Tafeln der Funktionen Cosinus und Sinus: Mit den natürlichen sowohl reellen als rein imaginären Zahlen als Argument (Kreis und Hyperbelfunctionen) [Reprint 2019 ed.] 9783111472478, 9783111105581

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V E R L A G V O N G E O R G R E I M E R B E R L I N W . 35.

Astronomischer Jahresbericht. Begründet von Walter F. Wislicenus. Mit Unterstützung der Astronomischen Gesellschaft herausgegeben von A. Berberich Bis jetzt erschienen 7 Bände, enthaltend die Literatur der Jahre 1899—1905. P r e i s e : Bd. I M. 1 7 . - , Bd. I I M. 19.—, Bd. I I I M. 20.—, Bd. IV M. 19.—, Bd. V M. 20.—, Bd. VI M. 19.—, Bd. VII M. 20.—.

Astrometrie oder die Lehre von der Ortsbestimmung im Himmelsraume. Zugleich als Grundlage aller Zeit- und Raummessung von Prof. Dr. Wilhelm Förster. Erstes H e f t : Die Sphärik und die Koordinatensysteme, sowie die Bezeichnungen und die sphärischen Koordinatenincssungcn. Preis geheftet M. 4.—.

Die Bestimmung- von Meteorbahnen nebst verwandten Aufgaben. Herausgegehen mit Unterstützung der

Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften von R. Lehmann-Fillies. Mit 1 Tafel.

Preis geheftet M. 5.—.

Allgemeine Theorie der zwei- und dreiteiligen

astronomischen Fernrohr • Objektive von A. Kramer. Mit 2 Figurentafeln.

Preis geheftet M. 6.—.

Beziehungen des du Bois-Reymondschen Mittelwertsatzes zur Ovaltheorie. Eine mathematische

Studie

von Hermann Brunn. Preis geheftet M. 7.—.

1

TAFELN DER FUNKTIONEN COSINUS UND SINUS MIT DEN NATÜRLICHEN SOWOHL REELLEN ALS

REIN IMAGINÄREN

ZAHLEN ALS ARGUMENT (KREIS UND HYPERBELFUNCTIONEN)

VON

DR. CARL BURRAU.

BERLIN VERLAG VON GEORG REIMER 1907

MEINEM VEREHRTEN LEHRER UND FREUND HERRN

PROFESSOR DR. T. N. THIELE

GEWIDMET

E s tritt bei den wissenschaftlichen und technischen Rechnern in den letzten Jahrzehnten eine immer stärkere Tendenz zur Anwendung von Rechentafeln und Rechenmaschinen und damit zusammenhängend eine geringere Anwendung von Logarithmen deutlich hervor. Da jedoch eine große Menge der besten Tafelwerke nicht die Funktionswerte selbst sondern ihre Logarithmen gibt, muß die erwähnte Tendenz notwendiger Weise die Herausgabe von Tafeln der Funktionswerte selbst hervorrufen. Die vorliegende Tafel ist als ein Glied dieser Bestrebungen aufzufassen. Unter den für den wissenschaftlichen Rechner wichtigsten Funktionen nehmen die Cosinus- und Sinus-Funktionen eine hervorragende Stelle ein, und um eine vollkommene rechnerische Verwertung dieser Funktionen zu erzielen, genügt es keineswegs die Argumente auf die reellen Zahlen zu beschränken. Vorliegende Tafel ist deshalb auch auf rein imaginäre Argumente ausgedehnt. Diese Erweiterung bringt zwar die Unbequemlichkeit mit sich, daß die Tafel, um vollständig zu sein, bis zum Unendlichen ausgedehnt werden müßte. Die Unmöglichkeit diese Forderung zu erfüllen, führt zur Notwendigkeit einen Punkt zu fixieren, wo die Tafel aufhören soll. Derselbe ist hier so gewählt, daß die beiden Funktionen von diesem Punkte aus und für noch größere Argumente einander gleich sind und mit einer dritten Funktion, der Exponentialfunktion, verschmelzen. W e n n man bei der hier gewählten Genauigkeit (572 Ziffern) stehen bleibt, kann man bei tp — 8 aufhören. Seite 8, 9, 10 und 44 habe ich einen frei gebliebenen Raum dazu benutzt, die Funktion e '>'

—

V l -

mit derselben Genauigkeit für die Werte von xp = 8 bis xp — 9.8 zu geben.

