Vektor analysis [Neudr. der 7. Aufl.(1950), Reprint 2020] 9783112315873, 9783112304730

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SAMMLUNG

GÖSCHEN BAND

354

VE KTO KANALYS IS Von

DR. S I E G F R I E D VALENTINER P r o f einer. f ü r P h y s i k a n d e r B e r g a k a d e m i e C l a u s t h a l

Mit 19 Figuren

Neudruck

d e r 7. A u f l a g e (1950)

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. v o r m a l s G. J . G o s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung

• Georg R e i m e r

• Karl J. Trübner

Berlin 1954

• Vpit & C o m p .

Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Archiv-Nr. 110 364 Druck: Otto v. Holten., Berlin W 35

In halt sv erz eichnis Schrifttum Einleitung

6

§ 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems . . .

7

I. T e i l Rechnungsregeln der Vektoranalysis § 2. Definition des Vektors und der skalaren Größe. . § 3. Addition, Subtraktion von Vektoren, Multiplikation der Vektoren mit skalaren Größen § 4. Zerlegung von Vektoren § 5. Gleichungen zwischen Vektoren § 6. Multiplikation von Vektoren § 7. Skalares Produkt § 8. Anwendungen § 9. Vektorielles Produkt § 10. Anwendung auf die Statik §11. Multiplikation von mehr als zwei vektoriellen Faktoren § 12. Skalares Produkt eines polaren und eines axialen Vektors, oder c [a t>] § 13. Vektorprodukt eines polaren und eines axialen Vektors, oder [a [b c]] § 14. Produkte zweier axialer Vektoren . § 15. Reziproke Vektortripel § 16. Produkte im schiefwinkligen Bezugssystem § 17. Über die Erweiterung des Vektorbegriffs auf den mehrdimensionalen R a u m § 18. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe § 19. Satz vom kleinsten statischen Moment

)3 16 19 21 22 24 26 27 31 33 34 36 37 40 42 42 47 48

4

Inhaltsverzeichnis

§ 20. Der Gradient einer skalaren Funktion § 21. Differentiation einer Skalaren nach einer Skalaren in einer vorgegebenen Richtung § 22. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Größe in einer vorgegebenen Richtung § 23. Die Operation V bei vektoriellem Argunent . . . . § 24. Die skalare Operation V bei vektoriellem Argument. Integralsatz von Gauß § 25. Anwendungen. Die Bezeichnung Divergenz | 26. Die vektorielle Operation F. Die Rotation §27. Satz von Stokes § 28. Anwendung § 29. Impulssätze § 30. Mehrfache Anwendung der Differentialoperation V §31. Die Differentialoperationen bei Benutzung rechtwinkliger, krummliniger Koordinaten

49 51 53 54 57 61 62 65 69 71 72 74

II. T e i l Anwendung in einigen physikalischen Gebieten § 32. Einteilung

81 Kapitel 1

Einige Sätze der P o t e n t i a l t h e o r i e § 33. § 34. § 35. § 36.

Bedeutung des Potentials in der Mechanik Newtonsches Potential Hilfssätze von Green Ableitung der Potentialfunktion V aus den charakteristischen Bedingungen § 37. Deutung der einzelnen Glieder der Lösung

83 84 85 88 90

Kapitel 2 Einige Sätze der H y d r o d y n a m i k § 38. §39. § 40. §41. §42.

Einführung der Flächenkräfte 92 Eulersche Gleichungen für reibungslose Flüssigkeiten 95 Sätze von Helmholtz über die Wirbelbewegung . . . 96 Solenoidaler Vektor 99 Flächenwirbel 101

Inhaltsverzeichnis

5

Kapitel 3 Einiges aus der Theorie der E l e k t r i z i t ä t § 43. Berechnung eines beliebigen Vektorfeldes 104 § 44. Elektromagnetische Gleichungen von MaxwellLorentz 105 §45. Biot-Savartsches Gesetz 107 III. Teil Lineare Vektorfunktionen, Dyaden, Tensoren § 46. §47. §48. §49. § 50. §51. § 52. § 53. §54. § 65. § 56.

