Séminaire Pierre Lelong - Henri Skoda (Analyse): Années 1978-79 (Lecture Notes in Mathematics, 822) (French Edition) 3540102418, 9783540102410
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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann
822 Serninaire Pierre Lelong Henri Skoda (Analyse) Annees 1978/79
Edite par Pierre Lelong et Henri Skoda
SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York 1980
Lecture Notes m Mathematics For information about Vols. 1-609, please contact your bookseller or Springer-Verlag.
Vol. 640: J. L. Dupont, Curvature and Characteristic Classes. X, 175 pages. 1978.
Vol. 610: G. Jensen, Higher Order Contact of Subman1folds of Homogeneous Spaces. XII, 154 pages. 1977.
Vol. 641: Seminaire d'Aigebre Paul Dubreil, Proceedings Paris 1976-1977. Edite par M.P. Malliavin.IV, 367 pages. 1978.
Vol. 611: M. Makkai and G. E. Reyes, First Order Categorical Logic. VIII, 301 pages. 1977.
Vol. 642: Theory and Applications of Graphs, Proceedings, Michigan 1976. Edited byY. Alavi and D. R. Lick. XIV, 635 pages. 1978.
Vol. 612: E. M. Kleinberg, lnfinitary Combinatorics and the Axiom of Determinateness. VIII, 150 pages. 1977.
Vol. 643: M. Davis, Multiaxial Actions on Manifolds. VI, 141 pages. -1978.
Vol. 613: E. Behrends et al., Lp·Structure in Real Banach Spaces. X, 108 pages. 1977.
Vol. 644: Vector Space Measures and Applications I, Proceedings 1977. Edited by R. M. Aron and S. Dineen. VIII, 451 pages. 1978. Vol. 645: Vector Space Measures and Applications II, Proceedings 1977. Edited by R. M. Aron and S. Dineen. VIII, 218 pages. 1978.
Vol. 614: H. Yanagihara, Theory of Hopi Algebras Attached to Group Schemes. VIII, 308 pages. 1977. Vol. 615: Turbulence Seminar, Proceedings 1976/77. Edited by P. Bernard and T. Ratiu. VI, 155 pages. 1977. Vol. 616: Abelian Group Theory, 2nd New Mexico State University Conference, 1976. Proceedings. Edited by D. Arnold, R. Hunter and E. Walker. X, 423 pages. 1977. Vol. 617: K. J. Devlin, The Axiom of Constructibility: A Guide for the Mathematician. VIII, 96 pages. 1977. Vol. 618: I. I. Hirschman, Jr. and D. E. Hughes, Extreme EigenValues of Toeplitz Operators. VI, 145 pages. 1977. Vol. 619: Set Theory and Hierarchy Theory V, Bierutowice 1976. Edited by A. Lachlan, M. Srebrny, and A. Zarach. VIII, 358 pages. 1977. Vol. 620: H. Popp, Moduli Theory and Classification Theory of Algebraic Varieties. VIII, 189 pages. 1977. Vol. 621: Kauffman etal., The Deficiency Index Problem. VI, 112 pages. 1977. Vol. 622: Combinatorial Mathematics V, Melbourne 1976. Proceed· ings. Edited by C. Little. VIII, 213 pages. 1977. Vol. 623: I. Erdelyi and R. Lange, Spectral Decompositions on Banach Spaces. VIII, 122 pages. 1977. Vol. 624: Y. Guivarc'h et al., Marches Aleatoires sur les Groupes de Lie. VIII, 292 pages. 1977. Vol. 625: J. P. Alexander et al., Odd Order Group Actions and Witt Classification of lnnerproducts. IV, 202 pages. 1977. Vol. 626: Number Theory Day, New York 1976. Proceedings. Edited by M. B. Nathanson. VI, 241 pages. 1977. Vol. 627: Modular Functions of One Variable VI, Bonn 1976. Proceedings. Edited by J.-P. Serre and D. B. Zagier. VI, 339 pages.1977. Vol. 628: H. J. Baues, Obstruction Theory on the Homotopy Classification of Maps. XII, 387 pages. Hi77. Vol. 629: W.A. Cappel, Dichotomies in Stability Theory. VI, 98 pages. 1978. Vol. 630: Numerical Analysis, Proceedings, Biennial Conference, Dundee 1977. Edited by G. A. Watson. XII, 199 pages. 1978. Vol. 631: Numerical Treatment of Differential Equations. Proceedings 1976. Edited by R. Bulirsch, R. D. Grigorielf, and J. Schroder. X, 219 pages. 1978. Vol. 632: J.-F. Boutot, Schema de Picard Local. X, 165 pages. 1978. Vol. 633: N. R. Coleff and M. E. Herrera, Les Courants Residuals Associes a une Forme Meromorphe. X, 211 pages. 1978. Vol. 634: H. Kurke et al., Die Approximationseigenschaft lokaler Ringe. IV, 204 Seiten. 1978.
Vol. 646: 0. Tammi, Extremum Problems for Bounded Univalent Functions. VIII, 313 pages. 1978. Vol. 64 7: L. J. Ratliff, Jr., Chain Conjectures in Ring Theory. VIII, 133 pages. 1978. Vol. 648: Nonlinear Partial Differential Equations and Applications, Proceedings, Indiana 1976-1977. Edited by J. M. Chadam. VI, 206 pages. 1978. Vol. 649: Seminaire de Probabilites XII, Proceedings, Strasbourg, 1976-1977. Edite par C. Dellacherie, P. A. Meyer et M. Weil. VIII, 805 pages. 1978. Vol. 650: c··Aigebras and Applications to Physics. Proceedings 1977. Edited by H. Araki and R. V. Kadison. V, 192 pages. 1978. Vol. 651: P. W. Michor, Functors and Categones of Banach Spaces. VI, 99 pages. 1978. Vol. 652: Differential Topology, Foliations and Gelfand-Fuks·Cohomology, Proceedings 1976. Edited by P. A. Schweitzer. XIV, 252 pages. 1978. Vol. 653: Locally lntera0ting Systems and Their Application in Biology. Proceedings, 1976. Edited by R. L. Dobrushin, V. I. Kryukov and A. L. Toom. XI, 202 pages. 1g78. Vol. 654: J. P. Buhler, Icosahedral Galois Representations. Ill, 143 pages. 1978. Vol. 655: R. Baeza, Quadratic Forms Over Semilocal Rings. VI_, 199 pages. 1978. Vol. 656: Probability Theory on Vector Spaces. Proceedings, 1977. Edited by A. Weron. VIII, 274 pages. 1978. Vol. 657: Geometric Applications of Homotopy Theory I, Proceedings 1977. Edited by M.G. Barratt and M. E. Mahowald. VIII, 459 pages. 1978. Vol. 658: Geometric Applications of Homotopy Theory II, Proceedings 1977. Edited by M.G. Barratt and M. E. Mahowald. VIII, 487 pages. 1978. Vol. 659: Bruckner, Differentiation of Real Functions. X, 24 7 pages. 1978. Vol. 660: Equations aux Derivee Partielles. Proceedings, 1977. Edite par Pham The Lai. VI, 216 pages. 1978. Vol. 661: P. T. Johnstone, R. Pare, R. D. Rosebrugh, D. Schumacher, R. J. Wood, and G. C. Wraith, Indexed Categories and Their Applications. VII, 260 pages. 1g78. Vol. 662: Akin, The Metric Theory of Banach Manifolds. XIX, 306 pages. 1978. Vol. 663: J. F. Berglund, H. D. Junghenn, P. Milnes, Compact Right Topological Semigroups and Generalizations of Almost Periodicity. X, 243 pages. 1g78. Vol. 664: Algebraic and Geometric Topology, Proceedings, 1977. Edited by K. C. Millett. XI, 240 pages. 1978.
Vol. 635: T. Y. Lam, Serre's Conjecture. XVI, 227 pages. 1978.
Vol. 665: Journees d'Analyse Non Lineaire. Proceedings, 1977. Edite par P. Benilan et J. Robert. VIII, 256 pages. 1978.
Vol. 636: Journees deStatistiquedes Processus Stochastiques, Gre· noble 1977, Proceedings. Edite par Didier Dacunha-Castelle et Bernard Van Cutsem. VII, 202 pages. 1978.
Vol. 666: B. Beauzamy, Espaces d'lnterpolation Reels: Topologie et Geometrie. X, 104 pages. 1978. Vol. 667: J. Gilewicz, Approximants de Pade. XIV, 511 pages. 1978.
Vol. 637: W. B. Jurkat, Meromorphe Differentialgleichungen. VII, 194 Seiten. 1978. Vol. 638: P. Shanahan, The Aiiyah-Singer Index Theorem, An Introduction. V, 224 pages. 1978.
Vol. 668: The Structure of Attractors in Dynamical Systems. Pro· ceedings, 1977. Edited by J. C. Martin, N. G. Markley and W. Per· rizo. VI, 264 pages. 1978.
Vol. 639: N. Adasch et al., Topological Vector Spaces. V, 125 pages. 1978.
Vol. 669: Higher Set Theory. Proceedings, 1977. Edited by G. H. Muller and D. S. Scott. XII, 4 76 pages. 1978.
continuation on page 359
Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann
822 Serninaire Pierre Lelong Henri Skoda (Analyse) Annees 1978/79
Edite par Pierre Lelong et Henri Skoda
SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York 1980
Editeurs Pierre Lelong Henri Skoda Universite de Paris VI, Mathematiques Tour 43-46 - 5eme etaqe 4 Place Jussieu 75005 Paris France
AMS Subject Classifications (1980): 32-XX
ISBN 3-540-10241-8 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-10241-8 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Seminaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse) < 18,1978-1979, Paris>: Serninaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse): annees 1978/79/ ed, par Pierre Lelong et Henri Skoda. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1980. (Lecture notes in mathematics; Vol. 822) ISBN 3'540-10241-8 (Berlin, Heidelberg, New York) ISBN 0-387-10241-8 (New York, Heidelberg, Berlin) NE: Lelong, Pierre [Hrsg.)
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher. © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210
AVANT-PROPOS
Ce volume groupe les exposes faits au Semina ire d'Analyse
a
l'Institut
H.Poincare au cours des annees 1978-1979 (et exceptionnellement en 1980). Ces exposes apportent tous des resultats originaux ou des methodes nouvelles. Certains exposes faits au Seminaire ne figurent pas dans ce volume car ils ont ete publies ailleurs.
Les themes de recherche concernent l'Analyse complexe. Celle-ci Se developpe actuellement dans diverses directions ; elle est de plus en plus associee
a
d'autres secteurs des mathematiques, ce qui explique qu'cn trouve ici des exposes dont les orientations au les techniques sont differentes. Resumons les rapidement.
Les problemes de contrale de croissance concernant les ensembles analytiques et les courants positifs fermes dans Cn sur lesquels ont porte les exposes de L.GRUMAN et de P.LELONG ont des aspects nouveaux et des applications
a
la theorie des nombres et au probleme de J.-P.SERRE relatif aux espaces fibres (voir Ie volume 1976-1977, Lecture notes nO 694). L'article de B.JENNANE sur ce
probleme apporte une sorte de reponse positive que les groupes de cohomologie de degre
2
a ce
dernier probleme en montrant
sont nuls pour les fibres dont la base
et la fibre sont de Stein.
Le souci d'applications
a
la geometrie complexe se trouve dans les
articles de H.SKODA sur les fibres vectoriels semi-positifs ou l'on montre que la notion assez faible de semi-positivite au sens de P.A.GRIFFITHS est neanmoins suffisante pour obtenir certains theoremes d'annulation. Le lien entre les deux notions de semi-positivite, l'une au sens de P.A.Griffiths, l'autre au sens de S.Nakano est eclairci
par l'article de J.-P.DEMAILLY et H.SKODA, qui montre l'importance
de la definition donnee par Nakano.
L'expose de D.BARLET concerne egalement la geometrie analytique complexe et etudie la volume des fibres generiques d'une application holomorphe propre et surjective. II montre Ie lien avec un theoreme d'Hironaka et donne une demonstration directe relativement elementaire. SignaIons egalement dans cette voie l'article de R.LANGEVIN qui etudie certaines integrales de courbure sur les ensembles analytiques en liaison avec l'etude des varietes polaires et la theorie des singularites j cette methode fait apparaitre l'existence de
mesures dont on obtient une construction par les moyens de
1 'analyse.
a
Les problemes lies
la theorie des fonctions moyennes peDVdiques reap-
paraissent dans ce seminaire avec les exposes de A.SEBBAR et de R.GAY qui utilise de maniere approfondie dans ce but la theorie des foncteurs Ext.
Les articles de M.WALDSCHMIDT et de J.Ch.MOREAU concernent les applications de l'analyse complexe
a
la theorie des nombres. lIs mettent en evidence l'importance de certains lemmes de Schwarz dans Cn, associes
pour de telles recherches
a des
reseauxjSOUS leur forme la plus generale, certains de ces lemmes de Schwarz sont encore
a
l'etat de conjectures.
L'etude des proprietes fines des fonctions holomorphes dans des domaines particuliers est representee. par un expose'de H.SKODA sur les travaux de B.Berndtson et par celui de I.LIEB. Ces exposes utilisent des noyaux explicites pour l'operateur
a et
l'operateur
aa
La structure analytique complexe comporte d'autres notions que les fonctions et les applications holomorphes. Les exposes de U.CEGRELL et de H.EL MIR concernent les ensembles pol aires complexes (ou pluripolaires) : Ie second etend aux varietes n de Stein Ie remarquable resultat de B.Josefson selon lequel un ensemble de C 10calement pluripolaire l'est aussi globalement dans Cn. L'expose de L.SCHWARTZ en partant de l'etude des martingales conformes sur une variete analytique complexe
v pose le probleme de
au point de vue probabiliste certaines classes
d'ensembles pluripolaires (sur une
ce sont les ensembles sur lesquels
une fonction plurisousharmonique vaut
-
(X)
en particul ier ceux qu' i1 appelle
•
C-fermes sur la de la dimension infinie est
par plusieurs
constate que dans cette direction certains problemes tres d'abord dans des structures tres pauvres ont tendance I
de J.-P.VIGUE concerne les domaines
a
On ou
se
homogenes des espaces de Banach;
ceux de A.BARROSO. de J.-F.COLOMBEAU et de M.VALDIVIA concernent les espaces fonctionnels. Signalons tout specialement l'expose de B.KRAMM qui semble ouvrir une voie nouvelle en montrant que les espaces analytiques construits sur le modele des espaces D F N (dual de
sont obtenus localement comme spectres
d' al.gebres de Frechet nucLea i r e s , laquelle leur confe re une structure D F N canonique ; cet
d'une
des fonctions analytiques sur
les espaces D F N complexes. ce que laissait ment de P.J.BOLAND et une resolution du
a
des
par P.RABOIN sur de tels espaces.
Nos remerciements vont aux auteurs qui nous Madame Orion qui a
notam-
ont
de nombreux manuscrits et
a la
leurs textes,
Librairie Springer qui
ce Seminaire dans sa collection des Lecture Notes, et qui aide ainsi diffusion rapide de
: Les
lZ1
(1971).
a
la
nouveaux.
semi.naires sent. les n
11! (1972),
des Lecture Notes.
a
---
O
2!
(1968),
(1969),
(1970).
--
---
--
(1973). 474 (1974). 524 (1975). 578 (1976). 694 (1977)
VII
,
---------..-._._--
TABLE DES MATIERES
BARLET (D.)
- Majoration du volume des fibres generiques et forme geometrique du theoreme daplatissement
1
2
BARROSO (J.-A.)
- Comparaison de topologies sur des espaces d'applications holomorphes ••••••••••••••••••
18
3
CEGRELL (U.)
- On productcapacities with application to complex analysis ••••••••••••••••••••••••••••••••••••
33
4
COLOMBEAU (J.-F.)
- Holomorphy in locally convex spaces and operators on the Fock spaces •••••••••••••••••••••
46
5
EL MIR (H.)
- Fonctions plurisousharmoniques et ensembles polaires ••••.•••••••••.•••••••••••••••••••••
61
6
GAY (R.)
- Division des fonctionnelles analytiques - Applications aux fonctions entieres de type exponentiel moyenne-periodiques •••••••••••••••••••••
77
7
GRUMAN (L.)
- La geometrie globale des ensembles analytiques dans c'' .
90
JENNANE (B.)
- Groupes de cohomologie d'un fibre holomorphe a base et a fibre de Stein ••••••••••••••••••
100
8
9 10
KRAMM (B.)
-
spaces, Stein algebras and a "universal" holomorphic functional calculus
109
LANGEVIN (R.)
- Singularites complexes, points critiques et integrales de courbure ..••.•.••.••.•••...•••.•
129
-Potentiels canoniques et comparaison de deux a croismethodes pour la resolution du a'll sance •.••••..•.•...••...•••...••....•...•••.
144
II
LELONG (P.).
12
LIEB (1.)
- L' oper'at eur
13
MOREAU (J.-Ch.)
- Lemmes de Schwarz en plusieurs variables et applications arithmetiques •..•••.•••.••.•••.
174
- Martingales conformes sur une variete analytique complexe ....••..•••..••.•...••••••...••.
191
- Prolongement des solutions holomorphes de certains operateurs differentiels d'ordre infini a coefficients constants ••••••••••••••••••••
199
14
15
16
SCHWARTZ (L.) SEBBAR (A.)
a
sur une variete q-concave
SIBONY (N.) et Pit-Mann WONG - Some results
global analytic
sets
17
SKODA (H.)
169
.
221
- I - Diviseurs d'aire bornee dans la boule de C1 reflexions sur un de ••••••••••••••• : ••••••••••••
B• .IlERNDTSSON
- 2 - Remarques a propos des theoremes d'annulation pour les fibres semi-positifs - 3 - Relevement des sections globales dans les fibres semi-positifs ••••••••••••••••••••
238 252 259
VIII
- 4 - En collaboration avec DEMAILLY (J.-P.) Relations entre les notions de positivites de P.A.GRIFFITHS et de S.NAKANO pour les fibres vectoriels .......••...•..•......• 18 VALDIVIA (M.)
- On certain infinitely differentiable function spaces .••.••••.•.•••.•.••..•.•••..•
19
VIGUe (J.-P.)
- Sur la convexite des domaines bornes cercles
20
WALDSCHMIDT (M.)
- Proprietes arithmetiques de fonctions de plusieurs variables (III) •••..•••••••••••.•
homogene s
••••••.•••••••••••.••••••••••••
304
310
317 332
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 18e et 1ge annee, 1978/1979. MAJORATION DU VOLUME DES FIBRES GENERIQUES ET FORME GEOM£TRIQUE DU THEOREME D' APLATISSErlENT par D. BAR LET Introduction. Nous nous proposons,dans cet article,de donner une demonstration directe du theoreme suivant qui est une forme geometrique faible du theoreme d'aplatissement d 'Hironaka (vour [H]) : Theoreme 1. Soit
n
X
S un morphisme propre et surjectif entre espaces analy-
tiques reduits irreductibles. Soit des fibres de
n· dim X dim S la dimension generique
designe la composante irreductible de sur
a:
a:
n • II existe une modification(*)
S,
Ie morphisme
1°)
Va
X
n
S , 'ifl (8)
Sx
A :
S
S
S verifie :
est de dimension pure
n
2°) munis de multiplicites convenables la famille
('if I (S»a
S
une famille analytique de cycles compacts de dimension pure X parametree par S . de
X
Stelle que si
X qui se projette surjectivement
est n
de
De plus on peut trouver une modification finale parmi les modifications S verifiant 1°) et 2°)
par montrer comment on peut deduire Ie theoreme cidessus du theoreme d'aplatissement d'Hironaka ([HJ)(f) Soit
: S'
S une modification de
composante irreductible de Ie morphisme
n' : X'
de Douady reduit de un morphisme V s'
S' X'
9: S'
Stelle que si
X'
est la
S' x X qui se projette surjectivement sur S
soit plat. On a alors, si
Dn(X')
S' ,
designe l'espace
(correspondant aux sousespaces de dimension pure D(X')
n),
verifiant
s' , 9(s') = n'l(s')
(egalite entre sousespaces analytiques non necessairement reduits de X') (voir [DJ). En utilisant Ie morphisme Douady
Cycles (voir [BlJ ch. 5)
donc par composition un morphisme n: s' n(s') = n'I(s') (egalite entre cycles de
on obtient
verifiant : V s'
S·
X') •
(*) une modification est un morphisme propre qui induit un isomorphisme d'un ouvert dense de
S
sur un ouvert dense de
S.
(:) la demonstration qui suit est deja en substance dans [LJ •
2
Comme chaque cycle naturelle
p : X'
n'-I(s')
X"
s'injecte dans n
l'image de
X par la projection
est dans l'ouvert de definition
de l'application d'image directe
p.
n
un morphisme
(X)
qui verifie
I;(s') - n
(1)
pour
I; - p. •
s'
8' ...
T\ :
-I
(A(s'»
generique dans
pour
s'
(egalite entre cycles de
5 .
l'on notera
IJ
X) ,
A est un isomorphisme de
8 - I
sur
S' - I'
Considerons alors Le morphisme II est propre (car
d'ou
8'
De maniere precise, si on aura (I)
(voir [B 1) ch , 4)
a : S'
8
x '(;'
n
(X)
donne par
a -
IJ
x
r;
est propre) et a done une image analytique fermee que
Naus allons montrer que si
induit par la projection de
8
x
t;n (X)
sur
IJ
5 ...
S designe Ie morphisme
8, alors
u est une modifica-
tion verifiant 1°) et 2°) et qu'elle est finale parmi les modifications verifiant 1°) et 2°). D'abord soit II - {s
-1
- {s
I
SIs
n'est pas normal dans
S}
et soit
0
S/dim n (s) > n} Alors L et L sont analytiques fermes dans I o Set, d'apres (8 1) ch. I, tho I, on peut munir, pour s f I U L I l e s o -I I n (s) de multiplicites convenables pour que la famille (n- (s»s S _ L o U II soit une famille analytique de cycles compacts de X (generiquement sans
multiplicite). On aura alors un morphisme classifiant T : S -
U II
associe a cette famille.
II est facile de voir que dans les conditions ci-dessus dans
8 x
du graphe de
5
est l'adherence
T. ce qui prouve que 1°) et 2°) ainsi que la
propriete universelle de la modification
lJ :
S ...
S .
Remarque.8i on est capable de montrer que S x
(X)
S, l'adherence du graphe de T dans
est analytique et propre sur
8, on prouve Le theoreme I.
Ceci est prouve directement (c'est-a-dire sans utiliser (Hl) dans la these est toujours analytique de 3eme cycle de J. Clairambault(·) qui montre que (ferme) dans sur
(*)
X.
S x
n
(X)
et qui deduit la proprer e d'une hypothese kahUrienne
These soutenue Ie 24/10/78 a l'Universite de Paris VII.
