Erläuterungen und Beispiele für den Gebrauch der vierstelligen Tafeln zum praktischen Rechnen [Reprint 2019 ed.] 9783111507545, 9783111140384

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Inhalt Seite i i

Einführung Der äußere Aufbau von Rechentafeln

§ x.

A. Zahlentafeln § § § § § § §

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Erläuterungen und Erläuterungen und Erläuterungen und Erläuterungen und Die Interpolation. Erläuterungen und Erläuterungen und

Beispiele zu T. i : y = X2 . Lineare Interpolation Beispiele zu T. 2: y = x 3 Beispiele zur Hilfstafel b) S. I Beispiele zu T. 3: y — sin X; cos X Zulässigkeit der Interpolation 1. und 2. Ordnung Beispiele zu T. 4: y = t g X ; ctg X Beispiele zu T. 5: Aufzinsungs- und Abzinsungsfaktoren

. . .

3 4 4 5 5 7 7

B. Logarithmentafeln § 9. §10. §11. § 12. § 13. § 14.

Von den Logarithmen im allgemeinen Die Zehnerlogarithmen Die logarithmische Kurve. Neue Formen. Graph. Logarithmentafeln Einrichtung und Gebrauch der Logarithmentafel (T. 11 u. 12) Das Rechnen mit Logarithmen Erläuterungen und Beispiele zu T. 13: lg sin X; lg cos X und zu T. 14: lg tg x ; lg ctg x § 15. Erläuterungen und Beispiele zu der Ergänzungstafel 15a)

8 10 11 13 14 15 15

C. Beurteilung der Genauigkeit beim Tafelrechnen § 16. Das Nötigste aus der elementaren Fehlerrechnung § 17. Beispiele bei Benutzung der Zahlentafeln. (Numerische Rechnungen) § 18. Beispiele bei Benutzung der Logarithmentafeln. (Logarithmische Rechnungen) Beurteilung der Genauigkeit 4- und 5-stelliger Tafeln

. . .

17 19 21 21

D. Graphisches Rechnen § 1 9 . Stellenzahlbestimmung beim Rechnen mit dem Rechenschieber. Auflösung der Gleichungen 2. und 3. Grades

Nomogramme zur 23

E. Allgemeines § § § §

20. 21. 22. 23.

Regeln für das praktische Zahlenrechnen Zur Geschichte der Tafeln und Tabellen Übergang von Altgrad zu Neugrad und umgekehrt Das griechische Alphabet

Übersichtstafel der Genauigkeitsmaße U = ö^X für die Haupttafeln . . . .

25 26 27 28 3. Umschlagseite

Alle Rechte, insbesondere das Recht der Übersetzung, vorbehalten W a l t e r d e G r u y t e r Sc. Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp. Herstellung: Walter de Gruyter & Co., Berlin W35 und Buchdruckerei G. Reichart, Groitzsch Archiv-Nr. 541650

Einführung 1. Zur Erleichterung der oft mühsamen Zahlenrechnungen und zur Überprüfung der Ergebnisse, die zur Vermeidung leicht sich einschleichender Fehler nötig sind, stehen verschiedene R e c h e n h i l f s m i t t e l zur Verfügung: R e c h e n t a f e l n , N o m o g r a m m e , Rechenschieber, R e c h e n w a l z e n , R e c h e n m a s c h i n e n usw. Für den einfachen Rechner kommen nur die drei ersten in Frage. Der praktische Rechner wird alle drei benutzen und je nach Art der A u f gabe und der erforderlichen Genauigkeit seine Wahl treffen. Für ihn gilt auch das bekannte Goethewort: Ein Mann, der recht zu wirken denkt, Muß auf das beste Werkzeug achten. Oberflächliche Urteiler sind oft geneigt, das Tafelrechnen als überlebt zu betrachten. Sie vergessen dabei, daß das rechnerische Verfahren, auf dem die beiden letzten Hilfsmittel beruhen, diesen in vieler Beziehung entschieden überlegen ist. Mit Recht sagt P. L u c k e y am Schluß seiner Einführung in die Nomographie: „Zweifellos wird auf weitesten Gebieten dauernd die Zahlentafel die Herrschaft behalten müssen". Die Rechentafeln sind so alt wie die Kultur. Bereits im 3. Jahrtausend v. Chr. finden wir zahlreiche Multiplikations- und Divisionstafeln in B a b y l o n , ferner sogar eine Quadrattafel und zwei Quadratwurzeltafeln. Selbst der Techniker, der sich mit Vorliebe des Rechenschiebers bedient, kommt ohne Tafeln und Tabellen nicht aus, wie seine zahlreichen Handbücher schlagend beweisen. 2. R e c h e n t a f e l n sind im allgemeinen auf eine bestimmte Anzahl von Stellen beschränkt (z. B. auf 4-, 5- oder 7). Sie können durch einfache Schaltung auf das Zehnfache ihres Bereiches erweitert, und darüber hinaus kann ihr Gebrauch z. gr. Tl. durch Kommaverschiebung oder Änderung der Kennziffer auf alle Zehnerbereiche ausgedehnt werden. Diesem großen Vorteil gegenüber bedeutet es kaum einen Nachteil, daß das Rechnen mit abgekürzten Zahlen gewisse Ungenauigkeiten mit sich bringt. Man muß sich vor Augen halten, daß alles praktische Rechnen zum allergrößten Teil nur Näherungsrechnen ist. T a b e l l e n o d e r W e r t e t a f e l n sind dagegen einfache Zusammenstellungen von Zahlengrößen wie z. B. der spezifischen Gewichte, der Schmelzpunkte der Metalle oder der Funktionszahlen und der zugehörigen Argumente, wenn sie eine Übersicht zur Entnahme der Funktionswerte bieten und lineare Interpolation nicht in Frage kommt. § 1. Der äußere A u f b a u v o n

Rechentafeln.

1, Eine Rechentafel in einfacher Form bildet eine Darstellung einer Funktion y einer Veränderlichen X (z.B. y = x ' ) . Es handelt sich also bei dem äußeren Aufbau um eine übersichtliche Z u o r d n u n g d e r E i n g a n g s z a h l (des Argumentes) X zu den T a f e l z a h l e n y . Das kann in z w e i F o r m e n geschehen, deren einfachste Form in den beiden kleinen Tabellen I und II gegeben ist. Zeilenform 10

X

i

2

y

10,0

S,oo

3

3,33

4

5

6

2,50

2,00

1,67

»

9

10

i,2S

1,11

1,00

7

1,43

1

Tabelle I Spaltenform y X I

2 3 4 5 6 7 8 9 10

IO =

—

X

y 10,0 5,00 3,33 2,50 2,00 1,67 1,43 1,25 i . "

In der Tabelle I liegen Eingangszahl X und Tafelzahl y in je zwei w a a g e r e c h t e n R e i h e n , also Z e i l e n , in II in zwei s e n k r e c h t e n R e i h e n oder S p a l t e n . Man spricht daher entsprechend von einer Tabelle in Z e i l e n oder S p a l t e n f o r m . Die Zusammenstellung III ist ein T e i l a u s d e r 4 s t e l l i g e n T a f e l d e r Q u a d r a t z a h l e n , also der Funktion y = X2' für X = 1,000 bis 10,00 und zwar mit einer T a f e l s c h r i t t w e i t e (Maschenweite) W = 0,01 gegeben. Die bequeme Schreibweise unseres Zahlensystems gestattet, die sich wiederholenden Ziffern der letzten Stelle (die Hundertel) in je einer o b e r e n u n d u n t e r e n w a a g e r e c h t e n Z i f f e r n l e i s t e zusammenzufassen und diese durch einfaches Anfügen an die in der l i n k e n s e n k r e c h t e n L e i s t e stehenden Zahlen 1,0; 1 , 1 ; 1,2 . . . in Verbindung zu setzen. Mit dem Fortschr itin in der Zeile erfolgt das Zusammenfügen der E i n g a n g s z a h l e n in folgender Weis2: 1,00 ; I , O I ; 1,02 ; 1,03 ; . . . 1,09 ; 1,10 ; 1 , 1 1 ; 1,12 ; 1,13

i|i9 ;

1,00

Tabelle II

4.90 ; 4,91

; 4.92 ; 4.93 ;

