Séminaire Pierre Lelong (Analyse) Année 1972/1973 3540068589, 9783540068587

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

410 Serninaire Pierre Lelong

(Analyse) Annee 1972-1973

Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1974

Lecture Notes 1n Mathematics Vols. 1·183 are also available. For further information, please contact your book-seller or Springer-Verlag. Vol. 184: Symposium on Several Complex Variables, Park City, Utah, 1970. Edited by R. M. Brooks. V, 234 pages. 1971. DM 20,Vol. 185: Several Complex Variables II, Maryland 1970. Edited by J. Horvath. Ill, 287 pages. 1971. DM 24,Vol. 186: Recent Trends in Graph Theory. Edited by M. Capobianco/ J. B. Frechen/M. Krolik. VI, 219 pages. 1971. DM 18,Vol. 187: H. S. Shapiro, Topics in Approximation Theory. VIII, 275 pages. 1971. DM 22,Vol. 188: Symposium on Semantics of Algorithmic Languages. Edited by E. Engeler. VI, 372 pages. 1971. DM 26,Vol. 189: A. Wei I, Dirichlet Series and Automorphic Forms. V, 164 pages. 1971. DM 16,Vol. 190: Martingales. A Report on a Meeting at Oberwolfach, May 17·23, 1970.EditedbyH.Dinges.V, 75 pages.1971.DM 16,Vol. 191: Semina ire de Probabilites V. Edited by P. A. Meyer. IV, 372 pages. 1971. DM 26,Vol. 192: Proceedings of Liverpool Singularities - Symposium I. Edited by C. T.C. Wall. V,319 pages.1971. DM 24,Vol. 193: Symposium on the Theory of Numerical Analysis. Edited by J. Ll. Morris. VI, 152 pages. 1971. DM 16,Vol. 194: M. Berger, P. Gauduchon et E. Maze!. Le Spectre d'une Variate Riemannienne. VII, 251 pages. 1971. DM 22,Vol. 195: Reports of the Midwest Category Seminar V. Edited by J. W. Gray and S. Mac Lane. Ill, 255 pages. 1971. DM 22,Vol. 196: H-spaces - Neuchatel (Suisse)- Aoat 1970. Edited by F. Sigrist. V, 156 pages. 1971. DM 16,Vol. 197: Manifolds - Amsterdam 1970. Edited by N.H. Kuiper. V, 231 pages. 1971. DM 20,Vol. 198: M. Herve, Analytic and Plurisubharmonic Functions in Finite and Infinite Dimensional Spaces. VI, 90 pages. 1971. DM 16,Vol. 199: Ch. J. Mozzochi, On the Pointwise Convergence of Fourier Series. VII, 87 pages. 1971. DM 16,-

Vol. 216: H. MaaB, Siegel's Modular Forms and Dirichlet Series. VII, 328 pages. 1971. DM 20,Vol. 217: T.J.Jech, Lectures in Se!Theorywith ParticularEmphasison the Method of Forcing. V, 137 pages. 1971. DM 16,Vol. 218: C. P. Schnorr, Zufalligkeit und Wahrscheinlichkeit.IV, 212 Seiten. 1971. DM 20,Vol. 219: N. L. Ailing and N. Greenleaf, Foundations of the Theory of Klein Surfaces. IX, 117 pages. 1971. DM 16,Vol. 220: W. A. Coppel, Disconjugacy. V, 148 pages. 1971. DM 16,Vol. 221: P. Gabriel und F. Ulmer, Lokal prasentierbare Kategorien. V, 200 Seiten. 1971. DM 18,Vol. 222: C. Meghea, Compactification des Espaces Harmoniques. Ill, 108 pages. 1971. DM 16,Vol. 223: U. Feigner, Models of ZF-Set Theory. VI, 173 pages. 1971. DM16,Vol. 224: Revetements Etales etGroupe Fondamental. (SGA 1). Dirige parA.GrothendieckXX11,447 pages.1971. DM 30,Vol. 225: Theorie des Intersections et Theoreme de Riemann-Roch. (SGA 6). Dirige par P. Berthelot, A. Grothendieck et L. lllusie. XII, 700 pages. 1971. DM 40,Vol. 226: Seminar on Potential Theory, II. Edited by H. Bauer. IV, 170 pages. 1971. DM 18,Vol. 227: H. L. Montgomery, Topics in Multiplicative Number Theory. IX, 178 pages. 1971. DM 18,Vol. 228: Conference on Applications of Numerical Analysis. Edited by J. Ll. Morris. X, 358 pages. 1971. DM 26,Vol. 229: J. Vaisilla, Lectures on n-Dimensional Ouasiconformal Mappings. XIV, 144 pages.1971. DM 16,Vol. 230: L. Waelbroeck, Topological Vector Spaces and Algebras. VII, 158 pages. 1971. DM 16,Vol. 231: H. Reiter, L'-Aigebras and Segal Algebras. XI, 113 pages. 1971.DM16,Vol. 232: T. H. Ganelius, Tauberian Remainder Theorems. VI, 75 pages. 1971. DM 16,-

Vol. 201: J. H. van Lint, Coding Theory. VII, 136 pages. 1971. DM 16,-

Vol. 233: C. P. Tsokos and W. J. Padgett. Random Integral Equations with Applications to stochastic Systems. VII, 174 pages. 1971. DM 18,-

Vol. 202: J. Benedetto, Harmonic Analysis in Totally Disconnected Sets. VIII, 261 pages. 1971. DM 22,-

Vol. 234: A. Andreotti and W. Stoll. Analytic and Algebraic Dependence of Meromorphic Functions. Ill, 390 pages. 1971. DM 26,-

Vol. 203: D. Knutson, Algebraic Spaces. VI, 261 pages. 1971. DM 22,-

Vol. 235: Global Differentiable Dynamics. Edited by 0. Hajek, A. J. Lohwater, and R. McCann. X, 140 pages. 1971. DM 16,-

Vol. 204: A. Zygmund, lntegrales Singulieres. IV, 53 pages. 1971. DM16,-

Vol. 236: M. Barr, P. A. Grille!, and D. H. van Osdol. Exact Categories and Categories of Sheaves. VII, 239 pages. 1971. DM 20,-

Vol. 205: Seminaire Pierre Lelong (Analyse) Annee 1970. VI, 243 pages. 1971. DM 20,-

Vol. 237: B. Stenstrom, Rings and Modules of Quotients. VII, 136 pages. 1971. DM 16,-

Vol. 206: Symposium on Differential Equations and Dynamical Systems. Edited by D. Chillingworth. XI, 173 pages. 1971. DM 16,-

Vol. 238: Der kanonische Modul eines Cohen·Macaulay-Rings. Herausgegeben von Jurgen Herzog und Ernsi'Kunz. VI, 1 03 Seiten. 1971 . DM 16,-

Vol. 200: U. Neri, Singular Integrals. VII, 272 pages. 1971. DM 22,-

Vol. 207: L. Bernstein, The Jacobi-Perron Algorithm -Its Theory and Application. IV, 161 pages. 1971. DM 16,Vol. 208: A. Grothendieck and J. P. Murre, The Tame Fundamental Group of a Formal Neighbourhood of a Divisor with Normal Crossings on a Scheme. VIII, 133 pages. 1971. DM 16,Vol. 209: Proceedings of Liverpool Singularities Symposium II. Edited by C. T. C. Wall. V, 280 pages. 1971. DM 22,Vol: 210: M. Eichler, Projective Varieties and Modular Forms. Ill, 118 pages. 1971. DM 16,Vol. 211: Theoriedes Matro'ides. Edite par C. P. Bruter.lll, 108 pages. 1971. DM 16,Vol. 212: B. Scarpellini, Proof Theory and lntuitionistic Systems. VII, 291 pages. 1971. DM 24,Vol. 213: H. Hog be-N lend, Theorie des Bornologies et Applications. V, 168 pages. 1971. DM 18,Vol. 214: M. Smorodinsky, Ergodic Theory, Entropy. V, 64 pages. 1971.DMHI,Vol. 215: P. Antonelli, D. Burghelea and P. J. Kahn, The ConcordanceHomotopy Groups of Geometric Automorphism Groups. X, 140 pages. 1971. DM 16,-

Vol. 239: L. lllusie, Complexe Cotangent et Deformations I. XV, 355 pages. 1971. DM 26,Vol. 240: A. Kerber, Representations of Permutation Groups I. VII, 192 pages. 1971. DM 18,Vol. 241: S. Kaneyuki, Homogeneous Bounded Domains and Siegel Domains. V, 89 pages. 1971. DM 16,Vol. 242: R. R. Coifman et G. Weiss, Analyse Harmonique NonCommutative sur Certains Espaces. V, 160 pages.1971. DM 16,Vol. 243: Japan-United States Seminar on Ordinary Differential and Functional Equations. Edited by M. Urabe. VIII, 332 pages. 1971. DM 26,Vol. 244: Seminaire Bourbaki - vol. 1970/71. Exposes 382-399. IV, 356 pages. 1971. DM 26,Vol. 245: D. E. Cohen, Groups of Cohomological Dimension One. V, 99 pages. 1972. DM 16,Vol. 246: Lectures on Rings and Modules. Tulane University Ring and Operator Theory Year, 1970-1971. Volume I. X, 661 pages. 1972. DM 40,-

continuation on page 185

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

410 Serninaire Pierre Lelong

(Analyse) Annee 1972-1973

Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1974

Prof. Dr. Pierre Lelong Universite Paris VI Mathernatiques 11, Ouai Saint-Bernard Paris 5 e/France

AMS Subject Classifications (1970): 28A40, 32FXX, 46FXX,

32AXX, 32HXX, 46GXX,

32EXX, 46 AXX, 53C65

ISBN 3-540-06858-9 Springer-Verlag Berlin' Heidelberg· New York ISBN 0-387-06858-9 Springer-Verlag New York' Heidelberg' Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 64 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.

© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1974. Library of Congress Catalog Card Number 68-67177. Printed in Germany. Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.

PRO P 0 S

A V ANT

Le Seminaire 1972-1973 fait suite aux precedents qui ont ete publies aux Lecture-Notes -

Ll

(1967-1968),

275 (1970-1971), 332 (1971-1972) -

(1969), 205

(1970),

II concerne l'analyse complexe,

notamment en dimension infinie. On n'a publie ici que les exposes presentant des resultats nouveaux ou bien donnant un compte-rendu d'un travail difficile MODOV).

a

trouver

(par exemple les travaux de V.PALA-

Les quatre derniers exposes se rapportent

a

des conferences

qui ont ete donnees apres la fin de l'annee scolaire.

Signalons au lecteur l'expose 5 de N.SIBONY qui est la premiere redaction d'un resultat interessant concernant les particularites des domaines d'holomorphie des fonctions bornees de

I

variables com-

plexes. Dans une autre direction l'expose 10 de P.MAZET donne un theoreme qui parait important pour l'etude locale des images analytiques dans

les espaces de Banach.

Nous remercions la Librairie SPRINGER qui edite Ie Seminaire dans les Lecture-Notes et contribue ainsi efficacement

a

sa diffusion.

Pierre L E LON G

TAB L E

DES

1. DESOLNEUX-MOULIS (Madame N.).

MAT I

RES

- Un theoreme de fonctions

implicites dans les espaces de Frechet. Application

a

un probleme de deformation de structures complexes

2. NOVERRAZ (Ph.). - Completion pseudo-convexe en dimension infinie

15

3. HERVIER (Y.).

Sur Ie probleme de Levi banachique

4. LITWIN (J.). -

Problemes lineaires d'analyse complexe d'apres

l1ITIAGUINE et

18

HENKINE

28

5. SIBONY (M.). - Prolongement analytique des fonctions holomorphes bornees

6.

LITWIN (J.). -

44

Complexe de Dolbeault sur les varietes de Stein 67

(travaux de V.PALA110DOV)

7. GRUMAN (L.). - Majorations de type L P pour les fonctions sousharmoniques d'apres HORMANDER

8. FERRIER (J.-P.). -

pluri-

•••..••...••..••...•.

77

Ideaux de fonctions holomorphes avec poids et

....................................

86

9. LELONG (P.). - Un theoreme de support pour certains courants.

97

calcul fonctionnel

10. MAZET (P.). - Un t h e o r eme

d'image directe propre

107

VI

11.

SKODA (H.).

-

Nouvelle methode pour l'etude des potentiels as so-

cies aux ensembles analytiques 12

I

KREE (P.).

117

Solutions faibles d'equations aux derivees fonc-

tionnelles I

.....................................................................

142

Seminaire P.LELONG 13e annee,

28 Novembre

1972/73

I

1973

I

\

UN THEOREME DE FONCTIONS IMPLICITES DANS LES ESPACES DE FRECHET.

,

\

/

APPLICATION A UN PROBLEME DE DEFORMATION DE STRUCTURES COMPLEXES.

par Madame N.DESOLNEUX-MOULIS

1. Introduction. II est bien connu que,

en toute generalite un theoreme de fonctions

implicites dans les espaces de Frechet ne peut etre vrai.

II suffit,

pour s'en convaincre de considerer I'espace Cro(R) des applications de classe

c ro

de Ia droite reelle dans elle-meme, muni de la topologie de la

convergence uniforme sur cation E de

tout compact de toutes les derivees et l'appli-

dans lui-meme definie par;

En n'importe quel

E(f)

sens raisonnable E est de classe C

Ie en 0 est l'identite.

Mais on verifie que

des elements qui n'appartiennent pas

exp(f) 1

-

1

et sa differentiel-

tout voisinage de 0 contient

a l'image de E.

Depuis NASH [12] de nombreux theoremes plus au mains voisins ant ete elabores sur ce sujet.

lIs concernent taus Ie cas au l'espace de Fre-

chet E peut etre considere comme limite famille d'espaces de Banach tions differentiables s'etendre pour E. J

tout

II n'existe pas

1 de

E (i i

I).

On s'interesse alors aux applica-

E dans E dont

indice i

a

6

(projective au inductive) d'une

la differentielle

p¢

en une application lineaire de E

i

peut dans un

ce jour de theoreme general englobant tous ceux

dont nous donnons les references ci-dessous. Le cas Ie plus simple est celui ou E est un espace de classe COO d'un fibre ayant pour base une variete de classe

sections de compacte.

2

Les E.

1

sont alors

ou les espaces de

les espaces de sections de classe C SOBOLEV correspondant.

¢

d ii

t h e o r e me d e mo n t r e ,

HAMILTON

i

est donnee

al par un operateur differentiel mier

du meme fibre,

E peut etre considere comme li-

mite projective de la famille des espaces E L'application

i

a

[12]

NASH

c'est Ie cas du pre-

elliptique et

[15J '

de l'article de

[4J dont nous donnons les grandes lignes a la fin de cet expose.

Enfin nous

signalons

les

theoremes

f e r e n t Le I s

polynomiaux d ii s

a

tres generaux sur les operateurs dif-

GROMOV

[2J

(j' ignore oil se procurer une de-

monstration detail lee)

bl par une relation de conjugaison (par exemple, morphisme du

tore,

on peut

un diffeomorphisme

Ces applications o n

0

russes pour

GROMOV

Cp [16J,

HERMAN

[5J

[3J

subtiles ont ete demontres par des mathema-

la plupart JAKOBOWITZ

KOLMOGOROFF

[7J '

RUSSMANN

trouve une application pratique tres

corps en mecanique celeste dans ni cs

tels que

e t e d e v e Lo p p e e s par SERGERAERT

theoremes beaucoup plus

ticiens,

me

t

f

0

o

DlJ

MOSER Des

a quelle condition sur f il existe

se demander

du tore et une rotation R

ep-1

etant un d i f f e o>

f

ARNOLD Ce

OJ ,

type de

MOSER theore-

interessante au probleme des

Ie livre de STERNBERG:

trois

Celestial Mecha-

II [1 7] . Dans tous ces

ce de fonctions

theoremes,

l'espace de fonctions

considere est un espa-

analytiques reelles ou complexes muni d'une topologie

limite inductive d'espaces de Banach.

L'application

0 peut

etre donnee

par une relation de conjugaison au plus generalement une relation de composition de diffeomorphismes.

3 Dans cet expose nous definissons une categorie dans theoreme assez vrai.

simple et assez general de fonctions

Cette presentation est due a SERGERAERT.

details tion.

techniques nous donnons

les grandes

laquelle un

implicites est

Sans entrer dans les

lignes de la demonstra-

Nous donnons enfin de ce theoreme une application due a HAMIL-

TON concernant l'etude dans un cas particulier du complexe de DOLBEAULT

U:.

Un

1°f

theoreme de fouctions

implicites d'apres

SERGERAE

Categorie des Q-objets. un£-espace est un espace de Frechet E tel

af

T[l6]

que

La topologie de E est definie par une suite croissante de

normes notees 'o ] II

Ii

(i.slN)

existe une famille a un p a r.a me t r e

teurs dits 01?erateurs d'a1?proximation notee Set) (i)

pour

tout t , Set)

+=[) d'o1?era-

t( te]O,

telle que:

est une application Li.n e a i r e continue de

E dans E. (i i ) (iii) C et C'

IS ( t)

(x) \ i + k {, C ( i , k)

tk

Ix Ii

IS(t)(x) -

Ixli

etant deux constantes dependant de i

et de k.

Exemples de So it

'I;

ceo compacte

un fibre de c La s s e Co:>, ;

soi

t

r

w

(

de base une v a r Le t e X de classe

'Q.) l ' e s p a c e des sections de c La s s e CCO de '8muni

de la topologie de la convergence uniforme de toutes les derivees. 1'espace des

sections de

de la convergence uniforme de toutes On P e uta lor s con s i d ere r et poser pour

tout

I' co (

cr- de I'cc(

'c)

de c1asse

ci

muni de la norme

les derivees jusqu'a 1'ordre i.

co mme 1 i mit e pro j e c t i v e des

r

i (

)

4

0(

sup

D

f

/n

-:;;-Adz. zi

(0, I)

et

(1,0)

res-

la structure /'0)

p donne v o i s i n de Po nous identifions

des formes differentielles sur X de classe COO de type

f' a

Si co

sur X pour la structure com-

sont des formes d i f f e r e n r i c L'l e s de type

structure

voisine de Po'

valeurs dans T'(X). De meme Cro({,)

p

ce des formes differentielles de type

(0,

2)

pour

a

Cco(it)

(0,

l'espace

pour la

1)

s'identifie la structure

a

l'espa-

p, a

va1eurs dans T' (X) .

