Séminaire Pierre Lelong - Henri Skoda (Analyse): Année 1976-77 (Lecture Notes in Mathematics, 694) (French Edition) 3540091017, 9783540091011

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Vol. 489: J. Bair and R. Fourneau, Etude Geometrique des Espaces Vectoriels. Une Introduction. VII, 185 pages. 1975.

Vol. 462: P. Gerardin, Construction de Series Discretes p-adiques. »Sur les series discretes non ramifiees des groura>es reductifs deployes p-adiques«. III, 180 pages. 1975.

Vol. 490: The Geometry of Metric and Linear Spaces. Proceedings 1974. Edited by L M. Kelly. X, 244 pages. 1975.

Vol. 463: H.-H. Kuo, ~aussian Measures in Banach Spaces. VI, 224 pages. 1975. Vol. 464: C. Rockland, Hypoellipticity and Eigenvalue Asymptotics. 111,171 pages. 1975. Vol. 465: Seminaire de Probabilites IX. Proceedings 1973/74. Edite par P. A. Meyer. IV, 589 pages. 1975. Vol. 466: Non-Commutative Harmonic Analysis. Proceedings 1974. Edited by J. Carmona, J. Dixmier and M. Vergne. VI, 231 pages. 1975.

Vol. 491: K. A. Broughan, Invariants for Real-Generated Uniform Topological and Algebraic Categories. X, 197 pages. 1975. Vol. 492: Infinitary Logic: In Memoriam Carol Karp. Edited by D. W. Kueker. VI, 206 pages. 1975. Vol. 493: F. W. Kamber and P. Tondeur, Foliated Bundles and Characteristic Classes. XIII, 208 pages. 1975. Vol. 494: A Cornea and G. Licea. Order and Potential Resolvent Families of Kernels. IV, 154 pages. 1975. Vol. 495: A. Kerber, Representations of Permutation Groups II. V, 175 pages.1975.

Vol. 467: M. R. Essen, The Cos n). Theorem. With a paper by Christer Borell. VII, 112 pages. 1975.

Vol. 496: L. H. Hodgkin and V. P. Snaith, Topics in K-Theory. Two Independent Contributions. III, 294 pages. 1975.

Vo1.468: Dynamical Systems - Warwick1974. Proceedings1973/74. Edited by A. Manning. X. 405 pages. 1975.

Vol. 497: Analyse Harmonique sur les Groupes de Lie. Proceedings 1973-75. Edite par P. Eymard et al. VI, 710 pages. 1975.

Vol. 469: E. Binz, Continuous Convergence on C(X). IX, 140 pages. 1975.

Vol. 498: Model Theory and Algebra. A Memorial Tribute to Abraham Robinson. Edited by D. H. Saracino and V. B. Weispfenning. X, 463 pages. 1975.

Vol. 470: R. Bowen, Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. III, 108 pages. 1975. Vol. 471: R. S. Hamilton, Harmonic Maps of Manifolds with Boundary. III, 168 pages. 1975. Vol. 472: Probability-Winter School. Proceedings 1975. Edited by Z. Ciesielski, K. Urbanik, and W. A. Woyczynski. VI, 283 pages. 1975. Vol. 473: D. Burghelca, R. Lashof, and.M. Rothenberg, Groups of Automorphisms of Manifolds. (with an appendix by E. Pedersen) VII, 156 pages. 1975.

Vol. 499: Logic Conference, Kiel 1974. Proceedings. Edited by G. H. Muller, A. Oberschelp, and K. Potthoff. V, 651 pages 1975. Vol. 500: Proof Theory Symposion, Kie11974. Proceedings. Edited by J. Diller and G. H. Muller. VIII, 383 pages. 1975. Vol. 501: Spline Functions, Karlsruhe 1975. Proceedings. Edited by K. Bohmer, G. Meinardus, and W. Schempp. VI,421 pages. 1976. Vol. 502: Janos Galambos, Representations of Real Numbers by Infinite Series. VI, 146 pages. 1976.

Vol. 474: Seminaire Pierre Lelong (Analyse) Annee 1973/74. Edite par P. Lelong. VI, 182 pages. 1975.

Vol. 503: Applications of Methods of Functional Analysis to Problems in Mechanics. Proceedings 1975. Edited by P. Germain and B. Nayroles. XIX, 531 pages. 1976.

Vol. 475: Repartition Modulo 1. Actes du Colloque de MarseilleLuminy, 4 au 7 Juin 1974. Edite par G. Rauzy. V, 258 pages. 1975. 1975.

Vol. 504: S. Lang and H. F. Trotter, Frobenius Distributions in GL2 -Extensions. III, 274 pages. 1976.

Vol. 476: Modular Functions of One Variable IV. Proceedings 1972. Edited by B. J. Birch and W. Kuyk. V, 151 pages. 1975. Vol. 477: Optimization and Optimal Control. Proceedings 1974. Edited by R. Bulirsch, W. Oettli, and J. Stoer. VII, 294 pages. 1975. Vol. 478: G. Schober, Univalent Functions - Selected Topics. V, 200 pages. 1975. Vol. 479: S. D. Fisher and J. W. Jerome, Minimum Norm Extremals in Function ·Spaces. With Applications to Classical and Modern Analysis. VIII, 209 pages. 1975. Vol. 480: X. M. Fernique, J. P. Conze et J. Gani, Ecole d'Ete de Probabilites de Saint-Flour IV-1974. Edite par P.-L. Hennequin. XI, 293 pages. 1975. Vol. 481: M. de Guzman, Differentiation of Integrals in Rn. XII, 226 pages. 1975. Vol. 482: Fonctions de Plusieurs Variables Complexes II. Seminaire Franyois Norguet 1974-1975. IX, 367 pages. 1975.

Vol. 505: Advances in Complex Function Theory. Proceedings 1973/74. Edited by W. E. Kirwan and L. Zalcman. VIII, 203 pages. 1976. Vol. 506: Numerical Analysis, Dundee 1975. Proceedings. Edited by G. A Watson. X,201 pages. 1976. Vol. 507: M. C. Reed, Abstract Non-Linear Wave Equations. VI, 128 pages. 1976. Vol. 508: E. Seneta, RegularlyVarying Functions. V, 112 pages.1976. Vol. 509: D. E. Blair, Contact Manifolds in Riemannian Geometry. VI, 146 pages. 1976. Vol. 510: V. Poenaru, Singularites COO en Presence de Symetrie. V, 174 pages. 1976. Vol. 511: Seminaire de Probabilites X. Proceedings 1974/75. Edite par P. A. Meyer. VI, 593 pages. 1976. Vol. 512: Spaces of Analytic Functions, Kristiansand, Norway 1975. Proceedings. Edited by O. B. Bekken, B. K. 0ksendal, and A. Stray. VIII, 204 pages.1976. Vol. 513: R. B. Warfield, Jr. Nilpotent Groups. VIII, 115 pages. 1976.

Vol. 483: R. D. M. Accola, Riemann Surfaces, Theta Functions, and Abelian Automorphisms Groups. III, 105 pages. 1975.

Vol. 514: Seminaire Bourbaki vol. 1974n5. Exposes 453 - 470. IV, 276 pages. 1976.

Vol. 484: Differential Topology and Geometry. Proceedings 1974. Edited by G. P. Joubert, R. P. Moussu, and R. H. Roussarie. IX, 287 pages. 1975.

Vol. 515: Backlund Transformations. Nashville, Tennessee 1974. Proceedings. Edited by R. M. Miura. VIII. 295 pages. 1976.

Vol. 485: J. Diestel, Geometry of Banach Spaces - Selected Topics. XI, 232 pages. 1975.

Vol. 516: M. L. Silverstein, Boundary Theory for Symmetric Markov Processes. XVI, 314 pages. 1976. Vol. 517: S . Glasner, Proximal Flows. VIII, 153 pages, 1976.

Vol. 486: S. Stratila and D. Voiculescu, Representations of AFAlgebras and of the Group U (00). IX, 169 pages. 1975.

Vol. 518: Seminaire de Theorie du Potentiel, Proceedings Paris 1972-1974. Edite par F. Hirsch et G. Mokobodzki. VI, 275 pages. 1976.

Vol. 487: H. M. Reimann und T. Rychener, Funktionen beschrankter mittlerer Osti1lation. VI, 141 Seiten. 1975.

Vol. 519: J. Schmets, Espaces de Fonctions Continues. XII, 150 pages. 1976.

Vol. 488: Representations of Algebras, Ottawa 1974. Proceedings 1974. Edited byV. Dlaband P. Gabriel. XII, 378 pages. 1975.

Vol. 520: R. H. Farrell, Techniques of Multivariate Calculation. X, 337 pages. 1976. continuation on page 335

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

694 Serninaire Pierre Lelong Henri Skoda (Analyse) Annee 1976/77

Edite par Pierre Lelong et Henri Skoda

Springer­Verlag Berlin Heidelberg New York 1978

Editeurs Pierre Lelong Henri Skoda Universite Paris VI Mathematiques 4, Place Jussieu F-75005 Paris

AMS Subject Classifications (1970): 32-XX

ISBN ISBN

3-540-09101-7 0-387-09101-7

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin

This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210

A V ANT - PRO P 0 S

Le present volume du Seminaire 1976-1977 continue la serie des volumes precedents publies aux Lecture-Notes: 71 (1968),

(1969), 205 (1970),

332 (1972),

(1976). Certains exposes ant

(1973), 474 (1974),

(1975),

(1971),

ete rediges, nous devons le dire, avec un certain retard et en fait plusieurs n'ont eu leur redaction definitive qu'au debut 1978. L'objet du seminaire que nous dirigeons conjointement est toujours l'Analyse complexe en dimension finie au infinie. Certains exposes prolongent des resultats pre sentes

l'annee precedente : tel celui de P.RABOIN sur la resolution du Q dans un

espace de Hilbert; de meme l'expose qu'on trouvera ici de P.LELONG releve d'une methode donnee dans le Seminaire l'an dernier. On trouvera aussi dans l'expose de Fr.GRAMAIN donne dans ce volume le souci d'utiliser les proprietes des fonctions de plusieurs variables en vue de la theorie des nombres. Nous sommes heureux d'adresser nos remerciements

a

la Librairie Springer

qui edite ce Seminaire dans sa collection des Lecture-Notes. Nous esperons que ce volume du Seminaire contribuera comme les precedents

a

diffuser des methodes et des

resultats nouveaux.

Pierre L E LON G - Henri S K 0 D A

" TABLE DES l'1A.TIERES

1. BOCHNAK (J.)

Sur le 17eme probleme de Hilbert pour les fonctions de Nash ••••••••••

1

2. DEl'1A.ILLY (J .-P.)

Differents exemples de fibres holomorphes non de Stein ••.•••.•••••••••

15

3. DLOUSSKY (G.)

Prolongements d'applications analytiques •••.••••••••••••••••••••••••

42

4. FISCHER (G. )

Quelques remarques sur les fonctions

mer-omo rphe s

*)

•••••••••••••••••••••••••

5. GRAl'1A.IN (Fr.)

Fonctions entieres arithmetiques ••••

6. JENNANE (B.)

Extension d'une fonction definie sur une sous-variete avec controle de la croissance •••.••••••••••••••.•••••••• 126

,

96

7. KREE (P. )

Methodes fonctorielles en Analyse de dimension infinie et holomorphie anticommutative •.••••••••••••••••••• 134

8. LELONG (P.)

Un theoreme de fonctions inverses dans les espaces vectoriels topologiques complexes et ses applications a des problemes de croissance en analyse complexe •..••••••••••••••••••.•••••• 172

9. NACHBIN (L.)

Sur la densite des sous-algebres polynomiales d'applications continfrment differentiables ••••••...•••••••••••• 196

10. NOVERRAZ (Ph.)

Sur la mesure gaussienne des ensembles polaires en dimension infinie ••••••• 203

11. RABOIN (P.)

Le probleme du sur un espace de Hilbert ••..•....•.••.••.••••••••••.• 214

12. RAMIS (J.-P.)

Geometrie analytique et geometrie algebrique (variations sur le theme "gaga") ••••••••..•.•.••••••••••••••• 228

13. SKODA (H.)

Morphismes surjectifs et fibres semi-positifs •.••••••••••••••••••••• 290

14. YAl'1A.GUCHI (H.)

Fonctions entieres paraboliques dans 2 G:: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 325

*) Les resultats seront publies dans les "Mathematische Annalen"

Exposes faits au Seminaire

LAVILLE

(14 Decembre

dont les resultats paraitront

1976)

"Formules non lineaires et valeur au bord

des fonctions holomorphes" Bull.

Sc.Math.,

2e s e r i e ,

100,

1976, p.201-208

101,

1977, p ,

DUFRESNOY (26 Octobre 1976) "Resultats de d"-cohomologie, aux systemes differentiels tants

a

(26 Avril

1977)

applications

coefficients cons-

ll

Ann.Institut Fourier, Tome XXVII, SICIAK

71-79

Fasc.2,1976.

"Fonctions plurisousharmoniques extremales dans C

n"

"Proceedings of the First Finnish-Polish Summer School on Complex Analysis at Podlesice" Edited by J.LAWRYNOWICZ (Helsinski), DLOUSSKY (Ier Mars

Lodz,

(Lodz)

1977, pp.

and O.LEHTO

115-152.

1977) "Enveloppes d'holomorphie et prolongements d'hypersurfaces" Journees de fonctions analytiques, Toulouse, 5-8 Mai, 1976,Sem.P.Lelong (Analyse)

1975-1976,

Lecture Notes in Mathematics, nO 578,Springer. These de 3e Cycle, Nice CHOLLET

(Ier Fevr.77) "Zeros

a

la f r o n t i.e r e de fonctions analytiques

dans un domaine strictement pseudo-convexe" Ann.Institut Fourier, Tome XXVI,Fasc. I ,1976 I

VIGUE

(18 Janvier 1977)-"Les domaines barnes s ym e t r Lq u a s d'un espace de Banach complexe et les systemes triples de Jordan", Hath. Ann.,

t .

229, p.

223-231,1977.

-"Autamorphismes analytiques des produits continus de damaines barnes", Ann.Sc.Ec.Norm.Sup., 1978.

Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 17e annee, 1976/77.

SUR LE 17eme

14 Juin 1977

DE HILBERT POUR LES FONCTIONS DE NASH par Jacek

B 0 C H N A K

ABSTRACT.

The purpose of this note 1s to give a more refined version of a theorem of Efroymson : If U C Rn is defined by polynomial inequalities of the form

fi

> 0, i=1, ... , p, and if g is a positive definite

Nash function on U, then g is a finite sum of squares of Nash meromorphe functions on U.

AMS 1970 subject classification.

Key words and phrases.

Primary 12D15, 14E99, 32C05.

17th Hilbert problem, Nash functions,

Tarski principle, semi-algebraic sets, real closed field.

2

§ 1. Resultats.

Soit A un anneau de fonctions reelles sur un

ensemble U. On peut formuler pour l'anneau A, une generalisation suivante du 17eme probleme de Hilbert : Probleme 17A· ------------q>2 f = q>12

+

...

Soit f

E

A, f(x)

q>, q>1' ... , q>k + q>k2 ?

E

0, V

X

E

U. Existe-t-ll

A, q> $ 0, tels que

Le probleme original de Hilbert a ete pose pour A = R[X1, ... ,X n] et resolu par E. Artin [1], [7], [8], [10]. De nouveaux resultats ont ete obtenus recemment. On a pu demontrer que la reponse au probleme est positive dans les cas des anneaux suivants : l'apneau des germes des fonctions analytiques de n variables reelles [11], l'anneau des fonctions analytiques reelles (globales) sur une variete analytique reelle de dimension 2 [3], et certains anneaux de fonctions de Nash (globales) [6]. Rappelons que les fonctions de Nash sont des solutions analytiques d'equations polynomiales

j

plus

precisement, une fonction analytique f : R d'un ouvert U C Rn dans Rest dite de Nash, s'il existe un polynome p(x, y) de n+l variables reelles, P

$ 0, tel que P(x,f(x))= 0

dans U. G.Efroymson [6] a montre que, pour l'anneau N(U) des fonctions de Nash sur un ouvert semi-algebrique U C Rn de la forme

3

Ie probleme 1 7N(U) a une solution positive. (En particulier on peut prendre U = Rn). Signalons ici que la solution de par Mostowski [9] n'est pas correcte

ce probleme

(voir la remarque 3 ci-dessous). Posons Ie probleme plus pr-ec Ls,

Soit f e N(U), f(x) 0, V x e U, U un ouvert n connexe de R . Quels sont lessous-anneaux A de N(U), tels que f soit une somme de

dans Ie corps de fractions

A (0) de A ?

Dans cette note nous allons

cette question

et nous allons donner quelques

concernant

au probleme 1 7N(u ) ,

une

Un contre-exemple,

viI

f

Soit A

=

R[X] [viI + X2 ] c

N(R).

+ X2 e A est une fonction positive

sur R, mais il n'est pas une somme de En effet, A(o) est obtenu par adjonction

d'une racine quadratique f d'un

dans A(o)'

a

R[ X] (0)

de R[ X]. On sait

alors [12] que l'on peut ordonner Ie corps A(o) de sorte que (-f) soit un

positif suivant cet ordre ; par

f ne peut pas etre une somme de

Definition [2]. On appelle un anneau sous-anneau A

=

dans

tout

A(U) de l'anneau des fonctions de Nash

N(U), contenant R[X1J , .. , Xn]. Pour un anneau s emf-ia Lgebr-Lque A Ie sous-anneau de r:(U)

=

A(U) no tons par A(-1)

par A et les

de

4

la forme

ou f

E

A et f(x) > 0,

Vx

par recurrence, A(k)= (A(k-l))(l) et A(ro) Remarque 1. A = A(ro) s1 et seulement si f implique

v'Tff

E

U. Posons,

E

U A(k);

A(o)= A.

k=o E

1

A, f- (0 )

¢

A.

Theoreme 1. Soient U un ouvert semi-algebrique connexe de

Rn de la forme (*) et f une fonction de Nash sur U, f(x)

0, V

X

E

U. Alors fest une somme de carres dans

Ie corps de fractions de l'anneau semi-algebrique A(3), ou A ==

R[Xl'

Corol1aire.

••• , X ] [f) c n

Solt A

(U etant de la forme

(**) g

E A,

N(U).

A(U) un anneau semi-algebrique

==

(*)), ayant la propriete

g(x) > 0, Y X E U

Alors toute fonction f

E

A, f(x)

=}

vg

0, V

X

EA.

E

U, est une

somme de carres dans Ie corps de fractions A(o) de A.

On retrouve en particulier la solution de Efroymson du probleme 17 N(U)' la condition (**) etant trivialement verifiee pour l'anneau N(U) des fonctions de Nash. Questions ouverts. (1)

Considerer Ie probleme 17N(U)

pour un ouvert semi-algebrique U quelconque ( ou meme pour un ouvert quelconque de Rn). (2) Existe-t-il une fonction de Nash positive qui n'est pas une somme de carres dans N(U) ?

5

§ 2.

Demonstrations.

Supposons desormais que U est un ouvert semi-algebrique connexe de Rn de la forme (*).

On sait, depuis les travaux de E. Artin [1], [8], que Ie 17eme probleme de Hilbert est etroitement lie

s

la theorie

des anneaux ordonnes. Nous aurons besoin du Lemme 1. 6

E

f

E

So it A(U) un anneau semi-algebrique,

R [Xl' ... , Xn] A, f(x) 0, V X

R [X], 6 $ ,E

O. Supposons que

U, f n'etant pas une somme de car-res

dans Ie corps de fractions de l'anneau A(3). Alors il existe un ordre sur l'anneau A*

(A[Y, zJ)(3), compatible

avec la structure d'anneau et tel que les elements (-f) et 6 2Y_l soient positifs dans A*. q> de (A[Y, z l ) (2) C A* telle que q>(x, y, z) > 0, V (x, y, z) E U x R2, etant un carre dans Remarque 2.

Tou te fonc tion

A* , est positive en tant qu'element de A* . Dans ce qui suit, nous entendons par un ordre sur un anneau, un ordre compatible avec la structure d 'anneau. Preuve du Lemme 1.

Supposons que D soit un sous-ensemble

d'un anneau integre B et 1

E

D. Notons par

D 1 'ensemble

des produits d'elements de D. II resulte facilement de la theorie de corps ordonnes (8J, (12J, que la condition

6

(1)

implique l'existence d'une structure d'ordre sur B, pour laquelle tous les elements de D sont positifs. Nous allons appliquer ce critere pour B = A* et D ={1,-f,6 2Y-1}. 2 Considerons la relation L:'Yiai = 0, ou les 'Yi sont de la forme q1 q2 ,1\ E D, a i E A* qi E N et montrons que tous les 'Yi = 13 1 13 2 )

a

i

sont nuls.

Sans perte de generalite, on peut supposer que qi

0 au

q. = 1. On a donc une relation du type l

d i sont dans A* . y + 1 ,z ),oi= . a i ( x,--c;1. (

Posons y

y + 1

etc. La relation (2) devient

appartiennent

a

A*

on peut donc, sans perte de generalite,

supposer que dans (3) ai' b i, c i et d i sont dans A* (quitte eventuellement a multiplier (3) par 6 2N).

)

1

7

c 2i + Y r a i2 $ 2, nable de (y, z) R Si

z

0, on aurait pour un choix conve-

Y>

0, une expression de f comme

somme de carres dans A(3)

f(x)

Necessairement donc implique y r bi + r di

r a 2i

=

0 et

=

0, ce qui

et

0, d'ou r

L: di =

o.

Etant donne la construction de ai' b i, etc, ... , on constate que tous les Ii' b i, ei et d i sont nuls. " A

La demonstration du Theoreme 1 est basee sur Ie principe de Tarski. Principe de Tarski [4J, [5J. et

Soit K un corps ordonne

H(X1 , ... , Xn) une relation polyn6miale dans ... , XnJ. Si Qi designe soit V soit 3, alors une

formule du type

est vraie pour un corps ordonne maximal L

K

si et seulement

si el1e est vraie pour tout corps or donne maximal L

K.