3
Cette hypothese est en fait sans objet puisque [H) montre que toujours
S
est
S-propre. Le theoreme d' aplatissement d'Hironaka precise meme
comment se comporte Ie volume de la fibre generale pres d'une grosse fibre
S
(ce qui est Ie point crucial pour 1a proprete de
sur
S d'apres Ie
theoreme de Bishop (voir [B 2)) Theoreme 2.Soit
n : X
S un morphisme propre et surjectif entre espaces ana1y-
tiques reduits et irreductibles. Soit la fibre generique de L
1
= {s
E S/dim n
(voir [B2)
a
-I
n. Soit
L
(s) > n} • Soit
n
= {s
o
h
= dim X a: E SIs
dim S
la dimension de
a:
est non normal}
et soit
une metrique hermitienne sur
X
coefficients continus. V S - (L U L ) o I h:
Alors la fonction
, est localement bornee sur
definie par S.
Demonstration (avec [H) L'application consideree se prolonge continuement est l'image reciproque de
h
continue d'apres [B ; comme 2) tration.
X la fonction S
sur
S
est propre sur
as;
f
I n- (S)
en effet si
h
'hAn est
S ceci acheve 1a demons-
Remarque.La demonstration ci-dessus prouve en fait l'implication
(Th I) • (Th 2).
La reciproque est une consequence immediate du resultat de J. Clairsmbau1t et du theoreme de Bishop (mentionne plus haut) caracterisant les parties relativement compactes de
n
(X) .
En con1usion, deux faits me semblent se degager de ce qui precede : a) la demonstration du theoreme I que nous avons donnee est "indlkente" en ce sens qu'el1e utilise un theoreme plus fin que Ie resultat desire (A savoir Ie theoreme d'aplatissement, recours au morphisme Douady
ce qui necessite Ie
Cycles qui ne semble pas etre un
resultat lie au theoreme I. b) 1a demonstration du theoreme 2 obtenue ainsi ne jette aucune 1umiere sur ce theoreme.
4
Nous allons dans ce qui suit, montrer que Ie theoreme 2 est une forme globale d'un phenomene local (*) dont nous donnerons une demonstration elementaire ; ce phenomene est decrit par Ie resultat suivant Theoreme 3. Soit Soit
P
n: X
normal et oil
n1(s)
n = dim X II: Alors
geable de dans
S
un morphisme d'espaces analytiques reduits irreductibles. U
= {s
n
au voisinage de
p}
S
contenue dans un ensemble negli CO au voisinage de P
un ouvert relativement compact de est de dimension pure
X, et soit
sis
est
dim S it
T = S U est un compact de
S, et si
X, la fonction
est bornee sur
h
est une metrique hermitienne
lP
lR+
: U
donnee par
S.
Remarque. Comme Ie montre l'exemple suivant, qui m'a ete communique par L. Berard Bergery, Ie theoreme 3 ne s'etend pas au cas differentiable: on prend pour X
la sousvariete
z
=
de
lR
3
definie par
exp(l/y2) • sin(x/y)
et pour morphisme la projection de f ac r'I ement que pour
( y,
Z)
la nombre de solutions en et
X sur Ie plan S = {x = O} I z I .,. e 1/ y2 e t
d onnes, veru f'a.ant
x
On
verifie
Iyl
0) •
(*) ce qui, comme Ie theoreme 3 ne resulte pas clairement de [H] .
J ,
5
par preciser notre terminologie. Si compact de dimension Si
d'un ouvert
0
U de
X = Ln. x. 1
::l
de
C9 U
=L
Card(X)
n
i U defini par l'ideal
X est sous-jacent au sous-espace analytique de
coherent
est un cycle
1
nous poserons
on aura
•
Proposition 1.Soit
S un espace analytique reduit de dimension pure
D Ie polydisque unite de n dans S x Soit f (fl •.•.• f n) f-I(o) soit de dimension T .. {s E S I f-I(o) de
n
({s}
et soit
U 0
0
;
notons par
U un voisinage ouvert de
S
x
D
n
une application analytique telle que
-+
S x D Notons par n ne soit pas de dimension 0 au voisinage
au voisinage de
x
Dn }
{s} x
Alors
T est un ferme contenu dans un sous-ensemble negligeable de
a
(au sens de [F). et l'application qui 1
Card(f- (0 ) n ({s} bo rnee sur
x D
n
»
S
s E S - T associe l'entier
(en comptant les multiplicites) est localement
S
Demonstration D'abord dimension D'n
Dn
Test ferme dans au voisinage de
0
Dn
verifiant les deux conditions suivantes :
5'n
i) {s } x
o
c U
Par continuite de assez voisin de s
f-I(o) n ({s } x est de o ,on peut trouver un polydisque
S. car si {s} x o
voisin de
et
f-I(O) n (I s }
ii)
o
x dD')
n
f. on aura encore les conditions i) et ii) pour
so' ce qui montre que
f-I(o)
so' Donc Ie complementaire de
montre que la fonction qui nous interesse.
a
n ({s}
Test ouvert. Ce raisonnement savoir
s
-+
est localement bornee pres de
So E S - T ; en effet. si
ouvert connexe assez petit de
So dans -+
50
So
So
n
({s}
x
Dn»
est un voisinage
S
o
a
a
fibres finies et propres) ce
s E 5o associe Card(f-I(o) n ({s} x D'» n (en comptant les multiplicites). ce qui donne une majo-
qui prouve que l'application qui ration sur
Card(f-I(o)
S. la projection
est un morphisme fini et plat (fini signifie est constante sur
s
est fini pour
x
de l'application qui
a
s
associe
Card(f -I (0)
n
({s } x Dn »
•
6
Dans Ie meme ordre d'idee, pour cc Dn
fonction
Card(f-I(o) n ({s}
s
x
S - T . Montrons maintenant que de
1(0)
f
D»
-I
(0) n ({so} x D n)
Test contenu dans un sous-ensemble negligeable So l T
implique que la projection
est contenu dans l'image par
un sous-ensemble negligeable de
n
j
50
: S
o fonctions
£I""'£n
: comme Ie resultat est local sur
un voisinage ouvert de V ou sur
F-1(0)
So dans
5
50
n x
sur un voisinage de Dn pour
F
N au voisinage de
Vx
Vx
donne la proposition 1 pour
bien qu'il suffit de traiter Ie cas OU
S
So E 5 , et
On peut alors trouver des
V x On dans
, qui induisent
On veri£ie alors facilement que si
est de dimension
que la proposition
S est un ouvert d'un 5, soit
admettant un plongement propre
Vest un ouvert de Stein de
F1, .•. ,F
f-I(o)
S d'apres Frisch [F]
Montrons maintenant que l'on peut supposer que soit
n
({s } x 0 ) , o n des points de non platitude de n , qui est
S est un morphisme plat, au voisinage de
espace affine
montre que la
est semi-continue inferieurement sur
n
S . Comme nous venons de voir que
n T
So l T , la consideration d'un polydisque
et contenant chaque point de
0n
F
(F1 ••.. ,F n),
On constate alors £ • Ceci montre done •
est un ouvert de
Nous allons maintenant prouver la proposition 1 par recurrence sur (S n
etant un ouvert de
. Le resultat etant clair pour
et Ie resultat vrai pour
n
n - I . Considerons un point
=
n
0 , supposons So de
5. et
par traiter Ie cas suivant : Premier cas :
On suppose que l'une des fonctions fi(so' z) n'est pas identiquement {so} x Dn II n'est pas restrict if de supposer que la fonction £I(so' z) n'est pas identiquement nulle sur {so} x D (quitte a renumeroter). Pour chaque point n ZO EO, choisissons une decomposition = x correspondant a une n ecriture z = (z'. zn) dans un choix de coordonnees convenables centrees en ZO • de maniere que la droite {so} x {z' • o} rencontre f-I(o) au voisinage
nulle sur
de
(so' zo)
au plus en
(so' zo) . 5i
tout choix de coordonnees conviendra ; si
t f-I(o) • il est clair que
(so' zo) o
(so' z ) E f
-I
(0). on trouvera une
telle decomposition en appliquant Ie theoreme de parametrisation locale l'hypersurface {fl(so' z) DO centres en 0 dans
= o}
a O
. On determine ainsi des polydisques U et respectivement. et un voisinage ouvert
7
s dans 5 , tel que la projection de S° x UO x D° sur S° x UO induise ° sur l'hypersurface HI = o ] (l (S° x UO x DO) un morphisme propre et finie de
de
degre m • Dans ces conditions, notons par Y l'image par ce morphisme de I f-I(o) n (S° x UO x DO) Comme f- (0) est de dimension pure C1 .. dim 5 , il
Y
en sera de meme pour
a
Quitte
restreindre encore
S°, UO
et
D°, on peut supposer que
Z de
reunion de composantes irreductibles d'une intersection complete definie par : Z
o}
ou
sont analytiques dans Quitte
a
8 1, .•. ,gn-1
remplacer
on peut supposer que les fonctions
a
qui
a
s
associe
k
gl, ••• ,gn-1
gl, ... ,gn-I
a
par fl, ...• f (on identifie ici gi n dependant pas de la derniere variable montrer que, grace
k
par
pour
une fonction sur
S° x UO x DO
n
ne
zn)' Dans ces conditions, nous allons
1 'hypothese de recurrence, la fonction
Card(f-I(o)
assez grand,
k
sont dans l'ideal engendre
({s}
x
UO
x
DO»
S° - T
So ..
(l
:N
est localement bornee sur
SO , a l'aide du lemme suivant : Lerrnne I. Soit
A une
unitaire de soit un de
A. Soit
fl •... ,f
B-module engendre par
B n (fl, ..• ,f n ) Alors, si
d,
commutative unitaire. et soit
A/(fl ... f
n
des elements de
A, et supposons que
m elements. Soient
gl, .•. ,gn-I
A/(f l) des elements
•
B/(gl' .•.• gn_l) n)
B une sous-algebre
est un
est un
t-espace vectoriel de dimension finie
a
vectoriel de dimension au plus egale
m.d
Demonstration : On a, par hypothese, une surjection
de
B-modules, d'ou une
surjection
ce qui prouve le lemme. Si on utilise
Le
lennne. avec
on obtient une majoration de
A
Card(f
=
-I
(9(5° x UO (0)
x
DO)
et
n ({s} x UO x DO»
B
=
(9 (S°
pour
s
x
Uo) dans
8
SO - SO n T ; si
un ouvert dense de
ensemble negligeable de
SO
associe
T
est le ferme contenu dans un sousI l'application g = (gl, •.. ,gn-I) ,
a
l'hypothese de recurrence donne que l'application SO - T
I
encore qui
a
n ({s}
3 s
Card(g-l(o)
So)
par une consante
n SO
s E SO - T
x
M
Uo»
a restreindre
est bornee (quitte
Le lemme montre qu'alors l'application Card(f- 1(o)
associe
n
({s} x UO x D°»
est bornee
SO - T I par m.M Comme cette fonction est semi-continue inferieurement (voir plus haut). la majoration est en fait valable sur tout SO - SO n T • sur
puisque
SO - T
est dense dans
I
SO o
En operant comme ci-dessus pour chaque point recouvrement ouvert de que sur
i.i
{s } x
°
bornee par
m•• M. 1
n
pour chaque
1
E
i
r m.. M. 1 1
resse est majoree par
s
Soit s
0
s0 E S S
Soit
Posons alors, pour Ca(s)
.
et soit
p
n Si -
=
S 0 a E"Nn
et
0
Iz.l= 1+
(2in)n
1
IC (s ) I
(A
tels so i t
Si) • ce qui prouve la
D) n
f,(s.z) .
dz
soit contenu dans
dz
1
U
n
&
M • (I+&)-Ial
a
n
x «(I + &)
Ceci definit des fonctions analytiques sur Sup s ES
• on obtient un
I
J
1___
n
(0)
n
D1 •.•. , uP x DP i ({s} x u x Oi»
x
un voisinage ouvert relativement compact de
0
s E S
T
I
tel que
&> 0
U
[ 1.p] ; alors 1 'application qui nous inte-
sur
S
-I
Card(f
proposition I dans ce premier cas.
dans
1
par des ouverts
1 'application
-
zED
S
o
oil
. On a alors lal
r a.1
o
et le developpement en serie convergent sur
So
Notons par
I
x «1+&) •
x
= r
a E "N
n
On) .
l' ideal de
(9S -> ou
'J
->
designe Ie faisceau d'ideaux de
germe en
B(F, Cycles.
Malheureusement Ie seul resu1tat de ce genre connu pour l'instant est celui de Fujiki (voir [Fu]) qui repose sur 1e theoreme d lap1atissement d'Hironaka. Ceci motive done 1a recherche d'une demonstration directe de 1a proprete du morphisme Douady _
Cycles.
17
Bibliographie
[Bll
O. BARLET
Fonctions de plusieurs variables complexes II , Lecture Notes n° 482, p , 1-158.
Convexite de l'espace des cycles, Bull. Soc.
France,
n° 106, 1978, p. 373-397.
[cl
J. CLAIRAMBAULT
Intersection de familIes analytiques de cycles, these
3eme Cycle (Paris VII). [0]
A. OOUADY
Le probleme des modules pour les sous-espaces analytiques compacts d'un espace analytique donne, Ann. Inst. Fourier, 1966.
[F]
J. FRISCH
Points de platitude d'un morphisme d'espaces analytiques complexes, Inventiones math. 4 (1967).
[Fu]
A. FUJIKI
Closedness of the Douady Spaces of Compact Kahler Spaces, R.I.M.S. (Kyoto) vol. 14, n" I, 1978.
[H]
H. HIRONAKA
Flattening theorem in complex analytic geometry, Amer. Journal of math. 97 (1975).
[L]
D. LIEBERMAN
Compactness of the Chow scheme : application to automorphisms and deformations of Kahler manifolds, Fonctions de plusieurs variables complexes III , Lecture Notes nO 670.
[p]
G. POURCIN
Theoreme de Douady au-dessus de
S, Ann. Sc. Norm. Sup.
di Pisa, 23 (1969) .
Universite de Nancy I U.E.R. de Sciences Mathematiques, Case officielle n° 140 54037
NANCY Cedex
18
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 18e et 1ge annee , 1978/1979.
Comparaison de topologies sur des cspaces d'applications holomorphes par Jorge Alberto Barroso PARTIE I Soient ou
E
F e s t separe,
et
F U
des espaces localement convexes complexes une partie ouverte nonvide de
l'espace vectoriel des applications holomorphes de Pour
mEN,
nous avons l'cspace vectorial
m-hompgenes continus de 1 Am alors --, m. d dans ou am f(s) E
E
dans
F.
Si
E, U
r(mE;F)
1: E
et
dans
F.
des polynomes at
E U,
represente la serie de Taylor de Sur
f
on a quatre topo-
logies naturelles:
(t)
La topologie limite, definie comme il suit.
a. E SC (E) ,
8 E SC (F)
et
representent
Si
(ensembles des seminormes continues sur E, F) E, F
seminormes par
a., 8
r-e s p e c t.Lv emerrt,
nous avons
PEr(mE ;Fo) ......
a.
'"
Upl!
a.S
ot nous pouvons considerer sur
•
sup 8(P(x» ER «(s)sl la topologie limite in-
Nous remercions Leopoldo Nachbin par sa collaboration au SUjdt de co papier.
19
ductive correspondante
a
cette union.
n
D'autre part p(mE;F )
et alors la topo10gie limite correspondante
a
est la limite projective
cette intersection.
La topo10gie
est
par 1a
de seminormes
BE p(x)]
PEP (mE IF) ..... sup xEB ou
BeE
est bornee et
(c)
E R
E SC(F).
La topo1ogie
de 1a convergence uniforme
sur 1es parties compactes dofinie par 1a famille de seminormes P E ou
K C
sup xEK
E
est compacte et
(p)
La topo1ogie
E IR
E SC(F).
de 1a convergence ponctuelle
dofinie par 1a famil1e de seminormes
aEp(x)] E R
P E ou
x
E E
aE
et
SC (F). et
p(mE;F)
pp(mE IF)
muni de ces topologies, respectivemente. avec egalite si
mension
ou
=
on a que doronavant que pour chaquo
F = 0,
F
ou
m
= O.
Si
E
representent On a E
p
est de di-
est seminormable,
Pour simplifier, on supposera
est norma, saur mention du contraire.,
a E SC(E),
(mE;F)
on a 1a norme
A10rs,
20 IIp(x)11 E n
sup
p(m E of)
at la topologie correspondante sur norma
U
dite do 1a scmi-
,
a.
PREUVE. de
a'
S E
Etant donne
pour une certaine
morphe sur
V.
V
il existe une partie a-ouverte
E SC(E)
a
A10rs
tel1e que
est a-continue de
P (mEa jF) .. p.{. (rn E j F )
Comme l'inclusion a-continue do
U,
vcrs
V
soit a-ho1oV
vers
est continue,
amI'
est
est continue de U
Done
CQFD REHARQUE 1. mon t r-o que
Uno petite modification de la preuve du Lemme 1 amI' E )I(U;
C'est clair que Le Lerrune 1 et
cotte Remarque 1 restent valab1e pour les autres topologies citees moins fines sur PARTIE II
Nous considerons F normc. Nous avons plusieurs topologies naturelles sur
(w) suivante.
La topologie
de Nachbin est definie de la fa90n
Une seminorme
partie compacte
K
de
)I(U;F):
p U
sur
)I(U;F)
est portee par une
si 1es conditions equiva1entes suivantes
sont 1) Pour toute partie ouverte c(V) > 0
V
de
U
te11e que, pour n'importe quelle p(f)
c(V) • sup xEV
con tenant
K
f E )l(UjF),
i1 existc
21
a E SC(E)
2) Pour toute ntimporte quelle
c(a) • r,O>m __ O sup xEK
est definie par la
W
a
telle que, pour
E
per) Alors
c(a) >
il existo
1I-!..., mt
amr ( x )lI ",
•
""
des seminormes sur
chacune des quelles est portee par une partie compacte de
La topologie
(mt)
U.
est definie par la famille des
seminormes f' E
ou
K C U
sup T(amr(X)] E IR xEK
est compacte, E IN.
Test une seminorme continue sur
pt(mE;F)
et
que
est la limite projective correspondante
L;o>.{.
III
dtapplications
Remarquons que, d1apros Ie Lemme I, on a
E
amf E C(U; pt(mE;F»
La topologie
100>1'
a
la famille pour
m E IN.
est definie par La famille de
seminormes f: E
ou
K
C
U
est compacte,
remarque analogue REMARQUE 2.
'l;p(mE;F) et
'to>p
sur sur
a
celIe
sup xEK,yEB BeE
a
namf ( x ) ( y )1I est bornee et
p(mE;F). )(U;F). to
E IR mEN.
On a une
la fin du cas precedent.
Analoguement pour les topologies
sont Ia topologie On a
--
l.
c
et
nous pouvons definir des topologies Ltinegalite de Cauchy prouve que de la convergence compacte sur
bo>p = 1;o>c
22
PARTIE III TlmoRtME 1. (H)
Faisons
suivanto:
L 1ensemb1e des sominormes continues
que
sur
E
induit 1a topo1ogie de la seminorme pour tout
mEN
definit 1a topo1ogie do A10rs
b
W
telles sur
(voir Partie I) est
et 11
E.
et
induisent 1a meme structure
en particu1ier 1a meme topo1ogie, sur toute partie 10calement borneo
I
PREUVE.
de
Supposons initia1omont que
une partie de duito sur de
0
U(UjF).
I
par
I
0 E I.
est un voisinage de 1:.
pour 1a topologie in-
0
si et seu1ement si elle est un voisinage
W
pour la topologie induite sur
par
I
de cette affirmation est claire parce que quement, soit
p
une seminorme sur
>
soit
(1)
p(f) s
pour toute existe
r
E U(U;F).
E SC(E)
.
Em=o
Or,
I
C
Ea.1
de
W
.
Recipro-
continue pour U.
t
w'
Pour chaque
sup XEK
II;,
etant 10calement bournee, il
toIle que (K) =
ou.
toot s
telle que
0
)
K
Une moitie
t
U(UjF),
done portee par une partie compacte E SC(E),
Nous affirmons quo
U
xEK
I (x) c U,
sup IIf(x)1I < +"', fEI, xElhl(K)
indique une boule ouverte par rapport
a
Cl.
de rayon 1.
23
Par
(H), nous pouvons supposer que cotte
que
a
induit la topoloeie de la seminormo mEN.
pour tout galite de Cauchy.
= 2a
Prenons
Q.
est telle sur
et appliquons l'ine-
Alors
(2) x E K,
pour
f
E I
et
mEN.
0
m
Choisissons
E N
tel que
(3) Pour chaquo norme
'I'm
mEN, sur
'I'm(p) q
pour tout
sur
U,
nous pouvons trouvor une semi
continue pour
""t(mE;F)
P E
Definissons la seminorme
continue pour
telle que
par
(4) pour toute lite
(2)
8i
f E
montre que
est clair que
p(f}
de faC;on que, si
x E K,
f
E I
amf(x} q(:f} +
f E I
et
at
Alors, si
1/2
d'apres
q(f)
1/2,
l'inega
m E lN, f
E I,
(1) , (2 ), (3) p(f}
on a
il
et (4),
1.
Ceci
prouve l'affirmation faito cidessus. Considerons en suite uno partie localement bornee quelconque
I
eloments de
de
L'ensemble
I
II
des differences de deux
est localement borne et il contient 0 (exclusion
:faite du cas trivial Oll
I
est vide).
o
pour les topologies induites sur
I
par les structures uniformes sur
Comme les voisinages de
sont et w identiquos, nous avons que les structures uniformes induites sur
II
par
'b
associees
a
et
24
Bont identiques. Un exemple simple d'espace localement convexo 1'aisant
a
E
satis-
(H) du Theoreme 1 pour un espace norma
quelconque
F e s t le cas dtun espace seminorme
E.
Alors, pour
les ensembles des parties localement bornees et des
}j(U;F) ,
parties bornees pour
coincident.
Un exemple plus general
est le suivant. PROPOSITION 1.
est une 1'amilla d'espaces seminormes (E ) .t .tEL complexes, alors l'espace localement convexe E = TI.tEL E.t sa-
a
tis1'ait
Si
l'hypothese (H) du Theoreme 1 pour un espace norme com-
plexe quelconque PREUVE.
(a. A)
F.
