Einführung in die Funktionentheorie [Reprint 2019 ed.] 9783486779295, 9783486779288

Citation preview

HEINRICH

DOB RIE • F U N K T I O N E N T H E O R I E

EINFÜHRUNG

IN

DIE

FUNKTIONENTHEORIE VON

HEINRICH

DÖRRIE

MIT 64 A B B I L D U N G E N

V E R L A G V O N R. O L D E N B O U R G MÜNCHEN

1951

Copyright 1951 by R. Oldenbourg, München Satz und Druck: Deutsche Buch- und Landkarten-Druckerei VEB, Leipzig (vormals Bibliographisches Institut) Buchbinderarbeiten : R. Oldenbourg, Graphische Betriebe G.m.b. H. München

VORWORT Die Anregung zur Abfassung des vorliegenden Buches verdanke ich dem Leiter des Verlages R. Oldenbourg, Herrn Dr. R u d o l f O l d e n b o u r g . Auf Grund seiner wissenschaftlichen Erfahrungen als praktischer Ingenieur schwebte ihm schon lange ein Buch vor Augen, welches einerseits eine möglichst strenge wissenschaftliche Begründung der Hauptsätze der Funktionentheorie, andererseits aber auch als Beweis f ü r die Fruchtbarkeit dieser Sätze eine Reihe funktionentheoretischer Anwendungen enthalten sollte. Ein so angelegtes Buch dürfte nicht nur bei mathematisch interessierten Lesern auf eine freundliche Aufnahme rechnen; es würde vermutlich auch auf jene Kreise einen Anreiz ausüben, die noch dazu neigen, in der Funktionentheorie eine Art grauer Theorie zu erblicken und könnte damit zugleich — worauf ea ankam — ein voraussichtlich immer weiteres nutzbringendes Eindringen funktionentheoretischer Ideen in manches Gebiet der Technik fördern. Dem Verfasser, mit solchen Erwägungen gleichfalls seit langer Zeit vertraut, war es eine Freude, sich der gestellten Aufgabe zu unterziehen, sich an dieser unktionentheoretischen Arbeit zu versuchen, die dazu beitragen sollte, die großen Gedanken von C a u c h y , R i e m a n n , W e i e r s t r a ß und ihrer Nachfolger mehr und mehr zu verbreiten. Dabei h a t er sich vor allen Dingen angelegen sein lassen, die einzigen Schwierigkeiten der Theorie für den Leser möglichst herabzumindern: die Beweise der Sätze klar und übersichtlich und dennoch kurz und einfach darzustellen. Um den inhaltlichen Rahmen für den Lernenden nicht allzu weit zu spannen, erschienen gewisse Beschränkungen wie beispielsweise der Verzicht auf die Darstellung der Theorie der analytischen Funktionen m e h r e r e r Variablen einstweilen geboten. Davon abgesehen, hofft der Verfasser aber, den Umfang doch so weitgehend gestaltet zu haben, daß ein praktisch brauchbares Maß funktionentheoretischer Kenntnisse vermittelt wird. Ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis wird in dieser Beziehung hinreichenden Aufschluß geben. W i e s b a d .n, im Dezember 1950. H. Dörrie

INHALTSVERZEICHNIS Einleitung: Entwicklung einiger in der Funktionentheorie benötigter mathematischer Hillsmittel

Seite

E r s t e r A b s c h n i t t : Die vier G r u n d r e c h n u n g s a r t e n m i t k o m p l e x e n Z a h l e n § 1. Die komplexe Zahl § 2. Die vier Spezies der komplexen Zahlen § 3. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen in der Zahlenebene. . § 4. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen auf der Zahlenkugel

11 11 13 17 24

Zweiter A b s c h n i t t : H i l f s b e g r i f f e u n d H i l f s s ä t z e a u s der A n a l y s i s . . § 5. Mengen § 6. Wege und Gebiete § 7. Dedekinds Schnittsatz § 8. Heine-Borels Überdeckungssatz § 9. Konvergenzkriterien § 10. Cauchys Multiplikationssatz für unendliche Reihen § 11. Unendliche Produkte

28 28 35 38 49 54 58 60

Erster Teil: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Variable Erster Abschnitt: Komplexe Funktionen § 12. Die Regulärfunktion § 13. Beispiele von Regulärfunktionen § 14. Das Integral der stetigen komplexen Punktion

65 65 72 81

Zweiter A b s c h n i t t : Die h o m o g r a p h i s c h e F u n k t i o n § 15. Die homographische Funktion und die durch sie vermittelte Abbildung § 16. Doppelverhältnis und Homographie § 17. Konformität der Homographie § 18. Kreisverwandtschaft § 19. Fixpunkte und Normalformen der Homographie

91 91 102 105 107 114

Dritter § 20. § 21. § 22. § 23. § 24. § 25. §26. §27.

