Vektor- und Dyadenrechnung für Physiker und Techniker [Reprint 2020 ed.] 9783112392966, 9783112392959

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Arbeitsmethoden der modernen Naturwissenschaften

Vektor- und Dyadenrechnung für Physiker und Techniker Von

ERWIN

LOHR

Professor an der Deutschen Technischen Hochschule in Brünn

Mit 34 Figuren im Text

Berlin W A L T E R

DE

1939

G R U Y T E R

&CO.

vormals G. J . Goschen'sche Verlagshandlung / J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer • Karl J . Trübner / Veit & Comp.

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung vorbehalten. Copyright 1939 by W a l t e r d e G r u y t e r & C o . , vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlimg — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit 4 Comp. Berlin W 35, WoyrechstraBe 13. Archiv-Nr. 52 62 39. Prioted in Germanv. — Druck von Metzger & Wittig in Leipzig

VORWORT

Als ich 1905 nach Brünn zu G u s t a v J a u m a n n kam, wies er mich alsbald mit großem Nachdruck auf die außerordentliche Bedeutung der Vektor- und Dyadenrechnung für die gesamte theoretische Physik hin. J a u m a n n s „Bewegungslehre" und die „Vektor Analysis" von J . W. G i b b s waren die Bücher, nach denen ich die mir damals neue Disziplin studierte. Trotz der leider so zahlreichen und verschiedenartigen Operationszeichen und Schreibweisen, welche in der Vektor- und Tensorrechnung mehr oder weniger gebräuchlich geworden sind, habe ich an der, meiner Erfahrung nach klarsten und verallgemeinerungsfähigsten G i b b s J a u m a n n sehen Schreibweise festgehalten. Wiederholt schon wurde ich von verschiedenen Seiten gedrängt, ein Lehrbuch der Vektor- und Dyadenrechnung zu schreiben das, neben den unerläßlichen theoretischen Grundlagen, vor allem auf die praktische Anwendung größten Wert legt. — Gerade ein solches Buch paßt naturgemäß auch in den Rahmen der Sammlung „ A r b e i t s m e t h o d e n der m o d e r n e n N a t u r w i s s e n s c h a f t e n " . Meine Legitimation für dieses Unternehmen liegt in der Tatsache, daß ich seit 3 Jahrzehnten dieses Rechenverfahren in allen meinen theoretischen Arbeiten praktisch verwende. Mein Zögern aber war in dem Umstände begründet, daß ich Physiker und nicht Mathematiker bin. Der Wunsch des Verlages und die Wohlmeinung meiner Freunde, unter ihnen in erster Linie Herr Professor Dr. C l e m e n s S c h a e f e r (Breslau), ließen mich schließlich alle derartigen formalen Bedenken überwinden. Dem Genannten schulde ich überdies für die Durchsicht einer ganzen Korrektur und für wertvolle Anregungen herzlichen Dank. Aus einer Vorlesung hervorgegangen, die ich im Studienjahre 1936/37 an der Deutschen Technischen Hochschule in Brünn vor einem Auditorium von Physikern, Ingenieuren und Hörern höherer Semester der verschiedenen technischen Fächer hielt, ist auch das vorliegende Buch in erster Linie für Physiker und Techniker bestimmt.

VI

Vorwort

Schon die Auswahl des Stoffes der beiden ersten Teile des Buches, welche dem Leser eine ausreichende und tragfähige mathematische Grundlage des vorgetragenen Rechenverfahrens vermitteln sollen, ist vorzugsweise nach den Bedürfnissen der physikalischen Anwendungen ausgerichtet. Der dritte und umfangreichste Teil bringt physikalische Anwendungen aus allen Gebieten der theoretischen Physik. Das letzte Kapitel führt noch kurz in die einschlägigen Rechenverfahren der Quantenmechanik (Matrizenmechanik) ein. Ich war von Anfang an darauf bedacht, durch das Verfahren des „Projizierens" die systematische Verbindung mit der gewöhnlichen Arithmetik, Algebra und Analysis aufrechtzuerhalten, deren Sätze, soweit sie den Rahmen des üblichen technischen Hochschulstudiums nicht überschreiten, hier als bekannt vorausgesetzt werden. Dem Leser soll dauernd vor Augen geführt werden, d a ß er und w i e er alle seine früheren Kenntnisse im Bereiche des neuen Rechen Verfahrens verwerten kann. Gleichzeitig war es aber selbstverständlich mein lebhaftes Bestreben, den Leser durch die Tat zu überzeugen, wie vorteilhaft das wirkliche Rechnen mit Vektoren, Dyaden und extensiven Gebilden noch höheren Ranges nicht nur bei physikalischen Untersuchungen allgemeineren Charakters, sondern vielfach auch noch bei der Lösung von Einzelaufgaben ist. Um bei den Anwendungen w i r k l i c h u n d im v o l l e n U m f a n g e mit dem neuen Verfahren arbeiten zu können, mußten die Anwendungen n a c h der Entwicklung dieses Verfahrens in einem eigenen Schlußteile zusammengefaßt werden. Im mathematischen Sinne Neues wird man in dem Buche nicht finden. Was die Auswahl und Anordnung des Stoffes betrifft, habe ich mich ausschließlich von meinen eigenen Erfahrungen leiten lassen. Ich habe mich nicht gescheut, vom üblichen Wege abzuweichen, wo mir der neue Weg leichter, übersichtlicher, besser erschien; ich habe aber auch ruhig die gute alte Straße überall dort benützt, wo eine Änderung der Linienführung dem Leser keinen Vorteil gebracht hätte. Abweichungen von den gewohnten Darstellungen wird der Kenner bei der systematischen Behandlung der Dyade, in dem Kapitel über Triaden und Tetraden, in der Art der Einführung des Vektorpotentials und im Zusammenhange damit bei der Behandlung der Wirbelfelder, in den Untersuchungen

VII

Vorwort

über die Äquivalenz von Wirbel- und Quellenfeldern, sowie in manchen Einzelheiten der physikalischen Anwendungen finden. Alles, was für das in diesem Buche angestrebte Ziel „Die P r a x i s der Vektor- und Dyadenrechnung in der heutigen Physik und Technik" nur Ballast gewesen wäre, habe ich grundsätzlich weggelassen. Dahin gehört die Behandlung der Quaternionentheorie, ein tieferes Eingehen auf Probleme der Differentialgeometrie, auf die Vektor- und Dyadenrechnung im R i e m a n n s c h e n Räume u. ä. Um das rasche Auffinden der Gleichungen zu ermöglichen, wird bei Verweisungen im Text neben der Formelnummer auch die Seitenzahl angegeben. Aus der neueren einschlägigen Literatur habe ich gelegentlich benützt die Bücher: J. S p i e l r e i n , Lehrbuch der Vektorrechnung (Wittwer 1916); \V. B l a s c h k e , Vorlesungen über Differentialgeometrie (Springer 1921); M. L a g a l l y , Vektorrechnung (Akadem. Verl. Ges. 1928); O. D. K e l l o g , Foundations of Potential Theory (Springer 1929); M. B o r n und P. J o r d a n , Elementare Quantenmechanik (Springer 1930); P. A. M. D i r a c , The Principles of Quantum Mechanics (Oxford Clarendon Press 1935). Ich danke zunächst meinem ersten Assistenten, Herrn D. J . O b r i s t , der einen Teil der Reinschrift besorgt und alle Korrekturen mitgelesen hat. Es haben mich ferner mein Freund und Kollege, Professor Dr. J o h . J a u m a n n , die Herren meines Institutes, Ing. H. C e c h , Dr. F. L e t t o w s k y , sowie anfänglich auch Herr Dr. A. E r d e l y i bei der Durcharbeitung der Korrekturen wirksam unterstützt. Ing. H. C e c h fertigte die Figuren an und meine Tochter I r m h i l t nahm mir einen großen Teil der Schreibarbeit ab. — Ihnen allen sage ich herzlichen Dank, der in besonderem Maße auch dem Verlage für das verständnisvolle Entgegenkommen gebührt, mit dem er meine Wünsche während des Druckes berücksichtigte. Werfenweng (Salzburg), Gassengut, im Sommer 1939. E. Lohr

INHALTSVERZEICHNIS Seite

Einleitung I. T e i l .

1 A r i t h m e t i k und A l g e b r a e x t e n s i v e r G r ö ß e n . . . .

3

1. Erste Einführung der neuen Größen

3

2. Strenge Definitionsgleichungen Grundsatz des Projizierens

5 5

3. Überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen

9

a) b) c) d)

Vektoren in mehrdimensionalen Räumen Koordinatentransformationen Skalares Produkt und metrische Fundamentalgrößen... Bivektoren

4. Definitionsgleichungen der Dyaden a) Einführung der Dyaden b) Verschiedene Darstellungsformen der Dyaden (Neunerform) c) Symmetrische und antisymmetrische Dyaden, Vektor der antisymmetrischen Dyade 5. Die vektorische Multiplikation

9 10 13 14 16 16 20 22 26

a) Zurückführung auf das Punktprodukt: V e k t o r - D y a d e . . . b) Vektor und erster Skalar einer Dyade c) Vektorisches Tripelprodukt

26 28 30

6. Noch einige wichtige Produktbildungen und Rechenregeln

31

a) Skalares Tripelprodukt, reziproke Systeme b) Vektorisches Quadrupelprodukt, Identitätsdyade c) Darstellung der Produkte im schiefwinkligen Bezugssystem. Polare und axiale Vektoren d) Kreuzprodukt von Vektor und Dyade e) Produkte zweier Dyaden. Reziproke Dyade f) Doppel- und Tripelprodukte von Dyaden. Zweite Dyade, zweiter und dritter Skalar g) Einige Rechenregeln

31 33 34 35 36 39 43

X

Inhaltsverzeichnis Seite

7. Eigenwertprobleme der Dyaden a) b) c) d)

Die Dyade als lineare Vektoriunktion Hauptachsentransformation (Säkulargleichung) Bidyaden Tonische, im besonderen symmetrische Dyaden, Normalform der Dyade e) Die durchwegs reellen Wurzeln der Säkulargleichung sind nicht alle voneinander verschieden f) Die Säkulargleichung h a t eine reelle und zwei konjugiertkomplexe Wurzeln g) Hermitische Dyaden

8. Invarianten der Dyade; C a y l e y - H a m i l t o n s c h e Gleichung; die Dyade als Deformationsdyade a) Invarianten b) Vertauschungssatz c) Die C a y l e y - H a m i l t o n s c h e Gleichung d) Die Dyade als Deformationsdyade e) Das Ellipsoid als anschaulicher Repräsentant der Dyade f) Einfacher und zusammengesetzter Schub g) Die zyklische Dyade und der Versor h) Die unitäre Dyade 9. Triaden und Tetraden a) Einführung der Triaden und Tetraden b) Verallgemeinerung auf extensive Größen noch höheren Ranges. Der Verjüngungsprozeß c) Produktbildungen aus extensiven Größen beliebigen Ranges d) Systematik der Tetraden. Reziproke Systeme von Dyaden e) Systematik; Identitäts-, reziproke, symmetrische, antisymmetrische Tetrade f) Einige Rechenregeln g) Eigenwertprobleme und Transformationstheorie der Tetraden h) Korrespondenz zwischen mehrdimensionalen Räumen und extensiven Gebilden höheren Ranges i) Irreduzible extensive Größen

44 44 45 46 47 52 54 57 60 60 61 62 63 64 67 68 73 74 74 77 79 82 85 87 89 93 94

Inhaltsverzeichnis

XI Seile

II. Teil.

Analysis extensiver Größen

99

1. Differentialoperationen a) Definition des Differentials b) Differentiation von Produkten c) Höhere und partielle Differentialquotienten, entwicklungen

99 99 100 Reihen102

2. Derivationen und Feldbegriff

104

a) Derivation eines Skalarfeldes b) Einführung krummliniger Koordinaten c) Einige Rechenregeln