La topologie de
E
de seminormes sur
est de1'ine par la 1'amille 1'iltrante ou
E,
A
est une partie finie de
L
o.A(x) = sup Ilx.t1l pour x ( x.t ) E E. On a sur p ('"Eo. ;F) .tEL .tEA A la topo1ogie de 1a seminorme o.A (voir Partie I). D'autre part,
et
considerons Ie sousespace vectoriel tels que
II x t =
Nous avons
sup .tEL o.A(x) s:
est continue.
xEE
,lIxli '" d
.I·a(u) m m
d"ou l"assertion.
lI' (C)
m
II (C )
dans
(f') = 1'(m)(O)/m!
est uno seminorme sur
('I'
"',
m > 0 l m telle que I>. I / ... o m
est borne pour
(m E IN)
"m E C
" mu m ... 0
quand
0
d61'init par T
(a(u )JI/m m
}l(C), on a que
continue sur
m ... CD.
m
p-m
pour toute
I
ce qui prouve l"assertion en faisant
p
. "'.
Nous
est une seminorme continue sur
indui t sur
I
(C)
a f f Lr-mon s ,
)iCC)
telle
La topologie de La seminorme
a,
seulement pour un ensem9le finie de valeurs de m.
28
En fait, i l existo Wle sominorme telle que
T
T(cP)
a.(cp)
dire
sur
= urn'
= CPm
cP
f
obtanir
1 S T(cpm)·Ct(u
de valeurs da
m
continuo pour
cP E
pour touto
pourtoutes
Prenons
(C)
fEll(C)
et supposons que
c'est-aet
CPm E
pour
ce qui est impossible pour une infinite
m),
(an pranant la racine m-eme et faisant
Done, l'ensemble des
mEN
tals qrre
(C)
CPm E
est fini.
Finalement, observons qulil existe una seminorma ll(e)
s
=
telle que
(en faisant
1
qua
CPm
ICPm(f)
continues
I
pour tout
p .. 1
sur
11l topologia de la seminorme
f3
S
Ct.
Alors
E,
prouve que les topologies 1:. 0
=
=
=
1:.
6
i l suffit de prendre
ep )
et observer
Or, si 1es seminormes
'to,(,(lE;C)
induit sur
il axisterait une telle
(C )
Ct
pour
mEN,
ce
Signalons que Boland et Dineen [2J
ont
c
CPm E
qui est une contradiction.
Nj
formaient un ensemble filtrunt
0.,
definissant la topologie de laquelle
f E ll(e).
tel1es que
II (C),
m E
continue sur
dans 1a definition de
pour toute
S
Ct
E
m
1:. 0
pour tout
coincident sur
et
II(E) ,
done
dans ce cas.
PARTIE IV
Nous allons en suite indiquer une classe raisonnablement genera Ie d'espaces localement convexes
E
satisfaisant
a
l'hypo-
(li) du Theoreme 1 pour un espace norma complexe quelconque F.
Cotte classa contient calle de la Proposition 1. Soient
vectoriel de
E E
un espace vectoriel complexe, s ernd.no r-md par
(]
et
h
uri
S
un sousespace
ensemble de sous-
29
ospaces vectoriels de
lequel est filtrant i\ gaucho au sens que,
E
N , NZ E h 1
otant donnos arbitrairoment N1
n
N
N.
Z
N E h
il existe
tel que
Supposons que soient satisfaites les conditions equi-
valontos suivantes:
(1)
Pour tout
x E E,
N E h,
il existe
YES
tel que
xy E N.
n
(Z)
S
(3)
E = S + N
pour tout
(4)
Pour tout
N E h,
applique
(x+N)
S
sur
Pour tout
= inf
par cidessus.
Si
quo Is que soient
x E E
et
N E h.
l'application naturelle de
N E h.
N E h,
dlfinissons la seminorme
{a(y); YES N1,N 2 E h
n (x+N)}
pis E p(mS;F)
S
Par consequent. si
aN (p) = a (p)
cr(p)
pour tout
x E E
xES
dlol!
.x
N
jF),
E S
C
et
aN(xy)
= 0,
Par suite
impliquo que
est continue
II p(x)1I
cr
et
P E p(mE;F),
E
alors
= sup IIp(x)lI. XEs,cr(x)sl jF). En fait,
CtN et alors pour tout
cr'(P)s:CtN(p).
est continuo pour aN'
pour
= a(pls)
IIp(x)1I s aN(p) • [CtN(x)]m si
S c.E
Ia topologie de la seminorme
PEP
N
E
(tNls s a
si
que
sur
et
e t nous def'inissont
Nous affirmons quo
x,Y E E
aN
en vue de la condition (2)
Alors l'application d'inclusion
a la topologie indiquee.
s1
sur E/N
NI C NZ' alors Par 1 2 est filtrante. Munissons E avec La topologie
quand on considere sur
P E
E
E/N.
sui t e , (a) ' N NEn dofinie par cotte famille de seminormes. tout
N E h.
Enplus,si
lIon rlsulte que
ceci otant Ie cas si IIp(x)ll s: a(P) • (cr(x)]rn
s: a (r ) • (aN (x)] rn
p(x) = p(y) xy E N
parco
pour tout
pour tout
x E E.
30
En fait, cetto derniere ineealite est clairo si p(x) = 0;
que alors un
YES
n
(xTN)
p(x) = p(y)
aN(x) > 0,
si
a(y)
tel que
IIp(x)jl = IIp(y)1I
implique
s: a(p) • (ITC)m [aN(x)]m,
C > 0
A chaque
(l+c)aN(x),
S
S
pour tout
que
s:
a(p) • [a(y)]m
C
dtou
x E E,
parce
correspond
de
et alors, en faisant
IIp(x)1I S a(p) • [aN(x)]m
=0
aN(x)
0, nous avons
aN(p) s: a(P).
Ceci compl3te la preuve de l'assertion. La
Proposition J suivante et sa preuve sont une extension
de la Proposition 1 et sa preuve.
J.
PROPOSITION
E
Soient
sousospace vectoriel de
un espace vectoriel complexe,
de sousospacos vectoriols de S
n
(xTN)
I ¢
F.
plexe quelconque par la famille l'on pose
PREUVE. a et
E
quels que soient
tisfait A llhypothese
(H)
filtrant x
E E
du Theoreme
E
quand
(aN)NEh
a
seminorm6 par
E
a
et
I
ot
un
un ensemble
11
gauche. tels que N E h.
Alors
E
sa-
pour un espace norme com-
est muni de la topologie definie
de seminormes, au. pour tout
aN(x) = inf {a(y); YES Soient
S
x E E,
n (xTN)}.
l'espace vectoriel
norme par
(voir l'explication un peu avant 1'6nonce de la Proposition J) la topologie correspondante.
'to
o
dtinclusion (aN)NEh
N
est continue.
0
est filtrante et
s:
que chaque
;F)
P
N
la seminorme seminorme
aN
la topologie de Nous savons que
;F)
aN' sur
Chaque application Une fois que on conclut induit sur
une topologie mains fine que la topologie de Comme aN
"'0
;F).
induit la topologie de la on conclut que la topologie induite
31
par
sur chaque
aN'
do la sominorme EXEMPLE 2.
Soient
espace seminorm6.
p
N
;F)
ceci pour tout X
coincide avec la topologie
NE
n
et
mEN.
un espace completement regulier et
Alors l'espace localelllent convexe
de toutes les applications continues sur
a
X
D
un
E = C(X;D)
valeurs dans
muni de la topologie de la convergence compacte, satis£ait
D,
a
(H) du Theoreme 1 pour un espace norma complexe quel-
F.
conque
S
En £ait, soit
Ie sousespace vectoriel de
toutes los applications continues et bornees sur dans K
C
5'
D X,
seminorme par Ie supreme. soit
N
armu Larrt sur
Indiquons par
de
valeurs
Pour toute partie compacte
E
10 sousospnce vectoriel de K.
a
X
E
des applications
I' ensemble de tels
h
N.
Alors, les conditions de la Proposition J sont satisfaites et, en p Lu s ,
o.N(f) = sup
r11:r(x)lI;
x E K)
si
N
ot
K
sont relationes
comma cidessus. REMARQUE 4.
L'interet de savoir que
Ul
et
induisent la
mome topologie sur toute partie 10calemont bornee de
):!(U;F)
est
illustre par la caracterisation des parties relativement compactes de
):!(U;F)
pour
W
.
Voir Barroso [1]. BIBLIOGRAPHIE
[1) J.A. BARROSO, A characterization of relatively compact sets
o£ holomorphic mappings, Indagationes Mathematicaa, vol.
39, pp. 353-356 (1977). (2)
P.J. BOLAND & S. DINEEN, Duality theory for spaces of germs and holomorphic functions on nucloar spaces,
Advances
in Ho1omorphy (Editor: J.A. Barroso), pp. 179-207, North-
32
Holland (1979).
[3] L. NACHBIN, Topology on spaces of' holomorphic mappings, Springer-Verlag (1969). [4] L. NACHBIN, A glimpse at inf'inite dimensional Holomorphy, Proceedings on Infinite Dimensional Holomorphy (Editors: T.L. Hayden & T.J. Suf'fridge), Lecture Notes in Mathematics, vol.
364, pp. 69-79, Springer-Verlag (1974).
Departamento de Matem'tica Pura Universidade Federal do Rio de Janeiro Caixa Postal 18)5 21910
Rio de Janeiro. RJ, BRASIL
33
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 18e et 1ge annee, 1978/1979.
On productcapaoities with application to complex
analysis
by
Urban Cegrell *)
1. Introduction
In analogue with productmeasures, we give a method of caultl'llcting productcapacities. This construction gives Rankin's gammacapaoity
(6J
modified pIlIIl&Cll.pacity
19]
and Pavorov's
as special cases, and it allows us to solve
some problems concerning these capacities.
2. Capacities Let U and V P(V)
be Hausdorff and
the olass of all subsets of
Definition: A set function
c: P(V) -.
a-finite spaces and denote by
V.
c
(0, +00 1
is oalled a precapac1ty i f . i)
c(,s) .. 0, K compact
11)
Bv CEv+1' v
Jl
_>
-> sup Y ]>l'
c(K}
< +00 00
c(Ev ) .. c( UBI') 1'.1
I f furthermort!
11i) Ky :::> KV+l' Kv then
c
compact,
I'
]>l'
->
00
inf c(K v ) .. o(
V lf
n Kv } ,
1'.1
is called a capacity.
For the theory of capacities we refer to Choquet Dellacherie,
13], [4]
and
[,1.
*} This paper was finished when the author was a guest at Laboratoire "Analyse complexe et program C.N .R.S. - N.F.R.
Un1verste Paris VI, in the exohange
34 If
of
E
c, satisfying 1) - iii), is defined on the Borel subsets
only, then
=
;;'(A)
o
extends to a capacity
...c
peE)
on
by
inf (c(B) J A C B, B Borel} •
P be a precapacity. A set F is sald to be
Definition. Let p-capacitable i f
P(F) = sup (P(K); KeF,
Definition. A set
K CClllpact}.
is said to be universally capacitable i f F
F
c-capaoitable for every capacity
i.
c.
2:' (Choquet). Every analytic set is universally capaoitable.
(3], [4]
(ef. Choquet
[5].)
and Dellacherie
Definition. A precapacity is oalled subadditlve i f c(A) + o(B) ,
c(A U B)
Remark. If e
V A,
B
£
peE) •
is subaddltlve, then
00
00
c( U E ) < t oCE ) • Val v - v.... l v Definit1on. A oapacity is said to be stronglY sUbadd1t1ve 1f c(A U a) + o(A n a)
o(A) + o(a),
V A,
Definition (the Choquet Integral). Ass\lIIIe that functlon and
p
a precape.o1ty. 'Ihen 00
.. ,
p{(r;
f dP
rex) > s})ds
f
a
lit
peE) •
Is a non-negative
18 defined by
•
o Definition. Let to be
p
be a precapaclty. A non-nesative functlon
f
is said
p.capac1table 1f } fd p - 8UPq 8dpJ g.$ f ,
Lemma 2:2. AS8\l111e that Ev , v _ p-cape.o1table sets. 'ltlen
00
UE
E:
upper
with
canpact support J
:IN
is an 1ncreas1ng sequence of
1s
p.cape.citable.
v- v '
g
•
35
pC
Proof. We have
(X)
U E ) .. sup peE ). Given v-1 v VElN Y
00
p( U E ) v.1 v
< peE
Y
O.
e/2
) +
and a oaapact subset 11: P(Ey )
£
e .!!
AsS\.llle that
f
p-oapacitable then
1s
(x J f(x) > s}
a
P-c&pac1tab1!
p-capacitable. Then there i8 an 1ncreaalnc
00
sequenoe
(f) 1 of upper aemi-oont1nuous fUnctions with oanpaot support nn.. SIIlaller or equal to f such that
It 1B easy to see that p«xJf(x) >s}} .. p«(X} 11m f (x) >8}) n......oo n Put
E .. (x J f (x) > m,n n -
(x J f(x)
> 8}
8
+
Every E m,n
18
a CClllpact subset of
and
(x J 11m f (x)
n ....+00 n
> s)..
> 8}
00
U
00
U E
_t n..l m,n
(x J 11m t (x) > s) n....+oo n has to Qe p-oapaoitable.
80 it follows trOllt LeIIJIIa and (x J t(x)
1m ) .
V
that
18
p-oapacitable
:£heorem 2:4. The Choquet 1ntegral 1s subaddltive i f and only 1f c
15 strongly subadd1tlve. See Choquet
b] and Tops!>e
[10].
36
Definition. A class of functions
E
p(V)
U.... [0, +00 ] is called a swarm if a)
for every fixed
,,)
for every compact subset
x
U, E ....
IE:
1s a capacity on
K of V, \ (x)
V,
is a bounded, upper
semi-continuous funotion with compact support. Example. Choose tion of
an
iJ '" V '"
and denote by \ :
the oharaoter1st1c tuno-
is a swarm.
E. Then
'l'he swarms are closely related to the "noyau capec1ta1re r&suJ,ler" as defined in Dellacherie
[5,
p , 52]. Our a) d1ffers from eo) in
since we only reqUire the map E Our 1') differs frcrn b) in
continuous for required
1;0
to be defined on sets.
1-+
since we requ1re
:< compact only.
en
to be upper 8El11l1I;e(x)
the other hand,
18 then also
have compact support. Assume that
swarm. Then
is a capao1ty on U
c
(L,g)E P(V)
.!
1s a capao1ty on V. Furthermore, 1t L,g(x)
C(E) = )
is subaddltive for all
c
bJ
15],
x
U
0
1s stranall subaddlt1ve
1s subadd1tlve.
Proof. It is obvious that i) is true so we have to verify 11) and 111).
11)
Let Ev ' v
E
:IN , be a non-deerea.sins sequence of ISUbssUi 00
sup C(E) = VEIN 00
-}
11m
v ....+OO
de"
) V
00
11m
0'V .... +00 00
.. C( U E ) • v=1
11m ) o({x
'V->+ s}) .. "
0
(x) >S)ds - C( () K ) • -
v='
v
The last statement in the theorem follows fran Theorem 2:4. ;Eheorem 3:p.
be a swam. Then
pry)
L E is a universally
capacitable function for every universally Since, by Theorem 3:5,
)
.. e(E)..
Ix E
is a capacIty tor every
C(K)..
sup KCE
K ccmpact
sup KCE
K canpact
is upper semi-continuous and less or equal to
c-capacitable. But that L
pry) •
c , we have for any universally capacitable set E
capacity
Since
e(E) .. }
set E
c
was an arbitrarily ohoaen oapacity
L 80
E
18
It toU. .
is universally capacitable.
4. Productoapacities In this section we let U and 4:7. Assume that c = c«(y
for every fixed
x
is a capacity on
V J (x,y)
is a swam. Furthemore, i f
V denote metrio and a-finite spaces.
0
V. Then
E», E C U X V
is subadditive then
is subadditlve
in U.
It is clear that
a) is fulfilled so it remains to prove that
holds true. Let a oanpact subset K of U X V be givan. It is clear that
Ix
38
has compact support so it rema1ns to prove that L tinuous. Given
>0
ex
x
and
o
(x
E:
E: U J
L_(X)
is upper semi-oon-
K
> ex). We have to prove
l(-
> ex. Choose x n with LK(x n ) -> ex such that Xn -+ Xo '
that LK(x )
o -
n ...
+c:o. Put D ... (y o
V; (x ,y)
K}
0
and
It 1s easily
that
D :::>
n (
U D ) •
J=1 j is a capac 1ty we have
o
Sinoe
00
c
1=1
00
L_(x ) ... c (D ) ... c ( n I< 0 0 1=1
00-
c
11m c( U D ) 1-++00 J.. 1 J
(
_
lim
J'" +00
U D
J
je1
c(D)"
J
» ,. _ 11m LK(X j-il+O}),
T.f,
4} every universally capaoltable set is Pn-capa01table, 5)
l£22!.
e
i8 subaddit1ve,
P n
is subaddit1ve.
1), 2). 'lbe proof is by induotion.
') and 2)
true for n -,
n - 1 clear. ASBUlll1ng that
we prove t ) and 2) for n ,
40 Pn{E) .. e{(x e U ; Pn-l «(y .. e«(x
U; c
£
tf-l, (x,y)
£
n- 1«(y
tf-1,(x,y)
U J
> 0)
Pn(E) .. o{(x
U J LE(X)
.. c( (x
£
E»
> o)
E))
> 0)
.. ..
Thus
and 1t 1s clear that
.. I.E de 1
..
o•
1
c(x
> 0»
> 0)
U
.. 0
e (E) _ n
i f and only if
Th1s proves 1) and 2).
3) 1) - 11) are clear since
where
> 0»
U
Pn{E} .. c«(x
1s a capacity and
c
is a swarm.
E P(tf)
4} Assume that E is universally eapacitable. By Theorem 3:6, universally eapae1table and
L'
1 ( L d .. ( 11m d ) E 0 ) v J{v c
where
Ky '
V
£ :N, 1s an increasing sequence of compact subsets of E.
Henoe e«(x
1 U ) LE(X)
> s))
= c({x
.. for all KC E
s
Z 0,
so
Pn(E) '"
which means that
E
U, 11m
11m e«(x e U ,
V-'+ a] ..
Ix
(x)
> s»
y
y
11m P (K ) .. sup P(K) J K v -++00 n v is . Pn -capae1table.
COOlpact,
5) The proof 1s easy and will be omitted. Corollary 4 :9. Assume that 1mplies
o
1s a capac1ty such that
c (E, U E .. O. Then 2) c
c
n
and
Pn
be a (pre)capacity on
of contlnuous functions,
0: U 1:
-+
c (E,) .. c (E .. 0 2)
have the same property. V and
(0:1)i£1
V such that any sUbseguence conta1ns
a SUbsequence which converges unlfonnly on compact subsets of
c
U
C(E) .. sup c(O:l (E» 1s a (pre)capaclty on i I ls subadditlve, then C is subaddltlve.
function in the family. U. If
a family
41
!!22!.
i) is clear.
11) Let £
> 0,
that
E,,' "E:IN, be an increasing sequence of subsets of U. Glven Ghoose a
< c(a1
c(a (E» 1e C(E}
C(E) < c(a (E» + £/2 1E
such that
1e
< c(a1
E
and then By
suoh
(E » + .../2. Then v
e S C(E,,) + s
+
(E» E
and so 11} 1s proved. Since
= 0:1 (E,)
a (E, lJ E i 2)
U a (E J 1 1 2)
I, we have, for
o sub-
addit1ve C{E, U E 2}
= sup leI
C(Q1(E, U E .. sup c(a (E, ) U Qi(E 2}} 2)} 1 leI
S
C(E,}+C(E 2)
C is subadditive.
whiuh proves that
Assume now that
c
is a capacity. Let K 11'
11
:IN, be a deoreasing
sequence of compact subsets of U. We have to prove that
co inf C(K ) .. C( n K )
"ElN" Choose
an
,,=,
11
so that
C(K ) n
< c (an (Kn »
+
.1n •
an converges to
We can assume that
&0'
uniformly on canp&ct subsets
of U. We olaim that co co C i ) - - a ( n K ) ::> o ( U a '(K » o n i.e, J.. i n n Given 00 co
n='
zen ( U
Q
1=1 J.l n
(K }) • n -
'!'hen 00
Z E
Choose Then
x.
,.
U
a
j.1 n
Zt E
(K ) n
an(.t) (Kn{t»
zJ" an(l} (XI) co
+ X E
n
K ,
v-1 v
where
where
x
...... + 00. Now
t
net)
Kn(.t)
>t
such that
Zt +z,
and we can assume that
.. ++00.
42
[z - CYo(x)!:s jz - Z.el+ Iz.e - ClO(X)!:s
lz - z.e l + lan(.t) (x.t) Iz - Z.t l + lan(.t)(X.e)
:s :s
Z "" Cl (x)
so
and since
o
z
- ClO{X)!:s - Clo(X.t)!+ lao(X') - Clo (x)
I -+
0, , -+ + CO
(I)
(I)
n ( U (X (K » 1.0:1 j=i n n
was an arbitrary element in
we have proved that 00
a ( nK
) :J
o n",1 n
00
n (
00
U
a
1=1 J=i n
(K
n
»
•
To finish the proof, we can now argue as in the end of the proof of Theorem 4:7.
5.
Renkin's gamma capacity and Favorev's capacity We will now apply our results to Ronkin's gamma capacity
(9)
and
Favorov's modified gamma capacity [6]. These setfunctions are defined on
(tn
and we recall that in
Denote by capacity on
cap
and
an, any Borel set is an analytic set. the interior and exterior
(t, respectively.
We define
7n
by induction:
1', (E) =
(E), E C
'Yn(E) '"
(fz,
EO
a: ,
0:; 'Y _ ({z e o:n-1) n 1
(Z,
,z)
E})}), E C
a:n
.
Ronkin's gamma capacity is then by definition fn{E) = sup ('Yn{a(E»; o cernplex unitary "LransfOl'lllation} Proposition 5: 11. Form
===::::;::;:===
Then
--
--
P (E) = I' (E) n
n
P n
with respect to
cap. (cr ,
Section 4.)
for every universally capacftable set.
By induction. Clearly Proposition 5: 11 is tI"'J.e for Assuming it is true for Assume that
{z 0:n-' ) EO
E
Is
{z"z
n -,
)
we prove it for
n
=1
n ,
capacitable. It is then clear that E
E},
z,
E
a: ,
is universally capacitable for every fixed
z,
in
0:.
,
43 Hence
for all
z,
E
e,
"n(E)
Then
Pn_1«(Z
E(h
(by Theorem 4:8, 1)
.2!B2((Z'
I
'" (by definition) '" (by"Remark
cap 2
E
an - 1 , (z" z )
E
0
be
suoh that
3:11 there 1s a COlllpact
aCE) such that
"n (a(E) Thus
r n -capac1table.
, Z
,11 existe
une fonction v plurisousharmonique dans B(O,R) telle que pour tout r verifiant 0< r t >
°
et s i
g B(O,t)n E(J ,v) :.
°
est une fonction holomor-
g alors
g IE(J ,v) :; 0.
