Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung [Reprint 2012 ed.] 9783110827941, 9783110016437

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de Gruyter Lehrbuch Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung

Max Päsler

Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung

w DE

G Walter de Gruyter · Berlin · New York · 1977

Professor Dr. Max Päsler Ordinarius fur Theoretische Physik Technische Universität Berlin

Das Buch enthält 26 Abbildungen

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der Deutschen

Bibliothek

Päsler, Max Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung. 1. Aufl. - Berlin, New York: de Gruyter, 1977. (De-Gruy ter- Lehrbuch) ISBN 3-11-001643-5

© Copyright 1977 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung, J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer, Karl J. Trübner, Veit & Comp., Berlin 30. Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Printed in Germany. Satz: IBM-Composer Walter de Gruyter & Co., Berlin. Druck: Karl Gerike, Berlin. Bindearbeiten: Dieter Mikolai, Berlin.

Vorbemerkung für den Leser Die vorliegende Schrift wendet sich vornehmlich an Studierende solcher naturwissenschaftlicher und technischer Disziplinen, deren fundamentale Begriffe vielfach Vektoren oder Tensoren sind. Um einige Beispiele solcher Disziplinen anzugeben, seien genannt: insbesondere die Physik, die Elektrotechnik, die Kristalloptik sowie andere Teilgebiete der Kristallphysik. Um zu einem (möglichst guten) Verständnis dieser und anderer Gebiete, in denen Vektoren und Tensoren eine tragende Rolle spielen, zu gelangen, ist es unumgänglich, nicht nur zu wissen, was ein Vektor oder ein Tensor ist, sondern auch (zumindest) die Grundregeln zu kennen, wie mit diesen Größen zu operieren ist. Dieses einem noch unkundigen, aber interessierten Leser darzulegen und zu vermitteln, soll der Zweck und das Ziel der nachfolgenden Ausführungen sein. Um sie zu verstehen, sind nur wenige Vorkenntnisse erforderlich: es sind dies die Grundrechenregeln der Differential- und Integralrechnung und die Kenntnis einiger Sätze aus der Analytischen Geometrie. Diese werden — wenn man es so ausdrücken darf — im folgenden nach verschiedenen Richtungen hin erweitert. Es dürfte daher einem Leser, sofern er die genannten Vorkenntnisse besitzt, das Verständnis der nachfolgenden Ausführungen kaum besondere Schwierigkeiten bereiten. Es sei noch einmal bemerkt, daß diese Schrift bezweckt, einen Leser allein mit den Grundlagen des Vektor- und Tensorkalküls vertraut zu machen. Ein Leser, der an tiefer gehende Betrachtungen interessiert ist, möge nach einem der Bücher greifen, die in einem (am Ende dieser Schrift sich befindenden) Literaturverzeichnis angegeben sind.

Vorwort Es mag vielleicht verwundern, daß heutzutage ein weiteres Lehrbuch über „Vektor- und Tensorrechnung" erscheint, obwohl über dieses Gebiet bisher schon eine relativ umfangreiche Literatur vorliegt. Es bedarf daher einer kurzen Begründung, welche die Veröffentlichung dieser Schrift „in etwa" rechtfertigt. Vor mehr als einem halben Jahrhundert erschien in diesem Verlag ein Lehrbuch 1 , in dem nicht nur die Begriffe aus der Vektor- und Tensorrechnung und die Regeln für das Rechnen mit ihnen dargelegt werden, sondern darüber hinaus auch ihre Anwendungsmöglichkeit anhand konkreter Beispiele aufgezeigt wird. Obwohl diese Schrift in den Besprechungen ausnahmslos gelobt wurde, erfuhr sie nur zwei Auflagen 2 . Der Grund hierfür war wohl kaum Desinteresse an diesem Buch, sondern dürfte vermutlich die Tatsache sein, daß sein Autor (ohne durch Zeitverhältnisse dazu genötigt zu sein) seinen ehemaligen Arbeitsplatz in Österreich nach Amerika verlegte. Die Übersiedlung und die Umstellung auf z. T. für ihn neue Arbeitsverhältnisse ließen vermutlich den Autor zunächst nicht dazu kommen, sich um Neuauflagen nicht nur seiner „Vektoranalysis", sondern auch anderer von ihm verfaßten Schriften zu kümmern, was schließlich durch sein Ableben endgültig unmöglich wurde. Daher konnten keine Neuauflagen der brillanten Schriften des Autors mehr erfolgen, weshalb diese seit knapp einem halben Jahrhundert vergriffen und der heutigen Generation (wohl fast gänzlich) unbekannt sind. Bei einigen der älteren Generation angehörigen Kennern sind diese Werke jedoch keineswegs vergessen und diese Tatsache mag es wohl gewesen sein, daß vor einiger Zeit der Vorschlag gemacht wurde, insbesondere die „Vektoranalysis" nach einer ggf. erforderlichen Überarbeitung in einer weiteren Auflage neu erscheinen zu lassen. Der Verlag war hierzu bereit, was jedoch einige äußere Schwierigkeiten (Urheberrecht) mit sich brachte, die nicht, wie anfänglich angenommen, kurzfristig behoben werden konnten. Daher entschloß sich der Verlag, ein neuverfaßtes Buch über die „Grundlagen der Vektor- und Tensorrechnung" erscheinen zu lassen. Die Anfertigung des Manuskriptes wurde dem Unterzeichneten angeboten, der diese Aufgabe übernahm. Sie konnte, nach Überwindung einer weiteren unerwartet aufgetretenen Schwierigkeit — die eine erhebliche Verzögerung des ursprünglich geplanten Erscheinungstermins zur Folge hatte — doch schließlich erledigt werden und ergab ein Manuskript, dessen Inhalt auf den nachfolgenden Seiten dieses Buches wiedergegeben ist. Wie dieses aufgenommen werden wird, hängt natürlich von der Ansicht der Fachwelt ab. Der Verfasser rechnet damit, daß die Urteile über diese Schrift geteilt sein werden: so könnte etwa bemängelt werden, daß manche Themen etwas zu 1 2

Haas, Α.: „Vektoranalysis". Berlin: W. de Gruyter 1 9 2 2 . Die z w e i t e Auflage erschien 1 9 2 9 .

VIII

Vorwort

knapp behandelt wurden, Anwendungsbeispiele fehlen und auf manche Begriffe überhaupt nicht eingegangen wurde. So fehlen etwa Hinweise auf die Begriffe Weltvektoren und -Tensoren und Bemerkungen über deren Anwendung zur Behandlung von Fragen der relativistischen Physik u. a. m. Dies ist dem Verfasser sehr wohl bekannt. Wenn er sich aber dennoch stellenweise sehr kurz faßte und auf manche Dinge gar nicht einging, so waren hierfür insbesondere folgende Gesichtspunkte maßgebend: Einerseits wurde versucht, den Umfang dieser Schrift nicht allzu sehr auszuweiten, damit die Herstellungskosten nicht zu groß werden und das Buch zu einem einigermaßen erträglichen Preis auf den Markt kommt. Schließlich soll es verlangt, nicht aber ein „Bibliotheksbuch" werden. Andererseits sollte durch die Kurzfassung einiger Kapitel etwas Raum gewonnen werden, um auf einige Dinge einzugehen, die in anderen einführenden Schriften in die Vektor- und Tensorrechnung - und etwas anderes will dieses Buch nicht sein sich kaum finden und daher wenig bekannt sind, obwohl ihnen z. T. erhebliche Bedeutung zukommt. So wurde (in Kap. 24) auf die Komplanarität der Zeitableitungen der drei Basisvektoren i, j, k hingewiesen, ferner wird (in Kap. 40) gezeigt, daß sich — was wohl allgemein nur sehr wenig bekannt ist — der Ausdruck Au (Δ = Laplacescher Operator, u = eine skalare Ortsfunktion) anschaulich deuten läßt. Am wichtigsten erschien es jedoch, was in Kap. 55 geschieht, betont darauf aufmerksam zu machen, daß man — wie es üblicherweise geschieht — nicht zwischen Skalaren, Vektoren und Tensoren zu unterscheiden braucht, sondern daß es sich bei diesen (und anderen) Größen ausschließlich um Tensoren handelt, die sich allein durch ihre Stufe unterscheiden. Für Tensoren gelten einige wenige, aber wichtige Rechenregeln, aus denen sich zwanglos die Rechenregeln der klassischen Vektoralgebra und Analysis ergeben. Diese und die Tensorrechnung sind also keineswegs — wie es vielfach angenommen wird — zwei voneinander getrennte selbständige Disziplinen, sondern lassen sich von einem einheitlichen Standpunkt aus behandeln. Hierzu bedarf es noch des Begriffes des e-Tensors, der in Kap. 59 erklärt ist. Der Verfasser hofft, daß die Aufnahme der genannten, meistens nur wenig oder gar nicht behandelten Begriffe und Themen einen gewissen Ausgleich für gelegentliche Kurzfassungen mancher Kapitel darstellt. Ansonsten hofft der Verfasser noch, daß es ihm (zumindest einigermaßen) gelungen ist, mit dieser Schrift einem Leser so viel an Vorkenntnissen zu vermitteln, daß ein Interessent, der tiefer in die Tensorrechnung eindringen will, auf die Lektüre und das Verständnis des Inhalts weiterführender Literatur genügend vorbereitet ist. Wenn dies dem Verfasser im wesentlichen gelungen sein sollte, so wäre die Freude darüber ein schönes Entgelt für die aufgewandte Arbeit.

Vorwort

IX

Es verbleibt zum Schluß noch Dank auszusprechen: ein erster Dank gebührt der Schreiberin des Manuskriptes dieses Buches Fr. E. Schöneberg, die sich auch unermüdlich beim Lesen der Korrekturfahnen betätigte und ein weiterer Dank dem Verlag, mit dem zusammen zu arbeiten eine wahre Freude ist. Berlin, Ende Dezember 1976

M. Päsler

Inhalt Vorbemerkung für den Leser Vorwort I. Einführendes 1. 2. 3. 4.

