126 104 16MB
English Pages 334 [344] Year 1978
Lecture Notes in Mathematics For information about Vols. 1- 461, please contact your bookseller or Springer-Verlag.
Vol. 489: J. Bair and R. Fourneau, Etude Geometrique des Espaces Vectoriels. Une Introduction. VII, 185 pages. 1975.
Vol. 462: P. Gerardin, Construction de Series Discretes p-adiques. »Sur les series discretes non ramifiees des groura>es reductifs deployes p-adiques«. III, 180 pages. 1975.
Vol. 490: The Geometry of Metric and Linear Spaces. Proceedings 1974. Edited by L M. Kelly. X, 244 pages. 1975.
Vol. 463: H.-H. Kuo, ~aussian Measures in Banach Spaces. VI, 224 pages. 1975. Vol. 464: C. Rockland, Hypoellipticity and Eigenvalue Asymptotics. 111,171 pages. 1975. Vol. 465: Seminaire de Probabilites IX. Proceedings 1973/74. Edite par P. A. Meyer. IV, 589 pages. 1975. Vol. 466: Non-Commutative Harmonic Analysis. Proceedings 1974. Edited by J. Carmona, J. Dixmier and M. Vergne. VI, 231 pages. 1975.
Vol. 491: K. A. Broughan, Invariants for Real-Generated Uniform Topological and Algebraic Categories. X, 197 pages. 1975. Vol. 492: Infinitary Logic: In Memoriam Carol Karp. Edited by D. W. Kueker. VI, 206 pages. 1975. Vol. 493: F. W. Kamber and P. Tondeur, Foliated Bundles and Characteristic Classes. XIII, 208 pages. 1975. Vol. 494: A Cornea and G. Licea. Order and Potential Resolvent Families of Kernels. IV, 154 pages. 1975. Vol. 495: A. Kerber, Representations of Permutation Groups II. V, 175 pages.1975.
Vol. 467: M. R. Essen, The Cos n). Theorem. With a paper by Christer Borell. VII, 112 pages. 1975.
Vol. 496: L. H. Hodgkin and V. P. Snaith, Topics in K-Theory. Two Independent Contributions. III, 294 pages. 1975.
Vo1.468: Dynamical Systems - Warwick1974. Proceedings1973/74. Edited by A. Manning. X. 405 pages. 1975.
Vol. 497: Analyse Harmonique sur les Groupes de Lie. Proceedings 1973-75. Edite par P. Eymard et al. VI, 710 pages. 1975.
Vol. 469: E. Binz, Continuous Convergence on C(X). IX, 140 pages. 1975.
Vol. 498: Model Theory and Algebra. A Memorial Tribute to Abraham Robinson. Edited by D. H. Saracino and V. B. Weispfenning. X, 463 pages. 1975.
Vol. 470: R. Bowen, Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. III, 108 pages. 1975. Vol. 471: R. S. Hamilton, Harmonic Maps of Manifolds with Boundary. III, 168 pages. 1975. Vol. 472: Probability-Winter School. Proceedings 1975. Edited by Z. Ciesielski, K. Urbanik, and W. A. Woyczynski. VI, 283 pages. 1975. Vol. 473: D. Burghelca, R. Lashof, and.M. Rothenberg, Groups of Automorphisms of Manifolds. (with an appendix by E. Pedersen) VII, 156 pages. 1975.
Vol. 499: Logic Conference, Kiel 1974. Proceedings. Edited by G. H. Muller, A. Oberschelp, and K. Potthoff. V, 651 pages 1975. Vol. 500: Proof Theory Symposion, Kie11974. Proceedings. Edited by J. Diller and G. H. Muller. VIII, 383 pages. 1975. Vol. 501: Spline Functions, Karlsruhe 1975. Proceedings. Edited by K. Bohmer, G. Meinardus, and W. Schempp. VI,421 pages. 1976. Vol. 502: Janos Galambos, Representations of Real Numbers by Infinite Series. VI, 146 pages. 1976.
Vol. 474: Seminaire Pierre Lelong (Analyse) Annee 1973/74. Edite par P. Lelong. VI, 182 pages. 1975.
Vol. 503: Applications of Methods of Functional Analysis to Problems in Mechanics. Proceedings 1975. Edited by P. Germain and B. Nayroles. XIX, 531 pages. 1976.
Vol. 475: Repartition Modulo 1. Actes du Colloque de MarseilleLuminy, 4 au 7 Juin 1974. Edite par G. Rauzy. V, 258 pages. 1975. 1975.
Vol. 504: S. Lang and H. F. Trotter, Frobenius Distributions in GL2 -Extensions. III, 274 pages. 1976.
Vol. 476: Modular Functions of One Variable IV. Proceedings 1972. Edited by B. J. Birch and W. Kuyk. V, 151 pages. 1975. Vol. 477: Optimization and Optimal Control. Proceedings 1974. Edited by R. Bulirsch, W. Oettli, and J. Stoer. VII, 294 pages. 1975. Vol. 478: G. Schober, Univalent Functions - Selected Topics. V, 200 pages. 1975. Vol. 479: S. D. Fisher and J. W. Jerome, Minimum Norm Extremals in Function ·Spaces. With Applications to Classical and Modern Analysis. VIII, 209 pages. 1975. Vol. 480: X. M. Fernique, J. P. Conze et J. Gani, Ecole d'Ete de Probabilites de Saint-Flour IV-1974. Edite par P.-L. Hennequin. XI, 293 pages. 1975. Vol. 481: M. de Guzman, Differentiation of Integrals in Rn. XII, 226 pages. 1975. Vol. 482: Fonctions de Plusieurs Variables Complexes II. Seminaire Franyois Norguet 1974-1975. IX, 367 pages. 1975.
Vol. 505: Advances in Complex Function Theory. Proceedings 1973/74. Edited by W. E. Kirwan and L. Zalcman. VIII, 203 pages. 1976. Vol. 506: Numerical Analysis, Dundee 1975. Proceedings. Edited by G. A Watson. X,201 pages. 1976. Vol. 507: M. C. Reed, Abstract Non-Linear Wave Equations. VI, 128 pages. 1976. Vol. 508: E. Seneta, RegularlyVarying Functions. V, 112 pages.1976. Vol. 509: D. E. Blair, Contact Manifolds in Riemannian Geometry. VI, 146 pages. 1976. Vol. 510: V. Poenaru, Singularites COO en Presence de Symetrie. V, 174 pages. 1976. Vol. 511: Seminaire de Probabilites X. Proceedings 1974/75. Edite par P. A. Meyer. VI, 593 pages. 1976. Vol. 512: Spaces of Analytic Functions, Kristiansand, Norway 1975. Proceedings. Edited by O. B. Bekken, B. K. 0ksendal, and A. Stray. VIII, 204 pages.1976. Vol. 513: R. B. Warfield, Jr. Nilpotent Groups. VIII, 115 pages. 1976.
Vol. 483: R. D. M. Accola, Riemann Surfaces, Theta Functions, and Abelian Automorphisms Groups. III, 105 pages. 1975.
Vol. 514: Seminaire Bourbaki vol. 1974n5. Exposes 453 - 470. IV, 276 pages. 1976.
Vol. 484: Differential Topology and Geometry. Proceedings 1974. Edited by G. P. Joubert, R. P. Moussu, and R. H. Roussarie. IX, 287 pages. 1975.
Vol. 515: Backlund Transformations. Nashville, Tennessee 1974. Proceedings. Edited by R. M. Miura. VIII. 295 pages. 1976.
Vol. 485: J. Diestel, Geometry of Banach Spaces - Selected Topics. XI, 232 pages. 1975.
Vol. 516: M. L. Silverstein, Boundary Theory for Symmetric Markov Processes. XVI, 314 pages. 1976. Vol. 517: S . Glasner, Proximal Flows. VIII, 153 pages, 1976.
Vol. 486: S. Stratila and D. Voiculescu, Representations of AFAlgebras and of the Group U (00). IX, 169 pages. 1975.
Vol. 518: Seminaire de Theorie du Potentiel, Proceedings Paris 1972-1974. Edite par F. Hirsch et G. Mokobodzki. VI, 275 pages. 1976.
Vol. 487: H. M. Reimann und T. Rychener, Funktionen beschrankter mittlerer Osti1lation. VI, 141 Seiten. 1975.
Vol. 519: J. Schmets, Espaces de Fonctions Continues. XII, 150 pages. 1976.
Vol. 488: Representations of Algebras, Ottawa 1974. Proceedings 1974. Edited byV. Dlaband P. Gabriel. XII, 378 pages. 1975.
Vol. 520: R. H. Farrell, Techniques of Multivariate Calculation. X, 337 pages. 1976. continuation on page 335
Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann
694 Serninaire Pierre Lelong Henri Skoda (Analyse) Annee 1976/77
Edite par Pierre Lelong et Henri Skoda
SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York 1978
Editeurs Pierre Lelong Henri Skoda Universite Paris VI Mathematiques 4, Place Jussieu F-75005 Paris
AMS Subject Classifications (1970): 32-XX
ISBN ISBN
3-540-09101-7 0-387-09101-7
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210
A V ANT - PRO P 0 S
Le present volume du Seminaire 1976-1977 continue la serie des volumes precedents publies aux Lecture-Notes: 71 (1968),
(1969), 205 (1970),
332 (1972),
(1976). Certains exposes ant
(1973), 474 (1974),
(1975),
(1971),
ete rediges, nous devons le dire, avec un certain retard et en fait plusieurs n'ont eu leur redaction definitive qu'au debut 1978. L'objet du seminaire que nous dirigeons conjointement est toujours l'Analyse complexe en dimension finie au infinie. Certains exposes prolongent des resultats pre sentes
l'annee precedente : tel celui de P.RABOIN sur la resolution du Q dans un
espace de Hilbert; de meme l'expose qu'on trouvera ici de P.LELONG releve d'une methode donnee dans le Seminaire l'an dernier. On trouvera aussi dans l'expose de Fr.GRAMAIN donne dans ce volume le souci d'utiliser les proprietes des fonctions de plusieurs variables en vue de la theorie des nombres. Nous sommes heureux d'adresser nos remerciements
a
la Librairie Springer
qui edite ce Seminaire dans sa collection des Lecture-Notes. Nous esperons que ce volume du Seminaire contribuera comme les precedents
a
diffuser des methodes et des
resultats nouveaux.
Pierre L E LON G - Henri S K 0 D A
" TABLE DES l'1A.TIERES
1. BOCHNAK (J.)
Sur le 17eme probleme de Hilbert pour les fonctions de Nash ••••••••••
1
2. DEl'1A.ILLY (J .-P.)
Differents exemples de fibres holomorphes non de Stein ••.•••.•••••••••
15
3. DLOUSSKY (G.)
Prolongements d'applications analytiques •••.••••••••••••••••••••••••
42
4. FISCHER (G. )
Quelques remarques sur les fonctions
mer-omo rphe s
*)
•••••••••••••••••••••••••
5. GRAl'1A.IN (Fr.)
Fonctions entieres arithmetiques ••••
6. JENNANE (B.)
Extension d'une fonction definie sur une sous-variete avec controle de la croissance •••.••••••••••••••.•••••••• 126
,
96
7. KREE (P. )
Methodes fonctorielles en Analyse de dimension infinie et holomorphie anticommutative •.••••••••••••••••••• 134
8. LELONG (P.)
Un theoreme de fonctions inverses dans les espaces vectoriels topologiques complexes et ses applications a des problemes de croissance en analyse complexe •..••••••••••••••••••.•••••• 172
9. NACHBIN (L.)
Sur la densite des sous-algebres polynomiales d'applications continfrment differentiables ••••••...•••••••••••• 196
10. NOVERRAZ (Ph.)
Sur la mesure gaussienne des ensembles polaires en dimension infinie ••••••• 203
11. RABOIN (P.)
Le probleme du sur un espace de Hilbert ••..•....•.••.••.••••••••••.• 214
12. RAMIS (J.-P.)
Geometrie analytique et geometrie algebrique (variations sur le theme "gaga") ••••••••..•.•.••••••••••••••• 228
13. SKODA (H.)
Morphismes surjectifs et fibres semi-positifs •.••••••••••••••••••••• 290
14. YAl'1A.GUCHI (H.)
Fonctions entieres paraboliques dans 2 G:: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 325
*) Les resultats seront publies dans les "Mathematische Annalen"
Exposes faits au Seminaire
LAVILLE
(14 Decembre
dont les resultats paraitront
1976)
"Formules non lineaires et valeur au bord
des fonctions holomorphes" Bull.
Sc.Math.,
2e s e r i e ,
100,
1976, p.201-208
101,
1977, p ,
DUFRESNOY (26 Octobre 1976) "Resultats de d"-cohomologie, aux systemes differentiels tants
a
(26 Avril
1977)
applications
coefficients cons-
ll
Ann.Institut Fourier, Tome XXVII, SICIAK
71-79
Fasc.2,1976.
"Fonctions plurisousharmoniques extremales dans C
n"
"Proceedings of the First Finnish-Polish Summer School on Complex Analysis at Podlesice" Edited by J.LAWRYNOWICZ (Helsinski), DLOUSSKY (Ier Mars
Lodz,
(Lodz)
1977, pp.
and O.LEHTO
115-152.
1977) "Enveloppes d'holomorphie et prolongements d'hypersurfaces" Journees de fonctions analytiques, Toulouse, 5-8 Mai, 1976,Sem.P.Lelong (Analyse)
1975-1976,
Lecture Notes in Mathematics, nO 578,Springer. These de 3e Cycle, Nice CHOLLET
(Ier Fevr.77) "Zeros
a
la f r o n t i.e r e de fonctions analytiques
dans un domaine strictement pseudo-convexe" Ann.Institut Fourier, Tome XXVI,Fasc. I ,1976 I
VIGUE
(18 Janvier 1977)-"Les domaines barnes s ym e t r Lq u a s d'un espace de Banach complexe et les systemes triples de Jordan", Hath. Ann.,
t .
229, p.
223-231,1977.
-"Autamorphismes analytiques des produits continus de damaines barnes", Ann.Sc.Ec.Norm.Sup., 1978.
Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 17e annee, 1976/77.
SUR LE 17eme
14 Juin 1977
DE HILBERT POUR LES FONCTIONS DE NASH par Jacek
B 0 C H N A K
ABSTRACT.
The purpose of this note 1s to give a more refined version of a theorem of Efroymson : If U C Rn is defined by polynomial inequalities of the form
fi
> 0, i=1, ... , p, and if g is a positive definite
Nash function on U, then g is a finite sum of squares of Nash meromorphe functions on U.
AMS 1970 subject classification.
Key words and phrases.
Primary 12D15, 14E99, 32C05.
17th Hilbert problem, Nash functions,
Tarski principle, semi-algebraic sets, real closed field.
2
§ 1. Resultats.
Soit A un anneau de fonctions reelles sur un
ensemble U. On peut formuler pour l'anneau A, une generalisation suivante du 17eme probleme de Hilbert : Probleme 17A· ------------q>2 f = q>12
+
...
Soit f
E
A, f(x)
q>, q>1' ... , q>k + q>k2 ?
E
0, V
X
E
U. Existe-t-ll
A, q> $ 0, tels que
Le probleme original de Hilbert a ete pose pour A = R[X1, ... ,X n] et resolu par E. Artin [1], [7], [8], [10]. De nouveaux resultats ont ete obtenus recemment. On a pu demontrer que la reponse au probleme est positive dans les cas des anneaux suivants : l'apneau des germes des fonctions analytiques de n variables reelles [11], l'anneau des fonctions analytiques reelles (globales) sur une variete analytique reelle de dimension 2 [3], et certains anneaux de fonctions de Nash (globales) [6]. Rappelons que les fonctions de Nash sont des solutions analytiques d'equations polynomiales
j
plus
precisement, une fonction analytique f : R d'un ouvert U C Rn dans Rest dite de Nash, s'il existe un polynome p(x, y) de n+l variables reelles, P
$ 0, tel que P(x,f(x))= 0
dans U. G.Efroymson [6] a montre que, pour l'anneau N(U) des fonctions de Nash sur un ouvert semi-algebrique U C Rn de la forme
3
Ie probleme 1 7N(U) a une solution positive. (En particulier on peut prendre U = Rn). Signalons ici que la solution de par Mostowski [9] n'est pas correcte
ce probleme
(voir la remarque 3 ci-dessous). Posons Ie probleme plus pr-ec Ls,
Soit f e N(U), f(x) 0, V x e U, U un ouvert n connexe de R . Quels sont lessous-anneaux A de N(U), tels que f soit une somme de
dans Ie corps de fractions
A (0) de A ?
Dans cette note nous allons
cette question
et nous allons donner quelques
concernant
au probleme 1 7N(u ) ,
une
Un contre-exemple,
viI
f
Soit A
=
R[X] [viI + X2 ] c
N(R).
+ X2 e A est une fonction positive
sur R, mais il n'est pas une somme de En effet, A(o) est obtenu par adjonction
d'une racine quadratique f d'un
dans A(o)'
a
R[ X] (0)
de R[ X]. On sait
alors [12] que l'on peut ordonner Ie corps A(o) de sorte que (-f) soit un
positif suivant cet ordre ; par
f ne peut pas etre une somme de
Definition [2]. On appelle un anneau sous-anneau A
=
dans
tout
A(U) de l'anneau des fonctions de Nash
N(U), contenant R[X1J , .. , Xn]. Pour un anneau s emf-ia Lgebr-Lque A Ie sous-anneau de r:(U)
=
A(U) no tons par A(-1)
par A et les
de
4
la forme
ou f
E
A et f(x) > 0,
Vx
par recurrence, A(k)= (A(k-l))(l) et A(ro) Remarque 1. A = A(ro) s1 et seulement si f implique
v'Tff
E
U. Posons,
E
U A(k);
A(o)= A.
k=o E
1
A, f- (0 )
¢
A.
Theoreme 1. Soient U un ouvert semi-algebrique connexe de
Rn de la forme (*) et f une fonction de Nash sur U, f(x)
0, V
X
E
U. Alors fest une somme de carres dans
Ie corps de fractions de l'anneau semi-algebrique A(3), ou A ==
R[Xl'
Corol1aire.
••• , X ] [f) c n
Solt A
(U etant de la forme
(**) g
E A,
N(U).
A(U) un anneau semi-algebrique
==
(*)), ayant la propriete
g(x) > 0, Y X E U
Alors toute fonction f
E
A, f(x)
=}
vg
0, V
X
EA.
E
U, est une
somme de carres dans Ie corps de fractions A(o) de A.
On retrouve en particulier la solution de Efroymson du probleme 17 N(U)' la condition (**) etant trivialement verifiee pour l'anneau N(U) des fonctions de Nash. Questions ouverts. (1)
Considerer Ie probleme 17N(U)
pour un ouvert semi-algebrique U quelconque ( ou meme pour un ouvert quelconque de Rn). (2) Existe-t-il une fonction de Nash positive qui n'est pas une somme de carres dans N(U) ?
5
§ 2.
Demonstrations.
Supposons desormais que U est un ouvert semi-algebrique connexe de Rn de la forme (*).
On sait, depuis les travaux de E. Artin [1], [8], que Ie 17eme probleme de Hilbert est etroitement lie
s
la theorie
des anneaux ordonnes. Nous aurons besoin du Lemme 1. 6
E
f
E
So it A(U) un anneau semi-algebrique,
R [Xl' ... , Xn] A, f(x) 0, V X
R [X], 6 $ ,E
O. Supposons que
U, f n'etant pas une somme de car-res
dans Ie corps de fractions de l'anneau A(3). Alors il existe un ordre sur l'anneau A*
(A[Y, zJ)(3), compatible
avec la structure d'anneau et tel que les elements (-f) et 6 2Y_l soient positifs dans A*. q> de (A[Y, z l ) (2) C A* telle que q>(x, y, z) > 0, V (x, y, z) E U x R2, etant un carre dans Remarque 2.
Tou te fonc tion
A* , est positive en tant qu'element de A* . Dans ce qui suit, nous entendons par un ordre sur un anneau, un ordre compatible avec la structure d 'anneau. Preuve du Lemme 1.
Supposons que D soit un sous-ensemble
d'un anneau integre B et 1
E
D. Notons par
D 1 'ensemble
des produits d'elements de D. II resulte facilement de la theorie de corps ordonnes (8J, (12J, que la condition
6
(1)
implique l'existence d'une structure d'ordre sur B, pour laquelle tous les elements de D sont positifs. Nous allons appliquer ce critere pour B = A* et D ={1,-f,6 2Y-1}. 2 Considerons la relation L:'Yiai = 0, ou les 'Yi sont de la forme q1 q2 ,1\ E D, a i E A* qi E N et montrons que tous les 'Yi = 13 1 13 2 )
a
i
sont nuls.
Sans perte de generalite, on peut supposer que qi
0 au
q. = 1. On a donc une relation du type l
d i sont dans A* . y + 1 ,z ),oi= . a i ( x,--c;1. (
Posons y
y + 1
etc. La relation (2) devient
appartiennent
a
A*
on peut donc, sans perte de generalite,
supposer que dans (3) ai' b i, c i et d i sont dans A* (quitte eventuellement a multiplier (3) par 6 2N).
)
1
7
c 2i + Y r a i2 $ 2, nable de (y, z) R Si
z
0, on aurait pour un choix conve-
Y>
0, une expression de f comme
somme de carres dans A(3)
f(x)
Necessairement donc implique y r bi + r di
r a 2i
=
0 et
=
0, ce qui
et
0, d'ou r
L: di =
o.
Etant donne la construction de ai' b i, etc, ... , on constate que tous les Ii' b i, ei et d i sont nuls. " A
La demonstration du Theoreme 1 est basee sur Ie principe de Tarski. Principe de Tarski [4J, [5J. et
Soit K un corps ordonne
H(X1 , ... , Xn) une relation polyn6miale dans ... , XnJ. Si Qi designe soit V soit 3, alors une
formule du type
est vraie pour un corps ordonne maximal L
K
si et seulement
si el1e est vraie pour tout corps or donne maximal L
K.
Par relation polyn6miale dans K(X1 , ... , XnJ, on entend une fonction booleenne des relations de la forme
Considerons maintenant un ensemble semi-algebrique M de Rn , i.e. un ensemble de la forme s
M PjjE
• U
i=l
{x E Rnj Pij(x»
R[XJ, "i ' R[X].
0 , qi(x)
8
Pour un corps L
s U i=l
ML
R , notons par
{x
E
Ln
I 'ensemble
Pij (x) > 0, qi (x)
Supposons que Ie graphe d'une fonction f : U--+ R, U eRn, n+ 1. soit semi-algebrique dans R Le principe de Tarski montre que pour un corps ordonne maximal L
11., l'ensemble (graphe f)L
est un graphe d'une fonction f L : U Lj (voir [5]). L Cette notion d'extension f d'une fonction f, dont Ie graphe L est semi-algebrique est particulierement utile pour les fonctions de Nash pUisqu'une fonction analytique f d'un ouvert semi-algebrique U de Rn dans 11. est de Nash s1 et seulement si son graphe est semi-algebrique [5]. Pour un f E N(U), Ie symbole f est donc bien defini. L Notation: 11.[ X, Y,
z l Iu x
=
Lemme 2 [61 Soient A g
E
(
11.[ X, Y,
=
{
CjJ!U
x
CjJ
E
z)
11.[ X, Y,
A(U) un anneau semi-algebrique, 2 (k)
Z J I U x 11.)
c
L un corps ordonne maximal,
N (U x R2 ), k
E
R, h
E
A (U ) ,
11. c L et CjJ(A[Y,
L
un homomorphisme d'anneaux. Alors la fonction
g :
2 U x R
;;>
},
(x, y, z)
g(x, y, h(x) )
E
11.