La fonction vest plurisousharmonique dans B(O,I) ,
posons qu'il existe une fonction u plurisousharmonique dans G: pour tout zEB(O,I). On aura done
I >r>O
so i t
Z
sup-
telle que
E(J,u)nB(O,r):JE(J,v)nB(O,r).
Or d'apres Ie theoreme de SIU [cf. 5] E(I,u) est un ensemble analytique Z dans G: • II existe done une fonction g(zl'zZ) holomorphe dans non identiquement nulle telle que
gIE(I,u):; 0 • Exprimons g sous la forme g(zl ,zZ)
g' (zl ,zZ)
ou p est un entier eventuellement nul g'(zl'zZ) est une fonction holomorphe Z dans a verifiant g'(zl'O) non identiquement nulle.
°,
°.
Comme gIE(I,u) :; il en resulte que g' IE(I,u) :; Or (aj,O)EE(J,u) pour tout j d'ou g'(aj,o) = 0. Done g'(zl'0) est une fonction entiere en la variable zl qui admet une infinite de zeros dans Ie disque unite ce qui entraine une contradiction avec Ie fait que g'(zl'O) §
0.
3. Fonctions plurisousharmoniques et ensembles polaires.
DEFINITION. - Un ensemble A d'un ouvert
n de
lt
n est dit polaire s'il
existe une fonction v plurisousharmonique dans Q telle qu' on ait : A c{ zEn
v(z) = - co} .
Un ensemble B d 'un ouvert n de lEn est dit polaire r,-complet s' it existe une fonction v plurisousharmonique danslI telle qu'on ait : B
= {
zEn;
v(z)
= - co } •
Dans ces conditions on dira que Best defini
a
On va etudier une application v _
v
h
0
partir de la fonction v. que conserve les ensembles
polaires Q-complet et qui tue les v (x , tv)' PROPOSITION. - Tout ensemble polaire n -complet peut ihre defini
a par-
tir d'une fonction v plurisousharmonique dans nqui verifiev (z,tv) = 0 pour tout zEn. Demonstration. Soit B un ensemble polaire n -complet, il existe done une fonction u plurisousharmonique dans n telle que l'on ait: B ={ ZEn;
u(z)
-co}.
64
Considerons la fonetion eonvexe eroissante suivante [- 00, + 00 [
h : [-00, +00
-log(l - x)
si
Alors
=h
Posons v
h
0
0
u
x< 0
si
x
est une fonetion plurisousharmonique dans Q ,
u
, on a
pour tout
u(Z)-E; v(z)
E Q,
Z
De plus on a IS
= {z
-oo} = {ZEn
E!!; u(z)
;v(z)
- oo}
= 0 en tout point z E Q v) u(z) '" -00 alors v(z) F -co et on a done v(z,t
Montrons que v(z,t al si
= 0 v) - co, Puisque u est semi-continue superieurement on a alors
hi si u(z) Mu(z,r)
o T et r e r on a : a N, a;\Cu,z,r) :>; ;l.(- log (I - u), z, r ) ,
log(l -
aT
,Done si
Done on a a, lim
r....o
;l.(u,z,r) 1 og r
I" am r-70
;l.(v,z,r) log r
Cette derni.e re inegalite est vraie pour tout a> 0, i l en resulte que V(z,t
= 0 pour tout z En tel que u(z) = v) Done en definitive d'apres al et hi, on a :
v(z, tv)
=0
pour tout
-00.
zEn
Soit v une fonetion plurisousharmonique dans un ouvert Q de A C
Iv
a:n
et
= - co}. On veut montrer que A est polaire dans an, C' est-ii-dire qu' i l
existe une fonetion u plurisousharmonique dans Q:n telle que AC{u = -co}, D'apres le theoreme 1, il n'existe pas en general une fonetion u verifiant u
t;.
v dans Q , Cependant grace ii 1a methode de JOSEFSON (cf , 3), on montrera
Ie theoreme suivant I
,
THEOREME 2. - Soient v une fonetion p1urisousharmonique dans un ouvert Q de
a:n
et h la fonetion eonvexe eroissante suivante - x)
si
x< 0
si i l existe une fonetion u plurisous-
65 harmonique dans
de croissance minimale telle gu'on ait h
v(z)
0
pour tout
zE[I' •
Demonstration. - On suppose que [I' est contenu dans le polydisque ouvert B(x,t), le polydisque B(x,4t) etant continue dans [I.
b
Po sons
= sup {v(z) = sup(b,O).
z E B(x,4t) } - I
et
b+
Considerons (I)
de sorte que v' < 0 sur B(x,4t). Po sons n+1
[I' = {(z, y)
(2)
;
z EB(x,4t)
Le domaine Q' est un pseudo-convexe done d'apres le theoreme d'OKA-NORGUET
il existe une fonction H(z,y) holomorphe dans
Q'
et qui admet rt comme domai-
ne d'existence Posons : E = {(z,y)E Q', zEB(x,3t) ,
(3)
Alors E est un compact de 0' soit M = sup] IH(z,y)1 ; (z,y)E E} • 1 La fonction F = H.M- admet Q' comme domaine d'existence et verifie (4)
sup
Developpons (5)
{I F(z,y)1 F
;
(z,y)
t: f.
1
en serie de Hartogs
F(z,y)
=
J=O
(z), yj
J
D'apres (4) et les majorations de Cauchy on a : (6) J De plus, on a :
pour tout
zEB(x,3t)
etpourtoutjEIN.
1f.1
=
)%(z) (lim sup.!. log J j -+-'" J oil l'on convient de poser h%(z) = lim sup h(z') (7)
v'(z)
z'-z
Puisque {zEB(x,3t); v'(z)
¥- lim sup .!.log If.(z)!l est de mesure de
Lebesgue nulle ainsi que {z, v'(z) z
-"'}.
J
J Alors pour tout £> 0, il existe
qElN tel qu'on ait I lim sup ... log If. (z > - q > - oc • J 0 j .....cc J 3-e t En particulier pour £0 = T+e (e = base du logarithme), 1'1 ex l' ste
o
EB(x,£) et
q ElN et une sous-suite
zo EB(x, £0) et (8)
.!.J p
log
If.J
(z p
0
)1
.!.log If. I J J p
>- q •
p
telles qu'on ait
66
On remarque que
(lim sup
Jp
p-+""
B(0,4t) et verifie (9)
log If. I)x est plurisousharmonique dans Jp
V'
On ne considere dans la suite que la sous-suite encore Posons
J
log If. I
log If.
Jp
Jp
1
qu'on note
J
gj(z)
fj
= e(Eo+t)
ou
0
est defini par choix de Eo est fait de
z + Zo • Le
qu'on ait
al ...,-1 [B(x,t)] C B(O, 1.) e bl Ig.(O)I>exp(-jq) J cl sup{lg.(z) I; z E B(O,I)} J
Ainsi pour montrer Ie theoreme dans Ie cas I on est ramene
a montrer
Ie theore-
me 3 suivant : THEOREME 3. - Soit w = (lim sup monique dans B(O,I).
al bl
1g.
J
---
J_""
J
log Ig. I)x une fonction plurisousharJ
gj sont holomorphes dans B(O,I) verifiant :
(0) I >exp (-j q )
sup{lg.(z)1
(q independant de j)
;
J
1 •
Alors il existe une fonction u plurisousharmonique dans
de croissance mini-
male telle qu'on ait : u
0
dans
w
1
B(O, e) .
Pour montrer Ie theoreme 3 on a besoin du 1emme technique suivant : LEMME. - Soit f une fonction holomorphe dans i) If(O)1
verifiant
SEfR+
ii) If(z)I .. 1
dans B(O,I).
II existe trois constantes A, B et C avec les proprietes suivantes:pour tout s > A et pour tout entier k > B, i l existe un polynome P dependant de f
s
(on notera d son degre) qui verifie : l"sup{lp(z)1 ; zEB(O,I)}
!!.
k
!!.
d 4
et que en tout point z ou l'on a verifie Ip(z)
k
(On remarque que
2kc).
t log
!!.
ZEB(O'e
Ipi est assez petit quand
log If
I
est petit).
On admet provisoirement Ie lemrne et on montre Ie theoreme 3. Reprenons la suite gj et appliquons Ie lernme Pour j>! et q
son deg re ,
k > B. Soit P.
Jk
Le po Lynfime as soc i.e
a gJ'
et k
posons d C] ok)
67 Fixons N assez grand (10) Posons H. (z) '" J Ns,
s > S en plus supposons que W(z) > -s . D' ap re s
et sE IR tel que
Ie choix de x (s) on a
exx - 2
- S - 2
h
,on a
0
w(s) < - s - 2 •
u(z).:::h
0
w(z)
car
,d' apres Le choix de No).
- S - 2
Ainsi la demonstration du theoreme 3 est achevee et par consequent celIe du theoreme 2
dans Ie cas (1).
Cas II.
n'
est un ouvert verifiant
n' c c n.
On choisit un nombre fini de polydisques B(xi,t i) qui recouvrent tels que B(x 4t c i, i) Soit (u.) les solutions associees a B(xi,t (cas 1) i) i=1 ,' .. ,p
n.
n'
et
Posons : b u
i
= sup p
=
E
i=1
{a,
sup {U (z ) i
zEn}}
et
ui - b i •
On a
u(z) 'ui(z) si zEB(x,t i). De plus u est une fonction plurisousharmonique dans
de croissance minimale.
Comme on a
u (z) i il en resulte que u(z)
0
v(z)
h
0
v(z)
pour
z E B(x, t
i), pour tou t zEn'
Demonstration du lellDlle.
On remarque qu'il suffit de montrer Ie lellDlle en supposant k
A3 •
= _I3 n 10
I
Faisons apparaitre dans (Z8) si
s >A
et
c et k (r
= k Zn
k > D, il existe un polyn6me
ZEB(O,';)
(3Z) If(z) IA
Z'
74
Ainsi la demonstration du lemme et par consequent celIe du theoreme 2 est achevee. Remarque. Le type de la croissance minimale de u peut etre choisi aussi petit que l'on veut. En effet cette methode nous permet de montrer qu'il existe une fonction plurisousharmonique dans u $ -(I-v)l/n
(-!s
effet : petit.
de croissance minimale et de type fini tel que
dans
Ceci peut se remarquer dans l'enonce du lemme . En
log Ifl)l/n
En particulier pour n
est de l'ordre de (-
log P) quand If I est assez
I cette methode permet de montrer qu'il existe une
=
fonction sousharmonique dans
de croissance minimale verifiant
dans
§
J
•
5. Extension aux varietes de Stein. DEFINITION. - Un variete analytique complexe X denombrable
a
l'infini
et de dimension nest dite de Stein si et seulement si : (i)
X est holomorphiquement convexe K
{z , z EX , If(z)
1;) I ; sE K} , f holomorphe dans X}
est un compact dans X pour tout compact K de X ; (ii)
si zlrz2 sont deux points de X differents alors il existe f holomorphe f(zl) # f(z2) ;
dans X tel que (iii)
pour tout z EX i l existe n fonction f l, ... ,fn ho l omorphes dans X qui forment un systeme de coordonnees local en z Soit X une variete complexe de dimension n de Stein (plus generalement
a
X denombrable
l'infini et verifie (iii». On definit E(X) comme etant l'en-
semble des ouverts
de X pour lesquels il existe une fonction F holomorphe
de X dans o;n verifiant FIl9-est biholomorphe de fi'sur F( 9') • THtOREME 4. - Soient v une fonction plurisousharmonique dans un ouvert Q de X et
C
Alors il existe une fonction u plurisousharmonigue dans X
verifiant : u(z)
0
v(z)
pour tout
zEQ' ,
ou h designe la fonction convexe croissante suivante h :
[
-
00,
+
oo[ x
}-
00,
+
oo[ si x,n. c , \::I' C Si Vest un ouvert convexe de
81
est l',Hement de A(V) egal
a
:J(t:J(R). T) s i f = :J(T) et t:J
est la t r a n s po s e e de
:J qui applique Al(V) dans XlV) iderit ifie , grace ala r efl.exivite des e s pac e s , ;)I.
a
"(V) par t
:J(R)(z)= 0 p-I IlzII 2 rav. n "g 1\'>( J x
2
-
f
epn
(V • J
e -)
- log r)9'x"'of
An A r r En rajoutant ces inegalites nous avons quelque soit r t (r) n
f
[6,
1/ 2c2
e
-
idd
IIzll
2
J,
A 9' - log k An J x An kr r Par Le lemme 7 nous avons pour n no par
1\
p,
c et B(O,kr/e I)
' done
72)
( i 0
tel que quel que soit
t
E c.:Javec
>0, lim f(t) (I)
=
° un i fo rmemen
t
sur E. D'apres Ie lemme 9, et tout Soit
to
Donc en fait mesure
m, ce qui entraine une contradiction
9"
l' ensemble des { E G
tels que
J (Q;) n- ,n
done rnesure
(:}) "" 0
d l apre s Le lemme I. si
!
r'
m
de
r
m
>
.f ('\ X
°
=
soi t de dimension
.{,'JtuiJ" ,
il existe
t
(qui depend elle aussi de
o. p ,
qui
l)
• D'apres l'hypothese de recurrence, l'ensemble "/nXf\.f (1 . . . (1 l I (ktr') _ _7:""q--=-;---'mc:e- = quel lim _ _ _ (lx(tr m,) lIl:'+cIo
°
))e
est de mesure nulle, ce qui etablit la recurrence q main tenant 11' l'application rr (fl , ... , et soit q = i=1 'V enX(krm) 0 quel que soit E={Ie:Gn-q,n «(I;) : lim k}' vX(r m) que soit
k>O
Soit
e ) n e.
Simesure
(E»O
[Gn_l,n(¢)]q
dans
Gn-q,n(¢)
alorsmesure
0 , mais Le theareme I est en fait bien nous permet de choisir une suite de valeurs au la croissance
, lim
98 est en fait maximale. Pour illustrer ee fait nous appliquons le theoreme I aux ensembles analytiques d'ordre fini.
¢
Nous dirons que l'ensemble analytique X est d'ordre fini dans en si 0
X
et est l'ordre de X. I
\
THEOREME 2. - Soit X un ensemble analytique de dimension pure p et d'ordre
(' >a
.s X.
fini dans t;n tel que 0
f..
Alors pour
a ,;q 4 p,
I' ensemb le des
EGn_q,n(Q;) tel que V!.nx(r) soit d'ordre different deeest de mesure nu l l e .
Demonstration. 11 en deeoule du theoreme 1 que l'ensemble des
a {'est
est d'ordre i nf er i.eur
quel X
de mesure nu l l e . Ainsi, Le t heo reme sera
d enomb r e quand nous mont r ons que l' ensemble des superieur
a eest
pour le-
pour lequel
f
(1
X est d' ordre
aussi de mesure nu Ll e . Pour eeei, nous modifions legerement une
[2].
idee de J . CARLSON
Pour la formule de CROFTON (ef. [8,91), nous avons
J
fixe et E k Alors p(Ek)(k log
'0
1+0
k
f
,
o.
Vg(lX(O
Pour
k
113,
log et ainsi
lim r-+oo:>
n U
k ...
j =1
j yk
il existe k.f
k . 1+< YX(Q) (k log 0)
•..1 9(oA) ... Vt which in general fails to be an open map. We define : nuclear (F)-algebra possesses the "universal" exists a continuous algebra-epimorphism llE
h : Er(oA)
->
.. £. if there
A ,
which satisfies the above conditions. In particular, we then have for all U E lJL the diagram I1(A' )
J
A" ; A
A
restrict £Q semi-simple nuclear (F)-algebras. Let A be
semi-simple nuclear
(F)-algebra which possesses
the ·universal" h.f.c. h : 6'(oA) -
Then h is
erQQf :
A
topological algebra isomorphism.
Semi-simpl icity of A impl ies that the canonical
(:P FN)-analytic
structure on aA is reduced; hence is a semi-simple (F)-algebra, again. By RICKART's theorem we conclude that the adjoint spectral map corresponding to A e.-,8(oA) a 8(oA) -
oA
122
is a compactological equivalence (in the Gelfand topologies). Hence the commutative diagram A 8'(oA)
yields the injectivity of h and, in fact, that h is a topological isomorphi sm. C1 4.3.- Now, consider the followins conditions: (i)
A possesses the "universal" .b..i..£..
( i i) HI (A' ,1'l,) = 0
(iii) = 0 ,for open pseudo-convex ricA' with oA c n (iv) A E sheaf-algebra ; (this refers to uniform (F)-algebras only) (v)
9'A'
uniform sheaf.
Theorem: Let A be! semi-simple nuclear following implications: (i)
(ii)
(iii)
-==
(F)-algebra
Then we have the
(iv) • (i) + (v)
PrQQf:
Since Q Let Q c A' be a pseudo-convex neighbourhood of oA is para-compact ([12], (21). we may use Cech cohomology (cf. [6] , p. 180). It yields the exact sequence HO(rI, BA, ) HO(n, H1(n, &A') By RABOIN's theorem ([121, [2]) whe have 1 H (n, fJ'A')
=0
A well known lemma in sheaf theory states
123
Lemma:
Let
be
sheaf on
topological space X • Set Y
Then for each open neighbourhood Wc X
of Y
= supp '3'-
have :
= From this lemma we deduce HO(n, B'A'm)
=
Hence our exact sequence is simplified to HO(n, (jA') rn , &(oA) -+
H1(oA.1i)
-+
0
Now we are ready to prove the above implications. (i) .. (iii) : Consider the map rn From
: HO(n. IrA')
f1(oA)
-+
tf(oA) = A and the fact that A c HO(n, 9'A')
al n
a 1 H (n. 1z.)
,we conclude that r n
is surjective. Hence
=0
(iii) .. (ii)
trivial.
(ii) .. (i) r A, : HO(A'.
e-A' ) ....
9'(oA)
is surjective (by (ii)). On the other hand, theorem (4.1) states that the restriction map H°(A'. 8'A') ---+ A is well defined. Hence the commutative diagram r , A H°(A'. lr , ) l"'(oA)
-:
A
shows that A and (iv).. (i)
e (oA)
coincide.
Let f E be given ; we have to show: f EA. By definition of • for each E oA there is a neighbourhood U c A' of and a function f E HO((X ,fJA, ) s.t.
=f
on
n (JA
124
Hence from theorem (3.3) 2) it follows (analoguously to the proof of (4.1)), that
flu(j)1"I erA Thus f E HO(crA,J\) = A
E
Au.(j)ne-A
(i) + (v) .. flv)
In (3.1) we noticed
f7A' /n
c
So condition (v) implies even Hence we have 8'(crA) = A (i)
as desired. c We close with some examples and remarks.
4.4.- The assumption of semi-simplicity seems not to be essential. First of all, (4.1) algebras. In order to obtain adequate uniformity by the notion of a(F)-algebra A is said to
and RABOIN's theorem work for all nuclear (F)modifications of (iv) and (v), one has to replace pre-uniformity : is a (uF)-algebra be pre-uniform if
= ideal of topo1ogica1 nil potents). If the h.f.c. exists then it is again a continuous algebra-epimorphism
(M-
h : &(crA) [: = H°(A',
-
A ,
rendering the diagram f7( rI) -48"(crA) j J, A=A" A commutative. Some of the needed constructions are carried out in WEYDT [17] .
125
4.5.- There are many examples which satisfy (i), (ii), (iii). In fact, all sheaf algebras serve as examples, by our theorem (4.3). In particular,every holomorphic algebra HO(X,cr) on a reduced complex space (X,8j is a sheaf algebra (Lemma (2.3)). Semi-simple but non-uniform examples are the algebras on a smooth manifold M (cf. [8] , (1.4.1)). One might be tempted to conjecture that H1(A' ,ai) always vanishes, i.e. all nuclear (F)-algebras are examples. 4.6.- Whenever A satisfies (v), then have eguivalence of (i), (ii), (iii), (iv) Thus we are given three equivalent conditions for A being a sheaf algebra; as to the best of my knowledge, these are the first known conditions for the very subtle problem of deciding whether a nuclear (F)-algebra is a sheaf algebra or not. The example in (3.2) mentioned, of a I-dimensional holomorphic algebra is a sheaf algebra whose canonical (dDFN)-analytic structure is not uniform. 4.7.- The "universal" h.f.c. does not exist without the nuclearity ===-----------
condition. An easy counter-example is the following. Let K be a compact space. Then (K) is a uniform Banach-algebra with spectrum j:K (cf. [15]) The norm topology of a11 GLEASON parts for oC( K) Hence
z:
induces on a the discrete topology, since consist of singletons.
ItK
Of course, there is no continuous algebra homomorphism h : ItK
'"
which sends f = (f(x))x E K
to f
,for f E -& (K)
126
4.8.- The above counter-example is also a counter-example for the weak form of the h.f.c. 11m aAe
6'(LI.)
----->
A
u. t! A'
If the "universal" h.f.c. exists for A , then condition (iii) implies that it "coincides" with the weak form of the h. Lc., in the sense that 1im
U
t1 (U)
/kernel
&(aA)
is an algebra isomorphism (not necessarily homeo).
127
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a
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The Theory of uniform algebras. Bogden and Quigley, 1971.
Author's address: Bruno KRAMM Fachbereich Mathematik und Physik der Universitat Bayreuth Postfach 3008 0-8580 BAYREUTH
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 18e et 1ge annee, 1978/1979. SINGULARITES COMPLEXES, POINTS CRITIQUES ET
DE COURBURE
par R.LANGEVIN
La theorie de Morse etudie la topologie d'une variete
a l'aide de
certaines fonctions reelles f appelees fonctions de Morse definies sur la variete. s'interesse aux points critiques d'une telle
On
ou
gradcp= 0) dont on suppose qu'ils sont non degeneres c'est-a-dire verifient det(Hess fp)
+0
• cf
[Mil]'
Dans son livre "singular points of complex hypersurfaces [Mizj MILNOR utilise ces techniques pour etudier les points singuliers isoles d'hypersurfaces algebriques complexes. Pour presque toute droite, au sens de la mesure de Lebesgue sur les projections orthogonales sur les droites reelles de
sont des
fonctions de Morse. Le theoreme d'echange relie la moyenne du nombre de points critiques de Ia restriction a une variete v lisse de cette famille de projection et une integrale de courbure sur V. La plupart des enonces que nous demontrons concernent les varietes algebriques et reposent sur des travaux de LE DUNG TRANG [Ll!1 J[Ll!Z] et TEISSIER [Tea
l!e z]
que,grace au theoreme d'echange, nous traduisons en termes de courbure. La construction des distributions de courbure du § III rappelle celIe du courant d'integration dHini par P. LELONG [Le I] Dans Ie
§
1.
Nombres de MiLnor .
.
IV nous relions ces deux constructions.
