Elementi di Dinamica delle Strutture

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ELEMENTI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE Renato Giannini

Indice 1 Elementi di meccanica 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Dinamica dei sistemi . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Il principio di D’Alembert . . . . . 1.2.2 Massa e peso . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Il principio delle potenze virtuali . 1.2.4 Equazione di Lagrange . . . . . . . 1.2.5 Esempio: equazione del bipendolo

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1 1 2 2 2 3 4 6

2 L’oscillatore semplice 2.1 Oscillazioni libere non smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Oscillazioni libere smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Oscillazioni forzate armonicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Energia dissipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Rappresentazione complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Isolamento alla base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Risposta ad un’azione periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Risposta ad una forza impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Risposta ad un’azione non periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Integrale di Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Integrazione diretta delle equazioni del moto . . . . . . . . . . 2.6.3 Stabilità, decadimento di ampiezza ed elongazione del periodo

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8 8 10 15 19 20 22 24 27 30 30 31 33

3 Sistemi discreti con più di un grado di libertà 3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 La matrice delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Oscillazioni libere non smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Oscillazioni smorzate e forzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Matrice di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Analisi in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Soluzione dell’equazione dinamica mediante trasformata di Fourier 3.6 Moto di trascinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Moto sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Moto non sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Smorzamento non classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Analisi modale complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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40 40 41 44 46 51 53 55 55 57 59 59 61 62 63

2

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i

INDICE

4 Sistemi continui: onde nei mezzi elastici 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra . . 4.2.1 Onde stazionarie . . . . . . . . . 4.2.2 Barra di lunghezza finita . . . . . 4.3 Onde nel continuo indefinito . . . . . . . 4.3.1 Onde piane . . . . . . . . . . . . 4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh) . . 4.5 Trave a taglio . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Onde smorzate . . . . . . . . . . 4.6 Vibrazione delle travi inflesse . . . . . . 4.6.1 Oscillazioni libere . . . . . . . . .

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68 68 69 69 70 76 77 78 80 83 86 87

A Elementi di algebra lineare A.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Dipendenza lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Dimensioni di uno spazio. Basi . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Prodotto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Vettori ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6 Basi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7 Componenti di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7.1 Basi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8 Cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.1 Cambiamento di base di un operatore lineare . . . . . A.9.2 Nucleo di un operatore lineare . . . . . . . . . . . . . A.9.3 Inverso di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.4 Operatore identico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.5 Operatori hermitiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.6 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.7 Autovalori ed autovettori di un operatore . . . . . . . A.10 Vettori in Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice . . . . . . . . . . . . A.11.1 Autovalori multipli, triangolarizzazione . . . . . . . . A.11.2 Matrici simmetriche; ortogonalità degli autovettori . . A.11.3 Autovalori ed autovettori generalizzati di due matrici

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90 90 91 91 91 92 92 93 94 94 96 97 97 97 98 98 98 99 100 100 101 103 104

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Capitolo 1

Elementi di meccanica 1.1

Introduzione

Le forze agenti sulle strutture civili, nella maggior parte dei casi, si possono trattare come se agissero staticamente; con questo si intende che, variando molto lentamente nel tempo, esse inducono nella struttura velocità ed accelerazioni trascurabili, in modo tale che la struttura passa da uno stato di equilibrio ad un altro attraverso stati che in pratica possono essere considerati anch’essi di equilibrio. In quanto precede si intende che il termine stato di equilibrio è sinonimo di stato di equilibrio statico. Sebbene sia vero che la maggior parte delle azioni che interessano le strutture civili si possono considerare ai fini pratici come statiche, è pur vero che esistono alcune importanti eccezioni; p.es. le azioni indotte da macchinari rotanti all’interno di officine ed impianti industriali, la pressione del vento, le azioni indotte da veicoli (in particolare quelli pesanti) in movimento sui ponti ed i viadotti, le onde del mare, ecc. Non vi è dubbio però che l’azione dinamica più importante per le strutture civili è quella sismica, almeno in quei paesi, come l’Italia, dove è presente una rilevante attività sismica. L’azione sismica si manifesta con un moto del terreno, in direzione orizzontale e verticale, che trascina con sé le strutture degli edifici. Questo moto di trascinamento, indotto dal sisma, induce delle forze di inerzia che agiscono sulla struttura nella direzione del moto di trascinamento; particolarmente pericolosa è la componente orizzontale del moto, che induce sulle strutture azioni che esse normalmente non sono chiamate a sopportare e nei confronti delle quali sono spesso vulnerabili. L’importanza che si attribuisce alle azioni sismiche è ben nota; essa discende dagli effetti distruttivi che un terremoto violento può avere sulle costruzioni e dalla grande estensione di territorio interessata dal fenomeno, che può assumere aspetti catastrofici, sia dal punto di vista economico, sia da quello relativo alla perdita di vite umane. La formulazione generale dell’analisi dinamica delle strutture, specialmente quando queste vengono studiate con modelli lineari, prescinde ovviamente dal tipo di azione; quindi nel seguito normalmente non si farà riferimento all’azione sismica. Tuttavia poiché per l’analisi sismica sono stati sviluppati alcuni procedimenti specifici (p.es. l’analisi con lo spettro di risposta), quando necessario, sarà abbandonato il generale per il particolare specifico.

1

2

1.2 Dinamica dei sistemi

1.2 1.2.1

Dinamica dei sistemi Il principio di D’Alembert

La dinamica dei sistemi può essere ricondotta alla statica mediante il Principio di D’Alembert, che semplicemente afferma che ogni sistema è sempre in equilibrio sotto l’azione delle forze attive Fi , di quelle reattive Φi e delle forze di inerzia mi ai : Fi + Φi − mi ai = 0

(i = 1, 2, . . . , N )

(1.1)

In questa equazione mi indica la massa ed ai l’accelerazione del punto materiale i del sistema. La forza d’inerzia quindi non è altro che il prodotto della massa per l’accelerazione (cambiata di segno) del corpo puntiforme. L’accelerazione di un corpo, però, dipende dal sistema di riferimento; ad esempio un corpo in quiete rispetto ad un riferimento solidale ad un punto della superficie della Terra risulta muoversi di moto accelerato rispetto ad un altro riferimento, la cui origine è solidale al centro della Terra ed è orientato verso le stelle fisse; infatti rispetto a quest’ultimo riferimento il corpo ruota con la velocità angolare della rotazione terrestre, ω T , e quindi ha un’accelerazione (centripeta) di valore ω 2T r, r essendo la distanza del corpo dall’asse terrestre. Quindi la relazione (1.1) non può essere valida in ogni riferimento, ma solo in un certo tipo di riferimento privilegiato. I riferimenti di questo tipo sono detti inerziali. Un modo per definire un riferimento inerziale è il seguente: un riferimento inerziale ha l’origine solidale ad una massa isolata ed è orientato verso le stelle fisse. Per massa isolata si intende un corpo che si trovi così distante da tutti gli altri, da poterne trascurare le interazioni reciproche; le stelle fisse sono quei corpi celesti così lontani che il loro moto relativo al nostro corpo risulta comunque inavvertibile. In pratica nessun corpo rispetta esattamente queste condizioni, ma si possono costruire riferimenti che approssimano quello inerziale in modo più o meno accurato: un riferimento con origine nel baricentro del Sole ed orientato verso le stelle fisse è una buona approssimazione di riferimento inerziale; un riferimento con origine nel baricentro della Terra ed orientato come il precedente costituisce un’approssimazione un po’ meno buona. Ai fini pratici della meccanica strutturale tuttavia, anche un riferimento solidale alla superficie terrestre può essere adottato come riferimento inerziale; infatti l’accelerazione centripeta è molto piccola, al massimo (all’equatore) si ha: ¶2 µ rad m 2π 2 × 6 · 106 m ' 3.17 · 10−2 a = ω T rT ' 2 24 · 3600 sec sec2 cioè appena lo 0.3% dell’accelerazione di gravità. Nell’eq. (1.1) compaiono solo le accelerazioni, pertanto essa è evidentemente valida in tutti quei riferimenti in cui l’accelerazione è la stessa che nel riferimento inerziale; di fatto, se un riferimento è inerziale lo sono anche tutti quelli che si muovono di moto relativo uniforme (cioè traslano con velocità costante) rispetto al primo. Con le stesse approssimazioni accettate prima, quindi, anche ogni riferimento che si muova sulla Terra con moto uniforme rispetto ad uno fisso (se la velocità non è troppo alta) si potrà considerare inerziale.

1.2.2

Massa e peso

La massa (inerziale) è una proprietà della materia: le particelle elementari hanno una massa (in alcuni casi nulla), che (a riposo) è un invariante, cioè non dipende né dal tempo

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1.2 Dinamica dei sistemi

né dalla posizione della particella. Ma vi è un altro significato per la massa (gravitazionale): essa è una costante che misura l’intensità della forza di gravitazione che una particella è in grado di scambiare con un’altra (in modo analogo alla carica elettrica in relazione alle forze elettromagnetiche). La massa inerziale e quella gravitazionale quantitativamente coincidono: questa in apparenza sorprendente coincidenza della natura trova una profonda spiegazione nella teoria geometrica (relativistica) della gravitazione. Poiché il peso dei corpi non è altro che l’effetto delle forze gravitazionali che essi scambiano con la Terra, vi è una semplice relazione tra massa e peso: pi = mi g, in cui g è l’accelerazione di gravità, cioè il campo gravitazionale generato dalla massa della Terra nei punti prossimi alla sua superficie.1 Il modulo del vettore g cambia poco da un punto all’altro della superficie terrestre, e si può assumere approssimativamente pari a: g = 9.81 m/sec2 Nel sistema MKS l’unità di massa è il chilogrammo (kg) e ne costituisce un’unità fondamentale, insieme al metro ed al secondo. Le forze invece si misurano in Newton (N): un Newton è un chilogrammo per un metro al secondo quadrato (N = kg · m/sec2 ). Quindi un corpo che ha massa m = 1 kg ha un peso p = m · g = 1 · 9.81 N Nella pratica tecnica, in passato, è stata molto usata l’unità di forza chilogrammo-forza, comunemente indicata con kgf (o più semplicemente con kg). Un chilogrammo-forza è la forza peso esercitata da una massa di un chilo, cioè: 1 kgf = 1 kg · g = 9.81 N Se si utilizza come unità fondamentale il chilogrammo-forza, la massa deve essere espressa in kgf/g, quindi un corpo che pesa 1 kgf ha una massa, in unità conformi : m = 1/g = 1/9.81 kgf/g.

1.2.3

Il principio delle potenze virtuali

Poiché, grazie al principio di D’Alembert, le equazioni della dinamica sono ricondotte a quelle della statica con l’aggiunta delle forze di inerzia, le equazioni di equilibrio (1.1) possono esprimersi in modo equivalente mediante il principio delle potenze virtuali. Limitandoci al caso di sistemi soggetti a vincoli bilaterali e lisci2 , le equazioni di equilibrio 1

Due particelle di massa m1 ed m2 si scambiano una forza proporzionale al prodotto delle loro masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza: F12 = G

m1 m2 2 r12

La costante di gravitazione universale G è piccolissima (G = 6.66 × 10−8 cm3 sec−2 g−1 ); per questo motivo la forza di gravità scambiata tra corpi di massa piccola non è avvertita: solo se almeno uno dei due corpi ha grande massa, come quella di un pianeta o di una stella, la gravità ha effetti significativi. Su piccola scala quindi dominano le forze elettromagnetiche, molto più intense: tuttavia queste hanno segno opposto (attrattiva tra particelle di diversa carica, repulsiva tra quelle di carica uguale); poiché la materia è generalmente neutra (cioè vi è uguale numero di particelle con carica positiva e negativa), a grande scala le forze elettromagnetiche si annullano, mentre le forze gravitazionali, che sono sempre attrattive, divengono prevalenti e dominano nella meccanica celeste. 2 Il caso dei vincoli scabri può essere incluso aggiungendo alle forze attive quelle dovute all’attrito.

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1.2 Dinamica dei sistemi

dinamico si possono esprimere: Π=

N X i=1

(Fi − mi ai ) × vi0 = 0

(1.2)

in cui vi0 indica un arbitrario atto di moto virtuale, cioè compatibile con i vincoli fissi 3 , mentre × indica il prodotto interno (scalare) tra vettori. Nell’eq. (1.2) non compaiono le forze reattive, il che normalmente costituisce una notevole semplificazione.

1.2.4

Equazione di Lagrange

Si considerino ora sistemi soggetti a vincoli che, oltre che bilaterali e lisci, siano anche olonomi, cioè esclusivamente di posizione; in questo caso, se il sistema ha n gradi di libertà, le coordinate di ogni suo punto Pi si possono esprimere in funzione di n parametri liberi, qk (t) (k = 1, 2, . . . , n), detti coordinate lagrangiane del sistema: Pi (t) = Pi [q1 (t), q2 (t), · · · , qn (t); t]

(1.3)

L’espressione della velocità di un punto mediante le coordinate lagrangiane si determina derivando l’eq. (1.3): vi =

X ∂Pi k

∂qk

q˙k +

∂Pi ∂t

(1.4)

Nel caso di vincoli fissi Pi non dipende esplicitamente da t e quindi l’ultimo termine nella (1.4) viene a mancare. Se vi0 indica un atto di moto virtuale, essendo questo per definizione relativo a vincoli fissi, si avrà: vi0 =

X ∂Pi k

∂qk

q˙k0

(1.5)

Sostituendo l’eq. (1.5) nella equazione delle potenze virtuali (1.2), dopo aver scambiato gli ordini di somma si ha: "N # nf X X ∂P i q˙k0 (Fi − mi ai ) =0 ∂qk k=1

i=1

Questa, per l’arbitrarietà dell’atto di moto virtuale q˙k0 , implica il sistema di equazioni: N X i=1

N

∂Pi X ∂Pi Fi − mi ai =0 ∂qk ∂qk i=1

che può scriversi: N X i=1

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vi0

mi ai

∂Pi = Qk ∂qk

(1.6)

Cioè, deve essere compatibile con le condizioni di vincolo rese indipendenti da t, anche se queste equazioni sono funzioni del tempo. Ad esempio, per un punto materiale che si muove vincolato ad una linea, che a sua volta si sposta, v0 deve essere tangente alla linea considerata fissa nella sua posizione al tempo t, senza tener conto del moto del vincolo.

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1.2 Dinamica dei sistemi

Avendo introdotto le forze generalizzate Qk =

N X

Fi

i=1

∂Pi ∂qk

Indicando con vi la velocità del punto Pi , l’energia cinetica del sistema è definita dalla relazione: N

1X T = mi vi × vi 2

(1.7)

i=1

Derivando la (1.7) relativamente a q˙k e tenendo conto della (1.4), risulta: N

N

i=1

i=1

X ∂T ∂vi X ∂Pi = mi vi = mi vi ∂ q˙k ∂ q˙k ∂qk Derivando ulteriormente rispetto al tempo entrambi i membri dell’equazione precedente, si ottiene: N

N

i=1

i=1

X ∂Pi X ∂vi d ∂T = mi ai + mi vi dt ∂ q˙k ∂qk ∂qk

(1.8)

Tenendo conto che, derivando la (1.7), si ottiene: N

X ∂T ∂vi = mi vi ∂qk ∂qk i=1

combinando questa equazione con la (1.8), si ha: N X

mi ai

i=1

∂Pi d ∂T ∂T = − ∂qk dt ∂ q˙k ∂qk

E quindi, sostituendo questo risultato nell’eq. (1.6), si ottiene l’equazione di Lagrange: ∂T d ∂T − = Qk dt ∂ q˙k ∂qk

(1.9)

Questa equazione risulta di notevole aiuto nello studio dei sistemi complessi, in quanto permette di scrivere in modo automatico le equazioni di equilibrio, una volta che sia stata scritta l’espressione esplicita dell’energia cinetica. L’eq. (1.9) si semplifica ulteriormente se tutte le forze agenti sul sistema sono conservative, cioè se esiste una funzione potenziale U (P1 , P2 , · · · , PN ), delle coordinate del sistema, tale che: Fi =

∂U ∂Pi

In questo caso l’espressione della forza generalizzata diviene: Qk =

N X i=1

N

Fi

∂Pi X ∂U ∂Pi ∂U = = ∂qk ∂Pi ∂qk ∂qk i=1

(1.10)

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1.2 Dinamica dei sistemi

in quanto, tramite le (1.3), U è funzione delle sole coordinate lagrangiane qk . Introdotta la funzione di Lagrange, definita come L(q, q, ˙ t) = T + U

(1.11)

somma dell’energia cinetica e della funzione potenziale, l’eq. (1.9) si può scrivere in modo più sintetico: ∂L d ∂L − =0 dt ∂ q˙k ∂qk che è un’altra forma delle equazioni di Lagrange. L’equazione (1.12) è l’equazione di Eulero del funzionale: Z t2 S= L(q, q, ˙ t) dt

(1.12)

(1.13)

t1

chiamato l’azione del sistema. L’equazione (1.12) implica che il sistema evolve tra due qualsiasi istanti di tempo t1 e t2 rendendo stazionaria l’azione S (principio di Hamilton). Se i vincoli sono fissi, per cui L non dipende esplicitamente dal tempo, si può dimostrare che la quantità: H =T −U =T +V

(1.14)

si conserva, cioè resta costante nel tempo. La quantità H non è altro che l’energia totale del sistema, in quanto somma dell’energia cinetica T e dell’energia potenziale V = −U . Quindi si può concludere che: in un sistema con vincoli bilaterali, lisci ed indipendenti dal tempo e soggetto all’azione di sole forze conservative, l’energia totale H si conserva.

1.2.5

Esempio: equazione del bipendolo

Si consideri un doppio pendolo, composto con due masse m1 ed m2 , sospese a due regoli rigidi e privi di massa di lunghezza l1 ed l2 . Indicando con θ1 e θ2 gli angoli formati dai regoli rispetto ad un asse verticale, le coordinate delle due masse, riferite ad un sistema cartesiano ortogonale, con l’asse x verticale e rivolta verso l’alto ed origine nella cerniera del pendolo, sono:

x1 = l1 sin (θ1 )

(1.15a)

y1 = −l1 cos (θ1 )

(1.15b)

x2 = l1 sin (θ1 ) + l2 sin (θ2 )

(1.15c)

y2 = −l1 cos (θ1 ) − l2 cos (θ2 )

(1.15d)

e di conseguenza le componenti delle velocità risultano: x˙ 1 = l1 cos (θ1 ) θ˙ 1 y˙1 = l1 sin (θ1 ) θ˙ 1 x˙ 2 = l1 cos (θ1 ) θ˙ 1 + l2 cos (θ2 ) θ˙ 2 y˙2 = l1 sin (θ1 ) θ˙ 1 + l2 sin (θ2 ) θ˙ 2

(1.16a) (1.16b) (1.16c) (1.16d)

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1.2 Dinamica dei sistemi

Gli angoli θ1 e θ2 sono le coordinate lagrangiane del sistema; l’espressione dell’energia cinetica in funzione delle coordinate lagrangiane si ottiene quindi facilmente sostituendo le (1.16) nell’espressione di T : T =

¢ ¡ ¢¤ 1£ ¡ 2 m1 x˙ 1 + y˙12 + m2 x˙ 22 + y˙22 2 i 1h 2 2 = (m1 + m2 ) l12 θ˙ 1 + 2m2 l1 θ˙ 1 l2 θ˙ 2 cos (θ1 − θ2 ) + m2 l22 θ˙ 2 2

(1.17)

Analogamente dalle (1.15) si ottiene la forma esplicita del potenziale U in funzione delle coordinate lagrangiane: U = −m1 y1 g − m2 y2 g = g {m1 l1 cos (θ1 ) + m2 [l1 cos (θ1 ) + l2 cos (θ2 )]} e quindi, sommando le eq. (1.17) e (1.18), si ha la funzione di Lagrange: i 1h 2 2 (m1 + m2 ) l12 θ˙ 1 + 2m2 l1 θ˙ 1 l2 θ˙ 2 cos (θ1 − θ2 ) + m2 l22 θ˙ 2 + L=T +U = 2 g {m1 l1 cos (θ1 ) + m2 [l1 cos (θ1 ) + l2 cos (θ2 )]}

(1.18)

(1.19)

Applicando l’equazione di Lagrange (1.12) alla funzione (1.19), si ottengono le due equazioni seguenti, che descrivono la dinamica del sistema: d ∂L ∂L − = (m1 + m2 ) l12 ¨ θ2 + θ1 + m2 l1 l2 cos (θ1 − θ2 ) ¨ dt ∂ θ˙ 1 ∂θ1 2 m2 l1 l2 sin (θ1 − θ2 ) θ˙ 2 + g (m1 + m2 ) l1 sin θ1 = 0 (1.20) d ∂L ∂L − = m2 l1 l2 cos (θ1 − θ2 ) ¨θ1 + m2 l22 ¨ θ2 − dt ∂ θ˙ 2 ∂θ2 2 m2 l1 l2 sin (θ1 − θ2 ) θ˙ 1 + gm2 l2 sin θ2 = 0 (1.21)

Le equazioni (1.20) e (1.21) sono nonlineari; per valori piccoli degli angoli θ1 e θ2 le funzioni trigonometriche seno e coseno possono essere approssimate dai termini lineari del loro sviluppo in serie, ottenendo: 2 θ2 + m2 l1 l2 (θ1 − θ2 ) θ˙ 2 + g (m1 + m2 ) l1 θ1 = 0 (m1 + m2 ) l12 ¨θ1 + m2 l1 l2 ¨ 2 m2 l1 l2 ¨ θ1 + m2 l22 ¨θ2 − m2 l1 l2 (θ1 − θ2 ) θ˙ 1

(1.22a)

+ gm2 l2 θ2 = 0 (1.22b)

Queste equazioni tuttavia sono ancora nonlineari a causa dei termini che contengono i quadrati delle velocità angolari θ˙ che tengono conto degli effetti delle forze centrifughe; se le velocità sono sufficientemente piccole i loro quadrati si potranno trascurare con un’approssimazione confrontabile con quella precedente e si ottiene allora il semplice sistema di due equazioni lineari accoppiate: θ1 + m2 l1 l2 ¨ θ2 + g (m1 + m2 ) l1 θ1 = 0 (m1 + m2 ) l12 ¨ ¨ m2 l1 l2 θ1 + m2 l22 ¨ θ2 + gm2 l2 θ2 = 0

(1.23a) (1.23b)

Capitolo 2

L’oscillatore semplice Si consideri una struttura molto semplice, composta da una trave sostenuta da due pilastri uguali (portale), come quella rappresentata nella fig. 2.1. Se si suppone che siano soddisfatte le seguenti condizioni: i) la trave sia molto più rigida dei pilastri, in modo che le rotazioni dei nodi siano trascurabili, ii) la rigidezza assiale dei pilastri sia molto maggiore di quella flessionale, in modo che i pilastri si possano ritenere assialmente indeformabili, iii) il telaio si sposti solo nel suo piano; questo sistema ha un solo grado di libertà, lo spostamento x dalla posizione di equilibrio statico.

2.1

Oscillazioni libere non smorzate

Indicando con m la massa complessiva della trave più quella da essa sopportata ed assumendo trascurabili le masse dei pilastri, l’equazione di equilibrio di questa struttura si scrive facilmente in modo diretto, utilizzando il principio di D’Alembert; in assenza di forze esterne applicate le sole forze sono la forza elastica esercitata dai pilastri e la forza d’inerzia della massa m: −m¨ x(t) − kx(t) = 0

(2.1)

in cui k = 2 · 12EJ/h3 indica la rigidezza dei pilastri. Dividendo l’eq. (2.1) per m ed introducendo la quantità: ω2 =

k m

(2.2)

l’eq. (2.1) diviene: x ¨(t) + ω 2 x(t) = 0

(2.3)

Il parametro ω ha le dimensioni dell’inverso di un tempo. È conveniente introdurre il tempo adimensionale: τ = ωt

(2.4)

d dτ d d = = ω dt dτ dt dτ

(2.5)

Infatti, tenendo conto che:

8

9

2.1 Oscillazioni libere non smorzate

Figura~2.1: Portale ad un grado di libertà sostituendo τ a t come variabile in x, ed indicando con il punto la derivazione rispetto a τ e non più rispetto a t, come in precedenza, applicando la (2.5) alla (2.3) e poi dividendo per ω2 , si ottiene: x ¨(τ ) + x(τ ) = 0

(2.6)

equazione in cui non compaiono esplicitamente parametri. La soluzione generale dell’equazione differenziale lineare ed omogenea (2.6) ha la forma: x(τ ) = A sin(τ ) + B cos(τ )

(2.7)

in cui A e B sono parametri che dipendono dalle condizioni iniziali, cioè dallo stato della struttura al tempo τ = 0. Derivando la (2.7) rispetto a τ si ha: y(τ ) = x(τ ˙ ) = A cos(τ ) − B sin(τ )

(2.8)

in cui y = dx/dτ è legato alla velocità v = dx/dt dalla semplice proporzionalità: y = v/ω, come segue dalla (2.5). Indicando con x0 , y0 i valori di x ed y al tempo τ = 0, dalle equazioni (2.7) e (2.8) esplicitate al tempo τ = 0, si ottengono i valori di A e B in funzione delle condizioni iniziali x0 , y0 , per cui la (2.7) diviene: x(τ ) = x0 cos(τ ) + y0 sin(τ )

(2.9)

Dalle eq. (2.7) o (2.9) si osserva facilmente che x(τ ) (ed y(τ )) sono funzioni periodiche di periodo 2π: x(τ + 2nπ) = x(τ ) n intero Poiché x è periodica di periodo 2π in τ , rispetto al tempo reale t risulta periodica di periodo r m 2π = 2π (2.10) T = ω k

10

2.2 Oscillazioni libere smorzate

f

x

Figura~2.2: Legge forza—spostamento di un sistema elasto-viscoso soggetto ad un’azione ciclica T è il periodo proprio delle oscillazioni libere della struttura, ω è detta pulsazione propria, mentre l’inverso di T è detto frequenza propria f = 1/T = ω/2π. Dunque l’eq. (2.9) p descrive un moto oscillatorio, di ampiezza x20 + y02 e di periodo T , dato dall’eq. (2.10). È importante osservare che il periodo delle oscillazioni libere dipende solo dalle caratteristiche della struttura, massa e rigidezza, e non dallo specifico moto; in particolare il periodo delle oscillazioni non è funzione dell’ampiezza del moto: vibrazioni di piccola o grande ampiezza compiono un ciclo nello stesso tempo, almeno fin quando il modello elastico lineare descrive con sufficiente esattezza il comportamento strutturale.

