Die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinus-Funktionen (1837) / Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche diskontinuierliche Funktionen darstellen (1847)

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Math 4008 38

OSTWALD'S KLASSIKER

DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN. Nr. 116 .

Die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen von

LEJEUNE DIRICHLET ( 1837) und

Note über eine Eigenschaft der Reilien, welche discontinuirliche Functionen darstellen von

PHILIPP LUDWIG SEIDEL . ( 1847.)

WILHELM ENGELMANN IN LEIPZIG .

Qual . 4.35

Die Darstellung ganz willkürlicher Functionen durch Sinus- und Cosinusreihen von

LEJEUNE DIRICHLET (1837) und

Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen von

PHILIPP LUDWIG SEIDEL. ( 1847. )

Herausgegeben von

Heinrich Liebmann .

LEIPZIG VERLAG VON WILHELM ENGELMANN 1900 .

-30

[152]

Ueber die Darstellung ganz willkürlicherFunctionen durch Sinus- und Cosinusreihen. Von

Lejeune Dirichlet. (Repertorium der Physik von H. W. Dove und L. Moser. I, p. 152— 174, 1837) .

Die merkwürdigen Reihen, welche in einem bestimmten Intervalle Functionen darstellen , welche ganz gesetzlos sind, oder in verschiedenen Theilen dieses Intervalles ganz ver

schiedenen Gesetzen folgen , haben seit der Begründung der >

mathematischen Wärmelehre durch Fourier so zahlreiche An

wendungen in der analytischen Behandlung physikalischer Probleme 1) gefunden, dass es zweckmässig erscheint, die für die folgenden Bände dieses Werkes bestimmten Auszüge aus den neuesten Arbeiten über einige Theile der mathematischen

Physik durch die Entwicklung einiger der wichtigsten dieser Reihen einzuleiten.

§ 1. Man denke sich unter a und b zwei feste Werthe und

unter x eine veränderliche Grösse, welche nach und nach alle zwischen a und b liegenden Werthe annehmen soll. Entspricht nun jedem a ein einziges endliches y und zwar so, dass, wäh f(x) rend x das Intervall von a bis b stetig durchläuft, y

sich ebenfalls ällmählich 2) verändert, so heisst y eine stetige oder continuirliche *) Function von x für dieses Intervall. Es *) Da im Folgenden nur von stetigen Functionen die Rede sein wird, so kann der Zusatz ohne Nachtheil wegbleiben. 1*

Lejeune Dirichlet.

4.

ist dabei gar nicht nöthig, dass y in diesem ganzen Intervalle nach demselben Gesetze von x abhängig sei , ja man braucht nicht einmal an eine durch mathematische Operationen aus drückbare Abhängigkeit zu denken. Geometrisch dargestellt, d. h. x und y als Abscisse und Ordinate gedacht , erscheint eine stetige Function als eine zusammenhängende Curve , von der jeder zwischen a und b enthaltenen Abscisse nur ein Punkt entspricht.

[ 153] Diese Definition schreibt den einzelnen Theilen der Curve kein gemeinsames Gesetz vor ; man kann sich dieselbe aus den verschiedenartigsten Theilen zusammengesetzt oder ganz gesetzlos gezeichnet denken. Es geht hieraus hervor, dass eine solche Function für ein Intervall als vollständig be stimmt nur dann anzusehen ist , wenn sie entweder für den

ganzen Umfang desselben graphisch gegeben ist, oder mathe matischen, für die einzelnen Theile desselben geltenden Ge setzen unterworfen wird.

So lange man über eine Function

nur für einen Theil des Intervalles bestimmt hat , bleibt die Art ihrer Fortsetzung für das übrige Intervall ganz der Will kür überlassen .

Es seien A und B die Endpunkte von a und b, und auß die der Function f(x) entsprechende Curve, so ist klar, dass mit dieser Function auch der Flächenraum AayBB bestimmt

ist, welcher von den Ordinaten Aa , Bß , dem Stück AB der Abscissenaxe und der Curve ayß begrenzt wird, wenn er sich

gleich nicht immer genau 3) angeben lässt. Dieser Raum heisst bekanntlich auch das bestimmte Integral der Function f (a) von a bis b genommen und wird durch

Sf(a) da a

Der Ursprung dieses Zeichens liegt in der Art, wie die Infinitesimalrechnung einen Flächenraum oder ein solches Integral betrachtet. Wird die Linie AB = b - a in

bezeichnet.

eine Anzahl n gleicher Theile zerlegt, deren gemeinschaftlicher 6

a

Werth

d , und werden durch a und die End n

punkte der den Theilungspunkten 1 , 2, 33 ... entsprechenden Ordinaten Parallelen mit der Abscissenaxe gezogen , so ent

stehen n Rechtecke, deren Summe

Darstellung willkürlicher Functionen.

5

( 1) Sf(a) + 8 f(a + 8) + of(a +20)... + of(a + (n − 1) d) , wie sich leicht streng beweisen lässt 4), und wie es auch schon >

die blosse Anschauung ergiebt, bei unaufhörlichem Wachsen >

der Zahl n zuletzt in den Flächenraum AayBB übergeht,

d. h. man kann n immer so gross wählen, dass die Summe (1) von diesem Raume um weniger verschieden sein wird, als eine noch so kleine vorher bestimmte Grösse.

Nimmt man b

a

und also auch d als positiv an , so erscheinen offenbar die in

( 1 ) enthaltenen Rechtecke als positiv oder negativ , je nach dem sie auf der Seite der positiven oder der negativen y liegen. Umgekehrt verhält es sich, wenn . b - a negativ ist. Es geht also hieraus hervor, dass ein bestimmtes Integral

Sf(x)dx a

(wenn man dieses als den Grenzwerth betrachtet, welchen ( 1 ) für ein unendliches n annimmt) nur insofern als Flächenraum angesehen werden kann , als man bei letzterem die Theile, welche auf entgegengesetzten Seiten der Abscissenaxe liegen, entgegengesetzt und zwar die auf der Seite der positiven y liegenden als positiv oder negativ nimmt, je nachdem b grösser oder kleiner als a ist.

$ 2.

[154] Aus der Definition des bestimmten Integrales als Grenzwerth von ( 1 ) oder als Flächenraum mit der eben an gegebenen Modification folgen fast unmittelbar mehrere Eigen schaften, die ich hier zusammenstelle, um mich im Folgenden

leichter darauf berufen zu können ; c bezeichnet wie a und b eine Constante . 6

a

( ) , ) [f\)dx ( = -frida, (2) b

a

b

) (3) Sof)dx jeftends =o periajar, a

a

b

b+c

(4) Sf(x)dx = Sf(x – c)dx , >

a

ato

Lejeune Dirichlet.

6 bc

X

x )dx (5) [ f(w a

11(%)dx ac

B

–frate =ffus,

(6) ſv () F (x ) dx = Sf(x)dx =fF(a)dx ,

>

a

( 7)

» Hat f(a) zwischen x = a und x = b immer dasselbe b

Zeichen, so ist ff(x)dx positiv oder negativ, je nach dem jenes Zeichen dem von b— a gleich oder entgegen gesetzt ist. « b

(8)

F ( )dx »Das Integraljig(ex ))Plajde liegt

immer

zwischen

a

b

b

M [F(x)dx und NSF(a)dx, wenn F(a) innerhalb der a

a

Grenzen a und b sein Zeichen nicht ändert und Mund

N respective den grössten und kleinsten Werth * ) be

zeichnen, den g (2) in dem genannten Intervalle erhält .« Dieser Satz, welcher im Folgenden häufig Anwendung findet, ist leicht aus den vorhergehenden abzuleiten. Nach den über M und N gemachten Voraussetzungen bleiben M— P (x) , p (2 ) — N zwischen x = a und x = b stets positiv.

[M – 9 (c)] F (x), [( x) — N] F ( ) sind daher in diesem Intervalle entweder beide immer positiv oder beide immer negativ, woraus vermöge (7) folgt, dass die Integrale

SIM – y9 (x)]F(a)d«, Sig S10(x)— N ]F(a)dx al

a

*) Es ist wohl zu bemerken, dass hier bei der Vergleichung zweier Werthe hinsichtlich ihrer Grösse auf die Zeichen Rücksicht

genommen wird; r heisst grösser als s , oder geschrieben r > s , wenn die algebraische Differenz r — s positiv ist.

7

Darstellung willkürlicher Functionen.

( 155) gleiche Zeichen haben .