9
est dans (A[Y, Z])(k) et
ou ql(X)
Preuve . Pour k = 0 Ie lemme est eVident, g etant un polyn6me. II suffit de montrer Ie lemme pour k = 1; Ie passage pour k > 1 se fait par reeurrenee,suivant un raisonnement analogue. Supposons done g de la forme
ou a, b , e e R[ X>. Y, Z],
C(x, y, z»
Evidemment, eL(cp(X), ql(Y), cp(h» d t ou
cp( v'e(X,Y,h») =
cp( v' e(X,Y,h)
2
0, V (x, y, z) e U x R .
= cp(e(X,Y,h» =CP((Ve(X,Y,h)2)
± vCL(cp(X),cp(Y),cp(h)).
En fait,
est positive dans L puisque la fonetion
= ve(X,Y,h ) e (A [ Y,Z]) (1) et
) o,y( x,y,z
e
est done un carre dans (A[Y,Z])(2) et cp( vfe(X,y,h) =
O.
Cela termine la demonstration car on a cp(g) =cp(a(X,Y,h» aL(cp(X),Cp(Y),cp(h» gL(CP(X),cp(Y),cp(h».
+ cp(b(X,y,h»cp(yrc(X,y,h» + bL(cp(X),Cp(Y),cp(h»v'CL(cp(X),cp(Y),cp(h»
10
Demonstration du Theoreme 1.
Suivons l'idee de Mostowski[9].
Raisonnons par l'absurde et supposons que f (d1)
E
( )
soit pas une somme de carres dans (A 3
V
X
E
P
E
R[X, Z] un polynome irreductible, tel que
p(x, f(x))
=
0 dans U. Le discriminant 6
n'est pas identiquement nul. Choisissons A*
=
A(U), f(x)
E
un
0,
Soit
R[X] de P
ordre sur
A[Y, 2](3) pour lequel les elements (-f) et
o2Y_ 1 soient positifs (Lemme 1). Definissons deux sous-ensembles semi-algebriques {(x,y,z) {(x,y,z)
E 1]
E
x R2
U x R2
f(x) = z },
=
p(x,z)
O,o2(x)y_1
0, f(x)1 z}.
(Cette operation a pour but de separer les branches d'ensemble P- 1(0), en particulier de separer le graphe de f c P- 1(0)). Les ensembles C1 et C sont disjoints et fermes dans U x R2• 2 D'apres le Lemme de Separation [6], [9] il existe une fonction g E (R[X,Y,Z] Iu x R2)(2), telle que g(C > 0 et g(C 2) < o. 1) Considerons la formule polynomiale F V ( x,y,z )
E
Ln+2 {x
E
UL' PL(x,z)
L
=
gL(x,y,z) > 0
suivante: 2 0,oL(x)y-1 fLex)
L etant un corps ordonne maximal contenant
0, z}
R
Par construction, cette formule est valable pour L = R. D'apres le principe de Tarski elle restera valable dans la cloture ordonnee maximale L du corps de fractions de A* .
11
: A*
Notons par
L le plongement de A* dans L et
appliquons le Lemme 2 avec k
=
2 et h
f. On aura donc
=
2 puisque g E (A[Y,Z))2 est strictement positive sur U x R et donc un carre dans A* g(x,y,z)
A[Y,Z)(3); rappelons que 2
g(x,y, f(x)) est positive sur U x R
=
car
(x,y, f(x)) E C1, Remarquons alors que l'hypothese de la formule F
(x,y, z)
est valable pour
(q>(X), cp(Y), q>(f)) E Ln + 2.
=
on a d e j
En effet,
Par can s t rue bien sur
P
t
L(
a
ion a n a b 2 ( Cf(X),
e (x) {x Rn
Cf
v e r i f Le que gL (
CpU))
Enfin
(q>(X 1), ... ,
U
Pi(X»
=
L
0, i
( X) ) =
(PiIU)
p.1 (q>(X)) > 0, L d'ou q>(X) E UL ( on utilise ici le fait que U est de la forme (*)). 11 en resulte, par le principe de Tarski, que fL(q>(X))
=
cp(f). L'hypothese que f n'est pas une somme
de c a r re s dans
donne une contradiction : d rune part
l'element q>(f) comme l'image par plongement de f dans L est negatif dans L, d'autre part cet element (co@ne egal a
12
fL(0 et
If ( r)
j
on ait
(6)
V
n. )(
sur
Cf ( ra-)
pour
r
o
> a
telles que
Cf
N
't'la rela-
19
w,
On se donne alors des ouverts
w'.'
J
n. ,
compacts respectivement dans Appliquons trois fois
o
o
.fl.'!
J
la relation
relativement
J
J
du corollaire 2 dans les cartes,
(4)
en supposant que V est non constante su r
.a
la fonction V.
J
M(V.
0
g.
M(V
0
h,
J
.a
J
o
la fonction V
M(V
0
r)
h, W ' o
0
J
0
0
h et au couple d'ouverts 5l , .D..'! ell. J
, r)(\.IM(V.
J
, r)
la fonction V
M(V
•a
0
J
,
h
0
g.
0
J
0
g.
0
h, w"j ,
M(V
0
h et au couple
N
M(V
0
g. J
0 0
0
0
J
h
,
J
Wo
J
J
soit d'apres
r)
,
(6)
r)
'
c;
J
n0
, r)
h et au couple co LV'! e0' J
r) ",M(V
o
g.
, w"j
h
0
J
N
0
une fibre
o h
o
, W'.', J
n: 0 (7)
r)
II vient par transitivite de N : M(V
o h, GU, o
o
r ) .
Prenons pour h un element du groupe d'automorphismes les g.
en raisonnant par recurrence
J
formelle de h,
on obtient
PROPOSITION
10 -
a
Soit hI"
0', h
(7)
des automorphismes de
q
tenant au groupe G engendre par les g ..
constante r (8 )
M(V
U) 0
_e_t__d_e l'ecriture formelle des _ h. J
Designons main tenant par Dr Le polydisque
X OJ,
o
Notons K
r
sup z
et une
r
o
(8)
ne
telles que
w, r .,...)
o
L'inegalite
dans G,
J
dependant en outre de V et des h.
o
appar-
II existe une constante
J
de pend ant que de
engendre par
sur la longueur de l'ecriture
partir de
--
G
Izi
s'ecrit encore
U .
h. (D) J r
M(V 0 ,wo '
V (x , z ) 0
l'enveloppe pseudo-convexe
j
J
r
loppe polynomialement convexe d'apres HORMANDER
po u r
r
r
0
(c'est aussi l'enve-
[I]
,
po
91,
tho
403040)
20 A
et r
1\
r(h1, ... ,h
=
le rayon du plus grand polydisque
q)
inclus
dans K . r
Comme V
o
est plurisousharmonique en z,
on a par definition de K
r
U h. (D ) j J r £) {.. M(V , w , r cr) pour
et a fortiori
0
si Vest non triviale, assez grand,
0
est strictement croissante pour r
et on en deduit aussitot
PROPOSITION 2.
- Si le fibre X possede une fonction p.s.h. non
constante sur au moins une fibre r
0
o
0-;>0
et
telles que
fl (h 1 ' Comme
il existe des constantes
h q)
r cr
po u r
r 9r
(9)
0
l'a souligne H.SKODA dans son article
[5J
il est possible de
donner une construction plus algebrique du fibre X. Dne autre construction du fibre X : On choisit la base B de sorte que le groupe fondamental G de B soit un groupe libre a N generateurs
oper3nt sur le re-
N
vetement universel B de B On fait alors operer G a gauche sur
B
proprement et librement
en posant c(.(x,z) J
N
oil
X
I: B
et
z e Il;n
•
(ll Xa;n)/G est alors un fibre au-dessus de B,a fibre
L'espace quotient
e".
g. (z)) J
(0(. (x), J
et on note p B X a;n
--;.. X la projection.
La donnee d'une fonction p.s.h. V sur X equivaut a la donnee d'une fonc tion p.s.h. ( 10)
'v :; : V(x,z)
v
0
=
p sur
BX
V(d.,.(x), J
lIn
invariante par 1 'action de G :
g.(z)) J
,.J
pourxEBet
21
On retrouve les resultats de la proposition tout element
Co(, h)
en considerant pour
du groupe libre e n g e n d r e par les
(
g.) J
0(.,
J
le
couple D'apres
( 10)
,.;
on a M(V, w ' o
r)
,.J
= M(V
0
h,o«(wo),r),
et d l a p r e s
(4),
N
B etant connexe v
v
r) t\JM(V
0
h,
wo' r)
pour tout h dans le groupe engendre par les g., J
valent de
c'est-a-dire l'equi-
(8).
3. Estimation de
et contre-exemple.
On prend n = Z, N = 1, autrement dit la fibre est
B reunion de deux ouverts no' Definissons g = gl
nl .
par g(zl'zz)
k = (z, -
zZ'
ZI)
g est evidemment un automorphisme de
I1 est clair que g(D
et la base
r) ={Cz1,Zz) -I (D ) ={(ZI ,zZ) g r
G
(:Z
10:
I[Z
et
et \ Z1
I
( 1I)
koElN -I g (zl ,zZ)
et
\
-
-
Z1 \
r}
Z\
r }
Z
Soit Vri, la surface de o:Z definie par l'equation
L'ensemble des valeurs
pour lesquelles Va( possede des singularites
critiques de
est fini
: cela r a s u Lt c d u fait
general
qu'un polynome n'a qu'un nombre fini de valeurs critiques, mais nous le verifierons de Soit
elementaire par des calculs explicites.
la partie compacte de
definie par
• Supposons d'abord que Va( est lisse Le bord OLo/. de
V"" es t \z 1\
ou
hi
I k Zr 1 k zr
l'ensemble des points tels que
Izzi , l r k 1 k \zz \ = zr
22 ('dL"" fait egal
car
et lui est p r e c i s e me n t
evidemment partie de cet ensemble,
les coordonnees
z, ,z2 definissent des applications ouvertes
pourvu que
Cette condition sera a s s u r e e
si k:r2,
c e qu'on suppose d e s o r ma i s
r ?-2, 1 k
Zr ,
definie par
on a donc
on a
Par consequent sur
Va( donne
'"
:
r
Iaexp
• Caleul d'enveloppe pseudo-convexe. II
s'agit donc d'evaluer
. S 01t
: II:
Pi
-------r a:
2
l'enveloppe ;
1,2
les fonctions
coordonnees,
la surfa-
(z I ' z2) 1-----+ zi ce de t
2
definie par l'equation =
0
exp
ceux du §
2 IT 2
log 2/el kj par consequent :2 +
C.
et
contient ,
on a
3 donnent alors
le polydisque de rayon .
kJ
2'
2 exp (
J
2 e2)
2j n
>exp(
) pour
J
assez grand
,
et
les propositions
I
et 2
/el
permettent d'achever la demonstration de
la proposition 3.
Topologie de HI (X,(f).
Soit X l'un des fibres
construits aux paragraphes 2,3,4 et 5,
faisceau des germes de fonctions Par
n
2
j E. r k j /2 + 1/2k
10gt'2/ (:'1
log
6.
petit
assez
J
analytiques
l'isomorphisme de Dolbeault HI(X,@)
CJ'le
sur X.
s'identifie au quotient zl/B
I
ou
37
z' B
= {fOrmeS d i f f e r e n t Le Ll e s
I
de b i d e g r e (0, I)
-fermees sur·x}
%ormes d i f f e r a n t Le L'l e s de b i d e g r e (0,1) -a-exactes sur x}. est muni de
Zl
de
H1(X,m
Soit q :
la topologie de
la convergence
sur tout compact,
la topologie quotient. la projection sur la base, et
X
X
o
un point de B tel
sur X soit constante sur la fibre q
-I
que
toute fonction holomorphe
(x
peut etre choisi arbitrairement dans les exemples des § 3,5 ).
o
u
Soit
un ouvert de B contenant
< mE;¥} avec
B
oi(x,z)
(j;
2
sur
log ('1"Re (x+2irr,
g Cz )
son quotient par x.(IOgf2}
I e grou
39 Soit f
une
forme
fermee
de
bidegre =p
B Xl!:2
Puisque ,.J
B xl!:
2
telle
est de
Stein,
(0,1)
de
classe
sur X.
;)f=O
il existe
que
et
JIt-
une
fonction h
de
classe
Cao sur
..
P f et il est Montrons des
immediat que que
u=h-ho.,(
u peut etre approchee
fonctions du
type
v
-
a
v
est holomorphe
uniformement
au
sur
sur tout
v e s t holomorphe
t xa:
Soit 6 un n o mb r e :> 0 et K un compact de
2
de
la
compact par
B X a:2
sur
forme
Lx D au L est un
N
B et D un bidisque.
rectangle
de
11 existe
un entier
GIN tel
L n(L +
que
o et
2ij IT)
un bidisque
D'
contenant D U gj (D). Avec
les
choix precedents
K
cLxD'
.,(j (K) c. (L + 2ijrr)
+ 2ijn)
LU(L
s e p a r e pas
ne
et il en est de meme D'apres HORMANDER
le plan,
du produit
[1J
x D'
done est polynomialement convexe,
[ L U (L + 2 ij TT
2.7.7., p. 55,
tho
)J X D '
il existe un p o l y nfime
Q
tel que sur KcL)(D' sur
d'ou IQ - Q oo
[ 0,
1
nU.
z E (U.
tel que
J.
et
l
z U. '\. R J p +1
II reste alors
a
z
qui joint
a
y
composer
y'
1
avec un chemin de
, ce qui prouve que
U' \
Q
par arcs et donc connexe. On verifie facilement que
(F 1)
conditions
sous-faisceau de Notons J'
et
(F 2)
, alors
8
*
de
i)
• On en deduit que
et
(U', n, u'
(U', n, u' 'R)
':;
ouvert
(U, n,
V
U
J:l
V
est un
; de plus
un revetement de
a
est un revetement de
verifie la condition , on a
est un sous-faisceau de
vBtement se prolonge
"R)
U
R E :l4(U)
U'
est un faisceau qui verifie la ::ondition
simplement connexe et
U, R)
':J
se prolonge en un revetement de
designe la boule epointee de
duit que
satisfait aux
:If Le prefaisceau des fermes tels que si
II est evident que
(F 2)
i)
Rest connexe
Q
est un ouvert de U
U' 'R
de
U
R
(F 1)
* =°
H1 (8 )
puisque si • On en de-
• Considerons main tenant un un ferme denombrable de
U, R
U
soit
• D'apres ce qui precede ce re-
U etant simplement connexe, il est tri-
51
(U,
vial ainsi que
II, U "R)
ce qui prouve que
U , Rest simplement
cormexe ,
iii) que si
R E C}(U)
f E 0(U"
et
R)
surface de
U'
de plus
H
est un ouvert contenu dans
U'" R)
est une hypersurface de
(resp. l'adherence
H
de
H
dans
U'
U
alors
f
est une hyper-
sont evidemment des faisceaux qui verifient l'axiome
y
verifie
(F 1)
tes de Riemann et
(F 2)
d'apres Ie theoreme de singularite inexistan-
verifie
(F 1)
d'apres un theoreme de REMMERTSTEIN
p 123
[ Z7 ]
1.3.
U'
(respo
a u'
et
Ie prefaisceau des fermes tels
(resp.
se prolonge
C}
y
on definit
VARIETES DE HOPF ET TORES
PROPOSITION
1.4.
Soient
X ,X
1
et
X 2
des espaces analyti
ques i)
X 1
et
si
Y
X 2
sont ronds si et seulement si
X x X 1 2
est rondo ii) rond, alors iii) tible de
X X
DEMONSTRATION
Y
et
est un sousespace analytique de X" Y
= 1,2)
,et
X
est
sont ronds.
est rond si et seulement si toute composante irreduc
est ronde.
i)
la condition necessaire est evidente ; la
condition suffisante est un cas particulier de (i
X
,comme un sousespace de
X x X 1 2
ii)
en considerant
X.
1
52 ii)
Soit
f
une application de
these, il existe un ferme denombrable en
f
r\ R
de
de
T
dans
Y
tel que
• Par hypo-
f
se prolonge Cepen-
X
dant
f
T \ R
etant connexe d' apres le Lemme 1 ,
que
(Y)
dans
R
T
T\ R
est un sous-ensemble analytique de ........1
f
T ,.
qui contient
(Y) = T \ R
, ce qui prouve
Y est rondo Si, maintenant
f
est
a
sous-ensemble analytique de iii)
le Lemme
valeurs dans
T '\ R
f'-1 (Y)
X '\ Y
qui ne rencontre pas
est un D'apres
T
et puisque le complementaire d'une hypersurface dans
f'-1(y)
un ouvert de Stein est de Stein,
santes irreductibles de codimension les). En posant alors
2
R'
RU
f
T \ R'
ne peut contenir que des compo(ee sont done
des points iso-
;;;,-1 (y)
---->
X \
Y
est le prolongement cherche.
iii)
resulte de
ii)
et du fait que si
cp: A -->
une application analytique entre deux espaces analytiques cp(A)
est contenu dans une composante irreductible de
A et
B si
Best B
A est irre-
ductible. PROPOSITION
ramifie), dont la base analytiques. Alors: DEMO\JSTRATION
Y
un
,et l'espace total
La condition est necessaire
g: T -->
analytique (non X sont des espaces
X est rond si et seulement si
une application analytique. relevement
(X, TI, Y)
Soit
1.5.
X de
T f
: soit
Y est rondo f: T -->
Y
etant simplement connexe, il existe un , qui se prolonge au complementaire
53 d'un ferme denombrable
R
T
9
Mais
II
0
en
T
> X
R
coincide avec
9
cher-che de
de
f
sur
II
T
g
0
est donc le prolongement
f La condition est suffisante
si
f : T --> X est une appli
cation analytique, il existe par hypothese un ferm8 d8nombrable T
tel que
9 = II
f
0
se prolonge a T '
ment. D'apres le Lemme 1.3. permet de relever
DEFINITION
avec
1 .6.
Notons
nombres complexes
Q'.
f
T, Rest simplement connexe, ce qui
sur
T
W = en - [ O}
(n
2)
l
l'automorphisme de
= [
----->
W
-----:>
(
gmlm E
l}
m W
Q'1
1"'"
, et pour des
O
[ Cjl-1(R), f
defini par '!'
[ R, f ]
0
i)
DEMONSTRATION
Cjl ]
0
defini par
: [ R, f
'J' - morph i srne , Alors
un
X
est un
[ R, '!'
0
f ]
]
0
Cjl
- morphisme et
':1'V
est un
morphisme.
resulte immediatement du fait que
faisceau, ii)
2.2.
de la definition de
DOMAINE D'EXISTENCE D'UN Soient
variete
(II, V)
m de
etales et
et
est evident.
deux domaines etales au-dessus d' une
Cjl : V --> V'
2
[R, f ] : V ->
iii)
- MORPHISME
(II', V')
dimension
et
X
[ R',
un morphisme de domaines V' ->
f' ]
X des
- morphismBs.
DEFINITION
On dit que
2.3.
prolongement de
[R, f]
(II', V', Cjl', [R', f'])
si [ R, f ]
[R',f']oCjl' On appelle prolongement maximal de
( TI, V,
[ R,
r
[R, f]
,qu'on note
n
La donnee d'un domaine etale au-dessus de phisme d'espaces etales
[ R, f ] : V ->
est un
Cjl: V ->
m,
V et d'un
(II,
, d'un mor-
- morphisme
X tel que
[ R,
f ]
0
[ R, f ]
et qui verifient la propriete universelle suivante : si
(II', V', Cjl', [ R', f'])
(II, V, [ R,
f
I)
est un prolongement de
alors il existe un unique morphisme d'espaces
58 V' ->
cp'
etales
(IT, V)
On appellera
PROPOSITION
m denombrable J
[ R, f
a
i)
(IT, V)
un
f'
]
J •
[R , f
un domaine etale sur une variete
2
l'infini de dimension
V --> X
[ R',
cp'
le domaine d ' s xi s t s nc6 de
Soit
2.4.
f Ja
[R ,
V tel que
et
']: - morphisme. Alors
(IT, V, CP, d'existence (TI, V)
il existe un prolongement maximal
de
(IT, V, [ R, f ]) , et le domaine
que
a
[
R, f
J)
est uni-
isomorphisme unique pres. ii)
Si
U
est un ouvert de
est un prolongement de
[R
n U,
V
(IT', U', cp', [ R', f' I)
et
alors il existe un mor-
flu ]
phisme d'espaces etales
cpl tel que si
:iu
est 1 I inclusion de
[ R, f
J
U
V
dans
V
on ai t
On rep rend avec de legeres modifications la demons-
DEMOI\ISTRATION [ 26
tration de
U' --->
J
p. 29-32. On note
au point
x
.
[ R, f J x
le germe du
c.r_
morphisme
fagon un faisceau et son
En notant de la
espace etale associe, on a des homeomorphismes locaux : F
qui font de
et
X
V
-->
V
et
des varietes analytiques.
et
Pm
sont
de finis par p(x, [ S, g Soit
[R, f
J
V -> X un
J)
- morphisme,
x x E V et
U un voisi-
59 nage ouvert de
x
sur lequel
TI
est un isomorphisme.
c;. - morphisme
Le
'111
definit un germe
et on definit
v ---->
cp
x
----.>
par
cp
est un morphisme d'espaces etales car TI
V la composante connexe de
Notons
Pm
tion de
a
dans
R
la partie de
V
(z, [ S, g J ) E R si et z
h : U\ T
tout ferme denombrable
-> X
qui verifient
definie de la fagon suivan-
T
dans
[ S, 9
U
de
V
Jz
aussi ; on en deduit que
U conte-
et toute application analytique , on a
Rest loca1ement un ferme denombrab1e ; de plus l'infini, donc
la restric-
si, pour tout ouvert
z
nant
TI
V
Notons, en outre, par te
, et
R
'111
z E T
est denombrab1e
est un ferme denombrable
If Dans
posons si
V
,on peut maintenant definir 1e prolongement de
z E
V\ R ....,
f(z, [ S, 9 J7
)
g(z)
[R, f
J
a
60 oG
(S, g)
est Ie
de
[S, g]
qui est
au point
z
(IT, V,
[ R, f]) IT
En effet
= IT
a
(IT, V, [ R, f ]) :
est un prolongement de
x E V\ (cp-1 (R) U R)
,et pour tout
, on
a
f(II(x), [ II(R f
a
n U),
f
a
(IIlu)-1 ]II(x))
(II\U)-1 (II(x))
f(x) c'est
a
dire [ R,
f ]
(II, V, p, [ R, f]) En effet, soit de
(II, V, [ R, f
(II' , V'
(rr' ,
,
est Ie
maximal
(II', V', cp', [ R ', f'])
un prolongement quelconque
])
• On peut appliquer Ie raisonnement
])
pour prolonger
(II', V', [ R', f'])
a en
V' ,cp' , [ AI , f' I)
Si
oG
[ R ', fl
[ R, f ]
a
U'
x E V, R
cp'(x) E V'
est un ouvert contenant
est
cp'(x)
par
cp'
sur
suffisamment petit pour que
soit un isomorphisme. Comme, en choisissant convenablement les mes
on en
que
des
II'\U 1
61
Cela signifie que
V
V et
V'
ont un point commun dans
,
V', et que
l'unicite du morphisme
resulte du fait qu'on a des homeomorphismes
locaux. ii)
Par le m§me argument que dans le point precedent le domaine
d'existence de
n U,
[R
flu Jest egalement
donc de la propriete universelle de
2.3.
