Séminaire Pierre Lelong - Henri Skoda (Analyse) Années 1980/81.: et Colloque de Wimereux, Mai 1981, "Les fonctions Plurisousharmoniques en Dimension ... Notes in Mathematics, 919) (French Edition) 3540114823, 9783540114826

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Lecture Notes in Mathematics For information about Vols. 1-700, please contact your bookseller or Springer-Verlag. Vol. 701: Functional Analysis Methods in Numerical Analysis, Pro· ceedings, 1977. Edited by M. Zuhair Nashed. VII, 333 pages. 1979. Vol. 702: Yuri N. Bibikov, Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations. IX, 147 pages. 1979. Vol. 703: Equadiff IV, Proceedings, 1977. Edited by J. Fabera. XIX, 441 pages. 1979. Vol. 704: Computing Methods in Applied Sciences and Engineering. 1977, I. Proceedings, 1977. Edited by R. Glowinski and J. L. Lions. VI, 391 pages. 1979. Vol. 705: 0. Forster und K. Knorr, Konstruktion verseller Familien kompakter komplexer Raume. VII, 141 Seiten. 1979. Vol. 706: Probability Measures on Groups, Proceedings. t978. Edited by H. Heyer. XIII, 348 pages. 1979. Vol. 707: R. Zielke, Discontinuous Cebysev Systems. VI, 111 pages. 1979. Vol. 708: J. P. Jouanolou, Equations de Pfaff algebriques. V, 255 pages. 1979. Vol. 709: Probability in Banach Spaces II. Proceedings, 1978. Edited by A. Beck. V, 205 pages. 1979. Vol. 710: Seminaire Bourbaki vol. 1977/78, Exposes 507-524. IV, 328 pages. 1979. Vol. 711: Asymptotic Analysis. Edited by F. Verhulst V, 240 pages. 1979. Vol. 712: Equations Differentielles et Systemes de Pfaff dans le Champ Complexe. Edite parR. Gerard et J.-P. Ramis. V, 364 pages. 1979. Vol. 713: Seminaire de Theorie du Potentiel, Paris No.4. Edite par F. Hirsch et G. Mokobodzki. VII, 281 pages. 1979. Vol. 714: J. Jacod, Calcul Stochastique et Problemas de Martingales X, 539 pages. 1979. Vol. 715: lnder Bir S. Passi, Group Rings and Their Augmentation Ideals. VI, 137 pages. 1979. Vol. 716: M. A. Scheunert, The Theory of Lie Superalgebras. X, 271 pages. 1979. Vol. 717: Grosser, Bidualraume und Vervollstandigungen von Banachmoduln. Ill, 209 pages. 1979. Vol. 718: J. Ferrante and C. W. Rackoff, The Computational Com· plexity of Logical Theories. X, 243 pages. 1979. Vol. 719: Categorial Topology. Proceedings, 1978. Edited by H. Herrlich and G. PreuB. XII, 420 pages. 19 79. Vol. 720: E. Dubinsky, The Structure of Nuclear Frechet Spaces. V, 187 pages. 1979. Vol. 721: Seminaire de Probabilites XIII. Proceedings, Strasbourg, 1977/78. Edite par C. Dellacherie, P. A. Meyer et M. Wei!. VII, 647 pages. 1979. Vol. 722: Topology of Low-Dimensional Manifolds. Proceedings, 1977. Edited by R. Fenn. VI, 154 pages. 1979. Vol. 723: W. Branda!, Commutative Rings whose Finitely Generated Modules Decompose. II, 116 pages. 1979. Vol. 724: D. Griffeath, Additive and Cancellative lnteract>ng Particle Systems. V, 108 pages. 1979.

Vol. 729: Ergodic Theory. Proceedings, 1978. Edited by M. Denker and K. Jacobs. XII, 209 pages. 1979. Vol. 730: Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points. Proceedings, 1978. Edited by H.·O. Peitgen and H.·O. Walther. XV, 503 pages. 1979. Vol. 731: Y. Nakagami and M. Takesaki, Duality for Crossed Products of von Neumann Algebras. IX, 139 pages. 1979. Vol. 732: Algebraic Geometry. Proceedings, 1978. Edited by K L0n· sled. IV, 658 pages. 1979. Vol. 733: F. Bloom, Modern Differential Geometric Techniques in the Theory of Continuous Distributions of Dislocations. XII, 206 pages. 1979. Vol. 734: Ring Theory, Waterloo, 1978. Proceedmgs, 1978. Edited by D. Handelman and J. Lawrence. XI, 352 pages. 1979. Vol. 735: B. Aupetit, Proprietes Spectrales des Algebras de Banach. XII, 192 pages. 1979. Vol. 736: E. Behrends, M·Structure and the Banach· Stone Theorem. X, 217 pages. 1979. Vol. 737: Volterra Equations. Proceedings 1978, Edited by S.·O. Landen and 0. J. Staffans. VIII, 314 pages. 1979. Vol. 738: P. E. Conner, Differentiable Periodic Maps. 2nd edition, IV, 181 pages. 1979. Vol. 739: AnalyseHarmoniquesur lesGroupesdelie II. Proceedings, 1976-78. Edited by P. Eymard et al. VI, 646 pages. 1979. Vol. 740: Seminaire d'Aigebre Paul Dubreil. Proceedings, 1977-78. Edited by M.·P. Malliavin. V, 456 pages. 1979. Vol. 741: Algebraic Topology, Waterloo 1978. Proceedings. Edited by P. Hoffman and V. Snaith. XI, 655 pages. 1979. Vol. 742: K. Clancey, Seminormal Operators. VII, 125 pages. 1979. Vol. 743: Romanian-Finnish Seminar on Complex Analysis. Pro· ceedings, 1976. Edited by C. Andreian Cazacu et al. XVI, 713 pages. 1979. Vol. 744: I. Reiner and K W. Roggenkamp, Integral Representations. VIII, 275 pages. 1979. Vol. 745: D. K. Haley, Equational Compactness in Rings. Ill, 167 pages. 1979. Vol. 746: P. Hoffman, r·Rings and Wreath Product Representations. V, 148 pages. 1979. Vol. 747: Complex Analysis, Joensuu 1978. Proceedings, 1978. Edited by I. Laine, 0. Lehto and T. Sorvali. XV, 450 pages. 1979. Vol. 748: Combinatorial Mathematics VI. Proceedings, 1978. Edited by A. F. Horadam and W. D. Wallis. IX, 206 pages.1979. Vol. 749: V. Girault and P.-A Raviart, Finite Element Approximation of the Navier·Stokes Equations. VII, 200 pages. 1979. Vol. 750: J. C. Jantzen, Modulo mit einem hi:ichsten Gewicht. Ill, 195 Seiten. 1979. Vol. 751: Number Theory, Carbondale 1979. Proceedings. Edited by M. B. Nathanson. V, 342 pages. 1979. Vol. 752: M. Barr, '·Autonomous Categories. VI, 140 pages. 1979. Vol. 753: Applications of Sheaves. Proceedings, 1977. Edited by M. Fourman, C. Mulvey and D. ScOit XIV, 779 pages. 1979. Vol. 754: 0. A. Laudal, Formal Moduli of Algebraic Structures. Ill, 161 pages. 1979.

Vol. 725: Algebres d'Operateurs. Proceedings, 1978. Edite par P. de Ia Harpe. VII, 309 pages. 1979.

Vol. 755: Global Analysis. Proceedings, 1978. Edited by M. Grmela and J. E. Marsden. VII, 377 pages. 1979.

Vol. 726: Y.-C. Wong, Schwartz Spaces, Nuclear Spaces and Tensor Products. VI, 418 pages. 1979.

Vol. 756: H. 0. Cordes, Elliptic Pseudo-Differential Operators Abstract Theory. IX, 331 pages. 1979.

Vol. 727: Y. Saito, Spectral Representations for Schrodinger Opera· tors With Long-Range Potentials. V, 149 pages. 1979.

Vol. 757: Smoothing Techniques for Curve Estimation. Proceedings, 1979. Edited by Th. Gasser and M. Rosenblatt. V, 245 pages. 1979.

Vol. 728: Non-Commutative Harmonic Analys•s. Proceedings. 1978. Edited by J. Carmona and M. Vergne. V, 244 pages. 1979.

Vol. 758: C. NAstAsescu and F. Van Oystaeyen; Graded and Filtered Rings and Modules. X, 148 pages. 1979.

An

continuation on page 391

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

919 Serninaire Pierre Lelong - Henri Skoda (Analyse) Annees 1980/81 et

Colloque de Wimereux, Mai 1981 "Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie ou infinie", organise en I'honneur de Pierre Lelong

Edite par Pierre Lelong et Henri Skoda

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1982

Editeurs

Pierre Lelong Henri Skoda Universite de Paris VI, Mathernatiques Tour 45-46 -Serne etaqe, 4 Place Jussieu, 75005 Paris, France

AMS Subject Classifications(1980); 32-XX ISBN 3-540-11482-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-11482-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutsehen Bibliothek Serninaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse): Serninaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse): annees .... Berlin; Heidelberg; New York: Springer 1980/81. ... Et Colloque de Wimereux, Mai 1981, .Les Fonetions Plurisousharmoniques en Dimension Finie ou Infinie": organise en I'honneur de Pierre Lelong. - 1982. (Lecture notes in mathematics; Vol. 919) ISBN 3-540-11482-3 (Berlin, Heidelberg, New York) ISBN 0-387-11482-3 (New York, Heidelberg, Berlin) NE: Colloque Les Fonetions Plurisousharmoniques en Dimension Finie ou Infinie ; GT

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Introduction au Seminaire P.LELONG,H.SKODA 1980-1981.

Ce volume est divise en deux parties. La premiere partie se compose des exposes faits au seminaire P.Lelong,H.Skoda durant les annees 1980 et 1981, qui n'ont pas deja ete publies ailleurs. La deuxieme partie reprend certains des exposes du Colloque de Wimereux , de Mai 1981, sous Ie titre: "Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie au infinie", organise en l'honneur de Pierre Lelong. On a reproduit ici parmi les allocutions prononcees a cette occasion celIe de G.Coeure et la reponse de P.Lelong. Indiquqns brievement les sujets traites dans les exposes des deux parties en les regroupant suivant leurs themes scientifiques. II s'agit toujours de travaux apportant des resultats nouveaux dans Ie domaine de l'Analyse complexe, domaine qui continue

a

se developper rapidement.

On retrouve dans ce volume des themes classiques qui sont deja apparus plusieurs fois dans ce seminaire. 1/ En premier lieu apparaissent les notions capacitaires et la theorie des fonctions plurisousharmoniques. L'expose de R.E.Molzon et B.Shiffman introduit des notions de capacite, de diametre transfini et de constante de Tchebycheff sur theorie quantitative des ensembles analytiques dans

en liaison avec la et apporte des resultats

de comparaison entre ces differentes notions. E.Bedford etend aux espaces analytiques complexes de Monge-Ampere (ddc)n

sa theorie de l'operateur

et la notion de capacite associee. Comme application, il

etend Ie theoreme de Josephson sur les ensembles localement pluripolaires certains espaces analytiques (eventuellement sans fonctions holomorphes).

a

IV

B.Gaveau et

J.Lawrynowicz definissent a l'aide de la theorie des jeux de Von

Neumann une integrale de Dirichlet puis des notions capacitaires invariantes par isomorphisme analytique. Leur approche semble assez differente de celIe qui utilise l'equation de Monge­Ampere complexe. lIs donnent une application a la physique theorique des particules elementaires. 2/ C.O.Kiselman etudie Ie nombre de Lelong de la restriction d'une fonction plurisousharmonique aux differents germes de sous­varietes analytiques passant par l'origine. II montre que ce nombre est independant de la sous­variete sauf pour des sousvarietes appartenant a un ensemble exceptionnel. L'ensemble des germes de sousvariete etant de dimension infinie, l'etude des fonctions plurisousharmoniques sur des espaces de dimension infinie apparatt ici comme particulierement naturelle. Une question posee a cette occasion a Wimereux par C.O.Kiselman a suscite une reponse de P.Lelong qui donne un nouveau moyen de calculer ce nombre et en deduit un lemme de Schwarz en dimension infinie. M.Blel approfondit dans son article les proprietes de sommabilite locale de

exp(­V)

ou

Vest Ie potentiel canonique plurisousharmonique associe par

H.Skoda a un ensemble analytique

X. Par une serie de contre­exemples, il montre

qu'il n'y a pas de liaison simple entre les proprietes algebriques des singularites de l'ensemble du potentiel

X

(par exemple etre une intersection complete) et les singularites

V.

V.Avanissian utilise la complexification et la notion de cellule d'harmonicite 1 introduite pour la premiere fois par Aronszajn et P.Lelong, pour l'etude des fonctions harmoniques d'ordre infini et donne des resultats sur celles d'entre elles qui sont arithmetiques, c'est­a­dire telles que

fON

n)

.

3/ Un autre theme classique du seminaire est celui de l'analyse harmonique et de la synthese spectrale • II est bien connu depuis les travaux d'Ehrenpreis, B.Malgrange et V.P.Falamodov, que ces questions se ramenent a l'etude des varietes d'interpolation, c'est­a­dire au probleme de l'extension d'une fonction holomorphe

v avec croissance

a

partir d'une sous-variete

V de

C.A.Berenstein et

B.A.Taylor d'une part, J.-p.Demailly d'autre part montrent que si les mineurs de la matrice jacobienne de l'application holomorphe definissant sent pas trop vite, alors

V, ne decrois-

Vest d'interpolation. En fait, ils construisent une

bonne retraction holomorphe sur

V dans un voisinage de

ser ensuite les methodes semi-globales pour l'operateur

V, permettant d'utili-

a.

Plus generalement, J.-P.Demailly s'interesse au probleme du scindage holomorphe avec croissance d'une suite exacte de fibres holomorphes au-dessus d'une variete de Stein . Le probleme precedent correspond au cas de la suite exacte definissant Ie fibre normal

a

V. II obtient des resultats

a

peu pres optimaux, dans Ie meme

esprit que ceux obtenus par H.Skoda dans les precedents seminaires pour les morphismes de fibres vectoriels semi-positifs. - Dans un article de la meme veine, il introduit une troisieme notion de positivite pour les fibres vectoriels holomorphes, la positivite forte, completant les notions de positivite au sens de P.A.Griffiths et S.Nakano. II compare ces differentes notions et transpose les resultats obtenus a la positivite des courants. II obtient ainsi d'interessantes relations entre les positivites faibles et fortes des courants. 4/ L'article de B.Barlet concerne les operateurs differentiels et l'etude des singularites. II observe que l'integration d'une forme differentielle

00

C

a

compact sur les fibres d'une application holomorphe d'un espace analytique valeurs dans

ne fournit pas en general une fonction

gularites de cette derniere fonction

a

les coefficients sont des courants sur

X

a

Coo. II decrit les sin-

l'aide d'un developpement asymptotique dont X. De plus, les nombres rationnels qui

interviennent dans ce developpement sont relies

a

la resolution des singularites

de

X et aux racines du polynome de Bernstein-Sato.

