Meccanica delle strutture e Controllo attivo strutturale: Modellistica di edifici, ponti, camini, strutture speciali 8847003326, 9788847003323

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Ai miei genitori

A. Carotti

Meccanica delle strutture e controllo attivo strutturale Modellistica di edifici, ponti, camini, strutture speciali 2a edizione

13

ATTILIO CAROTTI Dipartimento di Ingegneria Strutturale Politecnico di Milano, Milano [email protected] In copertina: Da sinistra, le immagini di Cauchy, Lagrange, Hamilton, Fourier.

Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia, Milano 2006 ISBN 10 88-470-0332-6 ISBN 13 978-88-470-0332-3

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Indice

Indice delle schede Prefazione PARTE I

XI XIII

DINAMICA 1

1.

Dinamica di componenti e sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Sistemi di ordine zero e primo: sinossi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Sistema di ordine zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Sistema di primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Il sistema di secondo ordine: sinossi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Oscillazioni libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Oscillazioni forzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Il modello a 1 GdiL per l’oscillatore strutturale . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Osservazioni sulla cinematica vibratoria . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Forzante sulla massa: quadro sinottico . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Eccitazione cinematica impressa: quadro sinottico . . . . . . . 14 1.4 Sistemi di ordine superiore come catene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Ritardatori e anticipatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1 Controllori di fase meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2 Filtri elementari: quadro sinottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3 Modellistica del blocco “ritardatore puro” . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Esempi di dinamiche composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6.1 Dinamiche “in cascata” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6.2 Dinamiche “in parallelo” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.3 Dinamica retroazionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7 Oscillatore lineare ad 1 GdiL: risposta a rumori. Applicazione alla ingegneria sismica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7.1 Rumori. Simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7.2 Modellistica della risposta ai rumori: pplicazioni sismiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.

Oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità concentrate . . . . . . 37 2.1 Traccia di analisi della auto-struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Quadro sinottico: moto forzato non-smorzato. Disaccopiamento . . 38 2.3 Smorzamento strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Risposta per sovrapposizione dei modi dominanti . . . . . . . . . . . . . 42

VI

Indice

2.5

2.4.1 Caso di forzante “ai piani”: quadro sinottico . . . . . . . . . . . . 42 2.4.2 Caso di eccitazione cinematica impressa alla base . . . . . . . 43 Equazioni newtoniane nello spazio degli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.

L’oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità distribuite . . . . . . . 47 3.1 Equazioni di moto: caso di forzante sulla massa e caso di eccitazione alla base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1 Grandezze generalizzate (modali): quadro sinottico . . . . . . 47 3.2 Alcune applicazioni importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Forza elastica – o coppia elastica – concentrate: vincoli elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Massa concentrata in un punto dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.3 Oscillatore monomassa equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione . . . . . . . 53 4.1 Estensione ai sistemi a n GdiL: matrici di trasferimento . . . . . . . . 53 4.1.1 Un esempio numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Analisi modale frequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.1 Matrice di trasferimento. Autostrutture . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.2 Modi di vibrare complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2.3 Matrici di massa, smorzamento e rigidezza ricavabili dai parametri modali misurati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3 Misura della risposta in frequenza nelle strutture . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 Identificazione delle caratteristiche modali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4.1 Modelli ad un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4.2 Modelli a più gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

PARTE II 5.

DINAMICA 2

Edifici: modellistica. Controllo della risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1 Edifico di media altezza: dinamica sismica e isolamento-alla-base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1.1 Generalità sul sistema strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1.2 Sistema di isolamento con comportamento “a stadi”. Edificio a rigidezza variabile al crescere della sollecitazione esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.3 Modellistica matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.1.4 Simulazioni numeriche per l’edificio su PFF bilineare . . . . 84 5.1.5 Precarichi. Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1.6 Edificio con base-isolation: complementi numerici . . . . . . 90 5.1.7 Edificio con base-isolation: complementi agli sviluppi analitici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Edificio a torre: un modello continuo. Oscillatori secondari . . . . . 92 5.2.1 Rappresentazione nello spazio degli stati e nel dominio delle frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Indice

VII

5.2.2 Interazione con oscillatori secondari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2.3 Oscillatore continuo: complementi numerici e analitici . . . 96 6.

Ponti di grande luce: modellistica. Controllo della risposta . . . . . . . . 99 6.1 Un ponte sospeso per tubazioni: modellistica della dinamica flesso-torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.1.1 Fondamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.1.2 Modellistica del disturbo aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.1.3 Nota su Hw/Sw di misure flessotorsionali. Monitoraggio. Trasduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.1.4 Utilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2 Il controllo strutturale in ingegneria civile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.2.1 Tecniche innovative per la protezione di Edifici e Ponti da carichi straordinari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.2.2 Un esempio: il controllo attivo flesso-torsionale di un ponte sospeso per tubazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.2.3 Un altro esempio: soluzione attiva per il controllo del flutter flesso-torsionale di ponti strallati a ventaglio centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.

Camini: modellistica. Controllo della risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.1 Azione di deriva da distacco di vortici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.1.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.1.2 Controllo della risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.1.3 Ovalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.2 Dinamica del primo modo dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.2.1 Moto naturale. Moto forzato e controllato. Sforzi . . . . . . . 141

8.

Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.1 Forzante sull’oscillatore principale: schemi di modulazione dello smorzatore passivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.1.1 Caso non smorzato: quadro sinottico . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.1.2 Caso smorzato: quadro sinottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.2 Caso di forzante e di eccitazione cinematica sull’oscillatore principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.2.1 Equazioni newtoniane di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.3 Esempi di applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.3.1 Applicazioni ai camini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.3.2 Il grattacielo Citicorp (NYC): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.4 Cenni al controllo giroscopico delle vibrazioni forzate di un’asta rigido-elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

PARTE III STATICA 1 9.

Statica del corpo rigido piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 9.1 Mobilità elementare. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 9.2 Corpo rigido isostatico. Reazioni vincolari e azioni interne . . . . . 184

VIII

Indice

10.

Baricentri. Inerzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.

Introduzione alla teoria dei continui elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11.1 Stato di sforzo nei continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.1.1 Il tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.1.2 L’equilibrio elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.1.3 Direzioni e sforzi principali in un punto. Quadrica indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.2 Stato di deformazione nei continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.2.1 Spostamento regolare di un continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.2.2 Spostamento regolare infinitesimale nell’intorno del primo ordine di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.2.3 Il tensore di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 11.2.4 Le condizioni di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 11.3 L’elasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 11.3.1 L’energia potenziale elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 11.3.2 L’elasticità lineare. Simmetrie elastiche . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.3.3 Continui elastici, omogenei ed isotropi . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.3.4 Il problema dell’equilibrio elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.4 Stati piani di sforzo e stati piani di deformazione . . . . . . . . . . . . . 232 11.4.1 Stati piani di sforzo. Il cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.4.2 Stati piani di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.5 L’indagine sperimentale delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 11.5.1 Gli estensimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 11.5.2 L’indagine della deformazione locale. Rosette estensimetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.6 Sistemi Rigido-Elastici. Energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.6.1 Mobilità e spostamento. Sistemi olonomi e anolonomi. Spostamenti virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.6.2 Lavoro di un sistema di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 11.6.3 Espressione del lavoro per i sistemi olonomi . . . . . . . . . . . 252 11.6.4 Espressione del lavoro esterno per i sistemi rigidi . . . . . . . 255 11.6.5 Sollecitazione attiva conservativa. Potenziale . . . . . . . . . . 256 11.6.6 Potenziale della sollecitazione attiva agente su un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 11.6.7 Le forze che non compiono lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

PARTE IV STATICA 2 12.

Il solido di de Saint Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 12.1 Rigidezze elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 12.2 Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico. Software per strutture in acciaio . . . . . . . . . . . . . . 270 12.2.1 Quadro sinottico e scheda software . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

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IX

12.2.2 Carico critico euleriano per aste uniformi sotto carico assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 12.2.3 Sezioni in acciaio: generalità elementari . . . . . . . . . . . . . . 277 12.3 Sezione non-omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.3.1 Strutture in calcestruzzo armato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.3.2 Travi composte in acciaio e calcestruzzo: generalità elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 12.3.3 Travi in cemento armato precompresso: generalità elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 13.

Travi. Travature reticolari. Quadri di teoria e utilità di calcolo . . . 335 13.1 Metodo delle forze e metodo delle deformazioni. Travi continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 13.1.1 Metodo delle forze: cenni sinottici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 13.1.2 Metodo delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 13.2 Travi “Vierendel” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 13.2.1 La “tipologia Vierendel”: note sulla stabilità . . . . . . . . . . . 337 13.3 Travature reticolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 13.3.1 Generalità elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

14.

Archi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 14.1 Dalla trave all’arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 14.2 L’arco parabolico a tre cerniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 14.3 Archi ad asse parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

15. Funi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 15.1 L’equilibrio delle funi. Sollecitazione continua . . . . . . . . . . . . . . . 353 15.1.1 Equazioni intrinseche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 15.1.2 Caso di forze esterne parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 15.2 Equilibrio di una fune omogenea pesante. Catenaria . . . . . . . . . . 355 15.3 Il caso di forti tensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 15.4 La parabola dei ponti sospesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 15.5 Fune leggera soggetta a carichi concentrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 15.5.1 Fune leggera soggetta a carichi concentrati verticali . . . . . 361 15.6 Una osservazione comparativa su archi e funi . . . . . . . . . . . . . . . . 362 15.7 Applicazioni strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 15.7.1 Piccoli spostamenti e deformazioni elastiche sotto carico . 363 15.7.2 Grandi spostamenti da carichi mobili. Stabilizzazione. Tensostrutture-a-ruota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 15.7.3 Applicazioni strutturali: Quadro Sinottico . . . . . . . . . . . . . 369 15.7.4 Pre-progetto di una tensostruttura a pianta circolare . . . . . 371 16.

Piastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 16.1 Regime statico: quadro sinottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

X

Indice

17.

Volte sottili in regime di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 17.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 17.2 Equilibrio di membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 17.2.1 Regime di membrana in superfici di rivoluzione . . . . . . . . 385 17.2.2 Volte cilindriche in regime di membrana . . . . . . . . . . . . . . 387 17.2.3 Trave di bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

APPENDICI 18.

Scheda STA-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

19.

Rapporti tra scienze e ingegneria ta XIII e XX secolo. Gli sviluppi dell’automatica nel XX secolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 19.1 Un primo sguardo ai rapporti tra matematica, scienze applicate e tecniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 19.1.1 Matematica e progresso tecnologico . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 19.1.2 Le origini della nuova era: lineamenti . . . . . . . . . . . . . . . . 402 19.2 La transizione, il secolo XVIII: l’impasse del rapporto scienza/tecnica. In cammino verso il suo superamento . . . . . . . . . 403 19.2.1 L’impulso a nuovi sviluppi teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 19.3 La tecnica fondata sulle scienze: la maturità formale tra XIX e XX secolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 19.3.1 Il raggiunto rigore. Il caso della teoria dell’elasticità: Navier, Cauchy, Poisson e oltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 19.3.2 La figura del matematico-ingegnere nel nuovo contesto industriale e commerciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 19.3.3 Ingegneri, matematici e fisici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 19.4 Brevi cenni sulla storia dell’automatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 19.4.1 Cibernetica, calcolatori e automazione: dagli anni ’30 del XX secolo ai nostri giorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 19.4.2 L’automazione produttiva. La cibernetica . . . . . . . . . . . . . 414

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 Bibliografia dell’Appendice storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Indice delle schede L’indice delle schede contiene il manuale d’uso dei moduli software scaricabili gratuitamente dal sito http://www.cartesionline.it/professioneeprogetto/

Scheda DIN-1: Oscillatore monomassa a regime ........................................... 160 Programma OscMonoM.89P SCHEDA DIN-2: Schema di frequenze proprie e forme modali ..................... 165 Programma Frequenz.89P SCHEDA DIN-3: Oscillatore a 3 gradi di libertà.............................................. 170 Programma OscMulti.89P SCHEDA STA-1: Statica del corpo rigido isostatico ........................................ 182 Programma CorRig.89P SCHEDA STA-2A: Baricentri di lamine piane composite ............................... 197 Programma BARICENT.89P SCHEDA STA-2B: Momenti di primo e secondo ordine di figure piane ........ 202 Programma Momenti.89P SCHEDA STA-4: Software per strutture in acciaio ......................................... 251 Programmi AccPrVer.89P, AccBull.89P, AccSald.89P SCHEDA STA-5: Software per strutture in calcestruzzo armato ................... 286 Programmi ca_prver.89P, ca_tbpil.89P, ca_murso.89P SCHEDA STA-6: Software per archi ad asse parabolico................................ 318 Programma Archi.89P SCHEDA STA-7: Pre-progetto di una tensostruttura a pianta circolare ....... 343 Programma Tensostr.89P SCHEDA STA-3: Stati elementari di sollecitazione.......................................... 363 Programma Sezione.89P

Prefazione

Questo lavoro sulla Meccanica delle Strutture in Ingegneria Civile e sul Controllo Strutturale si propone il duplice obiettivo di:  pervenire, attraverso una graduale presentazione disciplinare, a cogliere argomenti avanzati e vicini alle problematiche della ingegneria scientifica e ai risultati recenti della ricerca di settore, che offre ormai interessanti aperture al “controllo strutturale”, attivo e passivo. L’analisi procede dall’iniziale tessuto disciplinare e degli strumenti fisico-matematici di base, per giungere ad una organica guida alla modellistica matematica, in forma-chiusa, di edifici multipiano, di ponti di grande luce, di ciminiere, di strutture speciali. L’opera si rivolge ai progettisti di strutture e agli studenti politecnici e, per altri versi, agli studiosi e ricercatori nell’ingegneria scientifica;  fornire, partendo da quei contenuti e formalismi, strumenti operativi per la computazione personale di pre-progetto. C’è ancora molto spazio e interesse per la pre-progettazione con modelli matematici “robusti”, facilmente implementabili su strumenti personali di calcolo, computer o calcolatrici grafiche. Con modelli matematici in forma-chiusa, relativamente semplici, è possibile dominare, in sede di “concept design”, la fisica di grandi strutture o di sistemi ausiliari di controllo-della-risposta e discuterne parametri e ordini di grandezza. Ho fissato l’attenzione sul più maneggevole degli strumenti personali di calcolo, quello che più di ogni altro è vicino al progettista in ogni momento: di alcuni argomenti trattati nel testo viene infatti fornito un organico supporto software per calcolatrici grafiche programmabili di ultima generazione: moduli sw sono scaricabili dal sito http://www.cartesionline.it/professioneeprogetto/ Ho optato per una divisione in due parti, Dinamica e Statica; all’interno di ciascuna parte, vi è una suddivisione in altre due: la prima dedicata all’acquisizione di strumenti matematici e concetti di base, la seconda dedicata alla modellistica matematica delle tipologie strutturali. Viene data una piana introduzione alla notazione sistemica, con una costante presenza sia del modello temporale sia del modello frequenziale, con la sistematica formulazione del modello anche nello “spazio degli stati”. Ho deciso di trattare gli argomenti di base in modo succinto (quasi da manuale) con ampio uso di “quadri sinottici”, dando invece spazio agli argomenti avanzati e innovativi; le “schede” che fungono da manuale d’uso del software per calcolatrici grafiche sono state direttamente integrate nel testo e ad esse sono per lo più consegnati esempi numerici che corredano l’esposizione. Le titolazioni delle quattro Parti, quelle dei capitoli e quelle dei paragrafi, guidano il lettore nella ricerca degli argomenti. Parole-chiave, in capo ad ogni pagina dispari consentono al lettore di trovare facilmente l’argomento di interesse.

XIV Prefazione

L’indice analitico è un ulteriore prezioso strumento di consultazione dell’opera; un’estesa bibliografia correda il testo e suggerisce approfondimenti. Ringrazio l’Editore Sprinter-Verlag Italia per aver accolto la mia proposta editoriale ed esprimo riconoscenza, in particolare, alla Dr.ssa Francesca Bonadei (Responsabile Editoriale del Catalogo di Matematica, Statistica e Ingegneria): la sua costante presenza è stata determinante nella definizione di tutti gli aspetti editoriali del testo e delle figure. Un ringraziamento all’Ingegner Paolo Benetti e alla Dr.ssa Maria Veronica Latella per la qualità del lavoro di sviluppo del software e delle schede d’uso.

Milano, settembre 2005

Attilio Carotti

Parte I Dinamica 1

1.

Dinamica di componenti e sistemi

1.1

Sistemi di ordine zero e di primo ordine: sinossi

1.1.1

Sistema di ordine zero

Il legame input/output (abbrev.: i/o) è: a0 y0 y0

b0 y i , ( a 0 , b0 costanti), Kyi

'

K b0 a0

sensività statica del sistema (guadagno a regime).

.

Le funzioni di trasferimento, rispettivamente di Laplace e sinusoidale, sono: Y0 s K ; Yi

Y0 iZ K ‘0q . Yi

La risposta al gradino (a sinistra) e la risposta in frequenza (a destra) di un sistema di ordine zero sono descritte in Figura 1.1.

(a)

(b)

Fig. 1.1.a,b. (a) Sistema di ordine zero: risposta al gradino. (b) Risposta in frequenza

4

Dinamica di componenti e sistemi

1.1.2

Sistema di primo ordine

La dinamica di primo ordine è: dy 0 dy a0, a1, b0, b1: costanti  a0 y0 b1 i  b0 yi ; dt dt dy a1 0  a0 y0 b0 yi , caso frequente nelle applicazioni. dt Forma canonica: dy W 0  y0 Kyi , dt in cui: ' a K: guadagno a regime. W 1 : costante di tempo; a0 a1

Y0 s Yi

K ; W s 1

Y0 iZ Yi

K 2

ZW

1

 tan 1ZW .

Fig. 1.2. Sistema del primo ordine: risposta al gradino

(a)

(b) Fig. 1.3.a,b. Sistema del primo ordine: risposta in frequenza. (a) Modulo. (b) Fase

Il sistema di secondo ordine: sinossi 5

La risposta ad un ingresso a gradino yi è descritta in Figura 1.2 [34]:





Kyi 1  e   t W .

y0

La risposta in frequenza del sistema del prim’ordine: (modulo e fase) è descritta nei grafici (Fig. 1.3). Gli spettri di Bode logaritmici della risposta in frequenza del prim’ordine sono dati in Figura 1.4.

(a)

(b) Fig. 1.4.a,b. Risposta di sistema del primo ordine. (a) Sistema di primo ordine: spettro di Bode logaritmico del modulo. (b) Spettro della fase

1.2

Il sistema di secondo ordine: sinossi

Nella sua forma più generale la dinamica di secondo ordine è descritta dalla seguente equazione differenziale (indice “i” per input, indice “o” per output): a2

d 2 y0 dt

2

 a1

dy0  a0 y0 dt

b2

d 2 yi dt 2

 b1

dyi  b0 yi ; dt

in cui a0, a1, a2, b0, b1, b2 sono costanti. Un caso particolare di grande importanza è [33]: a2

d 2 y0 dt

2

 a1

dy0  a0 y0 dt

b0 yi .

(1)

6

Dinamica di componenti e sistemi

La forma canonica è: 1 d 2 y0 2[ dy0   y0 Z 02 dt 2 Z 0 dt

Kyi ,

(2)

in cui è:

Z0 [

'

'

frequenza naturale non smorzata

rapporto di smorzamento

'

'

a0 a2 (rad s1)

a1 2 a2 a0

'

guadagno statico: K b0 a0 . Le funzioni di trasferimento, di Laplace e rispettivamente sinusoidale, sono: Y0 s Yi

s2

Z 02 Y0  iZ Yi



K 2[s

Z0

, 1 K

ª §Z «1  ¨ « ¨© Z 0 ¬

· ¸ ¸ ¹

2 2

º 4[ 2Z 2 »  » Z 20 ¼

tan 1

2[ Z Z 0  Z 0 Z

.

La risposta al gradino di sistemi di second’ordine è data in Figura 1.5. La variazione dell’overshoot – nella risposta al gradino – in funzione del rapporto [ di smorzamento è descritta in Figura 1.6.

Fig.1.5. Sistema di second’ordine: risposta al gradino

Il sistema di secondo ordine: sinossi 7

Fig.1.6. Sistema di secondo ordine: overshoot verso smorzamento

La risposta in frequenza dei sistemi di second’ordine (modulo e fase) è data nei due grafici seguenti (Fig. 1.7). Lo spettro di Bode del modulo, in scala logaritmica, è dato in Figura 1.8.

(a)

(b) Fig.1.7.a,b. Sistema di second’ordine: spettro di Bode della risposta a regime. (a) Modulo. (b) Spettro di Bode della fase

8

Dinamica di componenti e sistemi

Fig.1.8. Sistema di secondo ordine: spettro di Bode logaritmico del modulo

1.2.1

Stabilità

Consideriamo l’equazione (1) riscritta per il caso non forzato [34]: my  cy  ky

0

(m, c, k: costanti),

(3)

con l’integrale: Yest

y

Ÿ

( m s 2  cs  k )Y est ,

0

(s: variabile di Laplace).

z0

Si ha quindi l’equazione algebrica: ms 2  cs  k

0,

e quindi (Fig. 1.9): s1, 2 ( cCR

§  [ r [ 2 1· ˜Z , [ ¨ ¸ © ¹ 2 mZ ) ;

y t Y1 ˜ e s1 t  Y2 ˜ e s 2 t ,

s1, 2

 [Z r i [ 2  1 ˜ Z ,

Re  s  0

c cCR

c 2m

Y1, Y2 : c.i.

i

1 .

rapporto

di

0< [ Fin

se Z = Z0

Ÿ

Fel = Fin

se Z > Z0

Ÿ

Fel < Fin

L’equazione newtoniana di moto è [33]: F0 e iZt , F0  &, Z: frequenza della forzante.

M yt  Cy t  Ky t

La risposta a regime è (Fig.1.7): y t

yst DE , [ sin Zt  I ,

[

in cui yst è la risposta statica. Il fattore di amplificazione dinamica è: 1

D

1  E

2 2

. 2

 2[E

Ritardo (Fig. 1.16): W

I s Z

Fig. 1.16. Sfasamento I tra input e output

b. Legame forza y spostamento (F y y) a regime Consideriamo i due campi, elastico e viscoso: '

F Fel  Fvis A regime: y t Y sinZt

Ky  Cy .

C ; CCR

E

Z ;I: fase Z0

Il modello a 1 GdiL per l’oscillatore strutturale 13

F



Ky r CZY 1  sin 2Z t

Ky  CYZ cosZt

1 2

Ky r CZ Y 2  y 2 .

Quadrando, e dopo un po’ di algebra:





F 2  C 2Z 2  K 2 y 2   2 K yF  C 2Z 2Y 2

0.

(5)

Osserviamo pertanto che in un ciclo a regime, l’immagine della forza elastica e della forza viscosa nel piano forza y spostamento è un’ellisse percorsa in senso antiorario (la (5), in cui è C 2Z 2 ! 0 , è l’equazione generale di una ellisse ruotata attorno all’origine). Si veda Figura 1.17. L’area racchiusa dall’ellisse rappresenta il lavoro dissipato in un ciclo a regime: L

2S Z

³0

C Z 2Y 2 cos 2Z t d t

S CZY 2 .

Fig. 1.17. Ciclo ellittico elasto-viscoso (regime) 1

c. Risposta in frequenza complessa Dall’equazione newtoniana: M ˜ y  C ˜ y  K ˜ y

F0 e iZt ,

Y , F0  &;

con risposta a regime: y t YeiZt ,

si ha: H iZ

Y iZ F0

1 ( K  MZ 2 )  i CZ

;

modulo e fase:

K  mZ  CZ i K  mZ

2 2

2

H iZ

1

H iZ

H iZ

 CZ 2 ˜ e iI ;

1 2 2

( K  mZ )

 CZ 2

I

tg 1

CZ ; K  mZ 2

e - iI .

Per un inquadramento sui Sistemi Dinamici e per complementi si rimanda a [33] e a [34].

14

Dinamica di componenti e sistemi

1.3.3

Eccitazione cinematica impressa: quadro sinottico

L’equazione newtoniana di moto dell’oscillatore di Figura 1.18 è: M yass

Cy  Ky ,

che si può riscrivere: M y  Cy  Ky  M yg t ,

essendo:

yg t

yg ˜ sinZt .

 Con riferimento alla Figura 1.19, la risposta a regime è: y yg

I

2

§Z · ¨¨ ¸¸ ˜ D ˜ sin Zt  I , Z : frequenza di eccitazione; © Z0 ¹ 

· § ¨ 2[ §¨ Z ·¸ ¸ ¨Z ¸ ¸ ¨ © 0 ¹ ¸, tg 1 ¨ 2 ¨ §Z · ¸ ¨ ¸ 1  ¨¨ ¨ ¸ ¸¸ © © Z0 ¹ ¹

[

C . CCR

Fig. 1.18. L’oscillatore 1 GdiL traslatorio con eccitazione cinematica impressa.

(a)

(b)

Fig. 1.19.a,b. Risposta a regime. (a) Spettro di risposta delle ampiezze. I tre schizzi qualitativi descrivono la risposta in tre diverse bande di frequenza. (b) Spettro di risposta della fase

Sistemi di ordine superiore come catene 15

Con riferimento alla Figura 1.20, lo spettro di risposta (ampiezza) è:



2

yass yg

1 §Z · ¨ ¸ ˜ D ˜ sin Zt  I . 4[ 2 ¨© Z 0 ¸¹

1

Fig. 1.20. Spettro di risposta (ampiezza)

1.4

Sistemi di ordine superiore come catene

Sistema dinamico lineare a coefficienti costanti di ordine n: Ay ,

y

Bs sI  A ,

B 1

f s sn  cn -1s n -1    c0

det B

aggB det B ; y  ƒ n ; A  ƒ nu n

s  O1 ˜ s  O2 ˜  ˜ s  On

con O1, O2, }, On radici dell’equazione caratteristica f(s) = 0. Dato y Ay  Cx , A(nun), C(nur) la matrice di funzioni di trasferimento (abbr.: f. di t.) è: aggB ˜C . f s

G

Il generico elemento è: Gij

N s con Oi autovalori, sia reali sia complessi co s  O1 ˜  s  O2 ˜  ˜  s  On

niugati. Per ottenere un prodotto di fattori con solo numeri reali si riscrive f s

m

1 n  m 2

– r s-Or ˜ – 1

m 1

r

s

2

 ar s  br



Or sono le m radici reali di f(s) e i fattori quadratici con coefficienti reali ar e br danno le (n-m) radici complesse. Pertanto la Gij può essere vista come f. di t. del sistema fittizio costituito dai seguenti blocchi in cascata:

16

Dinamica di componenti e sistemi

(a)

(b) Fig. 1.21.a,b. Risposta spettrale. (a) Spettro di modulo. (b) Spettro di fase

Ritardatori e anticipatori 17

Esempio numerico 1.1. Si analizza la seguente f. di t. (Fig. 1.21): y0 yi

10.45 ˜ s ˜  s  .9871 ˜  s  .02179 ( s  1.204 r i ˜1.492) ( s  .007654 r i ˜ .0781)   pi

pj

Per un inquadramento generale della materia e complementi si rimanda anche a [33], [34].

1.5

Ritardatori e anticipatori

1.5.1

Controllori di fase meccanici

a. Ritardatore Applicando l’equazione di Newton ad una fittizia massa M in y0 (Fig. 1.22):

¦F

M y0 , K s  yi  y0  B1  y i  y 0  B2 y 0

y0 s W 1 s  1 yi W 2s  1

con

W2

'

B1  B2 Ks

e

M y0

W1

'

0;

B1 . Ks

Essendo W 2 ! W 1 la risposta in frequenza di questo sistema presenta ritardo di fase a tutte le frequenze. Risposta al gradino (sinistra) e risposta in frequenza (destra) sono date in Figura 1.23.

Fig. 1.22. Controllo meccanico di fase

18

Dinamica di componenti e sistemi

(a)

(b)

Fig.1.23.a,b. Risposta del sistema. (a) Risposta al gradino. (b) Risposta in frequenza

b. Anticipatore (Fig. 1.23, parametri in parentesi quadra) K s1  yi  y0  B  y i  y 0  K s 2 y0 y0 s K W 1 s  1 yi W 2s  1

W2

'

M y0

B K s1  K s2

0

W1

'

B K s1

K

'

K s1 K s1  K s2

W2 W1

Qui, W 2  W 1 , e la risposta in frequenza presenta anticipo di fase. Risposta al gradino (sinistra) e risposta in frequenza (destra) sono date in Figura 1.24.

(a)

(b)

Fig. 1.24.a,b. Risposta del sistema. (a) Risposta al gradino. (b) Risposta in frequenza

1.5.2

Filtri elementari: quadro sinottico

Si dà nel seguito un elenco di filtri elementari, con le principali caratteristiche (l’indice “i” sta per input; l’indice “o” per output):

Ritardatori e anticipatori 19

1.5.3

Modellistica del blocco “ritardatore puro”

Un esempio di “ritardo puro” del segnale è in Figura 1.25a. Il blocco ritardatore è dato in Figura 1.25b.

(a)

(b) Fig. 1.25.a,b. Modellistica del ritardo. (a) Esempio di ritardo puro. (b) Blocco ritardo

20

Dinamica di componenti e sistemi

(a)

(b)

Fig. 1.26.a,b. Risposta. (a) Ampiezza. (b) Fase

La relazione input/output può scriversi: y o t

yi sin >Z t  W 't @ .

yi t  W 't

La risposta in frequenza del blocco “ritardo” è (Fig. 1.26): Yo iZ e W 't ˜iZ Yi

cosZW 't  isin ZW 't 1

 ZW 't .

Modelli approssimati per il blocco “ritardatore puro”: a. la più semplice approssimazione del “tempo morto” può essere sviluppata osservando l’approccio illustrato nella Figura 1.27: dy i Yo s | 1  W 't ˜ s Yi s . dt Questo risultato può essere ottenuto anche prendendo i primi due termini dello

yo t | yi t  W 't

sviluppo in serie di Taylor di e W 't ˜ s ; b. gli approssimanti di Padè forniscono una famiglia di approssimazioni con precisione (e complessità) crescenti, di cui le due più semplici sono: Yo s Yi

2  W 't ˜ s , 2  W 't ˜ s

Y0 s Yi

2  W 't ˜ s  W 't ˜ s 2 6

2  W 't ˜ s  W 't ˜ s 2 6

Fig. 1.27. Approssimazioni

.

Esempi di dinamiche composte 21

1.6

Esempi di dinamiche composte

1.6.1

Dinamiche “in cascata”

Si consideri, ad esempio, il sistema di due dinamiche in serie, dato in Figura 1.28a, con: K1

H1

Ws  1

;

H2

1 . Ms 2  Cs  K

a. Nel dominio delle frequenze, indicate con F e Y le trasformate di ingresso e, rispettivamente, di uscita: Y1

H1  s ˜ F1 ;

H 2  s ˜ Y1 ;

Y2

da cui: H  s ˜ H1  s ˜ F1 . 2 

Y2

H(s)

b. Nel dominio del tempo: ­W y1 t  y1 t K1 f1 t ® ¯M y2 t  C y 2 t  K y2 t

y1 t

.

Nello spazio degli stati, introdotto il seguente vettore di stato x: x

'

x1

x2

x3 T

 y1

y2

y 2 T ,

il sistema di equazioni differenziali di moto, in forma normale, è: § x1 · ¨ ¸ ¨ x ¸ ¨ 2¸ ¨ x ¸ © 3¹

ª 1 « W « « 0 « « 1 ¬

0 0 K  M

§K · º 0 »§ x1 · ¨ 1 ¸ f1 t ¨ ¸ ¨ W ¸ » . 1 » ¨ x2 ¸  ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ » C  »¨© x3 ¸¹ ¨¨ 0 ¸¸ M¼ © ¹

(a) (b) Fig. 1.28.a,b. (a) Sistema di due dinamiche in cascata. (b) Operatore di trasferimento complessivo

22

Dinamica di componenti e sistemi

Esempio 1.2. Si consideri il sistema in Figura 1.29.

Fig. 1.29. Due dinamiche in serie Gli autovalori di [A] sono: (.27 r 19.54 i) e (10) Ÿ stabilità assoluta. Gli spettri di risposta di modulo e fase sono dati in Figura 1.30. Esempio 1.3. Sistema elettroidraulico servovalvola/cilindro. Ci riferiamo al sistema schematizzato in Figura 1.31a [34]. Lo schema funzionale, a due blocchi in cascata, è dato in Figura 1.31b e l’operatore di trasferimento input/output è [33]: H my s

K sv Acil ˜ s ˜ (1  sW )

§m· ¨ ¸, © A¹

A puro titolo indicativo:  per la costante di tempo può assumersi W

in cui Acil: area cilindro

14. ms ; 3

 per il guadagno può assumersi K sv .3 ˜10 m 3s 1 A .

(a)

(b) Fig. 1.30.a,b. Risposta del sistema. (a) Spettro di risposta del modulo. (b) Spettro di risposta della fase

Esempi di dinamiche composte 23

(a)

(b) Fig. 1.31.a,b. Sistema servovalvola-cilindro. (a) Visualizzazione schematica del sistema elettrovalvola/cilindro. (b) Schema funzionale del sistema

1.6.2

Dinamiche “in parallelo”

Si consideri il sistema descritto dallo schema funzionale in Figura 1.32a. Indicate con lettere maiuscole le trasformate dei segnali di ingresso e di uscita, possiamo scrivere: U

s ˜ KD ˜ Y  KP ˜ Y .

Sia inoltre dato l’operatore di trasferimento del blocco che precede l’uscita: 2

HW

W2

2 2 s2  s  2

W

,

W : costante.

W

(a)

(b) Fig. 1.32.a,b. Dinamiche interconnesse. (a) Schema funzionale a blocchi. (b) Operatore di trasferimento input/output complessivo

24

Dinamica di componenti e sistemi

Possiamo quindi modellare il sistema nel modo seguente: a. Nel dominio delle frequenze: M

H W ˜   s ˜ K D  K P Y ;

M Y

 s ˜ K D  K P ˜

2

W2

.

2 2 s2  s  2

W

W

E quindi (Fig. 1.32b): 

H s

2

W2

sK D  K P

2 · § 2 2 ¨s  s  2 ¸ W W ¹ ©

.

b. Nel dominio del tempo: ­u t  y t ˜ K D  y t ˜ K P ° 2 2 ®  t  W  m t  W  2 mt °¯m W W

2

W

2

˜ u t

.

Nello spazio degli stati: x

 x1 x2 T

 m m T ;

2

x2 2  x2

­ x1 ° ® x °¯ 2



ª 0 « 2 « 2 ¬ W

§ x1 · ¨ ¸ © x 2 ¹

1.6.3

W

2

x1

W



2

W

2

1º x § · 2 2» ¨ 1 ¸   » © x2 ¹ W 2 W¼

˜ > K P y (t )  K D y (t ) @

ª 0 ˜« ¬KP

;

0 º § y t · ¨ ¸. K D »¼ © y t ¹

Dinamica retroazionata

Primo caso. Si consideri il sistema dinamico descritto in Figura 1.33a in cui sia: K s , K C : cost;

H2

H 0 s

1 , Ms  Cs  K 2

1 ; s

H1

M, C, K: cost.

K1 , K1 e W : cost; W ˜ s 1

Esempi di dinamiche composte 25

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 1.33.a-d. Dinamiche interconnesse. (a) Sistema retroazionato. (b) Riduzione dei blocchi del ramo di andata. (c) Operatore di trasferimento in anello chiuso. (d) Operatore di trasferimento e y m

a. Nel dominio delle frequenze: H

K C ˜ H 0 ˜ H1 ˜ H 2

x f. di t. dei blocchi del ramo di andata (Fig. 1.33b): Y x f. di t. d’anello (aperto):

Z

H ˜E ;

H ˜ Ks ˜ E ;

x f. di t. in anello chiuso (Fig. 1.33c): H c

H ; 1r H ˜ Ks

x in Figura 1.33d: l’operatore di trasferimento e y m. b. Nel dominio del tempo, il sistema di Figura 1.33a: ­M y  Cy  Ky u  t °W u  t  u  t K m t ° 1 . ®    m t K ˜ e t c ° °¯e t r  t  K s ˜ y  t

Spazio degli stati: x

x1 x2 x3 x4 T  y y u m T

Ÿ

x

>A@ x  b ˜ r t ; A  ƒ4u4 .

Secondo caso. Si consideri il sistema in Figura 1.34ab. Gli operatori di trasferimento H1(s) e H2(s) siano gli stessi del caso precedente e sia Ks costante.

26

Dinamica di componenti e sistemi

(a)

(b) Fig. 1.34.a,b. Dinamiche interconnesse. (a) Sistema retroazionato, e con ingresso sul ramo di andata. (b) Sistema retroazionato canonico

Nel dominio del tempo, il sistema di dinamiche è: ­M y  Cy  Ky  f  t  mt ° ®W m  t  m t K1 ˜ z  t K1 K s y  t . ° z  t K ˜ y t s ¯

Nello spazio degli stati, introdotto il seguente vettore di stato: x

 x1 x2 x3 T  y y m T ;

si ha il sistema di moto in forma normale: ­ ° x1 °° ® x 2 ° ° x °¯ 3 § x1 · ¨ ¸ ¨ x 2 ¸ ¨ x ¸ © 3¹

K x1 M K1K s x1 

x2 C x2  M



W

ª « 0 « K « « M « K1 K s «¬ W

 x3

1 C  M 0

 f  t ;

x3

W

º 0 »§x · § 0 · »¨ 1¸ ¨ ¸ 1 » ¨ x2 ¸  ¨  1 ¸ ˜ f (t ) . »¨ ¸ ¨ ¸ 1 © x3 ¹ © 0 ¹  » W »¼

Terzo caso. Si consideri il sistema descritto in Figura 1.35, in cui sia: K P , K D , K s : cost

e

H 2 s

1 . Ms  Cs  K 2

Esempi di dinamiche composte 27

Fig. 1.35. Sistema con doppia retroazione

a. Nel dominio delle frequenze (Fig. 1.36a): H

H2 . 1  H 2 ˜  sK D

b. Nel dominio del tempo il sistema di dinamiche è: ­ M y  Cy  Ky  K D y  t  mt ° ®m t K P ˜ e t °e  t r  t  z  t r  t  K ˜ y  t . ¯ s

La prima equazione, tenuto conto della seconda e della terza, diventa: M y  Cy  Ky

 K D y  t  K P ˜ r  t  K P K s y t ,

M y  C  K D y   K  K P ˜ K s y  t

KP ˜ r t .

Nello spazio degli stati, con vettore di stato: x

 x1 x2 T  y y T ;

(a)

(b)

(c) Fig. 1.36.a-c. Riduzioni. (a) Riduzione della retroazione interna. (b) Operatore di trasferimento e y z. (c) Operatore di trasferimento r yy (f. di t. in anello chiuso)

28

Dinamica di componenti e sistemi

si ha il sistema in forma normale: x2 ­ x1 °  K  K K  C  KD ® P s x1  x 2  K P ˜ r t °¯ x 2  M M 0 1 º ª § x1 · «  K  K K C  K » § x1 ·  § 0 · ˜ r  t . ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ x ¸ P s D  © 2 ¹ « » © x2 ¹ © K P ¹ ¼ ¬ M M

1.7

Oscillatore lineare ad 1 GdiL: risposta a rumori Applicazione alla ingegneria sismica

1.7.1

Rumori. Simulazione

La simulazione numerica dei rumori si fonda sul fatto che qualsiasi funzione periodica può essere sviluppata in serie trigonometrica. Per esempio: y (t )

n

(6)

¦ Aisin(Z it  Ii ) i 1

in cui Ai è l’ampiezza e Ii è l’angolo di fase dell’i-ma armonica della serie. Fissato un range di ampiezze e poi generando differenti range di angoli-di-fase si possono generare moti diversi ma di eguale contenuto in frequenza. La potenza totale del segnale y(t) a regime è

n

¦i

1

A / 2 . Dividiamo l’asse 2 i

delle frequenze in uguali intervalli 'Z. La Figura 1.37a dà la densità spettrale G(Z) con valore in Zi dato da Ai2 / 2'Z ; pertanto G (Z )'Z

Ai2 / 2'Z .

(a)

(b)

(c)

Fig. 1.37.a-c. Spettri di potenza di rumori. (a) Funzione densità spettrale di potenza G(Z) (abbr. PSD). (b) PSD di rumore a banda stretta. (c) PSD di rumore a banda larga

Oscillatore lineare a 1 GdiL 29

Al crescere del numero delle sinusoidi componenti la potenza totale tende all’area sotto la curva continua G(Z),funzione densità spettrale di potenza (abbr.: PSD). G(Z) esprime il contributo, alla potenza totale, delle sinusoidi aventi frequenze entro certe bande. Nelle Figure 1.38 quattro diversi segnali temporali e le corrispondenti funzioni densità spettrale di potenza. Il “rumore bianco” gaussiano ha G(Z) teoricamente costante a tutte le frequenze. Il rumore a “banda limitata” o “colorato”, con PSD del tipo schematizzato in Figura 1.39a, ha densità spettrale idealmente stazionaria nella banda da 0 a Zd. ­ G0 G (Z )® ¯ 0

0 dZ dZd

Z ! Zd

(7)



Può essere ottenuto per filtraggio passabasso di un rumore bianco gaussiano, che abbatta le componenti con frequenze maggiore di Zd (si parla quindi – come detto – di rumore “colorato”). Una pratica realizzazione della PSD di un rumore colorato è la seguente (descritta in Fig. 1.39b, vedi [133]): G (Z )

>1  4[ Z / Z @ G >1  Z / Z @  4[ Z / Z 2 g

g

2 2

g

2

2 g

0

g

2

.

(8)

(a)

(b)

(c)

(d) Fig. 1.38.a-d. Storia temporale (sinistra) e PSD (destra) per quattro diversi segnali: (a) Onda sinusoidale. (b) Onda sinusoidale con sovrapposizione di rumore random. (c) Rumore a banda stretta. (d) Rumore a banda larga

30

Dinamica di componenti e sistemi

(a)

(b)

Fig. 1.39.a,b. Spettri di potenza. (a) Rumore a banda limitata a PSD piatta. (b) PSD di un rumore colorato

In sismologia accelerogrammi y(t) con densità spettrali di potenza del tipo (8) possono essere ottenuti filtrando un “rumore bianco ideale” attraverso un oscillatore di frequenza naturale Zg e rapporto di smorzamento [g. Questi parametri possono essere interpretati rispettivamente come la “frequenza dominante” e lo smorzamento del suolo (p. es.:Zg = 4S e [g = 0.6 ). G0 dà una misura dell’intensità del moto del suolo. Gy(Z)dZ rappresenta il contributo al valore quadratico medio delle componenti aventi frequenze comprese tra Z e ZdZ. L’integrale frequenziale di G(Z) dà la potenza totale media, ovvero la varianza nel caso di moti del suolo a media nulla. Per moti del suolo del tipo “rumore a 1 banda limitata” (relazione (7)) la varianza è :

V2

f

³0

G (Z )dZ

G0Z d .

Per lo spettro dato in (eq. (8)), la varianza è:

V2

f

³0

G( Z )dZ

SG0Z g 1  [ g 1 / 2 . 4[ g Z

La funzione Py Z ³0 G y (Z)dZ , detta funzione di ripartizione spettrale dell’energia, gode delle seguenti proprietà:  eguaglia la potenza, o energia media, corrispondente all’intervallo di frequenze 0 - Z;  Py Z 0 per Z d 0 ;  Py ( f )

¢ y 2 (t )² .

1

Varianza. È definita come valore quadratico medio dello scarto G, differenza fra valore istantaneo e valore medio della funzione y(t); in formula: T/2 1 T/2 > y (t )  ¢ y (t )² @2 dt lim 1 ³ G 2 (t ) dt . V y2 lim ³ T of T of T -T/2 T -T/2 Deviazione standard. È definita come la radice quadrata aritmetica della varianza, cioè RMS

V y2

lim

T of

1 T/2 2 ³ > y ( t )  ¢ y ( t ) ² @ dt . T -T/2

(9)

Di immediata evidenza le semplificazioni formali nel caso di processi a media ¢y(t)² nulla.

Oscillatore lineare a 1 GdiL 31 Esempio 1.4. Consideriamo una funzione periodica di periodo TP, sviluppabile in serie di Fourier; si ha y t

f

A0  ¦ An sin Z n t  M n

(10)

n 1

2S n TP . La varianza del processo (10) è:

con Z n

n Z1

¢ y 2 t ²

A02 

1 f 2 ¦ An . 2n 1

La potenza media eguaglia la somma delle potenze medie delle singole armoniche componenti. In questo caso Py Z Py Z n rappresenta la potenza media associata alle prime n+1 componenti armoniche del processo y(t) ed è funzione crescente di Zn. La PSD è: Gy Z n

'Py Z n

Py Z n  Py Z n -1

'Z n

Z n  Z n -1

An2TP 4S

An2 , 2Z1

ed è funzione definita nei punti Zn, ,posti in progressione aritmetica di ragione 2S TP . In Figura 1.40a è data la funzione potenza media di una variabile periodica, in Figura 1.40b la funzione PSD.

Parametri caratteristici. Una misura di dove lo spettro del segnale è prevalente lungo l’asse delle frequenze (vedi Figura 1.37a) è fornita dal parametro: :

O*2 ,

con O*i momento i-mo che compete all’area unitaria dello spettro di potenza. È analogo all’RMS di una variabile casuale (si veda l’equazione 10). Una misura della dispersione della PSD. attorno alla sua frequenza centrale è:

G

1  O*22 / O*2 ;

0 < G< 1, zerodimensionale.

Cresce al crescere dell’ampiezza di banda. Un parametro il cui impiego è simile a quella di G è il seguente: H

1  O*22 / O*4 ;

0 < H< 1.

(a) Fig. 1.40.a,b. (a) Funzione Py(Z). (b) Funzione PSD

(b)

32

Dinamica di componenti e sistemi

Ai fini delle applicazioni sismologiche osserviamo (vedi [133]) che l’RMS V è strettamente legato alla massima accelerazione del suolo, che indichiamo con A. L’accelerazione mediana massima Aˆ può essere calcolata come segue: :s · Aˆ V u 2 ln §¨ 2.8 ¸, 2S ¹ ©

in cui s è la durata dello strong-motion, e (:s)2/S è il previsto numero di cicli di moto del suolo. Una sintesi di valori numerici è nelle Tabelle 1.1 e 1.2.

Tabella 1.1. Parametri caratteristici per gli spettri di sei accelerogrammi storici

:(rad˜s-1)

G

H

31.35

0.73

0.97

25.51 36.07 30.85 27.71 27.46

0.64 0.65 0.62 0.66 0.64

0.96 0.93 0.94 0.96 0.96

El Centro 1940 N-S El Centro 1940 E-W Olympia N10W Olympia N80E Taft N69W Taft S21W

Tabella 1.2. Parametri caratteristici per gli spettri di due rumori

:

G

H

Spettro di potenza del rumore bianco a banda limitata

0.58 Zd

0.5

0.66

Spettro di potenza dato per Z d Zd = 4Zg e [g = 0.6

a2.1Zg

0.67

0.96

in

(8)

Oscillatore lineare a 1 GdiL 33

1.7.2

Modellistica della risposta ai rumori: applicazioni sismiche 2

Spettri di Risposta. Il valore di risposta spettrale ys,p corrispondente ad una probabilità di superamento p (Fig. 1.41) ed a una durata di strong-motion s, può essere espresso come multiplo di Vy(s), deviazione standard della risposta del sistema a un grado di libertà, (per dati Z0 e [), valutata in s. Può essere espresso come segue (vedi [133]): ys, p rs, pV y ( s ) . Il problema di determinare il fattore di picco rs,p richiede la soluzione del cosidetto “problema del primo-passaggio”. Sono disponibili pratiche soluzioni approssimate. Indicativamente 1.25 < rs,p < 3.5 per tipici moti del suolo.

Fig. 1.41. Schematizzazione del “problema del primo passaggio”

Risposta stazionaria: varianza. Alla relazione tra densità spettrali di potenza (PSD) di input e output si può pervenire nel modo seguente: alla equazione di moto dell’oscillatore M y(t )  C y (t )  K y (t )

f (t ) ,

Z0

K M

applichiamo una trasformazione integrale di Fourier: f

³ > Z

f

2

@

M  iZC  K Y (Z ) e iZt dZ

f

³ F (Z ) e

iZt

dZ ,

f

in cui le trasformate di ingresso e rispettivamente di uscita sono: 2

Ci si riferisce all‘oscillatore lineare 1 GdiL, non smorzato o debolmente smorzato.

(11)

34

Dinamica di componenti e sistemi

1 2S

Y (Z )

f

-iZt ³ y (t ) e dt

e

F (Z )

f

1 2S

f

³ f (t ) e

-iZt

dt .

(12)

f

La (11) è una identità per ogni valore di t e quindi: F Z , Y Z H Z ˜ F Z E ZZ 0 iZ 0 ˜ E ˜ Z (Z ) in cui H(Z) è la risposta in frequenza dell’oscillatore 1

H Z

Z 02

>

@



M 1  E 2  i 2[ E ,

e Z(Z) è l’impendenza dell’oscillatore: 1 . Z Z i Z 0 EH (Z ) Sostituendo la (12) nella definizione della PSD bilaterale di y(t), definita su 3 f < Zf : S y (Z )

'

Y (Z ) T

lim

T of

2

si ha: 2

S y (Z )

(13)

H (Z ) ˜ S f (Z ) 2

F (Z ) è la PSD dell’ingresso f(t). Tof T La (13) si estende subito alla PSD monolaterale: '

in cui S f (Z ) lim

2

Gf (Z ) H (Z ) ,

Gy (Z )

(13)

I

in cui Gy(Z) indica la PSD dell’output, Gf(Z) quella dell’input e H(Z) è la funzione di trasferimento del sistema lineare. La varianza della risposta è:

V y2

f

³0

Gy (Z )dZ

f

³0

2

G f (Z ) H (Z ) dZ .

(14)

I

La (13) consente di ricavare una delle tre funzioni, quando siano note le altre due; per es., conoscendo l’ingresso e l’operatore di trasferimento, si possono ricavare le caratteristiche dell’uscita. I Nella (13) compare solo il quadrato del modulo della funzione operatore di risposta: essa non dà alcuna informazione sulla differenza di fase esistente tra forzante esterna e risposta dell’oscillatore. 3

Gy(Z) e Sy(Z) sono le funzioni densità spettrale di potenza di y(t): Gy(Z)=2˜Sy(Z). Lo spettro Gy(Z), definito per Z t 0, è usato nelle tecniche; Sy(Z), definita per f d Z d f è più adatta agli sviluppi analitici.

Oscillatore lineare a 1 GdiL 35

Per un oscillatore lineare a un grado di libertà con frequenza naturale Z0 e rapporto di smorzamento [, con input l’accelerazione impressa alla base e output lo spostamento della massa relativo al suolo, si ha (Fig. 1.18): H (Z )

2



ª Z2 Z2 «¬ 0

2  4[ 2Z 02Z 2 º»¼

1

.

(15)

La varianza della risposta (spostamento relativo) è subito ottenuta ponendo (15) in (14). Sempre per oscillatori 1 GdiL debolmente smorzati (Fig. 1.37b), vale la seguente utile approssimazione per la varianza della risposta in accelerazione (si veda anche [133]):

V a2

Z 04V y2 ;

V a2

Z 04 ³0 G( Z ) H ( Z ) 2 dZ # G( Z 0 )Z 0 ¨

§S · Z  1¸  ³ 0 G( Z )dZ . 4 [ © ¹ 0

f

La precedente consente di valutare la varianza quando l’eccitazione è un rumore bianco ideale; in tal caso si ha:

V2

G0Z 0 >S / 4[  1@  G0Z 0

SG0Z 0 / 4[ .

È utile esprimere la varianza V a2 della risposta dell’oscillatore (accelerazione) in termini della varianza V g2 del moto del suolo. 2

La soluzione approssimata per il rapporto V a2 V g è: 1. caso di rumore a banda limitata: Fa2

V a2 V g2

­Z 0 / Z d S / 4[ ® 1 ¯

Z0 d Zd ; ([ = 0.05) Z0 ! Zd

2. caso di G(Z) del suolo del tipo dato in (8): Fa2

Z g4  4[ g2Z 02Z g2  F * Z ([= 0.05) V a2 Z 0 [ g 2 1 / 2  1 #  ] ˜ g 0 V g2 Z g [ Z g2  Z 02 2  4[ g2Z 02Z g2

con F * (Z 0 ) 1  exp(Z 02 / :) , :: frequenza quadratica media (Tabelle 1.1 e 1.2). Il fattore Fa di amplificazione per il precedente caso 1 è descritto in Figura 1.42a. Il fattore Fa di amplificazione per il precedente caso 2 è descritto in Figura 1.42b.

36

Dinamica di componenti e sistemi

(a)

(b) Fig. 1.42.a,b. Fattori di amplificazione. (a) Fattore Fa di amplificazione per il caso di rumore bianco a banda limitato. (b) Fattore Fa di amplificazione per il caso di eccitazione con spettro dato dalla (8)

2.

Oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità concentrate

2.1

Traccia di analisi della auto-struttura

Consideriamo l’oscillatore ad inerzia ed elasticità concentrata e libertà traslatorie (“telaio a taglio”), descritto in Figura 2.1a; viene visualizzata una eccitazione cinematica impressa alla base. In Figura 2.1b sono descritti i campi elastici di interpiano. 1 1 Posto O e [K]-1[M]=A: da [ A] Y O Y Ÿ  [ A]  O [1] Y 0 2

Z

det [ A]  O[1]

0 Ÿ p ( n ) (O )

0 Ÿ Oi .

Gli autovalori e gli autovettori (p. es. normalizzati con l’elemento maggiore=1) per il caso n GdiL:

L

ª O1 0 0 0 º «0 O 0 0» 2 « » «0 0  0 » « » ¬ 0 0 0 On ¼

e

Y

> Y 1  Y 2  Y n @ .

Frequenze e forme modali (modi normali) dell’oscillatore: § y1i · ¨ ¸ 1 ¨y ¸ 2 e Y i ¨ 2i ¸ i = 1, 2, …,n; Zi  Oi ¨ ¸ ¨y ¸ © ni ¹ Y iT M Y i

Mi

(massa generalizzata modo –i);

Y iT K Y i

Ki

(rigidezza generalizzata modo –i);

1

Nel proseguo del capitolo i vettori sono indicati con lettera maiuscola o minuscola e sottolineata. Le matrici con lettera maiuscola entro parentesi quadre. Ci si riserva però, quando le grandezze matriciali siano state inizialmente definite con la suddette notazioni, di rappresentarle anche – successivamente – con la sola lettera non sottolineata e, rispettivamente, con la sola lettera maiuscola senza parentesi quadre.

38

Oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità concentrate

(a)

(b)

Fig. 2.1.a,b. Modello multipiano. (a) Telaio a taglio (3 libertà traslatorie). (b) Campi elastici di inter-piano

>P@

ª§  ·§  ·  §  ·º ¨ ¸» «¨ ¸¨ ¸ «¨ Y 1 ¸¨ Y 2 ¸  ¨ Y n ¸» , «¨©  ¸¹¨©  ¸¹  ¨©  ¸¹» ¼ ¬

P  R nun

P T MP

>M i @

P T KP

>K i @ ,

con >M i @ e > K i @ matrici diagonali. ~ Indicato Y i Y i ˜ M i-1/2 si ha: ­Y~ T M Y~ ° i i ® ~T ~ °¯Y i K Y i

~ P

>@

1

Z i2

~ Y i : modo ortogonale e normale (ortonormale);

,

ª§  ·§  ·  §  ·º ¨ ~ ¸» «¨ ~ ¸¨ ~ ¸ «¨ Y1 ¸¨ Y2 ¸  ¨ Yn ¸» ; «¨©  ¸¹¨©  ¸¹  ¨©  ¸¹» ¬ ¼

~ ~ P T MP

>1 @ ;

~ ~ P T KP [Z i2 ] ,

(con [1] e [Z i2 ] matrici diagonali). ~ [ P ] si ottiene da [ P ] dividendo la i-ma colonna per

2.2

Quadro sinottico: moto forzato non-smorzato. Disaccopiamento

Il moto fisico è: y t

Mi .

n

n

1

1

¦ i y  i t ¦ i Y i ˜ pi t ,

i: indice modale.

Introdotti matrice modale e vettore dei moti modali: § p1 t · ¨ ¸ >P@ e pt ¨  ¸ , ¨ p t ¸ © 2 ¹

Smorzamento strutturale 39

il moto fisico si esprime: y t > P @ ˜ p t , y, p  R n u1 ,

P  R n u n (matrice delle forme modali).

Disaccoppiamento delle equazioni differenziali di moto forzato (non smorzato):

>M @ yt  >K @ y t F ,

y  R n u1 ;

con la trasformazione: si ha y t >P @ pt

MP pt  KP p t

F;

(1)

P T MP pt  P T KP pt P T F ;

>M i @ pt  >K i @ p t >P @T ˜ F ,

con >M i @ , > K i @ matrici diagonali.

I risultati ottenuti consentono ora di studiare separatamente n oscillatori generalizzati ad 1 GdiL, e di sovrapporre gli effeti in base alla (1) per ottenere il moto-fisico y(t). Caso particolare. Se si trasforma con la matrice di modi ortogonali: ~ y t [ P ] ˜ p t ;

>M i @ { [ 1 ] e >K i @ { [Z i2 ] (tutte diagonali); si hanno i moti modali: ~ pt  [Z i2 ] p t [ P ]T ˜ F , con [1] e [Z i2 ] matrici diagonali.

2.3

Smorzamento strutturale 2

In genere si tiene conto di tutte le possibili fonti di dissipazione con un modello di smorzamento viscoso: Fvis C y proporzionale alla velocità e in controfase ad essa. L’equazione differenziale matriciale di moto diventa: (2) M y  C y  K y F in cui [C], detta “matrice di smorzamento viscoso” è quadrata di ordine N, reale, simmetrica e definita non negativa: >C @ :  cij i , j 1, 2,  , n . Anche per i sistemi smorzati è possibile una scomposizione modale se esiste una matrice di trasformazione reale, lineare e ortogonale [*] tale che ponendo in (2) la trasformazione: y *q ; 2

  

dissipazione interna, per isteresi del materiale; dissipazione nei collegamenti; dissipazione dovuta all’ambiente (irraggiamento acustico, viscosità dei fluidi in cui è immersa la struttura, ecc.).

40

Oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità concentrate

il sistema si riduce ad n oscillatori disaccoppiati del tipo: q  >P @ q  >O @ q

f t

con >P @ e >O @ matrici diagonali;

(3)

essendo *T M * 1 ,

(4)I

* TC *

>P @ diag  P1 , P 2 ,  , P n ,

(4)II

*T K *

>P @ diag O1 , O2 ,  , On

(4)III

f t .

(4)IV

e *T ˜ F

La matrice * di trasformazione lineare che soddisfa le (4) coincide con la matrice P del caso non-smorzato (§ 2.2) quando è soddisfatta una delle seguenti tre condizioni: 1° condizione: C

DM

D = cost.;

(5)I

2° condizione: C

EK

E = cost;

(5)II

3° condizione: C

D M E ˜K .

(5)III

Nel caso (5)I, dalla prima e seconda delle (4) si ha:

>P @ D > 1 @ , cioè qi  D qi  Oi qi

fi

con i=1, 2, …, n 3

da cui, per confronto con la (2) si ha il fattore di smorzamento modale:

Ki

D . Zi

(6)I

Nel caso (5)II e nel caso (5)III – procedendo in modo analogo  si ha, rispettivamente:

Ki

E Zi

(6)II

Ki

D  E Zi . Zi

(6)III

3

Osservato che la (2) per l’oscillatore monomassa può anche scriversi: yt  KZ 0 y t  Z 02 y t 1 M ˜ F t

essendo K

2[ (“fattore di smorzamento”).

(1)I

Smorzamento strutturale 41

Per la determinazione delle costanti D e E basta imporre che il fattore Ki eguagli l’effettivo fattore di smorzamento quando il sistema vibra nel modo i-mo e alla sua frequenza Zi. Nel primo caso i modi più smorzati sono quelli in bassa frequenza; nel secondo caso vale il contrario; nel terzo caso la banda intermedia è quella a smorzamento più basso; la variazione di K nei tre casi è schematizzata in Figura 2.2. Una relazione più generale esiste nell’ipotesi che il sistema abbia gli autovalori Oi distinti [42]. Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema smorzato ammetta modi normali classici (cioè, che esista una matrice quadrata, reale ed ortogonale [*] che soddisfa le (4)) è che si abbia: n -1

>P @ ¦ D i >O @ i

(P e O matrici diagonali).

(7)

i 0

Le costanti reali ai possono essere determinate con un procedimento analogo al già descritto, in funzione dei fattori di dissipazione dei singoli modi. Più precisamente, dalla (4)I si ricava che deve essere:

>P @ >K @>

O

@

(P, K,

O :matrici diagonali),

(8)

in cui

>K @ diag K1 ,K2 ,,Kn è una matrice diagonale con Kh fattore di dissipazione nella vibrazione monomodale. Uguagliando i secondi membri della (7) e della (8), si ottiene 1 n -1 >K @ ª« º» ¦ D i >O @ i ¬ O¼i

(9)

0

la quale, noti i fattori di dissipazione modali Kh e le corrispondenti frequenze di risonanza Z i

Oi , dà un sistema di n equazioni lineari algebriche nelle n

incognite Di. È quindi possibile ricavare in modo univoco dalla (9) le costanti Di.

Fig. 2.2. Variazione del parametro K nei tre casi delle formule (5)

42

Oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità concentrate

2.4

Risposta per sovrapposizione dei modi dominanti

2.4.1

Caso di forzante “ai piani”: quadro sinottico

Consideriamo il “telaio a taglio”, a N GdiL, di Figura 2.3, con tre modi dominanti [34]. F  yr t

F  y r ˜ f t

§ y1 t · ¨ ¸ ¨ y2 t ¸ ¨  ¸ ¨ ¸ ¨  ¸ ¨ ¸ © y N t ¹

ª Y1  y1 Y2  y1 Y3  y1 º «    »» § p1 t · « ¨ ¸ «    » ¨ p2 t ¸ ; « »   » ¨© p3 t ¸¹ «  «Y1  y N Y2  y N Y3  y N » ¬ ¼

,

f(t): legge oraria;

pi t  2[ iZ i p i t  Z i2 pi t *i ˜ f t ,

modi: i = 1, 2, 3;

con *i coefficiente di partecipazione modale del modo-i: N

¦ r F  yr ˜ Yi  yr *i

1 N

.

2

¦ r M r ˜ Yi  yr 1

Se interessano i soli valori di picco yr max di spostamento al piano r, di velocità y r max , di accelerazione yr max :

1.

valori di picco dei moti modali (modo i = 1,…, 3): pi max

*i ˜ S i

Si spostamento spettrale dell’oscillatore 1 GdiL ( Z i e

[ i del modo i-mo eccitato); p i max

*i ˜ Vi

Vi velocità spettrale;

pi max

*i ˜ Ai

Ai accelerazione spettrale;

Fig. 2.3. Telaio a taglio (N GdiL) con tre modi dominanti. Forzante sulle masse di piano

Risposta per sovrapposizione dei modi dominanti 43

2. risposta al piano - r: yr

Y1  yr ˜ p1max 

max

2

Y2  yr ˜ p2 max  Y3  yr ˜ p3 max

2

.

Analogamente per velocità e accelerazione. 2.4.2

Caso di eccitazione cinematica impressa alla base

Fissiamo le idee su un “telaio a taglio” di N piani (N libertà, N modi) con eguali masse e rigidezze di piano (Fig. 2.4). L’equazione newtoniana di moto è: >M @ y t  >C @ y t  >K @ y t >M @ 1 yg t , con M: matrice diagonale, in cui: ªM1 « 0 « « 0 « ¬ 0

§ M1 · ¨ ¸ ¨ M2 ¸ ¨  ¸. ¨¨ ¸¸ ©MN ¹

0 0 0 º §1· ¨ ¸ M2 0 0 » ¨1¸ » 0  0 »¨  ¸ »¨ ¸ 0 0 M N ¼ ¨©1¸¹

Riduzione modale: y t N u1

> P @ ˜ p t ,

Nu N

N u1

pi t  2[ iZ i p i t  Z i2 pi t  *i ˜ yg t ;

i = 1, 2,…, N

in cui *i è il coefficiente di partecipazione modale del modo i-mo [34]: N 10

¦K

*i

1 N 10

¦

K

M K ˜ Yi  yK

, M K ˜ Yi 2  yK

MK: massa del piano K-mo;

1

ovvero: Y iT ˜ >M @ ˜1 *i Y iT >M @ ˜ Y i

([M]: matrice diagonale).

Fig. 2.4. Telaio a taglio eccitato alla base e schema di deformata

44

Oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità concentrate

Introdotte ora le “forze laterali equivalenti” associate allo spostamento modale y

(n )

t del modo n-mo (Fig. 2.5):

f n t

> K @ ˜ y ( n )  t Ÿ f n  t > K @ ˜ Y n ˜ p n t

Si ha: f jn t

 m jYn ( x j ) ˜ *n ˜

Z 02 t y ( W ) exp> [ nZ 0 t  W @sin >Z 0D t  W @dW , Z 0D ³0 g

con Z 0D # Z 0 per gli usuali smorzamenti strutturali. Il taglio e il momento flettente alla base (Fig. 2.5) hanno espressioni:  taglio:

N

¦ f jn (t ) ;

T0n (t )

j 1

 momento flettente:

M 0n (t )

N

¦ hj f jn (t ) . j 1

La risposta complessiva, per sovrapposizione è, al piano-j: N

 ¦ y (n) x j , t ; n 1

y xj, t

f j (t )

N

¦ f jn (t ) ;

n 1

e inoltre: T0 (t )

N

¦ T0n (t ) ;

M 0 (t )

n 1

N

¦ M 0n (t ) .

n 1

(a)

(b)

Fig. 2.5.a,b. Forze laterali equivalenti. (a) Al generico istante t. (b) All’istante di massima risposta

Equazioni newtoniane nello spazio degli stati 45

2.5

Equazioni newtoniane nello spazio degli stati

Introduciamo il seguente vettore di stato (spostamenti e velocità di piano), per il caso di oscillatore n GdiL: ' § y (t ) · ¸  R 2n u1 . z (t ) ¨¨  (t ) ¸ y © ¹ 4

Nel caso n = 3 si ha (Fig. 2.1a) : ( y1 y2 y3 y1 y 2 y 3 ) .

z

La dinamica nello spazio degli stati per il caso n GdiL si scrive: A ˜ z (t )  H ˜ f  y t

z (t )

z (0)

z0

con: A

ª [0] «  M 1K ¬

[1]n º  M 1C »¼

ª [1]n º « M 1 » ¬ ¼

H

2n u 2n

dove [1]n matrice diagonale.