2.2

Oscillazioni libere smorzate

p La soluzione (2.9) dell’eq. (2.6) è una funzione armonica la cui ampiezza x20 + y02 è costante nel tempo. Fisicamente ciò corrisponde ad un sistema che, una volta posto in movimento, continua ad oscillare con la stessa ampiezza, senza più fermarsi. Questo è in contraddizione con le più elementari esperienze, che ci mostrano come, in assenza di forze che le sostengano, le oscillazioni libere di qualsiasi sistema si riducano in ampiezza, fino a che questo torna in quiete dopo un numero più o meno grande di cicli. Il fatto che il moto del sistema governato dalle eq. (2.3) o (2.6) sia indefinitamente periodico dipende dal fatto che la sola forza attiva presa in conto, la forza elastica −kx, è conservativa e quindi l’energia totale del sistema è costante. In realtà tutti i sistemi sono dissipativi, in quanto una parte dell’energia viene trasformata in calore e quindi resa indisponibile ai processi meccanici, come previsto dal secondo principio della termodinamica. Quindi l’energia meccanica del sistema si riduce e con essa l’ampiezza massima delle oscillazioni. Applicando ad un oggetto che segue un comportamento elastico lineare una forza che varia lentamente, questo subisce un processo reversibile; infatti togliendo gradualmente la forza il corpo torna nella sua configurazione originale, percorrendo, nello spazio degli stati, lo stesso cammino seguito nella fase di carico. Se la forza viene applicata più rapidamente questo non si verifica più; nella fase di carico la forza è maggiore di quella (kx) puramente

11

2.2 Oscillazioni libere smorzate

Figura~2.3: Modello di una struttura con elemento dissipativo elasto-viscoso elastica, nella fase di scarico invece la forza risulta minore, come illustrato schematicamente nella fig. 2.2; l’area racchiusa nel ciclo rappresenta il lavoro fatto sul sistema e non restituito, per cui la trasformazione risulta ora irreversibile. Questo fenomeno si può spiegare assumendo che sul sistema agisca, oltre la forza elastica −kx, anche una forza viscosa o attritivo, la cui ampiezza ed il segno dipendono dalla velocità; il modello più semplice è quello della viscosità lineare, in cui la forza è data dal prodotto della velocità per una costante, che dipende dalle proprietà del materiale e dalla configurazione strutturale. Con riferimento alla semplice struttura della fig. 2.1, questo effetto può essere modellato aggiungendo al sistema un elemento viscoso, schematicamente illustrato in fig. 2.3, che ˙ proporzionale alla velocità del siesplica sulla massa m una forza viscosa FD = −cx(t), stema ed al coefficiente di viscosità c. Che la forza FD sia dissipativa si può verificare calcolando il lavoro fatto da questa forza in un ciclo: WD =

I

dx −c dx = −c dt

Z

0

T

µ

dx dt

¶2

dt < 0

(2.11)

esso risulta (se c > 0) sempre negativo, come segue dal fatto che la funzione integranda nell’eq. (2.11) è sempre positiva. Se si tiene conto anche delle forze di tipo viscoso che si sviluppano nella struttura, l’eq. (2.1) deve essere sostituita dalla: −m¨ x(t) − cx(t) ˙ − kx(t) = 0

(2.12)

Dividendo tutti i termini dell’eq. (2.12) per m, tenendo conto della (2.2) ed inoltre ponendo: √ (2.13) c = 2mωξ = 2 kmξ si ottiene: x ¨(t) + 2ωξ x(t) ˙ + ω 2 x(t) = 0

(2.14)

12

2.2 Oscillazioni libere smorzate

Quindi eseguendo il cambiamento di variabile (2.4), dal tempo reale t a quello adimensionale τ , risulta l’equazione: x ¨(τ ) + 2ξ x(τ ˙ ) + x(τ ) = 0

(2.15)

in cui compare il solo parametro ξ; questo viene indicato come il coefficiente di smorzamento percentuale, per i motivi che saranno chiariti nel seguito; poiché c ha le dimensioni di una forza divisa per la velocità e perciò di una massa divisa per il tempo, ξ risulta adimensionale. L’integrale generale dell’eq. (2.15) è: x(τ ) = Aeα1 τ + Beα2 τ

(2.16)

in cui α1 ed α2 sono le radici dell’equazione caratteristica: α2 + 2ξα + 1 = 0

(2.17)

ossia: q α1 = −ξ + ξ 2 − 1

q α2 = −ξ − ξ 2 − 1

Sostituendo la (2.18), la (2.16) diviene: √2 h √2 i x(τ ) = e−ξτ Ae ξ −1τ + Be− ξ −1τ

(2.18)

(2.19)

L’equazione (2.19) ha un punto di biforcazione (cioè p cambia comportamento) in corrispondenza del valore di ξ = 1. Per ξ < 1 la quantità ξ 2 − 1 è immaginaria e quindi le funzioni esponenziali nell’eq. (2.19) divengono delle funzioni armoniche, per cui l’eq. (2.19) si può riscrivere: x(τ ) = e−ξτ [C1 sin(δτ ) + C2 cos(δτ )]

(2.20)

q δ = 1 − ξ2

(2.21)

x(τ ˙ ) = e−ξτ [−(C1 ξ + C2 δ) sin(δτ ) + (C1 δ − C2 ξ) cos(δτ )]

(2.22)

avendo posto

Derivando l’eq.(2.20) rispetto a τ si ottiene:

I valori delle costanti C1 e C2 si determinano quindi imponendo le condizioni iniziali ad x ed x; ˙ dalle eq. (2.20) e (2.22) si deduce infatti il sistema: x(0) = C2 = x0 x(0) ˙ = C1 δ − C2 ξ = y0 risolvendo il quale risulta: C1 =

y0 + x0 ξ δ

C2 = x0

13

2.2 Oscillazioni libere smorzate

per cui le eq. (2.20) e (2.22) si possono scrivere esplicitamente in funzione delle condizioni iniziali: ¸ · y0 + x0 ξ −ξτ sin(δτ ) (2.23) x0 cos(δτ ) + x(τ ) = e δ ¸ · x0 + y0 ξ −ξτ x(τ ˙ )=e sin(δτ ) (2.24) y0 cos(δτ ) − δ Ponendo y0 = 0 (questa condizione può sempre essere verificata, fissando opportunamente l’origine del tempo) le equazioni (2.23) e (2.24) si semplificano nelle: ¸ · ξ −ξτ (2.25) x(τ ) = x0 e cos(δτ ) + sin(δτ ) δ 1 (2.26) x(τ ˙ ) = −x0 e−ξτ sin(δτ ) δ Dalla (2.26) appare evidente che x(τ ˙ ) = 0 se δτ = nπ, dove n = 0, 1, 2, . . . è un numero intero. In corrispondenza degli istanti in cui x˙ si annulla, x(τ ) prende valori estremali (massimi o minimi); in particolare se x0 > 0, x è massimo per n pari, minimo per n dispari. Due massimi consecutivi si verificano quindi per ∆τ = 2π/δ; passando al tempo naturale, si può definire un “periodo” delle oscillazioni smorzate TD come il tempo che intercorre tra due massimi della risposta: TD =

T ∆τ =p ω 1 − ξ2

(2.27)

(T è il periodo delle oscillazioni non smorzate); al periodo TD corrisponde una “pulsazione”: q ωD = ωδ = ω 1 − ξ 2 (2.28)

Queste relazioni mostrano che il periodo delle oscillazioni libere, smorzate o no, non dipende dalle condizioni iniziali, ma solo dalle caratteristiche dell’oscillatore, la massa, la rigidezza e lo smorzamento percentuale ξ. Le eq. (2.20) e (2.23) descrivono un moto oscillatorio di ampiezza decrescente, come illustrato nella figura 2.4a. Il rapporto tra due massimi consecutivi della risposta, agli istanti τ n = 2nπ/δ e τ n+1 = 2(n + 1)π/δ, per l’eq.(2.25) risulta: " # 2ξπ x(τ n+1 ) = exp − p (2.29) x(τ n ) 1 − ξ2 e dipende soltanto dal coefficiente ξ. Il logaritmo dell’inverso di questo rapporto è detto decremento logaritmico: ¶ µ x(τ n ) (2.30) ∆l = log x(τ n+1 ) L’eq. (2.29) si può risolvere in ξ, esprimendo lo smorzamento percentuale in funzione del decremento logaritmico: ∆l ξ=q ∆2l + 4π 2

(2.31)

14

2.2 Oscillazioni libere smorzate

smorzamento critico ( Smorzamento subcritico (

↑ΖΝΦ

smorzamento supercritico (

↑ΖΝΚΡΦ

xΕ≥Φ

↑ΖΜΚΜΡΦ

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

0.0

2.0

≥

4.0

6.0

8.0

10.0

≥ (b)

(a)

Figura~2.4: Moto smorzato: smorzamento subcritico (a), critico e supercritico (b) Questa relazione può essere utilizzata per misurare il coefficiente di smorzamento sulla base di registrazioni del moto di risposta. Quando ξ = 1 l’equazione (2.17) ha due radici reali coincidenti α = −1. In questo caso la soluzione dell’eq. (2.15) prende la forma x(τ ) = e−τ (A + Bτ )

(2.32)

e quindi, imponendo il rispetto delle condizioni iniziali: x(τ ) = e−τ [x0 + (x0 + y0 )τ ]

(2.33)

Le equazioni (2.32) e (2.33) esprimono un moto di direzione uniforme, senza oscillazioni; il sistema tende a tornare nella posizione di equilibrio statico muovendo dalla posizione attuale e tendendo ad x = 0 in un tempo idealmente infinito.1 Il moto di un sistema che inizia con velocità nulla, nel caso di smorzamento critico è illustrato nella fig. 2.4b. Lo smorzamento c corrispondente a ξ = 1 è detto critico; per la (2.13) si ha: √ (2.34) cr = 2 mk quindi ξ rappresenta la percentuale di smorzamento rispetto al valore critico. Nelle strutture si manifestano solitamente smorzamenti piccoli, relativamente a quello critico; quindi si hanno valori di ξ molto minori di uno. Valori tipici sono compresi nell’intervallo tra 0.02 e 0.10. 1 L’esperienza dimostra che l’equilibrio viene invece raggiunto dopo un tempo più o meno breve, ma finito; questo implica che la legge dello smorzamento viscoso lineare spiega solo approssimativamente la realtà. Da un punto di vista pratico questo però ha scarsa importanza; dopo un tempo t = 10 · T = 20π/ω, cioè dopo un tempo pari a 10 volte il periodo delle oscillazioni non smorzate, si ha τ = 20π e quindi e−τ ' 0.51 · 10−27 , cioè lo spostamento è divenuto circa 1027 volte più piccolo di quello iniziale: ai fini pratici questo è equivalente a zero.

15

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente

Per valori di ξ superiori ad uno le radici dell’equazione caratteristica (2.17) sono reali e distinte; il moto che ne risulta è ancora di tipo non oscillatorio, simile a quello relativo allo smorzamento critico; tuttavia, come è illustrato nell’esempio in fig. 2.4b, il moto avviene più lentamente ed il sistema impiega più tempo per raggiungere la posizione di equilibrio (o meglio uno spostamento sufficientemente piccolo, preso convenzionalmente come zero).

2.3

Oscillazioni forzate armonicamente

Si supponga ora di applicare, alla struttura di fig. 2.3, una forza F (t) variabile nel tempo. L’equazione di equilibrio dinamico si ottiene aggiungendo questo termine all’eq. (2.12): F (t) − m¨ x(t) − cx(t) ˙ − kx(t) = 0

(2.35)

Quindi, dividendo i termini per m, utilizzando le posizioni (2.2) e (2.13), ed eseguendo la sostituzione (2.4) della scala dei tempi, si ottiene l’equazione: x ¨(τ ) + 2ξ x(τ ˙ ) + x(τ ) =

F (τ /ω) k

(2.36)

Se la forza F (t) varia con legge armonica, indicando con ω f la sua pulsazione, si può porre F (t) = F0 sin(ω f t); sostituendo questa espressione nell’eq. (2.36), si ottiene: x ¨(τ ) + 2ξ x(τ ˙ ) + x(τ ) = u0 sin(βτ )

(2.37)

Nell’eq. (2.37) si è posto u0 =

F0 k

(2.38)

ad indicare lo spostamento che la struttura subirebbe per effetto una forza di modulo F0 applicata staticamente, mentre β=

ωf ω

(2.39)

indica il rapporto tra la pulsazione (o la frequenza) della forzante e quella delle oscillazioni libere (non smorzate) della struttura. Seguendo la regola generale per la soluzione delle equazioni lineari non omogenee, la soluzione dell’eq. (2.37) si ottiene sovrapponendo all’integrale generale della stessa equazione resa omogenea (cioè eliminando il termine a secondo membro), un integrale particolare dell’equazione completa (2.37). Nel seguito si supporrà che la struttura abbia uno smorzamento subcritico (ξ < 1), pertanto l’integrale generale dell’equazione omogenea è quello espresso dall’eq. (2.20). La soluzione particolare dell’equazione completa si ottiene assumendo che possa porsi nella forma: x ¯(τ ) = A1 sin(βτ ) + A2 cos(βτ )

(2.40)

Infatti, sostituendo l’espressione di x(τ ) ad x(τ ) nell’eq. (2.37), risulta: − β 2 [A1 sin(βτ ) + A2 cos(βτ )] + 2βξ [A1 cos(βτ ) − A2 sin(βτ )] +

A1 sin(βτ ) + A2 cos(βτ ) = u0 sin(βτ )

16

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente

Ponendo in evidenza le funzioni sin(βτ ) e cos(βτ ), appare evidente che questa equazione risulta identicamente soddisfatta per ogni valore di τ se risultano entrambi nulli i coefficienti delle funzioni seno e coseno. Imponendo queste condizioni si ottiene il sistema di due equazioni nelle incognire A1 , A2 : (1 − β 2 )A1 − 2ξβA2 = u0 2ξβA1 + (1 − β 2 )A2 = 0 la cui soluzione è A1 = u0

1 − β2 (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

A2 = u0

−2ξβ (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

(2.41)

Quindi, sostituendo le espressioni dei coefficienti A1 ed A2 nell’eq. (2.40), si determina l’espressione esplicita della soluzione particolare dell’equazione non omogenea (2.37): £ ¤ u0 2 (2.42) x ¯(τ ) = 2 2 2 2 (1 − β ) sin(βτ ) − 2ξβ cos(βτ ) (1 − β ) + 4ξ β L’eq. (2.40) si può anche scrivere in forma più espressiva ponendo: ¯ sin(βτ − φ) x ¯(τ ) = X in cui: X=

q u0 A21 + A22 = q (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

(2.43)

(2.44)

indica l’ampiezza del moto di risposta, mentre l’angolo φ, definito dalle relazioni: A2 2ξβ sin(φ) = − ¯ = q X (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

A1 1 − β2 cos(φ) = ¯ = q X (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

(2.45)

è detto la differenza di fase tra la forzante ed il moto di risposta. La soluzione generale del moto forzato si ottiene sommando la soluzione particolare [eq. (2.42)] dell’equazione non omogenea alla soluzione generale [eq. (2.20)] dell’equazione omogenea, e risulta: x(τ ) = e−ξτ [C1 sin(δτ ) + C2 cos(δτ )] + £ ¤ u0 2 2 2 2 2 (1 − β ) sin(βτ ) − 2ξβ cos(βτ ) (1 − β ) + 4ξ β

(2.46)

Ottenuta l’espressione esplicita di x(τ ˙ ) derivando il secondo membro dell’eq. (2.46), la forma esplicita del moto di risposta si determina imponendo le condizioni iniziali (x(0) = ˙ = y0 ), e quindi calcolando le costanti C1 e C2 : x0 , x(0) · µ ¶ u0 (2ξ 2 − 1 + β 2 )β −ξτ 1 x(τ ) = e x0 ξ + y0 + sin(δτ )+ δ (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2 µ ¶ ¸ 2ξβu0 x0 + cos(δτ ) + (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2 ¤ £ u0 2 (2.47) 2 2 2 2 (1 − β ) sin(βτ ) − 2ξβ(βτ ) (1 − β ) + 4ξ β

17

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente

In presenza di smorzamento (ξ > 0), la parte dell’eq. (2.47) che dipende dalle condizioni iniziali, cioè la soluzione dell’equazione omogenea, diminuisce esponenzialmente al crescere di τ e tende a zero per per τ → ∞; in pratica per τ abbastanza grande questo termine diverrà trascurabile a confronto di quello che dipende dalle caratteristiche della forzante. Quindi nei sistemi dotati di smorzamento si possono distinguere due fasi della risposta: una prima, per tempi vicini a quello iniziale, in cui il moto è influenzato dalle condizioni iniziali, detta fase transitoria; una seconda, espressa dalla sola eq. (2.42), detta fase stazionaria, in cui il moto di risposta non dipende dalle condizioni iniziali ma solo dalle caratteristiche della forzante. Ovviamente la separazione tra queste due fasi è convenzionale, in quanto il passaggio dall’una fase all’altra è continuo e, a rigore, la fase stazionaria si raggiunge solo quando τ = ∞. In pratica però si può, con qualche arbitrio, scegliere un valore di τ oltre il quale il contribito del termine (2.20) all’ampiezza totale del moto diviene trascurabile e considerare stazionario il moto nel tempo successivo. Poiché, come si riconosce guardando la figura 2.4a, anche per valori piccoli di ξ le oscillazioni libere si smorzano dopo un numero limitato di cicli, è interessante puntare l’attenzione sulla parte stazionaria della risposta. Dall’eq. (2.42) appare evidente che x ¯(τ ) è periodica di periodo 2π/β in τ e quindi di periodo 2π/ω f in t; cioè lo stesso della forzante. ¯ è quella data dall’eq. (2.43), da cui si ricava che: L’ampiezza massima della risposta X ¯ X 1 =D= q u0 (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

(2.48)

Il fattore D è detto coefficiente di amplificazione dinamica, in quanto è il raporto tra lo spostamento massimo della risposta dinamica e lo spostamento u0 = F0 /k che sarebbe prodotto dalla forza F0 qualora agisse staticamente. Per β = 0 D = 1; al crescere di β generalmente D cresce fino a raggiungere un massimo per β soluzione dell’equazione: dD ∼ β(−1 + β 2 + 2ξ 2 ) = 0 dβ Se 2ξ 2 < 1 questa equazione ammette una soluzione reale per: q β r = 1 − 2ξ 2

(2.49)

cui corrisponde il valore massimo del coefficiente di amplificazione: Dmax =

1 p 2ξ 1 − ξ 2

(2.50)

Facendo crescere β oltre il valore β r , D decresce e per β → ∞ D → 0. L’andamento del coefficiente di amplificazione in funzione di β e per alcuni valori dello smorzamento ξ è mostrato nella fig. 2.5. Se ξ ¿ 1 l’amplificazione massima si verifica per β r ' 1, cioè quando ω f ' ω; con la stessa approssimazione l’amplificazione massima e circa 1/2ξ. La frequenza per cui l’ampiezza della risposta è massima si chiama di risonanza: q ω r = ω 1 − 2ξ 2

Nei sistemi debolmente smorzati la frequenza di risonanza praticamente coincide con la frequenza delle oscillazioni libere (non smorzate) della struttura, indicata anche come frequenza naturale dell’oscillatore. L’amplificazione massima che si verifica alla risonanza

18

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente

10.0

8.0

↑=Ζ=ΜΚΜ

6.0

↑=Ζ=ΜΚΜΡ

D

↑=Ζ=ΜΚΝΜ ↑=Ζ=ΜΚΡΜ

4.0

2.0

0.0 0.0

1.0

2.0

ϒΖ∂

f

3.0

Λ∂

Figura~2.5: Coefficiente di amplificazione dinamica in funzione di β e ν; in linea spessa è indicata la congiungente i punti di massima amplificazione cresce inversamente allo smorzamento; nei sistemi debolmente smorzati (ξ ¿ 1) Dmax À 1 e tende all’infinito nel caso di smorzamento nullo. Così, nei sistemi con debole smorzamento, se la frequenza della forzante si avvicina alla frequenza naturale dell’oscillatore, il moto di risposta risulta grandemente amplificato; in questo modo anche una piccola forza, se pulsa alla frequenza di risonanza della struttura, può produrre spostamenti, e quindi sollecitazioni, molto grandi e pericolosi. Il ritardo di fase φ, espresso dalle equazioni (2.45), è diagrammato in fig. 2.6 in funzione di β e per alcuni valori dello smorzamento ξ. Per sistemi debolmente smorzati (al limite con smorzamento nullo) quando β < 1 φ ∼ 0, cioè la risposta è praticamente in fase con l’eccitazione. Quando β si avvicina ad 1 la differenza di fase aumenta rapidamente, in modo che per β = 1 si ha φ = π/2. Spostandosi ancora verso valori maggiori di β, φ aumenta rapidamente, approssimando π; in questo caso la risposta è in opposizione di fase all’eccitazione, in quanto l’una raggiunge il massimo positivo quando l’altra è al massimo negativo e viceversa. Il passaggio dalla risposta in fase ed in opposizione di fase è tanto più brusco quanto più lo smorzamento è piccolo, come mostrato dalla fig. 2.6; al limite per sistemi non smorzati passa da φ = 0 per β < 1 a φ = π per β > 0 in modo discontinuo. Questa caratteristica del cambiamento di fase viene utilizzata per individuare la frequenza di risonanza di un oscillatore. In figura 2.7 sono rappresentate le storie degli spostamenti di due oscillatori, con lo stesso coefficiente di smorzamento ξ = 0.05, soggetti all’azione di una forza di periodo β = ω f /ω = 0.9 il primo (a), e β = 1.1 il secondo (b). È evidente che nel primo caso, dopo la fase transitoria, la risposta è praticamente in fase con la forzante, mentre nel secondo si ha opposizione di fase.

19

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 3.14

↑=Ζ=ΜΚΜΝ

∞

↑=Ζ=ΜΚΜΡ

1.57

↑=Ζ=ΜΚΝΜ ↑=Ζ=ΜΚΠΜ

0.00 0.0

1.0

2.0

3.0

ϒ

Figura~2.6: Differenza di fase tra forzante e risposta in funzione di β e del coefficiente di smorzamento ν

2.3.1

Energia dissipata

Il lavoro svolto dalla forza esterna F (t) in un ciclo del moto stazionario, si calcola facilmente avendo determinato la legge del moto di risposta. Infatti si ha: Z Tf F0 sin(ω f t)x(t) ˙ dt (2.51) W = 0

in cui Tf = 2π/ω f indica il periodo della forza F (t). Quindi sostituendo ad x(t) l’espressione esplicita del moto stazionario (2.43), tenendo conto della (2.44), della (2.48) e delle definizioni di β, τ e u0 , dall’eq.(2.51) si deduce: Z DF02 ω f 2π/ωf DF02 π sin(φ) (2.52) W = sin(ωf t) cos(ωf t − φ) dt = k k 0 Quindi rendendo espliciti i termini D e sin(φ) mediante sostituzione delle equazioni (2.48) e (2.45), si ha: W =

4πξβ F02 2 2k (1 − β )2 + 4ξ 2 β 2

(2.53)

Il primo termine nel secondo membro dell’eq. (2.53), F02 /2k è il lavoro fatto dalla forza F0 applicata staticamente, nel ciclo di carico; il secondo termine tiene conto della legge ciclica di applicazione della forza e degli effetti dinamici. È facile verificare che l’espressione (2.53) del lavoro fatto dalla forza esterna in un ciclo coincide con quello dissipato dall’unico elemento non conservativo dell’oscillatore ed espresso dall’integrale: Z Tf cx˙ 2 (t) dt 0

20

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente

6.0 4.0

x

2.0 0.0 -2.0 -4.0 -6.0 0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

60.0

80.0

100.0

≥

(a) 6.0 4.0

x

2.0 0.0 -2.0 -4.0 -6.0 0.0

20.0

40.0

≥

(b)

Figura~2.7: Storie degli spostamenti di due oscillatori con lo stesso coefficiente di smorzamento ν = 0.05. Grafico (a): β = 0.9; grafico (b): β = 1.1. Con linea tratteggiata è indicata la storia della forzante u0 sin(βτ ) Il valore di W in funzione di β e per alcuni valori di ξ è rappresentato nel diagramma della figura 2.8. In tutti i casi il lavoro fatto si annulla per β → 0, come conseguenza del fatto che il sistema non è dissipativo nei confronti di forze applicate staticamente; inoltre si osservi come, per valori di β non troppo vicini ad uno, il lavoro fatto dal sistema cresca con lo smorzamento percentuale ξ: cioè i sistemi con coefficiente di smorzamento più grande dissipano una maggiore quantità di energia. Questa relazione però si inverte quando β ' 1, cioè in prossimità della risonanza: in tali condizioni l’energia dissipata dai sistemi debolmente smorzati aumenta molto rapidamente e raggiunge livelli anche molto più elevati di quelli relativi agli oscillatori dotati di maggior smorzamento.

2.3.2

Rappresentazione complessa

Se su di un piano cartesiano x, y si riporta un vettore ~u di modulo u0 e che forma un angolo βτ (mod 2π) con l’asse x, come mostrato nella figura 2.9, la componente di ~u sull’asse y ha ampiezza u0 sin(βτ ), uguale all’ampiezza della forzante nell’equazione (2.37); facendo ruotare ~u con velocità angolare β la sua proiezione su y uguaglia l’ampiezza della forza applicata al sistema.

21

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente

1E+2 ↑=Ζ=ΜΚΜΝ ↑=Ζ=ΜΚΜΡ

1E+1

↑=Ζ=ΜΚΝΜ ↑=Ζ=ΜΚΟΜ ↑=Ζ=ΜΚΡΜ

W

1E+0

1E-1

1E-2

1E-3 0.0

1.0

2.0

3.0

ϒ

Figura~2.8: Lavoro fatto dalla forza sinusoidale applicata ad un oscillatore smorzato in un ciclo del moto stazionario Combinando i risultati (2.43) e (2.48), l’ampezza della risposta stazionaria si può scrivere: ¯ ) = Du0 sin(βτ − φ) X(τ

(2.54)

Se sullo stesso piano dove viene riportato ~u si riporta anche il vettore ~x, di modulo Du0 e che forma con ~u l’angolo −φ, i due vettori, ruotando solidalmente, descrivono, con le loro proiezioni su y, l’ampiezza della forzante e del moto di risposta. Se si interpreta il piano x, y come il piano dei numeri complessi, i vettori ~u e ~x si possono interpretare come le rappresentazioni dei numeri complessi: u0 [cos(βτ ) + i sin(βτ )] = u0 eiβτ

(2.55)

Du0 [cos(βτ − φ) + i sin(βτ − φ)] = Du0 ei(βτ −φ)

(2.56)

Più in generale, ponendo U eiβτ come termine noto nell’eq. (2.37), con U eventualmente complesso, e cercando la soluzione stazionaria dell’equazione così ottenuta nella forma Xeiβτ , dopo sostituzione nell’equazione (2.37), si ha: X[−β 2 + 2iβξ + 1]e−βτ = U e−βτ

(2.57)

U = H(β, ξ)U 1 − β + 2iβξ

(2.58)

da cui si ottiene: X=

2

La funzione H(β, ξ) =

1 − β 2 − 2iβξ 1 = 1 − β 2 + 2iβξ (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

(2.59)

22

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente

Figura~2.9: Rappresentazione vettoriale (o complessa) della forza e della risposta è detta funzione di trasferimento; la sua inversa 1 − β 2 + 2iβξ è l’impedenza complessa del sistema. Posta in forma esponenziale la funzione di trasferimento si scrive: H(β, ξ) = ||H||e−iψ

(2.60)

È facile verificare che il modulo di H coincide con il coefficiente di amplificazione; infatti: 1 ||H|| = q =D (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

(2.61)

mentre l’anomalia ψ coincide con il ritardo di fase φ, come si controlla confrontando le cos(ψ) =

1 − β2 (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

sin(ψ) =

2βξ + 4ξ 2 β 2

(1 − β 2 )2

con l’eq. (2.45). Se U è reale ed uguale ad u0 , per l’eq. (2.57) e per quanto visto sopra si ha: x(τ ) = H(β, ξ)u0 eiβτ = Du0 ei(βτ −φ)

(2.62)

coincidente con la (2.56). Si è dunque determinata una soluzione complessa in conseguenza di una legge complessa della forzante. Poiché realmente sia la forzante che la risposta sono grandezze reali, la soluzione (2.62) si deve intendere come la combinazione delle risposte ad un’eccitazione cosinusoidale (parte reale) ed a quella sinusoidale (parte immaginaria).