1

•

•

4,99

Tafel 1

X

1,0 1,1

0

Quadrate v o n 1 , 0 0 0 — > 5 0 0 0 . Q u a d r a t w u r z e l n von 1

1,000 1,210 1,440 1,690 1,960

1,020 1,232 1,464 1,716 1,988

2,250 2,560 2,890

2,280

i,9

3,240 3,6IO

3,276 3,648

2,0

4,000

1,2

1,3 1,4 i,5

1,6

i,7

1,8

2,592

2,924

2 1,040

1,254

3

4

1,061 1,277

ri

-|

5

1,103 1,323

1,769 2,045

1,823 2,103

1,850 2,132

2,310 2,624

2,341 2,657

2,403

2,434 2,756

2,465 2,789

2,958

3,312

3,686

I,5I3

1,563

2,723 3,063

2,993 3,349 3,725

3,423 4,203 4,623 5,063

4,666 5,108

5,523

5,570

6,970

6,503 7,023

6,554 7,076

8,066 8,644

8,123 8,703

9,242 9,860 10,50 11 1 6

>

6,300 6,812

6,350

6,864

6,401 6,917

6,452

7,344

7,398 7,952

8,009

8,526

8,585

9,060 9,672

9,120

9,181

9,734

9,797

10,24 10,89

10,30 10,96

10,43

11,56

10,37 11,02

11,63

11,70

11,76

11,83

12,25 12,96

12,32

12,39

12,46 13,18

12,53

14,44 15,21

13,69

13,76 14,52 15,29

i3,9i

14,06 14,82 15,60

4,0 4,i 4,2 4,3 4,4

16,00 16,81

16,08 16,89

17.64 18,49

17,72

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

6,250 6,760 7,290 7,840 8,410

3,0 3,i 3,2 3,3 3,4

9,000 9,610

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

7,896 8,468

13,03

13,10

7,453

11,09

5,476 5,954

15,44

13,99 14,75 15,52

16,24

16,32

18,58

16,16 16,97 17,81 18,66

19,36

19,45

19,54

19,62

19,71

4,5 4,6 4,7 4,8 4,9

20,25 2I,L6 22,09

20,34 21,25 22,18

20,43

20,52 21,44 22,37

20,61

23,04 24,01

23,14 24,11

23,23 24,21

23,33

X

0

1

2

3

21,34 22,28

24,30

7,563

17,14 17,98

1 8 84

2i,53 22,47 23,43 24,40

A

6,052

1,188

22 24 26 28

1,638 1,904 2,190

2,220

30

3,534 3,920

3,572 3,96o

32 34 36 3«

4,326 4,752 5,198

5,617 6,101

5,664 6,150

4,368 4,796 5,244 5,712 6,200

50

6,605

6,656 7,182

6,708

52 54 56 58

3,i33 3,497 3,881

4,285 4,709

5,i53

7,I29 7,673

7,728

10,56

10,63

10,04, 10,69

12,60

12,67

13,40 14,14

11,36 12,04

12,74 13,47

46 48

2

62

2

10,18 10,82

6

0.00 I

12,18

7 7 7

2

n,49

12,89 13,62

7 7

I

12,82

13,54

15,76

15,84

16,56

16,65

i7,3i

17,39

17,47

19,89

19,98

20,70 21,62 22,56

20,79 21,72 22,66 23,62 24,60

20,88 21,81

6

15,05

18,32 19,18 20,07

20,98 21,90 22,85

14,36 15,13 15,92

8

8 8

20,16

8 8 9 9 9

I

17,56 18,40 19,27

21,07 22,00

9 9

I

U

16,73

22,94

24,70

23,81 24,80

23,91 24,90

10 10 10

7

8

9

D

22,75 23,72

3

2

9,548

16,48

1

42 44

10,11 10,76 11,42 12,11

16,40 17,22 18,06 18,92 19,80

23,52 24,50

40

9,486

15,68

18,23 19,10

7,236 7,784 8,352

3

60

14,29

18,15 19,01

2,856 3,204

4

8,940

14,21 14,98

14,90

1,932

2,528

9,425

13,32

1,664

2,496 2,822 3,168

9,364

11,90

U 0,(100 5

1,416

9,303 9,923

11,29 n,97

D

1,392

8,294 8,880

9,986

9

1,166

8,237 8,821

4 —f— 5 1

4,244

8

7,618 8,180 8,762

11,22

13,25

14,67

17,06 17,89 18,75

6,003

7,508

14,59 15,37

13,84

3,46o 3,842

5,OI8

2,4

3,098

3,803

4,973 5,429 5,905

4,884 5,336 5,808

i,i45

1,488 1,742 2,016

4,928 5,382 5,856

4,840

1,124

1,346 1,588

7 1,369 1,613 1,877 2,161

4 , 0 4 0 | 4,080 | 4 , 1 2 1 HAUPTEIN25,00

III. Die Tafel ist eine Z e i l e n t a f e l , da die aufeinanderfolgenden Tafelzahlen in Zeilen stehen, während sie bei einer S p a l t e n t a f e l in Spalten stehen (z. B . T. 5 und 7.) Die senkrechte Leiste des Tafelspiegels hat rechts 2 Spalten, die mit D ( E n d d i f f e r e n z e n ) und U ( U n s i c h e r h e i t e n bzw. G e n a u i g k e i t s m a ß e U = = o , o i . b) A u f s u c h e n der T a f e l z a h l m i t I n t e r p o l a t i o n . B e i s p . 3 . Es sollen aus den Nachbartafelzahlen x 0 2 = 7 , 5 t 2 — 2 2 5 6 , 4 0 und Xj = 7,52 = 5 6 , 5 5 die Zwischenwerte 7,5ii2, 7 , 5 I 2 2 , 7,5I9 2 bestimmt werden (Bild 1). Während die Eingangszahlen 7,51, 7,52, 7,53 • • • in der Zeile um je 0,01 wachsen, nehmen die zugehörigen Tafelzahlen proportional um rd. 15 • i o - 2 zu, d. h. die Endpunkte der Ordinaten y0, y1 liegen annähernd auf der Sehne AB. Für das kleine Intervall (Xx — x„) = 0,01 = w, die sogenannte T a f e l s c h r i t t w e i t e , schmiegt sich die Sehne AB eng an das Kurvenstück AB an. D e r U n t e r s c h i e d y! — y0 = 56,55 Bild 1. Lineare Interpolation (schematisch) — : 5 6 , 4 0 = 0 , 1 5 h e i ß t d i e z u Xu = 7 , 5 1 g e h ö r i g e D i f f e r e n z D. Wollen wir nun für den Zwischenwert 7 , 5 1 6 , also mit der vierten Ziffer n = 6 das zugehörige X2 finden, so haben wir zu dem Werte ya = x02 = 56,40 den Z u w a c h s (Bild 1) 2

2 = II-

(i)

m Beispiel

2 = 6

Ausrechnung:

x2

=

7,5162

=

D0

15

D

= 9-

{ f

4°)

=

56,49.

Für n = 1; 2 ; 3 ; . . beträgt der Zuwachs entsprechend 1 4 • 1 , 5 = 6 usw. Allgemein ist (2)

D„

y = y0

y„+:

=

hinzuzufügen,

1 , 5 «

2; 2 • 1,5

=

3; 3 • 1 , 5 «

5;

Formel für die lineare (gradlinige) Interpolation.

Dn

G e o m e t r i s c h bedeutet die 1. I. nichts anders als den Ersatz des Kurvenstückes AB zwischen den Ordinaten y0 und yl durch die Sehne AB. Wesentlich ist, daß wir die gleiche" Intervalle X1 — X0 = w, d. h. die T a f e l s c h r i t t w e i t e IV, so klein wählen, daß die Fehler bei der Interpolation oder Einschaltung bedeutungslos sind. B e i s p . 4. a) i , 6 5 4 2

b)

37,56-

2

>7 2 3 + 13 2.736 =

14.06

33

13

4 • - - 5 10

c) o , 5 i 4 3 2

=

0,2642

+

3

10 3

' zo

0,264.5 6 • 0,8 ;

d)

817,92

=

667500

+

+ 5 1411

9 - 1 , 6 « 14

14"

668900

B e m e r k u n g . Zur Erleichterung der Zwischenwertberechnung benutzt m a n die s o genannten P r o p o r t i o n a l t a f e l n (P. P. = partes proportionales = Verhältnisteile), die die Vielfachen von — enthalten.

In der vorliegenden Tafel sind diese in e i n e r Zusammen-

stellung vorn ausklappbar angebracht.

3

2. A u f s u c h e n d e r E i n g a n g s z a h l x = lty ( B e s t i m m e n d e r Q u a d r a t w u r z e l e i n e r Z a h l ) . Ist z. B. Ks.57» = * gesucht, so haben wir X so zu bestimmen, daß X2 = 5,570 ist. Die Zahl 5,570 ist somit als Tafelzahl und X als Eingangszahl zu betrachten. A u s der Tafel ergibt sich, daß zur Tafelzahl y = 5,570 die Eingangszahl X = 2,36 gehört. Ergebnis:

^5.57° = 2,36.

Muß beim Aufsuchen der Quadratwurzel interpoliert werden, so verfahren wir umgekehrt wie in ib). Wir geben das praktische Verfahren und erläutern anschließend. B e i s p . 5.

1/67,80 8,234. - ^7>73 70:17 = 4

Ü b e r s c h l a g : Die Wurzel liegt zwischen 8 und 9.

Die nächst kleine Tafelzahl ist 67,73. Nach Abziehen von dem Radikand bleibt der Rest oder die k l e i n e D i f f e r e n z 7, die mit 10 multipliziert 70 ergibt. Division dieser durch die Tafeldifferenz D = 17 liefert als 4. Stelle 4. Der Radikand liegt zwischen den Tafelzahlen 67,73 und 67,90 (D = 17), so daß wir von der Wurzel sofort die ersten drei Ziffern 8,23 hinschreiben können. Die kleine Differenz

D

ist der Z u w a c h s

n •— = 7

mithin für D — 17

n

,

l)

11,, 17'

Regel: Man h ä n g t der k l e i n e n D i f f e r e n z e i n e N u l l an und t e i l t das P r o d u k t d u r c h £>. Wem es leichter ist, der möge sich durch einfache Schlußrechnung helfen und sagen: Dem Zuwachs 17 der Tafelzahl entsprechen . . . . 10 Einheiten der 4. Stelle von x. 10:17 „ ,, 4. 7 0 : 1 7 ? » 4 , , ,, 4. B e i s p . 6 a) 1/2,196(1) = 1,482^ 90 60:30 = 2

c) i/o,82-56 (II) = 0,9086 45 110:18« 6

b) 1/20-48 (II) = 45,26 43 50:9« 6

d) l/o,o6 489 (I) = 0,2547

iL

370 : 51 ~

7.