2n u n

L’equazione di moto modale: [1] p (t )  [ / C ] p (t )  [ / K ] p (t )

Introdotto il vettore di stato:

~ P T ˜ f ( y , t ) , con [ / C ] , [ / K ] diagonali. z

 p p T  R 2nu1

si ha il moto modale nello spazio degli stati: z (t )

A ˜ z (t )  H ˜ f ( y t ) ,

con A

4

ª [0] « / K ¬

'

[1]n º  / C »¼

e

H

ª[1]n º ~T » «P ¬ ¼

( [1]n matrice diagonale).

Anche z  y1 y1 y 2 y 2  y n y n T può essere assunto come vettore di stato.

3.

L’oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità distribuite

3.1

Equazioni di moto: caso di forzante sulla massa e caso di eccitazione alla base

3.1.1

Grandezze generalizzate (modali): quadro sinottico

Fissiamo le idee sull’oscillatore 1-D di Figura 3.1. Dalla y  x, t

¦i Yi x pi t e

tenuto conto della condizione di ortogonalità, si ha: 1 H 2 1 y  x ,t m x dx  Energia cinetica: T ¦ M i p i2 con massa modale 2 ³0 2 i Mi

H 2 ³0 Yi  x m x dx , essendo m(x) la massa unitaria.

 Energia potenziale elastica: U

2 1 H EI y''  x ,t dx ³ 0 2

con rigidezza modale K i

(a)

1 ¦ K i pi2 2 i H

³0

>

1 ¦ Z i M i pi2 2 i

@

EI Yi''  x 2 dx .

(b)

Fig. 3.1.a,b. Oscillatore a inerzia ed elasticità distribuite. (a) Forzante sulla massa. (b) Eccitazione cinematica alla base

48

L’oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità distribuite

 Forzante distribuita: forza generalizzata sul modo - i Qi t

H ³0 q  x ,t Yi  x dx .

 Forze – o coppie- concentrate in x a: espressioni generalizzate per il modo-i 1. Forze generalizzate (Fig. 3.2a):

GL

F  a , t ˜ Gy  a , t

QiF

GL G pi

F  a , t ˜ ¦i Yi  a ˜ G pi

F  a , t ˜ Yi  a .

2. Coppie generalizzate (Fig. 3.2b):

GL QiM

M  a , t ˜ Gy '  a , t

GL G pi

M  a , t ˜ ¦i Yi'  a ˜ G pi

M  a , t ˜ Yi'  a .

 Caso della forzante distribuita sulla massa. Ipotizziamo densità-di-forzante q(x,t) esprimibile in forma separabile: P0 q  x ,t q  x ˜ f t , P0 : azione risultante , H l’equazione di moto modale è: P0 ~ pi t  2 [ iZ i p i t  Z i2 pi t ˜ *i ˜ f t Mi 1 H ~ coefficiente di partecipazione modale (modo-i): *i q  x Yi  x dx . H ³0 L’integrale dell’equazione di moto modale è (per il caso non smorzato): ~ · § P* 1 t p i (t ) p i (0) cos Z i t  p i (0) sin Z i t  ¨ 0 i 2 ¸ ˜ Z i ˜ ³0 f (] ) sin Z i (t -] ) d] ¨M Z ¸ Zi © i i ¹  Forze/coppie concentrate: equazione di moto modale per F(a,t), M(b,t) concentrati (vedi Fig. 3.3) per il modo-i: 1 pi t  2 [ i Z i p i t  Z i2 pi t >F  a ,t ˜ Yi a  M b ,t ˜ Yicb @ . (1) Mi

(a)

(b)

Fig. 3.2.a,b. Forzanti. (a) Forza concentrata. (b) Coppia concentrata

Alcune applicazioni importanti 49

Fig. 3.3. Forzanti (forza e coppia) concentrate

 Caso dell’eccitazione cinematica alla base (vedi Fig. 3.4, [33]): H 1 pt  2 [ iZ i p i t  Z i2 pi t  yg t ˜ ˜ ³ m x ˜ Yi  x dx . 0 Mi Introdotto il coefficiente di partecipazione modale: *i

H ³0 m x Yi  x dx

H ³0 m x Yi  x dx

Mi

H 2 ³0 m x Yi  x dx

l’equazione di moto modale si riscrive: pi t  2 [ iZ i p i t  Z i2 pi t  yg t ˜ *i . H

Nel caso di massa unitaria m costante si ha:

*i

³0

Yi  x dx

H

Yi 2  x dx

³0

.

Fig. 3.4. Eccitazione cinematica impressa alla base

3.2

Alcune applicazioni importanti

3.2.1

Forza elastica – o coppia elastica – concentrate: vincoli elastici

Forza in A e coppia in B (vedi Fig. 3.5): F a, t

 k y a, t

M b, t

 h y ' b, t

(2)

50

L’oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità distribuite

Fig. 3.5. Forza elastica e coppia elastica concentrate

y  x ,t

con:

¦i Yi  x ˜ pi t .

(3)

Sostituendo (3) in (2) si ottiene: F a ,t

 k ¦ i Yi  a ˜ pi t

M b , t

 h ¦ i Yi' b ˜ pi t .

(4)

Riprendendo l’equazione (1) e sostituendovi F(a,t) e M(b,t) date dalla (4) si ha: pi t  2[ i Z i p i t Z i2 pi t

La risposta è: pi t

º 1 ª «  k Yi  a ¦Yj  a ˜ p j t  hYi' b ˜ ¦Yj' b p j t » . Mi « »¼ j j ¬

pi ˜ e iZt .

Si ha: 1

pi

M i (Z i2

ª º ˜ «  k Yi  a ¦ p jYj  a  h Yi' b ¦ p jYj' b » .  Z ) «¬ »¼ j j 2

Se si considerano n modi si ottiene un sistema algebrico lineare di n equazioni nelle pi : annullando il determinante dei coefficienti delle pi si ottengono le frequenze proprie Z i dei modi con vincoli elastici, mentre le forme modali si ricavano sostituendo le pi nella (3).

3.2.2

Massa concentrata in un punto dell’asta

Si consideri il sistema in Figura 3.6. Vale la relazione: F a, t

 m0 ˜ ya, t

 m0 ˜ ¦ Yi a ˜ pi t . i

Posta nell’equazione (1), permette di ottenere: pi t  2 [ i Z i p i t  Z i2 pi t

dalla quale si ottengono:

1 Mi

ª § ·º « Yi  a ˜ ¨¨  m0 ˜ ¦ Yr  a ˜ pr t ¸¸ » © ¹¼ ¬ r

Alcune applicazioni importanti 51

ª º 1 ˜ «Z 2 m0 Yi  a ¦ pr ˜ Yr  a » M i (Z i2 Z 2 ) ¬ ¼ r

pi

i, r

1 n .

(a)

(b) Fig. 3.6.a,b. (a) Massa concentrata in un punto dell’asta. (b) Interazione

3.2.3

Oscillatore monomassa equivalente

In molte applicazioni è molto utile poter descrivere la dinamica di un particolare punto dell’oscillatore multimodale (p.es., il punto a quota x = a in Fig.3.7a): per esempio quando, in quel punto, si ha interazione con altro sistema (si pensi, per fissare le idee, ad un oscillatore secondario, allocato in quel punto con funzione di smorzatore inerziale). A tal fine è utile la nozione di “oscillatore monomassa equivalente a dato modo”. Poniamo il seguente ([37], [38]): Problema 3.1. Detta y(i)(a,t) la risposta dell’i-mo modo dell’oscillatore multimodale alla H

quota x=a, ed ‚i ( t )

³ p( x ,t ) ˜ Yi ( x )dx

la forzante modale, si vogliono determinare i pa-

0

^

`

rametri caratteristici M i* , K i* , Ci* di un ideale oscillatore monomassa, nonché la forzante ideale F(t), sotto la quale la risposta z(t) del monomassa soddisfa la condizione (Fig. 3.7): z (t ) y (i) ( a ,t ) .

e Poiché y(i)(a,t) = pi(t) Yi(a) semplicità l’addendo di smorzamento): Mi

y(i) ( a ,t )

pi (t )Yi ( a ) si ha (tralasciando per

y(i) ( a ,t ) K i (i)  y ( a ,t ) ‚i ( t ) . Yi ( a ) Yi ( a )

Dividendo entrambi i membri per Yi(a) si ha Mi K ˜ y (i) ( a ,t )  2 i ˜ y (i) ( a ,t ) Yi 2 ( a ) Yi ( a )



‚ i (t ) , Yi ( a )

e quindi le caratteristiche e la forzante per il monomassa equivalente sono:

52 M i*

L’oscillatore multimodale ad inerzia ed elasticità distribuite Mi , K i* Z i2 M i* ,F (t ) Yi 2 ( a )

cui si aggiunge Ci*

‚i ( t ) Yi ( a )

2[ iZ i M i* quando si consideri anche lo smorzamento.

(a)

(b)

Fig. 3.7.a,b. (a) Oscillatore ad inerzia distribuita. (b) Oscillatore monomassa equivalente

4.

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione

4.1

Estensione ai sistemi a n GdiL: matrici di trasferimento

I risultati già ottenuti per l’oscillatore a 1 GdiL possono essere estesi ai sistemi lineari discreti a n GdiL di cui si è detto nel § 2. Trasformando l’equazione newtoniana matriciale di moto di ottiene (s: variabile 1 di Laplace e con ovvio significato degli altri simboli): Ms 2 X s  CsX s  KX s F s

(1)

in cui M, C, K sono matrici nun. Definita una nuova matrice B(s) (detta “matrice del sistema”) i cui elementi sono polinomi di secondo grado nella variabile s di Laplace: B s Ms 2  Cs  K

è possibile riscrivere l’equazione (1) nel modo seguente: B s X s

(1)I

F s

e la matrice di trasferimento è: H s B  1 s .

La precedente è l’equivalente ad n dimensioni della funzione di trasferimento relativa all’oscillatore 1 GdiL. Tale matrice oltre a contenere tutte le informazioni che descrivono le caratteristiche dinamiche del sistema, permette di risalire alle matrici di massa, rigidezza e smorzamento del sistema dinamico stesso. Per un sistema a n GdiL, H(s) ha dimensioni nun e può essere scritta: . . h1n  s º ª h11  s . » « » « » (2) H s « hij  s » « » « «¬ hn1  s . . . hnn  s »¼ in cui hij(s) rappresenta la funzione di trasferimento tra l’i-esimo ingresso e la j-esima uscita. 1

s V  i 2Sf

V  iZ

(i: unità immaginaria).

54

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione

Vediamo ora con qualche dettaglio tecnico, il passaggio dal dominio del tempo a quello delle frequenze per un sistema MIMO. a. Vediamo dapprima il caso di un sistema (per esempio un pendolo doppio) con dinamica descritta da due equazioni differenziali lineari di 2° ordine: ­ x  a1 y  a2 x  a3 x  a4 y f1 ( t ) ® ¯ x  b1 y  b2 y  b3 x  b4 y f 2 ( t ). Operiamo nell‘ipotesi di c. i. = 0 x(0) y (0) y c(0) xc(0) 0 . La /–trasformazione porta a (“ x ” indica trasformata di “x”): x ( s 2  a 2 s  a 3 )  y ( a1s 2  a4 )

f1

x ( s 2  b3 )  y (b1s 2  b2 s  b4 )

f2









ª s 2  a 2 s  a3 a1s 2  a4 º « ». s 2  b3 b1s 2  b2 s  b4 ¼ ¬ Il legame di input/output è: [ B]





§ · § x· ¨ ¸ [ H ] ¨ f1 ¸ ¨ y¸ ¨f ¸ © ¹ © 2¹



con



[ H ] [ B ]1

ª H xf 1 ( s ) H xf 2 ( s ) º « H (s) H (s)» . yf 2 ¬ yf 1 ¼

b. Se il sistema dinamico lineare di cui al caso precedente è descritto “in forma normale”, cioè con un sistema di 2u2 = 4 equazioni differenziali del 1° ordine, possiamo scrivere: vettore di stato x ( x y u v ) ­ x u ° y v ° ® °u  a1v  a 2 u  a3 x  a4 y  f1 (t ) °¯u  b1v b2 v  b3 x  b4 y  f 2 (t )

che dà:

u

f (u , v , x, y , f1 , f 2 )

v

f (u , v, x, y, f , f 2 ) .

In forma normale è: § x · ¨ ¸ ¨ y ¸ ¨ u ¸ ¨ ¸ ¨ v ¸ © ¹

§ x· ¨ ¸ f y >A@ ¨¨ ¸¸  >C @ §¨¨ 1 ·¸¸ , f u 4u4 ¨ ¸ 4u2 © 2 ¹ ¨v¸ © ¹

x

A xC f .

Ora /– trasformando, si ha: s˜x x

A xC f

sI  A 1 C

Ÿ f

Ÿ

sI  A x x f

[H ]

C f ,

I: matrice unità.

con [ H ]  sI  A 1 C .

Estensione ai sistemi a n GdiL: matrici di trasferimento 55

4.1.1

Un esempio numerico

Consideriamo il sistema in Figura 4.1. Le equazioni differenziali newtoniane di moto sono: ªm1 «0 ¬

0 º § x1 · ª K1  K 2 ¨ ¸ m2 »¼ ¨© x2 ¸¹ «¬  K 2

m1 1 kg K3

1 kg

m2

0.4 MN m ,

K2

ª 1.2  .8º 6 « .8 1.2 » u 10 N/m , ¬ ¼

K

§ f1 · ¨¨ ¸¸ © f2 ¹

f 0 e iZt , f 0 C

f (t )

K1

 K 2 º § x1 · ¨ ¸ K 2  K 3 »¼ ¨© x2 ¸¹

0.8 MN m M

Frequenze modali:

>Z r @2 « 4 10 ª ¬

5

0

ª1 0 º «0 1 » . ¬ ¼

Modi normali:

0 º 2 » s 2 10 6 ¼

>P@

ª1 1 º «1  1» . ¼ ¬ Y1 Y2

Masse modali: P T MP

>M i @

ª1 1 º ª1 0º ª1 1 º Ÿ « »« »« » ¬1  1¼ ¬0 1¼ ¬1  1¼

Rigidezze modali: P T KP

ª2 0º «0 2» ; [ M i ] : diagonale. ¬ ¼

.8 0 º 6 >K i @ ª« » ˜ 10 N/m ; [ K i ] : diagonale. ¬ 0 .4 ¼

Modi ortonormali: divisione della i-ma colonna di [P] per ~ [P]

.707 >P @ ˜ >M i @1 / 2 ª«

.707 º . . 707 .707 »¼  ¬ ~ Y1

Fig. 4.1. Telaio a taglio, 2 GdiL

~ Y2

Mi :

~ Yi

1 Mi

˜ Yi

56

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione

Si ha (Fig. 4.2):





­° K1  K 2  Z 2 m1 x1   K 2 x2 ® °¯ K 2 x1  K 2  K 3  Z 2 m2 x2 H 11



x1 f1

~ ~ Y1( 1 ) ˜ Y1( 1 )

Z12

Z

2





~ ~ Y2( 1 ) ˜ Y2( 1 )

Z 22

Z

2

f1 f2

,

0.5 0.5  6 2 0.4 ˜10  Z 2 ˜10 6  Z 2

In Figura 4.3 è dato, anche numericamente, lo spettro di risposta in 1 per forzante in 1, in scala lineare.

(a)

(b) Fig. 4.2.a,b. Spettri di risposta. (a) Spettro H11. (b) Spettro H21

Fig. 4.3. Spettro H11

Analisi modale frequenziale 57 2

In scala logaritmica e modulo in dB , la Figura 4.4a ripropone lo spettro H11 già precedentemente esaminato, e la Figura 4.4b ripropone lo spettro H21 di risposta in 2 per forzante in 1.

(a)

(b) Fig. 4.4.a,b. Spettri di risposta. (a) Spettro H11 logaritmico. (b) Spettro H21 logaritmico

4.2

Analisi modale frequenziale

4.2.1

Matrice di trasferimento. Autostrutture

Ritroveremo qui alcuni concetti già presentati; ma riformulati ora nel linguaggio e con la simbologia caratteristici di questo settore disciplinare. Gli elementi della matrice del sistema B(s) (vedi (1)I, § 4.1) sono polinomi di secondo grado nella variabile s di Laplace; poiché H(s) è l’inverso di questa matrice, i suoi elementi hij(s) sono rapporti di polinomi in s, con il determinante di B(s) in ogni denominatore. L’ij-esimo elemento di H(s) può essere scritto: 2

Esempio di misura in dB: 6 dB: 20 log10(x1/f1). Se (x1/f1)=10 Ÿ H11 (dB)=20˜(6)log1010=-120 dB

58

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione

hij  s

b1 s 2n  2  b2 s 2n 1  ...b2n  2 , det  B  s

dove i coefficienti bi sono combinazioni lineari dei coefficienti mi, ki, ci del sistema. Se le radici di B(s) sono distinte, allora H(s) può essere scritta: H s

a

n

¦ s  kP

k 1

,

(3)

k

= k-esima radice dell’equazione det (B(s)) = 0 = matrice dei residui per la k-esima radice (matrice nun per un sistema a n dimensioni) Nell’ipotesi di sistemi sottosmorzati le 2n radici formano N coppie di poli complessi coniugati

in cui:

Pk ak

Pk  ck  iZ k ,

Pk*  ck  iZ k ;

in cui ck è il coefficiente di smorzamento e Zk è la frequenza naturale per il k-esimo polo. Ad ogni coppia di poli corrisponde un modo di vibrare della struttura. I poli possono anche essere descritti mediante: c k2  Z k2 ;

1. : k 2. [ k

ck

Zk

.

I poli, radici dell’equazione caratteristica, sono gli autovalori del sistema: det B s

0.

Come sappiamo, il k-esimo autovalore definisce la frequenza naturale Zk e lo smorzamento ck del k-esimo modo. Si definiscono vettori modali (od autovettori del sistema) i vettori Uk che soddisfano il sistema di equazioni omogenee B Pk U k 0 , (4) dove B è la matrice NuN del sistema ed Uk è un vettore colonna ad N elementi. Poiché per definizione di polo: det B Pk 0 l’equazione (4) ammette soluzioni non banali. Delle N equazioni, N1 sono indipendenti: si avranno quindi N variabili (i valori del vettore Uk) in N1 equazioni indipendenti. Scelto arbitrariamente un elemento del vettore Uk si possono calcolare con la (4) gli altri N1 valori: i vettori modali Uk sono dunque definiti a meno di una costante moltiplicativa. Il k-esimo vettore modale rappresenta la forma con cui il sistema in esame oscilla alla kesima frequenza di risonanza. Poiché un sistema ad N gradi di libertà ha 2N poli complessi coniugati, esso rappresenta N frequenze di risonanza ed N vettori modali. La matrice di trasferimento può essere anche scritta in funzione dei suoi autovettori, ovvero:

Analisi modale frequenziale 59

H s

AkU kU kT , 1 s  Pk

2N

¦

k

(5)

in cui Ak è una costante moltiplicativa ed U kT è il trasposto del vettore Uk. Confrontando la (5) con la (3) si deduce che la matrice dei residui ak del k-esimo polo è una combinazione lineare del vettore modale di quel polo: AkU kU kT .

ak

(5)I

Per un sistema sottosmorzato la (5) può essere scritta come somma di N coppie di poli complessi coniugati H s

ª U U T U * U * Tk º ¦ «« s k Pk  sk P * »» , k 1 k k ¼ ¬ N

(6)

dove la costante Ak è stata assimilata in Uk. Dall’equazione (6) è possibile osservare che la conoscenza di una sola riga o colonna della matrice di trasferimento permette di risalire alla autostruttura modale del sistema: frequenze di risonanza e smorzamenti (autovalori del sistema), modi di vibrare (autovettori). Condizioni necessarie per la validità delle equazioni sopra indicate sono: a) linearità del sistema (dinamica descritta da un sistema di equadiff lineari); b) simmetria della matrice H(s); c) assenza di autovalori doppi.

4.2.2

Modi di vibrare complessi

Si può dimostrare che, se la matrice di smorzamento del sistema è reale e simmetrica, la matrice dei residui è reale; ciò significa che alla risonanza tutti i punti del sistema si muovono in fase o in opposizione di fase. Si consideri, come esempio, un sistema con tre gradi di libertà che abbia primo polo: p1  1r i 5 ,

e autovettore: U1

ª3º «  1» . « » «¬ 3 »¼

Alla frequenza f 5 2S , i punti 1 e 3 del sistema oscillano in fase con ampiezza 3, ed il punto 2 oscilla in opposizione di fase rispetto agli altri due, con ampiezza 1. Se la matrice di smorzamento non è simmetrica, la matrice dei residui è in genere complessa. Vediamone le conseguenze fisiche. Per quanto detto sopra, la matrice di trasferimento, per il k-esimo modo, può essere scritta nel modo seguente:

60

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione

H k s

ak a k* ,  s  Pk s  Pk*

dove ak = matrice dei residui (complessa) Pk = polo corrispondente al k-esimo modo. Si consideri ora una componente qualsiasi hnm(s) di Hk(s) tra il punto di sollecitazione m ed un punto di riferimento n: hnm s

a a* ,  s  Pk s  Pk*

(7)

con a residuo complesso della f. di t. hnm(s) per il polo K. Posto r riscrive: h nm  s

r 2 i ( s  Pk )



r* 2 i ( s  Pk* )

2 i a la (7) si

(7)I

.

Antitrasformando si ottiene la risposta all’impulso della h(s) per il k-mo modo: x k t

rk e  ct sin Z k t  M k ,

(8)

dove ck = smorzamento del k-esimo modo Zk = frequenza naturale del k-esimo modo rk = ampiezza di oscillazione del k-esimo modo nel punto n Mk = fase del punto oscillante. La (8) descrive il contributo del k-esimo modo al moto del punto n, quando la struttura è sollecitata da un impulso nel punto m. Poiché Mk è non nulla, i punti del sistema si muovono con fasi diverse anche alla risonanza: ne consegue che se il modo è reale (matrice dei residui reale), alla risonanza tutti i punti si muovono in fase o in opposizione di fase, e se il modo è complesso (matrice dei residui complessi), si possono avere, alla risonanza, fasi diverse da 0° e 180°. Quindi, mentre per i modi reali i punti o le linee nodali (dove la struttura non vibra) sono stazionari, nei modi complessi essi non sono stazionari e sono mobili attraverso il sistema. Poiché nella maggior parte dei casi i sistemi meccanici hanno modi quasi reali, è possibile approssimare modi complessi con modi reali, utilizzando il modulo del residuo complesso e ponendo la sua fase a 0° o a 180°. 4.2.3

Matrici di massa, smorzamento e rigidezza ricavabili dai parametri modali misurati

Le matrici di massa, rigidezza e smorzamento per un modello a costanti concentrate (Capitolo 2) equivalente alla struttura misurata, possono essere ricavate da dati misurati. Ricordando che: B Ms 2  Cs  K ; si ha che: K

B 0 H 0 1 .

(9) (10)

Misura della risposta in frequenza nelle strutture 61

Poiché HB=I, derivando si ottiene: HB '  H ' B

e

0;

(11)

HB ' '  2 H ' B  H ' ' B

0.

(12)

Poiché C=Bc(0), dalla (11) si ha: C  H 0 1 H ' 0 B 0 C  KH ' 0 K

 B 0 H ' 0 B 0 ;

.

(13)

Infine dalla (9) e (12): M

1 '' B 0 , 2

M

 B 0 H ' 0 B ' 0 

1 B 0 H ' ' 0 B 0 , 2

1 KH ' ' 0 K . (14) 2 Dalle equazioni (10), (13) e (14) si ha che l’ordine di queste matrici eguaglia il numero di coppie di modi-complessi misurati. Pertanto, un sistema a costanti concentrate modellato con elementi del secondo ordine (Capitolo 2) ha 2n poli e 2n vettori modali. Estrazione di damping modali [ i dallo spettro di risposta delle ampiezze M

 KH ' 0 C 

H Z : detta Z i la frequenza propria del modo-i, di determinano, nell’intorno di Z i , le due frequenze Z s e Z d (rispettivamente a sinistra e a destra di Z i ) che

soddisfano la condizione (larghezza picco a 3dB): H Z s H Z d 0 .707 H Z i . Il damping modale è: Zs  Zd . [i 2Z i

4.3

Misura della risposta in frequenza nelle strutture

Le più comuni sollecitazioni applicate a un sistema vibrante per misurare la sua risposta in frequenza sono le seguenti. a. Eccitazione sinusoidale (forza applicata alla struttura) e misurata grazie alle vibrazioni indotte in tutti i punti di interesse. Il rapporto tra le trasformate delle accelerazioni di uscita e della forza di ingresso permette di calcolare il valore delle risposte in frequenza del sistema, alla frequenza della sollecitazione. Successivamente, variando lentamente quest’ultima (per consentire ogni volta l’instaurarsi del regime), è possibile ottenere le risposte in frequenza sulla banda interessata. Due svantaggi: 1. l’acquisizione dei dati è molto lenta, soprattutto se è necessaria una elevata risoluzione in frequenza; 2. possibili errori provocati dalla non linearità e dalle distorsioni del sistema.

62

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione

Vantaggi: 1. grande energia può essere trasmessa alla struttura ad ogni frequenza; 2. la forza eccitante può venire controllata accuratamente. b. Eccitazione random (Fig. 4.5), con forza random implementata da shaker e misurata da un trasduttore di forza. In genere l’eccitazione random ha carattere gaussiano con spettro costante nella banda in esame. Uno svantaggio considerevole quando si considerano strutture delicate che potrebbero venire danneggiate da sollecitazioni eccessive: benché lo spettro del segnale applicato allo shaker sia piatto, la struttura è sollecitata da una forza con spettro diverso da quello del segnale d’ingresso, a causa del disadattamento di impedenza meccanica tra la testa dello shaker e la struttura in prova. Vantaggio: poiché ogni acquisizione di segnali di ingresso e di uscita è diversa dalle precedenti, si può mediare su molte stime delle risposte in frequenza, e attenuare o rimuovere anche piccole non-linearità del sistema in esame. Aumentando il numero delle medie infatti, la parte della risposta in frequenza che è dovuta alle non linearità, tende ad annullarsi: quindi con la sollecitazione random si ottiene la migliore stima lineare delle risposte in frequenza di un sistema non perfettamente lineare. Altro svantaggio dell’eccitazione random è nel dovere effettuare molte medie, per ridurre la varianza delle misure entro valori accettabili. c. Sollecitazione impulsiva, effettuata da un martello strumentato con cella di carico sulla testa e misurata mediante un accelerometro montato in un punto di riferimento (Figura 4.6). Mentre nel caso dell’eccitazione random è conveniente mantenere costante il punto di sollecitazione in cui è montato lo shaker, e variare il punto di misura della risposta spostando l’accelerometro, nel caso di eccitazione impulsiva è più opportuno variare il punto di sollecitazione (colpendo la struttura con il martello nei vari punti) e mantenere costante il punto di misura della risposta. Nel primo caso si misura una colonna della matrice di trasferimento, nel secondo caso una riga.

Fig. 4.5. Set-up di prova con eccitazione da shaker

Identificazione delle caratteristiche modali 63

Fig. 4.6. Set-up di prova con eccitazione da martello strumentato

Principali vantaggi: 1. non è necessario costruire speciali intelaiature (“fixtures”) per collegare la struttura in esame allo shaker; 2. il metodo è molto veloce, anche circa 100 volte più veloce della sollecitazione sinusoidale. Due limiti: 1. non è possibile controllare in modo preciso né l’ampiezza, né la banda della sollecitazione. Ciò crea problemi se si vogliono misurare grosse strutture molto smorzate, poiché la stima della risposta in frequenza risentirà dello scarso rapporto segnale-rumore della misura; 2. è necessario usare tempi di acquisizione molto lunghi. Si può ovviare usando per l’acquisizione dell’ingresso una finestra rettangolare più stretta, di durata un poco superiore all’impulso, eliminando così il rumore di acquisizione dopo che l’impulso si è esaurito. Inoltre per evitare problemi di leakage si può usare una finestra di acquisizione che pesi i dati con un esponenziale decrescente, in modo da forzare il segnale ad esaurirsi nella finestra di acquisizione. In Figura 4.7 un quadro riassuntivo dei segnali usati per la sollecitazione, con storia temporale (sinistra) e contenuto spettrale (destra):

4.4

Identificazione delle caratteristiche modali

Quando una struttura è sollecitata da una forzante a banda larga, molti dei suoi modi di vibrare sono eccitati simultaneamente. Se si assume che la struttura sia lineare, le sue funzioni di trasferimento sono formate dalla somma delle curve di risonanza dei suoi modi di vibrare , come mostrato qualitativamente in Figura 4.8a. Il grado di accoppiamento modale, ovvero il contributo che le “code” dei modi vicini danno all’ampiezza della funzione di trasferimento alla risonanza, dipende sia dalla separazione in frequenza dei vari modi, sia dal loro smorzamento. La (Fig. 4.8b,c) mostra due diverse situazioni:  nella prima (Fig. 4.8b), le frequenze di risonanza sono ben distinte ed il loro smorzamento è piccolo: pertanto l’accoppiamento modale sarà nullo. Alla frequenza di risonanza modale, il moto è mono-modale e la struttura si comporta come un oscillatore ad 1 GdiL;

64

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f) Fig. 4.7.a-f. (a) Segnale monofrequanziale. (b) Rumore a banda limitata. (c) Rumore pseudo-random. (d) Sweeping sinusoidale. (e) Impulso mezzo-seno. (f) Impulso rettangolare

 nella seconda(Fig. 4.8c), i modi non sono sufficientemente separati, e l’elevato smorzamento li fa interagire. Si dice che i modi sono accoppiati per cui alla frequenza di risonanza di un modo il moto della struttura dipende non solo da quello, ma anche dai modi adiacenti. Vediamo ora alcuni metodi utilizzati per determinare i parametri modali per sistemi ad uno o più gradi di libertà. 4.4.1

Modelli ad un grado di libertà

La curva di risonanza è data dalla somma dei due termini della (7)I (§ 4.2.2). Il primo: rk 2 i ( s  Pk ) descrive prevalentemente il moto per frequenze positive, l’altro 

rk* 2 i ( s  Pk* )

descrive prevalentemente il moto per frequenze negative (vedi Fig. 4.9a).

Identificazione delle caratteristiche modali 65

(a)

(b)

(c) Fig. 4.8.a-c. Esempi di spettri multimodali. (a) Sovrapposizione di f. di t. (b) Modi disaccoppiati. (c) Modi accoppiati

Fig. 4.9. Contributi di parte reale e di parte immaginaria

66

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione

Normalmente la risposta in frequenza è misurata lungo l’asse positivo delle frequenze e pertanto rk . (15) H k Z 2 i  iZ  Pk

La (15) può essere riscritta in termini di parte reale e di parte immaginaria di Hk(Z), in cui: e

rk rrk  i rik

Pk  ck  iZ k ;

Re > H k Z @

1 rrk Z k  Z  rik c k 2 Z k  Z 2  c k2

Im > H k Z @

1 rrk Z k  Z  rrk c k . 2 Z k  Z 2  c k2

(16)

Alla frequenza naturale Z = Zk si ha Re > H k Z @

rik , 2 ck

Im > H k Z @



rrk 2 ck

(17)

cioè, l’ampiezza della parte reale della risposta in frequenza di un sistema ad un grado di libertà, alla risonanza, è direttamente proporzionale alla parte immaginaria del residuo ed inversamente proporzionale allo smorzamento. Viceversa l’ampiezza della sua parte immaginaria è direttamente proporzionale alla parte reale del residuo ed inversamente proporzionale allo smorzamento. Nell’ipotesi poi di modo reale (matrice dei residui reale), la (17) diventa: Re >H k Z @

0

Im > H k Z @



rrk . 2 ck

Per trovare il valore della frequenza naturale del sistema basta dunque cercare il massimo della parte immaginaria di Hk(Z). L’ampiezza del massimo fornisce il valore del residuo (a parte un fattore moltiplicativo 2ck). Poiché gli autovettori sono definiti a meno di una costante moltiplicativa e sono legati ai residui dall’equazione (5)I del § 4.2.1, è sufficiente misurare l’ampiezza del massimo di Im>H k Z @ per tutti i punti del sistema, per trovare direttamente l’autovettore del K-esimo modo e l’andamento del modo stesso. La Figura 4.10b mostra tale procedimento: la forma modale è ricavata direttamente dalla parte immaginaria della risposta in frequenza. Per completare l’identificazione dei parametri modali, resta da identificare lo smorzamento ck del sistema. Nell’ipotesi di modo reale (rik=0) la (16) diventa: H k Z

rk c k 1 rk Z k  Z 1 .  2 2 2 Z k  Z  c k 2 Z k  Z 2  c k2

Alle frequenze Z 0 H k Z c

2

rk2 , 8 c k2

Z k  ck il modulo quadrato di Hk(Z) è:

Identificazione delle caratteristiche modali 67

Fig. 4.10. Forma modale ricavata direttamente dalla parte immaginaria della risposta in frequenza

ed eguaglia la metà del modulo quadrato di Hk(Z) alla risonanza: H k Z k

2

rk2

4 c k2

.

Misurando la larghezza del picco di risonanza a  3 dB e dividendo per due, si ottiene lo smorzamento del sistema, come già mostrato alla fine del § 4.2.3. Questi procedimenti si basano su pochi punti di H(Z) per identificare i parametri modali: danno pertanto buoni risultati solo se la misura di H(Z) è priva di rumore. Altrimenti è necessario ricorrere ad altro procedimento che riduca l’effetto del rumore nell’identificazione dei parametri modali. Poiché il contributo del k-esimo modo delle risposte in frequenza del sistema è definito dalla (16), data una misura di H(Z) è possibile cercare i parametri modali che minimizzano l’errore tra la risposta in frequenza misurata e quella calcolata secondo la (16). Si vuole minimizzare la quantità: F

H

2

¦ H M Z j  H c Z j

,

i 1

in cui HM(Zj) è la risposta in frequenza misurata ad Z = Z j, Hc(Z j) è la risposta calcolata secondo l’equazione (16) per Z = Z j, ed F è il numero delle frequenze alle quali H(Z) è stata misurata e calcolata per il confronto. Il minimo della funzione, per un valore fissato di F: H H Z k , V k , rrk , rik , dà la miglior stima dei parametri modali del k-esimo modo. Quanto più grande è F, tanto migliore è la stima.

68

Analisi modale nel dominio delle frequenze. Identificazione

4.4.2

Modelli a più gradi di libertà

Quando i modi sono accoppiati, il semplice modello ad un grado di libertà non è più valido ma bisogna considerare tutti i modi contemporaneamente. Una generica componente h(s) di H(s) può essere scritta: N

r

¦ 2 i ( s k P

h s

k)

k 1



rk * 2 i ( s  Pk* )

(18)

ma ora non è più lecito identificare i parametri modali del k-esimo modo separatamente da quelli degli altri modi. Si ripete dunque la procedura di minimizzazione dell’errore tra la risposta in frequenza misurata e quella calcolata secondo la (18), cercando cioè il minimo della funzione: 2

F

H

¦ H M Z j  H c Z j i 1

con HM(Zj) = risposta in frequenza misurata per Z =Zj Hc(Zj) = risposta calcolata per Z =Zj secondo la (18). La funzione errore, in questo caso, è funzione di tutti i parametri modali del sistema e per minimizzarla si utilizza una tecnica iterativa. Valgono pertanto le seguenti osservazioni:  il modello ad un solo grado di libertà porta rapidamente alla identificazione dei parametri modali, ma dà buoni risultati solo in presenza di modi disaccoppiati;  il modello a più gradi di libertà dà buoni risultati anche per modi accoppiati, ma non sempre l’algoritmo di minimizzazione converge. Un buon compromesso tra l’eccessiva semplificazione del modello ad un solo grado di libertà e l’eccessiva complessità del modello a più gradi di libertà si ha, per esempio, supponendo che nell’intorno del k-esimo modo, il contributo degli altri modi sia una funzione lineare della frequenza H k Z

rk

2 i ( jZ  Pk )



rk *

2 i ( iZ  Pk* )

 AZ  B

(19)

in cui il contributo dei rimanenti n1 modi è approssimato dall’espressione (AZB). La ricerca del minimo errore tra risposta in frequenza misurata e calcolata secondo la (19) è ora notevolmente semplificata, perché H è funzione dei soli parametri modali del k-esimo modo e delle due costanti A e B che tengono conto dell’influenza degli altri modi. La convergenza dell’algoritmo di minimizzazione è assicurata.

Parte II Dinamica 2

5.

Edifici: modellistica. Controllo della risposta

5.1

Edificio di media altezza: dinamica sismica e isolamento-alla-base

5.1.1

Generalità sul sistema strutturale

Una tipologia strutturale su pianta rettangolare, ormai consolidata in Italia da circa cinquant’anni di realizzazioni nell’edilizia civile multipiano, è quella rappresentata in Figura 5.1, [19], dove possono distinguersi i seguenti elementi fondamentali: a. tre telai longitudinali, alle cui travi fanno capo i solai orditi perpendicolarmente; b. ai vari piani, travi in spessore di solaio, di collegamento dei nodi dei tre telai longitudinali, ordite parallelamente ai travetti dei solai; c. solai in latero-cemento con travetti orditi perpendicolarmente ai tre telai longitudinali; d. torre scatolare del corpo scale e ascensori (“core”), alla quale ai vari piani sono rigidamente collegati i telai longitudinali ed i solai; e. sistema fondazionale formato essenzialmente da tre travi rovesce longitudinali, collegate fra loro (obbligatoriamente per costruzioni in zona sismica) da traverse poste in corrispondenza dell’imposta dei vari pilastri che alla loro base sono rigidamente incastrati alle fondazioni. Alle azioni orizzontali (vento, azioni sismiche) reagisce la struttura tridimensionale formata dall’ossatura e dal “core” del corpo scale e ascensori, di elevata rigidezza flessionale e torsionale. Nel caso più generale di flesso-torsione, circa il 50% delle azioni lungo y, e, rispettivamente, circa il 90% delle azioni lungo x, impegnano il “core”, mentre la residua aliquota (circa 50% lungo y e circa 10% lungo x) sollecita l’ossatura formata dagli elementi a) e b) sopraspecificati. Il carico assiale agente sulla torre scatolare del corpo scale e ascensori ha una crescita “a gradini” dalla sommità alla base del fabbricato, con inviluppo circa lineare, mentre i momenti flettenti dovuti alle azioni trasversali variano dalla sommità alla base con legge circa quadratica. Ne consegue che al crescere del numero dei piani l’eccentricità dello sforzo assiale nel “core” cresce circa linearmente dalla sommità alla base del fabbricato.

72

Edifici: modellistica. Controllo della risposta

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.1.a-c. Tipologia strutturale a “corpo doppio”. (a): sezione verticale longitudinale. (b): sezione verticale trasversale. (c): pianta delle fondamenta (sinistra) e del piano tipo (destra)

Poiché le dimensioni trasversali del “core” sono pressoché costanti al crescere del numero dei piani, ne consegue che l’eccentricità dello sforzo normale fuoriesce dal nocciolo d’inerzia della sezione trasversale della torre scatolare in corrispondenza di un numero di piani tanto minore quanto minori sono le azioni trasversali. In un fabbricato di 8 y 10 piani come quello del tipo considerato, le azioni trasversali del vento generalmente non determinano la fuoriuscita del centro di pressione dal nocciolo d’inerzia della sezione di base del “core”, e la sezione stessa è ancora interamente compressa. Ma lo stesso fabbricato, ubicato in zona sismica di 1ª categoria, viene sollecitato da azioni trasversali d’inerzia che, valutate staticamente in base allo spettro di risposta delle Norme Italiane (Fig. 5.2), risultano globalmente circa quadruple di quelle corrispondenti all’azione del vento, e quindi nella parte inferiore del “core”, ossia ai piani bassi, il centro di pressione fuoriesce dal nocciolo d’inerzia delle sezioni resistenti del “core”, sezioni che risultano fortemente parzializzate, con elevati sforzi nell’armatura tesa e con abnormi sollecitazioni sulle sottostanti strutture di fondazione.

Edificio di media altezza: dinamica sismica e isolamento-alla-base 73

5.1.1.1

La protezione antisismica

L’analisi dinamica della struttura tradizionale sotto azioni sismiche trasversali in zona di elevata sismicità già denuncia una riduzione degli stati tensionali rispetto a quelli valutati applicando le azioni statiche equivalenti. Ma tale riduzione non è sufficiente, in termini tecnico-economici, a riportare l’ordine di grandezza dei valori di picco degli sforzi il più possibile in prossimità di quelli corrispondenti alle azioni del vento; occorre perciò abbattere le forze d’inerzia dovute al sisma. A ciò provvede la tecnica del “base-isolation” che, incrementando il periodo proprio dei vari modi di vibrare del sistema, produce un effetto di filtraggio “passa-basso” sullo spettro di potenza del sisma, abbattendo l’energia immessa nella costruzione. In altri termini consente di operare nel favorevole ramo discendente dello spettro di progetto delle Norme sismiche (Fig. 5.2) [22]. Le soluzioni di “base isolation” che esaminiamo nel seguito prevedono:  edificio su “pilotis” fra il piano terra e le fondazioni;  collegamento fra “core” e fondazioni realizzato disponendo sotto i quattro vertici del “core” quattro colonne tubolari in acciaio con schema pendolare, controventate fra loro da due coppie di diagonali a comportamento ridigofragile dei loro collegamenti bullonati, in modo da realizzare un sistema reticolare di “fusibili meccanici”, con rottura degli stessi (attacco ai nodi delle diagonali di controvento), prevista al superamento di una prefissata soglia di intensità dell’azione orizzontale esterna;  interruzione della continuità del “core” in calcestruzzo armato al livello del primo solaio;  introduzione di un sistema discreto di dispositivi elastici in gomma artificiale, o a molle elicoidali, collocati, rispettivamente, o alla sommità dei pilotis e funzionanti a taglio, o sul perimetro dell’edificio a livello del primo solaio e funzionanti a compressione.

Fig. 5.2. Spettro di progetto antisismico

5.1.2

Sistema di isolamento con comportamento "a stadi". Edificio a rigidezza variabile al crescere della sollecitazione esterna

Il sistema di base-isolation di seguito descritto realizza il comportamento “a stadi” schematizzato nella Figura 5.3. 1. Stato di esercizio normale. Con le diagonali di controvento operanti alla base del “core”, si conserva il vantaggioso comportamento misto telaio-core della soluzione tradizionale (Fig. 5.3a) sotto moderate azioni orizzontali d’esercizio (vento, sismi deboli).

74

Edifici: modellistica. Controllo della risposta

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 5.3.a-d. Comportamento a stadi sotto azioni orizzontali. (a): regime telaio-core sotto deboli sismi. (b): regime di “isolamento alla base”, con snodi alla sommità dei ritti da appoggi neoprene. (c): soluzione alternativa con appoggi a slitta in acciaio-neoprene. (d): soluzione alternativa pendolare e campi elasto-viscosi di bordo

2. Prima soglia sismica (sismi medio-bassi, compresi i sismi di progetto delle Norme Italiane). Per “corto circuito” (interruzione) del campo controventato alla base del “core”, la struttura scatolare a torre si interrompe a piano terra; l’elasticità e lo smorzamento sono realizzati da ammortizzatori dissipativi la cui dislocazione in pianta è indicata in Figura 5.5a. In questo contesto sono prospettate tre possibili soluzioni:  nella prima (Fig. 5.3b), gli n-4 pilastri complementari a quelli tubolari metallici posti sotto i quattro vertici della torre scatolare fra il piano terreno e le strutture fondazionali, sono incastrati alla base e sono snodati in sommità mediante l’interposizione di cuscinetti di neoprene armato ubicati sotto i nodi delle travi longitudinali e trasversali del piano terreno. Essi sono opportunamente proporzionati per dotare l’intera sovrastruttura vibrante (sotto le azioni sismiche) di frequenze tanto basse da ridurre sensibilmente le forze d’inerzia trasversali.

Edificio di media altezza: dinamica sismica e isolamento-alla-base 75

Nei quattro vertici del fabbricato, fra il piano terreno ed il muro controterra, sono ubicati otto ammortizzatori dissipativi a caratteristica elastoplastica non lineare, che possono reagire sotto azioni sismiche eccezionali o in particolari condizioni di risonanza con sismi in bassissima frequenza dell’edificio-isolato. Essi garantiscono sempre e comunque la stabilità rigida dell’intera sovrastruttura.  Nella seconda soluzione alternativa (Fig. 5.3c), gli n-4 pilastri complementari ai quattro ritti pendolari posti sotto la torre scatolare, sono incastrati alla loro base sulle fondazioni, ed alla loro sommità le travi del piano terreno sono appoggiate mediante l’interposizione di apparecchi di appoggio slittanti multidirezionali in acciaio-neoprene confinato-PTFE. Anche in questa soluzione, fra il solaio del piano terreno ed i muri controterra sono ubicati otto ammortizzatori orizzontali a caratteristica elastica lineare.  Nella terza delle tre soluzioni alternative (Fig. 5.3d), gli n-4 pilastri complementari a quelli posti sotto la torre scatolare sono pendolari, e la bassa frequenza dei modi di vibrare della sovrastruttura è determinata dalla rigidezza elastica k dei soli già menzionati ammortizzatori dissipativi posti negli angoli del fabbricato fra il piano terreno ed i muri controterra. Per questa soluzione, tuttavia, la più bassa frequenza non può essere inferiore a quel valore cui corrisponde il valore limite della caratteristica k che assicuri la stabilità statico-elastica (globale) dell’intera sovrastruttura. Indichiamo con klim questo valore di k che andiamo a determinare (Fig. 5.4). Indichiamo con:  Gc il peso totale critico dell’intero edificio vincolato trasversalmente dagli ammortizzatori elastici di costante k;  h l’altezza dei ritti pendolari dislocati fra il piano terreno e le fondazioni. In condizioni critiche si ha: 1 k limG 02 , 2

GcG v

ossia: Gc h (1  cos M )

1 k lim h 2 sen 2 M , 2

da cui: k lim h 2 sen 2 M . 2h (1  cos M )

Gc

Per M piccolo, può porsi: sen M # M ; cos M # 1  Gc

M2 2

per cui si ottiene:

k lim h .

Se fissiamo un coefficiente di sicurezza di 2.00 nei riguardi della stabilità statico-elastica globale, ossia Gc t 2G , possiamo assumere: kt2

G . h

76

Edifici: modellistica. Controllo della risposta

Essendo nel caso preso in esame: G = 3.6˜106 daN, ed h = 3.30 m, tale rigidezza orizzontale minima di progetto assume il valore: k t 2˜

3.6 ˜ 10 6 3.30

2.182 ˜ 10 6 daN/m.

Ricordando che: T

(1)

2S m / k , si ha:

T d 2.57 sec

ovvero f t 0.39 Hz .

Mantenendo sempre pari a 2.00 il coefficiente si sicurezza rispetto alla instabilità globale per gli otto ammortizzatori posti ai quattro angoli del fabbricato di lati a e b, il valore di k x k y k che assicuri la stabilità anche nel caso di mobilità rotazionale (3° modo vibratorio), risulta: § n 2 · ¨ ¦ di ¸ 2G ¨ 1 ¸ , kt h ¨ n(a 2  b 2 ) ¸ ¨¨ ¸¸ © ¹

in cui: n = numero dei ritti pendolari d i = distanza del ritto i-esimo dal centro di rotazione della sovrastruttura. Tale valore risulta comunque sempre inferiore al valore di 2˜G/h precedentemente calcolato per la mobilità puramente traslatoria. 3. Seconda soglia sismica (sismi di eccezionale intensità). Entra in funzione un sistema di molle bilineari a rigidezza decrescente (effetto “softening”). La dislocazione in pianta degli elementi elastici è in Figura 5.5a. Dettagli di soluzioni costruttive per i ritti sono in Figura 5.5b.

Fig. 5.4. Ricerca del valore limite della caratteristica k che assicura stabilità (globale) della sovrastruttura

Edificio di media altezza: dinamica sismica e isolamento-alla-base 77

(a)

(b) Fig. 5.5.a,b. Sistema di base-isolation che realizza il comportamento “a stadi”. (a) Prima e seconda soglia sismica: visione in pianta di un sistema di molle (lineari, o bilineari a effetto “softening”) e di un sistema di dissipatori disposti sul perimetro della costruzione. Visione prospettica dell’edificio con 1° piano pendolare e controventatura centrale. (b) Dettagli esecutivi costruttivi dei ritti di 1° piano

Fig. 5.6. Spettri di progetto AASHTO e Giapponese

78

Edifici: modellistica. Controllo della risposta

Indicati rispettivamente, con x1 e Fel lo spostamento orizzontale del 1° piano e la forza complessiva di richiamo elastico a tale piano, in Figura 5.7a è descritto, nel piano Fel y x1 , il campo elastico bilineare a effetto “softening”: finché x1 è inferiore alla prefissata soglia x1bil (sismi medio-bassi), la rigidezza orizzontale complessiva di 1° piano è pari a k1 ; al superamento della soglia x1bil (x1>x1bil , sismi intensi) la rigidezza complessiva di 1° piano scende al valore k1D  k1 , con conseguente aumento del periodo proprio T (riduzione della frequenza propria) e conseguente benefico effetto di passaggio nella banda destra dello spettro di progetto (Fig. 5.6).

(a)

(b)

(c) Fig. 5.7.a-c. Campo elastico a softening bilineare, al Primo Piano Pendolare. (a) Senza precarico. (b) Con precarico. (c) Descrizione 3-D della legge Tbil Tbil (D , J ) del periodo bilineare

Edificio di media altezza: dinamica sismica e isolamento-alla-base 79

La Figura 5.8a suggerisce uno schema di realizzazione pratica del campo bilineare di Figura 5.7a: due molle di rigidezza k I e k II sono disposte in serie (e contrastate sulla paratia esterna); la molla di rigidezza k II è sottoposta al precarico F1 k I ˜ x1bil che provvede a bloccare la piattabanda AA’ di appoggio della molla kI fin tanto che x1  x1bil ; in tal caso (1°stadio) solo la molla kI è attiva e determina la rigidezza del 1° stadio della bilineare.

(a)

(b)

(c) Fig. 5.8.a-c. Realizzazione dei campi elasto-viscosi di bordo. (a) Schema di implementazione fisica del campo elastico bilineare di Figura 5.7a. (b) Schema di implementazione fisica del campo elastico bilineare con banchi di più molle in parallelo. (c) Sistema di dissipatori viscosi “a cavalletto” (con riferimento alla ditta Taylor Co. USA [131])

80

Edifici: modellistica. Controllo della risposta

Quando lo spostamento x1 ! x1bil , anche la molla kII entra in funzione, e la nuova rigidezza (2° stadio) è quella complessiva del sistema di 2 molle in serie. Espressa tale rigidezza di 2° stadio, in funzione della rigidezza k I della 1a molla componente, k1D

D ˜ k I (con 0 p0) nella camera a monte evitando una cavitazione eccessiva in quella a valle. Osservazioni sull’hardware. Le misure da prendere per prevenire ritardi nella trasmissione degli impulsi pressori sono:  un cilindro molto corto e rigido con una corsa pistone di # r 1 cm (comprensivo dello spostamento addizionale quando la valvola di cut-off è aperta), e con coperchi di estremità rigidissimi; il tutto montato su rigidi supporti;  cilindro alimentato “di testa”;  una centralina idraulica (pompa, accumulatore) per ogni lato dell’impalcato del ponte, per ridurre al minimo la lunghezza della rete;  protezione da carichi termici (in particolare per l’asta di comando della valvola copiatrice);  un accurato controllo dei giochi radiali (perdite in cilindro e valvola). 6.2.3.3

Approcci alternativi: analisi critica

Esaminiamo due approcci alternativi. a. Comando idraulico con elettrovalvola on-off. Un cilindro-pistone alimentato da una pompa, comandato da una elettrovalvola e pilotato (on-off) dai fine-corsa dell’oscillazione del ponte, può trasmettere alla struttura una forza smorzante ad andamento bilineare nel piano forza/spostamento, e senza irrigidire la struttura stessa. Tale sistema comporta elevate corse del pistone, pari alla somma delle oscillazioni del ponte più una frazione inversamente proporzionale alla rigidezza assiale della struttura che interfaccia l’impalcato del ponte e il pistone (p. es. stralli addizionali come nel caso attivo); la notevole – e variabilissima – portata corrispondente a tali corse non deve ovviamente essere generata dalla pompa (che dovrà solo sopperire alle fughe del circuito) ma deve essere smaltita da una enorme valvola di relief (Fig. 6.17a) che, appunto, smaltisce per trafilamento l’energia fornita al ponte dal disturbo esterno. Ancor più grave ai fini della affidabilità è il fatto che una eguale portata deve essere aspirata dal serbatoio con seri problemi di cavitazione. Le altissime punte di portata al cilindro principale e, maggiori, al cilindro di pretensione, richiederebbero l’impiego di un grandissimo accumulatore, per disporre di pretensione costante. I due cicli a regime sono [15]:  ciclo eccitante, da forzante Karman, ellittico  ciclo smorzante on-off, bilineare sono rappresentati, nel piano forza y spostamento, in Figura 6.17b.

134 Ponti di grande luce: modellistica. Controllo della risposta

b. sistema freno-idraulico “quasi-passivo”. Una schematica realizzazione dell’impianto è in Figura 6.18. Ogni cilindro (dei due installati sul ponte secondo gli schemi delle Figure 6.11 e 6.12) è dotato di due “check-valves” precaricate e in derivazione (ricavate sul pistone). Ogni cilindro interagisce con il ponte mediante il sistema di stralli ausiliari di rigidezza complessiva non inferiore a quella del caso attivo già esaminato. È dotato di una pompa molto piccola, solo atta a compensare le fughe nella rete. Le due check-valves sul pistone smaltiscono l’energia fornita dal disturbo esterno (al posto delle valvole di relief del caso onoff). Qui le corse del pistone sono inferiori alle escursioni dell’impalcato ma il secondo cilindro per la pretensione richiede un grande accumulatore (con seconda pompa indipendente).

(a)

(b)

(c) Fig. 6.16.a-c. Controllo dei valori estremi del ciclo dissipativo. (a) Pistone con coppia di valvole calibrate. (b) Dettaglio di una “check valve”. (c) effetto di cut-off sul ciclo dissipativo

Il controllo strutturale in ingegneria civile 135

(a)

(b) Fig. 6.17. (a) Schema di ingegnerizzazione del controllo on-off in cui si evidenzia il cilindro tenditore; (b) I due cicli a regime nel piano forza y spostamento

Fig. 6.18. Schematizzazione del sistema freno-idraulico “quasi passivo”

136 Ponti di grande luce: modellistica. Controllo della risposta

La teoria è sviluppata in [13], [14], [16] cui si rimanda. La grande semplificazione costruttiva, nonché i notevoli vantaggi in costo d’impianto e d’esercizio ottenibili con questo sistema, al confronto con i due esaminati in precedenza (retroazione attiva e on-off), compensano largamente il maggior onere che si rende necessario qui in termini di maggiorazione della rigidezza verticale del sistema di stralli ausiliari; tale maggiorazione della strallatura ausiliaria è indispensabile per l’instaurarsi del ciclo freno bilineare. In Figura 6.19 sono mostrate due diverse maggiorazioni della strallatura ausiliaria e la loro influenza sulle dimensioni del ciclo frenante, confrontato con il ciclo ellittico eccitante (a regime) dovuto all’azione pulsante da distacco alternato di vortici[16] [24] [29]. Quanto, infine, al calore & sviluppato in un ciclo-freno a regime, e al corrispondente aumento 'T (qC) di temperatura, valgono le seguenti relazioni: Lf 1 C ˜ Lf c 418.4 con c 418.4 daN˜m/cal equivalente meccanico del calore, e Lf lavoro dissipativo in un ciclo-freno. Il peso dell’olio nei cilindri è: P 2 ˜ Acil ˜ Y ˜ J olio ˜ cos J avendo indicato con Y il valore di picco dello spostamento oscillatorio del ponte (mezzeria di campata) e con J l’inclinazione, sulla verticale, degli stralli ausiliari. L’aumento della temperatura è: C 1 'T (qC) §¨ ·¸ ˜ P c © ¹ olio con colio = 0.4 Cal/kg/°C, calore specifico dell’olio.

Fig. 6.19. Due diverse maggiorazioni della strallatura ausiliaria e loro influenza sulle dimensioni del ciclo frenante; ciclo ellittico eccitante (a regime)

7.

Camini: modellistica. Controllo della risposta

7.1

Azione di deriva da distacco di vortici

7.1.1

Generalità

Ci riferiamo nel seguito al camino e agli assi e simboli in Figura 7.1a; indichiamo con m(x) la densità di massa del mantello, e con P(x) il peso proprio soprastante la sezione di ascissa x. Sia I(x) la legge di variazione, lungo l’altezza, del momento d’inerzia della sezione retta.

(a)

(b) Fig. 7.1.a,b. Modellistica di camini. (a) Schema di oscillatore flessionale. (b) Azione pulsante laterale, perpendicolare alla direzione del vento

138 Camini. Modellistica. Controllo della risposta

Ci occupiamo qui delle oscillazioni della ciminiera normalmente alla direzione del vento. Esse sono indotte, in particolari condizioni di vento costante, dal periodico distacco di vortici alternati ordinati in doppia schiera a poppavia della struttura (Fig. 7.3). La presenza dell’azione trasversale al vento venne chiarita inizialmente da Helmoltz. Successivamente Levi-Civita suggerì la scomposizione delle scie in vortici. Le schiere vorticose vennero scoperte sperimentalmente da Bénard e quindi sistematicamente studiate da vonKarman. La fisica della “portanza” trasversale fu definitivamente sistemata da Joukowsky. L’azione trasversale alla direzione del vento è senz’altro la più insidiosa, favorita dalla mancanza di rugosità della superficie investita dal vento e dalla sensibile costanza della sezione nella parte superiore, in concomitanza con particolari condizioni ambientali. Non consideriamo le oscillazioni nella direzione del vento per le quali è sufficiente un dimensionamento statico; di fatto, esse non inducono pericoli di risonanza per la gamma di snellezze prevalentemente adottate nelle applicazioni strutturali. Tali snellezze comportano infatti periodi propri non superiori ai 2.5 secondi e quindi senz’altro inferiori alla distanza tra le raffiche che è generalmente non minore ai 4 y 5 secondi. Quanto alle oscillazioni per galoppo, sembra possano escludersi nelle tipologie strutturali che stiamo considerando. Indichiamo con V la velocità del vento che investe la ciminiera, assimilata a solido cilindrico circolare; all’aumentare di V, nel flusso fluido inizialmente laminare, si innesca la formazione di sistemi di vortici, la cui struttura e la cui frequenza di distacco – a poppavia dell’ostacolo – dipende sensibilmente dal valore del numero di Reynolds R V ˜ D Q , essendo Q la viscosità cinematica del fluido ( | 13.3 u 10 6 m 2 /s ) e D il diametro medio della struttura. Per l’influenza del numero di Reynolds sulla separazione dei vortici valgono i seguenti range numerici:  R ! 3u 106 flusso turbolento con periodico distacco di vortici; 6  RCR  R  3u 10 oltre RCR il flusso diventa turbolento e prevalentemente aperiodico il distacco;  10 2  R  RCR flusso prevalentemente laminare con separazione vortici a ben definite “frequenze di distacco” n;  R  10 2 flusso laminare e assenza di distacco vortici. La frequenza di distacco è: n

S˜

V D

(1)

S indica il “numero di Strouhal” il cui legame con il numero di Reynolds, per il cilindro, è plottato in Figura 7.2. Dunque per un ampio spettro di valori di R, i vortici presentano struttura stabile e asimmetrica: si distacca cioè via via un vortice, alternativamente orario ed antiorario, su ciascun lato della ciminiera, dando origine alle due schiere vorticose schematizzate in Figura 7.3.

Azione di deriva da distacco di vortici 139

Fig. 7.2. Legame di S (numero di Strouhal) con il numero di Reynolds

(a)

(b) Fig. 7.3.a,b. Distacco di doppia scia vorticosa a poppavia di un ostacolo cilindrico. (a) Schema e geometria delle scie di vortici. (b) una verifica sperimentale

Mentre un vortice si sta formando, la corrente circolatoria locale si sottrae a quella traslatoria generale, determinando localmente una diminuzione della velocità del flusso fluido. La maggior velocità del vento sul lato opposto della ciminiera determina in tale zona – in accordo con il teorema di Bernoulli – una diminuzione di pressione; ciò induce nella ciminiera un’azione di deriva normale alla direzione del vento e volta dal lato del vortice in formazione a quello opposto. Poiché i vortici si formano alternativamente sui due lati opposti della ciminiera con frequenza n, la doppia schiera vorticosa induce nella struttura un disturbo F(t) oscillante, con periodo T 1 n , eguale a quello di distacco dei vortici, in direzione normale a quella del vento. Si assume che l’intensità di tale azione pulsante sia uniformemente distribuita lungo l’altezza della ciminiera e oscilli tra i valori estremi:

140 Camini. Modellistica. Controllo della risposta

F r UV 2 A Ck 2 , in cui U è la densità del fluido, A la sezione retta del cilindro, V la velocità del fluido, e Ck il coefficiente di von Karman, approssimativamente eguale a 1 in un ampio intervallo di numeri di Reynolds. La grave insidia di questo tipo di azione aerodinamica è legata alla possibilità di innesco di risonanza quando la frequenza n di distacco dei vortici eguaglia la frequenza naturale fondamentale f0 della ciminiera. Indicata con VCR la velocità del vento in corrispondenza a cui n f0 (velocità critica), dalla (1), in cui si ponga n f0, si ha subito: f0 ˜ D . VCR S

7.1.2

Controllo della risonanza

Prove sperimentali su cilindri (Fig. 7.3b) hanno mostrato che vibrazioni da distacco dei vortici possono essere trascurate in presenza di smorzamento con decremento logaritmico:

G t 43.5

U ˜ D2 m

,

con U = .00125 Nm4s2 e m massa unitaria. Lo smorzamento necessario per prevenire risonanza può essere indotto artificialmente, p. es. con smorzatori inerziali, come si dice più avanti al Cap. 8. Altro approccio alla sicurezza potrebbe essere l’irrigidimento della struttura – ove possibile – in modo da shiftare la velocità critica oltre il valor massimo del vento locale: VCR !! Vmax ,

e quindi prevenire il fenomeno vibratorio.

Fig. 7.4. Nervatura a elica sul terzo superiore del camino

Dinamica del primo modo dominante 141

All’opposto, l’instaurarsi della condizione VCR  Vmax non previene vibrazioni ma dà comunque livelli vibratori inferiori rispetto a quelli calcolati con la effettiva pressione del vento. Altra tecnica di prevenzione, molto usata, è quella di modificare, rendendola irregolare, la superficie del camino, per esempio nel terzo superiore, in modo da creare irregolarità nella formazione delle scie vorticose e quindi prevenirne gli effetti. Si ricorre per esempio a nervature elicoidali saldate al mantello, con sporgenza dell’ordine di 0.1D (si veda più avanti § 8.3.1, e Fig. 7.4).

7.1.3

Ovalizzazione

Altro insidioso effetto da scie vorticose sulla parte superiore della struttura a sezione anulare (camini, torri di raffreddamento) è quello di vibrazioni ovalizzanti associate ad una velocità critica metà rispetto a quella dei cilindri verticali: 1 D f 0* VCR , 2 S in cui f 0* è la frequenza propria flessionale della parte strutturale superiore: f 0*

0.428 r2

EJ , m

r: raggio,

m: massa unitaria.

7.2

Dinamica del primo modo dominante

7.2.1

Moto naturale. Moto forzato e controllato. Sforzi

Ci riferiamo agli assi in Figura 7.1a e all’ipotesi di geometria e inerzia che comportino primo modo dominante:

\ ( x) 1  cos Dx ,

S

. 2H Per le oscillazioni stazionarie e in fase si ha: y ( x, t ) \ ( x) ˜ Y (t ) ,

essendo Y (t )

D

y( H , t ) .

Considerata una resistenza viscosa cv la variazione temporale dello sforzo nella generica sezione retta di area A può esprimersi: V (t ) EH (t )  V v (t ) , E: modulo di Young con: V v (t ) cv (t ) ˜ H (t ) . L’apporto di quest’ultima distribuzione di sforzi al momento totale Mˆ nella sezione, risulta: Mv

³ V v ( t ) z dA

A

cv I ( x )

w3 y , wx 2 wt

142 Camini. Modellistica. Controllo della risposta

con ovvio significato del simbolo z e indicando nel seguito con lettere maiuscole T e M le azioni interne della generica sezione retta; Mˆ M  M . v

L’equazione di equilibrio rotazionale per il generico tronco di altezza dx, tenuto conto dell’effetto del peso P(x) soprastante e trascurate l’inerzia rotatoria e la deformazione di taglio, può scriversi: § wy wMˆ ·¸ dx ¸ Mˆ  T dx  P( x ) dx  ¨¨ Mˆ  wx wx © ¹ da cui: w (M  Mv ) wy  P( x) wx wx e:

0,

T,

w 2 (M  M v ) wy w2 y c P x  P x  ( ) ( ) . wx wx 2 wx 2 Posta nella equazione di equilibrio dinamico trasversale:

wT wx

wT w 2 y ( x, t )  m( x ) , wx wt 2 e tenuto conto del legame momento-curvatura da cui: w 2M wx 2

w 2 wx 2 ( EI ( x ) w 2 y wx 2 ),

l’oscillazione naturale della ciminiera ad inerzia variabile è infine così descritta: w2 wx 2

2 · 2 § 3 2 2 § · ¨ EI ( x) w y ¸  cv w ¨ I ( x) w y ¸  Pc( x) wy  P ( x) w y  m( x) w y ¨ wx wx 2 ¸¹ wx 2 ¨© wx 2 wt ¸¹ wx 2 wt 2 ©

0.