1 pour une
Historiquement Ie nombre de Milnor pest defini dans (Miz isolee d'hypersurface. Soit f : ¢n+1 gulier isole. Notons la sphere
singularite
un polynome complexe admettant l'origine comme point sinV Ie niveau f = 0 de f. Pour Eassez petit V est transverse a Ia o o
de centre 0 et de rayon E. Notons K l'intersection
Sen
V (si f est un o
polynome de deux variables K est un enlacement (link) de 53). En tout point de Sa - K fez) on peut calculer un nombre complexe de module I,: \!I(z) =!f(z)!'
130
1. I.
THEORJ);ME (MILNOR). - L' application (/) defini tune fibration \
- K
-r S 1. De plus
de cette fibration a Ie type d'homotopie d'un bouquet de f spheres de di-
la fibre
mension reelle n. La figure 1, extraite de [Mi21, montre de plus comment Le niveau t
t'ft,= 9' se deforme sur la fibre Fe'
f
Le nombre de Milnor peut aussi s'interpreter algebriquement. Soit j(f) l'ideal jacobien de f, c'est-a-dire l'ideal engendre par les derivees . par t i e l.l es 1. 2.
...
f
f
o n THEOREME • - Si 0 est une singularite isolee de f
J1 = dima; Le nombre de Milnor d'une singularite isolee admet encore une autre definition geometrique, equivalente
a
l'enonce du theoreme.
Les niveaux f = t du polynome f definissent un feuilletage F (avec singularites) de a;
n+l
. En chaque point x non singulier de ce feuilletage l'espace TxF tangent en x
a la feuille passant par x est l'orthogonal hermitien du vecteur grad f. Soit Hun hyperplan complexe. Nous appelerons courbe polaire l'ensemble des points lisses tels que TxF
H.
1.3. THEORtME. - II Pour presque tout H ,
r H est
rH
l'adherence de
une courbe algebrique dont l'equation
s'ecrit, si e 1 ••• e est une base de H n = ... =(grad fle n>= O.
2/ Pour presque tout H l'origine est un point singulier isole de
r H de
multiplicite f. Considerons maintenant l'intersection de la figure par un hyperplan H passant par I "ori.gi.ne ,
,
\
1.4. THEOREME. - Generiquement l'origine est un point singulier isole de la restriction de f
a H.
De plus Ie nombre de Milnor est constant sur un ouvert dense de
/
DEFINITION. - Nous noterons J1
la valeur generique du nombre de Milnor de l'origine
de H, point singulier isole de fl H' Remarque. Ce nombre est aussi Ie minimum des valeurs prises par Ie nombre de Milnor de l'origine, point singulier de
fl H lorsque
ce point est un point singulier isole.
131
I F:IGURE
1 J ([Mi
Z]' p , 54)
132
II.
Courbe polaire, points critiques et theoreme d'echange. Remarquons que les points d'une courbe polaire
r H ou
Ie feuilletage de niveau est
lisse sont les points critiques de la projection orthogonale sur la droite D orthogonale a H, restreinte a chacune des feuilles de F. Notons perf
t)
n BB' D)
Le nombre de points critiques de la projection orthogo-
nale sur D de I 'intersection du niveau f [voir Figure
=
t avec la boule de centre 0 et de rayonS
2].
Ce nombre de points critiques est Ie nombre de points d'intersection (qu'on
Afin d'introduire la geometrie riemannienne dans cette etude il nous faut adopter provisoirement un point de vue "reel". Soit V
n 1• une hyper surface lisse orientable de l'espace euclidien R +
L'application de Gausstfait correspondre a chaque point de V Ie vecteur normal privilegie N(x). Par definition la courbure gaussienne K(x,N) de l'hypersurface orientee V en x sera la valeur au point x du jacobien de cette application. Remarque. Si la dimension n de Vest impaire on a K(x,N) est pair on a
K(x,N)
=
-K(x,N) tandis que si M
K(x,N).
Un des theoremes fondamentaux de la geometrie riemannienne montre que, si la dimension de Vest paire, ce nombre a un sens intrinseque, c'est-a-dire peut se calculer a partir du tenseur de courbure de V, qui lui-meme s'exprime
a
l'aide seulement de la
n+1
metrique induite sur V par Ie prolongement V
Soit maintenant Vn une sous-variete plongee de
de codimension p.
En un point x de V considerons un vecteur N unitaire normal en x a tion orthogonale de V sur I' espace
v.
La projec-
T V6lN est une hypersurface ayant N comme vecteur
x
normal en x. Orientons cette projection a l'aide de N. Notons K(x,N) la courbure gaussienne de cette hypersurface orientee , et
I 'ensemble des vecteurs unitaires
normaux en x a V. DEFINITION. - La courbure de Lipschitz-Killing en x de la variete Vest : K(x)
=
2"" n+p-I
f
K(x,N)
»(x)
ou Wi est l e volume de La sphere unite de dimension i
(cL Fenchel [Fe).
133
/
D
3 points critiques M MZ' M3 se projetant en I, zl' zz' z3 sur D.
I FIGURE
Z
I
134
Remarque.
Si n
est impair on a : K(x)
=0
. On demontre que si la dimension n de la
variete Vest paire. la quantite K(x) a. comme la courbure gaussienne d'une hypersurface, un sens intrinseque. . . n+p . . SOlt L une droite orlentee de R ,notons PL la prOjection orthogonale sur L. Pour presque toute droite orientee L la restriction de PL a Vest une fonction de Morse, c'est-a-dire une fonction dont les points critiques sont non degeneres
IP I (V, L)
DEFINITIONS.
cf [Mil] •
nombre de points cri t iques de pd V
»
r(V,L)
(_l)indice (x)
x point critique de PLlv .
Points critiques et coubure sont lies par Ie theoreme d'echange suivant : p 11.1. THEOREME. - Soit V une sous-variete plongee de Rn + • Si l'integrale( lvl(V,L)
)sn
converge on a :
f
2'0
K(x)
.
K
(f=") nBS
138
111.3. THEOREME. - On a :
=
v
v0
lim
»:....
Q
-rAc = (P(n+l)
k
f o est la distribution definie par SoUP) Demonstration. Comme Ie support de bution
+ pen)) "'2n . So cy(O) •
peut etre que l'origine et comme la distri-
est limite d'une suite de mesures positives il suffit de tester
sur la fonction constante egale
a
J. Comme la mesure de l'ensemble des hyperplans tels
que I'H recoupe V0 en un point de Be different de Wn
((2:
f
° tend vers ° avec f.,
on a :
f
#[rH{1(V O -lOP (lB c] = 0 K = lim Von E'G d:P w Or par Ie theoreme de Bezout et Ie theoreme II.S. quel que soit & l'integrale est lim (_J)n
2
6-.0
Ie theoreme de convergence dominee de Lebesgue permet
majoree par de conc Lur e .
D'autre part on a, par definition de la multiplicite d'intersection (r ,V H o) I'H' V = lim o
lim # >- ...... 0
( r (1 V,).
H
"
On a donc par Ie meme raisonnement que plus haut lim
S-. e-
•
Ie noyau
0 tel que
I
et la proposition 2 , a/, pour t =Ial:
fdO(a)ep(a,X,q)4;CI(P,q)!xlq+1 J""t-P-q-1dO(t) .
eR Joo -q-2 lntegrant par parties, et remarquant que la convergence de IV(t)t dt -q-I et la croissance de vet) entrainent lim v(t)t = 0 , on voit que la t=a> q- 2dt convergence du potentiel equivaut a celIe de l'integrale )1 v(t)t. eR
r
D'autre part une majoration de ou intervient Ie coefficient
l(x)
est donnee par la proposition 3
C(p,q). On a en posant
t = lal. r = Ixl :
l(x) , C(p,q) [da(t) r o tp+q(t+r) lntegrant par parties et C(p,q)T (p+q+l)r q+1 [ p ou encore:
o(t) v(t)dt t q (t+r)
par T v(t)t P, on obtient p
154
ou l'on a (16a)
A(p,q)
(l6b)
A(p,q)
= 3e(q+l) (2+log
q)
La majoration (15) est alors identique
=8
A Sn-I
zeros
a
celIe obtenue pour l'etude
t , ou dans
des fonctions entieres d'une variable dans cr
o .
si p
Cn (cf. [4b]),quand
represente l'aire avec multiplicites d'une donnee de Cousin de
N. On est cependant dans un cadre plus general qui permet d'autres
applications. On enoncera en particulier si
m- p
= 2s
.
PROPOSITION 4. - Soit cr une mesure positive dans fie
(P I)
et
= 2s
m- p
(P2)
pour un entier
p
Rm; on suppose que o
de meme parite Que m et l' on pose
• Alors si l'indicatrice vCr)
definie ear
.! p est d'ordre fini, de &enre q dans
est donnee par les noyaux
Vex)
= I(x)
,
I(x)
--
zm-P1T m/ 2 r(7)
. Toute solution de
fie Ie controle de croissance
(IS)
a la valeur s'ecrit
(17)
est une fonction polyharmonique d'ordre
H(x)
= p+2s
est Ie potentiel (13) forme avec
e (a,x,q). Dans (17) la constante k(m,p) p
relativement
une solution de l'egua-
m
(17)
ou
(14)
m, R (m:;Jl.2)
Vex)
s . La solution
= I(x)
+ H(x)
I(x)
veri-
qui entraIne les proprietes bien connues
par l'etude des fonctions entieres d'ordre fini qu'on rappelle :
al
M (r) I
bl
Si
P
= sup
I(x)
n' est pas entier les types de l'ordre (nul, fini ou infini) sont
les memes pour
MI(r)
(V(t)t-P-Idt c/ cas
Si q
et vCr) • Les integrales
p -I
MI(t)t-p-1dt
et
sont de meme nature.
p est entier et si l'integrale
=
a .
est du meme ordre fini p que l'indicatrice V(r)
et
vCr)
f"" v(t)-P-Sdt 1
converge
est du type nul de l'ordre o ) , alors
(on a dans ce MI(r)
ill.
155
du type nul de l' ordre p , Rappelons que des contre-exemples donnes pour et p
=a
=2
, R2
=C
,
par des produits de Weierstrass montrent qu'on ne peut esperer un
controle plus precis si s
resulte de
(17)
m
est la mesure
B. Cas oil
ep(a,x,q)
+ I
v(r)
fonction de lal
est entier
p
en
(cf , [5J) • Le fait que
=
= (_I)s-I
I(x)
k(m,p) o(a)
verifie
oil
a.
a une croissance d'ordre infini. On choisit l'entier t
o(a)
de maniere I(x)
a
assurer la convergence de
Jdo(a)ep[a,x,q(a)J
=
q
•
II suffit pour cela d'assurer la convergence de l'integrale
f
ro CI (p,q)r q+ 1 t-(P+q+l)do(t) eR donne par la majoration :
[
(18)
oil
r
(19)
pour
de sorte qu'il suffit de majo-
OU l'on prend la valeur
(18)
C(p,q)
lxl . Le cont rfi l e de croissance est
C(p,q)r q+ 1 t-(p+q)(t+r)-Ida(t)
On remarque qu'on a rer l'integrale
=
=
C(p,q)
donnee par (12)
(p+q+l)p+1
La recherche d'un controle de croissance impose dans Ie cas de l'ordre infini une hypothese non seulement de croissance mais aussi de regularite de croissance pour vt r ) convexe de do (t )
Nous supposerons que y
log t
pour
t
• On se r amene
dOl (t), la fonction 0 (t ) 1
[2]
l'a remarque A.DENJOY dans
log o(t) - done aussi log V(t) -
y
ce cas si 1 'on suppose
ayant ce t t e pr opr i e t e , Cette hypothese comme
dans Ie cas p
simples mais elles Le se ron t mains pour
Y = log r = log Ixl ;
a
p
= log t = log lal ;
=0 1.
permet des majorations assez
On not era : g
= log v .
On a }log
(20)
ldO
log v+ py + log
0
T
p
T
p
e g+py (dg + pdy)
est fonction
do = o[dg + pdy] r q+I
exp [ (q + I) YJ
.
156
Dans Ie cal cuI de l'integrale (18) on distingue les trois intervalles [O,c] ,
[c,r] , [r,+ 1 ; on majore
xite du graphe
g '" log v= g(y)
dy,
oil 1 'on a
g' (Y)
y '" log t •
en utilisant la conve-
157
On a alors
(25)
,,[p
T(log r )
+
+ log v (er)]p+2 •
D'autre part l'integrale
I
est finie,majoree par (26)
1
Majorons 1 ""C(p) 3
2" 1
2exp 2(Y - e')
2C(p) vCr) [p +
1: 3
a partir
+ log veer)] p+2 0 r
de (18)
et (23) • On aura
T(y) e I / 2(y-Y) [I + e Y- Y] -I exp[g(y) +
Pour faire entrer
T(y)
1)+2 = if:Y)
1 = g'(y)
La fonetion
u -I log [ p + 23 + u
et on maj ore
log T(y)
J pour
de sorte qu'on a
=
sup y':f,y 0>0[.(1)
s'
(y) (Y-y)]dy
dans l'exponentielle, on pose
(27)
' , ' C(O) [
• On obtient finalement
+
log [ p 3 + 2+ g'(y) ] p
u >0
et
I
est deeroissante de u,
. On eerit alors
g ' (1)(Y-y+l;)] .1/2(1-Y)
Le crochet selon (22) par
(I+.Y-Yr l
g[y +
dy
(y)J
' ce qui donne
avec 1;= I; (Y) C(p) exp[g(Y+
e
I/ 2(y-Y)
L'integrale a une valeur finie maj oree par 'IT
•
[I + ey-Yr On aura done
2C(p) exp g(Y + Pour revenir
a une
expression comparable
a
(26),on eerit
= g(Y)+ E;g'(Y)+i;[g'(Y+O - g'(Y)]
" g(Y) + [I + A (Y)] ou
A (Y)
= $' (y
+!;) - 1 g' (y)
log T(Y)
i
dy •
158
D'apres (27), on a pour tout"
verifiant
0
0, k> I,
MI(r) +
C(k,n, £)v(2kr) [ 2n + log v(2ker)] 2n+£.=r r + C'(0)
(44)
ou la constante additive
C'(0)
depend du comportement de 0 au voisinage de
1 "or i.g i ne .
Ce resultat est ou
on majore egalement
a
comparer avec celui de [7a, p. 13, corollaire I]
vCr)
par une fonction convexe de
sans supposer (28) . Le r e su l t at de [7a] de (1 + r)Sv(r + e )
pour tout
donne
a une
majoration de 1 'ordre
S > n + 3 • Elle est done plus precise que (44)
pour les croissances rapides de vCr), par exemple alors
log r , mais
v(2kr) = [v(r)rJ.l avec w
log vCr)
(2k)A,.I. Un progr e s dans la methode utili-
see ici depend essentiellement d'une resolution de
(31)
qui utilise Ie
second membre est une forme a coefficients harmoniques pour
des majo-
rations plus precises. En conclusion, si vCr)
n'est, plus d'ordre fini, la methode des
potentiels est en general moins precise et surtout plus compliquee que la resolution du
c
par les estimees
L2
et l'avantage de son caractere cons-
tructif est perdu. Le role des fonctions et des ensembles analytiques qui ne sont pas d'ordre de croissance fini dans
Cn
est demeure jusqu'ici assez
limite. Les calculs tres fins de A.DENJOY [2] ont en fait eu peu d'applications et leur interet est surtout d'avoir conduit leur auteur des sur les fonctions entieres d'ordre fini.
a
de remarquables etu-
165
5. - Le eas des croissances faibles. Quand v(r) q
=
est de genre
I, c'est-a-dire quand l'integrale
e (a,x,q) p
ne differe de dans
analytiques de (n-p', n-p')
en
converge, Ie noyau
PI(a,x)
= 2p'
est alors une fonction plurisousharmo-
cas qui concerne l'etude des sous-ensembles
en
Posons
e A Bp
,•
B
et supposons que Ie support de
r],
l'a montre H.SKODA (ef. (46)
I(z) =
BP
=
=0
q
BP
ne contienne pas l'origine. Alors comme
p. 378) Ie potentiel canonique
Jd(1(a)e 2p' (a,z,q)
est une fonction plurisousharmonique si I'indieatrice de
est de genre
ou
. Soit 0 un courant posi tif ferme de b i dagre
dans
(1
(45)
p
=0
que d'une forme lineaire
p
= R2n
en
nique. Specialisons
- h (a,x)
q
ou
q
=I
• Le potentiel eanonique
0 soit
I(z)
fournit done
une fonetion plurisousharmonique eanoniquement attaehee a un courant 0 positif ferme de genre rant
e
d'ordre
=0
q
ou
q
=
I (donc en particulier a tout cou-
p< 2).
D'autre part nou s avons mont r e
(cf ,
[4e, p. 139],theoreme l)que
Ie courant positif ferme (47) avait la propriete suivante : les nombres densite (nombres de Lelong) de et de
0' sont dans un rapport qui ne depend que des dimensions. Plus pre-
c i.sement;
U(x) = tion
e
2
I(z)
J
Ia- x ld
ne differe au voisinage d 'un point x E en da(a) la-z
R n-sousharmonique
1-
2p
'
que par une fonction derivable. A Ia fonc-
U(z)
(1' =
du potentiel
correspond une mesure positive
.!-
2'Jr
flu
166
pour laquelle la densite en dimension
v' (x) = lim (log
r)
-I
r=o
ou
A(U,x,r)
(2n-2)
A(U,x,r)
est la moyenne de
U
=
vaut
v ' (x,r)
sur la sphere
Iz
- xI
r . On a
o'(x,r) T r 2n - 2 2n-2 [4eJ enonce (avec les notations prises ici pour a
v'(x,r)
Le t heo reme cite de
et
0') qu' on a V'(x) =Y(p')v(x)
(48)
y (p ')
p' = 0
si
ou V'(x)
a
la densite de la mesure B(x,r)
; y(p') = (2fT
de la dimension
p'
) [(p'-l)!]
-I
si
p'.,. I
0
est Ie membre de Lelong de
et
c'est-a-dire
definie par (44) calculee sur les boules = 2p' . On enoncera done, en considerant les ap-
p
plications a l'etude des ensembles analytiques (ou algebriques) dans de genre
q
I :
PROPOSITION 10. dans ou
en
Soit
0
un courant positif ferme de bidegre
dont l'indicatrice
q = 1
. On suppose
(relative a
0 f1-
Soit
plurisousharmonique
Pour tout
x
E
0'
N
OU V(x,V)
C
supp 0'
et
v(x)
de 0
v ' (x)
(48).
p', de genre
q
1
V canoniquement attachee a v(x, V)
en dimension (reel Ie) 2n-2.
en,
, i l existe une fonction pluriN
telle qu'on ait
IJ
est la densite de la mesure
B(x,r)
supp 0
I . On a
defini
N est un sous-ensemble analytique irreductible dans
de dimension complexe
boules
Ie courant positif ferme (1,1)
supp sing 0 , les nombres de Lelong
eOROLLAIRE,1. - Si
(49)
q = 0
supp sing 0'
0 ' verifient la relation
sousharmonique
est de genre
I(z) = fdO(a)e2P' (a,z,q) est une fonction
a partir du potentiel canonique
supp sing 0 =
de
p = 2p')
(n-p', n-p')
supp 0. Le potentiel canonique de sa mesure-
trace a donnee par (44), soit
(47)
en
en
x
calculee sur les
167 COROLLAIRE 2. - Soit
N un ensemble al&ebrique irreductible dans
n. C II
existe une fonction plurisousharmonique de la classe de croissance minimale (c'est-a-dire
lim r=oo tel Ie que l'on ait
(log r)-I M (r) = a,
=
-aH
est bien definie (bien que IZ
U
soit pas definie
o
L'integrale
f(w) "Ar_l(w,z)AAdw>,
=
Z.
peut etre definie comme la limite des integrales correspondantes sur les surfaces d'integrations -Hi d ef i.rries par
c.p
=
I:. ?o, £-.,.0
On obtient avec
I
=
/I f(W)ABr_l(w,z)Alldw>..: uo(z) an [ b r _ 1 II + 1Z - b r _ 1 1 3 + HZ pour z .aH et par consequent I ';Iu o (z ) = f (z ) {an LOr-I II + I Z - b r_ 1 = u
13
-
u"o]
IJ}
La solution u, donnee par les trois integrales II; I
Z'
1 , est ia solution qu'on a
3
173 voulu construire car :
lui HI
LEMME 3. - u est bornee
const
8. Demonstration du lemme 3. L'estimation de 1
est elementaire. Pour l'estimation 3 de 1 2 qui est delicate, nous renvoyons par exemple a Quant a II ' il faut remarquer que la surface d'integration est s i.t uae a l'interieur de!'(puisquefl. r_ 1 s'annule, si z eH I est donne, dans un voisinage de'd! H2). La, on peut appliquer
.
les estimations elliptiques suivantes
(.. const(llu II 2 u \ \ o s" 0r,«}) const (const
+ \f\d
Ifi II
L
\f\t'
0
2 + \fl ((1,.)
d
f
)
est la partie de la surface d'integration ou Ie noyau est different de O. Sur
S x HI' on a trivialement
et par consequent \ III
\u o \ s "const If
I,.
Ceci acheve la demonstration du lemme . Comme on connait deja des solutions bornees au voisinage des points I-convexes de la frontiere [6J , le theoreme 2 est donc demontre.
BIB L I 0 G RAP HIE
[Q
ANDREOTTI/GRAUERT. - Theoremesde finitude pour la cohomologie des espaces complexes. Bull. Soc. Math. France, 90, 193-259 (1962).