Um Fehler und Irrtümer zu vermeiden, mache der Rechner immer einen Überschlagt

§ 3. Erläuterungen und Beispiele zu Tafel 2: y = xs. 1. Die Tafelzahlen umfassen 3 Zehnerbereiche. Der Übergang von I nach II erfolgt mit der Eingangszahl x = 2,16 (2,i6 3 = 10,08), der Übergang von II nach III mit 4,65 (4,6s 3 = 100,5). Anzahl der Dezimalstellen der Tafelzahl in I: S = 3; in II: s = 2; in III: 5 = 1. Tafelschrittweite IV = 0,01. 2. A u f s u c h e n d e r T a f e l z a h l y = x 3 . B e i s p . 1. I,96 3 = 7,530 (Überschlag: 23 = 8); 19,6' = 7530 (203 = 8000); o,i96 3 = 0,007530 ( ,, o,2 3 = 0,008). 2. I.345 3 = 2.433; 4°.7 6 3 = 67720; 0,081543 = 0,0005421. 3. A u f s u c h e n d e r E i n g a n g s z a h l x = |/y ( B e s t i m m e n d e r K u b i k w u r z e l ) . B e i s p . 3-

(I) = 2,05 ;

4. ^ ' 5 6 4

(I) = 16,59 ;

(II) = 4,416 ;

' / s l e ^ (III) = 9,347

/ ö ö ^ M H ) = 40,52 ;

^o,000-578 = 0,0833.

§ 4. Erläuterungen und Beispiele zur Hilfstafel b) S. 1. (Minuten und Sekunden als Dezimalgrade und umgekehrt) 1. Die Hilfstafel ist eine Spaltentafel. Haupteingang von oben. B e i s p . 1. Verwandlung von Minuten und Sekunden in Dezimalteile des Grades. 5 7 ' 2 1 " = 0,950 + 0,006 = 0,956°; 28- 43" = 0,467 + 0,0119 = 0,479° 2. Verwandlung von Dezimalteilen des Grades in Min. u. Sek. 0,357° = 2 1 ' 2 5 " ; 0,825» = 49' 2 9 " ; 0,062» = 3 - 4 3 " . 350 817 50 7 8 12 Zahlreiche Tafeln bringen zu der gegebenen Hilfstafel noch eine zweite für die umgekehrte Aufgabe. Das ist völlig überflüssig. 4

Die Hilfstafel ist so eingerichtet, daß man die Verwandlung von Min. und Sek. in Dezimalteile des Grades auf 4 Dezimalstellen mit großer Genauigkeit durchführen kann. Die Punkte bei den Tafelzahlen der Minutentafel bedeuten, daß die letzte Tafelstelle sich wiederholt, z. B . 2 3 ' = 0 , 3 8 3 • = 0 , 3 8 3 3 ° ; 4 0 ' = 0 , 6 6 6 • = 0,66666 • = 0 , 6 6 6 7 ° .

B e i d e m Gebrauch der

Er-

g ä n z u n g s t a f e l 1 5 a ist für die Bestimmung der Logarithmen kleiner Winkel und Bogen große Genauigkeit erforderlich, um gröbere Fehler zu vermeiden.

B e i s p . 3 . 4 9 ' 2 5 " = 0 , 8 1 6 6 6 • -f- 0 , 0 0 6 9 = 0 , 8 2 3 6 ° ; 5 " = 5 ' : 60 = 0 , 0 8 3 3 3 : 60 =

0,001389°.

§ 5. Erläuterungen und Beispiele zu T. 3 : y = sin X; cos X Die Tafelschrittweite beträgt IV = o , i ° = 6 ' . Die erste Differenz ist 1 7 . Die Differenzen nehmen von 17 bis auf o bei sin 90° ab, was auch aus dem Verlauf der Funktionskurve einleuchtend ist. Durch die Dezimalteilung des Grades erhält man annähernd nur halb so große Differenzen wie bei der Minutenteilung. A u f s u c h e n d e s F u n k t i o n s w e r t e s y = sin x. Beisp. i.

sin o , 7 S ° = 0 , 0 1 3 1 ;

cos 2 8 , 6 3 ° = j 0 ' 8 ^ 8 " !

sin 3 0 , 4 6 ° = 0 , 5 0 6 9 ;

= 0,8777.

Es ist zu beachten, daß die Funktionen cos und ctg im I. Quadranten fallende Funktionen sind. A u f s u c h e n des z u g e h ö r i g e n B e i s p . 2 a . sin X = 0 , 3 0 8 1

Winkelwertes.

X = 17,94°;

b) cos X =

59

0,7856

74

70: i 6 Ä ; 4

§ 6. Die Interpolation.

X = 38,23°.

30 : 1 1 « ; 3

Zulässigkeit der Interpolation 1. und 2. Ordnung

Zum tieferen Verständnis der Interpolation und ihrer Verwendung müssen wir noch einige Begriffe und Beziehungen erläutern. Ein Ausdruck von der Form

y = a0 + axx + aty? -\

1- a„xn

in dem n eine p o s i t i v e g a n z e Z a h l bedeutet und die Vorzahlen a0, al . . . . an reelle Zahlen sind, heißt eine g a n z e r a t i o n a l e F u n k t i o n n-ten der Veränderlichen X. B e i s p i e l e : y = 0,3 + 2X y = 1 , 5 — o , 8 x + x2 y = 6 7X + x

ist eine ganze rationale F . 1. Grades, ,, „ „ ,, „ 2. ,, , it ,, ,, ,, ,,3* ,,

Setzt man in diesen Funktionen x = o, i , 2, 3 . . ., so bilden die erhaltenen Funktionswerte entsprechend a r i t h m e t i s c h e R e i h e n 1., 2. o d e r 3. O r d n u n g . So bildet die R e i h e d e r Q u a d r a t e , die aus der Funktion y = X2 hervorgeht, eine arithmetische Reihe 2. Ordnung. Man erhält für X = o, I , 2 , 3 . . . die Hauptreihe

o

I. D i f f e r e n z r e i h e D W II.

,,

D< > 2

\

1 \ 1 3 \

4 \ \ 2

5

9 \ \ 2

7 2

16 \ \

25 9

2

\

\ 11

36 . . . . .

2

Subtrahiert man in der Hauptreihe jedes Glied von dem ihm folgenden, so entsteht die 1. Differenzreihe mit den D i f f e r e n z e n 1. O r d n u n g DW. Verfährt man in gleicher Weise mit den Gliedern der I. Differenzreihe, so entsteht die II. Differenzreihe mit den D i f f e r e n z e n 2. O r d n u n g D ( 2 ) . Die nächste Differenzreihe ist 0 , 0 , . . , also nicht vorhanden. Jede g a n z e rationale Funktion n-ten Grades hat n Differenzreihen. Die ganzen rationalen Funktionen sind d i e e i n f a c h s t e n F u n k t i o n e n . Sie werden daher in der praktischen Mathematik zur Erleichterung von Rechenvorgängen benutzt, indem man verwickelte Funktionen teilweise durch ganze rationale Funktionen ( P a r a b e l n 1., 2. oder 3 . Grades usw.) von möglichst geringem Grade ersetzt, die man als E r s a t z - o d e r I n t e r p o l a t i o n s f u n k t i o n e n bezeichnet. Beim Rechnen mit Funktionen y = / ( x ) hat man zunächst die G r u n d a u f g a b e , z u g e g e b e n e n W e r t e n v o n X d i e z u g e h ö r i g e n F u n k t i o n s w e r t e zu b e s t i m m e n . Von besonderer Bedeutung aber für die Lösung wissenschaftlicher und praktischer Probleme ist die umgekehrte Aufgabe: A u s g e g e b e n e n W e r t e p a a r e n (X, y) e i n e m ö g l i c h s t e i n f a c h e F u n k t i o n z u f i n d e n , d i e v o n d i e s e n e r f ü l l t w i r d . Die Lösung dieser Aufgabe ist eindeutig, wenn man dazu die einfachste ganze rationale Funktion verwendet. Dabei braucht, nebenbei bemerkt, der allgemeine Ausdruck der ursprünglichen Funktion gar nicht bekannt zu sein. Selbst wenn das der Fall ist, so ist vielfach der Ausdruck für das praktische Rechnen zu umständlich oder schwierig. Viel einfacher kommt man mit Hilfe einer Ersatzfunktion, also durch das V e r f a h r e n d e r I n t e r p o l a t i o n o d e r Z w i s c h e n s c h a l t u n g zum Ziele. Das gilt besonders auch beim Tafelrechnen. B i l d e n d i e b e k a n n t e n F u n k t i o n s -

werte innerhalb eines bestimmten Intervalls a n n ä h e r n d e i n e R e i h e i . , 2. o d e r 3'. O r d n u n g , s o k a n n m a n die in F r a g e s t e h e n d e F u n k t i o n in d i e s e m durch eine g a n z e r a t i o n a l e F u n k t i o n I., 2. o d e r 3 . G r a d e s e r s e t z e n . Unsere Aufgabe geht also dahin, d i e V o r z a h l e n d e r E r s a t z - o d e r Interp o l a t i o n s f u n k t i o n zu f i n d e n . 3 . D i e I n t e r p o l a t i o n s f u n k t i o n (Bild 2). Es seien gegeben f ü r die die zugehörigen Werte X0, Xlt X,2 die annähernd Funktionswerte y0, ylt y2, eine Reihe 2. Ordnung bilden sollen. Wir gehen aus von der f ü r das Tafelrechnen zweckmäßigen Ersatzfunktion (1) (1) y = a 0 +

;

a,/i + M

2

= D'." ;

°o = )'o

i ind i — in! h \ 0 2 und mithin für

(d*, 1 > -

y = y0 + j

iß*) u + ^¡¡ßo

>u

'-

Diese Formel bezieht sich auf das Intervall x , — x 0 = u, — u0 = h, das wir f ü r das Tafelrechnen in 1 0 gleiche Teile teilen.