104 106 108

3. Derivationen von Vektorfeldern. Extensive Differentialquotienten höherer Ordnung und höheren Ranges a) Dyadische Derivation, Rotor, Divergenz b) Derivationen höheren Ranges und höherer Ordnung c) Der H a m i l t o n s c h e Operator als symbolischer Vektor, Rechenregeln d) Differentiation nach dyadischen und nach komplexen Veränderlichen e) Einige Formeln 4. Integraloperationen 5. Linien-, Flächen-, Raumintegrale. Stokesscher G a u ß s c h e r Satz und verwandte Sätze

109 109 111 113 117 120 120

Satz, 124

a) Linien-, Flächen- und Raumintegrale b) Umformung von Linienintegralen in Flächenintegrale. S t o k e s s c h e r Satz c) Umformung von F l ä c h e n - i n Raumintegrale. G a u ß s c h e r Satz

135

6. Quellen und Wirbel; wirbelfreie und quellenfreie Vektorund Dyadenfelder

139

a) b) c) d)

Wirbelfreie Felder Wirbel Quellen und quellenfreie Felder Eindeutige Bestimmtheit eines Vektorfeldes durch sein Quellenfeld und sein Wirbelfeld e) Dyadenfelder, das ,, Vektorfeld" des Dvadenfeldes

124 130

139 140 143 144 147

XII

Inhaltsverzeichnis Seite

7. Ermittlung des Vektorfeldes bzw. des Dydenfeldes aus dem Quellenfeld und dem Wirbelfeld a) b) c) d)

Skalares Potential eines wirbelfreien Vektorfeldes Vektorpotential eines Dyaden- oder Vektorfeldes Dyadisches Potential eines Dyadenfeldes Verallgemeinerung auf n-dimensionale Räume

151 151 169 160 161

8. Wichtige Sonderfälle von Quellenfeldern 162 a) Punktförmige Quelle 162 b) Quellinien 163 c) Flächenhaft verteilte Quellen 168 d) Allgemeine Überlegungen über Flächen-, Linien- und Punktdivergenzen 172 e) Erörterung der Verhältnisse, falls ein Teil der Quellen sehr weit entfernt ist 177 9 . Vektorische Quellenfelder, insbesondere W irbelfelder und wichtige Sonderfälle a) Vektorische Raum-, Flächen-, Linien- und Punktdivergenzen von Dyadenfeidern b) Abhängigkeit des Vektorpotentials von den Wirbelflüssen c) Flächenwirbe] und Linienwirbel d) Das vektorische Quellenfeld bestimmt jedenfalls den quellenfreien Anteil des Vektorfeldes e) Punktwirbel f) Beispiel f ü r eine vektorische Liniendivergenz (Linienwirbel)

180 180 184 185 188 190 193

10. Äquivalenzen zwischen Quellen- und Wirbelfeldern 196 a) Eindeutige Bestimmtheit des Quellen- und Wirbelfeldes durch das Vektorfeld 196 b) Mathematische Behandlung der Äquivalenz zwischen Quellen- und Wirbelsystemen 198 c) Doppelschicht und Wirbellinie 207 d) „Reale Bedeutung" von Doppelschichten 216 e) In sich abgeschlossene Systematik der Skalarfelder, der Vektorfelder, der Dyadenfelder 217 f) Vielfachschichten, Multipole und L e g e n d r e s c h e Kugelfunktionen 222

Inhaltsverzeichnis

XIII Seite

I I I . Teil.

P h y s i k a l i s c h e Anwendungen

1. Einige Anwendungen aus der Mechanik a) Bewegungsgleichung, Spannungsdyade, Schwerpunktssatz b) Symmetrie der Spannungsdyade, Momentensatz c) Mechanik des starren Körpers 2. Beispiele vektorischer Schreibweise in der Geometrie a) b) c) d) e) f) g)

Darstellung von Kurven und Flächen. Grundaufgaben.. Ellipsoid Geometrie der Deformation Raumkurven, F r e n e t s c h e Dyade Flächenkurven Flächen Differentialgeometrie der Vektorfelder

3. Weitere Anwendungen aus der Mechanik a) Mechanik des Massenpunktes b) Systeme von Massenpunkten, ,, H a m i l t o n - J acobisehe Differentialgleichung" c) Kinematik des starren Körpers d) Drehung um einen festen Punkt. Trägheitsdyade e) Drehung um eine feste Achse f) Bewegte Bezugssysteme g) Keplerbewegung und Störungsgleichungen 4. Anwendungen aus der Theorie der Elastizität a) b) c) d) e) f) g) h) i) k)

Die Deformationsdyade Der einfache Schub als Beispiel Deformationsellipsoid, infinitesimale Deformationen . . . . Spannungsdyade und Spannungsellipsoid Die Bewegungsgleichungen mit Berücksichtigung der elastischen Spannungen. Energiesatz Elastostatik, Bedeutung der Moduln und Beziehungen zwischen ihnen Kristallelastizität Elastische Wellen in Kristallen Bestimmung der elastischen Konstanten in Kristallen (Cl. S c h a e f e r , L. B e r g m a n n ) Oberflächen wellen

227 227 227 230 232 235 235 240 244 247 250 253 259 260 260 263 266 268 271 272 273 275 275 277 279 280 282 286 289 295 297 301

XIV

Inhaltsverzeichnis Seite

5. Anwendungen aus der theoretischen Hydrodynamik

305

a) b) c) d) e) f)

L a g r a n g e s c h e Gleichungen der Hydrodynamik 305 E u l e r s c h e Gleichungen der Hydrodynamik 306 Differentialform des Energiesatzes 307 Berücksichtigung von Reibungswärme und Wärmeleitung 309 Differentialform des Entropiesatzes 312 Zeitliche Änderung von Flächen- und Linienintegralen, die auf bewegte Flächen und Linien bezogen sind 315 g) H e l m h o l t z s c h e Wirbelsätze 317 h) Die B e r n o u l l i s c h e und mit ihr zusammenhängende Gleichungen 318 i) Zähigkeitsspannungen und P o i s e u i l l e s c h e S t r ö m u n g . . 320

6. Anwendungen aus der Theorie der elektromagnetischen Erscheinungen a) b) c) d) e) f) g) h)

323

Die M a x w e l l s c h e n Gleichungen Die H. H e r t z s c h e n Gleichungen Die L o r e n t z s c h e n Gleichungen Vereinfachte Feldgleichungen der Praxis „Körperliche" Fluxionen Die elektromagnetische Spannungsdyade L o r e n t z s c h e Theorie und Gegenwirkungsprinzip Dielektrische Kugel im ursprünglich homogenen elektrostatischen Felde i) Die H e r t z s c h e Lösung der M a x w e l l s c h e n Gleichungen (Strahlender Dipol) k) Elektromagnetische Wellen längs paralleler vollkommener Leiter

347

7. Anwendungen aus der klassischen Theorie der optischen Erscheinungen

352

a) Dispersion und Absorption b) Kristalloptik c) Klassische Theorie des Zeemaneffektes und verwandter Erscheinungen

323 324 326 327 328 330 333 335 339

352 357 363

Inhaltsverzeichnis

XV Seite

8. Ausblick auf die Q u a n t e n m e c h a n i k

366

a) Wellenmcchanik

366

b) Z u s a m m e n h a n g mit der H a m i l t o n - J a c o b i s c h e n Differentialgleichung

371

c) E r w a r l u n g s w e r t e , Strahlungsemission d) H e i s e n b e r g s c h e

373

Ungenauigkeitsrelation

und

Ver-

tauschungsrelationen

381

f) Z u s a m m e n h a n g zwischen Wellen- u n d M a t r i z e n m e c h a n i k

385

g) Einige mechanik Register

377

e) Matrizenmechanik grundlegende

Rechenverfahren

der

Matrizen391 399

EINLEITUNG

Wir machen alle unsere sinnlichen Wahrnehmungen im Räume; das wissenschaftliche Schema, durch das wir unsere Erfahrungen ordnen, wird also gleichfalls ein räumliches sein müssen. Die Zahlen aber, welche durch systematische Verknüpfungen diskreter Denksetzungen entstehen, bilden eine geordnete e i n d i m e n s i o n a l e Folge. Wollen wir das räumliche Geschehen durch gewöhnliche Zahlen erfassen, so müssen wir jedem Raumpunkte drei Zahlen zuordnen, wie es die auf De sc a r t es zurückgehende analytische Geometrie tut. Diese drei Zahlen charakterisieren den betreffenden Raumpunkt aber nur in bezug auf ein ganz bestimmt gewähltes, an sich aber v ö l l i g w i l l k ü r l i c h e s Koordinatensystem. Dieselbe Bemerkung gilt ebenso für jede zwei Raumpunkte verbindende, gerichtete Strecke und damit für alle physikalischen Größen, welche man durch gerichtete Strecken darstellen kann und die man als V e k t o r e n zu bezeichnen pflegt. Was für Vektoren zutrifft, gilt schließlich analog für die durch entsprechende Verknüpfung von Vektoren definierten ,,extensiven Größen höheren Ranges" (höherer Stufe), die D y a d e n , T r i a d e n , T e t r a d e n usf. Das Unbefriedigende der Koordinatendarstellung liegt vor allem in der W i l l k ü r , mit welcher irgendein besonderes Koordinatensystem für die Darstellung herausgegriffen werden muß. Wird man zu willkürlichen Entscheidungen genötigt, so ist das stets ein Anzeichen dafür, daß man in unsachgemäßer Weise spezialisiert hat. Willkürliche Entscheidungen sind ja immer Entscheidungen über Bestimmungen, die für das Darzustellende u n w e s e n t l i c h sind. Handelt es sich um die Lösung von Einzelaufgaben, etwa um ein bestimmtes Randwertproblem, dann wird sich auch jeweils eine ganz bestimmte Koordinatenwahl als die der Aufgabe angemessenste darbieten. Man wird z. B. elliptische Koordinaten einzuführen haben, wenn die Randfläche ein Ellipsoid ist. Erst die Einzelaufgabe verlangt ein spezielles Koordinatensystem, in UnterL o h r , Vektor- und Dyadcn-Rit-huunp

1

2

Einleitung

suchungen allgemeinen Charakters aber wird jede vorzeitige Spezialisierung nur die Formeln komplizieren und das Hervortreten des Wesentlichen erschweren. Die Grenze, an der es sich empfiehlt, vom Rechnen mit den extensiven Größen selbst zum Rechnen in geeignet gewählten Koordinaten überzugehen, ist naturgemäß eine fließende. Da die Vektor- und Dyadenrechnung der Eigenart physikalischer Problemstellungen weitgehend angepaßt ist, wird man gut daran tun, sich der Vorteile dieses Formalismus möglichst ausgiebig zu bedienen. Unerläßlich dafür ist allerdings eine gewisse Vertrautheit mit den wichtigsten Rechenregeln des Kalküls, worauf in der folgenden Darstellung, bei aller Kürze, gebührend Rücksicht genommen werden soll.