2.3.3

Isolamento alla base

Si supponga che una macchina rotante eserciti una forza sinusoidale F0 sin(ω f t) su di una struttura di fondazione di massa m, collegata al terreno mediante dei vincoli elastici di rigidezza k e viscosità c, come schematicamente illustrato nella figura 2.10; si è interessati alla determinazione della forza che il basamento trasmette al terreno. Poiché questa struttura è stata modellata come un sistema ad un grado di libertà, la risposta in spostamento ad una forzante armonica è data dall’eq. (2.47); in particolare la la

23

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente

Figura~2.10: Modellazione schematica del basamento di fondazione di una macchina legge della parte stazionaria è espressa nell’eq.(2.54). La forza che il basamento trasmette al terreno è evidentemente la somma delle forze assorbite dai vincoli, cioè la forza elastica k x(t) e la forza viscosa c x(t). ˙ Quindi, tenendo conto della (2.54), si ottiene facilmente: ˙ = Du0 [k sin(βτ − φ) + cβω cos(βτ − φ)] FT (t) = k x(t) + c x(t)

= DF0 [sin(βτ − φ) + 2ξβ cos(βτ − φ)] (2.63)

in cui D è la funzione di amplificazione (2.48) e sono state utilizzate le uguaglianze (2.38) e (2.13). L’eq. (2.63) mostra che la forza FT , in condizioni stazionarie, segue una legge armonica con la pulsazione βω = ω f della forzante ed ampiezza: q |FT (t)| = F0 D 1 + 4ξ 2 β 2

Quindi, sostituendo l’espressione di D fornita dall’eq. (2.48), si ottiene in forma esplicita il rapporto |FT |/F0 tra la forza trasmessa al terreno e quella esercitata dalla macchina sulla fondazione, chiamato la trasmissibilità del sistema: s 1 + 4ξ 2 β 2 |FT (t)| = (2.64) TR = F0 (1 − β 2 )2 + 4ξ 2 β 2

La trasmissibilità è rappresentata in fig. 2.11 in funzione di β e per diversi valori del coefficiente di smorzamento. Da questa figura appare evidente che T R = 1 per β → 0, cioè per azioni statiche, e cresce quando β approssima 1, con un’amplificazione che dipende dallo √ smorzamento. Superato 1 la trasmissibilità diminuisce e diviene inferiore ad 1 per β > 2. L’attenuazione è maggiore per i sistemi poco smorzati, così come era maggiore l’amplificazione per β ' 1. Dal grafico di fig. (2.11) appare evidente che se si vuole ridurre gli effetti trasmessi dal macchinario al terreno (e quindi attraverso questo alle strutture circostanti) occorre che √ T R ¿ 1, il che si ottiene mediante un sistema in cui β = ω f /ω À 2, ciò che significa che la fondazione deve avere una frequenza propria molto minore di quella della forzante. Dallo stesso grafico sembrerebbe essere conveniente ridurre al minimo lo smorzamento, perché in questo modo si riduce la trasmissibilità, ma non è prudente eccedere, perché i

24

2.4 Risposta ad un’azione periodica

100.00

↑ΖΜΚΜΝ ↑ΖΜΚΜΡ ↑ΖΜΚΝΜ

10.00

↑ΖΜΚΟΜ ↑ΖΜΚΘΜ

TR

↑ΖΜΚΣΜ

1.00

0.10

0.01 0.0

1.0

_

2.0

ϒ=Ζ=∂

3.0

4.0

∂

Figura~2.11: Funzione di trasmissibilità di un sistema eccitato armonicamente sistemi poco smorzati hanno l’inconveniente di attenuare lentamente gli effetti transitori e, nel caso si dovesse verificare un’azione di frequenza vicina a quella naturale del sistema, darebbero luogo a pericolose amplificazioni. Valori dello smorzamento prossimi al 10% rappresentano di solito un buon compromesso tra queste due esigenze.

2.4

Risposta ad un’azione periodica

Spesso le azioni trasmesse da macchinari alle strutture sono periodiche di periodo Tf , cioè soddisfano la condizione: ∀t F (t + Tf ) = F (t) ma non sono semplicemente armoniche, cioè non possono essere rappresentate in modo soddisfacente con una semplice funzione sinusoidale o cosinusoidale. Tuttavia è ben noto che le funzioni periodiche possono essere espresse mediante uno sviluppo in serie di funzioni armoniche; questa serie è nota come serie di Fourier. Da un punto di vista operativo è più comodo utilizzare la rappresentazione sotto forma di esponenziali complessi delle funzioni armoniche, perché così si ottengono risultati in forma più compatta; si potrà poi fare uso di quanto visto nel § 2.3.2 per interpretare i risultati espressi in forma complessa. Se F (t) è periodica di periodo Tf , si potrà allora porre: F (t) = a0 +

∞ X

An eiωn t

(2.65)

n=−∞ n6=0

in cui ωn =

2nπ Tf

(2.66)

25

2.4 Risposta ad un’azione periodica

è la pulsazione dell’n-esima armoninica in cui è decomposta la funzione F (t), mentre An indica la corrispondente ampiezza complessa. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione (2.65) per exp(−iωj t) ed integrando il risultato su di un periodo, si ottiene: Z

Tf

−iωj t

F (t)e

dt = a0

0

Z

Tf

−iωj t

e

dt +

0

Z

∞ X

An

Z

F (t) dt

n=−∞ n6=0

Tf

i(ω n −ω j )t

e

0

dt =

½

Tf a0 se j = 0 Tf Aj se j 6= 0 (2.67)

da cui si deduce: 1 a0 = Tf 1 Aj = Tf

Tf

0

Z

(2.68)

Tf

−iω j t

F (t)e

dt

0

Negli sviluppi dell’eq. (2.67) si è tenuto conto che le funzioni eiωn t , per ωn 6= 0, sono periodiche e pertanto il loro integrale su di un intervallo multiplo del loro periodo è nullo. Per l’eq. (2.65) la forza periodica F (t) è stata decomposta nella somma di una forza costante a0 e di infinite forze variabili con legge armonica di ampiezza ||An || e periodo ω n = 2nπ/Tf . Per la linearità del sistema, la parte stazionaria della risposta sarà la somma delle risposte dello stesso sistema a queste forzanti armoniche agenti singolarmente. Si potrà allora porre: x ¯(t) = b0 +

∞ X

Bn eiωn t

(2.69)

n=−∞ n6=0

Sostituendo le equazioni (2.65), (2.69) e le sue derivate nell’equazione di equilibrio dinamico (2.35) si ha:   −

∞ X

ω 2n Bn eiωn t + 2iωξ

n=−∞ n6=0

∞ X

n=−∞ n6=0

∞ X   iωn t  b ω n Bn eiωn t + ω 2  + B e 0 n  = n=−∞ n6=0





∞ X  1  iωn t  a0 + A e n  m n=−∞

(2.70)

n6=0

da cui, uguagliando i termini costanti ed i coefficienti delle funzioni eiωn t , si ottengono le espressioni dei coefficienti dello sviluppo della risposta: b0 = Bn =

a0 k m(ω 2

(2.71a) An An An = = H(β n , ξ) 2 2 − ω n + 2iξωω n ) k k(1 − β n + 2iξβ n )

(2.71b)

in cui β n = ω n /ω ed H indica la funzione di trasferimento complessa, definita dall’eq. (2.59).

26

2.4 Risposta ad un’azione periodica

Infine, sostituendo le soluzioni (??) nell’eq. (2.69) si ricava l’espressione esplicita della risposta stazionaria del sistema alla forzante periodica F (t):   x ¯(t) =

∞ X  1 iω n t  a0 + H(β , ξ)A e n n  k n=−∞

(2.72)

n6=0

Se F (t) è reale An e A−n formano coppie di numeri complessi coniugati; così i termini dello sviluppo (2.65) sono, per valori opposti di n, complessi coniugati e la somma delle coppie An eiωn t + A−n e−iωn t = 2 0 si manifesta un decadimento di ampiezza; dalle due combinazioni per cui il metodo risulta incondizionatamente stabile si ottengono risultati molto simili; nel seguito si fa riferimento alla scelta che rende la soluzione stabile ed oscillante. Sostituendo allora la precedente espressione di |λ| nell’eq. (2.101) si ottiene che la riduzione di ampiezza in un periodo è: ¸π/∆τ · 4 + (1 − ²)2 ∆τ 2 DA = 4 + (1 + ²)2 ∆τ 2 I primi termini dello sviluppo in serie di questa espressione sono: 1 DA = 1 − π ² ∆τ + π 2 ²2 ∆τ 2 + O(∆τ 3 ) 2 Il logaritmo dell’inverso di DA è il decremento logaritmico delle oscillazioni libere; a questo decremento corrisponde uno smorzamento percentuale che si calcola con l’eq. (2.31). Sviluppando in serie di Taylor l’espressione che ne risulta si ha: 2² + 3²3 1 ∆τ 3 + O(∆τ 4 ) ξ ∗ = ²∆τ − 2 16 Questo smorzamento non compare esplicitamente nelle equazioni del moto ma è equivalente, nel senso che produce gli stessi effetti dell’algoritmo numerico; per questo motivo è chiamato smorzamento numerico dell’algoritmo. Se ∆τ è sensibilmente inferiore ad uno, in modo che siano trascurabili gli infinitesimi superiori, lo smorzamento numerico è circa

2.6 Risposta ad un’azione non periodica

39

²∆τ /2. Quindi, se si vuole ridurre il decadimento di ampiezza, occorre assumere valori piccoli di ² ed usare un piccolo passo di integrazione. Per determinare l’entità dello scorrimento del periodo si determina il coseno dell’argomento degli autovalori di A: tr(A) cos(φ) = 2 det(A)1/2 Quindi lo scorrimento di periodo si calcola con l’eq. (2.104). Per gli algoritmi incondizionatamente stabili ed oscillanti, ponendo α = 1/2 + ², β = (1 + ²)2 /2, e sviluppando in serie di ∆τ , si ha: 1 + 3²2 ∆τ 2 + O(∆τ 4 ) Sp = 12 Per il metodo dell’accelerazione media si ha in particolare: Sp =

∆τ 2 ∆τ 4 − + O(∆τ 6 ) 12 180

mentre il metodo dell’accelerazione lineare (che non è incondizionatamente stabile) ha un’elogazione del periodo: Sp =

17 ∆τ 2 − ∆τ 4 + O(∆τ 6 ) 24 5760

Per ∆τ → 0 il metodo dell’accelerazione lineare produce lo stesso scarto di periodo del metodo delle differenze centrali (ma con segno opposto); al crescere di ∆τ però la situazione diviene più favorevole per il metodo di Newmark, come dimostra, nello sviluppo in serie della funzione Sp , la differenza di segno tra il termine quadratico e quello di quarto grado.

Capitolo 3

Sistemi discreti con più di un grado di libertà 3.1

Introduzione

Gli oggetti reali, da un punto di vista macroscopico, sono continui e quindi caratterizzati da infiniti gradi di libertà. Tuttavia, come insegna la teoria delle strutture, i mezzi continui possono essere discretizzati, per esempio mediante la tecnica degli elementi finiti (e.f.), e le equazioni differenziali che ne descrivono il comportamento ridotte a sistemi di equazioni algebriche, la cui soluzione approssima quella esatta tanto meglio quanto più fitta è stata la discretizzazione impiegata. Analoghe considerazioni si applicano al problema dinamico, spesso in modo ancora più marcato, come avviene ad esempio quando la maggior parte della massa è associata a pochi gradi di libertà: in tal caso i gradi di libertà a cui è associata una massa trscurabile possono essere “condensati” e non compaiono più come incognite esplicite nelle equazioni del moto. Per esempio, prendendo in esame un telaio multipiano a maglie rettangolari, come quello illustrato nella fig. , se si trascura la deformabilità assiale delle travi e si ritiene che le masse associate ai gradi di libertà di rotazione dei nodi siano piccole in confronto con quelle relative alle traslazioni, tutte le masse si possono considerare concentrate a livello dei piani. Non essendovi masse (e quindi forze) associate agli altri gradi di libertà, la matrice di rigidezza della struttura può essere condensata, ponendo in relazione solo le forze applicate ai piani e gli spostamenti corrispondenti.1 Con la notazione delle matrici, l’equazione di equilibrio della struttura si scrive: Ku = f

(3.1)

in cui K indica la matrice delle rigidezze, u è il vettore degli spostamenti dei piani ed f è il vettore delle forze applicate ai piani. Se le sole forze applicate sono quelle d’inerzia, 1

La matrice condensata si può ottenere direttamente, p.es. mediante un programma ad e.f. standard, imponendo uno spostamento unitario ai nodi di un piano e spostamenti nulli agli altri: le reazioni che si ottengono formano una colonna della matrice di rigidezza condensata; variando a turno il piano a cui è imposto lo spostamento si determinano tutte le colonne.

40

41

3.2 La matrice delle masse

poiché le masse sono per ipotesi concentrate nei piani, si avrà:   m1 u ¨1  m2 u ¨2   u f = −  · · ·  = M¨ ¨n mn u

dove m1 , . . . , mn sono le masse dei piani e M è la matrice diagonale:   m1 0 · · · 0  0 m2 · · · 0   M=  ..................  0 0 · · · mn

(3.2)

detta matrice delle masse. Sostituendo le forze di inerzia ad f nell’eq. (3.1) si ottiene il sistema di equazioni della dianamica di un sistema con masse concentrate e non forzato: M¨ u(t) + Ku(t) = 0

(3.3)

L’equazione (3.3) è formalmente simile alla (2.1) relativa ad un sistema con un solo grado di libertà, ma le quantità scalari m e k sono sostituite dalle corrispondenti matrici M e K. L’equazione (3.3) si riferisce al moto libero e non smorzato di un sistema con molti gradi di libertà: il caso più generale del moto forzato di un sistema dissipativo si ottiene con ovvie generalizzazioni: la presenza di azioni esterne comporta l’aggiunta di un termine f (t), rappresentativo delle azioni esterne note, mentre gli effetti della viscosità ˙ lineare vengono messi in conto introducendo un termine Cu(t), prodotto di una matrice viscosa C per il vettore delle velocità. Sulla effettiva struttura della matrice C si tornerà nel seguito, per ora si osservi che, con l’introduzione delle forze esterne e degli effetti viscosi, l’equazione dinamica di un sistema discreto con più di un grado di libertà si sintetizza nella formula: ˙ M¨ u(t) + Cu(t) + Ku(t) = f (t)

(3.4)

che corrisponde alla eq. (2.35), relativa ad un sistema ad un g.d.l.

3.2

La matrice delle masse

Per i sistemi discreti la matrice delle masse è una matrice diagonale i cui elementi non nulli sono le masse concentrate, associate ai rispettivi gradi di libertà. Spesso questo modello rappresenta un’approssimazione accettabile anche per i sistemi continui discretizzati, come si è detto a proposito dell’esempio descritto nel precedente paragrafo. In questo caso i termini diagonali della matrice delle masse sono formati con i valori risultanti delle masse distribuite, associate a ciascun nodo secondo qualche criterio di “zona di influenza”. Questo procedimento però non è sempre accettabile, né si può sempre trascurare il fatto che una massa distribuita è associata a più di un grado di libertà, per cui la matrice delle masse non è diagonale. Per affrontare in modo razionale la costruzione della matrice delle masse di un sistema continuo discretizzato, si riassumono sinteticamente i passi con cui si perviene a formulare le equazioni di equilibrio, utilizzando la tecnica degli elementi finiti.

42

3.2 La matrice delle masse

Indicando con u(x, t) il campo degli spostamenti in un mezzo continuo, questo si discretizza ponendo: u(x, t) = N(x)u0 (t)

(3.5)

In cui N(x) indica una matrice di funzioni interpolanti e u0 (t) è un vettore di parametri, che nel metodo degli elementi finiti si interpretano come gli spostamenti dei nodi dell’elemento. Dal campo degli spostamenti si deriva quello delle deformazioni, mediante l’applicazione di un operatore differenziale D che, nella teoria linearizzata, valida per piccole deformazioni, è lineare. Quindi applicando l’operatore D ad u, posto nella forma discretizzata dell’eq. (3.5), si ottiene: ²(x, t) = D[u(x, t)] = D[N(x)]u0 (t) = B(x)u0 (t)

(3.6)

in cui B(x) = D[N(x)] è la matrice che trasforma il campo degli spostamenti nodali u0 nel campo delle deformazioni ². In un mezzo elastico lineare la relazione tra il campo delle deformazioni ² e quello delle tensioni σ è lineare, per cui si ha σ = E², dove E è la matrice elastica del materiale. Utilizzando l’espressione (3.6) per ², si ha quindi: σ(x, t) = EB(x)u0 (t)

(3.7)

Utilizzando le equazioni dell’equilibrio nella forma del principio dei lavori virtuali, indicando con g il vettore delle forze di massa, con δu il campo, arbitrario, degli spostamenti virtuali e con δ² il corrispondente campo delle deformazioni, ed indicando con V il volume dell’elemento, si ha: Z Z T δε(x, t) σ(x,t) dx = δu(x, t)T g(x, t) dx (3.8) V

V

Nella formulazione di Galerkin il campo di spostamenti arbitrario viene espresso mediante le stesse funzioni interpolanti usate per descrivere il campo degli spostamenti reali; si pone dunque δu = Nδu0 . Sostituendo nella (3.8) questa espressione degli spostamenti virtuali e quella analoga delle deformazioni, che si ottiene dalla (3.6) ponendo δu0 in luogo di u0 , nonché l’espressione (3.7) del campo delle tensioni, si ottiene: ¶ ¸ ·µZ Z T T T δu0 B (x)EB(x) dx u0 (t) − N (x)g(x, t) dx = 0 (3.9) V

V

che, per l’arbitrarietà del campo degli spostamenti δu0 , implica sia verificata l’equazione: Ku0 (t) = f (t) dove la matrice di rigidezza, come si desume dall’eq. (3.9), è: Z K= BT (x)EB(x) dx V

43

3.2 La matrice delle masse

mentre il vettore delle forze generalizzate risulta: Z f (t) = NT (x)g(x, t) dx

(3.10)

V

Nei problemi dinamici, tra le forze di massa g deve essere considerata la forza d’inerzia −ρ¨ u (ρ indica la densità di massa del materiale); il contributo alla forza generalizzata dovuto alla forza di inerzia si calcola quindi facilmente, sostituendo, nell’eq. (3.10), a g il termine inerziale −ρ¨ u; utilizzando per u l’espressione (3.5) si ha pertanto: µZ ¶ T ¨ 0 (t) = −M¨ ρN (x)N(x) dx u u0 (t) (3.11) fi (t) = − V

in cui M=

Z

ρNT (x)N(x) dx

(3.12)

V

è la matrice “coerente” delle masse del sistema discretizzato. Nel caso di elementi finiti l’equazione (3.12) fornisce la matrice delle masse dell’elemento: la matrice dell’intera struttura si ottiene poi assemblando le matrici elementari con le solite regole, valide anche per l’assemblaggio della matrice di rigidezza. Aggiungendo il termine con le forze d’inerzia all’equazione di equilibrio si ottiene quindi ancora l’equazione (3.4) (a meno del termine viscoso Cu) ˙ ma ora la matrice delle masse non è più diagonale: essa non è stata ottenuta per semplice “aggregazione” nel nodo della massa circostante, ma con un procedimento coerente (da qui la denominazione) con gli altri procedimenti di discretizzazione. Esempio 3.1 Si vuole costruire la matrice delle masse di una trave vincolata nel piano x, y, con densità di massa per unità di lunghezza ρl , uniforme. Nel riferimento proprio della trave, l’asse x coincidente con quello della trave, l’asse y ortogonale,se si indica con u(x) = [u(x) v(x)]T il vettore degli spostamenti e con u0 = [u1 v1 φ1 u2 v2 φ2 ]T il vettore dei parametri nodali, cioè le componenti dello spostamento e la rotazione di ciascuna estremità della trave, la matrice delle funzioni interpolanti è: " # x 0 0 0 0 1 − xl l N(x) = 2 3 3 2 3 2 x3 x2 0 −2 xl3 + 3 xl2 0 −3 xl2 + 1 + 2 xl3 xl2 + x − 2 xl l2 − l Per determinare la matrice delle masse si sostituisce l’esprerssione di N(x) data dall’equazione precedente nella (3.12); svolgendo i prodotti e quindi integrando tutti i termini della matrice quadrata NT (x)N(x) per x variabile tra 0 ed l, tenendo conto che, per ipotesi, ρl non dipende da x, si ha:  1  1 0 0 0 0 3l 6 l   13 11 2 9 13 2   0 0 − 420 l  35 l 210 l 70 l    Z l 11 2 13 2 1 3  1 3  0 0 − 140 l  210 l 105 l 420 l  T M= ρN (x)N(x) dx = ρl  1  1  l  0 0 0 0 0 3 l  6    9 13 2 13 11 2   0 l l 0 l − l 70 420 35 210   3 13 2 1 11 2 1 3 0 − 420 l − 140 l 0 − 210 l 105 l

2

44

3.3 Oscillazioni libere non smorzate

3.3

Oscillazioni libere non smorzate

L’equazione (3.3) è, come si è detto, l’equivalente dell’eq. (2.1) generalizzata ai sistemi con più di un grado di libertà, rappresenta cioè l’equazione del moto di un sistema non soggetto ad azioni esterne ed in assenza di effetti viscosi; come per il caso ad un g.d.l. si affronterà prima la soluzione di questo problema, per poi generalizzarla ai sistemi forzati e smorzati. Per determinare la soluzione dell’eq. (3.3), che qui si riscrive: M¨ u(t) + Ku(t) = 0 si pone: u(t) = φz(t)

(3.13)

Si assume quindi che la soluzione dell’eq. (3.3) si possa esprimere come il prodotto di un vettore costante φ per una funzione scalare del tempo z(t); quindi si cerca, se esiste, una soluzione dell’eq. (3.3) che si possa porre in tale forma. Sostituendo l’eq. (3.13) nella (3.3) e moltiplicando tutti i termini a sinistra per φT , si ottiene: φT Mφ z¨(t) + φT Kφ z(t) = 0 quindi, tenendo conto che i prodotti φT Mφ e φT Kφ sono scalari, dall’equazione precedente si trae: φT Kφ z¨(t) = −ω 2 =− T z(t) φ Mφ

(3.14)

cioè il rapporto tra la derivata seconda di z(t) e la funzione stessa deve uguagliare una costante negativa. Il segno di questa costante consegue dal fatto che le quantità φT Mφ e φT Kφ sono sempre positive. Questo si giustifica osservando che, se si interpreta il vettore φ come un vettore di spostamenti impressi alla struttura, la quantità φT Kφ è, a meno del fattore 12 , l’energia elastica della struttura, che è, come noto, sempre positiva. Analogamente se φ si interpreta come il vettore delle velocità impresse ai nodi della struttura, φT Mφ è il doppio dell’energia cinetica del sistema, grandezza anch’essa positiva.2 Dall’eq. (3.14) segue che z(t) deve essere soluzione dell’equazione differenziale: z¨(t) + ω 2 z(t) = 0

(3.15)

che coincide con l’eq. (2.3), dell’oscillatore ad un g.d.l. libero e non smorzato, la cui soluzione si può porre nella forma: z(t) = A sin(ωt + φ)

(3.16)

in cui A e φ sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto. Sostituendo l’espressione di z(t) (3.16) nell’eq. (3.13) e quindi questa di nuovo nella (3.3), si ricava facilmente: ¢ ¡ (3.17) −Mφω2 + Kφ A sin(ωt + φ) = 0 2

Quindi le matrici M e K sono definite positive

45

3.3 Oscillazioni libere non smorzate

Perché questa equazione sia soddisfatta per ogni valore di t deve risultare identicamente nulla la quantità (−Mφω 2 + Kφ). Sostituendo ω2 con λ, questo implica che si deve avere: Kφ = λMφ

(3.18)

Questa equazione è identica a quella (A.49) studiata nell’appendice A: λ e φ devono quindi essere l’autovalore ed il corrispondente autovettore, in forma generalizzata, delle matrici K e M. Come è stato mostrato nei §§??, ??, ?? ed ??, poiché le matrici K e M sono simmetriche ed il loro determinante non è nullo (come segue dal fatto che sono definite positive), se n è l’ordine delle matrici, se ciè il sistema ha n g.d.l., l’equazione (3.18) ha n soluzioni distinte φ1 , . . . , φn , a ciascuna delle quali è associato un autovalore λk (k = 1, . . . , n) i cui valori non sono necessariamente sempre distinti. Sempre per la simmetria di M e K si ha che gli autovalori λk e gli autovettori φk sono reali ed inoltre i vettori φk sono linearmente indipendenti, pertanto formano una base per lo spazio Rn : questo significa che ogni vettore x può essere ottenuto come una combinazione lineare dei vettori φk . Un’ulteriore proprietà che deriva dalla simmetria di M e K è che, per j 6= k si ha: φTj Mφk = φTj Kφk = 0

j 6= k

(3.19)

Quindi, se si indica con Φ la matrice n × n costruita con gli autovettori φk , risulta che le matrici: ΦT MΦ ΦT KΦ sono diagonali ed inoltre: ¢ ¡ (ΦT MΦ)−1 (ΦT KΦ) = Φ−1 M−1 K Φ = Λ

(3.20)

in cui Λ indica la matrice diagonale costruita con gli autovalori λk di K e M. Da queste osservazioni segue che l’equazione (3.3) ha n soluzioni del tipo (3.13), una per ogni autovettore di M e K: φk zk (t), in cui z√k (t) è a sua volta la soluzione dell’equazione dell’oscillatore semplice di frequenza ω k = λk , dove λk è il corrispondente autovalore. Dunque la più generale delle soluzioni dell’eq. (3.3) si potrà esprimere come combinazione lineare delle precedenti, ossia: u(t) =

n X

φk zk (t)

(3.21)

k=1

dove zk (t) è la soluzione della k-esima tra le n equazioni: z¨k (t) + ω 2k zk (t) = 0

k = 1, . . . , n

(3.22)

che, come è noto dallo studio dei sistemi ad un g.d.l., è: zk (t) = Ak sin(ω k t + φk )

ω 2k = λk

(3.23)

In conclusione si può affermare che il moto libero di un sistema non smorzato ad n g.d.l., governato dal sistema di equazioni (3.3), si può ottenere sovrapponendo n oscillazioni armoniche di frequenza ω1 , . . . , ω n ; ad ogni frequenza è associata una “forma” del moto di oscillazione (detta modo) e definita dall’autovettore φk , corrispondente all’autovalore ω 2k . Il moto libero di un sistema si decompone quindi in n modi, ciascuno oscillante con diversa frequenza (la frequenza del modo). Poiché ciascuna delle componenti modali del moto zk (t) è definita a meno di due costanti (l’ampiezza Ak e la fase φk ), l’intero moto è definito a meno di 2n parametri, che si possono determinare imponendo le condizioni ˙ iniziali della posizione u(0) e della velocità u(0) del sistema.

