107 5 16MB
English Pages 386 [398] Year 1982
Lecture Notes in Mathematics For information about Vols. 1-700, please contact your bookseller or Springer-Verlag. Vol. 701: Functional Analysis Methods in Numerical Analysis, Pro· ceedings, 1977. Edited by M. Zuhair Nashed. VII, 333 pages. 1979. Vol. 702: Yuri N. Bibikov, Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations. IX, 147 pages. 1979. Vol. 703: Equadiff IV, Proceedings, 1977. Edited by J. Fabera. XIX, 441 pages. 1979. Vol. 704: Computing Methods in Applied Sciences and Engineering. 1977, I. Proceedings, 1977. Edited by R. Glowinski and J. L. Lions. VI, 391 pages. 1979. Vol. 705: 0. Forster und K. Knorr, Konstruktion verseller Familien kompakter komplexer Raume. VII, 141 Seiten. 1979. Vol. 706: Probability Measures on Groups, Proceedings. t978. Edited by H. Heyer. XIII, 348 pages. 1979. Vol. 707: R. Zielke, Discontinuous Cebysev Systems. VI, 111 pages. 1979. Vol. 708: J. P. Jouanolou, Equations de Pfaff algebriques. V, 255 pages. 1979. Vol. 709: Probability in Banach Spaces II. Proceedings, 1978. Edited by A. Beck. V, 205 pages. 1979. Vol. 710: Seminaire Bourbaki vol. 1977/78, Exposes 507-524. IV, 328 pages. 1979. Vol. 711: Asymptotic Analysis. Edited by F. Verhulst V, 240 pages. 1979. Vol. 712: Equations Differentielles et Systemes de Pfaff dans le Champ Complexe. Edite parR. Gerard et J.-P. Ramis. V, 364 pages. 1979. Vol. 713: Seminaire de Theorie du Potentiel, Paris No.4. Edite par F. Hirsch et G. Mokobodzki. VII, 281 pages. 1979. Vol. 714: J. Jacod, Calcul Stochastique et Problemas de Martingales X, 539 pages. 1979. Vol. 715: lnder Bir S. Passi, Group Rings and Their Augmentation Ideals. VI, 137 pages. 1979. Vol. 716: M. A. Scheunert, The Theory of Lie Superalgebras. X, 271 pages. 1979. Vol. 717: Grosser, Bidualraume und Vervollstandigungen von Banachmoduln. Ill, 209 pages. 1979. Vol. 718: J. Ferrante and C. W. Rackoff, The Computational Com· plexity of Logical Theories. X, 243 pages. 1979. Vol. 719: Categorial Topology. Proceedings, 1978. Edited by H. Herrlich and G. PreuB. XII, 420 pages. 19 79. Vol. 720: E. Dubinsky, The Structure of Nuclear Frechet Spaces. V, 187 pages. 1979. Vol. 721: Seminaire de Probabilites XIII. Proceedings, Strasbourg, 1977/78. Edite par C. Dellacherie, P. A. Meyer et M. Wei!. VII, 647 pages. 1979. Vol. 722: Topology of Low-Dimensional Manifolds. Proceedings, 1977. Edited by R. Fenn. VI, 154 pages. 1979. Vol. 723: W. Branda!, Commutative Rings whose Finitely Generated Modules Decompose. II, 116 pages. 1979. Vol. 724: D. Griffeath, Additive and Cancellative lnteract>ng Particle Systems. V, 108 pages. 1979.
Vol. 729: Ergodic Theory. Proceedings, 1978. Edited by M. Denker and K. Jacobs. XII, 209 pages. 1979. Vol. 730: Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points. Proceedings, 1978. Edited by H.·O. Peitgen and H.·O. Walther. XV, 503 pages. 1979. Vol. 731: Y. Nakagami and M. Takesaki, Duality for Crossed Products of von Neumann Algebras. IX, 139 pages. 1979. Vol. 732: Algebraic Geometry. Proceedings, 1978. Edited by K L0n· sled. IV, 658 pages. 1979. Vol. 733: F. Bloom, Modern Differential Geometric Techniques in the Theory of Continuous Distributions of Dislocations. XII, 206 pages. 1979. Vol. 734: Ring Theory, Waterloo, 1978. Proceedmgs, 1978. Edited by D. Handelman and J. Lawrence. XI, 352 pages. 1979. Vol. 735: B. Aupetit, Proprietes Spectrales des Algebras de Banach. XII, 192 pages. 1979. Vol. 736: E. Behrends, M·Structure and the Banach· Stone Theorem. X, 217 pages. 1979. Vol. 737: Volterra Equations. Proceedings 1978, Edited by S.·O. Landen and 0. J. Staffans. VIII, 314 pages. 1979. Vol. 738: P. E. Conner, Differentiable Periodic Maps. 2nd edition, IV, 181 pages. 1979. Vol. 739: AnalyseHarmoniquesur lesGroupesdelie II. Proceedings, 1976-78. Edited by P. Eymard et al. VI, 646 pages. 1979. Vol. 740: Seminaire d'Aigebre Paul Dubreil. Proceedings, 1977-78. Edited by M.·P. Malliavin. V, 456 pages. 1979. Vol. 741: Algebraic Topology, Waterloo 1978. Proceedings. Edited by P. Hoffman and V. Snaith. XI, 655 pages. 1979. Vol. 742: K. Clancey, Seminormal Operators. VII, 125 pages. 1979. Vol. 743: Romanian-Finnish Seminar on Complex Analysis. Pro· ceedings, 1976. Edited by C. Andreian Cazacu et al. XVI, 713 pages. 1979. Vol. 744: I. Reiner and K W. Roggenkamp, Integral Representations. VIII, 275 pages. 1979. Vol. 745: D. K. Haley, Equational Compactness in Rings. Ill, 167 pages. 1979. Vol. 746: P. Hoffman, r·Rings and Wreath Product Representations. V, 148 pages. 1979. Vol. 747: Complex Analysis, Joensuu 1978. Proceedings, 1978. Edited by I. Laine, 0. Lehto and T. Sorvali. XV, 450 pages. 1979. Vol. 748: Combinatorial Mathematics VI. Proceedings, 1978. Edited by A. F. Horadam and W. D. Wallis. IX, 206 pages.1979. Vol. 749: V. Girault and P.-A Raviart, Finite Element Approximation of the Navier·Stokes Equations. VII, 200 pages. 1979. Vol. 750: J. C. Jantzen, Modulo mit einem hi:ichsten Gewicht. Ill, 195 Seiten. 1979. Vol. 751: Number Theory, Carbondale 1979. Proceedings. Edited by M. B. Nathanson. V, 342 pages. 1979. Vol. 752: M. Barr, '·Autonomous Categories. VI, 140 pages. 1979. Vol. 753: Applications of Sheaves. Proceedings, 1977. Edited by M. Fourman, C. Mulvey and D. ScOit XIV, 779 pages. 1979. Vol. 754: 0. A. Laudal, Formal Moduli of Algebraic Structures. Ill, 161 pages. 1979.
Vol. 725: Algebres d'Operateurs. Proceedings, 1978. Edite par P. de Ia Harpe. VII, 309 pages. 1979.
Vol. 755: Global Analysis. Proceedings, 1978. Edited by M. Grmela and J. E. Marsden. VII, 377 pages. 1979.
Vol. 726: Y.-C. Wong, Schwartz Spaces, Nuclear Spaces and Tensor Products. VI, 418 pages. 1979.
Vol. 756: H. 0. Cordes, Elliptic Pseudo-Differential Operators Abstract Theory. IX, 331 pages. 1979.
Vol. 727: Y. Saito, Spectral Representations for Schrodinger Opera· tors With Long-Range Potentials. V, 149 pages. 1979.
Vol. 757: Smoothing Techniques for Curve Estimation. Proceedings, 1979. Edited by Th. Gasser and M. Rosenblatt. V, 245 pages. 1979.
Vol. 728: Non-Commutative Harmonic Analys•s. Proceedings. 1978. Edited by J. Carmona and M. Vergne. V, 244 pages. 1979.
Vol. 758: C. NAstAsescu and F. Van Oystaeyen; Graded and Filtered Rings and Modules. X, 148 pages. 1979.
An
continuation on page 391
Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann
919 Serninaire Pierre Lelong - Henri Skoda (Analyse) Annees 1980/81 et
Colloque de Wimereux, Mai 1981 "Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie ou infinie", organise en I'honneur de Pierre Lelong
Edite par Pierre Lelong et Henri Skoda
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1982
Editeurs
Pierre Lelong Henri Skoda Universite de Paris VI, Mathernatiques Tour 45-46 -Serne etaqe, 4 Place Jussieu, 75005 Paris, France
AMS Subject Classifications(1980); 32-XX ISBN 3-540-11482-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-11482-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutsehen Bibliothek Serninaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse): Serninaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse): annees .... Berlin; Heidelberg; New York: Springer 1980/81. ... Et Colloque de Wimereux, Mai 1981, .Les Fonetions Plurisousharmoniques en Dimension Finie ou Infinie": organise en I'honneur de Pierre Lelong. - 1982. (Lecture notes in mathematics; Vol. 919) ISBN 3-540-11482-3 (Berlin, Heidelberg, New York) ISBN 0-387-11482-3 (New York, Heidelberg, Berlin) NE: Colloque Les Fonetions Plurisousharmoniques en Dimension Finie ou Infinie ; GT
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Introduction au Seminaire P.LELONG,H.SKODA 1980-1981.
Ce volume est divise en deux parties. La premiere partie se compose des exposes faits au seminaire P.Lelong,H.Skoda durant les annees 1980 et 1981, qui n'ont pas deja ete publies ailleurs. La deuxieme partie reprend certains des exposes du Colloque de Wimereux , de Mai 1981, sous Ie titre: "Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie au infinie", organise en l'honneur de Pierre Lelong. On a reproduit ici parmi les allocutions prononcees a cette occasion celIe de G.Coeure et la reponse de P.Lelong. Indiquqns brievement les sujets traites dans les exposes des deux parties en les regroupant suivant leurs themes scientifiques. II s'agit toujours de travaux apportant des resultats nouveaux dans Ie domaine de l'Analyse complexe, domaine qui continue
a
se developper rapidement.
On retrouve dans ce volume des themes classiques qui sont deja apparus plusieurs fois dans ce seminaire. 1/ En premier lieu apparaissent les notions capacitaires et la theorie des fonctions plurisousharmoniques. L'expose de R.E.Molzon et B.Shiffman introduit des notions de capacite, de diametre transfini et de constante de Tchebycheff sur theorie quantitative des ensembles analytiques dans
en liaison avec la et apporte des resultats
de comparaison entre ces differentes notions. E.Bedford etend aux espaces analytiques complexes de Monge-Ampere (ddc)n
sa theorie de l'operateur
et la notion de capacite associee. Comme application, il
etend Ie theoreme de Josephson sur les ensembles localement pluripolaires certains espaces analytiques (eventuellement sans fonctions holomorphes).
a
IV
B.Gaveau et
J.Lawrynowicz definissent a l'aide de la theorie des jeux de Von
Neumann une integrale de Dirichlet puis des notions capacitaires invariantes par isomorphisme analytique. Leur approche semble assez differente de celIe qui utilise l'equation de MongeAmpere complexe. lIs donnent une application a la physique theorique des particules elementaires. 2/ C.O.Kiselman etudie Ie nombre de Lelong de la restriction d'une fonction plurisousharmonique aux differents germes de sousvarietes analytiques passant par l'origine. II montre que ce nombre est independant de la sousvariete sauf pour des sousvarietes appartenant a un ensemble exceptionnel. L'ensemble des germes de sousvariete etant de dimension infinie, l'etude des fonctions plurisousharmoniques sur des espaces de dimension infinie apparatt ici comme particulierement naturelle. Une question posee a cette occasion a Wimereux par C.O.Kiselman a suscite une reponse de P.Lelong qui donne un nouveau moyen de calculer ce nombre et en deduit un lemme de Schwarz en dimension infinie. M.Blel approfondit dans son article les proprietes de sommabilite locale de
exp(V)
ou
Vest Ie potentiel canonique plurisousharmonique associe par
H.Skoda a un ensemble analytique
X. Par une serie de contreexemples, il montre
qu'il n'y a pas de liaison simple entre les proprietes algebriques des singularites de l'ensemble du potentiel
X
(par exemple etre une intersection complete) et les singularites
V.
V.Avanissian utilise la complexification et la notion de cellule d'harmonicite 1 introduite pour la premiere fois par Aronszajn et P.Lelong, pour l'etude des fonctions harmoniques d'ordre infini et donne des resultats sur celles d'entre elles qui sont arithmetiques, c'estadire telles que
fON
n)
.
3/ Un autre theme classique du seminaire est celui de l'analyse harmonique et de la synthese spectrale • II est bien connu depuis les travaux d'Ehrenpreis, B.Malgrange et V.P.Falamodov, que ces questions se ramenent a l'etude des varietes d'interpolation, c'estadire au probleme de l'extension d'une fonction holomorphe
v avec croissance
a
partir d'une sous-variete
V de
C.A.Berenstein et
B.A.Taylor d'une part, J.-p.Demailly d'autre part montrent que si les mineurs de la matrice jacobienne de l'application holomorphe definissant sent pas trop vite, alors
V, ne decrois-
Vest d'interpolation. En fait, ils construisent une
bonne retraction holomorphe sur
V dans un voisinage de
ser ensuite les methodes semi-globales pour l'operateur
V, permettant d'utili-
a.
Plus generalement, J.-P.Demailly s'interesse au probleme du scindage holomorphe avec croissance d'une suite exacte de fibres holomorphes au-dessus d'une variete de Stein . Le probleme precedent correspond au cas de la suite exacte definissant Ie fibre normal
a
V. II obtient des resultats
a
peu pres optimaux, dans Ie meme
esprit que ceux obtenus par H.Skoda dans les precedents seminaires pour les morphismes de fibres vectoriels semi-positifs. - Dans un article de la meme veine, il introduit une troisieme notion de positivite pour les fibres vectoriels holomorphes, la positivite forte, completant les notions de positivite au sens de P.A.Griffiths et S.Nakano. II compare ces differentes notions et transpose les resultats obtenus a la positivite des courants. II obtient ainsi d'interessantes relations entre les positivites faibles et fortes des courants. 4/ L'article de B.Barlet concerne les operateurs differentiels et l'etude des singularites. II observe que l'integration d'une forme differentielle
00
C
a
compact sur les fibres d'une application holomorphe d'un espace analytique valeurs dans
ne fournit pas en general une fonction
gularites de cette derniere fonction
a
les coefficients sont des courants sur
X
a
Coo. II decrit les sin-
l'aide d'un developpement asymptotique dont X. De plus, les nombres rationnels qui
interviennent dans ce developpement sont relies
a
la resolution des singularites
de
X et aux racines du polynome de Bernstein-Sato.
5/
Le
theme
support
de la theorie fine des fonctions holomorphes est represente dans ce
volume par les articles de B.Gaveau et M.Range. B.Gaveau decrit des conditions necessaires quantitatives verifiees par la courbure scalaire des diviseurs d'une fonction holomorphe dans une ciasse de Hardy
VI
de la boule de
[n. Des conditions de ce type, distinctes de la condition de
Blaschke et de celIe de P.Malliavin sont en effet activement recherchees. Un resultat similaire est obtenu pour les diviseurs dans
[n.