5/

Le

theme

support

de la theorie fine des fonctions holomorphes est represente dans ce

volume par les articles de B.Gaveau et M.Range. B.Gaveau decrit des conditions necessaires quantitatives verifiees par la courbure scalaire des diviseurs d'une fonction holomorphe dans une ciasse de Hardy

VI

de la boule de

[n. Des conditions de ce type, distinctes de la condition de

Blaschke et de celIe de P.Malliavin sont en effet activement recherchees. Un resultat similaire est obtenu pour les diviseurs dans

[n.

M. Range , dans un article de synthese, fait Ie point sur la thearie des estimations holderiennes pour

dans un domaine pseudoconvexe. Cette theorie n'est

encore satisfaisante que dans Ie cas strictement pseudoconvexe et dans Ie cas d'un ouvert convexe de

[2

a frontiere analytique reelle. II etudie egalement la regu

larite holderienne des derivees d'ordre bidegre

(p,q)

avec

q

k

des solutions explicites pour

1 . Le resultat nouveau, correspondant a

en

q >1 , est

obtenu par une modification convenable de la solution de Henkin. 6/ Le theme des applications a la Physique theorique, quelque peu oublie dans Ie precedent seminaire, reappparait ici. V.S.Vladimirov presente dans son article un panorama actuel des liens entre la Physique Theorique et les fonctions holomorphes de plusieurs variables. II montre tour a tour Ie role joue en Physique Theorique par Ie theoreme du "edge of the wedge" , Ie theoreme de l'enveloppe C­convexe, Ie theoreme de covariance finie et l'etude des fonctions holomorphes de partie reelle> 0

definies dans un tube.

B.Gaveau et G.Laville montrent Ie lien entre les fonctions propres d'un certain hamiltonien et les fonctions holomorphes verifiant les equations de CauchyRiemann tangentielles sur Ie groupe de Heisenberg. Ce lien est etablit par l'intermediaire d'une transformee de Fourier partielle sur Ie groupe de Heisenberg. B.Gaveau et J.Lawrynowicz une application

a

dans leur travail deja cite donnent egalement

la Physique Theorique.

Nous remercions les auteurs qui nous ant confie leurs textes , Madame Orion qui a prepare de nombreux manuscrits et la librairie Springer qui edite ce seminaire et qui contribue ainsi a la diffusion rapide de resultats nouveaux. Pierre LELONG ­ Henri SKODA

TAB L E

I

/

SEMINAIRE d'ANALYSE

DES

MAT I ERE S

(PARIS)

BERENSTEIN (C.A.) et TAYLOR (B.A.). _. On the geometry of interpolating varieties ........•.....•...•.......•....••........• 2

BLEL (M.). - Fonctions plurisousharmoniques et ideal definissant un ensemble analytique ........•..•..•.............•..•

26

3

DEMAILLY (J.-P.). - Relations entre les differentes notions fibres et de CQurants positifs ...•........................

56

4

"

- Scindage holomorphe d'un morphisme de fibres vectoriels semi-positifs avec estimations L2 .

77

5

GAVEAU (B.). - In t eg r a Les de courbure et potentiels sur les hype r su r

6

GAVEAU (B.) et LAVILLE (G.). - Fonctions holomorphes et particllle chargee dans un champ magnetique uniforme

7

8

LELONG (P.). - Calcul du nombre densite V(x,f) et lemme de Schwarz pour les fonctions plurisollsharmoniques dans un espace vectoriel topologique .....................•.

167

RANGE (M.). - Boundary regularity for the Cauchy-Riemann complex

177

>

.

108

.

123

GAVEAU (B.) et iAWRYNOWICZ (J.). - Integrale de Dirichlet sur une var i.e t e complexe I .......................••.•........

131

faces analytiques de

a;n

II COLLOQUE de WIMEREUX , Mai 1981 . Allocution prononcee par G. COEURE en l'honneur du Professeur P.LELONG. 187 Repons e de P. LELONG •..••••••••••••••••••••••••••••••••••••

190

AVANISSIAN (V.). - Sur les fonctions harmoniques d'ordre quelconque et leur prolongement analytique dans [n .........•....

192

2

BARLET (D.). - Developpements asymptotiques des fonctions obtenues par integration sur les fibres .........•..... , .

282

3

BEDFORD (E.). - "The operator

.........•..

294

4

KISELMAN (Ch.O.). - Stabilite du nombre de LELONG par restriction a une s oua-var i e t e ...............................•...

324

5

MOLZON (R.E.) et SHIFFMAN (B.). - Capacity, Tchebycheff constant, and transfinite hyperdiameter on complex projective space ......•...........•..•......................•.

337

6

VLADIMIROV (V.S.). - Several complex variables in Mathematical physics .........................•..............•.•.

358

Exposes faits

a

(ddc)n

on complex spaces

WIMEREUX dont les resultats parattront ail leurs __

DIEDERICH (K.) , DINEEN (S.) , GRAUERT (H.) , HARVEY (R.) , NACHBIN (L.) , SIBONY (N.) , SICIAK (J.) , SIU (Y.T.) , STOLL (W.) .

Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 20e et 21e annee, 1980-198J.

ON THE GEOMETRY OF INTERPOLATING VARIETIES Carlos A. Berenstein and B. A. Taylor

1,

The problem we want to consider here is the following.

be an analytic variety in tion.

en

and

p

(1)

I

(z)

on

I

V

V

such that

satisfying an estimate of the form

A exp (Bp (z) )

S

V

a plurisubharmonic weight func-

What are the necessary and sufficient conditions on

every analytic function

Let

has an extension to an entire function z E Cn, namely

for all

r

z E V,

satisfying the same kind of

estimate for all

I

(2)

We will then say that p).

(z)

V

I

so

A' exp(B'p(z)).

is an interpolating variety

(for the weight

Actually one has to impose some minimal conditions on

V

and

p

in order that the problem does not become trivial (e.g., no functions on

V

satisfy (1) except for the constants), and in applications to

harmonic analysis one also needs to consider the problem of multiplicities.

Rather than burden the reader with unnecessary details we refer

to our paper [5], where essentially the opposite problem is considered, i.e. given

V

find

the necessary and sufficient conditions on

that it has an extension

satisfying (2).

such

We also refer to [4] and

[5] for an explanation of the relevance of this kind of questions to mean-periodicity and related subjects in harmonic analysis. To simplify the exposition we will assume throughout that

p(z) =

Izi

and point out whether the results below hold for more general weight n functions. Hence, AP := {w. entire functions in C satisfying (2)} = space of functions of exponential type, which is a space of considerable interest by itself [10], [4]. simple

We remind the reader though, that even

looking variations of this weight

Izi

like

p(z)

=

11m zl +

log(l+lzl)

often lead to considerable extra difficulties. In this second example, A t' (IR n) = space of Fourier transforms of distribup n tions in IR with compact support. Consider first in more detail the case n = 1 where the above problem is settled (at least for p(z) = Izl) {z E C :f(z)

O}

If

V = V(f)

f E A, then P any analytic funcand (0 s: j < mk)

(counted with mu Lt i.p l i.c i.t.i.e s ) for some

V = {(zk,m zk zero of f of multiplicity mk}, k) tion on V is just a doubly indexed sequence {a k j} we have a restriction map

:=

2

p :

A(([) _

A(V)

from the space of entire functions to the analytic functions on

V,

given

by

(3 )

p lep)

In this case

p(A)

A (V)

p

:=

p

{{a

.}:

jak.1

kJ

the interpolation problem is simply put: onto? V

A exp(BlzJrl)}.

S

J

Is the map

A

p:

'

And

A (V)

P

P

In [3] we showed that the necessary and sufficient condition for

to be interpolating (for the weight

(4 )

E

for some

fe,

c

o.

>

izl)

exp

(-C

is

I

zk

I )

in

In particular, if all the points

V

are

simple, this condition reduces to (5)

0>

a result due to A. F. Leont'ev. weights

E

exp

(-C I zk I ) ,

(Similar statements hold for arbitrary

p, see [3].)

Recall that the function

f

defining

V

in the case

V(f)

V

is unique up to an exponential factor and hence (4)

is really a condi-

tion on

V S V (f)

V.

More generally, one assumes only that

As it is well known [19], this condition

V

V(f)

i

fA. P

is equivalent to

the geometric condition n (r):=

(6 )

\'(.

jZkl:o: r

which measures the {Z

E 0

p(z)

one has

=

Izl)

He shows that

trans­ V

if and only if for some

is

3

(7)

for every

Alzki + B

where (8 )

m,

J

is the "area" of

V n (B(zk,r)\{zk})'

It was shown by Gelfond that

every exponential-polynomial satisfies estimates for the constants

and

A

out that the corresponding

(see e.g.

(7)

are given).

B

where sharp

[30]

Let us also point

characterization for

IImzl + 10gO+lzl) is not known although f slowly decreasing, see [3].

=

p(z)

still holds when

(4)

V

While the technical condition

V(f),

of

being slowly decreasing is a generic condition for this weight,

f [26J

shows that some interpolating varieties cannot be defined by slowly decreasing

f.

We discuss also other natural definitions of interpolating varieties in [3],

[5 J.

In fact, there is a whole scale of such interpolat-

ing problems and the corresponsing geometric characterizations are not always completely known.

In relation to this let us finish this secion

by pointing out a small misprint in formula

(23),

[3, p.

it should

121],

read

A exp(Bp(zk;r)),

2,

k

1 f:2, .. " ...

In the case of several variables we can give sufficient condi-

tions for interpolation when

V

k,

is a smooth manifold of codimension

say (9 )

V

V(fl,···,f

N

)

{z

iC

n

f1

= f N (z)

(z )

O},

f

l,·

.. ,f

E A

N

and (10) at each point is

z E V,

Df

k.

Skoda has shown in dimension

the rank of the jacobian matrix

n-k,

area condition

[23J

then (for

that if p(z)

=

V Izl)

is a subvariety of (9)

n C

II

of

p'

il

ez ' J

1

of pure

is a consequence of the

4

(11)

a (r)

a(r)

where

denotes the (2 (n-k)-dimensional)

pare with (6)). that

=

N

Lelong).

as

O(r)

r 2(n-k)

1

For

=

k

in (9)

area of

V

lone can give a sharpening of

n

V

r

(0 r r)

-+

00

(com-

(11) ensuring

(this is included in the earlier work [18] of

Hence, for

=

k

1,

one can see that both (9) and (10) are a

consequence of this sharper area condition when

is a manifold.

V

It is also well known that algebraic varieties are characterized

a(r)r- 2(n-k)

by

being bounded [27].

The following condition analogous to as sufficient for interpolation in [5]. minors of the matrix
O. Then the function (z) :=

0

such that

give local coordinates on the open set

B,

B

(27) zk+l""

,zn

There are sections (28)

give local coordinates on Zl""'Zk

of

Z. (f.) l

J

T

over 6 .. ,

lJ

V.

B

such that 1

s i,j s k ,

8 6 --, 6Z.

Namely, set

II lJ . ·11 = Ilafill-l 16 Z .

where

J

(1 :: i

:: k),

J

I

Let us take now their normal components, that is, (29)

i

X. l

1, ... ,k.

Hence, they are linX. (f. ) Z. (f.) = 6 ..• l J l J lJ early independent and provide a local holomorphic frame for Nand

Then

Xl' ... , X

k

E N

and

corresponding local coordinates are the functions of

1;:1,· .. ,l::k, Zk+l' ... , zn for zk+l' ... , zn which define v

k

X.

jl

l

then the map

v

n

1

L + j=k+l

ai j

b ..

6

(1 ::

lJ 6Z.

N.

If

and we

i

:: k) ,

J

can be written explicitly as k

(zl"",zn) +

L 1::.l

i=l

(a. l,···,a. k,b. k+l,···,b. ). a, a, a, l,n

from the explicit formulas for a.. and b .. it is clear that lJ lJ Further we can B. these functions are bounded by Aoexp(Bop(qo)) on

Now,

assume that the tangent plane at qo is given by zl = zk = o, afi hence - - ( q ) =0 for 1:: i::k, k+l::j::n and, at that point qa' we have 6Zj a

(30)

1

detllz. (f.)11 l J

detliX. (f.) l

J

II

On the other hand, in the 1;:1,···,l::k,zk+l'··· ,zn v is given by

coordinates, the

Jacobian of the map

a .. lJ

av

det

6 (I;:, z)

: b.

I

0

i , v

----T----I I o I I I

d e t ll a .. lJ

So all entries and their derivatives are bounded by for

Z

E Band

11::1:: 1.

at the point

(qo,a),

and get that

v

11

Al exp(B

1P(qO)) Now, (30) gives a lower bound for this Jacobian

hence we can apply the implicit function theorem

is a biholomorphic map on

9

(31) Z

(Z

I

Zo

k+l, ... ,zn)'

and its image contains a ball

B(qO,eB,c

contains a subset of the form

The set described by (31)

B).

by (26)-(29), and on this subset the image of B(qO,ell,c l l).

We define

We can show now that v (w

v

DO

contains a ball

in (24) by

is globally

In fact,

if

v(wl'W

then

2,W2)

and, since

v

l)

is locally one-to-one in that region, it follows

Finally, by (14) tains

and

50

v

S (5 ,D,f)

for

it is clear that

5,D > 0

convenient.

q

B(qO,ell,c l l)

o

This concludes the proof of

the claim. The proof of the t.he or-em follows by observing that the required small change of the weight

p

on the fibres of

is a consequence of

IT

the above construction and the restrictions imposed above on the weight function

p.

0

A few simple exarnples of application of this theorem to (smooth) hypersurfaces are the following. Example 1.

Let

f

smooth submanifold of Namely, the polynomials

be a polynomial and assume

V

cn .

=

{f

=

OJ

is a

Then V is interpolating for any weight p. af af n f'-a--""'-a-- have no common zeroes, hence by zl zn

Hilbert's Nullenstellensatz [29] there exist polynomials

gO,gl, ... ,gn

such that 9 f +g

o

This identity implies

la z 1

IVfl

+

. ..

+ 9

l.

af n a zn

e (l+lzl)-m

on

V

for some

e > 0,

m

O.

10

Here

Vf

ilz

l

, · · · ,ilz

is the gradient of n

Since we are assuming that all weights 10g(1+lzl)

=

O(p(z))

p

f

! vr

and

]

its length.

satisfy the condition

the above assertion holds.

Similarly for

braic submanifolds of We should mention here that interpolation problems for algebraic varieties in

are completely understood.

then Palamodov [21], Liess [20] following statement.

and

Ehrenpreis in [10], and have given proofs of the

[6]

Given an algebraic variety

there are finitely many algebraic varieties

V.,

tial operators with polynomial coefficients

Q.

J

V (with multiplicities), UV.

(D)

J

=

V

J sary and sufficient condition for an analytic function

E A

have an extension

is that for all

p

estimates

Ae

IQ·(Dlqo(z)1

J

Bp(z)

j

and differen-

such that the neces­

V

on

to

it satisfies the

,

z

E V .•

J

When one can take all

Q. (D) = identity operator, the variety is inter­ J A particular case occurs when V = {f = OJ, f polynomial

polating.