Lineare Vektorfunktionen Die Dyade . Anwendung Einige Regeln für die Rechnung mit Dyaden Reduktion der vollständigen Dyaden auf ein und zwei Glieder Normalform der vollständigen Dyade Das totale Differential eines Vektors Anwendung auf die unendlich kleinen Verrückungen kontinuierlich verbreiteter Massen Hauptdilatationsachsen. Reine Volumendilatation.. Die skalare und die rotorische Dyade Benutzung der Dyaden bei den dreifachen Vektorprodukten

109 114 116 116 119 120 123 124 128 131 133

A n h a n g : Zusammenstellung einiger wichtiger Formeln.. 135

Schrifttum Aus der ersten Zeit der Entwicklung M ö b i u s , Der baryzentrische Kalkül, ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbes. auf die Bildung neuer Klassen von Aufgaben und die Entwicklung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet. Leipzig 1827. G ra ß m a n n , Die Ausdehnungslehre von 1844 oder die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik. 2. Aufl. Leipzig 1878. — Die Ausdehnungslehre. Berlin 1862. H a m i l t o n , Elemente der Quaternionen; deutsch von Glan. Leipzig 1884. T a i t , Elementares Handbuch der Quaternionen; deutsch von v.Scherft'. Leipzig 1880.

Die moderne Behandlung der .Vektoranalysis und ihrer Verwendungsmöglichkeit findet man in zahlreichen Lehrbüchern der Vektorrechnung; mehr oder weniger ausführlich dargestellt ist sie in allgemeinen Hand- und Lehrbüchern der Mathematik und in Lehrbüchern der theoretischen "Physik.

Einleitung § 1. Darstellung der Resultante eines Kraftsystems Die Vektoranalysis ist eine mathematische Disziplin, die sich in ihrem Aufbau fast so vollkommen an die Anschauung anlehnt wie die Geometrie selbst: sie bildet ihre Begriffe und Schlüsse gerade denen der Geometrie nach. Inwiefern sie dadurch zu einer knapperen, übersichtlicheren und anschaulicheren Darstellung aller solcher Erfahrungen führt, die auf den zwei- oder dreidimensionalen Raum sich beziehen, als die gewöhnliche Analysis, will ich in dem ersten Paragraphen an einem Beispiel zeigen. Dasselbe ist zugleich geeignet, den Unterschied der beiden wichtigsten Begriffe der Vektoranalysis: der skalaren Größe und des Vektors, hervortreten zu lassen. Es mögen an n Punkten eines freien, starren Körpers / pl...pn die Kräfte P , . . . Pn angreifen. Ein solches System von Kräften läßt sich ersetzen durch eine resultierende Einzeikraft und ein Kräftepaar, das von dem Angriffspunkt der Einzelkraft abhängig ist. Der analytische Ausdruck der Einzel kraft und des Kräftepaars wird gewonnen, indem man die Kräfte in die Komponenten nach den drei Richtungen, z. B. eines rechtwinkligen Koordinatensyst 3ms zerlegt und diese in geeigneter Weise zu drei resultierenden Komponenten einer Einzelkraft und eines Kräftepaars wieder zusammensetzt. So lehrt es die analytische Mechanik. Anschaulicher und, man möchte sagen, direkter wird die Aufgabe auf geometrischem Wege ohne Zerlegung in Komponenten in folgender Weise durch wiederholte Anwendung der Sätze vom Parallelogramm der Kräfte und der statischen Momente gelöst.

8

Einleitung

Man denkt sich (vgl. Fig. 1) zwei neue Kraitsysteme dem ursprünglichen P1...Pn zugefügt, die dadurch gewonnen werden, daß man in e i n e m und d e m s e l b e n .

Fig. 1

aber beliebigen Punkt Kräfte P[...P'n angreifen läßt, die den gegebenen gleich und gleich gerichtet sind, und solche Fi... P'n, die ihnen gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Das System P[...P'n setzt man nach dem Satz vom

Fie. 2

Darstellung der Resultante eines Kraftsystems

9

Parallelogramm der Kräfte oder, wie man kurz zu sagen pflegt, durch geometrische Addition zu der Resultierenden R zusammen:

(1)

R = P i (+)...

(+)P'n,

wo das Zeichen ( + ) anzeigen soll, daß die Kräfte geometrisch zu addieren sind, also mit Rücksicht auf die Richtung der Kraft, wie es z. B. auf dem Zeichenbrett gesche-

V / Sichtrichtung •
[ec] = 6 [[ab] c] = 6 ;(ac) b — (bc) a} = (ac) (bb) - ( 6 c ) (ab). Hechts steht zuletzt die Differenz zweier Produkte aus reinen skalaren Größen; das skalare Produkt zweier axialer Vektoren ist also kein Pseudoskalar. 2. Vektorprodukt aus zwei axialen Vektoren oder [[a6][cb]]. Setzen wir wieder [ab] = c, so wird (2)

[[ab] [cb]] = = = =

[e[cb]] c (cb) - b (cc) c ([ab] b) - b ([ab] c) c (abb) — b (abc).