I. T E I L

ARITHMETIK UND A L G E B R A E X T E N S I V E R GRÖSSEN

1. Erste Einführung der neuen Größen Wenn wir einerseits ein durchaus autarkes Rechnen im Rahmen des neuen Kalküls als wesentlich für die Erreichung des angestrebten Zieles ansehen, wollen wir doch anderseits die extensiven Größen und das Operieren mit ihnen von vornherein und in konsequenter Weise so an das Rechnen mit reellen bzw. komplexen Zahlen anschließen, daß wir bei den neuen Begriffsbildungen, Definitionen und der Ableitung der neuen Rechenregeln alle erforderlichen Begriffe, Definitionen und Sätze der als bekannt vorausgesetzten Algebra und Analysis mühelos übertragen können. Im dreidimensionalen euklidischen Raum kann bekanntlich jede gerichtete Strecke, deren Endpunkt stets durch eine Pfeilspitze markiert werden soll, oder anders gesprochen, jeder V e k t o r der ja immer durch eine gerichtete Strecke darstellbar ist, durch seine drei P r o j e k t i o n e n auf drei von einem Punkte O aus gezogene, nicht in dieselbe Ebene fallende, wie man auch sagt, nicht komp l a n a r e Gerade charakterisiert werden. Für diese drei Geraden, die Achsen des B e z u g s s y s t e m s , bildet der Ursprung 0 den Nullpunkt der Zählung. Die drei positiven Halbachsen denken wir uns immer so angeordnet, daß von der dritten aus beurteilt, die erste in die zweite durch Drehung entgegen dem Uhrzeigersinne — wir wollen das eine p o s i t i v e Drehung nennen — übergeführt, einen Winkel kleiner als 180° durchläuft. Man überzeugt sich leicht, daß obige Definition auch zutrifft, wenn man die Reihenfolge der drei positiven Halbachsen z y k l i s c h vertauscht, also die Drehung der zweiten in die Richtung der dritten von der ersten oder die Drehung der dritten in die Richtung der ersten von der zweiten positiven Halbachse beurteilt. Ein solches Achsensystem heißt ein R e c h t s s y s t e m , weil die Drehung von i nach j und die Fort1*

4

I. Teil.

Arithmetik und Algebra extensiver Größen

schreitung in der Richtung von ! zusammen eine R e c h t s s c h r a u b e bestimmen. Zur Veranschaulichung zeigt die Figur ein rechtwinkliges Rechtssystem, dessen positive Halbachsen durch die gerichteten Strecken (Pfeile) von der Länge Eins, die sogenannten E i n h e i t s v e k t o r e n i, j, l charakterisiert, dessen M a ß z a h l e n in üblicher Weise durch x, y, z bezeichnet werden. Jede Vektorgröße, z. B . eine Kraft, läßt sich durch eine gerichtete Strecke d a r s t e l l e n und besitzt als solche eine bex stimmte R i c h t u n g und einen bestimmten B e t r a g der, nach Wahl einer Maßeinheit, durch die Länge der gerichteten Strecke gegeben ist. An sich k o m m t e i n e m V e k t o r oder e i n e r D y a d e , T r i a d e usf. e b e n s o w e n i g ein b e s t i m m X t e r O r t im R ä u m e zu, wie 0 e i n e r g e w ö h n l i c h e n Zahl. Fig. I. Rechtwinkliges Rechtssystem

A u c h

die G r ö ß e n

d e r

P r o

jek.

tionen—der K o m p o n e n t e n — einer gerichteten Strecke, bezogen auf ein gegebenes Achsensystem, sind von der Lage im Räume unabhängig, d. h. die gerichtete Strecke kann parallel zu sich selbst beliebig verschoben gedacht werden. Wie die Kraft durch eine gerichtete Strecke, so kann z. B. die Temperatur — selbstverständlich nach Zugrundelegung einer bestimmten Temperaturskala — durch eine gewöhnliche Zahl charakterisiert werden. Man nennt darum die Temperatur eine s k a l a r e Größe oder kurz einen S k a l a r , während die Kraft als v e k t o r i s c h e G r ö ß e oder kurz als V e k t o r bezeichnet wird. Fragen wir nach der Temperaturverteilung in einem gegebenen Räume, so werden wir jedem Raumpunkte eine Zahl, eben die Maßzahl der dort herrschenden Temperatur, zuordnen müssen. Die Temperaturverteilung als Funktion des Ortes T (x, y, z) bildet ein S k a l a r f e l d . Analog kann man natürlich auch nach der Verteilung einer vektorischen Größe im Räume fragen, z. B. nach

2. Strenge Definitionsgleichungen

5

dem elektrischen Vektor als Funktion des Ortes G (x, y, z) und hat es dann mit einem V e k t o r f e l d zu tun. Ganz ebenso spricht man von einem D y a d e n f e l d usf.

2. Strenge Definitionsgleichungen Grundsatz des Projizierens Wie schon bemerkt, kann man jede gerichtete Strecke, also auch jede vektorische Größe, die ja stets durch eine gerichtete Strecke darstellbar ist, durch ihre drei Projektionen auf drei nicht komplanare, aber im allgemeinen s c h i e f w i n k l i g e Achsen charakterisieren. Um kein bestimmtes Achsensystem von vornherein willkürlich auszeichnen zu müssen, denken wir uns e i n e n V e k t o r g r u n d s ä t z l i c h a l s den I n b e g r i f f s e i n e r P r o j e k t i o n e n a u f alle möglichen Achsenrichtungen. Bedeutet c einen beliebig gerichteten Einheitsvektor, so wollen wir die Projektion irgendeines Vektors a — V e k t o r e n sollen s t e t s m i t d e u t s c h e n B u c h s t a b e n b e z e i c h n e t werden — auf die durch c bestimmte Achse in der Form: (1)

c . a = a . c = | a| cos (o, e)

ansetzen. | a | bedeutet den Betrag des Vektors a; oft bedient man sich auch zur Bezeichnung des Betrages der entsprechenden lateinischen Buchstaben, schreibt also a statt |a|. Wir definieren: Zwei V e k t o r e n a und 91 sollen dann und nur dann gleich h e i ß e n , wenn für beliebig gerichtete e c . a = c • 21 a = N. Man bezeichnet c . a — gelesen „e Punkt a" — auch als das i n n e r e oder s k a l a r e P r o d u k t der beiden Vektoren. Für diese Multiplikation fordern wir, wie man das für jede Multiplikation, die praktisch verwendbar sein soll, tun muß, die Gültigkeit des d i s t r i b u t i v e n Gesetzes. Wir d e f i n i e r e n demgemäß: Die Summe beliebig vieler Vektoren (4)

J( = a + b + c + • • •

S

2. Strenge Definitionsgleichungen

5

dem elektrischen Vektor als Funktion des Ortes G (x, y, z) und hat es dann mit einem V e k t o r f e l d zu tun. Ganz ebenso spricht man von einem D y a d e n f e l d usf.

2. Strenge Definitionsgleichungen Grundsatz des Projizierens Wie schon bemerkt, kann man jede gerichtete Strecke, also auch jede vektorische Größe, die ja stets durch eine gerichtete Strecke darstellbar ist, durch ihre drei Projektionen auf drei nicht komplanare, aber im allgemeinen s c h i e f w i n k l i g e Achsen charakterisieren. Um kein bestimmtes Achsensystem von vornherein willkürlich auszeichnen zu müssen, denken wir uns e i n e n V e k t o r g r u n d s ä t z l i c h a l s den I n b e g r i f f s e i n e r P r o j e k t i o n e n a u f alle möglichen Achsenrichtungen. Bedeutet c einen beliebig gerichteten Einheitsvektor, so wollen wir die Projektion irgendeines Vektors a — V e k t o r e n sollen s t e t s m i t d e u t s c h e n B u c h s t a b e n b e z e i c h n e t werden — auf die durch c bestimmte Achse in der Form: (1)

c . a = a . c = | a| cos (o, e)

ansetzen. | a | bedeutet den Betrag des Vektors a; oft bedient man sich auch zur Bezeichnung des Betrages der entsprechenden lateinischen Buchstaben, schreibt also a statt |a|. Wir definieren: Zwei V e k t o r e n a und 91 sollen dann und nur dann gleich h e i ß e n , wenn für beliebig gerichtete e c . a = c • 21 a = N. Man bezeichnet c . a — gelesen „e Punkt a" — auch als das i n n e r e oder s k a l a r e P r o d u k t der beiden Vektoren. Für diese Multiplikation fordern wir, wie man das für jede Multiplikation, die praktisch verwendbar sein soll, tun muß, die Gültigkeit des d i s t r i b u t i v e n Gesetzes. Wir d e f i n i e r e n demgemäß: Die Summe beliebig vieler Vektoren (4)

J( = a + b + c + • • •

S

ß

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver GröBen

ist wieder ein Vektor, der durch (5)

e . 9 l = e . ( a + b + c + •••) = e . a + c . b + e . M

bestimmt wird. Konsequenterweise wird man dann, wenn s eine beliebige r e e l l e Z a h l bedeutet, das Zutreffen des a s s o z i a t i v e n Gesetzes: (6) e . (j q) = s ( e . b) = (s e) . q

verlangen müssen. Aus der Definitionsgleichung (5, 6) f o l g t die a n s c h a u l i c h e Definition der Vektoraddition: Vektoren sind so zu addieren, daß man immer den Anfangspunkt des folgenden Vektors in den Endpunkt des vorangehenden bringt und schließlich den Anfangspunkt des ersten Vektors mit dem Endpunkte des letzten durch eine gerichtete Strecke verbindet. Die durch (6, 6) definierte V e k t o r a d d i t i o n ist k o m m u t a t i v und a s s o z i a t i v (Fig.). Aus der Definitionsgleichung (6,6) folgt, daß s a einen Vektor derselben Richtung wie a, aber von s-facher Länge bedeutet. Multiplikation mit — 1 kehrt den Richtungssinn des betreffenden

Strenge

Definitionsgieichungen

7

Vektors um. Es gilt also: a — a = 0 („Nullvektor", das ist ein Vektor vom Betrage Null) und es folgt demgemäß aus (7)

a + b = "21 die Gleichung b = 91 — a .

Selbstverständlich werden wir unter (8)

b= se

einen Vektor von der Länge s und der Richtung des Einheitsvektors e zu verstehen haben. Oft werden wir uns der Schreibweise bedienen: (9)

b= bb,

worin b den Betrag von b und b einen Einheitsvektor in der Richtung von b bedeutet. (1, 5) und (6, 6) ergibt dann (10)

b . o = a . b = |a||b| cos (a, b)

als Definition des skalaren Produktes aus zwei beliebigen Vektoren. Verschwindet das skalare Produkt bei nicht verschwindenden Beträgen der Vektoren, so s t e h e n die b e i d e n V e k t o r e n a u f einander senkrecht. (11)

a . a = |a|2 = a 2

ist das Quadrat des Betrages, eine wesentlich positive Größe. Wir führen noch den r e z i p r o k e n V e k t o r durch die Definitionsgleichung

«-1 £ ein. Die Aussage, ein V e k t o r sei k l e i n e r o d e r g r ö ß e r a l s ein a n d e r e r , kann sich naturgemäß nur auf deren B e t r ä g e beziehen: (13)

|a| < |&| •

Die Definitionsgleichung (1, 5) ist noch durch die anschauungsgemäß evidente Aussage zu ergänzen: J e d e r V e k t o r in e i n e m d r e i d i m e n s i o n a l e n R ä u m e wird s c h o n d u r c h s e i n e P r o j e k t i o n e n auf irgend drei nicht k o m p l a n a r e Achsen e i n d e u t i g (und zwar umkehrbar eindeutig) b e s t i m m t .

