125 82 10MB
French Pages 181 [191] Year 1974
Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann
410 Serninaire Pierre Lelong
(Analyse) Annee 1972-1973
Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1974
Lecture Notes 1n Mathematics Vols. 1·183 are also available. For further information, please contact your book-seller or Springer-Verlag. Vol. 184: Symposium on Several Complex Variables, Park City, Utah, 1970. Edited by R. M. Brooks. V, 234 pages. 1971. DM 20,Vol. 185: Several Complex Variables II, Maryland 1970. Edited by J. Horvath. Ill, 287 pages. 1971. DM 24,Vol. 186: Recent Trends in Graph Theory. Edited by M. Capobianco/ J. B. Frechen/M. Krolik. VI, 219 pages. 1971. DM 18,Vol. 187: H. S. Shapiro, Topics in Approximation Theory. VIII, 275 pages. 1971. DM 22,Vol. 188: Symposium on Semantics of Algorithmic Languages. Edited by E. Engeler. VI, 372 pages. 1971. DM 26,Vol. 189: A. Wei I, Dirichlet Series and Automorphic Forms. V, 164 pages. 1971. DM 16,Vol. 190: Martingales. A Report on a Meeting at Oberwolfach, May 17·23, 1970.EditedbyH.Dinges.V, 75 pages.1971.DM 16,Vol. 191: Semina ire de Probabilites V. Edited by P. A. Meyer. IV, 372 pages. 1971. DM 26,Vol. 192: Proceedings of Liverpool Singularities - Symposium I. Edited by C. T.C. Wall. V,319 pages.1971. DM 24,Vol. 193: Symposium on the Theory of Numerical Analysis. Edited by J. Ll. Morris. VI, 152 pages. 1971. DM 16,Vol. 194: M. Berger, P. Gauduchon et E. Maze!. Le Spectre d'une Variate Riemannienne. VII, 251 pages. 1971. DM 22,Vol. 195: Reports of the Midwest Category Seminar V. Edited by J. W. Gray and S. Mac Lane. Ill, 255 pages. 1971. DM 22,Vol. 196: H-spaces - Neuchatel (Suisse)- Aoat 1970. Edited by F. Sigrist. V, 156 pages. 1971. DM 16,Vol. 197: Manifolds - Amsterdam 1970. Edited by N.H. Kuiper. V, 231 pages. 1971. DM 20,Vol. 198: M. Herve, Analytic and Plurisubharmonic Functions in Finite and Infinite Dimensional Spaces. VI, 90 pages. 1971. DM 16,Vol. 199: Ch. J. Mozzochi, On the Pointwise Convergence of Fourier Series. VII, 87 pages. 1971. DM 16,-
Vol. 216: H. MaaB, Siegel's Modular Forms and Dirichlet Series. VII, 328 pages. 1971. DM 20,Vol. 217: T.J.Jech, Lectures in Se!Theorywith ParticularEmphasison the Method of Forcing. V, 137 pages. 1971. DM 16,Vol. 218: C. P. Schnorr, Zufalligkeit und Wahrscheinlichkeit.IV, 212 Seiten. 1971. DM 20,Vol. 219: N. L. Ailing and N. Greenleaf, Foundations of the Theory of Klein Surfaces. IX, 117 pages. 1971. DM 16,Vol. 220: W. A. Coppel, Disconjugacy. V, 148 pages. 1971. DM 16,Vol. 221: P. Gabriel und F. Ulmer, Lokal prasentierbare Kategorien. V, 200 Seiten. 1971. DM 18,Vol. 222: C. Meghea, Compactification des Espaces Harmoniques. Ill, 108 pages. 1971. DM 16,Vol. 223: U. Feigner, Models of ZF-Set Theory. VI, 173 pages. 1971. DM16,Vol. 224: Revetements Etales etGroupe Fondamental. (SGA 1). Dirige parA.GrothendieckXX11,447 pages.1971. DM 30,Vol. 225: Theorie des Intersections et Theoreme de Riemann-Roch. (SGA 6). Dirige par P. Berthelot, A. Grothendieck et L. lllusie. XII, 700 pages. 1971. DM 40,Vol. 226: Seminar on Potential Theory, II. Edited by H. Bauer. IV, 170 pages. 1971. DM 18,Vol. 227: H. L. Montgomery, Topics in Multiplicative Number Theory. IX, 178 pages. 1971. DM 18,Vol. 228: Conference on Applications of Numerical Analysis. Edited by J. Ll. Morris. X, 358 pages. 1971. DM 26,Vol. 229: J. Vaisilla, Lectures on n-Dimensional Ouasiconformal Mappings. XIV, 144 pages.1971. DM 16,Vol. 230: L. Waelbroeck, Topological Vector Spaces and Algebras. VII, 158 pages. 1971. DM 16,Vol. 231: H. Reiter, L'-Aigebras and Segal Algebras. XI, 113 pages. 1971.DM16,Vol. 232: T. H. Ganelius, Tauberian Remainder Theorems. VI, 75 pages. 1971. DM 16,-
Vol. 201: J. H. van Lint, Coding Theory. VII, 136 pages. 1971. DM 16,-
Vol. 233: C. P. Tsokos and W. J. Padgett. Random Integral Equations with Applications to stochastic Systems. VII, 174 pages. 1971. DM 18,-
Vol. 202: J. Benedetto, Harmonic Analysis in Totally Disconnected Sets. VIII, 261 pages. 1971. DM 22,-
Vol. 234: A. Andreotti and W. Stoll. Analytic and Algebraic Dependence of Meromorphic Functions. Ill, 390 pages. 1971. DM 26,-
Vol. 203: D. Knutson, Algebraic Spaces. VI, 261 pages. 1971. DM 22,-
Vol. 235: Global Differentiable Dynamics. Edited by 0. Hajek, A. J. Lohwater, and R. McCann. X, 140 pages. 1971. DM 16,-
Vol. 204: A. Zygmund, lntegrales Singulieres. IV, 53 pages. 1971. DM16,-
Vol. 236: M. Barr, P. A. Grille!, and D. H. van Osdol. Exact Categories and Categories of Sheaves. VII, 239 pages. 1971. DM 20,-
Vol. 205: Seminaire Pierre Lelong (Analyse) Annee 1970. VI, 243 pages. 1971. DM 20,-
Vol. 237: B. Stenstrom, Rings and Modules of Quotients. VII, 136 pages. 1971. DM 16,-
Vol. 206: Symposium on Differential Equations and Dynamical Systems. Edited by D. Chillingworth. XI, 173 pages. 1971. DM 16,-
Vol. 238: Der kanonische Modul eines Cohen·Macaulay-Rings. Herausgegeben von Jurgen Herzog und Ernsi'Kunz. VI, 1 03 Seiten. 1971 . DM 16,-
Vol. 200: U. Neri, Singular Integrals. VII, 272 pages. 1971. DM 22,-
Vol. 207: L. Bernstein, The Jacobi-Perron Algorithm -Its Theory and Application. IV, 161 pages. 1971. DM 16,Vol. 208: A. Grothendieck and J. P. Murre, The Tame Fundamental Group of a Formal Neighbourhood of a Divisor with Normal Crossings on a Scheme. VIII, 133 pages. 1971. DM 16,Vol. 209: Proceedings of Liverpool Singularities Symposium II. Edited by C. T. C. Wall. V, 280 pages. 1971. DM 22,Vol: 210: M. Eichler, Projective Varieties and Modular Forms. Ill, 118 pages. 1971. DM 16,Vol. 211: Theoriedes Matro'ides. Edite par C. P. Bruter.lll, 108 pages. 1971. DM 16,Vol. 212: B. Scarpellini, Proof Theory and lntuitionistic Systems. VII, 291 pages. 1971. DM 24,Vol. 213: H. Hog be-N lend, Theorie des Bornologies et Applications. V, 168 pages. 1971. DM 18,Vol. 214: M. Smorodinsky, Ergodic Theory, Entropy. V, 64 pages. 1971.DMHI,Vol. 215: P. Antonelli, D. Burghelea and P. J. Kahn, The ConcordanceHomotopy Groups of Geometric Automorphism Groups. X, 140 pages. 1971. DM 16,-
Vol. 239: L. lllusie, Complexe Cotangent et Deformations I. XV, 355 pages. 1971. DM 26,Vol. 240: A. Kerber, Representations of Permutation Groups I. VII, 192 pages. 1971. DM 18,Vol. 241: S. Kaneyuki, Homogeneous Bounded Domains and Siegel Domains. V, 89 pages. 1971. DM 16,Vol. 242: R. R. Coifman et G. Weiss, Analyse Harmonique NonCommutative sur Certains Espaces. V, 160 pages.1971. DM 16,Vol. 243: Japan-United States Seminar on Ordinary Differential and Functional Equations. Edited by M. Urabe. VIII, 332 pages. 1971. DM 26,Vol. 244: Seminaire Bourbaki - vol. 1970/71. Exposes 382-399. IV, 356 pages. 1971. DM 26,Vol. 245: D. E. Cohen, Groups of Cohomological Dimension One. V, 99 pages. 1972. DM 16,Vol. 246: Lectures on Rings and Modules. Tulane University Ring and Operator Theory Year, 1970-1971. Volume I. X, 661 pages. 1972. DM 40,-
continuation on page 185
Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann
410 Serninaire Pierre Lelong
(Analyse) Annee 1972-1973
Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1974
Prof. Dr. Pierre Lelong Universite Paris VI Mathernatiques 11, Ouai Saint-Bernard Paris 5 e/France
AMS Subject Classifications (1970): 28A40, 32FXX, 46FXX,
32AXX, 32HXX, 46GXX,
32EXX, 46 AXX, 53C65
ISBN 3-540-06858-9 Springer-Verlag Berlin' Heidelberg· New York ISBN 0-387-06858-9 Springer-Verlag New York' Heidelberg' Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 64 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.
© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1974. Library of Congress Catalog Card Number 68-67177. Printed in Germany. Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
PRO P 0 S
A V ANT
Le Seminaire 1972-1973 fait suite aux precedents qui ont ete publies aux Lecture-Notes -
Ll
(1967-1968),
275 (1970-1971), 332 (1971-1972) -
(1969), 205
(1970),
II concerne l'analyse complexe,
notamment en dimension infinie. On n'a publie ici que les exposes presentant des resultats nouveaux ou bien donnant un compte-rendu d'un travail difficile MODOV).
a
trouver
(par exemple les travaux de V.PALA-
Les quatre derniers exposes se rapportent
a
des conferences
qui ont ete donnees apres la fin de l'annee scolaire.
Signalons au lecteur l'expose 5 de N.SIBONY qui est la premiere redaction d'un resultat interessant concernant les particularites des domaines d'holomorphie des fonctions bornees de
I
variables com-
plexes. Dans une autre direction l'expose 10 de P.MAZET donne un theoreme qui parait important pour l'etude locale des images analytiques dans
les espaces de Banach.
Nous remercions la Librairie SPRINGER qui edite Ie Seminaire dans les Lecture-Notes et contribue ainsi efficacement
a
sa diffusion.
Pierre L E LON G
TAB L E
DES
1. DESOLNEUX-MOULIS (Madame N.).
MAT I
RES
- Un theoreme de fonctions
implicites dans les espaces de Frechet. Application
a
un probleme de deformation de structures complexes
2. NOVERRAZ (Ph.). - Completion pseudo-convexe en dimension infinie
15
3. HERVIER (Y.).
Sur Ie probleme de Levi banachique
4. LITWIN (J.). -
Problemes lineaires d'analyse complexe d'apres
l1ITIAGUINE et
18
HENKINE
28
5. SIBONY (M.). - Prolongement analytique des fonctions holomorphes bornees
6.
LITWIN (J.). -
44
Complexe de Dolbeault sur les varietes de Stein 67
(travaux de V.PALA110DOV)
7. GRUMAN (L.). - Majorations de type L P pour les fonctions sousharmoniques d'apres HORMANDER
8. FERRIER (J.-P.). -
pluri-
•••..••...••..••...•.
77
Ideaux de fonctions holomorphes avec poids et
....................................
86
9. LELONG (P.). - Un theoreme de support pour certains courants.
97
calcul fonctionnel
10. MAZET (P.). - Un t h e o r eme
d'image directe propre
107
VI
11.
SKODA (H.).
-
Nouvelle methode pour l'etude des potentiels as so-
cies aux ensembles analytiques 12
I
KREE (P.).
117
Solutions faibles d'equations aux derivees fonc-
tionnelles I
.....................................................................
142
Seminaire P.LELONG 13e annee,
28 Novembre
1972/73
I
1973
I
\
UN THEOREME DE FONCTIONS IMPLICITES DANS LES ESPACES DE FRECHET.
,
\
/
APPLICATION A UN PROBLEME DE DEFORMATION DE STRUCTURES COMPLEXES.
par Madame N.DESOLNEUX-MOULIS
1. Introduction. II est bien connu que,
en toute generalite un theoreme de fonctions
implicites dans les espaces de Frechet ne peut etre vrai.
II suffit,
pour s'en convaincre de considerer I'espace Cro(R) des applications de classe
c ro
de Ia droite reelle dans elle-meme, muni de la topologie de la
convergence uniforme sur cation E de
tout compact de toutes les derivees et l'appli-
dans lui-meme definie par;
En n'importe quel
E(f)
sens raisonnable E est de classe C
Ie en 0 est l'identite.
Mais on verifie que
des elements qui n'appartiennent pas
exp(f) 1
-
1
et sa differentiel-
tout voisinage de 0 contient
a l'image de E.
Depuis NASH [12] de nombreux theoremes plus au mains voisins ant ete elabores sur ce sujet.
lIs concernent taus Ie cas au l'espace de Fre-
chet E peut etre considere comme limite famille d'espaces de Banach tions differentiables s'etendre pour E. J
tout
II n'existe pas
1 de
E (i i
I).
On s'interesse alors aux applica-
E dans E dont
indice i
a
6
(projective au inductive) d'une
la differentielle
p¢
en une application lineaire de E
i
peut dans un
ce jour de theoreme general englobant tous ceux
dont nous donnons les references ci-dessous. Le cas Ie plus simple est celui ou E est un espace de classe COO d'un fibre ayant pour base une variete de classe
sections de compacte.
2
Les E.
1
sont alors
ou les espaces de
les espaces de sections de classe C SOBOLEV correspondant.
¢
d ii
t h e o r e me d e mo n t r e ,
HAMILTON
i
est donnee
al par un operateur differentiel mier
du meme fibre,
E peut etre considere comme li-
mite projective de la famille des espaces E L'application
i
a
[12]
NASH
c'est Ie cas du pre-
elliptique et
[15J '
de l'article de
[4J dont nous donnons les grandes lignes a la fin de cet expose.
Enfin nous
signalons
les
theoremes
f e r e n t Le I s
polynomiaux d ii s
a
tres generaux sur les operateurs dif-
GROMOV
[2J
(j' ignore oil se procurer une de-
monstration detail lee)
bl par une relation de conjugaison (par exemple, morphisme du
tore,
on peut
un diffeomorphisme
Ces applications o n
0
russes pour
GROMOV
Cp [16J,
HERMAN
[5J
[3J
subtiles ont ete demontres par des mathema-
la plupart JAKOBOWITZ
KOLMOGOROFF
[7J '
RUSSMANN
trouve une application pratique tres
corps en mecanique celeste dans ni cs
tels que
e t e d e v e Lo p p e e s par SERGERAERT
theoremes beaucoup plus
ticiens,
me
t
f
0
o
DlJ
MOSER Des
a quelle condition sur f il existe
se demander
du tore et une rotation R
ep-1
etant un d i f f e o>
f
ARNOLD Ce
OJ ,
type de
MOSER theore-
interessante au probleme des
Ie livre de STERNBERG:
trois
Celestial Mecha-
II [1 7] . Dans tous ces
ce de fonctions
theoremes,
l'espace de fonctions
considere est un espa-
analytiques reelles ou complexes muni d'une topologie
limite inductive d'espaces de Banach.
L'application
0 peut
etre donnee
par une relation de conjugaison au plus generalement une relation de composition de diffeomorphismes.
3 Dans cet expose nous definissons une categorie dans theoreme assez vrai.
simple et assez general de fonctions
Cette presentation est due a SERGERAERT.
details tion.
techniques nous donnons
les grandes
laquelle un
implicites est
Sans entrer dans les
lignes de la demonstra-
Nous donnons enfin de ce theoreme une application due a HAMIL-
TON concernant l'etude dans un cas particulier du complexe de DOLBEAULT
U:.
Un
1°f
theoreme de fouctions
implicites d'apres
SERGERAE
Categorie des Q-objets. un£-espace est un espace de Frechet E tel
af
T[l6]
que
La topologie de E est definie par une suite croissante de
normes notees 'o ] II
Ii
(i.slN)
existe une famille a un p a r.a me t r e
teurs dits 01?erateurs d'a1?proximation notee Set) (i)
pour
tout t , Set)
+=[) d'o1?era-
t( te]O,
telle que:
est une application Li.n e a i r e continue de
E dans E. (i i ) (iii) C et C'
IS ( t)
(x) \ i + k {, C ( i , k)
tk
Ix Ii
IS(t)(x) -
Ixli
etant deux constantes dependant de i
et de k.
Exemples de So it
'I;
ceo compacte
un fibre de c La s s e Co:>, ;
soi
t
r
w
(
de base une v a r Le t e X de classe
'Q.) l ' e s p a c e des sections de c La s s e CCO de '8muni
de la topologie de la convergence uniforme de toutes les derivees. 1'espace des
sections de
de la convergence uniforme de toutes On P e uta lor s con s i d ere r et poser pour
tout
I' co (
cr- de I'cc(
'c)
de c1asse
ci
muni de la norme
les derivees jusqu'a 1'ordre i.
co mme 1 i mit e pro j e c t i v e des
r
i (
)
4
0(
sup
D
f
/n
-:;;-Adz. zi
(0, I)
et
(1,0)
res-
la structure /'0)
p donne v o i s i n de Po nous identifions
des formes differentielles sur X de classe COO de type
f' a
Si co
sur X pour la structure com-
sont des formes d i f f e r e n r i c L'l e s de type
structure
voisine de Po'
valeurs dans T'(X). De meme Cro({,)
p
ce des formes differentielles de type
(0,
2)
pour
a
Cco(it)
(0,
l'espace
pour la
1)
s'identifie la structure
a
l'espa-
p, a
va1eurs dans T' (X) .