[5, 21].

without multiple factors

Since in the above definition of

interpolating varieties, the mult:iplicities are not taken into account, one can always assume that

f

has no mUltiple factors and hence every

algebraic hypervariety is interpolating. Example 2. PO(z')

Let

+ log(l+[zn

z

=

l)

(z' ,zn)'

hyper surface since

E iLn ­ l ,

and

p(z)

then f(z)

belongs to the space

z'

Ap(iL IVfl

n)

zn ­ g(z') and

1

V =

{f

OJ

is an interpolating

throughout.

We remark that when the conditions of Theorem 1 are satisfied for a weight

p,

they are automatically satisfied for any weight

follows that V is an interpolating variety also for A q the case of one variatle it is easy to see that if a variety interpolating for a weight q

p.

p.

It In

V

is

it is also interpolating for any weight

We don't know whether this is the case for

n > 1.

Is

V

n) A (C (n > 1) p interpolating for

What happens in an interpolating manifold

V

for weights smaller

Problem 1. and

p,

q

q

let

V

be a interpolating variety for

another weight satisfying

q

p.

A

q

11

than

p

may be very hard to decide.

There is the following beautiful

example due to Demailly [8]. Example 3.

c2

V

Let

be defined by the equation

1.

V

clearly satisfies the hypothesis of Theorem 1 for

the other hand [8]

shows that if

isfying, for some integer

m

(z)

then

and

p(z) =

Izi

is an analytic function in

On

V

I

(z

is the restriction of a polynomial of degree

V

the only bounded functions on

sat-

c > 0,

2

n

1

"2

for some

Yn log x

log Yn

Rj

Let

•

n

=

n

w n

M

U(sn)

So for

U

we have

S'

on the horizontal sides and

n

or

n

n

We then have

and (29)

Then, if

with vertical sides on

h So,

>

2

Recall that on

R n

horizontal sides on R

M

+y )

X

(39 )

Re s = o = x

s

xn+Y n -2-

n

q(x n +i, n) ,

1 + dlx +h n

n

E

Using once more that

Y n




,

we s

n

16

So

U(s)

O(q(s)).

oF

LEMMA 2.

0

Let

{an}

be the set of Gaussian integers located in 2. n the union of the squares of center s = 2 and half-side 2 n/ Then n

there is an entire function {±a

of exponential type wi th zero set precisely

F

and it satisfies

n},

(40)

IF (s) I

for some

6 > O.

e -6l

sjloglsl

1 2n/2, 4

when

We omit the proof since it only involves standard estimates of Hadamard products.

We have already used properties of this function

elsewhere [3, Example 15]. We can now continue with the proof of Theorem 3.

6

Set

xn+Yn

-2-

n

with

y E >

Let

0

- x

n

(x

n

so small that the discs q(s) = U(s).

) 1/3.

Is-snl

1

4" VS n




answer

to

does there exist

E V,

E A(V),

implies there exist

An

=

{f

(47), then

and

1

(z)

I

z

Problem '7

would help

to

answer

E V.

Problem 6

affirmatively. Finally, there is one more consequence of the inequality (44) we want to point out, and it is the solvability of the V

with exponential type bounds.

that

a­equation on

In fact, as a consequence of the

Kodaira identity [12, 24] and the method developed in [14], one has the following proposition. PROPOSITION 5. defined as above by (0,1)

form in

V

V,

denote the element of volume in {f =

O},

f

E A p (C 2),

satisfying for some

P (z )

=

Iz I •

If

w

c ": 0,

e ­cjz1d()( ,,' z )

then there is a solution

u

of the equation

au

w

such that

is

V

23

e

-c I z I

dl2 (z)

In particular, if (44) and there are constants

A,B

>

fvlwl2 e-c1z1dQ(Z) 0

and solution

11

for some

c? 0,

to the above equation

such that

0 •

LEMME I. 2. I •

Soit

X un ensemble analytique de dimension pure

au voisinage de tout point regulier

VE

- Zk w p

o

de

dans

Alors

X, on a

, il existe (r > 0, K > 0, KZ > 0) telles que: 1 Kj !( 2)p (1.3.0.) [d(z,X)]Zk I+ZE

> 0

[d(Z,X)]Zk(l+E) avec V(z) :

x

p

IB(x,r)

Sp(x)!p! Zp

Iz - xl

nx'"

Demonstration. Soit

x

Pour

o

Ex'" assez petit;

'h : B(0,2r) nll:p)({O}Cll:

n

On suppose de plus que

X n B(O,Zr)

-+Il:

h(x)

To (X) : {z designe l'espace tangent a X Soit

IT

k

telle que 0

E

est Ie graphe d'une application

O.

la projection canonique IT

:

= a;P x

et

au voisinage de O.

a:n!Zp+1 en

h(O) = 0

-+

(x , y) J----;.. X

z

n

=

0 }

h'(O) =

o.

h

33

a: P

et soit '" I' application de Alors

x {O} c

a:n

a: n

dans

telle que", (x,O) = (x,h(x»

'" (B(O,Zr) nq;P x {a}) ex nB(O,Zr + 6) et ",(B(O,Zr) na:Px{o}) iJX nB(O,ZrL

S=

On peut supposer que

Ix I 0

;

:>

" e

et

z

il existe

(r>O,

K

x

-U(z)

K

2

avec

> 0)

de

Ifl

e-

.

x

(p+k=n).

telles que -2k

U(z)

Sp(x)/p! p Iz-xj2

w

o

On s'interesse maintenant aux points singuliers de V

n

IL

P

assez voisin de

2

dans

on a :

o'

>0

j

p

X

et

a voir Ie comportement

au voisinage de ces points. 2

Notons que la propriete plus forte :

d(z,X) e

-v

loca1ement sommable est fausse deja

pour une hypersurface. Exemp1e : Dans

o X =

1L

2

, on considere la fonction X = f- (0).

est un point singulier de XI U X2

definie par XI

f(zl,z2)

avec

XI

2 {(zl,z2)e a

On pose

h f z)

a

superieur

Pj(z) . h est une fonction analytique nulle en j=m+l m+1 . Done d l ap re s Le lemme de Schwartz, il existe AI>

Ih(z)I a}

Sur

D Ih(z)1 '" Al Izjlm+1 .2

m+ I/2

et If(z)I> 0, on aura If(z) On va montrer maintenant que V(z) = 2k U(z) + H(z)

avec

e

-v

).A21zJlm

1

sur

D pour

est bornee, Au voisinage de

dO(x) 2p

Iz- x l

B(O,R) e-V(z)

0,

a Ie meme comportement que

do t x)

wp

1z-x[

Done d 'apres(2,1 J, i I existe

1= I

'i

f

p

A >0 3

telle que A

3

"/

\f(z)1 1z

I

D

Alors

1

_

z 1 2kc e-V(z) dA(z) .

e-V(z) d A A2 A3

f

2 c

D

2

A2 A31 z I I m 2k Izi c

a

n'est pas sommable au voisinage de

a

Done au voisinage de

A 2>

a

H une fonction plurisousharmonique continue. Done

sur un voisinage borne deO,e-H(z) valente

un

D

a

,U(z)

est equi-

42

d\(z)IZIIZkc-Zm

d\ (z I)

f

IZ112kc-Zm

Iz]l

(d e t; E)Inf(n,r)

sont fortement (semi-) positifs. En particulier, ils sont (semi-) positifs au sens de Nakano, et les fibres E*

jg>

(det E)-I, E

jg>

(det E)-Inf(n,r)

sont (semi-) negatifs au sens de Nakano. Demonstration. II est bien connu que la courbure du fibre reliee

a

:La courbure de

E

det E = ArE

est

par la formule

= Tr E

c(det E)

c(E)

et que pour deux fibres vectoriels hermitiens

E] et E ' on a 2

Le theoreme 2 se deduit alors du theoreme ] et de son corollaire en prenant successivement Exemple. Soient

e=

i c(E) ,

e=-

V un espace vectoriel hermitien de dimension

l'espace projectif associe, 0(-]) trivial 0(-])

V sur et

i c(E*) = itc(E) .

' Q

= V/O(-I)

n+1

=

Ie sous-fibre lineaire canonique du fibre Ie fibre quotient de rang

n. On munit

Q de leurs metriques naturelles, induites par celIe de

v , et

IP n

de sa metrique kahlerienne usuelle. On a classiquement les isomorphismes metriques det Q T IPn

0(-1)*

Q jg> 0 (1)

= 0(1) Qt

Q jg> det Q

65 Q est semi-positif au sens de Griffiths, eomme quotient du fibre trivial On retrouve done d'apres Ie theoreme 2 que Ie fibre tangent posi tif au sens de Nakano (cf ,

n . Si l'on munit

T z

IP

IP

n

Q z

e = i c(Q)

au dessus du point

de la base orthonormee

dante, deduite de l'isomorphisme eanonique bure

est semi-

n

SCHNEIDER [7]), et meme au sens fort.

M.

definit une base orthonormee de la fibre de

TIP

V.

z

(nl, ..• ,nn)

=

[e

o

I

eorrespon-

Q ® det Q , la forme de cour-

T IP n

s'explicite en eoordonnees par les formules n

ILl;;. ii·1

e(1;; ® u,1;; ® u)

j=1

J

2

J

e(x,x)

pour

x =

L

X'

Jk

,

n,

J

® e

k

La forme de courbure de

La forme

Tr

Q

e

E T

TIP

z n

IP

n

® Q

z

•

s'ecrit donc

e ® Id Q Q 2 . II n'existe donc pas

est defin.ie positive, mais la forme

est seulement semi-positive au sens de Nakano si

y < 1 telle que

n

e + Tr

e + y Tr

® Id 0 , et en ce sens Ie resultat Q Q du theoreme 1 est Ie meilleur possible. En ce qui concerne Ie corollaire I, Ie

de constante

lecteur pourra verifier que 1 'inegalite Q ® (det Q)-I

que dans cet exemple Q

0

sans avoir

du fibre trivial

0 • Lorsque

Q;;'N 0 , et qu'on a V*)

sans avoir

Q* ® (de t Q)n

n

0

2 , il apparait qu'on a

Q*';;;N 0 (puisque

Q*';;;s 0

est optimale, mais

Q*

est un sous-fibre

(ce qui entrainerait

Q

0 ! ) .

66

3. COURANTS POSITIFS. Seules les proprietes ponctuelles des courants seront etudiees dans ce pa-

a

ragraphe, de sorte qu'on se limitera

la consideration des formes differen-

tielles. La premiere definition des formes et des courants positifs a ete donnee par P. LELONG [51. Soient

T un espace vectoriel complexe de dimension

Ie complexifie du R-dual de sur

T. Pour tout entier

c

T

AP,q F

n, F

=

l'espace des formes de type

(p,q)

p, on pose

ru:l.)

. p

(1:.) 2

P

(-I)

2

2 2- P i P

a E AP,q Fest dite

nfFINITION 3. - Dne forme

(I) positive, si elle peut s'ecrire N

I

a =

£:

j=l

avec des elements

a.

E

J

p

a· A J

a:J

AP,o F ;

(2) fortement positive, si on a une ecriture analogue avec des formes

CL

J

decomposables (3) faiblement positive, si pour toute forme

ou

p+k

=

n ,la

Nous noterons

(n,n)-forme

S E Ak,k F

fortement positive,

a A S est positive.

p P (resp. SpP ,WP p )

Ie cone des

(p,p)-formes positives

(resp. fortement, faiblement positives), et nous designerons par> (resp. >S' >w) l'inegalite de positivite (resp. de positivite forte, faible).

a

On verifie aisement Spp et que les elements de

partir de cette definition qu'on a les inclusions

C

wpP

Si l'on a choisi une

pP

C wpP

sont reels. (n,n)-forme T

positive, non nulle, il y a une forme

bilineaire naturelle A P,p F x Ak,k F

(avec

p+k

-+

n) qui a a E AP,P F , S E Ak,k F

associe l'unique nombre complexe y

67

tel que aAB=y.1. wp P

s'identifie alors par definition au cone dual

(Spk)o

de

Spk, et on peut

montrer d'autre part que

Enfin, si

0,) , n-I , ou

p

toutes les formes de

n ,

AP,o F

sont de-

composables, done

spP

pP

On suppose desormais que l'espace representee par la

(I,I)-forme positive i

w

"2

dans une base orthonormee F

=

Test muni d'une metrique hermitienne,

n

L

j=1

d z , Adz. J J

(dz.»)/./ J

et l'agebre exterieure

AF

de

E

E • L'espace

sont munis des metriques usuelles

correspondantes. On designe classiquement par exterieure par

*

du dual

L

l'operateur de multiplication

w dans l'espace hilbertien A F , et par A son adjoint; on

a done : La pour toutes formes

(Aa IB) = (a,LS)

=wA a a,S

E

AF a

On peut ecrire en coordonnees, pour tout a )

r!

Lra

)

Ara

rl ou la notation croissants

L'

P

(alw It S)

l:'

J,K

p+r

c p-r

E

AP,P F

a J , K dZJ A dZK

, L

J,K,M I

L

M,N,P

aJ,K dZJM A dZKM a NM ,PM dZN It dz p

signi£ie que les sommes sont etendues

J,K,M,N,P

, avec ici

On convient que les symboles

,

IJI

=

IKI

=P

, IMI

=r

a

tous les multi-indices , INI

=

Ipl

= p-r

aJ,K' dZJ ' dZK sont de£inis pour des multi-

68 indices non necessairement croissants alternes

en

J,K, de sorte que leurs signes soient

J,K.

On rappelle enfin que 1 "oper a t eur

*

de Hodge-de Rham-Po i.ncare est defini

sur A F par la relation n

W

nT

Les proprietes des formes positives sont intimement liees aux operateurs L,A

et

* ;

la proposition 2 ci-dessous est classique, et de demonstration a i see ,

PROPOSITION 2. - Soit

a E AP,P F

une forme positive (resp. fortement, faible-

ment positive). Alors les formes

sont positives (resp. fortement, faiblement positives). Les methodes du § 1 conduisent d'autre part au resultat suivant. PROPOSITION 3. - Soit hilbertien

a

une

(p,p)-forme faiblement positive sur l'espace

(T,w). Alors la p-I

I

(p,p)-forme

.I2.:E. p

r=o

i£::2l...!.. p!r!