Hier sind die polaren Vektoren c und b mit Pseudoskalaren multipliziert, es muß daher die Differenz ein axialer Vektor sein. Zusammenfassend können wir sagen: D a s V e k t o r p r o d u k t a u s zwei p o l a r e n o d e r a u s zwei a x i a l e n V e k t o r e n s t e l l t e i n e n a x i a l e n V e k t o r dar, das V e k t o r p r o d u k t aus einem polaren und einem axialen Vektor einen polaren. Da übrigens [[ab][cb]] = —[[cb] [ab]], so ist auch (3) [[ab] [cb]] = —a (beb) + b (acb). Für 6 = c geht diese Gleichung über in [[ab][bb]] = b (abb). Wir erhalten hieraus die wichtige Beziehung zwischen 4 Vektoren, von denen nicht drei in einer Ebene hegen: b ([ab] c) = a (beb) - 6 (acb) + c(abb) oder, da ([ab] c) eine skalare Größe ist und Vektoren durch

Produkte zweier axialer Vektoren

39

skalare Größen dividiert werden, indem man den absoluten Betrag durch die skalare Größe dividiert, nach Division: . beb , , c a b , abb (4) b= a , + b - + c . . w cab cab cab 3. Endlich sei noch besonders darauf hingewiesen, daß bei der Kombination a (bc), die in § 13 schon benutzt worden ist, auf die Klammern geachtet werden muß, indem a(bc) einen Vektor darstellt von der Größe abc cos (bc) und der Richtung des Vektors a, da (b c) nichts anderes als eine skalare Größe ist. Es sind die Vektoren a (b c) und (a b) c völlig verschiedene Größen. 4. Es liegt auf der Hand, zu fragen, ob auch eine Division einer skaVren Giöße oder eines Vi ktors duich einen Vektor als eine Operation definiert we: den kann, die auf ein eindeutiges E gebnis führt. Die a'g.-b ai che Defini ion einer Division auf die Vektorrechnung übertragen würde lauten: Eine Größe A (Skilar oder V k t o r ) durch einen Vektor 95 dividieren, heißt die Größe F (Sk lar oder Vek or) aufsuchen, die mit dem Divi-or (d in V. k or 'J?) nach den R gjln der Vektorrechnung multipliziert den Dividend A e g.b . Eine leichte Rechnung zeigt, daß, w-do)+

• [t> • dg],

wir §( 2 ) des also

Impulssätze

71

und mit Benutzung des Satzes von Stokes

I

( t > F ) f s ß • do =y"div53

(t> • da) +

f[!Qx>]d$

= / d i v 8 3 ( o - d o ) + J r o t [23 d] d o,

folglich ist (6)

~

f x - d o

=

+ » div 93 + r o t [ i ü o ] } d o,

und die Flußänderung durch eine g e s c h l o s s e n e Fläche ist daher (7)

¿

^

«

.

¿

o

=

^

+

»div5ö)do.

§ 29. Impulssätze Um die Bewegung eines starren Körpers, der vorgegebenen Kräften unterworfen ist, zu bestimmen, gehen wir von dem d'Alembertschen Prinzip aus. Nach diesem müssen in jedem Augenblick der Bewegung des Punktsystems die gegebenen bewegenden Kräfte unter Hinzufügen der negativ genommenen, mit den Massen multiplizierten, wahren Beschleunigungen — der sogenannten Trägheitskräfte — sich das Gleichgewicht halten. Den Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte am starren Körper entsprechend (§10) lauten also die Bedingungen, aus denen die Bewegung abgeleitet werden kann, wenn m i die Massen der Angriffspunkte und C; ihre Entfernung von dem im Räume festen Bezugspunkt bezeichnen: = 0. Diese Gleichungen'lassen sich in folgende Form bringen: dt, (1)

2?

^

z

h w

-¿/s*=~tZ

d = - i t 2 i m

< h w

m

i » i ]

=

i

l

^

»J-

7V

Rechnungsregeln der Vektoranalysis

Man nennt

m i v i = 9 3 die resultierende Bewegungsgröße

oder den Impuls, ^Jmi[ti'Oi'] = U das resultierende Moment der Bewegungsgrößen oder das Impulsmoment. Die Gleichungen (1) gehen durch Einfülirung dieser Größen über in die die Impulssätze darstellenden Gleichungen:

Handelt es sich speziell wieder um die Bewegung eines um einen Punkt drehbaren starren Körpers und wählen wir diesen wieder als Bezugspunkt, so ist (vgl. § 26): U=2J

m

i fo "¡1

=

S

=2}

mi

fa[u

m'ci

• « - 2]

m