8

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver Größen

Wir definieren zu irgend drei nicht komplanaren Vektoren i> c2> (3 von im allgemeinen beliebigem Betrage, e i n r e z i p r o k e s S y s t e m e*, e*, e* durch die Relationen: c

. e* = 1 (14)

. e* = 0

e , . e* =

0 0

c 2 . c* = 0

e 2 . e* = 1

c 2 . c* =

e 3 . e* = 0

c 3 . e* = 0

e 3 . c* = 1

Da e* auf der durch e 2 , e 3 bestimmten E b e n e senkrecht steht usf., bilden auch e * . e * , e* ein System dreier nicht komplanarer Vektoren. Gilt nun für einen b e l i e b i g e n Vektor (15)

C!. a = a ,

e 2 . 0 = a2

e3. a =

a3

so folgt aus (15, 8) (16) a = ax e* + a2 e* + a 3 e* weil (18, 8) wegen (5, 6), (6, 6), (8, 7), (14, 8) wieder (15, 8) ergibt. D a das gewählte Achsensystem vollkommen willkürlich war, kann man den Inhalt der Gleichung (18, 8) auch so formulieren: J e d e r V e k t o r k a n n als S u m m e von drei b e l i e b i g g e r i c h teten, nicht komplanaren Vektoren dargestellt werden. Zwischen je vier Vektoren besteht also immer eine lineare Beziehung, zwischen drei nicht komplanaren Vektoren niemals, diese sind demnach l i n e a r u n a b h ä n g i g . Wenn zwischen drei Vektoren eine lineare Beziehung besteht, so sagen wir, sie liegen in derselben Ebene, was anschauungsgemäß nach Fig. 2 evident ist. Aus dieser F e s t setzung folgt auch rechnerisch, daß e*, e*, c* nicht komplanar sein können, denn aus x e* - f y c würde für beliebiges x, y bei Multiplikation mit c 3 die linke Seite verschwinden, die rechte Seite aber Eins ergeben. Besteht zwischen zwei Vektoren eine lineare Beziehung, so haben sie natürlich dieselbe Richtung (bei gleichem oder entgegengesetztem Richtungssinn), sie sind parallel, sind kollinear [vgl. etwa (8, 7)]. Man beachte noch, daß das zu e ' , c*, c* reziproke System wieder durch: et. {e*)*= 1 (17)

e; • ( e t ) * = 0 e;.(e:r=0

et. (e;r = 0 e* . ( e ; ) * = 1 e;.(e;r=0

et. (e*)*= 0 et. (e;)*= 0 e;.(e;)*=l

3. Überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen

9

gegeben sein wird. Ein Vergleich der ersten Kolonne von (17, 8) mit der ersten Zeile von (14, 8) ergibt: (18) und analog folgt:

(e:)*=ex

(et)* = es. 3. Überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen a) Vektoren in mehrdimensionalen Räumen Man beachte, daß wir die Definitionsgleichungen (1, 5), (2, 5), (5, 6), (6, 6) sowie die Forderung, daß sich jeder dreidimensionale Vektor als Summe dreier beliebig gerichteter, nicht komplanarer Vektoren darstellen läßt, zwar in engster Anlehnung an den anschaulichen Vektorbegriff, an eine dem bekannten P a r a l l e l o g r a m m s a t z e für die Zusammensetzung vektorischer Größen (z. B. von Kräften) entsprechende Vektoraddition formuliert haben, daß aber die Definitionsgleichungen selbst analytischer Art sind. Wir könnten die gegebenen Rechenvorschriften auch dann anwenden, wenn uns die raumanschauliche Bedeutung der neuen Größen nicht bewußt würde. Charakterisieren wir die Dreidimensionalität des Raumes durch die Forderung, daß sich j e d e r Vektor gemäß (16, 8) jedenfalls als Summe von drei b e s t i m m t gerichteten Vektoren darstellen lassen soll, so ist klar, daß je drei solcher Gleichungen, die sich nach den e*, e*, c* auflösen lassen, ein neues, zur Darstellung ebenso geeignetes Vektortripel c^, a 2 , a 3 ergeben, das wir dann als „nicht k o m p l a n a r e s " bezeichnen können. Gewiß, die Anschaulichkeit des Vektorbegriffes, die Darstellbarkeit jedes Vektors als gerichtete Strecke gehören gerade zu den Vorzügen der Vektorrechnung. Die überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen ermöglicht aber erst die Ausdehnung des neuen Kalküls auf „ m e h r d i m e n s i o n a l e R ä u m e " . Wir haben lediglich in der Forderung, daß sich jeder Vektor als Summe von drei beliebig gerichteten, linear unab-

3. Überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen

9

gegeben sein wird. Ein Vergleich der ersten Kolonne von (17, 8) mit der ersten Zeile von (14, 8) ergibt: (18) und analog folgt:

(e:)*=ex

(et)* = es. 3. Überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen a) Vektoren in mehrdimensionalen Räumen Man beachte, daß wir die Definitionsgleichungen (1, 5), (2, 5), (5, 6), (6, 6) sowie die Forderung, daß sich jeder dreidimensionale Vektor als Summe dreier beliebig gerichteter, nicht komplanarer Vektoren darstellen läßt, zwar in engster Anlehnung an den anschaulichen Vektorbegriff, an eine dem bekannten P a r a l l e l o g r a m m s a t z e für die Zusammensetzung vektorischer Größen (z. B. von Kräften) entsprechende Vektoraddition formuliert haben, daß aber die Definitionsgleichungen selbst analytischer Art sind. Wir könnten die gegebenen Rechenvorschriften auch dann anwenden, wenn uns die raumanschauliche Bedeutung der neuen Größen nicht bewußt würde. Charakterisieren wir die Dreidimensionalität des Raumes durch die Forderung, daß sich j e d e r Vektor gemäß (16, 8) jedenfalls als Summe von drei b e s t i m m t gerichteten Vektoren darstellen lassen soll, so ist klar, daß je drei solcher Gleichungen, die sich nach den e*, e*, c* auflösen lassen, ein neues, zur Darstellung ebenso geeignetes Vektortripel c^, a 2 , a 3 ergeben, das wir dann als „nicht k o m p l a n a r e s " bezeichnen können. Gewiß, die Anschaulichkeit des Vektorbegriffes, die Darstellbarkeit jedes Vektors als gerichtete Strecke gehören gerade zu den Vorzügen der Vektorrechnung. Die überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen ermöglicht aber erst die Ausdehnung des neuen Kalküls auf „ m e h r d i m e n s i o n a l e R ä u m e " . Wir haben lediglich in der Forderung, daß sich jeder Vektor als Summe von drei beliebig gerichteten, linear unab-

10

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver Größen

hängigen Vektoren darstellen lassen soll, die Zahl 3 durch die Zahl » zu ersetzen, um mit denselben Definitionsgleichungen eine n-dimensionale Vektorrechnung zu begründen. Das ist aber physikalisch nicht nur für die vierdimensionale Raum-Zeit—Welt der R e l a t i v i t ä t s t h e o r i e von Bedeutung, sondern ebenso für die Vektoren und Dyaden der modernen Q u a n t e n m e c h a n i k , die einem Räume von unendlich vielen Dimensionen angehören. Da auch der Vektorrechnung mehrdimensionaler Räume dieselben Definitionsgleichungen zugrunde hegen, wie jener im dreidimensionalen Räume, und die letztere eine anschauliche Deutung zuläßt, genießt man noch den Vorteil, daß man sich i r g e n d drei V e k t o r e n des n-dimensionalen Raumes, genau so als ob sie sich in einem wirklichen Räume befänden, a n s c h a u l i c h vorstellen darf. b) Koordinatentransformationen Die folgenden Überlegungen sollen zeigen, wie man auf Grund unserer Definitionen mit den neuen Größen operieren kann, ohne irgendwie auf die Anschauung zurückzugreifen. Dabei bleiben wir der Einfachheit halber im Dreidimensionalen. Es sei vermöge (16,8) irgendein Vektor a durch die Maßzahlen alt a2, a3 in bezug auf eine durch die „ G r u n d v e k t o r e n " e*, e*, e* bestimmte „ B a s i s " gegeben. Bezeichnen ä1, at, ä3 die Maßzahlen in bezug auf irgendeine andere durch die drei (nicht komplanaren) Grundvektoren e*, e*, e* charakterisierte Basis, so muß gemäß (16, 8): (1)

a = a , e* + at e* + a, e* = äle* + ¿2 è* + a , e*

gelten. Natürlich muß die neue Basis, bezogen auf die alte, formelmäßig gegeben sein. Das kann durch die neun Zahlen: e , . e; = ctt X

(2)

geschehen. Aus (1, 10) und (2, 10) folgt dann für die T r a n s f o r m a t i o n der Maßzahlen: ai

(3)

=

cn«i

+ c18äj + c13ä3

2 =

C21 al

+ Ct2 at + C23 U3

a

3. überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen

JJ

f ü r die Transformation der Grundvektoren: K = e*cu =

(4)

+ c»

e c

t i2

c

21 + e » C31 + e* c 3 2

+ e? ^23 c. + C, C33 Die Transformation (4, 11) heißt die zur Transformation (3, 10) t r a n s p o n i e r t e . Die Determinante: c =

Cli

C

C

C

113

21 23 22 C, C3 31 '-32 33 ist von Null verschieden, denn bei der Auflösung von (4,11) nach einem e* ergibt sich dieses mit c multipliziert, während linker Hand ein in den e*, e*, e* linearer Ausdruck zustande kommt. F ü r c = 0 müßte demnach zwischen den genannten Vektoren eine lineare Beziehung bestehen, sie müßten komplanar sein, was voraussetzungsgemäß nicht der Fall sein soll. (3, 10) und (4, 11) sind also nach den Maßzahlen äx bzw. nach den Grundvektoren cf auflösbar. Bezeichnet man (5)

(6)

e,* . e„ = cf« ,

so kann man die betreffenden Formeln auch unmittelbar aus (1, 10) und (6, 11) gewinnen: (7)

äx = a1 c*„ + a2 c*1K + a3 c*x

für x = 1, 2, 3

für < = 1, 2, 3 er = er, e, + c* e* + c„ e; Multiplizieren wir (4, 11) mit e 1 , so erhalten wir: (8)

(9)

und daraus:

1 = C T . C11 + C i . C21 + C t . C31 0 = c*j c 12 + c*, c 2 2 + c,, c 3 2 0 = c! 1 "-is+ c j , c 2 3 + c 3 l c3 22 t 23 c32 c33

1 c

12 C13

C

Cl« ^13 ' c»' c C C 22 23 33 32 Ebenso berechnet man nach Multiplikation von (4,11) mit e 2 bzw. e 3 die übrigen sechs Größen c*„. Die aus den c*H analog zu (8,11) ge(m

«.

=

C

C

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver Größen

12

bildete Determinante bezeichnet man durch c*. In der Bezeichnungsweise der Determinantentheorie sind die c*x die „ r e d u z i e r t e n M i n o r e n " der c,x. Man beachte, daß der Übergang von ( 2 , 1 0 ) zu (6, 11) in der Weise erfolgt, daß alle vorkommenden Größen durch die mit * versehenen, d. h. durch die des reziproken Systems ersetzt werden. Das Produkt zweier Determinanten wird bekanntlich durch Kombination der Elemente der (horizontalen) Zeilen oder der (vertikalen) Kolonnen gebildet. — Die erste Kolonne von c c* entspricht demnach den rechten Seiten der Gleichungen (9,11), und die folgenden Kolonnen erhält man aus den zu (9, 11) analogen Gleichungen, also gilt: 1 0 0 (11) cc* 0 1 0 = 1 0 0 1 Nach Einführung der skalaren Tripelprodukte werden wir dieselbe Beziehung leicht wiedergewinnen. Von entscheidender Bedeutung ist die Relation (1, 10), durch welche die Unabhängigkeit der Vektorgröße von der gewählten Basis, das heißt also die I n v a r i a n z der Vektorgröße gegenüber Transformationen der Basis u n m i t t e l b a r zum Ausdrucke kommt. Gerade (1, 10) vermittelt den f ü r V e k t o r g r ö ß e n c h a r a k t e r i s t i s c h e n Z u s a m m e n h a n g d e r d u r c h (2, 10) bzw. (4, 11) g e g e b e n e n T r a n s f o r m a t i o n der B a s i s und der durch (7, 11) d a r g e s t e l l t e n T r a n s f o r m a t i o n d e r M a ß z a h l e n des V e k t o r s . Man bezeichnet die Transformation (7, 11) der Maßzahlen als k o n t r a g r e d i e n t zur Transformation (4, 11) der Grundvektoren. Jedes Größensystem, das durch dieselben Formeln transformiert wird wie die Maßzahlen, heißt zu den Grundvektoren kontragredient, jedes, das durch dieselben Formeln transformiert wird wie die Grundvektoren, heißt zu diesen kogredient. In einem n-dimensionalen Räume hätten wir (1, 10) zu ersetzen durch: (12)

a=

e*! + a 2 e* H

+ a n et =

e* + ä 2 e* H

+ a „ e*.