118 118 125 138 141 144 148 154 158

Abschnitt: Potenzreihen Die Potenzreihe an Beispielen erläutert . . . Der Konvergenzkreis Die Ableitung einer Potenzreihe Der Kehrwert einer Potenzreihe Substitution einer Reihe in eine andere Methode der imbestimmten Koeffizienten Abels Stetigkeitssatz Die Potenzreihe $(2 — c)

8

Inhaltsverzeichnis Seite

Vierter Abschnitt: Cauchys Integralsätze und ihre Anwendung . . . § 28. Cauchys Hauptsatz § 29. Anwendung des Cauchyschen Hauptsatzes zur Berechnung bestimmter Integrale § 30. Cauchys Integralformel § 31. Integrationsmethoden § 32. Die Taylorreihe § 33. Die Laurentsche Reihe § 34. Abschätzungsformeln § 35. Singularitäten § 36. Cauchys Residuensatz § 37. Anwendungen des Residuensatzes zur Berechnung bestimmter Integrale § 38. Cauchys Stellensatz § 39. Der Satz von Rouche § 40. Umkehrung einer Regulärfunktion

164 168 174 179 186 190 195 201 205 219 227 230

F ü n f t e r A b s c h n i t t : Der Satz von P i c a r d § 41. Die beiden Sätze von Bloch § 42. Picards Ganzfunktionensatz § 43. Der Satz von Schottky-Landau § 44. Picards Satz

236 236 240 240 243

S e c h s t e r A b s c h n i t t : Die L e m n i s k a t e n f u n k t i o n § 45. Definition der lemniskatischen Funktion § 46. Eigenschaften der Lemniskatenfunktion

245 245 252

Siebenter Abschnitt: Algebraische Funktionen § 47. Einfache Irrationalfunktionen § 48. Regularität einer Irrationalfunktion § 49. Riemannsche Flächen von Irrationalfunktionen § 50. Algebraische Funktionen § 51. Zykeln §52. Die Riemannsche Fläche der impliziten algebraischen Funktion . . . .

265 265 269 274 278 284 288

Achter Abschnitt: Weierstraß* K o n v e r g e n z s a t z und seine rungen § 53. Weierstraß' Konvergenzsatz § 54. Gleichmäßige Konvergenz eines Integrals § 55. Der Satz von Vitali § 56. Ganze Funktionen mit gegebenen Nulistellen § 57. Die unendlichen Produkte für sin z und cos z § 58. Die Reihen für die vier Funktionen sec z, tg z, cosec z, cotg z § 59. Der Satz von Mittag-Lefiler § 60. Cauchys Partialbruchzerlegung

294 294 300 303 311 316 320 329 334

Neunter Abschnitt: Konforme Abbildung § 61. Regularität und Konformität § 62. Kreuzungspunkte

159 159

Folge-

. . . .

339 339 343

Inhaltsverzeichnis

9 Seit«

§ 63. § 64. § 65. § 66. § 67. $ 68.

Konforme Abbildung des Quadrats auf den Kreis und die Ebene . . . Winkeltreue Kartenprojektionen Das komplexe Potential Strömungsbeispiele Konforme Abbildung einer Strömung Riemanns Abbildungssatz

Zehnter Abschnitt: Analytische Fortsetzung § 69. Riemanns Erweiterungssatz § 70. Analytische Fortsetzung durch Potenzreihen § 71. Die Sätze von Painlevö und Schwarz § 72. Analytische Fortsetzung durch Integrale

346 350 357 367 378 385 390 390 393 399 402

Zweiter Teil: Spezielle höhere Funktionen Erster Abschnitt: Thetafunktionen § 73. Jacobis Thetafunktionen § 74. Thetafunktionen höherer Ordnung

409 409 424

Zweiter § 75. § 76. § 77.