Eis ist wohl überflüssig zu bemerken, daß die Exponential-

funktion für kleinere Argumente auch durch die Summen resp. Differenzen zweier Tafelwerte bestimmt ist, nämlich durch die Formeln e'7'

= cos i xp +

4- sin i xp

e~*

— cos i xp — -!- sin i xp

Die vorliegende Tafel ist für eine größere von mir in Angriff genommene,

etwa 5-stellige Genauigkeit fordernde

arbeit (das Dreikörperproblem

Rechen-

betreffend) nötig, und hierdurch

ist auch die Stellenanzahl der Tafel bestimmt worden, wenigstens was den Teü mit rein imaginären Argumenten betrifft. mit reellen Argumenten habe ich noch eine Stelle

Dem Teil hinzugefügt,

und zwar weil es möglich war, auf den kleinen Raum von kaum sieben

Seiten

eine

6V2 ~ stellige

Tafel

zusammenzudrängen,

worin noch (unter Bezugnahme nur auf die ersten interpoliert werden kann.

Differenzen)

Wenn man sich erinnert, daß z. B. die

Jordansche Ausgabe des „Opus Palatinum"*) mit nur 7-stelliger Genauigkeit 270 Seiten in Anspruch nimmt, scheint mir diese kondensierte Tafel einiges Interesse darzubieten. Unter den vielfachen Tabulierungen der Cosinus- und SinusFunktionen

für reelle Argumente gibt

es meines Wissens keine,

welche als Argument die Reihe der natürlichen Zahlen

gewählt

hat, wenigstens keine mit nur der ersten Differenz interpolierbare. Die Erklärung hierzu ist wohl darin zu suchen, daß, wenn man die Argument-Einheit im rationalen Verhältnis zur Peripherie annimmt, also z. B. den Grad oder den Quadranten als Einheit wählt, die beiden Funktionen sich mit derselben Tafel tabulieren lassen. Auf diese Bequemlichkeit muß man zwar verzichten, wenn man die natürlichen Zahlen als Argument haben will, aber es gibt doch

viele Gelegenheiten,

wo eine Tafel wie die vorliegende

nützlich sein kann, und da mir eben bei der oben

erwähnten

*) Opus Palatinum. Sinus- und Cosinus - Tafeln von 10" zu 10". Herausgegeben von Dr. W. Jordan. Hannover und Leipzig 1897. 270 -f- VII Seiten.

— Rechenarbeit

VII

—

eine solche Tafel fast ganz unentbehrlich war,

habe

ich ihre Herausgabe unternommen. Eine kleine Verbesserung, die wohl künftig auch den W e g in andere Tafeln

finden

ersten Male.

wird,

erscheint

hier

meines

Wissens

die Genauigkeit,

welche

bei

einer vorausgewählten Stellenanzahl

erreicht werden kann, etwas weiter als es mit dem Abrundungsprinzip möglich ist. entweder Punkt 0.25

zum

Die Verbesserung betrifft die Abrundung und treibt

mit

zeigt

oder

an,

und 0.75

ohne

daß die

Die letzte Stelle tritt in der Tafel

einen

hinzugefügten

folgenden Stellen

der Einheit

gewöhnlichen

der

letzten

Punkt

auf.

Der

einen W e r t zwischen

Tafelstelle

haben.