M. Range , dans un article de synthese, fait Ie point sur la thearie des estimations holderiennes pour
dans un domaine pseudoconvexe. Cette theorie n'est
encore satisfaisante que dans Ie cas strictement pseudoconvexe et dans Ie cas d'un ouvert convexe de
[2
a frontiere analytique reelle. II etudie egalement la regu
larite holderienne des derivees d'ordre bidegre
(p,q)
avec
q
k
des solutions explicites pour
1 . Le resultat nouveau, correspondant a
en
q >1 , est
obtenu par une modification convenable de la solution de Henkin. 6/ Le theme des applications a la Physique theorique, quelque peu oublie dans Ie precedent seminaire, reappparait ici. V.S.Vladimirov presente dans son article un panorama actuel des liens entre la Physique Theorique et les fonctions holomorphes de plusieurs variables. II montre tour a tour Ie role joue en Physique Theorique par Ie theoreme du "edge of the wedge" , Ie theoreme de l'enveloppe Cconvexe, Ie theoreme de covariance finie et l'etude des fonctions holomorphes de partie reelle> 0
definies dans un tube.
B.Gaveau et G.Laville montrent Ie lien entre les fonctions propres d'un certain hamiltonien et les fonctions holomorphes verifiant les equations de CauchyRiemann tangentielles sur Ie groupe de Heisenberg. Ce lien est etablit par l'intermediaire d'une transformee de Fourier partielle sur Ie groupe de Heisenberg. B.Gaveau et J.Lawrynowicz une application
a
dans leur travail deja cite donnent egalement
la Physique Theorique.
Nous remercions les auteurs qui nous ant confie leurs textes , Madame Orion qui a prepare de nombreux manuscrits et la librairie Springer qui edite ce seminaire et qui contribue ainsi a la diffusion rapide de resultats nouveaux. Pierre LELONG Henri SKODA
TAB L E
I
/
SEMINAIRE d'ANALYSE
DES
MAT I ERE S
(PARIS)
BERENSTEIN (C.A.) et TAYLOR (B.A.). _. On the geometry of interpolating varieties ........•.....•...•.......•....••........• 2
BLEL (M.). - Fonctions plurisousharmoniques et ideal definissant un ensemble analytique ........•..•..•.............•..•
26
3
DEMAILLY (J.-P.). - Relations entre les differentes notions fibres et de CQurants positifs ...•........................
56
4
"
- Scindage holomorphe d'un morphisme de fibres vectoriels semi-positifs avec estimations L2 .
77
5
GAVEAU (B.). - In t eg r a Les de courbure et potentiels sur les hype r su r
6
GAVEAU (B.) et LAVILLE (G.). - Fonctions holomorphes et particllle chargee dans un champ magnetique uniforme
7
8
LELONG (P.). - Calcul du nombre densite V(x,f) et lemme de Schwarz pour les fonctions plurisollsharmoniques dans un espace vectoriel topologique .....................•.
167
RANGE (M.). - Boundary regularity for the Cauchy-Riemann complex
177
>
.
108
.
123
GAVEAU (B.) et iAWRYNOWICZ (J.). - Integrale de Dirichlet sur une var i.e t e complexe I .......................••.•........
131
faces analytiques de
a;n
II COLLOQUE de WIMEREUX , Mai 1981 . Allocution prononcee par G. COEURE en l'honneur du Professeur P.LELONG. 187 Repons e de P. LELONG •..••••••••••••••••••••••••••••••••••••
190
AVANISSIAN (V.). - Sur les fonctions harmoniques d'ordre quelconque et leur prolongement analytique dans [n .........•....
192
2
BARLET (D.). - Developpements asymptotiques des fonctions obtenues par integration sur les fibres .........•..... , .
282
3
BEDFORD (E.). - "The operator
.........•..
294
4
KISELMAN (Ch.O.). - Stabilite du nombre de LELONG par restriction a une s oua-var i e t e ...............................•...
324
5
MOLZON (R.E.) et SHIFFMAN (B.). - Capacity, Tchebycheff constant, and transfinite hyperdiameter on complex projective space ......•...........•..•......................•.
337
6
VLADIMIROV (V.S.). - Several complex variables in Mathematical physics .........................•..............•.•.
358
Exposes faits
a
(ddc)n
on complex spaces
WIMEREUX dont les resultats parattront ail leurs __
DIEDERICH (K.) , DINEEN (S.) , GRAUERT (H.) , HARVEY (R.) , NACHBIN (L.) , SIBONY (N.) , SICIAK (J.) , SIU (Y.T.) , STOLL (W.) .
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 20e et 21e annee, 1980-198J.
ON THE GEOMETRY OF INTERPOLATING VARIETIES Carlos A. Berenstein and B. A. Taylor
1,
The problem we want to consider here is the following.
be an analytic variety in tion.
en
and
p
(1)
I
(z)
on
I
V
V
such that
satisfying an estimate of the form
A exp (Bp (z) )
S
V
a plurisubharmonic weight func-
What are the necessary and sufficient conditions on
every analytic function
Let
has an extension to an entire function z E Cn, namely
for all
r
z E V,
satisfying the same kind of
estimate for all
I
(2)
We will then say that p).
(z)
V
I
so
A' exp(B'p(z)).
is an interpolating variety
(for the weight
Actually one has to impose some minimal conditions on
V
and
p
in order that the problem does not become trivial (e.g., no functions on
V
satisfy (1) except for the constants), and in applications to
harmonic analysis one also needs to consider the problem of multiplicities.
Rather than burden the reader with unnecessary details we refer
to our paper [5], where essentially the opposite problem is considered, i.e. given
V
find
the necessary and sufficient conditions on
that it has an extension
satisfying (2).
such
We also refer to [4] and
[5] for an explanation of the relevance of this kind of questions to mean-periodicity and related subjects in harmonic analysis. To simplify the exposition we will assume throughout that
p(z) =
Izi
and point out whether the results below hold for more general weight n functions. Hence, AP := {w. entire functions in C satisfying (2)} = space of functions of exponential type, which is a space of considerable interest by itself [10], [4]. simple
We remind the reader though, that even
looking variations of this weight
Izi
like
p(z)
=
11m zl +
log(l+lzl)
often lead to considerable extra difficulties. In this second example, A t' (IR n) = space of Fourier transforms of distribup n tions in IR with compact support. Consider first in more detail the case n = 1 where the above problem is settled (at least for p(z) = Izl) {z E C :f(z)
O}
If
V = V(f)
f E A, then P any analytic funcand (0 s: j < mk)
(counted with mu Lt i.p l i.c i.t.i.e s ) for some
V = {(zk,m zk zero of f of multiplicity mk}, k) tion on V is just a doubly indexed sequence {a k j} we have a restriction map
:=
2
p :
A(([) _
A(V)
from the space of entire functions to the analytic functions on
V,
given
by
(3 )
p lep)
In this case
p(A)
A (V)
p
:=
p
{{a
.}:
jak.1
kJ
the interpolation problem is simply put: onto? V
A exp(BlzJrl)}.
S
J
Is the map
A
p:
'
And
A (V)
P
P
In [3] we showed that the necessary and sufficient condition for
to be interpolating (for the weight
(4 )
E
for some
fe,
c
o.
>
izl)
exp
(-C
is
I
zk
I )
in
In particular, if all the points
V
are
simple, this condition reduces to (5)
0>
a result due to A. F. Leont'ev. weights
E
exp
(-C I zk I ) ,
(Similar statements hold for arbitrary
p, see [3].)
Recall that the function
f
defining
V
in the case
V(f)
V
is unique up to an exponential factor and hence (4)
is really a condi-
tion on
V S V (f)
V.
More generally, one assumes only that
As it is well known [19], this condition
V
V(f)
i
fA. P
is equivalent to
the geometric condition n (r):=
(6 )
\'(.
jZkl:o: r
which measures the {Z
E 0
p(z)
one has
=
Izl)
He shows that
trans V
if and only if for some
is
3
(7)
for every
Alzki + B
where (8 )
m,
J
is the "area" of
V n (B(zk,r)\{zk})'
It was shown by Gelfond that
every exponential-polynomial satisfies estimates for the constants
and
A
out that the corresponding
(see e.g.
(7)
are given).
B
where sharp
[30]
Let us also point
characterization for
IImzl + 10gO+lzl) is not known although f slowly decreasing, see [3].
=
p(z)
still holds when
(4)
V
While the technical condition
V(f),
of
being slowly decreasing is a generic condition for this weight,
f [26J
shows that some interpolating varieties cannot be defined by slowly decreasing
f.
We discuss also other natural definitions of interpolating varieties in [3],
[5 J.
In fact, there is a whole scale of such interpolat-
ing problems and the corresponsing geometric characterizations are not always completely known.
In relation to this let us finish this secion
by pointing out a small misprint in formula
(23),
[3, p.
it should
121],
read
A exp(Bp(zk;r)),
2,
k
1 f:2, .. " ...
In the case of several variables we can give sufficient condi-
tions for interpolation when
V
k,
is a smooth manifold of codimension
say (9 )
V
V(fl,···,f
N
)
{z
iC
n
f1
= f N (z)
(z )
O},
f
l,·
.. ,f
E A
N
and (10) at each point is
z E V,
Df
k.
Skoda has shown in dimension
the rank of the jacobian matrix
n-k,
area condition
[23J
then (for
that if p(z)
=
V Izl)
is a subvariety of (9)
n C
II
of
p'
il
ez ' J
1
of pure
is a consequence of the
4
(11)
a (r)
a(r)
where
denotes the (2 (n-k)-dimensional)
pare with (6)). that
=
N
Lelong).
as
O(r)
r 2(n-k)
1
For
=
k
in (9)
area of
V
lone can give a sharpening of
n
V
r
(0 r r)
-+
00
(com-
(11) ensuring
(this is included in the earlier work [18] of
Hence, for
=
k
1,
one can see that both (9) and (10) are a
consequence of this sharper area condition when
is a manifold.
V
It is also well known that algebraic varieties are characterized
a(r)r- 2(n-k)
by
being bounded [27].
The following condition analogous to as sufficient for interpolation in [5]. minors of the matrix
O. Then the function (z) :=
0
such that
give local coordinates on the open set
B,
B
(27) zk+l""
,zn
There are sections (28)
give local coordinates on Zl""'Zk
of
Z. (f.) l
J
T
over 6 .. ,
lJ
V.
B
such that 1
s i,j s k ,
8 6 --, 6Z.
Namely, set
II lJ . ·11 = Ilafill-l 16 Z .
where
J
(1 :: i
:: k),
J
I
Let us take now their normal components, that is, (29)
i
X. l
1, ... ,k.
Hence, they are linX. (f. ) Z. (f.) = 6 ..• l J l J lJ early independent and provide a local holomorphic frame for Nand
Then
Xl' ... , X
k
E N
and
corresponding local coordinates are the functions of
1;:1,· .. ,l::k, Zk+l' ... , zn for zk+l' ... , zn which define v
k
X.
jl
l
then the map
v
n
1
L + j=k+l
ai j
b ..
6
(1 ::
lJ 6Z.
N.
If
and we
i
:: k) ,
J
can be written explicitly as k
(zl"",zn) +
L 1::.l
i=l
(a. l,···,a. k,b. k+l,···,b. ). a, a, a, l,n
from the explicit formulas for a.. and b .. it is clear that lJ lJ Further we can B. these functions are bounded by Aoexp(Bop(qo)) on
Now,
assume that the tangent plane at qo is given by zl = zk = o, afi hence - - ( q ) =0 for 1:: i::k, k+l::j::n and, at that point qa' we have 6Zj a
(30)
1
detllz. (f.)11 l J
detliX. (f.) l
J
II
On the other hand, in the 1;:1,···,l::k,zk+l'··· ,zn v is given by
coordinates, the
Jacobian of the map
a .. lJ
av
det
6 (I;:, z)
: b.
I
0
i , v
----T----I I o I I I
d e t ll a .. lJ
So all entries and their derivatives are bounded by for
Z
E Band
11::1:: 1.
at the point
(qo,a),
and get that
v
11
Al exp(B
1P(qO)) Now, (30) gives a lower bound for this Jacobian
hence we can apply the implicit function theorem
is a biholomorphic map on
9
(31) Z
(Z
I
Zo
k+l, ... ,zn)'
and its image contains a ball
B(qO,eB,c
contains a subset of the form
The set described by (31)
B).
by (26)-(29), and on this subset the image of B(qO,ell,c l l).
We define
We can show now that v (w
v
DO
contains a ball
in (24) by
is globally
In fact,
if
v(wl'W
then
2,W2)
and, since
v
l)
is locally one-to-one in that region, it follows
Finally, by (14) tains
and
50
v
S (5 ,D,f)
for
it is clear that
5,D > 0
convenient.
q
B(qO,ell,c l l)
o
This concludes the proof of
the claim. The proof of the t.he or-em follows by observing that the required small change of the weight
p
on the fibres of
is a consequence of
IT
the above construction and the restrictions imposed above on the weight function
p.
0
A few simple exarnples of application of this theorem to (smooth) hypersurfaces are the following. Example 1.
Let
f
smooth submanifold of Namely, the polynomials
be a polynomial and assume
V
cn .
=
{f
=
OJ
is a
Then V is interpolating for any weight p. af af n f'-a--""'-a-- have no common zeroes, hence by zl zn
Hilbert's Nullenstellensatz [29] there exist polynomials
gO,gl, ... ,gn
such that 9 f +g
o
This identity implies
la z 1
IVfl
+
. ..
+ 9
l.
af n a zn
e (l+lzl)-m
on
V
for some
e > 0,
m
O.
10
Here
Vf
ilz
l
, · · · ,ilz
is the gradient of n
Since we are assuming that all weights 10g(1+lzl)
=
O(p(z))
p
f
! vr
and
]
its length.
satisfy the condition
the above assertion holds.
Similarly for
braic submanifolds of We should mention here that interpolation problems for algebraic varieties in
are completely understood.
then Palamodov [21], Liess [20] following statement.
and
Ehrenpreis in [10], and have given proofs of the
[6]
Given an algebraic variety
there are finitely many algebraic varieties
V.,
tial operators with polynomial coefficients
Q.
J
V (with multiplicities), UV.
(D)
J
=
V
J sary and sufficient condition for an analytic function
E A
have an extension
is that for all
p
estimates
Ae
IQ·(Dlqo(z)1
J
Bp(z)
j
and differen-
such that the neces
V
on
to
it satisfies the
,
z
E V .•
J
When one can take all
Q. (D) = identity operator, the variety is inter J A particular case occurs when V = {f = OJ, f polynomial
polating.
[5, 21].
without multiple factors
Since in the above definition of
interpolating varieties, the mult:iplicities are not taken into account, one can always assume that
f
has no mUltiple factors and hence every
algebraic hypervariety is interpolating. Example 2. PO(z')
Let
+ log(l+[zn
z
=
l)
(z' ,zn)'
hyper surface since
E iLn l ,
and
p(z)
then f(z)
belongs to the space
z'
Ap(iL IVfl
n)
zn g(z') and
1
V =
{f
OJ
is an interpolating
throughout.
We remark that when the conditions of Theorem 1 are satisfied for a weight
p,
they are automatically satisfied for any weight
follows that V is an interpolating variety also for A q the case of one variatle it is easy to see that if a variety interpolating for a weight q
p.
p.
It In
V
is
it is also interpolating for any weight
We don't know whether this is the case for
n > 1.
Is
V
n) A (C (n > 1) p interpolating for
What happens in an interpolating manifold
V
for weights smaller
Problem 1. and
p,
q
q
let
V
be a interpolating variety for
another weight satisfying
q
p.
A
q
11
than
p
may be very hard to decide.