In presenza della densità di disturbo Fr(t) (Fig. 7.1b) e di forza e coppia di controllo a quota h (rispettivamente U e W in Fig. 7.1a), l’equazione del moto di deriva della ciminiera diventa: E

w2 wx 2

2 · 2 § 3 2 2 § · ¨ I ( x) w y ¸  cv w ¨ I ( x) w y ¸  P( x) w y  Pc( x) wy  m( x) w y 2 ¸ 2 ¨ 2 ¸ 2 ¨ wx wx ¹ wx © wx wt ¹ wx wt 2 ©

Fr (t )  W ˜ G c( x  h )  U ˜ G ( x  h ) ,

in cui G c(x) indica derivata della distribuzione G (x) di Dirac spaziale [34]. Applicata una trasformazione integrale ai due membri dell’equazione indefinita, si perviene subito all’equazione di moto modale [10]. 7.2.1.1

Calcolo di sforzi massimi sotto carichi impulsivi (vento a raffiche): una procedura semplificata

Il problema è intrisecamente dinamico; ne vediamo una analisi semplificata. Con riferimento alla deformata y(x, t) in Figura 7.1a, indichiamo con p(t) la densità di carico impulsivo uniformemente distribuito lungo l’altezza H del camino; l’impulso sia:

Dinamica del primo modo dominante 143 t0

I

³ p(t ) dt ,

e poniamo

B1

0

t0 , T

T: periodo del primo modo

Assumiamo che nell’istante di massima deformazione (in cui vogliamo T ed M nella sezione critica) la deformata sia assimilabile alla linea elastica sotto carico uniforme: § 4 x 1 x4 · d y ( x) d 2 y ( x) ¸ y ( x) C0 ¨¨1  (da cui subito e ).  4 ¸ dx d x2 © 3H 3H ¹ Quando si sia ricavato , dai grafici in Figura 7.5 (impulso triangolare) il parametro: Lest rapporto tra lavoro esterno esatto e approssimato, in funzione di B1 , B2 L*est allora il coefficiente C0 è noto [135]: C0

ª 5 B2 H 4 º « » ¬6 E Jx m ¼

1

2

˜I

,

I: impulso di durata t0

Fig. 7.5. Curve B2 vs B1, per la valutazione della risposta impulsiva

144 Camini. Modellistica. Controllo della risposta

con E modulo elastico, Jx momento d’inerzia baricentrale della sezione, m massa unitaria; è inoltre: T

2S Z0

con

Z0

3.516 E ˜ J ˜ . m H2

Dai legami differenziali Mx massime azioni interne in x = H:

E J x ycc( x ) e Tx

E J x yccc( x ) si ricavano le

4 8 T E J x C0 3 . 2 H H La procedura è applicabile in campo elastoplastico, determinando (Figura 7.5) il carico statico Rm che innesca cerniera plastica e calcolando B2 dalla curva Rm (p0: picco dell’impulso triangolare). Cr p0 M

E J x ˜ C0

8.

Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

Con riferimento ad un oscillatore principale monomassa (modello per il primo modo strutturale), esaminiamo dapprima il caso di forzante F sulla massa. Per tale caso ci si limita a dare procedure sinottiche di modulazione dell’oscillatore ausiliario. Successivamente si considera il caso di eccitazione cinematica alla base dell’oscillatore principale con modellistica delle equazioni di moto. Vengono infine analizzate applicazioni ai camini e agli edifici a torre.

8.1

Forzante sull’oscillatore principale: schemi di modulazione dello smorzatore passivo

8.1.1

Caso non smorzato: quadro sinottico

Consideriamo l’accoppiamento tra oscillatore principale e oscillatore secondario, schematizzato in Fig. 8.1a. Trascuriamo qui gli smorzamenti propri e consideriamo forzante F sulla massa principale. Definiamo i seguenti parametri:

P

Z

'

'

m , M

ka , m

:

K M

'

x Risonanza è: Z F

(frequenze circolari). :.

F (Fig. 8.1b), ka le frequenze modali del sistema 2GdiL sono (Fig. 8.2):

Se Z

:12

::

Y

0,

y



ª P P2 º » Z ˜ «§¨1  ·¸ r P  2¹ 4 » «¬© ¼

1

2

146 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

­:1: 2 Z 2 ° ®§ :1 · 2 § : 2 · 2 ¸ ¨ ¸ °¨ ¯© Z ¹ © Z ¹

2P

.

x Possibile procedura di “accordatura” in quattro passi: 1. Z : ; 2. fissata la banda di attenuazione [ :1  : 2 ]; 2

2

§: · §: · 3. si ricava P da ¨ 1 ¸  ¨ 2 ¸ 2  P , da cui: m ©Z ¹ © Z ¹ 4. equilibrio a risonanza F K a ˜ y max (controfase): fissato y max Ÿ K a . Una procedura alternativa di accordatura è data in [38].

P˜M ;

Esempio 8.1 Lo spettro 2 GdiL (oscillatore principale e ausiliario, Fig. 8.3, per un caso particolare) evidenzia la ridotta banda di attenuazione, “chiusa” tra le due risonanze, e quindi il limite di impiego di questo approccio “non smorzato” (si pensi, in particolare, al caso di transitori di avvio o di arresto di macchine).

(a)

(b)

Fig. 8.1.a,b. (a) Accoppiamento di oscillatore M con oscillatore m (smorzatore inerziale). (b) Bilancio a risonanza

Fig. 8.2. Frequenze modali vs parametro P

Forzante sull’oscillatore principale: schemi di modulazione dello smorzatore passivo 147

Fig. 8.3. Oscillatori non smorzati: stretta banda di attenuazione, tra le due risonanze

Z , [a :, [

P

m M

C modo da controllare 2 M:

E

Z :

Fig. 8.4. Oscillatori smorzati accoppiati. L’oscillatore principale monomassa può rappresentare il modo da controllare di un dato oscillatore multimodale

8.1.2

Caso smorzato: quadro sinottico

Consideriamo ora smorzamento proprio sia nell’oscillatore principale (coeff. C) sia nell’oscillatore secondario (coeff. ca), con i seguenti obbiettivi (Fig. 8.4):  “legare” i modi;  ampliare la banda di attenuazione;  smorzare i picchi di risonanza; ca  Y z 0 per ZF : . [ 2 ˜ m ˜Z Un possibile iter di “accordatura” dei due oscillatori è: 1. identificazione dei parametri del modo da controllare; 2. specifica '[ '[ eq da ottenere con lo smorzatore inerziale; 3. scelta di P (compromesso tra varie esigenze): § · 1 P 2 ¨ '[ Ÿ P di prima approssimazione ¸¸ ; ¨ 2 1 P 2 © ¹

148 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

4. E * e [ a* con qualche criterio di ottimalità; per esempio: ­ * °E ° ® °[ * ° a ¯

Z :

1 1 P

1 3 ( P 2) 2 1  3P

; Ÿ

si ricavano : K a , ca

5. massimo spostamento y del damper: ­'m se eccessivo, modifiche a P al passo 3° : ® ¯'[ a calore generato; 6. progetto esecutivo con possibilità di aggiustaggio di Z e [ a in esercizio;

7. installazione, monitoraggio e aggiustaggio di Z, [ a ; 8. per la robustezza dello smorzatore: si può adottare un banco di smorzatori con Zi distribuite attorno all’: modale da controllare. Esempio 8.2 Qualche esempio di secondario (Fig. 8.5).

strategia di scelta dei parametri dell’oscillatore

(a)

(b)

(c) Fig. 8.5. Alcune strategie di scelta dei parametri dello smorzatore inerziale. Nei tre casi (a), (b), (c) i valori numerici sono indicati nelle figure

Caso di forzante e di eccitazione cinematica sull’oscillatore principale 149

8.2

Caso di forzante e caso di eccitazione cinematica sull’oscillatore principale

8.2.1

Equazioni newtoniane di moto

Consideriamo il sistema costituito da oscillatore principale non-smorzato e smorzatore-inerziale ausiliario schematizzato in Figura 8.6; i principali simboli sono dati in Figura. Nella rappresentazione con vettori rotanti nel piano di Argand-Gauss, il modo di Figura 8.6 è descritto dai due vettori z e x in controfase: z x S . x Frequenze modali: :1,2

ª P P2 º » : ˜ «§¨1  ·¸ r P  2¹ 4 » «¬© ¼

1

2

;

k ; M

:

Zm

h m

P

'

m M

x Forme modali: §z· ¨ ¸ © x ¹1

[ M :12  ( k  h )] (  h)

;

[ M : 22  ( k  h )] . (  h)

§z· ¨ ¸ © x ¹2

Nel caso di forzante F(t) sulla massa M, le equazioni newtoniane per il sistema a 2 GdiL sono [38], Fig. 8.6a: ­ x(t )  : 2 ˜ x (t ) 1 > F (t )  c z (t )  h z (t ) @ °° M ® ° Z(t )  2[Z z (t ) Z 2 z (t ) 0 Ÿ z(t )  2[Z z (t ) Z 2 z (t ) m m m m °¯

1 ˜ > mx(t ) @ m

(1)

'

con Z z  x ; la seconda delle (1) tenuto conto della primasi scrive infine: § c · § h · z(t )  ¨  2[Z m ¸ z (t )  ¨  Z m2 ¸ z (t ) ©M ¹ ©M ¹

: 2 ˜ x(t ) 

Nel caso di suolo accelerato si ha (Fig. 8.6b, Z

1 F (t ) . M

z  x  Xg , X

x  X g ):

1 ­ 2  °°x(t )  : ˜ x(t ) M  MX g (t )  c z (t )  h z (t ) (2) ® °z(t )  2[Z z (t ) Z 2 z (t ) 1 ˜  m x(t )  m X (t ) m m g °¯ m con Xg (t ) Xg ˜ f (t ) , storia di accelerazione del suolo e Xg valore di picco; la

>

@

>

@

seconda delle (2) tenuto conto della prima si scrive: § c · § h · z(t )  ¨  2[Z m ¸ z (t )  ¨  Z m2 ¸ z (t ) M M © ¹ © ¹

: 2 ˜ x(t ) .

150 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

(a)

(b)

Fig. 8.6.a,b. Oscillatori accoppiati. (a) Forzante sulla massa. (b) Eccitazione cinematica impressa all’oscillatore principale

Nello spazio degli stati, introdotti i seguenti vettori di stato [39], si ha: '

x ( x x ) T

'

z ( z z ) T .

e

Il sistema (1) diventa: § x · ¨¨ ¸¸ © z ¹

§ x· A¨¨ ¸¸  BF (t ) , in cui ©z¹ ª 0 « 2 « : « 0 « « :2 ¬«

A

1

0 h M 0

0 c M 1

º » 0 » », 0 § h · § c ·» 0 ¨  Z m2 ¸ ¨   2[Z m ¸» © M ¹ © M ¹¼»

Bs

>0

1 M 0  1 M @T .

Il sistema (2) si riscrive: § x · ¨¨ ¸¸ © z ¹

§ x· A¨¨ ¸¸  Bs ˜  MX g (t ) , ©z¹





Bs

>0

1 M 0 0@T .

Per trasformazione di Laplace delle equazioni newtoniane si ottiene il legame “input/output” per l’oscillatore principale M (“s”: variabile complessa): X (s) G(s) ˜ F (s) relativo al caso di forzante sulla massa. La funzione di trasferimento è:

Esempi di applicazioni 151

G( s)

s 2  2[Z m s  Z m2 ª 2 h ·º 2 2 2 2§ c « s  2[Z m s  Z m s  :  s ¨ M s  M ¸» ¹¼ © ¬







.

Nel caso di suolo accelerato gli spettri di risposta in frequenza di M (modulo e fase a regime, sotto “spazzolata” sinusoidale) sono dati in Figura 8.7. Nella rappresentazione con vettori rotanti nel piano di Argand-Gauss, indicati con Fe e Fd i fasori immagine della forza elastica e, rispettivamente, della forza di “damping” su M, si può assumere come “margine di fase” PM (cioè come indice di robustezza) la grandezza seguente: ' F PM tg 1 d . Fe In condizione di stabilità marginale è PM = 0 [38] [39].

(a)

(b)

Fig. 8.7.a,b. Risposta in frequenza dell’oscillatore M. (a) Modulo. (b) Fase

8.3

Esempi di applicazioni

8.3.1

Applicazioni ai camini

È noto che l’intensità dell’oscillazione provocata da scie vorticose in camini metallici, è inversamente proporzionale al numero di Scruton (della ciminiera), dato da: 4 mS[ (3) Sc Ua ˜ D 2 con: m = massa per unità di altezza del terzo-superiore della ciminiera [ = rapporto di smorzamento (frazione al critico) Ua = densità dell’aria (1.25 kg/m3) D = diametro esterno alla sommità ciminiera (m). Per valori di Sc pari a 25 o più, si è trovato sperimentalmente che le oscillazioni indotte in ciminiere metalliche da tali moti vorticosi diventano trascurabili; la Figura 8.8 ([86], [87]) mostra la variazione dello spostamento orizzontale

152 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

massimo in sommità (Y/D) in rapporto a Sc per ciminiere metalliche isolate lisce e per quelle trattate con nervature ad elica. Dalla relazione (3) si ottiene: D2 [ min 2.49 m con [ min valor minimo di [ necessario per prevenire oscillazioni da scie vorticose. Prove a scala reale su ciminiere di diversa altezza (dai 30 ai 145 m) hanno fornito un valore dello smorzamento più basso di quello necessario in condizioni di sicurezza. Per superare questa carenza è possibile: 1. introdurre soluzioni aerodinamiche per abbattere il disturbo: peraltro, come mostra Figura 8.8, l’efficacia delle nervature a elica scende rapidamente al di sotto di un certo valore di Sc ; 2. introdurre dispositivi smorzatori inerziali in grado di aumentare lo smorzamento della struttura. Lo smorzamento medio naturale [ di ciminiere metalliche è compreso tra 0.003 e 0.008, mentre per prevenire oscillazioni di deriva da distacco di vortici è necessario un rapporto di smorzamento che sia superiore a quelli di almeno un ordine di grandezza (p. es.: [ = .025) e rapporti sbandamento/altezza Y/H=.005.

Fig. 8.8. Risposta alla sommità del camino vs numero di Scruton, per varie lunghezze del tratto con nervature a elica, e in assenza di nervatura

8.3.1.1

Impiego di smorzatori Inerziali

La Figura 8.9 mostra uno smorzatore inerziale (oscillatore secondario) montato alla sommità di una ciminiera metallica [86] [87]. Detto YD lo sbandamento orizzontale in sommità in presenza di smorzatore, Y quello in assenza di smorzatore, M la massa generalizzata della ciminiera e m la massa dello smorzatore ( P m M ) si trova: YD Y

2 ˜ [C ˜ 1  2

M m

Esempi di applicazioni 153

(a)

(c)

(b)

Fig. 8.9.a-c. Camino con oscillatore ausiliario in sommità. (a) Prospetto della massa anulare pendolare ausiliaria con dettagli degli elementi viscoelastici. (b) Pianta della massa anulare con elementi viscoelastici. (c) Visione fotografica di una installazione

in cui [C è il rapporto si smorzamento strutturale della ciminiera. La Figura 8.10 mostra il legame YD Y y P per vari valori di [c.

Fig. 8.10. Sbandamento in sommità (con/senza smorzatore) vs rapporto tra le due masse

154 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

Quanto alla “accordatura” della massa ausiliaria sulla massa principale, una possibile scelta è la seguente (cui si fa riferimento nella applicazione descritta al paragrafo successivo): fm fM

[m

8.3.1.2

1 , 1 P

f: frequenza in Hz;

3P , 4 (1  P ) (2  P )

[m: smorzamento della massa ausiliaria.

Descrizione di sistemi dissipativi [86], [87]

Descriviamo qui due installazioni di dissipatori inerziali di tipo pendolare (Fig. 8.9). Lo smorzatore è situato vicino alla sommità della ciminiera, e ha un braccio pendolare di lunghezza maggiore di circa il 30% di quella del pendolo matematico. Gli elementi elasto-viscosi, formati da “matasse” metalliche elicoidali, sono uniti alla sommità del camino da robusti ganci metallici. La massa anulare dello smorzatore inerziale, è posta esternamente alla ciminiera. Dissipatori opportuni sono posti nello spazio compreso tra la massa anulare e la ciminiera allo scopo di evitare urti tra i due sistemi (per esempio, nel caso di carichi da raffiche). Qualche dato tecnico sulle due installazioni. a. Prototipo studiato e installato nel 1978:  ciminiera: 70 m (altezza) ; 1.8 m (diametro);  massa dello smorzatore: 1.7 % della massa della ciminiera (827 kg);  sistema di smorzamento: 6 gruppi di elementi elasto-viscosi. Le proprietà dinamiche proprie dello smorzatore (frequenza naturale e rapporto di smorzamento), ottenute prima della sua installazione sulla ciminiera, sono state ricavate dalla curva di decadimento di vibrazioni indotte artificialmente:  'f = + 4.5 % rispetto a quella nominale di progetto dello smorzatore;  '[ =  40 % di quello nominale ottimo di progetto. Lo smorzamento del sistema accoppiato può essere ricavato in vari modi:  bloccando la sollecitazione e registrando il valore di decadimento;  stimando la pendenza della curva di ritardo di fase alla risonanza. Il rapporto di smorzamento efficace del sistema accoppiato (ciminiera e dissipatore), ricavato mediante prove a scala reale, è pari al 5 % del critico. La presenza del dissipatore ha aumentato lo smorzamento della ciminiera di un fattore 15. b. Test su scala reale effettuati alla velocità critica del vento. Si è operato su tre ciminiere di 86 m d’altezza e 3.7 m di diametro poste a una distanza di 22.8 m l’una dall’altra (costruite per una centrale elettrica nel nord della Germania). Massa totale di ciascuna di esse: 173u103 kg con massa unitaria del terzo-superiore pari a 2000 kg/m. La frequenza fondamentale di ciascuna ciminiera è risultata di 0.52 Hz. Si sono osservate oscillazioni già ad una velocità del vento di 9.6 m/s; per evitare oscillazioni dovute a moti vorticosi e a fenomeni di “buffeting”, è stato introdotto un sistema di isolamento formato da una massa ausiliaria di 4500 kg con 12 elementi elasto-

Esempi di applicazioni 155

viscosi, una frequenza propria di 0.479 Hz e un rapporto di smorzamento di 0.13. Test a scala reale hanno provato che la frequenza d’oscillazione dovuta a moti vorticosi, in condizioni di risonanza, era di 0.42 Hz (frequenza fondamentale del sistema accoppiato). La deflessione orizzontale massima misurata alla velocità critica è stata di r 50 mm con uno spostamento relativo massimo tra la ciminiera e il dissipatore di 80 mm. 8.3.2

Il grattacielo Citicorp (NYC):

a. Lo smorzatore inerziale passivo In regime passivo, lo smorzatore inerziale posto alla sommità del grattacielo Citicorp può essere schematizzato come in Figura 8.11a. Quando si consideri il controllo del primo modo dominante dell’edificio a torre, si può adottare il modello con due oscillatori monomassa accoppiati, di Figura 8.11b. Alcuni dati relativi alla torre (1° modo, indice “B”) e al “damper” (indice “D”): x M B 1.8 ˜ 107 kg ; x K B

1.8 ˜ 10 6 daN m ;

x C B 3.64 ˜10 4 daN ˜ s m ; x [ B .01 ;

Z1 # .93 s -1 ; x TB 6.75 sec , x M D 0.02 ˜ M B ; x [ D .036 . La densità di potenza dell’azione aerodinamica può essere modellata con lo spettro piatto in Figura 8.12, e con il seguente livello: periodi propri: TB, TD. PSD vento: G v 4.4 ˜10 5 kN 2 Hz La risposta di edificio e smorzatore sono descritte nelle seguenti tabelle [96]. Tabella 8.1. Parametri caratteristici con e senza smorzatore MB Caso I senza smorzatore Caso II con smorzatore

TB

]B

P MD/MB

TD

]D

18.˜10 kg

6.75 sec

.01

0.0





18.˜106 kg

6.75 sec

.01

0.02

6.89 sec

.036

6

Tabella 8.2. Parametri caratteristici di ingresso e di risposta con e senza smorzatore Caso I senza smorzatore Livello azione aerodinamica Sbandamento in sommità Smorzamento equivalente RMS della corsa dello smorzatore RMS della velocità relativa dello smorzatore RMS della forza attuatore Potenza di picco del vento

2 4.4˜105 kN /Hz 20.32 cm .01    12.2 kW

Caso II con smorzatore P = .02 4.4˜105 kN2/Hz 10.16 cm .04 38.1 cm 35.3 cm/sec 17.3 kN 12.1 kW

156 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

(a)

(b)

Fig. 8.11.a,b. Smorzatore inerziale su edificio a torre. (a) Schema di installazione. (b) Controllo del 1° modo, modellato come monomassa

Fig. 8.12. PSD dell’azione aerodinamica

b. Lo smorzatore inerziale servoassistito È previsto che l’oscillatore inerziale sulla sommità della torre sia servoassistito con una forza U(t) proporzionale, e in controfase, alla accelerazione yB misurata on-line alla sommità stessa della torre. La legge di feedback è pertanto: U  K A ˜ yB , guadagno K A 1.5 y 2 . Tale azione è implementata con un attuatore elettroidraulico che fa contrasto sulla torre, come schematizzato in Figura 8.13a. Le equazioni di moto sono pertanto (Fig. 8.13a): ­ M B yB  CB y B  K B yB CD z  K D z  Fv  U ; U : forza di controllo sulla sommità torre ° ® M D yD  C D y D  K D yB  M D yB  U °U  K ˜ y ¯ A B

La risposta è descritta nelle Tabelle 8.3 e 8.4 e nei grafici di Figura 8.14. Tabella 8.3. Parametri caratteristici con e senza smorzatore MB Caso I senza smorzatore Caso II con smorzatore Caso III smorzatore attivo Caso IV smorzatore attivo

TB

[B

MD/MB

TD

[D

KA

18. 10 kg

6.75 sec

.01

0.0







18. 106 kg

6.75 sec

.01

0.02

6.89 sec

.036

1.0

18. 106 kg

6.75 sec

.01

0.02

6.89 sec

.036

1.5

18. 106 kg

6.75 sec

.01

0.015

6.89 sec

.031

2.0

6

Esempi di applicazioni 157 Tabella 8.4. Parametri caratteristici di ingresso e risposta con e senza smorzatore

Livello azione aerodinamica Sbandamento in sommità Smorzamento equivalente RMS della corsa dello smorzatore RMS della velocità relativa dello smorzatore RMS della forza attuatore Potenza di picco del vento Assorbimento attuatore Potenza idraulica alla servovalvola Minima capacità di raffreddamento olio

(a)

Caso I senza smorzatore

Caso II con smorzatore P = 0.02

4.4˜105 2 kN /Hz

Caso III smorzatore attivo P = 0.02

Caso III smorzatore attivo P = 0.015

2 4.4˜105 kN /Hz

4.4˜105 kN2/Hz

4.4˜105 kN2/Hz

20.32 cm

10.16 cm

10.16 cm

10.16 cm

.01

.04

.04

.04



38.1 cm

34.5 cn

46.0 cm



35.3 cm/sec

32.3 cm/sec

43.2 cm/sec



17.3 kN

23.6 kN

22.7 kN

12.2 kW

12.1 kW

12.2 kW

12.2 kW



6.1 kW

6.7 kW

6.3 kW



14.7 kW

18.2 kW

23.5 kW



1354 BTU/min (1 BTU =252 cal)

1562 BTU/min

1863 BTU/min

(b)

Fig. 8.13.a,b. Edificio a torre con smorzatore inerziale servoassistito. (a) Schema a due monomassa. (b) Schema funzionale del servo

158 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

(a)

(b) Fig. 8.14.a,b. Curve di rendimento del “damper” passivo e servoassistito. (a) Corsa vs smorzamento. (b) forza vs smorzamento

In Figura 8.15 è data una visione d’assieme dell’installazione, con le principali funzioni [108].

Esempi di applicazioni 159

Fig. 8.15. Smorzatore inerziale servoassistito (2 GdiL) sulla sommità del grattacielo Citicorp Center di NYC: visione d’assieme dei principali componenti dell’impianto (Società MTS)

160 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

8.4

Cenni al controllo giroscopico delle vibrazioni forzate di un’asta rigido-elastica [25]

Nella flessione: dΓ = Γ ⋅ dφ

Γ˙ = Γ ⋅ φ˙ = I r Ω φ˙ = M* (sul rotore) M = −M*

(sul telaio)

Visualizzazione grandezze meccaniche

Precessione del telaio/rotore. Sotto la coppia di momento M la precessione dq del telaio è: Γ˙ = I Ω φ˙ = M * (coppia sul rotore) r

g

Per il principio di azione e reazione: M g = −M *g, pertanto: M g = −I r Ωφ

W: peso rotore Ω: velocità angolare rotore (costante) Ir: momento d’inerzia polare Γ = Ir ⋅ Ω: momento angolare rotore

Sistema Rotore-Telaio-Freno

Modello Rigido-Elastico

Controllo giroscopico delle vibrazioni 161

Controllo: frenando l’energia cinetica angolare di precessione del telaio/rotore si desta per reazione la coppia di momento Mg che controlla la flessione. Vediamo qualche dettaglio. Equazioni di moto dell’oscillatore con coppia Mg di controllo dΓ d(Iφ˙ ) = = Iφ˙˙ dt dt I t ⋅ φ˙˙ = −h ⋅ φ − c t ⋅ φ˙ + F(t) ⋅ b + M g

M tot =

h: rigidezza dell’incastro elastico

I t ⋅ φ˙˙ + h ⋅ φ − c t ⋅ φ˙ = F(t) ⋅ b − I r ⋅ Ω ⋅ θ˙ (t) I 1 φ˙˙ + 2 ξ t ω t φ˙ + ω t2 ⋅ φ = F(t) ⋅ b − r Ω θ˙ (t) It It

ωt =

h ; It

It =

(1)

1 mH 2 ; 3

Equazione del moto di precessione del giroscopio passivo I ⋅ θ˙˙ = −W ⋅ a ⋅ θ − c θ˙ + I Ω φ˙ p

g

r

I p ⋅ θ˙˙ + W ⋅ a ⋅ θ + c g θ˙ − I r Ω φ˙ = 0 cg I W ⋅a θ˙˙ + θ + θ˙ − r Ω φ˙ = 0 Ip Ip Ip da cui:

c g : coppia di damping naturale del giroscopio (2) cg W ⋅a ωg = 2 ξg ωg Ip Ip

I θ˙˙ + ξ g ω g θ˙ + ω g2 θ = r ⋅ Ω ⋅ φ˙ (t) Ip

M g (t) = −I r ⋅ Ω ⋅ θ˙ (t)

dalla (2) la risposta di precessione è:

θ max =

i I rΩ ω1 φ m −I p ω t2 + W ⋅ a − i c g ω t

i = −1

(3)

La coppia giroscopica esercitata sull’oscillatore angolare è: M g = I r ⋅ Ω ⋅ θ˙ =

−(I r Ω )2 ⋅ ω t2 ⋅ φ −I p ⋅ ω t2 + W ⋅ a + i c g ω t

(1 − β g ) + (2 ξβ g ) φ din = 2 2 φ st [(1 − β g ) (1 − β 2 ) − β 2 µ ]2 + (2 ξβ g )2 (1 − β 2 ) 2 2

ωt ⎧φ = F ⋅ b β = g ⎪ st h Wa / I p ⎪ ⎨ cg (I Ω )2 ⎪ξ = µ= r g ⎪ WaI t 2 WaI p ⎩

(4)

2

β=

ωt h / It

(5)

162 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

Procedura di dimensionamento dei componenti 1. si ponga ωg ≅ ωt (noto) Wa Wa ⇒ = ω g2 Ip Ip

ωg =

si dimensiona: W, a, Ip, quindi: Ir, Ω; 2. dall’equazione (1) nel piano complesso: F⋅ b I r ⋅ Ω ⋅ ω t ⋅ θ = F ⋅ b da cui: θ max = Ir ⋅ Ω ⋅ ωt 3. dall’equazione (2): θ˙˙ = ω 2 ⋅ θ φ˙ = ω ⋅ φ

(6)

c g ⋅ ω t ⋅ θ max = I r ⋅ Ω ⋅ ω g ⋅ φ am

(7)

g

t

am

ω g ≅ ωt.

Noti φam, Ir, Ω, θmax, da (3), sotto l’ipotesi ωg ≅ ωt, si ricava il damping cg necessario a soddisfare l’equilibrio (7): I ⋅ Ω ⋅ θ am cg = r θ max 4. Verifica del dimensionamento precedente: φam, cg, Wa, Ir, ω in (3) e quindi θmax; Mg da (4); φdin da (5). Dinamica oscillatore + giroscopio nello spazio degli stati ⎧φ˙˙ + ω 2 φ = I r Ω θ˙ + b ⋅ F(t) ⎪ It It ⎪ ⎨ I c W ⋅ a ⎪θ˙˙ + θ˙ + ⋅ θ = r ⋅ Ω ⋅ φ˙ Ip Ip Ip ⎪⎩ Vettore di stato: x = ( φ φ˙ θ θ˙ ) T = (x 1 x 2 x 3 x 4 ) T ⎧x˙ 1 = x 2 ⎪ I b ⎪x˙ 2 = − ω 2 ⋅ x 1 − r ⋅ Ω ⋅ x 4 + ⋅ F(t) I I ⎪⎪ t t ⎨x˙ = x 4 ⎪ 3 ⎪ Ir W ⋅a c x3 − x4 ⎪x˙ 4 = ⋅ x 2 − Ip Ip Ip ⎪⎩ 1 0 0 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎛x ⎞ ⎛0 ⎞ ⎢ ˙ x I ⎛ 1⎞ ⎢ 2 ⎜ b⎟ 0 0 − r ⋅Ω⎥ 1 −ω ⎜ x˙ ⎟ ⎢ It ⎥ ⎜x2⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟=⎢ ⎜ ⎟ = I t ⋅ F(t) 0 0 1 ⎥⎥ ⎜ x 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x˙ 3 ⎟ ⎢ 0 ⎜0 ⎟ ⎜˙ ⎟ ⎢ I W ⋅a c ⎥ ⎜⎝ x 4 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎝x4⎠ − − ⎝0 ⎠ ⎥ ⎢ 0 Ip Ip Ip ⎦ ⎣ x (0) = 0

Scheda DIN-1: Oscillatore monomassa a regime 163

SCHEDA DIN-1: Oscillatore monomassa a regime Programma OscMonoM.89P Considerazioni generali Il programma OscMonom calcola la risposta a regime, rispettivamente in termini di spostamento, velocità e accelerazione e sia relative che assolute, per il caso di un oscillatore a massa concentrata, nei due casi seguenti: a) eccitazione cinematica armonica applicata alla base; b) forzante armonica applicata alla massa. Nel primo caso viene fornito il solo modulo della risposta, nel secondo viene indicata anche la fase, in gradi, rispetto alla forzante. Le grandezze che caratterizzano l'oscillatore sono: la massa puntiforme M (in kg), la rigidezza K, in N/m, e il coefficiente di smorzamento C, in N˜s/m (ovvero il rapporto di smorzamento adimensionale [, rapporto tra il coefficiente di smorzamento C e il coefficiente di smorzamento critico Ccr). Della forzante viene chiesto il valore di picco: a seconda del tipo considerato viene espresso in m, m/s, m/s2 oppure in Newton, nonché la frequenza in Hz. I valori di risposta vanno intesi come valori di picco dell'oscillazione armonica a transitorio esaurito. Formulario essenziale a) Risposta a regime di oscillatore monomassa (smorzato) sotto eccitazione cinematica impressa alla base Chiamati con: x0 (t): moto del "suolo" - spostamento [m] x (t): moto dell'oscillatore - spostamento relativo alla base X (t) moto dell'oscillatore - spostamento assoluto M: massa [kg] K: rigidezza [daN/m] rapporto di smorzamento adimensionale ^Y1 ` ^Y2 ` ^Y3 `@ ˜ ®p 2 t ¾ o ^y t ` >Y @^pt ` . ° y t ° °p t ° ¯ 3 ¿ ¯ 3 ¿ I 3 moti generalizzati si determinano integrando le seguenti equazioni disaccoppiate: i t  2[iZi ˜ p i t  Zi2 ˜ pi t *i ˜ y g t , i=1,2,3 p nelle quali, y g t è l'accelerazione del terreno, e 3

¦ mk Yik

k 1 3

*i

, con i=1,2,3 sono i coefficienti di partecipazione modale.

¦ mk Yik2

k 1

Secondo la normativa italiana si esaminano i valori di picco modali, che sono:

^y`

>Y @ ˜ ^pmax ` pi ,max

*i ˜ S d ,i , Sd,i essendo la risposta spettrale (spostamento). Dalle norme

italiane si ha: ­0.0174 ˜ Ti2 per Ti  0.8 s ; (c=0.07, H 1, E 1). S d,i ® 4 /3 ¯0.015 ˜ Ti per Ti ! 0.8 s Per avere lo spostamento massimo complessivo di piano si opera con una sovrapposizione statistica dei massimi modali (RMS): y 1,max

3

2

¦ y i,1 i 1

3

, y 2 ,max

2

, y 3 ,max

¦ y i,2 i 1

3

2

¦ y i ,3 i 1

valide, rispettivamente, per il primo, il secondo ed il terzo piano. Per quanto riguarda i parametri meccanici, invece, vengono calcolate le forze taglianti e i momenti flettenti all'estremità dei pilastri, e le forze d'inerzia di ogni piano, sempre intese come grandezze massime modali. Le forze di taglio ed i momenti flettenti si calcolano a partire dallo spostamento relativo di un piano rispetto all'altro: Il taglio ed il momento massimo si calcolano ancora per sovrapposizione statistica: Ti,max

T r ,j

3

2

¦ T r ,i

r 1

, Mi, max





3

2

¦ M r ,i

.

r 1

Hj





3

con i,r 1,2,3. 2 Le forze d'inerzia di piano, infine, si calcolano come:

3

B j ˜ y r , j  y r , j1 , M r , j

Si noti che: Hj H j 12 EJ j Bj 2 2 H 3j

6 EJ j H j2

B j ˜ y r , j  y r , j 1

176 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

>M@ ˜ ^ y `i >M@ ˜ ^Y`i ˜ *i ˜ S a ,i ,

^F ` i

nella quale Sa,i è la risposta spettrale in termini di accelerazione. Secondo le norme italiane, è: ­0.687 m / s 2 per Ti  0.8 s . ® 2 / 3 per Ti ! 0.8 s ¯0.592 ˜ Ti

S a ,i

La forza d'inerzia massima di piano, in senso statistico, ha il valore: Fi,max

3

2

¦ F r ,i

.

r 1

Come al solito, nella guida all'uso verrà anche fornito un esempio numerico sviluppato in maniera completa. Guida all'uso del programma

1) 2)

3)

4)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando OSCMULTI(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3). Premere ENTER : dopo qualche secondo, durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma con una schermata introduttiva (S.4). Premere ENTER per accedere al menu principale. Supponiamo di lavorare con calcestruzzo armato. Dopo aver premuto F2: Materiali, inserire il valore del modulo elastico del materiale di cui sono costituiti i pilastri (S.5). Usando daN e metri, il modulo elastico di un calcestruzzo di resistenza normale è di circa 3˜109 daN/m2. Confermare il dato immesso e tornare al menu principale.

S.1

S.2

S.3

S.4

Scheda DIN-3: Oscillatore a 3 gradi di libertà 177

5)

6)

S.5

S.6

S.7

S.8

I dati relativi alle dimensioni sono divisi in due sottomenu: quelli relativi alla sezione dei pilastri, e quelli relativi alle dimensioni generali della struttura. I primi sono facoltativi, in quanto servono solo per calcolare le rigidezze di ogni piano, che comunque possono essere inserite manualmente, come vedremo tra poco. Pensiamo, comunque, che la struttura da analizzare abbia pilastri a sezione decrescente dal primo al terzo piano, in particolare: 30 cm u 40 cm, 30 cm u 35 cm, 30 cm u 30 cm. Premere F3: Geometria, 1: Pilastri. Il programma chiede, a partire dal piano 1 (il più basso) le dimensioni del pilastro (S.7, S.8, S.9). Inserire i valori come indicato, continuando ad usare i metri come unità di misura. Tornati al menu principale, proseguiamo con l'immissione dei dati relativi all'oscillatore: piano per piano vengono richieste l'altezza e la massa. Il momento d'inerzia (S.10) viene precompilato in base alle dimensioni dei pilastri ma, se necessario, può essere modificato direttamente da questa schermata. Per i primi due piani inserire lo stesso valore sia per l'altezza di piano (3.2 m) che per la massa (1500 daN˜s2/m), mentre per il terzo (S.12) la massa vale 1000 daN˜s2/m e l'altezza di piano resta pari a 3.2 m.

S.9

S.10

178 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

7)

8)

9)

S.11

S.12

S.13

S.14

S.15

S.16

Al termine dell'inserimento, vengono visualizzati alcuni parametri della struttura: gli autovalori (frequenze proprie, S.13), la matrice degli autovettori (forme modali, S.14), i periodi modali (S.15), i coefficienti di partecipazione modale (S.16). Dopo aver premuto ENTER l'ultima volta, lo schermo si pulisce, viene visualizzato il messaggio: "** Working… **" finché la calcolatrice non ha finito la fase di calcolo. Quando, dopo alcuni secondi, appare il messaggio: "Done, press a key" (S.17), è possibile proseguire premendo un tasto qualsiasi, tranne il tasto ON che bloccherebbe l'esecuzione del programma. A questo punto il programma ha già eseguito tutti i calcoli, ed è possibile visualizzare i risultati che interessano. Dal menu F4 : Risposta, selezionare 1: Spostam. per esaminare i dati sugli spostamenti dei piani (S.18).

S.17

S.18

Scheda DIN-3: Oscillatore a 3 gradi di libertà 179

S.19

S.20

S.21

S.22

10) Vengono forniti i valori di Sd per i tre modi principali, sotto forma di vettore (S.19). Il messaggio PAUSE su sfondo nero nell'angolo in basso a destra indica che la calcolatrice attende la pressione del tasto ENTER per proseguire. In questo modo è possibile prendere nota, se necessario, dei valori visualizzati prima che la schermata scrolli verso l'alto. 11) Quindi viene fornita la matrice degli spostamenti (S.20). Nella colonna i-esima vengono riportati gli spostamenti (in mm) dei piani 1,2,3 nel modo i. Questi valori esprimono, come spiegato nelle considerazioni generali, il massimo spostamento modale di piano. Premendo un'altra volta ENTER vengono visualizzati (S.21) i massimi spostamenti complessivi di ogni piano, calcolati per sovrapposizione statistica. 12) Dal menu F4: Risposta, selezionare 2: Tagli per esaminare i dati sulle azioni di taglio sui pilastri (S.22). 13) Anche in questo caso viene data la matrice dei tagli (in daN, ovviamente), nella quale ad ogni colonna corrispondono i massimi tagli modali piano per piano (S.23), ed il vettore dei tagli massimi complessivi agenti sui pilastri (S.24).

S.23

S.24

180 Controllo di vibrazioni con smorzatori inerziali

S.25

S.26

S.27

S.28

14) Discorso del tutto analogo vale per i momenti agenti alle estremità dei pilastri (S.25 e S.26), e per le forze d'inerzia (S.27 e S.28). 15) Per uscire dal programma, come sempre, premere F1: File, 2: Esci.

Parte III Statica 1

9.

Statica del corpo rigido piano

9.1

Mobilità elementare. Equilibrio

Con riferimento al corpo rigido piano in Figura 9.1: a. le equazioni cardinali della statica nel piano per il caso (a), Fig.9.1a: ­ X1 0 ° ®X2  F 0 °X ˜b  X ˜ a  F ˜ a ¯ 1 2

Ÿ 0

§ 0 · ª1 0 º «0 1 » §¨ X 1 ·¸  ¨  1 ¸ F « » ¨X ¸ ¨ ¸ © 2 ¹ ¨ a¸ © ¹ ¬«b  a ¼»

0.

La soluzione di A x  bF 0 è impossibile per essere rango (A) = 2 e rango ( >A b@) 3 . Il problema è ipostatico: il corpo non è in equilibrio. b. Le equazioni di equilibrio per il caso (b), Figura 9.1: ­ X 1  X 3 cosD 0 ° ® X 2  X 3 sin D  F 0 ° X ˜ b  X ˜ a  X cosD ˜ b  X sin D ˜ a  F ˜ a ¯ 1 2 3 3

0

cioè:  cosD ª1 0 º § X1 · § 0 · F «0 1 » ¨ X ¸  ¨ 1¸ sin D ¸ « »¨ 2¸ ¨ «¬b  a a ˜ sin D  b ˜ cosD »¼ ¨© X 3 ¸¹ ¨©  a ¸¹

0

ovvero: Ax  b ˜ F

0

con det  A

2a sinD .

Se D z 0: la matrice A è non-singolare e la soluzione del sistema esiste ed è unica: il problema è isostatico. Se D = 0: la matrice A è singolare; è rango (A) = 2 e rango ( >A b@) 3 . Il corpo è in condizioni di: labilità. c. le equazioni di equilibrio per il caso (c), Figura 9.1, sono: ­ X 1  X 3 cosD  X 4 0 ° ® X 2  X 3 sin D  F 0 ° X ˜ b  X ˜ a  X cosD ˜ b  X sin D ˜ a  X ˜ a  F ˜ a ¯ 1 2 3 3 4

0

184

Statica del corpo rigido piano

cioè: § X1 ·  cos D ª1 0 1 º ¨X ¸ § 0 ·F «0 1 sin D 0 » ¨ 2 ¸  ¨ 1 ¸ «b  a  a ˜ sinD  b ˜ cos D  a » ¨ X 3 ¸ ¨©  a ¸¹ ¬ ¼¨X ¸ © 4¹

0

A x  b ˜ F 0 si ha che rango ( A) rango >A b@) 3 : la soluzione del sistema non è unica. Il problema è staticamente indeterminato.

(a)

(b)

(c) Fig. 9.1.a-c. Corpo rigido piano variamente vincolato. (a) Caso ipostatico. (b) Caso isostatico. (c) Caso iperstatico

9.2

Corpo rigido isostatico. Reazioni vincolari e azioni interne

SCHEDA STA-1: Statica del corpo rigido isostatico Programma CorRig.89P Considerazioni generali Il programma Corrig determina le reazioni vincolari e le azioni interne in un corpo rigido costituito da aste rettilinee connesse rigidamente tra loro e vincolato a terra in modo isostatico, non labile. Non sono posti limiti né al numero di aste né al

Corpo rigido isostatico. Reazioni vincolari e azioni interne 185 numero di carichi se non quelli della memoria disponibile sul calcolatore. La fase di immissione della struttura e dei carichi ricorda a grandi linee quella dei programmi ad elementi finiti. La routine di soluzione ricostruisce i passaggi logici della soluzione manuale di strutture di questo tipo: dapprima si determinano, con le equazioni di equilibrio, le tre reazioni vincolari, poi applicate alla struttura come fossero forze attive. A partire dal primo estremo si calcola l'andamento delle azioni interne: questa fase viene effettuata discretizzando ogni asta in un numero prefissato di segmenti (Discr=30 di default), e calcolando in ogni intervallo il valore dell'azione assiale, del taglio e del momento flettente. Tutti i valori così ottenuti vengono memorizzati in tre matrici, chiamate FN, FT, MF, di uguali dimensioni (numero righe: tante quante le aste, numero di colonne: Discr+1). Le 3 matrici vengono conservate in memoria nella cartella STATICA anche dopo l'esecuzione del programma, per eventuali elaborazioni o studi particolari. Particolare attenzione va posta sull'uso di riferimenti e convenzioni di segno. Si adottano due sistemi di riferimento: uno (globale), con origine scelta dall'utente, asse X orizzontale rispetto allo schermo e positivo verso destra, asse Y verticale e positivo verso l'alto; l'altro (locale) è definito per ogni asta, ha origine nel primo estremo dell'asta, asse [ nella direzione dell'asta e orientato positivamente dal primo verso il secondo estremo, asse K in direzione perpendicolare e posto a 90° in senso antiorario rispetto al primo asse. Le azioni esterne possono essere di tre tipi: forze concentrate, coppie concentrate e forze distribuite (in modo uniforme, lineare o trapezoidale). Per le coppie si adotta la convenzione che siano positive le coppie applicate in senso antiorario. I carichi concentrati possono essere o paralleli o perpendicolari all'asta (ossia paralleli all'uno o all'altro dei due assi locali) e assumono il segno di tale asse: per inserire su un'asta un carico assiale che agisce dal 2° nodo verso il 1°, è sufficiente immettere il valore del carico con il segno negativo. I carichi distribuiti sono sempre considerati perpendicolari all'asta e, per il segno, vale la stessa notazione appena vista. Le reazioni vincolari vengono trattate in modo (leggermente) diverso a seconda del tipo di vincolo:  per i carrelli viene dato il valore della reazione nel sistema di riferimento locale (inclinata a 90° rispetto al piano di scorrimento) e positiva se agente verso il carrello stesso;  per le cerniere vengono date le due componenti secondo gli assi globali;  per i pattini, la componente forza viene data come per i carrelli, la componente coppia è considerata positiva se antioraria;  per gli incastri vengono date le due reazioni secondo gli assi globali più il momento della coppia, positivo se antiorario. I vincoli, al contrario di quanto succede di solito nei codici agli elementi finiti, possono essere posizionati in un punto qualsiasi delle aste (non è dunque necessario che coincidano con uno dei nodi).

186

Statica del corpo rigido piano

Non è possibile inserire direttamente vincoli "a pendolo", ossia bielle scariche incernierate alla struttura e a terra: tali elementi permettono una traslazione "elementare", cioè infinitesima del prim'ordine, in direzione perpendicolare alla biella stessa, e possono quindi essere inseriti come carrelli sulla struttura da studiare. L'unica azione interna nel pendolo sarà pertanto assiale, costante e di intensità pari alla reazione vincolare del carrello equivalente. Il tracciamento dei diagrammi delle azioni interne viene effettuato plottando i valori memorizzati nella matrice corrispondente (FN, FT o MF) punto per punto: questo, da un lato, impedisce il tracciamento dei tratti di raccordo (per esempio agli estremi delle aste), ma dall'altro serve a ricordare che il diagramma è discretizzato, quindi è esatto punto per punto, ma non abbiamo informazioni su cosa accada tra un punto e l'altro. Questo aspetto è particolarmente importante 1

nell'intorno di punti di discontinuità . Aumentando il numero dei punti di discretizzazione (per esempio 50 per asta) si può migliorare a piacere la risoluzione, ma si rischia di avere problemi con la memoria della calcolatrice già nel caso di 3 o 4 aste. Altri aspetti di dettaglio vengono considerati nel paragrafo successivo, con l'ausilio di numerose schermate del programma e simulando un paio di casi strutturali molto semplici. Al neofita si consiglia di effettuare un certo numero di prove fino a prendere dimestichezza con le notazioni e le possibilità del programma, per evitare di cadere in grossolani errori di valutazione. Guida all'uso del programma 1) 2)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando CORRIG(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, non dimenticare di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3).

S.1

1

S.2

Discontinuità nella funzione azione interna (“gradino”), oppure discontinuità nella derivata prima di tale funzione (punto angoloso) o nella derivata seconda (variazione di curvatura in corrispondenza a “gradini” nel carico distribuito).

Corpo rigido isostatico. Reazioni vincolari e azioni interne 187

3) 4)

S.3 S.4 Premere ENTER: dopo qualche secondo durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma (S.4). Premere ENTER per accedere al menu principale (S.5). Si noti che i menu di sistema della calcolatrice sono stati sostituiti da una serie di menu caratteristici del programma in esecuzione.

S.5

S.6

S.7

S.8

Esempio 1 5) Introduciamo i dati per l'analisi di una trave orizzontale su due appoggi d'estremità, sulla quale agisca solo un carico verticale concentrato ai 3/4 della luce. La prima operazione da compiere è l'inserimento dei nodi della struttura. Apriamo quindi il menu Nodi, premendo il tasto F2. Vengono visualizzate le possibili operazioni eseguibili sui nodi, cioè l'aggiunta di un nuovo nodo alla struttura, la visualizzazione delle coordinate di tutti i nodi già immessi, la modifica delle coordinate di un nodo e il disegno di tutti i nodi senza le aste ed i vincoli. Per selezionare una voce si può premere il tasto numerico corrispondente oppure si può cambiare la riga selezionata con i tasti del cursore e premere ENTER. Inseriamo il primo nodo, premendo 1: Aggiungi. 6) La nuova finestra che appare indica il numero di nodo che stiamo inserendo, e ne chiede le coordinate nel sistema di riferimento assoluto. Lasciare nulli entrambi i campi, e premere ENTER. Il primo nodo coinciderà con l'origine del sistema di riferimento globale.

188

7)

Statica del corpo rigido piano

S.9

S.10

S.11

S.12

Il programma disegna i nodi finora immessi centrandoli nello schermo, e calcolando automaticamente la scala di rappresentazione (S.8). I nodi vengono individuati da una crocetta, a fianco della quale è segnato il numero corrispondente al nodo. 8) Allo stesso modo si inserisca il secondo estremo dell'asta, che supponiamo essere lunga 100 (p.es. centimetri). Le S.9 e S.10 mostrano le schermate corrispondenti. Si ricorda che alcune versioni del sistema operativo delle calcolatrici portano la macchina in modalità alfanumerica quando viene visualizzata una finestra di dialogo, ossia rendono automaticamente attiva la funzione dei tasti che scrive i caratteri invece dei numeri. In tal caso, tutte le volte che viene visualizzata una nuova finestra si dovrà premere il tasto alpha per disattivare tale modalità, quindi sarà possibile digitare il valore desiderato. 9) Prima di proseguire, mostriamo come sia possibile correggere un'immissione sbagliata per quanto riguarda le coordinate dei nodi. Supponiamo che il secondo nodo avesse coordinate (100,30) e quindi ci sia bisogno di modificare il valore già memorizzato. Dal menu principale, si prema F2:Nodi, 3:Modifica (si riveda la S.6). Il programma chiede di scegliere, dalla lista dei nodi già inseriti, il numero di nodo che si vuole modificare (S.11). Premere il tasto di cursore a destra ➨ per aprire le lista, e portarsi sul secondo nodo premendo il tasto di cursore ➲ , quindi premere ENTER due volte (la prima serve per chiudere la lista, la seconda per confermare la scelta). In alternativa si può premere direttamente il tasto 2, poi ENTER. 10) Viene visualizzata una finestra i cui campi sono già precompilati con i valori delle coordinate attuali del nodo scelto. Spostarsi con i tasti del cursore sulla riga da modificare (nel nostro caso la seconda) e sostituire il vecchio valore con quello nuovo, per esempio 30. Premere ENTER per terminare la modifica del valore, e dare il controllo alla finestra.

Corpo rigido isostatico. Reazioni vincolari e azioni interne 189

S.13

S.14

S.15

S.16

11) Alla pressione del tasto ENTER di conferma, anche lo schermo viene ridisegnato secondo i nuovi valori delle coordinate (S.13). 12) Con lo stesso procedimento, rimettiamo a posto il secondo nodo. Il programma dovrebbe a questo punto visualizzare la stessa immagine di S.14. 13) Dopo aver definito i nodi, inseriamo i dati sull'unica asta presente in questo caso: premere F3:Aste, 1:Inserisci (S.15). 14) Nella finestra seguente bisogna assegnare gli estremi dell'asta ai nodi inseriti. Nel caso di una sola asta, è immediato assegnare al primo estremo il nodo 1, e al secondo estremo il nodo 2 (S.16). È necessario prestare molta attenzione a questa fase, poiché da questa scelta dipende l'orientamento del sistema di riferimento locale. Nel caso di più di un'asta, come vedremo anche nel prossimo esempio, è obbligatorio adottare una numerazione ordinata e crescente. Per esempio l'asta 1 avrà come estremi i nodi 1 e 2, l'asta 2 avrà i nodi 2 e 3, ecc… Nelle versioni future del programma questa limitazione verrà tolta. 15) Dopo aver confermato con ENTER (2 volte), i nodi vengono cancellati e viene tracciata l'asta appena inserita (S.17). 16) Procediamo con l'imposizione dei vincoli sulla struttura: dal menu F4: Vincoli selezionare 1: Inserisci (S.18).

S.17

S.18

190

Statica del corpo rigido piano

S.19

S.20

17) Il programma richiede sempre 3 gradi di vincolo, quindi per inserire una trave su due appoggi è necessario indicare che uno dei due vincoli è costituito da una cerniera, mentre l'altro sarà costituito da un carrello con piano di scorrimento orizzontale. La S.19 mostra la schermata di inserimento dei vincoli così come appare la prima volta che viene aperta. 18) Inseriamo la cerniera in corrispondenza del primo nodo. Apriamo la lista dei vincoli (con il tasto ➨) e selezioniamo il vincolo 2: Cerniera. Premere ENTER per chiudere la lista e memorizzare la scelta. Lasciare 0 nel campo ascissa (%), in quanto la cerniera è posta nel primo punto della trave ([/L 100 = 0). L'ultimo campo (inclinazione rispetto al sistema assoluto) non ha significato nel caso di una cerniera, e non viene preso in considerazione. 19) All'uscita dalla finestra il programma traccia il vincolo appena introdotto. 20) In maniera del tutto simile possiamo inserire i dati sul carrello (S.22), posto a distanza L dall'origine del sistema di riferimento locale (in percentuale [/L 100 = 100). In questo caso il campo Inclinazione è significativo, e indica il piano di scorrimento del carrello. È possibile scegliere tra i seguenti angoli: 0, S/4, S/2, 3S/4. Lasciare 0 in quanto la rotaia del carrello è orizzontale (parallela all'asse globale x). 21) La S.23 mostra la struttura completa. Passiamo alla descrizione dei carichi. 22) Premere F5: Azioni, 1: Inserisci (S.24). La scelta della voce 2: Disegna, come nel caso della stessa voce degli altri menu, serve per forzare il tracciamento di una particolare tipologia di elementi. Considerate le limitate capacità dello schermo, infatti, è stato deciso di non rappresentare mai il disegno completo di tutti gli elementi (nodi, aste, vincoli, carichi), ma è possibile ad ogni momento ridisegnare solo gli elementi di interesse.

S.21

S.22

Corpo rigido isostatico. Reazioni vincolari e azioni interne 191

S.23

S.24

S.25

S.26

S.27

S.28

23) Dopo aver impostato su quale asta agisce il carico che si sta inserendo (in questo caso la scelta è obbligata, visto che c'è una sola asta, S.25), si seleziona il tipo di carico. È possibile scegliere fra 3 diverse tipologie di carichi: forza concentrata, coppia concentrata, carico distribuito. Nel caso di carico distribuito il programma accetta un generico carico di tipo trapezoidale su una parte di asta. Scegliamo la prima opzione: 1: F Conc., quindi premere ENTER. 24) Viene visualizzata la schermata di inserimento di una forza concentrata (S.26). Se il carico agente è una forza di intensità pari a 5000 (p.es. daN) agente sui 3/4 dell'asta in direzione perpendicolare all'asse della trave, verso il basso, bisogna inserire questi dati come si vede in S.27. L'ascissa di applicazione del carico va indicata in percentuale, il segno della forza è negativo, perché discorde dal verso dell'asse locale K, l'inclinazione rispetto all'asta è di S/ radianti (90°). Dopo aver premuto ENTER il programma disegna la forza nel suo punto di applicazione (S.28). È necessario fare qualche precisazione: a) il programma disegna sempre il verso positivo delle forze e delle coppie; se, come in questo caso, la forza è descritta da un numero negativo, essa agirà in verso opposto a quello indicato. b) La lunghezza del vettore indicante la forza non è proporzionale alla sua intensità: tutte le forze sono caratterizzate da vettori di uguale lunghezza. c) I carichi distribuiti non vengono tracciati. Nelle versioni future del programma tutte o parte di queste limitazioni verranno eliminate.

192

Statica del corpo rigido piano

S.29

S.30

S.31

S.32

25) Terminato l'inserimento della struttura si procede, come nella procedura manuale, al calcolo delle reazioni vincolari. Selezionare il menu [F6]: Soluzione, 1: Reazioni vincolari. Il programma calcola le reazioni vincolari e prepara le matrici delle azioni interne: ci si deve quindi aspettare che la calcolatrice impieghi qualche secondo prima di visualizzare la finestra dei risultati. Durante questo tempo si noterà la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra del display. La schermata riassuntiva delle reazioni è presentata in S.30, e ha bisogno di qualche spiegazione: Sono riportati, nell'ordine, i gradi di libertà vincolati (colonna Vinc), l'asta su cui agisce il vincolo corrispondente, la direzione del grado di libertà vincolato e l'intensità della reazione. Siccome i diversi tipi di vincolo sono soggetti a diverse combinazioni di reazioni vincolari, per distinguerle si è usata la seguente convenzione (colonna Dir. - direzione): I carrelli esercitano una sola componente di forza, che viene sempre indicata con il numero 1; come già detto tale forza agisce in direzione perpendicolare al piano di scorrimento ed è positiva se agente dal terreno verso la struttura. La reazione esercitata dalle cerniere viene scomposta in due componenti parallele agli assi globali; la componente parallela all'asse x viene indicata dal numero 1, la componente parallela all'asse y viene indicata dal numero 2. In S.30, la prima riga dice che la componente orizzontale è nulla, mentre la componente verticale vale 1250. Il valore della reazione del carrello è indicato in terza riga ed è pari a 3750. Con il numero 3 nella colonna direzione vengono sempre indicate le componenti di momento (nel caso di pattini o di incastri). 26) L'ultimo passaggio è quello di rappresentare graficamente i diagrammi delle azioni interne. Selezionare F6: Soluzione, 2: Momento flettente (S.31). Viene tracciata l'asta senza vincoli né carichi e su di essa il diagramma del momento nei punti in cui è stato calcolato e memorizzato. Il diagramma del momento è triangolare, col vertice in corrispondenza del carico. La M nell'angolo in basso

Corpo rigido isostatico. Reazioni vincolari e azioni interne 193 a sinistra ci ricorda quale diagramma si sta tracciando. In modo analogo possiamo far tracciare il diagramma del taglio (S.33) e dell'azione assiale (S.34), anche se quest'ultimo è inutile visto che l'azione assiale è nulla in tutta la struttura. Si nota immediatamente che dai grafici (anche se sono in scala) non è possibile risalire alle intensità delle azioni interne, in quanto non viene riportato il valore della scala o il valore massimo dell'azione. Per avere indicazioni numeriche sui diagrammi si può seguire la strada indicata dai punti seguenti. 27) Prima di tutto terminare l'esecuzione del programma selezionando F1: File, 2: Esci. Una finestra (S.35) chiederà conferma dell'operazione. Premere ENTER. I dati relativi alle azioni interne non vengono cancellati, ma vengono memorizzati sotto forma di matrici nella cartella "STATICA". In S.36 è mostrato il tipico contenuto della cartella all'uscita del programma. La variabile DISCR contiene il numero di suddivisioni delle aste (30 di default), mentre le matrici FN, FT, MF contengono il valore delle azioni interne (rispettivamente azione assiale, taglio e momento flettente) calcolato, asta per asta nei punti di discretizzazione. La dimensione di tali matrici sarà quindi di Naste righe u Discr+1 colonne, nel caso attuale 1 riga u 31 colonne. 28) Apriamo quindi l'editor di matrici della calcolatrice per visualizzare i dati contenuti nelle matrici delle azioni interne. Premere il tasto APPS. Viene visualizzata la finestra di S.37. Selezionare 6: Data/Matrix Editor, quindi 2: 2

Open, per aprire una matrice esistente .

2

S.33

S.34

S.35

S.36

Qui vengono riportati i comandi relativi ad una calcolatrice sulla quale è impostata la lingua inglese. Se il lettore usa una calcolatrice impostata in lingua italiana, non cambiano i tasti da premere ma cambiano le didascalie: per esempio DATA/MATRIX EDITOR diventa EDITOR DATI/MATR., OPEN diventa APRI, e così via.

194

Statica del corpo rigido piano

S.37

S.38

S.39

S.40

29) Bisogna indicare il tipo di variabile che si desidera aprire (dati o matrice), la cartella (Folder) in cui è memorizzata e il nome della variabile. In S.38 è mostrato come si imposta l'applicazione per aprire la matrice contenente il momento flettente. 30) Dopo aver premuto ENTER, nella prima riga dell'applicazione sono contenuti i 31 punti di campionamento del momento (S.39). È possibile scorrere verso destra con il tasto cursore ➨ fino a trovare il valore più alto tra quelli memorizzati, che corrisponde al 23° punto (S.40). È immediato calcolare l'ascissa corrispondente: sia 'x l'ampiezza di ogni intervallo ('x=L/30=3.333); l'ascissa del 23° punto di campionamento è pari a (N-1) 'x = 73.3333. Si noti che il momento non viene calcolato nel punto esatto di applicazione del carico (x=75), cosicché il valore fornito non corrisponde esattamente al massimo valore del momento agente sulla trave. Il valore massimo sarebbe, infatti, pari a 1250 daN u 75 cm = 93750 daN cm. L'errore commesso dal programma nel calcolo del momento massimo, in questo caso, risulta pari a (93750-91666.666)/93750 = 0.0222, ossia il 2.22%, che in campo ingegneristico è considerato accettabile. 31) Se non interessa conoscere l'ascissa di calcolo del momento massimo, ma solo il suo valore, si può utilizzare il comando MAX, che calcola il valore massimo di una lista. La sintassi del comando è visualizzata in S.41. Si vede che la calcolatrice fornisce esclusivamente il valore massimo della lista ricavata dalla 3 trasformazione della matrice MF .

3

Si veda, se necessario, l'uso del comando Mat➨List (in italiano: Mt➨Lista) sul manuale della TI-89.

Corpo rigido isostatico. Reazioni vincolari e azioni interne 195

S.41 Esempio 2 1) Nel seguito si mostra un secondo esempio, un poco più complesso di quello appena affrontato. L'asta sia composta da due tratti rettilinei perpendicolari uno all'altro, vincolati a terra per mezzo di un carrello e di un pattino, con un carico distribuito costante agente sul tratto orizzontale. Per l'inserimento dei primi due nodi si agisce esattamente come nel caso precedente (punti da 1 a 8), ipotizzando che la lunghezza del tratto orizzontale sia ancora pari a 100 cm. Anche l'inserimento della prima asta, tra i nodi 1 e 2, non presenta nessuna novità. Si parte quindi dall'inserimento del nodo numero 3. 2) Premere F2: Nodi, 1: Inserisci e inserire le coordinate del 3° nodo (100,-50) come in S.42. Lo schermo si ridimensiona e vengono tracciati i tre nodi nelle loro posizioni effettive (S.43).

S.42

S.43

S.44

S.45

S.46

S.47

196

3)

4)

5)

Statica del corpo rigido piano

S.48

S.49

S.50

S.51

Quindi inserire i dati relativi alla seconda asta (si suppone che l'utente sappia inserire da solo i dati relativi alla prima asta e che tale operazione sia già stata fatta): premere F3: Aste, 1: Inserisci, e seguire le indicazioni di S.44 (l'asta numero 2 ha come estremi i nodi 2 e 3). La struttura viene disegnata, e dovrebbe corrispondere a quella di S.45. Imponiamo i vincoli: un carrello nel nodo 1 e un pattino nel nodo 3. Selezionare F4: Vincoli, 1: Inserisci, e posizionare il carrello ad ascissa 0 sulla prima asta, con piano di scorrimento inclinato di 90° rispetto all'asse globale x (S. 46). Dopo aver confermato i dati, la struttura viene disegnata (S.47). Quindi immettere dati relativo al secondo vincolo: un pattino ad ascissa percentuale 100 (a distanza L dal primo nodo) sulla seconda asta, con piano di scorrimento inclinato di 0° rispetto all'asse globale x (S.48 e S.49).

S.52

S.53

S.54

S.55

Corpo rigido isostatico. Reazioni vincolari e azioni interne 197 6)

7)

8)

Per inserire il carico, selezionare F5: Azioni, 1: Inserisci; appare la finestra di S.50. Impostare Carico dist come tipo di carico, e 1 come numero di asta su cui agisce il carico. La finestra di immissione dei dati di un carico distribuito chiede l'ascissa iniziale in percentuale rispetto alla lunghezza dell'asta, l'estensione effettiva del carico (è dimensionale, non percentualizzata) e il valore del carico nei due estremi. Nel caso in esame (S.51) il carico agisce su tutta l'asta (a partire dall'ascissa 0% per una lunghezza di 100 cm), è costante e pari a 20 daN/cm. Il segno negativo indica che il carico agisce in verso opposto all'asse locale K (quindi verso il basso, in questo caso). Le ultime quattro schermate non richiedono particolari commenti: vi sono riportati i valori delle reazioni vincolari e i diagrammi del momento, del taglio e dell'azione assiale.

10.

Baricentri. Inerzie

SCHEDA STA-2A: Baricentri di lamine piane composite Programma BARICENT.89P Generalità 1 Il programma BARICENT calcola la posizione del baricentro di lamine piane omogenee e composite, formate da un numero qualsiasi di figure piane, scelte tra le seguenti: 1) rettangoli a lati paralleli allo schermo; 2) triangoli rettangoli a cateti paralleli allo schermo; 3) cerchi; 4) nervature monodimensionali; 5) masse puntiformi. È prevista, inoltre, la possibilità di inserire uno o più fori della seguente forma: 1) rettangolari; 2) triangolari con un angolo retto; 3) circolari. Il numero di elementi o fori memorizzabili è limitato solo dalla quantità di memoria disponibile sulla calcolatrice. Di ogni elemento inserito vengono richieste le "coordinate caratteristiche" e la densità. 1) Per "coordinate caratteristiche" si intende:  per i rettangoli: coordinate dello spigolo inferiore sinistro e dimensioni dei lati (sempre positive);  per i triangoli: coordinate del vertice corrispondente all'angolo retto, 'x e 'y dei due cateti, positivi se nel verso degli assi standard x e y, negativi altrimenti;  per i cerchi: coordinate del centro e raggio;  per le lamine: coordinate dei punti iniziale e finale;  per le masse puntiformi: coordinate del punto.

1

Si ringrazia la dott.ssa Maria Veronica Latella per la collaborazione prestata alla stesura di questo programma.

200

Baricentri. Inerzie

2) la densità degli elementi piani ha dimensione [M/L2], la densità lineare ha dimensione [M/L], la massa puntiforme ha, ovviamente, dimensione [M]. È possibile utilizzare qualsivoglia sistema di unità di misura, purché per ogni sessione di programma vengano usate unità di misura coerenti: per esempio lunghezze in metri, densità lineari in kg/metro, masse in kg; Il programma disegna le forme inserite, e rappresenta con una crocetta la posizione del baricentro. Fornisce, inoltre, i valori numerici delle coordinate di tale punto, insieme al valore della superficie totale occupata dagli elementi e al valore della massa totale. È possibile modificare i dati degli elementi già immessi oppure eliminare una delle figure memorizzate. I risultati delle modifiche vengono immediatamente visualizzati. Guida all'uso del programma 1) 2)

3)

4) 5)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo principale premendo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando BARICENT(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3). Premere ENTER: dopo qualche secondo, durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma con una schermata di presentazione (S.4). Premere ENTER dopo aver preso visione della schermata iniziale. Lo schermo si pulisce e appare il menu del programma (S.5). Premere F2: Elementi per inserire, modificare o eliminare un elemento (S.6).