Die in der Physik auftretenden Größen und ihre Klassifizierung Bezeichnungen Erinnerung an einige Gesetzmäßigkeiten aus der Arithmetik Das Transformationsgesetz für cartesische Koordinaten bei einer Drehung des Koordinatensystems 5. Der Begriff des (skalaren) Feldes

V VII 1 1 2 3 4 7

II. Vektorrechnung

10

A. Allgemeines

10

6. Geometrische Veranschaulichung eines Vektors und dessen cartesische Komponenten 7. Der Begriff des Einheitsvektors und der Basisvektoren i, j, k 8. Das Verhalten der rechtwinkligen Komponenten eines Vektors bei einer orthogonalen Transformation

10 12 14

B. Vektoralgebra

17

9. Addition und Subtraktion zweier oder mehrerer Vektoren 10. Darstellung eines Vektors in einem cartesischen Koordinatensystem mit Verwendung der Basisvektoren i, j, k 11. Der Ortsvektor r 12. Bemerkung über kontra- und kovariante Vektoren 13. Einige algebraische Gleichungen zwischen Vektoren und ihre geometrische Bedeutung 14. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 15. Das skalare Produkt zweier Vektoren 16. Das vektorielle Produkt zweier Vektoren 17. Mehrfachprodukte von Vektoren 18. Ein Sonderfall: Das Spatprodukt 19. Bemerkungen über Pseudoskalare, polare und axiale Vektoren

17

26 27 28 33 37 39 41

C. Vektoranalysis

43

a) Differentialrechnung für Vektoren 20. Vorbemerkung 21. Der Begriff des Vektorfeldes und seine geometrische Veranschaulichung 22. Differentiation eines Vektors nach einer skalaren Abhängigen 23. Die Zeitableitung eines Einheitsvektors 24. Eine Eigenschaft der Zeitableitungen der Basisvektoren i, j, k 25. Die lokale Ableitung eines Vektors und die Differentiation eines Vektorfeldes nach einer Ortskoordinate 26. Der Gradient einer skalaren Ortsfunktion 27. Die geometrische Bedeutung von grad u 28. Verschiedene Rechenregeln fur Gradientenbildungen

43 43 43 46 48 49

20 21 23

51 52 55 57

XII

Inhalt

29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44.

Ein Sonderfall: Der Gradient eines kugelsymmetrischen Skalarfeldes Die Richtungsableitung eines Skalars Die substantielle Ableitung eines Skalars oder eines Vektors Der Nabla-Operator Das Linienintegral eines Gradienten Der Begriff des skalaren Potentials Ein Sonderfall: Das kugelsymmetrische Potential Anwendung des V-Operators auf einen Vektor Die Divergenz eines Vektorfeldes Der Fluß eines Vektorfeldes und die koordinatenfreie Darstellung der Divergenz. . Rechenregeln für die Divergenz Der Laplacesche Operator und seine physikalische Bedeutung Die Laplacesche und der Begriff der Poissonschen Gleichung Die Rotation eines Vektorfeldes Rechenregeln für die Rotation Erklärung der Bezeichnung Rotation eines Vektors und deren koordinatenfreie Darstellung 45. Das Vektorpotential 46. Der Zerlegungssatz

58 60 61 64 65 67 68 71 72 72 75 77 80 82 83

b) Integralsätze für Vektoren 47. Der Gauss'sche Integralsatz 48. Die zwei Greenschen Formeln 49. Der Eindeutigkeitssatz 50. Der Stokessche Integralsatz 51. Ein weiterer Integralsatz vom Stokesschen Typ

92 92 93 94 97 99

III. Elemente des Tensorkalküls

86 89 90

101

A. Allgemeines

101

52. 53. 54. 55.

101 104 105 107

Die lineare Vektorfunktion und der Begriff eines Tensors 2. Stufe Spezielle Tensoren 2. Stufe Das Transformationsverhalten der Komponenten eines Tensors 2. Stufe Definition eines Tensors m-ter Stufe

B. Tensoralgebra

109

56. Addition und Subtraktion von Tensoren 57. Multiplikation von Tensoren 58. Verjüngung von Tensoren

109 110 111

C. Tensoranalysis

120

59. 60. 61. 62.

114 117 120

Der e-Tensor Das Tensorellipsoid Der Differentiationssatz Einheitliche Herleitung der Hauptbegriffe der symbolischen Vektorrechnung vom Standpunkt des Tensorkalküls

124

Biographische und historische Notizen

130

Literaturangaben

135

Sachverzeichnis

137

I. Einführendes 1. Die in der Physik auftretenden Größen und ihre Klassifizierung Bekanntlich ist die Physik jenes Teilgebiet der Naturwissenschaft, dessen Aufgabe es ist, die sich in der unbelebten Natur abspielenden Vorgänge - abgesehen von jenen, die man als chemische Prozesse bezeichnet — zu beobachten, sie zu beschreiben, zu klassifizieren und jene Gesetzmäßigkeiten aufzusuchen, nach denen diese Vorgänge ablaufen 1 . Hierzu bedarf es zunächst der Messung jener Größen, durch die der Ablaufeines physikalischen Vorganges bestimmt wird und danach der Ermittlung des quantitativen Zusammenhangs, der zwischen jenen Größen besteht. Man erkannte nun im Laufe der Zeit, daß die zur quantitativen Beschreibung physikalischer Vorgänge benötigten Größen sich in drei Klassen einteilen lassen. Im einfachsten Fall handelt es sich um solche Größen, die — nachdem eine Maßeinheit festgelegt worden ist — bereits durch die Angabe von nur einer Zahl (Maßzahl) eindeutig beschrieben sind. Solche Größen nennt man Skalare. Diese Bezeichnung wurde aufgrund der Tatsache geprägt, daß man - um die erforderliche eine Angabe machen zu können - eine S k a l a benötigt. Solche Skalen werden im täglichen Leben vielfach verwendet und sind daher wohl als allgemein bekannt anzusehen. Man denke etwa an das „Metermaß", mit dem Längen gemessen werden, an die Thermometerskala, an der man Temperaturen abliest, oder — um ein letztes Beispiel anzugeben — an das Zifferblatt einer Uhr, auf dem die Zeit abgelesen werden kann. Der jeweilige Wert einer skalaren Größe, den man mit Hilfe einer entsprechenden Skala ermitteln kann, nennt man den Betrag des Skalars, durch dessen Angabe dieser eindeutig festgelegt ist. Mit Skalaren allein kommt man bei der theoretischen quantitativen Beschreibung physikalischer Zustände oder Vorgänge allerdings nicht aus, denn eine Vielzahl der in der Physik auftretenden Größen sind von gänzlich anderem Charakter als dem von Skalaren. Diese Größen nennt man Vektoren. Es handelt sich dabei um solche Größen, die sich als gerichtete Strecken im Raum darstellen lassen. Statt dieser zwar anschaulichen, aber etwas primitiven Erklärung eines Vektors sagt man auch häufig, ein Vektor ist eine Größe, die erst dann eindeutig festgelegt ist, wenn man außer ihrem Betrag noch eine Richtung vorgibt. 1

Die gleiche Aufgabe obliegt auch jenen Teilgebieten der Physik, die sich inzwischen von ihi gelöst haben und heute als selbständige Disziplinen angesehen werden, wie etwa die Kristallphysik, die Technische Optik und andere Gebiete mehr.

2

I. Einführendes

Man kann einen Vektor aber auch aus gänzlich anderer Sicht (in abstrakter Weise) definieren, worüber später (Kap. 8) noch einiges gesagt werden wird. In vielen Fällen ist es zwar möglich, Gesetze, nach denen physikalische Vorgänge ablaufen, allein mit Verwendung von Skalaren und Vektoren zu formulieren. Indessen gibt es auch physikalische Zustände und Vorgänge, zu deren quantitativen Beschreibung man mit Skalaren und Vektoren nicht mehr auskommt, sondern dazu „höhere" Größen benötigt. Diese Größen heißen Tensoren. Über sie bereits in diesem einführenden Abschnitt auch nur andeutungsweise etwas zu sagen, erscheint verfrüht: um den Begriff des Tensors zu verstehen, sind gewisse Kenntnisse aus der Vektorrechnung erforderlich, die erst nachstehend dargelegt werden sollen. Nachdem dieses geschehen ist, kann dann der Begriff des Tensors erklärt und das Rechnen mit diesen Größen (im letzten Abschnitt dieses Buches) behandelt werden.

2. Bezeichnungen Um durch ein Symbol zum Ausdruck zu bringen, daß es sich bei einer Größe um einen Skalar bzw. einen Vektor oder einen Tensor handelt, verwendet man für deren Bezeichnungen Buchstaben aus verschiedenen Alphabeten. Die nachstehend angegebenen Bezeichnungen werden zwar im internationalen Schrifttum weitgehend, bedauerlicherweise aber nicht einheitlich verwendet. Wir schließen uns in dieser Schrift bzgl. der Bezeichnungsweise dem letzten Vorschlag des Deutschen Normenausschuß (DNA)1 an, der zur Symbolisierung von Skalaren, Vektoren und Tensoren (in der deutschsprachigen Zeitschriften- und Buchliteratur) folgende Schreibweise2 empfiehlt: 1. Für Skalare: „Skalare werden mit gewöhnlichen Buchstaben (ohne besondere Kennzeichnung) bezeichnet." Meistens verwendet man als Symbol für einen Skalar einen kleinen oder großen Buchstaben des lateinischen Alphabets (vielfach in kursiv gesetzt). Beispiele: Symbol für die Länge einer Strecke: /, für die Zeit: t usf. Gelegentlich werden für einen skalaren Faktor auch kleine griechische Buchstaben verwendet. 2. Für Vektoren: „Vektoren ... werden durch besonders gekennzeichnete Buchstaben bezeichnet und zwar: ... durch Frakturbuchstaben Si,®, ...α, b,...

(2,1)

oder Fettdruck A, B,... a, b ...

1 2

(2,2)

DNA: Normen für Größen und Einheiten in Naturwissenschaft und Technik. AEF-Taschenbuch 22. Berlin-Köln-Frankfurt (Main) 1972. 1. c.: S. 37 (DIN 1303).

3

3. Erinnerung an einige Gesetzmäßigkeiten aus der Arithmetik oder auch durch übergesetzte Pfeile A, B, ..."a, b ...

(2,3)

Wir werden in dieser Schrift zur Kennzeichnung eines Vektors einen halbfetten lateinischen Buchstaben (Antiqua Roman) verwenden. Dies geschieht einerseits aus drucktechnischen Gründen, andererseits, weil diese Symbolik in der Literatur ständig zunehmend verwendet wird. 3. Zur Kennzeichnung von Tensoren wird die Verwendung von „ ... griechischen Buchstaben, bevorzugt Großbuchstaben, oder auch Fettdruck" vorgeschlagen. Wir werden gelegentlich den Fettdruck verwenden, aber auch noch eine andere Darstellung benutzen, die ohne weiteres verständlich wird, nachdem der Begriff eines Tensors definiert worden ist.

3. Erinnerung an einige Gesetzmäßigkeiten aus der Arithmetik Wir erinnern nachstehend an drei Gesetzmäßigkeiten, die für das Rechnen mit skalaren Größen (Zahlen) gelten. Es wird dies deswegen getan, um später feststellen zu können, o b die nachstehend angegebenen Regeln für das Rechnen mit Zahlen auch für das Rechnen mit Vektoren und Tensoren gelten, die - wie in den späteren Ausführungen gezeigt werden wird - sich von Skalaren (Zahlen) teilweise wesentlich unterscheiden. Bei den drei (hier besonders interessierenden) Regeln handelt es sich um Gesetzmäßigkeiten, die bei verschiedenen Verknüpfungen von Zahlen a, b, c,... gelten. Es ist dies 1. das kommutative

Gesetz, welches aussagt, daß

a + b = b + a

(3,1)

a · b = b •a

(3,2)

und auch

ist, 2. das assoziative Gesetz, nach dem für die Addition dreier Zahlen a + (b + c ) = ( a + b) + c = a + b + c

(3,3)

ist. Es gilt weiterhin die Assoziativität auch für die Multiplikation: a(b · c) = (a · b) c = b(a · c) = a · b · c .