Werden diese Integrale nach

(6) und (3) in die Form b

6

b

–

MSF(x)da – Sp(x)F(x)dx, Sqlar) F(x)dx – nſF(a)da a

a

a

a

gebracht, so ist die Behauptung bewiesen. Liegt c zwischen a und b , so ist 6

c

(oC S a)da + Sf(a)dx. Sfw)da = $f(

(9)

с

a

a

Dieser Satz sagt nichts anderes, als dass der Flächenraum b

) Irajada a

durch die der Abscisse c entsprechende Ordinate in zwei an dere Flächenräume zerlegt wird. Man kann durch wiederholte

Anwendung desselben jedes Integral in eine beliebige Anzahl anderer Integrale zerlegen.

Es geht z. B. daraus hervor, dass T 2

Scocos 2 mx dx

(10)

0,

wenn m irgend eine von Null verschiedene ganze Zahl be zeichnet.

Zerlegt man nämlich diesen Flächenraum in 2m TT

andere zwischen 2π

4m

und 310 4m

den Grenzen

1) π

(2 m

2T

1

und

0 und 4m ' 2 mit

und

4m so

4m ?

sieht man

>

4m

4 m

leicht, dass der erste dem zweiten, der dritte dem vierten u. s. w. gleich und entgegengesetzt ist.

Endlich ist für das Folgende noch die Kenntniss der Summe % der endlichen Reihe

% = cos q + cos 29+ erforderlich.

+ cos ni

Um zur Bestimmung derselben zu gelangen,

multiplicire man die Gleichung mit 2 cos I und verwandle die Cosinusproducte nach der bekannten Formel

Lejeune Dirichlet.

8

2 cos ß . cos y = cos (B — ) + cos (ß + y) in Summen.

Man erhält so :

+ cos (n (n − 1 ).9 + cos ( n + 1 ) 9 . Die Vergleichung der oberen Horizontalreihe mit der durch z cos ng ; bezeichneten Reihe ergiebt für dieselbe : + 1 ebenso findet man für die untere : % cos 9 + cos (n + 1 ) 4. Werden beide Werthe eingesetzt, so kommt 1 + cos 9 + cos 23+ + cos 27 + cos 39 + cos 49+ 2 % cos 9

.

=

2 % cos g = 2 % + 1-

cos

.

+ cos (n + 1 ) 9

cos n I.

Bringt man 2 % auf die andere Seite und dividirt durch

2 (cos 9 - 1) , so folgt -

cos ng

-* +

cos ( n + 1 ) 9 2 ( 1 — cos 9) 9

Dieser Ausdruck für z wird vereinfacht, wenn man 2 sin? 2 9 9 )1) %9 für 11 — cos 2z und 2 sin -2 sin ((n + 1) 9 für cos n 3 - cos(n+ 9

einführt, und den gemeinschaftlichen Factor 2 sin 2 weglässt. Man findet so : [156] sin n + 19

(11)

cos 9 + cos 29 + ... + cos ng =

+ 9 sin

$ 3.

Verschiedene Aufgaben der mathematischen Physik 5) er fordern die Darstellung einer für das Intervall von 0 bis a ganz willkürlich gegebenen Function f (a) durch eine unend liche Reihe von folgender Form a, sin x + a , sin 2x + ag sin 3x + ... , Wo an , ag Oą , ag ... von x unabhängige Grössen bezeichnen . Der natürlichste Weg zu der verlangten Reihenentwicklung scheint der sogenannte Uebergang vom Endlichen zum Unend lichen zu sein. Man denke sich nämlich zunächst die Reihe 1 von Gliedern bestehend , aus einer endlichen Anzahl n d. h . man betrachte den Ausdruck :

a , sin x + a , sin 2x + ... + an- , sin (n − 1)x .

Darstellung willkürlicher Functionen. Die darin enthaltenen willkürlichen n

9

1 Coefficienten

аaq ,, aа, ... an- , lassen sich so bestimmen , dass dieser Aus druck für eben so viele besondere Werthe von 2 , nämlich TT

2 TT

NT

(n

n'

n

wird .

1)n

der gegebenen Function f(c) gleich

Lässt man, nachdem die Werthe der Coefficienten ge

funden worden sind , n ohne Grenzen W wachsen , so geht die NT endliche Reihe in eine unendliche über , die Werthe n 21 ( η – 1) π rücken einander immer näher und erfüllen n

n

zuletzt das ganze Intervall von 0 bis ī , so dass die Gleich heit der Function und der unendlichen Reihe für den ganzen Umfang desselben stattfindet.

Die Gleichsetzung der Function f(x) und der endlichen Reihe für die vorher angeführten besonderen Werthe ergiebt folgende Bedingungen : taa sin

тл

+ am sin

•

+ n

n

n

(n

- 1)π

1T

sin

+ An

1( )

+ a, sin n

2 mrt

+

41

2 TT

+ am sin

+ ... n

n

+ An

2 (n

sin

1) π

11

= f n

n

a, sin

2

n

n

a, sin

+

2π

TT

a, sin

( η -1 ) π+ a, sin (n - 1 ) 2 π + ... tamsin (n-1 TT ) n n n

+ an

sin

(n − 1 )21 n

+

T

= f( n - 1) ) n

1 Gleichungen irgend einen darin ent haltenen Coefficienten, z. B. amт (wo m eine den Zahlen 1 , 2,

Um aus diesen

3 ... n - 1) zu erhalten, multiplicire man diese Gleichungen 3 тл

2 mnt

in TC

( 157] 2 sin

der Reihe nach mit 2 sin

2 sin >

n

n

n

IT

2 sin ( n − 1 ) m und addire nachher alle zusammen.

Die so

entstehende neue Gleichung wird am allein enthalten und zur

Lejeune Dirichlet.

10

Bestimmung dieser Grösse führen. Um sich hiervon zu über

zeugen, betrachte man den Inbegriff aller Glieder, die in dieser Gleichung irgend einen Coefficienten an enthalten, wo h wie m eine in der Reihe 1 , 2 , 3 ,

-1 enthaltene Zahl be

n

zeichnet. Setzt man an als gemeinschaftlichen Factor heraus, so erhält man als Vereinigung aller dieser Glieder hat

mnt

ah 2 sin

sin

2hr

2mn

+ 2 sin n

n

+

sin n

1 ) mm

(n

(n sin

+ 2 sin

n

1,1) ) n

n

und man beweist leicht , dass der Ausdruck zwischen den Klammern der Null gleich ist, wenn h von m verschieden ist. Schreibt man nämlich statt der Sinusproducte Cosinusdifferenzen, so geht derselbe in folgende Differenz über : NT

h h)

cos (m

+ cos 2 (m — h )

+

n

n IT

+ cos (n − 1) (m — h) n

( 12 ) TT

1

— (cos (m + h)

+

+ cos 2 (m + h)

COS

n

n

T

+ cos(n − 1)(m + ) ) Jede dieser Reihen lässt sich nach Formel ( 11) summiren. h) π

(m

setzt und n in n - 1 ver

Wenn man dort g = n

wandelt, so findet man für die erste T

sin (n

1) (m — h) n

-

- 1+

>

2π

2 sin (m — h ) n

Erinnert man sich, dass für irgend eine ganze Zahl 1

= F sin y , sin (lt - y) = wo das obere oder das untere Zeichen gilt , je nachdem 1

gerade oder ungerade ist, so sieht man gleich, dass

Darstellung willkürlicher Functionen.

11

NT

sin ( n − 3 )(m — h) -

n

TT

1) 2 n (m — = sin (m — h) ir —-(m — ")

(

-

a

h)

= F sin (m

7

2n

und dass also die erste der Reihen ( 12 ) den Werth — 1 oder 0 hat, je nachdem (m - h) gerade oder ungerade ist. Aehn

licherweise ergiebt sich für die zweite Reihe (12) der Werth +1 oder 0 , je nachdem m + h gerade oder ungerade ist. Bemerkt man nun , dass m - h und m + h entweder zugleich gerade oder zugleich ungerade sind , da ihre Summe 2m ge

rade ist, so sieht man auf der Stelle, dass der Ausdruck (12 ) verschwindet, wie es früher behauptet wurde. Es ist nicht zu übersehen , dass das oben gefundene Re

sultat wesentlich voraussetzt, dass h von m verschieden ist. ។

Für den Fall, wo h = m , erscheint der Ausdruck für die 0

Summe der ersten der Reihen ( 12) in der Form

und die 0

vorige Bestimmung verliert ihre Gültigkeit. Man erhält aber in diesem Falle , da alle , diese Glieder der Einheit gleich [( 158)] werden, sogleich für ihre Summe n - 1 , während die zweite den Werth 1 annimmt, in dem mth = 2 m in diesem Falle gerade ist. Der Ausdruck ( 12) verschwindet also für jedes h , welches von m verschieden ist, für h = m hingegen erhält er den Werth n . Es geht daraus hervor , dass die Gleichung, deren Entstehung man oben näher angegeben hat, in der That nur den einzigen Coefficienten am enthält und von folgender sehr einfacher Form ist : mit

nam

2 m Tt

1

f

2 sin n

+ 2 sin n

1)

(n f

n

( )+ 1) π 1)^) n

n mm

+ 2 sin in

1

f

세

2

n

und folglich т

ат

2

1

- [in***(*) si +sin

n

n

+ sin (n

n2

1 ) mar f n

ama (( + (* =-14*) )] n

n

n

1

n

Nachdem die Coefficienten der endlichen Reihe gefunden worden sind, bleibt zu untersuchen , wie sich der Coefficient,

Lejeune Dirichlet .