P
Soit T(f) definie par
l'application de C O} •
A
Rf
Dans Ie cas
P, Ie P-rayon de majoration
> O} •
Ceci peut aussi se deduire du resultat suivant : Theoreme 1.-.§.Qii E un elc non complet et
v une fonction plurisousharmonique dans
E C U CE, et une fonction
il existe un ouvert U
que dans U telle que_ vIE = v , Le couple
(U,v)
lim
y-tx
y
U = {x
v
definie par
sup v(y)
e. E
est semi-continue super-i.euremerrt de pseudo-convexe
plurisousharmoni-
n'est pas unique en general.
La demonstration se fait en montrant que la fonction
v(x)
'iT
E,
E,
v(x)
E
dans
< + 00 }
Tit
et plurisousharmonique dans I' ouvert
Bien que l'unieite ne soit pas assuree en
general ee theoreme est utile dans de nombreux prohLemee, Des exemples de non-unieite sont faciles a obtenir : Soit U un ouvert, tels que
z+A-z'
E Cue
E,
U
t- E,
et du(z,z') = inf
Ii\..I
¢ U, on peut choisir z dans E pour que la fonction z '
soit plurisousharmonique dans
U egale
a
0
sur E mais non identiquement nulle.
Proposition 1. -.§.Qii U un ouvert pseudo-convexe d I un ele E, il existe un ouvert pseudo-convexe U'
E
tel que U' n E = U.
(z,z.)
16
Soit E un elc,
ErE,
tion de tous les ouverts pseudo-convexes JP-complet. On montre que espaces
P-complcts
U, E C U
CE.
Si
= E
est un espace vectoriel egal
F,
de
appelons complete pseudo-convexe
E C
a
E l'intersec-
on dira que
est
E
l'intersection des sous-
FeE.
Proposition 2.- Dans un espace de Banach tout sous-espace rew1ion denombrable de sousespaces fermes est Ie sous-espace E de
Cette proposition n'est plus vraie dans Ie cas non norme
([ IN
(produit denombrab'l.o de droites) forme des suites nulles sauf un nombre fini de
termes est tel que E jJ
iN
=
r E.
Cet exemple montre aussi que dans un espace de
Frechet une reunion denoQbrable d'ensembles polaires n'est pas necessairement polaire. Rappelons que
Le
complete holomorphe
E
des domaines d'existence dans Proposition 3.- Si E
E
e
est, par definition, l'intersection
R(E).
des fonctions de
est un elc de dimension (algebrigue) denombrable, alors
Ep
= E
e.
La dual fort d'un espace de Banach muni de la topologie faible donne un exemple d'espace quasi-complet qui n'est pas Theoreme 2.- Si E et
F
sont deux elc, (E x F)p
=
x Ftp
Nous allons maintenant comparer plusieurs sortes de completions et montrer que dans de nombreux espaces elles co!ncident. Soit
(resp. E T[;
)
E
un elc,
l'intersection de tous les ouverts
lement) convexes tels que
E
U
ErE ,
nous noterons
E){
holomorphiquement (resp. po lynomi.a-
cue E.
La propriete d'approximation forte a ete etudiee en (4) ,(5). Si un elc possMe la propriete d1approximation forte, un ouvert si
un
U est polynomialement convexe si et seulement
Fest polynomialcmcnt convexe pour tout sous-espace F
de dimension f'Lni.e , On
peut montrer alors Proposition 4.- Si E cst un de possedant la propriete d'approximation forte,
OIl
final:
montre enfin que E
e
= EX si I' espace
E
est metrisnble d' oii Le resultat
17
Theoreme 3.- Soit
E un
de Frechet possedant la propriete d'approximation forte
alors pour tout sous-espa.ce dense
F
F
=
ll
Fe
rc •
= F
I.e tMoreme est verifie en particulier dans :
1) les espaces do Banach avec propriete d'approximation forte, 2) les espaces de Frechet nucleaires. Il est interessa.nt de remarquer que l'egalite
Ee
des espaces ou lion ne sait pas si le probleme de Levi
='
Ep
a une
a lieu aussi bien dans
reponse positive (coIllll1e les
espaces de Frechet nucleaires) que dans des espaces ou le probleme de Levi negative (on peut construire (3) dans
co(r),
I
a une
reponse
non denombrable, un ouvert pseudo-con-
vexe qui n'est pas d'holomorphj.e). Note: ce qui precede differe sensiblement de l'expose oral et contient des resultats obtenus ulterieurement (mars 1973) ; le lecteur trouvera Le detail des demonstrations en (6) •
/
/
REFERENCES
(1)
S. DINEEN - Holomorphically complete locally convex topological vector spaces, Sem. Lelong 1971-1972 Springer lecture notes 332 - p 77 - 111.
(2)
A. HIRSCHOWrTZ - Prolongement analytique en dimension infinie, Ann. Ins t, Fourier,
t 22, 1972, p. 255 - 292. (3)
B. JOSEFSON - notes manuscrites.
(4)
Ph. NOVERRAZ - Sm' le tMoreme de Cartan-Thullen-Qka en dimension infinie, sem, Lelong 1971-1972, Springer lecture notes 332, p 59-68.
(5)
Ph. NOVERRAZ - Pseudo-eonvexite, corrvexd.te polynomiale et domaines d I holomorphi e en dimension infinie, Notas de matematica 3, North-Holland, 1973.
(6)
Ph. NOVERRAZ - Pseudo-eonvex completion of locally convex topological vector spaces.
Seminaire P.LELONG (Analyse) 13e annee, 1972/73
I 2 Decembr e
1 972
\
SUR LE PROBLEME DE LEVI BANACHIQUE par Yves HERVIER
Introduction.
O.
On sait d e p u i s
vectoriel de dimension finie, d'holomorphie.
longtemps que,
les espaces etales pseudo-convexes sont
a
etait alors nature 1 de chercher
11
sur un espace
generaliser ce re-
sultat aux espaces de Banach en approchant les espaces par leurs traces en dimension finie. II a fallu
a
passage
longtemps, cependant, pour resoudre Ie probleme du
l'infini.
(cf [3 J
C'est dernierement que L.GRUMAN et C.KISELMAN
) ont trouve les majorations convenables, et prouve Ie I
\
THEOREME.
-
Dans un espace de Banach
a
base denombrable,
les
ouverts pseudo-convexes sont d'holomorphie. En adaptant leur procede dans
Ie cadre des espaces etales, on
obtient Ie lemme suivant
(n.,
Soit b Le ,
s oi t
bertienne" • Un espaee de Freehet E est appele centre d'eehelle hilber-
29 A
tienne, s'il est isomorphe a un espace E le centre sera fini
()
{;>D(
He0
n
hilbertiennes, fini et infini respectivement
G
(3
deux centres d'echelles
; T : E -;:I>- F
un operateur
continuo Alors il existe un voisinage U de zero dans E tel que T{U) est borne dans F. LEMME 5.- Dans les hypotheses du lemme 4, E ne peut etre isomorphe
a
F si une des deux conditions suivantes est verifiee
al
operateur A engendrant Hq n'est pas inversible,
bl
operateur B engendrant
est compact.
LEMME 6.- Un centre infini engendre par un operateur non inversible ne peut pas etre isomorphe COROLLAIRE 7.
H{D)
a
un facteur direct dans un C.F.E.H.
et
SoitAclR. une famille {Ed, ,
ne sont pas isomorphes. 0{
e
A} d'espaces de Hilbert (ou
31
Banach) est appelee normale si
1/
on a
et
c
2/ VO+ 2 log ( I + z 2)
9'
1:'2: 7- k
t
IlfII ep
0
ute
sur G e t f
0•
E.
• [5].
Pour la demonstration. voir
LEMME 26. - Pour toute fonction q>plurisousharmonique strictement negative sur G,
Soit
r
il existe
I
. negatl.ves
une suite de fonctions holo-
une suite de nombres p o s i t i f s ,
k = 1.2, ...
tel-
les que pour tout compact Dc. G on ait
lim k..,..oo
ak k lIL
log\\h
O et une
continue et plurisousharmonique
dans G tels que (z) 1
2 e - \fI( Z )
-
('a k
S( z ) 11 ( d z ) •
G -.- log\hk(z')1 Pour Ie demontrer on utilise la fonction ep(z) = lim ll.ID ak z '7Z k+oo
et
37
a
l'aide du lemme 26 on obtient des majorations de log Ihk(z)!
a
l'aide
II suffit ensuite de construire une f o n c t Lo n qz q u i. croit assez
de
vite pour majorerl'integrale en cause par mes 29. - Soit
LEMME
{a
k}
une suite de nombres positifs et h
u
des fonctions holomorphes dans compact D
s
s
i
eu s on ait Ds
(G).
n (i
U i'
k,s
(z),
telles que pour tout
S
et une fonction yJ(z) continue
(0 • Alors il existe
et plurisousharmonique dans G tels que sup k
s
'6 (d
!h k,s(Z»)2 exp(-\fI(z)-
Si
k = 1,2, ••• ,
Z)} 00 . (+
1 tels que pour tout s k
qui appartient
On applique la proposition 30 pour obtenir c' k
b:jc=cO(U,1t,{ad)' On pose
a
c' k
, puis on elargit l'operateur L
grace aux developpements en series donnes par la base. Ainsi la demonstration de la proposition 21
est completee. On
peut generaliser Ie theoreme 22. /
\
THEOREME 32. - Si pour tout lent
a
i E I, U
est holomorphiquement equiva-
i
une variete analytique fermee dans un produit fini de domaines
s t r i c t e me n t
a
inverse
pseudo-convexes, a I o r s il existe
droite
a
L:
ZI(Z6,1t')-;--CO(U,;;t')
dO.
