Primzahlen 8 n ± 1 aus Ix2 — y2, die Primzahlen 2 (4 n,+ 1) ± 1 aus 2 x2 ± y2 und die Primzahlen 6 n + 1 aus 3 x2 + y2 dar, zerlegt außerdem 8 n + 3 in die Summe von drei, 8 n + 7 in die Summe von vier Quadraten, kennt die zugehörigen Zerlegungs- und Teilbarkeitsregeln und stellt jede ganze •7*

20

VI. Abschnitt: Hochbarock (etwa 1625 bis 1665)

Zahl als Summe von p p-eckzahlen dar (1638). Diese Sätze dienen ihm auch bei der Faktorzerlegung einer vorgegebenen Zahl aus x1 — y2, wobei er schrittweise Additionen verwendet. Den Spuren DIOPHANTS folgend, beschäftigt sich FERMAT eingehend mit unbestimmten Aufgaben über ganzzahlige rechtwinkhge Dreiecke mit den Seiten x, y, z, wobei x2 + y2 = z2 ist. Er stellt fest, daß die xy Fläche A = -¡f weder • noch 2 • sein kann, gibt ¿i Regeln zur Bestimmung von Dreiecken gegebenen Verhältnisses, bildet Dreiecke gleicher Fläche und solche mit gegebener Kathetensumme oder -differenz in beliebiger Anzahl. Durch Iterationen, die dem Einzelproblem geschickt angepaßt sind, meistert er schwierigere Fälle, wie etwa (1643) (x + y)2 + A = • (2 7-stellig) oder x + y = [J, z = • (z 13-stellig). Durch descente hat er gefunden, daß die seit 1640 im Briefwechsel immer wiederkehrenden Aufgaben in ganzen Zahlen, deren keine Null ist, nicht lösbar sind: (1) x 4 + t/* = s2, (2) x3 + y3 = z3, (3) p 2 - q* = = q2 — r2 = r2 — s2. Die Behauptung, daß sogar + yv = zP (P > 2, ganz) unmöglich ist (sog. großer FERMATscher Satz), erscheint nur in den Randnoten zur DIOPHANT-Ausgabe. Durch derartige Probleme erweist FERMAT zwar seine Überlegenheit über die mit Tabellen und heuristischen Ansätzen arbeitenden Konkurrenten, bleibt jedoch ohne den erhofften fördernden Gedankenaustausch mit einigermaßen ebenbürtigen Partnern. Der bedeutendste unter den zahlentheoretischen Korrespondenten ist der Zahlenkünstler B. FRENICLE (1605 bis 1675). Der Briefwechsel setzt 1640 ein mit einer Kontroverse über magische Quadrate, in deren Ver-

2. Erste Erfolge auf infinitesimalem Gebiet ( 1 6 2 9 - 1 6 4 7 )

21

lauf FERMAT Regeln zur Konstruktion solcher Quadrate gibt, die nach Wegnahme des einzelligen Randes magisch bleiben. Schon 1 6 2 9 hatte FERMAT das zweite Buch der Loci plani des APOLLONIOS (S. I , S. 4 0 ) auf Grund des Wortlautes der Sätze in PAPPOS VII wiederhergestellt. 1636 folgte das viel interessantere erste Buch, dessen erste prop. (Inversionsgeometrie des Kreises) FERMAT in acht Teilsätze auflöst. Ein wenig älter ist die Konstruktion der Parabel aus vier Punkten und der rein planimetrische Nachweis dafür, daß der Ort zu drei Geraden (vgl. S. 10) AP BP = CP* ein Kegelschnitt ist. Bestrebt, den vollen Sinn der antiken Arbeiten über geometrische Örter zu erschließen, verfällt FERMAT gegen Ende 1636 ähnlich wie ÜESCARTES, von dessen Arbeiten er damals noch nichts wußte, auf die achsengeometrische Punktbestimmung in der Ebene unter häufiger Verwendung senkrechter Applikaten. Er gibt die Geraden durch den Ursprung in der Form bx = ay, deutet ax -\-by = c als Gleichung einer allgemein liegenden Geraden und erweitert eine AppOLONische Ortsaufgabe, indem er £ («¿x + b,y -f 0; n ganz, > 1; ohne Namensnennung aus BARROW 1 6 7 0 entnommen). Dazu treten Divergenzbeweise für die harmonische Reihe und Summenformeln für die reziproken figurierten Zahlen, ferner die Entwicklungen für 1 : (1 — x)2, 1 : (1 ^ x)3, 1 : (1 — x)4, jedoch ohne Kenntnis der binomischen Reihe NEWTONS (aus WALLIS 1 6 8 5 zugänglich). Beachtlich ist auch das in den AE V 1690 behandelte Problem der Augenblicksverzinsung (e-Funktion). Am Ende der Abhandlung V 1690 stellt JAK. BERNOULLI das Problem der Kettenlinie, das sich vielleicht erst im Zusammenwirken mit dem im

3. Ausbau der neuen Methoden (1677—1695)

85

Mathematischen bereits selbständigen, formal sehr geschickten, rasch auffassenden und gedankenreichen Bruder herauskristallisiert hat. Es wird sogleich von LEIBNIZ gelöst (Schwerpunkteigenschaft in Integralform, Verwendung der lpgarithmischen Funktion und Kurve), ferner von HTJYGENS (Ansatz aus geometrischen Betrachtungen, die auf Verwendung des Tangentenwinkels T als Parameter hinauslaufen) und von JOH. BEKNOULLI (aus dy:dx = a:s mit geometrischen Hilfsbetrachtungen als Ersatz für die logarithmische Funktion, die er damals noch nicht kannte). Diese Lösungen sind hintereinander in den A E VI 1691 abgedruckt. In den AE I und VI 1691 findet sich JAK. BERNOTXLlls erste selbständige Abhandlung zur Infinitesimalmathematik. Der erste Teil handelt von den Tangenten, von der Quadratur und Rektifikation (elliptisches Integral mit kennzeichnender ArgumentTransformation) der parabolischen Spirale x = a• Diophant (1621). Barrow, Isaac (1630-1677): S. 28, 49, 56/59, 66, 69, 78/79, 83/84, 86. Leben u. Wirken: P. H. Osmond, London 1944. Collected works, ed. W. Whewell, Cambridge 1860. Euclidis elementa. Cambridge 1655 u. ö. Lectiones mathematicae (1664/ 1666), Ld. 1683/86. engl. 1734. Lectiones opticae (1666/68). Ld. 1669 u. Titelaufl. Lectiones geometricae (1668/69). Ld. 1670 u. Titelaufl,, '1735; engl. Chicago 1916. Bearbeite. v. Archimedes, Apollonios, Theodosios, Ld. 1675. Beeckman, Isaac (1588-1637): 8. 5. Journal, ed. C. de Waard, Paris 1939/45 (3 Bde.). Bernoulli, Jakob (1655-1705) : 8.82/ 98. Leben u. Wirken: —»• E. Wölfl (1858) ; J. E. Hofmanü im Enseignement math. (2) 2, 1956. Opera, ed. G. Cramer. Genf 1744 (2 Bde.). 9leu erfunbene Sittleitung, wie man Den ¡Sauff berffiomet... f t e m e n . . . öorf)er(agen tönne, Basel 1681. Comimen nom svstematis cometarum.... Amsterdam 1682. Dissertatio de gravitate aetheris, Amsterdam 1682. Rdhendissertationen, Bmel 1689, 1692,1696, 1698,1704, dtsch. Leipzig 1909 (Ostw. Kl. 171). Analysis magni problemaUs isoperimetrici, Basel 1701. Ars conjectandi, ed. unter Mitwirkg. y. Niki. I. Bernoulli, Basel 1713 ( + Reihendissertationen) ; dtsch. Leipzig 1899 (Ostw. Kl. 107/ 108).

