Theorie und Bau von Turbinen-Schnellläufern [2. Aufl. Reprint 2019] 9783486763980, 9783486763973

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THEORIE UND BAU VON

TURBINEN-SCHNELLÄUFERN VON P R O F E S S O R DR. ING. DR.TECHN. H.O..

VIKTOR KAPLAN BRÜNN U N D PROFESSOR D R . T E C H N .

ALFRED LECHNER WIEN

MÜNCHEN UND BERLIN 1931 VERLAG VON R. OLDENBOURG

Alle Rechl.fi, einschließlich des I /lierset/unKsrechtes. vorheliallfii O i p y r i g h l litui by R. O l d o n h o w y . München und Horlin

Druck von R. < »Idenbomx- München und Berlin

\ orworl z u r zweiten Anfluge Vis die ersle Auflage vergriffen war, Iral die Verlagsbuchhandlung U. OJdenbourg an mich mit dem Ersuchen heran, für die zweite Auflage meines Buches »Bau rationeller Francisturbinen-Laufräder« Sorge zu tragen. Da infolge Arbeitsüberbürdung mein Gesundheitszustand viel zu wünschen übrigließ, fand meine Anregung, die Ausarbeitung des theoretischen Teiles meinem Kollegen, Herrn Professor Dr. A. Lechuer, zu überlassen, verständnisvolle Würdigung. Auf keinem Gebiete des Maschinenbaues zeigt sich die Notwendigkeit einer gemeinsamen Zusammenarbeit von Theorie und Praxis so deutlich, wie auf dem des Turbinenbaues. Meine langjährige Tätigkeit im Turbinenlaboratorium der Deutschen Technischen Hochschule in Brünn hat mich zum Baue einer neuen Wasserturbine (Kaplanturbine) geführt, die befruchtend auf den Turbinenbau zurückwirkte. Diese Versuchserfahrungen gaben mir im Verein mit meiner praktischen Tätigkeit den Mut, an eine Neubearbeitung der ersten Auflage meines Werkes zu schreiten. Die Neuauflage ist auf den Grundlagen der neuen mehrdimensionalen Strömungslehre aufgebaut, welche eine befriedigende Erklärung der praktischen Ergebnisse ermöglicht. Ich habe mich dabei von der Erwägung leiten lassen, daß der Schnelläufer den allgemeinsten Fall einer Wasserturbine vorstellt und daß in der Literatur n u r spärliche Angaben über den Entwurf von Schaufelplänen f ü r Schnelläufer zu finden sind. Um hervorzuheben, daß sich die Neuauflage mit dem Entwurf von Schnelläufern beschäftigt und für Studierende auch eine Erklärung der Konstruktion derselben enthält, wurde der Titel in »Theorie und Bau von Turbinenschnelläufern« abgeändert. Den theoretischen Ausführungen ist in der Neuauflage im Abschnitt C »Theoretische Grundlagen« ein breiter R a u m gewidmet, welche Herr Professor Dr. A. Lechner bearbeitet hal. Im übrigen gelten für die Neuauflage die Leitsätze, welche in der ersten Auflage angeführt sind. Der aufmerksame Leser wird beim Studium des Werkes erkennen, daß ich mir einige Beschränkungen in den Mitteilungen über Höchstschnelläufer auferlegt habe. Es war vor allem die Befürchtung, daß allzu große Ausführlichkeit, meinen Lizenznehmern durch Auftreten von Nachahmungen Nachteile bringen könnte, die mich zu den erwähnten

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Vorwort zur zweiten Auflage.

Beschränkungen veranlaßten. Doch habe ich mich bemüht, insbesondere dem Studierenden so viel an die Hand zu geben, als es für seine Zwecke notwendig war. Inwieweit es mir gelungen ist, in meinem Werke wenigstens die Richtung anzuzeigen, welche begangen werden muß, muß ich dem Urteil der Fachwelt überlassen. Der Verlagsbuchhandlung Jl. Oldenbourg sei schließlich für die gute Ausstattung der neuen Auflage und nicht minder meinen Lizenzfirmen für die freundliche Überlassung zahlreicher Abbildungen und sonstigen Angaben aus der Praxis der beste Dank des Verfassers ausgesprochen. Dieser Dank gebührt im besonderen auch meinem Kollegen, Herrn Prof. Dr. Lechner, der in selbstloser Weise mir seine ausgezeichneten Ausführungen zur Verfügung stellte, sowie meinem Assistenten, Herrn Ing. J. Slavik, der die Leitung der Korrekturen und die Ausfertigung der Zeichnungen besorgte. Möge auch die zweite Auflage in der Fachwelt freundliche Aufnahme finden und sowohl dem Studierenden als auch dem in der Praxis stehenden Ingenieur ein zuverlässiger Berater werden! B r ü n n , im Juni 1929. Prof. Dr. Viktor Kaplan.

Vorwort des Mitarbeiters. Die zahlreichen Veröffentlichungen Professor Kaplans in den Jahren 1909 bis 1914 geben Zeugnis von seinen Bemühungen, auf theoretischem als auch auf experimentellem Wege wohlbegründete Unterlagen für eine Schaufelkonstruktion zu finden, welche eine erhöhte Schnelläufigkeit gewährleistet. Kaplan fand, daß mit der Francisturbine eine wesentliche Erhöhung der Schnelläufigkeit bei allen Verbesserungen der Schaufelkonstruktion nicht zu erreichen sei und bezeichnete die Energieverluste zufolge der Reibung, welche durch die große Schaufelzahl bedingt ist, als den H a u p t g r u n d hierfür. Bei vielen Erfindungen mag ein »glücklicher Zufall« dem Erfinder zu Hilfe gekommen sein; die Erfindung der Kaplanturbine verdankt ihre E n t s t e h u n g aber einzig und allein den planmäßigen Arbeiten Kaplans. Mit restloser Hingabe, unter Außerachtlassung jeder Rücksicht auf seine Gesundheit, m u ß t e sich Kaplan selbst die Unterlagen für seine Turbine schaffen, für deren Behandlungen die übliche Stromfadentheorie nicht mehr hinreichte. Als seine Turbine, wie wohl jede neue Erfindung, eine Krisis durchzumachen hatte, welche durch die schädlichen Wirkungen der im Turbinenbau wohl kaum je beachteten Kavitation hervorgerufen war, erkrankte Professor Kaplan. Allein, die Grundlagen waren bereits von ihm gegeben worden, weder die Kavitation, deren schädliches Auftreten die ausführenden Turbinenfirmen bald beseitigt hatten, noch die verschiedenartigst begründeten Patenteinsprüche und Nichtigkeitsklagen vermochten den Siegeslauf der Kaplanturbine zu verhindern. Als im Jahre 1924 die Aufforderung an mich erging, an dem theoretischen Teil der Neuauflage des Buches von Prof. Kaplan mitzuarbeiten, habe ich dieser ehrenvollen Aufforderung natürlich gerne entsprochen. Die Aufgabe, welche mir zufiel, ergab sich aus der Geschichte der Kaplanturbine von selbst; nämlich alle jene hydromechanischen Untersuchungen, welche den Bereich der elementaren Hydraulik übersteigen und welche für den ausübenden Turbineningenieur von Nutzen sein werden, besonders wenn er in die mathematische Literatur über diesen Gegenstand eindringen will, geordnet und logisch entwickelt darzustellen. Es ist aber die von mir behandelte Strömungslehre nicht als ein Lehrbuch der

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Vorwort des Mitarbeiters.