Nous allons maintenant nous occuper du probleme de
la decomposi-
tion lineaire des fonctions d'un ideal de type fini. Soit G etS'comme au lemme 25. fonctions holomorphes dans G'
et
q
g>f
L I
par
¢k f
.
k
1:
soientP
Hq(G)
L:
1m
L'idee
k =
I, 2, ••• , q
des
un operateur defini par
• L'espace 1m
p+1
Si
'f est
u ne f on c
on pose pour tout
r
39 LEMME 34.- II existe une fonction
continue positive plurisous-
harmonique dans G telle que pour toute et CeZP(U,'dt) tel que d c '
2-formes
tels que \\c 11
I c '/Ilt' +
et
= c
En fait de L
(p >0)
ep
plurisousharmonique dans G
< co
i l e x i s t e c'e Cp-I(U,'df)
Cp •
Ie lemme reste vrai si on
de type
dans G.
(O,q)
par
Ie
q
a
La demonstration ressemble
celIe du
lemme 28, mais on applique la recurrence. Pour CPo
J ,
1,2, ... , p,
k
dans un voisinage de G, f
=
(fl"'"
f q)
k = 1,2, . . . , q,
considerons
(
LEMME 35. - Soit V
c;.
H(G:)
I}
UI
H(U I)
=
{z
is
C :
Iz
+
I);> I }
sont des centres infinis (la decom-
position en somme directe est obtenue grace au developpement de Laurent). Pour pouvoir appliquer Ie lemme Y cR(U
o
u U I)
, on remarque
des fonctions holomorphes
R(UoUU ) . De plus s i 1
dans
6
t i o n naturelle
i
a
I' infini est un facteur direct
: R(UoUU j) ->-H(Uo)eR(U j)
,et R
iCY) est un sous-espace du facteur correspondant s'il y avait separation lineaire de singularite, phe
a
que I 'espace
un facteur direct dans un C.F.E.H.
est l'injecl'espace
a
Ainsi, Ya:H(II:)
ser ai
t;
isomor-
42
Soit
x
une variete de Stein. Considerons
cp;
D
t
;I.
X
--+
G:
N
une
injection bi-holomorphe existant en vertu du theorime de Remmert. sons nu
t
M=
X X).
de prolongement
L;
t
l'espace Y cH(n x X) variable.
H( M)
conti-
Pour Ie demontrer, on considire
des fonctions qui ne dependent pas de la deuxiime
Y est un facteur direct dans
Ie lemme 5
Li n e a i r e
Alors il n'existe pas d'operateur
Po-
H(D I )( X) et Y
On peut bien evidemment remplacer D
1
H(D I). On applique
par n'importe quel
autre domaine verifiant 1es hypothises du theorime 22.
EXEI1PLE 41. So i en t U0
o i.. a (ru contient
On munit
Ie spectre de H= (Q)
Soit M(D,E) PROPOSITION 3. nage de M(D,E)
(D x
-
to})
U (E
Soit f
contenant D
1i.
a
dire que 1 'adherence E de
la f r o n t I e r e de Shilov de H de
la proposition suivante
une fanction holomorphe bornee sur un voisiDr'
r
>0
arbitrairement petit,
prolonge en une fonction holomorphe bornee dans D Demonstration.
0.)
sa topologie de Gelfand. On a alors
x D)
co(
Comme f e s t
2.
holomorphe dans D>< Dr
alors
f
se
49 f(z,w)
=
hli(z)w'"
(lIf)
puisque f e s t b o r n e e dans D)( Dr
h JOH(D)
r-"
C
De
L
lim
plus si Zo E. E ,
!hv\/"(zo)
car f(zo'w)
J
est holomorphe
dans D.
X un
Soit So i t
E.
H (D),
Lill ])!
vers
"h v
g
g
designant
E dans le spectre de H""(D) , comme hV(Zi)
(f(Zi' w»i on en d e d u i
,
que g(w)
t;
la transformee de Gelfand de
1i m
Soit Z E.D, representant
I
()..) 11 I j)
=2:.
Zi'
X. EO E .
I, P our to u t
log
log
en particulier
converge
or g est holomorphe dans
[12J
il existe une mesure de Jensen positive Z ;
X= 1
a
adherente
et que hj)EHCO(D)
D par sui t e
E
a
point adherent
))
portee par
vi ()()
dJlzOO.
E
En appliquant le lemme de Fatou on a log l h ) z ) I J
:
lim
O.
E
converge
Par suite la serie 2
D ,
a
et par un argument semblable
uniformement
sur tout compact de
celui utilise au paragraphe 1 elle
est bornee. a/ Nous avons eu besoin seulement du fait que f e s t
Remarques.
holomorphe b o r n e e sur D x Dr et que u n i f o r me mc n t
b or n e e
a
ge
a
D
2
h
I
y( w J
'tfz
)
holomorphe b o r n e e sur DXD
G
E
avec
a
'Y
D pour
on a
tout
continue sur
z eE,
r
et
(f(z,
)
z,sE
o
tel que
[0, 1 [
alors
f
se p r o l o n-:
.
En effet il suffit d'appliquer semble
admet un prolongement
D, pour z 6E.
admet un prolongement analytique z , w)
)} zeE
b/ Si f e s t
If(
(z,
DX D
r
o
u
E x D
avec
P
la proposition en considerant l'en-
e(
alors un prolongement holomorphe
sur lequel la fonction est bornee,
a D )( D
C'
pour tout
e (.0.
aOC>( Q) est soit surjective so it d'image maigre; en d e n o mb r a b Le de boules B(z' ,r.) J
contienne une
Ie
fonction de HOO(Sl) dire qu'elle est
telle que
theoreme de Baire
[7),
J
tout
Z
e F '"
dans
choisissant une famille en
aucun des
H""U2UB(),r.)) J
c'est-a-
Le raisonnement
32.
p.
o
il suffit que pour
singuliere en z
tout ouvert qui rencontrean.
exemples de domaines de
(j; tout ouvert.l1..;l (j;t.q
(n.)
U B(z',r.))
s i n g u Li e r e en tout point du bord dell,
Donnons quelques a) Dans
a co
un ensemble
permet d'affirmer qu'il existe une
qui n'appartient a
est Ie meme que celui de
a
appartenant
o
11
",(l est
:TI.\J1. la
strictement positive pour tout n.
de
type H OO
type aoo
c apa ci
t
e de
plus generalement FnB(zo,]/n)
soit
o
51
Au paragraphe I dans 0;
on a donne un exemple d 'un domaine d 'holomorphie
o
2
Ii
t.q.
=ftet qui cependant n'est pas de type HOO, d on c
tion est dixferente dans b) ma
n e
avec
i n e s d'holomorphie a l o r s D e s t
on peut meme montrer q u l i L
Jl. . Tout ouvert ft convexe dans o;n
d)
est de type H oo pour
n
de
B
n
est une intersection de do-
type Hoo ;
de
c)
e)
fletA
ji ) holomorphe dans.0.et s i.n g u Li.e r e en tout point
existe une f o n c t i o n de de
n}2.
c",
Si 1l. est borne dans
la situa-
Si
G
t
v
tout
SL f.
q,
a;n est de type H eo .
appartenant
a
un ensemble
B, l'interieur
est encore de type H tO
Q
B
.0.. est de t y P e Reo e t s i f J ' ••• , f I' ouvert .Q.f
alors
tZ Iz e ri
=
N
sont des fonctions holomorphes dans
\ f j (z)
Iz I
j
=
I, ... N}
est de t y P e
Hex:>.
II est cependant faux que l'image reciproque, d'an ouvert de ouvert de
type ROO ,
Exemple 1>{z,u)
(z,
6.
, .. 2 1 appllcatLon de 0: dans
Soit
uz )
;
Z{Z,U) \
soi t
par u n e application holomorphe
a:
2
typeH=dans un
de type HlP.
definie par
posons/..\:t(z,w) Ilwj0
Nous allons donner un autre cri t e r e d' a p p a r tenance au cone [J>C 11.) qui resulte d'un theoreme de I.CNOP /
,
THEOREME J4.
-(I.GNOP)
[21
rrun domaine d'holomorphie dans lIn,
59
existe des fonctions uo'u
l,
...
un definies dans anx
des fonctions holomorphes danslL; ()I-sl)u1(S,"$)+ ••. +() pour
11.
n
tout
+h(s)u
Sl
n
C'
avec 011.(z)
de plus il existe un e n t i e r
u
i
(s ,)
e t a n t;
telles que
- s ) u (s,')
(s,.).::O: n xu, 'f'
n
=
=1
0
•
+
\12-1/2 z) ,
v e r i f La n t
M '> 0
N et une constante
d (z , (fL) )
et
pour On en deduit Ie Corollaire suiva11.t COROLLAIRE 16. fonction f
Soit fLu11. domaine d 'holomorphie de o;n,
holomorphe da11.sSl,
I f(z)/
. dW»
;
=L.-hl/(z)w
1
f(z,r exp(-V(z»e r 15 e x p ( ( z) ) e 1
21T
\h)Z)\
r-
v
exp( vV(z»
pour
is
e)
idQ pour tout r 0
Iz + rz'D
la fonction -
appartient ag>(.Q)( o;n). Demonstration.
On reprend i : idee de
[7]
,
p,
63.
Co.}
[7J.
logbS/..(z,z')
62
So i t
.rr =
So it F
E
G(z,z',w)
t(
z , z ' ,w)
H=( II )
I z E SL
z'
S"]
II
Posons
F(z+wz')
=L-f0
.
designe le rayon de convergence
[ - log Or
cn
singuliere en tout point du bord den.