Die entsprechende Verallgemeinerung der Formeln (14, 8) und ( 2 , 1 0 ) ist ohne weiteres klar.

3. Überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen

]g

c) Skalares Produkt und metrische Fundamentalgrößen Gleichwie der V e k t o r s e l b s t eine, gegenüber Änderungen des Bezugssystems (der Basis) i n v a r i a n t e Größe darstellt, ist das auch für das s k a l a r e P r o d u k t zweier Vektoren der Fall. Um das s k a l a r e P r o d u k t bei g e g e b e n e r B a s i s a u s r e c h n e n zu k ö n n e n , müssen uns noch die zu der gewählten Basis gehörenden Zahlen: e

(1)

. e

t

=

H

g

¿ }

t H

=

1 , 2 ,

3

gegeben sein; sie heißen die m e t r i s c h e n F u n d a m e n t a l g r ö ß e n . Gleichwie aus (2, 10) die Relation (6, 11), so folgt aus (1, 13): (2)

e r

. et

g*iH

=

,

worin die gfK wieder die reduzierten Minoren der gIH sind. Wählt man speziell: g = d , , (3) worin wir in üblicher Weise i x

ö,H = 1 ö ,

x

x

für t = x

setzen

= 0

für «

x

,

so stehen die Einheitsvektoren Cj, e 2 , e3 wechselseitig aufeinander senkrecht. Ein solches Rechtssystem von Grundvektoren bezeichnet man, wie wir es schon getan haben, gewöhnlich durch i, j, f und nennt es gelegentlich auch „ D r e i b e i n " . Ein System von wechselseitig aufeinander senkrecht stehenden E i n h e i t s v e k t o r e n bildet, wie ein Vergleich mit (14, 8) lehrt, sein eigenes rezip r o k e s S y s t e m . Aus (2, 10) und (6,11) folgt für Dreibeine: (5)

clH = c*x

und aus (5, 13) und (11, 12) weiter: (6) Aus

c

a

=

=

c*

2

l

x

=

a'

1 .

c*

14

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver Größen

erhält man: (8)

a.b= 2

a

« b* sTn •

*» *

Der B e t r a g eines Vektors wird dann aus (9)

|o|=Vfl7fl = | f ^ ^ g T * ,

der Kosinus des Winkels, den zwei Vektoren miteinander einschließen, aus (10)

cos (Ü, b) = | Q a ' 1 6 6 | -

zu berechnen sein. Es ist hier nicht nötig, diese im Grunde überaus einfachen Deduktionen aus unseren Definitionsgleichungen weiter zu diskutieren oder in noch größerer Breite zu entwickeln. Das prinzipiell Wichtige ist hoffentlich schon aus der gegebenen kurzen Darstellung klar geworden. Zum Abschlüsse dieses Paragraphen soll nur noch bemerkt werden, daß unsere Definitionen auch noch in einem nichteuklidischen, einem R i e m a n n sehen Raum anwendbar bleiben. Allerdings gilt eine bestimmte Basis dann nur für Vektoren eines bestimmten Raumpunktes, und es ist nicht möglich, sämtliche Vektoren eines endlichen Gebietes des gekrümmten Raumes auf dieselbe Basis zu beziehen. Als anschaulich vorstellbaren Fall denke man im Zweidimensionalen an die Darstellung der Vektoren innerhalb einer gekrümmten Fläche. Damit die Aufgabe eine bestimmte sei, muß jetzt auch die Änderung der Grundvektoren e, beim Fortschreiten von Punkt zu Punkt gegeben sein. d) Bivektoren Während wir bisher ganz im Reellen geblieben sind, wollen wir jetzt in unserem Kalkül auch k o m p l e x e Größen zulassen. Wir k ö n n e n u n d wollen d a s e i n f a c h d u r c h die F e s t s e t z u n g t u n , d a ß alle M u l t i p l i k a t i o n s r e g e l n , deren Gültigkeit wir bisher für Produkte aus reellen Zahlen s mit Vektoren gefordert haben, ebenso a u c h f ü r P r o d u k t e a u s k o m p l e x e n Z a h l e n mit V e k t o r e n z u t r e f f e n sollen. Dieselbe V o r a u s s e t z u n g soll in der Folge dann auch für P r o d u k t e a u s k o m p l e x e n

3. überanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen

J5

Zahlen mit Dyaden oder mit extensiven Größen noch höheren Ranges zutreffen. Wir erklären ferner: Ein komplexer Vektor oder,.Bivektor" unterscheidet sich vom reellen Vektor durch den Umstand, daß seine P r o j e k t i o n e n im allgemeinen komplexe Zahlen

+

(!)

sein werden. Den Gleichungen (15, 8) und (16, 8) gemäß erhalten wir jetzt als Darstellung eines beliebigen Bivektors: (2) oder (3)

a = «, et + «2 et + ä3 e*3 + i (a, et +a2e*+

a3 ej)

a = 5+ i3

und ebenso für beliebige Bivektoren (4)

b = b + i b usf.,

worin ä, 5 bzw. b, b reelle Vektoren bedeuten. Der B e t r a g eines Bivektors wird durch (5)

|a| = V5« + fi»

definiert. Natürlich werden zwei Bivektoren dann und nur dann gleichzusetzen sein, wenn für beliebig gerichtete (reelle) e die komplex-skalaren Gleichungen: (6)

c. o= c.b

zutreffen. Für die Darstellung (3, 15) und (4, 15) folgt aus dieser Definition: es ist (7)

a= b

dann und nur dann, wenn für die reellen Vektoren (8)

ö =

b , fl = S

gilt. Der komplexe Vektor erscheint also erst durch zwei reelle Vektoren oder durch sechs reelle Zahlen bestimmt. Man beachte im besonderen, daß aus (9)

a= sb

16

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver GröBen

n i c h t o || b , a |] b folgt, denn es gilt ja, wenn s = s + i s gesetzt wird, ä = sb —sb

{

o = s b + s1j.

4. Definitionsgleichungen der Dyaden a) Einführung der Dyaden Bedeutet in dem Produkte s b der Faktor s selbst ein skalares Produkt aus zwei Vektoren, haben wir demnach etwa: (1)

sb = (e.o)b,

so liegt ein vektorisches Produkt aus drei Vektoren vor. Zur tatsächlichen Durchführung von Rechnungen mit vektorischen Größen wird es oft notwendig, in solchen Produkten a n d e r s zu assoziieren. Diese Notwendigkeit führt zur Definition der dyadischen Produkte bzw. der Dyaden. Ein d y a d i s c h e s P r o d u k t — man nennt es auch eine l i n e a r e D y a d e — besteht aus zwei Vektoren als Faktoren, die durch das P u n k t s t r i c h z e i c h e n als Zeichen der d y a d i s c h e n M u l t i p l i k a t i o n verknüpft werden. (Oft setzt man die beiden Vektoren auch ohne eigenes Multiplikationszeichen nebeneinander.) Wir schreiben also ein dyadisches Produkt in der Form: a ;b (gelesen ,,a Punktstrich b") und bestimmen es in konsequenter Fortentwicklung der hier befolgten Methode d u r c h die G e s a m t heit seiner „ P r o j e k t i o n e n " auf alle möglichen Achsenrichtungen. Dabei d e f i n i e r e n wir diese Projektionen durch die Relation: (2)

e . (a ; b) = (e . a) b = b (a . e) = (b ; a) . e .

Die so definierten Projektionen sind also V e k t o r e n . Das V e r f a h r e n des P r o j i z i e r e n s führt Vektoren auf Skalare, dyadische Produkte bzw. D y a d e n auf V e k t o r e n z u r ü c k . — Wie die Vektoren den Skalaren gegenüber n e u a r t i g e R e c h e n -

16

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver GröBen

n i c h t o || b , a |] b folgt, denn es gilt ja, wenn s = s + i s gesetzt wird, ä = sb —sb

{

o = s b + s1j.

4. Definitionsgleichungen der Dyaden a) Einführung der Dyaden Bedeutet in dem Produkte s b der Faktor s selbst ein skalares Produkt aus zwei Vektoren, haben wir demnach etwa: (1)

sb = (e.o)b,

so liegt ein vektorisches Produkt aus drei Vektoren vor. Zur tatsächlichen Durchführung von Rechnungen mit vektorischen Größen wird es oft notwendig, in solchen Produkten a n d e r s zu assoziieren. Diese Notwendigkeit führt zur Definition der dyadischen Produkte bzw. der Dyaden. Ein d y a d i s c h e s P r o d u k t — man nennt es auch eine l i n e a r e D y a d e — besteht aus zwei Vektoren als Faktoren, die durch das P u n k t s t r i c h z e i c h e n als Zeichen der d y a d i s c h e n M u l t i p l i k a t i o n verknüpft werden. (Oft setzt man die beiden Vektoren auch ohne eigenes Multiplikationszeichen nebeneinander.) Wir schreiben also ein dyadisches Produkt in der Form: a ;b (gelesen ,,a Punktstrich b") und bestimmen es in konsequenter Fortentwicklung der hier befolgten Methode d u r c h die G e s a m t heit seiner „ P r o j e k t i o n e n " auf alle möglichen Achsenrichtungen. Dabei d e f i n i e r e n wir diese Projektionen durch die Relation: (2)

e . (a ; b) = (e . a) b = b (a . e) = (b ; a) . e .

Die so definierten Projektionen sind also V e k t o r e n . Das V e r f a h r e n des P r o j i z i e r e n s führt Vektoren auf Skalare, dyadische Produkte bzw. D y a d e n auf V e k t o r e n z u r ü c k . — Wie die Vektoren den Skalaren gegenüber n e u a r t i g e R e c h e n -

4. Definitionsgleichungen der Dyaden

17

g r o ß e n darstellen, für die eine Gleichheitsdefinition und die nötigen Rechenregeln festgesetzt werden mußten, so ergibt sich dieselbe Notwendigkeit neuerdings beim Übergänge zu den dyadischen Produkten als den extensiven Größen nächsthöheren Ranges. — Wir verfahren in möglichster Analogie zu den entsprechenden Definitionen für Vektoren, welche der Leser, zum l e i c h t e r e n V e r s t ä n d n i s der folgenden, ihn zunächst vielleicht etwas fremdartig anmutenden Festsetzungen und Überlegungen nachschlagen möge. Wieder sollen zwei dyadische Produkte a ; b und 31; © d a n n u n d n u r d a n n g l e i c h h e i ß e n , wenn für beliebig gerichtete e (3)

e . (a ; b) = e . ( * ; 8 )

gilt, oder, was ersichtlich mit (3, 17) gleichwertig ist: (4)

(a ; b). e = (H ; 8 ) . e .

Wir schreiben dann: (5)

a ; b = 91 ; 8 .

Aus den Gleichungen (2, 16) und (3, 17) liest man unmittelbar ab: Zwei dyadische Produkte sind gleich, wenn die Beziehungen (6)

b || 93 ,

a||?t

und

|a||b| = 1H||8|

gelten. Eine lineare Dyade wird demnach durch zwei Richtungen und einen Betrag oder durch fünf skalare Größen bestimmt. Um das Zutreffen des distributiven Gesetzes zu sichern, definieren wir weiter: Die Summe beliebig vieler dyadischer Produkte (linearer Dyaden) (7)

=

+

+

+

heißt eine D y a d e — Dyaden bezeichnen wir im allgemeinen durch g r i e c h i s c h e Buchstaben —, die durch: | e . 0 = e . ( 9 l ; 8 + G ; 3 ) + e ; 3 + ---) (8)

= (e . « ) 8 + (e . ff) ® + (e . x |2 [1 -

( f . C,)2]

l « | — ^ |x | | sin (e m , f> I .

