Photogrammetrie. Band 1 Photogrammetrie: Geometrische Informationen aus Photographien und Laserscanneraufnahmen [7. vollst. bearb. und erw. Aufl.] 9783110908039, 9783110177084

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de Gruyter Lehrbuch Kraus · Photogrammetrie Band 1

Karl Kraus

Photogrammetrie Band 1 Geometrische Informationen aus Photographien und Laserscanneraufnahmen

7., vollständig bearbeitete und erweiterte Auflage

w

Walter de Gruyter G Berlin · New York DE

o. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Karl Kraus Technische Universität Wien Institut für Photogrammetrie und Fernerkennung Gußhausstraße 2 7 - 2 9 1040 Wien Österreich

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ISBN 3-11-017708-0 Bibliografische Information Der Deutschen

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Vorwort zur siebten Auflage

Die erste Auflage des Bandes 1 der Lehrbuchreihe "Photogrammetrie" erschien im Jahre 1982. Das Buch füllte eine Lücke, denn 1985 kam bereits die zweite und 1990 die dritte Auflage heraus. Die vierte Auflage erschien 1992 anlässlich des 17. Kongresses der Internationalen Gesellschaft für Photogrammetrie und Fernerkundung in Washington D.C. in englischer Sprache (Übersetzer: Peter Stewardson). Die fünfte und sechste Auflage folgten kurz aufeinander in den Jahren 1995 und 1997. Zusätzlich zu diesen sechs Auflagen wurde der Band 1 inzwischen ins Serbokroatische von Prof. Dr. Joksics, Technische Universität Belgrad, ins Norwegische von Prof. O. Oefsti, Universität Trondheim, ins Griechische von Dr. E. Vozikis und Dr. A. Georgopoulos, ins Japanische von Prof. Dr. Oshima und Herrn Horie, ins Italienische von Prof. Dr. Sergio Dequal, Politecnico Torino, ins Französische von Prof. Dr. P. Grussenmeyer und O. Reis, Ecole Nationale Supérieure des Arts et Industries de Strasbourg (ENSAIS), ins Ungarische von Prof. Dr. A. Detreköi, Dr. G. Mélykúti, S. Mihäli und P. Winkler, TU Budapest, und ins Ukrainische von Z. Kuzyk, Lvivska Politechnika, Lemberg, übersetzt. Die nun vorliegende siebte Auflage wurde gegenüber der sechsten Auflage sehr stark umgearbeitet: •

Die analoge und analytische Photogrammetrie wurden erheblich reduziert;

•

die digitale Photogrammetrie nimmt den größten Umfang ein und

•

Laserscanning wurde neu aufgenommen.

Sowohl das terrestrische als auch das flugzeuggetragene Laserscanning zur Erfassung geometrischer Informationen gewinnt immer mehr an Bedeutung. Es wurde vor allem deshalb in die Lehrbücher "Photogrammetrie" aufgenommen, weil die photogrammetrischen Prinzipien und Methoden auch für das Laserscanning gelten; mit verhältnismäßig geringfügigen Ergänzungen zur Photogrammetrie konnte daher das Laserscanning abgedeckt werden. Das vorliegende Lehrbuch ist aus der Forschungstätigkeit und den Vorbereitungen für Vorlesungen am Institut für Photogrammetrie und Fernerkundung (I.P.F.) an der Technischen Universität Wien entstanden. Die Forschungstätigkeit des I.P.F. ist theorie- und praxisorientiert. Zusätzlich zur Photogrammetrie am grünen Tisch werden daher auch die Problemstellungen der Anwender in diesem Lehrbuch behandelt.

VI Der Band 1 beginnt mit einem Streifzug durch die Photogramme trie, in dem die theoretischen Grundlagen aus Mathematik und digitaler Bildverarbeitung gelegt werden. Daran schließt die photogrammetrische Aufnahmetechnik unter besonderer Berücksichtigung der photoelektrischen Bildaufzeichnung (CCD-Kameras) an.

Auf GPS (Global

Positioning

System) und IMU (Inertial Measurement Unit) bei Flugmissionen wird gebührend eingegangen. Die Behandlung der Bildauswertung beginnt mit den Orientierungsverfahren, einschließlich der Verfahren, die auf der projektiven Geometrie aufbauen. Die auf zwei Bilder ausgelegten Orientierungsverfahren werden im nächsten Abschnitt auf den Bildverband - in Form der photogrammetrischen Triangulation - erweitert. Bei der Erläuterung der Auswertegeräte und Auswerteverfahren werden die digitalen Auswertegeräte in den Mittelpunkt gestellt; zusätzlich zu den automatischen Auswerteverfahren wird auch auf die in der Praxis stark verbreiteten halbautomatischen Auswerteverfahren eingegangen. Bezüglich der Orthophototechnik konzentriert sich das Lehrbuch zunächst auf die digitale Orthophotoherstellung, geht aber auch auf dreidimensionale virtuelle Welten mit photographischer Textur ein. Die Auswahl und Gliederung des Stoffes bieten den Studierenden einen leichten Einstieg in die komplexe photogrammetrische Technik, wie sie heute und in naher Zukunft in der Praxis betrieben wird. Dem Praktiker bietet dieses Lehrbuch die Möglichkeit, den Anschluss an die Denkweise der neuzeitlichen Photogrammetrie zu finden; er erspart sich zum Teil das aufwendige Studium der oft schwierig verständlichen Fachliteratur. Für die technisch orientierten Nachbardisziplinen ist der Band 1 eine komprimierte Darstellung der Photogrammetrie. Er legt die Basis für die immer wichtiger werdende interdisziplinäre Zusammenarbeit. Auch die nichttechnisch ausgerichteten Nachbardisziplinen werden in diesem Lehrbuch viele wertvolle Informationen finden. Der Autor hat sich bemüht, dem Leser mit folgenden Maßnahmen entgegen zu kommen: •

Die Didaktik wurde vor die wissenschaftlichen Details gestellt; auch auf lange Ableitungen der Formeln wurde in der Regel verzichtet.

•

Die umfangreiche Theorie wurde in kleinere Abschnitte zerlegt und mit praxisorientierten Abschnitten verzahnt.

•

Die theoretischen Grundlagen wurden mit vielen Beispielen veranschaulicht.

•

Zur Selbstkontrolle wurden Aufgaben mit Lösungen eingestreut.

•

Es wurde versucht, dem gesamten Inhalt eine Handlung zu hinterlegen, das heißt die unterschiedlichen Themen wurden mit verbindenden Texten zusammengeführt.

VII Viele Institutsangehörige haben großen Anteil am Gelingen des vorliegenden Werkes. Die Mitarbeit folgender Herren erreichte ein Niveau eigenständiger Beiträge: Ding. C. Briese, Prof. Dr. J. Jansa, Dr. H. Kager, Dr. C. Ressi, Dr. F. Rottensteiner. Ein Teil der Beiträge von em.Prof. Dr. P. Waldhäusl wurden von der 5./6. Auflage in die 7. Auflage übernommen. Viele Abbildungen und viele Zahlenbeispiele haben mehrere Studierende bearbeitet. Namentlich soll Frau V. Dencheva, eine ERASMUS-Studierende aus Bulgarien, genannt werden. Ein Teil der Abbildungen stammen von der ungarischen Ausgabe. Die Urheberschaft der größeren Beispiele ist auf der nächsten Seite zusammengestellt. Der Reigen der Danksagungen soll mit Frau H. Emersberger, die als Pensionistin mit großem Engagement den Text in den Computer gebracht hat, und Frau E. Berkes, die die Halbtonbilder für den Druck aufbereitet hat, abgeschlossen werden.

Wien, im Dezember 2003

Karl Kraus

Vili Urheberschaft der größeren Beispiele: Ding. C. Briese und Dr. N. Pfeifer: Basiskonzept der Figur 8.1-2. Dr. L. Dorffner (damals Wissenschaftler am I.P.F.): Bilder 2.2-8/9/10, Bilder 3.5-17/18/19 und Bild 6.8-5. Herr M. Englich (Uni Stuttgart): Figur 2.2-1. Prof. Dr. J. Jansa (Wissenschaftler am I.P.F.): Bilder 6.8-21/22/23. Dr. H. Kager (Wissenschaftler am I.P.F.): Bild 8.3-4. Ding. R. Kalliany (damals Wissenschaftler am I.P.F.): Bild 3.5-14. Dr. M. Kerschner (damals Wissenschaftler am I.P.F.): Bild 6.8-17. Ding. C. Portales Ricart (damals ERASMUS-Studentin aus Valencia am I.P.F.): Aufgaben 3.2-1/2/3. Dr. C. Ressi (Wissenschaftler am I.P.F.): Aufgaben 4.3-4/6, Zahlenbeispiel im Abschnitt 4.3-2, Aufgabe 4.4-2, Aufgabe 6.8-9. Dr. F. Rottensteiner (Wissenschaftler am I.P.F. und Studierende der Grundzügelehrveranstaltung in Photogrammetrie): Figuren 7.5-1/2/3, Bild 8.2-8. Dr. A. Wieser (damals Studierender am I.P.F.) und Dr. R. Ressi (damals Studierender am I.P.F.) haben zur 5./6. Auflage einen eigenständigen Lösungsband herausgebracht. Ein Teil dieser Aufgaben wurde in die 7. Auflage - mit den Ergebnissen - übernommen.

Hinweise für den Leser Die inzwischen vom Duden (2000) übernommenen Anglizismen sind in Normalschrift geschrieben, die nicht übernommenen kursiv. Viele englische Fachausdrücke sind zu den deutschen Fachausdrücken in Klammern kursiv dazugeschrieben. Die weitzeiligen Passagen des Textes behandeln das Grundsätzliche des Stoffes; Detailinformationen sind dagegen engzeilig geschrieben. Einzelne Stichworte und wichtige Aussagen sind mit fetter Schrift herausgehoben. Die wichtige (End-)Formeln sind mit einem Raster hinterlegt. Der Band 1 besteht vollständig aus dem Hauptkapitel A. Die Hauptkapitel B, C, D und E bilden den Band 2 (3. Auflage), die Hauptkapitel F, G, H und I den Band 3 (1. Auflage). Die Formeln sind innerhalb eines Kapitels mit den ersten beiden Ziffern der Dezimalklassifikation fortlaufend nummeriert (die Formel (4.2-16) ist z.B. die 16. Formel im Kapitel 4.2 ...). Die Figuren, Bilder und Tabellen sind in eine einzige Nummernfolge zusammengefasst und auf die gleiche Weise fortlaufend nummeriert. Die Aufgaben bilden die dritte Nummernfolge innerhalb eines Kapitels mit den ersten beiden Ziffern der Dezimalklassifikation. Die Literaturhinweise in den Fußnoten sind sehr kurz gehalten. Vor dem Sachregister wurde deshalb eine Vervollständigung der Literaturhinweise eingeschoben.

IX INHALTSVERZEICHNIS VON BAND 1

Seite

A

GRUNDZÜGE DER PHOTOGRAMMETRIE

1.

EINLEITUNG

1

1.1 1.2 1.3

Definitionen Anwendungsmöglichkeiten Einige Bemerkungen zur Entwicklungsgeschichte

1 2 3

2.

VORBEMERKUNGEN AUS MATHEMATIK UND DIGITALER BILDVERARBEITUNG

5

Mathematische Vorbemerkungen

5

2.1

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7

2.2

Vorbemerkungen aus digitaler Bildverarbeitung 2.2.1 2.2.2 2.2.3

3. 3.1

3.2

Drehung sowie Affin- und Ähnlichkeitstransformation in der Ebene Drehung sowie Affin-und Ähnlichkeitstransformation im Raum Zentralprojektion des Raumes Zentralprojektion und Projektivtransformation der Ebene Zentralprojektion und Projektivtransformation der Geraden Der Normalfall der Zweibildauswertung Fehlertheorie des Normalfalles

5 10 16 20 26 28 30

33

Digitales Bild 33 Digitales Messbild 36 Digitale Normalfallbildauswertung und digitale projektive Entzerrung 38

PHOTOGRAMMETRISCHE AUFNAHMESYSTEME UND IHR PRAKTISCHER EINSATZ

46

Grundsätzliches zur Messkamera

46

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6

46 55 56 58 64 73

Die innere Orientierung einer Messkamera Kalibrierung von Messkameras Korrektur der Objektivverzeichnung Tiefenschärfe und Schärfentiefe Auflösungsvermögen und Kontrastübertragung Lichtabfall von der Bildmitte zum Bildrand

Photochemische Bildaufzeichnung

74

3.2.1

74 74 76

Analoges Messbild 3.2.1.1 Glas versus Film als Schichtträger 3.2.1.2 Korrektur der Filmdeformationen

χ

3.3

3.4

3.5

3.2.2

Belange 3.2.2.1 3.2.2.2 3.2.2.3 3.2.2.4 3.2.2.5 3.2.2.6

3.2.3

Aufzeichnungsqualität photographischer Emulsionen

95

3.2.4

Kopierung mit Kontraststeuerung

97

3.2.5

Filme für die Luftbildaufnahme

98

3.7

80 80 84 85 87 89 92

Photoelektronische Bildaufzeichnung

100

3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5

100 104 108 110 111

Prinzip der opto-elektronischen Sensoren Auflösungsvermögen und Kontrastübertragung Abstände der Detektoren (Abtasttheorie) Geometrische Aspekte von CCD-Kameras Radiometrische Aspekte von CCD-Kameras

Digitalisierung analoger photographischer Bilder

115

3.4.1 3.4.2 3.4.3

115 116 119

Digitalisierungsintervalle Grau- bzw. Farbwerte Technische Lösungen

Verbesserung digitaler Bilder

120

3.5.1

Kontrast- und Helligkeitsveränderungen 3.5.1.1 Histogrammeinebnung 3.5.1.2 Histogrammnormalisierung 3.5.1.3 Korrektur des Lichtabfalls von der Bildmitte zum Bildrand 3.5.1.4 Histogrammnormalisierung und zusätzlich eine lokale Kontrastverstärkung

120 124 125 129

Filterungen 3.5.2.1 Filterungen im Ortsbereich 3.5.2.2 Filterungen im Frequenzbereich

133 134 138

3.5.2

3.6

der photochemischen Bildaufzeichnung Farben und Filter Der photochemische Prozess der Schwarzweiß-Photographie Gradation Allgemeinempfindlichkeit Der photochemische Prozess der Farbphotographie Spektrale Empfindlichkeit

130

Bildpyramiden/Datenkompression

141

3.6.1

Bildpyramiden

141

3.6.2

Bildkomprimierung

142

Luftbildkameras und ihr praktischer Einsatz

144

3.7.1 3.7.2

144 150 151 158 160

Flugplanung Luftbildmesskameras 3.7.2.1 Großformatige Filmmesskameras 3.7.2.2 Digitale Kameras mit CCD-Flächensensoren 3.7.2.3 Digitale Dreizeilenkameras

XI 3.7.3

3.8

4. 4.1

4.2

4.3

Satellitenpositionierungs- und Inertialsysteme 3.7.3.1 GPS-Einsatz beim Bildflug und Belichtung der Aufnahmen 3.7.3.2 Genaue Bestimmung der äußeren Orientierungselemente mit GPS und IMU 3.7.3.3 Kreiselstabilisierte Plattform und Besonderheiten bei Zeilenkameras und Laserscannern

162 162 163 170

3.7.4

Bewegungsunschärfe und ihre Kompensation

172

3.7.5

Die wirksame Beleuchtung für Luftaufnahmen

176

3.7.6

Vermessungsflugzeuge

179

Erdbildkameras und ihr praktischer Einsatz

180

3.8.1 3.8.2 3.8.3 3.8.4 3.8.5 3.8.6 3.8.7 3.8.8

181 183 185 187 189 189 191 194

Normalfall der terrestrischen Photogrammetrie Stereomesskameras Einzelmesskameras Teilmesskameras/Réseaukameras Amateurkameras/Nicht-Messkameras Zwischenbemerkung CCD-Kameras Planung terrestrischer Aufnahmen

ORIENTIERUNGSVERFAHREN UND EINIGE METHODEN DER ZWEIBILDAUSWERTUNG

201

Mit bekannter äußerer Orientierung

202

4.1.1

Zwei überlappende Messbilder

202

4.1.2

Messaufnahmen mit einer Dreizeilenkamera

205

Mit unbekannter äußerer Orientierung

206

4.2.1 4.2.2

Getrennte Orientierung der beiden Messbilder Gemeinsame Orientierung der beiden Messbilder (einstufig)

207 210

4.2.3

Gemeinsame Orientierung der beiden Messbilder (zweistufig)

212

Relative Orientierung

215

4.3.1 4.3.2

Relative Orientierung genäherter Senkrechtaufnahmen Relative Orientierung stark geneigter Messbilder

215

und Modellbildung

221

4.3.3

Alternativer Ansatz zur relativen Orientierung

225

4.3.4

Relative Orientierung genäherter Senkrechtaufnahmen mit y-Parallaxen

229

4.3.5

Gefährliche Konstellationen der relativen Orientierung

235

4.3.6

Fehlertheorie der relativen Orientierung 4.3.6.1 Mittlere Fehler der Orientierungselemente 4.3.6.2 Deformationen der Stereomodelle

239 239 241

XII

4.4

4.5

Absolute Orientierung

245

4.4.1 4.4.2 4.4.3

245 251 255

Kleinste-Quadrate-Ausgleichung Fehlertheorie der absoluten Orientierung Ermittlung von Näherungswerten

Bildkoordinatenbereinigung

256

4.5.1 4.5.2

257

4.5.3 4.5.4

Refraktionskorrektur für genäherte Senkrechtaufnahmen · Refraktions- und Erdkrümmungskorrektur für horizontale Aufnahmen Erdkrümmungskorrektur für genäherte Senkrechtaufnahmen Virtuelles (digitales) Korrekturbild

259 262 265

4.6

Genauigkeit der punktweisen Zweibildauswertung

266

5.

PHOTOGRAMMETRISCHE TRIANGULATION

273

5.1

Vorbemerkungen zur Aerotriangulation

273

5.2

Blockausgleichung mit unabhängigen Modellen

275

5.2.1

Lageblockausgleichung

275

5.2.2

Räumliche Blockausgleichung

285

5.2.3

Lage- und Höhengenauigkeit der Blockausgleichung mit unabhängigen Modellen 5.2.3.1 Lagegenauigkeit 5.2.3.2 Höhengenauigkeit 5.2.3.3 Empirische Lage- und Höhengenauigkeit 5.2.3.4 Lage- und Höhengenauigkeit der Streifentriangulation

287 288 294 297 297

5.3

Bündelblockausgleichung

299

5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5

299 300 302 304

Grundprinzip Verbesserungs- und Normalgleichungen eines Bildverbandes Auflösung der Normalgleichungen Unbekannte innere Orientierung und zusätzliche Parameter Genauigkeit sowie Vor- und Nachteile der Bündelblockausgleichung

305

5.4

GPS- und IMU-gestützte Aerotriangulation

306

5.5 5.6

Georeferenzierung von Aufnahmen einer Dreizeilenkamera Berücksichtigung der Gestalt der Erde und der Verzerrungen der Landeskoordinaten Photogrammetrische Triangulation im Nahbereich

308

5.7

312 314

XIII

6. 6.1

AUSWERTEGERÄTE UND WEITERE ZWEIBILDAUSWERTEVERFAHREN

319

Stereo-Betrachtungssysteme

319

6.1.1 6.1.2

319 321

Natürliches räumliches Sehen Betrachtung von analogen und digitalen Stereobildern

6.2

Stereoskopisches Mess- bzw. Zuordnungsprinzip

329

6.3

Analoge Zweibildauswertegeräte

331

6.4

Analytische Zweibildauswertegeräte

334

6.4.1 6.4.2

335

6.4.3

Stereokomparator Elektronische Registrierung der Bildkoordinaten (Monokomparator) Universelles analytisches Zweibildauswertegerät

336 339

6.5

Digitale Zweibildauswertegeräte

341

6.6

Manuelle (computergestützte) Auswertemethoden

343

6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4

343 346 348 353

6.7

6.8

Situationsauswertung Höhenauswertung Gebäudeauswertung Übergang auf raumbezogene Informationssysteme

Genauigkeit manuell (computergestützt) erhaltener Auswerteergebnisse

354

6.7.1 6.7.2 6.7.3

355 357 360

Situationsauswertung Höhenauswertung Kontrolle der Auswertung

Automatische und halbautomatische Auswerteverfahren

361

6.8.1

Korrelationsalgorithmen 6.8.1.1 Korrelationskoeffizient als Ähnlichkeitsmaß 6.8.1.2 Korrelation im Subpixelbereich 6.8.1.3 Interest-Operatoren 6.8.1.4 Merkmalsbasierte Korrelation 6.8.1.5 Gleichzeitige Korrelation in mehr als zwei Bildern

361 363 364 369 370 371

6.8.2

Automatische innere Orientierung

373

6.8.3

Automatische relative Orientierung und automatische Bestimmung von Verknüpfungspunkten

375

6.8.4

Automatische Lokalisierung von Passpunkten

380

6.8.5

Einbeziehung der Kernstrahlgeometrie in die Korrelation

381

6.8.6

Automatische Erfassung von Oberflächen

392

XIV 6.8.7

Halbautomatische Situationsauswertung 6.8.7.1 Mit aktiven Konturlinien (snakes) 6.8.7.2 Mit sequentiellen Arbeitsabläufen

394 395 397

6.8.8

Halbautomatische Gebäudeauswertung

403

6.8.9

Genauigkeit und Zuverlässigkeit automatisch bzw. halbautomatisch erhaltener Auswerteergebnisse

407

Besonderheiten der Dreizeilenkamera

408

6.8.10

7.