12

welcher eine beliebige , unauf hörlich wachsender der Werth auszumitteln, am annimmt, wenn man

aber bestimmte Stelle einnimmt, bei Gliederzahl verändert, d. h. es bleibt den der vorhergehende Ausdruck für n unendlich gross werden lässt, wäh

rend m constant gedacht wird. wie folgt: 2

От л

TT

am

Schreibt man den Ausdruck

mm

at

10

f (2) (21) + + (n(n ) )/("=144)] ( ... + - sin (-1*: sin 2,0T)+ sin

T

TT

n

n

m

n

n

sin

+

x

n

n

n

n

NT

т п

n

n

n

n

so erhellt aus der Vergleichung der Summe zwischen den Klammern, mit der Gleichung ( 1 ), dass für n = op die Summe in das bestimmte Integral TL

S sin m x f(x)( dx übergeht.

Die alsdann zu einer unendlichen gewordene Reihe stellt aber, wie früher bemerkt worden , die Function f (x) für alle zwischen 0 und í gelegenen Werthe von a dar, und wir haben also für den ganzen Umfang des genannten Intervalles

( 13) f(c) - a, sin x + d2 sin 2 x +

+ Am sin mx + in welcher Reihe die Coefficienten nach der allgemeinen Gleichung at

2

ат

Ź Sf(a)sin meda 1

zu bestimmen sind.

Man kann durch ähnliche Betrachtungen zu einer Reihe gelangen, welche nur die Cosinus von x und dessen Vielfachen

enthält, und die Function f(a), wie die gefundene Sinusreihe, für dasselbe Intervall von 0 bis it darstellt.

Kürzer erreicht

man jedoch diesen Zweck , wenn man das schon gefundene

Resultat ( 13) benutzt. Setzt man in demselben statt f(a) das Product 2 f (2 ) sin x , so erhält man

2 sin a f (x ) = a, sin x + a, sin 2x +

tam sin mx +

Darstellung willkürlicher Functionen.

13

WO TL

2

S22 sin‫ܙ ܩ‬mx sin æf(x )dx .

ат TT

0

Dieser Werth am lässt sich auch so schreiben : TT

2

[159]

ат

=

Scocos ( m

TT

—- 1 ) x ) f(x) dx

0 TT

2

cos ((m + + 1)x )f(x)dx ,, 0

oder wenn man zur Abkürzung setzt : at

2

S cos hxf(x) da

TT

: bha

0

wo h eine ganze positive Zahl mit Einschluss der Null be zeichnet: Am

-

bm- ,4 - bm +

Nimmt man successive m = 1 , 2 , 3 ... und substituirt

in obige Reihe, so kommt

2 sin x f (2 ) = 166 - bg )sinx + (6, -bz)sin 2x + b , —b ) sin 3x + .. , 2

>

oder wenn man nach boy ba, b,2 ... ordnet

2 sin Caf( ) = b, sin x + b , sin 2x + bę (sin 3x — sin x ) 2

+ b3 (sin 4x

sin 2 x) + u. s. w.

Durch Einführung der Producte 2 sin x · cos x , 2 sin x · cos 2 x an die Stelle von sin 2x , sin 3 x sin X .. wird die .

ganze Gleichung durch 2 sin x theilbar und man erhält nach

Entfernung dieses gemeinschaftlichen Factors

= 4bbo + b, cos x + b,cos 2x + ... + bm cosmx... ( 14) f(x) = Diese Gleichung gilt wie die Gleichung ( 13) , aus der sie abgeleitet ist , für alle Werthe zwischen 0 und n , und der allgemeine Coefficient ist

Lejeune Dirichlet.

14

л

2

bm

ay

.

cos mxf(x) dx .

Obgleich die Gleichungen ( 13) und (14) beide eine ganz beliebige Function f (x) für das Intervall von 0 bis nt dar stellen, so sind sie doch wesentlich von einander verschieden. Während die letztere wegen der bekannten Eigenschaft des

Cosinus , für entgegengesetzte Werthe des Bogens gleich zu >

sein, durch die Verwandlung von x in x unverändert bleibt, nimmt die erstere in demselben Falle den entgegengesetzten Werth an, wie ebenso leicht aus der Natur des Sinus erhellt.

Man sieht hieraus leicht, dass man unter gewissen Umständen eine Function von x für das Intervall von

T bis

durch

die Reihe ( 14) oder ( 13) darstellen kann. Denkt man sich nämlich unter f(x) eine von x = O bis x = n ganz beliebig gegebene Function von x , und setzt diese Function oder Curve von

=

: 0 bis x =

A so fort, dass immer f( -x) = f (x ),

so wird diese Function von x =

bis x = - it durch die

Reihe ( 14) ausgedrückt werden können, denn diese Reihe gilt immer von 0 bis it , und da sie bei der Verwandlung von æ in — x unverändert bleibt , welches nach der angegebenen Art der Fortsetzung auch bei der Function der Fall ist , so stellt sie diese auch von 0 bis

a

dar.

Ganz auf dieselbe

Weise überzeugt man sich, dass, wenn man eine von 0 bis í beliebig gegebene Function so fortsetzt, dass f( -x) = -f(x ), für eine solche Function zwischen x =- TT and X = n die

Reihe ( 13 ) gilt. Auf diese einfache Bemerkung kann man eine Reihe gründen , welche die Reihen ( 13) und ( 14) als be sondere Fälle in sich begreift und eine von X = - bis X = n ganz willkürlich gegebene Function g (x) darzustellen geeignet ist.

Bringt man nämlich g (x) in die Form

9 (2 ) —

9 (2 ) + P (-x)

(-2c)

+

2

2

2

( 160) so hat der erste Theil P (x ) + P ( -x)

die Eigenschaft,

2

durch Verwandlung von « in — x unverändert zu bleiben, und ist also nach dem Vorhergehenden von x = it bis x = durch ( 14) ausdrückbar. Ebenso lässt sich offenbar der

Darstellung willkürlicher Functionen. X) x – P(-2) P (x) 2

zweite Theil

15

durch die Reihe ( 13) darstellen

und man hat also für den ganzen Umfang des Intervalles von ît bis + rt, wenn man beide Theile vereinigt: 7

( 15) 8 (2) = 156 + b , cos x + bą cos2x + ... + bm cosmx + .. + a, sin ax + a , sin 2x + ... + ay sinmx + ... wo die Coefficienten durch die Gleichungen a

1

bm

cos mx( P (2 )+ p ( -x) ) dx , feos

T 0

n

1

5sin ma ( 9 (2 ) —– 91- x) ))dx

am =

1. 0

zu bestimmen sind.

Man kann diesen Ausdrücken eine ein

fachere Form geben.

Es ist nämlich :

Secos mx( P (2 ) + 91- x ))dx 0 TL

a

EScos mxq (x )dx +- SScocos mxol - x ) dx, und nach ( 5) :

0

- dx )dx , jcoscosmx40(–a) de = -cos merg (lapas 0

oder nach (2) :

scos

cos mx g (x) dx ,

-

folglich 0

bm

=

n

IScos m & q (xa )dx + ſcos mæpla)dx) P( , >

0

-

oder nach (9) : 十几

= a Sco 1

bm

)

cos mx g ( ) dx .

-

Lejeune Dirichlet .

16

Ebenso ergiebt sich +π

1

Jäinsin mxq(x)dx.6) ma

am

TT

-TT

$ 4.

Wie natürlich und befriedigend auch auf den ersten Blick der Gang erscheinen mag , welcher uns zu den Reihen des vorigen Paragraphen geführt hat, so findet man doch bald bei genauerer Erwägung, dass derselbe als strenger Beweis für die Gültigkeit dieser Reihen etwas zu wünschen übrig lässt.