UN LEMME SUR LES ESPACES RONDS
LEMME
2.5.
(TI,
V,
[
V) ; l'assertion R n U, flu J)
resulte
X un espace analytique complexe. On a equivalence
Soit
des pr-opr-Le te s suivantes i) ii) iii)
m
X
est rond
Tout
- morphisme
(TI, V)
Si
[R, f J : T --> X se prolonge
a
T
est un domaine etale sur un variete de Stein
le domaine de tout
- morphisme
[R, f J : V --> X est une
variete de Stein.
DEMONSTRATION a ) ::} ii)
Dans
[(z, w)llz\ < p,lwj < 1 }
T
U[(z,w)llzl X existe d'apres la
[R, f ]
(n, vj
V une
et la Proposition
cp
nR=¢
au complementaire dans
Ie domaine de
T ---> 0
0
etant arbitrairement proche de
cp: T --->
d'apres
e, e)
M(z ,
il existe
tel que Ie voisinage d'ordre
2.4., no tons Ie
Soi t
pour
i)
e
; de plus,
< 1
; ce voisinage con tenant une marmite, notee
R
se prolonge d'apres ble
e
Rest denombrable, pour tout
T - application (voir Oefinition A. 4 . 2.4.
V qui prolonge
u) , cp
i l existe un morphisme de
Vu la definition des
T
-
app l i-
est une application biholomorphe ; i l en est donc de ml3me
ce qui permet de deduire que
clut par Le Lemme A. 5.
(n,
V)
est
T
-
convexe. On con-
et Ie theoreme de DOCQUIER-GRAUERT [ 2 ]
p. 113
i)
iii)
§ 3.
est claire.
CONSTRUCTION D'ESPACE5 ROND5
MORPHISMES ROND5 ET REVETEMENTS
RflMIFIES 3.1.
QUELQUES LEMMES PREPARATOIRE5 Soi t
lytique
(n, V) un domaine etale sur un ouvert U d' une variete ana-
m de
dimension
2
et so it
R
un ferme denombrable de
En ce qui concerne les points frontiere, on utilise les notations du § A. 1.
U
63 DEFINITION R
3.1.
On dira que
si pour tout domaine etale
TI'(V' \. V)
ii)
on a
(TI', V')
points-frontiere
TI(U(r)) et
r
de
V'
TI'"
tion de
TI'
V'
[v
= TI ;
U
V avec tous les \I
TI(r) E R pour
U tels que v
U(r)
de
U(r)
soit homeomorphe
r
dans
tel que
V
soit un ferme denombrable. En notant
a
a
v
TI(U(r))
la restric-
,on a
i)
(TI' , V' )
est un domaine etale sur
ii)
(TI' , V' )
est complet relativement
Pour tout ouvert
iii)
et
R
la reunion de
V au-dessus de
soit ouvert dans
U(r) -, V
V'
U verifiant
V = V'
lesquels il existe un voisinage v
au-dessus de
est contenu dans
Designons par
3.2.
a
est complet relativement
V est une sous-variete ouverte de
i)
LEMME
(TI, V)
complet relativement
a
R
U' cu
(TIl
n u:
U
a
R
1
Il (U')
'
rr1 (UI ) )
est
DEMONSTRATION i)
est evident
ii)
Puisque un ferme denombrable ne disconnecte pas un ou-
vert connexe d' apr-as Le Lemme 1.3., si de
U
,ans d 1 eque 1
tout point
r
de
V'
es t un ouver t ,
(TI", V") TI '\'VI
TI'
V", Vest un point f'r-ont.Ler-e de
existe un voisinage
U sur lequel
TI"
et
V')
r E V'
C
R ,
V pour lequel il
est horneornor-phe et tel que
soit un ferme denombrable. On en dadud t que iii)
=
est un domaine au-dessus
et donc
V"
=
U" V V' •
resulte du fait qu'un point frontiere de la restriction
64 du domaine, qui verifie les conditions du lemme, est un point-frontiere du domaine. LEMME ble
de
R
(II, V)
Si
3.3.
et si
U
1 V, rr- (R)
U' R ,alors
dessus de
est complet relativement au ferme denornbr-e. est localement pseudoconvexe au-
Vest localement pseudoconvexe au-dessus
U
de
DEMONSTRATION pr-ede ce aeeur-
On note W'
R
W
pour un ordinal
W'
O
R = R
,pour un ordinal
sans predecesseur
n
W'
R
V
T - applications, on en deduit que 1.- (8(;))
ii)
2.4.
est un Guvert de Stein, est
cp
V T
dont la restriction
0
Y 0
¢
->
Z
est une application
si
69 DEMONSTRATION z
tel que
Si ,¥-1(U)
z EZ
, i l existe
¢
so it rondo Comme
voisinage ouvert 1
I¢"""
3.5. , ('1'
est ronde, d'apres le Theoreme
1
('1'- (U)) ¢)-1(U)
0
U de ,¥-1(U)
: est rondo
THEOREME 3.8.
Toute variete analytique homogene compacte est ronde.
DEMONSTRATION
DI apr-as
[15 ]
p , 435,
Vest un fibre localement
trivial au-dessus d'une variete projective (et rationnelle) bre connexe parallelisable et
P
P
8
est ronde d'apres
est ronde d'apres le Corollaire
Corollaire
3.6.
COROLLAIRE
3.9.
1.10
8
[19 ]
,de fip. 314
• On conclut alors par le
(¢, G)
Tous les espaces etales
localement pseudo
convexes au-dessus des varietes algebriques compactes, ou des varietes homogenes compactes sont ronds. DEMONSTRATION • le
cas
3.3.
j
On utilise les Theoremes
[19 ] p. 314 3.5.
et
et le Theoreme
3.8.
3.5.
dans
dans le second.
REVETEMENTS RAMIFIES •
DEFINITION
Soient
3.10.
duits de
dimension pure, et
t.i que , On dira que
si
IT
DEFINITION
X et
(X, IT, Y)
IT
Y deux espaces analytiques reX --> Y une application analy-
est un revetement r-ami.f'Le fini de
est une application analytique propre 3.11.
Soit
(X, IT, Y)
a
Y
fibres finies.
un revetement ramifie fini.
On appelle ensemble critique du revetement, le sous-ensemble analytique
A minimal de
Y
(qui existe d'apres
[20 ] C)
dont toute
70 composante irreductible est de codimension
rr1 (A),
(X \ LEMME
Y \ A)
7!l. et
Stein Si
(G, A ,
(125, G)
de
(125
(Go' cp, G)
8)
et
000
cp, G)
a
i)
8)
G
sont 1es enveloppes d'holomorphie
(125, G) au-dessus de 7!l. , alors
cp
s i,
un domaine etale sur une variete de
un revetement non ramifie fini de
(G, A,
et
o
,et tel que
soi t un revetement non ramifie •
Soit
3.12.
;::: 1
G
o
---->
G
est l'application analytique canonique deduite de
cp
qui rend le difr
gramme suivant : A
o
G
o
----'-'----->
G
commutatif,
8)
(G , cp, o
ii)
ment
ou
a
p
(80 ,
cp, G)
,
est un revete-
(G , cp, G) 0
est un revetement
y EG
a
q
feuillets,
q::; p
i) ii)
on a evidemment
boule
A est injective, alors pour tout En particulier si
feuillets,
OEM (J\JSTRATION
A (G ) o 0
est un revetement non ramifie fini.
Si de plus
= Ao(cp-1(y))
G
dans B(y)
centree en
que 1e revetement
on montre tout d'abord que
A (G ) C o 0
;-1 (A(G))
H. KERNER
est un resu1tat de
et prenons • Comme y
,
contenue dans
A (G ) o
A(G)
,
(x) n
= ;-1 (A(G))
on peut choisir une
, assez petite pour
soit trivial.
l'un des feuil1ets de ce revetement et notons
0
Satz 1.
dans l'adherence de
x
E A(G)
'; =
[22 ]
x
se trouve dans
une suite contenue
71
dans ce feuillet qui converge vers
Yn
=
x
et telle que
est une suite de
Soit
tel que
= A(Y)
;
pour laquelle
et notons
B(Y))
'" A(B(y)) C B(y) et
A(G)
x
E A (G ) • Si
n
0
0
qui converge vers B(Y)
Y
une boule centree en
BlY) ,
est un revetement trivial de
A est un homeomorphisme sur
B(y)
Y
En supprimant
au besoin les premiers termes des suites precedentes, on peut supposer qu'il existe Comma
x
n
il existe
E A (G ) o 0 x
tel que
Yn E B(y)
= A(y )
n
est dans la fibre de -1
dans la fibre
n
Yn
. (Yn J
Yn
tel que
et
Yn
et que x
n
vonverge vers
Y
A est injective, A (x ) o n
En prenant au besoin des suites extraites, on peut supposer que tous les
x
se trouvent dans le m@me feuillet du
n
trivial
• Par consequent, cette suite si
x
n
est convergente
est la limite, on a
Ao (x) ce qui prouve que A (G) o
(x)
est egal
0
o
A (G) o
a
lim x
lim A [x )
0
n
n
x
est ferme dans
etant aussi ouvert,
une composante connexe de
remarquant que puisque l'enveloppe d'holomorphie de
• On conclut en (A(G))
est
G ,
est necessairement connexe. Montrons main tenant l'assertion identifie pour simplifier
'" "'-1 x E (y)
q:S;p
a
A(G)
x
• Comme
A est injective, on
• On a
il ast clair que
En effet
tel que
G
ii)
C
;-1(y)
• Reciproquement, si
, il existe d'apres l'egalite precedemment demontree
= A (x) . o
en decoule.
On verifie alors que
x E
x EG
• L'inegalite
o
72
REMIlmUE
H l'hypersurface de
le revgtement de
a
qui ne se prolonge pas
a
T
H)
: Notons
construite dans
On veri fie facilement que le groupe de Poin-
T '\ H n'a q'un generateur, qu'on note
care de
1(T,
T
III.
l'Annexe
IT
q < p
On peut avoir dans le lemme precedent
• Soit
(G , qJ, T'\H) o
T '\ H dont le groupe de Poincare est le sous groupe de
engendree par
deux feuillets de
(Go' qJ, T
T '\ H
, alors que
'H)
est alors un rev8tement
T)
(Go';'
est le rev8tement
trivial. LEMME
Soi t
(Stein)
3.13.
une variete analytique,
Y
(x , IT , Y
ensemble analytique de codimension
, et
rev8tement non ramifie fini de
Alors si
IT designe le prolongement continu de
sur
o
X
une application analytique. On suppose qu'il existe un ouvert posante irreductible de
U de
Y
qui rencontre chaque com-
H et un ferme denombrable
S
de
U
tel que
73
9
se prolonge
aU"
S
• Alors
il existe un ferme denombrable
a
T
de
Y tel que
9
se prolonge
Y \ T
DEMO\ISTRATIDN
1/
Y est un espace de Stein normal
On suppose que
Comme dans ce cas
Z'
de
Y" Z
0' autre part, puisque
Y
tel que
E 0(Y)
f
pour tout
L
qui s'annule sur
,la restriction du
se prolonge en un
1/ f
se prolonge a
L
Z
est un
Y \
(z
U Z')
Zest egal
a
•
l'inter-
Y ,ensemble des zeros d'une
de
Z
11 suffit alors de montrer que
- morphisme
- morphisme sur
On remarque alors que si f
9
est un espace de Stein,
section de toutes les hypersurfaces fonction
2
est de codimension
Y et il suffit de montrer qu'il existe un ferme
ferme denombrable de denombr-ab.Le
Z
[R, 9 ]
a
Y\ H U L
Y \ L
Lest l'ensemble des zeros de la fonction
est une fonction analytique sur
Y\ L
: on en deduit que
Y \ L est un ouvert holomorphiquement convexe, donc est un espace de Stein ; comme de plus de dimension se prolonge
2
Y \ Lest lisse,
• Par hypothese
a l'ouvert
X
[ R, 9
U
Y \ Lest une variete de Stein
est rond et puisque
J\y \
[R,
H U L se prolonge
J!y \
9
a
tout
d'apres le Lemme 2.5.
2/
Y est un espace de Stein guelcongue : Notons
Comme
Y\ H et
(y,
n,
Y)
la normalisation de
Y et
H
= n-
1
(H)
H \ H sont isomorphes, cela permet de definir le
;;: - morphisme [ R, 9 ]
Y\H--->X
H L
Y\
74
[ R, g ]
a
se prolonge
sante
de
te irreductible pothese
de
0
un ouvert
en effet, si
H H
ment voulu de
a'
9
U
rencontre chague compo-
rencontre chaque composan-
il en est de mgme pour
se prolonge a l'ouvert
9
Y gui
de
-
s
U \
9
U\ S n
0
T alors
9
0
de
n
Y tel
que
a
Y\ T . Considerons
: c'est une application
puisque
qui est definie sur
,qui est denombrable, est Enfin, le lieu singulier de
puisque 9
0
n
-1
H
et
9
0
n
-1
que de codimension II reste alors THEOREME
a
coincide avec
3.15.
9
9
0
n
-1
T
est
a
se prolonge analytiquement
Ie lieu singulier ne peut 8tre
, c'est-a-dire un ensemble de points
"2:2
poser
9
est
ne peut contenir aucune com-
contenu dans l'hypersurface S
-1
nest propre.
en effet, le lieu singulier de comme
n
Y \ n(i) , oD
posante de codimension
U \
H.
iJ existe un ferme
se prolonge
9
une application meromorphe, et n(f)
donne le pro longe-
qui rencontre chaque composante de
D'apres la premiere partie de la
-1
• Comme par hy-
T
o
= To U n(r)
Soit
espace analytique reduit
(X, TI, Y) Y
• Alors
un revetement ramifie fini d'un X est rond si et seulement si
Y est rondo DEMONSTRATION
On note
A l' ensemble critique du rev8tement
(x, TI, Y)
AI
La condition est necessaire
11
Soit
f : T -> Y une application analytique qu'il s'agit
de prolonger dans le complementaire d'un
dans
T
• On
75 peut supposer que
n'est pas contenu dans
f(r)
contenu dans l'une des composantes, disons de considerer 1e revgtement ramifie fini,
----;:----:>
T
o
de
, alors
(comme
dimension
o
,
et i l suffit
0
0
f
Y
(G , cp, T \ H'J 0
T
, et si
1 H = f- (A)
et
est un revgtement non ramifie
A peut a priori contenir des Gcmposantes de cO-
H n'est pas necessairement de codimension pure
2
D'apres 1e Lemme
G
A
est
(I j 1 (A ), II, A )
est un revgtement ramifie fini de
= G \ cp-1(H'J T \ H
de
f(T)
g
G
G
,
car sinon
G 1e produit fibre defini par le diagramme cartesien
Notons
(G, cp, T)
A 0
A
1/
3.12. i) , i1 existe une application ana1ytique
----> T \ H te11e que 1e diagramme suivant : G o
cp
1
T\H
r-.../
--->T\H"""T\H
soit commutatif, et de
(8o ,
"-J
cp, T \ H) soit un revetement non r-arni.f'Le fini
T \ H D'autre part, puisque 1es ensembles analytiques de codimension
2
sont des singulari tes inexistantes pour Les fonctions analytiques et d' a p rB f""'-/
l e theoreme 3',p.231l de (4] T \ H
est isomorphe
50it une hypersurface de
rJJ
2/
D'apres 1e Lemme
T
soit
3.13,
a T\ H ,
OU
on peut pro1onger 1e revetement
H est
S
76
T\ H} quel
o
de
0
dans le-
T
; de plus, d'apres les Lemmes 3.13
G' \
G
T)
en un revetement ramifie,
et A. 2.
l'application analytique A
G
--->
G
0 0 0
se prolonge continOment (mais pas necessairement analytiquement puisque G peut ne pas etre un espace normal) en
A'
G
>
G'
>
G'
0
ce qui donne Ie diagramme commutatif ')..
G
..-""'''-------.>
T
et on verifie que Soit
V
A'
0
1 T
est une application ouverte:
un ouvert de
G
. II s'agit de voir que
A'(G)
voisinage de chacun de ses points. C'est clair pour un point si
Z
EV
\
-1 ( H)
,puisqu'en dehors de
me de domaines etales. Soit alors et ou Go
de
nue dans
a
r'
respectivement, au-dessus de W de
choisir un voisinage U
et
r
cp-1(W \ H) V
la base de filtre
r'
U'
1 (H)
A'
= A(r) E A'(V)
z·
T
Puisque
a
avec
G
o
et
est propre, on peut tel que la composante
la base de filtre
la composante de
A(Z)
est un morphis
sont des points frontieres de
h = cp(r) = cp' (r')
qui appartient
. On note
r'
rn-
est un
(W \ H)
,ce qui donne Ie diagramme
r
soit contequi appartient
77
A a
U
W\ H
G'
Vu la topologie de sur
U'
, soit encore, puisque
(z'n )
Pre nons alors une suite
z'n
= Aa [z n )
z
U'
est connexe, que
qui converge dans
E U • Comme
n
z
1
n
E q>- (q>(z')) n
(z )
en prenant au besoin une suite extraite de (z)
converge dans
n
U vers
z
U'
vers
et
q>lu
,
est ferme.
a
z'
,
au
est propre,
on peut supposer que
z'
Posons main tenant
cp,-1 (H)
H' a
alors
n
A (U)
et on a alors
A [z ] a
3/
est surjective
il suffit de montrer que
a
11 existe un ferme denombrable
R a
de
G a
et une application
continue
(8'a \ H'a U R) a
g
analytigue sur
G' \
En effet
: comme
au Lemme
2.5.
Ga
H'a
G'a \
a
H'a
U
R0
U A' (G)
---->
X
et verifiant
X est rond,
giG
G ---> o
o
X se prolonge, grace
au complementaire d'un ferme denombrable en une application analytique g
G'a \ Ra
U H'
0
-----:> X
R a
dans
78 et on peut supposer que De plus de
U H')
:
0
9 (z 0
9
0
A'
= 9
Ao
0
0
V
. Fixons
= 9
de
o
z
z
alors un voisinage
z
de
V
dans
A' (V)
tel que
o
4/
est continue sur
9
Cependant
o
U
V
AI [z ]
(8' -0'
G'
G") 0
n,
on
g(z)
Il
9 (V) c W
pour voir que
o
W
C
z
W de
o
, analytique sur
• Notons alors
• On remarque que
o
Ro U H'0
tEl que
G
U n'etant pas necessairement normal,
analytique sur G'
est continue au point
9
G'0 \
puisque sur
g(V) ce qui signifie que
z
g(z)
)
suffi t de choisir un voisinage et un voisinage
T
posons pour cela
est in dependant du choix de
;(z ) a
) c 'f \
se prolonge continOment en tout point
9
n (Ro
A'(G)
o
9
U \ (H'o U
R0 ).
peut ne pas etre
la normalisation de
est un espace de Stein, en tant que revete-
o
ment ramifie de l'ouvert de Stein
T,
et
est un espace de Stein
normal en tant que normalise d'un espace de Stein. En vue d'utiliser le Lemme
3.14. , remarquons en outre que puisque
en dehors de
H'
R
o
-0
De plus, comme
n
o -1
et done )
n-
1 (U)
1
(R) 0
est un ferme denombrable de
reneontre ehaque eomposante irreduetible de
reneontre ehaque eomposante irreduetible de
• On en dedo i t , d'apres le Lemme
denombrable
R
-0
de
est un isomorphisme
G reneontre ehaque eomposante irreduetible de
U = A'(G) H'
= n-
n
G'
-0
tel que
9
0
n
3.14.
qu'il existe un ferme
5e prolonge
a
tout
79
G' \
-0
R
-0
,en
9
R -------->
G' \
-0
-0
X ce qui donne Ie diagramme
commutatif suivant
G
A'
r G'
n
<
f
y
on peut noter que si
R qui est
est
puisque
RC
plication propre, et qu'on peut supposer que de
T \ H
5/
admet Ie prolongement
f
se prolonge
a
3.12. ii)
0
\
nest une ap-
T puisqu'au-dessus
n
T \ R
En effet : commengons par Lemme
g
0
yET \ H
d'apres Ie
80 on en deduit
no
II
0
9
la fibre
J n-1 ( cp' -1 ( y .)
r\H
sus de
yET \
morphisme. Vu la
cp'
R
II
pour lesquels
contient
0
.Er
T \ H et donc
est constante sur
T \ H puisqu'au des-
definit un revetement non ramifie et
continuite de
toute fibre en dehors de
R
; a fortiori
• Cela signifie que l'en-
9 est constante sur la fibre
semble des points
1
cp'- (y)
est constante sur la fibre
II
.Er
0
II
0
9
n
un iso-
est constante pour
• Cela permet de definir une application
continue ---->
f
qui est analytique sur
T
R
J
T
(H U RJ
Y
est donc analytique sur tout
qui verifie f
B/
La condition est suffisante II suffit de remarquer que
11: X ->
Y est une application
ronde, puisqu'au-dessus de tout voisinage de Stein espace de Stein.
§ 4
Y on a un
Y etant rond, on applique alors Ie Theoreme
3.5.
SURFACES COMPACTES Dans ce
§
on appellera surface, une variete analytique con-
nexe complexe de dimension 4.1.
V dans
2
REDUCTION DU CAS DES ESPACES ANALYTIQUES DE DIMENSION DES SURFACES.
2
AU CAS
81
PROPOSITION
4.1.
Soit
2
sion pure egale a
* (X,
et
n* ,X)
X
un espace analytique reduit de dimen-
; no tons
(x, IT, x)
X
la normalisation de
X • On a equivalence
une desingularisation de
des proprietes suivantes i)
X
est rond
ii)
X est rond
iii)
X* est rond
DEMONSTRATION
Comme les arguments utilises sont les mgmes dans
Ie cas du normalise que dans Ie cas d'une desingularisation, (X' , IT'
,
(X* , IT* , X) a/
si
On note X
Soit IT,-1(S(X))
Ie lieu singulier de
S(X)
est rond, f' : T - - >
X
,
2:
R
dans
IT,-1 (S(X)) R de
X'
qui prolonge
• Puisque
tel que
9
X
= IT'
0
fl
\
X
R)
n'etant pas conte-
est une application meromorphe a valeurs gaT \
R ;
cette application etant analyti-
que en dehors d'un ensemble de points isoles de sultat.