There is the following beautiful
example due to Demailly [8]. Example 3.
c2
V
Let
be defined by the equation
1.
V
clearly satisfies the hypothesis of Theorem 1 for
the other hand [8]
shows that if
isfying, for some integer
m
(z)
then
and
p(z) =
Izi
is an analytic function in
On
V
I
(z
is the restriction of a polynomial of degree
V
the only bounded functions on
sat-
c > 0,
2
n
1
"2
for some
Yn log x
log Yn
Rj
Let
•
n
=
n
w n
M
U(sn)
So for
U
we have
S'
on the horizontal sides and
n
or
n
n
We then have
and (29)
Then, if
with vertical sides on
h So,
>
2
Recall that on
R n
horizontal sides on R
M
+y )
X
(39 )
Re s = o = x
s
xn+Y n -2-
n
q(x n +i, n) ,
1 + dlx +h n
n
E
Using once more that
Y n
,
we s
n
16
So
U(s)
O(q(s)).
oF
LEMMA 2.
0
Let
{an}
be the set of Gaussian integers located in 2. n the union of the squares of center s = 2 and half-side 2 n/ Then n
there is an entire function {±a
of exponential type wi th zero set precisely
F
and it satisfies
n},
(40)
IF (s) I
for some
6 > O.
e -6l
sjloglsl
1 2n/2, 4
when
We omit the proof since it only involves standard estimates of Hadamard products.
We have already used properties of this function
elsewhere [3, Example 15]. We can now continue with the proof of Theorem 3.
6
Set
xn+Yn
-2-
n
with
y E >
Let
0
- x
n
(x
n
so small that the discs q(s) = U(s).
) 1/3.
Is-snl
1
4" VS n
answer
to
does there exist
E V,
E A(V),
implies there exist
An
=
{f
(47), then
and
1
(z)
I
z
Problem '7
would help
to
answer
E V.
Problem 6
affirmatively. Finally, there is one more consequence of the inequality (44) we want to point out, and it is the solvability of the V
with exponential type bounds.
that
aequation on
In fact, as a consequence of the
Kodaira identity [12, 24] and the method developed in [14], one has the following proposition. PROPOSITION 5. defined as above by (0,1)
form in
V
V,
denote the element of volume in {f =
O},
f
E A p (C 2),
satisfying for some
P (z )
=
Iz I •
If
w
c ": 0,
e cjz1d()( ,,' z )
then there is a solution
u
of the equation
au
w
such that
is
V
23
e
-c I z I
dl2 (z)
In particular, if (44) and there are constants
A,B
>
fvlwl2 e-c1z1dQ(Z) 0
and solution
11
for some
c? 0,
to the above equation
such that
0 •
LEMME I. 2. I •
Soit
X un ensemble analytique de dimension pure
au voisinage de tout point regulier
VE
- Zk w p
o
de
dans
Alors
X, on a
, il existe (r > 0, K > 0, KZ > 0) telles que: 1 Kj !( 2)p (1.3.0.) [d(z,X)]Zk I+ZE
> 0
[d(Z,X)]Zk(l+E) avec V(z) :
x
p
IB(x,r)
Sp(x)!p! Zp
Iz - xl
nx'"
Demonstration. Soit
x
Pour
o
Ex'" assez petit;
'h : B(0,2r) nll:p)({O}Cll:
n
On suppose de plus que
X n B(O,Zr)
-+Il:
h(x)
To (X) : {z designe l'espace tangent a X Soit
IT
k
telle que 0
E
est Ie graphe d'une application
O.
la projection canonique IT
:
= a;P x
et
au voisinage de O.
a:n!Zp+1 en
h(O) = 0
-+
(x , y) J----;.. X
z
n
=
0 }
h'(O) =
o.
h
33
a: P
et soit '" I' application de Alors
x {O} c
a:n
a: n
dans
telle que", (x,O) = (x,h(x»
'" (B(O,Zr) nq;P x {a}) ex nB(O,Zr + 6) et ",(B(O,Zr) na:Px{o}) iJX nB(O,ZrL
S=
On peut supposer que
Ix I 0
;
:>
" e
et
z
il existe
(r>O,
K
x
-U(z)
K
2
avec
> 0)
de
Ifl
e-
.
x
(p+k=n).
telles que -2k
U(z)
Sp(x)/p! p Iz-xj2
w
o
On s'interesse maintenant aux points singuliers de V
n
IL
P
assez voisin de
2
dans
on a :
o'
>0
j
p
X
et
a voir Ie comportement
au voisinage de ces points. 2
Notons que la propriete plus forte :
d(z,X) e
-v
loca1ement sommable est fausse deja
pour une hypersurface. Exemp1e : Dans
o X =
1L
2
, on considere la fonction X = f- (0).
est un point singulier de XI U X2
definie par XI
f(zl,z2)
avec
XI
2 {(zl,z2)e a
On pose
h f z)
a
superieur
Pj(z) . h est une fonction analytique nulle en j=m+l m+1 . Done d l ap re s Le lemme de Schwartz, il existe AI>
Ih(z)I a}
Sur
D Ih(z)1 '" Al Izjlm+1 .2
m+ I/2
et If(z)I> 0, on aura If(z) On va montrer maintenant que V(z) = 2k U(z) + H(z)
avec
e
-v
).A21zJlm
1
sur
D pour
est bornee, Au voisinage de
dO(x) 2p
Iz- x l
B(O,R) e-V(z)
0,
a Ie meme comportement que
do t x)
wp
1z-x[
Done d 'apres(2,1 J, i I existe
1= I
'i
f
p
A >0 3
telle que A
3
"/
\f(z)1 1z
I
D
Alors
1
_
z 1 2kc e-V(z) dA(z) .
e-V(z) d A A2 A3
f
2 c
D
2
A2 A31 z I I m 2k Izi c
a
n'est pas sommable au voisinage de
a
Done au voisinage de
A 2>
a
H une fonction plurisousharmonique continue. Done
sur un voisinage borne deO,e-H(z) valente
un
D
a
,U(z)
est equi-
42
d\(z)IZIIZkc-Zm
d\ (z I)
f
IZ112kc-Zm
Iz]l
(d e t; E)Inf(n,r)
sont fortement (semi-) positifs. En particulier, ils sont (semi-) positifs au sens de Nakano, et les fibres E*
jg>
(det E)-I, E
jg>
(det E)-Inf(n,r)
sont (semi-) negatifs au sens de Nakano. Demonstration. II est bien connu que la courbure du fibre reliee
a
:La courbure de
E
det E = ArE
est
par la formule
= Tr E
c(det E)
c(E)
et que pour deux fibres vectoriels hermitiens
E] et E ' on a 2
Le theoreme 2 se deduit alors du theoreme ] et de son corollaire en prenant successivement Exemple. Soient
e=
i c(E) ,
e=-
V un espace vectoriel hermitien de dimension
l'espace projectif associe, 0(-]) trivial 0(-])
V sur et
i c(E*) = itc(E) .
' Q
= V/O(-I)
n+1
=
Ie sous-fibre lineaire canonique du fibre Ie fibre quotient de rang
n. On munit
Q de leurs metriques naturelles, induites par celIe de
v , et
IP n
de sa metrique kahlerienne usuelle. On a classiquement les isomorphismes metriques det Q T IPn
0(-1)*
Q jg> 0 (1)
= 0(1) Qt
Q jg> det Q
65 Q est semi-positif au sens de Griffiths, eomme quotient du fibre trivial On retrouve done d'apres Ie theoreme 2 que Ie fibre tangent posi tif au sens de Nakano (cf ,
n . Si l'on munit
T z
IP
IP
n
Q z
e = i c(Q)
au dessus du point
de la base orthonormee
dante, deduite de l'isomorphisme eanonique bure
est semi-
n
SCHNEIDER [7]), et meme au sens fort.
M.
definit une base orthonormee de la fibre de
TIP
V.
z
(nl, ..• ,nn)
=
[e
o
I
eorrespon-
Q ® det Q , la forme de cour-
T IP n
s'explicite en eoordonnees par les formules n
ILl;;. ii·1
e(1;; ® u,1;; ® u)
j=1
J
2
J
e(x,x)
pour
x =
L
X'
Jk
,
n,
J
® e
k
La forme de courbure de
La forme
Tr
Q
e
E T
TIP
z n
IP
n
® Q
z
•
s'ecrit donc
e ® Id Q Q 2 . II n'existe donc pas
est defin.ie positive, mais la forme
est seulement semi-positive au sens de Nakano si
y < 1 telle que
n
e + Tr
e + y Tr
® Id 0 , et en ce sens Ie resultat Q Q du theoreme 1 est Ie meilleur possible. En ce qui concerne Ie corollaire I, Ie
de constante
lecteur pourra verifier que 1 'inegalite Q ® (det Q)-I
que dans cet exemple Q
0
sans avoir
du fibre trivial
0 • Lorsque
Q;;'N 0 , et qu'on a V*)
sans avoir
Q* ® (de t Q)n
n
0
2 , il apparait qu'on a
Q*';;;N 0 (puisque
Q*';;;s 0
est optimale, mais
Q*
est un sous-fibre
(ce qui entrainerait
Q
0 ! ) .
66
3. COURANTS POSITIFS. Seules les proprietes ponctuelles des courants seront etudiees dans ce pa-
a
ragraphe, de sorte qu'on se limitera
la consideration des formes differen-
tielles. La premiere definition des formes et des courants positifs a ete donnee par P. LELONG [51. Soient
T un espace vectoriel complexe de dimension
Ie complexifie du R-dual de sur
T. Pour tout entier
c
T
AP,q F
n, F
=
l'espace des formes de type
(p,q)
p, on pose
ru:l.)
. p
(1:.) 2
P
(-I)
2
2 2- P i P
a E AP,q Fest dite
nfFINITION 3. - Dne forme
(I) positive, si elle peut s'ecrire N
I
a =
£:
j=l
avec des elements
a.
E
J
p
a· A J
a:J
AP,o F ;
(2) fortement positive, si on a une ecriture analogue avec des formes
CL
J
decomposables (3) faiblement positive, si pour toute forme
ou
p+k
=
n ,la
Nous noterons
(n,n)-forme
S E Ak,k F
fortement positive,
a A S est positive.
p P (resp. SpP ,WP p )
Ie cone des
(p,p)-formes positives
(resp. fortement, faiblement positives), et nous designerons par> (resp. >S' >w) l'inegalite de positivite (resp. de positivite forte, faible).
a
On verifie aisement Spp et que les elements de
partir de cette definition qu'on a les inclusions
C
wpP
Si l'on a choisi une
pP
C wpP
sont reels. (n,n)-forme T
positive, non nulle, il y a une forme
bilineaire naturelle A P,p F x Ak,k F
(avec
p+k
-+
n) qui a a E AP,P F , S E Ak,k F
associe l'unique nombre complexe y
67
tel que aAB=y.1. wp P
s'identifie alors par definition au cone dual
(Spk)o
de
Spk, et on peut
montrer d'autre part que
Enfin, si
0,) , n-I , ou
p
toutes les formes de
n ,
AP,o F
sont de-
composables, done
spP
pP
On suppose desormais que l'espace representee par la
(I,I)-forme positive i
w
"2
dans une base orthonormee F
=
Test muni d'une metrique hermitienne,
n
L
j=1
d z , Adz. J J
(dz.»)/./ J
et l'agebre exterieure
AF
de
E
E • L'espace
sont munis des metriques usuelles
correspondantes. On designe classiquement par exterieure par
*
du dual
L
l'operateur de multiplication
w dans l'espace hilbertien A F , et par A son adjoint; on
a done : La pour toutes formes
(Aa IB) = (a,LS)
=wA a a,S
E
AF a
On peut ecrire en coordonnees, pour tout a )
r!
Lra
)
Ara
rl ou la notation croissants
L'
P
(alw It S)
l:'
J,K
p+r
c p-r
E
AP,P F
a J , K dZJ A dZK
, L
J,K,M I
L
M,N,P
aJ,K dZJM A dZKM a NM ,PM dZN It dz p
signi£ie que les sommes sont etendues
J,K,M,N,P
, avec ici
On convient que les symboles
,
IJI
=
IKI
=P
, IMI
=r
a
tous les multi-indices , INI
=
Ipl
= p-r
aJ,K' dZJ ' dZK sont de£inis pour des multi-
68 indices non necessairement croissants alternes
en
J,K, de sorte que leurs signes soient
J,K.
On rappelle enfin que 1 "oper a t eur
*
de Hodge-de Rham-Po i.ncare est defini
sur A F par la relation n
W
nT
Les proprietes des formes positives sont intimement liees aux operateurs L,A
et
* ;
la proposition 2 ci-dessous est classique, et de demonstration a i see ,
PROPOSITION 2. - Soit
a E AP,P F
une forme positive (resp. fortement, faible-
ment positive). Alors les formes
sont positives (resp. fortement, faiblement positives). Les methodes du § 1 conduisent d'autre part au resultat suivant. PROPOSITION 3. - Soit hilbertien
a
une
(p,p)-forme faiblement positive sur l'espace
(T,w). Alors la p-I
I
(p,p)-forme
.I2.:E. p
r=o
i£::2l...!.. p!r!
Lr Ar a
est fortement positive. Nous aurons besoin des notations suivantes : des applications de (q
{1,2, ..• ,n}
°
decrivant l'ensemble
dans Ie groupe des racines q-iemes de l'unite
3) , on pose n
I
w
o
et pour tout
a
ou la somme
1
Lest etendue L
on pose
(0 , ... ,0 ) 1 p
Wa = w0
O(T) dz£
£=1
A ... A w0 = q
a
I
L
0(L) dZ L
tous les multi-indices
necessairement croissants, et ou
L
69
LEMME 3. - Pour tout couple de multi-indices
(J,K)
tels que
IJI
p ,
on a l'egalite
Oll la somme
Pour
I
L,M
a
est etendue
tous les
L,M tels que
p = I , Ie lemme 3 se reduit au lemme I , et on obtient aussitot Ie
cas general en observant que
Demonstration de la proposition 3. Ecrivons
I
IJj=IKj=p Dire que
eL E
wp
P
equivaut par definition
decomposable,
I
Pour chaque element
eLJ K '
(j
X
0
J
, la (I, I)-forme
E
t j,k, T1:J I= IKI =p-l
eLjJ,kK 0(J) o(K) dZj A dik
est done positive, ce qui entraine que la forme lOp
p. q
dire que pour toute famille
, on a
J,K
,2 n(p-I)
a
o
\'
L
p-I .
f
j j k , JI=IK/=p-l
D'apres Ie lemme 3, il vient
la somme etant prise sur les
J,K,L,M
tels que
S(a)
suivante appartient
a
SPP
J J kK o(J) o(K)dz.AW J (jAdi,.AW ,,(j
ct'
'
70
la somme etant prise sur les
js
k
s
J,K,L,M
tels que
# £s = ms ' les deux cas s'excluant mutuellement. On obtient done p-I
L
IJ/[IKI=lp_rlaJN,ICN dz J p A dz KP
r=o
INI=lpl= r ou la somme est restreinte aux multi-indices s E {I, .•• ,r} • Le coefficient binomial sir
r
indices
s E {I, ••• , p-I }
Pour tout multi-indice
a [M] E wpp-m de a
a [M]
N,P
(p-l) r
tels que
n
s
# Ps
pour tout
apparait parce qu'il faut choi-
pour lesquels on aura
M de longueur
= m
s
IMI = m , definissons la "contraction"
par
E:
p!2
et considerons la forme p-I
L
r=o
L
IJI=IKI=p-r
INI=IPI=r dans laquelle la sommation est prise sans restriction sur les multi-indices et
P. Pour chaque couple
multi-indices
N' , P'
dans cette notation, indices de
tement
ont la propr i e t e que
N = N'M , P = P'M
#
pour tout
M n'est pas necessairement constitue des
N et P , mais de
reordonne en ecrivant
(N,P) , on peut ecrire
m quelconques des
Mala fin, chaque couple
r
N
ou les
s; on observera qre m = IMI derniers
indices possibles. Si on (N'M,P'M)
(r) couples (N,P), obtenus ap re s avoir "melange" m De l'egalite (p-I) (r) = (p-I) (p-m-I) resulte alors r m m r-m
proviendra d'exacMaN' , MaP' .
