Vektor- und Affinor-Analysis [Reprint 2019 ed.] 9783486777550, 9783486777543

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VEKTOR- UND AFFINORANALYSIS VON

DR. A L F R E D L O T Z E A. P I - P R O F E S S O R AN

DER

DER

TECHNISCHEN IN

MATHEMATIK HOCHSCHULB

STUTTGART

V E R L A G VON

R.OLDENBOURG

MÜNCHEN 1950

Alfred Lotze, geh. 7.12.1882 In S t u t t g a r t , Dr. rer. n a t . Universität Tübingen 1920, von 1906—1936 im höheren w ü r t t e m b . Schuldienst, daneben seit 1924 als Privatdozent, seit 1930 als a. o. (a. pl.) Professor der Mathematik an der Techn. Hochschule in S t u t t g a r t . Copyrigth 1950 by R. Oldenbourg Verlag München Satz: Oswald Schmid GmbH., Leipzig Druck u n d Buchbinderarbeiten: R. Oldenbourg, Graphische Betriebe G . m . b . H . , München

EINLEITUNG

Die Vektor- und Affinorrechnung bildet ein wichtiges Teilgebiet des „geometrischen Kalküls". Der letztere beruht auf dem schon von Leibniz gefaßten Grundgedanken, die Vorteile der analytischen und der synthetischen Methode der Geometrie zu vereinigen und gleichzeitig ihre Nachteile zu vermeiden, indem man die geometrischen Grundgebilde selbst als Größen neuer (höherer) Art der Rechnung unterwirft. Die erste umfassende Verwirklichung fand dieser Gedanke 1844 in der Ausdehnungslehre Hermann Graßmanns, welche nicht nur mit Vektoren, sondern auch mit Punkten, Geraden, Ebenen und anderen „geometrischen Größen" zu rechnen lehrt. Dieselbe umfaßt als wichtigen Sonderfall auch die Vektor- und Affinorrechnung, die sich im Verlauf eines Jahrhunderts zu einem mächtigen Werkzeug für weite Gebiete der Geometrie und Physik entwickelt hat. Als Besonderheiten der vorliegenden Darstellung seien hier nur genannt: 1. Der Fundamentalsatz der Vektoralgebra in § 3, der in Verbindung mit der Einführung der reziproken Basis (in § 5 und § 17) den einfachsten Weg eröffnet zur Invariantenbildung in der Vektor- und Affinorrechnung und überall zu vereinfachten Beweisen führt. 2. Die Zusammenfassung der „Zerlegungsformeln" für mehrfache Vektorprodukte in einem „allgemeinen Entwicklungssatz" in § 4. 3. Die unmittelbare Definition der Differentialoperationen als vektorielle Verjüngungen in § 8, welche ohne weiteres auch für krummlinige Koordinaten gilt, die einheitliche Gewinnung aller zugehörigen Zerlegungsformeln durch einfache Differentiation in § 10 bis § 12, die Einreihung aller bekannten Integralsätze in die Satzgruppe von Stokes-Gauß-Green und ihre Ausdehnung auf das Affinorfeld in § 13. 4. Die Übertragung dieser Differentialoperationen und Integralsätze auf die krumme Fläche als zweidimensionales Beispiel einer gekrümmten Mannigfaltigkeit in § 25/26. 5. Lie vierdimensionale Verallgemeinerung der Vektor- und Affinorrechnung in § 49 und ihre Anwendung auf die Elektrodynamik der speziellen Relativitätstheorie in § 50.

INHALT

Einleitung Bezeichnungen

Seite 3 5

:

K A P I T E L I: V E K T O R - U N D A F F I N O R - ^ § § § § §

LGEßÄi

1. 2. 3. 4. 5.

Geometrische Addition von Vektoren und ihre Multiplikation m i t z ä h l e n Geometrische Multiplikation von Vektoren Tensoren. Fundamentalsatz der Vektoralgebra Zerlegungsformeln Reziproke Grundsysteme. Kontravariante und kovariante Vektorkomponenten § 6. Lineatoren, insbesondere Affinoren

7 12 19 21 25 28

K A P I T E L II: V E K T O R - U N D A F F I N O R - A N A L Y S I S § 7. § 8. § 9. 5 10. §11. §12. § 13. §14.