ORTHOPHOTOS UND EINZELBILDAUSWERTUNG

410

7.1

Verzerrungen eines Messbildes

411

7.2

Orthophotos ebener Objekte und ihre Genauigkeit

418

7.2.1 7.2.2 7.2.3

418 421 424

7.3

7.4

Mit orthogonaler Aufnahmerichtung Mit geneigter Aufnahmerichtung Gemeinsame projektive und affine Entzerrung

Orthophotos gekrümmter Objekte und ihre Genauigkeit

425

7.3.1 7.3.2

425 431

Herstellungsprinzip Orthophotogenauigkeit

Analoge, analytische und digitale Einzelbildauswertung

440

\

7.4.1 7.4.2 7.4.3

Analoge, analytische und digitale Orthophotoauswertung 440 Analytische und digitale Auswertung einer geneigten Aufnahme eines ebenen Objektes 441 Analytische und digitale Einzelbildauswertung gekrümmter Objektoberflächen 442

7.5

Photomodelle

445

7.6

Statische und dynamische Visualisierungen

448

8.

LASERSCANNING

449

8.1

Flugzeuggetragenes Laserscanning

449

8.1.1

Aufnahmeprinzip

449

8.1.2

Auswertung 8.1.2.1 Georeferenzierung 8.1.2.2 Ableitung von Geländemodellen 8.1.2.3 Ableitung von Gebäudemodellen

454 454 458 463

8.1.3

Gegenüberstellung von zwei Paradigmen und weitere Leistungsparameter zum Laserscanning

465

XV

8.2

8.3

Terrestrisches Laserscanning

471

8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5

471 473 476 477

Aufnahmeprinzip Georeferenzierung Verknüpfung von Punktwolken Strategien zur Objektmodellierung Zusammenführung von Laserdaten und von photographischen Daten

Laserscanning im extremen Nahbereich

Anhang 2.1-1:

Räumliche Drehmatrix

Anhang 2.1-2:

Mathematischer Zusammenhang zwischen Bild-

481

483 487

und Objektkoordinaten (Kollinearitätsbeziehung)

492

Anhang 2.1-3:

Differentiale der Kollinearitätsbeziehung

494

Anhang 2.2-1:

Ableitung der Formel (2.2-5) mit homogenen Koordinaten

496

Anhang 4.1-1:

Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate

497

Anhang 4.2-1:

Direkte lineare Transformation (DLT) mit homogenen Koordinaten

501

Anhang 4.3-1:

Differentiale der Koplanaritätsbedingung

501

Anhang 4.6-1:

Die und empirische Toleranzen Bestimmung von Standardabweichungen

503

Vervollständigung der Literaturhinweise

505

SACHREGISTER

506

XVI KOMPRIMIERTES INHALTSVERZEICHNIS VON BAND 2, 3. AUFLAGE

Β

PHOTOGRAMMETRISCHE ORIENTIERUNGSVERFAHREN UND PHOTOGRAMMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG

1. 2. 3.

ZWECK DER PUNKTBESTIMMUNG AUSWAHL, FESTLEGUNG UND MESSUNG DER PUNKTE MATHEMATISCHES BASISMODELL

3.1 3.2 3.3

Kategorien von Beobachtungen Kategorien von Parametern Koordinatensysteme und Transformationen

3.4 3.5

Räumliche Ähnlichkeitstransformation Verbesserungsgleichungen für die einzelnen Kategorien von Beobachtungen 3.5.1 3.5.2

Beobachtete Bildpunkte Beobachtete Punkte in lokalen dreidimensionalen cartesischen Koordinatensystemen 3.5.3 Beobachtete Polarpunkte 3.5.4 Beobachtete Paßpunkte 3.5.5 Beobachtete Gestalten 3.5.6 Einführung von zusätzlichen Parametern 3.5.7 Beobachtungen zu "Unbekannten" 3.5.8 "Konstante" mit stochastischen Eigenschaften 3.5.9 Linearisierung 3.5.10 Wahl der Gewichte und Homogenisierung der Verbesserungsgleichungen

4. 4.1

AUSWERTEVERFAHREN FÜR DIE KLEINRÄUMIGE PUNKTBESTIMMUNG Näherungswerte für die Bündeltriangulation 4.1.1 4.1.2

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Näherungswerte für die Aufnahmeorte und Neupunkte bei vorgegebenen Drehmatrizen Rück- und Vorwärtsschnitte im Wechsel

Näherungswerte für die räumliche Ähnlichkeitstransformation Verknüpfungs- und Paßlinien Normalgleichungen und ihre Auflösung Genauigkeiten und ihr Zusammenhang mit der Projektplanung Festlegung des Datums und freie Netzausgleichung 4.6.1 4.6.2 4.6.3

Harte und weiche Lagerung mit Paßpunkten Lagerung mit fingierten Einpaßelementen Lagerung mittels freier Netzausgleichung

XVII

4.7

Alternative und ergänzende Methoden 4.7.1 4.7.2

5. 5.1

AUSWERTEVERFAHREN FÜR DIE GROSSRÄUMIGE PUNKTBESTIMMUNG Blockausgleichung mit unabhängigen Modellen 5.1.1 5.1.2

5.2

Wechselweise Lage- und Höhenblockausgleichungen Räumliche Blockausgleichung mit unabhängigen Modellen

Bündelblockausgleichung 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4

5.3

Direkte lineare Transformation (DLT) Die Ermittlung der inneren und der relativen Orientierung mit Orthogonalitäts- und Ebenenbedingungen

Beschaffung von Näherungswerten Auflösender Normalgleichungen Bemerkungen zur Genauigkeit Wahl der zusätzlichen Parameter

Einbeziehung von Positionierungssatelliten in die Punktbestimmung 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5

Betrachtungen zu Koordinatensystemen Allgemeines zum NAVSTAR-GPS GPS-Einsatz beim Bildflug Paßpunktbestimmung mit GPS GPS-gestützte Aerotriangulation

5.4

Berücksichtigung der Gestalt der Erde und der Verzerrungen der Landeskoordinatensysteme

6.

BESONDERHEITEN BEI DER DIGITALEN PHOTOGRAMMETRIE Lokalisierung der Rahmenmarken

6.1

6.1.1 6.1.2

6.2 6.3 6.4

Manuelle Lokalisierung Automatische Lokalisierung

Bildkoordinatenbestimmung für signalisierte Punkte Bildkoordinatenbestimmung für natürliche Paßpunkte bzw. Paßensembles Bildkoordinatenbestimmung für natürliche Verknüpfungspunkte 6.4.1 6.4.2

Automatische Bestimmung in einem regelmäßigen Bildverband Interaktive Bestimmung im Nahbereich

7.

QUALITÄTSKONTROLLE UND SUCHE GROBER FEHLER

7.1 7.2

Genauigkeitskontrolle Zuverlässigkeitskontrolle 7.2.1 7.2.2

Theoretische Grundlagen Zuverlässigkeitskontrolle für einige photogrammetrische Standardaufgaben

XVIII

8.

SCHÄTZUNG DER VARIANZEN VON BEOBACHTUNGSGRUPPEN

9.

ANWENDUNGSORIENTIERTE HINWEISE MIT BEISPIELEN Kleinmaßstäbige Aerotriangulation Großmaßstäbige Aerotriangulation Aerotriangulation mit digitalen Bildern Terrestrische Phototriangulation Photogrammetrische Katastervermessung

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

9.5.1 9.5.2 9.5.3

9.6 9.7 9.8 9.9

Grenzpunktvermessung Verdichtung des Festpunktfeldes Grenzfeststellung aus Amateur- und Luftaufnahmen

Deformationsmessungen und Soll-Ist-Ver gleiche Bauaufnahme und Rekonstruktion von Hochbauten aus historischen (Amateur-)Aufnahmen Rekonstruktion von Verkehrsunfallsituationen aus Amateuraufnahmen Die photogrammetrische Bearbeitung des Behaim-Globus

C

PHOTOGRAMMETRISCHE OBERFLÄCHENBESTIMMUNG UND OBERFLÄCHENVISUALISIERUNG

1.

DIGITALE ORTHOPHOTOS, STEREOORTHOPHOTOS UND DREIDIMENSIONALE PHOTOMODELLE Digitale Orthophotos in mittleren Maßstäben

1.1

1.1.1 1.1.2 1.1.3

1.2 1.3

Digitale Orthophotos in kleinen Maßstäben Verbesserung des photographischen Inhaltes 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4

1.4

Ausgangsmaterial Digitale Orthophotoherstellung mit Berücksichtigung der Geländekanten Digitale Orthophotoherstellung mit Berücksichtigung von Kunstbauten

Kontrast- und Helligkeitsveränderungen Mosaikbildung durch direkte Grauwertanpassung im Überlappungsbereich Kantenverstärkung Besonderheiten bei der Farbe

Hard-Copies

XIX

1.5

Digitale Stereoorthophotos 1.5.1 1.5.2 1.5.3

1.6 1.7

Oberflächenvisualisierung mittels digitaler Orthophotos Dreidimensionale Photomodelle 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4

2. 2.1 2.2 2.3

In mittleren Maßstäben In kleinen Maßstäben Vergleich der monoskopischen und stereoskopischen Photointerpretation

Dreidimensionale Oberflächenmodelle Homogene Koordinaten Der Aufbau dreidimensionaler Photomodelle Oberflächenvisualisierung mittels eines dreidimensionalen Photomodelles

AUTOMATISIERTE BESTIMMUNG DER OBJEKTOBERFLÄCHE Grundsätzliche Überlegungen Rekonstruktion von Oberflächen durch Messung von Einzelpunkten und Linien Oberflächenbestimmung mit strukturiertem Licht 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

Projektion von zufälligen und regelmäßigen Mustern Moirétechniken Lichtschnittverfahren Binär kodiertes Licht Phasenverschiebungs verfahren

D

PHOTOGRAMMETRISCHE ERFASSUNG UND VISUALISIERUNG DYNAMISCHER PHÄNOMENE

1.

PHOTOGRAMMETRISCHE ERFASSUNG DYNAMISCHER PHÄNOMENE

2.

VISUALISIERUNG DYNAMISCHER PHÄNOMENE UND DYNAMISCHE VISUALISIERUNG STATISCHER OBJEKTE

E

KALIBRIERUNG DER PHOTOGRAMMETRISCHEN SYSTEME

1.

KONZEPTIONELLES ZUR KALIBRIERUNG

XX

2.

KALIBRIERUNGSVERFAHREN

3.

KALIBRIERUNG VERSCHIEDENER KAMERATYPEN

4.

KALIBRIERUNG VON PHOTOSCANNERN

4.1 4.2

Kalibrierung der Mechanik Kalibrierung der Detektoren und Überprüfung ihrer Eigenschaften

XXI KOMPRIMIERTES INHALTSVERZEICHNIS VON BAND 3, 1. AUFLAGE

F

EINFÜHRUNG IN TOPOGRAPHISCHE INFORMATIONSSYSTEME

1.

TERMINOLOGIE UND DEFINITIONEN

2.

ZUM INHALT EINES TIS

3.

ZUR BILDUNG TOPOGRAPHISCHER MODELLE

3.1 3.2 3.3 3.4

Objektdefinition Dimensionalität der Objekte Draht-, Oberflächen- und Volumenmodell Raster- und Vektordaten 3.4.1 Im 2D-und 2.5D-TIS 3.4.2 Im 3D-TIS 3.4.3 Gegenseitige Konvertierung

G

EINIGE VORBEMERKUNGEN ZUR GEOINFORMATIK

1.

EINFACHE DATENSTRUKTUREN

1.1 1.2 1.3

Einzeldatei Geblockte Dateien im Direktzugriff Indizierte und invertierende Dateien

2.

BESONDERHEITEN BEI DER STRUKTURIERUNG RAUMBEZOGENER DATEN

3.

KONZEPTIONELLES ZU DATENBANKEN

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Hierarchische Datenbank Netzartige Datenbank Bewertung des hierarchischen und netzartigen Datenbankkonzeptes Relationale Datenbank Semantisches Datenbankmodell Objektorientierte Datenbank

4.

SPEZIELLES ZU GEODATENBANKEN

4.1 4.2 4.3

Liniennetze Netzwerke von Flächen Komplexe Objektbildung

H

ALGORITHMEN FÜR DIGITALE TOPOGRAPHISCHE MODELLE

1.

EINIGE BASISALGORITHMEN FÜR VEKTORDATEN

XXII 1.1

1.2 1.3

Dreiecksvermaschung 1.1.1 Delaunay-Triangulation und Voronoi-Diagramm 1.1.2 TIS-Beispiele Geschlossene Polygonzüge Verschneidung von zwei Polygonnetzen 1.3.1 Varianz-Kovarianzmatrix der Schnittpunkte 1.3.2 Varianz-Kovarianzmatrix der Flächen 1.3.3 EDV-technische Verwirklichung

2.

KURVENINTERPOLATION UND -APPROXIMATION

2.1 2.2

2.3 2.4 2.5

Parametrisierung von Kurven Kurveninterpolation 2.2.1 Polynominterpolation 2.2.2 Zusammengesetzte Polynome (Spline-Funktionen) 2.2.3 Akima-Interpolation 2.2.4 Bessel-Interpolation 2.2.5 Bézier-Kurven 2.2.5.1 Grundgleichung für eine Bézier-Kurve dritten Grades 2.2.5.2 Algorithmus von de Casteljau 2.2.5.3 Vermischtes Kurveninterpolation mit Filterung Parallellen zu zweidimensionalen Kurven Polygonzugsapproximation von Kurven

3.

FLÄCHENINTERPOLATION UND -APPROXIMATION

3.1 3.2

Polynominterpolation Interpolation mittels Flächensummation 3.2.1 Ableitung der Grundgleichung 3.2.2 Verschiedene Kernfunktionen 3.2.3 Einbeziehung von vorgegebenen Neigungen 3.2.4 Ermittlung der Neigung sowie der Richtung der Fallund Höhenlinie an einer beliebigen Stelle der Oberfläche Interpolation nach kleinsten Quadraten 3.3.1 Statistische Analyse und Grundgleichung 3.3.2 Genauigkeit der interpolierten Werte 3.3.3 Spezielle Filterungen 3.3.3.1 Elimination des systematischen Abtastfehlers 3.3.3.2 Gruppenweise unterschiedliche und individuelle Genauigkeiten der Stützpunkte 3.3.3.3 Daten mit schiefer Fehlerverteilung 3.3.4 Gegenüberstellung mit dem Krige-Schätzer Hybrides digitales Geländemodell 3.4.1 Oberflächenapproximation mit einem Gittermodell 3.4.2 Zerlegung des Interessensgebietes in Teilgebiete 3.4.3 Datenstruktur Geländemodell aus zusammengesetzten linearen bivariaten Polynomen Geländemodell aus räumlichen Dreiecken (3D-Dreiecke) Das Bézier-Dreieck

3.3

3.4

3.5 3.6 3.7

XXIII 3.8

Konzept für ein universelles 3D-Oberflächenmodell 3.8.1 Filterung und Vernetzung der digitalisierten Geländekanten 3.8.2 3D-Dreiecksvermaschung 3.8.3 Filterung der Massenpunkte und Verbesserung der Schätzung der Flächennormalen 3.8.4 Verband von Bézier-Dreiecken 3.8.5 Bivariate Polynominterpolation mit C 1 -Kontinuität

4.

GESTALTBEDINGUNGEN (HOMOGENISIERUNG)

4.1

2D-Homogenisierung 4.1.1 Orthogonalität 4.1.2 Parallelität 4.1.3 Kombination von Orthogonalität und Parallelität 4.1.4 Ergänzung fehlender Punkte 4.1.5 Anwendungsbezogene Hinweise 3D-Homogenisierung

4.2

5.

SPEKTRALANALYSE

5.1 5.2 5.3

Das Amplituden- und Leistungsspektrum Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich Genauigkeit topographischer Modelle

6.

ANALYSE MIT WAVELETS

I

TOPOGRAPHISCHE INFORMATIONSSYSTEME (TISe)

1. 2.

ALLGEMEINES GEWINNUNG TOPOGRAPHISCHER BASISDATEN

2.1

Mittels Aerophotogrammetrie 2.1.1 Flugparameter und Paßpunkte für die Aerophotogrammetrie 2.1.2 2D- und 2. 5D-Vektordaten 2.1.3 Geländeoberflächenerfassung 2.1.4 Digitalisierungsintervalle 2.1.5 Monoplotting 2.1.6 Erfassung der Gebäude und ihrer Oberflächen 2.1.7 Phototextur als Rasterdaten Mittels abtastender Laser (laser scanning) 2.2.1 Abtastender Laser im Flugzeug 2.2.2 Erstellung eines digitalen Geländemodelles (DGMs) 2.2.3 Genauigkeit des Laser-DGMs 2.2.4 Photogrammetrie versus Laser-Scanner Aus Karten 2.3.1 Raster/Vektor-Konvertierung 2.3.2 Für digitale Geländemodelle 2.3.3 Genauigkeiten Mittels Fernerkundung

2.2

2.3

2.4

XXIV 2.5 2.6

Mittels terrestrischer Verfahren Mittels SAR-Interferometrie

3.

AUFBAU DER DATENBESTÄNDE IN EINEM TIS

3.1

Bezugssysteme 3.1.1 Cartesisches Tangentialsystem 3.1.2 Globales Bezugssystem 3.1.3 Bezugssysteme der Landesvermessungen 3.1.4 Das geodätische Datum Aufbau der Datenbestände 3.2.1 Metainformation 3.2.2 Modelle aus Rasterdaten 3.2.3 Modelle aus Vektordaten 3.2.4 Modelle aus hybriden Daten 3.2.5 Qualität und ihre Visualisierung 3.2.6 Detaillierungsgrad 3.2.7 Datenmanagement

3.2

4.

FOLGEPRODUKTE

4.1

Höhenlinien 4.1.1 Aus einem hybriden DGM 4.1.1.1 Geomorphologische Qualität photogrammetrisch gewonnener Höhenlinien 4.1.1.2 Geomorphologische Qualität der aus Laser-DGMen gewonnenen Höhenlinien 4.1.1.3 Höhen- und Lagegenauigkeit 4.1.2 Aus einem Rastermodell mittels digitaler Bildverarbeitung Neigungs-, Expositions- und Krümmungsmodell Schummerungen Perpektiven und Animationen 4.4.1 Perspektiven und andere Projektionen des hybriden DGMs 4.4.2 Perspektiven mittels Orthophotos, Schummerungen und rasterisierter Karten 4.4.3 Animationen Profile und Volumina Verknüpfung von 3D-Funktionsmodellen untereinander und mit 2D-Polygonnetzen Bodenerosionsgefährdungskarte Regensimulation zur geomorphologischen Geländeanalyse Vermischtes zu DGM-Folgeprodukten Folgeprodukte von digitalen Stadtmodellen

4.2 4.3 4.4

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

Anhang H 2.2-1

Zusammengesetzte kubische Polynome

Anhang H 2.2-2

Bessel-Interpolation

Anhang H 2.5-1

Approximationsfehler

Vervollständigung der Literaturhinweise SACHREGISTER

1

A

GRUNDZÜGE DER PHOTOGRAMMETRIE

1.

EINLEITUNG

1.1

Definitionen

A 1.

Mit Hilfe der Photogrammetrie1 rekonstruiert man die Lage und die Form von Objekten aus Bildern, die photochemisch (konventionelle Photographie) oder photoelektrisch (digitale Photographie) entstanden sind2. Als dritte Gruppe von Bildern sind in den letzten Jahren Laserscanneraufnahmen, das sind Bilder mit einer Entfernungsinformation in jedem Bildelement, hinzugekommen. Die Ergebnisse einer photogrammetrischen Auswertung können sein: • Maßzahlen, nämlich Koordinaten einzelner Objektpunkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem ( = digitale Punktbestimmung), • Zeichnungen (analog), nämlich Karten und Pläne im Grundriss mit Höhenlinien und sonstige graphische Darstellungen der Objekte, • geometrische Modelle (digital), die in Informationssysteme einfließen, • Bilder (analog und/oder digital), vor allem entzerrte Photos (Orthophotos) und daraus hergestellte Luftbildkarten, aber auch Photomontagen und so genannte dreidimensionale Photomodelle, das sind texturierte CAD-Modelle mit der aus Photographien entnommenen Textur. Jene Photogrammetrie, die mit der Aufnahme photochemischer Bilder beginnt und die die Auswertung mit optisch-mechanischen Geräten fortsetzt, wird als analoge Photogrammetrie bezeichnet. Jene Photogrammetrie, die sich auch auf photochemische Aufnahmen stützt, aber den gesamten Auswerteprozess mittels Computer löst, heißt analytische Photogrammetrie. Die dritte Stufe ist die digitale Photogrammetrie. Dabei wird das Licht in der Bildebene

Bei der Schreibweise und Trennung des Wortes Photogrammetrie halten wir uns an die Empfehlungen von J. Albertz (PFG (1999): 409-410). 2

Das Wort Photographie kommt vom Griechischen und ist aus den zwei Teilen "phaos = Licht" und "graphein = schreiben" zusammengesetzt. Es hat also die Bedeutung eines "Lichtschreibers", m.a.W. eines "Photonenschreibers". Über den Schreibvorgang ist nichts gesagt; er kann photochemisch wie bei der konventionellen Photographie oder photoelektrisch wie bei der modernen Photographie sein. Im ersten Fall ist das Ergebnis der "Aufschreibung" ein analoges Photo und im zweiten Fall ein digitales Photo. (Die Abkürzung "Photo" für "Photographie" werden wir häufig benutzen.) Der Begriff "Photographie" eignet sich daher ausgezeichnet als Überbegriff für analoge und digitale Photographien.