G(z,z' ,w) Si
E
If\
=
(u-;;;
cette serie
log
(z,z'
,0)1/
= -
log
h (z,z')
donc
-c
et on peut remplacer la lim par un sup. J'ignore si la condition donnee dans cette proposition est pour qu'un domaine soit de type
.
Construction d'un domaine Q] pas dense dans
oo
le spectre de H
SoitD. J =tz,u) M(D,V)
de type H=,
dans
et tel que SL] n'est
01 I).
= (z],z2) E:M(D,V)
et
\u
sM(D,V) (z ) }
I-:
etant le domaine construit au paragraphe 2.
On a vu, gJ(M(D,V»
proposition 17, que la fonction -log puisque M(D,V)
b
(z)
M(D,V) est un domaine d'holomorphie.
appartient
a
Or
b
(z) tend vers l'infini q u a n d z tend vers le bord de M(D, V), M(D,V) par suite d'apres le theoremel8fi] est de type H=; on voit facilement que
-
log
Iz
suffisante
" SL J So i t
f E H""CIl] )
la restriction de f
a
M(D,V)
appartient
a
H CP (M(D,V»
donc d'apres l'etude faite au paragraphe] , elle se prolonge en une fonction de HOO(D
2),
par suite les points
donnent lieu
homomorphismes de H""(n,) , et ils n'appartiennent
pas
a
des
a 1 'adherence de .!l]
dans le spectre de HOC> (Il]). Le domaine
n]
est un exemple de domaine de type H=qui n'est pas
complet pour la metrique de Caratheodory
fi
J
definie par u "
0
n'est pas complete.
car la sous-variete fermee de
63
6.
-
Autres algebres de fonctions
analytiques.
B une algebre
Etant donnes.Qun domaine d'holomorphie borne dans
de fonctions holomorphes bornees dansjl, munie de sa norme uniforme, on se pose Ie probleme de l'existence d'une fonction de B dont domaine d'holomorphie.
Nous nous
n
soit Ie
limiterons ici au cas au Best l'algebre
des fonctions holomorphes dansfiet uniformement continues,
an,
admettent un prolongement continue
i.e.
celles qui
nous noterons cette algebre
A(li). Construction d'un domaine A(.rr)
U1
de
type
tel que toute fonction de
se prolonge analytiquement a un ouvert strictement plus Soit
deI i ni e ma b Le
(b ) p
par
une suite dense dans
'If (z)
" L--
de nombres reels
dans D,
\
log
p
Ie cercle unite et soit
s t r i c t e me n t
- ""
\
/I\
exp
Q " M(D,ip)
D.
\wl
morphisme et un homomorphisme. PROPOSITION 10. tout 0< Le s o u s acyclique,
r
-
SoitX=
£xo(}sous-systeme de}'=
e s p a c e Xd..cYd.. est facteur
alors
timX c tim
Ie sous-espace
Inversement si tim X est facteur dfstrictement acyclique,
On demontre cette proposition, r e s u Lt a t s
OU
Z
[s,§ sJ a
de
tim
aussi facteur direct.
'Y,
X
est acyclique et
strictement acyclique.
en app1iquant la proposition 1 et
1es
1a suite
"fIX I
,
THEOREME
l' = {Yo(, 1,=
est aussi
et pour
SiXest strictement
'1 est
direct dans
X
alors
direct
tyo(}
£Zo
f
s
2
;
.
f Par
-
f
p
E,
t
1) p
J
et
If
U j
Alors,
h e o r e me
f
-
(iv),
1,
J
po u r
BX.
J
si 'f(X)
f r.= L P (M)
< P s(1 - &')
A + f 2(X)
\fl
4
fini
Kt) j
f e L p (M)
entraine ;:CDsP-1g(S)dS
parce que
alors
sS et ainsi
1
X.
xj ,
J
O
il existe une constante C'
u G PS P (D) ,
< p < 00.
J
Si
(6.3.)
uP df{,C'
(6.3.)
a .
p
Si
fn
telle que
est ana 1 y t i que,
f
,
est yrai pour un p quelconque,
alors
(6.2.)
est vraL
premiere partie se deduit du lemme 3 et du 1/2p Si l'on met u = If p = 2 , on arrive a la d e u>
Demonstration. t h e o r e me 3.
xieme conclusion.
La
I
'
a
On se borne ainsi
demontrer la derniere propo-
sition. Pour x e co, que Lm
s o i t (AI""
An >
o ii
n
A'
=
) un systeme de coordonnees dans u (Re
Lm AI'
comme dans la demonstration du pres de x,
et k un entier
= 1-(z)
(,\(z)
On choisit gt(z) (i.e. bor ne e
=
-k
+ it)
dans D
strictement pseudo-convexe "" D 2
rV
ment dans L (D) dans
quand
quand
t
Soit
;.:
ImAn_ J ,
x
0
X..
-
Re An)'
1
On met
que ft(z)
( An(Z)
i n f e r i e u r cm e n t
lemme 3.
+ it)-k - gt(z),
de
Re '\n-l'
..• ,
telle
x
> O.
n
-
()
so it holomorphe
X
s u pp d D
Alors
t >0
Parce que 1m
X
tel que h
An
est
il existe un domaine t
soit bornee uniforme-
il existe gt bornee uniformement
et ainsi gt est bornee dans un voisinage de
l'origine. D'ailleurs,
f
t
est bornee uniformement dans le complement dans D
de chaque voisinage de l'origine. Appliquant 6.3.
a ft' on a pour
85
t
petit,
on peut integrer par rapport C et si
4!(t
+12"1 2)I-k P d"d"
2(kp-l»2(n-l)
C
=
(i.e.
1
a
2n-l
=
Re
n
+ C4tn-l+l-kP!(l+b"12)1-kP
kp>n),
on a/AE
en utilrsant une notation condensee de produit scalaire. De tacon beaucoup plus precise, on a Ia PROPOSITION 1.- On peut trouver pour tout point s¢ (2 des fonetions su" ... , sUn
(9(0) qui restent bomees dans
< z-s, Notons que pour s
¥a
@(J) quand s varie et verifient
su> .
,on a
Iz 1-s,I+ ... + Izn-snl
6(z)- d(s)
=
J(z),
de sorte que le theor-eme de L. Hcrmander' cite dans I' exemple 1) assure I' existence
90
de Ionctions s u 1, ... , s u de 0(0) ver-itiant 1 < Z - s, su> . Le seul n problema consiste a mont rer que I' on peut choisir ces fonctions dans un meme
19(c5) Iorsque s var ie dans Ie complernentai re de
ensemble borne de
0 .
La
demonstration de la proposition 1 est simplement une version avec parametre de celle donnee par L. Hormander- (4 ) . En particulter- 0
apparait comme le spectre sirnultanc des fonctions
coordonnees zl"'" zn dans I' algebre 9(J). Pour faire intervenir I' ideal '0 , il est necessaire de s I interesser- aux points s de Q . Nous avons suppose l' existence d' une famille bot-nee (hex) de '0 te lle que sup \ he{ \?3 C >- 0 sur On peut done trouver pour tout point s de Q une Ionction sh de ';) qui
o.
reste bornee dans :0 quand s varie et vcr-itie
sh(s)
1. Nous allons utiriser-
main tenant la propriete de decomposition suivante : PROPOSITION 2. - Si une fonction f de 9(6) s' annule en un point s de (2 on peut ecrire
gn sont dans g(o), et de fas-on gue ces fonctions restent bornees dans @(3) Iorsgue f parcourt un ensemble borne de (C0(J) tj s I' ensemble Q ou gl"'"
Cet enonce est etabli dans ( 2) a l ' aide du precede de diagram-chasing; une methode plus simple, qui evite le calcul de major'ations relatives aux derivees , consiste
a dedutre
Ia proposition 2 de la proposition 1 par une utilisation
con venable du cal cul fonctionnel holornorphe dont i l sera question plus loin. Pour s
E:
0,
Ia Ionction 1 - sh s ' annule en s , de sorte que I' on peut
@(J) quand s vanie dans
trouver des fonctions su l, ... , sUn' bornees dans tel1e que
< z - s,
Su
>
+ sh
0 ,
1.
Comme on l' a vu, cette relation reste vraie pour s tj 0
avec sh O. II en
resulte done que Ie spectre sunultano des fonctions zl"'"
zn dans l' algebre
(0(3)/ J est vide. Cette propriete est cependant insuffisante: l l ideal
'0 n' etant
pas suppose Ierrne mars seulement complet, I' algebre @(o)/ 'J n' est pas une
b - algebre , Nous allons donner, suivant en cela L. Waelbroeck (8 ), une definition du spectre modulo
J
qui permettra de conclure
al
t
inegalite
0
@(J).
3. - Caicul fonctionnel holomorphe Donnons-nous de tacon generale une b - algebre commutative unitair'e A, un
91
b - ideal positive
de A et des elements a 1 ' ... ,an de A. Nous disons qu I une fonction {I (r
-I
x
m)
il en resulte qu'on a
a {.. R (x ) "rr m
I sur
f- 2r. '
102
k
N
h
(_I)h-I
h Sh +
. I=
L
I
(_ I ) i
I
i , h-I
(_I)i-I
Nh -
Ces relations permettent de defini- pour
S.
Nh- i
1.