T
----->
etant une application meromorphe et S(X)
est rond et on peut
en 9
nu dans
X
IT,-1(S(X))
1
f' (T) n'est pas contenu dans
T \
que
une application anal yt Lque , Comme
est rond, il existe un ferme denombrable se prolonge a
IT, X)
est rond
X'
est de codimension
supposer que
IT,-1
(X,
designe dans ce qui suit aussi bien
X)
T \
, on a Ie re-
82 b/
si
X'
est rond,
X est rond
Il suffit d'utiliser les memes arguments que precedemment.
4.2.
SURFACES ELLIPTIQUES •
DEFINITION
S
On appelle surface elliptique une surface compacte
4.2.
munie d'une application holomorphe surjective
----->
S
de
S
t:,
sur une courbe algebrique compacte non singuliere
pour tout point
u
E
t:,
,
t:,
telle que
soit une cour-
sauf un nombre fini
be elliptique, c' est-a-dire un tore de dimension LEMME
Soit
4.3.
II: V ---> rune submersion d I une surface sur une
courbe lisse, telle que pour tout elliptique. Alors
sur
e
le faisceau localement libre de rang
V des champs de vecteurs tangents aux fibres de
. . de trlctlon
""H a' ""
,.,....1 (z)
[2B ]
p , 40,
tre en
z
o
o
ez
la res-
que le faisceau image directe II* e
est un faisceau localement libre de rang z
, et
z E r
on en dedui t d' apr-as
Soit alors
II
• Comme une courbe elliptique est parallelisable
II
ble, on a pour tout
soit une courbe
Vest une variete ronde.
Notons
DEMONSTRATION
rr-1 (z )
z Er
E r
sur lequel
sur
r
quelconque : il existe un disque ouvert
D
0
cen-
, ce qui prouve
83 l'existence d'un charm de vecteurs
e E n* 8(0
8 (I j 1 (0 ))
)
o
ne
qu i
If"1 (0 )
s'annule en aucun point de
o
oo
O'autre part, en restreignant au besoin n
0
a
admet une section analytique
au-dessus de
, on peut sup poser que 0
; considerons alors
o
l'application analytique
Pour
z
duit que 0
0
fixe, (0
0
cp
signifie que
>
(z, w)
------------:>
If"1 (0 ) o
exp(we)(a(z)) 1 n- (z), on en de-
rr- 1 (0
111 (0 0 )
0
))
rr 1 (0 0 )
est un revetement de
aussi d'apres la Proposition
1.5.
nest une application ronde. On en deduit que
d'apres Ie Theoreme THECFlEME
-
definit Ie revEltement universel de
xC, cp,
x C est rond,
oo x C
Comme ; cela
Vest
ronde
3.5. Toute surface elliptique est ronde.
4.4.
DEMONSTRATION
1/
Soit
(V, '1', t»
a
••• , an E t,
une surface elliptique. II existe un nombre fini m
de points
1,
u E t, -
V \
{ a. l
}
C
u
'j!-1 (u)
=
T
ap
telle que
'1'
soit
l
au voisinage d' un point T
et on considere Ie diviseur o 'J!
'1'-1 (a. 'J)
sont alors des courbes ellipti-
a
(a p
p
oJ
tion analytique dans un voisinage de la fibre
ap
1
, puisque toutes diffeomorphss.
Prenons une carte locale
T
u
( i
une submersion. Les fibres ques pour
tels que sur
C ap
=
0
'j!
T
-1
(a
associe
°
p
a
J
a
o 'J! est une foncP qui s'annule sur
la fonction
on appelle ce diviseur la fibre singuliere au-deSSI.IS de
a
p
84
on a
c
C
a
ou
n
m p
le
est un
Ps
ple si
p
8
entier positif et
p.g.c.d.
des entiers
n
m p
multiple si
m > p
J
[24
Dans
Thm.
6.3.
montre qu'on peut construire
(g,
IT, V)
de
V
tel que
Ps 8p
une courbe irreductible. Soit
s
est une fibre sim-
On dit que
Ps
KODAIRA
(dont on reprend les notations)
partir de
V un rev§tement ramifie fini
V soit une surface elliptique sans fibre sin-
guliere multiple. 0 I apr-as le Theor-erne
3.15.
on est donc r-amcne au cas
ou les fibres singulieres sont simples.
2/
Si
(V, '1', 6)
multiple, alors
est une surface elliptigue sans fibre singuliere
Vest ronde
Une courbe etant ronde, on va montrer, en vue d'utiliser le Theoreme 3.5.
que
'I'
il s'agit de trouver
est une application analytique ronde
pour tout
z E 6
r-end; 5i
z E 6 \
un voisinage ouvert [ a. l
U
c'est le Lemme
de
z
4.3.
tel que
'l'-1(u)
soit
qui nous fournit ce voi-
sinage. 0' autre part, d I apr-as
[24
alliptique algebrique projective centre en 81E. l
a. l
-1( . = ep Ei)
J
Thrn , 10.1.
(8, ep, 6)
, i l existe une surface
telle que pour un disque
E.l
, assez petit, il existe une application biholomorphe entre au-dessus de
E. l
85
or
B\E
est un ouvert dans la surface projective i tion plurisousharmonique . On en deduit que
defini par la fonc-
B
est un ouvert 10c'est donc un ou-
calement pseudoconvexe de la variete projective vert rond d'apres Ie Corollaire
3.9. , ce qui acheve la demonstration.
REMAR;JUE
On peut eviter d'utiliser Ie Theoreme
quant que dans
[24 ]
d'une courbe
3.15.
en remar-
Vest une surface elliptique au-dessus
Thm. 6.3.
qui est un revetement ramifie de
6
,et qu'on a un dia-
gramme commutatif TI
v
------>
6
w
est rond, en utilisant Ie fait que
on montre directement que
(Ir1 (\Zf1 (E.)), TI, ¢""1 (E.)) l
l
est un revetement non r-arni.f'Le , la commutativi-
te du diagramme et Ie resultat dans Ie cas des fibres simples.
4.3.
AUTRE TYPE DE SURFACES.
DEFINITION
4.5.
On appelle surface
pour laquelle l'irregularite bre canonique Soit t
X
• D'apres
K
= T*
1(X,
q = dim H
une surface compacte est nulle et Ie fi-
0)
X A T* X est trivial.
un tore de dimension [ 16 ]
K3
2
dans lequel on identifie
on obtient un espace normal
a 16 singularites qui proviennent
des points de
X
W
formee par les periodes, ont des coordonn8es egales
a
t
et
, qui de plus
o
,qui dans la base 0
ou
1/2. On
86 peut montrer qu'en faisant eclater ces singularites, on obtient une surface
K3 Une telle surface
S
est ronde
en effet, l'application canoni-
que
x
-----...,>
definit un revetement ramifie Theoreme
3.15.,
et
S
X
o
X etant rond,
X o
aussi d'apres le
est rond d'apres la Proposition
4.1.
Comme les eclatements " conservent " les fonctions rner-omorp he s si X face
est un tore sans fonction meromorphe, K3
qui d'apres
[23 ]
algebrique, ni elliptique.
Thm 3.1.
S et
fournit l'exemple d'une sur Thm. 4.1. ,
n'est ni
87 ANNEXE
(¢, G)
I
designs dorenavant un domains etale sur uns variete analy-
m
tiqus complsxs
FRCJ'JTIERE 0 'UN Oa"AINE ETALE
A. I.
On commsncs par rappslsr la notion ds point frontiers. On psut la definir dans un cadrs plus general qus cslui utilise ici, cslui dss domainss ds Rismann
(voir
DEFINITION A. I .
filtrs
r
[3 ] )
On appslls point-frontiers de
composes d'ouvsrts connsxss ds
i)
r
ii)
ns s'accumuls pas dans
¢(r)
iii)
G
(¢, G)
,qui verifis :
G
convsrgs vsrs un point
x
Em
Pour tout voisinags ouvsrt connsxs
U(x)
ds
contisnt uns st uns ssuls composants connsxs ds elemsnt ds On nots
r
uns bass ds
x
r st tout
sst ds cstts forms.
oG l'snssmbls dss points frontiers st on poss
G U oG
G v
¢(y)
¢(y)
si
E G,
¢(r)
x E
m
si
x E oG st
x
sst la
limits ds On mst sur
Guns topologis separes qui fait de
continue
si
si
r
o
o
V Er
o
o
uns application
E G ,on prsnd pour voisinagss csux ds
G ,st
on prsnd comms bass ds voisinagss lss snssmblss
E oG
U(r ) ou
x
¢
v
U { r E
eo I
3 V' E r, V' C U }
88
Soit
LEMME A.2.
(° G ) 1, 1
deux domaines Alors
(02' G2 )
v
v
G 1
G ---> 1
DEMQ\lSTRATIQ\l
v
u
qui verifie
°2
D
x = 01 (r
de
r
qui contient
A(U
U 1
' notons
U 2
iii)
U 2
ainsi obtenus forment une
, qui verifie les conditions
de 1a definition des points - frontiere. Si v
on pose Si
la composante connexe de
, les ouverts
1)
base de filtre d'ouverts connexes et
Vest un voisinage ouvert con-
contient une et une seule composante connexe
1
, qu'on note
v
Si
D
1)
en une application continue
°1
-
u
r
1
A(r
1)
Par construction
02
v 0
r
2
ii)
converge vers
=y G 2
ne converge pas dans v
'!l7.
u
A
0
au-dessus d'une \.cil'iere
G 2
dans
v
A
un morphisme de domaines entre
et
A se prolonge de v
nexe de
-> G 2
A: G 1
V
A =
°1
,
alors
r
2
E
et il est clair que
oG v
2
et
v
A(r ) = r 2 1
A est continue.
A. 2. T-CONVEXITE
{(z,
.&"1+1
On note
w)
I Iz.\ l
Iwi = 1 \ Iz.1 $1, i
{ (z, w) E { [z , w)
au
l
G
90
.-
LEMME A .5.
(¢, G)
Soit
un domaine etale au-dessus d'une variete
de Stein. On a equivalence des deux conditions suivantes : i)
(¢, G)
est
pseudoconvexe (en l'un des sens equivalents de
(¢, G)
est
T-convexe.
[ 2 ] ). ii)
seulement
si
(¢, G)
(¢, G)
Si
(¢,
On va verifier que
DEMONSTRATION
est
n'est pas
1 - T
8t notons
t
o
est
T-convexe
si et
P7-convexe • T-convexe, i l existe une
aT.
qui ne se prolonge pas biholomGrphiquement
e
0
tel que
\w\ < 1+e.
[z .\ < l
prouve que
cp
1+e.,
i
1, ••• , n,
1-e.
ne se prolonge pas
,les pr-opr-Le t.es
T e. = [ (z,
ne soit pas
tel que
U(r)
et
¢(oG
u
(voir r
§ A.1.)
oG
s'il existe un voisinage
soit homeomorphe
n U(r))
On dit que
u
est
U(r) v
¢(U(r)) , ¢(U(r))
soit une hypersurface de
92 ANNEXE
Notons
C2 _ [ 0 }
W
Ie groupe engendre par
n
W
9
WIG
W -----.;>
l'application canonique d8 ment de la surface de
z = n(O, 1)
defini par
------>
(z1' z) G
9
------>
W
9
II
WIG)
au quotient, et
Hopf
WIG
11.1.6.)
(voir Definition
l'eclate-
au point
Alors -1
a
n
W ----->
5
est une application meromorphe qui ne peut pas se prolonger meromorphique ment en
rr" (z)
[ O}
n
= [ (0, 2 )
codimension
2
-1
,puisque Ie lieu singulier de
2
\ n E
I}
\
([
f
qui contient
designe la restriction de
(£ 0 } U [ (0, 2
maine de l'application analytique (2 \
n
doit etre un sousensemble analytique de
. On en deduit que si
c2
a
f
n
)
I
n E
,audessus de (2
0 } U [ (0, 2 n )
I
n E I
l)
I})
,Ie do
est Egal
a
93
ANNEXE
III
Voici 1a construction d'une hypersurface de pas se pro1onger
a
2
T
T1
1
2'2
qui ne peut
T
NotlJns
u
[zl Izi
x [wi Iwl
41(c 0,
j =1 il existe C = C( t.) » 0 tel gue
If (r 1e pour tout r
EIR:
-irp
-iCf>
I , . . . , rem) \ m
et pour tout . ) ) r J
.)
J
99 DEFINITION 2.3.
Demonstration.
0
es t di t a , I. Soit
u (Eu , .. ,E u
1.1
u
a
v'
u'
E)::: J}
w ku aO k
E pour la topologie k des semi-normes
E
e ... e
sup
o
Ie complete de
et
;
Ek
E u}
est la reunion
a
la famille filtrante croissante des espaces de Banach (E') u
k
a
E,k de
a
0 E' • Et k u
de cet espace est Ie polaire de la semi-boule de
la boule unite oil
. et
E'
polaire de la semi-boule {E (E
Alors Ie dual de l'espace nucleaire complet
Ek a
@
G'
G'
u
definie par les restrictions (1.6)
Le
et G r e sp .
E @ G est la reunion E'
de la famille filtrante croissante des espaces de Banach pour tout couple (u,v)
E
:::
Ea ku
I.
Principe de la demonstration. a/
Posant
T
E @ G, E u• v
E(E
T = T/(E -I (0)) s'identifie u,v u,v s'identifie
a
u'
a
E on note d'abord que l'e.v.n. v)' E @ F . Alors La dual u E v
la reunion des espaces normes
(E @ F )' u
E
v
T' de
= (E'u
@ E
E@ G
F')'. J'utilise v
alors un resultat de Schatten- Dixmier-Grothendieck montrant que ce dual est Lsome t r Lque
a ""
- ""
@
=
@
Par consequent Ie polaire de la semi-boule
est la boule unite de cet espace de Banach.
140
bl
k -I
T = 0 E, puis T = 0 E I (w ) (0), u u k k,E cet espace norme s'identifie a l'espace norme o E . Comme Test la limite k,E u projective de ces espaces normes, son dual est la reunion des (0 E)' = 0 E' k,E u k u ceci se demontre d'abord dans Ie cas o = X en etendant Ie theoreme de Dixmier Le principe est Ie meme
posant
a = S ou A s'en deduit
Schatten Grothendieck ; Ie resultat correspondant pour alors facilement en utilisant Ie projecteur Sym
0
de
O-symetrisation des ten-
seurs. (1.7)
Corollaire. Soient
et G deux espaces nucleaires complets dont les topologies sont
E
definies par des familIes filtrantes croissantes (E normes prehilbertiennes. Alors pour tout la reunion des espaces de Banach boule ou la semi-norme
a
rieure
EO
k
(0 E') k u
(t)=E,Sup
u ,»
k
.E u
et (E de semiv)
u)
0, Ie dual de
G' ; Ie polaire de la semiv
j[estinfe-
t,
l)Ev k un, etant la boule unite 0 de ( 0 E') @ G' u,v k u v
En effet, il suffit d'appliquer (I.S-a) en nucleaire complet (1.8)
est
E
par l'espace
defini en (I.S-b)
Definitions. Soit
W = x A E,
endualite. Pour
la forme symplectique sur
m.
(x., E,.)E E
J
J
J
X
E',
E x E', E et E' etant deux e.v.
1 et 2, on a done
I
w(ml , m2 ) = I«x l ' On note
f
fV l'involution sur @ E k
consistant
a
retourner les ten-
seurs (1.9)
Cette involution laisse invariant Ie sous-e space une involution dans x
qp
E. Dans Le cas oil
E
f
t
k
E
de @ E k
et indui t
est muni d 'une conj uga i son
la composee de la conjugaison naturelle de
est une conjugaison notee
®
@ E k
avec l'involution v
141
Je mets
@
k
E et
@
k'
E' en dua l i.t e en "retournant" la duali te usuelle k,us
(1.10)
D'oll une dua l i t e
induite
entre 0 E et 0 E' k
(1.11)
Ainsi
n. Alors
P F
des poids
Wn(j)
£ # 0, est
si
j
n
o
IT'S£S ' FS(S) est l'espace des series for
S; tandis que
o
FS(S') est l'espace des polynomes
S'.
la famille des poids
wn(j)
=
exp( j2 / n) , n = 1 •••• Alors
P E
o verifie (C 1) et (C2). Les espaces correspondants Fa (S) et FO(S') sont des es-
a
paces de formes verifiant certaines conditions de croissance.
dl
Dans Ie cas oil
P = PH et
espaces que l'on peut noter holomorphes.
a = A, on obtient pour
HA(S) et
F1-
E;k avec 1=E;0 E OC
et E;k = E;kl 0 ... 0 Skk EO E'
k >-- I. ->-
(3.6)
I
s =
t
E
I' L
?:-
eS =
On pose
k!
-I
->-
Sk = exp E;
->-
On note que toute forme 'P E F (E') est connue si l'on connait pour tout S
a
->-
tels que exp E;E Fa(E) Ie nombre ->-
(3.7)
'P (E;)
D'ailleurs
(3.8)
->-
'P (E;)
=
I
'P(E;) avec
E;kl = '"
= E;kk
exp E; E FS(E) pour tout E;
->- «{J,
exp E;>
sur
E'
I
k=o
k! < 'P
Dans Ie cas symetrique, -s-
-
'P
11
-
k ' k!>k -
«{J,
->-
exp s>
est determine par la connaissance des nombres
pour tout
E; E E,
et
............. U = T. U
T
En general, on simplifiera l'ecriture en supprimant
n
l
et n
2
dans (4.21)
et (4.22). c/
On deduit de a) et b) la definition du produit de convolution de deux
corormes
T et U sur
E : c'est l'image de
T
U par l'application somme.
De plus (4.23)
U0 T
d/
Pour toute forme
par
g
g
F(j(E) l' operation
E
est defini en transposant 1 'operation de produit 11 droite par
Vf E Fo(E) ;
Or vu (3.17), l'operateur l' oper ateur
'"
-+
g (D) '"
f
dans
g T
i
De meme
Tg
Soit
fixe dans
'"
dans
=
-+
=
dans
Fo(E) est Ie transpose de
Fo (E'). Done
--
(4.25)
e/
T ..... g T de produi t 11 gauche
= g(D)
-
T
Dans Ie cas commutatif
g(D).
g T
=T
g.
F (E') l'operateur "'(D) de derivation
o
a gauche
est defini comme transpose de l'operateur. "'(- D) de derivation
11 gauche dans
Fo(E)
(4.26)
tel que
fonction plurisousharmonique si
f. 0;
des
montrer e l ,
pas Gs-strictement p o La i r e ,
+ s
Soit B
La
pour c' s
dans
s
frontiere
reste alors i
il
les-
lequel
couple '{GA, y'EB.
existe un G
n'est
fl(x,z)
dans
s
bl de
de la proposition
de f i n i
c
la
qu' on fera en prouvant que al -
Soit
gauche.
il
co> 0
existe un G
il
pour tout
a
montrons que B est
tout G
strictement polaire dans
C(x),"(] est
pour
il
suffit de
IZol
(xo,zo)
Izi
s'
Ie
a
On
dans
I
Ie produit
W
dans
lequel on a
M(x,r)
+ s,
la valeur f] (x z ) j
pr oc ed an t
comme dans
Izl" 1 + s
- Q'log
ce qui
[2, c 1
,
fIe P [G s X C z
a
au sup [c (x)
c I (x )
II r e s u l t e
de
l'hypothese faite
ensemble A tel que AnGs n'est d I apr e s
la proposition
J,
f
l
J
(x,z) eW
. D'autre part,
on pose
c I (x)
On
on a d o n c pour
- l(,
M] (x,r)
sup fJ(x,z).
jzll.r
0 ]
suroque l'on a
sur un
pas Gs-strictement p o l a i r e . Alors
(x,z)
ne d e p e n d pas de z pour x eG
s
et
179
l'on a cl(x) ment
c(x)
= 0 pour tout XE.G
Co dans G
d I Ln t e r i eu r
strictement polaire. G,
c e qui
etablit
bl - Soit c
o
Soit t > s,
s'
non vide;
d' oil c (x )
s t
entier
l'ensemble A()G Ainsi on a
alors pour
contient G
dans G
l'enonce pour 0 (Co
+co:
et
qui
t
'( pour XeS Gs' et finale-
r
tout
tement polaire dans tout G d'apres
n'est pas G
s
t-
et par suite dans tout
t
(+r
et le contrale est done ameliore
r
o
mais
grand.
bl Si on suppose seulement que E est un espace de Baire, mais avec la precision que f(x,z) nue,
alors le result at
(24)
est plurisousharmonique conti-
demeure, avec - L(x)
=
gA'lf(x)
perieure regularisee des fonctions plurisousharmoniques G'
et majorees par -I
enveloppe sucontinues dans
sur A.
: d'apres (7) et (23) si s = sup M(x,I), ou a pour
Montrons al
xeG'
(25)
Po sons r
-
r'
=
D'apres
(25),
de
i nd i q u e e s ,
"(x)
on a
'If
log
,gA (x ) • log b(A,m). S(A,m)
log r
, ce qui equivaut
jIt
des qu'on a
log r, d'oil (24) r> r
o'
oil r
o
ce qui determine r
o
M(A,r') > s
sup M(x,l) xeG'
par l'equation sup M(x,I). xeG'
M(x,r)
=
m
=
M(A,r').
avec les p r o p r Le t e s
est c a l cu l e de m a n i e r e que
l'on ait
m
a
190 La version bl de l'enonce qui concerne les fonctions harmoniques continues
a
s'etablit de me me Remarque.
f
plurisous-
(donc les applications aux fonctions holomorphes)
partir de la version bl du theoreme 5.
Le theoreme general
6 applique au cas des croissances
lentes donne seulement le resultat moins precis que c(x)
= lim (log r)-IM(x,r) r= co
a une regularisee superieure c·(x)
harmonique quand E est espace de Frechet et qu'on a
plurisous-
sur un en-
semble A non strictement polaire dans un domaine G'e G ou M(x,l) majore.
Le result at plus precis
est
= constante est obtenu par un pro-
cede de decomposition special aux croissances minimales.
7. - Cas de l'ordre fini. Les resultats precedents permettent d'etendre la methode utilisee en dimension finie (26)
a un domaine
si x appartient (27)
-
log+ M(x,r)
lim sup r = co
e(x)
G
s
log r ou lIon a
c: G
(cf.
3a).
On aura
lim sup log m ,m>s, m=ro log , (x, m) M(x,l) c e .
11 en resulte
I
("(x)
B etant reduit au point x, on a
1
o il ('(A) &'(A,m)
lim sup
e(x)
[-
log log
est d e f i n i, comme en (26), mais . D'ou
S (x ,m) b (A ,m)
a
log SeA ,m) log m
partir de M(A,r)
J
.,.
gA (x)
"e(A)
et de
[-g:(X)]-1
On enoncera THEOREME 7.
-
Soit f(x,z)
plurisousharmonigue dans G XC
est un domaine d'un espace vectoriel topologique complexe E,
f(x)
l'ordre de f
1°1 -
sur la fibre F
x
n,
ou G
et soit
.