46

3.3 Oscillazioni libere non smorzate

3.3.1

Esempi

Come primo esempio si studiano le oscillazioni libere del doppio pendolo introdotto nel §1.2.5, utilizzando le equazioni linearizzate (1.23). Esempio 3.2 Oscillazioni libere del bipendolo Le equazioni del bipendolo sono state ottenute nel nel §1.2.5, applicando le equazioni di Lagrange; in forma linearizzata, valida per piccole oscillazioni, queste sono espresse dalle (1.23). Queste equazioni possono formularsi, con la notazio¨ + Kθ = 0, in cui θ indica il vettore delle coordinate lagrangiane ne delle matrici, nella forma Mθ e le matrici delle masse e delle rigidezze sono: · ¸ · ¸ (m1 + m2 ) l12 m2 l1 l2 g (m1 + m2 ) l1 0 M= K = 0 gm2 l2 m2 l1 l2 m2 l22 Gli autovalori della matrice: −1

K

M=

"

1 g l1 1 g l1

1 g(m1 +m2 ) m2 l2 1 g l2

#

la cui equazione caratteristica è: g 2 m1 + g 2 m2 2 −l1 gm1 − l1 gm2 − gl2 m1 − gm2 l2 m1 λ + λ + l1 l2 2 =0 g 2 (m1 + m2 ) g 2 (m1 + m2 ) g (m1 + m2 ) sono proporzionali (a meno di 2π) al quadrato dei periodi di oscillazione del sistema. Tali autovalori si ottengono come radici dell’equazione precedente, e sono: r ³ ´ 2 2 (l1 + l2 )(m1 + m2 ) + (m1 + m2 ) m2 (l1 + l2 ) + m1 (l1 − l2 ) 1 λ1 = 2g m1 + m2 r ³ ´ (l1 + l2 )(m1 + m2 ) − (m1 + m2 ) m2 (l1 + l2 )2 + m1 (l1 − l2 )2 1 λ2 = 2g m1 + m2 Introducendo le quantità adimensionali µ = m2 /(m1p + m2 ) e η = l2 /(l1 + l2 ), le espressioni dei due autovalori si semplificano; a meno del fattore 2π (l1 + l2 )/g, che è il periodo di un pendolo semplice di lunghezza l1 + l2 , i periodi di oscillazione del bipendolo dependono soltanto da questi rapporti: s r i p (l1 + l2 ) 1 h T1 = 2π 1 + µ + (1 − µ)(1 − 2η)2 g 2 s r h i p (l1 + l2 ) 1 T2 = 2π 1 − µ + (1 − µ)(1 − 2η)2 g 2 I corrispondenti autovettori, normalizzati assumendo θ2 = 1, sono indicati dalle espressioni seguenti: # " # " √ √ 1 1−2η+ 2

µ+(1−µ)(1−2η)2 1−η

1

1 1−2η− 2

µ+(1−µ)(1−2η)2 1−η

1

Nella figura p 3.1 sono riportati gli andamenti dei periodi di vibrazione (adimensionalizzate mediante il fattore 2π (l1 + l2 )/g) dei due modi, in funzione del rapporto µ tra la massa m2 e quella totale e per due casi del rapporto η tra la lunghezza l2 del secondo pendolo e quella totale. In linea continua è rappresentato il caso η = 0.5, con linea punteggiata è rappresentato il caso η = 0.25, che peraltro coincide con quello relativo a η = 0.75. Nella successiva figura 3.2 è riportata, in funzione degli

47

3.3 Oscillazioni libere non smorzate

1 0.8 0.6 0.4 0.2

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

p Figura~3.1: Periodi di vibrazione del bipendolo (normalizzati con il fattore π (l1 + l2 )/g) in funzione del rapporto µ = m2 /(m1 + m2 ); tratto continuo: η = 0.5; linea tratteggiata: η = 0.25 e η = 0.75. Le linee superiori si riferiscono al primo modo, quelle inferiori al secondo. stessi parametri, l’ampiezza della componente θ1 del vettore delle coordinate, rapportata a θ2 , posta uguale ad 1. Dalla fig. 3.1 si osservi come il periodo del primo modo aumenta al crescere della seconda massa in rapporto a quella totale, mentre il periodo del secondo diminuisce. Per µ = 1 (tutta la massa concentrata nel secondo pendololo) il periodo di oscillazione del primo modo coincide con quello del pendolo semplice di lunghezza l1 + l2 ; inoltre, dalla fig. 3.2 risulta che θ2 = θ1 = 1, ossia il pendolo oscilla rigidamente, ignorando la cerniera intermedia. Al diminuire della massa m2 il periodo del primo modo decresce; se la cerniera è al centro (l1 = l2 ) i periodi dei due modi tendono a coincidere mentre θ1 → 0: l’ampiezza delle oscillazioni del pendolo superiore, dotato di maggiore massa, si riduce e tende ad annullarsi (raffrontata a quella del pendolo di massa minore) quando tutta la massa è nel nodo superiore. Si determina ora la storia delle ampiezze delle coordinate angolari θ1 e θ2 per un doppio pendolo con masse uguali (µ = 0.5) e per tre valori del rapporto η = l2 /(l1 + l2 ), assumendo le condizioni θ1 = θ2 = 1 e θ˙ 1 = θ˙ 2 = 0. Indicando con φi (i = 1, 2) gli autovettori si ottengono le equazioni: · ¸ 1 φ1 [a1 cos (0) + b1 sin (0)] + φ2 [a2 cos (0) + b2 sin (0)] = 1 · ¸ 2π 2π 0 φ [−a1 sin(0) + b1 cos(0)] + φ [−a2 sin(0) + b2 cos(0)] = 0 T1 1 T2 2 Per cui dalla seconda equazione segue che b1 = b2 = 0 mentre la prima si semplifica nella: · ¸ 1 φ1 a1 + φ2 a2 = 1 Per µ = 0.5 ed η = 0.5 si ottiene: φ1 =

·

. 8604 1.0

¸

φ2 =

·

−. 19372 1.0

T1 = . 9462 T2 = 0. 3236

¸

48

3.3 Oscillazioni libere non smorzate

1 0.2

0

0.4

0.6

0.8

1

-1

-2

-3

Figura~3.2: Primo elemento del vettore modale in funzione del rapporto µ. I valori positivi si riferiscono al primo modo, quelli negativi al secondo. Linea punteggiata η = 0.25; linea continua η = 0.5; linea tratteggiata η = 0.75 e quindi a1 = 1. 1324 a2 = −. 13243 Combinando questi risultati si ottengono le espressioni: θ1 θ2

= 1. 1324 cos(1. 0569τ ) − . 13243 cos(3. 0902τ ), = . 97432 cos(1. 0569τ ) + 2. 5654 × 10−2 cos(3. 0902τ )

in cui τ = t/T0 è un tempo adimensionalizzato con il periodo del pendolo di lunghezza l1 + l2 . Queste due funzioni sono rappresentate nella figura 3.3. Ripetendo il procedimento per i valori del parametro η di 0.25 e 0.75 rispettivamente, si ottengono le seguenti esppressioni delle coordinate angolari θ in funzione del tempo:

θ1 θ2

= . 97432 cos (1. 0568τ ) + 2. 5654 × 10−2 cos (3. 0902τ ) = 1. 1324 cos (1. 0568τ ) − . 13243 cos (3. 0902τ ) θ1 θ2

= . 65809 cos (1. 0568τ ) + . 34188 cos (3. 0902τ ) = 1. 1324 cos (1. 0568τ ) − . 13245 cos (3. 0902τ )

Gli andamenti nel tempo sono, nei due casi, rappresentati nelle figure 3.4 e 3.5. Si noti come il contributo del seondo modo sia poco rilevante per i casi in cui η = 0.5 e η = 0.25, mentre diventano importanti, almeno per il moto della massa superiore, nel caso η = 0.75. Questo era d’altra parte prevedibile osservando il grafico della fig. 3.2, dove è evidente, per questo caso, la grande ampiezza (negativa) della componente θ1 del secondo autovettore. 2

Come secondo esempio si riporta lo studio delle oscillazioni libere di un semplice telaio di 3 piani con travi indeformabili (shear type).

49

3.3 Oscillazioni libere non smorzate

1 0.5

00

10

20

30 t

40

50

60

-0.5 -1

Figura~3.3: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo. µ = 0.5 η = 0.5. Con linea continua è rappresentato θ1 , con linea punteggiata θ2

1 0.5 00

10

20

30 t

40

50

60

-0.5 -1

Figura~3.4: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo. µ = 0.5 η = 0.25. Con linea continua è rappresentato θ1 , con linea punteggiata θ2

50

3.3 Oscillazioni libere non smorzate

1 0.5 00

10

20

30 t

40

50

60

-0.5 -1

Figura~3.5: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo. µ = 0.5 η = 0.75. Con linea continua è rappresentato θ1 , con linea punteggiata θ2 Esempio 3.3 Si vogliono determinare le frequenze e le forme modali del telaio a 3 piani rappresentato in fig. 3.6, ipotizzando che le travi siano indeformabili e trascurando la deformazione assiale dei pilastri. Si assume inoltre che le masse sono interamente concentrate a livello dei piani. Le sezioni dei pilastri sono 30 × 30 cm2 , le masse, uguali a tutti i piani, sono di 30 t, il modulo elastico del materiale E = 3 × 107 KN/m2 . Il sistema ha tre soli gradi di libertà, corrispondenti agli spostamenti dei piani. Numerando le coordinate lagrangiane ui (gli spostamenti dei piani) partendo dal basso, la matrice di rigidezza si costruisce facilmente partendo da quella dei pilastri. Indicando con J=

1 0.3 × 0.33 = 6. 75 × 10−4 m4 12

il momento di inerzia della sezione di un pilastro e con Kp la rigidezza di un piano: Kp = 2

12EJ KN = 18000 33 m

La matrice di rigidezza della struttura risulta:     36000 −18000 0 0 2Kp −Kp K =  −Kp 2Kp −Kp  =  −18000 36000 −18000  0 −18000 18000 0 −Kp Kp Poiché le masse sono concentrate, la matrice M è  30 M = 0 0 Le frequenze proprie (al quadrato) del telaio si  −1  36000 30 0 0 A = M−1 K =  0 30 0   −18000 0 0 0 30

diagonale:  0 0 30 0  0 30

possono calcolare come autovalori della matrice    −18000 0 1200 −600 0 36000 −18000  =  −600 1200 −600  −18000 18000 0 −600 600

51

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate

Figura~3.6: Schema del telaio esaminato. risolvendo l’equazione caratteristica: det(A−λI) =λ3 − 3000λ2 + 2160000λ − 216000000 = 0 Si ottengono quindi i tre autovalori, raccolti nella matrice diagonale Λ: £ ¤ Λ = diag 118. 84 932. 97 1948. 2

ed a cui corrispondono gli autovettori:   . 32799 −. 73698 . 59101 Φ =  . 59101 −. 32799 −. 73698  . 73698 . 59101 . 32799

√ Le frequenze proprie della struttura si ottengono dagli autovalori, ricordando che ω i = λi ; nella tabella seguente sono riportati i valori delle frequenze e dei periodi propri della struttura: modo 1 2 3

freq. ω (sec−1 ) 10.90 30.54 44.14

period. T (sec) 0.576 0.206 0.142

Nella figura 3.7 sono invece rappresentate le forme modali dei tre modi del telaio.

3.4

2

Oscillazioni smorzate e forzate

Si torni ora a considerare l’equazione generale della dinamica lineare di sistemi discreti, eq. (3.4). Se Φ è la matrice degli autovettori φi di K ed M, soluzione dell’eq. (3.18), poiché questi autovettori formano una base in Rn , si può porre: u(t) =

n X i=1

φi zi (t) = Φz(t)

(3.24)

52

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate

-1.0

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

0

0

0.0

1.0

-1.0

1° modo

0.0

1.0

-1.0

2° modo

0.0

1.0

3° modo

Figura~3.7: Deformate modali del telaio a 3 piani Sostituendo l’eq. (3.24) nella (3.4) e premoltiplicando quest’ultima equazione per ΦT , si ottiene: z(t) + ΦT CΦ˙z(t) + ΦT KΦz(t) = ΦT f (t) ΦT MΦ¨

(3.25)

Per quanto visto nel §3.3 le matrici ΦT MΦ e ΦT KΦ sono diagonali, ma il termine in generale non risulta diagonale: così il sistema (3.25) non è completamente disaccoppiato e quindi non è più possibile risolverlo sovrapponendo le soluzioni di n sistemi ad un g.d.l. Ciò nonostante si assuma che C sia tale da essere diagonalizzato dagli autovettori Φ, in modo che si possa porre: ΦT CΦ

ΦT CΦ = matrice diagonale

(3.26)

In questo caso, noto come smorzamento proporzionale o classico, il sistema (3.25) si decompone in n equazioni indipendenti: Mi z¨i + Ci z˙i + Ki zi = Fi (t)

(3.27)

in cui Mi , Ci e Ki sono i termini non nulli delle matrici diagonali: ΦT MΦ, ΦT CΦ e ΦT KΦ: Mi = φTi Mφi

Ci = φTi Cφi

Ki = φTi Kφi

(3.28)

e sono detti massa, smorzamento e rigidezza del modo i, mentre Fi = φTi f

(3.29)

è la forza modale. L’equazione (3.27) è quella di un oscillatore ad 1 gdl aventi massa, rigidezza e smorzamento del modo i. Dividendo questa equazione per Mi questa si può porre nella forma standard: z¨i + 2ωi ξ i z˙i + ω 2i zi = Qi (t)

(3.30)

53

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate

in cui ω 2i =

Ki Mi

Ci ξi = √ 2 Ki Mi

(3.31)

sono la frequenza naturale non smorzata e lo smorzamento percentuale del modo, mentre si è posto Qi = Fi /Mi .

3.4.1

Matrice di smorzamento

La capacità dissipativa delle strutture dipende da molti fenomeni che non sono chiaramente compresi; per questo motivo non è usualmente possibile costruire la matrice C partendo dalla geometria della struttura e dalle caratteristiche dei materiali, in modo simile a quello con cui si calcolano le matrici di rigidezza e delle masse. Di solito i valori degli smorzamenti delle strutture si assegnano globalmente, sulla base di risultati sperimentali, misurati su strutture di analoghe caratteristiche. Dati i metodi con cui è possibile misurare lo smorzamento di una struttura (p.es. sulla base del decadimento di ampiezza delle oscillazioni libere, o sull’ampiezza della risposta di risonanza), ciò che è noto solitamente sono i valori degli smorzamenti percentuali dei (primi) modi di vibrazione della struttura; quindi quel che si conosce sono proprio i valori dei coefficienti ξ i dei primi modi di vibrazione, non i termini cij della matrice C. L’ipotesi che gli autovalori di M e K diagonalizzino la matrice di smorzamento è dunque una conseguenza della scarsa conoscenza del fenomeno dello smorzamento; in questi casi non è effettivamente necessario eseguire la decomposizione della matrice C (che in effetti non è nota): determinate le caratteristiche dei modi non smorzati, come descritto nel §3.3, nelle equazioni disaccoppiate (3.30) si introduce un termine dissipativo 2ω i ξ i , assegnando alla percentuale di smorzamento ξ i il valore che compete a quel modo. Le risposte modali z(t) ottenute integrando le equazioni (3.30) si combinano secondo la (3.24) per ottenere il vettore degli spostamenti dei nodi u(t), da cui si potrà poi derivare ogni altra grandezza di interesse fisico, come deformazioni, tensioni, ecc. . . In alcuni casi, anziché operare la decomposizione modale, si preferisce integrare numericamente il sistema di equazioni accoppiate (3.4); questo si verifica ad esempio per le strutture con comportamento nonlineare, le cui forze interne non seguono la semplice legge lineare del prodotto di una matrice costante K per il vettore degli spostamenti u. In questi casi è indispensabile costruire la matrice C partendo dai dati disponibili, cioè gli 3 smorzamenti modali. √ Dalla seconda delle (3.31) si determinano i coefficienti della matrice diagonale Ci = 2ξ i Ki Mi e quindi invertendo le eq. (3.282 ) si ha: C = Φ [Ci ] ΦT

(3.32)

Per le strutture con molti gdl questo procedimento risulta molto oneroso: infatti il calcolo di tutti gli autovettori ed autovalori di una matrice di grandi dimensioni richiede un notevole impegno di calcolo. L’efficenza dell’analisi modale si basa sul fatto che generalmente i modi di frequenza più elevata danno un contributo trascurabile alla risposta, per cui la decomposizione (3.24) può essere sostituita da u(t) ' 3

m X

φi zi (t)

(3.33)

i=1

A rigore nell’analisi nonlineare non è più lecito parlare di modi e di analisi modale. Tuttavia poiché per vibrazioni di ampiezza sufficientemente piccola si può ritenere che il sistema si comporti linearmente, si può comunque fare riferimento ai modi relativi alla matrice di rigidezza “tangente” nell’origine.

54

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate

in cui il numero dei modi considerati m ≤ n è spesso molto minore del numero dei gdl della struttura. Viceversa il calcolo di C mediante la (3.32) richiede che si impieghino tutti gli autovettori di M e K; infatti se in luogo di Φ si impegasse una matrice rettangolare composta con i primi m < n autovettori, la matrice C così costruita assegnerebbe uno smorzamento nullo ai modi di frequenza più elevata ωi > ω m , ciò che, per ragioni di stabilità e accuratezza dell’algoritmo di integrazione, non è opportuno. Per costruire una matrice di smorzamento “classica” normalmente si preferisce assumere che essa sia proporzionale alle matrici M e K: C =αM+βK

(3.34)

con α e β coefficienti opportuni. Questa matrice soddisfa evidentemente la condizione (3.26) e quindi si ha: ΦT CΦ = [Ci ] = α [Mi ] + β [Ki ] da cui si deduce: 1 ξi = 2

µ

α + βω i ωi

¶

(3.35)

in cui ω i indica la frequenza delle oscillazioni libere e non smorzate del modo i. Poiché mediante la (3.34) C dipende solo dai due coefficienti α e β, è possibile fissare i valori degli smorzamenti di due soli modi (p.es. del 1◦ e del 2◦ ); gli altri risultano tutti automaticamente determinati dall’eq. (3.35). 1. Una formulazione più generale, di cui la (3.34) rappresenta un caso particolare, è la seguente: C=M

p X l=0

¢l ¡ αl M−1 K

(3.36)

2. Per p = 1 l’eq. (3.36) coincide con la (3.34); per l > 1, per l’eq. (3.20) si ha: ¢ ¡ Φ−1 M−1 K Φ = Λ da cui segue che M−1 K = ΦΛΦ−1 , e di conseguenza:

¡ −1 ¢l −1 · · · ΦΛΦ−1} = ΦΛl Φ−1 M K = |ΦΛΦ−1 ΦΛΦ{z l volte

Sostituendo questa equazione nella (3.36), si ottiene: C=M

p X

αl ΦΛl Φ

l=0

e dunque: "

ΦT CΦ = ΦT MΦ

X l

#

αl Λl Φ−1 Φ = diag [Mi ]

X l

αl Λl

55

3.5 Analisi in frequenza

ovvero, in forma scalare: φTi Cφj = 0 φTi Cφi

se i 6= j X = Mi αl ω 2l i l

Si dimostra così che quando C ha la forma (3.36), è diagonalizzata dagli autovalori di M e K. Inoltre uguagliando lo smorzamento modale a: 2Mi ω i ξ i , si ottiene l’espressione dello smorzamento del modo i in funzione dei coefficienti αl : 1X ξi = αl ω 2l−1 (3.37) i 2 l

3.5

Analisi in frequenza

3.5.1

Trasformata di Fourier

Nel paragrafo 2.4 si è visto che, mediante uno sviluppo in serie di Fourier, ogni forzante periodica di periodo T può essere rappresentata come sovrapposizione di funzioni armoniche di periodo T, T /2, T /3, . . . , e quindi, grazie alla linearità delle equazioni del sitema, anche la risposta si ottiene sovrapponendo le soluzioni ottenute per il caso con forzante armonica, cioè, per la parte stazionaria, di funzioni armoniche anch’esse di periodo T, T /2, T /3, . . . ecc., e con ampiezze e fasi che dipendono, oltre che da quelle delle componenti dell’azione, dalla funzione di risposta H(ω, ξ) espressa dall’eq. (2.59). Si vogliono generalizzare questi risultati al caso delle funzioni non periodiche. L’espressione (2.68) dei coefficienti di Fourier si può scrivere in modo equivalente4 : Z T /2 T An = f (t)e−iωn t dt (3.38) −T /2

mentre l’espressione della funzione f (t) come combinazione di armoniche diviene: ∞ 1 X f (t) = T An eiωn t ∆ω 2π n=−∞

(3.39)

dove si è posto ∆ω = ω 1 = ω n − ω n−1 = 2π/T . Per T → ∞ si ha ovviamente che ∆ω → 0 e la variabile discreta ωn tende alla varibile continua ω. Pertanto, posto T An = fe(ω) e tenendo conto che per ∆ω → 0 la sommatoria nell’eq. (3.39) tende al relativo integrale, dalle equazioni (3.38) e (3.39) si deducono le relazioni: Z ∞ fe(ω) = f (t)e−iωt dt (3.40) −∞ Z ∞ 1 f (t) = (3.41) fe(ω)eiωt dω 2π −∞

La funzione fe(ω) è chiamata trasformata (o integrale) di Fourier della funzione f (t); la funzione originale (detta anche antitrasformata) e la sua trasformata formano una coppia, collegate dalle relazioni simmetriche (3.40) e (3.41). Nel seguito verranno illustrate alcune tra le principali proprietà dell’operazione di trasformazione. 4

Le relazioni (3.40) e (3.41) hanno senso solo se gli integrali impropri convergono: questo implica che: limt→±∞ |f (t)eiωt | = 0 ed anche limω→±∞ |fe(ω)eiωt | = 0.

56

3.5 Analisi in frequenza

• L’operazione di trasformazione e la sua inversa sono lineari, pertanto sono intercambiabili con ogni altro operatore lineare. • Trasformata di Fourier della derivata. Applicando l’eq. (3.40) alla derivata di f (t) ed integrando per parti, si ottiene: Z ∞ Z ∞ f ¯ df −iωt df −iωt ¯∞ = e dt = f (t)e + iω f (t)e−iωt dt = iω fe(ω) −∞ dt dt −∞ −∞

Avendo tenuto conto di quanto detto nella nota precedente. Applicando più volte il procedimento risulta: nf dg = (iω)n fe(ω) dtn

(3.42)

Ovvero: la trasformata di Fourier della derivata n-esima di una funzione si ottiene moltiplicando per (iω)n la trasformata della funzione. • Trasformata di Fourier dell’integrale. L’eq. (3.42), ponendo g(t) = dn f (t)/dtn , diviene: Z ^ Z ge(ω) = (iω)n · · · g(t)dt da cui segue:

Z

Z ^ · · · g(t)dt = (iω)−n ge(ω)

(3.43)

e quindi la trasformata dell’integrale di una funzione è data dalla trasformata della funzione divisa per (iω)n . • Prodotto di convoluzione. Date due funzioni f (t) e g(t), si definisce prodotto di convoluzione, ammesso che esista, l’integrale: Z ∞ Z ∞ f (t − τ )g(τ )dτ = f (τ )g(t − τ )dτ (3.44) f (t) ∗ g(t) = −∞

−∞

Applicando la (3.40) alla (3.44), dopo uno scambio dell’ordine di integrazione, si ottiene: ¸ Z ∞ Z ∞ Z ∞ ·Z ∞ −iωt ] f (t − τ )g(τ )dτ e dt = g(τ ) f (t − τ )e−iωt dt dτ f ∗g = −∞

−∞

−∞

−∞

Quindi, ponendo θ = t − τ e sostituendo nella precedente, risulta: Z ∞ Z ∞ −iωτ ] f ∗g = g(τ )e dτ f (θ)e−iωθ dθ = fe(ω)e g (ω) −∞

(3.45)

−∞

In sintesi: la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate. Lo sviluppo in serie di Fourier può quindi essere visto come un caso particolare della trasformata, nel caso che la funzione sia periodica: infatti è possibile dimostrare che nel caso in cui la funzione f (t) è periodica, l’integrale (3.40) è nullo ovunque, eccetto un

57

3.5 Analisi in frequenza

numero discreto di punti ω n = 2πn/T , in cui si ha fe(ω n ) = Ai δ(ω − ω n ); in questa espressione δ indica la funzione Delta di Dirac ed Ai è il coefficiente dello sviluppo in serie di Fourier. Solo nel caso di funzioni semplici è possibile calcolare analiticamente la trasformata di Fourier, altrimenti il calcolo deve essere svolto numericamente. In questo caso di fatto la trasformata viene approssimata con i coefficienti di uno sviluppo in serie di una funzione periodica di periodo abbastanza grande da coprire tutta la durata di interesse del fenomeno. Un algoritmo particolarmente efficiente a questo scopo è la Fast Fourier Transform (FFT) che trasforma una funzione di t, campionata in n punti equidistanti ti nella sua trasformata, anch’essa campionata in n punti equidistanti ωi . Se f (t) è una funzione reale, l’eq. (3.40) si può scrivere esplicitamente: Z ∞ Z ∞ f (t) cos(ωt)dt − i f (t) sin(ωt)dt fe(ω) = −∞

−∞

se f (t) è simmetrica attorno all’origine [f (t) = f (−t)] il secondo integrale è nullo e la trasformata di Fourier è anch’essa reale.