S.
i
1.
tout entier h une application
k
polynomiale et continue
$ S.(F)
de
I
JPh(SI"'" Remarquons a l o r s que,
si x
dans
Sh(F)
a
de
1.
Sk) .. N h E.
F et
avoir
.
(xI"'"
x
k)
E.
k
F ,
comme S(F)
est integre, on a l'equivalence SI
x
k-I
+ ••• + (-I)
k
Sk
o
S.
1.
Description de Z. Soit A la partie negligeable d e co e n dehors de laquelle Z est un revetement
(non ramifie)
; soit k Ie degre de ce revetement
(il est
110
constant parce que w -A est connexe). Au voisinage de tout point go de lications analytiques xI"'" c ha que
point g de w,
k points de Z qui
X
a
k
w -A, on peut definir alors k ap-
valeurs dans F qui representent, pour
suffisamment voisin de go'
les composantes sur F des
se projettent en g.
¢!, ... ,
Les fonctions s yme t r i q u e s
«;
de ces points
sont des fonctions analytiques de g au voisinage de go' Ces fonctions
¢h
ne dependent pas de
les elements de la fibre
l'ordre choisi pour ecrire
d'un point de co - A;
(dans Z)
il s'ensuit
qu'elles se recollent pour definir des applications analytiques de W dans
les espaces Sh(F).
Le fait
compact sur toute partie de co - A relativement est une partie negligeable de w, prolongent analytiquement
a
a
on peut
compacte dans co ,
Comme A
conclure que ces applications se
localement barnes.
la fin de la premiere ctape permet alors de mon-
trer que Zest l'ensemble des points
x
¢h restent dans un
tout w, en remarquant que ces prolongements
sont faiblement analytiques et La remarque faite
w soit propre
que la projection de Z sur
entraine alors que les valeurs de ces applications
A
(x,g)
qui verifient
k
On obtient done une equation analytique de Z est bien un sous-ensemble analytique de Fxw,
a valeurs dans Sk(F)
ce qui etablit Ie point
(i)
du theoreme J.
Soit k un en tier positif.
11 existe une famille
i
de poly 1.
P. LELONG (7) et W. STOLL (19) en 1953 traiterent le cas p
=n
- 1
et X a croissance lente, qui fut ensuite developpe encore par B.A. TAYLOR (21) et R.O. KUJALA
(6).
En 1964, E. BISHOP
(1)
et W. STOLL
(18)
resolvaient Ie cas ou X est
algebrique et p quelconque. En 1972, l'auteur resolvait Ie cas general dans (17), apres les "t r-avaux d'approche"
(15) e t (16) relatifs
a
l'or1re infini et au cas p
=n
- 1
119
Y. C.
(cf , aussi
PAN
(11). Il
resterait encore
a cbercher
s' i l est possible de
reduire le nombre n + 1 de fonctions. Cette reduction est possible sous certaines hypotheses, sans condition de croissance, (cf. O. FORSTER et
K.
RAMSPOTT
(3),
2. PRELIMINAIRES SUR LES COURANTS
a De RHAM
Nous renvoyons
(12) et L. SCHWARTZ (14) pour les defini-
tions et proprietes generales des courants, en particu1ier pour tout ce qui concerne les images directes et reciproques des courants et l'integration sur les fibres. Nous renvoyons de meme & P. LELONG
(8)
et (9) pour les definitions
et proprietes relatives aux courants, positifs, fermes sur les varietes analytiques complexes, ainsi que pour tout
qui concerne l'integration sur les
ensembles analytiques. On pourra egalement consulter (19) pour les questions relatives aux courants positifs et d l'integration sur les fibres. Nous rappelons brievement les resultats qui nous seront indispensables dans la suite. Soh f : X'" Y une application de classe C'", propre, de la variete X dans la variete Y. Si T est un courant sur X, l'image directe de T par f, notee fllT, est un courant sur Y defini par la formule : (2.1)
> =
pour toute forme
cc
de classe C
cf>
L'operateur f (2.2)
T, fllcf>
,
,
d support compact sur Y.
commute avec le bord b
:
bT
a 1a dimension de Y et si Test a coefficients localement integrables,
Si le rang de fest toujours egal defini par une forme differentielle sur X, fllT est une forme sur Y,
a coefficients
localement integrables, obtenue en in-
tegrant T sur les fibres de f. En pratique Y sera un espace tion (x
z) ... z, l'operation f
II
consistant
X l'espace
a integrer
x
et f la projeca x sur Cn ,
par rapport
120
z etant fixe. Si fest holomorphe, l'operation f. respecte la structure complexe. Un courant
e
de bidegre (n - p, n - p) sur une variete analytique complexe est
dit positif si pour tout systeme de p formes differentielles aI' a
a
de bidegre (1, 0), de classe
support compact, la distribution
2,
... , a p'
Une forme differentielle est dite positive si Ie courant qu'elle definit est positif. Si
e
est de bidegre (1, 1) et s'ecrit localement en ecriture canoni-
que
e = ou les e. k sont des O-courants, avec 1 ]
,
est alors equivalente
a la
o ,
(2.4)
En particulier, si
e
superieurement sur
j, k
n, la condition de positivite
condition
e=
pour tous A. J
id'd"V ou Vest une fonction semi-continue
est posit if si et seulement si Vest plurisousharmoni-
que. Les courants positifs verifient les proprietes suivantes - Un courant positif
e
est d'ordre nul, autrement dit ses coefficients
sont des mesures. - Le regularise d'un courant positif (sur - si
e
est positif
est positif et si west une (1, 1) forme differentielle, de ce
classe C
,positive, Ie courant
eA
west positif.
- L'image directe d'un courant positif par une application holomorphe est positif (cela resulte aussitot des definitions).
Si main tenant
e
est Wle forme differentielle de bidegre (n - p, n - p),
on peut donner une autre definition de la positivite :
121
a
est positive si et seulement si pour toute sous-variete analytique de dimen-
aa
sion n - p. la restriction de
cette sous-variete est une mesure positive
sur la sous-variete. En utilisant cette nouvelle definition, on voit aisement que l'image reciproque par une application
d'une forme positive est encore posi-
tive. A un ensemble analytique X, de dimension pure p, on associe le courant d'integration sur X. note X, defini par: (2.5)
< X, 4> > ::
f
X
¢,
ou $ est une (p, p) forme. D'apres P. LELONC
(8), on a le resultat suivant
PROPOSITION 2.1 \ Le courant d' integration
x est
positif et ferme.
Nous introduisons maintenant les formes diffirentielles sur sociees aux structures Kahleriennes sur
et
P
nmetriques des courants positifs sur
portant dans l'etude des On pose (2.6)
o
=
id'd" Loglxl 2
(2.7)
f3
=
id'd" Ixl 2
(2.8)
y
=
2 2 id' Ixl /\ d"lxl
On a la relation (2.9)
a
=
Comme
Ixl- 2 f3 - Ixl- 4
as-
l(e), qui jouent un role im-
y
Y/I Y = 0 et que B et Y commutent, on a la relation
122
=
(2.10)
e
A un courant positif
sur
on associe les mesures positives
suivantes (2.11)
a
=
(2.12)
v
=
appe Lees r-espect Ivemerrt mesure-trace et mesure projective du courant
Ie courant d'integration sur X, la mesure-trace
C1
e.
Si
e
est
n'est autre que"laire" ou vo-
lume de X. On montre (cf , coefficients de courant
(9)
que la mesure
(I
rnajore la valeur abso1ue des
e
On pose d'autre part ; (2.13)
oCr)
= f IxI
do(x), I'
c'est 1a mesure a portee par la boule d2 rayon r. On introduit egalement
n -D•
v(r) oCr) et v(r)
p!
I'
-2p
OCr),
j'indioatrioes pour 1a croissance du courant
Onoomontre en integrant par parties (cf.
f
t-Pdv(t), equivnut t -P- 2p dad:>.
f
(7) l
1a convergence de
f
e.
que 1a convergence de t- P- Iv (t)dt et de
1
1
3.
LE POTENTIEL LOCAL
que
e
Pour permettre ces calculs est une forme differentielle sur
se COO , positive et nos formules au cas (en pratique
e
on suppose dans oe paragraphe de bidegre (n - p, n - p), de clas-
a support compact. II sera aise par regu1arisation d'etendre ou e est un courant positif, a support compact dans en
sera Ie tronque d'un courant positif et ferme dans
123
On associe U(z)
cn
=
ae
Ie potentiel U fefini par
I n
nr
etant oriente par la forme t3
=
/I
1\ . , . 1\
dz ;\ dz n n
On veut evaluer la forme de Levi de U, ce qui revient
a estimer
le (1, 1) courant id'd"U. Pour faciliter le calcul du courant id'd"U, on va representer U comme image directe d'un courant sur n x Dans ce but, on designe par P1 la premiere projection Cn x n sur ; (x, z) x, et par P2 la deuxieme projection : (x. z)
z.
Soit d'autre part
T
n dans C ; (x. z)
l'application de en x
On introduit encore la forme differentielle sur en (3.2)
K
x
{or ;
=
et on designe par K le courant sur
defini par la forme K.
a coefficients
localement sommables, Le potentiel U s'ecrit alors (3.3)
ou P1
e est 1 I image reciproque par PI de La forme e.
T
K est 1 I image recipro
que par T du courant K. cette image reciproque est bien definie car T est de rang maximum (cf, par exemple
(14),
on verifie aiscment que
que le courant defini sur en x cn par le forme differentie11e
n'est autre
K.