Bernoulli, Johann (1667-1748): S. 82/83. 85/93. Leben u. Wirken: —>- E. W o l f n (1859). Opera omnia, ed. G. Cramer, Lausanne 1742 (eigl. 1743, 4 Bde.); Briefwechsel. ed. O. Spiess, Basel seit 1955; mit A. de Moiyre: Vorbericht K. Wollenschläger. Basel 1933. Lectiones de calculo difîerentialium (1691/92), ed. P. Schafheitlin, Basel 1922; dtsch. Leipzig 1924 (Ostw. Kl. 211); Lectiones mathematicae de methodo integralium (1691/92) = Opern III,

dtsch. Leipzig 1914 (Ostw. Kl. 194). Dissertatio de motu musculorum, Basel 1694 u. ö. Berthelsen (= Bartholin™), Easmus (1625-1698): S. Ii., Leben u. Wirken: K. Meyer. Kopenhagen 1933;-»- Schooten (1651). Billy. Jacques de (1602-1679): S. 22, 62. Doctrinae analytiicae inventum nowim = Einl. zu—> Diophant, ed. S. Fermai. Toulouse 1670; lat.-dtsch. y. P. yan Schaeven, Berlin 1910; frz. y. P. Tannery in - * Fermat, OEuvres H I (1896). Boineburg, Johann Christian y. (1622-1672): S. 63. Bombelli. Rafael (16. Jh.): 8.37; ->I. Bond, Henri (1600?-1678): S. 54. ed. E. Pelter, The vaüitoay to verfiel sayling..., London 1644. Borelll, Gianalfonso (1608-1679): 8.46/47, 49, 90. Leben u. Wirken: M. del Gaizo in den Atti Acc. Pont. 29, 1890 u. G. Giovanorizzl In den Mem. Acc. Prnt. (2) 2, 1916. Euclidea restitutus, Piqa 1658 u. 6.; De motu animalium, Horn 1680, dtsch. Leipzig 1927 (Osto. Kl. 221); - v Apollonios (1654, 1661). Boulliau,Ismael (1605-1694): S.49; —*• Theon y. Smyrna (1644). Boyer, Charles B. (1939): S.49: (1956) 8. 49. B r a n c k e r , Thomas (17. Jh.): 8. 49; —>- Bahn (1668). Brossln, George (1610-1685); —>• Méré, Chevalier de B r o u n c k e r , William (1620 ?-1684) : 8. 36/37. 48,88/64. Brown, Harcourt Newton, Principia, "London 1726. P e r r a u l t , C l a u d e (1613-1688): S.49; —f Vitruv (1673). P i c a r d , Émile (1856-1941): S. 72. Leben u. Wirken: E. Lebon, Paris 1910; P. Montel im Bull. sc. math. (2) 66, 1942. Selecta, Paris 1928. ->• Galois (1897).

102

Namen- und Schriftenverzeichnis

Poncelet, Jean-Victor (1788-1868): S. 31;->-III. Bahn, Johann Heinrich (1622 bis 1676): S. 49. Leben u. Wirken: ->• B. Wolf IV (1862). Teutsche Algebra. Zürich 1659: engl. v. Th. Brancker. London 1668. E a m é e . Pierre de la (1616 — 1572): S. 7. 23. 70:—> I. Ravius, Christian(1613—1677): S.49: —> Apollonios (1669). Regnauld. François (Mitte 17. Jh.): S. 64. Ricci. Michelangelo (1619-1682): S. 27/28, 29, 39/40, 62/63, 58. Exercitatio geometrica. Bom 1666, Wiederdruck als Anhang zu N. Mercator (1668). Richard,Claude (1589-1664): 8.49: —>- Apollonios (1655): Euklid. Elemente (1645). Rigaud, Stephen Jordan (1841): S. 94. Rigaud, Stephen Feter (1838, 1841): S. 94. Roberval, Giles Persone de (1602 bis 1675): S. 16, 28/25, 26, 30, 33. 42. 49, 63, 70. Divers ouvrages de mathématique et physique 6, Paris 1693, Wiederdruck als Ouvrages de Soberval, Paris 1730, d. Haag 1731. Über d. Traité des indivisibles Tgl. E. Walker, New York 1932; Aristarchos (1644). Rosenkreuzer (17. Jh.): S. 63. Vgl. H. Jennings, The Rosiermians, London, 41907, dtsch. Leipzig 1912. Royal Society = RS (seit 1660): S. 48. 61, 53, 59/60, 64. 75. 81. Geschichte: Th. Sprat, London 1667, '1702: Th. Birch, London 1752/57 (4 Bde.UjTh. Thomson, London 1842. Savile, Henry (1549-1622): S. 35; -»•I. Schanborn, Johann Philipp v. (1605 bis 1673: 1647 Kurfürst v. Mainz). S. 63. Schooten, Frans van (1615 — 1660): S. 8. 18/15, 22. 33. 86/37, 39. 43. 45, 48/49, 67. 83. Exercitationes mathematicae, Leiden 1667, niederl. Amsterdam 1660;—>• Apollonios, Ebene

örter. Principia matheseos universalis, ed. B. Berthelsen, Leiden 1651 u. ö.-> Viète (1646);—>• Descartes. Geometria (1649, 1659/61 u. ö.). Sergescu, Pierre (1949): S. 49. Simpson, Thomas (1710-1761): S. 26; —*• Ut. Mathematical dissertations, London 1743. Sluse, Bené Francois de (1622 bis 1685): S. 28/29, 89/40, 41, 45, 46. 58, 65, 67, 86. Correspondance, ed. C. le Paige im Bull. Boncomp. 17, 1884. Zur Tangentenmethode: L. Bosenfeld in der Isis 10, 1928. Mesolabum, Lüttich 1659, "vermehrt 1668.