Was

unter 0.25 liegt, wird weggelassen und was über 0.75 ist, gibt zur Erhöhung

der

letzten

gerechnet Tafelstelle.

wie

Ohne

Tafelstelle Anlaß.

mit

der

Ziffer 5

Vergrößerung

der

Mit

dem Punkte

ersten

des Umfanges

wird

weggelassenen

einer Tafel

wird

hierdurch eine „halbe Stelle" gewonnen. Die

Einführung

dieser

Professor T . N. T h i e l e . diese

einfache

gewandt ebenso

wird,

Man

Verbesserung umsomehr

gutes) mehrmals

Verbesserung muß sich nicht als

verdanke darüber

allgemein

etwas

versucht worden

Herrn

wundern, in

ähnliches ist.

ich Tafeln (aber

daß annicht

Der S c h r ö n s c h e

„ S t r i c h " * ) ist

z. B. bei den Rechnungen ziemlich schwierig zu be-

rücksichtigen,

wogegen

man

mit dem (0.5 bedeutenden) hier be-

nutzten Punkte leicht und mit minimalem Mehraufwand von Arbeit rechnet. Jahren

Unter den zahlreichen Rechnern, die in den verflossenen das wissenschaftliche Rechnen

lernt haben,

gibt

bei Herrn Prof. Thiele ge-

es mit einer einzigen Ausnahme niemand,

nicht dasselbe Wohlbehagen

wie

der

ich bei dem Rechnen mit dem

Punkt fühlt. *) Dr. Ludwig Schrön: Siebenstellige Logarithmen. 14. Stereotyp-Ausgabe. Braunschweig 1875. Vorrede Seite III, Zeile 13. Dasselbe Abrundungsprinzip wie bei Schrön ist auch in den großen achtstelligen Logarithmentafeln des französischen Generalstabs angewendet. Der Punkt nach der letzten Tafelstelle bedeutet also dort -j- 0.25, wogegen zu allen nicht mit den Punkten versehenen Tafelstellen der Addent 0.25 hinzuzufügen ist.

— VIII

—

Da ich die Tafel in so gedrängter Form wie möglich zu haben wünschte, jedoch ohne die Interpolation mit der ersten Differenz unmöglich zu machen, wird diese erste Differenz ziemlich groß; die letzte Kolumne jeder Seite gibt unter der Überschrift A (siehe Tafel) den Mittelwert der Differenzen der betreffenden Zeile an, und es empfiehlt sich bei der Interpolation spezielle Rechentafeln zu benutzen. Um jedoch immer das Nötige bei der Hand zu haben, werden die 18 letzten Seiten dazu benutzt, eine kleine, „ein mal 3-stellige" Rechentafel zu geben, welche, soviel ich weiß, noch nicht in der Tafelliteratur erschienen ist. Es empfiehlt sich, diesen Teil getrennt von der Tafel selbst zu halten und nicht z. B. mit der Tafel einbinden zu lassen.

TABLES OF

COSINE AND SINE OF REAL AND IMAGINARY ANGLES EXPRESSED IN RADIANS (CIRCULAR AND HYPERBOLIC FUNCTIONS)

BY

DR. CARL BURRAU.

BERLIN VERLAG VON GEORG REIMER 1907

D u r i n g the last few decades there has been an increasing use by scientific and technical computers of the arithmometer or of tables of natural functions in preference to logarithms. As a great many of the best tables only give the logarithm of the function, this tendency will lead in time to the publication of tables containing the values of the function itself. The present tables should be looked upon as forming a contribution to this end. Among the functions which are of the greatest service to the scientific computer the Cosine and Sine occupy an important place, and in order to exhaust the advantages of these functions as an aid to numerical computation, it is by no means sufficient to confine the series of arguments to real numbers. The present tables have therefore been extended to imaginary arguments, in other words to hyperbolic cosines and sines. This extension is not without a certain drawback, because the tables, in order to be complete, would strictly have to be continued ad infinitum. The impossibility of such a plan leads of necessity to the choice of a limiting value of the argument. In our case this has been determined by the consideration that the argument shall be so large that the hyperbolic cosine and sine shall be equal to one another, within the limit of accuracy adopted in the table, and equal to 1/2 e^. If, as in our case, an accuracy corresponding to 5 V2 figures is aimed at, we can stop at xp — 8. Page 8,9,10 and 44. I have used an unoccupied space for giving the values of the function e f with the same

— XII — a c c u r a c y for the arguments from ip = 8 to tp — 9.8.