F ü r U = — h, wo 10 9 annehmen kann, erhalten wir dann

n die Werte o, 1 , 2, 3

(2)

y=yo+

I n t e r p o l a t i o n s f o r m e l 2. O. (Quadratische Interp.)

— -°T + — (~— 10 1! 10 \io / 2! .

Sehen wir von dem dritten Gliede auf der rechten Seite der Gleichung (2) ab, so haben wir die bekannte Formel der l i n e a r e n I n t e r p o l a t i o n . F ü r diese sind 2 benachbarte Wertepaare (X, y) erforderlich. Bei der q u a d r a t i s c h e n I n t e r p o l a t i o n sind 3 solcher Wertepaare ( S t ü t z e n ) nötig, da nach (1) die Interpolationsfunktion 3 unbekannte Vorzahlen hat. Z u r Abkürzung setzen wir n 1 io\io ) io\io / \ 10 / Für die kubische Interpolation erhalten wir dann entsprechend wie vorher I n t e r p o l a t i o n s f o r m e l 3. O. (Kubische Interpolation)

(3) Zusammenstellung der Werte /¡, /2, t I

2

3

4

5

3

.

Es ist f ü r

6

7

0,6

8.

9

0,8 o,S 0,9 0,1 0,2 o,7 0,4 0.3 0 , 1 6 0,09 0,24 0,21 | o , 2 | 0,09 0 , l 6 0,21 S 0,24 0 , 1 7 1 0,288 o,3S7 | o,384| o , 3 7 5 0,336 0,273 0 , 1 9 2 0,099

H ö c h s t w e r t von 0,25 für n = 5, If. M =

Tis =

0

. 3 8 4 ,, n = 4 .

Damit hat der Benutzer die Möglichkeit, bequem quadratische und kubische Interpolationen durchzuführen. 4. Z u l ä s s i g k e i t d e r l i n e a r e n u n d q u a d r a t i s c h e n I n t e r p o l a t i o n . Die Zulässigkeit der ersten ist bereits in der Tafel in Abschnitt C unter II S. 28 mit einem Beispiel behandelt. Näheres siehe dort.

6

L i n e a r e I n t e r p o l a t i o n ist bei e i n e r in g l e i c h e n S c h r i t t e n der E i n g a n g s z a h l f o r t s c h r e i t e n d e n T a f e l an der S t e l l e z u l ä s s i g , w e n n die B e z i e h u n g g i l t d.h., wenn D k l e i n e r als 4 E i n h e i t e n der l e t z t e n S t e l l e bleibt.

ß(o2)
(3) < 8 ist, kommt hier die quadratische Interpolation in Frage.

8 9 11

Es ist tg 87,65» = 23,86 + 0,52 — o,oi = 24,37 ( r ) . Beisp. 2. Aus der Tafel 2 entnehmen wir die Werte von X3 mit der größeren Schrittweite W = 0,1 für 4,0 4,1 4-4 4,2 4.3 x3 64,00 68,92 74,09 79,51 85,18 Die Reihe x3 ist nicht D( i) linear interpolierbar, wohl 492 517 542 S67 £>( 2) aber quadratisch. 25 25 25 Es ergibt sich z. B. 4-053 ( 64,00) { + 2,46 = 66,43(0 ;

4,25

l — 0,03 J

(

74,09) + 2,71 = 76,77(0 • l — 0,03 )

§ 7. Erläuterungen und Beispiele zu Tafel 4: y = tg X; ctg X 1. Die Tafel y = tg X ist von X = 83,5°. an nicht mehr linear interpolierbar, da die zugehörige Differenz D^ = 5 ist. Die letzten drei Differenzen vor und die ersten drei nach der Übergangsstelle sind 127 130 134 | 138 143 147. 3 4 4 5 4 Die Anzahl der Dezimalstellen der Tafelzahlen beträgt von tg 45° ab 3 Stellen, im blokkierten Gebiet später 2 und 1 Stelle. Es ist jedoch zu beachten, daß durch Abstreichen der dritten Dezimalstelle im Abschnitt von 10,02 an wieder linear interpolierbar wird. 2. Beisp. 1. tg 34,85° = 0,6963 ; ctg 7 3 , 3 2 ° = 0,3000 j = 0 ) g g g 6 94ctg X = 2,190 x = 24,54°40 :10 = 4

2. tg X = 0,7826 x • = 38,05° ; '3 130: 2 8 « 5

§ 8. Erläuterungen und Beispiele zu Tafel 5: Aufzinsungs- u. Abzinsungsfaktoren 1. Die Tafeln sind nicht linear interpolierbar. Es sind mehr als 4 Stellen gegeben, um eine ausreichende Genauigkeit für den praktischen Gebrauch zu ermöglichen. Durch Abschneiden von Stellen kann man die Tafelzahlen auch für die Anwendung der linearen Interpolation geeignet machen (Beispiel 1). Die Aufgaben der Zinseszins-, Anleihe- und Vefsicherungsrechnung sind möglichst ohne Logarithmen zu berechnen, da die Berechnung höherer Potenzen mit Hilfe von Logarithmen (siehe § 18) recht ungenau ist. 2. Beisp. I . Gegeben sind die Aufzinsungsfaktoren für 3 % von 20 bis 23 Jahren. Wieviel Stellen sind zu streichen, um linear interpolieren zu können ? D( i ) 20 Jahre 21 „ 22 ,, 23 ,,

1,80611 86029 91610 97359

D( 2) 163

5581

5749

168

7

Man erkennt sofort, daß das Abstreichen von 2 Dezimalstellen die zweiten Differenzen unter 4 herabdrückt. Man führe das Abstreichen hier aus, da es im Druck mit besonderen Kosten verbunden ist.

B e i s p . 2. Bei welchem Zinsfuß zwischen 3 und 4 % wächst ein Kapital mit Zinseszinsen in 20 Jahren auf den doppelten Betrag? Es ist für

3Vo

p

q20

1,806

3,5%

„0/ 4 0

4,s7O

1,990 2,191 2,412 184 201 221 2 2

In dieser Aufstellung hat man noch eine Dezimalstelle zu streichen. Man tue esl Einem Zuwachs für q 2 0 von 0,20 entsprechen . . . . 0,5% ..0,01 ,, . . . . 0 , 5 % : 20 = 0,025%. Mithin ist das gesuchte p m 3,525%. Das genauere Ergebnis ist 3 , 5 2 6 % . B e i s p . 3. Ein Kapital ist in 10 Jahren von 1500 DM auf 2115,90 DM gewachsen. Gesucht der Zinsfuß. Es ist q 1 0 = kl():k0 = 2115,90: 1500 = 1,4106. Die Tafel liefert p = 3 , 5 % . B e i s p . 4. Barwert von 4 nachschüssigen Zahlungen von je 1000 DM bei 5 % Diskont. ß

+

=

= 3546 DM

B e i s p . 5. Eine Hypothek von S = 10000 DM soll in 10 gleichen Jahreszahlungen A abgetragen werden. Jährliche Zahlung bei 5 % ? Es ist A = S

B.

q

1—(q)10

= 10000

1—0,6139

= - ^ r - = 1295 DM. 0,3861

Logarithmentafeln

§ 9. Von den Logarithmen im allgemeinen 1. E n t s t e h u n g und B e g r i f f . Logarithmen sind H i l f s - o d e r E r s a t z z a h l e n , die zweckmäßig in Tafeln zusammengestellt werden und mit denen man statt mit den gegebenen rechnet, um die Rechenvorgänge zuvereinfachen. Wie kommt man zu den Logarithmen ? In der einfachen Potenzaufgabe 2 3 = 8 müssen zwei Größen bekannt sein, um die dritte zu finden. Es liegt vor, wenn a) der P o t e n z w e r t x gesucht ist, also x = 2 3 gegeben ist, eine P o t e n z a u f g a b e , b) die G r u n d z a h l b ,, ,, ,, b 3 = 8 ,, , , , ,, Wurzelaufgabe, c) der E x p o n e n t y ,, ,, ,, 2 " = 8 ,, , , , ,, L o g a r i t h m e n a u f g a b e . In der letzten Beziehung, in der der E x p o n e n t oder die H o c h z a h l y = 3 gesucht ist, heißt dieser Exponent der L o g a r i t h m u s der Z a h l oder d;s N u m e r u s 8 zur G r u n d z a h l 2. L o g a r i t h m e n s i n d d e m n a c h E x p o n e n t e n zu e i n e r g e g e b e n e n G r u n d z a h l . Wir machen uns eine ganz einfache Logarithmentafel, indem wir in der nachstehenden Tabelle die Z a h l e n X a l s P o t e n z e n d e r s e l b e n G r u n d z a h l 2 darstellen: X

1

2

4

2V

2»

2

1

2

y

0

1

2

2

8

16

32

64

3

2

2

2«

2

3

4

4

6

5

6

128 256 2'

2

7

8

8

512 1024 2» 2 10 9

10

Zahlen (Numeri) Darstellung als Potenzen Logarithmen L)

') In der A r i t h m e t i k (Arithmetica integra) von Michael Stifel (1487—1567) finden wir bereits eine solche Zusammenstellung, die man vielleicht als erste Logarithmentafel bezeichnen könnte. Der Verfasser hat die Bedeutung der Logarithmen schon klar erkannt. Erst die Einführung der Dezimalbrüche ermöglichte vollständige Logarithmentafeln. Die erste gab der Schotte Lord John Neper (1614) heraus. Etwas später (1620) erschien die Tafel des Schweizers Jost B ü r g i . Beiden war die m o d e r n e E r k l ä r u n g der Logarithmen als Potenzexponenten einer bestimmten Grundzahl völlig fremd, die erst um 1750 von L. E u l e r gegeben wurde, der z u e r s t im Logarithmieren die zweite Umkehrung der Potenzierung erkannte. Bei N e p e r ergibt sich als Grundzahl ein Wert, der 1 : e, bei B ü r g i ein solcher, der e, also der Basis unserer natürlichen Logarithmen nahekommt. Die Logarithmen wurden ursprünglich sehr mühsam und umständlich aus der Vergleichung einer g e o m e t r i s c h e n R e i h e und einer arithmetischen Reihe abgeleitet. Die erste stellt die Numeri, die zweite die Logarithmen dar. In seiner Arithmetica logarithmica 1624 erklärt H. B r i g g s die Logarithmen als Zahlen, die P r o p o r t i o n a l g r ö ß e n , d. h. Gliedern einer geometrischen Reihe, zugeordnet sind. Daher erklärt sich auch der Name Logarithmen = Verhältniszahlen vom griech. logos = Verhältnis und arithmos = Zahl. An anderer Stelle bezeichnet er sie richtiger als B e g l e i t e r von P r o p o r t i o n a l z a h l e n . Die Angaben vieler Bücher sind nicht zutreffend.