Par relation polyn6miale dans K(X1 , ... , XnJ, on entend une fonction booleenne des relations de la forme

Considerons maintenant un ensemble semi-algebrique M de Rn , i.e. un ensemble de la forme s

M PjjE

• U

i=l

{x E Rnj Pij(x»

R[XJ, "i ' R[X].

0 , qi(x)

8

Pour un corps L

s U i=l

ML

R , notons par

{x

E

Ln

I 'ensemble

Pij (x) > 0, qi (x)

Supposons que Ie graphe d'une fonction f : U--+ R, U eRn, n+ 1. soit semi-algebrique dans R Le principe de Tarski montre que pour un corps ordonne maximal L

11., l'ensemble (graphe f)L

est un graphe d'une fonction f L : U Lj (voir [5]). L Cette notion d'extension f d'une fonction f, dont Ie graphe L est semi-algebrique est particulierement utile pour les fonctions de Nash pUisqu'une fonction analytique f d'un ouvert semi-algebrique U de Rn dans 11. est de Nash s1 et seulement si son graphe est semi-algebrique [5]. Pour un f E N(U), Ie symbole f est donc bien defini. L Notation: 11.[ X, Y,

z l Iu x

=

Lemme 2 [61 Soient A g

E

(

11.[ X, Y,

=

{

CjJ!U

x

CjJ

E

z)

11.[ X, Y,

A(U) un anneau semi-algebrique, 2 (k)

Z J I U x 11.)

c

L un corps ordonne maximal,

N (U x R2 ), k

E

R, h

E

A (U ) ,

11. c L et CjJ(A[Y,

L

un homomorphisme d'anneaux. Alors la fonction

g :

2 U x R

;;>

},

(x, y, z)

g(x, y, h(x) )

E

11.

9

est dans (A[Y, Z])(k) et

ou ql(X)

Preuve . Pour k = 0 Ie lemme est eVident, g etant un polyn6me. II suffit de montrer Ie lemme pour k = 1; Ie passage pour k > 1 se fait par reeurrenee,suivant un raisonnement analogue. Supposons done g de la forme

ou a, b , e e R[ X>. Y, Z],

C(x, y, z»

Evidemment, eL(cp(X), ql(Y), cp(h» d t ou

cp( v'e(X,Y,h») =

cp( v' e(X,Y,h)

2

0, V (x, y, z) e U x R .

= cp(e(X,Y,h» =CP((Ve(X,Y,h)2)

± vCL(cp(X),cp(Y),cp(h)).

En fait,

est positive dans L puisque la fonetion

= ve(X,Y,h ) e (A [ Y,Z]) (1) et

) o,y( x,y,z

e

est done un carre dans (A[Y,Z])(2) et cp( vfe(X,y,h) =

O.

Cela termine la demonstration car on a cp(g) =cp(a(X,Y,h» aL(cp(X),Cp(Y),cp(h» gL(CP(X),cp(Y),cp(h».

+ cp(b(X,y,h»cp(yrc(X,y,h» + bL(cp(X),Cp(Y),cp(h»v'CL(cp(X),cp(Y),cp(h»

10

Demonstration du Theoreme 1.

Suivons l'idee de Mostowski[9].

Raisonnons par l'absurde et supposons que f (d1)

E

( )

soit pas une somme de carres dans (A 3

V

X

E

P

E

R[X, Z] un polynome irreductible, tel que

p(x, f(x))

=

0 dans U. Le discriminant 6

n'est pas identiquement nul. Choisissons A*

=

A(U), f(x)

E

un

0,

Soit

R[X] de P

ordre sur

A[Y, 2](3) pour lequel les elements (-f) et

o2Y_ 1 soient positifs (Lemme 1). Definissons deux sous-ensembles semi-algebriques {(x,y,z) {(x,y,z)

E 1]

E

x R2

U x R2

f(x) = z },

=

p(x,z)

O,o2(x)y_1

0, f(x)1 z}.

(Cette operation a pour but de separer les branches d'ensemble P- 1(0), en particulier de separer le graphe de f c P- 1(0)). Les ensembles C1 et C sont disjoints et fermes dans U x R2• 2 D'apres le Lemme de Separation [6], [9] il existe une fonction g E (R[X,Y,Z] Iu x R2)(2), telle que g(C > 0 et g(C 2) < o. 1) Considerons la formule polynomiale F V ( x,y,z )

E

Ln+2 {x

E

UL' PL(x,z)

L

=

gL(x,y,z) > 0

suivante: 2 0,oL(x)y-1 fLex)

L etant un corps ordonne maximal contenant

0, z}

R

Par construction, cette formule est valable pour L = R. D'apres le principe de Tarski elle restera valable dans la cloture ordonnee maximale L du corps de fractions de A* .

11

: A*

Notons par

L le plongement de A* dans L et

appliquons le Lemme 2 avec k

=

2 et h

f. On aura donc

=

2 puisque g E (A[Y,Z))2 est strictement positive sur U x R et donc un carre dans A* g(x,y,z)

A[Y,Z)(3); rappelons que 2

g(x,y, f(x)) est positive sur U x R

=

car

(x,y, f(x)) E C1, Remarquons alors que l'hypothese de la formule F

(x,y, z)

est valable pour

(q>(X), cp(Y), q>(f)) E Ln + 2.

=

on a d e j

En effet,

Par can s t rue bien sur

P

t

L(

a

ion a n a b 2 ( Cf(X),

e (x) {x Rn

Cf

v e r i f Le que gL (

CpU))

Enfin

(q>(X 1), ... ,

U

Pi(X»

=

L

0, i

( X) ) =

(PiIU)

p.1 (q>(X)) > 0, L d'ou q>(X) E UL ( on utilise ici le fait que U est de la forme (*)). 11 en resulte, par le principe de Tarski, que fL(q>(X))

=

cp(f). L'hypothese que f n'est pas une somme

de c a r re s dans

donne une contradiction : d rune part

l'element q>(f) comme l'image par plongement de f dans L est negatif dans L, d'autre part cet element (co@ne egal a

12

fL(0 et

If ( r)

j

on ait

(6)

V

n. )(

sur

Cf ( ra-)

pour

r

o

> a

telles que

Cf

N

't'la rela-

19

w,

On se donne alors des ouverts

w'.'

J

n. ,

compacts respectivement dans Appliquons trois fois

o

o

.fl.'!

J

la relation

relativement

J

J

du corollaire 2 dans les cartes,

(4)

en supposant que V est non constante su r

.a

la fonction V.

J

M(V.

0

g.

M(V

0

h,

J

.a

J

o

la fonction V

M(V

0

r)

h, W ' o

0

J

0

0

h et au couple d'ouverts 5l , .D..'! ell. J

, r)(\.IM(V.

J

, r)

la fonction V

M(V

•a

0

J

,

h

0

g.

0

J

0

g.

0

h, w"j ,

M(V

0

h et au couple

N

M(V

0

g. J

0 0

0

0

J

h

,

J

Wo

J

J

soit d'apres

r)

,

(6)

r)

'

c;

J

n0

, r)

h et au couple co LV'! e0' J

r) ",M(V

o

g.

, w"j

h

0

J

N

0

une fibre

o h

o

, W'.', J

n: 0 (7)

r)

II vient par transitivite de N : M(V

o h, GU, o

o

r ) .

Prenons pour h un element du groupe d'automorphismes les g.

en raisonnant par recurrence

J

formelle de h,

on obtient

PROPOSITION

10 -

a

Soit hI"

0', h

(7)

des automorphismes de

q

tenant au groupe G engendre par les g ..

constante r (8 )

M(V

U) 0

_e_t__d_e l'ecriture formelle des _ h. J

Designons main tenant par Dr Le polydisque

X OJ,

o

Notons K

r

sup z

et une

r

o

(8)

ne

telles que

w, r .,...)

o

L'inegalite

dans G,

J

dependant en outre de V et des h.

o

appar-

II existe une constante

J

de pend ant que de

engendre par

sur la longueur de l'ecriture

partir de

--

G

Izi

s'ecrit encore

U .

h. (D) J r

M(V 0 ,wo '

V (x , z ) 0

l'enveloppe pseudo-convexe

j

J

r

loppe polynomialement convexe d'apres HORMANDER

po u r

r

r

0

(c'est aussi l'enve-

[I]

,

po

91,

tho

403040)

20 A

et r

1\

r(h1, ... ,h

=

le rayon du plus grand polydisque

q)

inclus

dans K . r

Comme V

o

est plurisousharmonique en z,

on a par definition de K

r

U h. (D ) j J r £) {.. M(V , w , r cr) pour

et a fortiori

0

si Vest non triviale, assez grand,

0

est strictement croissante pour r

et on en deduit aussitot

PROPOSITION 2.

- Si le fibre X possede une fonction p.s.h. non

constante sur au moins une fibre r

0

o

0-;>0

et

telles que

fl (h 1 ' Comme

il existe des constantes

h q)

r cr

po u r

r 9r

(9)

0

l'a souligne H.SKODA dans son article

[5J

il est possible de

donner une construction plus algebrique du fibre X. Dne autre construction du fibre X : On choisit la base B de sorte que le groupe fondamental G de B soit un groupe libre a N generateurs

oper3nt sur le re-

N

vetement universel B de B On fait alors operer G a gauche sur

B

proprement et librement

en posant c(.(x,z) J

N

oil

X

I: B

et

z e Il;n

•

(ll Xa;n)/G est alors un fibre au-dessus de B,a fibre

L'espace quotient

e".

g. (z)) J

(0(. (x), J

et on note p B X a;n

--;.. X la projection.

La donnee d'une fonction p.s.h. V sur X equivaut a la donnee d'une fonc tion p.s.h. ( 10)

'v :; : V(x,z)

v

0

=

p sur

BX

V(d.,.(x), J

lIn

invariante par 1 'action de G :

g.(z)) J

,.J

pourxEBet

21

On retrouve les resultats de la proposition tout element

Co(, h)

en considerant pour

du groupe libre e n g e n d r e par les

(

g.) J

0(.,

J

le

couple D'apres

( 10)

,.;

on a M(V, w ' o

r)

,.J

= M(V

0

h,o«(wo),r),

et d l a p r e s

(4),

N

B etant connexe v

v

r) t\JM(V

0

h,

wo' r)

pour tout h dans le groupe engendre par les g., J

valent de

c'est-a-dire l'equi-

(8).

3. Estimation de

et contre-exemple.

On prend n = Z, N = 1, autrement dit la fibre est

B reunion de deux ouverts no' Definissons g = gl

nl .

par g(zl'zz)

k = (z, -

zZ'

ZI)

g est evidemment un automorphisme de

I1 est clair que g(D

et la base

r) ={Cz1,Zz) -I (D ) ={(ZI ,zZ) g r

G

(:Z

10:

I[Z

et

et \ Z1

I

( 1I)

koElN -I g (zl ,zZ)

et

\

-

-

Z1 \

r}

Z\

r }

Z

Soit Vri, la surface de o:Z definie par l'equation

L'ensemble des valeurs

pour lesquelles Va( possede des singularites

critiques de

est fini

: cela r a s u Lt c d u fait

general

qu'un polynome n'a qu'un nombre fini de valeurs critiques, mais nous le verifierons de Soit

elementaire par des calculs explicites.

la partie compacte de

definie par

• Supposons d'abord que Va( est lisse Le bord OLo/. de

V"" es t \z 1\

ou

hi

I k Zr 1 k zr

l'ensemble des points tels que

Izzi , l r k 1 k \zz \ = zr

22 ('dL"" fait egal

car

et lui est p r e c i s e me n t

evidemment partie de cet ensemble,

les coordonnees

z, ,z2 definissent des applications ouvertes

pourvu que

Cette condition sera a s s u r e e

si k:r2,

c e qu'on suppose d e s o r ma i s

r ?-2, 1 k

Zr ,

definie par

on a donc

on a

Par consequent sur

Va( donne

'"

:

r

Iaexp

• Caleul d'enveloppe pseudo-convexe. II

s'agit donc d'evaluer

. S 01t

: II:

Pi

-------r a:

2

l'enveloppe ;

1,2

les fonctions

coordonnees,

la surfa-

(z I ' z2) 1-----+ zi ce de t

2

definie par l'equation =

0
exp

ceux du §

2 IT 2

log 2/el kj par consequent :2 +

C.

et

contient ,

on a

3 donnent alors

le polydisque de rayon .

kJ

2'

2 exp (

J

2 e2)

2j n

>exp(

) pour

J

assez grand

,

et

les propositions

I

et 2

/el

permettent d'achever la demonstration de

la proposition 3.

Topologie de HI (X,(f).

Soit X l'un des fibres

construits aux paragraphes 2,3,4 et 5,

faisceau des germes de fonctions Par

n

2

j E. r k j /2 + 1/2k

10gt'2/ (:'1

log

6.

petit

assez

J

analytiques

l'isomorphisme de Dolbeault HI(X,@)

CJ'le

sur X.

s'identifie au quotient zl/B

I

ou

37

z' B

= {fOrmeS d i f f e r e n t Le Ll e s

I

de b i d e g r e (0, I)

-fermees sur·x}

%ormes d i f f e r a n t Le L'l e s de b i d e g r e (0,1) -a-exactes sur x}. est muni de

Zl

de

H1(X,m

Soit q :

la topologie de

la convergence

sur tout compact,

la topologie quotient. la projection sur la base, et

X

X

o

un point de B tel

sur X soit constante sur la fibre q

-I

que

toute fonction holomorphe

(x

peut etre choisi arbitrairement dans les exemples des § 3,5 ).

o

u

Soit

un ouvert de B contenant

< mE;¥} avec

B

oi(x,z)

(j;

2

sur

log ('1"Re (x+2irr,

g Cz )

son quotient par x.(IOgf2}

I e grou

39 Soit f

une

forme

fermee

de

bidegre =p

B Xl!:2

Puisque ,.J

B xl!:

2

telle

est de

Stein,

(0,1)

de

classe

sur X.

;)f=O

il existe

que

et

JIt-

une

fonction h

de

classe

Cao sur

..

P f et il est Montrons des

immediat que que

u=h-ho.,(

u peut etre approchee

fonctions du

type

v

-

a

v

est holomorphe

uniformement

au

sur

sur tout

v e s t holomorphe

t xa:

Soit 6 un n o mb r e :> 0 et K un compact de

2

de

la

compact par

B X a:2

sur

forme

Lx D au L est un

N

B et D un bidisque.

rectangle

de

11 existe

un entier

GIN tel

L n(L +

que

o et

2ij IT)

un bidisque

D'

contenant D U gj (D). Avec

les

choix precedents

K

cLxD'

.,(j (K) c. (L + 2ijrr)

+ 2ijn)

LU(L

s e p a r e pas

ne

et il en est de meme D'apres HORMANDER

le plan,

du produit

[1J

x D'

done est polynomialement convexe,

[ L U (L + 2 ij TT

2.7.7., p. 55,

tho

)J X D '

il existe un p o l y nfime

Q

tel que sur KcL)(D' sur

d'ou IQ - Q oo

[ 0,

1

nU.

z E (U.

tel que

J.

et

l

z U. '\. R J p +1

II reste alors

a

z

qui joint

a

y

composer

y'

1

avec un chemin de

, ce qui prouve que

U' \

Q

par arcs et donc connexe. On verifie facilement que

(F 1)

conditions

sous-faisceau de Notons J'

et

(F 2)

, alors

8

*

de

i)

• On en deduit que

et

(U', n, u'

(U', n, u' 'R)

':;

ouvert

(U, n,

V

U

J:l

V

est un

; de plus

un revetement de

a

est un revetement de

verifie la condition , on a

est un sous-faisceau de

vBtement se prolonge

"R)

U

R E :l4(U)

U'

est un faisceau qui verifie la ::ondition

simplement connexe et

U, R)

':J

se prolonge en un revetement de

designe la boule epointee de

duit que

satisfait aux

:If Le prefaisceau des fermes tels que si

II est evident que

(F 2)

i)

Rest connexe

Q

est un ouvert de U

U' 'R

de

U

R

(F 1)

* =°

H1 (8 )

puisque si • On en de-

• Considerons main tenant un un ferme denombrable de

U, R

U

soit

• D'apres ce qui precede ce re-

U etant simplement connexe, il est tri-

51

(U,

vial ainsi que

II, U "R)

ce qui prouve que

U , Rest simplement

cormexe ,

iii) que si

R E C}(U)

f E 0(U"

et

R)

surface de

U'

de plus

H

est un ouvert contenu dans

U'" R)

est une hypersurface de

(resp. l'adherence

H

de

H

dans

U'

U

alors

f

est une hyper-

sont evidemment des faisceaux qui verifient l'axiome

y

verifie

(F 1)

tes de Riemann et

(F 2)

d'apres Ie theoreme de singularite inexistan-

verifie

(F 1)

d'apres un theoreme de REMMERT­STEIN

p 123

[ Z7 ]

1.3.

U'

(respo

a u'

et

Ie prefaisceau des fermes tels

(resp.

se prolonge

C}

y

on definit

VARIETES DE HOPF ET TORES

PROPOSITION

1.4.

Soient

X ,X

1

et

X 2

des espaces analyti­

ques i)

X 1

et

si

Y

X 2

sont ronds si et seulement si

X x X 1 2

est rondo ii) rond, alors iii) tible de

X X

DEMONSTRATION

Y

et

est un sous­espace analytique de X" Y

= 1,2)

,et

X

est

sont ronds.

est rond si et seulement si toute composante irreduc­

est ronde.

i)

la condition necessaire est evidente ; la

condition suffisante est un cas particulier de (i

X

,comme un sous­espace de

X x X 1 2

ii)

en considerant

X.

1

52 ii)

Soit

f

une application de

these, il existe un ferme denombrable en

f

r\ R

de

de

T

dans

Y

tel que

• Par hypo-

f

se prolonge Cepen-

X

dant

f

T \ R

etant connexe d' apres le Lemme 1 ,

que

(Y)

dans

R

T

T\ R

est un sous-ensemble analytique de ........1

f

T ,.

qui contient

(Y) = T \ R

, ce qui prouve

Y est rondo Si, maintenant

f

est

a

sous-ensemble analytique de iii)

le Lemme

valeurs dans

T '\ R

f'-1 (Y)

X '\ Y

qui ne rencontre pas

est un D'apres

T

et puisque le complementaire d'une hypersurface dans

f'-1(y)

un ouvert de Stein est de Stein,

santes irreductibles de codimension les). En posant alors

2

R'

RU

f

T \ R'

ne peut contenir que des compo(ee sont done

des points iso-

;;;,-1 (y)

---->

X \

Y

est le prolongement cherche.

iii)

resulte de

ii)

et du fait que si

cp: A -->

une application analytique entre deux espaces analytiques cp(A)

est contenu dans une composante irreductible de

A et

B si

Best B

A est irre-

ductible. PROPOSITION

ramifie), dont la base analytiques. Alors: DEMO\JSTRATION

Y

un

,et l'espace total

La condition est necessaire

g: T -->

analytique (non X sont des espaces

X est rond si et seulement si

une application analytique. relevement

(X, TI, Y)

Soit

1.5.

X de

T f

: soit

Y est rondo f: T -->

Y

etant simplement connexe, il existe un , qui se prolonge au complementaire

53 d'un ferme denombrable

R

T

9

Mais

II

0

en

T

> X

R

coincide avec

9

cher-che de

de

f

sur

II

T

g

0

est donc le prolongement

f La condition est suffisante

si

f : T --> X est une appli

cation analytique, il existe par hypothese un ferm8 d8nombrable T

tel que

9 = II

f

0

se prolonge a T '

ment. D'apres le Lemme 1.3. permet de relever

DEFINITION

avec

1 .6.

Notons

nombres complexes

Q'.

f

T, Rest simplement connexe, ce qui

sur

T

W = en - [ O}

(n

2)

l

l'automorphisme de

= [

----->

W

-----:>

(

gmlm E

l}

m W

Q'1

1"'"

, et pour des

O

[ Cjl-1(R), f

defini par '!'

[ R, f ]

0

i)

DEMONSTRATION

Cjl ]

0

defini par

: [ R, f

'J' - morph i srne , Alors

un

X

est un

[ R, '!'

0

f ]

]

0

Cjl

- morphisme et

':1'V

est un

morphisme.

resulte immediatement du fait que

faisceau, ii)

2.2.

de la definition de

DOMAINE D'EXISTENCE D'UN Soient

variete

(II, V)

m de

etales et

et

est evident.

deux domaines etales au-dessus d' une

Cjl : V --> V'

2

[R, f ] : V ->

iii)

- MORPHISME

(II', V')

dimension

et

X

[ R',

un morphisme de domaines V' ->

f' ]

X des

- morphismBs.

DEFINITION

On dit que

2.3.

prolongement de

[R, f]

(II', V', Cjl', [R', f'])

si [ R, f ]

[R',f']oCjl' On appelle prolongement maximal de

( TI, V,

[ R,

r

[R, f]

,qu'on note

n

La donnee d'un domaine etale au-dessus de phisme d'espaces etales

[ R, f ] : V ->

est un

Cjl: V ->

m,

V et d'un

(II,

, d'un mor-

- morphisme

X tel que

[ R,

f ]

0

[ R, f ]

et qui verifient la propriete universelle suivante : si

(II', V', Cjl', [ R', f'])

(II, V, [ R,

f

I)

est un prolongement de

alors il existe un unique morphisme d'espaces

58 V' ->

cp'

etales

(IT, V)

On appellera

PROPOSITION

m denombrable J

[ R, f

a

i)

(IT, V)

un

f'

]

J •

[R , f

un domaine etale sur une variete

2

l'infini de dimension

V --> X

[ R',

cp'

le domaine d ' s xi s t s nc6 de

Soit

2.4.

f Ja

[R ,

V tel que

et

']: - morphisme. Alors

(IT, V, CP, d'existence (TI, V)

il existe un prolongement maximal

de

(IT, V, [ R, f ]) , et le domaine

que

a

[

R, f

J)

est uni-

isomorphisme unique pres. ii)

Si

U

est un ouvert de

est un prolongement de

[R

n U,

V

(IT', U', cp', [ R', f' I)

et

alors il existe un mor-

flu ]

phisme d'espaces etales

cpl tel que si

:iu

est 1 I inclusion de

[ R, f

J

U

V

dans

V

on ai t

On rep rend avec de legeres modifications la demons-

DEMOI\ISTRATION [ 26

tration de

U' --->

J

p. 29-32. On note

au point

x

.