71 8
I
yea) =.....Ep.,2
IJI=IKI=pr IN' 1=lp' !=rm
aJN'M,KP'M dZJN'M A dZKP'M
IMI= m pm!
( rm )
x
I
8 p _m
IJI=IKI=pm(rm)
aJN'M,KP'M dz JN, A dZKP, A 8 m
A
IN' 1=lp' !=rm IMI= m = de sorte que
pI
I
I
(P:I)
m=o
8
IMI=m
A dZM
m
yea) E sp P • D'autre part, on a
I'
aJN,KN dz J p A dz KP
IJI=IKI=pr INI=lpl= r
2
(pr)! r!
Z
I
IJI=IKI=pr
aJN,KN dz J p A dz KP ;
INI=IPI=r on obtient done l'egalite suivante, qui prouve la proposition 3 pI
I
yea) =
r=o
p-' l ( r )
(p_r)!z p!
2
On peut demontrer de meme un resultat analogue au eormllaire I. PROPOSITION 4. Si
a
est une
(p,p)forme faiblement positive (p> 2) , on a
l'inegalite forte pI
a.;;S
\'
L. r=!
p2
(n(r_l)
(pZ)] (pr)! 2 r p! .
2
LrArN
Demonstration. Avec les notations de la proposition 3 , on pose n
iiJ K = I a J,. K" CJ.J,K , j=! J, J
si
J = J'jp, K = K'k p
et
jp '" kp
= a J,K On prendra garde au fait que
iiJ,K
n'est pas alterne en
J et K (mais
72
seulement par rapport aux
p-l
premiers indices de
J
et K). II est clair que
1 'expression
L
aJ,K x J
J,K est> 0
pour toute famille
comme precedemment que _ e: S(a) =
-
\'
2 L.
crEer
-
a. J
J,
les sommations sur
par consequent
B(a)
= -
JI
= 1
-
kK dZ'1 A dZ kM J
J,K,1,M
etant prises pour
e
p.,2
c ....E.2 I
p.
I
p-I
....E.
+ (n-I)
avec
il en resulte
contient 1a forme
L
2
decomposable (cf. lemme 2)
J
SpP
p! q p!
(x )
•
J
L
a.
1..
'''"''',m
JJR.,kKR.
A dZ dZ' ' kMm J Lm
KI
Definissons la forme
S(a) E Sp P
par
On verifie comme dans la demonstration de la proposition 3 qu'on a l'egalite p-2
-2 (p) m=o m
L
p-2
L
r=o
p-2 + n
L
_
L a(ex [M j)
IMI=m
(p-r)!
2
e:
1 r Ara
p!2
(p-2) (p-r-l)! r r=o p.,2
A
2
m
dZ
M
A
73 COIIllIle le premier membre est une
(p, p) - forme fortement positive, la proposi-
tion 4 est demontree. Nous pouvons maintenant enoncer le resultat essentiel de ce paragraphe.
,
"-
THEOREME 3. - Soit a
une
(p,p)-forme faiblement positive (I
p
n). On a
les inegalites fortes - C'(n,p)
N 0)
REMARQUE 1. Les deux assertions de (10) (au de (11» positivite de
E
equivaut
a la negativite de
E'"
ne sont pas equivalentes car la seulement au sens de GRIFFITHS
(mais pas au sens de NAKANO en general). Les points (9) et (11) sont en fait une generalisation du lemme fondamental (3,5) de [14J • Lorsque
E
est quotient d "un fibre trivial, la seconde assertion
81
[14J .
de (II) est d'ai11eurs consequence de ce 1emme de
[zJ ,
Demonstration. Nous renvoyons le lecteur a Preuve de (9)
montrons tout d'abord que Tr E 0
e
l
= I =
a
IdE - 0
@
En effet, tout vecteur decomposable
Iell
[3J pour une preuve de (8).
xE
E
T
peut s I ecrire
si l'on choisit une base orthonormee
(e.)I. J .. J ,. P
x
=
de
t
0
e
oil
E telle que
e ,il vient et
0(x,x) P
0(t 0 e
l:
j=1
j,
t 0ej)
grace a l'hypothese
8?G O. D'apres (8) on a done
ce qui demontre
lorsque
(9)
T 0 E =
p" n , Lorsque
I
I
F
n" p , i1 est a i se de voir que T 0 F
n
=
Appliquons Ie resu1tat deja trouve a 1a restriction sous-espace
F
de dimension
n
de
E
oF
de
o
T 0 F , pour tout
se deduit des inegalites suivantes
(9) n
Preuve de (10) et (II). 11 est bien connu que la courbure du fibre
det
AP E est reliee a celle de
E
par la formule ( IZ) et que pour deux fibres vectorieis hermitiens ( 13)
1
et
EZ
' on a
+
(10) et (II) se deduisent alors de (8) et (9)
selon le cas.
E
en prenant 0
ic(E)
ou
e
E
82 Estimations a priori et inegalites
2.
2 L .
On considere , avec les notations et hypotheses de l'introduction, la suite exacte (1) :
o La connexion canonique
-+-S --rE
D
sur
E
_0 .
se decompose suivant Ie scindage orthogonal
COO
de la maniere suivante (14)
et
S E
(X, Hom(S,Q»
Q
, et ou
.
a P.A.GRIFFITHS
Nous renvoyons
et
S
sont respectivement les connexions canoniques sur
a H.SKODA
[5] pour la demonstration de (14), et
[14]
pour Ie detail des calculs qui vont suivre. On a classiquement
c (E)
d'ou par definition c (S)
(15) c (Q) So i t
sur
c(E)I
X
An T
K
Q
+
X Ie fibre canonique de la variete
Par application a (I) du foncteur
X
Homf Q;
X et
M un fibre en droites
? 0K(ilIM) , on obtient la suite
exacte 0 -+Hom(Q, S
(16)
ra
K 0 M) -+Hom(Q, E 0 K 0 M)
et la connexion
Hom(Q,Q
(ill
K 0 M) --+ 0 ,
se decompose suivant Ie scindage orthogonal de
(16) , en
- Sol:
=(DHOm(Q' S 0K0M)
)
DHom(Q, E 0KGM) Posons
R
Hom(Q, S llilM)
S DHom(Q, Q0K0M) pour simplifier les notations.
PROBLEME. - Etant donne line section holomorphe
f
de
.
Hom(Q, Q0 K ®M), chercher un
83
relevement
h
de
f
+
f
h
u E COO (X, R 0 K)
avec
Hom(Q, E @ K ® M)
dans
u
COO O(X, R) n,
=
On aura bien par construction (17)
sous la forme
g
h
0
f , et
h
sera holomorphe si et seulement si
D"
u
Hom(Q, E ® K ®
M)
f = S* f
.
On resout cette equation par la methode d'HORMANDER [6J et [7J , ce qui, modulo l'ine(cf. [4J, expose III, tho 3) , necessite l'obtention d'une
galite de KODAlRA-NAKANO
estimation a priori du type suivant I(S*flv)j2
( 18)
pour toute
(n,I) forme
Le produit scalaire (
pour deux formes
v
I w) et
a valeurs est defini
des formes par la formule (v
A(ic(R)A v
v
I
(avec une constante
I
0)
I v)
dans
R, de classe
a partir
COO
et
a
support compact.
du produit scalaire ponctuel < , >
< v, w> dV ,
X
w
A
a valeurs dans R , de classe C , et a support compact. 00
A designe d'autre part l'operateur de type
(-1,-1), adjoint de l'operateur
multiplication exterieure par w , pour Le produit s cala ir e ponctuel Nous nous servirons de la proposition suivante
(cf. H.SKODA [14J
' lemme (3,1)
proposition 3.1. , et conclusion (4,17». PROPOSITION. - SOUS 1 'hypothese (18), il existe une forme (17) :
u = S* f
Ix
lul
Le relevement
h
(20)
Ihl Ix sont orthogonaux.
f
et
u
Le theoreme constante
@
K)
verifiant
, et :
(19)
car
u E Coo(X, R
f + u
de
f
2
dV
A .
est donc tel que 2
dV s A +
JI
X fl
2
dV ,
sera demontre si nous etablissons l'inegalite (18) et determinons la A.
84 3.
Calcul de courbure.
Nous aurons besoin des notations et resultats suivants Le produit interieur tout point
z
de
a
b
de deux formes a valeurs scalaires est defini en
X par dualite a IIc >
=,- 0
I v)
2
= IliUvl1 •
Demonstration de (21). Soit
o
i
A,ll,j,k
i v ="2
z VA' dz1A ... AdznAdz A e e j , A,j J l'ecriture canonique de 8 et de V relativement de
r* X
e Av
=
i
a une
, et
{e, }
base orthonormee
J
a une base orthonormee
de la fibre de
l:
A,lJ,j ,k n < eAv,v >= 2 l: a 'k vA' vllk >,- 0 , A,ll,j,k AlJJ J
d'apres
l'hypothese
de semi-positivite de NAKANO de
Demonstration de (22). l:
A,j ,Q.
v =
i.
Ecrivons en tout point de
SHj dZ A®
E
*j
X
011Q.
l: v'J' dZIA ... I\dz I\dz, 18) E. 2 A,j ,m 1\ n 1\ J
e .
R. On a en tout point
85
'"
avec
v "j E Q
M,
A sn ,
I
" j " s,
de sorte que les coefficients de 8
I" Q, " q,
dans des bases or t honorme e s
-is'''IIS E Herm(S,S)
sont d onne s par
D'apres la premiere partie de la demonstration, on a lI
< -iS
/\
SA v,v >=
Q*0M l:
SUj S)lQ,k
0
11 vient donc
.
Id 0 u, wIVe >
Dans une base orthonormee (dz. ) de T'" X , les formes z J n dz. 13 = L: S. E Homz(S,Q) , S· J J J n j=! ! w w. dz. w. E Hom (Q, S) L: 2 z J J j=! J
(34)
e
a
On
z
v = w 0 e , ou
sous la forme
K @ M ' et ou z z
un vecteur unitaire de la fibre Hom (Q, S) .
la section
C"'(X, Hom(Q,S @ K @ M»
vEe'" ! (X, R)
dans
z EX
J
r x r
88 n
(35)
2
l 13 jl
j:l
Iv j
l2
pour etablir l'egalite (35), on se reportera a la demonstration de (21). En combinant (33), (34) et (35), on voit que
1< 13* f, v >12 $ n < i Tr 6 "r! A v, v> =
I f 1 < i Tr 13 1\ 13
flv)1
2$
*(J
If l 2
A v, v > .
dV) . (i Tr 131\ SJt Aviv) ,
X
et (30) , (31)
*
X, l'inegalite de Cauchy-Schwarz implique
Apres integration sur
I (S*
2
q
2 Iu1
montrent qu'on peut remplacer
n q
par
•
q
On va maintenant enoncer les resultats du theoreme 1 en fonction d'une metrique donnee a priori sur ou Ie morphisme Soit E
et
g*
g
Q, de maniere a pouvoir traiter cornme H.SKODA [14] Ie cas degenere.
Ie morphisme
Coo, transpose de
g
, pour les metriques donnees sur
Q
* g*(gg*)-I : Q -... E
Le morphisme qui envoie
Q dans
(Ker
1. g)
=
, est Ie scindage
COO de la suite exacte (I)
S1-; la metrique quotient
donnee en fonction de la metrique initiale
I'
sur
Q est donc
par
(36) Designons par quotient sur
c'(det Q)
la forme de courbure de
Q. II resulte Iv 1'2
det Q relative ala metrique
aussitot de (36) que pour tout det(gg )
v E det Q
-I
On a donc c' (det Q) = c (det Q) + d' d" Log dH (gg*) . si l'on veut conserver telies quelles les hypotheses de positivite (2) et (3), on est amene a multiplier la metrique de
M par Le
poids
[dH (gg*)J k , de sorte
que l'estirnation (5) du theoreme I devient (37)
JX h 1
l'
2 (dH gg*)-k dV$C
Pour tout element
Ix
Ifl'2 (d e t gl)-k dV •
hE Hom(Q, E) , la norme
Ih I'
est donne e en fonction de la
89
norme naturelle Ihl par Ihl'Z: Ih et d'apres (36), on a pour tout
0
glZ : (det gg'" ) - k
Si maintenant
g
f
x
< tV gg '"
Z est
un sous-ensemble ferme X ,y
de
Y
U de
tion holomorphe sur
U
Lorsque la variete
X prive d'un ensemble analyti-
Zex
X, contenant
est
X-negligeable, stil existe
,de mesure nulle, tel que l'ou-
Z
est
X
U \Y
,holomorphe dans
,se prolonge en une fonc-
X est de Stein au projective, Zest toujours
Y une hypersurface quelconque de
il suffit de prendre pour Z
gg'" , f > (d e t gg '" ) -u-t dV .
soit faiblement pseudoconvexe, et tel que toute fonction de carre som-
mabIe sur un ouvert
Si
0
X-negligeable au sens suivant.
DEFINITION 2. - Nous dirons qu'un ensemble
vert
f
0
n'est surjectif qu'au dessus de
Z, on suppose que
que
dV C
X-negligeable, Ie
t
X-negligeable
X contenant
heo r eme 1 s' applique a X \ Y • Comme
k
I
Z . ,la
finitude de l'integrale
f
X '\.Y
entraine que
h
0
r : V' r(z) = z
telle que
II ne nous reste plus qu'a preciser
(40)
...L D" C (TzX) de centre
Dr C TzX,
p(z) .
X nD(z, p(z»
est Ie graphe d'une application holomorphe u
D'
z
Si on pose
sup on obtient Ie resultat general suivant sExnD(2,p(z» ne fait intervenir que des donnees geometriques de X.
THEOREME
V'
Q.
On construit donc une retraction holomorphe
polydisque
NX, sur un voisinage
4. - Soit
une fonction plurisousharmonique sur
X
+ i ( E: + 1 + Inf (2n, p» Ricc i (X)
> 0),
id 'd"
Ix
dV
0
(E:
qui
telle que
< +"',
p une fonction verifiant les hypotheses (40) , (41)
et h
Ie scindage holomor-
phe du theoreme 3. Alors l'application
z + h(z).
sur un "voisinage"
V
definie sur
de la section nulle dans
NX
NX, est injective
de la forme
-
0 2
C
1
e
p
p(z)2n+l}
et une retraction holomorphe
r
u
sur l'ouvert
u Les constantes
=
{s
E a;P ;
C > 0 , C > 0 , sont ·le produit de constantes universelles (ne de1 2
pendant que de la dimension
[(I
p) et de
J
e -..p dV] -I
z
92
Demonstration. Dans toute la suite, on designera par dant que de la dimension
e-- Ord f •Pour
on a
J Vr,rlB(O,R)
P; K do
C R max(2n+2, 2S+2n-2)
si
dans presque
tn.