(3,4)

Bedeuten λ und μ zwei skalare Faktoren, so gilt auch

\(μζ) = (λμ) a

(3,5)

4

I. Einführendes

3. das distributive Gesetz, welches besagt, daß a(b + c) = ab + ac

(3,6)

ist. Ferner gilt (sog. 1. distributives Gesetz) (λ + μ) a = \ a + μΆ

(3,7)

und (sog. 2. distributives Gesetz) \ ( a + b) = \ a + \ b .

(3,8)

Da sich - wie schon eingangs angedeutet — Vektoren und Tensoren in ihren Eigenschaften von Skalaren unterscheiden, kann es durchaus möglich sein, daß die vorstehend angegebenen Regeln für das Rechnen mit Zahlen nicht unbedingt auch für das Rechnen mit Vektoren und Tensoren Gültigkeit haben. Ob und wieweit dies zutrifft, wird später zu prüfen sein.

4. Das Transformationsgesetz für cartesische Koordinaten bei einer Drehung des Koordinatensystems Es sei Κ {χ, y, ζ } ein cartesisches Koordinatensystem mit den drei Achsen x, y, z. In bezug auf Κ habe ein Punkt Ρ die Koordinaten x, y, z, was zunächst wie üblich symbolisch durch Ρ = P(x, y, z) ausgedrückt werden soll. Es möge nun Κ um seinen (festgehaltenen) Ursprung 0 gedreht werden, so daß Κ nach der Drehung in das neue Koordinatensystem K'{x', y ' , z ' } übergeht, in bezug auf welches die Lage des Punktes Ρ durch Ρ = P(x', y', z') beschrieben wird. Es entsteht die Frage, welche Beziehung zwischen den „ungestrichenen" (alten) Lagekoordinaten x, y, ζ von Ρ und dessen „gestrichenen" (neuen) Koordinaten x', y', z' besteht. Die Antwort auf diese Frage liefert die Analytische Geometrie durch eine Aussage, die sich formelmäßig in besonders eleganter Weise darstellen läßt, wenn man eine geringfügige Änderung der Bezeichnungsweise vornimmt, die wir weiterhin auch weitgehend benutzen werden. Die Abänderung besteht darin, daß die x, y, z-Achsen von Κ mit x x , x 2 , x 3 und die Achsen χ ' , y z ' von K' mit x*j, x 2 , x 2 bezeichnet werden sollen. Analog hierzu wird auch die Kennzeichnung der Lagekoordinaten eines Punktes P(x, y, z) in P ( x t , x 2 , x 3 ) und entsprechend die Bezeichnung P(x', y', z') in P ( x i , x 2 , x' 3 ) abgeändert. Es mögen nun nach der Drehung die neuen Achsen x j , x 2 , x 3 von K' mit den alten Achsen X j , x 2 , x 3 von Κ Winkel einschließen, deren Kosinusse üblicherweise mit a i k , (i, k = 1 , 2 , 3), bezeichnet werden. Man nennt die a i k allgemein

4. Das Transformationsgesetz bei einer Drehung des Koordinatensystems

Richtungskosinusse, ersichtlich ist:

5

deren Bedeutung aus der nachstehenden Tabelle

Achsen von K: Xi Achsen von K'

x

2

X3

χί

an

"12

"13

xi

"21

"22

"23

X3

"31

"32

"33 •

(4,1)

In diesem Schema bedeutet etwa a 3 2 den Richtungskosinus zwischen den Achsen X3 und x 2 u s w · Was nun die vorstehend aufgeworfene Frage nach den Beziehungen der ungestrichenen Koordinaten Xj, x 2 , X3 und den gestrichenen Koordinaten x' t , x 2 , x'3 anbelangt, so zeigt die Analytische Geometrie, daß x'i = «11 Xl + «12 X2 + « 1 3 X3

(4,2)

ist. Zwei analoge Gleichungen gelten für die beiden anderen Koordinaten x'2 und x' 3 . Man kann (4,2) in der Form

xt -

Σ a l k xk k=l

(4,3)

schreiben und — weil die x'j -Koordinate von den Koordinaten x 2 und x'3 nicht ausgezeichnet ist — allgemein

xl=

Σ

aikxk,

0 = 1,2,3).

(4,4)

k=l

Dies sind die drei zwischen den gestrichenen und ungestrichenen Koordinaten von Ρ bestehenden Transformationsgleichungen. Löst man das System (4,4) nach den ungestrichenen Koordinaten x j ( (i = 1, 2, 3), auf, so erhält man mit Verwendung der Summenschreibweise

x;=

Σ akixk. k=l

(4,5)

Man braucht sich die Transformationsformeln (4,4) und (4,5) nicht zu merken, weil sie sich sofort aus dem Schema (4,1) ergeben, wenn in diesem die Achsen

6

I. Einführendes

Xi bzw. (i = 1, 2, 3) durch die Koordinaten x ; bzw. x | ersetzt werden. Dies ergibt das Schema X

1

x

2

x

3

1 r x

x

α π

° = i i r x

folgt, durch die ein Einheitsvektor äußerlich in etwas anderer F o r m als durch ( 7 , 1 ) definiert wird. Die Tatsache, daß durch einen Einheitsvektor nur eine Richtung festgelegt wird, hat zur Einführung dreier spezieller Einheitsvektoren Anlaß gegeben, die die Richtungen der Achsen x, y, ζ eines cartesischen Koordinatensystems Κ angeben. Diese drei speziellen Einheitsvektoren — oft auch Basisvektoren

genannt — wer-

den mit i, j, k bezeichnet. Sie sind in Abb. 7,1 veranschaulicht.

k

χ Abb. 7,1. Die drei Basisvektoren i, j, k.

Neuerdings werden gelegentlich Einheitsvektoren durch das Symbol e gekennzeichnet und die Richtung einer Achse, die durch e angegeben wird, durch einen entsprechenden (tiefgesetzten) Index angedeutet. Bei Verwendung eines carte-

14

II. Vektorrechnung

sischen Koordinatensystems schreibt man daher statt i, j , k manchmal e x , e y , e z oder — wenn man von der Buchstaben- zur Ziffernindizierung übergeht (Kap. 4) — e i > e2> e 3 · Bei Verwendung eines nichtcartesischen orthogonalen Koordinatensystems, etwa für den Fall, daß man mit den Kugelkoordinaten r, ϋ, φ rechnet, bezeichnet man entsprechend die dazugehörigen Einheitsvektoren mit e r , e^,. Wir werden nachstehend für die Einheitsvektoren eines cartesischen Koordinatensystems, gemäß der Empfehlung des DNA (Kap. 2), stets die Bezeichnungen i, j, k verwenden. Mit Benutzung der Einheitsvektoren i, j, k läßt sich die durch (6,2—4) angegebene Schreibweise für die rechtwinkligen Komponenten eines Vektors nunmehr wie folgt abändern: A x = lAl cos(A, i)

(7,7)

A y = lAlcos(A,j)

(7,8)

A z = lAl cos(A, k) .

(7,9)

Ebenso kann man (6,14) in anderer äußerer Form schreiben, indem man den die Richtung der "s-Achse angebenden Einheitsvektor s° einführt. Dann lautet die sKomponente von A, ausgedrückt durch die rechtwinkligen Komponenten dieses Vektors, A s = A x cos(s°, i) + A y cos(s°, j) + A z cos(s°, k) .

(7,10)

Schließlich wollen wir die Einheitsvektoren i, j, k, s° auch noch in (6,14) einführen, was cos(A, s°) = cos(A, i) cos(i, s°) + cos(A, j) cos(j, s°) + cos(A, k) cos(k, s°)

(7,11)

ergibt, eine nützliche Beziehung, die wir bereits im nächsten Kapitel verwenden werden.

8. Das Verhalten der rechtwinkligen Komponenten eines Vektors bei einer orthogonalen Transformation Es wurde in Kap. 6 gezeigt, daß sich ein Vektor Α in drei rechtwinklige Komponenten A x , A y , A z zerlegen läßt. Gibt man diese drei Größen vor, so ist Α eindeutig bestimmt, denn man kann dann mit Benutzung von ( 6 , 5 - 7 ) und (6,9)

15

8. Das Verhalten der rechtwinkligen Komponenten eines Vektors

die Richtung und den Betrag von Α ermitteln. Nun darf man aber keineswegs drei beliebige Größen als Komponenten eines Vektors ansehen, weil diese gewisse Bedingungen erfüllen müssen. Das wird durch die Tatsache bedingt, daß der Betrag lAl = Α = \/Αχ + Ay + A z

(8,1)

des Vektors beim Übergang von einem zunächst willkürlich gewählten (ungestrichenen) Koordinatensystem K { i , j, k } zu einem anderen (gestrichenen)

K'{i', j', k'} sich nicht ändern darf. Es muß also, wenn beim Übergang Κ {i, j, k) -> K'{i', j', k'}der Vektor A = {A x , Ay, A z ) in Α' = {Αχ, Ay, A z }

System von

übergeht, wegen der Invarianz von lAl gelten,

lAl

+ Ay + Az

(8,2)

= v / A; 2 + A;2 + A;2'

(8.3)

= lA'l.

(8.4)

Durch diese Invarianzforderung werden zwischen den ungestrichenen und den gestrichenen Komponenten gewisse Verknüpfungsgleichungen festgelegt, die wir nachstehend aufsuchen wollen. Hierzu schließen wir an (7,11) an, setzen in dieser Gleichung s° = i' und multiplizieren danach mit lAl. Dies ergibt Αχ = lAl cos(A, i ' ) = lAl cos(A, i) cos(i, i ' ) + lAl cos(A, j ) cos(i', j ) + lAl cos(A, k ) cos(i', k ) .

(8,5)

Hierfür kann man unter Beachtung von (7,7—8) auch Αχ = A x cos(i', i) + A y cos(i', j ) + A z cos(i', k )

(8,6)

schreiben. Zwei analoge Ausdrücke gelten für Ay und A z . Sie ergeben sich ebenso wie Αχ, indem man in (7,11) für s° = j bzw. s° = k einsetzt und danach wiederum mit lAl multipliziert. Man erhält dann Ay = A x cos(j', i) + A y cos(j\ j ) + A z cos(j', k ) ,

(8,7)

Αχ = A x cos(k', i) + A y cos(k', j ) + A z cos(k', k ) .

