Der Rechner: Tafeln zum ablesen fertiger Resultate aus Rechnungsarten mit ganzen Zahlen und Brüchen [Reprint 2020 ed.] 9783112320518, 9783112309247

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W. S C H M I D T • DER R E C H N E R

fechte*, von Walter Schmidt

Tafeln zum Ablesen fertiger Resultate aus Rechnungsarten mit ganzen Zahlen und Brüchen

Technischer

Verlag

Herbert 1955

Cram,

Berlin

W

35

EIN

VORWORT muß nicht

langweilig

sein

M

I I it Lust und Laune wollen wir gemeinsam den Zahlenwald durchstreifen * I und Stämme wie Zweige seines Bereiches betrachten, ja, uns sogar seine manchmal seltsamen Blüten anschauen, als zünftige Zahlenbotaniker. Seine Dynamik rauscht in den Wipfeln, seine Statik ruht in den Stämmen. Wohl uns, daß wir die Zahl kennen, um die Umwelt zu ermessen. Ja, Maß der Dinge ist die Zahl. Und das Instrument zur Handhabung der wendigen, schlüpfenden, geheimnisvollen Zahl sei uns die sinnvolle Tabelle, die sie in strenger Ordnung hält. Durch ständigen Umgang mit ihr vollendet sich die Übung, neue und interessante Wege und Möglichkeiten eröffnen sich. Wir gewöhnen uns immer mehr an sie und werden schließlich von ihr unzertrennlich. Je mehr wir uns mit ihr beschäftigen, desto mehr neue und interessante Eigenschaften entdecken wir an ihr. Nicht mit mühsamer Errechnung dringen wir zur Erkenntnis des gesuchten Zahlenwertes, vor, sondern durch Ablesen fertiger Summen oder Zwischensummen stellen wir das Resultat her. Es gibt wohl wenig Menschen, denen Rechenarbeit Vergnügen bereitet. Erleichterung dieser nötigen und sich täglich wiederholenden Mühsal ist um so willkommener, als sie nicht nur Zeit, Mühe und Nerven spart, sondern auch Fehler vermeiden hilft.

Die Technik gib! das Beispiel Die hochentwickelte Technik unserer Zeit kommt nicht mehr mit der Genauigkeit aus, die vor 100 Jahren noch genügte. Sie rechnet nicht mehr mit Millimetern, sondern mit Hundertsteln davon. Ja, für die Wissenschaft ist selbst diese Feinheit zu grob. Sie rechnet bei Strahlenforschungen mit Millionstel-Millimetern. Wenn ein solcher Maßstab unserm Begriffsvermögen auch völlig entschwindet, so erkennt, beherrscht und vergleicht ihn der Wissenschaftler durch Einschaltung geeigneter Instrumente. Das HundertstelMillimeter ist jedoch bereits unserm Tastgefühl und damit der sinnlichen Wahrnehmung unmittelbar zugänglich. Genau so ist es mit der geldlichen Erfassung von Ware oder Leistung. Der Zielstrebung nach dem richtigen Preis und dem richtigen Lohn ist der Wertbegriff des Pfennigs bereits zu grob. Sie rechnet mit Zehntel-, Sechstel-, Viertel-Pfennigen, -Stunden usw. Und in der Tat weiß jeder Lohnbuchhalter, daß die Zeit- und Stücklöhne sowie die prozentualen Aufschläge und Abzüge sich in ganzen Pfennigen nicht immer darstellen lassen, sondern, je für sich aufgerundet, zu abweichenden Endsummen führen und Meinungsverschiedenheiten mit den Empfängern der Lohntüte hervorrufen. Um die nötige Genauigkeit hierbei wie bei vielen anderen Erfordernissen des täglichen Lebens erzielen zu können, sind in den Tafeln die Resultate der Zahlen in Bruchteilen bis zu drei Dezimalstellen festgelegt.

V

W i e f u n k t i o n i e r e n die T a b e l l e n ? Die erste und letzte Längsspalte zeigen die Zahlen von 1 bis 100. Mit diesen sind die im Tabellenkopf verzeichneten Zahlen multipliziert, und zwar in Spalte 2 die Tabellenziffer, in Spalte 3 die Tabellenziffer + 10% und so fort. Dieses System wirkt sich praktisch wie folgt aus: Angenommen, wir rechnen mit Tabelle 113. In Spalte 2 sind die Ergebnisse der Multiplikationen, von 113 mit 1 bis 100 abzulesen, in Spalte 3 desgleichen mit 1Vio bis 100 l /io oder mit 1,1 bis 100,1 oder, unter Weglassung des Kommas, mit 11 bis 1001. Die anderen Spalten sind ebenso geordnet, z.B. Spalte 15: 113 multipliziert mit 15/e bis 1005/« oder 1,833... bis 100,833... oder 1833... bis 100833... Mengen oder Summen einschließlich prozentualer Zuschläge werden wie folgt abgelesen: 100 (Menge) + 10°/o (Zuschlag) — zusammen 110, mithin 1 Stunde einschl. 10% Zuschlag zu 113 Pf ist gleich l ' / i o X 1 1 3 = 1 D M 24'/io Pf (s.Spalte3, Zeile 1) Krumme Prozentzuschläge können auch abgelesen werden, z.B. 113 Pf Stundenlohn und 19°/o Zuschlag = 100 + 19 = 119 (wie 11'/io), Komma eine Stelle nach links vorrücken = 1 DM 34,47 Pf abgerundet 1,34K DM (s. Spalte 11, Zeile 11). Der Weg zu weiteren Kombinationsmöglichkeiten ist damit angedeutet. Es ist ein reizvoller Denksport, selbst neue zu entdecken.