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Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 18e et 1ge annee, 1978/1979
I
LEMMES DE SCHWARZ EN PLUSIEURS VARIABLES ET APPLICATIONS ARITHMETIQUES par Jean-Charles M 0 REA U
Les demonstrations de la theorie des nombres transcendants amenent
a
construire des fonctions entieres ayant des zeros (resp. des petites va-
leurs) sur un sous-ensemble fini S de
Le probleme, alors, est d'ameliorer
Ie principe du maximum, sur des boules contenant S, explicitement par rapport
a
S. Nous appelons lemmes de Schwarz (resp. lemmes d'approximation) les re-
suI tats de ce type. En une variable, Ie resultat depend uniquement du nombre de points de S. En n variables, n) J, les zeros d'une fonction analytique n'etant pas isoles, Ie resultat depend de la repartition des points de S. M.Waldschmidt a montre que les degres des hypersurfaces algebriques passant par S jouent, alors, un role fondamental. Le point sur cette question est fait dans Le chapitre VII de [ 13 ] , que nous prenons ici comme reference generale. Dans Ie § I ci-dessous, nous precisons les liens du probleme avec Ie degre des hypersurfaces algebriques passant par S. Dans Ie § 2, nous etudions un S particulier, avec des "mu Lt i pLi c i t e s " de ze ro s sur S d i s t i nc t.es suivant les directions. Dans Ie § 3, nous donnons une application arithmetique du § 2. §
O. - Notations. Soit nun entier strictement positif. Soit
bre des polynomes
an
indeterminees et
a
[zl, ... ,zn] l'alge-
coefficients complexes ; deg P
designe Ie degre total du polynome P, et, pour L entier strictement positif, [zl' " ' , znl designe l'espace vectoriel des polynomes de degre total strictement plus petit que L. Sur an, on utilisera surtout la norme Izi
=
max(lz 1 I,
= (zl, ••• ,zn)' Pour f fonction entiere, i.e. application tout an a valeurs dans ¢ , et r reel positif, on pose Ifl r = sup If(z) I •
z
... ,Iznl),
analytique sur
ou
175
Nous introduisons maintenant des notations relatives a S. sousensemble fini de ¢n. Soit A un nombre complexe non nul , f une fonction ent Iere , t un entier strictement positif, on note :
sup i [o]
d(S) AS
=
In'f(o)11 oES
{z E ¢n
I
10 E
1: E S}
,T= ('I' ...• Tn)
"\(S) = in£{ deg pI PE\t[zl''''' znl , P '" 0 Dans les
§
§ I. -
al
*,
,
'I
+ ••• + 'n O. avec n = m+1
- c7
est verifiee par construction.
Pour tout M. (i)M entraine (ii)M d'apres la proposition 3.S •• si Nest choisi assez grand. car log IFNl c8
: : : c9
Mm+2 1og M
Pour tout M. (ii)M entraine (i)M+I • si c bien choisi et N grand. En effet.si 6 t
at O dZ
o
FN(ho.hl+ho BI•••• .hm+hoBm) E K •
0
de tail Ie inferieure ou egale
a
clO
t : : : (M + l)m+2 o
log M pour
189
et
h.
J
Ih.J I
+ I)
m+2
(j = 0 •.•• , m) ,
est non nul. (ii)M contredit l'inegalite de taille «1.2.3.). p. 6, de [II] La propriete (ii)M est done verifiee pour tout
La fonction
P alors, est identiquement nulle. Ce qui contredit Ie fait que les N, coefficients de P ,ne sont pas tous nuls, et que les fonctions N
p(A),
sont algebriquement independantes. Done, sous les hypotheses du theoreme 3.2., Ie nombre e
est transcendant.
130 + I3 I R- I + ••• +l3mR-m
190 I
I
REF ERE N C E S
[I J BERNDTSSON (B.). - Zeros of analytic functions of several variables; Arkiv for matematik , vol. 16, nO 2, p. 251-262, 1978. [2J BOMBIERI (E.). - Algebraic values of meromorphic maps; Inventiones Math., 10, p , 267-287, 1970 et 11, p , 163-166, 1970. [3J HOID1ANDER (L.). - An introduction to complex analysis in several variables; Van Nostrand , 2nd e d iLtLon, 1973 . [4J LELONG (P.). - Fonctions plurisousharmoniques et formes differentielles positives; Gordon and Breach, New York, et Dunod, Paris, 1967. [5J LELONG (P.). - Fonctions entieres et fonctionnelles analytiques
Presses
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Lecture Notes in
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[lOJ SKODA (H.). - Estimations L
a et
applications ar i t.hme t i.e-
ques ; Seminaire Pierre Lelong, Analyse, annee 1975-1976, p. 314-323, Lecture Notes in Hath., nO 538, Springer Verlag, 1977. [I1J WALDSCHMIDT (M.). - Nombres transcendants
Lecture Notes in Math., nO 402,
Springer Verlag, 1974. (12) WALDSCHMIDT (M.). - Proprietes arithmetiques de fonctions de plusieurs variables (II); Seminaire Pierre Lelong, Analyse, annee 1975-1976, p. 108-135, Lecture Notes in Math., nO 538, Springer Verlag, 1977. [13] WALDSCHMIDT (M.). - Nombres transcendants et groupes algebriques ; Asterisque, n" 69-70, 1979. Jean-Charles MOREAU 33, rue Censier 75005-PARIS
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 18e et 1ge annee, 1978/1979. MARTINGALES CONFORMES SUR UNE VARrETE ANALYTIQUE COMPLEXE par Laurent S C H WAR T Z
I. - MARTINGALES ET SEMI-MARTINGALES(l).
n
n,},. une p robab i Li t e sur (n, 8'), et ('f t\E[O , +00] est une famille de t r i bus },.-mesurables sur n, croissante (ft ::;) ( puur
t
est un ensemble, 8'une tribu de parties de
,
continue a droite ( i t
=
n
£>0
it
+ e,
pour
t(s, w).
Done, si", est holomorphe, et M martingale conforme, gale (parce que
et -z d
est
d (s , w )
(M(s,w»d , i,j '" I, 2, ... , N, sont des processus constants (il ne J
suffit pas pour cela que les composantes M aoient des martingales conformes, i c ' est-A-dire que les O (4) • Une
" 1 e con f orme M n ' a pas la meme
y a
changement de temps dependant de 00; on pourra seulement dire qu'il existe une fonction T sur n 1l. valeurs dans [0, _], temps de sortie de H de la trajectoire (ou temps d'entree dans (H), tel que, pour Apresque tout w, M(t,W)EH pour tout
T( 00) et E(H pour tout t >T(w).
On exprimera cela en disant que M quitte H pour toujours ou sans retour: des
que la trajectoire Le quitte (ce qui peut ne jamais arriver, si T(l.ll) = too), c'est pour toujours. (4)Voir R.M.BLUMENTHAL R.K.GETOOR p , 96.
Markov Processes and Potential Theory,
197
Qu'en est-il sur une variete complexe V, de dimension complexe N quelconque ? Pour N
il n'y a plus rien de commun entre les martingales
conformes et des mouvements browniens
mais en meme temps il faut distinguer
les ensembles polaires et les ensembles pluripolaires ou tie H de Vest dite globalement plurisousharmonique sur V, non identique dit localement
Une par-
s'il existe une fonction
a-
00,
a-
egale
ou plus simplement
00
sur H. Et H est
si tout point a de V
admet un voisinage Va tel que H nVa soit globalement C::-polaire dans Va peut alors se demander s'il est vrai qu'une te pour toujours
un ensemble
On
martingale conforme sur V quit-
H. Ce n'est pas exact, malheureuse-
ment. Remarquons d'abord que, si M quitte H pour toujours, elle ne quitte pas necessairement H' pour toujours si H'C H • D'ailleurs M quitte V pour toujours, puisqu'elle ne la quitte jamais, et il n'en est pas pour autant de meme pour toute partie H de V On dira que H est globalement II:-ferme si, pour tout
existe une fonction plurisousharmonique sur V, egale
a
-CI)
x-¢ H,
il
sur H, > -00 sur x
ou si H est l'intersection des poles des fonctions plurisousharmoniques egales
a
-00
sur H. Et H sera localement II:-ferme, ou plus simplement II:-ferme,
si tout a de V admet un voisinage Va tel que H OVa soit globalement ¢-ferme dans Va' Bien entendu V elle-meme est ct-fermee ; mais,
a
part V si Vest con-
nexe, un ensemble ct-ferme H est ct-polaire. Le theoreme vrai est alors Ie suivant : une martingale conforme quitte pour toujours un ensemble bore lien ¢-ferme (5) Nous terminerons par quelques questions et exemples ou contreexemples. 1/ Soit V = ¢N, N
, et soit H un disque d'un sous-espace vectoriel W de
dimension complexe 1. Alors H est a-polaire parce que West ¢-polaire ; mais (S)Voir l'ouvrage cite
a
la Note (2), proposition (5,11), page 52.
198
il n'est pas ¢-ferme. Si en effet
v,
egale
a
-00
est une fonction plurisousharmonique sur
sur H, elle induit sur W une fonction plurisousharmonique, neces-
sairement egale
a
sur W tout entier. Et justement il existe une martingale
conforme qui ne quitte pas H pour toujours
un mouvement brownien complexe
dans W, qui a la propriete d'etre recurrent, ce qui veut dire que presque surement la trajectoire rentre dans H et sort de H une infinite de fois jusqu'au temps
+00
•
Ce contre-exemple, ainsi que la demonstration meme du theoreme font
penser que l'hypothese choisie est la bonne: si H est borelien et si toute martingale conforme Ie quitte pour toujours, il est probable que H est donc a-polaire si Vest connexe et H 1
v.
Mais c'est un probleme ouvert.
2/ L'hypothese que H est borelien est-elle necessaire ? 3/ En dimension N
= 1,
H n'a pas besoin d'etre bore lien ; et la reciproque est
vraie pour H borelien : s'il est quitte sans retour par toute martingale conforme, il est pluripolaire, i.e. polaire. Et tout ensemble pluripolaire, i.e. polaire, est ¢-ferme. 4/ La topologie definie par ces ensembles pas comparable V
= aN n'est
a
pas
la topologie initiale de V. Par exemple une boule fermee de un ensemble denombrable dense de
pas ferme (un ensemble polaire de borelien I).
est mysterieuse : elle n'est
a est
a en
mais
a-ferme, mais meme pas necessairement
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 18e et 1ge anne e , 1978/ I 979.
I
I
PROLONGEMENT DES SOLUTIONS HOLOMORPHES DE CERTAINS OPERATEURS DIFFERENTIELS D'ORDRE INFINI A COEFFICIENTS CONSTANTS par
§ 1.
A.
S EBB A R
INTRODUCTION. Dans
[6) , C.O.KISELMAN obtient pour les solutions holomorphes dans
un ouvert convexe teur differentiel
U z; (;n de
a
P (D)u = 0
(ou P (D»
T 4:
a
Da. est un operaa. coefficients constants) un theoreme de prolongement a
un ouvert convexe maximal V, ne dependant pas de la solution u et dont la forme est gouvernee par 1 'ensemble des zeros de la partie principale Pm (z )
z aa. za. du polynome P(z) = z:: a za. 1a.1=m lal 0, il existe deux fonctions entieres £2 et f
3
telles que
204 De plus, on peut trouver deux constantes reelles a pour tout s
: log If
(3.1.0. )
f
(resp. K
) est l'
f
I
0\ m
If 3 (S) I
log L
2(s)
£
2(f)
et a
3(f)
telles que
+ a ( f) log (2 +lsl)
2
(s) + a (d log (2 + II;: I) 3
e -voisinage de L (resp. K).
Les constantes a aI' L
a et les fonctions f f dependent de f, f, K, 2, 3 2(f), 3(f) et b, mais non de fl'
Preuve.
J (dont
On pose, comme dans [ 4 f
fl(l
on suit ici les idees)
-tpo
2
ou
3
fl(tp
f)
0
o
tp E
tp
\i
0
si IT I> I
a determiner.
et vest une fonction de classe C
soit entiere, il faut et il suffit que
cela equivaut
af 2
a
0 f) }
ou encore
a(I{) f
I aT
=0
f)
0
f
(tp 0
ou west une forme de type (0,1) , Majorons
f
silTkl/2
tp (T)
2
-
s
tp(T)
Pour que f
+\i
f
(3.1.1.)
f
f)
f)
ap = w
a-fermee.
log jwl dans
= sup I z I et
U L = sup I z j le nombre f> 0 etant fixe, ZeK z6L choisissons f' > 0 assez petit pour que: f' ( uK + U ) L
Nous poserons UK
b log(2 + (I Dans Le support de
a(",
0
f) on a
log(2 +11;:1)
I f( 1;:)1
:"21 • Ainsi :
Iw(l;:)k2 I f 1 (0/ sup 0 f I IIT(s) La fonction f etant de type exponentiel nul, i l existe
U (
f) 'l0
tel que
205 alors (3.1.2.) Par hypothese, f verifie la propriete "p" : pour tout a > 0, i l existe R >0 tel que If(1;)
a
k1
et
r1;1
R
a
implique
b log (2
zeL
et :;;H ( ?;) + b log (2 +11;1+11; 1;'!) + sup Re K zEL zEK
comme :
1;'1:;;£' 11;1 , on a :
1\ (1;) < l\:.
+ c ' (a
soit : 1\(1;)
K
+ a ) 11; 1+ b log (2 + (I + s ") 11; I L
+
+ b ' log (2 +11;j)·
11 existe done b ( c ) tel que pour I f (I;;) 1
1\(1;)
1
on ait
+ £11;1+ b Ic) log (2
soit H (1;) L et par consequent,
(1;) + bee:) log (2 tout
dans
If(
comptetenu de l'hypothe
se :
i1 vient a ou, a o = sup
I
o'
c (e) exp
a'l'l af
e
+ b(£)log (2
£11;1+ a
l
log (2
•
En definitive, on peut trouver une constante reelle et positive C(£) telle que : (3.1.3.)
log
(1;) + C(E:) log (2 +11;1) n
tel que 21 f(1;) I. Comme w(1;) = 0 s i (3.1.3.) est satisfaite dans tout tn.
pour tout
dans a::
1f(1;) I> I, l' inegalite
n On cherche maintenant une fonction plurisousharmonique'l' dans a:: n 2 telle que IwI exp( '1') soit integrable dans a: pour la mesure de Lebesgue.
206 Or, d'apres 3.1.3. :
Iw(o
2 exp(- "(0)
si 1 'on choisit exp {2H
J
soit : ,,(
log If 3 ( 1;) I 'i1c 0(1;) + a 3 ( E:o)log(2 + 11;;1> Le theoreme de Martineaa-Ehrenpreis deja cite donne l'existence de et /ft' (U) telles que f
Pour tout v
1\
2
= T2
on a alors
< T l" v > = < T2' f (D) v > + < T3' v
Iu >
Soit SE:t;(D)(U) la restriction de T3
•
Pour tout ve7iff(D)(V), on a:
= = =
ainsi tR(S) = T, d'ou la surjectivite de t R et le theoreme. 3.2.2. COROLLAlRE. Soient U un ouvert convexe et V = 8 (U) W est une fonction entiere de type exponerttiel nul ayant la proprietefllp lI Soient u
v EJt(V) telles que: f(D)u = v
geable en une solution
U
de f(D)u
Iu
•
f
u est prolon-
= v, holomorphe dans V.
o o En effet (Martineau [I3J ), l'operateur : f(D) telle que f(D)v
o dans U, de f(D)u
:Ie(V) --+-:!t(V) est surjectif done i l existe v
v, ce qui montre que u - Vol O. Par le theoreme de
o
E
est une solution holomorphe holomorphe il existe
210
dans V, f(D)u
o
La fonction u +
V
o
et
u D
est holomorphe dans V, prolongeant u et verifie
=
+ v )
+ f(D)v
= f(D)v = v
0 0 0
ce qui demontre Ie lemme. On va demontrer maintenant que V
(D) est Ie plus grand ouvert W convexe de en, auquel on peut prolonger toutes tes solutions holomorphes dans D, de f(D)u
=0
8
. Le procede habituel est de construire une fonction
holomorphe dans V, qui s'en va a l'infini sur Ie bord et qui soit une solution : c'estadire qu'il existe une solution non prolongeable.
3.2.3. THEOREME. Soient f une fonction entiere de type exponentiel nul verifiant la propriete "P", Ct(W
Ie cone asymptotique de l'ensemble f) des zeros de f. Si toute solution u, holomorphe dans D, de f(D)u = 0 se prolonge en une solution v, holomorphe dans V, de f(D)v
vc f(W
0
) (D).
f
d'abord un lemme
3.2.4. LEMME. Si f est comme dans Ie theoreme cidessus et si alors dans Ie demiespace D = {z E a;n, Re < Z, 1;> < 0 }, il existe f), une solution u appartenant de f(D)u = 0 telle que lu(z)! tend vers 1;
E
+ co
Ct (W
lorsque z tend vers 0, en restant dans Ie cane
Izl 0
224
sup N(A n L z,8R) z £. a: n
sup N(A n L ,R) z £. cone E
z
For similar results see also [4J.
Theorem 2 says that if we know the growth of set of lines of positive of
A on a
r-capacity then we know the growth
A on every line (hence also the growth of
A, by (3».
In particular we have: Corollary 3
A and
Let
E
be as in theorem 2.
is algebraic (r-e sp , finite order)- then
A
If
A
n L
is algebraic
(resp. finite order). Corollary 4
Let
More precisely, let projection, then
n
:
be as above then A n E = il. -- {OJ F n- l be the standard
E
F n - l _ n(A)
coordinate chart of Remark:
a nd
A
F
is of zero
r-capacity on each
n-l .
Corollary 4 is true for any pseudocave set
A is closed and the complement of
A (i.e.
A is pseudoconvex).
For the proof of theorem 1 we will need the following properties of
r-capacity.
We refer to Ronkin [5J for the proof.
(rl)
On
(r2)
A countable union of sets of zero r-capacity is again of zero r-capacity. n n be a unitary transformation, then Let a : a: --r a: n for E in a: r-cap(aE) = r-capCE)
(fa)
( 4)
Let
r-capacity is t he same a.s O.
Then by a unitary
change of coordinate we may assume that these exists n l E' c a:n - l x {oJ of positive r-capacity in a: such
225
that ({z'} all
zt
n E
x
E'.
so that
is of positive capacity in
Et = E'{E) may be chosen
(Furthermore.
r-cap
for
n- leE') > r-cap n (E)-E
for any
E.)
Theorem I follows easily from the following proposition and the fact that the polynomial convex hull coincides with plurisubharmonic convex hull. Proposition 5
Let
K=
f-capacity and 2
E
lP
c
c
n
{o. ,AW)
be a compact set of positive A e
W
E
and
2
+ IAW!2 s R } = cone E n B · Then there exists a constant R (depending on E), 0
0
c
for all
z'
E'
Ez' = ({Zl} X [) n E. By property (r-2) we may assume that d..,U:z') > d > 0 for all z' E'. n {o. ,Aw) For z' e E' denote by a: + l A-. a:,w Ez' z' = = ({z'} x lC) n E. Then for z' E' where
I
which is a family of complex line segments of radius parametrized by
Ez"
The picture is like this:
R
in
230
i
1
£., t
-+>'
Since
> d >
there exists
e1
a
for all
independent of
0 in 82
independent of
where
B.9R
= B6
of
z
.
E:
parametrized by
E'.
Since
such that
II:
6R at the origin
This completes the proof of proposition 5.
Consider an analytic set with
E:
By the induction hypothesis there exists
is the ball of radius
16 2R
z'
0 4 A.
Let
is the projection. c
E + ]pl.
E
A of codimension one in
= ]pl _ 7f(A) where 7f :
Then
E
is a compact set in
- {a}
BR C Jl?l
]pl
is contained in the coordinate chart U = {U .w)} of ]pl. Then 7f-l(E) n BR C BR-A. Since A BR-A is pseudQconvex the holomorphic cQnvex hull 1< of
and
We may assume that
E
232
K
= n -1 (E)
BR is still contained in BR-A. Assume that the distance from the origin to A dist(O.A) = dis(O.p) for some I'
A
n
= {z = O}
where (z.w)
is the coordinate of
By
proposition 6.
{(z.w)
I Mlzl+lwl
[
5
eKe
Il+W
BR - A
_we have
Corollary 9
Under the above assumption we have 5
A+M 2
.
Corollary 10 Let {fj} be a sequence of holomorphic functions n on BR c:: a: Assume that {f j } is a normal family on BR n L for a family of lines (through the origin) E = {L} of positive r.-capacity then
is a normal family on an open neighborhood
{f. } ]
of the origin. Proof.
For positive integers
Ep • k
I'
and
k.
let
= {L I L line through the origin and Ifjl
Then by assumption
on
p
for -flU
-\
.J
L n BR/ k}
E U p.k· Since E is of positive p.k>O r-capacity. Then one of the E must also be of positivoi! p.k r-capacity by property rr 2) • By proposition (5) • E c
\
for
j
on some opan ne Lghbor-hood of the origin.
normal on the neighborhood.
Hence
ff
} i
P
233
The following theorem of Alexander says that for any set of lines of zero capacity there exists analytic set missing the set of lines. Theorem
(Alexander [2»
Let
:e
then there exists an analytio set E
w : lC 2
where
c;
lC
be a set of zero capacity lC 2
A in
such that
E-w(A):
is projeotion onto the first coordinate.
lC
We begin by proving the following Theorem 11 Let A c; lC n +1 be an analytic set of codimension one.
Assume that
O.
A and
A
is of finite order.
A is algebraic or else for every integer Ed = of
{L
f:
JPn.
JPn
I#
A n L = d}
Consequently
d
the set
0
is oontained in a proper subvariety
A is algebraic if
E
= UEd
is thick.
d:O
Alexander's theorem saYs that the above theorem is in
Remark
general false without the finite order assumption on Proof.
Let
such that
a:n +l
Then either
f
A.
be a holomorphic function of fintie order
f-l(O): A.
Define a
function
f
p
on
by
Consider the coordinate chart in this chart the set -Ed = {z
f:
lC n
I for
Ed
{(zl, .•. zn,l)}
of
JPn.
Then
is identified with
fixed z, -f(z,w)
has
d
zeros in
w}.
234
° ¢ A,
By assumption
some open neighborhood
-f(z,O)
hence
W in
,0.
= f(O,O)
of
So on
x {O},
(16)
where
g(z,w)
is holomorphic on
On the other hand, for the zeros of
f(z,W).
Since
f
=e
n
z
j=l
[pJ
E
be
J
in
w where
is a
gz(w) [pJ
= greatest
Hence g(z,w) = gz(w) +
z
•.•
p, the function
polynomial of degree at most
for
let
g (w) d
is of finite order
integer s p.
Ed
E
Then
f(z,w)
(17)
z
W.
-Ed
and
w
Id
j=l
J
in some neighborhood of the origin.
Differentiating with respect to
w
oW (z,w) Hence for
z
Ed
and
w
in an open neighborhood of the
origin Q • oW ( z ,w ) = P
(18)
where P
d
Q= n
j=l
J
is a polynomial in
ia a pOlynomial of degree w of degree s [pJ + d = k.
d
in
wand
235
Let
(19)
where
a
Q(z.w)
= I ,,=0
P(z,w)
= I ,,=0
we have for d
I R,=O
(20)
Then by
= l
(20)
"l""'''d+l
D"
k+l,
" 1 ... d+l
Ed
c
for all such Let V
\l
=
v
c,,(z)w
a: n f.
"
v
for all " ;r:0
Ed
;:
0
"
Ed'
D" "'''d+l 1
{D"l"'''d+l (v ) .
k + 1
and
Z E:
Ed
define holomorphic functions
vanishes on
such that
k+l
is finished since
z
"
b.(z)w
k
a,,_R,(z)bR,(z)
"l' •••• "d+l
a,,(z)w
d
is holomorphic on
" By (18)
For
g(z,w)
= oJ.
f
If there exists 0,
then the ?roof
So we may
We shall prove that
A
that is algebraic
H be the vector space generated by all the a
,,-
l, ... ,a
,,-
d)'
\I
k+l,
over the field of meromorphic
236
functions on
a: n .