Snell.Willebrord (1680-1626): S.45; —>-1. Souvey. Bartolomeo (1577? bis 1629) : S. 54. Leben u. Wirken: A. Favaro im Bull. Boncomp. 15. 1882. Curvi ac recti proportio, Padua 1630. Spinoza, Baruch de (1632-1677): S. 69, 81. Leben u. Wirken: B. Alezander, München 1923; G. Mehlis, Freiburg 1923. Opera, ed. J. van 'Vloten — J.A.N. Land, d. Haag 1882/83. *1896, »1914. Ausgabe d. Ak. Heidelberg seit 1923. Wörterbuch: I>. D. Bunes. New York 1951. Ethica, ordine geometrico demonstrata, in d. Opera postuma, ed. J. Jarig-Rieuwertsz, Amsterdam 1677 u. ö. Stensen, Niels (1638-1686): S. 90. Leben und Wirken: G. Scherz, Kopenhagen U56. Opera, Kopenhagen 1910/52 (6 Bde.) Elementorum myologiae specimen, Florenz 1667. Steyin, Simon (1548-1620): S. 23. 31;—> I. Principal works, Amsterdam seit 1965. S t u r m , Johann Christoph (1635 bis 1703): 8. 49; —* Archimedes (1667, 1670). Tàbit ibn Qurrah (826-901): S. 18;-* I. Tacquet.Andreas(1612—1660): S.49. Elemento geometria* vlanae et solidae, Antwerpen 1654 u. ö. Opera mathematica, Löwen 1669, Ant^ werpen 1707. Taylor. Brook (1685-1731): S. 66, 91;-* nr.

Namen- und Schriftenverzeichnis t e n N u y l , Samuel (Tennulius)(*1635), S. 49;—> Nikomachoa (1668). Theodoaioa v. Pitane (um 100 v. Chr.): S. 49; ->• I. Sphaerica. Bearbeitg. In J. B. Duhamel, Elemento, astronomiae, Paris 1643. Theon t . Smyrna (um 130 n. Chr.): S. 49;—»• I. Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium, lat.-Kriech, v. I. Boulliau, Paris 1644. Torricelli, Evangelista (1608 bis 1647): S. 15, 25/28, 29/30, 34/35. 39/40, 42, 44, 47, 51, 53. Opere, ed. G. Loria — G. Vassura, Faenza • 1919/44 (4 Bde.). Opera geometrica. Florenz 1644. De infinitis spiralibus (1647). ed. E. Carniccio, Pisa 1955. Tschirnhaus. Ehrenfried Walter v. • (1651-1708). S. 68/71, 72, 76/78, 79, 81, 87. Leben «. Wirken: H. Weissenborn, Elsenach 1866; J . Verweren, Bonn 1906; E. Klüger, Leipzig 1913. Medicina mentis, Amsterdam 1687, "Leipzig 1695.

103

Valerio, Luca (1552-1612): 8.25/ 26;-»-1. Viète. Francois (1540-1603): S. 7. 14, 22, 34. 37. 50, 57;->- I. Opera, ed. Fr. Tan Schooten. Leiden 1646. VitruYius Polito (um Chr. Geburt) : S. 49; —• I. De architeetura, frz. y. a . Perrault, Paris 1673. Viviaui. Vincenzio (1622-1703): 8. 26. 28/29, 47, 88. De maximis et minìmis geometrica diviriabio in omnium ('onicorum ApoUonii Pergaei adirne desideratum (1642), Florenz 1659. De loci» solidis secunda divinatìo geometrica (1645), Florenz 1673, '1701. Formazióne, e misura di tutti i cieli, Florenz 1692;—»- Galilei (1674).

67/69, 71/72, 75, 79, 83/84, 88. Leben «. Wirken: J. F. Scott, London 1938. Opera mathematwa, Oxford 1695, 1693, 1699. Tractatus de sectionibus conicis, nova methodo expositus. Oxford 1655. De angulo contactus et semicirculi tractatus, Oxf. 1656. Arithmetica infinitorum, Oxf. 1656. Matheais universalis, Oxf. 1657. Commercium epistolicum de quaestwnibus quibusdam mathematics nuper habitum, Oxf. 1658. Tractatus duo, prior de cycloide, posterior de ci3s- Dechales (1685). W i t t , Jan de (1625-1672): S. 14. 46. Leben u. Wirken als Math.: P. van Geer im Nieuw Arch. Wisk. Genoots. Amsterdam (2) 11, 1914. Element'a curvarum linearum, enthalten in B. Descartes Geometria, ed. Fr. van Schooten, Amsterdam 1661 u. ö. Waerdye van lyfrenten nar proportie van los-renten (1671), ed. D. Bierens de Haan, Amsterdam 1879. Wolf, A. (1952): S. 94. Wolf. Rudolf (1858/62): S. 94. Woodhouse, Eobert (1773-1827): S. 94. Wren. Christopher(1632-1723):S.41, 44, 61. Leben u. Wirken: L. Milman, London 1908. Bicentenary memorial volume, London 1923-

Wallis, John (1616-1703): 8. 25, 84/88, 39. 41/42, 44. 63, 65. 57.

Z e u t h e n , Hieronymus Gustav (1903) 8. 49.

104 Zeitschriftenverzeiehnis Dieses Verzeichnis bezieht sich ausschließlich auf jene Zeitschriften des 17. u. 18. Jhs., die im Text entweder durch Buchstabensigel oder in Textverkürzung wiedergegeben sind. Bei Jahresangaben (vor allem bei Akademieschriften) sind die Jahrgänge, nicht die Ausgabejahre gemeint. AE = Acta eruditorum (Leipzig 1682 bis 1731). S. 70. 76/79, 81/93. —Kirchner im Archiv für Buchgewerbe 65,1928. Mist. ouvr. scar. = Histoire des ouvrages des sçavans (Rotterdam 1687-1709). S. 88. Histoire et mémoires de I'Ac. sc. de Paris (Paris 1699-1790): S. 8«.

JS

-- Journal des Scavana (Paris 1665-1792): - > P. Sergescu in Osiris 1, 1936 u. in d. Arehives d'hist. sc. 1, 1947. S. 48, 76. 88/89. Mise. Berol. = Miscellanea Berolinensia (Berlin 1710-1743. 7 Bde.): S. 92. PT = Philosophiml transactions (London seit 1665): S. 48. 53. 69, 86, 88.