-+ [__ J.
est une lim sup de fonctions plurisousharmonigues
negatives sur tout domaine G' c G ou M(x, I) est soit la constante
-r
eo s o i
t;
est maj ore;
-
(x)
1_
e(x)
une fonction plurisousharmonigue.
2°1 Si E est un espace de Frechet, ou si E est un espace de Baire et f
continue,
alors
si A cG'c G n'est pas strictement polaire
191
dans G' -
et si
_I-
e (x)
est majore sur A,
e (x)
est fini en tout point et
est une fonction plurisousharmonigue strictement negative
e•(x)
dans G.
Si f(x)
est nul dans ces conditions sur A, en un point
f(x)
(0::>
X
e (x) 'l'
o .. G, alors
;
e(x) est nul dans G.
+oodans G .et l'ensem-
est polaire strictement sur tout G' e.G ou M(x,l) est majore.
8. - Application aux fonctions holomorphes. On designe par F(x,z) une fonction holomorphe G XC n __
(I;,
o il
G est un domaine d'un
(28)
et Cl
))(x,r)
(29)
dlog r N(x,r)
; [12n-2 r 2n- 2 ]
ouer(x,r) est l'aire de l'ensemble Z(x) ; UzlI/[J(t)
L
df(O).
f. @ e. i
Alors J
et
; L . e.
ill> e.
t],1
pour tc=L,
(C2)
entraine
(Cl)
est une tentative
liorer Ie theoreme precedent.
ou
ce qui prouve
(C 2) •
La conjecture que
i.
202 BIB L lOG RAP HIE
[1]
ARON (R.M.)
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&
-
Polynomial approximation of diffe-
rentiable functions on Banach spaces,
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Seminaire P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 17e annee, 1976/77.
15 Fevrier 1977
SUR LA MESURE GAUSSIENNE DES ENSEMBLES POLAIRES EN DIMENSION INFINIE par Philippe NOVERRAZ Les resultats qui suivent ont ete obtenus en collaboration avec S.DINEEN. Deux raisons nous ont amene
a
a
nous interesser
la me sure
gaussienne des ensembles polaires. La premiere est en relation avec la
a
completion holomorphe
un espace norme
(E f
ce n o r me non complet
E)
i L existe un s o u s e s p a c e note EtJ ' r
qui est le sous-espace maximal se prolonge -fP muni
a
a
E& . Dans
une n o r me
(5),
-t q
tel que toute fonction holomorphe sur E
+ro (avec Co pour p
holomorphe de E contient
n
=
Ee-
E cEe-cE,
HIRSCHOWITZ a montre que si E est l'espace
1, p
de savoir si dans ce cas
rappelons que si E est un espa-
Comme
= E
=
co)
le complete
fq et le p r o b l e me se posait
q >p
l'on sait
(9)
que E{)' f
E si et
seulement si E est polaire dans E et qu'il n'est pas difficile de montrer que pour p < q =
I,
il existe une mesure gaussienne
on en deduirait dans
ensembles polaires
p
sur
telle que
l'exemple considere que E{)' = E si les
etaient de mesure nulle pour toute mesure gaussienne.
Malheureusement le theoreme 2 montre que ce n'est pas toujours le cas.
11
y avait aussi un probleme ouvert, a savoir si dans un espace de Banach E
F(J
il existait des sous-espaces F denses tels que
=
E ; nous montrons
(proposition 7) que c'est bien le cas. La deuxieme raison qui nous a conduit aux mesures gaussiennes des ensembles pol aires est un travail de P.LELONG (7)
et
(8)
sur la polarite
de l'ensemble des fonctions holomorphes qui se prolongent hors d'un ouvert pseudo-convexe de
Le resultat que nous donnons est
a
rapprocher
d'un resultat de Steinhaus sur le prolongement hors du disque unite des fonctions de la forme
fcp(z): L:::e
iepn
n Z
ou
(Cfn)
est une suite de
204
aleatoires
independantes equireparties sur
[O,ZIT].
Dans ce qui suit nous utiliserons 1 I identification (voir
(I), (4)
et
(6)
lui existe entre mesure de Radon gaussienne et espace de Wiener abstrait i, H)
est un espace de Hilbert plonge de maniere continue dans j1 H, espace determine a partir de l'operateur dc covariance S de r (plus j1 precisement H o (H
r
,
ou H
Rappelons les proprietes suivantes qui montrent que la situation est
a laquelle on est habitue
en dimension infinie tres differente de celie en dimension finie:
Soit B un espace de Banach separable et soit
PI
dans B,
il existe une mesure guassienne
(meme si Test une
a
de T
P
n)
une suite dense
telle que
(x )cH. n
si Test une injection
Si B est un espace de Banach separable lineaire de B et si
(x
alors j1 n'est pas en general stable par T translation).
La stabilite est assuree si la restrictio
H est un operateur unitaire.
3
Soit
sons
une mesure gaussienne sur E,
=j1(x + A)
soit equivalentes
pour tout borelien de E.
soit orthogonales,
lement si x appartient sur E il vient
jf(Y)j1(d Y)
pour tout x de E po-
Les mesures p et Px sont
elles sont equivalentes si et seu-
a H. si f e s t une fonction continue et bornee Z
_ \x\H -Zf(x + y)e
(X,
Y>H
p(dy)
B
si et seulement si x appartient Dans un expose precedent
(9)
a H. nous avions
prouve une i.riega l.Lt e de la moyenne
pour les fonctions plurisousharmoniques et les mesures gaussiennes
a
savoir LEMME
I.
-
si U est un ouvert d'un e.l.c.
norme continue P, Vx de U et tout r '»
° tel
complexe E, pour
toute semi-
que B (O,r) c. U et v plurisousp
205 harmonique dans U bornee superieurement sur la boule B (o ; v ) p
v ( x) {, P [B P 0 , r
)J
J
alors
v ( x + y) P( d y )
p (y)
pour toute mesure gaussienne p sur E. DEFINITION.
-
Un ensemble A est dit polaire complet dans E s'il existe
une fonction plurisousharmonique v dans E telle que A
=
{x
0
en-
traine que A contient Ie sous-espace auto-reproduisant H .
11
COROLLAIRE.
- Dans un espace de Banach au de Frechet, une reunion de-
nombrable d'ensembles polaires est d'interieur vide. En particulier un ensemble polaire complet non dense est de mesure nulle pour toute me sure gaussienne. v definie sur
L'exemple de la fonction plurisousharmonique
par vex)
log
Jxnl montre qu'un ensemble polaire
n
complet peut
effectivement contenir un sous-espace dense.
Le theoreme suivant a ete montre par DINEEN (2). I
,
THEOREME I. -
Dans un espace de Banach au de Frechet un ensemble po-
laire complet est de mesure soit 0 soit
pour toute mesure gaussienne.
Donnons la demonstration dans Ie cas plus simple des espaces de Hilbert separables Demonstration.
Comme
tout translate d'un ensemble polaire est polaire
on peut supposer que la me sure pest centree. D'apres SKOROHOD
20,
il existe une base orthonormee
(I I) ,p.18-
(en) de H (qui est formee de vecteurs
propres de l'operateur nucleaire de covariance S
de p) et une famille fl u = 11 1 g a u s s i e n n e s centrees scalaires telles que rn r/lR.e
n co
et
p
=
n=1 Designons par H
n
Ie sous-espace engendre par e
l
, . . . ,e
n
n par H Ie sous-
n
206
espaee
(non ferme)
engendre par e ",n
,oJ
pour tout n , I' = P GOp n
n+ 1,
... , et po sons '"
n ®
Pi
est mesurable d'ou,
si
I'
et la mesure
= n
i= I
= UHn.
11 vient,
a
est equivalente
la
me sure de Lebesgue. L'ensemble A etant un
designe sa fonetion
earaeteristique
fXA
peA)
(x)p(dx)
Pour tout Y de H,
la fonetion v v
polaire A' A'
n Fest
{n [fHn XA(X,Y)Pn(dX)] j1n(dy).
y
(x )
=
y
(x)
-ro}.
= vex + y)
Comme dans II:
est d e f i n i e sur H
n
n
, n fini,
et
un ensemble
est tel que pour tout sous-espaee veetoriel reel F,
l'ensemble
soit F tout entier soit de mesure de Lebesgues nulle on en
deduit que pour tout y seules les deux alternatives suivantes peuvent se presenter (a)
v
-
y
-
00
et
L
P
XA (x , y ) n ( d x )
n
rJ
(b)
fH n
Pour tout entier n, A
0
XA(x,y)Pn(dx) l'ensemble
{x
n
+ y
v
y
est un ensemble borelien eontenu dans A tel que
L n
11 s'ensuit que Posons B =
nAn'
L
,v
A(x,y)Pn(dx)
n
plus la sui te alors
BcA
B satisfait,
lorsqu'il n'est pas vide,
Si x appartient x appartient
a
a
W
a
de H en partieulier f(w+y+x) m
que x + y appartient
a
a
a
-a:>
i.e.
= -co pour tout
Am pour tout m et done
a
B.
W
B done fy(w)
a
peA))
est egal soit
a
0 soit
a
B + HCD =B.
I.
a
Am' pour -0:)
pour
de H ee qui prouve m
La relation B +
est bien verifiee et la proposition suivante prouve que pCB) egal
1 I ensemble
B, il existe un entier n tel que
H -,>R est identique m
y
est deeroissante.
la relation suivante
H pour tout m >n. Comme y appartient m
tout m la fonetion f tout
a
Heo et y appartient
n
P (A) . Montrons que
et pCB)
n
(A )
(qui est
B
207 PROPOSITION 2. le sous-espace S , alors
-
Soit
(non ferme)
r
une mesure gaussienne centree et soit
engendre par les vecteurs prop res
tout ensemble borelien B tel gue B +
P
soit 0 soit
=
B
(en)
de
est de p-mesure
1.
Demonstration. La condition B + Hoo = B entraine que pour tout n, n
B c'est-a-dire que B est de la forme H X Bn ou B
B + H
n
est un sous-
n
n. ensemble de H Pour tout ensemble cylindrique C de H, dans H m,
il vient p(C)
m
(C
m
).
m done de la forme C X H avec C m m
Choisissons n
on a
B(\C
=
m alors B
C XHnXB m m
n,
=
H
n
n
ou H
m
XB n d l o u designe
le sous-espace e n g e n d r e par e + . . ,en' c e qui entraine que m 1, N ,,)n n r (B C) = r m ( Cm) . p (B ), c' est - a - d ire r ( B = p ( B) . P( C )
n
nc )
L'ensemble B est done independant de tout ensemble cylindrique de H base sur H oo'
il est done i.n d e p e n d a n t
de tout ensemble appartenant a la
tribu engendree par ces ensembles cylindriques,
tribu qui n'est autre
que la tribu borelienne. L'ensemble B est done independant de lui-meme, r(B ('l B)
=
p(B) .r(B)
ce qui entraine que p(B)
c'est-a-dire est egal a 0 soit a
1.
Nous allons donner une condition necessaire et suffisante pour qu'un ensemble polaire complet soit de mesure positive. DEFINITION. Un ensemble A est dit gaussien nul s'il existe une mesure gaussienne
p telle que p(x
THfoREME 2.
-
+ A)
o pour tout x.
Si E est un espace de Banach ou de Frechet,
un ensemble
polaire complet est un ensemble gaussien nul pour toute mesure gaussienne centree s'il ne contient pas un sous-espace de dimension infinie. La demonstration est basee sur les deux propositions qui suivent. La encore,
nous nous placerons dans le cas Hilbert separable pour rendre la
demonstration plus simple.
208 PROPOSITION 3. - Soit A un
qui contient un sous-espace dense H d 'un
G
S
espace de Hilbert separable E. ( An)
, An
(en)
de E et une suite
si B} designe la boule unite de E,
telles que
"? 0,
II existe une base
l'ensemble
Demonstration. Comme H est un sous-espace dense on peut toujours trouver une base
(en) de E dont les elements sont dans H.
le unite de E et soit B} (n) gendr e
l'intersection de B}
tion d'une famille denombrable on peut trouver une suite
n
I
la bou-
avec l e sous-espace en-
par les n premirs vecteurs de base (e}, ... ,en)'
est pour tout n un compact de E.
Soit B
L'ensemble
B}
(n)
Par definition A est egal a l'intersec-
(Am)
Pour tout entier m,
d'ouverts de E. sm >0 tels que
n=1
n
+
d'oil
A::>
n U (B I (n) m
n
L
On peut toujours supposer que
n,m
Si l'on pose
>-.
= -}- inf(S} 2n I
n
y
co
L n=m Si
n=m
x =\. L-x n e n
.
il vient, en posant x
m
(S:) 2 < I
, ... , en) il vient n 00
L n=m
S:) 2
}
a- B } et est te 1 que
m-\
2:: n=\
=
+ Sm B} } n
db':)2
Ix n I
An
pour tout n,
x e
J\. n
Llxnl\L n=m n=m 00
Ilx-xmf = Comme x
m
appartient a
B}
(m),
4 (S:)2.
on a x
=
c'est-a-dire que x appartient a Afl pour tout m done a
A
n
Am c e qui
m
termine la demonstration. PROPOSITION 4.
-
Soient (en) une base de E et soit
f
une mesure gaus
sienne centree non degeneree dont l'operateur mine par 1 a suite (o(n) les x n re s
n
tell e 9 u e
-s.> 0
'=.!.
L
sont des composantes de x dans la base formee des vecteurs pro-
(e ) de S ) n
--
J.l
209
pCB)
Considerons l'ensemble B ;
{x
i 0 si et seulement si L.-
T
Demonstration.
; LX n e n n
exp
Vn ,
alors
C
pCB)
IT ---:::==-
dt
e
2 -t / 2 edt.
Le produit est convereent si et seulement si la serie
s-2::1- [ Or
2
S
vzrr
L
A n IY;;Zn
fx
V2IT [ - A 2
oo
-t
2
/2
dt
lJ converge
n
12 dt .
-t
n
n
IV;;
e
n
L'inegalite suivante, bien connue,
1) -y 2 12 .!.. C 1 - Y e Y
donne Ie resultat. Demonstration du theoreme 2. que A contient Ie sous-espace H
fl
Si pCA):> 0,
y
e
- t 2 12
1 -y 2 12
d
la proposition 1 entraine
qui est dense dans E. Reciproquement en
remarquant qu'un ensemble polaire complet A est un G
S
'
si A contient un
sous-espace dense la proposition 3 entraine que A contient un sous-ensem ble de la forme
I
{\x n 4>-n}' D'apres la proposition 4 on peut t o u j o u r s
B
trouver une mesure gaussienne p telle que fJCB) :> 0 donc pCA)
>
O.
Cherchons des conditions pour qu'un ensemble polaire complet soit gaussien nul. PROPOSITION 5.
-
Si A est un ensemble polaire tel que A - A i
il existe une mesure gaussienne non degeneree tel Ie que
pCx + A)
E, 0
pour tout x de E. Demonstration. On peut supposer que A est dense. soit
f
Soit x
o
e E\A-A et
une mesure gaussienne non degeneree telle que X appartienne au o
sous-espace c a r a c t e r i s t i qu e H Posons W p p'
; {X E ,pCA - x )
>o}.
210
Comme p est quasi invariant pour les translations de H
il vient fl o si x n'appartient pas
c'est-a-dire W cA. Demontrer la propo-
I'
¢ il existe un element
sition revient a prouver que W
I'
Xl
de W . La relation W
note
P x ' z
+ H
P
de A.
P
W cA entraine que xl
p
II s'ensuit
-
X
avec xl
z
+ X
o
et X
z
est un element dans A ce qui
est impossible. L'ensemble West done vide.
p
PROPOSITION 6. de
[0,
0
=
,
de E.
X
Demonstrat:ion. tout
Si A est polaire cere Ie A =
fixe de A et pour tout >-. de 0: on a
Z
une fonction sousharmonique egale a
-= sur
a -co.On peut done supposer que Q:A
A
Comme A
contienne x
p
x) d'otl,
Ax
6
E
Ie cercle unite est identique
.
E"\A
et une mesure g au s s i e n-:
Si x appartient a W , il vient
fl
+
Or W
p
x)]>O pour tout>" dans
x ) >0 et done peA - Ax) > 0 car >-'A = A . Ceci entraine
W •
P
Or X n'appartient pas a A, done v(x >-00. o o) aura vex
= -GO }alors pour
A car dans Le plan complexe
la me su r e fl etant gaussienne p[A(A -
q;\{O}d'OU p(AA que
o
Az
tV(z)
c'est-a-dire que A est Q;-etoile.
E on peut choisir un point X de o
ne centree p telle que H peA -
eieAcA pour tout
est tel qu'il existe une mesure gaussienne I' telle que
Zn])
peA + x)
- Un ensemble polaire cercle (ie
1
o
.e
i2TT
IT
y)
0
-co
vex
0
+
.
y)de pour un y de W
pour presque tout g de
la condition
done a A pour tout
W
e
P
Si West non vide on
P
fl
ce qui entraine que
[O,ZIT].
ig-
= H + W implique que x + e y appartient a Jl P 0 d'otl la contradiction. II s'ensuit que West
p
vide. COROLLAIRE. ensemble polaire pour tout x.
Si F est un sous-espace (complexe)
, il existe unemesure gaussienne
r
contenu dans un telle que p(x + F)=O
211
Remarquer que si un ensemble polaire complet contient un sous-espace reel il contient aussi le complexifie de ce sous-espace. Deux applications PROPOSITION 7. algebrique de E. E = Hi +
Pour tout i
iEI
une base
, notons Hi l'hyperplan tel que
tels que Hi soit holomorphiquement complet.
COROLLAIRE.
a
Soit E un espace de Banach et (a.)
(somme algebrique). Alors il y a au plus un nombre fini
d'indices i
ble)
-
-
hyperplans
Dans tout Banach E il y a une (non fermes)
Demonstration.
H tels que
He
(non denombra-
E.
Supposons qu'il existe une suite infinie (in):=1
d'indices tels que Hi n
,note H n,
soit holomorphiquement complet. Pour
tout n, H est polaire dans E (car H = H& si et seulement si H est pon laire dans E (9) Poser E
n
n
).
H . chaque En est polaire dans E donc la reunion des E n m '
ne peut etre E tout entier (corollaire de la proposition 1). Or E = UE
d'ou le resultat et le corollaire en remarquant que si H est un
n,
hyperplan alors on a soit
He = H, soit H& = E.
Rappelons main tenant le resultat PROPOSITION 8. -
suivant du
, H(U)
l'es-
l'ensemble des elements de
qui se prolongent analytiquement hors de U.
M de H(U)
P.Lelong (7)
Soit U un ouvert pseudo-convexe de
pace des fonctions holomorphes sur U H(U)
a
Pour tout sous-espace
qui est un espace de Banach pour une topologie plus fine que
celie induite par la topologie de la convergence compacte on a soit contient M,
soit'7
n M est
un ensemble polaire complet dans M.
On peut utiliser ce resultat pour prouver le resultat suivant THEOREME 3.
-
Soit U urt ouvert pseudo-convexe de en et soit
semble des elements de H(U)
al
r(71)
bl
1?
pi se prolongent alors
= 0..2..!!... 1 pour toute mesure
est un ensemble gaussien nul de H(U).
sur H(U)
l'en-
212
al Si pest une mesure gaussienne sur H(E) il existe
Demonstration.
un Banach separable M qui s'injecte continument dans H(E) D'apres le r e s u I t a t complet done per;)
r a p p e Le plus haut,
tel que reM)
soit'7 contient M, s o i t
=1.
est polaire
= 0,1.
bl est une consequence du fait que
r;
est un cane complexe et de la
proposition 6. Remarque.
On peut donner une autre demonstration de ce resultat en
utilisant les methodes developpees plus haut et la loi zero-un pour les sous-espaces vectoriels.
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LE
8 Fevr i e r 1977
DU
a
par
P. R ABO I N
SUR UN ESPACE DE HILBERT
Introduction Dans une premiere tentative d'appl iquer les techniques hi Ibertiennes
a
la resolution de I'equation
af
= F sur un espace de Hi Ibert de dimension
infinie, on avait obtenu une solution "au sens des distributions", dans tout I 'espace, pour un second membre F a croissance exponentiel Ie ([10)1. I I a 2, fal lu pour cela definir un prolongement de I 'operateur au sens de L et on doit constater que la solution obtenue est d'un interet assez limite
a
car Ie noyau de cet operateur ne se reduit pas aux fonctlons analytiques au sens de Frechet. I I etait donc d'etudier I 'existence de solutions regulieres, Ie seul resultat connu jusqu'ici etant celui de C.J. Henrich «(6), qui met en evidence Ie phenomene suivant, nouveau par rapport finie : si
a
la dimension
F est a croissance polynomiale sur I'espace tout entier
H, i I
existe une solution f reguliere surun sous-espace propre de H. Ce phenomene etait d'al I leurs deja clairement apparu a propos de la theorie du potentiel de L. Gross en dimension infinie (Potential theory on Hi Ibert space, Journal funct. Analysis I, 1967), et est essentiel lement dO a 1 'absence d'une mesure analogue a la mesure de Lebesgue. On amel iore ici Ie resultat de Henrich, en resolvant I 'equation sur un ouvert pseudoconvexe de H (sans condition de croissance sur
F), sans eChapper toutefois a la contrainte prece-
dente : la solution obtenue n'est regul iere que sur I 'image d'un operateur compact injectif. Cette restriction limite s l nqu ll eremerrt la portee du theoreme obtenu quant a son appl ication aux problemes d'Analyse Complexe en dimension infinie. On donne cependant, avec Ie theoreme 3, un element de reponse au premier probleme de Cousin sur un espace de Frechet nucleaire a base.
215
Notations: Si
reel sou-jacent et
H l'espace complexe conjugue. Si
Hilbert-Schmidt auto-adjoint et injectif sur orthonormale de
{A j
propres
II
note image (x'Y)H
II
H formee de vecteurs propres
{e
est un operateur de
de
j} } , telles que la serie de terme general
T, associes aux valeurs
Aj
norme de Hilbert-Schmidt de I' oper-at eur-
= (T- 1 , T- 1 ) , Pour tout entier
gonale de
n,
Y
x
de dimension complexe
n
H n, On designe par
T2
T
H, on sa it qu'il existe une base soit convergente
on
H l' espace T TH, muni de la structure hilbertienne complexe definie par Ie produit scalaire
T
T
R H est l'espace
H est un espace da Hilbert complexe separable,
n $
dBfini par : H n
H sur
et, pour tout
z
B3]
est Ie sous-espace propre
H n et
j,
P
n
la projection ortho-
la mesure gaussienne centree d'operateur de correlation dans
H, par
la mesure translatee de pour tout borelien
=
On sait
II: e
j m1
T, On designe par
que, pour tout
z
dans
B dans
z, definie par H.