It is obvious

that the Exponential function for smaller arguments also can be determined as the sum or difference of two of the tabular values, b y means of the formulae

The

e'^

— cos i xp +

c—xp

=

present

4- sin i xp

cos i xp — -j- sin i tp.

tables

owe

their

existence

to

an

extensive

piece of work concerning the Problem o f the T h r e e Bodies with which I have been occupied, about 5

figures.

and which requires an accuracy of

T h e number of places of decimals to which the

tables were to go was

determined

piece of astronomical work —

at least

o f functions of imaginary arguments. to

the

found

tables

with

possible

comprise

the

real

by the

arguments,

this was so in the tables

principally

of a 6 7 2 " f i g u r e d

polation with only first differences.

of this

O n e more figure was added

in the small space of less whole

requirements

table,

When

because

than

seven

it

was

pages to

which allows inter-

it is considered,

that

Jordan's edition*) of " O p u s Palatinum" for instance, which only gives seven

figures,

occupies

270

pages,

I venture

to

think

that

my

abbreviated tables present some interest.

A m o n g the

numerous tables of Cosines and Sines with real

arguments it is strange that there is not

one,

based

on

natural

arguments, or radians. The

explanation

is such,

that

instance

if the

its

probably is, that if the

ratio

degree

to

the

circumference

unit of is

argument

rational,

or the quadrant is the unit,

of both functions are given by one and the same table.

the

for value

If natural

arguments are used, it is necessary to give up this c o n v e n i e n c e ; yet there

are many

occasions

where

a table

like the

present

one m a y prove useful, and as, in the course of m y calculations, * ) Opus Palatinum.

Sinus-

gegeben von Dr. W . Jordan.

und

Cosinus-Tafeln

von

Hannover und Leipzig 1897.

10"

zu

10".

Heraus-

2 7 0 -f- V I I pages.

— xm

-

I found a table of this kind almost indispensable, I decided to publish one. A small improvement — which may

in future find its way

into other tables — is in the present case applied for the time, as far as I know. justment

of the last decimal and leads to a somewhat

accuracy than same n u m b e r either

could be obtained of

figures.

with or without

first

T h e improvement is in respect of the ad-

The

greater

by an ordinary table with

the

last figure retained presents itself

a "point".

The

point means that

the

residue is comprised within 0.25 and 0.75 units of the last place. Fractions below 0.25 have been have

caused

is exactly

rejected and fractions above 0.75

the last decimal place to be increased.

equivalent to the figure 5 in

the

first

The point

place of the

rejected decimals, and the effect is that, as it were "half a decimal" more is obtained without increasing the volume of the table. This improvement strange that

is due to Professor T. N. Thiele.

this simple artifice has not been introduced

in tables, although similar suggestions — although good

ones

—

have several times been

Schron's "dash"*) is rather calculation,

made.

not For

It is before equally

instance,

difficult to take into account in the

while our "point"

(written for 0.5) enters

calculation with hardly any additional trouble.

into

the

A m o n g the many

men who, in the course of years, have had their training in scientific calculation from Prof. Thiele it would

probably

not be esay to

find even one who does not feel it perfectly easy to take the point into account.

T h e last column on each p a g e gives under the heading A the mean value of the differences in the corresponding line. It would *) Dr. Ludwig Schrön: Siebenstellige Logarithmen. 14. Stereotyp-Ausgabe, Braunschweig 1875. Vorrede page III, line 13. T h e same adjustment of the last decimal is also applied in the great 8-figured table of the French General Statl. T h e " p o i n t " there denotes 0.25, while it is to be understood, that 0.25 should be added to all figure without the "point".

—

XIV

—

have made the table too bulky to have given complete tables of proportional parts, and it will therefore be convenient to use auxiliary tables for the interpolation. In order to have all the material at hand, the last 18 pages have been devoted to a oneby-three figured table of products, which has not yet, as far as I know, been given elsewhere. It is recommended that this part of the table be kept apart from the rest, and bound separately.