Lr Ar a

est fortement positive. Nous aurons besoin des notations suivantes : des applications de (q

{1,2, ..• ,n}

°

decrivant l'ensemble

dans Ie groupe des racines q-iemes de l'unite

3) , on pose n

I

w

o

et pour tout

a

ou la somme

1

Lest etendue L

on pose

(0 , ... ,0 ) 1 p

Wa = w0

O(T) dz£

£=1

A ... A w0 = q

a

I

L

0(L) dZ L

tous les multi-indices

necessairement croissants, et ou

L

69

LEMME 3. - Pour tout couple de multi-indices

(J,K)

tels que

IJI

p ,

on a l'egalite

Oll la somme

Pour

I

L,M

a

est etendue

tous les

L,M tels que

p = I , Ie lemme 3 se reduit au lemme I , et on obtient aussitot Ie

cas general en observant que

Demonstration de la proposition 3. Ecrivons

I

IJj=IKj=p Dire que

eL E

wp

P

equivaut par definition

decomposable,

I

Pour chaque element

eLJ K '

(j

X

0

J

, la (I, I)-forme

E

t j,k, T1:J I= IKI =p-l

eLjJ,kK 0(J) o(K) dZj A dik

est done positive, ce qui entraine que la forme lOp

p. q

dire que pour toute famille

, on a

J,K

,2 n(p-I)

a

o

\'

L

p-I .

f

j j k , JI=IK/=p-l

D'apres Ie lemme 3, il vient

la somme etant prise sur les

J,K,L,M

tels que

S(a)

suivante appartient

a

SPP

J J kK o(J) o(K)dz.AW J (jAdi,.AW ,,(j

ct'

'

70

la somme etant prise sur les

js

k

s

J,K,L,M

tels que

# £s = ms ' les deux cas s'excluant mutuellement. On obtient done p-I

L

IJ/[IKI=lp_rlaJN,ICN dz J p A dz KP

r=o

INI=lpl= r ou la somme est restreinte aux multi-indices s E {I, .•• ,r} • Le coefficient binomial sir

r

indices

s E {I, ••• , p-I }

Pour tout multi-indice

a [M] E wpp-m de a

a [M]

N,P

(p-l) r

tels que

n

s

# Ps

pour tout

apparait parce qu'il faut choi-

pour lesquels on aura

M de longueur

= m

s

IMI = m , definissons la "contraction"

par

E:

p!2

et considerons la forme p-I

L

r=o

L

IJI=IKI=p-r

INI=IPI=r dans laquelle la sommation est prise sans restriction sur les multi-indices et

P. Pour chaque couple

multi-indices

N' , P'

dans cette notation, indices de

tement

ont la propr i e t e que

N = N'M , P = P'M

#

pour tout

M n'est pas necessairement constitue des

N et P , mais de

reordonne en ecrivant

(N,P) , on peut ecrire

m quelconques des

Mala fin, chaque couple

r

N

ou les

s; on observera qre m = IMI derniers

indices possibles. Si on (N'M,P'M)

(r) couples (N,P), obtenus ap re s avoir "melange" m De l'egalite (p-I) (r) = (p-I) (p-m-I) resulte alors r m m r-m

proviendra d'exacMaN' , MaP' .

71 8

I

yea) =.....Ep.,2

IJI=IKI=p­r IN' 1=lp' !=r­m

aJN'M,KP'M dZJN'M A dZKP'M

IMI= m p­m­!

( r­m )

x

I

8 p _m

IJI=IKI=p­m­(r­m)

aJN'M,KP'M dz JN, A dZKP, A 8 m

A

IN' 1=lp' !=r­m IMI= m = de sorte que

p­I

I

I

(P:I)

m=o

8

IMI=m

A dZM

m

yea) E sp P • D'autre part, on a

I'

aJN,KN dz J p A dz KP

IJI=IKI=p­r INI=lpl= r

2

(p­r)! r!

Z

I

IJI=IKI=p­r

aJN,KN dz J p A dz KP ;

INI=IPI=r on obtient done l'egalite suivante, qui prouve la proposition 3 p­I

I

yea) =

r=o

p-' l ( r )

(p_r)!z p!

2

On peut demontrer de meme un resultat analogue au eormllaire I. PROPOSITION 4. ­ Si

a

est une

(p,p)­forme faiblement positive (p> 2) , on a

l'inegalite forte p­I

a.;;S

\'

L. r=!

p­2

(n(r_l) ­

(p­Z)] (p­r)! 2 r p! .

2

LrArN

Demonstration. Avec les notations de la proposition 3 , on pose n

iiJ K = I a J,. K" ­ CJ.J,K , j=! J, J

si

J = J'jp, K = K'k p

et

jp '" kp

= ­ a J,K On prendra garde au fait que

iiJ,K

n'est pas alterne en

J et K (mais

72

seulement par rapport aux

p-l

premiers indices de

J

et K). II est clair que

1 'expression

L

aJ,K x J

J,K est> 0

pour toute famille

comme precedemment que _ e: S(a) =

-

\'

2 L.

crEer

-

a. J

J,

les sommations sur

par consequent

B(a)

= -

JI

= 1

-

kK dZ'1 A dZ kM J

J,K,1,M

etant prises pour

e

p.,2

c ....E.2 I

p.

I

p-I

....E.

+ (n-I)

avec

il en resulte

contient 1a forme

L

2

decomposable (cf. lemme 2)

J

SpP

p! q p!

(x )

•

J

L

a.

1..

'''"''',m

JJR.,kKR.

A dZ dZ' ' kMm J Lm

KI

Definissons la forme

S(a) E Sp P

par

On verifie comme dans la demonstration de la proposition 3 qu'on a l'egalite p-2

-2 (p) m=o m

L

p-2

L

r=o

p-2 + n

L

_

L a(ex [M j)

IMI=m

(p-r)!

2

e:

1 r Ara

p!2

(p-2) (p-r-l)! r r=o p.,2

A

2

m

dZ

M

A

73 COIIllIle le premier membre est une

(p, p) - forme fortement positive, la proposi-

tion 4 est demontree. Nous pouvons maintenant enoncer le resultat essentiel de ce paragraphe.

,

"-

THEOREME 3. - Soit a

une

(p,p)-forme faiblement positive (I

p

n). On a

les inegalites fortes - C'(n,p)

N 0)

REMARQUE 1. Les deux assertions de (10) (au de (11» positivite de

E

equivaut

a la negativite de

E'"

ne sont pas equivalentes car la seulement au sens de GRIFFITHS

(mais pas au sens de NAKANO en general). Les points (9) et (11) sont en fait une generalisation du lemme fondamental (3,5) de [14J • Lorsque

E

est quotient d "un fibre trivial, la seconde assertion

81

[14J .

de (II) est d'ai11eurs consequence de ce 1emme de

[zJ ,

Demonstration. Nous renvoyons le lecteur a Preuve de (9)

montrons tout d'abord que Tr E 0

e

l

= I =

a

IdE - 0

@

En effet, tout vecteur decomposable

Iell

[3J pour une preuve de (8).

xE

E

T

peut s I ecrire

si l'on choisit une base orthonormee

(e.)I. J .. J ,. P

x

=

de

t

0

e

oil

E telle que

e ,il vient et

0(x,x) P

0(t 0 e

l:

j=1

j,

t 0ej)

grace a l'hypothese

8?G O. D'apres (8) on a done

ce qui demontre

lorsque

(9)

T 0 E =

p" n , Lorsque

I

I

F

n" p , i1 est a i se de voir que T 0 F

n

=

Appliquons Ie resu1tat deja trouve a 1a restriction sous-espace

F

de dimension

n

de

E

oF

de

o

T 0 F , pour tout

se deduit des inegalites suivantes

(9) n

Preuve de (10) et (II). 11 est bien connu que la courbure du fibre

det

AP E est reliee a celle de

E

par la formule ( IZ) et que pour deux fibres vectorieis hermitiens ( 13)

1

et

EZ

' on a

+

(10) et (II) se deduisent alors de (8) et (9)

selon le cas.

E

en prenant 0

ic(E)

ou

e

E

82 Estimations a priori et inegalites

2.

2 L .

On considere , avec les notations et hypotheses de l'introduction, la suite exacte (1) :

o La connexion canonique

-+-S --rE

D

sur

E

_0 .

se decompose suivant Ie scindage orthogonal

COO

de la maniere suivante (14)

et

S E

(X, Hom(S,Q»

Q

, et ou

.

a P.A.GRIFFITHS

Nous renvoyons

et

S

sont respectivement les connexions canoniques sur

a H.SKODA

[5] pour la demonstration de (14), et

[14]

pour Ie detail des calculs qui vont suivre. On a classiquement

c (E)

d'ou par definition c (S)

(15) c (Q) So i t

sur

c(E)I

X

An T

K

Q

+

X Ie fibre canonique de la variete

Par application a (I) du foncteur

X

Homf Q;

X et

M un fibre en droites

? 0K(ilIM) , on obtient la suite

exacte 0 -+Hom(Q, S

(16)

ra

K 0 M) -+Hom(Q, E 0 K 0 M)

et la connexion

Hom(Q,Q

(ill

K 0 M) --+ 0 ,

se decompose suivant Ie scindage orthogonal de

(16) , en

- Sol:

=(DHOm(Q' S 0K0M)

)

DHom(Q, E 0KGM) Posons

R

Hom(Q, S llilM)

S DHom(Q, Q0K0M) pour simplifier les notations.

PROBLEME. - Etant donne line section holomorphe

f

de

.

Hom(Q, Q0 K ®M), chercher un

83

relevement

h

de

f

+

f

h

u E COO (X, R 0 K)

avec

Hom(Q, E @ K ® M)

dans

u

COO O(X, R) n,

=

On aura bien par construction (17)

sous la forme

g

h

0

f , et

h

sera holomorphe si et seulement si

D"

u

Hom(Q, E ® K ®

M)

f = S* f

.

On resout cette equation par la methode d'HORMANDER [6J et [7J , ce qui, modulo l'ine(cf. [4J, expose III, tho 3) , necessite l'obtention d'une

galite de KODAlRA-NAKANO

estimation a priori du type suivant I(S*flv)j2

( 18)

pour toute

(n,I) forme

Le produit scalaire (

pour deux formes

v

I w) et

a valeurs est defini

des formes par la formule (v

A(ic(R)A v

v

I

(avec une constante

I

0)

I v)

dans

R, de classe

a partir

COO

et

a

support compact.

du produit scalaire ponctuel < , >

< v, w> dV ,

X

w

A

a valeurs dans R , de classe C , et a support compact. 00

A designe d'autre part l'operateur de type

(-1,-1), adjoint de l'operateur

multiplication exterieure par w , pour Le produit s cala ir e ponctuel Nous nous servirons de la proposition suivante

(cf. H.SKODA [14J




' lemme (3,1)

proposition 3.1. , et conclusion (4,17». PROPOSITION. - SOUS 1 'hypothese (18), il existe une forme (17) :

u = S* f

Ix

lul

Le relevement

h

(20)

Ihl Ix sont orthogonaux.

f

et

u

Le theoreme constante

@

K)

verifiant

, et :

(19)

car

u E Coo(X, R

f + u

de

f

2

dV

A .

est donc tel que 2

dV s A +

JI

X fl

2

dV ,

sera demontre si nous etablissons l'inegalite (18) et determinons la A.

84 3.

Calcul de courbure.

Nous aurons besoin des notations et resultats suivants Le produit interieur tout point

z

de

a

b

de deux formes a valeurs scalaires est defini en

X par dualite a IIc >

=,- 0

I v)

2

= IliUvl1 •

Demonstration de (21). Soit

o

i

A,ll,j,k

i v ="2

z VA' dz1A ... AdznAdz A e e j , A,j J l'ecriture canonique de 8 et de V relativement de

r* X

e Av

=

i

a une

, et

{e, }

base orthonormee

J

a une base orthonormee

de la fibre de

l:

A,lJ,j ,k n < eAv,v >= 2 l: a 'k vA' vllk >,- 0 , A,ll,j,k AlJJ J

d'apres

l'hypothese

de semi-positivite de NAKANO de

Demonstration de (22). l:

A,j ,Q.

v =

i.

Ecrivons en tout point de

SHj dZ A®

E

*j

X

011Q.

l: v'J' dZIA ... I\dz I\dz, 18) E. 2 A,j ,m 1\ n 1\ J

e .

R. On a en tout point

85

'"

avec

v "j E Q

M,

A sn ,

I

" j " s,

de sorte que les coefficients de 8

I" Q, " q,

dans des bases or t honorme e s

-is'''IIS E Herm(S,S)

sont d onne s par

D'apres la premiere partie de la demonstration, on a lI

< -iS

/\

SA v,v >=

Q*0M l:

SUj S)lQ,k

0

11 vient donc

.

Id 0 u, wIVe >

Dans une base orthonormee (dz. ) de T'" X , les formes z J n dz. 13 = L: S. E Homz(S,Q) , S· J J J n j=! ! w w. dz. w. E Hom (Q, S) L: 2 z J J j=! J

(34)

e

a

On

z

v = w 0 e , ou

sous la forme

K @ M ' et ou z z

un vecteur unitaire de la fibre Hom (Q, S) .

la section

C"'(X, Hom(Q,S @ K @ M»

vEe'" ! (X, R)

dans

z EX

J

r x r

88 n

(35)

2

l 13 jl

j:l

Iv j

l2

pour etablir l'egalite (35), on se reportera a la demonstration de (21). En combinant (33), (34) et (35), on voit que

1< 13* f, v >12 $ n < i Tr 6 "r! A v, v> =

I f 1 < i Tr 13 1\ 13

flv)1

2$

*(J

If l 2

A v, v > .

dV) . (i Tr 131\ SJt Aviv) ,

X

et (30) , (31)

*

X, l'inegalite de Cauchy-Schwarz implique

Apres integration sur

I (S*

2

q

2 Iu1

montrent qu'on peut remplacer

n q

par

•

q

On va maintenant enoncer les resultats du theoreme 1 en fonction d'une metrique donnee a priori sur ou Ie morphisme Soit E

et

g*

g

Q, de maniere a pouvoir traiter cornme H.SKODA [14] Ie cas degenere.

Ie morphisme

Coo, transpose de

g

, pour les metriques donnees sur

Q

* g*(gg*)-I : Q -... E

Le morphisme qui envoie

Q dans

(Ker

1. g)

=

, est Ie scindage

COO de la suite exacte (I)

S1-; la metrique quotient

donnee en fonction de la metrique initiale

I'

sur

Q est donc

par

(36) Designons par quotient sur

c'(det Q)

la forme de courbure de

Q. II resulte Iv 1'2

det Q relative ala metrique

aussitot de (36) que pour tout det(gg )

v E det Q

-I

On a donc c' (det Q) = c (det Q) + d' d" Log dH (gg*) . si l'on veut conserver telies quelles les hypotheses de positivite (2) et (3), on est amene a multiplier la metrique de

M par Le

poids

[dH (gg*)J k , de sorte

que l'estirnation (5) du theoreme I devient (37)

JX h 1

l'

2 (dH gg*)-k dV$C

Pour tout element

Ix

Ifl'2 (d e t gl)-k dV •

hE Hom(Q, E) , la norme

Ih I'

est donne e en fonction de la

89

norme naturelle Ihl par Ihl'Z: Ih et d'apres (36), on a pour tout

0

glZ : (det gg'" ) - k

Si maintenant

g

f

x

< tV gg '"

Z est

un sous-ensemble ferme X ,y

de

Y

U de

tion holomorphe sur

U

Lorsque la variete

X prive d'un ensemble analyti-

Zex

X, contenant

est

X-negligeable, stil existe

,de mesure nulle, tel que l'ou-

Z

est

X

U \Y

,holomorphe dans

,se prolonge en une fonc-

X est de Stein au projective, Zest toujours

Y une hypersurface quelconque de

il suffit de prendre pour Z

gg'" , f > (d e t gg '" ) -u-t dV .

soit faiblement pseudoconvexe, et tel que toute fonction de carre som-

mabIe sur un ouvert

Si

0

X-negligeable au sens suivant.