Vektoren als explizite Funktionen von Zahlveränderlichen Difierentialoperationen im räumlichen Ska ar- und Vektorfeld Beispiele zu den Difierentialoperationen der Vektoranalysis Zerlegungsformeln für die Difierentialoperationen im Skalar- und Vektorfeld Difierentialoperationen im Affinorie\d Zerlegungsformeln für die Difierentialoperationen im Affinorfeid Integralsätze. Die Satzgruppe von Stokes, Gauß und Green Das allgemeine Integral eines beliebigen Vektor- oder Afnnorfeldes, von dem im ganzen R a u m Divergenz und Rotation gegeben sind

KAPITELIII: ANWENDUNG AUF

40 43 48 52 54 57 60 67

DIFFERENTIALGEOMETRIE

§15. R a u m k u r v e n §16. Flächen in Parameterform. Grundformen und Fundamentalgrößen erster und zweiter Ordnung § 17. LokaleBasis. Duale und reziproke Einheitenauf der Fläche. Krümmungsaffinor und konjugierte Richtungen ' § 18. K r ü m m u n g der Flächenkurven. Ausgezeichnete Richtungen und Kurven auf der Fläche. Mittlere K r ü m m u n g und K r ü m m u n g s m a ß §19. Die Ableitungsgleichungen der Flächentheorie. Christofielsymbole . . . . §20. Geodätische Linien §21. Die allgemeine Flächenkurve §22. Innere Ableitung und infinitesimale Parallelverschiebung §23. Die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie

70 76 78 81 90 92 96 102 112

§ 24. Richtungsableitung von Ortsfunktionen auf der Fläche t — I , f,) . . . § 25. Differentialinvarianten der Flächentheorie § 26. Integralsätze auf der Fläche. (Generalisierte Sätze von Stokes, Gauß und Green) § 27. Regelflächen und Strahlensysteme K A P I T E L IV: A N W E N D U N G A U F i. Teil: Allgemeine

Mechanik

2. Teil: Mechanik deformierbarer A. Elastische Medien

153 161

165 17t 178 181 184 188

Körper

§36. Analyse der Deformation § 37. Analyse der Spannungen § 38. Zusammenhang zwischen Deformations- und Spannungsaffinor. Elastische Energie. Dynamische Grundgleichung B. Flüssige Medien Hydrostatik Die Bewegungsgleichungen der Hydrodynamik Zirkulation und Wirbelsätze Zähe Flüssigkeiten Die hydrodynamischen Grundgleichungen von Lagrange Die Gleichungen von Weber und Cauchy

K A P I T E L V: A N W E N D U N G A U F DAS E L E K T R O M A G N E T I S C H E § 45. § 46. § 47. § 48.

130 136

MECHANIK

§ 28. Der materielle P u n k t § 29. Materielle Punktsysteme § 30. Das Prinzip von d'Alembert und die Bewegungsgleichungen von Lagrange. Die Formulierung des dynamischen Grundprinzips bei Hamilton, Maupertuis und Gauß § 31. Kinematik des starren Körpers § 32. Dynamische Grundgleichungen, Impuls, Drall und Wucht des starren Körpers § 33. Äquivalente Kraftsysteme §34. Trägheitsmomente § 35. Bewegung um einen festen Punkt. Eulers Kreiselgleichungen

§ 39. §40. §41. § 42. § 43. § 44.

114 118

191 200 207 212 214 217 220 222 225

FELD

Elektrostatik Magnetostatik Das magnetische Feld des elektrischen Stroms Die Maxwellschen Gleichungen und die elektrodynamischen Potentiale

229 236 241 250

ANHANG § 49. Vierdimensionale Vektorrechnung § 50. Elektrodynamik der speziellen Relativitätstheorie