(8,8)

Die in den drei letzten Gleichungen rechtsseitig auftretenden Koeffizienten cos(i, i ' ) . . . mit denen die Komponenten A x , A y , A z behaftet sind, sind genau

16

II. Vektorrechnung

die durch das Schema (4,1) erklärten Richtungskosinusse a i k , j e t z t durch die Einheitsvektoren i, j, k ausgedrückt. Man kann daher statt (4,1) auch i

j

k

I• 1

· ^ζΓ

3χ dz

(43

>10)

(43>η)

32ΑΧ Indem m a n diesem Ausdruck ± — γ hinzufügt u n d danach geeignet zusammen9x faßt, erhält man 3A X 3A V 3A, 32Ax 32Ax 32Ax ( ^ + + - (—r? + — γ - + — A 3x 3x 3y 3t dx2 dy2 dz2 9

r o t xx rot A =

= ^-divA-AAx. dx

(43,12)

(43,13)

Zwei entsprechende Ausdrücke erhält man (durch zyklische Vertauschung) für die y- bzw. z-Komponenten von rot rot A. Diese drei K o m p o n e n t e n lassen sich in eine Vektorgleichung zusammenfassen, wenn man den neuen Begriff ΔΑ einführt. Diese Größe ist ein Vektor mit den K o m p o n e n t e n ΔΑ =

{ΔΑχ,ΔΑγ,ΔΑζ}

(43,14)

85

43. Rechenregeln für die Rotation

Damit ergibt sich aus (43,13) in Vektorschreibweise für rot rot A = grad div Α — Δ Α .

(43,15)

8. Wir geben nun nachträglich noch eine Beziehung an, auf die in Kap. 39 schon hingewiesen wurde, dort aber noch nicht dargelegt werden konnte, weil es hierzu des Begriffes der Rotation eines Vektors bedarf. Es handelt sich um den Ausdruck für die Divergenz eines Vektorproduktes A X B. Man erhält für

div[A X B] = ^

=

[A X B] x + ±

[A X B] y + ^ [A X B] z

(A y B z — A z B y ) + ...

(43,16)

(43,17)

Führt man die Differentiationen aus und faßt danach geeignet zusammen, so erhält man div[A X B] = (B · rot A) - ( A · rot B) .

(43,18)

Hieraus folgt unmittelbar (39,12), welcher Ausdruck dort durch direkte Ausrechnung nur mit Verwendung der Definition der Divergenz ermittelt wurde. 9. Es sei noch fernerhin die Formel für die Rotation eines Vektorproduktes angegeben. Sie ergibt sich auf ähnlichem Wege, wie er vorstehend beschritten wurde: (Einsetzen der Komponenten des Vektorproduktes in die Determinante (42,6). Ausführung der Differentiation und danach geeignetes Zusammenfassen der einzelnen Glieder.) Man erhält dann rot [A Χ Β] = Α div Β - Β div A + (Β · grad) A - (A · grad) Β . (43,19) Hierbei sind (Β · grad) und (A · grad) durch Bildung formaler Skalarprodukte entstehende Operatoren, deren Sinn durch (31,10) erklärt wurde. 10. Aus der zuletzt angegebenen Form ergibt sich für den Sonderfall, daß A = A 0 ein konstanter Vektor ( d A 0 = 0) und Β = r der Ortsvektor ist, r o t [ A 0 X r] = 2 A 0 .

(43,20)

11. Wir geben schließlich noch eine Relation an, deren Aussage in der Physik zur Prägung eines neuen Begriffes führte (Kap. 45). Es sei Β ein Vektorfeld, das durch die Rotationsbildung eines anderen Vektorfeldes A = A ( r ) beschrieben wird: Β = rot A

(43,21)

86

II. Vektorrechnung

Es werde nach der Quellergiebigkeit des B-Feldes, d. h. nach div Β = div rot A

(43,22)

gefragt. Sie ergibt sich unmittelbar aus den Definitionsgleichungen (37,3) u n d (42,6) für die Divergenz bzw. die Rotation eines Vektors, aus denen man div rot A = 0

(43,23)

erhält. Diese Gleichung kann als eine Art Gegenstück zu (43,8) angesehen werden.

44. Erklärung der Bezeichnung Rotation eines Vektors und deren koordinatenfreie Darstellung Nachdem es sich gezeigt hatte, daß der in Kap. 37 zunächst formal eingeführte Begriff div Α sich als die Quelldichte des Vektorfeldes A = A ( r ) deuten läßt, steht zu erwarten, daß auch dem Begriff rot Α eine anschauliche D e u t u n g zuk o m m t . Dies ist auch tatsächlich der Fall, was sich aus der folgenden Betrachtung besonders deutlich ergibt, aus der auch die Bezeichnung R o t a t i o n verständlich wird. Es werde ein Starrer Körper betrachtet, der sich u m eine raumfeste Achse drehe. Von einer n o c h möglichen Translationsbewegung des Starren Körpers kann abgesehen werden, weil sie für das Nachfolgende ohne Belang ist. Die Mechanik lehrt nun, daß die Drehgeschwindigkeit ν = v(r) eines sich u m eine Achse drehenden Punktes P ( r ) des Starren Körpers v(r) = w X r

(44,1)

ist. In diesem Ausdruck bedeutet w die für alle Punkte Ρ des Starren Körpers gleich große Winkelgeschwindigkeit und r den Ortsvektor von Ρ bezogen auf einen Ursprung, als welcher ein beliebiger, j e d o c h auf der Drehachse liegender P u n k t 0 gewählt werden kann, Abb. 44,1. Bildet man nun von (44,1) die Rotation, so erhält man nach (43,19): rot ν = r o t [ w X r] = w div r — (w · grad) r = 3w — w = 2w .

(44,2) (44,3)

Es ist also insbesondere die R o t a t i o n des Vektors der Geschwindigkeit (44,1) eines sich (allein) drehenden Starren Körpers (bis auf den belanglosen Faktor 2)

87

44. Rotation eines Vektors und deren koordinatenfreie Darstellung

Abb. 44,1. Ein sich um eine raumfeste Achse Α drehender Starrer Körper K.

gleich der Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Körpers, aus welcher Tatsache die Prägung der Bezeichnung Rotation unmittelbar verständlich wird. Handelt es sich nicht um den speziellen Vektor (44,1), sondern um ein beliebiges Vektorfeld A = A(r) und ist fur dieses rot A(r) Φ 0 so sagt man, A = A ( r ) sei ein wirbelbehaftetes

(44,4) oder — meist kurz ausgedrückt —

ein Wirbelfeld. Ist dagegen in jedem Punkt P(r) eines Vektorfeldes A = A(r): rot A(r) = 0 ,

(44,5)

so sagt man: Α sei ein wirbelfreies Feld. — In Kap. 38 wurde gezeigt, daß sich der zunächst formal eingeführte, durch (37,3) definierte Begriff div Α (bei Verwendung cartesischer Koordinaten) aus dem Grenzwert (38,4) ergibt. Man kann vermuten, daß es auch eine dazu ähnliche Darstellung für rot Α gibt. Dies ist in der Tat der Fall, was nachstehend gezeigt werden soll. Hierzu legen wir in dem Α-Feld eine beliebig geformte (aber „vernünftige") geschlossene Kurve C und bilden das Linienintegral I = § A · ds , c

(44,6)

wobei ds ein Linienelement von C bedeutet. Durch C wird im Α-Feld eine Fläche F begrenzt. Ein Flächenelement von F werde mit df bezeichnet und gemäß (38,1) vektoriell durch df = n° df

(44,7)

88

II. Vektorrechnung

dargestellt, wobei n ° ein auf df senkrecht stehender Einheitsvektor ist. Der Betrag der Fläche ist F = // d f .

(44,8)

Wir bilden nun in Analogie zu (38,4) den Grenzwert aus (44,6) und (44,8) für ein beliebig kleines Flächenstück F (-> 0) und bezeichnen diesen Grenzwert als die Normalkomponente des Vektors rot A . Es ist daher gemäß dieser Definition rot„ A = n° · rot A

=

Φ A · ds l i m — — , F-o

(44,9)

(44,10)

//df F

wobei n ° der Normaleneinheitsvektor von F bedeutet. Es verbleibt zu zeigen, daß sich aus (44,9/10), für den Fall, daß n ° in die Richtungen der Basisvektoren i, j, k eines cartesischen Koordinatensystems fällt, die durch x, y, ζ ausgedrückten Komponenten rot Α gemäß (42,4) ergeben. Dies ist in der Tat der Fall. Um es nachzuweisen, betrachten wir ein in der y-zEbene liegendes infinitesimal kleines Rechteck, mit den Seitenlängen dy und dz, Abb. 44,2.

Abb. 44,2. Zur Berechnung des Linienintegrals (44,6) längs der Berandung eines infinitesimal kleinen Rechtecks.

Die Flächennormale des betrachteten Rechtecks hat nach einer früher getroffenen Vereinbarung die Richtung des Basisvektors i.

45. Das Vektorpotential

89

Wir bilden das Linienintegral (44,6) längs der Umrandung des Rechtecks und umlaufen dieses, vom Punkt P(y, z) ausgehend, im Uhrzeigersinn. Man erhält dann für Φ A · ds = (A y dy) z + (A z dz) y + d y - ( A y dy) z + d z — (A z dz) y .

(44,11)

Hieraus ergibt sich — durch Entwicklung nach Taylor und Berücksichtigung von nur linearen Gliedern — · ds = (i · rot A) df 9A 7 9A v = -^dydz--^dzdy 9A,

(44,12)

9A v

Dividiert man durch df = dy dz ,

(44,14)

so erhält man 9A, i · rot A = r o t x A = —

9A V ^

(44,15)

und dies ist genau die früher angegebene x-Komponente von rot A — (42,4) aus der sich die anderen Komponenten durch zyklische Vertauschung ergeben.

45. Das Vektorpotential Es sei von einem Vektorfeld Β = B(r) bekannt, daß es quellenfrei ist, d. h. daß in jedem Aufpunkt P(r) des Feldes div B(r) = 0

(45,1)

gilt. Diese Gleichung ist - nach (43,23) - sicher erfüllt, wenn Β = rot A

(45,2)

90

II. Vektorrechnung

ist. Man kann also ein quellenfreies Feld Β stets auf ein anderes Feld Α zurückfuhren, aus dem sich das B-Feld durch Rotationsbildung ergibt. Man nennt dann Α das zu Β gehörige Vektorpotential. Es ist ein Gegenstück zu dem in Kap. 34 erklärten Begriff des skalaren Potentials. Weil das Vektorpotential Α (dieses Symbol wird üblicherweise für das Vektorpotential einer Feldgröße schlechthin verwendet) lediglich durch (45,2) definiert wurde, ist Α nicht eindeutig bestimmt. Es kann dieser Größe noch ein beliebiger wirbelfreier Vektor A' additiv hinzugefügt werden, der bei der Rotationsbildung verschwindet. Diese Tatsache kann man dazu benutzen — und sie wird auch benutzt — um ein Vektorpotential eindeutig in geeigneter Weise festzulegen. Oftmals geschieht es durch die Forderung, daß div A = 0

(45,3)

sein soll. In verschiedenen Fällen ist es aber zweckmäßig, über div Α anders zu verfügen, wodurch sich eine erforderliche Rechnung oftmals vereinfachen läßt.

46. Der Zerlegungssatz Es wurde — in Kap. 38 — der Begriffeines quellenfreien Vektorfeldes Β = B(r) eingeführt, definiert durch div Β = 0 .