P

Soit T(f) definie par

l'application de C O} •

A

Rf

Dans Ie cas

P, Ie P-rayon de majoration

> O} •

Ceci peut aussi se deduire du resultat suivant : Theoreme 1.-.§.Qii E un elc non complet et

v une fonction plurisousharmonique dans

E C U CE, et une fonction

il existe un ouvert U

que dans U telle que_ vIE = v , Le couple

(U,v)

lim

y-tx

y

U = {x

v

definie par

sup v(y)

e. E

est semi-continue super-i.euremerrt de pseudo-convexe

plurisousharmoni-

n'est pas unique en general.

La demonstration se fait en montrant que la fonction

v(x)

'iT

E,

E,

v(x)

E

dans

< + 00 }

Tit

et plurisousharmonique dans I' ouvert

Bien que l'unieite ne soit pas assuree en

general ee theoreme est utile dans de nombreux prohLemee, Des exemples de non-unieite sont faciles a obtenir : Soit U un ouvert, tels que

z+A-z'

E Cue

E,

U

t- E,

et du(z,z') = inf

Ii\..I

¢ U, on peut choisir z dans E pour que la fonction z '

soit plurisousharmonique dans

U egale

a

0

sur E mais non identiquement nulle.

Proposition 1. -.§.Qii U un ouvert pseudo-convexe d I un ele E, il existe un ouvert pseudo-convexe U'

E

tel que U' n E = U.

(z,z.)

16

Soit E un elc,

ErE,

tion de tous les ouverts pseudo-convexes JP-complet. On montre que espaces

P-complcts

U, E C U

CE.

Si

= E

est un espace vectoriel egal

F,

de

appelons complete pseudo-convexe

E C

a

E l'intersec-

on dira que

est

E

l'intersection des sous-

FeE.

Proposition 2.- Dans un espace de Banach tout sous-espace rew1ion denombrable de sousespaces fermes est Ie sous-espace E de

Cette proposition n'est plus vraie dans Ie cas non norme

([ IN

(produit denombrab'l.o de droites) forme des suites nulles sauf un nombre fini de

termes est tel que E jJ

iN

=

r E.

Cet exemple montre aussi que dans un espace de

Frechet une reunion denoQbrable d'ensembles polaires n'est pas necessairement polaire. Rappelons que

Le

complete holomorphe

E

des domaines d'existence dans Proposition 3.- Si E

E

e

est, par definition, l'intersection

R(E).

des fonctions de

est un elc de dimension (algebrigue) denombrable, alors

Ep

= E

e.

La dual fort d'un espace de Banach muni de la topologie faible donne un exemple d'espace quasi-complet qui n'est pas Theoreme 2.- Si E et

F

sont deux elc, (E x F)p

=

x Ftp

Nous allons maintenant comparer plusieurs sortes de completions et montrer que dans de nombreux espaces elles co!ncident. Soit

(resp. E T[;

)

E

un elc,

l'intersection de tous les ouverts

lement) convexes tels que

E

U

ErE ,

nous noterons

E){

holomorphiquement (resp. po lynomi.a-

cue E.

La propriete d'approximation forte a ete etudiee en (4) ,(5). Si un elc possMe la propriete d1approximation forte, un ouvert si

un

U est polynomialement convexe si et seulement

Fest polynomialcmcnt convexe pour tout sous-espace F

de dimension f'Lni.e , On

peut montrer alors Proposition 4.- Si E cst un de possedant la propriete d'approximation forte,

OIl

final:

montre enfin que E

e

= EX si I' espace

E

est metrisnble d' oii Le resultat

17

Theoreme 3.- Soit

E un

de Frechet possedant la propriete d'approximation forte

alors pour tout sous-espa.ce dense

F

F

=

ll

Fe

rc •

= F

I.e tMoreme est verifie en particulier dans :

1) les espaces do Banach avec propriete d'approximation forte, 2) les espaces de Frechet nucleaires. Il est interessa.nt de remarquer que l'egalite

Ee

des espaces ou lion ne sait pas si le probleme de Levi

='

Ep

a une

a lieu aussi bien dans

reponse positive (coIllll1e les

espaces de Frechet nucleaires) que dans des espaces ou le probleme de Levi negative (on peut construire (3) dans

co(r),

I

a une

reponse

non denombrable, un ouvert pseudo-con-

vexe qui n'est pas d'holomorphj.e). Note: ce qui precede differe sensiblement de l'expose oral et contient des resultats obtenus ulterieurement (mars 1973) ; le lecteur trouvera Le detail des demonstrations en (6) •

/

/

REFERENCES

(1)

S. DINEEN - Holomorphically complete locally convex topological vector spaces, Sem. Lelong 1971-1972 Springer lecture notes 332 - p 77 - 111.

(2)

A. HIRSCHOWrTZ - Prolongement analytique en dimension infinie, Ann. Ins t, Fourier,

t 22, 1972, p. 255 - 292. (3)

B. JOSEFSON - notes manuscrites.

(4)

Ph. NOVERRAZ - Sm' le tMoreme de Cartan-Thullen-Qka en dimension infinie, sem, Lelong 1971-1972, Springer lecture notes 332, p 59-68.

(5)

Ph. NOVERRAZ - Pseudo-eonvexite, corrvexd.te polynomiale et domaines d I holomorphi e en dimension infinie, Notas de matematica 3, North-Holland, 1973.

(6)

Ph. NOVERRAZ - Pseudo-eonvex completion of locally convex topological vector spaces.

Seminaire P.LELONG (Analyse) 13e annee, 1972/73

I 2 Decembr e

1 972

\

SUR LE PROBLEME DE LEVI BANACHIQUE par Yves HERVIER

Introduction.

O.

On sait d e p u i s

vectoriel de dimension finie, d'holomorphie.

longtemps que,

les espaces etales pseudo-convexes sont

a

etait alors nature 1 de chercher

11

sur un espace

generaliser ce re-

sultat aux espaces de Banach en approchant les espaces par leurs traces en dimension finie. II a fallu

a

passage

longtemps, cependant, pour resoudre Ie probleme du

l'infini.

(cf [3 J

C'est dernierement que L.GRUMAN et C.KISELMAN

) ont trouve les majorations convenables, et prouve Ie I

\

THEOREME.

-

Dans un espace de Banach

a

base denombrable,

les

ouverts pseudo-convexes sont d'holomorphie. En adaptant leur procede dans

Ie cadre des espaces etales, on

obtient Ie lemme suivant

(n.,

Soit b Le ,

s oi t

bertienne" • Un espaee de Freehet E est appele centre d'eehelle hilber-

29 A

tienne, s'il est isomorphe a un espace E le centre sera fini

()

{;>D(

He0

n

hilbertiennes, fini et infini respectivement

G

(3

deux centres d'echelles

; T : E -;:I>- F

un operateur

continuo Alors il existe un voisinage U de zero dans E tel que T{U) est borne dans F. LEMME 5.- Dans les hypotheses du lemme 4, E ne peut etre isomorphe

a

F si une des deux conditions suivantes est verifiee

al

operateur A engendrant Hq n'est pas inversible,

bl

operateur B engendrant

est compact.

LEMME 6.- Un centre infini engendre par un operateur non inversible ne peut pas etre isomorphe COROLLAIRE 7.

H{D)

a

un facteur direct dans un C.F.E.H.

et

SoitAclR. une famille {Ed, ,

ne sont pas isomorphes. 0{

e

A} d'espaces de Hilbert (ou

31

Banach) est appelee normale si

1/

on a

et

c

2/ VO+ 2 log ( I + z 2)

9'

1:'2: 7- k

t

IlfII ep

0

ute

sur G e t f

0•

E.

• [5].