The vector space
because
for all
Then for every a
(v )
, a
(v)
l
Vv'v (v)
, ... ,as
k+l
(v).
H is of dimension
Let
V , ••• ,V "i Vs
s s d
be a basis.
there exists holomorphic functions
such that
(21)
On the other hand since functions
St
s s d,
there exists holomorphic
such that for
By
(21)
we have for every
This show that there exists holomorphic in (z,w)
where
j = 1, ...
,5
k+l
v
Ql,P
l
polynomials in
such that
Hence we have
wand
237
Pl and Q are holomorphic everywhere and deg Q = d. l l we conclude that f has at most d zeros in w for each Sine
z
It is well-known that this implies that
Remark
The above proof is similar tofue proof of
A
theorem on separate meromorphicity (see for example
is algebraic. E.Levi's Sill [6J.)
REFERENCES [1]
L. Ahlfors. Conformal invariants Topics in Geometric Function Theory. McGraw-Hill 1973.
(2)
H. Alexander. On a problem of Julia. Duke math. J. vol 42 (l97S} . P. Griffiths. Entire holomorphic mappings in one and several complex variables. Anals of Math. Studies. vol. as. 1976. Princeton Univ. press.
(4)
P. Lelong, Real and semireal zeros of entire functions in Proc. of Symposia in Pure Math. vol 30. 1977. pp 245-250.
(5)
L.I. Ronkin. Introduction to the theory of Entire Functions of several Complex Variables, Translations of Math. Monographs AMS vol 44, 1974.
(6)
Y. T. Siu, Techniques of extending analytic objects, lectures notes in pure and applied mathmatics vol.a. Marcel Dekker, 1974.
N.SlBONY Universite Paris-Sud
J.M.WONG Tulane University
Bitiment 425
70118 - NEW ORLEANS
91405 -
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 18e et 1ge annee, 1978/1979.
2: DlVlSEURS D' AlRE BORNEE DANS LA BOULE DE C REFLEXlONS SUR UN ARTICLE DE Bo BERNDTSSON
par H.
S K0 DA
lntroduc tion. Dans un recent et remarquable article [I] , Bo Berndtsson vient d'obtenir de nouveaux noyaux pour resoudre l'operateur a3 dans la boule de II en deduit en particulier Ie resultat surprenant qu'un diviseur d'aire bornee de la boule de bornee. Le cas n
=
est l'ensemble des zeros d'une fonction holomorphe
2 etant particulierement simple et satisfaisant par rap-
port au cas general, il nous a paru interessant d'ecrire dans ce seminaire une demonstration complete, autonome du cas n
= 2,
courcircuitant en particu-
Her toute reference au cas Les idees fondamentales de cet expose sont done entierement tirees de l'article de B. Berndtsson.Nous avons seulement precise les references solution du
3
a
la
de [3] et [8].
Notre apport original se limite au lemme 3 qui est une extension de la proposition 2.1. de [8] ,p. 277 et qui precise Ie comportement tres restrictif des coefficients "tangentiels" d 'un courant, positif, f erme , de masse finie dans un domaine strictement pseudoconvexe. Ce lemme permet de montrer directement que Ie noyau explicite simple pour vergent pour un courant
aa de
Berndtsson est bien con-
ferme de masse finie, ce qui n'est pas evident par
une majoration brutale du noyau et du courant. Bo Berndtsson utilisait un argument indirect ( [ I ], corollaire 2.6., formule 12). II cont r S'la i t la valeur en 0 de sa solution du
aa
dans
a2 a
l'aide du noyau relatif
a
la dimension 3,
formule interessante mais plus difficile qu'un argument direct en dimension 2.
239
Notations. Soit B la boule unite euclidienne de n
Soit
X=
l:
n
Xi
un diviseur de B
i.e. un cycle de dimension n-l, posi-
n, i=1 i + tif dans B ' nica et les Xi sont des hyper surfaces irreductibles de Bn (en n nombre localement fini). On note [X] Le courant d ' integration
r
i=1
n.
1.
[X.] 1.
On note classiquemento la mesure aire de X :
= [X]
o oil
s=
2 d'd" Iz 1 • Pour
o (r)
=
f.
rr-I
I\fr;::r)!
rE]O,I[ , on pose
B(O,r)
f
dO(z)
X (lB(O,r)
oil B(O,r) est la boule euclidienne ouverte de rayon r. On s'interesse au 2e probleme de Cousin avec croissance dans B : trouver F n holomorphe dans B telle que F-I{O} n
=X
,F est nulle sur Xi avec la multi-
Log IF I est maj or ee en fonction de oCr)
plicite n.
1.
ou de
(J.
Rappel bref des resultats "clas!liques", ou anterieurs. lIs sont valables en fait pour des ouverts bornes strictement pseudoconvexes mais pour simplifier nous les
dans Ie cas de Bn•
En 1974, il y eut des resultats partiels de L.Gruman [2] et G.Laville [5]. En 1975, Henkin [3]
et moi-meme [8] obtenions la caracterisation des zeros des
fonctions de la classe de Nevanlinna : (J -lzI
2)
dO (z).
Mj,k n-2
(n-Z) !
i '2
-
1:
. k J
0. ces valeurs propres etant calculees relativement Hq(X. nP(E» holomorphes
=0
a
a une
des que
p
metrique kahlerienne w donnee sur X. Alors +
q >2n - k. nP(E) designant Ie fibre des p-formes
va leurs dans E.
Dans Ie cas d'une variete compacte, Ie resultat est du
a
J.Girbau [3J.
253 Nous allons montrer que si p
= n,
l'hypothese sur 1a minoration des va1eurs
propres de ic(E) par une constante>O est inutile. THEOREME 2.
Si la forme de courbure du fibre, en droites, hermitien E est semi-definie positive et de rang? k en tout point d 'une va r i.e t e X faib1ement pseudoconvexe, kah1erienne, alors Hq(X, nn(E»
= 0,
pour
q>n-k
, avec
n
dim E.
Le theoreme 2 sera une consequence du theoreme d ' existence pour
a,
avec esti-
2 mation L precises, qui suit.
On ne fait aucune hypothese,
a priori
sur 1e rang de ic(E).
THEOREME 3.
Soit E un fibre, en droites, hermitien, semi-positif sur 1a variete kah1erienne , faib1ement pseudoconvexe X. Soit en tout point de X,
va1eurs propres de ic(E) re1ativement
a une
AZlO .....A 1es n
metrique kah1erienne
w sur
X .
L'entier q etant donne, soit Aune fonction ?O, mesurab1e, sur X telle que
E
(I)
jEJ
A. ?
A
J
pour tout mu1tiindice J, strictement croissant, de longueur q. Alors pour toute forme f, de b i.deg re (n,q),
a-fermee et
toute fonction pluri-
2 sousharmonique ¥' , de c1asse C , sur X te11e que
l",-l lfI
(Z)
Z e - 'I' d T < + Cl)
i1 existe u , de bidegre (n,q-I) te11e que
au
= f
dans X ,
et
(3)
oil dr
En particulier s i A de maniere
a
> 0, continue, sur 1e support de f, on peut choisir ¥'
faire converger l'integra1e (2) et on peut resoudre l'equation
254
Mais, meme s i A est nulle en certains points du support de f , il suf f i.t que f soit assez petite en ces points pour assurer la convergence de (2). En particulier, s i ic(E) est maintenant de rang >.,k sur Ie support de f, et si q x n-k , l'une des
A. est> 0
pour au mains un jE
J
J (IJI
=
q) et on peut
choisir pour A la plus petite des valeurs propres strictement positives de ic(E). Par un choix convenable de n - k .
@
de t E»
; 0
puissances symetriques E(v)
258
BIB L lOG RAP HIE
[ 1] ABDELKADER (0). - Annulation de la cohomologie d'une variete kahlerienne faiblement I-complete
a
valeur dans un fibre vectoriel holomorphe semi-
positif. Notes aux C. R. Acad. Sc., Paris, 1980 (a paraltre). [2] DOUADY (A.) et VERDIER (J.-L.). - Seminaire de Geometrie analytique, E.N.S., 1972-1973, Differents aspects de la positivite, Asterique 17, 1974, Societe Mathematique de France. [3] GIRBAU (J.). - Sur Ie theoreme de Le Potier d'annulation de la cohomologie, C. R. Acad. Sc., Paris, t. 283, 1976, A-355. [ 4] GRIFFITHS (P.A.).
Hermitian differential geometry, Chern classes and positive
vector bundles, Global analysis, Princeton University Press, 1969, p , 185-251. 2 [ 5] HORMANDER (L.). - L estimates and existence theorem for the doperator, Acta Math., 113, 1965, p , 89-152. [ 6] SKODA (H.). - Morphismes surjectifs et fibres Li.nea i.r e s semi.r pos i.t i.f s , Semina i r e P.Lelong,H.Skoda (Analyse), annee 1976-1977, Lecture Notes in Mathematics, n° 694, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1978.
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 13e et 1ge annee , 1978/1979.
I
RELEVEMENT DES SECTIONS GLOBALES DANS LES FIBRES SEMI-POSITIFS par Henri
S K0 DA
Introduction. 1/ Geometrie hermitienne et calculs de courbure. 2/ Theoremes de relevement sous des hypotheses de semi-positivite. 3/ Theoremes de relevement avec hypothese de stricte positivite. Introduction. Soit E et Q deux fibres, vectoriels , holomorphes, hermitiens de rangs respectifs p et q au-des sus de la variete holomorphe kahlerienne, faiblement pseudoconvexe, Q (on dit aussi faiblement I-complete, i.e. il existe une fonc2, tion d'exhaustion, de classe C plurisousharmonique surQ, cela englobe donc Ie cas ou Q est compacte et ou Q est de Stein). Soit g : E
• un morphisme surjectif de fibres vectoriels , holomorphes,
au-des sus de II • Comme dans les articles precedents
[lSJ '
, [17J • on
recherche des
hypotheses de positivite sur E (et sur Q) aussi faibles, naturelles et geometriques que possible ,qui assurent la possibilite de relever par g les sections holomorphes globales de Q en des sections holomorphes globales de E, c'est-a-dire qui assurent que Ie morphisme, note encore g :
induit par g sur les sections holomorphes globales, est lui aussi surjectif. On demontre en particulier Ie resultat suivant : Supposons E semi-positif au sens de P.Griffiths (i.e. sa forme de courbure
260 ic(E) est semi-definie positive au sens de P.Griffiths, cf. (l.4),sans aucune hypothese de rang sur ic(E». On designe par K Ie fibre canonique des n formes holomorphes
Alors, pour tout entier k >p-q, Ie morphisme induit par g o
k 0 H (E:i9K Qildet E 0 (de t Q) ) __ H (Q
(0,1)
k
E @ (de t Q) )
est surjectif. On obtient done Ie relevement des sections globales, apres tenp
sorisation par un fibre en droites simple q
lK®det E @(det Q)k, oil de t E = A
E,
de t Q = A Q.
L'interet du resultat nous semble venir d'une part de l'absence d'hypothese de stricte positivite sur E et
et d'autre part du caract ere geometrique de la
semi-positivite au sens de P.Griffiths, Ie quotient d'un fibre semi-positif etant encore semi-positif. Par exemple, un fibre, engendre par ses sections globales (i.e. pour tout x (J
(
n,
[5]
ou
E H
(cf.
O
E) telle que
(J
et tout e
E
EE
x
; il existe une section
e) est semi-positif au sens de P.Griffiths
(x)
(1,6»).
Dans l'article [17] , nous avions obtenu un resultat au premier abord meilleur, mais avec une hypothese plus forte de semi-positivite au sens de S.Nakano de E. Nous avions alors montre que pour tout k >Inf(n, p-q) Ie morphisme g
etait surjectif. Lorsque p - q
=
I, nous montrionsque la semi-positivite au
sens de Griffiths suffisait pour l'obtention de ce dernier resultat. La tensorisation par det E dans Ie premier resultat est inutile pour p - q = 1 (cas tres particulier, car Ie fibre noyau est alors de rang I) mais semble tres naturelle, dans Ie cas general, vu Ie theoreme d'annulation de P.Griffiths (theoreme G de [5J) que nous rappelons dans Ie paragraphe I (theoreme 1.5. et son corollaire). Lorsque Ie fibre E est engendre par ses sections globales, les deux resultats s'appliquent simultanement (E est alors quotient d'un fibre trivial et pour appliquer Ie deuxieme resultat, on peut relever les sections de Q directement
261
dans ce fibri trivial, cf. [17] , corollaire 1.1, p. 580). Le premier r e su l t a t semble alors meilleur si p - q < n , tandis que Le second est meilleur s i p - q
n , Dans ce cas d 'un fibri engendri par ses sections
globales, on obtient done, grace a [17J
et au prisent article, la surjecti-
viti de g O
(0,3) avec
H
(
E
O
IilM)
-'i'- H (
,
Q
K0M) ,
M
de t E I&'(dit Q)p-q+1
si
p - q 00 G" I, I ( It,
1.
Hom(E,E»
L'inegalite de Kodaira etant particulierement satisfaisante pour 1es fibres
[5] ,Ie
de rang I, on va utiliser , comme P.A.Griffiths dans projectifs
fibre en espaces
pour se ramener au cas d'un fibre de rang I.
Pour chaque xElt,la fibre en x de P(E x) est done l'espace projectif du a-dual EX x
de la fibre de E •
On cons i de r e 1a projection canonique 11': lP (Ex) _ que note 0(1) de
{}. ,Ie fibre quotient canoni-
11'* E au-des sus de lP(E%). On a done Ie diagramme commutatif
suivant :
X
Le fibre 0(1) est de f i n i par sa fibre en ; Ex
oil
EIP(E )
I Ker E; ,
, et ou Ker E; est l' hyperl'image de E; dans P(E%) x
plan de Ex' noyau de 1a forme lineaire E; •
270
pest l'application canonique de passage au quotient de n* E dans O(l). On a classiquement : HO(tp(E*), O(I»Ol!Ho(Q, E) . On rappel Ie maintenant Ie lien entre la courbure de 0(1) et celIe de E. Soit F Le fibre noyau de p , de sorte que F(x,
; Ker
et qu'on a la suite
exacte de fibres vectoriels au-des sus de tp(E*) : (I,15)
o --.-F -7f* E --+0(1)
--+
0
On munit 0(1) de la metrique quotient de celle de n* E. On peut appliquer cette suite exacte les considerations developpees
a
a
propos de la suite exacte
(1,1), en particulier la formule (1,6). En appelant
y
la forme S co r re spondante , on a donc (I,16) (I,I7)
c(O(I»
; n
* c(E)IO(I)
+ Y"Y
*
ic(O(I»(u,u) Iql2 ; (ic(E).qlq) (1T* u,
oil uET (IP(E*», qEO(I) x x
est identifie avec son r e l evemen t (hermitien) dans
1T* E. On cons i der e d'autre part la suite exacte :
*
1T -i1TT(Q)
(I,18)
-+0,
ou TV est Ie sous-fibre des vecteurs verticaux (noyau de n*) de T(tp(E*» Gomme , en restriction aux fibres de 1T, 0(1) est positif (il s'identifie au fibre des hyperplans de iP(E:», on a ne ce s sa i r emcnt Ify(u)*.qf >0, si uETV'{O} et q # 0 • 11 en resulte que 0(1) est semi-positif (respectivement positif) si E I' est. De plus, dans ces deux cas, la forme (;fd efi.n i e par :
W = 1T *w
(I,19)
+ ic(O (I»
qui ve r i f i e w
N
1T
*W
+
. YflY*
1.
est une forme de Kahler sur tp(E*).
,
271
Pour pouvoir utiliser l'inegalite de K.Kodaira sur P(E*) on est amene euler Ie fibre canonique
des n + p
lI),(E*)
cal-
formes holomorphes sur
(5J ' p. 202)
On a alors classiquement (cf. (1,20)
a
p)
e
1T*(det E @IK
) .
Nous aurons besoin de preciser cet isomorphisme. Soit done (Zl,z2"",zn) des (el(z), ••• , ep(z»
coordonnees locales phe , local, de E, (E; I'
.. -.
un champ
de reperes holomor
E; ) les coordonnees homogenes correspondantes p
sur les fibres de
x
Soit n e t e les formes d i f fe rent i.e l l.es locales sur IP(E ) definies par (1,21 )
1'1 = >()
Sur 1 f ouvert
II,Q.J II ••• II dE; P
(I) j -I E; J' dE;l II•••
j=1
dZIII •.• lldznIlTj Uk = {
(E;;]
E; k f 0 } , on peut cons i de re r la forme
nk
de f
i.ni e
par (-I)
E;.
oil les W
j ,k
k' l
1\
dw1 k II ••• 1\ dWk k II ••• /I dw k ' , p, sont les coordonnees non homogenes.
k
On verifie aussitot que n
0,23)
=E;Pc,xn k
k
ou: (f est I' application de E* {O} _lP(E*), de so rte que forme holomorphe sur P(E*)
a
valeurs dans O(p)
fonction de transition de 0(1) de Uk dans U ) .
n definit
O( I) 0 P (car
-r.-
E;k
une pI est la
J
j
Si maintenant (ej, ••• ,
un autre champ
de E, tel que e! (z )
on a : (1,24)
P L
J
k=1
E;!
L
J
dE;! J
P
k=l P L
k=l
g jk E;k n
dE;k +
L
i=1
u
i
dz. 1
de reperes holomorphe, local
272 oil les u
i
sont des fonctions Coo. En de s i gnarrt par
la forme construite Ii
0, E
(la positivite etant celIe de P.Griffiths (1,4», r H ( Q, IK@E) " 0 ,
pour tout r No t oris
I, IK designant Ie fibre canonique des nEormes holomorphes sur la forme (p + I) c(E) Tr c(E)
@
IdE .
n.
276 Si M est un fibre en droites, un caicul immediat montre que (1,37)
+ c(M) Id
C'(E @M)
E0 M
de sorte qu'en tenant compte du Iemme 1.4. et du facteur p + I, on a COROLLAIRE 1. 6. Si E est (strictement) positif au sens de Griffiths. On a r
n,
(
H
lK@E dlldet E) = 0
pour r ? t , Si E est semi-positif (en particulier si E est engendre par ses sections globales), alors : r H (
pour tout
r
n,
lK (ilE dllM)
= 0
et tout fibre en droites M tel que M 0(det E) -1 > 0 •
I
La seconde partie est
Le
On revient maintenant
a
t heoreme G de
[5].
la suite exacte (1,1) et
a
la fibre E par Ie fi-
applique les considerations precedentes en bre S de rang s
=p
l'equation (1,8) et on
- q • On considere done F(S*) et Ie fibre quotient cano-
nique 0(1) au-dessus de
, soit Ie diagramme
0(1)
(l,38)
On considere egalement Ie noyau F du morphisme de n*s dans 0(1)
o -?-
F
------:>- n
*S
-+
-+
0 (I )
0
(l,39)
ainsi que la forme fondamentale D'apres (1,16), applique c(O(]))
=
a
( c(S)
10 (I)
c(E)1 S
associee
S et (1,6), on a
n*c(s)1
(1,40)
y
+
+y
/I
6*1\6
y*
a
cette suite exacte.
277
Le terme S*" S est negatif, mais on peut le minorer en fonction de c(det Q): LEMME
1.7. i
S*"S"-
i(Tr
' la positivite etant
celle de P.Griffiths. D'apres le lemme 1.4. et d'apres 0,6), E etant semi-positif on a ic(der Q)
=
i Tr c(Q)?i Tr S
1\
f3 * •
11 suffit donc de montrer que :
(1,41)
i(Tr e
A
S*)@ IdS + is*
1
=e
Comme
equivaut encore a s (1,42) [r i(ee.ISe.)] j=1
J
J
lej2
s 1::
j=2
i (
0
i(Se ISe) ?O ,
Qz
les produits scalaires etant ceux de des (1,1) formes sur Tz
e?
et e l , e 2, ... , e une base orthonormee de Sz s - Tr e* 1\ e , l'inegalite (I ,41) Tr S A e*
Soit eES z tel que /Iell = I telle que e
A
, et la positivite etant celle
. (1,42) s'ecrit encore
Se./ Be.) :;, J
J
0,
qui est trivialement vraie. 11 resulte alors du lemme 1.7., de (1,40) et de la semi-positivite de E
que : (1,43)
ic(S)
+
ic(det Q)
Comme dans l'etude de (1,17) (i Y
II
IdS? 0 .
y* etant:>O sur les vecteurs tangents
verticaux), il resulte de (1,43) et de (1,40) que: LEMME 1.8. On a:
ic(O(I)) + i7T* c(det
La forme
;;;= 71*
W
+ ic(O(I)) + i
1f*
c Cde t Q) definit une forme kahlhienne
278 On va montrer maintenant que Ie theoreme 1.5. s'applique au fibre
pour
un M convenable. Iorsqu'on fait une hypothese de stricte positivite. On calcule done
en considerant comme dans Ie Iemme 1.7. une base orthonormee
(e l • e Z ' •••• e de Ia fibre de S. D'apres (1.6). on a (avec I'abus de Ians) gage (1,6) pour c(E) (1,44)
Is ) :
c(S)=(s + 1)c(E)l
s -
Tr c(E)l
s
+ (s + I)
Tr
e*,d3.
ou I'on omet la tensorisation par IdS pour simplifier. D'apres Ie lemme 1.7. (et comme -Tr
e* 1\
B = Tr 81\8*) on a
i(s + I) B*1\6 - iTr 6\8
is Tr 13
c Cdet Q).
On en deduit done : (s + I) c(E)1 s - Tr c(E)1 S
(J .45)
- is c(det Q) •
En completant la base orthonormee de Sx en une base orthonormee de Ex on a
Is c(E) Is
iTrc(E)
iTr c(E)
i Tr c(E)
L Tr
i c (de t (E»
i Tr c(E)
+
n
r
j=s+1
L (c (E) e. Ie.)
J
J
,
Is •
d'apres Ie lemme 1.4. D'apres (1,45). on en deduit (1.46)
2'(S) ? (s + 1)c(E)
Is -
i c (de t E il?J(det Q)s) •
D'apres (1.3 ) applique a s au lieu de E, on en deduit si E est >0 E
pour tout k entier
6ll(det Q)k ilSl M»
0 •
tout fibre en droite M
Si E est semi-rpcs i t Lf ,
on a > 0 , pour tout k Le theoreme
et tout fibre en droites M> O. 1.5.
entratne done Ie resultat suivant dont nous demontrerons
dans Ie paragraphe 3 une version beau coup plus precise.