3.5.2

Soluzione dell’equazione dinamica mediante trasformata di Fourier

Se a tutti i termini dell’equazione dinamica di un oscillatore ad un g.d.l.: x ¨(t) + 2ω0 ξ x(t) ˙ + ω 20 x(t) = f (t) si applica l’operatore trasformata di Fourier, tenendo conto della linearità dell’operatore e della proprietà (3.42) si ottiene: −ω 2 x e(ω) + 2ω0 ξ(iω)e x(ω) + ω 20 x e(ω) = fe(ω)

In queste equazioni ω 0 è la frequenza delle oscillazioni libere non smorzate del sistema, mentre ω è il parametro della trasformata di Fourier e x e e fe indicano le trasformate della risposta e della forzante, rispettivamente. Risolvendo la precedente equazione rispetto ad x e(ω) si ottiene: x e(ω) =

−ω2

1 fe(ω) = H(ω, ω 0 , ξ)fe(ω) + 2iω 0 ωξ + ω 20

(3.46)

dove H(ω, ω 0 , ξ) è la funzione di trasferimento complessa, già introdotta nel precedente capitolo [eq. (2.59)]5 Tenendo conto delle proprietà della trasformata del prodotto di convoluzione espresse dalle equazioni (3.44) e (3.45), la trasformata inversa della (3.46) si scrive: Z ∞ f (τ )h(t − τ ) dτ (3.47) x(t) = −∞

in cui h(t) indica la trasformata inversa della funzione di trasferimento H(ω), cioè: Z ∞ 1 H(ω)eiωt dω (3.48) h(t) = 2π −∞ 5 Nel capitolo precedente il tempo natorale t era sostituito con il tempo adimensionale τ = ω0 t per questo motivo la funzione H risulta moltiplicata per ω20 . Si ricordi che β = ω/ω0 .

58

3.5 Analisi in frequenza

Confrontando l’eq. (3.47) con la (2.81) appare evidente che la funzione di trasferimento H(ω) è la trasformata di Fourier della funzione di risposta ad impulso (2.82) (a meno del fattore 1/m), pertanto si avrà: ³ p ´ 2 Z ∞ sin ω 1 − ξ t 0 1 p H(ω)eiωt dω = e−ξω0 t (3.49) 2 2π −∞ ω0 1 − ξ

Questa relazione può essere calcolata direttamente, facendo uso della proprietà delle funzioni olomorfe, per cui si ha: Z ∞ X f (x) dx = 2πi Residuo [f (zn )] −∞

n

dove zn sono i punti di singolarità di f (z) che cadono nella parte superiore del piano complesso. I punti singolari di H(ω)eiωt sono le radici della funzione a denominatore: −ω2 + 2iω 0 ωξ + ω 20 = 0 · ¸ q 2 ω 1 = ω 0 iξ ± 1 − ξ 2

e quindi: h(t) =

i h √ ω 0 t −ξ+i 1−ξ 2

e

i h √ ω 0 t −ξ−i 1−ξ 2

+e p 2iω 0 1 − ξ 2

³ p ´ sin ω 0 1 − ξ 2 t p = e−ξω0 t 2 ω0 1 − ξ

La funzione h(t) si deve intendere nulla per t < 0; pertanto l’integrale (3.47) si può estendere all’intervallo [−∞, t]; in questo modo l’eq. (3.47) coincide con la (2.81) quando il tempo inziale t0 → −∞; questo dimostra che l’eq. (3.46) fornisce la trasformata della parte stazionaria del moto. Per un sistema a molti gradi di libertà, supponendo che lo smorzamento sia di tipo classico, le equazioni del moto possono essere disaccoppiate, riportando il problema a quello di N oscillatori indipendenti, ciascuno caratterizzato dalla frequenza modale ω n e dal relativo smorzamento ξ n , per i quali si applica l’eq. (3.46). Quindi eseguendo la trasformata di Fourier dell’eq. (3.30) si orriene:

in cui

en (ω) zen (ω) = Hn (ω)Q Hn (ω) =

e

−ω2

1 + 2iωωn ξ n + ω 2n

T en (ω) = φn e f (ω) Q Mn

(3.50)

(3.51)

(3.52)

Il vettore e f (ω) è costruito con le trasformate di Fourier delle componenti del vettore delle forze esterne f (t). L’intero vettore e z(ω) è dato quindi dalla relazione: ¡ ¢−1 T e f (ω) = diag [Hn (ω)] Φ−1 M−1e f (ω) Φ e z(ω) = diag [Hn (ω)] ΦT MΦ (3.53)

59

3.6 Moto di trascinamento

e quindi, tenendo conto dell’eq. (3.24), risulta:

La matrice:

e (ω) = Φe u z(ω) = Φ diag [Hn (ω)] Φ−1 M−1e f (ω) = H(ω)e a(ω)

(3.54)

H(ω) = Φ diag [Hn (ω)] Φ−1

(3.55)

è la matrice di trasferimento della struttura, mentre e a(ω) = M−1e f (ω)

(3.56)

è il vettore delle trasformate di Fourier delle forze normalizzate con la matrice delle masse. Il calcolo della trasformata diretta ed inversa in forma analitica è possibile solo per poche semplici funzioni. In generale l’uso delle trasformate di Fourier richiede l’impiego di procedimenti numerici: utilizzando l’algoritmo FFT si possono calcolare per punti le e ; la risposta si ottiene funzioni e f (ω) e quindi, mediante le (3.54) si determinano i valori di u e. poi utilizzando la FFT inversa, applicata a u

3.6

3.6.1

Moto di trascinamento Moto sincrono

Tra le cause che sono in grado di indurre azioni dinamiche significative sulle strutture delle costruzioni civili la più importante probabilmente è il moto sismico. In questo caso sulla struttura non agiscono direttamente delle forze, ma solo gli effetti inerziali impressi dal moto di trascinamento. Infatti, in condizioni sismiche, un riferimento solidale al terreno non è più, neanche approssimativamente, inerziale e non è più lecito scrivere le equazioni del moto rispetto ad esso. Si dovrà perciò assumere come riferimento uno solidale al terreno in quiete; rispetto a questo, supponendo che la fondazione, rappresentata dai nodi vincolati al terreno, si comporti come un corpo rigido, l’accelerazione dei nodi della struttura si potà decomporre nella somma di un moto rigido direttamente proporzionale all’accelerazione alla base e di un termine di moto relativo, che esprime la deformazione della struttura: u ¨ + Tag (t), in cui u indica ancora il vettore degli spostamenti relativi alla fondazione e ag è il vettore delle componenti del moto della fondazione; nel caso più generale ag è un vettore con 6 termini (3 traslazioni e 3 rotazioni). La matrice T, detta di trascinamento, è la matrice che esprime il moto dei nodi della struttura (considerata rigida) in funzione di quello della base; essa ha tante colonne quanti sono i termini di ag e tante righe per quanti sono i g.d.l. della struttura. Tenendo conto che la parte rigida del moto non induce direttamente tensioni, l’equazione dinamica del sistema si scrive: M (¨ u + Tag (t)) + Cu˙ + Ku = 0 Portando il termine noto a secondo membro si ottiene: M¨ u + Cu˙ + Ku = −MTag (t)

(3.57)

Questa equazione coincide con la (3.4) se si sostituisce il termine noto f con −Tag . Se la matrice di smorzamento è di tipo classico l’eq. (3.57) può essere disaccoppiata nelle equazioni modali ed il termine della forzante del modo i—esimo risulta: Qi = −

φTi MT ag (t) = −pi ag (t) φi Mφi

(3.58)

60

3.6 Moto di trascinamento

Il vettore pi =

φTi MT φi Mφi

(3.59)

è detto vettore dei coefficienti di partecipazione del modo i—esimo. Quando il moto della fondazione è traslatorio in una sola direzione, il vettore ag diviene uno scalare e la matrice T un vettore; in questo caso anche pi è uno scalare, indicato come coefficiente di partecipazione del modo. La matrice P dei coefficienti di partecipazione si può anche esprimere direttamente come prodotto di Φ−1 T, infatti: ¡ ¢−1 ¡ T ¢ P = ΦT MΦ Φ MT = Φ−1 T

(3.60)

Questa formulazione non è conveniente per i sistemi con numerosi g.d.l. di cui normalmente non vengono determinati tutti gli autovettori e pertanto l’eq. (3.60) non è utilizzabile, in quanto l’intera matrice Φ non è nota. Esempio 3.4 Determinare i coefficienti di partecipazione dei modi del telaio studiato nell’esempio 3.3 supponendo che il moto di trascinamento sia di sola traslazione in direzione orizzontale. In questo caso la matrice T diviene un vettore che, per la struttura esaminata, ha tre termini, tutti uguali ad 1:   1 T= 1  1 ricordando le matrici delle masse e degli autovettori della struttura:     30 0 0 . 32799 −. 73698 . 59101 M =  0 30 0  Φ =  . 59101 −. 32799 −. 73698  0 0 30 . 73698 . 59101 . 32799

si ottiene facilmente, per ciascun modo: p1 =

p2 =

φT1 MT 49. 679 = = 1. 656 30.0 φT1 Mφ1

φT2 MT −14. 219 = = −. 47397 T 30.0 φ2 Mφ2

p3 =

φT3 MT 5. 4606 = = . 18202 T 30.0 φ3 Mφ3

ovvero, direttamete: 

    . 32798 . 59101 . 73697 1 1. 656 p = Φ−1 T =  −. 73697 −. 32798 . 59101   1  =  −. 47395  . 59101 −. 73697 . 32798 1 . 18201

Si osservi come i coefficienti di partecipazione diminuiscano in valore assoluto al crescere dell’ordine del modo: pertanto la forzante modale Qi decresce a sua volta e di conseguenza i modi di ordine elevato, in questi casi, contribuiscono poco al moto complessivo della struttura. 2

61

3.6 Moto di trascinamento

3.6.2

Moto non sincrono

Anche se nella maggior parte dei casi l’ipotesi di moto sincrono dei punti vincolati al terreno sia lecita, ve ne sono alcuni in cui essa non è più accettabile: questo è per esempio il caso delle strutture spazialmente estese, con vincoli anche molto distanti tra loro, come i lunghi ponti o viadotti, o le tubazioni dei gasdotti, o nel caso delle sovrastrutture vincolate in punti diversi di una struttura principale. Quando il moto di trascinamento non è più sincrono si deve far riferimento al sistema di assi in quiete: indicando con x il vettore degli spostamenti di tutti inodi della struttura relativi a questo riferimento, le equazioni di equilibrio dei g.d.l. non vincolati si scrive: ¨f +Mf g x ¨g +Cf f x˙ f +Cf g x˙ g +Kf f xf +Kf g xg = 0 Mf f x

(3.61)

Il vettore x è stato suddiviso nei sottovettori xf dei gradi di libertà non vincolati e xg del moto impresso ai g.d.l. vincolati e le matrici delle masse, degli smorzamenti e di rigidezza sono state coerentemente suddivise. La matrice Kf g tiene conto degli effetti prodotti sui nodi liberi dalle distorsioni impresse ai vincoli; la matrice Mf g non è nulla solo nel caso di matrice delle masse “coerente”. È conveniente esprimere xf come somma di una parte “dinamica” e di una “statica” o distorsiva: xf = xsf + u

(3.62)

in cui u indica la parte “dinamica” del moto e xsf quella “statica”. La parte “statica” si assume che verifichi l’equazione (3.61) in condizioni statiche, cioè: Kf f xsf +Kf g xg = 0

(3.63)

xsf = −K−1 f f Kf g xg

(3.64)

da cui si deduce che:

Sostituendo la decomposizione (3.62) nell’eq. (3.61) e tenendo conto della (3.64), si ottiene: ´ ´ ³ ³ −1 x ¨ ˙g ¨ + Cf f u˙ + Kf f u = Mf f K−1 K −M + C K K −C Mf f u g fg fg ff ff fg fg x ff (3.65) In questo modo si è ottinuto di dare all’equazione delle strutture soggette a moto non sincrono una struttura analoga alla (3.57) relativa al caso sincrono, a parte il termine a secondo membro dell’eq. (3.65) che dipende dalla velocità del moto di trascinamento. Inoltre, se si assume che la matrice di rigidezza sia semplicemente proporzionale a quella delle rigidezze, cioè che sia valida l’eq. (3.34) con α = 0, allora sostituendo Cf f = βKf f e Cf g = βKf g , l’ultimo termine del secondo membro dell’eq. (3.65) è identicamente nullo e risulta: ´ ³ x ¨g ¨ + Cf f u˙ + Kf f u = Mf f K−1 K −M (3.66) Mf f u f g f g ff Anche quando non si può sostenere che la matrice di smorzamento è proporzionale alle rigidezze, se il contributo dello smorzamento alle forze totali è piccolo, il termine di smorzamento viene comunque trascurato, in modo che il sistema di equazioni assuma la forma (3.66), formalmente simile a quella delle strutture soggette a moto sincrono.

62

3.7 Smorzamento non classico

Le sollecitazioni dei nodi liberi dipendono solo dalla parte dinamica dello spostamento: infatti si ha: sf = Kf f (u + xsf ) + Kf g xg = Kf f u

(3.67)

L’ultimo risultato si ottiene immediatamente tenendo conto della posizione (3.63). Nei nodi vincolati invece si avrà: sg = Kgf (u + xsf ) + Kgg xg per cui, tenendo conto della (3.64) e del fatto che Kgf = KTfg , si ottiene: ´ ³ K sg = KTfg u+ Kgg −KTfg K−1 f g xg ff

(3.68)

Quindi, contrariamente al caso di moto sincrono, le sollecitazioni nei nodi vincolati dipendono anche dalle distorsioni indotte dal trascinamento.

3.7

Smorzamento non classico

Si è già detto in precedenza come di solito non sia possibile costruire la matrice di smorzamento di una struttura per assemblaggio di quelle dei suoi elementi costituenti (p.es. travi e pilastri) per cui lo smorzamento viene assegnato in termini percentuali direttamente ai modi della struttura non smorzata, basandosi sui valori misurati sperimentalmente su edifici analoghi a quello attualmente studiato. Questo modo di procedere presuppone che la matrice di smorzamento della struttura risulti disaccoppiata dagli autovettori delle matrici di rigidezza e delle masse, relativi alla struttura non smorzata, ossia che lo smorzamento sia di tipo “classico” o “proporzionale”, e ques to implica che C si possa ottenere combinando M e K come espresso dall’eq. (3.34) o, più in generale, (3.36). In alcuni casi tuttavia l’ipotesi di smorzamento “classico” non è accettabile: questo si verifica quando per qualche ragione è noto che una parte di una struttura ha uno smorzamento notevolmente diverso da quello delle altre, come nel caso dello studio dei problemi di interazione suolo struttura o delle strutture isolate alla base o munite di sistemi di dissipazione di energia. Ad esempio per lo studio dell’interazione della deformabilità del suolo con la soprastante struttura è necessario inserire nel modello, insieme alla struttura, anche una parte del suolo sottostante. È noto che, per varie ragioni, lo smorzamento da assegnare al suolo è sensibilmente maggiore di quello da attribuire alla struttura soprastante, ne consegue che la matrice globale risulta non proporzionale6 . Quando la matrice di smorzamento non è diagonalizzata dagli autovettori del sistema non smorzato, la decomposizione modale studiata nei §3.3 ed 3.4 non è più applicabile perchè il sistema di equazioni che si ottiene utilizzando la trasformazione (3.25) non è più composto da equazioni indipendenti, poiché la matrice ΦT CΦ non è diagonale e pertanto nella k—esima equazioni compaiono termini in z˙j , con j 6= k. Sono stati ideati alcuni metodi approssimati per superare questo ostacolo, il più semplice dei quali, utilizzabile per 6 Nel caso dei problemi di interazione suolo—struttura, per la costruzione della matrice complessiva si può procedere nel seguente modo: si costruiscono le matrici di smorzamento Ct e Cs relative al solo terreno ed alla sola struttura, considerati separati, partendo dalle matrici di rigidezza e delle masse di ciascuna parte, nell’ipotesi di smorzamento proporzionale, utilizzando le eq. (3.34) o (3.36), e quindi assemblando queste in un’unica matrice.

63

3.7 Smorzamento non classico

sistemi debolmente smorzati, consiste semplicemente nell’ignorare i termini fuori diagonale, assumendo quindi per ogni modo lo smorzamento che corrisponde altermine diagonale della matrice ΦT CΦ. Più in generale, se si vuole tenere correttamente conto della natura non proporzionale dello smorzamento per un sistema eccitato da una forzante qualsiasi, ma definita deterministicamente, la via più conveniente è quella di integrare direttamente le equazioni del moto nel dominio del tempo, impiegando una tecnica numerica del tipo di quelle illustrate nel §2.6.2. In alcuni casi però, ad esempio nelo studio della risposta ad un’azione aleatoria, è indispensabile possedere una formulazione analitica dell’equazione, ottenuta mediante la decomposizione modale: nel seguito sarà illustrato un procedimento che consente la decomposizione modale di sistemi con matrice di smorzamento di tipo qualsiasi.

3.7.1

Analisi modale complessa

Riduzione di un’equazione differenziale ad un sistema del primo ordine Una equazione differenziale lineare di orine m: y(m) + a1 y (m−1) + · · · + am−1 y0 + am y = f con le condizioni iniziali: y(0) = y10 ,

y0 (0) = y20 ,

y (m−1) (0) = ym0

...

può essere sempre trasformata in un sistema di m equazioni del primo ordine; basta per questo introdurre un vettore di incognite: y1 = y,

y2 = y0 ,

...

ym = y (m−1)

e quindi riscrivere l’equazione originale e le definizioni introdotte in modo da formare il sitema seguente: y10 = y2 y20 = y3 .. . 0 = −a1 ym − a2 ym−1 − · · · − am−1 y2 − am y1 + f ym

con le condizioni iniziali y1 (0) = y10 ,

y2 (0) = y20 ,

...

ym (0) = ym0

In modo analogo si può mostrare che un sistema di N equazioni di ordine m, si può trasformare in un sistema di mN equazioni del primo ordine. Seguendo il procedimento delineato sopra, l’equazione dinamica di una struttura con N gradi di libertà (3.4) diviene un sistema di 2N equazioni del primo ordine; per questo si definisce il vettore di stato: · ¸ u(t) x(t) = (3.69) u(t) ˙

64

3.7 Smorzamento non classico

la matrice dei coefficienti A=

·

0 I −M−1 K −M−1 C

¸

(3.70)

ed il vettore dei termini noti: y(t)=

·

0 −1 M f (t)

¸

(3.71)

L’equazione (3.4) è quindi equivalente al sistema di primo ordine: x(t) ˙ = Ax(t) + y(t)

(3.72)

come è facile verificare direttamente, sviluppando la (3.72) e tenendo conto delle definizioni (3.69), (3.70) e (3.71). Soluzione di un sistema del primo ordine a coefficienti costanti L’equazione differenziale (3.72) è a coefficienti costanti, come l’eq. (3.4) da cui deriva. L’integrale generale dell’eq. (3.72) si può calcolare con la relazione: Z t X(t−τ )y(τ ) dτ (3.73) x(t) = X(t)x0 + 0

in cui x0 indica il vettore delle condizioni iniziali di x(t) ed X(t) è la matrice delle soluzioni principali. X(t) è una matrice 2N × 2N formata con 2N soluzioni indipendenti dell’equazione (3.72) resa omogenea e con condizioni iniziali tali che solo una delle componenti di x(0) è non nulla (ed uguale ad uno). Sinteticamente questo significa che X(t) soddisfa le condizioni: ˙ X(t) = AX(t)

X(0) = I

(3.74)

dove, come di solito, I indica la matrice unità. La (3.73) si giustifica immediatamente, calcolando la derivata di x(t) e tenendo conto della (3.74) Z t ˙ − τ )y(τ ) dτ = ˙ X(t + X(0)y(t) + x(t) ˙ = X(t)x 0 0 Z t X(t − τ )y(τ ) dτ = Ax(t) + y(t) AX(t)x0 + y(t) + A 0

La soluzione dell’equazione matriciale (3.74) si può scrivere formalmente: X(t) = eAt

(3.75)

in cui con eAt si intende la matrice che si ottiene come limite della serie: eAt = I + At +

∞ X 1 n n 1 1 (At)2 + (At)3 + · · · = A t 2 3! n! n=0

(3.76)

Supponendo che la matrice degli autovettori di A, Ψ, sia non singolare, essa definisce una trasformazione che rende A diagonale [eq. (A.46)] Ψ−1 AΨ = Λ, in cui Λ = diag [λ1 , λ2 , . . . , λ2N ]

65

3.7 Smorzamento non classico

è la matrice diagonale degli autovalori di A. Inversamente si ha A = ΨΛΨ−1 ; sostituendo questa relazione nella (3.76) si ottiene: Ã∞ "∞ ! # i h X 1 X λn k n Λn tn Ψ−1 = Ψ diag t Ψ−1 = Ψ diag eλk t Ψ−1 = ΨeΛt Ψ−1 eAt = Ψ n! n! n=0 n=0 (3.77) Con eΛt si è indicata sinteticamente la matrice diagonale formata con gli esponenziali degli autovalori di A moltiplicati per t. La soluzione dell’equazione differenziale (3.72) è quindi ricondotta alla determinazione degli autovalori e degli autovettori della matrice A dei coefficienti. Determinazione delle soluzioni modali Sostituendo nella (3.73) alla matrice delle soluzioni principali X(t) la (3.75) nella forma (3.77), si ottiene Z t eΛ(t−τ ) Ψ−1 y(τ ) dτ (3.78) x(t) = ΨeΛt Ψ−1 x0 + Ψ 0

Quindi, introducendo il vettore delle variabili modali z(t): z(t)= Ψ−1 x(t)

⇐⇒

x(t)= Ψz(t)

(3.79)

dalla (3.78) si ottiene: Λt

z(t) = e z0 +

Z

t

eΛ(t−τ ) w(τ ) dτ

(3.80)

0

avendo posto, in accordo alla (3.79), z0 = Ψ−1 x0 e w(t) = Ψ−1 y(t). Tenendo conto che eΛt è una matrice diagonale, l’eq. (3.80) si decompone in 2N equazioni indipendenti del tipo: Z t zk (t) = eλk t z0k + eλk (t−τ ) wk (τ ) dτ (k = 1, 2, . . . , 2N ) (3.81) 0

La decomposizione delle matrici simmetriche M e K dava luogo ad autovettori ed autovalori reali; al contrario gli autovalori e gli autovettori della matrice non simmetrica A risultano generalmente complessi e, poiché A ha dimensioni pari, si avranno in generale N coppie di valori complessi coniugati. Se gli autovettori Ψ sono complessi, tali saranno anche le coordinate modali z(t), ma poiché Ψ e z sono composte da coppie coniugate, il loro prodotto risulta reale; quindi x risulta reale, come ovvio. Si consideri il caso di oscillazioni libere (w(t) ≡ 0) per cui si ha zk (t) = z0k eλk t ; se λk fosse reale avremmo un andamento esponenziale del moto e poiché questo non può essere crescente risulterà λk < 0. Questo è il caso che corrisponde ad uno smorzamento critico o supercritico per l’oscillatore ad un g.d.l. Per sistemi smorzati in modo subcritico, affinché il moto sia oscillante, l’autovalore dovrà essere complesso e la parte reale non positiva; i due autovalori complessi coniugati saranno pertanto λk = −µk ± iη k

66

3.7 Smorzamento non classico

in cui µk e ηk sono numeri reali non negativi. Indicando con ω k = |λk | il modulo dell’autovalore e ponendo µk = ξ k ω k , evidentemente si ha q η k = ω k 1 − ξ 2k per cui la legge temporale del modo zk risulta ¶ µ q ¶¸ · µ q −ξ k ω k t 2 2 zk (t) = z0k e cos ω k 1 − ξ k t + i sin ω k 1 − ξ k t

(3.82)

La parte reale di questa funzione coincide con la legge del moto di un oscillatore di frequnza naturale (non smorzata) ω k e smorzamento percentuale ξ k . Dunque il modulo dell’autovalore complesso λk è la frequenza naturale del modo ed il rapporto tra la parte reale ed il modulo stesso corrisponde al coefficiente di smorzamento. Autovettori complessi Nelle strutture non smorzate, o smorzate in modo classico, se viene eccitato un singolo modo di vibrazione, la struttura oscilla in modo che, pur variando l’ampiezza, la configurazione non muta, poiché questa è dall’autovettore reale delle matrici K e M. Per comprendere quello che accade per le strutture con smorzamento non classico si osservi che se ψ k indica il k—esimo vettore della matrice Ψ, cioè il k—esimo autovettore di A, deve della matrice A [eq. (3.70)] e soddisfare l’equazione Aψk = λk ψk . Ricordando la forma ¸ · φk si ha: suddividendo il vettore ψk in due sottovettori: ψk = $k ¸· ¸ · ¸ · φk φk 0 I Aψk = = λk $k $k −M−1 K −M−1 C da cui si deducono le due equazioni: $k = λk φk −1

−M

−1

Kφk −M

(3.83)

C$k = λk $k

Sostituendo la prima nella seconda, dopo aver moltiplicato tutti i termini a sinistra per M, si ottiene: ¡ 2 ¢ λk M+λk C + K φk = 0 (3.84)

Gli ¡autovalori λk si ¢possono quindi ottenere come radici del polinomio di ordine 2N : det λ2k M+λk C + K = 0 ed gli autovettori φk come soluzioni del sistema omogeneo (3.84). Ortogonalità degli autovettori Introducendo le matrici simmetriche: · ¸ C M D= M 0 e facile verificare che −1

D

=

·

B=

·

−K 0 0 M

0 M−1 M−1 −M−1 CM−1

¸

¸

(3.85)

67

3.7 Smorzamento non classico

e quindi che D−1 B = A. Sostituendo questa posizione nell’equazione agli autovalori di A, dopo aver moltiplicato i due membri per D risulta Bψk = λk Dψk

(3.86)

Poiché le matrici B e D sono simmetriche si verifica facilmente che gli autovettori sono ortogonali; cioè se ψk e ψ l sono autovettori che corrispondono a due modi diversi λk 6= λl , si ha: ψTl Bψ k = λk ψ Tl Dψ k = 0 In forma esplicita, ricordando che si è posto ψ k = equazioni

·

(l 6= k) φk λk φk

¸ , alla (3.87) corrispondono le

φTl Kφk =λl λk φTl Mφk φTl Cφk +(λl

+ λk )φTl Mφk

(3.87)

(3.88a) =0

(3.88b)

Forme di vibrazione delle strutture con smorzamento non classico Moltiplicando l’ampiezza del modo k, espressa dalla (3.82) per il corrispondente autovettore φk si ottiene il contributo di questo modo al moto globale della struttura; sommando poi i contributi di due modi complessi coniugati si ottiene che il vettore degli spostamenti strutturali dovuti al modo k, si possono esprimere come · µ q ½ ¶ µ q ¶¸¾ −ξ k ωk t 2 2 cos ω k 1 − ξ k t + i sin ωk 1 − ξ k t uk (t) = 2 Re φk z0k e quindi, ponendo z0k nella forma |z0k |eiϑk e distinguendo φk nelle sue parti reale e immaginaria, risulta: ½ · µ q ¶ −ξ k ωk t 2 uk (t) = 2 Re (κk +iγ k ) |z0k |e cos ω k 1 − ξ k t + ϑk µ q ¶¸¾ 2 +i sin ω k 1 − ξ k t + ϑk = · ¶ ¶¸ µ q µ q ξk ωk t 2 2 2|z0k |e κk cos ω k 1 − ξ k t + ϑk − γ k sin ω k 1 − ξ k t + ϑk (3.89) Questa equazione dimostra come, a differenza del caso delle oscillazioni non smorzate, o smorzate in modo proporzionale, ora le oscillazioni di ciascun modo sono formate da una combinazione di due forme, che oscillano con la stessa frequenza ma con una differenza di fase di π/2, corrispondenti alla parte reale e complessa dell’autovettore.

