Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen, Band 1 9783111730141, 9783111192376

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S a m m l u n g

S c h u b e r t

LVIII

Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen Von

Dr. A. Wangerin Professor an der Universität Halle a. S.

I. Band Mit 36 Figuren

Leipzig G. J. Göschen'sche Verlagshandlung 1909

Alle Rechte von der Verlagshandlung vorbehalten

SpanMrscbe Buchdruckerei in Leipzig

Vorwort. Der vorliegende erste Band der Potentialtheorie enthält zunächst die Ableitung der charakteristischen Eigenschaften des Potentials, und zwar für das Körperpotential im wesentlichen nach Gauß, während für das Flächenpotential eine einfachere, von Herrn Weingarten herrührende Ableitung gewählt ist. Es folgen Erweiterungen des Potentialbegriffs, und zwar zunächst auf andere Anziehungsgesetze als das Newtonsche, speziell auf das Gesetz — , dann auf das logarithmische Potential und das Potential von Doppelbelegungen. Im dritten Abschnitt werden das Potential und die Anziehung homogener Ellipsoide eingehend erörtert. Der Verfasser hat die allgemeinen Sätze möglichst durch Anwendung auf spezielle Beispiele zu erläutern gesucht. So gehen der Einführung des Potentialbegriffs verschiedene Aufgaben über Anziehung voraus, und auch im ganzen Verlauf der Entwicklung sind an passenden Stellen Beispiele eingefügt. Außerdem dürfte sich die hier gegebene Darstellung der Potentialtheorie von anderen Darstellungen durch den Inhalt des zweiten und mannigfache im dritten Abschnitt enthaltene Folgerungen unterscheiden. Der zweite Band wird zunächst die wichtigsten Sätze über Kugelfunktionen entwickeln, dann die Anwendung dieser Funktionen auf die Potentialaufgaben der Kugel bringen, endlich eine Einführung in die allgemeine Randwertaufgabe nebst damit zusammenhängenden Sätzen. Halle a. S., Herbst 1908.

Inhaltsverzeichnis. Seite

Einleitung

1

I. Abschnitt. Das Potential und seine charakteristischen Eigenschaften. Kap. 1. Die allgemeinen Formeln für die nach dem Newtonschen Gesetze erfolgenden Anziehungen

3

a) Anziehung, die ein einzelner Massenpunkt auf einen anderen ausübt b) Anziehung beliebig vieler diskreter Massenpunkte . . c) Anziehung räumlicher Massen d) Anziehung von Flächen und Linien

3 5 6 8

Kap. 2. Anwendungen A u f g . 1. Anziehung eines homogenen Kreisbogens auf einen P u n k t , der senkrecht über dem Mittelpunkte des Kreises liegt A u f g . 2. Anziehung einer homogenen geradlinigen Strecke A u f g . 3. Anziehung einer homogenen Kreisfläche auf einen P u n k t , der senkrecht über ihrem Mittelpunkte liegt A u f g . 4, Anziehung einer homogenen Kugelfläche . . . a) Vorbereitung (Formeln über räumliche Polarkoordinaten) b) Lösung der Aufgabe c) Geometrische Ableitung des Satzes, daß eine homogene Kugelfläche auf innere Punkte keine Anziehung ausübt A u f g . 5. Anziehung einer von zwei konzentrischen Kugeln begrenzten homogenen Masse

10

25

Kap. 8. Einführung des Potentialbegriffs. Niveauflächen und Kraftlinien a) Das Potential b) Niveauflächen und Kraftlinien

27 27 31

10 12 15 18 18 20 23

Inhaltsverzeichnis.

V Seite

c) Einfache Beispiele für Niveauflächen und Kraftlinien d) Allgemeine Bestimmung der Kraftlinien. Beispiel . .

82 33

Kap. 4. Allgemeine Eigenschaften des Potentials beliebiger Massen für äußere Punkte

36

a) Endlichkeit und Kontinuität des Potentials und seiner Differentialquotienten b) Verhalten im Unendlichen c) Die L a p l a c e s c h e Differentialgleichung d) Anwendung auf das Potential einer von zwei konzentrischen Kugeln begrenzten Schale

43

Kap. 5. Das Potential und die Anziehungskomponenten räumlicher Massen für Punkte, die der Masse angehören

47

a) Erläuterung an dem Fall einer homogenen Kugel . . b) Allgemeiner Nachweis der Endlichkeit des Potentials und der Anziehungskomponenten für Punkte der Masse dV c) Auch für Punkte der Masse ist X — -.— usw. . . . üx d) Kontinuität des Potentials und seiner ersten Ableitungen für Punkte der Masse Kap. β. Die zweiten Ableitungen des Potentiale für Punkte der Masse a) Die Methode des Kap. 5 versagt hier b) Die Gaufischen Hilfssätze c) Transformal ion der Ausdrücke f ü r die Anziehungskomponenten d) Transformation der zweiten Ableitungen von F . Die P o i s s o n s c h e Gleichung . e) Aus der diskontinuierlichen Änderung von ^ F a n der Grenzfläche werden die entsprechenden Änderungen

Υ

dV = ~ ΐ ζ >

Ζ

6V = ~ Ί Ϊ >

während doch V durch die Gleichungen (B1)—(BJ bestimmt wird. Der Grund für diese Abweichung ist e n t w e d e r der, dafi man statt der a n z i e h e n d e n Kräfte a b s t o ß e n d e betrachtet. Für diese gelten die Gleichungen (A'), wenn man in (BJ—(B4) f als positiv annimmt. Oder aber man muß, wenn man die Gleichungen (A') auf anziehende Kräfte anwendet, das Vorzeichen der Kraftkomponenten abweichend von der in der Mechanik gebräuchlichen Definition festsetzen (vgl. die Anmerkung S. 4). Bei der S. 4 über dars Vorzeichen der Kraftkomponenten getroffenen Festsetzung sind für a n z i e h e n d e Kräfte nur die Gleichungen (A) richtig, nicht die Gleichungen (A').