279 I
,
THEOREME J. 9. -+E
0
4
Q
0
une suite exacte de fibres vectoriels hermitiens.
8i Ie fibre vectoriel E et Ie fibre en droites M sont semi-positifs et si I'un d'eux est (strictement) positif , alors :
pour tout O
H
(
Q,
k
(Le
Hr (8@det E 6l>(det Q)k
OS)
rang de S) et tout r
I. Le morphisme g :
Q)k@M) _ H o(
o ease E 6t(det Q)k@M)
E0det
Q,
M) = 0,
est surjectif. Remarque. Si rang de 8
=
1 l'inegalite CI,45) montre qu'il est inutile de tensoriser
par det E , car alors
Tr cCE)ls = (cCE) ele)
pour
eE8 et lIell= I
2/ Theoremes de relevement sous des hypotheses de semi-positivite. Pour eviter de
On se propose de demontrer les resultats suivants
donner directement un enonce tres general, mais touffu , nous avons prefere separer Ie cas d'un morphisme g surjectif du cas ou ce morphisme degenere.
n designe
toujours une variete kahlerienne,faiblement
son
fibre canonique. I
,
THEOREME 2. J. Soit g : E -+ Q -+ 0 un morphisme surjectif de fibres vectoriels holomorphes, hermitiens. de rangs respectifs p
q, au-des sus de
n.
8i E est semi-positif
au sens de P.Griffiths et si M est un fibre en droites,hermitien,tel que icCM ell) Cdet E) -I)
Q) pour un reel k > p - q , alors Ie morphisme g
HOCO, K4llE«JM) -+HoCn, est surjectif. En particulier, pour tout entier k> p - q, Ie morphisme g HOC
n,
lK@E @det E @(det Q)k)
est surjectif.
HOC
n,
E all(det Q)k)
280 2 On a,en fait,une estimation L precise pour Ie relevement des sections globales,en fonction de metriques donnees a priori sur E et Q. On designe par g* : Q
l'adjoint de g pour ces metriques. gg* est done un isomorphisme
COO de Q sur Q .
Si u est un homomorphisme d'un espace vectoriel de dimension q , Ie cotranspose
est defini par :
(2 . I.)
(x I)
pour tout
1\
Xz 1\
. . . 1\ X q
= x I 1\ u (x
2)
1\... 1\ U
(x q) ,
xI' x 2' ••. , x dans l'espace. q
On a done (2,2)
gg
=
_
*
* -I
(det gg ) (gg)
.
Si maintenant Ie morphisme g n'est plus suppose surjectif, soit Z l'ensemble analytique de Q defini par Q } • x Comme dans [16J et
[J7] ,
on introduit par c onenod i t e la notion d'ensemble
Q negligeable. I
DEFINIT ION 2.2.
Z est dit Qnegligeable s'il existe un ensemble ferme Y, de mesure nulle, contenant Z, tel que Q \ Y soit faiblement pseudoconvexe et tel gue Y soit un ensemble singulier, impropre, pour les fonctions holomorphes localement de carre sommab Le . Dans tous les cas que nous connaissons, on peut prendre pour Y une hypersur face deQ contenant Z, telle que !1\Y soit faiblement pseudoconvexe. On a alors Ie resultat suivant THEOREME 2.3.
Soit g : E
un morphisme de fibres vectoriels, holomorphes, hermitiens,
audes sus de!1. On suppose que l'ensemble Z !1
=
{x E QI g(E x) " Qx } est distinct
Qnegligeable. On suppose E semipositif au sens de P.Griffiths.
Soit M un fibre en droites hermitien ic(M)
tel que :
E) + i k c (det Q) ,
281
pour un k reel >p - q se c
2
sur
s et, soit
M) tel que f = g . h
2
e
-k
e
-VI
dr
1 + k-s)
J(ggtv'*
f
I
f)
(de t; gg*) -k-I e -VI d 1"
Q
La tensorisation par det E est inuti Ie si rang S = P - q
=I
.
Remarque 2.4. L'hypothese que Zest n-negligeable est sans doute inutile , mais elle est presque toujours trivialement realisee en pratique (c f ,
[16]
et
[17]).
Remarque 2.5. D'apres (1,29) l'estimation du theoreme 2.3. est en fait independante du choix de la met r i.que kahlerienne sur n et ne depend que du choix des met r i.ques hermitiennes sur E, Q et M (on a tensorise par Remarque 2.6. Si on suppose que ic(M) - ikc(det Q) - ic(det E) + i Ricci w
0,
Ie theoreme est vrai sans tensoriser par Ie fibre OC.
On peut egalement (cf. (2,9) et (2,10»
remplacer l'hypothese de courbure
sur M par la condition plus generale mais plus technique : (s + 1)ic(E) + i[C(M) - c(det E) - k c(det
Q) +
d'd"VI
E etant toujours semi-positif, maisVinon necessairement plurisousharmonique. La condition sur M est bien sur realisee si on choisit M pour un k entier > s ,
282 Remarque 2.7. Par un choix convenable
""'*
si (gg
f
I f)
en fonction de f, il resulte du theoreme 2 que,
(det ggx ) -k-I est localement sommable sur n(i.e. fest assez
petit sur Z)
alors il existe hEH
o(
n,
EilPlKilPM) tel que f = g h
Reduction du theoreme 2.3. au cas OU g est surjectif. Le theoreme 2.1.
resultant du theoreme 2.3. applique dans Ie cas ou g est
un morphisme surjectif, on va demontrer Ie theoreme 2.3. dans ce cas part iculier. Dans Ie cas general, on considere l'ensemble Y de la definition 2.2 •. Au-dessus de n\y, on peut alors appliquer Ie theoreme 2.3. II existe h holoverifiant l'estimation L2 du theoreme 2.3.
morphe surn\Y,telle que: f = g h,
. l' est1mat10n . . L2 prouve que h est d e carre' Ma1S
(Y est de mesure nulle) .
integrable sur U \ Y , oil U est un ouvert relativement compact de n; h se prolonge done holomorphiquement
a
travers Y en une section holomorphe sur n.
On demontre maintenant Ie theoreme 2.3. , lorsque Z est vide. On considere
a
nouveau Ie diagramme (1,38)
On va remonter i: equation (J, 8) d"u = - sX f en un pr obleme de d" sur la variete kahlerienne
(lemme 1.8)
a
valeur dans Ie fibre en droite 0(1).
Soit done f une section holomorphe de II< iZlQilPl1. La forme w
=-
sX f
derer la forme
p n
a X
valeur dans IK flJ S @M
est d"-fermee et on peut consi-
w qui est une (0,1) forme sur
Sur l'ouvert U. de J
La (0, I) forme est holomorphe en 0
(x, 1:;) et homogene en I:; sur 71:11: s:II: '\ {O } , c' est done une forme Li neai re en 'I:;
dependant holomorphiquement de x, on a done u(x. 1:;) = ou u(x) E
(
ce qui demontr e Ie Lemme ,
Il, lKtl/lS
On utilise maintenant l'isomorphisme (1,20) applique 11 S O(-s) aD 71 :II:(det S 0 fini et fixons egalement e> O. On peut choisir la suite exhaustive de compacts K de (2,16) de sorte que v
a
Pour tout v, 11vest alors egale
I et d"n
KI
=
X a•
est nulle sur un voisinage fixe
v
du compact X a. Choisissons l/1 egale
axI
Po ou X I : IR+ -+lR+, est de classe COO , croissan-
0
a
te et est choisie de maniere exp( Xl
0
2 P ) ?SUp Id"n 1 ,
o
v
v
\I
exp[x1(t)] + pour tout t E IR. • Comme d"n
realiser la condition (2,17), soit
(supld"n
v
Xt
=0
v
1
2
) ,
au voisinage de X on peut de plus choisir a,
X I identiquement nulle sur un voisinage de [0, a] Choisissons
egale
a X2
0
Po' ou X
2
•
est fonction convexe, crois-
sante de IR.+ dans IR.+ ; on a alors : =
Comme id'd" Po
0
Po id'd" Po +
0
Po id'poA d" Po .
0 et que id'l/1 A d"l/1
Xi
0
p)2 id'Plld"p,
290 la condition (2,31) est realisee des que (2,32)
(I +
X"
2
1..)
X' 2
1
a
II est clair qu'on peut choisir X2 cnnvexe, croissante, de maniere ser cette derniere
inegalite
c,
Soit main tenant fERo(
fn
(2,33) Quitte te,
a
a
ajouter
(2,32) et de sorte que
reali-
soit nulle sur Xa,
Q6111K0M) telle que
Ifl
2
dT
< +
une fonction X3
0
P
, au
est 'i 0, convexe, croissan
X3
croissance assez rapide, on peut toujours realiser la condition (2,24),
ainsi que la condition supplementaire :
(2,34) soit toujours nulle sur X (puisque a
de sorte qu'en plus
sinage de X et que (2,24) est une condition a D'apres Ie lemme 2.13), il existe
a
UEL 2 (n, n,o
est nulle au voi-
l'infini sur X3)' S@M, Loc ) tel que
- SX f
Comme
I
fn
lul2
d-r
,
1 + E: k"=S
est nulle sur
tient l'estimation plus faible :
t
Iu1
2
dr
O assez grand, i I existe ua dans Ln,.o' (n S@M,loc) telle que
d"u
a
'" SX f , verifiant i ' estimation
f
X
a
On considere en particulier la suite exhaustive de compacts Xv (a La suite une suite
U
v U-
= v).
etant bornee en norme L2 sur tout compact, on peut en extraire 2
v kfaiblement convergente dans Ln,o (F, S @M) pour tout compact F
291
de X, vers une limite u verifiant : :t
dUu = - f3
In
lul
2
f ,
[l fl 2 n
dr •
I l est immediat d'eliminer E: par un nouveau passage
a la
limite. On a
bien demontre l'existence de u telle que: dUu = - 131: f ,
D'apres (1,9), h
=f
- u verifie gh
f
Comme u et f sont orthogonaux (puisque S et Q Ie sont par construction de la metrique quotient sur Q), on a
On a donc montre : PROPOSITION 2.14. Si E est semi-positif et si ic(M)
ic(det E) + kic(det Q) pour un k » s ,
pour toute fEHo(lI, Q@!K
,
2
on peut repeter les arguments du paragraphe 2 et obtenir
x
), L)
telle que (3,22)
d"u
(3,23)
P1T
x
w ,
c'(s) (1 + c ) 1
Puis on choisit comme auparavant
a et
(2,23), (3,21),
et
f
A-
I
lw12
1 dT
e
de maniere
a
verifier (2,18) ,
1 nulle sur un compact donne arbitraire de rI. Par
passage 11 la limite sur ce compact et sur
E:
> 0, on en dedu i
t;
une solution u
de (3,22) telle que (3,24)
f
lP(Sx)
lul 2
d
,
N
T
C
(
(s) ) Q
L'usage des lelllllles 2.8. et 1.3' permet de redescendre sur rI; on a une solution UEL
2 (Q, S@M) telleque: n,o dUu
(3,25)
J lu 1 2
En multipliant la
w ,
=
f
dr
A-I
de M
Iw 12
dr .
Ie poids
ggX)-s on peut alors
munir det Q de la metrique deduite de celIe donnee sur Q et non pas de celIe deduite de la metrique quotient sur Q. On a alors Ie resultat suivant :
, ,
THEOREME 3.2. Soit g : E
un morphisme de fibres vectoriels, holomorphes, hermitiens
au-dessus de Q. On suppose que Q, E
z verifient les hypotheses du theoreme
2.3. Soit M un fibre en droite hermitien sur Iz et Aune fonction mesurable tels gue ic [M @(det E) -I@ (de t Q) -sJ ? AW , OU W est une metrigue kahlerienne sur rI. Soit enfin harmonigue de classe C2
une fonction plurisous-
Alors pour toute (n,l) forme w 11 valeurs dans
298 E (8)M
telle que
f
(3,26)
d" w '"
Iw,2
A-I
a
et
gw '"
a
ar
< +
(d e t gl) -s e-.p
iJ
il existe une (n,O) forme u 11 va leurs dans E d"u • w
(3,27)
gu '"
00
,
telle que
a ,
fn
On peut remplacer En particulier si g est surjectif et si M(8) (det E) -I i7Y (det Q) -s > 0, on peut choisir pour A une fonction continue> 0, puis choisir .p en fonction de
w
pour assurer la convergence de (3,26). On obtient done
et Ie theoreme 1.9. (pour r • I). Fin de la demonstration du theoreme 3.2. Le theoreme 3.2. a ete demontre lorsque Z '" ferme de la definition
2.2.
0. Lorsque Z
0, soit Y Ie
On applique Ie theoreme 3.2 dans
n,Y.
On a une
solution u de : dUu
:=
W
gu
0,
dans n\y, verifiant l'estimation (3,27). Soit yoE Y et U un voisinage assez o petit de Yo' Soit
d"u
o une solution de
U
w
o
dans
U
°
u - u
o
est alors
holomorphe dans U \ Y et de carre integrable dans U d'apres (3,27), done se proionge holomorphiquement 11 U, ce qui montre que
d"u
=w
de montrer Ie theoreme 3.2. Soit maintenant
fERo(
n,
Q01K611M) telle que
f
A-1IB* fl
n
On applique Ie theoreme 3.2. 11 dUu
w
2
d r (d e t; Q) -s> 0) , O
si fE H
(
fJ, Q01K0M) est telle que
f If) (d e t gg*)-s-I
soit localement
bornee sur n (L;e . f est assez petite au voisinage de Z), alors il existe hE HO( n , E
telle que:
f = gh .
Remarque 3.5. Si X est compacte et connexe, il suffit de faire l'hypothese de stricte
301
positivite (3,1) ou (3,2) en un point. Par exemple, si E est semi-positif et M (il (det; E-I
(de t Q) -s
est
et> 0 en un point, on raisonne comme OvRi emens ch-
neider [14J • L'inegalite (3,3) jointe i Y
1\
a
(1,40),(2,8) et (2,6) (Le terme
y*, strictement >0 sur les vecteurs verticaux, avait ete neglige dans
(2,8), (2,6) et (3,3)), prouve que ic(L) >0 en un point xo' L'inegalite de K.Kodaira (1,14) prouve que toute forme harmonique
n+s-
I IOP(S1:), L) est J
nulle au voisinage de xo' done nulle sur P(S*) d'apres un resultat de Aronszajn [I] . On a done HI (IP(S*), L) d'apres Ie lemme 2.8.
o et par suite
HI
(n, SilPIKCjOM)
o
302 BIB L lOG RAP HIE
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RELATIONS ENTRE LES NOTIONS DE POSITIVITES de P.A.GRIFFITHS et de S.NAKANO !
POUR LES FIBRES VECTORIELS par J.-P.DEMAILLY et H.SKODA
Introduction. Ce travail
a ete motive par les deux memoires [3J et [4] du deuxieme
auteur, dans lesquels on etudie Ie relevement des sections holomorphes globales de fibres vectoriels semi-positifs par un morphisme surjectif. Ces deux memoires sont construits de maniere parallele, Ie premier utilisant la notion de semipositivite au sens de S.NAKANO, Ie second la semi-positivite au sens de P.Griffiths (cf. la proposition 2 pour les definitions precises) et Ie passage au fibre en espaces projectifs. Ce double expose , se justifiait par Ie fait que la positivite au sens de S.Nakano etait
a
priori la mieux adaptee au probleme pose (et
a
l'identite de Kodaira pour
les fibres de rang quelconque) tandis que la positivite au sens de P.Griffiths etait en revanche la notion la plus geometrique (elle passe aux fibres quotients) et celIe qu'on rencontre Ie plus souvent dans les exemples concrets (un fibre engendre par ses sections globales est semi-positif en ce sens). L'objet de ce travail est de montrer qu'on peut, en un certain sens, passer aisement d'un type de positivite
a
l'autre. II resulte trivialement des definitions
que la semi-positivite de S.Nakano entraine celIe de P.Griffiths. Inversement, on montre que si E est semi-positif au sens de P.Griffiths, alors E @det E est semipositif au sens de S.Nakano. La notion de semi-positivite de S.Nakano apparait done, en un certain sens, comme aussi generale et geometrique que celIe de P.Griffiths, contrairement au sentiment qui semblait prevaloir parmi les mathematiciens interesses. II en resulte que Ie deuxieme memoire [4] peut se deduire entierement du premier et du present resultat, avec meme une substantielle amelioration. Neanmoins, ce second memoire presente l'interet de montrer que la technique de passage au fibre en espaces projectifs de P.Griffiths est efficace, y compris pour l'obtention 2 d'estimations L simples. De meme, Ie theoreme d'annulation de P.Griffiths [IJ pour les fibres positifs devient un corollaire du theoreme d'annulation de S.Nakano [2] . Plus generalement, Ie present resultat semble montrer que l'usage de l'identite de K.Kodaira pour les fibres de rang quelconque peut desormais concurrencer tres efficacement la methode du passage au fibre canonique de rang I au-des sus du fibre en espaces projectifs.
305
S'il est certain que ce travail a ete fortement influence par les travaux du deuxieme auteur, Ie resultat essentiel est fonde sur une propriete simple des formes hermitiennes sur un produit tensoriel, dont l'idee est due au premier auteur. Apres l'expose du resultat principal, nous donnons des applications aux theoremes d'annulation et aux problemes de relevement de sections globales. Expose du resultat principal. THEOREME 1. Soit E un fibre vectoriel hermitien de rang p audes sus d'une variete complexe
Q. Si E
E IPdet E est
0 au sens de Griffiths , et si on pose det E =
au sens de Nakano. Si idE)
XE
,
'" au sens de Griffiths, OU dE) des i-
gne la forme de courbure de E et ou '" est une (1, I) forme sur Q a valeurs dans Ie fibre
Herm(E) des endomorphismes hermitiens de E, alors ic(E @det E)
au sens de Nakano. Demonstration. II est classique que c(det E) c (E @det E) = dE) i&l Id
de t
E + Tr
E
c (E)
Tr
IdE
@
E
'" + Tr E", @ IdE
c(E), et que
II suffit d'appliquer la proposition cidessous aux formes hermitiennes ic(E) et ic(E)
'"
dans chaque fibre E Q, zEQ, du fibre E 0TQ. z0T z
PROPOSITION 2. Soient E, T des espaces vectoriels de dimension respectives p E etant hermitien, 0
une forme hermitienne sur E0T • On suppose 0
0 au sens de
Griffiths, c'estadire 0(blnf(n, p morphisme g ;
q), alors Ie
est surjectif. En particulier pour tout entier k >lnf(n, p-q) Ie morphisme g
-+
Ho(n, KISlElildet E l8l(det Q)k)
IKltQlSldet E
Q)k)
est surjectif. Remarque.
,
D'apres
la tensorisation par det
E
est inutile si p - q
J.
Si Ie morphisme g degenere en certains points, on pose:
I
Z ; {x E
g (Ex)
f
.
On suppose que Zest n-negligeable au senS suivant : il existe un ensemble ferme Y, de mesure nulle, contenant Z, tel que n,y soit faiblement pseudoconvexe et tel que Y soit un ensemble singulier, impropre, pour les fonctions holomorphes localement de carre sommable (en pratique Y est une hyper surface convenable et la condition est toujours realisee si
est de Stein ou projective).
On a alors l'enonce precis suivant, avec estimations L Z pour les solutions, dans lequel g* est l'adjoint de g pour les metriques hermitiennes de E et Q. THEOREME 7. - Soit g : E __ Q un morphisme de fibres vectoriels, holomorphes, hermitiens, au-dessus de n. On suppose que Z est distinct de n et Q-negligeable. On suppose E semi-positif au sens de P.Griffiths. Soit M un fibre en droites hermitien ic (d e t E) + i kc (d e t; Q), pour un reel k > r ; lnf (n , p - q) Z une fonction plurisousharmonique de classe C sur n .
tel que : ic(M) soit
Alors pour toute f E HO ( Q, Q ISllK \\PM) telle que ;
r
il existe hEH
O
flo (d e t;
n Ell!IlKISlM)
telle que
f ""';:
f ;
J( Ih I Z
;: -k
(d et; gg)
e
-'i!
e-
G= @G. 'V'-:" m
m=1.2 •...•
in Fl' and let tv
1.
lying in Fm.
312
The elements of G are double sequences
mr
) such that
).m.r 1.2 •...• mr mr \ and there exists a positive integer mC'\ ). depending on /'\ • such that o,m>m{\). r We put
1.2 •...•
>
Do
., "..,/..("" -1
PROPOSITION 1. X
continuous linear operator from G into
Proof. If --\
(\
)E:;G.
mr then there is s positive integer m{ such that .A mr :; o, r:; 1.2 •...• whence xLI.) has its support in Fm().) . Hence X is. obviously. a linear mapping from G into;D{{F n. m
If { ).(k» :; {{ is a sequence in G. converging to the origin. we have that for every pair of positive integers m and r, (A k) converges to the C7I mr. origin in .LJ{Amr ) . and since every compact subset of Rn is covered by a finite of cubes of the form A • it follows that in ;z){(F » mr m k) lim X (A( ): o, and so X is sequentially continuous. Having in mind that G is the inductive limit of a sequence of Frechet spaces. it results that X is continuous from G into ((F mll. q.e.d.
:D
represent by
J{
. / "mr
the element of the sequence
,)t102' ... :/(k""
having its support contained in A . If f is any element of mr Y{f) :; (f/fmr)'
we put
PROPOSITION 2. Y
an injective continuous linear operator from i)((F m» into G. Proof. It is imr.ediate that if fEaZ)({F » then Y{f) belongs to G. It is alm so obvious that Y is linear and injective. On the other hand. if (f k) is a sequence converging to the origin. there is a positive integer mo such that f k has the support contained in k=1.2 •...• whence cs:>
rna,
Y{f k ) E ....?f!,Gm• and. for each pair of positive integer m and r. the sequence
10.. .
«» f
2.fi_
¥ ,....
fk)-l_..,
J.- • •
converges to the origin in G and. therefore, (Y{f k» mr
converges to the origin in
313 0()
GnriJthus Y is sequp.ntially continuous. Finally, Y is continuous since
«Fm» is an inductive limit of Frechet spaces. PROPOSITION
q.e.d.
is isomorphic to a complemented subspace of (sN)(N).
JJ(
(F », we have that Proof. If f f ---m (X. Y)(f) = X«,Vtmr» =
L
7'r
=f
L fi r =1 f,
and so Y is a continuous linear projection in G, with kernel X- (0) and the range coincides with m»). Therefore m») has a topological complement in G. Finally, since s, m,r = 1,2, ... , [3J p , 210, it fo l l ows that G (sN)(N) Thus, we can assure that G is a complemented subspace of (sN)(N). q.e.d. We choose from (Amr ) a double sequence (C ) with the follows properties: mr 1. There is an increasing sequence of positive integers ko