TH. les mesures
equivalentes et que la derivee de Radon-Nikodyme de
et
•z
a
par rapport
sont est
donnee par : exp
(1 )
la serie
(T
-I
z.T
-I
x)
etant convergente
Un calcul immediat montre que
fH
(2)
-1 2"1 { II T-I z ]12 - 2Re(T - 1 z.T xl )
partout sur
PT(,.z) =
exp
-II
H.
est de carre z
T
•
avec
pour tout
z
dans
Les espaces de fonctions integrables seront toujours relatifs Une propriete sera dite verifiee localement dans un ouvert est vraie sur toute boule de frontiere Si x
an
de
n,
fest une fonction
f(x+zl Enfin.
n
situee
a
a
"r:
la mesure-
n de H. si elle
une distance strictement positive de la pour tout
z
dans
1 on la note f. z B designera la boule centree en 0 et de rayon R
H. la fonction
est aussi
On commence par demontrer deux lemmes assez techniques,
R.
216
Lemme 1 : Si
g
est une fonction localement de carre sommable sur
=
G(z) ou
H, la fonction
H par:
definie sur
JB g(x).exp(z,T
-I
x)
H, est differentiable, et sa differentielle, donnee par
B est un borne dans
d G z
(3)
H.
est de type borne sur
Preuve : On considere, pour tout
z
et pour tout
a
dans
H, la fonction
G
z,a
d'une variable reelle, definie par: G (A) z,a
=
G(z+Aa)
JB g(x).exp(z,T-
=
compte-tenu de l'inegalite :
on peut appliquer Ie theoreme de Lebesgue-Leibnitz et affirmer que derivable
a
l'origine, avec G'
z,a
JBg(x)(a,T
(0)
-I
x).exp(z,T
G
z,a
est
-I
O'apres l'inegalite de Schwarz et un calcul elementaire, on obtient alors
La fonction
G est donc differentiable au sens de Gateaux sur
H, avec une
derivee faible continue : elle est donc differentiable au sens de Frechet sur et sa differentielle satisfait l'estimation :
II
G'
(z l
II
ce qui permet de conclure. Lemme 2 : Pour toute fonction continue sur
H, la fonction
i
localsmsnt bornes et localsmsnt uniformement definie sur
H par:
H,
G
217
4> (z )
'f (x)
J
=
BR+z
(x )
H dans la direction du sous-espace
est differentiable en tout point de 5
(i) si si
n
x
est la mesure de surface de la sphere
est Ie vecteur normal unitaire exterieur
(4)
d
z
4>
(iii) pour tout
cette sphere en
If(x)n 5(z,R) x est localement bornee sur H. z T est continue sur HI' la fonction z -? d z4>(h)
II d 4>11 H
Z -?
h
soit
dans
engendree par morphisme de
u,
u
un vecteur unitaire dans
sur lR.u XLI' defini par
H
de la mesure
L = R.u
H,
L1 Ie supplementaire orthogonal de
:
H. 5i
L dans
20,
e
est l'iso
est 1a pro-
e(t.u+y) = (t,y), si
sur
par
§
H.
la droite reelle
L1, alors, pour u dans HT• la mesure e, est equivalente a la mesure produit = dt x
jection de la mesure
BR+z, et
x, on a :
Preuve: On va utiliser la propriete suivante de la mesure theoreme 1)
T
5(z,R), bord de
J
=
(ii) la fonction
a
H , et :
'\,
image avec,
plus precisement
(J
(t,y)
+ _ OO
tu)dt)
PT(tu+y
_1
soit, taus calculs faits (5)
50it pour sur
h
un vecteur non nul
h. Pour tout
y
dans
on designe par 1, sur la droite reelle t
[t
L
4>(z+h)-4>(z)
-?
P
dans
H , et soit T au
L1(B(Z,R)),
Ie
1(y),t2(y)].u
P
L
u
Ie vecteur unitaire porte
designe la projection orthogona1e decoupe par la boule
B(z.R)
y+t.u. On peut alors ecrire L' eccro t s eemerrt :
lI4>(z;h). sous la forme suivante :
Or. la fonction
a
integrer, qui est definie sur
est 10calement uniformement continue en permet d'ecrire :
t
quand
y
(L - N) x R.u ou 1
parcourt
P
L1
f"L
(N)
= 0,
(B(zJ)), ce qui
218
1
I
I21T
P
(6) !liP(z;h)= 1
I
2 -11 ul +
1
Rl(T
1
4\T-
u)
ul/
llr
L1
ou encore. compte tenu de
ce qui demontre que
([13
J:
§
}
2
It 2(y )dll L (y) I .1IhII t 1(y)
1
27. theorEme 1)
est bien differentiable en
z
HT •
dans la direction de
avec l'expression (4) de la differentielle. De (6). on deduit immediatement que:
ce qui prouve (ii). Enfin. pour de
y
fixe dans
t et t dependent continuement L1(B(Z.R)). 1(y) 2(y) PL1(B(z.R)) est llL1-negligeable. si bien que (iii) s'obtient
z. la frontiere de
P
en appliquant Ie theoreme de convergence dominee. Remarque : L'expression (4) est la generalisation d'une formule classique dans on peut d'ailleurs s'inspirer d'une methode de demonstration de ([ 5]
§
IR
N
354). en
s' aidant d' une formule de Gauss en dimension infinie ([ 4] • [13J l , On signale aussi une autre forme de la differentielle. obtenue dans une situation analogue par ([1J. exemple 1.2).
a
partir d'un resultat de
n un ouvert borne dans H. Pour tout entier n positif.
Theoreme 1 : Soit
est une fonction continuement derivable. n
_1
n = Pn
wn Hn ) .
[3J.
a
f n derivee de type borne sur Ie cylindre
On suppose en outre que
(a) la suite
(fn)
converge faiblement vers l'application
f
dans l'espace
• (b) la suite
n
plement sur
(af) n
est localement bornee dans son ensemble. et converge sim-
vers une application
F
de classe
sur
n.
Alors (i) la suite
(fn)
converge simplement sur
dBfinie par : (7)
) = IBf(X+Z).dllT(X) + £
pour tout
z
contenue dans
dans
n.
H T
et pour tout nombre
nnH T
2I:I
vers l'application
f·
F(z+rx)(x)dr dllT(X) B
£
£
posit if tels que la boule
B +z e
soit
219
i*
et la fonction
est localement uniformement continue sur
(iil la fonction
est differentiable sur
de type borne et faiblement continue sur (iii) enfin. f·
satisfait
az f*"(h) z
pour tout
dans
H nn.
R H T.
2
HTnn.
nn
sa differentielle est
T2
l'equation
F(z) (h)
n() H
et pour tout
T2
h
dans
H 3' T
Demonstration : Pour tout situes
E
positif assez petit. n
une distance superieure
E
craindre. pour tout entier positif centree sur
H
TP
designera l'ouvert forme des points
du oord de
n. Aucune confusion n'etant
p. on note encore par
la mesure gaussienne
• dont l'operateur de correlation est defini par Ie systeme des
valeurs propres
• associees
J
(i) Pour tout
z
dans
est contenue dans Ie cylindre quee
E
la fonction
la base orthonormale
e;}
J
J
de
H
TP
H et pour n assez grand. la boule B(Z.E) T• nn. La formule integrale de Cauchy ([8] 1.2.3) appli-
fn(z+j.x). ou
x
est dans
BE' sur Ie disque unite du plan
complexe. donne : f
n
2nf (z+xe i8 )2 de f1 af (z+rxe i8 ) (xs i8 l dr 2d8 +2 nOD n fo n f2n- n
(z )
En integrant en
x
sur la boule
comptetenu de l'invariance de
BE
par rapport
la mesure
on obtient,
par rotation sur Ie sousespace propre
H n
+ 2f:fB3fn(z+rx) (x)dr E
E
3f n(z+rx)(x)dr E
E
Comme la densite de translation integrale converge vers
f
PT(.;z)
est de carre sommable, la premiere L'assertion (i) decoule alors de
BE+z l'hypothese (b) et de la proposition suivante : 2 Ll oc' I' application z .... z f est locale ment uniformement continue de H dans L1 et pour toute boule B de n situee l oc' T une distance strictement positive de an. on a :
Proposition : Pour toute fonction
f
dans
220
(8)
(9) (f )
Demonstration de la proposition : Soit
n
supportsbornesdans
II en resulte que la suite z
L1(B)
,
L2(B+z)
( f
z n
, et que
De plus, pour tous
z,z'
dans
n
dans
+
(f n)
f
+
z
,f - ,f n z LI(B)
sur tout borne,
etant faiblement convergente dans
L l oc'
positif, on a
assez grand, puis en utilisant l'uniforme continuite de z
2
dans
Lioc' que
n
i z f n - z ,f n II L1(B)
f
f n,
est bornee dans
a l'inegalite (8) montre que la suite (f n) est On ecrit alors (7) pour la mesure de Gauss sur Hr et pour z dans Hr2' la boule B etont celIe de H : la suite (f n) etant r simplement convergente sur n n H et localement bornee, on peut, toujours grace r a (8) passer a la limite sous Ie signe somme dans (7) pour obtenir la representation Ceci, joint
a
f
r
on obtient l'uniforme continuite de : z (ii) La suite
z
H , et pour tout entier
I z f- z f n II L1(B)
En fixant
converge vers
converge vers
)
a
une suite de fonctions continues
H telle que la suite (fnoPn) n, Pour tout couple d'entiers p,q, on a, d'apres (2)
l'hypothese (b) et
localement bornee sur
n n Hr ,
integrale suivante de
f-
(10)
sur
=
n n Hr2
: F(z+rx)(x)dr
De nouveau, pour l'etude de la differentiabilite de
f·, seule la premiere
integra Ie pose un probleme, On considere pour Ie resoudre la fonction
g
definle
221
(11)
g(Z1,Z2)
=J
f-(X),PT(XIZ
Be;+z2
O'aprss la proposition intervenant dans la demonstration du point (i), g
peut
encore se mettre sous la forme (12)
J
g(Z1,Z2) =
Be;+z2-z1
Alors, d'apres les lemmes 1 et 2 appliques respectivement aux expressions (11) et (12), g admet des derivees partielles en tout point (z1,z2) de (n 2e: n H )XH T, T qUi valent
pour tout II reste, pour achever la demonstration du point (ii),
a
verifier la continuite
de ces deux derivees partielles : Oesignant par tegrant definissant
X la fonction caracteristique de la boule z1
, on a :
=
B
E:
et par
F
l'in-
+
Ie premier accroissement tend vers 0 d'apres Ie theoreme de convergence dominee quant au second, il tend aussi vers 0 d'apres la proposition enoncee en (i). O'autre part, en appliquant Ie theoreme de convergence dominee developpee so us la forme (5) de l'integrale de surface definissant ag ---a • z2
egalement la continuite de
a
l'expression g , on constate aa Z2
(iii) O'aprss Ie point (ii), les hypotheses d'applications de la proposition 1.10 de
[10]
a
sont satisfaites sur
support borne dans
nn
HT2, si bien que. pour toute fonction W de classe HT2 et a derivee de type borne, et pour tout Z dans
HT 3 , on a la formule d'integration par parties suivante
222
I
(13)
H
= -J
H
2
T2
T
avec
Pour tout entier positif
I
H
T2
n, on a de meme
= -J
§ f x n
f (x).8 n x T2
H
En repetant l'argument developpe au debut de la demonstration du point (ii), et en appliquant l'hypothese (b), on peut alors passer
a
la limite dans chacun des
membres de la relation precedente, et on obtient ainsi
IH F(x)
(14)
-I H
fJl(x) T2
=
T2
La comparaison de (13) et (14) permet enfin de conclure. Theoreme 2 : Soit
F
une forme differentielle fermee de type (0,1) de classe
et de type borne sur un ouvert pseudo-convexe
n
de Hilbert-Schmidt autoadjoint et injectif
sur
de cIa sse
sur
n HT3,
n
de la forme
Pour tout entier
n
F n
telle que
la forme
est l'application lineaire de
df, fferentielle
n E
j=1
C1
2n
=
n, on peut trouver une
elf
sur
n.
[n
z
dans
dans
H n
nn, avec defin1e par
defin1e sur l'ouvert pseudoconvexe
Aj.Fj(TnZ)dZ j
If'" n (z)
f
= F.
X convexe croissant assez vite, qUi
"F II
pour tout
n
Tn
§f
positif, on pOSE
F (z l
Si
H. Alors, pour tout operateur
H, il existe une application
etant de type borne sur
XC-Log d(.Jan)) avec
soit plurisousharmonique sur
dans
solution de l'equation
Demonstration: L'application fonction
T
'fo
est de classe T (z) + n
1
, 2
[n
la mesure de Lebesgues dans 1R 2n e t /\=
E n
par
fermee et s1 on pose
pour tout
z
dans
En' on a, en notant
223
En outre.
-v
est une fonction plurisousharmonique sur
n
de p.s.h.
[BJ
si bien que d'apres
fn
4.4.2l. il existe une fonction
{I
-'"n = 'F"n
af
E
En posant
f
12 . e-
t
n
n n
sur
'"
(zl
donc une application
f
f
n
E • avec 1 n
(lemme 4.4.1 et demonstration du theoreme
de classe
sur
En' telle que:
E n da 2n (2'JTl n
Z1
( , •••.•
n 1\1
telle que
z
n l pour tout
An
co
z = r
j=1
z.e.
J J
dans
nn. on dBfinit
Puisque toute boule est incluse dans un cylindre nn pour n assez grand. la -If 12 suite (f.e n lest bornee dans L2 et on peut donc. modulo une extracn 1 oc t f on, supposer qu'elle converge faiblement dans cet espace vers une fonction g
=f
e- f / 2
ou
et toute boule
fest B
pour tout entier
de
n
n.
D'autre part. pour toute fonction
f
de
positif.
ce qui. avec Ie theoreme de convergence dominee. montre que la suite faiblement vers
h
on a :
dans
converge
: on est en position d'appliquer Ie theoreme 1.
224
n un ouvert pseudoconvexe dans un espace de Frechet nucleaire un recouvrement ouvert de n, et soit {gij f ACn/, nj )}
Theoreme 3 : Soit a base
E. Soit
Wi} i E I
une donnee de Cousin de premiere espece, subordonnee a ce recouvrement. Alors, pour
K dans
toute partie compacte convexe equilibree tel Ie que, si
E
K
designe l'espace de Banach engendre par
sur Oemonstration:
E, il existe une famille
O'apres
pour tout
i,j
{f
K, on ait :
dans
i}
1.
[11], E est la limite projective d'une famille denombrable
d'espaces de Hilbert complexes
H
(=
p
complete de
E
pour la norme
les
1 + HP etant des operateurs nucleaires. O'autre part, par application p+ de classe 'Cl'" de n dans un e.e.c. quelconque, on entendra, suivant en cela [9J une
injections
H
application differentiable a tous ordres au sens de Frechet (borne-differentiable selon
[1]),
les differentielles successives etant en outre de type borne: on sait
alors en particulier que la loi de composition est satisfaite. 1 - Comme, pour tout
x
dans
E
et pour tout voisinage ouvert
lfx et una norme pour Iaquelle
E, i l existe une fonction numer-Lqua soit une fonction de classe
!.l\p(X)
> 0
V de
x
dans
telles que et
{lfxol.llp(x) > O} C V, on peut supposer que Ie recouvrement{?.i}ieI est,quitte a en prendre un raffinement, constitue d'une famille denombrable d'ouverts du type =
{1O. °
or.
> En reprenant alors la construction de [2J, comme Ie fait [9J, Pi on exhibe une partition de l'unite, soit , possedant la propriete locale
ni
11.11
suivante : Pour tout tif, un indice V(x)
x
dans
i(x)
n,
il existe un entier
et un nombre positif
= Bp(x)(x,£(x)) nEe ni(x)
dans
Hp(x)
centree en
x
£(x)
ou
est une fonction de classe existe une fonction
O'autre part, pour tout Supp
V
en
tels que
i
v
x
gi(X)l
v
N(x)
posi-
designe la boule ouverts
£(x). a
vex) (nulle pour
V
> N(x))
'e'" de la norme 11.llp(x)' c'est-a-dire qu'il de classe
, il sxiste un entier
positif, un entier
tels qus
Bp(x)(X,£(x))
et de rayon
- pour tout entier V, la restriction de
p(x)
dans
n, et pour tout indics i
q (x) V
sur IR, telle qus :
et uns boule
B
qv
tel que v ()(x,n (x)) de
x
V
H
q (x) V
soit analytique st bornes pour la topologie de la norme V
(x)
225
dans
Bq (x) (X'T1}xll () Il, et te1s que Ie deve l.oppernerrt taylorien de
v
prolonge en une fonction analytique bornaa En resume, pour tout r(x)
max{p(x)
R(x)
min{e:(x)
gi(x)i(y)
sur
'"
E '"gi(x)i ",V
gi(X)i
sur la boule V
+ givi(y) definit une fonction qui est Ie prolongement de v Br(x)(x,R(x)) () Br(y)(y,R(y)).
K une partie compacte dans
Soit maintenant
existe une famille finie J
K CUB
j=1
de
de
[aJ
definie comme dans
F
Il : d'apres ce qui precede, 11
K tels que
ou
(xj,R(x.)) rK J
et, comme chacune des injections F
J.
dans cette boule [7 v Il, il est possible de trouver un entier positif
dans
gUx) i
se
v
1,2, ••. ,N } ' et un nombre positif X 1,2, .•• ,N }' te1s que la fonction x
prolonge en une fonction De plus,
x
gUxli"
'"
est continue, la forme differentie11e
par :
a(E
=
V
fermee et uniformement
2 - Soit
k
vement compacte de
n
E ; k est a fortiori une partie re1atiK Il ( : pour 1a topologie de E), et son enveloppe A(Il)-convexe "k
une partie bornee de
est contenue dans
"k nombre de
Il () E K est bien contenue dans
Il
Il
qui est pseudo-convexe et, de plus, i1 existe un
A positif tel que: k C A.K, ce qui entraine que l'enveloppe convexe fermee
k
dans E est contenue dans E K• II existe donc une exhaustion de Il () E formee de parties bornees K, vexes, soit {k n}.
A(Il)-con-
3 - On va maintenant demontrer Ie resu1tat suivant : Pour toute partie compacte positif
p
dans
Il
et pour tout voisinage ouvert
pseudo-convexe dans Soit
k
{en}
H
p
tel que : k
ewe
une base de l'espace
n EK,
V de V.
A(Il)-convexe, pour tout entier k
dans
H, il existe un ouvert p
w
E, qui soit aussi une base orthonorma1e de
l'espace de Hilbert
H et, pour tout entier positif n, on designe par TIn (resp. Pn) p 1a projection (orthonormale) de E (H) sur Ie sous-espace de dimension finie p
226 j=n
E
n
e
It.e , On sait que la suite
converge vers l'identite quand
j
j=1
vers l'infini. uniformement sur les parties compactes de En particulier. pour
n
assez grand. TInk
contenue dans
n. De plus. pour tout ouvert
un entier
positif tel que l'on ait
N U
est l'enveloppe
A(Ql-convexe de
TInk
(pour
n
k
dans
TInkl. 11:
n
dans
E.
H • i l existe p
Dn - un En
assez grandl sont contenus dans un compact fixe de
x. Pour toute fonction
tout
p
U contenant
bien qu'on pourrait extraire une sous-suite point
E(H l.
est une partie compacte de
Montrons-le par l'absurde : i l existerait une suite compacts
tend
f
dans
convergeant dans
A(nl. l'inegalite
If(xnll
mais les
n.
si
Q. vers un
If1TIn(kl
pour
n. donne par passage a la limite
c'est-a-dire : x
E
k = k CU. ce qui est contradictoire.
Pour tout nombre positif
a. on note par
V
a
l'ouvert
v = {xeV/d(x.aVl > a}. a
Si
£
est la distance de
ce qui precede un entier
k
au complementaire de
V. on peut trouver d'apres
N pour lequel :
...........
Pn k C Enn V£/4
\I pour tout
n
p
£/4
0
0----'> Fxl y - ? F $ FX/Y2 - ? F x1z X1 Y1
--->
0 •
X,
K•
246 Tout comme la cohomologie moderee
a
support ou les images directes mo-
derees (ordinaires ou super-i eur-e s}, le complete formel ou les images directes
a
support propre "algebriques" (ordinaires ou super-i eur-e s ) se calculent en utilisant 1 IAnalyse. La version duale du theoreme 3.8 et de la proposition 3.11 (Cor. 3.12) est le
(Le.
THEOREME 4.2. - (i) On a un quasi-isomorphisme est une resolution "de Dolbeault" de
0xly) •
(ii) On a une egalite (dans la categorie derivee)
Remarquons tout de suite que (ii) est equivalent
a
(iiI) :
°
et
On a note
a
coefficients
par par
pour
Ie faisceau des formes differentielles de type
C= au sens de Whitney sur
Y (prolonge par
°
2';; k •
(p, q)
en dehors de
Y),
Le complexe "de Dolbeaul t" correspondant (operateurs differentiels
IP,q
(X.Y)
C= sur
Ie faisceau des formes differentielles de type
X, infiniment plats sur
(p, q)
a
coefficients
Y.
D'apres le theoreme de prolongement de Whitney ([44J, Th. 4.1) on a le tliagramme de suites exactes
°
°,.
I (X, Y)
EO, • X
EO, • Y
°.
Il est par ailleurs clair que l'on a des morphismes naturels
°
A
0,. Ey
Ox
,
dent Ie premier est un quasi-isomorphisme. On en deduit le morphisme
247 de triangles rO, •
/ EO, ....< 1---- EO, • Y
rl su££it bien
d'etablir le theoreme pour
X
F
Ox • Commeru;:ons par le
LEMME 4.3.- Les conditions (i) et (ii) du theoreme 4.2 sont equivalentes. Ceci resulte evidemment du morphisme de triangles que l'on vient d'ecrire. Soient
Y1 ' Y2 ' Y, Z
comme dans la Proposition 4.1.
On
a une suite exacte
(cf. [44J). Compte tenu de la Proposition 4.1, on en deduit le LEMME 4.4.- Les conditions suivantes sont equivalentes (i) Le Theoreme 4.2 est vrai pour
Y Y 1' 2
et
Z •
(ii) Le Theoreme 4.2 est vrai pour
Y Y 1, 2
et
Y.
LEMME 4.5.- Le Theoreme 4.2 est vrai si On
a X
se ramene
0, •
EU"
O,q
FN, E ro t
cients series formelles (produit denombrable de c onc lure 0cPlfO}) •
( EO, •
U"
On
X.
u· x U" (u' c cP , U" c cn - p , polydisques ouverts de centre 0) ,
y."; Cn-PnX • On a
de faisceau de
Y est une sous-variete de
0,.
i : U'
C
t
EO, q U"
etant muni de sa structure evidente
etant compose de formes de type
U'}
a
A
®E f O
p
(O,q) ,
a
coe££i-
variables et egalement muni de sa topologie
FN
C) • Une formule de KUnneth topologique [22J permet de
est une resolution de
0U"
et
EO,.
°U'
une resolution de
observera la dualite de cette situation avec celle du theoreme des
248 noyaux [62J.
On
en trouvera plus loin une generalisation.