Hydromechanik anzusehen, sondern als eine Zusammenfassung jener Strömungsvorgänge, welche für den Turbinenbau in Betracht kommen. Der Kaplanturbine kommt aber nicht nur eine große wirtschaftliche, sondern auch eine hohe wissenschaftliche Bedeutung zu. Sie gab Veranlassung, die Methoden der Tragflügelkonstruktion (über Vorschlag von Prof. Prandtl) auf die der Schaufel der Turbine zu übertragen. Als der bekannte Forscher Bjerknes auf der Hydraulikertagung in Innsbruck Vorträge über Tragflügel und Turbinenschaufeln hörte, äußerte er in der Arbeit: »Zur Berechnung der auf Tragflächen wirkenden Kräfte« sich dahingehend, daß ihm dieses Gebiet zunächst fremdartig vorgekommen sei. Aber bei näherer Vertiefung erkannte er bald zwischen Tragflächen, Turbinenschaufeln und Wirbeln die alten Analogien zwischen Hydromechanik und Elektrizitätslehre. Und diese wissenschaftliche Bedeutung der Kaplanturbine, deren theoretische Untersuchung noch keineswegs als abgeschlossen anzusehen ist, entsprechend hervorzuheben, betrachte ich ebenfalls als eine Hauptaufgabe des vorliegenden Buches. Zum Schluß möchte ich an dieser Stelle Herrn Ing. Slavik sowohl für die Anfertigung der Zeichnungen als auch für die Hilfe bei der Korrektur, Herrn Dr.-Ing. Robert Zimmermann für seine Mühewaltung bei der Abfassung der Arbeit — der Abschnitt VII c ist ein Originalauszug aus seiner Dissertation — und Herrn Ing. Fritz Söchting für seine emsige Mithilfe bei den Korrekturen, meinen besonderen Dank aussprechen. W i e n , Januar 1980. Prof. J)r. Alfred Lechner.

Inhalt. Seite

Vorwort (Prof. Kaplan, Prof. Lechner) A. Einleitung B. Einteilung der Turbinen Die spezifische Drehzahl (;. Theoretische Grundlagen a) Mathematisch-hydraulische Grundlagen (Mehrdimensionale Strömungslehre) I. Die zähen Flüssigkeiten II. Die turbulente Bewegung III. Dreidimensionale Theorie idealer Flüssigkeiten IV. Ebene Potentialströmüng V. Stationäre Bewegung fester Körper VI. Prandtls Grenzschichttheorie. Entstehung der Zirkulation . VII. Turbinentheorien b) Mathematisch-geometrische Grundlagen I. Das Strombild II. Die Schaufelfläche als einhüllende Fläche III. Das Winkelbild 1). Die praktische Anwendung der zweidimensionalen Turbinentheorie . a) Die Turbinenhauptgleichung b) Der Turbinenhaüptkreis c) Die äußere Arbeitsleistung d) Die zweidimensionale Reibungstheorie e) Die Hohlraumbildung (Cavitation) • E. Allgemeine Leitsätze zum Entwürfe von Schnelläufern a) Mittelschnelläufer I. Entwurf des Schaufelplanes für Mittelsehnelläufer II. Ausführungsbeispiel III. Bremsergebnisse Ii) Hochschnelläufer I. Entwurf des Schaufelplanes für Hochschnelläui'er II. Bremsergebnisse III. Ausführungsbeispiele e) Höchstschnelläufer I. Die Entwicklung der Kaplanturbine II. Die Laufschaufelregülierung III. Die Schaufelzahlen bei Schnelläufern F. Die Versuchsanstalt für Wasserturbinen an der Deutschen Technischen Hochschule in Brünn G. Die Entwicklung des Saügkrümmers H. Über die zukünftige Entwicklung des Wasserturbinenbaues . . . . I. Atisgeführte Schnelläufer nebst Angaben aus der Praxis Nachtrag zur Seite 232 '

I —IV 1—2 ^ 3 —6 I 7 — 129 ^ 7 — 122 i 8—28 29— 39 39—52 52—66 66—85 85— 90 90—122 123—129 123 125 128 130 — 149 131 — 134 134 135 — 140 140 — 145 146—149 150 — 213 151 153 — 156 157 158 159-168 163 — 160 167 168 169 — 213 173 — 199 200 — 212 212—213 214 — 217 218 — 234 235 — 240 241—294 295—296

A. Einleitung. Um die Wende dieses Jahrhunderts tauchten in Europa amerikanische Schnelläuferturbinen auf, die sich von den sog. »Normalläufern« durch ihre höhere spezifische Drehzahl (vgl. S. 3) unterschieden. Diese Bauweisen entwickelten sich aus der Francisturbine in der Weise, daß sich die äußere Laufradbegrenzung erweiterte und so die Schaffung eines unerheblichen axialen Laufradschaufelraumes ermöglichte. Auch schien die Zweckmäßigkeit einer Verkleinerung der Schaufelwinkel schon erkannt worden zu sein. Diese Winkelverkleinerung bewirkte nach der eindimensionalen Turbinentheorie eine Erhöhung der Drehzahl, wenn von den vermehrten Widerständen abgesehen wird. Aus dem Gesagten folgt zweifellos, daß diese Schnelläufer auf der Francisturbine aufgebaut sind. Wir leben heute in einem Zeitalter, in welchem nicht nur die Güte eines Erzeugnisses, sondern auch die Geschwindigkeit, mit welcher dasselbe geschaffen wurde, von ausschlaggebender Bedeutung ist. Wir treten in einen neuen Zeitabschnitt ein, in welchem das Geschehen durch die Funktion der Zeit ausgedrückt ist und werden es daher begreiflich finden, wenn dem Schnelläufer eine besondere Bedeutung zukommt. Um die bisher gebauten schnellaufenden Wasserturbinen richtig einzuschätzen, dem Leser ein selbständiges Urteil zu schaffen, scheint es zweckmäßig, zunächst die allgemeinen Grundlagen zum Entwürfe von Schnelläufern kennenzulernen, um den späteren Entwurf von Schnellläuferschaufelplänen leichter übersehen zu können. Das Schnelläuferproblem ist und bleibt ein Reibungsproblem, es muß daher den Reibungs- und Widerstandsverlusten erhöhte Aufmerksamkeit geschenkt werden. Die am Anfange des Jahrhunderts in Europa bekanntgewordenen amerikanischen »Schnelläufer« konnten durch ihre Versuchsergebnisse den wirtschaftlichen Anforderungen nicht entsprechen 1 ). Aber auch der europäische Turbinenbau war um diese Zeit auf einem Totpunkt angelangt, da alle Versuche, aus der Francisturbine einen guten Schnellläufer herauszuholen, erfolglos blieben. Zum Einbau in Niederdruck*) Vgl. die Bremsberichte von Ob.-Ing. S c h m i t t h e n n e r , Zeitschr. d. V. d. I., Jahrg. 1903, Heft 24 ü. 25. K a p l a n , Turbinen.