Capitolo 4

Sistemi continui: onde nei mezzi elastici 4.1

Introduzione

Nei capitoli precedenti sono stati esaminati sistemi con un numero finito di gradi di libertà. Da un punto di vista operativo l’aver ristretto lo studio a tali sistemi non è una limitazione, poiché è sempre possibile approssimare un sistema continuo con uno discreto, eventualmente fornito di un numero sufficientemente grande di gradi di libertà. In alcuni casi la discretizzazione è quasi naturale e dà luogo a sistemi con relativamente pochi gradi di libertà (p.es. gli edifici a telaio multipiano), in altri la discretizzazione è meno ovvia e richiede, per ottenere una modellazione significativa, l’introduzione di molti gradi di libertà (p.es. la discretizzazione con elementi finiti di un guscio o di una piastra). Tuttavia, se la discretizzazione con il metodo degli elementi finiti è uno strumento potente che permette di risolvere accuratamente problemi complessi, la cui soluzione è inabbordabile per via analitica, ha il limite di non porre in evidenza i caratteri generali delle soluzioni, che spesso è possibile ottenere da uno studio attento delle equazioni che reggono il problema e della struttura delle soluzioni (quando note); tale studio consente spesso di penetrare più profondamente nella natura del sistema e funge da guida per apprestare gli strumenti di indagine più appropriati per altri problemi. Le equazioni della dinamica dei continui si ottengono facilmente estendendo quelle ben note della statica. In pratica le equazioni di compatibilità cinematica (congruenza) e la legge costitutiva del materiale (p.es. elastica lineare) non mutano; solo nelle equazioni di equilibrio si deve tener conto anche degli effetti dell’inerzia. Nel caso di piccoli spostamenti, quando è possibile sostituire le equazioni di equilibrio relative alla configurazione di riferimento (configurazione indeformata) a quelle relative alla configurazione attuale, le equazioni di equilibrio si scrivono: ui τ ij/j + gi = ρ¨

(4.1)

dove τ ij indica la componente ij del tensore delle tensioni T, gi sono le componenti del vettore delle forze di volume g, ui sono le componenti del vettore degli spostamenti u e ρ indica la densità di massa; il pedice /j denota la derivazione rispetto alla j-esima coordinata spaziale xj , mentre con il punto sopra il simbolo si è indicata la derivata rispetto alla coordinata temporale t. Pertanto u ¨i è la i-esima componente del vettore accelerazione; inoltre si è applicata la convenzione di Einstein, per la quale è sottintesa la 68

69

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra

somma degli indici ripetuti due volte (p.es. τ ij/j = (4.1) si può scrivere: div T+g =ρ¨ u

P

∂τ ij j ∂xj ).

Con altra notazione l’eq.

L’equazione (4.1), unita a quella di compatibiltà cinematica ed alla legge costitutiva del materiale, descrive in modo completo la dinamica delle piccole vibrazioni dei solidi.

4.2 4.2.1

Vibrazioni longitudinali di una barra Onde stazionarie

Il caso più semplice da esaminire è quello di una barra con asse rettilineo soggetta soltanto ad azioni parallele all’asse longitudinale. Indicando con x la direzione di questo asse, la sola componente non nulla di T sarà τ xx = σ; assumendo inoltre nulle le forze di volume, la (4.1) si semplifica nella sola equazione scalare: ∂σ ∂2u =ρ 2 ∂x ∂t

(4.2)

In un mezzo elastico lineare e per le ipotesi fatte si ha semplicemente σ = Eε, dove ε=

∂u ∂x

è la deformazione longitudinale della barra ed E è il modulo elastico del materiale. Sostituendo queste due ultime relazioni nella (4.2) si ottiene facilmente: µ ¶ ∂ ∂u ∂2u E =ρ 2 ∂x ∂x ∂t e, se le caratteristiche meccaniche sono uniformi nella barra: E

∂2u ∂ 2u = ρ ∂x2 ∂t2

che si può anche scrivere: ∂2u ∂2u = c2 2 2 ∂t ∂x dove, tenendo conto che E e ρ sono grandezze sempre positive, si è posto: s E c= ρ

(4.3)

(4.4)

È facile verificare che l’equazione (4.3) ha soluzioni del tipo: u (x, t) = f1 (x + ct) + f2 (x − ct)

(4.5)

dove f1 ed f2 sono funzioni arbitrarie, purché due volte derivabili, il cui effettivo valore dipende dalle condizioni iniziali ed al contorno. L’equazione (4.5) rappresenta la sovrapposizione di due onde, di forma f1 (x) ed f2 (x), rispettivamente, entrambe viaggianti con velocità c, la prima nel verso negativo e la seconda in quello positivo dell’asse della barra.

70

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

5

10

15 x

20

25

30

-0.4 -0.6 -0.8

2

Figura~4.1: Moto di un onda di equazione f (x) = sin(x)e−0.03x

Infatti, se ad esempio f1 assume il valore u ¯ nel punto x0 al tempo t0 , lo stesso valore sarà raggiunto in tutti i punti in cui è soddisfatta la condizione: x + ct = x0 + ct0 ossia per x = x0 − c (t − t0 )

Questa è l’equazione di un punto che si muove, in direzione negativa, con velocità c. Analogamente è facile verificare che l’onda f2 si propaga nella direzione positiva con la medesima velocità. Nella Fig.4.1 è rappresentata in tre differenti istanti l’onda di equazione 2 sin (x) e−0.03x propagantesi in verso positivo.

4.2.2

Barra di lunghezza finita

La soluzione (4.5) dell’equazione (4.3) lascia completamente indeterminata la forma delle funzioni f1 ed f2 . Per rendere la soluzione determinata occorre definire delle condizioni al contorno, cioè sulle sezioni terminali della barra, e delle condizioni iniziali, cioè lo stato della barra da un tempo iniziale, per esempio t = 0. Si consideri allora una barra di lunghezza finita l, con condizioni di vincolo nelle basi che saranno definite in seguito. La soluzione dell’equazione (4.3) viene cercata con il metodo della separazione delle variabili, ponendo u (x, t) = φ (x) w (t)

(4.6)

Sostituendo la (4.6) nella (4.3) si ottiene: d2 φ d2 w 2 = c w (t) dt2 dx2 quindi dividendo entrambi i membri per u e tenendo conto che ora il primo membro dipende solo da t ed il secondo solo da x, si dovrà avere:: φ (x)

2 1 d2 w 2 1 d φ = c = −ω2 w(t) dt2 φ(x) dx2

(4.7)

71

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra

dove ω2 indica una costante positiva. La ragione della scelta del segno della costante sarà chiarito tra breve. Dalla (4.7) si ottengono due equazioni differenziali ordinarie (lineari ed a coefficienti costanti): d2 w + ω2 w = 0 dt2 d2 φ ³ ω ´2 + φ = 0 dx2 c

(4.8) (4.9)

L’equazione (4.8) coincide con quella (2.3) di un oscillatore semplice non smorzato di frequenza ω. La soluzione si può scrivere nella forma: w(t) = eiωt

(4.10)

È ora possibile chiarire la ragione della scelta del segno dell’ultimo membro della (4.7); se questo fosse stato positivo la soluzione dell’equazione (4.8) sarebbe stata esponenzialmente crescente nel tempo, violando i principi di conservazione. Analogamente anche la soluzione dell’equazione (4.9) è una combinazione di funzioni armoniche: φ(x) = Aeiκx + Be−iκx

(4.11)

in cui si è posto κ=

ω c

(4.12)

mentre A e B sono costanti complesse che dipendono dai vincoli imposti alle sezioni di estremità. La soluzione dell’equazione (4.3) si può quindi scrivere: u (x, t) = Aei(ωt+κx) + Bei(ωt−κx)

(4.13)

Estremi liberi In tal caso nella sezioni di ascissa x = 0 e x = l si ha σ = 0, ovvero, per la proporzionalità tra tensioni e deformazioni, εx =

dφ ∂u =w =0 ∂x dx

per x = 0 e x = l

Sostituendo la (4.13) si ottengono le due equazioni: iκ (A − B) eiωt = 0 ³ ´ iκ Aeiκl − Be−iκl eiωt = 0

Dalla prima di queste equazioni segue che A = B. Quindi dalla seconda si ricava: ³ ´ A eiκl − e−iκl = 2iA sin (κl) = 0

Escludendo la soluzione banale A = 0, questa equazione è verificata se κl = nπ, dove n indica un arbitrario intero positivo. Dalla condizione κl = nπ segue κn =

nπ l

(4.14)

72

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra

e quindi ω n = nπ

c l

(4.15)

A ciacun valore di n corrisponde quindi una soluzione dell’equazione (4.3) che rispetta le condizioni di bordo libero: un (x, t) = φn (x)wn (t)

(4.16)

φn (x) = cos(κn x)

(4.17)

in cui

iω n t

wn (t) = Ae

(4.18)

Le funzioni φn (x) sono le autofunzioni dell’equazione differenziale (4.9), per le condizioni ai limiti prescelte; κn sono i corrispondenti autovalori. Ricordando la definizione di κn , è facile intendere il significato della grandezza, detta lunghezza d’onda, λn = 2π/κn = cTn , dove Tn = 2π/ω n è il periodo di oscillazione: λn è lo spazio percorso dall’onda in un periodo di oscillazione, ma è anche il “periodo” spaziale dell’autofunzione. Il suo inverso (a meno di 2π) κn è detto numero d’onda. Estremi vincolati In questo caso le condizioni al contorno sono φ(0) = φ(l) = 0. Di conseguenza dalla (4.13) si ottiengono le equazioni:

la cui soluzione non banale è

(A + B) eiωt = 0 ´ ³ Aeiκl + Be−iκl eiωt = 0 A = −B

κl = nπ

dove n indica un intero positivo. Quindi i numeri d’onda delle vibrazioni sono, come nel caso precedente nπ κn = l e di conseguenza anche le frequenze prendono i valori forniti dall’equazione (4.15). La soluzione dell’equazione delle onde risulta pertanto: un (x, t) = A sin (κn x) eiωn t

(4.19)

Il fattore 2i è stato incorporato nel coefficiente indeterminato A. Nei due casi esaminati le vibrazioni in due barre di uguali caratteristiche ma diversamente vincolate alle estremità, una con le estremità libere e l’altra incastrate, hanno le stesse frequenze e lunghezze d’onda, ma le onde sono traslate, l’una rispetto a l’altra, del fattore π/2.

73

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra

Estremo libero ed estremo vincolato Se la base iniziale della barra è incastrata , mentre l’altra è libera, le condizioni al contorno risultano: (A + B) eiωt = 0 ³ ´ iκ Aeiκl − Be−iκl eiωt = 0

Dalla prima si trae che A = −B, dalla seconda segue: ¶ µ 1 eiκl + e−iκl = 2 cos (κl) = 0 =⇒ κl = n − π 2

(n = 1, 2, . . . )

e quindi µ n− µ = n−

κn = ωn

¶ 1 π 2 l ¶ c 1 π 2 l

(4.20a) (4.20b)

Il confronto tra le (4.20) e la (4.15) dimostra come le frequenze delle vibrazioni libere delle barre con vincoli misti sono più basse di quelle di analoghe barre vincolate in modo uguale ad entrambi gli estremi. Indicando con ωIn le frequenze di queste ultime e con ω II n quelle delle barre con vincoli asimmetrici, si ha: © ª 1 ωII n − 1/2 n = 1 − = 0.5 0.75 0.833 · · · = ω In n 2n Vibrazioni indotte da una percossa Su di una barra lunga l, inizialmente in quiete, vincolata ad un estremo e libera all’altro, si applichi, all’estremità libera, una pressione di intensità σ 0 per un tempo molto breve ∆t, dopo il quale la forza viene rimossa e la barra è lasciata libera di vibrare. Alla fine del tempo ∆t solo un breve tratto della barra di lunghezza ∆x, infinitesimo dello stesso ordine di ∆t, avrà avvertito gli effetti della percossa, mentre il resto della barra sarà rimasto in quiete. Per valutare gli effetti della forza alla fine del tempo di applicazione, si parte dalla equazione (4.2); integrando entrambi i membri rispetto ad x, nell’intervallo [0, ∆x], si ha: Z ∆x u ¨ (x, t) dx (4.21) σ (∆x, t) − σ (0, t) = ρ 0

Per 0 ≤ t < ∆t, si ha per ipotesi σ (0, t) = −σ 0 ed inoltre, per come è stato definito ∆x, σ (∆x, t) = 0. Sostituendo queste uguaglianze nell’eq. (4.21) ed integrando ancora entrambi i membri rispetto al tempo, nell’intervallo [0, ∆t], si ottiene: Z ∆x [u˙ (x, ∆t) − u˙ (x, 0)] dx σ 0 ∆t = ρ 0

e, poiché inizialmente il corpo era in quiete e quindi u˙ (x, 0) = 0, x ∈ [0, l], Z ∆x σ 0 ∆t = ρ u˙ (x, ∆t) dx 0

74

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra

Considerando ∆x un infinitesimo, si avrà quindi: ¡ ¢ σ 0 ∆t = ρu˙ (0, ∆t) ∆x + O ∆x2

da cui, si ottiene:

u˙ (0, ∆t) = v0 = lim

∆t→0

σ 0 ∆t σ0 = ρ ∆x ρc

(4.22)

in cui c è la velocità di propagazione delle onde. Per quanto visto nel precedente paragrafo, per una barra con un estremo libero ed uno vincolato, la soluzione dell’equazione (4.2) si può scrivere: u (x, t) =

∞ X

An eiωn t cos (κn x)

(4.23)

n=1

dove le espressioni di ω n e κn sono quelle delle eq. (4.20). Diversamente dal caso trattato prima qui si è posta l’origine del riferimento in corrispondenza dell’estremità libera della barra, per cui la funzione seno è sostituita dalla funzione coseno. Derivando la (4.23) si trova l’espressione della velocità: u˙ (x, t) = i

∞ X

An ωn eiωn t cos (κn x)

(4.24)

n=1

Ponendo l’origine dei tempi nell’istante in cui cessa l’azione della forza, al tempo zero la velocità dei punti della barra è nulla ovunque eccetto il tratto iniziale di lunghezza ∆x dove prende il valore v0 fornito dalla (4.22). Moltiplicando entrambi i membri della (4.24) per cos (κj x), ponendo t = 0 e tenendo conto che u˙ 6= 0 solo per x ∈ [0, ∆x], si ha: Z

∆x

v0 cos (κj x) dx = i

0

∞ X

n=1

Aj ωj

Z

l

cos (κj x) cos (κn x) dx

0

Tenendo conto dell’espressione esplicita di κ e di ω [eq. (4.20)] e delle proprietà di ortogonalità delle funzioni trigonometriche, si ha: ¡ ¡ ¢¢ l v0 ∆x + O ∆x3 = iAj ω j 2

da cui, a meno di infinitesimi di ordine superiore al secondo in ∆x, si ricava: Aj = −i

4σ 0 ∆t 2v0 ∆x = −i ωj l ρ (2j − 1) πc

(4.25)

Sostituendo la (4.25) nella (4.23) ed utilizzando le espressioni esplicite di ω e κ [eq. (4.20)], si ha l’espressione dell’onda che si propaga nella barra: ∞ 4σ 0 ∆t X sin [(2n − 1) ω 1 t] cos [(2n − 1) κ1 x] u (x, t) = ρπc n=1 (2n − 1)

(4.26)

dove ω1 = πc/2l, è la frequenza del primo modo e κ1 = ω 1 /c è il corrispondente numero d’onda..

75

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra

≥ΖΜΚΡ

≥ΖΟΚΜ

≥ΖΠΚΡ

≥ΖΝΚΜ

≥ΖΟΚΡ

≥ΖΘΚΜ

≥ΖΝΚΡ

≥ΖΠΚΜ

≥ΖΘΚΡ

Figura~4.2: Rappresentazione della funzione u(x, t) in 6 istanti successivi. τ = ω 1 t. In figura 4.2 la funzione u (x, t) è rappresentata in sei istanti successivi. Il tempo τ è normalizzato con la frequenza del primo modo: τ = ω 1 t, l’ascissa spaziale è normalizzata alla lunghezza (ξ = x/l), mentre l’ampiezza dello spostamento è normalizzata con il fattore 4σ 0 ∆t/ρπc. Come si vede il fronte d’onda presenta una brusca discontinuità tra la parte indisturbata e quella che ha subito lo spostamento; in questo strato infinitesimo evidentemente si raggiungono deformazioni infinite: ciò dipende dall’ipotesi fatta che ∆t sia infinitesiomo e quindi, perché l’impulso σ 0 ∆t sia finito, che σ 0 sia infinito. In realtà la transizione tra le due zone sarà tanto più lunga quanto più lungo è il tempo di applicazione della forza e proporzionalmente minore la tensione σ 0 . In figura 4.3 sono riportati, sovrapposti, gli andamenti della deformazione ε = ∂u/∂x in tre istanti successivi (τ = 0.5 − 1.0 − 1.5). Il grafico mostra un picco, pronunciato ma di intensità finita, che interessa un tratto piccolo ma finito della barra, che si propaga, come il fronte d’onda, con velocità c. Il fatto che il risultato non sia un picco infinito di ampiezza nulla dipende però solo dal numero finito di armoniche (40) messe in conto nella (4.26) per il calcolo di u. Al crescere del numero delle armoniche conteggiate, il picco si fa sempre più alto e sottile. Raggiunta la base fissa, come si vede dalla fig. 4.2, il fronte d’onda torna indietro, fino alla base libera, dove viene ulteriormente riflessa verso l’interno, però con segno opposto. Poiché nelle equazioni non sono stati introdotti termini dissipativi, è evidente che il moto prosegue indefinitamente.

76

4.3 Onde nel continuo indefinito

Figura~4.3: Andamento della tensione nella barra in 3 istanti successivi.

4.3

Onde nel continuo indefinito

Nel continuo tridimensionale le equazioni di equilibrio sono espresse dalla (4.1); a queste si devono aggiungere le relazioni di compatibilità cinematica che, per piccole deformazioni, sono: E = sim grad u

(4.27)

dove l’operatore sim (T) indica la parte simmetrica del tensore T, e la legge costitutiva del materiale. Per un mezzo linearmente elastico ed isotropo questa può formulare nel modo seguente: T = λ Tr (E) I+2µE

(4.28)

in cui I indica il tensore isotropo, Tr (E) = e è la variazione relativa di volume dell’elemento, mentre λ e µ sono coefficienti noti come le costanti di Lamè del materiale. Come è noto queste costanti sono legate al modulo di Young E ed al coefficiente di Poisson ν, dalle relazioni λ=

νE (1 + ν) (1 − 2ν)

µ=G=

E 2 (1 + ν)

(4.29)

Sostituendo le (4.27) e (4.28) nella (4.1) risulta: (λ + µ) grad div u+µ4u + g =ρ¨ u 2

∂ in cui 4 indica l’operatore di Laplace: 4 = div grad = ∂x 2 + Si assumano ora nulle le forze di volume, e si ponga

(4.30) ∂2 ∂y2

+

∂2 ∂z 2 .

u = ul + ut

(4.31)

div ut = rot ul = 0

(4.32)

dove:

77

4.3 Onde nel continuo indefinito

La decomposizione (4.31) di un vettore come somma di uno irrotazionale (ul ) ed uno a divergenza nulla (ut ) è sempre possibile. Applicando l’operatore divergenza a tutti i membri della (4.30) e tenendo conto delle (4.31) e (4.32), si ottiene: i h (4.33) ul = 0 div (λ + 2µ) ∆ul − ρ¨ Analogamente applicando l’operatore rotore e tenendo anche conto che rot grad ≡ 0, si deduce: £ ¤ ut = 0 rot µ∆ut − ρ¨ (4.34)

Poiché per le entrambe le quantità in parentesi quadra nelle due equazioni (4.33) e (4.34) si annullano rotore e divergenza esse sono, a meno di un termine costante, identicamente nulle; si ottengono così le due equazioni: u ¨l = c2l 4ul t

u ¨

=

(4.35a)

c2t 4ut

(4.35b)

dove cl =

4.3.1

s

λ + 2µ = ρ

s

E 1−ν ρ (1 + ν) (1 − 2ν)

ct =

r

µ = ρ

s

E 1 ρ 2 (1 + ν)

(4.36)

Onde piane

Una soluzione delle equazioni (4.35) è costituita da onde piane che si propagano secondo una arbitraria direzione n. Infatti posto u(t, x) = u (x · n ± ct)

(4.37)

dove u sta per ul od ut secondo l’equazione considerata e di conseguenza c = cl o c = ct . Tenendo conto che: 4u = u00 (n · n) = u00 u ¨ =c2 u00 si vede che la (4.37) soddisfa identicamente ciascuna delle (4.35). Pertanto alle due equazioni (4.35) corrispondono due tipi di onde che si propagano con velocità differenti: cl e ct . Le prime sono caratterizzate da un moto irrotazionale, le seconde da divergenza nulla, quindi, poiché div u = εii = e, è la variazione percentuale di volume, al moto ut corrisponde una deformazione che non comporta variazione di volume, quindi è una pura distorsione. Le funzioni u che soddisfano le equazioni (4.35) sono arbitrarie e vengono definite dalle condizioni iniziali, ma le componenti ul e ut devono rispettare le condizioni di irrotazionalità e divergenza nulla. Poiché un campo irrotazionale ammette sempre un potenziale, si può porre ul = grad [Ψ (x · n−ct)] = Ψ0 n, ciò dimostra che la componente ul dello spostamento ha la direzione ¡della ¢0 propagazione dell’onda. Analogamente la condizione che div ut = 0, implica che ut · n = 0, e dunque, poiché n è una costante,anche che ¡ t ¢0 u · n = 0, da cui segue che ut ·n = cost. Una traslazione uniforme dell’intero spazio non è in genere compatibile con le condizioni al contorno; si potrà quindi porre ut ·n = 0. Si può pertanto concludere che la componente ut è perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda.

78

4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh)

x y

z

Figura~4.4: Rappresentazione schematica di un’onda superficiale piana. I due tipi di onde sono note in sismologia con i nomi di onde di pressione, od onde-p, e onde di taglio, od onde-s; le onde p si propagano con velocità superiore alle onde di taglio (s), le loro velocità sono nel rapporto: s r √ λ 1−ν cl ≥ 2 = 2+ = 2 (4.38) ct µ 1 − 2ν come si deduce dalle (4.36). L’equazione (4.38) dimostra che il rapporto tra le velocità delle onde p e le s dipende solo dal coefficiente di Poisson ν.