30

I. Das Potential und seine charakteristischen Eigenschaften.

ponenten von V ab, d. h. ist V das Potential irgendwelcher anziehenden Massen, Κ die von diesen Massen auf einen Massenpunkt Α ausgeübte Kraft, K„ die nach der Eichtling s genommene Komponente dieser Kraft, so ist: οV (Α") Κ . - - ^ . Die Richtigkeit der Gleichung (A") ergibt sich am einfachsten durch folgende Überlegung. In den vorhergehenden Erörterungen war die Lage des Koordinatensystems ganz beliebig. Legt man dasselbe so, daß die Richtung von ds in die «-Achse fällt, so ist Κ„ = X und ev ev zugleich = ; die Einsetzung dieser Ausdrücke in die erste Gleichung (A) gibt sofort (A"). Wir geben noch eine andere Ableitung von (A"). Da V direkt nur von x, y, ζ abhängt, von s nur insofern, als χ, y, ζ selbst sich mit s ändern, so ist BV ^ ev dx ds dx ds

ev öy

dy ds

]

ÖV dz dz ds '

ds ds ds Nun ist, da Χ , Υ , Ζ die den Achsen parallelen Komponenten der anziehenden Kraft Κ sind, X = X c o s ( X , x),

¥ = Xcoa(K,

y),

Ζ = Kcos(K,

ζ),

wo (Κ, x) den Winkel bezeichnet, den Κ mit der positiven «-Achse bildet usw. Ferner ist dx die zur Änderung ds von s gehörige Änderung von χ, d.h. dx ist die Projektion von ds auf die «-Achse, daher mit analoger Bezeichnung der Winkel dx . — = cos {ds, χ) ,

dy ν, , — = cos (ds,y),

dz . — = cos (ds , ζ) ,

weiter dV = Κ {cos (Κ, x) cos (ds , x) + cos (if, y) cos (ds , y) 8

=K.cos(K,ds),

+eos(K,z)cos(ds,z)},

Kap. 3. Potentialbegriff.

Niveauflächen und Kraftlinien.

31

und Kcos(K, ds) ist die der Richtung von ds parallele Kraftkomponente K s . b) N i v e a u f l ä c h e n u n d K r a f t l i n i e n . Das Potential V ist eine Funktion der Koordinaten des angezogenen Punktes, die im allgemeinen beim Übergang von einem Punkte Ρ zu einem anderen P x ihren Wert ändert. Doch wird es gewisse Punkte geben, in denen V denselben Wert wie in Ρ hat. Ist dieser Wert F 0 , so stellt die Gleichung V = 70

(1)

[wie jede Gleichung von der Form f(x, y, z) = konst.] eine Fläche dar, die diejenigen Teile des Baumes, in denen V < V0 ist, von denen trennt, für die V > F 0 ist. Eine solche Fläche heißt eine N i v e a u f l ä c h e oder Äquip o t e n t i a l f l ä c h e . Sie hat die Eigenschaft, daß die Eichtling der Kraft überall auf der Niveaufläche senkrecht steht. Denn ist Ρ ein Punkt der Niveaufläche, ds ein von Ρ ausgehendes Bogenelement der Fläche, so ist einerseits U ds ' da V beim Fortgang auf der Fläche seinen Wert nicht ändert. Andererseits ist

dV

-Q^- = Κ cos (Κ, ds) , und da Κ für Punkte außerhalb der anziehenden Masse im allgemeinen nicht verschwinden kann, so muß cos (-BT, ds) = 0 sein, d. h. die anziehende Kraft steht im Punkte Ρ senkrecht auf allen von Ρ ausgehenden Bogenelementen der Niveaufläche, hat also die Richtung der Normale Ν jener Fläche. dV dN

stellt daher die ganze Kraft dar. Erteilt man in der Gleichung (1) der Konstante V0 andere und andere Werte, so erhält man ein System von

32

I. Das Potential und seine charakteristischen Eigenschaften.

Niveauflächen, für die V0 ein variabler Parameter ist. Diese bilden, als nur von einem Parameter abhängig, eine einfach unendliche Schar. Zwei Flächen der Schar können sich, da sie zu verschiedenen Werten von V0 gehören, nie schneiden. Diejenigen Kurven, welche alle Flächen der Schar senkrecht schneiden, haben die Eigenschaft, daß jede Tangente an eine dieser Kurven die Eichtung der Normale der durch den Berührungspunkt gehenden Niveau fläche und damit die Eichtung der auf den Berührungspunkt ausgeübten Kraft hat. Jene Kurven heißen daher K r a f t l i n i e n . Wir können uns eine Kraftlinie folgendermaßen entstehend denken: Wir gehen von einem Punkte Ρ einer Niveaufläche in der Eichtung der Flächennormale bis zum Schnitte Q dieser Flächennormale mit einer zweiten Niveaufläche, von Q längs der Flächennormale der zweiten Niveaufläche zu einer dritten Niveaufläche, die von der zweiten Normale in R getroffen werden möge usf. Lassen wir dann die einzelnen Niveauflächen einander unendlich nahe rücken, so geht die gebrochene Linie P Q B . . . im Grenzfalle in die gesuchte Kurve über. c) E i n f a c h e B e i s p i e l e für N i v e a u f l ä c h e n und Kraftlinien. 1. Für einen einzelnen anziehenden Massenpunkt ist nach (BJ S. 29