Es geht aus dem Begriff des bestimmten Integrals, wie dieses in ( 1) festgestellt wurde, unbestreitbar hervor, dass irgend ein Coefficient am , welcher in der endlichen Reihe eine bestimmte Stelle m einnimmt, bei unaufhörlichem Wachsen von n in das >

Integral at

2

Sssin mx f (a )dx

IT 0

übergeht , allein man darf nicht vergessen , dass durch das >

Zunehmen von n zugleich immer mehr neue Glieder hinzu kommen . Um die Richtigkeit der Reihe ( 13) zu beweisen, müsste man sich die Glieder der endlichen Reihe in zwei

Gruppen zerfällt denken ; die erste würde alle Glieder bis zu einer bestimmten unveränderlich gedachten Stellenzahl m die zweite alle [161] übrigen enthalten. Könnte man nun zeigen, dass, während die Coefficienten der Glieder der ersten

Gruppe sich ins Unendliche den durch bestimmte Integrale ausgedrückten Werthen nähern, der Inbegriff aller Glieder der zweiten , deren Anzahl mit n unaufhörlich wächst , nie eine gewisse von m abhängige und zwar beliebig klein ausfallende

Grenze überschreitet, wenn man das m gehörig gross wählte, so würde man die Gewissheit erlangen , dass die Reihe ( 13) convergirend ist und die Function f(a) für das Intervall von 0 bis it wirklich darstellt.

Die Nothwendigkeit der eben angedeuteten Nachweisung, man den Uebergang vom Endlichen zum Unendlichen zu einem ganz strengen Verfahren erheben will , wird im höchsten Grade einleuchtend , wenn man der endlichen Reihe, wenn

Darstellung willkürlicher Functionen.

17 Betrachtet

von der man ausgeht , eine andere Form giebt. man eine Reihe von der Form :

a, + a, x + 0,2° +

+ an ,xn

>

so lassen sich die Coefficienten ebenfalls leicht so bestimmen, dass die Reihe für n Werthe von x innerhalb eines beliebigen

Intervalles einer ganz willkürlichen Function f(x) gleich wird . Lässt man nach erlangter Bestimmung irgend eines Coefficienten n unendlich wachsen , während die Stellenzahl m des Coeffi cienten constant bleibt , so nähert sich der Coefficient unauf

hörlich einem gewissen Endwerth, und man würde also durch das im vorigen Paragraphen befolgte Verfahren zu der falschen Folgerung verleitet , eine ganz gesetzloge oder stellenweise

ganz anderen Gesetzen gehorchende Function lasse sich durch eine nach Potenzen der Veränderlichen x geordnete Reihe dar stellen .

Die Betrachtungen, die dem Verfahren , welches uns die Reihe (13) geliefert hat, die gehörige Strenge geben würden, sind so zusammengesetzter Art , dass wir lieber einen ganz anderen Weg der Beweisführung einschlagen. Wir werden die Reihe ( 15 ), welche die beiden anderen ( 13) und (14) als besondere Fälle in sich begreift, an und für sich untersuchen, und ohne etwas von dem Früheren vorauszusetzen, direct nach weisen, dass die Reihe :

bo + b, cos x + b, cos 2x + + a , sin x + sin 2x + 2

4

c

+ bm cos mx + tam sin mx +

.

>

wenn man ihre Coefficienten durch die Gleichungen 十元

十元

1

Scocos mxq ((x) dx ,, am== 1-S sin mx g (x )dx )

bm TT

.

-

-

bestimmt, immer convergirt und für alle zwischen — nπ und enthaltenen Werthe von x der Function Q (x) gleich ist.

π

Schreibt man in den vorhergehenden Integralen statt x

einen anderen Buchstaben a , was offenbar erlaubt ist, da ein bestimmtes Integral nur von der Natur der Function und den Werthen der Grenzen abhängig ist, und setzt die Werthe für

die 2n + 1 ersten Coefficienten ein, so erhält man als Summe der 2 niit 1 ersten Glieder : Ostwald's Klassiker .

116 .

2

18

Lejeune Dirichlet. ta

1

2a.fdag(a)

[ 162]

-

十元

+

1

+

1

afdacosaple )+ ... ++

COS X n

da cos naqla ), afda

one

cos nx TT

-

-

十元

十几

1

十

sin a

+

1

) ... + « fda sin a gla)+

sin nx

afda sin na gla) ,

T

-

oder nach (3) und ( 6 ) +1

pla) [11+ a cos (a ——a«) + cos2 (a6—2 — « ) + ... ++ cosn (a——c~)], 1Sada )

1

-

oder endlich, wenn man die Cosinusreihe vermittelst der For mel (11) summirt, to

(2n2n = ) si [en+11(471). Saarple)

1

2

da

2nt

az

sin

-

2

Soll also die Reihe convergiren und den Werth g(x) haben, so muss der Unterschied zwischen g (x) und diesem Integral, welches die Summe ihrer 2n +1 ersten Glieder ausdrückt, bei unaufhörlichem Zunehmen von n zuletzt kleiner werden

als jede noch so klein gedachte Grösse. Es ist nöthig , der Untersuchung dieses Integrals in seiner ganzen Allgemeinheit die Behandlung einiger einfachen Fälle vorauszuschicken , auf welche sich alle übrigen zurückführen lassen. § 5. Man betrachte zunächst das Integral n

sin (2n + 1)8 dB , sin ß

in welchem n wie vorher eine positive ganze Zahl bezeichret.

Darstellung willkürlicher Functionen .

19

sin 2n + 1)

den nach ( 11 ) äquivalenten

Setzt man statt

sin p Ausdruck

+ 2 cos 2 np ,

1+ 2 cos 2B + 2 cos 4B

so erhellt nach (10) , dass alle Glieder mit Ausnahme des ersten zwischen den angegebenen Grenzen integrirt verschwin den, und man findet: T

2

Ssin (2sinn +ß 1 ) B-dß

1 =

.

2

0

Setzt man zur Abkürzung 2n + 1 = k , und zerlegt das Inte TT 1 gral in (n + 1 ) andere zwischen den Grenzen 0 und k 7 k NT 2π und und so folgt nach ( 7), dass von diesen 2 " >

ki

k

Integralen das erste positiv , das zweite negativ , das dritte sin kB positiv u. S. W. sein wird , da innerhalb der Grenzen >

sin

[ 163] des ersten positiv, des zweiten negativ u. s. w. ist. Be zeichnet man das Integral des v -ten Ranges , d. h. das von VTT (v - 1 ) bis genommene, abgesehen vom Vorzeichen mit k k Cu , so dass also Vn

K

sin kB lv =

+

SIsin ß

dß ,

( v- 1 ) 7 k

wo das untere oder obere Zeichen gilt, je nachdem v gerade

oder ungerade ist, so folgt leicht aus (8) , da F sin kß von (v — 1) k

VTT

stets positiv bleibt , dass Q zwischen den

bis

k

beiden Producten liegt, welche man erhält, wenn man VTT

k

2

S = sin kßaß =

ki

(1-1) k

2*

Lejeune Dirichlet.

20

mit dem grössten und kleinsten Werth multiplicirt , den der 1 Factor in dem genannten Intervalle annimmt. sin

Das vorhergehende Integral ist nach (4) TT

TL

k

= sin (v — 1}x + 1:3 )d ŠEdit

= ſsin kßd,3, >

oder nach (5) n

2

1

- 7 /sin $ dB =

:) k

0

1

Was den Factor

betrifft, so ist dieser um so kleiner, sin 1

als B grösser ist. Sein grösster Werth ist daher

)

V

sin 1

so dass also

und der kleinste

( " 7.16)

>

VT

sin

2

1

und av
k

2 ki

VTT

sin

1

(v sin

1) 1 ki

k

2

Für das letzte Integral (nt

gelten die Grenzen

und ki

1

2

die sich auf dieselbe Weise ergeben. k

Vergleicht

11

sin k

man die Grenzen , zwischen [164] welchen je zwei aufein ander folgende Integrale liegen, so ergiebt sich auf der Stelle,

dass Qu C2 , C3 ... On +1 eine abnehmende Reihe bilden, d. h. Das ursprüngliche, später in > : ... > On + . e >>0 1 n +1 andere Integrale zerlegte Integral hatte den Werth 2 Es findet also die Gleichung statt 1

2 = 01-0: +03 - 04 + ...

en 9n

+

.