A b l e s e n v o n Z u s c h l a g - o d e r G e w i n n p r o z e n f e n , gleich f e r f i g mit der Grundzahl addiert Z.B. Grundzahl 100: 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

+

+

+

+

+ +

+ +

+

+

+ +

+ +

+

+

+ +

+

+

1/10% 8

/l0% V« % V» %

= = =

*/» °/o = 5 /s % = Vi % = »/« % = 1 % = 2 % = 10«/o 11 % 12 o/o = 20 °/o 21 o/o = 101 % = 110% 1 1 1 o/„ = 211 °/o = 311 %

¡00

.,

100*/xo 1007B 1001/3

10073 1005/s 1001/4

1007.1 101 102 110 111 112, 120, 121 201 210 211 311 411

abzulesen Spalte 3, 4

12

Zeile 100 3 100, usw. -»/io, 100

13 14 15 16 17 3 4 2 3 abzulesen Spalte 4, 2 3 3 2 3 3 3

Spalte 5 — - 11

100 100 100 100 100 10 10 11 11 Zeile 11, 12 12, 20, 21

usw. 3 — 9 ,

Spalte 5

— 11

usw. 1 3 — 1 9 , Spalte 5 —-11 usw. 1 3 — 1 9 , Spalte 4 —M usw. 102-109, Spalte 4 —-11

21, 31 41, usw. usw.

Die fertigen Ergebnisse für die anderen Zahlen stehen immer in der gleichen Spalte urrd Zeile, wie oben angegeben, in der entsprechenden Tabelle (z.B. 96 in Tabelle 96, für 137 in Tabelle 137 usw.).

M u l t i p l i z i e r e n d e r T a b e l l e n z a h l mit M u l t i p l i k a t o r e n v o n 101 bis 1 0 0 9 sowie mit i r r a t i o n a l e n Z a h l e n Die Brüche im Tabellenkopf lassen sich unmittelbar an die Multiplikatorenspalte 1 anschließen und ergeben mit dieser zusammen neue Multiplikatoren eines höheren Wertes, daß Heißt, verständlicher ausgedrückt: Ich finde in Spalte 1, Zeile 10, den Multiplikator 10. In Spalte 3 der gleichen Zeile finde ich die Multiplikation mit lO'/io, also mit 10,1. Lasse ich nun das Komma einfach weg, so habe ich den Multiplikator 101. Die Summe 101 X Tabellenzahl steht in Spalte 3, Zeile 10, ich brauche nur das Komma wegzulassen. Oder ich will z. B. mit 237 multiplizierren. Diesen Multiplikator finde ich als 237/io in Zeile 23, Spalte 9 ('/10), das ist 23,7 oder, unter Weglassung des Kommas, der gesuchte Multiplikator 237. Ebenso lassen sich alle anderen Zahlen behandeln, z.B.: 37»/io 372/s 96'/io 965/o VI

= 37,1 = 37,666... = 96,7 = 96,833...

= = = =

371, 37666..., 967 96833...,

Zeile Zeile Zeile Zeile

37, 37, 96, 96,

Spalte 3 Spalte 14 Spalte 9 Spalte 15

Bereehnungsbeispiel 873/4 Std. zu 92s/b Pf Abzulesen aus Tabelle 87 und 75, Spalte 17, Zeile 92 87 X 925/c = 0,75 X 92o/o =

8076,5 Pf 69,625 Pf 8146,125 Pf =

81 D M 46'/s Pf

oder

Berechnung ohne Tabelle: 87

873/< = 87 X 4 = 348 + 3 :

X 92 Pf

Pf

8004

87 X 5/o = 87 X 5 = 435 : 6 = 72,5 42

72,5 (V») Zwischenrechnungen hierzu:

15 12

351 X 557 2457 1755 1755

30

3/4

X 92 = 3 X 92 = 276 : 4 = 69

69

195507 : 24 = 8146,125 192 35 24

24 36 3

li X

= 3 X 5 4 X 6

=15 = 5 24

4

557 925/d = 92 X 6 = 552 + 5 = 6 351 X 557 195507 : 8146,125 24 4 X 6

174 783 8004

351

8

5/S 8146

Vs

= 81 D M 46'/s Pf

TU) 96 147

=

144

81 D M 46,/s Pf

30 Beide Lösungen ohne Tabelle erfordern zeitraubende und umständliche Berechnungen und bergen zweifellos Fehlerquellen.

24 ~60 48 120

Ablesebeispiele Aus Tafel 113: 95 10735 Spalte 2, Zeile 95 X 113 = 981 3 98 X 113 = 110853 898 X 113 = 101474 10 89 96833... X 113 = 10942166... 15 96 8775 17 87 X 113 = 991575 9 76 76'/io X 113 = 8667'/io 94 941/3 X 113 = 13 106592/3 885/» X 113=--15 88 10038«/« 17 93 93» 1, X 113 = 10593 3 /4 Es ist möglich, Überstunden, Warenpreise u. dgl. mit dem dazugezählten zuschlag, Gewinn usw. sofort in einer Summe abzulesen:

Prozent-

Bei einer Lohnstunde von 113 Pf 1 Überstunde einschl. 1»/o Zuschlag = 114,13 Pf. Spalte 3, Zeile 10 2°/o 115,26 Pf, 4, 10 3/o 116,39 Pf, 5, 10 4 bis 9°/o, Spalte 6 bis 11, Zeile 10 Vio°/o 113,113 Pf, Spalte 3, 100* Vio0/» 113,226 Pf, 4, 100

VII

3

/io bis ®/io%, Spalte 5 bis 11, Zeile 100 lU, 3/i % , Spalte 12 bis 17, Zeile 100 'Is, Vs, *h, 10°/o Zuschlag = 124,3 Pf, Spalte 3, Zeile 1 Wo 125,4 Pf, 3, 11 12°/o 126,6 Pf, 4, 11 13 bis 1 9 % , Spalte 5 bis 11, Zeile 11 20»/o Zuschlag = 135,6 Pf, Spalte 4, Zeile 1 30%> 146,9 Rpf., 5, 1 40 bis 90°/o, Spalte 6 bis 11, Zeile 1 1 6 % % Zuschlag = 131,8 Pf, Spalte 12, Zeile 1 1 = 150,7 Pf, 33 13, 1 = 188,3 Pf, 14, 66 2 /s% 1 = 207,2 Pf. 15, 83Vs% 1 25% = 141,3 Pf, 16, 1 = 197,8 Pf, 17, 75% 2 = 226 Pf, 2, 100% Die Zuschläge von mehr als 1 0 0 % lassen sich genau ebenso ablesen, nur Ist statt der Zeile 1 dann Zeile 2 oder statt Zeile 11 nun Zeile 21 zu lesen. Bei Zuschlägen von 2 0 0 % a b liest man statt Zeile 1 dann Zeile 3 oder statt Zeile 11 jetzt Zeile 31. 1 kg zu 113 Pf einschl. 110

% Zuschlag =

237,3

1

%

239,56 PI,

1m

1 1 3 Pf

113 Pf

112

333Vs%

489,7

Pf, Spalte 3, Zeile 2 Pf,

4,

13,

21

4

Oder, nochmals kurz und anders gesagt, will ich einen Betrag einschl. 1 1 0 % Zuschlag ablesen, so stelle ich mir die A u f g a b e wie folgt: Betrag = 1 0 0 % + Zuschlag = 1 1 0 % , zusammen 2 1 0 % . Ich kann nun den Betrag einfach mit 210 multiplizieren und zwei Stellen von rechts das Komma einsetzen. D a s Resultat finde ich in Spalte 3, Zeile 2.

Von Zahlen und vom Zählen Die Zahl ist das Mittel zur Erfassung des Meßbaren. Durch die Zahl ergriff der Mensch sinnvollen Besitz von seiner Umwelt. Die Zahl ist nicht naturgegeben, sondern ein Produkt des menschlichen Geistes, von ihm frei erfunden und weiterentwickelt. Und doch zeigt dieses Kind des Menschengeistes ein unheimliches Eigenleben und weist Eigenschaften auf, die seines Erzeugers spotten. Ja, sie verwehren ihm heute noch das Eindringen in ihre letzten Geheimnisse. Aber erst die Zahl erweckte die Begriffe von Maß, Menge und Art und verhalf dem Menschen dazu, die Dinge zu beherrschen. Die Erforschung und Beherrschung der Naturkräfte ist ohne die Zahl undenkbar, ebenso die Himmelskunde, Erdmessung, Statistik, Wirtschaftslehre, das Versicherungsund Bankwesen. Die Kunst des fortgesetzten Zählens in der einfachen Zahlengeraden von Eins an, das sich bei genügendem Zeitaufwand unendlich fortsetzen ließe, ist nicht alt, obwohl sie jetzt sehr einfach erscheint. Abgesehen davon, daß es heute noch primitive Völker gibt, deren Zahlenreihe nur bis „Drei" reicht und danach sogleich der unbestimmte Begriff „Viele" folgt, g a n z gleich, ob es sich um Vier oder Tausend handelt, hatten auch die hochkultivierten Griechen der Antike andere Begriffe vom Zählen als wir. Die Eins erschien ihnen z. B. keineswegs als Zahl. Ihr Zahl- und Zählbegriff beg a n n mit der Zwei, und die Null war ihnen nicht bekannt. Die Erfindung der Null glückte dem indischen Geiste. Hier wurde mit großer Kühnheit ein Symbol für die Darstellung des Nichts geschaffen und die Möglichkeit zum Aufbau unseres dekadischen Zahlensystems gegeben, in dem die Null bekanntlich, ohne selbst einen ZahlVIII

wert zu besitzen, den Stellenwert der vor ihr stehenden Zahl um das Zehnfache erhöht (1, 10, 100 usw.). Die periodisch sich erneuernde Zahlenreihe von 1 bis 9 genügt durch Einschiebung der Null zur Darstellung aller möglichen Zahlwerte, während sonst für jede Zahl und Wertsteigerung ein besonderes bildliches und wörtliches Symbol nötig wäre und das Weiterzählen über eine gewisse Menge hinaus dem menschlichen Gedächtnis unmöglich würde.