TABLES DES FONCTIONS

COSINUS ET SINUS DES NOMBRES NATURELS, R É E L S E T IMAGINAIRES P U R S (FONCTIONS CIRCULAIRES E T H Y P E R BOLIQUES) PAR

DR. CARL BURRAU.

BERLIN GEORG

REIMER 1907

Depuis une vingtaine d'années on trouve, chez les calculateurs, hommes de science ou techniciens, une tendance à substituer aux logarithmes l'usage des machines à calcul et des tables préparées spécialement meilleures de valeurs

des

en

vue

des

applications:

cependant,

parmi

les

ces tables, un grand nombre ne donnent pas les fonctions

elles-mêmes,

mais

bien

celles de

leurs

logarithmes, tandis que, pour satisfaire au courant que nous venons de signaler, il faut nécessairement songer à donner naissance à dus tables qui contiendront les valeurs mêmes des fonctions. C'est pour contribuer à la satisfaction de ce besoin que nous donnons la présente Table. Parmi les fonctions essentielles, pour le calculateur scientifique, les cosinus et sinus jouent un rôle fondamental mais, si l'on veut en tirer tout le parti possible au point de vue des applications, il ne suffit pas de borner aux nombres réels la valeur de la variable indépendante

dans ces deux

fonctions: aussi avons-nous étendu

notre table aux valeurs purement imaginaires de la variable. Sans doute, pour être complète,

une telle extension exigerait que la

table fut poursuivie jusqu'à l'infini, mais l'impossibilité même de cette solution nous oblige

à lui fixer une limite: ce point sera

determiné par ce fait que, à partir de cette valeur et pour les valeurs supérieures de la variable indépendante, les deux fonctions déviennent identiques

et coïncident avec une même troisième, à

savoir la moitié de la fonction exponentielle — avec l'approximation adoptée, bien En

entendu.

bornant

l'exactitude

à

la

moitié

du

sixième

chiffre

caractéristique, on peut s'arrêter ainsi à xp = 8; et, en disposant 2

— XVIII — convenablement de l'espace libre dans les p. 8, 9, 10 et 44 nous avons pu donner les valeurs de la fonction e avec la même exactitude, entre if; = 8 et %f> = 9,8. D est à peine besoin de dire que, pour des valeurs plus petites de la variable indépendante, la fonction exponentielle peut être obtenue, à l'aide de la table, en appliquant les deux formules e^ e

= cos i tp + 4- sin i tft =

cos i y> — 4- sin i xfj

Cette table fut créée dès l'origine de recherches numériques, conçernant le problème des trois corps, et qui nécessitaient environ cinq chiffres exacts: c'est ainsi, en tout cas, que fut fixé le nombre des décimales dans la partie qui renferme les valeurs purement imaginaires de la variable indépendante. Pour la partie consacrée à la variable réelle, nous avons cru devoir ajouter encore une décimale parce que, dans l'espace très limité de sept pages, on peut trouver place pour concentrer une table exacte à moins de la moitié du septième chiffre, et dans laquelle on peut encore interpoler, en se bornant à la différence première. On trouvera peut-être que notre table, si réduite, présente un certain intérêt, si l'on veut bien se rappeler, par exemple, que l'édition de M. Jordan*) pour l'ancien »opus palatinum«, avec sept chiffres décimaux, exige 270 pages. — Les tables sont nombreuses pour les fonctions cosinus et sinus d'une variable réelle mais, à notre connaissance, aucune ne prend les nombres naturels comme variable indépendante: en tout cas, il n'existe pas de table de ce genre dans laquelle on puisse interpoler en appliquant uniquement la différence première. L'absence de telles tables comporte une explication, et il la faut chercher, peut-être, dans ce fait que les deux fonctions, cosinus et sinus, se trouvent dans la même table si l'on prend pour unité de la variable indépendante une quantité qui soit une * ) Opus Palatinum. Sinus- und Cosinus - Tafeln von 10" zu 10". Herausgegeben von Dr. W. Jordan. Hannover und Leipzig 1897. 270 -f- VII Seiten.