Pour la demonstration. voir

LEMME 26. - Pour toute fonction q>plurisousharmonique strictement negative sur G,

Soit

r

il existe

I

. negatl.ves

une suite de fonctions holo-

une suite de nombres p o s i t i f s ,

k = 1.2, ...

tel-

les que pour tout compact Dc. G on ait

lim k..,..oo

ak k lIL

log\\h

O et une

continue et plurisousharmonique

dans G tels que (z) 1

2 e - \fI( Z )

-

('a k

S( z ) 11 ( d z ) •

G -.- log\hk(z')1 Pour Ie demontrer on utilise la fonction ep(z) = lim ll.ID ak z '7Z k+oo

et

37

a

l'aide du lemme 26 on obtient des majorations de log Ihk(z)!

a

l'aide

II suffit ensuite de construire une f o n c t Lo n qz q u i. croit assez

de

vite pour majorerl'integrale en cause par mes 29. - Soit

LEMME

{a

k}

une suite de nombres positifs et h

u

des fonctions holomorphes dans compact D

s

s

i

eu s on ait Ds

(G).

n (i

U i'

k,s

(z),

telles que pour tout

S

et une fonction yJ(z) continue

(0 • Alors il existe

et plurisousharmonique dans G tels que sup k

s

'6 (d

!h k,s(Z»)2 exp(-\fI(z)-

Si

k = 1,2, ••• ,

Z)} 00 . (+

1 tels que pour tout s k

qui appartient

On applique la proposition 30 pour obtenir c' k

b:jc=cO(U,1t,{ad)' On pose

a

c' k

, puis on elargit l'operateur L

grace aux developpements en series donnes par la base. Ainsi la demonstration de la proposition 21

est completee. On

peut generaliser Ie theoreme 22. /

\

THEOREME 32. - Si pour tout lent

a

i E I, U

est holomorphiquement equiva-

i

une variete analytique fermee dans un produit fini de domaines

s t r i c t e me n t

a

inverse

pseudo-convexes, a I o r s il existe

droite

a

L:

ZI(Z6,1t')-;--CO(U,;;t')

dO.

Nous allons maintenant nous occuper du probleme de

la decomposi-

tion lineaire des fonctions d'un ideal de type fini. Soit G etS'comme au lemme 25. fonctions holomorphes dans G'

et

q

g>f

L I

par

¢k f

.

k

1:

soientP

Hq(G)

L:

1m

L'idee

k =

I, 2, ••• , q

des

un operateur defini par

• L'espace 1m

p+1

Si

'f est

u ne f on c

on pose pour tout

r

39 LEMME 34.- II existe une fonction

continue positive plurisous-

harmonique dans G telle que pour toute et CeZP(U,'dt) tel que d c '

2-formes

tels que \\c 11

I c '/Ilt' +

et

= c

En fait de L

(p >0)

ep

plurisousharmonique dans G

< co

i l e x i s t e c'e Cp-I(U,'df)

Cp •

Ie lemme reste vrai si on

de type

dans G.

(O,q)

par

Ie

q

a

La demonstration ressemble

celIe du

lemme 28, mais on applique la recurrence. Pour CPo

J ,

1,2, ... , p,

k

dans un voisinage de G, f

=

(fl"'"

f q)

k = 1,2, . . . , q,

considerons

(

LEMME 35. - Soit V

c;.



H(G:)

I}

UI

H(U I)

=

{z

is

C :

Iz

+

I);> I }

sont des centres infinis (la decom-

position en somme directe est obtenue grace au developpement de Laurent). Pour pouvoir appliquer Ie lemme Y cR(U

o

u U I)

, on remarque

des fonctions holomorphes

R(UoUU ) . De plus s i 1

dans

6

t i o n naturelle

i

a

I' infini est un facteur direct

: R(UoUU j) ->-H(Uo)eR(U j)

,et R

iCY) est un sous-espace du facteur correspondant s'il y avait separation lineaire de singularite, phe

a

que I 'espace

un facteur direct dans un C.F.E.H.

est l'injecl'espace

a

Ainsi, Ya:H(II:)

ser ai

t;

isomor-

42

Soit

x

une variete de Stein. Considerons

cp;

D

t

;I.

X

--+

G:

N

une

injection bi-holomorphe existant en vertu du theorime de Remmert. sons nu

t

M=

X X).

de prolongement

L;

t

l'espace Y cH(n x X) variable.

H( M)

conti-

Pour Ie demontrer, on considire

des fonctions qui ne dependent pas de la deuxiime

Y est un facteur direct dans

Ie lemme 5

Li n e a i r e

Alors il n'existe pas d'operateur

Po-

H(D I )( X) et Y

On peut bien evidemment remplacer D

1

H(D I). On applique

par n'importe quel

autre domaine verifiant 1es hypothises du theorime 22.

EXEI1PLE 41. So i en t U0

o i.. a (ru contient

On munit

Ie spectre de H= (Q)

Soit M(D,E) PROPOSITION 3. nage de M(D,E)

(D x

-

to})

U (E

Soit f

contenant D

1i.

a

dire que 1 'adherence E de

la f r o n t I e r e de Shilov de H de

la proposition suivante

une fanction holomorphe bornee sur un voisiDr'

r

>0

arbitrairement petit,

prolonge en une fonction holomorphe bornee dans D Demonstration.

0.)

sa topologie de Gelfand. On a alors

x D)

co(

Comme f e s t

2.

holomorphe dans D>< Dr

alors

f

se

49 f(z,w)

=

hli(z)w'"

(lIf)

puisque f e s t b o r n e e dans D)( Dr

h JOH(D)

r-"

C

De

L

lim

plus si Zo E. E ,

!hv\/"(zo)

car f(zo'w)

J

est holomorphe

dans D.

X un

Soit So i t

E.

H (D),

Lill ])!

vers

"h v

g

g

designant

E dans le spectre de H""(D) , comme hV(Zi)

(f(Zi' w»i on en d e d u i

,

que g(w)

t;

la transformee de Gelfand de

1i m

Soit Z E.D, representant

I

()..) 11 I j)

=2:.

Zi'

X. EO E .

I, P our to u t

log

log

en particulier

converge

or g est holomorphe dans

[12J

il existe une mesure de Jensen positive Z ;

X= 1

a

adherente

et que hj)EHCO(D)

D par sui t e

E

a

point adherent

))

portee par

vi ()()

dJlzOO.

E

En appliquant le lemme de Fatou on a log l h ) z ) I J

:

lim

O.

E

converge

Par suite la serie 2

D ,

a

et par un argument semblable

uniformement

sur tout compact de

celui utilise au paragraphe 1 elle

est bornee. a/ Nous avons eu besoin seulement du fait que f e s t

Remarques.

holomorphe b o r n e e sur D x Dr et que u n i f o r me mc n t

b or n e e

a

ge

a

D

2

h

I

y( w J

'tfz

)

holomorphe b o r n e e sur DXD

G

E

avec

a

'Y

D pour

on a

tout

continue sur

z eE,

r

et

(f(z,

)

z,sE

o

tel que

[0, 1 [

alors

f

se p r o l o n-:

.

En effet il suffit d'appliquer semble

admet un prolongement

D, pour z 6E.

admet un prolongement analytique z , w)

)} zeE

b/ Si f e s t

If(

(z,

DX D

r

o

u

E x D

avec

P

la proposition en considerant l'en-

e(

alors un prolongement holomorphe

sur lequel la fonction est bornee,

a D )( D

C'

pour tout

e (.0.

aOC>( Q) est soit surjective so it d'image maigre; en d e n o mb r a b Le de boules B(z' ,r.) J

contienne une

Ie

fonction de HOO(Sl) dire qu'elle est

telle que

theoreme de Baire

[7),

J

tout

Z

e F '"

dans

choisissant une famille en

aucun des

H""U2UB(),r.)) J

c'est-a-

Le raisonnement

32.

p.

o

il suffit que pour

singuliere en z

tout ouvert qui rencontrean.

exemples de domaines de

(j; tout ouvert.l1..;l (j;t.q

(n.)

U B(z',r.))

s i n g u Li e r e en tout point du bord dell,

Donnons quelques a) Dans

a co

un ensemble

permet d'affirmer qu'il existe une

qui n'appartient a

est Ie meme que celui de

a

appartenant

o

11

",(l est

:TI.\J1. la

strictement positive pour tout n.

de

type H OO

type aoo

c apa ci

t

e de

plus generalement FnB(zo,]/n)

soit

o

51

Au paragraphe I dans 0;

on a donne un exemple d 'un domaine d 'holomorphie

o

2

Ii

t.q.

=ftet qui cependant n'est pas de type HOO, d on c

tion est dixferente dans b) ma

n e

avec

i n e s d'holomorphie a l o r s D e s t

on peut meme montrer q u l i L

Jl. . Tout ouvert ft convexe dans o;n

d)

est de type H oo pour

n

de

B

n

est une intersection de do-

type Hoo ;

de

c)

e)

fletA

ji ) holomorphe dans.0.et s i.n g u Li.e r e en tout point

existe une f o n c t i o n de de

n}2.

c",

Si 1l. est borne dans

la situa-

Si

G

t

v

tout

SL f.

q,

a;n est de type H eo .

appartenant

a

un ensemble

B, l'interieur

est encore de type H tO

Q

B

.0.. est de t y P e Reo e t s i f J ' ••• , f I' ouvert .Q.f

alors

tZ Iz e ri

=

N

sont des fonctions holomorphes dans

\ f j (z)

Iz I

j

=

I, ... N}

est de t y P e

Hex:>.

II est cependant faux que l'image reciproque, d'an ouvert de ouvert de

type ROO ,

Exemple 1>{z,u)

(z,

6.