105 Sachverzeichnis Arcus-Tangens-Reihe 61, Dechiffrieren 34 66. 73. 86; —»• Leibniz- Descente infinie 19/20 Diakaustische Kurven 87 Reihe Differentialgeometrische Argument-Transformation e. ellipt. Integrals Aufgabe 89 85 Differentialgleichungen 56, 58, 60, 72, 78, 85, Abbreviierende Algebra 7 ArUhmetica inHnitorum 88/89; - Bernoulli(Wallis) 36, 57, 84 Abridgement 71 sche 92; — lineare 92 Abrollen v. Kurven 12 ArithmeUea universalis Differentialrechnung, Absolutes Gleichungs(Newton) 60. 68 Differentiieren 57, 77/ glied 9/10 Arithmetik 49 80. 82/84. 86/87. 89, Achsengeometrie 11, 21 Arithmetische Kreis94; — mit gebrocheAffine Beziehungen 51, quadratur 66, 86 nem Index 92 66 Arithmetische Strenge41 Differenzenschema 63/ Algebra (Wallis) 68. 71, Arithmetisches Dreieck 75, 79 64, 77 32/33. 64 Algebra 5,7/8,14/16, 25. Arithmetlslerung d. Geo- Divergenz 40, 84 49,52.60,67/69,71/72, metrie 7/8; — d. In- Divisionsproben 33 74/76, 79 finitesimalmathematik Dogma. Aristotelisches Algebraische Kurven 9/ 35, 40 12, 44 12, 38/39. 52, 68. 60. Asymptoten 13, 21, 28 Doppelnullsteilen 46 77. 91; — Integrale 60, Augenblicksverzinsung Drehflächen, Drehkörper 73. 77/79 12, 17/18. 26. 28, 30, 84 Algebraisierung 8. 50, Ausrundung d. Quadra39, 42/44, 58. 65 73 Dreieck, arithmetisches tes 12 32, 64; — charakteAlgorithmische Auflös- Axlomatik 43, 63, 74 ristisches 42, 58, 65; barkeit v. Gleichungen - harmonisches 64, 9, 15, 45, 67/68. 70, 77 77; — rechtw. m. Aliquote Teile 18. 37 Barwert 77 ganzzahl. Seiten 20; Alternierende Reihen 40, Begleiterin d. Zykloide 77 24 — e, Perspektive 31 Anagramme 73, 80 Bewegung d. Tiere 90 Dreieckteilung durch Analysis (Newton) 59, Bewegungsmechanismen senkrechte Geraden74/75 paare 84 9/10, 14, 60 Analysis 74. 86/87; —>• Binomialzahlen 32/33, 35 Calculus.Inflnitesimal- Binomialentwlcklung 56, Ebenenbüschel 31 mathematik Einheitsstrecke 7 71. 73. 84. 86 Analysis situs 74 Bipolare Koordinaten 11 Einhüllende 25/26, 87/88 Analytische Geometrie Bogengleichheit v. Kur- Einteilung, logarith11. 21/22; - Unmögmische 16/17 venpaaren 24, 42. 44, lichkeit der KreisquaElastische Kurve 90 52 dratur 51 Bogeninvariante Trans- Elimination 36, 46 Analytisches ParalleloEllipse 21, 42, 51. 53; formation 52 gramm (Newton) 73 Bogenlänge 41 —nbogen 59; — n, Anfangspunkt 10; höhere 29 Brachystochrone 82 Elliptische Integrale 85, - Geschwindigkeit 25 Brechungsgesetz 11, 45, 90 Annuitätenproblem 59 77 Antike Mathematik 7, Bruch 8 Enveloppe 25/26, 87/88 14. 16. 19. 21, 25. 28. Bruchreihen 54 Erhaltung d. Energie 34, 34, 46/47, 49, 57 72 Calculus 60. 68. 62/94 Applikaten 10, 21, 65/66 Characteristtea geometrica Evolute 44, 60, 85, 88 Approximationsmathe76; — universalis 70 ExercUatwiles mathemamatik 8. 10, 69 Cosinus-Reihe 72, 86, 89 ticae (Schooten) 14, 45 Das Sachverzeichnis ist auf einige Hauptgegenstände vorzugsweise mathematischer Natur beschränkt.

106 Existenzbedingung 27 Exponentialfunktion 69, 72, 84: - kalkül 91: — reihe durch Grenzübergang 86, 89 Extrapolation in Funktionstafeln 55/56 Extremwerte 14, 17. 22. 27/28, 34. 39/40, 46/46, 68, 77

Sachverzeichnis

Geometrie, analytische Induktion, unvollstän11, 21/22; - prakdige 19. 35, 39, 84. 86; tische 5: — vereinigt — vollständige 19, 33, mit Algebra 7 84 Geometrischer UnterInfinltesimalmathematik richt 43, 47 10. 15/30. 35/36. 38/46, Geradenglelchung 21 62/61, 63. 65/66, 69/ Geradenpaar 10, 21 70. 73, 77/83, 85/86. 93 Geradliniges u. Krumm- Instrumentale Behandliniges 12, 44 lung e. DifferentialGeschwindigkeit 28, 57, gleichung 89; - Kurvenerzeugung 9/10. 14 82. 90 Integrale, IntegralrechGesetz d. großen Zahlen Fachsprache 7 nung 42, 62, 54, 77. 83: — e, Keplereche 81 Fadenkurven 81 81, 85;—v Quadratur; Gleichungen 8/9, 14, 61, Fall, freier 12 68, 70: - 3. Grades Falsche Gleichungs— Abschätzung 90: 46, 70: - 4. Grades 8. lösungen 9 — binomisches 73; 70; - 6. Grades 61. Farbenlehre 68, 60, 76 — Iteration 72; 70; - höhere 9. 61.84 Feld, radiales 46 — Transformation 27. Figuren, bewegliche 31; Gleichung, Fermatsche 38, 72.86; - uneigent37; — sernledrigung — z. Funktionsdarliches 17, 27, 38: - d. 46. 68 stellung 12 Wort 82; - d. Zeichen Flächen, ebene parabo- Glückspiel 83 67. 79 lische 12: - 2. Ord- Graphische Lösungen 8/ Integration, Methoden 9, 84 nung 22,39; - 4. Ord26. 35, 38; - mit genung 46 brochenem Index 92 Gravitation 68,78,81,83 Fl&cheninrariante Grenzübergang 16/17,86, Interpolation 65, 57, 61, 73 Transformation 52 91 Florentiner Problem 88 Gruppentheorie 62, 61, Intervallverengung 19 Fluente, Fluxion 73, 78. 68 Inverse Tangentenpro80 bleme 26, 58, 76, 81. 88; - > DifferentialFotium Corte«« 11.38.46, Heuristische Überlegungleichungen gen 20, 22, 37 93 • Inversionsgeometrie des Himmelsmechanik 78 Fundaxnentalsatz d. AlHistoriola 71, 74 gebra 9,15 Kreises 21 Höhenformel, barometriFunktionen, figürlich Involution 31 sche 44 dargestellt 12; — komIrrationales 8.18/19. 46. plexe 67: — transzen- Homogenität 8, 18 64 1 Huf 42 dente 62 Irreduzibles 46 Funktionsveränderung Hyperbel 17. 21. 24. Isochrona paracentrica 57 26/27. 29. 35/36, 39. 90/91 44/46, 61, 53/64: - Isochrone, Lelbnlzsche integral 60/61; — Qua82 dratur 17, 35/36, 61, Isogonalträlektorien 12, Ganzes U.Teil (Axiom) 63 63/64, 67 26 Ganzzahlige Gleichungslösungen 9 Iteration 18, 20. 54. 60. Genre bei Gleichungen 9. Identität, Dlophantische 72 38 19; — Lelbnlzsche m. komplexen Zahlen 67 GeomeMae vara universalis (Gregory) 51/53. Imaginäre GleichungsKatakaustische Kurven lösungen 9 58 87 Géométrie (Descartes) 7/ Index, gebrochener beim Kegel 30/31 symbolischen Calculus Kegelschnlttbüschel 31; 11,13. 25. 34 92 — Satz Pascals 32; Geometria (lat. Géométrie) 14. 38. 43. 45/46, Indlvislbeln 12. 23, 25. — Segment 34; — 57, 65,83,93 34. 40. 43 Sektor 55