S.1

S.2

S.3

S.4

Scheda STA-2a: Baricentri di lamine piane composite 201

6)

S.5

S.6

S.7

S.8

Cominciamo aggiungendo un elemento: selezionare 1: Aggiungi. Si apre la

finestra di S.7. 7) Inseriamo un rettangolo pieno: quindi selezioniamo: Forma: Rettangolo e Consistenza: Massa. Per modificare la selezione, premere il tasto di direzione verso destra; si apre una finestra con tutte le scelte possibili; scorrere verso l'alto o verso il basso fino a evidenziare quella desiderata (S.8), quindi premere ENTER. Ripetere, se necessario, lo stesso procedimento per la consistenza (Massa/Foro), quindi premere ENTER per confermare le scelte. 8) Inserire le coordinate dello spigolo inferiore sinistro (vertice 1) e le dimensioni dei lati (positive), come si vede in S.9. Se la calcolatrice si porta automaticamente in alpha mode, ossia scrive caratteri invece di numeri, premere una volta il tasto alpha prima di inserire i dati. In questo modo stiamo inserendo un rettangolo di lati 100u150 (per esempio cm), e di densità 1 (per. esempio g/cm2). In questo esempio continueremo con queste unità di misura. Premere ENTER (2 volte) per confermare i dati. 9) Il rettangolo viene disegnato centrato nello schermo. Il baricentro viene evidenziato da una crocetta (S.10). 10) Selezionare F3: Baricentro e 1: Vis.Coordinate (S.11). Vengono visualizzate le coordinate del baricentro, il valore dell'area in cm2 e la massa totale in grammi (S.12). Premere ENTER per tornare al menu principale.

S.9

S.10

202

Baricentri. Inerzie

S.11

S.12

S.13

S.14

11) Ora aggiungiamo un foro circolare all'interno del rettangolo. Selezionare F2: Elementi e 1: Aggiungi (S.13). 12) Selezionare Forma: Cerchio e Consistenza: Foro, (S.14) come già visto al punto 7). 13) Inserire i dati per il foro (S.15). ATTENZIONE: la densità deve essere La stessa del materiale in cui viene ricavato il foro. Il programma, infatti, calcola il baricentro dei fori considerando un'area e una massa negative. 14) Premere ENTER per salvare i valori e visualizzare la forma (S.16). 15) Come al punto 10), selezionare F3: Baricentro e 1: Vis.Coordinate. Vengono visualizzate le coordinate del baricentro, il valore dell'area in cm2 e la massa totale in grammi (S.17). Premere ENTER per tornare al menu principale.

S.15

S.16

S.17

S.18

Scheda STA-2a: Baricentri di lamine piane composite 203

S.19

S.20

S.21

S.22

16) Adesso vogliamo modificare le dimensioni del rettangolo, portandole a 200 cm u 150 cm. Selezionare F2: Elementi e 2: Modifica. Una finestra chiede il numero dell'elemento da modificare; è possibile scegliere solo tra gli elementi inseriti (S.18). Selezionare 1:1 e premere ENTER 2 volte: la prima per confermare la scelta, la seconda per chiudere la finestra e proseguire nella modifica. 17) Modificare solo il campo della larghezza, portandosi nella riga corretta con i tasti di direzione, e correggendo il valore 100 oppure inserendo per intero il valore 200 (S.19). 18) Premere ENTER 2 volte e verrà disegnato il nuovo rettangolo, con il foro nella stessa posizione indicata precedentemente (S.20). Anche i valori delle coordinate del baricentro, dell'area e della massa totale sono stati aggiornati (S.21). Premere ENTER per tornare al menu. 19) Infine mostriamo come sia possibile eliminare un elemento. Supponiamo di voler conoscere le coordinate del nuovo rettangolo senza il foro. Selezionare F2: Elementi e 3: Elimina (S.22). 20) Scegliamo di eliminare l'elemento n°2, che corrisponde al foro. Portarsi sulla seconda riga con il tasto di direzione ' (S.23). Premere ENTER due volte.

S.23

S.24

204

Baricentri. Inerzie

21) La schermata successiva chiede un'ulteriore conferma, mostrando i dati della figura che sta per essere eliminata (S.24): in questo caso l'elemento n°2, che è un cerchio e un foro. Premere ENTER per proseguire, ESC se si decide di non eliminare la figura. 22) Nel nostro caso, la pressione di ENTER elimina il foro circolare e mostra solo la figura rimanente (un rettangolo 200u150). Sia la figura che i valori sono stati aggiornati (S.25 e S.26). 23) Volendo calcolare il baricentro di una figura composta da più forme elementari (per esempio un trapezio formato dall'accostamento di un rettangolo con un triangolo rettangolo), è sufficiente continuare ad aggiungere elementi di tipo "massa", indicando per ciascuno le coordinate corrette. 24) Per uscire dal programma selezionare F1: File e 2: Esci. È possibile ritornare al programma con i dati ancora memorizzati premendo ESC (S.27), altrimenti si abbandona l'esecuzione premendo ENTER. Lo schermo viene automaticamente riportato nello schermo HOME.

S.25

S.26

S.27

SCHEDA STA-2B: Momenti di primo e secondo ordine di figure piane Programma Momenti.89P Considerazioni generali Il programma Momenti calcola i valori di area, momento statico e momento d'inerzia per alcune forme piane, tra le più frequenti nei problemi di ingegneria strutturale: rettangoli, quadrati ruotati di 45° (rombi), rettangoli cavi, forme a I o a

Scheda STA-2b: Momenti di primo e secondo ordine di figure piane 205 C, forme composte da due rettangoli a distanza h (I senza anima), cerchi e semicerchi sia pieni che cavi. Tutte le dimensioni sono riferite ad un asse orizzontale passante per il punto inferiore della figura, mentre i momenti d'inerzia vengono riferiti all'asse orizzontale x passante per il baricentro della figura. L'ordinata del baricentro, anche se nella maggior parte dei casi è di immediata determinazione, viene sempre riportato nella schermata dei risultati. Il funzionamento del programma è estremamente semplice: dopo aver selezionato una forma, vengono chieste le dimensioni della figura. Finita la fase di immissione è possibile chiedere la schermata dei risultati, oppure correggere i valori inseriti. Guida all'uso del programma 1) 2)

3)

4) 5)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo principale premendo il tasto HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando Momenti(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3). Premere ENTER: dopo qualche secondo durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma con una schermata di presentazione (S.4). Premere ENTER per accedere al menu principale (S.5). Mostriamo ora come si inseriscono i dati per due diversi tipi di sezione, cominciando da quella rettangolare. Premere F2:Sezione. Viene visualizzata una finestra nella quale è possibile scegliere la forma della sezione (S.6).

S.1

S.2

S.3

S.4

206

6)

7) 8)

Baricentri. Inerzie

S.5

S.6

S.7

S.8

Per aprire la lista della casella a discesa (dropdown in inglese), premere il tasto cursore verso destra % (S.7). Come primo esempio lasciare selezionata la prima riga, e premereENTER 2 volte; la prima per chiudere la casella, la seconda per salvare la scelta fatta. Il programma a questo punto chiederà le dimensioni della sezione: in questo caso la base e l'altezza (S.8). Inserire, per esempio 80 e 40. Premere ENTER per terminare questa fase. Il programma mostrerà nuovamente il menu principale. Premere F3: Momenti per eseguire i calcoli e visualizzare i risultati. In S.9 è mostrata la schermata riassuntiva. Premere y per chiudere la finestra. Vediamo come si inseriscano i dati anche per un altro caso: premere F2: Sezione e selezionare l'opzione 7: Circ. cava.

S.9

S.10

S.11

S.12

Scheda STA-2b: Momenti di primo e secondo ordine di figure piane 207 9)

I campi delle dimensioni vengono riempiti con i valori rimasti in memoria dal caso precedente (S.11). Simuliamo un errore di immissione lasciando inalterati tali valori, per i quali risulterebbe un raggio esterno più piccolo del raggio interno della sezione. 10) Confermando la scelta, una finestra avvisa dell'errore commesso, e impedisce di proseguire. Premendo sia ENTER che ESC, infatti, il programma torna al punto in cui chiede il tipo di sezione (come in S.6), mantenendo però l'ultima selezione effettuata. Premere nuovamente ENTER per correggere i valori. 11) Sostituire, per esempio, il valore 40 corrispondente al raggio esterno con il valore 100, maggiore del raggio interno (S.13). Confermando e chiedendo la schermata dei risultati (S.14) otteniamo i nuovi valori dei momenti. 12) Per uscire dal programma, dopo essere tornati al menu principale, premere F1: File, 2: Esci.

S.13

S.14

11.

Introduzione alla teoria dei continui elastici

11.1

Stato di sforzo nei continui

Consideriamo un continuo materiale in equilibrio sotto l’azione di forze esterne distribuite con continuità nel suo volume e sulla sua superficie. Indichiamo con F(P)d* e con f(a)dV la risultante delle forze esterne sull’elemento d* di volume, contenente il punto P, e, rispettivamente, sull’elemento superficiale dV contenente il punto Q. Le forze che le due parti del continuo in equilibrio si scambiano attraverso una generica sezione (ad esempio, piana), sono distribuite con continuità sulle due facce della sezione, e rispettano il principio di azione e reazione (Fig. 11.1a). Divisa comunque la sezione in areole 'S e indicata con 'R la risultante delle forze su 'S (applicata in un P  'S, Fig. 11.1b) si può rappresentare la sollecitazione nel punto P del continuo, relativamente alla particolare sezione considerata, col vettore (Fig. 11.2): p

'R 'S o 0 'S lim

esso prende il nome di sforzo specifico interno (o semplicemente sforzo) in P, relativamente alla sezione considerata. Si misura, ad esempio, in MPa. Lo sforzo p non dipende dunque soltanto dalla posizione P ma anche dall’orientamento dell’areola dS per P, cioè dall’inclinazione della sezione per P, con cui si immagina di dividere in due parti il continuo in esame. Definita la giacitura della generica areola del fascio per P mediante il versore normale uscente n (Fig. 11.2), lo sforzo p dipende da P e da n. Mutando verso a n (nel generico punto P), cioè considerando la corrispondente areola 'S sulla faccia opposta della sezione operata, p cambia verso, conformemente al principio di azione e reazione. Se D è l’inclinazione di p sulla normale n ad una faccetta in P, è comodo scomporre p come in Figura 11.2 (i simboli V e W, per indicare le componenti normale e tangente di p): ­V p® ¯W

p cos D . psinD

A V diamo il nome di sforzo normale in P, relativamente alla faccetta considerata (di trazione se positivo) e a W il nome di sforzo di taglio in P. Se riferiamo il continuo ad una terna x1, x2, x3 (ad esempio cartesiana ortogonale), nel generico punto P risulta individuata una terna di faccette

210 Introduzione alla teoria dei continui elastici

triortogonali aventi per normali (entranti) i tre versori di quegli assi (Fig. 11.3). Indicati con p1, p2, p3 gli sforzi in P sulle faccette di normali, rispettivamente, i1, i2, i3 e indicato con pn lo sforzo su una generica altra faccia per P, di normale entrante n (Fig. 11.3b), si ha che: “quando si conoscono gli sforzi in P su tre faccette triortogonali, è noto lo sforzo, in quel P, su qualsiasi altra faccetta comunque orientata”. La relazione di Cauchy si scrive: pn

3

¦ pk cos nx k .

(1)

k 1

Infatti l’equazione di equilibrio rigido per il tetraedro infinitesimo in Figura 11.3, avente volume dJ e faccette di superficie rispettivamente dV1, dV2, dV3 è pn dV n  FdJ  ¦ k p k dV k 0 . Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al secondo rispetto ad un lato del tetraedro, dividendo entrambi i membri per dV k e osservando che dV k  cos nxk , si ottiene subito la (1). Essendo cos nxk=nk, si ha: dV n 

pn

3

¦ pk n k .

k 1

(a)

(b)

Fig. 11.1.a,b. Forze esterne e azioni interne in un continuo materiale. (a) interazioni in una generica sezione. (b) risultante locale

Fig. 11.2. Componenti di sforzo normale e tangente, sulla giacitura di normale n in P

Stato di sforzo nei continui 211

(a)

(b)

(c)

Fig. 11.3.a-c. Sforzi nel generico punto P. (a) Terna cartesiana in P. (b) Giacitura di normale n in P. (c) Giaciture in P, normali agli assi

11.1.1

Il tensore degli sforzi

La relazione di Cauchy ci consente subito la determinazione della legge con cui si trasforma la terna dei vettori sforzo, quando  in P  si passi sa una terna di faccette di normali x1, x2, x3 ad altra generica terna di normali x1* ,x*2 ,x*3 . Indicate rispettivamente con p1 p2 p3 e p1* , p*2 , p*3 le due terne di vettori sforzo in P e posto: D ik cos xi* xk (coseno direttore dell’asse xi* rispetto a xk) l’applicazione della relazione di Cauchy (1) a ciascuno dei nuovi assi porta alla seguente legge di trasformazione delle terne di vettori sforzo: pi*

3

¦D ik p

k 1

i = 1,2,3.

(2)

k

Introdotte le tre componenti scalari di ciascuno sforzo, alla terna di vettori p1, p2, p3 risulta associata la seguente 9-pla di scalari (Fig. 11.4): ª p11 «p « 21 «¬ p31

p12 p 22 p32

p13 º p 23 »» , p33 »¼

in cui gli elementi ad indici uguali rappresentano componenti di sforzo normali alle faccette, e quelli ad indici diversi componenti tangenziali, cioè giacenti nel piano delle faccette. Nella Meccanica Applicata si preferisce usare (come già accennato) il simbolo Vi al posto di pii ed il simbolo Wij al posto di pij (i z j). Rispetto alle componenti, la (2) si scrive: * pik

3

¦ p jhD ijD kh .

jh 1

Ad una terna di vettori la cui trasformazione al cambiare degli assi è governata da una legge del tipo (2), si dà nome di tensore doppio. La terna p1 p2 p3 in P (ovvero la 9-pla delle sue componenti cartesiane) unitamente alla legge (2) prende dunque il nome di tensore degli sforzi in P. Esso esaurisce la conoscenza dello stato di sforzo nell’intorno di quel punto del continuo *. La conoscenza, in *, del campo tensoriale

212 Introduzione alla teoria dei continui elastici

p1(P), p2(P), p3(P),

P *

ovvero della 9-pla di funzioni di posto: ª p11 P p12 P p13 P º « p P p P p P » 22 23 « 21 » «¬ p31 P p32 P p33 P »¼

(2)I

esaurisce la conoscenza dello stato di sforzo nel continuo deformabile *. Quanto s’è detto sin qui vale per qualsiasi continuo, qualunque ne sia il legame costitutivo.

(a)

(b)

Fig. 11.4.a,b. Tensore dgli sforzi in P. (a) 9-pla di componenti. (b) Giacitura x2 y x3

11.1.2

L’equilibrio elementare

Traduciamo l’equilibrio del generico elemento materiale del continuo *. Indicate con dx1, dx2, dx3 le lunghezze dei 3 spigoli e con p1 p2 p3 la terna di vettori sforzo sulle tre faccette di normali entranti (cioè le tre facce non visibili del cubetto in Fig. 11.4), gli sforzi sulle altre tre facce (le visibili in Figura 11.4) saranno, ricordando il principio di azione e reazione: § w p3 · § · § · w p1 w p2 dx1 ¸¸;  ¨¨ p2  dx2 ¸¸;  ¨¨ p3  dx3 ¸¸  ¨¨ p1  w w w x x x © ¹ © ¹ © ¹ 1 2 3

Interpretiamo il postulato della rigidità dell’infinitesimo scrivendo la 1a equazione cardinale della Statica per il generico cubetto soggetto a tutte le forze che gli competono: lo sforzo su ciascuna delle sei faccette e la forza interna di volume Fd*; otteniamo: 1

1

Una duna di sabbia è un sistema deformabile, ma si può  dice quel postulato  trattare ogni granello come corpo rigido.

Stato di sforzo nei continui 213

§ · § · wp w p2 Fd*  p1dx2 dx3  ¨¨ p1  1 dx1 ¸¸ dx2 dx3  p2 dx1dx3  ¨¨ p2  dx2 ¸¸ dx1dx3  x x w w © ¹ © ¹ 1 2 § · w p3 p3dx2 dx1  ¨¨ p3  dx3 ¸¸ dx2 dx1 w x © ¹ 3

0 .

Da cui la prima equazione vettoriale indefinita d’equilibrio: F

3

wp

¦ wx k

k 1

ovvero:

k

Fi

3

wp

¦ w xki k 1

i=1,2,3.

(3)

k

Alla terna di equazioni scalari corrispondenti alla seconda equazione vettoriale indefinita d’equilibrio si perviene traducendo l’equilibrio rotazionale delle forze agenti sul cubetto elementare, attorno agli assi x1, x2, x3 per P (2a equazione cardinale), Figura 11.4. L’annullamento del momento delle forze in gioco, rispetto all’asse x3 per P fornisce:  p 21dx 2 dx3 dx1   p12 dx1dx 3 dx 2 0 e analogamente attorno agli assi x1 e x2 per P. La seconda equazione indefinita d’equilibrio è dunque tradotta dalla terna di equazioni scalari: p 23 p 32 , p13 p 31 , p12 p 21 , ovvero: i,j =1,2,3. (4) pij p ji Quest’ultima terna di equazioni scalari assicura che la matrice (2)I del tensore degli sforzi è simmetrica. Ciò comporta una riduzione del numero iniziale delle incognite. Le (4) traducono la reciprocità degli sforzi tangenziali per cui su due generiche faccette normali, appartenenti all’intorno di P, le componenti tangenziali di sforzo perpendicolari allo spigolo comune, hanno egual modulo e sono entrambe volte allo spigolo o entrambe lo fuggono (Fig. 11.5a). La traduzione dell’equilibrio è completa quando, accanto alle equazioni indefinite valide per ogni punto P interno al continuo, si scrive la condizione ai limiti, traducente l’equilibrio del generico elemento di frontiera, sotto l’azione degli sforzi interni, delle forze di volume e delle forze di superficie che gli competono. Con i simboli sin qui introdotti si ha: f

3

¦ pk cos nxk .

(4)I

k 1

11.1.3

Direzioni e sforzi principali in un punto. Quadrica indicatrice

Mostriamo che in ogni punto P del continuo esistono tre direzioni triortogonali (dette direzioni principali in P), e quindi tre faccette ad esse perpendicolari, sulle quali gli sforzi tangenziali pij sono nulli; e che tra i valori dei tre sforzi normali pkk vi è il valor massimo e il valor minimo fra tutti i valori degli sforzi normali in P (i cosiddetti sforzi principali in P).

214 Introduzione alla teoria dei continui elastici

Adotteremo nel seguito la notazione usuale nelle Tecniche, cioè V k al posto di pkk e Whi al posto di phi; indicheremo con x, y, z i tre assi cartesiani ortogonali. Osserviamo anzitutto che se esiste in P una faccetta che gode degli attributi di cui s’è detto, il suo sforzo è (vedi Fig. 11.5b): pn

Vn ,

da cui, per Cauchy (2): ­V n x ° ®V n y ° ¯V n z

V x n x  W xy n y  W xz n z W xy n x  V x n y  W yz n z W xz n x  W zy n y  V z n z

.

Le direzioni principali n acquistano il significato di autovettori del sistema lineare omogeneo: ªV x  V « « W yx « W zx ¬

W xy

V y  V W zy

W xz º § n x · »¨ ¸ W yz » ¨ n y ¸ V  V z »¼ ¨© n z ¸¹

§0· ¨ ¸ ¨0¸ ¨0¸ © ¹

(5)

corrispondenti agli autovalori V. Questi ultimi sono i valori del parametro in corrispondenza a cui il sistema ammette soluzioni non banali (osserviamo peraltro che la soluzione banale nx = ny = nz = 0 è inaccettabile dovendo essere nx2 + ny2 + nz2 = 1), e si trovano annullando il determinante dei coefficienti. Posto: 71

7III

Vx Vy Vz ;

711

2 2 2 V yV z  V zV x  V xV y  W yz  W zx  W xy ;

2 2 2 V xV yV z  V xW yx  V yW zx  V zW xy  2W yzW zxW yx ;

(6)

quella condizione fornisce la seguente equazione cubica in V :

V 3  7IV 2  7IIV  7III

0.

(7)

Le tre radici VI, VII, VIII sono indipendenti dal riferimento adottato e sono peraltro completamente determinate quando si conoscano i 3 coefficienti; anche questi sono dunque indipendenti dal riferimento. Prendono il nome di invarianti fondamentali dello stato di sforzo. Ponendo ciascun autovalore VI, VII, VIII in (5) si ottiene ogni volta una autosoluzione per quel sistema: i tre autovalori nI, nII, nIII così ottenuti definiscono le tre direzioni principali in P, ovvero le tre faccette principali del fascio in P sulle quali lo sforzo tangenziale W è nullo (Fig. 11.5c). La matrice del tensore degli sforzi si riduce alla forma diagonale: 0 º ªV I 0 «0 V 0 »» . II « «¬ 0 0 V III »¼

Allo stato di sforzo nell’intorno del punto P può darsi una notevole rappresentazione grafica che consente facilmente di cogliere le proprietà di estremo (massimo e minimo) degli sforzi principali, cui s’è fatto cenno all’inizio del paragrafo. Ci limitiamo ad una presentazione qualitativa.

Stato di sforzo nei continui 215

(a)

(c)) (b) Fig. 11.5.a-c. Stato locale di sforzo. (a) Sforzi su faccette contigue. (b) Sforzo normale. (c) Sforzi principali in P

Ci si basa sull’osservazione che l’equazione di una quadrica riferita al proprio centro (ciò determina l’assenza di termini lineari nell’equazione) può scriversi:

¦ik 7ik x i x k

1.

Al cambiare degli assi di riferimento, l’equazione diventa: ~ ¦EJ 7EJ ~x E ~x J 1 . Al cambiare degli assi le nonuple Tik e TDE si trasformano con la seguente legge: TDE

¦

T ikD Ei D Jk .

Inoltre, la matrice [T] è simmetrica. I coefficienti di una quadrica si trasformano, dunque, al cambiare degli assi, come le componenti di un tensore doppio simmetrico. Si intuisce da qui la possibilità di associare al tensore degli sforzi in P una quadrica rappresentativa della rosa di sforzi in quel punto (quadrica indicatrice degli sforzi). Se i tre sforzi principali sono dello stesso segno, lo stato di sforzo nell’intorno del punto P è rappresentato da un ellissoide di centro P (ellissoide di Lamè) tale che se Q è un punto di tale superficie (Fig. 11.6), la distanza PQ misura lo sforzo pn su quella faccetta, in P, che ha la stessa giacitura del piano tangente in Q all’ellissoide. Ritroviamo così i risultati già noti: esistono, nel fascio di piani in P, 3 giaciture “privilegiate” - quelle normali agli assi xI, xII, xIII dell’ellissoide - sulle quali il vettore sforzo è normale (Fig. 11.6). E poiché le lunghezze dei 3 semiassi della quadrica comprendono il valore massimo ed il minimo fra tutte le lunghezze QP, risulta anche descritta la proprietà di estremo degli sforzi principali, enunciata in precedenza.

216 Introduzione alla teoria dei continui elastici Esempio 11.1 In un punto P di un continuo *, lo sforzo sulla terna di faccette associata ai particolari assi xyz sia descritto dalla seguente matrice simmetrica: 4 4º ª 6 « » 1 1» « «¬simm. 1 »¼

(p. es. valori in daN/cm2).

Si determinino le 3 direzioni principali nI, nII,, nIII in P, e le tensioni principali. Gli invarianti fondamentali sono: TI = 8, TII = 20, TIII = 0 e l’equazione (7) diventa: V 3  8V 2  20V 0 Gli sforzi principali in P sono dunque: VI = 10 daN/cm2, VII = 0, VIII = 2 daN /cm2 Posto il primo autovalore nel sistema (5) si ha: 4 4 º §nx · ª6  10 ¨ ¸ «  1  10 1 » ¨ny ¸ « » «¬ 1  10 »¼ ¨© n z ¸¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ 0¸ © ¹

da cui, ricordando che n 2x  n 2y  n 2z

1 , si ricavano i tre coseni direttori della prima

direzione principale: n Ix

2 6

;

n Iy

n Iz

1 6

. ❏

Analogamente si procede per nII ed nIII.

(a)

(b)

Fig. 11.6.a,b. Quadrica indicatrice dello sforzo locale. (a) Ellisoide di Lamè. (b) Sforzi locali principali

Stato di deformazione nei continui 217

11.2

Stato di deformazione nei continui

11.2.1

Spostamento regolare di un continuo

A seguito dello spostamento di un continuo deformabile, il generico punto P passi in Pc, subendo lo spostamento:

 P'  P .

s

Lo spostamento del continuo è dunque noto quando si conosca il campo vettoriale (Fig. 11.7): s (P) .

s

Considereremo nel seguito spostamenti regolari, per i quali cioè la funzione vettoriale s(P) sia continua con le sue derivate fino all’ordine voluto. Scopo dell’analisi è di giungere alla conoscenza delle deformazioni locali subite, a seguito dello spostamento, dall’intorno materiale del generico punto P del continuo. Fissiamo l’attenzione su due problemi: 1. se (Q-P) è un segmento materiale infinitesimo della stella di centro P, e (Qc-Pc) la sua configurazione finale, si vuole la dilatazione Hu che esso ha subito a seguito dello spostamento del continuo:

Hu

lim

QoP

Q'P'  Q  P QP

;

(8)

2. se (Q-P) e (R-P) sono due segmenti infinitesimi della stella di centro P, formanti inizialmente angolo D, si vuole la variazione subita da D (scorrimento) a seguito dello spostamento del continuo. La Cinematica dei continui e in particolare la Meccanica dei corpi elastici si occupano di spostamenti regolari infinitesimali, cioè di campi s(P) in cui l’ampiezza dello spostamento sia piccola rispetto alle dimensioni del continuo *, ovvero tali per cui le derivate : si/k

w si w xk

i, k = 1,2,3

siano trascurabili rispetto all’unità, e le potenze successive siano trascurabili 2 rispetto alla prima potenza .

2

L’importanza della teoria degli spostamenti regolari infinitesimali è che le ipotesi di “piccolezza” sono ampiamente soddisfatte nei sistemi strutturali elastici interessanti la Scienza e la Tecnica delle Costruzioni. Agendo in tali ipotesi si ottengono notevoli semplificazioni formali.

218 Introduzione alla teoria dei continui elastici

(a)

(b)

Fig. 11.7.a,b. Spostamento regolare di un continuo. (a) Campo vettoriale s(P). (b) Regolarità del campo

11.2.2

Spostamento regolare infinitesimale nell’intorno del primo ordine di un punto

Nell’intorno (del primo ordine) del generico punto P di un continuo deformabile lo spostamento subito da un punto Q dell’intorno (Fig. 11.7): Q

­ x1Q ° Q : ® x2Q ° ¯ x3Q

P  dP

x1P  dx1 x2P  dx2 x3P  dx3

è dato, a meno di infinitesimi di ordine superiore a dP , da: s (P  dP)

s (P)  ds

ma:

ds

'

ds dP dP

3

¦ s/k dxk ,

avendo per semplicità indicato con s/k la derivata parziale quindi:

sQ

e proiettando sugli assi:

skQ

(9)

k 1

sP  ¦ k s /k dxk skP  ¦ sk/i dxi .

ws . La (9) si scrive w xk

(9)I (9)II

i

Fissiamo l’attenzione su questo nuovo oggetto matematico costituito dalla terna dei vettori derivata di s(P) rispetto ai tre assi: s/ 1

ws , w x1

s/ 2

ws , s/ 3 w x2

Con matrice delle componenti: ª s1/1 «s « 2 /1 ¬« s3 /1

s1/ 2 s2 / 2 s3 / 2

s1/ 3 º s2 / 3 » . » s3 / 3 ¼»

ws . w x3

(10)

Stato di deformazione nei continui 219

È chiaro che mentre il campo s(P) è invariante rispetto ad un cambiamento d’assi (cambiano le componenti di s, ma non il vettore), ciascuno dei tre vettori derivati s/k, cambia al cambiare del riferimento. Si scopre che questa terna si trasforma al cambiare degli assi come un tensore doppio: ~s ~ s/ D i ; s s D kD i (11) /E

¦i

i E

J/E

¦

k/i J

E

cioè la terna vettoriale (10), unitamente alla disciplina (11), è un tensore doppio, il “tensore derivato del vettore spostamento”. 11.2.3

Il tensore di deformazione

Analizziamo il tensore doppio s/k per trarre informazioni sul fenomeno fisico in esame. Osserviamo che con l’accorgimento di scrivere: 1 si/k  sk/i  1 si/k  sk/i , 2 2 e con la posizione: si/k

1 1  si/k  sk/i Sik ; si/k  sk/i Eik , (12) 2 2 il tensore derivato del vettore spostamento può esser scomposto nella somma di un tensore doppio simmetrico Sik e di un tensore doppio emisimmetrico Eik: >si/k @ >Sik @  >Eik @ .

Ciò consente di esprimere lo spostamento infinitesimale nell’intorno del primo ordine del generico punto P (cioè la (9)I), come somma di tre addendi: siQ

c  s' 'iQ  s' ' 'iQ siQ

siP  ¦ k Eik dxk  ¦ k Sik dxk .

(13)

Al secondo addendo può darsi, sempre nei limiti dell’approssimazione in cui si sta operando, la seguente forma: 1 s' 'Q 4 š Q  P con 4 rot s . 2 La parte emisimmetrica [E] del tensore s/k descrive dunque una rotazione rigida infinitesimale dell’intorno del prim’ordine del punto P. Poiché la parte simmetrica [S] del tensore è l’unica responsabile della deformazione locale in P (dilatazioni e scorrimenti), dalla (13) traiamo che lo spostamento regolare infinitesimale nell’intorno di un punto si compone di uno spostamento rigido traslorotatorio di traslazione eguale allo spostamento del 1 punto, e rotazione 4 rot s , nonché di una deformazione caratterizzata dal 2 tensore doppio simmetrico [Sik]. Interpretiamo, di quest’ultimo, il significato fisico (Fig 11.8a): si mostra facilmente a partire dalla definizione (8) che le componenti ad indici eguali rappresentano le dilatazioni dei tre segmentini diretti, rispettivamente, lungo l’asse x1, l’asse x2 e l’asse x3.

220 Introduzione alla teoria dei continui elastici

Con riferimento alle notazioni in Figura 11.8a (in cui, per chiarezza, si sono omesse deformazioni angolari) si ha: dx'1  dx1 dx' 2  dx2 dx'3 dx3 . (14) ; S 22 H 2 ; S33 H 3 S11 H1 dx1 dx2 dx3 A valori positivi di Hi corrispondono quindi allungamenti dello spigolo dxi; a valori negativi di Hi, corrispondono accorciamenti. Quanto alle componenti ad indici diversi Sij, si può mostrare che (nei limiti dell’approssimazione in cui si opera) la variazione angolare Jij (scorrimento) subita da due segmentini inizialmente ortogonali (diretti come gli assi xi e xj) e formanti finalmente un angolo C @ S , essendo ST il vettore riga delle componenti 2

S i.

Dalla (16), in cui sia posta la (17), si ricava subito il legame lineare tra componenti di sforzo e di deformazione: pk

¦i cki Si

(k,i=1,..,6) ovvero:

Si

¦ j Cij p j .

(18)

Se i coefficienti cik sono indipendenti dalla posizione nel corpo, il continuo elastico si dice omogeneo; le cij si dicono costanti elastiche o rigidezze del materiale. Hanno le dimensioni di uno sforzo, data l’adimensionalità delle Si: [FL-2]. Dalla simmetria dei tensori di sforzo e di deformazione segue poi subito la simmetria della matrice 6u6 delle costanti cki. Per un generico continuo elastico lineare le costanti indipendenti sono dunque solo 21. Ritornando alle notazioni proprie dell’Ingegneria, la (18) si scrive per esteso, nel modo seguente: §V x · ¨ ¸ ¨V y ¸ ¨V ¸ ¨ z¸ ¨W xy ¸ ¨ ¸ ¨ W yz ¸ ¨W ¸ © zx ¹

c13 ªc11 c12 « c c 22 23 « « c33 « « « simm « ¬«

c14 c24 c34 c44

c15 c25 c35 c45 c55

c16 º c26 »» c36 » » . c46 » c56 » » c66 ¼»

(18)I

Il numero delle costanti elastiche indipendenti si riduce ulteriormente se il materiale presenta simmetrie elastiche in certe direzioni nel generico P, cioè se le rigidezze cij (che dipendono in generale, dalla scelta del cubetto in P, dato che da quello dipendono le componenti pk e Si di sforzo e di deformazione) sono invarianti rispetto a certe particolari trasformazioni di coordinate. Ci limitiamo a segnalare che quando la struttura del materiale presenta un piano di simmetria, le costanti elastiche indipendenti si riducono a 13. Si riducono a sole 9 indipendenti quando, in materiali come il legno, si hanno tre piani mutuamente ortogonali di simmetria elastica (materiale ortotropo). Esaminiamo ora, con qualche dettaglio, il caso di gran lunga più importante per le applicazioni strutturali: quello di un continuo elastico omogeneo ed isotropo.

L’elasticità 225

11.3.3

Continui elastici, omogenei ed isotropi

Sono quelli le cui proprietà elastiche, riassunte nelle costanti cij, sono indipendenti dall’orientazione dell’elementino in P e sono le stesse per tutti i punti P del continuo. I risultati cui si perviene a partire dalle ipotesi di omogeneità e isotropia, sono in buon accordo con l’esperienza per alcuni materiali di grande interesse nelle costruzioni (ad esempio, l’acciaio), così che esse acquistano fondamentale importanza negli sviluppi classici della Scienza e della Tecnica delle Costruzioni. Nei continui elastici isotropi, nei quali (come si mostra facilmente) le direzioni principali di sforzo coincidono con quelle principali di deformazione, le costanti elastiche si riducono a due sole indipendenti. Introdurremo per gradi il legame elastico isotropo considerando, in successione, i casi di sforzo monoassiale, biassiale (o piano), e triassiale. 11.3.3.1 Stato monoassiale di sforzo Lo stato monoassiale di sforzo è quello in cui il tensore degli sforzi si riduce - con riferimento alle direzioni principali xI xII xIII alla forma (Fig. 11.9a): 0 0º ª VI « 0 0»» . « «¬simm 0»¼ Le prove sperimentali consentono di stabilire per i materiali duttili (come l’acciaio) un diagramma sforzi-deformazioni del tipo di quello in Figura 11.9b: un iniziale tratto rettilineo descrive il comportamento del materiale in regime elastico lineare, fino ad una soglia (sforzo di snervamento) oltre la quale a piccoli o nulli incrementi di sforzo corrispondono grandi incrementi delle deformazioni (regime plastico). Il tratto elastico lineare può essere indifferentemente percorso in senso ascendente (fase di carico) o discendente (fase di scarico): in altre parole, se la fase di scarico inizia prima che sia stata raggiunta la soglia di snervamento, il corpo riacquista la propria iniziale configurazione senza significative deformazioni residue. In regime elastico lineare si ha dunque il seguente legame, caso particolare del (18): V 1 EH1 . (19) La costante elastica “E” prende il nome di modulo elastico normale del materiale [FL–2]. Anche le contrazioni trasversali in direzione x2 e x3, sono proporzionali allo sforzo V1: QH1 . (20) Alla costante Q di proporzionalità (zerodimensionale), caratteristica del 1 materiale, si dà il nome di coefficiente di Poisson; all’inverso m si dà il

H2

H3

Q

nome di modulo di contrazione trasversale. Combinando le relazioni precedenti si ottiene anche:

226 Introduzione alla teoria dei continui elastici

Q 1 V1 H 2 H3  V1 . (21) E E La Figura 11.10a (in cui l’unità di lunghezza si intende sufficientemente piccola) mostra la deformazione del cubetto elementare. Si noti come ad uno stato monoassiale di sforzo non corrisponda uno stato monoassiale di deformazione, dato che compaiono anche le dilatazioni HII e HIII; inoltre, come già accennato, dalla isotropia scende che le direzioni principali di sforzo e quelle di deformazione coincidono: H1

ªH I «0 « «¬ 0

0

H II 0

0 º 0 »» . H III »¼

Dalla (21) segue che la dilatazione volumetrica è:

H

1 1  2Q V I E

e poiché è sicuramente non negativa quando VI è positivo (di trazione), segue, per 1 un generico materiale elastico, la limitazione Q d . 2

(a)

(b) Fig. 11.9.a,b. Analisi di sforzo e deformazione. (a) Deformazione locale: allungamento assiale e contrazione trasversale. (b) Legame elastoplastico sforzo y deformazione

L’elasticità 227

(a)

(b)

(c) Fig. 11.10.a-c. Stato locale di sforzo e deformazione. (a) Stato di sforzo piano biassiale. (b) Stato biassiale con sforzi principali di segni opposti. (c) Deformazione dei due “cubetti” di Fig. 11.10b

11.3.3.2 Stato piano di sforzo In Figura 11.10b si sono evidenziate le direzioni principali di sforzo (stato biassiale). È caratteristico del regime elastico che lo stato di deformazione corrispondente ad un certo stato di sforzo dipenda solo da questo e non dal modo in cui è stato prodotto. Questo ci consente di immaginare la deformazione corrispondente ad un certo tensore di sforzo come quella che si otterrebbe sovrapponendo le varie deformazioni elementari corrispondenti ad una sola componente di sforzo (come se le altre fossero assenti). Lo stato di deformazione corrispondente allo stato biassiale qui considerato: ªV I 0 «0 V II « «¬ 0 0

0º 0»» , 0»¼

228 Introduzione alla teoria dei continui elastici

può dunque vedersi generato dalla sovrapposizione dei due seguenti stati: 1 Q ­ H II H III  V I H V °° I E I E , ® 1 Q °H V II H I H III  V II II E E ¯° ovvero: 1 Q HI V I QV II ; H II 1 V II  QV I ; H III  V I  V II . (22) E E E Lo stato di deformazione corrispondente allo stato di sforzo biassiale non è, quindi, biassiale. 0 º ªH I 0 «0 H 0 »» . II « «¬ 0 0 H III »¼ Consideriamo ora il particolare stato biassiale in cui VII =  VI. Si può mostrare

che sulle facce del cubetto inclinato di

S

radianti rispetto a quello principale, 4 agisce soltanto sforzo di taglio (Fig. 11.10b). Esaminiamo la deformazione dei due cubetti (Fig. 11.10c): dalle (22) si hanno le deformazioni principali: 1X 1X H I H II VI W, H III 0 , (23) E E cioè gli spigoli perpendicolari al piano del foglio conservano la propria lunghezza. 1 Gli spigoli aventi originariamente lunghezza , raggiungono finalmente la 2 lunghezza 1 2

d

1  H I 2  1  H I 2

1

1 2 2

1  H 2

· 1 § 1 2 ¨¨1  H I  ...¸¸ , 2© 2 ¹

ovvero, nei limiti dell’approssimazione usata qui, essi conservano la propria lunghezza. Quanto agli scorrimenti che alterano gli angoli inizialmente retti, usando una ben nota identità trigonometrica, si trae: §S J · c¨  ¸ © 4 2¹

1  tg(J / 2) 1  tg(J / 2)

1 HI . 1 HI

Dalla (23) segue che 1 Q W, (24) 2 2 E ovvero, la deformazione relativa ad uno stato di puro taglio è una deformazione di puro scorrimento. Posto: E G modulo di taglio, (24)I 21  Q tg

J

J

HI

L’elasticità 229

tale deformazione si scrive compattamente 1 J W. (25) G Gli stati di sforzo e di deformazione per i due cubetti possono così riassumersi: 0 ª VI «  V II « «¬simm

0º 0»» 0»¼

0 ª HI «  H II « «¬simm

0º 0»» e 0»¼

W 0º ª 0 J 0º ª 0 « « » 0 0» « 0 0»» . « «¬simm 0»¼ «¬simm 0»¼

Si può concludere che lo stato piano di sforzo nel generico cubetto materiale elementare in P, è sovrapposizione di uno stato piano Vx, Vy e di uno stato di puro taglio Wxy: Figura 11.11a. Il corrispondente stato di deformazione (Fig. 11.11b) risulta pertanto essere: 1 1 Hx V x  QV y ; Hy V y  QV x ; E E Q 1 Hz  V x  V y ; J xy W xy . G E













(a)

(b) Fig. 11.11.a,b. Stato di sforzo e deformazione locale. (a) Stato piano di sforzo. (b) Corrispondente stato di deformazione

230 Introduzione alla teoria dei continui elastici

11.3.3.3 Legame sforzi-deformazioni È immediata la descrizione del più generale legame sforzi-deformazioni corrispondente ad uno stato di sforzo tridimensionale: è quello in cui ogni dilatazione risente di tutti gli sforzi normali, e di loro soltanto, e ogni scorrimento risente soltanto del corrispondente sforzo di taglio: 1 1 Hx V x  Q V y  V z , J xy W xy ; G E 1 1 Hy V y  Q V x  V z , J yz W yz ; G E 1 1 Hz V z  Q V x  V y , J zx W zx . G E La costante G si intende legata dalla (24)I alle due uniche costanti elastiche indipendenti E e Q. La formulazione matriciale (18)I si particolarizza così: § · ¨ ¸ ¨V x ¸ ¨V y ¸ ¨ ¸ ¨Vz ¸ ¨W xy ¸ ¨ ¸ ¨ W yz ¸ ¨ W zx ¸ ¨¨ ¸¸ © ¹

11.3.4

ª 21  Q « 1  2Q « « « E « 21  Q « « « « « ¬

2Q 1  2Q 21  Q 1  2Q

2Q 1  2Q 2Q 1  2Q 21  Q 1  2Q

>0@ 1

simm

0 1

º § · » ¨H ¸ » ¨ x ¸ » ¨ Hy ¸ » ¨H ¸ » ˜¨ z ¸ . » ¨ J xy ¸ ¨ ¸ 0» ¨ J yz ¸ » 0» ¨ J zx ¸ ¨ ¸¸ 1»¼ ¨© ¹

Il problema dell’equilibrio elastico

Siamo ora in grado di inquadrare il problema della determinazione dello stato di sforzo e di deformazione (elementare) in un continuo elastico, soggetto a forze di superficie e di volume. Le incognite sono le 12 funzioni di posto pij(P) e Sij(P) che caratterizzano i tensori (simmetrici) di sforzo e di deformazione. Le equazioni disponibili sono le 3 indefinite di equilibrio (3), le 6 equazioni (18)I di legame sforzi-deformazioni, le 3 condizioni indipendenti di congruenza di cui s’è detto, cui si aggiungono le condizioni al contorno (4)I. Soddisfatte identicamente le condizioni di congruenza introducendo lo spostamento infinitesimale ds(P) subito dal generico punto P del continuo, le equazioni di legame sforzi-deformazioni possono essere riscritte facendovi comparire le componenti del tensore derivato del vettore spostamento. Poste le componenti di sforzo, così espresse, nelle 3 equazioni indefinite d’equilibrio e integrate queste ultime tenendo conto delle condizioni al contorno, si determina il campo di spostamenti, e quindi sforzi e deformazioni nel continuo. La soluzione del problema elastico (che si mostra essere unica) è ovviamente molto laboriosa anche in presenza di ipotesi limitative (isotropia, forze di volume costanti, ecc.). Segnaliamo comunque che le equazioni di congruenza  che sono

L’elasticità 231

del 2° ordine nelle componenti pij  risultano direttamente soddisfatte ogni volta che possa assumersi un tensore di sforzo le cui componenti siano funzioni lineari del posto. In tal caso il tensore di sforzo che soddisfa le equazioni di equilibrio, indefinite e al contorno, è già soluzione del problema. Rileviamo nuovamente, infine, che il carattere infinitesimo delle deformazioni e la linearità del legame elastico, portano alla possibilità di valutare gli effetti di un sistema di forze somma di più sistemi di forze, semplicemente sovrapponendo gli effetti di ciascuno pensato agente separatamente dai restanti (principio di sovrapponibilità degli effetti).

(a)

(b)

(c) Fig. 11.12.a-c. Stati piani di sforzo. (a) Lastra di piccolo spessore con sollecitazione di bordo, nel proprio piano. (b) Componenti di sforzo su “cubetto” ruotato rispetto alle direzioni principali. (c) Rappresentazione dello stato di sforzo in P (cerchio di Mohr)

232 Introduzione alla teoria dei continui elastici

11.4

Stati piani di sforzo e stati piani di deformazione

11.4.1 Stati piani di sforzo. Il cerchio di Mohr Lo stato di sforzo nel generico punto P del continuo si dice piano quando una giacitura in P è priva di sforzo. Ad esempio, nella lastra di piccolo spessore in Figura 11.12a, soggetta soltanto a sollecitazioni di bordo e nel piano xy della lastra stessa, si può, almeno approssimativamente, ritenere che lo stato di sforzo in ogni punto sia piano; ciascun cubetto elementare estratto dallo spessore della lastra possiede due facce prive di sollecitazione. Possiamo cioè assumere che i vettori sforzo nel generico punto P siano paralleli al piano della lastra, così che Vz = Wyz = Wxz = 0. Possiamo anche assumere che gli sforzi siano uniformi lungo lo spessore della lastra (in altre parole, si può operare sui valori medi, in P, di sforzi e deformazioni lungo lo spessore. Ciò è lecito se le azioni ai bordi non sono troppo “capricciose”), ovvero possiamo assumere che Vx, Vy, e Wxy siano indipendenti da z. È inoltre chiaro che ad un tensore piano di sforzo, non corrisponde, nel generico cubetto in P, un tensore piano di deformazione:

W xy ª Vx « Vy « «¬simm.

0º 0»» 0»¼

J xy ª Hx « Hy « «¬simm.

0º 0 »» . H z »¼

Allo stato di sforzo piano sulle infinite faccette nel generico punto P si può dare una compatta ed elegante rappresentazione grafica introdotta da Otto Mohr. Dal carattere tensoriale dello sforzo in P, si trae subito il legame tra le c , V x2 c , W x1x2 c , componenti principali di sforzo in P, e le componenti di sforzo V x1 su un generico cubetto di normali x1c xc2 , ruotate di un angolo 4 antiorario rispetto alle direzioni principali (Fig. 11.12b): ­V ' ° x1 ° ° ®V ' x 2 ° ° °¯W ' x1x 2

1 1 V I  V II  V I  V II cos 24 2 2 1 1 V I  V II  V I  V II cos 24 . 2 2 1  V I  V II sin 24 2

(26)

Consideriamo ora due assi cartesiani ortogonali V, W: un punto Q di questo piano, avente coordinate (V, W) può assumersi a immagine dello sforzo sulla faccetta in P avente V e W come componenti di sforzo. Costruiamo il cerchio avente centro C (sull’asse V) di coordinate: 1 C§¨ V I  V II , 0 ·¸ . ©2 ¹

Stati piani di sforzo e stati piani di deformazione 233 Allora, le precedenti equazioni di trasformazione (26) si possono interpretare osservando che la retta per C formante angolo 24 orario con l’asse orizzontale, c , W x1x2 c ) (Fig. 11.12c). taglia il cerchio proprio nel punto Q di coordinate ( V x1 Il punto R del cerchio, diametralmente opposto a Q, è rappresentativo dello c , W x2x1 c ) sulla faccetta in P ortogonale a quella avente Q per immagine. sforzo ( V x2 Il cerchio è pertanto rappresentativo dello stato di sforzo sul fascio di faccette passanti per P. Coppie di punti del cerchio i cui raggi formano angolo 2D rappresentano coppie di faccette le cui normali formano angolo D. Note le due tensioni principali, sono noti centro e raggio del cerchio e quindi lo stato di sforzo in P. Al tracciamento del cerchio si può anche giungere quando siano noti gli sforzi su due generiche faccette ortogonali in P. Se Dp (orario) è l’angolo che la normale x1 a una di queste forma con la direzione principale xI (Fig. 11.13a), i punti Q e R in figura sono rappresentativi dello sforzo su quelle faccette, così che centro e raggio del cerchio sono subito noti (in figura si è usata la semplice notazione Vi e Wij al posto di Vxi e Wxixj). Esempio 11.3 a. Con riferimento allo stato di sforzo descritto dal cerchio di Mohr (vedi Fig. 11.13b), quali sono le faccette in P a massimo sforzo di taglio? Sono le faccette le cui normali x1 e x2 sono tali per cui: 90q x1 x I 4 45q . 2 b. Uno stato di sforzo locale è dato da: V x 10 ,V y 2 ,W xy 3. MN / m2 Si tracci il cerchio di Mohr assumendo che VI > VII. Si trovi l’orientazione Dp delle direzioni principali, e lo stato di sforzo sulle faccette normali xc e yc ruotate di D = 30° (antiorario) rispetto ad xy. Si disegna anzitutto il cerchio di Mohr. Da questo si ricava che: 2D p 36.9q e r 5.0 MN /cm2. (Fig. 11.13c) Quindi: D p 18.45q,V I 11,V II 1 MN / m2 Poiché 2D p

60q , la retta congiungente (Vcx, Wcxy) al centro del cerchio, sottende un

angolo di 23.1° con la direzione principale xI. Quindi si ha: 2 V ' x 6.  5.cos 23.1q 10.6 MN/m

W ' xy 5.sin 23.1q 2.

MN/m 2

V ' y 6.  5.cos 23.1q 1.4

MN/m 2 .

c. Si tracci il cerchio di Mohr per i seguenti stati locali di sforzo (unità MN /m2): Vy = 2, Wxy = 3 a. Vx = 10, Vy =  2, Wxy = 3 b. Vx =  10, c. Vx = 10, Vy = 2, Wxy = 0 Dp = 18.5°, VI = 11, VII = 1.) (Risposta: Dp = 71.5°, VI =  1, VII =  11.) (Risposta: Dp = 0, VI = 10, VII = 2.) (Risposta:

❏

234 Introduzione alla teoria dei continui elastici

(a)

(b)

(c) Fig. 11.13.a-c. Cerchi di Mohr di stati di sforzo locali. (a) Tracciamento del cerchio noti gli sforzi su due faccette ortogonali. (b) Stato di sforzo dell’Es. 11.3a. (c) Stato di sforzo dell’Es. 11.3b

11.4.2

Stati piani di deformazione

Sono quelli per cui gli spostamenti s(P) dei punti del continuo giacciono in piani paralleli. Se l’asse z è assunto normale a questi piani, si ha sz P 0 , P. Dalla simmetria, deduciamo che stati piani di deformazione possono aversi nella regione centrale di un continuo la cui lunghezza in direzione z è

Stati piani di sforzo e stati piani di deformazione 235 preponderante sulle altre due, la cui sezione trasversale è uniforme, ed è sollecitato uniformemente in direzione z. Stati piani di deformazione si hanno dunque, ad esempio, nelle dighe a gravità, nei muri di contenimento di terrapieni, nei contenimenti dei tunnel (Fig. 11.14). Come già detto, ad un tensore piano di deformazione non corrisponde un tensore piano di sforzo. Possiamo scrivere, in generale:

J xy ª Hx « Hy « «¬simm.

0º 0»» 0»¼

e

W xy 0 º ª Vx « V y 0 »» . « «¬simm. V z »¼

La rappresentazione grafica di Mohr, già presentata per gli sforzi piani, si estende subito alle deformazioni piane dal cui carattere tensoriale si ricava subito: ­ °H x1 ° ° ®H x 2 ° ° °J x1x 2 ¯

1 H I  H II  1 H I  H II cos24 2 2 1 H I  H II  1 H I  H II cos24 . 2 2 1  H I  H II sin 24 2

Con considerazioni analoghe a quelle del paragrafo precedente si giunge facilmente alla rappresentazione dello stato di deformazione locale mediante un cerchio di Mohr delle deformazioni.

Fig. 11.14. Muro di contenimento terrapieni: stato piano di deformazione Esempio 11.4 Lo stato piano di deformazione in un punto, relativamente agli assi xy, è descritto dalla matrice (Fig. 11.15) 4 0º ª 5. 10 4 « 7.5 0 » « » «¬simm. 0 »¼ Se ne tracci il cerchio di Mohr, assumendo che H I > H II; si calcoli la direzione Dp di xI e i valori di H I e H II. Si calcoli lo stato di deformazione in un sistema d’assi xc1 xc2 ruotato di 5° (orari) rispetto agli assi x1 x2. .

.

236 Introduzione alla teoria dei continui elastici Si traccia anzitutto il cerchio: E = 32.6° r = 7.42 u 10-4 Quindi si ha: 2D p 147.4q ,D p 73.7q

HI

(1.25  7.42)10 4

8.67 u 10 4

(1.25  7.42)10 4 6.17 u 10 4 Al cubetto ruotato di 50° orari, corrisponde un angolo di 100° antiorari sul cerchio (punti P e Q); quindi: J 100.  32.6 67.4q

HI

1.25  42 cos67.4 10 4 1.60 u10 4 (ascissa di P) H ' x 2 1.25  7.42 cos67.4 10 4 4.10 u10 4 (ascissa di Q) J ' x1x 2   7.32sin 67.4 10 4 6.85 u10 4 (ordinata di P) H' x1

❐

Fig. 11.15. Descrizione dello stato piano di deformazione dell’Es. 11.4

11.5

11.5.1

L’indagine sperimentale delle deformazioni

Gli estensimetri

Ci limitiamo ad esaminare il rilievo strumentale di componenti di deformazione locale mediante strumenti applicati a superfici esposte del corpo. La misura delle deformazioni di superficie è ricca di importanti risultati in tutti quei casi in cui l’elemento strutturale da esaminare ha una dimensione prevalente sulle altre ed è soggetto a sole sollecitazioni d’estremità. Se possiamo supporre che lo stato di deformazione nell’interno del corpo sia uniforme, la conoscenza della variazione '" di lunghezza di un segmento superficiale P1P2 diretto, ad esempio, come l’asse x, fornisce  se rapportato all’iniziale lunghezza "  la componente Hx del tensore locale di deformazione.

L’indagine sperimentale delle deformazioni 237

Gli estensimetri sono apparecchi per la misura dell’allungamento locale '" '" e, nel relativo ad una breve base P1P2 di lunghezza ". Allora si ha che H x " '" caso di materiale elastico, V x EH E . " Gli estensimetri più attendibili, di grande impiego nelle misure di laboratorio, sono quelli a variazione di resistenza elettrica o strain-gauge. Sono costituiti da un sottile filo conduttore su un supporto di carta o di mica; esso viene direttamente collato nel punto della struttura in cui si vuol misurare la deformazione e nella direzione desiderata. Alle estremità della resistenza si dipartono i collegamenti ad un circuito di misura, costituito da un ponte di Wheastone. Quando il corpo, di cui lo strain-gauge è parte integrante, si dilata sotto carico, l’estensimetro vede aumentare la propria lunghezza " e diminuire la sezione A del conduttore; ad un allungamento del solido in direzione x corrisponde dunque un aumento della resistenza del dispositivo: R

U" A

.

La dilatazione Hx risulta proporzionale alla variazione di resistenza: 'R; nota quest’ultima, si risale alla dilatazione. Qualche dettaglio, ora, sull’impiego di estensimetri nell’indagine del tensore locale di deformazione. 11.5.2 L’indagine delle deformazione locale. Rosette estensimetriche È chiaro che il generico elemento della superficie scarica può ritenersi in uno stato piano di sforzo. Con riferimento agli assi in Figura 11.16 è allora evidente che zc è una direzione principale di sforzo (indichiamola xIII) mentre le altre due xI e xII, giacciono nello stesso piano zcyc. c , è dunque descritta dal cerchio di Mohr La deformazione locale H xc , H cy , J xy che evidenzia, tra l’altro, le deformazioni principali HI e HII. Il cerchio di Mohr nel generico punto P può essere costruito quando si conoscano le dilatazioni H1 H2 H3 in tre distinte direzioni uscenti da P. A tal fine, disponiamo tre strain-gauges secondo lo schema in Figura 11.16a, a formare una rosetta estensimetrica a 45°, e indichiamo con H1 ,H2 ed H3 le dilatazioni in queste tre direzioni. I loro punti-immagine P1, P2, P3 sul cerchio di Mohr  per ora incognito  sottendono, due a due, angoli di 90° contati in verso orario nel procedere da P1 a P3 (Fig. 11.16a): Se T è l’angolo (orario) che la direzione principale xI forma con la xc, e r indica l’incognito raggio del cerchio, dalla geometria in Figura 11.16a traiamo subito che: r cos 2T

H1 

H1  H 3 H1  H 3 2

2

238 Introduzione alla teoria dei continui elastici

ovvero:

H1  H 3  H

2. 2 Dividendo membro a membro le precedenti, quadrando e sommando, si ha: H1  H 3  2H 2 ; (27) tg 2T H1  H 3

r sin 2T

r

1 2

H1  H 3 2  H1  H 3  2H 2 2

H1  H 3

HI

2

r ;

H II

;

(28)

H1  H 3 2

r .

(29)

Le relazioni precedenti esauriscono il problema posto: quando si siano rilevate sperimentalmente tre dilatazioni H1, H2 ed H3 con una rosetta a 45° posta in P, è completamente individuato il cerchio di Mohr in quel punto e quindi lo stato locale di deformazione. Un altro dispositivo di uso comune è la rosetta estensimetrica a 60°. I criteri per la determinazione delle direzioni e dilatazioni principali a partire dalle tre dilatazioni rilevate strumentalmente, sono gli stessi descritti poc’anzi per la rosetta a 45°; ora però i 3 punti-immagine sul cerchio di Mohr sottendono, due a due, angoli di 120° come mostrato in Figura 11.16b. Dalla geometria in Figura 11.16 si può ricavare: 3 H 3  H 2 ; 2H1  H 2  H 3

tg 2T r HI

1/ 2 2 2 H1  H 22  H 32  H1H 2  H 2H 3  H 3H1 ; 3 H1  H 2  H 3 H1  H 2  H 3 H II r . r ;





3

3

Infine, quando si conoscano le costanti elastiche m ed E del materiale, dalla conoscenza del tensore di deformazione si può poi subito risalire a quella dello sforzo locale. Esempio 11.5 a. Le dilatazioni misurate localmente con una rosetta estensimetrica a 45° siano, rispettivamente: H 1 5.u10 4 H 2 3.u10 4 , H 3 10 4 . Si studi lo stato locale di deformazione. Dalla (28) si ha: 1  5.  1. 2    5.  1.  2 ˜ 3. 2 u 10 4 5.8 u 10 4 r 2 Quindi:

HI

3.8 u 10 4

Dalla (27) si ha:  5.  1.  6. tg 2T  5.  1.

e

H II 1.667

7.8 u 10 4

L’indagine sperimentale delle deformazioni 239 2T

59q

o

2T

121q

La soluzione negativa risponde al problema fisico. La direzione principale xI di deformazione forma un angolo di 60.5° con la direzione x’ relativa ad H1. b. Le dilatazioni misurate in un punto P della superficie di un corpo con una rosetta estensimetrica a 60° sono:

H1

10 4 ;

H2

5. u 10 4 ;

H 3 10 3 ;

Quali sono le componenti di deformazione relativa agli assi x, y rispettivamente orizzontale e verticale? Si ha, facilmente: H x 10 4 ; H y 1.03 u 10 3 ; J xy 2.89 u 10 4 . ❐

(a)

(b) Fig. 11.16.a,b. Misure di deformazioni locali. (a) Rosetta estensimetrica a 45°. (b) Rosetta estensimetrica a 60°

240 Introduzione alla teoria dei continui elastici

11.6.

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica [21]

11.6.1

Mobilità e spostamento. Sistemi olonomi e anolonomi. Spostamenti virtuali

È utile pensare il generico sistema meccanico (corpo rigido o comunque deformabile) come un aggregato di N punti materiali (vedi par. 11.6.3) Pi (x i , y i , z i )

i = 1,..., N z Pi

zi y xi yi x Fig. 11.17. Sistema materiale 3-D

variamente legati da vincoli interni (per es. vincoli di rigidità, cerniere interne, ecc.) e legati all’ambiente da vincoli esterni (carrelli, cerniere, ecc.). La presenza fisica di un vincolo equivale ad un legame analitico tra le 3N coordinate cartesiane degli N punti 3. y

A x y

B d A x

Fig. 11.18. Vincoli interni e esterni

3

Ripensi il lettore, ad esempio, al vincolo di rotolamento puro, tradotto dal legame finito | x | = R | θ | tra la coordinata di avanzamento e quella di rotazione. Ancora: il vincolo di

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 241

Si usa classificare un vincolo in base alla natura del legame che lo traduce analiticamente. Introduciamo la seguente definizione: Def. Un vincolo si dice olonomo (o di posizione) e bilaterale se si traduce in una equazione finita 4 tra le 3N coordinate dei punti: f (x 1 , y 1 , z 1 ,..., x N , y N , z N ) = 0

(1)

Il vincolo si dice olonomo e unilaterale se comporta, tra le coordinate degli N punti, un’inequazione del tipo: g(x 1 , y 1 , z 1 ,..., x N , y N , z N ) > 0

I vincoli di gran lunga più frequenti in Meccanica delle Strutture sono vincoli di olonomia. Proponiamoci dunque di analizzare l’effetto dell’imposizione di un vincolo olonomo. In assenza di qualsiasi vincolo, il sistema Pi , i = 1,..., N, avrebbe 3N g. di 1., ovvero ∞3N sarebbero le sue configurazioni possibili. L’imposizione di un vincolo olonomo (e bilatero) comporta che una (qualsiasi) delle 3N coordinate sia ora funzione delle restanti (3N-1) libere, in base ad un legame del tipo (1). I g.di 1. scendono a 3N-1 e ∞ 3N–1 sono ora le configurazioni possibili. Per immediata estensione, l’imposizione di r vincoli olonomi indipendenti (r > 1): f j (x 1 , y 1 , z 1 ,..., x N , y N , z N ) = 0

j = 1,..., r

(1)′

comporta che r (qualsiasi) delle 3N coordinate dipendono in base al sistema (1)′ dalle rimanenti n = 3N – r, che fungono quindi da coordinate lagrangiane. Evidenziate per comodità queste ultime con i simboli q1,q2, ...,qn possiamo scrivere: ⎧x i = x i (q1 , q 2 ,... q n ) ⎪ Pi = Pi (q1 , q 2 ,... q n ) ⎨ y i = y i (q1 , q 2 ,... q n ) ⎪z = z (q , q ,... q ) i 1 2 n ⎩ i (i = 1,..., N )

(2)

L’imposizione degli r vincoli di olonomia ha dunque abbassato a ∞ n le configurazioni possibili del sistema 5 e {q1,q2, ...,qn} è la n-pla delle coordinate lagrangiane del sistema. rigidità interna tra due punti materiali A e B fa si che le 4 c.c.o. xA, yA, xB,yB non siano tutte libere. Solo 3 (qualsiasi) di esse lo sono: la rimanente dipende da quella, in base al legame finito:

(x B − x A )2 + (y B − y A )2 = d 4

5

La presenza di un carrello in A è tradotta dalle relazione yA = O. O, comunque, in un legame differenziale integrabile. Supponiamo che al variare della generica qk , vari la configurazione del sistema ovvero che il sistema (2) sia risolubile rispetto alle qk . Supponiamo in altri termini che sia

⎡ ⎤ rango ⎢ ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ z 1 ... ∂ x N ∂ y N ∂ z N ⎥ = n ∂ q ∂ q ∂ q ∂ q ∂ q ∂ q k k k k k ⎦ ⎣ k

k = 1, 2,..., n

242 Introduzione alla teoria dei continui elastici

In modo qualitativo, ma espressivo, possiamo concludere affermando che: il sistema cui sono stati imposti vincoli di olonomia non può più andare dove andava prima 6. C’è di più. L’espressione dello spostamento elementare del sistema olonomo Pi = Pi (q1,..., qn), i = 1, ..., N, è, per definizione:

∂ Pi ∂P dq1 +... + i dq n , i = 1,... N ∂q i ∂q n in cui le dqk indicano le n variazioni elementari indipendenti delle coordinate libere. Proviamo ad imporre al sistema un ulteriore vincolo olonomo. dPi =

f (q1 ..., q n ) = 0

Esso comporta per il sistema anche una limitazione per gli spostamenti elementari possibili che è espressa dalla equazione n

∂f

∑ k ∂q k dq k = 0 1

legame lineare omogeneo tra le variazioni elementari dqk delle c.l.; il legame olonomo implica dunque per il sistema anche un vincolo di mobilità. Giova da ultimo rilevare che ci si è di proposito astenuti, in questa esposizione, dal considerare sistematicamente vincoli mobili. In tal caso la (1) dipende esplicitamente dal tempo: n

Pi = Pi (q1 ,..., q n | t) e dPi =

∂P

∑ k ∂q ki dq k + 1

∂ Pi dt. ∂t

Cenni ai sistemi anolonomi Completiamo la classificazione dei vincoli, accennando ai vincoli anolonomi: Def. Un vincolo si dice anolonomi (o di pura mobilità) e bilatero, se si traduce in un legame differenziale non integrabile 7 tra le coordinate degli N punti del sistema: n

∑ k ak (x i y i z i )dx k + b k (x i y i z i )dy k + c k (x i y i z i )dz k = 0 1

Nel caso di inequazione si parlerà di vincolo anolonomo unilatero. 6

7

È con ciò giustificato il nome di “vincoli di posizione” che si dà usualmente agli olonomi. Cioè per cui non esiste una funzione soddisfacente al sistema:

∂φ ∂φ ∂φ = ak , = bk , = ck ∂x k ∂y k ∂z k

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 243

A differenza dell’onolomo, un vincolo di anolonomia non impone dunque alcuna restrizione alle configurazioni possibili del sistema; comporta soltanto limitazioni ai suoi spostamenti possibili, cioè alla sua mobilità. Diremo scioltamente che: il sistema cui è stato imposto vincolo di omolonomia può ancora andare dove andava prima, ma non può più andarvi come prima. Il pallone da football che rotola (senza strisciare) sul campo è un sostema anolonomo. È sistema anolonomo anche l’autovettura mobile nel piano. Essa può giungere ad occupare una qualsiasi prefissata posizione, ma a costo di particolari manovre, non essendole consentita mobilità laterale.

Fig. 11.19. Variazione di configurazione

In generale i vincoli di rotolamento si presentano come vincoli di mobilità; nel caso particolare del disco che rotola su una guida, l’equazione differenziale di vincolo è subito integrabile.