DEFINITION 2. - Nous dirons qu'un ensemble

vert

f

0

n'est surjectif qu'au dessus de

Z, on suppose que

que

dV C

X-negligeable, Ie

t

X-negligeable

X contenant

heo r eme 1 s' applique a X \ Y • Comme

k

I

Z . ,la

finitude de l'integrale

f

X '\.Y

entraine que

h


0

r : V' r(z) = z

telle que

II ne nous reste plus qu'a preciser

(40)

...L D" C (TzX) de centre

Dr C TzX,

p(z) .

X nD(z, p(z»

est Ie graphe d'une application holomorphe u

D'

z

Si on pose

sup on obtient Ie resultat general suivant sExnD(2,p(z» ne fait intervenir que des donnees geometriques de X.

THEOREME

V'

Q.

On construit donc une retraction holomorphe

polydisque

NX, sur un voisinage

4. - Soit

une fonction plurisousharmonique sur

X

+ i ( E: + 1 + Inf (2n, p» Ricc i (X)

> 0),

id 'd"

Ix

dV

0

(E:

qui

telle que

< +"',

p une fonction verifiant les hypotheses (40) , (41)

et h

Ie scindage holomor-

phe du theoreme 3. Alors l'application

z + h(z).

sur un "voisinage"

V

definie sur

de la section nulle dans

NX

NX, est injective

de la forme

-

0 2

C

1

e

p

p(z)2n+l}

et une retraction holomorphe

r

u

sur l'ouvert

u Les constantes

=

{s

E a;P ;

C > 0 , C > 0 , sont ·le produit de constantes universelles (ne de1 2

pendant que de la dimension

[(I

p) et de

J

e -..p dV] -I

z

92

Demonstration. Dans toute la suite, on designera par dant que de la dimension

e-- Ord f •Pour

on a

J Vr,rlB(O,R)

P; K do

C R max(2n+2, 2S+2n-2)

si

dans presque

tn.

121

8. Remarques. a) Le critere de la

partie du theoreme I ou I' fait intervenir la fonction

de Green de la metrique euclidienne Ie long du diviseur meme etre intrinsequement lie au diviseur (plonge dans

[n)

cette fonction est un

et Ie probleme majeur est

d'en avoir des es t i me es asymptotiques. Dans [3) , sont obtenues de telles es t i mees pour les varietes Signalons seulement Ie resultat suivant Theoreme 3 : si la boule de

V est un diviseur de fonction holomorphe definie au voisinage de

[2, alors la fonction de Green de

c'

d(z,dB)

,au

lorsgue

g(zo'z) C

&

V nB(O,I)

satisfait

C d(z,dB)

c'

sont des constantes independantes de

z

b) Par ailleurs dans les theoremes lou I' ,nous avons encore qu'une version statistique : pour presque tout

une certaine integrale sur

Pour avoir une version indLviduelle (ie pour tout

est bornde ,

, il faudrait demontrer

que pour tout

(C'est en effet pour majorer cette integrale que nous avons besoin d'integrer en E

) . Une telle estimee est vraisemblable, puisque

Ie critere de Malliavin Nevan l i nna .

[4)

J d(z,dB)der

< +00

d'apres

pour les diviseurs des fonctions de la classe de

122

RiHerences

[I

I

B. GAVEAU : Valeurs f r on t i.e r es des fonctions harmoniques ou holomorphes Cas de la boule

CR Acad Sci Paris, '288,

405-4B6 et article d e t a i Ll e

Proc. Conf. Analytic functions, Pologne, 1982. [2

I

R. GAVEAU , p. MALLIAVIN holomorphe bornee

[ 3

I

: Courbure des surfaces de niveau d'une fonction

CR Acad Sci Paris 1981.

B. GAVEAU , J. VAUTHIER

: Repartition des zeros des fonctions de type expo-

nentiel sur une variete algebrique lisse

CR Acad Sci Paris 283

1976

635 - 638 [ 4

I

P. LELONG : Fonctions enti.er e s ( n variables) et fonctions plurisousharmoniques d'ordre fini dans

[ 5

I

r,

J Analyse Jerusalem 1963 365-407.

MALLIAVIN : Fonctions de Green d 'un ouvert strictement pseudoconvexe classe de Nevanlinna

et

CR Acad Sci Paris 1974.

Cet article est la version detaillee d'une Note aux Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris, Octobre 1981.

Le 14 septembre 1981

Tour Beryl

40 Avenue d'Italie 75013 Paris

Expose fait en Juin 1980.

FONCTIONS HOLOMORPHES ET PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP

UNIFORME

par B.GAVEAU et G.LAVILLE

Introduction. L'expose qui suit a pour but de comparer les equations apparaissant dans l'etude d'une particule chargee dans un champ magnetique constant en mecanique quantique (electron de Landau) et les equations apparaissant dans l'etude des valeurs au bard de fonctions holomorphes. Pour rendre cette etude plus lisible par les mathematiciens ne connaissant pas Ie cote physique de ce probleme,nous avons au debut rappele

brievement des calculs bien connus .

Le lien entre l'electron de Landau et l'oscillateur harmonique a deux dimensions est bien connu, son lien avec l'oscillateur

a

une seule dimension est etudie

dans ce qui suit. D'autre part, il apparait ici une nouvelle symetrie a ce probleme celIe du groupe d'Heisenberg. I. - Hamiltonien de la particule.

Considerons une particule de charge magne t i.que

-..

Soient

A

q, de masse

m placee dans un champ

-..

B constant

.... Vx A

....

Ie potentiel vecteur

....

....

r

B

et

.... r

se de la particule . Le Lagrangien s'ecrit : G:! ....

(I)

Soit

+

.G(r,r,t) =

.... p

I

2

mr

............ + q r. A(r,t)

l'impulsion, par definition p

ill

-;

+ q A(-;,t)

d'oll I'Hamiltonien (2)

=

-++ p.r

(LJ-+-+

I -'2 _

2m p

.9. ""p. 7:. + q2 7:.2 • m

la position et la vites-

124

P

Quanti£ions cet Hamiltonien position :

P =

:
(O;r» C

pas

(Chern,

un polydisque ouvert de soit

fonctions

et

suivant

J

o

qn7un P 2 dv (D) D d s

remplacer aussi Ie supremum par Ie supremum

Les relations

et du lemme

,

sup GEP

n=p=2,

prises entre

00

_

P

Si de plus

< +

est complet.

P

•

de

135

Preuve. prenons pour

Soit G(z) =lzl

2

on voit que

Ia norme usueIIe de Soboiev dans Extrayons de (un)

II

une suite de Cauchy pour (un)

[n

81 (D,q) p

; si nous

est suite de Cauchy pour

done elIe converge vers

une suite

u

n

u

teIIe que

,k= 1,2, . . . , k

On a alors +00

u-v = L (vn+1-v n), k n=k

par consequent,

On notera

n

o,p

(D,q)

La norme

(3)

THEOREME 1.

et

uEJf

1

o,p

(D, q) .'[

I' adherence des Jel

I et 2,

avec Ia norme definie par

III

k P

au sens de l'espace de Soboiev.

u ---+u

Jel

A cause des Iemmes

II u-r v

d'ou

o,p

P

(D,q) ou

2(D)

uEC=(D) c

dans

Jel (D,q) p

est compiet Iorsqu'on Ie considere P (D) o

est un invariant bihoiomorphe Si

(f [ D] , q )

f : D---+

f [ D]

est bihoiomorphe, ou

J[ D] c [n

, a lor s

uo f E

( D , q 0 f)

J( I

o,p

et II uo f UI (D, q 0 f ) p Preuve. Pour

GEP2(f[D] )

r(q

D

0

= II uUI (f [ D] p

, q) (2) et ( 1 ) ,

on ecrit, d'apres

f ) n \7 (uof ) UP 2 dv

ds

ok

gJ

1

(uof) I j (uof) Ik]

zP

dv 1

J (qo f D

ok

)[gJ

(ulrOf

) (u

_0

Is

f ) f

j

k

-p 2 dv

136

Soit

h

h

Alors

h

=

rs

of = gjk f

'"

a a (Go f - 1 )

car

r S f Ij Ik

= aaG

g

et on obtient

fCqof )R17(uo f )Up 2dV ds

D

I

f'op)n'luR euc IdV euc 1+(iI>"op)lIa b u I euc IdV

-4! 'lui

ou

ds

2

2

ds

2 dv

est determine par Ie (2). D'ou Ie resultat par Ie lemme 1. I 2

Exemple 1 (de fonctions dans de

B

([2).

Prenons dans Ie (7)

iI>

Alors, pour une boule quelconque pour

si

Jt ( D, J )

D

est la boule unite

telle que B(D; r )

de

t

2

,ou

0-< r < 1, on obtient

-1 vex,£) J gx

f(x) I - 00) eventuellement reduit ou bien

(8)

a

0, dans

est un cone pluripolaire dans

v(x,f) = inf yEw pour tout ouvert au si

est vide si et seulement si l'on a

e

f

non vide dans

W

est continu et

E

E

est un espace de Frechet,

est un espace de Baire, (8) est verifie E

gx

est alors pluripolaire.

W de l'origine tel gu'on ait

wee, on ala majoration pour tout yEW, !out r , 9,(x,y,r,f) Do

gx = E,

On a

E

E. Si

4") Pour tout xECG, tout voisinage disgue

(9)

Ou bien on a

V(x,y,f)

est non pluripolaire dans

x +

E

v(x,f) log r

Demonstration.

Soit

Dx,y = x + Day

est compact dans

+

et

sr

112 L

mE IN Nlll\m+1cpli

4)

IIi\mq> II 2';; a

5)

11i\2mcpll 2';; (2TT)2m(N-1)II11mqJlI 2 L L

L

Demonstration.

Les inegalites

moyenne. Pour etablir

3)

orthonormale d'elements de x I---> h t (x)

defini sur

soit

1)

et

q> E fl

K

fl pour K

resultent de la formule de la 0 , considerons une famille

0m+1 ' et pour

N R telle que

on a

2)

m un entier

o ailleurs alors pour tout

2 L

tERN

fixe,la fonction

fl.

213

on en deduit l'inegalite L'inegalite

Pour etablir

4) resulte de

3) par application de l'inegalite de Schwartz.

,)

et

5) designons par J

3) ( il suffit de la verifier pour

m

0)

=

.

la transformation de Fourier. On a :

o CO ox,2n ..•

12

dx =

IIJ

ep 12 dy 2m Clx, ••• Clx N

0

2n

,.3.7. 4 - boules. Les inegalites

2)

et

3)

mont rent que toute semi-norme de la famille

est ma.jor-ee par une semi-norme de la forme

cp

IIAmcpl I

L2

La famille de ces semi-normes engendre done la topologie usuelle de L'inegalite

4)

montre que pour toute famille finie

i l ex i s t e un couple

* (m, a) E JU X R+

Cela montre que l' ensemble des

(mi,a i)

•

»r •

(rniE JU, a i E R:)

tel que

A - boules

a>O,mEJU constitue une base de voisinage de l'origine dans permettent alors d'utiliser comme base les t>-boules

[ep E »r I II t>mepl I 2:5: L

D'oi1

Q'}

»r'

Les inegalites

4) et

A - boules d'indice pair, puis les

m E IN,

Q' >

a •

5)

214

1.3.8. PROPOSITION. un couple

Pour tout voisinage

* (po'c) , Po E IN, c E R+ fcp E BK I IllI

1.3.9. LEMME.

Soit

alors pour tout Pour tout ouvert

T

V de l'origine dans

tel que

Po cpll 2 < c }

V •

C

L

une distribution de la classe

A(a,p,O)

a > 1 , la suite 0

definition 1.3.)

est bornee dans B'\O) •

p

0

B il K

d' adherence compacte dans

0, i l existe un couple

tel que

I

IlL

< II 1',cp >

I ,; aamam IllIPocpll L2

.£.uels que soient Demonstration.

Pour tout

m E IN, cons i.dcr-ons l' application m

p

La suite R (w)) converge en croissant vers une limite a,mmE IN La suite

B(O) ... R +

en vertu de

un nombre

M

pour tout

cp E V , m E IN • Appliquons la proposition

la trace de

et un voisinage

V

sur

de

V

0

dans

B(O)

B(0o) : i l existe un couple (cp E B-

00

(15)

avec

a

aM.

RaCcp)

et qu'il existe

tels que

1.3.8.

(po' a') E IN X R

pour tout

m

Par homogeneite, on obtient

B'(O)

et

(\ \ ,; a

(13)

v

a alors tous ses termes majores par

cela prouve que la suite forme un ensemble borne dans

a

a,m

I

L: (a aP)- 1 \ < lIPT,cp >

p=o

R

mE IN)

tel que

215

1.3.10. COROLLAIRE.

>i

T E A(a,p,O) , cr

Soient

V de l'origine dilllS

II existe un voisinage

et

K un compact

N R et un couple

de

O.

* (po,a) E lN X R+

tels que m

\ (l:>

T

cp E JJ(V) • x E

pour tout

m

* qJ)( x ) I K • m

aa cr Ill:> m

Po

cpl!

L

2

E IN.

Demonstration. On choisit un voisinage V d'adherence N R tel que

x E dans

K

0

=K\

,

V

soit un ouvert d'adherence compacte dans

supp cp c

cp E 1)

et

00

0

L'inegalite

compacte de l'origine dans

la f'onc t i.on

V ;

(15)

t

cp(x-t)

O. Soient

a son support

s'ecrit:

m

Po

aa a Ill:> cpl! 2 L

m

D'ou Ie resultat.

1.3.11. LEMME.

Toute distribution

T E A(a,p,O)

est une fonction (au sens

usuel) indefiniment derivable.

Demonstration. Soit cp

Soient

cr > 1P • 00

Ie sous-espace de

parcourt

JJ(00)

(15)

L'inegalite continue sur

et

Po

2(RN) L

un ouvert d'adherence compacte dans O. Po engendre algebriquement par les cp ou

etant defini dans la proposition 1.3.8 ••

appliquee an

= Po

montre que

Test une forme lineaire

pour la topologie induite par celIe de

done se prolonger en une forme lineaire

1\

T

continue sur

2(RN) • Elle peut L 2(RN) • D'apres L

les proprietes de cet espace, pour tout

cp E 1)( 00) on a alors

(chaque terme en indice precise la dual ite

definissant la forme sesquilineaire utilisee) :

216

Po 6 (T-f)

d'ou

=0

au sens des distributions. Cela implique que

dans

T-f

est une fonction et que

00

La stabilite de

Test une fonction localement integrable dans

A(a,p,O)

pour toutes les derivees de

par derivation montre qu'il en est de

T. On en deduit que

indefiniment derivable au sens usuel

T

est dans

00

Soit

T E A(a,p,O)

cr > 1 p , il existe un nombre

et tout

une fonction

(1.3.1.); d'ou Ie resultat en considerant

une suite croissante d'ouverts d'adherence compacte et de reunion 1.3.12. PROPOSITION.

meme

c

O.

pour toute partie compacte

= c(K,cr)

et un entier

k

=

K de

0

k(K,cr)

Dositifs tels crue :

( 17) pour tout

xEK,mEJN.