Durch (24, 25) wird also ein Vektor bestimmt, der sowohl auf e t wie auf 0X senkrecht steht und dessen Betrag durch (26, 26) gegeben ist.

5. Die vektorische Multiplikation a) Zurückführung auf das Punktprodukt: Vektor-Dyade Mit Benützung der Relationen (24, 25), (25, 26) und (28, 26) können und wollen wir eine neue M u l t i p l i k a t i o n z w e i e r V e k t o r e n durch (1)

0a..e,

= - ~e1.0a =

e, X

\0X = -\0X

X "e, = 21

definieren. Darin bedeuten 0a eine a n t i s y m m e t r i s c h e Dyade, c t einen beliebig gerichteten Einheitsvektor, 2t einen Vektor, der auf ct und 0X derart senkrecht steht, daß et von 21 aus beurteilt, auf kürzestem Wege entgegen dem Uhrzeigersinne in die Richtung von 0X gedreht werden kann. Der Betrag von 21 aber wird durch (2) \K\=$\0x\\sin(Il,0x)\ gegeben sein. Die so definierte Multiplikation heißt v e k t o rische oder äußere oder K r e u z m u l t i p l i k a t i o n . (Sprich: „e, Kreuz \ 0X".) Sie ist l e d i g l i c h eine andere F o r m der skalaren M u l t i p l i k a t i o n eines V e k t o r s mit einer a n t i s y m m e t r i s c h e n D y a d e . D i e s e U m f o r m u n g ist aber nur

ii. Die vektorische Multiplikation

27

im D r e i d i m e n s i o n a l e n m ö g l i c h . Im Vierdimensionalen wird, wie man leicht überlegt, die antisymmetrische Dyade durch sechs skalare Größen bestimmt, welche also nicht durch einen „Vierervektor" gegeben sein können. Auch die die c*M bestimmenden Minoren werden im Vierdimensionalen schon dreireihige Determinanten sein. Wir haben absichtlich, um d i e u n m i t t e l b a r e ü b e r t r a g b a r k e i t u n s e r e s K a l k ü l s i n s « - D i m e n s i o n a l e zu s i c h e r n , die neue M u l t i p l i k a t i o n auf dem Wege über das skalare P r o d u k t zwischen V e k t o r und a n t i s y m m e t r i s c h e r D y a d e eingeführt. Daß wir das Vektorprodukt überhaupt definieren, hat seinen Grund in dessen großer p r a k t i s c h e r B e d e u t u n g im Dreidimensionalen. Zum Beispiel sind die M o m e n t e d e r K r ä f t e adäquat durch vektorische Produkte gegeben. Man beachte, daß das neue Produkt vermöge (1,26) unabhängig von jedem speziellen Bezugssystem, also in i n v a r i a n t e r Form definiert wurde. Aus (16, 18) folgt, daß auch beim vektorischen Produkt die Multiplikation mit einer Z a h l s a s s o z i a t i v sein wird. Dann können wir unsere Definitionsgleichungen (1, 26) bzw. (2, 26) verallgemeinern zu:

(3)

I

n X b = — i» X o = 91

i

|«| =

|fl||b||sin(a.b)| I

worin der Vektor 9( im oben definierten Sinne auf der Ebene a, b senkrecht steht, sein Betrag aber gemäß der zweiten Gleichung (3, 27) durch die Fläche des über a, b aufgespannten Parallelogrammes bestimmt wird. Natürlich wird man nach Einführung des neuen Multiplikationszeichens nicht immer wieder auf den Zusammenhang mit der antisymmetrischen Dyade zurückzugreifen brauchen, wird es aber gelegentlich mit Vorteil tun können. — Aus der Definitionsgleichung (3, 27) folgt unmittelbar: (4)

sin (et, b) = 0

also

| 911 = 0

für

a||b.

Das heißt: Besteht zwischen a und b eine lineare Beziehung, sind sie parallel, so verschwindet ihr Kreuzprodukt. Umgekehrt: wenn a X b = 0 ist, ohne daß | a | oder | b | verschwindet, so müssen die beiden Vektoren kollinear sein.

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver Größen

28

Bei Verwendung eines Dreibeins als Basis, also mit |

(5)

a = ax i + a t j + a 3 !

erhält man, da nach der Definitionsgleichung (8, 27) (6) i X i = !, ist, die Darstellung: (7)

j X ! = i,

a X b = (a4 b3 - a3 bt) i + («3 W -

f X i= i b3) j + («j bt - a2 bj I .

Die Gleichung (7,28) kann man sich leicht in der Form einer verallgemeinerten Determinantendarstellung: (8)

merken. b) Vektor und erster Skalar einer Dyade Aus der Definitionsgleichung (1, 26) folgern wir weiter, daß die Kreuzmultiplikation genau so d i s t r i b u t i v sein muß, wie die skalare Multiplikation zwischen Vektor und Dyade. Kommutativ ist sie natürlich nicht. Wir bemerken weiter, daß sowohl die dyadische, wie die vektorische, wie die skalare Multiplikation zweier Vektoren dem distributiven Gesetze gehorcht und in bezug auf die Multiplikation mit einer Zahl assoziativ ist. Da man eine als Summe beliebiger dyadischer Produkte gegebene Dyade mit den genannten Rechenregeln stets auf eine bestimmte Form, z. B. auf die Neunerform in bezug auf irgendein bestimmt gewähltes Dreibein umrechnen kann, ist dieselbe Umrechnung nach denselben Rechenregeln ebenso durchführbar, wenn wir das Punktstrichzeichen überall durch das Kreuzzeichen oder das Punktzeichen ersetzen1). Es ist demnach für das Ergebnis gleichgültig, in welcher zufälligen Darstellungsform der Übergang von Dieser Vorgang ist ein Sonderfall des allgemeinen prozesses" bei extensiven Größen höheren Ranges.

„Verjüngungs-

.V Die vektorische Multiplikation

29

der dyadischen zur vektorischen oder skalaren Multiplikation vollzogen wird. Aus dieser Bemerkung schließen wir, daß wir j e d e r Dyade einen von der Form der Darstellung unabhängigen, also gegenüber einem Wechsel der Basis i n v a r i a n t e n V e k t o r durch die Vorschrift zuordnen können, daß das Punktstrichzeichen in der Dyade überall durch das Kreuzzeichen zu ersetzen sei. Für eine s y m m e t r i s c h e D y a d e folgt aus (1)

.; f .

V=j:a'tMpt;pH.

IM

worin (4)

Pi = i ,

IH

P» = j .

P» = t

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver Größen

40

bedeuten soll, so erhalten wir: (5) und insbesondere: =

(6) Ferner:

0:1

(7)

IM

in

0.

IA

= a11 + at2 + a33 = = « ; 8

+ e ; $ +

G;i$

erhalten wir explizit: (19) 0 , = a x C ; 8 x i

+ G x e ; ® x 3

+

e x a ; 3 x 8 ,

folglich auch m

{0e)z =

(0Z)C.

D a 0 z der ursprünglichen D y a d e 0 durch (17, 41) in i n v a r i a n t e r Weise zugeordnet wird, ist der Skalar von 0 z auch eine I n v a r i a n t e der ursprünglichen Dyade, sie heißt der „ Z w e i t e S k a l a r " 0 n , also: (21) I

0

" =

{0Z)

l Nach (7, 40) ist (22)

'

=

(?l X

G)

•

+ (C X 6) . i>„

=0Z

X

X 3f) + (G X « ) . ( 3 X ®) .

: / = J(

W

zu geben. Diese Ungleichung soll dann und nur dann gelten, wenn die y repräsentierende Ellipsoidfläche, bei beliebiger Orient i e r u n g der Achsen, ganz innerhalb der 0 repräsentierenden Ellipsoidfläche Platz findet. Bezeichnen wir die Normalkoeffizienten von 'P durch bt, von V durch ö', so besagt (12, 66): (13) Gilt außer (12, 66) auch (14) also (15) so folgt zunächst:

«3 >

V

0' > W , a3 > V ,

(16)

und daraus rückwärts: (17) 0 . 0 >!P".!P. Wir kehren nach dieser Einschaltung zu unserer Deformationssystematik zurück.

8. Invarianten der Dyade; C a y l e y - H a m i l t o n s c h e Gleichung usw.

gy

f) Einfacher und zusammengesetzter Schub Gehört die Dyade zu der durch (11, 63) charakterisierten Klasse, so bilden wir (1)

0 = [a, e,; cj + a2 (e2; c* + c3; e*)]. [/ + ?»e, ; e?l. at

J

Der erste Faktor ist eine spezielle tonische Dyade. Für die durch den zweiten Faktor bedingte Deformation erhalten wir mit (2) r = ü e, + v e2 + w e3 die Gleichung W

r' = (/ + ^ e 1 ; e ; ) . t = , +

^iei.

Fig. 5. Einfacher Schub

Ein Ortsvektor, der ganz in der e x , es-Ebene liegt, für den also v = 0 ist, wird durch diese Deformation nicht beeinflußt. Besitzt t eine e2-Komponente, so wird zwar nicht diese selbst, wohl aber seine cs-Komponente um einen mit v proportionalen Betrag geändert. Die Spitzen aller Ortsvektoren, welche vor der Transformation in einer zu e 1( e3 parallelen Ebene lagen, bleiben auch nach der Deformation in dieser Ebene, sind aber in ihr parallel zu e3 um so stärker verschoben, je weiter die betreffende Ebene Von der durch den Ursprung laufenden Ebene c „ e3 selbst absteht (Fig. 5). Man nennt diese Deformation einen e i n f a c h e n S c h u b . 5»

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver Größen

68

Gehört die D y a d e zu der durch (8, 62) charakterisierten Klasse, so schreiben wir sie in der F o r m : (4»)

0 = at / ,

Der erste F a k t o r ist eine isotrope Dyade, für die Deformation durch den zweiten F a k t o r erhalten wir: (5)

+

+

• r = r H—" "i

v e, + -- " 1 "i

¡ »2t , .

J e t z t bleiben die Spitzen aller Ortsvektoren, die v o r der Deformation in einer zur e l t c t p a r a l l e l e n E b e n e lagen, auch n a c h der Deformation in dieser E b e n e , sie sind aber nun sowohl parallel zu e 1 ( wie auch parallel zu e 2 verschoben. Man nennt diese Deformation einen z u s a m m e n g e s e t z t e n S c h u b . g) Die z y k l i s c h e Dyade und der Versor Auch die z y k l o t o n i s c h e Dyade, wie sie durch (14, 56) charakterisiert wird, können wir vorteilhaft als Produkt zweier Dyaden schreiben: (1)

{

0

=

1

* + ' ( £ 2 ; C» + £ a 5 £ « ) ] " [ C l ; £ ' a ( e 2 ; e* + e 3 ; e*) + sin a ( e s ; t* -

Cl 5 C

+

COS

e 2 ; e*)] .

Wieder ist der erste F a k t o r eine spezielle tonische Dyade. Den zweiten, für diese Dyadenklasse charakteristischen F a k t o r nennt m a n eine z y k l i s c h e D y a d e . Setzen wir hier: (2)

i = u tl

p [cos ß e 2 + sin ß e 3 ] ,

so folgt: (3)

{ ^ 1

' C*

+

COS a

= u c

l

5 e* + e 3 ' + sin a ( e 3 ; e* - e j ; e * ) ] . r + p [cos (a + ß) e 2 + sin (a + ß) e 3 ] .

D a s h e i ß t : die Cj-Komponente des Ortsvektors wird durch die Deformation nicht beeinflußt, die in der e 2 , e 3 -Ebene liegende Komponente erfährt eine „ e l l i p t i s c h e D r e h u n g " . W i r können nämlich den in der e t , e s - E b e n e liegenden Teil des Ortsvektors von (2, 68) in der F o r m schreiben: (4)

p [cos ß e 2 + sin ß e 3 ] = [ e 2 ; j + c 3 ; ! ] . p (cos ß \ + sin ß f) .