1

2

Einleitung.

anlagen sind aus wirtschaftlichen Gründen hohe Schnelläufer besonders geeignet, da hohe Drehzahlen nicht nur die Kraftmaschinen, sondern auch die Arbeitsmaschinen verbilligen. Dazu kommen noch die Herstellungs- und Transportschwierigkeiten der langsamlaufenden Francisschnelläufer sowie der Einbau derartiger schwerer Räder in das Kraftwerk. Was die Theorie der Turbinenschnelläufer anbelangt, so läßt sich eine mehrdimensionale Behandlung der Strömungserscheinungen nicht umgehen, wenn auf eine Bestätigung der theoretisch vorausgesagten Ergebnisse durch die praktischen Versuche Gewicht gelegt wird. Auf den überragenden Reibungseinfluß einer Naturströmung sei hier noch besonders aufmerksam gemacht. Man kann das Reibungsproblem so auffassen, daß die benetzte Schaufelfläche einen Mindestwert an Reibungsfläche aufweisen muß. Dieser Wert soll aber groß genug sein, um einesteils eine gute Wasserführung zu ermöglichen, anderseits die schädlichen Hohlraumbildungen zu verhindern. Führt man den Entwurf der Schaufelfläche mit Hilfe der zweidimensionalen Reibungstheorie (vgl. Abschnitt D) unter Beobachtung der angeführten Gesichtspunkte beharrlich durch, so gelangt man zu Schaufelformen, die dem Höchstwert des theoretisch erreichbaren Wirkungsgrades (rj -'- 95%) nahekommen. Als Nachteil dieser Höchstschnelläufer ist ihre schlechte Regulierfähigkeit anzusehen. Es ist eine durch mannigfache Versuche erhärtete Tatsache, daß der Wirkungsgrad bei Teilbeaufschlagung mit wachsender Schnelläufigkeit abnimmt. So kann der Fall eintreten, daß der Wirkungsgrad bei kleiner Wassermenge schon auf Null herabsinkt, also die Turbine keine Leistung mehr abgibt. Anderseits läßt sich ein Francisschnelläufer nur wenig überlasten. Soll also die Turbine mehr leisten, als sie durch Verarbeitung der normalen Wassermenge leisten kann, so versagt sie ihren Dienst, weil das Laufrad eine größere Wassermenge nicht verbrauchen kann. Diese Nachteile, welche im praktischen Betriebe viel schärfer hervortreten, als es durch diese Zeilen geschehen ist, lassen sich durch die vom Verfasser erfundene Laufschaufelregelung (DRP. Nr. 289667) vermeiden. Im Abschnitt E sind neben theoretischen Begründungen auch jene baulichen Maßnahmen angeführt, welche zu einer Wirkungsgradsteigerung bei Teilbeaufschlagung führen und im Abschnitt J sind die Lichtbilder derartiger regelbarer Laufräder dargestellt. Bevor aber diese Maßnahmen besprochen werden, möge zur leichteren Übersicht noch die Einteilung der Turbinenlaufräder vorgenommen werden.

U. Einteilung der Turbinen. Man kann die Turbinen nach ihren baulichen oder nach ihren hydraulischen Eigenschaften einteilen. Hier, wo es sich um die Schnelläufigkeit der Laufräder handelt, wird eine Einteilung nach der Größe der spezifischen Drehzahl empfehlenswert sein. Der folgende Abschnitt wird sich daher mit der spezifischen Drehzahl zu beschäftigen haben. Die spezifische Drehzahl. Von einer Wasserturbine wird nicht nur verlangt, daß dieselbe bei gegebenem Q und H eine entsprechende Leistung vollbringt, sondern sie muß diese Leistung auch mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausführen. Um die Geschwindigkeit zu beurteilen, hat Prof. Dr. Camerer1) das Maß der »spezifischen Drehzahl« eingeführt. Darunter ist die Drehzahl jenes Laufrades zu verstehen, welches bei 1 m Gefälle 1 PS leistet. Die Drehzahl n einer Turbine ergibt sich zu 6 0

»i

Ml

(1) ~DTn wobei die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades und Z), den Laufiraddurchmesser bedeutet. Dem Entwürfe einer Turbine sind gewöhnjlich die verfügbare Wassermenge Q und das Gefälle H zugrunde gelegt. Sind diese beiden Bestimmungsgrößen gegeben, so läßt sich zunächst (die ideelle Leistung und bei Abschätzung des Wirkungsgrades rj die effektive Leistung in PS bestimmen. Es wird sich nun darum handeln müssen, • die für den Turbinenentwurf noch unbekannte Laufradumfangs;geschwindigkeit «j und den Laufraddurchmesser Di in Formel (1) durch H bzw. durch die Leistung auszudrücken. Wir wissen aus der allgemeinen Turbinentheorie2), daß n =

u = f(H) = k1\H (2) bzw. Dt — f (TV) ist. Die effektive Leistung einer Wasserkraft N ist bestimmt durch N -

1

™ ^ *

(3)

') Siehe aucli Prof. Dr. C a m e r e r s Ausführungen in Wilh. M ü l l e r »Die Francisturbine«, 2. Aufl., S. 176 u. 113. 2 ) Vergl. die Abschnitte C und D. 1*

4

Einteilung der Turbinen.

Die geschluckte Wassermenge hängt von der Größe des Saugrohrbzw. Laufraddurchmessers D„ bzw. Dy und von der Durchflußgeschwindigkeit cs ab. Es ist allgemein Q = F.-c.=

°l71 k2 ]H = ksDfkoill

(4)

D

Setzt man den Wert für Q aus Gleichung (4) in Formel (3) ein, so erhält man v _ 1000 k3 Da2 k2j Hi]H A 75" Daraus folgt: />.

1 5 ( ^ v ; w . \l000 k M H r j H ) \mOkjHrjHl

.

,(5)

Ebenso folgt bei ähnlichen Laufradausführungen ein Zusammenhang zwischen D1 und D„, den wir ausdrücken können durch Di = *«/>.

(6)

Bei Berücksichtigung der Formeln (2) und (6) geht daher Formel (1) über in eokjn . / 757V n Äs — ,1000 k ^ H r j H j Setzt man für H = 1, so wird n — nt und X = ¿\\, und man erhält _

«JA* , / 75'A'j n k. \1000 Ä4»?

.

U a )

Setzt man im Sinne der Definition von ns für A\ = 1, so ergibt sich 60

....

(7b)

und schließlich durch Division von (7 b) und (7 a) M, ni~ und daher

. I 75 N 1 = 71 ° \ 1000 Ä4Tjj 60 Ät _ " ('__]$_ _\Vä' " 60 Äx ~ ~ 1 s(l000A4>?J

1

(8)

ist die sog. E i n h e i t s l e i s t u n g , das ist also die Leistung der Turbine, die unter einem Gefälle von H — I m arbeitet. Die Einheits-

Die spezifische Drehzahl.