γ

=

Q Die Niveauflächen ρ = konst. sind daher konzentrische Kugeln, die den anziehenden Punkt zum gemeinsamen Mittelpunkte haben; die Kraftlinien sind die Kugelradien. Dasselbe Besultat gilt für eine anziehende homogene Kugel, da man nach Aufgabe 5, Kap. 2, deren Anziehung durch die des Mittelpunktes ersetzen kann. Auch für die Anziehung zweier oder mehrerer diskreter Massenpunkte erhält man die Gleichung der Niveauflächen unmittelbar aus der Formel (Bj). 2. Die Niveauflächen einer anziehenden homogenen geraden Strecke ergeben sich ohne Bechnung durch folgende Überlegung. Nach Aufgabe 2, Kap. 2, kann man die Anziehung, welche die Strecke Β C auf den Punkt Α ausübt, ersetzen durch die Anziehung des homogenen Bogens B'C'

Kap. 3. Potentialbegriff. Niveauflächen und Kraftlinien.

33

(s. Fig. 4, S. 14), letztere, nach Aufgabe 1, Kap. 2, wiederum durch die Anziehung, die eine gewisse, in der Mitte des Bogens konzentrierte Masse auf Α ausübt. Die von BC auf Α ausgeübte Kraft ist daher nach der Mitte des Bogens B'C' gerichtet und halbiert den Winkel Β 'AC', der mit dem Winkel Β AC identisch ist. Für jede Lage des Punktes Α hat also die wirkende Kraft die Richtung der Halbierungslinie des Winkels Β AC. Andererseits halbiert die Normale derjenigen durch Α gehenden Ellipse, welche Β und C zu Brennpunkten hat, den Winkel Β AC. Jede in irgend einer durch BC gelegten Ebene liegende Ellipse, die Β und C zu Brennpunkten hat, steht also senkrecht auf der Kraft, die von B C auf einen Punkt der Ellipse ausgeübt wird. Durch Eotation dieser Ellipsen um BC als Achse entstehen verlängerte konfokale Rotationsellipsoide, und da die Normale einer Rotationsfläche zusammenfällt mit der Normale ihrer Meridiankurve, so stehen auch alle genannten Rotationsellipsoide auf der wirkenden Kraft senkrecht und sind somit die gesuchten Niveauflächen. Die Kraftlinien sind in diesem Falle ferner solche Kurven, welche in einem beliebigen Punkte Ρ die Halbierungslinie des Winkels Β AC zur Tangente haben. Diese Eigenschaft haben alle Hyperbeln mit den Brennpunkten B, C, und daß diese Hyperbeln die vorher betrachteten Ellipsen mit denselben Brennpunkten und somit auch die Niveauflächen senkrecht schneiden, ist ein bekannter Satz aus der Lehre von den Kegelschnitten. R e s u l t a t . Die Niveauflächen einer anziehenden homogenen geraden Strecke B C sind konfokale verlängerte Rotationsellipsoide, die die Endpunkte der Strecke zu Brennpunkten haben; und die Kraftlinien sind Hyperbeln mit denselben Brennpunkten, die in den durch BC gelegten Ebenen liegen. d) A l l g e m e i n e B e s t i m m u n g der K r a f t l i n i e n . Ist das Potential V der anziehenden Masse bekannt, so kennt man auch die Richtungskosinus der Normalen einer beliebigen Niveaufläche. Diese Richtungskosinus sind prodV dV 6V portional -ς—, — , . Ist andererseits ds ein Bogenow ay dz W a n g e r i n , Theorie des Potentials I.

3

34

I· Das Potential und seine charakteristischen Eigenschaften.

element einer Kraftlinie, dx,

dy, dz die Projektionen

desselben auf die Koordinatenachsen, so sind ^ , ^ ,

^

ds ds ds

die Bichtungskosinus der Tangente der Kraftlinie, und da diese Tangente für alle Kurvenpunkte auf der Niveauflache des betrachteten Punktes senkrecht steht, so sind die einen Bichtungskosinus mit den anderen identisch, d. h. es ist

ay ay ey dx dy dz — dx ' — 6y ' — dz ds ' ds ds '

und zwar sind in allen drei Gliedern links dieselben Zeichen zu nehmen. Die vorstehende Proportion kann man so schreiben:

dx dV dx

dy dz 8V ~ ev ' dy α ζ η

Wir haben damit, da V eine bekannte Punktion von χ, y, ζ ist, zwei simultane partielle Differentialgleichungen. Aus ihrer Integration ergeben sich zwei endliche Gleichungen zwischen x, y, ζ mit zwei willkürlichen Konstanten. Durch zwei solche Gleichungen wird, wenn man den Konstanten bestimmte Werte erteilt, eine Baumkurve bestimmt. Beispiel. Die K r a f t l i n i e n f ü r die A n z i e h u n g zweier M a s s e n p u n k t e von gleicher Masse. Die beiden Massenpunkte B1, B2 mögen die gleiche Masse μ haben, ihr Abstand sei 21. Wir legen ein Koordinatensystem zugrunde, dessen Anfangspunkt Ο die Mitte der Verbindungslinie B1B2 ist, während die positive »-Achse von Ο nach B1 gerichtet ist. Die Koordinaten von B1 sind dann + 1 , 0, 0, die von B2 — Ζ, 0 , 0 . Irgend ein Punkt Α des Baumes, mit den Koordinaten x , y , z , habe von B1 den Abstand ρ!, von B2 den Abstand ρ 2 , so ist: (3) wo

| e? = (® - ζ)2 + y2 + 2

= 2

2

+ n*»