Das Skelett der Zahl Neben dem Zahlwert (1, 2, 3 usw.) besitzt jede Zahl noch den Stellenwert, der von dem Platz abhängt, den sie in der Gesamtzahl findet. In der Gesamtzahl 123456789 haben die Einzelzahlen folgende Stellenwerte: 1 Hundertmillioner 2 Zehnmillioner 3 Millioner 4 Hunderttausender 5 Zehntausender 6 Tausender 7 Hunderter 8 Zehner 9 Einer Dieses Beispiel klärt völlig den ebenso einfachen wie genialen Aufbau unseres Zahlensystems, das mit neun Zahlensymbolen und einer Null in beliebig wandelbarer Zusammensetzung die Darstellung jedes möglichen Zahlenwertes erlaubt. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

elnhundertdreiundzwanzigmjllionenvierhundertsechsundfünfzigtausendsiebenhundertneunundachtzig

Die Brüche Sehr bald erschien die Wertdarstellung durch ganze Zahlen dem gliedernden und zergliedernden menschlichen Verstände zu grob. Er suchte für feinere Begriffe nach neuen Maßstäben und zerteilte die Zahlen genau so, wie er ein Stück Holz mit Beil und Messer zerkleinern konnte. Damit war der Bruch gefunden, der einen Teil von einer ganzen Zahl darstellt und die Lücken zwischen den einzelnen Zahlen größtenteils ausfüllt: 1 2 3 i

4 4»'. 1 /s heißt: teile Eins durch Drei. Es ist also der dritte Teil von Eins, "Ion sind der achtundsechzigste Teil von 13. Jeder derartige Bruch läßt sich durch Multiplikation in eine ganze Zahl zurückverwandeln. 3X54 = 1; 68X l 3 /os=13. Alle Brüche, bei denen der Zähler ('/) kleiner ist als der Nenner (/s), stellen einen Wert von weniger als Eins dar und heißen echte Brüche. Ist der Zähler größer als der Nenner, z. B. 4/j, so haben wir es mit einem unechten Bruch zu tun, dessen Wert im vorliegenden Falle V/s ist. Ohne Änderung des Bruchwertes kann man Nenner und Zähler vervielfachen , B — = -1?.) oder kürzen ( z g " " 7 28/ V' ' 9 3 Jeder Bruch hat einen reziproken Bruch, der durch Umkehrung seines Nenners und Zählers entsteht | , r ~ | und mit dem \ ' ' 4 3 j /3 4 12 \ multipliziert jeder Bruch das Resultat 1 ergib! I| 3 12 / IX

Der Konflikt der Unendlichkelten M a n kann die einfache Zahlengerade durch bloßes Weiterzählen bei genügendem Zeitaufwand unendlich fortsetzen. Es ergeben sich dann Zahlenungeheuer, wie sie uns manchmal aus astronomischen Entfernungsberechnungen bekannt werden, und die uns mit ehrfürchtigem Erschauern erfüllen; z.B.: 1 Eins 10 Zehn 100 Hundert 1 000 Tausend 1 000 000 Million 1 000 000 000 Milliarde 1 000 000 000 000 Billion 1 000 000 000 000 000 000 Trillion 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Quadrillon 1 000 000 000 000000 000 000000 000 000 Quintillion und die weiteren Potenzen der Million (Sextillion, die sechste, Septillion, die siebente usw.), jedesmal um sechs Nullen vergrößert. Gewiß erscheint uns diese Unendlichkeit sehr weit gespannt und unseren Wertbegriffen ähnlich entrückt wie das Heer der Fixsterne, das nachts vom Firmament herabsfrahlt, unserm Distanzbegriff entrückt ist. Der Abstand von 0 zu 1 oder von 1 zu 2 hingegen ist uns begrifflich wohlbekannt und an vielen Beispielen von Wert, M a ß und M e n g e sofort darstellbar. U n d doch birgt dieser kleingespannte Begriff neue Unendlichkeiten in sich. Die Nenner und Zähler der echten Brüche lassen sich nämlich beliebig vergrößern, den Bruch damit verfeinernd. 8 /8 ist nicht weit vom Ganzen entfernt, "" 8 8 /m»» steht ihm aber viel näher. D a theoretisch keine Grenzen für die Vergrößerung des Nenners sowohl als auch des Zählers bestehen, haben wir hier gleich zwei neue Unendlichkeiten räumlich kleinerer Ordnung, die aber hinsichtlich der Zahlenreihe jede für sich keineswegs kleiner sind. Die dritte Unendlichkeit zwischen 1 und 2 bilden dann die so unendlich zusammengesetzten echten Brüche.selber. Wir werden aber noch erkennen, d a ß dies keineswegs die letzte der Unendlichkeiten zwischen 1 und 2, also gleichsam zwischen Lipp' und Kelchesrand ist. Sollten wir uns jetzt nicht, verzweifelnd an unseren Mitteln zur Erkenntnis, zurufen: „Wanderer, steh!"? Zum Glück haben wir in unserer räumlich begrenzten Umwelt nicht fortgesetzt mit Unendlichkeiten zu rechnen, und so finden wir uns mit unseren nach allen Richtungen ins Unendliche strebenden Zahlen ganz gut ab. Aber geheimnisvoll und ein bißchen schaurig bleibt die Sache doch, wie die vom Menschengeist geschaffene Zahl ihrem Schöpfer entwächst. Ein wenig gleichen wir darin dem Zauberlehrling. M a n sollte nun meinen, daß die unendliche Verfeinerung der echten Brüche den Raum zwischen den ganzen Zahlen völlig ausfüllen müßte. Ähnlich, wie Meter, Zentimeter und Millimeter die Strecken zwischen den Kilometersteinen einer Eisenbahnlinie ausfüllen. Aber weit gefehlt: zwischen die eng zusammengedrängten echten Brüche schieben sich die phantastischen Wunder neuer Unendlichkeiten ein. Wir nennen sie