, .. 2 1 appllcatLon de 0: dans

Soit

uz )

;

Z{Z,U) \

soi t

par u n e application holomorphe

a:

2

typeH=dans un

de type HlP.

definie par

posons/..\:t(z,w) Ilwj0

Nous allons donner un autre cri t e r e d' a p p a r tenance au cone [J>C 11.) qui resulte d'un theoreme de I.CNOP /

,

THEOREME J4.

-(I.GNOP)

[21

rrun domaine d'holomorphie dans lIn,

59

existe des fonctions uo'u

l,

...

un definies dans anx

des fonctions holomorphes danslL; ()I-sl)u1(S,"$)+ ••. +() pour

11.

n

tout

+h(s)u

Sl

n

C'

avec 011.(z)

de plus il existe un e n t i e r

u

i

(s ,)

e t a n t;

telles que

- s ) u (s,')

(s,.).::O: n xu, 'f'

n

=

=1

0

•

+

\12-1/2 z) ,

v e r i f La n t

M '> 0

N et une constante

d (z , (fL) )

et

pour On en deduit Ie Corollaire suiva11.t COROLLAIRE 16. fonction f

Soit fLu11. domaine d 'holomorphie de o;n,

holomorphe da11.sSl,

I f(z)/

. dW»

;

=L.-hl/(z)w

1

f(z,r exp(-V(z»e r 15 e x p ( ( z) ) e 1

21T

\h)Z)\

r-

v

exp( vV(z»

pour

is

e)

idQ pour tout r 0

Iz + rz'D

la fonction -

appartient ag>(.Q)( o;n). Demonstration.

On reprend i : idee de

[7]

,

p,

63.

Co.}

[7J.

logbS/..(z,z')

62

So i t

.rr =

So it F

E

G(z,z',w)

t(

z , z ' ,w)

H=( II )

I z E SL

z'

S"]

II

Posons

F(z+wz')

=L-f0

.

designe le rayon de convergence

[ - log Or

cn

singuliere en tout point du bord den.

G(z,z' ,w) Si

E

If\

=

(u-;;;

cette serie

log

(z,z'

,0)1/

= -

log

h (z,z')

donc

-c

et on peut remplacer la lim par un sup. J'ignore si la condition donnee dans cette proposition est pour qu'un domaine soit de type

.

Construction d'un domaine Q] pas dense dans

oo

le spectre de H

SoitD. J =tz,u) M(D,V)

de type H=,

dans

et tel que SL] n'est

01 I).

= (z],z2) E:M(D,V)

et

\u

sM(D,V) (z ) }

I-:

etant le domaine construit au paragraphe 2.

On a vu, gJ(M(D,V»

proposition 17, que la fonction -log puisque M(D,V)

b

(z)

M(D,V) est un domaine d'holomorphie.

appartient

a

Or

b

(z) tend vers l'infini q u a n d z tend vers le bord de M(D, V), M(D,V) par suite d'apres le theoremel8fi] est de type H=; on voit facilement que

-

log

Iz

suffisante

" SL J So i t

f E H""CIl] )

la restriction de f

a

M(D,V)

appartient

a

H CP (M(D,V»

donc d'apres l'etude faite au paragraphe] , elle se prolonge en une fonction de HOO(D

2),

par suite les points

donnent lieu

homomorphismes de H""(n,) , et ils n'appartiennent

pas

a

des

a 1 'adherence de .!l]

dans le spectre de HOC> (Il]). Le domaine

n]

est un exemple de domaine de type H=qui n'est pas

complet pour la metrique de Caratheodory

fi

J

definie par u "

0

n'est pas complete.

car la sous-variete fermee de

63

6.

-

Autres algebres de fonctions

analytiques.

B une algebre

Etant donnes.Qun domaine d'holomorphie borne dans

de fonctions holomorphes bornees dansjl, munie de sa norme uniforme, on se pose Ie probleme de l'existence d'une fonction de B dont domaine d'holomorphie.

Nous nous

n

soit Ie

limiterons ici au cas au Best l'algebre

des fonctions holomorphes dansfiet uniformement continues,

an,

admettent un prolongement continue

i.e.

celles qui

nous noterons cette algebre

A(li). Construction d'un domaine A(.rr)

U1

de

type

tel que toute fonction de

se prolonge analytiquement a un ouvert strictement plus Soit

deI i ni e ma b Le

(b ) p

par

une suite dense dans

'If (z)

" L--

de nombres reels

dans D,

\

log

p

Ie cercle unite et soit

s t r i c t e me n t

- ""

\

/I\

exp

Q " M(D,ip)

D.

\wl

morphisme et un homomorphisme. PROPOSITION 10. tout 0< Le s o u s acyclique,

r

-

SoitX=

£xo(}sous-systeme de}'=

e s p a c e Xd..cYd.. est facteur

alors

timX c tim

Ie sous-espace

Inversement si tim X est facteur dfstrictement acyclique,

On demontre cette proposition, r e s u Lt a t s

OU

Z

[s,§ sJ a

de

tim

aussi facteur direct.

'Y,

X

est acyclique et

strictement acyclique.

en app1iquant la proposition 1 et

1es

1a suite

"fIX I

,

THEOREME

l' = {Yo(, 1,=

est aussi

et pour

SiXest strictement

'1 est

direct dans

X

alors

direct

tyo(}

£Zo

f

s

2

;

.

f Par

-

f

p

E,

t

1) p

J

et

If

U j

Alors,

h e o r e me

f

-

(iv),

1,

J

po u r

BX.

J

si 'f(X)

f r.= L P (M)

< P s(1 - &')

A + f 2(X)

\fl

4

fini

Kt) j

f e L p (M)

entraine ;:CDsP-1g(S)dS

parce que

alors

sS et ainsi

1

X.

xj ,

J

O

il existe une constante C'

u G PS P (D) ,

< p < 00.

J

Si

(6.3.)

uP df{,C'

(6.3.)

a .

p

Si

fn

telle que

est ana 1 y t i que,

f

,

est yrai pour un p quelconque,

alors

(6.2.)

est vraL

premiere partie se deduit du lemme 3 et du 1/2p Si l'on met u = If p = 2 , on arrive a la d e u>

Demonstration. t h e o r e me 3.

xieme conclusion.

La

I

'

a

On se borne ainsi

demontrer la derniere propo-

sition. Pour x e co, que Lm

s o i t (AI""

An >

o ii

n

A'

=

) un systeme de coordonnees dans u (Re

Lm AI'

comme dans la demonstration du pres de x,

et k un entier

= 1-(z)

(,\(z)

On choisit gt(z) (i.e. bor ne e

=

-k

+ it)

dans D

strictement pseudo-convexe "" D 2

rV

ment dans L (D) dans

quand

quand

t

Soit

;.:

ImAn_ J ,

x

0

X..

-

Re An)'

1

On met

que ft(z)

( An(Z)

i n f e r i e u r cm e n t

lemme 3.

+ it)-k - gt(z),

de

Re '\n-l'

..• ,

telle

x

> O.

n

-

()

so it holomorphe

X

s u pp d D

Alors

t >0

Parce que 1m

X

tel que h

An

est

il existe un domaine t

soit bornee uniforme-

il existe gt bornee uniformement

et ainsi gt est bornee dans un voisinage de

l'origine. D'ailleurs,

f

t

est bornee uniformement dans le complement dans D

de chaque voisinage de l'origine. Appliquant 6.3.

a ft' on a pour

85

t

petit,

on peut integrer par rapport C et si

4!(t

+12"1 2)I-k P d"d"

2(kp-l»2(n-l)

C

=

(i.e.

1

a

2n-l

=

Re

n

+ C4tn-l+l-kP!(l+b"12)1-kP

kp>n),

on a/AE

en utilrsant une notation condensee de produit scalaire. De tacon beaucoup plus precise, on a Ia PROPOSITION 1.- On peut trouver pour tout point s¢ (2 des fonetions su" ... , sUn

(9(0) qui restent bomees dans

< z-s, Notons que pour s

¥a

@(J) quand s varie et verifient

su> .

,on a

Iz 1-s,I+ ... + Izn-snl

6(z)- d(s)

=

J(z),

de sorte que le theor-eme de L. Hcrmander' cite dans I' exemple 1) assure I' existence

90

de Ionctions s u 1, ... , s u de 0(0) ver-itiant 1 < Z - s, su> . Le seul n problema consiste a mont rer que I' on peut choisir ces fonctions dans un meme

19(c5) Iorsque s var ie dans Ie complernentai re de

ensemble borne de

0 .