Fig. 11.20. Da una vignetta del PUNCH di Londra

244 Introduzione alla teoria dei continui elastici

Spostamenti virtuali Lo studio delle proprietà geometriche e meccaniche dei vincoli cui è sottoposto un sistema, poggia sulla fondamentale nozione di spostamento virtuale del sistema stesso. Esso gioca un ruolo assai importante negli sviluppi analitici della Statica e della Dinamica. Riferiamoci per generalità ad un sistema di N punti materiali: Def. Spostamento virtuale del sistema è un insieme di spostamenti infinitesimi dei suoi punti, per i quali valgono le seguenti proprietà: – siano compatibili con i vincoli (supposti fissi se sono mobili); – siano elementari; – siano fittizi, cioè puramente pensati. Per distinguere gli spostamenti virtuali dagli elementari possibili, indicheremo i primi col simbolo δPi , e le loro componenti cartesiane, rispettivamente, δxi , δyi , δzi . Nel caso particolarmente significativo di sistema olonomo a vincoli fissi Pi = Pi (q1, ..., qn), i = , ..., N, segue subito, dalla definizione, la seguente espressione dello spostamento virtuale: n

δ Pi = ∑ k 1

∂ Pi δq k ∂q k

, i = 1,..., N

(3)

Fra gli infiniti spostamenti virtuali (3) vi è anche, se i vincoli sono fissi, lo spostamento elementare n

dPi =

∂P

∑ k ∂q ki dq k 1

relativo allo spostamento reale. Se i vincoli sono mobili, ovvero se il tempo compare esplicitamente nelle coordinate dei punti: Pi = Pi (q1, ..., qn | t), essi vengono supposti fissi e lo spostamento virtuale del sistema è ancora espresso dalla (3). Tale spostamento può essere impresso al sistema solo a costo di alterarne i vincoli, irrigidendoli nell’istante t. Consideriamo, ad esempio, un anellino mobile su una circonferenza il cui raggio cresce nel tempo con legge data. La figura distingue, qualitativamente, tra spostamento elementare possibile dP e spostamento virtuale dP della particella. dP

t+∆t

P(t+∆t)

t P(t) r(t) vincolo mobile Fig. 11.21. Spostamenti elementari e virtuali

r(t+∆t)

δP

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 245

B

δB

B’

A’ P

δA A

Fig. 11.22. Vincolo mobile

Esempi 1) L’ascensore è un vincolo mobile per l’omino P. Discuta il lettore la mobilità possibile, e quella virtuale, di P. 2) Uno spostamento virtuale dell’asta rigida AB, mobile nel piano, la porta in A′B′, con una rotazione δq. Può essere descritto (Chasles) nel modo seguente:

δ B = δ A + δ φ ∧ (B − A ) in un unico modo può anche esser descritto così: δ B = δ φ ∧ (B − C ), C: centro di rotazione. Diremo inoltre reversibile uno spostamento virtuale se anche il suo opposto gode degli attributi di virtuale. Irreversibile in caso contrario.

–δθ δθ

δP

A

–δP: si!

δP

–δP:no!

Fig. 11.23. Reversibilità e irreversibilità

Esempi 1) Lo spostamento virtuale dell’asta AB è reversibile. 2) Per la particella mobile nel piano a e nel semispazio superiore, il δP nel piano è reversibile; il δP che stacca la pallina dal piano è irreversibile.

246 Introduzione alla teoria dei continui elastici

Quanto, infine, al calcolo del δPi , cioè delle componenti δxi , δyi , δzi , vale ovviamente tutto ciò che s’è detto nei paragrafi precedenti per il calcolo delle comonenti degli spostamento elementari δPi .8 Tutti i risultati raggiunti per questi ultimi si estendono ai virtuali, e tutti gli esempi ed esercizi per la ricerca di spostamenti elementari possibili sono anche esercizi sugli spostamenti virtuali, ove il lettore sostituisca il “d” con “δ”. La differenza tuttavia è sostanziale, in quanto i δqk , relativi a spostamenti virtuali (e quindi fittizi), sono arbitrari. Analogamente si costruiscono anche i concetti di velocità virtuali e atto di moto virtuale; gli intervalli infinitesimi di tempo dt sono anch’essi arbitrari. Pertanto l’analisi della mobilità elementare di un sistema coincide con l’analisi dell’atto di moto virtuale. È questo il motivo per cui essa è nota come analisi cinematica del sistema.

11.6.2

Lavoro di un sistema di forze

Unendo il concetto di forza e quelli di mobilità e spostamento di un sistema, viene definito il concetto di lavoro: il lavoro compiuto da un prefissato sistema di forze (agente su un sistema meccanico) in uno spostemento del sistema stesso. Fissiamo l’attenzione su un generico sistema di N punti materiali (non necessariamente olonomo né rigido): Pi

, i = 1,..., N

e consideriamo in particolare il sistema delle forze attive (esterne e interne) che gli competono 9. Indichiamo con Fi la risultante delle forze attive (sia interne che esterne) agenti sul punto Pi. Consideriamo uno spostamento elementare che porti il sistema dalla configurazione Γ alla Γ′ infinitamente prossima. Sia dPi = dx i i + dy i j + dx i k

il corrispondente spostamento elementare del punto Pi. Il lavoro elementare dLi compiuto dalla forza F i il cui punto di applicazione subisce, nello spostamento Γ → Γ′, lo spostamento elementare dPi, è lo scalare: dL i = Fi × dPi .

(4)

Il lavoro elementare complessivamente compiuto dal sistema Fi, (i = 1,…,N) di forze attive nello spostamento elementare è lo scalare:

8 9

Ci stiamo implicitamente riferendo a sistemi e vincoli fissi. Si fissa qui l’attenzione sul lavoro delle forze attive, per la sua importanza ai fini degli sviluppi successivi. Ma, rileviamo esplicitamente, i concetti che stiamo per introdurre valgono ovviamente per qualsiasi altro raggruppamento di forze: si potrebbe, ad esempio, trattare il lavoro delle sole forze reattive, o il lavoro delle sole forze interne, ecc.

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 247 →

Fi

dPi Pi

z

Γ′

Γ y

Fig. 11.24. Forza costante che compie lavoro N

dL =

∑i 1

x

N

dL i =

∑ i Fi × dPi

10

1

Se la forza Fi(P) non è costante, ma dipende, ad esempio, dalla posizione del suo punto d’applicazione (si pensi ad una forza elastica in Pi), il lavoro elementare è rappresentato dalla forma differenziale seguente: →

Fi(Pi) Pi ds

dL i = Fi (Pi ) × dPi =

11

= Fi x (x i , y i , z i )dx i + Fi y (x i , y i , z i )dy i + Fi z (x i , y i , z i )dz i →

Fi(Pi) Pi

f

dPi li Pi

0

Γ2

Γ1

Fig. 11.25. Forza posizionale che compie lavoro

Anche se non detto esplicitamente, è chiaro che l’azione della forza Fi sul sistema mobile può anche interpretarsi coma la conseguenza della mobilità del corpo in seno al campo di forze descritte da quella Fi . 11 Se F è costante, costanti sono anche i coefficienti della forma differenziale. i 10

248 Introduzione alla teoria dei continui elastici

Nello spostamento finito del sistema da una configurazione Γ1 ad una Γ2, il lavoro complessivamente compiuto dalle forze attive agenti sul sistema, è dato da: N

L=

∑ i {∫ (Fi 1

x

dx i + Fi y dy i + Fi z dz i )}

(4)′

li

essendo li la traiettoria percorsa dal punto Pi del sistema, nel movimento che determina lo spostamento Γ1 → Γ2. →

Fi

Pi Pi ≡ Pi 0

f

Γ2 Γ1 Fig. 11.26. Lavoro circuitazione

Il lavoro L in (4)′ dipende, in generale, dalle traiettorie li seguite dai punti del sistema, oltrechè dalle posizioni estreme Pi e Pi f.12 Inoltre, se il sistema compie uno spostamento Γ1 → Γ2 → Γ1, in corrispondenza a cui il generico suo punto Pi percorre un cammino chiuso tornando infine alla posizione di partenza (Figura) il lavoro compiuto dal sistema di forze attive è, in generale, non nullo:

°L ≠ 0. Se lo spostamento elementare considerato è virtuale δ Pi

i = 1,..., N

,

chiamiamo virtuale il lavoro compiuto dalle forze e lo indichiamo con δL 13. Quanto al calcolo degli spostamenti δPi contenuti in δL, sappiamo che ad esso si estende tutto ciò che s’è detto per i δPi14. Consideriamo, infine il lavoro compiuto dalle forze attive interne scambiate da due punti Pi e Pj di un sistema deformabile in uno spostamento elementare dei due punti. In tale spostamento, il vettore (Pj – Pi) passa nella configurazione (Pj′ – Pi′ ) infinitamente prossima, subendo uno spostamento che può descriversi (si veda la Figura) come composto di una traslazione rigida infinitesimale (ad esempio, quella che porta Pi in Pi′ e Pj in P″j ′ ), più una rotazione elementare attorno a Pi′ , che porta P″j ′ in P″j , più una dilatazione elementare nella direzione della retta per Pi′ in P″j , che porta il punto Pj nella posizione finale Pj′. Poiché, come si deduce facil-

Nel caso di forze Fi (P) dipendenti soltanto dalla posizione del punto di applicazione, i lavori Ll non dipendono dal modo in cui la linea lk è percorsa (nel verso considerato). 13 Nel seguito saremo interessati al lavoro virtuale delle sole forze attive agenti su un sistema, o a quello delle sole forze coattive. 14 Siamo per lo più interessati a vincoli indipendenti dal tempo. 12

k

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 249

rij

P′″ j

Pj

P′j

→

Fji P″j →

Fij

Fig. 11.27. Lavoro di forze interne

Pj

mente osservando la Figura, il lavoro complessivo compiuto dalle due forze nel componente rigido rototraslatorio è nullo 15, possiamo concludere che: Proposizione: il lavoro elementare compiuto dalle forze attive interne che due punti mobili Pi e Pj si scambiano durante uno spostamento del sistema cui appartengono, eguaglia il lavoro che sarebbe compiuto da una sola di esse – come se il punto d’applicazione dell’altra fosse fisso – nella dilatazione totale del segmento Pi Pj. Si può facilmente mostrare che se, due a due, tutte le coppie realizzabili con gli N punti di un sistema deformabile si scambiano forze attive interne, il lavoro elementare complessivo di tutte le forze interne agenti sul sistema è uguale a:

∑ Fijdrij i< j

in cui si è indicata con Fij la componente secondo (Pi – Pj) di Fij, e in cui la somma va estesa a tutte e sole le combinazioni binarie semplici degli indici 1,2,…,N. Da quanto detto, scende poi subito che è nullo il lavoro elementare compiuto dalle forze interne nello spostamento di un sistema rigido. A y

Mf (a,1) l1

A

Γ2 l2

M0 (0,0)

B x

Γ1

Fig. 11.28. Spostamento rigido

15

B

Infatti, i lavoro di Fij e di Fji nel componente traslatorio sono uguali ed opposti in segno; e i loro lavori nel componente rotatorio sono nulli per essere Pi ormai fisso e lo spostamento elementare di Pj , normale a Fji .

250 Introduzione alla teoria dei continui elastici

Esercizi 1) Un’asta AB mobile nel piano xy passa da una configurazione Γ1 ad una Γ2. Corrispondentemente il suo punto medio M passa dalla posizione iniziale M0 (0,0) alla finale Mf(a,1). Sul punto medio M agisce la forza posizionale: ⎧ Fx = hy F(x. y ) ⎨ (k,h: costanti positive) ⎩ Fy = kx Si calcoli il lavoro L1 compiuto dalla forza F(x,y) quando M si muove sulla traiettoria parabolica

l1 : x = ay 2

(a: costante positiva)

ed il lavoro L2, corrispondente al movimento di M lungo la retta l 2 : x = ay dL 1 = Fx dx + Fy dy = hy ⋅ dx + kx ⋅ dy = hy ⋅ 2aydy + kay 2 ⋅ dy = = a(2h + k )y 2 dy L1 =

∫l

1

∫0

dL 1 = a(2h + k ) y 2 dy = 1

analogamente:

a (2h + k ) 3

dL 2 = hy ⋅ dx + kx dy = hy ⋅ adx + k ⋅ aydy = a(h + k )ydy a (h + k ) 2 2 Si osservi come il lavoro dipende dal cammino seguito, oltre che dagli estremi. E poiché il lavoro compiuto nel movimento su l2,da Mf a MO, eguaglia – L2, ci si rende facilmente conto del fatto che °L ≠ 0 (vedi figura). L2 =

∫l

1

∫0

dL 2 = a(h + k ) ydy =

y (a,1)

Fig. 11.29. Circuitazione

x

M0 ≡ Mf

2) In corrispondenza ad una variazione virtuale δθ se della sua unica c.l., il sistema articolato in figura subisce uno spostamento virtuale. B δE

y δθ

E′

E →

p

θ Fig. 11.30. Lavoro in sistema articolato

C

A K

C′ δC

x

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 251

In particolare, subiscono uno spostamento gli unici due punti, E e C in cui sono applicate forze attive (una forza peso p in E ed una forza elastica F, di costante k, in C). Il lavoro virtuale compiuto dal sistema delle forze attive è dunque:

δL = p × δE + F × δC Ma: ⎧ ⎪x = ⎪ E⎨ ⎪ ⎪y = ⎩ da cui

3 lcosθ 2 l sinθ 2

⎧x = 2lcosθ ⎪ ⎪ C⎨ ⎪ ⎪⎩ y = 0

3 l lsinθδθ i + cosθδθ j 2 2 δ C = 2lsinθδθ i

δE =

E poiché: p = −p j

F = 2klcosθ i

si ha infine: l δ L = (−p cosθ + 4kl 2 sinθ cosθ )δθ 2

3) All’estremo B dell’asta AB due volte ipostatica (c.l.: q1 e q2) è applicata la forza costante F. Si esprima il lavoro virtuale compiuto dalla F. Nello spostamento virtuale dell’asta AB, conseguente alle variazioni q1 e q2 delle c.l., il punto B di applicazione di F subisce lo spostamento: z x q1 +

A q2 →

F

l α Fig. 11.31. Lavoro su asta ipostatica

y

B

δ B = −lsinq 2 δ p 2 i + ( δ q i + lcosq 2 δ q 2 ) j Si ha dunque, essendo F = cos α i − Fsin α j

δ l = F × δ B = −Fsin αδ q 1 − Fl ( cos α sinq 2 + sin α cosq 2 )δ q 2

252 Introduzione alla teoria dei continui elastici

4) Si esprima il lavoro elementare dL compiuto dalle due forze attive interne in figura, in corrispondenza ad una variazione dθ della coordinata lagrangiana θ.

l

θ

l

A

B F

F

r

Fig. 11.32. Lavoro di forze interne

Da quanto s’è detto a proposito del lavoro di forze interne, e introdotto il comodo asse r con origine in A, scende subito: dL = – Fdr Se le due forze sono di natura elastica si avrà dL = -krdr. È poi immediato il passaggio dalla coordinata ausiliaria r alla prescelta c.l. e: r = 2lsinθ

dr = 2lcosθdθ

da cui, infine: dL = – 4kl2sinθcosθdθ

11.6.3

Espressione del lavoro per i sistemi olonomi

Consideriamo la classe dei sistemi olonomi di N punti materiali, cioè i sistemi per i quali possa scriversi: Pi = Pi )q1 ,..., q n ), i = 1,..., N

L’espressione particolare assunta in tal caso dal lavoro elementare compiuto dalle forze attive Fi (esterne e interne) agenti sul sistema, si ottiene subito dalla definizione generale (4) 16 quando si ponga, al posto del generico dPi, l’espressione dello spostamento elementare olonomo: n

dPi =

∂P

∑ k ∂q ki dq r ,

i = 1,..., N

1

Si ha dunque: dL =

16

N

n

1

1

∂P

∑ i Fi × ∑ k ∂q ki dq k

Ci limitiamo al caso dei vincoli fissi.

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 253

che può subito scriversi: dL =

N

N

1

1

∂P

∑ k ( ∑ i Fi × ∂q ki ) dq k

Introdotta la posizione N

Qk =

P

∑ i Fi × q ki , 1

cioè denotata con Qh la componente generalizzata della sollecitazione attiva secondo la coordinata lagrangiana qn, si perviene infone alla voluta espressione del lavoro: n

dL =

∑ k Q k dq k 1

Introdotti i vettori Q T = (Q1 , Q 2 ,..., Q n ) e dq T = (dq1 , dq 2 ,..., dq n ) la (3.6.1) può anche scriversi 17: dL = Q T ⋅ dq

È immediata l’estensione dei precedenti sviluppi formati al lavoro virtuale delle forze attive su un sistema olonomo: n

δL = ∑ iQ iδq i

(5)

1

Quanto al calcolo della generica componente generalizzatat Qk, basterà calcolare il lavoro elementare δkL compiuto dalle forze attive in quel particolare spostamento elementare del sistema che consegue ad una variazione positiva δqk della sola coordinata lagrangiana qk, come se le altre fossero congelate. Poiché δkL = Qkdqk, la sua parte finita fornisce la voluta componente Qk . E così, uno alla volta per tutte le coordinate libere. Esercizi 1) Si ritrovi il risultato relativo al sistema olonomo dell’esercizio 3 del paragrafo precedente. Congelando il carrello in A (c.l. q1) e dando variazione positiva δq2 alla c.l. q2 si ha:

δ B = −lsinq 2 δ q 2 i + lcosq 2 δ q 2 j da cui:

δ1L = F × δ B = (−Fcosα lsinq 2 − Fsinα lcosq 2 )δ q 2 e quindi Q 2 = −Fl(cosα sinq 2 + sinα cosq 2 )

Congelata la c.l. q2 e variata positivamente la q1, si ha:

17

T è indice di trasposizione.

254 Introduzione alla teoria dei continui elastici

y l q1

A

F l

2l q2

B G

x

Fig. 11.33. Lavoro sul bipendolo

δ B = δ q1 j, da cui

δ1L = F × δ B = −Fsinαδ q1

Q1 = −Fsinα

Con la (5) si ritrova la già nota espressione di δL. 2) Si esprima il lavoro virtuale compiuto dalle due forze attive costanti F e G nello spostamento del sistema olonomo in figura (bipendolo): δ L = Q1δ q1 + Q 2 δ q 2

È: x B = 2lcosq1 + 2lcosq 2

e yA = lsinq1 Dunque: – bloccata q1 e variata q2, si ha: δ x B
= −2lsinq 2 δ q 2 ⎧⎪δ y B = lcosq1δ q1 – bloccata q2 e variata q1, si ha: ⎨ ⎪⎩δ x B = −2lsinq1δ q1

δ1L = F × δ A  + G × δ B  = (Flcosq1 − 2Glsinq1 )δ q1 δ 2 L = G × δ B
= −2Glsinq 2 δ q 2 da cui: Q1 = l(F cos q1 − 2Gsinq1 ) ;

Con la (5) si ha δL.

Q 2 = −2GLsinq 2

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 255

11.6.4

Espressione del lavoro esterno per i sistemi rigidi

È assai vantaggioso, ai fini delle applicazioni, disporre delle particolari espressioni assunte dal lavoro elementare (4) quando lo spostamento considerato sia rigido. Nel caso di corpo rigiodo libero Γ di N punti materiali, ponendo nella (4) lo spostamento generale traslorotatorio: dPi = d0 +d θ ∧ (P − 0) , i = 1,..., N ; 0 ∈ Γ

si ottiene18: N

dL = d0 ×

∑

N

i Fi +d θ ×

1

∑ i (Pi − 0) ∧ Fi 1

essendo Fi la risultante delle forze esterne della classe considerata, agenti su Pi. Si ha la compatta formulazione: dL = R × d0 +M O × d θ , 0 ∈ Γ

Si ritrova che le forze interne al corpo rigido compiono lavoro complessivamente nullo, Ri = Mi = O. →

k

O

Fig. 11.34. Corpo rigido in asse fisso

Nel caso di corpo rigido Γ con asse O fisso, la precedente si riduce a dL = M O × d θ , O ∈ Γ

Preso l’asse z sull’asse fisso, potendosi scrivere (M O × k ) dθ , si ha

d θ = dθ k, e M O × d θ =

dL = M z dθ

Esercizi 1) Si ritrovi il risultato dell’esercizio 3 del par. 11.6.2, facendo ora uso delle espressioni del lavoro per sistemi rigidi:

δL = F × δA + M A × δ q 2 Abbiamo: F = Fcosα i − Fsinα j ;

δ A = δ q1 j ;

δ q 2 = δq 2 k

M A = −(Flsinα cosq 2 + Flcosα sinq 2 )k 18

Si è fatto uso dell’identità vettoriale a × (b ∧ c) = b × (c ∧ a).

256 Introduzione alla teoria dei continui elastici

e quindi, sviluppando i prodotti scalari:

δ L = −Fsinαδ q1 − Fl(cosα sinq 2 + sinα cosq 2 )kδ q 2 2) Si esprima il lavoro elementare compiuto dalla cerniera elastica di costante k: Il momento della coppia trasmessa all’asta è Mz = – kθ

θ

Fig. 11.35. Incastro elastico

e quindi per la (6): dL = – kθdθ

11.6.5

Sollecitazione attiva conservativa. Potenziale

a) Consideriamo un sistema mobile di punti materiali, e indichiamo, al solito, con Fi (P) una forza attiva esterna agente sul generico punto Pi (xi , yi , zi). Proposizione. La forza Fi (P) è conservativa, se, qualunque 19 sia lo spostamento elementare del punto, il lavoro elementare è una forma differenziale esatta, ovvero se esiste una funzion uniforme Ui (xi ,yi , zi) della posizi:one di Pi , tale che sia d * L i = dU i

(7)

(∀dPi ) →

Fi Pi

dPi

z y Fig. 11.36. Lavoro nel continuo

19

x

La precisazione “qualunque” vuole indicare che la (7) deve valere in uno spostamento elementare comunque arbitrario, e quindi anche tale, ad esempio, da non rispettare i vincoli del sistema. Supponiamo U funzione uniforme e regolare nel campo considerato. Nel caso di vincoli mobili, la funzione U dipenderebbe esplicitamente dal tempo.

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 257

Alla funzione Ui (xi , yi , zi) che è, ovviamente, defnita a meno di una costante additiva arbitraria, diamo il nome di potenziale della sollecitazione attiva conservativa esterna Fi (P) agente sul punto Pi . Per le forze conservative attive esterne valgono le proprietà analitiche per un generico campo conservativo. Ecco pertanto le notevolissime conseguenze della (7): – nel passaggio del sistema da una configurazione Γ′ ad una Γ″, in corrispondenza al quale il punto Pi passa dalla posizione P′i (x′i , y′i , z′i ) alla P″i (x″i , y″i , z″i ) muovendosi lungo la linea l, il lavoro totale compiuto dalla forza Fi (P) eguaglia la differenza di potenziale tra il secondo e il primo estremo di quel segmento di linea:

→

Fi

P″ i dPi

l Γ″

P′i

Γ′ Fig. 11.35. Lavori su un continuo

L Pi′′ Pi′′ = U i ( x ′′i , y ′′i , z ′′i ) − U i ( x ′i , y ′i , z ′i )

Nel lavoro totale compiuto da Fi non v’è dunque traccia della traiettoria seguita da Pi per spostarsi da P′i e P″i : – ovvero, il lavoro LP′ → P″ non dipende dal particolare cammino seguito, ma soli i tanto dagli estremi; – il lavoro °Li compiuto da Fi in un cammino chiuso P′i → P″i → P′i , è nullo:

°L ≠ 0. Nel caso particolare, che il sistema sia olonomo, la (7) si scrive:

∂U ∂U (7)′ dq1 +... + dq n ∂ q1 ∂q n in cui si è omesso l’indice “i”. Per l’arbitrarietà dello spostamento elementare (dq1, ..., dqn) la (7) si traduce nel sistema seguente: Q1dq1 +... +Q n dq n =

∂U k = 1,..., n ∂q k Quanto ai criteri per accertare se una data Fi (P) sia, o no, conservativa, valgono i metodi generali per i campi conservativi. Qk =

258 Introduzione alla teoria dei continui elastici

Accertato il carattere conservativo della sollecitazione, il calcolo di U(xi ,yi , zi) si riduce all’integrazione della forma differenziale esatta dLi lungo una generica linea, da Poi(xoi, yoi, zoi) a Pi (xi , yi , zi) generici. Vedremo nelle applicazioni alcuni interessanti casi particolari. b) I precedenti concetti e metodi si estendono subito alle forze attive interne, scambiate da due punti del sistema. Consideriamo pertanto due forze attive interne Fi j e Fji applicate, rispettivamente, nei due punti Pi (xi , yi , zi) e Pj(xj,yj, zj) del sistema mobile. Da quanto detto alla fine del paragrafo precedente, il lavoro di quelle due forze in uno spostamento elementare del sistema eguaglia quello di una sola di esse, ad esempio Fi J, nello spostamento relativo del proprio punto Pj d’applicazione rispetto a Pj. Introdotta allora la terna ausiliaria Pi x′, y′, z′ parallela alla x, y, z (vedi figura), e indicate con x′i , y′i , z′i le3 coordinate del punto Pj e con Fjx, Fjy, Fjz, le 3 componenti di Fji , diremo che: Proposizione. La sollecitazione attiva interna considerata è conservativa se esiste una funzione Uji (xj′, yj′, zj′ ), potenziale della sollecitudine interna, soddisfacente le equazioni: Pj →

Fji z′ →

Fij

Pi z

dPj

y′

x′ y x Fig. 11.38. Lavoro di forze interne

20

Le (8) possono riformularsi in termini delle coordinate (x,y,z), osservando che x′j = xj – xi, y′j = yj – yi, z′j = zj – zi, e che il potenziale si trasforma in Uji (xj – xi , yj – yi, zj – zi). Le (8) diventano:

Fjx =

∂ U ji ∂x j

; Fjy =

∂ U ji ∂y j

; Fjz =

∂ U ji ∂z j

Poiché dalla particolare struttura della Uji (che dipende dalle differenze xj – xi , yj – yi, zj – zi) scende subito che

∂ U ji ∂x j

=−

∂ U ji ∂x j

= − Fjx

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 259

Fjx =

∂ U ji

Fjy =

∂ x ′j

∂ U ji

Fjz =

∂ y ′j

∂ U ji

(8)

∂ z ′j

Campo conservativo interno. Di grande importanza negli sviluppi disciplinari di Scienza e Tecnica delle Costruzioni, è il campo interno in un continuo elastico, sistema materiale in cui coppie di punti si scambiano forze del tipo di quelle dovute ad una ideale molla (lineare o angolare) collegante i punti stessi. I modelli rigido-elastici sono comodi schemi di elementi strutturali dell’ingegneria (travi o pilastri di un edificio, elementi di una macchina, ecc.). È chiaro che nella deformazione innescata dai carichi esterni, le coppie di forze elastiche interne (figura) vedono spostarsi i propri punti di applicazione (allungamenti o accorciamenti) e quindi compiono lavoro. Il corpo deformato è dunque sede di energia potenziale elastica, che può essere “restituita” quando, tolti i carichi esterni, il corpo riacquista la configurazione indeformata (“di riposo”) 21. È proprio nella deformazione elastica dei corpi la giustificazione del «perché le strutture sostengono i carichi». Cioè la giustificazione del perché un pavimento sostiene in equilibrio l’uomo che gli si appoggia, o del perché una fune sostiene in equilibrio un lampadario che gli si attacca all’estremo inferiore. Esercizi 1) Si calcoli il lavoro compiuto dalla forza elastica esterna applicata al punto B,

l

l

θ B

x

Fig. 11.39. Lavoro in sistema articolato

nello spostamento del sistema della configurazione θ1 =

θ2 =

π . 6

π alla configurazione 4

e poiché, per il postulato di azione e reazione, è Fjx = – Fjx* possiamo anche scrivere la seguente terna di equazioni:

Fi x =

∂ U ji ∂x j

; Fi y =

∂ U ji ∂y j

; Fi z =

∂ U ji ∂z j

Analogamente per le coordinate y e z. 21 Non si potrà invece parlare di energia potenziale interna quando il corpo sia sede di deformazioni permanenti (ad esempio, nel comportamento plastico, non conservativo).

260 Introduzione alla teoria dei continui elastici

Per essere dL = – kxBdxB, la forza elastica è conservativa, cioè dU = – kxBdxB. x2 Integrando 22 si ottiene U = −K B . 2 Essendo xB = 2lcosθ si ha subito U(θ) = – 2kl2cos2θ ; e quindi L θ 1 → θ 2 = U(θ 2 ) 1 − U(θ1 ) = − kl 2 , resistente. 2 Questo lavoro è dunque indipendente dalle modalità con cui si realizza lo spostamento θ1 → θ2; in una circolazione θ1 → θ2 → θ1 il lavoro è nullo, cioè il campo elastico “restituisce” in θ2 → θ1 il lavoro “assorbito” in θ1 → θ2. 2) Si calcoli il lavoro compiuto dal peso p dell’asta omogenea AB nello spostamento del sistema (mobile nel piano verticale) dalla configurazione θ1 = π/3. Si trascuri il peso dell’asta OA.

y A l

l G

θ B

x

Fig. 11.40. Variazione di configurazione

Per essere dL = p × dG =-pdyG, la forza peso è conservativa ed il suo potenziale, convenuto nullo sull’asse x, si ottiene integrando: U = −py G l sin θ si ha l’espressione di U in funzione della prescelta c.l. θ: 2 l U(θ ) = −p sinθ . 2 Nello spostamento θ1 → θ2 il peso compie un lavoro negativo (resistente):

Da y G =

3 −1 pl 4 3) Si calcoli i1 lavoro compiuto dalla cerniera elastica di costante h, nel ciclo indicato in figura. Il lavoro elementare compiuto dalla cerniera elastica è: L θ 1 → θ 2 = U(θ 2 ) − U(θ1 ) = −

dL = −hθ dθ

La sollecitazione attiva esterna dovuta alla cerniera elastica è dunque conserva-

22

E convenendo che quella in cui la molla è “a riposo” sia configurazione a potenziale nullo. Cambiando tale convenzione cambierebbe il valore U ma non la sua variazione durante lo spostamento.

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 261

tiva. Da dU = – hθdθ, e convenuto nullo il potenziale nella configurazione di θ2 . Il “lavoro circolazione” è nullo. cerniera “a riposo”, si ha U(θ ) = −h 2

θ

Fig. 11.41. Circuitazione

4) I due punti P1 e P2 del sistema mobile in figura, si scambiano due forze elastiche interne, di costante K. Introdotto l’asse locale r, il lavoro elementare di tale sollecitazione attiva può esprimersi:

2l

2l →

F12

P1

→

F21

l O

P2

r l

θ

x Fig. 11.41. Lavoro di forze interne

dL = F2 r dr = −Krdr,

r2 . 2 Espresso il potenziale in funzione delle ascisse dei due punti cioè U(x 1 , x 2 ) = k − (x 2 − x 1 )2 , si ritrova quanto già noto: 2

e quindi, da dU = – Krdr, si ha 23 U(r) = −K

∂U = −K(x 1 − x 2 ) = F1r ∂x1

e

∂U = −K(x 2 − x 1 ) = F2 r ∂x 2

Se si opera nella c.l. θ, si ha U(θ) = – 8kl2cos2θ. 5) Si calcoli il lavoro compiuto dalle due forze elastiche interne (di costante K) tra i due punti A e B, nello spostamento θ1 → θ2 del sistema. 23

Convenuto nullo il potenziale sulla configurazione in cui la molla r è “a riposo”.

262 Introduzione alla teoria dei continui elastici

θ2

l

l

θ1

a

B l

l

Fig. 11.43. Lavoro di forze interne

11.6.6

Potenziale della sollecitazione attiva agente su un sistema

Siamo ora in grado di introdurre la nozione di potenziale della sollecitazione attiva complessivamente agente su un sistema materiale. Considerato un sistema di N punti materiali, e indicato con Ω il sistema delle forze attive, esterne ed interne, che gli competono, diciamo che: Proposizione. Il sistema Ω è conservativo in un dominio S dello spazio, se per qualsiasi punto Pi del sistema materiale, sono conservative in S la forza attiva esterna applicata in Pi e la forza attiva interna che il punto Pj, supposto fisso in S, esercita sul punto Pi. Esiste in tal caso una funzione U(x1, y1, z1, ..., xN , yN , zN ) delle coordinate dei punti del sistema, somma dei potenziali parziali Ui e Uij : N

U=

∑ i U i (x i y i z i ) + Σ i jU i j (x i − x j , y i − y j , z i − z j ) 1

tale che: Fi x =

∂ U ji ∂x i

; Fi y =

∂ U ji ∂y i

; Fi z =

∂ U ji

25

∂z i

La seconda sommatoria si intende estesa a tutte le combinazioni binarie di punti del sistema. 25 Si sono indicati con F ,F , F le componenti della risultante F delle forze agenti sul puni x iy iz i to Pi del sistema. Dimostriamo l’asserto: 24

N N ∂U ∂ U ik ∂U ∂U i = Fiex + = +∑k , per le (7) e (7)′ si ottiene: k Fik x ∂x i ∂x i ∂x i 1 ∂x i 1 k ≠i k ≠i in cui s’è usato Fiex per la forza attiva esterna e Fikx per la Fik interna. Il secondo membro è la componente della risultante attiva Fi.

essendo

∑

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 263

Alla funzione U diamo il nome di potenziale della sollecitazione attiva agente sul sistema. Si estendono, ovviamente, al potenziale U tutte le proprietà viste per i potenziali parziali, e, nel caso di sistema olonomo, la rappresentazione in termini di coordinate lagrangiane. x

Pi mi y

x

G M y Fig. 11.44. Campo gravitazionale

Concludiamo evidenziando, a mo’ di esempio, la forma assunta dal potenziale U della gravità locale su un sistema di N particelle Pi di massa mi. Scelti gli assi come in figura, il potenziale è dato, a meno di una costante additiva arbitraria, da: N

U=g

∑ k mkyk 1

N

E quindi, posto M = ∑ k m k e indicata con yG la quota del baricentro G del si1 stema, si ha: U = M ⋅g ⋅ yG Il potenziale gravitazionale (locale) delle N masse può dunque vantaggiosamente calcolarsi come quello di una sola massa, pensata concentrata nel baricentro G del sistema materiale. Esercizi 1) Si esprima il potenziale U della sollecitazione attiva agente sul sistema in figura. Le aste hanno egual lunghezza 3l e l’asta AB è di peso trascurabile. Dai risultati degli esercizi l, 2 e 4 del paragrafo precedente, abbiamo subito che U, somma dei due potenziali elastici e del potenziale peso, è, a meno di una costante additiva arbitraria, dato da:

264 Introduzione alla teoria dei continui elastici B

y 2l

p

K l A

θ

K

Fig. 11.45. Campi conservativi esterni e interni

3 lsinθ 2 2) Tre masse puntiformi m sono distribuite sull’asta OA di peso trascurabile, secondo la geometria in figura. U(θ ) = −18kl 2 cos 2 θ − 8kl 2 cos 2 θ −

O

x θ C

yG

G

*

B

y

A

Fig. 11.46. Campo gravitazionale

Il potenziale peso è: U = 3 mg y G

Ovvero: U = 8 mg lsinθ

11.6.7

Le forze che non compiono lavoro

Giova, da ultimo, evidenziare, commentandole brevemente, le classi di forze che non compiono lavoro nella mobilità del sistema cui sono applicate. Forze interne di rigidità Abbiamo già mostrato nei paragrafi 11.6.2 e 11.6.4 che le forze reattive interne

Sistemi Rigido-Elastici. Energetica 265

traducenti la rigidità di un sistema, compiono lavoro nullo nel generico spostamento del sistema. Forze reattive nel rotolamento puro Consideriamo due sistemi rigididi Σ1 e Σ2 vincolati in modo che una superficie σ1, solidale con Σ1 rotoli senza strisciare su una superficie σ2, solidale con Σ2.26

Fig. 11.47. Rotolamento puro

Indichiamo con C1 e C2 i due punti di contatto istantaneo tra σ1 e σ2 e con φ1 e φ2 le due forze reattive scambiate 27 (φ1 applicata a Σ1 in C1 e φ2 applicata a Σ2 in C2). Queste forze hanno componente non nulla anche in direzione tangente alle due superfici nel punto di contatto, e l’attrito è tale da garantire il puro rotolamento; e inoltre in base al principio di azione e reazione φ2 = – φ1. Il lavoro complessivo è pertanto φ 1 × δ C1 +. φ 2 × δ C 2 = φ1 × ( δ C1 − δ C 2 ). Ma per l’assenza di strisciamento relativo delle due superfici a contatto è δC1 = δC2 e quindi il lavoro è nullo. Il risultato si applica a qualsiasi altra coppia di punti nei quali σ1 e σ2 siano eventualmente a contatto, cosi che il lavoro complessivo delle forze reattive del vincolo di puro rotolamento è nullo. Forze reattive nello strisciamento puro Con le stesse notazioni del punto precedente consideriamo nuovamente due corpi rigidi Σ1 e Σ2, ma le superfici σ1 e σ2 a contatto siano ora lisce per modo che 26

Rotolamento puro di un disco circolare c su una guida rettilinea l: è il moto in cui l è sempre tangente a c e in cui, se due punti A e B di c vanno a toccare l in A′ e B′ rispet¯. Se l’avanzamento di c è dx, e la sua rotazione dθ, si ha: tivamente si ha che AB = A′B′ |dx| = r |dθ|.

27

Possiamo pensare queste forze reattive come esterne a ciascuno dei due corpi.

266 Introduzione alla teoria dei continui elastici

le due reazioni vincolari, eguali ed opposte, abbiano ora componenti nulle in direzione tangenziale. Ora i due spostamenti δC1 e δC2 dei punti a contatto non sono eguali: dato che C2 non puo staccarsi da C1 se non muovendosi in direzione tangenziale, è δC2 = δC1 + ε t, con ε infinitesimo. Il lavoro è pertanto: →

n →

φ1 Σ1

σ1

C1

C2 →

φ2 →

Σ2

t σ2

Fig. 11.48. Strisciamento puro

φ 1 × δ C1 + φ 2 × δ C 2 = φ1 n × ( δ C1 − δ C 2 ) = φ1 n × ε t Il lavoro di queste due forze è quindi nullo. Nel caso particolare di corpo rigido appoggiato a superficie liscia si comprende, analogamente, come sia nullo il lavoro delle forze reattive esterne in ogni sposta mento virtuale reversibile. →

φ

Fig. 11.49. Corpo rigido appoggiato

Parte IV Statica 2

12.

Il solido di de Saint Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

12.1

Rigidezze elementari

Nelle relazioni che seguono, il simbolo F può rappresentare forze assiali o di taglio, oppure momenti flettenti o torcenti. Le matrici di rigidezza di qualsiasi trave o telaio possono essere costruite a partire dalle seguenti: (a) rigidezza assiale (Fig. 12.1a): ª F1 º «F » ¬ 2¼

EA ª 1  1º ª x1 º « »« » ; " ¬ 1 1 ¼ ¬ x 2 ¼

(b) rigidezza torsionale (Fig. 12.1b): ª F1 º «F » ¬ 2¼

GJ ª 1  1º ª x1 º « »« » ; " ¬ 1 1 ¼ ¬ x 2 ¼

(c) rigidezza flessionale e rigidezza di flessione laterale in un piano (Fig. 12.1c) : ª F1 º «F » « 2» « F3 » « » ¬ F4 ¼

6" º ª x1 º ª 12  12 6" « 12 12  6"  6" » « x » EI « »« 2 » 2 2 « ». 3 « 6" 2" » x3  6" 4" " »« » « 2 4" 2 ¼ ¬ x4 ¼ ¬ 6"  6" 2"

Altra possibile forma per il caso (c) si ha quando uno dei due estremi è incernierato; i componenti della matrice di rigidezza per l'altro estremo sono dati al punto (d). (d) cerniera (Fig. 12.1d): ª F1 º «F » ¬ 2¼

EI ª 3 3" º ª x1 º « 2 »« » " 3 ¬3" 3" ¼ ¬ x2 ¼

oppure : (e) cerniera (Fig. 12.1e) ª F1 º «F » ¬ 2¼

 3" º ª x1 º EI ª 3 . 3 « 3" 3" 2 » « x » " ¬ ¼¬ 2 ¼

270 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

Un generico elemento di struttura piana avrà sia le componenti (a) che le componenti (c) e comporta una matrice di rigidezza 6u6. Un generico elemento di struttura spaziale richiederà le componenti (a), (b), e (c), e sarà descritto da una matrice di rigidezza 12u12. I tre modi (a), (b), e (c) sono ortogonali, e possono essere combinati in matrici più grandi. Gli elementi di strutture spaziali avranno, in generale, differenti valori di momento d'inerzia I nei due piani principali di flessione.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Fig. 12.1.a-e. Rigidezze elementari

12.2

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico. Software per strutture in acciaio

12.2.1

Quadro sinottico e scheda software

Esaminiamo ora vari casi elementari di sforzo-deformazione. Tabella 12.1. Trazione/ Compressione semplice [75] Deformazione

Progetto Verifica N,

N E˜A

'" "

H N

V am

A

N d V am A

azione normale; Vam, azione normale;

", lunghezza iniziale; '" , allungamento totale; H

A, area sezione; E, '" , deformazione "

modulo elasticità;

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 271 Tabella 12.2. Taglio semplice Deformazione Progetto Verifica

J

F T

T G˜ A

A

W am

T d W am A

­v T, azione di taglio; Wam, sforzo ammissibile; J, scorrimento unitario; G, ® ¯v

0.3 acciaio 1

;

0.1 c.a.

­ F 1.2 sez. rettangolare ° F ® F 0.1 sez. circolare °F A a ¯ anima sez." T"

Tabella 12.3. Flessione semplice Deformazione Progetto

Verifica

M

M E˜I

W;

W

bh 2 6

M d V am ; W

W

bh 2 6

M

V am

M, momento flettente; I, momento d’inerzia baricentrico della sezione; Vam, sforzo ammissibile; I ; ymax, massima distanza dall’asse neutro; E, modulo di elasticità; M, W, modulo di resistenza y max rotazione unitaria

Tabella 12.4. Torsione semplice Deformazione Progetto

Verifica

T Mt

W am

q

Mt G ˜ Ip Wt per sezioni circolari d

Mt d W am Wt

W

1.72 3

Mt

W am

Mt r d W am Ip

Mt, momento torcente; Ip, momento d’inerzia polare; Wam, sforzo ammissibile a torsione; Wt

I , r

­ q 1 sezione circolare ° . modulo di resistenza; T, rotazione unitaria; q, fattore di torsione ® 3˜ b sezione rettangolare °¯ q h - 0.63h

1

Q˜H H2 H3

272 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato Tabella 12.5. Pressione eccentrica (sull’asse di simmetria) Sezione circolare V max

P § 4e · ¨1 r ¸ d V am R¹ SR 2 ©

Sezione generica V max

P Pe r d V am A W

Sezione rettangolare 1) e  h / 6 2) e

h/6

3) e ! h / 6

P § 6e · ¨1 r ¸ d V am bh © h ¹ 2P V min 0 V max d V am bh P § 6e · V max/min ¨1 r ¸ d V am bh © h ¹

V max/min

Centro di pressione (comunque disposto)

V am t

P Pex Pey r r A Wy Wx

P, carico eccentrico; A, area sezione; e, eccentricità; W, modulo resistenza; Vam, sforzo ammissibile a compressione; ex ed ey: componenti secondo gli assi cartesiani della eccentricità e

Tabella 12.6. Pressione eccentrica (solidi non resistenti a trazione)

a. per e d h/6 vedi la Tabella 12.5 b. per e > h/6 si ha: V min

0 V max

2P d V am 3bu

P, carico eccentrico; u, distanza del centro di pressione dal bordo più vicino; b, larghezza sezione

Tabella 12.7. Flessione e taglio Flessione Taglio Sezione rettangolare

M

V am

W;

M d V am W

TS max d W am Ib 3T d W am 2 A

M, momento flettente; T, azione di taglio; Smax, momento statico massimo; I, momento d’inerzia baricentrale; b, larghezza della sezione

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 273 2

Tabella 12.8. Vari casi di vincolo

Carico critico ~Pc~

Condizioni agli estremi

S 2 EI

1. Libero - Libero

2

L S 2 EI

2. Libero - Manicotto

2

4L

S 2 EI

3. Incastro - Libero

2

4L

S 2 EI

4. Libero - Cerniera

L2 S 2 EI

5. Cerniera - Cerniera

L2 2.05S 2 EI

6. Incastro - Cerniera

L2 4S 2 EI

7. Incastro - Incastro

2

L

S 2 EI

8. Incastro - Manicotto

L2 S 2 EI

9. Manicotto - Cerniera

4 L2 S 2 EI

10. Manicotto - Manicotto

L2

Linea elastica sin sin

Sx L

Sx 2L Sx 2L

1  cos sin sin

Sx L

Sx L

-1  cos

2Sx L

1  cos cos cos

Sx L

Sx 2L

Sx L

12.2.2 Carico critico euleriano per aste uniformi sotto carico assiale Carichi ammissibili. Per I in cm4 , " 0 in cm si ha Pam in daN :  muratura (O > 80)

Pam

0 ,1 ˜ 10 6 I min / " 20 ;

 legno

Pam

0 ,2 ˜10 6 I min / " 20 ;

 cls o c.a. (O > 110)

Pam

0 ,6 ˜10 6 I min / " 20 ;

 ferro

(O > 90)

Pam

0,8 ˜10 6 I min / " 20 ;

 ghisa

(O > 115)

Pam

2,2 ˜10 6 I min / " 20 ;

 acciaio

(O >75)

Pam

6 ,9 ˜10 6 I min / " 20 ;

(O > 75)

 rapporto di snellezza : O

2 3

"0

U min

;

E modulo dell’elasticità; I  momento d’inerzia; L  luce asta; x ascissa corrente. Scheda STA-3: Stati elementari di sollecitazione, vedi Appendice.

3

274 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

 U min = raggio d’inerzia;  " 0 = lunghezza di calcolo (libera di inflessione);  "  I min

= lunghezza effettiva del solido; = momento d’inerzia minimo della sezione trasversale;

 Pam = carico massimo ammissibile. Al progettista interessa inoltre conoscere la sollecitazione specifica Vcr del materiale in corrispondenza del carico critico: Pcr S 2 EJ S 2 EU 2 V cr . A AL2 L2 L Indicando con O il rapporto (snellezza della struttura) tra la luce libera

U

d’inflessione ed il raggio d‘inerzia minimo, semplifichiamo l’equazione precedente come segue:

V cr

S 2 EU 2 . O2

12.2.2.1 Il metodo Z Le relazioni precedenti riguardano la sollecitazione critica in campo elastico; la teoria di Eulero, non prevede infatti che il carico P possa superare, per Ps minore di Pcr, il limite elastico (Ps va allora considerato come il carico associato alla situazione di pericolo). Consideriamo il diagramma relativo a membrature in acciaio di Figura 12.2 dove si riportano in ascissa i valori di O ed in ordinate i corrispondenti valori di Vcr. La curva continua dà Vcr in funzione di O secondo la teoria euleriana (campo elastico). Per O t 100 , si può ritenere che il fenomeno elastico sia dominante e quindi che la trattazione euleriana interpreti bene il fenomeno fisico. Per 30 d O d 100 , l’equilibrio indifferente si raggiunge a limite elastico già superato, con conseguente riduzione del modulo elastico E. Per O d 30 , i fenomeni di rottura prevalgono e VR viene raggiunto per P < Pcr euleriano. I risultati della teoria euleriana vanno pertanto riveduti al fine di stabilire un criterio valido per la determinazione di Pcr anche per snellezze inferiori a 100. Sono state proposte curve O  V cr che fittano le osservazioni sperimentali. I criteri sin qui presentati si riferiscono a strutture ideali con carico perfettamente centrato ed asse perfettamente rettilineo. Queste condizioni non potranno in generale ritrovarsi nelle applicazioni tecniche: è necessario definire una sollecitazione ammissibile Vamm minore di Vcr: a tal fine si definisce coefficiente di sicurezza Q il rapporto Q sollecitazione critica e la massima ammissibile.

V cr tra la V amm

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 275

Per valori di O molto elevati il carico di collasso della struttura coincide col carico critico previsto dalla trattazione euleriana; per O tendente a zero tende ad avvicinarsi al carico di snervamento per compressione del materiale. Se per Vcr si definisce comunque la sollecitazione di collasso, al limite, per O o 0, la sollecitazione critica Vcr tenderà alla sollecitazione Vs del materiale. Il coefficiente di sicurezza Q ( O

Vs di norma adottato nelle strutture in V amm

0)

acciaio varia da 1.41 a 2 e, per strutture snelle, sale fino a 2.5 e oltre. Per le travi tozze si introduce la ipotesi semplificativa che il collasso avvenga dopo lo snervamento; dopo lo snervamento il materiale può ancora sopportare notevoli sollecitazioni prima di giungere a rottura. Nelle travi snelle il collasso si manifesta, per l’improvvisa uscita della struttura dalla configurazione fondamentale, quando ancora il materiale presenta comportamento elastico. Non si hanno ulteriori risorse statiche. Nelle applicazioni tecniche il metodo Z considera agente, nel caso di aste snelle interessate da un carico assiale P, un carico fittizio ZP. La sollecitazione è pertanto:

V

Z

P , A

con Z

V amm ( O V amm

0)

.

Dovrà essere:

V amm ( O

0)

tV .

I coefficienti Z, funzione di O, vengono desunti da legami V amm y O . Riportiamo la tabulazione dei valori di Z proposta dalle norme DIN 4114 e riferita all’acciaio St 52, e St 37 (Tabelle 12.9 e 12.10). Tali valori sono stati calcolati nell’ipotesi che le imperfezioni di fabbrica e di montaggio comportino una eccentricità D di carico pari a: 1 D 0.05i  , 500 essendo i il raggio di nocciolo minimo della sezione normale ed l la lunghezza dell’asta. Tabella 12.9. St. 52: tabulazione di Z vs O

O

Z

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1.06 1.08 1.11 1.15 1.19 1.23 1.28

O 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Z

O

Z

O

Z

O

Z

1.35 1.41 1.49 1.58 1.68 1.79 1.91 2.05 2.29 2.53

105 110 115 120 125 130 135 140 145 150

2.79 3.06 3.35 3.65 3.96 4.28 4.62 4.96 5.33 5.70

155 160 165 170 175 180 185 190 195 200

6.09 6.48 6.90 7.32 7.76 8.21 8.67 9.14 9.63 10.13

205 210 215 220 225 230 235 240 245 250

10.65 11.17 11.71 12.26 12.82 13.40 13.99 14.59 15.20 15.83

276 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato Tabella 12.10. St. 37: tabulazione di Z vs O

O

Z

O

Z

O

Z

O

Z

O

Z

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1.04 1.06 1.08 1.11 1.14 1.17 1.21

55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

1.25 1.30 1.35 1.41 1.48 1.55 1.62 1.71 1.80 1.90

105 110 115 120 125 130 135 140 145 150

2.00 2.11 2.23 2.43 2.64 2.85 3.08 3.31 3.55 3.80

155 160 165 170 175 180 185 190 195 200

4.06 4.32 4.60 4.88 5.17 5.47 5.78 6.10 6.42 6.75

205 210 215 220 225 230 235 240 245 250

7.10 7.45 7.81 8.17 9.55 8.93 9.33 9.73 10.14 10.55

Le stesse norme prescrivono che, nei casi di presso-flessione, la verifica di resistenza debba tener conto del carico di punta secondo l’espressione: N M V amm t Z  0.9 A W con N ed M rispettivamente azione assiale e flettente, A sezione e W momento resistente.

Fig. 12.2. Curve Vcr y O per membrature in acciaio

Esempio 12.1 Portale in Figura 12.3: due ritti realizzati in profilati I P 22 in acciaio St 52. Sulla trave agiscono due carichi P = 600 kN equidistanti dagli appoggi. La lunghezza libera d’inflessione è 2l = 600cm e quindi O = 107 essendo Umin = 5.59 cm; ne segue Z = 2.90, e pertanto la sollecitazione è:

V

ZP A

2.90 u 60000 1920 daN cm 2 , 91.1

che essendo minore di V ammSt. 52

2100 daN cm 2 è accettabile.

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 277

Fig. 12.3. Portale con due piedritti realizzati in profilati I P 22, acciaio St 52

12.2.3

Sezioni in acciaio: generalità elementari

12.2.3.1 Tese (omogenee) Gli sforzi interni si ottengono dall’equilibrio fra l’azione N esterna e la tensione interna: N V f Af , con Af = area acciaio. N Dalla condizione di resistenza si ha V f d V f (sollecitazione ammissibile Af N nel ferro). In sede di progetto deve essere Af t . Per effetto del peso, l’asta è

Vf

tensoinflessa. Calcolato il peso “p”, per la verifica va scelto un Vamm < V f . 12.2.3.2 Tese (non omogenee) Posto (Fig. 12.4): A1 = area dell’asta centrale; A2 = area delle due aste laterali, uguali fra loro, di materiale diverso ripetto alla centrale. Sulle superfici a contatto si ipotizza un collegamento continuo; data una N di trazione e con una distribuzione uniforme di tensioni si ha in equilibrio:

V 1 A1  V 2 A2 (1) Per aste non tozze e sforzi V uniformemente distribuiti, si ha, per la congruenza degli spostamenti e per la linearità: N

H2 ;

H1

HE.

V

Da:

H1

V1 E1

V1

V2

E1

E2

e

H2

o V2

V2

,e sostituendo nella (2) si ottiene: E2 E V1 2 . E1

(2)

278 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

Sostituendo nella (1), avendo posto N

E2 E1

n , si ha:

V 1  A1  n A2 .

L’area A2 è stata amplificata o ridotta nel rapporto dei moduli elastici. Se “n” è grande si può trascurare A1 rispetto ad A2 ed avere quindi N V 1 ˜ n A2 V 2 A2 . Il sistema si comporta come se nell’equilibrio intervenisse soltanto l’area A2. Indicato con Ai A1  n A2 (area ideale) si ha: N N N V1 d V 1 (sollecitazione ammissibile), V 2 d V2 . Ai A1  n A2 A2

Fig. 12.4. Sezioni tese non omogenee

12.2.3.3 Sezioni inflesse: instabilità Consideriamo la sezione in Figura 12.5, in trave inflessa: la piattabanda superiore è compressa e quindi con possibilità di sbandamento. My La verifichiamo a carico di punta sotto il carico N V ˜ A A con y Yxx distanza del baricentro piattabanda dall’asse neutro, A la sua area. É quindi M ˜S N V ˜A A (S = momento statico). Yxx Dai coefficienti Z1 (differenti dagli Z per il caso dei pilastri) si ha il moltiplicatore da applicare a N; Z1 è tabulato nei manuali in funzione di una snellezza O

H ˜l (": distanza dei collegamenti secondari). D˜s

La verifica impone che:

N ˜ Z1 d V affinché la piattabanda superiore sia stabile. A

Fig. 12.5. Sezione a “doppio T” inflessa

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 279

Tecniche per prevenire l’instabilità (Fig. 12.6): nella sezione di appoggio, a taglio T massimo, si irrigidisce inserendo nervature tra le piattabande. Il taglio viene assorbito da una sezione ideale costituita dalla nervatura di irrigidimento e da una parte di anima di lunghezza pari a 12 volte lo spessore s, ripetuti ad una distanza pari all’altezza della trave e per tutta la sua lunghezza. Vengono saldati all’anima ed alla sola piattabanda superiore. Quando tra due nervature di rinforzo sono presenti carichi concentrati, si dispongono elementi triangolari per dirigere gli sforzi sull’anima.

Fig. 12.6. Tecniche per prevenire instabilità locali

12.2.3.4 Strutture in acciaio

SCHEDA STA-4: SOFTWARE PER STRUTTURE IN ACCIAIO Programmi AccPrVer.89P, AccBull.89P, AccSald.89P Considerazioni generali Nei programmi che seguono vengono affrontati alcuni aspetti, molto particolari e piuttosto semplificati, della progettazione di strutture in acciaio. Si è cercato, comunque, di fornire risposte eleganti a problemi che ricorrono spesso nella pratica, quali la progettazione e la verifica di travi o colonne scelte tra i profilati standard IPE o HEA, oppure il predimensionamento di alcuni dei più comuni giunti bullonati o saldati. Gli studenti troveranno, quindi, la possibilità di avvicinarsi alla progettazione di semplici strutture in modo piano e naturale, mentre i progettisti sapranno sfruttare gli algoritmi proposti per veloci predimensionamenti o per verifiche preliminari.

280 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato Il materiale di riferimento può sempre essere scelto dall'utente tra i 3 acciai consentiti dalla normativa italiana (Fe 360, Fe 430, Fe 510). La resistenza di progetto fd è ricavata dal D.M. 9/1/1996, che si basa sul metodo di calcolo degli stati limite. I valori delle azioni che vengono inseriti, quindi, devono essere calcolati come combinazioni delle azioni agenti sulla struttura, come indicato nella parte generale delle norme citate. Per chi volesse continuare ad usare il metodo delle tensioni ammissibili, una prima approssimazione a favore di sicurezza può essere ottenuta moltiplicando per il coefficiente 1.6 il valore dei carichi calcolati secondo tale metodo. I risultati forniti dai programmi dovranno però essere verificati rieseguendo tutti gli sviluppi numerici secondo il metodo delle tensioni ammissibili, in quanto la normativa non consente l'adozione di metodologie di calcolo diverse per uno stesso organismo strutturale (Sezione 1, par. 1). 3a: Progetto e verifica di sezioni standard in acciaio Programma AccPrVer.89P Il programma AccPrVer funziona in due modalità principali: x in progetto, fornisce l'altezza minima del profilo da utilizzare per resistere ad un determinato momento flettente agente nella direzione di inerzia maggiore. É possibile scegliere tra profili di tipo IPE compresi tra l'80 e il 600, oppure HEA compresi tra il 100 e il 1000. x in verifica, data una qualsiasi combinazione di sollecitazioni flettenti, taglianti e assiali, dato il tipo di materiale, il tipo di profilo e l'altezza della sezione, calcola gli sforzi massimi agenti sulla sezione, è verifica se sono compatibili con il tipo di acciaio indicato. Se la verifica non fosse soddisfatta, è possibile aumentare la qualità dell'acciaio oppure l'altezza della sezione, oppure utilizzare un profilo a inerzia maggiore. Per quanto riguarda il tipo di materiale e i valori delle azioni vale quanto detto nella parte introduttiva; per quanto riguarda il tipo di profilo, vale invece quanto detto nel caso di progetto. Guida all'uso del programma 1) 2)

3)

4)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo  (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando ACCPRVER(), oppure tramite q, come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3). Premere y: dopo qualche secondo, durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, comincia l'esecuzione del programma (S.4). Premere y per iniziare ad immettere dati. Nella schermata iniziale (S.5) vengono visualizzati i settaggi correnti: il programma parte sempre utilizzando di default un acciaio Fe 360, la serie HEA come profilo, e il progetto come modalità di esecuzione. Si voglia, ad esempio, determinare quale profilo sia in grado di resistere ad un momento pari a 150'000'000 N mm.

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 281

5) 6)

7)

8)

S.1

S.2

S.3

S.4

Selezionare : Azioni, i: Modifica (S.6). Viene visualizzata la finestra di S.7. Lasciando nulli i campi del taglio e dell'azione assiale, inserire 150 A 6 nel campo del momento flettente, come mostrato. Se la calcolatrice entra automaticamente in M mode, ossia scrive caratteri invece di numeri, cancellare i caratteri sbagliati con 0, premere una volta M e immettere il numero. Premere y per memorizzare i valori e chiudere la finestra. Dopo qualche secondo durante il quale appare la scritta "Computing…", viene visualizzato il risultato dell'analisi, che in questo caso ci fornisce un profilo HEA 240 (S.8). Proviamo qualche variazione, per esempio cambiando il tipo di profilo. Premere :Principale, k:Scelta profilo (S.9).

S.5

S.6

S.7

S.8

282 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

9) 10)

11)

12)

13)

14)

S.9

S.10

S.11

S.12

Per aprire la finestra delle scelte (S.10) premere ➨, quindi selezionare 2:IPE. Premere ENTER 2 volte per salvare l'impostazione. Il programma ricalcola il valore dell'altezza adeguata al tipo di profilo inserito. Dalla S.11 si vede come sia necessaria, per sopportare lo stesso carico inserito in precedenza, almeno una IPE 330. Verifichiamo ora di quanto sarebbe possibile diminuire l'altezza della trave utilizzando un acciaio a resistenza più elevata come, per esempio, il Fe 510. Premere F2: Principale, 1: Materiale (S.12). Spostare la selezione (S.13) su Fe 510 quindi premere ENTER, oppure premere direttamente 3. Vengono mostrate le caratteristiche principali dell'acciaio selezionato, secondo le direttive del DM 9/1/96: fd è la resistenza di progetto, fdv è la resistenza di progetto a taglio (S.14). Premendo ENTER si conferma la scelta effettuata e si dà inizio alla ricerca del nuovo profilo. Dopo qualche secondo viene fornito il valore dell'altezza minima: in questo caso aumentando la resistenza dell'acciaio si è ottenuta una diminuzione di più del 10% nell'altezza della trave. Si voglia ora verificare la stessa trave, considerando anche un taglio e una debole azione assiale di compressione. Per considerare grandi carichi di compressione è necessario effettuare una verifica di stabilità che la versione attuale del programma non è in grado di eseguire. Premere F2: Principale, 2: Tipo di calcolo (S.16).

S.13

S.14

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 283

15) Cambiare

la

S.15

S.16

S.17

S.18

modalità

di

esecuzione,

selezionando

2:

Verifica.

Immediatamente vengono visualizzati (S.18) i valori degli sforzi assiali al lembo superiore ed inferiore della trave, ed il valore dello sforzo tangenziale in corrispondenza del baricentro. L'ultima riga dello schermo mostra che la sezione è in grado di resistere alle sollecitazioni attualmente imposte (solo il momento flettente). 16) Inseriamo quindi i valori delle sollecitazioni mancanti (S.19), per esempio imponiamo un taglio positivo pari a 56000 N ed una azione assiale di compressione pari a 48000 N. La S.20 mostra come gli sforzi di compressione al lembo superiore divengano maggiori di quelli sopportabili dal materiale ed infatti la riga di verifica avverte che è necessario cambiare la sezione. Non potendo aumentare la resistenza dell'acciaio, verifichiamo se è sufficiente prendere la trave immediatamente seguente nella serie delle IPE.

S.19

S.20

284 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato S.21

S.22

S.23

S.24

17) Premere F2: Principale, 3: Scelta profilo (S.21). Lasciare selezionato IPE nella schermata seguente (S.22), e portare invece la selezione su 300, che segue immediatamente 270, quando il programma chiede l'altezza della trave (Fig. S.23). Premere ENTER per visualizzare i risultati. 18) La schermata di S.24 mostra i valori degli sforzi agenti nella sezione, che risulta verificata. Lasciamo al lettore l'esercizio di andare a controllare che, volendo cambiare tipo di profilo , basterebbe una HEA 200 per resistere alle sollecitazioni imposte. 19) Per uscire dal programma premere F1: File, 2: Esci e premere ENTER alla richiesta di conferma. 3b: Verifica di giunti bullonati in acciaio Programma AccBull.89P Il programma AccBull consente la verifica di tre tipologie di unioni bullonate, scelte per la loro semplicità, ma non per questo meno importanti dal punto di vista progettuale: 1) unioni con bulloni che lavorano esclusivamente a taglio Oltre al caso fondamentale di collegamento tra lamiere tese, praticamente ogni volta che si utilizzano bulloni è necessario verificarli a taglio. Questo programma calcola gli sforzi agenti nel gambo dei bulloni e le sollecitazioni sulla lamiera. Se i carichi sul giunto provocassero nei bulloni uno stato di sforzo di taglio in 2 direzioni o di trazione/compressione, sarà invece necessario effettuare una verifica accurata del giunto secondo i tradizionali metodi delle costruzioni in acciaio. Sono previsti i due casi in cui sono poste a contatto 2 oppure 3 lamiere. Rispettivamente si avranno una oppure due facce di contatto, che corrispondono al numero di sezioni su cui vengono sollecitati i bulloni. 2) unioni trave-trave tramite squadrette Sono i giunti comunemente usati per collegare le travi secondarie di un impalcato all'anima delle travi principali. Questo programma non si presta a generalizzazioni, ma l'importanza di questo collegamento lo rende estremamente utile, consentendo il calcolo accurato del giunto. 3) piastra di base di tipo incastro Nelle strutture a telaio in acciaio, i giunti trave-colonna vengono generalmente assimilati a cerniere, il che rende estremamente importante una corretta progettazione della struttura di controventamento. Per limitare gli spostamenti in

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 285 sommità, comunque, è opportuno predisporre i vincoli al piede della struttura in modo che possano resistere anche a sollecitazioni di tipo flessionale, realizzando di fatto un incastro al piede di ogni colonna. Vi sono diversi modi per ottenere questo risultato: il programma AccBull ne prende in considerazione uno, nel quale la rigidezza flessionale della trave è aumentata mediante una serie di lamiere verticali saldate alla base e alla trave stessa, mentre le forze di trazione vengono assorbite da 4 bulloni tirafondo annegati nel calcestruzzo, in fondo ai quali è saldata una rosetta circolare. La caratteristica principale di questo collegamento, rispetto ad altri che vengono usati nel caso di strutture molto sollecitate, è la semplicità della fase di montaggio. Guida all'uso del programma 1) 2)

3)

4)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando ACCBULL(), oppure tramite VAR-LINK, come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3). Premere ENTER: dopo qualche secondo durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma (S.4). Dal menu principale (S.5) si accede ai sottoprogrammi per la verifica dei tre tipi di giunto. Li esaminiamo nell'ordine, cominciando dai giunti a taglio.

S.1

S.2

S.3

S.4

S.5

S.6

286 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

S.7

Fig. 8

Giunti con bulloni sollecitati a taglio Premere 1: Giunti a taglio. 5) Viene visualizzato il menu, e lo schermo viene pulito (S.6). Inseriamo i dati sulle caratteristiche dei materiali da utilizzare: premere F2:Materiali, 1:Lamiere (S.7). 6) Ipotizziamo di disporre di un acciaio Fe 430: quindi selezionare 2 (S.8). 7) Viene mostrata la finestra che riassume i valori delle caratteristiche meccaniche dell'acciaio scelto, secondo la normativa italiana. Premere ENTER per confermare. 8) Scegliamo anche il materiale costituente i bulloni: F2: Materiali, 2: Bulloni (S.10). 9) Vengono proposte (S.11) le 5 classi di bulloni consentite dalla normativa. Selezionare, per esempio, la classe 6.8 premendo 3. Il programma visualizza (S.12) le resistenze di progetto della classe. Premere ENTER per confermare. 10) Passiamo ad inserire le dimensioni del giunto, cominciando dalle lamiere (S.13). Premere F3: Dimensioni, 1: Lamiere. 11) Si voglia verificare un giunto costituito da due lamiere di spessore 6 mm, che trasmettono una forza di trazione di 150 kN ad una lamiera di pari spessore fissata in mezzo alle altre grazie a 2 file di bulloni ‡12. Inseriamo i dati sulle lamiere come in S.14. Premere ENTER per confermare.