Die geheimnisvollen Dezimalbrüche Während beim echten Bruch ein unausgeführter Rechnungsbefehl vorliegt p/a, d. H. „Teile Eins durch Drei"), ist beim Dezimalbruch dieser Rechnungsbefehl ausgeführt, er zeigt uns das Resultat ( 1 : 3 = 0,333...). N u n lassen sich die aus echten Brüchen entstandenen Dezimalbrüche selbstverständlich durch Multiplikation mit ihrem Nenner ohne weiteres in ganze Zahlen zurückverwandeln Vio = 0 , 1 X 1 0 = 1, 3/io = 0 , 3 X 1 0 = 3). Die Zehntel-Dezimalbrüche sind hübsche, glatte und abgeschlossene Zahlen, ihre Rückwandlung geschieht ganz einfach durch Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach links. Merkwürdig wird aber die Sache bereits bei der Umwandlung des echten Bruchs '/J in einen Dezimalbruch, also 0,333... Hier erscheint plötzlich eine unendliche Reihe von Dreien nach dem Komma. Dieser Teil eines Ganzen findet kein Ende, er kommt

X

nicht zur Ruhe, ebenso wie die Stücke eines auseinandergeschnittenen Aales noch fortleben und sich bewegen. Der Dezimalbruch von 1/7 sieht so aus: 0,142857, die nach der Null verzeichneten Zahlen wiederholen sich in gleicher Folge unendlich. Wir haben es, soweit sich Zahlen oder Zahlengruppen wiederholen, mit periodischen unendlichen Dezimalbrüchen zu tun. Schon die alten Griechen, unter denen ja bekanntlich ausgezeichnete Mathematiker waren, kannten solche nicht zu Ende kommenden Zahlen. Infolge ihrer gleitenden, nicht genau festzulegenden Gestaltung erschienen sie ihnen sinnwidrig, so daß sie ihnen den Namen „Irrationale" gaben (ratio = Vernunft, irrational also: der Vernunft widersprechend). Dieser Name haftet solchen Zahlen heute noch an. Immerhin lassen sich die bisher genannten unendlichen Dezimalbrüche durch Multiplikation ohne weiteres in ganze Zahlen zurückverwandeln: 3X0,333, . . = 1; 7X0,142857 = 1. Aber geheimnisvoll bleibt die Sache doch. „Eins" ist ein unverrückbar feststehender Begriff. Teile von ihm verhalten sich teils ebenso, teils aber ganz anders. Va = 0,5, 1/4 = 0,25, 1/5=^0,2, 1/8 = 0,125 stehen fest, 1/3 = 0,333..., i/o = 0,166..., •/? = 0,142857, !/» = 0,111... entgleiten uns in die Unendlichkeit, stehen aber sofort wieder fest, wenn wir sie mit dem Nenner ihres echten Bruches multiplizieren, indem sie dann alle „Eins" ergeben. Es sind Zahlen eines ganz anderen Charakters, dem Zahl und Zählbegriff, der doch gerade der Maßstab für die genaue Festlegung der Dinge ist, entgegengesetzt. Gleichsam die Kometen am Fixsternhimmel unseres Zahlensystems. Sie sind kaum als Zahl, sondern nur als Richtung zu einer Zahl hin anzusprechen. Man könnte sie wegen ihrer fortlaufenden Bewegung „dynamisch" nennen und die normalen, feststehenden Zahlen „statisch". Noch geheimnisvoller, um nicht zu sagen unheimlicher, sind die

Zahlen aus der vierten Dimension Die Dezimalbrüche, von denen jetzt die Rede ist, lassen sich durch keine Rechenoperation, weder durch Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren, Radizieren oder sonstwie in ganze Zahlen verwandeln. Sie haben anscheinend überhaupt keine verwandtschaftlichen Beziehungen zu den Zahlen, bilden eine besondere Rasse, ja, noch mehr, sie scheinen Wesen einer anderen Welt zu sein. Deshalb nennt sie der Fachmann „imaginär" (nur in der Einbildung vorhanden). Diese Übersetzung ist aber nicht genau, denn die Zahlen, die wir jetzt betrachten, sind außerordentlich wichtig, wirksam, beweiskräftig; ohne sie müßte das stolze Gebäude unserer Mathematik wegen Einsturzgefahr geschlossen werden. Sie sind bestimmt auch in unendlicher Anzahl vorhanden, aber es sind bis jetzt nicht sehr viele davon entdeckt. Sie halten sich, wie es Gespenstern zukommt, verborgen und sind schwer zu packen. Gleichwohl sind als imaginär die wichtigsten mathematischen Zahlbegriffe erkannt, entlarvt und festgenagelt. Es sind dies die Zahlen n =

TT Ludolf von Ceulen (1540—1610),

3,14159...

e =

2,71828...

i =

?

ist uns allen von der Schule her wohlbekannt. Es Ist die Kreiszchl, der Schlüssel zur Berechnung des Kreises nach Umfang und Fläche. Also eine Zahl, mit der täglich tausendfach gerechnet wird, ohne die viele Aufgaben der Technik gar nicht zu lösen wären, und doch ein Gespenst, mit keiner der natürlichen (ganzen) Zahlen verwandt. Schon die Ägypter kannten zur Kreisberechnung Werte, die der Zahl n sehr nahe kamen. Genau berechnet hat die Größe daher wird sie auch Ludolfsche Zahl genannt.