107

Sachverzeichnis Kegelschnitte 10.14, 21, 29/33, 86, 44, 47, 70 Keil 42 Kettenbruch 36/37 Kettenlinie 34, 84/85 Kinematische Kurvenerzeugung 9/10, 14 Kissoide 39, 44, 56 Koeffizienten, ganzzahlige 9; — unbestimmte 60. 74. 89 Körperliche örter 29 Kombinatorik 33, 63 Kometentheorie 83 Kompl&natlon 39, 43. 58, 65 Konchoide 11. 23/24, 39, 55 Konsekutive Funkte 87 Kontingenzwinkel 36 Konvergenz 40, 51, 54, 56, 73, 77, 89 Koordinaten 10/11, 22, 36. 45. 85 Kraftmaß 82 Kreis 8. 21. 31: - Integral 6 0 ; - Möndchen 77/78; - Quadratur 34/35. 44, 51, 53. 55, 66/67, 86 Kreiszylinder 23. 26, 31, 42 Krümmung 58. 60. 85, 87/88. 90/91 Krummliniges u. Geradliniges 12. 44 Kubaturen 12, 17. 26. 28, 30. 41, 58 Kugel 23/26. 31; Loxodrome 85/86 Kurven, 3. Ordnung 89; — algebraische 9/12, 38/39. 52. 58. 60. 77, 91; - Spitze 89; transzendente 12, 60, 78/79 Leçons de ténèbres 30 LeclUmes geometrica/! (Barrow) 58/59, 60, 79.86 Leniniskate 91 Lineare Differentialgleichung 92

Linearkombinationen z. Funktionsbestimmung 51, 55 Loci Viani 21, 49 Locus ad qyattuor lineas 10

Logarithmen 40, 44. 55 Logarithmische Kurve 28. 44, 52, 61, 78, 85, 88; — Reihe u. Funktion 45, 54/55, 59. 61, 66, 73, 85, 88/89; - Spirale 12, 26/27, 52, 85 Logarithmotechnia (Mercator) 54, 58, 66 Logik 43. 63. 81. 89 Logistik 63. 74 Luäus naturae 73 Majorante 61 Mantel d. Zylinders 24. 52 Massenpunkt 90 Mathematik 7/8, 16, 43. 52, 65 Mechanik 48, 83 Mechanische Tangentenregel 24. 26, 39 Mesolabum (Sluse) 45, 58 Methode, Archimedische 25. 34, 52 Mittelpunktgleichung d. Kegelschnitte 21 Moment, statisches 05 Momentanpol 12, 24, 26 Muskelbewegung 90 Näherungsverfahren u. -formein 54, 55, 67. 59 Natürliche Logarithmen 55 Negative Applikaten, Abszissen 10; — Gleichungslösungen 9 Normalendreleck 65; - Problem 10/12, 24, 26, 52 Oberflächenörter 22 Örter, geometrische 10/ 11, 21/22, 29, 39; - körperliche 29 Operatives Vorgehen 14/ 15

Optik 48, 51. 58/60, 73, 81

Orientierung d. Koordinatenachsen 65 Ovale, Descartessche 11 ; — Quadrierbarkeit 78 Parabeln 8, 16/18, 21, 23/29, 33/34, 36, 38. 43/46. 53 Parallelenlehre 47 Parameter 11, 56, 62, 85 Partialsummen 40 Perlen, Slusesche 40, 46 Perspektive 30/31 Phikisophiae naturalis principia mathematica (Newton) 78, 80/81, 94 Physik5.11,14,29,72.77 Polaren 31 Polarkoordinaten 52, 85; — Subtangente 27 Polyedersatz 6 Polynome 17, 46, 51 Porismen (Euklid) 36 Port Royal 33, 42 Positive Gleichungslösungen 9 Potenzreihen 27, 41, 50/ 62, 66/67. 72/74 Potenzsummen v. Gleichungslösungen 60. 68

Präzisionsmathematik 8. 11, 69 Primzahlen 18/19, 37, 55 Prinzip v. Cavalieri 12; — v. d. Erhaltung d. Energie 34, 72 Prioritätsstreit 70/71, 75. 79/82. 86. 92/93 Problem, Keplersches 61; — e, algebraische 8/9, 21, 39, 45/46; — e, mechanische 8; — e, transzendente 11, 70, 78; - e, unbestimmte 9/10, 20; - e. unlösbare 20 Produkt, unendliches für n 35/36, 41. 67 Projektive Zuordnung 31 Proportionalität 26 Punkt kleinster Abstandssumme v. drei Punkten 27

108 Pyramideninhalt 16 Quadrate, magische 20/ 21, 33 Quadratrix 66/67 Quadraturen 12/13, 16/ 17, 23/28, 33/36, 38/42, 44/46, 51/55. 57/60, 67, 73, 77/79, 81, 85. 92 Quadratzahlen 19/20,37, 62 Radikalschachteln z. Größendarstellg. 72 Ränderung magischer Quadrate 33 Randnoten Fermats 16, 20 Kationale Logarithmenberechnung 54 Rationalisieren 18, 51. 66. 62. 72, 86 Rechenbücher 49; — Maschine 64, 67, 74; - Rezepte 8; — Technik 50; — Unterricht 47 Reduzible Polynome 46 Reelle Gleichungslösungen 9 Reform d. GeometrieUnterrichtes 43 Regel, Simpsonsche 26 Reihe, Bernoullische 91/ 92; - Taylorache 56. 91; - n l e h r e 40; —>• Potenzreihen, Zahlenzeihen Rektifikationen 12, 26/ 27. 38/39, 41/44, 52/53, 58, 60/61. 66/67. 85, 88, 90/91 Rekursionsformeln 16 Rentenrechnung 46 Restesysteme 33 Restglied v. Potenzreihen 56, 92 Richtungsfeld 92 Sägezüge b. Rektifikationen 41, 44. 52 Scheltelgleichungen 21; Ort der Wurfparabeln 25 Schleife 38