T* K /I Pl* e est un courant sur en x en, dont on prend l'image directe par P2' Cette image directe est bien definie car la restriction de P2 au support de
1 2, le potentiel canonique n'est pas toujours plurisousharmonique comme le montra l'exemple sui/ant. On considere le cas p = 0, c'est2dire le cas ou 6 est une mesure positive sur en. 2 La fonction Loglxl joue alors le role de la fonction lxl 2P • On a pour un calcul standard (cf. (7) (5.5) E (x , z) 2
= Loglz
xl 2
Log Ixl
+ Re 1x ,4 (x, z ) 2 +
I (x ,
2 + 2Re Ixl 2(x,z) +
z ) 12
Le potentiel U est donne par (5.6)
U(z)
=
J
E
2
(x
'
z)
d6(x)
Ix 1
2
2
Iz 1 ) •
134
Designons par
::
H(u, A)
(5.7)
H(U,A) Ie hessien ou forme de Levi de U
E j ,k
ou
A::
(A ) j
c
dZ
dZ k
j
(j;n.
Un calcuI direct ou un
H(U, A)
(5.8)
::
f en
semb1ab1e
(!(Z-X)t'- AI 4
2
I
IX
Iz - xl
/I
a
(4.10) montre que 2 1
Ixl
)d6(X),
2
Ix 1\ x]
designant 1a norme hi1bertienne standard sur
p1exe
ne passant pas par O.
e ait son support sur une droite affine com-
1a mcsure
Supposons
Si z appartient appartenant au support de (Z - x) 1\ A
::
a D et
" (\;n.
si A est parallele
a D,
on aura pour tout x
e, 0
et
x
"
A
1-
°,
on aura done fI(u, A) < 0,
au point z f D.
6.
CONSTRUCTION P'UM POTEIJTIEL GLOBAL PLURlS0USHARMmJ1Q,UE
Une partition de l'unite permet de construire un potentiel global, p.Iur-Lscusharmoni.que dans en, qui a les memes propri,hes locales que Le poten-
tiel "100a1" construit dans Ie paragraphe 3. Soit p. une partition COO
de l'unite
J
(6.1)
°
P.
J
1, et
E p. j=l J
:: 1.
Soit d'autre part, n. une suite de fonctions, positives, de classe 00
C
J
A support compact, telle que n
de "j' on pose
j
soit egale
a1
sur un voisinage de support
135
n. (x)
U. (z ) )
)
On considere la fonction U definie par QO
(6.3)
U =
l:
j=l
Pj
Uj •
On a alors la proposition suivante PROPOSITION 6.1 Soit
0 un nombre donne, on peut choisir les suites
E >
p. et n. J
)
de sorte que la fonction U, definie par (6.2) et (6.3).verifie 1a condition
:
w, si p
id'd"U
(6.5)
id'd"U
= c
n
n - 1,
6 + w, si p = n - 1,
ou west une (1,1) forme de classe
sur
en qui veri fie
la majo-
ration (6.6)
Iw(z) I
!'.
v(r + er )
designant une
2
pour r = I z ! assez gran d ,
c(&)
w indique en que1que sorte 1e "defaut de plurisousharmonicite" de U. La proposition resulte de (6.3) et (5.2) et des propositions 3.1 et 3.2.
a
Une demonstration detail1ee est donnee dans mon article
a laque11e
(17)
p. 381
nous renvoyons 1e lecteur.
On peut alors construire une fonction Wcontinue, strictement p1urisousharmonique, exp1icite tel1e que (6,7)
id'd"W It- - w,
au sens des courants de type (1,1) dans Cn,
136
La construction precise est faite dans (17) p. 384-387. On a alors id'd"(U + 11) > 0, d'apres (6.4) et (6.7).
La fonction V
=U +
West donc plurisousharmonique et majoree par W
puisque U est negative d'apres (6.3) et (5.2). En se referant
a la
construction precise de Wdans (17) on a le re-
sultat suivant : PROPOSITION 6.2
11 existe une fonction plurisousharmonique V telle que V - U soit continue et qui verifie la majoration V(z) < C(£, d)
l+r
J
1
=
avec r
Izl,
t- d- 1 v(t + £t) dt,
ou d est un nombre > 0 donne
Si maintetiant p
=n
=
id'd"W
a Wet V des conditions ce classe C a l'equation
- 1, on peut imposer
plus fortes, on peut trouver une solution W de (6.8)
a priori.
w
sorte que Vest solution de (6.9)
=
id'd"V
8
La construction de W se fait en utilisant les formules d'homotopie 2 explicites pour la cohomologie de de RAHM dans cn, et les estimations L de Hormander pour la d"-cohomologie. On renvoie
a nos
articles
(15)
et
(16)
pour les details techniques.
Cette methode n'a d'interet que pour les croissances d'ordre infini, car pour l'ordre fini on a deja 1e potentie1 canonique explicite de LELONG (cf. theoreme 4.1). On obtient 1e resultat suivant PROPOSITION 5.3
Soit de r
une fonction plurisousharmonique dans en, ne dependant que
= Izl,
te11e que
137
o(r}
Pour tout
C exp (4)(r})
£ >
0, il existe une fonction V solution de l'equation
=
id'd"V
6
et v8rifiant la majoration
ouver-ts
Q
Les methodes de ce paragraphe se generalisent sans difficulte aux de STEIN de a: n (cf , (17) p , 400·-403}. 5i on veut resoudre id' d ·'V
= e,
theses sur la cohomo1ogie de l'ouvert Q(H
7.
i l faut faire bien sUr des hypo2(Q, C} = 0).
ANALYTIQ.UES VANS Cn•
APPLICATIONS AUX ENSEMBLES
n 50it X un ensemble analytique comp1exe ferme dans a: , de dimension pure p, soit
e
1e courant d'integration sur X qui est positif, ferme, de bide-
gre (n-p. n-p) . D'apres la proposition (6.2), on peut construire un potentiel V p1urisousharmonique dans a: n • associe au courant e. Ce potentiel est egal a -
00
sur
x.
D'autrepart, d'apres un theoreme de Hormander (2) et (5), i1 existe une fonction entiere F non identiquement nulle, telle que
au
dA
designe 1a mesure de Lebesgne sur
a: n .
Comme exp(-V) est non sommable au voisinage de tous les points de X, la fonction F doit s'annuler sur X. D'autre part, I ,
.
.
L2.
une
. , .
a la crOlssance
de F. En deve10ppant ces idees, on demontre (cf. (17) p. 394-400) Ie resultat suivant :
138
THEOREME 7.1 Soit
E >
0 et d > O. deux nombres donnes. II existe n T 1 fonctions
entieres Fl' F • • • • • F telles que X soit exactement l'ensemble 2 nT1, des zeros communs aux Fj (j = 1. 2 •••• , n+1). et qui verifient, pour r = lzl assez grand. la majoration Log
IF.J (z) I
a
Nous renvoyons
C(e. d)r
d
f 1+r
vet + et)dt.
1
(17) pour un enonce plus detaille qui permet, en
utilisant 1e potentiel canonique de genre q ver Ie resultat suivan+ du
d 1
t- -
a STOLL
=0
(cf. paragraphe 5). de retrou-
(18) et BISHOP (1)
X est qlgebrique si et seulement 3i vCr) est borne. Lorsque p de I' equat ion id' d"V
= n - 1. on montre (cf. LELONG (7)) qu'une solution V = e est egale a Log !F I, ou Fest une fonct ion entiere
qui s'annule sur X et seulement sur X, avec la multiplicite 1. Utilisant Le potentiel canonique du paragraphe '+. on a Le resultat
a LELONG
suivant, du
(7) et
a STOLL
(19)
THEOREME 7.2 Soit X une hypersurface de
I
1 t- q- dv(t)
-i-oe
o
0 est donne
a priori.
140
BIB L lOG RAP HIE
(3)
(5)
E. BISHOP
Conditions for the analyticity of certain stes, Mich. Math. J., t. 11, 1964, p. 289-304.
E. BOMBIERI
Algebraic values of meromorphic maps, Inventiones Mathematicae, Berlin, t. 10, 1970, p. 267-287.
0. FORSTER et K.J. RAMSPOTT Ober die Darstellung analytischer Mengen, Sb. Bayer. Akad.wiss., Math. - Nat. Kl. 1963, 89-99 (1964). P.A. GRIFFITHS et J.R. KING Hevanlinna theory and holomorphic mappings between algebraic varieties.Acta.Math.130, 1973 p 145-220. L. HORMANDER, L estimates and existence theorems for the d operator, Acta Math., Uppsala, t. 113, 1965, p. 89-152. R.O. KUJULA
Functions of finite A-type in several complex variables, Trans. of Amer. math. Soc., t. 161, 1971, p. 327.
P. LELONG - Fonctions (n variables) et fonctions plurisousn, harmoniques d'ordre fini dans C J. Analyse Math., Jerusalem, t. 12, 1964. p. 365-407.
(8)
P. LELONG
Fonctionnelles analytiques et fonctions entieres (n variables), Montreal, les Presses de l'Universite de Montreal, 1968 (Seminaire de Mathematiques SuperieuresEte 1967, nO 28).
P. LELONG
Fonctions plurisousharmoniques et formes differentielles positives - Paris, Londres, New-York, Gordon and Breach. Dunod, 1968.
(10)
N. ¢VRELID
Integral representations formulae for differential forms. and solutions of a-equation, (preprint, Universite d'Oslo).