435 435 452 462

Abschnitt: Weierstraß' Elliptische Funktionen Doppeltperiodische Funktionen Die Weierstraßsche p-Funktion Weierstraß' Zeta- und Sigmafunktion

Dritter Abschnitt: Modulfunktionen §78. Die Modulfunktion J(co) § 79. Die Modulfunktionen A und ¡x

473 '473 484

Vierter §80. §81. § 82.

495 495 510 517

Abschnitt: Jacobis elliptische Funktionen Die elliptischen Funktionen snu, cnu, dnu Berechnung des Legendreintegrals Anwendungen der elliptischen Funktionen

F ü n f t e r Abschnitt: Eulers Gammafunktionund Riemanns Zetafunktion § 83. Die Gammafunktion § 84. Riemanns Zetafunktion

527 527 542

ZEICHENERKLÄRUNG Bedeutung: -1 cos a + i sin a 1:2ni 2jt n/2, (mangels anderer Festsetzung) Weierstraß' Funktionszeichen für die p-Funktion Folge e l t z2, 2 S , . . .

dm dz

EINLEITUNG Entwicklung einiger in der Funktionentheorie benötigten mathematischen Hilfsmittel Erster Abschnitt Die vier Grundrechnungsarten mit komplexen Zahlen § 1. DIE KOMPLEXE ZAHL

Die komplexen Zahlen begegnen dem Mathematiker erstmalig bei der Auflösung quadratischer Gleichungen. Mit den rationalen und irrationalen Zahlen — den Zahlen der Zahlenachse —, den sog. Realzahlen, vertraut, erkennt er, daß jede quadratische Gleichung ax2+bx+

c= 0

mit reellen Koeffizienten a, b, c und nichtnegativer Diskriminante D—b2 — 4:ac zwei reelle Wurzeln hat, die in dem Grenzfalle eines verschwindenden D koinzidieren, daß dagegen eine solche quadratische Gleichung mit negativer Diskriminante keine (reellen) Wurzeln besitzt! Um aber dem fundamentalen Satze „Jede quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln" uneingeschränkte Gültigkeit zu verleihen, setzt man fest, daß eine quadratische Gleichung auch bei negativer Diskriminante zwei Wurzeln besitzen soll, die dann allerdings nicht reell sein können, sondern, wie man sagt, „imaginär" oder, mit Benutzung eines gebräuchlicheren Ausdrucks, „komplex" sind. Die einfachste quadratische Gleichung mit negativer Diskriminante heißt x2 + 1 = 0 . Sie bildet eine Art Gegensatz zur Gleichung z2 — 1 = 0 , deren Wurzeln die positive und negative reelle Einheit: -)-l bzw. —1 sind. Man schreibt nun auch der Gleichung x*-\-1 = 0 zwei Wurzeln: und —i oder ein wenig einfacher: i und —i zu, die man analog die positive und negative imaginäre Einheit nennt. Dieses i — die Bezeichnung stammt von Euler, findet aber erst durch Gauß weitere Verbreitung —, zunächst nur als ein Symbol in Erscheinung

12

Die vier Grundrechnungsarten mit komplexen Zahlen

tretend, wird nun als eine „Zahl" — eine imaginäre Zahl natürlich — aufgefaßt. Diege Zahl i wird durch die fundamentale Eigenschaft charakterisiert, daß ihr Quadrat den Wert —1 haben soll: i2 = - l . Auch der negativen imaginären Einheit legt man diese Eigenschaft bei. Von der Einführung der imaginären Einheit zur Auflösung der quadratischen Gleichung negativer Diskriminante ist dann nur noch ein Schritt. Handelt es sich z. B. um die quadratische Gleichung a ; 2 - 6 « + 2 5 = 0, so „rechnet" man wie folgt: (x— 3)2 = —16, schreibt statt —16

16 — 1 = 16 i 2

und „folgert" aus

{x— 3)2 = 16

rein formal

x—3 = + 4 i

oder

s ; = 3 ¿ 4 i.

Man schreibt demgemäß a

= 3 + 4i,

/?= 3 — 4i

und nennt a und ß die Wurzeln der quadratischen Gleichung x2— 6 x + 25 = 0. Sind allgemein a und b zwei beliebige Realzahlen, so findet man in ähnlicher Weise für die quadratische Gleichung »2 — 2ax+{a2+bi)

= 0

die beiden Wurzeln a = a-\-bi,

ß=a—bi.