— XIX

—

raction rationelle de la circonférence, le degré, par exemple, ou le quart de la circonférence. Certainement, si l'on prend le nombre naturel pour variable indépendante, il faut renoncer à un pareil avantage et, cependant, une table comme la nôtre peut être très utile pour de nombreux calculs: l'ayant trouvée indispensable dans nos recherches, nous nous proposâmes de la publier. Nous croyons être les premiers à utiliser un petit perfectionnément que l'on retrouvera, sans doute, dans des tables postérieures: il s'agit d'arrondir la table par l'usage du point, usage dont l'introduction est due à M. T. N. T h i e l e et, alors que l'on essaya à diverses reprises des méthodes d'abréviation analogues, mais moins pratiques, il est singulier de constater que cette idée aussi simple n'a pas encore été mise à contribution dans les applications. Voici comment, par cette méthode, étant donnés un certain nombre de chiffres caractéristiques, on peut pousser l'exactitude un peu plus loin que dans la méthode ordinaire: On trouve souvent, dans la table, un p o i n t , contigu à la dernière décimale: ce point indique que la décimale suivante est située entre 0.25 et 0 75 du dernier chiffre inscrit. Ainsi, les restes inférieures à 0.25 sont supprimés, tandis que le dernier chiffre est majoré d'une unité si le reste dépasse 0.75; la présence de ce point vous informe donc qu'il faut calculer comme si le chiffre supprimé était un 5 et, sans augmenter les dimensions de la table, cette méthode fournit une »demi-décimale« de plus. Dans la grande Table de l'Etat-Major Général de France: Service géographique de l'armée; Table de Logarithmes à huit décimales — Paris, 1891 — une petite barre après le dernier chiffre indique qu'il faut retrancher 0.25: il faut ajouter cette même quantité à tous les chiffres non munis de ce trait.*) Mais ce * ) On trouve la même méthode, avec une autre exécution typographique, dans la Table de M. Schrôn: Dr. Ludwig Schrôn: riiebenstellige Logarilhmen. 14. Stereotyp-Ausgabe. Braunschweig 1875. Vorrede page III, ligne 13. 2*

—

XX

-

procédé ne parait pas le p l u s pratique, et l'on calcule, presque sans augmenter le travail, en utilisant le point égal à 0.5: au reste, parmi les nombreux calculateurs qui, auprès de M. Thiele, se sont exercés à l'art du calcul, tous — sauf un seul, peut-être — ont reconnu les facilités apportés par le susdit point. Nous avons souhaité donner une table sous une forme aussi condensée que possible sans, pour cela, rendre impossible l'interpolation par le recours aux différences premières: mais, alors, ces différences de premier ordre sont assez grandes; à chaque page, sous le signe A, la dernière colonne donne la moyenne des différences de la ligne correspondante. Dans les calculs nécessités par les interpolations, il est précieux de recourir à des tables de multiplication particulières, comme les Tables de calcul de M. A. L. C r e l l e , ou les Tables plus compendieuses de M. Z i m m e r m a n n . Or, pour que le calculateur trouve toujours à sa disposition une telle assistance nous avons donné dans les 18 dernières pages, sous forme de Table, les produits des nombres de trois chiffres par ceux d'un chiffre, et il est à recommander, pour faciliter les manipulations, de tenir distinctes la table principale et cette table auxiliaire — qu'elles soient reliées, ou brochées, séparément.

ERSTER TEIL

COSINUS UND SINUS DER

NATÜRLICHEN, REELLEN ZAHLEN (KREISFUNCTIONEN)