(46,1)

Ist hingegen in jedem Punkt Ρ des B-Feldes rot Β = 0 ,

(46,2)

so liegt ein wirbelfreies Feld vor — Kap. 44 —. Es gilt nun die wichtige Aussage, daß sich jedes im gesamten Raum stetige und im Unendlichen nebst seiner ersten Ableitungen verschwindende Vektorfeld Β = B(r) stets in zwei Anteile Bj und B 2 so aufteilen läßt, daß dessen einer Anteil, sagen wir B j , wirbelfrei und dessen anderer Anteil B 2 quellenfrei ist. Man kann also gemäß dieser Aussage jedes Vektorfeld Β in der Form Β = Bj + B 2

(46,3)

46. Der Zerlegungssatz

91

darstellen, wobei div Β = div Β! = f(r)

(46,4)

rot Β = rot B 2 = g(r)

(46,5)

ist. Weil nun Bj wirbel- und B 2 quellenfrei sein sollen, gelten noch weiterhin die zwei Gleichungen rot Β j = 0

(46,6)

div B 2 = 0 .

(46,7)

Aus den beiden zuletzt angegebenen Gleichungen folgt nach Kap. 43 und 45, daß sich B t bzw. B 2 aus einem skalaren Potential V bzw. aus einem Vektorpotential Α herleiten lassen. Man kann daher aufgrund von (46,6/7) sicher schreiben Bj = — grad V

(46,8)

B 2 = rot A .

(46,9)

Setzt man diese Ausdrücke in (46,3) ein, so ergibt sich, daß man ein beliebiges Vektorfeld Β = B(r) stets in der Form Β = — grad V + rot A

(46,10)

darstellen kann. Es entsteht die Frage, aus welchen Gleichungen man V bzw. Α bestimmen kann. Sie ergeben sich, indem man zunächst mit (46,8) in (46,4) eingeht. Dies liefert div Β = div Bj = — div grad V = - AV = f(r) .

(46,11)

Diese für das skalare Potential V geltende Differentialgleichung ist die Poissonsche Gleichung — (41,12) - : AV = — 4 π f (r) ,

(46,12)

aus der sich V bei Kenntnis der Quellergiebigkeit f(r) = 4 π f (r) des B-Feldes ermitteln läßt. Um eine Differentialgleichung für das Vektorpotential Α herzuleiten, werde (46,9) in (46,5) eingesetzt. Man erhält dann rot Β - rot B 2 = rot rot A = g(r),

(46,13)

92

II. Vektorrechnung

was nach (43,15): grad div Α - ΔΑ = g (r)

(46,14)

ist. Da von dem Vektorpotential Α nur verlangt wird, daß es nach (46,9) den wirbelbehafteten Anteil B 2 des B-Feldes liefert, kann über div Α beliebig verfügt werden. In diesem Fall ist es zweckmäßig, div A = 0

(46,15)

zu setzen. Damit erhält man aus (46,14): ΔΑ = — g(r) = — 4π g(r) .

(46,16)

Das ist wiederum die Poissonsche Differentialgleichung, aus der sich bei Kenntnis der Wirbelstärke g(r) des B-Feldes das Vektorpotential Α berechnen läßt.

b) Integralsätze für Vektoren 47. Der Gauss'sche Integralsatz In Kap. 38 wurde der Begriff des Flusses φ eines Vektorfeldes A = A(r) durch die Berandung R eines Gebietes G durch den Ausdruck 0 = φ A · df = $>A n df R

(47,1)

R

erklärt. Es wurde danach weiter anhand des speziellen Beispiels eines infinitesimal kleinen Quaders gezeigt, daß der Fluß durch die Begrenzungsflächen des Quaders (Volumen Δτ) mit der Divergenz (Quellergiebigkeit) des Α-Feldes innerhalb von Δτ durch die Beziehung φ = § A ' df = dr div A

(47,2)

R

verknüpft ist. Betrachtet man nun nicht einen infinitesimal kleinen Quader, sondern ein endliches Gebiet G mit dem Volumen V und unterteilt dieses in eine Vielzahl von kleinen Quadern, so gilt für jeden von ihnen (47,2). Man erhält daher durch

93

48. Die zwei Greenschen Formeln

Addition sämtlicher der durch die Oberflächen der in V liegenden Quader gehenden Teilflüsse als resultierenden Fluß des Vektors Α durch die Berandung R von G: A · df = / / / dr div A . R

(47,3)

G

Diese Beziehung wird als Gaussscher Integralsatz bezeichnet. Er ermöglicht es, ein über das Volumen V eines Gebietes G erstrecktes Integral durch ein über die Berandung R von G erstrecktes Oberflächenintegral auszudrücken und umgekehrt. Es soll nicht unterlassen werden, ausdrücklich zu bemerken, daß die vorstehend angegebene „Herleitung" des Gaussschen Satzes (47,3) — sofern von „Herleitung" überhaupt gesprochen werden kann — in höchst primitiver Weise geschah. Wir haben hier diesen „primitiven" Weg absichtlich der Einfachheit halber gewählt, denn eine im Sinn der Mathematik streng durchgeführte Betrachtung wäre umständlicher, obwohl sie schließlich ebenfalls das Ergebnis (47,3) liefert. Wir wollen es daher bei der vorstehend angegebenen „primitiven Herleitung" von (47,3) belassen.

48. Die zwei Greenschen Formeln Aus dem Gaussschen Integralsatz lassen sich zwei andere zwischen einem Volumen- und einem Oberflächen-Integral bestehende Beziehungen herleiten (sog. Integralsätze vom Gaussschen Typ), die in der Physik verschiedentlich verwendet werden. Diese Beziehungen wurden erstmalig von Green angegeben und werden heute nach ihm bezeichnet. Man erhält sie, indem man in dem Gaussschen Integralsatz (47,3) zunächst einmal A = u grad ν

(48,1)

setzt. Hierbei bedeuten u und ν zwei skalare Ortsfunktionen. Unter Beachtung von (39,3) geht (47,3) in / / / {uAv + (grad u · grad v)} d r = ff u(grad ν · df) G

(48.2)

R

(48.3) R

9 n

94

II. Vektorrechnung

über. Vertauscht man in (48,1) die skalaren Funktionen u und v, d. h. setzt man Α = ν grad u ,

(48,4)

so ergibt der Gausssche Satz / / / {vAu + (grad ν · grad u)} d r = f f ν ^ G

R

df.

(48,5)

9 n

Subtrahiert man diese Gleichung von (48,2/3), so erhält man

f f f (uAv - vAu) d r - / / ( u | ^ - v g - ) d f . G

(48,6)

R

Diese Relation wird meistens (aber nicht ganz einheitlich) als E r s t e s e h e F o r m e l bezeichnet.

Green-

Zu einer weiteren Integralbeziehung gelangt man, wenn in (47,3): A = u grad u

(48,7)

gesetzt wird. Dann geht der Gausssche Integralsatz in / / / {uAu + (grad u ) 2 } dr = / / u ^ G

df

(48,8)

R

über. Dieser Ausdruck wird (allerdings auch nicht ganz einheitlich) als G r e e n s c h e F o r m e l bezeichnet.

Zweite

Ihre Bedeutung liegt insbesondere darin, daß sich mit ihrer Hilfe relativ einfach die Eindeutigkeit der Lösungen von für die Physik bedeutungsvollen partiellen Differentialgleichungen erbringen läßt. Dies wurde erstmalig von Kirchhoff gezeigt. Wir wollen im folgenden Kapitel die Greensche Formel (48,8) dazu benutzen, um einen speziell für die Vektorrechnung bedeutungsvollen Satz zu beweisen.

49. Der Eindeutigkeitssatz Bei dem vorstehend angekündigten, für die Vektorrechnung bedeutungsvollen Satz handelt es sich um eine Aussage, die vielfach als Eindeutigkeitssatz bezeich-

95

49. Der Eindeutigkeitssatz

net wird. Er besagt, daß ein Vektorfeld eindeutig ermittelt werden kann, wenn man die Divergenz des Feldes divA = f ( r ) ,

(49,1)

die Rotation des Feldes rot A = g(r)

(49,2)

und die Normalkomponente An(R) = F(r)

(49,3)

von Α auf dem Rand R des Gebietes G kennt, innerhalb dessen A = A(r) definiert ist. Um die Eindeutigkeitsbehauptung zu beweisen, werde angenommen, aus (49,1—3) lassen sich zwei Feldvektoren A t = A t ( r ) und A 2 = A 2 ( r ) ermitteln. Diese müssen dann den Gleichungen ( 4 9 , 1 - 3 ) genügen, d. h. es muß gelten div A j = f (r)

(49,4)

rot A j = g(r)

(49,5)

A l n ( R ) = F(r)

(49,6)

und daneben div A 2 = f(r)

(49,7)

rot A 2 = g(r)

(49,8)

A2n(R) = F(r).

(49,9)

Es werde nun der Differenzvektor Β = A j — A2

(49,10)

gebildet. Für ihn gilt nach ( 4 9 , 4 - 9 ) : div Β = 0

(49,11)

rot Β = 0

(49,12)

B„(R) = 0 .

(49,13)

96

II. Vektorrechnung

Aus (49,12) folgt, daß man für Β = A j — A 2 = grad u

(49,14)

schreiben kann, womit sich aus (49,11) für u die Laplace-Gleichung Au = 0

(49,15)

ergibt. Es geht dann weiterhin (49,13) in

(|)

R

= 0

(49,16)

über. Soll nun die in der Greenschen Formel (48,8) auftretende Funktion u von solcher Form sein, daß sie den beiden letzten Gleichungen genügt, so erhält man aus (48,8): / / / ( g r a d u ) 2 dr = ///[(|)

2

+(0)

(49,17) 2

+(|)

2

] d r = O,

(49,18)

weil das Oberflächenintegral wegen (49,16) verschwindet. Da eine Integration eine (kontinuierlich zu bildende) Summen Vorschrift ist und in (49,18) die Summanden (als Quadrate) ausnahmslos positiv sind, kann (49,18) nur dann verschwinden, wenn die Summanden einzeln verschwinden, d. h. es muß sein

s-S-s-®·

3) die Darstellung (52,9) in

T=

Λπ t21

w

tl2 tl3 \ t22 t 2 3

(52,10)

t32 t 3 3 /

über. Hierfür soll abkürzend T = (tik),

i , k = 1,2,3

(52,11)

geschrieben werden. Es mag diese kurze, wohl aber kaum mißverständliche Schreibweise auch weiterhin benutzt werden. Die Tensorkomponenten, deren beide Indizes gleich sind (es sind dies die in (52,9) bzw. (52,10) in der einen Diagonalen stehenden Glieder) werden oft

103

52. Die lineare Vektorfunktion und der Begriff eines Tensors 2. Stufe

T e n s o r k o m p o n e n t e n 1. Art genannt, während die anderen k o m p o n e n t e n 2. A r t heißen.