A

2

1.1

der Aufnahmekamera nicht mehr mit einer lichtempfindlichen Emulsion sondern elektronisch mit Detektoren festgehalten 1 . Ausgehend von solchen digitalen Photos erfolgt die gesamte Ausweitung mittels Computer, wobei auch das menschliche Sehen und Erkennen vom Computer nachgeahmt wird. Es kommt zu einer Verbindung von Photogrammetrie mit dem Fachgebiet des Maschinellen Sehens (Computer-Vision); die Mustererkennung recognition) ist ein Teilgebiet von

(pattern

Computer-Vision.

Neben der geometrischen Rekonstruktion der aufgenommenen Objekte geht in vielen Fällen auch die Deutung des Bildinhaltes einher. Das Ergebnis einer solchen Photointerpretation ist die Klassifizierung der Objekte nach verschiedenen Merkmalen. Die Photogrammetrie erlaubt die Rekonstruktion der Objekte und die Feststellung einiger Objektmerkmale ohne direkte Berührung der Gegenstände. Diese Art der Informationsgewinnung - über die Erdoberfläche - wird heutzutage auch als Fernerkundung (remote sensing) bezeichnet. Fernerkundung ist die Gesamtheit aller Verfahren zur Gewinnung von Informationen über die Erdoberfläche durch Messung und Interpretation der von ihr reflektierten oder emittierten elektromagnetischen Strahlung 2 . Diese Definition der Fernerkundung schließt auch jenen Teil der Photogrammetrie ein, der auf die Erdoberfläche ausgerichtet ist. Wenn allerdings die geometrischen Merkmale im Vordergrund stehen, spricht man nach wie vor von Photogrammetrie und nicht von Fernerkundung.

1.2

Anwendungsmöglichkeiten

Die Hauptanwendung der Photogrammetrie ist die Herstellung topographischer Karten in der Form von Strichkarten und Orthophotokarten. Photogrammetrische Auswertegeräte fungieren als 3D-digitizer. Bei der photogrammetrischen Auswertung entstehen zuerst digitale topographische Modelle, die mittels Computergraphik visualisiert werden können. In einem solchen digitalen topographischen Modell ist die Form und Nutzung der Erdoberfläche gespeichert. Die digitalen topographischen Modelle werden als zentraler Datenbestand in ein topographisches Informationssystem eingebracht, das - sehr allgemein gesagt Auskunft über die natürliche und die von Menschen gestaltete (künstliche) Landschaft gibt.

1

Im Englischen wird die digitale Photogrammetrie häufig mit softcopy photogrammetry bezeichnet im Gegensatz zur hardcopy photogrammetry, die mit der auf einem Schichtträger kopierten Photographie arbeitet (PE&RS 58, Copy 1, pp. 49-115, 1992).

2

Siehe DIN 18716/3.

3

A 1.2

Ein topographisches Informationssystem ist ein wesentliches Subsystem in einem (umfassenden) Geo-Informationssystem (GIS). Aus der Sicht eines GIS liefert die Photogrammetrie Geo-Daten. Mittels Photogrammetrie und Laserscanning wird heutzutage ein sehr großer Anteil an Geo-Daten erfasst. Die so genannte Nahbereichsphotogrammetrie wird für folgende Aufgaben eingesetzt: Architekturbildmessung, Präzisionsvermessung von Bauten und anderen ingenieurtechnischen Objekten, Bauüberwachungsmessungen und Bauschadensdokumentation, Ausmessung künstlerischer und ingenieurtechnischer Modelle, Deformationsmessungen, Vermessung kinematischer Vorgänge (z.B. Robotik), biometrische Anwendungen (z.B. computergestützte Operation), Rekonstruktion von Verkehrsunfällen und vieles andere mehr. Die photogrammetrische Auswertung ist verhältnismäßig einfach, wenn die Photographien mit Spezialkameras aufgenommen werden. Es soll aber erwähnt werden, dass mit Hilfe komplexer mathematischer Algorithmen und leistungsfähiger Software auch die geometrische Auswertung von Amateuraufnahmen möglich geworden ist. Diese Auswertetechnik wird immer populärer, zumal inzwischen große Bevölkerungsschichten ihre Photos auf ihrem Computer zur Verfügung haben und über die Grau- und Farbwertmanipulationen hinaus auch häufig an geometrischen Auswertungen interessiert sind.

1.3

Einige Bemerkungen zur Entwicklungsgeschichte

Obwohl bereits vor Erfindung der Photographie (Niépce, Daguerre, Arago 1839) J.H. Lambert grundlegende Gedanken zur Theorie der Photogrammetrie veröffentlicht hat, ist als Begründer der Photogrammetrie der französische Oberst A. Laussedat anzusehen. Er führte im Jahre 1859 einer Kommission der Pariser Akademie der Wissenschaften vor, wie man aus zwei photographischen Aufnahmen durch räumlichen Vorwärtseinschnitt die Objektkoordinaten findet. Etwa um die gleiche Zeit hat in Deutschland A. Meydenbauer die ersten erfolgreichen Versuche gemacht, die Photogrammetrie für die Bauaufnahme einzusetzen. Nach Einführung der Stereophotogrammetrie durch C. Pulfrich (1901) war der Weg zu E. von Orels genialer Erfindung (1909) des Stereoautographen geebnet, womit erstmals die kontinuierliche Auswertung von Grundriss- und Höhenlinien möglich war. Die Übertragung dieses zunächst auf terrestrische Aufnahmen beschränkten Auswerteprinzips auf Luftbilder war - nach Vorarbeiten von T. Scheimpflug, M. Gasser, U. Nistri,

A 1.3

4

R. Hugershoff - im Jahre 1923 W. Bauersfeld durch die Fertigstellung des Stereoplanigraphen gelungen. In den folgenden Jahrzehnten wurden von renommierten optisch-mechanischen Firmen immer bessere photogrammetrische Aufnahme- und Auswertegeräte auf den Markt gebracht. Parallel dazu haben vor allem S. Finsterwalder und O. von Gruber die theoretischen Grundlagen für eine ökonomische Bedienung und für einen universellen Einsatz dieser optisch-mechanischen Auswertemaschinen geschaffen. Die Herstellung von Orthophotos aus Luftbildern ist im Routinebetrieb erstmals dem Amerikaner R.K. Bean im Jahre 1955 gelungen, obwohl bereits T. Scheimpflug (1897), L. Vietoris (1924) und O. Lacmann (1929) interessante Vorüberlegungen und Voruntersuchungen über diesen photographischen Umbildevorgang angestellt hatten. Seit dem Aufkommen der elektronischen Datenverarbeitung (EDV) vollzog sich ein großer Wandel in der Photogrammetrie. Anstelle optisch-mechanischer Komponenten wurden in den Auswertegeräten immer häufiger Prozessrechner integriert. Diese Entwicklung gipfelte in den 50er Jahren des vorigen Jahrhunderts in der Vorstellung der ersten analytischen Auswertegeräte. Um die gleiche Zeit nahm auch die so genannte Aerotriangulation, die die Photogrammetrie in hohem Ausmaß von Festpunkten unabhängig macht, ihren großen Aufschwung. Gegenwärtig ist die Entwicklung in der Photogrammetrie von der digitalen Bildaufnahme und der digitalen Bildverarbeitung geprägt. Die analytische Photogrammetrie wurde in den letzten Jahren nahezu vollständig von der digitalen Photogrammetrie abgelöst. Neue Impulse setzt zur Zeit das Laserscanning.

5

2.

VORBEMERKUNGEN AUS MATHEMATIK DIGITALER BILDVERARBEITUNG

UND

Der Abschnitt 2.1 befasst sich aus ausschließlich mit mathematischen Vorbemerkungen. Der Abschnitt 2.2 bringt zusätzliche Vorbemerkungen aus der digitalen Bild Verarbeitung; sie bereiten die Auswerteverfahren der digitalen Photogrammetrie vor.

2.1

Mathematische Vorbemerkungen

Die verschiedenen photogrammetrischen Auswertetechniken setzen die Kenntnis mathematischer Grundlagen voraus. Obwohl der notwendige Stoff in mathematischen Vorlesungen und Lehrbüchern behandelt wird, sollen im Folgenden einige für die Photogrammetrie relevante mathematische Themen zusammengestellt werden.

2.1.1

Drehung sowie Affin- und Ähnlichkeitstransformation in der Ebene

Gegeben sei ein Punkt P(x,y) in einem Koordinatensystem, das um den Winkel a gegenüber einem übergeordneten Koordinatensystem - gegen den Uhrzeigersinn - verdreht ist. Gesucht sind die Koordinaten X und Y des Punktes Ρ im übergeordneten Koordinatensystem: X = χ cosa - y sina Υ = χ sina + y cosa

(2.1-1)

Die Einführung des Kosinus der Winkel zwischen den Koordinatenachsen und der Übergang auf die Matrizenschreibweise

ρ

ergibt:

Die Kurzform - mit fett geschriebenen χ Figur 2.1-1: Ebene Drehung

Vektoren und Matrizen - lautet: X =R χ

R =

(2.1-3)

6

A 2.1.1

R bezeichnet man als Drehmatrix. Sie ist quadratisch, aber nicht symmetrisch. Sie enthält die cos-Werte der Winkel zwischen den Koordinatenachsen. Eigenschaften der Drehmatrix R: Es steht die Beantwortung der Frage an, ob die vier Elemente r ik einer Drehmatrix frei wählbar sind oder ob sie bestimmte Bedingungen erfüllen müssen. Zu diesem Zweck führen wir entlang der Koordinatenachsen χ und y die Einheitsvektoren i und j ein (Figur 2.1-2) und drücken ihre Komponenten im XY-System aus: cosa

\

l sina )

!

Ì =

• -sina

\

( cos« /

Ein Vergleich mit den Gleichungen (2.1-1) und (2.1-2) zeigt, dass die Elemente r ik der Drehmatrix nichts anderes als die

j

Komponenten der Einheitsvektoren i u n d j sind:

R = i.i,j)

β·1"5)

Figur 2.1-2: Einführung der Einheitsvektoren

Die beiden aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren müssen aber folgende Orthogonalitätsbedingungen 1 erfüllen. (Diese Bedingungen formulieren wir als innere Vektorprodukte, wobei für den transponierten Vektor ein hochgestelltes Τ benutzt wird): = cos2 a 2

= sin a = -cosasina

4. sin2a +

2

2 = 1 :=r1;ι 2 Tii "

2

:

;

2 r 22:

cos a

= 1

sinacosa

= 0 % rUri2 + r2ir22

Eine Matrix, die die Orthogonalitätsbedingungen erfüllt, heißt orthogonale Matrix. 2

Genauer: Eine Orthogonalitätsbedingung und zwei Normierungsbedingungen. 2

In Anlehnung an die vorausgehende Fußnote spricht man auch von einer orthonormierten Matrix, deren Determinante detR = 1 sein muß. Bei detR = -1 hat man es mit einer Drehung und einer Spiegelung zu tun. Ein Koordinatensystem mit orthonormierten Vektoren als Basis nennt man kartesisches Koordinatensystem.

A 2.1.1

7

Nachdem die vier Elemente der Drehmatrix R den drei Orthogonalitätsbedingungen genügen müssen, ist nur ein Parameter frei wählbar; im allgemeinen ist es der Drehwinkel a . ZAHLENBEISPIELE:

_ Í0.36 0-36 1.19 {Υ) ' (θ.19

0.69Ì / x \ 0.69 0.27) i y j O.27J

Die Orthogonalitätsbedingungen sind nicht erfüllt; es handelt sich um keine ebene Drehung. Auf diese Transformation gehen wir am Ende dieses Abschnittes näher ein.

'0.6234

-0.7819'

,0.7819

0.6234,

Die Orthogonalitätsbedingungen sind erfüllt, d.h. ein Punkthaufen wird durch die Transformation mit dieser Matrix gedreht.

2.1-1: Man stelle sich ein Rechteck im xy-System vor und transformiere die Eckpunkte dieses Rechtecks mit den Transformationsmatrizen der beiden Zahlenbeispiele in das XY-System. Anhand der Ergebnisse überlege man sich die Eigenschaften der beiden Transformationen. AUFGABE

2.1-2: Man überlege sich die Transformationseigenschaften, wenn jeweils nur eine der drei Orthogonalitätsbedingungen (2.1-6) nicht erfüllt ist. AUFGABE

2.1-3: Man gebe eine Matrix an, die eine Drehung und eine Spiegelung bewirkt (Lösung: r n = cosa, r 1 2 = sina, r 21 = sina, r 2 2 = -cosa).

AUFGABE

Invertierung der Drehmatrix R: Die Multiplikation der invertierten Matrix R"1 mit der Matrix R ist definitionsgemäß die Einheitsmatrix E: R*R = E Andererseits ergibt die Multiplikation der transponierten Matrix RT mit der Matrix R ebenfalls die Einheitsmatrix (Gleichungen (2.1-5) und (2.1-6)): (i,f) = \J

iTJ T.

\JTi

fj)

Damit gilt für die Drehmatrix die wichtige Beziehung: R~l = RT

(2.1-7)

Anwendung auf Umkehrung: Will man Punkte vom übergeordneten XY-System in das xy-System transformieren, so erhält man die gesuchte Drehmatrix auf folgende Weise: Gleichung (2.1-3): X = R x

A 2.1.1

8

Multiplikation mit R T : RTX = RTRx = Ex = χ Ergebnis: χ = RTX =

r,

r.

AUFGABE 2.1-4: Wie lauten die Gleichungen (2.1-1), (2.1-2), (2.1-4) und (2.1-5), wenn die Drehung a des xy-Systems gegenüber dem XY-System im Uhrzeigersinn erfolgt? Die Transformation mit einer nichtorthogonalen Matrix (erstes Zahlenbeispiel) nennt man Affintransformation. Sie hat folgende Eigenschaften: •

Orthogonale Geraden, z.B. festgelegt durch drei Punkte im xy-System, sind nach der Transformation nicht mehr orthogonal.

• Parallele Geraden, z.B. festgelegt durch vier Punkte im xy-System, sind auch nach der Transformation noch parallel. •

Strecken, jeweils zwischen zwei Punkten im xy-System, weisen nach der Transformation andere Längen auf.

•

Das Verhältnis von zwei Strecken, die auf parallelen Geraden liegen, ist dagegen invariant bezüglich der Affintransformation.

Die Affintransformation hat die Form: (2.1-8)

Dabei sind: • a 1 0 und a 2 0 zwei Translationen (genauer: die XY-Koordinaten des Ursprungs des xySystems) und • a n , a 1 2 , a 2 1 und a 2 2 vier Elemente, die die Orthogonalitätsbedingungen (2.1-6) nicht erfüllen und somit einerseits beliebige Maßstäbe in den beiden Koordinatenrichtungen und andererseits zwei unabhängige Winkel für die Verdrehung der beiden Koordinatenachsen zulassen. Zur Bestimmung der sechs Parameter a ik braucht man mindestens drei identische Punkte in beiden Koordinatensystemen.

A 2.1.1

9

ZAHLENBEISPIEL:

Gegeben sind drei Punkte mit ihren Koordinaten (in [m]) in beiden Systemen: Pkt. Nr.

X

y

X

Y

23

0.3035

0.5951

3322

1168

24

0.1926

0.6028

3403

2061

50

0.3038

0.4035

1777

1197

Gesucht sind die sechs Parameter a ik der Affintransformation. Mit den linearen Gleichungen (2.1-8) erhält man folgendes Gleichungssystem

0.3035 0.5951 0.3035 0.5951 1

0.1926 0.6028 0.1926 0.6028 0.3038 0.4035

«io

'3322'

«20

1168

«11

3403

«12

2061

«21

0.3038 0.4035

l«22J

1777 1197;

Lösung:

-1425 3713

-171.5 8063.4 -8063.7

164.0

Die Ahnlichkeitstransformation geht aus der Affintransformation (2.1-8) dadurch hervor, dass man anstelle der nichtorthogonalen Α-Matrix eine (orthogonale) Drehmatrix R verwendet und einen einheitlichen Maßstabsfaktor m einführt. Die Ähnlichkeitstransformation hat die Form: ν Il

'i y.

• +m

fn Τη

X - «n + m R χ

(2.1-9)

uy

Zur Bestimmung der vier Parameter der ebenen Ähnlichkeitstransformation (zwei Translationen a 10 und a 20 , ein Maßstabsfaktor m und - zum Beispiel - ein Drehwinkel a der Drehmatrix R) braucht man mindestens zwei identische Punkte in beiden Koordinatensystemen. Die Lösung dieses nichtlinearen Problems lernen wir im Abschnitt 5.2.1 kennen. Hinweis: Ein Quadrat im xy-System bleibt nach der Ähnlichkeitstransformation ein Quadrat; es ist lediglich verschoben, gedreht und maßstäblich verändert. Nach einer Affintransformation hat man dagegen ein Parallelogramm.

A 2.1.2

2.1.2

10

Drehung sowie Affin- und Ähnlichkeitstransformation im Raum

In Anlehnung an die Gleichung (2.1-2) kann die räumliche Drehung eines Punktes Ρ mit seinen Koordinaten (x,y,z) in das übergeordnete XYZ-Koordinatensystem wie folgt mit Hilfe der cos-Werte der Winkel zwischen den Koordinatenachsen formuliert werden:

cos(xX) cos(yX) Y

cos(zX)

cos(*y) cos(yy) cos(zlO

(2.1-10)

cos(xZ) cos(yZ) cos(zZ)/

χ Figur 2.1-3: Räumliche Drehung

Mit Hilfe der in der Figur 2.1-3 eingeführten drei Einheitsvektoren i j . k , 1 die analog zu Gleichung (2.1-5) die Matrix R = (i,j,k) bilden, lassen sich im räumlichen Fall für die neun Elemente r i k die folgenden sechs Orthogonalitätsbedingungen2 anschreiben:

1

Die drei Einheitsvektoren mit ihren Komponenten rik hängen - über die äußeren Vektorprodukte wie folgt zusammen: /

r 22 '23

r

+ r

32 r33

r

r

22r33

u

r

21 = jxk

=

r

r

r

Γ

i2

_

i3

32Γ13

r

r

i2r23

V.3J

v

i2

„

i2r33

j = kxi k = ixj

r

u

+ r

32r23

Γ

32 33

r

r

r

22 2i

Genauer: Drei Orthogonalitäts- und drei Normierungsbedingungen (siehe auch die Fußnoten zur Gleichung (2.1-6)).

A 2.1.2

11

fi T

ij

= f j = Λ

= F/c T

= jk

l

(2.1-12)

= o

Eine Drehung im Raum ist also durch drei unabhängige Parameter festgelegt. In der Photogrammetrie verwendet man häufig die drei Drehwinkel ω, φ und κ um drei Koordinatenachsen. Dabei ist - wie man sich an einem Kardangehänge (Figur 2.1-4) klar machen kann - eine Hierarchie der Achsen zu beachten:

ω bzw. χ

...

Primärachse

φ bzw. y

...

Sekundärachse

κ bzw. ζ

...

Tertiärachse

Φ Figur 2.1-4: Drehungen um die Achsen in einem Kardangehänge Wenn man eine ω-Drehung durchführt, so wird die Stellung der beiden anderen Achsen im Raum verändert. Dreht man jedoch um φ, so wird nur die κ-Achse, nicht aber die ω-Achse bewegt. Eine Drehung um die κ-Achse verändert nicht die Stellung der beiden anderen Drehachsen. Das in Figur 2.1-3 eingezeichnete, beliebig verdrehte xyz-System kann also durch die drei Drehungen ω, φ und κ entstehen. Dabei wird jeweils gegen den Uhrzeiger gedreht, wenn man von der jeweiligen Koordinatenachsenspitze zum Koordinatenursprung schaut (oder mit dem Uhrzeiger gedreht, wenn man vom Koordinatenursprung zur jeweiligen Koordinatenspitze schaut):

12

A 2.1.2

Figur 2.1-5: Hierarchie der drei Drehungen eines Koordinatensystems Ein im xyz-Koordinatensystem gegebener Punkt Ρ läßt sich deshalb auch mit den drei Drehwinkeln ω, φ und κ in das XYZ-System transformieren. Die räumliche Drehmatrix R der Transformationsgleichung (2.1-11) hat in diesem Fall die Form (Anhang 2.1-1):

-cossinK

COSCOSK

ωφκ

sin

cos(i)sinK+sinci)sincosK

cos ω COSK-sinco sincosK+cossinK

οοβωοοβφ,

(2.1-13)

2.1-5: Man beweise mittels trigonometrischer Umformungen, dass die neun Elemente der Drehmatrix (2.1-13) die Orthogonalitätsbedingungen (2.1-12) erfüllen. AUFGABE

Wird die Hierarchie der Drehungen in einer anderen Reihenfolge definiert, ändern sich auch die Elemente in der Matrix (2.1-13) (siehe Anhang 2.1-1 und insbesondere Abschnitt Β 3.4, Band 2). Infolge der Orthogonalitätsbedingungen (2.1-12) ist die invertierte räumliche Drehmatrix R"1 entsprechend der Gleichung (2.1-7) ebenfalls die transponierte räumliche Matrix R T . Zusammenfassend sollen drei unterschiedliche Interpretationen der Elemente r ik der räumlichen Drehmatrix R gegeben werden: • cos-Werte der Raumwinkel zwischen den Achsen der beiden Koordinatensysteme. • Komponenten der Einheitsvektoren des gedrehten Koordinatensystems in Bezug auf das übergeordnete Koordinatensystem. • Trigonometrische Funktionen von Winkeln um drei Drehachsen in einem Kardangehänge.