1 Ql = (S +i) + y + z = (X + Ψ + V2, η — ^y2 + z2

Kap. 3. Potentialbegriff. Niveauflächen und Kraftlinien.

der Abstand des Punktes Α von der «-Achse ist. (Bj), S. 29, ist: n n V

=

f m μ l ,

d a h e r

dv

.

( y

,

1

Ui

Q2)

f x - l

Ι

y

35

Nach

> ,

« +

dv

n -

\z

z\

Nach (2) werden daher die Differentialgleichungen der Kraftlinien: , .

dx

dy

,

( )

x +

el

d. h. es ist:

dz

1\~

( 1

ei

+

_

1 " U ' + eS ( l

+

dy

(4 a)

dz

y

~

'

woraus durch Integration logs = log y

+

logCi

folgt, falls logGx die Integrationskonstante oder (5)

z = G

i

bezeichnet,

y .

Das ist die Gleichung einer durch die x-Achse gelegten Ebene. Alle Kraftlinien liegen also in einer durch B1B2 gehenden Ebene, ein Eesultat, das man auch ohne Rechnung hätte voraussehen können, da die Resultierende der von B1 und B2 auf Α ausgeübten Anziehungen in der Ebene AB1B2 liegt. Weiter folgt aus (4 a): dy y

_

y dy

zdz

y2

_

y dy

z2

+

zdz

y2 +

v\dri

άη

η2

η

ζ2

Dadurch geht die erste Gleichung (4) in folgende über: dx χ

—

^

Q1

l

_ χ

I

+

73

i?2

df\

I = V

/J_ V

+

1

T3

i?2

36

I· Das Potential und seine charakteristischen Eigenschaften.

oder (6)

ηάχ — (χ — ΐ)άη -3

Κ

ηάχ — (χ + 73

öi

ΐ)άη

=

0

·

6ι

Multipliziert man (6) mit η und beachtet, daß nach (3) η άη = öi^öi — (x — l) dx = ρ2 dg2 — (x -j- l)dx , so erhält man: [η2 + (χ~ψ]άχ-(χ-1)ρ1άρ1 ρ! oder ρΐύχ — (Χ - ΐ)ρίάρ1 l )

Ql

+

[η2 + (x + ψ] dx - (x + l) ρ2 dg2 _ ρΐ ρ%άχ — (x + ΐ) ρ2ύρ2 _

daher

1 Q2

und

1

Q

Tc

k Q2

weiter

1

< —< —

Q

QI

— d v < f [ i - d v < f f f - d v , ρ2 JJJ ρ JJJ ρι

da die zu Grenzen in sind ρ1 und daher kann

integrierende Funktion positiv ist und die allen drei Integralen dieselben sind. Nun ρ2 von der Integrationsvariablen unabhängig, die letzte Ungleichung geschrieben werden

—

d. h. (1) wo (2)

iiflcdv 0 , so ist für 5 = 0 auch Ö i ' p = 0 , und da k seiner Bedeutung nach eine überall endliche Funktion der Koordinaten ist, so ist M ( k ) , der Mittelwert von fc, stets endlich. Auch hier hat also das Integral (9) für Β. Bei Berechnung der Kräftefunktion U wird daher die untere Grenze des Integrals (3), die •& = 0

Kap. 2. Anziehungsgesetze mit bestimmten Eigenschaften.

127

entspricht, ζ — -ß; denn ρ ist die positive Wurzel der rechten Seite von (2). Nach Einführung der Funktion Φ (ρ) [Gleichung (4), S. 124] wird daher in unserem Falle (15)

ζ

ϋ=*2πχ~[Φ(ζ+Β)-Φ(ζ-Β)].

Andererseits ist die Kräftefunktion eines einzelnen im Mittelpunkt der Kugel gelegenen anziehenden Punktes, in dem die Masse der Kugelfläche, d. h. 4 π κ Β2, konzentriert ist: (16) U1 = AnxB*F(r) , wo r den Abstand des angezogenen Punktes vom Mittelpunkte bezeichnet. Soll der angezogene Punkt unser Punkt Α (0, 0 , ζ) sein, so ist r = ζ, also (16a) υι = ±πκΒ*Έ Β gelten. Werden aber Β und ζ als unabhängige Veränderliche angesehen, so gilt für die linke Seite von (17a) wiederum die Gleichung (7). Es müssen also auch die zweiten Differentialquotienten der rechten Seite nach ζ und nach Β einander gleich sein, d. h. (18) od p r

2 B

d2[zF(z)] —dii

β

d2W(B) · dB*'

1 d*[zF(z)] _ 1 Λ*Ψ(Β) . ζ dz2 2Β dB2

128

II. Erweiterungen des Potentialbegriffs.

und da ζ und Β unabhängige Veränderliche sind, so muß wie vorher (S. 125) jede Seite von (18 a) einer Konstanten gleich sein. Bezeichnen wir diese mit —3(7, so wird demnach dz2 weiter, wenn 0, und 0 2 neue Konstante sind, Ί ' / W I — + 0 - + Q, , dz zF(z) = - l-Oz* + C1z + C2 , (19a)

F{z) = - 1 Cz2 + Gi +

; ζ

und da endlich nach (3), S. 110 ist, so wird

(20) also auch (20a)

f(z) =

-F\z)

f(z) = Cz +

z2

/·(ρ)=0ρ+-^-.