257 263

Namen- und Sachregister

272

BEZEICHNUNGEN

1. Zahlgrößen durch lateinische oder griechische Buchstaben. 2. Vektoren durch deutsche Buchstaben, manchmal auch: AB = Vektor von Punkt A nach Punkt B. 3. Zahlwerte von Vektoren durch mod ( = modulus), z. B. mod u. 4. Lineatoren, insbesondere A ffinoren, durch große, fette, deutsche Buchstaben. 5. Größen beliebiger Art durch große lateinische Buchstaben, ebenso Punkte, z. B. O, P. Q.Innere Produkte durch |, z. B. j 11); 91158. 7. Volumprodukte durch runde Klammern, z. B. (u»ro). 8. Vektorprodukte durch eckige Klammern, z. B. [uo], ebenso vektorielle Einsetzprodukte, z.B. [ ® j ] , und äußere Affinorprodukte, z . B . [tt©]. 9. Dyadische Produkte durch Kommas, z. B. et, ü,

= 0 der Koeffizient pt — 0. Oder » , ,

1

t>a, üj sind linear unabhängig, also nicht komplanar. Dann kann man sie als „Basisvektoren" eines Koordinatensystems wählen und » 4 auf die Form 3

bringen:

woraus sogleich die lineare Abhängigkeit

l

(5)

= 0 l

resultiert. Anwendung: 1. Betrachtet man unter Wahl eines bestimmten Umlaufssinns die drei Seiten eines Dreiecks als Vektoren a, b, C, so ist stets a -f- b + C = 0 . Seine Schwerlinien

als Vektoren sind dann durch t. = c + y ;

t ^ a + y;

tc = 6 +

y

dargestellt. Es ist deshalb auch t . + t 6 + t , = i - ( a + b + c) = 0 bzw. (6)

|

t

. + i - t

s

+ -|-t e = 0.

Dem entspricht in der Statik der Satz: „Wirken im Schwerpunkt eines Dreiecks drei Kräfte, die nach Größe und Richtung gegeben sind durch die Strecken vom Schwerpunkt nach den drei Ecken des Dreiecks, so sind dieselben im Gleichgewicht." 2. In der Vektorrechnung wird die Lage von Punkten _P( meist durch den von einem festen Ursprung 0 nach diesen Punkten gezogenen Ortsvektor r4 festgelegt. Belinden sich nun in Pt und P2 zwei Massen m, und w 2 , so findet man für den Ortsvektor ß des zugehörigen Massenmittelpunktes S die Beziehung (7)

8=

tl + 1 '

- 5 - (r2 - r.) = m1 + m t w "

M i J W L m, -(- m,

10

VEKTOR- UND AFFINOR-ALGEBRA

oder (V)

(w1 + m 2 ) i = m 1 c 2 + »t 2 t 2 >

denn der Schwerpunkt 5 teilt j a die Strecke von P j nach P2 im Verhältnis :OTx. Wiederholte Anwendung dieses Verfahrens liefert dann für den Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) beliebig vieler Massenpunkte entsprechend (8) Insbesondere für n = 3 besagt dann die Gleichung m)j

(9)

$ =

m

1

r

1

+

(m2

c2 -f- m

t3)

z

=

m

1

t

1

+

(m2

+

m3)

g,

oder = m2 t 2 + (m3 t 3 + m l Cj) = m2 r 2 + (m3 + tttj) t 2 oder = m3 c3 - f (m,

+ m2 x2) = m3x 3 + {mx + m2) g3

unter anderem: Der Schwerpunkt von 3 Massen in den Ecken eines beliebigen Dreiecks ist der Schnittpunkt der Verbindungslinien der 3 Ecken mit 3 Punkten auf den Gegenseiten, welche die letzteren teilen in den Verhältnissen m 3 : m 2 , m3 und m i : m 1 , deren Produkt also gleich 1 wird. Damit ist aber der Satz des ausgedrückt. Darüber hinaus zeigt die zweite Formulierung der rechten Ceva Seiten von Gl. (9): Die genannten Verbindungslinien teilen einander gegenseitig in den Verhältnissen (m2 + m 3 ) : m 1 , (m3 -J- m j ) : m 2 und (m1 -f- w 2 ) : m 3 . 3. Eine Gerade (Ebene) schneide ferner die Seiten eines geschlossenen ebenen (räumlichen) Polygons mit den Ortsvektoren nach den Ecken P{ in den Punkten X k mit den Ortsvektoren j f c . Für k — l bis k = n — 1 sind dann die letzteren nach oben Gl. (7') sicher darstellbar in den Formen:

(10)

(X1

x

(X2

X

(xn

s)

Sl

i)

-1

=

X

=

X

2

x

n) "in

woraus für (x1 — *„)$ = (xt — « 2 ) Si -| folgt: (11)

2 r2

X

1 l

X

2

3

x

n

- 1

l

n -1

x

h (xn - 1 — n)

x

n*n>

-1 durch Addition

(*i — xn)$> = ~ x n * n i - x l h -

Nun liegt aber der Punkt mit Ortsvektor g sicher auf der gegebenen Schnittgeraden (-ebene) und nach Gl. (11) zugleich auf der letzten Seite des Polygons. Daher wird das Produkt der n Teilverhältnisse, welche die Schnittgerade (-ebene) mit den Polygonseiten bestimmt, mit Vorzeichen: (12)

§ 1. GEOMETRISCHE ADDITION VON VEKTOREN UND I H R E MULTIPLIKATION MIT ZAHLEN

11

Dieser Transversalensatz von Carnot (1806) reduziert sich für n = 3 auf den bekannten Satz des Menelaus, den letzterer schon im 1. Jahrhundert nach Chr. gefunden hat. 4. Wie schon auf S. 8 erwähnt, beruht die Distributivität der Multiplikation einer Vektorsumme mit einer reellen Zahl auf der Gültigkeit der Proportionalsätze der Elementargeometrie. Umgekehrt werden diese Sätze leicht durch Anwendung des distributiven Gesetzes verifiziert: Ein Winkel werde von 2 Parallelen geschnitten und deren Abschnitte zwischen den Winkelschenkeln seien, als Vektoren betrachtet, px und p 2 . Dann ist nach Voraussetzung p2 = ^ Pj. Bestimmen nun die Parallelen auf dem ersten Winkelschenkel die von der Spitze aus gemessenen Abschnitte (Vektoren) Uj und u2 und auf dem zweiten Winkelschenkel entsprechend die Abschnitte (Vektoren) t>j und o a , so ist Pi = ®i - »i p2 = * 2 —u 2 = A(t>,- u^ oder (13)

—

— (ua — A Uj) = 0 .

Da nun die beiden Vektoren u2 — und o2 — Aüj den Winkelschenkeln parallel sind, können sie nicht linear abhängig sein und müssen deshalb einzeln verschwinden. Daher ist notwendig (14)

U2 = AUJ;

D 2 =AÜ!

und damit sind, zusammen mit der Voraussetzung p2 = , wieder die beiden Proportionalsätze zum Ausdruck gebracht. 5. Es seien a, 6, c die drei linear unabhängigen Einheitsvektoren vom Mittelpunkt 0 einer Kugel mit Radius „eins" nach den Ecken des beliebigen sphärischen Dreiecks ABC. Für beliebige Koeffizienten x, y, z trifft dann der Vektor $ = {xa + yb) + z c = (yf> + zc) + xa = (zc + xa) + yb die Kugel in einem Punkt P ganz allgemeiner Lage u = yb - f zt, t> = 2C + xa, m = xa + yb gehen dabei punkte U, V, W der Großkreisbögen AP, BP und CP seiten BC, CA und AB. Nach S. 8 ist dann (auch für U, V, W) jinBC/ _ z sin t/C — y '

sinCF _ x sin J-M ~~ z '

sinAW _ y sin WB ~~

und somit wird stets *

'

und die Vektoren durch die Schnittmit den Dreiecksdie Gegen-pmikte zu

sinßC/ sinCV sinAW "sinT/C"' "sinlM"' sTn~W/B =

, . ' '

12

VEKTOR- UND AFFINOR-ALGEBRA

in welcher Gleichung der Satz des Ceva für das sphärische Dreieck ausgesprochen wird. 6. Ein beliebiger Großkreis schneide ferner BC in X, CA in Y und^l B in Z (und natürlich in deren Gegenpolen). Vektoren vom Kugelmittelpunkt durch X und Y sind dann sicher von der Form Dann aber ist j — t) = - — x a - f y b sicher ein Vektor vom Kugelmittelpunkt durch den Schnittpunkt der Großkreisbögen X Y und A B , d. h. durch den Punkt Z. Weil dabei jedoch sin BAT sin^fC

z y '

sin CY _ x sinYA z '

sin AZ _ y svaZB ~—x'

so folgt '

J

sinÄXT sinCY sin AZ _ "sin ATC ' sin y Z ' "sin ZB ~

.