A 2.1.2

13

Zwei aufeinanderfolgende Drehungen Erste Drehung:

X1 = R,x

Zweite Drehung:

X2 =

Gesamtdrehung:

X2 = I^RyX

(2.1-14)

=R χ

Dabei wurden die beiden Drehmatrizen R j und R 2 durch Multiplikation zu einer einzigen Drehmatrix R zusammengefasst: R

(2.1-15)

= R2R1

Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, ist bei dieser Multiplikation unbedingt die Reihenfolge zu beachten! Bei der transponierten Drehmatrix R T dreht sich die Reihenfolge um: (2.1-16)

RT = (R2R1)T = R¡R¡ BEISPIEL ZU GLEICHUNG ( 2 . 1 - 1 3 ) :

Gegeben:

ω

= -1.3948 gon 0.1041 gon

φ

=

κ

= -0.8479 gon

Gesucht: Elemente der Drehmatrix R

R =

Probe:

' 0.999910

0.013319

0.001635"

-0.013351

0.999671

0.021907

-0.001343

-0.021927

0.999759,

sin φ = r 1 3

φ

=

tan κ

κ

= -0.8479 gon

=

-r 1 2 /r u

0.1041 gon

(siehe auch Anhang 2.1-1)

ω = -1.3948 gon tan ω = -r23/r33 Die neun Elemente r ik müssen die Orthogonalitätsbedingungen erfüllen; zu diesem Zweck bildet man R T R = E: { 0.999910

0.013319

0.0016351

-0.013351

0.999671

0.021907

-0.001343

-0.021927

0.999759,

-0.013351

-0.001343)

1.000000

0.000001

0.000000'

0.013319

0.999671

-0.021927

0.000001

1.000000

0.000000

,0.001635

0.021907

0.000000

0.000000

1.000001,

0.999910

0.999759J

14

A 2.1.2

BEISPIEL ZU GLEICHUNG ( 2 . 1 - 1 4 ) :

Gegeben ist ein Punkt Ρ in einem xyz-System, das gegenüber einem XjYjZj-System um die Winkel ω1,φι,κι verdreht ist. Das X ^ Z j - S y s t e m ist außerdem gegenüber einem X2Y2Z2-System noch um die Winkel ω 2 ,φ 2 ,κ 2 verdreht. Gesucht sind die Koordinaten X 2 ,Y2,Z 2 des Punktes Ρ und die Winkel ω,φ,κ, um die das xyz-System gegenüber dem X 2 Y 2 Z 2 -System verdreht ist. -43.461 -83.699

Koordinaten des Punktes P:

152.670

Erste Drehung:

Zweite Drehung:

ω

-1.3948 gon

1 = Φι = K 1 =

+0.1041 gon -0.8479 gon

ω2 φ2 κ2

R

=

0.013319 0.001635

-0.013351

0.999671 0.021907

1

-0.001343 -0.021927 0.999759

-0.1726 gon

-0.020770

-1.0853 gon

-0.999782 -0.020727

-101.3223 gon

••

0.999910

0.002355

0.999639 -0.017047^ 0.017100

0.002710 0.999851

Erste Lösung (zweistufig) Transformation des Punktes Ρ in das X, Y ^ - S y s t e m '-43.461' -83.699 v

Äj * =

152.670,

0.999910

0.013319

0.001635^

-44.3223

-0.013351

0.999671

0.021907

-79.7467

-0.001343 -0.021927

0.999759

154.5268

Transformation des Punktes Ρ in das X 2 Y 2 Z 2 -System

-44.3223 -79.7467 , 154.5268,

(•-0.020770 =

0.999639 -0.017047)

-0.999782 -0.020727 0.002355

0.017100

-81.432'

0.002710

46.384

0.999851

U53.036J

A 2.1.2

15

Zweite Lösung (einstufig) Drehmatrix R für die Gesamtdrehung:

0.013319 0.001635'

' 0.999910 -0.013351

0.999671 0.021907

-0.001343 -0.021927 0.999759, (-0.020770

0.999639 -0.017047

-0.999782 -0.020727

R = ÄjÄJ

0.002710

0.999407 0.004822

-0.034091

-0.999419 -0.034096 0.000621 „ 0.000784 -0.004798 0.999988,

Transformieren des Punktes Ρ vom xyz-System in das X 2 Y2Z 2 -System:

-43.461 -83.699 U52.670; 0.034091 X2 = R χ

0.999407

'-81.432'

0.004822

0.999419 -0.034096

0.000621

46.384

0.000784 -0.004798

0.999988

153.036

Aus der Drehmatrix R lassen sich noch die Winkel ω, φ und κ ermitteln, um die das xyz-System gegenüber dem X 2 Y 2 Z 2 -System verdreht ist: ω φ κ Beachte: ω

= = =

-0.0396 gon 0.3070 gon -102.1708 gon

ω1 + ω2 usw.

AUFGABE 2.1-6: Man transformiere den Punkt Ρ vom X 2 Y 2 Z 2 -System in das xyz-System zurück, und zwar sowohl ein- als auch zweistufig.

Die Transformation mit einer nichtorthogonalen Matrix nennt man - auch im dreidimensionalen Raum - Affintransformation. Sie hat die von der Ebene auf den Raum übertragenen Eigenschaften. Die Eigenschaften der ebenen Affintransformation wurden am Ende des Abschnittes 2.1.1 angegeben. Die dreidimensionale Affintransformation hat die Form: X

%

Y : = α20

X = a0

+

Α χ

(2.1-17)

,030, Dabei sind: a 10 , a 20 und a 30 drei Translationen (genauer: Die XYZ-Koordinaten des Ursprungs des xyz-Systems), und

16

A 2.1.2

• a n , a12 , ... a 33 neun Elemente, die die Orthogonalitätsbedingungen (2.1-12) nicht erfüllen und somit einerseits beliebige Maßstäbe in den drei Koordinatenrichtungen und andererseits sechs unabhängige Winkel für die Verdrehung der drei Koordinatenachsen zulassen (Hinweis: Eine Koordinatenachse ist durch zwei Winkel definiert). Zur Bestimmung der 12 Parameter a^ braucht man mindestens vier identische Punkte in beiden Koordinatensystemen (wegen dieser Anzahl von Parametern spricht man auch von einer 12-Parametertransformation. Abschnitt 4.4.3 enthält ein Zahlenbeispiel. Die räumliche Ähnlichkeitstransformation geht aus der Affintransformation (2.1-17) dadurch hervor, dass man anstelle der nichtorthogonalen Α-Matrix eine (orthogonale) Drehmatrix R verwendet und einen einheitlichen Maßstabsfaktor m einführt. Die räumliche Ahnlichkeitstransformation hat die Form:

α

Ύ Y

=

«20 «30,

r

r

r

r

u

ιο +

m

21

i2 r l3 r

21 23

X y

e0 + m R χ

(2.1-18)

r r 31 32 33, A

r

Zur Bestimmung der sieben Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation (drei Translationen a 10 , a 20 und a 30 , einen Maßstabsfaktor m und - zum Beispiel - drei Drehwinkel ω, φ und κ der räumlichen Drehmatrix R (2.1-13)) braucht man von drei identischen Punkten mindestens sieben Bestimmungsgleichungen (z.B. zwei X-, zwei Y- und drei ZGleichungen). Die Lösung dieses nichtlinearen Problems lernen wir im Abschnitt 4.4.1 kennen. Hinweis: Ein Würfel im xyz-System bleibt nach der Ähnlichkeitstransformation ein Würfel; er ist lediglich verschoben, gedreht und maßstäblich verändert. Nach einer Affintransformation hat man dagegen ein Parallelepiped.

2.1.3

Zentralprojektion des Raumes

Um die Lage und Form der Objekte aus Photographien rekonstruieren zu können, müssen die geometrischen Abbildungsgesetze dieser Photographien bekannt sein. Viele in der Photogrammetrie verwendeten Aufnahmekameras erzeugen Photographien, auch Messbilder genannt, die mit hinreichender Genauigkeit als Zentralprojektion der aufgenommenen räumlichen Objekte angesehen werden können. (In den Abschnitten 2.1.3 bis 2.1.7 unter-

A 2.1.3

17

stellen wir hauptsächlich analoge Messbilder.) Die Figuren 2.1-6 und 2.1-7 enthalten einige Definitionen. p·2

Ψ / Negativ

H

\

V

/ c = 99.16

1f 1

Ρ'

ÌO

•

M

Γ y

Positiv

//

^ Vi/

k A Figur 2.1-7:

Messbild

Figur 2.1-6: Positiv- und Negativstellung O

... Projektionszentrum (Aufnahmeort) eines räumlichen Strahlenbündels

H

... Bildhauptpunkt mit den Koordinaten ξ0,η0

c

...

Kamerakonstante

M

...

Bildmittelpunkt (Schnittpunkt der Rahmenmarkenverbindungslinien)

Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten ξ und η1 eines Bildpunktes P ' und den Koordinaten Χ,Υ,Ζ eines Objektpunktes Ρ ist in Figur 2.1-8 veranschaulicht und in den Gleichungen (2.1-19) mathematisch formuliert (Ableitung dieser so genannten KoIIinearitätsbeziehung, siehe Anhang 2.1-2).

1

Hinweise zu der in diesem Buch verwendeten Notation: ξ,η ... zweidimensionale Bildkoordinaten x,y,z ... Koordinaten in einem dreidimensionalen lokalen kartesischen Koordinatensystem (häufig die Modellkoordinaten) Χ,Υ,Ζ ... Koordinaten in einem dreidimensionalen übergeordneten kartesischen Objektkoordinatensystem (häufig die Landeskoordinaten)

18

A 2.1.3

,Ο(Χ0,Υ0,Ζ0)

Figur 2.1-8: Zusammenhang zwischen Bild- und Objektkoordinaten rn(X l - L

- XJ + r2l(Y - r j + r„(Z - Z J

r13(X - XJ

+

r23(Y - Ya)

^C*

- ^

+ r22(Y - Yo) + r32(Z - Z¿

ra(X

- X ) H- r23(Y - YJ

+

r33(Z - Z J (2.1-19)

+

r33(Z - Zo)

Die dabei auftretenden Parameter rik sind die Elemente einer räumlichen Drehmatrix R (2.1-11), die in diesem Fall die räumliche Stellung des Bildes in Bezug zum XYZ-Objektkoordinatensystem beschreibt. Die Elemente rik können - falls gewünscht - durch die drei Drehwinkel ω (um die X-Achse), φ (um die um ω verdrehte Y-Achse) und κ (um die Achse, die senkrecht auf der ^-Bildebene steht und zum Projektionszentrum O zeigt) entsprechend der Gleichung (2.1-13) ausgedrückt werden. Eine Auflösung der Gleichungen (2.1-19) nach den Objektkoordinaten X und Y ergibt:

A 2.1.3

19

Χ - Χ + (Ζ - Z J

Yo

+

& - zj

Γ

"(ξ ~ ^ Γ31(ξ - ξ„)

+ +

Γ

2ΐ(ξ - U

+ r

3iü

+ r

r

- U

" ΤΊ°) ~ r '3 c Γ32(η - η„) - r 33 c r

22(n - η») - 2ì 32(n - n 0 ) -

(2.1-20)

c

rnc

Die Gleichungen (2.1-19) besagen, dass zu jedem Objektpunkt ein Bildpunkt gehört. Die Gleichungen (2.1-20) bringen zum Ausdruck, dass - infolge der Z-Koordinate auf der rechten Seite - zu jedem Bildpunkt unendlich viele Objektpunkte gehören. Aus einem Messbild allein Iäßt sich also ein räumliches Objekt nicht rekonstruieren. Man braucht dazu entweder vom gleichen Objekt ein zweites Messbild oder eine Zusatzinformation über die Z-Koordinate (z.B. alle Objektpunkte liegen in einer Horizontalebene mit bekannter Höhe). Die in den Gleichungen (2.1-19) und (2.1-20) formulierten Transformationen setzen die Kenntnis folgender unabhängiger Parameter (= Orientierungselemente) voraus: ξ0,η0

... Bildkoordinaten des Bildhauptpunktes Η

c

... Kamerakonstante1

^ 1 21)

Diese drei Parameter sind die Elemente der inneren Orientierung. Sie legen das Projektionszentrum des räumlichen Strahlenbündels in Bezug zur Bildebene fest. X0,Y0,Z0

...

Objektkoordinaten des Aufnahmeortes

3 Drehungen des Bildes (z.B. ω,ψ,κ)

(2 1-22)

Diese sechs Parameter sind die Elemente der äußeren Orientierung. Sie legen das räumliche Strahlenbündel mit Hilfe des Projektionszentrums und der Stellung des Bildes im Objektkoordinatensystem fest. Insgesamt definieren neun Parameter ein zentralperspektivisches Bild. Ihre Bestimmung erfolgt auf verschiedene Weise. Die drei Konstanten der inneren Orientierung sind kameraspezifische Größen, die in der Regel der Hersteller im Labor bestimmt. Er bemüht sich, dass der Bildhauptpunkt und der Bildmittelpunkt möglichst gut zusammenfallen (?o = i?o = 0)· Die sechs Elemente der äußeren Orientierung kann man bei der terrestrischen Photogrammetrie im Gelände bestimmen. Dagegen sind die sechs Elemente der

1

Über eine lange Zeitspanne hat man in der Photogrammetrie statt Kamera das Wort Kammer, statt Kamerakonstante das Wort Kammerkonstante etc. benutzt (Meier, H.-K: ZPF 61, S.104, 1993).

20

A 2.1.3

äußeren Orientierung der einzelnen Bilder - falls kein (aufwändiges) GPS (Global Positioning System) und keine (aufwändige) IMU (Inertial Measurement

Unit) eingesetzt

werden - nach einem Bildflug nicht mit genügender Genauigkeit bekannt. Als Ausweg bietet sich die indirekte Bestimmung über so genannte Passpunkte, von denen man die Bild- und Objektkoordinaten kennt, an. Bei bekannter innerer Orientierung benötigt man dazu drei Passpunkte, denn jeder Passpunkt liefert zwei Gleichungen (2.1-19) zur Bestimmung der sechs Elemente der äußeren Orientierung. BEISPIEL ZU DEN GLEICHUNGEN ( 2 . 1 - 1 9 ) :

Gegeben: Innere Orientierung:

c = 152.67 mm £„ = 0.00 mm η0 = 0.00 mm (362530.603 m\

Projektionszentrum 0:

=

61215.834 m 2005.742 m

-0.034091 Drehmatrix:

0.999407

0.004822

0.999419 -0.034096

0.000621

0.000784 -0.004798

0.999988

^363552.124 m) Objektkoordinaten von zwei Punkten:

P,:

61488.048 m

362571.087 m P2:

588.079 m

61198.320 m 596.670 m

Gesucht: Bildkoordinaten der beiden Punkte Lösung mit Gleichungen (2.1-19):

ξ = -33.288 mm l'i = 110.074 mm

2.1.4

ξ = 1.628 mm Pi:

η = 5.182 mm

Zentralprojektion und Projektivtransformation der Ebene

Ohne die Allgemeinheit der Aussagen einzuschränken, kann man die Objektebene in die XYEbene (Z = 0 in Figur 2.1-8) legen1. Die Gleichungen (2.1-20) lauten dann:

1

Die Ableitung mit einer schrägen Ebene, die zum gleichen Ergebnis führt, findet man in Mikhail, E., Bethel, J., McGlone, C.: Modern Photogrammetry. John Wiley & Sons, 2001.

21

χ

«lg

=

+

A 2.1.4

«2*1

+ c2r\

Y

=

+

«3

+

M

+

+

c ¿

+ C2T)

+

c3

(2.1-23)

\ c3

Die neu eingeführten Parameter a¡, b¡ und c¡ hängen mit den Parametern der Gleichungen (2.1-20) wie folgt zusammen: a

=

X r

"

V u

2

=

X r

~

V l 2

a

i

o zi o 32

usw. Nach Division der Zähler und Nenner der Gleichungen (2.1-23) durch c3 erhält man für den Zusammenhang der Bildkoordinaten ξ,η und der Objektkoordinaten X,Y die Gleichungen: + α2η + α3 ο,ξ +

c2x]

+1 (2.1-24)

+ b2T)

+

b3

+ ί2η + 1 Wir erhalten als Ergebnis: • Ein Bild reicht zur Rekonstruktion eines ebenen Objektes aus. • Acht unabhängige Parameter beschreiben die Zentralprojektion eines ebenen Objektes. Die Verringerung der unabhängigen Parameter einer Zentralprojektion von neun beim räumlichen Objekt auf acht beim ebenen Objekt mag zunächst überraschend sein. Die Ursache liegt darin, dass bei der Zentralprojektion einer Objektebene Abhängigkeiten zwischen den ursprünglich neun Elementen bestehen. Für den Spezialfall, dass das Bild parallel zur Objektebene liegt (Figur 2.1-9) ist diese Abhängigkeit - hier zwischen der Kamerakonstanten c und der Z0-Koordinate des Projektionszentrums 0 - leicht erkennbar: An die Stelle der ursprünglich zwei unabhängigen Größen Z,j und c tritt das Verhältnis

Ζ,,/c.

A 2.1.4

22

Figur 2.1-9: Zwei identische Messbilder mit unterschiedlichen Werten ßr Z0 und c, aber identischem Verhältnis ZJc Wir wenden uns nun der Frage zu, wie die acht Parameter für den allgemeinen Fall bestimmt werden können und wie man den übrigen Bildinhalt auswerten kann. Liegen vier Passpunkte1 (Bild- und Objektkoordinaten bekannt) vor, können zunächst aus den Gleichungen (2.1-24) die acht Koeffizienten ermittelt werden. Anschließend können für jeden Neupunkt P, aus seinen Bildkoordinaten ξ, und -q¡ die Objektkoordinaten X¡ und Y, berechnet werden. Gegeben sind die Bild- und Objektkoordinaten von vier Passpunkten A,B,C,D und die Bildkoordinaten von einem der vielen Neupunkte P. Gesucht sind die Objektkoordinaten dieses Neupunktes. ZAHLENBEISPIEL:

A Β C D Ρ

Bildkoordinaten ξ [mm] η -33.288 110.074 32.183 101.785 -45.762 -74.337 28.472 -96.643 1.628 5.182

Objektkoordinaten X [m] Y 1488.05 3552.12 2229.38 3507.46 1376.40 1899.76 2086.48 1600.12 ?

?

Acht lineare Gleichungen (2.1-24) lauten nach Multiplikation mit dem Nenner: ξα1 + ηα2 + a3 - Χξ^ - Xr\c2 = X + η¿>2 + b3 -

- YT]C2 = Y

Bei bekannter innerer Orientierung reichen drei Passpunkte aus (siehe Abschnitt 4.2.1).

A 2.1.4

23

-0.033288

0.110074

0

0

0

0

0

-0.033288 0.110074

1

3 )

+ (ö 2 c,-a l c 2 )y +"(a1fc2-a2Ä1).

AUFGABE 2.2-5: Man führe die Gleichungen (2.1-24) in die Gleichungen (2.2-5) über. (Eine sehr elegante Lösung ist mit den so genannten homogenen Koordinaten möglich (Anhang 2.2-1)). Fortsetzung des ZAHLENBEISPIELES des Abschnittes 2.1.4: Die Gleichungen (2.2-5) liefern folgende inverse Transformationsgleichungen (Zähler und Nenner wurden durch ( a ^ ^ b j ) dividiert): ε = 0.00016776 X - 0.00000441 Y - 0.2945585 0.00023331 + 0.00013323-7 - 1 =

0.00001409·* + 0.00019114-y - 0.4995346 0.00023331 + 0.00013323Ύ - 1

Zu den gleichen Transformationsparametern kommt man nach Vertauschen der ^-Koordinaten mit den XY-Koordinaten in den Gleichungen (2.1-24) und Auflösung des entsprechenden linearen Gleichungssystems, wie im Abschnitt 2.1.4 gezeigt. Mit den Objektkoordinaten X = 1839.43 m und Y = 2525.74 m des Punktes Ρ ergeben sich die im Abschnitt 2.1.4 vorgegebenen Bildkoordinaten ξ = 1.628 mm und η = 5.182 mm.

1

Z.B. Jansa, J.: Geow.Mitt., Heft 24, 1983. Luhmann, T.: Nahbereichsphotogrammetrie. Wichmann, 2000.