22 355 Näherungswerte der Zahl n sind — u n d

XT

leugnet gleichfalls alle Verwandtschaft mit den ganzen Zahlen und ist doch mit allen verschwägert! Dies erscheint unglaublich, und doch ist dem so. Sie ist aus folgender Reihe entstanden: 1 I x ^ x 2

1 1x2

x

1 1x2x3

1

x

1x2x3x4

x

1 1x2x3x4x5

und so unendlich weiter.

M a n sollte meinen, es müßte eine schrecklich große Zahl dabei herauskommen, es ist aber nicht so schlimm, denn das Ergebnis lautet: 2,71828... Diese Zahl, ein Eckpfeiler im stolzen Bau der. mathematischen Wissenschaft, ist gleichfalls ein Gespenst. Gefunden hat sie der große Mathematiker Euler (1707 bis 1783). ist die dritte dieser vertrackten Zahlen und das Zeichen für V — 1 . Mit ihr ist es aber noch viel schlimmer. Denn diese Zahl, nämlich das Resultat des vorstehenden Rechenbefehls, hat noch kein Menschen-

0

I

auge erblickt. Sie läßt sich auch mit aller Schläue nicht ausrechnen. D a s liegt an dem eigenartigen Verhalten der negativen Zahlen bei Rechenoperationen. Trotzdem rechnen Technik und Wissenschaft täglich mit der geheimnisvollen Zahl i. M a n kann mit ihr Quadratwurzeln aus gewissen negativen Zahlen ziehen, die sich sonst nicht berechnen lassen. Sie ist als imaginär erkannt, aber gesehen hat sie noch keiner. Ein echtes Gespenstl

V o m gähnenden Nichts Im menschlichen Vorstellungskreis spielt das Nichts eine unheimliche Rolle. Von leisem Grauen ist jeder Versuch begleitet, sich das Nichts gedanklich vorzustellen, sei es als das Jenseits vom All oder vielleicht als das Land der Ungeborenen. Unsere Gedankenkraft versagt, selbst bei vorhandenem Willen, vor dieser Vorstellung. Um so mehr ist die Kühnheit des indischen Geistes zu bewundern, der es wagte, für dieses Undenkbare, Unwägbare ein Symbol, nämlich die Null, zu formen. Und siehe da, so ordentlich etikettiert, wird das Nichts als Null von unseren Gedanken leicht gepackt und bearbeitet. Ohne eigenen Zahlenwert erhöht die Null den Wert jeder Zahl, hinter die sie sich stellt, um das Zehnfache oder vermindert ihn um den gleichen Betrag, wenn sie sich vor eine Zahl stellt. Sie kann auch gar nicht anders, denn wo das Nichts ist, muß das Etwas weichen, so können sich beide nicht vermischen. Darum schiebt die Null jede andere Zahl von sich; eine Stelle nach links, ihren Wert damit erhöhend, oder nach rechts und dadurch wertmindernd. Die Null kann mit keiner anderen Zahl addiert oder davon subtrahiert werden. Alle derartigen Versuche lassen die Zahl unverändert. Jedes Kind lernt in der frühesten Schulzeit schon auswendig: Eins und Eins ist Zwei, Eins und Null ist Eins. Zwei weniger Eins ist Eins, Zwei weniger Null ist Zwei. Ganz unheimlich wird die Sache aber bei der Multiplikation. Hierbei vernichtet die Null sofort jede andere Zahl. Sie tötet sie, verschlingt sie, verdaut sie. Jede andere Zahl, und möge sie noch so groß und so vielseitig sein, ist nach der Multiplikation mit Null verschwunden, eskamotiert. 0 X 1 = 0 , 0 X 428 = 0, 0 X 346738862 = 0. Das erscheint dir seltsam, Freund? Erinnere dich an deine Schulzeit und multipliziere mit mir: 336 X 110 0 336 336 36960

XII

Wir fingen an: 0 X 336 1 X 336 1 X 336

0 X 336 = 0 Ja, ja, es stimmt schon.

U n g e b ä r d i g e Zahlen Eine ganz besondere Sorte von Zahlen sind die unteilbaren. Sie widersetzen sich jedem Versuch der Zerstückelung durch Division und halten unserm geistigen Angriff, sie mit Klugheit oder List restlos in gleiche Teile zu zerlegen, eisern stand. Rochers de bronze der Zahl. W i e kommt das nur? Wir können doch sogar ein Stück Eisen in gleiche Teile ohne Rest zerlegen! Warum nicht eine bestimmte Sorte von Zahlen? Ja, es ist geheimnisvoll, aber es geht wirklich nicht. Die unteilbaren Zahlen, genannt Primzahlen, trotzen unserer Weisheit und unseren Künsten. Sie fügen sich auch keinem Gesetz. Es ist bisher nicht gelungen, ein periodisches System oder irgendeine Reihenfolge zu entdecken, nach der man sie in der fortlaufenden Zahlengeraden erkennen könnte. Nein, in völlig regelloser Folge, bald ziemlich dicht aufeinanderfolgend, bald weit auseinanderstehend, tauchen sie auf. Mit der zunehmenden Zahlengröße folgen sie zwar seltener, setzen sich aber in der unendlichen Zahlenreihe selbst unendlich fort, dadurch wieder eine Unendlichkeit besonderer Art bildend. Die Primzahlen sind alle ungerade, bis auf eine, und das ist die Zwei (2), die von den meisten nicht für eine Primzahl gehalten wird. Sehr große Primzahlen sind schwer zu erkennen und schwierig zu berechnen, denn nur die Berechnung gibt den Beweis ihrer Identität. Die Zahlenreihe bis zu 100 Millionen enthält 5 761 460 Primzahlen. Sie widersetzen sich unserem Ordnungssinn, diese eigenwilligen, seltsamen Zahlen, es bleibt geheimnisvoll um sie.