Für C = 0 gibt (20 a) das Newtonsche Gesetz, dagegen für C2 — 0 eine Anziehung (oder für negative G eine Abstoßung), direkt proportional der Entfernung. Wir haben also folgendes Resultat: Das ifewtonsche Gesetz ist nicht das einzige, bei dem eine von zwei konzentrischen Kugeln begrenzte Schale, deren Dichtigkeit nur eine Funktion des Kugelradius ist, einen äußeren Punkt so anzieht, als wäre die Masse der Schale im Mittelpunkte vereinigt. Bs teilt diese Eigenschaft mit dem Gesetz, bei dem die Anziehung, resp. Abstoßung zweier Massenpunkte ihrem Abstände direkt proportional ist. c) D e r K ö r p e r g r ö ß t e r A n z i e h u n g f ü r das Anziehungsgesetz — . Q Die zu behandelnde Frage ist folgende: Welche Gestalt muß ein Körper von gegebenem Volumen und ge-

Kap. 2. Der Körper größter Anziehung.

129

gebener konstanter Dichtigkeit besitzen, um auf einen materiellen Punkt eine möglichst große Anziehung auszuüben? Dabei kann man die Richtung der Kraft als gegeben annehmen. Denn durch Drehung des mit dem angezogenen Punkte Α fest verbunden gedachten Körpers um den Punkt Α kann man die auf Α ausgeübte Kraft in jede beliebige durch Α gelegte Linie fallen lassen. Macht man Α zum Anfangspunkt der Koordinaten und die Richtung der Kraft zur positiven χ -Achse, so müssen sich die von den verschiedenen Massenelementen άμ herrührenden, zur χ-Achse senkrechten Komponenten aufheben; von der Anziehung, die ein beliebiges Element άμ auf Α ausübt, ist also nur die «-Komponente wirksam. Diese ist, wenn f , η, ζ die Koordinaten von άμ sind: (21)

X = ,,

.

Da alle άμ positiv sind, so hat X das Vorzeichen von ξ. Auch nimmt \X\ ab, wenn bei festgehaltenem ξ der Abstand j V + ζ2 des Elements άμ von der χ - Achse vergrößert wird. Ferner kann die «-Achse nicht ganz außerhalb der anziehenden Masse liegen, weil sich dann die zu χ senkrechten Komponenten nicht aufheben würden, χ muß vielmehr die Grenzfläche der Masse schneiden. Dies vorausgeschickt, betrachten wir eine Masse von konstanter Dichtigkeit, die von einer geschlossenen Fläche F begrenzt wird, und fragen, wie man die Gestalt der Masse ändern kann, ohne Volumen und Dichtigkeit zu ändern. Es kann das nicht dadurch geschehen, daß man im Innern gelegene Massenteile herausnimmt und sie außen an irgendeiner Stelle von F anfügt; denn dadurch würde im Innern ein Raum von der Dichtigkeit Null entstehen, und die Dichtigkeit würde nicht mehr überall die gleiche sein. Man kann daher die verlangte Änderung nur so vornehmen, daß man Massenelemente, die unmittelbar an der Grenzfläche F liegen, aus ihrer Stelle entfernt und sie an einer anderen Stelle von F der Masse wieder anfügt. Durch Wiederholung dieser Operation kann man allmählich der Masse eine andere Form geben, ohne daß W a n g e r i n , Theorie des Potentials I.

9

130

II· Erweiterungen des Potentialbegriffs.

sich Dichtigkeit und Volumen ändern. Soll nun die. ursprüngliche Masse ein Körper größter Anziehung sein, so muß seine Grenzfläche so beschaffen sein, daß durch die beschriebene Verlegung von Massenelementen der Oberfläche die X- Komponente der Anziehung stets verkleinert, nie vergrößert wird. Dazu ist zuerst nötig, daß die ganze Masse auf der Seite des positiven χ liegt. Denn für ein Massenelement άμ, dessen «-Koordinate negativ ist, ist nach (21) X negativ. Durch Verlegung von dtu nach irgend einem Punkte mit positivem ξ würde das Vorzeichen von X geändert, also X und damit die gesamte Kraft, die ja die Richtung -\-x hat, vergrößert. Für den Körper größter Anziehung muß daher F ganz auf der Seite der positiven χ liegen. Ferner ist erforderlich, daß für gleiche Massenelemente, die an verschiedenen Stellen von F liegen, die J£-Komponente der Anziehung ^ den gleichen Wert hat. Um das nachzuweisen, betrachten wir zwei gleiche Massenelemente άμ = άμ1 , die an den Fig. 24. Stellen Ρ und Pt von F liegen, und bezeichnen die X-Komponenten der von Αμ und Αμι auf Α ausgeübten Anziehung mit X und X 1 , ferner mit X r die Komponente der Anziehung, die Αμ ausüben würde, wenn es von der Stelle Ρ fortgenommen und in P1 von außen an F angesetzt würde. Nach dem oben Gesagten sind die » Koordinaten von Ρ und P x positiv, daher auch X, X1, X' positiv. Nach der Verlegung von Α μ nach P t haben die Elemente Αμ und Αμ1 dieselbe «-Koordinate ξ, dagegen hat άμ, das von außen an F angelegt ist, einen größeren Abstand von der «-Achse als άμ^, das von F aus nach innen liegt; folglich ist (22)