4.4

Onde superficiali (onde di Rayleigh)

Si vuole ora cercare una soluzione dell’equazione delle onde (4.35) che sia valida in un semispazio in prossimità della sua frontiera. Questa soluzione descrive la propagazione di onde in prossimità della superficie di separazione del semispazio in uno strato di relativo piccolo spessore e quindi sono chiamate onde superficiali o onde di Reyleigh in onore del fisico che per primo studiò questo fenomeno (1885). Si considererà il caso di un’onda piana, cioè quando le particelle poste in vibrazione si muovono parallelamente ad un piano che per ovvie ragioni si supporrà ortogonale alla superficie che delimita il semispazio. Si assumerà un riferimento con origine sulla frontiera del semispazio, l’asse x nella direzione della propagazione dell’onda e l’asse z ortogonale alla superficie e rivolto verso l’interno del semispazio. Per le ipotesi fatte il vettore di spostamento u è contenuto nel piano xz e quindi ha componenti nulle nella direzione ortogonale y. Nel paragrafo precedente è stato mostrato che è conveniente esprimere il campo degli spostamenti come somma di un vettore irrotazionale ed uno a divergenza nulla. Poiché il

79

4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh)

più generale vettore irrotazionale è il gradiente di un potenziale scalare Φ mentre il più generale vettore a divergenza nulla si esprime come il rotore di un potenziale vettore ψ, si avrà: ul = grad Φ

ut = rot ψ

(4.39)

Nel caso piano, Φ e ψ saranno funzioni solo di x e z; inoltre, perché ut sia contenuto nel piano xz occorre che ψ sia ortogonale a tale piano, quindi che abbia una sola componente non nulla −Ψ, parallela ad y. In modo esplicito si ha dunque: ul = wl =

∂Φ ∂x ∂Φ ∂z

∂Ψ ∂z ∂Ψ wt = − ∂x

ut =

(4.40)

in cui u, w indicano le componenti sugli assi x e z, rispettivamente, ed i pedici l o t indicano la parte irrotazionale e quella a divergenza nulla. Sostituendo le (4.40) nelle equazioni (4.35) si ottiene facilmente: µ µ 2 ¶ ¶ ∂ Φ ∂2Φ ∂ ∂2Φ 2 ∂ + = cl ∂x ∂t2 ∂x ∂x2 ∂z 2 µ 2 ¶ µ 2 ¶ ∂ ∂ Φ ∂ Φ ∂2Φ 2 ∂ = c + l ∂z ∂t2 ∂z ∂x2 ∂z 2 µ 2 ¶ µ 2 ¶ ∂ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂2Ψ 2 ∂ − = −ct + ∂z ∂t2 ∂z ∂x2 ∂z 2 ¶ µ 2 ¶ µ 2 ∂ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂2Ψ 2 ∂ + = ct ∂x ∂t2 ∂x ∂x2 ∂z 2 Queste relazioni sono equivalenti alle espressioni più sintetiche: µ 2 ¶ ∂ Φ 2 grad = cl 4Φ ∂t2 µ 2 ¶ ∂ Ψ 2 grad = ct 4Ψ ∂t2 che, a meno di un termine costante, del tutto irrilevante, implicano che: ∂ 2Φ ∂t2 ∂2Ψ ∂t2

= c2l 4Φ

(4.41a)

= c2t 4Ψ

(4.41b)

Queste due equazioni sono simili e si differenziano solo per il diverso valore della velocità delle onde di pressione rispetto a quelle di taglio; si cercherà ora la struttura della soluzione di un’equazione del tipo: ∂2F = c2 4F ∂t2

(4.42)

dove F sta per Φ o Ψ e di conseguenza c varrà cl o ct . Separando le variabili si pone F (x, z, t) = X (x) Z (z) φ (t)

(4.43)

80

4.5 Trave a taglio

Sostituendo la (4.43) nella (4.42) e dividendo tutti i termini per F = XZφ, si ha: µ ¶ 1 d2 X 1 d2 φ 1 d2 Z 2 =c + φ dt2 X dx2 Z dz 2

4.5

Trave a taglio

Si consideri ora il caso di uno strato delimitato da due piani paralleli tra loro distanti h. Si assuma un riferimento in cui l’asse z è ortogonale ai due piani, quindi, supponendo che lo strato sia soggetto ad un moto piano, si indichi con x l’altro asse che, insieme a z, definisca il piano parallelo alla direzione del moto, così che possa porsi uy = 0. Inoltre si assumerà che la faccia inferiore dello strato (z = 0) sia vincolata, per cui u(0, t) = 0, mentre la faccia superiore sarà libera, e quindi T(h, t)k = 0; k indica la direzione dell’asse z. Si cerca una soluzione delle equazioni (4.35) che soddisfa le condizioni precedenti, assumendo uz = 0 ed inoltre che la sola componente di u non nulla, ux , sia funzione della sola coordinata spaziale z: ux = u(z, t) uy = uz = 0

(4.44)

Di conseguenza la sola componente di deformazione non nulla sarà: γ xz =

du dz

e pertanto la sola componente di T diversa da zero sarà τ xz . Le equazioni di equilibrio (4.1) con g = 0 si riducono alla sola: ρ

∂ 2u ∂2u = G ∂t2 ∂z 2

poiché le altre si riducono all’identità 0 = 0, e da cui si ottiene: 2 ∂2u 2∂ u = c ∂t2 ∂z 2

(4.45)

p dove c = G/ρ è la velocità delle onde di taglio [eq. (4.36)]. Separando le variabili, ponendo: u (z, t) = φ (z) w(t)

(4.46)

dalla (4.45) si ottengono le due equazioni ordinarie: w ¨ + ω2w = 0 00

(4.47a)

2

φ +κ φ = 0

(4.47b)

dove κ = ω/c. Come nel caso delle vibrazioni longitudinali di una barra, le soluzioni delle equazioni (4.47) sono funzioni armoniche: w(t) = eiωt iκx

φ(z) = Ae

(4.48a) −iκx

+ Be

(4.48b)

81

4.5 Trave a taglio

e quindi u (x, t) = Aei(ωt+κx) + Bei(ωt−κx) Per rispettare le condizioni ai limiti si dovrà avere che u(0, t) = 0 ed inoltre che τ xz (h) = Gγ xz (h) = Gw dφ dz |zhl = 0, per cui dovranno essere soddisfatte le condizioni: (A + B)eiωt = 0 ´ ³ iκ Aeiκh − Beiκh eiωt = 0

da cui si hanno le soluzioni non banali: A = −B e cos (κh) = 0, ovvero: µ ¶ 1 π κ = κn = n − 2 h dove n è un intero positivo. A questi valori di κ corrispondono le autofunzioni ¶ ¸ ·µ z 1 φn = φ0n sin n − π 2 h

(4.49)

(4.50)

che sono le forme di vibrazione dello strato. Dalla (4.49) e dalla definizione di κ segue che le frequenze dei modi di vibrazione dello strato sono: ¶ µ c 1 π (4.51) ω = ω n = cκn = n − 2 h Oscillazioni forzate Si supponga ora che la base dello strato sia soggetta ad un moto assegnato di direzione x, descritto dalla storia di accelerazione ag (t). Le equazioni di equilibrio (4.1) sono ovviamente ancora valide, ma devono scriversi con riferimento ad una base inerziale, per cui in questo caso si ha ¶ µ ∂2u ∂2u ρ ag + 2 = G 2 ∂t ∂z da cui si deduce l’equazione 2 ∂2u 2∂ u − c = −ag (t) ∂t2 ∂z 2

(4.52)

La soluzione di questa equazione si cercherà tra le funzioni che possono esprimersi come combinazione lineare delle autofunzioni φn dei modi di vibrazione dello strato, nella forma: u(z, t) =

∞ X

wn (t) φn (z)

(4.53)

n=1

che soddisfano in modo implicito le condizioni ai limiti. Questo richiede in via preliminare la dimostrazione che le autofunzioni φn formino un sistema ortogonale, ossia che Rh 0 φn (z)φk (z)dz = 0 se n 6= k.

82

4.5 Trave a taglio

Ortogonalità dei modi Per quanto visto prima ogni funzione un (z, t) = wn (t)φn (z) è una soluzione dell’equazione di equilibrio ρ¨ un = G

∂ 2 un ∂z 2

per cui in ogni istante vi è equilibrio tra le tensioni prodotte dalla deformazione elastica un e le forze esterne −ρ¨ un . Se un e uk sono gli spostamenti relativi a due modi di vibrazione n e k, allora per il teorema di Betti, ad ogni istante, il lavoro fatto dalle forze del modo n per gli spostamenti del modo k sarà uguale al lavoro delle forze del modo k per gli spostamenti del modo n. In formule: Z h Z h (−ρ¨ un ) uk dz = (−ρ¨ uk ) un dz 0

0

Sotituendo ad u il prodotto w(t)φ(z) si ottiene: Z h Z w ¨n wk ρφn (z)φk (z)dz = w ¨k wn 0

o

h

ρφk (z)φn (z)dz

quindi, tenendo conto cke per (4.47a) si ha w ¨n /wn = −ω 2n , dividendo ambo i membri dell’equazione precedente per wn wk si ottiene: Z h Z h 2 2 −ωn ρφn (z)φk (z)dz = −ω k ρφk (z)φn (z)dz 0

ovvero:

o

¡

ω2n

− ω2k

¢

Z

h

0

ρφn (z)φk (z)dz = 0

Se ω 2n 6= ω 2k la condizione precedente è soddisfatta solo se Z

h 0

ρφn (z)φk (z)dz = 0

n 6= k

(4.54)

che esprime la condizione di ortogonalità dei modi di vibrazione; quando, come nel caso esaminato, si suppone che ρ costante nel dominio di integrazione, la condizione (4.54) Rh diviene semplicemente: 0 φn (z)φk (z)dz = 0.

Soluzione del problema delle oscillazioni forzate Tornando alla determinazione delle vibrazioni dello strato prodotte dal moto di trascinamento della base vincolata, sostituendo la (4.53) nella (4.52) e ricordando che, se la serie (4.53) è assolutamente convergente, l’operatore di somma e quello di derivazione commutano, si ha: ∞ X

n=0

w ¨n (t) φn (z) − c2

∞ X

n=1

wn (t) φ00n (z) = −ag (t)

Eseguendo la sostituzione φ00n = −κn φn , come è lecito per la (4.47b), quindi moltiplicando tutti i termini di questa equazione per la k-esima autofunzione φk (z) e per ρ ed integrando su z tra 0 e h, tenendo in conto la (4.54) si ha: Z h Z h Z h w ¨k (t) ρφ2k (z) dz + c2 κ2k wk (t) ρφ2k (z) dz = −ag (t) ρφk (z) dz 0

0

0

83

4.5 Trave a taglio

Dividendo tutti i termini per si deriva;

Rh 0

ρφ2k (z) dz e ricordando che cκ = ω, dall’ultima equazione

w ¨k (t) + ω2k wk (t) = −pk ag (t)

dove

Rh

pk = R0h 0

ρφk (z) dz ρφ2k (z) dz

(4.55)

(4.56)

è il coefficiente di partecipazione del modo k. Per ρ costante le funzioni φk hanno l’espressione (4.50), pertanto: £¡ Rh ¢ z¤ 1 4 1 0 sin k − 2 π h dz (4.57) = pk = R h 2 £¡ ¢ z¤ 1 φ0k (2k − 1) π φ0k 0 sin k − 2 π h dz

I coefficienti pk che “pesano” l’azione ag per ciascun modo, decrescono inversamente all’ordine del modo. Così, normalizzando tutti i modi per cui φ0k = 1 ∀k, il rapporto tra il coefficiente del modo k ed il primo, pk /p1 = 1/(2k + 1). Ad esempio il coefficiente di partecipazione del 10◦ modo sarà 1/19 del coefficiente del primo; i modi di ordine molto elevato pertanto avranno un coefficiente molto piccolo e risulteranno trascurabili. Se l’eccitazione è una funzione armonica di pulsazione ω f , per quanto visto nel capitolo 2, le ampiezze delle risposte modali wk (t) dipendono, oltre che dall’ampiezza della forzante, dal rapporto β k = ω f /ωk tra la frequenza della forzante e quella naturale del modo. Poiché la funzione di amplificazione D [eq. (2.48)] ha un massimo per β ' 1, le risposte dei modi di frequenza prossima a quella della forzante saranno amplificati; quelli di frequenza ω k ¿ ω f (β k À 1) risultano attenuati, poiché D < 1; per quelli di frequenza ωk À ω f , la funzione D ' 1, ma, per la (4.57), il coefficiente di partecipazione diviene piccolo, pertanto anche il contributo di questi modi diverrà trascurabile in confronto a quello dei modi prevalenti. Quando l’eccitazione è costituita dalla sovrapposizione di più funzioni armoniche di diversa frequenza, in genere vi sarà più di un modo che sarà eccitato significativamente; l’entità della risposta di ciascun modo dipenderà dalle ampiezze delle componenti della forzante di frequenza più prossima a quella del modo e dal coefficiente di partecipazione di questo. In genere se l’eccitazione ha uno “spettro” a larga banda, cioè è formato da molte armoniche di ampiezza confrontabile, la risposta sarà dominata dai primi modi a cui corrispondono i coefficienti di partecipazione maggiori.

4.5.1

Onde smorzate

Nelle equazioni precedenti non si è tenuto conto della dissipazione per cui un’oscillazione resta stazionaria anche in assenza di un’eccitazione che la sostenga. Questo è, come noto, contrario all’evidenza fisica; per avere un modello più realistico si deve introdurre nel legame costitutivo del materiale un termine che tenga conto della dissipazione. Il modello più semplice che conserva la linearità delle equazioni è quello di Kelvin che, in forma generale si formula: T = CE + DE˙

(4.58)

dove C e D sono tensori del quarto ordine, il tensore elastico e quello di dissipazione. Nel caso in esame in cui E ha una sola componente non nulla, la (4.58) diviene l’equazione scalare: τ = Gγ + η γ˙

(4.59)

84

4.5 Trave a taglio

per cui l’equazione di equilibrio diviene: ρ

∂2u ∂3u ∂2u = G + η ∂t2 ∂z 2 ∂t∂z 2

(4.60)

• Si cerca una soluzione della (4.60) ponendo: u (z, t) = φ (z) eiωt

(4.61)

Sostituendo la (4.61) nella (4.60) si ottiene: −ρω2 φ (z) eiωt = Gφ00 (z) eiωt + iωηφ00 (z) eiωt ovvero: · φ00 (z) +

¸ ρω2 φ (z) eiωt = 0 G + iωη

(4.62)

I modi di vibrazione dello strato si ottengono quindi come soluzione dell’equazione φ00 (z) + κ∗2 φ (z) = 0 per appropriate condizioni al contorno. La costante r r ρ ρ √ −iψ ∗ = ω e κ =ω ∗ G |G∗ |

(4.63)

(4.64)

è il numero d’onda complesso e G∗ = G − iωη è il modulo di taglio complesso. Se si pone ωη = 2ζG, dove ζ è la percentuale di smorzamento rispetto al critico, si ha G∗ = G (1 + 2iζ) e la (4.64) si puòscrivere: s √ ρ ∗ ¢ ¡ e−iψ (4.65) κ =ω G 1 + 4ζ 2 e si è posto ψ = tan−1 (2ζ). Le due radici di e−iψ sono quindi e−iζ e ei(π−ζ) .

La soluzione dell’equazione (4.63) si scrive dunque: ∗

∗

φ (z) = Aeiκ z + Be−iκ z (4.66) ¡ ∗ ∗ ¢ e quindi u (z, t) = Aeiκ z + Be−iκ z eiωt . Di conseguenza la tensione τ è data da τ =G

∂ 2u ∂φ iωt ∂u +η = [G + iωη] e = ∂z ∂t∂z ∂z

³ ´ ∗ G∗ iκ∗ Aeiκz − Be−iκ z eiωt (4.67)

Se z = 0 corrisponde alla superficie libera dello strato, si avrà τ (0, t) = 0 e quindi, per la (4.67) A − B = 0, ossia A = B. Si supponga che la base dello strato sia soggetta ad un moto imposto di tipo armonico: u0 = U eiωt ; quindi alla base dello strato, per compatibilità cinematica, si dovrà avere: ∗h

Aeiκ

∗h

+ Be−iκ

=U

85

4.5 Trave a taglio

7

6

5

4

3

2

1

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Figura~4.5: Modulo della funzione di amplificazione per v = 500 m/ sec, h = 50 m e ζ = 0.1 ed essendo A = B, A=B=

eiκ∗ h

U U ∗h = −iκ +e 2 cos (κ∗ h)

così il rapporto tra l’ampiezza del moto in superficie A + B e quella alla base U è F (ω) =

1 2A = U cos (κ∗ h)

(4.68)

ed è detta la funzione di amplificazione dello strato. Ponendo κ∗ = κ1 + iκ2 , si ha F (ω) =

1 cos hκ1 cosh hκ2 − i sin hκ1 sinh hκ2

(4.69)

ed il cui modulo è 1 |F (ω)| = p 2 sinh(κ2 h) + cos(κ1 h)2

(4.70)

p Per valori piccoli dello smorzamento si ha κ∗ ' κ (1 − iζ), dove κ = ω ρ/G = ω/v è il numero d’onda non smorzato. In tal caso κ1 = κ, κ2 = ζκ. Ponendo ad esempio v = 500 m/ sec e ζ = 0.1, h = 50 m Se il terreno è stratificato, la soluzione si può ancora porre nella forma (4.66) all’interno di ciscuno strato, ma i coefficienti A e B saranno diversi tra uno strato e l’altro. Assumendo per ciascun strato un riferimento che ha origine sulla superficie limite superiore dello strato e rivolto verso il basso, le condizioni di compatibilità ed equilibrio tra due strati consecutivi impongono che: φk (0) = φk+1 (hk+1 ) τ k (0) = τ k+1 (hk+1 )

86

4.6 Vibrazione delle travi inflesse

Dalla prima si tre immediatamente che ∗

∗

Ak+1 + Bk+1 = Ak eiκk hk + Bk e−iκk hk

(4.71)

mentre dalla seconda, ricordando la (4.67) si ha:

ovvero

³ ´ ∗ ∗ G∗k+1 iκ∗k+1 (Ak+1 − Bk+1 ) = G∗k iκ∗k Ak eiκk hk − Bk e−iκk hk Ak+1 − Bk+1 =

´ G∗k iκ∗k ³ iκ∗k hk −iκ∗k hk e − B e A k k G∗k+1 iκ∗k+1

Ponendo a sistema le (4.71) e (4.72) si ottiene la relazione ricorsiva: Ã Ã ! ! G∗k iκ∗k G∗k iκ∗k ∗ iκ∗k hk 1+ ∗ + 1− ∗ Ak e Bk e−iκk hk Ak+1 = Gk+1 iκ∗k+1 Gk+1 iκ∗k+1 Ã Ã ! ! ∗ iκ∗ G∗k iκ∗k G ∗ ∗ 1− ∗ Bk+1 = Ak eiκk hk + 1 + ∗ k k∗ Bk e−iκk hk ∗ Gk+1 iκk+1 Gk+1 iκk+1

(4.72)

(4.73a) (4.73b)

Partendo dallo strato superiore dove, per quanto si è visto A = B e ponendo A = B = 1, applicando ripetutamente la (4.73) si determinano i coefficienti AN e BN dell’ultimo strato, la funzione di amplificazione sarà: F (ω) =

4.6

AN

∗ eiκN hN

2 ∗ + BN e−iκN hN

(4.74)

Vibrazione delle travi inflesse

Per una trave di sezione costante deformabile solamente a flessione, l’equazione della linea elastica è, come noto: d4 v p(x) = 4 dx EJ dove v(x) è lo spostamento della linea elastica, p(x) indica la densità del carico, EJ è la rigidezza alla flessione ed x è l’ascissa lungo la linea d’asse della trave. Nel caso dinamico, oltre al carico p(x) si dovrà mettere in conto le forze di inerzia; considerando trascurabili i termini dovuti all’inerzia rotazionale, l’equazione di equilibrio dinamico della trave è: µ ¶ ∂2v ∂4v 1 p(x) − ρ 2 = ∂x4 EJ ∂t che, ordinata diversamente può scriversi: ∂ 4v ρ ∂2v p(x, t) + = 4 ∂x EJ ∂t2 EJ

(4.75)

In questa equazione ρ è la densità di massa della trave e v(x, t) è la linea elastica della trave, funzione dell’ascissa x e del tempo t.

87

4.6 Vibrazione delle travi inflesse

4.6.1

Oscillazioni libere

Ponendo p ≡ 0, l’equazione (4.75) si semplifica nella: ∂4v ρ ∂2v + =0 ∂x4 EJ ∂t2

(4.76)

la cui soluzione rappresenta le oscillazioni libere della trave. Anche in questo caso la soluzione si cerca con il metodo di separazione, ponendo: v (x, t) = φ (x) w (t)

(4.77)

Sostituendo la (4.77) nella (4.76) si ottiene: ρ d2 w d4 φ φ w + =0 dx4 EJ dt2 e quindi: 1 d2 w 1 d4 φ EJ = − = ω2 φ dx4 ρ w dt2 da cui si deducono le due equazioni: d2 w + ω2w = 0 dt2 d4 φ ρω2 φ = 0 − dx4 EJ

(4.78a) (4.78b)

La prima è ancora l’equazione di un oscillatore elementare non smorzato di frequenza naturale ω 2 . La seconda delle (4.78), posto a4 =

ρω2 EJ

(4.79)

è un’equazione omogenea di quarto grado, la cui equazione caratteristica è α4 − a4 = 0 le cui 4 radici sono α= Quindi la soluzione della (4.78b) è

©

a ia −a −ia

ª

φ(x) = C1 eax + C2 eiax + C3 e−ax + C4 e−iax o, in forma equivalente: φ(x) = A1 sin (ax) + A2 cos (ax) + A3 sinh (ax) + A4 cosh (ax)

(4.80)

I valori dei coefficienti Ak (o Ck ) dipendono dalle condizioni al contorno, pertanto la funzione φ risulterà definita solo dopo aver precisato le condizioni di vincolo delle estremità.

88

4.6 Vibrazione delle travi inflesse

Trave appoggiata Nella trave appoggiata si annullano sia gli spostamenti sia i momenti alle estremità della trave. Poiché M = EJu00 le condizioni di vincolo forniscono le 4 equazioni per le funzioni φ: φ(0) = 0 φ(l) = 0 φ00 (0) = 0 φ00 (l) = 0 dove l indica la lunghezza della trave. Sostituendo la (4.80) e la sua derivata seconda si ottengono le seguenti 4 equazioni, le cui incognite sono i coefficienti Ai : A2 + A4 = 0 −A2 + A4 = 0

A1 sin(al) + A2 cos(al) + A3 sinh(al) + A4 cosh(al) = 0 −A1 sin(al) − A2 cos(al) + A3 sinh(al) + A4 cosh(al) = 0 In altra forma questo sistema si può  0 1  0 −1   sin(al) cos(al) − sin(al) − cos(al)

riscrivere: 0 0 sinh(al) sinh(al)

 A1 1   A2 1  cosh(al)   A3 cosh(al) A4

 0   0  =    0  0 



Questo sistema omogeneo ha soluzioni non banali solo se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, ossia se: −4 sin al sinh al = 0

che evidentemente è soddisfatta se al = nπ, ossia se: a=n

π l

Ricordando la definizione (4.79) della costante a si ottengono le frequenze naturali delle oscillazioni libere non smorzate: s s EJ 2 EJ 2 2 ωn = a =n π (4.81) ρ ρl4 I modi di vibrazione flessionale di una trave elastica di sezione costante sono sinusoidi la cui “lunghezza d’onda” è un sottomultiplo di l: sin(nπx/l), a ciascun modo corrisponde una frequenza di vibrazione fornita dall’equazione (4.81). Mensola Nel caso di una mensola incastrata nella sezione origine (x = 0), le condizioni di vincolo sono: u(0) = u0 (0) = 0, M (l) = V (l) = 0, ossia nella sezione di incastro si annullano gli spostamenti e le rotazioni, nella sezione libera saranno nulle le sollecitazioni di taglio e momento. Queste condizioni implicano che la funzione φ deve verificare le seguenti equazioni: φ (0) = φ0 (0) = 0 φ00 (l) = φ000 (l) = 0

89

4.6 Vibrazione delle travi inflesse

Sostituendo l’espressione (4.80) della funzione φ si ha il sistema di 4 equazioni nelle 4 incognite Ak :      0 0 1 0 1 A1       1 0 1 0    A2  =  0   − sin (al) − cos (al) sinh (al) cosh (al)   A3   0  0 A4 − cos (al) sin (al) cosh (al) sinh (al) Il determinante della matrice dei coefficienti è

2 + 2 cos al cosh al I valori di al che rendono nulla questa funzione devono essere trovati numericamente; le prime 4 radici sono: © ª al = 1. 8751 4. 6941 7. 8548 10. 996 · · ·

e pertanto le prime 4 frequenze naturali di una mensola omogenea di lunghezza l e rigidezza flessionale EJ, risultano: s ª EJ © ω= 3. 516 22. 035 61. 698 120. 91 · · · (4.82) ρl4

Appendice A

Elementi di algebra lineare A.1

Spazi vettoriali

Si dice spazio vettoriale un insieme non vuoto V che soddisfa le seguenti condizioni: 1. Se u ed v sono elementi di V, esiste un’operazione, la somma di u e v, che associa a due elementi di V uno ed un solo elemento dello stesso spazio: w =u+v e che verifica le seguenti proprietà: (a) è commutativa u+v =v+u (b) è associativa: u + (v + w) = (u + v) + w 2. Esiste in V un elemento nullo 0 tale che: u+0 =u

∀u ∈ V

3. Per ogni elemento u ∈ V esiste un altro elemento di V, detto l’opposto di u, (−u), tale che: u + (−u) = 0 4. Se a è un numero e u ∈ V, il prodotto di a per u è un vettore v ∈ V: v = au che verifica le seguenti proprietà: a(bu) = (ab)u 1u = u (a + b)u = au + bu a(u + v) = au + av

90

91

A.2 Dipendenza lineare

A.2

Dipendenza lineare

Dati n vettori v1 , . . . , vn elementi di V, questi si dicono linearmente dipendenti se esistono n numeri a1 , . . . , an , non tutti nulli, tali che: a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn = 0

(A.1)

Al contrario, se l’eq. (A.1) è vera solo se a1 = a2 = · · · = an = 0, i vettori v1 , . . . , vn si dicono linearmente indipendenti.

A.3

Dimensioni di uno spazio. Basi

Se in uno spazio vettoriale V esistono n vettori linearmente indipendenti e1 , e2 , . . . , en , ma non ne esistono n + 1, si dice che V ha n dimensioni, e si indica con Vn . Una n-pla di vettori indipendenti ∈ Vn forma una base dello spazio vettoriale, poiché ogni vettore w ∈ Vn si può rappresentare con una combinazione lineare dei vettori della base. Infatti, se e1 , . . . , en sono una tale base, allora qualunque sia w esisteranno n+1 numeri aj tali che: a1 e1 + a2 e2 + · · · + an en + an+1 w = 0

(A.2)

in quanto per ipotesi in Vn non esistono n + 1 vettori linearmente indipendenti; inoltre an+1 6= 0, poiché in caso contrario i vettori della base {ej } sarebbero linearmente dipendenti. Quindi, risolvendo la (A.2) rispetto a w si ha: w = w1 e1 + w2 e2 + · · · + wn en =

n X

wj ej

(A.3)

j=1

in cui i coefficienti wj sono dati dalla: wj = −

aj an+1

e sono detti le componenti di w rispetto alla base E = {ej }.

A.4

Prodotto interno

Se u, w sono elementi dello spazio vettoriale V, si definisce il prodotto interno (o scalare) dei due vettori un’operazione che associa a u, w un numero (reale o complesso) e si indica con il simbolo: hu, wi Il prodotto interno soddisfa le seguenti condizioni: 1. se a e b sono numeri (reali o complessi) allora: hau, bwi = abhu, wi in cui b indica il complesso coniugato di b.

92

A.5 Vettori ortogonali

2. hu, ui ≥ 0 e l’uguaglianza è verificata se e solo se u = 0. 3. hu + v, wi = hu, wi + hv, wi 4. hu, wi = hw, ui

A.5

Vettori ortogonali

Due vettori non nulli u e v si dicono ortogonali se il loro prodotto interno è nullo: u⊥w

se hu, wi = 0

Se n vettori vj sono tra loro ortogonali allora sono anche linearmente indipendenti. Infatti in caso contrario esisterebbe una combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli per cui: n X aj vj = 0 j=1

Prendento il prodotto interno di ambo i membri di questa equazione ed uno qualsiasi vk dei vettori dell’insieme, per l’ortogonalità tra essi, si ha evidentemente: n X j=1

aj hvj , vk i = ak hvk , vk i = 0

Ciò implica, dato che hvk , vk i 6= 0, che ak = 0. Poiché questo e valido per qualunque vk (k = 1, 2, . . . , n), ne segue che i coefficienti ak devono essere tutti nulli, quindi i vettori vj sono linermente indipendenti. Da quanto dimostrato segue che in uno spazio Vn non possono esistere più di n vettori tra loro ortogonali.

A.6

Basi ortogonali

Dati n vettori linearmente indipendenti v1 , v2 , . . . , vn , si possono, a partire da questi, costruire n vettori ortogonali. A questo scopo è sufficiente seguire la procedura: w1 = v1 hw1 , v2 i w1 hw1 , w1 i hw1 , v3 i hw2 , v3 i w1 − w2 w3 = v3 − hw1 , w1 i hw2 , w2 i ... w2 = v2 −

(A.4)

93

A.7 Componenti di un vettore

È facile controllare direttamente che i vettori wj sono tra loro ortogonali; la dimostrazione però non è completa se non si verivica che i denominatori nelle eq. (A.4) sono diversi da zero. Per questo basta controllare che wk 6= 0 ∀k; ma questo è immediato perché, tenendo conto che ogni wk è una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli di vj , j ≤ k, se per qualche k risultasse wk = 0, esisterebbe una combinazione lineare dei vettori vj con risultante nullo, contraddicendo l’ipotesi di indipendenza dei vettori vj . Poiché i vettori ortogonali sono indipendenti possono essere impiegati per formare una base dello spazio Vn . Data una base qualsiasi, seguendo la procedura (A.4), si può sempre costruire una base ortogonale. Se poi, a partire da una base ortogonale wj si costruisce un’altra base: 1 wj ∀j uj = hwj , wj i

che soddisfa alla condizione di normalità huj , uj i = 1, ∀j, la base così ottenuta si dice ortonormale.