Tensor-

Verwendet man die Ziffernindizierung, so lassen sich die drei Gleichungen (52,6—8) in Summenschreibweise durch

Ai=

Σ tikBk, k=l

i = 1,2,3

(52,12)

zusammenfassend darstellen. Es möge noch bemerkt werden, daß gelegentlich die drei Gleichungen ( 5 2 , 6 - 8 ) symbolisch in der Form Α= Τ * Β

(52,13)

ausgedrückt werden, was als eine Art Analogon zum skalaren Produkt angesehen werden kann. Es seien hier noch die Komponenten eines speziellen Tensors 2. Stufe angegeben, die, in (52,12) eingesetzt, den Vektor Β in sich selbst überführen. Die Komponenten dieses speziellen Tensors soll mit 6 i k bezeichnet werden. Es muß dann gemäß der Forderung gelten 13 B 3 = BI

(52,14)

A 2 = Δ ΐ 2 Β Χ + δ22 B 2 + δ 2 3 B 3 = B 2

(52,15)

A 3 = «13 Β , + δ 2 3 B 2 +

(52,16)

AI = « I I BI + 6J2 B2

+

Δ

δ33

B3 = B 3 .

Diese Gleichungen werden nur dann erfüllt, wenn die Komponenten

J

für ^ j ,

i.j = 1 , 2 , 3

(52,17)

sind. Es hat also dieser spezielle Tensor, wenn er gemäß (52,10) dargestellt wird, die Form 0 0

Λ «U =

°

1 0

\ 0 0

1

(52,18)

104

III. Elemente des Tensorkalküls

Ein Tensor, der sich, in Matrizenform geschrieben, in der Form (52,18) darstellen läßt, wird als Einheitstensor 2. Stufe bezeichnet. Die Bezeichnung 6jj geht auf Kronecker zurück (Kap. 4). Es soll zum Abschluß dieses Kapitels noch eine historische Bemerkung gemacht werden: Nachdem man erkannt hatte, daß zur Beschreibung gewisser physikalischer Vorgänge auch „höhere" Größen erforderlich sind, erhielten diese nach ihrer Einführung zunächst verschiedene Bezeichnungen. So wurden Größen, die heute einheitlich als Tensoren bezeichnet werden, anfänglich teilweise mit verschiedenen Namen belegt. Man sprach z. B. von einem „zweiseitigen Vektor", von einem „Bivektor", von einer „Dyade" u. a. m. Es wurde dann gegen Ende des vorigen Jahrhunderts (1897) von W. Voigt der Vorschlag gemacht, diese „höheren" Größen einheitlich als Tensoren zu bezeichnen. Dieser Vorschlag wurde akzeptiert und hat sich in der Zwischenzeit durchgesetzt. Bedauerlicherweise ist es nur wenig (vermutlich wohl kaum) bekannt, daß die Prägung der Bezeichnung Tensor auf W. Voigt zurückgeht, weshalb hier darauf ausdrücklich hingewiesen werden soll.

53. Spezielle Tensoren 2. Stufe Wir betrachten einen Tensor 2. Stufe T = (tik),

i, k = 1 , 2 , 3 .

(53,1)

Die rechte Seite von (53,1) läßt erkennen, daß Τ durch Angabe von ν = 9 Größen t i k , eben seinen Komponenten, eindeutig bestimmt ist, die i. allg. voneinander unabhängig sind. Es gibt aber auch Fälle, daß zwischen den t i k gewisse Beziehungen bestehen, was zu speziellen Tensoren 2. Stufe führt. Von ihnen sind für die Physik zwei Typen von besonderer Bedeutung: 1. Es kann sein, daß die Komponenten t i k der Bedingung tik

—

tki ,

i, k - 1, 2, 3 ,

genügen. In diesem Fall nennt man Τ einen symmetrischen wird durch

(53,2) Tensor 2. Stufe. Er

(53,3)

voneinander unabhängige Komponenten beschrieben. Bemerkenswert ist, daß die in der Physik auftretenden Größen, die dort als Tensoren bezeichnet werden, durchweg symmetrische Tensoren sind.

54. Das Transfoimationsverhalten der Komponenten eines Tensors 2. Stufe

105

2. Es gibt noch weiterhin Tensoren 2. Stufe, deren Komponenten der Beziehung t>k = - t k i

(53,4)

genügen. Man nennt dann Τ einen schief symmetrischen (oder antisymmetrischen) Tensor. Für solche Tensoren sind die in der Diagonale der Matrixdarstellung (52,10) stehenden Komponenten ta = 0,

i= 1,2,3,

(53,5)

so daß ein schiefsymmetrischer Tensor nur 6 i. allg. nichtverschwindende Komponenten hat, von denen jedoch je zwei - bis auf das Vorzeichen - gleich sind. Es hat also ein schiefsymmetrischer Tensor nur ν = 3 voneinander unabhängige Komponenten. Dieses hat zur Folge, daß schiefsymmetrische Tensoren als Vektoren angesehen und auch überwiegend als solche bezeichnet werden. Es ist bemerkenswert, daß die Anzahl der Komponenten eines schiefsymmetrischen Tensors 2. Stufe nur im η = 3 dimensionalen Raum mit der Dimensionszahl η übereinstimmt. Dies ist sofort wie folgt einzusehen: Denkt man sich einen η Φ 3-dimensionalen Raum, so hat in ihm ein unsymmetrischer Tensor 2. Stufe »= ^

(53,6)

voneinander unabhängige Komponenten. Soll nun ν = η sein, so folgt aus (53,6), daß dies nur für η = 3 gilt. Es hat also nur im η = 3 dimensionalen Raum ein schiefsymmetrischer Tensor ν = 3 voneinander unabhängige Komponenten, was eben dazu geführt hat, einen solchen Tensor mit einem Vektor zu identifizieren. Dies ist sicher vereinfachend, allerdings wird dadurch der tensorielle Charakter mancher für die Physik bedeutungsvoller Begriff verschleiert. Dies ist bei allen jenen Begriffen der Fall, die sich als Vektorprodukte darstellen lassen. Diese Größen wurden (in Kap. 16) zwar wie üblich als Vektoren, jedoch mit besonderem Charakter (Plangröße) eingeführt, es wurde jedoch danach bereits andeutungsweise bemerkt, daß das Vektorprodukt im strengen Sinn kein Vektor, sondern ein schiefsymmetrischer Tensor ist. Es wird dies nachstehend noch bewiesen werden.

54. Das Transformationsverhalten der Komponenten eines Tensors 2. Stufe Es wurden vorstehend als die Komponenten t i k eines Tensors 2. Stufe jene Koeffizienten definiert, welche die Komponenten eines Vektors A = {A x , A y , A z } mit

106

III. Elemente des Tensorkalküls

den Komponenten eines anderen Vektors Β = {B x , B y , B z } linear und homogen verknüpfen, d. h. es soll gelten:

A;=

Σ tikBk) k=l

i=l,2,3.

(54,1)

Es ist klar, daß die neun Komponenten t i k nicht beliebige Größen sein können. Vielmehr müssen sie so beschaffen sein, daß sich der gemäß (54,1) aus Β ergebende neue Vektor Α bei einer Koordinatentransformation K{i, j , k } -*· K'{i', j', k ' } die von einem Vektor geforderte Invarianzeigenschaft lAl = lA'l besitzt. Durch diese Forderung wird ein bestimmtes Transformationsverhalten der t i k festgelegt, das sich wie folgt ermitteln läßt. Es gelte in bezug auf Κ die Darstellung (54,1). Dann lautet sie in bezug auf K' (wegen der Gleichwertigkeit aller Koordinatensysteme)

Aj=

Σ t;kB[, k= 1

i=l,2,3.

(54,2)

Mit der Transformationsformel (8,10) geht dieser Ausdruck in

Σ • ρ .

(54,6)

107

55. Definition eines Tensors m-ter Stufe

Damit geht (54,5) nach Vertauschung der beiden Seiten in

Σ

4

Bk =

k=l

Σ (Σ Σ α,ρ a k q t p q ) B k k=l

(54,7)

ρ q

über. Durch Vergleich der beiden Seiten der vorstehenden Gleichung folgt nach einer bekannten Schlußweise das Transformationsgesetz 3

4 = Σ

3

Σ üjp a k q t p q .

p=l

(54,8)

q=l

Diese Gleichung sagt aus, daß sich die Komponenten t i k eines Tensors 2. Stufe bei einer orthogonalen Transformation ebenso verhalten, wie die paarweise gebildeten Produkte der Komponenten zweier Vektoren. Dann und nur dann dürfen neun Größen als die Komponenten eines Tensors 2. Stufe angesehen werden. Es sei ausdrücklich bemerkt, daß (54,8) lediglich das Transformationsverhalten der Komponenten eines Tensors 2. Stufe angibt, nicht aber verlangt, daß sich diese Komponenten auch unbedingt als Produkte zweier Vektoren darstellen lassen.

55. Definition eines Tensors m-ter Stufe Es wurde bisher von Skalaren, Vektoren und (speziell) von Tensoren 2. Stufe gesprochen. Sie unterscheiden sich durch ihr Transformationsverhalten bei einem Wechsel des Koordinatensystems. So ist ein Skalar S dadurch gekennzeichnet, daß er bei einem Übergang von einem Koordinatensystem Κ zu einem anderen K' seinen Betrag n i c h t ändert. Es ist also p. def. ein Skalar gegenüber dem Übergang von Κ zu K' eine Invariante, ausgedrückt durch die Gleichung S' = S .

(55,1)

Dagegen ändern sich die Komponenten eines Vektors A = ( A t , A 2 , A 3 } beim Übergang von Κ -»• Κ' gemäß der Beziehung 3

Aj =

Σ a i k Ak , k=l

i = 1, 2, 3 .

(55,2)

108

III. Elemente des Tensorkalküls

Schließlich wurde im vorstehenden Kapitel gezeigt, daß sich die Komponenten t i k eines Tensors 2. Stufe nach der Regel tik = Σ Σ + tg>

, *ik ~ * k i

+

2

.

.

(

' *

(56,5)

110

III. Elemente des Tensorkalküls

schreiben, d. h., man stellt Τ als Summe zweier Tensoren T ^ und T ^ dar: T ( t i k ) = T< 1 )(tä ) ) + T(tg))

(56,6)

t i k ^ O i k + tfci)

(56,7)

tik) = 7 ( t i k - t k i ) .

(56,8)

mit

Man ersieht aus dieser Darstellung, daß T ^ = (t(^) ein symmetrischer und T*2^ = (tjj^) ein unsymmetrischer Tensor ist. In Worten: Man kann jeden beliebigen Tensor 2. Stufe stets als Summe eines symmetrischen und eines unsymmetrischen Tensors auffassen. Von dieser Tatsache wird in der Physik weitgehend Gebrauch gemacht. — Anhand der für die Addition (Subtraktion) von gleichartigen Tensoren angegebenen Vorschrift (56,3) ergibt sich eine erste Möglichkeit zu prüfen - und dieses muß getan werden — ob es gerechtfertigt ist, einen Vektor als einen Tensor 1. Stufe anzusehen. Wenn dieses erlaubt ist, so muß (56,3) die früher angegebenen Regeln (9,9-11) für die Addition von Vektoren als Sonderfall enthalten. Dies ist in der Tat der Fall, was ohne jegliche Schwierigkeit sofort ersichtlich ist.