Χ' Xx erhält man ebenso eine Vergrößerung der X-Komponente, wenn man άμ1 von P x nach Ρ verlegt. Bei beiden Annahmen kann also durch Verlegung von Massenteilchen eine Vergrößerung der XKomponente der Anziehung herbeigeführt werden, was bei dem Körper größter Anziehung nicht der Fall sein darf. Wenn dagegen X = X 1 ist, so wird nach (22) sowohl durch die Verlegung von άμ nach Pt, als durch die Verlegung von άμχ nach Ρ stets eine Verkleinerung der X-Komponente hervorgebracht. Bei dem Körper größter Anziehung muß das nun für zwei an beliebigen Stellen von F liegende Elemente άμ = άμ1 der Fall sein, d. h. für den Körper größter Anziehung muß die Grenzfläche F die Eigenschaft haben, daß gleiche Massenelemente άμ, die an verschiedenen Stellen von F liegen, die gleiche X- Komponente der Anziehung besitzen. Danach ergibt sich die Gestalt der Grenzfläche F des Körpers größter Anziehung unmittelbar aus (21). Sind £, η , ζ die Koordinaten eines beliebigen Punktes von F, so muß ξ

(24)

= konst. f

sein, oder wenn die Konstante, die ja positiv sein muß, da ξ positiv ist, mit (24a)

bezeichnet wird:

(Vf» + η* + ζήρ+1 =

P-2

(2 Rfe(cos&)

3-p

und Ah

(27')

=

2πκ(2Β) 3 ~ ρ

J I(cos fff - Ρ ύηϋ ά ίί

" 3 - p

ο

3 ρ

2πκ(2Β) ~

i-p

Ρ

134

II. Erweiterungen des Potentialbegriffs.

Soll die Kugel gleiches Volumen mit dem Körper größter Anziehung haben, so ist nach (28) 2 —

3

3 - V TT3— n£ •πα

3+ ρ

4 = ——

d. h.

Β _

7tBa,

'•· " U V Durch Substitution dieses Wertes geht (27') über in (27")

Ρ

3—ρ

5 — ρ

1-iP

2(3 + P )

Aus (27) und (27") folgt:

Für ρ — 1 wird, in Übereinstimmung mit dem oben ausgesprochenen Resultat, Ak = Am. Dagegen ergibt sich für das Newtonsche Gesetz ρ = 2:

Wir haben somit das Resultat: Die größte Anziehung, welche eine homogene Masse nach dem Newtonsehen Gesetze auf einen Punkt ihrer Oberfläche ausüben kann, verhält sich zu der Anziehung, die eine Kugel von gleichem Volumen und gleicher Dichtigkeit auf einen Punkt 3 ihrer Oberfläche ausübt, wie 3 : y25 ·. Anmerkung. Die Meridiankurve der Grenzfläche des Körpers größter Anziehung ist, falls nicht ρ = 1 ist, in bezug auf ihre Schnittpunkte Α und A1 mit der Rotationsachse nicht symmetrisch. Auch ist die Anziehung, die der Körper auf A l ausübt, außer für ρ — 1, kleiner als die auf Α ausgeübte Anziehung.

Kap 3. Das logarithmische Potential.

135

Kapitel 3. Das logarithmische Potential. a) Einführung des logarithmischen Potentials. S. 112—113 ist gezeigt, daft im dreidimensionalen Baume die Laplacesche Differentialgleichung für kein anderes Anziehungsgesetz gilt als das Newtonsche. Daran anknüpfend, fragen wir, wie in einer Mannigfaltigkeit von beliebig vielen Dimensionen die anziehende Kraft beschaffen sein muß, wenn für die .Kräftefunktion eine der Laplaceschen Gleichung analoge Relation bestehen soll. Aus demselben Grunde wie S. 112 können wir die Betrachtung auf zwei Massenpunkte beschränken. Nehmen wir statt dreier Dimensionen deren η , so seien ξ1, ξ 2 , . . . , ξ η die Koordinaten des anziehenden, xx. a?2, . · . , xn die des angezogenen Punktes; der Abstand beider sei ρ, also:

q2=Z&-x*)*'

(1)

h = l

Die Kraft, mit der der erste Punkt den zweiten anzieht, sei f(g), ihre Komponenten also: (2)

Xh^f{o)h-nXh

= 1,2, : . . , » ) .

Q

Setzt man: (3)

— f f i o )d g

=

F ( ρ )

,

so wird, da

d x

=

_ £A — Xh ρ

h

ist: (2 a)

ZA =

d F ( o ) d o

d g o x

_ h

6 F ( g ) 6 x

h

F(g) ist die Kräftefunktion, die an Stelle des Potentials tritt. Um ihre zweiten Ableitungen zu bilden, setzen wir zur Abkürzung

136

II· Erweiterungen des Potentialbegriffs,

so daß

wird.