A 2.2.3

44

c) Praktisches Beispiel einer digitalen projektiven Entzerrung Bild 2.2-8 ist eine Schrägaufnahme einer Fassade, die als Ebene angenommen werden kann. Das Bild wurde mit der Digitalkamera Kodak DCS 460 (Abschnitt E 3.5, Band 2) aufgenommen. Von vier Passpunkten gibt es Koordinaten in der Objektebene. Durch Identifizieren der entsprechenden Punkte in der Bildmatrix des Vorlagebildes wurden ihre Bildkoordinaten gefunden. Anschließend wurden die Transformationsparameter für eine projektive Entzerrung ermittelt und der gesamte Bildinhalt digital entzerrt. Bild 2.2-9 zeigt das Ergebnis. Am Objekt haben die Bildelemente eine Größe von 2 cm χ 2 cm. Anstelle der projektiven Umbildung eines beliebigen Vierecks bietet sich - auf den ersten Blick - auch eine affine Umbildung (2.1-8) von zwei Dreiecken an. Die beiden Dreiecke, die affin umgebildet wurden, sind im Bild 2.2-8 eingetragen. Den Fehler, der bei der affinen Umbildung entsteht, veranschaulicht Bild 2.2-10. Dieser Fehler kann mit Hilfe der Gleichung (2.1-27) beziehungsweise des Doppelverhältnisses abgeschätzt werden. Er ist umso größer, je größer die Dreiecke gewählt werden und je größer die Bildneigungen sind (siehe Abschnitt 7.3.2d). 2.2-6: Man schätze für das praktische Beispiel den Fehler der affinen Umbildung entlang der von links/oben nach rechts/unten verlaufenden Diagonalen ab. Hinweis: Man identifiziere in den Bildern 2.2-8 und 2.2-9 etwa in der Mitte der Diagonalen einen Punkt. Damit hat man für drei Punkte die Bildkoordinaten ξ und die Objektkoordinaten X und kann mit den Verfahren des Abschnittes 2.1.5 die projektive Transformationsbeziehung für diese Diagonale angeben. Anschließend transformiert man den Halbierungspunkt der Bilddiagonalen mit dieser projektiven Transformationsgleichung in die Objektgerade und vergleicht diese X-Koordinate mit dem Halbierungspunkt in der Objektgeraden. Die Differenz ist der gesuchte Fehlereinfluss, der anhand der Versetzungen der projektiven und affinen Umbildung, das sind das Bild 2.2-9 und das Bild 2.2-10, verifiziert werden kann. AUFGABE

45

Bild 2.2-8: Digitale Schrägaufiiahme

-

-

-

-

-

Bild 2.2-9: Projektive Entzerrung eines rechteckigen Fassadenausschnittes

Bild 2.2-10: Affine Umbildung von zwei Dreiecken

A 2.2.3

46

3.

PHOTOGRAMMETRISCHE AUFNAHMESYSTEME UND IHR PRAKTISCHER EINSATZ

Mit einer Messkamera erzeugt man Messbilder. Sie steht im Mittelpunkt des Abschnittes 3.1. Sofern die Photonen in der Bildebene der Messkamera mit einem chemischen Sensor aufgezeichnet werden, bekommt man ein analoges Messbild. Diese Analog-Technik wird im Abschnitt 3.2 besprochen. Sofern die Photonen in der Bildebene der Messkamera mit einem elektrischen Sensor aufgezeichnet werden, erhält man ein digitales Messbild. Die digitale Bildaufzeichnung wird im Abschnitt 3.3 behandelt. Abschnitt 3.4 beschreibt eine Zwittertechnik: Sie beginnt mit einem (analogen) Film in der Kamera; eine anschließende Digitalisierung dieser Photographien führt ebenfalls zu digitalen Messbildern.

3.1

Grundsätzliches zur Messkamera

Ein Messbild wurde bisher als exakte Zentralprojektion definiert (Abschnitte 2.1.3 und 2.2.2), wobei das Projektionszentrum im Abstand c vor dem Bildhauptpunkt angenommen wurde. Die Parameter dieses mathematischen bzw. geometrischen Modells, nämlich die Kamerakonstante c und die Bildkoordinaten ξ0 und η0 des Bildhauptpunktes H, wurden als Elemente der inneren Orientierung bezeichnet. Diese Festlegung ist idealisiert; sie entspricht nicht genau genug der physikalischen Wirklichkeit. Die Fehler der Optik und der Kameramechanik sowie viele andere Fehlereinflüsse sind bei hohen Genauigkeitsansprüchen zu berücksichtigen.

3.1.1

Die innere Orientierung einer Messkamera

In der Strahlenoptik hat man für Linsenkombinationen zwei Hauptebenen H, und H 2 (objektund bildseitige Hauptebene) definiert, nämlich jene, deren eine sich in die andere 1:1 (und aufrecht) abbildet. Bei Luft-Glas-Luft-Verhältnissen fallen die beiden optischen Hauptpunkte, d.h. die Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse, mit den beiden Knotenpunkten K, und K 2 zusammen. Diese sind so definiert, dass die so genannten Zentralstrahlen, auf die mit der Figur 3.1-3 noch näher eingegangen wird, ungebrochen durch die Optik gelangen, dass also der bei K 2 austretende Strahl mit der optischen Achse den gleichen Winkel τ einschließt wie der bei K, eintretende (Figur 3.1-1: τ' = τ).

A 3.1.1

47

Optische Hauptebenen H, H;

Bildebene

Objektraum Bildpunkt

H Hauptpunkt Objektpunkt P'

Gegenstandsweite g

Bildweite b=c

Figur 3.1-1: Idealisierte strahlenoptische

Abbildung

Für diesen Idealfall wäre K j das objektseitige Projektionszentrum O, K 2 = O' das entsprechende auf der Bildseite. Die Kamerakonstante c wäre gleich der Bildweite b. Die Bildweite b und die Gegenstandsweite g werden stets ab den Hauptebenen gemessen. Vor allem bei Amateurkameras wird für die Einstellung der Entfernung E =

(g+e+b)

verwendet, also eine "Gegenstandsweite ab der Bildebene", die man ab der Markierung 0 auf der Kamera misst. Die photogrammetrischen Optiken sind dicke, meist asymmetrische Objektive. Die Linsen bestehen aus unterschiedlichen Glassorten, damit die Abbildungsfehler optimal korrigiert werden können. Die Blende befindet sich im allgemeinen nicht in der Optikmitte (Figur 3.1-2). Wir müssen daher die Frage stellen, wo das physikalische Projektionszentrum ist.

Figur 3.1-2: Querschnitt durch ein typisches Bildmessobjektiv

(Wild 21 NAg II, f/4)

A 3.1.1

48

Alles Licht, das von einem Objektpunkt durch die Optik hindurchtritt, muss den Blendenquerschnitt passieren. Das scheinbare Bild der Blende, wie man es vom Objektpunkt aus wahrnimmt, begrenzt also die bildwirksamen Lichtbündel aller Objektpunkte; dieses scheinbare Bild der Blende wird Eintrittspupille (EP) genannt. Ihre Mitte ist das objektseitige Projektionszentrum O. Die Austrittspupille (AP) ergibt sich in analoger Weise auf der anderen Seite des Objektives. 3.1-1: Wie kann man die in Figur 3.1-3 dargestellte Tiefe VO der EP hinter dem Linsenscheitel mit einem Theodoliten bestimmen? AUFGABE

EP AS

Figur 3.1-3: Zur Definition der Mitte der Eintrittspupille EP als objektseitiges Projektionszentrum O. Die Zentralstrahlen sind strichpunktiert. V = Vertex = Linsenscheitel. Die reale photogrammetrische Optik und die vorher besprochene, idealisierte Optik (Figur 3.1-1) unterscheiden sich voneinander wesentlich: 1. Bezugsachse der Photogrammetrie ist nicht die optische Achse, sondern ein kalibrierter (= geeichter) Hauptstrahl HS A , der objektseitig auf der Bildebene senkrecht steht und durch die Mitte der Eintrittspupille geht (Figur 3.1-4). Seine physikalische Verlängerung durchstößt die Bildebene im so genannten Autokollimationshauptpunkt H A (Erklärung und Präzisierung folgen). 2. Die Winkel τ werden in der Mitte der Eintrittspupille EP definiert und nicht in den Knotenpunkten. Da die EP meist nicht in der Hauptebene H j liegt, folgt τ' ^ τ \ 3. Die durch den Bildanlegerahmen mechanisch realisierte Bildweite b weicht von der optischen Bildweite, in der die beste Schärfe eintritt (Abschnitt 3.1.4) um einen kleinen Betrag ab. 4. Die Bildebene steht nicht in aller Strenge senkrecht auf der optischen Achse.

A3.1.1

49

Im wesentlichen kommt es darauf an, dass aus den genannten Gründen die bildseitigen Winkel r' nicht mit den objektseitigen Winkeln r übereinstimmen. Wir definieren daher ein mathematisches Projektionszentrum O ^ derart, dass es im Abstand c, der Kamerakonstanten1, senkrecht vor dem Autokollimationshauptpunkt H A liegt und die Winkel τ auch bildseitig möglichst gut realisiert. Restfehler führen zur optischen Verzeichnung Δρ.

Figur 3.1-4:

Zur Definition des mathematischen (bildseitigen) Projektionszentrums O^. HSa = (.Autokollimations-) Hauptstrahl, HÄ = (Autokollimations-)Hauptpunkt in der Bildebene B, EP = Eintrittspupille, AP = Austrittspupille, 0'p = physikalisches Projektionszentrum, c = Kamerakonstante, ρ = Bildgröße = \J(l - ξ 0 ) 2 * (η - η 0 ) \ Δρ = (radiale) optische Verzeichnung.

Die Elemente der inneren Orientierung, worunter man bisher nur ξ 0 , η0 und c verstand, sind daher um die radiale optische Verzeichnung Δρ zu ergänzen: Gleichung der inneren Orientierung

Ρ

= c tani:

'

+

Δ

Ρ

(3-1-1)

Die Eichung (= Kalibrierung) einer Messkamera erfolgt - in vielen Fällen - im Labor mit Hilfe eines optischen Goniometers (Figur 3.1-5). Zunächst wird - ohne Kamera - das Beobachtungsfernrohr Fi in Nullstellung gebracht, die durch Autokollimation mit dem Fernrohr F 2 definiert ist. Die Kamera wird dann mit der Mitte der Eintrittspupille EP, also

1

In der Fachliteratur meist "Kammerkonstante" genannt, s. Anmerkung im Kapitel 2.1.3.

A 3.1.1

50

dem objektseitigen Prqjektionszentrum O, in die Schwenkachse gebracht und um EP solange geschwenkt, bis man mit F 2 das Spiegelbild des Fadenkreuzes von F 2 beobachtet (Autokollimation), wofür man vorher an die Bildebene der Kamera eine im Mittelteil spiegelnde Prüfglasplatte gelegt hat. Diese trägt eine Präzisionsteilung. In der früher kontrollierten Nullstellung beobachtet man nun mit Fj den AutokoIlimationshauptpunktHA, der ab nun als Ursprung für die p-Skala angesehen wird. Durch Beobachtung beliebiger Bildgrößen ρ kann der jeweils zugehörige Winkel τ bestimmt werden. Mit Hilfe des jeweils bestbekannten Wertes c° für die Kamerakonstante berechnet man die dem Winkel τ zukommende Sollgröße (c° · tanr) und bestimmt die radiale optische Verzeichnung Ap = ρ c° • tanr, zum Beispiel für die vier Halbdiagonalen in der quadratisch begrenzten Bildebene (Figur 3.1-6).

Λ

ψI F

2

Kollimator (fest)

Messkamera (fest)

SchwenkachsG des Fernrohes F,

τ - Messungen

Beobachtungsfernrohr F

Figur 3.1-5: Schematische Darstellung der Funktionsweise eines Goniometers

A 3.1.1

51

Bild

Figur 3.1-6: Radiale optische Verzeichnung der vier Halbdiagonalen A - D im Bezug auf HÄ Das Ergebnis erweist sich meist als unsymmetrisch; die Kurven liegen nicht ineinander. Diese Asymmetrie der Verzeichnungsäste ist unter anderem eine Folge der Zentrierfehler der Einzellinsen.

Sie kann durch die Wahl eines anderen Bezugspunktes,

der

vom

Autokollimationshauptpunkt geringfügig abweicht, zum größten Teil aufgehoben werden: Der durch beste Symmetrie ausgezeichnete Bezugspunkt heißt Symmetriehauptpunkt H s . Das Nebeneinander von zwei Bezugspunkten, des Autokollimationshauptpunktes H A und des Symmetriehauptpunktes H s , hat folgende praktische Konsequenzen: 1. Die Verzeichnung muss neu berechnet und auf den Symmetriehauptpunkt H s bezogen angegeben werden (Figur 3.1-7). 2. Bei der Korrektur der Verzeichnung (Abschnitt 3.1.3) wird der Symmetriehauptpunkt H s als Bezugspunkt benutzt. 3. Das mathematische Projektionszentrum liegt um c vor dem Autokollimationshauptpunkt H a ; ξ 0 und η0 in den Gleichungen der Zentralprojektion (2.1-19) bzw. (2.1-20) sind die Koordinaten des Autokollimationshauptpunktes H A . 4. Die in den Matrizenelementen r ik der Gleichungen der Zentralprojektion (2.1-19) bzw. (2.1-20) enthaltenen Drehungen beziehen sich auf die Achse HS A . (Ihr objektseitiger Teil, der mittels Autokollimation (Figur 3.1-5) realisiert wurde, steht - wie bei der Zentralprojektion gefordert - senkrecht auf der Bildebene (Figur 3.1-4)).

52

A 3.1.1

Δρ [μηη]

ρ [mm]

Figur 3.1-7: Radiale optische Verzeichnung der vier Halbdiagonalen von Figur 3.1-6 in Bezug auf Hs und die daraus abgeleitete Mittelkurve. Die Kamerakonstantenverbesserung Ac wird anschließend so bestimmt, dass die Mittelkurve möglichst wenig von der p-Achse abweicht (balanced radial distortion, Figur 3.1-8). 1 Δρ [μΙΎΊ] Δρ max

' Δρ min Ρ [mm]

30

60

90

- w

150

Figur 3.1-8: Mittlere radiale optische Verzeichnung mit \ Apm(IX \ = \ Apmin |.

3.1-2: Wie wirkt sich eine Kamerakonstantenveränderung auf die Verzeichnung aus? (Lösung: Linear von ρ abhängig). AUFGABE

Die Kamerahersteller sind bemüht, mit einer radial-symmetrischen Verzeichnung (z.B. Figur 3.1-8) auszukommen.

Für höchste Genauigkeitsansprüche

wird die

radiale

Verzeichnung in den vier Halbdiagonalen getrennt angegeben, das heißt man bekommt Angaben über eine radial-asymmetrische Verzeichnung. Neben der radialen Verzeichnung gibt es noch die so genannte tangentiale Verzeichnung. Sie rührt vor allem von Zentrierfehlern der Linsen im Objektiv her. Sie ist immer eine asymmetrische Verzeichnung; sie ist in der Regel um eine Größenordnung kleiner als die radiale Verzeichnung. Moderne photogrammetrische Objektive haben eine radiale Verzeichnung innerhalb von ±5 μηι, bei filmbasierten Luftbildmesskameras ist die radiale Verzeichnung sogar kleiner als

A 3.1.1

53

+3 μιτι1. Messaufnahmen mit alten Objektiven weisen radiale Verzeichnungen bis 30 μιη auf.

Nicht

speziell

für

Messkameras

entwickelte

Objektive

erreichen

radiale

Verzeichnungswerte bis 100 μτη (Figur 3.1-9).

Figur 3.1-9: Verzeichnungskurve des Objektives Sonnar 4/150 von Rollei (d.h. Brennweite = 150 mm, kleinste Blendenzahl (Abschnitt 3.1.4) = 4) Aus der Sicht der analytischen und digitalen Photogrammetrie sind größere optische Verzeichnungen, wenn sie genau bekannt sind, kein nennenswerter Nachteil. Gefährlich sind allerdings die Veränderungen der Verzeichnungswerte, da solche Veränderungen im allgemeinen nicht erfasst werden können. Diese Änderungen treten vor allem in instabilen Kameras bei Umfokussierungen, Erschütterungen etc. auf. In einer Messkamera muss ein Koordinatensystem vorhanden sein, in dem unter anderem der Bildhauptpunkt festgelegt ist. Dieses Bildkoordinatensystem ist in analogen und digitalen Messkameras unterschiedlich verwirklicht.

1

Z.B. Light, D.: PE&RS 58, pp. 185-188, 1992.

54

A 3.1.1

->η

i

L >J

ll Ππ ψ ξ Figur 3.1-10: Bildkoordinatensystem in einer analogen Messkamera (= Filmkamera, links) und einer digitalen Messkamera (= Digitalkamera, rechts) Bei analogen Messkameras, die mit Film arbeiten, sind in der Bildebene Rahmenmarken angebracht, die auf allen Photographien abgebildet werden (Figur 3.1-10, links). Mit Hilfe dieser Rahmenmarken können die in den Bildern vorgenommenen Messungen - in der Regel in einem beliebigen (Komparator-)Koordinatensystem - mit der Kamera, mit der die Bilder aufgenommen wurden, in Beziehung gebracht werden (Abschnitt 3.2.1). Bei den digitalen Messkameras bleibt der mathematische Zusammenhang zwischen Bildmatrix und Kamera immer erhalten: Die Bildpunkte werden in der Bildmatrix lokalisiert (= gemessen), deren Koordinatensystem in der Kamera definiert ist (Figur 2.2-4 bzw. 3.1-10, rechts). Die innere Orientierung einer Messkamera wird im so genannten Kalibrierungsprotokoll (= Eichprotokoll) mit folgenden Informationen festgehalten, wobei zwischen Film-Kamera (FK) und Digital-Kamera (DK) zu unterscheiden ist: • FK und DK: Datum der Kalibrierung. • FK und DK: Kamerakonstante c. • FK: Sollkoordinaten der Rahmenmarken in einem Koordinatensystem, das grundsätzlich einen beliebigen Ursprung und eine beliebige Drehung aufweisen kann, das aber in der Praxis der idealen Konfiguration (Figur 3.1-10, links) sehr nahe kommt. • FK: In diesem (beliebigen) Koordinatensystem sind auch die Koordinaten des Autokollimationshauptpunktes H A und des Symmetriehauptpunktes H s gegeben. (Diese beiden Hauptpunkte und der Bildmittelpunkt M liegen bei den meisten Messkameras innerhalb eines Kreises mit dem Radius »?2 behandelt werden (Anhang 4.1-1). Bei dieser Ausglei-

chungsaufgabe haben wir vier (nichtlineare) Beobachtungsgleichungen mit drei Unbekannten. Unter Verwendung der Kollinearitätsbeziehungen (2.1-19) lauten die vier linearisierten Beobachtungsgleichungen:

204

A 4.1.1

dX +

'íi

W

"ξ2

:

=

dX +

Ifflf

dY òr

t

m dX 3η2

as.

dZ - ( ξ , - ξ?)

8Z

\0

ari, dX

—i \dY + ay-

dX +

\o

Βζ, dY

dY +

\0

/ ^ \o dX + 1 ^ 2 dY dY

dZ - (η, - η®)

dZ

(4.1-3)

άζ 2 )° dZ / ή

dZ - ( ξ 2 - ξ2)

: \0

dZ

(η j

η

W

Die Differentialquotienten ()° sind mit Hilfe von Näherungswerten für die unbekannten Objektkoordinaten entsprechend den Beziehungen des Anhanges 2.1-3 auszuwerten. bzw. 771 2 sind gerechnete Bildkoordinaten, die sich aus den Gleichungen (2.1-19) mit Hilfe der Näherungswerte für die unbekannten Objektkoordinaten und den bekannten Elementen der inneren und äußeren Orientierung ergeben. Näherungswerte für die unbekannten Objektkoordinaten kann man mittels der Beziehungen (4.1-1) und (4.1-2) ermitteln. ZAHLENBEISPIEL: Obwohl im exakten Normalfall die Näherungslösung und die strenge Lösung identische Ergebnisse ergeben (warum?), wollen wir - um den Aufwand gering zu halten - eine Normalfallauswertung mittels der Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate lösen. Β = 1.20 m, c = 64.20 mm, Bildkoordinaten: Bild 1 Bild 2

ξ [mm]

ij[mm]

3.624 -14.697

34.202 34.196

"Näherungswerte" mittels (2.1-32): -Z° = 4.205 m, Y" = 2.240 m, Xo = 0.237 m. Die Designmatrix A (Anhang 4.1-1) ergibt sich mit Hilfe der Differentialquotienten, die als Lösung der Aufgabe 2.1-19 (Anhang 2.1-3) angefallen sind. Die für den Beobachtungsvektor 1 (Anhang 4.1-1) zu berechnenden Bildkoordinaten 2 n°¡ 2 (4.1-3) ergeben sich aus den (einfachen) zentralperspektivischen Beziehungen (2.1-28) bis (2.1-31) des exakten Normalfalles: 15.268

0

0.861

0

15.268

8.133

15.268 > 0

0 15.268

-3.496 8.133,

' 0.00559' l [mm]

0.00271 =

0.00564 -0.00329

Nach Aufstellen und Lösen der Normalgleichungen sowie der Genauigkeitsberechnungen bekommt man schließlich (Anhang 2.1-3):

A 4.1.1

205

'X Y 7-

=

2.24000

+

-0.00001

=

x '±0.23 mm òy = ±0.75 mm

2.23999 m -4.20501 m,

-0.00001

-4.20500

ô

0.23737 m

' 0.00037'

' 0.23700'

\

ôzz/

k±1.36

mmt

Die Lösung des räumlichen Vorwärtsschnittes nach der Methode der kleinsten Quadrate hat den großen Vorteil, dass im Rahmen des Ausgleichungsalgorithmus auch die Genauigkeiten der Neupunkte anfallen. Im obigen Zahlenbeispiel haben wir solche Genauigkeiten berechnet. Sie sind zu optimistisch, weil die Elemente der äußeren Orientierung als fehlerfreie Größen angenommen wurden. Erweiterte Ausgleichungsansätze mit fehlerhaften Elementen sowohl für die innere als auch für die äußere Orientierung werden im Band 2 (Abschnitte Β 3.5.7 und Β 3.5.8) behandelt. Vor kurzem ist die OEEPE-Veröffentlichung Nr. 43 über einen internationalen Test zur direkten Georeferenzierung erschienen. Man hat Genauigkeiten erzielt, die den Angaben im Abschnitt 3.7.3.2 etwa entsprechen. Siehe auch Cramer, M.: GIS 6/2002: 37-42. Bei bekannter äußerer Orientierung braucht man im Prinzip keine Passpunkte. In vielen Fällen werden aber trotzdem Passpunkte in den Auswerteprozess einbezogen, einerseits, um eine Kontrolle zu haben, und andererseits, um die bekannten Elemente der äußeren Orientierung zu verbessern.