Demonstration.

Soient

V un voisinage de l'origine d'adherence compacte dans

* poE IN, a E R+ l'enonce l'inegalite egale de

a

(16) •

tels qu' on puisse appliquer aux donnees de

Soient de plus

1 sur un voisinage de l'origine de

l'operateur

6

k

k 0

un entier et

E k

> Po '

y E B(V)

la solution elementaire

,un argument elementaire de prolongement montre que

qui a son support dans

Vest assez reguliere pour qu'on puisse la substituer

a

(16) ; comme par ailleurs la difference

dans l'inegalite

est une fonction

a

indefiniment derivable

a

laquelle on peut appliquer l'inegalite (16)

support compact contenu dans on obtient

V

217

m m+k ( aCl'O'+Cl' m m+kO'

Demonstration du theoreme 1.3.4. Si

Q'

= ((2m)!

mE IN

La partie

, pour entier

k

0' > 1 p

et

c'est le lemme

M(K,O') > 0

fixe, on peut trouver une constante

d'ou l'analycite de 3

T

et

0'>1 p

(x E K)

(Th. 1.1.4.) •

resulte du fait que

petit, auquel cas, la constante

0' =

M(K,O')

peut etre choisi arbitrairement

de

Une fonction

f

E C;(O)

si et seulement si pour tout compact ex>

r:

m=o

K

SKI",mf\dX (2m)!

converge dans tout le plan complexe.

0

C

z

m

sera

(18)

ce qui implique l'harmonicite d'ordre infini de

1.3.13. COROLLAIRE.

K cO

telle que

(m E IN)

( 18)

1.3.8.

fixes, on a

1.3.12. , pour tout compact

Done, d'apres la proposition

La propriete

1 ,

T

de la forme

M 1(K,0')

(1.2.3.)

est harmonique, d'ordre infini, la serie

218

Demonstration. Si la serie

(19)

£ E »00(0) , la condition est evidente: reciproquement si

converge pour tout

M(K,e) constante > 0

z E

C, quel que soit

e > 0 , il existe

telle que

JIt.m£(x) Idx';;

M(K,e) e

m(2m)!

m

0,1, •••

K

alors la distribution

T

£

veri£ie

I I ,;; S

K = supp cp

M 1(K,e)

It.

m

£(x)11 cp(x)

Idx ,;;

M 1(K,e)e

m(2m)!

constante > 0 •

Cela implique que

£ E A(a,oo,O)

(a =

(2m)!)

une £onction harmonique d'ordre in£ini.

, ANALYTICITE

, et par consequent' £

mE :IN

/

est

I

LIEE AU SIGNE DE LAPLACIEN ITERE.

Dans

C;(O)

certains sous-ensembles caracterises par la

condition que leur laplacien itere, conservent un signe constant dans leur domaine de de£inition,

Dans le cas on

N

=1

£orment des classes particulieres de fonctionsanalytiques.

les premiers resultats dans cette voie sont dus

a

J. Bernstein

par exemple : Soit

P

E C; (Ja,b[)

a) si pour tout

n E :IN: £(2n)(x)

0

sur

Ja,b[

alors

.f

est

analytique. b) si pour tout

n E :IN: (_1)n£(2n)(x)

0

x E Ja,b[

analytique. Ces enonces se generalisent

a

plusieurs variables avec une diFFerence

essentielle dans les demonstrations suivant qu'on considere le cas cas

b) •

a)

ou le

219

" ,

1.4.1. THEOREME [4J Si

f E

C;CO)

r:,mf(x) alors

f

0

veri£ie m

= 0,1,2, •••

(x E 0)

o.

est analytique dans

(x E 0) a - La fonction

f

analyti que) • N, f b - Si 0 = R

est une fonction harmonique d'ordre infini dans

= partie

alors

f

(done

est une constante.

1.4.3. THEOREME [25J Soit dans (E(X)

0

N

R (N

3)

entiere de x) •

est une constante. Le resultat est inexact en general si la fonction depend au plus de deux

variables au bien si Ie domaine de definition de

Demonstration de 1.4.1.

f

Considerons Ie developpement

n'est pas

N R tout entier.

(11). Taus les termes

sont positifs, done

Si

x

de

0

decrit un compact

K cO

est fixe, la Eonction sup r:,mf(x) xE K

d'ol:! (20)

r

xEK

sup xEK

r:,?())

2m !

et si

R

R < distance de o

A [f,x,RJ A [f ,x,RJ X

1"

em(K,R) R2

K au complementaire

etant continue, on a : a R2m m

a Ifm m

.1. [(2m)!a Jm m

220

Or

r

am(2m)!

Ie premier membre de sait

(20)

X

1 N_1 ;nm-2-

(m -

OJ

)

est alors majore par une constante

M(K,R)

quel que

m. Dtau Itanalyticite de f (Th. 1.1.4.) •

Demonstration de 1.4.2. La premiere affirmation est un resultat de P. Lelong [20J. Si

2

N

soit

0*

un domaine de Green d'adherence compacte dans

0

(si

N = 1 , 0* = Ja, b[ C R ).

Considerons Ia formule de Green :

(21)

J

=

f(x)

f(Y)

N 00*].

N

=

J

N 0*

6£(Y)G(x,Y)dT(Y)

=

CN

Si

(x,Y)dO(Y) -

zrr

si

N= 2 •

1 ,

b

(21' )

J f"(t)G(x,t)dt

f(x) =

a

Dans

(21) , Ia premiere integrale notee

nique qui co!ncide avec est egale de

Ja,b[

a

f(a)

x

sur

=a

00* ; dans

et

a

f(b)

t

= -lx-tl

+.tb(x,t),.tb(x,t) a a

si

x

=b

b

o

Ona

b

G (x,t) a

2(b-x) (t-a) b-a 2(b-t) (x-a) a s: x s: t s: b b-a

Ax + B

• La fonction de Green

est fonction

telle que .t (x,a) a

est la fonction harmo-

(21') La fonction affine

est representee dans Ia figure ci-dessous :

G(x,t) affine en

pour

f

Ho(X)

G

221

Avec ces considerations, la demonstration ci-dessaus est valable paur Pl.acons-eious dans le cas

N

=1 •

> 1 •

N

Posons : G (x,y) n

G2(x,y)

Si

= J0*

G 1(x,t) G(t,y)dT(t)

=J *

G(x,t) G(t,y) dT(Y)

n-

0-

0*

X est un compact de

(n

2)

d'interieur non vide, on a, d'apres les proprietes

de la £onction de Green : inf G(x,y) x,yE X

= y(X)

done

yn(X)

G (x,y) n

(Mes X Soient

= mesure

de Lebesgue de

H , o•• ,H , o•• o,H 1 n

qui co!ncident avec

£,

M(x)

Done, apres

[Mes

n-1

x]

>

0•

(x,y E X)

X) •

respectivement les £onctions harmoniques dans

0*

&f, ••• ,6n£, ••• ,sur 0 0* •

= H1(x)-c

J0* 62£(y)

G(x,y) d1:(Y)

n-iterations :

n- 1 1 1 £(x) = H (x) + !: (-1 )p- c PH 1(Y)G 1(x .y )dT(Y) o p=2 O*pp-

J

* (x EO) L'hypothese

D'ou

(_1)n 6n£(x)

0

implique que taus les termes de

(24) sont

0 •

222

* (x EO)

* (x EO) D'apres

(22)

on a

SK \lInf(y) \ d'T(y)

I

S;

• K

y-n[Mes K J

K cO:

Finalement sur tout compact

-(n-1 )

1. n

lim [

SK1lInf(Y) \d'T(y)

n-o c'est-a.-dire f f

(1.2.4)e8'

= H(x,o)

(1.2.3.). Si

f E ):1",(0)

]

=

0

(2n)1

harmonique

0

N 0 = R , la fonction

dans tout

N R +1

H(x,t)

as soc i

done constante. Par suite

c=t_

Demonstration de 1.4.3.

Reprenons ra-representation centre

0

et de rayon

1.4.4. LEMME. B(O,R)

8i

R. Si

G(x,y)

(24)

ou

0*

est la boule

est la fonction de

Green de la boule

on a inf s;

de

x E B(O,R) ,

GR(x,y)

Ilyll

B(O,R)

E 2

(A

= cte)

N

3

ee a.

223 Demonstration. dans

En effet,

B(O,R) , done, pour

pOur x

x

fixe dans

est surharmonique

fixe dans

inf

G(x,y)

Or

un ealcul elementaire montre l'existenee d'une eonstante inf [

Ilxll

Dans Ie developpement

(26)

c¥ (x,y)

inf

Ilyll =

-\

_ ;;,

°

telle que

R:- 2

(25), tous les termes sont

;;,

R JB(O,R) Hp- 1(y)Gp1(x,Y)dT(y)

(-1)P-1 e P- 1 P = 2, ••• ,

A>

°

quel que soit

R, done

f(x)

x E B(O,R)

Or, d'apres Le Lemme 1.4.40 inf GR (x,Y):l: (_A_)P-1 (Mes x,yE B(O,R) p-1 RN-2

et

(22): BR2p -2-N

(B

= ete)

En particulier

a

etant une eonstante numer-Ique

Comme (_1)P-1 Hp_ 1(Y)

>

est harmonique

°.

°

et que l'integrale ei-dessus est

un faeteur numerique pres, sa moyenne spatiale. il resulte que

a

224

(s

H ( 0) p_ 1

Cela est impossible si qui est harmonique > 0

done

cte > 0,

x E B(O,

J0

dans

D'ou. , nulle

)).

Hp-1 (0)

a

=

0 •.

l'origine,

est identiquement nulle. D'ou.

o

H _ p 1

p

De meme d'apres (25) et (27) fey) d'1'(y) ,,; f(x) (11xll < R),

(B > 0 1

constante numerique)

+1) - N:? 0

Comme

f(x)

= Ho(X)

(25) ;

dans

Ho(X)

necessairement la restriction tout

(28)

R assez grand, l'inegalite

nulle, sinon pour

a

(28)

l'integrale

etant harmonique B(O,R)

est neces sa i r-ement

est en defaut. Finalement > 0

dans

B(O,R)

d'une fonction harmonique

> 0

est dans

RN, done est une constante •

1.4.5. Contre-exemple.

La fonction

f(x) = sinx + ••• + sinx

hypotheses du theoreme

1.4.3. dans

0

=

[x

I

1

0 < Xi
(Ci )

o

0

U(z)

¢ B(R1,R 2)

(Lemme 2.2.10)

et par consequent

2ny\\ 2

Ci

-

implique l'existence d'un

et comme d'autre part

2 - R2( Ci E [0, lJ ) • 1

2C{M + '\x\\

q>(1)

Ci

o

E [O,lJ

tel que

> 0 , on en dMuit que Le

trineme

ny\\ 2 -

2

Ci

2CiM

+

\\x\\ 2 -

2

R1

(Ci

E R

)

a deux racines reelles et que la plus grande des racines est 222222 2 5 = M - \\Y\\ (\\x\\ - R1 ) = R11\y\\ - et

MJ5

---

a • Ce qui aCheve la

demonstration du lemme 2.2.11.

D'ou :

domaine circulaire :

En particulier La cellule d 'harmonicite de

E '"

tz

E

eNIl1 zll>R}

est

ou

2.2.12.

Remarque.

La formule(3)

de 2.2.1. et la propriete

de la fonction support d'un ouvert convexe de

RN peuvent dans certains cas

nous fournir la cellule d 'harmonici te de la somme d 'un ouvert convexe et d 'une boule.

247 2.2.13. 1I(w 1

Remarque.

x w2)

etoile de

of 1I(w

1)

W,

Si

X 1I(w

N R on a

et W 2

sont deux domaines de

(exemple:le tube 2.2.6.)

2)

En effet, on ver i Pi.e que si

(z,o) E /;lew) X

[oJ

pN, en general

mais si

done si

est un ouvert

til

T(z) c w , alors

T[(z,o)J Cw X R •

v

§ 2.3. BOULE DE LIE ET SA FRONTIERE DE BERGMAN - SILCV. LE TUBE D' ELIE CARTAN. 2.3.1.

Dans [11J, Elie Cartan avait determine tous les domaines bornes homogenes

symetriques de morphisme existe

eN • Un domaine

AU(D)

(J E Au(D)

rapport au point laissant le point

Dc eN

est di t homoqene si le groupe de l'auto-

agi t transitivement sur tel que a E D a

,

(Ja

=

b ).

s'il existe

D

(i.e.

Le domaine (J E Au(D)

invariant. Le domaine

pour tout

a,b E D

,

il

D est dit symetrique par involutif

(i.e.

0'

2

Id)

D est dit symetrique s'il l'est

en tous ses points (pour qu'un domaine homogene soit symetrique, il suffit qu'il le soit en un de ses points). Elie Cartan a montre qu'il existe six types de domaines bornes homogenes symetriques (irreductibles). A part les deux types particuliers correspondant aux cas

N = 16 , N = 27 , il

reste 4 types dont les trois

premiers sont des domaines bien connus (a un homeomorphisme analytique complexe pres) : boules, polydisques, etc ••• Le quatrieme est un domaine de type nouveau c'est l'ensemble des points suivantes :

+ ...

(8)

le 12

+ ...

C= (C

1""'CN)

E eN verifiant les deux inegalites

248 il est aise de voir

[13J que l'ensemble des inegalites (8) equivaut

a

l'unique inegalite

on reconnaft la cellule d'harmonicite de la boule ,-L'application sur

C ... L(e)

(1Ic\\2 +Jllc11

4

B(O,R) eRN

-,--,- 1

-

(2.2.2.).

def'Lrri e une norme

eN appelee la norme de Lie. Pour cette raison Ie domaine (9) i.e. ' est appele

BL(O,R)) dans

la boule de Lie( de centre

eN (disque de Lie si

Si nous identifions Ie vecteur

C = (C

0

et de rayon

R

notee

N= 1). ) 1""'C N

E eN

avec la matrice colonne

et si on note

C*

= t

c ' la boule unite de

Lie dans

r * 2 eNIc *C+v(C C) -lt ' C\ 2 < c

BL(O,l) = [C E

2.3.2.

Dans

eN est definie par 1}

[llJ Elie Cartan montre que la boule unite de Lie est analyti-

quement homeomorphe au tube de

eN:

Nous appelons Ie domaine (10) Ie tube d'Elie Cartan.

2.3.3.