LEMKE 4.6.- Le Theoreme 4.2 est vrai si
Y est une hypersur£ace
a
croisements
normaux. Ceci resulte immediatement des deux lemmes precedents. PROPOSITION 4.7. - Soit
£: X - X 1
une application analytique propre
etant des varietes analytiques). Soit Y 1 = £-1 (v) • On suppose que
£
YcX
et
(X
un sous-ensemble analytique.
est un isomorphisme de
X - Y
1
1
sur
X
1
pose
On
X- Y
Alors l'application naturelle La proposition resulte £acilement de [12J Prop. 2.19. LEMKE 4.8.- Dans la situation de la Proposition 4.7.,
La premiere egalite s'etablit en remarquant que, pour k£O R * X 1
1Sk, on a un isomorphisme
k A 'y 1 - Rk£OA * X 'y : R £* Ox 'y 1 1 1 1
est coherent
a
support dans
Y ([20J, [6J). Pour montrer la deuxieme on constate que, d'apres
a
support dans
Y [20J ; on a utilise [6J).
Nous avons maintenant tout ce qu'il £aut pour etablir le Theoreme 4.2.
Y est de
Une nouvelle application du lemme 4.4 ramene le probleme au cas ou codimension
(de£ini par
g)
en appliquant le theoreme de desingularisation
d'Hironaka [29J, on se retrouve dans la situation du lemme 4.8, avec ments normaux dans
Xl
• On voit alors que
1(
T Ox IY 1 1 A
/0) X 1
0,.
= I(x
i '
y) 1
Y1
a
croise-
(lemme 4.6,
249 condition (ii')), donc que
(lernme 4.8
et Proposition 4.7
sont fins, donc
les faisceaux
f
*
-
acycliques). Ceci etablit le Theoreme 4.2 (condition (iiI)). On laisse expliciter au lecteur la remarque "duale" de 3.12
(* ) • La
remarque "duale" de 3.13 est (avec les memes notations) la Remarque 4.9. : Le faisceau
[43J de
Zest
0xIY
J
des jets formels
Z
a
(i.e. le complete formel de
coefficients analytiques 0z xz le long de la diagonale).
Nous reviendrons plus loin sur cette question.
V. DUAL
ITt ET
THBOld:MES DE COMPARAISON.
a
On revient
applications naturelles
la situation de II (avec les memes notations). On a des Rf
=[YJ
*.
S
B+ ' Re =
et
-
• Nous nous propo-
sons de les "comparer". (En utilisant bien sur le fait que ces applications sont "en dualite"). Ce faisant nous generaliserons un t h eorerne de comparaison "classique" : le complete formel
est une resolution de
(theoreme dont la
compact) est due independamment
a
Deligne (non publie) et
Herrera-Liebermann [28], et la version faisceautique
a
Deligne (methodes "cristal-
version globale (X
lines" ; non publie) et Hartshorne [25J). Nous reviendrons sur cette question dans VII en etudiant le cas particulier ou
S·
(r-esp ,
De Rham) d'un sys teme
le cas
S·
=
,
C'"
r-epr-esent e les "solutions" (r-esp , le complexe de
D -coherent ho l onome , Dans ce cas particulier (qui contient X
cornme "solutions" de
X = en , Y = fonctions
s*·)
If ,
le comp lexe
au sens ordinaire sur
nous donnerons une autre demonstration
est une resolution du faisceau des X , qui est bien en "dual. i t e " avec
'D
X'
250 des tneoremes de comparaison (ut ilisant des techniques delicates de
DX - modules)
La premiere etape est Ie LEMME 5.1. - (i) Les complexes
sont en dualite (topologique) DFN •
r (X-S· c .'
EO,.)
@
Ox y
et
sont en dualite (topologique) DLFN(*) • (iii) Les complexes
sont en dualite (topologique)
Ie premier est du type
DFN , Ie second du
L'assertion (i) utilise Ie Theoreme 4.2, l'assertion (ii) Ie Theoreme 3.8. L'assertion (iii) (dans l'esprit de [64J) est facile; si
a
S·
est reduit
un seul objet, on retrouve (dans un cas particulier) des theoremes de dualite
de Golovin et Andreotti-Banica [19J, [2J. Raffinant un argument de [31J, on obtient (modulo un peu d'algebre homologique) Ie
(*) Contrairement
a
l'assertion analogue du Lemme 2.1, cette propriete (ii) est ici
indispensable. (La situation n'est plus symetrique en
S·
et
S*·).
251
LEMME 5.2. - (i) Soient sur [U
F
X. Pour tout point de
i}
x
=
(j
k
des faisceaux analytiquement constructibles
x EX, i l existe un systeme fondamental de voisinages (Fj)x
soient des
1, ••• , k) •
(ii) Soient
a
••• ,F
tels que les applications naturelles
isomorphismes
X ,
1,
S;, ...
des complexes de
f-espaces vectoriels sur
cohomologie bornee et analytiquement constructible. Pour tout point
il existe un systeme fondamental de voisinages cations naturelles
(Sj)x
[U
i}
de
x
x EX,
tels que les appli-
soient des isomorphismes
(j
=
1, ••• ,k)
On peut alors etablir le result at fondamental de cette partie
"
, 5.3. - (i) THEOREME
est
*.
seulement
a
cohomologie analytiquement constructible si et
l'est.
(ii) S'il en est ainsi, on a
(Les
sont des complexes de cofaisceaux [1J, [9J).
cohomologie analytiquement constructible
) aLes espaces
• Hk( X;Sx/y ,H k( c
d'une topologie sep ar ee de
C, Hk( X;Sxly
• ) Hk( X;Sxly
et
sont naturellement mun i. s
est somme au plus denombrable d'exemplaires
est produit au plus denombrable d'exemplaires de
*.)
Hm-k( c
b) Les espaces les
*')
C
) sont en dualite ( topologique. sont de dimension (sur
sent les duaux (algebriques) des
C) au plus d enombr-eb Le
j
252 (iv) Si est
a
est
a
cohomologie analytiquement constructible, alors
cohomologie analytiquement constructible.
(v)
Si
S·
est
a
cohomologie analytiquement constructible,
(vi) Dans les conditions de (iv), les espaces
et
sont naturellement munis d'une topologie separee ; les au plus denombrable d'exemplaires de plus denombrables d'exemplaires de
e, les e
sont sommes
H;(X;RCyS*·) • ) Hk( KiSxlY
les
et
sont produits au
et les
m-k( XiRCyS*.) HK
sont en dualite (topologique).
a
Supposons d'abord Notons
cohomologie analytiquement constructible.
D = RHome X(.)
est
X
ment constructible. Choisissons un ouvert
Verdier [69J, [67 J) ; on en deduit que
a
cohomologie boz-nee et analytique-
U comme dans le lemme 5.2 (ii) pour
c (u
* .)
mension finie. En appliquant le lemme 5.1. (i), avec est aussi
a
X
=U
, on constate que
cohomologie de dimension finie et que cette cohomologie
est celle de Si
est a cohomologie de di-
11 est facile de conclure.
est
a
cohomologie analytiquement constructible, on utilise une (i) par (ii) dans l'application du lemme 5.1. On a
methode analogue en
ainsi prouve (i) et (ii). Le reste va de soi ou s'etablit suivant des raisonnements similaires. L'une des applications les plus interessantes du theoreme precedent est le I
\
THEOREME 5.4. - Si
*
est
a
cohomologie analytiquement constructible, les
deux conditions suivantes sont equivalentes
253 (i) L'application naturelle
est un quasi-isomorphisme. est un isomorphisme
(ii) L'application naturelle (dans la categorie derivee).
Le theoreme 5.3 montre en effet que, dans ces conditions, si est
a
a
cohomologie analytiquement constructible,
_l) * g_[y_
•
sont tous
cohomologie analytiquement constructible. On conclut en utilisant le fait que
D X
conserve les isomorphismes dans la categorie derivee. Remarque : Pour que suffit que
so it S· , so it
, ou
a
a
cohomologie analytiquement constructible, il
cohomologie analytiquement constructible. C'est
en pratique dans cette situation que l'on appliquera le theoreme. COROLLAIRE 5.5. - Les deux conditions suivantes sont equivalentes (i) L'application naturelle
est un quasi-isomorphisme.
(ii) L'application naturelle
est un quasi-isomorphisme.
En utilisant le Theoreme 3.9, on en deduit le theoreme d'Herrera-Liebermann, Deligne, Hartshorne [28], [25] : TH80REME 5.6. -
On
En effet
ales quasi-isomorphismes S
.
= S*. = OX.
Cy
est une resolution de
Cx .
done
a
cohomologie
analytiquement constructible(*). /
DEFINITION. - Si les conditions du Theoreme 5.4 sont realisees, on dira que est regulier le long de
Y. Si
S·
est
le long de tout
Y analytique,
on dira qu'il est regulier, ou Fuchsien.
(*) Inversement si 1 'on prouve "directement" le Theoreme 5.6, on en deduit le Theoreme 3.9. cf. Remarque 7.5'.
S·
254 PROPOSITION 5.7. - Pour que
S·
soit regulier, il suffit qu'il soit regulier
localement le long de toute hypersurface. C'est une application immediate de la Proposition 3.4. En pratique il pourra etre difficile de verifier que
S·
est
a
cohomo-
logie anuytiquement constructible. Une c l as se par-t acul i.erement interessante d' exemples sera fournie par les solutions de
D - modules X
D - coher-en t s holonomes X
(surdetermines maximaux). Dans ce cas particulier on peut obtenir les resultats fondamentaux de comparaison par une autre methode. Nous avons besoin pour cela de quelques resultats techniques. Ils sont l'objet de la partie suivante.
I
VI. QUELQUES FORMULES DE DUALITE FAISCEAUTIQUE. Il s'agit, soit de formules de "geometrie analytique" soi t de formules d' analyse algebrique
(Ox-modules),
(D - modules). Les enonces et les demonstra X
tions sont similaires. On designe toujours par
X une variete analytique, par
un sous-ensemble analytique. I
\
THEOREME 6.1. - Soit complexe borne de on pose
G'
=
F
un
Ox - module coherent (ou plus generalement
Ox -modules coherents,
x
a
di£ferentielles
F'
un
Ox -lineaires)
(F' ; Ox)
On se ramene
a
F'
Ox
(la question est locale), puis au
Y
255 cas ou
Y est defini par une equation
9
(Mayer-Vietoris). On utilise ensuite
les suites exactes
la premiere est une resolution conde est
FN -libre
sa topologie
(O(c)
a
la fois libre et
DFN -libre et libre ; la se-
est I 'espace des fonctions errt i er-es de
t
muni de
FN) •
(Pour la definition et Ie calcul de
Homtopo
x
,on se reportera
a
[57J).
On peut alors etablir Ie lemme suivant, qui permet de conclure LEMME 6.2. - (On suppose que
Y
= V(g).)
Remarque 6.3. : Reprenons les notations des remarques 3.13 et 4.9. On ales formules de dual.Lt e
Ces formules expriment la dualite entre d'une part et
J
Z
(ou
J
Z
les structures de
D
z
et
J
Z
designe les "jets conve rcent s "}, Utilisant sur
' d'autre part
D;
DZ' D; , jz ' J Z
0z - modules fournies par Le "premier facteur", on ad' autres
256 dual i.t es :
On passe du premier type de formules au second par dualite relative [56J, [57J, en
utilisant 1 'application
Si
S·
et
Par exemple :
P2: Z XZ - Z
S*·
sont deux complexes de fibres et operateurs differentiels
d'ordre fini, transposes l'un de l'autre, on obtient, sans difficulte, la generalisation suivante du Theor-eme 6.1. (On suppose les op er-ateurs de
(On a note
Liebermann dans
B'
[37J
X,r
le complexe de De Rham du
RHom B' X,r
S·
d'ordre ';;r .)
n - ieme ordre introduit par
est defini dans le meme art icle ; on prendra
garde au fait que cette operation n'est pas a priori compatible aux quasi-isomorphismes de complexes
a
a
operateurs differentiels [8J, c'est toutefois le cas ici
cause de la nature p ar-tLcu.Li.e r-e de
R'
-lC,r
= RHom
(B ' ;0) = OX X ,r"lC
-v
(B ' ;0).) X ,r-lC X
Remarque 6.5. : 11 existe des variantes du Theoreme 6.4, generalisant les autres assertions du Theoreme 6.1 ; elles utilisent le foncteur
RHomtop B' (.
•
X
question sera etudiee dans un autre article. Remarque 6.6. : La variante globale compacte
(X compact) du Theoreme 5.3 peut
se deduire du Theoreme 6.4 en travaillant comme Herrera-Liebermann dans [28J. La version locale aussi mais c'est plus delicat (on ne peut utiliser les suites spectrales qui se topologisent fort mal).
257 Remarque 6.7. : Nous avons vu que
peut s'interpreter comme un complexe
de faisceaux de "courants algebriques", tandis que
rf:P
s t Lnt e rp re t e comme un
X!Y
faisceau de formes "de Whitney" holomorphes. Le Theoreme 6.1 met ces deux objets en dua.l i t e "faisceautique" sur
OX; on a ainsi une "localisation" de la dua.l i.t e
de Schwartz.
Pas sons aux r esu'l t at.s analogues pour les Soit
un complexe borne de
M·
cation contraire les
a
propose cations
D -modules. X
D - modules c oh er-errt s , (Sau£' specifiX
D -modules consideres sorrt des modules X
est fonctoriel en
la Proposition 3.5 pour
a gauche). Le calcul M
(pour les appli-
D -lineaires en ecrivant les choses du bon cote) ; on obtient ainsi un X
representant de de la forme
dont les objets s on t des sommes finies de
(N
N[g - 1J
M·
les objets de
D -modules X
D -coherent ) ; ce representant est borne. Si, de plus, X
sont holonomes (surdetermines maximaux), les
N[g-1 J
sont
DX-coherents et holonomes (d'apres un result at de Kashiwara [30J, [33J) representant de
est done forme d' obj ets
notre
D - coh enerrt s holonomes X
(cf. Remarque 3.6.). PROPOSITION 6.8. - Si
M·
est un complexe borne de
D -modules coherents holoX
admet un representant qui est aussi un complexe borne de
DX -
modules cOherents holonomes. Quel que so it l'entier forme de
r
=- k
, avec
Dx-modules
objets sont
L·
r
(aussi petit que l'on veut : i.e. de la
kEN, grand), i l existe, localement, un c ompLexe parfait et un
r-quasi-isomorphisme [68JL·
M·(L·
est borne, ses
Dx-libres de type fini) [72J. Pour simplifier l'exposition nous
ferons dans la suite comme si on avait toujours une telle situation avec un quasiisomorphisme. (Les modifications necessaires pour passer au cas general sont mineures) •
258 On pose
et
Sol (Mo) = RHom D (MO; OX)
DR(MO) = RHom D (OX;MO) ° Si X
X
LO
est un representant parfait de
MO , on a
Sol(MO)
=
(LO;OX)
et
DR(Mo)
X
scm, (K' (a/ax. ;D ; L0) x) 9
--D
de
(ou
KO (a/ax; D x) 9
X
Ox; on s'est restreint
a
le representant obtenu pour
ou
S·
et
S*o
un ouvert de coordonnees) [45Jo Utilisant
DR(Mo)
Sol (MO)
tant obtenu pour
est la resolution de Koszul "gauche"
est quasi-isomorphe au transpose du represenSol(MO)
a finalement
On
= SO
et
DR(MO) = S*0 ;
sont des complexes bornes de fibres holomorphes et operateurs
differentiels d'ordre fini, transposes l'un de l'autreo Nous sommes donc dans la situation etudiee plus haut o PROPOSITION 609o - Si (i) Sol(M') (ii) DR(M')
en deduit par exemple
On
MO
est
est
a
a
objets coherents holonomes
cohomologie analytiquement constructibleo
est a cohomologie analytiquement constructible °
L'assertion (i) est due
a
Kashiwara [31J; (ii) s'en deduit, d'apres le
Theoreme 2.2 (i). THEOREME 6.10 0 - soi t
M'
un complexe de
coherents et differentielles
Dx-modules, borne,
D - lineaires. X
On
a
objets
D X-
a
En d'autres termes
Ce theoreme a ete obtenu en collaboration avec Malgrange. (Zo Mebkhout a prouve
(*) Les "solutions" du "sys teme restreint" sont les "completes formels" des "solutions" du sys teme initial.
259
(independamment et par une autre methode) ce resultat pour
M'
= Ox
[5 0J).
La demonstration, comme pour le Theoreme 6.1 se ramene au LEMME 6.11. - (On suppose que
Y
V(g) .)
Ce lemme s'etablit en utilisant la resolution
Remarque 6. 12.
On montre que, dans les memes conditions,
L'egalite du Theoreme 6.10 (resp. l'egalite ci-dessus), fournissent, en appliquant le foncteur dans
(resp.
d'autres egalites. Si
Zest lisse et contenu
, on obtient d'interessantes suites spectrales. Ces suites spectrales
permettent de retrouver et generaliser des resultats importants de Ogus et Barth [52J, [7J. (On utilise un theoreme de structure de certains
D - modules holonomes X
de Kashiwara [31J et, pour 1 'analyse de la deuxieme suite spectrale des conditions de regularite). Nous detaillerons cette question dans un autre article.
VII. iQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES RBGULIERES. INDICES Soit
M', S· = Sol(M') , S*· = DR(M')
comme dans la partie pr-ecederrt e ,
On sait que l'on peut trouver un bon representant de les objets de
(borne, et, si
sont holonomes, ce que nous supposerons desormais,
M'
holonomes et coherents). Localement
(*) Par exemple
R[[yJM'
Z
rectuit
a
un point.
est quasi-isomorphe
a
a
objets
un complexe
260 parfait (modulo l'abus deja s i.qn al e )
L;. Reprenant pour le "sys t eme''
ce que nous avons fait pour le "sys t eme" sentants
*. S1
S·
1
M· , nous en deduisons de bon s repre-
*. respectivement de S1
et
(S·1
et
et
sont des complexes bornes de fibres holomorphes et operateurs differentiels
d'ordre fini, transposes l'un de l'autre). On a
S;
RHom D (RI.::[yJM· ;Ox) x
*. • On constate ainsi que,
(Theoreme 6.10) et
dans ce cas, les resultats du Th eor-eme 5.3 ((i), (ii), (iii)) pour se deduisent de 1 'application du Theoreme 2.2 a
S·
et
1
S·
et
*.
S1
Nous disposons done de deux demonstrations du 7.1. - Soi t
M·
un complexe borne de
D - modules X
D - coherents holoX
nomes. Les deux conditions suivantes sont eguivalentes (i) L'application naturelle
est un iso-
morphisme (dans la categorie derivee). (ii) L'application naturelle
.....
(M·)
est un isomorphisme
(dans la categorie derivee). DEFINITION. - Si les conditions equivalentes du Theoreme 7.1 sont satisfaites, nous dirons que le "systeme" le long de tout
M·
est regulier le long de
Y, nous dirons que
PROPOSITION 7.2. - Le systeme
M·
K·
Y. Si
M·
est regulier
est regulier ou fuchsien.
est fuchsien si et seulement si il est, locale-
ment, regulier le long de toute hypersurface.
On utilise les Propositions 3.4 Exemple
le systeme "de De Rham" K·
Remarque 7.3.
et
4.1.
Ox est fuchsien. (Theoreme 3.9 ou 5.6.)
Les conditions (i) et (ii) du Theoreme 7.1 sont aussi equivalentes L
® K·) . Cette question, plus delicate, sera
D X
261
traitee ailleurs. (Pour le cas particulier Remarque 7.4. : Les conditions
(i) ou (ii) le long de
(i)
on pourra consulter [5 0J.) M'
verifie (i) ou (ii) le long de
Y,ZcY,
verifie Z •
d'un systeme fuchsien est donc encore fuchsien.
est fuchsien,
M'
= Ox
et (ii) se "restreignent" (Le. si
Tout restreint De meme, si
M'
est fuchsien. Par exemple les systemes
sont fuchsiens.
et
Remarque 7.5. : La condition
(ii)
est stable par image directe analytique propre,
au sens suivant Soient
f : X 1
YcX
analytiques,
X , analytique propre, ou
un sous-ensemble analytique,
Y 1
x
et
X sont des varietes 1 f-1(y) • Si M' est un
(a objets coherents holonomes et borne), regulier le long de
"systeme" sur
(cf. [32J) qui est encore
RIM'
Y1 ' alors
-t
a
cohomologie coherente et holonome
f
(cf. [32J pour un cas particulier) est regulier le long de
Y. Ceci resulte d'un
theoreme de comparaison de Banica [6J, gneralisant un theoreme de Grauert [20J. deduit que si, dans les memes conditions, fuchsien. Par exemple
RIo = f X1
M'
est fuchsien, alors
R
If
M'
On
est
est fuchsien. Ce dernier resultat est une version
precisee de la regularite de la connexion de Gauss-Manin. Remarque 7.6. : Soient
X,X 1,Y,Y1,f
corrane dans la Proposition 4.7., S·
(resp.S;)
un complexe borne de fibres holomorphes et operateurs differentiels d'ordre fini sur
X
(resp. X ) 1 On
et
suppose que
s*·
S· 1 X11Y
f * S*.
-t
restrictions respecti yes
a
Soit un morphisme
(resp.
*. • S1
s' -t
On
X - Y et
le complexe "transpose" •
) A
1 X 1/Y 1
est un quasi-isomorphisme.
suppose que c' est un isomorphisme pour les X, - Y1 • Alors l' application naturelle
en
262 est un quasi-isomorphisme.
On etablit ce resultat en utilisant le theoreme de comparaison de GRAUERT-BAN1CA [20J, [6J, et la "transposee" de construi te
a
( Le.
l' aide de la "trace relative"
TX
Ix
Rf S· = Rf S·
=
*
1
*
1
S· ;
[57J). (l'argument est voisin
1
de celui employe pour etablir le Lemme 4.8(*) : T'
est un complexe borne de
a
faisceaux c oh er-errt s et op er-ateurs differentiels d'ordre fini l'application naturelle
=
"support" dans
Y,
est un isomorphisme).
Appliquant ce qui precede
a
et
on obtient une demonstration 1
"directe" du Theoreme 5.6 : on est r-amene au cas
a
croisements nor-manx qui est
facile. (Cet argument est voisin de celui de Hartshorne [25
J ;
la difference etant
essentiellement que nous n'avons pas fait usage du fait que l'on peut supposer l'application
f
projective relative).
Remarque 7.6'. : Soit
M un systeme fuchsien. Soit
Whitney, analytique reguliere vis-a-vis de dans [31J). SOit
F
pointe dessine dans
SOl(M);F
est localement
X et provient d 'une "connexion" sur a'
une strate de l'adherence de reguliere "vis-a-vis de
une stratification de
M (cf. terminologie de Kashiwara
un faisceau de cohomologie de
constant sur les strates
(X a)
X"
X ; si X
s
a
X il est vraisemblable que cette connexion est a' (Le. la restriction
X et centre sur a'
X
s
a
un petit disque holomorphe
est reguliere).