4.1.2

Messaufnahmen mit einer Dreizeilenkamera

Bei Aufnahmen mit einer Dreizeilenkamera muss eine GPS/IMU-Aufzeichnung mitlaufen, aus der die Elemente der äußeren Orientierung zu jedem Zeitpunkt mit verhältnismäßig hoher Genauigkeit zur Verfügung stehen (Abschnitte 3.7.3.2 und 3.7.3.3). Identifiziert man - manuell oder automatisch - einen Punkt Ρ in den drei Bildstreifen der Dreizeilenkamera, so sind aus den drei Spaltenindizes die drei Zeitpunkte t r , t 2 und t 3 bekannt, an denen jeweils der Punkt Ρ von den drei Zeilen nacheinander erfasst wurde (Figur 4.1-1). Mit Hilfe dieser drei Zeitangaben können den GPS/IMU-Aufzeichnungen folgende äußere Orientierungselemente entnommen werden: •Xo(fi)> W ·

z

o( f i)·

ω

(ri)> (f2), φ(ί2), K(r2)

(4.1-4)

X0(f3), y0(f3), Z0(t3), ω(f3), φ(ί3), κ(ί3) Damit liegen die Voraussetzungen für einen räumlichen Vorwärtsschnitt - mit drei Richtungen - zur Bestimmung der XYZ-Koordinaten des Punktes Ρ vor. Das Gleichungssystem

A 4.1.2

206

(4.1-1) bzw. (4.1-3) ist zu diesem Zweck um ein drittes Bild zu erweitern; d.h. es gibt sechs Beobachtungsgleichungen für drei Unbekannte. Bei der Berechnung der Größen k sind für die ξ-Koordinaten folgende kalibrierte Werte zu verwenden: • Bei k x l k y l der Abstand a, • bei k ^ . k ^ der Abstand 0 und

(4.1-5)

• bei k^.kyj der Abstand -b. Die η-Koordinaten der drei Bildpunkte Pj, P 2 und P 3 unterscheiden sich nur geringfügig.

Figur 4.1-1: Objektpunkt Ρ in den drei Bildern einer Dreizeilenkamera Sollen bei der Auswertung des Streifentripeis einer Dreizeilenkamera auch die Elemente der äußeren Orientierung, die von GPS und IMU nur mit begrenzter Genauigkeit zur Verfügung gestellt werden, verbessert werden, sind Passpunkte etc. in den Auswerteprozess einzubeziehen. Darauf kommen wir im Abschnitt 5.5 zu sprechen.

4.2

Mit unbekannter äußerer Orientierung

Wir suchen in diesem Fall mit Hilfe von Passpunkten die folgenden zwölf Orientierungselemente für zwei Messbilder (Film oder CCD-Flächensensor): Bild 1: X 01 , Y 01 , Z 01 , ω 1; φν κγ Bild 2: X 02 , Y 02 , Z 02 , ω 2 , φ2, κ2 Die verschiedenen Lösungsvarianten lassen sich in drei Gruppen gliedern.

A 4.2.1

207

4.2.1

Getrennte Orientierung der beiden Messbilder

Dabei wird vorausgesetzt, dass von jedem Messbild mindestens drei Passpunkte bekannt sind (Figur 4.2-1). In diesem Fall lassen sich für jedes Bild mindestens sechs Gleichungen (2.1-19) für die sechs (unterstrichenen) Unbekannten anschreiben: ξ, = / ( ξ 0 , c , Z 0 , y , Ζ , ω, efe, κ, Χ , y„ Ζ,) i - 1,2,3 η , = / ( η 0 > c ' £0> ζ ο ' ζο>

Μ>

& s , x jS υ,

: (4.2-1)

ζ.)

Die sechs Gleichungen können nur nach Linearisierung mittels Näherungswerten für die sechs Unbekannten aufgelöst werden. Das Verfahren ist unter dem Namen räumlicher Rückwärtsschnitt bekannt.

Figur 4.2-1: Stereomodell mit drei Passpunkten

A 4.2.1

208

Insbesondere der überbestimmte räumliche Rückwärtsschnitt wird mit dem Formalismus der Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate gelöst (Anhang 4.1-1). Jeder Passpunkt P¡ liefert zwei linearisierte Beobachtungsgleichungen für die Beobachtungen £¡ und rj¡ (anstelle der Differentialquotienten ()°, die mit den Näherungswerten für die Unbekannten auszuwerten sind, wurden die im Anhang 2.1-3 eingeführten Größen a und b benutzt): v . . = a2dX0

+ a3dY0

+ a 4 dZ 0 > asdw

+ a6d + α^κ

- (ξ. - ξ°)

(4.2-2) V

„¡ = b2dX0

+ b dY

i 0

+

b

AdZ0

+

Μω

+

ΜΦ

+

V

K

" (ñ,

-

η?)

ξ? und ηΐ sind die gerechneten Bildkoordinaten, die sich aus den Gleichungen (2.1-19) mit Hilfe der bekannten Elemente der inneren Orientierung und der bekannten Passpunktkoordinaten Χ,,Υ,,Ζ; sowie der Näherungswerte für die unbekannten Elemente der äußeren Orientierung ergeben. Bei genäherten Senkrechtaufnahmen in einem West/Ostflug kann man mit folgenden Näherungswerten (für die 1. Iteration) beginnen: ω° = φ° = κ° = 0. Näherungswerte X[¡, YQ, zi] für die Aufnahmeorte liefert mit genügender Genauigkeit die in der Regel eingesetzte GPS-gestützte Navigation der Bildflugzeuge (Abschnitt 3.7.3.1). ZAHLENBEISPIEL: Gegeben sind die Bild- und Landeskoordinaten folgender Punkte:

1 2 3 4

ξ (mm)

η (mm)

-86.15 -53.40 -14.78 10.46

-68.99 82.21 -76.63 64.43

X(m)

Y (m)

Ζ (m)

36589.41 25273.32 2195.17 37631.08 31324.51 728.69 39100.97 24934.98 2386.50 40426.54 30319.81 757.31

Elemente der inneren Orientierung: c = 153.24 mm, ξ0 = η0 = 0. Da es sich um eine genäherte Senkrechtaufnahme handelt, können die Näherungswerte für den Aufnahmeort aus einfachen Proportionen für eine exakte Senkrechtaufnahme ermittelt werden. Aus zwei Passpunkten P¡ und P¡ erhält man: Zg = (c(Xj - X¡) + ξ,Ζ, - ^ / ( ξ , - ^ ) , XS = X¡ - ξ; (Ζ° - Z?)/c, YS = Y¡ - η, (Ζ» - Z?)/c. Die beiden Passpunkte P¡ und Pj sollten etwa auf gleicher Geländehöhe Z¡ liegen. Man wird also entweder die Passpunkte P, und P3 oder die Passpunkte P2 und P4 nehmen. Lösung: X0

= 39795.45 m

0.99771 0.06753

0.00399'

YQ = 27476.46 m

R = -0.06753 0.99772

-0.00211

Z0 = 7572.69 m

(-0.00412 0.00184

0.99999,

Auf die Berechnung und Wiedergabe der Genauigkeiten wird verzichtet.

A 4.2.1

209

Der räumliche Rückwärtsschnitt ist in der Photogrammetrie eine häufig zu lösende Aufgabe. Es gibt deshalb viele Lösungen; die Anstrengungen konzentrieren sich auf lineare Ansätze, die ohne Näherungswerte auskommen. Mit vier Passpunkten gelingt ein linearer Ansatz, der im Band 2 (Abschnitt Β 4.1.2) ausführlich beschrieben ist. Es ist aber keine KleinsteQuadrate-Ausgleichung, sodass die Genauigkeit beeinträchtigt ist. Für höchste Genauigkeitsansprüche wird man die Ergebnisse der dort angegebenen Methode als Näherungswerte betrachten und damit eine (Fein-)Auswertung mit den Beobachtungsgleichungen (4.2-2) durchführen. Bei vielen Flugmissionen werden heutzutage mit GPS die Positionen der Aufnahmeorte bereits sehr genau bestimmt (Abschnitt 3.7.3.2). Die Stellung der Messbilder wird allerdings nicht immer mit IMU erfasst. Die fehlenden Orientierungswinkel können in diesem Fall ebenfalls mit dem Gleichungssystem (4.2-2) - ohne die Terme für dXo, dY0 und dZ 0 bestimmt werden. Zur Bestimmung der Orientierungselemente einer Aufnahme verwendet man im Computervf'sion-Bereich gerne die so genannten direkte lineare Transformation (DLT). Sie stellt den Zusammenhang zwischen den zweidimensionalen Bildkoordinaten und den dreidimensionalen Objektkoordinaten mit einer projektiven Transformation her, die wir für ebene Objekte bereits kennengelernt haben (Abschnitte 2.1.4 und 2.2.3b) und die für dreidimensionale Objekte wie folgt formal zu erweitern ist (eine elegante Darstellung mit homogenen Koordinaten befindet sich im Anhang 4.2-1): CjX ι a 2 Y + a 3 Z t α 4 c.X + c,Y + c,Z + 1 (4.2-3) biX * b2Y + b3Z + V

•»' c2Y + c,Z -

\ Í

Diese Transformationsgleichungen sind bezüglich der (unbekannten) Transformationsparameter a^bj.C; linear (Abschnitt 2.1.4 enthält ein Zahlenbeispiel für ein ebenes Objekt; der dort skizzierte Rechengang unterscheidet sich nicht vom Rechengang für ein dreidimensionales Objekt). Jeder Passpunkt liefert zwei Gleichungen. Zur Bestimmung der 11 Transformationsparameter a¡,b¡,c¡ braucht man also mindestens 6 Passpunkte (genauer: beim 6. Passpunkt müsste nur eine der beiden Bildkoordinaten gemessen sein). Überraschend sind die 11 Transformationsparameter. Im Abschnitt 2.1.3 haben wir festgehalten, dass eine Zentralprojektion des dreidimensionalen Raumes mit 9 unabhängigen Transformationsparametern (3 Parameter für die innere Orientierung und 6 Parameter für die äußere Orientierung) definiert ist. Die zusätzlichen 2 Parameter rühren daher, dass die 3 Parameter der

210

A 4.2.1

inneren Orientierung um eine Maßstabsdifferenz in beiden Koordinatenrichtungen und um einen von 100 gon abweichenden Winkel zwischen den Koordinatenachsen in der DLT erweitert werden. In der projektiven Photogrammetrie wird also das kartesische Bildkoordinatensystem in der Regel aufgegeben. Die 11 Parameter der DLT sind unanschaulich. Eine Überführung der 11 Transformationsparameter a^b^q in die (anschaulichen) Parameter der inneren und äußeren Orientierung gelingt zwar, die Berücksichtigung einer bekannten inneren Orientierung im Rahmen des Rechenprozesses ist aber schwierig. Die DLT ist daher für die Auswertung von NichtMessbildern - also Amateurbildern, Video-Aufnahmen etc. (Abschnitt 3.8.6) - prädestiniert. Die DLT wird aber auch für die Auswertung von Messbildern benutzt. Das Ergebnis der DLT, das wegen der Linearität einfach zu bekommen ist, wird als Näherung für eine anschließende strenge Ausgleichung mittels linearisierter zentralperspektivischer Beziehungen benutzt. Bei dieser strengen Ausgleichung kann die wertvolle Information über die innere Orientierung, die die Genauigkeit erheblich steigert, ausgeschöpft werden. Im Band 2, Abschnitt Β 4.7.1, wird die DLT ausführlich behandelt. Die getrennte Orientierung der beiden Messbilder - zum Beispiel mittels räumlichen Rückwärtsschnittes unter Benutzung der Beziehungen (4.2-2) - hat folgende Nachteile, die mit Hilfe der Figur 4.2-1 wie folgt formuliert werden können: • Die Information, dass homologe Strahlen einander in Neupunkten (z.B. P4) schneiden, wird nicht ausgenützt. • Im Stereomodell braucht man mindestens drei Vollpasspunkte (Χ,Υ,Ζ bekannt) im Gegensatz zu den folgenden Verfahren, die mit zwei Lagepasspunkten (Χ, Y bekannt) und drei Höhenpasspunkten (Z bekannt) auskommen.

4.2.2

Gemeinsame Orientierung der beiden Messbilder (einstufig)

In diesem Fall werden die Bildkoordinaten der Passpunkte und einiger Neupunkte ermittelt (Figur 4.2-1). Für jeden Passpunkt erhält man vier Gleichungen (2.1-19) für die (unterstrichenen) zwölf Unbekannten: tu = f { ^ c ,

z 01 , ζ ο ι ,

κ , Χ , y . Ζ,) Bild 1

Άα =/(*! X0i, ^

= / (ξ0.

Κ'

Μ

Γ

~02' ~02' 202>

κ,. Χ, dV

η ί2 = / (η0> c> χ 0 2 . £ 02 . 2 02 , ω 2 , è 2 , κ2,

Χ

ζ

1)

(4.2-4)

* y.> Ζ.)

χ„ y., ζ,)

Bild 2

Für jeden Neupunkt kommen zwar drei weitere (zweimal unterstrichene) Unbekannte, aber auch folgende vier Gleichungen (2.1-19) hinzu:

A 4.2.2

211

ξ ι7 - / ( ξ , e, Χ , Ζ 01 , Ζ , ω , , κ , Κ , Σ , Ζ ) ^

=/( τ 1ο' c> % 0 Ϊ -οι' -οι'

2,)

ξ ί 2 = / ( ξ 0 , e, Χ 02 , Γ 0 2 , Ζ 02 , ω2> η β = / ( η 0 > c, Κ 02 , Υΰ2, Ζ 02 ,

%

Κ2, Κ , Ζ , Ζ ) φ,, κ 2 , Χ., Ζ , Ζ )

Bild 1 (4.2-5) Bild 2

Zuerst ist das gesamte, in der Regel stark überbestimmte System (4.2-4) und (4.2-5) mittels geeigneter Näherungswerte zu linearisieren (Anhang 2.1-3) und anschließend mittels einer Kleinste-Quadrate-Ausgleichung (Anhang 4.1-1) zu lösen. Als Ergebnis erhält man die zwölf Elemente der äußeren Orientierung und die Objektkoordinaten Χ,Υ,Ζ der Neupunkte. Für diese so genannte Doppelbildeinschaltung soll im folgenden Beispiel eine Bilanz der Beobachtungen und Unbekannten angegeben werden: Gegeben sind: 2 Messbilder mit ^ 3 Pass- und •· 3 Neupunkten Beobachtg.: 1. Bild 12 Koordinaten Α 2. Bild 12 Koordinaten 24 Beobachtungen Unbekannte: 6 Drehungen der beiden Bilder 6 Koordinaten X 0 ,Y 0 ,Z 0 der beiden Projektionszentren _9 Koordinaten Χ,Υ,Ζ der drei Neupunkte 21 Unbekannte Redundanz:

24-21

. A Α ·

. · a

a ·

=3

AUFGABE 4.2-1: Man wiederhole diese Bilanz unter der Annahme, dass die beiden Messbilder zwar die gleiche innere Orientierung haben, die aber nicht bekannt ist. Man äußere sich kritisch zu dieser Aufgabe, insbesondere aus der Sicht einer durchgreifenden Kontrolle. (Lösung: In diesem Fall stehen den 24 Unbekannten die gleiche Anzahl von Beobachtungen gegenüber, d.h. das Gleichungssystem ist zwar lösbar, aber grobe Fehler können nicht aufgedeckt werden. Für diesen entarteten "Kleinste-Quadrate-Ansatz" braucht man übrigens auch die Differentialquotienten a! und b, des Anhanges 2.1-3). Da beliebig viele Pass- und Neupunkte in die Doppelbildeinschaltung einbezogen werden können und da die Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen von den Gleichungen (4.2-4) und (4.2-5) ausgeht, die den unmittelbaren Zusammenhang zwischen den ursprünglichen Beobachtungen (= Bildkoordinaten) und den Unbekannten herstellen, ist dieses Orientierungsverfahren am genauesten. Es ist eine einstufige Lösung, mit anderen Worten "eine Ausgleichung in einem Guß" im Gegensatz zu den folgenden Verfahren, die das Orientierungsproblem in zwei Stufen zerlegen und die statistischen Abhängigkeiten der Ergebnisse der ersten Stufe in der zweiten Stufe nicht berücksichtigen. Als Nachteil der ein-

A 4.2.2

212

stufigen Lösung ist anzumerken, dass zusätzliche Verfahren zur Ermittlung von Näherungswerten notwendig sind, z.B. die im Abschnitt 4.2.1 angegebenen Möglichkeiten.

4.2.3

Gemeinsame Orientierung der beiden Messbilder (zweistufig)

Das in Figur 4.2-2 skizzierte Orientierungsverfahren arbeitet in zwei Stufen: In der ersten

Figur 4.2-2: Zweistufiges Orientierungsverfahren

A 4.2.3

213

Stufe wird aus den beiden Messbildern ein beliebig im Raum liegendes Stereomodell im xyzKoordinatensystem erzeugt. In der zweiten Stufe wird dieses Modell in das übergeordnete XYZ-Koordinatensystem gebracht. Aus didaktischen Gründen beginnen wir mit der zweiten Stufe: Zweite Stufe: Der Zusammenhang zwischen den Modellkoordinaten x,y,z und den übergeordneten Objektkoordinaten Χ,Υ,Ζ kann durch folgende Gleichung ausgedrückt werden: /

Ύ Y

=

X\

κ + m-R· y

Λ Dabei bedeuten (Figur 4.2-2): XU,YU,ZU, ...

Objektkoordinaten des Ursprungs des xyz-Systems

m

...

Maßstabszahl des xyz-Systems

R

...

Matrix der räumlichen Drehung des xyz-Modellsystems in das XYZ-System entsprechend der Gleichung (2.1-11), die aus den drei Drehwinkeln Ω,Φ,Κ aufgebaut werden kann (Gleichung (2.1-13) bzw. Anhang 2.1-1).

Die insgesamt sieben Parameter werden als die Elemente der absoluten Orientierung bezeichnet. Gleichung (4.2-6) stellt eine räumliche Ähnlichkeitstransformation (2.1-18)

Für die rechnerische Bestimmung der sieben Elemente braucht man mindestens sieben Gleichungen. Die Formel (4.2-6) liefert für • einen Vollpasspunkt (Χ,Υ,Ζ) drei Gleichungen • einen Lagepasspunkt (X,Y) zwei Gleichungen • einen Höhenpasspunkt (Z) eine Gleichung. Für die absolute Orientierung werden mindestens zwei Lage- und drei Höhenpasspunkte (nicht auf einer Geraden!) oder zwei Vollpasspunkte und ein abseits gelegener Höhenpasspunkt benötigt. Weitere Details zur absoluten Orientierung, insbesondere zur überbestimmten absoluten Orientierung, behandeln wir im Abschnitt 4.4. 4.2-2: Man schreibe unter Verwendung der Matrix (2.1-13) die einzelnen Gleichungen für einen Voll-, einen Lage- und einen Höhenpasspunkt an. AUFGABE

Erste Stufe: Nachdem von den insgesamt zwölf Unbekannten der äußeren Orientierung eines Stereobildpaares sieben durch die absolute Orientierung bestimmt werden, bleiben noch fünf Unbekannte für die erste Stufe übrig. Daraus können wir schließen, dass das Modell im

A 4.2.3

214

xyz-System hergestellt ist, wenn an mindestens fünf gut verteilten Punkten die Schnittbedingung homologer Projektionsstrahlen erfüllt ist. Hat man den Strahlenschnitt an diesen fünf Punkten erreicht, so müssen einander alle homologen Projektionsstrahlen schneiden, die von den jeweiligen Bildpunkten ausgehen. Die Schnittpunkte beschreiben die Form des Objektes.1 Diesen Arbeitsabschnitt nennt man relative oder gegenseitige Orientierung, weil dabei nur die relative Positionierung und Stellung der beiden Strahlenbündel zueinander bestimmt und auf das übergeordnete XYZ-Objektkoordinatensystem keine Rücksicht genommen wird. Für die relative Orientierung brauchen wir also keine Passpunkte. Die relative Orientierung, das heißt der Schnitt von jeweils zwei homologen Strahlen in fünf Modellpunkten, läßt sich mit Hilfe des Spatproduktes der drei Vektoren ^ρ η ,ρ 2 ί formulieren (Figur 4.2-3). Das Spatprodukt, das sich aus dem äußeren Vektorprodukt von zwei der drei Vektoren und dem inneren Produkt dieses Vektors mit dem dritten Vektor zusammensetzt, gibt das Volumen des Parallelepipeds an, das durch die drei Vektoren b,pH,p2i aufgespannt wird. Dieses Volumen ist Null, wenn diese drei Vektoren in einer Ebene liegen, d.h. die Grundgleichung für die relative Orientierung lautet:

(*Γ·(Ρι^)) = «

i=l(l>5

>?2 korrespondierender Punkte in beiden Bildern angibt, gelingt es nicht, aus den Bildkoordinaten des einen Bildes die Bildkoordinaten im anderen Bild zu berechnen. Die ausführliche Darstellung der Koplanaritätsbedingung (4.3-20) mit Hilfe der Matrixelemente f i k der Fundamentalmatrix macht dies deutlich: ^ l ? 2 Ä l + ^1^2A2 + ^lA3 + ^ n i / 2 1 + l l l T l 2 / 2 2 + n i / 2 3 + ^/31 + T l2/32 + /33 =

0

(4 3

' "21)

Mit bekannten Matrixelementen f i k und - zum Beispiel - den beiden Bildkoordinaten ξ] und ij! erhält man eine einzige lineare Gleichung für die beiden Unbekannten ξ 2 u r | d ij 2 . Man kann demnach beliebige Koordinaten η2 vorgeben und daraus jeweils ξ 2 berechnen. Erkenntnis: Zu einem Punkt in einem Bild gibt es eine entsprechende Bildgerade im zweiten Bild, auf der der korrespondierende Punkt liegen muss. (Im Abschnitt 6.8.5e greifen wir diesen Gedanken wieder auf; Figur 6.8-11 veranschaulicht diesen Sachverhalt.) Eine interessante Anwendung der Koplanaritätsbedingung (4.3-21) besteht in der Bestimmung der relativen Orientierung von Bildern, deren innere Orientierung nicht bekannt ist. Da wir in den Beziehungen (4.3-19) auch Hauptpunktskoordinaten ζ 0 ,η 0 eingeführt haben, können sich die Bildkoordinaten ξ ι , η ι und £2,rç2 der korrespondierenden Punkte auf ein beliebiges Bildkoordinatensystem beziehen. Die 9 Matrixelemente f i k der Gleichung (4.3-21) können durch Division mit einem der 9 Elemente um ein Element reduziert werden. Man sollte ein möglichst großes Element T i k nehmen, was zum Beispiel in mehreren Durchgängen mit unterschiedlichen T i k ermittelt werden kann. Wir wählen f 3 3 ; die neuen Elemente lauten: f i k = f i k /f 3 3. Damit bekommt man für einen korrespondierenden Punkt in beiden Bildern folgende lineare Verbesserungsgleichung für eine Kleinste-Quadrate-Ausgleichung (Anhang 4.1-1): v

=

^1 / 1 1 .