'

und dies ist der Satz des Menelaus für das sphärische Dreieck A BC (vgl. S. 24/25). §2. Geometrische Multiplikation von Vektoren Wie sich ergab, gelten für die Addition und Subtraktion von Vektoren, sowie für ihre Multiplikation mit (reellen) Zahlen, dieselben Verknüpfungsgesetze, welche auch in der gewöhnlichen Arithmetik gültig sind. Dagegen zeigte sich bald, daß für die gegenseitige Multiplikation von Vektoren nicht immer alle Verknüpfungsgesetze der arithmetischen Multiplikation anwendbar sind. Als wesentlich für jegliche Art von Multiplikation erkannten aber bereits H. Grassmann und Hamilton das sogenannte distributive Gesetz, das für Zahlgrößen in der bekannten Regel für die Multiplikation von Summen (l)

(f

ausgesprochen wird. Wir fordern daher, zunächst rein formal, auch für die gegenseitige geometrische Multiplikation von Vektoren oder von sonstigen geometrischen Größen die Gültigkeit des distributiven Gesetzes, z. B. (2) oder

(3)

(f^id^Kf'H^^4-

Als grundlegend für die Vektorrechnung erwiesen sich nun vor allem 2 verschiedene Arten solcher geometrischer Produkte, nämlich das sogenannte innere oder skalare Produkt und das äußere bzw. das Feftiorprodukt.

§3. GEOMETRISCHE MULTIPLIKATION VON VEKTOREN

13

1. Das innere Produkt: Verschiebt eine konstante Kraft k ihren Angriffspunkt um die Strecke s, so leistet sie dabei eine Arbeit A, welche bekanntlich durch den (positiven oder negativen) Wert A = k • s • cos (ks)

(4)

angegeben wird. Betrachtet man nun diese Kraft nach Größe und Richtung als Vektor F und ebenso die Verschiebungsstrecke als Vektor so ist offenbar die Arbeit A eine eindeutige Funktion von t und die wir symbolisch darA A stellen durch die Gleichung^ = F1$, und da nun cos (ig) = cos (e t), so ist auch (5)

A = F|S = ¿|F = Ä - s - c o s ( f $ ) .

Ganz unabhängig von der ursprünglichen physikalischen Deutung dieses Ausdrucks nennen wir nun F13 das innere Produkt der zwei Vektoren F und Ö und erkennen nach Gl. (5): das innere Produkt zweier Vektoren ist

kommutativ.

Es ist gleich der Länge des einen Vektors, multipliziert mit der Länge der senkrechten Projektion des andern Vektors auf die Richtung des ersteren. Sein Vorzeichen ist positiv oder negativ, je nachdem die Projektion des zweiten Vektors auf die Richtung des ersten mit diesem gleich oder entgegengesetzt gerichtet ist. Insbesondere besagt die Gleichung (6)

F|$ = 0,

daß die beiden Vektoren zueinander senkrecht sind. Dabei dient das Zeichen „ | " einfach als Zeichen dieser inneren Multiplikation, und definit ionsgemäÄ ist das innere Produkt stets auf zwei Faktoren beschränkt. Weil nun die Projektion einer Vektorsumme auf irgendeine Richtung immer gleich der Summe der Projektionen der einzelnen Vektoren auf diese Richtung ist, so ergibt sich unmittelbar, daß auch (a + b + cH

)|ü = a | o + b|o + c|»H

wird. Ebenso, wenn man den rechten Faktor statt des linken in Summanden zerlegt. Daher gilt allgemein das distributive Gesetz: (7) womit nachträglich auch die Benennung der Funktion u 10 als eines „Produkts" gerechtfertigt wird. Der Name inneres Produkt soll endlich darauf hinweisen, daß für zwei Vektoren gegebener Länge sein Wert am größten wird, wenn die Faktoren „ineinander" liegen, d. h. von derselben Richtung sind. Endlich gilt offenbar die Beziehung: (8)