(11)
Y.C. PAN de RHMI
Analytic sets of finite order, Math. Z., t. 116.1970, p , 271-298. Varietes differentiables, Paris, Hermann, 1955.
141
G. ROSS L. SCHWARTZ
(17)
(21)
Formules integrales pour les formes differentielles sur Cn, I. Ann. Smola Norm. Supp. Pisa. 26 (1972) 171-179. Theorie des distributions, Paris, Hermann, 1966.
H. SKODA
Solution a croissance du second probleme de Cousin dans n, C Ann. lnst. Fourier, Grenoble, t. 21, 1971, p. 11-23
H. SKODA
Croissance des fonctions entieres s'annulant sur une hypersurface donnee de Cn, Seminaire Pierre Lelong : Analyse 1971-1972, Lectures notes nO 332, Springer-Verlag.
H. SKODA
Sous-ensembles analytiques d'ordre fini ou infini dans Cn, BulL Soc. Nath. France, 100, 1972, P. 353-408.
W. STOLL
The growth of the area of a transcendental analytic set, Nath. Annalen, t. 156, 1964, p. 47-48 et 144-170.
W. STOLL
About entire and meromorphic functions of exponential type, Entire functions and related parts of analysis, p. 392-430. Providence, American mathematical Society, J.968 (Pnoc , Symp. in pure Nath., 11).
W. STOLL
Value Distribution of HoJ.omorphic Maps into Compact Complex Nanifolds, Lecture Notes nO 135, Springer-Verlag, 1970.
B.A. TAYLOR
The fields of quotients of some rings of entire functions, Entire functions and related parts of analysis, p. 468-474. Providence, American mathematical Society, 1968 (Pr-oc , Symp. in pure Hath., 11).
Seminaire P.LELONG (Analyse) 13e a n n e e , 1972/73
/
/
/
SOLUTIONS FAIBLES D'EQUATIONS AUX DERIVEES FONCTIONNELLES 1 /
par Paul KREE
1.
L'etude de certaines applications conduit
a
l'ecriture plus
ou moins heuristique d'equations aux derivees partielles (dites aux derivees fonctionnelles)
relatives
a
des fonctions d'une infinite de
variables -
equations de Hopf en hydrodynamique statistique equations en theorie des champs et en electrodynamique quantique.
D'ou la necessite de donner un sens les resoudre.
a
ces equations et si possible de
De nombreux et importants travaUK ont deja ete publies en
analyse en dimension infinie.
2.
Le but de nos recherches en analyse en dimension infinie est
de developper des methodes permettant la resolution d'equations aux derivees fonctionnelles non lineaires ou l'inconnue est une mesure cylindrique sur un espace de Hilbert.
Un premier probleme preliminaire est de
donner un sens aUK termes lineaires de infinite de derivees,
l'equation faisant
comme Ie laplacien par exemple.
intervenir une
Une deuxieme dif-
ficulte est de donner un sens aux termes non lineaires, car on ne sait pas definir en general l'image d'une mesure cylindrique par une application non lineaire. Dans
[3J
'
on a introduit des notions de distributions cylindri-
ques et de distribution prolongeant respectivement les notions de
143
probabilite cylindrique et de mesures de probabilite sur un espace vectoriel topologique.
Dans un second travail
tributions cylindriques Ie
de
[4]
, on a p r o l o n g e
Sazanov Minlos.
au x dis-
Puis dans
en liaison avec l'etude des applications partiellement radonifiantes, nous avons remplace Ie dimension fini
projectif rrc(X)
intervenant dans
ques par un
la definition des probabilites cylindri-
plus general nu(x), qui peut etre adapte
de chaque type d'equation.
laplacien.
tions de Fock
a
y
Ie lien existant entre nos dis-
l'espace introduit par I.E. SEGAL
Do]
des fonc-
carre sommable sur un Hilbert, et les distributions du type
[8] .
On a
introduit dans
tion ucylindrique, ucylindriques
a
(6]
la notion de
de r i
v e e d'une distribu
ce qui a necessite l'introduction de distributions
valeurs dans des espaces variables.
Ceci nous a permis
de definir des espaces du type Sobolev en dimension infinie, qui
l'etude
coefficients constants usuels,
On a aussi montre
tributions cylindriques,
a
Ceci permet d'ailleurs de trouver des solu-
tions elementaires aux operateurs compris Ie
d'espaces vectoriels de
constituent comme en dimension finie,
espaces
un outil efficace pour l'etude
des equations aux derivees partielles lineaires et non lineaires. plus, alors que l'usage dans
De
la theorie des distributions cylindriques
de fonctions d'epreuves cylindriques ne permet pas de localisation, ou de definir un support,
la theorie des espaces du type Sobolev conduit
l'utilisation de fonctions d'epreuves non cylindriques, lite de definir une notion de
a
d'oll la possibi-
support, d'utiliser des partitions de
l'unite ...
3.
Indiquons quelques differences entre dimension finie et
infinie.
al il y a d'abord Ie
cylindrique.
En effet sur
la
fonction additive d'ensembles definie sur les paves en prenant Ie produit des
longueurs des aretes,
se prolonge en une fonction radditive
144
(i.e.
a
une mesure)
topologique X,
toute la tribu borelienne.
Sur un espace vectoriel
la donnee d'une fonction definie positive sur X'
perrnet
de definir une fonction additive sur les cylindres,de masse totale 1, mais cette fonction n'admet pas forcement
un
D'oll la notion de probabilite cylindrique
bl de
comme corollaire du phenomene precedent il y a
localiser.
En
effet comme les multiplicateurs pour
les mesures cylin-
a
driques sont les fonctions
cylindriques f,
borne
les methodes developpees jusqu'ici,
(sauf si f
= a),avec
qui ne sont
la difficulte
jamais
pouvait pas travailler dans un ouvert 0 de X sans interesser
support on ne
toute une
bande de X contenant a.
cl Les espaces de Sobolev en dimension finie
p indique la classe L P
tiellement de deux parametres tiennent 1 es
-'
-
() c
( @ X . ) , et qu'en consequence 1
P
1
'k
P
1
@
1
A la surjection canonique s ..
sont associees l'injection
1J
de
os ..
1J
dans
J
(0 S .• )
1J
et l'injection
1
t:8 k (X .)
- :J}(x.) 1
div (resp D),
168 1
(2, 16)
(
if!
.,(1"
,Q(
r
I) 1/2
d..
et
L ""1".d...
'lid.
:J)(X.)
f
(2,18 )
(div
x.
p
'+') (x )
"dx
l----+
P
vp! I .J.... (
'Ifii!
I!
(-I)P
Cp(x) d x
)
) '+'
p
1.
ep
d.
2-
(l;) ( 0
1.
(2, 17)
(
x.1. ) (IX
('l' (x) , DPcp(x)) dx
X.
1.
1.
la derniere parenthese designant Ie produit scalaire dans
o
X .•
P 1. Par transposition, nous pouvons done pro longer naturellement les operateurs D et div
aux champs de p-tenseurs
a
coefficients distribution.
(2,19) Definition, al Pour tout
TEfl)' (X.) 1.
® X1.' ) , on def ini t P
6l) (
D
X. 0 1. p+1
't:J\jJeJl(X i ) ®
bl
Xi) par la formulc
ai'
p+1
1.
U.. .$'(X.)6l)(
Pour toute
1.
Vepei)(X i) is!>
Qi)
p+1
®
P
(D T , '4J) '" -(T, div'f/)
X. ) , on d e f i n i t 1.
x.1. )
(divU,CjJ)
d i.v
- ( U, Dep)
Par iteration,on voit que div J)'(X.)@(0 X.) P
1.
I
1.
fJJ'
(Xi)
(ol.!) 1/2
\'P! $'
(X.) 1.
T
Les operateurs D et div sont continus pour la topologie faible (et pour la topologie forte),
169
(2.20) Derivee absolue et divergence absolue d'un p-tenseur cylindrique
a
coefficients distributions.
Soit T
=
(T
i)
un p-tenseur cylindrique sur
butions. Pour toute surjection s .. T.
(s ..
=
J
P
-1.J
X.
-+X. J
s ..
»
1.
1.J
1.J
a a
coefficients distri-
on a done
T.
1.
En choisissant des coordonnees comme convenu au point DT.
1.
DT. J
a des coordonnees
1.
a des coordonnees
d'oil.
(DT.) J
(DT.) /} J
=
a
-1.J
a
J,
d
I>
p+1
1.
i
de meme divU si
Ox. J
P
on voit que et
(T)
i f .••. f
0
1.
P
0 E:p
s . )(DT.)
I8l (g)
(DT.)
f
I"
(T.) IJ J "'I'"
I " .. t: p
1..
1.
J
definit un
coefficients distributions:
On d e f i n i t sur 0,
.A:
(s ..
Par consequent la famille sur 0,
(DT')f
(2.1),
(U.) J j
(p+l)
tenseur cylindrique
c'est la derivee absolue DT de T. est un (p+l)
tenseur cylindrique
coefficients distributions.
Par iteration on definit en particulier -
OPT,
si Test une distribution u-cylindrique sur 0,
a
symetrique cylindrique,
que
coefficients distributions
-
la distribution U-cylindrique div
a
coefficients distributions.
(2.21)
comme p-tenseur
p
U,
si Vest u n p-r t e n s e u r
s ym e t r i
Remarque.
SiU est un p-tenseur symetrique cylindrique sur distributions et si
(V,
Cf DP
IS