[ R, f J x

le germe du

c.r_

morphisme

fagon un faisceau et son

En notant de la

espace etale associe, on a des homeomorphismes locaux : F

qui font de

et

X

V

-->

V

et

des varietes analytiques.

et

Pm

sont

de finis par p(x, [ S, g Soit

[R, f

J

V -> X un

J)

- morphisme,

x x E V et

U un voisi-

59 nage ouvert de

x

sur lequel

TI

est un isomorphisme.

c;. - morphisme

Le

'111

definit un germe

et on definit

v ---->

cp

x

----.>

par

cp

est un morphisme d'espaces etales car TI

V la composante connexe de

Notons

Pm

tion de

a

dans

R

la partie de

V

(z, [ S, g J ) E R si et z

h : U\ T

tout ferme denombrable

-> X

qui verifient

definie de la fagon suivan-

T

dans

[ S, 9

U

de

V

Jz

aussi ; on en deduit que

U conte-

et toute application analytique , on a

Rest loca1ement un ferme denombrab1e ; de plus l'infini, donc

la restric-

si, pour tout ouvert

z

nant

TI

V

Notons, en outre, par te

, et

R

'111

z E T

est denombrab1e

est un ferme denombrable

If Dans

posons si

V

,on peut maintenant definir 1e prolongement de

z E

V\ R ....,

f(z, [ S, 9 J7

)

g(z)

[R, f

J

a

60 oG

(S, g)

est Ie

de

[S, g]

qui est

au point

z

(IT, V,

[ R, f]) IT

En effet

= IT

a

(IT, V, [ R, f ]) :

est un prolongement de

x E V\ (cp-1 (R) U R)

,et pour tout

, on

a

f(II(x), [ II(R f

a

n U),

f

a

(IIlu)-1 ]II(x))

(II\U)-1 (II(x))

f(x) c'est

a

dire [ R,

f ]

(II, V, p, [ R, f]) En effet, soit de

(II, V, [ R, f

(II' , V'

(rr' ,

,

est Ie

maximal

(II', V', cp', [ R ', f'])

un prolongement quelconque

])

• On peut appliquer Ie raisonnement

])

pour prolonger

(II', V', [ R', f'])

a en

V' ,cp' , [ AI , f' I)

Si

oG

[ R ', fl

[ R, f ]

a

U'

x E V, R

cp'(x) E V'

est un ouvert contenant

est

cp'(x)

par

cp'

sur

suffisamment petit pour que

soit un isomorphisme. Comme, en choisissant convenablement les mes

on en

que

des

II'\U 1

61

Cela signifie que

V

V et

V'

ont un point commun dans

,

V', et que

l'unicite du morphisme

resulte du fait qu'on a des homeomorphismes

locaux. ii)

Par le m§me argument que dans le point precedent le domaine

d'existence de

n U,

[R

flu Jest egalement

donc de la propriete universelle de

2.3.

UN LEMME SUR LES ESPACES RONDS

LEMME

2.5.

(TI,

V,

[

V) ; l'assertion R n U, flu J)

resulte

X un espace analytique complexe. On a equivalence

Soit

des pr-opr-Le te s suivantes i) ii) iii)

m

X

est rond

Tout

- morphisme

(TI, V)

Si

[R, f J : T --> X se prolonge

a

T

est un domaine etale sur un variete de Stein

le domaine de tout

- morphisme

[R, f J : V --> X est une

variete de Stein.

DEMONSTRATION a ) ::} ii)

Dans

[(z, w)llz\ < p,lwj < 1 }

T

U[(z,w)llzl X existe d'apres la

[R, f ]

(n, vj

V une

et la Proposition

cp

nR=¢

au complementaire dans

Ie domaine de

T ---> 0

0

etant arbitrairement proche de

cp: T --->

d'apres

e, e)

M(z ,

il existe

tel que Ie voisinage d'ordre

2.4., no tons Ie

Soi t

pour

i)

e

; de plus,

< 1

; ce voisinage con tenant une marmite, notee

R

se prolonge d'apres ble

e

Rest denombrable, pour tout

T - application (voir Oefinition A. 4 . 2.4.

V qui prolonge

u) , cp

i l existe un morphisme de

Vu la definition des

T

-

app l i-

est une application biholomorphe ; i l en est donc de ml3me

ce qui permet de deduire que

clut par Le Lemme A. 5.

(n,

V)

est

T

-

convexe. On con-

et Ie theoreme de DOCQUIER-GRAUERT [ 2 ]

p. 113

i)

iii)

§ 3.

est claire.

CONSTRUCTION D'ESPACE5 ROND5

MORPHISMES ROND5 ET REVETEMENTS

RflMIFIES 3.1.

QUELQUES LEMMES PREPARATOIRE5 Soi t

lytique

(n, V) un domaine etale sur un ouvert U d' une variete ana-

m de

dimension

2

et so it

R

un ferme denombrable de

En ce qui concerne les points frontiere, on utilise les notations du § A. 1.

U

63 DEFINITION R

3.1.

On dira que

si pour tout domaine etale

TI'(V' \. V)

ii)

on a

(TI', V')

points-frontiere

TI(U(r)) et

r

de

V'

TI'"

tion de

TI'

V'

[v

= TI ;

U

V avec tous les \I

TI(r) E R pour

U tels que v

U(r)

de

U(r)

soit homeomorphe

r

dans

tel que

V

soit un ferme denombrable. En notant

a

a

v

TI(U(r))

la restric-

,on a

i)

(TI' , V' )

est un domaine etale sur

ii)

(TI' , V' )

est complet relativement

Pour tout ouvert

iii)

et

R

la reunion de

V au-dessus de

soit ouvert dans

U(r) -, V

V'

U verifiant

V = V'

lesquels il existe un voisinage v

au-dessus de

est contenu dans

Designons par

3.2.

a

est complet relativement

V est une sous-variete ouverte de

i)

LEMME

(TI, V)

complet relativement

a

R

U' cu

(TIl

n u:

U

a

R

1

Il (U')

'

rr1 (UI ) )

est

DEMONSTRATION i)

est evident

ii)

Puisque un ferme denombrable ne disconnecte pas un ou-

vert connexe d' apr-as Le Lemme 1.3., si de

U

,ans d 1 eque 1

tout point

r

de

V'

es t un ouver t ,

(TI", V") TI '\'VI

TI'

V", Vest un point f'r-ont.Ler-e de

existe un voisinage

U sur lequel

TI"

et

V')

r E V'

C

R ,

V pour lequel il

est horneornor-phe et tel que

soit un ferme denombrable. On en dadud t que iii)

=

est un domaine au-dessus

et donc

V"

=

U" V V' •

resulte du fait qu'un point frontiere de la restriction

64 du domaine, qui verifie les conditions du lemme, est un point-frontiere du domaine. LEMME ble

de

R

(II, V)

Si

3.3.

et si

U

1 V, rr- (R)

U' R ,alors

dessus de

est complet relativement au ferme denornbr-e. est localement pseudoconvexe au-

Vest localement pseudoconvexe au-dessus

U

de

DEMONSTRATION pr-ede ce aeeur-

On note W'

R

W

pour un ordinal

W'

O

R = R

,pour un ordinal

sans predecesseur

n

W'

R


V

T - applications, on en deduit que 1.- (8(;))

ii)

2.4.

est un Guvert de Stein, est

cp

V T

dont la restriction

0

Y 0

¢

->

Z

est une application

si

69 DEMONSTRATION z

tel que

Si ,¥-1(U)

z EZ

, i l existe

¢

so it rondo Comme

voisinage ouvert 1

I¢"""

3.5. , ('1'

est ronde, d'apres le Theoreme

1

('1'- (U)) ¢)-1(U)

0

U de ,¥-1(U)

: est rondo

THEOREME 3.8.

Toute variete analytique homogene compacte est ronde.

DEMONSTRATION

DI apr-as

[15 ]

p , 435,

Vest un fibre localement

trivial au-dessus d'une variete projective (et rationnelle) bre connexe parallelisable et

P

P

8

est ronde d'apres

est ronde d'apres le Corollaire

Corollaire

3.6.

COROLLAIRE

3.9.

1.10

8

[19 ]

,de fip. 314

• On conclut alors par le

(¢, G)

Tous les espaces etales

localement pseudo

convexes au-dessus des varietes algebriques compactes, ou des varietes homogenes compactes sont ronds. DEMONSTRATION • le

cas

3.3.

j

On utilise les Theoremes

[19 ] p. 314 3.5.

et

et le Theoreme

3.8.

3.5.

dans

dans le second.

REVETEMENTS RAMIFIES •

DEFINITION

Soient

3.10.

duits de

dimension pure, et

t.i que , On dira que

si

IT

DEFINITION

X et

(X, IT, Y)

IT

Y deux espaces analytiques reX --> Y une application analy-

est un revetement r-ami.f'Le fini de

est une application analytique propre 3.11.

Soit

(X, IT, Y)

a

Y

fibres finies.

un revetement ramifie fini.

On appelle ensemble critique du revetement, le sous-ensemble analytique

A minimal de

Y

(qui existe d'apres

[20 ] C)

dont toute

70 composante irreductible est de codimension

rr1 (A),

(X \ LEMME

Y \ A)

7!l. et

Stein Si

(G, A ,

(125, G)

de

(125

(Go' cp, G)

8)

et

000

cp, G)

a

i)

8)

G

sont 1es enveloppes d'holomorphie

(125, G) au-dessus de 7!l. , alors

cp

s i,

un domaine etale sur une variete de

un revetement non ramifie fini de

(G, A,

et

o

,et tel que

soi t un revetement non ramifie •

Soit

3.12.

;::: 1

G

o

---->

G

est l'application analytique canonique deduite de

cp

qui rend le difr

gramme suivant : A

o

G

o

----'-'----->

G

commutatif,

8)

(G , cp, o

ii)

ment

ou

a

p

(80 ,

cp, G)

,

est un revete-

(G , cp, G) 0

est un revetement

y EG

a

q

feuillets,

q::; p

i) ii)

on a evidemment

boule

A est injective, alors pour tout En particulier si

feuillets,

OEM (J\JSTRATION

A (G ) o 0

est un revetement non ramifie fini.

Si de plus

= Ao(cp-1(y))

G

dans B(y)

centree en

que 1e revetement

on montre tout d'abord que

A (G ) C o 0

;-1 (A(G))

H. KERNER

est un resu1tat de

et prenons • Comme y

,

contenue dans

A (G ) o

A(G)

,

(x) n

= ;-1 (A(G))

on peut choisir une

, assez petite pour

soit trivial.

l'un des feuil1ets de ce revetement et notons

0

Satz 1.

dans l'adherence de

x

E A(G)

'; =

[22 ]

x

se trouve dans

une suite contenue

71

dans ce feuillet qui converge vers

Yn

=

x

et telle que

est une suite de

Soit

tel que

= A(Y)

;

pour laquelle

et notons

B(Y))

'" A(B(y)) C B(y) et

A(G)

x

E A (G ) • Si

n

0

0

qui converge vers B(Y)

Y

une boule centree en

BlY) ,

est un revetement trivial de

A est un homeomorphisme sur

B(y)

Y

En supprimant

au besoin les premiers termes des suites precedentes, on peut supposer qu'il existe Comma

x

n

il existe

E A (G ) o 0 x

tel que

Yn E B(y)

= A(y )

n

est dans la fibre de -1

dans la fibre

n

Yn

. (Yn J

Yn

tel que

et

Yn

et que x

n

vonverge vers

Y

A est injective, A (x ) o n

En prenant au besoin des suites extraites, on peut supposer que tous les

x

se trouvent dans le m@me feuillet du

n

trivial

• Par consequent, cette suite si

x

n

est convergente

est la limite, on a

Ao (x) ce qui prouve que A (G) o

(x)

est egal

0

o

A (G) o

a

lim x

lim A [x )

0

n

n

x

est ferme dans

etant aussi ouvert,

une composante connexe de

remarquant que puisque l'enveloppe d'holomorphie de

• On conclut en (A(G))

est

G ,

est necessairement connexe. Montrons main tenant l'assertion identifie pour simplifier

'" "'-1 x E (y)

q:S;p

a

A(G)

x

• Comme

A est injective, on

• On a

il ast clair que

En effet

tel que

G

ii)

C

;-1(y)

• Reciproquement, si

, il existe d'apres l'egalite precedemment demontree

= A (x) . o

en decoule.

On verifie alors que

x E

x EG

• L'inegalite

o

72

REMIlmUE

H l'hypersurface de

le revgtement de

a

qui ne se prolonge pas

a

T

H)

: Notons

construite dans

On veri fie facilement que le groupe de Poin-

T '\ H n'a q'un generateur, qu'on note

care de

1(T,

T

III.

l'Annexe

IT

q < p

On peut avoir dans le lemme precedent

• Soit

(G , qJ, T'\H) o

T '\ H dont le groupe de Poincare est le sous groupe de

engendree par

deux feuillets de

(Go' qJ, T

T '\ H

, alors que

'H)

est alors un rev8tement

T)

(Go';'

est le rev8tement

trivial. LEMME

Soi t

(Stein)

3.13.

une variete analytique,

Y

(x , IT , Y

ensemble analytique de codimension

, et

rev8tement non ramifie fini de

Alors si

IT designe le prolongement continu de

sur

o

X

une application analytique. On suppose qu'il existe un ouvert posante irreductible de

U de

Y

qui rencontre chaque com-

H et un ferme denombrable

S

de

U

tel que

73

9

se prolonge

aU"

S

• Alors

il existe un ferme denombrable

a

T

de

Y tel que

9

se prolonge

Y \ T

DEMO\ISTRATIDN

1/

Y est un espace de Stein normal

On suppose que

Comme dans ce cas

Z'

de

Y" Z

0' autre part, puisque

Y

tel que

E 0(Y)

f

pour tout

L

qui s'annule sur

,la restriction du

se prolonge en un

1/ f

se prolonge a

L

Z

est un

Y \

(z

U Z')

Zest egal

a

•

l'inter-

Y ,ensemble des zeros d'une

de

Z

11 suffit alors de montrer que

- morphisme

- morphisme sur

On remarque alors que si f

9

est un espace de Stein,

section de toutes les hypersurfaces fonction

2

est de codimension

Y et il suffit de montrer qu'il existe un ferme

ferme denombrable de denombr-ab.Le

Z

[R, 9 ]

a

Y\ H U L

Y \ L

Lest l'ensemble des zeros de la fonction

est une fonction analytique sur

Y\ L

: on en deduit que

Y \ L est un ouvert holomorphiquement convexe, donc est un espace de Stein ; comme de plus de dimension se prolonge

2

Y \ Lest lisse,

• Par hypothese

a l'ouvert

X

[ R, 9

U

Y \ Lest une variete de Stein

est rond et puisque

J\y \

[R,

H U L se prolonge

J!y \

9

a

tout

d'apres le Lemme 2.5.

2/

Y est un espace de Stein guelcongue : Notons

Comme

Y\ H et

(y,

n,

Y)

la normalisation de

Y et

H

= n-

1

(H)

H \ H sont isomorphes, cela permet de definir le

;;: - morphisme [ R, 9 ]

Y\H--->X

H L

Y\

74

[ R, g ]

a

se prolonge

sante

de

te irreductible pothese

de

0

un ouvert

en effet, si

H H

ment voulu de

a'

9

U

rencontre chague compo-

rencontre chaque composan-

il en est de mgme pour

se prolonge a l'ouvert

9

Y gui

de

-

s

U \

9

U\ S n

0

T alors

9

0

de

n

Y tel

que

a

Y\ T . Considerons

: c'est une application

puisque

qui est definie sur

,qui est denombrable, est Enfin, le lieu singulier de

puisque 9

0

n

-1

H

et

9

0

n

-1

que de codimension II reste alors THEOREME

a

coincide avec

3.15.

9

9

0

n

-1

T

est

a

se prolonge analytiquement

Ie lieu singulier ne peut 8tre

, c'est-a-dire un ensemble de points

"2:2

poser

9

est

ne peut contenir aucune com-

contenu dans l'hypersurface S

-1

nest propre.

en effet, le lieu singulier de comme

n

Y \ n(i) , oD

posante de codimension

U \

H.

iJ existe un ferme

se prolonge

9

une application meromorphe, et n(f)

donne le pro longe-

qui rencontre chaque composante de

D'apres la premiere partie de la

-1

• Comme par hy-

T

o

= To U n(r)

Soit

espace analytique reduit

(X, TI, Y) Y

• Alors

un revetement ramifie fini d'un X est rond si et seulement si

Y est rondo DEMONSTRATION

On note

A l' ensemble critique du rev8tement

(x, TI, Y)

AI

La condition est necessaire

11

Soit

f : T -> Y une application analytique qu'il s'agit

de prolonger dans le complementaire d'un

dans

T

• On

75 peut supposer que

n'est pas contenu dans

f(r)

contenu dans l'une des composantes, disons de considerer 1e revgtement ramifie fini,

----;:----:>

T

o

de

, alors

(comme

dimension

o

,

et i l suffit

0

0

f

Y

(G , cp, T \ H'J 0

T

, et si

1 H = f- (A)

et

est un revgtement non ramifie

A peut a priori contenir des Gcmposantes de cO-

H n'est pas necessairement de codimension pure

2

D'apres 1e Lemme

G

A

est

(I j 1 (A ), II, A )

est un revgtement ramifie fini de

= G \ cp-1(H'J T \ H

de

f(T)

g

G

G

,

car sinon

G 1e produit fibre defini par le diagramme cartesien

Notons

(G, cp, T)

A 0

A

1/

3.12. i) , i1 existe une application ana1ytique

----> T \ H te11e que 1e diagramme suivant : G o

cp

1

T\H

r-.../

--->T\H"""T\H

soit commutatif, et de

(8o ,

"-J

cp, T \ H) soit un revetement non r-arni.f'Le fini

T \ H D'autre part, puisque 1es ensembles analytiques de codimension

2

sont des singulari tes inexistantes pour Les fonctions analytiques et d' a p rB f""'-/

l e theoreme 3',p.231l de (4] T \ H

est isomorphe

50it une hypersurface de

rJJ

2/

D'apres 1e Lemme

T

soit

3.13,

a T\ H ,

OU

on peut pro1onger 1e revetement

H est

S

76

T\ H} quel

o

de

0

dans le-

T

; de plus, d'apres les Lemmes 3.13

G' \

G

T)

en un revetement ramifie,

et A. 2.

l'application analytique A

G

--->

G

0 0 0

se prolonge continOment (mais pas necessairement analytiquement puisque G peut ne pas etre un espace normal) en

A'

G

>

G'

>

G'

0

ce qui donne Ie diagramme commutatif ')..

G

..-""'''-------.>

T

et on verifie que Soit

V

A'

0

1 T

est une application ouverte:

un ouvert de

G

. II s'agit de voir que

A'(G)

voisinage de chacun de ses points. C'est clair pour un point si

Z

EV

\

-1 ( H)

,puisqu'en dehors de

me de domaines etales. Soit alors et ou Go

de

nue dans

a

r'

respectivement, au-dessus de W de

choisir un voisinage U

et

r

cp-1(W \ H) V

la base de filtre

r'

U'

1 (H)

A'

= A(r) E A'(V)

z·

T

Puisque

a

avec

G

o

et

est propre, on peut tel que la composante

la base de filtre

la composante de

A(Z)

est un morphis

sont des points frontieres de

h = cp(r) = cp' (r')

qui appartient

. On note

r'

rn-

est un

(W \ H)

,ce qui donne Ie diagramme

r

soit contequi appartient

77

A a

U

W\ H

G'

Vu la topologie de sur

U'

, soit encore, puisque

(z'n )

Pre nons alors une suite

z'n

= Aa [z n )

z

U'

est connexe, que

qui converge dans

E U • Comme

n

z

1

n

E q>- (q>(z')) n

(z )

en prenant au besoin une suite extraite de (z)

converge dans

n

U vers

z

U'

vers

et

q>lu

,

est ferme.

a

z'

,

au

est propre,

on peut supposer que

z'

Posons main tenant

cp,-1 (H)

H' a

alors

n

A (U)

et on a alors

A [z ] a

3/

est surjective

il suffit de montrer que

a

11 existe un ferme denombrable

R a

de

G a

et une application

continue

(8'a \ H'a U R) a

g

analytigue sur

G' \

En effet

: comme

au Lemme

2.5.

Ga

H'a

G'a \

a

H'a

U

R0

U A' (G)

---->

X

et verifiant

X est rond,

giG

G ---> o

o

X se prolonge, grace

au complementaire d'un ferme denombrable en une application analytique g

G'a \ Ra

U H'

0

-----:> X

R a

dans

78 et on peut supposer que De plus de

U H')

:

0

9 (z 0

9

0

A'

= 9

Ao

0

0

V

. Fixons

= 9

de

o

z

z

alors un voisinage

z

de

V

dans

A' (V)

tel que

o

4/

est continue sur

9

Cependant

o

U

V

AI [z ]

(8' -0'

G'

G") 0

n,

on

g(z)

Il

9 (V) c W

pour voir que

o

W

C

z

W de

o

, analytique sur

• Notons alors

• On remarque que

o

Ro U H'0

tEl que

G

U n'etant pas necessairement normal,

analytique sur G'

est continue au point

9

G'0 \

puisque sur

g(V) ce qui signifie que

z

g(z)

)

suffi t de choisir un voisinage et un voisinage

T

posons pour cela

est in dependant du choix de

;(z ) a

) c 'f \

se prolonge continOment en tout point

9

n (Ro

A'(G)

o

9

U \ (H'o U

R0 ).

peut ne pas etre

la normalisation de

est un espace de Stein, en tant que revete-

o

ment ramifie de l'ouvert de Stein

T,

et

est un espace de Stein

normal en tant que normalise d'un espace de Stein. En vue d'utiliser le Lemme

3.14. , remarquons en outre que puisque

en dehors de

H'

R

o

-0

De plus, comme

n

o -1

et done )

n-

1 (U)

1

(R) 0

est un ferme denombrable de

reneontre ehaque eomposante irreduetible de

reneontre ehaque eomposante irreduetible de

• On en dedo i t , d'apres le Lemme

denombrable

R

-0

de

est un isomorphisme

G reneontre ehaque eomposante irreduetible de

U = A'(G) H'

= n-

n

G'

-0

tel que

9

0

n

3.14.

qu'il existe un ferme

5e prolonge

a

tout

79

G' \

-0

R

-0

,en

9

R -------->

G' \

-0

-0

X ce qui donne Ie diagramme

commutatif suivant

G

A'

r G'

n

<

f

y

on peut noter que si

R qui est

est

puisque

RC

plication propre, et qu'on peut supposer que de

T \ H

5/

admet Ie prolongement

f

se prolonge

a

3.12. ii)

0

\

nest une ap-

T puisqu'au-dessus

n

T \ R

En effet : commengons par Lemme

g

0

yET \ H

d'apres Ie

80 on en deduit

no

II

0

9

la fibre

J n-1 ( cp' -1 ( y .)

r\H

sus de

yET \

morphisme. Vu la

cp'

R

II

pour lesquels

contient

0

.Er

T \ H et donc

est constante sur

T \ H puisqu'au des-

definit un revetement non ramifie et

continuite de

toute fibre en dehors de

R

; a fortiori

• Cela signifie que l'en-

9 est constante sur la fibre

semble des points

1

cp'- (y)

est constante sur la fibre

II

.Er

0

II

0

9

n

un iso-

est constante pour

• Cela permet de definir une application

continue ---->

f

qui est analytique sur

T

R

J

T

(H U RJ

Y

est donc analytique sur tout

qui verifie f

B/

La condition est suffisante II suffit de remarquer que

11: X ->

Y est une application

ronde, puisqu'au-dessus de tout voisinage de Stein espace de Stein.