21

Darstellung willkürlicher Functionen .

Aus der Abnahme der Glieder (1 , C2 ... folgt leicht , wenn •

man die Reihe bei ihrem 2 m- ten und (2m +1)-ten Gliede abbricht (wo natürlich 2 m < n ): T

2012

2

( 16)

> 0, — - : + Q3 -...- Qam ,

< a -e:Czt+es 2

C2m + 2m +1.

Um sich zu überzeugen, dass diese Ungleichheiten stattfinden, darf man nur bemerken, dass im ersten Falle die weggebrach

ten Glieder, wenn man sie paarweise vereinigt, l2m + : -0.m + 2) 9 1

positive Differenzen geben , und dass man also etwas positives weglässt , und das Umgekehrte für den 090 + 3

C2m + 4 : ..

zweiten gilt.

Wir wenden uns jetzt zu der Betrachtung des Integrales: h

sin kß

S ssin P f ( 0

=

= S,

IT

nicht übersteigende Constante und fp)

wo h eine positive, 2

eine stetige Function von B bezeichnet , welche , während B von 0 bis h wächst , immer positiv bleibt und nie zunimmt. Ich sage absichtlich : nie zunimmt, um den Fall nicht aus

zuschliessen, wo f ( ) stellenweise oder für das ganze Intervall constant bliebe .

Der Buchstabe k ist wie früher zur Abkür

zung für 2n + 1 eingeführt, und wir wollen untersuchen, wie 1

sich S verändert , wenn n ohne Grenze wächst.

Es sei r ki

11

das grösste in h enthaltene Vielfache von

wo offenbar die >

k

ganze Zahl r nicht grösser als n sein kann, und man zerlege das IT

Integral in 1 + 1 andere , zwischen den Grenzen 0 und 20

7

ki

ko

2

11

und

und h , so sind diese Integrale wieder k

k

abwechselnd positiv und negativ. Bezeichnet man dasjenige, welches die v - te Stelle einnimmt , abgesehen von seinem Zei chen, mit Ry , so dass also

Lejeune Dirichlet.

22

1 TL 下

Rov

hiBs f ( = FS sisinnkß

d ,

(1-1) K

( 165) wo wieder das obere oder das untere Zeichen gilt , je nachdem v gerade oder ungerade ist, so hat man = R, - R ,, + R, - ... + = R1, + S= >

-

Die positiven Werthe R , R., R , ... bilden eine abnehmende Reihe, wie man sich leicht überzeugt, wenn man auf R , den Satz (8) anwendet. Man findet unter Berücksichtigung der über f (b) gemachten Voraussetzung , dass VTT

k

R, = S + ssinin kß f(b) dB 'V

( 1-1 ) 1 k

zwischen den beiden Producten 1 T

VTT

k

(m)

k

+

k

sin kop dB und f ( v — 1) 71 sin B

r( 1) ) S.

(v - 1 )

7

sin ko de sin ß

(v – 1) n

K

liegt, d. h . also 11

,R > ( 1)Qui, R , w den Sinn verbinden , dass t nicht kleiner als w ist.

Darstellung willkürlicher Functionen.

23

- R₂m - R.m + R2m + 2 Die erste dieser Ungleichheiten wird nicht aufhören richtig

S > R, - R, + R , — : S < R, – R , + R , — 2

zu bleiben, wenn man statt der zu addirenden Glieder Ry , Rz ... 3 TT ihre unteren Grenzen

k

subtrahirenden R ,

und statt der zu

Cal 1 (R (7 )ihre ( 7 )e .. 93

k

oberen

TT

Grenzen

( ) 922 k

1370

f

) k

Hierdurch und durch Anwendung des

setzt.

947

umgekehrten Verfahrens auf die untere Ungleichheit erhält man T

)+ ... s > t( )((en – Pal+ 1C3 )(03– ed]+

S

k

k

( m

1

π

T

+1(2007 2) )(lamme Cam ), Ss < f(0)e - 147) :(6: –)es]–14.) (e. - e.)) k

IT

-

f

f

- (207) (Cem – lem+1).) [ 166] Da die Differenzen

Q2 ,

2

94

37 Q3, 3

posi

tiv sind und die Function f b) zunimmt, so darf man offenbar 3п

in der ersten Ungleichheit f1(7 ), (* ) (* ),1(497) ... mit 1f (2000) k

t

zweiten

11

k

40

k 2 mnt

k

k

und in

der

vertauschen .

Es

ist also

lam)1(2ma ) C +0. - ... ( ) –– (02-03 S < 0.10 -lem+1) /(2a) S > (e -Q +9 -...

7

Die Zahl 2 m ist kleiner als r , und also um so mehr kleiner als n , so dass die Resultate ( 16) stattfinden.

Die dort gefundenen Ungleichheiten lassen sich in die Form bringen : 1T

Q: –Q3 + ... + lam < li - Oz +

Q2m

2

Q2m + 1 • 2

Lejeune Dirichlet.

24

Vergleicht man diese , nachdem man von beiden Seiten der ersten ( m + abgezogen hat, mit den vorher erhaltenen Grenzen für S , so ergeben sich folgende höchst einfache Resultate : 1

2 mit

2 mrt

S>

(2 11*) ( ) s

zwischen denen S eingeschlossen ist, bei unaufhörlichem TT

Wachsen von n zuletzt mit f(0)) zusammenfallen,, welcher 2

Werth also auch der des Integrales h

sin k ß

Sisin p f(

) dB

0

für ein unendlich grosses n ist.

Wir haben bisher vorausgesetzt , dass die Function f ), während ß von 0 bis h wächst, nie zunimmt und ausserdem

stets positiv bleibt. Behält man die erste Bedingung bei, d. h.

setzt man voraus , dass für irgend zwei ( 168 ) zwischen 0 und .

h fallende Werthe p und q die Differenz f(p) – f (9) immer negativ oder Null ist, wenn p- 9q positiv ist, ohne damit die

zweite Annahme zu verbinden , dass f ($) nicht negativ wird, so findet der vorige Satz ebenfalls noch statt.

Nimmt man

nämlich eine positive Constante c , welche so gross ist , dass f (B) + c nicht negativ wird, so ist der Satz auf f (3 ) + c an wendbar, d. h. das Integral

0

+ c) jur«r«3)us to

sin kp dp sin

wird für ein unendlich grosses n ,

[f (0) + c] . Zugleich ist 2

klar, dass dieses Integral die Summe von folgenden ist : h

h

sin kB

sin kß

dB , d Ᏸ , Se fras) sin p dß, sin ß von denen das zweite in demselben Falle c wird. wird. с

0

0

IT

(Es ist

2

nämlich bei der vorigen Behandlung der Fall mit eingeschlossen

Darstellung willkürlicher Functionen.

27

worden, wo die positive Function im ganzen Intervall constant war.) Also muss das erste durch unaufhörliches Wachsen von TT

n zuletzt den Werthäf(0) annehmen. Denkt man sich jetzt eine Function f(b) , die , während B

von 0 bis h wächst, nie abnimmt, so wird f(b) nie zunehmen. Man hat also, wenn n unendlich wächst, h

om

sin l 8 d ß

IT

S --f (B) sin p

- f(0)

2

0

und folglich h

sin k

frus)) sin p dB

1

2

f (0).

0

Die vorhergehenden Resultate lassen sich in folgenden Satz zusammenfassen :

( 17 )

» Ist f ( ) eine stetige Function von B , die , während B >

von 0 bis h wächst (wo die Constante h > 0 und

z

TT

- ) und nie vom Abnehmen ins Zunehmen oder um 2

gekehrt übergeht), so wird das Integral h

sin (2n +1)B f( ) dB ,

‫)ܗ‬2

sin P

0 wenn

man darin der ganzen Zahln immer grössere

positive Werthe beilegt , zuletzt immerfort weniger als TT

jede angebbare Grösse von î f(0) verschieden sein. « ( 169 ) Die Constante h bleibe den vorigen Bestimmungen

unterworfen , und man denke sich unter g eine zweite Con stante, welche kleiner als h und zugleich positiv und von Null verschieden sei . Ist f (b) eine für das Intervall von g bis h gegebene stetige Function von B , die , wenn ß von g bis hi wächst , nie vom Abnehmen ins Zunehmen oder umgekehrt übergeht, so lässt sich nach dem vorigen Satz leicht ermitteln , was aus dem Integral

Lejeune Dirichlet.