2 V ODO •òi -02 -03 •04 0-05 -06 07 -08 •09 o-io •il •12 •18 -14 015 •16 17 •18 •19 0-20 •2Ì

-22 •23 24 0-25 •26 •27 -28 •29 0-30 ¿Í •32 •33 •34 085 •36 •37 -38 •39 0-40 41 -42 -43 44 045 -46 •47 -48 •49 060

COB ìp 0

1

2

3

I O ooooo 59999' 59998 99939* 9992^ 99779" 99519 99488 99I5998700 98140 980789748o- 97409 9Ü0Í96640 95952" 95771 0 9 95004 94904 9480293846 93734" 92688- 92567 91562 91432 9130090216 0-9 88771 8 8 S I&470 87227- 87067- 869068524483^64 83483820^4- 81815 816240 9 80066- 79867- 79667 78031 77822 77612 75897- 75678- 75459 73666- 73438 73208" 71338 71100 708600 9 68912- 68664- 6841566390 66132- 65874 63771 6323561055- g ? 60501 58244 57957- 57670

59995" 999,5" 99735' 99455"

09 55336- 5504052333' 52028 49235- 4892046042- 45718 42754- 4 24 20' 0-9 39372" 3902935897 35544 32327- 3196528664- 2829324909 245280-9 21061 20671 17121 16722 12681 O ^ 0854804751- 04325o-o 00447 000110 8 96052- 95608 91115 8653282333 81862 0-8 77582- 77102-

54445" 5I4Í4 48287 45066 41750 38340 34836 3123827547 W 1988815021 n86r 07711 03470 59138 94716002058560580917 76140-

°"9 99950 99800 99550 99200 org 98750 98200-

S

tSK

pS

54743" 517214860445392" 42086 38685 35I903160227921 24147 2028er 16322 1227108130 03898 59575" 95163 90661 8606981,390 76622

4

99992 99902 99712 99422 99032 S 9854298016 9795297336- 9726396474 95678" 9558594700 94597 93622 93509 92322 91035'

fë tgs t86582 86745 85073 83302 8143379466 77401 7523872978 7062068166 656146296660222

84900 83120 81241 79264 77189 750167274670379679Í5 65354 62696 599425709254147 5II054796944738" 41413 37993" 34480 3087327173 2^1 19496 15519 1145007291 0304058700 9426989749851408044375658

5

6

59987 59982 99872 99687- 99662 9938T 99352 g - 98942 9843297823 97189 9711396389- 9630495491 95^5" 94492- 94387 93394" 93279• 92197- 9207290901- 9076680506 88011- 87^5686418- 8625384726- 84552 8293681047a ® 79061 78857 7¿97¿- 7676274794 7457072514- 72281 70137- 6989467663- 6741065092- 64830 62425 62153 59661- 59380 56802 565n

7

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I I I - I 9 I 119-306- 127-439' 1 3 5 5 6 1 1 4 3 7 0 1 151-848- 160*004- 168-168- 1 7 6 3 4 1

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0

6 634-344

566-818- 076-890- 086-973167-901- 178-165 1 8 8 3 4 8 270-181- 280-457 390-743394166373399 477'653 S - S ' 498-639582-955- 593-543- 604-1426 8 9 3 1 6 700010-710-716 7 9 6 7 4 5 807-547- 818*360905-254' 916-165 927 086'

7903 79828062814382258308 8391 8476 8561 8647¿22 89109000 9i§2 9274' 9367 946195569653 9750

W 994610046" 1014710249103521045610562 10668

io^3

Ö14 854 025-874- 036 905 • 10993

ZWEITER TEIL

COSINUS UND SINUS DER

NATÜRLICHEN, REIN IMAGINÄREN ZAHLEN (HYPERBELFUNCTIONEN)

12 eos i tf) 0 V OTO I'O 0000 •01 0005 •08 0020 -03 0045 -04 0080 i-o 0125 006 0180 •06 •07 0245 -06 0320 •09 0405OIO I'O 0500060511 0721 12 0846 13 098114 0-15 1*0 1127 16 12821448' 17 18 1624•19 1810i-o 2006' 0*20 21 2213

•22 •28 •24 0-26 •26 •27 -28 •29 0*30 •31 •32 -33 -34 035 -36 •37 •38 •39 0*40 41 -42 •43 -44 045 -46 •47 •48 •49 »60

vg,

ro

2894 3141-

1 0000 0006 0022 0048 0084 0130 0186 0252 0328041405100616-

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3 0000• 000^' 002600540092* 014001980266-

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4

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