La

demonstration de la proposition 1 est simplement une version avec parametre de celle donnee par L. Hormander- (4 ) . En particulter- 0

apparait comme le spectre sirnultanc des fonctions

coordonnees zl"'" zn dans I' algebre 9(J). Pour faire intervenir I' ideal '0 , il est necessaire de s I interesser- aux points s de Q . Nous avons suppose l' existence d' une famille bot-nee (hex) de '0 te lle que sup \ he{ \?3 C >- 0 sur On peut done trouver pour tout point s de Q une Ionction sh de ';) qui

o.

reste bornee dans :0 quand s varie et vcr-itie

sh(s)

1. Nous allons utiriser-

main tenant la propriete de decomposition suivante : PROPOSITION 2. - Si une fonction f de 9(6) s' annule en un point s de (2 on peut ecrire

gn sont dans g(o), et de fas-on gue ces fonctions restent bornees dans @(3) Iorsgue f parcourt un ensemble borne de (C0(J) tj s I' ensemble Q ou gl"'"

Cet enonce est etabli dans ( 2) a l ' aide du precede de diagram-chasing; une methode plus simple, qui evite le calcul de major'ations relatives aux derivees , consiste

a dedutre

Ia proposition 2 de la proposition 1 par une utilisation

con venable du cal cul fonctionnel holornorphe dont i l sera question plus loin. Pour s

E:

0,

Ia Ionction 1 - sh s ' annule en s , de sorte que I' on peut

@(J) quand s vanie dans

trouver des fonctions su l, ... , sUn' bornees dans tel1e que

< z - s,

Su

>

+ sh

0 ,

1.

Comme on l' a vu, cette relation reste vraie pour s tj 0

avec sh O. II en

resulte done que Ie spectre sunultano des fonctions zl"'"

zn dans l' algebre

(0(3)/ J est vide. Cette propriete est cependant insuffisante: l l ideal

'0 n' etant

pas suppose Ierrne mars seulement complet, I' algebre @(o)/ 'J n' est pas une

b - algebre , Nous allons donner, suivant en cela L. Waelbroeck (8 ), une definition du spectre modulo

J

qui permettra de conclure

al

t

inegalite

0

@(J).

3. - Caicul fonctionnel holomorphe Donnons-nous de tacon generale une b - algebre commutative unitair'e A, un

91

b - ideal positive

de A et des elements a 1 ' ... ,an de A. Nous disons qu I une fonction {I (r

-I

x

m)

il en resulte qu'on a

a {.. R (x ) "rr m

I sur

f- 2r. '

102

k

N

h

(_I)h-I

h Sh +

. I=

L

I

(_ I ) i

I

i , h-I

(_I)i-I

Nh -

Ces relations permettent de defini- pour

S.

Nh- i

1.

S.

i

1.

tout entier h une application

k

polynomiale et continue

$ S.(F)

de

I

JPh(SI"'" Remarquons a l o r s que,

si x

dans

Sh(F)

a

de

1.

Sk) .. N h E.

F et

avoir

.

(xI"'"

x

k)

E.

k

F ,

comme S(F)

est integre, on a l'equivalence SI

x

k-I

+ ••• + (-I)

k

Sk

o

S.

1.

Description de Z. Soit A la partie negligeable d e co e n dehors de laquelle Z est un revetement

(non ramifie)

; soit k Ie degre de ce revetement

(il est

110

constant parce que w -A est connexe). Au voisinage de tout point go de lications analytiques xI"'" c ha que

point g de w,

k points de Z qui

X

a

k

w -A, on peut definir alors k ap-

valeurs dans F qui representent, pour

suffisamment voisin de go'

les composantes sur F des

se projettent en g.

¢!, ... ,

Les fonctions s yme t r i q u e s

«;

de ces points

sont des fonctions analytiques de g au voisinage de go' Ces fonctions

¢h

ne dependent pas de

les elements de la fibre

l'ordre choisi pour ecrire

d'un point de co - A;

(dans Z)

il s'ensuit

qu'elles se recollent pour definir des applications analytiques de W dans

les espaces Sh(F).

Le fait

compact sur toute partie de co - A relativement est une partie negligeable de w, prolongent analytiquement

a

a

on peut

compacte dans co ,

Comme A

conclure que ces applications se

localement barnes.

la fin de la premiere ctape permet alors de mon-

trer que Zest l'ensemble des points

x

¢h restent dans un

tout w, en remarquant que ces prolongements

sont faiblement analytiques et La remarque faite

w soit propre

que la projection de Z sur

entraine alors que les valeurs de ces applications

A

(x,g)

qui verifient

k

On obtient done une equation analytique de Z est bien un sous-ensemble analytique de Fxw,

a valeurs dans Sk(F)

ce qui etablit Ie point

(i)

du theoreme J.

Soit k un en tier positif.

11 existe une famille

i

de poly 1.

P. LELONG (7) et W. STOLL (19) en 1953 traiterent le cas p

=n

- 1

et X a croissance lente, qui fut ensuite developpe encore par B.A. TAYLOR (21) et R.O. KUJALA

(6).

En 1964, E. BISHOP

(1)

et W. STOLL

(18)

resolvaient Ie cas ou X est

algebrique et p quelconque. En 1972, l'auteur resolvait Ie cas general dans (17), apres les "t r-avaux d'approche"

(15) e t (16) relatifs

a

l'or1re infini et au cas p

=n

- 1

119

Y. C.

(cf , aussi

PAN

(11). Il

resterait encore

a cbercher

s' i l est possible de

reduire le nombre n + 1 de fonctions. Cette reduction est possible sous certaines hypotheses, sans condition de croissance, (cf. O. FORSTER et

K.

RAMSPOTT

(3),

2. PRELIMINAIRES SUR LES COURANTS

a De RHAM

Nous renvoyons

(12) et L. SCHWARTZ (14) pour les defini-

tions et proprietes generales des courants, en particu1ier pour tout ce qui concerne les images directes et reciproques des courants et l'integration sur les fibres. Nous renvoyons de meme & P. LELONG

(8)

et (9) pour les definitions

et proprietes relatives aux courants, positifs, fermes sur les varietes analytiques complexes, ainsi que pour tout

qui concerne l'integration sur les

ensembles analytiques. On pourra egalement consulter (19) pour les questions relatives aux courants positifs et d l'integration sur les fibres. Nous rappelons brievement les resultats qui nous seront indispensables dans la suite. Soh f : X'" Y une application de classe C'", propre, de la variete X dans la variete Y. Si T est un courant sur X, l'image directe de T par f, notee fllT, est un courant sur Y defini par la formule : (2.1)


> =

pour toute forme

cc

de classe C

cf>

L'operateur f (2.2)

T, fllcf>


,

,

d support compact sur Y.

commute avec le bord b

:

bT

a 1a dimension de Y et si Test a coefficients localement integrables,

Si le rang de fest toujours egal defini par une forme differentielle sur X, fllT est une forme sur Y,

a coefficients

localement integrables, obtenue en in-

tegrant T sur les fibres de f. En pratique Y sera un espace tion (x

z) ... z, l'operation f

II

consistant

X l'espace

a integrer

x

et f la projeca x sur Cn ,

par rapport

120

z etant fixe. Si fest holomorphe, l'operation f. respecte la structure complexe. Un courant

e

de bidegre (n - p, n - p) sur une variete analytique complexe est

dit positif si pour tout systeme de p formes differentielles aI' a

a

de bidegre (1, 0), de classe

support compact, la distribution

2,

... , a p'

Une forme differentielle est dite positive si Ie courant qu'elle definit est positif. Si

e

est de bidegre (1, 1) et s'ecrit localement en ecriture canoni-

que

e = ou les e. k sont des O-courants, avec 1 ]

,

est alors equivalente

a la

o ,

(2.4)

En particulier, si

e

superieurement sur

j, k

n, la condition de positivite

condition

e=

pour tous A. J

id'd"V ou Vest une fonction semi-continue

est posit if si et seulement si Vest plurisousharmoni-

que. Les courants positifs verifient les proprietes suivantes - Un courant positif

e

est d'ordre nul, autrement dit ses coefficients

sont des mesures. - Le regularise d'un courant positif (sur - si

e

est positif

est positif et si west une (1, 1) forme differentielle, de ce

classe C

,positive, Ie courant

eA

west positif.

- L'image directe d'un courant positif par une application holomorphe est positif (cela resulte aussitot des definitions).

Si main tenant

e

est Wle forme differentielle de bidegre (n - p, n - p),

on peut donner une autre definition de la positivite :

121

a

est positive si et seulement si pour toute sous-variete analytique de dimen-

aa

sion n - p. la restriction de

cette sous-variete est une mesure positive

sur la sous-variete. En utilisant cette nouvelle definition, on voit aisement que l'image reciproque par une application

d'une forme positive est encore posi-

tive. A un ensemble analytique X, de dimension pure p, on associe le courant d'integration sur X. note X, defini par: (2.5)

< X, 4> > ::

f

X

¢,

ou $ est une (p, p) forme. D'apres P. LELONC

(8), on a le resultat suivant

PROPOSITION 2.1 \ Le courant d' integration

x est

positif et ferme.

Nous introduisons maintenant les formes diffirentielles sur sociees aux structures Kahleriennes sur

et

P

nmetriques des courants positifs sur

portant dans l'etude des On pose (2.6)

o

=

id'd" Loglxl 2

(2.7)

f3

=

id'd" Ixl 2

(2.8)

y

=

2 2 id' Ixl /\ d"lxl

On a la relation (2.9)

a

=

Comme

Ixl- 2 f3 - Ixl- 4

as-

l(e), qui jouent un role im-

y

Y/I Y = 0 et que B et Y commutent, on a la relation

122

=

(2.10)

e

A un courant positif

sur

on associe les mesures positives

suivantes (2.11)

a

=

(2.12)

v

=

appe Lees r-espect Ivemerrt mesure-trace et mesure projective du courant

Ie courant d'integration sur X, la mesure-trace

C1

e.