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drehzahl wird durch die Drehzahl eines Laufrades, das unter H — I m arbeitet, ausgedrückt. Das durch Formel (8) gewonnene Produkt ergibt die gewünschte spezifische Drehzahl n,. Fällt der numerische Wert derselben in eine der angeführten Ziffernserien, so ist dadurch die Wahl der Laufradgruppe festgelegt. Neuzeitliche Überdruckturbinen werden daher eingeteilt in: Langsamläufer mit einem n s von 5 0 — 150 Normalläufer mit einem na von 150— 250 Mittelschnelläufer (Francisschnelläufer) mit einem ns von 2 5 0 — 350 Hochschnelläufer (Kaplanpropeller) mit einem n, von . . 3 5 0 — 600 Höchstschnelläufer (Kaplanturbinen) mit einem ns von . . 600—1000 und darüber. Hat man für einen Sonderfall Q, H und n gegeben, so läßt sich aus Formel (8) die spezifische Drehzahl bestimmen. Ein Vergleich dieser Drehzahl mit jenen der oben angegebenen Laufradgruppen läßt die Zugehörigkeit zu einer derselben erkennen. Immerhin ist einige Vorsicht geboten. Obwohl wir es in allen diesen Gruppen mit vollbeaufschlagten Preßstrahlturbinen zu tun haben, so läßt sich doch die Ausbildung erheblicher Unterdruckzonen (besonders am Schaufelrücken) nicht vermeiden. Dieser Unterdruck kann bei großer Wassergeschwindigkeit so erheblich werden, daß sich Luftausscheidungen und Dampfbildungen einstellen. Derartige Hohlraumbildungen1) zerstören nicht nur den natürlichen Strömungsvorgang sondern auch den Baustoff der Schaufel (Korrosionen und Erosionen). Wird das Gefälle sehr klein, und ist mit stark schwankender Wassermenge zu rechnen, so ist eine Teilung der Aggregate vorzusehen, wenn der wirtschaftliche Ausbau der Niederdruckwasserkräfte nicht den Ausbau mit gut regelbaren Kaplanturbinen verlangen sollte. Nicht immer sind hydraulische Erwägungen zur Bestimmung der Laufradgruppe maßgebend. Es können auch wirtschaftliche Rücksichten bei der Wahl der Laufradgruppe eine Rolle spielen. Weicht beispielsweise die Drehzahl einer projektierten Anlage von jener einer ausgeführten Sonderanlage nur wenig ab, so wird man sich entschließen, zu der ausgeführten Sonderanlage zu greifen, weil über diese Anlage Betriebserfahrungen vorliegen und weil die Erzeugung der gleichen Anlage mit geringeren Kosten verbunden ist. Es kann dem angehenden Turbinenbauer nicht eindringlich genug die Wirtschaftlichkeit der Anlage eingeschärft werden. Was nützt eine technisch vollkommene Lösung, wenn sie zu teuer, also unwirtschaftlich ist. So wird sich wohl mancher Leser die Frage vorgelegt haben, warum die Energie der Gezeiten (Ebbe und Flut) oder die Wellenenergie noch nicht ausgenützt *) Näheres darüber im Wasserkraft-Jahrbuch 1924, S. 421 ti. f.

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Einteilung der Turbinen.

sind. Es gibt über diese Art der Energiegewinnung eine Unzahl von Patenten, die aber zumeist wertlos sind, weil sie die Wirtschaftlichkeit der Anlage nicht berücksichtigten. Bevor wir an den Ausbau einer Wasserkraft schreiten, haben wir uns immer die Frage vorzulegen: Was kostet die ausgebaute Pferdekraftstunde ? Ist dieselbe billiger als jene aus der Dampfkraft oder aus irgendeiner anderen Naturkraft erzeugte, dann bedarf es keiner Erwägungen, um die Anlage auszuführen. Ist sie aber teurer, dann bedarf es reiflicher Überlegung in der Wahl der Laufradgruppe und der Arbeitsmaschine. Heute ist der Vorteil der Geschwindigkeit schon überall bekannt. Durch Erhöhung der Geschwindigkeit können wir die Erzeugungskosten der Anlage verringern. Wir werden daher dort Schnelläufer verwenden, wo wir wegen des kleinen Gefälles nur niedrige Drehzahlen erreichen. Dadurch erhalten sowohl die Kraftmaschinen als auch die Arbeitsmaschinen kleine Abmessungen, die mit einer Verringerung der Anlagekosten verbunden sind. Ähnliche Überlegungen wären auch bei der Turbinenregelung anzustellen. Im vorliegenden Falle müßte untersucht werden, ob bei halber Wassermenge auch die halbe Leistung erzielt werden kann, also ob die Lösung des Regelproblems nicht nur technisch sondern auch wirtschaftlich möglich ist. So wertvoll es auch wäre, derartige Rentabilitätsberechnungen in vorliegendes Buch aufzunehmen, so muß der Verfasser doch davon absehen, im Hinblick auf den Umfang'des Buches und auf die schwankenden Preiszusammenstellungen1). Da sich das vorliegende Werk hauptsächlich mit Turbinenschnelläufern zu befassen hat, so fallen die beiden ersten Laufradgruppen (Langsamläufer und Normalläufer) aus der Betrachtung heraus. Wir haben uns also mit dem Entwürfe von Schaufelplänen von Schnelläufern zu beschäftigen. Dies hat auch eine Änderung der Betrachtungsweise des Strömungsproblems zur Folge. Während zum Entwurf von Schaufelplänen für Normal- und Langsamläufer die Stromfadentheorie genügte, reicht dieselbe für die verwickelte Bauweise von Schnelläuferschaufelflächen nicht aus. Es muß daher auf eine mehrdimensionale Betrachtungsweise der Strömungserscheinungen Rücksicht genommen werden. Im Gegensatze zu den früheren Anschauungen werden hier die Schaufelpläne auf mehrdimensionaler Weise aufgebaut, und ist es daher erforderlich, die theoretischen Grundlagen kennenzulernen. Diese zerfallen in mathematisch-hydraulische und in mathematisch-geometrische Grundlagen. Beide lassen sich durch Näherungsverfahren in solcher Weise vereinfachen, daß sie zum Entwürfe der Schnelläuferschaufelpläne verwendbar sind. l ) Die Turbinenpreise bilden ein streng gehütetes Geheimnis der Turbinenfabriken. Im übrigen vergleiche Veröffentlichung des Verfassers »Kaplanturbine oder Francisturbine?«, Zeitschr. f. d. ges. Turbinenwesen, Jahrg. 1919, Heft 32.

C. Theoretische Grundlagen. a) Mathematisch-hydraulische Grundlagen. Diese haben den Zweck, jene Radwinkel zu bestimmen, die für ein bestimmtes Q und n zur geordneten Strömung in einem Laufrad erforderlich sind. Es soll unter den berechneten Winkeln die Turbine den größten Wirkungsgrad haben. Ob dies zutrifft, hängt davon ab, ob das Strömungsproblem ein- oder mehrdimensional aufgefaßt wird. Verwendet man, wie es heute in der Praxis noch geschieht, zur Bestimmung der Schaufelwinkel die eindimensionale Turbinentheorie, d. h. macht man von der üblichen S t r o m f a d e n t h e o r i e Gebrauch, so unterschätzt man die gegenseitige Beeinflussung der Stromfäden. Bei ungekrümmten Kanälen mit gerader Mittellinie findet eine gegenseitige Beeinflussung der Stromlinien ebensowenig statt, wie bei gekrümmten Kanälen mit unendlich kleinem Querschnitt. In solchen Fällen wäre es gerechtfertigt, die Stromfadentheorie zu verwenden, wenn derartige Kanäle bei Turbinenlaufrädern wirklich vorhanden wären. Dies trifft aber in der Praxis nicht zu, da aus hydraulischen Gründen die Kanäle gekrümmt (Reaktion) und von endlichem Querschnitt (Reibung) sein müssen. In neuerer Zeit hat die Erfahrung gelehrt, daß es wegen der Reibungswiderstände zweckmäßig ist, die bisher übliche »Zellenform« der Laufräder zu verlassen und derartige Zellenräder durch Räder mit »flügelartigen« Schaufeln zu ersetzen. Hat die eindimensionale Winkelberechnung bei Zellenrädern noch ihre Berechtigung, so kann diese den Flügelrädern nicht zugesprochen werden. Da die Führung des Wassers in zellenförmigen Schaufelräumen entfällt, kann auch der an der Schaufel befindliche Austrittswinkel mit jenem des mittleren Stromfadens nicht übereinstimmen. In solchen Fällen helfen mehrdimensionale Betrachtungen über die auftretenden Schwierigkeiten hinweg. Wir wollen zunächst die Grundlagen der höheren Strömungslehre in Betracht ziehen, um aus dieser die mehrdimensionale Turbinentheorie abzuleiten und zu vereinfachen.

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Theoretische Grundlagen.