8

Um den Logarithmus unmittelbar als Funktion auszudrücken, schreibt man z. B. statt 2» = 8 y — 2 Iog 8 = 3 (gelesen: y gleich Log. 8 zur Grundzahl 2). 8 2 Ö = 2 3 + 6 = 28 Zum Log. 8 gehört nach Tab. 256 1024: 64 = 2 10 2 « = 210"4 = 2« ,, .>6 ,, ,, ,, 64 83 = (2 3 ) 3 = 2 3 , 2 = 29 ,, 9 ,, 512 „ Statt die gegebenen Zahlen 8 und 32 zu multiplizieren, hat man ihre Logarithmen 3 und 5 nur zu addieren und zu ihrer Summe 8 aus der Tabelle die z u g e h ö r i g e Z a h l 256 zu entnehmen usw. Das Bild 3 gibt eine anschauliche Darstellung der Tabelle der Funktion y = 2lg X (oder X = 2V). Während die Zahlen X in geometrischer Reihe (Faktor 2) wachsen, steigen die zugehörigen Logarithmen in arithmetischer Reihe mit der Differenz 1. Der Multiplikation (Division) der Zahlen X entspricht die Addition (Subtraktion) der Zahlen y usw. Rechenbeispiele:

y

' 2

32

16

¡t-

Bild 3. Die Kurve für y =

2 log

X

Von besonderer Bedeutung für das praktische Rechnen sind die Z e h n e r l o g a r i t h m e n (die g e w ö h n l i c h e n L o g a r i t h m e n ) mit der G r u n d z a h l 10. E r k l ä r u n g . Der L o g a r i t h m u s e i n e r Z a h l X z u r G r u n d z a h l b = 10 i s t der E x p o n e n t , m i t dem 10 p o t e n z i e r t w e r d e n m u ß , u m x zu e r h a l t e n . Es mu3 also y so bestimmt werden, daß die Gleichung (I) 10» = * ( z . B . i o ° ' 5 = i o i = 3,16) erfüllt ist. Der „ W e r t " von y kann hier nicht ohne weiteres durch bekannte Rechenzeichen angegeben werden, sondern man muß ein n e u e s S y m b o l einführen. Man schreibt (II) y = 'lg* und liest: y gleich Logarithmus X zur Grundzahl 10. B e i s p i e l e , lg 100 = 2, denn io 2 = 100; lg 3 1 , 6 ä : 1,5, denn io 1 ' 5 = 102 = / i o o o ä ; 31,6. In ( I I ) heißt X der N u m e r u s oder die Z a h l . D i e G e s a m t h e i t der L o g a r i t h m e n a l l e r Z a h l e n zu d e r s e l b e n G r u n d z a h l bilden e i n Logarithmensystem. In Gebrauch sind zwei Systeme, die Z e h n e r l o g a r i t h m e n (dekadische Lg), die zuerst von dem Engländer H. B r i g g s 1625 herausgegeben sind, und die n a t ü r l i c h e n L o g a r i t h m e n mit der Grundzahl e = 2,71 828 . . . . Die ersten werden mit lg (ohne Grundzahl), die letzten mit Ig nat oder In bezeichnet. D i e G e s e t z e f ü r das R e c h n e n m i t L o g a r i t h m e n . Sind a. und ß die Zehnerlogarithmen der Zahlen a und b und ist n eine reelle Zahl, so erhält man einfach nach den Potenzgesetzen: a •• bb == 10" i o « • 10" = i o a + ' 3 a : b = i o " : io^ =

an

= (io»)n »,_ n. ya = V i o "

d.h.

io"-^

lg (a • b) = « +ß

= lg a + lg b

lg (a : b) = a — ß = lg a — lg b lg a " n • n lg a 1 1 lg Va lga.

= io" ' * 2 = ion

n

Das besagt: W e n n w i r s t a t t m i t den g e g e b e n e n Z a h l e n m i t i h r e n E r s a t z z a h l e n , den L o g a r i t h m e n , r e c h n e n , so w e r d e n die O p e r a t i o n e n des M u l t i p l i z i e r e n s , D i v i d i e r e n s , P o t e n z i e r e n s und R a d i z i e r e n s auf e n t s p r e c h e n d e i n f a c h e r e m i t den Logarithmen vorzunehmende Operationen, nämlich Addieren, Subtrahieren, M u l t i p l i z i e r e n und D i v i d i e r e n z u r ü c k g e f ü h r t . W i r e r h a l t e n den L o g a r i t h m u s eines Produktes, indem wir die Logarithmen der Faktoren addieren, „ Quotienten, „ „ den Log. des Zählers um den Log. des Nenners vermindern, einer Potenz, „ „ „ „ der Grundzahl mit dem Exponenten multiplizieren, „ Wurzel, „ „ „ „ des Radikanden durch den Wurzelexponenten teilen. Prüfe die Richtigkeit der Gesetze an der logarithmischen Teilung (Bild 7) in Abschn. D der Tafeln.

9

3. Die e l e m e n t a r e B e r e c h n u n g e i n i g e r L o g a r i t h m e n . Zunächst berechnen wir mit Hilfe der Tafeln der Quadrate und Kuben einige leicht zu ermittelnde Werte: io0'00 = I d. h. lg 1 , 0 0 = 0 . 0 0 Ebenso aus IO 0 - 5 = 10* = lg 1 , 7 8 « 0 . 2 5 10 » 1 , 7 8 = j ; [/xo ä ; 0,316 I 0 -o,5 IO0,50 = xof = K™ lg 3 , 1 6 « 0 . 5 0 a- 3 , I 6 x 0,562 I O -o,25 =

y

io". 7 5 = 10* = /IOOO?:» 5,62 j o 1 ' 0 0 = 10

lg 5 , 6 2 « o- 75 lg 10 = 1.00

d. h. lg 0 , 3 1 6 « — lg 0 , 5 6 2 « i —

0,5 0,25.

Wir haben uns im Vorstehenden zur Vereinfachung des Kunstgriffes bedient, daß wir zu bestimmten Logarithmen die zugehörigen Zahlen errechneten. Das geschah gleichzeitig mit dem Ziel, aus den gefundenen Werten die Kurve von y = lg X zu zeichnen und aus der Darstellung die Logarithmen von anderen Zahlen des Bereiches von 1 bis 10 zu entnehmen (s. § 10, 1). Es ist natürlich, daß der Leser, der zum ersten Male mit Logarithmen in Berührung kommt, auch wissen will, wie man den Logarithmus einer gegebenen Zahl berechnet. Die höhere Mathematik verfügt über sehr bequeme Verfahren. Dagegen ist die Berechnung mit elementaren Mitteln sehr mühsam, doch kann auch diese durch die Benutzung der Tafeln 1 und 2 (Quadrate, Kuben) sehr erleichtert werden. B e i s p . 1. Gesucht wird X = lg 464. Es ist also der Exponent X in der Gleichung (1) i o x = 464 zu bestimmen. 10*

Kubierung

= 4 , 6 4 • 102

io 3 * = 99,90 • io* (T. 2) 10a*
99,938 ,938 • 0» Ä : iIO 85 Demnach ist X = lg 59 « — ~ 1.77083.

,,,,

, » ,»

48

Wir haben damit 1g 59 mit fünf Dezimalstellen gefunden. Die 7-stellige Logarithmentafel liefert 1.770 8520, so daß der Fehler nicht einmal 3 Einheiten der fünften Dezimalstelle beträgt.

§ 10. Die Zehnerlogarithmen 1. Die V o r t e i l e der Z e h n e r l o g a r i t h m e n sind bedingt durch die folgenden G r u n d g e s e t z e : I. D i e L o g a r i t h m e n der d e k a d i s c h e n und d e z i m a l e n E i n h e i t e n s i n d p o s i t i v e oder negative ganze Zahlen. In der nebenstehenden Aufstellung sind die dekadischen und dezi1 0 0 0 0 = 10« malen Einheiten als Zehnerpotenzen geschrieben. Aus ihr folgt I. 1 0 0 0 = IO 3 Weiter ergibt sich daraus, daß die Logarithmen aller anderen Zahlen X 1 0 0 = IO 2 zwischen diesen g a n z e n E x p o n e n t e n liegen: 1 0 = IO 1 z . B . die Logarithmen aller 1-stelligen Zahlen zwischen o und 1, 1 = 10° ferner ,, ,, ,, 2-stelligen ,, ,, 1 und 2 usw. 1 0,1 = i o Die Logarithmen dieser Zahlen X sind irrationale Dezimalbrüche, die 2 0,01 = I0~ je nach der gewünschten Genauigkeit auf 4 , 5 oder 7 Stellen abgekürzt 0,001

=

IO-3

werden.