Daraus folgt B2F(Q)

ÖQ

=

r ist. Im e r s t e n Falle { r > r 1 ) haben wir: I

1

9

r

1

j / i _ Üei(«p- b > c erst recht

d. h.

da Va< nTcabcJ-^ 2 3' (Vc + s) a ra
2J J

wo, wie vorher, Glieder von der Ordnung e2 usw. nur durch Punkte angedeutet sind. Gehen wir nun zur Grenze ε = 0 über, so geht W in das gesuchte U,· über; zugleich ist lim(fc'e) durch (15a) e=0 gegeben. Wir erhalten daher

(20)

a

x

abc

1 , 1 δ2 1-

Xs

~ α2 ~

oder, wenn wir beachten, daß Tihabc

~

· 8

nach (I), S. 200 das Potential Vi des vollen Ellipsoids mit der Dichtigkeit k für innere Punkte darstellt: ,

_

2nk

(.

j .

α

2 +

δ

Λ

c

2 +

x2 1

-

y2 *

-

*

»2\ -

*

)

·

2

Eückt der angezogene Punkt von innen an die Oberfläche des Ellipsoids, so wird a2

ft2

c2

'

und da für Punkte der Oberfläche Vi — Va ist, so wird lim (17. -

TJ,)

= 0. 15*

228

HI· Potential und Anziehung homogener Ellipsoide.

Dagegen wird m dx

evi dx

, 1

1

+

1 ψ

+

dua dx

J^ ' dV-

dV ist, so wird dx

und da für Punkte der Oberfläche = dx für diese

dx

dx )

1

ö* (21)

= —4ii •

A ! + vi 7«4 i4

eva dx '

1 +

6»

1 +

c*

a? +•

«2 Ι" 6 2 "Ι" C2

(/ ^ϊ + &Ϊ + ^T

Der letzte Faktor rechts ist, da x, y, ζ ein Punkt der Ellipsoidoberfläche ist, = cos(-iV, x). Der zweite Faktor rechts ist nach (15 b) die Dichtigkeit κ der Flächenbelegung im Punkte χ, y , ζ, d. h. es ist (21 a)

lim

-

= - 4 π * cos(tf, x) .

Damit ist direkt gezeigt, daß U die charakteristischen Eigenschaften des Flächenpotentials besitzt. d) A n z i e h u n g einer u n e n d l i c h dünnen Schale, die v o n ä h n l i c h e n E l l i p s o i d e n begrenzt wird. Bezogen sich die letzten Untersuchungen auf eine von zwei unendlich nahen konfokalen Ellipsoiden begrenzte Schale, so wollen wir nun eine analoge Untersuchung für eine Schale anstellen, die von zwei ähnlichen und ähnlich liegenden konzentrischen Ellipsoiden begrenzt wird. Zu dem Zwecke formen wir zunächst den Ausdruck für das Potential eines vollen Ellipsoids um, indem wir in (II), S. 200 die neue Integrations variable s

— i?

Kap. 4.

einführen.

Verschiedene Folgerungen,

229

Setzen wir noch r =

ferner

a?

a2

a2

so wird

(22)

Va = π Tc , i(i+t)(i+ßH)(i

dt +

ß2y2 1+ßH

n)

?

|a 2

x" 1

+t

γ2ζ2\ _ 1 + y Hf'

wo τ die positive Wurzel der Gleichung (22a)

a

^ 1+ τ

γ2 ζ2 = 0 1 -j- γ2τ

*y* 1+β2τ ß

ist. Fj läßt sich ebenso umformen; das Resultat unterscheidet sich von der rechten Seite von (22) nur dadurch, daß die untere Grenze des Integrals = 0 ist. Für ein konzentrisches, ähnliches und ähnlich liegendes Ellipsoid mit den Achsen a', b', c' und der gleichen Dichtigkeit Tc sei das Potential V'a, so wird, da β und γ für beide Ellipsoide dieselben Werte haben, V' =71 Tc (23)

dt

/ä

Ja'._ Η) Γ 1+ i + «)(l + β ή(1 2+2 γΗ) ß2y2 γ 2* 2 J y z 2 1 + ß t ~ 1 + y2t =

2

wo τ' die positive Wurzel der Gleichung »» ß»y* yz92 9 2 _ (23 a) a 7 = 0 1+τ' 1+β2τ' l+72r ist. Aus (22) und (23) ergibt sich durch Subtraktion das Potential der von den ähnlichen Ellipsoiden begrenzten homogenen Schale.

230

HI· Potential und Anziehung homogener Ellipsoide.

Zerlegen wir noch das in (23) auftretende Integral in die Differenz zweier anderer f d t ( ) = f d t ( ) - f d t ( ) , τ'

so wird das Potential

τ

τ

der

Schale: ,

„ > * - 0

(24) +

WO

**/", J l(l τ

F x = a' s

+

t)(l

+

-

d

ßH)(l

+

a?2 ι +

H)

Y

F

t

,

j>2s2 t

ι +

ß*t

ι +

Y

n

ist. Das Potential der Schale für einen inneren Punkt erhalten wir, indem wir in (24) an Stelle von τ und r' Null setzen, also dt

(24a) V i - V l = n 1 e f . ^ V(l + t ) ( l + ^ t )

(1 +

γΗ)

(° 2 ~ °' 2 )»

d. h. Vi — Vi ist konstant, seine Ableitungen nach x, y , ζ verschwinden, womit ein neuer Beweis des Satzes S. 182 erbracht ist. Von der endlichen Schale gehen wir zu einer unendlich dünnen Schale über, indem wir α'

= a(l — c)

setzen und ε zu 0 konvergieren lassen. Damit auch die unendlich dünne Schale eine endliche Masse hat, müssen wir, mit abnehmendem ε, 1c wachsen lassen, so daß fe·ε auch für ε =--0 endlich bleibt. Es sei: (25)

lim (fc ε) = e= 0

.