(Mehrdimensionale Strömungslehre.) I. Die zähen Flüssigkeiten. 1. Die S t o k e s - N a v i e r s c h e n G r u n d g l e i c h u n g e n . Für die Bewegung 1 ) des Volumselementes eines deformablen Körpers gelten folgende Gleichungen: V ,ubI x = f*X-f

U by = ft Y fibz = fiZ

I

-

Ö Ty

Ör2

by

bz

öo„ da:

by

öx

b r„, by

+

bz bo.

(I)

Dabei bedeuten: ¡x die spezifische Masse X, Y, Z die Komponenten der eingeprägten Kraft pro Masseneinheit, ox, ov, az die Komponenten der Normalspannung, ryx, xzy usw. die der Schubspannung. Unter Voraussetzung des Boltzmannschen Gesetzes über die Symmetrie der Schubspannungen, wonach T„ = T , t v z = z2y ist, redu= r, zieren sich die neun unbekannten Spannungskomponenten auf sechs. Die Elastizitätstheorie benützt für die Spannungen das verallgemeinerte Hookesche Gesetz, welches die Beziehungen zwischen Spannungen und Deformationen angibt und setzt diese Relationen in die Gleichungen (I) ein. Für unzusammendrückbare Flüssigkeiten kann der Ansatz 2 ) ^ i 0 bvx bVy

=

bo. az — — p + 2 x bz x bo by bvx

bv v

by

bx

I DX

bVt bx

(II)

x ) Über die Herleitung dieser Gleichungen, welche wir für den Ingenieur aus der Festigkeitslehre als bekannt ansehen dürfen, vgl. F ö p p l , »Technische Mechanik«, Bd. III. 2 ) Über die verschiedenen Herleitungen der Stockesschen Gleichungen vgl. K i r c h h o f f , Vorlesungen über theoretische Physik, Bd. I, L o r e n z , Technische Physik, Bd. III, S. 403 und L a m b , Hydrodynamics, S. 532.

Mehrdimensionale Strömungslehre.

9

als durch die Erfahrung hinreichend bestätigt, verwendet werden. Hierbei bedeuten Dx, vy, vz die orthogonalen Komponenten der Geschwindigkeit v, p den hydraulischen Druck und r. den Reibungskoeffizienten der inneren Reibung. Durch Einsetzen der Gleichungen (II) in das Gleichungssystem (I) erhalten wir die Gleichung: y

„/,

1 o

ö2j,x

,

ö2^

und zwei analoge Gleichungen für kürzung ÜVX bv„ bx by "t" und A2 .. iv2 .. 2

bx

1

öy2

1

,

f.iby und ¡ibz. bvz bz

b2vz

.

b2ox

Setzt man zur A b -

~

A2x.. b*o = A 0•xi bz2

wobei /] den Laplaceschen Operator bedeutet, so erhält man die Gleichungen , bp . b (div b) . . und analog ,

bp

ö(divü)

OZ

bZ

.

.

(III)

welche die Stokes-Navierschen Gleichungen genannt werden. Die Bedeutung des Reibungskoeffizienten ergibt sich am besten aus der Betrachtung der Strömungsverhältnisse bei der Parallel- oder Laminarströmung. Falls die Flüssigkeitsbewegung in einem System paralleler Schichten vor sich geht 1 ), wird eine Flüssigkeitsschicht auf die benachbarte mit einer K r a f t pro Flächeneinheit wirken, deren Größe das y. fache des Geschwindigkeitsgefälles senkrecht zur StrömungsKraft ebene beträgt. Daher ist = * • Geschwindigkeitsgefälle. Falls im cm-, gramm-, sec-System (l, m, t) gerechnet wird, ergibt sich die Dimension von x [x] = m-l~lr1. Der Ausdruck v = J- wird als kinematischer Reibungskoeffizient bezeichnet.

Die experimentellen Untersuchungen ergaben für Wasser

*) H o p f , Zähe Flüssigkeiten im Handbuch der Physik, Springer 1927, S. 102. Dort findet sich die Schichtenströmung definiert als jene Strömung, bei welcher die Trägheitsglieder verschwinden.

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Theoretische Grundlagen.

_ 0,0178 * ~~ 1 + 0,0337 • t + 0,000221 • < 2 ' wobei t die Temperatur in Celsiusgraden bedeutet. Erwähnt sei noch, daß bei tropfbaren Flüssigkeiten der Reibungskoeffizient mit steigender Temperatur abnimmt. Daß die Glieder der rechten Seite der Stokesschen Gleichungen die Geschwindigkeiten enthalten, ergibt sich aus folgender Überlegung. Sämtliche Glieder der rechten Seite stellen Kraftgrößen vor, welche auf ein unendlich klein gedachtes Parallelepiped im Innern einer Flüssigkeit wirken. Bei einem elastischen Körper hängt erfahrungsgemäß der Deformationswiderstand von der Gestalt der Deformation selbst ab, bei Flüssigkeiten dagegen von der Geschwindigkeit, mit welcher die Deformation vor sich geht. Im Falle wir die Flüssigkeit als unzusammendrückbar ansehen wollen, was im nachfolgenden durchwegs geschehen wird, ist bei stationärer Strömung, zufolge der Kontinuitätsgleichung, hVX . büy bVZ . ,TTT . divt^-—+ + = 0 (III a) bx

by

bz

Daher nehmen die Gleichungen folgende einfache Gestalt an:

dVy

bV

dvz

Hierbei bedeutet dvx

rr

.

.

(IV)

ÖD

das Symbol für den Ausdruck bv,

.

bv,

.

bv.

d t - ^ + ^ - b i + ^ - b f

, +

bux ^-bi-

Für stationäre Bewegungen verschwindet in obiger das Glied

Gleichung

und ebenso alle partiellen Differentialquotienten der

andern Geschwindigkeitskomponenten nach der Zeit. Die gewöhnlichen Bewegungsgleichungen der idealen (reibungslosen) Flüssigkeiten, die sog. Eulerschen Gleichungen, folgen aus (I) oder (IV), wenn der Koeffizient x null gesetzt wird. Die Gleichungen (IV) haben eine ähnliche Form wie das Temperaturgesetz der Wärmeleitung, wenn von den Gliedern X — a b g e s e h e n

wird 1 ).

') Diesen Zusammenhang hat Prof. K a p l a n in der Arbeit: »Die Gesetze der Flüssigkeitsströmung bei Berücksichtigung der Flüssigkeits- und Wandreibung Zeitschr. d. V. d. I. 1912, S. 1578, verwendet.

Mehrdimensionale Strömungslehre.

2. T r a n s f o r m a t i o n der S t o k e s s c h e n

11

Gleichungen.

In der theoretischen Hydromechanik werden die Ausdrücke 1 1 boz - 2- (rot v)x = j dy 1 r0t I bvx V= 2 ^ '' 2 \ 1 1 'bv„ = 2 C = 2 (rot

boa bz b bxj bvx

t

(V)

als Wirbelkomponenten bezeichnet. Mit Hilfe dieser Wirbelkomponenten lassen sich die Gleichungen (IV) wie folgt darstellen. Aus Gleichung (V) folgt: , öd, by üvx —

bx bD, =

+

+

—

-

Setzt man diese Werte in die erste der Gleichungen (IV) ein, so nimmt diese die Form an 'bvx

bvx

öd, = riiX —

Weil ferner

1 bjv2) 2 ~bx

bvx

bx .