Z . B . ist lg 2 = 0 . 3 0 1 0 . . . (zwischen

o und 1),

lg 4 2 5 0

= 3 . 6 2 8 4 . . . (zwischen 3 und 4). Diese Logarithmen bestehen aus e i n e r g a n z e n Z a h l v o r dem K o m m a , der sogenannten K e n n z i f f e r (Kennzahl) und den Z i f f e r n n a c h dem K o m m a , der M a n t i s s e (vom lat. mantissa = Zugabe). II. D i e K e n n z i f f e r d e s L o g a r i t h m u s e i n e r Z a h l i s t i m m e r u m 1 k l e i n e r a l s i h r e S t e l l e n z a h l (vgl. Graph. Log.-tafel 1, Titelbild der Tafeln u. Bild 5 der Erl.). D i e v o r s t e h e n d e A u f s t e l l u n g z e i g t , d a ß die K e n n z i f f e r a l l e r 1 - s t e l l i g e n Z a h l e n ( d . h . a l l e r Z a h l e n v o n 1 -> 1 0 ) , o i s t , d i e a l l e r 2 - s t e l l i g e n Z a h l e n ( v o n 10 - > 1 0 0 ) 1 i s t usw. III. Z a h l e n v o n v e r s c h i e d e n e m W e r t , a b e f m i t d e r s e l b e n Z i f f e r n f o l g e h a b e n die gleiche Mantisse. Hat

m a n z . B . l g 1 , 7 8 9 = 0 . 2 5 4 9 , s o i s t lg 1 7 8 , 9 = l g ( 1 0 0 • 1 , 7 8 9 ) = 2 +

= 2.2549. Vgl. Titelbild der Tafeln.

10

0.2549

2. N e g a t i v e L o g a r i t h m e n . Die Logarithmen vcn e c h t e n B r ü c h e n sind n e g a t i v , wie die Darstellung der log. Kurve in Bild 4 deutlich vor Augen führt. Vgl. Titelbild der Tafeln. B e i s p . 1 . lg J = lg 0 , 5 = lg ( 5 • i o " 1 ) = lg 5 + lg i o ~ » = 0 . 6 9 9 0 — i = — 0 . 3 0 1 0 . 2 . lg 0 , 0 2 5 0 8 = lg ( 2 , 5 0 8 • i o ~ 2 ) = lg 2 , 5 0 8 + lg i o - 2 = 0 . 3 9 9 5 — 2-

Negative Logarithmen schreibt man meist mit positiver M a n t i s s e und n e g a t i v e r K e n n z i f f e r . Das hat seinen guten Grund. Denn wie bei den'gewöhnlichen Zahlen diese durch das Komma einem bestimmten Zehnerbereich zugeordnet werden, so wird auch den L o g a r i t h m e n d u r c h die K e n n z i f f e r für den Numerus ein s i c h e r e r P l a t z in der Z e h n e r o r d n u n g zugewiesen. Das Titelbild der Tafeln und Bild 5 der Erl. führen diesen Zusammenhang klar vor Augen. Die Kennziffern sind die R a n g - oder P l a t z n u m m e r n d e r Z e h n e r b e r e i c h e , zu denen die Logarithmen gehören.

§ 11. Die logarithmische Kurve. Graphische

Neue Formen.

Logarithmentafeln.

1. Die l o g a r i t h m i s c h e K u r v e n = lg x. Die besondere Bedeutung der dekadischen oder Zehnerlogarithmen für das praktische Rechnen erkennt man am klarsten an der Hand der log. Kurve und ihren Erweiterungen. Es genügt bei diesem Logarithmensystem, nur die Logarithmen aller Zahlen eines Zehnerbereiches, z. B. von 1 bis 10 (Rechenschieber) oder von ioo bis 1000 (Vierst. Log.-tafel) zu kennen, um daraus die Logarithmen aller positiven Zahlen der anderen Bereiche in einfachster Weise abzuleiten.

Bild 4.

Die logarithmische Kurve y = lg X (Grundform) von X = 0,1 -*• 10 (untere Kurve). Verschieben um eine Einheit nach oben ergibt log. Kurve von X = 1 -*• 100. Dabei Änderung des Maßstabes der X-Achse auf — des ursprünglichen. 10

In Bild 4 ist die Kurve y = lg X von X = 0,1 bis X = 1 0 auf Grund der nachstehenden Tabelle dargestellt. 0,1 X

y = lg x

0,1

> 1,0

o,5

— 1 —0.30

1,0 —>• 1 0

1

2

3

4

5

0.0

0.30

0.48

0.60

0.70

6 0.78

7

8

9

10

0.85

0.90

0.95

1.00

Bei der Darstellung ist zu beachten, daß z. B . lg 0,5 = lg i = lg 1 — lg 2 = — lg 2 = — 0.30 ist. Aus dem Bild entnehme man a) die Log. von 2,5; 3,8; 5,2; 6,3; 7,6; 9,1 und umgekehrt b) die Numeri von 0.38; 0.58; 0.60; 0.64; 0.82; 0.94. Denkt man sich das Kurvenstück AB von x = 1 bis X = 1 0 um e i n e E i n h e i t n a c h o b e n v e r s c h o b e n , so erhält man die Logarithmen des Bereiches von 1 0 b i s 1 0 0 . Denn es ist nach § 9,2)

lg 20 = lg (10 • 2) = lg 10 + lg 2 = 1 + lg 2 « s 1.30 lg 5 ° = lg ( i o - 5 ) - l g 10 + l g 5 = 1 + lg 5 « 1 . 7 0 lg 100 = lg (10 • 10) = lg 10 + lg 10 = I + lg xo = 2 . 0 0 usw.

Für die neue Kurve hat man nur das Argument oder die Eingangszahl X mit io 1 zu multiplizieren. Verschiebt man dagegen die Kurve um eine Einheit nach unten, so erhält man die Logarithmen von 0,1 bis 1,0. Hier ist X mit 1 : i o = i o _ 1 zu multiplizieren. 11

2.

Man erkennt leicht, daB zur graphischen Bestimmung aller Logarithmen nur das K u r v e n s t ü c k AB des G r u n d b e r e i c h e s v o n i b i s 10 erforderlich ist. Es liegt daher nahe, aus diesem H a u p t s t ü c k d e r n o r m a l e n l o g . K u r v e e r w e i t e r t e F o r m e n d e r l o g . K u r v e abzuleiten und eine v o l l s t ä n d i g e g r a p h i s c h e L o g a r i t h m e n t a f e l ( d . h . m i t A n g a b e d e r K e n n z i f f e r ) aufzubauen. Das kann auf zwei Arten geschehen a) in K a s k a d e n f o r m , Bild 5, b) in S t u f e n f o r m , Titelbild der Tafeln. Die K a s k a d e n f o r m (Bild 5) ergibt sich, indem man alle Zehnerbereiche auf der X-Achse gleich macht, also die Bereiche rechts vom Grundbereich fortlaufend im Maßstab m = 1 : 10, 1 :100 usw. verkleinert, dagegen die links davon im Maßstab 10 : 1 , 100 : 1 usw. vergrößert. Vorteil: Man ist der Höhe nach weniger beschränkt. D i e S t u f e n f o r m (Titelbild der Tafeln = Graph. L . T . 1) ergibt sich, indem man sämtliche Achsenstücke der Zehnerbereiche mit dem Grundbereich zusammenfallen läßt und die Kurven der Logarithmen der h ö h e r e n bzw. der n i e d e r e n B e r e i c h e gewinnt, indem man das Hauptstück der log. Kurve immer um je eine Einheit n a c h o b e n b z w . n a c h u n t e n verschiebt. Damit gewinnt man ein ungemein anschauliches Bild einer v o l l s t ä n d i g e n g r a -

p h i s c h e n L o g a r i t h m e n t a f e l , die auf kleinstem Raum die vollständigen Logarithmen von beliebig vielen Bereichen z. B. von 8 oder 10 Zehnerbereichen umfaßt, während die Logarithmentafeln meist nur einen Bereich (z. B . die Vierst. Tafeln von 100 bis 1000) geben. Natürlich ist die Ablesegenauigkeit gering. Doch wird man zugeben müssen, daß diese so kleine Tafel die umfassendste Tafel darstellt, die bislang gegeben wurde. Der H a u p t z w e c k d e r T a f e l jedoch ist z. ein anschauliches Bild der Gesetzmäßigkeiten der Zehnerlogarithmen zu geben, 2. die Möglichkeit der Überprüfung von. Logarithmen, die aus einer Tafel entnommen sind, durch einen Blick zur Vermeidung von groben Irrtümern. Die g r a p h . L o g . - t a f e l 1 liefert anschaulich die Kennziffer und die ersten Ziffern der Mantisse und u m g e k e h r t zu gegebenen Logarithmen angenähert die zugehörigen Numeri (Eingangszahlen). Sie zeigt ferner die Bedeutung der Kennziffer und der Mantisse. Dem Leser wird zur Erhöhung der Anschaulichkeit empfohlen, im Titelbild den Streifen mit den Kennziffern und die kongruenten „Mantissenflächen" grün oder rot anzulegen. B e i s p i e l e : Bestimmen des L o g a r i t h m u s : 1 g 6 3 1 0 « 3 . 8 0 ; lg 4 4 , 7 « 1.65; lg 0 , 0 3 7 2 « 0 . 5 7 — 2 ,,

,,

Numerus:

l g x = 1 . 9 0 3 ; lg x = 2 . 2 5 1 ; l g x = 0 . 3 5 0 2 — X « 80.0 X Ä ; 178 x « 0,00224.