S.9

S.10

S.11

S.12

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 287

S.13

S.14

S.15

S.16

12) Inseriamo (S.15) anche i dati sui bulloni: F3: Dimensioni, 2 Bulloni.

13)

14)

15) 16)

Selezioniamo il diametro, che nel nostro caso vale 12 mm (S.16). I valori riportati dal programma sono i valori dei diametri che la normativa italiana consente di utilizzare nella carpenteria metallica. La schermata successiva (S.17) chiede la disposizione dei bulloni: inserire 2 come numero bulloni per fila, 2 come numero di file (4 bulloni), 60 mm come interasse, 30 mm come distanza "a" tra il centro del bullone più esterno e il bordo della lamiera nella direzione della forza, 20 mm come "a1" -distanza tra il centro del bullone più esterno e il bordo della lamiera in direzione perpendicolare alla forza. Premere ENTER. Per terminare la fase di inserimento dati è necessario fornire il valore della trazione: premere F4: Verifiche, 1: Inser. sollecit. (S.18). Immettere il valore della forza in Newton (150'000). Premere ENTER per confermare. Esaminiamo ora i risultati delle verifiche sulle varie parti del collegamento. Premere F4: Verifiche, 2: Taglio nei bulloni (S.20). La forza agente su ciascun bullone e di 37'500 N, contro una forza di progetto massima di 28'789.9 N, il che porta a dover modificare la geometria del giunto (S.21). Portiamo il numero di bulloni a 6, sempre allineati su 2 file (S.22).

S.17

S.18

288 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

S.19

S.20

S.21

S.22

17) Questa volta la verifica ha successo (S.23), quindi possiamo proseguire nell'analisi del collegamento. Premere ENTER per confermare, quindi F4: Verifiche, 3: Rifollamento (S.24). 18) La S.25 mostra che la verifica al rifollamento della lamiera è ampiamente soddisfatta. 19) Premere F4: Verifiche, 4: Taglio lamiera (S.26). Grazie al rispetto delle limitazioni dimensionali indicate nella normativa, e sulle quali però il programma non esegue nessuna verifica, anche la verifica a taglio della lamiera è ampiamente soddisfatta (S.27). 20) L'ultima verifica possibile riguarda lo strappo della lamiera in direzione perpendicolare alla trazione applicata. Premere F4: Verifiche, 5: Taglio lamiera. Il programma propone (S.28) il valore del percorso di strappo calcolato secondo una linea retta perpendicolare alla trazione, depurato dell'area dei fori. Se il percorso minimo non è quello visualizzato, ma per esempio è un percorso su una spezzata, inserire il valore corretto, quindi premere ENTER. 21) Anche l'ultima verifica è soddisfatta (Figura 29): il collegamento è accettabile. Premere ENTER per confermare, quindi tornare al menu principale (S.30) premendo F1: File, 2: Torna al menu.

S.23

S.24

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 289

S.25

S.26

S.27

S.28

S.29

S.30

Giunti a squadrette di tipo trave-trave 1)

Dal menu principale (S.31), questa volta, selezionare 2: Squadrette. Viene visualizzato il menu del programma di calcolo del collegamento a squadrette (S.32), che a questo livello è identico al menu del programma per i giunti a taglio. I primi due menu, "Materiali" e "Dimensioni", contengono ancora le stesse voci: Lamiere e Bulloni, mentre le voci del menu "Verifiche" sono naturalmente diverse dal caso precedente. 2) Inseriamo i dati sui materiali da utilizzare. F2: Materiali, 1: Lamiere, quindi adottiamo un Fe 360 (S.34). Ci vengono mostrate le sue caratteristiche meccaniche (S.35). Non viene fatta distinzione tra acciaio per le travi e acciaio per le squadrette, intendendosi implicitamente che si usi lo stesso tipo di materiale. E' possibile, senza particolari difficoltà, effettuare i calcoli prevedendo l'uso di due acciai di tipo diverso. Questo caso verrà spiegato più avanti. 4) F2: Materiali, 2: Bulloni (S.36).

290 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

S.31

S.32

S.33

S.34

4) Siccome stiamo usando un acciaio Fe 360, gli accoppiamo bulloni di una classe a resistenza normale, come per esempio la 5.6 (S.37). La S.38 visualizza le sue caratteristiche. Un confronto con la S.35 evidenzia che i bulloni presentano una resistenza di progetto maggiore di circa il 25% rispetto a quella della lamiera. Generalmente, non giova all'efficienza strutturale l'uso contemporaneo di materiali a resistenze molto diverse.

S.35

S.36

S.37

S.38

S.39

S.40

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 291

5) 6)

7)

8)

S.41

S.42

S.43

S.44

Inseriamo le dimensioni del collegamento, partendo dai dati relativi alle lamiere. F3: Dimensioni, 1: Lamiere (S.39). Pensiamo di voler collegare una HEA 160 alla trave principale costituita da un HEA 280. Gli spessori delle anime sono, di 6 e 8 mm. Le squadrette avranno spessore di 6 mm anch'esse, mentre i bulloni saranno disposti su 2 file ad interasse 60 mm, con distanza dal bordo pari a 30 mm. L'eccentricità e1 si misura come distanza tra l'asse della trave principale e il baricentro dei bulloni sulla trave secondaria, mentre l'eccentricità e2 corrisponde alla distanza tra l'asse della trave secondaria e il baricentro dei bulloni di una squadretta sulla trave principale. La S.40 mostra i valori da inserire. Inseriamo le dimensioni mancanti che riguardano i bulloni e la loro disposizione. F3: Dimensioni, 2: Bulloni (S.41). Bisogna inserire prima il diametro dei bulloni, pari per esempio a 14 mm (S.42), quindi il numero di file di bulloni (2), il numero di bulloni per ogni fila (2), l'interasse (60 e le distanze tra i bulloni ed i bordi esterni della squadretta (30 e 30). L'ultimo dato mancante riguarda la forza di taglio agente all'intersezione degli assi delle travi (il momento è considerato nullo in tale punto, poiché si considera un vincolo di tipo cerniera tra le due travi). Premere F4: Verifiche, 1: Inser. sollecit. (S.44).

S.45

S.46

292 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

S.47

S.48

S.49

S.50

9)

Supponiamo agente sul vincolo un'azione di taglio di 105 kN. Inserire tale valore nell'apposito campo (S.45). 10) Effettuiamo la serie di verifiche cominciando dal valore del taglio nei bulloni. F4: Verifiche, 2: Taglio nei bulloni. (S.46). Il disassamento tra vincolo ideale (intersezione degli assi delle travi) e vincolo reale (baricentro dei bulloni) genera sul giunto un momento flettente che si scompone sui bulloni, in prima approssimazione, in una serie di forze orizzontali, crescenti linearmente con la distanza del bullone dal baricentro. Tale forza, sui bulloni della trave secondaria, viene chiamata HMax. La forza massima sui bulloni viene calcolata come somma vettoriale della quota di taglio portata da ogni bullone con la forza orizzontale agente nei bulloni più esterni. Siccome i bulloni lavorano su due facce di taglio, la forza risultante viene divisa per due prima di effettuare la verifica. In S.47 Viene mostrato il risultato di tale verifica, e l'angolo di inclinazione rispetto all'orizzontale della forza risultante. 11) Le squadrette vanno quindi verificate a flessione, considerando la sezione effettiva, ossia quella depurata dei fori dei bulloni. Premere F4: Verifiche, 3: Fless. squadrette (S.48). 12) Lo sforzo ideale massimo sulla sezione è maggiore della resistenza di progetto; ciò costringe a modificare qualche caratteristica del collegamento. Sapendo che la resistenza di progetto per il Fe 430 è pari a 275 MPa, il modo più semplice di superare questa verifica è di modificare il tipo di acciaio utilizzato per le squadrette. Nella S.50 è mostrato l'esito della verifica con tale variazione. 13) In questo modulo di programma vengono forniti i valori limite per l'interasse tra i bulloni e la distanza dal centro dei bulloni più esterni e il bordo della lamiera, anche se non viene direttamente eseguito un controllo sui valori immessi. Spetta all'utente accertarsi che tali limitazioni dimensionali (imposte dalla normativa italiana) siano rispettate (S.51 e S.52).

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 293

S.51

S.52

S.53

S.54

14) L'ultima delle verifiche su questo collegamento è il rifollamento sulla lamiera della trave secondaria. F4: Verifiche, 5: Rifollamento (S.53). Vengono fornite la forza di rifollamento sul foro più sollecitato (è la stessa forza calcolata al punto 31), la forza di progetto e l'esito della verifica. Il coefficiente D usato per il calcolo di Fd,rif è assunto sempre pari a 2.5. Premere ENTER per confermare, quindi tornare al menu principale premendo F1: File, 2: Torna al menu. Piastra di base di tipo incastro La maggior parte degli schemi di calcolo utilizzati per questo caso, così come la disposizione dei vari elementi del collegamento, sono riportati insieme all'esempio numerico presentato in appendice a questa scheda. I calcoli riportati nelle schermate seguenti, relative all'esecuzione del programma, si riferiscono allo stesso esempio e conducono a risultati leggermente diversi perché il calcolo manuale era stato svolto in parte con il metodo delle tensioni ammissibili, che fornisce valori inferiori per le caratteristiche dei materiali.

S.55

S.56

294 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

1)

2)

3) 4) 5) 6) 7)

S.57

S.58

S.59

S.60

Dal menu principale (S.55) selezionare 3: Piastra di base. Si entra nel menu del programma, che questa volta è più complesso di quello dei programmi precedenti (S.56). Inseriamo i valori delle caratteristiche dei materiali: premere F2: Materiali, : Calcestruzzo (S.57). Viene proposto (S.58) un valore di default, che è 25 MPa, ma naturalmente è possibile modificarlo in base alle necessità. In questo esempio possiamo lasciare inalterata la resistenza caratteristica cubica del calcestruzzo, premendoENTER. Viene visualizzato il valore della resistenza di progetto del calcestruzzo (S.59). Premere ENTER per proseguire. Passiamo alle caratteristiche dell'acciaio: premere F2: Materiali, 2: Lamiere. Selezioniamo 1: Fe 360 (S.60). Anche in questo caso vengono visualizzati i valori di progetto della resistenza dell'acciaio selezionato (S.61). Premere ENTER per proseguire. Per impostare la classe dei bulloni, premere F2: Materiali, 3: Bulloni. Nella finestra di S.62 selezionare 2: 5.6. Proseguiamo nell'immissione dei dati con l'inserimento delle dimensioni del collegamento. Premere F3: Dimensioni, 1: Colonna (S.63). La colonna è una HEA 220: l'altezza vale 210 mm, la larghezza misura 220 mm. Inserire questi valori come mostrato in S.64. Premere ENTER per proseguire.

S.61

S.62

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 295

S.63

S.64

S.65

S.66

S.67

S.68

8) La piastra di base è costituita da una lamiera rettangolare con spessore 2 cm e dimensioni 40 cm u 70 cm. Tali misure sono frutto di un predimensionamento del tipo mostrato in appendice, oppure possono essere valori di tentativo (per esempio presi da opere analoghe) per i quali si vanno ad eseguire le verifiche. Se le verifiche non vengono soddisfatte, si possono modificare questi valori, nonché le caratteristiche dei materiali, per effettuare una nuova verifica. L'uso di una calcolatrice programmabile consente questo approccio a tentativi anche per strutture complesse, come nel caso di questo collegamento. Il calcolo manuale avrebbe comportato un grosso impegno di tempo e di calcoli, se non di concetto. Selezionare F3: Dimensioni, 2: Piastra di base. Inserire i valori richiesti come in S.65. 9) Quindi inseriamo i dati sulle nervature: quella inferiore assorbe il taglio agente sul collegamento, quelle superiori aumentano la rigidezza flessionale. F3: Dimensioni, 3: Nervature. Vengono richieste prima le dimensioni della nervatura inferiore. La larghezza viene precompilata con il valore della larghezza totale della piastra, ma se necessario è possibile cambiare tale valore. Prendiamo l'altezza del rettangolo di lamiera (la profondità) pari a 6 cm, e lo spessore pari a 8 mm (S.66).

296 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato 10) Per quanto riguarda le nervature superiori, la lunghezza comprende tutta l'estensione della nervatura, compresa l'altezza della colonna. Nel caso in esame le nervature sporgono di 20 cm da un lato e 20 cm dall'altro della colonna, quindi il valore da inserire è 610 mm (200+210+200). Prendiamo un'altezza di 20 cm e uno spessore di 7 mm (S.67). 11) Le ultime dimensioni ancora da inserire sono quelle relative alla bulloneria. Premere F3: Dimensioni, 4: Bulloni. Viene chiesto innanzitutto il diametro dei 4 bulloni tirafondo (S.68). Inserire il valore ‡=18 mm. 12) Il programma calcola l'area del gambo dei bulloni, e propone (S.69) come area resistente nel filetto il 75% di tale valore. In prima approssimazione l'area risultante è accettabile, altrimenti inserire il valore effettivo dell'area resistente. Inoltre è necessario immettere la distanza del centro dei bulloni dal baricentro della colonna. 13) Immettiamo anche il valore delle sollecitazioni agenti sul giunto, premendo F4: Azioni, 1: Inserisci/modifica. Come mostrato in S.70, le convenzioni da usare sono quelle comuni nei problemi di tecnica delle costruzioni, ossia si assumono positive le compressioni. 14) Cominciamo la serie di verifiche controllando che la pressione esercitata dalla nervatura inferiore sul calcestruzzo sia inferiore alla resistenza di progetto. Premere F5: Verifiche, 1: Taglio (S.71). Viene visualizzata una finestra con il risultato della verifica (S.72). 15) Quindi eseguiamo la verifica a pressoflessione della sezione. Gli sforzi di compressione vengono assorbiti dal calcestruzzo, mentre la trazione viene trasmessa dai tirafondo sulle rosette di ancoraggio. La schermata di S.73 fornisce il valore dell'asse neutro, il valore massimo degli sforzi di compressione sul calcestruzzo e lo sforzo di trazione nei bulloni tesi.

S.69

S.70

S.71

S.72

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 297

S.73

S.74

16) Quindi viene proposto anche il valore minimo dello spessore (S.75), che è possibile aumentare se si vogliono diminuire le tensioni nell'acciaio. Infine (S.76) vengono forniti gli esiti delle due verifiche con i valori aggiornati. 17) Nella verifica della rosetta viene dapprima proposto il valore minimo del diametro, che è possibile aumentare per diminuire le sollecitazioni nel calcestruzzo. 18) Nella verifica a flessione della piastra di base, si verificano le due situazioni seguenti (si vedano le Schermate in appendice): 1) trave continua sui 3 appoggi costituiti dalle nervature superiori. Il carico viene calcolato a partire dalla effettiva distribuzione delle compressioni sotto la piastra. 2) mensola incastrata in corrispondenza della nervatura, e sollecitata dalla trazione dei bulloni in corrispondenza del foro. Le S.77 e S.78 mostrano l'esito di tali verifiche. 19) Infine viene verificata la sezione costituita dalla piastra di base e dalle nervature, in corrispondenza dell'attacco con la trave. Il momento ed il taglio applicati sono quelli calcolati dalla parte delle compressioni. La S.79 mostra l'esito di tale verifica. Premere ENTER per confermare. 20) Per uscire dal programma, prima è necessario tornare al menu principale: premere F1: File, 2: Torna al menu, quindi (S.80) selezionare 4: Esci.

S.75

S.76

S.77

S.78

298 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

S.79

S.80

3c: Verifica di giunti saldati in acciaio Programma AccSald.89P Il programma AccSald consente la verifica di tre tipologie tra le più comuni di unioni saldate. Sarà possibile, con minimi aggiustamenti, verificare una notevole varietà di tipi di giunti, restando esclusi per le loro particolarità i giunti misti saldati / bullonati e i giunti particolarmente complessi che richiedono studi più approfonditi o particolari ipotesi semplificative. La verifica si esegue sempre sulla sezione di gola ribaltata su di un lato della saldatura. La larghezza della sezione di gola di un cordone, secondo la normativa, è pari "all'altezza «a» del triangolo isoscele iscritto nella sezione trasversale del cordone". Il calcolo sulla sezione di gola effettiva -non ribaltata- è possibile ma l'espressione degli sforzi può risultare di più difficile determinazione. Il criterio di resistenza che si applica è quello della sfera mozza, recepito già da tempo dalle normative italiane alle quali si rimanda per i particolari. 1) Giunti saldati tesi o compressi-cordoni d'angolo sia laterali che frontali Quando si deve trasmettere una forza di trazione o compressione tra due lamiere disposte parallelamente alla direzione della forza, si ricorre spesso a questo tipo di unione, particolarmente semplice e veloce. Due cordoni laterali disposti nella direzione della forza sono molto efficienti, ma, quando c'è bisogno, si aggiungono due cordoni perpendicolari ai primi, posti uno all'estremità della prima lamiera, l'altro all'estremità della seconda. Le forze assorbite da ciascun cordone sono calcolate proporzionalmente alla sua area resistente. È comunque sconsigliato adottare cordoni di dimensioni sensibilmente diverse, poiché questo non garantirebbe la mutua collaborazione. 2) Giunti saldati soggetti a taglio e flessione - cordoni sia longitudinali che trasversali Sono usati per saldare travetti o travi a I, come le IPE o le HEA, su superfici perpendicolari alla loro sezione, come per esempio l'ala o l'anima di una colonna. Un caso limite è rappresentato da sezioni rettangolari più o meno allungate, nelle quali è presente solo un tipo di cordone, o longitudinale o trasversale. Il taglio viene assorbito interamente, se possibile, dai cordoni longitudinali, mentre la flessione viene distribuita sui due tipi di cordoni proporzionalmente alla loro inerzia.

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 299 3) Giunti saldati soggetti a torsione. Viene impiegato il metodo delle forze, secondo cui la torsione applicata al giunto si scompone in una o due coppie di forze (a seconda del numero di cordoni), agenti parallelamente al cordone che le trasmette. Nel caso di presenza contemporanea di cordoni sia laterali che frontali, il valore delle forze agenti in ciascun cordone è proporzionale al massimo valore della forza trasmissibile da quel cordone.

Guida all'uso del programma 1) 2)

3) 4)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando ACCSALD(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3). Premere ENTER: dopo qualche secondo durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma (S.4). La schermata del menu principale (S.5) ci consente di selezionare quale tipo di giunto vogliamo verificare. Esaminiamo tutti i casi partendo dal primo.

S.1

S.2

S.3

S.4

S.5

S.6

300 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato Giunti saldati tesi o compressi 1)

2)

3)

4)

Dal menu principale premere 1: Giunti tesi, oppure evidenziare la prima riga spostandosi con i tasti ➩ o ➲ , e premere ENTER. Viene visualizzato il menu caratteristico del caso da studiare (S.6), mentre il resto dello schermo viene cancellato. Si scelga il tipo di acciaio da utilizzare nei calcoli: premere F2: Materiale. Viene immediatamente visualizzata la finestra di S.7. Per questo esempio selezionare 1: Fe 360. Vengono calcolate le resistenze di progetto a trazione e a taglio per l'acciaio considerato (S.8). Si inseriscano le dimensioni del collegamento: premere F3: Dimensioni, quindi 1: Lamiere. Ipotizzando di voler verificare un giunto tra 2 piatti, il primo largo 200 mm e spesso 8 mm, il secondo largo 180 mm e spesso 6 mm, immettere tali valori nei campi mostrati in S.10. Per fornire i dati sulle dimensioni dei cordoni di saldatura, premere F3: Dimensioni, 2: Cordoni laterali. Il programma chiede la lunghezza totale dei due cordoni laterali (S.11), intesa come la somma dei tratti di saldatura che formano ciascun cordone, se questo non fosse continuo, oppure la lunghezza efficace del cordone (è buona regola prevedere che gli estremi della saldatura possano risultare non completamente efficaci e quindi a favore di sicurezza escluderli dal calcolo). Ipotizzando una sovrapposizione di 17 cm, inseriamo 150 mm come lunghezza del cordone (continuo). La lunghezza del lato della saldatura viene precompilata con il minimo valore degli spessori delle lamiere. Se tale valore fosse troppo elevato, è possibile diminuirlo. Il programma accetterebbe l'inserimento anche se il valore del lato fosse maggiore dello spessore minimo, per consentire l'adattamento dell'algoritmo a casi più complessi di quello presentato: spetta quindi all'utente la cura di inserire valori coerenti con il problema in esame.

S.7

S.8

S.9

S.10

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 301

S.11 5) 6)

7)

8)

9)

S.12

Dopo la conferma dei valori immessi, il programma visualizza l'altezza della sezione di gola della saldatura (S.12). Nel caso dei cordoni frontali (F3: Dimensioni, 3: Cordoni frontali), oltre alle due dimensioni già richieste per i cordoni laterali, il programma chiede anche il numero di cordoni (S.13). È possibile indicare se il giunto in esame sarà saldato solo mediante cordoni laterali (0 cordoni frontali), oppure tramite due cordoni laterali accoppiati ad uno o due cordoni frontali. Nel nostro caso di esempio avremo un solo cordone frontale lungo 10 cm. L'ultimo dato richiesto è il valore della forza agente sul giunto. Premere F4: Sollecitazioni. Nella schermata di S.14 inserire il valore dell'azione, positivo in caso di trazione. Per completare l'esempio inseriamo una trazione di 250'000 N. L'unica verifica da effettuare in questo caso è il calcolo degli sforzi tangenziali agenti sulla sezione di gola ribaltata sul piano di scorrimento delle due lamiere. Nei cordoni laterali agirà uno sforzo tangenziale parallelo all'asse del cordone (t//) mentre per i cordoni frontali  se presenti  si parlerà di tA . Il valore numerico comunque è lo stesso, e deve essere confrontato con il valore 0.85 fd secondo quanto prescritto dal criterio della sfera mozza (S.15). Se la verifica non risultasse soddisfatta, è possibile modificare il materiale o le dimensioni degli elementi o delle saldature.

S.13

S.14

S.15

S.16

302 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato 10) Per uscire dal programma selezionare F1: File, 2: Torna al menu (S.16). Giunti saldati soggetti a taglio e flessione

1) 2) 3) 4)

5)

S.17 S.18 Dal menu principale selezionare la seconda voce (S.17): 2: Fless. e taglio. Viene pulito lo schermo e visualizzato il menu, che è uguale a quello del caso precedente (S.18). L'inserimento dei dati sul materiale è identico al caso già visto di giunti tesi, quindi ne tralasciamo la descrizione. Inserire le dimensioni della trave da saldare: F3: Dimensioni, 1: Trave ad I (S.19). Il programma chiede solo le dimensioni strettamente necessarie alla verifica: l'altezza totale, la larghezza dell'ala e lo spessore (S.20). Nel caso la sezione da esaminare fosse rettangolare, è possibile porre lo spessore pari alla larghezza oppure pari a 0: in entrambi i casi il programma fornirà la soluzione esatta. L'inserimento dei cordoni d'anima (S.21 e S.22) non presenta nessuna novità di rilievo rispetto a quanto già detto. Bisogna tenere presente, però, che nello schema di calcolo adottato questi cordoni assorbono completamente la sollecitazione di taglio agente sulla sezione, quindi non è possibile eliminarli a meno che il taglio sulla sezione sia nullo. In caso contrario la soluzione fornita dal programma non sarà equilibrata.

S.19

S.20

S.21

S.22

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 303

6)

7)

8)

9)

S.23

S.24

S.25

S.26

Sui dati dei cordoni d'ala (S.23) è necessario fare qualche considerazione: i due cordoni esterni possono essere presenti o meno, ma contribuiscono notevolmente a sopportare gli sforzi flessionali e si rivelano spesso indispensabili. Nel caso di sezione rettangolare, i 4 cordoni interni non hanno più significato: sarà indispensabile porre sia la loro lunghezza che il loro lato pari a 0. La S.24 mostra le dimensioni della larghezza della sezione di gola per i due tipi di cordone d'ala. Per inserire le azioni sulla sezione premere F4: Sollecit. Inserire un taglio pari a 150'000 N ed un momento flettente pari a 12'500'000 Nmm (S.25). Si noti che, in genere, il momento su questi tipi di collegamenti è negativo; considerato, però, che la sezione è simmetrica ed omogenea, la verifica finale non sarà inficiata dal segno del momento. Le schermate di verifica mostrano dapprima i valori relativi alla saldatura d'ala più esterna, che come detto risulta sollecitata solo dalla flessione, che si traduce, sulla sezione di gola ribaltata sul lato parallelo alla sezione, in uno sforzo n perpendicolare all'asse del cordone (S.26). L'ultima schermata (S.27) mostra invece la verifica dei cordoni d'anima, che sono sollecitati sia dall'azione flessionale che dall'azione tagliante. La combinazione dei due sforzi risultanti e la verifica finale avvengono anche in questo caso secondo il criterio della sfera mozza.

S.27

S.28

304 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato 10) Per tornare al menu principale, come sempre, premere F1: File, 2: Torna al menu (S.28). Giunti saldati soggetti a torsione 1)

Dal menu principale selezionare la voce: 3: Torsione (S.29).

2)

Lo schermo viene ripulito. Appare il menu, ancora uguale a quello dei casi precedenti (S.30). L'inserimento dei dati sul materiale è identico ai casi già visti, quindi ne tralasciamo la descrizione. Inserire le dimensioni delle lamiere: F3: Dimensioni, 1: Lamiere (S.31). Come nel caso di giunti tesi, vengono richiesti: il numero delle facce di contatto, in quanto è possibile avere giunti a due o a tre pezzi saldati, la larghezza e lo spessore della lamiera più larga e di quella di dimensioni minori. Immettere i valori come mostrato in S.32. La fase di immissione delle dimensioni dei cordoni di saldatura non cambia rispetto al caso di giunti tesi (la geometria del collegamento, infatti, è la stessa: cambiano solo le sollecitazioni). Si rimanda quindi al caso citato e alle S.33 e S.34.

3) 4)

5)

S.29

S.30

S.31

S.32

S.33

S.34

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 305

S.35 6)

7)

S.36

Immettere i dati sulle azioni premendo F4: Sollecit. Nella schermata di S.35, inserire il valore del taglio e del momento agenti sul collegamento. Come evidenziato nella finestra, le convenzioni da adottare sono quelle solite della scienza delle costruzioni: il taglio è positivo se provoca una rotazione oraria, il momento è positivo se tende le fibre inferiori. A questo proposito si fa notare che il momento torcente sulle saldature è in effetti un momento flettente sulle membrature da saldare. Terminata la fase di inserimento dei dati, si eseguono le verifiche selezionando F5: Verifiche. Viene dapprima mostrato il risultato della verifica dei cordoni laterali (S.36), che sono soggetti a due componenti di sforzo tangenziale, in direzione parallela e perpendicolare all'asse del cordone. Viene calcolato il valore dello sforzo ideale, che deve essere confrontato con il valore della resistenza di progetto scalata di un fattore (dipendente dal tipo di acciaio oltre che dalla combinazione di sforzi agenti) dato dal criterio della sfera mozza e riportato nella normativa italiana.

8)

Infine viene mostrato l'esito della verifica dei cordoni frontali (se presenti), che sono sollecitati solo da uno sforzo tangenziale parallelo all'asse del cordone, dovuto in parte all'azione del taglio e in parte all'azione del momento (S.37). 9) Per tornare al menu principale premere F1: File, 2: Torna al menu. 10) Uscire dal programma definitivamente selezionando 4: Uscita.

S.37 Appendice: il calcolo manuale della piastra di base. Calcolo delle sollecitazioni di progetto (Fig. 12.7) ASTA 2 (primo nodo) Carico base: vento. Nd 1.4>3704  1329@  1.5>164  0.73663  2361  770 @ 14426 daN (compressione)

S.38

306 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato Vd

1.4>19  7 @  1.5>1611  0.7157  19 @

2637.7 daN (positivo in senso orario) Md 1.4>4890  1797 @  1.5>340106  0.736945  4850  516 @ 564616 daN ˜ cm (+ se tende le fibre di dx) ASTA 28 (secondo nodo) Nd 1.4>427  152@  1.5>4170  0.7 422  149  90 @ 4692.5 daN (trazione) Vd 0 Md

0

tan D 0.125 o D 7.125q Nc 4693 ˜ cos D 4657 daN ; T c 582 daN Npiastra N  Nc 9769 daN ; Tpiastra T  T c

Mpiastra

3222 daN

564616 daN ˜ cm .

Il taglio verrà assorbito interamente dalla piastra saldata inferiormente.

1

28

2

(a) (b) Fig. 12.7.a-c. Struttura in elevazione e dettaglio della piastra di base

(c)

PROGETTO x Si ipotizzano delle dimensioni di massima per la geometria del collegamento: x Si effettua un predimensionamento dei bulloni, verificando nel contempo di non superare le tensioni massime nel cls. Per fare questo si ipotizza un comportamento semplificato dei materiali. Pensiamo che il cls reagisca solo a compressione, e che lo faccia con un valore costante su una larghezza pari ad un quarto della larghezza totale della piastra. M e 57.8 cm . N

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 307

Con le grandi approssimazioni sin qui adottate, è anche lecito trascurare la differenza tra baricentro delle pressioni (h/8=8.75 cm) e posizione dei bulloni (14.5 cm). Consideriamo di avere due bulloni per fila (in totale 4 bulloni). Mc Ne  a / 2  nbNb ˜ a 0

MA

Ne  a / 2 57.8  52.5 / 2 9769 2a 2 ˜ 52.5 Ne  a / 2  V c ˜ h / 4 ˜ b ˜ a 0 .

Vc

4

Nb

x

Ne  a / 2 h˜b ˜a

9769

2935.4 daN

57.8  52.5 / 2 70 ˜ 40 ˜ 52.5

5.56 daN / cm² .

Considero di usare un calcestruzzo a bassa resistenza caratteristica : R ck 250 daN / cm² Lo sforzo massimo ammissibile per questo tipo di calcestruzzo è dato dalla formula (tensioni ammissibili): R  150 º ª V amm 0.7 ˜ Vcb 0.7 «60  ck » 59.5 daN / cm² . 4 ¬ ¼

7 mm

(a) 14426daN 564616daN *cm 4693daN

9769daN 564616daN*cm

2640daN

D

Vc

a h/4

h/2

17.5cm

(b) Fig. 12.8.a-c. Progetto della piastra di base

(c)

h/4

308 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

Lo sforzo precedentemente trovato è inferiore all'ammissibile: le dimensioni scelte possono quindi andare bene (anche se dovremmo ridurle se volessimo sfruttare a fondo i materiali). BULLONI

Si sceglie di usare bulloni della classe 5.6, il cui dado corrispondente è quello della classe 4D. Questi bulloni hanno le seguenti caratteristiche: fkn N Vb , amm ; 300 1 mm² fkn N Wb , amm . 212 mm² 1 2 Il tiro a cui sono sollecitati i bulloni è di 2935.4 daN. Questo si distribuirà sull'area resistente dei bulloni, che per il momento possiamo considerare pari a : A res 0.75 ˜ A In questo modo possiamo calcolare la sezione che deve avere il bullone : fd , N

300 N / mm²

3000 daN / cm²

fd ,N ˜ A res t N e quindi : N At fd,N ˜ 0.75

1.957 cm² .

C

e = 578mm

(a) C

N e y

a

(b) Fig. 12.9.a,b. Verifica del collegamento

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 309

Il diametro corrispondente è: 4A S

) min

1.578 cm

15.78 mm .

Si sceglierà di utilizzare bulloni del diametro di 18 mm, perché con le approssimazioni fatte abbiamo troppo poco margine per poter scegliere il 16 mm. x VERIFICA Con i risultati ottenuti finora, possiamo effettuare la verifica del collegamento con calcoli rigorosi. Scriviamo l'equazione di equilibrio alla rotazione attorno al centro di pressione per ricavare l'asse neutro. Vc

y be  h / 2  y / 3  2m ˜ V c h / 2  a  y / y ˜ A res e  a 2

y 3  3e  h / 2 y² 

0

12m ˜ A res 12m ˜ A res  e  a y  e  a h / 2  a b b

y 3  68.4 cm y²  4.50.75 ˜ 2.545 78.3 y  4.5 ˜ 1.9178.3 55.5 y 3  68.4 cm y²  672.55cm² y  37350.9cm 3 Si ricava la posizione dell'asse neutro: y

0

0

0.

17.89cm .

I due bulloni che avevamo ipotizzato in zona compressa ricadono effettivamente in tale zona, possiamo quindi proseguire nel calcolo degli sforzi. L'equazione alla traslazione verticale è: Vc y V §h · b  2m c ¨  a  y ¸ A res 2 y ©2 ¹

N

2 ˜ 15 ª 17.9 35  20.5  17.9 1.91º» 40  Vc « 17.9 ¬ 2 ¼ Vc

9769daN

41.11 daN / cm² .

Geometricamente (dall'imposizione della congruenza) si ricava il valore dello sforzo nei bulloni. V §h · Vf m c ¨  a  y ¸ y ©2 ¹ 15

41.11 35  20.5  17.9 1295.31 daN / cm² 17.9

A verifica di correttezza dei calcoli, si valutano i risultanti delle compressioni e delle trazioni, e si uguagliano all'azione di compressione che effettivamente agisce: V y V f nb A b  c b N 2  1295.3 daN / cm² ˜ 2 ˜ 1.91cm² 

41.11 ˜ 17.9 40 daN 2

9769.3 daN .

Effettivamente l'azione di compressione valeva N=9769 daN.

310 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato VERIFICA DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI. BULLONE CON ROSETTA DIAMETRO DELLA ROSETTA

Per il progetto della rosetta imponiamo dapprima che la forza trasmessa dal bullone si scarichi tutta attraverso la rosetta stessa, trascurando quindi l'aderenza tra bullone e calcestruzzo: Nb

ª § SD 2 Vb ˜ A res # Vb ˜ «0.75¨¨ © 4 ¬

Nc

0.7 ˜ V amm , cls ˜ A c

·º ¸» ; ¸ ¹¼

§ S) 2 SD 2 · ¸. 0.7 ˜ V amm , cls ˜ ¨¨  4 ¸¹ © 4

Imponiamo l'uguaglianza di queste due forze e ricaviamo il diametro minimo che deve avere la rosetta: ª § SD 2 Vb ˜ «0.75¨¨ © 4 ¬ Vb ˜ 0.75 0.7 ˜ V amm, cls 1.07

§ S) 2 SD 2 · ¸ 0.7 ˜ V amm , cls ˜ ¨¨  4 ¸¹ © 4

·º ¸» ¸ ¹¼

§ SD 2 ¨ ¨ 4 ©

· ¸ ¸ ¹

Vb D2  D2 V amm , cls

S) 2 SD 2  4 4 ) 2 e quindi: )

D 1.07

Vb 1 . V amm , cls

Nel nostro caso, sostituendo i valori : )

1.8 1.07

1295.3 1 85

7.48cm .

Si sceglie un diametro di 8 cm.

D = 18mm

t )

Fig. 12.10. Bullone con rosetta SPESSORE DELLA ROSETTA

Per il progetto dello spessore si calcola dapprima la pressione agente sulla rosetta, ipotizzando un andamento costante su tutto il disco:

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 311 Nb

p

2

S) SD  4 4

2

1.27

Nb 2

)  D2

.

Si ha: p

1.27

2474 64  3.24

51.71 daN / cm² .

Questa pressione è ammissibile per il cls. Bisogna verificare lo sforzo nell'acciaio, usando le formule per lastra anulare incastrata. Dal manuale dell'ingegnere (Colombo): 2

§ c · K ˜ p ˜ ¨ ¸  V amm con K dipendente dal rapporto )/D = 8/1.8=4.44. © 2t ¹

Tabella 12.11. Valori K vs )/D )/D K

1.25

1.5

2

3

5

10

0.124

0.373

0.947

1.96

3.36

5.3

Interpolo linearmente per calcolare il valore di K da utilizzare: ) 5 3.36  K D da cui K 0.7 )  0.14 ; D 3.36  1.96 53 e, per )/D=4.44 si ha: K 3.1108  0.14 2.971 . N.B: Il programma ACCBULL ha in memoria un polinomio di regressione sui dati di terzo grado, e calcola per questo caso il valore K=3.00004, che è maggiore solo dell'1%. Infine lo spessore: tt

K ˜ p ˜ )2 4 ˜ V amm

2.971 ˜ 51.71 ˜ 64 cm 4 ˜ 2350

1.022cm .

Scegliamo una lamiera di 1.2 cm di spessore. PIASTRA DI BASE

Verifichiamo la striscia più debole della lamiera (quella indebolita dai fori dei bulloni, Fig. 12.11): q2

§ 17.9  14.5 · 41.11¨ ¸ 17.9 © ¹

7.809 daN / cm²

41.1  7.809 daN / cm² ˜ 14.5cm 2 Mmax #

Ix

1 ˜ 354.66 ˜ 11.35 2 8

1 bh3 12

9.667cm 4 .

354.66 daN / cm

5711.02 daN ˜ cm

312 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

14.5cm

Vc

10cm

14.5cm

21cm

2*2474=4948 daN = 41.11 daN/cm²

(a) 145 mm

19 mm

354.66 daN/cm

7.809 daN/cm² 41.11 daN/cm² 11.35 cm

(b)

(c)

Fig. 12.11.a-c. Verifica della lamiera

V

Mmax h/2 Ix

590.76 daN / cm² ; V  2350 daN / cm² .

La verifica è soddisfatta. TIRO DEI BULLONI

Nb

2474 daN

Ix

1 bh3 12

1 11.35 ˜ 2 3 12

7.5667cm 4

Sezione omogenea: stati elementari di sforzo-deformazione. Carico critico 313 Mmax

2474 daN 5.62cm 2

Mmax h/2 Ix

V

6948.23daN ˜ cm

6948.23 1 7.5667

V  2350 daN / cm²

918.26 daN / cm²

La verifica è soddisfatta. 113.5 mm 7 mm 113.5 mm 19 mm

Fig. 12.12. Tiro dei bulloni NERVATURE DELLA PIASTRA DI BASE Reazione del calcestruzzo

Vc ˜ b

41.11 ˜ 40

1644.4 daN / cm ;

Rc

1644.4 ˜ 17.9 2

MA

14717.4 daN>24.5  5.9667 @cm

1 17.9 3

5.9667 cm

14717.4 daN 272761.6 daN ˜ cm .

4.5 cm

A

A

1644.4 daN/cm

4948 daN

17.89 cm 24.5 cm

10 cm

(a)

(b)

17.2 cm

20 cm

4.8 cm

2 cm 40 cm

(c) Fig. 12.13.a-c. Nervature della piastra di base

314 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato Tiro dei bulloni nbNb

4948 daN ; MA

4948daN ˜ 10cm

49480 daN ˜ cm

Ricapitolando: Mmax

272761.6 daN ˜ cm ; Tmax

14717.4 daN

VERIFICA A

30.7 ˜ 20  40 ˜ 2

S inf

80  504

584 cm3

S inf 4.787cm A 3 0.7 ˜ 17.2 3 / 3  3 0.7 ˜ 4.8 3 / 3  1 / 12 ˜ 40 ˜ 2 3  40 ˜ 2 ˜ 3.8 2

yG Ix





4821.2 cm

4



V sup

272761.6 17.2 4821.2

Wmed

14717.4 30.7 ˜ 20

V id

122cm²

2 ˜ 40 ˜ 1  30.7 ˜ 202  10

r V 2x  3W 2xy



973.1 daN / cm²

350.4 daN / cm² r 973.12  3 ˜ 350.4 2

1146.85 daN / cm²  2350 daN / cm²

Anche quest'ultima verifica è soddisfatta.

12.3

Sezione non-omogenea

12.3.1

Strutture in calcestruzzo armato

SCHEDA STA-5: SOFTWARE PER STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO

Programmi ca_prver.89P, ca_tbpil.89P, ca_murso.89P Considerazioni generali

La progettazione delle strutture in calcestruzzo armato presenta, per così dire, due livelli di difficoltà in più rispetto al caso dell'acciaio cui abbiamo già fatto qualche cenno: innanzi tutto il legame costitutivo del calcestruzzo non è lineare, ma presenta una curvatura accentuata nella zona compressa, mentre in zona tesa presenta un grafico tipico dei materiali fragili, con un breve tratto pressoché rettilineo cui segue la rottura improvvisa. Inoltre la collaborazione tra armatura e matrice cementizia modifica ulteriormente il comportamento del materiale, sia introducendo una forte anisotropia, sia fornendo al materiale composito così risultante la capacità di resistere a trazione.

Sezione non omogenea 315

La quasi uguaglianza dei coefficienti di espansione termica dei due materiali evita l'instaurarsi di autotensioni dovute a variazioni di temperatura, che provocherebbero in pochi cicli il distacco dell'acciaio dal calcestruzzo con il conseguente collasso dell'elemento strutturale. Nel seguito si supporrà che il lettore abbia già confidenza con le nozioni di base della progettazione in calcestruzzo armato. Dei programmi che seguono, il primo esegue verifiche su sezioni in conglomerato cementizio armato; il secondo consente di calcolare in prima approssimazione il carico su una fila di pilastri appartenenti ad un edificio in corpo doppio; il terzo effettua le verifiche di stabilità su un muro di sostegno. 4a: Progetto e verifica di sezioni in calcestruzzo armato Programma ca_prver.89P

Il programma effettua il progetto di una trave inflessa in c.a., sia a sezione rettangolare che a T, e la verifica a presso-tenso flessione di travi a T, nonché, come caso particolare, di travi a sezione rettangolare. Per quanto riguarda la tensoflessione, il programma considera la trave come se avesse in ogni caso una sezione rettangolare. Per le caratteristiche dei materiali è stata seguita la normativa italiana vigente (D.M. 9/1/96), che ha introdotto per la prima volta nel nostro paese il metodo semiprobabilistico degli stati limite.

Guida all'uso del programma 1) 2)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando CA_PRVER(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3).

S.1

S.2

S.3

S.4

316 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

S.5 3)

4)

5)

S.6

Premere ENTER: dopo qualche secondo durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma (S.4). Premere ENTER per accedere al menu principale. Inserire i dati relativi ad una sezione in c.a. da progettare a flessione. Ipotizziamo un calcestruzzo di resistenza caratteristica cubica (Rck) pari a 25 MPa, mentre per l'armatura utilizzeremo barre in acciaio ad aderenza migliorata Fe B 44K. Per inserire i dati sui materiali, dal menu del programma (S.5) selezioniamo F2:Materiali, 1 :Calcestruzzo (S.6). Ricordiamo che la normativa consente l'uso di calcestruzzi con resistenze comprese tra 15 e 55 MPa. È consentito l'impiego di calcestruzzi ad alta resistenza, fino ad un massimo di Rck=75 MPa, solo previo parere favorevole del Ministero dei Lavori Pubblici. Il programma propone di default il valore 25 MPa, di uso frequente, ma naturalmente è possibile modificare a piacimento tale valore. In questo calcolo di esempio possiamo confermare il valore proposto (S.7) premendo ENTER. Viene calcolato e visualizzato il valore della resistenza di progetto: fcd

fck Jc

0.83 ˜ R ck Jc

nella quale Jc vale 1.6 (S.8).

S.7

S.8

S.9

S.10

Sezione non omogenea 317

6)

7)

8)

9)

S.11

S.12

S.13

S.14

F2: Materiali, 2: Acciaio è la combinazione di tasti da utilizzare per l'inserimento delle caratteristiche dell'acciaio (S.9). È possibile scegliere tra i due tipi di barre ad aderenza migliorata ammessi dalla normativa, come si vede in S.10. Adottiamo per questo esempio l'acciaio a resistenza più elevata (Fe B 44K). Il programma calcola e visualizza (S.11) la resistenza di progetto, dividendo la tensione di snervamento per un coefficiente di sicurezza indicato dalla normativa, per il caso dell'acciaio, pari a 1.15 per gli stati limite ultimi, e 1.0 per gli stati limite di esercizio. Non conoscendo quale combinazione di carichi si sta studiando, si è scelto di utilizzare sempre, a favore di sicurezza, il coefficiente Js pari a 1.15. Selezionati i materiali che verranno adottati, si procede all'inserimento delle dimensioni della membratura. L'ordine di inserimento, comunque, può essere invertito (per esempio prima le dimensioni della trave, poi le caratteristiche dell'acciaio, poi quelle del calcestruzzo). Si presterà attenzione di aver inserito tutti i dati correttamente prima di eseguire il progetto o la verifica. Si selezioni allora il comando per l'immissione delle dimensioni della trave: F3: Dimensioni, 1: Trave (S.12). Si voglia effettuare il progetto di una sezione a T in calcestruzzo armato, sottoposta ad una flessione di 25 kN˜m (25˜106 N˜mm). Il programma esegue il progetto a flessione solo per sezioni rettangolari. Questo problema può essere bypassato in quanto, frequentemente, l'asse neutro di una sezione a T cade all'interno dell'ala superiore. In questo caso il programma fornisce la corretta soluzione sia in termini di altezza che di area di acciaio necessaria, poiché la sezione a T viene ricondotta ad una sezione rettangolare compressa in calcestruzzo, e ad una armatura a distanza h dal lembo superiore. Si consideri (S.13) un'ala larga 1 metro, un'anima di 20 cm, e un copriferro di 3.5 cm, uguale sia al lembo teso che al lembo compresso. È necessario lasciare

318 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

10)

11)

12)

13)

14)

impostati a 0 sia il valore dell'altezza (da calcolare) che il valore dello spessore dell'ala "s". Lasciamo impostate a 0 anche le dimensioni dei ferri di armatura, e passiamo all'inserimento delle azioni sollecitanti: è sufficiente premere F4: Azioni per visualizzare la schermata di S.14. Lasciare nullo il valore del taglio e dell'azione assiale, ed inserire il momento flettente, pari a 25 milioni di N˜mm. Premere ENTER per tornare al menu. Premere F5:Esegui, 1:Progetto. Dopo pochi istanti, durante i quali lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, vengono visualizzati i valori dell'altezza totale minima e dell'area minima di armatura (S.16). È anche possibile modificare i valori proposti per adattare i risultati del calcolo alla situazione reale. Poniamo, per esempio l'altezza totale pari a 250 mm (S.17), mentre lasciamo inalterato il valore dell'armatura, che andremo a modificare in un altro modo (si vedano i punti seguenti). È opportuno, a questo proposito, tenere a mente o segnarsi da qualche parte il valore proposto dalla calcolatrice. Andiamo infatti ad azzerare i dati sulle armature, per poi reinserirli in termini di numero di ferri e loro diametro: selezionare F3:Dimensioni, 4:Azzera armatura. Una schermata di avvertimento (S.19) chiede la conferma dell'operazione: impostare SI alla richiesta, e premere ENTER 2 volte.

S.15

S.16

S.17

S.18

S.19

S.20

Sezione non omogenea 319

S.21

S.22

S.23

S.24

15) Quindi portarsi nella schermata di inserimento delle armature tese: F3: Dimensioni, 2: Armatura inferiore (S.20). 16) Il programma fornisce l'area totale di armatura già inserita, che attualmente è zero a seguito dell'azzeramento. A questo punto si possono inserire quanti ferri si desidera, a gruppi omogenei nel diametro (per esempio 2 ‡ 14 e 4 ‡ 16). Nel nostro caso, dovendo immettere un'area minima di 6.71 cm2, posizioniamo per iniziare 2 ‡ 18 (S.21). Premendo ENTER il programma calcola l'area risultante (5.09 cm2) che è troppo bassa (S.22). E' possibile continuare ad inserire armatura a piacere. Per terminare questa fase, immettere 0 come numero di ferri, e premere ENTER. 17) La S.23 mostra la situazione dell'armatura dopo che sono stati inseriti altri 2 ‡ 18, per un'area totale di 10.18 cm2. Accettiamo questo valore premendo ENTER. 18) Prima di effettuare la verifica della sezione risultante, è necessario completare le dimensioni (S.24) inserendo il valore dello spessore dell'ala. Poiché il progetto aveva fornito una altezza minima di circa 15 cm, prendendo l'ala spessa 10 cm abbiamo buone probabilità che l'asse neutro non cada nell'anima, e quindi siamo ancora nelle ipotesi di sezione assimilabile a rettangolare. Si tenga presente che per la verifica il programma può calcolare la sezione come effettivamente a T: in questo caso i valori forniti dal progetto di una sezione rettangolare potrebbero essere inesatti e sarebbe necessario un aggiustamento in seconda battuta, visti i risultati della verifica stessa. 19) F5:Esegui, 2:Verifica (S.25). Dopo qualche istante appare la finestra di riepilogo di S.26, nella quale sono indicati: la posizione dell'asse neutro, misurata a partire dal lembo compresso, lo sforzo massimo agente nel calcestruzzo, e gli sforzi agenti nelle armature. Il valore Vfc non è significativo nel caso non esistano armature in zona compressa, ma non inficia la validità dell'analisi. Premendo ENTER si eseguono le verifiche di ogni componente; con il tasto ESC, invece, si torna direttamente al menu.

320 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

20) Le schermate dalla S.27 alla S.29 mostrano le tre schermate di verifica. Anche in questo caso la pressione di ENTER visualizza la schermata successiva, ESC torna al menu. 21) Per concludere questa veloce panoramica, mostriamo come si comporta il programma nel caso di una pressoflessione applicata alla stessa sezione: torniamo all'inserimento delle azioni, ed aggiungiamo una compressione pari a 100 kN (S.30  le compressioni hanno segno negativo). 22) Viene visualizzata la stringa "Verifica a pressoflessione" come conferma che il programma stia seguendo l'algoritmo ad hoc per il caso in esame. È possibile che vengano visualizzati altri messaggi, come per esempio "L'a.n. taglia l'anima" se la zona compressa si estendesse anche lungo l'anima della trave. 23) Mostriamo anche come sia possibile, se necessario, modificare i dati sulle armature: per esempio supponiamo di voler inserire 4 ‡ 12 al lembo compresso che serviranno come reggistaffa (S.32). Inoltre, considerato il fatto che le armature tese lavorano molto al di sotto delle loro possibilità, vogliamo lasciare solo 3 ‡ 18 al lembo teso. In S.33 si vede che è sufficiente togliere 1 barra, inserendo -1 come numero di barre.

S.25

S.26

S.27

S.28

S.29

S.30

Sezione non omogenea 321

S.31

S.32

S.33

S.34

S.35 24) La S.34 mostra la verifica della sezione così determinata. L'esame dei valori visualizzati porta a concludere che i materiali non sono stati sfruttati adeguatamente: in un caso reale una sezione del genere sarebbe decisamente antieconomica. 25) Per uscire dal programma selezionare: F1:File, 2:Esci. 4b: Costruzione tabella pilastri di un edificio in corpo doppio Programma ca_tbpil.89P

Una delle tipologie costruttive più comuni tra gli edifici multipiano in cemento armato è il corpo doppio: 3 file di pilastri dividono lo spazio interno, longitudinalmente, in due parti, all'interno delle quali si ricavano i vani abitabili, che mantengono una certa regolarità imposta dalla struttura stessa. Il blocco rigido scale/ascensore viene posto generalmente al centro o in posizione simmetrica rispetto al centro (se più di uno). La funzione statica di tale blocco è di assorbire piano per piano le forze orizzontali (vento-sisma) e trasferirle alle fondazioni senza che vadano a gravare sul sistema di pilastri, che può così essere dimensionato principalmente per i carichi verticali, costituiti dai carichi permanenti e dai sovraccarichi accidentali (vedi Fig. 5.1). Ogni colonna di pilastri porterà, naturalmente, carichi sempre maggiori a partire dal piano più alto, fino ad arrivare al piano più basso. Le dimensioni del singolo pilastro rispecchieranno questo andamento.

322 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

Il programma ca_tbpil costruisce la tabella dei carichi su un singolo pilastro rettangolare di un edificio in corpo doppio, ed effettua un predimensionamento della struttura. Nel calcolo delle dimensioni si impone un'area minima di 900 cm2 (pilastro quadrato di 30 cm u 30 cm) ed entro limiti ragionevoli si cerca di tenere uno dei due lati pari a 30 cm. Se il rapporto tra i due lati supera 2, la dimensione del lato minore viene aumentata di 5 cm alla volta fino ad avere una sezione sufficientemente regolare. Guida all'uso del programma

1) 2)

3)

4)

5)

6)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando CA_TBPIL(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3). Premere ENTER: dopo qualche secondo durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, comincia l'esecuzione del programma (S.4). Premere ENTER per accedere al menu principale. I menu da F2:Materiali a F4:Carichi danno accesso alle routine di inserimento dei dati, mentre il menu F5:Esegui conduce al calcolo delle sezioni del pilastro (S.5). Esaminiamo una per una le fasi di inserimento e la fase di output: Premere F2:Materiali, 1:Calcestruzzo (S.6). Nella versione corrente il menu 2:Acciaio è attivo e funzionante, ma siccome il programma non tiene in conto la presenza di armatura nel pilastro, è possibile lasciare memorizzato il valore di default (Fe B 38K) senza che questo influenzi i calcoli successivi. Supponiamo di utilizzare un calcestruzzo piuttosto scadente (Rck = 15 MPa, che è il valore minimo ammesso dalla normativa). Inseriamo tale valore nel campo di S.7.

S.1

S.2

S.3

S.4

Sezione non omogenea 323

S.5

S.6

S.7

S.8

S.9

S.10

7)

Il valore della resistenza di progetto a compressione viene ridotto del fattore 0.7. Questo passaggio (S.8) è un retaggio del vecchio metodo delle tensioni ammissibili, ma consente di avere risultati sempre a favore di sicurezza. Se il pilastro fosse eccessivamente snello sarebbe, inoltre, necessario eseguire una verifica a stabilità. PremereENTER per tornare al menu. 8) Indichiamo al programma le dimensioni principali della struttura, cominciando dalle grandezze rilevabili dalla pianta dell'edificio. Premere F3:Dimensioni, 1:Pianta (S.9). Nella finestra successiva (S.10) è possibile inserire il numero del pilastro, che serve solo a ricordare quale pilastro si sta studiando, la disposizione in pianta del pilastro e le dimensioni della superficie di influenza. 9) In S.11 è mostrata la finestra completata. 10) Inseriamo anche le dimensioni rilevabili dal prospetto (S.12). Premere F3:Dimensioni, 2:Alzato.

S.11

S.12

324 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

S.13

11) 12)

13)

14)

S.14

S.15 S.16 Supponiamo che l'edificio abbia 5 piani, che l'altezza di ogni soletta sia di 30 cm e che l'interpiano sia di 2.90 metri (S.13). Inseriamo anche un dimensionamento di massima della trave di spina, per esempio sia rettangolare con i lati di 25 cm u 100 cm. La trave di bordo, dovendo portare la metà dei carichi, sarà sicuramente più bassa: ipotizziamo 25 cm u 50 cm. Queste misure sono assolutamente indicative, e vengono usate esclusivamente per calcolare il peso delle travi che si scarica sul pilastro. Per questo motivo non è necessario avere le dimensioni esatte delle travi, ma è sufficiente cercare di approssimare per eccesso il carico finale. Dal menu F4:Carichi si immettono i valori relativi ai carichi permanenti ed accidentali. Si ricordi che i valori forniti dalla normativa vanno moltiplicati per coefficienti generalmente maggiori di 1, per formare le combinazioni di carico per lo stato limite ultimo, oppure compresi tra 1 e 0.2 per quanto riguarda le combinazioni di carico per gli stati limite di esercizio (rare, frequenti, quasi permanenti). A questo proposito si rimanda alla parte generale del D.M. 9/1/1996. Il programma propone dei valori di riferimento (S.17) che possono essere modificati secondo le necessità, per quanto riguarda il peso dell'impermeabilizzazione, del solaio, della solettina e degli intonaci. Questi carichi per unità di superficie verranno moltiplicati per l'area di influenza per determinare il peso proprio della struttura che grava sul pilastro.

S.17

S.18

Sezione non omogenea 325

S.19

S.20

15) Per quanto riguarda i carichi accidentali, è possibile inserire un valore unico per tutti i piani, oppure fornire un valore diverso piano per piano. Nel caso di edifici adibiti ad abitazione è possibile usare un solo valore di carico accidentale, anche se a priori l'ultimo piano (la copertura) andrebbe considerato a sé stante; per edifici misti abitazioni / uffici / locali pubblici / autorimesse, invece, è indispensabile poter inserire il valore di sovraccarico esatto per il vano in questione. Per l'esempio che stiamo illustrando è sufficiente un unico valore dei carichi, per cui rispondiamo SI alla domanda "Carichi uguali per tutti i piani?" di S.18. 16) Inseriamo il valore 2 kN/m2, quindi confermiamo premendo ENTER. 17) La fase di inserimento dati è terminata, il programma è in grado di effettuare l'analisi. Premere F5:Esegui, 1:Calcolo pilastro. 18) Piano per piano (S.21, S.25) vengono forniti i valori del carico totale al piede del pilastro, dell'area minima di calcestruzzo, e le dimensioni minime suggerite per i lati del pilastro. 19) Nella versione corrente del programma spetta all'utente arrotondare la dimensione calcolata (per esempio b: 342.995 mm al terzo piano diventerà 35 cm). 20) Per uscire dal programma, come sempre, premere F1:File, 2:Esci, quindi confermare con ENTER.

S.21

S.22

S.23

S.24

326 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

S.25

S.26

4c: Muri di sostegno a mensola e a gravità in cemento armato Programma ca_murso.89P

Questo programma esegue le verifiche di stabilità al ribaltamento e allo scorrimento per un muro di sostegno in calcestruzzo, che può essere sia a gravità che a mensola. L'approccio è quello di Rankine. Fornisce anche le pressioni sul terreno, che vanno verificate secondo un metodo che si riconduca al calcolo della capacità portante, come per esempio la formula DIN 4017 delle norme tedesche, 1 riportata anche dal Cestelli Guidi . Non è invece più consigliabile l'approccio in termini di tensioni ammissibili del terreno per le carenze su base teorica che tale approccio presenta. Vengono inoltre forniti i valori delle azioni sollecitanti le sezioni più critiche del muro, perché si possa effettuare il progetto e la verifica delle armature tramite un programma adeguato (per esempio ca_prver, vedi Scheda 6a). Sia per quanto riguarda la geometria del muro che per quanto riguarda il comportamento del terreno, sono state adottate alcune semplificazioni che impediscono una trattazione generale del problema, limitando alla risoluzione di alcuni casi particolari:  geometria e condizioni al contorno: il paramento a monte è sempre verticale; il terreno è orizzontale; non è prevista la presenza di falda acquifera; non è prevista la presenza di acqua a valle; non sono previsti sovraccarichi;  terreno: non si tiene conto dell'attrito tra parete verticale del muro e terreno (spinta attiva sempre orizzontale); in caso di terreno coesivo, si suppone la formazione di tension cracks: a favore di sicurezza non si tiene conto della trazione, ma solo degli sforzi di compressione a partire da una quota inferiore al piano campagna. Guida all'uso del programma

1) 2)

1

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando CA_MURSO(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3).

Carlo Cestelli Guidi, “Geotecnica e Tecnica delle fondazioni”, Hoepli editore, 8va edizione, 1987.

Sezione non omogenea 327

S.1 3)

4)

5)

S.2

Premere ENTER: dopo qualche secondo, durante il quale lampeggia la scritta BUSY in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma (S.4). Premere ENTER per accedere al menu principale. Per impostare i dati sui materiali premere F2: Materiali (S.5). Nella versione corrente del programma, pur essendo possibile selezionare tipo di calcestruzzo e tipo di acciaio, questi dati non vengono in alcun modo utilizzati, quindi non ne è richiesto l'inserimento. È invece indispensabile fornire al programma le caratteristiche del terreno: premere 3: Terreno. Alcune note riguardanti i dati (S.6): il peso specifico del terreno verrà utilizzato dal programma per i calcoli del peso e della spinta del terreno. Spetta all'utente inserire il valore appropriato al caso in esame (peso specifico globale, secco, sommerso). Si tenga presente che il programma non prevede la presenza di acqua (la spinta idrostatica non viene calcolata). L'angolo d'attrito tra terreno e muro viene usato per calcolare la forza resistente per attrito in caso di slittamento del muro, mentre l'attrito tra muro e terreno sulla parete verticale viene sempre considerato nullo. Sul parametro coesione, che diminuisce la spinta risultante, si assuma qualche cautela: per valori bassi o incerti è consigliabile, a favore di sicurezza, effettuare i calcoli ponendo la coesione pari a zero.

S.3

S.4

S.5

S.6

328 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

S.7

S.8

S.9

S.10

6)

Immissione dei dati geometrici: premere F3: Dimensioni. Delle due opzioni mostrate in S.7, come già detto, la seconda (armatura) non è attiva. Inseriamo i dati riguardanti il muro: 1: Muro. Appare subito un menu per la selezione del tipo di muro da calcolare (S.8). Inseriamo i dati relativi ad un muro a mensola, premendo 2: Muro a mensola, oppure spostando l'evidenziazione sulla seconda riga con il tasto ➲ e premendo . 7) Viene presentato uno schema del muro (S.9) e la calcolatrice si mette in pausa. Premere ENTER per proseguire. 8) Le dimensioni vengono richieste in due schermate successive: dapprima si inseriscono le quote relative al muro verticale (altezza a partire dall'estradosso della fondazione, e larghezza costante, S.10). Verifichiamo un muro alto 5.5 metri, e largo 45 cm. 9) La seconda schermata (S.11) è dedicata alla geometria della fondazione. Lo sporto a monte è la larghezza della fondazione, dalla parte del terreno, misurata a partire dalla fine del muro verticale; lo sporto a valle è la larghezza dalla parte opposta. Naturalmente, nel caso di muro a gravità, verranno richieste anche altre dimensioni (in particolare vengono richiesti due valori di larghezza del muro: alla base ed in sommità). 10) Non sono necessari altri dati, quindi possiamo eseguire il ciclo delle verifiche. Premere F5: Esegui, 1: Pressioni (S.12).

S.11

S.12

Sezione non omogenea 329

S.13

S.14

11) Vengono fornite tutte le indicazioni per il tracciamento delle pressioni sul terreno. Nel caso in cui la sezione sia interamente compressa, come nell'esempio di S.13, vengono mostrati i valori della pressione agli estremi del muro e l'ascissa del punto di azzeramento della pressione, che risulta fuori dalla fondazione. Il punto x=0 è il punto più esterno della fondazione. Come già accennato nell'introduzione, non è consigliabile confrontare i valori ottenuti dal calcolo con una "resistenza ammissibile del terreno", ma è opportuno utilizzare un metodo che si riconduca al calcolo della capacità portante di una fondazione rettangolare. La citata formula tedesca DIN 4017 fornisce, per il caso di un rinterro a valle a quota 120 cm sopra la base della fondazione, un valore di pultimo = 0.491 MPa, per un coefficiente di sicurezza pari a 2.73. 12) Eseguiamo la verifica alla traslazione del muro: F5:Esegui, 2:Verif. scorrimento (S.14). 13) Nella finestra di S.15, Fr sta per forza resistente, ed è calcolata come Q˜Fv, nella quale Q = tan G è il coefficiente di attrito e Fv è la sommatoria di tutti i carichi verticali sulla base della fondazione; Fs, inteso come forza sollecitante, è dato dal valore della spinta attiva. La verifica è soddisfatta se il coefficiente di sicurezza (Fr / Fs) è maggiore di 1.3. 14) Premere: F5:Esegui, 3:Verif. ribaltam. Si accede alla finestra di S.16. Mres è il momento resistente, calcolato come il momento di tutte le forze che stabilizzano il muro rispetto al punto più esterno della fondazione; Mrib è il momento ribaltante, calcolato come momento della spinta attiva rispetto allo stesso punto. Il coefficiente di sicurezza, calcolato come rapporto tra questi due valori deve essere maggiore di 1.5.

S.15 S.16 15) L'ultima opzione visualizza i valori delle sollecitazioni in tre sezioni critiche del muro e della fondazione: sarà possibile verificare le sezioni in cemento armato

330 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

inserendo tali valori nel programma ca_prver, considerando strisce di muro di 1 metro di lunghezza. Premere F5:Esegui, \:Verifiche c.a. (S.17). 16) Alla base del muro (S.18) agiscono sia azione assiale che taglio e momento: la sezione va verificata come pressoinflessa, anche se il valore di compressione non sarà particolarmente elevato. 17) Per quanto riguarda la fondazione, vengono forniti i valori del taglio e del momento agenti all'incastro dei due sporti considerati come incastrati nel muro (S. 19 e S.20). Premere ENTER per confermare, quindi F1:File, 2:Esci per terminare l'esecuzione del programma.

12.3.2

S.17

S.18

S.19

S.20

Travi composte in acciaio e calcestruzzo: generalità elementari

In questa tipologia (Fig. 12.14), soletta e trave d’acciaio vengono unite con staffe (da verificare a taglio) per formare una struttura mista; l’acciaio lavora solo a trazione ed il calcestruzzo a compressione. La sezione viene omogeneizzata riducendo l’area del calcestruzzo ad area d’acciaio (prodotto per il rapporto dei moduli elastici). Peculiarità:  ritiro: il C.A. si ritira ed induce tensioni nell’acciaio: il ritiro può comunque essere assimilato ad una differenza di temperatura;  viscosità: il calcestruzzo presenta deformazione elastica He e inoltre nel tempo anche deformazione viscosa H v 2 y 3H e . Il coefficiente M

Hv , varia nel tempo: interessa il valore asintotico (Fig. 12.15). He

Sezione non omogenea 331

Fig. 12.14. Trave composta in acciaio-calcestruzzo

Fig. 12.15. Comportamento asintotico del coefficiente M

12.3.3

Travi in cemento armato precompresso: generalità elementari

La tecnica consiste nel pre-comprimere le fibre di calcestruzzo che in esercizio saranno soggette a trazione. Con riferimento alla Figura 12.16: 1. diagramma di sollecitazione per materiale simmetrico a compressione e trazione; 2. si provoca uno stato di sforzo di compressione opportunamente distribuito; 3. se V e

V pr sommando gli effetti si ha un diagramma senza trazione al bordo

inferiore; 4. se il materiale sopporta una leggera trazione, si può creare un altro tipo di precarico in modo da avere, in esercizio, una distribuzione di tensioni di compressione meno variabile lungo la sezione e tale che la Vmax sia minore della Vmax del caso 3).