121
8. Remarques. a) Le critere de la
partie du theoreme I ou I' fait intervenir la fonction
de Green de la metrique euclidienne Ie long du diviseur meme etre intrinsequement lie au diviseur (plonge dans
[n)
cette fonction est un
et Ie probleme majeur est
d'en avoir des es t i me es asymptotiques. Dans [3) , sont obtenues de telles es t i mees pour les varietes Signalons seulement Ie resultat suivant Theoreme 3 : si la boule de
V est un diviseur de fonction holomorphe definie au voisinage de
[2, alors la fonction de Green de
c'
d(z,dB)
,au
lorsgue
g(zo'z) C
&
V nB(O,I)
satisfait
C d(z,dB)
c'
sont des constantes independantes de
z
b) Par ailleurs dans les theoremes lou I' ,nous avons encore qu'une version statistique : pour presque tout
une certaine integrale sur
Pour avoir une version indLviduelle (ie pour tout
est bornde ,
, il faudrait demontrer
que pour tout
(C'est en effet pour majorer cette integrale que nous avons besoin d'integrer en E
) . Une telle estimee est vraisemblable, puisque
Ie critere de Malliavin Nevan l i nna .
[4)
J d(z,dB)der
< +00
d'apres
pour les diviseurs des fonctions de la classe de
122
RiHerences
[I
I
B. GAVEAU : Valeurs f r on t i.e r es des fonctions harmoniques ou holomorphes Cas de la boule
CR Acad Sci Paris, '288,
405-4B6 et article d e t a i Ll e
Proc. Conf. Analytic functions, Pologne, 1982. [2
I
R. GAVEAU , p. MALLIAVIN holomorphe bornee
[ 3
I
: Courbure des surfaces de niveau d'une fonction
CR Acad Sci Paris 1981.
B. GAVEAU , J. VAUTHIER
: Repartition des zeros des fonctions de type expo-
nentiel sur une variete algebrique lisse
CR Acad Sci Paris 283
1976
635 - 638 [ 4
I
P. LELONG : Fonctions enti.er e s ( n variables) et fonctions plurisousharmoniques d'ordre fini dans
[ 5
I
r,
J Analyse Jerusalem 1963 365-407.
MALLIAVIN : Fonctions de Green d 'un ouvert strictement pseudoconvexe classe de Nevanlinna
et
CR Acad Sci Paris 1974.
Cet article est la version detaillee d'une Note aux Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris, Octobre 1981.
Le 14 septembre 1981
Tour Beryl
40 Avenue d'Italie 75013 Paris
Expose fait en Juin 1980.
FONCTIONS HOLOMORPHES ET PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP
UNIFORME
par B.GAVEAU et G.LAVILLE
Introduction. L'expose qui suit a pour but de comparer les equations apparaissant dans l'etude d'une particule chargee dans un champ magnetique constant en mecanique quantique (electron de Landau) et les equations apparaissant dans l'etude des valeurs au bard de fonctions holomorphes. Pour rendre cette etude plus lisible par les mathematiciens ne connaissant pas Ie cote physique de ce probleme,nous avons au debut rappele
brievement des calculs bien connus .
Le lien entre l'electron de Landau et l'oscillateur harmonique a deux dimensions est bien connu, son lien avec l'oscillateur
a
une seule dimension est etudie
dans ce qui suit. D'autre part, il apparait ici une nouvelle symetrie a ce probleme celIe du groupe d'Heisenberg. I. - Hamiltonien de la particule.
Considerons une particule de charge magne t i.que
-..
Soient
A
q, de masse
m placee dans un champ
-..
B constant
.... Vx A
....
Ie potentiel vecteur
....
....
r
B
et
.... r
se de la particule . Le Lagrangien s'ecrit : G:! ....
(I)
Soit
+
.G(r,r,t) =
.... p
I
2
mr
............ + q r. A(r,t)
l'impulsion, par definition p
ill
-;
+ q A(-;,t)
d'oll I'Hamiltonien (2)
=
-++ p.r
(LJ-+-+
I -'2 _
2m p
.9. ""p. 7:. + q2 7:.2 • m
la position et la vites-
124
P
Quanti£ions cet Hamiltonien position :
P =
:
(O;r» C
pas
(Chern,
un polydisque ouvert de soit
fonctions
et
suivant
J
o
qn7un P 2 dv (D) D d s
remplacer aussi Ie supremum par Ie supremum
Les relations
et du lemme
,
sup GEP
n=p=2,
prises entre
00
_
P
Si de plus
< +
est complet.
P
•
de
135
Preuve. prenons pour
Soit G(z) =lzl
2
on voit que
Ia norme usueIIe de Soboiev dans Extrayons de (un)
II
une suite de Cauchy pour (un)
[n
81 (D,q) p
; si nous
est suite de Cauchy pour
done elIe converge vers
une suite
u
n
u
teIIe que
,k= 1,2, . . . , k
On a alors +00
u-v = L (vn+1-v n), k n=k
par consequent,
On notera
n
o,p
(D,q)
La norme
(3)
THEOREME 1.
et
uEJf
1
o,p
(D, q) .'[
I' adherence des Jel
I et 2,
avec Ia norme definie par
III
k P
au sens de l'espace de Soboiev.
u ---+u
Jel
A cause des Iemmes
II u-r v
d'ou
o,p
P
(D,q) ou
2(D)
uEC=(D) c
dans
Jel (D,q) p
est compiet Iorsqu'on Ie considere P (D) o
est un invariant bihoiomorphe Si
(f [ D] , q )
f : D---+
f [ D]
est bihoiomorphe, ou
J[ D] c [n
, a lor s
uo f E
( D , q 0 f)
J( I
o,p
et II uo f UI (D, q 0 f ) p Preuve. Pour
GEP2(f[D] )
r(q
D
0
= II uUI (f [ D] p
, q) (2) et ( 1 ) ,
on ecrit, d'apres
f ) n \7 (uof ) UP 2 dv
ds
ok
gJ
1
(uof) I j (uof) Ik]
zP
dv 1
J (qo f D
ok
)[gJ
(ulrOf
) (u
_0
Is
f ) f
j
k
-p 2 dv
136
Soit
h
h
Alors
h
=
rs
of = gjk f
'"
a a (Go f - 1 )
car
r S f Ij Ik
= aaG
g
et on obtient
fCqof )R17(uo f )Up 2dV ds
D
I
f'op)n'luR euc IdV euc 1+(iI>"op)lIa b u I euc IdV
-4! 'lui
ou
ds
2
2
ds
2 dv
est determine par Ie (2). D'ou Ie resultat par Ie lemme 1. I 2
Exemple 1 (de fonctions dans de
B
([2).
Prenons dans Ie (7)
iI>
Alors, pour une boule quelconque pour
si
Jt ( D, J )
D
est la boule unite
telle que B(D; r )
de
t
2
,ou
0-< r < 1, on obtient
-1 vex,£) J gx
f(x) I - 00) eventuellement reduit ou bien
(8)
a
0, dans
est un cone pluripolaire dans
v(x,f) = inf yEw pour tout ouvert au si
est vide si et seulement si l'on a
e
f
non vide dans
W
est continu et
E
E
est un espace de Frechet,
est un espace de Baire, (8) est verifie E
gx
est alors pluripolaire.
W de l'origine tel gu'on ait
wee, on ala majoration pour tout yEW, !out r , 9,(x,y,r,f) Do
gx = E,
On a
E
E. Si
4") Pour tout xECG, tout voisinage disgue
(9)
Ou bien on a
V(x,y,f)
est non pluripolaire dans
x +
E
v(x,f) log r
Demonstration.
Soit
Dx,y = x + Day
est compact dans
+
et
sr
112 L
mE IN Nlll\m+1cpli
4)
IIi\mq> II 2';; a
5)
11i\2mcpll 2';; (2TT)2m(N-1)II11mqJlI 2 L L
L
Demonstration.
Les inegalites
moyenne. Pour etablir
3)
orthonormale d'elements de x I---> h t (x)
defini sur
soit
1)
et
q> E fl
K
fl pour K
resultent de la formule de la 0 , considerons une famille
0m+1 ' et pour
N R telle que
on a
2)
m un entier
o ailleurs alors pour tout
2 L
tERN
fixe,la fonction
fl.
213
on en deduit l'inegalite L'inegalite
Pour etablir
4) resulte de
3) par application de l'inegalite de Schwartz.
,)
et
5) designons par J
3) ( il suffit de la verifier pour
m
0)
=
.
la transformation de Fourier. On a :
o CO ox,2n ..•
12
dx =
IIJ
ep 12 dy 2m Clx, ••• Clx N
0
2n
,.3.7. 4 - boules. Les inegalites
2)
et
3)
mont rent que toute semi-norme de la famille
est ma.jor-ee par une semi-norme de la forme
cp
IIAmcpl I
L2
La famille de ces semi-normes engendre done la topologie usuelle de L'inegalite
4)
montre que pour toute famille finie
i l ex i s t e un couple
* (m, a) E JU X R+
Cela montre que l' ensemble des
(mi,a i)
•
»r •
(rniE JU, a i E R:)
tel que
A - boules
a>O,mEJU constitue une base de voisinage de l'origine dans permettent alors d'utiliser comme base les t>-boules
[ep E »r I II t>mepl I 2:5: L
D'oi1
Q'}
»r'
Les inegalites
4) et
A - boules d'indice pair, puis les
m E IN,
Q' >
a •
5)
214
1.3.8. PROPOSITION. un couple
Pour tout voisinage
* (po'c) , Po E IN, c E R+ fcp E BK I IllI
1.3.9. LEMME.
Soit
alors pour tout Pour tout ouvert
T
V de l'origine dans
tel que
Po cpll 2 < c }
V •
C
L
une distribution de la classe
A(a,p,O)
a > 1 , la suite 0
definition 1.3.)
est bornee dans B'\O) •
p
0
B il K
d' adherence compacte dans
0, i l existe un couple
tel que
I
IlL
< II 1',cp >
I ,; aamam IllIPocpll L2
.£.uels que soient Demonstration.
Pour tout
m E IN, cons i.dcr-ons l' application m
p
La suite R (w)) converge en croissant vers une limite a,mmE IN La suite
B(O) ... R +
en vertu de
un nombre
M
pour tout
cp E V , m E IN • Appliquons la proposition
la trace de
et un voisinage
V
sur
de
V
0
dans
B(O)
B(0o) : i l existe un couple (cp E B-
00
(15)
avec
a
aM.
RaCcp)
et qu'il existe
tels que
1.3.8.
(po' a') E IN X R
pour tout
m
Par homogeneite, on obtient
B'(O)
et
(\ \ ,; a
(13)
v
a alors tous ses termes majores par
cela prouve que la suite forme un ensemble borne dans
a
a,m
I
L: (a aP)- 1 \ < lIPT,cp >
p=o
R
mE IN)
tel que
215
1.3.10. COROLLAIRE.
>i
T E A(a,p,O) , cr
Soient
V de l'origine dilllS
II existe un voisinage
et
K un compact
N R et un couple
de
O.
* (po,a) E lN X R+
tels que m
\ (l:>
T
cp E JJ(V) • x E
pour tout
m
* qJ)( x ) I K • m
aa cr Ill:> m
Po
cpl!
L
2
E IN.
Demonstration. On choisit un voisinage V d'adherence N R tel que
x E dans
K
0
=K\
,
V
soit un ouvert d'adherence compacte dans
supp cp c
cp E 1)
et
00
0
L'inegalite
compacte de l'origine dans
la f'onc t i.on
V ;
(15)
t
cp(x-t)
O. Soient
a son support
s'ecrit:
m
Po
aa a Ill:> cpl! 2 L
m
D'ou Ie resultat.
1.3.11. LEMME.
Toute distribution
T E A(a,p,O)
est une fonction (au sens
usuel) indefiniment derivable.
Demonstration. Soit cp
Soient
cr > 1P • 00
Ie sous-espace de
parcourt
JJ(00)
(15)
L'inegalite continue sur
et
Po
2(RN) L
un ouvert d'adherence compacte dans O. Po engendre algebriquement par les cp ou
etant defini dans la proposition 1.3.8 ••
appliquee an
= Po
montre que
Test une forme lineaire
pour la topologie induite par celIe de
done se prolonger en une forme lineaire
1\
T
continue sur
2(RN) • Elle peut L 2(RN) • D'apres L
les proprietes de cet espace, pour tout
cp E 1)( 00) on a alors
(chaque terme en indice precise la dual ite
definissant la forme sesquilineaire utilisee) :
216
Po 6 (T-f)
d'ou
=0
au sens des distributions. Cela implique que
dans
T-f
est une fonction et que
00
La stabilite de
Test une fonction localement integrable dans
A(a,p,O)
pour toutes les derivees de
par derivation montre qu'il en est de
T. On en deduit que
indefiniment derivable au sens usuel
T
est dans
00
Soit
T E A(a,p,O)
cr > 1 p , il existe un nombre
et tout
une fonction
(1.3.1.); d'ou Ie resultat en considerant
une suite croissante d'ouverts d'adherence compacte et de reunion 1.3.12. PROPOSITION.
meme
c
O.
pour toute partie compacte
= c(K,cr)
et un entier
k
=
K de
0
k(K,cr)
Dositifs tels crue :
( 17) pour tout
xEK,mEJN.
Demonstration.
Soient
V un voisinage de l'origine d'adherence compacte dans
* poE IN, a E R+ l'enonce l'inegalite egale de
a
(16) •
tels qu' on puisse appliquer aux donnees de
Soient de plus
1 sur un voisinage de l'origine de
l'operateur
6
k
k 0
un entier et
E k
> Po '
y E B(V)
la solution elementaire
,un argument elementaire de prolongement montre que
qui a son support dans
Vest assez reguliere pour qu'on puisse la substituer
a
(16) ; comme par ailleurs la difference
dans l'inegalite
est une fonction
a
indefiniment derivable
a
laquelle on peut appliquer l'inegalite (16)
support compact contenu dans on obtient
V
217
m m+k ( aCl'O'+Cl' m m+kO'
Demonstration du theoreme 1.3.4. Si
Q'
= ((2m)!
mE IN
La partie
, pour entier
k
0' > 1 p
et
c'est le lemme
M(K,O') > 0
fixe, on peut trouver une constante
d'ou l'analycite de 3
T
et
0'>1 p
(x E K)
(Th. 1.1.4.) •
resulte du fait que
petit, auquel cas, la constante
0' =
M(K,O')
peut etre choisi arbitrairement
de
Une fonction
f
E C;(O)
si et seulement si pour tout compact ex>
r:
m=o
K
SKI",mf\dX (2m)!
converge dans tout le plan complexe.
0
C
z
m
sera
(18)
ce qui implique l'harmonicite d'ordre infini de
1.3.13. COROLLAIRE.
K cO
telle que
(m E IN)
( 18)
1.3.8.
fixes, on a
1.3.12. , pour tout compact
Done, d'apres la proposition
La propriete
1 ,
T
de la forme
M 1(K,0')
(1.2.3.)
est harmonique, d'ordre infini, la serie
218
Demonstration. Si la serie
(19)
£ E »00(0) , la condition est evidente: reciproquement si
converge pour tout
M(K,e) constante > 0
z E
C, quel que soit
e > 0 , il existe
telle que
JIt.m£(x) Idx';;
M(K,e) e
m(2m)!
m
0,1, •••
K
alors la distribution
T
£
veri£ie
I I ,;; S
K = supp cp
M 1(K,e)
It.
m
£(x)11 cp(x)
Idx ,;;
M 1(K,e)e
m(2m)!
constante > 0 •
Cela implique que
£ E A(a,oo,O)
(a =
(2m)!)
une £onction harmonique d'ordre in£ini.