8. Invarianten der Dyade; C a y l e y - H a m i l t o n s c h e Gleichung usw.

69

Durchläuft ß den Bereich von 0 bis 2tt, so beschreibt die Spitze des Vektors p (cos ß j + sin ß f) einen Kreis mit dem Radius p um den Ursprung in der j, f-Ebene, welche wir mit der e 2 , e 3 -Ebene zusammenfallen lassen können. In (5, 45) und (6, 45) haben wir erkannt, daß im Dreidimensionalen die Abbildung mittels einer Dyade die Kugel in ein Ellipsoid überführt. Genau so und mit derselben Begründung muß im Zweidimensionalen der K r e i s i n eine E l l i p s e übergeführt werden. Da die durch (3, 68) gegebene Deformation lediglich in der e 2 , e 3 -Komponente des Ortsvektors den Winkel ß durch a + ß ersetzt, bedingt sie ein Weiterwandern der Ortsvektorspitze auf der durch (4, 68) gegebenen Ellipse. Man beachte, daß in allen drei Sonderfällen, also jenem von (3, 67), von (5, 68) und von (3, 68) der d r i t t e S k a l a r d e r D e f o r m a t i o n s d y a d e g l e i c h E i n s h e r a u s k o m m t , wie man mittels (28, 42) leicht nachrechnet. Bilden in ( 3 , 6 8 ) e,, e 2 , e 3 speziell ein Dreibein, so geht die zyklische Dyade in den V e r s o r über: (5)

0 = i ; i + cos x »

usw.

Dieselben Relationen, wenn man in ihnen das erste Punktstrichzeichen durch ein Punktzeichen ersetzt, bestimmen auch die Vektoren von der Form 7",„ x i . ^ aus den oben angeschriebenen. Man beachte ferner, daß aus (10, 44) folgt: [ / X ( 6 X D ) ] X (SC X 8 ) = (9)

{

(91 X 9 3 ) ; ( 6 X

X ®) . ( «2223«3331, in denen die I n d i z e s jeweils b e l i e b i g p e r m u t i e r t werden dürfen, ohne daß sich der Wert der betreffenden Maßzahl ändert. Ferner gilt, und zwar wieder mit beliebigen Permutationen der betreffenden Indizes: «222 1 = .

«3332

=

— «2222 =

a

l 1 1 2 + «3123 •

-

«1113 =

«2223 "I" «1123 '

-

«1111

«2211 + «2833 '

~

«3333 =

L o h r , Vektor- und Dyaden-Rechnung

=

«3331 +

«2123

«1122 +

«1133

«3311 + 7

«33 2 2

98

I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver Größen

Der Leser wolle sich auch im Falle der reduzierten Tetrade überzeugen, daß a l l e ihre Verjüngungen identisch verschwinden. Auf die zu (7, 96) analoge explizite Darstellung der T e t r a d e können wir hier um so eher verzichten, als in der Regel nicht die einzelnen invarianten Glieder dieser Darstellung, sondern nur ganze Gruppen solcher Glieder physikalisch bedeutsam sind. So kommt es beispielsweise bei der elastischen Spannungsdyade in Kristallen, die wir übrigens im dritten Teile ausführlich behandeln werden, auf eine s y m m e t r i s c h e Tetrade (Materialtetrade) mit s y m m e t r i s c h e n Antezedentendyaden und Konsequentendyaden an. E i n e solche Tetrade baut sich aus zwei Skalaren, zwei reduzierten Dyaden und einer reduzierten Tetrade auf und hängt demgemäß von 21 Maßzahlen ab. Natürlich treten auch in den Gliedern der invarianten Zerlegungen (16, 87) und (21, 89) ganze Gruppen irreduzibler Bestandteile auf. W i r schließen den ersten Teil, indem wir uns nochmals ausdrücklich klar machen, daß sich die Algebra der extensiven Größen höheren Ranges von der Vektoralgebra letzten E n d e s nur durch die Einführung der d y a d i s c h e n M u l t i p l i k a t i o n unterscheidet. — Während das Punktprodukt zweier Vektoren einen Skalar, ihr Kreuzprodukt wieder einen Vektor ergibt, führt die dyadische Multiplikation über das Gebiet der Vektoralgebra hinaus. Die dyadische Multiplikation eines Vektors mit irgendeiner extensiven Größe erhöht den R a n g des Produktes immer um E i n s und ermöglicht so den A u f b a u e x t e n s i v e r Gebilde beliebig hohen Ranges.

II. Teil

ANALYSIS EXTENSIVER GRÖSSEN

1. Differentialoperationen a) Definition des Differentials Alles, was wir aus der gewöhnlichen Infinitesimalrechnung wissen, können wir für die Infinitesimalrechnung im Gebiete der extensiven Größen nutzbar machen, indem wir uns konsequent unseres Grundsatzes des Projizierens bedienen. Wir d e f i n i e r e n ganz allgemein: Die Projektion des Differentials einer extensiven Größe auf eine beliebige feste Richtung soll gleich sein dem Differential der Projektion dieser extensiven Größe auf die betreffende feste Richtung, also, wenn e einen beliebigen konstanten Vektor bedeutet: (1) (2) Ist demnach (3) (4)

(¿a) .c = d(a . e) (d =

rf*i;et

+ i*,;e; + **,;e;.

Die variablen Vektoren, Dyaden usf. werden Funktionen von einer oder mehreren skalaren, vektorischen, dyadischen, usf. unabhängigen Variablen sein. Wir werden e x t e n s i v e Funktionen s t e t i g nennen, wenn ihre Projektionen auf b e l i e b i g e feste Richtungen stetige Funktionen sind. In der Regel, insbesondere immer dann, wenn es sich um Orts-Zeitfunktionen in der euklidischen Raum-Zeitwelt handelt, wird es möglich sein, die extensiven Größen auf eine den unabhängigen Variablen gegenüber k o n s t a n t e Basis zu beziehen. 7»

100

II. Teil. Analysis extensiver Größen

b) Differentiation von Produkten Alle extensiven bzw. aus extensiven Gebilden aufgebauten Größen sind als Summen von skalar, vektorisch oder dyadisch miteinander multiplizierten Vektoren darstellbar, wobei die einzelnen Produkte auch noch Zahlenfaktoren enthalten können. Als Beispiel schreiben wir die Dyade 0 = 2 S t a , X i,c..ei;ft

(1)

an und beziehen die Vektoren auf ein festes Dreibein. Wir erhalten dann: «2) /»3 i ; i

Da nach der Definitionsgleichung (2, 99) (3)

(. i) usf.

gilt, haben wir lediglich das Differential von Summen zu bilden, welche aus Produkten skalarer Funktionen bestehen. Hat man das in bekannter Weise getan, so erhält man statt jedes einzelnen Produktes eine Summe solcher derart, daß in jedem Summanden je ein Faktor durch ein Differential ersetzt ist. Geht man nun den Weg von der Darstellung (2, 100) zur Darstellung (1, 100) zurück, so erhält man:

Als Unterschied gegenüber der gewöhnlichen Infinitesimalrechnung ist nur zu beachten, daß jedes Differential an der S t e l l e zu belassen i s t , wo das betreffende extensive Gebilde (Vektor, Dyade usw.) vor der Bildung des Differentiales stand. Hängen die betrachteten Funktionen von einer skalaren Veränderlichen t ab, so können wir beispielsweise schreiben:

1. Differentialoperationen

101

djpa) dt d(a. 6)

da

dt

dt

d(a x 6)

,

,

-b

da

db

+

a-

,

,

¿7 db

^ r X b + a X ^ -

dt

dw dü _ dS - 3M C l 1 +

35 3t- C »

Diese Relationen zeigen [man beachte (4,11)], daß

+

35

3S 3iv C31 ,

35

,

35

transformationstechnisch als die zu den Maßzahlen du, dv, dw des Vektors dt k o n t r a g r a d i e n t e n Maßzahlen eines V e k t o r s aufzufassen sind. Wir sind somit berechtigt, zu schreiben: / _. (7) v '

dS _ 35 , 3S ,35 - .— = V S = -ä~ c,1 +1 e, + -5- e , . dt du dv 2 ' dw 3

V heißt der Hamiltonsche Operator; da er ein verkehrtes griechisches Delta darstellt, pflegt man für das Zeichen V das Wort „Del" zu sprechen. Man nennt V S auch den Gradienten dS von S und schreibt gelegentlich „gradS". Die Schreibweise ist die allgemeinste, sie bleibt auch dann verwendbar, wenn an die Stelle des Ortsvektors eine andere vektorische Variable tritt. Die soeben durchgeführten Überlegungen, welche die i n v a r i a n t e Definition der Derivation von 5 ergaben, können ersichtlich ganz analog auch auf n - d i m e n s i o n a l e R ä u m e ausgedehnt werden. Da durch (7,105) jedem S k a l a r f e l d e S mit den nötigen Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften ein V e k t o r f e l d V S zugeordnet wird, pflegt man 5 auch das P o t e n t i a l des Vektorfeldes V S und die Niveauflächen dann Ä q u i p o t e n t i a l f l ä c h e n

II. Teil. Analysis extensiver Größen

106 zu nennen. D a Schreibweise

(8)

aus (2, 104), (3, 104), dS = dt.

VS

= dt.

(7, 105) in d

invarianter

ft

folgt und innerhalb einer Niveaufläche S konstant bleibt, m u ß V 5 in jedem Punkte einer Niveaufläche auf allen in der Tangentialebene liegenden d r , somit auch auf dieser selbst s e n k r e c h t stehen. Bedeutet n einen Einheitsvektor parallel zur betreffenden Flächennormale im Sinne wachsender W e r t e von S, so muß ac (9) VS = | B n sein, wenn wir unter n die zu n gehörende Koordinate verstehen. V S wird somit der Richtung und dem B e t r a g e nach durch den m a x i m a l e n A n s t i e g v o n S bestimmt. Liegt ein b e l i e b i g e s eindeutiges V e k t o r f e l d ® (r) vor, so wollen wir Kurven, welche in allen ihren Punkten von Vektoren 58 tangiert werden, „ F e l d l i n i e n " , aus ihnen gebildete Röhren „ F e l d r ö h r e n " des betreffenden Vektorfeldes nennen. Aus obigen Überlegungen geht hervor, daß die Feldlinien eines Vektorfeldes V S die Niveauflächen überall senkrecht durchsetzen.

b) Einführung krummliniger Koordinaten Die in (9, 106) verwendete Koordinate wird im allgemeinen zu einem System krummliniger Koordinaten gehören. Unsere früheren Überlegungen und insbesondere der Ansatz (3, 104) gelten natürlich auch für krummlinige Koordinaten, nur daß in diesem Falle die e* keine räumlich konstanten Vektoren mehr sein werden. Denken wir uns drei geeignet gewählte Flächenscharen (1)

u (r) = konst.,

v (r) = konst.,

w (r) =

konst.

so, daß durch jeden R a u m p u n k t j e eine bestimmte « - , v- und w-Fläche hindurchgeht. Die Linien, deren Punkte durch die Zahlenwerte der ersten Gleichung (1, 106) charakterisiert werden, sind die Schnittkurven der v- und der ^ - F l ä c h e n , denn auf diesen bleiben j a die v-Werte und die w-Werte konstant. Analoges gilt für die beiden anderen Schnittlinien.

107

2. Derivationen und Feldbegriff

Nun haben wir: (2)

dx . V«

=

du ,

dr . Vi'

=

dv ,

r . Vw =

dw.

d

Aus diesen Gleichungen folgt, wenn V « , Vt', V ^ ' nicht-komplanare Vektoren sind — und das müssen sie sein, sonst würden sich die Flächenscharen (1, 106) nicht als Koordinatenflächen eignen — : (3)

dr = du. ( V « ) * + dv (Vv)*

+ dw ( V « ' ) * .

worin natürlich VV X Vit!