/

,

THEOREME. La boule unite de Lie, Ie tube d'Elie Cartan et la cellule d'harmo-

nicHe de demi espace

N\ [x E R

phisme analytique complexe pres).

> O} = TIN sont identiques (a un homeomor-

249 En effet, la transformation Cayley generalise de

CN(s)

"'"

£ CN(z)

=

0,

alors

f

se developpe selon

b (f)

d'J

developpement uniformement convergente sur tout compact de

N C ,ou

272

z . ( Z . -1 ) ••• (Z . -\I . +1 ) J ] J J \I

.)

z

(:,\I(f) =

\I (-1)

asp, .S\I. J J 1sjsN

J

1\11-181

(8

3.1.2.

max a

j

< a < Log 2

(\1.8

f(8)

\1 1

• 1\11

Pour tout

a

f(It)

0

alors

partir d'un certain f =

0

Jrf)

• il existe une constante

est un entier, dont la valeur absolue est 0

E

+ ••• + \IN •

La proposition (3.1.1) montre que si

(:,\I(f)

(1 s j s N)

.!

\1 0

'

f

M

a

0

telle que

est de plus arithmetique.

< 1

f

est un polynome

•

3.1.3. (COROLLAIRE 3.2.9. [5J) Soit

a -

f

f

Si

entiere arithmetique verifiant (1)

a j < ILog

+ i

= 0.7588 •••

est de la forme

Z1

( 3)

f = l: P

k

1.···,kN

pour tout

( Z1 ' •••• ZN) C

1.k

ZN

C 1

N,k

\I

donc

des que

et finalement

{:, (f)

(soffime finie) N

p o l ynome s ,

si

273 b - Si

Q'j

< Log2 ,

pour tout

C. k J, j

et

j,

f

est un polynome.

On a alors l'analogue du theoreme 3.1.1. avec les m@mes notations

, ,

3.1.4. THEOREME. Soit

h

pN verifiant

une fonction harmonique dans tout

(4) Si

B < Log 2 , alors

f

se developpe selon

ou la convergence est uniforme sur tout compact de

pN.

En particulier :

3.1.5.

COROLLAIRE. Soit

Si

h

h

harmonique dans tout

est arithmetique alors Si

h

h

pN et verifiant (4) avec

B < Log 2 •

est un polynome.

est nulle sur Ie reseau

Jl'

alors

h

= 0

(i.e. Ie reseau

est un ensemble d'unicite pour la classe de fonctions harmoniques dans verifiant (4) avec

Jl'

pN

B < Log 2) •

Le theoreme 3.1.4. est la consequence de 3.1.2. et de la proposition

3.1.6.

Remarque. On peut ameliorer dans 3.1.5. la constante Log 2 • En effet

274

,

,

3.1'1' THEOREME. Soi t

h

une £onction harmonique ari thmetique dans tout

N R et

verHiant

0.7588...

alors

h

est un polynome •

Demonstration. Remarquer que h(z)

verHiant

avec

B

< B' < a o

a

o

> Log 2

0.693 •••• II existe une £onction entiere

et dont la restriction

L'enonce 3.1.3. s'applique,

h(z)

a RN

est egale

C. k

J, j

E {1, 2}

pour tout

(2.4.11.).

h

est de la Forme :

h(Z)

avec

a

c

ZN

(somme £inie)

N,k N

j.k • D'oD.

(a. k

hex)

J, j

(13 1

k • • 1

E {0,1})

·.·.I3 N k

' N

)

,rj , kj

{o,Log2})

or la derniere somme est une exponentielle polynome ; celle-ci est harmonique si et seulement s i , c'est un polynome harmorri que , En e££et

275

tlh(x)

Ie crochet est un polynome, et

-

qu'une fonction analytique dans Ie theoreme de E. Borel [10J que

tlh:; 0

dans

N R

non constante, en remarquant

eN et nulle sur RN est identiquement nulle,

eN

(qui est aussi val able dans

(24

J) montre

implique

o •

0

pour tout

j,k

j

et

h

est un polynome

harmoni que.

Soit

3.1.8.

N • Posons

COROLLAIRE (1J. Soit

Si

m

h

h(:N ) C E , B m

une fonction harmonigue dans tout

Ihex) \

AeB\\x\\

< Log 2

, il existe un polynome

RN verifiant

tel que h(X

Si

1,

m < N la constante

••• ,x 0, •• 0,0) m'

Log 2

est la meilleure possible.

En effet, la complexifiee

h de

h

verifie (2.4.11)

dans

276

B < B' 2,

Si

Os B < 1 ,

et

DVf(O) E:tf , alors

f

est un

polynome.

a £

=2

, B +

e


: D C definie par

rg·oJ ) .

'f est continue sur D (voir ) . Comme Ie montre l'exemple qUi va suivre , cette fonction continue n'est pas , en , differentiable Exemple : On prend n = 0 , X = {( t, z ) (1)2 / z2 = t ) , f : X donnee par f(t,z) t et 'f (t,z) = zz . On trouve alors Ff(t) = 2lt I

.).f?' et en conjuguant

b(>.) .1). =2:-

L

G (z).),p a,p

a,p (z). 'A

G

--a a

-za

si on a pose

P

On aura done ,puisque P et holomorphe et antiholomorphe

sont respectivement

P.F

f ':41

1M 1

ce qui donne l'egalite b(>')1iC\)

Ix

=

{x

[p .F \f l 2 ( A+ 1)]

Cf A &

[Q.Q( , e t en multipliant les deux membres de cette egali te par une fonction COO a support compact

e

f'

(*) en fait pour Le ch oLx de que nous allons faire on ne peut avoir de singularites que pour -1 .

286

radiale et valant identiquement 1 au voisinage du support de F (qui est compact) , on obtient

f

z: n

J=o

'l,r,j

m,m'

(a:»

(

s m+m'0 -m'+m s 0

(

Jc (Log lsi )j

f (e )

dSf\dB +

GN(A)

ou

GN est analytique pour 2Re(A) +N+1>-1 Gomme f est radiale , Ie cal cuI en coordonnees polaires donne l'existence d'un pale en = -r / 2 - m -1 d'ordre o o egal a jo+1 lles rationnels intervenant dans Ie developpement asymptotique etant dans [0,2[, il ne peut y avoir superposition de pales correspondant a des valeurs differentes de r ) . Ceci acheve notre esquisse de demonstration . II serait eVidemment tres interessant de savoir si chaque zero du polynome de Berstein-Sato de f contribue effectivement au developpement asymptotique du theoreme 1 (cette question contient Ie fait que les zeros du polyname de Bernstein-Sato de f sont des rationnels negatifs !) Venons en Si

a

a

et

la question

b

sont des entiers , on a ='

Tr , j m-a,m'-b

egalite entre courants sur de l'identite

2) en commengant par quelques remarques

. Ffa ib'f

X qUi resulte immediatement s

a -b s F

$
II: j •

301

1

Since dd c is invariant under

A, which are local inverses of n.

p

holomorphic mappings

J

c (dd 1/J )n

Iz-z o I 0, there is an open 0 c X such that C(O,X)


f a e , i

E and f. --> f J

uniformly on X\0 • Another consequence of [5] is that if {fj} converges quasi uniformly to f, and if {n

j}

C

2n(X) A is a sequence such that the forms

converge uniformly and the p.s.h. functions u

e, in a) J

in b) converge monotonically

j

a.e., then

where the convergence is in the weak sense of measures on X. Let us recall the method of smoothing of Section 2, equation (4). We note that

+

and thus

e A2k(X).

C

Xj + Xjdd

C

E)

By our remark above, we see that the smoothings

converge weakly to Lemma 3.2 (Stokes' Theorem).

£

as E

!!

O.

2n-l(X) n E A has compact support, then

Jd n = O. X

Proof: b).

We may assume that n is a wedge product of terms of the form a) and .

As in Section 2, we may take a smoothlng u

corresponding smooth form by n E•

£

j

of u

j

and denote the

By the remarks on smoothing,

303

Now the Lemma follows since

i.e. Stokes' Theorem holds for smooth forms on analytic spaces (see Bungart

[6J and Herrera [11]).

304

4.

Comparison Theorem

Lemma 4.1

Let X

for t < a and X(t)

1 C OR ) be a monotone decreasing function such that X(t)

=0

l Let h E Cl(X) and e E A 2n - (X) be

for t .':. b.

given, and assume that either h-l(_oo.b]

c

c

X or e has compact support.

Then -J X'(t)dt

f

de

{h-ct.)

(6)

J x(h) de

= JdX(h)Ae

fx' (h) Proof:

dhAe

If we show that the first equality holds. then the second follows

by Lemma 3.2 and the third is immediate. The first equality. however, is clear if h is a simple function, i.e.

where {Sl' •••• SN} is a Borel partition of X.

For in this case we may

write the measure de as de

=L

where V is the restriction of de to Sj' j -J X'(t)dt

Thus it suffices to show that

J {h

sup z

Since there will be a large overlap with the arguments of Theorem 1.5 of [lJ, we only sketch the details where they are different.

Wb

In this Section, we let

{W


-A

* ,c(t/I-A

l)

on Q(A

l)

2

are uppersemicontinuous on X and thus u', v' '" P(X). {u' < v'}

Q(A

C

l)

C

C

l)

on Q(A ) \n ( A ) l

Since

Q(A ) , we may apply the Comparison Theorem to deduce 2

that

r

J

J

(ddcu,)n

{u'

-I} n K is a locally pluripolar set, and

thus

=0

JF(ddcW)n for w u'

P n

L;oc'

Taking c

> 0

sufficiently large, we have

= U(K,Q(Al » * and v' = (l-E)v in a neighborhood of K. Thus we have J

(ddcu,)n

{u'

*

and i f

0, then either

0, or

a

Proof:


0 •

l)

> 0,

J

(14)

(ddc¢)n> O.

n(Al-d Now we may choose a > 0 such that

o

> ¢'

oo

p(n(A2 ) ) n L (n(A2)) such that

(z )

By simple inequalities

(15) and by the choice of A 2,

Now we may apply the Comparison Theorem to obtain

313

J

(dd

J

c1/l,)n

{1/I''} Since 1/1' = u(E,n(A

l»

*

J

(ddccj> , )n

{1/I''}

on n(A (14) and (15) yield l),

J

(ddcU(E,n(Al»*)n

{1/1' < cj>'}

(ddccj>') > 0 •

n(Al-d

The Lemma now follows from Lemma 5.1. Theorem 5.3.

Let X be a complex space.

If there is a p.s.h. exhaustion

function on X, and if (16)

there exists cj> E p(X) n t

o (e >

n:

4>1

c c 4>n c c n (dd 4>l+d4> lAd 4>1) +.•. +e (dd 4>n+ d4>nAd 4>n))

4>1

c 4>n C n d4> l"d 4>1+" .+e d4>nAd 4>n)

e

4>1+" ·+4>n

c c d4>l" d 4>1"" '''d4>nlld 4>n

Thus if (16) does not hold, then (17) holds.

315

6.

Polar Manifolds and Polynomial Hulls

An interesting question that arises from Josefson's Theorem is to know how far a given polar set is from being "complete". E

C

That is, if

lEn is polar, we may consider the new polar set E*

= {z

e lEn: p(z)

=

_00

for all

n) p e p(ll: such that pi

= _oo}

•

E

Although E* may be characterized in other ways (see [lOJ), the relation between E and E* is not clear.

A nontrivial example has been given by

Sadullaev [lSJ, who showed that a E

can satisfy E*

= {( z , w)

bounded complex disk 2 1l: : w

=f

( z ),

Iz I

< 1)

= E.

If K is compact, then the polynomial K coincides with the hull with n). respect to p(ll:

* Thus K eKe K.

Although local and global polynomial

convexity are not the same, the relationship with polar sets will give a method which sometimes showed that global hulls are small. n• l Let M be a C submanifold of Il: largest Il:-linear subspace of T M c lEn. p

For p e M, we let H M denote the p

M is said to be CR if H M has p

constant dimension, and M is generating at p if there is no Il:-linear subspace L with

We remark that if a it is not pluripolar.

manifold is generating

We are interested in the converse.

any point then

316

Theorem 6.1.

If M c

a:n

is a real analytic submanifold which is nowhere

generating, then M is pluripolar. Proof:

Josefson's Theorem, it suffices to show that M is a union of

locally pluripolar subsets.

First we may stratify M = MOu .•• uMk into a

union of semianalytic subsets with the property that M

where

j

is a real analytic CR manifold which is nowhere generating. Let us write M = ill coordinates so that containing TOM.

and work locally near 0 e M.

j

{O} c Il:

x

We may rotate

is the smallest Il:-linear subspace of Il:

If Tr(zl,,,,,zn) = (zl,,,,,zm)' then TriM:

CR diffeomorphism near zero.

is also a CR mapping. morphic mapping F(z) U of Tr(M)

n

n

is a

Thus

a theorem of Tomassini [21] f extends to a holo-

= (zl"",zm,Fm+l(z), ••• ,Fn(Z))

in a neighborhood

It follows now that

Thus M is pluripolar, which completes the proof. Corollary 6.2.

l!M c Il:

n

is a real analytic subset that is nowhere generating,

M is a polar subset of Il:

n•

In particular, M has no interior.

If M is allowed to be generating, then M may be locally polynomially

/'.

convex but M may contain an open set, e,g. (aA)n

= An.

317

7•

Evans' Law We have tried to present some parallels between the operator (ddc)n

and the Laplacian IJ.. a function

Evans' Law. which says that the discontinuities of

lie inside the support of

does not generalize exactly.

For instance. by an example at the end of Section 3 of [1]. the function u(K.O) * is not necessarily continuous on O\K. Let us assume that X is a Stein space. and that subset.

assume that the Zj all vanish on Sing X.

S

Zj

We may

Thus any integral curve of Re Zj

which starts in Reg (X) will remain in Reg (X). T

n n Reg(X)

(See. for instance. Fischer [8 ].)

{Zl(P) •.••• Zm(p)} spans Tp X.

--->

X is an open

It follows. then, that there is a finite number of holomorphic

vector fields zl ••.•• Zm on X such that for each p G

p

nee

This gives us a mapping

(p) obtained by starting at p and following the integral curve

of Re Zj for time s , lsi

s(p). T

S

Zj

:

I f n e e X. then for lsi

0 ---> T

S

Zj

5(0)

(0) c X

is a biholomorphic mapping. Given a function on 0 c c X. we may define the modulus w(f.Z.6) = sup {If(p)-f(Ts p)l: P G 0. 0 Z Z

= L aj

Zj'

L a j l2 1

Is I

< 6·

sen) •

1.

o.

318

An alternative would be to take a Stein neighborhood n', nee 0' c c X and imbed n' properly into

We could give n the imbedded

metric, and thus obtain another modulus of continuity

It follows,

then, that

w(f,Z,o) for same constant

C > O.

-v

w(f,Co)

Conversely, if

lim w(f,Z,6) =

o .... a

a

then f is

continuous on Reg X, but we cannot conclude anything about the behavior of f on Sing X. Theorem 7.1.