Remarque 7.7. : 11 y a diverses extensions du Theoreme 5.3, utilisant un hyperrecouvrement de dessus de
X
X, ou, plus generalement un hypersysteme de Forster-Knorr au-
(cf. Remarque 2.3). L'extension utilisant un hyperrecouvrement de
X permet de traiter le cas des sOlutions globales d'un systeme sur
(*) Moyennant une suite spectrale adequate : pour tout f* -
est 1
a
cohomologie coharente et
a
X
(et du
p E:N le cylindre de
support dans
Y.
est
263 De Rham global). On obtient alors divers theoremes de dualite generalisant ceux etablis par Malgrange dans Ie cas des coefficients constants [42J. II Y a aussi des versions relatives, et meme des versions relatives singulieres (sans hypothese de proprete), generalisant Ie resultat central de [57J. Si l'on applique ce formalisme au cas du "sys t eme de De Rham" (dent il existe une version s inqul.ae re ) on obtient la cohomologie et l'homologie "de De Rham" etudiees dans [25J. Ainsi la dualite relative de Poincare-Verdier [67J, apparait (dans Ie cas d'une application analytique entre espaces analytiques) comme un cas particulier de notre dualite (qui est une dualite a la Serre) (*). Dans Ie cas lisse absolu des theoremes de dualite globale ont ete annonces par Z. Mebkhout. Les techniques sont voisines des notres. Designons toujours par holonomes, par
M'
un complexe borne de
Y un sous-ensemble analytique de
l'obstruction ala regularite de
M'
Le long de
par une fonction a valeurs entieres definie sur
D -modules coh er'errt s X
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Seminaire 75-76 (Grenoble 76-77).
/
/
INSTlTUT DE RECHERCHE MATHEMATIQUE AVANCEE Laboratoire As soc i e au C.N.R.S. Universite Louis Pasteur 7, rue Rene Descartes
67084 STRASBOURG CEDEX
278 Septernbre 1977
- ADDITIF A
"VARIATIONS SUR LE THEME "GAGA" par
J. P. RAMIS
Le Theoreme 4.2 (i) (page 246) a ete obtenu independarnment par J. BINGENER [73J (la demonstration est assez voisine de la n8tre).
On
peut egalernent prouver
Ie theoreme en question en reunissant un resultat de KRASNOV [75J et un resultat recent de DUFRESNOY [74J : On peut s'interesser
a
la situation du Theoreme 4.2 dans Ie cas, plus
general, d'un ferme analytique reel
Y; si
Y est, de plus, holomorphiquement
convexe, on peut assez raisonnablernent penser que Le complexe
est acyclique
en degre "' 1 ; DUFRESNOY a obtenu [74 J un joli r-e su'l t a t dans cette direction par des methodes
"a
la IDRMANDER" ; dans la situation de notre theoreme 4.2 cela
fournit une partie du resultat, et l'autre partie a ete demontree par KRASNOV (il s'agit de
o
X!Y =
Ker
-y
EO,,)) Y
[75J (Th. 4, p. 856) • (La resolution
des singularites n'est done, pour Ie moment, indispensable que pour cette seconde partie de la demonstration.) Dans notre demonstration du Theoreme 4.2 on a vu apparattre de maniere naturelle l'objet on a
0xlY/OXIY. Dans Le cas Le plus simple
(X= C et
Y = 0) ,
qui s'interprete tres bien en termes de develop-
pernents asymptotiques; on peut esperer qu'il en sera de m&te dans Le cas general sous reserve d'utiliser l'interpretation en terme de
1 H
des developpernents asympto-
tiques recemment introduite par MALGRANGE [47 bisJ (Rernarques sur les equations differentielles
a
points singuliers irreguliers)(*) ; dans Ie cas general on voit
mal ce qu'est un deve'toppemerrt asymptotique au sens "natf", mais mieux ce qu'est
(*) On notera d'ailleurs les precisions qu'apportent
a
nos considerations de dualite
une telle interpretation (cf. Ie theoreme de dualite de [47 bisJ).
279 un developpement asymptotique nul ! En generalisant les idees de MALGRANGE on devrait pouvoir interpreter Le cylindre qui compare les restrictions des solutions de
• quand M'
S· = Sol M' •
et les solutions du systeme
restreint (ce que MALGRANGE fait pour une equation). S'agirait-il de "comicrolocalisation" ?
BIBLIOGRAPHIE COMPLEMENTAIRE [73J
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[74J
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280
Janvier 1978
- ADDITIF
II A "VARIA TrONS SUR LE THEME "GAGA" " -
par
J. P. RAMIS
Dans "VARIATIONS" ••• "
nous avons donne deux conditions equivalentes de
regularite pour un "systeme holonOme" 7.1,
M·
(conditions
(i)
et
(ii)
du Theoreme
; nous avons egalement annonce l'equivalence entre ces conditions (iii) (Remarque 7.3,
et la condition
a une
redaction des "VARIATIONS ••• " HomtoPB.
• Nous avions pense lors de la demonstration ne ces sd tant
1 'etude
du foncteur
et donc pas mal de developpements formels. (Demonstration inspiree
[50J) • Nous avons recemment obtenu
essentiellement de l'idee de MEBKHOUT dans
une demonstration tres simple de ce resultat.
THEOREME Add. II.1 • Soit
M·
x-
un complexe borne de
D
modules
x-
D
coherents holonomes. Les
conditions suivantes sont eguivalentes • (i)
L'application naturelle
(SOl
(SOl
(M·»xly
est un
isomorphisme (dans la categorie derivee) •
(ii)
Ltapplication naturelle
R
r
= -[yJ
DR (M·)
R
r DR
= -y
(M")
isomorphisme (dans la categorie derivee) • (iii)
L·application naturelle
ex>
D
L
X DX
R
r
-[yJ
est un
M·
quasi-isomorphisme (dans la categorie derivee) • Notons
x)
D(C
la categorie derivee de la categorie des faisceaux de
e-espaces vectoriels sur X, D(D (resp. D(D;» X) categorie des faisceaux de
x-
D
la categorie derivee de la
modules (resp. D;- modules)
sur
X.
281 (i)
Dans
et
(ii)
indifferemment de morphisme de
il s'agit de la categorie derivee D(C X)
D(D;)
OU
x) ;
D(C
dans
D(D;) : en effet le morphisme de
(iii)
et pour montrer que c'est un isomorphisme de
suffit de verifier que c'est un isomorphisme de
le resultat de KASHIWARA
(iii)
entraine
D(D X)
il
x
(i)
et
(ii)
(Theoreme 7.1) •
(on utilise la remarque 6.12 et
[33J , [77J , qui montre que, localement,
quasi-isomorphe a un complexe parfait de Nous allons montrer que
(i)
est un
D(C ) •
On a deja prouve l'equivalence entre Il est facile de voir que
(iii)
(ii)
entraine
est
D mOdules: modulo l'abus deja signale •• ). X(iii)
ce qui termine la demonstration
du theoreme. Remarque Add. II. 2• KASHIWARA a recemment annonce qu' il pouvait demont r-er que si M· regulier au sens de KASHIWARA-OSHlMA regulier a notre sens , *
[78J , il verifiait
(iii)
etait
et done etait
On m' a s i qna.Le que BJORK aurait pr-euve que les connexions
regulieres au sens de DELIGNE [12J sont de la forme modulo ce resultat, les resultats de DELIGNE
[12J
sol(M) , avec
M holonome**;
impliquent alors que
regulier a notre sens. Comme nous l'avions annonce dans
M est
"Variations ••• " , il semble
bien que notre notion de regularite recouvre bien toutes les notions actuellement connues. 3uivant les idees que nous avons degagees dans un travail recent si
M=
(dans
la regularite de X
; n
= dim
X)
M doit se verifier sur le polyedre de Newton de
M) •
On a le corollaire suivant COROL1AIRE Add. II.3.
L'application naturelle
isomorphisme (dans la categorie derivee).
* Remark, page ** cr, KASHIWARA
10 [77J
[77 J
•
I
plus generalement, dans le cas irregulier, ce polyedre
devrait permettre de calculer divers invariants rationnels lies a avec les "solutions Gevrey" de
[80J ,
M (en relation
282 L'idee de ce resultat est due
a
resultats etablis recemment par ce dernier
MEBKHOUT
il complete les
** .
[79J
La demonstration de l'implication
*'
[50J
(ii)
= (iii)
repose sur les deux
lemmes suivants***:
X et X deux exemplaires de X; soit A la diagonale de 2 1 lineaire (SATO [60]) X X X • On a un isomorphisrne naturel 0x 2 1 1Soient
LEMME Add. II.4.
L'homomorphisme naturel
= cp(a)D1
cp(aD ) 2
D
D X
X2
(ou
D
deduit de l'isomorphisrne
LEMME Add. 11.5.
0i
Soit
(p,q
l'isomorphisme
D X
EN)
est
D - lineaire·: X
est le transforme de
1
X 2
1
cp
D
2
par l'isomorphisme
X ) • 1
D un
differentiel d'ordre fini (a droite) de
• Le diagramme
ou
D ' opere X.].
a
D.].
(i
= 1,2)
, transforme de
D par
droite
est commutatif. Le lemme 5 se deduit immediatement du lemme 4 ; nous allons demontrer ce dernier. La question est locale et le cas general est une variante du cas ou est de dimension un • Nous supposer-ons done phisme
cp
X = C (n - 1) • Dans ce cas I' isomor-
s'explicite facilement en coer-donnees
tout element de
1\
(OX ® Ox ) 1 C
se r-epr-esent e (de manf.er-e unique) par une "ser-Le de Laurent"
*
Notre demonstration du theoreme 1 repose sur une simplification des idees de MEBKHOUT dans
** ***
Cf. Remarques
[50J •
5.1 et 5.2 de
Variantes de la linearite HP (Xill) Jf!:.,p
-[yJ
'-lC
X
[50J •
a droite de
X
de l'application naturelle [57J , r-emar-quee par MEBKHOUT.
2
283
(avec la cOndition evidente de convergence) ; on a alors k
0
cp(Q') = 2 in ( I: (-1) /(k-1)!
x1
k:Z: 1
D
Soit
=.
,m
a
(moyennant un passage a) Le cas
et
=
x 2)k
la limite) •
D
=x
Q'
et
=
x
2)k
•
remarque d'abord que l'on a l'egalite
x 1
(etablie par recurrence sur On
Q' x 2
a
cp(O'X ) 2
pEN
en utilisant
= x2
x 1
1
J
= p(o: 1
1
= 1 ) •
x
, donc (_1)k/(k_1)!
x
1
cp(O'X 2 ) = 2in(-1l/(k-1) ! «k-1) ( x 1
= (2in(-1)k/(k_1)!
x
1
=-
x 2)k
= 2in(_(_1)k-1/(k_2)!
cp(O'X )
).
II suf£it de prouver l'egalite OX 0 D = d;. n suf£it egalement, d' apnes la
1
cp, d'etablir cette egalite pour Q'
linearite de
1
On
I:
D= x
pour
Ox -
0
1= , ••
k-1
(
0:
Q'
= dx 2
)k- 2 + x
1
x
1
2
)k-1) x = cp(Q') x 1 1 1 utilisant l'egalite ecrite plus haut, pour p = k - 1 ) • 2
b) Le cas On
x Soit (ou les Soit
L•
Q' ox
a x
D
2
=-
et
0
x
2
*
S
cp(Q')
x
/ (x
1/ (x 1-x 2) k )dx 2
= _ 2in(_1)k+1/k l =
2
2
o = crx
x
1-
x 2)
k
•
=- kI (x 1-x2 )k+1
dx 2 ' done x
1
oX 1
1
et
• Ce qui termine la demonstration. 1
un complexe de la Forme
mD
mD
Ox0 - 4 Ox1
•••
D
m
0/
sont des operateurs di££erentiels d'ordre £ini operant a droite). m D D m 0 r-1 ( 0
pour une metrique convenable sur N, on peut prendre pour Y une hypersurface g. (z) J
= 0,
car la fonction Log --1---
monique sur X \ Y , puisque
I j I2 g
est alors plurisoushar-
293
id'd"
\gJ -
log
1
Si la variete X est projective,
-
0
tout sous-ensemble analytique Z de X est
est en effet a l g e b r i q u e ,
X-negligeable. Z
ic(N)
il suffit donc de prendre pour Y
la trace sur X d'une hypersurface du projectif contenant Z. Notons d'autre part que si X est compacte et kahlerienne, semi-positif et si ic(M)
est
est definie positive en un point de X,
X est projective d l a p r a s
[J
On a
ou l'on pose
Ie resultat suivant,
si
alors
I].
n
et ou dt designe
l'element de volume kahlerien S'
1. THE' OR'cME E
l'ensemble Z des
faiblement pseudoconvexe X,
zeros communs aux g.
de classe C
sur X.
HO(X,K 181M I8lN)
f
Si ic(M)
J
fl 2
q e
te1s que g.h,
0( -
J
1
\f1 2
X X Si 1a courbure de Ricci de X veri fie
ic(M)
a10rs pour 'toute
0,
Ig/- 2o..l
fl 2
On reprend Ie raisonnement Si gEL (I,ll)
2
(X,loc,E)
p,q
dt
lemme 4.4. I.
est d"-fermee et tel Ie que:
{
On a par l'inegalite de Cauchy-Schwartz, et d'apres
(],lz)l(g\f)epzIZ 4(* f
eDom T*nKer
£
>.-I/glz e-epl
(I + S) II
dt)
Z
6
Ker S.l.,
on en d e d u i t
comme dans
est vraie pour toute f eDam T'" Par Hahn-Banach,
, pour
s.
Par decomposition orthogonale de f eDam T * en f et f
(10)
[ISJ
'
=
f]
+ £Z
au £j e Ker S
que l'inegalite
(1,12)
.
il existe done
u eL
z
I (X,loc,E)
p,q-
tel que
d"u = g • ( I , 13)
tie
a
( lul z -Cf l
Jx
" q e et Cj> v e r i f i a n t les hypotheses du lemme
(I, I])
On va majntenant montrer qu'on peut trouver On a besoin du lemme suivant LEMME 1.4. (n,q)-forme
a
Si
-
.
est a'
alors
pour
Choisissons
ljJ egale a
croissante,
et est
classe C
I
assez grand
XI
0
fixons
et d"1)1
,
pour
t
egalement
compacts K
egale a
tout
e(z)!, t }
V
de
nulle
6>0.
(l,J)
de
sorte
sur un v o i s i n a g e
V •
r: OU ::(1
IR
+
-+
choisie de maniere a
IR
+
est de
assurer
classe CoO,
la condition
(1,2)
soit
pour tout choisir
telR
+
.
2
plurisousharmonique de
et
la suite exhaustive de
compact X
et dans
j
1.4.
Ie compact X
t
= dZ
0(
supposer
Soit d'autre part a On peut
,
fonction d'exhaustion,
qu'on peut
Designons
lemme
1.4.,
I
(io( ..H
=
dans une base orthonormee
e]
exp
[::(1
exp
(Xl (t) ]
0
Comme
Sup )1
Sup
° au
Xt
\d"1jvI 2 S Id" 1])) 2 1
voisinage de X
a'
on peut de plus
identiquement nulle sur un voisinage de [O,a)
Choisissons maintenant
egal e
croissante de IR+ dans IR+ id'd"lf
X2 e 0
a :(2
Q
e'
o ii
X2
est une
on a classiquement
i d 'd"
e
+·X2 II
a
e
id
'e Ad "e
f o n c t i on
con-
305
Comme (' est plurisousharmonique et que id\JAd",+, la condition
(1,14)
+
(I, IS)
et
g
( 1 , I 6)
n,q 2
a
croissante, condition
a
(X,loc,E)
a epune
ajouter
convexe,
de maniere [O,a)
,
a
de sor-
telle que
une forme d"-fermee,
O en tout point du support
ce qui autorise l'usage eventuel d'une
plurisousharmonique. precise du theoreme >0,
(X etant kahlerienne),
l'operateur
On peut egalement obtenir une version un peu plus en tout point de X,
au
la forme id 'd"
)
L
2 (X, 'f2,Ml!lP) n, ]
t
L2
n,o
(X
epl '
'
M \i)N)
ou C est defini et F formes
F
I
T=d ')..
2 n, I (X, 'P2 '
--?- F , 2
rest s u r j e c t i fi ,
(2,1)
S
(M.QON))
et est
2 sous-espaces de L
les
2
L
comme dans
de formes
r:
t c
c
G
,5)
2 ep Ln , 2 (X , q>3 ' M )
S=d" )
n,o
2
continu d'apres
(X,
(n
I l
,
M
Ell P
)
et
(2,4). 2 L n,o (X, 2
(T C u
=
le domaine de T.
[s 1
2
(0, I)-forme sur X
d,,(-g- ) est b o r n e e de sorte que d"C
Igl2
= Cf2 - \\I e t
que
On a alors en d e s Lg n a n t
e.p 2'
'V q
par
(v
1tu
valeurs dans N
appartient bien
... ,v
l,v 2'
les composantes de
p)
=?-
_I
r{ (u,
I d '(4) g.
0
.h j
Igil
ou le produit scalaire de droite est celui des Designons par D'gj
la
a
(I,G)-forme
'
(D'g.)
(2,15 )
J
f
valeur dans N d e f i n i e a u-r d e s s u s
=
On a plus simplement
Iv )
(d"C"'u
(u
D'g.
J=1
J
LilM
J
Soit par l'inegalite de Cauchy-Schwartz (2,17) (on a
D'g. J
2 \ (d "ClI'u Iv) 'P2 \'
=ep-
Cf'1
2't',Cf2
=Cf-\jo')
Posons pour simplifier D'apres
(2,12),
u+
(2,18)1 I C'"
:
(2,13),
2 j;; 11 (0 Tv
'1
avec
-
=
(2,17), I 0(
2
'lfl
e ),
(n,O)-formes.
e par
(2, I 6)
a
,
2,1 L (X, (1l2,M) n T
0) •
J=I
U
-I
a
M Eap), e ten t r a va ill ant au - des sus de U.f
(d"C"'u Iv)
de
,
d,,(-L)/lu
On suppose desormais que la
veL 2 (X,
Iv) Ci'2
:
d"C"'u
( p u i s que
(d"C"'u
=
0
v , J
1
J= 1
on obtient
]
J
:
311
Supposons que cpsatisfait alors
(2.18) et
(2,19),
+e)IIC"'u +
+
la condition
l'estimation suivante
D'apres (I
a
(1,8)
du
on obtient donc l'estimation
+
(I
+ id'd"q>)Avlv)
-
M
+ id'd"41
au lieu de
Supposons demontre LEMME 2.1.
-
Ie
(1,3),
on a
:
(I
+
(ic
+ E,) IID'gJvI12Je-'PdT ,
-0(1
lemme
+
M
(2,10) +
avec des conventions evidentes pour condenser iC
lemme
l'ecriture,par exemple
ij;P
suivant
:
En tout point de X et pour toute
(X,M.$p)
on a
n,l
(avec q = Inf(n,p-I) q«ic N + id'd"
p
Re m l a c o n s
loglt;\2
: )"Av IV)M
alors tj)par
on obtient d'apres (2,20)(1
)
'P+o(q(1
+E;)
Igl 2
log
+
+
-
epj
l'estimation
Ie lemme 2,1
avec desormais (2,2J)
dans
=;1
En multipliant
Remarque 3. I .
2,
N)
telle
g.h,
=
dt,l' \f!2 Ig/-2 X,Z
positive id'd"
2
(n,o)-formes holomorphes hI ,h f
Jx
a valeurs dans
(n,o)-forme holomorphe
Ie poids
-iqc(N»Aw,
Ie
t
,
h e o r e me
4,
:
Ig\-2 q-2 [1
Comme la fonction
log !g\ 2 ne differe
fonction plurisousharrnonique que par l'addition d'une fonction de
d'une
317
classe coO t e gr ab l e s
les
coefficients de id 'd"log \g\2
au voisinage de Z.
II en r e s u l
localement bornee au voisinage de Z, remarque 3. I.
Remarque 3.3.
e que si
a
If
I
\g\ -q-l
est
l'integrale de droite de
>
0).
Comme dans
I.e
-
qc(N)
t
h e o r e me
1,
4 remplacer les n-formes holomorphes,
morphes
localement in-
la
est convergente pour un choix convenable de
reserve que ic(M)
3 et
t
sont
condition de remplacer c(M)
on peut dans par des
par c(M)
les
t h e o r e me s
fonctions holo-
+ Ricci w,
dans
les
hypotheses. Demonstration.
du tho
3
4.
D'apres la definition 1, -g-
Igl
de f i ni t
2
solution
c GO
toujours
un element
du
h'
supposer Z
0.
Soit de f j ni
p r o b I e me
(3,1) de
on peut
f
la
par
.a.2 Igl
sorte que
(3,2)
gh'
f
Posons w = d"h'
(3,3) On a d'apres g.w = gd"h' D'apres
(3,2)
et
g
j;p)
(3,3)
= d"(g.h')
Ie theoreme
fl\d"(
1,
o ,
= d"(f)
o.
d"w = d"2.h'
il existe done h" tel que
(3,4)
(3,5)
Ix
Dt a pr e s
dt (3,3)
et
(3,4),
h = h'
-
h"
repond au probleme, et verifie
l'estimation :
(d'apres
(3,1), h'
et h " sont o r
t
b o g o n a u x puisque g h " v
0).
318
II suffit de verifier l'estimation (3,7)
19l
Igi
N- 1
En considerant une pour w,
£.
Id"(-L2)12
(3,7)
2
2Tr(id'd"log igl
+
i c CN)
trivialisation locale de N et une base orthonormee
il suffit de verifier
Dans ce cas
:
lorsque N =
(3,7)
et
lorsque X =
s'ecrit par un calcul immediat
(3,8) Comme
(3,8)
resulte simplement de
Demonstration du
theoreme 3.
Comme pour les theoreme me
l'inegalite de Cauchy-Schwarz.
1 et
2,
il
suffit de demontrer Ie theore-
Iorsque Z est vide et en
pseudoconvexe,
relativement compact dans X.
a supposer ic(M) -
Pour ne pas avoir 1:,)0, ni ment
X par un ouvert faiblement
A>O dans
I'inegalite
Ie
t
(2,20)
(I
+ S)qc(N)
h e o r em e 3, on est a me n e et
(J , 8)
5[( (i
(2,8)
II Gil< u cM +
et
+ T'" v
(2,9) 2
1
aveco{=
+ f, T .. v
'"1'1
i d ' d"
(j1 ) A v
X Soit d'apres Ie lemme
Iv)
-
2,1,
II
°
pour certains
a modifier Iegere-
a resoudre , dans une premiere etape,
I'equation d"h = w avec h "presque dans Ker G, D'apres
3-
I,
(I
+
t.pres".
on obtient
+
II
a
>.-
1) I
d
''j/1 v
en utilisant
2
1
Le
fait
que iC
at ,
+
X
M
-
.
319
CfJ =
•
Par l'argument de decomposition orthogonale sur Ker S et Ker dej a
employe en
(1,12),
est vraie pour tout v e Dom T"
(3, 10)
S.l. (car
we Ker S).
2 IIlP ] 2 Appliquant Ie t h e o r e me de Hahn-Banach dans [ L n,o (X,CDI,M) ,
on en d e d u i
t;
(3, 12)
I
l'existence d'un couple
pour tout v EDom T
..
et u
(3, 13)
fx
(3,12)
equivaut encore
£,1/ 2
+ (h' ,
(h Gif u + T 1Ifv)CPI
EO
-