Fig. 12.16. Sezione in cemento armato precompresso: stati di sforzo indotti

332 Il solido di St. Venant. Applicazioni: acciaio e calcestruzzo armato

12.3.3.1 Verifica del CAP N M pr  M e r  Vc , W A N = forza eccentrica di precompressione; Mpr = N ˜ e = momento dovuto alla eccentricità della forza N; Me = momento esterno dovuto al peso proprio ed ai sovraccarichi. La V dell’acciaio non viene verificata perché già nella precompressione si raggiungono tensioni poco diverse da quelle che si hanno in opera (6 y 7% in meno).

Vc

12.3.3.2 Tecniche di precompressione Strutture a fili aderenti. Fili di acciaio vengono tesi da un carico P; durante la trazione si getta attorno ad essi una trave di C.A. (Fig. 12.17). Quando questo ha fatto presa, si toglie il carico P per cui sulla trave si scarica la forza P che, se ha una certa eccentricità, provoca compressione nelle fibre inferiori e trazione in quelle superiori, con incurvamento della trave. Questo tipo di trave è prodotta in fabbrica con conseguenti limitazioni nelle dimensioni per il trasporto. Con precompressione a fili aderenti si realizzano solai e travi di copertura. Strutture a cavi scorrevoli (inizialmente). Si realizzano generalmente a piè d’opera. Nel getto della trave, si inseriscono tubi flessibili (guaine) in lamierino arrotolato a spirale, al cui interno è alloggiato un gruppo di fili. Questi cavi vengono bloccati ad un estremo mediante una piastra; all’altro estremo vengono messi in tensione mediante un martinetto, ancorato alla trave stessa. L’allungamento dei fili è notevole (dell’ordine del 3%). Raggiunto il massimo il cavo viene bloccato per mezzo di cunei. Le guaine sono incurvate come in Figura 12.18 per contrastare in parte lo sforzo di taglio. In una generica sezione, infatti, si ha T* T  N senD . Cioè, il taglio eguaglia quello che si avrebbe in una trave normale, diminuito della componente verticale di N. Nei fori delle guaine, dopo la tensione, si inietta calcestruzzo per proteggere il ferro dall’ossidazione. Per entrambe le tecnologie si hanno le seguenti fonti di perdita di compressione:  ritiro del calcestruzzo nel tempo H rit 0.00025 ;  viscosità del calcestruzzo sotto carico (fluage) H v  rilassamento iniziale dell’acciaio 'V

2 y 3H e ;

7 y 14% V iniziale .

(a) Fig. 12.17.a,b. Caso di fili aderenti. (a) modalità di carico. (b) Effetti finali

Per le strutture a cavi scorrevoli si ha:

(b)

Sezione non omogenea 333

 attrito dei cavi nelle guaine: N1 N 2 e  f cD fc = coefficiente d’attrito. Si raggiungono perdite di trazione dal 20 al 25% del valore iniziale.

Fig. 12.18. Caso a cavi scorrevoli

13.

Travi. Travature reticolari. Quadri di teoria e utilità di calcolo

13.1

Metodo delle forze e metodo delle deformazioni. Travi continue

13.1.1 Metodo delle forze: cenni sinottici Si evidenziano le incognite iperstatiche M1 M2 sulla struttura isostatica. Si applicano i carichi esterni e si calcolano le rotazioni da essi prodotte: Le rotazioni relative in 1 e in 2 sono diverse da zero: per ristabilire la congruenza si devono applicare le incognite iperstatiche. Si calcolano le rotazioni dovute ai momenti iperstatici unitari (Fig. 13.1). Le equazioni di congruenza per i nodi 1 e 2: ­°I11M 1  M12 M 2  M10 0 . ® °¯M 21M 1  I 22 M 2  M 20 0

Fig. 13.1. Metodo delle forze: sinossi grafica della procedura

336 Travi. Travature reticolari: quadri di teoria e utilities di calcolo

13.1.2

Metodo delle deformazioni

Si evidenziano le incognite geometriche M1 M2 sulla struttura geometricamente determinata. Si applicano i carichi esterni e si calcolano i momenti. Sotto l’azione delle coppie i nodi non sono equilibrati, per ristabilire l’equilibrio si devono applicare le incognite geometriche. Si calcolano i momenti dovuti alle rotazioni unitarie (Fig. 13.2). Le equazioni di equilibrio per i nodi 1 e 2 si scrivono: ­° M 11M1  m12M 2  m10 0 . ® °¯m21M1  M 22M 2  m20 0

Per strutture a molte iperstatiche (Fig. 13.3), è vantaggioso il metodo delle deformazioni che consente di evidenziare un minor numero di incognite. Nella medesima struttura di Figura 13.3 con il metodo delle forze si dovrebbero evidenziare nel nodo centrale, come incognite, tre momenti. Con il metodo delle deformazioni, si assume come unica incognita geometrica la rotazione nel nodo centrale: una sola equazione di equilibrio. Un vantaggio di questi due metodi rispetto al principio dei lavori virtuali, (abbr.: p.l.v.), è che in ogni equazione formante il sistema risolutivo non compaiano tutte le incognite, ma un numero limitato. Al massimo questo numero è uguale a quello delle aste che convergono nel nodo per il quale si scrivono equazioni di equilibrio e di congruenza. Vengono pertanto talvolta denominate “equazioni dei tre, o dei quattro, momenti”.

Fig. 13.2. Metodo delle deformazioni: sinossi grafica della procedura

Fig. 13.3. Struttura a molte iperstatiche

Travi “Vierendel” 337

13.2

Travi “Vierendel”

13.2.1

La “tipologia Vierendel”: note sulla stabilità

Due correnti, inferiore e superiore, collegati da montanti verticali (Fig. 13.4). Adatta per coprire grandi luci, sia nella tecnica del calcestruzzo armato (vedi Fig. 13.6), e frequente nella carpenteria metallica in cui i correnti sono collegati da 1 lamiere che prendono il nome di “calastrelli” . Ci riferiamo nel seguito a quest’ultimo caso. Immaginiamo di bloccare una sezione e lasciar avvenire la deformazione (Fig. 13.5). Trascurando le deformazioni per sforzo assiale, il nodo 1 si limita a ruotare; il nodo 2 può ruotare mantenendosi sempre sulla retta di azione di T. La deformata presenta punti di flesso, in cui il momento flettente si annulla (curvatura nulla). Costruito il diagramma qualitativo dei momenti flettenti, nei punti a M = 0 si possono inserire cerniere (nella trave quindi, a metà luce tra due montanti Fig. 13.4b), a causa delle cerniere, le aste sono soggette solamente a sforzi assiali.

(a)

(b) Fig. 13.4.a,b. (a) Schema Vierendel. (b) Punti a M = 0

Fig. 13.5. Deformazione a sezione bloccata

1

Fissate con almeno due chiodi o con saldature in modo da formare incastro, e adibiti ad assorbire il taglio.

338 Travi. Travature reticolari: quadri di teoria e utilities di calcolo

Fig. 13.6. Un esempio di impiego per grandi luci

Per il calcolo dello spostamento relativo si considera un nuovo tipo di pannello: messe in evidenza le forze agenti, si tracciano la deformata e il diagramma dei momenti flettenti. Con il p.l.v. si può calcolare lo spostamento relativo tra due sezioni distanti “a”. Con gli incastri, gli sforzi dominanti sono dovuti a momento flettente (Fig. 13.7): ds

a/2

b/2 a a T dy 1 T dx , x x y y 2³ 0 b b EJ t 2 2 EJ c

1˜K

³ MM c EJ

1˜K

1 a3 T a 2 1 b3 T , ˜ 2 2 ˜ 3 8 EJ c b 3 8 EJ t

4³

0

a3 T a 2b T ;  24 EJ c 12 EJ t essendo: Jc = momento d’inerzia del corrente; Jt = momento d’inerzia del montante verticale (calastrello).

K

Posto T = 1 e dividendo per a si ha l’equivalente di *

§ F · ¨¨ ¸¸ ©G A¹

§K · ¨ ¸ © a ¹T

1

§ a2 ¨ ˜ 1  ab ˜ 1 ¨ 24 E J 12 E J t c ©

F GA

:

· ¸. ¸ ¹

Essendo J t t J c e ab  a 2 si può trascurare il secondo addendo in parentesi (flessione dovuta al taglio nel calastrello), e considerare soltanto la flessione nei correnti.

Travature reticolari 339

Fig. 13.7. Analisi del regime statico

Essendo: PE

Pcr

1

e

F GA

si ha: Pcr

PE

F GA

a2 , 24 E J c

PE . a2 1 PE 24 E J c

13.3

Travature reticolari

13.3.1

Generalità elementari

Le travature più usate sono quelle a maglie triangolari, con i carichi effettivamente concentrati nei nodi (appoggi per le travi che scaricano le forze agenti). Tipologie sono date in Figura 13.8 [75]. Sotto carico, la deformazione provoca variazioni angolari nei nodi, se realizzati con cerniere. In pratica i nodi sono realizzati con incastri (momenti secondari). Nelle piastre che realizzano l’incastro al nodo si può superare il limite elastico. Le rotazioni permesse dall’elasticità delle piastre che si snervano, sono al massimo uguali a quelle calcolabili con la struttura a nodi incernierati: ciò comporta un 2 limite massimo alla deformazione (Figura 13.9).

2

Sollecitando il materiale oltre il limite elastico si limitano le H con una H ottenuta nella prima operazione di carico; per ottenere ciò le operazioni successive raggiungono delle V decrescenti. Dopo alcuni cicli si instaura un nodo chiuso di isteresi (che rappresenta il lavoro perso durante il ciclo di isteresi). Se H  H R non si raggiunge mai la rottura del materiale (Fig. 13.9).

340 Travi. Travature reticolari: quadri di teoria e utilities di calcolo

Pertanto ha poca importanza che nelle piastre si abbiano sforzi di snervamento (questi momenti sono appunto detti secondari).

(a)

(b)

(c) Fig. 13.8. Tipologie di travature a maglie triangolari con carichi nei nodi. (a) Trave reticolare Mohnié (b) Trave reticolare Neville. (c) Trave reticolare a falde inclinate.

Fig. 13.9. Ciclo di isteresi

Travature reticolari 341

Nelle strutture in calcestruzzo armato, invece, bisogna predisporre armature particolari, per sopportare gli sforzi secondari, che provocherebbero fessurazioni nei nodi (Fig. 13.10). Osservazione al calcolo degli sforzi secondari nelle travature reticolari. Se n sono i nodi, in generale le incognite sono 3n (2 traslazioni e 1 rotazione). La deformata della struttura, tenendo conto delle cerniere ai nodi, risulta poco diversa da quella della struttura a nodi incastrati, perché i momenti secondari influenzano in modo trascurabile la deformazione assiale delle aste. È quindi lecito assumere come deformata quella della struttura con cerniere: gli spostamenti orizzontali e verticali sono noti e ricavabili dal diagramma di Williot, per cui incognite sono soltanto le rotazioni (Fig. 13.11). Si possono esprimere i momenti in “i” e “j” in funzione di Mi e Mj e delle 22 traslazioni note (equazioni di equilibrio per ogni nodo).

Fig. 13.10. Armature per gli sforzi secondari nei nodi

Fig. 13.11. Analisi del regime nell’asta i-j

14.

Archi

14.1

Dalla trave all’arco

In Figura 14.1 e in Tabella 14.1 le due travi prismatiche semplicemente appoggiate: materiali uguali ( V R V Rc ), similitudine geometrica di rapporto 1: D. c e D [34]: Relazione tra Qm

D 3 P  Qmc D " VR ; 8WD 3

P  Qm " 8W c Qm Qm

ª

D 2 «1  ¬

º P D  1 » V R . Qm ¼

c D 2Qm .  Se fosse P 0  F 0 , Qm c prima è crescente, poi decrescente e quindi si  È P z 0 : al crescere di D, Qm

annulla: per D 0 F la trave porta solo il proprio peso. c deve diminuire al crescere  Per F crescente, D 0 si avvicina a 1. Per F > 2, Qm delle dimensioni.  Per grandi luci occorrono forme “staticamente più efficienti” della trave: segue quindi l’esigenza del passaggio da regime di trave a regime di arco. Tabella 14.1. Caratteristiche delle due travi in similitudine geometrica

V Rc

Sforzo di rottura

VR

VR

Mod. di resistenza Peso specifico

W

J

W c D 3W J Jc

Peso proprio/metro

p

pc D 2 p

Peso proprio totale

p

Pc D 3 P

pq 2 " 8

Momento massimo

Mc

Massimo carico utile qm sopportabile

p  qm 2 " 8W

Carico utile totale massimo

Qm

VR

qm "

M cc

pc  q c 2 "c 8

D 2 p  qc 8

D 2 p  qm 2 2 D " 8 WD 3 Qmc

c" qm

VR

D 2" 2

344 Archi

Fig. 14.1. Travi prismatiche in similitudine geometrica

14.2

L’arco parabolico a tre cerniere

1. È funicolare sotto un carico distribuito uniforme come in Fig. 14.2. a. spinta all’imposta: H

q" 2 ; 8f

b. azione assiale (massima) all’imposta: H ; N A N B N max cos -A c. pendenza -(x) nella generica sezione di ascissa x: ½ ­ ° ° ° 1 1 ° -  x cos ® ¾; 2 ° 16 f 2 § 2 x · ° ¸ ° ° 1  2 ¨1  " ¹ ¿ " © ¯ d. azione assiale di compressione N(x) nella generica sezione di ascissa x:

N x

H ˜ 1

16 f 2 § 2x · 1 ¸ 2 ¨ " ¹ " ©

2

(ha direzione della tangente locale all’arco); e. azione assiale in chiave (valore minimo): Nc

N x

" / 2

H.

2. L’arco testé considerato non è più funicolare sotto un carico concentrato al quarto della luce (Fig. 14.3); sovrapponendo più di carichi concentrati di questo tipo, è possibile simulare le condizioni di carico che l’impalcato orizzontale di un ponte-ad-arco trasmette, attraverso i setti verticali, all’arco portante. Nella ipotesi di due carichi concentrati: P1 in E e P2 in F (Fig. 14.3) si ha: tg- B

2f ; "

L’arco parabolico a tre cerniere 345

spinta orizzontale H in A e in B: f P1  P2 H , avendo posto r ; 8r " componente verticale della reazione in A e in B: 3 1 3 1 VA P1  P2 ; VB P2  P1 ; 4 4 4 4 momento flettente della sezione a x " 4 (caricata) (positivo: intradosso teso): M

 H ˜ y( x

" " )  VA ˜ . 4 4

Fig. 14.2. Arco parabolico a tre cerniere: carico distribuito uniforme

Fig. 14.3. Arco parabolico a tre cerniere: carico concentrato al quarto della luce

346 Archi

14.3

Archi ad asse parabolico

SCHEDA STA-6: SOFTWARE PER ARCHI AD ASSE PARABOLICO Programma Archi.89P

1

Considerazioni generali Il programma Archi calcola, per archi ad asse parabolico, il valore delle reazioni vincolari e del momento in chiave e in un punto qualsiasi dell'arco. Le imposte devono essere alla stessa quota, il carico è costituito da un numero qualsiasi di forze verticali concentrate o distribuite linearmente su tutta la lunghezza dell'arco. Sono previsti quattro tipi di vincoli: a) archi a tre cerniere (due all'imposta e una in chiave); b) archi a tre cerniere a spinta eliminata (con un tirante tra i due punti di imposta); c) archi con 2 cerniere vincolate a terra, d) archi incastrati a terra. Durante l'immissione dei dati, si tenga presente che viene chiamato A il punto d'imposta sinistro, B il punto d'imposta destro e C la chiave dell'arco. La posizione dei carichi concentrati viene misurata partendo da A, mentre l'ascissa di calcolo del momento in un punto generico viene misurata a partire dal vincolo B. Le unità di misura usate non sono tutte omogenee: per ogni dato immesso, viene sempre indicata l'unità di misura. Questa impostazione consente di lavorare con valori relativamente "comodi" (per esempio metri per la luce e cm2 per l'area della sezione). Guida all'uso del programma 1) 2)

3)

4)

1

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando ARCHI(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3). Premere ENTER: dopo qualche secondo, durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma (S.4). premere ENTER per accedere al menu principale. Prima di tutto bisogna impostare il tipo di arco che si vuole studiare. Premere F2:Arco, 1:Vincoli (S.5). Viene visualizzata la finestra di dialogo di S.6, che ricorda alcune delle ipotesi che stanno alla base del calcolo. Il vincolo impostato di default è l'arco a tre cerniere.

Si ringrazia la Dott.ssa Maria Veronica Latella per la collaborazione prestata alla stesura di questo programma.

Archi ad asse parabolico 347

S.1

5)

6)

7)

S.2

S.3 S.4 Per aprire la lista delle possibili opzioni (S.7), premere il tasto di direzione verso destra ➨, quindi selezionare il tipo di vincolo desiderato. Scegliamo di analizzare un arco a 3 cerniere a spinta eliminata, che corrisponde alla seconda voce. Premere quindi 2:2 cern + 1 app. Confermare con il tasto ENTER una volta per chiudere l'elenco, la seconda per chiudere la finestra "Scelta dei vincoli" (S.8). Automaticamente il programma apre la schermata delle dimensioni dell'arco (S.9). Inseriamo alcuni valori di esempio: la luce sia di 10 m, con una freccia molto elevata, per la verità - di 4 m. L'area e il momento d'inerzia della sezione sono stati calcolati a partire dalle dimensioni della sezione perpendicolare dell'arco: nel campo area è stato inserita l'espressione 40*100, nel campo Jx è stata inserita l'espressione: 40*100^3/12, delle quali nella S.10 si vedono solo i termini finali. Premere ENTER per salvare i dati e far calcolare il valore di A e Jx. In un secondo tempo è sempre possibile modificare direttamente le dimensioni senza dover riselezionare il tipo di vincoli: è sufficiente premere la combinazione di tasti F2:Arco, 2:Dimensioni (S.11). Come mostra chiaramente la S.12, i valori dell'area e del momento d'inerzia sono stati sostituiti in forma numerica: in particolare l'area vale 4000 cm2, il momento d'inerzia, di cui si vede solo una parte, vale 3.333˜106 cm4. Chiudere la finestra, senza modificare i valori inseriti.

S.5

S.6

348 Archi

8)

S.7

S.8

S.9

S.10

S.11

S.12

Passiamo al menu successivo. Premere F3:Carichi, 1:Inserisci (S.13). La finestra di dialogo seguente chiede di scegliere tra carico concentrato e distribuito. Lasciamo l'impostazione di default (Concentrato) e premiamo ENTER.

S.13

S.14

S.15

S.16

L’arco parabolico a tre cerniere 349

S.17 9)

10)

11) 12)

13)

S.18

Sull'arco agisca una forza verticale (diretta verso il basso) di intensità pari a 15000 N (circa 1,5 tonnellate), posto alla distanza di 3.5 metri in orizzontale dall'imposta di sinistra (S.15). Possiamo a questo punto già verificare il valore delle reazioni vincolari. Premere F4:Reaz. e az.interne, quindi 1:Valori estremi (S.16). Come si vede in S.17, il programma fornisce il valore di tutte le reazioni vincolari e il valore del momento in chiave. In questo caso, naturalmente, i momenti sia all'imposta che in chiave sono nulli e il valore di H rappresenta il tiro nella catena. È anche possibile chiedere il valore del momento in un punto qualsiasi dell'arco. Premere F4:Reaz. e az.interne, 2:Valori in un punto (S.18). Chiediamo il valore del momento nel punto che dista 1.5 metri dall'imposta di destra B (S.19). Premere ENTER. Come mostra la finestra di S.20, tale momento è negativo, e vale -5512.5 N˜m. Chiudere la finestra di dialogo. Possiamo calcolare il momento anche in un punto "al di qua" della forza applicata: seguendo lo stesso procedimento del punto 11, chiediamo quanto vale il momento a 1.5 metri dal punto A. Nel campo "Ascissa da B" di S.21, quindi inserire 10-1.5=8.5. Il momento in tale punto è positivo, e vale 1237.5 N˜m (S.22).

S.19

S.20

S.21

S.22

350 Archi

S.23

S.24

S.25

S.26

14) È anche possibile, in caso di errore per esempio, modificare i dati relativi ad uno qualsiasi dei carichi inseriti. Selezionare F3:Carichi, 2:Modifica (S.23). Il programma chiede quale carico si vuole modificare, indicando il numero e il tipo di ogni carico finora memorizzato. Nel caso attuale in memoria è presente solo un carico concentrato (S.24). Premere ENTER per modificarne i dati. 15) Vengono riportati sia il valore che l'ascissa di applicazione (S.25) per il carico selezionato. Possiamo modificarne l'intensità, portandola, per esempio, a 18000 N (S.26), senza modificare il punto di applicazione. 16) Le schermate delle S.27 e S.28 mostrano i valori modificati delle reazioni e del momento ad ascissa 1.5 metri da B.

S.27

S.28

S.29

S.30

L’arco parabolico a tre cerniere 351 17) Per terminare la presentazione dei comandi del programma, aggiungiamo, oltre al carico già presente, un carico distribuito. Dopo aver selezionato il menu F3:Carichi, 1:Inserisci, portare la selezione del tipo di carico su "Distribuito" (S.29) e premere ENTER. L'intensità del carico sia di 600 N/m (S.30). Le S.31 e S.32 mostrano le variazioni nelle reazioni vincolari e nel momento ad ascissa 1.5 m. Non ci si lasci trarre in inganno dal fatto che il momento in tale punto non è cambiato!. Il carico distribuito che abbiamo appena immesso, infatti, genera una distribuzione di momento che si annulla proprio per quel valore di ascissa (e per il suo simmetrico), ma non sul resto dell'arco. 18) Chiuse tutte le finestre, e tornati al menu principale, premere F1:File, 2:Esci per terminare l'esecuzione del programma.

S.31

S.32

15.

Funi

15.1

L’equilibrio delle funi. Sollecitazione continua

Col nome di filo si indica in Meccanica un sistema materiale la cui generica configurazione è geometricamente rappresentabile mediante una linea (continuo monodimensionale), e inoltre è tale che non opporre alcuna resistenza né a flessione né a torsione (perfetta flessibilità). Il suo comportamento fisico è il comportamento limite di una catena formata da infiniti elementi infinitesimi collegati fra loro da cerniere sferiche. Una fune di sezione sufficientemente piccola rispetto alla sua lunghezza costituisce praticamente un filo. L’assenza di momenti flettenti e torcenti comporta, ovviamente, l'assenza di componenti taglianti nella generica sezione. Consideriamo un filo perfettamente flessibile e inestendibile, in equilibrio sotto l’azione di forze esterne variamente applicate lungo la sua lunghezza, e concentrate in punti, oppure distribuite con continuità su un tratto di fune. Ci riferiamo anzitutto a quest’ultimo caso, affrontando più avanti il caso di forze esterne concentrate. Indichiamo con P e P' gli estremi di un archetto infinitesimo comunque preso sul filo; sia s l’ascissa curvilinea di P ed sds quella di P' (Fig. 15.1). Siano T(s) e  T(s) le forze (“tensione”) che, in condizioni di equilibrio, vengono scambiate tra le due facce di una sezione. La risultante delle forze esterne agenti sull’archetto PPc è data da F(s)ds (che si può pensare applicata in P) essendo F(s) la densità di sollecitazione sul filo. In equazioni, l’equilibrio elementare (“š” indica il prodotto vettoriale) si scrive:  1 ­ F ds  T  s  ds  T  s 0 ®  2 ¯ P  O š F ds   P  O  dP š T  s  ds   P  O š T  s . Dalla seconda, tenuto conto della prima, si ha dPšT 0, cioè, in condizioni d’equilibrio la tensione T(s) è tangente in P al filo. La sola equazione indefinita d’equilibrio per il filo soggetto a sollecitazione distribuita, è la (1), che scriviamo: F s

dT . ds

(3)

La (3), assieme alle condizioni al contorno e alle condizioni globali di equilibrio consentono di determinare le grandezze incognite: la funicolare di equilibrio e la tensione nel generico punto della fune. Alla (3) va inoltre associata l’equazione scalare: (inestensibilità del filo), (4) dx 2  dy 2  dz 2 ds 2

354 Funi

dal teorema di Pitagora applicato all’elemento infinitesimo di filo. La sua validità consente di trattare la Statica dei fili senza aggiungere (apparentemente) le equazioni costitutive della deformabilità del continuo. Le prime tre, legate dalla (4), forniscono la funicolare d’equilibrio x(s), y(s), z(s), la quarta fornisce la tensione T(s).

Fig. 15.1. Equilibrio di filo flessibile e inestendibile

15.1.1

Equazioni intrinseche

È conveniente proiettare la (3) sulla terna intrinseca P t n b; a tal fine essa può scriversi: d dT dt Tt 0 ovvero 0. F t T ds ds ds Si traduce nelle seguenti 3 equazioni scalari “intrinseche”:

F

(5)

1 dT Fb = 0 (6)  Ft T  Fn ds r La prima afferma che la sola componente tangente della forza esterna è responsabile della variazione di T. La seconda stabilisce un legame tra la curvatura della funicolare e la componente normale di F. La terza afferma che il filo si dispone in modo da contenere la sollecitazione esterna nel piano osculatore nel generico punto.

15.1.2

Caso di forze esterne parallele

Sollecitazione continua con F di direzione costante. Indicato con j il versore costante, moltiplichiamo vettorialmente per j la (3). dT d š j 0 ,ovvero (T š j ) 0 e quindi Per essere F š j = 0, si ha ds dx (T š j ) c , con c vettore costante. Pertanto T giace sempre in un piano normale a c ed in tale piano giace anche j. Concludiamo che se F ha direzione costante, la funicolare è piana e giace in un piano contenente la sollecitazione.

Equilibrio di una fune omogenea pesante. Catenaria 355

Si dimostra inoltre che: se F ha direzione costante la componente della tensione normale ad F non varia lungo il filo. Infatti consideriamo, nel piano della funicolare, un versore i normale ad F. Moltiplicando scalarmente per i la (3) traiamo subito che: dT d( T u i ) ui 0 ovvero T u i = cost . (7) ds ds

15.2

Equilibrio di una fune omogenea pesante. Catenaria

Consideriamo un filo pesante con gli estremi A e B fissi (non necessariamente ad uguale quota). Su un elemento ds di filo agisce una forza p˜ds verticale (p peso per unità di lunghezza). Detto T0 il valore di T nel punto più basso V del filo omogeneo, (a tangente orizzontale), per la (7) è T

.

T0 cosJ

(8)

L’espressione di T in funzione della quota y del generico punto P, è, T py  C , e, scelto l’asse x ad una quota D in modo da annullare la costante arbitraria ( D T0 p ), si ha: T

py ,

(9)

ovvero la tensione in P è proporzionale alla quota y del punto P stesso. Ricerca dell’equazione della funicolare (linea secondo cui s’atteggia il filo in equilibrio): eliminando la tensione T tra le due equazioni (8) e (9), otteniamo l’equazione differenziale della funicolare: ds 1 secD y D secJ D , con . (10) dx cosD Tenendo presente (4), che nel caso piano si può scrivere: ds

§ 1  y' 2 dx ¨ con y' ©

dy · ¸, dx ¹

la (10) diviene: ds D 1  y' 2 .

D

(11)

L’integrale della (11) che soddisfi le assegnate condizioni (simmetria ed T0 p ) dà l’equazione della catenaria:

y D Ch

x

D

.

(12)

Ad D si dà il nome di “parametro della catenaria”. Nella progettazione, in cui interessa per lo più il caso in cui i punti di attacco A e B siano alla stessa quota (Fig. 15.2), il problema è prevalentemente formulato in termini di ricerca del parametro D quando si conoscano due delle dimensioni caratteristiche della catenaria, imposte a priori da esigenze di progetto. Indicate

356 Funi

con f, 2", 2L, J1, D tali caratteristiche, esaminiamo le più frequenti situazioni di progetto: a. assegnati J1 ed L, il parametro D può ricavarsi dall’equazione: L D tgJ 1 (immediata deduzione dall’equilibrio del tratto VB); (13) b. assegnati J1 ed " si mostra che è: L D log sec J 1  tg J 1 ; in B, sono: " " Ch secJ e Sh

D

D

tgJ , quindi si ricava subito D;

c. assegnati J1 e la freccia f, dalla (12) così riscritta (Fig. 15.2): y B D secJ 1 ovvero f  a D secJ 1 si ricava il parametro D d. assegnati L e f dall’equazione y B2

L2  D 2 , riscritta così:

 f  D 2 L2  D 2 si ricava subito D e. assegnati " e f dalle: ­D  f D secJ 1 ® ¯" D log secJ 1  tgJ 1 si può ricavare, con metodi numerici o grafici, l’inclinazione d’estremità J1 e quindi D f. analogamente si procede quando siano assegnati " ed L. Si veda l’esercizio che segue.

Fig. 15. 2. Equilibrio di una fune omogenea pesante. Funicolare Problema 15.1 Si determini il parametro D per una fune omogenea pesante di lunghezza 2L 40m, quando i due punti d’attacco A e B sono posti alla stessa quota e a distanza 2"= ­15 D lgsecJ 1  tgJ 1 30m. Si determini poi la freccia f della catenaria. Si ha: ® ¯20 D tgJ 1

Dividendo membro a membro:

0.75

log secJ 1  tgJ 1 tgJ 1

Essa è soddisfatta da J1 = 61°, come si trova dopo qualche tentativo (Tabella 15.1). 20 11.08 m 1.804 D secJ 1  1 11.08 u 1.063 11.78 m

Si ha inoltre: e quindi: f

D

Il caso di forti tensioni 357 Tabella 15.1. Ricerca di J1 per successive approssimazioni

J1 40° 50° 60° 61°

tgJ1 .8391 1.1918 1.7321 1.8040

secJ1+tgJ1 2.1445 2.7475 3.7321 3.8667

loge(secJ1+tgJ1) .7629 1.0107 1.3169 1.3524

log (secJ1+tgJ1)/ tgJ1 .909 .848 .761 .750

❐ Problema 15.2 Una fune omogenea pesante di lunghezza 2 L

100 m è sospesa a due

attacchi A e B posti alla stessa quota (Fig. 15.2). Sapendo che p

10 daN m e volendo

inclinazioni d’estremità J1= 45°, si determinino la distanza 2" tra gli attacchi, la freccia in campata, e la tensione agli attacchi. Dalla L D tgJ 1 abbiamo 50 = Dtgqovvero D = 50m.

Dalla 2"

2D log secJ 1  tgJ 1 si ha 2" 100 log e 1  1.414 ovvero 2" 88.12 m .

Dalla y B f  D D secJ 1 abbiamo f  50 50 2 e quindi f dalla (11) si ha TB TA p u YB 10 u 70.711 707 daN .

15.3

20.7 m . Infine,

❐

Il caso di forti tensioni

Se si aumenta progressivamente il valore del parametro D della catenaria, la tensione orizzontale T nella fune (omogenea pesante) cresce proporzionalmente (Fig. 15.3): T0

D˜p. 2

§1· Quando assume valori tali per cui ¨ ¸ e le potenze superiori possono essere ©D ¹ trascurate rispetto alla potenza prima, la catenaria tende ad una configurazione parabolica: § · x x2 x4 y D Ch # D ¨¨1    ...¸¸ , 2 4 D 24D © 2D ¹

ovvero:

y D #

x2 2D

e rispetto al più comodo riferimento Vxy:

y

Ponendovi le coordinate di B, si ha il legame: f 2 e quindi y x . "2

x2 . 2D "2

2D f ,

358 Funi

La tensione T0 nel punto inferiore V è:

T0

pD

p" 2 , 2f

e la tensione massima, agli attacchi, è per la (9): TB

TA

p ˜ D Ch

"

D

# pD 

p" 2 2D

§ "2 · p¨¨  f ¸¸ . ©2f ¹

Problema 15.3 Una fune omogenea pesante è sospesa a due attacchi A e B, posti alla stessa quota e a distanza di 22m. Si mostri che il valore del parametro cui corrisponde una freccia in campata f = 90 cm è D = 67.22 m. La fune viene poi progressivamente tesa fino a una freccia f = 30 cm: si determini il nuovo parametro e il rapporto tra le tensioni agli attacchi, nei due casi. "2 Operando nell’approssimazione parabolica, abbiamo che D 2f

dunque, nel primo caso si ha D

110 2 2.9

67.22 m

110 2 201.66 m . 2.3 L’espressione della tensione agli attacchi è: TMAX = p˜(a + f); il rapporto tra le tensioni agli attacchi nei due casi è pertanto:

nel secondo caso: D

T 1 MAX T  2 MAX

672.2  9 0.337 2016.6  3

si noti che la tensione agli attacchi è, dopo la tesatura, triplicata.

❐

Fig. 15.3. Caso di forti tensioni. Catenaria parabolica

15.4

La parabola dei ponti sospesi

Per un carico verticale w uniformemente distribuito orizzontalmente (Fig. 15.4a) le reazioni agli attacchi sono (con riferimento ai simboli in Fig. 15.4): w" . VA VB 2

La parabola dei ponti sospesi 359

Il tiro orizzontale H può essere ottenuto annullando il momento risultante di VA, 1 di H e di w"/2 rispetto al punto inferiore di campata C; si ottiene : w" 2 . 8h La tensione massima agli attacchi è: TMAX H ˜ 1  16 r 2 con r f " 1 1 y ) e per r  1 (p. es. r 8 10 TMAX # H ˜ 1  8 r 2 . H





La configurazione di equilibrio delle forze può essere determinata annullando il momento risultante, rispetto al punto P (Fig. 15.4b); si ottiene: § x x2 · 4 f ¨¨  2 ¸¸ .La funicolare è dunque una parabola. La © " " ¹ sollecitazione continua su ciascuna delle due “parabole” di sospensione dell’impalcato di un ponte sospeso, può schematizzarsi appunto come in Figura 15.4; la risultante delle forze esterne agenti sul generico elemento di lunghezza ds è w˜dx , in cui dx è la lunghezza della porzione di impalcato che compete a ds, e w costante, è l’azione esercitata sulla “parabola” dalla metà impalcato che le compete. Quando un cavo porta, oltre al carico distribuito, anche una serie di carichi verticali concentrati (p.es. come quelli trasmessi alla catenaria dalla cortina di pendini che reggono l’impalcato di un ponte sospeso) il tiro H (e, per piccole frecce anche T) può ancora essere calcolato con la relazione data poc’anzi H M camp f . La funicolare consiste in una serie di archi parabolici. Nel caso, y

w ˜ "x  x 2 2H





per esempio, di carico distribuito e di due carichi concentrati w" 2 ai terzi della luce, si ottiene: 7 w" 2 . 24 f Lo sforzo di trazione nella generica sezione è T Vt , A : sezione retta resistente. A La sezione resistente minima è: T A V t AM : sforzo ammissibile. H

V t AM

Nei trefoli l’area resistente è circa 2

1

3

della complessiva.

È utile osservare che H eguaglia il momento flettente in campata di una ideale trave semplicemente appoggiata di egual luce, diviso per la freccia f : H M camp f .

360 Funi

Nei cavi in acciaio, lo sforzo ultimo V u è dell’ordine dei 1300Mpa e quello ammissibile dell’ordine dei 350 y 680 Mpa.

(a)

(b) Fig. 15.4.a,b. Parabola dei ponti sospesi. (a) reazioni agli attacchi. (b) Equilibrio locale

15.5

Fune leggera soggetta a carichi concentrati

Studieremo ora l’equilibrio di una fune di peso trascurabile soggetta ad un sistema di forze F0F1F2…Fn+1, concentrate nei punti P0P1P2…Pn+1 (il primo e l’ultimo coincide con gli estremi del filo). Indichiamo con "i la lunghezza del tratto di filo compreso tra i punti Pi-1 e Pi , e con Ti la tensione in quello stesso tratto. Il sistema delle forze esterne F0…Fn+1 deve avere risultante nulla: quindi la poligonale delle forze (non necessariamente piana) deve essere chiusa (Fig. 15.5a).

Fune leggera soggetta a carichi concentrati 361

Lungo i tratti intermedi, dovendo valere le equazioni indefinite (3) ed essendo nulla la forza unitaria distribuita F, la tensione T è vettorialmente costante e cioè i tratti Pi-1 Pi sono rettilinei e a tensione costante. Per l’equilibrio del punto P0 il primo tratto si dispone come F0 e sopporta la tensione T0= F0. L’equilibrio del punto P1 si legge nel triangolo Q0 Q1 Q2: il tratto P1P2 si dispone come Q0 Q2 e sopporta la tensione T1 Q 0 Q 2 ,e così via. Il filo si dispone pertanto secondo il “poligono funicolare” P0P1P2…Pn. Si noti che, per essere il polo Q0 coincidente con il primo (e ultimo) vertice della poligonale delle forze, il poligono funicolare P0P1P2…Pn è poligono delle successive risultanti: ogni suo lato contiene la risultante delle forze esterne che lo precedono (o che lo seguono). In ogni punto del filo la tensione deve infatti equilibrare tutte le forze esterne che stanno da una parte.

(a)

(b) Fig. 15.5.a,b. Fune con carichi concentrati. (a) Poligonale chiusa. (b) Carichi verticali

15.5.1

Fune leggera soggetta a carichi concentrati verticali

Studieremo ora l’equilibrio di una fune inestendibile di peso trascurabile, sospesa a due attacchi P0 e Pn di estremità e soggetta ad un sistema di forze verticali P1P2…Pn applicate ad altrettanti punti P1P2…Pn della fune (Fig. 15.5b). In questo caso la funicolare è piana; siano " e d le lunghezze delle due proiezioni, orizzontali e verticale, del segmento P0Pn+1.

362 Funi

La funicolare è nota quando si conoscano i valori delle n1 coordinate angolari

Ii ed il regime delle tensioni interne è noto conoscendo le n1 tensioni Ti.

Interpretiamo l’equilibrio del filo traducendo l’equilibrio di ciascun elemento materiale Pi sotto l’azione delle forze che gli competono. Le complessive 2n2 equazioni consentono la determinazione delle (n1) incognite meccaniche e delle (n1) geometriche. Ci limitiamo ad osservare che si ottiene: s 1

tgI s

tgI1 

¦ k pk 1

H

il che consente di ricondursi alle sole incognite I1 e H.

15.6

Una osservazione comparativa su archi e funi

Consideriamo la curva funicolare secondo cui si atteggia un filo in equilibrio sotto l’azione di un dato sistema di carichi. Immaginiamo di capovolgerla e irrigidirla in questa nuova configurazione a concavità volta in basso, supponendo inoltre che tale solido possa resistere a compressione: così facendo avremo realizzato un arco funicolare, cioè una struttura in regime di pura compressione assiale (“arco puro”).Ovviamente un arco funicolare non può essere snello come una fune dello stesso materiale: in tal caso la compressione genererebbe instabilità. La curva delle pressioni nell’arco, cioè la linea che individua in ogni sezione il punto di applicazione dell’azione risultante nella sezione stessa, è quella che congiunge i punti medi delle sezioni. L’azione di compressione nell’arco determina due spinte, verso l’esterno, alle imposte A e B della struttura, con intensità inversamente proporzionale alla freccia h. La sostanziale differenza tra il regime di fune e quello di arco, può così schematizzarsi:  la fune cambia forma al cambiare del carico restando però sempre funicolare, cioè in regime di pura azione assiale;  al cambiare del carico, l’arco funicolare conserva, ovviamente, la propria forma e quindi cessa di essere funicolare sotto il nuovo carico, ovvero cessa di essere in regime di pura compressione. In altre parole, mentre il filo è funicolare per qualsiasi condizione di carico, l’arco è funicolare per una sola condizione di carico; qualsiasi altro schema di carico induce anche un regime flettente.

Applicazioni strutturali 363

15.7

Applicazioni strutturali

15.7.1

Piccoli spostamenti e deformazioni elastiche sotto carico

Consideriamo una fune in equilibrio. Siano, sotto carico distribuito (orizzontale): 'L : variazione lunghezza fune; 'f : variazione freccia; 'r : 'f , variazione rapporto freccia/luce; " H : componente orizzontale della reazione del supporto; A : sezione retta della fune. a. Carico concentrato a metà luce: spostamento in mezzeria L " 1 2r2 con 'r  1 (p. es.: r = 0.1, 0.2, 0.3,…)



si ha:



'L

Vt E

˜L ,

'f 1  2 r 2 V t ˜ V t H ˜ E , E modulo di Young " 4r E Fissato E e Vt si trova l’allungamento 'L e lo spostamento 'f in mezzeria come frazione della luce ". b. Carico verticale uniforme w in orizzontale: spostamento in mezzeria Sforzi e deformazioni variano con la posizione sul cavo. È utile introdurre una tensione media T , valor medio tra la tensione minima T1 H e la tensione massima T2 :

e:

x tensione minima

T1

H;





x tensione massima T2 H 1  8 r 2 ; 1 T1  T2 H 1  4 r 2 . x tensione media T 2 Un cavo elastico uniforme, con tensione media T0 , portante un carico 2 uniforme w lungo la luce, si configura – come detto  a catenaria . f 1· Se la catenaria è ribassata §¨ ¸ allora la tensione media lungo la luce è © " 8¹ approssimativamente costante e la catenaria è ben approssimabile con una parabola:



y

2



2 w "2 ª x § x · º « ¨ ¸ ». 2T ¬« " © " ¹ ¼»

w tiene conto del peso proprio del cavo e di carichi portati.

364 Funi

Fig. 15.6. Grandi spostamenti

"· ¸ è: 2¹

§ La massima freccia f in mezzeria ¨ x ©

w "2 utile per il calcolo di T . 2T Inoltre, se il cavo non si allunga troppo sotto carico, vale la ulteriore relazione che consente, nota lunghezza cavo L e luce ", di calcolare la freccia f e quindi T : f

1 º ª § 18 L  " · 2 » ˜ «1  ¨1  ˜ ¸ 5 " ¹ » « © ¬ ¼ Introdotti inoltre: T sforzo medio: Vt ; A

f "

§5 · ¨ ¸ © 24 ¹

1

2

deformazione media: H

Vt E

1

2

;

si ha:

1  4 r HL , EA 2

'L

HL

e 'f "

3  8r2 V t . ˜ 16 r E

15.7.2

Grandi spostamenti da carichi mobili. Stabilizzazione. Tensostrutture-a-ruota

Sotto carichi mobili sulla fune si hanno grandi spostamenti (Fig. 15.6). Per esempio un carico concentrato che passi dalla mezzeria ( a ˜ " , con a = 0.5) ad una posizione a ˜ " , con a < 0.5, produce una (grande) riduzione della freccia da h ad ha. Al fine di ridurre eccessivi spostamenti del tipo suddetto, i cavi devono essere stabilizzati mediante pretensionamento. Il pretensionamento può avvenire o per precarico del cavo o attraverso l’azione di sistemi di tenditori (Fig. 15.7).

Applicazioni strutturali 365

Fissiamo l’attenzione su quest’ultimo caso: Tensostrutture di cavi. Consistono di due sistemi di cavi ancorati rigidamente alle estremità e uniformemente pretesi mediante una serie di spaziatori verticali “leggeri” (vedi Fig.15.7 per sistemi bi-convessi e sistemi bi-concavi, per esempio a pianta circolare). La pretensione nei cavi è elevata e quindi la geometria della tensostruttura-a-ruota è determinata dalla luce della struttura e dall’altezza degli spaziatori, piuttosto che dalla freccia delle funi. L’impiego prevalente è nella copertura di grandi spazi. I cavi hanno geometria (Fig. 15.7a): 2 ­° a  b · ª x § x · º ½° y r b ®1  4§¨  ¸« ¨ ¸ » ¾, © b ¹ ¬« " © " ¹ ¼» °¿ °¯ ab

1 , e con l’ipotesi che le flessioni dei cavi dovute al carico medio " 8 siano molto inferiori a 2 a  b .

con

d

Nel caso di copertura “a ruota di bicicletta” (Fig.15.7c) la densità media di carico w sul sistema di funi ha la forma triangolare con valore massimo w0 agli attacchi (Fig. 15.7c). L’abbassamento verticale del cavo sotto carico è: 2 ª w0 " 2 ­° 1 ª 1 § r · 3 º 3 D2 § r · º ½° ; 1 4 ˜® « ¨ ¸ »  ˜  G y r ¨ ¸ »¾ « 2T °¯ 3 ¬« 8 © " ¹ ¼» 64 (D 2  12) ¬« © " ¹ ¼» °¿ in cui r ! 0 e il parametro D 2 è dato da: "

D2

64 ˜ (a  b) 2 EA " ˜ ˜ ; T "e "2

 D 2 o 0 per f o 0 ;

in cui "e è la cosiddetta “lunghezza virtuale del cavo”:

A: sezione retta "e

"

³0

3

§ ds · dx 3 ¨ ¸ . © dx ¹

La variazione nella componente orizzontale della tensione del cavo superiore sotto il carico triangolare è: 3 w0 " 2 D2 'T , 2 128 b  a D  12 ed è 'T nel cavo inferiore. Uno dei due cavi va in-bando se la variazione di tensione eguaglia la tensione media, 'T T ; ciò si verifica per il seguente valor massimo w0 del carico triangolare w0

3

128 T b  a D 2  12 . 3 "2 D2

2 ª § f · º Per una catenaria parabolica: " e # " «1  8¨ ¸ » . © " ¹ »¼ «¬

366 Funi

(a)

(b)

(c) Fig. 15.7.a-c. Tensostrutture di cavi. (a) Tensostruttira a cavi convessi. (b) Tensostruttura a cavi concavi. (c) Tensostruttura a ruota di bicicletta

Applicazioni strutturali 367

15.7.2.1 Stabilità aerodinamica I carichi aerodinamici, anche per venti di modesta velocità, costituiscono le principali cause di oscillazioni indotte, e quindi di possibili instabilità di tensostrutture. La principale prevenzione è lo shiftaggio dei periodi propri della tensostruttura per evitare risonanza con il disturbo esterno. Esaminiamo ora la sensibilità del periodo proprio della tensostruttura di Fig. 15.7a a piccoli aumenti “della freccia a” determinata da piccoli aumenti d’altezza degli spaziatori a compressione: per piccole frecce, il periodo del generico modo n verticale può approssimarsi così: T

2" n

w g T

(n = 1, 2, 3, ….), 4

in cui " è la luce, w la densità di carico verticale , g l’accelerazione di gravità, e T la tensione tangenziale massima ai supporti; nella configurazione iniziale sono subito noti: T H 1  8r 2 ; x tensione massima:



x lunghezza fune:

L

x area della sezione retta:



8 2· § ¨ 1 r ¸" ; 3 ¹ © A;

w g . T Immaginiamo ora di aumentare di 'f la freccia (aumento di altezza degli spaziatori), con un corrispondente aumento 'L della lunghezza cavo dato da: 16 'L r 'f . 3 Ciò comporta i seguenti aumenti di deformazione e di sforzo: 'L H e 'V t E ˜ H (E: modulo di Young dell’acciaio), L nonché di tensione massima:

e quindi il periodo del primo modo: T1

'T

2"

A ˜ 'V t ,

la tensione massima e lo sforzo corrispondente, dopo la correzione, : T* . A Il nuovo periodo fondamentale è: T*

T1*

4

T  'T ,

2"

V t*

w g . T*

Che qui consideriamo uniforme sulla luce, valor medio della variazione lineare.

368 Funi Esempio 15.1 Per una tensostruttura a ruota con canestro centrale spaziatore (Figg. 15.8) .1 , f 3 metri , w 7300 N/m , V t AM 350 MPa si di luce " 30.5 metri , r f " 2 ha: T 300 KN , A 8.7 cm , L 31 m , T1 3.03 secondi .

Aumentando la freccia di 'L

'f

10.16 cm , si ha un aumento di lunghezza

5.5 cm , e di deformazioni e sforzi, rispettivamente:

1.75 u 10 3 'V t 365 MPa . La tensione massima, dopo la correzione, sale a T * 615 KN

H

e il periodo fondamentale scende a T1 * 0.68 T1 .

❐

Fig. 15.8. Realizzazione di una tensostruttura a ruota di bicicletta, con canestro centrale, per la copertura di un palazzo dello sport

Applicazioni strutturali 369

15.7.3

Applicazioni strutturali: Quadro Sinottico

Esaminiamo i tre casi (vedi Figg. 15.9 e 15.10): L c H x funi poco tese: 0 , L0: lungh. iniziale; A: sezione retta !! L0 EA cosD H trascurabile Ÿ fune inestensibile (EA o f). EA cosD Al crescere dell’intensità del carico (moltiplicatore O) a pari distribuzione: H cresce linearmente; f è costante; L c H x funi tese: 0 , # L0 EA cosD H cresce meno che linearmente; f cresce; c  L0 H 0 V R H 0 x funi pre-tese: L0  c ; , VR: sforzo di rottura; H0: ˜ L0 EA E VRA pretensione. Ipotesi di inestendibilità assurda: H cresce meno che linearmente con O; f cresce con O (O: moltiplicatore del carico [34]). A parità di q(x) e di O, al crescere di H0: H aumenta; H  H0 diminuisce; f diminuisce. H0 Dall’equazione [34]: L  c GT H ˜  0   D 't E cosD V R ˜ A L0 L0

VR

1

" cosD ˜ 2 2 L0 § H · ¨¨ ¸¸ ©VR A ¹

2

T* · § x · ¨ ³0 ¨ V ˜ A ¸¸ d¨© " ¸¹ © R ¹ 1§

(con 't variazione termica, GT porzione di allungamento anelastico dovuto al tenditore, e T* taglio nella trave equivalente [34]) ove si indichi con F(H) la famiglia di rette a primo membro e con G(H) la famiglia di curve a secondo membro, il legame con H G R ˜ A è plottato in Figura 15.10.

Fig. 15.9. Fune in equilibrio

370 Funi

Fig. 15.10. Discussione dei tre casi di tensione

(a)

(b)

(c) Fig. 15.11.a-c. Tensostruttura a ruota. (a) Schema generale. (b) Carico sul canestro centrale. (c) Legame G y Q

Applicazioni strutturali 371

15.7.3.1 Tensostruttura a ruota caricata sul corpo centrale Con riferimento a Figura 15.11b si ha [34]:

G

Q " n . 2 EA sin 2D cosD  2 H 0 cos3D

La rigidezza del sistema per carichi verticali sul corpo centrale è: n EA sin2D cosD  2 H 0 cos 3D . G " La pre-trazione contribuisce notevolmente alla rigidezza per D piccoli H0 · § 2 ¨ V 0  10 ˜ E , con D 0 ¸. A ¹ © Q

15.7.4





Pre-progetto di una tensostruttura a pianta circolare

SCHEDA STA-7: PRE-PROGETTO DI UNA TENSOSTRUTTURA A PIANTA CIRCOLARE 5

Programma Tensostr.89P Considerazioni generali

Il programma Tensostr calcola le dimensioni minime degli elementi principali di una tensostruttura circolare (Fig. 15.12): anello esterno compresso (cls, Fig.15.13), anello interno in trazione, tensostruttura di cavi radiali parabolici, lastre di copertura nei settori circolari. In particolare, date le dimensioni della struttura, il carico agente e le caratteristiche dei materiali da impiegare (calcestruzzo ed acciaio), fornisce il valore delle azioni nei cavi e nel calcestruzzo e le dimensioni di massima da assegnare ai componenti. Si ipotizza un carico superficiale w0 costante su tutta la copertura. Qui di seguito riassumiamo, per chiarezza, il procedimento di calcolo seguito. Dati in input: R: raggio esterno; r: rapporto freccia / diametro; Sc: numero di settori circolari; w0: carico sulla copertura [F/L2]; Vcls,amm: resistenza ammissibile cls (calcolata a partire da Rck) Vs,amm: resistenza ammissibile acciaio (calcolata a partire dal tipo di acciaio)

5

Si ringrazia la Dott.ssa Maria Veronica Latella per la collaborazione prestata alla stesura di questo programma.

372 Funi

x x x

Grandezze calcolate: h r ˜ 2R , freccia (dislivello tra i due anelli); A sc 2 S / Sc , ampiezza angolare di ogni settore; c

R * A sc , lunghezza dell'arco di anello esterno relativo ad un settore della

x

copertura; § 8r2 · ¸ , lunghezza richiesta per il cavo parabolico; L 2R ˜ ¨¨1  3 ¸¹ © 1 V ˜ c ˜ w 0 ˜ R , reazione verticale agli attacchi dei cavi; 2 c ˜ w0 ˜ R H , reazione orizzontale agli attacchi, pari alla tensione orizzontale 12 ˜ r in campata; 1  8r 2 ˜ c ˜ w 0 ˜ R , tiro massimo nei cavi (tangente agli attacchi); Tmax 12r - A arcos H / Tmax , angolo rispetto all'orizzontale formato dai cavi agli

x

attacchi A res Tmax / V s , amm , area della minima sezione resistente del cavo in acciaio;

x

A

x

M

x

H

x

t0

H / c , tiro per unità di lunghezza dell'anello perimetrale;

x

C

t 0 ˜ R , compressione nell'anello perimetrale;

x

A cls

x x x

x





1.5 ˜ A res , area del trefolo; w0 ˜ c ˜ R 2 , momento flettente in mezzeria cavo; 6 M / h ; tiro orizzontale nel cavo;

C / V cls , amm , area minima calcestruzzo.

(a)

(b) Fig. 15.12. a,b. Tensostruttura circolare. (a) Visione dell’intradosso con il canestro centrale. (b) Sezione diametrale

Applicazioni strutturali 373

(a)

(b) Fig. 15.13.a,b. Tensostruttura circolare. (a) Prospettiva complessiva con anello esterno e anello interno. (b) Regime sull’anello esterno compresso

Guida all'uso del programma 1) 2)

3)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando TENSOSTR (), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3). Premere ENTER: dopo qualche secondo durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma (S.4). premere ENTER per accedere al menu principale.

374 Funi

4)

5)

6)

7)

8)

S.1

S.2

S.3

S.4

Le scelte a disposizione dell'utente sono divise in tre menu (S.5): il primo è relativo alle caratteristiche dei materiali, il secondo guida all'immissione dei dati sulla struttura, il terzo esegue i calcoli e visualizza i risultati. Come in tutti gli altri programmi, il menu F1:File serve solo per uscire dal programma e per visualizzare la data e la versione. Seguiamo quella che ormai è diventata la nostra procedura standard: percorriamo tutte le voci di menu nell'ordine con cui sono visualizzate sulla calcolatrice. Premere F2:Materiali, 1:Calcestruzzo (S.6). Inserire il valore della resistenza caratteristica cubica del calcestruzzo utilizzato per la struttura. Il valore 25 MPa è predefinito in quanto valore molto comune, ma è possibile immettere qualsiasi espressione. Si ricorda che la normativa italiana pone dei limiti al valore di Rck (si veda la scheda sul "progetto di strutture in calcestruzzo armato"). Premere ENTER per confermare il dato. Viene visualizzato il valore della resistenza di progetto, ridotto di un fattore 0.7, per tenere conto di possibili effetti di instabilità nell'anello compresso. Premendo F2:Materiali, 2:Acciaio, si accede alla scelta del tipo di acciaio. Sono indicati i tre acciai il cui uso è consentito dalla normativa italiana. Adottiamo, per esempio, un Fe 430 premendo 2 (S.10). Il programma visualizza le caratteristiche meccaniche principali di tale tipo di acciaio (S.11). Premere ENTER per tornare al menu.

S.5

S.6

Applicazioni strutturali 375

S.7

S.8

S.9

S.10

S.11

S.12

9)

Per inserire le dimensioni della struttura, premere F3:Struttura, 1:Geometria (S.12). 10) Supponiamo di voler progettare una piccola struttura di 20 metri di diametro. il rapporto r confronta la freccia dei cavi con il diametro della costruzione circolare, mentre l'ultimo campo rappresenta il numero dei settori in cui si vuole che sia divisa la copertura (S.13). I valori tra parentesi sono indicativi, ma non strettamente vincolanti. 11) Inserire il carico: F3:Struttura, 2:Carichi. Prestare attenzione alle unità di misura: per avere valori di un ordine di grandezza comodo, infatti, il programma effettua tutte le conversioni in maniera nascosta all'utente, che deve solo inserire i dati nell'unità di misura richiesta. Analoghe considerazioni valgono, come vedremo tra poco, anche per le schermate di output.

S.13

S.14

376 Funi

12) Passiamo alla elaborazione dei dati inseriti: premere F4:Progetto, 1:Valori geometrici (S.15). Il programma visualizza alcune grandezze direttamente calcolabili dai dati d'ingresso: la freccia in metri, l'ampiezza in gradi e in metri di ogni settore, la lunghezza del cavo e l'inclinazione T dei cavi in corrispondenza dell'anello esterno. 13) La pressione di F4:Progetto, 2:Reazioni porta alla visualizzazione dei valori massimi di sollecitazione nei cavi d'acciaio. Si considera un carico lineare triangolare, variabile dal valore w1 = w0˜Lsett all'esterno fino ad annullarsi al centro della struttura. Il tiro nel cavo viene scomposto nelle due componenti verticale ed orizzontale (S.17). 14) Il menu successivo (F4:Progetto, 3:Cavo, S.18) fornisce l'area minima ed il diametro minimo del cavo d'acciaio. Viene anche calcolata l'area minima del trefolo corrispondente, pari a 1.5 volte l'area minima d'acciaio, e quindi il diametro del trefolo. 15) Per quanto riguarda la trave circolare esterna in calcestruzzo, viene calcolato il valore della compressione, come mostrato in S.19. Naturalmente, per eseguire il calcolo vanno premuti i tasti F4:Progetto, 4:Anello esterno. 16) Infine (F4:Progetto, 5:Sezione cls) viene fornito il valore dell'area minima da assegnare alla sezione della stessa trave circolare, pensata non armata (S.20). 17) A questo punto è possibile modificare, se necessario, i dati e rieseguire i calcoli. Per uscire dal programma premere F1:File, 2:Esci.

S.15

S.16

S.17

S.18

S.19

S.20

16.

Piastre

16.1

Regime statico: quadro sinottico

Consideriamo la pianta schematizzata in Figura 16.1. Forniamo nel seguito un quadro sinottico del regime statico. x Relazioni spostamenti-deformazioni: w[ wK w[ Hx J xy ;  wy wx wx w] w[ wK Hy J xz ;  wy wx wz

Hz

w] wz

J yz

wK w] .  wz wy

(a)

(b) Fig. 16.1.a,b. Piastra rettangolare. (a) Geometria e assi c.o. (b) Campo di spostamenti

378 Piastre

Fig. 16.2. Azioni interne di momento flettente sul tassello elementare

x Deformazioni nell’intorno del generico Q (x y z):

Hx

z

Hy

z

w 2] p

;

wx 2 w 2[ p

;

wy 2

J xy

2 z

J yz

0.

w 2] p w xw y

; J xz

0;

1

x Sforzi nel generico Q (x y z) :

Vx



Ez 1 Q 2

§ w 2] p w 2] p ¨  Q ¨ wx 2 wy 2 ©

· ¸; ¸ ¹

Vy



Ez 1 Q 2

§ w 2] p w 2] p ¨  Q ¨ wy 2 wx 2 ©

· ¸; ¸ ¹

Ez w 2] ˜ W yx . 1  Q 2 wx wy x Azioni interne di momento sul tassello elementare nell’intorno del generico P(x, y) del piano medio: § w 2] p w 2] p ·¸ mx  B ¨ 2  Q ¨ wx wy 2 ¸¹ © § w 2] p w 2] p ·¸ E ˜ s3 , posto B ; my  B ¨ 2  Q 2 2 ¸ ¨ wy x w 12 ( 1  Q ) ¹ ©

W xy

m xy

1



m yx

 B 1  Q

w 2] p wx wy

Le leggi di Hooke danno: V x

W xy

G ˜ J xy

E ˜ J xy 2(1  Q )

.

E H x  QH y ; V y E 2 H y  QH x ; 1 Q 2 1 Q E W yx , con G , Q : coefficiente di Poisson. 2(1  Q )

Regime statico: quadro sinottico 379

Fig. 16.3. Equilibri angolari locali

x Azioni taglianti: ­ °t y ° ® °t °¯ x

equilibrio a rotazione

­ °t x °° ® ° °t y °¯

wmy wy



wmxy wx wmyx

wmx  wx wy

attorno x attorno y

§ w 3] p w 3] p ·¸ B ¨ 3  ¨ wx wx wy 2 ¸¹ © § w 3] p w 3] p B ¨ 2  ¨ wx wy wy 3 ©

· ¸ ¸ ¹

x Relazione tra carico e spostamento verticale ] p ( x, y ) del generico punto P(x, y) del piano medio: p ( xy ) B

w 4] ( xy ) w 4] ( xy ) w 4] ( xy ) ,  2 2  wx 4 w xw y wy 4

l’equazione di Sophia Germain (Fig. 16.4): ’ 4] ( x , y )

p( x , y) . B

 p( x , y ) Fig. 16.4. Equilibrio verticale locale

wt x wt y  wx wy

380 Piastre

x Condizioni al contorno per piastre rettangolari:  lato appoggiato AB (Fig. 16.5): ]x a 0

 mx x 

§ w 2] w 2] ·¸ ¨  Q ¨ wx 2 wy 2 ¸¹ x ©

o

0;

(2)

a

lato incastrato AB (Fig. 16.5):

]x

a

M x x 

a

0

(1)

(1)

0

a

0

§ w] · ¨ ¸ © wx ¹ x

o

0;

(2)

a

lato libero AB (Fig.16.5):

 mx x

a

0

w mxy § ¨¨ t x  wy ©

· ¸¸ ¹x

§ w 2] w 2] ¨¨ 2  Q 2 wy © wx

o

0

· ¸¸ ¹x

§ w 3] w3 ¨¨ 3   2  Q wxwy 2 © wx

o

a

(1)

0 a

· ¸¸ ¹x

0.

(2)

a

x Piastra appoggiata bilateralmente: osservazione sulla reazione di bordo al vertice (Fig. 16.6). lungo AB: reazione radente verticale (> 0 verso l’alto) rx

w mxy § ¨¨ t x  wy ©

· ¸¸ ¹r

0

o

rx

a

§ w 3] w 3] ¨¨ 3   2  Q wxwy 2 © wx

· ¸¸ ¹x

. a

Al vertice B: le forze verticali corrispondenti a mxy dy e myx dx si sommano sullo spigolo R

m xy  m yx

o

Fig. 16.5. Piastra rettangolare

R

21  Q B

w 2] . wxwy

Regime statico: quadro sinottico 381

Fig. 16.6. Reazione. Effetti di bordo

x Osservazioni comparative tra regimi di piastra e di trave: piastra a spessore costante:

w 4] w 4] w 4] 2 2 2  4 4 wx wx wy wy

p( x , y) § · Es 3 ¨¨ ¸ 2 ¸ © 12 (1  Q ) ¹

trave a sezione costante (Fig. 16.7): equilibrio e linea elastica: dM ½ T ° dy ° ¾ dT q ° °¿ dy

d2M dy 2

q

;

d 2] dy 2



M EI



M . s 3b 12

Se s e b sono costanti, il legame tra spostamento e carico diventa: d 4] dy 4

q( y ) . s 3b E 12

Fig. 16.7. Trave a sezione costante

382 Piastre

Si hanno le seguenti corrispondenze tra rigidezze: Trave:

EI

Piastra: ­ °E ° s 3b ° ®I 12 ° ° °¯1

o  bo 1 o

½ E ° ° s3 ˜1 ° ¾ 12 ° 1 ° ° 1 Q 2 ¿

B

Es 3 12 (1  Q 2 )

Il rapporto delle rigidezze flessionali (Fig. 16.8): striscia di piastra striscia isolata

1 !1. 1 Q 2

Nella piastra è impedita 1 §H >V x  Q V y  V z @·¸ . ¨ x E © ¹

la

Fig. 16.8. Striscia di piastra e striscia isolata

contrazione

trasversale

della

striscia

17.

Volte sottili in regime di membrana

17.1

Generalità

La membrana ideale può essere visualizzata come un foglio materiale in grado di sviluppare tensione in tutte le direzioni (Fig. 17.1a). Indicatone con s lo spessore, al decrescere di s la rigidezza flessionale tende ad annullarsi e quindi anche flessione e taglio trasversale (non ammette quindi azioni “di piastra”). Anche la resistenza a compressione è trascurabile. La membrana è dunque l’equivalente 2-D della fune, e si adatta per forma al carico cui è sottoposta. Il carico q per unità di area della membrana ammette in generale, oltre alla componente normale q3, una componente che agisce nel piano tangente alla superficie (q1, q2, Fig. 17.1) e che è equilibrata da sforzi assiali e tangenziali di membrana che pure giacciono nel piano tangente. Dunque, nel caso delle membrane la maggiore stabilità, rispetto alle funi, è dovuta al fatto che ove la configurazione non consenta di supportare l’intero carico con azioni di fune nelle due direzioni, può intervenire l’azione di taglio senza richiedere un adattamento della forma.

17.2

Equilibrio di membrana

Con riferimento agli assi locali x1, x2, x3 in Fig. 17.1, alle azioni interne membranali T12, T21, S1, S2 [FL-1], e al carico q unitario [FL-2] si scrivono le seguenti equazioni: attorno x3: T21 T12 T ; wS1 wT dx1  dx2 0 ; wx1 wx2 analogamente in direzione x2, dD · dD · § § in direzione x3 (Fig. 17.1c): q3dx1dx2  2 ¨ S1dx2 ¸ ¸  2 ¨ S 2 dx1 2 ¹ 2 ¹ © © dD dD 2 . q3 S1 1  S 2 dx1 dx2

in direzione x1:

q1dx1dx2 

0

384 Volte sottili in regime di membrana

(a)

(b)

(c) Fig.17.1. a-c. Volta sottile. (a) Schema 3-D e assi. (b),(c) Equilibri locali

Equilibrio di membrana 385

Si ha quindi il seguente sistema delle equazioni indefinite: wS1 wT   q1 0 wx1 wx2 wT wS 2  q2 wx1 wx2 S1 S 2  q3 . R1 R2

(1)

Per una superficie cilindrica (Fig. 17.2), oppure conica, R1 o f e il carico normale diventa: S2 . q3 R2 17.2.1

Regime di membrana in superfici di rivoluzione

Le direzioni principali di curvatura in una superficie di rivoluzione coincidono con la direzione longitudinale e meridiana e, rispettivamente, con quella a 90 gradi rispetto alla precedente. Se poi c’è simmetria di carico e di vincoli, i tagli S in direzione meridiana si annullano poiché, per simmetria, non c’è scorrimento di una sezione meridiana rispetto all’altra (Fig. 17.3). In tale situazione, le direzioni principali di sforzo coincidono con quelle principali di curvatura; posto T1 TE la forza meridiana per unità di lunghezza e T2

T la forza circonferenziale, con R1

e rispettivamente R2 i raggi meridiano e principale, dalla equazione (1) sopra introdotta si trae: TE TT  (2) q3 R1 R2 e, nel caso particolare di una sfera di raggio R: 1 q3 TE  TT . R 1 Detta Q3 la risultante verticale del carico q , dalla eguaglianza di tale forza con la risultante verticale delle forze TE applicate al contorno circolare del settore di raggio r, si ha subito(Fig. 17.3): Q3 TE (3) 2S R2 sin 2 E e da (2) e (3): TE · § (3)I TT R2 ¨¨ q3  ¸¸ . R 1 © ¹





Nel caso di membrana sferica: Q3 , TT q3 R  TE . TE 2S R sin 2 E 1

Per la simmetria ipotizzata, le componenti orizzontali di q si equilibrano.