28 h

sin (2 n +18 ) f ( ) dp sin B

ssin I

wird, wenn man n unendlich werden lässt. Da nämlich f ) bloss von p = g bis B h gegeben ist , so bleibt die Art der Fortsetzung dieser Function über das genannte Intervall hinaus willkürlich . Denkt man sich f ( ) für alle Werthe von f (g ), so B zwischen 0 und g inclusive constant und zwar O bis B : h stetige Function, welche hat man eine von B in diesem Intervall nie vom Abnehmen ins Zunehmen oder umgekehrt übergeht , und auf welche daher der vorige Satz anwendbar ist. Es wird daher das Integral h

sin (2n + 1) B

S

f( d ,

sin p

0

TT

IT

wenn man n = 0 setzt, 2 f(0)

f (9)g) sein.. Zerlegt man

dasselbe Integral in die folgenden : h

g

sin (2n + 1 ) ß sin

S sin (2n + 118 f(B)d8 ++jim 1/8pas sin p

0

f ( dp ,

9 TT

1

f (g) nach dem vorigen

f (0)

So wird auch das erste = 2

)

2

Satz, also muss das zweite für ein unendliches n verschwinden . Es gilt also der Satz :

( 18)

g und h Constanten , welche den Bedingungen ge at nügen g > 0 , 2 Sh > 9 , und geht die Function f (p), »> Sind

wenn ß von g bis h wächst , nie vom Abnehmen ins

Zunehmen oder umgekehrt über, so wird das Integral h

sin (2n + 1 ) B sin

-f( ) dB

9

für ein unendlich grosses n der Null gleich .« Vermittelst der Sätze (17 ) und (18) ist es nun leicht, die zu Ende des § 4 aufgestellte Behauptung zu beweisen.

Darstellung willkürlicher Functionen.

29

$ 6.

Die Summe der 2n +1 ersten Glieder der zu unter suchenden Reihe war durch das Integral :

[ 170]

+

sin (2n +

1 Sa$ 963) T

[2

) )] +1(87 2

2 sin

-7

B 2

ausgedrückt. Wir haben früher vorausgesetzt, dass die Func tion p ( ) für das ganze Intervall von B bis B = 1 stetig ist ; wir können jedoch, ohne die folgende Untersuchung

im geringsten zu erschweren, die Annahme machen, dass q (B) für einzelne Werthe von ß eine plötzliche Veränderung er leidet, ohne jedoch unendlich zu werden . Die Curve, deren

Abscisse B und deren Ordinate p (p ) ist, besteht alsdann aus mehreren Stücken , deren Zusammenhang über den Punkten der Abscissenaxe, die jenen besonderen Werthen von B ent sprechen, unterbrochen ist, und für jede solche Abscisse finden

eigentlich zwei Ordinaten statt, wovon die eine dem dort enden den und die andere dem dort beginnenden Curvenstück an Es wird im Folgenden nöthig sein , diese beiden

gehört.

Werthe von (B ) zu unterscheiden, und wir werden sie durch (B - 0) und pß op + 0 ) bezeichnen. Um unnütze , die fol gende Darstellung verlängernde Unterscheidungen zu vermeiden ,

bemerke man, dass dieselbe Bezeichnung auch für die Werthe von gelten kann, für welche keine Unterbrechung der Stetig keit stattfindet, wo dann glß — 0) und g® + 0) beide mit ) gleichbedeutend sind. -

Das obige Integral lässt sich nach (9) in die folgenden zerlegen : OC

1

+ ) **) sin (2n +1)(

2 S2,3 002)

2

TT

B

-C

2 sin

-

2

3

sin (2n + 1)( ". 1B 0(3) fa3 27

1

2

-

11 20

2 sin 2

>

Lejeune Dirichlet.

30

oder nach (4 ) : 210

0

sin 2 ( n +1)

15439(x + 8 dß

7

2 sin

- (1 + x)

パー

sin (2n ++ )1)

1

4 Sapple $a$q(x +3)

2

B

(α

2

2 sin

0

2

Wendet man (3) auf beide an und nachher noch (2) und (5) auf das erste, so kommt : nt a 2

1

1.Saß ( — 23))

sin 2 n +1) sin

>

0

(19) エース

2

AS130(x + 23)

sin (2n + 1 ) B sin P

2

0

Wir betrachten jetzt das zweite dieser Integrale, abgesehen 1

von dem constanten Factor

Da X zwischen

und +

NT 1

- C

1

zwischen 0 und it .

liegt, so liegt

Ist

=

2

0,

2

was für x = der Fall ist , so ist das Integral für jedes n Null und erfordert keine weitere Untersuchung. Nehmen wir at

1 - XC

sei nicht grösser als

zunächst an, 2

.

Man bezeichne

2

mit en la ... Cve wie sie der Grösse nach aufeinander folgen,

die Werthe [171 ] von B ,‫ ܙ‬für welche erstens p (x + 2B) eine

innerhalb des Intervalles von B.= 0 bis B

>

2

Unterbrechung der Stetigkeit erleidet und zweitens vom Zu nehmen ins Abnehmen oder vom Abnehmen ins Zunehmen

übergeht , und zerlege das Integral in andere zwischen den X

1

Grenzen 0 und en er und ez ,

ey und

genommene. 2

Darstellung willkürlicher Functionen .

31

Auf alle diese neuen Integrale, mit Ausnahme des ersten, ist der Satz (18) offenbar anwendbar, da innerhalb der Grenze eines jeden die Function keine Unterbrechung der Stetigkeit erleidet

und nicht vom Abnehmen ins Zunehmen oder umgekehrt über geht ; alle nähern sich dabei ins Unendliche der Null , wenn man n über alle Grenzen hinaus wachsen lässt.

Das erste

hingegen erfüllt die Bedingungen (17 ) und geht bei unaufhör 1T

lichem Wachsen von n zuletzt in den Werth P(x ) über.. 2 2 + 0 Also wird das Integral ルーン

2

sin (2n +1) B

Saßg(x + 28))

sin

1T

P (x + 00) annehmen .

für n = 0 den Werth

2 TT

-C

T

über

Liegt

7

2

oder ist x negativ, so zerlege man

2

das vorige Integral in zwei andere zwischen den Grenzen 1

TT

IT

-

X

und

0 und 2

Auf das erste dieser neuen Inte

2

2

2

grale bleibt das vorige Verfahren anwendbar , und dasselbe 1 wird also P (2c + 0) , wenn man n unendlich gross werden 2 7

‫ܕ‬

lässt .

Das andere 2

sin 2 n + 1)

ſazg (x + 23)

sin p

at

kann nach (4) und (5) in die Form gebracht werden : n + 2

1 )(a —B )) -faßg(x + 2 x— 25) sin ((2nsin (+118) TL

2

Wendet man (2) an und setzt sin B statt sin (iT — B) und sin ( (2n + 1) B) statt sin ( (2n + 1 ) (a! – B) ) (was erlaubt ist,

da n eine ganze Zahl ist), so geht das Integral über in : } 7

32

Lejeune Dirichlet . 1

[ 172]

2

$ 9(x + 2x– 23)) sin(si2nn B+ 1)3 dB. It + x

2

Da X , wie vorher gesagt wurde , in diesem Falle negativ i+x ist und also zwischen 0 und

a liegt, so ist

positiv 2

und von Null verschieden , den einzigen Fall ausgenommen , al . Zerlegt man das Integral in andere, zwischen

WOX =

deren Grenzen q ( + 211 – 2B) weder eine Unterbrechung der Continuität erleidet noch aus dem Zunehmen ins Abneh men oder umgekehrt übergeht, so werden alle diese Integrale

nach ( 18) für n = o der Null gleich.

Dieses Resultat gilt

a+x it , da alsdann auf

= 0 und also x =

nicht, wenn 2

das erste der durch Zerlegung entstehenden Integrale nicht

der Satz ( 18), sondern der Satz ( 17) angewendet werden muss . Dieses erste ist alsdann (wegen x =

jagle +22 – 23)

- 7t):

sin (2n +18 sin

0

ei

= $a$4( – 23)

sin (2 n +1) sin

0

1

n = 0

und wird also für n =

den Werth P (1 — 0) erhalten,, 2

während alle übrigen verschwinden. Vereinigt man die verschiedenen , für das zweite Integral

( 19) gefundenen Resultate, so ergiebt sich, dass dieses Integral durch unaufhörliches Wachsen der darin enthaltenen ganzen Zahl n für jedes zwischen it und + n gelegene x in den

Werth £ P (x + 0) übergeht.