A.7

Componenti di un vettore

Data una base E ∈ Vn , l’eq. (A.3) dimostra che ogni vettore w può essere rappresentato come combinazione lineare dei vettori della base. I coefficienti wj della combinazione si dicono le componenti di w nella base E. Dati due vettori u ed w, rappresentati nella base E: u=

n X

uj ej

w=

j=1

n X

wj ej

(A.5)

j=1

la loro somma è data da: n X (uj + wj )ej u+w =

(A.6)

j=1

cioè le componenti della somma di due vettori si ottengono sommando le componenti omologhe dei vettori sommati. Se a è un numero, applicando le proprietà elencate, si ottiene facilmente che: au =

n X (a uj )ej

(A.7)

j=1

ossia le componenti del vettore ottenuto moltiplicando un vettore per uno scalare si ottengono moltiplicando le componenti del vettore dato per lo stesso scalare. Si calcola ora il prodotto interno di due vettori rappresentati nella base E; utilizzando l’eq. (A.5) e le proprietà del prodotto interno si ottiene: n n n X n X X X hej , ek iuj wk = gkj uj wk hu, wi = j=1 k=1

(A.8)

j=1 k=1

Questa equazione dimostra che il prodotto interno di due vettori si calcola come una forma quadratica i cui coefficienti: gkj = hej , ek i

(A.9)

94

A.8 Cambiamento di base

formano una matrice quadrata hermitiana1 e definita positiva2 : la prima proprietà è conseguenza della proprietà 4, mentre quest’ultima discende direttamente dalla proprietà n. 2 del prodotto interno. Indicando con u e w le matrici n × 1 costruite con le componenti dei vettori u e w, e con G la matrice quadrata n × n costruita con i coefficienti gkj :       w1 u1 g11 g12 . . . g1n  w2   u2   g21 g22 . . . g2n       (A.10) w= .  G= u= .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ..   ..  gn1 gn2 . . . gnn un wn

il prodotto interno dei vettori u ed w si calcola con la forma quadratica3 : hu, wi = w∗ · G · u = u∗ · G · w

A.7.1

(A.11)

Basi ortonormali

Se E è una base ortonormale, tenendo conto che in tal caso si ha hej , ek i = 0 per j 6= k e hej , ej i = 1, dall’eq. (A.9) segue: gjk = δ jk in cui δ jk indica il simbolo di Kroneker: δ jk = 0 per j 6= k e δ jj = 1. Di conseguenza la matrice G coincide con la matrice unità I ed il prodotto interno di due vettori in questa base diviene: hu, wi = u∗ · I · w = u∗ · w

(A.12)

In questo caso il prodotto interno si riconduce al prodotto matriciale tra una matrice ad una riga u∗ ed una matrice ad una colonna w.

A.8

Cambiamento di base

Se E è una base di Vn e E0 un’altra base nello stesso spazio, i vettori e0j che formano la seconda base si potranno rappresentare come combinazione di quelli della prima: e0j

=

n X

β kj ek

(A.13)

k=1

1 Una matrice quadrata si dice hermitiana se per tutti i termini della matrice sono verificate le uguaglianze ajk = akj . Se con A∗ si indica la matrice (detta aggiunta) che si ottiene da A scambiando le righe con le colonne e prendendo il complesso coniugato dei suoi elementi:

A∗ = AT una matrice è hermitiana se A = A∗ . È evidente che gli elementi della diagonale principale di una matrice hermitiana sono reali. Se una matrice hermitiana è reale allora è una matrice simmetrica, cioè A = AT . 2 Una matrice quadrata n × n A si dice definita positiva se, per per qualsiasi matrice n × 1, x 6= 0 si ha: x∗ · A · x > 0 3

Nel caso reale l’eq. (A.11) diviene semplicemente hu, wi = uT · G · w.

95

A.8 Cambiamento di base

Analogamente i vettori della prima base si potranno rappresentare come combinazione di quelli della seconda: eh =

n X

αjh e0j

(A.14)

j=1

Con i coefficienti β kj e αjh si costruiscono due matrici n × n che, come è facile dimostrare, sono l’una l’inversa dell’altra. Infatti se si sostituisce l’eq. (A.13) nella (A.14) si ottiene: eh =

n n X X

αjh β kj ek

(A.15)

j=1 k=1

Poiché i vettori eh sono linearmente indipendenti, l’equazione (A.15) implica che: n X

β kj αjh = δ kh

(A.16)

j=1

che, con formalismo matriciale, si può scrivere: B·A=I

(A.17)

da cui segue che, poiché A e B sono quadrate: B = A−1

(A.18)

cioè la matrice B è l’inversa di A (e viceversa). Se u è un vettore di Vn e uT = [u1 , u2 , . . . , un ] sono le sue componenti nella base E, cioè si ha: n X uj ej u= j=1

sostituendo ai vettori ej la loro rappresentazione nella base E0 espressa dall’eq. (A.14), si ottiene: u=

n n X X

uj αkj vk0

j=1 k=1

=

n X

u0k vk0

(A.19)

k=1

in cui si è posto u0k

=

n X

αkj uj

(A.20)

j=1

L’equazione (2.23) mostra che le quantità u0k sono le componenti di u nella nuova base E0 ; con esse si costruisce la matrice u0 (n × 1) , che si ottiene dalla matrice u delle componenti relative alla base precedente mediante la trasformazione: u0 = Au

(A.21)

96

A.9 Operatori lineari

A.9

Operatori lineari

Una funzione che associa elementi v di uno spazio vettoriale ad altri elementi dello stesso spazio, è chiamata un operatore. Se la funzione gode delle proprietà di linearità, è indicata con il nome di operatore lineare. Più precisamente, sia L : Vn 7→ Vn , in modo tale che, se ( u w) ∈ Vn e a e b sono numeri, si ha: L(au + bw) = aL(u) + bL(w) L è un operatore lineare. Dato uno spazio vettoriale Vn , se E è una sua base e L un operatore lineare, rappresentando un vettore u ∈ Vn come combinazione lineare dei vettori della base: u=

n X

uj ej

(A.22)

j=1

ed applicando ad entrambi i membri dell’eq. (A.22) l’operatore L, tenendo conto delle proprietà prima enunciate, risulta: L(u) =

n X

uj L(ej )

(A.23)

j=1

I vettori L(ej ) sono elementi di Vn e quindi si possono rappresentare nella base E; indicando con akj la componente di L(ej ) relativamente a ek , è L(ej ) =

n X

akj ek

k=1

Quindi, sostituendo nell’eq. (A.23) si ottiene: L(u) =

n X n X

uj akj ek =

j=1 k=1

n X k=1

  n X  akj uj  ek

(A.24)

j=1

Dall’eq. (A.24) appare evidente che le componenti del vettore L(u) nella base E, si ottengono combinando linearmente i coefficienti akj con le componenti del vettore origine u. Raccogliendo le componenti di L(u) e di u in matrici n × 1 e i coefficienti ak,j della trasformazione nella matrice n × n:   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n   L=  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann le componenti di L(u) in E si ottengono dal prodotto: L·u

(A.25)

97

A.9 Operatori lineari

A.9.1

Cambiamento di base di un operatore lineare

Se u, w sono due elementi dello spazio vettoriale Vn collegati da una trasformazione lineare L, in modo che si abbia w = L(u), per l’eq. (A.25), le componenti dei vettori relative ad una base E si trasformano mediante la relazione lineare: w =L·u

(A.26)

in cui L è una matrice n × n. Passando dalla base E ad una nuova base E0 le componenti dei vettori u, w si trasformano in accordo alla eq. (A.21); tenendo conto anche della (A.18) si ha quindi: w0 = Aw e u = A−1 u0 , per cui l’eq. (A.26) diviene: w0 = A · w = A · L · A−1 · u0 = L0 · u0

(A.27)

L0 = A · L · A−1

(A.28)

avendo posto:

L’eq. (A.28) esprime la legge di trasformazione a seguito del cambiamento di base della matrice L della trasformazione lineare L.

A.9.2

Nucleo di un operatore lineare

Se L indica un operatore lineare in Vn , l’insieme degli elementi dello spazio vettoriale Vn per cui si ha: L(v) = 0 è chiamato il nucleo dell’operatore L. Formalmente, il nucleo (L) di un’operatore lineare è definito dalla relazione: (L) = {v ∈ Vn |L(v) = 0}

A.9.3

(A.29)

Inverso di un operatore

Sia L un operatore lineare di Vn ; dato un elemento qualsiasi w ∈ Vn , si supponga che esista un solo elemento di Vn , v, tale che: w = L(v) allora si può definire un operatore w → v, inverso di L: v = L−1 (w) = L−1 ◦ L(v)

(A.30)

Si può dimostrare che, se esiste, L−1 è un operatore lineare e che l’operatore L è invertibile (cioè esiste il suo inverso L−1 ) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo vettore nullo: (L) = {0}

Se L è la matrice dell’operatore L in una base E, allora, se L è invertibile, la matrice dell’operatore L−1 è l’inversa di L. L’operatore L è invertibile se e solo se L non è singolare (cioè det(L) 6= 0).4 4

Il determinante è una proprietà intrinseca dell’operatore e non muta con il cambiamento della base. Infatti, tenendo conto delle note proprietà dei determinanti e dell’eq. (A.28), si ha: det(A0 ) = det(A · L · A−1 ) = det(A) det(L) det(A)−1 = det(A)

98

A.9 Operatori lineari

A.9.4

Operatore identico

L’operatore che trasforma ogni elemento di Vn in se stesso è detto l’operatore identico dello spazio Vn : v = I(v) ∀v ∈ Vn L’eq. (A.30) dimostra che, se un operatore è invertibile, l’applicazione successiva di L e del suo inverso produce l’operatore identico: L−1 ◦ L = I La matrice dell’operatore identico I in Vn è la matrice unitaria I (n × n).

A.9.5

Operatori hermitiani

Siano (v, w) ∈ Vn elementi di uno spazio vettoriale ed L un operatore lineare dello stesso spazio: poiché L(v) ∈ Vn , si può calcolare il prodotto interno: hL(v), wi Esiste ed è unico un altro operatore lineare L∗ , detto l’operatore aggiunto di L, tale che: hL(v), wi = hv, L∗ (w)i

(A.31)

Un operatore lineare L si dice hermitiano od autoaggiunto se L = L∗ , per cui: hL(v), wi = hv L(w)i La matrice dell’operatore aggiunto è l’aggiunta della matrice di L, cioè la matrice che si ottiene prendendo la complessa coniugata della trasposta: L∗ = LT

(A.32)

La matrice aggiunta di una matrice reale è la sua trasposta. Una matrice è hermitiana se coincide con la sua aggiunta A∗ = A; una matrice reale è autoaggiunta se è simmetrica.

A.9.6

Operatori unitari

Un operatore U si dice unitario se soddisfa la seguente condizione: per ogni (v, w) ∈ Vn , hU (w), U (v)i = hw, vi

(A.33)

Un operatore è unitario solo se U ∗ ◦ U = I. Infatti dalla definizione (A.33) e da quella di operatore aggiunto (A.31), segue: hU (v), U (w)i = hv, U ∗ ◦ U (w)i = hv, wi da cui segue evidentemente che U ∗ ◦ U = I. Quindi per un operatorunitario esiste sempre l’operatore inverso, e questo coincide con l’operatore aggiunto.

99

A.9 Operatori lineari

A.9.7

Autovalori ed autovettori di un operatore

Se A è un operatore lineare dello spazio vettoriale Vn ed x un elemento di Vn , x è detto un autovettore di A se per qualche numero λ è verificata l’equazione: A(x) = λx

(A.34)

il numero λ ∈ C è detto l’autovalore di A associato all’autovettore x. Se ad un autovalore λ sono associati più di un atovettore xk , allora ogni combinazione lineare di questi autovettori è un autovettore di A. Infatti, per le proprietà degli operatori lineari e per la (A.34), si ha: X X X ck xk ) = ck A(xk ) = λ ck xk A( k

k

k

Gli autovettori che corrispondono ad autovettori distinti sono linearmente indipendenti. Siano infatti x1 , . . . , xm m autovettori di A, cui corrispondono diversi autovalori λ1 , . . . , λm . Se m = 1 l’affermazione è ovvia; infatti cx1 = 0 solo se c = 0. Si assuma che l’affermazione sia vera per m − 1; in questo caso per qualunque combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli, si ha: c1 x1 + c2 x2 + · · · + cm−1 xm−1 6= 0

(A.35)

Si supponga per assurdo che invece x1 , . . . , xm−1 , xm siano linearmente dipendenti. In questo caso esisterebbe una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli per cui: c1 x1 + c2 x2 + · · · + cm−1 xm−1 + cm xm = 0

(A.36)

Applicando l’operatore A a tutti i termini della (A.36) e tenendo conto dell’eq. (A.34), risulta: c1 λ1 x1 + c2 λ2 x2 + · · · + cm−1 λm−1 xm−1 + cm λm xm = 0

(A.37)

se a questa equazione si sottra la (A.36) moltiplicata per λm , risulta: c1 (λ1 − λm )x1 + c2 (λ2 − λm )x2 + · · · + cm−1 (λm−1 − λm )xm−1 = 0 ma, dato che per ipotesi λm 6= λk , (k 6= m), questa implicherebbe che x1 , . . . , xm−1 siano linearmente dipendenti, contraddicendo l’ipotesi: quindi l’eq. (A.36) è falsa ed è pertanto dimpostrato che gli autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Indicando con I l’operatore identico, l’equazione (A.34) si può riscrivere: (A − λI)(x) = 0

(A.38)

Ricordando la definizione del nucleo di un operatore, è evidente che gli autovettori associati all’autovalore λ sono il nucleo dell’operatore (A − λI); ne consegue che λ è un operatore di A se e solo se (A − λI) non è invertibile. Un’ulteriore proprietà che può essere dimostrata è che ogni operatore A ha almeno un operatore non nullo. Per quanto visto in precedenza se un operatore lineare ha m atovalori distinti allora ha anche m autovalori, che tra loro risultano linearmente indipendenti; da questo consegue che un operatore in Vn non può avere più di n autovalori ed autovettori.

A.10 Vettori in Cn

A.10

100

Vettori in Cn

Nei paragrafi precedenti si è posto in evidenza come un vettore v ∈ Vn , elemento di uno spazio vettoriale, sia generalmente diverso dai coefficienti di una sua rappresentazione relativa ad una qualche base di Vn ; per sottolineare questa differenza e non ingenerare confusione, l’insieme delle componenti di v è stato chiamato matrice n × 1 o matrice colonna e non vettore, come spesso avviene. Peraltro lo spazio dei numeri complessi,5 o, più in generale, il prodotto di n spazi complessi C × C× · · · × C = Cn è uno spazio vettoriale, in quanto soddisfa a tutte le condizioni esposte nel primo paragrafo. Pertanto le n-ple di numeri complessi sono esse stesse elementi di uno spazio vettoriale, per cui non è improprio chiamare vettore una matrice-colonna. Quindi l’insieme di n numeri complessi è di per se stesso un vettore, come elemento di uno spazio Cn ma può anche essere la rappresentazione, relativa ad una qualche base, di un elemento di un altro spazio vettoriale. Ad esempio l’insieme dei segmenti orientati nello spazio che hanno un estremo in un punto è uno spazio vettoriale; le coordinate dell’altro estremo del segmento riferite ad una terna cartesiana forniscono una terna di numeri che sono le componenti del vettore nella base assegnata. Questa terna di numeri può essere interpretata come un vettore dello spazio Rn o come rappresentazione, riferita ad una certa base, del segmento orientato dello spazio geometrico. Nel seguito, quando non sarà necessario evidenziare questa distinzione, le n-ple di numeri reali (o complessi) saranno chiamate vettori.

A.11

Autovalore ed autovettori di una matrice

Sia E una base in Vn ; come si è visto, ogni vettore v ∈ Vn può essere rappresentato dalla matrice (n × 1) delle componenti di v rispetto ad E. Quindi ad ogni vettore in Vn corrisponde una matrice (n × 1) e ad ogni operatore lineare una matrice (n × n). Se dunque A è un operatore lineare e A la matrice ad esso associata nella base E, se λ è un autovalore di A ed x un corrispondente autovettore, le componenti x di x in E, devono soddisfare l’equazione: A · x = λx

(A.39)

(A − λI) · x = 0

(A.40)

L’eq. (A.39) è equivalente alla:

in cui I indica la matrice unità e 0 è l’elemento nullo di Cn . L’equazione (A.40) è un sistema omogeneo (perché il termine noto è nullo) di n equazioni nelle n incognite x, la cui matrice dei coefficienti è (A − λI). Come è noto un sistema di questo genere ammette soluzioni non banali6 se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è inferiore al numero delle incognite. Poiché nel caso in esame la matrice è quadrata questo significa che si dovrà avere: det(A − λI) = 0 5

(A.41)

Analoghe considerazioni si applicano allo spazio dei numeri reali, che si può considerare un sottospazio di C 6 x = 0 è ovviamente soluzione dell’eq. (A.40), ma essa è priva di interesse e quindi denominata banale

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice

101

Sviluppando il determinante si ottiene un polinomio di ordine n in λ, detto polinomio caratteristico della matrice A; la condizione (A.41) è quindi un’equazione di grado n in λ, del tipo: λn + p1 λn−1 + p2 λn−2 + · · · + pn = 0

(A.42)

Per il teorema fondamentale dell’algebra l’eq. (A.42) ha sempre n soluzioni (radici), reali o complesse, qualcuna delle quali può avere molteplicità maggiore di 1. Se si indica con λk una delle m ≤ n radici distinte dell’eq. (A.42) e con rk ≥ 1 la sua molteplicità, l’eq (A.42) è equivalente a: m Y

(λ − λk )rk = 0

(A.43)

k=1

Se λk è una soluzione dell’eq. (A.42), il sistema di equazioni che si ottiene sostituendo λk a λ nella (A.40) ammette almeno una soluzione non banale. Se gli autovalori di A sono tutti distinti (cioè se l’equazione caratteristica ha n soluzioni di molteplicità uno), come si è già visto gli autovettori di A sono linearmente indipendenti: pertanto con essi si può costruire una base di Vn . In questa base la matrice Φ costruita con le componenti degli autovettori coincide con la matrice unità. Ora poiché l’eq. (A.39), scritta per tutti gli autovettori, si può mettere nella forma: A·Φ=Φ·Λ

(A.44)

in cui Λ è la matrice diagonale degli autovettori, se Φ = I, dall’eq.(A.44) segue che A = Λ; in altre parole si può dire che, nel riferimento che ha per base gli autovettori dell’operatore A, la matrice ad esso associata è diagonale e coincide con la matrice Λ costruita con i suoi autovalori, che per ipotesi sono tutti diversi. La matrice di trasformazione da una base arbitraria E a quella degli autovettori è evidentemente costituita dalle componenti degli autovettori su questa base; infatti dall’eq. (A.44) si deduce: Φ−1 · A · Φ = Λ

(A.45)

ovvero, inversamente, si può passare dalla base degli autovettori ad un’altra base E mediante la trasformazione inversa: Φ · Λ · Φ−1 = A

A.11.1

(A.46)

Autovalori multipli, triangolarizzazione

Se una matrice ha qualche autovalore di molteplicità maggiore di uno non è più garantita l’esistenza di n autovettori distinti; pertanto non è in generale sempre possibile porre la matrice nella forma diagonale Λ. Tuttavia è almeno sempre possibile determinare una trasformazione unitaria che renda la matrice triangolare superiore; anche in questo caso i termini sulla diagonale principale sono gli autovalori della matrice. Per dimostrare la precedente affermazione si osservi che una matrice ha sempre almeno un autovettore; si costruisce allora una base ortonormale in Vn formata con l’autovettore φ di A e con altri n − 1 vettori ortonormali, ma per altro arbitrari.

102

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice

In questa base la prima colonna di A ha tutti i termini nulli, eccetto il primo, che ha il valore dell’autovalore λ1 associato all’auovettore φ. Infatti in questa base φ ha componenti [1 0 0 . . . 0] e quindi si dovrà avere:     1 a11 0  a21      A · φ =  .  = λ1 φ = λ1  .   ..   ..  an1

0

da cui appare evidente che si avrà

a11 = λ1

aj1 = 0 (j = 2 . . . n)

La matrice di trasformazione U1 che proietta la matrice in questo riferimento è ovviamente formata con le componenti dell’autovettore φ e degli altri vettori ortogonali. Se ora si considera la matrice (n − 1 × n − 1) A1 , ottenuta da A eliminandone le prime riga e colonna, anche questa matrice avrà almeno un autovettore e quindi si potrà costruire una base di Vn−1 in cui sono nulli tutti i termini della prima colonna di A1 , escluso il primo. La matrice di trasformazione può essere aumentata in Vn , aggiungendovi il vettore [1 0 . . . 0]T e ponendo uguali a zero le componenti dei vettori di Vn−1 su φ. Questa matrice di trasformazione U2 è ancora unitaria e quindi tale è anche la trasormazione prodotto U1 · U2 ; infatti: (U1 · U2 )∗ · (U1 · U2 ) = U∗2 · U∗1 · U1 · U2 Iterando il procedimento alle sottomatrici (n−2×n−2) . . . 2×2 che via via si formano, si perviene quindi a costruire una trasformazione ortonormale: U1 · U2 · · · Un−1 che trasforma una generica matrice A in una matrice triangolare superiore, i cui termini sulla diagonale principale sono gli autovalori di A. Esempio A.1 La matrice (3 × 3):

  3 −2 2 A = 0 5 −1 0 4 1

ha l’autovalore triplo λ = 3 e non può essere diagonalizzata. Si cerca quindi la trasformazione ortonormale che triangolarizza A. Poiché la prima colonna di A è già nella forma desiderata, la prima trasformazione sarà la trasformazione identica; quindi: U1 = I. Si considera allora la sottomatrice (2 × 2): · ¸ 5 −1 A1 = 4 1 √ √ che ha l’autovalore doppio λ = 3 e l’autovettore φ1 = [1/ 5 2/ 5]T ; si costruisce quindi la base ortonormale: √ ¸ · √ 1 √5 2/ √5 2/ 5 −1/ 5 con cui si forma la trasformazione ortonormale U2 :   1 0√ 0√ U2 = 0 1/√5 2/ √5  0 2/ 5 −1/ 5

103

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice

Applicando ad A questa trasformazione se ne ottiene la forma triangolare, i termini diagonali essendo i suoi autovalori:  √ √  3 2/ 5 −6/ 5 UT · A · U = 0 3 5  0 0 3 2

A.11.2

Matrici simmetriche; ortogonalità degli autovettori

Come si è già detto una matrice si dice hermitiana se essa coincide con la matrice dell’operatore aggiunto, cioè con la matrice coniugata della trasposta : A = AT . La matrice trasposta coniugata si indica comunemente con il simbolo A∗ ; se A è reale la sua trasposta coniugata coincide con la trasposta ed una matrice hermitiana e reale è simmetrica. Una matrice hermitiana (in particolare simmetrica) si può sempre porre nella forma diagonale. Questa proprietà consegue immediatamente dal fatto, dimostrato in precedenza, che ogni matrice può essere posta in forma triangolare e che la proprietà di essere hermitiana si conserva per una trasformazione unitaria; infatti in questo caso si ha: (U∗ · A · U)∗ = U∗ · A∗ · U = U∗ · A · U dato che per ipotesi A∗ = A. Poichè d’altra parte una matrice triangolare ed hermitiana è ovviamente una matrice diagonale, ne consegue che le matrici hermitiane sono sempre diagonalizzabili. La matrice ortonormale U della trasformazione che la triangolarizza (e quindi la diagonalizza) è allora la matrice dei suoi autovalori. Da questo segue dunque immediatamente come corollario che gli autovettori di una matrice hermitiana formano una base ortogonale. Un’ulteriore proprietà delle matrici hermitiane è che i loro autovalori sono sempre reali. Infatti se A è una matrice hermitiana, φ un suo autovettore e λ il corrispondente autovalore si ha: A · φ = λφ quindi, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione a sinistra per φ∗ , si ottiene: φ∗ · A · φ = λφ∗ · φ

(A.47)

Prendendo il trasposto-coniugato7 dei due membri dell’eq.(A.47): φ∗ · A∗ · φ = λφ∗ · φ

(A.48)

dal confronto tra le equazioni (A.47) e (A.48), tenendo conto che per ipotesi A∗ = A, ne consegue che deve risultare λ = λ, il che significa che λ è reale. In particolare se la matrice A è reale e simmetrica, anche gli autovettori φ sono reali. 7

È facile verificare che (A∗ · B)∗ = B∗ · A. Infatti: (AT B)T = BT A = BT · A

104

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice

A.11.3

Autovalori ed autovettori generalizzati di due matrici

Se A e B sono due operatori lineari in Vn ed A e B le corrispondenti matrici in una opportuna base E, l’equazione (A.39) può essere generalizzata nel modo seguente: A · x = λB · x

(A.49)

Se l’operatore B è invertibile, in modo che esista la matrice inversa di B, allora l’eq. (A.49) è equivalente a: B−1 · A · x = λx

che è equivalente alla (A.39), ove si sostituisca A con B−1 · A. Se A e B sono matrici hermitiane, la matrice B−1 ·A non lo è; pertanto non è possibile direttamente estendere le proprietà delle matrici hermitiane (autovalori reali, esistenza in ogni caso della trasformazione diagonale, ecc.). Tuttavia, se B è hermitiana, non singolare e definita positiva, allora esiste almeno una decomposizione per B, come il prodotto di una matrice per la sua aggiunta: B = C∗ · C

(A.50)

in cui C è una matrice non singolare. Sostituendo la (A.50) nella (A.49) e ponendo: y =C·x

x = C−1 · y

(A.51)

si ha: A · C−1 · y = λC∗ · y

che, moltiplicata a sinistra per (C−1 )∗ diviene:

(C−1 )∗ · A · C−1 · y = λy

(A.52)

L’eq. (A.52) è ora nella forma standard (A.49) ed inoltre la matrice (C−1 )∗ · A · C−1 è ancora hermitiana, se lo è A. Si può dunque concludere che se B è hermitiana, non singolare e definita positiva, esiste una trasformazione che pone il problema degli autovalori nella forma standard conservando la proprietà di A di essere hermitiana. Questo consente di estendere all’eq. (A.49), quando A e B sono hermitiane, tutte le proprietà dimostrate per gli autovalori e gli autovettori di una matrice hermitiana, relativamente al problema standard (A.39). Se si indica con Y la matrice degli autovettori di (C−1 )∗ · A · C−1 , allora si ha: Y∗ · (C−1 )∗ · A · C−1 · Y = Λ

(A.53)

in cui Λ è la matrice diagonale degli autovalori di A. Ponendo ora: X = C−1 Y l’equazione (A.53) diviene: X∗ · A · X = Λ

(A.54)

ciò dimostra che X diagonalizza la matrice A. Tenendo conto della posizione (A.50) e del fatto che Y è ortonormale, si verifica anche con facilità che: X∗ · B · X = Y∗ · (C−1 )∗ · (C∗ · C) · C−1 · Y = Y∗ · Y = I cioè la trasformazione X diagonalizza anche la matrice B, trsformandola nella matrice unità.