, ANALYTICITE
, et par consequent' £
mE :IN
/
est
I
LIEE AU SIGNE DE LAPLACIEN ITERE.
Dans
C;(O)
certains sous-ensembles caracterises par la
condition que leur laplacien itere, conservent un signe constant dans leur domaine de de£inition,
Dans le cas on
N
=1
£orment des classes particulieres de fonctionsanalytiques.
les premiers resultats dans cette voie sont dus
a
J. Bernstein
par exemple : Soit
P
E C; (Ja,b[)
a) si pour tout
n E :IN: £(2n)(x)
0
sur
Ja,b[
alors
.f
est
analytique. b) si pour tout
n E :IN: (_1)n£(2n)(x)
0
x E Ja,b[
analytique. Ces enonces se generalisent
a
plusieurs variables avec une diFFerence
essentielle dans les demonstrations suivant qu'on considere le cas cas
b) •
a)
ou le
219
" ,
1.4.1. THEOREME [4J Si
f E
C;CO)
r:,mf(x) alors
f
0
veri£ie m
= 0,1,2, •••
(x E 0)
o.
est analytique dans
(x E 0) a - La fonction
f
analyti que) • N, f b - Si 0 = R
est une fonction harmonique d'ordre infini dans
= partie
alors
f
(done
est une constante.
1.4.3. THEOREME [25J Soit dans (E(X)
0
N
R (N
3)
entiere de x) •
est une constante. Le resultat est inexact en general si la fonction depend au plus de deux
variables au bien si Ie domaine de definition de
Demonstration de 1.4.1.
f
Considerons Ie developpement
n'est pas
N R tout entier.
(11). Taus les termes
sont positifs, done
Si
x
de
0
decrit un compact
K cO
est fixe, la Eonction sup r:,mf(x) xE K
d'ol:! (20)
r
xEK
sup xEK
r:,?())
2m !
et si
R
R < distance de o
A [f,x,RJ A [f ,x,RJ X
1"
em(K,R) R2
K au complementaire
etant continue, on a : a R2m m
a Ifm m
.1. [(2m)!a Jm m
220
Or
r
am(2m)!
Ie premier membre de sait
(20)
X
1 N_1 ;nm-2-
(m -
OJ
)
est alors majore par une constante
M(K,R)
quel que
m. Dtau Itanalyticite de f (Th. 1.1.4.) •
Demonstration de 1.4.2. La premiere affirmation est un resultat de P. Lelong [20J. Si
2
N
soit
0*
un domaine de Green d'adherence compacte dans
0
(si
N = 1 , 0* = Ja, b[ C R ).
Considerons Ia formule de Green :
(21)
J
=
f(x)
f(Y)
N 00*].
N
=
J
N 0*
6£(Y)G(x,Y)dT(Y)
=
CN
Si
(x,Y)dO(Y) -
zrr
si
N= 2 •
1 ,
b
(21' )
J f"(t)G(x,t)dt
f(x) =
a
Dans
(21) , Ia premiere integrale notee
nique qui co!ncide avec est egale de
Ja,b[
a
f(a)
x
sur
=a
00* ; dans
et
a
f(b)
t
= -lx-tl
+.tb(x,t),.tb(x,t) a a
si
x
=b
b
o
Ona
b
G (x,t) a
2(b-x) (t-a) b-a 2(b-t) (x-a) a s: x s: t s: b b-a
Ax + B
• La fonction de Green
est fonction
telle que .t (x,a) a
est la fonction harmo-
(21') La fonction affine
est representee dans Ia figure ci-dessous :
G(x,t) affine en
pour
f
Ho(X)
G
221
Avec ces considerations, la demonstration ci-dessaus est valable paur Pl.acons-eious dans le cas
N
=1 •
> 1 •
N
Posons : G (x,y) n
G2(x,y)
Si
= J0*
G 1(x,t) G(t,y)dT(t)
=J *
G(x,t) G(t,y) dT(Y)
n-
0-
0*
X est un compact de
(n
2)
d'interieur non vide, on a, d'apres les proprietes
de la £onction de Green : inf G(x,y) x,yE X
= y(X)
done
yn(X)
G (x,y) n
(Mes X Soient
= mesure
de Lebesgue de
H , o•• ,H , o•• o,H 1 n
qui co!ncident avec
£,
M(x)
Done, apres
[Mes
n-1
x]
>
0•
(x,y E X)
X) •
respectivement les £onctions harmoniques dans
0*
&f, ••• ,6n£, ••• ,sur 0 0* •
= H1(x)-c
J0* 62£(y)
G(x,y) d1:(Y)
n-iterations :
n- 1 1 1 £(x) = H (x) + !: (-1 )p- c PH 1(Y)G 1(x .y )dT(Y) o p=2 O*pp-
J
* (x EO) L'hypothese
D'ou
(_1)n 6n£(x)
0
implique que taus les termes de
(24) sont
0 •
222
* (x EO)
* (x EO) D'apres
(22)
on a
SK \lInf(y) \ d'T(y)
I
S;
• K
y-n[Mes K J
K cO:
Finalement sur tout compact
-(n-1 )
1. n
lim [
SK1lInf(Y) \d'T(y)
n-o c'est-a.-dire f f
(1.2.4)e8'
= H(x,o)
(1.2.3.). Si
f E ):1",(0)
]
=
0
(2n)1
harmonique
0
N 0 = R , la fonction
dans tout
N R +1
H(x,t)
as soc i
done constante. Par suite
c=t_
Demonstration de 1.4.3.
Reprenons ra-representation centre
0
et de rayon
1.4.4. LEMME. B(O,R)
8i
R. Si
G(x,y)
(24)
ou
0*
est la boule
est la fonction de
Green de la boule
on a inf s;
de
x E B(O,R) ,
GR(x,y)
Ilyll
B(O,R)
E 2
(A
= cte)
N
3
ee a.
223 Demonstration. dans
En effet,
B(O,R) , done, pour
pOur x
x
fixe dans
est surharmonique
fixe dans
inf
G(x,y)
Or
un ealcul elementaire montre l'existenee d'une eonstante inf [
Ilxll
Dans Ie developpement
(26)
c¥ (x,y)
inf
Ilyll =
-\
_ ;;,
°
telle que
R:- 2
(25), tous les termes sont
;;,
R JB(O,R) Hp- 1(y)Gp1(x,Y)dT(y)
(-1)P-1 e P- 1 P = 2, ••• ,
A>
°
quel que soit
R, done
f(x)
x E B(O,R)
Or, d'apres Le Lemme 1.4.40 inf GR (x,Y):l: (_A_)P-1 (Mes x,yE B(O,R) p-1 RN-2
et
(22): BR2p -2-N
(B
= ete)
En particulier
a
etant une eonstante numer-Ique
Comme (_1)P-1 Hp_ 1(Y)
>
est harmonique
°.
°
et que l'integrale ei-dessus est
un faeteur numerique pres, sa moyenne spatiale. il resulte que
a
224
(s
H ( 0) p_ 1
Cela est impossible si qui est harmonique > 0
done
cte > 0,
x E B(O,
J0
dans
D'ou. , nulle
)).
Hp-1 (0)
a
=
0 •.
l'origine,
est identiquement nulle. D'ou.
o
H _ p 1
p
De meme d'apres (25) et (27) fey) d'1'(y) ,,; f(x) (11xll < R),
(B > 0 1
constante numerique)
+1) - N:? 0
Comme
f(x)
= Ho(X)
(25) ;
dans
Ho(X)
necessairement la restriction tout
(28)
R assez grand, l'inegalite
nulle, sinon pour
a
(28)
l'integrale
etant harmonique B(O,R)
est neces sa i r-ement
est en defaut. Finalement > 0
dans
B(O,R)
d'une fonction harmonique
> 0
est dans
RN, done est une constante •
1.4.5. Contre-exemple.
La fonction
f(x) = sinx + ••• + sinx
hypotheses du theoreme
1.4.3. dans
0
=
[x
I
1
0 < Xi
(Ci )
o
0
U(z)
¢ B(R1,R 2)
(Lemme 2.2.10)
et par consequent
2ny\\ 2
Ci
-
implique l'existence d'un
et comme d'autre part
2 - R2( Ci E [0, lJ ) • 1
2C{M + '\x\\
q>(1)
Ci
o
E [O,lJ
tel que
> 0 , on en dMuit que Le
trineme
ny\\ 2 -
2
Ci
2CiM
+
\\x\\ 2 -
2
R1
(Ci
E R
)
a deux racines reelles et que la plus grande des racines est 222222 2 5 = M - \\Y\\ (\\x\\ - R1 ) = R11\y\\ - et
MJ5
---
a • Ce qui aCheve la
demonstration du lemme 2.2.11.
D'ou :
domaine circulaire :
En particulier La cellule d 'harmonicite de
E '"
tz
E
eNIl1 zll>R}
est
ou
2.2.12.
Remarque.
La formule(3)
de 2.2.1. et la propriete
de la fonction support d'un ouvert convexe de
RN peuvent dans certains cas
nous fournir la cellule d 'harmonici te de la somme d 'un ouvert convexe et d 'une boule.
247 2.2.13. 1I(w 1
Remarque.
x w2)
etoile de
of 1I(w
1)
W,
Si
X 1I(w
N R on a
et W 2
sont deux domaines de
(exemple:le tube 2.2.6.)
2)
En effet, on ver i Pi.e que si
(z,o) E /;lew) X
[oJ
pN, en general
mais si
done si
est un ouvert
til
T(z) c w , alors
T[(z,o)J Cw X R •
v
§ 2.3. BOULE DE LIE ET SA FRONTIERE DE BERGMAN - SILCV. LE TUBE D' ELIE CARTAN. 2.3.1.
Dans [11J, Elie Cartan avait determine tous les domaines bornes homogenes
symetriques de morphisme existe
eN • Un domaine
AU(D)
(J E Au(D)
rapport au point laissant le point
Dc eN
est di t homoqene si le groupe de l'auto-
agi t transitivement sur tel que a E D a
,
(Ja
=
b ).
s'il existe
D
(i.e.
Le domaine (J E Au(D)
invariant. Le domaine
pour tout
a,b E D
,
il
D est dit symetrique par involutif
(i.e.
0'
2
Id)
D est dit symetrique s'il l'est
en tous ses points (pour qu'un domaine homogene soit symetrique, il suffit qu'il le soit en un de ses points). Elie Cartan a montre qu'il existe six types de domaines bornes homogenes symetriques (irreductibles). A part les deux types particuliers correspondant aux cas
N = 16 , N = 27 , il
reste 4 types dont les trois
premiers sont des domaines bien connus (a un homeomorphisme analytique complexe pres) : boules, polydisques, etc ••• Le quatrieme est un domaine de type nouveau c'est l'ensemble des points suivantes :
+ ...
(8)
le 12
+ ...
C= (C
1""'CN)
E eN verifiant les deux inegalites
248 il est aise de voir
[13J que l'ensemble des inegalites (8) equivaut
a
l'unique inegalite
on reconnaft la cellule d'harmonicite de la boule ,-L'application sur
C ... L(e)
(1Ic\\2 +Jllc11
4
B(O,R) eRN
-,--,- 1
-
(2.2.2.).
def'Lrri e une norme
eN appelee la norme de Lie. Pour cette raison Ie domaine (9) i.e. ' est appele
BL(O,R)) dans
la boule de Lie( de centre
eN (disque de Lie si
Si nous identifions Ie vecteur
C = (C
0
et de rayon
R
notee
N= 1). ) 1""'C N
E eN
avec la matrice colonne
et si on note
C*
= t
c ' la boule unite de
Lie dans
r * 2 eNIc *C+v(C C) -lt ' C\ 2 < c
BL(O,l) = [C E
2.3.2.
Dans
eN est definie par 1}
[llJ Elie Cartan montre que la boule unite de Lie est analyti-
quement homeomorphe au tube de
eN:
Nous appelons Ie domaine (10) Ie tube d'Elie Cartan.
2.3.3.
/
,
THEOREME. La boule unite de Lie, Ie tube d'Elie Cartan et la cellule d'harmo-
nicHe de demi espace
N\ [x E R
phisme analytique complexe pres).
> O} = TIN sont identiques (a un homeomor-
249 En effet, la transformation Cayley generalise de
CN(s)
"'"
£ CN(z)
=
0,
alors
f
se developpe selon
b (f)
d'J
developpement uniformement convergente sur tout compact de
N C ,ou
272
z . ( Z . -1 ) ••• (Z . -\I . +1 ) J ] J J \I
.)
z
(:,\I(f) =
\I (-1)
asp, .S\I. J J 1sjsN
J
1\11-181
(8
3.1.2.
max a
j
< a < Log 2
(\1.8
f(8)
\1 1
• 1\11
Pour tout
a
f(It)
0
alors
partir d'un certain f =
0
Jrf)
• il existe une constante
est un entier, dont la valeur absolue est 0
E
+ ••• + \IN •
La proposition (3.1.1) montre que si
(:,\I(f)
(1 s j s N)
.!
\1 0
'
f
M
a
0
telle que
est de plus arithmetique.
< 1
f
est un polynome
•
3.1.3. (COROLLAIRE 3.2.9. [5J) Soit
a -
f
f
Si
entiere arithmetique verifiant (1)
a j < ILog
+ i
= 0.7588 •••
est de la forme
Z1
( 3)
f = l: P
k
1.···,kN
pour tout
( Z1 ' •••• ZN) C
1.k
ZN
C 1
N,k
\I
donc
des que
et finalement
{:, (f)
(soffime finie) N
p o l ynome s ,
si
273 b - Si
Q'j
< Log2 ,
pour tout
C. k J, j
et
j,
f
est un polynome.
On a alors l'analogue du theoreme 3.1.1. avec les m@mes notations
, ,
3.1.4. THEOREME. Soit
h
pN verifiant
une fonction harmonique dans tout
(4) Si
B < Log 2 , alors
f
se developpe selon
ou la convergence est uniforme sur tout compact de
pN.
En particulier :
3.1.5.
COROLLAIRE. Soit
Si
h
h
harmonique dans tout
est arithmetique alors Si
h
h
pN et verifiant (4) avec
B < Log 2 •
est un polynome.
est nulle sur Ie reseau
Jl'
alors
h
= 0
(i.e. Ie reseau
est un ensemble d'unicite pour la classe de fonctions harmoniques dans verifiant (4) avec
Jl'
pN
B < Log 2) •
Le theoreme 3.1.4. est la consequence de 3.1.2. et de la proposition
3.1.6.
Remarque. On peut ameliorer dans 3.1.5. la constante Log 2 • En effet
274
,
,
3.1'1' THEOREME. Soi t
h
une £onction harmonique ari thmetique dans tout
N R et
verHiant
0.7588...
alors
h
est un polynome •
Demonstration. Remarquer que h(z)
verHiant
avec
B
< B' < a o
a
o
> Log 2
0.693 •••• II existe une £onction entiere
et dont la restriction
L'enonce 3.1.3. s'applique,
h(z)
a RN
est egale
C. k
J, j
E {1, 2}
pour tout
(2.4.11.).
h
est de la Forme :
h(Z)
avec
a
c
ZN
(somme £inie)
N,k N
j.k • D'oD.