A (u | x>) = ß ü ) \ v = u|(Ao),

14

VEKTOR- UND AFFINOR-ALGEBRA

d. h. die Multiplikation des inneren Produkts mit einer Zahlgröße X ist „assoziativ". Wir illustrieren den neuen Begriff durch Anwendung auf einige Beispiele aus der Elementargeometrie: a) Ist a = b + C» so lassen sich diese 3 Vektoren deuten als Seitenvektoren eines beliebigen Dreiecks mit den Seitenlängen a = mod a, b = mod 6, c = modc. Alsdann ist aber (9)

a | a = (b + c)|(b + c) = b|b + 2 b | c + c|c

oder numerisch gedeutet a 2 = fc2 + c 2 + 2 & c c o s a ' ,

(9')

wobei a' der Außenv/mktl des Dreiecks an der Ecke A ist. Folglich enthält die Gl. (9) bereits den Cosinussatz der ebenen Trigonometrie, der sich für rechtwinklige Dreiecke, d. h. für b | C = 0, auf den Satz des Pythagoras reduziert. b) Bezieht man irgend zwei Vektoren j und X) auf eine beliebige Basis öi, 3

E = 2xiai> i

3

"> =

i

2ykdk,

so folgt, für a < |a i = g i i , ei y = 2xiyk*i\(ik i,Jc

(10)

=

i,k

2gik%tyk-

Insbesondere für eine kartesische Basis wird, wegen (11)

ElP = i * i y ( , i

[ e» — - f l und e4 |e£ = 0,

sls = l*] I 3 a " a

1 xz

Vi Vi T12

eine lineare homogene Funktion von [jrt>]. 2. Ist sodann der Tensor T (j, p, 5) in den drei Viktoren %, p, j alternativ, so ist nach S. 16, Gl. (22) für jede Basis a 1( a g , a 3 : x1 x2 x3 Vi y2 y3 z1 z2 zs

(ai a,a»)

und damit -"'2 X3 ( ) ( b 9.}) = 2 *h ViZu T (a„, at, ak) =Vi 72 y3 h,i,k 5 T

Z\ z2

eine homogene lineare Funktion von (jt>j). Insbesondere ist also der Wert (5')

T (s, p,j) _ r ( a „ a „ o3) (EP 3) Ka s a 3 )

absolut invariant. 3. Sonderfall: Es sei T (j, 9) ein ganz beliebiger Tensor, homogen und linear in j und p. Für irgend drei Vektoren o,, Oj, a,, deren Volumprodukt a nicht

21

J4- ZERLEGUNGSFORMELN

verschwindet, bilden wir nun den Tensor T(a 1 , [ü2 0 3 ] ) + r ( Ö 2 . [ M l ] ) -)- T(ctj, [Qj c?2]). Dieser ist nun in den a ( nicht nur homogen und linear, sondern auch alternativ und folglich lediglich eine homogene lineare Funktion von (OjC^flg) = a. Daher ist weiter (6)

/ = T

+ T (a2, M ) + T

eine absolute, von der Wahl der a4 völlig unabhängige Invariante von T. Damit ist der wichtigste Weg zur Invariantenbildung in der Vektorrechnung aufgezeigt. Darch die Vektoren a 1 = die zu den a4 ,¡reziproke Basis" Rede ist.

, .a« =

, ^

wird zugleich

der a* definiert, von der in § 5 weiter die

§4.

Zerlegungsformeln

1. Auf S. 17 fanden wir bereits neben der alternativen Eigenschaft des Volumprodukts den wichtigen Vertauschungssatz (1)

(abc) = [ a b ] | c = a|[bc].

2. Für eine beliebige Vektorbasis a 1 ; ß 2 , as|p

ttili «»Ii a»|i

4. Aus Gl. (3) folgt weiter für j = [ax a 2 ]:

i|i E|Ö2

( > , = ¿'gj- = 3 . i i § 6. Lineatoren,

insbesondere

Affinoren

Ein Skalar oder ein Vektor sei gegeben als explizite, homogene lineare Funktion eines Vektors j , der dabei als unabhängige Veränderliche fungiert. Solche Funktionen sind z. B . (1)

? = (ai>E);

9»' = f(at|i)C|; i