Damit ist man dann bei den „komplexen Zahlen" von der Gestalt c— a+ bi mit reellem a und b angelangt, Zahlen ohne konkrete Bedeutung, auf welche man jedoch die gewöhnlichen Rechenregeln der Arithmetik anwendet, wobei nur vorkommendenfalls das Quadrat von i durch —1 ersetzt wird. In dem neuen Zahlengebilde, der vermöge zweier Realzahlen a und b und der imaginären Einheit i aufgebauten „komplexen Zahl" c— a-\- bi nennt man a den Realteil und b den Imaginärteil von c und bringt diese Unterscheidung durch die Schreibung a=9t(c), zum Ausdruck. Neben der Zahl

i> = 3(c)

oder kürzer: c = a-j-bi

a=5Rc,

b=

Die vier Spezies der komplexen Zahlen

13

erscheint oft — man vergleiche z. B. die beiden Wurzeln der obigen quadratischen Gleichungen — die Zahl a— bi. Man nennt sie die zu c konjugierte Zahl und schreibt sie gewöhnlich c = a— bi. Bisweilen treten auch die beiden Zahlen a-\- bi und — a— bi nebeneinander auf. Man nennt sie entgegengesetzt zueinander, nennt also — a — b i die Entgegengesetzte von a-{- bi und ebenso a + bi die Entgegengesetzte zu — a— bi. Man schreibt dann c=a-\-bi, —c = —a—bi. Wenn in einer komplexen Zahl c = a-\- bi der Realteil fehlt oder verschwindet, so heißt die komplexe Zahl c=bi rein imaginär. Die rein imaginären Zahlen z. B. i, 2 i , 3 i , . .., — 2 i , — 3 i , ... stellen einen wichtigen Sonderfall der komplexen Zahlen dar. Auch die reellen Zahlen sind eine besondere Art komplexer Zahlen: eine reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit verschwindendem Imaginärteil. Speziell ist auch die Zahl Null eine komplexe Zahl: die komplexe Zahl, in der sowohl der Realteil wie auch der Imaginärteil verschwindet. Die komplexe Zahl

c=

a-\-bi

wird auch oft geschrieben:

c=

a-\-ib.

Es ist nun klar, daß der Satz „Jede quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln" erst durch Einführung der komplexen Zahlen seine volle uneingeschränkte Gültigkeit erhält, so daß schon von diesem ganz elementaren Standpunkt aus die Einführung der komplexen Zahlen als ein glücklicher Gedanke gepriesen werden muß. Die Übertragung des Zahlbegriffs auf Symbole von der Form a-\-bi hat natürlich nur Sinn, wenn sich zeigen läßt, daß mit diesen komplexen Zahlen ähnliche Rechnungen ausgeführt werden können wie mit den gewöhnlichen Zahlen der reellen Zahlenachse. Die Regeln über das Rechnen mit komplexen Zahlen sollen in den beiden nächsten Paragraphen erörtert werden. § 2. DIE VIER SPEZIES DER KOMPLEXEN ZAHLEN I. Gleichheit komplexer Zwei komplexe Zahlen c—a-\-bi und

Zahlen c'=a'-\-b'i

heißen gleich, wenn gleichzeitig . , a= a' und b — b' ist. Insbesondere ist eine komplexe Zahl c— a-\- bi gleich Null: c = a-\- 6 i = 0 = 0 + 0» dann und nur dann, wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginärteil verschwindet.

14

Die vier Grundrechnungsarten mit komplexen Zahlen

II. Addition komplexer Zahlen Unter der Summe von zwei komplexen Zahlen c = a-\~ bi

und

c'=a'-\-b'i

versteht man die komplexe Zahl C=A + Bi, in welcher

A = a -j- a'

und

B = b -4- b'.

In ausführlicher Schreibung: (o+ bi) + (a' + b'i) = (a+ a') + Demnach ist

(6 +

b')i

c+c'=c' + c

In Worten: Die Addition komplexer Zahlen befolgt das kommutative Gesetz. Bei beliebig vielen komplexen Zahlen C

i=ai+V>

heißt die Zahl in welcher ^.= ^+«2-1

c2=a2+V, C = A + Bi, 1-an,

...,

cn=an+bni

B=b1 + b2-1

1-bn

ist, die Summe der n Zahlen clt c2, ..., cn. Für den Fall n = 3 erkennt man leicht die Richtigkeit der Relation (