Kap. 4. Verschiedene Folgerungen.

231

Ferner ergibt die Subtraktion der Gleichungen (22 a) und (23 a): α2 - a'2 = α2(2 ε — ε2) _

ίτ 1

' _ r)f ' \(1 + Τ) (1 +

τ')

4 ^

ßiyS

(1 +

β2

τ) (1 +

β2

4τ')

) (1 + y2 τ) (1 + γ2 r')/ '

Für unendlich kleine ε wird daher auch τ' — τ unendlich klein, und es wird T T /ok (25a)\ νhm ' -— = ί=ο

ε

2a2

a?2

——

——-— .

ß*y2

γ*ζ2

^ + (1 + τ)2 +' „(1 V + 1 β2 τ)2 ' (1 +

γ2

τ)2

Endlich ist für unendlich kleine Werte von τ' — τ τ'

ff(t)dt

(25 b )

= (z' - z ) f ( τ).

τ

Mittels der Hilfsgleichungen (25), (25 a), (25 b) ergibt sich sofort der Grenzwert von V„ — Vi und Fi —Vi für ε = 0. Wir wollen diese Grenzwerte mit U„ und Ui bezeichnen. Da für ε = 0 die Schale in die mit Masse belegte Ellipsoidfläche übergeht, so stellen also Ua und Ui das Potential jener Fläche für äußere und innere Punkte dar. Den Grenzwert von F» — Fi kann man unmittelbar aus (24 a) ablesen. Hinsichtlich des Grenzwertes von Va — Va ist folgendes zu beachten. Der Grenzwert des zweiten Summanden der rechten Seite von (24) ist nach (25 b) πΚ{τ'—

τ)

ίί , 8 _ a s 2 _ 1+ τ y ( l + r ) ( l + /Pr) (l + y ' i ) \

I V 1 + β2τ

_

γ* r 2 ζg 2 1+

\ ?2τ/'

also wegen (22 a) —n~k{τ'— ν(1+τ)(1+^τ)

τ)

. „ ,„, — 2πα2 k ε(τ' — χ) : (α2— α 2) = (1 + γ2 τ) γ(1+τ)(1+βίΤ)(1 + γ»τ)

Für ε = 0 wird zwar Je ε endlich = fc0, dagegen ist τ' — χ nach (25 a) proportional ε, verschwindet also mit ε. Mithin ist der Grenzwert des zweiten Summanden der rechten

232

HI. Potential und Anziehung homogener Ellipsoide.

Seite von (24) gleich JJull, und der Grenzübergang zu ε = 0 gibt: U

a

dt

= 2 πfc0α2

(26)

t(l t

ό a21

+ r)(l

+ ßn)(l

+

YH)'

to dt f ( l + t) (1 + βΗ)

(Ι+γΗ)'

Führt man in den Ausdrücken (26) statt t wiederum a2t

s =

als Integrationsvariable ein und setzt für ß2 und y2 ihre ax a* Werte —z , — , so folgt o c* ' TJa = 2 π jfc0 a b c .

(26 a)

ds 2

V(a +

*) (V +

«) (c2 +

s)'

xj

TJi =

ds

2nlt0abc

]/ (α2 + s) (b2 + β) (flsT«)

'

wo σ, wie früher, die positive Wurzel der Gleichung (IIa), S. 200, ist. Füi die Anziehungskomponenten folgt daraus (27)

dü a

—2 π 2

dx

do

Te0abc 2

2

/(α + σ) (6 + σ)(ο + σ)

em

'

= 0,

0 ist, d. h. nur abgeplattete Rotationsellipsoide genügen der Bedingung der Aufgabe. Die Integration in (16 c) könnte man leicht ausführen; noch einfacher ist es, die Werte von V1 und F 3 aus Gleichung (21), S. 210 zu entnehmen und in (16b) einzusetzen. Setzt man in (21), S. 210 ο = 0 , so stellt die rechte Seite das Potential eines abgeplatteten Rotationsellipsoids für Punkte der Oberfläche dar. Es ist also jiTca2c

(]/a2 - c2)3 2 π Tc α2 c fä2^

(17)

ei a2 -

arctg1 c2

{fa2 - c2)

und die Gleichung (16b) geht über in: cο6 2Tcf

πα2 c UaZ-cW

ya2 — c'

A arctg 11

1 +

(18)

3c | βΤ^-ο» }

Kap. 5. Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten.

249

Setzt man zur Abkürzung: fa*

(19)

-

= Jl,

so nimmt (18) die einfache Form a n :

(20)

3 + λ2 3λ arctgA — 3 3 + A2J λ

ω2 2 nkf

Diese Relation muß zwischen dem Achsenverhältnis und der Rotationsgeschwindigkeit bestehen, damit das abgeplattete Rotationsellipsoid Gleichgewichtsfigur der rotierenden Flüssigkeit ist. Mittels dieser Gleichung kann man (bei gegebenem h f ) einerseits zu einem gegebenen Achsenverhältnis die zugehörige Rotationsgeschwindigkeit, andererseits zu einer gegebenen Rotationsgeschwindigkeit das zugehörige Achsenverhältnis bestimmen.