§ 4

Y on a un

Y etant rond, on applique alors Ie Theoreme

3.5.

SURFACES COMPACTES Dans ce

§

on appellera surface, une variete analytique con-

nexe complexe de dimension 4.1.

V dans

2

REDUCTION DU CAS DES ESPACES ANALYTIQUES DE DIMENSION DES SURFACES.

2

AU CAS

81

PROPOSITION

4.1.

Soit

2

sion pure egale a

* (X,

et

n* ,X)

X

un espace analytique reduit de dimen-

; no tons

(x, IT, x)

X

la normalisation de

X • On a equivalence

une desingularisation de

des proprietes suivantes i)

X

est rond

ii)

X est rond

iii)

X* est rond

DEMONSTRATION

Comme les arguments utilises sont les mgmes dans

Ie cas du normalise que dans Ie cas d'une desingularisation, (X' , IT'

,

(X* , IT* , X) a/

si

On note X

Soit IT,-1(S(X))

Ie lieu singulier de

S(X)

est rond, f' : T - - >

X

,

2:

R

dans

IT,-1 (S(X)) R de

X'

qui prolonge

• Puisque

tel que

9

X

= IT'

0

fl

\

X

R)

n'etant pas conte-

est une application meromorphe a valeurs gaT \

R ;

cette application etant analyti-

que en dehors d'un ensemble de points isoles de sultat.

T

----->

etant une application meromorphe et S(X)

est rond et on peut

en 9

nu dans

X

IT,-1(S(X))

1

f' (T) n'est pas contenu dans

T \

que

une application anal yt Lque , Comme

est rond, il existe un ferme denombrable se prolonge a

IT, X)

est rond

X'

est de codimension

supposer que

IT,-1

(X,

designe dans ce qui suit aussi bien

X)

T \

, on a Ie re-

82 b/

si

X'

est rond,

X est rond

Il suffit d'utiliser les memes arguments que precedemment.

4.2.

SURFACES ELLIPTIQUES •

DEFINITION

S

On appelle surface elliptique une surface compacte

4.2.

munie d'une application holomorphe surjective

----->

S

de

S

t:,

sur une courbe algebrique compacte non singuliere

pour tout point

u

E

t:,

,

t:,

telle que

soit une cour-

sauf un nombre fini

be elliptique, c' est-a-dire un tore de dimension LEMME

Soit

4.3.

II: V ---> rune submersion d I une surface sur une

courbe lisse, telle que pour tout elliptique. Alors

sur

e

le faisceau localement libre de rang

V des champs de vecteurs tangents aux fibres de

. . de trlctlon

""H a' ""

,.,....1 (z)

[2B ]

p , 40,

tre en

z

o

o

ez

la res-

que le faisceau image directe II* e

est un faisceau localement libre de rang z

, et

z E r

on en dedui t d' apr-as

Soit alors

II

• Comme une courbe elliptique est parallelisable

II

ble, on a pour tout

soit une courbe

Vest une variete ronde.

Notons

DEMONSTRATION

rr-1 (z )

z Er

E r

sur lequel

sur

r

quelconque : il existe un disque ouvert

D

0

cen-

, ce qui prouve

83 l'existence d'un charm de vecteurs

e E n* 8(0

8 (I j 1 (0 ))

)

o

ne

qu i

If"1 (0 )

s'annule en aucun point de

o

oo

O'autre part, en restreignant au besoin n

0

a

admet une section analytique

au-dessus de

, on peut sup poser que 0

; considerons alors

o

l'application analytique

Pour

z

duit que 0

0

fixe, (0

0

cp

signifie que

>

(z, w)

------------:>

If"1 (0 ) o

exp(we)(a(z)) 1 n- (z), on en de-

rr- 1 (0

111 (0 0 )

0

))

rr 1 (0 0 )

est un revetement de

aussi d'apres la Proposition

1.5.

nest une application ronde. On en deduit que

d'apres Ie Theoreme THECFlEME

-

definit Ie revEltement universel de

xC, cp,

x C est rond,

oo x C

Comme ; cela

Vest

ronde

3.5. Toute surface elliptique est ronde.

4.4.

DEMONSTRATION

1/

Soit

(V, '1', t»

a

••• , an E t,

une surface elliptique. II existe un nombre fini m

de points

1,

u E t, -

V \

{ a. l

}

C

u

'j!-1 (u)

=

T

ap

telle que

'1'

soit

l

au voisinage d' un point T

et on considere Ie diviseur o 'J!

'1'-1 (a. 'J)

sont alors des courbes ellipti-

a

(a p

p

oJ

tion analytique dans un voisinage de la fibre

ap

1

, puisque toutes diffeomorphss.

Prenons une carte locale

T

u

( i

une submersion. Les fibres ques pour

tels que sur

C ap

=

0

'j!

T

-1

(a

associe

°

p

a

J

a

o 'J! est une foncP qui s'annule sur

la fonction

on appelle ce diviseur la fibre singuliere au-deSSI.IS de

a

p

84

on a

c

C

a

ou

n

m p

le

est un

Ps

ple si

p

8

entier positif et

p.g.c.d.

des entiers

n

m p

multiple si

m > p

J

[24

Dans

Thm.

6.3.

montre qu'on peut construire

(g,

IT, V)

de

V

tel que

Ps 8p

une courbe irreductible. Soit

s

est une fibre sim-

On dit que

Ps

KODAIRA

(dont on reprend les notations)

partir de

V un rev§tement ramifie fini

V soit une surface elliptique sans fibre sin-

guliere multiple. 0 I apr-as le Theor-erne

3.15.

on est donc r-amcne au cas

ou les fibres singulieres sont simples.

2/

Si

(V, '1', 6)

multiple, alors

est une surface elliptigue sans fibre singuliere

Vest ronde

Une courbe etant ronde, on va montrer, en vue d'utiliser le Theoreme 3.5.

que

'I'

il s'agit de trouver

est une application analytique ronde

pour tout

z E 6

r-end; 5i

z E 6 \

un voisinage ouvert [ a. l

U

c'est le Lemme

de

z

4.3.

tel que

'l'-1(u)

soit

qui nous fournit ce voi-

sinage. 0' autre part, d I apr-as

[24

alliptique algebrique projective centre en 81E. l

a. l

-1( . = ep Ei)

J

Thrn , 10.1.

(8, ep, 6)

, i l existe une surface

telle que pour un disque

E.l

, assez petit, il existe une application biholomorphe entre au-dessus de

E. l

85

or

B\E

est un ouvert dans la surface projective i tion plurisousharmonique . On en deduit que

defini par la fonc-

B

est un ouvert 10c'est donc un ou-

calement pseudoconvexe de la variete projective vert rond d'apres Ie Corollaire

3.9. , ce qui acheve la demonstration.

REMAR;JUE

On peut eviter d'utiliser Ie Theoreme

quant que dans

[24 ]

d'une courbe

3.15.

en remar-

Vest une surface elliptique au-dessus

Thm. 6.3.

qui est un revetement ramifie de

6

,et qu'on a un dia-

gramme commutatif TI

v

------>

6

w

est rond, en utilisant Ie fait que

on montre directement que

(Ir1 (\Zf1 (E.)), TI, ¢""1 (E.)) l

l

est un revetement non r-arni.f'Le , la commutativi-

te du diagramme et Ie resultat dans Ie cas des fibres simples.

4.3.

AUTRE TYPE DE SURFACES.

DEFINITION

4.5.

On appelle surface

pour laquelle l'irregularite bre canonique Soit t

X

• D'apres

K

= T*

1(X,

q = dim H

une surface compacte est nulle et Ie fi-

0)

X A T* X est trivial.

un tore de dimension [ 16 ]

K3

2

dans lequel on identifie

on obtient un espace normal

a 16 singularites qui proviennent

des points de

X

W

formee par les periodes, ont des coordonn8es egales

a

t

et

, qui de plus

o

,qui dans la base 0

ou

1/2. On

86 peut montrer qu'en faisant eclater ces singularites, on obtient une surface

K3 Une telle surface

S

est ronde

en effet, l'application canoni-

que

x

-----...,>

definit un revetement ramifie Theoreme

3.15.,

et

S

X

o

X etant rond,

X o

aussi d'apres le

est rond d'apres la Proposition

4.1.

Comme les eclatements " conservent " les fonctions rner-omorp he s si X face

est un tore sans fonction meromorphe, K3

qui d'apres

[23 ]

algebrique, ni elliptique.

Thm 3.1.

S et

fournit l'exemple d'une sur Thm. 4.1. ,

n'est ni

87 ANNEXE

(¢, G)

I

designs dorenavant un domains etale sur uns variete analy-

m

tiqus complsxs

FRCJ'JTIERE 0 'UN Oa"AINE ETALE

A. I.

On commsncs par rappslsr la notion ds point frontiers. On psut la definir dans un cadrs plus general qus cslui utilise ici, cslui dss domainss ds Rismann

(voir

DEFINITION A. I .

filtrs

r

[3 ] )

On appslls point-frontiers de

composes d'ouvsrts connsxss ds

i)

r

ii)

ns s'accumuls pas dans

¢(r)

iii)

G

(¢, G)

,qui verifis :

G

convsrgs vsrs un point

x

Em

Pour tout voisinags ouvsrt connsxs

U(x)

ds

contisnt uns st uns ssuls composants connsxs ds elemsnt ds On nots

r

uns bass ds

x

r st tout

sst ds cstts forms.

oG l'snssmbls dss points frontiers st on poss

G U oG

G v

¢(y)

¢(y)

si

E G,

¢(r)

x E

m

si

x E oG st

x

sst la

limits ds On mst sur

Guns topologis separes qui fait de

continue

si

si

r

o

o

V Er

o

o

uns application

E G ,on prsnd pour voisinagss csux ds

G ,st

on prsnd comms bass ds voisinagss lss snssmblss

E oG

U(r ) ou

x

¢

v

U { r E

eo I

3 V' E r, V' C U }

88

Soit

LEMME A.2.

(° G ) 1, 1

deux domaines Alors

(02' G2 )

v

v

G 1

G ---> 1

DEMQ\lSTRATIQ\l

v

u

qui verifie

°2

D

x = 01 (r

de

r

qui contient

A(U

U 1

' notons

U 2

iii)

U 2

ainsi obtenus forment une

, qui verifie les conditions

de 1a definition des points - frontiere. Si v

on pose Si

la composante connexe de

, les ouverts

1)

base de filtre d'ouverts connexes et

Vest un voisinage ouvert con-

contient une et une seule composante connexe

1

, qu'on note

v

Si

D

1)

en une application continue

°1

-

u

r

1

A(r

1)

Par construction

02

v 0

r

2

ii)

converge vers

=y G 2

ne converge pas dans v

'!l7.

u

A

0

au-dessus d'une \.cil'iere

G 2

dans

v

A

un morphisme de domaines entre

et

A se prolonge de v

nexe de

-> G 2

A: G 1

V

A =

°1

,

alors

r

2

E

et il est clair que

oG v

2

et

v

A(r ) = r 2 1

A est continue.

A. 2. T-CONVEXITE

{(z,

.&"1+1

On note

w)

I Iz.\ l

Iwi = 1 \ Iz.1 $1, i

{ (z, w) E { [z , w)

au

l

G

90

.-

LEMME A .5.

(¢, G)

Soit

un domaine etale au-dessus d'une variete

de Stein. On a equivalence des deux conditions suivantes : i)

(¢, G)

est

pseudoconvexe (en l'un des sens equivalents de

(¢, G)

est

T-convexe.

[ 2 ] ). ii)

seulement

si

(¢, G)

(¢, G)

Si

(¢,

On va verifier que

DEMONSTRATION

est

n'est pas

1 - T

8t notons

t

o

est

T-convexe

si et

P7-convexe • T-convexe, i l existe une

aT.

qui ne se prolonge pas biholomGrphiquement

e
0

tel que

\w\ < 1+e.

[z .\ < l

prouve que

cp

1+e.,

i

1, ••• , n,

1-e.

ne se prolonge pas




,les pr-opr-Le t.es

T e. = [ (z,

ne soit pas

tel que

U(r)

et

¢(oG

u

(voir r

§ A.1.)

oG

s'il existe un voisinage

soit homeomorphe

n U(r))

On dit que

u

est

U(r) v

¢(U(r)) , ¢(U(r))

soit une hypersurface de

92 ANNEXE

Notons

C2 _ [ 0 }

W

Ie groupe engendre par

n

W

9

WIG

W -----.;>

l'application canonique d8 ment de la surface de

z = n(O, 1)

defini par

------>

(z1' z) G

9

------>

W

9

II

WIG)

au quotient, et

Hopf

WIG

11.1.6.)

(voir Definition

l'eclate-

au point

Alors -1

a

n

W ----->

5

est une application meromorphe qui ne peut pas se prolonger meromorphique­ ment en

rr" (z)

[ O}

n

= [ (0, 2 )

codimension

2

-1

,puisque Ie lieu singulier de

2

\ n E

I}

\

([

f

qui contient

designe la restriction de

(£ 0 } U [ (0, 2

maine de l'application analytique (2 \

n

doit etre un sous­ensemble analytique de

. On en deduit que si

c2

a

f

n

)

I

n E

,au­dessus de (2

0 } U [ (0, 2 n )

I

n E I

l)

I})

,Ie do­

est Egal

a

93

ANNEXE

III

Voici 1a construction d'une hypersurface de pas se pro1onger

a

2

T

T1

1

2'2

qui ne peut

T

NotlJns

u

[zl Izi

x [wi Iwl


41(c 0,

j =1 il existe C = C( t.) » 0 tel gue

If (r 1e pour tout r

EIR:

-irp

-iCf>

I , . . . , rem) \ m

et pour tout . ) ) r J

.)

J

99 DEFINITION 2.3.

Demonstration.

0

es t di t a , I. Soit

u (Eu , .. ,E u

1.1

u

a

v'

u'

E)::: J}

w ku aO k

E pour la topologie k des semi-normes

E

e ... e

sup

o

Ie complete de

et

;

Ek

E u}

est la reunion

a

la famille filtrante croissante des espaces de Banach (E') u

k

a

E,k de

a

0 E' • Et k u

de cet espace est Ie polaire de la semi-boule de

la boule unite oil

. et

E'

polaire de la semi-boule {E (E

Alors Ie dual de l'espace nucleaire complet

Ek a

@

G'

G'

u

definie par les restrictions (1.6)

Le

et G r e sp .

E @ G est la reunion E'

de la famille filtrante croissante des espaces de Banach pour tout couple (u,v)

E

:::

Ea ku

I.

Principe de la demonstration. a/

Posant

T

E @ G, E u• v

E(E

T = T/(E -I (0)) s'identifie u,v u,v s'identifie

a

u'

a

E on note d'abord que l'e.v.n. v)' E @ F . Alors La dual u E v

la reunion des espaces normes

(E @ F )' u

E

v

T' de

= (E'u

@ E

E@ G

F')'. J'utilise v

alors un resultat de Schatten- Dixmier-Grothendieck montrant que ce dual est Lsome t r Lque

a ""

- ""

@

=

@

Par consequent Ie polaire de la semi-boule

est la boule unite de cet espace de Banach.

140

bl

k -I

T = 0 E, puis T = 0 E I (w ) (0), u u k k,E cet espace norme s'identifie a l'espace norme o E . Comme Test la limite k,E u projective de ces espaces normes, son dual est la reunion des (0 E)' = 0 E' k,E u k u ceci se demontre d'abord dans Ie cas o = X en etendant Ie theoreme de Dixmier Le principe est Ie meme

posant

a = S ou A s'en deduit

Schatten Grothendieck ; Ie resultat correspondant pour alors facilement en utilisant Ie projecteur Sym

0

de

O-symetrisation des ten-

seurs. (1.7)

Corollaire. Soient

et G deux espaces nucleaires complets dont les topologies sont

E

definies par des familIes filtrantes croissantes (E normes prehilbertiennes. Alors pour tout la reunion des espaces de Banach boule ou la semi-norme

a

rieure

EO

k

(0 E') k u

(t)=E,Sup

u ,»

k

.E u

et (E de semiv)

u)

0, Ie dual de

G' ; Ie polaire de la semiv

j[estinfe-

t,

l)Ev k un, etant la boule unite 0 de ( 0 E') @ G' u,v k u v

En effet, il suffit d'appliquer (I.S-a) en nucleaire complet (1.8)

est

E

par l'espace

defini en (I.S-b)

Definitions. Soit

W = x A E,

endualite. Pour

la forme symplectique sur

m.

(x., E,.)E E

J

J

J

X

E',

E x E', E et E' etant deux e.v.

1 et 2, on a done

I

w(ml , m2 ) = I«x l ' On note

f

fV l'involution sur @ E k

consistant

a

retourner les ten-

seurs (1.9)

Cette involution laisse invariant Ie sous-e space une involution dans x

qp

E. Dans Le cas oil

E

f

t

k

E

de @ E k

et indui t

est muni d 'une conj uga i son

la composee de la conjugaison naturelle de

est une conjugaison notee

®

@ E k

avec l'involution v

141

Je mets

@

k

E et

@

k'

E' en dua l i.t e en "retournant" la duali te usuelle k,us

(1.10)

D'oll une dua l i t e

induite

entre 0 E et 0 E' k

(1.11)

Ainsi

n. Alors

P F

des poids

Wn(j)

£ # 0, est

si

j

n

o ­

IT'S£S ' FS(S) est l'espace des series for­

S; tandis que

o

FS(S') est l'espace des polynomes

S'.

la famille des poids

wn(j)

=

exp(­ j2 / n) , n = 1 •••• Alors

P E

o verifie (C 1) et (C2). Les espaces correspondants Fa (S) et FO(S') sont des es-

a

paces de formes verifiant certaines conditions de croissance.

dl

Dans Ie cas oil

P = PH et

espaces que l'on peut noter holomorphes.

a = A, on obtient pour

HA(S) et

F1-

E;k avec 1=E;0 E OC

et E;k = E;kl 0 ... 0 Skk EO E'

k >-- I. ->-

(3.6)

I

s =

t

E

I' L

?:-

eS =

On pose

k!

-I

->-

Sk = exp E;

->-

On note que toute forme 'P E F (E') est connue si l'on connait pour tout S

a

->-

tels que exp E;E Fa(E) Ie nombre ->-

(3.7)

'P (E;)

D'ailleurs

(3.8)

->-

'P (E;)

=

I

'P(E;) avec

E;kl = '"

= E;kk

exp E; E FS(E) pour tout E;

->- «{J,

exp E;>

sur

E'

I

k=o

k! < 'P

Dans Ie cas symetrique, -s-

-

'P

11

-

k ' k!>k -

«{J,

->-

exp s>

est determine par la connaissance des nombres

pour tout

E; E E,

et

............. U = T. U

T

En general, on simplifiera l'ecriture en supprimant

n

l

et n

2

dans (4.21)

et (4.22). c/

On deduit de a) et b) la definition du produit de convolution de deux

corormes

T et U sur

E : c'est l'image de

T

U par l'application somme.

De plus (4.23)

U0 T

d/

Pour toute forme

par

g

g

F(j(E) l' operation

E

est defini en transposant 1 'operation de produit 11 droite par

Vf E Fo(E) ;

Or vu (3.17), l'operateur l' oper ateur

'"

-+

g (D) '"

f

dans

g T

i

De meme

Tg

Soit

fixe dans

'"

dans

=

-+

=

dans

Fo(E) est Ie transpose de

Fo (E'). Done

--

(4.25)

e/

T ..... g T de produi t 11 gauche

= g(D)

-

T

Dans Ie cas commutatif

g(D).

g T

=T

g.