, „,

y

,

4-X/1Dx büy .

bvz bx'

so folgt, falls die eingeprägten Kräfte ein Potential V haben und der Ausdruck gesetzt wird, daß bvx bt

• 2 » , . f + 2» t

=

-

*i +

v

'

A o

'

ebenso erhält man bv? bU 2 v, •f + 2 vm-Z = — — + vAo, bt ' bü bU v-ADZ, aiL_20.., + 2D,.i = bz wobei v — ^ den kinematischen Reibungskoeffizienten bedeutet. ferentiert man (1) nach y und (2) partiell nach x, so folgt:

(1)

(2) (3)

Dif-

12

Theoretische Grundlagen.

btby

by

by^

J

_

btbx

bx

by

by

z

b*U_ b_ ¡b*vx bx byiV'by\bx*~tb

bx

bx b2U bxby

b2üx\ Ö22 /

y2

bx ,

b 2 v, bz2

b ib*Vy b2vy .2*+ 2 bx\bx by 2

Subtrahiert man die beiden Gleichungen voneinander,

beachtet

die Beziehung (V), addiert und subtrahiert den Ausdruck 2 v z - ^ , so ergibt sich:

öx

[

b2lbvy

+

V

. I

bux\ byl bx 2

'

*y)

^¡bv'bDy bv *vxx\ y by) \bx byl k bx 11 by 2

^¡bOy

box

\bx

'r

by bz 2

^

Aus Gleichung (V) folgt durch partielle Differentiation nach x, y, z, da:

by

+

bz

= 0

(5)

Mit Hilfe dieser Gleichung folgt aus (4) df ,

ac

,

dC .

bC ^ bvz

.

bvz

bvz

...

Bezeichnet man die linke Seite der Gleichung mit ~ ~ und beachtet die Kontinuitätsgleichung, so folgt: bvz . bvz . buz d t = ^ + ^ b y + ^ - b z t

wobei

;

bx2^

by2

+ V

-

A

. ^

. (6)

bz2'

Auf ganz analogem Wege erhält man aus den Gleichungen (2) und (3), sowie durch Verknüpfung von (1) mit (3) die Gleichungen:

13

Mehrdimensionale Strömungslehre. «¿1

di>- .

bvx

bDx

.

.

(7)

bz dt

?

bx

^

1

by

^

dz ^

(8)

1

Wenn die Flüssigkeit reibungslos ist, also v = 0, so geben die ersten drei Glieder jeder der Gleichungen (6—8) die Änderung der Wirbelkomponenten für ein Flüssigkeitselement an. Daraus folgt der von Helmholtz angegebene Satz, daß, falls zu einer Zeit die Glieder £, i] und C null sind, auch zu einer andern Zeit die Bewegung wirbelfrei ist, also in einer idealen Flüssigkeit keine Wirbel entstehen können. Für zähe Flüssigkeiten gilt dieser Satz nicht, denn es treten hier zu den ersten drei Gliedern, welche, wie eben erwähnt, die Änderungen der Wirbelkomponenten in idealen Flüssigkeiten angeben, noch die Glieder vA£, vAi], vA C hinzu, diese Änderungen gleichen aber völlig den Gesetzen der Wärmeleitung. Es ist noch hervorzuheben, daß die Gleichungen (6), (7) und (8) für ein ruhendes (taugliches) Koordinatensystem unter der Voraussetzung, daß die eingeprägten Kräfte ein Potential besitzen, abgeleitet worden sind. Corioliskräfte und Zentrifugalkräfte sind als Scheinkräfte nicht zu den eingeprägten Kräften zu rechnen. Aus der Analogie der Zusatzglieder in den Gleichungen (6—8) mit den Ausdrücken für die Wärmeleitung schließt Lamb 1 ), daß eine Wirbelbewegung nie im Innern einer Flüssigkeit selbst entstehen kann, sondern von der Begrenzungsfläche ihren Ausgang nehmen muß, denn die vorstehend abgeleiteten Gleichungen gelten im ganzen Innern der Flüssigkeit. Wenn also an irgendeiner Stelle im Innern einer zähen Flüssigkeit kein Wirbel existiert, so kann eine Wirbelbildung zufolge der örtlichen Änderung der Wirbelkomponenten eintreten. Ist aber die ganze Flüssigkeit im Innern zu einer Zeit wirbelfrei, so verschwinden zwar die Ausdrücke A A »7, A aber nur im Innern, nicht an der Oberfläche. Daraus folgt, daß die Wirbel in einer ursprünglich wirbellosen zähen Flüssigkeit nur von der Begrenzungswand ausgehen können. 3. B e i s p i e l e zu den S t o k e s s c h e n G l e i c h u n g e n b e i V e r n a c h l ä s s i g u n g der B e s c h l e u n i g u n g s g l i e d e r . 1. Die Strömung zwischen zwei parallelen horizontalen Ebenen.

Wir legen die x-Achse in die Mittelebene der beiden gegebenen Ebenen (Abb. 1). Die Bewegungsgleichungen lauten dann, da v„ und v. null sind und auch '

»

by

=

bz

= 0, x

somit der Kontinuitätsgleichung entsprechend auch L a m b , Lehrbuch der Hydrodynamik, S. 667.

Abb. 1.

14

Theoretische Grundlagen.

= 0 und unter Voraussetzung der stationären Strömung (vgl. 0X G1 - < I V » B + ' s ?

Da vx in einem Punkte eines Abb. 2. Querschnittes, der Voraussetzung einer parallelen Strömung gemäß, nur von der Entfernung r des Punktes von der Mittelachse abhängig sein kann, so erhält man, weil r 2 = i ß - f - z 2 , folgende Gleichungen: br

y

b y ~ ~ r b H

by2

br

-

x

dvx

r '

1

_

b 2_vx

dr 2

by

dox

dr

dox

y

br

r

br

by

y2

bvx

1

bvx

y2

r2

br

r

br

r3

Ebenso erhält man b 2ux

b

2

v

x

z2

,

bvx

1

box

z2

16

Theoretische Grundlagen.

Daher

ö 2 d x , bvx -^—5- — br2 br

A vx

und 71

1 r

' b2v2 x . bux 1 \ br ' br )r ' rr)/

bp öx

Weil /> nur von x, vx nur von r abhängt, muß ^ Uiese Konstante sei mit a bezeichnet. Daher ist /b2vx *\~dr*

konstant sein.

bvx 1 \ __ dp _ ör ' r)~ bx~a-

+

Die linke Seite dieser Gleichung läßt sich aber auf einen einfachen Differentialausdruck zurückführen. Es ist b*vx , bv^ _1 _ 1 Ibv^ 2 br br r r br \ br

\ '

Die Integration ergibt: ar2

bvx somit

d

. .

T^

Für r = R, wobei R den Radius des Rohres bedeutet, soll die Flüssigkeit an der Wand haften, daher ist dort vx = 0. Also besteht die Gleichung: „2 Für r = 0 würde, der logarithmischen Funktion zufolge, v unendlich werden; daher muß, einer endlichen Geschwindigkeit entsprechend, b überhaupt null sein. Für C ergibt sich der Wert: c = —±

4 x

.Ä«.

Somit lautet das Geschwindigkeitsgesetz x

ix

r

ix

H

'

Da vx positiv ist, so ergibt sich, daß a = Die mittlere Geschwindigkeit berechnet sich aus R a 1 (' ,bo. ov j o l Rn J ix

negativ sein muß.

a R i

ox

17

Mehrdimensionale Strömungslehre.