Si

e

est

n'est autre que"laire" ou vo-

lume de X. On montre (cf , coefficients de courant

(9)

que la mesure

(I

rnajore la valeur abso1ue des

e

On pose d'autre part ; (2.13)

oCr)

= f IxI

do(x), I'

c'est 1a mesure a portee par la boule d2 rayon r. On introduit egalement

n -D•

v(r) oCr) et v(r)

p!

I'

-2p

OCr),

j'indioatrioes pour 1a croissance du courant

Onoomontre en integrant par parties (cf.

f

t-Pdv(t), equivnut t -P- 2p dad:>.

f

(7) l

1a convergence de

f

e.

que 1a convergence de t- P- Iv (t)dt et de

1

1

3.

LE POTENTIEL LOCAL

que

e

Pour permettre ces calculs est une forme differentielle sur

se COO , positive et nos formules au cas (en pratique

e

on suppose dans oe paragraphe de bidegre (n - p, n - p), de clas-

a support compact. II sera aise par regu1arisation d'etendre ou e est un courant positif, a support compact dans en

sera Ie tronque d'un courant positif et ferme dans

123

On associe U(z)

cn

=

ae

Ie potentiel U fefini par

I n

nr

etant oriente par la forme t3

=

/I

1\ . , . 1\

dz ;\ dz n n

On veut evaluer la forme de Levi de U, ce qui revient

a estimer

le (1, 1) courant id'd"U. Pour faciliter le calcul du courant id'd"U, on va representer U comme image directe d'un courant sur n x Dans ce but, on designe par P1 la premiere projection Cn x n sur ; (x, z) x, et par P2 la deuxieme projection : (x. z)

z.

Soit d'autre part

T

n dans C ; (x. z)

l'application de en x

On introduit encore la forme differentielle sur en ­ (3.2)

K

x

{or ;

=

et on designe par K le courant sur

defini par la forme K.

a coefficients

localement sommables, Le potentiel U s'ecrit alors (3.3)

ou P1

e est 1 I image reciproque par PI de La forme e.

T

­

K est 1 I image recipro­

que par T du courant K. cette image reciproque est bien definie car T est de rang maximum (cf, par exemple

(14),

on verifie aiscment que

que le courant defini sur en x cn par le forme differentie11e

n'est autre

K.

T* K /I Pl* e est un courant sur en x en, dont on prend l'image directe par P2' Cette image directe est bien definie car la restriction de P2 au support de

1 2, le potentiel canonique n'est pas toujours plurisousharmonique comme le montra l'exemple sui/ant. On considere le cas p = 0, c'est­2­dire le cas ou 6 est une mesure positive sur en. 2 La fonction Loglxl joue alors le role de la fonction ­lxl­ 2P • On a pour un calcul standard (cf. (7) (5.5) E (x , z) 2

= Loglz

­

xl 2

­ Log Ixl

+ Re 1x ,­4 (x, z ) 2 +

I (x ,

2 + 2Re Ixl­ 2(x,z) +

z ) 12 ­

Le potentiel U est donne par (5.6)

U(z)

=

J

E

2

(x

'

z)

d6(x)

Ix 1

2

2

Iz 1 ) •

134

Designons par

::

H(u, A)

(5.7)

H(U,A) Ie hessien ou forme de Levi de U

E j ,k

ou

A::

(A ) j

c

dZ

dZ k

j

(j;n.

Un calcuI direct ou un

H(U, A)

(5.8)

::

f en

semb1ab1e

(!(Z-X)t'- AI 4

2

I

IX

Iz - xl

/I

a

(4.10) montre que 2 1

Ixl

)d6(X),

2

Ix 1\ x]

designant 1a norme hi1bertienne standard sur

p1exe

ne passant pas par O.

e ait son support sur une droite affine com-

1a mcsure

Supposons

Si z appartient appartenant au support de (Z - x) 1\ A

::

a D et

" (\;n.

si A est parallele

a D,

on aura pour tout x

e, 0

et

x

"

A

1-

°,

on aura done fI(u, A) < 0,

au point z f D.

6.

CONSTRUCTION P'UM POTEIJTIEL GLOBAL PLURlS0USHARMmJ1Q,UE

Une partition de l'unite permet de construire un potentiel global, p.Iur-Lscusharmoni.que dans en, qui a les memes propri,hes locales que Le poten-

tiel "100a1" construit dans Ie paragraphe 3. Soit p. une partition COO

de l'unite

J

(6.1)

°

P.

J

1, et

E p. j=l J

:: 1.

Soit d'autre part, n. une suite de fonctions, positives, de classe 00

C

J

A support compact, telle que n

de "j' on pose

j

soit egale

a1

sur un voisinage de support

135

n. (x)

U. (z ) )

)

On considere la fonction U definie par QO

(6.3)

U =

l:

j=l

Pj

Uj •

On a alors la proposition suivante PROPOSITION 6.1 Soit

0 un nombre donne, on peut choisir les suites

E >

p. et n. J

)

de sorte que la fonction U, definie par (6.2) et (6.3).verifie 1a condition

:

w, si p

id'd"U

(6.5)

id'd"U

= c

n

n - 1,

6 + w, si p = n - 1,

ou west une (1,1) forme de classe

sur

en qui veri fie

la majo-

ration (6.6)

Iw(z) I

!'.

v(r + er )

designant une

2

pour r = I z ! assez gran d ,

c(&)

w indique en que1que sorte 1e "defaut de plurisousharmonicite" de U. La proposition resulte de (6.3) et (5.2) et des propositions 3.1 et 3.2.

a

Une demonstration detail1ee est donnee dans mon article

a laque11e

(17)

p. 381

nous renvoyons 1e lecteur.

On peut alors construire une fonction Wcontinue, strictement p1urisousharmonique, exp1icite tel1e que (6,7)

id'd"W It- - w,

au sens des courants de type (1,1) dans Cn,

136

La construction precise est faite dans (17) p. 384-387. On a alors id'd"(U + 11) > 0, d'apres (6.4) et (6.7).

La fonction V

=U +

West donc plurisousharmonique et majoree par W

puisque U est negative d'apres (6.3) et (5.2). En se referant

a la

construction precise de Wdans (17) on a le re-

sultat suivant : PROPOSITION 6.2

11 existe une fonction plurisousharmonique V telle que V - U soit continue et qui verifie la majoration V(z) < C(£, d)

l+r

J

1

=

avec r

Izl,

t- d- 1 v(t + £t) dt,

ou d est un nombre > 0 donne

Si maintetiant p

=n

=

id'd"W

a Wet V des conditions ce classe C a l'equation

- 1, on peut imposer

plus fortes, on peut trouver une solution W de (6.8)

a priori.

w

sorte que Vest solution de (6.9)

=

id'd"V

8

La construction de W se fait en utilisant les formules d'homotopie 2 explicites pour la cohomologie de de RAHM dans cn, et les estimations L de Hormander pour la d"-cohomologie. On renvoie

a nos

articles

(15)

et

(16)

pour les details techniques.

Cette methode n'a d'interet que pour les croissances d'ordre infini, car pour l'ordre fini on a deja 1e potentie1 canonique explicite de LELONG (cf. theoreme 4.1). On obtient 1e resultat suivant PROPOSITION 5.3

Soit de r

une fonction plurisousharmonique dans en, ne dependant que

= Izl,

te11e que

137

o(r}

Pour tout

C exp (4)(r})

£ >

0, il existe une fonction V solution de l'equation

=

id'd"V

6

et v8rifiant la majoration

ouver-ts

Q

Les methodes de ce paragraphe se generalisent sans difficulte aux de STEIN de a: n (cf , (17) p , 400·-403}. 5i on veut resoudre id' d ·'V

= e,

theses sur la cohomo1ogie de l'ouvert Q(H

7.

i l faut faire bien sUr des hypo2(Q, C} = 0).

ANALYTIQ.UES VANS Cn•

APPLICATIONS AUX ENSEMBLES

n 50it X un ensemble analytique comp1exe ferme dans a: , de dimension pure p, soit

e

1e courant d'integration sur X qui est positif, ferme, de bide-

gre (n-p. n-p) . D'apres la proposition (6.2), on peut construire un potentiel V p1urisousharmonique dans a: n • associe au courant e. Ce potentiel est egal a -

00

sur

x.

D'autrepart, d'apres un theoreme de Hormander (2) et (5), i1 existe une fonction entiere F non identiquement nulle, telle que

au

dA

designe 1a mesure de Lebesgne sur

a: n .

Comme exp(-V) est non sommable au voisinage de tous les points de X, la fonction F doit s'annuler sur X. D'autre part, I ,

.

.