F (E') l'operateur "'(D) de derivation

o

a gauche

est defini comme transpose de l'operateur. "'(- D) de derivation

11 gauche dans

Fo(E)

(4.26)

tel que

fonction plurisousharmonique si

f. 0;

des

montrer e l ,

pas Gs-strictement p o La i r e ,

+ s

Soit B

La

pour c' s

dans

s

frontiere

reste alors i

il

les-

lequel

couple '{GA, y'EB.

existe un G

n'est

fl(x,z)

dans

s

bl de

de la proposition

de f i n i

c

la

qu' on fera en prouvant que al -

Soit

gauche.

il

co> 0

existe un G

il

pour tout

a

montrons que B est

tout G

strictement polaire dans

C(x),"(] est

pour

il

suffit de

IZol

(xo,zo)

Izi

s'

Ie

a

On

dans

I

Ie produit

W

dans

lequel on a

M(x,r)

+ s,

la valeur f] (x z ) j

pr oc ed an t

comme dans

Izl" 1 + s

- Q'log

ce qui

[2, c 1

,

fIe P [G s X C z

a

au sup [c (x)

c I (x )

II r e s u l t e

de

l'hypothese faite

ensemble A tel que AnGs n'est d I apr e s

la proposition

J,

f

l

J

(x,z) eW

. D'autre part,

on pose

c I (x)

On

on a d o n c pour

- l(,

M] (x,r)

sup fJ(x,z).

jzll.r

0 ]

suroque l'on a

sur un

pas Gs-strictement p o l a i r e . Alors

(x,z)

ne d e p e n d pas de z pour x eG

s

et

179

l'on a cl(x) ment

c(x)

= 0 pour tout XE.G

Co dans G

d I Ln t e r i eu r

strictement polaire. G,

c e qui

etablit

bl - Soit c

o

Soit t > s,

s'

non vide;

d' oil c (x )

s t

entier

l'ensemble A()G Ainsi on a

alors pour

contient G

dans G

l'enonce pour 0 (Co

+co:

et

qui

t

'( pour XeS Gs' et finale-

r

tout

tement polaire dans tout G d'apres

n'est pas G

s

t-

et par suite dans tout

t

(+r

et le contrale est done ameliore

r

o

mais

grand.

bl Si on suppose seulement que E est un espace de Baire, mais avec la precision que f(x,z) nue,

alors le result at

(24)

est plurisousharmonique conti-

demeure, avec - L(x)

=

gA'lf(x)

perieure regularisee des fonctions plurisousharmoniques G'

et majorees par -I

enveloppe sucontinues dans

sur A.

: d'apres (7) et (23) si s = sup M(x,I), ou a pour

Montrons al

xeG'

(25)

Po sons r

-

r'

=

D'apres

(25),

de

i nd i q u e e s ,

"(x)

on a

'If

log

,gA (x ) • log b(A,m). S(A,m)

log r

, ce qui equivaut

jIt

des qu'on a

log r, d'oil (24) r> r

o'

oil r

o

ce qui determine r

o

M(A,r') > s

sup M(x,l) xeG'

par l'equation sup M(x,I). xeG'

M(x,r)

=

m

=

M(A,r').

avec les p r o p r Le t e s

est c a l cu l e de m a n i e r e que

l'on ait

m

a

190 La version bl de l'enonce qui concerne les fonctions harmoniques continues

a

s'etablit de me me Remarque.

f

plurisous-

(donc les applications aux fonctions holomorphes)

partir de la version bl du theoreme 5.

Le theoreme general

6 applique au cas des croissances

lentes donne seulement le resultat moins precis que c(x)

= lim (log r)-IM(x,r) r= co

a une regularisee superieure c·(x)

harmonique quand E est espace de Frechet et qu'on a

plurisous-

sur un en-

semble A non strictement polaire dans un domaine G'e G ou M(x,l) majore.

Le result at plus precis

est

= constante est obtenu par un pro-

cede de decomposition special aux croissances minimales.

7. - Cas de l'ordre fini. Les resultats precedents permettent d'etendre la methode utilisee en dimension finie (26)

a un domaine

si x appartient (27)

-

log+ M(x,r)

lim sup r = co

e(x)

G

s

log r ou lIon a

c: G

(cf.

3a).

On aura

lim sup log m ,m>s, m=ro log , (x, m) M(x,l) c e .

11 en resulte

I

("(x)

B etant reduit au point x, on a

1

o il ('(A) &'(A,m)

lim sup

e(x)

[-

log log

est d e f i n i, comme en (26), mais . D'ou

S (x ,m) b (A ,m)

a

log SeA ,m) log m

partir de M(A,r)

J

.,.

gA (x)

"e(A)

et de

[-g:(X)]-1

On enoncera THEOREME 7.

-

Soit f(x,z)

plurisousharmonigue dans G XC

est un domaine d'un espace vectoriel topologique complexe E,

f(x)

l'ordre de f

1°1 -

sur la fibre F

x

n,

ou G

et soit

.

-+ [__ J.

est une lim sup de fonctions plurisousharmonigues

negatives sur tout domaine G' c G ou M(x, I) est soit la constante

-r

eo s o i

t;

est maj ore;

-

(x)

1_

e(x)

une fonction plurisousharmonigue.

2°1 Si E est un espace de Frechet, ou si E est un espace de Baire et f

continue,

alors

si A cG'c G n'est pas strictement polaire

191

dans G' -

et si

_I-

e (x)

est majore sur A,

e (x)

est fini en tout point et

est une fonction plurisousharmonigue strictement negative

e•(x)

dans G.

Si f(x)

est nul dans ces conditions sur A, en un point

f(x)

(0::>

X

e (x) 'l'

o .. G, alors

;

e(x) est nul dans G.

+oodans G .et l'ensem-

est polaire strictement sur tout G' e.G ou M(x,l) est majore.

8. - Application aux fonctions holomorphes. On designe par F(x,z) une fonction holomorphe G XC n __

(I;,

o il

G est un domaine d'un

(28)

et Cl

))(x,r)

(29)

dlog r N(x,r)

; [12n-2 r 2n- 2 ]

ouer(x,r) est l'aire de l'ensemble Z(x) ; UzlI/[J(t)

L

df(O).

f. @ e. i

Alors J

et

; L . e.

ill> e.

­

t],1

pour tc=L,

(C2)

entraine

(Cl)

est une tentative

liorer Ie theoreme precedent.

ou

ce qui prouve

(C 2) •

La conjecture que

i.

202 BIB L lOG RAP HIE

[1]

ARON (R.M.)

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Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 17e annee, 1976/77.

15 Fevrier 1977

SUR LA MESURE GAUSSIENNE DES ENSEMBLES POLAIRES EN DIMENSION INFINIE par Philippe NOVERRAZ Les resultats qui suivent ont ete obtenus en collaboration avec S.DINEEN. Deux raisons nous ont amene

a

a

nous interesser

la me sure

gaussienne des ensembles polaires. La premiere est en relation avec la

a

completion holomorphe

un espace norme

(E f

ce n o r me non complet

E)

i L existe un s o u s e s p a c e note EtJ ' r

qui est le sous-espace maximal se prolonge -fP muni

a

a

E& . Dans

une n o r me

(5),

-t q

tel que toute fonction holomorphe sur E

+ro (avec Co pour p

holomorphe de E contient

n

=

Ee-

E cEe-cE,

HIRSCHOWITZ a montre que si E est l'espace

1, p

de savoir si dans ce cas

rappelons que si E est un espa-

Comme

= E

=

co)

le complete

fq et le p r o b l e me se posait

q >p

l'on sait

(9)

que E{)' f

E si et

seulement si E est polaire dans E et qu'il n'est pas difficile de montrer que pour p < q =

I,

il existe une mesure gaussienne

on en deduirait dans

ensembles polaires

p

sur

telle que

l'exemple considere que E{)' = E si les

etaient de mesure nulle pour toute mesure gaussienne.

Malheureusement le theoreme 2 montre que ce n'est pas toujours le cas.

11

y avait aussi un probleme ouvert, a savoir si dans un espace de Banach E

F(J

il existait des sous-espaces F denses tels que

=

E ; nous montrons

(proposition 7) que c'est bien le cas. La deuxieme raison qui nous a conduit aux mesures gaussiennes des ensembles pol aires est un travail de P.LELONG (7)

et

(8)

sur la polarite

de l'ensemble des fonctions holomorphes qui se prolongent hors d'un ouvert pseudo-convexe de

Le resultat que nous donnons est

a

rapprocher

d'un resultat de Steinhaus sur le prolongement hors du disque unite des fonctions de la forme

fcp(z): L:::e

iepn

n Z

ou

(Cfn)

est une suite de

204

aleatoires

independantes equireparties sur

[O,ZIT].

Dans ce qui suit nous utiliserons 1 I identification (voir

(I), (4)

et

(6)

lui existe entre mesure de Radon gaussienne et espace de Wiener abstrait i, H)

est un espace de Hilbert plonge de maniere continue dans j1 H, espace determine a partir de l'operateur dc covariance S de r (plus j1 precisement H o (H

r

,

ou H

Rappelons les proprietes suivantes qui montrent que la situation est

a laquelle on est habitue

en dimension infinie tres differente de celie en dimension finie:

Soit B un espace de Banach separable et soit

PI

dans B,

il existe une mesure guassienne

(meme si Test une

a

de T

P

n)

une suite dense

telle que

(x )cH. n

si Test une injection

Si B est un espace de Banach separable lineaire de B et si

(x

alors j1 n'est pas en general stable par T translation).

La stabilite est assuree si la restrictio

H est un operateur unitaire.

3

Soit

sons

une mesure gaussienne sur E,

=j1(x + A)

soit equivalentes

pour tout borelien de E.

soit orthogonales,

lement si x appartient sur E il vient

jf(Y)j1(d Y)

pour tout x de E po-

Les mesures p et Px sont

elles sont equivalentes si et seu-

a H. si f e s t une fonction continue et bornee Z

_ \x\H -Zf(x + y)e

(X,

Y>H

p(dy)

B

si et seulement si x appartient Dans un expose precedent

(9)

a H. nous avions

prouve une i.riega l.Lt e de la moyenne

pour les fonctions plurisousharmoniques et les mesures gaussiennes

a

savoir LEMME

I.

-

si U est un ouvert d'un e.l.c.

norme continue P, Vx de U et tout r '»

° tel

complexe E, pour

toute semi-

que B (O,r) c. U et v plurisousp

205 harmonique dans U bornee superieurement sur la boule B (o ; v ) p

v ( x) {, P [B P 0 , r

)J

J

alors

v ( x + y) P( d y )

p (y)

pour toute mesure gaussienne p sur E. DEFINITION.

-

Un ensemble A est dit polaire complet dans E s'il existe

une fonction plurisousharmonique v dans E telle que A

=

{x

0

en-

traine que A contient Ie sous-espace auto-reproduisant H .

11

COROLLAIRE.

- Dans un espace de Banach au de Frechet, une reunion de-

nombrable d'ensembles polaires est d'interieur vide. En particulier un ensemble polaire complet non dense est de mesure nulle pour toute me sure gaussienne. v definie sur

L'exemple de la fonction plurisousharmonique

par vex)

log

Jxnl montre qu'un ensemble polaire

n

complet peut

effectivement contenir un sous-espace dense.

Le theoreme suivant a ete montre par DINEEN (2). I

,

THEOREME I. -

Dans un espace de Banach au de Frechet un ensemble po-

laire complet est de mesure soit 0 soit

pour toute mesure gaussienne.

Donnons la demonstration dans Ie cas plus simple des espaces de Hilbert separables Demonstration.

Comme

tout translate d'un ensemble polaire est polaire

on peut supposer que la me sure pest centree. D'apres SKOROHOD

20,

il existe une base orthonormee

(I I) ,p.18-

(en) de H (qui est formee de vecteurs

propres de l'operateur nucleaire de covariance S

de p) et une famille fl u = 11 1 g a u s s i e n n e s centrees scalaires telles que rn r/lR.e

n co

et

p

=

n=1 Designons par H

n

Ie sous-espace engendre par e

l

, . . . ,e

n

n par H Ie sous-

n

206

espaee

(non ferme)

engendre par e ",n

,oJ

pour tout n , I' = P GOp n

n+ 1,

... , et po sons '"

n ®

Pi

est mesurable d'ou,

si

I'

et la mesure

= n

i= I

= UHn.

11 vient,

a

est equivalente

la

me sure de Lebesgue. L'ensemble A etant un

designe sa fonetion

earaeteristique

fXA

peA)

(x)p(dx)

Pour tout Y de H,

la fonetion v v

polaire A' A'

n Fest

{n [fHn XA(X,Y)Pn(dX)] j1n(dy).

y

(x )

=

y

(x)

-ro}.

= vex + y)

Comme dans II:

est d e f i n i e sur H

n

n

, n fini,

et

un ensemble

est tel que pour tout sous-espaee veetoriel reel F,

l'ensemble

soit F tout entier soit de mesure de Lebesgues nulle on en

deduit que pour tout y seules les deux alternatives suivantes peuvent se presenter (a)

v

-

y

-

00

et

L

P

XA (x , y ) n ( d x )

n

rJ

(b)

fH n

Pour tout entier n, A

0

XA(x,y)Pn(dx) l'ensemble

{x

n

+ y

v

y

est un ensemble borelien eontenu dans A tel que

L n

11 s'ensuit que Posons B =

nAn'

L

,v

A(x,y)Pn(dx)

n

plus la sui te alors

BcA

B satisfait,

lorsqu'il n'est pas vide,

Si x appartient x appartient

a

a

W

a

de H en partieulier f(w+y+x) m

que x + y appartient

a

a

a

-a:>

i.e.

= -co pour tout

Am pour tout m et done

a

B.

W

B done fy(w)

a

peA))

est egal soit

a

0 soit

a

B + HCD =B.

I.

a

Am' pour -0:)

pour

de H ee qui prouve m

La relation B +

est bien verifiee et la proposition suivante prouve que pCB) egal

1 I ensemble

B, il existe un entier n tel que

H -,>R est identique m

y

est deeroissante.

la relation suivante

H pour tout m >n. Comme y appartient m

tout m la fonetion f tout

a

Heo et y appartient

n

P (A) . Montrons que

et pCB)

n

(A )

(qui est

B

207 PROPOSITION 2. le sous-espace S , alors

-

Soit

(non ferme)

r

une mesure gaussienne centree et soit

engendre par les vecteurs prop res

tout ensemble borelien B tel gue B +

P

soit 0 soit

=

B

(en)

de

est de p-mesure

1.

Demonstration. La condition B + Hoo = B entraine que pour tout n, n

B c'est-a-dire que B est de la forme H X Bn ou B

B + H

n

est un sous-

n

n. ensemble de H Pour tout ensemble cylindrique C de H, dans H m,

il vient p(C)

m

(C

m

).

m done de la forme C X H avec C m m

Choisissons n

on a

B(\C

=

m alors B

C XHnXB m m

n,

=

H

n

n

ou H

m

XB n d l o u designe

le sous-espace e n g e n d r e par e + . . ,en' c e qui entraine que m 1, N ,,)n n r (B C) = r m ( Cm) . p (B ), c' est - a - d ire r ( B = p ( B) . P( C )

n

nc )

L'ensemble B est done independant de tout ensemble cylindrique de H base sur H oo'

il est done i.n d e p e n d a n t

de tout ensemble appartenant a la

tribu engendree par ces ensembles cylindriques,

tribu qui n'est autre

que la tribu borelienne. L'ensemble B est done independant de lui-meme, r(B ('l B)

=

p(B) .r(B)

ce qui entraine que p(B)

c'est-a-dire est egal a 0 soit a

1.

Nous allons donner une condition necessaire et suffisante pour qu'un ensemble polaire complet soit de mesure positive. DEFINITION. Un ensemble A est dit gaussien nul s'il existe une mesure gaussienne

p telle que p(x

THfoREME 2.

-

+ A)

o pour tout x.

Si E est un espace de Banach ou de Frechet,

un ensemble

polaire complet est un ensemble gaussien nul pour toute mesure gaussienne centree s'il ne contient pas un sous-espace de dimension infinie. La demonstration est basee sur les deux propositions qui suivent. La encore,

nous nous placerons dans le cas Hilbert separable pour rendre la

demonstration plus simple.

208 PROPOSITION 3. - Soit A un

qui contient un sous-espace dense H d 'un

G

S

espace de Hilbert separable E. ( An)

, An

(en)

de E et une suite

si B} designe la boule unite de E,

telles que

"? 0,

II existe une base

l'ensemble

Demonstration. Comme H est un sous-espace dense on peut toujours trouver une base

(en) de E dont les elements sont dans H.

le unite de E et soit B} (n) gendr e

l'intersection de B}

tion d'une famille denombrable on peut trouver une suite

n

I

la bou-

avec l e sous-espace en-

par les n premirs vecteurs de base (e}, ... ,en)'

est pour tout n un compact de E.

Soit B

L'ensemble

B}

(n)

Par definition A est egal a l'intersec-

(Am)

Pour tout entier m,

d'ouverts de E. sm >0 tels que

n=1

n

+

d'oil

A::>

n U (B I (n) m

n

L

On peut toujours supposer que

n,m

Si l'on pose

>-.

= -}- inf(S} 2n I

n

y

co

L n=m Si

n=m

x =\. L-x n e n

.

il vient, en posant x

m

(S:) 2 < I

, ... , en) il vient n 00

L n=m

S:) 2

}

a- B } et est te 1 que

m-\

2:: n=\

=

+ Sm B} } n

db':)2

Ix n I

An

pour tout n,

x e

J\. n

Llxnl\L n=m n=m 00

Ilx-xmf = Comme x

m

appartient a

B}

(m),

4 (S:)2.

on a x

=

c'est-a-dire que x appartient a Afl pour tout m done a

A

n

Am c e qui

m

termine la demonstration. PROPOSITION 4.

-

Soient (en) une base de E et soit

f

une mesure gaus

sienne centree non degeneree dont l'operateur mine par 1 a suite (o(n) les x n re s

n

tell e 9 u e

-s.> 0

'=.!.

L

sont des composantes de x dans la base formee des vecteurs pro-

(e ) de S ) n

--

J.l

209

pCB)

Considerons l'ensemble B ;

{x

i 0 si et seulement si L.-

T

Demonstration.

; LX n e n n

exp

Vn ,

alors

C

pCB)

IT ---:::==-

dt

e

2 -t / 2 edt.

Le produit est convereent si et seulement si la serie

s-2::1- [ Or

2

S

vzrr

L

A n IY;;Zn

fx

V2IT [ - A 2

oo

-t

2

/2

dt

lJ converge

n

12 dt .

-t

n

n

IV;;

e

n

L'inegalite suivante, bien connue,

1) -y 2 12 .!.. C 1 - Y e Y

donne Ie resultat. Demonstration du theoreme 2. que A contient Ie sous-espace H

fl

Si pCA):> 0,

y

e

- t 2 12

1 -y 2 12

d

la proposition 1 entraine

qui est dense dans E. Reciproquement en

remarquant qu'un ensemble polaire complet A est un G

S

'

si A contient un

sous-espace dense la proposition 3 entraine que A contient un sous-ensem ble de la forme

I

{\x n 4>-n}' D'apres la proposition 4 on peut t o u j o u r s

B

trouver une mesure gaussienne p telle que fJCB) :> 0 donc pCA)

>

O.

Cherchons des conditions pour qu'un ensemble polaire complet soit gaussien nul. PROPOSITION 5.

-

Si A est un ensemble polaire tel que A - A i

il existe une mesure gaussienne non degeneree tel Ie que

pCx + A)

E, 0

pour tout x de E. Demonstration. On peut supposer que A est dense. soit

f

Soit x

o

e E\A-A et

une mesure gaussienne non degeneree telle que X appartienne au o

sous-espace c a r a c t e r i s t i qu e H Posons W p p'

; {X E ,pCA - x )

>o}.

210

Comme p est quasi invariant pour les translations de H

il vient fl o si x n'appartient pas

c'est-a-dire W cA. Demontrer la propo-

I'

¢ il existe un element

sition revient a prouver que W

I'

Xl

de W . La relation W

note

P x ' z

+ H

P

de A.

P

W cA entraine que xl

p

II s'ensuit

-

X

avec xl

z

+ X

o

et X

z

est un element dans A ce qui

est impossible. L'ensemble West done vide.

p

PROPOSITION 6. de

[0,

0

=

,

de E.

X

Demonstrat:ion. tout

Si A est polaire cere Ie A =

fixe de A et pour tout >-. de 0: on a

Z

une fonction sousharmonique egale a

-= sur

a -co.On peut done supposer que Q:A

A

Comme A

contienne x

p

x) d'otl,

Ax

6

E

Ie cercle unite est identique

.

E"\A

et une mesure g au s s i e n-:

Si x appartient a W , il vient

fl

+

Or W

p

x)]>O pour tout>" dans

x ) >0 et done peA - Ax) > 0 car >-'A = A . Ceci entraine

W •

P

Or X n'appartient pas a A, done v(x >-00. o o) aura vex

= -GO }alors pour

A car dans Le plan complexe

la me su r e fl etant gaussienne p[A(A -

q;\{O}d'OU p(AA que

o

Az

tV(z)

c'est-a-dire que A est Q;-etoile.

E on peut choisir un point X de o

ne centree p telle que H peA -

eieAcA pour tout

est tel qu'il existe une mesure gaussienne I' telle que

Zn])

peA + x)

- Un ensemble polaire cercle (ie

1

o

.e

i2TT

IT

y)

0

-co

vex

0

+

.

y)de pour un y de W

pour presque tout g de

la condition

done a A pour tout

W

e

P

Si West non vide on

P

fl

ce qui entraine que

[O,ZIT].

ig-

= H + W implique que x + e y appartient a Jl P 0 d'otl la contradiction. II s'ensuit que West

p

vide. COROLLAIRE. ensemble polaire pour tout x.

Si F est un sous-espace (complexe)

, il existe unemesure gaussienne

r

contenu dans un telle que p(x + F)=O

211

Remarquer que si un ensemble polaire complet contient un sous-espace reel il contient aussi le complexifie de ce sous-espace. Deux applications PROPOSITION 7. algebrique de E. E = Hi +

Pour tout i

iEI

une base

, notons Hi l'hyperplan tel que

tels que Hi soit holomorphiquement complet.

COROLLAIRE.

a

Soit E un espace de Banach et (a.)

(somme algebrique). Alors il y a au plus un nombre fini

d'indices i

ble)

-

-

hyperplans

Dans tout Banach E il y a une (non fermes)

Demonstration.

H tels que

He

(non denombra-

E.

Supposons qu'il existe une suite infinie (in):=1

d'indices tels que Hi n

,note H n,

soit holomorphiquement complet. Pour

tout n, H est polaire dans E (car H = H& si et seulement si H est pon laire dans E (9) Poser E

n

n

).

H . chaque En est polaire dans E donc la reunion des E n m '

ne peut etre E tout entier (corollaire de la proposition 1). Or E = UE

d'ou le resultat et le corollaire en remarquant que si H est un

n,

hyperplan alors on a soit

He = H, soit H& = E.

Rappelons main tenant le resultat PROPOSITION 8. -

suivant du

, H(U)

l'es-

l'ensemble des elements de

qui se prolongent analytiquement hors de U.