Die Primzahlen

W i r multiplizieren Jede Multiplikation ist eine fortgesetzte Addition, z. B. 4 X 8 =

32

8

8 8 8 32 Die umständliche Rechenoperation des Addierens wird vereinfacht durch die Zerlegung der Faktoren, z.B.

32 X 16 12 180 320

( 6 X 2 ) ( 6 X 30) (10 X 32)

512 Bei Ausführung der Multiplikation wird der Multiplikator (16) in Zehner (1) und Einer (6) zerlegt und dann mit dem gleichfalls zerlegten Multiplikandus (32) wie folgt multipliziert: Bei 6 X 2 = 12 werden nur die 2 (Einer) hingeschrieben; 6 X 30 wird unter W e g l a s s u n g der Null als 6 X 3 = 18 multipliziert und die Zehner (8) mit dem noch unverrechneten Zehner (1) zu 19 addiert und vor die Einer (2) geschrieben. Es bleibt noch Zehner (1) mit 32 zu multiplizieren (10 X 32) = 320. Dieses Resultat wird unter Weglassung der Null, eine Stelle nach links vorgerückt, (Zehner unter Zehner) niedergeschrieben. Hierauf erfolgt die Addition der beiden Zwischensummen zur Endsumme: 32 X 16 192 32

(6X2 + (1 X 32)

6X3)

512 Die mühsame Errechnung der Zwischensummen und Additionen brauchen wir bei Benutzung der Tafeln nicht auszuführen. Lediglich bei umfangreichen Multiplikationen sind Zwischensummen abzulesen und zu addieren.

XIII

Und dividieren Die Division ist sozusagen die Kehrseite oder Umkehrung der Multiplikation

(4X8

= 32) (32 : 4 = 8). Sie kann sich demzufolge gar nicht anders darstellen als eine fortgesetzte Subtraktion: —

8

24 —

8 16

—

8

8 Die Ausführung wird auch hier durch das Divisionsverfahren vereinfacht (32 : 4 = 8). Durch die schulmäßige Einprägung des Einmaleins wird die Rechnungsfindung erleichtert. Das erweiterte Einmaleins von 1 bis 1000 oder 10 000 kann kein Mensch auswendig lernen. Es liegt aber in unsern Tabellen fertig ausgerechnet und abgedruckt vor. Wir brauchen nur noch abzulesen.

Eine vergniigfe Wurzelzieherei gibt es bestimmt beim Zahnarzt nicht, ebensowenig beim Stubbenroden. Aber auch die Zahl hat eine Wurzel, die sich uns, von Rechenkünsten bezwungen, zeigt. Als Wurzel birgt sich der Teil einer Zahl, der, mit sich selbst multipliziert, als Ganzes sich enthüllt. Also, kurz gesagt, 2 ist die Wurzel aus 4 (j/4 — 2), denn 2 X 2 = 4. Die Wurzel (2), mit sich selbst multipliziert, zeigt sich als Ganzes (4). Hier haben wir es mit der Quadrat2 wurzel zu tun (V). Es gibt aber auch tiefer dringende Wurzeln, z. B. die Kubikwurzel 3 _

(y), die, dreimal erscheinend, zweimal mit sich multipliziert, die ganze Zahl ergibt. Z.B. 3

3 ist die Kubikwurzel aus 27 (y'27 = 3), denn 3 X 3 X 3 = 27. Es gibt aber auch vierte, sechste Wurzeln usw., ja, theoretisch sind Wurzeln in unendlicher Gliederung denkbar. Errechnen kann sie aber dann niemand mehr. Vergnüglich ist die Wurzelzieherei auch bei den Zahlen nur für den, der Spaß an Zahlenrätseln hat und gerne harte Nüsse knackt. Wer von Berufs wegen viel damit zu tun hat, bedient sich der Hilfe der Logarithmen, mittels derer er die Radizierung (Wurzelziehung) in eine Division verwandeln kann. Die

Radizierung

umgekehrte die

(Wurzelausziehung)

Potenzierung.

Subtraktion

die

ist

die

Genausogut,

wie

umgekehrte

Addition

und die Division die umgekehrte Multiplikation ist. Wir machen uns ihre Berechnung

daher

am besten an einer Zahl klar, die wir in die entsprechende Potenz heben.