(a. k
hex)
J, j
(13 1
k • • 1
E {0,1})
·.·.I3 N k
' N
)
,rj , kj
{o,Log2})
or la derniere somme est une exponentielle polynome ; celle-ci est harmonique si et seulement s i , c'est un polynome harmorri que , En e££et
275
tlh(x)
Ie crochet est un polynome, et
-
qu'une fonction analytique dans Ie theoreme de E. Borel [10J que
tlh:; 0
dans
N R
non constante, en remarquant
eN et nulle sur RN est identiquement nulle,
eN
(qui est aussi val able dans
(24
J) montre
implique
o •
0
pour tout
j,k
j
et
h
est un polynome
harmoni que.
Soit
3.1.8.
N • Posons
COROLLAIRE (1J. Soit
Si
m
h
h(:N ) C E , B m
une fonction harmonigue dans tout
Ihex) \
AeB\\x\\
< Log 2
, il existe un polynome
RN verifiant
tel que h(X
Si
1,
m < N la constante
••• ,x 0, •• 0,0) m'
Log 2
est la meilleure possible.
En effet, la complexifiee
h de
h
verifie (2.4.11)
dans
276
B < B' 2,
Si
Os B < 1 ,
et
DVf(O) E:tf , alors
f
est un
polynome.
a £
=2
, B +
e
: D C definie par
rg·oJ ) .
'f est continue sur D (voir ) . Comme Ie montre l'exemple qUi va suivre , cette fonction continue n'est pas , en , differentiable Exemple : On prend n = 0 , X = {( t, z ) (1)2 / z2 = t ) , f : X donnee par f(t,z) t et 'f (t,z) = zz . On trouve alors Ff(t) = 2lt I
.).f?' et en conjuguant
b(>.) .1). =2:-
L
G (z).),p a,p
a,p (z). 'A
G
--a a
-za
si on a pose
P
On aura done ,puisque P et holomorphe et antiholomorphe
sont respectivement
P.F
f ':41
1M 1
ce qui donne l'egalite b(>')1iC\)
Ix
=
{x
[p .F \f l 2 ( A+ 1)]
Cf A &
[Q.Q( , e t en multipliant les deux membres de cette egali te par une fonction COO a support compact
e
f'
(*) en fait pour Le ch oLx de que nous allons faire on ne peut avoir de singularites que pour -1 .
286
radiale et valant identiquement 1 au voisinage du support de F (qui est compact) , on obtient
f
z: n
J=o
'l,r,j
m,m'
(a:»
(
s m+m'0 -m'+m s 0
(
Jc (Log lsi )j
f (e )
dSf\dB +
GN(A)
ou
GN est analytique pour 2Re(A) +N+1>-1 Gomme f est radiale , Ie cal cuI en coordonnees polaires donne l'existence d'un pale en = -r / 2 - m -1 d'ordre o o egal a jo+1 lles rationnels intervenant dans Ie developpement asymptotique etant dans [0,2[, il ne peut y avoir superposition de pales correspondant a des valeurs differentes de r ) . Ceci acheve notre esquisse de demonstration . II serait eVidemment tres interessant de savoir si chaque zero du polynome de Berstein-Sato de f contribue effectivement au developpement asymptotique du theoreme 1 (cette question contient Ie fait que les zeros du polyname de Bernstein-Sato de f sont des rationnels negatifs !) Venons en Si
a
a
et
la question
b
sont des entiers , on a ='
Tr , j m-a,m'-b
egalite entre courants sur de l'identite
2) en commengant par quelques remarques
. Ffa ib'f
X qUi resulte immediatement s
a -b s F
$
II: j •
301
1
Since dd c is invariant under
A, which are local inverses of n.
p
holomorphic mappings
J
c (dd 1/J )n
Iz-z o I 0, there is an open 0 c X such that C(O,X)
f a e , i
E and f. --> f J
uniformly on X\0 • Another consequence of [5] is that if {fj} converges quasi uniformly to f, and if {n
j}
C
2n(X) A is a sequence such that the forms
converge uniformly and the p.s.h. functions u
e, in a) J
in b) converge monotonically
j
a.e., then
where the convergence is in the weak sense of measures on X. Let us recall the method of smoothing of Section 2, equation (4). We note that
+
and thus
e A2k(X).
C
Xj + Xjdd
C
E)
By our remark above, we see that the smoothings
converge weakly to Lemma 3.2 (Stokes' Theorem).
£
as E
!!
O.
2n-l(X) n E A has compact support, then
Jd n = O. X
Proof: b).
We may assume that n is a wedge product of terms of the form a) and .
As in Section 2, we may take a smoothlng u
corresponding smooth form by n E•
£
j
of u
j
and denote the
By the remarks on smoothing,
303
Now the Lemma follows since
i.e. Stokes' Theorem holds for smooth forms on analytic spaces (see Bungart
[6J and Herrera [11]).
304
4.
Comparison Theorem
Lemma 4.1
Let X
for t < a and X(t)
1 C OR ) be a monotone decreasing function such that X(t)
=0
l Let h E Cl(X) and e E A 2n - (X) be
for t .':. b.
given, and assume that either h-l(_oo.b]
c
c
X or e has compact support.
Then -J X'(t)dt
f
de
{h-ct.)
(6)
J x(h) de
= JdX(h)Ae
fx' (h) Proof:
dhAe
If we show that the first equality holds. then the second follows
by Lemma 3.2 and the third is immediate. The first equality. however, is clear if h is a simple function, i.e.
where {Sl' •••• SN} is a Borel partition of X.
For in this case we may
write the measure de as de
=L
where V is the restriction of de to Sj' j -J X'(t)dt
Thus it suffices to show that
J {h
sup z
Since there will be a large overlap with the arguments of Theorem 1.5 of [lJ, we only sketch the details where they are different.
Wb
In this Section, we let
{W
-A
* ,c(t/I-A
l)
on Q(A
l)
2
are uppersemicontinuous on X and thus u', v' '" P(X). {u' < v'}
Q(A
C
l)
C
C
l)
on Q(A ) \n ( A ) l
Since
Q(A ) , we may apply the Comparison Theorem to deduce 2
that
r
J
J
(ddcu,)n
{u'
-I} n K is a locally pluripolar set, and
thus
=0
JF(ddcW)n for w u'
P n
L;oc'
Taking c
> 0
sufficiently large, we have
= U(K,Q(Al » * and v' = (l-E)v in a neighborhood of K. Thus we have J
(ddcu,)n
{u'
*
and i f
0, then either
0, or
a
Proof:
0 •
l)
> 0,
J
(14)
(ddc¢)n> O.
n(Al-d Now we may choose a > 0 such that
o
> ¢'
oo
p(n(A2 ) ) n L (n(A2)) such that
(z )
By simple inequalities
(15) and by the choice of A 2,
Now we may apply the Comparison Theorem to obtain
313
J
(dd
J
c1/l,)n
{1/I''} Since 1/1' = u(E,n(A
l»
*
J
(ddccj> , )n
{1/I''}
on n(A (14) and (15) yield l),
J
(ddcU(E,n(Al»*)n
{1/1' < cj>'}
(ddccj>') > 0 •
n(Al-d
The Lemma now follows from Lemma 5.1. Theorem 5.3.
Let X be a complex space.
If there is a p.s.h. exhaustion
function on X, and if (16)
there exists cj> E p(X) n t
o (e >
n:
4>1
c c 4>n c c n (dd 4>l+d4> lAd 4>1) +.•. +e (dd 4>n+ d4>nAd 4>n))
4>1
c 4>n C n d4> l"d 4>1+" .+e d4>nAd 4>n)
e
4>1+" ·+4>n
c c d4>l" d 4>1"" '''d4>nlld 4>n
Thus if (16) does not hold, then (17) holds.
315
6.
Polar Manifolds and Polynomial Hulls
An interesting question that arises from Josefson's Theorem is to know how far a given polar set is from being "complete". E
C
That is, if
lEn is polar, we may consider the new polar set E*
= {z
e lEn: p(z)
=
_00
for all
n) p e p(ll: such that pi
= _oo}
•
E
Although E* may be characterized in other ways (see [lOJ), the relation between E and E* is not clear.
A nontrivial example has been given by
Sadullaev [lSJ, who showed that a E
can satisfy E*
= {( z , w)
bounded complex disk 2 1l: : w
=f
( z ),
Iz I
< 1)
= E.
If K is compact, then the polynomial K coincides with the hull with n). respect to p(ll:
* Thus K eKe K.
Although local and global polynomial
convexity are not the same, the relationship with polar sets will give a method which sometimes showed that global hulls are small. n• l Let M be a C submanifold of Il: largest Il:-linear subspace of T M c lEn. p
For p e M, we let H M denote the p
M is said to be CR if H M has p
constant dimension, and M is generating at p if there is no Il:-linear subspace L with
We remark that if a it is not pluripolar.
manifold is generating
We are interested in the converse.
any point then
316
Theorem 6.1.
If M c
a:n
is a real analytic submanifold which is nowhere
generating, then M is pluripolar. Proof:
Josefson's Theorem, it suffices to show that M is a union of
locally pluripolar subsets.
First we may stratify M = MOu .•• uMk into a
union of semianalytic subsets with the property that M
where
j
is a real analytic CR manifold which is nowhere generating. Let us write M = ill coordinates so that containing TOM.
and work locally near 0 e M.
j
{O} c Il:
x
We may rotate
is the smallest Il:-linear subspace of Il:
If Tr(zl,,,,,zn) = (zl,,,,,zm)' then TriM:
CR diffeomorphism near zero.
is also a CR mapping. morphic mapping F(z) U of Tr(M)
n
n
is a
Thus
a theorem of Tomassini [21] f extends to a holo-
= (zl"",zm,Fm+l(z), ••• ,Fn(Z))
in a neighborhood
It follows now that
Thus M is pluripolar, which completes the proof. Corollary 6.2.
l!M c Il:
n
is a real analytic subset that is nowhere generating,
M is a polar subset of Il:
n•
In particular, M has no interior.
If M is allowed to be generating, then M may be locally polynomially
/'.
convex but M may contain an open set, e,g. (aA)n
= An.
317
7•
Evans' Law We have tried to present some parallels between the operator (ddc)n
and the Laplacian IJ.. a function
Evans' Law. which says that the discontinuities of
lie inside the support of
does not generalize exactly.
For instance. by an example at the end of Section 3 of [1]. the function u(K.O) * is not necessarily continuous on O\K. Let us assume that X is a Stein space. and that subset.
assume that the Zj all vanish on Sing X.
S
Zj
We may
Thus any integral curve of Re Zj
which starts in Reg (X) will remain in Reg (X). T
n n Reg(X)
(See. for instance. Fischer [8 ].)
{Zl(P) •.••• Zm(p)} spans Tp X.
--->
X is an open
It follows. then, that there is a finite number of holomorphic
vector fields zl ••.•• Zm on X such that for each p G
p
nee
This gives us a mapping
(p) obtained by starting at p and following the integral curve
of Re Zj for time s , lsi
s(p). T
S
Zj
:
I f n e e X. then for lsi
0 ---> T
S
Zj
5(0)
(0) c X
is a biholomorphic mapping. Given a function on 0 c c X. we may define the modulus w(f.Z.6) = sup {If(p)-f(Ts p)l: P G 0. 0 Z Z
= L aj
Zj'
L a j l2 1
Is I
< 6·
sen) •
1.
o.
318
An alternative would be to take a Stein neighborhood n', nee 0' c c X and imbed n' properly into
We could give n the imbedded
metric, and thus obtain another modulus of continuity
It follows,
then, that
w(f,Z,o) for same constant
C > O.
-v
w(f,Co)
Conversely, if
lim w(f,Z,6) =
o .... a
a
then f is
continuous on Reg X, but we cannot conclude anything about the behavior of f on Sing X. Theorem 7.1.
X be Stein, nee X, and f e c(n) be given.
e p(n) n
= f(p)
f, and
e C(Reg (n)).
If, in addition, f
p e supp
w(f,Z).
for p in a neighborhood of dn, then
If
In particular,
Cl,a(n), for some
a
n
2 -
E C (n)
4>
is
W p(n) n Lm(n,loc) be continuous on the set
Then W e CeO n Reg X). Proof:
By the continuity of W at
tinuity of
an
u supp (ddcw)n and the uppersemicon-
Won n, there is a continuous function f
and such that f
= W on an u supp
C(O) with f
W
(ddcw)n.
Thus by Theorem 4.4 Wis given as the envelope of the p.s.h. functions dominated by f.
The proof now follows by repeating Lemma 1 of Walsh
with translates replaced by w(Tsp). z
t 22J ,
320
The method of looking at upper envelopes yields a procedure for smoothing solutions of the Dirichlet problem, Theorem 7 .3.
X be a Stein manifold, and let n
e C2(n) is strongly p.s.h.
=
• Cela montre bien
la proposition. J'ignore si
v
donne aussi Ie nombre de Lelong dans Ie cas d'un
espace de Banach.
3. Le principe de minimum et la transformation de Legendre A
la base de notre demonstration se trouve Ie resultat suivant.
Theoreme 3.1
(Le principe de minimum). - Soient
vectoriel complexe et complexifie. Soient
un espace vectoriel reel et notons
F
D un ouvert pseudoconvexe dans D et supposons que, si
plurisousharmonique dans et
y'
ont meme partie reelle, alors
Supposons aussi que x E E.
D
x
E un espace
=
{y E
et
u
(x,y) E D et si
(x,y') E D et
; (x,y) E D}
E x
son
u(x,y)
y
= u(x,y')
est connexe pour tout
Alors v(x)
inf u(x,y), x E w ,
y ED
x
est plurisousharmonique dans
w, l' ensemble des
x E E
tels que
Dx
soit non vide. Pour la demonstration de ce theoreme, voir [1]. Si
f:
[-0::>,+0::>]
est une f onc t i.on numer i.que definie sur l'axe
reel on definit sa transformee de Legendre f(n)
=
sup (yn-f(y)), yElR
n ElR.
f:
[-0::>, +0::>]
par
330 On a toujours
et l'egalite a lieu si et seulement si
f < f
convexe, semicontinue inferieurement et admet la valeur si elle est la constante f(y)
f(y)
formule qui represente
a
fonctions affines, convexe
a valeurs
-00.
=
f
yElR,
comme l'enveloppe superieure d'une famille de
savoir ses tangents. Si on sait seulement que
dans
Nous renvoyons
seulement
faces trois proprietes on a done
sup (Yll-f(ll», 11 ElR
a
on a
]-00,+00]
l'exterieur de l'intervalle
ell.
Si
_00
fest
I
ou
f = f
fest
dans l'interieur et dans
fest finie, mais pas forcement dans
Rockafellar [8] pour la
t
heo r i.e des fonctions con-
vexes. Soit maintenant -00,+00 ].
f
convexe et croissante sur
II existe done un intervalle
] -oo,a]
ou
finie, et on pourrait appeler nombre de Lelong de V
f
=
lim
f'(t)
=
lim
lR,
a
valeurs dans
] -oo,a[ f
oii
fest
la quantite
f(t)/t
II est facile d'exprimer cette pente
a
l'infini
a
l'aide de la transformee
de Legendre : Lemme 3.2. - Soit tiquement tude de
+00 •
Alors
f v
f
lR-+] -00,+00]
convexe, croissante et non iden-
est l'extremite gauche de l' intervalle de fini-
f ; en particulier
f (11)
=
11 < Vf . Si, en plus, f
si
+00
plus vite que toute fonction lineaire, alors Soient maintenant
E, F,
supposons pour simplifier que
et
=
u
pour tout
II > v
comme dans Ie theoreme 3.1, mais Fa; = a:
F=JR, d'ou
transformee de Legendre partielle 11)
u
f(ll) < +00
croit
de
sup (Yll - u(x,y», yElR
u
On peut definir la
par
(x,l1) E E x lR.
f
.