M de H(U)

P.Lelong (7)

Soit U un ouvert pseudo-convexe de

pace des fonctions holomorphes sur U H(U)

a

Pour tout sous-espace

qui est un espace de Banach pour une topologie plus fine que

celie induite par la topologie de la convergence compacte on a soit contient M,

soit'7

n M est

un ensemble polaire complet dans M.

On peut utiliser ce resultat pour prouver le resultat suivant THEOREME 3.

-

Soit U urt ouvert pseudo-convexe de en et soit

semble des elements de H(U)

al

r(71)

bl

1?

pi se prolongent alors

= 0..2..!!... 1 pour toute mesure

est un ensemble gaussien nul de H(U).

sur H(U)

l'en-

212

al Si pest une mesure gaussienne sur H(E) il existe

Demonstration.

un Banach separable M qui s'injecte continument dans H(E) D'apres le r e s u I t a t complet done per;)

r a p p e Le plus haut,

tel que reM)

soit'7 contient M, s o i t

=1.

est polaire

= 0,1.

bl est une consequence du fait que

r;

est un cane complexe et de la

proposition 6. Remarque.

On peut donner une autre demonstration de ce resultat en

utilisant les methodes developpees plus haut et la loi zero-un pour les sous-espaces vectoriels.

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Seminaire P.LELONG, H.SKODA (Analyse) 17 e annee , 1976/77.

LE

8 Fevr i e r 1977

DU

a

par

P. R ABO I N

SUR UN ESPACE DE HILBERT

Introduction Dans une premiere tentative d'appl iquer les techniques hi Ibertiennes

a

la resolution de I'equation

af

= F sur un espace de Hi Ibert de dimension

infinie, on avait obtenu une solution "au sens des distributions", dans tout I 'espace, pour un second membre F a croissance exponentiel Ie ([10)1. I I a 2, fal lu pour cela definir un prolongement de I 'operateur au sens de L et on doit constater que la solution obtenue est d'un interet assez limite

a

car Ie noyau de cet operateur ne se reduit pas aux fonctlons analytiques au sens de Frechet. I I etait donc d'etudier I 'existence de solutions regulieres, Ie seul resultat connu jusqu'ici etant celui de C.J. Henrich «(6), qui met en evidence Ie phenomene suivant, nouveau par rapport finie : si

a

la dimension

F est a croissance polynomiale sur I'espace tout entier

H, i I

existe une solution f reguliere surun sous-espace propre de H. Ce phenomene etait d'al I leurs deja clairement apparu a propos de la theorie du potentiel de L. Gross en dimension infinie (Potential theory on Hi Ibert space, Journal funct. Analysis I, 1967), et est essentiel lement dO a 1 'absence d'une mesure analogue a la mesure de Lebesgue. On amel iore ici Ie resultat de Henrich, en resolvant I 'equation sur un ouvert pseudoconvexe de H (sans condition de croissance sur

F), sans eChapper toutefois a la contrainte prece-

dente : la solution obtenue n'est regul iere que sur I 'image d'un operateur compact injectif. Cette restriction limite s l nqu ll eremerrt la portee du theoreme obtenu quant a son appl ication aux problemes d'Analyse Complexe en dimension infinie. On donne cependant, avec Ie theoreme 3, un element de reponse au premier probleme de Cousin sur un espace de Frechet nucleaire a base.

215

Notations: Si

reel sou-jacent et

H l'espace complexe conjugue. Si

Hilbert-Schmidt auto-adjoint et injectif sur orthonormale de

{A j

propres

II

note image (x'Y)H

II

H formee de vecteurs propres

{e

est un operateur de

de

j} } , telles que la serie de terme general

T, associes aux valeurs

Aj

norme de Hilbert-Schmidt de I' oper-at eur-

= (T- 1 , T- 1 ) , Pour tout entier

gonale de

n,

Y

x

de dimension complexe

n

H n, On designe par

T2

T

H, on sa it qu'il existe une base soit convergente

on

H l' espace T TH, muni de la structure hilbertienne complexe definie par Ie produit scalaire

T

T

R H est l'espace

H est un espace da Hilbert complexe separable,

n $

dBfini par : H n

H sur

et, pour tout

z

B3]

est Ie sous-espace propre

H n et

j,

P

n

la projection ortho-

la mesure gaussienne centree d'operateur de correlation dans

H, par

la mesure translatee de pour tout borelien

=

On sait

II: e

j m1

T, On designe par

que, pour tout

z

dans

B dans

z, definie par H.

TH. les mesures

equivalentes et que la derivee de Radon-Nikodyme de

et

•z

a

par rapport

sont est

donnee par : exp

(1 )

la serie

(T

-I

z.T

-I

x)

etant convergente

Un calcul immediat montre que

fH

(2)

-1 2"1 { II T-I z ]12 - 2Re(T - 1 z.T xl )

partout sur

PT(,.z) =

exp

-II

H.

est de carre z

T

•

avec

pour tout

z

dans

Les espaces de fonctions integrables seront toujours relatifs Une propriete sera dite verifiee localement dans un ouvert est vraie sur toute boule de frontiere Si x

an

de

n,

fest une fonction

f(x+zl Enfin.

n

situee

a

a

"r:

la mesure-

n de H. si elle

une distance strictement positive de la pour tout

z

dans

1 on la note f. z B designera la boule centree en 0 et de rayon R

H. la fonction

est aussi

On commence par demontrer deux lemmes assez techniques,

R.

216

Lemme 1 : Si

g

est une fonction localement de carre sommable sur

=

G(z) ou

H, la fonction

H par:

definie sur

JB g(x).exp(z,T

-I

x)

H, est differentiable, et sa differentielle, donnee par

B est un borne dans

d G z

(3)

H.

est de type borne sur

Preuve : On considere, pour tout

z

et pour tout

a

dans

H, la fonction

G

z,a

d'une variable reelle, definie par: G (A) z,a

=

G(z+Aa)

JB g(x).exp(z,T-

=

compte-tenu de l'inegalite :

on peut appliquer Ie theoreme de Lebesgue-Leibnitz et affirmer que derivable

a

l'origine, avec G'

z,a

JBg(x)(a,T

(0)

-I

x).exp(z,T

G

z,a

est

-I

O'apres l'inegalite de Schwarz et un calcul elementaire, on obtient alors

La fonction

G est donc differentiable au sens de Gateaux sur

H, avec une

derivee faible continue : elle est donc differentiable au sens de Frechet sur et sa differentielle satisfait l'estimation :

II

G'

(z l

II

ce qui permet de conclure. Lemme 2 : Pour toute fonction continue sur

H, la fonction

i

localsmsnt bornes et localsmsnt uniformement definie sur

H par:

H,

G

217

4> (z )

'f (x)

J

=

BR+z

(x )

H dans la direction du sous-espace

est differentiable en tout point de 5

(i) si si

n

x

est la mesure de surface de la sphere

est Ie vecteur normal unitaire exterieur

(4)

d

z

4>

(iii) pour tout

cette sphere en

If(x)n 5(z,R) x est localement bornee sur H. z T est continue sur HI' la fonction z -? d z4>(h)

II d 4>11 H

Z -?

h

soit

dans

engendree par morphisme de

u,

u

un vecteur unitaire dans

sur lR.u XLI' defini par

H

de la mesure

L = R.u

H,

L1 Ie supplementaire orthogonal de

:

H. 5i

L dans

20,

e

est l'iso

est 1a pro-

e(t.u+y) = (t,y), si

sur

par

§

H.

la droite reelle

L1, alors, pour u dans HT• la mesure e, est equivalente a la mesure produit = dt x

jection de la mesure

BR+z, et

x, on a :

Preuve: On va utiliser la propriete suivante de la mesure theoreme 1)

T

5(z,R), bord de

J

=

(ii) la fonction

a

H , et :

'\,

image avec,

plus precisement

(J

(t,y)

+ _ OO

tu)dt)

PT(tu+y

_1

soit, taus calculs faits (5)

50it pour sur

h

un vecteur non nul

h. Pour tout

y

dans

on designe par 1, sur la droite reelle t

[t

L

4>(z+h)-4>(z)

-?

P

dans

H , et soit T au

L1(B(Z,R)),

Ie

1(y),t2(y)].u

P

L

u

Ie vecteur unitaire porte

designe la projection orthogona1e decoupe par la boule

B(z.R)

y+t.u. On peut alors ecrire L' eccro t s eemerrt :

lI4>(z;h). sous la forme suivante :

Or. la fonction

a

integrer, qui est definie sur

est 10calement uniformement continue en permet d'ecrire :

t

quand

y

(L - N) x R.u ou 1

parcourt

P

L1

f"L

(N)

= 0,

(B(zJ)), ce qui

218

1

I

I21T

P

(6) !liP(z;h)= 1

I

2 -11 ul +

1

Rl(T

1

4\T-

u)

ul/

llr

L1

ou encore. compte tenu de

ce qui demontre que

([13

J:

§

}

2

It 2(y )dll L (y) I .1IhII t 1(y)

1

27. theorEme 1)

est bien differentiable en

z

HT •

dans la direction de

avec l'expression (4) de la differentielle. De (6). on deduit immediatement que:

ce qui prouve (ii). Enfin. pour de

y

fixe dans

t et t dependent continuement L1(B(Z.R)). 1(y) 2(y) PL1(B(z.R)) est llL1-negligeable. si bien que (iii) s'obtient

z. la frontiere de

P

en appliquant Ie theoreme de convergence dominee. Remarque : L'expression (4) est la generalisation d'une formule classique dans on peut d'ailleurs s'inspirer d'une methode de demonstration de ([ 5]

§

IR

N

354). en

s' aidant d' une formule de Gauss en dimension infinie ([ 4] • [13J l , On signale aussi une autre forme de la differentielle. obtenue dans une situation analogue par ([1J. exemple 1.2).

a

partir d'un resultat de

n un ouvert borne dans H. Pour tout entier n positif.

Theoreme 1 : Soit

est une fonction continuement derivable. n

_1

n = Pn

wn Hn ) .

[3J.

a

f n derivee de type borne sur Ie cylindre

On suppose en outre que

(a) la suite

(fn)

converge faiblement vers l'application

f

dans l'espace

• (b) la suite

n

plement sur

(af) n

est localement bornee dans son ensemble. et converge sim-

vers une application

F

de classe

sur

n.

Alors (i) la suite

(fn)

converge simplement sur

dBfinie par : (7)

) = IBf(X+Z).dllT(X) + £

pour tout

z

contenue dans

dans

n.

H T

et pour tout nombre

nnH T

2I:I

vers l'application

f·

F(z+rx)(x)dr dllT(X) B

£

£

posit if tels que la boule

B +z e

soit

219

i*

et la fonction

est localement uniformement continue sur

(iil la fonction

est differentiable sur

de type borne et faiblement continue sur (iii) enfin. f·

satisfait

az f*"(h) z

pour tout

dans

H nn.

R H T.

2

HTnn.

nn

sa differentielle est

T2

l'equation

F(z) (h)

n() H

et pour tout

T2

h

dans

H 3' T

Demonstration : Pour tout situes

E

positif assez petit. n

une distance superieure

E

craindre. pour tout entier positif centree sur

H

TP

designera l'ouvert forme des points

du oord de

n. Aucune confusion n'etant

p. on note encore par

la mesure gaussienne

• dont l'operateur de correlation est defini par Ie systeme des

valeurs propres

• associees

J

(i) Pour tout

z

dans

est contenue dans Ie cylindre quee

E

la fonction

la base orthonormale

e;}

J

J

de

H

TP

H et pour n assez grand. la boule B(Z.E) T• nn. La formule integrale de Cauchy ([8] 1.2.3) appli-

fn(z+j.x). ou

x

est dans

BE' sur Ie disque unite du plan

complexe. donne : f

n

2nf (z+xe i8 )­2 de f1 af (z+rxe i8 ) (xs i8 l dr­ 2d8 +2 nOD n fo n f2n- n

(z )

En integrant en

x

sur la boule

compte­tenu de l'invariance de

BE

par rapport

la mesure

on obtient,

par rotation sur Ie sous­espace propre

H n

+ 2f:fB3fn(z+rx) (x)dr E

E

3f n(z+rx)(x)dr E

E

Comme la densite de translation integrale converge vers

f

PT(.;z)

est de carre sommable, la premiere L'assertion (i) decoule alors de

BE+z l'hypothese (b) et de la proposition suivante : 2 Ll oc' I' application z .... z f est locale­ ment uniformement continue de H dans L1 et pour toute boule B de n situee l oc' T une distance strictement positive de an. on a :

Proposition : Pour toute fonction

f

dans

220

(8)

(9) (f )

Demonstration de la proposition : Soit

n

supportsbornesdans

II en resulte que la suite z

L1(B)

,

L2(B+z)

( f

z n

, et que

De plus, pour tous

z,z'

dans

n

dans

+

(f n)

f

+

z

,f - ,f n z LI(B)

sur tout borne,

etant faiblement convergente dans

L l oc'

positif, on a

assez grand, puis en utilisant l'uniforme continuite de z

2

dans

Lioc' que

n

i z f n - z ,f n II L1(B)

f

f n,

est bornee dans

a l'inegalite (8) montre que la suite (f n) est On ecrit alors (7) pour la mesure de Gauss sur Hr et pour z dans Hr2' la boule B etont celIe de H : la suite (f n) etant r simplement convergente sur n n H et localement bornee, on peut, toujours grace r a (8) passer a la limite sous Ie signe somme dans (7) pour obtenir la representation Ceci, joint

a

f

r

on obtient l'uniforme continuite de : z (ii) La suite

z

H , et pour tout entier

I z f- z f n II L1(B)

En fixant

converge vers

converge vers

)

a

une suite de fonctions continues

H telle que la suite (fnoPn) n, Pour tout couple d'entiers p,q, on a, d'apres (2)

l'hypothese (b) et

localement bornee sur

n n Hr ,

integrale suivante de

f-

(10)

sur

=

n n Hr2

: F(z+rx)(x)dr

De nouveau, pour l'etude de la differentiabilite de

f·, seule la premiere

integra Ie pose un probleme, On considere pour Ie resoudre la fonction

g

definle

221

(11)

g(Z1,Z2)

=J

f-(X),PT(XIZ

Be;+z2

O'aprss la proposition intervenant dans la demonstration du point (i), g

peut

encore se mettre sous la forme (12)

J

g(Z1,Z2) =

Be;+z2-z1

Alors, d'apres les lemmes 1 et 2 appliques respectivement aux expressions (11) et (12), g admet des derivees partielles en tout point (z1,z2) de (n 2e: n H )XH T, T qUi valent

pour tout II reste, pour achever la demonstration du point (ii),

a

verifier la continuite

de ces deux derivees partielles : Oesignant par tegrant definissant

X la fonction caracteristique de la boule z1

, on a :

=

B

E:

et par

F

l'in-

+

Ie premier accroissement tend vers 0 d'apres Ie theoreme de convergence dominee quant au second, il tend aussi vers 0 d'apres la proposition enoncee en (i). O'autre part, en appliquant Ie theoreme de convergence dominee developpee so us la forme (5) de l'integrale de surface definissant ag ---a • z2

egalement la continuite de

a

l'expression g , on constate aa Z2

(iii) O'aprss Ie point (ii), les hypotheses d'applications de la proposition 1.10 de

[10]

a

sont satisfaites sur

support borne dans

nn

HT2, si bien que. pour toute fonction W de classe HT2 et a derivee de type borne, et pour tout Z dans

HT 3 , on a la formule d'integration par parties suivante

222

I

(13)

H

= -J

H

2

T2

T

avec

Pour tout entier positif

I

H

T2

n, on a de meme

= -J

§ f x n

f (x).8 n x T2

H

En repetant l'argument developpe au debut de la demonstration du point (ii), et en appliquant l'hypothese (b), on peut alors passer

a

la limite dans chacun des

membres de la relation precedente, et on obtient ainsi

IH F(x)

(14)

-I H

fJl(x) T2

=

T2

La comparaison de (13) et (14) permet enfin de conclure. Theoreme 2 : Soit

F

une forme differentielle fermee de type (0,1) de classe

et de type borne sur un ouvert pseudo-convexe

n

de Hilbert-Schmidt autoadjoint et injectif

sur

de cIa sse

sur

n HT3,

n

de la forme

Pour tout entier

n

F n

telle que

la forme

est l'application lineaire de

df, fferentielle

n E

j=1

C1

2n

=

n, on peut trouver une

elf

sur

n.

[n

z

dans

dans

H n

nn, avec defin1e par

defin1e sur l'ouvert pseudoconvexe

Aj.Fj(TnZ)dZ j

If'" n (z)

f

= F.

X convexe croissant assez vite, qUi

"F II

pour tout

n

Tn

§f

positif, on pOSE

F (z l

Si

H. Alors, pour tout operateur

H, il existe une application

etant de type borne sur

XC-Log d(.Jan)) avec

soit plurisousharmonique sur

dans

solution de l'equation

Demonstration: L'application fonction

T

'fo

est de classe T (z) + n

1

, 2

[n

la mesure de Lebesgues dans 1R 2n e t /\=

E n

par

fermee et s1 on pose

pour tout

z

dans

En' on a, en notant

223

En outre.

-v

est une fonction plurisousharmonique sur

n

de p.s.h.

[BJ

si bien que d'apres

fn

4.4.2l. il existe une fonction

{I

-'"n = 'F"n

af

E

En posant

f

12 . e-

t

n

n n

sur

'"

(zl

donc une application

f

f

n

E • avec 1 n

(lemme 4.4.1 et demonstration du theoreme

de classe

sur

En' telle que:

E n da 2n (2'JTl n

Z1

( , •••.•

n 1\1

telle que

z

n l pour tout

An

co

z = r

j=1

z.e.

J J

dans

nn. on dBfinit

Puisque toute boule est incluse dans un cylindre nn pour n assez grand. la -If 12 suite (f.e n lest bornee dans L2 et on peut donc. modulo une extracn 1 oc t f on, supposer qu'elle converge faiblement dans cet espace vers une fonction g

=f

e- f / 2

ou

et toute boule

fest B

pour tout entier

de

n

n.

D'autre part. pour toute fonction

f

de

positif.

ce qui. avec Ie theoreme de convergence dominee. montre que la suite faiblement vers

h

on a :

dans

converge

: on est en position d'appliquer Ie theoreme 1.

224

n un ouvert pseudoconvexe dans un espace de Frechet nucleaire un recouvrement ouvert de n, et soit {gij f ACn/, nj )}

Theoreme 3 : Soit a base

E. Soit

Wi} i E I

une donnee de Cousin de premiere espece, subordonnee a ce recouvrement. Alors, pour

K dans

toute partie compacte convexe equilibree tel Ie que, si

E

K

designe l'espace de Banach engendre par

sur Oemonstration:

E, il existe une famille

O'apres

pour tout

i,j

{f

K, on ait :

dans

i}

1.

[11], E est la limite projective d'une famille denombrable

d'espaces de Hilbert complexes

H

(=

p

complete de

E

pour la norme

les

1 + HP etant des operateurs nucleaires. O'autre part, par application p+ de classe 'Cl'" de n dans un e.e.c. quelconque, on entendra, suivant en cela [9J une

injections

H

application differentiable a tous ordres au sens de Frechet (borne-differentiable selon

[1]),

les differentielles successives etant en outre de type borne: on sait

alors en particulier que la loi de composition est satisfaite. 1 - Comme, pour tout

x

dans

E

et pour tout voisinage ouvert

lfx et una norme pour Iaquelle

E, i l existe une fonction numer-Lqua soit une fonction de classe

!.l\p(X)

> 0

V de

x

dans

telles que et

{lfxol.llp(x) > O} C V, on peut supposer que Ie recouvrement{?.i}ieI est,quitte a en prendre un raffinement, constitue d'une famille denombrable d'ouverts du type =

{1O. °

or.

> En reprenant alors la construction de [2J, comme Ie fait [9J, Pi on exhibe une partition de l'unite, soit , possedant la propriete locale

ni

11.11

suivante : Pour tout tif, un indice V(x)

x

dans

i(x)

n,

il existe un entier

et un nombre positif

= Bp(x)(x,£(x)) nEe ni(x)

dans

Hp(x)

centree en

x

£(x)

ou

est une fonction de classe existe une fonction

O'autre part, pour tout Supp

V

en

tels que

i

v

x

gi(X)l

v

N(x)

posi-

designe la boule ouverts

£(x). a

vex) (nulle pour

V

> N(x))

'e'" de la norme 11.llp(x)' c'est-a-dire qu'il de classe

, il sxiste un entier

positif, un entier

tels qus

Bp(x)(X,£(x))

et de rayon

- pour tout entier V, la restriction de

p(x)

dans

n, et pour tout indics i

q (x) V

sur IR, telle qus :

et uns boule

B

qv

tel que v ()(x,n (x)) de

x

V

H

q (x) V

soit analytique st bornes pour la topologie de la norme V

(x)

225

dans

Bq (x) (X'T1}xll () Il, et te1s que Ie deve l.oppernerrt taylorien de

v

prolonge en une fonction analytique bornaa En resume, pour tout r(x)

max{p(x)

R(x)

min{e:(x)

gi(x)i(y)

sur

'"

E '"gi(x)i ",V

gi(X)i

sur la boule V

+ givi(y) definit une fonction qui est Ie prolongement de v Br(x)(x,R(x)) () Br(y)(y,R(y)).

K une partie compacte dans

Soit maintenant

existe une famille finie J

K CUB

j=1

de

de

[aJ

definie comme dans

F

Il : d'apres ce qui precede, 11

K tels que

ou

(xj,R(x.)) rK J

et, comme chacune des injections F

J.

dans cette boule [7 v Il, il est possible de trouver un entier positif

dans

gUx) i

se

v

1,2, ••. ,N } ' et un nombre positif X 1,2, .•• ,N }' te1s que la fonction x

prolonge en une fonction De plus,

x

gUxli"

'"

est continue, la forme differentie11e

par :

a(E

=

V

fermee et uniformement

2 - Soit

k

vement compacte de

n

E ; k est a fortiori une partie re1atiK Il ( : pour 1a topologie de E), et son enveloppe A(Il)-convexe "k

une partie bornee de

est contenue dans

"k nombre de

Il () E K est bien contenue dans

Il

Il

qui est pseudo-convexe et, de plus, i1 existe un

A positif tel que: k C A.K, ce qui entraine que l'enveloppe convexe fermee

k

dans E est contenue dans E K• II existe donc une exhaustion de Il () E formee de parties bornees K, vexes, soit {k n}.