Für x = r und x =

1

ei

leidet das Resultat eine Ausnahme : in dem ersteren Falle ist

das Integral Null , im anderen wird es 9 (TT - 0 + 01 + 0 ). Aus einer ganz ähnlichen Untersuchung des ersten Integrals -

( 19) folgt, dass dasselbe für n= 00 im Allgemeinen 9 (2-0) at und x = 1, wird, in den besonderen Fällen aber, in x respective Null und ļ P ( it - 0) + P (-n + 0 ))..

Darstellung willkürlicher Functionen.

33

Erinnert man sich nun, dass die beiden Integrale (19) zu sammengenommen die Summe der 2n + 1 ersten Glieder der Reihen darstellen :

} b. + b, cos x + b,2 cos 2 x +

(20)

+ a, sin x + a, sin 2x + .

+ omт cos mxt . + Am sin mx + ...,

wo die Coefficienten durch die Gleichungen +

+1

bm

1 ſa3913) cos mß , >

TT

13‫ ) ( و‬sin mß . = ſaßg

ат

-

-

zu bestimmen sind , so geht aus dem Vorhergehenden ganz streng hervor, dass diese Reihe immer convergirt,> d. h. dass

es immer einen gewissen Werth giebt , von dem die Summe der 2n + 1 ersten Glieder der Reihe, wenn n über alle Grenzen

hinaus wachsend gedacht wird, zuletzt immerfort ( 173) um weniger als jede angebbare Grösse verschieden sein wird, und dass dieser Werth oder die Summe der unendlichen Reihe, wenn X &

zwischen — nt und + a liegt durch 4 [9 (x + 0) +2(x – 0) ) ,

P( für æX == n und x == -xaber durch }[912–0 + 91-1 ++ 00))] dargestellt wird . Dieses Resultat umfasst alle Fälle ; ist x keiner von den

besonderen Werthen, für welche die Stetigkeit von g (x) unter brochen wird, so sind g (x + 0) und (x — 0) einander gleich, und der Werth der Reihe wird also q (2) . Wo eine Unter

brechung der Stetigkeit eintritt und also die Function y (x) eigentlich zwei Werthe hat , stellt die Reihe , welche ihrer

Natur nach für jedes x einwerthig ist, die halbe Summe dieser at bis

An den Grenzen des Intervalles von

Werthe dar.

+ it , d. h. für diese Werthe selbst ist die Summe der un endlichen Reihe gleich der halben Summe der beiden Werthe Q (at) und P1 - It) . Man sieht daraus , dass die Reihe die Function g (x) aus den Grenzen des Intervalles nur dann richtig darstellt, wenn g (71) = P (-1). 10) -

-

Wir haben schon früher bemerkt, dass die eben unter suchte Reihe (20) oder ( 15) die Reihen ( 13) und ( 14) als specielle Fälle in sich begreift. Man braucht nur die Func tion 9 (2) für den halben Umfang des Intervalles , nämlich x = 0 bis x = n ganz beliebig gegeben zu denken und für die Werthe zwischen 0 und it fortgesetzt zu denken 7, wie es die Gleichungen p1 - x) = g (x) oder $ (- x) = -0(20 x Ostwald's Klassiker.

116 .

3

34

Lejeune Dirichlet. Darstellung willkürlicher Functionen.

vorschreiben , um respective zu (14) und ( 13) zu gelangen. Ich will dies noch mit zwei Worten für den ersten Fall zeigen, weil sich aus dieser Ableitung eine Eigenschaft der Reihe (14) ergiebt, welche bei der früheren Behandlung nicht hervortrat.

Setzt man die von 0 bis a beliebige Function p (x) nach der Gleichung g ( -x) = g (2) fort, so ist klar, dass für x = 0 keine Unterbrechung der Stetigkeit eintreten und dass P 9(-

)

( 7 ) sein wird. Die Reihe (20) wird also g (0) für x =- 0, und P (it) für x = r . Die Gleichungen für die Coefficienten werden durch Zerlegen der darin enthaltenen Integrale: T

1

вр cos mß + + $aBq()cosmß, 1. Јаapple)

bm

IT

0

-

0

1

ат

+

1

( sin mB + + SdB9 apop (8)sin mß.. fasolf) P

TT

0

-

Wendet man auf die beiden von

- 1 bis 0 genommenen

Integrale nach einander (5) und (2) an ,, und berücksichtigt, dass q (-B) = 2((B)B ),, cos (– ( - mb) mB) = = cos mß , sin (– mp) = >

– sin mp , so erhält man >

TT

2 1

Die von x =

Saßg( )cosmß, am = 0

= .

bm

O bis x = i ganz beliebige Function P (x) wird

also durch die Reihe

[ 174] .

1b + b, cos x + b, cos 2x +

+ bm cosmu to..

dargestellt, welche auch für die das Intervall begrenzenden Werthe 0 und at noch gültig ist. Es versteht sich dabei von

selbst, dass, wenn ( c) zwischen 0 und at eine Unterbrechung der Stetigkeit erleidet, die Reihe für jeden solchen Werth von

x die halbe Summe der entsprechenden Werthe von g (x) aus Auf ganz ähnliche Weise gelangt man zu der Reihe ( 13) und findet, dass diese im Allgemeinen für x = 0 und

drückt.

X = n nicht mehr richtig ist, was sich aber in diesem Falle ganz von selbst versteht , da die Reihe, wie auch ihre Coeffi cienten beschaffen sein mögen, für die genannten Werthe ver schwindet.

Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen. Von

Ph . L. Seidel . ( Abhandl. der Math . Phys. Klasse der Kgl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften V, 381-394 (München 1847).

[381] Man findet in Cauchy's Cours d'Analyse algébrique Cap. 6, § 1 einen Lehrsatz, welcher ausspricht, dass die Summe einer convergirenden Reihe, deren einzelne Glieder Functionen einer Grösse x und zwar continuirlich in der Nähe eines be

stimmten Werthes von x sind, immer gleichfalls in dieser Gegend eine stetige Function derselben Grösse sei. Hieraus würde folgen, dass Reihen der vorausgesetzten Art nicht ge eignet sind, discontinuirliche Functionen in der Nähe der Stellen , wo ihre Werthe springen , noch darzustellen ; mit anderen Worten : dass durch ein Aggregat stetiger Grössen -

discontinuirliche auch dann nie repräsentirt werden können, wenn man die Form des Unendlichen zu Hülfe nimmt , so dass das Letztere nicht, wie es einen Uebergang vom Ratio nalen zum Irrationalen bildet, so auch die Brücke zwischen stetigen und nicht stetigen Grössen zu schlagen vermöchte. Denn die Convergenz der Reihe würde aufhören , also die ge

wählte Form ihren Sinn verlieren , wo die Discontinuität be ginnt.

(382] Der Beweis, auf welchen dieser Satz am angeführten Orte begründet wird, beruht im Wesentlichen auf der Bemer kung, dass man die Summe der ganzen Reihe abtheilen kann in die Summe einer Anzahl n ihrer ersten Glieder und in die

ergänzende alles Folgenden. Die letztere kann man, was auch x sei , bei der vorausgesetzten Convergenz der Reihe, durch 3*

Ph. L. Seidel .

36

Vergrösserung von n so klein machen, als man nur will ; das selbe wird von der Veränderung geschlossen, die sie erleidet, wenn x um wenig geändert wird ; das Increment der Summe der n ersten Glieder nimmt ohnedies , da sie aus einer end lichen Zahl continuirlicher Functionen von x besteht, zugleich mit der Aenderung von x unendlich ab ; es scheint also , dass man n so gross und das Increment von X so klein wählen kann, dass die Aenderungen beider Theile, also auch die der ganzen Reihe, kleiner gemacht werden, als eine beliebig kleine Grösse , und hiermit wäre die Continuität der Summe der Reihe in dem Sinne , in welchem sie hier genommen wird, erwiesen.

Gleichwohl steht der Satz in Widerspruch mit dem was

Dirichlet gezeigt hat, dass z. B. die Fourier'schen Reihen auch dann immer convergiren, wenn man sie zwingt, discontinuirliche ja, die Discontinuität wird ge Functionen 11) darzustellen ; rade durch die Form dieser Reihen , deren einzelne Glieder

doch stetige Functionen sind, häufig hereingebracht, indem diese Periodicität, welche den goniometrischen Functionen eigen ist, allen, die man so darstellen will, aufdrängt, und dadurch diejenigen, welche sich nicht von selbst unter dies Gesetz beugen, gewaltsam discontinuirlich macht. Man braucht selbst

nicht dem intricaten Gany der Dirichlet'schen Beweise nachzu gehen , um sich zu überzeugen , dass die Allgemeinheit des

Satzes , von welchem die Sprache ist , Einschränkungen hat : auch die gewöhnlichsten Integrale , welche discontinuirliche

Werthe haben, z. B. das bekannte [383]

sin x a

jsin

da , CC

können Beispiele 12) davon abgeben ; denn man kann dieses, durch blosse Zerlegung des unendlichen Intervalles, in welchem es zu nehmen ist , in eine unendliche Anzahl endlicher , ver wandeln in eine Reihe , deren einzelne Glieder Integrale sind, von denen man fast à vue beweist, dass sie stetig von x ab hängen , und welche Reihe nothwendig stets convergirt, weil >

ihre Summe immer einem der drei möglichen Werthe des ganzen Integrales gleich ist.