3

D i e d e k a d i s c h e E r g ä n z u n g von lg 6310 = 3.8000 ist der Log. des umgekehrten Wertes,

a l s o v o n lg (1 : 6 3 1 0 ) = lg 1 — lg 6 3 1 0 = -— 3.8000 = ( 4 — 3.8000) —

4 = 0.2000 — 4 .

Gra-

phisch erhält man das Bild der dekadischen Ergänzung, indem man das Bild von lg 6310 um die X-Achse nach unten u m l e g t oder an der X-Achse s p i e g e l t . Man erkennt daraus anschaulich, wie im vorliegenden Falle bei der dek. Ergänzung die Kennziffer o. — 4 zustande kommt. Legt man die oberen Kurven um die X-Achse um, so erhält man die sämtlichen dek. Ergänzungen der oberen Bereiche. In der Graph. L . T . 1 sind für lg 600 (beachte 6 • m = 6 • io 2 ) die Kennziffer und Mantisse durch Pfeile gekennzeichnet, ebenso für lg 0,05 = lg xoT ( m = i o - 2 ) . D i e K e n n z i f f e r n k e n n z e i c h n e n d e n Z a h l e n b e r e i c h , zu d e m der L o g a r i t h m u s g e h ö r t , sie bilden bei den Logarithmen eine entsprechende Rolle wie das Komma bei den Zahlen. Aus der Graph. L. T. 1 erkennt man, daß die Logarithmen von echten Brüchen negativ sind, z. B . lg 0,05 = lg-i^ö ~ 0.7 — 2 = — 1 . 3 . D i e S c h r e i b w e i s e lg 0 , 0 5 « 0.7 — 2 m i t n e g a t i v e r g a n z e r K e n n z i f f e r wird aus dem Bild a n s c h a u l i c h klar. Sie dient d a z u , d e n z u g e h ö r i g e n Z a h l e n b e r e i c h z u k e n n z e i c h n e n . Weiteres bleibt dem Leser überlassen. Die Graph. L . T . 1. bildet auch die Grundlage zur Gewinnung eines a n s c h a u l i c h e n V e r s t ä n d n i s s e s .des R e c h e n s c h i e b e r s . Darauf kann im einzelnen nicht eingegangen werden.

12

Denken wir uns auf der y-Achse links die log. Teilungen aufgetragen, so ist die log. Einheit (lg 10 = i) oder Maßeinheit 10 mm. Haben wir nun irgend einen Logarithmus, so bedeutet die K e n n z i f f e r die A n z a h l der g a n z e n o d e r der v o l l e n f e h l e n d e n M a ß e i n h e i t e n , d a g e g e n die s t e t s p o s i t i v e M a n t i s s e den Teil der M a ß e i n h e i t . 3. Das Titelblatt der Erläuterungen zeigt die g r a p h i s c h e L o g a r i t h m e n t a f e l 2. Diese enthält auf 10 Teilskalen mit den Leitskalen o, 1, 2 . . . 9 eine logarithmische Teilung mit der logarithmischen Einheit (Maßeinheit) 1 • lg 10 = 1000 mm Länge. Zur Herstellung siehe T a f e l n C, G r a p h i s c h e s R e c h n e n 1. Gemäß der angegebenen Maßeinheit werden auf der Teilung vom Anfangspunkt die Logarithmen von 1 bis 10 aufgetragen und die Endstellen mit der zugehörigen Zahl bezeichnet. Z. B. steht am Ende der Strecke 1000 lg 2,600 = 1000 -0.4150 = 415 mm die Zahl 2,6 oder 26. Für den Gebrauch ist zu beachten, daß man die L o g a r i t h m e n auf den g e r a s t e r t e n S t r e i f e n abliest und zwar oben die K e n n z i f f e r , l i n k s die 1. Z i f f e r der M a n t i s s e und auf der M e ß t e i l u n g die 2. bis 4. Z i f f e r , dagegen die N u m e r i oder Z a h l e n auf den hellen Teilskalen. Zum Ablesen oder Einstellen benutzt man entweder ein genau geteiltes 10 cm langes Meßlineal mit Millimeterteilung 1 ) oder besser einen durchsichtigen Ablesestreifen aus durchsichtigem Zel'on, auf dessen unterer Fläche ein rot angelegtes Achsenkreuz eingeritzt ist oder einen Ablesestreifen auf Pauspapier, auf dessn Unterseite ein rotes Achsenkreuz gezeichnet ist. Beispiele: a) B e s t i m m e n des L o g a r i t h m u s . Gesucht lg 1750. Ablesestreifen mit waagerechter Anlegelinie auf den unteren Rand der Tafel, lotrechte Ableselinie auf 1750. Dem oberen Streifen entnimmt man v o r e r s t die Kennziffer 3, d a n n , da die Zahl auf der Teilskala mit der Leitzahl 2 steht, diese als 1. Mantissenziffer. Endlich liest man unter dem Ablesestrich auf der Meßteilung 430 ab. Erg e b n i s : lg 1750 = 3.2430. b) B e s t i m m e n des N u m e r u s . Gesucht X, wenn lg X = 1.3375 gegeben ist. Verfahren umgekehrt wie unter a). E r g e b n i s : X = 21,75. 3/ c) G r a p h i s c h e s R e c h n e n : 1,36" = 1,850; ^2,5150 = 1,36 usw. § 12. Einrichtung und Gebrauch der Logarithmentafel (T. 1 1 u. 12) i a ) Die V o r t a f e l 11 enthält die v o l l s t ä n d i g e n L o g a r i t h m e n mit vier Dezimalstellen von 1 bis 100. Sie hat nur den Zweek, dem ersten einführenden Unterricht in den Gebrauch der Logarithmen zu dienen und zwar zur bequemeren Entnahme der Logarithmen der Zahlen von 1 bis 100. Interpolation kommt für sie praktisch nicht in Frage. Jedoch kann man sich zur Übung die Frage vorlegen: Von welcher Stelle X0 an wird sie für die Tafelschrittweite W = 1 linear interpolierbar. E r g e b n i s : X„ = 31. b) Die H a u p t t a f e l 12 enthält die v i e r s t e l l i g e n M a n t i s s e n a l l e r d r e i z i f f r i g e n Z a h l e n von 100 bis 1000, also der Ziffernfolgen 100, 101, 102 . . .. Die Mantissen aller dreistelligen Zahlen können daher unmittelbar aus der Tafel entnommen werden, die der vierstelligen sind, abgesehen von den durch 10 teilbaren Zahlen, durch g e r a d l i n i g e E i n s c h a l t u n g zu bestimmen. Tafilschrittweits W = 10, da aus der Tafel nur die Logarithmen der Zahlen 1000, 1010, 1020, 1030 . . . unmittelbar entnommen werden können. 2. D a s A u f s u c h e n der L o g a r i t h m e n . Beisp. 1. lg 156 = 2.1931; lg 7,27 = 0.8615; lg 0,849 = 0.9289—1. Die dreistellige Zahl 156 liegt zwischen 100 und 1000 und hat demgemäß die K e n n z i f f e r -f 2 (Graph.L.T.i). Dazu tritt die M a n t i s s e oder Zugabe 1931, die der Zeile mit der Leitzahl 15 in der Spalte 6 entnommen wird. Entsprechend ergibt sich: lg 1560 = 3.1931; lg 1,56 = 0.1931; lg 0,9156 = 0.1931 — 2. Nachprüfung an der Graph. L . T . i : lg 1 , 5 6 » 0.2. Beisp. 2. (MitInterpolation) lg 2868=3.4576; lg 18,67= 1-2711; lgo,01035 =0.0149—2 Der Logarithmus von 2868 hat die Kennziffer 3 (Graph. L. T. 1). Zu der Ziffernfolge 2860 gehört die Mantisse 4564, zur Ziffernfolge 2870 dagegen 4579. Daher liegt lg 2864 zwischen 3-4564 und 3-4579. In übersichtlicher Schreibweise: lg 287^0 = 3.4579 lg 286^ = 3.45 • • lg 2860 = 3-4S64Einem Wachsen der Zahl x um 1 0 . . . entspricht ein Wachsen des Log. um 15-io~ 4 , also einem ,, ,, 8 ,, „ ,, 8 • i,5.io" 4 = i 2 . i o - 4 . Es ist demnach

lg 2868 = j ^

5

^ } = 3.4576.

Betrachten wir das Ansteigen der Mantissen in dem Haupteingang der Zeile 28 -, so stellen wir fest, daß diese durchschnittlich um 15.10"* zunehmen und dadurch die Zulässigkeit der uns bekannten g e r a d l i n i g e n I n t e r p o l a t i o n begründet ist. 1 ) Da das Bild auf dem Titelblatt etwas stärker verkleinert ist als vorgesehen war, wird der Benutzer gebaten, falls er eine Me3t;ilung zum Anlegen wünscht, sich eine solche nach der gegebenen Meßteilung auf dem Rande einer Postkarte herzustellen.

13

B e m e r k e n s w e r t ist, daß die T a f e l s c h n i t t w e i t e W = 10 beträgt. Entsprechend ist l g 2 8 6 8 0 0 = 5.4576; lg 28,68 = 1.4576; lg 0.02868 = 0.4576—2 (Gr. L . T . 1). 3. D a s A u f s u c h e n d e r E i n g a n g s z a h l e n o d e r N u m e r i ( G r . L . T . 1). B e i s p . 3. ( o . I . ) lg x a = 0.1430, x , = 1,39; lg X2 = 3 6304, X s = 4270 4 . ( m . I . ) l g x 3 = 4.8033, x 3 = 63570; lg x, = 0.5167 — 2, x 4 = 0,03286. — 28 59 50 : 7

§ 13.