/ 1 2 1 / i 3 + η ι ζ 2 /21+1Ί1Ή2 / 2 2 +T11 / 2 3 + «2 /31+TÌ2 / 3 2 = " I

(4-3-22)

Diese Ausgleichung hat 8 Unbekannte f i k ; man benötigt daher 8 korrespondierende Punkte für eine solche relative Orientierung. Da die relative Orientierung mittels des Gleichungssystems (4.3-22) die Elemente der inneren Orientierung, auch wenn sie bekannt wären, nicht nutzt, muss die Anzahl der Unbekannten dieser relativen Orientierung größer als 5 sein; es sind 7 Unbekannte. Wenn man berücksichtigt, dass die Determinante der F-Matrix Null ist, kommt man auf diese Anzahl. Die F-Matrix ist deshalb singulär, weil die darin enthaltene B-Matrix - wie wir im Anschluss an die Aufgabe 4.3-5 bewiesen haben - bereits singulär ist. Die über die 5 Unbekannten der "klassischen" relativen Orientierung hinausgehenden beiden zusätzlichen Unbekannten sind in der allgemein gehaltenen (unbekannten) inneren Orientierung aufgegangen. Auf eine Überführung der 8 Elemente f i k , dem Ergebnis einer relativen Orientierung mittels der Verbesserungsgleichungen (4.3-22), in die Parameter der "klassischen" relativen Orientierung soll hier nicht eingegangen werden. Es soll allerdings erwähnt werden, dass bei bekannter innerer Orientierung, die aber für eine relative Orientierung mittels den Verbesserungsgleichungen (4.3-22) nicht genutzt wird, die 5 Orientierungselemente der "klassischen" relativen Orientierung aus den Elementen f i k ermittelt werden können.

228

A 4.3.3

Zum Schluss soll noch der Bezug zur projektiven Geometrie hergestellt werden. Die Koplanaritätsbedingung (4.3-20) lautet mit den 8 Matrixelementen f i k : 'fu f12 fu

V

( M p l ) fu fl2 f¡3 ίη fyi

12

1 /

Diese Darstellung ist vergleichbar mit den projektiven Beziehungen zwischen einer Objektund einer Bildebene, insbesondere wenn man sie mit homogenen Koordinaten formuliert (siehe Gleichung (2.2-1-1) des Anhanges 2.2-1). Beide Bildebenen einer relativen Orientierung sind zueinander projektiv, allerdings nicht "Punkt zu Punkt" sondern "Punkt zu Gerade", wie oben bereits erwähnt. Wie die (ungewohnten) Elemente f i k der relativen Orientierung für die photogrammetrische Auswertung herangezogen werden können, erfahren wir im Abschnitt 6.8.5e. 4.3-6: Im Abschnitt 4.3.1 sind die Bildkoordinaten ξχ,ηχ und Ξ 2 ' Ϊ 72 v o n § korrespondierenden Punkten in zwei Messbildern gegeben. Man ermittle die relative Orientierung mit Hilfe der Verbesserungsgleichungen (4.3-22). Lösung: AUFGABE

'fn / l 2 fu /ll fu f¡3 fyi

1

=

-0.000018

0.000284 -0.005009'

-0.000302

0.000071 -0.576408

Γ 0.017098

/

0.550187

1

,

Bei dieser Lösung wurde allerdings nicht beachtet, dass die Determinante der F-Matrix Null sein muss. Führt man diese Bedingung zusätzlich in die Kleinste-Quadrate-Ausgleichung ein, hat man es mit einer Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen mit einer Bedingungsgleichung zu tun. 1 Lösung: ZUSATZAUFGABE:

(fn fn fu fu fu fi3 1

' 0.000001 -0.000040 -0.008565" =

0.000031 -0.002044

0.000039 -0.261240 0.263777

1 , Die zusätzliche Bedingungsgleichung beeinflusst in diesem Beispiel das Ergebnis beachtlich.

fi 1 fyi

4.3-7: Man gebe die F-Matrix für den Normalfall der Zweibildauswertung (Abschnitt 2.1.6) an und leite daraus die Koplanaritätsbedingung ab.

AUFGABE

1

Die Lösung findet man z.B. bei Gotthardt, E.: Einführung in die Ausgleichungsrechnung. Wichmann Verlag, 1968.

A 4.3.3

229

Lösung:

= * 2

= C2 =

0 0 Die Basis wird Eins gewählt (b = 1), d.h. Β

0

0-1

0 1 Ό (4.3-20): ( ξ , , ^ , Ι ) 0

o

0 o (ις 2λ 1

0 c

= -cr\2 + cri! = η! - η 2 = 0

Ρ -c 0, J , Die Koplanaritätsbedingung für das Normalfallbildpaar mündet in die Aussage, dass es keine rç-Parallaxen gibt, was bereits im Abschnitt 2.1.6 festgestellt wurde. Weiterer Hinweis: Da beim exakten Normalfall T 3 3 = 0 ist, würde die relative Orientierung mittels Gleichung (4.3-22) versagen. Literatur: Brandstätter, G.: Mitt. der TU Graz, Folge 87, 2000. Kreiling, W.: Dissertation an der Uni Karlsruhe, 1976. Fuchs, H.: Mitt. der TU Graz, Folge 63, 1988. Haggren, H., Niini, I.: The Photogr. Journal of Finland 12, pp. 22-33, 1990. Hartley, R., Zisserman, Α.: Multiple View Geometry in Computer Vision, Cambridge University Press, 2000. Mayer, H.: Journal of the Swedish Society for Photogrammetry and Remote Sensing, Nr. 2002:1, pp. 129-141, 2002. Förstner, W.: IAPR, Volume (33) B3/1, pp. 297-304, Amsterdam, 2000, und PFG (2000): 163-176. Ressi, C.: IAPR, Vol. (34/3A) pp. 277-282, Graz, 2002.

4.3.4

Relative Orientierung genäherter Senkrechtaufnahmen mit y-Parallaxen

Nach dem Ausflug zu einer alternativen relativen Orientierung, insbesondere für NichtMessbilder, kehren wir wieder zur relativen Orientierung von Messbildern zurück. Wir unterstellen sogar genäherte Senkrechtaufnehmen, d.h. wir schließen im Folgenden an den Abschnitt 4.3.1 an. Dort wurde die relative Orientierung mit den rj-Parallaxen, also den Differenzen der Bildkoordinaten (ijj - η2) gelöst. Für Analogauswertegeräte, die in dieser neuen Auflage des Lehrbuches keine Rolle mehr spielen, war eine relative Orientierung mit y-Parallaxen, also den im Stereomodell beobachtbaren Parallaxen gefragt. Obwohl ein Orientierungsverfahren mit y-Parallaxen heutzutage keine praktische Bedeutung mehr hat, sind diese Formeln für Genauigkeitsbetrachtungen und zum Erkennen von gefährlichen Flächen gut geeignet.

230

A 4.3.4

Vor der Beobachtung einer y-Parallaxe ist eine eventuell vorhandene x-Parallaxe im Stereomodell zu beseitigen, die für die relative Orientierung ohne Bedeutung ist (Figuren 4.3-3 und 4.3-4).

Figur 4.3-3: x-Parallaxe nach Beseitigung der y-Parallaxe im relativ orientierten Stereomodell

Figur 4.3-4: y-Parallaxe nach Beseitigung der x-Parallaxe im nicht-relativ orientierten Stereomodell

Für eine relative Orientierung mit Modellparallaxen py anstelle der Bildparallaxen p, müssen die Beziehungen (4.3-6) bzw. (4.3-7) so umgeformt werden, dass anstelle der bildbezogenen Größen ξ, η und ρ, die entsprechenden modellbezogenen Größen x, y und py auftreten. Für genäherte Senkrechtaufnahmen gilt (Figur 4.3-1): Py~~-P·,

h

X« Α ξ c

β

* ξ c

+ b

(4.3-24)

r A», h2

(4-3-25)

Einsetzen dieser Beziehungen in die Gleichung (4.3-6) ergibt: py = -xdK1 + (x - bidK, +

h

-

h

άφ2 + h 1

4.3-8: Man gebe die entsprechende Gleichung einer relativen Orientierung für den Folgebildanschluss an. AUFGABE

Aus beobachteten y-Parallaxen sowie den dazugehörigen Modellkoordinaten x, y und h (anstelle von z) können aus der Beziehung (4.3-25) ebenfalls die Elemente der relativen Orientierung mit einer Kleinste-Quadrate-Ausgleichung (Anhang 4.1-1) berechnet werden. Durch eine spezielle Wahl der Positionen für die Beobachtung der y-Parallaxen gelingt es,

231

A 4.3.4

die gesuchten fünf Unbekannten explizit anzugeben. Es ist allerdings erforderlich, für gebirgiges und näherungsweise ebenes Gelände unterschiedlich vorzugehen. a) Gebirgiges Gelände (Jerie-Verfahren) Dabei beschränkt man sich auf sechs korrespondierende Punkte, die Schemapunkte genannt werden, an denen die y-Parallaxen beobachtet werden und die • auf zwei parallelen Querprofilen im Modell (Abstand b) und • auf drei parallelen Geraden in den beiden Bildebenen (Abstand jeweils δ) angeordnet sind (Figur 4.3-5).

Figur 4.3-5: Schemapunkte bei der relativen Orientierung von gebirgigem Gelände

232

A 4.3.4

Auf diese Weise wird das Verhältnis M h,

= 1 =r c

(4.3-26)

für die Schemapunkte 3 bis 6 eine Konstante r. Mit Hilfe der Konstanten r und einer davon abhängigen Konstanten

R

\

2

3-27)

lauten die sechs Beobachtungsgleichungen (4.3-25) der relativen Orientierung durch Bilddrehungen: d«!

d/c 2

d ψ,

άφ2

da>2

Vi

0

-b

0

0

h,

-pyi

V2

-b

0

0

0

h2

-py 2

V3

0

-b

0

br

h3R

-py 3

V4

-b

0

br

0

h4R

-py 4

V5

0

-b

0

-br

h5R

-py5

V6

-b

0

-br

0

h,R

-pyf,

(4.3-28)

Aufstellen der Normalgleichungen (Anhang 4.1-1):

d/cj

d κ2

dψ ,

d2

2

3b

2

3b

2 2

2b r

2bV

άω2 -bhj-bhtR-bhgR

b ( P y 2 + P y 4 + Py6)

-bh r bh 3 R-bh 5 R

M P y l + P y S + Pys)

brh4R-brh6R

-br(py4-py6)

brh3R-brh5R

-br(py3-py5)

2

V+h2 +

-h1pyl-h2py2-h3Rpy3-h4Rpy4-

R 2 (h 3 2 +h 4 2 +h 5 2 +hg 2 )

h

5RPy5"h6RP»6

A 4.3.4

233

Allgemeine Auflösung der Normalgleichungen: __ _ ( - 2 h , +h3R+h,R)l2ph

d a 2

^

-ph -Pyy(-2h2

+h4R+h6R)l2pyi

-p y


- + — dul - ydKl

d(ù

^ 2 ~ z

+

(4.3-35)

A 4.3.6.2

242

Figur 4.3-10: Zusammenhang zwischen der Parallaxe px und dem Höhenfehler dz im Stereomodell

Mit der Gleichung dz = - p b

x

,

(4.3-36)

die aus der Figur 4.3-10 abgelesen werden kann, erhält man schließlich den gesuchten Zusammenhang zwischen dem Höhenfehler dz im Stereomodell und den Fehlern der Orientierungselemente :

dz

* db

z A b

-

¿φ 2 -

+

b

db 1

b

2

b

ή ¿Φι 1 b b)y

+

SUL b

+

s b yh

du, 1 - y* ¿K,1 b (4.3-37)

Die wichtigsten Terme der Gleichung (4.3-37) sind in den Figuren 4.3-111 veranschaulicht, wobei für dbz - wie in Figur 4.3-1 definiert - db z2 geschrieben und zusätzlich das Orientierungselement db z l aufgenommen wurde. Man erkennt daraus, dass durch die absolute Orientierung (= räumliche Ähnlichkeitstransformation) - mit Ausnahme des dw-Einflusses und eines Teiles des d-Einflusses - die Modelldeformationen nachträglich korrigiert werden. Zur Klarstellung sei noch erwähnt, dass die jeweilige Modelldeformation der Objektoberfläche überlagert ist; mit anderen Worten: Die Höhenbezugsebene, das ist die xy-Ebene, eines fehlerfreien Modelles wird beim deformierten Modell zu einer Schrägebene, einem Zylinder, einem Paraboloid usw.

1

Albertz/Kreiling: Photogrammetrisches Taschenbuch, 4. Auflage, 1989.

A 4.3.6.2

243

Cu

di2 sei 30 mgon (also das 10-fache des zu erwartenden mittleren Fehlers, Tab. 4.3-9). Gesucht ist der durch άω2 verursachte maximale Höhenfehler. Es ergibt sich für χ = 0 aus Gleichung (4.3-37): dz

= _ OLzM b

¿ω

= 862

30 ρ

= 0 41

m

Durch die absolute Orientierung wird dieser Betrag - wie man mit Hilfe der Figur 4.3-11 sieht auf etwa +20 cm "ausgemittelt".

244

A 4.3.6.2

2) cl0 2 -Deformation Der Fehler άφ2 sei 20 mgon (also das 10-fache des zu erwartenden mittleren Fehlers, Tab. 4.3-9). Gesucht ist der durch dφ 2 verursachte maximale Höhenfehler. Er ergibt sich aus Gleichung (4.3-37):

dz =

(* - fr)2

e

àΦ2

b

Figur 4.3-12: Modellverbiegung durch άφ2 dz besteht aus dem konstanten Anteil Λ dz

k

=

8502 20 = 0.25 m 920 ρ

h2

-g

und dem von χ quadratisch abhängigen Anteil, der für χ = 0 am größten wird:

b? £?φ, = 920 — = 0.29 m b

-

ρ

Der konstante Anteil wird mit der absoluten Orientierung ganz und der quadratische Anteil dz q bis auf etwa 1/4 kompensiert (Figuren 4.3-11 und 4.3-12). Die verbleibende Modellverbiegung nach der absoluten Orientierung beträgt also dz q /4 = 29/4 = 7 cm.

Obwohl wir sehr große Orientierungsfehler άω2 und dφ 2 angenommen haben, bleiben die daraus resultierenden Höhenfehler des Modelles doch in der gleichen Größenordnung wie der mittlere Höhenfehler. Der mittlere Höhenfehler σζ beträgt laut Beziehung (4.6-1) für diese Aufnahmedisposition und für sehr gut einstellbare Punkte etwa ±10 cm. In der Praxis spielen demnach die Modelldeformationen wegen der Orientierungsfehler eine geringe Rolle. Lediglich bei ungünstiger Verteilung der homologen Punkte (z.B. Wasserflächen im Stereomodell) und eventuell bei gefährlichen Flächen der relativen Orientierung (Abschnitte 4.3.6.1 und 4.3.5) können große Orientierungsfehler und deshalb auch große Modelldeformationen in Erscheinung treten. Modelldeformationen werden aber nicht nur von Orientierungsfehlern sondern auch von anderen systematischen Fehlereinflüssen - von der Objektivverzeichnung, vom Filmverzug, etc. - verursacht. Die Auswirkungen der zuletzt genannten systematischen Fehler auf die geometrische Richtigkeit des Stereomodelles sind sehr kompliziert. Diese Deformationen können sich sowohl in Form von außerhalb der Beobachtungsgenauigkeit liegenden y-Parallaxen nach der relativen Orientierung als auch in größeren Restfehlern an den Passpunkten nach der absoluten Orientierung äußern. Im Zuge der relativen Orientierung werden aber auch die

245

A 4.3.6.2

Anteile der y-Parallaxen beseitigt, die gar nicht zur relativen Orientierung gehören, sondern eben Auswirkungen dieser systematischen Fehlerursachen sind. Demzufolge erhält man falsche Orientierungselemente, die Modelldeformationen bewirken. Solche systematische Fehler bewirken Korrelationen, insbesondere zwischen den xyz-Koordinaten benachbarter Objektpunkte. Zusätzliche Parameter im mathematischen Ansatz lösen dieses Problem weitgehend (siehe Abschnitte Β 3.5.6 und Β 5.2.4 im Band 2 sowie einschlägige Literatur 1 ). 4.3-13: Welche Fehler in Aufnahmerichtung (Tiefenfehler) treten bei der Auswertung von Aufnahmen mit einer 120-cm-Stereomesskamera (c = 60 mm, Hochformat 80 mm χ 95 mm, Abschnitt 3.8.2) mit den Formeln des Normalfalles auf, wenn die rechte Aufnahmekamera mit der Basis einen Winkel von 99.9 gon einschließt (Aufnahmeentfernung = 10 m)? (Lösung: Schwankt zwischen 13 und 19 cm abhängig von der x-Koordinate, Figur 3.8-1) ZUSATZ AUFGÄBE: Man wiederhole die Überlegungen für eine Zenitdistanz der Aufnahmerichtung der Kamera 2 von 100.2 gon. (Lösung: Schwankt zwischen 0 und 14 cm abhängig von den x- und z-Koordinaten, Figur 3.8-1) AUFGABE

4.4

Absolute Orientierung

Die absolute Orientierung ist die zweite Stufe jenes Orientierungsverfahrens eines Stereobildpaares, das im Abschnitt 4.2.3 in groben Zügen beschrieben wurde. Bei der absoluten Orientierung wird das beliebig im Raum liegende Stereomodell (x,y,z) in das übergeordnete Objektkoordinatensystem (Χ,Υ,Ζ) gebracht (Figur 4.2-2). Der mathematische Zusammenhang ist durch eine räumliche Ähnlichkeitstransformation (Gleichung (4.2-6)) gegeben. Die sieben Parameter der absoluten Orientierung bestimmt man aus Passpunkten, also aus Punkten, deren Modell- und Objektkoordinaten bekannt sind.

4.4.1

Kleinste-Quadrate-Ausgleichung

Für eine Kleinste-Quadrate-Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen (Anhang 4.1-1) ist die Gleichung (4.2-6) zu linearisieren. Wir gehen (zunächst) davon aus, dass Näherungswerte für die sieben Unbekannte der absoluten Orientierung bekannt sind und dass mit ihrer Hilfe die ursprünglichen Modellkoordinaten χ in das Objektkoordinatensystem transformiert werden können. Diese Modellkoordinaten bezeichnen wir mit X o . Das bedeutet:

1

Schwidefsky/Ackermann: Photogrammetrie. B.G.Teubner, Stuttgart, 1976.

246

A 4.4.1

Χ « χ = Xe - Ω = ¿Ω, Φ = άΦ,

Κ = dK, m = 1 + dm, Xu = dXu (4.4-1)

Damit lautet die linearisierte Drehmatrix R (2.1-13): 1

-dK

άΦ "

dR = dK

1

-dQ.