A(Il)-con-

3 - On va maintenant demontrer Ie resu1tat suivant : Pour toute partie compacte positif

p

dans

Il

et pour tout voisinage ouvert

pseudo-convexe dans Soit

k

{en}

H

p

tel que : k

ewe

une base de l'espace

n EK,

V de V.

A(Il)-convexe, pour tout entier k

dans

H, il existe un ouvert p

w

E, qui soit aussi une base orthonorma1e de

l'espace de Hilbert

H et, pour tout entier positif n, on designe par TIn (resp. Pn) p 1a projection (orthonormale) de E (H) sur Ie sous-espace de dimension finie p

226 j=n

E

n

e

It.e , On sait que la suite

converge vers l'identite quand

j

j=1

vers l'infini. uniformement sur les parties compactes de En particulier. pour

n

assez grand. TInk

contenue dans

n. De plus. pour tout ouvert

un entier

positif tel que l'on ait

N U

est l'enveloppe

A(Ql-convexe de

TInk

(pour

n

k

dans

TInkl. 11:

n

dans

E.

H • i l existe p

Dn - un En

assez grandl sont contenus dans un compact fixe de

x. Pour toute fonction

tout

p

U contenant

bien qu'on pourrait extraire une sous-suite point

E(H l.

est une partie compacte de

Montrons-le par l'absurde : i l existerait une suite compacts

tend

f

dans

convergeant dans

A(nl. l'inegalite

If(xnll

mais les

n.

si

Q. vers un

If1TIn(kl

pour

n. donne par passage a la limite

c'est-a-dire : x

E

k = k CU. ce qui est contradictoire.

Pour tout nombre positif

a. on note par

V

a

l'ouvert

v = {xeV/d(x.aVl > a}. a

Si

£

est la distance de

ce qui precede un entier

k

au complementaire de

V. on peut trouver d'apres

N pour lequel :

...........

Pn k C Enn V£/4

\I pour tout

n

p

£/4


0

0----'> Fxl y - ? F $ FX/Y2 - ? F x1z X1 Y1

--->

0 •

X,

K•

246 Tout comme la cohomologie moderee

a

support ou les images directes mo-

derees (ordinaires ou super-i eur-e s}, le complete formel ou les images directes

a

support propre "algebriques" (ordinaires ou super-i eur-e s ) se calculent en utilisant 1 IAnalyse. La version duale du theoreme 3.8 et de la proposition 3.11 (Cor. 3.12) est le

(Le.

THEOREME 4.2. - (i) On a un quasi-isomorphisme est une resolution "de Dolbeault" de

0xly) •

(ii) On a une egalite (dans la categorie derivee)

Remarquons tout de suite que (ii) est equivalent

a

(iiI) :

°

et

On a note

a

coefficients

par par

pour

Ie faisceau des formes differentielles de type

C= au sens de Whitney sur

Y (prolonge par

°

2';; k •

(p, q)

en dehors de

Y),

Le complexe "de Dolbeaul t" correspondant (operateurs differentiels

IP,q

(X.Y)

C= sur

Ie faisceau des formes differentielles de type

X, infiniment plats sur

(p, q)

a

coefficients

Y.

D'apres le theoreme de prolongement de Whitney ([44J, Th. 4.1) on a le tliagramme de suites exactes

°

°,.

I (X, Y)

EO, • X

EO, • Y

°.

Il est par ailleurs clair que l'on a des morphismes naturels

°

A

0,. Ey

Ox

,

dent Ie premier est un quasi-isomorphisme. On en deduit le morphisme

247 de triangles rO, •

/ EO, ....< 1---- EO, • Y

rl su££it bien

d'etablir le theoreme pour

X

F

Ox • Commeru;:ons par le

LEMME 4.3.- Les conditions (i) et (ii) du theoreme 4.2 sont equivalentes. Ceci resulte evidemment du morphisme de triangles que l'on vient d'ecrire. Soient

Y1 ' Y2 ' Y, Z

comme dans la Proposition 4.1.

On

a une suite exacte

(cf. [44J). Compte tenu de la Proposition 4.1, on en deduit le LEMME 4.4.- Les conditions suivantes sont equivalentes (i) Le Theoreme 4.2 est vrai pour

Y Y 1' 2

et

Z •

(ii) Le Theoreme 4.2 est vrai pour

Y Y 1, 2

et

Y.

LEMME 4.5.- Le Theoreme 4.2 est vrai si On

a X

se ramene

0, •

EU"

O,q

FN, E ro t

cients series formelles (produit denombrable de c onc lure 0cPlfO}) •

( EO, •

U"

On

X.

u· x U" (u' c cP , U" c cn - p , polydisques ouverts de centre 0) ,

y."; Cn-PnX • On a

de faisceau de

Y est une sous-variete de

0,.

i : U'

C

t

EO, q U"

etant muni de sa structure evidente

etant compose de formes de type

U'}

a

A

®E f O

p

(O,q) ,

a

coe££i-

variables et egalement muni de sa topologie

FN

C) • Une formule de KUnneth topologique [22J permet de

est une resolution de

0U"

et

EO,.

°U'

une resolution de

observera la dualite de cette situation avec celle du theoreme des

248 noyaux [62J.

On

en trouvera plus loin une generalisation.

LEMKE 4.6.- Le Theoreme 4.2 est vrai si

Y est une hypersur£ace

a

croisements

normaux. Ceci resulte immediatement des deux lemmes precedents. PROPOSITION 4.7. - Soit

£: X - X 1

une application analytique propre

etant des varietes analytiques). Soit Y 1 = £-1 (v) • On suppose que

£

YcX

et

(X

un sous-ensemble analytique.

est un isomorphisme de

X - Y

1

1

sur

X

1

pose

On

X- Y

Alors l'application naturelle La proposition resulte £acilement de [12J Prop. 2.19. LEMKE 4.8.- Dans la situation de la Proposition 4.7.,

La premiere egalite s'etablit en remarquant que, pour k£O R * X 1

1Sk, on a un isomorphisme

k A 'y 1 - Rk£OA * X 'y : R £* Ox 'y 1 1 1 1

est coherent

a

support dans

Y ([20J, [6J). Pour montrer la deuxieme on constate que, d'apres

a

support dans

Y [20J ; on a utilise [6J).

Nous avons maintenant tout ce qu'il £aut pour etablir le Theoreme 4.2.

Y est de

Une nouvelle application du lemme 4.4 ramene le probleme au cas ou codimension

(de£ini par

g)

en appliquant le theoreme de desingularisation

d'Hironaka [29J, on se retrouve dans la situation du lemme 4.8, avec ments normaux dans

Xl

• On voit alors que

1(

T Ox IY 1 1 A

/0) X 1

0,.

= I(x

i '

y) 1

Y1

a

croise-

(lemme 4.6,

249 condition (ii')), donc que

(lernme 4.8

et Proposition 4.7

sont fins, donc

les faisceaux

f

*

-

acycliques). Ceci etablit le Theoreme 4.2 (condition (iiI)). On laisse expliciter au lecteur la remarque "duale" de 3.12

(* ) • La

remarque "duale" de 3.13 est (avec les memes notations) la Remarque 4.9. : Le faisceau

[43J de

Zest

0xIY

J

des jets formels

Z

a

(i.e. le complete formel de

coefficients analytiques 0z xz le long de la diagonale).

Nous reviendrons plus loin sur cette question.

V. DUAL

ITt ET

THBOld:MES DE COMPARAISON.

a

On revient

applications naturelles

la situation de II (avec les memes notations). On a des Rf

=­[YJ

*.

S

B+ ' ­ Re =

et

-

• Nous nous propo-

sons de les "comparer". (En utilisant bien sur le fait que ces applications sont "en dualite"). Ce faisant nous generaliserons un t h eor­erne de comparaison "classique" : le complete formel

est une resolution de

(theoreme dont la

compact) est due independamment

a

Deligne (non publie) et

Herrera-Liebermann [28], et la version faisceautique

a

Deligne (methodes "cristal-

version globale (X

lines" ; non publie) et Hartshorne [25J). Nous reviendrons sur cette question dans VII en etudiant le cas particulier ou

S·

(r-esp ,

De Rham) d'un sys teme

le cas

S·

=

,

C'"

r-epr-esent e les "solutions" (r-esp , le complexe de

D -coherent ho l onome , Dans ce cas particulier (qui contient X

cornme "solutions" de

X = en , Y = fonctions

s*·)

If ,

le comp lexe

au sens ordinaire sur

nous donnerons une autre demonstration

est une resolution du faisceau des X , qui est bien en "dual. i t e " avec

'D

X'

250 des tneoremes de comparaison (ut ilisant des techniques delicates de

DX - modules)

La premiere etape est Ie LEMME 5.1. - (i) Les complexes

sont en dualite (topologique) DFN •

r (X-S· c .'

EO,.)

@

Ox y

et

sont en dualite (topologique) DLFN(*) • (iii) Les complexes

sont en dualite (topologique)

Ie premier est du type

DFN , Ie second du

L'assertion (i) utilise Ie Theoreme 4.2, l'assertion (ii) Ie Theoreme 3.8. L'assertion (iii) (dans l'esprit de [64J) est facile; si

a

S·

est reduit

un seul objet, on retrouve (dans un cas particulier) des theoremes de dualite

de Golovin et Andreotti-Banica [19J, [2J. Raffinant un argument de [31J, on obtient (modulo un peu d'algebre homologique) Ie

(*) Contrairement

a

l'assertion analogue du Lemme 2.1, cette propriete (ii) est ici

indispensable. (La situation n'est plus symetrique en

S·

et

S*·).

251

LEMME 5.2. - (i) Soient sur [U

F

X. Pour tout point de

i}

x

=

(j

k

des faisceaux analytiquement constructibles

x EX, i l existe un systeme fondamental de voisinages (Fj)x

soient des

1, ••• , k) •

(ii) Soient

a

••• ,F

tels que les applications naturelles

isomorphismes

X ,

1,

S;, ...

des complexes de

f-espaces vectoriels sur

cohomologie bornee et analytiquement constructible. Pour tout point

il existe un systeme fondamental de voisinages cations naturelles

(Sj)x

[U

i}

de

x

x EX,

tels que les appli-

soient des isomorphismes

(j

=

1, ••• ,k)

On peut alors etablir le result at fondamental de cette partie

"

, 5.3. - (i) THEOREME

est

*.

seulement

a

cohomologie analytiquement constructible si et

l'est.

(ii) S'il en est ainsi, on a

(Les

sont des complexes de cofaisceaux [1J, [9J).

cohomologie analytiquement constructible

) aLes espaces

• Hk( X;Sx/y ,H k( c

d'une topologie sep ar ee de

C, Hk( X;Sxly

• ) Hk( X;Sxly

et

sont naturellement mun i. s

est somme au plus denombrable d'exemplaires

est produit au plus denombrable d'exemplaires de

*.)

Hm-k( c

b) Les espaces les

*')

C

) sont en dualite ( topologique. sont de dimension (sur

sent les duaux (algebriques) des

C) au plus d enombr-eb Le

j

252 (iv) Si est

a

est

a

cohomologie analytiquement constructible, alors

cohomologie analytiquement constructible.

(v)

Si

S·

est

a

cohomologie analytiquement constructible,

(vi) Dans les conditions de (iv), les espaces

et

sont naturellement munis d'une topologie separee ; les au plus denombrable d'exemplaires de plus denombrables d'exemplaires de

e, les e

sont sommes

H;(X;RCyS*·) • ) Hk( KiSxlY

les

et

sont produits au

et les

m-k( XiRCyS*.) HK

sont en dualite (topologique).

a

Supposons d'abord Notons

cohomologie analytiquement constructible.

D = RHome X(.)

est

X

ment constructible. Choisissons un ouvert

Verdier [69J, [67 J) ; on en deduit que

a

cohomologie boz-nee et analytique-

U comme dans le lemme 5.2 (ii) pour

c (u

* .)

mension finie. En appliquant le lemme 5.1. (i), avec est aussi

a

X

=U

, on constate que

cohomologie de dimension finie et que cette cohomologie

est celle de Si

est a cohomologie de di-

11 est facile de conclure.

est

a

cohomologie analytiquement constructible, on utilise une (i) par (ii) dans l'application du lemme 5.1. On a

methode analogue en

ainsi prouve (i) et (ii). Le reste va de soi ou s'etablit suivant des raisonnements similaires. L'une des applications les plus interessantes du theoreme precedent est le I

\

THEOREME 5.4. - Si

*

est

a

cohomologie analytiquement constructible, les

deux conditions suivantes sont equivalentes

253 (i) L'application naturelle

est un quasi-isomorphisme. est un isomorphisme

(ii) L'application naturelle (dans la categorie derivee).

Le theoreme 5.3 montre en effet que, dans ces conditions, si est

a

a

cohomologie analytiquement constructible,

_l) * g_[y_

•

sont tous

cohomologie analytiquement constructible. On conclut en utilisant le fait que

D X

conserve les isomorphismes dans la categorie derivee. Remarque : Pour que suffit que

so it S· , so it

, ou

a

a

cohomologie analytiquement constructible, il

cohomologie analytiquement constructible. C'est

en pratique dans cette situation que l'on appliquera le theoreme. COROLLAIRE 5.5. - Les deux conditions suivantes sont equivalentes (i) L'application naturelle

est un quasi-isomorphisme.

(ii) L'application naturelle

est un quasi-isomorphisme.

En utilisant le Theoreme 3.9, on en deduit le theoreme d'Herrera-Liebermann, Deligne, Hartshorne [28], [25] : TH80REME 5.6. -

On

En effet

ales quasi-isomorphismes S

.

= S*. = OX.

Cy

est une resolution de

Cx .

done

a

cohomologie

analytiquement constructible(*). /

DEFINITION. - Si les conditions du Theoreme 5.4 sont realisees, on dira que est regulier le long de

Y. Si

S·

est

le long de tout

Y analytique,

on dira qu'il est regulier, ou Fuchsien.

(*) Inversement si 1 'on prouve "directement" le Theoreme 5.6, on en deduit le Theoreme 3.9. cf. Remarque 7.5'.

S·

254 PROPOSITION 5.7. - Pour que

S·

soit regulier, il suffit qu'il soit regulier

localement le long de toute hypersurface. C'est une application immediate de la Proposition 3.4. En pratique il pourra etre difficile de verifier que

S·

est

a

cohomo-

logie anuytiquement constructible. Une c l as se par-t acul i.erement interessante d' exemples sera fournie par les solutions de

D - modules X

D - coher-en t s holonomes X

(surdetermines maximaux). Dans ce cas particulier on peut obtenir les resultats fondamentaux de comparaison par une autre methode. Nous avons besoin pour cela de quelques resultats techniques. Ils sont l'objet de la partie suivante.

I

VI. QUELQUES FORMULES DE DUALITE FAISCEAUTIQUE. Il s'agit, soit de formules de "geometrie analytique" soi t de formules d' analyse algebrique

(Ox-modules),

(D - modules). Les enonces et les demonstra X

tions sont similaires. On designe toujours par

X une variete analytique, par

un sous-ensemble analytique. I

\

THEOREME 6.1. - Soit complexe borne de on pose

G'

=

F

un

Ox - module coherent (ou plus generalement

Ox -modules coherents,

x

a

di£ferentielles

F'

un

Ox -lineaires)

(F' ; Ox)

On se ramene

a

F'

Ox

(la question est locale), puis au

Y

255 cas ou

Y est defini par une equation

9

(Mayer-Vietoris). On utilise ensuite

les suites exactes

la premiere est une resolution conde est

FN -libre

sa topologie

(O(c)

a

la fois libre et

DFN -libre et libre ; la se-

est I 'espace des fonctions errt i er-es de

t

muni de

FN) •

(Pour la definition et Ie calcul de

Homtopo

x

,on se reportera

a

[57J).

On peut alors etablir Ie lemme suivant, qui permet de conclure LEMME 6.2. - (On suppose que

Y

= V(g).)

Remarque 6.3. : Reprenons les notations des remarques 3.13 et 4.9. On ales formules de dual.Lt e

Ces formules expriment la dualite entre d'une part et

J

Z

(ou

J

Z

les structures de

D

z

et

J

Z

designe les "jets conve rcent s "}, Utilisant sur

' d'autre part

D;

DZ' D; , jz ' J Z

0z - modules fournies par Le "premier facteur", on ad' autres

256 dual i.t es :

On passe du premier type de formules au second par dualite relative [56J, [57J, en

utilisant 1 'application

Si

S·

et

Par exemple :

P2: Z XZ - Z

S*·

sont deux complexes de fibres et operateurs differentiels

d'ordre fini, transposes l'un de l'autre, on obtient, sans difficulte, la generalisation suivante du Theor-eme 6.1. (On suppose les op er-ateurs de

(On a note

Liebermann dans

B'

[37J

X,r

le complexe de De Rham du

RHom B' X,r

S·

d'ordre ';;r .)

n - ieme ordre introduit par

est defini dans le meme art icle ; on prendra

garde au fait que cette operation n'est pas a priori compatible aux quasi-isomorphismes de complexes

a

a

operateurs differentiels [8J, c'est toutefois le cas ici

cause de la nature p ar-tLcu.Li.e r-e de

R'

-lC,r

= RHom

(B ' ;0) = OX X ,r"lC

-v

(B ' ;0).) X ,r-lC X

Remarque 6.5. : 11 existe des variantes du Theoreme 6.4, generalisant les autres assertions du Theoreme 6.1 ; elles utilisent le foncteur

RHomtop B' (.

•

X

question sera etudiee dans un autre article. Remarque 6.6. : La variante globale compacte

(X compact) du Theoreme 5.3 peut

se deduire du Theoreme 6.4 en travaillant comme Herrera-Liebermann dans [28J. La version locale aussi mais c'est plus delicat (on ne peut utiliser les suites spectrales qui se topologisent fort mal).

257 Remarque 6.7. : Nous avons vu que

peut s'interpreter comme un complexe

de faisceaux de "courants algebriques", tandis que

rf:P

s t Lnt e rp re t e comme un

X!Y

faisceau de formes "de Whitney" holomorphes. Le Theoreme 6.1 met ces deux objets en dua.l i t e "faisceautique" sur

OX; on a ainsi une "localisation" de la dua.l i.t e

de Schwartz.

Pas sons aux r esu'l t at.s analogues pour les Soit

un complexe borne de

M·

cation contraire les

a

propose cations

D -modules. X

D - modules c oh er-errt s , (Sau£' specifiX

D -modules consideres sorrt des modules X

est fonctoriel en

la Proposition 3.5 pour

a gauche). Le calcul M

(pour les appli-

D -lineaires en ecrivant les choses du bon cote) ; on obtient ainsi un X

representant de de la forme

dont les objets s on t des sommes finies de

(N

N[g - 1J

M·

les objets de

D -modules X

D -coherent ) ; ce representant est borne. Si, de plus, X

sont holonomes (surdetermines maximaux), les

N[g-1 J

sont

DX-coherents et holonomes (d'apres un result at de Kashiwara [30J, [33J) representant de

est done forme d' obj ets

notre

D - coh enerrt s holonomes X

(cf. Remarque 3.6.). PROPOSITION 6.8. - Si

M·

est un complexe borne de

D -modules coherents holoX

admet un representant qui est aussi un complexe borne de

DX -

modules cOherents holonomes. Quel que so it l'entier forme de

r

=- k

, avec

Dx-modules

objets sont

L·

r

(aussi petit que l'on veut : i.e. de la

kEN, grand), i l existe, localement, un c ompLexe parfait et un

r-quasi-isomorphisme [68JL·

M·(L·

est borne, ses

Dx-libres de type fini) [72J. Pour simplifier l'exposition nous

ferons dans la suite comme si on avait toujours une telle situation avec un quasiisomorphisme. (Les modifications necessaires pour passer au cas general sont mineures) •

258 On pose

et

Sol (Mo) = RHom D (MO; OX)

DR(MO) = RHom D (OX;MO) ° Si X

X

LO

est un representant parfait de

MO , on a

Sol(MO)

=

(LO;OX)

et

DR(Mo)

X

scm, (K' (a/ax. ;D ; L0) x) 9

--D

de

(ou

KO (a/ax; D x) 9

X

Ox; on s'est restreint

a

le representant obtenu pour

ou

S·

et

S*o

un ouvert de coordonnees) [45Jo Utilisant

DR(Mo)

Sol (MO)

tant obtenu pour

est la resolution de Koszul "gauche"

est quasi-isomorphe au transpose du represenSol(MO)

a finalement

On

= SO

et

DR(MO) = S*0 ;

sont des complexes bornes de fibres holomorphes et operateurs

differentiels d'ordre fini, transposes l'un de l'autreo Nous sommes donc dans la situation etudiee plus haut o PROPOSITION 609o - Si (i) Sol(M') (ii) DR(M')

en deduit par exemple

On

MO

est

est

a

a

objets coherents holonomes

cohomologie analytiquement constructibleo

est a cohomologie analytiquement constructible °

L'assertion (i) est due

a

Kashiwara [31J; (ii) s'en deduit, d'apres le

Theoreme 2.2 (i). THEOREME 6.10 0 - soi t

M'

un complexe de

coherents et differentielles

Dx-modules, borne,

D - lineaires. X

On

a

objets

D X-

a

En d'autres termes

Ce theoreme a ete obtenu en collaboration avec Malgrange. (Zo Mebkhout a prouve

(*) Les "solutions" du "sys teme restreint" sont les "completes formels" des "solutions" du sys teme initial.

259

(independamment et par une autre methode) ce resultat pour

M'

= Ox

[5 0J).

La demonstration, comme pour le Theoreme 6.1 se ramene au LEMME 6.11. - (On suppose que

Y

V(g) .)

Ce lemme s'etablit en utilisant la resolution

Remarque 6. 12.