Die sekundlich durch den Querschnitt strömende Wassermenge Q ist durch n D2 R*n gegeben. Beträgt an der Stelle r = 0 der Druck pt Atm, an der Stelle x = l der Druck p2 Atm, so ist P2 — P1 a = l daher W™ n _ P\ V - — l '

Dieses Gesetz hat Poiseuille einer experimentellen zogen und es bestätigt gefunden. Daraus folgt aber die Annahme, daß bei dieser Strömung die Flüssigkeit an hafte. Weiters folgt aus dem Geschwindigkeitsgesetz Bildung der nachstehenden Differentialquotienten, dvr by daß

a 2x'y' 1 a

bvr bz

Prüfung unterRichtigkeit der der Rohrwand für vx, durch

a 2x 1 a

und somit der resultierende Wirbel

ist. Der Wirbel nimmt also mit dem Abstand r von der Rohrachse zu und wird an der Berandung am größten. Das Gesetz von Poiseuille gilt aber nur so lange, als laminare Strömung vorhanden ist; diese hört bei einer bestimmten Geschwindigkeit, der »kritischen«, zu bestehen auf, die Strömung wird turbulent. (Näheres darüber im 2. Abschnitt.) 4. W ä r m e p r o d u k t i o n in zähen F l ü s s i g k e i t e n 1 ) . Wir denken uns ein Parallelepiped mit den Kantenlängen dx, dy, dz in einer zähen Flüssigkeit (Abb. 3) und berechnen die Arbeiten, welche von den angreifenden Oberflächenkräften pro Zeiteinheit geleistet werden. Dabei haben wir zu beachten, daß in der Fläche dxdy durch 0 (d. i. im Parallelogramm OABC) die Normalkraft az und die Schubspannungen rzv und rzx angreifen; in der Fläche, welche von dieser um dz absteht, d. i. im Parallelogramm 0' A' B'C', greifen die J a U m a n n , Die Grundlagen der Bewegungslehre. K a p l a n , Turbinen.

Leipzig 1905, S. 397. 2

Theoretische Grundlagen.

18

Spannungen a/, x.J und xzx an. Für die übrigen Flächen sind die Spannungen in analoger Weise in der Abb. 3 angegeben. az', xzv' und x:x lassen sich aber nach dem Taylorschen Lehrsatz durch die Span-

nungen az, xzy, rzx und deren Ableitungen nach den Koordinaten ausdrücken. Man erhält: oJ = oz + ^-dz, i

l

T;,= J

T„+*±ldz,

r

dx

r;x = rzx + dx,

^ d z .

= Txz -f-

da;

dx.

öo,

,

Auch die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsströmung in der Ebene O'A'B'C' wird von jener in der Ebene OABC verschieden sein. So ergibt sich z. B. . »x = » « + Die Arbeit in der Zeiteinheit für das Element dxdydz also darstellen durch: Ö Ä = =

IlTz Jx

**

V

'

(Txv Vv)

'£y * T x v +

ö~z (T*V' +

^"x' Z ** ) +

Yz

Jy

' ( r

dxdydz

'

ü z )

läßt sich

Mehrdimensionale Strömungslehre.

19

oder dA = j-^

(AX

• vx

+T

XZ

• OZ +

Txv • vy) +

^

(Tvx • VX + „ +

Hierin sind die einzelnen Produkte in diesen Klammerausdrücken nach den angegebenen Koordinaten zu differentieren, und erhält man somit je zwei Teilprodukte.. Der dabei gefundene Ausdruck

gibt die Arbeit an, welche die Spannungen, falls das Element als starrer Körper betrachtet wird, leisten, während der Ausdruck .

J

öüj.

do* . 1

bov t>V

I

»

bvx I

dv

x\

bov . J

J

bvz

J

die Arbeit angibt, welche sich auf die Gestaltsänderung bezieht. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (II), S. 8, erhält man

Zufolge der Kontinuitätsgleichung ( l i l a ) , S. 10, verschwindet der erste Klammerausdruck und nach Abzug des Ausdruckes

welcher der Kontinuitätsgleichung zufolge selbst null ist, erhält man

bx

by

bx

oz

by

özj 2*

• d,) +

20

Theoretische Grundlagen.

Nach einer leichten Reduktion ergibt sich

" •={• M + 2 1 • £ + ( & ) + ( M + 2 ^ + ¡ÒV ÒVY1 ÒV 0üz Òt>„ ÒUjAl — 4/< \òx — +1 —-• •--•òz]) ~\\dxdy dz. J òy òz òs +' -òy X

X

Durch Subtraktion und Addition der folgenden Glieder

, òvx òvv òyòx

. òov òv* òzòy

, òv, òv, òz òx

erhält man schließlich für òA 2 den Ausdruck A A

—„\lòv* òvX lòvv ÒDA* (òuz òox\2 òz _ò7/ + Vdx ~ òz) ~ y~òxj J òVs^òVy . òwx òvv òjyz Ò», \ òy òx òx òy òx òz òvz + J z 1 òz òx òy òz òz òy/)

dA--X\\J:

Nehmen wir zunächst den einfachsten Fall an, daß die strömende Flüssigkeit von festen Wänden begrenzt werde und sie an diesen Wänden hafte, so sind die Geschwindigkeiten daselbst null, und die Integration über ÓA2 ergibt mit Berücksichtigung von Gleichung (V), S. 11

A s = 4 k [ilf (|2+ v%+ ^ dx dy d z +

l f c o s yn ' d o ~

~SS50m ^ydx dy dz ~S50m ' ^cos *Bd0 + J^J'fi ^

^ dxdydz

+ analoge Integrale

j-

Wie man sieht, fallen die Yolumsintegrale zum Teil paarweise fort und die Oberflächenintegrale sind, weil die Geschwindigkeiten an den Begrenzungswänden null sind, ebenfalls null. Daher ist in diesem Falle die Arbeit, welche zur Gestaltsänderung verwendet wird und welche sich in Wärme umsetzt, also eine verlorene Energie bedeutet, pro Zeiteinheit gegeben durch

A2 = 4 * fff(P + V2 + t2) dx-dy dz, wobei f, ri, £ die Wirbelkomponenten bedeuten. Umgekehrt kann man schließen, daß das Auftreten von Wirbeln in einer zähen Flüssigkeit einen Energieverlust der Strömung bedingt. Wenn die Bedingung des

Mehrdimensionale Strömungslehre.

21

vollkommenen Haftens nicht erfüllt ist, wird die sekundliche Wärmeproduktion nach der auf S. 19 abgeleiteten Formel A9

=

òu„ , ò u z \ 2 ,

, bvz\2

(òvx

, ,

ax

,

,

ayaz

berechnet. Es sei auch erwähnt, daß nach der im Sonderfall angedeuteten Umwandlung eines Volumsintegrals in ein Oberflächenintegral die Transformation des obigen Ausdruckes Ä 2 im allgemeinsten Fall ausgeführt werden kann. Nach G. Jaumann 1 ) erhält man

A2 = 4 x jJJ(f2 + V2 + dx dy dz + 2 * JJ^ • dO — ~ 5. B e i s p i e l e zur W ä r m e p r o d u k t i o n . 1. Berechnung der Wärmeproduktion bei der Poiseuille-Strömung.

Das Geschwindigkeitsgesetz bei dieser Strömung lautet

Daher ist

òux a = •y òy 2x J

Ferner ist Demnach

UQ j

d

ÒDX

ÒVy

ì)x

òy

Az= !

òvx a — = n— • òz 2x òvz

y2

z dxdydz

JJj* (Ä + 5 *) xR

A2

=

7-2

'^

rjtdrdx.

o o Die Integration liefert A2 =

ox

~-R*-x.

Weil hier die Bedingung erfüllt ist, daß die Flüssigkeit an der Wand haftet, hätte man die sekundliche Wärmeproduktion direkt nach der Formel nnc. A2 = 4 A j j j (I 2 + if + £ 2 ) dx dy

dz

berechnen können. *) J a u m a n n , Über Wärmeproduktion in zähen Flüssigkeiten. Wr. Ber. LXI, 1902, S. 215.