331
Alors, cornme
u(x,')
est convexe, on a I':j
u(x,y)
u(x,y) = sup (Re
(x,y) E
n Em.
et Ie principe de minimum nous garantit que dans cette representation de u
comme enveloppe de fonctions affines en
y
fonction plurisousharmonique des variables si
u(x,y)
est croissante en u(x,y)
lim
(3.1)
y-+
et si
u(x,y)
=
pour
+00
u(x,y)
lim
(3.2)
y-+
Le fait que
y
x>->
En particulier,
> -= )
assez grand on a sup f ri;
y
e-oo
(x,y) E
on a
inf(Tl;
y
-00
y,
chaque terme est aussi une
=
-= ) .
est plurisousharmonique nous fournira des ren-
seignements sur Ie nombre de Lelong dans Ie paragraphe suivant.
4. Le resultat principal Theoreme 4.1. - Soient m> 1 , h
de
E w
dans
w un ouvert de
contenant l'origine,
l'espace de Frechet de toutes les applications holomorphes
c'",
n::: 1, telles que
harmonique au voisinage de l'origine de pour toute
[m
h E E
sauf si
h
h CO)
=
o.
Si
et celIe de
f
appartient
sup
y
log!h(z)!,
par
u Ct ) de fa u(t) (1 +p(h,O) )
y-
,
t
Y
hE E
333
Grace
a
la proposition 2.1 les nombres de Lelong de
f
et
f
0
h
sont
donnes, respectivement, par
= lim u(t)/t
Vf(O)
t .... -00
et Vf oh(O) En faisant tendre
y
=
lim
v(h,y)/y.
y .... -00
vers -00
dans
(4.3)
on obtient Le resultat
attendu :
Comme
vest plurisousharmonique dans Ie domaine pseudoconvexe
et comme
a: ;
{y E
(h,y) E
est un demi-plan, done connexe, on peut appliquer Ie principe de minimum (voir Ie theoreme 3.1) et affirmer que nique dans
E pour tout =
est plurisousharmo-
n E lR, oii
sup (vn -v(h,y», yElR
(h,n) E Ex lR,
est la transformee de Legendre partielle de E(n)
{h E E;
=
est soit polaire soit egal
a
= -oo}
E
tout entier. D'autre part on sait que :: -co
(voir Ie lemme 3.2 et D'oll, en posant
ex
=
v. Done
=>
(3.1) , (3.2); on note que
v(h,y)
=
+00
si
y ::: 0).
Vf(O) ,
{h E E ;Vfoh(O) -f ex}
00 {h E E ; Vf
0
h (0) >- ex}
U
E(ex+l/j)
1
Par un resultat bien connu en dimension finie (cf. [7]), il existe une
334 application Li.ne a i r e
h
h (0) = Vf(O). Done O et, par consequent, il existe des nornbres E:. > 0
a+l/j) >-=
O
E E
telle que
v
f
0
J
tels que
Nous allons poser (4.4)
w(h)
1
Nous savons done que E. J
a
w(h
O)
encore une condition,
>
c-
a
et nous allons assujettir les nornbres
co
forrnuler, pour que
w
soit bien definie
et plurisousharrnonique. v < uop
En transforrnant l'inegalite (h,y) E rl
et
- yn :: u(y +p(h,O»
lei on peut choisir, etant donne s
a y
(4.2), si
y ElR, :: u(p(h,y»
satisfaisant
on obtient, vu
p(h,y) < O. =
h E E
et
- yn .
n E 1R, n'irnporte quel
y < 0
Prenons
-p(h,O) - 8 < 0
p(h,O) > 0
et y
-8 si
p(h,O) < 0 .
D'ou
(4.5)
< u(O) +np(h,O)+,
(h,n)EExlR,
et w(h)
< u(O) 2:E. +2:E.(a+l/j)p(h,O)+ J J
J
On voit finalernent qu'il suffit de supposer pouvoir cone lure que
west bien definie par
tion w(h) :: A
o
+ Al p(h,O)
+
S. > 0 J
(4.4)
et
L: E. < += J
pour
et adrnet la rnajora-
335 avec des cons t ant e s
A et O
seminorme continue sur
E
AI'
On note que
et que
h .... exp p(h,O)
est une
west done localement bornee supe-
rieuranent ; la representation w(h)
q
lim
=
q-Ho>
+
L: E.(-v(h,a+l/j) -u(O) -(a+l/j)p(h,O) ) j =1 J
0> +
nous donne
.
+
L: E. (u(O) + (a + I/J )p(h,O) ) j =1 J
w comme limite d'une suite decroissante de fonctions semi-
continues superieurement, done elle meme semicontinue superieurement. Cela dit, il est clair que vu que
w(h
O)
> - 0>. Done
west plurisousharmonique et nous avons deja U E(a+l/j)
E : Ie theoreme
est polaire dans
1
4.1 est demontre. Je ne sais pas si une reunion denombrable d'ensembles polaires dans un espace de Frechet est polaire. Dans Ie cas traite ici la conclusion depend des majorations tres particulieres finissant les ensembles
(4.5)
pour les fonctions de-
E(a + l/j)
Etant donneeune partie
P
de
E
on peut se demander s'il existe
plurisousharmonique au voisinage de l'origine telle que sa que de
h E P.
m> n > 1
Si
Vf oh(O) > Vf(O) h ' (0)
EO
Si
1 < m< n
L([m,[n) P
une partie de
l'espace projectif de dimension
et par suite
telle que g
telle
telle que
g
0
h E P
EO
E
h(O)
=
so it localement polaire dans
+0> > Vf(O) =
b >
forme des appli-
telle que l'ensemble des
n-l. Alors il existe
v f oh(O) V
on note l e resultat parti-
Ie sous-espace de
droites contenues dans l'image d'une
[n
h E E
est contenu dans l'ensemble algebrique ou Ie rang
cations lineaires, et soit
nique dans
v oh(O) > Vf(O) f
il est clair que 1 'ensemble des
est Lnf e r i eu r a n .
culier suivant. Soit
f
Vg(O)
1
f
plurisousharmo-
pour toute
a , a
et
etant donnes. Cela est une consequence du theoreme 4.4 de [3].
h E P
b > a > 0
336
Bibliographie 1.
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CAPACITY, TCHEBYCHEFF CONSTANT, AND TRANSFINITE HYPERDIAMETER ON PROJECTIVE SPACE
By Robert E. Molzon and Bernard Shiffman*
Introduction In studying the growth of the hyperplane sections of an analytic variety in
[n, one uses the currents
;:y _
aa
log
/Z.wj
llir
of integration over the hyperplanes dual to the points W of r n-l . This expression suggests the kernel on r n - l
log
I Z'wl .
In a joint work with N. Sibony [6] , we used this kernel to define the capacity
C(E)
(for compact subsets
E C pn-l) , which allowed us to
extend a result of L. Gruman [4] on average growth estimates for hyperplane sections of affine analytic varieties.
H. Alexander [2] then obtained the
inequali ties c peE) s exp(-l/C(E)) :::: peE)
* Research partially supported by a National Science Foundation grant.
338
for compact constant for
E
T(E)
2 , we are able to prove in this paper
the identity T(E) = ex.p(-l/C(E)) (Theorem 3) and the inequality n-l peE) T(E) (Theorem 2) for general n. Thus CeE) (n-l)C(E) The question whether there is an upper bound for remains unsolved.
CeE)
in terms of G(E)
339
1.
Notation and definitions. denote a point in either
n
Or
n-I
•
+ Z W
n n
For a k-vector
X
[X!
, we let
denote the inner-product norm of
X induced from the above Euclidean norm. we let
vOtE)
For a compact subset
denote the set of positive Borel measures
E of
fn-l
on E with
1, and we call these measures probability measures.
We first recall the definition from [6] of capacity in DEFINITION 1.
For
uP(fn-l)
the potential function
u
f
n- l on
pn-l
is given by (1.1)
for
Z
pn-l
The capacity
C(E)
of a compact subset
E of Pn-l
is defined by inf
(1.2)
The capacity
C(E)
sup zepn-l
of Definition 1 is related by Alexander's inequality to
the Tchebycheff constant
pCE).
(See Definition 2 and Theorem 1 below.)
We do not work directly with C(E) capacity
C(E)
u (Z)
(see Definition 4).
in this paper; instead we use another Some conditions for the positivity of
C(E) are given in [6, Theorem 2.1] and [2, Theorem 3.3J •
340
For
k
r (E)
(1.3)
k
=
Pn-l , put
. E a compact set In
a positive integer and
inf
IZ'A.!)
k TI
sup
Tz-nijl
fA •••••' \)
with
t1c
n-Z
n-l log t1c .
0 , we conclude from (Z.lO) that
(2.11)
If
+
(n-l) log r k-l
=0
, then (2.11) is valid with
t1c(E')
0 .
>
Letting
E'
verifying (Z.ll) for the case follows by letting
k
m
log dk • E replaced by a larger sets
E , we then conclude that d
= 0 k in (Z.ll).
n - 1
and that the reverse inequality does not hold.
=0
, then
implies that
=0
peE)
peE}
=
0
similarly implies that
T(E)
,
C(E)
=
o
in Theorem Z is sharp
Theorem Z tells us that if
; the converse is unkown.
if and only if
=0
The conclusion of the theorem then
We note in Section 3 that the exponent
T(E)
r k-l
E'
O.
Theorem 1 of H. Alexander The following result
vanishes if and only if
C(E)
vanishes.
347 THEOREM 3.
For
E
r n-l ,we have
a compact subset of exp(-l/C(E))
Proof:
C: (E)
We must show that
,(E)
- log ,(E)
(2.12)
- log ,CE)
is elementary and is verified as follows: be arbitrary.
k > n
The inequality
Let
t:: J;CE)
j.l
and let
Then
log dk(E)
< CI
log
(X
Cl
log
n
(XCI ' I
k
l
, .•• , XCI ) du (Xl"'"
n
and thus
Letting
k
+ +
ro
and then taking the infimum over
j.l
, we
obtain (2.12). Thus we must show that
!(E)
< -
Let
A denote the invariant probability
log TeE) •
For
A G pn-l
and
6 > 0 , we let B CA, 6)
(2.13)
denote the is-ball about measure on For
I'
n-I
k > 1 , let
(Thus is E i+ k
A. A
.
1S
. by gi.ven
be determined by
(-110 d 3- log
!ZI)I n-l
.)
348
(2.14)
11k.
Then k •
(2.15) since
X(B(A,0)) Let
{Iv} I
o2n-2
for
as
1
k
+ '" •
0 small.
D be an arbitrary open set containing
Kv
and
by choosing
= n Kv
E
II ,,-.P (K ) v
C:CII) .) v
,then
l'CKv ) ?
t
such that
v
subsequence so that lim
2n-2
E.
is a sequence of compact sets decreasing to
1c
v+
A:1-
uk
llv'" 11
0 e
t (E).
CK) =
Note that if
E, that is ('This fact is verified
CIl.) ;
passing to a
0
the measure on E given by
Then creE)
0,
We consider the measures llt
Then
II +
to' b ePeE}
for
0
0
and
E2 C. E
v
0 2I vII
t CPI
and
vII
't .tCII)
If not. there + e:
on
u-almos t everywhere. we have
o
357
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SEVERAL COMPLEX VARIABLES IN
PHYSICS
V.S.Vladimirov(Moscow, Steklov Institute of Mathematics). Last 20-25 years the theory of analytic functions of several complex variables had many applications in Mathematical physics, especially in quantum field theory. On the other hand the quantum field theory found oneself as a source of many nontrivial problems in the theory of analytic functions and essentially influenced its development. This situation reminds somewhffb one of 40-50 years ago when rapid development of the hydro-aerodynamics and the theory Of elasticity stimulated a progress of the theory of analytic functions of one complex variable • In qpantum field theory (as in many other branches of Mathematical physics) the physical quantities arise as boundary values
of
some classes of analytic functions holomorpmc in some "primitive" domains defined by axioms. The probleme is to construct the
enveLope
of holomorphy for "primitiveil domains and the
corresponding integral representations which would evaluate values of holomorpmc function by means of its values on the "essential"
part of the boundary. By such a way it is possible
in principle to obtaine so-called (manydimensional) dispersion relations between quantities observed in experiments. Realisation of this programme in the frame of some system of axioms would give firstly a possibility to verify experimentaly the consistency of the system of axioms considered and secondly would lead to an
359
analytical approach wich would capable to predict results
of
experiments. In this talk I do not have a possibility to expose sufficiently completely thi's
line of problems.I only expose here briefl;y
several main results from the theory of holomorphic functions of several complex variables which serve as a mathematical tool in many problems of mathematical physics.I keep in mind the followlng four problems. 1. The "edge of the wedge" theorem by Bogoliubov;
C
2. The "
convex hull" theorem (or the "double cone"
theorem) ;
3. The "finite covariance" theorem; 4.Holomorphic functions with positive real part In tube domains over proper cones. We denote points of
en. = !RYLf L'Rht/j
2--=-x+i,j=(£.t./z."2 C I C 1'2. C J pr .
conjugate cone for
is the
¢
of
JD"- with the vertex at 0 "
the tube over a cone
="
the cone
is the envelope of holomorphy
c21)' eel '" } -'
'Ie ir- i. C ( S h-.J.
in a
the cone
C
called proper one;
£y_
In 1956 N.N.Bogoliubov discovered and proved a remarkable theorem called now as Bogoliubov's"edge of the wedge" theorem
[1] .
360
It was firstly reported by N.N.Bogoliubov at the International conference at Seattle U.S.A. in September 1956. This theorem gives a peculiar generalization of the principle of analytical continuation of holomorphic functions. The Bogoliubov "edge of the wedge" theorem is as follows n: (the local variant). Let be a connected open cone in 7R I( C=.-c
C 7
and let
(f) be an open set in
1'J.
7R..:t. • Let
functions
It: fii!:)
J)
-
'f
be
holomorphic in wedgeshaped domains
respectively and let their boundary values
:J =0
common "edge" X=
of the domains .2).::t
(l)/(O))
distributions from
tJrlr (sc) at the
and coincide in
exist (as
(!J. Then there
is exist a single function 1(2) holomorphic in a domain4Y.(2C/e? where;;; is some (complex) neighborhood of to
I:t
in cZl.;t
0 ,
and If!i?)
is equal
respectively.
For casel2.=:i
this theorem is classical one and i t follows
immediately from the Cauchy formUla (the distributional boundary values can be overcome without difficulty). For
n '£.2.
it
seemed at first that such theorem can not be true at all because the domains.Zlt mensional set (!)
and in the
are in contact only along the h - di:l"- dimentional space
wedgeshaped structure of the domains.,g)+ along the "edge" (!)
and
C 'Z.
But the
contacting
is here the decisive argument.
Now there are about ten proofs of the "edge of the wedge" theorem and its varions generalizations and sharpenings; there
361
are surveys and books devoted to this problem (see [1 - 15J
[39 - 43] , [65 - 67] ,[73 - 76] ).
Most important generalizations
were established for any number of cones (for holomorphic cocycles) and for more general boundary values (up to hyperfunctions)
[8,9] , Beurling [11J , Morimoto [10J ,Bros and Lagolnitzer [14J , Epstein [5) Zarinov [65-67], [78J Pinchuk ) see: Martineau
[73],
Henkin
[75] •
We formulate here one of such generalizations of the Bogoliubov's theorem according to Martineau [8J . Let functions
flJ:.[il))
1:;:=-:1..)".)
£)* =
IV , be holomorphic in domains
XC:
R}
r!J; :JE (71