On montre que, dans les memes conditions,

L'egalite du Theoreme 6.10 (resp. l'egalite ci-dessus), fournissent, en appliquant le foncteur dans

(resp.

d'autres egalites. Si

Zest lisse et contenu

, on obtient d'interessantes suites spectrales. Ces suites spectrales

permettent de retrouver et generaliser des resultats importants de Ogus et Barth [52J, [7J. (On utilise un theoreme de structure de certains

D - modules holonomes X

de Kashiwara [31J et, pour 1 'analyse de la deuxieme suite spectrale des conditions de regularite). Nous detaillerons cette question dans un autre article.

VII. iQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES RBGULIERES. INDICES Soit

M', S· = Sol(M') , S*· = DR(M')

comme dans la partie pr-ecederrt e ,

On sait que l'on peut trouver un bon representant de les objets de

(borne, et, si

sont holonomes, ce que nous supposerons desormais,

M'

holonomes et coherents). Localement

(*) Par exemple

R[[yJM'

Z

rectuit

a

un point.

est quasi-isomorphe

a

a

objets

un complexe

260 parfait (modulo l'abus deja s i.qn al e )

L;. Reprenant pour le "sys t eme''

ce que nous avons fait pour le "sys t eme" sentants

*. S1

S·

1

M· , nous en deduisons de bon s repre-

*. respectivement de S1

et

(S·1

et

et

sont des complexes bornes de fibres holomorphes et operateurs differentiels

d'ordre fini, transposes l'un de l'autre). On a

S;

RHom D (RI.::[yJM· ;Ox) x

*. • On constate ainsi que,

(Theoreme 6.10) et

dans ce cas, les resultats du Th eor-eme 5.3 ((i), (ii), (iii)) pour se deduisent de 1 'application du Theoreme 2.2 a

S·

et

1

S·

et

*.

S1

Nous disposons done de deux demonstrations du 7.1. - Soi t

M·

un complexe borne de

D - modules X

D - coherents holoX

nomes. Les deux conditions suivantes sont eguivalentes (i) L'application naturelle

est un iso-

morphisme (dans la categorie derivee). (ii) L'application naturelle

.....

(M·)

est un isomorphisme

(dans la categorie derivee). DEFINITION. - Si les conditions equivalentes du Theoreme 7.1 sont satisfaites, nous dirons que le "systeme" le long de tout

M·

est regulier le long de

Y, nous dirons que

PROPOSITION 7.2. - Le systeme

M·

K·

Y. Si

M·

est regulier

est regulier ou fuchsien.

est fuchsien si et seulement si il est, locale-

ment, regulier le long de toute hypersurface.

On utilise les Propositions 3.4 Exemple

le systeme "de De Rham" K·

Remarque 7.3.

et

4.1.

Ox est fuchsien. (Theoreme 3.9 ou 5.6.)

Les conditions (i) et (ii) du Theoreme 7.1 sont aussi equivalentes L

® K·) . Cette question, plus delicate, sera

D X

261

traitee ailleurs. (Pour le cas particulier Remarque 7.4. : Les conditions

(i) ou (ii) le long de

(i)

on pourra consulter [5 0J.) M'

verifie (i) ou (ii) le long de

Y,ZcY,

verifie Z •

d'un systeme fuchsien est donc encore fuchsien.

est fuchsien,

M'

= Ox

et (ii) se "restreignent" (Le. si

Tout restreint De meme, si

M'

est fuchsien. Par exemple les systemes

sont fuchsiens.

et

Remarque 7.5. : La condition

(ii)

est stable par image directe analytique propre,

au sens suivant Soient

f : X 1

YcX

analytiques,

X , analytique propre, ou

un sous-ensemble analytique,

Y 1

x

et

X sont des varietes 1 f-1(y) • Si M' est un

(a objets coherents holonomes et borne), regulier le long de

"systeme" sur

(cf. [32J) qui est encore

RIM'

Y1 ' alors

-t

a

cohomologie coherente et holonome

f

(cf. [32J pour un cas particulier) est regulier le long de

Y. Ceci resulte d'un

theoreme de comparaison de Banica [6J, gneralisant un theoreme de Grauert [20J. deduit que si, dans les memes conditions, fuchsien. Par exemple

RIo = f X1

M'

est fuchsien, alors

R

If

M'

On

est

est fuchsien. Ce dernier resultat est une version

precisee de la regularite de la connexion de Gauss-Manin. Remarque 7.6. : Soient

X,X 1,Y,Y1,f

corrane dans la Proposition 4.7., S·

(resp.S;)

un complexe borne de fibres holomorphes et operateurs differentiels d'ordre fini sur

X

(resp. X ) 1 On

et

suppose que

s*·

S· 1 X11Y

f * S*.

-t

restrictions respecti yes

a

Soit un morphisme

(resp.

*. • S1

s' -t

On

X - Y et

le complexe "transpose" •

) A

1 X 1/Y 1

est un quasi-isomorphisme.

suppose que c' est un isomorphisme pour les X, - Y1 • Alors l' application naturelle

en

262 est un quasi-isomorphisme.

On etablit ce resultat en utilisant le theoreme de comparaison de GRAUERT-BAN1CA [20J, [6J, et la "transposee" de construi te

a

( Le.

l' aide de la "trace relative"

TX

Ix

Rf S· = Rf S·

=

*

1

*

1

S· ;

[57J). (l'argument est voisin

1

de celui employe pour etablir le Lemme 4.8(*) : T'

est un complexe borne de

a

faisceaux c oh er-errt s et op er-ateurs differentiels d'ordre fini l'application naturelle

=

"support" dans

Y,

est un isomorphisme).

Appliquant ce qui precede

a

et

on obtient une demonstration 1

"directe" du Theoreme 5.6 : on est r-amene au cas

a

croisements nor-manx qui est

facile. (Cet argument est voisin de celui de Hartshorne [25

J ;

la difference etant

essentiellement que nous n'avons pas fait usage du fait que l'on peut supposer l'application

f

projective relative).

Remarque 7.6'. : Soit

M un systeme fuchsien. Soit

Whitney, analytique reguliere vis-a-vis de dans [31J). SOit

F

pointe dessine dans

SOl(M);F

est localement

X et provient d 'une "connexion" sur a'

une strate de l'adherence de reguliere "vis-a-vis de

une stratification de

M (cf. terminologie de Kashiwara

un faisceau de cohomologie de

constant sur les strates

(X a)

X"

X ; si X

s

a

X il est vraisemblable que cette connexion est a' (Le. la restriction

X et centre sur a'

X

s

a

un petit disque holomorphe

est reguliere).

Remarque 7.7. : 11 y a diverses extensions du Theoreme 5.3, utilisant un hyperrecouvrement de dessus de

X

X, ou, plus generalement un hypersysteme de Forster-Knorr au-

(cf. Remarque 2.3). L'extension utilisant un hyperrecouvrement de

X permet de traiter le cas des sOlutions globales d'un systeme sur

(*) Moyennant une suite spectrale adequate : pour tout f* -

est 1

a

cohomologie coharente et

a

X

(et du

p E:N le cylindre de

support dans

Y.

est

263 De Rham global). On obtient alors divers theoremes de dualite generalisant ceux etablis par Malgrange dans Ie cas des coefficients constants [42J. II Y a aussi des versions relatives, et meme des versions relatives singulieres (sans hypothese de proprete), generalisant Ie resultat central de [57J. Si l'on applique ce formalisme au cas du "sys t eme de De Rham" (dent il existe une version s inqul.ae re ) on obtient la cohomologie et l'homologie "de De Rham" etudiees dans [25J. Ainsi la dualite relative de Poincare-Verdier [67J, apparait (dans Ie cas d'une application analytique entre espaces analytiques) comme un cas particulier de notre dualite (qui est une dualite a la Serre) (*). Dans Ie cas lisse absolu des theoremes de dualite globale ont ete annonces par Z. Mebkhout. Les techniques sont voisines des notres. Designons toujours par holonomes, par

M'

un complexe borne de

Y un sous-ensemble analytique de

l'obstruction ala regularite de

M'

Le long de

par une fonction a valeurs entieres definie sur

D -modules coh er'errt s X

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INSTlTUT DE RECHERCHE MATHEMATIQUE AVANCEE Laboratoire As soc i e au C.N.R.S. Universite Louis Pasteur 7, rue Rene Descartes

67084 STRASBOURG CEDEX

278 Septernbre 1977

- ADDITIF A

"VARIATIONS SUR LE THEME "GAGA" par

J. P. RAMIS

Le Theoreme 4.2 (i) (page 246) a ete obtenu independarnment par J. BINGENER [73J (la demonstration est assez voisine de la n8tre).

On

peut egalernent prouver

Ie theoreme en question en reunissant un resultat de KRASNOV [75J et un resultat recent de DUFRESNOY [74J : On peut s'interesser

a

la situation du Theoreme 4.2 dans Ie cas, plus

general, d'un ferme analytique reel

Y; si

Y est, de plus, holomorphiquement

convexe, on peut assez raisonnablernent penser que Le complexe

est acyclique

en degre "' 1 ; DUFRESNOY a obtenu [74 J un joli r-e su'l t a t dans cette direction par des methodes

"a

la IDRMANDER" ; dans la situation de notre theoreme 4.2 cela

fournit une partie du resultat, et l'autre partie a ete demontree par KRASNOV (il s'agit de

o

X!Y =

Ker

-y

EO,,)) Y

[75J (Th. 4, p. 856) • (La resolution

des singularites n'est done, pour Ie moment, indispensable que pour cette seconde partie de la demonstration.) Dans notre demonstration du Theoreme 4.2 on a vu apparattre de maniere naturelle l'objet on a

0xlY/OXIY. Dans Le cas Le plus simple

(X= C et

Y = 0) ,

qui s'interprete tres bien en termes de develop-

pernents asymptotiques; on peut esperer qu'il en sera de m&te dans Le cas general sous reserve d'utiliser l'interpretation en terme de

1 H

des developpernents asympto-

tiques recemment introduite par MALGRANGE [47 bisJ (Rernarques sur les equations differentielles

a

points singuliers irreguliers)(*) ; dans Ie cas general on voit

mal ce qu'est un deve'toppemerrt asymptotique au sens "natf", mais mieux ce qu'est

(*) On notera d'ailleurs les precisions qu'apportent

a

nos considerations de dualite

une telle interpretation (cf. Ie theoreme de dualite de [47 bisJ).

279 un developpement asymptotique nul ! En generalisant les idees de MALGRANGE on devrait pouvoir interpreter Le cylindre qui compare les restrictions des solutions de

• quand M'

S· = Sol M' •

et les solutions du systeme

restreint (ce que MALGRANGE fait pour une equation). S'agirait-il de "comicrolocalisation" ?

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280

Janvier 1978

- ADDITIF

II A "VARIA TrONS SUR LE THEME "GAGA" " -

par

J. P. RAMIS

Dans "VARIATIONS" ••• "

nous avons donne deux conditions equivalentes de

regularite pour un "systeme holonOme" 7.1,

M·

(conditions

(i)

et

(ii)

du Theoreme

; nous avons egalement annonce l'equivalence entre ces conditions (iii) (Remarque 7.3,

et la condition

a une

redaction des "VARIATIONS ••• " HomtoPB.

• Nous avions pense lors de la demonstration ne ces sd tant

1 'etude

du foncteur

et donc pas mal de developpements formels. (Demonstration inspiree

[50J) • Nous avons recemment obtenu

essentiellement de l'idee de MEBKHOUT dans

une demonstration tres simple de ce resultat.

THEOREME Add. II.1 • Soit

M·

x-

un complexe borne de

D

modules

x-

D

coherents holonomes. Les

conditions suivantes sont eguivalentes • (i)

L'application naturelle

(SOl

(SOl

(M·»xly

est un

isomorphisme (dans la categorie derivee) •

(ii)

Ltapplication naturelle

R

r

= -[yJ

DR (M·)

R

r DR

= -y

(M")

isomorphisme (dans la categorie derivee) • (iii)

L·application naturelle

ex>

D

L

X DX

R

r

-[yJ

est un

M·

quasi-isomorphisme (dans la categorie derivee) • Notons

x)

D(C

la categorie derivee de la categorie des faisceaux de

e-espaces vectoriels sur X, D(D (resp. D(D;» X) categorie des faisceaux de

x-

D

la categorie derivee de la

modules (resp. D;- modules)

sur

X.

281 (i)

Dans

et

(ii)

indifferemment de morphisme de

il s'agit de la categorie derivee D(C X)

D(D;)

OU

x) ;

D(C

dans

D(D;) : en effet le morphisme de

(iii)

et pour montrer que c'est un isomorphisme de

suffit de verifier que c'est un isomorphisme de

le resultat de KASHIWARA

(iii)

entraine

D(D X)

il

x

(i)

et

(ii)

(Theoreme 7.1) •

(on utilise la remarque 6.12 et

[33J , [77J , qui montre que, localement,

quasi-isomorphe a un complexe parfait de Nous allons montrer que

(i)

est un

D(C ) •

On a deja prouve l'equivalence entre Il est facile de voir que

(iii)

(ii)

entraine

est

D mOdules: modulo l'abus deja signale •• ). X(iii)

ce qui termine la demonstration

du theoreme. Remarque Add. II. 2• KASHIWARA a recemment annonce qu' il pouvait demont r-er que si M· regulier au sens de KASHIWARA-OSHlMA regulier a notre sens , *

[78J , il verifiait

(iii)

etait

et done etait

On m' a s i qna.Le que BJORK aurait pr-euve que les connexions

regulieres au sens de DELIGNE [12J sont de la forme modulo ce resultat, les resultats de DELIGNE

[12J

sol(M) , avec

M holonome**;

impliquent alors que

regulier a notre sens. Comme nous l'avions annonce dans

M est

"Variations ••• " , il semble

bien que notre notion de regularite recouvre bien toutes les notions actuellement connues. 3uivant les idees que nous avons degagees dans un travail recent si

M=

(dans

la regularite de X

; n

= dim

X)

M doit se verifier sur le polyedre de Newton de

M) •

On a le corollaire suivant COROL1AIRE Add. II.3.

L'application naturelle

isomorphisme (dans la categorie derivee).

* Remark, page ** cr, KASHIWARA

10 [77J

[77 J

•

I

plus generalement, dans le cas irregulier, ce polyedre

devrait permettre de calculer divers invariants rationnels lies a avec les "solutions Gevrey" de

[80J ,

M (en relation

282 L'idee de ce resultat est due

a

resultats etablis recemment par ce dernier

MEBKHOUT

il complete les

** .

[79J

La demonstration de l'implication

*'

[50J

(ii)

= (iii)

repose sur les deux

lemmes suivants***:

X et X deux exemplaires de X; soit A la diagonale de 2 1 lineaire (SATO [60]) X X X • On a un isomorphisrne naturel 0x 2 1 1Soient

LEMME Add. II.4.

L'homomorphisme naturel

= cp(a)D1

cp(aD ) 2

D

D X

X2

(ou

D

deduit de l'isomorphisrne

LEMME Add. 11.5.

0i

Soit

(p,q

l'isomorphisme

D X

EN)

est

D - lineaire·: X

est le transforme de

1

X 2

1

cp

D

2

par l'isomorphisme

X ) • 1

D un

differentiel d'ordre fini (a droite) de

• Le diagramme

ou

D ' opere X.].

a

D.].

(i

= 1,2)

, transforme de

D par

droite

est commutatif. Le lemme 5 se deduit immediatement du lemme 4 ; nous allons demontrer ce dernier. La question est locale et le cas general est une variante du cas ou est de dimension un • Nous supposer-ons done phisme

cp

X = C (n - 1) • Dans ce cas I' isomor-

s'explicite facilement en coer-donnees

tout element de

1\

(OX ® Ox ) 1 C

se r-epr-esent e (de manf.er-e unique) par une "ser-Le de Laurent"

*

Notre demonstration du theoreme 1 repose sur une simplification des idees de MEBKHOUT dans

** ***

Cf. Remarques

[50J •

5.1 et 5.2 de

Variantes de la linearite HP (Xill) Jf!:.,p

-[yJ

'-lC

X

[50J •

a droite de

X

de l'application naturelle [57J , r-emar-quee par MEBKHOUT.

2

283

(avec la cOndition evidente de convergence) ; on a alors k

0

cp(Q') = 2 in ( I: (-1) /(k-1)!

x1

k:Z: 1

D

Soit

=.

,m

a

(moyennant un passage a) Le cas

et

=

x 2)k

la limite) •

D

=x

Q'

et

=

x

2)k

•

remarque d'abord que l'on a l'egalite

x 1

(etablie par recurrence sur On

Q' x 2

a

cp(O'X ) 2

pEN

en utilisant

= x2

x 1

1

J

= p(o: 1

1

= 1 ) •

x

, donc (_1)k/(k_1)!

x

1

cp(O'X 2 ) = 2in(-1l/(k-1) ! «k-1) ( x 1

= (2in(-1)k/(k_1)!

x

1

=-

x 2)k

= 2in(_(_1)k-1/(k_2)!

cp(O'X )

).

II suf£it de prouver l'egalite OX 0 D = d;. n suf£it egalement, d' apnes la

1

cp, d'etablir cette egalite pour Q'

linearite de

1

On

I:

D= x

pour

Ox -

0

1= , ••

k-1

(

0:

Q'

= dx 2

)k- 2 + x

1

x

1

2

)k-1) x = cp(Q') x 1 1 1 utilisant l'egalite ecrite plus haut, pour p = k - 1 ) • 2

b) Le cas On

x Soit (ou les Soit

L•

Q' ox

a x

D

2

=-

et

0

x

2

*

S

cp(Q')

x

/ (x

1/ (x 1-x 2) k )dx 2

= _ 2in(_1)k+1/k l =

2

2

o = crx

x

1-

x 2)

k

•

=- kI (x 1-x2 )k+1

dx 2 ' done x

1

oX 1

1

et

• Ce qui termine la demonstration. 1

un complexe de la Forme

mD

mD

Ox0 - 4 Ox1

•••

D

m

0/

sont des operateurs di££erentiels d'ordre £ini operant a droite). m D D m 0 r-1 ( 0

pour une metrique convenable sur N, on peut prendre pour Y une hypersurface g. (z) J

= 0,

car la fonction Log --1---

monique sur X \ Y , puisque

I j I2 g

est alors plurisoushar-

293

id'd"

\gJ -

log

1

Si la variete X est projective,

-

0

tout sous-ensemble analytique Z de X est

est en effet a l g e b r i q u e ,

X-negligeable. Z

ic(N)

il suffit donc de prendre pour Y

la trace sur X d'une hypersurface du projectif contenant Z. Notons d'autre part que si X est compacte et kahlerienne, semi-positif et si ic(M)

est

est definie positive en un point de X,

X est projective d l a p r a s

[J

On a

ou l'on pose

Ie resultat suivant,

si

alors

I].

n

et ou dt designe

l'element de volume kahlerien S'

1. THE' OR'cME E

l'ensemble Z des

faiblement pseudoconvexe X,

zeros communs aux g.

de classe C

sur X.

HO(X,K 181M I8lN)

f

Si ic(M)

J

fl 2

q e

te1s que g.h,

0( -

J

1

\f1 2

X X Si 1a courbure de Ricci de X veri fie

ic(M)

a10rs pour 'toute

0,

Ig/- 2o..l

fl 2

On reprend Ie raisonnement Si gEL (I,ll)

2

(X,loc,E)

p,q

dt

lemme 4.4. I.

est d"-fermee et tel Ie que:

{

On a par l'inegalite de Cauchy-Schwartz, et d'apres

(],lz)l(g\f)epzIZ 4(* f

eDom T*nKer

£

>.-I/glz e-epl

(I + S) II

dt)

Z

6

Ker S.l.,

on en d e d u i t

comme dans

est vraie pour toute f eDam T'" Par Hahn-Banach,

, pour

s.

Par decomposition orthogonale de f eDam T * en f et f

(10)

[ISJ

'

=

f]

+ £Z

au £j e Ker S

que l'inegalite

(1,12)

.

il existe done

u eL

z

I (X,loc,E)

p,q-

tel que

d"u = g • ( I , 13)

tie

a

( lul z -Cf l

Jx

" q e et Cj> v e r i f i a n t les hypotheses du lemme

(I, I])

On va majntenant montrer qu'on peut trouver On a besoin du lemme suivant LEMME 1.4. (n,q)-forme

a

Si

-


.

est a'

alors

pour

Choisissons

ljJ egale a

croissante,

et est

classe C

I

assez grand

XI

0

fixons

et d"1)1

,

pour

t

egalement

compacts K

egale a

tout

e(z)!, t }

V

de

nulle

6>0.

(l,J)

de

sorte

sur un v o i s i n a g e

V •

r: OU ::(1

IR

+

-+

choisie de maniere a

IR

+

est de

assurer

classe CoO,

la condition

(1,2)

soit

pour tout choisir

telR

+

.

2

plurisousharmonique de

et

la suite exhaustive de

compact X

et dans

j

1.4.

Ie compact X

t

= dZ

0(

supposer

Soit d'autre part a On peut

,

fonction d'exhaustion,

qu'on peut

Designons

lemme

1.4.,

I

(io( ..H

=

dans une base orthonormee

e]

exp

[::(1

exp

(Xl (t) ]

0

Comme

Sup )1

Sup

° au

Xt

\d"1jvI 2 S Id" 1])) 2 1

voisinage de X

a'

on peut de plus

identiquement nulle sur un voisinage de [O,a)

Choisissons maintenant

egal e

croissante de IR+ dans IR+ id'd"lf

X2 e 0

a :(2

Q

e'

o ii

X2

est une

on a classiquement

i d 'd"

e

+·X2 II

a

e

id

'e Ad "e

f o n c t i on

con-

305

Comme (' est plurisousharmonique et que id\JAd",+, la condition

(1,14)

+

(I, IS)

et

g

( 1 , I 6)

n,q 2

a

croissante, condition

a

(X,loc,E)

a epune

ajouter

convexe,

de maniere [O,a)

,

a

de sor-

telle que

une forme d"-fermee,

O en tout point du support

ce qui autorise l'usage eventuel d'une

plurisousharmonique. precise du theoreme >0,

(X etant kahlerienne),

l'operateur

On peut egalement obtenir une version un peu plus en tout point de X,

au

la forme id 'd"