80 : 1 3

Das Rechnen mit Logarithmen

B e i der E i n f ü h r u n g in das l o g . R e c h n e n ist es dringend erforderlich, n i c h t sofort schematisch z u rechnen, w e i l dabei Sinn und W e s e n der L o g a r i t h m e n nicht kiar z u m Ausdruck k o m m e n . W i r beginnen daher m i t g a n z p r i m i t i v e n Beispielen, um dafür um so deutlicher die L o g a r i t h m e n rechnung als „ E x p o n e n t e n r e c h n u n g " in Erscheinung treten zu lassen. W i r empfehlen auch die Herstellung einer e i n f a c h e n l o g . Teilung (Vierst. T a f e l n , Abschn. D Bild 7) und P r ü f u n g der Rechengesetze m i t d e m Z i r k e l m i t den Beispielen l g (2-3) = lg 2 + lg 3 ; lg ( 6 : 2) = l g 6

- lg 3 ; lg 2 3 = 3 lg 2; lg ^ 8 "

B e i s p . 1. Gesucht P r o d . 12 - 15 Schreiben w i r 12 und 15 als P o t e n z e n von 10, so ist 12 = 1 0 1 - o n i • 25 = 10 1 - M "

Beisp. 2.

Es' ist 645 = i o 2 " 8 » 9 « : 43 =

In abgekürzter F o r m :

4771

iq'-"**

645:43 =

12 • 25 = 10 1 - ü " 2 + M « ? » Prod. = i o 2 " Nach T a f e l P r o d . = 300

\ lg 8.

Gesucht Quot. 645 : 43

io

1

»»-

'™

1

Quot. = i o 1 1 7 6 1 d. h. lg Quot. =

d . h . lg P r o d . = 2.4771

1.1761

Nach T a f e l Quot. = 45 Zahl

1.0792

12 • 25

Zahl

Lg

+

645 : 43

1-3979 2.4771

300

Lg 2.8096 — 16335 11761

iS

B e i s p . 3. Gesucht P o t e n z 2,482. D a l g 2,48 = 0.3945, so ist 2,482 = ( i o ° - 3 U 4 6 ) 2 = i o 0 " ' 8 » 0

B e i s p . 4. Gesucht W u r z e l [/343 Da lg 343 = 2.5353, so ist 3.43 = i o 2 6 3 5 3

P o t e n z = 6,151

V343 = i o 2 - 5 3 5 3 :

3

= 10°

8451

Wurzel = 7 3, B e i s p . 5. a ) 526 • 0,984 = 517,6; b) 526 : 0,984 = 534,6; c ) 52,6 2 = 2767; d) 1/0,984 = 0,994» Beisp. 6.

A

b

Zahl

Ausrechnung: a •b ab :C A

B e i s p . 7. ^0,3546

_ 3,478 • 45.63 125,4

3,478 45,63

125,4 1,266

Zahl

Lg

Lg

+

0,3546

°-54I3 1-6593

/0,3546

0-5497 — 1 (4-5497 — 5) = 5

0,8126

2.2006 — 2.0983

0.9099 — 1 96 30:5

0.1023

D e k a d i s c h e E r g ä n z u n g . Dieser bedient m a n sich, wenn bei Rechenausdrücken Multiplikationen und Divisionen abwechseln, um die Subtraktion v o n L o g a r i t h m e n in eine A d d i t i o n zu verwandeln. Soll z . B. in e i n e m Ausdruck durch 37,66 dividiert w e r d e n , so kann m a n d a f ü r 1 : 3 7 , 6 6 als F a k t o r setzen. Es ist nun lg 37,66 = 1.5759. Dann erhält m a n f ü r lg (1 : 3 7 , 6 6 ) = l g 1 -

lg 37-66 = { +

* _

^

= 0.4241 — 2 -

^

-

2

(Dekadische

A n Hand der Stufenkurve ergibt sich die dek. E r g . durch U m l e g u n g nach unten oder e i n f a c h e Spiegelung an der X-Achse.

um

Erg.). die

X-Achse

Beispiel: l g 6310 = 3.8000; lg (1 : Ö 3 i o ) = 0.2000 — 4. D i e d e k . . E r g . v o n l g a i s t d e r L o g a r i t h m u s d e s u m g e k e h r t e n W e r t e s v o n a, also lg ( 1 : a ) . D i e Mantisse der d e k . Erg. kann m a n sofort hinschreiben, w e n n m a n den L o g a rithmus in der T a f e l v o r sich h a t . M a n h a t e i n f a c h j e d e Z i f f e r d e r M a n t i s s e v o n 9 a b z u z i e h e n , n u r d i e l e t z t e v o n 10.

14

Zahl

Lg

3,478 • 45.63 • 1 :125,4 1,266

0.5413 + 1-6593 + 0.9017 — 2 0.1023

Die Anwendung auf das Beisp. 6 zeigt die Vorteile, die darin bestehen, daß das Rechenschema einfacher und übersichtlicher (auch Einsparung einer Zeile) und die Überprüfung erleichtert wird.

+1

-l

B e m e r k u n g e n : i . Sind negative Logarithmen wie z . B . (0.4856—2) :3, also durch eine Zahl zu teilen, die in der negativen Kennziffer nicht aufgeht, so addiert man vor dem Komma und subtrahiert bei der Kennziffer soviel Einheiten, daQ der negative Teil der Kennziffer gerade teilbar ist, im Beisp. (1.4856 — 3) : 3 = 0.4952 — 1. 2. A d d i t i o n und S u b t r a k t i o n lassen sich mit Logarithmen nicht ohne weiteres durchführen. Es soll z. B. 1/42,172 i 36,28 a mit und ohne Logarithmen berechnet werden.

§ 1 4 . Erläuterungen u. Beispiele zu T. 1 3 : lg sin X; lg cos X und T. 1 4 : lg tg x; lg ctg X 1. Beide Tafeln sind am Anfang bis X = 3,2° nicht linear interpolierbar, die zweite auch nicht am Ende von 86,7° ab. Für diese Gebiete ist die Ergänzungstafel 15a) zu benutzen. Die negativen Logarithmen der Tafeln 13 und 14 sind um 10 vermehrt. Demnach ist bei ihnen — 10 anzufügen. Da z. B. sin 30° = 0,5, ist lg sin 301 = 0.6990—1. In der Tafel findet sich 9-6990 (—10), eine Schreibweise, die für das praktische Rechnen zweckmäßig ist. 2. A u f s c h l a g e n der L o g a r i t h m e n . Beisp. 1. lg sin 37.24° = 9-7819— 10; lg cos 59>36° = 9-7°73 — 10 2. l g t g 23,65° = 9.6414—10; l g t g 74,62° = 10.5606 — 10. 3. A u f s c h l a g e n der W i n k e l . Beisp. 3. lg sin X = 9-55'2 — 10, x = 20,84°; lg cos x = 9.9156 — 10, x = 34,58* lg tg x = 9.9480 — 10, x = 41,58°; lg ctg x = 0.2100, x = 31,66°.

§ 15.

Erläuterungen und Beispiele zu der Ergänzungstafel 15a)

Die E r g ä n z u n g s t a f e l 15a) ist hinsichtlich ihrer Genauigkeit bei dem geringen Umfang als eine Art Zaubertafel anzusprechen. Es gibt eine gute neuere Tafel, die rd. 13 Seiten aufwenden muß, um die gleiche Aufgabe zu lösen wie die kaum halbseitige Tafel. Die in den V i e r s t e l l i g e n T a f e l n gewöhnlich gegebenen Hilfstafeln sind für die Bestimmung kleiner Winkel nicht ausreichend. Begründung und Aufbau der Tafel siehe unter 3. Beim Gebrauch der kleinen Tafel ist zu beachten, daß, wenn Winkel in Minuten und Sekunden gegeben sind, diese auf 5 Dezimalstellen in Grad möglichst genau ausgerechnet und dann gekürzt werden. Die Umrechnung kann ohne weiteres mit der Hilfstafel b) Seite 1 erfolgen. lg sin 0,12055° = —S =

Beisp. 1. Gesucht lg sin 7' 14" 7' = 0,11666° 1 4 " = 14': 60 = 0,00388°

lg sin 0,1206°

=

0,12055' 2. Gesucht lg tg 0,2416°

lg tg 0,2416° — T lg tg 0,2416°

=

9.0812 — io (T. 12) I-758I 7.3231 — io (F' =

0.3556 2,268°

lg 1,618'°)= 10.2090 — 10 — S = —1.7581

Gesucht lg cos 88,382° lg sin 1,618°

lg cos 88,382°

8-4509 — 10

Die v i e r s t e l l i g e n L o g a r i t h m e n der S i n u s und T a n g e n s für x < 3,3° verändern sich selbst in kleinen Intervallen (Schrittweiten) nicht hinreichend proportional, so daß geradlinige Einschaltung nicht möglich ist. Deswegen werden zweckmäßig die Logarithmen der Zwischenwerte für die Sintis und Tangens der k l e i n e n W i n k e l u n d i h r e r K o m p l e m e n t e in der nachstehend angegebenen Weise ermittelt. B e g r ü n d u n g :

15

Für X im Bogenmaß ist (la)

sin X = X

x3

x5

r + —r 3! 5!

(Ib)

COSX

Für x 5 = arc 50 = 5° = 0,08727 ergibt sich sin X = X6

x 5 3 , xä6

Nun ist für x = arc 5°

24