Sachverzeichnis Schraube, -nförmig 26, 42 Schwerefeld d. Erde 82, 90 Schwerpunktbestimmung 12, 17/18, 26. 34. 39, 41, 46, 68, 72, 85 Scientia infiniU 74 Sechseck, Pascalsches 32 Sechsquadrateproblem 62 Seilvieleck 81 Singularität aufgelöst 91 Sinuslinie 46; - Reihe 59 Spiegelteleskop 51, 60 Spiralen 29, 58; — Archimedische u. höhere 2 4 , 2 7 . 4 2 . 4 4 , 5 8 ; - logarithmische 12,27,85; — parabolische 17. 27, 44, 85; — förmige Lösungen v. Differentialgleichungen 91 Staffelwalze 67 Strahlenbüschel 31 Strecke u. Zahl 7 Streifenquadratur beim Möndchen 77 Substitution, rationalisierende 18 Subtangente 18, 28, 39, 52. 58 Summenformeln für Binomialkoeffizienten 32 Symbolische Algebra 7. 14, 50, 58. 92: - Darstellung v. Funktionen 11; — v. Infinitesimalprozessen 58, 92/93 Symmetrisierende Quadratur 24, 45 Taktionsproblem d. Apollonios 33 Tangenten 11. 18. 22/29. 34, 38/39. 45/46, 57/59, 67, 71, 73, 76/77, 79, 81,85,89; -eigenschaften, umgekehrte 13, 26. 28, 58, 76, 81. 88 Tangentenwinkel als Parameter 85 Teilbarkeit, algebraische 9; — großer Zahlen 19/20

Teile, aliquote 18, 37 Teiler, gemeinsamer 46 Teilung, stetige 19 Theorema aureum 87 Träger, uneigentliche 31 Traktrix 88/89 Transformation v. Integralen 27, 38, 52, 72, 85/86 Transmutation 38,65/66. 72 Transzendente Funktionen 52; — Integrale 79; — Kurven 12. 60, 78/79; - Probleme 11, 51, 76, 78 Trennung d. Veränderlichen 92 Treppenfiguren 16, 40 Tschirnhaus-Transformation 77 Umkehren V. Potenzreiben 59, 73 Unbestimmte Aufgabe 20; - Koeffizienten 60. 74, 89 Uneigentliche Träger 31 Ungleichheit 29 Ungleichung, Bernoullische 84; — s erstem 35 Unmöglichkeit, analytische d. Kreisquadratur 51 Vera auadratura (Gregory) 51. 63. 65 Verhütnisse, letzte 80 Versiera 38, 66 Vielecke b. Flächenberechnung 61 Viereck, vollständiges 31 Vierseit, vollständiges 31 Vorzeichen b. Koordinaten 22 Wahlsätze, Archimedische 47 Wahre Gleichungslösungen 9 "Wahrscheinlichkeitsrechnung 32, 38, 46 Wechsel d. Integratidnsveränderllchen 24, 36, 38

109

Sachverzeichnis Welientheorie d. Lichtes 81 Wendepunkt 24, 39, 46, 91 Wendespitzparabel 91 Widerstand, elastischer 82

Wiederherstellung antiker Schriften 7, 21. 36 Winkelteilung 34, 79 W-Kurven 29. 40. 58 Würfelspiel 32, 38 Wurfparabel 25 Wurzelbeziehungen, bekannte an Gleichungen 46 Wurzelschranken r. Gleichungen 14 Wurzelziehen, formales 57 Zahlbegriff 8

Zahlen, algebraische 8; - befreundete 18/19; -figurierte40/41;- gebrochene 8; — irrationales; — natürliches; - negative 8; — vollkommene 18; — zusammengesetzte 18 Zahlenreihen 40/41, 60, 63/64, 72/73, 77, 84, 89/90; - Transformation 89; — alternierende 40, 77; — harmonische 40, 60, 64, 84; — d. reziproken Dreieckzahlen 63/64; - d. reziproken figurierten Zahlen 40/41, 64, 84; - d. reziproken Quadratzahlen 41, 64; — Leibnizsche für n 66. 72/73, 77

Zahlentheorie 18/23, 37. 62

Zeichenregel v. Descartes 9 Zeit u. Geschwindigkeit 28

Zentralprojektion 31 Zerlegung in Quadratzahlen 19; - in Vieleckzahlen 20 Zinseszins 77 Zweitentdecker 80, 82 Zwischenglieder e. Gleichg. zu beseitigen 61

Zykloiden 12. 24. 26. 29/30. 41/42, 44, 46, 61, 66/67, 76, 80; — quadratur, rationale 24. 67. 76 Zylinder 23/24, 31, 52

GÖSCHENS L E H R B Ü C H E R E I Band

l

O. P E R R O N , Irrationalzahlen. 3., fast unveränderte Auflage. VIII, 248 Seiten. 1947. DM 10,—

Band

4 0 . F U E T E R , Synthetische Zahlentbeorle. 3., verbesserte Auflage. VIII, 248 Seiten. Mit 3 Fig. 1950. Halbleinen DM 20,—

Band 8/9 0 . PERRON, Algebra. 2 Bände. 3., verbesserte Auflage. Band I : Die Grundlagen.VIII, 237 Seiten mit 4 Figuren. 1951. Halbleinen DM 16,— Band I I : Theorie der algebraischen Gleichungen. VIII, 261 Seiten mit 5 Figuren. 1951. Halbleinen DM 14,— Band 12 F. A. W I L L E R S , Methoden der praktischen Analysis. 3., verbesserte und erweiterte Auflage. 429 Seitenmit 93 Fig. 1957. In Vorbereitung Band 14 J. HORN, Partielle Differentialgleichungen. 4. Auflage. VIII, 228 Seiten mit 8 Figuren. 1949. Halbleinen DM 14,— Band 24/26 HAUPT-AUMANN, Differential- und Integralrechnung unter besonderer Berücksichtigung neuer [Ergebnisse. 2-, [völlig neubearbeitete Auflage unter Mitwirkung von C. PAXJC. B a n d l : Einführung in die reelle Analysis. VII, 218 Seiten mit 2 Figuren. 1948. DM 18,— Band I I : Differentialrechnung. 210 Seiten. 1950. Halbleinen DM 16,50 Band I I I : Integralrechnung. X I I , 320 Seiten. 1955. Halbleinen DM 28,—

W A L T E R D E GRUYTER & CO. / B E R L I N W 35

J. Spoerel

Mathematik von der Schule zur Hochschule Groß-Ofctav. Mit 85 Abbildungen. X I I , 210 Seiten. 1954. Ganzleinen DM 16.— G, Scheffers

Lehrbuch der Mathematik zum Selbstunterricht und für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik Eine Einführung 'in die Differential- und Integralrechnung und in.die analytische Geometrie 13. Auflage. Oktav. Mit 438 Figuren. VIII, 743 Seiten. 1957. Ganzleinen DM30,— E. Asmus