22

Theoretische Grundlagen.

Es ist

1 a Tj=- C 2 Ix

1=0,

r

1

a

daher Az = 4 ( z 2 + y2) 2 " r d r d X f woraus sich der früher berechnete Wert ergibt.

2. Wärmeproduktion eines rotierenden Zylinders.

Ein Kreiszylinder rotiere in einer zähen Flüssigkeit mit der Winkelgeschwindigkeit w0 um seine Achse. Die Flüssigkeitsbewegung sei stationär. Wir setzen nach Abb. 4 vx =

bvy by und

dco x dr r y,

bv x by

da> yx dr r '

b2vx bx2

b2vx ~by2 ~ ~

daher

. Ao

ebenso

=

'

AV»

•CO

y2 r '

do) dr

d2o) dr2

x2y

bvv bx

b2vx -**

=

+

VV« ~l^ bp bx

,

+

x2

, dco dco x2 dr r3

da> y dr r

dco y d2co y3 dw y — 2dr r dr > ~ ~dr2 ' r2

A Weil

vy — co- x,

wobei co eine noch unbekannte Funktion von r sei. Man erhält, weil r2 — x2-\-y2, folgende Gleichungen:

Abb. 4.

öüx bx

oj • y,

—

V

de» ?/3 dr r

, b2vx ld2co , 3 do>\ W = ~ y \d~r2 + V TF)

/(d co - \,dr 2

2

by

~

dp dr

X

br bx

3 dco r dr

2

dp dr

x r

und die Beschleunigungskomponenten di\ dt

-co2x,

by — — co2y

sind, so folgt aus der Hauptgleichung (III), S. 9 „ . — c»2x . J

J

ld2co \dr2 (d2co \dr2

1

. 3 dco\ t— r dr j

1 x fi r

dp jdr

. 3 dco\ r dr j

1 y dp n r dr

• •

•

•

(1)

•

•

(2)

23

Mehrdimensionale Strömungslehre.

dp Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Elimination von die Differentialgleichung deren Integral co =

d2w | 3 da» dr2 + 7 ~d7 =

. '

-(- c2 ist.

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten q und c2 dienen folgende Grenzbedingungen: in unendlicher Entfernung vom Zylinder, also für r = oo, sei to = 0 und am Zylinder, also für r = a, sei ct>= co0. Daraus folgt c2 = 0 und

= a2w0.

Mithin ist co = — D e r

berechnet sich aus Gleichung (1) und (2).

Druck dp

Man erhält ¡ua>2r —

.

Ferner ergibt sich 2 box\ — 0¿w-^-j. dm -r— 2- (o•02a2— - 2co 3 0a- r - — U, dy / dr r

1 /bv 2 \ ö xy weil

= ist, d.h. es verschwindet bei dieser kreisenden dr r3 ' Bewegung der Wirbel, und es besteht eine Bewegung mit Geschwindigkeitspotential. Zur Berechnung der Wärmeproduktion benötigt man noch folgende Größen: (bvxy_/d(o\2 x2y2 (»v\= (dco\ y2x2 2 \bx) ~~ \dr) ' r ' \by) [dr ) ' r 2 ' / bvy / dm \2 lx*_ _ [da>\2 x* + yl _ ¡dwY x2y2 \bx + byj [dr'J \r rj~\dr)' r2 \dr) r2 '

Nach Einsetzen dieser Werte in die Formel für die Wärmeproduktion, welche sich hier vereinfacht,

erhält man ian

¡du]2 ~ *\d7} 0

l 03 ¿

2

= f j

2

x2y2\

.

,

d x d

. ydz

\2

. 2 dr • r » dl = 4 * a* V » • i,

0 a

wobei l die Länge des Zylinders bedeutet.

24

Theoretische Grundlagen.

Wir vermögen jetzt auch leicht das Kräftepaar M zu bestimmen, welches auf den Zylinder wirken muß. Dieses ergibt sich aus M(o0 — ixa2a>027il,

daher M =

ixaz(o07tl.

6. D r u c k s t r ö m e n d e r z ä h e r F l ü s s i g k e i t e n a u f f e s t e

Körper.

1. Die allgemeine Methode.

Unter der Voraussetzung kleiner Strömungsgeschwindigkeiten, welche Voraussetzung auch für das Vorhandensein laminarer Bewegung notwendig ist, folgt aus den Gleichungen (IV), S. 10 für stationäre Bewegung das Gleichungssystem x-Avx =

^bx

. bp x • zi üv — by x-Au,

=

dp bz

Denn die Glieder u, •

, vv • usw. können als Glieder höherer bx by Ordnung vernachlässigt werden. Wir machen analog den verwandten Problemen in der Elastizitätstheorie und Elektrizitätslehre 1 ) den Ansatz: ba> V'=bx

bq>

= ^

(i) +

f(xyz)

wobei angenommen wird, daß die Bewegung des Körpers (Kugel, Ellipsoid) in der Richtung der positiven z-Achse erfolge. Dieser Ansatz, in welchem

-j- r = 0 sein. Daraus folgt _ _ P—

1 2 >

_ 1 q

r

_ ~

1 2'

also oder 71 = / (]

by

„bo,

Kontinuitätsl(bY

Qbz~2\bx

öüj . öpz i /ar r ? t - 1 + tt I by bz 2

öx ör/

bX\ by J

Mehrdimensionale Strömungslehre.

Ebenso

erhält

man

zwei

analoge

47

Gleichungen

für -^j

und - j j -

I m Falle die eingeprägten K r ä f t e ein Potential haben und zu irgendeiner Zeit t £ = rj = C = 0, ist ¿C dt

=

dv_ = dt

dt dt

=

0

Daraus folgt, daß bei dieser Voraussetzung keine Wirbelbewegung entstehen, aber auch eine vorhandene Wirbelbewegung nicht vernichtet werden kann. Aus

II+II+1H. wobei dieses Raumintegral über einen geschlossenen R a u m zu erstrecken ist. Daraus ergibt sich dy dz

rjdx dz

£ dx dy) =

0;

weil dydz, dxdz, dxdy als Projektionen des Oberflächenelementes dO aufgefaßt werden können, so ist obiges Oberflächenintegral = cos ( i n )

rj cos ( y n ) -f- £ cos (zri)] dO = 0

oder j ' j w n • dO = 0, wobei wn die Normalkomponente des resultierenden Wirbels vorstellt. Denkt man sich die Wirbelachsen stetig ineinander übergeführt, so erhält man eine Wirbellinie, d. i. also eine Kurve, welche von den Wirbelachsen eingehüllt wird. Für eine unendlich kleine Fläche denken wir uns die Wirbellinien gezeichnet. Dann umhüllen diese ein Gebilde, das Wirbelfaden oder Wirbelkanal genannt wird. Für einen solchen Raum mit den Endflächen /x und /2 wenden wir den vorstehenden Integralsatz an und erhalten w • cos (wn) dO = 0 oder, weil an der Stelle /,, cos (wn) = - f - 1 , an der Stelle /2 cos (wn2) — —1 und für alle Stellen der Mantelfläche des Wirbelfadens cos (wn) = 0, so ist Wj^h — w2f2 = 0. Das Produkt wx • nennt Helmholtz die Wirbelintensität und wir erhalten den Satz, daß die Wirbelintensität längs eines Wirbelfadens konstant ist. 5. A n w e n d u n g a u f z w e i f a c h z u s a m m e n h ä n g e n d e

Räume.

Für den in Nr. 3 gekennzeichneten zweifach zusammenhängenden Potentialraum ist $ v • ds = $ d