X be Stein, nee X, and f e c(n) be given.

e p(n) n

= f(p)

f, and

e C(Reg (n)).

If, in addition, f

p e supp

w(f,Z).

for p in a neighborhood of dn, then

If

In particular,

Cl,a(n), for some

a




n




2 -

E C (n)

4>

is

W p(n) n Lm(n,loc) be continuous on the set

Then W e CeO n Reg X). Proof:

By the continuity of W at

tinuity of

an

u supp (ddcw)n and the uppersemicon-

Won n, there is a continuous function f

and such that f

= W on an u supp

C(O) with f

W

(ddcw)n.

Thus by Theorem 4.4 Wis given as the envelope of the p.s.h. functions dominated by f.

The proof now follows by repeating Lemma 1 of Walsh

with translates replaced by w(Tsp). z

t 22J ,

320

The method of looking at upper envelopes yields a procedure for smoothing solutions of the Dirichlet problem, Theorem 7 .3.

X be a Stein manifold, and let n

e C2(n) is strongly p.s.h.

=


• Cela montre bien

la proposition. J'ignore si

v

donne aussi Ie nombre de Lelong dans Ie cas d'un

espace de Banach.

3. Le principe de minimum et la transformation de Legendre A

la base de notre demonstration se trouve Ie resultat suivant.

Theoreme 3.1

(Le principe de minimum). - Soient

vectoriel complexe et complexifie. Soient

un espace vectoriel reel et notons

F

D un ouvert pseudoconvexe dans D et supposons que, si

plurisousharmonique dans et

y'

ont meme partie reelle, alors

Supposons aussi que x E E.

D

x

E un espace

=

{y E

et

u

(x,y) E D et si

(x,y') E D et

; (x,y) E D}

E x

son

u(x,y)

y

= u(x,y')

est connexe pour tout

Alors v(x)

inf u(x,y), x E w ,

y ED

x

est plurisousharmonique dans

w, l' ensemble des

x E E

tels que

Dx

soit non vide. Pour la demonstration de ce theoreme, voir [1]. Si

f:

[-0::>,+0::>]

est une f onc t i.on numer i.que definie sur l'axe

reel on definit sa transformee de Legendre f(n)

=

sup (yn-f(y)), yElR

n ElR.

f:

[-0::>, +0::>]

par

330 On a toujours

et l'egalite a lieu si et seulement si

f < f

convexe, semicontinue inferieurement et admet la valeur si elle est la constante f(y)

f(y)

formule qui represente

a

fonctions affines, convexe

a valeurs

-00.

=

f

yElR,

comme l'enveloppe superieure d'une famille de

savoir ses tangents. Si on sait seulement que

dans

Nous renvoyons

seulement

faces trois proprietes on a done

sup (Yll-f(ll», 11 ElR

a

on a

]-00,+00]

l'exterieur de l'intervalle

ell.

Si

_00

fest

I

ou

f = f

fest

dans l'interieur et dans

fest finie, mais pas forcement dans

Rockafellar [8] pour la

t

heo r i.e des fonctions con-

vexes. Soit maintenant -00,+00 ].

f

convexe et croissante sur

II existe done un intervalle

] -oo,a]

ou

finie, et on pourrait appeler nombre de Lelong de V

f

=

lim

f'(t)

=

lim

lR,

a

valeurs dans

] -oo,a[ f

oii

fest

la quantite

f(t)/t

II est facile d'exprimer cette pente

a

l'infini

a

l'aide de la transformee

de Legendre : Lemme 3.2. - Soit tiquement tude de

+00 •

Alors

f v

f

lR-+] -00,+00]

convexe, croissante et non iden-

est l'extremite gauche de l' intervalle de fini-

f ; en particulier

f (11)

=

11 < Vf . Si, en plus, f

si

+00

plus vite que toute fonction lineaire, alors Soient maintenant

E, F,

supposons pour simplifier que

et

=

u

pour tout

II > v

comme dans Ie theoreme 3.1, mais Fa; = a:

F=JR, d'ou

transformee de Legendre partielle 11)

u

f(ll) < +00

croit

de

sup (Yll - u(x,y», yElR

u

On peut definir la

par

(x,l1) E E x lR.

f

.

331

Alors, cornme

u(x,')

est convexe, on a I':j

u(x,y)

u(x,y) = sup (Re

(x,y) E

n Em.

et Ie principe de minimum nous garantit que dans cette representation de u

comme enveloppe de fonctions affines en

y

fonction plurisousharmonique des variables si

u(x,y)

est croissante en u(x,y)

lim

(3.1)

y-+

et si

u(x,y)

=

pour

+00

u(x,y)

lim

(3.2)

y-+

Le fait que

y

x>->

En particulier,

> -= )

assez grand on a sup f ri;

y

e-oo

(x,y) E

on a

inf(Tl;

y

-00

y,

chaque terme est aussi une

=

-= ) .

est plurisousharmonique nous fournira des ren-

seignements sur Ie nombre de Lelong dans Ie paragraphe suivant.

4. Le resultat principal Theoreme 4.1. - Soient m> 1 , h

de

E w

dans

w un ouvert de

contenant l'origine,

l'espace de Frechet de toutes les applications holomorphes

c'",

n::: 1, telles que

harmonique au voisinage de l'origine de pour toute

[m

h E E

sauf si

h

h CO)

=

o.

Si

et celIe de

f

appartient

sup

y

log!h(z)!,

par

u Ct ) de fa u(t) (1 +p(h,O) )

y-

,

t

Y

hE E

333

Grace

a

la proposition 2.1 les nombres de Lelong de

f

et

f

0

h

sont

donnes, respectivement, par

= lim u(t)/t

Vf(O)

t .... -00

et Vf oh(O) En faisant tendre

y

=

lim

v(h,y)/y.

y .... -00

vers -00

dans

(4.3)

on obtient Le resultat

attendu :

Comme

vest plurisousharmonique dans Ie domaine pseudoconvexe

et comme

a: ;

{y E

(h,y) E

est un demi-plan, done connexe, on peut appliquer Ie principe de minimum (voir Ie theoreme 3.1) et affirmer que nique dans

E pour tout =

est plurisousharmo-

n E lR, oii

sup (vn -v(h,y», yElR

(h,n) E Ex lR,

est la transformee de Legendre partielle de E(n)

{h E E;

=

est soit polaire soit egal

a

= -oo}

E

tout entier. D'autre part on sait que :: -co

(voir Ie lemme 3.2 et D'oll, en posant

ex

=

v. Done

=>

(3.1) , (3.2); on note que

v(h,y)

=

+00

si

y ::: 0).

Vf(O) ,

{h E E ;Vfoh(O) -f ex}

00 {h E E ; Vf

0

h (0) >- ex}

U

E(ex+l/j)

1

Par un resultat bien connu en dimension finie (cf. [7]), il existe une

334 application Li.ne a i r e

h

h (0) = Vf(O). Done O et, par consequent, il existe des nornbres E:. > 0

a+l/j) >-=

O

E E

telle que

v

f

0

J

tels que

Nous allons poser (4.4)

w(h)

1

Nous savons done que E. J

a

w(h

O)

encore une condition,

>

c-

a

et nous allons assujettir les nornbres

co

forrnuler, pour que

w

soit bien definie

et plurisousharrnonique. v < uop

En transforrnant l'inegalite (h,y) E rl

et

- yn :: u(y +p(h,O»

lei on peut choisir, etant donne s

a y

(4.2), si

y ElR, :: u(p(h,y»

satisfaisant

on obtient, vu

p(h,y) < O. =

h E E

et

- yn .

n E 1R, n'irnporte quel

y < 0

Prenons

-p(h,O) - 8 < 0

p(h,O) > 0

et y

-8 si

p(h,O) < 0 .

D'ou

(4.5)

< u(O) +np(h,O)+,

(h,n)EExlR,

et w(h)

< u(O) 2:E. +2:E.(a+l/j)p(h,O)+ J J

J

On voit finalernent qu'il suffit de supposer pouvoir cone lure que

west bien definie par

tion w(h) :: A

o

+ Al p(h,O)

+

S. > 0 J

(4.4)

et

L: E. < += J

pour

et adrnet la rnajora-

335 avec des cons t ant e s

A et O

seminorme continue sur

E

AI'

On note que

et que

h .... exp p(h,O)

est une

west done localement bornee supe-

rieuranent ; la representation w(h)

q

lim

=

q-Ho>

+

L: E.(-v(h,a+l/j) -u(O) -(a+l/j)p(h,O) ) j =1 J

0> +

nous donne

.

+

L: E. (u(O) + (a + I/J )p(h,O) ) j =1 J

w comme limite d'une suite decroissante de fonctions semi-

continues superieurement, done elle meme semicontinue superieurement. Cela dit, il est clair que vu que

w(h

O)

> - 0>. Done

west plurisousharmonique et nous avons deja U E(a+l/j)

E : Ie theoreme

est polaire dans

1

4.1 est demontre. Je ne sais pas si une reunion denombrable d'ensembles polaires dans un espace de Frechet est polaire. Dans Ie cas traite ici la conclusion depend des majorations tres particulieres finissant les ensembles

(4.5)

pour les fonctions de-

E(a + l/j)

Etant donneeune partie

P

de

E

on peut se demander s'il existe

plurisousharmonique au voisinage de l'origine telle que sa que de

h E P.

m> n > 1

Si

Vf oh(O) > Vf(O) h ' (0)

EO

Si

1 < m< n

L([m,[n) P

une partie de

l'espace projectif de dimension

et par suite

telle que g

telle

telle que

g

0

h E P

EO

E

h(O)

=

so it localement polaire dans

+0> > Vf(O) =

b >

forme des appli-

telle que l'ensemble des

n-l. Alors il existe

v f oh(O) V

on note l e resultat parti-

Ie sous-espace de

droites contenues dans l'image d'une

[n

h E E

est contenu dans l'ensemble algebrique ou Ie rang

cations lineaires, et soit

nique dans

v oh(O) > Vf(O) f

il est clair que 1 'ensemble des

est Lnf e r i eu r a n .

culier suivant. Soit

f

Vg(O)

1

f

plurisousharmo-

pour toute

a , a

et

etant donnes. Cela est une consequence du theoreme 4.4 de [3].

h E P

b > a > 0

336

Bibliographie 1.

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CAPACITY, TCHEBYCHEFF CONSTANT, AND TRANSFINITE HYPERDIAMETER ON PROJECTIVE SPACE

By Robert E. Molzon and Bernard Shiffman*

Introduction In studying the growth of the hyperplane sections of an analytic variety in

[n, one uses the currents

;:y _

aa

log

/Z.wj

llir

of integration over the hyperplanes dual to the points W of r n-l . This expression suggests the kernel on r n - l

log

I Z'wl .

In a joint work with N. Sibony [6] , we used this kernel to define the capacity

C(E)

(for compact subsets

E C pn-l) , which allowed us to

extend a result of L. Gruman [4] on average growth estimates for hyperplane sections of affine analytic varieties.

H. Alexander [2] then obtained the

inequali ties c peE) s exp(-l/C(E)) :::: peE)

* Research partially supported by a National Science Foundation grant.

338

for compact constant for

E

T(E)

2 , we are able to prove in this paper

the identity T(E) = ex.p(-l/C(E)) (Theorem 3) and the inequality n-l peE) T(E) (Theorem 2) for general n. Thus CeE) (n-l)C(E) The question whether there is an upper bound for remains unsolved.

CeE)

in terms of G(E)

339

1.

Notation and definitions. denote a point in either

n

Or

n-I

•

+ Z W

n n

For a k-vector

X

[X!

, we let

denote the inner-product norm of

X induced from the above Euclidean norm. we let

vOtE)

For a compact subset

denote the set of positive Borel measures

E of

fn-l

on E with

1, and we call these measures probability measures.

We first recall the definition from [6] of capacity in DEFINITION 1.

For

uP(fn-l)

the potential function

u

f

n- l on

pn-l

is given by (1.1)

for

Z

pn-l

The capacity

C(E)

of a compact subset

E of Pn-l

is defined by inf

(1.2)

The capacity

C(E)

sup zepn-l

of Definition 1 is related by Alexander's inequality to

the Tchebycheff constant

pCE).

(See Definition 2 and Theorem 1 below.)

We do not work directly with C(E) capacity

C(E)

u (Z)

(see Definition 4).

in this paper; instead we use another Some conditions for the positivity of

C(E) are given in [6, Theorem 2.1] and [2, Theorem 3.3J •

340

For

k

r (E)

(1.3)

k

=

Pn-l , put

. E a compact set In

a positive integer and

inf

IZ'A.!)

k TI

sup

Tz-nijl

fA •••••' \)

with

t1c

n-Z

n-l log t1c .

0 , we conclude from (Z.lO) that

(2.11)

If

+

(n-l) log r k-l

=0

, then (2.11) is valid with

t1c(E')

0 .

>

Letting

E'

verifying (Z.ll) for the case follows by letting

k

m

log dk • E replaced by a larger sets

E , we then conclude that d

= 0 k in (Z.ll).

n - 1

and that the reverse inequality does not hold.

=0

, then

implies that

=0

peE)

peE}

=

0

similarly implies that

T(E)

,

C(E)

=

o

in Theorem Z is sharp

Theorem Z tells us that if

; the converse is unkown.

if and only if

=0

The conclusion of the theorem then

We note in Section 3 that the exponent

T(E)

r k-l

E'

O.

Theorem 1 of H. Alexander The following result

vanishes if and only if

C(E)

vanishes.

347 THEOREM 3.

For

E

r n-l ,we have

a compact subset of exp(-l/C(E))

Proof:

C: (E)

We must show that

,(E)

- log ,(E)

(2.12)

- log ,CE)

is elementary and is verified as follows: be arbitrary.

k > n

The inequality

Let

t:: J;CE)

j.l

and let

Then

log dk(E)

< CI

log

(X

Cl

log

n

(XCI ' I

k

l

, .•• , XCI ) du (Xl"'"

n

and thus

Letting

k

+ +

ro

and then taking the infimum over

j.l

, we

obtain (2.12). Thus we must show that

!(E)

< -

Let

A denote the invariant probability

log TeE) •

For

A G pn-l

and

6 > 0 , we let B CA, 6)

(2.13)

denote the is-ball about measure on For

I'

n-I

k > 1 , let

(Thus is E i+ k

A. A

.

1S

. by gi.ven

be determined by

(-110 d 3- log

!ZI)I n-l

.)

348

(2.14)

11k.

Then k •

(2.15) since

X(B(A,0)) Let

{Iv} I

o2n-2

for

as

1

k

+ '" •

0 small.

D be an arbitrary open set containing

Kv

and

by choosing

= n Kv

E

II ,,-.P (K ) v

C:CII) .) v

,then

l'CKv ) ?

t

such that

v

subsequence so that lim

2n-2

E.

is a sequence of compact sets decreasing to

1c

v+

A:1-

uk

llv'" 11

0 e

t (E).

CK) =

Note that if

E, that is ('This fact is verified

CIl.) ;

passing to a