Wenn man ausgehend von der so erlangten Gewissheit, dass der Satz nicht allgemein gelten kann , also seinem Be weise noch irgend eine versteckte Voraussetzung zu Grunde

Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen.

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liegen muss , denselben einer genaueren Analyse unterwirft, so ist es auch nicht schwer, die verborgene Hypothese zu ent decken ; man kann dann rückwärts schliessen , dass diese bei Reihen , welche discontinuirliche Functionen darstellen, nicht erfüllt sein darf, indem nur so die Uebereinstimmung der übrigens richtigen Schlussfolge mit dem , was andererseits bewiesen ist , gerettet werden kann. Auf solche Art erhält man einen Satz , welcher sich auf diese Klasse von Reihen >

bezieht, und so ausgesprochen werden kann : Theorem .

Hat man eine convergirende Reihe, welche eine

discontinuirliche Function einer Grösse x darstellt , von der ihre einzelnen Glieder continuirliche Func tionen sind , so muss man in der unmittelbaren Um

gebung der Stelle , wo die Function springt , Werthe von x angeben können , für welche die Reihe beliebig

langsam convergirt. [384] Der Zweck des gegenwärtigen Aufsatzes ist es , diese Eigenschaft nachzuweisen , welche meines Wissens noch nir gends ausdrücklich hervorgehoben worden ist. Durch sie würde diese Art der Darstellung nicht stetiger Functionen wesentlich an Werth verlieren , wenn es sich dabei darum

handelte, aus der Reihe die Functionswerthe in der Gegend wo sie springen 13) wirklich numerisch zu berechnen , ein

Fall, der aber in den Anwendungen , wo der umgekehrte >

Zu bemerken ist, dass hier unter discontinuirlichen Functionen nur solche ver standen sind, welche Stellen haben , wo es nicht möglich ist,

häufiger ist, sehr selten vorkommen wird.

die Aenderung der Variabeln so klein zu machen , dass die der Function kleiner würde , als eine beliebig kleine Grösse :

also nur Functionen , welche graphisch durch Curven reprä sentirt sind , deren Ordinaten an gewissen Stellen plötzlich springen. 14) Die Reihe, welche nur für Werthe der Veränderlichen (2) betrachtet werden soll, für welche sie convergirt und demnach irgend eine Function von x darstellt, möge sein : f (x , 0) + f (x, 1 ) + f (x, 2) + ... in inf.

Ihre ganze Summe werde ich bezeichnen mit F(x) , die Summe ihrer n + 1 ersten Glieder oder die Grösse

Ph . L. Seidel .

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f(x , 0) ++ f(x , 1) + ... + f(x , n ) mit Sn (3 ), die alles Folgenden oder den Ausdruck f(x , n + 1)) + f(x , n + 2 ) + ... in inf. mit Rn (2). [385] (1 )

Man hat also F(2) = Sn (x) + Rn (a ).

Ueber die hier vorkommenden Grössen wissen wir nur dies, dass man n so gross nehmen kann, dass Rn (ə) kleiner wird, als eine beliebig kleine Grösse g (d. h. dass die Reihe conver

girt) , und dass Sn (Q ), so lange n nicht über alle Grenzen wächst , eine continuirliche Function von u ist. Denn es ist die Summe einer beschränkten Zahl Glieder , welche einzeln , der Voraussetzung nach , diese Bedingung erfüllen . Es gehe

nun x über in x + ε und dadurch ändere sich F(x) um 1F, Sn (oc) um 4Sn . So wird auch sein : 2)

F (x) + 4F = Sn(x)) + Sn + RRn (X + 8) ,

und wenn man hiervon die Gleichung (1 ) subtrahirt: (3)

= 45% + Rn (x + 8) – Rn (x ). AF =

Soll sich nun beweisen lassen , dass in einem besonderen

Falle F(x) eine continuirliche Function von x ist , oder dass JF mit e zugleich unendlich abnimmt, so wird man zeigen müssen , dass die drei Grössen zur Rechten in der letzten

Gleichung sich gleichzeitig so sehr verkleinern lassen , als man nur immer wille Da man nämlich im voraus nicht weiss,

ob Rin (2) eine continuirliche Function ist , so kann man im Allgemeinen nicht anders darauf ausgehen, den Unterschied

Rn (X + 8) - R , (2) zu verkleinern, als dadurch, dass man jede dieser Grössen für sich sehr klein macht.

Dies muss durch Vergrösserung von

n geschehen, während man durch Verkleinerung von ε bewirkt, dass / Sn unendlich abnimmt. Zum Beweise der Continuität von F(x) in der [386] Gegend des bestimmten Werthes & wird also erforderlich sein , zu zeigen , dass man für diesen Werth gleichzeitig n so gross , aber endlich , und e so klein, aber von Null verschieden machen kann , dass die drei Be >

dingungen erfüllt werden :

Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen.

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ASn < Rn (oc) < '

(4)

Rn (x + s) < e", Wo T , e', " beliebig klein anzunehmende absolute Grössen bezeichnen , und sämmtliche Ungleichheiten abgesehen vom Bestehen sie alle zugleich , so

Zeichen zu nehmen sind.

wird dann aus (3) 4F dem Zahlenwerthe nach < 1 + p + 8", kann also so klein gemacht werden, als man nur will.

Was zunächst die Erfüllung der beiden letzten Ungleich heiten betrifft, so kann man folgende Betrachtung anstellen :

Es bezeichne n einen bestimmten, von Null verschiedenen So klein es auch gewählt sein mag , so wird man doch nachher t so klein annehmen Werth des Incrementes e von x .

können (was in der Willkür liegt), dass für das Bestehen der ersten Ungleichheit in (4) erforderlich ist,

no

Reihe convergirt also auch noch für x = 0 (nicht dagegen für X = 2). Die Convergenz wird aber für x = 0 unendlich ver zögert, denn es ist z. B. für 1 e

X = 1 1

Rn (oC)) =

e

n2

n2 1

n

e

n >

also bei hinreichend grossem n von 1 beliebig wenig ver schieden .

Die Reihe ist unstetig für s = 0 , wo sie den Werth Null annimmt ; überall sonst hat sie den Werth 1 .

16 ) Zu Seite 44. Als Beispiel einer Reihe mit unendlich verzögerter Convergenz, welche trotzdem eine stetige Function darstellt, sei das folgende von Darboux herrührende genannt :

f( x) = Σ'«, (α) , WO

un(x ) ist.

nxe -n x2

( n +1 )xe- (n + 1 ) xº

Hier ist

Rn (3) = nxe - nx2

Limes Rn (2)

0.

x = 0, n = 0

Für x = 0 convergirt die Reihe beliebig langsam , denn es ist : 1

r() Vn

Vñe- .

Anmerkungen.

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Trotzdem ist die Reihe eine stetige Function ; sie stellt immer, auch für x = O den Werth

ce

dar. Die Stetigkeit beruht darauf, dass Limes Rn (8)

= 0 ist.

x = 0, n = 0

Als Beispiel hierfür eignet sich das

17 ) Zu Scite 45.

Integral ax

S sinar da. .

a

0

Man kann hier direct einsehen, weshalb es keine stetige Func tion von x ist. Zerlegt man nämlich in zwei Theile a

+ S; 1=1= 1+1

= =

0

0

so können wir schreiben ax da =

+ since I(x) = S singa da +S

1, + 1%

.

0

Das Integral I, lässt sich so umformen , indem man ax = ß setzt : rsin B d8 .

= Ssin8

I,

ха

Man erkennt, dass für x = 0 das Integral I, gleich sin a

Dana α

IT

da 2

0

wird, unabhängig davon, welchen Werth a hat. Während also I(0) = 0 ist, ist π

Limes I x=0

= Limes 1 (x) + Limes 12 (2) X

=

0

x=0

Druck von Breitkopf & Härtel in Leipzig .

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