386 Volte sottili in regime di membrana 2

Stabilizzazione. Avviene per pre-tensionamento della membrana a valori di tensione sicuramente superiori a quelli massimi di compressione in esercizio sotto carico.

Fig. 17.2. Volta sottile cilindrica

Fig. 17.3. Regime di membrana in superfici di rivoluzione 2

Si realizza con forze esterne al contorno, nel caso di membrane aperte (a sella) e con pressioni interne nel caso di membrane chiuse.

Equilibrio di membrana 387

17.2.2

Volte cilindriche in regime di membrana (Fig. 17.2)

In questo caso le componenti di carico si particolarizzano a (Fig. 17.2 e 17.4): q1

q3

0

q cos T ,

con q carico verticale

il set di equazioni si riduce a: ­ wS1 wT 0 ° wx  wx 2 ° 1 ° wT wS 2  q 2  x2 0  ® ° wx1 wx2 ° S2 q3  x2 . °R ¯ 2

(4) (5) (6)

Dalla (6): S 2  x1

R2  x2 ˜ q3  x2

 R2  x2 ˜ cosT  x2 ˜ q  x2

Dalla (5): wT wx1

 q 2  x2 

dS 2  x 2 , dx2

(7)

e integrando rispetto a x1 si ottiene infine: T  x1 , x2

K  x2 ˜ x1  A x2 ,

(8)

in cui K (•) indica simbolicamente il secondo membro della (7), che è funzione nota di x2, e A(x2) è la costante di integrazione rispetto a x1. Pertanto è: wT x1 , x2 wx2

x1

dK  x2 d A x2  dx2 dx2

e, tenutone conto, dalla (4) si ha: S1

³

wT dx1  B  x2 wx2

S1  x1 , x2 



dK  x2 x12 d A x2  x1  B  x2 dx2 2 dx 2

1 dK x2 2 d Ax2 ˜ x1  x1  Bx2 . 2 d x2 d x2

Le condizioni al contorno danno:  nel piano trasversale (verticale) in mezzeria ( x1 dalla simmetria T  x1

(9)

0 , Fig. 17.4):

0, x2 0 e dalla (8): A x2 0 ,

 ai timpani ( x1 r " , Fig. 17.4): 2 nell’ipotesi di rigidità nel loro piano, e cedevolezza infinita fuori dal piano:



S1 x1

r " , x2 2



0 e, dalla (9): B x2

1 dK  x2 " 2 . ˜ 2 dx2 4

388 Volte sottili in regime di membrana

Si ha pertanto, concludendo: · 1 dK x2 §¨ " 2 dS x ˜ ¨  x12 ¸¸ , con K  x2 q2  x2 2 2 ; 2 d x2 © 4 d x2 ¹

S1  x1 , x2

(Fig. 17.5a)

S 2  x2  R2 x2 q x2 cos-  x2 ;

(Fig. 17.5b)

T  x1 , x2

(Fig. 17.5c)

K  x2 ˜ x1 .

Fig. 17.4. Volta cilindrica: pianta

17.2.3

Trave di bordo

Sulla trave di bordo x2 S 2  x2 T  x1 , x2

x2 :

x2  R2 x2 q x2 cos-  x2 ª dS º x2 « q2 x2  2 » ˜ x1 dx2 ¼ ¬

(Fig. 17.6)

e indicato con K  x2 il fattore in parentesi quadra: N  x1

³

" 2 x1

T [ x2 d[



ª " 2 º 1 K  x2 «§¨ ·¸  x12 » . 2 «¬© 2 ¹ »¼

(Fig. 17.6)

Equilibrio di membrana 389

Nel funzionamento “ad arco” i timpani (Fig. 17.2) sono inerti e i carichi sono trasmessi alle travi di bordo: T

0,

S1

0,

S2 z 0 .

Nel funzionamento “a trave” le travi di bordo non sono inflesse >S 2  x2 0@ e i carichi sono trasmessi solo ai timpani. Per dettagli sulla influenza della forma dei timpani sul regime statico si veda [34].

(a)

(b)

(c) Fig. 17.5. Volta cilindrica in regime di membrana. (a),(b),(c) Regimi locali

Fig. 17.6. Trave di bordo

Appendici

18.

Appendice: scheda STA-3

Appendice del Capitolo 12

SCHEDA STA-3: STATI ELEMENTARI DI SOLLECITAZIONE Programma Sezione.89P Il problema di de Saint Venant: richiami Ipotesi:  solido cilindrico privo di vincoli ovvero osservato "lontano" dai vincoli (almeno due volte la maggior dimensione della sezione);  sistema di riferimento con origine nel baricentro della sezione, due assi coincidenti con gli assi principali d'inerzia, e il terzo (asse z) con l'asse di traslazione;  materiale omogeneo, isotropo ed elastico lineare;  forze di volume nulle, deformazioni anelastiche e trazioni superficiali nulle. Sotto queste ipotesi esistono soluzioni in forma chiusa per gli sforzi longitudinali e, in alcuni casi anche per gli sforzi tangenziali. Nella maggior parte dei casi è necessario ricorrere a trattazioni approssimate (in particolare si adotta la soluzione di Yourawsky per la componente tagliante). Le espressioni risultanti, particolarizzate ai casi di maggiore frequenza progettuale (azioni agenti: azione assiale N, forza tagliante T, e momento flettente Mx), sono: Vz

N M x ( z)  ˜y A Ix

W zs



T S * (s )  Ix b( s )

nelle quali:  A: area della sezione; Ix: momento d'inerzia rispetto all'asse x;  S*(s): momento statico rispetto ad una coordinata curvilinea con origine in un estremo della sezione; b(s): spessore della sezione. Il problema della torsione per la sezione rettangolare piena ha una soluzione aperta espressa come sviluppo in serie (già de Saint Venant fornì una serie di coefficienti, calcolati per alcuni valori del rapporto tra i due lati). Lo sforzo

394 Scheda STA-3 tangenziale massimo, in corrispondenza della mezzeria del lato più lungo, si esprime come: MT , con k E ˜ a ˜ b 2 Vz k in cui a > b, sono le dimensioni dei lati e il coefficiente E è dato dalla seguente tabella (per i valori non tabellati si opera interpolando linearmente): Tabella 18.1. Coefficiente Evs a/b a/b E a/b E

1 0.208 3 0.267

1.2 0.219 4 0.282

1.5 0.231 5 0.291

2 0.246 10 0.312

2.5 0.258 f 0.333

Se il rettangolo è piuttosto allungato (a/b>2y3), tale valore si considera costante su tutto il lato più lungo, con l'eccezione della zona d'estremità. Il diagramma degli sforzi varia quindi linearmente lungo la sezione da Wmax a Wmax, annullandosi sull'asse. Per rettangoli molto allungati (a/bof) il coefficiente E vale 1/3. Considerazioni generali Il programma SEZIONE determina l'andamento degli sforzi su una sezione rettangolare del solido sotto le ipotesi poste da de Saint Venant. E' possibile inserire una qualsiasi combinazione di sollecitazioni: azione assiale, taglio, momento flettente e momento torcente. Valgono le normali convenzioni della Scienza delle Costruzioni. Due diverse schermate visualizzano le caratteristiche geometriche della sezione (area, momento d'inerzia, coordinate del baricentro) oppure gli sforzi massimi generati dalla condizione di carico. In particolare vengono forniti: lo sforzo assiale al lembo superiore della trave (positivo se di trazione), lo sforzo assiale al lembo inferiore, la posizione dell'asse neutro e il valore dello sforzo di taglio massimo (nel caso di sezione omogenea si verifica in corrispondenza del baricentro). Inoltre viene fornito, se presente, il valore massimo dello sforzo tangenziale di torsione che, nel caso di sezione rettangolare, si manifesta a metà del lato più lungo, nella direzione del lato stesso, con verso fornito dal segno del momento torcente. Nel caso di presenza contemporanea di momento torcente e di taglio, andranno sommati vettorialmente gli sforzi tangenziali generati da ciascuna delle due sollecitazioni. Guida all'uso del programma 1) 2)

Accendere la calcolatrice e, se necessario, portarsi nello schermo HOME (S.1). Lanciare il programma digitando sulla linea di comando SEZIONE(), oppure tramite 2nd[VAR-LINK], come mostrato nella S.2. In questo caso, ricordarsi di chiudere la parentesi nella riga di comando (S.3).

Scheda STA-3 395

3) 4) 5)

S.1

S.2

S.3

S.4

Premere ENTER: dopo qualche secondo durante il quale lampeggia la scritta BUSY nell'angolo in basso a destra, inizia l'esecuzione del programma (S.4). Premere ENTER dopo aver preso visione della schermata iniziale. Lo schermo si pulisce e appare il menu del programma (S.5). Selezioniamo il menu Geometria, premendo F2. Si apre la finestra delle scelte successive (S.6). Nella versione attuale l'unica sezione disponibile è quella a forma rettangolare, quindi è inutile selezionare :Forma. Versioni più aggiornate del programma prevederanno l'utilizzo di sezioni circolari o ad I. Passiamo quindi subito all'inserimento delle dimensioni dei due lati, selezionando 2:Dimensioni.

6)

7)

8)

Nella finestra immettere i due valori: 100 per la larghezza e 150 per l'altezza (S.7). Se la calcolatrice si porta in alpha mode, ossia scrive caratteri invece di numeri, premere alpha prima di inserire i dati. Premere ENTER per confermare i valori e tornare al menu, oppure ESC se si desidera annullare le modifiche apportate. Premere ENTER per chiudere la finestra e salvare i dati. Il programma disegna la sezione in scala, indicando anche le misure appena inserite (S.8). Ripetere i passi 5 e 6 nel caso che qualche dato sia stato inserito sbagliato. Selezionare ora F3:Azioni, per inserire i dati sulle sollecitazioni agenti sulla sezione (S.9). Selezionare 1:Inserisci.

S.5

S.6

396 Scheda STA-3

S.7

S.8

S.9

S.10

9)

Esaminiamo il caso di una sezione semplicemente inflessa. Inseriamo il valore 150'000 come momento flettente, lasciando nulli tutti gli altri valori. (S.10). Le convenzioni di segno sono quelle solite della Scienza delle Costruzioni. Premere ENTER due volte per proseguire. 10) La sollecitazione viene disegnata nella parte sinistra dello schermo insieme al tronco di trave su cui agisce (S.11). La parte destra dello schermo è riservata al tracciamento degli sforzi. 11) La S.12 mostra il contenuto del menu F4:Calcoli, dal quale è possibile visualizzare i dati sulla geometria della trave in esame, oppure sulle caratteristiche di sforzo agenti sulla sezione. Esaminiamo il contenuto della schermata sulla geometria. Premere 1:Geometria. 12) Il programma fornisce il valore dell'area, del momento d'inerzia e la posizione del baricentro. Le unità di misura sono coerenti con quelle utilizzate per le dimensioni: se i lati sono stati inseriti in cm, l'area è fornita in cm2 e il momento d'inerzia in cm4, mentre le coordinate del baricentro sono in cm. Premendo ENTER oppure ESC si torna al menu principale. Passiamo ad esaminare il valore degli sforzi, premendo F4: Calcoli, 2:Sforzi.

S.11

S.12

Scheda STA-3 397

S.13

S.14

S.15

S.16

13) Questa volta vengono visualizzati (S.14): il valore dello sforzo al lembo superiore, il valore dello sforzo al lembo inferiore (in questo caso uguali in valore assoluto ma di segno opposto), la posizione dell'asse neutro (il punto in cui la V assiale si annulla), il valore della W massima (che si verifica in corrispondenza del baricentro G). Le unità di misura sono, anche in questo caso, coerenti con quelle inserite come dati. Se le sollecitazioni sono in kgf , e i momenti in kgf ˜ cm, gli sforzi saranno espressi nel sistema tecnico come kgf / cm2. 14) Premendo ENTER viene disegnato l'andamento degli sforzi e si torna al menu principale (S.15). Premendo invece ESC, il diagramma degli sforzi non viene tracciato. L'ultima voce dei menu F2, F3 ed F4, che è sempre DISEGNA, serve per costringere il programma a ridisegnare una delle 3 schermate, rispettivamente: la sezione con le misure, le sollecitazioni agenti, i diagrammi degli sforzi. 15) Aggiungiamo una sollecitazione assiale di compressione sulla trave: selezionare F3:Azioni, 1:Inserisci. Viene visualizzata la schermata con i dati attualmente memorizzati. lasciando inalterato il valore del momento, portarsi con i tasti di direzione nella terza riga (azione assiale) e inserire -6800 (S.16). Ricordarsi che il segno di negazione sulla TI-89 è diverso dal segno di sottrazione, quindi per inserire un numero negativo è necessario premere il tasto alla sinistra del tasto ENTER, quello indicato dal simbolo (-). 16) Premere ENTER due volte per salvare i valori e tracciare le sollecitazioni (S.17). 17) Verifichiamo l'andamento degli sforzi in queste condizioni: Selezionare F4:Calcoli, 2:Sforzi. Lo sforzo al lembo superiore resta di compressione, mentre quello al lembo inferiore cambia segno, passando da uno sforzo di trazione a uno sforzo di leggera compressione (S.18). La posizione dell'asse neutro si sposta fuori dalla sezione, che infatti è interamente compressa,

398 Scheda STA-3 mentre gli sforzi tangenziali restano nulli non essendoci sollecitazione tagliante. 18) Premendo ENTER viene visualizzato il diagramma degli sforzi, che conferma quanto detto (S.19). 19) Passiamo ad esaminare gli sforzi tangenziali, cominciando dalle W generate da una sollecitazione tagliante. Selezionare F3: Azioni, 1:Inserisci, e aggiungiamo

20)

21) 22)

23)

un taglio positivo pari a 7'000 (S.20). Possiamo lasciare immutati tutti gli altri valori. Premere ENTERdue volte per confermare i valori inseriti. Il disegno viene aggiornato anche con la nuova sollecitazione (S.21). Anche in questo caso esaminiamo il valore degli sforzi risultanti, premendo F4:Calcoli, 2:Sforzi. La S.22 mostra che il valore massimo assunto dalle W in corrispondenza del baricentro è di 0.7. Premendo ENTER viene anche disegnato il diagramma degli sforzi: si nota che il diagramma delle V è rimasto invariato, mentre si è aggiunto il diagramma parabolico delle W, sul quale sono indicati con un freccia la direzione ed il verso degli sforzi. Inserendo anche un momento torcente, i diagrammi non vengono modificati, e viene solamente aggiunta una schermata (S.24) che indica il valore massimo degli sforzi tangenziali di torsione. Tale valore agisce al lembo esterno del lato più lungo, con direzione parallela al lato. Nel caso in esame, per esempio, la W da torsione va sommata alla W da taglio, su un lato con il segno positivo, e sull'altro con il segno negativo. Al lembo superiore ed inferiore, essendo la W da taglio nulla, agisce solo la W da torsione, in direzione parallela al lato più corto, ma con un valore, inferiore a quello fornito dal programma, dipendente dal rapporto b/h.

S.17

S.18

S.19

S.20

Scheda STA-3 399

S.21

S.22

S.23

S.24

Esercizio Si vuole determinare la distribuzione degli sforzi sulla sezione di base di un angolare in acciaio utilizzato per fissare una trave inclinata di legno lamellare ad una mensola in calcestruzzo armato. Lo spessore della lamiera è di 8 mm, la larghezza dell'angolare è pari a 200 mm. Le azioni agenti sulla sezione in esame sono le seguenti (si tenga presente che il compito della squadretta è di trasmettere solamente la componente parallela alla trave, mentre la componente perpendicolare viene assorbita direttamente da un appoggio in legno): N = -4971.7 N T = -13810.3 N M = -5.4253286 kN m = -5425328.6 N mm. Si lascia al lettore verificare che:  gli sforzi longitudinali variano linearmente tra: -104.83 MPa e 98.6 MPa.  gli sforzi taglianti hanno un andamento parabolico che varia da 0 ad un massimo di 12.95 MPa in corrispondenza del baricentro. Nel caso di sezione sottile in acciaio è comune calcolare il valore degli sforzi di taglio in modo ancora più approssimato come sforzo medio sulla sezione: T/A = 8.63 MPa. Ricordando l'area di una sezione parabolica, è immediato ricavare che il rapporto tra i due valori è sempre pari 2/3. In questo caso, comunque, la predominanza degli sforzi longitudinali rende questa differenza trascurabile.

19

Rapporti tra scienze e ingegneria tra XVIII e XX secolo. Gli sviluppi dell’automatica nel XX secolo

19.1

Un primo sguardo ai rapporti tra matematica, scienze applicate e tecniche

19.1.1

Matematica e progresso tecnologico

È impossibile pensare al progresso tecnologico raggiunto dalla scienza e ingegneria del XIX e XX secolo senza il background matematico disponibile all’inizio dell’800 e sviluppato nel corso del XIX secolo: – l’influenza del calcolo infinitesimale su tutta la meccanica classica e meccanica applicata, fino ai successi dell’ingegneria spaziale, – l’influenza della matematica del continuo sui fondamenti e sviluppi dell’elettromagnetismo, – l’influenza dell’analisi armonica e delle tecniche di trasformazione integrale sulla meccanica delle vibrazioni, sugli sviluppi in ingegneria elettrica ed elettronica, – l’influenza della probabilistica sui più moderni ed affidabili approcci progettuali nelle ingegnerie (per esempio, nell’ingegneria strutturale, nell’ingegneria sismica), – l’influenza delle costruzioni matematiche del XIX secolo (in particolare quelle della 2a parte del secolo) sui più importanti sviluppi della fisica-matematica e della fisica delle particelle; qualche esempio: – le geometrie non euclidee di Riemann sulla teoria della relatività – la teoria dei gruppi (Evariste Galois, Niels Abel, poi Felix Klein...) ha fornito, nella 2a metà del XX secolo importanti strumenti per l’ordinamento e la classificazione degli spettri atomici, – teorie degli iperspazi (Hilbert): grandi influenze sugli sviluppi della teoria moderna dei controlli automatici, sulla formalizzazione di base nella costruzione di reattori a fusione – sistemi di equazioni differenziali a derivate parziali regolano i modelli su cui fondano le previsioni atmosferiche a grande scala, – costruzioni apparentemente del tutto astratte (per fare un esempio: teoremi sull’esistenza di punti fissi di trasformazioni e di orbite periodiche) si sono rivelate preziose nella ideazione e progetto di acceleratori di particelle,... – sorprendente: il fisico tedesco Heinrich Hertz verifica per primo il modello matematico che James Clerk Maxwell (1831-1879) aveva istituito per l’elettromagnetismo, sperimentando l’esistenza delle onde radio, – e ancora, altrettanto sorprendente: nella prima metà del XX secolo, il lavoro del fisico Erwin Schroedinger sull’approccio quantistico alla meccanica pog-

402 Rapporti tra scienze e ingegneria

gia su una analogia formale tra la teoria dei raggi luminosi e la teoria delle orbite di particelle, analogia stabilita 90 anni prima dal matematico irlandese William Rowan Hamilton (1805-1865) e poi sviluppata da Maxwell e Hertz nella teoria delle onde luminose. L’elenco potrebbe proseguire.

W.R. Hamilton

Mi propongo anzitutto di delineare, sinteticamente, un quadro organico delle interazioni tra contenuti, tempi e luoghi della Matematica e quelli delle Scienze fisiche e d’ingegneria nel cruciale segmento temporale che va dai primi decenni del XIX secolo alla seconda metà del XX; tento altresì di ricollegare il fondamentale trasferimento di conoscenza dalle scienze pure a quelle applicate – su cui poggia l’impressionante sviluppo delle tecniche del XX secolo – a meccanismi e circostanze sociali ed economiche i cui prodomi si intravedono già nel ’500-’600 e che vanno a maturazione nell’arco del XIX secolo. 19.1.2

Le origini della nuova era: lineamenti

Nascita e sviluppo delle moderne scienze fisiche e d’ingegneria, sono inseparabilmente legati alla storia dello sviluppo delle forze produttive della società. Alla conseguente evoluzione dei livelli di conoscenza e di formazione in ogni fase di questo sviluppo è poi strettamente legato il cruciale trasferimento di conoscenze dalle scienze pure a quelle applicate e alle tecniche. Nell’antichità le esigenze di produzione erano limitate a problemi di costruzioni edili e di modesti trasporti: inizia lo sviluppo delle “macchine semplici” (argano, leva, piano inclinato) e la teoria generale dell’equilibrio dei corpi (statica), già in Archimede (287-212 a.C.) Lo sviluppo della dinamica ha inizio molto più avanti: nei secoli post-rinascimentali XV e XVI, la nascita e crescita di nuove più mature forme di economia e commercio servirono da spinta a progressi notevoli dell’artigianato, della navigazione e dell’arte militare (armi da fuoco), nonché a importanti scoperte astronomiche. Ciò contribuì ad accumulare un ampio repertorio sperimentale, la cui sistemazione e teorizzazione generale portò – nel XVII secolo – alla fondazione delle leggi della Cinematica e della Dinamica. La nuova era porta il marchio di Galileo (1564-1642) e di Newton (1642-1727), e fonda sulle cruciali innovazioni dovute a Copernico (1473-1543) e, poi, a Keplero (1571-1630). Alla fondazione della dinamica dà contributi fondamentali Cartesio (15961650) introducendo concetti, vere e proprie “pietre miliari”, come quelli di “quan-

Rapporti tra scienze e ingegneria 403

Isaac Newton

tità di moto” e di “lavoro” e dando forma al principio variazionale dei “lavori virtuali”, potentissimo strumento di indagine; da qui – e da Galileo – Huygens (1629-1695) giunge a fondamentali progressi in dinamica dei sistemi (pendolo, urto, forza centrifuga, conservazione dell’energia). Nei “Principia Mathematica”, del 1687, sta il “milestone” della nuova era : la sintesi newtoniana coinvolge la gravitazione universale, la generalizzazione dei concetti di forza e di massa, le leggi della dinamica, la meccanica celeste. Intoccata fino all’inizio del XX secolo: gli sviluppi successivi (Lorentz, Poincare, Einstein) hanno mostrato che per velocità prossime a quelle della luce il movimento dei corpi è regolato dalle leggi della relatività einsteniana e quello delle particelle elementari dalle leggi della meccanica quantistica; ma tutto ciò non ha fatto altro che confermare la validità del costrutto della Meccanica classica (meccaniche applicate e meccanica celeste) nel proprio contesto disciplinare. A Newton il merito – con Gottfried Leibniz (1646-1716) – della fondazione dello strumento matematico principe per l’indagine scientifica e tecnica: il Calcolo infinitesimale e integrale, punto di partenza per lo sviluppo del complesso corpus dei “metodi matematici” del XIX e XX secolo. La rivoluzione intellettuale innesca e promuove il diffondersi dell’interesse nell’atteggiamento scientifico e nei metodi sperimentali, e vede la progressiva formazione di comunità scientifiche nazionali: l’accademia dei Lincei viene fondata in Roma nel 1606, Galileo membro. Dopo la sua morte, nel 1642 l’Accademia del Cimento viene fondata a Firenze; nel 1622 nasce a Londra la Royal Society, Newton a presiederla; nel 1666 nasce l’Accademia francese delle Scienze e nel 1770 l’Accademia delle Scienze berlinese.

19.2

La transizione, il secolo XVIII: l’impasse del rapporto scienza/tecnica. In cammino verso il suo superamento

19.2.1

L’impulso a nuovi sviluppi teorici

Dopo il brillante impulso del ’600, il XVIII secolo vede ancora grande creatività teorica, con una tendenza della scienza a diventare più pura, più rigorosa.

404 Rapporti tra scienze e ingegneria

Ma sul fronte dei rapporti tra scienza e applicazioni tecniche (fisiche e d’ingegneria) il ’700 vede una sostanziale impasse e battuta d’arresto che si sbloccherà soltanto a partire dai primi decenni del secolo successivo, con l’avvento del rigore matematico, con l’affermarsi dell’istruzione e l’avvio di grandi scuole di formazione di stampo moderno, con l’affermarsi delle nuove concezioni industriali e finanziarie. Scendo a qualche dettaglio. Sulla spinta dei principii fondanti maturati nel secolo precedente e del versatile strumento matematico ormai istituito e ben consolidato, i protagonisti scientifici di questo secolo producono contributi notevoli in molte direzioni : i “giganti” sono Leonardo Eulero (1707-1783), Giacomo (1654-1705), Giovanni (1667-1748) e Daniele Bernoulli (1700-1782), Jean Le Ronde D’Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813); e poi, Brook Taylor (1685-1731), Clairaut (1713-1765).

Lagrange

Una breve rassegna dei loro contributi, tutti indubbiamente notevoli: – nel 1703 Giacomo Bernoulli riconosce che per corpi in moto il sistema delle forze applicate è equivalente al sistema delle accelerazioni per unità di massa, – i Bernoulli portano a formulazione generale il teorema dell’energia cinetica, – tra il 1703 e il 1750 le equazioni differenziali di moto per varie classi di corpi materiali vengono stabilite, e integrate, dai grandi che abbiamo testé citato. Intenso è lo sviluppo dei metodi analitici, cioè dei metodi che fondano sul calcolo differenziale e integrale, particolarmente ad opera di Eulero, – l’equazione d’onda viene introdotta da D’Alembert in una memoria all’accademia berlinese nel 1750; del 1743 è il “Trattato di Dinamica”,

D’Alembert

Rapporti tra scienze e ingegneria 405

– D’Alembert stabilisce uno dei più importanti teoremi della meccanica che porta il suo nome (riconduce lo stato dinamico a condizioni di equilibrio tra forze opportune) : fornisce all’ingegnere un atteggiamento mentale che consente la rapida e facile soluzione di molti problemi di dinamica. Collaboratore di Diderot alla preparazione dei 28 volumi dell’Enciclopedia, svolge anche un importante ruolo nella preparazione ideologica della Rivoluzione francese. Viene fondata l’École des Ponts e Chaussées e Perronet ne è nominato, nel 1763, primo ingegnere. Non mancano, per la verità, segnali di trasferimento di conoscenze dalla frontiera scientifica dell’epoca alla sfera delle tecniche, ma gli interventi non si inquadrano ancora in un atteggiamento organico e sistematico. Qualche esempio: – il problema della trave continua su più appoggi appare per la prima volta nel 1780 in una nota di D’Alembert. A partire, con spirito critico, da una precedente analisi di Eulero del 1773, evidenzia come nel caso di 3 appoggi il problema algebrico è indeterminato e giunge a mostrare limitazioni sul segno delle reazioni; ma non va oltre, – Huygens risolve, in modo molto più sintetico ed elegante di quanto abbia fatto Leibniz molto tempo prima, il problema della catenaria; qualcosa di analogo avverrà poi per la soluzione del problema della forma ottimale da dare a un pilastro che debba sopportare il solo peso proprio. Su suggerimento di Napoleone I, l’Accademia di Francia propone una sfida scientifica sullo studio delle piastre vibranti: Sophie Germain (1776-1831) vince la gara dopo lunghe procedure e controversie. Giunge alla corretta equazione differenziale ma all’epoca vengono avanzati dubbi sul rigore del procedimento e sulla correttezza delle condizioni al contorno. Si registrano anche precisi segni di sensibilità a problemi “ingegneristici” di stampo moderno: la sicurezza del costruito e del territorio a eventi naturali disastrosi, eruzioni vulcaniche e terremoti. Fu il terremoto di Lisbona dell’1 novembre 1755, con gli stimati 30.000 morti, ad innescare un appassionato dibattito scientifico e filosofico (Voltaire, Rousseau, Kant, la Royal Society londinese, per citare alcuni interlocutori) che aprì la strada a nuove teorie geologiche e al perfezionamento delle tecniche costruttive, alla “forma” più opportuna da dare agli edifici. L’accademia delle Scienze di Rouen propone, all’indomani del disastro, una gara per spiegare le cause del terremoto. Ma l’ingegno e l’originalità scientifica di molti grandi del ’700 si accompagna ancora, troppo spesso, a formulazioni oscure e a difficoltà di comunicazioni e scambi di esperienze, a commistioni ancora troppo evidenti tra fisica e metafisica. Per tutto l’arco di tempo dal XVI a (quasi tutto) il XVII secolo la tendenza all’ispirazione metafisica e teologica è l’atteggiamento più diffuso (Leibniz, Eulero, Maupertuis, Cartesio ecc.). Solo nelle opere nei massimi pensatori (Newton, Galileo, Huygens) non vi è traccia di commistioni metafisiche. La separazione completa della fisica dalla teologia si sviluppa nell’arco di quasi 3 secoli, dal seme gettato da Copernico fino a inequivocabili posizioni di D’Alembert prima (che nel 1758, nella prefazione al trattato taglia corto con le sfide metafisiche di Maupertuis affermando: “piuttosto che fare una metafisica sulle cause e sul motore primo, preferisco fare una scienza degli effetti”). Qualche anno più tardi è Lagrange a dichiarare di volersi astenere da ogni speculazione metafisica e teologica. E Pierre-Simon Laplace (1749-1827), il “Newton

406 Rapporti tra scienze e ingegneria

di Francia” – come era chiamato –, a Napoleone che gli faceva notare come nel suo “Trattato di Meccanica Celeste” Dio non fosse mai menzionato, risponde: “non ho bisogno di questa ipotesi” (aggiungendo subito dopo “Ah, però è una ipotesi affascinante”). Il processo sta per giungere a compimento: ancora qualche decennio e il rigore formale nelle scienze, punto di partenza per il grande balzo scientifico e tecnico tra XIX e XX secolo sarà compiuto.

19.3

La tecnica fondata sulle scienze: la maturità formale tra XIX e XX secolo

19.3.1

Il raggiunto rigore. Il caso della teoria dell’elasticità: Navier, Cauchy, Poisson e oltre

Nei 150 anni seguiti alla scoperta da parte di Hooke (~1660) della legge di proporzionalità azione-deformazione nei mezzi elastici, la scienza dell’elasticità aveva proceduto per sintesi di problemi particolari; agli inizi del XIX secolo il corpo disciplinare consisteva sostanzialmente in: – frammentaria teoria della flessione nel solido “monodimensionale”. Contributi di Mariotte del 1680, di Giacomo Bernoulli (1705); Daniele Bernoulli in una lettera ad Eulero dell’ottobre 1742 suggerisce che l’equazione dell’”elastica” (linea elastica) possa ottenersi minimizzando l’integrale del lavoro di deformazione flessionale del solido, – una incompleta teoria della torsione; Coulomb (1736-1806) per primo studia la torsione in cavi sottili, – i rudimenti della teoria della stabilità del solido monodimensionale caricato di punta (Eulero), – pochi, isolati, risultati sulla flessione e vibrazioni di piastre. Il primo tentativo di dedurre equazioni generali di equilibrio e di moto di solidi elastici risale a Claude Louis Navier (1785-1836) in una celebre memoria letta il 14 Maggio 1821 all’Accademia delle Scienze di Parigi: modellata l’interazione molecolare con 2 forze eguali ed opposte e proporzionali alla variazione della distanza, Navier deduce un sistema di 3 equazioni differenziali, a scala macro, per le componenti di spostamento in un solido elastico isotropo. Formalmente corrette, l’eccessiva semplificazione dell’interazione molecolare porta però ad una sola costante elastica; formalizza correttamente l’equilibrio al contorno, usando il principio dei lavori virtuali di Lagrange. Il lavoro di Navier attrae l’attenzione di Augustin Cauchy (1789-1857) che, partendo da differenti assunti, dà una formulazione della teoria lineare della elasticità che è praticamente quella giunta fino a noi. Esaminiamone brevemente i tratti: invece di ipotizzare una qualche legge di interazione molecolare, egli mostra che lo stato di sforzo in un punto del mezzo deformabile è completamente determinato da un set di 9 funzioni. In equilibrio, queste 9 funzioni soddisfano – egli mostra – 3 semplici equazioni a derivate parziali e il numero delle indipendenti si riduce a 6 per via di certe relazioni di simmetria. Sei funzioni definiscono anche lo stato di deformazione e mostra che, per spostamenti “piccoli”, esse sono molto semplicemente legate alle componenti del campo vettoriale di spostamento. Tutte le notevoli conseguenze seguono da qui (legame lineare tra set di funzioni sforzo

Rapporti tra scienze e ingegneria 407

e set di funzioni deformazione, caso isotropo ecc.): questi importanti risultati vennero presentati all’Accademia di Parigi nel 1822. Successivamente Cauchy generalizza i risultati ai continui anisotropi adottando un particolare modello di interazione molecolare. Torno sulla figura di Cauchy più avanti.

Augustin-Louis Cauchy

In seguito, George Green (1793-1841) introduce il suo rivoluzionario principio di conservazione dell’energia elastica, e stabilisce le fondamentali equazioni dell’elasticità seguendo la linea tracciata da Lagrange nella “Meccanica Analitica”, con il principio dei lavori virtuali (1837). Nel 1855 Lord Kelvin intuisce l’esistenza della funzione di energia di Green per il solido in stato isotermico, e ne avanza l’estensione allo stato adiabatico. Il principio di conservazione dell’energia elastica è poi punto di partenza per i risultati raggiunti in tema di principi di minimo in elasticità, nell’ultimo scorcio del XIX secolo (Maxwell-Betti, Castigliano, Menabrea) e nei primi del XX, basando sull’impiego di metodi variazionali: dapprima Lord Rayleigh e W. Ritz e successive generalizzazioni da parte di R. Courant, B.G. Galerkin, L.V. Kantorovich, E. Trefftz.

Galerkin

Nel XX secolo gli sviluppi hanno principalmente riguardato i problemi di esistenza di soluzioni e l’integrazione di numerose ampie categorie di problemi-alcontorno. L’indagine del comportamento oltre il limite elastico aveva già avuto nel 1913 e 1925 due importanti contributi, dei tedeschi von Mises e, rispettivamente, Hencky, preceduti da una pubblicazione del 1904 del polacco Huber in cui venivano stabilite le condizioni di snervamento di un mezzo elastoplastico: ma biso-

408 Rapporti tra scienze e ingegneria

gnerà attendere altri vent’anni perché queste nuove idee si impongano all’attenzione generale.

Luigi Manabrea

19.3.2

Richard von Mises

La nuova figura del matematico-ingegnere nel nuovo contesto industriale e commerciale

Dunque, a inizio ’800 la nuova figura di matematico-ingegnere ha, decisamente, matrice francese e tedesca. Nulla di simile in Inghilterra, dove gli scienziati che si dedicavano agli aspetti tecnici, come James Watt (1736-1819) erano una eccezione: i grandi ingegneri della rivoluzione industriale, come Thomas Telford (17571834), non avevano grande dimestichezza con le teorie matematiche, e George Stephenson (1781-1848), il padre della locomotiva a vapore, sapeva appena leggere e scrivere e conosceva poco la matematica. Peraltro i primi passi della rivoluzione industriale inglese dovettero molto alla collaborazione tra questi artigiani ingegneri pieni di inventiva ma poco istruiti, e banchieri imprenditori che si erano stabiliti a Londra (per es. i quaccheri Peases che finanziarono la prima linea ferroviaria a vapore, la Stockton-Darlington, o ad esempio i discendenti degli ugonotti che abbandonarono la Francia nel 1685 a causa delle persecuzioni di Luigi XIV). Nel ’700 la situazione in Francia era l’esatto opposto di quella inglese: la scienza applicata veniva incoraggiata sia dalle istituzioni sia dalla società, e la Francia generò un gran numero di scienziati-ingegneri come Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), come i citati Cauchy e Navier, come Barré de Saint-Venant (1797-1886) autore di monumentali contributi sull’elasticità del solido “monodimensionale”.

Barre de St. Venaut

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Ciò che penalizzava i grandi ingegneri francesi era la debolezza del sistema imprenditoriale del loro paese, che impediva di affrontare forme più ambiziose di innovazione industriale, come lo sviluppo dei motori a vapore e delle ferrovie (il sistema bancario francese passava da uno scandalo all’altro e l’appoggio alla Rivoluzione Americana provocò infine una crisi nell’economia francese). Fu proprio l’Inghilterra ad offrire enormi opportunità all’ingegneria francese: si pensi ai Brunel padre e figlio (1769-1849 e 1805-1859), ai Fondrinier padre e figlio che inventarono e svilupparono la prima macchina in grado di produrre carta in modo continuo. L’architettura navale francese era molto più avanzata di quella inglese e le migliori navi da guerra di Nelson erano spesso navi francesi catturate. Tre profili di grandi figure scientifiche tra XIX e XX secolo – Cauchy, Fourier e Eiffel – e due “casi” emblematici del processo di trasferimento di conoscenze da matematica a fisica e a ingegneria – i “casi” dell’analisi di Fourier e dell’algebra matriciale e problemi agli autovalori – ci aiutano ora a cogliere l’importanza di tale processo sugli sviluppi e i successi delle scienze applicate maturato nel XX secolo.

19.3.3 Ingegneri, matematici e fisici Augustin Cauchy si era laureato in ingegneria come miglior studente del suo corso all’École des Ponts et Chaussées, dopo studi giovanili altrettanto brillanti nelle materie classiche e scientifiche. Lavorò come ingegnere dal 1811 al 1813 acquisendo esperienza pratica nella costruzione di un nuovo porto a Cherbourg. Poi iniziò la carriera accademica giungendo, a 33 anni, a dare i fondamentali contributi di cui s’è detto. La presentazione fisico-matematica assai generale dei suoi contributi impiegò molto ad essere accettata dagli ingegneri professionali dell’epoca. La serie e la trasformata di Fourier è ormai strumento principe di analisi in problemi di fisica e di ingegneria, nella soluzione di equazioni di moto di sistemi dinamici o nella analisi di segnali. Il barone Jean Baptiste Fourier (1768-1830), di Grenoble, rientrato nel 1801 dalla spedizione napoleonica in Egitto, divenne docente di analisi all’École Polytechnique e si concentrò sulle ricerche matematiche. Assume la carica di prefetto del dipartimento dell’Isère al servizio di Napoleone, dirige la costruzione del tratto francese della strada per Torino e il prosciugamento di 800.000 m2 di paludi malariche. Attorno al 1803 Fourier ricava un’equazione che descrive la conduzione del calore nei solidi e nel 1807 ha già messo a punto un metodo per integrarla: la trasformata di Fourier.

Jean Baptiste Fourier

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L’Accademia (Lagrange, Laplace, Legendre, Biot, Poisson) mostra forti resistenze ad accettare quella che sembrava una assurdità: che la somma di un numero infinito di sinusoidi convergesse e rappresentasse con precisione una funzione dotata di anche numerose discontinuità. Ma i risultati di Fourier sono evidenti e l’accademia gli conferisce – pur con riserva sul rigore – un premio. Solo nel 1815 la pubblicazione. Subito molti ricercatori iniziano ad estendere il metodo ad altri domini oltre quello della termologia: la matematica Sophie Germain e l’ingegnere Claude Navier ne sviluppano applicazioni alla meccanica delle strutture, come detto. Nel 1828 Dirichlet fissa le celebri “condizioni” sufficienti perché una funzione periodica sia esprimibile in termini di una serie convergente di Fourier.

Lejeune Dirichlet

Gli studi sulla convergenza hanno aperto nuove aree della matematica: p. es. la teoria delle “funzioni generalizzate” di Laurent Schwartz ha dato, nel 1945, solide basi teoriche a “strani” oggetti matematici del tipo della funzione a gradino di Heaviside e della distribuzione “delta di Dirac” che descrive un’area unitaria concentrata in un punto. Oggi il campo di applicazioni è vastissimo: dalla fisica dei plasmi, all’analisi di immagini di oggetti celesti ripresi da sonde planetarie, in biologia, in ingegneria strutturale.

P.A.M. Dirac

Gustave Eiffel (1832-1923) era stato giovane brillante studente prima di iscriversi all’École Centrale in ingegneria chimica (aveva fallito l’esame di ammissione alla prestigiosa École Polytechnique). Divenne ingegnere strutturista e propu-

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gnò tipicamente la figura del matematico-ingegnere, che dopo una serie di test fatti sulle ipotesi, sui materiali e sulle procedure da adottare, si affidava completamente agli sviluppi matematici. Per 35 anni progetta e costruisce (anche con straordinari rigore ed efficacia organizzativa) ponti, stazioni ferroviarie, osservatori a cupola, chiese, grandi magazzini. Tutte strutture in acciaio. E poi, la celeberrima “torre” del 1889 (con 250 operai e nel pieno rispetto dei tempi preventivati: 2 anni, 2 mesi e 5 giorni) e lo scheletro della statua della Libertà. La completa simbolizzazione dell’Algebra risale al francese François Viète (1540-1603) e rende possibile lo sviluppo di metodi generali per la soluzione di sistemi algebrici lineari; Leibniz introduce la nozione di “determinante” introducendo la notazione giunta fino a noi e mostrando come la soluzione di un sistema lineare algebrico consistente è esprimibile con il rapporto di due determinanti. Nel 1859 il matematico inglese Cayley opera notevoli estensioni all’algebra mostrando che una “matrice”, pur composta da un insieme di elementi, può essere concepita come un singolo operatore algebrico che soddisfa tutti i postulati dell’algebra ordinaria, con l’unica eccezione della legge commutativa della moltiplicazione, e con l’altro aspetto peculiare per cui l’algebra delle matrici soddisfa la propria equazione caratteristica portando ad una identità polinomiale che non ha analogo nell’algebra dei numeri reali o complessi. Questo aspetto (equazione caratteristica), iniziato da Sylvester (1851) e Weierstrass (1868) vengono definitivamente sistemati da Frobenius nel 1879. Nel 1900 il danese Fredholm introduce la nozione di matrici di ordine infinito ed estende la teoria algebrica dell’equazione caratteristica al caso di infinite variabili. Sarà il punto di partenza della teoria dei sistemi di funzioni ortogonali e della trattazione geometrica degli operatori lineari differenziali e integrali.

Erik Ivan Fredholm

Quale, e quando, il trasferimento di conoscenze alle scienze fisiche e d’ingegneria? Sono anzitutto i fisici ad impadronirsi di questi strumenti, alcuni decenni dopo la loro sistemazione da parte dei matematici; negli anni ’20 del secolo XX, la meccanica ondulatoria di Schroedinger gioca un ruolo fondamentale nella descrizione delle proprietà fisiche e chimiche della materia: gli autovalori dell’equazione d’onda di Schroedinger sono direttamente proporzionali ai livelli d’energia dei vari stati quantici. Scrive il Nobel Max Born nella propria autobiografia: “...un bel mattino, intorno al 10 luglio 1925, vidi improvvisamente la luce: la moltiplicazione simbolica di

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Heisemberg non era altro che il calcolo matriciale, che ben conoscevo fin da quando ero studente e seguivo le lezioni di Rosanes a Breslavia...”. Nell’ingegneria, l’equazione caratteristica con gli associati autovalori e autovettori gioca ruolo fondamentale nella teoria delle vibrazioni, meccaniche o elettriche. Le vibrazioni dell’impalcato di un ponte o quelle da flutter aerodinamico di un’ala d’aeroplano, il transitorio di un circuito elettrico, le vibrazioni di atomi o molecole, così come l’improvvisa instabilità di un’asta elastica, hanno caratteristiche rilevabili con problemi “agli autovalori”

19.4

Brevi cenni alla storia dell’automatica

L’aeronautica e lo spazio sono stati fondamentali banchi prova per l’automatica. Se con il primo volo del dicembre 1903 i fratelli Wright inaugurano l’epoca dell’aviazione moderna, le prime tecnologie non sono certo in grado di assicurare grandi prestazioni per durata e stabilità del volo. Ma in pochi anni si arrivano a sperimentare nuove soluzioni e i sistemi automatici giocano ben presto un ruolo determinante. Già nel 1912 la Sperry Gyroscope Company collauda un sistema con autopilota con risultati sorprendenti: in una dimostrazione pubblica del 1914, un meccanico riesce a camminare lungo l’ala dell’aereo mentre il pilota alza le mani dai comandi! Ma è la Prima Guerra Mondiale (1914-1918) a fornire un ulteriore slancio, sebbene il pilota sia già perfettamente in grado di controllare le funzioni normali e la stabilizzazione dell’aereo. Lo sviluppo degli “autopilota” continua con l’introduzione a bordo dei velivoli di sistemi giroscopici, sensori di riferimento e servomeccanismi pneumatici per posizionare i piani di comando. Pensiamo all’aereo dotato di autopilota che nel 1933 ha reso possibile la transvolata intorno al mondo, in meno di otto giorni, per la Wiley Postal. La Seconda Guerra Mondiale (1939-1945) conduce ad ulteriori progressi nella teoria dei controlli automatici in applicazioni del radar e nello sviluppo dei servomeccanismi per posizionare armi e antenne trasmittenti. Ancora una volta miglioramenti stimolati da esigenze belliche di garantire variazioni dinamiche nell’assetto del velivolo. Inoltre, la necessità di volare di notte e in condizioni avverse del tempo atmosferico permette sviluppi dei sistemi a radio navigazione: nel 1947 un C-53 dell’aeronautica degli Stati Uniti effettua un volo transatlantico, compreso il decollo e l’atterraggio, completamente sotto il controllo del pilota automatico. Entro la fine degli anni Quaranta i primi calcolatori analogici erano a disposizione della tecnica aeronautica. Le analisi della stabilità e delle prestazioni del velivolo sotto controllo automatico cominciano ad essere effettuate più comunemente dalle compagnie aeree e il rapporto tra altezza e velocità raggiunta dagli apparecchi va aumentando grazie alle sperimentazioni dei primi aerei jet da guerra e dei velivoli per soccorso e ricerca. L’anno 1949 ha visto il primo volo del de Havilland Comet, prototipo del velivolo da trasporto moderno. Nei successivi anni ’50 l’attenzione si rivolge ai voli supersonici: l’aereo Lockheed X-7 senza equipaggio, sviluppato con un programma quinquennale, forni-

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sce informazioni su alta velocità, aerodinamica, impiego di combustibili e materiali speciali. Con l’introduzione dell’elaboratore digitale, gli anni ’70 vedono i progressi nella computazione in dinamica dei fluidi, nell’analisi strutturale, nella simulazione dei sistemi dinamici complessi e nell’applicazione della teoria del controllo in tempo reale. Le tecniche di simulazione permettono infatti l’addestramento realistico dei piloti a terra e le verifiche del comportamento dinamico del sistema di controllo del volo. Con l’era della “corsa allo spazio” si rendono necessarie nuove tecniche analitiche compresa l’ottimizzazione numerica, le sequenze multiple di verifica-controllo e le simulazioni per la progettazione dei veicoli aerospaziali, il tutto integrato con applicazioni nei campi strutturale, termico, energetico.

19.4.1 Cibernetica, calcolatori e automazione: dagli anni ’30 del XX secolo ai nostri giorni L’estensione concettuale dell’organizzazione scientifica del lavoro introdotta da Taylor all’inizio del secolo XX prenderà il nome di “automazione”. Una pietra miliare verso la produzione largamente automatica è costituita dalla macchina “transfer” (macchina di trasferimento), attorno a cui si snoda la catena di montaggio. La prima macchina di questo tipo risale al 1888, precedendo di molti anni le concezioni di Taylor. Nel corso degli anni ’30 le macchine a trasferta si estendono a gran parte dell’industria automobilistica. Tuttavia, non rappresentano una automatizzazione spinta degli stabilimenti, poiché a macchina è compiuta solo una parte (e non la maggiore) delle operazioni complessivamente richieste. Un campo, che si fonderà col precedente solo in futuro, è costituito dalle macchine calcolatrici. Negli anni ’30 la loro tecnologia è già largamente acquisita, sia per quelle ad azionamento manuale sia motorizzate, sia per quelle a comando umano sia con schede perforate. La loro costruzione è molto semplificata dall’introduzione di dispositivi elettromeccanici, che sostituiscono quelli puramente meccanici, disponibili fino alla fine dell’800. Nel 1930-32 una équipe del Massachusetts lnstitute of Technology guidata da V. Bush (1890-1974) mette a punto una macchina in grado di calcolare le equazioni differenziali: il “differential analyzer” è il primo calcolatore analogico, ma all’inizio degli anni Quaranta diverrà anche la base di partenza per lo sviluppo del calcolatore numerico. Nel 1937 un fisico americano, H. Aiken, specialista anche di fisica-matematica, progetta una macchina calcolatrice molto più complessa di quelle esistenti. Presi accordi con l’Università di Harvard e con la direzione della società IBM, costruisce la macchina (denominata calcolatore Harvard Mark I), e la presenta formalmente nel 1944. È una macchina puramente elettrica, senza alcun dispositivo elettronico, che tuttavia è relativamente veloce e possiede anche una memoria utilizzabile su comando manuale. Dopo la guerra continuano gli sviluppi dell’elettronica, con maggior accento sulle basi scientifiche. L’elettronica è utilizzata anche per la realizzazione dei calcolatori e il primo di questo tipo viene completato nel 1946. Si tratta dell’ENIAC (electronic numerical integrator and computer) sviluppato da J. P. Eckert e J. W. Mauchly all’Università di Pennsylvania per conto dell’esercito americano che lo utilizza per compiere calcoli di balistica esterna.

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19.4.2 L’automazione produttiva. La cibernetica La costruzione dell’ENIAC, benché ultimata dopo la fine della seconda guerra mondiale, è stata sollecitata dalle esigenze del conflitto, che richiede inoltre la produzione standardizzata di molti componenti militari; imprime perciò una spinta decisiva anche al processo di automazione. Una tappa importante è compiuta negli ultimi mesi di guerra, quando viene messa in produzione negli Stati Uniti una fabbrica di proiettili di artiglieria, in cui i diversi pezzi sono maneggiati per via meccanica da macchine automatiche, mentre il controllo è effettuato attraverso servomeccanismi azionati con comando manuale. Una linea di produzione completamente automatica è annunciata dalla Ford nel 1948, che ne prevede l’entrata in produzione nel 1950. La fabbrica in realtà è ben lontana dall’essere completamente automatica, come dimostra il fatto che impiega un numero piuttosto elevato di operatori, ben 4500. Tuttavia il grado di automazione che in essa è incorporato è notevolissimo: il particolare di maggior rilievo è la successione di nastri trasportatori che convogliano e suddividono le varie parti del motore, posizionandole per una lavorazione fortemente automatizzata. La parola automazione entra ora nel gergo corrente, insieme ad un altro neologismo: cibernetica, introdotta per la prima volta nel 1948. La definizione che inizialmente si dà è: “manipolazione automatica di parti impiegate nell’industria metalmeccanica”, ma subito si allarga e abbraccia un contesto tecnologico più vasto e ricco di conseguenze sociali. Il suo inventore è N. Wiener, professore al Massachusetts Institute of Technology, che ne dà anche la definizione seguente: “scienza dei processi di controllo e comunicazione negli animali e nelle macchine”. La possibilità di considerare con criteri simili queste due classi di sistemi apparentemente diversi è stata intravista nel corso degli anni Quaranta e vi hanno contribuito, oltre a matematici e tecnici, anche medici e fisiologi. La cibernetica abbraccia dunque tanto il sistema nervoso degli animali quanto qualsiasi altro sistema di trattamento dell’informazione. Wiener crede di poter anticipare che il calcolatore sarà il protagonista del futuro, capace di essere adattato a ogni tipo di situazione in cui siano richiesti non solo controlli ma anche giudizi e che l’automazione del controllo invaderà (in un periodo di tempo compreso fra dieci e venti anni) aree sempre più vaste dell’attività umana. Negli anni Cinquanta la cibernetica, l’automazione e i calcolatori mostrano chiaramente di essere parti di uno stesso contesto e di un unico processo logico i cui futuri sviluppi appaiono grandiosi rispetto alle acquisizioni raggiunte fino a quel momento. Vengono portati a compimento i calcolatori della terza generazione, nei quali dal punto di vista tecnologico si assiste all’introduzione dei circuiti integrati, che ne accrescono enormemente l’affidabilità, mentre i linguaggi di programmazione si perfezionano ancora. Gli aspetti più salienti di questa generazione sono costituiti dai seguenti tre perfezionamenti: 1) la “multiprogrammazione”, cioè la possibilità della contemporanea esecuzione di più programmi nella stessa macchina; 2) il funzionamento in “tempo reale”, cioè la risposta in tempi brevissimi alle richieste poste alla macchina; 3) l’“accesso multiplo”, cioè la possibilità di servire in modo virtualmente simultaneo più utenti.

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Indice analitico

Abel, 399 abbassamento, 338 accelerazione, 11 154 accordatura, 147, spettrale, 41 anticipatore, 18 accelerogrammi, archi, 315, 335 30 storici, ad asse 32 parabolico, 316, 318 accelerometri, 10558 autostruttura, 37, azione accordatura, 147, 154 di deriva, 13753 analisi modale, azioni analizzatore di Fourier, 62 interne di momento, 350 anello chiuso, 115 taglianti, 351 anticipatore, 19 applicazioni sismiche, 33 appoggi slittanti in acciaio-gomma/ baricentri, 197 PTFE, 89 base-isolation, 73Padè, 20 approssimanti di bullone, archi, 343256, 280 a rosetta, 400 282 Archimede, arco parabolico a tre cerniere, 344 armoniche, camini, 13731 attenuazione dell’energia in ingresso, carichi 112, 116 ammissibili, 245 attuatori, carico 121 aumento dello smorzamento critico,artificiale 245 strutturale, mobile, 109112, 117 automazione, 411 344 sulla copertura, produttiva, catenaria, 327 412 autopilota, 410 cavo auto-struttura, 37 elastico uniforme, 336 autostrutture, 57 centro autovalori, 22, 37, di pressione, 24458 autovettori, 37 cerchio azione di deriva, di Mohr, 230; 137 233; 235 azioni aeroelastiche, 102 cerniera, 241 cinematica, 149 baricentri di 10 lamine piane composite, vibratoria, 199 coefficiente base-isolation, 88, 89modale, 49, 94, 97 di partecipazione lineare, 81, 223 82 di Poisson, non lineare, 82 di sicurezza, 247 comando 402, 404 Bernoulli, idraulico, 133 Biot, 408 compressione blocco “ritardo”, 20 nell’anello, 345 Brook Taylor, 402 semplice, 244

condizioni 411 calcolatori, di congruenza, analogici, 410 220 coni specifico dell’olio, 136 calore tronchi, camini, 137167 continui campi elasto-viscosi, 79 elastici, 223 142 carichi impulsivi, controllo carico critico euleriano, 273 attivo, 400, 117 403 Cartesio, della risonanza, 140357 caso di forti tensioni, flutter, 122 Castigliano, 405 PD, 133355 catenaria, retroazionato, parabolica dei121 punti sospesi, 358 strutturale; 110,406 114 Cauchy e Navier, vibrazioni, 145 Cauchy, 404, 407 controllori Cayley, 409 di fase, cerchio di 17 Mohr, 232 corpo rigido 134 check-valves, isostatico,411, 182 412 cibernetica, piano, 181 132 cicli attuatore, corsa,eccitante, 131 ciclo 133 smorzante, 133 cinematica vibratoria, 10 deformazione circuitazione, di taglio, 97250 Clairaut, 402 elastica, 335 coefficiente flessionale,di96partecipazione modale, 41, 43 235 locale, coefficiente di Poisson, 225 media, 337 complessi (modi deformazioni, 350di vibrare), 59 condizioni di congruenza, 222 densità continui elastici, 209, 221 225 di energia elastica, isotropi, 225 dinamica 225129 aomogenei, loop chiuso, controlli automatici, 410 del primo modo dominante, 141 controllo attivo flesso-torsionale, 117 retroazionata, 24, 122 del flutter, 122 dinamiche della rigidezza, in cascata, 21 80 della risonanza, in parallelo, 23 140 della risposta, 71, disaccoppiamento, 38112 giroscopico, 160 disturbo on-off, 135 100 aerodinamico, PD, 129 retroazionato, 121 eccitazione strutturale attivo (ASC), 114 cinematica, 14, 43,110 49, 151 strutturale civile,

424 Indice analitico strutturale, 110 controllori di fase, 17 Copernico, 403 coppia elastica, 50 giroscopica, 161 coppie generalizzate, 48 corner cubes, 107 corpo doppio, 72 costante di tempo, 4, 22 costruzione tabella pilastri, 321 Coulomb, 404, 406 Courant, 405 cuscinetti, 80 elastomerici, 88 D’Alembert, 402, 403 decr. logaritmico, 101 delta di Dirac, 109, 408 densità-di-forzante, 48 deviazione standard, 30 differential analyzer, 411 dinamica a loop chiuso, 129 flesso-torsionale, 99 retroazionata, 24 sismica, 71, 81 dinamiche “in cascata”, 21 “in parallelo”, 23 flesso-torsionali in presenza di flutter, 104 Dirac, 408 Dirichlet, 408 disaccoppiamento, 38 dissipatori viscosi, 86, 87 distacco di vortici, 137 distribuzione “delta”, 109 disturbo aerodinamico, 100 eccitazione alla base, 47 cinematica impressa alla base, 42 cinematica impressa, 14 random, 62 edifici, modellistica, 71 edificio a torre, 92 di 42 piani, 97 effetto softening, 77 Eiffel, 407 Einstein, 401 elasticità lineare, 224 elettrovalvola on-off, 133 energia cinetica, 47 potenziale elastica, 47, 223 ENIAC, 411, 412

equazione del servocomando, 115 newtoniana, 14, 45 torsionale statica, 99 equazioni di congruenza, 222 equilibrio, 183 di membrana, 383 di una fune omogenea pesante, 355 equivalente meccanico del calore, 136 estensimetri, 236 Eulero, 402, 403 Evariste Galois, 399 f. di t. d’anello, 25 fase, 60 fasori, 11 fattore di amplificazione dinamica, 12 fattori di amplificazione, 36 filtraggio passabasso, 29 filtri, 19, 113 filtro anti-aliasing, 62 flutter aeroelastico, 102 forma normale, 26, 54 forme modali, 37 forzante sulla massa, 11, 47 forze che non compiono lavoro, 264 forze elastica, viscosa e d’inerzia, 12 generalizzate, 48 laterali equivalenti, 44 Fourier, 407 freno-idraulico “quasi-passivo”, 134 frequenze, 37 di eccitazione, 14 di risonanza, 58 modali, 55 modi di vibrare di funi inestensibili, 108 proprie e forme modali, 168 proprie, 107 Frobenius, 409 funi, 353 poco tese, 369 pre-tese, 369 tese, 369 funzione densità spettrale di potenza G(ω), 28, 29 di ripartizione spettrale dell’energia, 30 di trasferimento, 3, 6 Galerkin, 405 Galileo, 401 gamba-di-forza dell’attuatore, 126, 131 generatore di segnale, 62

Indice analitico 425 Germain, 408 giroscopio passivo, 161 grattacielo Citicorp, 155 Green, 405 guadagni di retroazione, 115 guadagno di forza, 132, 133 di velocità, 132 Hamilton, 400 Hertz, 399, 400 Hencky, 405 Hooke, 404 Huber, 405 Huygens, 401, 403 identificazione, 53, 63 impendenza, 34 impulso mezzo-seno, 64 rettangolare, 64 indagine sperimentale delle deformazioni, 236 inerzia ed elasticità distribuite, 47 ingresso a gradino, 5 invarianti fondamentali dello stato di sforzo, 214 isolamento-alla-base, 71, 81 Kantorovich, 405 Kelvin, 405 Keplero, 400 Klein, 399 Lagrange, 402, 403, 404, 408 Laplace, 403, 408 lavoro, 246 dissipato, 13 legame sforzi-deformazioni, 230 Legendre, 408 legge PID, 129 Leibniz, 401, 403 Lorentz, 401 Mariotte, 404 martello strumentato, 63 massa generalizzata, 37 masse modali, 55 matematica e progresso tecnologico, 399 matrice di trasferimento, 57 unità, 54 di trasferimento, 53 Maupertuis, 403 Max Born, 409 Maxwell, 399

Maxwell-Betti, 405 Menabrea, 405 metodo ω, 274 metodo delle deformazioni, 335 delle forze, 335 misure flessotorsionali, 105 mobilità, 183 modi, 59 normali, 55 ortonormali, 55 momenti di primo e secondo ordine di figure piane, 204 momento flettente, 44 torsionale, 102 curvatura, 142 monitoraggio, 105 moti modali, 38 moto di precessione, 161 modale, 45 muri di sostegno a mensola e a gravità in cemento armato, 326 Navier, 404, 408 nervatura a elica, 140 Newton, 400, 401 non-linearità, 62 numero di Reynolds, 138, 140 di Strouhal, 101, 138 operatore laplaciano, 99 oscillatore a 3 gradi di libertà, 173 lineare, 35 monomassa, 40, 163 monomassa equivalente, 51 multimodale, 37, 47, 52 principale, 94, 150 secondario, 148 oscillatori accoppiati, 150 disaccoppiati, 40 secondari, 93 smorzati accoppiati, 147 oscillazione autoeccitata, 101 oscillazioni forzate, 10 ovalizzazione, 141 parabola dei ponti sospesi, 358 parametri di smorzamento, 108 modali, 67, 96 piastre, 377 Poincaré, 401 Poisson, 404, 408 polo, 58

426 Indice analitico pompa, 132 ponte sospeso per tubazioni, 99 strallato, 124 ponte-tubo, 99, 102 sospeso per tubazioni, 103 portata e potenza, 132 porte di distribuzione, 130 potenziale, 256 precarichi, 87 precessione del telaio/rotore, 160, 161 pre-progetto di una tensostruttura a pianta circolare, 371 primo-piano-pendolare, 82 Principia Mathematica, 401 principio disovrapponibilità degli effetti, 231 problema del primo-passaggio, 33 progetto e verifica di sezioni in calcestruzzo armato, 315 standard in acciaio, 280 programma AccBull.89P, 284 AccPrVer.89P, 280 AccSald.89P, 298 Archi.89P, 346 BARICENT.89P, 199 ca_murso.89P, 326 ca_prver.89P, 315 ca_tbpil.89P, 321 CorRig.89P, 184 Frequenz.89P, 168 Momenti.89P, 204 OscMonoM.89P, 163 OscMulti.89P, 173 Sezione.89P, 391 Tensostr.89P, 371 programmi AccPrVer.89P, AccBull.89P, AccSald.89P, 279 ca_prver.89P, ca_tbpil.89P, ca_murso.89P, 314 protezione antisismica, 73 PSD bilaterale, 34 dell’ingresso, 34 dell’output, 34 monolaterale, 34 quadrica indicatrice, 216 radar, 410 radio navigazione, 410 rapporti tra scienze e ingegneria, 399 rapporto ξ di smorzamento, 6 di smorzamento, 6, 8 relazione di Cauchy, 211

residui, 58 Riemann, 399 rigidezza adattativa, 89 generalizzata, 37 modale, 47 rigidezze elementari, 269 modali, 55 risposta a rumori, 28 al gradino, 6 in frequenza, 7 impulsiva, 143 in frequenza, 4, 61 spettrale, 16 ritardatore puro, 19 ritardatori e anticipatori, 17 ritti pendolari, 88 RMS, 30 rosette estensimetriche, 237 rotolamento puro, 265 rumori, 28 a banda larga, 28 a banda limitata, 35, 64 a banda stretta, 28 bianco gaussiano, 29 “colorato”, 29 pseudo-random, 64 de Saint-Venant, 406 scala logaritmica, 57 schema funzionale del servo, 123 Schroedinger, 399 Schwartz, 408 scie di vortici, 100, 139 vorticose di Karman, 100 segnale monofrequanziale, 64 sensività statica, 3 serie di Fourier, 31 servo idraulico, 126 servoaccelerometro, 106 servocomando, 132 sforzi principali, 213 principali in P, 215 sforzo nei continui, 209 shaker, 62 simulazioni numeriche, 84 sismi in bassa frequenza, 86 sistema, 22 di ordine zero, 3 di primo ordine, 4 di secondo ordine, 5 laser GaAs, 107 MIMO, 54 servovalvola-cilindro, 23

Indice analitico 427 sistemi anolonomi, 240, 242 attivi, 110 automatici, 410 di ordine superiore, 15 olonomi 240 passivi, 110 rigido-elastici, 240 smorzamento strutturale, 39 smorzatore inerziale passivo, 155 inerziale servoassistito, 156, 159 smorzatori inerziali, 145, 146, 152 modali accordati, 98 softening bilineare, 78 software per archi ad asse parabolico, 346 software per strutture in acciaio, 279 in calcestruzzo armato, 314 solido di de Saint Venant, 269 sollecitazione impulsiva, 62 sovrapposizione dei modi, 41 spazio degli stati, 25, 26, 27, 45, 95 spettri, 32 di Bode, 5 di potenza, 28 di progetto AASHTO e Giapponese, 77 multimodali, 65 di Bode, 7 di potenza, 31 spool, 131 della valvola, 132 spostamenti virtuali, 240, 244 spostamento, 11 spettrale, 41 stabilità, 9 “assoluta”, 132 aerodinamica, 367 assoluta, 130 marginale, 151 stabilizzazione, 364 stati elementari di sollecitazione, 391 piani di deformazione, 232 piani di sforzo, 232 statica del corpo rigido isostatico, 184 stato di deformazione nei continui, 217 di servizio, 115 piano di sforzo, 227 storia dell’automatica, 410 strallatura ausiliaria, 136

strisciamento puro, 265 strong-motion, 32 sviluppi dell’automatica, 399 sweeping sinusoidale, 64 Sylvester, 409 taglio, 44 tecniche ibride, 117 telaio a taglio, 41 tempo morto, 20 tensore degli sforzi, 211 di deformazione, 219 tensostruttura a ruota, 364, 370, 371 a ruota di bicicletta, 368 attiva, 119 circolare, 372 teorema di Bernoulli, 139 transienti, 9 trasduttori, 105 trasformazione di Laplace, 93 lineare, 40 travature reticolari, 335, 339 travi “Vierendel”, 337 Trefftz, 405 tubazioni per gasdotti, 101 underlap, 130 uscite dai trasduttori, 121 variabile di Laplace, 8 varianza, 30, 33, 35 velocità, 11 critica del vento, 104 spettrale, 41 verifica di giunti bullonati in acciaio, 284 di giunti saldati in acciaio, 298 vettore di stato, 45, 54 Viète, 409 vincoli elastici, 49 volte cilindriche in regime di membrana, 387 sottili in regime di membrana, 383 von Mises, 405 vortici di Karman, 100 Watt, 406 Weierstrass, 409 Wright, 410