-άΦ

dQ

1 ,

(4.4-2)

Linearisierung des Produktes m • R mit m = 1 + dm: 'Udm m-R = (1 +dm)dR = k

-dK

άΦ "

dK

\+dm

-dù

-άΦ

dû

dm

-dK

άΦ

dK

dm

-dQ

-άΦ

dù

dm

=E +

1 +dml

(4.4-3)

Dabei wurde für die Einheitsmatrix das Symbol E benutzt. Die linearisierte Gleichung (4.2-6) der räumlichen Ahnlichkeitstransformation lautet somit: X = dXu + (1 + dm) dRX"

(4-4-4)

In klassischer Schreibweise: X = dXu Y Ζ

- X°dm dYu

+ Ζ°άΦ

- Y°dK

+ Y°dm - Z°dQ dZ„ + Z"dm + Y"dQ

+X°

- X°dK - Y° Χ"άΦ

(4.4 5)

+ Z°

Die sieben Unbekannten der absoluten Orientierung treten - wie gewünscht - in diesen Beziehungen in linearer Form auf. Für eine Kleinste-Quadrate-Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen sind diese Gleichungen in folgender Weise umzuschreiben: vx =

+ Xodm

dXu dYu

+ Z°dΦ

+ Y°dm

- Z°dQ

dZ„ + Z°dm

+ Y°dQ

- Χ°άΦ

- Y°dK

- (X - Xa)

+ XodK

- (Y - Y°)

(4.4-6)

- (Z - Z°)

In Matrizenschreibweise (Anhang 4.1-1): ν = Αχ

- l

(4.4-7)

Ein Vollpasspunkt liefert alle drei Verbesserungsgleichungen, ein Lagepasspunkt die beiden ersten Verbesserungsgleichungen und ein Höhenpasspunkt die letzte Verbesserungsgleichung des Gleichungssystems (4.4-6). Die Fortsetzung läuft nach dem bekannten Algo-

247

A 4.4.1

rithmus der Kleinste-Quadrate-Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen ab (Anhang 4.1-1). Normalgleichungen und ihre Auflösung: ATAx

= ATl;

χ = (ATAylATl

(4·4"8)

Da die Gleichungen (4.4-6) durch Linearisierung entstanden sind, sind - bei schlechten Näherungswerten - weitere Iterationen erforderlich. ZAHLENBEISPIEL: G e g e b e n s i n d d i e M o d e l l k o o r d i n a t e n v o n f ü n f P u n k t e n :

23

24

50

51

45

X

0.303532

0.192638

0.303848

0.204120

0.246931 m

y ζ

0.595068

0.602834

0.403493

0.434574

0.594227 m

0.034298

0.034116

0.026903

0.036672

0.034676 m

Die ersten drei Punkte sind Vollpasspunkte; der Punkt 51 ist ein Höhenpasspunkt. Die Objekt- bzw. Landeskoordinaten der Passpunkte sind gegeben1: 23

24

50

51

X Y

3321.65 1167.56

3402.84 2061.10

Ζ

579.48

576.80

1776.75 1196.79 493.19

574.62 m

Außerdem sind noch Näherungswerte - z.B. aus der Flugplanung (Abschnitt 3.7.1) oder mittels eines im Abschnitt 4.4.3 angegebenen Verfahrens - bekannt: rW)

= - 1 4 0 0 m,

(0)

m

Ϋ ? = 3600 m,

= 8000,

Ω

(ο)

= Φ

(ο)

300 m

Z?> =

= 0,

(o)

K

=

300

gon

Damit können die ursprünglichen Modellkoordinaten χ mit der Gleichung Xo Y0

'-1400' =

3600

' 0

1 0

+ 8000 - 1 0

0

0 0 1 . 300 , 7° in die genäherten Landeskoordinaten Xo, für die wir im Folgenden die Bezeichnung X und dK eine strenge Drehmatrix (2.1-13) aufzustellen ist: 'X(iy

y(D

¿m

-82.50 =

' 0.999634

54.29 +1.008666 -0.020787 -55.16

0.020825 -0.017256' 3353.82 0.999781

0.002380 1624.55

, 0.017302 -0.002020

0.999848, „ 577.41,

3323.22 =

1623.62 , 582.39,

In der gleichen Weise wie der Punkt 45 können auch die (Pass-)Punkte 23, 24, 50 und 51 ins Landeskoordinatensystem transformiert werden: 23 X« Y

+ D2X2

- "i

J

= 0

J

(Dl

- ND2NT)xl

= - D;\N%) D1xi

- ND2NTxl

= nl

(5

_

2 9)

= nt

(5-2-10)

Diese Art der Gleichungsbildung ist besonders für Blockausgleichungen mit wenig Stereomodellen und vielen Verknüpfungspunkten empfehlenswert. Diese Verhältnisse sind in der digitalen Photogrammetrie typisch, da dabei eine große Anzahl von Verknüpfungspunkten anfällt.

284

A 5.2.1

Treten viele Neupunkte jeweils nur in einem der Stereomodelle auf (Einzelpunkte), könnte man zwar für jeden Einzelpunkt zwei Verbesserungsgleichungen (5.2-5) aufstellen und die zwei Neupunktskoordinaten X,Y aus den Gleichungen (5.2-8) bzw. (5.2-9) berechnen. Da die Einzelpunkte aber zur Blockausgleichung nach unabhängigen Modellen nichts beitragen, ist es besser, sie vorher aus dem Datenmaterial zu eliminieren und sie nach der eigentlichen Blockausgleichung mit den Transformationsparametern x¡ (Gleichungen (5.2-7) bzw. (5.2-10)) in das Landeskoordinatensystem zu transformieren. Um den Rechenaufwand und den Speicherbedarf auch bei sehr großen Modellverbänden in Grenzen zu halten, werden in den Computerprogrammen 1 bei der Auflösung der Gleichungssysteme (5.2-8) bzw. (5.2-10) noch die vielen Nullen in der Normalgleichungsmatrix effizient ausgenutzt. (Im Band 2, Abschnitt Β 5.2.2, wird darauf näher eingegangen.) AUFGABE 5.2-2:Gegeben sind die Modellkoordinaten von drei Stereomodellen (in mm) und die Landeskoordinaten (in m) von fünf Passpunkten. Man stelle die Verbesserungsgleichungen entsprechend der Tabelle 5.2-4 auf und man löse sie nach den allgemeinen Regeln für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. Ä5 Θ A

©

Θ ι

A Modell 2

Modell 1 Pkt.

X

y

1 2 3 4

697.46 698.64 808.18 808.50

572.52 463.63 571.81 475.26

Modell 3 Pkt.

X

y

6 7 8 9

609.38 610.80 692.30 692.89

578.29 461.60 579.75 464.34

Pkt.

X

y

3 4 5 6 7

686.90 687.32 759.46 758.68 760.64

542.66 447.69 494.88 543.16 440.05

Landeskoordinaten der Paßpunkte Pkt.

X

Y

1 2 5 8 9

1131.50 1138.62 3143.78 3951.05 3957.72

2331.50 1142.22 1782.21 2332.99 1201.05

Lösung: Z.B. a j = 10.9228 +0.0018, b t = -0.0542 ±0.0018, X 3 = 2341.04 ±0.25 m, Y 3 = 2317.74 ±0.25 m 1

Zum Beispiel: Ackermann, F., Ebner, H. und Klein, H.: BuL 38, 218-224, 1970, und Ph. Eng. 39, p. 967, 1973.

A 5.2.2

285

5.2.2

Räumliche Blockausgleichung

Bei der räumlichen Blockausgleichung sind die Koordinaten Χ,Υ,Ζ der Neupunkte im übergeordneten (Landes-)Koordinatensystem gesucht. Gegeben sind die Modellkoordinaten x,y,z nach der relativen Orientierung der Stereomodelle. Neben den Modellkoordinaten der Verknüpftmgs- und Passpunkte führt man in die räumliche Blockausgleichung zusätzlich die Modellkoordinaten der Projektionszentren ein (Figur 5.2-7). Die Modellkoordinaten der

Figur 5.2-7: Modellanschluß mit Projektionszentren Projektionszentren sind im Ergebnis der relativen Orientierung und Modellbildung enthalten (siehe Lösung der Aufgabe 4.3-4). Die Projektionszentren bewirken eine Stabilisierung der Höhe entlang der Streifen. Eine entsprechende Stabilisierung quer zu den Triangulationsstreifen ist dagegen nicht möglich, sodass - wie in Figur 5.2-8 angedeutet - so genannte Höhenpasspunktketten quer zu den

Figur 5.2-8: Räumliche Blockausgleichung mit unabhängigen

Modellen

286

A 5.2.2

Flugstreifen notwendig sind. Eine sehr gute höhenmäßige Stabilisierung des Blockverbandes auch quer zu den Flugstreifen könnte durch eine Querüberdeckung der Flugstreifen von etwa 60% erreicht werden. Das Prinzip der räumlichen Blockausgleichung kann an den Figuren 5.2-7 und 5.2-8 abgelesen werden: Die Punkte in jedem Modell sind in einem unabhängigen, räumlichen Koordinatensystem festgelegt, das mit Hilfe der sieben Elemente der absoluten Orientierung (Abschnitt 4.4) mit dem Landeskoordinatensystem in Beziehung gebracht werden kann. Für die gleichzeitige Bestimmung der Elemente der absoluten Orientierung für alle Stereomodelle im Modellverband stehen einerseits die Modellkoordinaten der Verknüpfungspunkte (einschließlich der Projektionszentren) und zum anderen die Modell- und Landeskoordinaten der - zum Beispiel terrestrisch bestimmten - Passpunkte zur Verfügung. Damit lautet das Prinzip der räumlichen Blockausgleichung: Die Modelle werden •

verschoben (drei Translationen X U ,Y U ,Z U )

•

gedreht (drei Drehungen Ω,Φ,Κ)

•

maßstäblich verändert (Maßstabsfaktor m),

bis sie •

an den Verknüpfungspunkten (einschließlich Projektionszentren) möglichst gut zusammenpassen und

•

an den Passpunkten möglichst kleine Diskrepanzen aufweisen.

Der mathematische Zusammenhang zwischen dem relativ orientierten Stereomodell und dem Landeskoordinatensystem wurde bereits formuliert (Gleichung (4.2-6)) und als räumliche Áhnlichkeitstransformation benannt. Der mathematische Formalismus zur gleichzeitigen Bestimmung der Elemente der absoluten Orientierung eines Blockverbandes wird als verkettete räumliche Ähnlichkeitstransformation bezeichnet. Der Übergang von der räumlichen Ähnlichkeitstransformation (Gleichung (4.2-6)) zur verketteten räumlichen Ähnlichkeitstransformation erfolgt im Prinzip genauso wie der Übergang von der ebenen Ähnlichkeitstransformation (Gleichung (5.2-1)) zur verketteten ebenen Ahnlichkeitstransformation (Gleichungen (5.2-4) und (5.2-5) sowie Tab. 5.2-4). Im Gegensatz

zur

ebenen

Ähnlichkeitstransformation

ist

die

räumliche

Ähnlichkeits-

transformation aber nicht linear. Die Linearisierung der räumlichen Ähnlichkeitstransformation eines Einzelmodelles haben wir in Form des Gleichungssystems (4.4-5) bereits kennengelernt. Auch die Verbesserungsgleichungen (4.4-6) für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen wurden bereits formuliert. Die Verbesserungsgleichungen (4.4-6) entsprechen den Verbesserungsgleichungen (5.2-4) der ebenen verketteten Ähnlich-

A 5.2.2

287

keitstransformation: Die in den Beziehungen (4.4-6) auftretenden XYZ-Koordinaten entsprechen einerseits den (bekannten) Passpunktkoordinaten. Für einen Neupunkt sind die XYZ-Koordinaten in den Gleichungen (4.4-6) andererseits als (unbekannte) Neupunktkoordinaten zu interpretieren. Da ein solcher Neupunkt in mehreren Modellen auftritt, übernehmen diese Neupunkte die Funktion der Verknüpfung im Verband der Stereomodelle. So wie mittels der Verbesserungsgleichungen (5.2-4) und (5.2-5) das Verbesserungsgleichungssystem der Tabelle 5.2-4 gefunden wurde, ergibt sich aus den entsprechend adaptierten Verbesserungsgleichungen (4.4-6) das Verbesserungsgleichungssystem für die räumliche Blockausgleichung mit unabhängigen Modellen. Aus Platzgründen verzichten wir auf eine detaillierte Darstellung. Im Verbesserungsgleichungssystem für die räumliche Blockausgleichung mit unabhängigen Modellen sind die Unbekannten kleine Zuschläge zu den Näherungswerten. (Im Verbesserungsgleichungssystem der Lageblockausgleichung war dagegen keine Linearisierung erforderlich.) Die automatische Beschaffung der Näherungswerte für die Linearisierung wird erst im Band 2, Abschnitt Β 5.1, behandelt.

5.2.3

Lage-

und

Höhengenauigkeit

der

Blockausgleichung

mit

unabhängigen Modellen Die Einsparung an (terrestrischen) Passpunkten - Sinn und Zweck der Aerotriangulation führt im allgemeinen zu einer Verschlechterung der Genauigkeit gegenüber der Einzelmodelleinpassung, das heißt der getrennten Einpassung jedes Einzelmodelles auf vier (terrestrische) Passpunkte in den Modellecken. Für die Anwendung der Aerotriangulation ist daher ein Maß der Genauigkeitsverschlechterung von großem Interesse. Bei der räumlichen Blockausgleichung wird - nahezu ebenes Gelände vorausgesetzt - die Lagegenauigkeit von der Genauigkeit der Modellhöhen und von der Anordnung der Höhenpasspunkte nicht beeinflusst; in gleicher Weise ist auch die Höhengenauigkeit unabhängig von der Genauigkeit der Modellkoordinaten x,y und der Anordnung der Lagepasspunkte. Daher werden die Höhen- und Lagegenauigkeit getrennt voneinander behandelt. Die Ergebnisse für die Lagegenauigkeit gelten sowohl für die Lageblockausgleichung als auch für die räumliche Blockausgleichung.

288

A 5.2.3.1

5.2.3.1

Lagegenauigkeit

Da man die XY-Koordinaten der Verknüpfungspunkte durch eine Kleinste-Quadrate-Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen (Anhang 4.1-1) gewinnt, erhält man ihre Genauigkeit - genauer die Gewichtskoeffizienten q x x bzw. ς γ γ - durch Invertierung der Normalgleichungsmatrix (Tabelle 5.2-5). Infolge des symmetrischen Aufbaues in X und Y werden die Gewichtskoeffizienten q x x und q Y Y identisch sein und im Folgenden mit q L L bezeichnet werden. Damit ergibt sich die Genauigkeit σ Β L der Koordinaten X und Y eines Verknüpfungspunktes nach dem Blockausgleich aus: °b¿

=

fe

= •fajPui.

(5.2-11)

σ 0 ist der Gewichtseinheitsfehler der Ausgleichung, das heißt die Genauigkeit σχ bzw. ay einer Modellkoordinate χ bzw. y, allerdings ausgedrückt im Landeskoordinatensystem (siehe Bemerkung im Anschluss an die Gleichung (5.2-5)). Die Größe

kann deshalb als

Faktor betrachtet werden, der durch Multiplikation mit der Koordinatengenauigkeit σ Μ

L

im

Einzelmodell die Genauigkeit σΒ L des Blockes ergibt. In Figur 5.2-9 1 sind diese Faktoren

für verschieden große Blöcke - jeweils besetzt

mit vier Passpunkten in den Blockecken - aufgetragen. Dabei bedeutet a m a x den größten Lagefehler im Block und . δξ âX. νηι; =

3ξ 1 dYoj dYn

dX,oj

dXn

dX,

+

δξ

θξ'

Λ

dYf

+

aç

dZ,•oi ojJ \o di dK: ôk,, dZ

3ξ dZ,

dZ, -

(5.3-1) (lj

-

φ

entsprechend

Die Unbekannten sind die sechs Elemente der äußeren Orientierung des Messbildes j und die drei Landeskoordinaten des Punktes i. Verläuft ein Strahl zu einem Festpunkt, entfallen die Terme für dX¡, dY¡ und dZ¡. Die Differentialquotienten ( )° sind mit Hilfe der Näherungswerte für die Unbekannten entsprechend den Beziehungen des Anhanges 2.1-3 auszuwerten, ξ?, bzw. η^ sind gerechnete Bildkoordinaten, die sich aus den Gleichungen (2.1-19) mit Hilfe der Näherungswerte für die Unbekannten ergeben.

und í)¡¡ sind die gemessenen Bildkoordinaten. Die erforder-

A 5.3.2

301

lichen Näherungswerte der Unbekannten können auf verschiedenen Wegen beschafft werden. Zum Beispiel auf folgende Weise: Für genäherte Senkrechtaufnahmen ist ω° φ° = 0; aus der Flugplanung ist κ° bekannt; eine Blockausgleichung mit unabhängigen Modellen (Abschnitt 5.2) liefert

der Projektionszentren und X°,Y°,Z 0 der Neu-

punkte (im Band 2, Abschnitt Β 5.2.1, wird dieses Problem aufgegriffen). Zur weiteren Vertiefung soll ein schematisches Beispiel mit vier Messbildern dienen. Die Bilanz der Beobachtungen und Unbekannten lautet:

ΙΑ 2 Α θ 3 2 · 4. PÛ 5. 6.

beobachtete Bildkoordinaten (2x6x4) = 48 Unbekannte: 3x4 = 12 Projektionszentren 3x4 = 12 Bildwinkel

M 03

3·

4*

•3

5·

6·

•5

· 6 «2

36

TA

8

A?

A8

Redundanz: 48-36 = 12

A

«4

@

3x4 = 12 Neupunktskoordinaten

Verbesserungsgleichungssystem Anstelle der Differentialquotienten ()° in den Verbesserungsgleichungen (5.3-1) werden in der folgenden Tabelle die im Anhang 2.1-3 eingeführten Größen a und b benutzt.

A 5.3.2

Χ

01 Υ 01 Ζ 01 ω ΐ4 > 1 κ 1

Χ

Χ3Υ3Ζ3

02 Υ 02 Ζ 02 ω 2^2 κ 2

.0 0 .0 a„0 a„0 .0 a aa

£11 ν

302

χ6Υ6Ζ6 «11-îîl)

2 3 4 5 6 7

,11 b°b°b°b°b°b°

(Vn-V°n) entsprechend Punkt 2

£31

0 .0 „0 „0 „0 a„0 2 a3 a4 a5 a6 a7

„31

b°b° b 0b°b°b°

ν

ν

8

a

10

«31-Î31)

h°8 h° h° °9 D10

(V31-V31)

entsprechend Punkt 4 , 5 , 6 „ο „0 ,0 ,0 ,0 „0

ν

£12

a ν

„12

«12"{?2)

2 a3 a4 a5 a6 7

(V12-V12)

b°b°b0b°b0b0 entsprechend Punkt 2

ν

ν

„0 a.0 a.0 a„0a „0 „0

{32

2 3 4 5 6 7

bgbgbSbgbgb?

,32

8 "9 aa° 10

(Í32-Í32)

h°8 h° h° b 9 b 10

(132-132)

a

entsprechend Punkt 4 , 5 , 6

In Matrizenschreibweise: Normalgleichungen:

ν = Α χ -1

(5.3-2)

T

A A χ = AT1

(5.3-3) Setzt man anstelle von A T A das Symbol Ν und anstelle von A T 1 das Symbol n, so lautet das Normalgleichungssystem: Ν χ = η

5.3.3

(5.3-4)

Auflösung der Normalgleichungen

Das Normalgleichungssystem (5.3-4) für das in Abschnitt 5.3.2 eingeführte schematische Beispiel hat die Struktur:

A 5.3.3

303

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Bild 4

Pkt3

Pkt4

Pkt5

Pkt6

/ / /

N22

/

/

In Matrizenschreibweise: 'Nn

(5.3-5)

NTn N22

Die linke obere Matrix N n ist eine Hyperdiagonalmatrix mit Submatrizen von jeweils 6x6 Elementen. Die rechte untere Matrix N 22 ist ebenfalls eine Hyperdiagonalmatrix mit jeweils 3x3 Elementen. Die Inversion der beiden Hyperdiagonalmatrizen ist besonders einfach: Jede Submatrix kann für sich getrennt invertiert werden. Das um die Neupunktskoordinaten x 2 reduzierte Normalgleichungssystem läßt sich deshalb ohne großen Rechenaufwand bilden. Es folgt - in Anlehnung an die Gleichungen (5.2-9) und (5.2-10) - aus der Beziehung (5.3-5): g s (£) gj(£)

-

- £Γ(ξ))

•

ξ [μη] Einpassung

(6-8-3)

korrespondierende Grauwerte in den beiden Bildern; die Anzahl der Grauwertepaare wird von der Größe des Referenzbildes vorgegeben. Neigung des Grauwerteprofiles des Referenzbildes an den einzelnen Pixelpositionen, d.h. g ¡.(ξ) = Ag/Δξ. Beim ersten Pixel wird man Ag = g 2 - gj nehmen, beim letzten Pixel, dem n-ten Pixel, Ag = g n - gn_¡; für die dazwischenliegenden Pixel (1 < i < n) wählt man zweckmäßigerweise Ag = g i + 1 gj.j; A¡¡ ist bei den Innenpixeln die doppelte Pixelgröße.

Die Fortsetzung erfolgt nach dem Formelsystem der Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen (Anhang 4.1-1), d.h. ν =ATx

-l,

χ = (Α Γ Α) _1 AT l

(6.8-4)

Auch die Genauigkeit der Positionsunbekannten b ergibt sich aus der Ausgleichungsrechnung (Anhang 4.1-1), wobei zuerst aus den Verbesserungen ν der Gewichtseinheitsfehler σ0 geschätzt wird. Der mittlere Fehler a b der Unbekannten b ergibt sich aus folgenden Schritten: Ν = (A T A) ,