57. Multiplikation von Tensoren Es mögen τί 1 * und T*2·* zwei Tensoren von den Stufen ρ und q sein. Man defieil (21 niert dann als das Produkt der beiden Tensoren Tj, ' und Tq ' einen Tensor T, dessen Komponenten die Gesamtheit aller ( = 3 p + q ) Produkte sind, die man erhält, indem jede Komponente von Tp ^ mit jeder Komponente von T ^ multipliziert wird. Man erhält daher durch die Multiplikation von T ^ mit T ^ einen Tensor Τ von (p + q)-ter Stufe, symbolisch ausgedrückt durch t

p1} • T ? ) = T p + q .

(57,1)

So ergibt sich etwa — um ein Beispiel anzuführen — durch Multiplikation des Tensors 2. Stufe Ti 1} = (tff>)

(57,2)

58. Veijüngung von Tensoren

111

mit dem Tensor 3. Stufe

T?> = (t£ n )

(57,3)

ein Tensor 5. Stufe mit den Komponenten l t... tl; • ijkmn = Mj · l kmn

(57,4)

Daß diese Größen tatsächlich die Komponenten eines Tensors 5. Stufe sind, ergibt sich unmittelbar aus dem für Tensorkomponenten gültigen Transformationsgesetz, mit dessen Verwendung sich auch die Gültigkeit von (57,1) für beliebige Werte von ρ und q nachweisen läßt. Mit (57,1) wurde der sog. Multiplikationssatz der Tensorrechnung dargelegt, welcher aussagt, daß sich durch Multiplikation zweier Tensoren ein neuer Tensor ergibt, dessen Stufe gleich der Summe der Stufen der beiden Faktoren ist. Dieses Gesetz gilt sinngemäß erweitert auch für die Multiplikation von mehr als zwei Tensoren gleicher oder verschiedener Stufe. Das Multiplikationsgesetz (57,1) bietet eine zweite Möglichkeit zu prüfen, ob ein Vektor als ein Tensor 1. Stufe bezeichnet werden kann, der dann auch das Multiplikationsgesetz (57,1) erfüllen muß. Danach müßte das Produkt zweier Vektoren ( = Tensoren 1. Stufe) die Komponenten eines Tensors 2. Stufe ergeben. Diese Forderung scheint jedoch den früher angegebenen Regeln für die Produktbildung zweier Vektoren zu widersprechen: das Ergebnis einer skalaren Multiplikation zweier Vektoren ( = Tensoren 1. Stufe) ist ein Skalar und das Ergebnis der vektoriellen Multiplikation, das sog. Vektorprodukt, wurde als Vektor eingeführt, während nach (57,1) das Produkt zweier Vektoren ( = Tensoren 1. Stufe) einen Tensor 2. Stufe ergeben sollte. Es scheint also zunächst so zu sein, daß die Annahme, ein Vektor könne als ein Tensor 1. Stufe angesehen werden, nicht gerechtfertigt ist. Dies ist jedoch nicht der Fall, denn es läßt sich zeigen, daß das Ergebnis des skalaren und des vektoriellen Produktes zweier Vektoren sich zwanglos aus dem Schema des Tensorkalküls ergibt, wozu es jedoch noch der Kenntnis zweier neuer Begriffe bedarf. Diese sollen nachstehend dargelegt werden.

58. Verjüngung von Tensoren Wir hatten im vorstehenden Kapitel gesehen, daß sich durch die Multiplikation zweier (oder mehrerer) Tensoren T ^ , T ^ ... ein neuer Tensor Τ ergibt, dessen Stufe gleich der Summe der Stufen von T ^ ... ist. Die Stufe von Τ hat sich

112

III. Elemente des Tensorkalküls

also durch die Multiplikation gegenüber den Stufen von T l t T 2 . . . e r h ö h t . Es gibt jedoch hierzu eine Art inverses Gegenstück, eine Operation, die als Ergebnis einen Tensor liefert, dessen Stufe sich nach Ausführung einer bestimmten Rechenvorschrift um zwei v e r r i n g e r t . Man nennt dies die Verjüngung eines Tensors. Wir erläutern sie der Einfachheit halber anhand eines Tensors 3. Stufe mit den Komponenten t y k . Für diese gilt das Transformationsgesetz tj j k = Σ Σ Σ α ί ρ a j q a k r t p q r . ρ q r

(58,1)

Die Verjüngung besteht nun darin, daß man in (58,1) zwei Indizes gleich setzt, sagen wir k = j, und dann über j summiert. Dies ergibt Σ tijj = Σ Σ Σ Σ a i p a j q a j r t p q r j

(58,2)

j ρ q r

= Σ Σ Σ α ί ρ ( Σ öj q ajf) t p q r . ρ q r

(58,3)

j

Nun ist, (Kap. 4),

2«jqajr = 6 q r = { J

für * = ] ,

(58,4)

womit (58,3) in Σ t'yj = Σ Σ Σ a i p δ ν t p q r j P qΓ =

Σ ajp (Σ Σ 6 q r t p q r ) ρ q r

(58,5)

(58,6)

übergeht. Führt man die Summation über q und r aus, so verbleibt - unter Beachtung von (58,4) - : Σ tijj = Σ α, ρ Σ t p q q . j ρ q

(58,7)

Führt man nun die neuen Größen Ti=2t[y T

p

^ lpqq

(58.8) (58.9)

113

58. Veijüngung von Tensoien

ein, so nimmt (58,7) die Form r[ = Σ a i p Tp ρ

(58,10)

an. Dieser Ausdruck besagt, daß die neu eingeführten Größen r p sich bei einer Transformation Κ -»· Κ' ebenso verhalten wie die Komponenten eines Vektors, d. h., daß sie die Komponenten eines Tensors 1. Stufe ( = Vektor) sind. Durch die Rechenvorschrift „Verjüngung" wurde der 3stufige Tensor in einen Tensor mit einer um 2 kleineren Stufe übergeführt. Was vorstehend speziell anhand eines Tensors 3. Stufe dargelegt wurde, gilt auch für jeden Tensor m-ter Stufe, wie es eine analoge, wie vorstehend durchgeführte Betrachtung unmittelbar zeigt. Ergebnis: Durch die Verjüngung eines Tensors m ( > 2)-ter Stufe erhält man einen Tensor (m — 2)-ter Stufe. Als Sonderfall sei vermerkt, daß die Verjüngung eines Tensors m = 2ter Stufe zu einem Tensor 0. Stufe, d. h. zu einem Skalar S führt. Wir knüpfen an diese Bemerkung an und zeigen, wie man zwanglos zu dem früher eingeführten skalaren Produkt zweier Vektoren im Rahmen der Tensorrechnung gelangt. Seien A = {A1,A2,A3},

B={B1,B2,B3}

(58,11)

die beiden miteinander zu multiplizierenden Vektoren und sieht man diese als Tensoren 1. Stufe an, so muß ihre Multiplikation nach (57,1) einen Tensor Τ 2. Stufe mit den neuen Komponenten tik = A i B k ,

i,k= 1,2,3,

(58,12)

ergeben. Die Gesamtheit dieser neuen Größen wurde früher als das d y a d i s c h e Produkt aus Α und Β bezeichnet. Verjüngt man das „dyadische Produkt", indem man k = i setzt und danach über i summiert, so erhält man einen Tensor 0. Stufe, d. h. einen Skalar S = Σ tjj = Σ Aj B;. i

(58,13)

i

Dies ist genau die früher angegebene Form (15,14) des skalaren Produkts zweier Vektoren Α und B. Dieses ergibt sich also, indem man die beiden Vektoren A und Β (= Tensoren 1. Stufe) zunächst nach der Multiplikationsvorschrift der Tensorrechnung multipliziert und den sich daraus ergebenden Tensor 2. Stufe

114

III. Elemente des Tensorkalküls

mit den Komponenten (58,12) danach verjüngt. Man nennt den Ausdruck (58,13) die lineare Tensorinvariante. Nachdem nun gezeigt wurde, daß und wie man mit Verwendung einer für den Tensorkalkül gültigen Rechenregeln zu dem früher symbolisch eingeführten skalaren Produkt zweier Vektoren gelangen kann, verbleibt es, die Frage zu untersuchen, ob dies auch für das Vektorprodukt der Fall ist. Dies läßt sich in der Tat nachweisen, wozu jedoch noch ein weiterer Begriff benötigt wird, der im folgenden Kapitel dargelegt werden soll.

59. Der e -Tensor In Kap. 16 wurde nach Festlegung der Rechenvorschrift „vektorielle Multiplikation" zweier Vektoren Α und Β das Ergebnis als ein neuer Vektor C= A ΧΒ

(59,1)

eingeführt. Seine Komponenten sind C^AjBk-AfcBj,

(59,2)

wobei i, j, k drei aufeinanderfolgende Zahlen aus der Folge 1, 2, 3, 1, 2 bedeuten. Man ersieht aus der rechten Seite von (59,2), daß dort Produkte von Vektorkomponenten ( = Komponenten eines Tensors 1. Stufe) stehen, d. h. nach dem in Kap. 57 behandelten Multiplikationssatz, daß es sich um die Komponenten eines Tensors 2. Stufe handelt. Es darf also die linke Seite von (59,2) nicht als eine Komponente eines Tensors 1. Stufe geschrieben werden, vielmehr muß (59,2) korrekterweise durch tjk

=

Aj B k — A k Bj

(59,3)

ersetzt werden. Dies sind die Komponenten eines schiefsymmetrischen Tensors 2. Stufe. Die Schiefsymmetrie tjk = - t

W

(59>4)

ist unmittelbar aus (59,3) abzulesen. Es ist also vom Standpunkt der Tensorrechnung im Sinn der Darlegungen von Kap. 57 das früher eingeführte vektorielle Produkt der beiden Vektoren Α und Β kein Vektor ( = Tensor 1. Stufe), sondern ein schiefsymmetrischer Tensor 2. Stufe.