L2.

une

. , .

a la crOlssance

de F. En deve10ppant ces idees, on demontre (cf. (17) p. 394-400) Ie resultat suivant :

138

THEOREME 7.1 Soit

E >

0 et d > O. deux nombres donnes. II existe n T 1 fonctions

entieres Fl' F • • • • • F telles que X soit exactement l'ensemble 2 nT1, des zeros communs aux Fj (j = 1. 2 •••• , n+1). et qui verifient, pour r = lzl assez grand. la majoration Log

IF.J (z) I

a

Nous renvoyons

C(e. d)r

d

f 1+r

vet + et)dt.

1

(17) pour un enonce plus detaille qui permet, en

utilisant 1e potentiel canonique de genre q ver Ie resultat suivan+ du

d 1

t- -

a STOLL

=0

(cf. paragraphe 5). de retrou-

(18) et BISHOP (1)

X est qlgebrique si et seulement 3i vCr) est borne. Lorsque p de I' equat ion id' d"V

= n - 1. on montre (cf. LELONG (7)) qu'une solution V = e est egale a Log !F I, ou Fest une fonct ion entiere

qui s'annule sur X et seulement sur X, avec la multiplicite 1. Utilisant Le potentiel canonique du paragraphe '+. on a Le resultat

a LELONG

suivant, du

(7) et

a STOLL

(19)

THEOREME 7.2 Soit X une hypersurface de

I

1 t- q- dv(t)

-i-oe

o


0 est donne

a priori.

140

BIB L lOG RAP HIE

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/

/

/

SOLUTIONS FAIBLES D'EQUATIONS AUX DERIVEES FONCTIONNELLES 1 /

par Paul KREE

1.

L'etude de certaines applications conduit

a

l'ecriture plus

ou moins heuristique d'equations aux derivees partielles (dites aux derivees fonctionnelles)

relatives

a

des fonctions d'une infinite de

variables -

equations de Hopf en hydrodynamique statistique equations en theorie des champs et en electrodynamique quantique.

D'ou la necessite de donner un sens les resoudre.

a

ces equations et si possible de

De nombreux et importants travaUK ont deja ete publies en

analyse en dimension infinie.

2.

Le but de nos recherches en analyse en dimension infinie est

de developper des methodes permettant la resolution d'equations aux derivees fonctionnelles non lineaires ou l'inconnue est une mesure cylindrique sur un espace de Hilbert.

Un premier probleme preliminaire est de

donner un sens aUK termes lineaires de infinite de derivees,

l'equation faisant

comme Ie laplacien par exemple.

intervenir une

Une deuxieme dif-

ficulte est de donner un sens aux termes non lineaires, car on ne sait pas definir en general l'image d'une mesure cylindrique par une application non lineaire. Dans

[3J

'

on a introduit des notions de distributions cylindri-

ques et de distribution prolongeant respectivement les notions de

143

probabilite cylindrique et de mesures de probabilite sur un espace vectoriel topologique.

Dans un second travail

tributions cylindriques Ie

de

[4]

, on a p r o l o n g e

Sazanov Minlos.

au x dis-

Puis dans

en liaison avec l'etude des applications partiellement radonifiantes, nous avons remplace Ie dimension fini

projectif rrc(X)

intervenant dans

ques par un

la definition des probabilites cylindri-

plus general nu(x), qui peut etre adapte

de chaque type d'equation.

laplacien.

tions de Fock

a

y

Ie lien existant entre nos dis-

l'espace introduit par I.E. SEGAL

Do]

des fonc-

carre sommable sur un Hilbert, et les distributions du type

[8] .

On a

introduit dans

tion u­cylindrique, u­cylindriques

a

(6]

la notion de

de r i

v e e d'une distribu­

ce qui a necessite l'introduction de distributions

valeurs dans des espaces variables.

Ceci nous a permis

de definir des espaces du type Sobolev en dimension infinie, qui

l'etude

coefficients constants usuels,

On a aussi montre

tributions cylindriques,

a

Ceci permet d'ailleurs de trouver des solu-

tions elementaires aux operateurs compris Ie

d'espaces vectoriels de

constituent comme en dimension finie,

espaces

un outil efficace pour l'etude

des equations aux derivees partielles lineaires et non lineaires. plus, alors que l'usage dans

De

la theorie des distributions cylindriques

de fonctions d'epreuves cylindriques ne permet pas de localisation, ou de definir un support,

la theorie des espaces du type Sobolev conduit

l'utilisation de fonctions d'epreuves non cylindriques, lite de definir une notion de

a

d'oll la possibi-

support, d'utiliser des partitions de

l'unite ...

3.

Indiquons quelques differences entre dimension finie et

infinie.

al il y a d'abord Ie

cylindrique.

En effet sur

la

fonction additive d'ensembles definie sur les paves en prenant Ie produit des

longueurs des aretes,

se prolonge en une fonction r­additive

144

(i.e.

a

une mesure)

topologique X,

toute la tribu borelienne.

Sur un espace vectoriel

la donnee d'une fonction definie positive sur X'

perrnet

de definir une fonction additive sur les cylindres,de masse totale 1, mais cette fonction n'admet pas forcement

un

D'oll la notion de probabilite cylindrique

bl de

comme corollaire du phenomene precedent il y a

localiser.

En

effet comme les multiplicateurs pour

les mesures cylin-

a

driques sont les fonctions

cylindriques f,

borne

les methodes developpees jusqu'ici,

(sauf si f

= a),avec

qui ne sont

la difficulte

jamais

pouvait pas travailler dans un ouvert 0 de X sans interesser

support on ne

toute une

bande de X contenant a.

cl Les espaces de Sobolev en dimension finie

p indique la classe L P

tiellement de deux parametres tiennent 1 es

-'

-

() c
( @ X . ) , et qu'en consequence 1

P

1

'k

P

1

@

1

A la surjection canonique s ..

sont associees l'injection

1J

de

os ..

1J

dans

J

(0 S .• )

1J

et l'injection

1

t:8 k (X .)

- :J}(x.) 1

div (resp D),

168 1

(2, 16)

(

if!

.,(1"

,Q(

r

I) 1/2

d..

et

L ""1".d...

'lid.

:J)(X.)

f

(2,18 )

(div

x.

p

'+') (x )

"dx

l----+

P

vp! I .J.... (

'Ifii!

I!

(-I)P

Cp(x) d x

)

) '+'

p

1.

ep

d.

2-

(l;) ( 0

1.

(2, 17)

(

x.1. ) (IX

('l' (x) , DPcp(x)) dx

X.

1.

1.

la derniere parenthese designant Ie produit scalaire dans

o

X .•

P 1. Par transposition, nous pouvons done pro longer naturellement les operateurs D et div

aux champs de p-tenseurs

a

coefficients distribution.

(2,19) Definition, al Pour tout

TEfl)' (X.) 1.

® X1.' ) , on def ini t P

6l) (

D

X. 0 1. p+1

't:J\jJeJl(X i ) ®

bl

Xi) par la formulc

ai'

p+1

1.

U.. .$'(X.)6l)(

Pour toute

1.

Vepei)(X i) is!>

Qi)

p+1

®

P

(D T , '4J) '" -(T, div'f/)

X. ) , on d e f i n i t 1.

x.1. )

(divU,CjJ)

d i.v

- ( U, Dep)

Par iteration,on voit que div J)'(X.)@(0 X.) P

1.

I

1.

fJJ'

(Xi)

(ol.!) 1/2

\'P! $'

(X.) 1.

T

Les operateurs D et div sont continus pour la topologie faible (et pour la topologie forte),

169

(2.20) Derivee absolue et divergence absolue d'un p-tenseur cylindrique

a

coefficients distributions.

Soit T

=

(T

i)

un p-tenseur cylindrique sur

butions. Pour toute surjection s .. T.

(s ..

=

J

P

-1.J

X.

-+X. J

s ..

»

1.

1.J

1.J

a a

coefficients distri-

on a done

T.

1.

En choisissant des coordonnees comme convenu au point DT.

1.

DT. J

a des coordonnees

1.

a des coordonnees

d'oil.

(DT.) J

(DT.) /} J

=

a

-1.J

a

J,

d

I>

p+1

1.

i

de meme divU si

Ox. J

P

on voit que et

(T)

i f .••. f

0

1.

P

0 E:p

s . )(DT.)

I8l (g)

(DT.)

f

I"

(T.) IJ J "'I'"

I " .. t: p

1..

1.

J

definit un

coefficients distributions:

On d e f i n i t sur 0,

.A:

(s ..

Par consequent la famille sur 0,

(DT')f

(2.1),

(U.) J j

(p+l)

tenseur cylindrique

c'est la derivee absolue DT de T. est un (p+l)

tenseur cylindrique

coefficients distributions.

Par iteration on definit en particulier -

OPT,

si Test une distribution u-cylindrique sur 0,

a

symetrique cylindrique,

que

coefficients distributions

-

la distribution U-cylindrique div

a

coefficients distributions.

(2.21)

comme p-tenseur

p

U,

si Vest u n p-r t e n s e u r

s ym e t r i

Remarque.

SiU est un p-tenseur symetrique cylindrique sur distributions et si

(V,

Cf DP

IS