Einführung in die höhere Mathematik und ihre Anwendungen Ein Hilfsbuch f ü r Chemiker, Physiker und andere Naturwissenschaftler 2., verbesserte Auflage. Oktav. Mit 178 Abbildungen. XV, 404 Seiten. 1952. Ganzleinen DM22,— Küster — Thiel — Fischbeck

Logarithmische Bechentafeln f ü r Chemiker, Pharmazeuten, Mediziner und Physiker Begrün det von F. W. Küster, fortgeführt von A. Thiel neubearbeitet von K. Fischbeck 61.-— 64., verbesserte und vermehrte Auflage. Oktav. Mit 1 Mantissentafel. 330 Seiten. 1951. Halbleinen flex.'DM 14,80

WALTER DE GRUYTER & CO. / BERLIN W 35

Grelle's Rechentafeln welche alles Multiplizieren und Dividieren mit Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei größeren Zahlen aber die Rechnung erleichtern u n d sicherer machen. Neue Ausgabe, besorgt von 0 . S e e l i g e r . Mit Tafeln der Quadrat- und Kubikzahlen 1 bis 1000. Folio. VII, 999 Spalten. Neudruck 1964. Ganzleinen DM 3 6 , (Walter de Gruyter & Co.) IV. Schmidt

Der Rechner Tafeln zum Ablesen fertiger Resultate aus Rechnungsarten mit ganzen Zahlen und Brüchen. Quart. X I X , 200 Seiten. 1955.

Ganzleinen DM 1 8 , -

F. Triebel

Rechen-Resultate Tabellen zum Ablesen der Resultate von Multiplikationen und Divisionen bis 100 x 1000 = 100 000 in Bruchteilen und ganzen Zahlen. Zum praktischen Gebrauch für Stückzahl-, Lohn- und Prozentberechnungen, Rechenhilfsmittel für alle Arten des Rechnens mit Zahlen jeder Größe. Radizieren (Wurzelsuchen) nach vereinfachtem Verfahren. 8. Auflage. 30. Tausend. Groß-Oktav. IV, 285 Seiten. 1956. Kunstleder DM 2 6 , -

TECHNISCHER VERLAG HERBERT CRAM BERLIN W 35

ïïldrt. als 300 Bände d e r k u r z e n , klaren, allgemeinverständlichen Einzeldarstellungen d e r

AMMM1NG OSCMÜM s i n d s c h o n w i e d e r lieferbar. Jeder B a n d D M 2,40 -

D o p p e l b a n d D M 4,80

S t a n d F e b r u a r 1957 Biologie 8 — B o t a n i k 8 — Chemie 7 — Deutsche S p r a c h e u n d L i t e r a t u r 4 E l e k t r o t e c h n i k 9 — Englisch 4 — E r d - u n d L ä n d e r k u n d e 5 — F r a n z ö sich 4 — Geologie 9 — Oermanisch 4 — Geschichte 3 — Griechisch 5 Hebräisch 5 — H o c h - u n d T i e f b a u 11 — Indogermanisch 4 — Italienisch 4 — Kristallographie 9 — K u n s t 3 — L a n d - u n d F o r s t w i r t s c h a f t 9 Lateinisch 5 — Maschinenbau 10 — M a t h e m a t i k 6 — Mineralogie 9 Musik 3 — P ä d a g o g i k 2 — Philosophie 2 — P h y s i k 7 — Psychologie 2 Publizistik 6 — Religionswissenschaften 3 — Russisch 5 — S a n s k r i t 5 Soziologie 2 — Technologie 8 — V o l k s w i r t s c h a f t 5 — W a s s e r b a u 11 Zoologie 8 . Die Zahlen e n t s p r e c h e n den Seiten im I n n e r n des H e f t e s .

W A L T E R DE G R U Y T E R & C O . BERLIN W

35

Geisteswissenschaften Philosophie Einführung In die Philosophie v o n H. Leisegangf. 3. A u f l . 145 S. 1957 (Bd. 281) Erkenntnistheorie v o n G. Kropp. I . T e i l : A l l g e m e i n e Grundlegung. 143 S. 1950 (Bd. 807) Hauptprobleme der Philosophie v o n 0. Simmelf. 7.j unveränd. A u f l . 177 S. 1950 (Bd. 500) Geschichte der Philosophie I: Die griechische P h i l o s o p h i e v o n W. Capelle. 1. T e i l . V o n Thaies bis L e u k i p p o s . 2., e r w . A u f l . 135 S. 1953 (Bd. 857) II: Die griechische Philosop h i e v o n W. Capelle. 2. T e i l . V o n der Sophistik bis z u m T o d e P i a t o n s . 2., stark e r w . A u f l . 144 S. 1953 (Bd. 858) III: Die griechische Philosop h i e v o n W. Capelle. 3. T e i l . V o m T o d e P i a t o n s bis zur alten S t o a . 2., stark e r w . A u f l . 132 S. 1954 (Bd. 859) IV: Die griechische Philosop h i e v o n W. Capelle. 4. T e i l . V o n d e r A l t e n Stoa bis z u m E k l e k t i z i s mus im 1. Jh. v . Chr. 2., stark erw. A u f l . 132 S. 1954 (Bd. 863) V : Die P h i l o s o p h i e des M i t t e l a l t e r s v o n J. Koch. I n V o r b . (Bd. 826) V I : V o n der R e n a i s s a n c e bis K a n t v o n K . Schilling. 234 S. 1954 (Bd. 3941394a) VII: Immanuel K a n t v o n G. Lehmann. I n V o r b . (Bd. 536) V I I I : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. Lehmann. J a h r h u n d e r t s v o n G. 1. T e i l . 151 S. 1953 (Bd. 571) I X : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s v o n G. Lehmann. 2 . T e i l . 168 S. 1953 (Bd. 709) X : D i e P h i l o s o p h i e im ersten D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s I v o n G. Lehmann. I n V o r b . (Bd. 845) Die geistige Situation der Zeit (1931) v o n K. Jaspers. 4., u n v e r ä n d . A b druck der 1932 bearb. 5. A u f l . 211 S. 1955 (Bd. 1000) Philosophisches Wörterbuch v o n M .