( V « ) * = - [V« V" Vif; ( V ^

(4)

=

(Vif)* =

V«f X V " V » V f Vifj V" X V"

v « vu

ist. Für den Gradienten von S aber erhalten wir nach (7, 105) in krummlinigen Koordinaten die Darstellungsform: (5)

VS =

T

dS

- v « +

du

Diese gilt offenbar ganz Koordinaten ist z. B. « =

x ,

dS a dv

V H

,

allgemein. v =

y,

dS dw

Im

V»' . Falle

kartesischer

w

und gemäß (8, 106): (6)

V« = i ,

Vi' = j ,

V® = f •

Im allgemeinen wird man — wenn man keine besonderen Gründe für die Verwendung schiefwinkliger oder krummliniger Koordinaten hat — am einfachsten kartesische Koordinaten benützen. Der H a m i l t o n s c h e Operator hat dann die Gestalt: (7)

dy

^

dz

108

II. Teil. Analysis extensiver Größen

worin i, j, ! ein beliebiges Dreibein, x, y, z die zugehörigen Koordinaten bedeuten. Da (8)

!.V=-£-

ist, kann man j e d e r ä u m l i c h e A b l e i t u n g e r s t e r O r d n u n g mit Verwendung des Operators V ausdrücken. c) Einige Rechenregeln Aus der Definitionsgleichung des Gradienten erhält man leicht die Rechenregeln: (1) (2) (3) (4)

V (Sl (r) + S 2 (r)) = V Sl (r) + V S 2 (r) , V [Si (r) S, (r)] = S, (r) V S, (r) + S, (r) V St (r), VF(S)=§VS, V F (S,, S,- • •) = ~

VS, +

VS2 + • • •

Hängt S, wie das für die Skalarfelder der Physik im allgemeinen stets zutrifft, außer vom Orte auch noch von einer skalaren Variablen, der Zeit t ab, so gilt offenbar: (5)

dS = di. V S + i i i - ^ -

35 Natürlich ist V 5 bei konstantem t und -5- bei konstantem r zu ot bilden. Gelegentlich bezeichnet man die Ableitungen nach der Zeit a l s F l u x i o n e n ; dS bei konstantem r heißt dann die lokale F l u x i o n von S zur Unterscheidung von der sich aus (5, 108) ergebenden t o t a l e n F l u x i o n

St

= dt' VS + Tt •

3. Derivationen von Vektorfeldern

109

3. Derivationen von Vektorfeldern. Extensive Differentialquotienten höherer Ordnung und höheren Ranges a) Dyadische Derivation, Rotor, Divergenz Wir nennen ein V e k t o r f e l d ® (r) eine eindeutige, stetige und differenzierbare Funktion von r, wenn diese Aussagen für alle Projektionen 3J ( t ) . e, die ja Skalarfeldern entsprechen, zutreffen. Als d y a d i s c h e D e r i v a t i o n erster Ordnung eines solchen Vektorfeldes d e f i n i e r e n wir jene Dyade V 5 welche für beliebige konstante Vektoren e der Gleichung (V ; ») .e = V (®.e)

(1)

genügt. Aus (2)

(diB). e =

. e) = ¿ r . V ( » • e) = ¿ r . ( V ; 8 ) • c

für beliebig gerichtete konstante e erhalten wir die mit (1, 109) gleichwertige Beziehung: (3)

= dt. v ; 2*.

Wählt man speziell kartesische Koordinaten, so erhält man aus (1, 109) die Darstellung:

also (4) Da der Operator V als s y m b o l i s c h e r V e k t o r aufgefaßt werden kann, wird man für die k o n j u g i e r t e dyadische Derivation die Schreibweise (5) wählen.

(V ; %

= 8;

v

I I . Teil.

110

Analysis extensiver Größen

Als symbolischen Vektor behandeln wir V auch wieder, wenn wir den Vektor oder R o t o r bzw. den ersten Skalar der dyadischen Derivation anschreiben: (6)

( v ; 8)x = V X 8 = i X ~

(7)

( V ; S)i

+ j X ^y + f X dy

dz •

a) . 38 , . 38 , , 38 „ V . 8 = >. a T + J . W + t - dz^

Nach ihrer Definition sind das natürlich i n v a r i a n t e , also von der speziellen Darstellungsform unabhängige Gebilde. Man pflegt auch (8)

V X 8 -

rot 8

(sprich: Del Kreuz 8 identisch mit Rotor 8 ) zu schreiben. Analog zur expliziten Darstellung des Vektorproduktes erhält man aus (6, 110):

(10)

• j ! iL A.

rot 8

dx

dz

V, V2 v3

worin, wie ersichtlich, (11)

dy

8 =

V^

+

Vzi

+

Vzt

gesetzt wurde. Den ersten Skalar der dyadischen Derivation pflegt man die D i v e r g e n z des Vektorfeldes 8 zu nennen. Man schreibt dann auch: (12)

V • 8 = div 8

(sprich: Del Punkt 8 identisch mit Divergenz 8 ) . Wieder findet man analog zum skalaren Produkt zweier Vektoren aus (7, 110): (13)

div 8 =

3

P +

dx

^

dy

dV3 dz

3. Derivationen von

Vektorfeldern

111

Die zweite D y a d e zur dyadischen Derivation ist eine invariante dvadische Derivation erster Ordnung, jedoch zweiten Grades: a s . a s a s „ a s a s . dt< (H) ( v ; * ) , = . ; 8 y x i r + , ; - ^ - x x r + ! ; T r * - j i - Ebenso kann man in i n v a r i a n t e r Weise bilden: „5,

t*:«),.-..',;

+

b) Derivationen höheren Ranges und höherer Ordnung Von einem im betrachteten Bereiche eindeutigen, stetigen und differenzierbaren D y a d e n f e l d 0 (r) gelangen wir durch völlig gleichartige Überlegungen zur d e r i v i e r t e n T r i a d e V ; durch die Definitionsgleichungen: (I) (2)

( v ;

. e = v ; ( < p . e) , d0 = d r . v ; ,

Auch aus der derivierten Triade können eine Reihe von invarianten Derivationen abgeleitet werden, beispielsweise:

Die Derivation eines Feldes, also der extensive Differentialquotient einer Ortsfunktion, ist natürlich im allgemeinen wieder selbst eine Ortsfunktion, von welcher, falls auch sie differenzierbar ist, wieder eine Derivation gebildet werden kann, und so fort. Das Rechnen mit Differentialquotienten h ö h e r e r O r d n u n g stellt uns demnach keine neue Aufgabe.

II. Teil. Analysis extensiver Größen

112

Beispielsweise erhält man eine d y a d i s c h e D e r i v a t i o n z w e i t e r O r d n u n g , wenn das Vektorfeld selbst schon der Gradient eines Skalarfeldes ist. Es folgt dann: (6) worin (7)

i

i = t>i .

\=

'

X =

y =

Xl

Pi. xt,

* = P3 Z =

X3

gesetzt wurde. In bezug auf die Schreibweise sei noch bemerkt, daß immer zuerst jener Differentialquotient zu bilden ist, der sich aus der Verknüpfung des dem Funktionszeichen z u n ä c h s t stehenden Operationszeichens mit eben diesem Funktionszeichen ergibt; bei der nächsten Operation ist die zuerst entstandene Derivation als neues Funktionszeichen anzusehen. Ein Blick auf (6, 112) lehrt, daß V ; V S eine s y m m e t r i s c h e D y a d e ist. Daraus folgt: (8)

V X V S

EE

rot V S = 0 .

Der R o t o r eines Gradienten verschwindet identisch. Durch Bildung des ersten Skalars erhält man aus (6, 112): (9)

v

.

v

S

= diWS = -g- + -!£ + ^

•

Man schreibt auch: (10)

V • V S = V 2 S = ¿IS

(sprich: Delta S), worin der Operator d>

d*

d%

als L a p l a c e scher Operator bezeichnet wird1). ') Die beiden Operatoren V und A heißen auch der erste bzw. zweite D i f f e r e n t i a l p a r a m e t e r von B e l t r a m i .

3. Derivationen von Vektorfeldern

113

Ganz analog zu (6, 112) erhält man, wenn in einer derivierten Triade das Dyadenfeld selbst schon als Derivation eines Vektorfeldes gegeben ist: 3

(12)

3

v;

' X=1

1=1

Ersetzen wir, wie in (4, 111), das erste Punktstrich-Zeichen durch das Kreuz-Zeichen, so folgt wieder:

(13)

v x v ;® =o ,

wie man sofort erkennt, wenn man beachtet, daß gemäß (8, 112) für beliebige konstante Vektoren e (14)

( V X V ; S3) • e = V X V ( 8 • e) = 0

gilt. Natürlich ist auch der erste Skalar der dyadischen Derivation (13, 113) gleich Null. Demnach erhält man 3

3

( V X V l S ß l . ^ J ^ P ; . ^ 1=1

(15)

3

= 2

3

2

= v • V X 93

y =

^

0.

Die D i v e r g e n z e i n e s R o t o r s v e r s c h w i n d e t i d e n t i s c h . Ersetzt man in (12, 113) das erste Punktstrich-Zeichen — wie in (5, 111) — durch das Punktzeichen, so folgt: d* 9* 3J B 3* 3$ (16) v . v ; » = V » * = + + • c) Der Hamiltonsche Operator als symbolischer Vektor, Rechenregeln Wir haben den H a m i l t o n sehen Operator als symbolischen Vektor bezeichnet. Es ist für das praktische Rechnen bedeutungsvoll, die Frage zu klären, wie weit man mit dem Zeichen V wie mit einem wirklichen Vektor operieren darf. Um diese Frage zu L o h r , Vektor- und Dyaden-Rechnung

8

II. Teil. Analysis extensiver Größen

114

beantworten, setzen wir nochmals ausdrücklich fest, daß der Ort des Zeichens V in irgendeinem mathematischen Ausdrucke stets den Ort der Vektoren des Operators, also z. B. in der Darstellung (7, 107) den Ort von i, j , ! festlegt. Die Differentiationssymbole des Operators sind hingegen an sich frei verschiebbar und gehören immer zu jener Funktion bzw. zu jenen Funktionen, auf welche die Derivation anzuwenden ist. Diese Funktionen müssen natürlich, sei es durch ihre Nahestellung zum Operator, sei es durch geeignete Einklammerungen oder sonstwie in unmißverständlicher Weise gekennzeichnet sein. Aus diesen Bemerkungen folgt sofort, daß der Operator V bei algebraischen Umformungen s t e t s wie ein wirklicher Vektor behandelt werden darf. Natürlich muß in der Schreibweise dafür gesorgt werden, daß über die Beziehung des Operators zu den zu differenzierenden Funktionen auch nach der algebraischen Umformung kein Zweifel bestehen kann. Als Beispiel leiten wir die wichtige Entwicklungsformel für die Divergenz eines Vektorproduktes aus zwei Feldvektoren SS (r) und SB (r) ab, indem wir diese Divergenz alsskalaresTripelprodukt behandeln: v . ( » X » ) = ( V X » ) . » +(ffl X

I (1) I

=

( v

=

SB

x

$ ) . ffi -

( v

V).» sb) . s

x

. rot 8 — 8 . rot SB .

Mit Benützung derselben Grundsätze leitet man auch die folgenden Formeln ab: (2)

v

(3) (4)

(7)

V v

=

( V ; 8 ) • SB + ( V S ) ; B +

( V ; SB).

; (B

• (SB) =

(VS) . 8 + S V

• 8,

X SB) = ( V 5 B ) X SB - ( V ; SB) X

v x ( » x » )

=

v

;

. B) =

8,

8 v . © - B . v ; ® - f f i v . » +

(8)

8,

S V ; 8 ,

X (SB) = ( V S ) X B + S V X 8 ,

V

(5) (6)

( 8 . SB) = V ; ( S 8 )

( v ;