115

59. Der e-Tensor

Hier scheint ein Widerspruch vorzuliegen und es entsteht die Frage, ob man ihn (vielleicht nach Einführung eines neuen Begriffs) auflösen kann. Dies ist in der Tat möglich, wenn man beachtet, daß die rechtsseitig in (59,2) stehenden Ausdrücke Komponenten eines Tensors 2. Stufe sind. Man erhält nun sicher aus den Komponenten eines solchen Tensors die Komponenten eines Tensors 1. Stufe (Vektorkomponenten), wenn man Aj B K mit den Komponenten eines geeigneten Tensors 3. Stufe multipliziert und danach zweimal verjüngt. Ein solcher Tensor 3. Stufe, mit dessen Verwendung man zwei Vektoren A = {Aj}, Β = {Bj} einen dritten Vektor C = {Q}, (i = 1, 2, 3), zuordnen kann, so daß gemäß der Definition des Vektorproduktes — sowohl C 1 Α als auch C 1 Β ist, läßt sich in der Tat ermitteln. Dieser spezielle Tensor heißt e-Tensor, dessen Komponenten üblicherweise mit e ^ bezeichnet werden. Um sie zu bestimmen, hat man folgende Gleichungen zur Verfügung. Es sollen die Komponenten ejj k p. def. so gestaltet sein, daß die Gleichung C, = Σ Σ e i j k Aj B k j k

(59,5)

gilt. Ferner liefert die Forderung der Orthogonalität von C zu Α und Β die zwei weiteren Gleichungen 3

A · C = Σ Ai Cj = 0 i=l

(59,6)

3

Β · C = Σ Bj Cj = 0 . i= l

(59,7)

Aus den beiden letzten Gleichungen berechnen wir eine Komponente von C, etwa C z = C 3 . Man erhält aus (59,6):

C3 = - - f - ( A , Ct + A 2 C 2 )

(59,8)

und aus (59,7): C3 = - ^ ( B

x

Ct + B 2 C 2 ) .

(59.9)

Durch Gleichsetzen von ( 5 9 , 8 - 9 ) — d. h. durch Elimination von C 3 — erhält man B 3 ( A , C t + A 2 C j ) = A 3 ( B , CJ + B2 C 2 ) ,

(59,10)

116

III. Elemente des Tensorkalküls

welcher Ausdruck, wenn man ihn nach C^ und C 2 ordnet, die Form C^A, B 3 - A

3

B

) = C

1

2

(A

3

B

2

-A

2

B

3

)

(59,11)

annimmt. Hierfür kann man auch Cj A

2

B

C2

-A

3

B

3

(59,12)

A 3 Bj — A x B3

2

schreiben. Eliminiert man aus (59,6/7) die Komponente C y = C 2 , so erhält man in gleicher Weise

A

2

B

Ί -A

3

B

3

A

2

1

B

2

-A

2

B

1

(59,13)

·

Die beiden letzten Gleichungen lassen sich in die Mehrfachgleichung

Cj A

2

B

3

c2

-A

B

3

A

2

3

B

1

-A

c3 1

B

3

A j A 2 — A 2 BI

α

ί59'15)

zusammenfassen. Setzt man a = 1, so erhält man C

1

=A

2

B

3

-A

3

B

2

(59,16)

C

2

=A

3

B

1

-A

1

B

3

(59,17)

C3 = A

1

B

2

-A

2

B

1

(59,18)

und dies sind genau die drei Ausdrücke, die in (59,2) zusammenfassend geschrieben sind. Aus den vorstehenden Ausdrücken in Verbindung mit (59,5) lassen sich nun die Komponenten des e-Tensors ermitteln. Nach (59,5) soll — etwa für i = 1 — gelten Ci =

ei

11 Α ι Β ! + e u 2 A t B 2 + e 1 1 3 A x B 3 +

+

ei2i

A 2 B t + e 1 2 2 A 2 B2 + e 1 2 3 A 2 B 3

+ e 1 3 1 A 3 B, + 6 J 3 2 A 3 B 2 + e 1 3 3 A 3 B 3 .

(59,19)

Soll dies mit (59,16) übereinstimmen, so muß sein *ΐ23 = + 1 ,

e132 = - l ,

(59,20)

117

60. Das Tensorellipsoid

während alle anderen in (59,19) auftretenden Komponenten des e-Tensors verschwinden müssen: e

-

lll

e

— e

112

113 ~ e 121

— e

122

— e

I31 ~ e 133 ~~ 0 ·

(59,21)

Führt man die gleiche Betrachtung für C 2 bzw. C 3 durch, so findet man als nicht verschwindende Komponenten nur e

231 ~ e 321

e

321

= c

213

—

+ 1

(59.22)

=

~ 1·

(59.23)

Man kann sich die Beträge der 3 3 = 27 Komponenten des e-Tensors leicht wie folgt merken: Es ist e

ijk

=

+ 1>

wenn i, j, k drei aufeinander folgende Zahlen der Reihe 1, 2, 3, 1, 2, d. h. eine g e r a d e Permutation der Zahlen 1, 2, 3 sind

€jj k = — 1 ,

wenn i, j, k eine u n g e r a d e folge 1, 2, 3 ist,

e

wenn zwei der Indizes (oder vielleicht auch alle) gleich sind.

ijk

=

0 >

Permutation der Zahlen-

Man bezeichnet einen Tensor mit den vorstehend angegebenen Komponenten neuerdings als einen t o t a l a n t i s y m m e t r i s c h e n Tensor 3. Stufe. Erwähnt werden mag noch, daß die vorstehend angegebenen Regeln für die Bestimmung der Beträge der Komponenten ey k eine gewisse Parallelität zu Eigenschaften von Determinanten haben. Dies hat Anlaß dazu gegeben, die e i j k in Form einer Determinante auszudrücken, worauf hier jedoch nicht eingegangen werden soll.

60. Das Tensorellipsoid Es sei Τ ein Tensor 2. Stufe

T2=(tik),

i,k=

1,2,3

(60,1)

118

III. Elemente des Tensorkalküls

Neben ihm betrachten wir den Ortsvektor r{x,y,z}= {x1)x2,x3} .

(60,2)

Im Sinne der Tensorrechnung ist r als ein Tensor 1. Stufe anzusehen, weswegen die sonst übliche Schreibweise von r vorübergehend (nur in diesem Kapitel) in T ^ i x J ,

m = 1, 2, 3 ,

(60,3)

abgeändert werden soll. Multipliziert man nun T 2 mit Tj im Sinn der Tensorrechnung, so erhält man einen Tensor 3. Stufe T 3 mit den Komponenten T 3 = (tikm = t i k · x m ) ·

(60,4)

Man kann diesen Tensor erneut mit T, multiplizieren und erhält dann einen Tensor 4. Stufe T 4 = (tikm · *n) = (tik · Xm · Xn) •

(60,5) (60,6)

Verjüngt man diesen Tensor zweimal nach den Indizes i und k (d. h. setzt man m = i, η = k und summiert danach über i bzw. k), so erhält man einen Tensor 0. Stufe, d. h. die Invariante

Σ

Σ t i k Xj x k = const.

(60,7)

Dies ist — unter Beachtung der Bedeutung von Xj, x k (= cartesische Koordinaten) — die Mittelpunktgleichung einer Fläche 2. Grades. Um was für eine Fläche es sich handelt, die durch (60,7) beschrieben wird, läßt sich anhand gewisser Kriterien ermitteln, welche die Analytische Geometrie angibt. Darauf im einzelnen einzugehen, muß hier unterbleiben, weil es zu weit führen würde, im übrigen nicht unmittelbar zum Thema gehört. Es sei jedoch dieses erwähnt: wenn die in (60,7) auftretende Größe t i k insbesondere die Komponenten eines in der Physik auftretenden Tensors sind, dann ist (60,7) die Gleichung der Oberfläche eines Ellipsoids. Man spricht daher schlagwortartig von einem Tensor ellipsoid. Dessen drei Achsen a, b, c werden i. allg. nicht mit den drei Achsen des Koordinatensystems Κ zusammenfallen. Man kann jedoch, wie es ebenfalls die Analytische Geometrie beweist, stets ein anderes Koordinatensystem K' finden, in bezug auf welches die Tensorkomponenten

119

60. Das Tensorellipsoid

t i k = 0 werden, wenn i Φ k ist. In K' nimmt daher (60,7) nach geringfügiger Änderung der Bezeichnungen und Einführung einer geeigneten Längeneinheit die Form t i xi 2 + t 2 X22 + t 3 x ' 2 = 1

(60,8)

an. Setzt man formal

t i = T z> a

t 2 = ^z , b

t 3 = -V1 c

(60,9)

und geht wieder zur Bezeichnungsweise I

I

Xj = X ,

I

I

X2 = y ,

über, so wird aus (60,8): x^ Z2 z'2 + + — TbT 3c = 2 a2

1

·

I

I

x3 = ζ

(60'10>

Dieses ist die bekannte Mittelpunktgleichung eines Ellipsoides, die durch den Übergang von Κ -»• Κ' gewonnen wurde. Dieser Übergang Κ -> Κ', durch den (60,7) in (60,8) bzw. (60,10) übergeführt werden kann, nennt man Hauptachsentransformation. Beschränkt man sich auf den zweidimensionalen Fall ( x 3 = ζ = 0), so reduziert sich das Ellipsoid auf eine Ellipse. Diese hat dann nach (60,7) einen Verlauf, wie er in Abb. 60,1 dargestellt ist. Transformiert diese Ellipse auf die Hauptachsen x ' und y ' , so erhält man die in Abb. 60,2 dargestellten Verhältnisse.

Abb. 60,1. Darstellung von (60,7) für den zweidimensionalen Fall: Eine Ellipse, deren Achsen nicht mit den Achsen eines Koordinatensystems zusammenfallen.

120

III. Elemente des Tensorkalküls

Abb. 60,2. Zweidimensionale Darstellung der in Abb. 60,1 dargestellten auf Hauptachsen x', y' transformierten Ellipse.

C. Tensoranalysis 61. Der Differentiationssatz Wir betrachten eine skalare Ortsfunktion u = u(r) = u ( x , y , z )

(61,1)

= u(x1,x2,x3).

(61,2)

Die Ortskoordinaten x i ( i = 1, 2, 3, eines Aufpunktes Ρ im u-Feld sind auf ein willkürlich gewähltes Koordinatensystem Κ bezogen. Geht man von diesem (durch Drehung) zu einem anderen Bezugssystem K' über, so gelten (Kap. 4) die Transformationsgleichungen 3

xS=

Σ aikxk, k=l

i= 1,2,3.

(61,3)

Eine Translation, die Κ außer der Drehung auch noch ausführen könnte, haben wir der Einfachheit halber unterdrückt, weil sie für die folgenden Betrachtungen ohne Belang ist. Beim Übergang Κ -> Κ' wird aus u ( x i , x 2 , X3) = u '(x'i» X2. x'3).

(61A)

wobei die xj, -> i = 1, 2, 3, Funktionen der ungestrichenen Koordinaten x j sind: xj = χ ί ( χ 1 , χ 2 , χ 3 ) ,

i = 1,2,3

(61,5)

61. Der Differentiationssatz

121

Wir bilden nun die Ableitung nach einer beliebigen Ortskoordinate (sagen wir nach χ = x t ) von u, was 9u _ du' dx'i dxi

3u' 3x2

|

χ

3xi 9 ι

3x2

9χ

ι

|

3u d x 3 _

|

9x

k=i

3χ' 3

i

au^^k 3xk9xi

ergibt. Unter Beachtung von (61,3) kann dafür

Z-i-ä geschrieben werden. Setzt man

i r - A x ,

(61,8)

so nimmt (61,7) die Form

Α, =

Σ orkl A|