Dies

geschieht

nach der Formel, die wohl alle in der Schule früher

gelernt

und

dann

wieder

vergessen

haben: a 2 + 2 a b + b2

ab

also beispielsweise bei 98 a 2 (die Quadratzahl von 90) (90X90) = 8100 2ab ( 2 X 9 0 = 180X8) b2 = 8 X 8

1440 64 9604

XIV

W e n n wir jetit in der umgekehrten Reihenfolge vorgehen, müssen wir aus 9604 die Quadratwurzel 98 errechnen können. Wir wollen es versuchen. '-i/96/04 = 98 |/81_ 18 in V50

(2a = 2 X 9 (2a b) (b2)

144 64 64

9 X 9 = 81. Schreib diese unter mußt du 2a = 1 8 in 150 (15 mit Bleibt Rest 6. Dazu 4 herunter =

Zunächst teilen wir die beiden letzten Stellen, die 2ab und b 2 enthalten, durch einen senkrechten Strich ab. Dadurch be= 18) halten wir 9 Tausender und 6 Hunderter übrig, die gemeinsam das Quadrat der Zehner bilden. Oder, einfacher ausgedrückt: Such die Wurzel aus 96. D u ererkennst sie mit einem Blick als 9, denn die 96. Es bleibt Rest 15. Um b herauszubekommen, heruntergezogener 0) dividieren. Es geht 8mal (144). 64. b 2 = 8 X 8 = 64. Die Rechnung geht auf.

Ein leiner Trick Die Vielseitigkeit der Tabellen sei an einem kleinen Beispiel erläutert: Angenommen, wir hätten zu rechnen 978 786 X 187 und erkennen sogleich, daß wir letzt soll der Multiplikator aber auch sechsstellig sein: 187 196. D a s bringt uns nicht aus der Fassung, wir schlagen Tabelle 196 auf und lesen a b :

978 X 1 8 7 = 182 886 in Tab. 187, Spalte 10, Zeile 97 187 8 78 finaen. 786X 187= 146 982

978 X 1 9 6 = 786X 196=

978 786 X 187 196 =

191 688 in Tab. 196, Spalte 10, Zeile 97 154 056 196 8 78 183 224 824 056

Ein Immerhin schon zwölfstelliges Resultat mit zwei Blicken und einer leichten Addition. D a s Verfahren läßt sich, wie ersichtlich, mit beliebig hohen Zahlen, vorn und hinten angekoppelt fortsetzen. Wir machen die Probe auf die Richtigkeit, indem wir das Resultat durch den Multiplikator dividieren, und ersehen daraus gleich, wie man laut Tabelle mit vielstelligen Divisoren umspringt. 183224824056 : 187196 = 978786 182886 (187 X 978) 338824 191688

(196 X 978), drei Stellen nach rechts

147136 146982

(187 X 786)

154056 154056

(196 X 786), drei Stellen nach rechts

D i e Bruchrechnung wird durch Umwandlung der echten Brüche in Dezimalbrüche zu einer normalen Multiplikation bzw. Division, Addition oder Subtraktion, z. B.: »/* X ' I i l h : Vi 1/2 + V i '/« — V i

= = = =

0,5 0,5 0.5 0,5

X : + —

0,25 = 0,25 = 0,25 = 0,25 =

0,125 p / s ) 2 0,75 (3/4) 0,25 ( v o

XV

Nachstehend

bringen

wir

die

Berechnung

der

echten

1 bis 10 zu Dezimalbrüchen, zum Ablesen für den 7s =

0,333... 7 1 - - 0,25

2

0,666...

/j

8

/i =

0,75

Brüche

=

0,166..

/c =

0,333.

Vs =

0,2

2

/ä =

0,4

2

=

0,6

3

/» =

0,8

4

/o :=

0,142857

»/8 =

0,285714

2

*h = 4 /7 =

0,428571

=

0,571428

0,5

/7 = >h =

0,714285

7« = 5/8 =

0,625

=

0,555..

0,857142

«/8 =

0,75

=

0,666.,

5

0,125

2

/.

/8 - = 0,25

0,111..

=

0,222..

»/. = -

0,375

/8 =

=

4

/.

5

0,5 0,833..

0,333..

=

0,777.

/o =

0,888..

e

D i e fertig ausgerechneten

Nennern

=.---: 0,444..

0,875

7

den

0,666..

/» ==

V' = */7 ^

mit

Bedarfsfall:

Bruchwerte für jede Zahl können a u s d e n Tabellen

ab-

gelesen werden, und zwar stehen sie in jeder Tabelle a n der gleichen Stelle, wie fogt: '/io bis •/io, Spalte 3 bis 11, Tabellenkopf l

V» V«

2

4, 6, 8, 10

h

78 (0,125) Spalte 7, Zeile 12 (0,375)

7

37

13, 14

•/s (0,625)

7

62

16, 17

7/e (0,875)

7

87

3

11

4

22

12 bis 15

•/• 3

'/», /». /». 74, S/4, 2/s, •/s

5, Zeile 14

Spalte

V i (0,143) 2 /, (0,286)

8

28

V» (0.111) 2/9 (0,222)

11

42

V« (0,444)

6

44

/j (0,571) 5/7(0.714)

3

57

8

55

6

71

»M0,556) '/9 (0,778)

'10

77

•/? (0,857)

9

85

«/«(0,889)

11

88

»/, (0,429) 4

Soll

aus

irgendeinem

Grunde

mit echten Brüchen

gerechnet werden,

so

erinnern

wir u n s : Multiplikation

1 X 1

7 s X 7< =

=

V12

3 X 4 Division

4

'/» : V» =

/s =

1 '/s (Divisorbruch

umkehren)

3 X 1 */s — llt = *li2 gleichnamig

Subtraktion

machen, d. h. g e m e i n s a m e n

— s /i2 suchen ( 3 X 4 =

Nenner

12)

Vis 1

Addition

/»+ 1 /«+ , /t =

4

'ia gemeinsamer Nenner 3 X 4 = 1 2 , 6

geht auch in 12

+ *Vl2 +

2

/l2

' / « = '/