2

Apelf. 5. A u f l . , neub. v o n P . Ludz 1957. I n V o r b . (Bd. 103111031a) Philosophische Anthropologie. Menschliche Selbstdeutung in G e schichte und G e g e n w a r t v o n M . Landmann. 266 S. 1955 (Bd. 1561156a)

Pädagogik, Psychologie Soziologie Geschichte der Pädagogik von Herrn. Weimer. 12., neub. u. v e r m . A u f l . v o n Heinz Weimer. 177 S. 1956 (Bd. 145) Therapeutische Psychologie. Ihr W e g durch die P s y c h o a n a l y s e v o n W. M. Kranefeldt. M i t einer E i n f ü h r u n g v o n C . G. Jung. 3., u n v e r ä n d . A u f l . 152 S. 1956 (Bd. 1034) Allgemeine Psychologie v o n Th. Erismann. 1956. In V o r b .(Bd. 831) Soziologie. Geschichte und H a u p t probleme v o n L. von Wiese. 5. A u f l . 162 S. 1954 (Bd. 101) Sozialpsychologie v o n P. R. Hofstätter. 181 S., 15 A b b . , 2 2 T a b . 1956 (Bd. 1041104a) Psychologie des Berufs- und W i r t schaftslebens v o n W . Moede. 1956 I n V o r b . (Bd. 851) Industrie- und Betriebssoziologie v o n R. Dahrendorf. 120 S. 1956 (Bd. 103)

Religionswissenschaften Jesus v o n M. Dibeliusf. 2. A u f l . U n v e r ä n d . N a c h d r . 137 S. 1949 (Bd. 1130) Paulus v o n M. Dibelius f . N a c h d e m T o d e des Verfassers herausgegeben und zu E n d e g e f ü h r t v o n IV. G. Kümmel. 2. A u f l . 155 S. 1956 (Bd. 1160) Römische Religionsgeschichte von F. Altheim. 2 Bde. 2., u m g e a r b . Aufl. I : G r u n d l a g e n und G r u n d b e g r i f f e . 116 S . 1956 (Bd. 1035) II: D e r geschichtliche Ablauf. 164 S . 1956 (Bd. 1052) Geschichte Israels v o n E.-L. Ehrlich. 1957. I n V o r b . (Bd. 231)

Musik Musikästhetik von H. J. Moser. 180 S. 1953 (Bd. 344) Systematische Modulation von R. Hernried. 2. Aufl. 136 S. 1950 (Bd. 1094) Der polyphone Satz von E. Pepping. 2 Bde. 1. Teil: Der cantus-firmus-Satz. 2 . Aufl. 223 S. 1950 (Bd. 1148) 2. Teil: 1957. In Vorb. (Bd. 11641 1164a) Allgemeine Musiklehre von H. J. Moser. 2., durchges. Aufl. 155 S. 1955 (Bd. 2201220a) Harmonielehre von H. J. Moser. 2 Bde. I : 109 S. 1954 (Bd. 809) Die Musik des 19. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 180 S. 1953 (Bd. 170) Die Musik des 20. Jahrhunderts I. von W. Oehlmann. In Vorb. (Bd. 171) Technik der deutschen Gesangskunst von H. J. Moser. 3., durchges. und verb. Aufl. 144 S., 5 Fig. 1954 (Bd. 5761576a) Die Kunst des Dirigierens von H. W. von Waltershausenf. 2. Aufl. 138 S. 1954 (Bd. 1147) Die Technik des Klavierspiels aus dem Geiste des musikalischen Kunstwerkes von K. Schubert f . 3. Aufl. 110 S. 1954 (Bd. 1045)

Kunst Stilkunde von H. Weigert. 2 Bde. 2. Aufl. I : Vorzeit, Antike, Mittelalter. 136 S., 94 Abb. 1953 (Bd. 80) I I : Spätmittelalter und Neuzeit. 146 S., 84 Abb. 1953 (Bd. 781) Archäologie von A. Rumpf. 2 Bde. I : Einleitung, historischer OberWiek. 143 S., 6 Abb., 12 Taf. 1953 (Bd. 538) I I : Die Archäologensprache. Die antiken Reproduktionen. 136 S., 7 Abb., 12 Taf. 1956 (Bd. 539)

Geschichte Einführung In die Geschichtswissenschaft von P. Kirn. 2. Aufl. 121 S. 1952 (Bd. 270)

Zeitrechnung d. röm. Kaiserzeit, des Mittelalters und der Neuzelt für die Jahre 1—2000 n. Chr. von H. Lietzmannf. 3. Aufl., durchges von K. Aland. 130 S. 1956 (Bd. 1085) Kultur der Urzeit von F. Behn. 3 Bde. 4. Aufl. der „Kultur der Urzeit". Bd. I — I I I von M. Hoernes. I : Die vormetaiiischen Kulturen. (Die Steinzeiten Europas. Gleichartige Kulturen in anderen Erdteilen). 172 S „ 48 Abb. 1950 (Bd. 564) 11: Die älteren Metallkulturen. (Der Beginn der Metallbenutzung. Kupfer- und Bronzezeit in Europa, im Orient und in Amerika).' 160 S., 67 Abb. 1950 (Bd. 505) I I I : Die jüngeren Metallkulturen. (Das Eisen als Kulturmetall. Hallstat t-Latene-Kultur in Europa. Das erste Auftreten des Eisens in den anderen Erdteilen). 149 S., 60 Abb. 1950 (Bd. 566) Vorgeschichte Europas von F. Behn. Völlig neue Bearbeitung der 7. Aufl. der „Urgeschichte der Menschheit" von M. Hoernes. 125 S., 47 Abb. 1949 (Bd. 42) Der Eintritt der Germanen in die Geschichte von J. Haller. 3. Aufl., Dannenbauer. durchges. von H. 120 S., 6 Ktnskizz. 1957 (Bd. 1117) Von den Karolingern zu den Staufern von J. Haller f . Die altdeutsche Kaiserzeit (900—1250). 3. Aufl. 141 S., 4 Ktn. 1944 (Bd. 1065) Deutsche Geschichte Im Zeltalter der Reformation, der Gegenreformation und des 30 jährigen Krieges von F. Härtung. 129 S. 1951 (Bd. 1105) Deutsche Geschichte von 1648 bis 1740 von W. Treue. 120 S. 1956 (Bd. 35) Deutsche Geschichte von 1713 bis 1806 von W. Treue. 168 S. 1957 (Bd. 39) Quellenkunde der deutschen Geschichte Im Mittelalter (bis zur Mitte des 15. Jahrhunderts) von K. Jacobi. 3 Bde. I : Einleitung. Allgemeiner Teil. Die Zeit der Karolinger. 5. Aufl. 118 S. 1949 (Bd. 279) II: Die Kaiserzeit (911—1250). 4. Aufl. 127 S. 1949 (Bd. 280) 3

III: Das Spätmittelalter (vom Interregnum bis 1500). Herausgeg. von F. Weden. 152 S. 1952 (Bd. 284) Geschichte Englands von H. Preller. I: bis 1815. 3., stark umgearb. Aufl. 135 S„ 7 Stammtaf., 2 Ktn. 1952 {Bd. 375) I I : von 1815 bis 1910. 2., völlig umgearb. Aufl. 118 S., 1 Stammtaf., 7 Ktn. 1954 (Bd. 1088) Römische Geschichte von F. Auheim. 4 Bde. 2., verb. Aufl. I : Bis zur Schlacht bei Pydna